Modellistica Numerica per Problemi Differenziali [5 ed.] 978-88-470-2747-3, 978-88-470-2748-0 [PDF]

Zitiervorschau

A Fulvia, Silvia e Marzia

Alfio Quarteroni

Modellistica N umerica per Problemi Differenziali sa edizione

~ Springer

Alfio Quarteroni MOX - Dipartimento di Matematica "F. Brioschi" Politecnico di Milano e CMCS-MATHICSE Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (EPFL)

UNITEXT - La Matematica per il3+2 ISSN versione cartacea: 2038-5722 ISBN 978-88-470-2747-3 DOl 10.1007/978-88-470-2748-0

ISSN elettronico: 2038-5757 ISBN 978-88-470-2748-0 (eBook)

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Springer-Verlag Italia 2012

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Immagine di copertina: Simulazione numerica, effettuata presso CMCS-EPFL, relativa a un modello matematico per la descrizione dell'accoppiamento fra i campi elettrico, fluidodinamico e strutturale del cuore Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany (www.ptp-berlin.eu)

Springer-Verlag Italia S.r.1., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer is a part of Springer Science+ Business Media (www.springer.com)

Prefazione

Queste note sono tratte dalle lezioni di "Met odi Numerici per l'Ingegneria" tenute presso il Politecnico di Milano e da quelle di "Analyse Numerique des Equations aux Derive es Partielles" svolte presso I'EPFL (Ecol e Polytechnique Federals de Lausanne). Esse costituiscono una introduzione element ar e alla modellistica numerica di problemi differenziali alle derivate parziali, sia stazionari che evolutivi. L'enfasi e posta soprattutto su problemi lineari, ellittici, parabolici e iperbolici. Tuttavia si considerano anche alcuni problemi non lineari, quali Ie leggi di conservazione e Ie equazioni di Navier-St okes per la meccanica dei fluidi . Numerosi esempi di int eresse fisico motivano i modelli differenziali che vengono illustrati. Di ognuna delle classi di problemi considerati si illustrano Ie principali proprieta matematiche e se ne fornisce la cosiddetta [ormulazione debole, 0 integrale, che sta alla base del metoda di Galerkin. Indi, come caso notevole del metoda di Galerkin, si introduce il metoda degli element i finiti, dapprima per problemi ai limiti monodimensionali, quindi nel caso multidimensionale. Se ne analizzano Ie proprieta di stabilita e di convergenza, si illustrano gli aspetti algoritmici e quelli relativi alla implementazione su calcolatore. Altri metodi, quali Ie differenze finit e ed i metodi sp ettrali, vengono pure considerati, nell'ambito della risolu zione numerica di problemi specifici. Numerosi eserci zi corredano i diversi capitoli allo scopo di fornire al lettore la possibilita di acquisire maggiore consa pevolezza sui principali argomenti trattati. II t esta e diviso in Capitoli, Sezioni e Sottosezioni. II Capitolo 1 e dedicato ad un breve richiamo delle equazioni alle derivate parziali ed alla loro classificazione. Nel Capitolo 2 vengono introdotte Ie equazioni ellittiche (quali i problemi di Laplace e Poisson) e la loro formulazione integrale per condizioni al bordo di tipo gener ale, dapprima nel caso monodimensionale, poi in quello multidimensionale. II Capitolo 3 e dedicato al metoda di approssimazione di Galerkin in generale ed al metodo degli element i finiti in particolare. Nel Capitolo 4 si illustrano i metodi spettrali, ovvero metodi di Galerkin con sottospazi di polinomi globali, e la loro generalizzazione ai metodi pseudo-spettrali (0 di collocazione) da un lato ed al metoda degli elementi-spettrali dall 'altro. Duran-

VI

Prefazione

te la lettura di qu esti capitoli il lettore trovera numerosi rinvii aile Appendici. In particolare, nell'Appendice 2 si introducono alcuni element ari concetti di analisi funzionale, di t eori a delle distribuzioni e di spazi di Sobolev , necessari per una corretta comprensione della formulazione debole (0 integrale) dei pro blemi ai limiti. Nell'Appendice 7 si richiamano invece alcuni fra gli algoritmi pili frequentemente utili zzati per la risolu zione di sistemi lineari generati dalla discretizzazion e di problemi aile derivate parzi ali. Nel Capitolo 5 si introducono i problemi di diffusione e trasporto, si illustrano le difficolta che derivano dalla pr esenza di strati limite nella soluzione e si discutono metodi di st a bilizzazione, basati su differenze finite ed elementi finiti con opportuna viscosita nurnerica. II Capitolo 6 e dedicato ai problemi parabolici, descriventi processi di diffusione, per i quali si usano metodi di discretizzazione spaziale con elementi finiti e ternporale con differenze finit e. I Capitoli 7, 8 e 9 riguardano i problemi iperbolici, inerenti fenomeni di propagazione di onde. Ci concentreremo soprattutto sui caso dei problemi monodimensionali, al fine di analizzare in dettaglio le proprieta di dissipazione e di dispersione dei diversi schemi numerici che vengono considerati. II Capitolo 10 e dedicate all 'approssirnazione delle equa zioni di Navi er-Stokes e ad una breve analisi dei problemi inerenti il soddisfacimento del vincolo di incornprimibilita. Infin e nei Capitoli 8 e 6 (scritti in collaborazione con F. Saleri e L. Formaggia) si illustrano gli aspetti relativi alia programmazione del metodo degli elementi finiti. Qu esto t esto e st ato scritto per gli studenti di discipline scientifiche, int eressati alia modellistica per la risoluzione numeric a di problemi differenziali, rna puo essere utile anche a ricercatori e studiosi desiderosi di avvicinarsi a questa interessante ramo della maternatica applicata, Milano e Losanna, rnar zo 2000

Alflo Ouarteroni

In quest a t erza edizione sono st ati riveduti ed arnpliati tutti i Capitoli , ed in modo particolare il quarto dedicate ai metodi sp ettrali, il sesto per cio che concerne l'analisi di problemi parabolici, l'ottavo relativamente all'approssirnazione spettrale di problemi iperbolici, ed infine i Capitoli 11 e 12 concernenti gli aspetti implementativi del metodo agli elementi finiti. In particolare, il Capitolo 11 e scritto in collaborazione con A. Veneziani e L. Formaggia e riporta esempi di programmazione in C+ + (un lingu aggio ori entate agli oggetti). Si e inoltre aggiunto un breve Capitolo, i113, sull 'introduzione al metodo dei volumi finiti. Negli ultimi due anni sono usciti in questa stessa serie due monografie che possono essere considerate un importante compendia a questo testo: Equazioni a derivate parziali. Metodi, modelli e applicazioni di S. Salsa, in cui si introducono ed analizzano i problemi differenziali che vengono qui trattati , e

Pr efazione

VII

Applicazion i ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali di L. Formaggia, F . Saleri e A. Veneziani , che a t utti gli effett i puo conside rarsi di support o a questo testa per cio che concern e la risolu zione di problemi ed esercizi non che per l'approfondimento delle t ecniche qui present ate. Segn aliamo anche il testo Elem enti di fiuidod inamica di G . Riccardi e D. Durante che, illust rando i modelli differenziali basilari dell a din ami ca dei fiuidi , puo essere considera t o come complementare ai Capitoli 9 e 10 inerenti la fiuidodinam ica numerica. Vorrei ringr aziar e in modo par ti colar e Simona Perotto per il suo cont ributo davvero determinante , rna anche Alessandro Veneziani, Nicola Parolini e Paola Ge rvasio. Infine, rin gr azio Francesca Bonadei di Springer per il cost ant e aiut o e gli innumerevoli consigli finalizzati a miglior ar e quest a nuova edizione. Milano e Losanna, 9 luglio 2006

Alfio Quart eroni

In qu est a qu ar t a edizione sono st ati aggiunt i du e nuovi ca pit oli, il Capi to 10 14 sul metodo di decomposizione dei domini e il Capi tolo 15 sui problemi di controllo per equ azioni alle derivate parziali. Ringrazio Luca Dede, Mar co Discacciati , Nicola P arolini, Simona Perotto, Ch ristoph Winkelm ann e, in modo par ticol ar e, Luca P aglieri e Francesca Bon ad ei. Milano e Losanna, agost o 2008

Alfio Quart eroni

In que st a quinta edi zione si e pro ceduto ad un riordino dei ca pit oli. Nella nuova ver sione, dopo aver introdot to i concetti t eori ci di base (Capitoli 1-3) , i Capitoli 4- 8 sono dedi cati all' int rod uzione, analisi e pro gr ammazione del metodo degli element i finiti per problemi lineari ellit t ici e par abolici. Nei Capi toli 9 e 10 si introducono ed ana lizzano due metodi di approssimazione alte rnat ivi agli elementi finiti : i volumi finiti e i metodi spettra li. I Capi toli centrali 12-16 sono dedi cati all'approssima zione di equ azioni di base nella meccani ca dei fiuidi (le equ azioni di trasporto-di ffusione-re azione , quelle iperboliche , le leggi di conservazione non lineari, le equazioni di Navier-Stokes) . Gli ultimi capit oli sono dedicati ad argomenti piu avanzat i e specia list ici. Tu t ti i ca pit oli sono stat i rivi sti ed int egr ati , anche con nuovi risul t ati numerici. In par t icolare, e stat o modifi cato ed ampliato il Capitolo 12 relativo alla soluzione di problemi di diffusione-t rasporto. Abbiamo inoltre aggiunt o un nuovo capitolo (il

VIII

Prefazione

Capitolo 11) cont enent e una pr esentazion e organ ica (con relativa ana lisi) dei metodi di approssima zione discontinui , sia di t ipo "discont inuous Galerkin", sia di t ipo "mort ar", sia nella versione agli element i finiti che a qu ella agli eleme nt i spettrali. Ringrazio Paola Antonietti e Paola Gervasio per Ie loro pre ziose consulenze scientifiche, e Luca Paglieri e France sca Bonadei per illoro fond amentale aiut o nella realizz azion e edit oriale di quest a edizione. Milano e Losanna, settembre 2012

Alflo Ouarieroni

Indice

1

2

3

R ichiami sulle equa zioni aIle deri vate parziali . . . . . . . . . . . . . 1.1 Definizioni ed esempi 1.2 Necessit a della riso luzione numerica 1.3 Classificazione delle EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forma quadrati ca associata ad una EDP 1.3.1 1.4 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1 3 5 8 9

R ichiami di ana lis i funzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Fun zionali e forme biline ari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Differenziazione in spazi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Richiami sulle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Le fun zioni a quadrato sommabi le . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Derivazione nel senso delle distribuzioni . . . . . . . . . . . 2.4 Gli spazi di Sobo lev 2.4.1 Rego larita degli spazi Hk(J?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Lo spazio Hb(J?) 2.4.3 Gli operatori di traccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Lo spazio LOO(J?) e gli spazi LP(J?) con 1 :s: p < 00 . . . . . . . . . . . 2.6 Operat ori aggiu nti di un operatore lineare . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Spazi di funzioni dip endenti dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 13 15 17 19 20 21 22 23 24 26 27 29

Equazioni di tipo e llitt ico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Un esempio di problem a ellittico: l'equazione di Poisson . . . . 3.2 II problem a di Poisson nel caso monodimension ale . . . . . . . . . 3.2.1 Problem a di Dirichlet omogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 P ro blema di Dirichlet non omo geneo . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 P ro blema di Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 32 33 39 39

11

X

Indice

. . . .

40

. .

44

. . . . . .

47 48 51 52 54 57

Il m etoda di G alerkin-elementi finiti p er problemi e llittici 4.1 Approssim azion e con il metoda di Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 An alisi del metoda di Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Esistenza e unicit a 4.2.2 St abili ta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 II metodo degli element i finiti nel caso monodimensionale . . . 4.3.1 Lo spazio Xk 4.3.2 Lo spazio X~ L'approssim azion e con eleme nt i finiti lineari 4.3.3 Interpolazione e stima dell'errore di interpolazione . . 4.3.4 4.3.5 Stima dell'errore nella norma HI 4.4 Elementi finiti, sim plessi e coordinate baricent riche . . . . . . . . 4.4.1 Un a definizione di eleme nt o finito nel caso Lagr angiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Simplessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coordinate bari centriche 4.4.3 4.5 II metoda degli elementi finiti nel caso mu ltidimensionale . . . 4.5.1 Risoluzione del problem a di Poi sson con element i finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Condizionam ento della matrice di rigidezza . . . . . . . . 4.5.3 Stima dell'errore di approssimazione nella norma dell'energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stima dell'errore di approssimazione in norma L 2 . . . 4.5.4

61 61 63 63 64 64 67 68 69 72 74 76 77

3.3

3.4 3.5 3.6

4

3.2.4 Problem a misto omo geneo 3.2.5 Condizioni al bordo miste (0 di Robin) II problem a di Pois son nel caso bidimensionale 3.3.1 II problema di Diri chlet omogeneo 3.3.2 Equivalenza, nel senso delle distribuzioni, tra la forma debole e la form a fort e del problema di Dirichlet 3.3.3 II probl ema con condizioni miste non omogenee 3.3.4 Equivalenza, nel senso delle distribu zioni, tra la forma debole e la form a forte per il problem a di Neumann Problemi ellittici piu genera li Teorema di esistenza e unicit a 3.4.1 Op er atore aggiunt o e problema aggiunto 3.5.1 II caso non lineare Esercizi

41 41 41

44

77 78 79 81 83 86 89 97

Indice

XI

II problema dell'adattivita della griglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Adattivita a priori basata sull a ricostruzione delle derivate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Adattivita a posteriori 4.6.3 Esempi numerici di adattivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Stime a posteriori dell'errore nella norma L 2 . . . . . . . 4.6.5 Stime a posteriori di un fun zionale dell 'errore . . . . . . Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 102 105 110 113 115 117

5

Equazioni parabolich e 5.1 Formulazione debol e e su a approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Stime a priori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Analisi di convergenza del problema semi-discreto . . . . . . . . . 5.4 Analisi di stabilita del B-metodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Analisi di convergenza del B-m etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 II caso dell 'approssimazione spettrale G-NI .. . . . . . . . . . . . . . 5.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123 124 128 129 132 136 139 140

6

Generazione di gr ig lie in ID e 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 La generazione di griglia in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Reticolazione di un dominio poligonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Generazione di griglie strutturate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generazione di griglie non strutturate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 6.4.1 Tri angolazione di Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Tecnica di avanzamento del fronte . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Tecniche di regolarizz azion e 6.5.1 Scambio delle diagonali Spostamento dei nodi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2

143 143 146 149 152 152 156 159 160 161

7

Algoritmi di risoluz io ne di sistem i lin e ari . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Metodi diretti 7.2 Metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165 166 168

8

Cenni di progr ammazione degli e le ment i finiti 8.1 Fasi op erative di un codic e a eleme nt i finiti . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Un breve cenno al cod ice ut ilizzat o 8.2 Calcolo numerico degli int egrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Le coordinate baricentriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Memorizzazione di matrici sparse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 La fase di assemblaggio 8.4.1 Codifica delle informazioni geometriche. . . . . . . . . . . . 8.4.2 Codific a delle informazioni funzionali

175 175 178 179 183 185 190 192 196

4.6

4.7

XII

Indice Mappatura tra element o di riferimento e element o fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 La costruzione dei sistemi locali e di quello globale . . 8.4.5 La pre scri zione delle condizioni al bordo . . . . . . . . . . . L'int egr azione in te mpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ed or a conside riamo un esempio complet o . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4.3

8.5 8.6

197 202 205 209 212

II metodo dei volumi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Alcuni principi eleme ntari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 La costruzione dei volumi di cont rollo per schemi vertex-centered. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Discre ti zzazione di un problema di diffusione- trasporto-reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 An alisi dell'approssim azion e ai volumi finiti (cenno) 9.5 Implement azione delle condizioni al bordo . . . . . . . . . . . . . . . .

223 224

10 I metodi spettrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 II metoda di Galerkin spettra le per problemi ellittici . . . . . . . 10.2 Polinomi or to gon ali e integr azione num erica ga ussiana .... . 10.2.1 Polinomi ortogon ali di Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Integrazione ga ussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Le formul e di Gau ss-Legendre-Lobat to . . . . . . . . . . . . 10.3 Metodi G-NI in un a dim ensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Interpret azione algebrica del metoda G-NI . . . . . . . . . 10.3.2 Condizion amento dell a matrice di rigide zza del metoda G-NI 10.3.3 Equivalenza t ra il metoda G-NI e un metoda di collocazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Generalizzazione al caso bidimension ale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Co nvergenz a del metodo G-NI 10.5 Metodo G-NI e MES-NI per un problem a modello monodimension ale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 II metoda G-NI 10.5.2 II metoda MES-NI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Metodi spettra li su t riangoli e t etraedri 10.7 Eser cizi.. ......... .. ... .. ......... .. ... .. ...... ......

235 235 239 240 243 244 246 248

9

11 Metodi con elementi discontinui 11.1 II metoda di Galerkin discontinuo (DG) per il problema di Poi sson 11.1.1 Risultati numeri ci per l'approssim azione DG del problem a di Poi sson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

226 230 231 233

250 251 255 257 264 265 269 272 276 279 279 284

Indice 11.2

. II metodo mortar 11.2.1 Caratterizzazione dello spazio dei vincoli per Elementi Spettrali (MES) . 11.2.2 Caratterizza zione dello spazio dei vincoli per Elementi Finiti . 11.3 Formulazione mortar del problema di Poisson . 11.4 Scelta delle funzioni di base . 11.5 Scelta delle formule di quadratura per Elementi Spettrali . . 11.6 Scelta delle formule di quadratura per Elementi Finiti 11.7 Riso luzione del sistem a lineare associato al metodo mortar . 11.8 II metodo mortar per l'accoppiamento di Elementi Finiti ed Elem enti Spettrali . 11.9 Generalizzazione del metodo mortar a decomposizioni con piu domini . . 11.10 Risultati numerici per il metodo mortar 12 Equazioni di diffusi one-tra sporto-re azione . 12.1 Formulazione debole del problema . 12.2 Analisi di un problem a di diffusione-trasporto monodimensionale . 12.3 Analisi di un problema di diffusione-reazione monodimensionale . . 12.4 Relazioni tra element i finiti e differenze finit e . 12.5 La tecnica del mass-lumping . 12.6 Schemi decentrati e diffusione artificiale . 12.7 Autovalori del problema di diffusione -trasporto . 12.8 Metodi di st abilizz azion e 12.8.1 Diffusione artificiale e schemi decentrati agli elementi finiti . 12.8.2 II metodo di Petrov-Galerkin . 12.8.3 II metodo della diffusione art ificiale e della streamlin e-diffusion nel caso bidimensionale ... 12.8.4 Consistenza ed errore di troncamento per i metodi di Galerkin e di Galerkin generalizzato . 12.8.5 Parte simmetrica e antisimmetrica di un op eratore .. 12.8.6 Metodi fortemente consistenti (GLS , SUPG) . . 12.8. 7 Sull a scelt a del parametro di stabilizzazione . 12.8.8 Analisi del metodo GLS . 12.8.9 Stabilizzazione tramite funzioni a bolla . 12.9 II metodo DG per Ie equazioni di diffusione-trasporto . 12.10 Metodi mortar per Ie equazioni di diffusione-trasporto

XIII

285 288 289 290 292 294 295 296 298 300 300 305 305 309 313 315 317 319 323 325 326 328 329 331 331 333 335 338 344 347 349

XIV

Indice

12.11 Alcuni test numerici per problemi di diffusione-trasporto 12.12 Un esempio di ad attivita goal-ori ented .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.13 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

351 357 358

13 Differ enze finite per equazio n i ip erbolich e . 13.1 Un problema di trasporto scalare . . 13.1.1 Un a stima a priori . 13.2 Sistemi di equazioni iperboliche lineari . 13.2.1 L'equazion e delle onde . 13.3 II metodo delle differenze finite 13.3.1 Discret izzazione dell'equazione sca lar e . . 13.3.2 Discret izzazione di sistemi iperbolici lineari . 13.3.3 Trattam ento del bordo 13.4 Ana lisi dei metodi aile differenze finite . . 13.4.1 Consistenza e convergenza . 13.4.2 Stabilita 13.4.3 Analisi di von Neumann e coefficienti di am plificazione 13.4.4 Dissipazione e disp ersione . . 13.5 Equazioni equiva lenti . 13.5.1 II caso dello schema upwind 13.5.2 II caso dei metodi di Lax-Friedr ichs e Lax-Wend roff 13.5.3 SuI significato dei coefficienti nelle equazioni equivalent i . . 13.5.4 Equazioni eq uivalenti e analisi dell'errore 13.6 Esercizi .

361 361 363 365 367 369 370 371

14 El ementi finiti e metodi sp ettrali per equazio n i ip erbolich e 14.1 Discret izzazione t emporale . . 14.1.1 Gli schemi di Eu lero in avanti e all'indietro 14.1.2 Gli schemi upwind, di Lax-Friedrichs e Lax-Wendroff . 14.2 Gli schemi Tay lor-Galerkin 14.3 II caso mu ltidimensionale . 14.3.1 Sem i-d iscretizzazione: trattamento forte e trattamento debole delle condizioni al bordo . . 14.3.2 Discretizzazione temporale 14.4 Eleme nti finiti discontinui . 14.4.1 II caso un idim ensionale . 14.4.2 II caso multidimensionale . . 14.5 Approssimazion e con metodi sp ettrali 14.5.1 II met odo G-NI in un singolo intervallo . . 14.5.2 II metodo DG-SEM-NI

395 395 395 397 402 406

372

373 373 373

379 383 385 387 390 390 391 392

407 410 412 413 418 421 421 425

14.6

14.7

Indice

XV

Trattamento num erico delle condizioni al bordo per sistemi iperbolici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6.1 Trattamento debole delle condizioni al bordo. . . . . . . Esercizi ... .. . .. ... .. . .. ... .. . .. ... .. . .. ... .. ... . .. ...

427 431 434

15 Cenni a pr oblemi ip e rb olici non lineari 15.1 Equazion i scalari 15.2 Approssimazione alle differenze finite 15.3 Approssirnazione con eleme nt i finiti discontinui 15.4 Sist emi iperbolici non -Iineari

. . . . .

16 Le e quazio n i di N avie r-Stoke s . 16.1 Forrnulazione debol e delle equazioni di Navier- St okes . 16.2 Le equazioni di Stokes e la loro approssimazione . . 16.3 Problemi di punto-sella 16.3.1 Formulazione del problema . 16.3.2 An alisi del problema . 16.3.3 Approssimazione con il metodo di Galerkin ed analisi di st abi lita e converg enza . 16.4 Formulazione algebrica del problema di Stokes . . 16.5 Un esempio di problema stabilizzato . 16.6 Un esempio numerico 16.7 Discretizzazione in tempo delle equazioni di Navier- Stokes .. 16.7.1 Metodi alle differenze finite . 16.7.2 Metodi alle caratteristiche (0 Lagrangiani) . 16.7.3 Metodi a passi fra zionari . 16.8 Riso luzione del sistema di Stokes e metodi di fattorizzazione algebrica . 16.9 Problemi di fluidi a superficie libera . 16.9.1 Equazioni di Navi er-Stokes con densita e viscosita variabili . 16.9.2 Condizioni al contorno . 16.9.3 Applica zioni ai fluidi a superficie libera . . 16.10 Modellistica dell 'evo luzione de ll'interfaccia 16.10 .1 Rappresentazione dell 'interfaccia con metodi espliciti 16.10.2 Rappresentazione dell'interfaccia con metodi impliciti 16.11 Approssirnazione a volumi finiti . 16.12 Esercizi . 17 Introduzi one a l cont ro llo ot t imale p er eq uaz io ni a de rivate p arziali . 17.1 Definizione del problem a di controllo ottimale .

435 435 440 442 450 455 457 462 466 466 467 471 475 479 481 482 484 486 486 491 494 495 496 497 499 499 500 504 507

511 511

XVI

Indice

Un problema di controllo per sistemi lineari . Alcuni esem pi di problemi di controllo ottimale per il problema di Laplace . Alcuni risu ltati per min imi di funzionali . La teoria del controllo ottimale per problemi ellit t ici . Alcuni esempi di problemi di controllo ottimale . 17.6.1 Un problema di Dirichlet con controllo distribuito .. 17.6.2 Un problema di Neumann con controllo distribuito . 17.6.3 Un problem a di Neumann con controllo di frontiera . Riso luzione di problemi inversi come problemi di controllo ottimale . 17.7.1 La teoria del controllo ottimale per problemi inversi Test numerici . Formulazione di problemi di controllo medi ante lagrangiana 17.9.1 Ot t imizzazione vincolata per fun zioni in jRn . 17.9.2 L'approccio mediante Lagrangiana . Riso luzione del problema di controllo: il metodo it er ative . Esempi num erici . 17.11. 1 Dissipazione di ca lore da un'aletta termicai (thermal fin) . 17.11.2 Inqu inament o termico in un flume . Alcune considerazioni su osservabi lita e controllabi lit a . Due paradigmi di risoluzione: "discret izzare-poi-ot t imizzare" oppure "ottimizzare-poi -dis cretizzare" . Approssimazione numerica di un pro blema di controllo ottimale per eq ua zioni di diffusione-trasporto . 17.14. 1 Gli approcci: "ot t imizzare-poi-discret izzare" e "discret izzare-poi-ot t imizzare" . 17.14.2 Stima a posteriori dell'errore . 17.14.3 Un problema test: controllo delle emissioni di inqu inanti . Ese rcizi .

513

18 Il me todo di decomposizione dei domini 18.1 Int rod uzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Alcuni classici metodi iterativi basati su DD . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 II metodo di Schwarz 18.2.2 II met odo di Dir ichlet- Neumann 18.2.3 II metodo di Neumann-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.4 II metodo di Robin-Robin

559 559 560 560 562 565 565

17.2 17.3 17.4 17.5 17.6

17.7

17.8 17.9

17.10 17.11

17.12 17.13 17.14

17.15

515 515 518 523 523 524 524 525 527 528 532 533 534 536 541 541 544 546 548 550 551 553 556 558

Indice

Formulazione multi-dominio del problema di Poisson ed equazioni di interfaccia . 18.3.1 L'operatore di St eklov-Poincare . 18.3.2 Equivalenza tra il metodo di Dirichlet - Neumann e it metodo di Richardson . 18.4 Approssimazion e con eleme nt i finiti del problema di Poisson e formulazione per sotto-domini . 18.4.1 II compl emento di Schur . 18.4.2 L'operatore di St eklov-Poincare discr eto . 18.4.3 Equivalenza tra it metodo di Dirichl et - Neumann e il metodo di Richardson precondizionato: il caso algebrico . 18.5 Generalizzazione al caso di piu sotto-domini . 18.5.1 Alcuni risu ltati num erici . 18.6 Precondizionatori nel caso di piu sotto-domini . 18.6.1 II precondizionatore di J acobi . 18.6.2 II precondizionatore di Bramble-Pasciak-Schatz . 18.6.3 II precondizionatore di Neumann-Neumann . 18.7 I metodi it erativi di Schwarz . 18.7.1 Forma algebrica dei metodi di Schwarz per un a discretizzazione ad eleme nt i finiti . 18.7.2 II metodo di Schwarz come precondizionatore . 18.7.3 Metodi di Schwarz a du e livelli . . 18.8 Un risu ltato astratto di convergenza . 18.9 Condizioni all'interfaccia per altri problemi differen ziali 18.10 Esercizi .

XVII

18.3

566 566 568 571 573 575

577 579 581 583 584 586 587 591 592 594 597 601 602 606

Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

609

Indice ana litico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

621

1

Richiami sulle equazioni aIle derivate parziali

Scopo di qu esto ca pitolo e qu ello di richiam ar e i concetti di base relativi aile equazioni aile deriv ate parzi ali (in breve E DP ). Per un a piu ampia trat t azione si vedano [PS91 , RR04, Pro94, Co176, Joh82 , SaW8] .

1.1 Definizioni ed esempi Le equazioni alle deri vat e parzioli sono equa zioni differen ziali cont enent i derivate dell a fun zione incognita rispe t to a piu vari abili (temporali 0 spaziali). In par ti colare, indi cata con u la fun zione incognita nelle d+ 1 variabili indipendenti x = ( Xl, ... , Xd )T e t , denot eremo con

8u 8u 8u 8 Pl + "+Pd +P' u ) P (u ,g) = F ( x,t,u '---;::;-'~" "'~ " " '8 Pl 8 Pd8pt ot UXI UX d X l ... X t ,g = 0

(1.1 )

d

un a generica E DP, essendo 9 I'in sieme dei dati dai qu ali dipendera la EDP, ment re P I , ' " , Pd , Pt E N. Dir emo che la (1.1) e di ordin e q, se q e l'ordine massimo delle deriv ate par ziali che vi compaiono, ovvero il massimo valor e assunt o da PI + P 2 + . . . + Pd

+ Pt ·

Se la (1.1) dipende line armente dall 'in cognita u e dalle sue derivate , l'equazione verr a dett a lin eare. Nel caso par ticolare in cui Ie derivate di ordine massimo compaiano solo linearm ente (con coefficienti che possono dip endere da derivate di ord ine inferiore) , I'equazione si di ra quasi-lineare. Si dir a semi-lineare se e qu asi-line are ed i coefficienti delle derivate di ordine massimo dipendono solo da x e t, rna non dalla soluzione u. Infine se nell 'equazione non compaiono t ermini indipendenti dalla funzione incognita u, la E DP si dice omogen ea. E lenchiamo nel seguito alc uni esempi di EDP che si incontrano frequ ent emente nelle scienze applicate . Quart eroni A.: Modellistica Numerica per Problem i Diffe renz iali, Sa edizione, Unitext - La Matematica per il3+2. DOl 10.1007/978-88-470-2748-0_1, © Springer-Verlag ltalia 2012

2

1 Richiami sulle equazioni alle derivate parziali

Esempio 1.1. Un'equazione lineare del prim 'ordine conve zio ne)

au + \7 . ((3u) = at

e I' equazion e

di trasport o (0 di

(1.2)

0,

avendo indicato con d

\7 ·v = d iv(v)

= L ~~i, i= l

V =(Vl, ... , Vd)T,

1-

I'op eratore divergenza. La (1.2) , integrata su un a regione f? C jR d, esprime la con servazio ne dell a massa di un sistema ma teriale che occupa la regione f? La va riab ile u e la den sita d el sist ema, mentre (3(x, t) e la veloc it a po sseduta d a un a particell a d el sistema che a ll'istant e t occupa la pos izione x . • Esempio 1.2. Eq ua zioni lineari del second 'ord ine sono I' equazione del poten ziale

- L1u = I,

(1.3)

che descrive la diffu sione di un fluido in un a region e f? C jRd omogen ea ed isotropa , rna anche 10 spostament o verticale di un a membrana elast ica, I' equazion e del colore (0 di di fTusione)

au -

-

at

L1u = j

(1.4)

e I' equazione delle ond e

(1.5) Abbiamo denot a to con (1.6) I' operator e di Lapla ce (0 laplaciano).

Esempio 1.3. Un esempio d i equazione qu asi-lineare del pr im 'ordine quazione di Bu rgers all at

~ -o

+ u a Xl

-

e d ato

•

d all' e-

,

men tre la sua var iant e ot tenut a aggi ungend o un a per turbazione del second 'ordi ne

forn isce un esempio d i equazione semi-lineare. Un 'eq uazione non lin ear e , se mpre del second 'or d ine,

u) +

a2 ( aXl2

2

e

•

1.2 Necessit a della risoluzione numerica

3

Una funzione u = u( X l , . . . , X d , t) e una solu zione od un integrale particolare della (1.1) , se, sostituita nella (1.1) assieme con tutte Ie sue derivate, rende la (1.1) una identita, L'insieme di tutte Ie soluzioni della (1.1) si chiama I' in tegrale generale. E sempio 1.4. L' equazione del trasporto nel cas o monodimensionale,

(1. 7) ammet te un int egrale gener ale della forma u = W( XI + t) , essendo W una funzione arbitraria sufficiente me nte regolar e (si veda l'Esercizio 2) . An a logamente, l'equazione delle onde monodimensionale (1.8) ammet te com e integrale gener ale

esse ndo WI e zio 3) .

W2

du e funzioni arbitrarie, sufficientem ente regolari (si ved a l'Eserci•

E sempio 1. 5. Consid eri amo l'equazione del calore monodimensionale

au _ a = ° at axi ' 2u

per

°
0, con condizioni al con torno u(O, t) = u(l , t) = 0,

e la condizione iniziale Ult=o = Uo . La solu zione U(XI ,t) = f

t>

°

e

uo,je - (j1r )2t sin(j 1rx l ),

j = 1

dov e Uo

=

Ult=o e it dato iniziale e I

UO, j

=

2/uo( XI) sin (j 1rxI ) dXI,

j = 1,2 , ...

o

•

1.2 N ecessita della risoluzione numerica In generale, non e possibile ricavare per via analitica una soluzione della (1.1). In effetti, i metodi di integrazione analitica disponibili (come la tecnica di separazione delle variabili) sono di limitata applicabilit a, Peraltro, anc he nel caso in cui si conosca un int egrale generale, non e poi detto che si riesca a det erminar e un int egrale particolar e. Per ottenere qu est 'u ltimo bisogn era infatti

4

1 Richiami sulle equazioni alle derivate parziali

ass egnare opportune condizioni su U (e /o sull e sue derivate) alla frontiera del dominio D. Dagli esempi forniti appare d'altra parte evide nte che l'integrale generale dipende da alcune junzioni arbitrarie (e non da costanti arbitrarie, come accade per le equazioni differenziali ordinarie), di modo che l'imposizione delle condizioni cornportera la risolu zione di problemi matematici, in generale, estremam ente complicat i. Di consegu enz a , d a un punto di vista teorico, ci si deve sp esso accontentare di studiare solo l' esistenza e l' unicita della soluzione di una EDP. Da cia segue l'importanza di disporre di metodi numerici che permettano di costruire un'approssimazione UN della solu zione esatta u e di stimare (in una qualche norma) l'errore UN - u che si commette sostituendo alla soluzione esat t a u la soluzione approssimata UN. L'intero positivo N denota la dimensione (finita) del problema approssimato. Schematicamente, otterremo la situazione seguente:

P(u,g) = 0

EDP esat t a

1

[metodi numerici] EDP approssirnata

avendo indicato con gN una approssimazione dell 'insieme dei dati 9 dai quali dipende la EDP, e con P N la nuova relazione funzionale che caratterizza it problema approssimato. Per sernplicita si puo porre: u = u(g), UN = UN(gN). Presenteremo diversi metodi numerici a partire dal Capitolo 4. Ci limitiamo qui a ricordarne le principali caratteristiche. Un metodo numerico e convergente se

Il u - uN11----+ 0

per N

----+ 00

in una norma opportuna. Pili precisamente si ha convergenza se e solo se

'Vc> 0 :3N o(c) > 0, :3J (N o,c) : 'VN > No(c), 'VgN t.c. Il g - gN 11< J(No, c) =}

Il u (g) - UN(g N )11:s: c.

(La norma usata per i dati non e necessariamente la stessa usata per Ie solu zioni.) Verificare direttamente la convergenza di un metodo numerico puo non essere agevole. Conviene piuttosto passare ad una verifica delle proprieta di consistenza e di stabilita, Un metodo numerico si dic e consistente se

PN(U,g)

----+

0 per N

----+ 00 ,

(1.9)

e jortement e consistente se

(1.10)

1.3 Classificazione delle EDP

5

Si noti che (1.9) si puo formulare in modo equivalente com e P N(U,g) - P(u,g)

----+

0 per N

----+ 00.

Cio esprime la proprieta che P N (la EDP approssimata) "t ende" a P (que lla esat t a) per N ----+ 00. Diciamo invece che un metodo numerico e stabile se a piccole perturbazioni sui dati corrispondono piccol e perturbazioni sulla soluzione, ovvero essendo UN + OUN la soluzione del problema perturbato P N (UN

+ OUN,gN + OgN) = O.

(Si veda [QSS08, Cap. 2] per approfondimenti.) II risu ltato fondamentale, noto come teorema di equivalenza, garantisce infine che

Teorema 1.1. Be un m eto da se e stabile.

e consisien ie,

allora

e conu erqenie se e so lo

Nella scelta di un metodo numerico interverranno ovviamente anche alt re caratteristiche, quali ad esempio la oelociia di convergenza (ovvero l'ord ine rispetto ad l iN con cui l'errore tende a zero) ed il costo computazionale, ovvero il tempo di calcolo e la memoria richiesta per l' implementazione de l metodo stesso su calcolatore.

1.3 Classificazione d elle EDP Le eq uazioni differe nzia li possono essere classificate in base alia loro formu lazione matematica in tre famiglie diverse: equazioni ellittiche, pamboliche ed iperboliche, per ognuna de lle quali si considerano metodi numerici specifici. Limitiamoci al caso di EDP de l second 'ordine lineari, a coefficienti costanti, de lla forma fj2u fj2u fj2 u fju fju (1.11) Lu = A 0 e it campo vett oriale {3 sono assegnat i.

II criterio introdotto fa dipendere la classificazione dai soli coefficient i delle derivate di ordine massimo e si gius tific a con il seguent e argoment o. Come si ricordera , l'equazione algebrica qu adratica

ra ppresenta nel piano ca rt esia no ( Xl , X 2 ) un 'iperbole, un a par abola od un 'ellisse a seconda che D sia positivo, nullo 0 negativo. Questo parallelo con Ie coni che motiva il nome at t ribuito aile t re classi di operatori aile derivate par ziali . Indaghi amo pili attentament e Ie differenz e tra Ie tre classi. Supponiamo, senz a che cio sia restrit tivo, che D , E , F e G sian o nulli . Cer chiamo un cambio di vari abili della form a (1.12) con a , (3, "( e 0, 3

°:

IIF (x

+ Il ) -

---->

Y tale per cui :

F (x ) - Lxllily ::; e

1I1llix "Ill E X

con 1IIllix <

dove {cpdr=l! e una successione arbitroria di D (s] ) che conoe rqe vers o E D (s] ). Si chi am a distribuzione S 1l S] una qualunq ue tmsfo rmazione T da D (s] ) in 1Ft lin eare e con tinua. Lo spazio delle distribuzioni su [} e quin di daio dallo spazio D ' (S]), duol e di D (S]). ip

L'azione di una distribuzione T E D' (S]) su un a fun zione ¢ E D (s] ) verra sempre ind icat a attraverso la notazione de l crochet : (T , ¢). E sempio 2.1. Sia a un punto dell'insieme n . La delta di Dirac relativa al punto a e denotat a con oa, e la distribuzione definita dalla relazione seguente

(Oa, 0 tale che iL(X) 2': iLo e a (x ) 2': 0 q. o. in

dove

= aD con T D n

D. Nel solo caso in cui a = 0 richiederemo che rD sia non vuoto onde evitare che la soluzione perda di unicit a . Supporremo infine che 9 e ¢ siano funzioni sufficientem ente regolari su aD, ad esempio 9 E H i / 2 (r D ) e ¢ E L 2 (r N ) . Anche in qu esta caso procediamo mo ltiplicando I'equazione per una funzione test v ed integrando (ancora formalmente) su I dominio D :

j [- d iv (iL'VU) + au]v

«a = j

n

Iv dD.

n

App licando la formu la di Green si ottiene

jiL'VU .'VV dD + ja u v dD n

n

jIL ~~ V d1 = j

an

n

l v dD,

3.4 Probl emi ellit t ici pili generali

49

che poss iamo anche riscrivere come

jll'VU,'VVdD + ja u vdD n

j/l~~ vdr =

r»

n

j fVdD + n

jll~~ v dr.

rN

La fun zione /l8u j8n e det t a derivata conormale di U associata all'operat ore - div (/l'Vu ). Su r D imponiamo che la fun zione te st v sia null a, mentre su r N imp oniamo che la deriv at a conormale valga ¢. Ot t eni amo

j /l'Vu . 'Vv

.u: + j

n

a Uv

aa =

n

j f v dD

+j

n

¢v dr'

rN

Indicato con R g un rilevam ento di g, poniamo debole del problema (3.32) e allora

o U

=

R g • La formulazione

U -

t rovare ~ E Hh ) (D) :

jlN~ . 'Vv .u:+ j a~v .u: =

jfV

n

n

n

- j /l'Vu; . 'Vv dD - j aRgv n

«a +

as: + j

n

'Vv

¢v dr

E

Hh)(D) .

~

Definiamo la form a bilin ear e

a :V xV ----+ IR,

a(u, v) = j/l'VU.'VVdD + jauvdD n

n

ed il fun zion ale lineare e limitato

F:V ----+ IR, F( v) = - a(R g, v ) + j fvdD + j ¢Vd r . n

(3.33)

rN

II problem a precedente si puo allora riscrivere come: trovare ~ E Hh )(D) : a(~,v) = F( v) Un problem a anc ora piu genera le di (3.32)

Lu = f u =g { 8u = ¢ 8n L

E

Hh )(D).

e il seguent e:

in D, su r D , su

'Vv

r N,

(3.34)

50

3 Equazioni di t ipo ellit t ico

essendo fl C JR 2 ,

o

0

To u r N = a fl con T D n r N = 0, ed avendo definito Lu = - L2 - a ( aij -au- ) .. aXi ax)· t ,) = l

+ au,

dove i coefficienti aij sono in generale delle fun zioni definit e in fl. La derivat a 2

au = L aij au ni an L t..,) = l aXj

(3.35)

e det t a

derivata conormale di u associata all' operat ore L (essa coincide con la derivata normale qu ando Lu = - L\u ). Supponiamo che a(x) E LCXl(fl) e che 3a o > 0 t ale che a(x ) ;::: a o q.o. in fl . Inol tre, supp oniamo che i coefficient i aij : {} ---+ JR siano fun zioni cont inue Vi , j = 1,2 e che esist a un a costant e a positiva t ale che 2

Vf" = (6 ,6)T E

JR2

2

aij(xki ~j ;::: aL~f

L i, j= l

q.o. in fl .

(3.36)

i =l

In tal caso la formul azione debole e ancora la st essa di (3.34), il fun zion ale F in (3.33) , mentre

e ancora quello introdot to

j .(

2 au av ) a(u, V) = L aij aXjaXi + a uv dfl. D

(3.37)

t ,) = l

Si puo dimost rare (si veda l'Esercizio 2) che sotto l'ipot esi (3.36) , det t a ipotesi di ellitticitd dei coefficienti, que st a nuova form a bilinear e e continua e coerciva, nel senso delle defini zioni (2.6) e (2.9). Queste propriet a sara nno sfru t tat e nell'an alisi di buona posizione del problem a (3.34) (si ved a la Sez. 3.4 .1). Problemi ellittici per operatori del qu arto ordine sono proposti negIi Esercizi 4 e 6, mentre un problem a ellit t ico derivan te dalla teoria dell'elasti cit a lineare e affrontat o nell'Esercizio 7. Osservazione 3.6 (Condizioni di Robin) . Nel caso in cui vengano impost e sull'int ero contorno condizioni di Robin, ossia

au

tLa n

+, u =

su afl,

0

bisogn a porr e maggior e attenzione. La formulazio ne debol e del problem a t rovare u E H 1(fl ) : a(u , v) =

J

f vdfl

Vv

E

e

H 1(fl ),

D

in cui la form a bilin ear e a(u ,v) = J flIL'VU' 'Vvdfl + J fl ,uvdfl qu est a volt a non e coerciva se I < O. L' an alisi di qu esta problem a pu o essere svolta per mezzo del Lemma di Peetre-Tar t ar , si ved a [EG04]. •

3.4 Probl emi ellit t ici pili generali

51

3.4.1 Teorema di esistenza e unicita Yale il seguent e risult at o fond ament ale (per le definizioni si rim anda alla Sez. 2.1): Le m m a 3 .1 (d i La x-Milgr a m ) . Sia V uno spazio di Hilbert , a(· , ·) V x V' --+ JR una forma bilin eare con tinu a e coerciua, F( ·) : V --+ JR un fun zionale lineare e lim itato. Allora esiste un ica la solu zion e del problema : t rovare u E V : a(u , v )

=

F (v ) \:Iv E If.

(:3.38)

Dimostmzion e. Si basa su du e classici risult ati di Analisi Fun zion ale: il t eore ma di rappresent azione di Riesz, ed il teo rema dell'immagine chiusa di Ban ach. 11 let tore interessato puo consultare, ad esempio, [QY94, Ca p. 5]. 0 11 Lemm a di Lax-Milgram assicura dunque che la formul azione debole di un problema ellit ti co e ben post a, pur di verificare le ipote si sulla form a a(·, ·) e sul funzionale F( ·). Da qu esto Lemma discendono vari e conseg uenze. Rip or ti am o una della pili important i nel seguente Coroll ario . Corollario 3 .1. La soluzion e di (3.38) ovvero

lI ull\! dove Q m entre

e la

e limitata

in f unzion e dei dati,

1

s - IIFII \!', Q

costan te di coerciuita associaia alla forma bilin eare a(·, ·) , del fu nzionale F .

IIFII\!' e la norma

Dimostmzion e. E sufficient e scegliere v = u nella (3.38) ed usar e quindi la coercivit a della form a bilinear e a(·, .). Infatti , si ha che Q l l u l l~

:s; a(u,u) = F(u) .

D'alt ra par t e

dal che segue la t esi. Osservazione 3.7. Se la form a bilineare a( ·, .) a(u, v) = a(v,u)

\:Iu , v

E

e anche V,

sim me trica, ovvero se

52

3 Equazioni di tipo ellit t ico

allora il problema (3.38) veda l'Esercizio 1),

e equivalente

trovare u E V :

al segu ente problema variazionale (si

J(u)

= minJ(v), v EV

(3.39)

1 { con J(v) = 2a(v ,v) - F(v).

• 3.5 Operatore aggiunto e problema aggiunto In questa sezione introduciamo il concetto di operaiore aggiunto di un operatore in spazi di Hilb ert, seguito dal concetto di problema aggiunto (0 duale) di un problema ai limiti. Quest'ultimo gioca un ruolo fond arnentale, ad esempio, nelI'ambito della derivazione di stimatori dell'errore, sia a priori che a posteriori (si vedano Ie Sez. 4.5.4 e 4.6.4-4.6.5, rispettivamente), rna anche nella risolu zione di problemi di controllo ottimale, come vedremo nel Capitolo 17. Obiettivo di questa sezione e quello di indicare un metoda per ricavare I'aggiunto di un dato op eratore differenziale assiern e alle condizioni al bordo del problema aggiunto (0 du ale), note qu elle del problema di partenz a (primale). Sia V uno spazio di Hilb ert con prodotto scalare (', ·)v e norma I · [ v . V' il suo spazio duale. Sia a: V x V ----+ IR una forma bilineare, continua e coerciva e sia A : V ----+ V' I'operatore ellittico ad essa associato, ovvero A E £(V, V'), v/ (Av,w )v

Sia a* : V x V

----+

= a(v,w) 'Vv, w

E V.

(3.40)

V.

(3.41 )

IR la forma bilin eare definita da a*(w ,v)

= a(v ,w) 'Vv , w

E

Definiamo operatore aggiunto di A I'operatore A * : V ----+ V' associato alla forma a*( ·, '), ovvero v/ (A *w,v )v = a*(w ,v) 'Vv, w E V. (3.42) Grazie alla (3.41) abbiarno la segu ente relazione, nota come identita di Lagrange v/ (A *w ,v)v

= v/ (Av,w )v 'Vv , w

E V.

(3.43)

Si noti che questa e esattamente l'equazione alla base della defini zione (2.19) dell 'aggiunto di un operatore Ache operi fra uno spazio di Hilbert e il suo duale. Per coerenza con (2.19) avr emmo dovuto denotare qu esta operatore con A' , tuttavia preferi arno denotarlo con A* in quanta quest 'ultima notazione e quell a pili utili zzata nel contesto dei problemi ai limiti ellittici. Se a(·,·) e una forma simmetrica, a*(· ,·) coincide con a(·,·) e dunque A * con A. In tal caso A e detto autoaggiunto. A e invece detto normale se AA* = A * A. Naturalrnente I'operatore identita I e autoaggiunto (I = 1*), mentre se un op eratore e autoaggiunto, allora e anche norrn ale.

3.5 Oper atore agg iunt o e pr oblem a agg iunt o

53

Qui di seguito sono elencate alcune propriet a dell 'oper atore agg iunt o, che sono conseguenza della definizione preced ente:

• • •

essendo A lineare e continuo, 10 e anche A * , ovvero A * E £(V, V') ; II A*IIL:(v,v') = II AIIL:(v,v') (la norma du ale e defin it a in (2.2) , Capi tolo 2) ; (A + B) * = A* + B * ; (AB) * = B * A* ; (A*) * = A ; (A - 1)* = (A *) -l ; (aA) * = aA* 'Va E R

Quando dobbiamo t rovare il problem a agg iunt o (0 du ale) di un problema (primale) dato, user emo l'id entita di Lagr an ge per ca rat t erizzare l'equazion e differ enzi ale del problem a du ale ed anche le condizioni al bordo ad esso associate. Forniamo un esempio di t ale procedura, partendo d a un semplice problema differenziale di di ffusione-trasporto monodimension ale , completat o da condizioni al bordo miste di tipo Robin-Dirichlet omogenee Av

= - v" + v' = t, x

{ v' (O) + (3v (O)

= 0,

= (0,1) ,

E I

v (l )

= 0,

(3.44)

essendo (3 un a costant e. Si osservi che la form a debole di questa problema e: t rovare u E V = { v E H1(0 , 1) : v (l ) = O} t .c. 1

a(u, v)

= j fvdx 'Vv

E V,

o essendo 1

a :V xV ----+ lR, a(u , v)

= j(u' -U)V'dX -((3 +1)U(0)V(0) . o

Grazie alla (3.41) ot teniamo, 'Vv, w E V 1

a*(w , v) =a(v , w)

= j ( v' - V)W'dX -((3 +1)V(0)W(0) o

1

= - j v(w" + w' )dx + [vw'] b - ((3 + l) v(O)w (O) o

1

= j (- w" - w' )vdx - [w' (O) + ((3 + l) w (O) ]v(O).

o

(3.45)

54

3 Equazioni di t ipo ellit t ico

Dovendo valere la definizione (3.42) , avremo A *w

= - w I! - w'

In

V'(O , 1).

Inoltre, gr azie all'arbit ra rieta di v(O), w dovra soddisfare le condi zioni al cont orno [w' + ((3 + l) w](O) = 0, w(l) = O. Osserviamo che il campo di t ra sport o del problema du ale ha direzione oppost a rispetto a quello del problem a primale. Inol tre a condizioni al bo rdo di tipo Robin-Dirichlet omo genee per il problema primale (3.44) corrispondono condi zioni esat t ament e della stessa natura per it problem a du ale (0 aggiunt o). La procedura illust rat a per il probl em a (3.44) puo chiarament e essere este sa al caso multidimension ale . In Tabella 3.3 forni amo un elen co di operatori differenziali con relative condizioni al bordo e dei corrispondenti operatori aggiunti e condiz ioni al bordo du ali ad essi associate (sulle fun zioni che compaiono in Tab ella , si ass uma t utta la regolarita che serve per la buona definizione degli op eratori differenziali cons iderati). Osserviamo , in particolar e, che non necessari amente a condizioni primali di un certo t ipo corrispondono condi zioni du ali dello st esso t ipo e che ad un a formul azione conservativa (rispettivament e, non conservativa) del problema primale corrisponde un a formul azione non conservat iva (risp et tivam ente, conservat iva) di qu ello du ale. 3.5.1 Il caso non lineare L'est ensione dell 'an alisi dell a sezione pre cedente al caso non linear e non imm edi at a. Per sernplicita consideriamo it probl em a monodimension ale

= -vI! + vv' = j , x { v (O) = v (l ) = 0, A(v) v

I

E

= (0,1) ,

e cosl (3.46)

avendo denot ato con A(v) l'operatore A(v)·

d2 . dx 2

=--

d-

+ v-

dx

.

(3.47)

L'identit a di Lagr an ge (3.5) viene or a cosl genera lizzata v ,(A(v)u, w )v

= v (u , A *( v) w )v',

(3.48)

per ogni u E D(A) e wE D (A *) , essendo D (A) l'insieme delle funzioni continue, derivabili con cont inuita du e volte e iden ti camente nulle in x = 0 e x = 1, e D(A*) il dominio dell'operatore aggiunt o (0 du ale) A * le cui propriet a verranno iden tificate imponendo il soddisfaciment o dell a (3.48) . P art endo da tale identi t a , vedi amo a qu ale op er atore aggiunto A * e a qu ali condizioni al bordo du ali si pervi ene per it problem a (3.46) . Int egr ando per parti

primale

primali duale

duali

V' ·b =O

. V'u + CJu ,

+b

- d iv (p,V'u )

ou p,on = 0 su ofl\r

u = 0 su r ,

p,on - b . nu = 0 su ofl\r

ou

V' ·b =O

- d iv (p,V'w) - d iv(bw)

+ CJW ,

- d iv(p,V'w) - b . V'w + CJW

V' ·b =O

+ di v (bu) + CJU

V' ·b =O

ou on = 0 su ofl\r

- d iv(p,V'u )

- L1w - b . V'w + CJW ,

u. = 0 su r ,

- L1u + b . V'u + CJU,

U = 0 su T,

w = 0 su r ,

V' ·b =O

V' ·b =O

ow p, on + b . nw = 0 su ofl\r

w = 0 su r ,

ow

p, on = 0 su ofl\r

w = 0 su r ,

ow on + b . n w = 0 su ofl\r

ow on + (b . n + , )w = 0 su ofl\r

ou on + , U = 0 su ofl\r

w = 0 su r ,

oW on + ,W = 0 su ofl\r

w = 0 su r ,

ow on = 0 su ofl\r

w = 0 su r ,

C.B.

- L1w - b . V'w + CJW ,

- L1w + CJW

- L1w

Operaiore

u = 0 su r ,

oU on + , U = 0 su ofl\r

u. = 0 su r ,

ou on = 0 su ofl \ r

u = 0 su r

C.B.

- L1u + b . V'u + CJU,

- L1u + CJU

- L1u

Operatore

Tabella 3.3. Operatori di fTerenziali e condizioni al bordo (C .B .) per il problema pr imale e corrisponden t i op er atori du ali (con cond izioni al bordo ass ociat e)

CD ...,

Q1 Q1

M"

i:l 0

>=

CEi .

()q

?' ?'

s

'0 ..., 0 0" (D

(1)

M"

i:l 0

>=

~.

?'

(1)

0...,

M"

?'

9

Vol

c."

56

3 Equazioni di tipo ellit t ico

du e volte il termine diffusivo e una volta il termine di ordine uno , otteniamo 1

1

v, (A(v)u ,w)v = - jullWdX + jvu'wdx o 0 1 .

= ; U' w' dx - u' wlo

1

-

o

1 ; .

(vw)'udx

(3.49)

0 1

=-

1

+ vuw lo

1

juwlldx +uw' l~ - u' wl ~ - j(vw)'udx +vuw l~· o

0

Analizziamo a parte i termini di bordo, esplicit ando i contributi ai du e est remi. Per garantire la (3.48), si dovra avere u(l) w' (1) - u(O) w' (0) - u'(l) w(l)

+ u' (0) w(O) + v(l) u(l) w(l)

- v(O) u(O) w(O)

=

0

per ogni u ev E D(A). Osserviamo che l'appartenza di u a D(A) ci permette di annuliare immediatamente i primi due e gli ultimi due termini, riducendoci cosl ad avere - u' (1) w(l) + u'(O) w(O) = o. Dovendo tale relazione valere per ogni u E D(A), dobbiamo scegliere condizioni di Dirichlet omogenee per l'op eratore duale, ovvero

w(O) = w(l) =

o.

(3.50)

Tornando alia (3.49), si ha quindi 1

1

v, (A(v)u,w )v = - jullWdX + jvu'wdx o 0 1

1

= - juw dx - j(VW)'UdX = v (u, A*(v)w )v'. lI

o L'operatore duale risulta dunque

0

0

aggiunto A* dell'operatore primale A definito in (3.47)

d2 . A*(v)· = - dx 2

d

+ dx v·

mentre Ie condizioni al bordo duali sono fornite dalla (3.50). Osserviamo infine che il problema duale e sempre lineare, pur essendo partiti da un problema primale non lineare. P er maggiori dettagli sull a derivazione e sull' analisi dei problemi aggiunt i rimandiamo illettore, ad esempio, a [Mar95].

3.6 Esercizi

57

3.6 Esercizi

e equivalent e al problema variazionale (3.39) se la forma bilineare e coerciva e simmetrica. [Soluzione: sia u E V la soluzione del problema debole e sia w un generico elemento di V. Grazie alia bilinearita ed alia simmetria della forma, si trova

1. Si dimostri che il problema debole (3.38)

J(u

1 2

+ w) = - [a(u , u) + 2a(u, w) + a(w , w)] - [F (u ) + F(w) ] 1

1

= J(u) + [a(u, w) - F(w) ] + "2a(w , w) = J(u) + "2a(w, w) . Grazie alia coercivita si ricava allora che J(u + w) ;::: J(u) + (a/2) llwlltr, ovvero che 'Vv E V con v -I- u, J (v) > J (u). Viceversa, se u e punto di minimo per J, allora scrivendo la condizione di estrernalita lims->o (J(u + 5v) - J(u)) / 5 = 0 si trova la (3.38) .] 2. Si dimostri che la forma bilineare (3.37) sotto Ie ipot esi ind icate nel testo sui coefficienti, e continua e coerciva. [Soluzione: la forma bilineare e ovviamente continua. Grazie all'ipotesi (3.36) ed al fatto che a E LOO(D) e positiva q.o. in D, e an che coerciva in quanto

Facciamo notare che se V = H 1(D) allora la condizione ao > 0 e necessaria affinche la forma bilin eare sia coerciva. Nel caso in cui V = H6(D), e sufficiente che a o > - a/C A, essendo CJ! la cost ante che int ervi ene nella disuguaglianza di Poincare. In tal caso si puo sfruttare infatti I'equivalenza fra II . II Hl( J!) e I . IHl( J!). Abbiamo indicato con IvIHl( J!) = II V'vllv( J!) la seminorma di v in H 1(D) (si ved a l'Esempio 2.11 del Capitolo 2). 1 3. Siano V = H6(0 , 1), a : V X V ----+ 1Ft e F : V ----+ 1Ft definiti nel modo seguente:

J 1

F( v) =

(-1 - 4x) v( x) dx , a(u , v ) =

o

J+ 1

(1

x )u' (x )v' (x ) dx.

0

Si dimostri che il problem a: trovare u E V t.c . a(u, v) = F( v) 'Vv E V , ammette un 'unica soluzione. Si verifichi inoltre che essa coincide con u( x) =

x 2 - x. [Soluzione: si dimostra facilmente che la forma bilineare e continua e coerciva in V . Allora, essendo F un fun zionale lineare e limit at o, grazie al Lemma di Lax-Milgram, si puo concludere che la soluzione esiste unica in V. Verifichiamo che e proprio u(x) = x 2 - x . Qu est 'u ltima funzion e appart iene sicuram ente a V (essendo cont inua e derivabile e tale che u(O) = u(l) = 0).

58

3 Equazioni di tipo ellitt ico

Inoltre, dalla relazione 1

1

1

J (1 + x)u'(x)v'(x) dx = - J((l 0

+ x)u'(x))'v(x)

0

dx = J (-1 - 4x)v(x) dx,

0

Vv E V , si deduce che affinche usia solu zione si deve avere ((1 + x )u' (x ))' = 1 + 4x quasi ovunque in (0,1). Tale proprieta e vera per la u proposta.] 4. Si trovi la forrnulazione debole del problem a

L\2u = I

u =0

{ au an = 0

in Q, su aQ, su aQ,

essendo Q C JFt2 un ap erto limitate di fronti er a aQ regolare, L\2. = L\L\. l'operatore bilaplaciano e I E L 2 (Q) una fun zione assegnata. [Soluzione: la formulazione debole, ottenuta applicando due volte la formula di Green all' ope rat ore bilaplaciano, e trovar e u E H6(Q):

J L\uL\v D

aa = J

[»

aa

Vv E H6(Q),

(3.51)

D

dove H6(Q) = {v E H2(Q) : v = 0, av ian = 0 su aQ}.] 5. Per ogni fun zione v della spazio di Hilbert H6(Q), definito nell 'Esercizio 4, si puo dimostrar e che la seminorma I . Ilf2 (D) definita come IvllI2( D) = UD lL\vl 2 dQ)1/2, e di fatto equivalente alla norma II·II IP (D)' Utilizzando tale proprieta, si dimostri che it problema (3.51) ammette uri'unica solu zione. [Soluzione: poniamo V = H6(Q). Allora ,

a(u, v ) = J L\uL\v

aa

e F (v )= JIVdQ ,

D

D

sono rispettivamente una forma bilineare da V x V ----+ JFt ed un fun zionale lineare e limi t ato. Per dimostrar e esistenza ed uni cit a basta invo care it Lemma di Lax-Milgr am in qu anta la forma bilineare e coerciva e cont inu a . In effet t i, gr azie all'e quivalenza t ra norma e seminorma, esist ono due costant i positive a e lVI tali che

a(u,u) = l ul ~ 2': a l lu l l~ ,

la(u , v )1 ~ 1VI llu llv llv llv.]

6. Si scriva la formulazione debole del problema del quart'ordine

L\2u - \7 . (tJ\7u)

u =o { au _ 0 an -

+ CJU = 0

in Q, su a Q , su

aQ,

3.6 Esercizi

59

introducendo opportuni spazi funzionali , sa pe ndo che [2 C ]R2 e un ape rto limi t ato con bordo 0[2 regolare e che Jl(X) e O"(x) sono funzioni note definit e su [2 .

[Soluzione: si procede com e nei du e esercizi precedenti supponendo che i coefficient i J1 e 0" st ia no in L OO ( [2 ) .] o

0

con fron tiera 0[2 = T D U TN regolare e TD n T N= 0. Introducendo opportuni spazi funz ionali, si trovi la formulazione debole del segue nte problema dell 'elastici ta lin eare

7. Sia [2 C

]R2

2 0 - LOXO"ij(U) = I i

in [2,

i

=

1,2,

su T D,

i

=

1,2,

su TN ,

i

=

1,2 ,

J

j =1

Ui = 0 2

LO"ij(u)nj = 9i

(3.52)

j =1

avendo indi cato come di cons uet o con n = (n 1' n2) T il vettore normale uscent e a [2 , U = (U1,U2)T il vet tore delle inco gnite, f = (fl ,f2)T e g = (91 ,92)T du e funzioni assegnate. Inoltre si e po sta per i , j = 1,2 ,

essendo ,\ e J1 due cost anti positive e Oij il simbolo di Kronecker. II sist ema (3.52) consente di descriver e 10 spostament o U di un corpo elast ico, omogen eo ed isotropo, che nella sua posizione di equilibrio occupa la regione [2, sot t o l' azione di un a for za esterna per unita di volume f e di un carico di stribuito su TN di intensita g (si ved a la Fig. 3.4). [Soluzione: la formul azione debole di (3.52) si trova osservando che O"ij = O"ji

-, \ \ ~ g ~

-

J

/ .>

-----... rN

//

I

,-

,-

rv

~ '

Figura 3.4. Un corpo elastico par zialmente vincolato e soggetto all'azione d i un carico este r no

60

3 Equazioni di tipo ellitt ico

e utilizz ando la seguent e formula di Green 2

L

100ij(U)Eij(V)

t, J = l

n

aa (3.53)

Assumendo v E V = (Hh , (D))2 (10 spazio delle fun zioni vet toriali che hanno component i Vi E H}v (D ) per i = 1,2), si t rova la seguente formul azione debole t rovare con

I If.

a(u, v) =

U

E

V t ale che a(u, v ) = F(v) "Iv

2

Adiv(u)div(v)

n

F(v) =

v

aa +

n

I

aa + 2/L L t ,J = l

I

E

V,

Eij (U)Eij (V)

sa,

n

g . v dr·

TN

Sar a sufficient e supporre f E (L 2(D))2 e g E (L 2(r N))2.] 8. Si dimostri, attraverso l'applicazione del Lemma di Lax-Mil gr am , che la soluzione della formulazione debole (3.53) esist e ed e uni ca sotto opportune condizioni sulla regol ari t a dei dati e sapendo che vale la seguent e disuguaglian za di K om 2

::lC o > 0

:L I ',J= l

Eij(V)Eij (V) dD

~ Co llv ll~

"Iv E V.

n

[Soluzion e: si consideri la formulazion e debol e introdotta nella soluzione dell 'esercizio prec edent e. La form a bilineare definita nella (3.53) e cont inua ed e anche coerciva gra zie alla disu gu aglian za di Korn. F e un fun zionale lineare e limitato e quindi , per il Lemma di Lax-Milgram, la solu zione esiste ed e uni ca.]

4

II metoda di Galerkin-elementi finiti per problemi ellittici

Affronti amo in qu esto ca pit olo la risoluzione num er ica dei problemi ai limiti ellittici conside ra t i nel Capito lo 3 introducendo il metodo di Galerkin . Illu st reremo poi , come caso particolar e, il metodo degli element i finit i. Esso verra ulteriormente sviluppat o nei capitoli seguenti.

4 .1 Approssimazi one ca n il m etoda di G al erkin Come visto nel Capitolo 3 la formul azione debol e di un generico problem a ellittico posta su un dominio D C JR.d si puo scrivere nel modo seguente t rovare u E V : a(u , v ) = F(v)

\Iv E V,

(4.1)

essendo V un opportuno spazio di Hilb ert, sot t ospazio di H1(D) , a(·,·) un a form a bilin ear e cont inua e coerciva da V x V in JR., F(·) un funzionale linear e e limi t ato da V in 1Ft. Sot to t ali ipo t esi il Lemma 3.1 (di Lax-Milgr am) assicura esistenza ed unicit a della soluzione. Sia Vh un a fami glia di spazi dip endente da un par am etro positivo h, t ali che

Vh

C

V, dim Vh = Nh
O.

II problema appross imato ass ume allora la form a (4.2) e viene detto problema di Galerkin: Indicando con { cpj,j = 1,2, ... ,Nd un a base di Vh, basta che la (4.2) sia verificat a per ogni fun zione dell a base, in qu an to t ut te Ie funzioni dello spazio Vh sono un a combina zione linear e delle cPi - Richiederemo allora che

(4.3) Quarteroni A.: Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Sa edizione, Unitext - La Matematica per il 3+2. DOl 10.1007/978-88-470-27 48-0_4, © Spri nger-Ve rlag Italia 2012

62

4 II metodo di G alerkin-elem enti finiti per problemi ellit t ici

Naturalm ente, poi che Uh E

Vi" N"

Uh(X) = 2::>j lpj (X), j=l dove gli Uj ,j 1, . . . , N h, sono dei coefficient i incogni ti. Le equazioni (4. 3) divent ano allora N"

2..:Uj a(lpj, lpi) = F( lpi), j=l

i

= 1,2, . . . , N s :

Denoti amo con A la matrice (detta di rigid ezza

0

(4.4)

di stiffness) con elementi

e con f il vet tore di componenti Ji=F(lpi) ' Se si indica con u il vettore che ha come component i i coefficienti incogni ti Uj, Ie (4.4) sono equivalenti al sist ema line are (4.5) Au = f. Evidenziamo alcune carat te rist iche della mat rice di rigidezza che sono indipendenti dalla base scelta per Vi" ma che dipendono esclusivame nte dalle ca ra t t eristi che del problem a debole che si st a approssi mando. Altre, come il num ero di cond izionament o 0 la stru t t ura di sparsita, dipenderanno invece dalla base con sider ata e verranno pe rtanto riport at e nelle sezioni dedicate ai singoli metodi numerici. Ad esempio, basi form ate da fun zioni con supporto piccolo sa ranno pr eferibili in qu anto t utti gli eleme nt i aij relativi a funzioni di base che hanno supporti con int ersezione null a risul ter anno nulli. Da un punta di vist a computazionale verranno privilegiat e quelle scelt e di Vh che richiedono uno sforzo computazionale modesto pe r il ca lcolo degli elementi dell a matrice, nonche del termine noto f.

Teorema 4 .1. La mairice A associata alta discreiizzazion e del problema ellittico (4. 1) con forma bilin eare a(·, ·) coerciv e con il m etoda di Galerkin e defi nita positiva. Dimo stmzion e. Ricordiamo che un a mat rice B E IFt n x n si dice definit a po sitiva se vTBv ~ 0

"Iv E IFt n

ed inoltre vTBv

=0

{o}

v

= o.

(4.6)

La corr ispondenza N"

V

= (Vi ) E IFt N " ~ Vh(X) = 2..:vAJj j=l

E

Vh

(4.7)

4.2 An alisi del metodo di Galerkin

63

definisce un a biiettivita fra gli spazi ]RN h e Vh . Per un generico vet tore v = (Vi) di ]RN h , grazie alia bilin earit a ed alia coercivit a della form a a(·, ') , otteni amo T

Nh Nh

Nh Nh

v Av = L Lviaij Vj = L Lvia(cpj , CPi )Vj j =1 i= 1

j =1 i = 1

= a( vh , vh) 2': a l lvh l l~ 2': o. Inoltre, se v T Av = 0 allora, per qu anto appena ricavato, anche Il vhll ~ = 0 ovvero Vh = 0 e quindi v = O. Di conseguenza la t esi e dimostrata essendo soddisfat t e Ie du e condizioni (4.6) . 0 Si puo inoltre dimostrar e la seguent e propriet a (si veda l'Esercizio 4):

Propriet.a 4 .1. La mairice A a(·, .) e simmeiri ca.

e simmetrica se e solo se la forma

bilinea re

Ad esempio, nel caso del problema di Poisson con condizioni al bordo di Dirichlet (3.18) 0 mist e (3.28) , la mat rice A e simmetrica e definit a positiva . La risoluzione numerica di un sist ema di questa t ipo po t ra essere effet t ua ta in modo efficiente sia usando metodi diret ti , come la fattorizzazione di Chol esky, sia usando metodi iterativi come il metodo del gradiente coniu gato (si ved a il Capitolo 7 e, ad esempio, [QSS08, Cap . 4]).

4.2 Analisi del metoda di Galerkin Ci proponiamo in que st a sezione di st udiare Ie caratteristi che del metodo di Galerkin , in par t icolar e di verificarn e tre fond am ent ali propriet a:

•

esistenza ed unicita della soluzione discret a Uhi siabilita della soluzione discret a Uhi convergenza di Uh alia solu zione esatta U del problema (4.1), per h

----+

O.

4.2.1 Esistenza e unicita

II Lemma di Lax-Mil gr am , enunciato nel Capitolo 3, vale per ogni spazio di Hilbert e quindi, in particolare, per 10 spazio Vh, essendo quest 'ul timo un sot tosp azio chiuso dello spazio di Hilbert V . Inoltre la form a bilineare a(·,·) e il fun zion ale F(·) sono i medesimi del problem a vari azion ale (4.1). Sono dunque soddisfatte Ie ipo tesi richiest e dal Lemma. Discende allora il seguent e risul t ato:

64

4 II metodo di Galerkin-elementi finiti per problemi ellitt ici

Corollario 4. 1. La soluzione del problema di Galerkin (4.2) esiste ed unica.

e

E t uttavia istrut tivo forni re di qu esta Corollario un a dimostrazion e senza ut ilizzar e il Lemma di Lax-Milgr am . Come abbiamo visto, il problema di Galerkin (4.2) e equivalente al sist ema linear e (4.5) . Dimostrando l'e sistenza e l'unicit a per l'uno e aut oma t ica ment e dimostrata anche I'esistenza e I'unicit a per l' altro. Concentriamo dunque la nostra attenzione sui sist ema line are (4.5). La matrice A e invertibile in qu an ta l'unica soluzione del sist ema Au = 0 e la soluzione identi cam ente null a. Qu esto discende imm edi at am ente dal fat to che A e definita po sitiva, Di conseguenza, il sist ema linear e (4.5) ammet t e uri'unica solu zione e quindi, anche il problema di Galerkin, ad esso equivalente , ammette un 'unica soluzione.

4.2.2 Stabilita II Corollario 3.1 ci permette di fornire il seguent e risultato di stabilita. Coro llario 4 .2 . Il me toda di Galerkin e stabile, unijormem ent e ris petto ad li, in quanio vale la sequeni e maggiorazione della soluzione

La stabilita del metodo ga rant isee che la norma Iluhll v della soluzione discreta rim ane limitat a al tendere di h a zero, uniformemente rispetto ad h . Equivalentemente, ga ra nt isce che Ilu h - wh ll v :s; ±IIF- Gllv', essendo Uh e Wh soluzioni numerich e corr isponde nt i a du e dati diversi F e G .

4 .2 .3 Convergenza Vogliamo ora dimostrare che la solu zione del problema di Galerkin converge alia solu zione del problema debole (4.1) qu ando h tende a zero. Di conseguenza, a patto di pr endere h sufficient ement e piccolo, si potra approssimare bene qu anto si vuol e la soluzione esatt a U con la soluzione di Galerkin Uh. Dimostriamo inn anzitutto la seguent e propriet a di consist enza ,

Le m m a 4.1 (Ortogonalita di G a lerk in) . La soluzi one di Galerkin soddisf a la propri eia

Uh

del m etoda

(4.8)

4.2 An alisi del metodo di Galerkin

65

u

Figura 4.1. Interpretazione geomet rica della proprieta di ortogon alita di Galerkin

Dimo strazion e. Essendo Vh C V , la soluzione esat t a U soddisfa it problem a debole (4.1) per ogni element o v = Vh E Vh , e quindi si ha (4.9) Sot traendo membro a membro la (4.2) dalla (4.9), si ottiene

dalla qu ale, grazie alia bilinearita dell a form a a(·, .), segue la te si. Facciamo notare che la (4.9) coincide con la definizione di consist enza fort e dat a nella (1.10) . La propriet a (4.8), not a anche come or to gon alit a di Galerkin, esprime it fatto che il metodo di Galerkin e un metodo di proiezion e ortogonale. Infatti , se a(·, ·) fosse il prodotto scalare euclideo, U e U h dei vettori e Vh un sottospazio dello spazio euclideo V, la (4.8) esprimerebbe I'ortogon alit a dell 'errore U - U h risp et to al sottospazio Vh . Se a(·,·) e simmet rica, essa defini sce un prodotto scalare in V. Allor a la propriet a di consist enza si int erpret a come l'orto gon alit a, risp et to al prodot to scala re a(·, .), t ra l'errore di appross imazione, U - U h, e il sottospazio V h . In questo senso, ana loga ment e al caso euclideo, si puo dir e che la soluzione Uh del metodo di Galerkin e la proiezione su Vh della soluzione esat t a U e quindi e, tra tut ti gli elementi di Vh, quell a che minimizza la distan za dalla solu zione esatta U nella norma dell 'energia, vale a dire nella seguent e norma indotta dal prodot to scala re a(·, .)

Osservazione 4.1. L'interpret azione geomet rica del metodo di Galerkin ha sen so nel solo caso in cui la form a a(· , .) sia simmet rica . Tuttavia cia non lede la genera lita del metodo 0 la sua propriet a di fort e consist enza (4.8) nel caso in cui la form a bilinear e sia non simmet rica. •

66

4 II metoda di Galerkin-elem enti finiti per problemi ellit t ici

Consideriamo ora il valor e che la form a bilin ear e ass ume qu ando ent rambi i suoi argoment i sono pari a u - Uh . Se Vh e un arbit rario element o di VI, si ottiene

L'ultimo t ermine

e nullo

grazie alia (4.8), essendo

Vh - Uh E Vh .

Inol tre

avendo sfruttat o la cont inuita della form a bilin ear e. D'alt ra parte, per la coercivit a di a(· , .), deve essere

per cui si ha IV!

Ilu - uh llv :s; -Iluvhll v a

'VVh E

Tale disugu aglian za vale per tutte Ie fun zioni Vh E prendendone I'estremo inferiore. Si trova percio

M

Ilu - uh llv :s; -a

inf

w" E\!i,

VI,· VI, e dunque varra anche

Ilu- whllv,

(4.10)

risultato che e anche nota come Lemma di Cia. E allora evid ente che affinche il metodo converga bastera richiedere che, al tendere a zero di h, 10 sp azio Vh tenda ad "occupare" I'intero sp azio V . Precisam ente , deve risul t are lim

inf

h --->O v" EV"

Ilv - vhll v = 0

In tal caso, il metodo di Galerkin lim

h --->O

'Vv E

V.

(4.11)

e convergent e e si pot ra scri vere

Ilu - uh llv = o.

Lo spazio Vh andra quindi seeIto opportunam ente in modo da garant ire la propriet a (4.11) . Un a volt a che questa requisito sia soddisfatto, la convergenza sa ra comunque verificat a indipendentemente da come e fatta u; viceversa, dalla scelt a di Vh e dalla regolarita di u , dipendera, in generale, la velocit a con cui la solu zione discret a converge alia soluzione esat t a, ovvero I'ordine di infini t esimo dell'errore risp et to a h (si veda il Teor em a 4.3 ). Osservazione 4.2. Naturalmente,

inf

Vh EVit

Ilu - vhllv :s; Ilu - uh llv.

Di conse-

guenza, per la (4.10), se ~ e dell 'ordine dell 'unita, l'errore dovuto al metodo di Galerkin e identificabil e con I'errore di miglior e approssimaz ione per u in VI,. In ogni caso, i du e err ori hanno 10 st esso ordine di infini tesimo risp et to ad h. •

4.3 II metodo degli element i finiti nel caso monodi mension ale

67

Osservazione 4.3. Nel caso in cui a(·, ·) sia un a form a bilin ear e simmetrica , olt re che continua e coerciva, allora la (4. 10) si migliora com e segu e (si veda l'Esercizio 5) (4.12)

• 4.3 II metodo degli elementi finiti nel caso monodimensionale Supponiamo che fl sia l'int ervallo (a, b) dell a retta reale. L' obiettivo di questa sezione e costruire ap pross imazioni dello spazio H I(a ,b) , dipend enti da un parametro h. A tale scopo int roduciamo un a par ti zione Th di (a, b) in N + 1 sottointervalli K j = ( X j - I ' X j ) di am piezza h j = X j - X j - l con a

=

Xo

< X l < ... < XN < XN + I = b,

(4.13)

e poni am o h = maxj h j . P oiche le fun zioni di HI( a, b) sono cont inue su [a, b], possiam o costruire la segu ent e famig lia di spaz i

X I;, =

{ Vh E CO

(fl) :

v h lK j E

lP'"

per ogni

K j E 1h} ,

r

= 1,2 , ... (4.14)

avendo denot ato con lP'r 10 spazio dei polinomi di gra do minore od ugu ale a r nell a variabile x. Gli spazi X I;, sono t ut t i sottosp azi di HI (a, b) in qu anto sono cost it uit i da fun zioni derivabili tranne che al piu in un numero finito di punti (i "ver t ici" Xi della triangolazione 1h) . Ess i forni scono scelt e po ssibili dello spazio Vi" pur d i incorporare opport un ament e Ie con diz ion i al bordo. II fat to che le fun zioni di XI;, siano localmente dei polinomi rendera gli elementi della matrice di rigid ezza facili da calc olare. Dobbiam o a questa punta scegliere un a base {'Pd per 10 spazio X I;, . Conviene, per qu anta espost o nella Sez. 4.1 , che il su pporto della generica funz ione di base 'Pi abbia intersezione non vuota con quello di un numero esiguo di altre fun zioni dell a base. In t al modo, molti elementi dell a mat rice di rigide zza saranno nulli. Conviene inoltre che la base sia lagrang iana: in tal cas o i coe fficient i dello sviluppo di un a generica fun zione Vh E XI;, sulla base stessa saranno i valori ass unt i da Vh in opportuni punti , che chiamiamo nodi e che, come ved remo , form ano gene ra lment e un sovrainsieme dei vertici di Th . Cia non impedisce l'uso di basi non lagran gian e, in special modo nella loro version e gerarchica (come vedremo nel seguit o). Forniamo or a alcuni esem pi di basi per gli spaz i X~ e X~.

68

4 II metodo di Galerkin-elementi finiti per problemi ellitt ici

4.3.1 La spazio X~

E cost it uit o dalle funzioni cont inue e lineari a pezzi su un a par tizione T" di

(a, b) della form a (4.13) . Poiche per due punti distinti passa un 'unica ret t a ed essendo le fun zioni di X,~ cont inue, i gradi di liberia delle funzioni di que sta sp azio, ovvero i valori che bisogn a assegnare per individuar e univo cam ente le stesse fun zioni, sar anno pari al numero N + 2 di vertici dell a par ti zione stessa. In qu esto caso, dunque, nodi e vertici coincidono. Di consegue nza , un a volt a ass egnat e N + 2 funzion i di base lp i, i = 0, . . . , N + 1, l'intero spazio X~ verra completamente descritto. La base Iagr an gian a e caratt erizzata dalla propriet a seguente: lp i E

X~

tale che

lpi (X j )

=

Oij ,

i,j

= 0,1, . . . , N + 1,

essendo Oij il delt a di Kronecker. La fun zione lp i e dunque lineare a trat t i e vale uno in X i e zero in tut ti gli alt ri nodi dell a parti zione (si ved a la Fi g. 4.2). La sua espressione e dat a da

lpi ( X )

X -

Xi- l

Xi -

Xi- l

=

XH I -

X

XH I -

Xi

o

per

X i -l

:s;

X

:s;

X i,

(4.15) alt riment i.

Evidentem ente lp i ha come supporto I'unione dei soli int ervalli [Xi- I , Xi] e [Xi , Xi +I], se i -I- 0 0 i -I- N + 1 (p er i = 0 0 i = N + 1 it support o sa ra limi t ato all' int ervallo [x o ,x I] 0 [XN ,XN +I ], risp et tivam ente) . Di conseguenza , soltant o le fun zioni di base lp i - l e lp i+I hanno supporto con intersezione non vuota con quello di lp i e quindi la matrice di rigide zza e tridiagon ale in qu anta a i j = 0 se j rj. {i - 1, i , i + I}. Come si ved e dall 'espression e (4.15) Ie du e fun zioni di base lpi e lp i+I definite su ogni intervallo [Xi , X H l ], si ripetono sostanzialmente immut ate, a meno di un fat tore di sca latura legato alia lunghezza dell'int ervallo st esso. Nella pr ati ca si possono ot t en ere Ie due funzioni di base lp i e lp H l t ras formando due funzioni

1 · ..

Xo

=

a

Xi- l Xi

Figura 4.2. La funzione di base di X~ relativa al nodo

Xi

4.3 II metoda degli eleme nt i finiti nel cas o monodimensionale

1

69

1

°

~

1

Xi

XH I X

Figura 4 .3. La funzione di ba se 'Pi in [Xi, XHI] e la corr isponde nte funzione di ba se

O} sia regolare (ovvero soddisfi la (4.37)). Supporremo inoltre che Ie t riangolazioni sia no quasi-uniformi , ovvero t ali per cui esiste un a cost ant e T > 0 t .c. 'Vh > O. Osserviamo or a che, nelle ipo tesi fat t e su T,ll vale la seguent e disugu aglian za inv ers a (per la dimostrazione rirnandiamo a [QY94]) (4.51) la costant e Ci essendo indipendent e da h . Possiamo or a dimostrare che esistono due costant i C I , C 2 > 0 tali che , per ogni V h E V h come in (4.7) , si ha (4.52) essendo d la dimen sion e spaziale, d = 1,2,3. Per la dimost razione nel caso di d generica rirnandiamo a [QY94], Proposizione 6.3.1. Qui ci limitiamo a verific are la seconda disugu aglianz a nel caso mon odimen sion ale (d = 1) e per eleme nt i finiti lineari. In effett i, su ogni eleme nt o K, = [Xi- I , X i], a bbiamo:

con

'Pi -I

con

hi

=

e 'Pi definite secondo la (4.15). Allor a , un ca lcolo dir etto mostra che

Xi - Xi -I .

La disuguaglian za

88

4 II metodo di Galerkin-elem enti finiti per problemi ellit t ici

con C = 4/3, si t rova semplicemente somma ndo sugli int ervalli K ed osservando che ogni cont ribut o nod ale Vi e cont ato du e volt e. D 'altro cant o, dalla (4.50) , ot t eni amo , gra zie alia cont inuita e alia coercivita della forma bilineare a(·, '),

essendo M ed a Ie cost anti di continuita e di coercivita, rispettivamente. Ora, per defini zione di norma in H1(D) e grazie alia (4.51),

per un 'opportuna costant e C 3 > O. Usando allora Ie disuguaglianze (4.52) , ot teniamo

Abbiamo pertanto

Amax(A) < !vI CJ C2 tc? Amin(A) a C1 ovvero la (4.49) . La (4.49) mostra che al diminuire del passo h il numero di condiziona ment o della matrice di rigid ezza aument a e quindi il sist ema ad essa associa t o divent a sempre pili mal condiziona t o. In particolare, se il dato f del sistema lineare (4.45) subisce un a perturbazione 15 f (ovvero e affet t o da errore), que st a si ripercuote sull a soluzione con un a perturbazione l5u per la qu ale vale la st ima seguent e

Il5 uI < K (A) ~ lui - 2 Ifl .

e elevat o t an to pili la soluzione puo risentire dell a perturbazione sui dati. (Del resto, si noti che si e sempre in pre sen za di perturbazioni sui dati a ca usa degli inevitabili errori di arrotondament o introdotti dal calcolatore.) Com e ulteriore esempio si puo st udiare come il condiziona ment o si rip ercuota suI metoda di risoluzione. Ad esempio, risolvendo il sist ema linear e (4.45) con il metoda del gradient e coniugato (si veda il Capitolo 7). Viene cost ruit a, in modo iterativo, un a successione di solu zioni approssimat e u (k) che converge alia soluzione esatta u . In particolare si ha

E evide nte che t an to pili il numero di condiziona ment o

4.5 II metodo degli elementi finiti nel caso multidimensionale

89

avendo indi cato con Il vii A = vv T Av la cosiddetta "norma A" di un gener ico vet tore v E ]RN h • Se definiam o

JK;(A) - 1 P = y/K2 (A) + i ' tale qu antit a forni sce un a st ima della velocit a di convergenza del metodo: tanto pili p e vicino a 0 t an t o pili velocemente il met od o converge, tanto pili p e vicino ad 1 t anto pili lent a sara la convergen za. Peraltro, per via della (4.49) , tant o pili si vuole essere acc urat i, diminuendo h, t anto pili il sist ema sara mal condiziona t o, e quindi tant o pili "problemat ica" ne risultera la sua risolu zione. Nel caso si usi un metodo it erativo, il siste ma andra necessari am ent e precondizionato, ossia occorre t rovare un a matrice invertibile P, det t a precondi zionatore, tale che

quindi applicare il metodo ite rativo al sistema precondizion ato con P (si veda il Capi tolo 7). 4 .5 .3 Stima dell'errore di approssimazione nella norma dell'energia

An alogamente al caso monodimension ale , per ogni v E c °(.a ) defini amo interpolante di v nello spazio di Xk det erminato dalla t riangolazione Y" , la fun zione Ilk v tale che Ilkv(N i) = v (N i )

per ogni nodo N , di Th , pe r i = 1, .. . , N i.,

E evident e che , se {'Pd e la base Iagr an gian a dello spazio pu o essere espressa nel seguent e modo

Xk , l'interpol ante

Nh

Il,~ v (x) = L v(Ni)'Pi(X) . i= l

Quindi, un a volt a not a v e la base di X,~ , l'interpolante di v e facilmente calcolabile. Come nel caso monodimension ale (Sez. 4.3.4) , l'op er atore Ilk : COUI ) ----+ che associa ad un a fun zione cont inua v la sua inte rpol ant e Ilkv e det to operatore di in terpolazione . C O(.a) ----+ per ogni An alogam ente possiamo definir e un operatore intero r 2': 1. Indicato con IlK l'operato re di int erpolazione locale che associa ad un a fun zione cont inua v iI polinomio IlK v E IP', (K ), interpolante v nei gra di di libe rta dell 'elemento K E Th , definiamo

x;

II" : 'VK

Si suppo rra che

T"

X" ,

E

Y" .

(4.53)

appart enga ad un a fami glia di trian golazioni regolari di D.

90

4 II metodo di G alerkin-elem enti finiti per problemi ellit t ici

Figura 4.13. Mappa Fg t ra it t r iangolo d i rifer imento

R e it generico t r iangolo K

P er ricavar e un a st ima per I'errore di approssimazione Ilu- uhllv seguiamo un a pro cedura analoga a qu ella utilizzat a nel Teor em a 4.3 per il caso monodimension ale. II primo obiettivo e dunque quello di derivare un a opportuna st ima per I'errore di int erpolazione . A tal fine ricaveremo informazioni utili a partire dai par ametri geometrici di ciasc un triangolo K , ovvero dal diametro h« e dalla sfer i~t a PK di K. Sfru tteremo inol tre la ~as for mazi one affine ed inver tibile F K : K ----+ K tra il triangolo di riferimento K e il generico triangolo K (si veda la Fi g. 4.13). Tale mappa e definit a da FK(x) = BKx + b K , con B K E 1Ft2 X 2 e b K E 1Ft2 , e soddisfal a relazion e FK(K) = K . Si ricord a che la scelta del trian golo di riferimento K non e univo ca. Avremo bisogno di alcuni risult ati preliminari.

Lemma 4. 2 (Tra s fo r mazione d e lle sem in o r me) . Per ogni intero m ;::: ogni v E H'll (K ), sia D : K ----+ 1Ft la fu nzion e definit a da D = v 0 Fl< . All om D E Hm(K ). Itioltre, esiste una costante C = C (m ) > 0 tale che:

oe

IDIII"'(K) s c I BKll m I det B Io una jam iglia di triangolazioni reqolari del dominio [l e sia m = 0, 1 e r > 1. Allora esiste una costante G = G (r , m , K) > 0 tale che

Iv-

r

J7h v l,,"' (n )

sG( L

2 (r +1 - m ) hI(

2 Ivlw+1 (1())

1/ 2

teet;

(4.67)

In pariicolare otteniamo (4.68)

Dimo strazion e. Gr azie alla (4.65) e alla condizione di regolari t a (4.37) , abbiamo Iv -

J7;;vlr-I

m

(n )

=

L

Iv - J7K v l ~l m (J()

I( ET"

ovvero la (4.67), essendo G 1 = G 1(1', m , K) e G = G1 82m . La (4.68) segue gra zie al fat t o che ti« :::; h, per ogni K E Th , e che

per ogni intero p 2': O. Nel caso m = 0 la regolarit a della griglia non e necessaria per ot tenere la st ima (4.68). Cio non e piu vera per m = 1. Infat ti , dato un triangolo K e un a fun zione v E Hr+1(K) , con t: 2': 1, si pu o dim ostrar e che vale la seguent e

4.5 II metodo degli eleme nt i finiti nel caso mu ltidimen sionale

95

disugu aglianz a [QV94],

con 6 indipendente da veda T". Quindi , nel caso m = 1 per una famigli a di gr iglie rego lar i otteniamo la (4.68) ponendo C = 06, essendo 0 la costante che appare in (4.37) . D 'altra parte, la necessita della condizione di regolarita puo essere dimostrata con sid erando un caso particolar e per cui, per ogni C > 0, si puo costruire una mesh (non rego lare) per la quale la disuguaglianza (4.68) non e vera, come ci accingiamo a dimostrare nel seg uente esempio, relativo al caso r = 1. E sempio 4.1. Si conside r i il triangolo Ki illustrato in Fi g. 4.14 , di vertici (0 ,0) , (1,0) , 2 (0.5, 1) , con I :::; V; , e la fu nzione V(XI,X2) = Chiaramente E H (K l) e la su a interpolante line are su Ki e d at a da JJ~V(XI ,X2) = Xl - (41) - IX2. Essendo in questo caso h «, = 1, la di su gu aglianza (4.68) , applicata al singolo triango lo K 1 , forn irebbe

xi.

v

(4.69) Consideri amo ora il comport ame nt o del rapporto

quando I tende a zero, ovvero qu ando il t r ia ngolo si schiaccia . Osserviamo che consenti re a I di t endere a zero equivale a v iolare la condizione di rcgol arit a (4.37) in quanto , per I sufficiente me nte piccoli, h «, = 1, mentre , indicando con PK[ il peri metro di K 1,

41K11 PK[ =

t ende a zero, dove con

IK11

si

PK

I

=

21 1 + VI + 412

e indicata I'area d ell'elem ento K1• Si ha

Quindi liml ~01]l = +00 (si veda la Fig. 4.14). Di conseguenza , non puo esistere un a costante 0 , indipendente d a Th , per cui valga la (4.69) . •

II teorema su lla stima de ll'errore di interpolazione ci fornisce immediatamente una stima su ll'errore di approssimazione de l metodo d i Galerkin. La dimostrazione e de l t utto an aloga a que lla de l Teorema 4.3 per il caso monodimen sionale. In effet t i, ba st a applicare la (4.10) ed il Teorem a 4.5 (per m = 1) per ottenere la segu ente stima dell'errore:

96

4 II metod o di Galerkin-elem enti finiti per problemi ellit t ici 100

80

70

40

10

°oL----",-====:::::::J:========""""==>=~-:':-~ 0 .5 I

Figura 4.14. II trian golo K [ (a sinist ra) e l'andamento, in funzione di l , del rapporto Iv - 1I~ vI H l(KI)/l vI H 2( Kz) (a dest ra)

Teorema 4.6. Si a u E V la soluzione esatt a del problema uari azionale (4. 1) ed Uh la sua soluzi one appros simata con il m etoda agli eleme n ii fini ti di grado r. Se u E H r + 1 (ft ), allora valgono le seguen ti stime a priori dell 'errore: (4.70)

111l -

Uh 11t-[l

(D) :::: iv! Chr lu lt-I ' +I (D) l 0-

(4.71 )

essetulo C una costante in dipen den ie da h e da u .

An che nel caso mul tidimension ale per aumentare I'accuratezza si possono seguire dunque due strategie differenti : 1. diminuire li, ossia raffinar e la griglia; 2. aumentare r , cioe utili zzar e eleme nt i finiti di grado pili elevate . Quest'ultima strad a e percorribile pero solo se la soluzione u e abbastanza regolare. In genera le, po ssiamo affermare che, se u E HP+ 1 (ft) per qu alche p > 0, allora Ilu - uh llf[l (D) :::: Chslu IHs+l (D),

s

= min{ r ,p} ,

come gill visto nel caso monodimensionale (si ved a la (4.26)) .

(4.72)

4.5 II met odo degli eleme nt i finiti nel caso mul ti dimension ale

97

Osservazione 4.6 (Caso di griglie anisotrope). La st ima dell'er ror e d 'interpolazio ne (4.65) (e la consegue nt e st ima dell'errore di discret izzazione) puo essere generalizzata al caso di griglie anis otrope. In tal caso t uttavia it t ermine di dest ra dell a (4.65) ass ume un 'esp ressione pili complicata: que ste st ime , infat ti , a ca usa dell a loro natura direzionale, de vono tener cont o delle informazioni proveni enti da dire zioni ca ratterist iche associat e ai singoli triangoli che rimpiazzan o l'informazione "globa le" concent rata nella seminorma Ivl w +l (K ) ' II let t ore interessato puo consultare [Ape99 , FP01] . Rim andiamo inoltre aile Fi gg. 4.17 e 12.23 per alcuni esempi di griglie anisot ro pe. • 4.5.4 Stima dell'errore di approssimazione in norma L 2

La (4.71) forni sce un a st ima dell 'errore di appross imazione nella norm a dell 'energia. An alogament e pu o essere ricavat a un a st ima dell'err ore nella norma L 2 . Essendo quest 'ultima norm a meno forte della precedente, ci si deve aspet tare una pili elevata velocit a di convergenza risp et to ad h . Le m m a 4.6 (Regolarita e lli t t ica ). Si consi deri il problema di Dirichlet omog eneo

- dw= 9 { w= O

in D, su aD,

con 9 E L 2 (D ). Se aD e sufficienternent e regolare (ad esem pio, e sufficiente che aD sia una curv a di class e C 2 , oppure che D sia un poligono cotioesso}, allom w E H2 (D) e ino ltre esiste una costante C > 0 tale che (4.73) Per la dimostrazione si ved a, ad esempio [Bre86, Grill] . T eorema 4 .7. Sia u E V la soluzione esatt a del problem a vari azionale (4.1) ed 'Uh la su a soluzione approssima ia ott enuta con il m et oda agli elem enti finiti eli gmdo 1' . Sia inoltre 'U E I-Il'+l (D) per un opportune p > O. Allora vale la seguent e siima a prior i dell'errore nella norma L2 (D) (4.74) essendo C una costante in dipendente da h e da

'U.

Dirnostmzione. Ci limiteremo a dimostrar e que sto risultato per il problema di Poi sson (3.14) , la cui formulazione debol e e dat a in (3.18). Sia Ch = 'U Uh l'errore di approssimazione e si consideri it seguent e problema di Poisson

98

4 II metoda di G alerkin-elem enti finiti per problemi ellit t ici

ausiliario (detto problema aggiunto , si veda la Sez. 3.5) con t ermine nota pari all'err ore eh: in D, su aD, la cui formul azione debole

(4.75)

e

t rovare ¢ E V:

a(¢ , v) = J ehv dD

'v'VE V,

(4.76)

D

con V = H6(D). Prendendo v = ei, ( E V ), si ha

Essendo la form a bilineare simmetrica, per I'or to gon alit a di Galerkin (4.8) si ha

Ne segue che (4.77) Prendendo ora ¢h = n~ ¢ , applica ndo la disugu aglianz a di Cau chy-Schwar z alia form a bilin ear e a(·, ·) e la st ima dell'errore di interpolazione (4.68) si ot ti ene (4.78) Si noti che si puo applica re l'operatore di interpolazione n~ a ¢ poiche, gra zie al Lemma 4.6, ¢ E H 2(D) e quindi, in particolare, ¢ E CO(D) , gra zie alia Proprieta 2.3 del Capitolo 2. Applicando il Lemma 4.6 al problema aggiunt o (4.75) si ot tiene la disu gu aglianza (4.79) 1¢l fJ2 (D) ~ C ll e hIIL2(D), che, applicata alia (4.78) , forni sce infine

dove C inglob a tut te le costant i apparse fino ad or a . Sfruttando or a la st ima dell 'errore nella norma dell 'energia (4.71) si ottiene la (4.74) . 0 Generali zziamo il risultato appena dimostrato per il problema di Poisson al caso di un generico problem a ai limi ti ellit t ico approssimat o con eleme nt i finiti e per il Quale valga un a st ima dell'errore di approssimazione nella norma

4.5 II metoda degli eleme nt i finiti nel caso multidimensionale

99

dell'energia come la (4.71) ed una proprieta di regolarita ellit t ica analoga a quella enunciata nel Lemma 4.6. In particolare, consideriamo il caso in cui la forma bilin eare a(·,·) non sia necessariamente simmetrica. Sia u la solu zione esatta del problema trovare u E V: e

Uh

a(u, v) = (1, v) \Iv

E

V,

(4.80)

la solu zione del problema di Galerkin

Si supponga infine che valga la stima dell'errore (4.71) e consideriamo il seguente probl ema aggiunto (0 dual e) di (4.80) (si veda la Sez. 3.5)): per ogni 9 E L 2(D), trovare ¢ = ¢(g) E V:

a*(¢, v) = (g, v) \Iv

E

V,

(4.81)

avendo definito la forma bilin eare a* : V X V ----+ lR. come in (3.41). Naturalmente se a(·, ·) e simmetrica, allora le due forme bilineari coincidono, come peraltro si e visto nel caso del precedente problema (4.76). Supponiamo che per la solu zione u del problema primale (4.80) valga un risultato di regolarita ellitt ica ; si puo verificare che allora 10 st esso risultato e valido per il problem a duale (0 aggiunto) (4.81), ovvero che

:3 C > O : In particolare, cio e vero per un generico problema ellit t ico con dati di Dirichlet o di Neumann (rna non misti) su di un dominio D poligonale e convesso [Grill]. Scegliamo ora 9 = ei, ed indichiamo, per sernplicita, ¢ = ¢ (eh)' Scelto inoltre v = eh, si ha dunque

Grazie alla regolarita ellittica del problema aggiunto si ha ¢ E H 2(D) e 11¢11I-f2 (r.? ) : : ; Clleh IIL2(r.?)' Usando l'ortogonalita di Gal erkin, si ottiene allora

Ilehll £2(r.? )

a(eh, ¢) = a(eh, ¢ - II~ ¢)

< CIII eh IIHl (r.?) II¢ - II~ ¢ I IH1 (r.? ) < C2 1Ieh IIHl (r.?) h 11¢IIH2(r.?) < C3 1Ieh ll,p(r.?) h IlehIIL2(r.? )' dove abbiamo sfruttato la continuita della forma a(·,·) e la stima (4.71). Quindi

llehllv(r.? ) : : ; C3 h lleh ll,p(r.?) ' da cui segue la (4.74) , utilizzando la stima (4.72) dell'errore in H1(D).

100

4 II metodo di Galerkin-elem enti finiti per problemi ellit t ici

Osservazione 4 .7. La tecnica sopra illustrat a, basat a sull' uso del problem a aggiunt o per la st ima della norma L2 dell'errore di discretizz azion e, e not a in letteratura come trucco di Aubin-Nits che [Aub67 , Nit68 ]. Diver si esempi di come costruire l'aggiunto di un problema dato sono stati presentati nella Se z. 3.5.

•

Esempio 4 .2 . Co nsideria mo il problema modello - Llu + u = f in D = (0,1? con u. = g su aD . Si supponga di scegliere it termine nota f e la funzione g in modo t ale che la soluzione esatta del problem a sia u( x , y) = sin (27rx) cos (27rY) . Risolviamo t ale problema con it metodo d i Galerkin-el em en t i finit i d i gr ado 1 e 2 su un a griglia uniforme di passo h . Ne l grafico di Fi g. 4.15 viene mostrato l'andamento dell'errore al decrescere del passo h sia nella norma di L 2(D) , sia in qu ella di H I(D) . Come si puo osservar e dall a pendenza delle rette in figura, l'errore si riduce , risp et to alia norma L 2 (lin ee con le crocet t e), in modo qu adratico se si utilizzano element i finiti lineari (lin ea cont inua) e in modo cubico quando ven gano utilizzati element i finiti qu adratici (line a t ratteggia ta). R ispet to alia norma HI (linee sen za le crocet te) invece si ha una riduzione dell' errore linear e risp etto agli element i finiti lineari (linea cont inua) , quadratica qu alora ven gano utilizzati eleme nt i finiti quadratici (lin ea tratteggiata) . Nella F ig. 4.16 ven gono mostrate le soluzioni sulla griglia di passo 1/ 8 ot tenute con eleme nt i finiti lineari (a sinist ra) e quadratici (a destra) . •

0.1

e e

W

0.01

0.001

1e-04 1e-05 '-0.01

.......J.

~

....J

0.1

h

Fi gura 4 .1 5 . Andamento rispet to ad h dell 'errore in norma HI (D) (line e sen za crocet te) ed in norma L 2 (D) (linee con le cro cet te) per element i finit i lineari (linee cont inue ) e qu adratici (lin ee tratteggiate) per la risoluzione del problem a riportato nell 'Esempio 4.2

4.6 II problem a dell' adatt.ivita della gr iglia

101

Figura 4.16. Soluzioni calcolate con eleme nt i finiti lineari (a sinistra) e qu adratici (a destra) su una griglia uniforme di passo 1/8

4.6 II problema dell'adatt.ivita della griglia Nella sezione precedente abbiamo derivato, grazie ai Teoremi 4.6 e 4.7 , delle stime a priori dell'errore di approssimazione per il metodo degli elementi finiti. Essendo il parametro h la lunghezza massima dei lati della triangolazione , se facessimo riferimento alla (4.71) saremmo indotti a raffinar e la reticolazione ovunque nella sp er anz a di ridurre I'errore Ilu - uh IIII'(r.?)' Convi ene piuttosto fare riferimento alla (4.70) in cui la maggiorazione dell 'errore tiene conto del comportamento locale della solu zione, attraverso la seminorma lulw"+ l( K) su ogni elemento e il parametro geometrico locale lite della triangolazione. In effet t i, al fine di avere un a grigli a efficiente, che ottimizzi il numero di element i necessari per ottenere una accuratezza desiderata, si puo cercare di equidistribuire I'errore su ogni element o K E T;,. In particolare, vorremmo ottenere

VK

E

T;"

dove TJ e un 'opportuna cost ante che dip ende solo dall 'accuratezza richi est a all 'approssimazione Uh e dal num ero di element i della griglia. E evide nte che un maggior cont ributo di lul w +1(K) (dovuto ad una pill pronunciata variabilita di UIK) dovra essere controbilanciato 0 da un passo reticolare locale lite pill piccolo 0 da un grado polinomiale T pill elevato. Nel primo caso si parla di h-adattivita della griglia, nel secondo caso di p-adattivita (dove p sta per "polinomiale"). Nel seguito ci occuperemo solo della prima tecnica . Tuttavia facciamo riferimento al Capitolo 10 per I'an alisi di stime dell'errore che risultano pill convenienti da utili zzarsi in vista di uri'adattivita di tipo polinomiale. Le osservazioni fatte fino ad ora, seppur corrette, risultano in realta poco utili dato che la solu zione u non e nota. Si puo allora operare seguendo diverse st rate gie.

102

4 II metodo di G alerkin-elem enti finiti per problemi ellit t ici

Un primo modo e qu ello di utilizzar e la st irna a priori dell'errore (4.70) sost it uendo la soluzione esa t ta u con un a sua approssimazione opportuna, facilm ente calcola bile su ogni singolo eleme nt o. Si par la in tal caso di adattioit« a priori. Un secondo approccio e invece basato sull'uso di un a stima a posteriori dell 'errore in gra do di legare l'errore di approssimazione all'andament o della soluzione approssima t a Uh , nota dopo aver riso lto numericamente il problema. In t al caso la griglia ottimale di ca lcolo verra costruita tramite un processo it er ativo in cui risoluziorie, stima dell 'errore e modifica della griglia di calcolo vengono rip etute fino al ra ggiungimento dell'accuratezza richiesta. Si parla in t al caso di adattivita a posteriori. Le strategie di adattivita a priori e a posteriori non sono mutuamente esclusive, rna possono coes iste re. Ad esempio, generata un a griglia opportuna di par te nza t ra mite urr'ad attivit a a priori, quest a puo essere ulteriormente raffinat a t ramite I'an alisi a pos teriori.

4 .6 .1 Adattivlt a a priori b a s ata s u lla ricostruzione d elle d erivate

Un a te cnic a di ad attivita a priori si basa sulla st ima (4.70) in cui si approssim ano opportunamente Ie derivate di u su ogni elemento, al fine di stimare Ie seminorme locali di u . Per far cio si uti lizza la soluzione approssimata Uh * calcolata su un a griglia di t ent ativo di passo h* , con h* abba stanza gra nde in modo che il calcolo sia computazionalmente economico, rna non eccess ivamente grande da generare un errore troppo elevato nell'approssimazione delle derivate, cosa che potrebbe compromettere l'efficacia dell 'intera proced ura. Esemplifichiamo l'algoritmo per elementi finiti lineari, nel qual caso la (4.70) assume la form a Ilu - uh llfl' (D)

0 prestabilit a . Supponiamo dunque di aver calcolato Uh* su un a griglia trian golar e 'Th * con N * triangoli. Utilizziamo Uh * per approssimare Ie derivate seconde di U che int ervengono nella defini zione della sem inorma l ul ~2(K) . Po iche Uh * non possiede derivate seconde continue in [2 , occorre procedere con un 'adeguata t ecni ca di ri costruzione. Una pos sibile tecnica e basata sull 'applicazione di una proi ezion e locale di tipo HI. Per ogni nodo N , della griglia si conside ra I'insieme (pat ch) K N i degli element i che hanno N , come nodo (ovvero degli eleme nt i che form ano il supporto di 'Pi, si veda la Fig. 4.11) . Si trovano quindi i pian i 7rI(x) = aI . x + bI che min imi zzano

j.

KN .;

I7rI( · x) - ~(x) 8Uh * 12 dx , u X)

j

= 1,2,

(4.83)

4.6 II pr obl em a dell' ad att.ivit a della griglia

103

bi.

risolvendo un sist ema a du e equa zioni per i coefficient i ai e Quest a e la fase di proi ezion e locale. Si cost ruisce cosi un 'approssim azion e linear e a t ratt i gh * E (X,~ .) 2 del gradient e 'VUh * definita come j

= 1,2,

(4.84)

dove la somma si estende su tutti i nodi N , dell a griglia. Un a volt a ricostruito il gra dient e si puo procedere in due modi differenti, a seconda del tipo di ricost ruzione che si vuol e ot t enere per Ie derivate seconde. Ri cordiamo inn an zitut to che la mat rice Hessian a associ ata ad U e definita da D 2 (u) = 'V('Vu) , ovvero

cPu [D2 (u)] '.,J. = [) Xi [) X j ,

i,j

= 1,2.

Una sua approssimazione, costante a tratt i, si ot ti ene ponendo, per ogni K * E Th . , (4.85) Si noti I'uso della form a simmetrica del gra dient e, necessari a per avere la simmet ria dell'Hessiano . Un 'alt ernativa computaziona lment e piu onerosa , nel cas o in cui si sia int eressati ad un a ricostruzione line are a tratti dell 'He ssiano , consiste nell'applicare la stessa te cnica di proiezione locale individuata dalle (4.83) e (4.84) direttamen t e al ricostruito g h*, simmet rizzando poi la matrice cost ot tenut a t ramit e la (4.85). In ogni cas o, siamo ora in grado di ca lcolare un a approssimaz ione di luI IF (K ) su un generico triangolo K * di Th . , approssimazione che sa ra ovvi am ente lega ta al ricost rui to D~ . Dalla (4.82) si deduce che, per ottenere la solu zione approssimata iu, con un errore inferiore 0 egu ale ad un a tolleranza prefissat a E, si deve costruire un a nuova griglia Thn ew t ale per cui

Ide almente, si desidera inoltre che I'errore sia equidistribuito, cioe che ogni elemento dell a sommatoria sia all'incirca 10 stesso su ciascun elemento K dell a nuova griglia . Un a possibile pro cedura di adattazione consist e allora nel generare la nuova griglia suddividendo opportunam ente t ut t i gli N * triang oli K * di Th. per i qu ali si abbia (4.86)

104

4 II metoda di Ga lerkin-element i finiti per problemi ellitt ici

Qu est o metoda e det t o di raffinamento poiche preved e solo di creare un a griglia pii: fin e risp et t o a quella di partenza, rna chiaramente non permet t e d i sodd isfa re pien am en te la condizione d i equidist ribuzione . Algo ritmi pili sofist ica t i pe rm ettono anche di deraffinare la grig lia in corrispondenza dei tria ngoli per cui la di su gu aglianza (4.86) e veri ficat a con seg no « al posta di >. Le procedure di deraffin amento pero sono di pili difficile implem en t azion e di qu elle di raffin am en t o. Dunque, spesso si pr eferi sce costru ire la nu ova griglia "da zero" (procedura det t a di rem eshing ). A t ale scop o si int roduce, sulla base della st im a dell 'error e, la seguent e Junzione di spazia tura H , cost a nt e in ogni elemento (4.87)

e la si ut ilizza per costruire la griglia adattata a pplicando un o degli algorit mi d i gen erazion e illu st rati nel Capitolo 6. Sp esso l'algorit mo di ad attazione richiede che la funzione H sia cont inua e linear e su ciascun t riango lo. In tal cas o pos siamo di nuovo ricorrere ad un a proiezione locale, usando la procedura gill vista. L' ad attazion e puo essere quindi ripetut a per la soluzione ca lcolata sulla nu ova griglia, sino a che t utti gli eleme nt i sodd isfino la disu gu aglianza inver sa alia (4.8 6) .

Osservazione 4.8. La costa nte C che compare nell a disu gu aglianza (4.82) puo esser e stimata a pplica ndo la st essa disu gu aglianza a fun zioni not e (e di cui quindi e possibile ca lcola re l'errore esat t o). Un 'alt ernativa che non richied e la conoscenza esplicit a di C cons ist e nel reali zzare la griglia che equi-dist ribuisce l'errore pe r un numero N * di eleme nt i fissato a priori. In questa caso it valor e di H ca lcola t o ponendo E e C pari a uno in (4.87) vien e riscala t o, mol tiplicandolo per un a costant e, in mo do che la nuova griglia a bbia il num ero d i eleme nt i prefissat o. • Esempio 4.3. Consideria mo la funzione u (x , y) = lOx 3 + y3 + ta n- 1( 1O- 4 / (sin(5y)2x)) sui dominio n = (-1 , I? Tale funzione e carat terizzata da una brusca variazione di valori in corrispondenza della curva x = 0.5 sin(5y), come si puo osservare dalla Fig. 4.17 di sinistra. Partendo da una griglia iniziale strut turata costituita da 50 triangoli ed utilizzand o una procedura adattiva guidata dall'Hessiano di u, si ottiene, dopo 3 itera zioni, la griglia in Fig. 4.17 (a destra) , costituit a da 3843 elementi. Come si puo osservare la maggior parte dei triangoli si concentra in corrispondenza del saito della funzione: se infat ti pochi t riangoli di area medio-grande sono sufficient i per descrivere u in modo sodd isfacente nelle regioni a monte e a valle del saito, la brusca variazione di u in corrispondenza della discont.inulta richiede l'uso di piccoli triangoli, ovvero di un ridotto passo di discret izzazione. Osserviamo inoltre la natura anisot ropa della griglia

4.6 II prob lema dell'adatt.ivita della griglia

105

" 10

_ 10

. 0.5

o

-02

-0 4

Figura 4 .17. Funzione

11

-06

-o.e

(a sinist ra) e terza griglia adattat a (a destra) per

l'Esempio 4.3

in Fig. 4.17, testimoniata dalla presen za di elementi la cui forma e molto allungata rispetto a quella di un triangolo equilate ro (tipico di una griglia isotrop a) . Tale griglia e st ata infatti generat a utilizzando la generali zzazione dello stimato re (4.86) al caso anisotropo. L'idea e essenzialmente quella di sfruttare sepamtamente Ie informazioni fornite dalle componenti [D ~]ij anziche "mescolarle" att raverso la norma L2(K *). Utilizzando la stess a procedura ad at tiva nel caso isotropo (ovvero 10 stimatore in (4.86)) si sarebbe ottenuta dopo 3 iterazioni una griglia adattata cost ituita da 10535 elementi. •

4 .6 .2 Adattlvita a posteriori

Le pro ced ur e descritte nella sezione precedent e possono risultare t uttavia insodd isfacenti in qua nto la ricostruzione de lle derivate d i u a partire da l1h* e sp esso sogg etta ad err ori non facilmente quantificabili. Un'alternativa radicale consiste nell'adottare stime a posteriori de ll'erroreo Q ueste ulti me non utilizzano la stima a pr ior i (4.70) (e conseguentemente approssim az ion i delle derivate della soluzione incognit a u) , rna sono ottenute in funzione di quantita calcolabili, normalmente basate su I cosidde t t o residue della soluzione app rossimat a . Quest 'ultimo fornisce una misura d i quanta la soluzione d iscreta soddisfi il problema d ifferenzia le su ogni elemento de lla triangolazione data. Consideriamo, a titolo di ese mpio, il problema di Poisson (3.14) . La sua formulazione debole e data dalla (3.18) , mentre la sua approssimazione o

v-

ag li elementi finiti e descritta dalla (4.40), dove Vi, e 10 spazio X h definito in (4.39). P er ogni v E Hb(D) e per ogni V h E Vh , si ha, grazie alla proprieta di

106

4 II metodo di G alerkin-elem enti finiti per problemi ellit t ici

ortogon alita di Galerkin (4.8) e sfruttando la (3.18) ,

j V(u - Uh) . Vv dQ = jV(U - Uh) . V( v - Vh) dQ D

D

= jf(V - Vh)dQ - j V Uh , V (V - Vh) dQ D

D

= j f (V - Vh) dQ + D

=

L

L

j i1Uh(V - Vh) dQ -

K EY" K

j U + i1Uh)(V - Vh) .ui :

K EY" K

L K EY"

L

(4.88)

j ~U;; (V - Vh) d"f

etc

j ~U: (V - Vh) d"f.

K EY"

etc

Osserviamo che gli integrali su Q sono st ati spezzati sui singo li triangoli al fine di garantire la buona defini zione degli integrali stessi. Indicato con e un lato del generico t riangolo K , definiamo salta della derivata normale di Uh attraverso il lato e la qu an tita (4.89) dove K 1 e K 2 sono i du e t riangoli che condividono it lato e, i cui versori normali uscenti sono dati da II I e ll2 risp et tivam ente, con II I = - ll2 (si ved a la Fi g. 4.18). La definizione (4.89) implicit am ente sot t oint ende che e non sia un lat o di bordo. Al fine di estendere tale defini zione an che ai lat i di bordo, introduciamo il cosiddetto salta genemlizzato, dato da per e E Eh , per e E

(4.90)

oQ,

dove Eh indica l'insieme dei lat i interni della gr iglia. Not iamo che, nel caso di

Figura 4 .1 8. Triangoli coinvolt i nella definizione d el salt o della d erivata norma le di us, attraverso it la to e

4.6 II problema dell'adatt.ivita della griglia

107

element i finiti lineari, la (4.90) identifica una funzione cost ante a pezzi definita su tutti i lati della griglia 7" . Inolt re la definizione (4.90) puo essere opportunamente modificata nel caso in cui il problema (3.14) sia completato con condizioni al bordo non necessariamente di Dirichlet. Grazie alla (4.90) possiamo dunque scr ivere

" JOUh " "JO L.... -U on (v - vh) d"( = -L.... onh(v - vh) d"(

- L....

K ET" 8K

=- L

L

K ET" eE 8 K

K ET" eE 8 K e

J

~ [~~] (v -

Vh) d"( =

e

-~

L

J [~~]

(v - Vh) d"(,

K ET" 8K

(4.9 1) dove il fattore 1/ 2 ti ene cont o del fatto che ogn i lato int erno e della triangolazione e condiviso da du e elementi. Inolt re, dal momenta che v - Vh = 0 su l bordo, in (4.90) si potrebbe assegnare un qua lsiasi valore diverso da zero in corrisponde nza di e E oD in quant o i termini della (4.91) assoc iati ai lat i di bordo sarebbero comunque nulli. Inserendo ora la (4.9 1) nella (4.88) ed applicando la disu gu aglianza di Cauchy-Schwarz, otteni amo


O.

l

8u(t ) u(t) dD = ~ ~ lu (t )12dD' 8t 28t!7 '

j !7

(5.9)

(5.10)

per la coerc ivita della forma bilineare otteniamo

a(u(t) , u(t)) 2': oo l lu(t) I I~ , mentre grazie alia disuguag lian za di Cauchy-Schwarz abbiamo

F(u(t)) = (J(t), u(t)) :::; Il f (t)ll v(!7) Il u(t )llv(!7) '

(5.11)

Supponiamo per ora f = O. Utilizzando allora Ie prime due relazioni e il fatto che F( v) = 0, si ottiene

8 2 8t Il u(t)IIL2(!7)

2

+ 2oo llu(t) llv

'Vt > O.

:::; 0

Dato che quest 'u ltima equazione vale per ogni t > 0 possiamo integr arla risp et to al t empo sull 'intervallo (0, t) , ottenendo t

Il u(t)II ~2(!7) + 200 j llu(s) ll ~dS < Il uoll ~2(!7)

'Vt > 0;

(5. 12)

o

in particolare si ha

'Vt > O. Quest 'u ltima relazione assicura che I'energia cinetica del sistema si rid uce nel tempo, in accordo con il fatto che I'equ azione parabolica (5.1) rappresenta un siste ma dissipativo, essendo I'operatore L ellit t ico. Nel caso si abbia un termine di sorgente f quanto detto non sara pili vero. Ci si asp et ta tut t avia un a disugu aglianza analoga che t enga conto di t ale t erm ine. In effetti, dalle (5.9) , (5.10) e (5.11), invece de lla (5.12) troviamo t

t

Il u(t)II~2(!7) + 200 j ll u(s) ll ~dS : :; Il uoll~2 (!7) + 2j o

0

llf (s) IIL2(!7)llu(s) IIL2(!7)dS. (5. 13)

5.3 Analisi di convergenza del problema semi-discreto

129

Indicata con t.p(t) la funzione il cui quadrato e il t ermine di sinistra, posta A(t) = Il f (t)II L2 (r.?) e 9 = Il uoll [2 (r.?)' applicando il Lemma 2.2 di Gronwall nella versione ii), troviamo grazie alia (2.30) t

{ llu(t) II[2(r.?) + 2a j IIU(S) II~dS}

1/2

t

< Il uoll [2(r.?) + j llf(s) II[2 (r.?)dS

o

0

Questo in particolare assicura che

U

'Vt > O. (5.14)

appartiene allo spazio (5.15)

Abbiamo visto che possi amo formulare il problema di Gal erkin (5.6) per il problema (5.5) e che esso, sotto opportune ipotesi, ammette soluzione unica. Analogamente a quanto fatto nel caso del problema (5.5) per dimostrare la disuguaglian za (5.14), possiamo dimostrare la seguente disuguaglianza per la solu zione del problema (5.6)

(5.16)

t

< Il uohI1L2(r.?) + j llf(s) 11L2 (r.?)dS

'Vt > O.

o Si tratta in questo caso di una proprieta di stabilita,

5.3 Analisi d i convergenza del proble m a semi-discreto Consideriamo il problema (5.5) e la sua approssimazione (5.6). Vogliamo dimostrare la convergenza di Uh a U in norme opportune. P er l'ipotesi di coercivit a possi amo scrivere

all(u -

uh)(t) I I~ ,(r.?)

:s; a((u - Uh)(t), (u - Uh)(t)) = a((u - Uh)(t), (u - Vh)(t)) + a((u - Uh)(t), (Vh - Uh)(t))

'VVh : Vh(t)

E

Vh,'Vt > O.

Sottintendiamo la dip endenza da t (per brevita di notazione) . Sottraendo l'equazion e (5.6) dall' equazione (5.5) e pon endo Wh = Vh - Uh si ha

(

8(U - Uh) ) 8t ,Wh + a(u- uh,Wh)= O

130

5 Equazioni paraboliche

e quindi

(5.17) An alizziamo sep aratamente i due termini a secondo membro: usando la continuita della form a a(·,·) e la disuguaglianza di Young si ottiene

•

a(u - Uh ,U - Vh) ~ }vlli u - uhIIHl(!7)llu - vhllI-p(!7)

M2

0:

~ 2 11u - uhll?p (!7) + ~ l lu - vhll?-Jl (!7); scrivendo Wh nella form a uu, = (Vh - u)

•

+ (u - Uh)

si ot ti ene

Sosti tuendo qu esti du e risultati nella (5.17) ott eniamo 1 d "2 dt Il u -

20:

iu, II L2(!7)

2

+ 2 11u - Uh II I-Jl (!7)

M2 2 a(U -Uh) ~ ~ l lu - vhIIHl(!7) + ( at ,U

-

Vh).

Moltiplicando per 2 ambo i membri ed integrando in tempo tra

°e t troviamo

t

II (u - uh)(t) II£2(!7 ) + t

0: j

ll(u -

uh)(s) ll~l (!7)

O

ds

~

II (u - uh)(O) II£2(!7)

(5.19)

t

+ ~2 j ll(u _ vh)(s)ll?p (!7) ds + 2 j ( : t (u - Uh)(S) , (u - Vh)(S)) ds . 0 o Int egriamo per parti l'ult imo termine rispetto alia var iabi le temporale. Utilizzando la disuguaglian za di Young si ottiene t

t

j ( : t (u - Uh)(S), (u - Vh)(S)) ds = - j ( (U - Uh)(S) , :t ((u - Vh)(S))) ds o

0

+((u - Uh)(t), (u - Vh)(t)) - ((u - Uh)( O), (u - Vh)(O)) t

~

j II (u - uh)(s) IIL2(!7) II o

2

a((u - Vh)(S))

at

1

1

2

II V (!7) ds + 4 11(u - uh)(t) IIL2 (!7 ) 2

1

(0) 2

+11 (u - vh)(t) IIV (!7 ) + "2 11(u - uh)(O) IIL2 (!7) + "2 llu(O) - Vh II L2(!7)'

5.3 Analisi di convergenza del problema semi-discreto

131

Dalla (5.19) otteniamo pertanto

j t

21 11(u - uh)(t) IIv2 (D) + 0:

2 II (u - uh)(s) IIHl (D) ds

o

:s: 2 11(u -

NI

2

2

uh)(O) IIV (D) + ---;-

j t

2

II (u - vh)(s) IIHl (D) ds

o o((u - Vh)(S)) + 2 II (u - uh)(s) IIV(D ) II ot II V (D) ds j o

(5.20)

t

+ 211 (u - vh)(t) I I~2 (D) + Il u (O) - vhll ~2 ( D)' Supponiamo ora che Vh sia 10 spazio degli elementi finiti di grado T, piu precisament e Vi, = {Vh E X ;; : vhlrD = O} , e scegliamo, ad ogni t , Vh(t ) = II;;u(t) , l'interpolan t e di u(t) in Vh (si ved a la (4.20)). Grazie alla (4.68) abbiamo, nell 'ipotesi che u sia sufficienteme nt e regolar e,

Consideriamo (e maggioriamo) alcuni addendi che compaiono nel te rmine di destra dell a disuguagli an za (5.20):

:s: Clh2r lu(0) I~ r (D )'

E 1 = 211(u - uh)(0) 1 1~2 (D)

Infine I E 4 (S ) -- Il o (u (s ) '"- Vh(S)) II V (D) :S: C 4 }i r IOu(s) -", -

ot

ot

Di conseguenza

E 1 + E 2 + E3 + E4

W( D)

.

:s: Ch 2rN(u),

dove N(u) e una fun zione opportuna dipendente da u e da ~~ e C una opportuna costante positiva. In questo modo, dalla (5.20) si ottiene la disuguaglianza t

II (u -

uh)(t) II~2 (D) +

20: j ll(u o

uh)(s) II~' (D)

ds

t

< ct> N(u) + 2C4h rj IO:(s) I II (u - uh)( s) IIV (D )ds. ot Hr(D) o

132

5 Equazioni parabolich e

Infin e, applicando it Lemma di Gronwall, (Lemma 2.2 nella form a ii)) otteniamo la stirna a priori dell'errore

Vt > 0, per una opportuna costante positiva C. Abbiamo dunque dimostrato che Uh converge a u con ordine h nella norma dello spazio (5.15).

t:

risp etto ad

5.4 Analisi di stabilita del 8-metodo Analizziamo ora la st abi lita del problem a totalmente discretizzato. Applicando it B-metodo al problema di Galerkin (5.6) si ottiene

(5.21 )

per ogni k :::: 0, con u~ = UOh; la notazione F k sta a significare che il fun zionale e valutato al tempo t k . Ci limiteremo al caso in cui F = 0 ed inizieremo a cons iderare il caso del metodo di Eu lero implicit o in cui B = 1, ovvero

( Scelto

Vh

k ) k+l - uh V Llt , h

uh

k+ 1 v ) = 0 + a (u h ' h

= U~+ l , si ottiene k 1 ( U h+ '

uk+l) h

+ Llt a (U hk+1 ' U hk+1)

=

(ukh» U hk + 1) .

Sfruttando ora Ie seguenti disuguaglian ze k 1 2 a(u kh+ 1 ' U hk + 1) > - a llu h + 11V'

derivanti la prima dalla coercivita della forma bilin eare a(·,·) e la seconda dalle disuguaglianze di Cau chy-Schwarz e di Young, otteniamo

(5.22) Sommando su ll'indice k da 0 a n - 1 deduciamo che n -l

Il uhll ~2(n) + 2aLlt ~ l lu~+l I I~ < Il uO hll ~2( n) ' k =O

5.4 Analisi di stabilita del O-metodo

133

Nel caso in cui f i=- 0, utilizzando il Lemma di Gronwall discreto (Lemma 2.3) si puo dimostrar e in mani er a analoga che

Iluhllr,2(!7) + 2aLl 0 fissato , lim

k ---7 OO

Ilu7,II V(!7) = 0,

ovvero il metodo di Eu lero all 'indietro e assolutarnente stabile senza che si debba fare alcuna ipotesi limitativa suI passo Llt. Prima di analizzare il caso gen erale in cui e un parametro arbitrario com preso tra 0 e 1, introduciamo la segu ente definizione. Diremo che il numero A e un autovalore della forma bilineare ai-, .) : V X V f---+ IR e che w E V ne e I' autofunzione associata se risulta

e

a(w,v) = A(W,V)

Vv

E

V.

Se la forma bilineare a(·,·) e simmetrica e coerciva essa ha infiniti autovalori reali positivi i qu ali forrnano una successione non limitata; inoltre Ie sue autofunzioni formano una base dello spazio V. Nel di screto gli aut ovalori e Ie aut ofunzioni di a(·, .) possono essere approssim ate cercando Ie coppie Ah EIRe Wh E Vh legate d all a relazione

(5.24) (5.24)

Dal punta di vista alge brico il problem a

si formula nel modo segu ente

Aw = AhMw, dove A e la matrice di rigidezza e ]\lIla matrice di massa, Trattasi pertanto di un problema gen eralizzato agli autovalori. Tali autovalori sono tutti positivi ed in numero pari ad N h (essendo, al solito, Nh la dimensione del sottospazio Vh); il piu gr ande, A;:h, verifi ca per Ni,

----+ 00 .

Inoltre Ie corrispondenti autofunzioni form ano una base per il sottospazio Vh e possono essere scelte in modo da essere ortonormali rispetto al prodotto scalar e di L 2(D). Cio signifi ca che, indicando con wI., I'autofunzione corrispondente all'autovalore A1, si ha (w1 ,wiJ = 6ij Vi, ] = 1, ... , N h . Pertanto ogni funzione Vh E Vh puo essere rappresentata nel modo seguente Nh

Vh(X) = LVj W~ (x) j =l

134

5 Equazioni parabolich e

e, grazie all'ortonorrnalita delle autofunzioni , H"

Il vhll [2 (S:? ) = ~

j=l

vJ.

(5.25)

Consideriamo ora B E [0, 1j arbit rario e limitiarnoci al caso in cui la form a bilin eare a(·, ·) sia simmetrica (in rea lta il risu ltato fina le di stabilita vale in generale, rna la dimostrazione che segue non sar ebbe applicabi le, in quanta le autofunzioni non formerebbero necessariamente una base). Siano {wn le autofun zioni (ortonormali) di a(·, .). Poiche u~ E Vh, possiamo scrivere H"

u~(x) = ~ uJwJ, (x) . j=l Osserviamo che in questo sviluppo di t ipo modale gli uJ non rappresentano piu i valori nodali di u~. Se ora nella (5.21) poniamo F = 0 e prendiamo Vh = w1, troviamo 1

H"

H"

k+ 1+ (1 B)k j ( j i )- O "' [u jk+1 - ujkj (wh,wh j i )+ "'[B 6.tL..J L..J u j - uj a wh,wh - , j=l j=l per ogni i = 1, ... , Nh. Per ogni coppia i,j = 1, ... , Ni, si ha

a(w~ , wI,) = A~ (W~ , wI,) = A~ 0 che appare nell'ultimo passaggio deriva dalla segu ente disuguaglianza iruiersa :

per la cui dimostrazione si rinvia a [QV94 , Cap. 3]. Pertanto, per h sufficientemente piccolo, .\~" :s: Ch- 2 . In realta mostrare che .\~" e effet t ivame nte dell'ordine di h - 2 , ovvero

SI

puo

Tenendo conto di questa fatto si ottien e che per 8 < 1/2 il metoda assolutamente stabile solo se

e

(5.26) dove C(8) indica una costante positiva dipendente da 8. Quest'ultima relazione implica che , per 8 < 1/2 , LIt non puo essere scelto arbitrariamente rna e limitato dall a scelt a di h.

136

5 Equazioni paraboliche

5.5 Analisi di convergenza d el O-metodo Per confronto fra la soluzione del problem a totalm ente discretizzato (5.21) e que lla del problema semidiscreto, uti lizzando opportunamente il risu ltato di stabilita (5.23), nonche l'errore di troncamento della discretizzazione in tempo, si puo dimostrare il segue nte teorema.

Teorem a 5 .1. N ell 'ipot esi che uo, f e La soluzi one esatt a siano sufji cienternente reqolari , vaLe La seguen te st ima a priori dell'error e: Vn ~ 1, n

lI u(t

n

)

- 11J:ll r2(.I'? ) + 2n Llt l )u(tk) - u7, l1~ : : : C(uo,!,u)(LltP(O ) + h2r ) , k= ]

dove p(B) = 2 se B -=I- 1/2 , p(I /2 ) = 4 e C opportun am ente dai su oi arqom enti.

e una

cos tante che dipende

Dirnostmzione. Per sernplicita, ci limiteremo a cons iderare il metodo di Eulero all'indietro (corrispondente a B = 1)

~(uk+ l Llt h

_ uk V ) h' h

k +1 v ) = + a(u h ' h

(fk +l V ) , h

(5.27)

Rim andiamo il lettore a [QV94, Sez. 11.3.1], per la dimostrazione nel caso genera le. Supponiamo inoltre, per sernp licit a, che a(·, ·) sia simmetrica, e definiamo l'operat ore di proi ezion e ortogonale Il[,h : V ----+ Vh : Vw E V, a(Il[,hW - W,Vh)

=

0

(5.28)

Utilizzando i risultati visti nel Capitolo 3, si puo facilmente dimostrare che esiste una cost ante C > 0 t. c., Vw E V n Hr+l(D) , (5.29) Osserviamo che

II primo t ermine puo essere stimato ricorrendo alla (5.29) . Per analizzare il secondo t ermine, posta E~ = u~ - IlLhu(tk) , ott eniamo (5.31 ) avendo posto, VVh

E Vh ,

5.5 Analisi di convergenza del O-metodo

137

ed avendo sfruttato sull'ultimo addendo l'ortogonalita (5.28) dell'operatore IIi h : La succ ession e { c~ , k = 0,1 .. .} soddisfa il problem a (5.31) che e del tutto simil e a (5.27) (pur di pr endere 5k+ 1 al posta di fk+ 1 ) . Adattando la stima di stabilita (5.23) , si ottiene, per ogni n 2": 1,

IIChll ~2(D) + 2aL1tf)c~ ll~ < C(t n ) (1Ic~ II~2(D) + tL1tI15k ll~2(D)). k=l

k=l

(5.33)

La norma associ at a all 'istante iniziale puo essere facilm ente stimata; se, ad esempio, UOh = Ilhuo e l'interpolato ad elementi finiti di Uo, utilizzando opportunamente le stime (4.68) e (5.29) otteniamo

Ilc~ I L2(D)


0, per x = 1, t > 0,

dove = o:(x) , Uo = uo(x) sono funzioni assegn ate e (3, " positivo).

7]

E 1Ft (con (3

5.7 Esercizi

141

a) Si provino esiste nza ed uni cita della soluzione debole al vari ate di "(, forn endo opportune lirnitazioni sui coefficienti ed opportune ipotesi di regolarita su lle funzioni 0: e uo. b) Si introduca la semidiscretizza zione spaziale del problema con il metodo di Galerkin-elementi finiti , e se ne faccia l'analisi di st abi lita e di convergenza. c) Nel caso in cui "( = 0, si approssimi 10 st esso problema con il metodo di Eulero esplicit o in tempo e se ne faccia l'analisi di st abilit a , 4. Si consideri il problema seguente: trovare u(x, t) , :s; x :s; 1, t 2": 0, t ale che

au at

ov + ax

_ °,

-

au v + o:(x)", - ,,((x )u = 0, uX v(l ,t) = (3(t ), u(O ,t) = 0, u(x ,O) = uo(x) ,

°< x < °< x < t

°

1, t > 0, 1, t

> 0,

> 0,

°< x
0, I ?: e f sono fun zioni di x e fj opportune, scelte in mo do da controllare la dist ribu zione dei vertici. Chiaramente esse dipenderanno dalla geometria di D;

Figura 6. 7. Triangolazione di un dominio non convesso . Ident ificazione della mappa alla frontiera e mesh ottenuta risolvendo il problema ellittico (6.1)

152

6 Gen erazione di gr iglie in 1D e 2D

si suddivide n in sotto-domini che vengono trian golati separatament e. Quest a tecnica e normalm ente conosciuta come generazion e strutturata a blocchi. Se si vuol e che la griglia globa le sia confor me, occorre prest ar e par ticolar e att enzione a come si dist ribuisce il numero di verti ci sui bordi delle interfacce tra i vari sot t o-domini. II problema puo divenire estremamente complesso qu ando il numero di sotto-domini e elevato. Per i dett agli si rim anda il let tore int eressato alla let ter atura specializzata gia citata. Met odi di generaz ione del tipo illustrato vengono chiamat i schemi ellittici di generazion e di griglia, poiche si basano sulla risoluzione di equ azioni ellit ti che , qu ali (6.1) e (6.2).

6.4 Generazione di griglie non strutturate Considereremo qui la genera zione di griglie non st rut t ura t e ad elementi triangolari. I du e algor it mi prin cip ali utilizzati per tale scopo sono la triangolazione di Delaunay ; la t ecnica di avan zam ento del front e. 6.4 .1 Triangolazione di Delaunay

Una t riangolazione di n punti di 1Ft2 si dice di Delaunay se il cerchio circoscritto a ciascun t riangolo non contiene alcun vertice al proprio interno (si veda la Fi g. 6.8) . Essa gode delle seguenti propriet a: 1. dato un insieme di punti , la triangolazione di Delaunay e un ica, a meno di sit ua zioni par t icolari in cui M pu nti (con M > 3) giacci ono su un a

circonferenza ; 2. t ra t utte Ie trian golazioni possibili , la t riangolazione di Delaunay e qu ella che massimi zza il minimo angola dei t riango li della griglia (propriet a di regolarit a max-min) ; 3. I'in sieme form ato dall 'unione dei triangoli e la figura convessa di area minima che ra cchiude I'insieme di punti dato (detto anche inviluppo convesso). La terza propriet a rende I'algoritmo di Delaunay inapplicabil e a domini non convessi, almeno nella sua forma ori gin ari a. Ne esiste pero un a vari ante , chiamata algoritmo di Delaunay vincolato (in inglese, Constrained Delaunay Tri an gul ation (CDT)) , che pe rm et t e di fissar e a-priori un insiem e di lati della griglia da genera re: la griglia risultan te associa cioe necessari am ent e tali lati a qu alch e t riangolo. In parti colare, si possono quindi imporre i lati che definiscono la fronti er a della griglia .

6.4 Gen er azion e di griglie non st r utt urat e

153

Figura 6.8. A sinist ra, un esem pio di griglia di Delaunay su un dominio convesso d i form a triangola re. Si puo facitme nt e verifi ca re che it cerchio circos cri t to a ciascun triangolo non cont iene al proprio interno nessun vertice dell a gr iglia . A d estra, invece , un particolare di un a griglia non sod d isfacent e la cond izione di Delaunay : it vertice P ca de infatti all'i nt ern o del cerch io circosc r it to al t riangolo K

Per meglio pre cisare il concet t o di trian golazione di Delaunay vincol ata, premet ti amo la seguente defini zione : dati due punti PI e P2 , dir emo che essi sono reciprocamente visibili se il segmento P IP2 non attraversa nessuno dei lati di fronti era (0, in generale, i lati che si vogliono fissare) . Un a t riangolazione di Delau nay vincolat a soddis fa la propriet a: I'int erno del cerchio circoscritto a ciasc un t riangolo K non cont iene alcun verti ce che sia visibil e da un punta interno a K. Si puo ancora dimostrar e che t ale t rian golazione e unica e soddisfa la proprie t a max-min. La tria ngolazione di Delaunay vincol ata non e quindi propriamente un a trian golazione di Delaunay poiche alcuni dei suoi t riangoli potrebbero cont enere vertici appartenent i all'insieme inizi ale. Comunque, i verti ci sono solo e solt anto quelli origin ali specificat i nell 'insieme, e non ne sono aggiunt i alt ri. Sono pero pos sibili due varianti: la t rian golazione di Delaunay conforme (0 Conforming Delau nay Tr ian gul ation) e la t ria ngolazione di Delaunay cinc olata conj orm e (0 Conforming CDT (CCDT)) . La prima e un a t riangolazione in cui ogn i tria ngolo e di Delaunay rna ove ogni lato da fissare puo essere ulteriorment e suddiviso in sotto-segment i; in t al caso nuovi vertici sono aggiunt i per ot t enere dei segment i piu cort i. I verti ci aggiunt i sono spesso necessari per ga rant ire il soddisfaciment o della propriet a di Delaunay e al t empo st esso ass icurare che ogni lato pre scritto venga corret tament e rappresent ato. La seconda vari ante rappresenta invece un a trian golazione in cui i triangoli sono di tipo Delaunay vin colato. An che in qu esto caso possono essere inseri ti nuovi ver ti ci, e i lati da fissar e posson o essere suddivisi in segmenti piu piccoli. In quest 'ult imo caso pero, 10 scopo non e di ga rant ire che i lati siano rispe t t ati rna quello di migliorare la qu alita dei t riangoli. Tr a i molteplici softw are disponibili per la generazione di griglie Delaunay, o di loro vari an ti , prendiamo in considerazione nel seguit o Triangle [She]. Esso consent e di generar e t riangolazioni di Delaunay, conformi 0 non , con la possibilit a di modular e la regolarita delle griglie risul t an ti in termini di angoli massimi e minimi dei t riangoli. La geomet ria viene passata in ingre sso a Triangle sot -

154

6 Gen erazione di griglie in 1D e 2D

to forma di un grafo, denominato P lanar Straight Line Graph (PSLG). Ta le codifica viene scritta in un file di input con suffisso . poly : esso contiene sostanzialmente una list a di vertici e lat i, rna puo anche includere informazioni su cavita e concavita prese nti nella geometria . Un esempio di file . poly e riportato nel seguito. # Una scatola con otto vertici in 2D, nessun attributo, un marker di bordo 8201 # Vertici della scatola esterna 1 0 0 0 2 0 3 0

3 3 0 0 4 3 3 0 # Vertici della scatola interna 5 1 1 0 6 1 2 0 7 2 1 0 8 2 2 0 # Cinque lati con un marker di bordo 51 1 1 2 5 # Lato sinist ro della scatola esterna # Lati della cavita' quadrata 2 5 7 0 3 7 8 0 4 8 6 10

5 6 5 0 # Un foro nel centro della scatola interna 1 1 1.5 1.5

L'esempio illustra una geometria rappresentante un quadrato con un foro quadrato al proprio int erno. La prima parte del file elenca i vertici mentre la seconda definisce i lati da fissare. La prima riga dichiara che seguiranno otto vertici, che la dimensione spaziale della grig lia e due (siamo in R? ), che nessun attributo e associato ai vertici e che un marker di bordo e definito per ciascun punto. Gli attributi rappresentano event ua li proprieta fisiche pertinenti ai nodi della mesh , come ad esempio dei valori di conducibilita, viscosita, et c. I marker di bordo sono invece dei flag a valor i interi che possono essere utilizzati all'interno di un cod ice di calco lo per assegnare opportune condizioni al bordo sui diversi vertici. Le righe seguenti riportano ordinatamente gli otto vertici, con Ie loro asciss e e ordinate, seguite dal valore del marker di bordo, zero in questa caso . Nella prima riga della seconda parte si dichiara che i lati che seguiranno sono cinque e che per ciascuno verra specificato il valore di un marker di bordo. Si succedono quindi i cinque lat i, specificati in base ai vertici estremi di ciascuno, e il valore del marker di bordo. Nell' ult ima sezione del file si definisce un foro sp ecificandone Ie coordinate del centro, nell'ultima linea , precedute dalla numerazione progressiva (in qu esta caso limitata a 1) dei fori.

6.4 Gen erazione d i griglie non strutturate

155

Figura 6.9. Tria ngolaz ione di Del aunay di un quadrato con foro quadrato : eDT a sini stra , eeDT a destra

La grig lia di Dela unay vincolata associata a questa geometria, diciamo bo x.poly , si ottiene con il com ando triangle -pc box

II parametro -p dichiara che il file di inp ut e un . p ol y, me ntre I'opzione - c previene la rimozione delle concavita, che altrimenti verrebbero elimina te au tomaticam ente. Di fatto questa opzione forza la triangolazione dell'inviluppo convesso del grafo PSLG. II risu ltato sara la creazione di tre file, b ox . 1. p oly, box. 1 . n od e e b ox . 1 . ele . II primo cont iene la descrizione dei lat i della triango lazione prodotta, il secondo quella dei nodi e I'ult imo definisce Ie connettivita degli elementi generati. Per brevit a non descriviamo dettagliatamente il formato di questi tre file. Osserviamo infine che il valore numerico , 1 in questa esempio, che separa il nom e di questi tre file da qu ello dei risp ettivi suffissi, gioca il ruo lo di un contatore di it erazioni: Triangle puo infatti successivamente raffinare 0 modificare Ie trian golazioni di volta in volta prodotte. La triangolazion e risultante e raffigurata in Fig. 6.9. Un software allegata a Triangle , denominato Show Me , consente di visualizzare gli output di Tr iangle. La Fig . 6.9 a sinistra si ottiene ad esempio tramite il comando showme box

Per ottenere una triangolazione vincolata conforme si deve sp ecificare il comando triangle con altri paramet ri, qua li -q, - a 0 -u. II primo impone un vinco lo di qualita suI minimo angolo, il secondo fissa un valore massimo per l'area dei triangoli, mentre il terzo forza la dim ensione dei trian goli, tipicamente tramite una function esterna che I'ut ent e deve fornire. A titolo di esempio, tramite il comando triangle -pcq20 box

si ottiene la triangolazione di Delaunay vincolata conforme riportata in F ig. 6.9 a destra, caratterizzata da un ango la minimo di 20° . In fine, la triangolazione di Delaunay conforme si ottiene sp ecificando ulteriormente I'opzione -D . Un esempio pili complesso e rappresentato in Fig. 6.10. II comando utilizzato triangle -pcaO.001q30 mox

156

6 Generazione di gr iglie in 1D e 2D

Fi gura 6.10 . Triangola zione d i Delau nay d i u n dominio d i forma complessa

fissa I'an golo minimo a 30° e l'area massirna dei triangoli generati pari a 0.001. I! file PSLG iniziale mox.poly de scrive la geometria median t e 474 vertici, alt rettant i lati e un a cavita, La mesh finale consta di 1595 verti ci, 2708 elementi e 4303 lati t otali di cui 482 suI bo rdo. Rimandiam o all'am pia do cument azione on-line e al dettagliat o help di Triangle per Ie ult eriori moltepli ci possibili t a di utilizzo del softwa re. Tornando aile pr opriet a delle griglie di Delaunay, la t riango lazione di Delaunay non permette di cont rolla re l'aspetto di form a dell 'elemento genera t o, prop rio per la propriet a di max-min sopra citata. D'altra par te, in certe sit ua zioni, puo essere utile generare trian goli "allungat i" in un a certa direzione , per esem pio per ben ra ppresent are uno strato limite (com e in F ig. 6.5) . A t ale scopo, e stato sviluppato I'algoritmo det to di triangolazion e di Delaun ay genemlizzata, in cui la condizione suI cerchio circo scritto viene sostit uta da un a condizione analoga sull'ellisse circoscritta al t riangolo in esame. In que sta modo , regolando opportunam ente la lun ghezza e Ie di rezioni degli ass i di tale ellisse si possono generare element i allungat i nella dir ezione volu t a. Gli algor it mi di generazione di griglie di Delaunay utili zzati piu corrent ement e sono di t ipo increm entale , cioe generano un a success ione di gr iglie di Delaunay agg iungendo un vert ice alia volt a. Bisogn a quindi trovare delle procedur e che forni scano i nuovi verti ci in accordo con la spaziatur a di griglia deside rat a , riu scendo ad arrestare t ale procedura nel momenta in cui la griglia cosl gene ra ta risulti soddisfacent e. Per ult eriori dett agli si pu o cons ultare, per esempio, [GB98] e [TSW99, Cap . 16]. Una descrizione det t agliat a delle pr opriet a geometriche della t riangolazione di Delaunay vin colat a , sia per domini di ]R2 che di ]R3, si puo t rovare in [BE92].

6.4.2 Tecnica di avanzamento del fronte Descriviamo a gra nd i linee uri'altra fra Ie tecniche piu comunement e usate per la generaz ione di griglie non strutturate, quella di avan zam ento del front e. Un

6.4 Generazione di griglie non strutturate

157

ingredi ente necessario e la conoscenza della spaziatura desid erata per gli elementi della griglia che dov ra essere generata. Supponiamo allora che su D sia definit a un a funzione H , detta di spaziatura, che forni sca per ciasc un punta P di D le dimen sioni dell a griglia ivi desiderat a, ad esempio, tramite il diametro li« degli element i che devono essere generati in un intorno di P. Se si volesse controllare anche l' asp etto di form a degli elementi generati, H avra un a forma pill complessa. Di fat to sa ra un tenso re simmet rico definito po sitivo, cioe H : D ----+ jR 2 x 2 tale per cui, per ogni punto P del dominio, gli autovet t ori (perpendicolari) di H inidividuano la dir ezione di massimo e mini no allungamento dei trian goli che dov ranno essere genera t i nell'in torno di P , ment re gli aut ovalor i (pill preci samente le radici qu ad ra t e degli inver si degli aut ovalor i) caratt erizzano le due corr ispondent i spaz iat ur e (si ved a [GB9S]). Nel seguito consi dereremo solo il caso in cui H e un a funzione sca lare. La prima oper azione da compiere e qu ella di generare i vertici lungo la fron t ier a del dominio. Supponiamo che aD sia descrit t a come l'unione di cur ve par ametriche gi( 8), i = 1, .. . N, per esempio splines 0 spezzate poli gon ali . Per sernplicita si ass ume che, per t ut t e le curve, il par ametro 8 vari tra 0 e L Se si desid erano generare N, + 1 ver ti ci lun go la cur va gi e sufficient e creare un verti ce per t utti i valori di 8 per cui la fun zione

ass ume valori interi. Pill precisamente, le coordinate curvilinee genera re lungo la cur va gi soddisfano le relazioni J.

= 0 , . . . ,Nt . con i vincoli

8(Z0)

8; j )

dei nodi da

= 0 ' 8 (Ni ) = 1 1,

•

La procedura e analoga a quell a descri t t a nella Sez. 6.1. Si osservi che il termine I ~~i I t iene cont o dell a metrica intrinseca della cur va. Fat to qu esto , puo avere inizio il pro cesso di avanzarnent o del fron te. Esso e descri t to da una struttura dati che cont iene la list a dei lati che definiscono la frontiera t ra la porzione di D gia tria ngolata e quella ancora da trian golar e. All 'inizio del pro cesso il fron t e cont iene i lati di fron ti era. Duran te il pro cesso di generazione della griglia , ogni lato del fron te e disponibile per creare un nuovo eleme nt o, che viene cost ruit o connet t endo illato scelt o 0 con un vertice della gr iglia gia esist ente 0 con un nuovo vertice. La scelt a se utili zzare un vertice esist ente 0 crea rn e uno nuovo dipende da diversi fattori, tra cui la cornp atibilit a tra la dimensione e la form a dell'elemento che verrebbe generato con qu elle forni te dall a fun zione di spaziatura H . Inoltre, il nuovo element o non deve int ersecare alcun lato del fronte. Una volt a genera t o il nuovo elemento, i suoi lati nuovi verranno "aggiunt i" al front e in modo che que st 'ultimo descriva la nuova fron tiera t ra la part e t riangolata e non , mentre il lato di partenza viene rimosso dalla list a dati. In questo modo , duran t e il pro cesso di generazione, il fron t e avanzera dalle zone gia t riangolate verso la zon a ancora da trian golare (si ved a la Fig. 6.11).

158

6 Gen er azione di gr iglie in ID e 2D

Figura 6.11. Avan zamento del fro nt e. La parte d i domi nio gia t r iangolata ombreggia t a

e stata

L' algori tmo generale di avanzament o del fronte consta quindi dei seguent i passi: 1. definir e la fronti era del dominio che deve essere trian golato; 2. inizializzare it fronte come un a cur va linear e a t ra tti conform e al bordo; 3. scegliere illato che deve essere eliminat o dal fronte in base a qualch e cr iterio (t ipicamente la scelta di quello di minor lun ghezza produce mesh di buona qu alita): 4. per illato, diciamo AB , cost scelt o: a) seleziona re it verti ce "pote nziale" C, cioe que I punta all' int erno del dominio dist an te da AB secondo qu anto definito dalla funzione spaz iatura 'H desiderata; b) cercare un eventuale punto C ' gia esistente nel fronte in un intorno opportuno di C . Se la ricerca ha successo, C' divent a il nuovo punta po tenzi ale C. Con tinuare la ricerca; c) st abilire se it triangolo ABC int erseca qu alch e alt ro lato del front e. In caso positivo, selezionare un nuovo punta potenzi ale dal fronte e rip ar tite dal punta 4.b); 5. aggiungere il nuovo punta C , i nuovi lati e il nuovo t riangolo ABC aile corrispondent i list e; 6. ca ncellare illato AB dal fronte e agg iungere i nuovi lati; 7. se il fronte e non vuo to , continuare dal punto 3.

E ovvio che se si desidera avere un costo computazionale lineare in fun zione del numero di element i generati, bisogner a rendere le op erazioni sopra descrit t e it pili possibile ind ipendenti dalle dimensioni della griglia che si st a generando e, in particolare, dalle dimensioni del fronte avanzant e. Un tale obie t tivo e t utt 'altro che ban ale sopratt ut t o se si pen sa che ope ra zioni come il controllo dell'intersezion e di un nuovo t riangolo 0 la ricer ca dei vertici del fronte vicini a un generico punto scor rono, a priori, t utto it front e. Si rim anda per qu esti aspetti alia letteratura specializzata, e in par ti colar e ai Cap . 14 e 17 di [TSW99].

6.5 Tecn iche di regolarizzazion e

159

Figura 6.12. Tecn ica di avanza me nt o del fronte. Esem pio d i spaziat ura non uniforme

Com e gia accennat o nella descrizione dell'algoritmo, la qu alit a della griglia genera ta dipende dall a pro cedura di seeIt a del lato del fronte su cui genera re il nuovo triangolo. In particolare, un a t ecnica frequentement e adottata cons ist e nello scegliere il lato di lunghe zza inferiore: intuitivamente , que sto permette di sodd isfare requi siti di spaziatur a anche molto non uniformi , sen za correre il rischio che Ie zone ove e richiesto un maggior addensament o di nodi ven gano sovrascrit t e da triangoli associati a zone a spaziatura pili lasca . Un esempio di mesh ottenuta mediante t ale tecni ca , in corrispondenza dell a scelta 'Hi », y) = e 4 sin(87fX)e -2y , e rappresentato in Fig. 6.12. Implem ent ando gli opportuni accorgime nt i e st ruttur e dati adeguat e, I'algorit mo di avanzament o forni sce un a griglia la cui spaz iatura e coere nte con quella richi est a , con tempi di genera zione pr essoche proporzionali al numero di elementi genera t i. In parti colare, la griglia attorn o al profilo alare di Fi g. 6.5 e stata ottenuta usando un algorit mo di avanzament o del fronte , accoppiata a un a t ecnica di st ima dell 'errore a po st eriori. La tecnica di avanzament o del fron t e puo essere anche utili zzat a per la genera zione di griglie ad elementi qu ad rangolari.

6.5 Tecniche di regolarizzazione Una volt a generat a la griglia , puo rendersi necessario un po st-processing in gra do di miglior arne la regolarita , Alcuni metodi consent ono di trasformare la griglia mediante operazioni che miglior ano la form a dei triangoli. In parti colare prenderemo in con siderazione te cniche di regolarizzazione che modificano Ie caratt erist iche topologiche della gr iglia (scambio delle diagon ali) e altre che ne modificano Ie car atteristiche geometriche (spost am ento dei nod i).

160

6 Generazione di gr iglie in 1D e 2D N2

N2

K1

NI

N3

e

NI

K2

N4 b)

a)

Figura 6.13. Le d ue configuraz ioni ottenu t e tramit e 10 scambio della di agon ale nel qu ad r ila tero convess o formato d a du e ele me nt i adiacenti. Le due configurazioni vengono co nfro ntate s ulla b ase d i un criterio d i ot t im al it a

6 .5 .1 Scambio delle diagonali

Lo scambio delle diagon ali e un a tecnica che consente di modifi care la t opologia dell a griglia senza cambiare la posizione e il num ero dei suoi verti ci. Tale t ecnica si basa suI fat t o che un qu adrilat era, costit uito da du e t riangoli avent i un lato in comune, puo essere suddiv iso in una coppia di t riangoli in du e modi diversi (si veda la Fi g. 6.13). In genere 10 sca mbio delle di agon ali viene utilizzato per migliorare la qu alit a delle griglie non strut t urate seguendo un criterio di ottirnalita prefissato. Se l'obiettivo, per esempio, e quello di evitare angoli t ra ppo gra ndi, un cr ite rio possibile e quello di effet t uare 10 scambio nel caso in cui la somma degli angoli opposti alla diagon ale sia maggior e di 1T. Uno schema generale per un possibile algorit mo di scambio delle diagon ali si ot tiene definendo il crit erio di ottirnalita a livello di elemento , sot t o form a di un 'apprapriat a fun zione non negativa S : K ----+ jR+ U {O} che ass ume il valore nullo nel cas o in cui I'elemento K abbia la form a e la dimensione "ot t imale". Per esempio, si puo usar e

S(K )

_I IKI _ J31 - 2::=1 leI"12 12 '

er

(6.3)

dove IKI indica la misura di K , ra ppresent a un generico lat o di K e jeri ne e la sua lunghezza. Ut ilizzan do qu est a funzione si privilegiano i t riangoli "vicini" al trian golo equil atera, per il qu ale S(K) = o. Si otterra quindi , in genera le, un a griglia la piu possibile regolare, che non t iene conto pe ro della spaziatura. Con riferimento alla F ig. 6.13, I'algori tmo procedera quindi come segue: 1. cieJo 0: met tere a zera il contatore di lati scambiati: swa p = 0; 2. percorrere t utti i lati e interni della mesh corrent e;

6.5 Tecn iche di regolarizzazion e

161

3. se i du e triangoli adiace nt i a e forman o un qu adrilatero convesso: a) calcolar e G = S 2(K 1 ) + S2(K 2) - [S 2(K j) + S 2(K2' )J; b) se G 2': T , con T > 0 to llera nza prefissat a , allora eseguire 10 scambio della diagon ale (e quindi modi ficar e la gr iglia corrent e) e porre swap = sw ap + 1; 4. se swap> 0 ripartire da Cicio o. Alt rimenti la procedura te rm ina. Si puo verificar e facilm ent e che questa algorit mo termina necessari am ente in un numero finito di passi perche, ad ogni sca mbio di diagon ale, la qu an ti t a positiva LK S 2(K) , dove la somma si estende a t utti i triangoli dell a griglia cor rent e, si riduce dell a qu an tita finit a G (si noti che , sebbe ne la gr iglia venga modifi cata, ad ogni scambio di diagon ale il numero di elementi e di lati rim ane invari at o) .

Osservazione 6.2. Non sempre e opportuno costru ire la fun zione di ot tirn alit a S a livello di element o. In fun zione della st rut t ure dati a disposizione, per

esempio, S puo anche essere associata ai nodi

0

ai lati dell a griglia .

•

La tec nica di scambio delle diagon ali e anche alla base di un algor it mo molt o utilizzato per la trian golazione di Delaunay (l'algoritmo di Lawson). Si puo infat ti dimost rare che , a par ti re da qualunqu e t riangolazione di un dominio convesso , si pu o ot t enere la corr ispo ndent e t riango lazione di Delaunay (che, ricordiamo, e uni ca) attraverso un numero finito di sca mbi di diagonale. In olt re, il numero massimo di scambi necessari a tale scopo e det erminabile a priori ed e fun zione del numero dei vertici dell a gr iglia . La te cnic a (e i risult ati di convergenza) e este ndibile a triangolazioni di Delaunay vin colate, attraverso un a oppo rtuna modi fica dell'algori tmo. Si rim anda alla let ter atura specia lizzata, per esempio [GB9S], per i dettagli. 6 .5 .2 Spostamento dei nodi Un altro metodo per miglior ar e la qu alit a della gr iglia consist e nello spostare i punti della st essa senza modifi carne la topologia. Conside riamo un vertice int erno P e il poligono K p costi tuito dall 'unione degli elementi della gr iglia che 10 cont engono. L'insieme K p e spesso chiamato "pat ch" di element i associato a P ed e gia stato considera to nella Sez. 4.6. Una tecnica di regolar izza zione, detta regolarizzazion e laplaciana , 0 baricent rizzazione , consist e nello spost ar e P nel bari centro di K p , cioe nel ca lcola rne la nuova posizione Xp nel modo seguente:

xp =

IKpl-1l

xdx Kl'

(si ved a la Fi g. 6.14) . Tale pro cedimento and ra ovviam ente reiterato su t utt i i vertici interni dell a reticolazione e ripetuto diverse volte. A convergen za, la griglia finale e quella che minimizza la qu antita

L 1 (x j- P

Kl'

x )2dx,

(6.4)

162

6 Generazione di gr iglie in 1D e 2D

Figura 6 .14. Sp ost amento di u n punt o nel baricen tro del poli gon o convesso form ato d agli eleme nti ad esso adiacenti

dove la somma si estende a t utti i verti ci interni della gr iglia . II nom e di tale procedura deriv a dalla not a propriet a delle fun zioni armoniehe (aventi Lapl acia no nullo) di ass umere in un punto del dominio un valor e pari a quello della medi a su un a cur va chiusa cont enent e il punto. La griglia finale , in generale, dipendera dal modo in cui i verti ci vengono percor si. Si noti inoltre che tale pro cedura puo fornire un a griglia inaccettabile se K p e un poligono concavo in qu anto x p puo cadere fuori dal poligono . Presenti amo qu indi un'estensione della pro cedura per pat ch generiei. Consideriamo la Fi g. 6.15 che mostra un pat ch K p conca vo. Definiamo Cr il luogo dei punti di K p "visibili" da t ut ta la frontier a di K p , cioe Cr = {A E K p : AB c K p , VB E aK p } ; esso e sempre convesso. La modi fica dell'algoritmo di regolari zzazione consi ste nel collocare P non nel baricentro di K p ma in quello di Cp , come illustrato in Fig. 6.15. Chiarament e, nel caso di pat ch convessi, si ha Cp = K p . La cost ru zione di Cp puo essere eseguita in mani er a computazionalment e efficiente usando opportuni algorit mi, la cui descrizione esul a dallo scopo di que sto libro.

Figura 6.15. Modifi ca dell 'algor it mo d i regol ari zzazione laplacian a per pat ch concavi. A sinist ra il "pat ch" inizi ale ed a destra la modifi ca dovut a alia regolarizzazion e. Si e indicato con ombreggiatura il poli gono concavo C»

6.5 Tecn iche di regolarizzazion e

163

Figura 6.16. Esempio di regolari zzazione at t raverso scambio delle diagonali e spostamento de i nod i

Un'alt ra po ssibili t a cons ist e nello spostare il vertice nel baricentro del bordo di K p (0 di Ce nel caso di patch concavi) , cioe di porre

Cio equivale a minimizzare il qu adrato della dist anz a del ver ti ce P dai lati che form ano il bordo del pat ch. Un'ul t eriore tecnica, che si t rova sovent e in letter atura , consist e nello spost are ciasc un verti ce interno nel baricentro dei vertici ap part enent i al patch associato, cioe di ca lcolare la nuova po sizione di ciascun vertice interno P tramit e

dove la somma si estende a t utti i vertici N appartenent i al patch . Nonost ant e que st a sia la metodologia pili sem plice, essa spesso non da buoni risultati , in parti colare se la distribuzione dei vert ici all'intern o del patch e molto irregolareo Inol tre e pili difficile estenderla a patch concavi. Sono quindi da preferirsi le du e pro cedure descritte in preceden za. In Fi g. 6.16 e presentato un esempio di applica zione successiva di entrambe le t ecniche di regolari zzazione appena descri tte. Si osservi che gli algorit mi di regolari zzazione qui pr esent ati t endono ad uniformar e la griglia e quindi a distruggerne infittimenti 0 dir ad am enti dovu ti ad esempio a pro cedure di adattivita di griglia come quelle de scritte nel Capitolo 4. E t ut tavia possibile modificarli per t enere conto di un a spaziatura non uniforme. Per esempio, si puo utilizzar e un a bar icent rizz azione pesat a , cioe porre

Xp = ( l 11 (X) dx ) - 11 ICp

J1(x)xdx , ICp

dove la fun zione peso J1 e un a fun zione st rettamente po siti va che dipende dalla funzione di spaz iatura della griglia. Nel caso di spaz iatura non uniforme, 11 ass umer a valori pili elevat i nelle zone dove la griglia deve essere pili fitt a. Scegliendo

164

6 Generazione di gr iglie in 1D e 2D

ad esempio /1 = (i -I la gr iglia risultante minimizza (in mod o approssimato)

dove la somrna si est ende ai ver ti ci int erni. An che per qu anta rigu ard a la procedura di sca mbio delle diagon ali si puo t enere cont o dell a spaziat ura nella valu t azione dell a configurazione "ot t imale", per esempio cambiando opportunamente la defini zione dell a funzione S(K) in (6.3).

7

Algoritmi di risoluzione di sistemi lineari

Un sistema di m equazioni lineari in n incognite algebriche della forma

e un

insiem e di relazioni

n 2..: a i j X j

= bi ,

i

= 1, .. . ,m

(7.1)

j =l

essendo Xj le incognite, a ij i coefficienti de l sistema e b, i termini noti. II sistema (7.1) verra pill comunemente scritto nella forma matriciale Ax = b ,

(7.2)

avendo indicato con A = (a ij) E jRm x n la matrice dei coefficienti, con b= (bi ) E jRm it vettore termine noto e con X= ( X i ) E jRn it vettore incognito. Si dic e soluzione di (7.2) una qualsiasi n-up la di valori X i che verifichi la (7.1). Nelle prossime sezioni richiamiamo alcune tecniche numeriche per la risoluzione di (7.2) nel caso in cui m = n; supporremo ovviamente che Asia non -singo lare, cioe che det(A) i=- O. Rimandiamo per ult eriori approfondimenti a [Q8808, Cap. 3 e 4], e a [8aa96]. Facc iamo presente che risolvere un sistema lineare con la rego la di Cramer richiede un costo computazionale de ll'ordine di (n + I)! op erazioni, del tutto inaccettabile in quanto anche su calco latori in grado di effet t uare 109 operazioni aritmetiche (nel seguito indicate con flops , floating point op erations) al secondo, si impiegh erebbero 9.6· 1047 anni per riso lvere un sistema lineare di sole 50 equazioni. Per questo motivo sono stati svi luppati metodi numerici alternativi alia regola di Cramer, che vengono detti diretti se conducono alia soluzione de l sistema con un numero finito di op erazioni, od it erativi se ne richiedono (t eoricamente) un numero infinito.

Quarteroni A.: Modellistica Nu merica per Problemi Differe nziali, Sa edizione, Unit ext - La Matem atica per il 3+2. DOl 10.1007/978-88-470-2748-0_7, © Spr inger-Verlag Italia 2012

166

7 Algoritmi di risoluzione di sistemi lineari

7.1 M etodi diretti La riso luzione di un siste ma linear e puo essere effet t uat a tramite il metodo di eliminazione di Gauss (MEG) nel quale il sistema di partenza , A x = b, viene ricondotto in n passi ad un sistema eq uivalente (avente cioe la stessa soluzione) della forma A (n ) x = b (n ) dove A (n ) = V e una matrice triangolare superiore non sin golar e e b (n ) e un nuovo termine noto. Qu est 'u ltimo siste ma potra essere riso lto, con un costo computazionale dell'ordine di n 2 op erazioni, con il seguente algoritmo delle sostituzioni all'indietro: b~n)

Xn

Xi

= --, Un n

=

1

u . n

(b~n) -

t

(7.3) i

Uij Xj ) ,

=

n -

1, . .. ,1.

j =i+ l

Ind icando con A (1 )x = b (1) il sistema originario, nel MEG il passaggio dalla matrice A (k) alia matrice A (k H ) si ottiene tramite Ie segu enti formu le i

= k + 1, ... , n ,

i ,j =k +1, ... ,n i

(7.4)

= k + 1, ... , n.

Facciamo notare che in questa modo gli elementi a~~+l ) con i = k e j k + 1, ... ,n ris ultano nulli. La matrice A (Hi) ha pertanto l'aspetto indicato in Fig . 7.1. Gli elementi m ik sono detti i moltiplicatori, mentre i denominatori ak~ sono gli elem enti pivotali. Ovviamente il ME G puo essere condot to a buon fine solo se gli element i pivotali risu ltano tutti non nu lli. Mat rici per Ie quali cio avvi ene cert amente sono, ad esempio, qu elle simmetriche definite positive e Ie matrici a dominanza diagonale st ret ta. In generale occorrer a ricorrere alia tecnica di pivota zione (pivoting) , ovvero alia scambio di righ e (e /o colonn e) di A (k ) , in modo da ass icurare che I'element o pivotale ak~ sia non nullo. Per portare a termine I'eliminazione di Gauss servono 2(n - l )n (n + 1)/3 + n(n - 1) flops (floating point operations) , cui van no aggiunti n 2 flops per riso lvere il sistema t riangolar e V x = b (n ) con il metodo delle sostituzioni all'indietro. Servono dunque circa (2n 3 /3 + 2n 2 ) flop s per riso lvere il sist ema linear e attraverso il MEG. Pili semplicemente, trascurando i termini di ordine inferiore rispetto a n, si puo dire che il processo di eliminazione ga ussiana richiede 2n 3 /3 flops. Si puo verificar e che il MEG equivale a fattorizzar e la matrice A ossia a scrivere A come il prodotto LV di du e matrici. La matrice V , triangolar e superiore,

7.1 Metodi diretti

167

) u (k kk

o

k

Figura 7.1. La matrice A ( k) nel metodo di eliminazione di Gau ss

coincide con la matrice A (n) ot tenuta al t ermine del processo di eliminazione. La matrice L e triangola re inferiore, i suoi element i diagon ali sono pari a 1 mentre sono ugu ali ai moltiplicatori nella rest ant e porzione triangolare inferiore. Una volt a note Ie matrici L ed U, la risolu zione del sist ema linear e di par tenz a comport a semplicement e la risoluzione (in sequenza) dei du e sist emi t riangolari Ly

= b , Ux = y .

Ovvi am ent e il cost o com putaziona le del processo di fat torizzazion e e 10 st esso di qu ello richiesto dal MEG . I vantaggi di qu est a reint erp ret azion e sono palesi: poiche L ed U dip endo no dalla sola A e non dal t ermine not o, la st essa fattorizzazione puo essere utilizzat a per risolvere diversi sist emi lineari sempre di matrice A, rna con termine noto b vari abil e (si pensi ad esempio alla discretizzazione di un problema par abolico lineare nel qu ale ad ogni passo temporale e necessario risolvere un sist ema sempre con la st essa matrice, rna diverso t ermine nota) . Di conseguenza, essendo il cost o computaziona le concentrato nella procedura di eliminazione (circa 2n 3 / 3flops) , si ha in questo modo un a considerevole riduzione del numero di op er azioni qu alora si vogliano risolvere piu sist emi lineari avent i la st essa matrice. Se A e un a matrice simmetrica definita posit iva, la fattorizzazione LU puo essere convenient emente spe cializzata. Esiste infat ti un 'unica matrice t riangolare superiore H con eleme nt i positivi sulla diagon ale t ale che

(7.5)

168

7 Algoritmi di risoluzione di sistemi lin eari

La (7.5) e la cosiddet t a fattorizzazione di Chol esky. Gli element i h i j di H T sono dati dalle formul e seguent i: hI 1 = yau e, per i = 2, . . . , n j

=

1, . . . , i -I,

Questo algoritmo richiede circa n 3 /3 flops con un risparmio, rispetto alla fattorizzazione LV , di un fattore 2 nel tempo di calcolo, e circa meta della memona. Con sideriamo ora il caso particolar e di un sistema lineare con matrice tridiagonale non sin golar e A della forma a1

Cl

b2

a2

A=

0

0 Cn- l

bn

an

In tal caso Ie matrici L ed V della fattorizzazione LV di A sono du e matrici bidiagonali del tipo

L=

1 (32

o

0

1

al

1

0

a2

V= (3n

Cl

0

Cn -l

an

I coefficienti a i e (3i incogniti, possono essere calcolati facilmente tramite Ie seguenti equazioni :

Qu esto algoritmo prende il nom e di algoritmo di Thomas e puo essere visto come una particolare forma della fattorizzazione LV sen za pivotazione.

7.2 Metodi iterat ivi I metodi it er ativi mirano a cost ruire la soluzione x di un sistem a linear e come limite di un a successione {x(nJ} di vettori. Per ottenere il singolo element o della

7.2 Metodi iterat ivi

169

success ione e richiesto it calcolo del residuo r (n ) = b - Ax(n) del sist ema. Nel caso in cui la matrice sia piena e di ordine n , it costa comput azionale di un metodo it erativo e dunque dell'ordine di n 2 op erazioni per ogni it erazione, cost a che deve essere confrontato con le 2n 3 /3 operazioni richieste approssimativamente da un metodo diretto. Di conseguen za, i metodi iterativi sono competitivi con i metodi diretti soltanto se il nu mero di iterazioni necessario per raggiungere la convergenza (nell' ambito di un a to lleranza fissata) e indipendente da n 0 dip ende da n in modo sublinear e. Altre considerazioni nella scelt a tra un metodo it er ativo ed un metodo diretto entrano in gioco non appena la matrice e sparsa. Una strategia generale per costruire met odi iterativi e basata su una decomposizione additiva, detta splitting, della matrice A della forma A=P - N, dove P e N sono du e matrici opportune e P enon singo lar e. Per ragioni che risu lteranno evide nt i nel seguito, P e detta anche matrice di precondizionamento o precondizionatore. Precisamente, assegnato x (O) , si ottiene x (k ) per k > 1 riso lvendo i nuovi sistemi P X (k+l ) 0,

=

N x( k)

+b,

k ~ 0

(7.6)

equivalente mente, (7.7)

avendo ind icato con B = p - 1 N la matrice di itera zione. Siamo int eressati a metodi iterativi convergenti ossia t ali che lim

k ---> oo

per ogn i scelta del vettore iniziale x (O) , avendo ind icato con l'errore. Poiche con un argomento ricorsivo si trova 'Vk

= 0, 1, .. .

e (k)

=

e (k )

= 0

x (k ) -

x

(7.8)

Si puo conclude re che un metodo it erativo della forma (7.6) e convergente se e solo se p(B) < 1, essendo p(B) it raggio sp ettrale della matrice di iterazione B, ovvero il massimo mod ulo degli autovalor i di B. La (7.6) puo anc he essere posta nella forma (7.9) avendo indicato con

(7.10) il vettore residua al passo k. La (7.9) esprime dunque il fatto che per aggiornare la soluzione al passo k +1 , e necess ario riso lvere un sistema lineare di matrice P. Dunque P, oltre ad essere non singo lar e, dovra essere invertibile con un basso cost a comput aziona le se non si vuo le che it costa complessivo dello schem a

170

7 Algor it mi di risoluzion e di sist emi lin eari

aume nt i eccessivame nte (evident em ente, nel caso lim it e in cui P fosse ugu ale ad A e N= O, il metodo (7.9) convergere bbe in un a sola it er azion e, rna col costo di un metod a diret t o) . Vediamo ora com e accelerare la conv er gen za dei metodi ite rativi (7.6) sfrut tando I'ul tima form a introdot t a. Indichiamo con

R p = I - P -1A la matrice di iterazione assoc iata al metoda (7.9). La (7.9) pu o esse re generalizzata introducendo un opportuno par ametro di ril assamento (0 di acce lerazione) D:. Si ottengono in t al modo i m etodi di Ri chardson staziotuiri (d et ti pill sem plicement e di Ri chardson) , della form a k ? O.

(7.11)

Pill in generale, supponendo D: dipendente d all 'indice di iterazione , si ot tengono i metodi di Ri chardson non stazionari d ati da k ? O.

La matrice di iterazione al passo k-esimo per t ali metodi

(7.12)

e dat a da

(si noti che essa d ip ende da k) . Nel caso in cui P=I, i metodi in esame si diranno non precotidizionaii. Possiamo riscrivere la (7.12) (e quindi anche la (7.11)) in un a form a di grande int eresse com putazionale. Po st o infat ti z (k ) = p -1r(k) (il cosiddetto residue precondizionato) , si ha che x (k+ 1) = x (k ) + D:k Z( k) e r (k+ 1) = b - Ax(k+ 1) = r (k) - D:k A z (k ) . Ri assumendo, un metoda di Ri chard son non stazionario al passo k + 1-esimo richiede Ie seguenti operazioni : risolvere il sistema lineare

pz (k )

= r (k),

ca lcolar e il param et ro di accelerazione agg iornare la soluzione

x (k +l )

=

x (k )

agg iornare il residuo r (k+ 1) = r (k) -

D:k ,

+ D:k Z (k) ,

(7.13)

D:kAz (k ).

Per qu an ta riguarda la convergenza per il metoda di Ri chardson stazionario (p er il qu ale D:k = D:, per ogni k ? 0) vale il seguent e risul t ato:

7.2 Met odi it er ati vi

171

P r oprie t a 7.1. S e P e una matrice non singolare, il m etodo di Richardson stazi onario (7.11) e conve rgente se e solo se Vi = 1, . . . ,n,

(7.14)

essendo Ai gli autovalori di p - 1 A. S e in oltre si suppone che p - l A abbia autoualori reali positivi, ordiruiti in modo che Al 2":: A2 2":: . . . 2":: An > 0, allora, il m etoda siazion ario di R ichardson (7.11) conve rge se e solo se 0 < Q < 2/A l . Posto

2 il raggio spett rale della m airice di iierazione R a con

(7.15)

e m inimo

se

Q

=

Cl:apt ,

(7.16) Se p - l A e simmet rica defini t a positiva , si puo dimostrare che la convergen za del metoda di Richardson e mono tona risp et to aile nor me vet toriali I . 1 2 e I · Ik Ricordiamo che I vl1 2= (2:7=1 vl) l j2 e Ilvii A = (2:~j= 1 Vi ai jVj ) l j2 . In tal caso, gra zie alia (7.16) , possiamo met t ere in relazione Popt con il numero di condiziona ment o int rodotto nella Sez. 4.5.2 nel modo seguent e: Popt

=

K 2 (P- l A) - 1 K 2 (P- l A) + 1'

(7.17)

Si comprende dunque qu anto sia importante la scelt a del pre condi zion atore p in un metoda di Richardson . Rim andiamo al Cap . 4 di [QSS08] per alcuni esempi di precondizion atori. L'espressione ottimale del par ametro di accelera zione a , indi cata in (7.15) , risul t a di scarsa utilita pr ati ca, richi edendo la conoscenza degli aut ovalori massimo e minimo della matrice p -l A. Nel caso par ti colar e di matrici simmet riche definite positive, e t uttavia possibile valu t ar e il par am etro di accelera zione ott ima le in modo dinamico, ossia in funzione di qu antit a ca lcolate dal metoda stesso al passo k , come indichiamo nel seguito. Osser viamo anzit ut t o che, nel caso in cui A sia un a mat rice simmetrica definit a positiva, la risoluzione del sist ema (7.2) e equivalente a t rovare il punta di minimo x E IRn della form a qu ad rati ca

detta ene rgia del sis tem a (7.2).

172

7 Algor it mi di risoluzion e di sist emi lin eari

II problem a e dunque rico ndot to a det erminare il punto di minimo x di partendo da un pu nta x (O) E JFtn e, conseguentem ente, scegliere opportune dir ezioni lungo le qu ali muover si per avvicinarsi, it piu rapidament e possibile, alla solu zione x . La direzione ot timale, congiunge nt e x (O) ed x , non e ovvi amente nota a priori: dovremo dunque muoverci a par tire da x (O) lun go un 'altra dir ezione d (O) e su questa fissare un nuovo punto x (1 ) dal qu ale ripetere il procedimento fino a convergenza . Al generico passo k det ermineremo dunque x (k +l ) come

t[>

(7 .18)

essendo Qk it valore che fissa la lunghezza del passo lungo d (k). L'idea piu naturale , che con siste nel prendere come dir ezione di dis cesa quell a di massim a pendenza per t[>, dat a da r (k ) = - 'V t[>( x (k») , conduce al m etodo del gmdien te 0 metodo steepest descent. Esso da luogo al seguent e algorit mo: dato x (O) E JFtn, posta r (O) = b - Ax(O), per k = 0, 1, . . . fino a convergenza, si calcola r (k )T r (k ) Qk -

r (k )T Ar (k ) ,

r (k + l )

=

r (k ) - Q k A r( k).

La sua version e precondizionat a ass ume la form a seguent e: d ato x (O) E JFtn , po sta r (O) = b - Ax(O), z (O) = p - 1r (O), per k = 0,1 , ... fino a conve rgen za si calcola

Qk

=

r (k + l )

Z (k )T r (k ) z (k )T AZ (k ) ,

=

x (k +l )

r (k ) _ QkAz (k ) ,

=

x (k )

+ Q k Z (k) ,

pz (k + l )

=

r (k +l ).

Per qu anta rigu ard a le proprieta di convergen za del metodo del gra d ient e, vale il seguente risult ato : Teorema 7.1. Sia A sim m eirica e definita posit iva, allora il m etoda del gradiente conv erge per ogni ualore del data iniziale x (O) e 2 ) - 11 1 (k)11 IIe (k+l)11 A -< KK 2 (A (A) + 1 e A,

dove

II . IIA

k = 0, 1, . ..

e La norma dell 'en erqia precedeni em enie definita.

(7.19)

7.2 Met odi it er ati vi

173

An alogo risul t at o, con K 2(A) sost it uit o d a K 2(P -l A) , vale anche nel cas o del metodo del gradient e pr econdizion ato, pur di ass um ere che anche P sia simmet rica e definit a positiva. Un 'alt ernati va ancora pili efficace consist e nell'u tilizzare il m etoda del gradient e coniuqaio nel qu ale Ie di rezioni di discesa non coincidono pili con quelle del resid uo. In par t icolare, po sta p (O) = r (O), si cercano d irezion i della form a p (k+ 1) dove i paramet ri

(3k E

= r (k+1) -

k

(3k P (k ) ,

= 0,1 , . . .

(7.20)

IR sono da determinarsi in modo che

(Ap (j )) T p (k+ 1)

= 0,

j

= 0,1, ... , k .

(7.21)

Direzioni di questa t ipo si dicono A-ortogon ali. II metoda nel caso pr econdizionato ass ume allora la form a: dato x (O) E IR n , po sta r (O) = b - Ax (O), z (O) = p -1r(O) e p (O) = z (O), la k-esim a iter azione, con k = 0,1 ... , e p (k )T r (k) Ok

= (Ap (k))Tp(k) '

x (k+ 1)

=

r (k+1)

= r (k) -

pz(k+1)

x (k )

+

O k p( k ), OkAp (k ) ,

= r (k+l),

(Ap (k ))T z (k+ 1) (3k

=

p (k )T

p (k+1)

Ap (k)

= z (k+1) -

,

(3k P( k) .

II parametro Ok e scelt o in modo tale da ga ra nt ire che I'errore II (e)(k+l )II A sia minimizzato lungo la direzione di discesa p (k ) . II par ametro (3k , invece, vien e scelto in modo che la nuova direzione p (k+l ) sia A-coniugat a con p (k ) ovvero (Ap (k )) T p (k+l ) = 0. In effetti, si puo dimostrar e (gra zie al principio di induzione) che se que st 'ul tima relazione e verificat a, allora 10 sono anche t ut t e quelle in (7.21) relative a j = 0, ..., k - 1. Per un a completa derivazione del metodo , si ved a ad esem pio [QSS08, Cap. 4] 0 [Saa96]. Si puo dimostrar e che il metoda del gradient e coniugato converge in aritmetica esatta al pi u in n passi e che (7.22) con c

J K 2 (P - l A) -

1

= "":'Jr:K:===2=;::(P==-==:l=:=A""")-+---:-1

(7.23)

174

7 Algoritmi di risoluzione di sistemi lin eari

Di conseguenza, in assenza di err ori di arrot ondame nt o, il metodo GC puo essere visto come un metodo diretto in quanta t ermina dopo un numero finito di op erazioni. D'altra parte, per matrici di grande dimensione, viene usual ment e imp iegato come un metodo iterativo ed arrestat o quando uno stimatore dell'errore (come ad esempio il resid uo relativo) e minore di una to lleranza asseg nata. Grazie alia (7.23), la dip endenza del fattore di riduz ione dell' errore dal numero di condizionamento della matrice e piu favor evole di qu ella del metodo del gradiente (p er la pr esenza della radice quadrata di K 2 (p -l A)). Generalizzazioni del metodo del gradiente nel caso in cui la matrice A non sia simmetrica cond ucono ai cosiddetti metodi di Krylov (fra i qua li esem pi notevoli sono cost it uit i dal metodo GMRES e dal metodo del bigradiente coniuga t o, BiCG, e alia sua versione stabilizzata, il metodo BiCGSTAB). Rin viamo il lettore int eressato a [Com95], [QSS08, Cap. 4], [QV99, Cap . 3], [Saa96] e [vdV03].

8

Cenni di programmazione degli elementi finiti

In questa capitolo ap profondiamo alc un i aspetti relat ivi alia traduzione in codici di calcolo del metodo degli element i finiti . Qu est a operaz ione di impl em entazione puo nascondere alcun e insid ie. La necessita di avere un 'impl ement azione ad alta efficien za computaziona le, olt re aile esigen ze sintat t iche di un qu alsiasi lingu aggio di pro grammazione , richied e un a codifica che non e in genere l'immedi ata traduzione di qu anta visto in sede di pre sent azione teorica. L'efficien za dip ende da tant i fat to ri , compresi il linguaggio usato e l'ar chitet tura su cui si lavor a. L'esp erienza per sonale puo giocare un ruolo fondam ent ale t an to qu an ta l' apprendimento da un t est o. Anche se t alvolt a passare t anto t empo alia ricerca di un errore in un codice 0 di un a struttura dati pili efficiente puo sembra re t empo perso, non 10 e (qu asi) maio Per que sto, l' au spicio e che il presente capit olo sia una sorta di "canovaccio" per prove che il let t ore possa far e aut onomamente pili che un ca pitolo da st udiare in senso t ra diziona le. Un' ult ima osservazione riguarda il t aglio del ca pitolo: l'approccio seguit o qui e quello di fornire indi cazioni di ca ra t t ere generale: ovviamente ogni problema ha specificita che possono essere sfrut tat e in modo mira to per un a impl ement azione ancor pili efficiente.

8.1 Fasi operative di un codice a elementi finiti Nell'esecuzione di un ca lcolo a elem enti finiti pos siamo distinguere qu attro fasi che rappresent ano altret tant e fasi di codifica (Fi g. 8.1). 1. Pre-processing. Qu est a fase consist e nella impost azion e del probl em a e nel-

la codifica del dominio di calcolo che, come visto nel Capitolo 4, richiede la costruzione dell a reti colazion e. In genera le, a parte i cas i ban ali (ad esempio in dim ensione 1), la costruzione di un a mesh adeg uata e un problem a numerico di rilevan te interesse, per il qu ale sono stat e sviluppat e te cniche ad ho c. In genere, quest a op erazione e svolta da pro gr ammi a parte 0 da moduli appos it i all'int ern o di un solut ore, nei qu ali di recent e molt a cura Quarteroni A.: Modellistica Numerica per Problemi Diffe renz iali, Sa edizione, Unit ext - La Matematica per il3+2. DOl 10.1007/978-88-470-2748-0_8, © Springer-Verlag Italia 2012

176

8 Cenni di pr ogr ammazi on e degli eleme nt i finiti r---- - ----- - - - - -- - - - ------ - ----- - - - - - ---,

, Assemblaggio ,,, Pre ,, , " ' ~ : ' _ INFO :, ~ G EO ME TRIA , , , l.

I NfO

FUNZ IO NALI

-'

CO STR UZION E M ATR IC I

ADATTI VIT A R EM ES HING

j -- -- - -- -- ----- - -- j ,

I

, ,

, L-

No

- ---< OK ?

--'-: , , ,

,l Post

Sl

I I I

:

I END I

I I I I J

Figura 8. 1. Fasi operat ive di un co dic e a element i finiti

e stata

rivolta alia par t e di int erfaccia grafica e di int erfacciam ento con pro grammi di CAD (Computer A ided Design) . Aile t ecniche di base per la genera zione di griglia e dedi cato il Capi tolo 6. 2. A ssemblaggio . In que st a fase vengono cost ru it e Ie st r utture dati "funzionali", a par t it e da quelle "geomet riche" ricavate dalla mesh e dalle scelt e dell'utent e circa il tipo di eleme nt i finiti che si vuole usar e. Inol tre, in base al problema che si vuo l risolvere e aile sue condi zioni al bordo, viene ca lcolata la matrice di rigid ezza associata alia discretiz zazione (si ved ano i Capitoli 4 e 12). Quest a op erazione puo essere event ualmente inseri t a all'int erno di un ciclo di avanza ment o temporal e se si st anno t ratt ando problemi t empo-dipendent i (come fat t o nei Capitoli 5- 16) e puo essere il frutto anche di un 'operazione di linearizzazione nel caso si sti ano trattando problemi non lineari . In senso stretto, il t ermine "assemblaggio" si riferisce alia costruzione della matrice del sist ema lineare, passando dal ca lcolo loca le svolt o sull' element o di riferimento a quello globale che conc orr e alia determinazione dell a matrice associata al problem a discretizzato. La Fig. 8.2 riassume Ie dive rse operazioni durante la fase di assemblagg io per la prepar azione del sist ema algebrico. 3. Ri soluzion e del sistema algebrico. II nocciolo risolu tivo di base di ogni ca lcolo ad elementi finiti e ra ppresentato dalla soluzione di un siste ma lineare.

8.1 Fasi operative di un codice a element i finiti

177

N odi

-

Elem en to

2-

'.

., - 2

I I I I I I I

::;

2 3 1

4

2

::;

3

(j (j

G G (j

r I I I I I I I

-

3

::; 1

2 3 4

4

A

/ 'P i,i /

=

~ __

-

3 {D f r ie-Islo t.}

1, 2, 3

3

J

-- :

~

b

... ~ " ..... ~

r

r:

r:

r

~-

~-

A

b

Figura 8.2. Schema tizzazione dell 'assemblaggio. Le informazioni geometriche e topologiche (t ab ella in alto), opportunament e memorizz at e descrivono la griglia. Mediante la mappatura sull' elemento di riferim ento , si effet t ua it calcolo della matrice di discretizzazione A e del termine noto b, procedendo prima elemento per elemento (calcolo locale) e poi , sfruttando I'addit ivit a dell'op erazione di integrazion e, formando la matrice globale. I simboli che rappresentano ogni elemento della matrice sono ottenuti dall a sovrapposizione dei simboli usati per definire ogni elemen to della mesh . Alia fine, si impongono le condizioni al bordo; cio comporta l'elimin azione dei gradi di liberta associati aile condizioni di Dirichlet , e si perviene alia matrice finale A e al te rmine noto b . Come vedremo, l'op era zione viene spesso implementata diversam ente

Come detto, qu esta potra esse re event ualmente parte di un ciclo t emporale (basato su un metoda di di scretizzazione implicito) 0 di un ciclo it erativo dovuto alia line arizzazione di un problema non lineare . La scelt a del metodo risolutivo e in genere affidata all 'utente. Per questo motivo e molto importante che I'utente sappia unire a ile conoscenze del problema in esame, che come visto nel Capitolo 4 si riflet tono sulla str ut t ur a della m atrice (ad ese m pio la sim me t ria, la positivita) una buona conosce nza dei metodi a disposizioni per poter fare una scelta ottimale (la quale raramente e q uell a di default) . Per questo motivo, nel Capitolo 7 ven gono richiamate Ie principali caratteristiche dei metodi per la risoluzione di sistemi lineari. Oggi vi sono mo lt e libreri e di ca lcolo molto efficie nt i per la risoluzione di sistem i lin eari di diver so tipo, per cui I'orient am en to in fase di cod ifica e in

178

8 Cenni di pr ogr ammazi on e degli eleme nt i finiti

genere quello di includere tali libr erie piu t to sto che impl ement arl e ex-n ovo. Ad esempio, negIi esempi che seguiranno la par te di risoluzione dei sist emi lineari e affidata a Aztec Versione 2.1, libr eri a sviluppata presso i Sandia Laboratories di Albuqerque, New Mexico, USA (si ved a [AZT]) . Vi sono tut t avia molte alt re librerie dedic ate a que sta scopo, fra Ie qu ali ricordiamo PetSC (si ved a [Pet]) e UMF PACK [UMF], TriLinos [Tn]. 4. Post-processing. La mole di dati numeri ci generati da un codice agli element i finiti e spesso enorme. Occorre ela borare qu est a informazion e in modo da pr esentare risultati sint et ici ed in un a form a utili zzabil e per gli scopi dell 'an alisi. La sint esi medi ante imm agini 0 il ca lcolo di grandezze derivate puo non essere un a fase ban ale . In particolare, il ca lcolo di grandezze deriv at e, se non viene effet t uat o con i dovuti accorgiment i puo introdurre inaccettabili err ori aggiunt ivi. Presenteremo Ie te cniche di genera zione di griglia nel pro ssimo ca pit olo. Per t anto, I'oggetto prin cip ale di qu esta ca pit olo sara la fase di Assembl aggio (Sez. 8.4) , nella qu ale la codifica efficiente del met oda degli element i finiti non e la semplice traduzione in un lingu aggio di pro grammazione di qu anta visto nella t eoria , rna sono richie sti accorgiment i opportuni. Prima di affront are I'ar gom ento, nella Sez. 8.2 ci occuperemo della codifica di formul e di qu adratura per il calcolo numerico degli int egr ali , mentre la codifica delle matrici in form ato sparso e t rattata nella Sez. 8.3. Per qu anto rigu ard a la fase di post-proc essing , rim andiamo alla letteratura specifi ca, osservando che alcune t ecniche usate sono stat e gia introdotte nel Capitolo 4 per il calcolo di stimatori a posteriori. La Sez. 8.6 riporta infine un esempio complet o. 8 .1.1 Un breve ce n n o al co d ice utilizzato

Vi sono molti lingu aggi e ambient i di progr ammazione disponibili oggi, carat terizzati da filosofie e obiettivi disp ar ati. Nel mom ento in cui si affront a I'implement azion e di un metoda numeri co, occorre far e un a scelta motivat a in questa panoram a, per poter concret izzare Ie spiegazioni attraverso porzioni di codice. Tr a gli ambient i di pro gr ammazion e molto utili per la cost ruzione di prototipi, Matlab e sicurament e uno st rument o validi ssimo sotto molti punt i di vist a, anche se, come per tutti i lingu aggi interpret ati , difetta sot t o il profilo dell a efficien za computazionale . Un alt ro ambient e orientato alla soluzione di problemi differenziali in 2D mediante il metoda degli elementi finiti e FreeFem++ (si ved a www.freefem .org) . Questo ambient e comprende in un uni co pacchet to (gr atuito e usabil e sot t o diversi sist em i op erativi) t utte Ie qu at tro fasi indic ate sopra , con un a sintassi particolarmente accat t ivant e, che riduce la dist an za fra codifica e formul azione t eorica , e in particolare avvicina ndo significativamente la prima alla second a. Questa operazione ha un indubbio valore "didat t ico", di effet t uare simulazioni anche di problemi non ban ali ra pidament e. Tuttavia, i cost i computaziona li e la difficolta ad impl ement ar e nuove st rat egie

8.2 Calco lo numer ico degli int egrali

179

che richiedano este nsioni della sintassi possono risu ltare penalizzanti in casi di int eresse reale. Tradizionalmente, t ra i lingu aggi di programmazione compilati, il Fortran (in particolare il Fortran 77) e quello cha ha avuto maggior successo in ambito numerico, grazie al fatto di generare codici eseguibili molto efficienti. Pili di recente, la filosofia di programmazione ori entata agli oggetti e sembrata avere carat te rist iche di astrazione molto adat te per problemi matematico-numerici. L' astrazione insita nella trasoersolita degli strumenti matem atici sembra t royar e un ottimo corrispet t ivo nell'as trazion e propria della pro grammazione a oggetti, basata su lla progettazione di t ipi di dato da parte dell' utente (pili che su operazion i da svolgere , come nella programmazione pro cedurale) e su i lora uso polimorfico (si veda ad es. [LLOO , CPOO, Str·OO]) . Tuttavia, il costo comput aziona le di qu est a ast razione ha t alvo lta ridotto l'int eresse per un a progra mmazione filosoficamente interessante, rna sovente op erativamente perdente per problemi di tipo scient ifico, dove l'efficienza computaziona le e (qu asi) sempre cruciale. Questo ha richiesto 10 sviluppo di tecniche di programmazione pili sofisticate (ad esempio gli Expression Templates), che consentissero di evitare che i cost i della int erpretazione di oggetti ast rat t i diventassero troppo pesan ti du t rante l'esecuzione del codi ce (si ved ano ad es. [VeI95, Fur9 7, Pru06, DV08]). Accanto al Fortran, pertanto, oggi sono sempre pili diffusi anche in ambito scientifico linguaggi come il C++, nato come un miglioramento del linguaggio C orientato agli oggetti: fra gli altri, ricordiamo Diffpack e FoamCFD. A questo linguaggio faremo pertanto riferimento nelle parti di codice presentati nel seguit o. In particolar e, quest e porzioni di codice sono parte di un 'ampia libr eri a , LifeV (Life 5) , sviluppat a pr esso i cent ri CMCS del Politecnico di Losanna, l'INRIA di Ro cqu encourt, P ari gi, il MOX del Politecnico di Milano e la Emory University di At lanta. Questa libreria, liberament e scaricabile da www.lifev.org sotto le condizioni generali di licenza LGPL, si configura come un codice aperto a nuovi cont ributi in diversi contesti applicat ivi (principalmente in 3D) per l'applicazione di metodi numerici recenti in un contest o di pro grammazione avanzata orientata agli oggetti. La lettura accurata del codice (che d 'or a in avanti chiameremo "P rogra mmi" per semplicita) richiede alcune conoscenze di base di C++ per Ie qu ali rinvi amo a [LLOO] . Volendo t uttavia usare il presente ca pit olo come base per far e prove autonome (e con il proprio linguaggio di pro gr ammazione preferito) non e essen ziale, per la comprensione del testo, la conoscenza complet a della sintassi del C++, rna e sufficiente avere dimestichezza con i construtti sintattici di base.

8. 2 Calcol o numenco degli integr ali II ca lcolo numerico effettivo degli integrali richiesti nella formul azione a Elementi Finiti viene t ipica mente eseguit o medi an te l'applicazione di formul e di quadrature: Per un a introduzione completa all'argoment o della quadratura nu-

180

8 Cenni di program mazione degli eleme nt i finiti

meri ca , rirn andiarno a t esti di An alisi Numeri ca di base (ad esempio [QSS08]). In quest a sede, bast a ricordare che una formul a di qu adratura generica ha la form a:

I Kf(x)dx

~ ~ f(x q)wq

ove K ind ica la region e su cui si int egr a (tipicam ent e un element o della griglia) , n qn e il numero di nodi di qu adratura per la formula scelta, x q sono Ie coordinate dei nodi di quadratu ra e w q sono i pesi. Tipicam ente, I'accuratezza dell a formula non che il cost o computazion ale crescono con il numero di nodi di qu adratura. Come vist o nel Capitolo 10, Sez. 10.2.2 e 10.2.3, Ie formule che, a parit a di num ero di nodi , garant iscono la miglior e acc urat ezza sono quelle gaussian e. II calcolo dell'in tegrale viene in genere svolto sull'element o di riferiment o, suI qu ale e not a l'e spressione delle fun zioni di base, medi ante un opportuno cambio di var iabile (Sez. 4.3). Indichiamo rispettivamente con Xi e Xi (per i = 1, .. . ,d) Ie coordinate sull'element o di riferimento ic e sull'element o generico K. L'in tegr azione nello spaz io di riferimento richieder a la conoscenza delle matrici J acobi an e JK(x) delle trasfor rna zioni geometriche F K che mappano I'elemento di riferimento k sugli element i K (si ved a la Fi g. 4.13). Fissiam o l'elemento generico K , sia F K : k ----+ K un a t ra sformazione invertibile tale che

X =F K(x) e J K(X) = [o : i (X)] d oXj i,j=l la sua matrice J acobi an a, si ha allora che

dove j = f 0 F K e wq sono i pe si sull'element o di riferiment o. Nel caso di op eratori dove int erviene la deriv at a spaziale, occorre applicare Ie regole di derivazione delle fun zioni composte, per cui denot ando con JK(x) la matrice J acobiana ass oc ia ta a F j(l , cioe

si ha, per j = 1, .. . , d, d

L a! A

~

of (x) = (x)oXj(x), oXi . ox J· oXi J =l Si puo dimostrare che

'lxf(x) = [JK(x)]T'l x f(x) .

8.2 Calcolo numerico degli int egrali

181

essendo J';f (x) la matrice dei cofat tori degli element i di JK(x) , ovvero (nel caso bidimensionale)

Pertanto il gradiente della fun zione f puo essere espresso in termini delle sole varibili nella spazio di referimento come

Deno t ando con ex e (J gli indici di du e generiche funzioni di base, il calcolo dell 'elemento generico dell a matrice di stiffness sara cosl effettuato

J J

V'x'Pa(x )V'x'P(3 (x )dx =

K

(J';f(x)V' xlfJa(x)) (J';f(x)V'xlfJ(3(x))

IdetJ~ (x)l dX ~

k

~ [ ldet J ; (x q)1~ (t, [J;f (xq)LI ~~; (Xq))

(1;1

[J;f(xq)Lm

(8.2)

;:~ (Xq)) ] .

Osserviamo che Ie matrici J K , e di conseguenza anche Ie J;f , sono cost ant i sull'elemento K qu alora esso sia un triangolo 0 un rettangolo in 2D (un tetraedro o un parall elepipedo in 3D) sen za bordi cur vi. La classe che codifica un a formul a di qu adratura memorizza pert anto nodi di qu adratura e pesi associat i. Nel calcolo effettivo degli integrali, verranno poi ottenute Ie informazioni sull a mappatura necessarie per il calcolo vero e proprio, dip endenti dalla geomet ria di K . Nel Programma 2 si riport a la codifica di un a formul a di qu adratura a 5 punti per te traedri: Xl =

x 2 =

X3 =

ell) 6'6 ' 6 ' ell) 6' 6' 2

'

(~,~,~) ,

WI

9 1 206 9 1 206 9 1 206

=--

W2 = W3 =

182

8 Cenni di progr ammazi on e degli eleme nt i finiti X4 =

X5 =

e2' 6'll)6 ' el l) 4'4 '4 '

9 1 206 161 - - - . 206

W4

= -

W5

=

II fattore 1/6 che compare nell'espressione dei pesi wq rappr esenta il volume del te traedr o di riferiment o. Sovente, i pesi tabulati nei libri non t engono conto esplicit amente di qu esta fat t ore, per cui, nel nostro caso, si t rovano i valori 9/ 20 e - 16/20, rna la misura dell'elemento di riferim ento non va dim enti cat a!

Programma 2 - pt-tetra -5pt : Form ula di quadratura a cinq ue nodi su tet ra edro: la classe Qua dPo int definisce it singolo nodo di quadrat ura con it peso associate . La formula di quad ratura sa ra definita da un a rr ay di ogget t i Qu adPoint class QuadPoint { Real _coar[ 3 ]; Real _weight ; public: QuadPoint (Real x, Real y, Real z, Real weight) { _coar[ 0 ] = x; _coor[ 1 ] = y; _coor[ 2 ] = z; _weight = weight;

} } // Integrazione su Tetraedro can una formula a 5 nodi canst Real tet5ptx1 = 1. / 6. , tet5ptx2 = 1. / 2., tet5ptx3

= 1. / 4.;

stat ic canst QuadPoint pUetra_5pt[ 5 ] = { QuadPoint( tet5ptx1 ,tet5ptx 1, tet5pt x1, 9. / 120. ), QuadPoint( tet5pt x1 ,tet5ptx1, tet5ptx2, 9. / 120. ), QuadPoint ( tet5ptx1 , tet5ptx2 , tet5ptx1 , 9. / 120. ), QuadPoint( tet5ptx2, tet5ptx1, tet5ptx1, 9. / 120. ), QuadPoint( tet5ptx3, tet5ptx3, tet5ptx3, -16. / 120. ) };

La scelta di un a formula di qu adratura risp onde a du e esigenze (di t ipo conflittua le): 1. da un lat o, maggiore e l'accur at ezza e meglio e controllato l'errore generato dal ca lcolo degli intergr ali; per prob lemi a coefficient i cost anti 0 polinomiali, facendo leva sul concetto di grado di esattezza di un a formul a di qu adrat ura, si puo addirittura annullare completamente l'errore di int egrazi one numer ica;

8.2 Calco lo numer ico degli int egrali

183

2. dall'altro lato, l'aument o dell'accuratezza si accompagna spesso ad un aume nt o del numero di nodi nqn. La giusta sintesi fra le due esigenze, evide nte me nte , dipende dai requisiti del problem a che si vuole risolvere, non che dalle sp ecifiche di accuratezza e velocit a per il calco lo da eseguire. 8 .2 .1 Le co o r d inate b aricentriche

La valutazione numerica degli integrali sui sim plessi (intervalli in 1D, trian goli in 2D , tetraedri in 3D) puo avvantaggiarsi dall 'uso de lle coordinate baricentriche che sono state introdotte de lla Sez. 4.4 .3. Per iniziare, osserviamo che valgono le seguenti formu le esatte di integrazione (si veda, ad es. [Aki94, Cap. 9] o [HugOO, Cap . 3]): in 1D

l

a

alb! b

b

_ AO A1dw = ( K,

in 2D

in 3D

1

a+

_ AoA~A~Agdw = ( b K3

a

~

),Lun ghezza(Kd.

+1 .

a!b!c!d!

~

3 ). + + c+ d + 3 ),6Vol(K .

Pill in generale, d

II nil di=O

d!IKdl

(8.3)

( 2:ni + d)! i= O

°tc, e

un simplesso unitario d-dimensionale, IKdl denota la sua misura , d} e un insiem e di int eri non negativi. Qu est e formule sono utili quando si ha a che far e con l'approssimazione a eleme nt i finiti di problemi ai limiti per il calcolo esat to degli integr ali di po linomi espressi attraverso il prodotto de lle fun zioni di base caratteristiche lagra ngiane 0 lora derivate. A titolo di esempio, la Tabella 8.1 riporta i pesi e i nodi per alcune formu le di quadratura assai comuni in 2D. La Tab ella 8.2 riporta alcune formule per te t raedri. Le formule sono simme t riche: bisogn a pertanto considerare tut te le po ssibili permut azioni delle coordinate bari centriche per avere la lista completa dei nodi . Per cornodita si riporta, oltre al numero totale di nodi nqn, la molteplicita m di ciascun nodo di qu adratura , cioe it num ero di nodi gene ra t i dalle permutazioni. Si forni sce anche il grado di esattezza r. dove

{ni'

~ i ~

184

8 Cenni di program mazione degli eleme nt i finiti

" " - - - - - - = - --

Xl

No

-

Xl

No

Fig u ra 8.3 . La coordi nata baricentrica >"i d el punto P r appresent a il rapporto fra il volu me del t etraedro che h a come vertici 10 st esso P e i vertici della faccia opposta a N, (in figura, a de st ra, abb ia mo ind ica to in grigio il tetraed ro opposto a N o con vertici P , N 1 , N 2 , N 3 ) e il volume tota le d el t etraedro

x

Tabella 8 .1. Nod i q e pe si wq = w q /2 per for mule d i qu ad ratura s u triangoli. I nodi sono espre ssi medi ante Ie loro coord inate bar icent r iche. I p esi w q non t en gono cont o dell a mi sura dell 'elem ento di riferimento (che va le 1/2 nel caso in esame )

(>"1,>"2, >"3)

nqn 1 3 3 4 6 6

1/3 1

1/ 3 0

1/ 3 0

2/ 3 1/ 3 0.6 0.65902762237 0.81684757298 0.10810301817

1/ 6 1/ 3 0.2 0.23193336855 0.09157621351 0.44594849092

1/ 6 1/ 3 0.2 0.10903900907 0.09157621351 0.44594849092

m

Wq

1 3 3 1 3 6 3 3

1

r 1 1 2 3

1/ 3 1/ 3 -9/1 6 25/ 48 1/ 6 0.10995174366 0.22338158968

3 4

Tabella 8 .2. Nodi xq e p esi wq = w q /6 su t etraedri . I nodi sono espre ssi medi ante Ie loro coordi nate b aricen triche . I pe si non t engono cont o dell a m isura dell'elem en to di riferimento (ch e vale 1/6 in qu esto caso)

(>"1,>"2,>"3,>"4)

nqn 1 4 5

1/4 0.58541020 1/4 1/ 2

1/4 0.13819660 1/4 1/ 6

1/ 4 0.13819 660 1/4 1/ 6

m

1/4 0.13819660 1/4 1/ 6

1 4 1 4

Wq

1 1/ 4 2 -16/ 20 3 9/20

Vediamo due sem plici esempi. Supponiamo di voler ca lcola re:

1=

J

f(x)dx =

K

J K

j(x) ldetJK(x)ldx

~L q

r

j(x q) ldetJx(x) 11Vq .

8.3 Memorizzazion e di rnatrici sp ar se

185

Usando i pesi e nodi della prima riga della tabella si ottiene:

dove il coefficient e 1/2 rappresent a l'ar ea dell'elem ento di riferimento, x e il nodo di coordinate bari centriche )11 = >'2 = >'3 = 1/ 3 e corrisponde al bar icent ro del t riangolo. P er tanto la corr ispondent e formula e la ben not a [ormula del punto medio compo sita. Per usare la formula dell a seconda riga noti amo che m = 3 e dunque abbiamo di fatto 3 nodi di qu adratura Ie cui coord inat e bari centriche si ot ten gono per permut azione ciclica :

Quindi per ogni t riangolo K otteniamo

J

f(x)dx

K

c::'

11 [ ~ ~ 23 f(O,O)ldetJK(O,O) 1+ f(l,O) ldetJK(l ,O)I+

[(0, 1)ldetJK(O , 1)1] = Are ;( K)

"EJ (Ni) , 2

i= O

essendo No , N 1, N 2 , i vertici del tria ngolo K, cor rispondent i aile coordinat e baricentriche (0,0) ,(1 ,0) e (0,1) risp ettivam ente. La corr ispondent e formul a e per t anto la formula del trapezia composita. Entrambe Ie formule hanno grado di esat te zza 1. Altre formule di qu adratura per il ca lcolo di integr ali per diversi elementi finiti si trovano in [Com9 5], [HugOO], [Str71] . Osservazione 8.1. Qu alora si faccia uso di eleme nt i qu adrilater i 0 pri sm ati ci, nodi e pesi delle formule di qu adratura si po ssono ottenere come prodotto tensoriale delle formule di qu adratura di G au ss per il caso monodimen sion ale, come vist o nel Capitolo 10 (si veda anche [CHQZ06]) . •

8.3 Memorizzazione di matrici sparse Come visto nel Capitolo 4, Ie matrici degli eleme nt i finiti sono sparse. La dist ribuzione degli eleme nt i non nulli viene ind icat a dal cosiddet t o pattern di sp arsi t a (detto anche grafo) dell a matrice. II pattern dipende dalla griglia compu t azion ale adot t ata, dal tipo di elemento finito scelt o e dalla numerazione dei nodi. La memorizzazione efficiente di un a matrice consist e pe rtanto nella memorizzazione dei soli eleme nt i non nulli , secondo il posizionam ento indicato dal pattern. La discreti zzazione di problemi differenzi ali diver si, rna sulla st essa

186

8 Cenni di pr ogr ammazi on e degli eleme nt i finiti

griglia computaziona le e con 10 st esso t ipo di eleme nt i finiti , port a a matrici con 10 stesso gra fo. Per qu esto motivo puo ca pit ar e di dover gest ire pili matrici, rna tut te con 10 st esso pattern. Pert an to , in un a logica di pro grammazione a ogget t i, puo essere utile separate la memorizzazione del gra fo (che puo diventare un "t ipo di dato" definito dall 'utente, ossia un a classe) dalla memorizzazione dei valori di ogni mat rice. In t al modo, un a matrice si puo vedere come un a st rut t ura dati per la memorizzazione dei suoi valori , unita a un puntatore al gra fo ad essa associate . 11 punt ato re, infatti , memorizza solo la locazione di memoria ove il pattern viene memorizzato e quindi , di per se, ha un a occupazione di memoria minima. Pili matrici potranno pertanto condividere 10 stesso gra fo, senza inutili duplicazioni di memorizzazione del pattern (si vedano i codici 3 e 4). All'at to pr ati co, vi sono diverse t ecniche per memorizzar e in modo efficiente matrici sparse, ossia la posi zione e il valore dei loro elementi non nulli . :It bene osservar e che, in ques to cont est o, l'aggettivo "efficient e" non si riferi sce soltanto alla minor occupazione di memoria che si poss a realizzare, rna anche alla rapidit a di accesso in memoria di ogni elemento. Un form ato di memorizzazione che richieda il minimo disp endio di memoria possibil e e vero similmente pili lento nell'accedere a un valore desider ate. Infatti , la maggior compattezza di memorizzazione t ipica ment e si ottiene introducendo forme indirette di indiri zzamento, in base alle qu ali il valore di un elemento si ot tiene dopo aver ricavato la sua posizion e nella memoria dell'elaborato re accedendo alle st rutture dati che memorizzano il grafo. Pili passaggi intermedi sono necessari , pili il tempo di accesso all'element o desiderato sara lungo. Proprio per la necessit a di t rovare il giust o compromesso, diverse te cniche di memorizzazione sono st ate proposte in let te ra tura, con diverse prerogative. Un a rassegna commentata si t rova ad esempio in [FSV05], Appendice B. Qui ci limi ti arno a ricord ar e un forrn ato molto usato per la memorizzazione di matrici sparse qu adrat e, ossia il forrnato MSR (Modified Spa rse Ro w). 11 grafo di sparsita di un a matrice qu adrat a generata dalla discre ti zzazione di un problema medi ante elementi finiti possiede la prop riet a che gli elem enti diagon ali sono sempre compresi a priori fra gli element i non nulli , per il motivo ban ale che il supporto di un a funzione di base ha intersezione non vuota con se ste sso. 11 form ato MSR si basa su que st a considera zione per memorizzare solo il pattern dell a parte extra-di agon ale, utilizzando poi un alt ro vet tore per memorizzare i valori della diagon ale princip ale, ordinati secondo la riga di appart enenza. Nella pr ati ca, per memorizzar e la matrice, si usano du e vet tori , che chiarneremo value (valori) e bindx (connessione delle righe) . A qu esto , per i motivi che vedremo in [FSV05] si propone di aggiungere un terzo vet tore che chiamiamo bindy (connessione delle colonne). Indichiamo con n la dim ensione della matrice da memorizzare e n z il numero dei suoi elementi non nulli.

8.3 Memorizzazione di matrici sp ar se

187

P er illustrare it form ato MSR ci serviamo di un esem pio (vd . Fig. 8.4) in cui n = 5 e n z = 17:

A=

0 1 a 0 0 b h I 0 n 0

2

f

k c 0

s

3 0 m 0 d q

4 0 1 2 3 4

g

0 r p

e

Facciamo notare che la numer azione di righe e colonne in matrici e vet tori parte da 0, secondo la sintassi del C+ +. I vettori che ca ra t t erizzano il form ato MSR sono: 6 a 0 b 1 8 2 c 10 13 d 3 e 4 15 18 5 * 2 6 f 7 4 g 2 k 8 valu e = bindx = 3 m 9 h 10 0 11 1 I r 12 4 n 13 1 14 4 p i 15 0 2 s 16 q 17 3 II vettore bindy e:

bindy =

10 15 11 13 6 8 16 9 17 7 12 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Vediamo come sono strutturati questi vet tori. Nelle prime n posi zioni di = n - 1) ven gono memorizzati i valori diagon ali della

value (indicizzat e da 0 a 4

188

8 Cenni di programm azione degli element i finiti Riga 0

value=

[a

b

C

d

e

I

I ,r - "',

I

* if :! 9

ik : m h

1

I

I :

1

!

iii

i

] 7

1 •• •• _ .

8

Riga 3

1: 8

r

I

1

I I

ii

1' 6

Riga 4

n

(~..

p

I :

11

12

_;

1

["_ ._L _....A

I I 1 10

: 9

I • ••• _ '

q

]

1

13

14

15

4

0

1

I

']~.)

17

'1'_._._._. y ._.T '_..,

1- ' _ . _. _ . - I '1

bindx= [ 6

Riga 2 I I

,~" ' \

I: 1

i'_._._._._._._.-

Riga 1

1

10 13 15 18: 2

4 : 2

-II' I

3 :0

1

4

2

3]

10

11

1 1

T;?-;.:~-~.~::~~·.:~~r~-"·-·;·-"·-~"-"·-3"·-"·L_;. ybi nd=

[10 15 : 11 13 Colonna 0 Colonna 1

. ._.~

;(Ei C~~) C!~) ; 9 Colonna 2

1

17 7 1

Colonna 3

12 14] Colonna 4

Figura 8.4 . Illustr azione delle str utture del formato MSR: Ie frecce indicano il

percorso per la determinazione degli element i della terza riga e della terza colonna

matrice. La posizione di indice n vien e lasciat a vuot a , mentre dalla posizione di indice n+1 in avant i ven gon o mem ori zzati i valori degli eleme nt i ext rad iagonali, ordinati riga per riga . La dimen sion e com plessiva di value sara pertan to nz + 1. II vet t ore bindx ha pure n z + 1 element i. Gli elementi di posizione n + 1 fino a n z + 1 cont engono gli ind ici di colonna dei risp et tivi element i il cui valore e memorizzato in value nella stessa po sizione. Le prime n + 1 po sizioni di bindx punt an o a dove iniziano le righe nelle posizion i di indice da n + 1 a nz + 1. Se ad esem pio si volesse accedere ag li element i della terza riga (vedi Fi g. 8.4), si ha che: a) l'elemento diagon ale e in value(2); b) gli elementi extra-diagon ali sono compresi nelle posizion i indicate da bindx(2) e bindx( 3)-1 , ossia : 1. i valori sono in value(bindx(2)), bindx(2)+1) , .. ., value(bindx(3)-1) ; 2. gli indici di colonna sono in bindx(bindx(2)), bindx(bindx(2)+1) , .. ., bindx(bindx(3)-1) .

L'elemento bindx(n ) punta a un a ipo tetica riga successiva all'ult ima. In que sto modo, il numero di element i non nulli de lla riga i-esima (per 1 :s: i :s: n) e dato senza eccezioni (che significa senza la necessita di int rod ur re sa lt i condizionati) dalla differenz a bindx(i+1)-bindx (i). Se la matrice fosse memorizzat a solo tramit e qu esti du e vet tori , av rem mo un accesso agevole per righe (ossia e faci le est rarne un a riga) , mentre l'accesso per colonn e richied erebbe numerosi confron t i, a scapi to dell'efficien za. Un mo do pe r rendere pili agevole que st a ope razione e quello di arricchire il form ato MSR di bindy . Si sfrutta la ca ratteristica delle matrici degli eleme nt i finiti di avere un patt ern simmet rico. Infatti , la pr opriet a che du e funzioni di base abbiano

8.3 Memorizzazione di matri ci spars e

189

suppo rto non disgiu nto e evide nte me nt e "simmet rica". Qu est o sign ifica che, se percorriamo gli elementi ext ra-d iagonal! della riga di indice k e troviamo che il coefficiente akl e presente nel pattern (cioe e non nullo), sara pr esente nel pattern a nche al k , che si ot t iene percorrendo la riga di indice l. Se la po sizione in bindx (e value) dell 'elemento alk e memor izzat a in un vettore "geme llo" della porzione di bindx che va dagli indici n + 1 a n z , abbiamo una st ruttura che restituisce gli eleme nt i di una colonna desiderat a . Tale vettore e bindy: ad esem pio, per est rarre la colonna d i ind ice 2 dalla matrice basta leggere gli element i di bindy compresi fra Ie posiz ion i bindx(2)-(n+1) e bindx(3)-1-(n+1) (la sottrazion e di indi ce n + 1 serve solo come shift fra gli ind ici cui pu nt a bindx in value e quelli cui deve pu nt ar e in bindy). Questi elementi pu ntano aile posizion i di bindx e value ove si possono trovare, rispettivamente, gli indici di riga corrispondenti e i valori della matrice. II formato MSR essendo uno dei forrnati piu "com patti" per matrici sparse consente economia di memo ria ed e pert anto ut ilizzat o in alc une librerie di algebra lineare per pro blemi di grandi dimensioni, come Aztec (si veda [AZT]) . Ha t uttavia il difetto di essere ut ilizzabile solo per mat rici quadrate. Per maggior i dettagli si ved ano [F SV05], [Saa96]. Nei Programmi 3 e 4 riportiamo la struttura dati (ossia i membri private) delle classi MSRPatt e MSRMatr. Programma 3 - BasePattern: Strut tura el i base per memorizzare il pattern. el i matrice in formate ~vIS R

eclass BasePattern : public PatternDefs public: protected: Ulnt _nnz; Ulnt _mows; Ulnt _ncols; class MSRPatl : public BasePattern public: canst Container& bindxt) canst return _bindx; ; canst Container& bindyO canst return _bindy; ;

190

8 Cenni di programmazione degli element i finiti

Programm a 4 - MSRMatr: Matrici in formate MSR template class MSRMatr public: private: stdc vector-Data'Iype» _value; const MSRPatt '_Patt;

8 .4 La fa se di assem b laggio Per fase di assemblaggio int endiamo in realta I'articolazione di diverse operazioni che portano alia costruzione della matrice associata al problem a discretizzato. Per questa scopo, occorrono du e tipi di informazioni: 1. geometriche, tipicamente contenute nel file della mesh; 2. fun zionali, relative alia rappresentazione della soluzione mediante eleme nt i finiti .

Le informazioni di carattere fun zionale sono tanto piu ampie quanti piu tipi di element i diversi sono codificati. In LifeV sono trattati element i finiti Lagrangiani e non, continui e discontinui. In particolar e, per gli eleme nt i Lagrangiani continui, si hanno: 1. element i finiti Lagrangi ani in 1D di grade 1 e 2; 2. element i finiti Lagrangiani in 2D; a) triangolari con funzioni lineari e qu adratiche; b) quadrilateri con fun zioni bilineari e biquadratiche; 3. elementi finit i Lagrangiani in 3D; a) tetraedrici con funzioni lineari e qu adratiche; b) prismat ici con fun zioni bilineari e biq uadratiche .

In Fig. 8.5 sono riportate Ie principali geom etrie di riferimento conside rate nel cod ice con la numer azion e locale dei vertici. I t etraedri rappresentano I'est ensione in 3D degli elementi triangolari considerati nel Capitolo 4. Gli elementi prismatici estendono in 3D gli elementi geometrici quadrilateri in 2D introdotti nel Capitolo 10. Una descrizione completa della costruzione di element i di questo tipo si puo trovare in [HugOO] , Capitolo 3. Le informazioni geometriche e fun zionali, opportunamente codificate, vengono poi ut ilizzat e per la costruzione della matrice del problema discretizzato. Contrariamente a quanto sembrerebbe naturale nella defini zione di elementi finiti Lagrangiani, la costruzione della matrice avvi ene effet t ua ndo un cicio sugli element i anziche sui nodi. II motivo di questa approccio element-oriented , piuttosto che di qu ello node-ori ented, e essenzialmente legato a questioni di efficienza computaziona le. L'espressione analitica di una fun zione di base associata

8.4 La fase di assemblaggio

10

191

4

2

l~

r-.

3

1

3

1

4

[J

3

2

30 2

7

20

~,

r--f---7 3

,_/

1

2

- -- ,

~

6

)

)

--~

1

Fi g ura 8.5. Illustrazione di alcuni elementi di riferimento presenti in LifeV con la numerazione locale (convenzionale) dei nodi

ad un nodo varia su ogni eleme nto afferente a queI nodo. Effettuando un ciclo su nodi si renderebbe necessario, prima di effettuare il calcolo degli integrali individuare l'espressione analitica della fun zione di base appropriata per ogni elemento afferente. In termini di codice questo significa che il corpo del ciclo va riempito di salti con dizion ati, ossia istruzioni di tipo if...then...elseif...then...else... all 'interno del ciclo di ass emblaggio. I salti condizionat i sono istruzioni "costose" in termini computazionali, tanto pili se sono all 'interno di un ciclo (e vengono quindi effet t uat i numerose volt e). Per renders ene conto, e sufficiente osservare il numero di micro-istruzioni ass embler richi este in fase di compilazione per espandere un saIto condizionato, rispetto a una qualsiasi altra istruzione, si veda ad esempio [HVZ97]. Come vedremo, l'approccio element-oriented, sfruttando I'additivita dell 'operazione di integrazione, permette di aggirare brillantemente l'ostacolo. In particolare, com e gia evide nziat o nel Capitolo 3, la costruzione della matrice del problema puo avvenire concettualmente in due passi, all 'interno di un ciclo sugli elementi della griglia: 1. costruzione della matrice e del termine noto che discretizzano l'operatore differenziale sull 'elem ento conside rato (m atrice e vettore locali); 2. aggiorn ame nt o della matrice e del t ermine noto globali, sfrut t ando l'additivita dell'oper azione di integrazione.

192

8 Cenni di programmazione degli element i finiti

Vi sono anche approcci diversi al problema: in alcuni casi , la matrice non viene costruita, rna si ca lcolano direttamente i suoi effet t i nella moltiplicazione per un vettore; per ragioni di spazio qui ci occupiamo dell'approcio piu standard. Come detto, la costruzione della matrice locale viene effett uata operando l'integrazione sull'e lemento di rifer imento K , usando opportune form ule di quadratura. A costruzione effett uata di matrice e termine not o, vengono imposte Ie condizioni al bordo; in particolar e, la prescrizione delle condizioni di Dirichlet non usa necessariamente la tecnica vista nelle Sez 3.2.2 e 4.5, che cons ist e nella elirnina zione dei gr adi di libert a associat i a tali condizioni dopo la costruzione del rilevamento. Come si vede , I'assemblaggio e una fase articolata, Nei paragrafi seguenti tratteremo gli aspetti menzionati, senza tuttavia approfondirli, per ragioni di spazio. Verranno prima trattate Ie strutture dati per la codifica delle informazioni geometriche (Sez. 8.4.1) e fun zionali (Sez. 8.4.2). II ca lcolo della rnappatura geometrica tra elemento di rifer imento e elemento corrente fornisce l'occasione per introdurre gli elementi isoparameirici (Sez. 8.4.3). II calcolo effettivo di matrice e t ermine noto locali e il loro uso nella costruzione del sistema globale e trattato nella Sez. 8.4.4. Infine, nella Sez. 8.4.5 accenniarno ad alcune tecniehe implementative per I'imposizione delle condizioni al bordo.

8 .4. 1 Codifica d elle informa zioni geo met r iche In t ermini di strutture dati , la mesh puo essere vista come un a collezion e di element i geom etrici e di inforrnazioni topologiche. Le prime possono essere costruite aggregando classi per la definizione di punti (ossia di element i geom etrici zero dimensionali) , di sp igoli (eleme nti geometrici 1D) , di facce (2D) e infine volumi (3D) . Una poss ibile interfaccia per la cod ifica di queste entita geometriche , limitatamente al caso di punti e volumi, e fornita nel P rogra mma 5. Programma 5 - GeoE lements: C lassi elernent ari e aggr egat e per la cost ruz ione degli enti geomet rici II! Classe per Punti e Vertici class GeoElementOD public: GeoElementODO; GeoElementOD( ID id, Real x, Real y, Real z, bool boundary = false ); GeoElementOD & operator = ( GeoElementOD const & 9 );

II Classe per Elementi 3D tsmplate-ctypenarne GEOSHAPE> class GeoElement3D

8.4 La fase di ass emblaggio

193

public: GeoElement3D( ID id = 0 ); typedef GeoElement1 D EdgeType; typedef GeoElem ent2D FaceType; typedef GeoElementOD PointType; typedef FaceType GeoBElement; // ! Numero di Vertici per elemento static const Ulnt numLocalVertices; // ! Numero di Facce per elemento static const Ulnt numLocalFa ces; // ! Numero di spigoli per elemento (regola di Eulero) static const Ulnt numLoc alEdges ;

La classe per la defini zione delle entita geometriche, che qui viene presentata in una forma significativamente sem plificata rispetto a que lla di LifeV, fornisce metodi (che non riportiamo per ragioni di spazio) che con sentano di int errogar e (query) la struttura per ricavar e informazioni di int eresse, qu ali I'ident ificat ore all'interno di un a list a 0 gli identificatori di ent it a geom etriche adiacent i. Questo e molto import ant e nel defin ire la con nessione della mesh e, dunque, il pattern della matrice. La definizione di tipi standard per Ie ent ita geom etriche (indicate con il termine di GEOSHAPE nel codice precedente) puo essere fatta mediante l'introd uzione di opportune classi che indichino la struttura geometrica di cui si compongono i volumi della m esh. Ad esem pio, nel Programma 6 indic hiamo la classe per i tetraedri. Programma 6 - Tetra: Classe per la codific a di elernenti tetraedri ci class Tetra public: static static static static static static

const const const const const const

ReferenceSh apes Shape = TETRA ; ReferenceGeometry Geometry = VOLUME; Ulnt nDim = 3; Ulnt numVertices = 4; Ulnt numFaces = 4; Ulnt numEdges = numFace s + numVertices - 2;

Partendo da qu est e classi di base, una m esh sara una classe per collezion ar e gli elementi. In realta, alla struttura geometrica e giocofor za aggiungere: 1. informazioni topologiche che permettano la car atterizzazione degli elementi nella griglia, ossia la connet t ivit a fra i nodi, risp et to ad un a numer azion e convenzionale degli stessi. La convenzione per i possibili element i pr esente

194

8 Cenni di programmazione degli eleme nt i finiti

in LifeV e data in Fig. 8.5; per poter "visitare" in modo efficiente gli elementi di una griglia, si possono aggiungere anche informazioni sugli eleme nt i adiacenti ad ogni elemento; 2. informazioni spec ifiche che permet t ono la localizzazione dei gradi di libert a che sono sui bordo; questo semplifica Ie gestione della prescrizione delle condizioni di bordo; osserviamo che tipicamente si associa ad ogni elemento geometrico di bordo un indicatore che poi verra associato ad una specifica condizione al bordo. A partire da lla classe di riferim ento geometrica, si codificano poi gli eleme nt i geometrici correnti, secondo Ie possibili mappature trattate nella Sez. 8.4.3 . Ad esempio, se la mappatura e di tipo affine, si ottengono tetraedri lineari, indicati nel Programma 7. Programma 7 - LinearTetra: Class e per la codifica di tetraedri ottenuti per t rasformazion e geomet rica affine dell' element o di riferiment o class Linea rTetra: public Tetra public: typedef Tetra BasRefSha; typedef LinearTriangle GeoBShape; static const Ulnt numPoints = 4; static const Ulnt nbPtsPerVertex = 1; static const Ulnt nbPtsPerEdge = 0; static const Ulnt nbPtsPerFace = 0; static const Ulnt nbPtsPe rVolume = 0;

A questa punto, il cod ice con parte della classe che identifica la mesh Programma 8

e nel

Programma 8 - RegionMesh3D : Classe per la rnemo rizzazione di una mesh 3D template class RegionMesh3D public: explicit RegionMesh3DO; II Definizione dei profili di base typedef GEOSHAPE VolumeSh ape; typedef typename GEOSHAPE::GeoBShape FaceShape; typedef typename FaceShape::GeoBShape EdgeShape;

II Enti geometrici typedef GeoElem ent3D VolumeType; typedef GeoElement2D FaceType;

8.4 La fase di ass emblagg io

195

typedef GeoElement1 O EdgeType; typedef GeoElementOO PointType; /lVettore dei punti typedef SimpleVect Points; /lVettore dei volumi typedef SimpleVect Volumes; /lVettore delle facce di bordo typedef SimpleVect Faces; /lVettore degli spigoli typedef SimpleVect Edges; typedef GEOSHAPE ElementShape; typedef typename GEOSHAPE::GeoBShape BElementShape; typedef GeoElement30 ElementType; typedef GeoElement20 BElementType; typedef SimpleVect Elements; Points _pointList; Volumes volume List; Faces faceList; Edges edge List;

Ulnt numLocalVerticesO const; //Numero di vertici per elemento Ulnt numLocalFacesO const; // Numero di facce per elemento Ulnt numLocalEdgesO const; //Numero di spigoli per elemento Ulnt numLocalEdgesOfFaceO const; //Numero di spigoli per faccia Ulnt numElementsO const; //Numero totale di volumi Ulnt & numjilernentst): Ulnt numBElementsO const; // Numero di elementi al bordo (=facce) Ulnt & numBElementsO; ElementType & element( 10 const & i ); ElementType const & element( 10 const & i ) const; BElementType & bElement( 10 const & i ); BElementType const & bElement( 10 const & i ) const;

vet tore di element i geomet rici di t ipo "volume" dichiarato in Volumes volumeList cont erra ad esempio la list a dei ver ti ci che definiscono ogni t et ra edro della mesh , nell'ordine convenzionale stabilit o e indi cato in Fi g. 8.5. La costruzione di un conte nitore per un a mesh di te t raedri affini ver ra effet tuat a medi ante l'istruzione II

RegionMesh30 aMesh;

cui seguira la let tura della Mesh per riempire effet t ivamente i vet tori di volumi , facce, spigoli e punti previsti in RegionMesh30 .

196

8 Cenni di programmazione degli element i finiti

P er quanto riguarda i forrnati di un file di mesh, non esiste uno standard accettato universalmente. Tipicamente, ci si asp etta che un tale file contenga le coordinate dei vertici, la connettivita che associa i vertici agli eleme nt i geometrici e la list a degli eleme nti di bordo con relativo indicatore da usare per la definizione delle condizioni di bordo. I valori delle condizioni al bordo, invece , sono generalmente assegnati separatamente. Osse rva zi one 8 .2 . I problemi multi -fisica 0 multi -modello stanno diventando una componente rilevante del ca lcolo scientifico: si pens i ad esempio ai problemi di int erazione fluido-struttura 0 di accoppiam ento (talvolta in chiave adattiva) di problem i nei quali it modello differenziale completo (e computazionalmente pili costoso) venga usat o solo in una regione di specifico interesse, accoppiandolo con modelli pili semplici nelle rimanenti regioni. Q ueste applicazion i e, pili in generale, la necessit a di svi lup pare algoritmi di ca lcolo di t ipo parallelo, hanno motivate 10 sviluppo di teeniche di riso luzione dei problemi differenziali mediante decomposizion e dei domini. II let t ore int eressato puo consultare ad esempio [QV99, TW05]. In questa caso , la mesh risultante e la collezione delle mesh dei sottodomini, unit ament e alle informazioni topologiche circa le interfacce fra sottodomini. In qu esta t esto, per semplicita, faremo comunque sempre riferimento a problemi a un solo dominio. • 8 .4.2 Codifica d elle informa zi oni funzionali Come visto nel Capitolo 3, la definizione delle funzioni di base viene effet t uata su un elemento di riferimento. Ad esempio, per i tetraedri, questo elemento coincide con il sim plesso unit ario (vedi Fig. 8.5) . La codifica di un elemento di riferimento avra essenzialmente puntatori a funzioni per la det erminazione delle funzioni di base e delle loro derivate. Inoltre, potra essere arricchita da un puntatore alla formula di quadratura usata nel ca lcolo degli int egrali (vd. Sez. 8.2) , come nel Programma 9. Programma 9 - RefEle : Classe per la memorizzaz ione delle informazion i funzionali sull'elemento di riferimento class RefEle protected: const Fct* _phi; II Puntatore aile funzion i di base const Fct* _dPhi ;IIPuntatore aile derivate delle funzion i di base const Fct* _d2Phi; IIIIPuntatore allee derivate seconde delle funzioni di base const Real* _refCoo r; IICoord di Riferimento: xi_1,eta_1 ,zeta_1 ,xi_2,eta_2,zeta_2, ... const SetOfQuadRule* _sqr; II Puntatore all'ins ieme di formule di quadratura public: const std::string name; II Nome dell'elemento di riferimento const ReferenceShapes shape ; II Forma geometrica dell'elemento const int nbDof; II Numero totale di gradi di liberta const int nbCoor; IINume ro di coordinate locali

8.4 La fase di ass emblaggio

197

Nel cod ice 10 riportiamo le fun zioni per la defin izione di elementi finiti lineari su t etraedro. Per ragioni di sp azio riportiamo solo la cod ifica di alcune delle derivate prime.

Programma 10 - fctP13D : Funzioni di base per lineare Real Real Real Real

Ull

eleme nto tetraedrico

fct1_P1_3D( cRRef x, cRRef y, cRRef z )return 1 -x - Y - z; fct2_P1_3D( cRRef x, cRRef, cRRef )return x; fct3_P1_3D( cRRef, cRRef y, cRRef )return y; fct4_P1_3D( cRRef, cRRef, cRR ef z )return z;

Real derfct1_1_P1_3D( cRRef, c RRef, cRRef )return -1; Real derfct1_2_P1_3D( cRRef, cRRef, cRRef )return -1;

Una volt a instanziato l'elem ento di riferimento, le informazioni funzionali sar an no disponibili sia per la rappresentazione della soluzione che per la definizione de lla mappatura geometrica fra elemento di rifer imento e elemento corrente, come vediamo nella sezione che seg ue. Avendo definito l'element o geometrico e il tipo di elementi finiti che vogliamo usar e, siamo or a in grade di costruire i gradi di liberta del problema. Cio significa assegnare ad ogni eleme nto della mesh la numerazione dei grad i di liber t a che giacciono su ll' elem ento e il pattern della matrice locale; qu est 'ul tima e generalmente piena, anche se puo comunque contenere elementi nulli. Un grade di liberta puo avere bisogno di informazioni aggiuntive qu ali, nel caso di eleme nti finiti Lagr an giani , Ie coordinate del nodo corr isponde nte sull'e leme nt o di riferimento.

8 .4.3 M appatur a tra ele mento di r iferimento e ele mento fisico Nel Capi to lo 4 si e visto come sia vantaggioso scrivere Ie funzioni di ba se, Ie formule di qu adratura e, dunque, svolgere il calcolo degli integrali rip etto a un elemento di riferimento. Puo essere pertanto interessante esaminare alcuni metodi pratici per la costruzione e la codific a di tale cambio di coordinate. Per maggiori dettagli, rimandiamo a [HugOO] . Limitiamoci per or a a conside rare it cas o di eleme nti triangolari e te t raedrici. Un primo t ipo di trasformazione di coordinate e qu ello affine. In sostan za, la mappatura fra e x esprimibile tramite una matrice B e un vettore c (vd . Sez.4 .5.3 e Fig. 8.6):

x

e

x = Bx -s e.

(8.4)

In qu esta modo, si ha banalment e che J = B (cost an t e su cia scun eleme nt o). Se la di stribuzione di nodi gene rata d al reti colatore e corre tta, il det erminante di J e sem pre positivo, cosa che garantisce che non vi siano cas i degen eri (ad

198

8 Cen ni di pr ogr ammazi on e degli eleme nt i finiti

esempio qu at tro verti ci di un tet ra edro complana ri) e che non vi sono permutazioni scorr ette nei nodi corr ispondent i nella mappatura. L'espressione di B e c si ricava dall 'espression e delle coor dina t e dei nodi . Supponiamo infatti che i nodi numerati localmenie 1,2,3 ,4 del t etraedro di riferimento eor rispondano rispettivamente ai nodi dell a mesh numerati con i , k , I, m . Si ha allora:

{

~~: ~11l +

t~ : ~:2 +

Xi

= b2 I + X i X m = b3 I + X i

= C3 = bI 3 + Zi Zl = b23 + Zi Zm = b33 + Z i Zi

Yi

Zk

= b22 + Y i Y m = b32 + Y i

Xl

Yl

(8.5)

da cui ri rieavano le espressioni di B e c . Esiste , t ut tavia , un modo pili effieace di rappresentare la t ra sformazione: essendo line are elemento per elemento, essa puo essere rappresentata tramite le funzioni di base degli element i finiti Lagr an giani lineari . Infat ti , si puo scrivere: 3

X

=

3

L Xj VJj(x , y,z ) , Y = L YJVJj(x , y, z ) , j =O

3

Z

=

j =O

L Zj VJj(x , y, z ).

(8.6)

j =O

Gli element i della matrice J acobi an a della trasformazione si calcolano imm ediat am ent e: 4

LX j=1

J=

L Y

j =1

Z

Y

4

8 ~

0

(9.1)

dove u : (x , t) ----+ ]R denota l'incognita, x ED C ]Rd (d = 1, 2, 3), at indica la derivata parziale rispetto a t, F e una fun zione vettoriale assegnata, lineare 0 non- lineare, detta flusso, s e un a funzione assegnat a detta termine di sorgente. Se il flusso F contiene termini dipendenti dalle derivate prime di u, il problema differenziale e del second 'ordine. L'equa zione differen ziale che (9.1) deve essere completata dalla condizione iniziale u(x, O) = uo(x) , x ED per t = 0, nonche da opportune condizioni al contorno, su tutta la front iera aD nel caso il problema (9.1) sia del second 'ordine, oppure solo su un sotto-insieme aDin di aD (la frontiera di inflow) nel caso di problemi del prim'ordine. Abbiamo gia visto nei capitoli precedenti che equazioni differe nziali di questa ti po sono dette leggi di conserva zione. II metoda ai volumi finiti op era su equazioni scritte in forma conservativa com e la (9.1). Le equazioni di diffusione-trasporto-reazione che verranno studiate nel Capito lo 12, quelle di pu ro trasporto dei Capitoli 13-15, que lle paraboliche esaminate nel Capitolo 5, possono t utte essere considerate come casi particolar i di (9.1) . In effet t i tutte Ie equazioni differenziali aile derivate parziali che deriv ano da leggi fisiche di conservazione possono essere messe in forma conservativa. Con qualche sforzo supplementar e possiamo naturalm ente consider ar e il caso vettoriale, in cui I'incognit a u e un a funzione vettoriale a p cornponenti, cosl corne il terrnine di sorgente s , rnentre il flusso F e ora un tensore di dirnensione p x d. In particolar e, anche Ie equazioni di Navier-Stokes per fluidi comprimibili che verranno considerate nella Sez. 15.4 possono essere riscritte in forma conservativa. Quarteroni A.: Mode llistica N umerica per Problem i Diff erenziali, Sa edizione, Unitext - La Matematica per il 3+2. DOl 10.1007/ 978-88- 470-27 48-0_9, © Spr inger-Verlag Italia 2012

224

9 II metodo dei volumi finiti

Figura 9.1. Volumi di cont rollo in 2D (a sinist ra) e in 3D (a destra)

9.1 Alcuni principi elementari II passo preliminare per un a discreti zzazione ai volumi finiti di (9.1) cons ist e nell'id entificare un insiem e di poli edri fli C fl di diam etro inferiore ad h, det ti volumi (0 celte ) di controllo, i = 1, .. . , M; t ali che Ui fli = fl (assumeremo qui per sernplicit a che il dominio fl sia poli gon ale, in caso cont rario Ui fli ne sar a un a approssimazione). Si ved a la Fig. 9.1 per un esempio di volume di cont rollo. Ipotizzeremo inoltre che Ie celie siano a due a due disgiunte, essendo que sto il ca so pili comunement e usato, anche se que st a restrizione non e in prin cipio richiest a dal metodo. L'equ azione (9.1) viene int egr at a su ogni fl i , forn endo il sist ema di equazioni

atjudfl + jF(u).nid-"Y= j S(U)dfl, ~

8~

i = 1, . . . , M .

(9.2)

~

Abbiamo indicato con n , il versor e normale esterno a afli . In du e dimensioni, se indi chi amo con n ij, j = 1, . . . , Li, il versore normale est erno cost ant e al lato l ij di afli (e L , il num ero di tali lati: in Fig. 9.1 L , = 5), la (9.2) si puo riscrivere L

at j udfl !7;

+~ J-

j F(u) . n ij d, = j s (u ) «a, i = 1, .. . , M . iij

(9.3)

a,

In genera le, un metodo ai volumi finiti si ca ra t t erizza per la form a geomet rica dei suoi volumi di controllo, per la scelta dei gradi di liberta , ovvero pe r come rappresentiamo I'incognita u in ogni volume di cont rollo, per come approssimiamo gli integr ali (di volume e di superficie), e infine per come rappresentiamo il flusso F(u) su ogni lato in funzione dei valori dell'in cognita u sui volumi di cont ro llo ad iacent i al lato . Per la cost ruzione dei volumi di controllo si parte usu almente da un a triangolazione T" del dominio in eleme nt i dello st esso genere, t ipica ment e trian goli o qu adrilateri in 2D, t etraed ri 0 cubi in 3D, come succede ad esempio qu ando si usino gli eleme nt i finiti . La griglia puo essere st ru tt urat a , st ruttur ata a blocchi (con blo cchi disgiunti oppure sovrapponent isi), 0 non st ruttur ata. Le

9.1 Alcuni pr incipi eleme nt ar i

225

F ig u r a 9.2. Esempio di griglia strutt urata a blo cch i

griglie strutturate sono limit ate a domini di form a relat ivament e semplice, in modo che l'intero dominio, 0 ogni blocco in cui sia stat o suddiviso, possa essere mappato in un rettan golo 0 in un cubo. In Fig . 9.2 riportiamo un esempio di griglia strutturat a a blocchi. Una volt a t riangolato il dominio si possono seguire du e st rade. Nei metodi detti cell-cen tered, gli element i della griglia T" fungono dir ettament e da volumi di cont rollo. Conseguentemente, le incogni t e sono collocate in un punta interno a ciascun elemento, tipicamente il bari centro, che chiamiamo nodo . Quest a scelta apparente ment e naturale dei volumi di controllo presenta pero uno svant aggio: non essendovi nodi che giacciono sul bordo di D , l'imposizione delle condizioni al bordo essenziali richieder a degli accorg iment i par t icolari, che esamineremo in seguit o. Per ovvi are a t ale inconvenient e si possono costruire i volumi di cont rollo at t orno ai ver ti ci di Th , dove verranno quindi collocate le incognite. Qu esto da luogo ai coside t t i schemi vertex-centered. Talvol t a , in problemi a pili ca mpi che coinvolgono pili vari abili , ent rambe le t ecniche sono usate contemporaneamente per collocare le diverse incognite in nodi diversi. Si dira in questo caso che si hanno metodi su gr iglie sf alsate 0 staggered ; ne accenneremo nella Sez. 16.11 dedi cata alla discreti zzazione delle equazioni di Navier-Stokes. Un esempio eleme nt ar e su gr iglia strutturata qu adran golar e e riportato in Fi g. 9.3, dove sono indi cati anche i volumi di cont rollo per schemi cell-cen tered e vertex-cente red. Questi ultimi sono definiti dai qu adrati

Dr =

{x E D

:

Ilx - xilloo < h/2},

Di = Dr n D,

essendo {x.] i verti ci dei qu adrati {K} della griglia di par t en za 7,,, che coincidono in qu esta caso con i nodi dei volumi di cont ro llo.

226

9 II metoda dei volumi finiti

•

•

•

•

•

•x · •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

~

an

: : -- e --: x--

-_ .

-.

--

--.--:

.-

:

: ---or--

-- ~ - --

:

---.--

--

. . • .. .

-- --

·· e --

-- .

:

:

:

..

;.;--

an

--..

Figur a 9 .3. Volumi di cont rollo (ind icati in gri gio) generat i da un a part izione d i un dominio n quadrato con eleme nt i quadrati di lat o h . Nella figura di sinist ra si riporta it caso cell-centered, in qu ella d i destra it cas o vertex-centered

Qu est e du e scelt e non esaur iscono Ie possibili t a che si incontrano in pratica. Talvol t a Ie vari abili sono collocate su ciasc un lato (0 faccia in 3D) della griglia T" e il volume di cont rollo corrispondent e e form ato dagli elementi di Th adiacent i al lat o (0 alia faccia) . In generale, un approccio a volumi finiti e semplice da impl ement ar e (e Ie celie della discretizzazione possono essere scelt e di form a assai generale), la soluzione e tipicam ente considerata come un a funzione cost ante in ogni volum e di cont rollo, Ie condizioni al contorno di Neumann si impongono in modo nat urale, e la formulazione st essa del problema esprime la conservazione locale dell a qu anti t a dQ. Lo svantaggio potenziale e l'o gget tiva difficolt a a disegn ar e schemi di' ord ine elevat o, la necessit a di dover t rattare Ie condizioni al bordo essenziali in modo par t icolar e per i metodi cell-cen tered ; infine, I'an alisi mat em ati ca e meno sem plice che nel caso dei metodi di Galerki n non pot endosi applicare direttamente Ie te cniche vari azion ali come si fa per i metodi di Galerkin.

In u

9.2 La costruzio ne dei volumi d i controllo per sc hemi

vertex-centered Nel caso di griglie non st rutturat e triangol ari in 2D 0 t et ra edriche in 3D , la cost ruzione dei volumi di controllo attorn o ai vertici di T" non e ovvi a. In teoria si potrebbe scegliere come volume di cont rollo Q i I'insieme di t ut t i gli element i che cont engono il verti ce X i , Qu esto pero genererebbe dei volumi di controllo a int ersezion e non null a, un a sit ua zione che, per qu anta ammissibile, non e deside rabile. Ci si puo allora avvalere di alcuni concet t i geometrici. Consideri amo a ti tolo di esempio un dominio bidimensionale Q c ]R2 , limitato , con frontie ra poligon ale, e sia {xihEP un insieme di punti, che chiameremo nodi , di Q . Ti picam ente qu esti punti sono quelli in cui si int ende fornire un 'approssim azione

9.2 La cost r uzione d ei volu mi di cont rollo per schemi ver tex-cen tered

227

della soluzione u . Qui P indi ca un insieme di indi ci. A ciasc un nodo associamo il poligono (9.4) con i E P . L'insieme {Dr, i E P} e detto diagramma, 0 anche tass ellazion e, di Voronoi associato all' insieme di punti {Xih EP ; Dr e chiamato i-esimo poligono di Voronoi . Per un esempio si ved a la Fi g. 9.4. I poligoni cost ot t enu ti sono convessi, rna non necessari amente limitati (si considerino ad esempio quelli adiacent i la frontier a). I loro vertici sono det ti vertici di Voronoi, e sono detti regolari qu ando sono punto d 'in contro di t re poligoni di Voronoi, degeneri se ve ne convergono almeno qu attro. Un a tassellaz ione di Voronoi con tut ti i verti ci regolari e det t a a sua volt a regolare. A questo punta possiamo definir e i volumi di cont rollo Di introdotti nella precedente sezione come

Di = Dr n D, a

i E P.

(9.5)

Per ogni i E P , indi chiamo con Pi l'insieme degli indici dei nodi adiacent i ovvero Pi = {j E P \{i} : n -I- 0}.

Xi ,

eu, ou,

Indichiamo inoltre con lij = oDi n oDj , j E Pi, un lato dell a frontiera di D i condiviso da un volume di cont rollo adiacent e, e con m ij la su a lun ghe zza. Se il diagr amma di Voronoi e regolare si ha che m ij > o. In que sto caso , se congiungiamo ciasc un nodo Xi con i nodi di Pi ott eni amo un a t riangolazione di D che coincide con la t riangolazione di Delaunay (si veda la Sez. 6.4.1) dell'inviluppo convesso dei nodi. Nel caso ci siano dei vertici degeneri nella tassellazione di Voronoi, da que st a procedura si ottiene ancora un a t riangolazione di Delaunay ope rando un a t rian golazione opportuna dei poligoni Di costruiti intorno ai verti ci degeneri . Chi ar am ent e, se D e convesso il pro cedim ento sopra descrit to ne forni sce dir et t am ente una t riangolazione di Delau nay. Si ved a per un esempio la Fig. 9.5. II procedimento inverso e pure possibil e, not ando che i verti ci del diagr amma di Voronoi corr ispondono ai cent ri dei cerchi circoscrit t i ai t riangoli (circocentri) della t riangolazione di Delaunay corr ispondent e. Gli

a, = sty

Figura 9.4. Un d iagramma d i Voronoi

228

9 II metodo dei volumi finiti

Figura 9.5. Triangolazione di Delaunay (a destra) ottenuta a partire da diagr amma d i Voronoi (a sinistra) . I pallini ind ica no i nod i {xihE'P

ass i dei trian goli forrnano quindi i lati della tassellazione. Qu est 'ultima rappresent a quindi un possibil e insiem e di volumi di cont rollo associate ad un a assegnata trian golazione di Delaunay (si veda per un esempio la Fi g. 9.6). II diagr amrna di Voronoi e la triangolazione di Delaunay stanno in effetti in un a rel azione di du alita : ad ogni vertice dell a tassella zione di Voronoi corrisponde biuni vocam ente un element o (trian golo) della trian golazione di Delaunay e ogni ver ti ce della trian golazione di Delaunay e in corrispondenza biunivoca con un poli gono della tassellaz ione e quindi con un nodo. Vi sono due interessanti proprieta che vale la pena di sot t olineare. La prima e che il cent ro del cerchio circoscritto ad un t rian golo non ottuso K st a all'int erno della chius ura di K . Pert an to se un a triangolazione di Delaunay ha t utti gli angoli non ot tusi, i ver ti ci del diagr amrna di Voronoi corr ispondent e sono t utti cont enuti in D . La seconda e che, se indichiarno con V i , i = 1,2 , 3, i vertici del trian golo non ottuso K, e con D i •K = Di n K la porzione del volume di cont rollo Di inclu sa in K , allora si hanno le seguenti disugu aglian ze t ra le misure di K e D i ,K 1

4 1K1< IDi,KI


0,

~

(30

Essendo inoltre ( Vh' Vh ) h uniformemente equivalente al prodotto scala re esat to ( Vh ' Vh ) per funzioni di Vh , la disugu aglianz a precedente ass icura la st abilita del problem a (9.13) . Infin e, il metodo e convergent e, linearment e risp etto ad h . Precisamente

nell'ipotesi che Ie norme a secondo membro siano limit ate. Per la dimostrazion e si ved a, ad esempio, [KAOO]. Rinviamo alia st essa referenza anche per l' an alisi di alt re propriet a del metodo, qu ali la monotonia e Ie proprieta di conservazione.

9.5 Implementazione delle condizioni al bordo Come det to il problem a differenzi ale considera t o va complet at o con condizioni al bordo opportune. Per un problema scritto in form a conservativa Ie condizioni al bordo naturali consistono nell 'imporre i flussi, ovvero

F(u) ·n =h

su r N c fJD .

La loro implementazione nel contesto dei volumi finiti e immediata. Bast a agire suI flusso numerico relativo ai lati di bordo, imponendo

dove X ik e un punta opportuno cont enut o in l ik, tipicamente il punto medio. Per qu anto rigu arda Ie condi zioni di tipo essen ziale, 0 di Diri chlet, dell a form a u = 9 su To C fJD , la loro applicazione e immedi ata nel cont est o di schemi vertex-cen tered in qu an to bast a aggiungere I'equazion e corr ispondent e per i nodi giacent i su rD. Come gia osservato, la que stione e piu delicata per schemi cell-centered, non essendoci in que sto caso nodi suI bordo. Un a possibili t a e quell a di imporre Ie condizioni debolmente , in modo ana logo a qu anto gia illust rato, in un cont est o diverso, nel Capitolo 13. Si trat t a di modifi car e opportunam ent e i flussi numerici sui lat i imponendo

La Fig. 9.10 illustra la sit ua zione per un volum e di cont rollo cell-cen tered adiacent e al bordo.

234

9 II metodo dei volumi finiti

Figura 9.10. II flusso numeri co sul lat o l i k appartenete al bordo di Diri chlet viene calcolat o in modo da implem entar e la cond izione a l bordo

Spesso t uttavia , nella pr atica, la condi zione al bordo di Diri chlet per i volumi finiti cell-cent ered viene implementata utilizzando i cosidetti nodi fantasma . In pr ati ca per ogni lato l ik suI bordo si genera no dei nodi addiziona li, esterni al dominio , a cui vengono at t ribuit i i valori al bordo corr ispondenti . In questa modo il ca lcolo dei flussi numeri ci e form alm ente identi co anche per i lati al bordo.

10

I metodi spettrali

Come abbia mo visto nel ca pit olo precedente, qu ando si appross imano problemi ai limiti con il metodo degli element i finiti , l'ordine di convergenza e comunque limitato dal grado dei polinomi usati , anche nel caso in cui Ie soluzioni siano molto regolari. In questa capit olo introdurremo i m etodi spett rali, per i quali la velocita di convergenza e limit at a dalla sola regolar ita della soluzione del problema (ed e di t ipo esponenziale per soluzioni an alitiche). Per un 'an alisi dettagliat a rinvi amo a [CH Q Z06, CHQZ07, Fun92, BM92 ].

10.1 II m etodo di G alerkin spet t ra le per problemi elli t t ici La pr incipale car atterist ica che differenzia gli eleme nti finiti dai metod i spettrali propriamente detti, nella loro versione classi ca "rnonodominio", e che questi ultimi utilizzano polinomi globali sui dominio computaziona le [2 , anziche polinomi a trat ti . Quest a differenza e t uttavia compensata nel caso degli eleme nt i spettrali. P er ogni int ero positivo N, deno ti amo con iQN 10 spazio dei polinomi a coefficienti reali di gra do minore 0 eguale ad N risp et to a ciascuna delle vari abili. Cosl in una dimensione indicheremo con N

10 spazio dei polinomi di grado dimensioni,

:s:

I:> kxk, ak

JR.}

(10.1)

N sull'intervallo I c

JR., mentre, in due

iQN(I ) = { V(X) =

k=O

E

N

iQN([2 ) = { v(x ) =

L akmX~X~,

k,m=O

akm E JR.}

(10.2)

denot era il medesimo spaz io, rna sull'insieme aperto [2 C JR.2. Not iamo che, mentre in un a dim ensione iQN = lP'N, in pili dimensioni cio non accade . In Quarteroni A.: Modellistica Nu merica per Problemi Differe nziali, Sa edizione, Unit ext - La Matem atica per il 3+2. DOl 10.1007/978-88-470-2748-0_ 10, © Spri nger-Verlag ltalia 2012

236

10 I metodi spettrali

par ticol ar e, dim QN = (N + 1)2, mentre, come gia visto nel capit olo precedente, dim lP'N = (N + 1)(N + 2)/2 . Supponiamo di voler appross imare la soluzione u di un problem a ellit t ico che ammett e la formul azione vari azion ale (4.1) . Con un metodo di Galerkin spettrale (!VIS) , 10 spazio V verra approssimat o con uno spazio VN C Q N e la solu zione approssimata verra conseguent ement e indi cata con U N. In particolare, se supponiamo che V 10 spazio H~D(D) (10 spazio definito in (3.28)) , VN deno ter a I'in sieme dei polinomi di Q N che si annullano sulla porzione di frontier a r D su cui si ha un a condizione di tipo Diri chlet , ovvero C V . n metodo di Galerkin !VIS verra dunque formul ato suI sott ospazio VN. Nella defini zione di VN e pero insit a un a difficolt a: nel caso mul tidimension ale non e infatti possibil e (in generale) richiedere che un polinomio VN si annulli soltant o su un a parte ar bit raria del bordo di D. Ad esempio, se D e il qu ad rato (-1 ,1) 2, non e possibil e cost ru ire un polinomio che sia nullo solo su un a parte di un lato del qu adrato senza che esso sia nullo su t ut t o quellato (si ved a la Fi g. 10.1). Cia non to glie che un polinomio pos sa annullarsi su t ut t o un lato del qu adrato 0 su tutti i lati sen za essere necessari am ente nullo in tut to D (ad esempio, V2(X) = (1 - x i )(1 - x~ ) e nullo solo suI bordo di D) . P er questa motivo, nel caso bidimension ale restringiamo la nostra at te nzione a domini qu adrati (0 riconducibili, tramite opportune t ras formazioni, ad un qu adrato di riferimento fj = (-1,1) 2) e supponiamo che la porzione di frontier a r D sia form ata dall 'unione di uno 0 pili lati del dominio. Il metodo spettra le puo t ut t avia essere este so al caso di un dominio D cost it uito dall 'unione di ~quadrilateri D k , ciascuno dei qu ali ri conducibi ~ al qu adrato di riferimento D medi an te un a t rasformazione invertibile 'Pk : D ----+ Dk (si ved a la Fi g. 10.2) . P arleremo in tal caso di metoda agli elem enti spett rali (MES) [CHQZ07] . E evide nte che in tale ambito si potra imporre che la soluzione si annulli su porzioni di frontiera dat e dall 'unione di lati dei qu adrilateri, rna naturalm ente non da porzioni di lati (si ved a la Fig. 10.2). Lo spazio discreto ha or a la form a seguente

E evidente che VN

DO Figura 10.1. Bordi di Dirichlet ammissibili (a sinist ra) e non (a destr a) per il metoda

spettrale

10.1 II metoda di Galerkin spettrale per problemi ellittici

237

Figura 10.2 . Scomposizione del dominio di risoluzione e condizioni al bordo ammissibili per it MES

~-

Figura 10.3 . La trasformazione 'P k nel caso dell 'interpolazione transfinita

E sempio 10.1. Una mappa bidimensionale particolarmente importante e qu ella costituita dall'in terpolazione transfinit a (detta trasj orm azione di Gordon-Hall 0 anche Coons patch) . La mappa 'P k , in questo caso, viene espressa in fun zione delle mappe invertibili -rrki ) : (- 1,1) --> T, (per i = 1, ... ,4) che definiscono i q uattro lati del dominio computazionale fh (si veda la Fig . 10.3) . La t rasfor mazione assume la forma segu ente

+ -1

4 1 + 7) 3 1 - 7) 1 2-[-rrk (r/) - - 2- -rrk (1) - - 2- -rr k (- 1)]

-~

(10 .3)

+ 1 + ~ [-rr~ (7)) _ 1 + 7) -rr~ ( 1 ) _ 1 - 7) -rr~ ( - 1)]. 2 2 2 L'interpolazione transfinita consente dunque di passare a considerare domini comput azionali [J ca ratterizzati da bordi curvi. Per altri esempi di trasformazioni si ved a [CH Q Z07]. • L'approssimazione d el problema (4.1) can il m etoda spettrale di G al erkin (MS) e la seguente

238

10 I metodi spettrali

mentre qu ella ad eleme nt i spettrali (MES) sara

(10.4) dove

ac(UN,VN) = Lash(U N,VN), k

Fc(VN) = LFsh(VN), k

essendo anJ, ,) e Fn J) le restrizioni di a(· ,·) e di F( ·) a fh . Poi che questi metodi rappresent ano un caso parti colar e del metoda di Galerkin (4 .2) , l' an alisi fatta nella Sez. 4.2 continua a valere e quindi , in par ticolare, si possono applicare i risultati di esistenza, unici t a, stabilita e convergenza. Si puo inol t re dimostrare che, per i metodi spettrali MS e MES , valgono le seguent i stim e a priori dell 'errore. Teorema 10. 1. Sia u E V la soluzion e esatt a del problema variazionale (4.1) e si supponga che u E HS+ 1(S? ), per qualche s ;::: O. Se UN e la corrispon dente soluzion e approssimata ott enuta con il m etodo MS, vale la seguente stima

essendo N il grado dei polinomi approssimanti e C; una costante che non dipend e da N , ma pub dipendere da s . Se UN C in vece la soluzion e ott enuta con il metoda MES, allora si ha

essendo H la massima lunghezza dei lati dei ma croelem enii S?k.

E pertanto evide nt e che , diversamente da qu an ta avviene nel metoda ad elementi finiti, un a maggior regolarita della solu zione si ripercuote in un aument o dell a veloci t a di convergenza pur supponendo di aver fissato il gr ado polinomiale N. In parti colar e, se U e an alit ica l'ordine di convergenza del metoda spettrale divent a pili che algebrico, ovvero esponenziale; pili pr ecisam ente, :ly > 0 :

Ilu - uN III-p (n ) ~ C exp (- 1'N).

An che nel caso in cui U abbia regolarita finit a , si riesce comunque ad ottenere dal metoda spettra le la massim a velocit a di convergenza consent ita dalla regolarita dell a solu zione esatta: questo e un indiscutibile vantaggio dei metodi spettrali rispe t to agli elementi finiti. II limite princip ale dei metodi spet t rali classici e che riescono a t ra t tare solo geomet rie semplici: ad esempio, in due dimensioni, ret tangoli 0 qu adrilateri mappabili in un qu adrato tramite un a t ras formazione inver tibile. Tuttavi a ,

10.2 Polinomi ortogonali e int egr azione numer ica ga uss ia na

239

come gia accennato, si possono este nde re , attraverso it MES , al caso in cui it dom inio sia dato dall 'unione di qu adrilat eri , event ualment e anche con lati cur vi. Un ult eriore svantaggio dei metodi spettra li classici st a nel fat to che la matrice di rigide zza A ad essi assoc iata e piena (nel caso monodimension ale) 0 comunque molto meno sp arsa di quella degli eleme nt i finit i (in pili dimensioni) , a ca usa del fatto che le fun zioni di base di tale metodo hanno supporto globa le (e non locale) . 11 sistema di equazioni ad essa associato risul t a quindi in generale pili difficile e pili costoso da risolvere. Non e infine da sottovalutare 10 sforzo com putazionale richiest o pe r calcol are gli elem enti della matrice di rigide zza e del termine noto, in qu anto si ha a che far e con polin omi di grado elevat o. Qu est 'ul t imo inconveni ente vien e sup erato gra zie all' uso d i opportune formul e di integrazione num erica d i ti po ga uss iano, ogget to della pro ssim a sezione. Osservazione 10.1. Nel corso della Sez . 10.5 alla fine di questa ca pitolo verra forni t a la formul azione algebrica del metodo ME S pe r un problema monodimension ale . In particolare verranno int rodotte le fun zioni di base pe r 10 spazio vfj dei polinomi com posit i. • Osservazione 10.2. L'approccio MES ha un a formulazione non mol to diver sa dall a versione p del metod o degli eleme nt i finiti. In ent rambi i casi, it numero dei sottodomini fh e fissato mentre it grado locale dei polinomi (N nel cas o del MES , p per 10 schema ad elementi finiti) viene aume ntato local mente al fine di migliorare l' accuratezza dell 'approssimazione numerica. La differenza prin cip ale ca ra tterizzante tali sche mi sta essenzialment e nella diversa scelta delle fun zioni di base e, conseguent ement e, nella diver sa st ruttura ass unta dalla mat rice di rigid ezza. Per ult eriori dettagli rirnandiamo it let tore int eressato a [CHQZ07, Sch98]. •

10.2 Polinomi ortogonali e integrazione numerica gaussiana In quest a sezione int roduciamo gli ingredi enti matem atici che conse nt ono di costru ire formul e di integr azione numerica di t ipo Gau ssiano. Come an t icipato, tali formule saranno alla base dei metodi pseudo-spettrali , rna anche dei metodi ag li elem enti spett rali che facciano uso di formule di integr azione numenca.

240

10 I met odi spettrali

10.2 .1 Polinomi ortogonali di Legendre

Cons ideriamo una funzion e f : (- I , I ) e definito da (si veda la Sez. 2.3.1)

lR. Ricord iamo che 10 spaz io L2 ( - I , I )

----+

J 1

L ( - 1, 1) = { f : (-1,1) 2

----+

1Ft :

Il fIIL2 (- I,I) = (

f2( X) dX)

1/ 2


1 - 2(N - 1)

(10.32)

Una maggiorazione per AN si ottiene ricorrend o alia disuguaglianza inversa per i polinomi algebrici, secondo la quale (si ved a [CHQ Z06], Sez. 5.4.1)

::3

C>0

V P E VN

1 p2(x)

,

IIPxII V(- I,I) S; hN ( / 1 - 'x 2 dx - 1

)

1/ 2

(10.33)

10.3 Metod i G-NI in una dimensione

251

Allora

(10.34)

dove si e usat a l'esat tezza della formul a di quad rat ur a GLL (si veda la (10.20)), essendo [uN F / (1 - x 2) E lP'2N- 2. Poiche per il coefficient e OJ vale la st ima asint ot ica : oj /( 1 - xl ) :s: C , per un 'opportuna costant e C indipend ente da N , possiamo concludere, gra zie alla (10.31) e alla (10.34) , che (10.35) Si puo infine dimost rare che entrambe le st ime (10.32) e (10.35) sono ot timali per qu anto attiene al comportament e asint ot ico rispetto aN. 10.3 .3 Equivalenza tra il metodo G-NI e un metodo di co llo ca zio n e Vogliamo most rare che esiste un a relazione precisa fra il metodo G-NI e i m etodi di collocazione, quei metodi cioe che impongono il soddisfaciment o dell'equa zione differen ziale solo in punti seleziona t i dell 'intervallo di definizione . Consideriamo ancora it problema di Dir ichlet omog eneo (10.22) , il cui probl em a G-NI associato si scrive nella forma (10.26) . Vorrem mo controint egrare per parti l'eq uazione (10.26) , rna, per poterlo fare, dobbiamo prima riscrivere i prodot ti sca lar i discreti sot t o form a di inte gr ali . Sia II f!r LL : CO([- I, I]) f---+ QlN l'operatore di inte rpol azione int rodotto nella Sez. 10.2.3 che associa ad un a fun zione cont inua il cor rispondent e polinomio int erpol an t e tale fun zione nei nodi di Gau ss-Legendre-Lobat to. P oiche la formula di qu adratura GLL usa i valori della funzione nei soli nodi di qu ad ratura e poiche ivi la funzio ne e il suo interpolato G-NI coincidono, si ha N

N

L od(Xi) = L OiIIf!rLL f( Xi) = t= O

t=O

J 1

II f!rLL f (x )dx ,

- 1

dove l'ul ti ma ugu aglian za discend e dalla (10.20) in quanta II f!rLL f viene int egr ato esat t amente , essendo un polinomi o di grado N. II prodotto sca lare discreto puo essere cosl ricondotto ad un prodotto scalar e in L 2 ( - 1, 1), nel caso in cui un a delle due fun zioni sia un polinomio di grado st rettament e minore di N, ovvero (10.36)

252

10 I metodi spettrali

In t al cas o, infatti , (IIiJLL f)g E !Q2N- l e quindi I'in tegral e viene calcolato esat t ame nte. Integr ando per parti gli integr ali esat t i, si ot t ien e! (ILU~, V~ )N

= (IIiJ L L(llu~), V~) N = (IIiJ L L(llu~), v~) = - ([IIiJL L ( ILU~ )]1, VN)+[IIiJ L L ( ILU~ ) VN] ~ l = _ ([IIiJL L ( IlU~ )] / , VN )N,

dove I'ultimo passaggio si giustifica poiche VN si annulia al bo rdo ed i t ermini nel prodotto scalare d anno luogo ad un polinomio il cui grado tot ale e pari a 2N - 1. A questo punta possiamo ris crivere il problema G-NI come seg ue (10 .37) dove si

e defini to (10 .38)

Imponendo or a che la (10.37) valga per ogni fun zione di base 7/Ji , si ot tiene

Esaminiamo ora come del segno, vale

e fat t a

la i-esima equazione . II pr imo t ermine, a meno

N

( [IIiJ LL(llu~ )]', 7/Ji )N = Laj [IIiJ LL(llu~ )]'(Xj)7/Ji(Xj) = adIIiJLL(llu~ )]'(Xi) ,

j=O

grazie al fatto che

7/Ji (x j ) = 6ij.

An alogam ente, per il secondo termine, si ha

N

(CJUN, 7/Ji )N = LajCJ(Xj)UN(Xj)7/Ji(Xj) = a w (xi )uN (Xi). j=O Infine, il secondo membro diviene (j, 7/Ji)N = 'L.r ! =o a j f (Xj )7/Ji(Xj ) = ad(xi). Dividendo per a i I'equazione cost t rovata, si ot tiene, in definitiva , il seg uent e problema equivalente al problema G-NI

L NU N(Xi) = f( Xi ), i = 1,2, .. . , N - 1, { UN(XO) = 0,

(10 .39)

Questo problema si di ce di collocazione pe rche equivale a collocare nei nodi interni Xi I'equazione differen ziale ass egnata (previ a appross imazione dell 'operato re differ enziale L con I'oper atore L N ) , nonche a sodd isfare Ie cond izioni al contorno nei nodi di bordo. 1

D'ora in poi, per se rn plicita di notazione, indicheremo la soluzione G-NI con UN (anzich e UN) , non essendoci pili rischio di confusione con la soluzione spet t rale.

10.3 Metodi G-NI in una dimensione

253

Introduciamo ora il concetto di derivata di interpolazione , D N (iP) , di una funzione continua , identificandola con la derivata del polinomio int erpolatore IIfjLL definito secondo la (10.14) , ovvero

D N (

_..

>

200

2~O

soo

50

3~

100

I :tiD

N

200

250

.'00

.150

Figur a 10.9. E rro re in H I (- I , 1) (a si nistra) ed errore suI d ato d i Neuma nn (a d estra) al vari are di N

dove L N e defini to in (10. 38) . Si noti che nei nodi di bordo viene sodd isfatta la condizione d i Neumann a meno del residuo L Nu N - f mol tiplicato per il coefficient e della formula GLL che e un infini tesimo di ordine 2 risp et to a l i N . In Fig. 10.9 riportiamo l'errore nell a norma H I (-1,1) (a sini stra) ed il valore assoluto della differenza (t.Lu~)( ±l) - g± (a de stra) per diversi valori di N. Entrambi gli errori decadono esponenzialmente al cres cere di N. Riporti amo inol tre gli err ori ottenuti usando Ie appross imazioni di Galerkin ad eleme nt i finiti di grado r = 1,2, 3. Infine, e util e osservar e che la derivat a di interpolazione (10.40) si puo rap presentare att raverso un a matrice D E 1R(N+ I ) X(N+ 1), detta matrice della derivata di interpolazione, la qu ale associa ad un qu alunque vet tore v E IR N + I di valori nodali Vi = ~ , allora M

L.J ~ 2min{IJ"r,+l}-l llul!!, I Ha,.(!!, ). I I U - UrS I I sono st ate calcol ate medi ante (11.27) , si procede al ca lcolo dell a matrice S ed alia risolu zione del sist ema lineare (11.29) (0 equivalentemente (11.31) come abbia mo desc rit to nella Sez. 11.7) . P er qu an ta concern e l'analisi dell'errore di appross imazione si ha un risul t ato di convergenza ottimale [BMP94] che genera lizza le st ime (11.19) e (11.20) . Tr a i domini Di (con i = 1, . . . , ]\II ) distinguiamo quelli con discretizzazione spe ttrale Di s, per i = 1, .. . , ]\lIes, da quelli con discretizzazione element i finiti n iet , per z. -_ 1 , . .. , lu -! • H V. Se la soluzione u del problem a cont inuo (3.14) e la funzione f sono sufficient ement e regolari in ogni sot t odominio Di , cioe u ln.; E H ~ e f ln;-' E HPi (Di S) con Pi > 1 per i = 1, . . . , M?" , allora

Il u- usll

M

leqC(

es

L

i= l

N i1- ::

---+-- Il u - - Do- -

Ilu -

u6 11J11 (Om }

UfJ

- - broken

3

10- L--

---&--

II IJ 1 (.fl o"l )

110 ["111 V l'i

,~ ' U

h r ,.

- - - - - ...!:::::= = === = = = = :=:!.J

Figura 11.16. Errori asso luti in norma H I e in broken-norm pe r l'approssim azione mortar master-elementi finit i/ slave-sp ettrale

Gli errori a sinistra si riferiscono ad un a partizione di Dm in 3 x 3 elementi spettrali con grado N m = 6, e di Ds in 2n s x 2n s triangoli uguali, con n s = 20,40, 80,160 (h s = 2/n s ) . Gli errori a destra si riferi scono ad un a par ti zione di Dm in 3 x 3 element i spettrali con gra do N m = 8, e di D s in n s x n s qu adrilat eri ugu ali , con n s = 10,20, 40, 80 (h s = 2/n s ) . Osservi amo che I'errore nel dominio slave degli element i finiti decresce come h~8 (essendo r s il gra do polinomiale degli element i finiti ), mentre I'errore nel dominio master non raggiunge l' accurate zza spet t ra le poiche risente dell a peggior acc uratezza suI dom inio slave. Tu t t avia esso decresce come h~s +l e I'errore in broken- norm e in acco rdo con la st ima (11.20) . II numero di it erazioni richiest e dal Bi-CGSt ab precondizionato con precondizion atore ugu ale a E m , fissat a un a t ollera nza E = 10- 12 suI test d 'arresto, decresce leggermente con h s in entrambe i t est e va da un valore di 8 it erazioni per h s = 1/10 a 5 it erazioni per h s = 1/40. In Fi g. 11.16 sono riport ati i risul t ati numerici per l' approssim azione del problema (11.33) con elem enti finiti IP'! nel dominio master ed elementi spet t ra li nel dominio slave. Le fun zioni f e 9 ed i sottodomini sono definiti come nei cas i precedenti . II dominio D s e stato parti zionato in 4 x 4 element i spettrali con gra do N; = 6, ment re in Dm sono state considera t e t rian golazioni uniformi di 2n m x 2n m triangoli, con n m = 20,40,80,160. In particolare sono mostrati gli errori assolut i in norma H 1(Di ) e I'errore nella broken-norm tra la soluzione esatta e la solu zione mortar al variare dell a m esh-size h s in D s . In quest a caso, con approssimazione mor t ar suI dominio mast er e spettra le suI dominio slave, ent rambi gli err ori in Dm e D s decrescono linearmente con h m . An che in questa caso il numero di it er azioni richieste dal Bi-CGStab pre condizion ato con pre condizion atore uguale a Em , fissat a un a toller an za E = 10- 12 suI te st d 'arresto, e indipendente da hi e ::::: 8 in t ut t i i test.

12

Equazioni di diffusione-trasporto-reazione

In questo ca pit olo consideriamo problemi della form a seguente - div (lLV'u ) + b . {

»«+ au = f

u =o

in D,

(12.1)

su 3D,

dove IL, a, fe b sono fun zioni (0 costanti) assegnate. Nel caso pili genera le supporremo che IL E LOO(D) , con lL( x) 2': 1L0 > 0, a E L2(D) con a(x) 2': 0 q.o. in D, b e [LOO (D)]2, con div (b ) E L2(D), e f E L2(D) . Problemi come (12.1) modellano i processi fisici di diffusione, t rasport o e reazione . Per un a deriv azione di questi modelli, e per cogliere l'analogia con pro cessi di ca mminata aleat oria (random walk), si veda [SaWS, Cap. 2]. In molte applicazioni pr atiche il t ermine di diffusion e - div (lLV'u ) e dominato dal termine conv ettivo b . V'u (detto anche di trasporto) 0 da que llo reattivo au (detto anche di assorbim ento qu ando si faccia I'ipot esi di non neg ativit a di a). In questi casi, come vedremo , la soluzione puo dar luogo a strati limite, ovvero a regioni , generalmente in prossirnita della fronti era di D, in cui la soluzione e caratterizzata da fort i gradient i. In questa capit olo ci proponiamo di analizzare Ie condizioni che assicurano l'esistenza e l'unicit a della soluzione del problem a (12.1). Considereremo poi il metoda di Galerkin, ne illustreremo Ie difficolta a fornire soluzioni stabili in presen za di strati limit e, quindi proporremo metodi di discretizzazione alternativi per I'approssimazione di (12.1) .

12 .1 Formulazione d ebole del problema Sia V = Hb(D). Int rod ucendo la forma bilin ear e a : V a(u, v ) =

J

1I V' U ' V'v dD

n

+

J

vb ·

n

»«dD +

J

auv

X

aa

V

f---+

JR.,

'Vu , v E V, (12.2)

n

Quarteroni A.: Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Sa edizione, Unit ext - La Matem atica per il 3+2. DOl 10.1 007/97 8-88-470-2748-0_1 2, © Springe r-Verlag ltalia 2012

306

12 Equazioni di diffusione-trasporto-reazione

la forrnul azion e debol e del problem a (12.1) divi ene trovar e

U

E

V :

a(u , v) = (J, v)

'Vv E V.

(12.3)

Al fine di dimost rare I'esistenz a e l'u nicit a della soluzione di (12.3) vogliamo porci nelle condi zioni di applicare il Lemma di Lax-Mil gr am. Per verificare la coe rcivita della form a bilineare a(· , .), op eri amo separa tamente sui singoli t ermini che compongono la (12.2). Per il primo t ermine abbiamo

JIL'VV.'Vv dO ~ ILo ll'Vv ll[ 2(J?).

(12.4)

J?

Poiche v E H6(O) , vale la disugu aglian za di Poincare (si ved a la Sez. 2.4)

(12.5) Pert anto

e, quindi , dalla (12.4) , segue

JIL'VV.»» as: ~ 1 :~h Il vll~I' (J?).

J?

Passi amo or a a considera re il termine convettivo

= - ~ J v 2 div (b ) dO , J?

essendo v = 0 su [)O . Se or a sommiamo a questa t ermine quello relativo al t er mine di ordine zero, ot teniamo

J v b · s » aa + J !Jv 2dO = J v 2(- ~diV(b) + !J) «a,

J?

e tale integr ale

J?

e sicuramente

J?

positivo se si suppone che (12.6)

12.1 Formulazione deb ole del problem a

307

In definitiva, se vale la (12.6), la forma bilin eare a(·, ·) risu lta coerciva essendo a(v , v) ~ ex l l v ll~ ' (J?)

'Vv E V,

con

ex =

fLo

C

1 + J?2

.

(12.7)

Affinche la form a bilin eare a(·, .) sia cont inua deve, invece, esistere un a cost ante positiva M t ale che

la(u , v)1 :s;

.l\!Jllulll'l'(J?) Il vllfI'(J?)

vu, v

E

V.

(12.8)

II pr imo termine al secondo membro della (12.2) pu o essere maggiorato come segue

!Jl'Vu . s » aa

J?


1, al numera tore compare un a potenz a con base nega t iva e quindi la soluzione approssimat a divi ene oscillan te, al cont ra rio della

12.3 An alisi di un problem a di diffu sion e-reazione monodimensionale

........

I- - -

esana

Pe locale. 2.63 Pe locale. 1.28 Pe locale. 0.63

I

313

.

.',:

.' :

i :

i ;~

t:

; : i ;'

0.5

_.-.-.-... .

- ',

.'-,' . ... . ...

, t"

..... ,,,

;

""' ,

"'i.

\, "

"'

-o.s 0 .e

0.85

, , -- :

.: J

!

i-:

"

0 ,75

;'

i ;'

".

0.'

f I

"

\iI

.'

0 .95

Figura 12.2. Soluzione agli eleme nt i finiti del problem a di diffusione trasporto (12 .18) con IPe g = 50 per div ersi valori del numero di Peclet locale

soluzione esatta che e monotona! Questo fenomeno e esem plificato in Fig. 12.2 dove la soluzione della (12.24) per valori differenti del numero di Pec let locale e confrontata con la soluzione esat ta per un caso in cui il num ero di Peclet globale e pari a 50. Com e si puo osservare, pili il numero di Peclet locale aumenta, pili I'andamento della soluzione approssim ata si discost a da quello della soluzione esatta, presentando oscillazioni che diventano sempre pili marcate in corrispondenza dello strato limit e. II rimedio pili ovvio e quello di scegliere il passo h della mesh sufficientemente piccolo, in modo da garant ire ~ < 1. Tu ttavia questa soluzione non e sempre conveniente: ad esempio, se b = 1 e f.L = 1/5000 , bisognerebbe pr endere h < 1/2500 , ossia introdurre sull' inte rvallo (0,1) almeno 2500 int ervalli! In particolare, tale strategia puo rivelarsi asso lutamente impraticabile per problemi ai limiti in pin dimensioni. Una ragionevole soluzione alte rnat iva e rappresentata da una strategia di raffinamento adattivo che infittisca la griglia solo in corrispondenza dello strato lim ite. Diverse strategie si possono seguire a questa scopo. Fra Ie piu note citiamo Ie cosiddette gr iglie di tipo B (da Bakhvalov) 0 di tipo S (da Shishkin) . Si ved a ad esempio [GRS07].

12 .3 Analisi di un problema di diffusi one-rea zione monodimensionale Consideriamo ora un problema monodimensionale di diffusio ne- rea zione - J1U " {

+ (J'U = 0,

u(O) = 0,

0 < x < 1, u(1) = 1,

(12.25)

314

12 Equazioni di diffu sion e-trasporto-r eazione

I

·~.·

- --

r

Esatta Pe locale» 5.56 Pelocale e 1.18 Pe locale» 0.27

.I,,,

'I

.' ,! /

,

.'

/ ,/

0.5

. ,

I

.'

I

1 1

,

,

i

-,

i

r

I .' /I

Ii

// I '

1

.'

1

, -- ---

1

Figura 12.3. Co nfro nt o t ra solu zione numerica e solu zione esat t a del problema d i diffu sione-reazion e (12 .25) con !Peg = 200 . La soluzione numerica e stata ottenuta utilizzando il metodo di G alerkin-elem enti finiti lin eari su griglie uniformi

con f.L e (J costant i positive, la cui soluzione sinh (ax ) eQ X u( x) = sin . h( a ) = e Q

-

e- Q X

-

e

e

_ , cona = V (J I Jl. Q

Anche in questo caso, se (J I f.L » 1, vi e uno strato limite per x ----+ 1 con uno spessore dell 'ordine di f.LI (J in cui la derivata prima diventa illimitat a per f.L ----+ 0 (si osservi, ad esempio, la soluzione esat t a per il caso riportato in Fi g. 12.3). E int eressan te definir e anche in qu esta caso un numero di Peclet globa le, che prende la form a

V

(JL2 JPe g = - - , 6f.L

essendo ancora L la dim ensione linear e del dominio (1 nel nostro caso ). L'approssim azion e con il metodo di Galerkin di (12.25) e trovar e Uh E

o

XI t. c, a(Uh, Vh) = 0 'VVh EX J:,

per r 2': 1, con Uh(O) = 0 e uh(l) = 1 e a(uh , vh) = JO\JIUf, Vf, Equivalentemente, ponendo ~h = ot teni amo

iu, -

(12.26)

+ (JUh Vh)dx . l

x , e F( Vh) = - a(x ,Vh ) = - Jo xVh dx , (12.27)

o

con Vi, =X J:. Per semplicita, consideriamo il problem a (12.26) con eleme nt i finiti lineari (ovvero r = 1) su un a partizione uniforme. L'equ azion e relativa alia generica funzion e di base lpi, i = 1, . . . , JI,;J - 1, e 1

1

JJW;'lp~ dx + J o

0

(JUh lpi dx = O.

12.4 Relazioni tra eleme nt i finiti e differ enz e finite

315

Sviluppando i calcoli in maniera analoga a qu anta fat to nel paragr afo preceden t e, ed osservando che

l

Xi

+1

Xi - l

2

CPT dx = - h , 3

si ottien e /I

t-:

(

1 h

- U O- l 2

+ u 2h-2

-

1) h

U +l 2

+a

(U

2

h6 + u -h 2 + 3

-l -

2

h) 6 = 0'

U +l 2

(12.28)

OSSla

Dividendo per f.L / h e definendo il seguente numero di Pec let locale ~ =

ah 2 6f.L '

(12.29)

si ha infin e (~ - l)UHl

+ 2(1 + 2~)Ui + (~ -

l)Ui - l

= 0,

i

= 1, . .. , M - 1.

Tale equazione aile differenze ammette come solu zione, per ogn i i

= 0, ... ,]\II

1+ 2~ + J3~(~ + 2)] 1+ 2~ - J3~(~ + 2)] [ [ i

i

1 - ~

[

1+ 2~ + J3~(~ + 2) ] M 1 - ~

1 -~

[

1+ 2~ - J3~(~ + 2) ] M' 1 - ~

che, an cora una volta, risult a oscillante qu ando ~ > 1. II problema e dunque crit ico qu ando ~ » 1, ovvero quando it coefficient e di diffus ione e mo lto piccolo rispetto a quello di reazione e 10 diventa sempre pili all'aumentare de l rapporto ~ (si ved a I'esem pio riportato in Fig. 12.3) .

12.4 R el azioni tra ele ment i finiti e differ enze finite Vogliamo analizzare il comportamento de l metodo de lle Differenze Finite (DF, per brevita) applicate alia risol uzione di problemi di diffusione-trasporto e di diffusione-re azione, ed evidenziarne analogie e differenze con il metodo agli Elem enti Finiti (EF, per br evita) . Ci limiteremo al cas o monodimensionale e cons idereremo una mesh uniforme.

316

12 Equazioni di diffu sion e-trasporto-r eazione

Consid eri amo ancora it problem a (12 .18) e approssimiamolo medi an te differenze finit e. Allo scopo di avere un erro re di discreti zzazione locale della stesso ordine di grandezza per ent rambi i t ermini, si approssirneranno le derivate utilizzando i rapporti incrementali cent rati seg uent i:

'( x ,.) = u( x Hd 2h - U(Xi- l) + v//l(}i 2),

i

= 1, . . . , NI - 1, (12 .30)

"( X ,.) = U(XHd - 2U(Xi) + U(Xi-l) + v//l(}~ 2) , h2

i

= 1, . . . , NI -

U

U

1. (12 .31)

In ent rambi i cas i, come evide nziat o, il resto e un infini t esimo risp et to al passo reti colare h, come si puo facilmente provar e invo cando gli sviluppi t roncati di Taylor (si ved a , ad esem pio, [QSS08]) . Sosti tuendo in (12.18) le derivat e esat te con i rapporti incrementali (trascurando dunque l'errore infinitesimo), t roviarno 10 schema seg uent e

{

+ Ui -

- J.L

Ui+! - 2Ui h2

Uo

= 0, UM =

I

+

bUHI -

2h

Ui - I

= 0,

i

= 1, .. . , NI - 1,

(12. 32)

1.

Per ogni i , l'in cognita Ui forni sce un 'approssim azion e per it valore nodale U(Xi) ' Mol tiplicando per h otteni amo la stessa equazione (12.22) ottenut a usando eleme nt i finiti lineari sulla st essa griglia uniforme. Consideriamo or a il problema di di ffusione e reazione (12.25). Procedendo in modo analogo , la sua approssimazione con Ie differ enz e finit e forni sce _ {

J.L

Uo

u HI - 2u i

h2

= 0,

+ Ui - 1

UM

=

+ au,.-- 0,

i

= 1, . . . , NI - 1,

(12. 33)

1.

Tale equazione risul t a diver sa d all a (12.28) , che si e ot tenut a con element i finiti lineari , in qu an ta il t ermine di reazione, che in (12 .33) compare con il contributo di agon ale au. , nella (12.28) d a luo go alia somma di tre cont ributi differenti

a

+ ( ' h6 + u-h '3 2

U '- I -

h) 6

U +I-

'

.

Dunque i due metodi EF e DF non sono in questo caso equivalenti. Osserviarno che la soluzione ot tenut a con 10 schema alle DF (12.33) non present a oscillazioni, qu alunque sia il valo re scelt o per il passe h di discretiz zazione. Infat ti la soluzione di (12. 33) e

con

PI, 2 =

"( ("(2)!

2" ± 4 -

1

ah2

e "( = 2 + -----;-.

12.5 La tecnic a del ma ss-lump ing

317

2 r;:::======::;--~~---~~-~ Esatta

Pe=10.20 (FEM) Pe=10 .20 (FO) Pe= 0 .57 (FEM) Pe. 0 .57 (FO)

o.

- -- - --- - .. .. 08

OB'

0 84

Ollti

0 88

00

08?

0114

0516

09fl

Figura 1 2 .4. Confronto tra soluzioni numerich e dell 'equazione di diffusion e-reazione monodimension ale (12.25) con IPe g = 2000 ot tenu te ut ilizzando it metodo d i Galerkineleme nt i finiti lineari (FEM) ed it metodo aile differenz e finite (FD) , per diversi valori del numero di Peclet locale

Le potenze i-esime ora hanno un a base positiva , ga rante ndo un andament o monotono dell a suc cessione {ud. Cio differi sce da qu an ta visto in Sez 12. 3 per gli EF, per i quali occorre garan t ire che il numero di Peclet locale (12.29) sia

j§i.

Si ved a l'esempio riport ato in Fig. 12.4 minore di 1, ovvero scegliere h < per avere un confronto tra un 'approssimazione ad elementi finiti ed una alle differenze finit e.

12 .5 La t e cnica del m ass-lum ping Nel caso del problem a di reazion e-diffu sione, si puo ot tenere usando element i finiti lineari 10 st esso risultato delle differenze finite, pur di far ricorso alla cosiddet ta tecnica del mass-lumping grazie alla qu ale la matrice di ma ssa 1

m ij = / Y j Y i dx ,

o che e tridiagonale, viene appross imata con un a matrice diagon ale M L , det ta matrice con dens ata, 0 lumped. A tale scopo si utilizza la seguent e formu la di quadratura dei trapezi su ciascun intervallo (Xi , Xi+l ), per ogni i = 0, ... ,1\!I - 1

Xi

318

12 Equazioni di diffu sione-trasporto-reazione

Grazie aile propriet a delle funzioni di base degli eleme nt i finiti lineari , si trova allora:

Usando Ie formule preced enti per calcola re in modo app rossimato gli eleme nt i dell a matrice di massa, si perviene alia seguent e matrice di agonale !\IIL avent e per elementi Ie somme degli eleme nt i di ogni riga dell a matrice !\II, ovvero H I

!\IIL

= di ag( m ii),

con

m ii

=

2..=

(12. 34)

m «.

j = i -l

Si noti che, grazie alia seguente propriet a di partizion e dell 'unita delle funzioni di base !vI

2..= 'Pj (x ) = 1

\Ix E

[0, 1]'

(12 .35)

j =O

gli eleme nt i della matrice !\IIL ass umono la seguent e espressione sull'intervallo

[0, 1] 1

m ii

=

/ 'Pi dx ,

i

= 0, . . . , lVI.

o I loro valori sono riport ati nell 'Eser cizio 3 per eleme nt i finiti di grado 1,2,3. II problema ag li elementi finiti in cui si sosti tuiscano i termini di ordine zero nel seguente modo

1

!vI - l

.1

o

a uh 'Pi dx

=

a

2..= Uj

j=1

1 .l

0

!vI - I

'Pj 'Pi dx

=

a

2..= m ij Uj

c::'

a m ii u i,

j =1

produce solu zioni coincident i con quelle delle differenze finite, dunque monotone per ogni valore di h . Inoltre, la sostit uzione di !\II con !\IIL non riduce I'ordine di acc ur atezza del metodo . II procedimento di mass-lumping (12. 34) e generalizza bile al caso bidimensionale nel ca so si usino elementi line ari. Per elementi finiti qu adratici, invece, la procedura di somma per righe precedentemente des critta genererebbe un a matrice di massa !\IIL singolare (si ved a l'Esempio 12.1). Una strategia di di agon alizz azione alt ernativa alia preced ente cons ist e nell 'utilizzar e la matrice

12.6 Schemi decentrati e diffu sion e art ificia le

319

1/1 = diag(mii) con elementi dati da

Nel caso monodimensionale, per elementi finiti lineari e qu adrati ci, le matrici 1/1 e M L coincidono, mentre differis cono per element i cubici (si veda l'Esercizio 3). La ma trice M enon sin golar e an che per element i finiti lagrangiani di ordine elevat o, mentre pUO risultar e singolare se si utilizzano element i finiti non lagra ngiani, per esempio se si usano basi gerarchiche. In quest ' ultimo caso, si ricorre a procedure di mass-lumping piu sofisticate. Recentemente sono state infatti elaborate diverse nuove tecniche di diagonalizzazione an che per elementi finiti di grado elevat o, e in gra do di genera re matrici non-singolari . Si ved a ad esempio [CJ RT 01]. E sempio 12 .1. La ma trice d i massa per i IF 2 , sull'elemento di rifer imen to di ver t ici (0,0) , (1,0) e (0 ,1) , e data da 6 - 1 - 1 0 -4 o

1 M = 180

- 1 6 - 1 0 0 - 4

- 1 - 1 6 - 4 0 0

0 0 - 4 32 16 16

- 4 0 0 16 32 16

0 - 4 0 16 16 32

mentre le matrici di massa condensate sono date da ML =

M

=

Come si vede la matrice M L

1~odiag(0 0 0 60 60 60) , 1 114 d iag(6 6 6 32 32 32) .

e singolare .

•

La t ecnica del mas s-lumping verra utilizz ata an che in altri conte st i, ad esempio nella risoluzione di problemi parabolici (si ved a il Capitolo 5) quando si utilizzano discretizz azioni sp aziali agli element i finiti e discretizzazioni temporali esp licite aile differenze finite (come il metodo di E ulero in avanti). In tal caso , ricorrendo al lumping della matrice di massa der ivante dalla discretizzazione della derivata temporale, ci si riconduce alia soluzione di un sistema diagonale con conseguente riduzione del corr isponde nte cost a computaziona le.

12.6 Schemi decentrati e diffusione artificial e II confronto con le differenze finite ci ha permesso di trovare una strada per riso lvere i problemi degli schemi ad elementi finiti nel caso di un problema di diffusione-reazion e. Vogliamo or a t rovare un rim edio anche per it caso del problem a di diffusione-trasporto (12.18).

320

12 Equazioni di diffu sion e-trasporto-r eazione 2

-

Esal1a OFC Pe::: 2 .94 OFUP P. = 2.94 OFC P•• 0.70 OFUP P. =0.70

- --.. , ._._

,

........

-

,

i'

•

· •

i

e.

c

- -

..- ....

2

· 01

----, , ,

,,

.: -- '~ '-' -' ''' -' -'C!J , .... . , .i

i

if

.:\

2

i

,/,/

,

,,

,, ,,

Q.7!l

,

,,

/

.

, ,,, ,,

",

..

Figura 1 2 . 5 . Soluzione ottenuta utilizzando 10 schema delle differenz e finit e cent rat e (DFC) e upw ind (DFUP) per l'equazione di diffu sion e-trasporto monodimensionale (12.18) con !Peg = 50. Anche ad alt i numeri d i Pe clet loc ale si puo not are l'efTe t to stabilizz ante della diffusione art ificia le introdotta d allo schema up wind , accompagnata, inevitabilmente, da un a perdita di acc urat ezza

Met ti amo ci nell 'ambito delle differenze finite . Le oscillazioni nella solu zione numerica nascono dal fatto che si e utilizzato uno schema alle differenze finite cent rate (DFC) per la discretizz azione del termine di t ras port o. Un 'id ea che deriv a dal significat o fisico del t ermine di trasport o suggerisce di discreti zzar e la deriv at a prim a in un punto Xi con un rap porto increment ale decentrato nel qu ale intervenga il valore in X i - l se il campo e positivo, e in X H I in caso cont rario. Que st a tecnica e det t a di upwinding e 10 schema risultante, denominato schem a upwind (in breve DFUP) si scrive, nel caso b > 0, come i

= 1, .. . , M - 1 .

(12.36)

(Si ved a la Fi g. 12.5 per un esempio di applicazione dello schema upwind.) II pr ezzo da pagar e e un a riduzione dell'ordine di convergenza in qu anta il rapporto increment ale decentrato introduce un errore di discreti zzazione locale che e O(h) (si veda (12.31)) e non O(h 2 ) come nel caso delle DFC . Osservi amo ora che

h U Hl 2

-

2U i

h2

+ U i -l

ovvero il rap porto incrementale decentrato si puo scrivere come la somma di un rapporto increment ale cent rat o per approssima re la derivata prima e di un termine proporzion ale alla discretizzazione dell a derivat a seconda discretizzat a ancora con un rapporto incrementale cent rat o. Pert an to , 10 schema upwind si puo reinterpret are come uno schema alle differenze finit e cent rate in cui e st ato

12.6 Schemi decentrati e diffu sion e art ificia le

321

aggiunto un t ermine di diffu sion e artificiale proporzionale ad h. In effet t i, la (12.36) e equivalente a i

= 1, ... ,M - 1,

(12.37)

dove f-Lh = f-L(l +JPe), essendo JPe il numero di Pec let locale introdotto in (12.23). Lo schema (12.37) corrisponde alla discretizzazione con uno schema DFC del problema perturbato - 11h U" + but = O. (12.38) La "correzione" della viscosita f-Lh - f-L = f-LJPe =

2bh

e detta inscosita numerica

o anche uiscosita artificiale. Il nuovo numero di Pec let locale, associato allo schema (12.37), e

JPe* = bh = JPe 2f-Lh (l +JPe) ' e pertanto esso verifica JPe* < 1 per ogni valore possibile di h > O. Come vedremo nella pro ssima sezion e, questa int erpret azion e consente di estendere la t ecnica upwind agli element i finiti ed anche al caso bidirnension ale, dove il concetto di decentramento dell a derivata non e peraltro coslovvio. Pill in generale, possiarno utilizzare in uno schema DFC della forma (12.37) il seguente coefficiente di viscosita numerica (12.39) dove ¢ e una fun zione opportuna del numero di Pec let locale che deve soddisfare la propriet a lim ¢ (t ) = o. E facile osservar e che se ¢ = 0 si ottiene il metodo t-'O+

DFC (12.32), mentre se ¢ (t ) = t , si ottiene il metodo DFUP (0 upwind) (12.36) (0 (12.37)). Altre scelte di ¢ danno luogo a schemi diversi. Ad esempio, ponendo

¢ (t ) = t - 1 + B(2t) , dove Be la cosiddet ta fun zione di Bernoulli definita come

B(t) = - tte - 1

se t > 0,

e

B(O) = 1,

si ottiene 10 schema comunemente chiamato di Scharfet ter e Gummel, detto anche di Iljin 0 del fitting esponenziale (in rea lt a tale schem a e state ori gin ariamente introdotto da Allen e Southwell [AS55]). Indic ati con ¢u e ¢ 8G rispettivamente le due fun zioni individ uate dalle scelte ¢ (t ) = t e ¢ (t ) = t - 1 - B(2t), si osserva che ¢8G ~ ¢u se JPe ----+ +00, mentre ¢ 8G = O(JPe 2 ) e ¢u = O (JPe) se JPe ----+ 0+ (si ved a la Fig. 12.6). Si puo verificare che per ogni 11 e b fissati, 10 schema di Scharfetter e Gummel e del secondo ordine (rispetto ad h) e, per t ale ragion e, e anche detto

322

12 Equazioni di diffu sione-trasporto-reazione 1 0 r-~-----'--~--""--~-~-"--~~~-"""7

9

8 7

.>

6 5 4

,,

3

2

,

, ,,

, ,,

,,

,

,

3

4

5

6

8

7

Figura 12.6 . Le funzioni O. Gr azie alia disugu aglianz a di Poincar e (12.41) (che nell'intervallo (-1 ,1) vale con cost ant e Ca . ~ = 1T2 j 4), otteni amo la st ima dal basso

12.8 Metodi di stabilizzazione

Essendo

UN

325

un polinomio di gra do al piu N , grazie alia (10.52) ot teni amo

Usando invece la seguente disugu aglianz a inversa per i polinomi algebrici :3 C

>

0 : 'VVN E lP'N ,

Ilv~IIL2(- 1,1) < C N2 1IvN IIL2(_1,1)

(12.45)

(si veda [CHQ Z06]) e ancora una volta la (10.52) , si trova Re(A N

)

< C tL N 4 .

In rea lt a, se N > 1/ /1 , si puo provar e che i moduli degli aut ovalori del problema di diffusione-trasporto (12.44) si comportano come quelli del problem a di pura diffusione, ovvero C 1 N - 1 < IANI < C 2 N - 2 • Per Ie dimostrazioni e per maggiori dettagli si veda [CHQZ06, Sez. 4.3.3].

12.8 M etodi di stabili zzazione II metodo di Galerkin introdotto nelle sezioni precedenti fornis ce un 'approssimazione centrata del termine di trasporto. Un modo possibile per decentrare o dissimmetrizzare tale approssimazione consi ste nello scegliere Ie fun zioni test Vh in uno spazio diverso da quello a cui appart iene Uh: si ottiene cost un metodo detto di Petrov-Galerkin , per il quale non vale piu I'analisi basata suI Lemma di Cea, Analizzeremo piu nel dettaglio qu esto approc cio nella Sez. 12.8.2. In questa sezione ci occuperemo invece di un altro metodo, detto degli elementi finiti stabilizzati . Peraltro, come vedremo, gli schemi cost prodotti si possono reinterpretare come particolari metodi di Petrov-Galerkin. L'approssimazione del problema (12.20) con il metodo di Gal erkin e (12.46) Or

essendo Vh = X zat o

h:

r ;::: 1. Consideriamo invece il metodo di Galerkin generaliz(12.47)

in cui

I termini aggiuntivi bh(Uh, Vh) e Gh(Vh) hanno 10 scopo di elimi nare (0 quanto meno di ridurre) Ie oscillazioni numeriche prodotte dal metodo di Galerkin e sono per tanto denominati termini di sta bilizzazion e. Essi dip endono parametricam ente da h.

326

12 Equazioni di diffu sion e-trasporto-r eazione

Osservazione 12.3. Si vuol e far notare che il t ermine stabilizz azion e e in realta improprio. II metodo di Galerkin e infatti gia stabile, nel senso della conti nuita della soluzione risp etto ai dati del problem a (si ved a qu an ta dimostrato , ad esempio, nella Sez. 12.1 per il problema (12.1) ). St abili zzazione va intesa, in que sta ca so, nel senso di ridurre (ide almente di eliminare) Ie oscillazioni presenti nella soluzione numerica qu ando IPe > 1. • Vedi amo or a vari modi con cui scegliere i t ermini di stabilizzazione. 12.8.1 Diffusione artificiale e schemi decentrati agli elementi finiti

Basandoci su qu anto visto per Ie differenze finite e riferendoci, pe r sernplicit a, al caso monodimensionale, applichiamo il metodo di G alerkin al problema (12 .18) sost it uendo al coefficient e di viscosit a 11 un coefficient e 11h = 11(1 + ¢ (IPe )). In tal modo si agg iunge di fat to al t ermine ori gin ale di viscosit a 11 un a inscosi ta artificial e 0 numeri ca pari a M¢(IPe) , dipendente dal passo di discretizzazione h at traverso il numero di Pe clet locale IPe . Cia corrisponde a scegliere in (12.48)

Ju;,v;, 1

bh(Uh,Vh) = 11¢(IPe )

dx ,

Gh( Vh) = O.

(12 .49)

o

Essendo

e Mh 2': M, possiarno affermare che il problema (12.47) e "piu coerc ivo" (ovvero ha un a cost ant e di coercivita piu gra nde) del problema discreto ot tenuto con il metodo di Galerkin standard , che ritroviamo prendendo a h = a in (12.47) . II seguent e risultat o forni sce una stima a priori dell'errore. Teorema 12.1. N ell 'ipotesi che 11 E Hr+1 (ft), l 'errore jra La so luzion e del problema (12.20) e qu ella del problem a appro ssimaio (12.47) con diffusion e ar tifi ciale si pu i: rnaggiorare corne seque

I ~ - ~h

'"p

(J7)

hr

:5

C 11 (1 + ¢ (lP'e)) I

0

11

Il w+ ( J7) + 1

¢ (lP'e) 1 + ¢ (lP'e) I

(12.50)

0

11

IIlp( n) ,

esse tul o C un'opporiuna costan te posit iva in dipen dente da h e da M.

12.8 Metodi di stabilizzazione

327

Dimostrazione. Ci possiarno avvalere del Lemma di Strang, gia illustrato nella Sez. 10.4.1 , gr azie al Quale otteni amo

(12 .51)

o

Scegliamo Wh = Ph U; qu est 'u ltima e la proi ezione ortogonale di u su 1 al prodotto scalare f0 u'v' dx di H6(D) , ovvero 0

J( 1

rO

Vh

rispetto

o), ,

Ph u - u Vhdx = 0

o

Si pUO dimostrare che (si veda [QV94, Cap. 3])

essendo C un a cost ante indipendente da h . Possiamo cost maggiorare it pri mo addendo de l termine di destra nella (12.51) con la quantita (C/l1h)hr ll ~

Il w+ (D ) . 1

Ora, grazie alia (12.49), otteni amo 1 la(wh, vh) - ah(wh,vh)1 I1h

Il vhII Hl(D)

1


0,

(12.55)

a corrispondent e ad aggiungere il termine di diffusione art ificiale - Q h£J.u al problema di partenza (12.1). II metodo corrispondente si chiama metodo della diffu sione artificiole upwind. In t al modo si introduce un a diffusione addizionale, nella direzion e del campo b , come e giust o che sia se l'obiet t ivo e quello di stabilizza re le oscillazioni generate dal metodo di Gal erkin, rna anche in que 1-

330

12 Equazioni di diffu sione-trasporto-reazione

la ad esso ortogonale il che, invece, non e affatto necessario. Se, ad esempio, considerassimo il problem a bidimension ale - ll i1U +

au

-ox = f

in D,

u=0

su

aD,

in cui il ca mpo di trasporto e dato dal vettore b = [1, oV, il termine di diffusione artificiale che vorr emmo agg iungere sarebbe - Qh

a2 u2 ax

e non

Pili in genera le, si puo aggiungere il seguent e t ermine di st abilizzazione - Q hdiv [(b· V'u) b]

= - Q hdiv (

~~

b) , con Q = Ibl- i .

Nel problema di Galerkin esso da luogo al seguent e termine (12.56) II problema discreto che si ottiene, detto streamline-diffusion, diventa

dove

In sostanza, st iamo agg iungendo un t ermine proporzionale alia derivata seconda nella direzione del ca mpo b (in inglese stream line ). Si noti che, in questo caso, il coefficiente di viscosita art ificiale e un tens ore. Infatti il t ermine di stabilizzazione bh ( · , · ) puo essere pensato come la form a bilin eare associat a all' operat ore - div(Ma V'u) con [Ma]ij = Qhbibj , essendo bi la z-esim a component e di b . Nono st an te il t ermine (12.56) sia meno diffusivo di (12.55) , anche per il metodo dell a streamline-diffusion si riscontra che l'accurate zza e sola ment e O(h) . Metodi di st abili zzazione pili accurati sono descritti nelle sezioni (12.8.6), (12.8.8) e (12.8.9). Per introdurli abbia mo bisogno di alcune defini zioni che ant iciperemo nelle sezioni (12.8.4) e (12.8.5).

12.8 Metodi di stabilizzazione

331

12.8 .4 C onsistenza ed e r rore d i t roncamento per i metodi di Galerkin e di Galerkin generalizzato Per il problema di G alerkin genera lizzat o (12.47) si conside ri la differenz a t ra il primo ed il secondo membro qu ando si sostituisca la solu zione esatta U a quell a a pprossimat a Uh , ovvero

Th(U;Vh) = ah(u , Vh) - Fh(Vh) .

(12 .57)

Esso e un fun zionale dell a vari abile Vh. La sua norma

Th(U) =

ITh(U;vh)1

sup v /t EVh ,Vh # O

(12 .58)

Il vhll v

definisce I' errore di ironcamento as sociato al metodo (12.47) . Coerentemente con Ie defini zioni date nell a Sez. 1.2, diremo che il metodo di Galerkin generalizzato in esame e consistent e se lim Th (u) = o. h ---7 0

Diremo inolt re che e [ortem eni e (0 completame nte ) consistente se I'err ore di troncam ento (12.58) risul t a nullo per ogni valore di h. II metodo standard di Galerkin, ad esempio, e fortemente con sistente, come visto nel Capitolo 4, in qu an to , VVh E Vh, si ha

Th(U iVh) = a(u , vh) - F( Vh) = O. II metodo di Galerkin generalizzat o, invece, e in generale solo consist ent e, come discende dal Lemma di Strang, purche ah - a e Fh - F "t endano a zero" qu ando h tende a zero . P er qu an ta rigu arda i metodi di diffusione art ificiale di t ipo upwind e streamline-diffusion si ha

Th(U iVh) = ah(u , vh) - F( Vh)

~ a,(a,v,) - a(v,un) ~ {

Qh("Vu, "VVh)

( Upwind) ,

Qh (8U 8Vh)

(Streamline-DijJ.).

8b ' 8b

Per t anto sono ent ra mbi metodi consist ent i, rna non fort em ente cons ist ent i. Metodi fort em ent e consist ent i verranno introdot ti nella Sez. 12.8.6. 12.8 .5 P arte s im metrica e a nt is im metrica di un o peratore Sia V uno sp azio di Hilbert e ViiI suo du ale . Dir emo che un operatore L V ---+ V' e simmetrico (0 autoaggiunto) se (si ved a (3.42))

v , (Lu, v )v = v (u,Lv )v'

Vu, V E V,

332

12 Equazioni di diffusione-trasporto-reazione

ovvero se L coincide con il suo op eratore aggiun to / d uale L *. Avremo invece che L e antisimmetrico qu ando V'

(Lu , v )v = - v (u , Lv )v'

Vu, v

E

V.

Un operatore puo sempre essere scomposto nella somma di un a parte simmet rica L s e di un a parte ant isimmet rica L s s, ovvero

Lu = L su + L s su. Consideriamo, ad esempio, il seguente ope ratore di diffusione-trasporto-reazione

Lu = - Jli1U

+ div(bu) + CJU ,

x

d E fl C IFt , d

2': 2,

(12 .59)

operante sullo spazio V = HJ(fl). Poiche 1

div(bu) = "2div(bu)

1

+ "2div(bu)

I I I

= "2 div(bu) + "2 udiv(b) + "2b. v«, possi amo scomporlo nel modo seguente

Lu = - j1,i1u "

+

[a +

~diV(b)] u + J

[diV(bU) + b · Vu ],'

" V

v

Ls u

Lss u

Si noti che il coefficiente di reazione e divent ato a " = a + ~div(b) . Verifichiamo che Ie du e part i in cui e stato divi so I'operatore sono risp et t ivamente simmetrica e ant isimmet rica. In effet t i, int egr ando du e volt e per par ti , Vu , v E V , si ottiene

+ (a*u, v) = - Ji v (u , i1v )v ' + (u , a*v)

v, (Lsu , v )v = Jl(VU, V v)

= v (u , L s v )v ', 1 1 v ,(L s su, v )v = "2 (div(bu), v ) + "2(b . Vu, v) 1

1

= - "2 (b u , V v) + "2 (Vu, b v) 1

1

= - "2 (u, b · V v) - "2 (u , div (bv)) = - v (u , L s sv )v ' .

12.8 Metodi di stabilizzazione

333

Osservazio ne 12 .4 . Ricordiamo che ogni matrice A si puo scomporre nella somma

A =As +A s s , dove

1

T

As = "2(A + A )

e un a matrice simmet rica,

detta parte simmetri ca di A e 1 2

T

As s =-(A -A)

e una matrice antisimmetrica,

detta parte anti simmetrica di A.

•

12 .8 .6 M etodi fortemente consis tent i (GL S , S U P G )

Consideri amo un problem a di diffusion e-trasporto-reazion e che scriviamo nella form a astratta Lu = ! in D , con u = 0 su aD. Consideri amo la corr isponde nte formu lazione debole data da trovare u E V = H6(D) :

a(u, v )

= (j, v)

\:Iv E V,

essendo a(· ,·) la forma bilineare assoc iata ad L. Un metodo st abi lizzato e forte me nte consiste nte si puo ottenere aggiungendo alia sua approssimazione di Galerkin (12.46) un ulteriore t ermine, ovvero conside ra ndo il problema

per un 'opportuna form a L h soddisface nte (12.61) Osserviamo che la form a Lh in (12.60) dipende sia dalla soluzione approssimata Uh che dal termine forzante [, Una scelt a possibile che ver ifichi la (12.61) e la seguente L h(Uh, ! ; Vh)

=

L j; )(Uh, ! ; Vh)

=

L

(LUh - !,TK S (Pl(vh))V (K ),

K ET"

dove si e usata la notazione (u , V)V (K ) = JK uv dK, dove p e TK sono un parametro e un a funzione da asseg nare. Ino ltre si e posta

essendo L s e L s s risp ettivam ent e la parte simmet rica e ant isimmetrica dell'oper atore L conside ra to. Un a seeIt a possibile per TK e data da (12.62)

334

12 Equazioni di diffu sione-trasporto-reazione

dove b« e it diam etro del gener ico eleme nt o K , b e it campo di moto, e O. Vale la seguent e disugu aglianz a (di stabilita): 30:*, dipendent e da , e dalla cost ante 0: di coercivita di a(· , .), tale che (12.63)

12.8 Metodi di stabilizza zione

335

Tabella 12.1. Valori ammissibili per it parametro di st abilizzazione 0, la farina bilineare a).l\ ". ) definita in (12.73) saddisf a La segue nte relazione

(12.76)

Questa identita segue dalla defini zione (12.73) (scelto Vh = Uh) e dalla (12.71). Nel caso in esa me la norma 1 ·11 (1), che qui indicheremo per convenienz a con it simbolo II . 1 0£5, diventa

Possiarno dimostrare il seguente risultato di stabilita, Lemma 12.2. S ia Uh la saluzian e [o rn iia dallo schem a GLS. Alla m esiste una costante C > 0, in dipen dente da h , taLe che

Dimastmzione. Scegliamo Vh = Uh in (12.72). Sfruttando il Lemma 12.1 e la definizione (12.77), possi arno innanzitutto scrivere che

Nel seguito useremo spesso la seguente disuquaqliomza di Young Va, b E JR,

VE

> 0,

(12.79)

la quale discend e dalla disuguaglianza element are

Maggioriamo sep aratamente i du e t ermini di destra della (12.78), utilizzando opportunament e Ie disuguaglianz e di Cauchy-Schwarz e di Young. Otteniamo

340

12 Equazioni di diffu sion e-trasporto-r eazione

eosl

(J,Uh) =
0 dato. Se ne scriva la formu lazione debole e la sua approssimazione di tipo Galerkin con elementi finiti . Si verifichi che 10 schema e stabile e si giustifichi tale risu ltato. 6. Si conside ri il problema - d iv (11V'U)

-, 'n {

+ div(,6u) + au = f

+ JLV' U ' n = 0

u=0

in D, su r N , su

rD ,

dove D e un ap erto di ]R2 di frontiera T = r D U r N , r D n r N = 0, n e la normale uscente a r , JL = JL( x) > JLo > 0, a = a(x) > 0, f = f( x) sono fun zioni date, (3 = (3(x) , , = ,(x) sono fun zioni vettoriali assegnate. Lo si approssimi con il metodo di Galerkin-elementi finiti lineari. Si dica sotto quali ipotesi sui coe fficient i JL, a e ,6 il metodo risult a inaccurato e si propongano nei vari ca si gli opportuni rim edi. 7. Si conside ri il problem a di diffusione-trasporto monodimen sionale

- (11U/ -1jJ /u)/ { u(O)

= 1, 0 < x < 1,

= u(l) = 0,

dove 11 e un a costante positiva e 1jJ un a funzione ass egnata.

(12.98)

360

12 Equazioni di diffu sion e-trasporto-r eazione

a) Si studino esiste n za ed uni cit a della solu zione debole del problem a (12.98) introducendo op portune ipotesi sulla funzione 'lj; e se ne proponga uri'approssim azione numerica stabile agli eleme nt i finiti . b) Si consideri il cambio di variabile u = pe1/J /JL , essendo puna fun zione incognita a usilia ria. Si studino esistenza ed uni cit a dell a solu zione debole del problema (12.98) nell a nuova incognit a p e se ne fornisc a l'approssim azione numer ica con il metodo degli eleme nt i finiti. c) Si confro nt ino i due appro cci seguit i in (a) e (b) , sia dal punta di vist a astratt o che da qu ello numerico. 8. Si con sid eri il problema di diffu sione-trasporto-reazion e - L1U + div (bu)

j on

+u = 0 su

U = '{J oU

-

r -;

=0

dove D e un ape rt o limi t ato , oD = r D UrN , r D -I- 0. Si provino esiste nza ed uni cit a della soluzione facendo opportune ipo t esi di regolarita sui d ati b = (b1 (x) , b2(x ) )T (x E D) e '{J = '(J (x ) (x E D ) . Nel caso in cui [b] » 1, si approssimi 10 stesso problema con il metodo di diffu sione art ificia le-elementi finiti e con il metodo SUPG-elementi finiti, di scu tendone van t aggi e svantaggi risp et to al metodo di G alerkin-elem enti finiti . 9. Si cons ideri il problem a

r

{ U

2

~

0 2u

i, j= l OXi OXj

=0

0 2u

0 2u

o X1

O X10X 2

+ ;3-

2 + ')'

0 2u

OU

o X2

O Xl

+ 0 -2 + 7 ) - = f

in D, su

oD,

dove ;3, ')', 0, 7) sono coefficient i assegnati e f e un a fun zione asseg nata di x = ( Xl , X 2) E D. a) Si t rovino le condizioni sui d ati che assicurano l'esistenza e l'unicit a di un a soluzione debole. b) Si indichi un 'approssim azione con il metodo di Galerkin-elementi finiti e se ne analizzi la convergenza . c) Sot to qu ali cond izioni sui d ati il problem a di Galerkin e sim metrico? In qu esta caso, si indichino metodi opportuni per la risoluzione del problema algebrico ass ociat o.

13 Differenze finite per equazioni iperboliche

In quest a capitolo ci occuperemo di problemi evolut ivi di t ipo iperboli co. Per la loro derivazion e e per un 'an alisi appro fondita si ved a, ad esempio, [SaW8], Cap . 4. Noi ci lim iteremo a considerarn e I'approssim azion e num eri ca con il metodo delle differenze finite, st or ica ment e il primo ad essere utilizzato per questa tipo di equ azioni. Per introdurre in modo semplice i concetti di base dell a teoria, buona parte dell a nostra presentazione rigu ardera problemi dipendenti da un a sola vari abil e spaziale.

13.1 Un problema di trasporto scalare Conside riamo il seguent e problema iperbolico sea lar e

au au -a + a-a = 0, x t x { u( x ,O) = uo(x) , x

E

1R, t > 0,

E

1R,

dove a E IR \ {O}. La soluzione di tale problem a velocit a a dat a da

e un 'onda

(13.1) viaggian te con

u(x , t) = uo(x - at) , t 2': O.

Consideriamo Ie cur ve x (t ) nel piano (x , t) , solu zioni delle seguenti equ azioni differenzi ali ordinari e

~~ = a, t > 0, { x(O) = Xo,

al vari are di Xo E lR. Tali cur ve sono dette linee caratteristiche (0 spesso semplicemente carat t eristi che) e lungo di esse la soluzione rima ne costant e in qu an ta

du au dt = at

au dx dt = O.

+ ax

Quarteroni A.: Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Sa edizione, Unit ext - La Matematica per il3+2. DOl 10.1007/978-88-470-2748-0_13, © Springer-Verlag Italia 2012

362

13 Differ enz e finite per eq uazioni iper boli che

Nel caso del problem a piu generale

au at {

au

+ a ax + aou = t,

u(x ,O) = uo(x) ,

x x

E E

JR , t > 0,

(13.2)

JR,

dove a, ao, f sono fun zioni assegnat e delle vari abili (x , t) , le linee ca ratterist iche x (t ) sono le soluzioni del problema di Cau chy

{

~~

= a(x ,t) , t > 0,

x (O) = Xo.

In tal cas o, Ie soluzioni di (13.2) soddisfano la seguent e relazione

d

dt u(x(t), t) = f(x(t) , t) - ao(x(t) , t)u(x(t) , t).

E quindi po ssibil e ricavar e la soluzione u risolvendo un 'equazione differ enzi ale ordinari a su ogni cur va ca ratteristica (qu esto approcci o porta al cosiddetto metodo delle caratteristiche). Consideriamo or a il problema (13.1) in un intervallo limitato . Ad esempio supponiamo x E [0, 1] e a > O. Poi che u e costant e sulle ca rat t eristiche, d alla Fi g. 13.1 si deduce che it valore della soluzione nel punto P coincide con it valo re di Uo nel pied e Po della ca rat t er ist ica uscente d a P. La caratterist ica uscente dal punta Q , invece, inter seca la retta x = 0 per t > O. II pu nto x = 0 e, qui ndi , di inflow ed in esso e necessario ass egnare il valore di u. Si noti che se fosse a < 0, il punto di inflow sa reb be x = 1. Facendo riferimento al problem a (13.1) e opportuno osservar e che se Uo fosse un a funzione di scontinua nel punto xo, allora t ale discon tinuit a si propagh erebbe lun go la ca ratt eristica uscent e d a Xo (qu esto processo puo essere form alizzato rigorosamente dal punto di vist a matematico, introducendo il concet to di soluzione debole per i problemi ipe rbolici) .

Q

P

o

Po 1

x

Figura 13.1. Esempi di linee ca ratt er ist iche (delle rette in questo cas o) usc ent i d ai punt i P e Q

13.1 Un problema di t rasporto scalare

363

P er reg olarizzare Ie di scon tinuita si po trebbe appross imare il d ato ini ziale

Uo con una successione di fun zioni regolari u6(x ), E > 0. Questo proced imento

e

efficace, perc, solo se il problem a ip erbolico e linear e. Le soluzioni di problemi ipe rbolici non line ari , po ssono infatti sviluppare discontinuit a anche per d ati ini ziali regolari (come si vedra nel Capitolo 15) . In questa cas o, la st rat egia (cui si ispirano anche i metodi numerici) e quella di regolarizzar e I'equazione differ enzi ale stessa piu ttosto che il dato inizi ale. In t ale prosp et tiva , si puo cons iderare la seguente equazione par abolica di diffu sion e e t rasporto

au c -a

au c

a 2u c

+ a-a = E -a x 2 t x

x

'

E

1Ft, t > 0,

per piccoli valori di E > 0. Essa e la regolari zzat a par abolica dell 'equazione (13.1) . Se si pone uc(x , 0) Uo (x ), si puo dimostrar e che

= uo( x - at) , t > 0, x

lim uc(x , t)

C---7 O+

E

=

1Ft.

13 .1.1 Una stima a priori Ri to rni amo or a a considerare il problema di trasport o-rea zione (13.2) su un intervallo limi t ate

au

au

at + a ax + aou = [ , x

{

E

(a , (3), t > 0,

E

[a , (3],

u( x ,O) = uo( x) ,

x

u( a, t) = 'P (t ),

t > 0,

(13.3)

dove a(x), f(x , t) e 'P (t ) sono fun zioni ass egnat e; si e fatta I'ipotesi che a(x) > 0, cosl che x = a e il punto di infl ow (ove im porre la cond izione al cont orn o) , men tre x = (3 e qu ello di outflow. Moltiplicando la prima equazione di (13.3) pe r u, integr ando rispet to a x e usando la formula di integr azione per parti, per ogni t > si ottiene

°

Supponendo che esist a Po ~

°

t.c.

ao - 1ax ~ Po

\Ix

E

[a, (3],

si trova

J (3

Id 2 2 1 2 2 dt Il u(t)llv (cx,{3) + ILollu (t )llv (cx ,{3 ) + 2(au )((3) ::;

fu dx

+ 21 a( a) 'P 2 (t).

364

Se

13 Differ enz e finite per eq uazioni ip er boli che

f

e zp sono ident icam ent e null e, allora

Ilu(t)II V(cx,{3) :s; Il uoII V(cx,{3)

\It > 0,

Nel caso del problema pili generale (13,2), se supponia mo 110 > 0, gr azie aile disugu aglian ze di Cauchy-Schw arz e di Young si ha

Integrando rispe t to al t empo, si perviene alia seguent e stima a priori t

t

Ilu(t)II £2(cx,{3) + 110 J 11u(s) II£2(cx,{3) ds + a((3) J o

t

2

:s; Il uoII V(cx,{3) + a(a)

2 u ((3 , s) ds

0

;'zp2(s) ds + IJ Il fllv2(cx,{3) ds. t

/10

o

0

Una stima alt ernativa che non richiede la differenzi abilit a di a(x) rna usa l'ipotesi che ao :s; a(x) :s; aI pe r due opportune cost ant i posi tive ao e aI puo essere ottenuta moltiplicando l'equ azione per a- I, - 1

a

au au _ - If a +a - a . x

t

Moltiplicando ora per u e integrando t ra a e (3 si ot tiene, dopo semplici passaggi,

{3

(3

IdJ d- a- I( x )u 2(x, t) dx 2 t

Se f

+ -1 u 2((3, t) = J a- I(x )f( x, t)u(x , t)d x 2

+ _1 zp2(t ). 2

= 0 si ot ti ene immediat am ente t

Il u(t)ll~

t

Il uoll~ + J

+ J u 2((3 , s)d s = o

zp2 (s )ds ,

t > O.

0

Abbiamo definito

Grazie alia limitatezza inferiore e supe riore di a-I, que st 'ultima e un a norma equivalente a quella di L 2 (a , (3). Se invece f i- 0 si puo procedere come segue t

Il u(t)ll ~

+ J u 2((3 , s) ds < o

t

Il uoll ~ + J 0

t

t

zp2(S ) ds + J llf ll~ ds + J llu(s) ll ~dS, 0

0

13.2 Sist emi di eq uaz ioni iper boliche lineari

365

avendo usato la disu gu aglian za di Cauchy- Schwarz. Applicando ora it Lemma di Gro nwall si ottiene, per ogni t > 0,

Il u(t)ll ~ +

J t

2 u ((3 , s ) ds
0, i = 1, ... , m - 1, (14.36) dove {Xi, i = 0, ... , m } sono i nodi , Xo = a , Xm = (3, h e la massim a dist an za fra du e nodi consecutivi, vt (Xi ) deno t a illimite destro di Vh in Xi , Vh:(Xi) il limi te sinist ro . Per sernplicita di not azione la dipenden za di Uh e f da t sa ra spesso sottoint esa qu ando cio non si pr est era ad ambiguita. Deriviamo or a un a st ima di stabilita per la soluzione Uh dell a formulazione (14.35), supponendo, pe r sernplicita , che il termine forzante f sia ident ica me nt e nullo. Scelta dunque Vh = Uh in (14.35) , abbia rno (po sto f2 = (a, (3)) 1 d

2

"2 dt Iluhllv(D+ m -l

X ~i + l

~ [j Xi

G:7; (Uh)2 + aou;,) dx + a(Xi)(ut - Uh )(Xi)Ut (Xi)] =

0.

414

14 E lem enti finiti e metodi spe t t r ali per eq uazion i ip erboliche

Ora, integr ando per parti il t ermine convettivo, a bbiamo m- l

~ :t IIUh ll[ 2(D) + L

1.=0

j ( ao - :X(~) ) U~ dx

Xi+ l

Xi

+~1 [~ (XHd (U h( XHd)2 + ~(Xi) (Uh(Xi))2 - a(x i) U;;(Xi) Uh( Xi)] = O. (14.37) Isolan do il contributo associato al nodo Xo e sfr uttando la defin izione (14.36) , possiamo riscriv ere la seconda sommat oria dell'equazione precedente come

m- 1

L

[~ (XH1 ) (U h( XH 1))2 + ~(Xi) (Uh(Xi)f - a(x i) U;;(Xi) Uh(Xi)]

i=O

= ~(xo) (uh(xo)f - a(xo) 'Ph(XO) uh(xo) + ~(Xm) (u h (x m)) 2 m- 1

+ L [~ (Xi )((Uh (Xi) f + (Uh(Xi))2)

- a(Xi) Uh(Xi) Uh(Xi)]

i= l

= ~(xo) (uh(xo)f - a(xo) 'Ph(XO) uh(a)

(14.38) avendo indicato con [Uh(Xi)] = Uh( Xi) - Uh(Xi) il sa Ito della funzione Uh in corr isponde nza del nodo Xi ' Supponiamo or a, in analogia a quanto fatto nel caso mu ltidimensiona le (si veda (14.26)) , ::ly 2': 0 t .c. ao -

:7: (~) 2': 'Y.

(14.39)

Tornando alia (14.37) ed ut ilizzando la relazione (14.38) e Ie dis uguag lianze di Cau chy-Schwar z e di Youn g, abbiamo

m- 1

a [ ]2 a + 2 "2 dt Il uhIIV(D) + 'Yll uhIIL2(D) + ", L.J "2 (Xi) Uh( Xi) + "2(xo) (U h (xo)) + 1 d

2

2

i= l

2 a + 2 "2 (x m) (U h_ (x m)) 2 = a(xo) 'Ph(XO) U+h (xo) ~ "2a (xo) 'Ph(XO ) + "2 (xo) (U h (xo)) , ovvero , int egrando anche risp etto al te mpo, 'Vt > 0,

a

m-1

t

II Uh(t)II [2(D) + 2'Y j lluh(t )II[2(D) dt + o

+

a(x m)(u h(X m))2

L

t= l

t

a(Xi) j [Uh(Xi, t )] 2 dt 0

t

~ Il uo,hll[2(D) + a(x O) j'P~ (xo , t)

o Tale st ima rappresenta dunque il risultato di stabilit a desiderato.

dt . (14.40)

14.4 E lem enti finiti d iscontinu i

415

Osserviam o che, nel caso in cui venga rimossa la richiest a di avere un te rmine forzan t e ident icament e nullo, si puo repli car e l'an alisi preced ente ser ven dosi opportunam ente del lemma di Gronwall per trat tare il cont ributo di f . Cio condurrebbe ad un a st ima analoga alia (14.40), tutt avi a stavolta il termine di destra dell a disugu aglian za diventerebbe

J t

e

t

( 1Iuo'h ll~2 (n) + a(xo) ip~(xo, t) dt + o

J t

(f (T))2 dT) '

(14.41)

0

Nel caso poi in cui la cost ant e "( nella disugu aglian za (14.39) sia stret t amente positiva , si potrebbe evitare l'uso del lemma di Gronwall, pe rvenendo ad un a stima come la (14.40) in cui a primo membro 2 "( viene sost it uit o da "(, ment re il secondo membro ass ume la form a (14.41) senza t uttavia la pr esen za dell'esp onenzi ale e t . P er qu an ta riguard a gli as petti algorit mici, si osservi che, per via della discon tinuit a delle funzioni t est, la (14.35) si puo riscrivere in modo equi valent e come segue, Vi = 0, . .. , m - 1,

Xi

J

(14.42)

Xi+ l

=

f Vh dx

VVh E IP', (Ii),

essendo Ii = [Xi, Xi+ l]' In alt ri t ermini , l'approssim azione con element i finiti discontinui da luogo a relazioni "indipendent i" eleme nt o per eleme nt o; l'unico punto di collegament o fra un elemento e i suoi vicini e espresso dal t ermine di saIt o (ut - U;; ) che puo anche essere interpretato come l'attribuzione del dato al bordo sull a frontiera di infl ow dell 'elemento in esame. Abbiamo dunque un insiem e di problemi di dimen sion e ridot t a da risolvere in ogni elemento, precisamente r + 1 equ azioni per ogni intervallino [Xi , Xi+I ]' Scrivi amole nella form a compat ta

vt » 0,

lih (O) = liO ,h,

(14.43)

essendo Nh la matrice di mass a , Lh la matrice associata alia form a bilineare e alia relazione di saIt o, f h il t ermine noto:

J

X i +l

(Nh )pq =

ippipqdx ,

Xi

Xi

J

Xi+ l

(fh) p =

Xi

f ippdx

+ «u;

(Xi )ipp(Xi ),

q, p

= 0, ... . r .

416

14 E lement i finiti e met odi sp ettrali per eq uazion i ip er boli che O , t > 0, x E [0, 1].

(14.46)

che rappresenta il trasporto di una discontinuita ent rante nel dominio. Abbiamo considerato elementi finiti lineari continui, con trattamento sia forte sia debole della condizione al contorno, ed eleme nt i finiti lineari discontinui. Anche qu esta volta e stato utilizzato il metoda di Eulero all 'indietro per la discretizzazione temporale. II passo della grigli a e h = 0.025 ed e stato scelto 6.t = h . I risultati al tempo t = 0.5 sono rappresentati in Fig. 14.9. Si puo notare come il dato di Dirichlet sia ben rappresentato anche dagli schemi con trattamento debole al bordo. A tal proposito, per il caso di elementi finiti continui con trattamento debole al bordo , abbiamo calcolato l'andamento di IUh(O) - u(O) 1 per t = 0.1 per vari valori di h, essendo 6.t costante. Si puo notar e una riduzione di tipo lineare risp etto ad h.

418

14 Elem enti finiti e metodi sp ettrali per eq uazioni iperboliche

U

' .2

1 - - - -"'"'""-"- - ••..•,

1 - - - ---

••

., Figura 14.9. Soluzione del problema (14.46) per t = 0.5 con h = 0.025 ottenuta con elementi finiti lineari continui e trattamento forte (in alto a sinistra) e debole (in alto a destra) della condizione al bordo di Dirichlet , mentre nel caso in basso a sinistra si sono utilizzati eleme nt i discontinui in spazio. Infine, in basso a destra si mostra l'andamento di IUh(O) - u(O) 1 in fun zione di h per t = 0.1, nel caso di trattamento deb ole della condizione di Dirichlet

14.4.2 Il caso multidimensionale Consideriamo ora il caso del problema multidimensionale (14.22). Sia Wh 10 spazio dei polinomi di grado 2 su ogni elemento K E Th , discontinui fra un element o e l'alt ro , introdotto in (14.34). La semi-discretizzazione del problema (14.22) con element i finiti discontinui diventa: per ogni t > trovare Uh(t) E W h tale che

°

/ fJU; t(t ) Vhdfl

+

a

L

[aK (Uh(t ), Vh) -

K ET"

/ f (t )Vhdfl

/

a . nK [Uh(t) ]vtd-, ]

aKi n

VVh E Wh,

a con Uh(O) = UO ,h, dove n K indica la normale esterna a fJK, e fJK in

= {x

E fJK:

a( x)· n K (x) < a}.

(14.4 7)

14.4 E lement i finiti di scontinui

La form a bilin ear e a«

e definit a

419

nel modo seguent e

aK(U, v) = / (a ' '\lu v + aou v ) dX, K

mentre

x

E

E

aK.

arlin,

con

U~(x) = lim Uh( X + sa) , s-> o ±

x

Per ogni t > 0, la stima di stabilita che si ottiene per il problema (14.47) (grazie all'ipotesi (14.26)) t

Il uh (t)II ~2 (D) + / (tLo lluh (T) II ~2 (D) + o

I:

/

KE~

etc »

< C [ll uo'h ll ~2 (D) + /

t

o

e

la · nKI [Uh(T)f) dr

(1I j(T) II ~2 (D) + l'Phl;,iWin )

dT],

essendo arlin la frontier a di inflow (14.23) e avendo introdotto, per ogni sot t oinsieme T di arl di misura non null a, la seminorma

Ivla,r =

(

/ Ia . nlv2 d"()

1/ 2

r

Supponendo per semplicita che j = 0, 'P = 0, e che Uo E Hr+l(rl) , si puo dimostrare la seguente stima a pr iori dell'errore T

max Il u(t ) - Uh(t) II L2(D) +

t E [O,T ]

(/

I: /

1

a · n K [U(t ) - Uh(t)]2 dt ) "

o KET" aKin

< Chr +1 /2 1Iuo llw +l(D )'

(14.48)

Per le dimostrazioni rinvi amo a [QV94, Cap. 14], a [Joh87] ed aile referenze ivi citate. Altre formu lazioni sono possi bili, basate su varie forme di st ab ilizzazione. Consideriamo un problem a di trasporto e reazione come (14.22) rna scritto in forma conservat iva

au at + div (au) + aou = j ,

x

E

rl , t > O.

(14.49)

420

14 Elem enti finiti e metodi spe t t rali per eq uazioni iper boli che

Posto ora

aK(U h,Vh ) = j ( - uh(a · "VVh)

+ aOuh Vh) dx ,

K

conside riamo la seguent e approssimazione basat a sui metodo DG (Galerkin discontinuo) , si veda la Sez. 11.1 : per ogni t > 0, trovar e Uh(t) E Wh t ale che,

\lvh E Wh, j8U;?) vh dD + [J

2..= aK(uh(t),Vh) + 2..= K EY"

j {auh(t)]} [Vh ]d, e

e(l & [J m

+ 2..= j ceb ) [Uh][Vh] d, =

(14.50)

e(l & [J e

j f(t) Vh dD -

2..=

j (a · n) cp(t ) Vh d, .

e C & [J,n e

[J

Le notazioni sono ana loghe a qu elle in Sez. 11.1: con e si denot a un qu alunque lato degli elementi dell a t riangolazione Th condiviso da due t riangoli, dici amo K 1 e K 2 . Per ogni fun zione sca lare 1jJ , regolare a pe zzi sulla triangolazione , con 1jJi = 1jJ IK i ' si sono definiti le medie e i sa lt i su e come segue : (14.51) essendo n , la normale esterna all'element o K i . Se invece a vettoriale , allora

e un a

fun zione

su e. Si noti che il sait o [1jJ] di un a fun zione sca lare 1jJ at t raverso e e un vet t ore par allelo alla normale a e, mentre it sait o [a] di un a funzione vet toriale a e un a qu anti t a sca lar e. Que st e definizioni non dip endono dall 'ordinamento degli element i. Se e e un lato appartenent e alla frontiera 8D, allora [1jJ]

= 1jJ n,

{{a}} = a.

Per qu an ta riguard a ceb), si t ratta di una funzione non negativa che, ti picam ente, verra scelt a come cost ant e su ogni lato. Scegliendo, ad esempio, Ce = [a n l/2 su ogni lato int erno, Ce = - a · n/2 su otr-, C e = a- n/2 su 8Dout , la formulazione (14.50) si riduce alla formul azione upwind st andard

j8U;?)Vh dD + [J

2..= aK(Uh(t),Vh) + 2..=

= j f(t) Vh .u: [J

j{{aUh(t)}}UP[Vh]d,

e(l & [J,n e

KE Y"

2..=

j (a · n) cp(t ) Vh &,

eC & [J i n e

\lvh E Who (14.52)

14.5 Approssimazione con metodi sp ettrali

421

Ora {{aUh}}up denota il valore upwind di aUh , ovvero coincide con au~ se a· n l > 0, con a u~ se a· n , < 0, ed infin e con a{ Uh} se a · n l = O. Infine, se a e cost ante (0 a div ergenza nu lla) , div(auh) = a · \7u h e (14 .52) coincide con (14.47). La formu lazione (14.5 0) e detta di Galerkin discontinuo con sta bilizza zione di salta. Essa e stabile se Ce :::: [a -n. ] per ogni lato interno e, ed ino ltre convergente con ordine ottimale. In effetti, nel caso de l problema stazionario si dimostra che

eo

IIU- uh ll[2(S:?) +

L

11 yC;;"[u - uh]II[2(e) < C h 2 r + 1 Il ull ~ '+ l( n) ·

eE'h

Per la dimostrazione e per altre formul azioni con stabilizzazione di sa Ito, an che per problemi di diffusione e trasporto, rinviamo il lettore a [BMS04].

14.5 Approssimazione co n m etodi s pet t r a li In questa sezione faremo un breve cenno all'approssimazione di problemi iperbolici con metodi sp ettrali. Ci limiter emo per sernplicita al caso di problemi monodimen sion ali. Trat ter emo d apprima l'approssimazione G- NI in un singolo intervallo, poi l'app rossimazione SEM relat iva ad un a decomposizione in sottointervalli in cui si usino po linomi discontinui quando si passi da un int ervallo ai suoi vicini. Cia fornisce una generalizzazione degli elementi finiti discontinui, nel caso in cui si conside rino po linomi di grado "elevat o" in ogni eleme nt o, e gli integrali su ogni eleme nt o siano approssimati con la formula di integrazione numeri ca GLL (10.18). 14.5 .1 Il m etodo G-NI in un s ingolo intervallo Consideriamo il problema iperbo lico di trasporto-reazione de l primo ordine (13.3) e supponiamo che (a, {3) = (-1 , 1). Approssimiamo in spazio con un metodo spettrale di collocazione , con imposizione forte de lle condizioni al contorno. Indicati con {xo = - 1, Xl , .. . , XN = I } i nodi GLL introdotti nella Sez. 10.2.3, il problema semi-discretizzato e: per ogni t > 0, trovar e UN(t) E QN (10 spazio dei po linomi (10.1)) tale che

(0;; 0;; +a

1

+ aOuN ) (Xj , t ) = !(Xj,t),

j

=

1, ...

,N, (14 .53)

UN( - 1, t) = 'P(t),

UN(Xj, 0) = uO(Xj) ,

j

= 0, . . . , N .

Servendosi opportunamente del prodotto scalare dis creto GLL definito in (10.25), l'ap prossimazione G-NI del problem a (14.53), div enta: per ogni t > 0,

42 2

14 Elem enti finiti e metodi sp et t rali per eq uazion i ip er boli che

t rovare UN(t) E QN tale che

( 1

8UN(t ) N(t) ) -----at ' VN) N + (8U a -----a;;-' VN N + (aoUN(t) ,VN) N =

UN( - 1, t) = '(J (t ),

U(t) , VN ) N V V N E QiV,

UN(X,O) = UO ,N,

(14.54) dove UO ,N E QN, ed avendo posta QiV = {VN E QN : vN(- l ) = O} . Du nque, all'i nfi ow, la soluzione UN soddisfa la condizione impost a, per ogni tempo t > 0, men tre le fun zioni te st si annulla no. Le solu zioni dei problemi (14.53) e (14.54) in realt a coincidono se UO ,N in (14.54) e scelt o come l'int erpol ato IIiJLL uo. Per dimostrarlo , e sufficient e scegliere in (14.54) V N coincident e con il polinomio carat t erist ico 'ljJj (definito in (10.12) , (10.13)) associate al nodo GLL X j , per ogni j = 1, .. . , N. Deriviamo ora un a st ima di stabilita per la formul azione (14.54) nella norma (10.51) indotta dal prodot to scalare discreto (10.25) . Scegliamo, per sernplicita, un dato all'infi ow omogeneo, ovvero '(J (t ) = 0, per ogni t , ed a e ao costant i. Scelto, per ogni t > 0, VN = UN(t) , a bbiamo 1

18 2 - -8 IluN(t)IIN 2 t

+

-aj8UJv(t) - 8 - dx 2

X

2 + aolluN(t) IIN =

(

f(t) , UN(t)

)

N'

- 1

Riscriv endo opportunam ente it termine convet t ivo, int egrando risp etto al tempo ed utili zzando la disuguaglian za di Young, abbiamo t

t

IluN(t)II Jv + a j(UN(1,T)) 2 dT +

°

= Iluo,NIIJv +

2aoj lluN(T) IIJvdT 0

t

2 jU(T),UN(T)) NdT

o

ovvero t

IluN (t)IIJv + a j

t

(u N(l ,T)) 2 dr

+ aoj lluN(T)IIJv dr

o

0

~

IluO,NIIN + ao j'Il f (T)IIN dr. t

2

-1

2

°

(14.55)

14.5 Approssim azione con met odi spettrali

Ora, per la norma

Iluo,NIIJv

423

vale la maggior azione N

Iluo,NIIJv < Il uo,Nllr=(-l,l) (2..:CXi) = 21Iuo ,Nllr=(- 1,1)' i=O

e maggiora zione ana loga vale per Il f (T)II Jv purche f sia un a fun zione continua. Dunque, tornando alia (14.55) ed utili zzando per norme a primo membro la disugu aglian za (10.52) , si ha t

IluN(t)Il r2( - 1,1) + a j

t

(UN (1, T)/ dr

+ aoj

o

lluN (T) Ilr2(- 1,1) dr

0

< 21Iuo ,Nllr=(_1,1) +

t

:0 j llf(T) llr (_1,1) 2

dr .

o

La reint erpret azione del metodo G-NI come met odo di collocazione risul t a meno immedi ata nel caso in cui il ca mpo convettivo a non sia costant e e si par t a da un a formul azione conservativa dell 'equazione differenziale in (14.53), ovvero il secondo te rmine sia sostit uit o da a( au) / ax . In tal caso si puo ancora most rare che l'approssim azione G-NI equivale all'appross imaz ione di collocaz ione in cui it termine convet t ivo sia appross imato da a( n iJLL (auN )) / ax , ovvero dalla deriv ata di int erpolazione (10.40). An che nel caso di un 'approssim azion e G-NI si pUO ricorrere ad un 'imp osizione debol e delle condiz ioni al bordo. Tale approccio risul t a piu flessibil e rispetto a quello sopra considerato e piu adat t o in vist a di un 'applicazione del metodo spet t ra le a problemi mul tidimension ali 0 a sist emi di equ azioni. Com e visto nella sezione precedente, punto di par t en za per l'imposizione debole delle condizioni al bordo e un 'opportuna integr azione per parti del termine di t rasp ort o. Riferendoci al problem a monodimension ale (14.53), si ha infat ti (se a e costant e) 1

a au(t) v dx j ax

- 1

1

j . =- j

=-

- 1

1

av 1 au(t)ax dx + [au(t) vL1

a

au(t) a~ dx

+ au(l , t) v (l ) -

a cp(t) v ( - 1).

- 1

In virtu di t ale ugu aglianz a, e imm edi ato formul ar e l'approssim azione G-NI con imposizione debole delle condizion i al bo rdo per it probl em a (14.53): per ogni t > 0, t rovare UN(t) E QN tale che auN (t ) ) ( aVN) ( -----at ' VN N - aUN(t) , ax N + a uN (1,t ) vN (l )

+ ( aoUN(t) , VN) N

= (j (t) , VN) N + a cp (t ) vN (- l ) 'VVN E QN ,

(14.56)

424

14 Elem enti finiti e metodi spe t t rali per eq uazion i ip er boli che

con UN( X,O) = UO ,N(X). Osservi amo che sia la soluzione UN che la funzione test VN sono lib ere al bordo. Un a formul azion e equivalent e alia (14.56) si ot ti ene cont ro-int egra ndo opportunament e per parti il te rmine convettivo: per ogni t > 0, trovare UN(t) E QlN t ale che

(OU;t(t) , VN) N + ( a OU;T(t) , VN) N + (ao UN(t), VN) N + a (uN(- l , t ) - 0)

~: + a ~~

1

= 0, - 1 < x < 1, t > 0, (14.70)

z( - 1, t ) = ¢(t ), t > 0, z(x, O) = zo(x ),

- 1 < x < 1,

se non si utili zza uno schema di discretiz zazione appropriat e . Illu streremo il procediment o per un metodo di approssimazione spet trale. In effet ti per metodi ad alta accurate zza e ancora pili fond ament ale di qu anto non 10 sia per un metodo agli elementi finiti 0 aile differen ze finite t rattare corret tament e Ie condizioni al bordo, in qu an ta err ori al bordo verrebbero propagati all'inte rno con velocita infini t a. In trodot t a la par tizione X o = - 1 < X l < . . . < XN- I < X N = 1 dell'intervallo [-1, 1]' se si decide di utiliz zar e, ad esempio, uno schema a differen ze finite si incontrano problemi essen zialment e nel deri vare il valore di Z in cor rispondenza del nodo x N . Infat ti , se da un lato 10 schema upwind ci forni sce un 'approssim azione per t ale valore rna e affet t o da un a stabilita condiziona ta, d 'alt ro ca nt o uno schema con ordine di convergenza pili elevate , come qu ello a differenze finit e centrate, non e in grado di fornirci tale approssimazione a meno di introdurre un nodo supplementare fuori dall 'intervallo di defini zione

(-1 ,1). Al cont rario, un a discretiz zazion e spettrale non comporta alcun problem a al bordo. Per esempio, 10 schema di collocazione corr ispondente al problem a (14.70) puo essere scritto anche suI bo rdo di outflow: \In ;::: 0, trovare zRr E QN t ale che i

= 1, .. . ,N,

Ad ogni nodo, sia esso interno 0 di bordo, risult a associata un 'equazione . Possiamo dunque affermare di essere in pre sen za di un problema che ammet t e soluzione univoc a. L'univocit a della soluzione risul t a invece problem ati ca passando al siste ma (14.65). In tal caso infat ti , mentre ad ogni nodo int erno Xi , con i = 1, . . . , N -

430

14 Elem enti finiti e metodi sp et t rali per eq uazion i ip er boli che

1, son associate du e incogni te e du e equazioni, in corr isponde nza dei nodi di bordo X o e XN abbiamo ancora du e incogni te rna un a sola equazione. Dovranno essere dunque forni te condizioni aggiunt ive per t ali punti: in genera le, andran no aggiunt e in corrispondenza dell'estremo x = - 1 tant e condizioni qu anti sono gli aut ovalori positivi, mentre per x = 1 and ra nno fornite t ante condi zioni addiziona li qu anti sono gli aut ovalori negativi. Cerchiamo un a soluzione a t ale problem a ispirandoci al metodo di Galerkin spettrale. Supponiamo di applicare al sist ema (14.65) un metodo di collocazione: vogliamo dunque trovar e U N = (U N ,l , U N ,2) T E ( Q! N) 2 t ale che

(14.71) e con

(14.72) L'idea pill semplice per ricavare le due equ azioni manc an ti per U N ,l e U N ,2 in cor rispondenza di XN e x o , rispettivamente, e quell a di sfruttare l'equazione vettoriale (14.71) assieme ai valori noti y (t ) e 1jJ(t ) in (14.72). La solu zione calcolata in t al modo risulta t ut tavia fortemente inst abile . Cer chiamo dunque un approccio alt ernativo. L'idea e qu ella di aggiungere aile 2( N - 1) relazioni di collocazione (14.71) e aile condizioni al bordo "fisiche" (14.72) , le equ azioni delle ca ra t t erist iche uscenti in corrispondenza dei punti X o e X N. Pill nel det t aglio, la caratterist ica uscen t e dal dominio nel punto Xo = - 1 e quell a associata all'aut ovalore negativo dell a matrice A , e ha equ azione a Z1 (x o) -

at

mentre quell a associata al punta 1/2 ed e data da

XN

3 2

-

a Z1 (x o)

ax .

= 0,

(14.73)

= 1 e individuata dall 'autovalore positivo (14.74)

La scelt a della ca ratterist ica uscente e motivat a dal fat to che qu est a e port atrice di informazioni dall 'in terno del dominio al corr ispondent e punto di outflow, punta in cui ha senso dunque imporre l'equazion e differenzi ale. Le equ azioni (14.73) e (14.74) ci permet tono di avere un sist ema chiuso di 2N + 2 equ azioni nelle 2N + 2 incognite U N ,l(X i, t) = U N(X i , t ), U N ,2(Xi, t) = V N (X i , t), con i = 0, . . . , N . Per com plet ezza, possiamo riscrivere Ie equazioni caratterist iche (14.73) e (14.74) in termini delle incognite U N e VN, come

e

14.6 Tr at t am en to numer ico delle co nd izioni al bo rdo per sist emi iperbolici

431

rispettivament e, ovvero in t ermini matriciali come

-1 [W 11 [ W 21

1

(14.75)

Tali equazioni agg iunt ive sono det te di compatibilita: esse rappresent an o un a combinazione lineare delle equa zioni differen ziali del problem a in cor rispondenza dei punti di bordo con coefficient i dati dalle compone nt i dell a mat rice tV - I . Osservazione 14.4. Come osservato in precedenza i metodi spettrali (di collocazione , di Galerkin , 0 G- NI ) rappresent ano un "buon terreno" su cui te st are possibili soluzioni a problemi numeri ci qu ali appunt o l'assegn azione di cond izioni supplementari per sist emi iperbolici. Qu est o e dovuto alla natura globale di tali metodi che propagano immediat amente e su t ut t o il dominio ogni po ssibile pe rturbazione numerica che venga int rodott a al bo rdo . • 14.6 .1 Trattamento debole d elle condizioni al bordo

Vogliamo generalizzare ora l'appro ccio basat o sulle equazioni di cornpatibilita passando da relazioni puntuali , qu ali appunt o le (14.75), a relazioni int egr ali , in linea con un 'approssim azione numerica di t ipo, ad esempio, element i finiti 0 G-NI. Con sideri am o di nuovo il sist ema a coefficient i costant i (14.65) e le not azioni usat e nella Sez. 14.6. Sia A un a matrice reale, simmetrica e non singolare di ordine d, A la matrice diagon ale reale degli aut ovalor i di A e tV la matrice qu adrata le cui colonne sono gli a ut ovettor i (dest ri) di A . Supponiamo che tV sia ort ogon ale il che ci ga rantisce che A = W T A W . Le variabili caratt erist iche , definite come z = W T u , soddis fano il sist ema diagonale (14.68) . Int roduciamo 10 splitting A = diag(A+ , A - ) della matrice degli autovalor i raggruppando, rispe t ti vamente, gli aut ovalor i po sitivi (A+) e quelli negativi (A -) . Tali sot tomatrici risultano ent ram be diagon ali , A + definit a po sitiva di ordine p , Adefinit a negativa di ordine n = d - p . An alogam ente possiamo riscrivere z come z = (z " , z- ) T , avendo indicato con z" (z - , rispe ttivam ente) le variabili car atteristi che cost ant i lun go le caratt er ist iche con pendenza positiva (ne gati va) , ovvero che si muovono verso dest ra (sini st ra) . In cor rispondenza dell'estremo di de st ra x = 1, z" e ass ociato alle vari abili carat t er ist iche uscenti mentre z " a quelle ent rant i. Chiara mente i ruoli si scambian o in corrispondenza dell'estremo d i sinistra x = - 1. Un caso semplice si present a se assegnamo i valori delle car atteristi che entrant i in cor rispondenza di ent ra mbi gli estremi del dominio, ovvero p cond izioni in x = - 1 ed n condizioni in corrispondenza di x = 1. In que sto cas o (14.68) rappresent a , a t ut t i gli effet t i, un sistema disaccoppiato . Solit am ent e, t uttavia, vengono assegnate, in corr ispo ndenza di ent rambi i punti di bordo,

432

14 Elem enti finiti e metodi sp et t rali per eq uazioni iper boli che

combinazioni lineari Bu = g delle variabili fisiche, ovvero , riteggendole in t ermini delle vari abili z , com binazion i lineari C z = g delle vari abili caratt erist iche, con C = BTV. Nessuna delle ca ratter ist iche uscenti verra , in linea di massim a , individuata da quest e combinazioni in qu anto i valori risult an ti saranno in gener ale incompatibili con quelli propagati dal sist ema iperbolico all'int ern o del dominio. Al cont ra rio, le cond izioni al bordo dovrebbero permettere di determin are le vari abili caratteristiche ent rant i in funzione di qu elle uscenti e dei dati . Per la pr ecision e, supponiamo che siano ass egnat e Ie condizioni al bordo

(14.76) dove gL e gR sono vettori assegnat i e B L , B R op portune matrici. Concent riamoc i sull' est remo di sinist ra , x = - 1. Poiche, in corrispondenza di tale punto , si hanno p caratter ist iche entranti , B L avra dimensione p x d. Ponendo C L = B LW ed utilizzando 10 splitting z = (z t , z -)T introdot to per z ed it corrispondent e splitting W = (W +, W -)T per la mat rice degli aut ovettori, si ha CLz( - 1, t) = c tz+( - 1, t) + Ci z - (-1 , t ) = gdt),

c:

dove = B L W + e un a matrice p x p mentre Ci = B L W - ha dimensione p xn . Facciamo la richiest a che la matrice sia non singolare. La caratterist ica

c:=

entrante in corrispondenza dell'estremo x

- 1

e data da

z+(-l ,t) = SLz -( -l ,t) + zd t ),

(1 4 .77)

-ictrc:

essendo S L = un a mat rice p x n e ZL(t) (ct) - 1gdt). In mani er a del t utto analoga possiamo ass egnare, in corr ispondenza dell'estremo di destra x = 1, la vari abil e carat te rist ica ent ra nte come

(14.78) essendo S R un a matrice n x p. Le matrici SL ed SR sono det te matrici di rifi essione. II sist ema iperbolico (14.65) verra dunque completato dalle condizioni al bo rdo (14.76) 0, equi valentemente, dalle condizioni (14.77)-(1 4.78) , oltre che, ovviam ente, da un 'opportuna condizione iniziale u(x ,O) = uo (x) , per - 1 < x S; 1. Cer chiamo di ca pire a qu ali van t aggi puo port are un a t ale scelta per le cond izioni al bordo. P artiamo dall a formulazione debol e del problem a (14.65) , integr ando per parti it termine contenent e la derivata spaz iale 1

JvT~~dX - 1

1

-

J(~:)T Audx + [vTAuJ ~ 1 = 0 , - 1

per ogni t > 0, essendo v un a fun zione test arbit raria, differenziabile. Vorremmo cere are di riscrivere il termine di bordo [v T AUJ ~1 con un a formul azione equivalente alla forma (14.76). Introducendo la vari abil e caratterist ica

14.6 Tr attam ento numerico delle cond izioni al bordo per sistemi iperbolici

l-VT V

433

= Y = (y+, y -) T associat a alia funzione tes t v , avr emo

Utilizzando Ie relazioni (14.77)-(14.78), ne segue dunque che 1

J

1

v T -a u

- 1

at

dx-

;·(aV)T Audx - 1

ax

- (y +)T( -l,t)J1+S Lz -( -l ,t) - (y -)T( -l ,t)J1-z-( -l,t) + (y +)T(1 , t)J1+z+(l , t)

+

(14.79)

(y -)T(1 , t)J1 - SR z+(1, t)

= (y +)T( -l,t)J1+z L(t) - (y -)T(l ,t)J1-z R(t). Osserviamo che nel t ermine noto di t ale forrnulazione int ervengono Ie condizioni al bordo (14.77)-(14.78) , che vengono cost incorporat e dal siste ma senza che vi sia bisogno di pretendere nulla suI comportamento al bordo delle fun zioni u e v . Inoltre, integrando ancora per parti, e possibile ottenere una formulazione equivalente alia (14.79) in cui Ie condizioni al bordo vengono impost e in modo debole

J 1

v

- 1

J 1

T

~~ dx +

v

- 1

T

A

~~ dx

+(y+ )T( - 1, t)J1+(z+( - 1, t) - SLZ-( - 1, t))

(14.80)

_ (y- )T(1, t)J1 - (z-(1 , t) - SRz +(l , t))

= (y +)T( -

1, t)J1+zL(t) - (y -) T(l, t)J1 -z R(t).

Infin e ricordiamo che solitamente sulle matrici di riflession e SL e SR viene fatta la seguente ipo tesi, detta di dissipazione

(14.81) sufficiente a gar ant ire la stabilita della schema precedente rispetto alia norma L 2 . La norma di matrice in (14.81) va intesa come la norma euclidea di una matrice rettangolare, ovvero la radice quadrata del massimo autovalore di STS . La formulazione (14.79) (0 (14.80)) si presta ad essere approssimata con una delle teeniche "alia Galerkin" vist e sino ad ora: con il metodo di Galerkinelement i finiti , con il metoda di Galerkin sp ettrale, con il metoda spettra le con integrazione numerica Gaussiana in un singolo dominio (G-NI) 0 in versione spectral element, nel caso di elementi spettrali continui (SEM- NI ) 0 discontinui (DG -SEM-NI).

434

14 E lem enti finiti e metodi spe t t r ali per eq uazion i ip erboliche

14.7 Esercizi 1. Verificare che la discretizzazione con elementi finiti lineari continui (14.13) coincide con quella aile differenze finite (13.22) nel caso in cui si renda diagonale la matrice di ma ssa con la t ecnica del mass-lumping. [S oluzion e: si usi la proprieta (12.35) di partizione dell'unita come fat to nella Sez. 12.5.] 2. Si dimostrino Ie disuguaglian ze di stabilita fornite nella Sez. (14.4) per la semi-discretizzazione basata su elementi finiti discontinui. 3. Si verifichi la relazione (14.13). 4. Si discretizzi con il metodo degli element i sp ettrali continui, SEM -NI, e discontinui, DG-SEM-NI, il siste ma (14.79).

15 Cenni a problemi iperbolici non lineari

In qu esto ca pitolo introduciamo alcuni esem pi di pr obl emi iperbo lici non lineari. Accennerem o ad alcun e propriet a caratteristiche di tali problemi , la piu rilevante essendo quella di pot er generare soluzioni di scon t inu e anche nel caso di d ati ini ziali e al contorno cont inui. L' approssim azione numerica di qu esti problemi e un compito tutt 'altro che facile. In questo ca pit olo ci limi t eremo sem pliceme nt e ad accennare a come si possono applica re gli schemi aile differenze finite e ag li eleme nt i finiti discon tinui nel cas o di equazioni monodimen sion ali. P er un a t rattazione piu esaur iente consigliamo di riferirsi a [LeV07 , GR96, BreOO, To r99 , Kro97] .

15.1 Equazioni scalari Con sid eriamo la seguente equazione

au

a

-;:} + -;:>F(u ) = 0, ot uX

x

E

lR, t > 0,

(15.1)

dove F e un a fun zione non line are di u detta fiu sso di u in qu anto su ogni intervallo (a, (3) di lR essa sodd isfa la seguente relazione

d dt

1(3 u( x ,t)dx =F(u(t ,a)) -F(u (t , (3 )) . ex

Per t ale ragione la (15.1) esprime un a legge di cons ervazione. Un esem pio classico e costit uit o dall 'equazione di Burger s, gia considerata nell'Esempio 1.3, in cui F (u) = u 2 /2 . Tale equ azione in for ma non conservat iva si puo scrivere (fint an to che la soluzione rimane regolare)

au at

au

+ u ax = 0.

(15.2)

L'equazione delle linee ca ratterist iche per la (15.2) e x ' (t ) = u , rna essendo u costante sulle caratt erist iche, si ot ti en e x ' (t ) = costante , cioe Ie ca ratterist iche Quart eroni A.: Modellistica Numerica per Problem i Diffe renz iali, 5a edizione, Unit ext - La Matematica per il3+2. DOl 10.1 007/978-88-470-2748-0_15, © Springer- Verlag ltalia 2012

436

15 Cenni a problemi ip erbolici non lin eari

x Figura 15.1. Sviluppo dell a singolarita

sono delle rette. Esse sono defini te nel piano (x, t) dall a mappa t ----+ (x + tuo(x) , t), e la soluzione e definita implicitam ente da u( x + tuo(x)) = uo( x) , 1ft < t e , essendo t e un valore crit ico del t empo in cui per la prima volt a tali caratteristiche si intersecano. Ad esempio, se Uo = (1 + X 2 )- 1 , t e = 8/ In effetti, se u~(x) e negativa in qualche punto, posta

ven.

1

t.; = --.---mill u~(x)

per t > t e non puo esiste re alcuna soluzione classica (ovvero di classe C 1 ) , in quanto lim (inf aau (x , i-«: xEIR X

t)) =

-00.

Consideriamo la Fig. 15.1: si nota come per t = t e la solu zione presenti una discontinuita, Per ovviare a questa perdita di unicita si introduce il concetto di soluz ione debole per le equazioni iperboliche: diciarno che u e una solu zione debole di (15.1) se soddisfa la relazione differenziale (15.1) in t ut t i i punti x E lR ad eccezione di quelli in cui e dis continua, In questi ultimi non si pr et ende piu che valga la (15.1) (non avrebbe alcun senso derivare un a funzione discontinua), rna si esige che sia verificata la seguente condizione di Rankine-Hugoniot (15.3) ove Ur e Uz indicano, risp ettivam ente, illimite destro e sini stro di u nel punta di discontinuita, e a e la velocita di propagazione della discontinuita, La condi zione (15.3) esprime dunque il fatto che il salto dei f1ussi e proporzionale al salto della solu zione. Le soluzioni deboli non sono necessariam ente uni che: tra di esse quella fisicam ente corre t t a e la cosiddet t a soluzione entropica.

15.1 Equaz ion i scalar i

437

Come vedremo alla fine di quest a sezione, nel caso dell'equ azione di Burgers la soluzione ent ropica si ottiene come limite, per e ----+ 0, della soluzione u e(x , t) dell'equazione avent e un termine di perturbazione viscoso fJue fJt

+

fJ e) fJx F (u

fJ2u e

= e fJx 2 , x

E

JR., t > 0,

con u e(x , 0) = uo( x) . In generale, possiamo dire che: •

se F (u) e differenziabile, una discontinuita che si propaga con uelociia a data dalla (15.3) , soddisfa la con dizi one di eiitropi a se

se F(u) n on e differen ziabile, una disconiinuiio. che si prop aga con uelocita a data dalla (15.3) soddisf a la con dizione di eniropia se

per ogni

11

cotnpresa ira

e u-:

Ut

E se m p io 15.1. Conside riamo l'equazione d i B urgers con la cond izione iniziale seguente iu se x < 0, uo(x) = { u; se x> 0,

do ve u.; ed u ; sono du e cost a nt i. Be (che e anche ent ro pica )

ui

> Ur,

a llora esist e una sola soluzione debole

U(x ,t) = { ui , X < crt , U r , x> crt ,

(15.4)

do ve a = (Ul + u r )/ 2 e la velocita d i propagazione dell a d isco nt inu it a (det t a a nche shock). In qu esto caso le ca ratte r istiche "entrano" nello shoc k (si ved a la Fi g. 15.2) . Nel cas o u.; < u ; ci so no infinite soluz ioni deboli : un a ha a ncora la forma (15.4) , rna in qu est o caso le ca rat t er istic he escono d all a di scontinuita (si veda la Fi g. 15.3) . Tale soluzio ne e instab ile , ovvero piccole perturbazion i sui d at i ca mbiano in modo sos tanzia le la soluzione st essa. Un'altra so luz ione debole e

~

se x < iut. , se u tt ::; x ::; u -t. ,

Ur

se x> ti -t:

Ut

u( x , t)

=

{

Tale soluzione , che d escrive un 'on d a d i rarefazion e, a differ enza d ella precedent e, e ent ropica (si ved a la Fi g. 15.4) . •

Si dice che un problema ipe rbolico (15.1) pos siede un a funzione en tropia se esistono un a fun zione st ret tament e convessa TJ = TJ (u) ed un a fun zione lji = lji ( u) tali che lji' ( u) = TJ' (u )F' (u ), (15.5)

438

15 Cenni a problemi ip erbolici non lin eari

,/x

=

I7t

Ul

Ur

I7t

x

x

Figura 1 5.2 . Soluzione ent ropica p er l'equ azione di Burgers

Ut

I7t

x

x

Figura 1 5 .3 . Soluzione non entropica per l'equazione di B ur gers

Ur

~ ,, , ,,, ,

' ' ' ' '

' I

•

x Figura 1 5.4 . Onda di rarefazione

dove l'apice indic a la derivata rispetto all'argomento u. La fun zione TJ e detta entropia e lJr e detta fiusso d 'entropia . Si ricorda che una fun zione TJ si dice convessa se per ogni u e w distinti e B E (0,1) si ha

TJ(U

+ B(w -

u)) < (1 - B)TJ(u)

Se TJ pos siede deriv ata seconda cont inua, cio TJ" > O.

+ BTJ(w) .

e equivalente

a richiedere che

Osse rva zione 15 .1. Que lla qui presentata e una defini zione "mat emat ica" di entropia. Nel caso in cui (15.1) governi un fenomeno fisico, e spesso possibile definire un a "ent ropia t ermodinamica". Essa risulta essere effet t ivamente anche una ent ro pia del problema differenzi ale nel senso pr ecedentem ente descritto. •

15.1 Equazioni scalari

La forma quasi-Iineare di (15.1)

439

e data da

OU , OU ot + F (u) ox = 0.

(15.6)

Se u e sufficientem ente regolare, moltiplicando (15.6) per r/(u) si verifica facilmente che rJ e iJt soddisfano una legge di conseruazione del tipo (15.7) Per una equazione scalare e in genere possibile trovare diverse cop pie di funzioni

rJ e iJt che soddisfino Ie condizioni date.

Le op erazioni effet t uate per derivare (15.7) sono valide solo se u e regolare, in particolare se non vi sono discontinuita nella soluzione. Si possono pero trovare Ie condizioni che la variabile entropia deve soddisfare in corrispondenza di una discontinuita nella solu zione di (15.1) quando tale equazione rappresenti il limite per E ----+ 0+ della seguente equazione modificata (detta equazione di viscosita)

ou

of

02u

'" + -;:>(u) = E uX2. ut uX

(15.8)

0, ed effettuando Ie stesse rnanipolazioni usate precedentemente si puo scrivere -orJ() U

at

U ox

+ -oiJt() u = ErJ '( U )02 = E- 0 2 ox

ox

[T]'( U )ou ] ox

Integrando ora su un generico rettangolo [Xl , X2]

X

-

ErJ "() U

(OU)2 ox

[t l , t2 ] si ottiene

dove abbiamo posta

Abbiarno

lim RI(E) = 0,

0, essendo a 2TJ /au 2 > 0, dunque la solu zione debole al limite per c ----+ 0+ soddisfa

t2j .X2[a'7 alJf] -a(u) + -a (u) dxdt :S: 0

1 t1

In altre parole

Xl

t

(15.9)

X

lJf aaTJ (u) + aa (u) < 0, t x

x E lR,

t

>0

in senso debol e. Vi e ovvi am ente un a relazione tra quanta appen a visto e la nozione di solu zione entropica. Se l'equazione differenziale ammette una fun zione entropia TJ, allora una solu zione debole e una solu zione entropica se e solo se TJ soddisfa (15.9) . In altre parole, Ie solu zioni entropiche sono solu zioni-limite del problema modific ato (15.8) per c ----+ 0+.

15.2 Approssimazione aIle differenze finite Ritorniamo a considerare I'equazione iperbolica non lineare (15.1), con la condizione iniziale u(x,O) = uo(x), x E lR. Indichiamo con a(u) = F' (u) la velocita carat te rist ica. Anche per questa problem a possiamo usar e uno schema esplicito aile differenze finit e della forma (13.13) . L'interpretazione funzionale di Hj+l /2 = H(uj ,uj+l) e la seguente

ovvero Hj+l/2 approssima il flusso medio at t raverso Xj+ l/2 nell'intervallo di tempo [tn,t n+ 1 ] . Per avere consistenza, il flusso numerico H( ·, ·) deve verificare

ut«, u) = F(u),

(15.10)

nel caso in cui usia un a costante. Sotto l'ipotesi (15.10) , grazie ad un classico risultato di Lax e Wendroff, Ie funzioni u t ali che

sono solu zioni deboli del problema di partenza. Sfortunatamente, pero, non e assicurato che Ie solu zioni ottenute in questa mani era soddisfino la condizione d 'entropia (ovvero non e detto che Ie soluzioni deboli siano anche soluzioni ent ro piche).

15.2 Approssimazione aile d iffer enze finit e

441

Al fine di "recuperare" Ie soluzioni ent ropiche , gli schemi numeri ci devono int rodurre un 'ad eguat a diffu sion e numerica , com e sugger ito dall 'an alisi della Sez . 15.1. Riscrivi am o a tal fine (13.13) nella forma

(15.11) e introduciamo alcune defini zioni . Lo schema numerico (15.11)

•

e det to :

mono tono se G e un a funzione monotona crescente di ognuno dei suoi argoment i; limitato se esist e C > 0 t ale che SUP j ,n Iujl < C ; stabile se 'V h > 0, :3 00 > 0 (p ossib ilment e dipendente da h) t .c., per ogni o < L1t < 00 , se u " e v " sono Ie soluzion i alle d ifferenze finite, ottenute a par t ire da due dati iniziali u'' e v" , allora (15.12) per ogni n 2': 0 t.c. nL1t ::::; T e per ogni scelta dei dati iniziali u" e v'' . La cost ant e CT > 0 e indipendent e da L1t e h, e I . I Ll e una opportuna norma discreta , come quelle introdot te in (13.26) . Si noti che per problemi line ari que st a defini zione e equivalen t e alla (13.25). Si parl er a di stabilita forte qu ando in (15.12) si puo pr endere CT = 1 per ogni T > o.

A t it olo di esempio, ponendo pe r sernplicita di not azione Fj = F (uj ), 10 schema di Lax-Friedrichs per il problema (15.1) si realizza attraverso 10 schema genera le (13.13) in cui si pr enda

Hj+l/ 2 =

~

[Fj+l

+ Fj

-

~(Uj+l -

Uj )]

Qu esto metodo e cons istent e, stabile e monotono purche valga la seguente cond izione (an aloga alla condizione CF L gia vist a nel caso line are)

IF ' (uj )1

~t < 1

'Vj

E

Z , 'Vn E N.

(15.13)

Un classico risul t ato di N.N. Kuznet sov stabilisce che schemi monotoni del t ipo (15.11) sono limitati , stabili, convergent i alla soluzione ent ropica ed han no un 'accurat ezza al massimo del primo ordine sia rispetto al t empo che allo sp azio, ovvero esiste un a cost ant e C > 0 t.c . max Iu j - u(Xj, tn) 1::::; C(L1t J ,n

+ h) .

Essi sono in genere troppo dissip ativi e non genera no soluzioni accura t e a meno che non si usino griglie molto raffinat e. Schemi di ordine piu elevato (i cosiddet t i high order shock capturing schemes) sono stati sviluppati usando t ecniche che permet tono di calibrare la dissipazione numer ica in funzione della regolarita locale della soluzione, al fine di

442

15 Cenni a problemi ip erbolici non lin eari

riso lvere corre t t amente Ie dis continuita (assicurando la convergenza a soluzioni ent ropiche ed evitando oscill azioni spurie) utilizzando glob alm ente una dissi pazione numeric a minima. Qu esta problematica e cornp lessa e non puo essere affrontata con eccessivo desiderio di sintesi. Per approfondimenti rinviarno ai testi [LeV02b, LeV07, GR96, Hir88].

15 .3 Approssimazione co n e lement i flniti discontinui Per la dis cretizzazione del problema (15.1) consideriamo ora l'approssirnazione spaziale basata su eleme nt i finiti discontinui. Usando Ie stesse notazioni int rodotte nella Sez. 14.4, cerchiamo per ogni t > 0 Uh(t) E Wh tale che si abbia Vj = O, . . . , m - 1 e V V h E lP'r (Ij ) ,

essendo I j

=

[x i- x j+ 1]' II dat o inizia le u~

j u~vhdx = j t,

UOVhdx,

t,

e fornito j

(15. 14) dalle relazioni

= 0, .. . , m

- l.

La funzione H , denota or a il flusso non lineare nel nodo valori di Uh in Xj , ovvero

Xj

e dipende dai (15 .15)

per un opportuno flusso numerico H(·, .). Se j = 0 si dovra porre Uh (Xo, t) = ¢ (t ), che e il dato al bordo nell'estremo di sinistra (ammesso naturalmente che questo sia il punto di inflow). Osserviamo che esist ono vari e possibilita di scelt a per la funzione H. La prima richi esta e che il flusso numerico H sia consistente con il flusso F, ovvero soddisfi la propriet a (15. 10) per ogni valore cost ante u. Inolt re, vogliamo che tali scelte diano luogo in (15.14) a schemi che siano perturbazioni di schemi monotoni. Questi ultimi, infatti, come gia acce nnato nella sezione precedent e, pur esse ndo solo del primo ordine , sono stabili e convergono alia soluzione ent ropica . Precisarnente, pr et endiamo che (15. 14) sia uno schem a monotono quando r = O. In tal caso detto il valore costante di Uh su I j , la (15 .14) diventa

u;;)

(15.16) con dato iniziale u~,(j) avendo indi cato con h j

= h j l J:;+1uo dx nell'intervallo I j , j = 0, ... , m - 1, = Xj+ l - X j l'arnpiezza di I j .

15.3 Approssimazione con element i finiti di scontinui

443

Affincho 10 schema (15.16) sia monotono , il flusso H deve essere monotono, it che equivale a dire che H( v ,w) e: • •

un a funzione Lipschitzian a dei suoi du e argoment i; un a fun zione non decrescente in v e non crescente in w. Simbolicamente, H( i, 1); consistente con il flusso F , ovvero Hiii,u) = F(u) , per ogni costant e u. Alcuni celebri esempi di flusso monotono sono i seguent i:

1. Flusso di Godunov

H( v,w)

~{

min F(u)

se v ::; w ,

max F(u)

se v > w ;

v:'Ou :'Ow

W:'OU :'O V

2. Flusso di Engquist-Osher

J

H(v , w) =

J w

v

max(F'(u), O)du

+

o

min(F'(u) , O)du + F( O) ;

0

3. Flusso di Lax-Friedrichs 1

H( v , w) = 2 [F(v)

+ F(w)

- 1 non sono stat i riport a ti i risultat i per i valori pili piccoli d i h in qu anto per tali valori (e per il .d t scel to) il problema e numericamente instabile.

•

E sempio 15. 3 . Consid eriamo 10 st esso problem a di trasporto lineare d ell'esempio preceden te , usando or a come d a to iniziale l'ond a quadra illustrat a a sinist ra nella F ig. 15.6. Essendo il d ato inizia le d iscon tinuo I'u t ilizzo d i elementi di grado ele va to non migliora I'ordine di converge nza , che risulta essere, per tutti i valori di r cons id er at i, molto vicino al valore t eorico di 1/2 . In F ig. 15.7 si mostrano Ie oscill azion i nell a vici nanza dell a d iscont.inu it a dell a solu zione ca so r = 2, responsabili del degrado dell a non mostra a lcu na osci llazione. • convergenza , mentre la soluzione per r =

°

446

15 Ce nni a problemi iper bolici non lineari

'''::''' r, o''+' ~ ~

......... ::::

.. , 10.. 1-.

..

.....

/ »< ,..

,

~

.

;

.,..--------=-----'-----.. . . . -'-'-"......... 10102

3

Figura 15.5. Errore [tz - uh IIL2(o,1) ottenut o risolvendo un pr obl em a di t raspo rto line are con dato inizia le regolare usando element i finiti d isco nt inu i d i grado r rispett ivam ente pari a O, 1, 2 e 3. L'err ore e stat o calcolato al tempo t = 0.01. Lo schema di avanza me nt o in tempo e quello di R un ge-Kutta del t erz 'ordine con L1t = 5 X 10- 4

1.5

,

0.1 ~ ......

I

,.= c.--

os

0 .1

02

03

0 .4

os x

06

0.7

08

09

0.01 1-.-'--:-

-

-

-

-

--'-

-

-

--'-

--'-'--:---'

Figura 15.6. E rrore Ilu - iu , IIL2(o,1) ot tenu to risolvendo un problema d i t rasport o linear e co n d ato inizi ale illu strato nella figura a sinist ra. Si sono usati eleme nt i finiti d iscon t inu i d i grado r rispettivamente par i a O, 1, 2 e 3. L' errore e st ato calcolato a l t empo t = 0.01. Lo schema di ava nza ment o in t empo e qu ello di Runge-Kutta del t erz 'ord ine con L1t = 5 x 10- 4

Nel caso del probl em a non linear e utilizzando 10 schema di Runge-Kut t a del 2° ordi ne con r = 0 sot to la condizione (15.13) si ottiene

ovvero la st abilita fort e nella norma I· IT V (ex ,{3 ) ' Qu ando non si faccia ricorso a schemi monotoni, e molto pili difficile ot tenere la stabilita forte. In questa caso ci si puo limit ar e a ga ra nt ire che la vari azione tot ale delle m edie locali sia uniformemente limit at a. (Si veda [Coc98].)

15.3 Approssim azione con element i finiti di scontinui

447

2.5 2 1.5

1.5

1

o.5

0.5

0 5 - 0. 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

- 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Fig u ra 1 5 .7. Soluzione a l t empo t = 0.01 e per h = 3.125 X 10- 3 per il caso t est di F ig. 15.6. A sinist ra il caso r = 3: si no ti la presen za d i oscill azioni nelle vici nanze delle discontinuita, mentre altrove la soluzione e accurata. A destra si mostra la soluzione ot tenut a usando la stes sa d iscret izzazione spaziale e t em pora le per r =

°

E sempio 1 5 .4. Questo esem pio vuole illustrare una car at t er ist ica tipica dei problemi non lin eari, cioe come si po ssano sv iluppare di scontinuita nella soluzione anche a par t ire d a un dato iniziale regol are. A tale scopo consideriamo I'equazione di B ur gers (15.2) nell 'inter vallo (0 ,1) , con d ato inizi ale (si ved a la Fi gura 15.8)

1,

uo(x)

=

54 ( 2x 0,

r- r

5 O< - x < - -12 ,

~

27 ( 2x -

~

5 12

+ 1,

1), l'ent ro pia ry e it flusso associato iJt sono ancora delle fun zioni scalari e la relazione (15.5) diventa

dF ViJt(u) = du (u) . Vry(u) ,

(15.27)

che rappresenta un sist ema di m equazioni e 2 incognite (ry e iJt) . Se m > 2 tale sist em a puo non avere soluzioni. Os s ervazione 1 5 .2 . Nel caso delle equazioni di Eul ero, la funzion e ent ropia esiste anc he nel caso m = 3. •

16

Le equazioni di N avier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes descrivono il moto di un fluido con densita p cost ante in un dominio il C JFtd (con d = 2,3). Ess e si scrivono nella segu ente forma

~~ {

- div

divu

[v (V'u + V'u T ) ] + (u · V')u + v» = f ,

= 0,

x

E

il, t > 0,

x

E

il, t > 0,

(16.1)

essendo u la velo cita del fluido , pIa densita, p la pressione divisa per la densita (che in questo capitolo chiameremo semplicemente "pressione"), u = ~ la viscosita cinematica, lIla viscosita dinamica e f e un termine forzante per unita di massa che si suppone appartenere allo spazio L 2(JFt+ ; [L 2(il)]d) (si veda la Sez. 5.2). La prima equazione del sistem a e l'equazione di bilancio della quantita di mota, la seconda e l'equazione di conservazione della mass a, detta anche equazione di continuita, II termine (u . V')u descrive il processo di trasporto convettivo, mentre - d iv [v (V'u + V'u T ) ] descrive il processo di diffusione molecolare. II sistema (16.1) puo essere ottenuto dalle analoghe equazioni per fluidi comprimibili introdotte nel Capitolo 15 supponendo p costante, utilizza ndo l'equazion e di continuita (che ora e div enuta semplicem ente divu = 0) per semplificare i vari termini e quindi dividendo le equazioni per p. Si noti com e, a differenza del caso comprimibile, non appaia in (16.2) una equazione per l'en ergia. Infatti, anche se in principio e possibile scriver e una tale equazione anche per i fluidi incomprimibili, essa puo essere completamente risolta una volta calcolato il campo di velocita tramite il sistema (16.1). Nel caso in cui v e costante, usando l'equazione di continuita, otteniamo div [v(V'u

+ V'u T ) ] = v (L1u + V'divu) = vL1u

e il sistema (16.1) si puo scriver e nella forma pili compatta

{ che

au at - vL1u + (u· V')u + V'p = f, divu

= 0,

x

E

il, t > 0,

x

E

il, t > 0,

e qu ella che consider eremo nel resto del capitolo.

Quarteroni A.: Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Sa edizione, Unitext - La Matematica per il3+2. DOl 10.1007/978-88-470-2748-0_16, © Springer-Verlag ltalia 2012

(16.2)

456

16 Le equazioni di Navier- Stokes

Le equazioni (16 .2) sono spesso chiarnate equazioni di Navier-Stokes incomprimibili. Pili in generale, sono detti fluidi incomprimibili qu elli che soddis fano la condizione di incomprimi bilita divu = o. 11 mota di fluidi a den sit a cost ant e sodd isfa necessariamente t ale condizione, t uttavia si pos sono avere flussi incomprimibili a densit a vari abile (per esempio i cosiddetti flussi st ratifi cati) , che sono governat i da un diverso sistema di equ azioni, dove la densita p appare esplicit ame nte. Affronteremo questa caso nella Sez. 16.9 Affincho il problem a (16.2) sia ben posta e necessario assegnare delle condizioni inizi ali (16.3) u(x, 0) = uo(x) \/x E D, unitam ente a delle cond izioni al cont orn o, per esempio, \/t > 0, u(x, t) {

= rp(x, t) \/x

E

TD,

(v~~ -pn)(x,t) ='l/J(X,t)

(16.4)

\/xE T N ,

dove Uo , rp e 'l/J sono fun zioni vet toriali assegnate, ment re T D e T N sono porzioni o

0

della fron ti era 8D di D t ali che T D U T N = 8D, T D n T N = 0 e n eil versor e norrnale uscente a 8D. Nel caso si utilizzino le equ azioni nella form a (16.1) , la seconda equ azione in (16.4) deve essere sost it uita da

Dv (V'u + V'u T ) . n - pn] (x, t) = 'l/J(x, t)

\/x E T N .

Se indichiarno con iu , i = 1, . . . , d le com ponent i del vettore u risp et to ad un sist ema di riferimento cartesiano e con Ii quelle del vettore f, il sistema (16.2) puo essere riscri t to in fun zione delle singole component i come i

= 1, ... , d,

Nel caso bidimensionale , le equ azioni di Navier-Stokes con le condizioni al cont orn o indicate danno luogo a problemi ben posti in senso clas sico, ovvero hanno solu zioni dotate di derivate cont inue, e non svilu ppano singolarita in tempo se il dato inizi ale e regolare. Le cose carnbiano nel caso t ridimensionale, in cui esistenza ed un icit a di soluzion i in sens o class ico sono stat e dimostrate solo per tempi piccoli. Nella sezione seguent e introdurremo la formul azione debole del problema di Navier-Stokes: in que sto caso e possibile dimost rare un risultato di esistenza globale (per ogni intervallo temporale) . Resta t ut tavia apert o il problem a dell'unicit a (legato peraltro al problem a della regolarita) , indubbiam ent e il problem a cent rale della teoria delle equazioni di Navier- St okes.

16.1 Formulazione debole delle equazioni di Navier-Stokes

457

O sserva zi one 16 .1. Abbiamo scritto le equazioni di Navier- Stokes in t ermini delle cosiddette varia bili primitive u e p. Altre variabili possono tuttavia essere utilizzate. Per esempio nel caso bidimensionale si adottano sp esso la vorticita w e la fun zione corrente ~, che sono legat e alia velocita dalle relazioni

Le diverse form ulazioni sono equivalenti dal pu nt a di vista matematico, pur dando orig ine a metodi di approssimazione fra loro differenti. Per ulter iori dettagli si veda ad esempio [Qua93]. •

16.1 Formulazione d ebol e d elle eq uazion i di N avier-Stokes Al fine di ottenere una formu lazion e debole del problema (16.2)-( 16.4) , procediamo formalmente e moltiplichiamo la prima delle (16.2) per una fun zione test v , appartenente ad un opportuno spazio V che poi spec ificheremo, ed int egriamola su D:

j ~~ .

jvLm·

n

n

v aa -

v sa +

j

[(u· V')u] . v dD

+

n

jV'p'v = j r ds]

n

vas:

n

Utilizzando la formu la di Green si trova

-jvi1u· = j n n j v» .u: = - j v dD

v

t/

~~ . v

dr ,

M

pdiv v

a

j .u: + jp v·

vV'u· V'v dD -

a

n dr.

an

Sost it uendo queste relazioni nella prima delle (16.2), si trova

j ~~ .

v

a

«a +

jvV'u .

j .u: - jP divv .u: n = l': aa; j (v ~~ -p n).vdr V. V'v

n

.u: +

[(u · V')u] . v

a

(16.5)

\Iv E

n

an

Analogamente possiamo moltiplicare la seconda delle (16.2) per una funzio ne t est q, appartenente allo spazio Q (da sp ecificare ) a cui appart iene anche

458

16 Le equazioni di Navier- Stokes

I'incogni t a Pi int egrando su fl si ot ti en e /qdiVU dfl

= 0 v« E Q.

(16.6)

D

Come d 'abitudine sceglieremo V in modo che Ie fun zioni t est si annullino sulla porzione del bo rdo dove la soluzione e nota (16.7) Esso coincid er a con [H6(fl )]d se To = afl. Supponiarno che r N i=- 0. Allo ra po ssiarno scegliere Q = L 2(fl). Cercheremo inol tre , per ogni t > 0, u(t) E [H1(fl )]d, con u(t) = 0 t.c .

Usando inoltre la seguente disugu aglian za di Holder a tre fattori

IJ fgh dDI< Il fIIE(D)llgll L(D)llhll [(D), D

valida per p , q, r

> 1 t ali che

»:' + «:' + r - l = 1, troviarno

IJ [(u· V)u]·v dDI< II VuII L2 (D)Il uII L4(D) II

VII

L4(D) < C2 11ulli-I' (D) llvIIHl (D) .

D

Dunque I'int egrale esist e finito dato che Ie singole norme sono limit ate. Per qu anta rigu ar da l'uni cit a della soluzione, t orniamo a considerate Ie equ azioni di Navier- St okes nella form a forte (16.2) (an aloghe cons idera zioni varrebbero anche per Ie equ azioni scr it t e nella form a (16.5), (16.6)) . Se TD = aD, ovvero se si considerano solo condizioni di Dirichlet , si puo notare che la pression e compare sem pre sotto segno di derivat a; questa vuol dire che se (u, p) e soluzione delle (16.2) , 10 e anche (u ,p + c), dove c e un a qu alsiasi costant e, dato che V(p + c) = Vp . Per evit are t ale indeterminazione po ssi arno fissare il valore di p in un punto Xo del dominio di risolu zione , ossia po rre

p(xo) = Po, oppur e, alt ernativament e, imporre che it valore medi o della pr essione sia null o (p,l)

=

JPdD =O. D

e in genera le non cons ist ent e con il problema: infatti , se e necessari amente continua e non ha quindi sen so riferirsi

La prima cond izione p E L 2(D) essa non

a valori puntuali di p . (Sar a pero po ssibile farlo per la forrnul azione numerica.) La seconda e invece cons ist ent e con la forrnul azione; pr end eremo percio

Q = L6(D) = {p

E

L 2(D) : (p, 1) = O}.

Vogliamo anche osservare che nel caso in cui T D = aD, il dato al bordo dovr a essere cornpatibile con it vin colo di incomprimibilit a , ovvero

Jrp . n d, = JdiVU dSl = O. sa D

tp

460

16 Le equazioni di Navier- Stokes

Nel caso invece in cui la fron t iera TN non sia vuot a , ovvero si cons iderino anche con dizion i al bordo di t ipo Neuman n (0 mist e) , non si av ra nno, a priori, problemi di ind eterminazione della pr ession e, per via della condizione su TN in cui p non compare pili sot t o il segno di derivat a. In tal caso si prendera Q = L 2 (Q). In definitiva, da or a in poi sa ra sottoint eso che (16. 8)

La formul azione debol e delle equazioni (16.2) , (16. 3) , (16.4)

e per t an to:

trovar e u E L 2 (JR+; [H1(Q)]d) n CO(JR+ ; [L2(Q)]d), p E L 2 (JR+ ; Q) tale che

J~~ .

v dQ

!7

+v

J

aa +

'Vu· 'Vv

!7

J

[(u · 'V)u] . v dQ -

!7

=

Jq

Jf .

v

!7

divudfz

= 0 vq

E

«a +

J

J

P divv dn

!7

'ljJ . v&y \Iv E V,

rN

Q,

!7

con u lr v = 'PD e Ult=o = Uo. Si TN -I- 0, Q = q(Q) se TN = 0.

e scelto

(16.9)

V come in (16.7) e Q = L 2 (Q) se

Come gia osservato t ale problema ha esistenza di soluzioni sia per d = 2 che per d = 3, mentre I'unicit a si dimostra solo per d = 2, nell 'ipotesi di dati sufficient ement e piccoli. Per un 'approfondit a analisi matem at ica di qu esti as petti il let tore puo far e riferimento a [SaW8] . Definiamo or a il numero di Reynold s come

Re =

lUlL, t/

dove L e un a lunghezza caratterist ica del dominio Q (ad esempio la lunghezza del canale ent ro cui si st ud ia it mota di un fluido) ed U un a velocit a caratterist ica del fluido . II numero di Reynolds e un a misura di qu anta il trasporto domina sull a component e diffu siva del fenomeno. Se R e 0 tale che

2. La fo rma bilineare bi-, .)

e con ti nua,

ossia :38

>0

tale cite

3. Infi n e, esis te 1tn a cos tan te posit iva {3 (e uen tuolmen te dipendente da h) tal e cite

Sotto le ipoi esi prec edenii valgon o inolire le seguen ti sti m e a priori sulla

soluzione numerica: 1

Il uh llv ::; -lI f llv'l Q

Il phll Q::; ~

(1 + ~ ) II fll V' ,

dove V' denota al solito 10 spazio dual e di V . Inoltre, valgon o i seguenti risuliaii di con uerq enza:

466

16 Le equazioni d i Navi er-Stokes

Osserviamo che la condizione (16.19) equivale ad assumere che esist e una costante positiva (J tale che (16 .20) ed

e per qu esta nota anche com e

condi zione inf-sup. La dimostrazione d i qu esta t eorem a richi ed e I'uso di risu lt ati non eleme ntari di analisi fun zionale. La presenteremo nella Sez. 16.3 per un problema di pu ntosella che si riscontra in ambiti assai pili generali de lle eq ua zioni di Stokes. In qu esta prospettiva il Teor em a 16.3 puo essere considerato com e un caso particolar e dei Teor emi 16.5 e 16.6. Illet t ore non interessato (0 meno sensibile) ag li asp etti teorici puo sa ltare senza danni apparenti direttamente alia Sez. 16.4.

16 .3 Problemi di punta-sella Obiettivo di questa sezione e 10 studio dei problemi (16.14) e (16.18) e la dimostrazione di un risu ltato d i conv ergenza della soluz ione del problem a (16. 18) a quella del problema (16. 14) . A tal fine, ca leremo t ali formulazioni in una cornice pili astratta che ci perrnettera cosl di applicare la teoria proposta in [Bre74, Bab71]. 16.3 .1 Formulazione d el problema

Siano X ed M due spazi di Hilbert muniti , risp ettivamente, delle norme 11·llx e I ·11 M. Ind icat i con X' ed iVI' i corrispondenti spazi duali (ovvero gli spazi dei fun zionali lineari e continui definiti , rispettivamente, su X ed iVI), int rodu ciamo Ie forme bilineari a(·,·) : X x X ----+ JR e b(·,·) : X x iVI ----+ JR che supponiamo continue, ovvero tali che esistano , , 0:

la(w, v)1

:s ,llwllx Il vll x,

(16.21)

per ogni w,v E X e IL E iVI. Consideriamo ora il segu ente problema vincolato: trovare (u, T)) E X x iVI tali che

a(u,v) + b(v,T)) = (l, v) { b(u, jL ) = (a, jL)

v» e X, \/IL E M ,

(16. 22)

essendo l E X' e a E iVI' du e funzionali ass egn ati, mentre (0 ,.) denota la dualita tra X e X' 0 que lla tra iVI e iVI'. La formu lazione (16.22) e sufficientemente generale da incl udere la formu lazione (16.14) de l pro blema di Stokes, quella di un generico pro blema vincolato risp etto alia forma bilin ear e a(·, .) (T) rappresenta il vin colo) , 0 ancora la forrnu lazione a cui si pervien e qu ando si vogliano usar e element i finiti di tipo misto

16.3 Problemi di punta-sella

467

per problemi ai valori al bordo di divers a natura, come , ad esempio, qu elli dell'elasti cit a lineare (si ved a, ad esem pio, [BF91]' [QV94]). E utile riscrivere il problema (16.22) in forma op eratoriale. A t al fine, associamo aile forme bilineari a(·,·) e b(·,·) gli operatori A E £(X,X') e B E £(X, lVI') definiti rispettivamente attraverso le relazioni

(Aw , v) = a(w, v ) (Bv , p,) = b(v,f.L)

V w, v E X, VVE X, ILE lVI ,

dove la du alita e fra X' e X nella prima relazion e, fra M' e lVI nella seconda; in accordo con le notazioni usate nella Sez. 4.5.3, con £(V, W) indichiamo 10 spazio dei fun zionali lineari e continui da V a W. Sia ora B T E £(1\11, X') l'operatore aggi unto di B definito come (16.23) La prima du alita e fra X' e X, la seconda fra M' e lVI. (Questo op er atore, indi cato con il simbolo B' nella Sez. 2.6, si veda la defini zione generale (2.19), viene qui denotato B T per uniformarci alia notazione usata classicamente nell 'ambito dei problemi di punto-sella.) Possiamo allora riscrivere il problema (16.22) come: trovare (u , TJ) E X x lVI tali che

Au

+ BTTJ = I

{ Bu =a

in X' ,

(16.24)

inM'.

16 .3 .2 Analisi d el problema

Al fine di analizzare il problem a (16.24), definiamo la varieta affine

X" = {v E X: b(V,IL) = (a, IL) Vf.L E M }.

(16.25)

Osserviamo che 10 spazio XO identifica il nucleo di B , ovvero

XO ={V EX : b(v,f.L) =O V/L EM} =ker(B) , e che questo spazio e un sottospazio chiuso di X. Possiamo cosl associare al problem a (16.22) il seguente problema ridotto trovare

u e X"

t .c.

a(u ,v) = (l, v)

VVE X o.

(16.26)

e un a soluzione di (16.22) , allora u e soluzione anche di (16.26). Introdurremo nel seguito delle condizioni opportune in gra do di garantire anc he l'implicazione inversa e che la solu zione di (16.26) esista unica, costruendo, in t al modo, una soluzione per (16.22). Avremo bisogno di un risu ltato di equivalenza che coinvo lge la forma bilin eare b(·,·) e l'operatore B. E evide nte che, se (u,TJ)

468

16 Le equazioni di Navier- Stokes

x

X'

Hi

B

0

Q

B T:

8

Fig u ra 16.1. Gli spa zi X ed M; i du ali X' ed u', i sottospazi Xo , (XO) l- e X 20lan g!i op er atori A , B e B T . Le !inee t ratteggiate ind icano isomorfismi

Indichiamo con X20la r l'in sieme polar e di Xo , cioe

X2 0lar = {g

E

X' : (g, v ) = 0 'Vv

E

Xo}.

Poi che XO = ker(B) , possiamo anche scr ivere che X2 0lar = (ker(B) )polar' Lo spaz io X e somma diret t a di XO e del suo orto gon ale (X O)J..,

X = XO EEl (Xo) J.. . Un a rappresentazione pittorica di questi spazi e data in Fi g. 16.1. Dal momento che, in genera le, ker(B) non e vuoto, non possiamo dire che B sia un isomorfismo tra X e NI' . Si vuol du nque introdurre un a condizione che e equivalente ad afferma re che B e un isomorfismo t ra (XO)J.. ed NI' (e, ana loga mente , B T e un isomorfi smo t ra NI e X2olar)' Lemma 16.1. Le sequenii proprieta sana fra loro equiualen ii: a. esiste una cos ianie com patibilitii 'V Il E M

{3* >

0 tale che ualqa la seque nie con dizi one di

3v E X , con v =j:. 0 : b(V, l l ) ~

{3* llvllxll/lIL\f;

(16.27)

b. l'operato rc B T C un is om orfis m o ira AI e X20lar e vale la proprieia

II B T Jl II x - = c. l'operato re B

T

(BII u,v) I ~ vE V, v# O v X

e un

sup

{3 * II JIII M

'VJI E J."I ;

(16.28)

isom orfism o ira (X O)1- ed 1"1' e vale la proprieia

(16.29)

16.3 Problemi di punta-sella

469

Dimostra zion e. Dimo striamo inn anzitut to che a. e b. sono equivalent i. Dalla definizione (16.23) di B T e evide nt e che le disuguaglianze (16.27) e (16.28) coincidono. Rest a quindi da verificar e che B T e un isomorfismo t ra NI e X2ol ar. Dalla relazione (16.28) segue che B T e un operatore iniettivo da NI nella sua imm agine R(B T ) , con inver so cont inuo. Ne segue dunque che R(B T ) e un sottospazio chiuso di X' . Rim an e da verificar e che R(B T ) = X2olar. Utilizzando il seguente risultato, nota come ieorema dell 'immagine chiu sa (si veda, ad esempio, [Yos74]),

R(B T ) = (ker(B))polan otteniamo che R(B T ) = X2olar, che e quanto desiderato. Proviamo ora che b. e c. sono equivalenti. Verifichiamo inn an zitutto che X20lar puo essere identificato con il duale dello spazio (XO)l... Infatti, ad ogni 9 E ((XO)l..)', possiamo associa re un funzionale 9 E X' che soddisfa la relazione

(9, v ) = (g, p l.. v ) 'Vv dove

r-

E

X,

denota la proi ezion e ortogon ale di X sullo spazio (XO)l.. , ovvero

Chiaramente 9 E X20lar e si puo verificare che 9 -----+ 9 e un 'isometria tra ((XO)l..)' e X2olar. Di conseguenza, B T e un isomorfi smo tra M e ((XO)l..)' soddisfacent e la relazion e T

II (B ) se e solo se B

e un

- 1

°

.

1

Il d X polar , NJ) < (3*

isomorfismo tra (XO)l.. e NI' che soddisfa la relazione

Qu esto complet a la dimostrazione. Possiamo a questa punto fornire un risultato di esistenza, unicit a e dipenden za continua dai dati per la solu zione del problema (16.22). Te or ema 16.4. Suppon iamo che La [ortna bilin eare a(· , ·) soddisfi La (16.21) e che sia coerciua su llo spazio X o, cioe esista una costan te a > 0 taLe che (16.30) a(v, v ) ~ a ll v ll ~ 'Vv E X o. Supponiamo in oltre che La forma bilin eare b(·, ·) soddisfi La (16.21) e La condizione di compati biLitd (16 .27).

470

16 Le equazioni di Navi er-Stokes

Allora , per ogn i I E X' e a E j\JI' , esist e uri'u nica soluz ione u del pro blem a (16.26) ed un'un ica funz ione 17 E M tale che (u, '/7) sia l'unica soluz ione del prob lema (16.22). In olt re la rnappa (I, a ) --+ (U,17) e un isomorfis mo fra X' x AI ' e X x .M e valgo no le segue nt i st ime a priori:

lI ulix ::;

1[Illllx' + ~ 0: + , IlalIM' ] ,

~

1 [( ' ) , (0: +,) ] 11 1711M < (3* 1 + ~ Illllx' + 0: (3* IlalIM' ,

(16.31) (16.:32)

essend o 0 , (3* e , definite, risp et t ivamente, dalla (16.30), (16 .27) e (16.21) e dove II. Il x' e I .IL\!' denotano Ie norme degli spazi d uali definit e come in (16.28) e (16.29) .

Dimostrazione. L'unicita della solu zione del problema (16 .26) e una diretta conseguenza dell 'ipotesi di coercivita (16.30). Dimostriamone ora l'esistenza. Avendo supposto soddisfatta la relazione (16.27) , possiamo affermare, in virtu dell'equivalenza dimostrata nel Lemma 16.1, ed in particolare di quanto affermato al punto c., che esiste un 'unica funzione u i7 E (XO)J.. t ale che Bu" = a , ed inoltre

i7ll Ilu x
0 "Ix

E

¢ (x , t ) < 0 "Ix ¢ (x , t) = 0 "Ix

E

D-(t),

E

r(t).

D+(t) ,

La fun zione ¢ e detta funzione level set, in quanto l'int erfaccia r(t) e il suo level set zero , con la sua isolinea 0 isosuperficie associata al valore zero

r(t) = {x E D : ¢ (x, t ) = O}.

(16.85)

Densita e viscosita possono ora essere espresse in funzione di ¢ com e

+ (p+ - p-)H(¢), tL = tL- + (tL+ - tL -)H(¢), p = p-

dove H( ·)

e la

(16.86) (16.87)

fun zione di Heaviside

H(~) = { O ~ < 0 1

~

> O.

Per costruzione , in un modello Level Set l'interfaccia resta definita in modo preciso, pertanto due fluidi immiscibili non si mescolano. Inolt re, la determinazione delle normali e de lla curvatura de ll'interfaccia e pili facile e pili naturale. In carnbio, essendo la relazione (16.86) non lineare, l'applicazione di una discretizzazione conservativa dell' equazione di trasporto per ¢ non assicura la conservazione della massa del fluido dopo la discretizzazione. Tuttavia, la conservazione de lla massa e garantita al limit e via raffinamento di griglia. Pili in dettaglio, l'evoluzione della superficie libera e descritta da un 'equazion e di trasporto per la funzione Level Set:

at ¢ + u · v ¢ =O

x E D , t E (O , T ),

(16.88)

¢ = ¢ o x E D, t E (0, T), ¢ = ¢in X E aEin , t E (O ,T), in cui E in

e il

bordo di inflow E in

= {(x, t)

E

aD x (0, T) : u (x , t) . n < O}.

Le equazioni dei fluidi (16.76) -(16.77) e l'equazione Level Set (16.88) sono quindi accoppiate. L'equa zione (16.88) puo essere ricavata come segue [MOS92]: sia x (t ) il percorso di un p unto su ll'interfaccia r(t); questo punto si muove con il fluido, quindi dtx(t ) = u (x (t ), t). Essendo la fun zione ¢ costantemente zero sull 'interfaccia in moto, deve risultare

¢ (x (t ), t ) = O .

502

16 Le equazioni di Navier-Stokes

Derivando risp etto al tempo e applicando la regola di derivazione di funzioni composte, si ha

Ot ¢ + V'¢· U =O sur(t)

'v't E(O,T).

(16.89)

Se invece consideriamo il percorso di un punta in Q± , possiamo chiedere ¢ (x (t ), t) = ±c, c> 0, in modo da assicurarci che il segno di ¢(x , t) non cambi e che, cons eguentem ente, x (t ) E Q±(t) per ogni t > O. In questa modo, l'equazione (16.89) si generalizza all' inte ro dominio Q, it che ci porta all'e quazione (16.88) . Possiamo ora verificare che la conservazione della massa e soddisfatta. Uti lizzando la (16.86) otteniamo formalme nte

OtP + u · V' P = (p+ - p-)(OtH(¢) + u · V' H( ¢)) = (p+ - p-)o(¢)(Ot¢ + u · V'¢)

(16.90)

in cui 0(·) denota la fun zione de lta di Dirac. Grazie all'eq ua zione (16.88), il terzo fattore in (16.90) risu lta zero . Vale quindi l'equazione (16.78) e la conservazione della massa viene soddisfatta. Grandezze r elative a ll' inter faccia. Nel problema del flusso di du e fluidi sono di particolar e int eresse la normale all'inte rfaccia e la sua curvatura, in quanto la tensione superficiale e proporzionale alia curvatura e agisce nella direzione normale. Forniamo qui una deriv azion e intuitiva di quest e quantita in funzione di ¢ , senz a ent rare nei det tagli della geometria differenzi ale. Si ved a, ad es., [Spi99] per una deriv azion e det tagliata e rigorosa. La normale unitaria n r e ortogonale a tutte Ie direzioni tangenti T . Qu est e ult ime, a lora volta, sono caratterizzate dal fatto che le derivate dire zionali di ¢ lungo di esse devono essere nu lle, ovvero

O= O.,. ¢ =V'¢ ·T sur. Come conseguenza possiamo definire la normale unitaria come

V'¢

nr

= IV'¢I·

(16.91)

Si noti che con questa defini zione , n r punta da Q - verso Q + . Inolt re, poiche ¢ e definita non solo su ll'interfaccia rna an che nell'intero dominio, anche l'espressione per la normale si generalizza in modo naturale all'intero dominio. Per ricavare l'espressione della curvatura, dobbiamo cons iderare le direzioni principali tangen ziali T i ' i = 1 .. . d - 1, caratterizzate dal fatto che la derivata direzionale di n r lungo T i ha essa stessa direzione T i , ovvero (16.92)

16.10 Modellistica dell 'evo luzione dell 'interfaccia

503

Pili grande e I'"'il , maggiore sara la cur vat ur a della superficie in qu esta direzione. Per t ale ragione i '"'i sono denominati curvature principali. Con semplici calcoli si ricava che '"'i = (R-rJ - 1, dove i valori R; i sono i raggi dei cerchi (0 dei cilindri) approssimanti l'interfaccia, come nell 'equazione (16.81). Si nota dall 'equazione (16.92) che i d - 1 valori - '"'i sono autovalori de l tensore Vnr di dimensioni d x d. Dalla defini zione (16.91) si ha che n r e essen zialme nte un campo gr adi ente, regol ar e vicino all 'interfaccia. II t ensore di rango due Vnr risulta pertanto un t ensore di derivate seconde di una funzione regolare, e quindi e simmetrico, dunque possi ede un ulteriore autovalore rea le it cui autovettore associato deve essere n r , essendo gli autovettori di un tensore simmetrico ortogonali. Tale e nu llo, in quanto

essendo In ri = 1 per costruzione (16.91). P artendo d all'equazione (16.81), per la cur vat ur a otteniamo d -l

1

d-l

.

.

r: = ~ R -r = ~ '"'i = - t r (V n r) = - d1vn r = div ,= 1

'

,= 1

(V¢) IV¢I .

Condizioni iniziali. Pur conoscendo la pos izione To de ll'interfaccia a t = 0, la fun zione level set associata ¢ o non e univocamente defin ita. Questo grado di libert a puo essere usato per semplificar e ulteriormente i successivi passaggi. Si noti che ripidi gradienti di ¢ rendono pili difficoltosa la soluzione numeric a dell'equazione (16.88) (si veda, ad es., [QV94]), mentre gradienti poco accentuati diminuiscono la stabilita numerica ne l determinare T a partire da ¢ . Risulta quindi un b uon com promesso introdurre l'ult erior e vincolo IV¢I = 1. Una fun zione che soddisfa questa vincolo e la fun zione distanza dist(x; T)

= min [x - YI, y Er

che in ogni p unto x assume il valore della minore distanza euclidea da x a T . Moltiplicando questa fun zione per - 1 su u >, otteniamo la junzione distanza con segno dist(x; T) x E [l + sdist(x; T) = 0 x ET { - dist (x ; T) x E sr>.

E uso, e buona norma, scegliere ¢ o(x ) = sdist(x; To) per rap presentare l'interfaccia iniziale To. E inter essante notare che se IV¢I = 1, le esp ressioni della curvatura e della normale dell'interfaccia si semplificano ulteriormente: nr

= V¢

e

'"' = - d ivV¢ = - i1¢ .

504

16 Le equazioni di Navier-Stokes

Ri-inizializza zi one . Purtroppo, la proprieta di normalizzazione IV¢I = 1 non via del trasporto di ¢ con la velocit a del fluido u . Per rim ediar e, una possibile strategia consiste nel det erminare un campo di velocita di trasporto che imprima all'i nterfaccia 10 stesso movimento indotto dal campo di velocita del fluido e mantenga allo stesso tempo la proprieta di normalizzazione. In effetti, un siffatto campo di velocita esiste, e si conoscono algoritmi efficient i per det erminarlo (si ved a, ad es., [AS99]). Esso e nota come oelociia di este nsione , in qu anta viene costruito este nde ndo all' inte ro dominio la velocita definita sull' inte rfaccia. Alternativamente, possiamo sempre usare la velocita del fluido u per t rasportare la fun zione dei level set ¢, e intervenire quando IV¢I si discosta troppo da 1. L'azione da intraprendere in qu esto caso viene detta ri-inizia lizzazione, in quanto la procedura e in parte simil e a qu ella di inizi alizzazion e con la condizione iniziale. Supponiamo di ri-ini ziali zzare al tempo t = t" si pro cede come segue:

e pr eservata per

1. dato ¢ (., t r ) , t rovare r(t r ) = {x : ¢ (x , t r ) = O}; 2. sostit uire ¢ (., t r ) con sdist(· , r(t r ) ) .

E interessante notar e come il problema di trovare la velocit a di este nsione sia strettamente correlato al problema di ri-ini zializzare ¢ per una fun zione distanza con segno. Si possono ut ilizzare gli stessi algoritmi, e ci si puo aspettare 10 stesso cost o computazionale. Tuttavia, du e differenze concettua li favoris cono l'approccio della ri-inizializzazione: in primo luogo, Ie velocita di este nsione devono essere calcolate ad ogni passo t emporale, mentre la ri-inizi alizzazione puo essere applicat a solo qu ando necessaria. In secondo luogo, Ie velocit a di estensione approssimate conserveranno solo approssimativamente la proprieta di nor malizzazione della distan za, e pot rebbe rendersi comunque necessaria una ri-inizi alizz azion e. In [W inu"] si pos sono trovar e i dettagli algoritmici sulla cost ruzione efficiente di un 'approssimazione della funzione distanza con segno, con particolar e riguardo al caso tridimensionale.

16.11 Approssimazione a volumi finiti L' approccio a volumi finiti e largament e utilizzato per la riso luzione di problemi descritti da equazioni differen ziali, con applicazioni in diversi campi della fisica e dell'ingegneria . In particolare, i codi ci commerciali piu ut ilizzati in campo fluidodinamico adottano schemi a volumi finiti per la soluzione delle equazioni di Navier- Stokes accoppiate a modelli di t ur bolenza, tran sizion e, combust ione , trasporto e reazione di specie chimic he. Quando applicate aile equazioni di Navier-Stokes incomprimibili, la natura di punto sella del problema rende la scelta dei volumi di controllo critica. La scelt a piu na turale, con i nodi di velocit a e pression e coincident i, puo generare modi spuri di pressione. II motivo e analogo a quanta gia analizzat o in prece-

16.11 Approssimazione a volumi finiti

505

•. u o P

Figur a 1 6 .1 3 . Una griglia sfalsa t a per la velocita e la pr essione. A sinist r a sono t ratteggiati i volumi di controllo per I'equazione d i continu it a , a de stra quelli usa t i per Ie eq uazioni del momento

denza: gli spazi dis creti che soggiacciono implicitamente alia scelta dei volumi di cont rollo devono sodd isfare un a cond izione di cornpat ibilit a se vogliamo che il problem a sia ben posto. P er quest a ragion e e d 'u so adot t are volumi di cont rollo, e conseg uenteme nte nodi , differenti per velocita e pressione. Un esempio e illustrato in Fig. 16.13 , dove si mostra una possibile seeIt a de i nodi per Ie component i dell a velocita e di quelli per la pressione (sull a gr iglia sfalsat a ) nonche i corrispondenti volumi di cont ro llo. I volumi di cont rollo relativi alia velo cit a vengono usati per la discretizz azione delle equazioni della qu antita di moto, mentre quelli di pr essione per I'eq ua zione di continuita, Si rammenta che quest'ultima non contiene il termine di derivata temporale. Alternativamente, si possono adottare tecniche di stabilizzazione che permettono di collocare i nodi di velocit a e pr ession e nella stessa griglia . II let tore interessato puo consult are , per maggiori dettagli, Ie monografi e [F P 02, Kro97, Pat80 , VM96 ]. In Fig. 16.14 e riprodotta un 'immagine relativa al fiusso incomprimibile attorno a 5 cilindri (si tratta de llo stesso problema descritto nell 'Esempio 16.1) con un numero di Reynolds di 200. L'immagine mostra il campo di vorticita

Figur a 1 6.14. C ampo di vor ticit a di un flusso incomprimibile con numero di Re yno lds ugu a le a 200 intorno a 5 cilindri agli istanti t emporali t = 100 (a sin ist ra) e t = 102 (a de stra)

506

16 Le equazioni di Navi er-Stokes

>:z.J ; :::::::.::;:: _ -

Figura 16.15. Geom etria dello scafo e delle appendici (a sinistra) e dettaglio della griglia superficiale all 'inters ezione chiglia-bulbo (a destra)

ottenuto risolvendo Ie equazioni di Navier- St okes con una discretizza zione a volumi finiti di tipo cell-centered. La griglia di calcolo utili zzata contiene 103932 elementi ed un passo temporale ilt = O.OOL E inoltre qui riportata, sempre a titolo di esempio, una sirnulazione del flusso idrodinamico attorno ad una barca a vela da competizione in navigazion e di bolina, finalizzata allo studio dell'efficienza delle appendici (bulbo, chiglia e alette) (si veda la Fig. 16.15 a sinistra). La griglia di calcolo utili zzata in questo caso e di tipo ibrido, con elementi superficiali di forma triangolare e quadrangolare, ed elementi di volume di forma tetraedrica, esaedrica, prismatica e piramidale (si veda la Fig. 16.15 a destra). II flusso idrodinamico intorno allo scafo e st ato simulato risolvendo Ie equazioni di Navier-Stokes per fluidi a superficie libera (si veda la Sez. 16.9) accoppiate ad un modello di turbolenza k - E [MP94], tramite un approccio di tipo RA NS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) . Le incognite del problema sono i valori delle variabili (velocita, pr ession e e quantita turbolente) al centro dei volumi di controllo, che in questa caso corrispondono agli element i di volum e della griglia. Le equa zioni di Navier-Stokes sono risolte utilizzando uno schem a a passi frazionari com e descritto in Sez. 16.7.3. Com e precedentemente ricordato in questa sezione, la scelta di collocare pressione e velocita neg Ii stessi punti rende necessario ad ottare una opportuna stabilizzazione delle equazioni [RC83]. Per il calcolo della superficie libera si sono usati sia il metodo Volum e of Fluid sia quello bas ato sull a t ecnica Level S et, descritti nella Sez. 16.10.2 , quest 'ultimo essendo piu costoso dal punta di vista computazionale rna meno dissipativo. Simulazioni di questo tipo possono richiedere griglie di dimensioni molto elevate, nei casi in cui si vogliano riprodurre fenomeni fluidodinamici complessi come il flusso turbolento su geomet rie composite 0 la presenz a di regioni di separazion e di flusso. La griglia utilizzata in qu esta caso e compost a da 5 milioni di celie e da origine ad un sistema algebrico con 30 milioni di incognite. Problemi di questa taglia vengono in genere risolti ricorrendo a tecniche di cal-

16.12 Esercizi

507

F ig u ra 16.16. Distribu zione superficia le di pressione (a sinistra) e linee di corrente at t orno aile append ici della scafo (a destra)

Fig u ra 16.17. Lin ee di corr ent e at t orno a ile vele in navigazione di poppa (a sinist ra) e linee di corr ent e attorno a ile appendici della scafo (a destra)

colo par allelo basate su schemi di decomposizione di domini che vedremo nel Capitolo 18 in modo d a po ter distribuire il calcolo su pili pro cessori . L'analisi delle distribuzioni di pre ssione e di sfor zi t an gen ziali a parete, nonche la visu alizzazione del f1usso tridimensionale attra verso l'utilizzo di linee di f1usso (si vedano Ie Fi gg. 16.16 e 16.17) risul t ano molto utili nella fase del pro get to idrodinamico finalizzato all'ottimizzazione delle prest azioni dell'imbar cazion e (si ved a ad esempio [PQ0 5, PQ07, LPQRll]) .

16 .1 2 Eserci zi 1. Si verifichi che la condizione (16.53) e equivalente alia condizione inf-sup (16.20). [Soluzione: la (16.53) e violata se e solo se :3p* i=- 0 con p * E IFt M t ale che BTp* = 0 0, equivalente mente , che :3p;;, E Q h t ale che b('Pn,P;;') = 0

508

16 Le equazioni di Navier -Stokes

"In = 1, . . . , N. Cia equivale ad avere b(Vh,P'h) = 0 'VV h E Vh , proprieta che a sua volta equivale a violare la condizione (16.20) .] 2. Si dimostri che una condizione necessaria affinche la (16.53) sia soddisfatta e che 2N :::: M. [Soluzione: si ha che N = rango(B) + dim(kerB) , mentre M = rango(B T ) + dim(kerB T ) = rango(B T ) = rango(B). Di conseguenza , abbiamo che N M = dim(kerB) :::: 0 e dunque una condizione necessaria per avere un 'unica soluzione «» > 1VI .] 3. Si dimostri che la coppi a di element i finiti IP'1 - IP'o per velocita e pressione non soddisfa la condizione inf-sup. [Soluzione: eseguiamo la dimostrazione in due dimensioni spaziali . Si consideri per sernplicita una triangolazione uniforme com e quella indicata in Fig. 16.18, a sinistra, in 2n 2 triangoli , n :::: 2. II numero di gradi di lib erta per la pressione e M = 2n 2 - 1 (un valore per ogni triangolo meno uno , avendo imposto il vincolo di media nulla) , mentre quello per la velocita e N = 2(n - 1)2 (corrispondente a due componenti per ogni vertice interno, supponendo che ai nodi di bordo siano assegnate condizioni di Dirichlet). La condizione necessaria N :::: M dell'Esercizio 2 e pertanto violata in qu esto caso.] 4. Si dimostri che la coppia di element i finiti qu adrangolari Q l - Qo con veIocita bi-lineare e pressione costante su ciascun elemento non soddisfa la condizione inf-sup. [Soluzione: poniamoci in due dimensioni e cominciamo con l'osservare che se la griglia e form ata da n x n eleme nt i (si veda la Fig. 16.18 a destra), ci saranno (n - 1)2 nodi int erni e quindi N = 2(n - 1)2 gradi di liberta per Ie velocita e M = n 2 - 1 gradi di lib erta per Ie pressioni. La condizione necessaria e percio soddisfatta purche n :::: 3. Bisogna procedere percio ad una verifica diretta del fatto che la condizione inf-sup non sia soddisfatta. Supponiamo la griglia uniforme di passo h ed indichiamo con QHl /2 ,j ±1 /2 una quantita q valutata nei punti (XHI /2' Yj ±1/2) = (Xi ± h/2, Yi ± h/2). Sia K ij I'elemento ij-esimo della griglia di calcolo. Con qualche manipolazione

Figura 16.18. Griglia uniforme per una dis cr etizzazione con elementi IP'I - lP'o (a sinistra) e Q I - Qo (a destra) con modi spuri di pressione

16.12 Esercizi

alge brica si trova che

J

n

}

n -l

QhdivUh dD

= ~L Uij(qi -

l / 2 ,j -l /2

509

+ q i -l /2 ,j+l /2

I J= l

- qi+ l / 2, j- l / 2 - Qi+l /2 ,j +l / 2) +Vij ( Qi- l / 2, j- l / 2 - Qi -l / 2 ,j+l /2

+ Qi+l /2 ,j -l /2

- Qi+l /2 ,j+l /2) '

Appare allora evide nte che la pression e p* che vale 1 sug li eleme nt i neri e - 1 sug li eleme nt i bian chi della Fi g. 16.18, a destra , e un a pr ession e spur ia. ] 5. Per il problema di Stokes si consideri il problema di Dirichlet omogeneo sul qu adrato (0,1) 2 e si utilizzi un a griglia uniforme forrn ata d a elementi qu adrati . Verifi car e quindi direttam ente l'esist enz a di (almeno) un modo di pr ession e spuri o. 6. Si cons ideri il problem a di Stokes stazionario non-omogen eo :

- v L\u + v» = f div u = 0 { u =g

in D C lR2 , in D , su T = [)D ,

dove g e un a fun zione dat a. Si mos t ri che il problema ammet t e solu zione solo se Jr g . n = 0 e si t rovi la sua formulazione debole. Mostrare che il t erm ine a destra dell 'equazione di conservazione della qu an ti t a di mo ta (prima equazione del sist ema) defini sce un eleme nto di V', spazio duale di

V. 7. Ripetere le medesime considerazione dell 'esercizio precedente per il problema di Navier-Stokes non omogeneo:

(u · \l) u - vL\ u div u

=0

{ u = g

+ v» =

f

in o c: lR2 , in D, su = [)D.

r

8. Si dimostri la stima a priori (16.57). [Soluzione: si ponga Vh = U h e Qh = Ph nella (16.55). Indi si applichino le disuguaglian ze di Cauchy-Schw ar z e di Young al termine noto, nonche la disuguaglianza di Poincare. ]

17 Introduzione al controllo ottimale per equazioni a derivate parziali

In quest o capitolo vengo no pr esentati i concetti di base della t eor ia del controllo ottima le per equazioni differenzi ali aile deriv at e par ziali (EDP) , quindi vengono affrontat i gli aspet t i legati alia loro risolu zione numerica. P resent eremo dapprim a l'impost azione classica basata sulla t eoria sviluppata da J .L. Lion s in [Lio71] e [Lio72]; part icolar e attenzione e dedic at a a problemi retti da problemi ai limiti line ari ellit ti ci. Indi considereremo la metodologia basat a suI form alismo della Lagran gian a (si vedan o ad esempio [BKROO] e [Jam 88]). Mostrererno poi du e diverse st rategie per risolvere numericam ent e i problemi di cont rollo ot timale medi ante il metodo di Galerkin-Elementi Finiti. P er approfondiment i sugli aspetti teorici del controllo ottimale pre sentati in que sto ca pitolo si puo fare riferim ento a [Lio71, AWB71 , ATF87, Ago03, BKROO, Gun03, J am 88]; per i richiami di analisi funz iona le si ved a il Capi tolo 2 ed inoltre [Ada75, BG 87, Br e86, Rud91 , SaW8, TL58].

17.1 Definizione del problema di controllo ottimale In generale, possiamo schemat izzare un problem a di controllo attraverso il paradi gm a illustrato in Fi g. 17.1. II sist ema puo essere espresso da un problem a algebrico, differenzi ale aile deriv at e ordinari e 0 differenzi ale aile derivat e parzi aIi. La soluzione, che indi cheremo generica ment e con y , dip ende da un a varia bile u che rappresenta il controllo che si puo esercit are in input del sistema. Obiettivo di un problem a di controllo e determinare u affinche un a cert a vari abil e in output , ind icat a genericament e con z (fun zione di u attraverso la y) , det t a osservat a, assuma un "valore" desiderato Zd (I'osservazione) . II problema si dira cotitrollabile se e possibile t rovare u t ale che la vari abile osservata Z raggiunga esattamente il valore desiderato Zd . Naturalm ente non t ut t i i sist emi sono cont rollabili. Si pensi a t it olo di esempio al semplice caso in cui il problem a di st ato sia un sist ema algebrico della form a Ay = b , dove A e un a matrice n x n non singolare assegnata e b un vet tore di jRn assegnaQuart eroni A.: Modellistica Numerica per Problem i Diffe renz iali, Sa edizione, Unit ext - La Matematica per il3+2. DOl 10.1007/978-88-470-2748-0_17, © Spr inger- Verlag ltalia 2012

512

17 Introduzione al controllo ottimale per equazioni a derivate parziali

•

Sistema Stato

----

I I

•

Fi g ura 17.1. Gli elementi essenziali di un problema di controllo to. Supponiamo che I'oss ervazione sia rappresentata da un a componente della solu zione, diciamo la prima, e che il controllo sia una delle componenti del termine noto, diciamo I'ultima. La questione pertanto e "Det erminare u E lR t .c. la soluzione del sistema lineare Ay = b + [0, ...,0, ujT verifichi Yl = Yi", essendo Yi un valore desid erato. E evide nte che tale problema non avra soluzione, in generale. Per questa ragione spesso si preferisce sostituire il problema della controllabilita con un problema di ottimizzazione: non si pretende che la variabile da osservare z sia esattamente uguale alia variabile desiderata Zd , rna che la differenz a tra z e Zd (in senso opportuno) sia "minima". Dunque, controllo e ottimizzazione sono du e concetti intimamente legati, come vedremo nel seguito. Come precedentemente osservato, noi ci limiteremo al caso di sistemi rappresentati da problemi aile derivate parziali di tipo ellittico. A tal fine, iniziamo con l'introdurre gli enti matematici che entrano in gioco nella teoria:

•

La junzione di controllo u, appartenente a uno spazio funzionale Uad , detto spazio dei conirolli ammissibili, scelto opportunamente a seconda del ruolo che il controllo occupa all 'interno delle equazioni (controllo suI dominio 0 suI bordo) e degli eventuali vincoli imposti su u. Si osservi che Uad ~ U , essendo U 10 spazio funzionale piu ad eguato a descrivere il ruolo che la funzione di controllo u assume nelle equazioni. Se Uad = U il problema di controllo si dira non vincolato ; se invece Uad C U stiamo trattando un problema vincolato . Lo stato del sistema y(u) E V (un opportuno spazio fun zionale) , dipendente dal valore assunto dal controllo u , che soddisfa I' equazione di stato del tipo Ay(u)

•

= j,

(17.1 )

dove A : V f---+ V' e un op er atore differenziale (lineare 0 non). Tale problema descrive il sistema fisico soggetto al controllo, da corredarsi con opportune condizioni al contorno; I'operatore A rappresenta il problema e ne definisce la tipologia. La junzione di osservazione , indicata con z (u) a sua volta dipendente, tramite Y e un opportuno op eratore 0, dal controllo u: z(u)

= Oy(u).

Tale fun zione, che appartiene allo spazio delle junzioni osservate Z , va confrontata con la funzione di osservazione desiderata che indicheremo con Zd e che rappresenta I'obi ettivo da raggiungere.

17.2 Un problem a di cont ro llo per sist emi lineari

•

513

Ot t imizz are il siste ma (17.1) significa trovare la funzione u tale che la funzione di osservazione z(u) sia "Ia pili vicina possibil e" alia funzion e desiderat a Zd, attraverso un pro cesso di minimizzazion e, come descrivi amo nel seguit o. Definiamo un funzionale costo J (u), definito sullo sp azio Uad

u

E U ad

f---+

con J(u) 2':

J (u) E IR

o.

In genera le, J dipendera da u (an che) at t raverso z (u ). II problem a di cont rollo ot timale puo essere sint et izzato in uno dei du e seguent i modi: i) t rovare u E

U ad

tale che

J(u) = inf J( v)

(17.2)

ii) t rovare u E Uad tale che valga la seguent e disequ azione

J(u) < J( v)

'Vv E

U ad.

(17.3)

La fun zione u che soddisfa (17.2) (0 (17.3)) si chiama con tralto ottimale (0 controllo ottimo) del sistema (17.1). Prima di fornire condizioni necessarie e sufficient i a ga ra nt ire I'esistenza e l'unicit a della soluzione del problem a di cont rollo, non che osservar e pili in dettaglio la st ruttura e Ie propriet a delle equazioni che governano il problem a , vedi amo un semplice esempio in dim ensione finit a.

17.2 Un problema di controllo per sistemi lineari Supponiamo che A sia un a matrice invertibile di dim ensione n x n eB un a matrice di dim ensione n x q. Sia inoltre f un vettore di IRn, u il vet tore di IRq che rappresent a il cont rollo, y = y (u) E IR n il vet tore che rappresent a 10 stat o, ed e soluzione del sist ema linear e

Ay = f +Bu.

(17.4)

II cont rollo u and ra seeIto in modo da minimizzar e il seguent e funzionale

J(u) =

Il z(u) -

zd l l ~m

+ Il ull ~ ,

(17.5)

dove Zd e un vettore dato di IR m (il cosiddet t o obiettivo), z( u) = Cy (u) e il vettore che rappresent a I'osservazione, ove C e un a matrice data di dim ension e m x n, e Il uliN = (Nu , u)~12 e la norma N del vettore u, essendo N un a matrice data di dimensione q x q simmetrica e definit a positiva . Interpretando il termine Il ull ~ come energia associata al cont rollo, il problem a e dunque qu ello di scegliere il cont rollo in modo tale che I'osservazione sia vicino all'obbiettivo e la sua energia non sia troppo grande.

514

17 Int rod uzione al cont rollo ottima le per equazioni a der ivate parziali

Osservi amo che

J(u) = (CA-1(f + B u) -

zd ,

CA-1(f

+ B u)

-

Z d ) IR'"

+ (Nu, U ) R 'I .

(17.6)

Si tratta dunque di una fun zione quadratica di u che ha un minimo globale su e caratterizzato dalla condizione

JRq. Quest'u ltimo

\f hEJRq

J'(u) h = 0 dove J'( u) h ovvero

e la derivata dir ezionale nella direzion e h J'(u) h = lim J(u

(17.7) calcolata nel "punt o" u ,

+ th) - J( u) .

t -t O

t

(Si veda la Definizione 2.7 del Capitolo 2.) Osservando che

Ay'(u) h = B h e z' (u )h = Cy'(u) h per ogn i u e h , dalla (17.6) troviamo

J'( u) h

2[(z'( u) h , z(u ) - Z d ) IR'" + (Nu, h )IR,d 2[(CA - 1 B h , Cy( u) - Z d ) IR'" + (Nu , h )IR,d .

(17.8) (17.9)

Int rod uciamo la soluzione p = p (u ) E JRn del siste ma seguente, detto stata aggiunta del siste ma di partenz a (17.4):

(17.10) Allora dalla (17.8) deduciamo che

J'( u) h = 2[(B h , p (U))IRn + (N u, h )IR'l] ovvero che

J'( u) = 2[B T p (u ) + N u ].

(17.11)

Poiche il minimo di J si trova in corrisponden za del suo punto u per il quale

J ' (u ) = 0, possiamo concludere che il sistema a tre ca mpi

(17.12) ammette un ' unica soluzione (u ,y, p) E JRq x JRn X JRn, e u e l'unico controllo ottimale. Nella prossima sezione introdurremo degli esempi di problemi di cont rollo per equazioni aile derivate parzi ali di tipo ellittico.

17.4 Alcuni risultati per minimi di funzionali

515

17.3 A1cuni esem pi di problemi di cont rollo ottimale per il pr oblema di Laplace Si conside ri it caso in cui l'operat ore ellit t ico A sia it Lap laciano; si puo dunque definire la seguente famiglia di problemi :

Coniro llo distribuito. Dato il problema di stato

f +u

- L1y = { y =o

in D , su r =

(17.13)

aD,

dove D e un aperto in jRn , y E V = HJ (D) e la vari abi le di stato, f E £2 (D) e it t ermine sor gente e u E Ua d = £2(D) e la funzione di cont rollo, si pos sono conside rare due t ipi di funzionali da minimizzare: - sui dominio, per esem pio

(17.14) -

sui bordo, per esempio (nel caso y (u ) sia sufficientemente rego lare) J(u)

=

lr (a~~)

-

Zd r

)2dr ,

essendo n la normale uscent e dal bordo de l dominio . Le funzioni Zd e Zdr sono dett e funzioni di osseroazione,

•

Conirollo sulla [roniiera, Dato il problema di stato in D , su

o

0

rD ,

(17.15)

1

con rD U r N = aD e r D n I' n > 0, con conirollo u E H 2(rD) definito sui bordo di Dirichlet , si possono considerare due tipi di fun zionale costo: - sui dominio , come in (17.14) ; - sui bordo

An che

z drN

e una

fun zione d i osservazione.

17.4 A1cuni risultati per minimi di funzionali In questa sezione ricordiarno alcuni risul tati di esistenza e uni cita per minimi di funzionali, con particolare atte nzione a qu elli piu st rettame nte utili alia teor ia

516

17 In troduzione al cont rollo ottimale per equazioni a derivate parziali

del cont rollo; per approfond ime nt i si ved ano ad esempio [Lio7l , BG 87, Br e86, TL58J. Si conside ri uno spaz io di Hilb ert U (dotato di prodotto sca lare (' , ')), su cui e definit a un a form a bilineare 1r del t ipo U, V

f---+

1r(U , v)

"IU,VE U.

(17.16)

Si ass uma che tale form a sia simmet rica , cont inua e coerciva, Indicheremo con Il wll = J( w , w ) la norm a in U indotta dal prodot to sca la re. Si consideri ora un funzionale su U V

f---+

F(v)

"Iv

E

U,

(17 .17)

che si supporra line are e cont inuo. Si consideri uno sp azio di fun zioni Uad cont enut o in U , che diremo spaz io delle funzioni arnrnissibili, e si consideri il funzionale cost o J della form a seguent e

J (v) = 1r(v , v ) - 2F( v) Ricordiamo Thm. 1.1J.

"Iv

E

Uad'

(17 .18)

seguenti risul t ati , per la cui dimostrazione rinviamo a [Lio7l ,

Te ore m a 17. 1. Sia 1r(' , .) una forma bilineare continua, coerciua e simmeirica S1l U . Allom esiste ed e unico U E Uad tale che

J (U) = inf J (v )

"Iv E Undo

(17.19)

Tale eleme n to si chi am a controllo ot t imale (0 contro llo ottimo) .

Teorema 17.2 . Nel le ipotesi del ieorema precedente:

(i) Il cont rollo ottirna le U E Und soddisfa la sequenie disequazione uariazionale

1r(U, V - u )

~

F (v - 1l)

"Iv E Uad.

(17.20)

(ii) Nel caso particolare in cui Und = U [oimero si consi deri un problem a di ottirnizzazione non vincola ta) e 1r( tz, v) e una f orm a bilineare continua e coerciua (rna non n eccssori am cnie simmetrica}, allora, gm zie al Lem m a di Lax-Milgmm 3.1, u soddisfa la seguent e equaz ione d i E ulero associat a a (17.19) :

1r(u,w) = F (w )

"Iw E U .

(17.21)

17.4 Alcuni risultati p er minimi di funzion ali

517

(iii) Nel caso particolar e in cui U ad sia un cono ch iuso e con vesso con vert ice nell'origine O" la soluz ione

1r(U, v) ;::: F( v )

U

verifica

Vv E

U acl

e 1r(U, u) = F (u).

(17.22)

(iv ) Nel caso in cui J non sia necessar iamente qu ad rati co, rn a si supponga che la funzione v I-> F (v) sia stret tamente convessa e di fferenziab ile e sodd isfi la cond izione: J (v) --+ con Ilvll --+ Vv E U ad , allora J'un ico eleme nto u E U ad che sod d isfa la cond izione (17.19) e ca ratterizzato da lla seg ue nte d isequ azione variazion a le

0,

J' (u)[v - u] ;::: 0

Vv E U ad

(17.23)

.1'(v)[v - u] ;::: 0

Vu

(17.24)

equivalente mente, E U acl

(il simbolo J' ind ica la derivat a d i Frechet di J , si ved a la Definizione 2.6 ). (l

Uno spazio metrico linea re lV si d ice cono convesso chiuso con vertice n ell 'oriqine ( 1) 0 E HI, (2) ' 0 tale che

(17.26) allom esiste un 'unica fun zionc

U

E

Unci soddisf acen tc (17.20) .

Per la dimostrazione si veda [Lio7l , Thm 2.1].

17.5 La teoria del controllo ottimale per problemi ellittici In que st a sezione riporti amo alcuni risult ati di esistenza e unicit a dell a soluzione del problem a del controllo ot timale retto da equ azioni aile deriv at e parziali di tipo lin eare ellitt ico. Per sernplicit a ci limiteremo a trattare il caso di un problem a di cotitrollo distribuiio (si ved a ad esempio la Sez. 17.3) ; analoghi risul t ati valgono per problemi con cont rollo al bord o [Lio7l] . Siano V e H du e spazi di Hilb ert , V' il du ale di V, H' quello di H , con V den so in H . Ricordiamo che in tale caso vale la propriet a (2.10) del Capi tolo 2. Siano inoltre:

•

a(u,v): un a form a bilinear e, cont inua su V e coe rciva (rna non necessariamente simmet rica); F (v) = v ,(j, v )v , con f E V' , un fun zion ale linear e e limi t ato su V. Se f E H allora F( v) = v ,(j , v )v == (j , V)-ri (il prodotto scalare su H).

17.5 La t eori a del cont ro llo ot t imale per pr obl emi ellit t ici

519

Nelle ipo tesi precedenti il Iemrn a di Lax-Milgr am ass icura che esiste un a uni ca soluzione y E V del problem a

a(y ,7/J) = (f ,7/J)

'V7/J

(17.27)

V.

E

Definito I'operatore A

A

E

£(V, V') : v ,(A cp, 7/J )v = a(cp, 7/J)

'Vcp , 7/J

E

V,

il problema (17.27) diventa (in form a op er atoriale) in V' .

Ay =J

(17.28)

L'equ azione pr ecedente, che rappresent a un "sist ema fisico" retto dall 'operatore A , va completata con l' aggiunta del t ermine di cont rollo, che ass umeremo come cont rollo dist ribuito. Siano U 10 spazio di Hilbert delle fun zioni di controllo e B un op eratore appartenent e allo spazio £ (U,V') . Per ogni controllo u I' equazione di stato del sist ema e (17.29) Ay(u) = J + Bu Y E V, 0,

in form a debol e,

YE V

: a(y , cp) = (f , cp)

+ b(u, cp)

'V cp E V ,

(17.30)

essendo b(·,·) la form a bilineare associata all'operatore B, ovvero

b(u, cp) = v ,(Bu , cp )v

'Vu

E

U, 'Vcp

E

V.

(17. 31)

Indichiamo con Z 10 spazio di Hilb ert delle fun zioni di osser vazione e introducia rno I'op er atore C E L (V , Z) e I' equazione di osservazione

z( u ) = Cy (u) .

(17.32)

Infine defini amo il Junzionale costo

J(u) dove N E £(U ,U)

= J(y(u)) =11

Cy(u) - s« II ~ + (N u, u)u ,

e un a form a simmet rica definit a positiva (Nu , u)u ~ v l lu l l ~

'Vu

E

U,

(17.33)

tale che (17.34)

con v > 0, e Zd E Z e la fun zione di osservazione desiderat a (l'obi ettivo del problema di controllo). II problem a di cont rollo ottimale consist e nel t rovare u E Ua d O. In qu esto caso V = HJ(D), 'H = L 2(D), U = 'H (dunque (Nv,v) = (Nv ,v)u) pertanto Au e l'operatore ident it a , Ino ltre, Be l'operat or e identita, C e l'operat or e di inie zione di V in 'H, Z = 'H e dunque A e l'operat ore identita, Infine a(u ,v) = 'Vu · 'Vv dx. Grazie al Teorema 17.4 otteniamo

In

y(u) E HJ(D) p(u) E HJ(D) { u E

u.;

= ! + u in D, A *p(u) = y(u) - Zd in D, Ay(u)

l

Nel caso (no n vincolato) implica

(p(u) III

+ Nu)(v -

u) dx 2': 0

( "Iv E

17.48

)

u.a.

cui Uad = U (= L 2(D)), l'ul t ima d iseq ua zione p(u)

+ Nu = 0,

(basta prendere v = u - (p(u) + Nu)). Le prime d ue equazioni di (17.48) forniscono allora un sistema per le var iabili y ep Ay +N- lp =! { A *p - y

inD,

= - Zd in D,

y p

= 0 su aD,

= 0 su aD,

la cui solu zione fornisce il controllo ottimale: u = - N- 1p. In questo problema , se De rego lare, per la proprieta di reg olarita ellittica sia y che p sono funzioni di H 2(D). Poiche N - 1 trasforma H 2(D) in se stesso, anche it controllo ottimale u E H 2(D). Non sempre, tuttavia, il controllo ottimale e una funzione rego lare. Pi ll in generale, se Uad = U , la condi zione (17.40) si riduce a Ai;I B'p(u)

+ Nu = O.

Eliminando u il sistema (17.42) divent a pertanto Ay + BN - 1 A l/ B'p < I, { A *p - C'Cy

= - C ' Zd'

e it controllo ottimale si ottien e allor a risolvendo l'equ azione (17.46).

524

17 Int rod uzione al controllo ottimale per equazioni a der ivate parziali

17.6 .2 Un problema di N eumann co n co nt r o llo distribuito Consideriamo ora il prob lema in D,

Ay(u) = f +u oy(u) { -- = g

(17.49)

su oD,

onA

o

operato re ellittico e -;:;-- e la derivata conormale associata ad UnA A (per la sua definizione si veda la (3.35)). II funz ionale da minimi zzare e 10 stesso introdotto in (17.47). In questo caso V = H 1(D), H = L 2(D) , U = H , B e l'ident it a , C e la mappa di iniezione di V in H , dove A

e un

a(v ,w) = v, (Av,w )v, con

f

F(v) = {" fv dx + {" gv d"f ,

Jn

L 2(D) e 9 E H - 1 / 2(oD) . Se A v = - L1v + (3v, allora

Jan

E

a(v, w) =

l s».

'Vw dx

+

l

(3vw dx .

La forma variazionale de l problema di stato (17.49)

e

y(u) E H 1(D) : a(y(u), v) = F(v) II problema agg iunto

e un

(17.50)

problema di Neu mann de lla forma

A*p(u) = y(u) -

in D,

Zd

{ op(u) = 0

(17.51)

su oD.

onA'

II controllo ottimale si ottiene riso lvendo il sistema formato da (17.49), (17.51) e

u

E

u.: : j~ (p(u) + Nu)(v -

u) dx 2': 0

\:Iv E

U ad .

(17.52)

17.6 .3 Un problema di N eumann con cont r o llo di frontiera Consideriamo il pro blema

A y(u) = f oy(u) { - - = g+ u onA

in D, su oD,

(17.53)

17.7 Risolu zion e di pr obl emi inversi come pro blemi di cont ro llo ot timale

525

con 10 st esso op eratore introdotto nell 'esempio pr ecedente e 10 stesso funzionale costo (17 .47) . In qu esta cas o,

Per ogni u E U , Bu E V' e dato da v' (B u, "I/J) v inie zione di V in 'H. La form a debole di (17.53) e

y(u) E 'H1(D) : a(y(u) , v) = {" I v dx Jn

+ {"

Jan

= f Ew u"I/J dr , C e la mappa di

(g + u)v d r

II problema agg iunto e ancora d ato d a (17.51), mentre la di sequ azione del controllo ottimale e la t erza di (17.42). L'interpretazione di quest a disequazione non e ban ale. Scegliendo com e prodot to scalare in U

(u, v)u = {" (-L1 an )- 1/4u ( -L1 an )- 1/4v dr = {" (-L1 an )- 1/2u v dr , Jan Jan essendo - L1an l'operatore di Lapl ace-Beltrami (si ved a ad esempio [QV94]) , si dimostra che la terza di sequazione di (17.42) equivale a

{" (p(u) lan Jan

+ (- L1 an )- 1/2N u )(v -

u) dr :::: 0

\Iv

E

Uad;

si ved a [Li071, Sect 2.4]. Nelle Tabelle 17.1 e 17.2 e riportato un riepilogo di possibili problemi di controllo ot timale di t ipo Dirichlet e Neumann .

17.7 Risoluzione di problemi inversi come problemi di controllo ottimale La t eori a del cont rollo ottimale pUG esser e convenient emente im piegata per la risolu zione di problemi inversi, riconducendo la formul azione di questi ultimi aile equazioni t ipiche di un problem a di cont rollo. Nel seguit o ven gono pr esentat i alcuni aspe t t i su cui si basa qu est a teoria , con particolar e at t enzione a EDP lineari di t ipo ellit t ico; per un a t rattazione piu approfondita e rigoro sa si rim anda a [Ago03], dove pe raltro la teoria e estesa a problemi par abolici e ipe rbolici e a sistemi di equazioni. Per indi vidu are la ca t egor ia di problemi a cui ci si interessa si consideri di nuovo l'equazione (17.29)

Ay =

I + Bu

con y E V .

Per fissare Ie idee con un esem pio si prenda it caso part icolar e seguente: - L1y = u in D, { y = Yd su D ,

y= 0

su

r

= [)D,

(17 .54)

526

17 Int rod uzione al cont rollo ottimale per equazion i a d eri vate parziali

Ta b ella 17. 1. Riepilogo di po ssibili problemi di cont rollo di tipo Di richlet

Condi zion i di Dirichlet Controllo Distribuito

Controllo al Bordo

Osservazion e Distribuita

{ {

Ay = f + u in n A *p = Y - Zd in n y = 0, p =O su an

Ay = f in n A *p = y - Z d in n y =u, p =O su a n

Osservazion e al B ordo

{ {

Ay = f + u in n A *p = 0 in n y = 0, p = y - Z d

su an

Ay = f in n A *p = 0 in n y = u, p = y -

su an

Zd

Ta b ella 17.2 . Riepilogo di possibili problemi di cont rollo di t ipo Neumann

Condizioni di N eum ann

Cont rollo Distribu ito

Cont rollo al Bordo

Osservazion e Distribui ta

l

A y = f + u. in n A * p = y- Z d in n ay -an A = g su a n

~=O an A*

!

su an

Ay = f in n A *p = y - Z d in n ay - - = g+ u suan anA ap -a - = O su a n n A*

Osservazion e al Bordo

l

A y = f + u in n A *p = 0 in n ay -an A = g su a n ap - - = y - Zd su an anA*

I

A y = f in n A *p = 0 in n ay - - = g+ u su a n anA ap an A* = y - Zd su an

dove y E HJ(fl) , A = - .d, B = I : L 2 (fl) f---+ L 2 (fl) . Se dato un t ermine sorgent e u si misura Y == Yd E H J(fl) e si vuol e ricost ruire u tale per cui la precedente relazione viene soddisfat t a, allora it problem a si dice problema inve rsa; si osservi che per t ale tipo di problemi e fond amentale definire le condizioni di unicit a della soluzione. Si consideri il pre cedent e problema inverso, allora un a pro cedura conveniente sembrerebbe quell a di risolvere la seguent e equazione: A -Iu = Yd. Tuttavia, nel caso in que stione il dominio di A - I e L 2 (fl ), fatto che rende l'operatore non limit ato e il problema mal-posta (si ved a la sezione seguent e).

17.7 Risoluzione di problemi inversi come problemi di controllo ottim ale

527

17.7.1 La teoria del controllo ottimale per problemi inversi Applicando l'op er atore C all'equazione di stato

(17.55)

Ay =j, si ot ti en e l'equazione

CAy = Cf. Essa e equivalente a (17.55) purche K er( C) = {O} e R(A) Consideriamo il caso particolare in cui C = A *

c

D(C).

D e fin iz io n e 17 .1. Le soluzioni del problem a

A *Ay =A*j,

(17.56)

si dicono quasi soluzioni (0 soluzioni nel senso dei minimi quadrati) dell 'equazion e oriqinoria Ay = J. Le qu asi soluzioni sono t ali da minimizzar e it funzionale

che in un problem a di controllo rappresenta il fun zion ale costo, mentre, se riferito all'equa zione di stat o, indica il sodd isfaciment o dell 'equazione da parte della soluzione. In troducendo il param etro di regolarizzazione a > 0 per aver un problem a ben posta e cons idera ndo l'equ azione

A :,y", = a y", + A *Ay", = A *j ,

(17.57)

le qu asi soluzioni y", cor rispondono or a alia minimizzazione del fun zion ale :

La qu asi soluzione y", converge alia soluzione reale y se per a

----+

0

Ily", - yllv ----+ O. L' aspe tto fond ament ale problema ben posto .

e costit uit o

dal fat to che la (17.57) rappresent a un

Risul t ati an aloghi si ottengono per problemi in cui sia definit a la funzio ne di cont rollo u (in cui it termine J di (17.55) vien e sostit uit o da J + Bu come in (17.29)); nel seguit o sono elenc ate le espressioni per le equazioni che concorrono a risolvere il problema regolari zzato : l'equazione di stato Ay", = J + Bu", ; l'equ azione agg iunta A *p", = C '( C y", - C Yd);

528

17 Introduzione al cont rollo ottimale per equazioni a derivat e parziali it fun zion ale costo Ja(uoJ = a l lua l l~ + IICYa- CYd 111; la condizione di raggiungimento dell'ottimo espressa da

ove l'ul tima delle pr ecedenti forni sce la qu asi soluzione U a del problem a di controllo e gli operatori sono gli stessi della Sez. 17.6. Si osservi infine che si e tenuto conto della pre sen za del par ametro a al fine di poter avere un problema ben posto; si noti inoltre che il ruolo giocat o dal t ermine allu a11 2 del fun zionale cost a J a e del tut to analogo a qu ello della form a simmet rica n(· ,·) della (17.33). Dal Teorem a di Lion s (17.4) consegue l'esistenz a e l'unicit a della soluzione del problema di cont rollo, non ga ra nt it e per il problema inver so origin ario . Per l' an alisi e gli approfondiment i si ved a ad esempio [Ago03].

17.8 Test numerrci In questa sezione presentiamo alcuni te st numerici per la soluzione di problemi di cont rollo ot timo in 1D simili a qu elli riportati nelle Tab elle 17.1 e 17.2. P er t utte le simulazioni numer iche consideriamo il dominio f2 = (0,1) , un semplice op er atore di diffusione-r eazione Ay = - MY"

+ , Y,

e 10 stesso fun zion ale costo considerat o nelle tabe lle, con un coefficiente di regolarizzazione v = 10- 2 (a meno che diversamente specificat o). Discretizziamo sia il problema di stato sia quello aggiunt o per mezzo di elem enti finiti line ari a tratti , con passo h = 10- 2 ; per risolvere il problem a di minimizzazione utiliz ziamo it met odo del gradiente coni ugato con un par ametro di accelerazione T k inizializzato con TO = T e poi , se necessario per la convergenza, rido t to di 2 ad ogni passo successivo. Que sto soddisfa la regola di Armijo (si ved a la Sez. 17.10) . La t ollera nza per il metodo ite rativo tal e fissata a 10- 3 , con il IJ'(uk)11 < tol IIJ'(uO ) II. seguente crit erio di arresto: 1 •

Caso D1 (Tavola 17.1 in alto a sinistra). Controllo dist ribuito e osservazione distribuita, con condizioni al cont orno di Dirichlet . Consideriamo i seguent i dati : 11 =1

fA'

'

"1" = 0

°

1 =1 , u = 0 ,

Zd =

{

x1 - x

x < 0.5 - 0.5 ' x>

T

= 10.

11 valore del funzionale costo per uO e J O = 0.0396, dop o 11 iter azioni ot teniamo il fun zion ale costa ot timale J = 0.0202. In Fi g. 17.2 a sinistra riportiamo la vari abil e di stato per la u iniziale e di cont rollo ottimo e la fun zione desiderat a Zd , a dest ra la fun zione di cont rollo ottimo. Come mostrato in Tab ella 17.3, it numero di it erazioni aument a al decrescere di u , Nella st essa tabella rip orti am o anche, a scopo compara t ivo, i valori

17.8 Test numerici

529

o . . . . . . . . . ,g

0.5 0.4

0.3

0.2

... - -------- - 0.2

0.4

0.6

....

0.8

Figura 17.2. Caso Dl. Vari abili di stat o, inizi ale e a ll' ot t imo, e la funzione desid er ata (sini stra) ; funzione di cont rollo ottimo (destra) Tabella 17.3. Caso D l. Numero d i iter azion i e valore del funziona le costo in corr ispondenza a differenti valori di t/

•

del funzionale costo J che corrispondono al valor e ot t imo di u per valori differenti di u , In Fi g. 17.3 riportiamo 10 stat o ot timo (a sinist ra) e le fun zioni di controllo (a destra) ottenute per differenti valori di t/, Caso D2 (Tabella 17.1 in alto a destra) . Controllo distribuito e osservazione al bordo, con condizioni al bordo di Diri chlet. Assumiamo /1 = 1, "y = 0, f = 1, uO = 0, mentre la fun zione obi et tivo Zd e t.c. Zd(O) = - 1 e zd(l )

:~ - - YY23 ,., .. ,:.,.... ,.... ,.. ~ .

.

0.4 '

·; .. ·

..

" ": : .::.~:

. ,

._._.y.

,;

-

Zd

-a_

,.

6 r---~--~--,...,.----,---~-----,

· _

I

I

:

.

u

. ._._.u:

J

4

3

U2

I

.i

5

I

0.3

0.2

0.2

0.4

0.6

0 .8

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 17.3. Caso D l. Var iabili d i st ato ot t imo Y2 (pe r v = l e - 2) , Y3 (p er v = l e - 3), Y4 (p er t/ = Ie - 4) e funzione desid er ata Z d (a sinist ra); cont rollo ottimo U2 (pe r v = l e - 2) , U 3 (p er v = l c - 3), U4 (pe r v = l e - 4) (a destra)

530

17 Introduzione al cont rollo ottimale per equazioni a derivate parziali 14r --

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-----,

0.7

0.2

0.8

0.6

0.4

Fig ura 17. 4 . Caso D2. Variabili iniziale e di stat o ottimo (a sinist ra); vari abile di cont rollo ottimo (a destra)

1.2

,

,

.

0.4 0.2 0.6

0.4

~,'

,,

0.2 ......, '

,

,

....

,,

- - - ... ,

,,

o - -.- ---

, "

,.

0.2

,,

-0.2

,

,,

.. . ..

0.4

0.6

0.8

.... . . ... . . ...

,,

-0.4 -0.6

o

0.2

0.4

0.6

0.8

Fig u r a 17.5. A sinistra , Caso D3 . Var iabili d i st ato iniziale e ot t imale e fun zione osserv azione desid er ata . A destra, Caso D4 . Vari abili di stat o inizi ale e ottimale

•

- 4; infine, T = 0.1. Al passo iniziale abbiamo J = 12.5401 mentre dopo 89 it erazioni J = 0.04305; possiamo osservar e come la deriv ata normale della vari abil e di st at o sia "vicina" al valor e desider ato Zd = [/t ~ (O) , f.L~(I)] = [- 1.0511, - 3.8695]. In Fi g. 17.4 riporti amo 10 stat o iniziale e quello ot timale (a sinistra) e la fun zione di controllo ottimo cor rispondent e (a destra) . Caso D3 (Tabell a 17.1 in basso a sinistra) . Controllo al bordo e osservazione distribuita, con condizioni al contorno di Diri chlet . Consideriamo i valori It = 1, I = 0, f = 1, il cont rollo inizi ale uO t .c. uO(O) = uO(I) = 0, Zd = - 1 - 3x e T = 0.1. II valore del funzionale cost o iniziale e J = 0.4204 , dopo 55 iterazioni abbiamo J = 0.0364 e il cont rollo ottimo suI bordo e [u(O), u(I) ] = [0.6638, 0.5541]. In Fi g. 17.5, a sini stra, riporti amo Ie vari abili di st ato iniziale e finale e la fun zione osservazione desiderat a. Caso D4 (Tab ella 17.1 in basso a destra). Controllo e osservazion e al bordo, con condizioni al bordo di Diri chlet. Assumiamo It = 1, I = 0, f = 1, il

17.8 Test numerici F

P:

p

I

531

2 ,985 r--~-----------,

~

0,5

o - 0,5 -1

- 1.5

~r

o

~ -

~~--~----------------. 02

0.4

0,6

0 ,8

.• , 1

Figura 17.6. Caso N l. Vari abili di stato iniziale e ottimale, e fun zione desiderata (a sinistra); variabile di controllo ottimo (a destra)

•

•

eontrollo iniziale uO t.e. uO(O) = uO(I) = 0, mentre la funzione obiettivo Zd e t.e . Zd(O) = - 1 e zd(l) = - 4; infine, T = 0.1. Per it = 0 il valore del fun zionale eosto e J = 12.5401 , dopo solo 4 iterazioni J = 8.0513 e il eontrollo ottimo al bordo e [u(O), u(I) ] = [0.7481, - 0.7481]. In Fig . 17.5, a destra, riportiamo la variabile di stato. Caso Nl (Tabella 17.2 in alto a sinistra) . Controllo distribuito e osservazione distribuita, eon eondizioni al bordo di Neumann. Consideriamo f.L = 1, 'Y = 1, f = 0, g = - 1, uO = 0, Zd = 1, T = 0.1. All'iterazione iniziale abbiamo J = 9.0053, dopo 18 iterazioni il valore del fun zionale eosto e J = 0.0944. In Fig. 17.6 riportiamo la variabile di stato per il problema di Neumann (a sinistra) e il eontrollo ottimo finale (a destra). Caso N2 (Tabella 17.2 in alto a destra) . Controllo distribuito e osservazione al bordo, eon eondizioni al bordo di Neumann. Consideriamo 11 = 1, 'Y = 1 f = 0, la fun zione g t.e. g(O) = - 1 e g(l) = - 4, uO = 0, mentre la funzione desid erata Zd e t.c, Zd(O) = zd(l ) = 1; inifne, T = 0.1. Per it = 0, J = 83.1329, dopo 153 iterazioni J = 0.6280 , 10 stato ottimo suI bordo e [y(O), y(I )] = [1.1613, 0.7750]. In Fig. 17.7 riportiamo la variabile di stato (a sinistra) e la variabile di eontrollo ottimo (a destra). Caso N3 (Tabella 17.2 in basso a sinistra). Controllo al bordo e osservazione distribuita, eon eondizioni al bordo di Neumann. Assumiamo 11 = 1, 'Y = 1, f = 0, il eontrollo iniziale uO t .e. uO(O) = uO(I) = 0, Zd = - 1 - 3x, T = 0.1. II valore iniziale del fun zionale eosto e J = 9.0053, dopo 9 iterazioni abbiamo J = 0.0461, e il eontrollo ottimo e [u (O), u(I) ] = [1.4910, 1.4910]. In Fig. 17.8, a sinistra, riportiamo la variabile di stato per il eontrollo inizial e e qu ella relativa al eontrollo ottimo u, assieme alla funzione osservazione desiderata. Caso N4 (Tabella 17.2 in basso a destra). Controllo e osservazione al bordo, eon eondizioni al bordo di Neumann. Consideriamo f.L = 1, 'Y = 1, f = 0, la fun zione g t.e. g(O) = - 1 e g(l) = - 4, il eontrollo iniziale uO t.c. uO(O) = uO(I) = 0, mentre la funzione desiderata Zd e t.c. Zd(O) = zd(l ) = 1;

17 Introduzione al cont rollo ottimale per equazioni a derivate parziali

532

L

l

0 -1

-2 -3 -4

- -- - ------. - --.

-5

--- --- --

Figura 17.7 . Caso N2. Variabili inizi ale e di stat o ottimo (sini stra) ; variabile di con trollo ot t imo (de stra)

-8

0.5

o

VI

_ z.

-0.5

-3

:fI -4

-1. 5

r--

o

_--- -- - ---- -- --- - - - - 0.2

0.4

0.6

0.8

b - j v,

-2

-1

-2

F4

-1

- v,

o

_

------- ----. ---

o

0.2

0.4

------

0.6

0.8

Figur a 17.8. A si nistra , Caso N3 : variabili inizia le e d i stato ot t imo e funzione osserv azione desid er at a . A destra , Caso N4: varia bili inizi ale e di stato ottimo

infine, T = 0.1. Al passo iniziale J = 83.1329, dopo 37 iterazioni abbiamo J = 0.2196 , il controllo ottimo e [u(O),u(l) ] = [1.5817, 4.3299] e 10 st ato osservato sul bordo e [y(O), y(l) ] = [1.0445, 0.9282]. In Fi g. 17.8, a destra, riporti amo Ie vari abili inizi ali e di stato ottimo.

17.9 Formula zione di p r oblemi di controllo m ediant e la grangi ana In questa sezione si fornis cono le basi per un approc cio alia risol uzione dei problemi di controllo mediante la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange; in particolare con il form alismo dell a Lagrangiana ris ulta pili immediatamente evide nte it ruolo della vari abil e aggiunta all'inte rno dei problemi di cont rollo ot timale.

17.9 Formulazione di problemi di controllo mediant e lagrangiana

533

17.9 .1 Ottimizzazione vincolata p er funzioni in JR.n Consideriamo un caso semplice di ottimizzazion e vin colata: date f,g E C 1(X) , essendo X un ap erto di JR.n, si vogliono trovare gli est rem i della funzione f sottoposta al vinco lo di appartenen za dei punti estremi all'insieme Eo

= {x

E

JR.n : g(x ) = O}.

Per sernp licita di trattazione si e scelto il caso in cui il vinco lo 9 sia un a funzione scalar e; per maggiori approfondiment i a riguardo si veda ad esempio [PS91]. Si considerino le segu enti definizioni di punto regalare e punto critico oincolaio: D efinizione 17.2. Uti pun ta Xo

g(xo ) = 0

e detto

pu nta regolar e di E o se

e V'g(xo) =J O.

D efinizione 17.3. Dati I , 9 e E o precedentemcn te definiti, si dice che Xo E X C un punta crit ico condiz ionato al vin colo g(x) = 0 (a, in breve, un punta crit ico vincola to ) se:

i) il pu nta Xo e regalare per Eo; ii) la derivate di f in direzione tangente al uincolo g

e nulla

in

x n,

Su lla bas e di q uest e definizion i vale it seguent e risult ato: T eorema 17.5. Un punt a reqolare Xo di E o se e solo se esis te AOE IR tale che valga

e un

punta cri iico oincolato

V'f (x o) = AOV'g(XO)' Int rod uciamo la funzione £ : X x JR.

f---+

JR., detta Lagrangiana

£ (x , A) = f( x) - Ag(X). Dal Teorema 17.5, deduciamo che Xo e un punto critico vinco lato se e solo se (xo, AO) e un punta crit ico libero per la funzione L . II numero Ao si dice maltiplicatare di Lagrange e si ricava, insieme a Xo, dalla risoluzione del sistema

V'£ (x , A) = 0 , ovvero

{ c; = V' f -

AV'9 = 0 ,

534

17 Introduzione al cont rollo ottimale per equazioni a derivat e parziali

17.9.2 L 'approccio mediante Lagrangiana In qu est a sezione si vuol e este nde re la t eori a degli est remi vin colati richiam at a in Sez. 17.9.1 ai problemi di cont rollo ottimale. L'approccio della Lagr an gian a e di ffuso anche in questo ambito (si ved a ad esempio [BKROO]) come alt ernativo all'approcc io "alia Lions"; esso e convenientemente utilizzato per integr are Ie tecni che di adat t ivita di gr iglia basate su stime a posteriori dell 'errore con i problemi di cont rollo ottimale (si ved ano [BKROO] e [Ded0 4]). L' approccio medi an t e mol tiplicato ri d i Lagr an ge e d iffusament e impiegato anche in problemi di ot timizzazione di form a , dove il cont rollo e cost it uito d all a form a del dominio su cui sono defini te Ie equ azioni che de scrivono il modello fisico. La fun zione u del problema di controllo ottimale divent a cioe un a fun zione , definita suI bordo (0 part e di esso) che de scrive 10 scost amento dell a form a ottimale, d a quella ori gin ale su cui e defini to il problem a. A qu esta proposito si ved ano ad esempio Ie referenz e [Jam88], [MP01] , [JS91] . L'impiego del form ali smo dell a Lagran gian a nell a Sez. 17.9.1 consente di determinare i punti di est remo x di un a certa fun zione J sot t oposta al vincolo espresso dall a funzione g . Nel problem a d i controllo si vuol e t rovare un a [unziotie u E U sodd isfacente il problem a di minimo (17.35) , essendo y(u ) la soluzione dell 'equazione di stato (17.29) . Al solito, A e un op er ato re differ enziale ellittico applicato alia vari abile di stat o e B un operatore che introduce il controllo nell 'equ azione di stato. Tale problema puo essere visto come un problema di estremo vincolato, osservando la corrispondenza dei ruoli giocati t ra il funzionale costa J e la funzione J (di Sez. 17.9.1) , tra I'equazione di stato e il vin colo 9 = 0 e infin e tra il controllo u e il punto di estremo x . La soluzione del problema di controllo ottimale puo cosl essere ricondot t a a ricer care i "punti" crit ici lib eri del Junzionale Lagrangiano definito nel modo seguente (17.58) .c(y ,p, u) = J(u) + », J + Bu - Ay (u) ),

t

dove p e il moltiplicaiore di Lagrange e il simbolo (., .) denota la du alit a t ra V e V' . Si osservi che, in qu est 'ambito, i punti cr it ici lib eri sono da int ender si come Ie funzioni y , u e p in corr ispondenza dell 'o t ti mo. II problem a divent a du nque t rovare (y ,p,u) : 'V.c(y ,p,u) ovvero

= 0,

(17 .59)

c; = 0, .cp = 0,

{ .cu = O.

(17.60)

e usata la not azione abbreviata .cy per indicare la derivata di G ateau x di rispetto a y (introdotta nella Sez. 2.2 del Capitolo 2) . An alogo significato hanno Ie not azioni .c p e Si consider i or a come esem pio un 'equazion e di stat o ellit t ica con op er atori A e B lineari e la si riscriva nella form a deb ole (17. 30) ; dati u E U ed J E 'H, Si

.c

.cu.

17.9 Formulazione di pro blemi di cont rollo mediant e lagrangian a

535

si t rovi

y = y(u)

E

V : a(y,