MPD Chapitre 2 [PDF]

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1

Chapitre2 ECOULEMENT DES FLUIDES A TRAVERS DES

SOLIDES POREUX I-

INTRODUCTION Les matériaux poreux sont généralement le siège des processus de transfert de

matière, de chaleur, de quantité de mouvement et parfois de réactions chimiques avec les fluides qui les traversent. Ces phénomènes peuvent provoquer des modifications structurales et texturales des solides poreux. En raison de la complexité structurale des solides poreux, l’écoulement d’un fluide à travers un lit de particules a surtout fait l’objet d’études expérimentales qui ont abouti à des corrélations empiriques, ces corrélations constituent pour l’ingénieur des outils précieux pour estimer raisonnablement les pertes de charge subit par le fluide et les coefficients de transfert entre les fluides et les particules solides.

II-

ECOULEMENT D’UN SEUL FLUIDE A TRAVERS UN MILIEU POREUX A TEXTURE INVARIABLE

II-1- RAPPEL SUR LES LOIS EXPERIMENTALES DE DARCY ET DE HAGEN _ POISEUILLE

2

Darcy énonce que la vitesse moyenne d’un fluide de viscosité (η) s’écoulant en régime laminaire le long d’une conduite de section droite uniforme est proportionnelle au gardaient de pression. Um=

Ou

𝐵0 η

𝐵0 ∆𝑃 η

𝑍

: coefficient de proportionnalité

B0 : représente la perméabilité spécifique du milieu poreux.

1cm

∆𝑃 = 𝑃2 − 𝑃1 = 1𝑎𝑡𝑚

P1

-

P2

Le Darcy représente l’unité de perméabilité. Cette unité (Darcy) est la perméabilité d’un cube de 1 cm de côté traversée par un fluide de viscosité η = 1 cp, avec un débit Q = 1 cm3 / s et sous une pression différentielle ∆𝑃 = 1𝑎𝑡𝑚 , la section Ω = 1cm² 𝑈m = 1cm/s

{

B0 =

𝑈𝑚

𝜂

𝑍

Δ𝑃

D’où B0 = 1 Darcy = 0,987 10-8 cm² -

Par ailleurs la loi de poiseuille donne la perte de charge d’un fluide de viscosité (η) s’écoulant également en régime laminaire le long d’une conduite de section droite uniforme.

Δ𝑃 = 32𝑦

𝑈𝑚

𝑍 𝐷2

𝜂

D : diamètre de la conduite Y : facteur de circulation de la section droite

3

II-2- MODELE DE KOZENY II-2-1- énoncé du modèle D

𝛼

Z

𝑈𝑚

Kozeny assimile le volume poreux à un faisceau de pores cylindrique de diamètre (dp) et de longueur (Zp). Ces pores sont supposés identiques et indépendantes l’un de l’autre c’est-à-dire non-interconnectés. Zp = Z.T Cos 𝛼 =

𝑍

Z

𝑍𝑃

𝛼

T=

1 Cos 𝛼

Soit A : surface totale interne du solide contenu dans le volume V. Solide poreux ⟹nombre de pores de hauteur Z p A = NP.𝜋𝑑𝑝 𝑧𝑝 ↑ Surface interne d’un cylindre



Volume poreux Vp Vp = Np.π

2 𝑑𝑝

4

Zp = V𝜀 Porosité



Définissons l’aire volumique de couche ac =

𝐴 𝑉

A : surface totale interne V : volume du fut (colonne)

4



Aire volumique occupée par les grains ag = 𝐴

=

𝜀𝑉

𝐴 𝑉(1−𝜀)

𝑁𝑝 𝜋𝑑𝑝 𝑍𝑝 𝑑2 𝑝 𝑁𝑝 𝜋 4 𝑍𝑝

⟹ 𝑑𝑝 = 𝑉 𝐴



=

1

=

4 𝑑𝑝

4𝜀𝑉 𝐴

d’où 𝑑𝑝 =

𝑎𝑔 (1−𝜀)

4𝜀 𝑎𝑔 (1−𝜀)

Nombre de pores Np

𝑁𝑝 = Sachant que V = Ω.Z = 𝜋

𝐷2 4

𝐴 4𝜀𝑉 = 𝜋𝑑𝑝 𝑧𝑝 𝜋𝑑𝑝2 𝑍𝑝 𝑍

Section du fut

𝑁𝑝 =

4𝜀𝜋

𝐷2

𝑍

4 2 𝜋𝑑𝑝 𝑧𝑝

=

𝜀𝐷 2 𝑍 16𝜀² 2 (1−𝜀)² 𝑎𝑔

𝑍𝑇

𝑎𝑔2 (1 − 𝜀)²𝐷² 𝑁𝑝 = 16𝜀𝑇 

Vitesse des pores 𝑈𝑚𝑝 Q = Ω𝑈𝑚 = 𝑁𝑝 𝛺𝑝 𝑈𝑚𝑝 Débit du fluide à travers le fut

𝑎𝑔2 (1 − 𝜀)²𝐷² 𝜋𝑑𝑝2 𝜋𝐷 2 𝑈 = 𝛺𝑈𝑚 = 𝑈 4 𝑚 16𝜀𝑇 4 𝑚𝑝 𝑎𝑔2 (1 − 𝜀)² 16𝜀² 𝜀 𝑇𝑈𝑚 𝑈𝑚 = 𝑈𝑚𝑝 ⟹ 𝑈 = 𝑈 ⟹𝑈 = 𝑚 𝑚𝑝 𝑚𝑝 16𝜀𝑇 𝑎𝑔2 (1 − 𝜀)² 𝑇 𝜀 T : facteur de tortuosité

5

II-2-2 cas du régime laminaire Appliquons l’équation de poiseuille aux pores (puisque ces dernières sont des conduites cylindriques)

∆𝑃 = 32𝑦𝜂𝑈𝑚𝑝 𝑍𝑝

1 𝑑𝑝2

Conduite circulaire ⟹ 𝑦 = 1(𝐾𝑜𝑧𝑒𝑛𝑦)

∆𝑃 = 32𝑦𝜂𝑈𝑚

𝑇 𝑍𝑇 𝜀

1 16𝜀² 2 (1−𝜀)² 𝑎𝑔

𝑎𝑔2 (1 − 𝜀)² = 2𝑦𝜂𝑇²𝑈𝑚 𝑍 𝜀3

∆𝑃 (1 − 𝜀)² = 2𝑦𝑇²𝜂𝑎𝑔2 𝑈𝑚 𝑍 𝜀3 ∆𝑃 𝑍

= ℎ𝑘 𝜂𝑈𝑚 𝑎𝑔2

(1−𝜀)² 𝜀3

Equation de Kozeny Carman

Avec ℎ𝑘 = 2𝑦𝑇²constante de Kozeny

ℎ𝑘 = 4,5 ± 1,5 Pour des empilements de grains isométriques (de même dimensions) dans une conduite cylindrique, généralement on donne

ℎ𝑘 = 5



La porosité augmente avec la dimension des grains



La porosité augmente si les grains sont de différentes formes



Si les valeurs observées pour la constante de Kozeny sont nettement supérieurs à 5, de ce fait le modèle cesse d’être valable

II-2-2-1- Expression de l’équation de Kozeny _ Carman sous forme d’expression adimensionnelle

6

Rappel : 

Coefficient de frottement f=

𝜏 2 𝜌𝑈𝑚

τ: travail de la contrainte tangentielle de cisaillement 2 Um : énergie cinétique



nombre de Reynolds

𝜌𝑈𝑚 𝐷 𝜂

𝑅𝑒 = 

chute de pression

∆𝑃 =

4𝜏𝑍 𝐷

[C’est les frottements qui provoquent la chute de pression]

∆𝑃 =

4𝑍 2 𝜌𝑈𝑚 𝑓 𝐷

𝑅𝑒𝑝 =

𝜌𝑈𝑚𝑝 𝑑𝑝 𝜂

Appliquons ceci aux pores :

Et

𝑓𝑝 = Δ𝑃 𝑅𝑒𝑝 = 𝜌𝑈𝑚 𝑅𝑒𝑝 = 𝑓𝑝 =

𝑑𝑝 2 4𝑍𝑝 𝜌𝑈𝑚𝑝 𝑇 4𝜀 𝜀 𝑎𝑔 (1 − 𝜀)

4𝑇𝑈𝑚 𝜌 𝜂𝑎𝑔 (1 − 𝜀)

Δ𝑃 4𝜀 1 𝑍𝑇 𝑎𝑔 (1 − 𝜀) 4𝜌𝑈 2

𝑓𝑝 =

𝑇² 𝑚 𝜀²

Δ𝑃

𝜀3

2 𝑍 𝑎𝑔 (1−𝜀)𝑇 3 𝜌𝑈𝑚

Equation de Kozeny _ Carman

(1 − 𝜀)² Δ𝑃 = 2𝑦𝑇²𝜂𝑎𝑔2 𝑈𝑚 𝑍 𝜀3

7

Δ𝑃 𝜀3 = 2𝑦𝑇²𝜂𝑈𝑚 𝑍 𝑎𝑔2 (1 − 𝜀)² Δ𝑃 𝜀3 𝑇 𝜌 𝑈𝑚 1 1 = 2𝑦 2 𝑎 (1 − 𝜀) 𝜂 𝑍 𝑎𝑔 (1 − 𝜀)² 𝑇 3 𝜌 𝑈𝑚 𝑔 𝑓𝑝

4𝑇𝜌𝑈𝑚 = 8𝑦 𝑎𝑔 (1 − 𝜀)𝜂 𝑓𝑃 . 𝑅𝑒𝑝 = 8𝑦

𝑅𝑒𝑝 = 𝑓 (𝑇)𝑓𝑃 = 𝑓(𝑇) Reynoldsmodifié ′ 𝑅𝑒𝑝 =

𝑓𝑝′

𝑅𝑒𝑝 4𝑇

′ ⟹𝑅𝑒𝑝 =

𝜌𝑈𝑚 𝜂𝑎𝑔 (1−𝜀)

Δ𝑃 𝜀3 = 2 𝑍 𝑎𝑔 (1 − 𝜀)𝜌𝑈𝑚 ′ ′ 𝑓𝑝 4T.𝑅𝑒𝑝 . 3=8y 𝑇

′ ′ 𝑅𝑒𝑝 ∗ 𝑓𝑝′ = 2𝑦𝑇 2 = ℎ𝑘 ⇒𝑅𝑒𝑝 ∗ 𝑓𝑝′ = ℎ𝑘

Equation de Kozeny _ Carman encore modifiée

II-2-2-2- Expression de l’équation de Kozeny _ Carman en fonction du diamètre du grain Lorsque la couche poreuse est constituée par un empilement de grains, on peut exprimer l’équation de Kozeny Carman en fonction du diamètre des grains. 𝐴 𝜋𝑑𝑔2 6 𝑎𝑔 = = 𝜋 9 = 𝑉 𝑑𝑔 𝑑𝑔 6

(1 − 𝜀)² Δ𝑃 = 36ℎ𝑘 𝜂𝑈𝑚 𝑍 𝜀𝑑𝑔2 𝑅𝑒𝑔 =

𝜌𝑈𝑚 𝑑𝑔 𝜂 8

𝜌𝑈𝑚 𝑑𝑔 𝜌𝑈𝑚 6 4𝑇 1 − 𝜀 = 𝜂 𝑎𝑔 𝜂 4𝑇 1 − 𝜀

𝑅𝑒𝑔 =

′ 𝑅𝑒𝑔 = 6(1 − 𝜀)𝑅𝑒𝑝

′ 𝑅𝑒𝑝 =

𝑅𝑒𝑝 4𝑇

𝜀 3 𝑑𝑔 Δ𝑃 𝑓𝑔 = 2 𝑍 6(1 − 𝜀)𝑇 3 𝜌𝑈𝑚 𝑓𝑔′ = 𝑇 3𝑓𝑔 ⟹ 𝑓𝑔′ ∗ 𝑅𝑒𝑔 = 6ℎ𝑘 (1 − 𝜀) II-2-2-3- Expression de la perméabilité de Darcy

𝐵0 = 𝑈𝑚 𝜀

1 1 = 𝑈𝑚 𝜂 (1−𝜀)2 Δ𝑃⁄ ℎ𝑘 𝜂𝑈𝑚 𝑎𝑔2 3 𝑍 𝜀 𝜀3 𝐵0 = ℎ𝑘 𝑎𝑔2 (1 − 𝜀)2

II-2-3cas du régime turbulent On sait d’après l’expression de Reynolds que dans une partie rectiligne d’une conduite cylindrique, le régime laminaire commence à être perturbé lorsque R e atteint 2000 et on sait également que le régime intermédiaire s’établie à 𝑅𝑒 = 4000 , peuton poursuivre l’analogie et l’appliquer aux pores du modèle de Kozeny ? Sachant que les pores de ce modèle constituent en réalité toute une distribution de petites failles, de larges fentes, de grandes ouvertures et d’un tas de singularités en réalité ces passage du fluide sont le siège de tourbillons et de remous même à faible débit et de manière non uniforme.

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Lorsque le débit augmente une partie de plus en plus grande du volume poreux fonctionne en régime turbulent, et l’expérimentation montre que la transition du régime laminaire en régime turbulent n’est pas brusque mais au contraire très ′ progressive. LEVA en traçant 𝑓𝑝′ = 𝑓(𝑅𝑒𝑝 ) montre que le régime turbulent s’établie ′ à partir de 𝑅𝑒𝑝 ≥ 0,2. ′ Donc à 𝑅𝑒𝑝 ≥ 0,2 on a un régime turbulent en compilant les résultats

expérimentaux observés par divers auteurs en régime turbulent, Carman propose la corrélation suivante : ′ −0,1 ′ −1 𝑓𝑝′ = 5𝑅𝑒𝑝 + 0,4𝑅𝑒𝑝 Relation de Carman ⟹ régime turbulent

II-3- MODELE DU FAISCEAU DE PORES CYLINDRIQUES TORTUEUX II-3-1description du modèle

𝜆≥1

𝜆𝑑𝑝

Dans le modèle de Kozeny, nous avons appelé

𝑍𝑝 ⁄ = 𝑇facteur de tortuosité 𝑍

mais en réalité ce terme est très mal choisi puisqu’on avait supposé que le pore était rectiligne et ne comportait aucune tortuosité réelle (coudes, singularités) dans laquelle de l’énergie cinétique serait perdue dans les pores.

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Un modèle plus perfectionné consiste à supposer que l’axe de chaque pore cylindrique est une ligne brisée dont la longueur de chaque segment est de l’ordre de la longueur du diamètre du grain.

Chaque coude est le siège d’un remous dans lequel une partie de l’énergie cinétique du fluide est convertie en chaleur, en plus de la chute de pression par écoulement visqueux sur les parois du pore. II-3-2équation de Burke Plummer 1

2 ∆𝑃 = 𝐵 ∗ 𝑁𝑐 ∗ 𝜌𝑈𝑚𝑝 2

Perte de pression ⟹ due à une perte d’énergie cinétique

𝑁𝑐 : Nombre de coudes (perte d’énergie au niveau des coudes) 𝑈𝑚 : vitesse moyenne du fluide à travers le pore B : coefficient de proportionnalité Chaque coude est un segment de longueur 𝜆𝑑𝑝

𝑁𝑐 =

Δ𝑃 = 𝐵 ∗

Δ𝑃 =

𝑍𝑝 𝜆𝑑𝑝

𝑍𝑝 1 2 ∗ 𝜌𝑈 𝜆𝑑𝑝 2 𝑚𝑝

𝐵. 𝑍. 𝑇 𝜆4𝜀

2 𝑈𝑚 𝑇² 𝜌 2 𝜀²

𝑎𝑔 (1−𝜀)

𝐵𝑇 3 (1 − 𝜀) 2 Δ𝑃 = 𝜌𝑈𝑚 𝑎𝑔 𝑍 8𝜆 𝜀3 Avec

𝐵𝑇 3 8𝜆

= ℎ𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐵𝑢𝑟𝑘𝑒 − 𝑃𝑙𝑢𝑚𝑚𝑒𝑟

11

𝑎𝑔 (1 − 𝜀) 2 Δ𝑃 = ℎ𝐵 𝜌𝑈𝑚 𝑍 𝜀3 II-3-3équation d’Ergun

∆𝑃 (1 − 𝜀)² (1 − 𝜀) 2 = ℎ𝑘 𝜂𝑎𝑔2 𝑈 + ℎ 𝜌𝑎 𝑈𝑚 𝑚 𝐵 𝑔 𝑍 𝜀3 𝜀3 Appliquée en régime laminaire et même pour un régime intermédiaire II-3-3-1- Expression de l’équation d’Ergun sous forme adimensionnelle

𝑎𝑔 (1 − 𝜀) ∆𝑃 𝜀3 = ℎ + ℎ𝐵 𝑘 2 𝑍 𝑎𝑔 (1 − 𝜀)𝜌𝑈𝑚 𝜌𝑈𝑚 𝑓𝑝′ =

ℎ𝑘 ⁄𝑅 ′ + ℎ𝐵 𝑒𝑝

d’une façon générale on prend ′ −1 𝑓𝑝′ = 5𝑅𝑒𝑝 + ℎ𝐵

II-4- MODELE D’ESSAIMS REGULIERS DE SPHERE IDENTIQUES Considérons un obstacle sphérique placé dans un écoulement uniforme, cet obstacle est sphérique et est soumis à une force qu’on appelle la trainée qui en régime laminaire est égale à :

𝐹 = 3𝜋𝜂𝑈𝑚 𝑑𝑔 (Relation de Stockes) 𝑓=

Ou 𝜏 : travail de la contrainte :

𝜏 𝐹 1 = 2 2 𝜌𝑈𝑚 𝑆 𝜌𝑈𝑚

𝐹 𝑆

12

𝑓=

3𝜋𝜂𝑈𝑚 𝑑𝑔 1 𝐹 1 12𝜂 = = 2 2 2 𝑑𝑔 𝑆 𝜌𝑈𝑚 𝜌𝑈𝑚 𝜌𝑈𝑚 𝑑𝑔 𝜋 4

𝑓=

12 𝑅𝑒𝑔

→ T

∆𝑃 = 𝑁𝑐 ∗ 𝐹 𝑍 Nc :nombre d’obstacle par unité de volume ∆𝑃 𝑍

: perte de charge par unité de volume

F : force par unité de volume

𝑁𝑐 =

1(1−𝜀)

Volume occupé par les grains

𝜋 3 𝑑 6 𝑔

V𝜀 : volume poreux V(1-𝜀) :volume occupé par les grains

𝑁𝑐 =

1(1−𝜀) 𝜋 3 𝑑 6 𝑔

=

6(1−𝜀) 3 𝜋𝑑𝑔

= 𝑁𝑐 ↓ Nombre d’obstacle

∆𝑃 6(1 − 𝜀) = ∗ 3𝜋𝜂𝑈𝑚 𝑑𝑔 𝑍 𝜋𝑑𝑔3 ∆𝑃 𝑍

= 18𝜂𝑈𝑚 (1 − 𝜀)

1 2 𝑑𝑔

⟶ Régime laminaire

Cette relation n’est valable qu’en régime laminaire et valable uniquement si les sphères sont suffisamment éloignées les unes des autres.

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II-5- CONCLUSION SUR LES MODELES II-5-1Cas du régime laminaire le modèle de faisceau de pores tortueux (Ergun) conduit à une remarquable accord avec l’expression dans le cas d’un empilement de grains isométriques de sphéricité proche de 1 et de porosité proche de 0,7. Par contre les couches de fibres plus ou moins enchevêtres qu’on souvent des porosités comprises entre 0,7 et 0,99, ces couches peuvent être représentées par le dernier modèle d’essaim qui donne également de bons résultats en accord avec l’expérience. II-5-2Cas du régime turbulent Seul le modèle de faisceau de pores qui conduit à une relation semi empirique celle de Burke Plummer et une relation empirique, celle de Carman.

III-

FILTRATION

III-1- INTRODUCTION

P1

.. . . … . . .. ⟶ Suspension … . . .. …. ..

∆𝑃

⟶ Gâteau (toile, filtre)

P2

⟶ Filtrat

∆𝑃 = ∆𝑃𝐺 + ∆𝑃𝑆 ∆𝑃𝐺 : Perte de charge due au gâteau ∆𝑃𝑆 : Perte de charge due au support La filtration est une technique de séparation mécanique qui permet l’élimination des particules solides en suspension ou dans un fluide constitue la phase continue et le solide constitue le milieu dispersé. L’élément principal de ce procédé est constitué soit par un milieu poreux et dans ce cas on parlera de filtration en masse ou en profondeur, soit par un filtre, tel que toile, membrane et on parlera dans ce cas de filtration à gâteau, à travers lequel peut s’écouler le fluide, alors que les particules solides de diamètre équivalent

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supérieur à l’ouverture des milieux poreux constituent le gâteau, donc le gâteau servira comme 2 éme filtre. III-2- DESCRIPTION DU PROCEDE DE FILTRATION A GATEAU e Suspension

Filtrat

Cadre

Une fois que l’épaisseur du gâteau 𝑍 =

𝑒 2

les gâteaux se rejoignent, le liquide

ne peut passer, donc la pression augmente, donc on dira qu’on a atteint le maximum de filtration, on enlève le gâteau et on recommence la filtration. On peut déterminer le temps de filtration de la suspension en fonction de la surface filtrante (Σ 𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒), en fonction de la densité, de la masse volumique de la suspension, en fonction de température et pression. III-3- DEFINITION ET RAPPELS III-3-1Perméabilité La perméabilité 𝐵0 est définie comme étant la facilité de l’écoulement d’un fluide à travers un milieu poreux de longueur Z

𝐵0 =

𝑑𝑍 𝑑𝑅

dR : étant la résistance de la couchedZ à l’écoulement par unité de surface III-3-2Résistance spécifique du gâteau La résistance dR de la couche dZ à l’écoulement d’un fluide par unité de surface est proportionnelle à la masse du gâteau par unité de surface.

𝑑𝑅 = 𝛼

𝑑𝑀𝐺 Ω

MG : masse du gâteau

Ω : Surface filtrante

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𝛼 : Coefficient de proportionnalité

𝛼=

𝑑𝑅𝐺 𝑑𝑀𝐺⁄ Ω

𝛼 : représente en fait la résistance du gâteau d’épaisseur Z (ou encore résistivité par unité de masse). III-4- EXPRESSION DE LA PERTE DE CHARGE A PARTIR DE L’EQUATION DE DARCY

𝑑𝑃𝐺 = −𝜂 𝑑𝑃𝐺 = −𝜂

𝑈𝑚 𝐵0

𝑑𝑍

𝑑𝑉 𝑑𝑅 𝑑𝑉 𝑑𝑍 = −𝜂 𝑑𝑅 Ω𝑑𝑡 𝑑𝑍 Ω𝑑𝑡

𝑑𝑉 𝑑𝑀𝐺 𝑑𝑃𝐺 = −𝜂 𝛼 𝑑𝑡 Ω²

𝑄 = 𝑈𝑚 Ω = 𝑈𝑚 =

𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑑𝑉 Ωdt

et 𝐵0 =

𝑑𝑍 𝑑𝑅

Si on appelle 𝜔 la masse du gâteau déposée par unité de volume de filtrat

𝑑𝑀𝐺⁄ 𝛼 𝑑𝑉 ⟹ 𝑑𝑃 = −𝜂𝑄 𝜔𝑑𝑉 𝐺 𝑑𝑉 Ω² 𝑄= 𝑑𝑡

𝜔= {

Et comme𝑅𝐺 = 𝛼

𝑀𝐺 Ω

et 𝜔 =

𝑀𝐺 𝑉

⟹

Δ𝑃𝐺 = −𝜂𝑄

𝛼 𝑀𝐺 𝑉 ⟹− Δ𝑃𝐺 = 𝜂𝑈𝑚 𝑅𝐺 Ω² 𝑉

Par analogie pour le support

−Δ𝑃𝑠 = 𝜂𝑈𝑚 𝑅𝑠 Avec Rs : résistance du support à l’écoulement par unité de surface −Δ𝑃𝑡 = −(Δ𝑃𝐺 + Δ𝑃𝑠 ) = (𝑅𝐺 + 𝑅𝑆 )𝜂𝑈𝑚 III-4-1Filtration à pression constante Δ𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

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𝑈𝑚 =

1 𝑑𝑉 Ω 𝑑𝑡

−Δ𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 = (𝑅𝐺 + 𝑅𝑆 )𝜂 On remplace 𝑅𝐺 =

1 𝑑𝑉 Ω 𝑑𝑡

𝛼𝜔𝑉 Ω

Δ𝑃 = (

𝛼𝜔𝑉 1 𝑑𝑉 𝛼𝜔 𝑑𝑉 𝑅𝑆 𝑑𝑉 + 𝑅𝑆 ) 𝜂 =𝜂 𝑉 +𝜂 Ω Ω 𝑑𝑡 Ω 𝑑𝑡 Ω² 𝑑𝑡 𝑑𝑡 =

𝜂𝛼𝜔 𝜂𝑅𝑠 𝑉𝑑𝑉 + 𝑑𝑉 ΩΔ𝑃 Δ𝑃Ω²

𝑡=

𝜂𝛼𝜔 𝜂𝑅𝑠 𝑉² + 𝑑𝑉 ΩΔ𝑃 2Ω²Δ𝑃

𝑡⁄ = 𝜂𝑅𝑠 + 𝜂𝛼𝜔 𝑉 𝑉 ΩΔ𝑃 2Ω²Δ𝑃

𝑡

En portant en fonction du volume du filtrat V, on devrait aboutir à une droite 𝑉

expérimentale de laquelle on pourrait déduire des valeurs de : -

Rs à partir de l’ordonnée à l’origine

-

𝛼𝜔 à partir de la pente de la droite donc RG

III-4-2 Filtration à débit constant 𝑑𝑉 𝛼𝜔𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ⟹ Δ𝑃 = ( + 𝑅 𝑆 ) 𝑈𝑚 𝜂 𝑑𝑇 Ω Comme

𝑉 𝑡

= 𝑄 = Ω𝑈𝑚 2 Δ𝑃 = 𝛼𝜔𝜂𝑈𝑚 𝑡 + 𝜂𝑈𝑚 𝑅𝑠

Si le gâteau est compressible le facteur 𝛼 varie avecΔ𝑃. III-5- EXPRESSION DE LA CHUTE DE PRESSION A PARTIR DU MODELE DE KOZENY

Δ𝑃 = Δ𝑃1 + Δ𝑃2𝑜𝑢 Δ𝑃1𝑒𝑡 Δ𝑃2 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒

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à 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑒 gâteau 𝑒𝑡 𝑙𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑒 D’après Kozeny-Carman 

Δ𝑃1 = 36ℎ𝑘 𝜂𝑈𝑚



Δ𝑃2 = 36ℎ𝑘′ 𝜂𝑈𝑚

(1−𝜀1 )² 2 𝜀13 𝑑𝑔

(1−𝜀2 )² 2 𝜀23 𝑑𝑔

𝑍1 = 𝑅𝐺 𝑈𝑚 𝜂 = 𝑅𝐺′ 𝜂𝑈𝑚 𝑍1 𝑍2 = 𝑅𝑆 𝜂𝑈𝑚 = 𝑅𝑆 𝜂 ′

Δ𝑃 = 𝑅𝐺 𝜂𝑈𝑚 𝑍1 + 𝑅𝑆 𝜂 𝑍1 =

𝑄 Ω

(𝑍2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

𝑄 Ω

𝑉𝐺 𝑜𝑢 𝑉𝐺 ∶ 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑢 𝑔𝑎𝑡𝑒𝑎𝑢 𝜔

𝐶 ∶ 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑚𝐺 𝑉. 𝐶 𝑉 ∶ 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑢 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑎𝑡 { 𝑉𝐺 = = 𝜌𝑎 𝜌𝑎 𝜌𝑎 : 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 gâteau(𝜌𝑎 = 𝜌𝑆 (1 − 𝜀 ) + 𝜌𝐿 𝜀) Δ𝑃 = 𝑅𝑆 𝜂 𝑅𝐺 =

𝑅𝐺′ 𝑍1

𝑄 𝑉. 𝐶 + 𝑅′𝐺𝜂𝑈𝑚 Ω 𝜌𝑎 Ω

𝑀𝐺 𝑉 𝑅𝐺′ ′ 𝐺 =𝛼 ⟹ 𝛼 = 𝑅𝐺 = Ω 𝑀𝐺 𝜌𝑎

Δ𝑃 = 𝑅𝑆 𝜂 Δ𝑃 = 𝑅𝑆 𝜂

𝑄 𝑉. 𝐶 + 𝛼𝜂𝑈𝑚 Ω Ω

1 𝑑𝑉 𝑉 𝑑𝑉 + 𝛼𝜂𝐶 Ω 𝑑𝑡 Ω² 𝑑𝑡

III-5-1A pression constante

𝑡=

𝛼𝜂𝐶 𝑅𝑠 𝜂𝑉 𝑉² + 2Ω2 Δ𝑃 ΩΔ𝑃

𝑡⁄ = 𝛼𝜂𝐶 𝑉 + 𝑅𝑠 𝜂 𝑉 2Ω2 Δ𝑃 ΩΔ𝑃 III-5-2Filtration à débit constant 𝑑𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑇

Δ𝑃 = 𝑅𝑠 𝜂

𝑄 𝑄 + 𝛼𝜂 𝑉. 𝐶 Ω Ω²

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𝑄

𝑉

Ω

Ω

Q = constant ⟹ Um = vitesse constante ( = 𝑈𝑚 ;

= 𝑈𝑚 𝑡)

Δ𝑃 = 𝑅𝑠 𝜂𝑈𝑚 + 𝛼𝜂𝐶𝑈𝑚 𝑈𝑚 𝑡 2 Δ𝑃 = 𝑅𝑠 𝜂𝑈𝑚 + 𝛼𝜂𝐶𝑈𝑚 𝑡

𝑈𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ⟹ Δ𝑃 = 𝑓(𝑡)𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 Si le gâteau est compressible ⟹ 𝛼 = 𝑓(Δ𝑃)

19

20