Modelli Dinamici Discreti 978-88-470-5503-2, 978-88-470-5504-9 [PDF]

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Ernesto Salinelli Franco Tomarelli

3a edizione

ABC

UNITEXT

Modelli Dinamici Discreti

UNITEXT – La Matematica per il 3+2 Volume 71

http://www.springer.com/series/5418

Ernesto Salinelli · Franco Tomarelli

Modelli Dinamici Discreti 3a edizione

Ernesto Salinelli Università del Piemonte Orientale Dipartimento di Studi per l’Economia e l’Impresa Novara

UNITEXT – La Matematica per il 3+2 ISSN versione cartacea: 2038-5722 ISBN 978-88-470-5503-2 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9

Franco Tomarelli Politecnico di Milano Dipartimento di Matematica Milano

ISSN versione elettronica: 2038-5757 ISBN 978-88-470-5504-9 (eBook)

Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London © Springer-Verlag Italia 2014 Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 In copertina: “Tempo di fioritura”, Gianni Dova, 1964. Il Castello Arte Moderna e Contemporanea, Milano. Layout di copertina: Beatrice B., Milano Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany (www.ptp-berlin.eu) Stampa: Grafiche Porpora, Segrate (MI)

Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer fa parte di Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Prefazione

L’uso dei modelli matematici ha assunto un ruolo di primaria importanza in moltissimi campi: dalla meteorologia alla descrizione sintetica di reazioni negli impianti chimici, dalla elaborazione di dati relativi a sistemi finanziari, allo studio di popolazione biologiche. Questi sono solo alcuni casi in cui anche il comune cittadino (e non solo l’esperto del settore) viene suo malgrado coinvolto nel dibattito, se non addirittura nella scelta, tra impostazioni alternative, allo scopo di mantenere l’evoluzione dei fenomeni descritti da tali modelli entro limiti ritenuti accettabili. È dunque auspicabile che almeno elementari conoscenze delle proprietà dei modelli matematici diventino un patrimonio il più possibile diffuso tra gli abitanti del “villaggio globale”. Quando la modellazione matematica si riferisce a fenomeni dipendenti dal tempo, la terminologia moderna precisa la nozione di modello matematico definendo la nozione di sistema dinamico. Il termine discreto, che compare nel titolo, indica la natura dei modelli che prenderemo in esame: a partire da un numero finito di istanti in cui si hanno informazioni sul fenomeno in esame, tali modelli ne descrivono l’evoluzione futura mediante i valori assunti in un insieme discreto di tempi successivi, detti passi temporali (ad esempio, i multipli interi positivi di una fissata unità di tempo), ma non la descrizione per tutti i valori del tempo considerato come una grandezza continua o, più precisamente, analogica. Assai spesso nelle applicazioni anche le grandezze osservate risultano essere discrete (si usa dire “quantizzate”) per le caratteristiche degli strumenti di misura e per le manipolazioni di tipo elettrico o elettronico che, nell’attuale fase dello sviluppo tecnologico, inevitabilmente sono effettuate su tali grandezze. Tuttavia, in molti casi pratici la quantizzazione ha un ordine di grandezza così ridotto da poter essere trascurata; per questo motivo supporremo spesso che le grandezze in esame possano assumere una gamma continua di valori. Negli anni recenti si è rivolta particolare attenzione allo studio dei sistemi dinamici non lineari, ed in questo campo si sono sviluppate nuove

vi

Prefazione

idee ed utili paradigmi interpretativi che hanno contribuito ad una maggiore comprensione di numerosi problemi sia teorici che di rilevante interesse applicativo. Per comprendere cosa si intende con il termine non lineare, è utile ricordare cosa si intende in matematica con il termine problema lineare: un problema si dice lineare se vi è una proporzionalità tra i dati in ingresso (input) e gli effetti risultanti (output), e alla somma di più cause corrisponde la somma dei rispettivi effetti. In generale si sanno risolvere in modo soddisfacente i problemi lineari, o perlomeno si sanno approssimare bene numericamente, ma i problemi fisici, chimici, biologici, economici, demografici e dell’ingegneria, sono più correttamente descritti da modelli non lineari. Purtroppo si sa dire molto meno sulle soluzioni dei problemi non lineari, e tali soluzioni sono spesso caratterizzate da un comportamento complesso, instabilità e dipendenza sensibile dai dati iniziali, al punto che in taluni casi viene descritto come caos. Con questa suggestiva, ma in parte fuorviante, espressione si intende la possibilità di avere evoluzioni estremamente complicate, anche a partire da semplici modelli deterministici non lineari: questo produce l’apparente paradosso per cui, in tali casi, la estrema sensibilità nella dipendenza dai dati iniziali (sempre affetti da errori sperimentali) rende assai debole la speranza di effettuare previsioni dettagliate di lungo periodo. Tale situazione è ben illustrata dall’esempio della meteorologia, ferma restando la possibilità oggi realizzata di affidabili previsioni nel breve periodo. Queste considerazioni non mettono in discussione l’efficacia di tali metodiche ma sono un invito a ricordarne i limiti, al fine di non estrapolare a lungo termine gli effetti dedotti dall’analisi dei modelli non lineari, ed a tenere conto delle instabilità ad essi intrinsecamente associata. Questo volume nasce da una precisa esigenza didattica: intende fornire una presentazione elementare ed autocontenuta della modellistica matematica discreta con una introduzione all’analisi dei sistemi dinamici discreti. Si illustrano alcuni metodi qualitativi della modellazione matematica, discutendo cosa si intende per soluzione di tali modelli mediante semplici esempi (Capitolo 1); sono presentate alcune tecniche di soluzione di equazioni alle differenze lineari (Capitolo 2) e sono studiate le proprietà qualitative delle soluzioni e la loro struttura nel caso di modelli non lineari, con particolare riferimento alle proprietà di stabilità (Capitoli 3 e 4). I metodi e le tecniche per lo studio dei modelli discreti sono dispersi nella letteratura matematica, economica, biologica, demografica e dell’ingegneria. Qui si è cercato di presentare la materia in modo unitario, sviluppando dapprima esempi e motivazioni, per poi affrontare lo studio dei modelli lineari e successivamente di quelli non lineari, cercando di unificare il punto di vista modellistico con quelli dell’Analisi Matematica, della Teoria dei Sistemi, dell’Algebra Lineare, del Calcolo delle Probabilità, del Calcolo numerico e della Matematica Finanziaria.

Prefazione

vii

Il caso vettoriale, più tecnico come notazioni e metodi, è presentato a parte negli ultimi due capitoli (Capitoli 5 e 6), limitandone la trattazione esclusivamente ai problemi lineari. L’esposizione della teoria è resa graduale dalla proposta di alcuni esercizi di difficoltà crescente. Altri esercizi di riepilogo sono raggruppati in apposite sezioni. Le soluzioni di gran parte degli esercizi sono descritte in dettaglio nel Capitolo 7. La Teoria è accompagnata da algoritmi e suggerimenti per effettuare prove numeriche e simulazioni al computer. A quest’ultimo proposito, ricordiamo che i sistemi dinamici discreti sono essenzialmente iterazioni di funzioni, e che i computer eseguono con molta efficienza le iterazioni di algoritmi. Invitiamo dunque il lettore ad affrontare personalmente lo svolgimento degli esercizi sia mediante il calcolo manuale (quando è possibile), sia cercando le proprietà qualitative con il metodo grafico ed i risultati teorici del testo, sia effettuando simulazioni numeriche con un personal computer. Attualmente sono disponibili software particolarmente adatti sia alla iterazione di calcoli simbolici sia alla gestione della grafica. Questo rende possibile, mediante opportune iterazioni di polinomi, generare sul monitor quelle immagini affascinanti ed intriganti denominate frattali anche senza conoscere gli aspetti più tecnici della sottostante Teoria Geometrica della Misura. Nel testo si forniscono comunque (Capitolo 4 ed Appendice F) alcune nozioni di base per lo studio di tali enti e la definizione di dimensione frattale e di misura di un insieme frattale. Per tutti gli esempi ed esercizi affrontati si invita il lettore a porre l’attenzione non solo sulle particolarità algebriche del problema formalizzato, quanto sul fenomeno modellizzato, il significato di modello matematico, il dominio dei parametri in cui il modello è sensato, il valore predittivo del modello e la sua computabilità a partire da dati sperimentali affetti da inevitabili errori di misura. In questa prospettiva la matematica svolge un ruolo di retroazione tra lo studio e la formulazione di modelli descrittivi e predittivi. Qualora si pervenga ad un adeguato livello di astrazione e di rigore nella formulazione di tali modelli, si possono sviluppare idee innovative che permettono di comprendere ed unificare problemi applicativi diversi attraverso l’identificazione di strutture generali e l’elaborazione di teorie di ampia applicabilità. Ringraziamo Maurizio Grasselli, Stefano Mortola e Antonio Cianci per gli utili suggerimenti e le osservazioni al testo e Irene Sabadini per l’accurata redazione delle numerose figure. Milano, giugno 2002

Gli Autori

viii

Prefazione

Questa seconda edizione del volume si avvale dell’esperienza didattica maturata nel corso di Modelli Dinamici Discreti tenuto in questi anni presso il Politecnico di Milano: numerose correzioni sono state apportate, la presentazione di molti esempi ed esercizi è stata migliorata ed ampliata; infine è stato inserito un nuovo capitolo su matrici positive, grafi e loro proprietà utili nell’analisi di reti e motori di ricerca. Vogliamo esprimere un sentito ringraziamento a Francesca Bonadei per l’incoraggiamento ed il supporto forniti, ad Alberto Perversi per la valida consulenza sulla gestione della grafica ed agli studenti del corso di studi in Ingegneria Matematica per l’entusiasmo dimostrato e le utili osservazioni. Milano, luglio 2008

Gli Autori

Nella terza edizione è stata aggiornata la trattazione di vari argomenti, sono stati inseriti nuovi esempi ed esercizi e la bibliografia è stata ampliata per fornire indicazioni al lettore interessato ad approfondire lo studio dei sistemi dinamici discreti. Nella attuale organizzazione del testo i capitoli 5, 6 e 7 sono dedicati al caso vettoriale, conseguentemente le soluzioni svolte degli esercizi proposti sono raccolte nel Capitolo 8. Ringraziamo Debora Sesana per la revisione del materiale iconografico. Questa edizione è pubblicata sia in lingua italiana che in lingua inglese.

Milano, giugno 2013

Ernesto Salinelli, Franco Tomarelli

Guida alla lettura

I primi due capitoli presentano una introduzione elementare alla materia: gli unici prerequisiti sono le proprietà dei polinomi. Il Capitolo 3 richiede la conoscenza della nozione di continuità ed il calcolo di derivate di funzioni di una variabile, nel Capitolo 4 sono utilizzate alcune elementari nozioni di Topologia. Nei Capitoli 5, 6, 7, dedicati al caso vettoriale, si utilizzano alcune tecniche di Algebra Lineare. Tutti i prerequisiti, anche se elementari, sono comunque richiamati nel testo o nelle Appendici. Le dimostrazioni, stampate con un carattere tipografico ridotto, sono utili per una comprensione approfondita ma possono omesse nel corso di una prima lettura. I primi tre capitoli possono essere oggetto di un modulo didattico (o semiannualità) della laurea triennale; in una prima lettura possono essere tralasciati i paragrafi 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 3.3, 3.4, 3.9 senza inconvenienti per la comprensione. I Capitoli 4, 5 ,6 ,7 possono essere oggetto in un modulo didattico avanzato. I capitoli successivi al primo sono largamente indipendenti tra loro, in modo tale da rendere possibili vari percorsi di lettura a seconda dell’interesse per alcune classi di problemi rispetto ad altre. Segnaliamo alcuni possibili percorsi di lettura dei vari capitoli.

Indice

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Guida alla lettura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi Simboli e notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv 1

Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Definizioni e notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

Equazioni alle differenze lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Equazioni lineari ad un passo a coefficienti costanti . . . . . . . . . . 2.2 Equazioni lineari ad n passi a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . 2.3 Stabilità di equilibri per equazioni ad n passi a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ricerca di soluzioni particolari con secondi membri di tipo particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 La Z-trasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Equazioni lineari a coefficienti variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Esempi di equazioni non lineari ad un passo riconducibili al caso lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 La Trasformata Discreta di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Algoritmo Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

25 25 31 40 47 50 62 67 73 79 83

Sistemi dinamici discreti: equazioni scalari ad un passo . . . . 87 3.1 Definizioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2 Ancora sull’analisi grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

xii

Indice

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

Comportamento asintotico in ipotesi di monotonia . . . . . . . . . . . 97 Teorema delle contrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 La nozione di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Condizioni di stabilità basate sulle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Strategie di pesca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Studio qualitativo e stabilità delle orbite periodiche . . . . . . . . . . 117 Soluzioni in forma chiusa per alcuni s.d.d. non lineari . . . . . . . . 120 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4

Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.1 Dinamica della crescita logistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.2 Il teorema di Sharkovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.3 Biforcazioni di una famiglia ad un parametro di s.d.d. . . . . . . . . 138 4.4 Caos ed insiemi frattali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.5 Coniugazione topologica di sistemi dinamici discreti . . . . . . . . . . 162 4.6 Metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.7 Sistemi dinamici discreti nel campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.8 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5

Sistemi dinamici discreti: equazioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . 185 5.1 Definizioni e notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.2 Applicazioni alla genetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.3 Stabilità di sistemi dinamici discreti vettoriali lineari . . . . . . . . . 197 5.4 Matrici strettamente positive e Teorema di Perron-Frobenius . . 205 5.5 Applicazioni alla demografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.6 Equazioni vettoriali lineari affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.7 Sistemi dinamici discreti vettoriali non lineari . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.8 Schemi numerici per la risoluzione di problemi lineari . . . . . . . . 221 5.9 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6

Catene di Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.1 Esempi, definizioni e notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.2 Analisi asintotica di modelli descritti da catene di Markov assorbenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.3 Passeggiate casuali, duelli e partite di tennis . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.4 Ancora sull’analisi asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 6.5 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7

Matrici positive e grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.1 Matrici irriducibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.2 Grafi e matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 7.3 Ancora sulle Catene di Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.4 Algoritmo PageRank: perché un buon motore di ricerca sembra leggere nel pensiero di chi lo interroga . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.5 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Indice

8

xiii

Soluzioni degli esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 8.1 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 8.3 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 8.4 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 8.5 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 8.6 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 8.7 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Appendice A. Somme e serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Appendice B. Numeri Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Appendice C. Aritmetica della probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Appendice D. Algebra lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Appendice E. Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Appendice F. Dimensione frattale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Appendice G. Tabelle di Z-trasformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 Appendice H. Alcuni algoritmi e suggerimenti per simulazioni al computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Simboli e notazioni

N Z R Q C Rn s.d.d.

insieme dei numeri naturali con lo 0; insieme dei numeri interi; insieme dei numeri reali; insieme dei numeri razionali; insieme dei numeri complessi; spazio euclideo n–dimensionale; sistema dinamico discreto;

{I, f}

s.d.d. Xk+1 = f(Xk ) k ∈ N, associato alla funzione f : I → I;

{e1 , e2 , · · · , en } base canonica di Rn : ej = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0); x = (x1 , . . . , xn ) vettore x ∈ Rn di componenti xj ∈ R rispetto alla base standard di Rn ; x norma euclidea di x ∈ Rn ; BR (x) disco aperto n dimensionale di raggio R e centrato in x; ∂E bordo o frontiera dell’insieme E ⊂ Rn ; E ωn σn−1

chiusura dell’insieme E ⊂ Rn ; volume del disco unitario B1 (0) ⊂ Rn ; area della sfera unitaria S n−1 = ∂B1 (0) ⊂ Rn ;

X = {Xk }k∈N X = {Xk }k∈N

successione di numeri Xk , o traiettoria di un s.d.d. scalare; successione di vettori Xk = {Xkh }h=1,...,n , o traiettoria di un s.d.d. vettoriale; elemento nella riga i e colonna j della matrice M; autovalore dominante (o di Perron-Frobenius) della matrice M; autovettore dominante (o di Perron-Frobenius) della matrice M;

mi,j λM VM

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Simboli e notazioni

x+ x− o(1) o(xa ) O(xa)  ∼

parte positiva del numero reale x; parte negativa del numero reale x; infinitesimo; “ o piccolo” di xa : infinitesimo di ordine superiore ad xa per x → 0+ ; a > 0; “ O grande” di xa : termine il cui modulo è maggiorato da C|x|a; dello stesso ordine; asintotico a;

|z|

parte reale di z ∈ C; parte immaginaria di z ∈ C;  1/2 modulo di z ∈ C: |z| = (Re z)2 + (Im z)2 ;

arg(z)

argomento di z ∈ C \ {0}: angolo orientato tra e1 e z ;

res(f(z), z0 )

residuo della funzione f nel punto z = z0 ∈ C;

v:Ω→E v(x+ ) v(x− )

funzione v con dominio Ω ⊂ Rn ed immagine in E ⊂ Rm ; limite destro nel punto x della funzione v di variabile reale; limite sinistro nel punto x della funzione v di variabile reale;

DFT

trasformata di Fourier discreta: Y = DFTy = n−1 F y , Y, y ∈ Rn , Fh k = ωhk , ω = e2πi/n ;

(DFT )−1

inversa della trasformata di Fourier discreta: y = (DFT)−1 Y = F Y ;

FFT

(Fast Fourier Transform) trasformata rapida di Fourier;

Z

Zeta transformata: x(z) = Z{X} , X successione scalare.

Re z Im z

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

In questo primo capitolo vengono definite le notazioni ricorrenti nel testo e si illustrano alcune motivazioni dello studio dei modelli matematici discreti attraverso la presentazione di esempi la cui analisi sistematica è rinviata ai capitoli successivi. Le definizioni astratte del primo paragrafo formano un quadro unitario per lo studio di un’ampia classe di problemi di cui nel secondo paragrafo sono descritti alcuni esempi significativi.

1.1 Definizioni e notazione Nel seguito tratteremo successioni di numeri complessi. Con il termine successione indichiamo una funzione F : N → C, dove 1 N = {0, 1, 2, 3, . . . }. Il lettore senza familiarità con i numeri complessi potrà pensare, in prima lettura, che quanto di seguito esposto sia riferito solo a successioni di numeri reali. Per comodità, le proprietà elementari dei numeri complessi sono richiamate in Appendice B. Una generica successione verrà indicata con una lettera maiuscola, ad esempio F , mentre con una lettera maiuscola dotata di pedice indicheremo il suo k-esimo termine, nell’esempio Fk , ossia il valore che F assume in k. In altre parole, porremo Fk = F (k). Seguendo una prassi comune, identificheremo una successione F con l’insieme ordinato dei valori assunti: F = {Fk }k∈N o, brevemente, F = {Fk }. Allo studioso interessato alla descrizione di grandezze in una successione di passi o di istanti temporali, potrebbe sembrare restrittivo occuparsi solo di Osserviamo che in altri contesti si pone N = {1, 2, 3, . . . }. La scelta, puramente convenzionale, è motivata dai problemi in esame. Nei casi che studieremo è utile avere come riferimento un dato iniziale corrispondente all’indice 0. Tuttavia ogni risultato può essere riportato al caso di successioni definite per tutti gli indici naturali k maggiori o uguali ad un indice k0 .

1

E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9_1, © Springer-Verlag Italia 2014

2

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

funzioni definite sull’insieme dei numeri naturali, ma non è così. Infatti, se t0 ∈ R è un qualsiasi istante iniziale ed h > 0 è un incremento, allora la successione di valori {t0 , t0 + h, t0 + 2h, t0 + 3h, . . . } viene biunivocamente trasformata nella successione {0, 1, 2, 3, . . . } dalla trasformazione k=

t − t0 . h

Dato che oggetto del nostro studio sono quantità che dipendono da numeri naturali, non è sorprendente che il principio di induzione, che qui ricordiamo, si riveli assai utile nell’analisi:

Sia P (k) una proposizione relativa al numero naturale k. Se:   i) esiste un  k ∈ N tale che P  k è vera,  se P (k) è vera, allora P (k + 1) è vera; ii) per ogni k ≥ k, allora la proposizione P (k) è vera per ogni k ≥  k. Se I è un qualsiasi sottoinsieme di C (nella maggior parte dei casi, I sarà un intervallo in R), poniamo: I n = I × I × · · · × I

n volte

cioè I n denoterà l’insieme delle n-uple (x1 , x2 , . . . , xn ) tali che xj ∈ I per ogni j = 1, 2, . . . , n. Definizione 1.1. Si dice equazione alle differenze (finite)2 di ordine n, l’insieme di equazioni g (k, Yk , Yk+1 , . . . , Yk+n ) = 0

∀k ∈ N

(1.1)

dove n è un intero positivo e g è una funzione scalare assegnata di n + 2 variabili, il cui dominio è N × I n+1 g : N × I n+1 → R .

2

L’origine del nome si chiarisce nel caso particolare in cui g (k, Yk , Yk+1 , . . . , Yk+n ) = ψ (k, Yk+1 − Yk , Yk+2 − Yk+1 , . . . , Yk+n − Yk+n−1 )

per una opportuna funzione ψ.

1.1 Definizioni e notazione

3

Un’equazione alle differenze di ordine n si dice in forma normale se è scritta nella forma Yk+n = φ (k, Yk , Yk+1 , . . . , Yk+n−1 )

∀k ∈ N

(1.2)

con φ funzione nota φ : N×I n → I.

(1.3)

La (1.2) è una relazione ricorsiva che, a partire dalla conoscenza dei primi n valori consecutivi della successione Y consente, “con molta pazienza”, di ricavare, un passo alla volta, tutti i valori di tale successione. In molti casi questo calcolo può risultare proibitivo anche con procedure di calcolo automatico. Risulta così utile conoscere una espressione esplicita, cioè non ricorsiva, di Y . Definizione 1.2. Si dice soluzione della (1.1) una qualsiasi successione X definita in modo esplicito (non ricorsivo) da Xk = f (k)

∀k ∈ N

(1.4)

ove f : N → I, è una funzione tale che, sostituendo Yk con f (k) nella (1.1), si ottiene una identità. L’insieme di tutte le soluzioni della (1.1) si dice soluzione generale dell’equazione. Teorema 1.3 (di esistenza ed unicità). Se φ è una funzione che verifica (1.3), allora l’equazione alle differenze in forma normale (1.2) ha sempre soluzioni. Per ogni scelta dell’n-upla (α0 , α1 , . . . , αn−1) ∈ I n , il problema con dati iniziali associato all’equazione alle differenze in forma normale (1.2):  Yk+n = φ (k, Yk , Yk+1 , . . . , Yk+n−1) Y0 = α0 , Y1 = α1 , . . . , Yn−1 = αn−1 ammette una ed una sola soluzione. Prova. Sostituendo le condizioni iniziali α0 , α1 , . . . , αn−1 nella (1.2) con k = 0 otteniamo un unico valore per Yn , diciamo αn; inoltre, per la (1.3), (α1 , α2 , . . . , αn−1 , αn ) appartiene a I n : sostituendo le condizioni Y1 = α1 , Y2 = α2,

...,

Yn = αn

nell’equazione (1.2) si ottiene Yn+1 . Ripetendo il procedimento, si costruisce, un passo alla volta, una unica successione Y che è una soluzione di (1.1) nel senso di (1.4). 

Qualora non sia possibile determinare una espressione esplicita della soluzione X, è comunque assai utile poter stabilire se i valori Xk hanno o meno certi comportamenti al variare di k: periodicità, avvicinamento a particolari valori, o un andamento più complicato da descrivere.

4

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

1.2 Esempi In questo paragrafo illustriamo alcune situazioni che motivano lo studio di modelli matematici discreti. Per ciascuna l’analisi sistematica è rinviata ai capitoli successivi. I primi esempi sono del tutto elementari. L’ordinamento degli esempi oltreché alla disciplina in cui sorgono, corrisponde ad una crescente difficoltà di trattazione. Gli ultimi esempi non sono elementari e potrebbero risultare molto tecnici ad una prima lettura, ma vogliono illustrare almeno in parte le varietà di situazioni in cui le equazioni alle differenze svolgono un ruolo importante nella matematica applicata. Esempio 1.4. Una telefonata da un telefono mobile costa α quale diritto di chiamata e β per ogni minuto di conversazione. Il costo totale della telefonata Ck+1 dopo k + 1 minuti di conversazione è la soluzione di  Ck+1 = Ck + β C0 = α che è un esempio di problema con dato iniziale per una equazione alle differenze del primo ordine. Esempio 1.5 (Interesse semplice). Supponiamo che l’ammontare Yk+1 di un deposito di danaro calcolato al tempo k + 1 (scadenza per il calcolo degli interessi) sia dato dall’ammontare Yk al tempo precedente più l’interesse calcolato, in base ad un tasso costante r sulla somma D0 depositata inizialmente. Il modello alle differenze che descrive l’andamento del deposito corrisponde al problema:  Yk+1 = Yk + rY0 Y0 = D0 la cui soluzione è (il lettore lo dimostri utilizzando il principio di induzione): Yk = (1 + rk) D0 .

(1.5)

Questo modello descrive l’andamento di un capitale investito in una obbligazione o titolo di stato a rendimento fissato per un numero di anni corrispondente alla durata dell’obbligazione. Esempio 1.6 (Interesse composto). Se nell’esempio precedente supponiamo che l’interesse sia calcolato sempre ad un tasso costante r sulla somma depositata al periodo precedente, ma venga capitalizzato ad ogni scadenza, allora il modello ricorsivo che fornisce l’importo Xk+1 del deposito al tempo k + 1 diventa:  Xk+1 = Xk + rXk = (1 + r) Xk X0 = D0

1.2 Esempi

5

la cui soluzione è la seguente (anche questa formula si può provare per induzione): k Xk = (1 + r) D0 . (1.6) Questo modello descrive l’andamento di un conto corrente bancario il cui tasso di interesse non subisce variazioni. Si noti che, se r > 0 , la crescita del capitale nel caso dell’interesse composto risulta molto più rapida rispetto al caso dell’interesse semplice; infatti, trascurando alcuni termini positivi nello sviluppo del binomio di Newton, si ricava k (k − 1) 2 (1 + r)k > 1 + kr + r k>2 2 che sostituita nelle (1.5) e (1.6) fornisce un confronto quantitativo tra i due tipi di regimi finanziari : Xk − Yk >

k (k − 1) 2 r D0 . 2

Esempio 1.7. Una obbligazione di tipo fixed-reverse fornisce cedole che variano nel tempo ma in modo prefissato all’atto dell’emissione. Un esempio tipo è dato da un titolo della durata di 15 anni che fornisce una cedola del 7% per i primi 5 anni ed in seguito una cedola annua del 2, 50% fino a scadenza. Indicato con Zk la somma fra il capitale investito e le cedole riscosse fino al tempo k, supponendo di non reinvestire le cedole, il modello corrispondente è Zk+1 = Zk + r(k) Z0 ⎧ ⎨ 0, 07 se k = 0, 1, . . . , 5 con r(k) = 0, 025 se k = 5, 6, . . . , 14 . ⎩ 0 se k ≥ 15 Osserviamo che tale modello non tiene affatto conto delle variazioni di prezzo dell’obbligazione sul mercato secondario. Esempio 1.8. Al tempo k = 0 viene erogato un mutuo d’importo S0 . Tale somma è restituita in rate costanti di importo R, pagate a partire dal tempo k = 1. Indicando con r il tasso d’interesse costante con il quale viene calcolato l’interesse sul debito residuo Sk , quest’ultimo al tempo k + 1, k ≥ 1, è dato da Sk+1 = Sk + rSk − R = (1 + r) Sk − R . Esempio 1.9. Al tempo k = 0, si investe una somma in un titolo che frutta cedole di importo costante C ai tempi interi k ≥ 0. Se r indica il tasso di interesse composto al quale si reinvestono le somme percepite, l’ammontare Mk+1 del capitale posseduto al tempo k + 1 è dato dalla somma dell’ammontare Mk del capitale posseduto al tempo k, degli interessi rMk maturati su tale capitale e della cedola C “staccata” al tempo k + 1 (con M0 = C): Mk+1 = Mk + rMk + C = (1 + r)Mk + C.

6

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

Esempio 1.10 (Modello della Ragnatela). Supponiamo che le quantità Qdk+1 e Qok+1 di un bene, rispettivamente domandate e offerte su un mercato al tempo k + 1 in funzione del prezzo Pk del bene, siano date da Qdk+1 = a − bPk+1

Qok+1 = −c + dPk

dove le costanti a, b, c, d > 0 sono note. Ciò significa che al crescere del prezzo del bene diminuisce la quantità domandata del bene, mentre aumenta la quantità offerta. Si noti che la significatività economica imporrebbe di considerare solo prezzi appartenenti all’intervallo [Pmin , Pmax ] := [c/d, a/b], con parametri tali che c/d < a/b. La condizione di equilibrio del mercato Qdk+1 = Qok+1 conduce ad un problema nell’incognita prezzo espresso da una equazione alle differenze con una condizione iniziale p : 

d a+c Pk+1 = − Pk + b b . P 0 = p

Il nome di ragnatela sarà chiarito nel seguito. Il lettore può provare a farsene una ragione tentando di “risolvere graficamente” il problema. Esempio 1.11 (Modello di decadimento radioattivo). Consideriamo una popolazione di n particelle che decadono secondo la legge seguente: in ogni intervallo di tempo unitario3 si riducono del 20%. Se Pk indica il numero delle particelle dopo k intervalli di tempo, risulta  Pk+1 = 0, 8Pk . P0 = n Analogamente all’Esempio 1.6, si ricava Pk = (0, 8) P0 = e−k ln(5/4)n. k

Per tale motivo si parla di decadimento esponenziale. Osserviamo che la comparsa di valori di Pk non interi conduce a considerare valori reali (descrizione corretta in opportune unità di misura macroscopiche se n è molto grande). Il modello rimane comunque discreto nel tempo nonostante la modellizzazione continua delle grandezze che descrivono la popolazione. Poniamoci le domande seguenti: (1) qual è la vita media m di tali particelle? 3

L’intervallo di tempo può essere molto lungo: esso è determinato dalla natura delle particelle.

1.2 Esempi

7

(2) qual è il tempo di dimezzamento d della popolazione? (3) qual è la più grande delle due quantità trovate? Sottolineiamo il fatto che le prime due domande sono differenti. Nel primo caso si chiede di determinare la vita media, cioè il numero m verificante +∞ 1 m= k (Pk − Pk+1 ) . (1.7) n k=1

Sostituendo l’espressione trovata per Pk in (1.7), si ottiene: +∞

+∞

+∞

k=1

k=1

k=1

  1 k k k−1 nk (0, 8) (1 − 0, 8) = 0, 2 k (0, 8) = 0, 16 k (0, 8) = 4. m= n La seconda domanda chiede di determinare il più grande intero k tale che Pk ≥

1 P0 2

problema equivalente a  1 max k ∈ N : (0, 8) ≥ 2   k ln 2 · (0, 8) = ln 2 + k (ln 4 − ln 5); 

k

e dalle identità deduce  d = max k ∈ N : k ≤

ln 1 = 0

si

   ln 2 ln 2 = parte intera di = ln 5 − ln 4 ln 5 − ln 4 = parte intera di 3, 1063 = 3.

Osserviamo che nessuna delle due quantità (vita media e tempo di dimezzamento) dipende dalla popolazione iniziale: esse dipendono solo dalla frazione (20%) di particelle che decadono nell’unità di tempo; inoltre vale m > d. Questa tuttavia non è una disuguaglianza valida in generale: a seconda del tipo di popolazione e delle corrispondenti leggi di decadimento si possono avere tutte le diverse possibilità: m > d, m = d, m < d. Consideriamo, ad esempio, una popolazione di 3 particelle (o individui) A, B e C: A vive 10 anni, C vive 20 anni (vedi Fig. 1.1). Allora: • se B vive 15 anni, allora d = m = 15 anni; • se B vive b anni, con 10 ≤ b < 15, allora d = b < m; • se B vive b anni, con 15 < b < 20, allora m < b = d. Osserviamo infine che la vita media potrebbe non essere neppure definita se il calo della popolazione avviene in modo più lento del decadimento esponen-

8

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

Fig. 1.1. Vita media e tempo di dimezzamento nei tre casi discussi

ziale. Ad esempio, se Pk = k1 P0 , allora la vita media è infinita:  +∞ +∞ +∞  1  1 1 1  − = = +∞. k (Pk − Pk+1 ) = k P0 k k+1 k+1 k=1

k=1

k=1

Invece, per una popolazione che decresce nel tempo è sufficiente la condizione limk Pk = 0 (cioè che la popolazione tenda ad estinguersi) affinché il tempo di dimezzamento sia ben definito. Ad esempio, se, come prima, Pk = k1 P0 , allora d = 2. Esempio 1.12 (Modello di Malthus4 ). Questo semplice ed ormai classico modello descrive una popolazione (biologica o di altro genere), nella quale il numero Yk di individui presenti al tempo k è una proporzione costante τ del numero di individui Yk−1 al tempo precedente (la quantità τ −1 è detta tasso intrinseco di crescita):

Yk+1 = τ Yk

τ >0

Il tasso intrinseco di crescita τ − 1 rappresenta la differenza fra i tassi di natalità e mortalità degli individui. Ovviamente, la popolazione cresce se τ > 1, decresce se 0 < τ < 1. Osserviamo che, al variare di τ , il modello descrive un comportamento quantitativamente identico al caso dell’interesse composto (basta porre τ = 1 + r) o al caso del decadimento radioattivo se 0 < τ < 1. Tali modelli sono detti di crescita esponenziale per l’andamento delle loro soluzioni. Esempio 1.13 (Crescita logistica). Vedremo in dettaglio nel Capitolo 2 che, se τ > 1, allora il modello di Malthus presenta delle soluzioni a crescita esponenziale. Molti autori hanno criticato tale modello proprio perché implica una crescita illimitata e troppo rapida. Più realisticamente (anche se si trascura la competizione con altre specie e si suppongono illimitate le risorse 4

Thomas Robert Malthus, 1766-1834.

1.2 Esempi

9

dell’habitat) in caso di grande affollamento si deve tenere conto almeno di fattori di competizione intraspecifica. Il modo più semplice di tenere conto di tali fenomeni sociali consiste nella correzione del modello di Malthus, dovuta a Verhulst, che descrive maggiore aggressività e minore attitudine alla riproduzione nei casi di “sovraffollamento”. L’equazione del modello di Malthus viene “corretta” introducendo un termine non lineare di secondo grado, in quanto è ragionevole pensare che la competizione fra individui sia proporzionale al numero di incontri, e che quest’ultimo sia proporzionale a Yk 2 : Yk+1 = τ Yk − ωYk 2

τ, ω > 0 .

Posto H = τ /ω possiamo scrivere   Yk Yk+1 = τ Yk 1 − H

τ, H > 0

(1.8)

Tale modello è detto di crescita logistica. La quantità H è detta totale sostenibile: infatti, H ha tale interpretazione perché se si parte da una popolazione Y0 tale che 0 < Y0 < H, con parametro τ verificante 0 < τ < 4, allora tutti i successivi valori di Yk si mantengono compresi tra 0 e H; non è possibile invece partire da valori Y0 > H in quanto si avrebbe Yk < 0 per ogni k e il modello sarebbe privo di una significativa interpretazione biologica. Mediante il cambio di scala Xk = Yk /H, possiamo riscrivere il modello come Xk+1 = τ Xk (1 − Xk )

τ >0

ove la popolazione è espressa come frazione del totale sostenibile. Corrispondentemente, valori iniziali sensati X0 devono soddisfare le disuguaglianze 0 < X0 < 1. Agli effetti della variazione Xk+1−Xk in un singolo passo temporale, per piccole popolazioni “prevale” il termine lineare (τ − 1) Xk , mentre per popolazioni di grandi dimensioni “prevale” il termine quadratico di coefficiente negativo −τ Xk2 . In questo contesto “piccolo” significa prossimo a zero, “grande” significa grande rispetto a zero ed ha senso anche per valori minori di 1. Esempio 1.14 (Modello di Lotka-Volterra). Una regione è popolata da due specie: una, la preda, indicata con P , si ciba delle risorse vegetali presenti sul territorio, l’altra, detta predatore ed indicata con C, carnivora, si ciba delle prede. Le prede, in assenza di predatori, crescono in “modo Maltusiano” ad un tasso costante τ ; la presenza di predazione riduce il tasso di crescita delle prede di un termine proporzionale alla consistenza delle popolazioni di prede e predatori; in assenza di prede, i predatori si estinguono. Analiticamente il modello è espresso da un sistema di due equazioni che descrivono in modo

10

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

accoppiato l’andamento delle due popolazioni:  Pk+1 = (1 + a) Pk − b Ck Pk a, b, c, d > 0, Ck+1 = (1 − c) Ck + d Ck Pk

∀k ∈ N.

Si noti che, l’effetto della predazione è proporzionale agli incontri tra prede e predatori; questo modello suppone che il numero di incontri sia proporzionale alla consistenza delle due popolazioni, cioè al prodotto Ck Pk . Tale prodotto prende il nome di impact factor. Esempio 1.15 (I numeri di Fibonacci5 ). Un allevatore di conigli si chiede quante coppie di conigli si possono ottenere in un anno, a partire da una unica coppia, nell’ipotesi che ogni mese ciascuna coppia con due o più mesi di vita, dia alla luce una nuova coppia. Per semplicità, si può supporre che: • • • •

nessuna coppia muoia; la prima coppia sia costituita da conigli appena nati; il tempo di gestazione sia di un mese; la maturità sessuale sia raggiunta dopo il primo mese di vita.

Se Ck è il numero di coppie al tempo k (espresso in mesi), allora dalle ipotesi fatte deduciamo il modello ricorsivo:  Ck+1 = Ck + Ck−1 , k ∈ N\ {0} C0 = 0, C1 = 1 A differenza degli esempi precedenti, si tratta di un modello a due passi: per ottenere il valore Ck+1 è necessario conoscere i valori Ck e Ck−1 corrispondenti ai due mesi precedenti. Per sostituzione diretta si ottiene una successione di numeri, detti numeri di Fibonacci, di cui elenchiamo i primi 13: C = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . . } . Tornando al quesito dell’allevatore, riportiamo in una tabella il numero di mesi trascorsi ed il corrispondente numero di coppie di conigli: mesi

k

coppie Ck

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

Come si può notare, il valore Ck cresce molto rapidamente con k, ad esempio C25 = 75025. Osserviamo che per calcolare valori di Ck con k > 30 anche se si utilizza un personal computer è bene usare qualche accorgimento per evitare tempi di calcolo molto lunghi o problemi di memoria. Queste difficoltà sono tipiche 5

Col soprannome di Fibonacci è noto Leonardo Pisano (1175-1240).

1.2 Esempi

11

delle operazioni ricorsive, anche quando sono ottenute a partire da operazioni molto semplici. Il problema è dovuto al fatto che se non si conservano i valori calcolati, l’elaboratore ripete un gran numero di volte (inutilmente) le stesse operazioni. Questo è il vero motivo per cui si ricercano formule esplicite per il calcolo che non richiedano la conoscenza di tutti i valori precedenti (si veda al riguardo l’Appendice H). Si noti che non solo Ck ma anche il numero Nk di operazioni necessarie al calcolo di Ck cresce molto rapidamente (come funzione di k), se non vengono tabulati i valori di Ck , mano a mano che vengono calcolati. Nel modello di Fibonacci non solo i passi temporali sono discreti ma anche la grandezza misurata (numero di conigli) è discreta (sono numeri interi); tuttavia una descrizione completa delle soluzioni richiede (come vedremo nel Capitolo 2) l’utilizzo dei numeri reali, ossia l’ampliamento dell’insieme numerico in cui è stato definito il modello. Esempio 1.16 (Modello di Leslie [16]). I modelli di popolazione presentati in precedenza non tengono conto di alcuna eventuale struttura della popolazione: per età, sesso o altro. Al solo scopo di tenere conto delle varie età degli individui appartenenti ad una popolazione biologica, si può suddividere tale popolazione in n classi disgiunte di età, ciascuna di uguale ampiezza. Ad esempio, la prima classe potrebbe essere costituita dagli individui di età minore o uguale a 20 anni, la seconda dagli individui di età compresa tra 20 e 40 anni, e così via. In tal modo 5 classi di età sarebbero sufficienti a descrivere in modo soddisfacente una popolazione umana di una certa regione. In generale, assegnata una popolazione, fissato n il numero di classi di età, si deduce l’unità temporale come rapporto tra una età massima convenzionale ed n, quindi si denota con Yk il numero di individui che costituisce la popolazione complessiva al tempo k. Per ogni k, Yk è un vettore ad n componenti Ykj , j = 1, . . . , n, ciascuna delle quali indica il numero di individui nella jesima classe, cioè di età compresa tra j − 1 e j, nella fissata unità di misura temporale. La presenza di due indici non deve spaventare: il primo denota il tempo al quale ci si riferisce, il secondo la classe di età. Ad esempio, se consideriamo classi di età dell’ampiezza di 5 anni per la popolazione umana di una fissata regione, allora Y51 è il numero di appartenenti alla classe dei più giovani (età minore di 5 anni) valutata al momento del quinto censimento (i censimenti hanno, in genere, cadenza quinquennale). 1 Il numero Yk+1 dei nuovi nati al tempo k + 1 è la somma dei nati da individui appartenenti a ciascuna classe di età che è in proporzione secondo un tasso di natalità ϕj al numero di individui nella stessa classe Ykj : 1 = Yk+1

n  j=1

ϕj Ykj .

12

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

j Il numero di individui Yk+1 nelle classi di età più mature (j = 2, 3, . . . , n) al tempo k + 1 è dato dai “sopravvissuti” fra i componenti la Ykj−1 della (j − 1)-esima classe al tempo k: j Yk+1 = σj−1 Ykj−1

j = 2, . . . , n,

0 ≤ σj−1 ≤ 1.

I valori ϕj e σj sono tipici delle varie popolazioni, sono indicatori statistici delle attese di natalità e sopravvivenza, sono tutti non negativi e verosimilmente ϕj è piccolo per valori estremi di j (j = 0 e j = n).  T Posto Yk = Yk1 Yk2 . . . Ykn , il modello è descritto in modo sintetico dall’equazione vettoriale Yk+1 = LYk cioè, per ciascuna componente j, j Yk+1 =

n 

Lj,hYkh

h=1

dove

⎡

ϕ1 ⎢ σ1 ⎢ ⎢ L=⎢ 0 ⎢ .. ⎣ .

ϕ2 0 σ2 .. .

ϕ3 0 0 .. .

. . . ϕn−1 ... 0 ... 0 . .. . .. 0 0 0 . . . σn−1

⎤ ϕn 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥. .. ⎥ . ⎦ 0

Si noti che ad ogni passo temporale k la popolazione complessiva è data dalla n j somma del numero di individui componenti le varie classi di età: j=1 Yk . Esempio 1.17 (Rovina del giocatore). Due giocatori A e B giocano a testa o croce con una moneta truccata (esce testa nel 40% dei casi). Su ogni lancio scommettono un Euro. A punta sempre su testa, B sempre su croce. A possiede all’inizio a Euro, B ne possiede b, e vale a > b > 0. Il gioco prosegue fino a che uno dei giocatori sbanca l’altro. Ci si chiede quale sia la probabilità che A riesca a vincere tutto il denaro di B e la probabilità dell’esito opposto. Per vedere due modi diversi di modellare e risolvere il problema si rimanda al Capitolo 2 (Esercizio 2.36) e al Capitolo 6 (Esercizio 6.3). Esempio 1.18. In un game di una partita di tennis tra due giocatori il punteggio è 40 a 15. Supponendo di sapere che il giocatore in vantaggio ha una probabilità nota p ∈ (0, 1) di vincere ciascuna palla, si chiede con quale probabilità si aggiudicherà il gioco. Per un’analisi di questa situazione si rinvia all’Esempio 6.30.

1.2 Esempi

13

Esempio 1.19 (Ricerca delle soluzioni di una equazione differenziale ordinaria, lineare con coefficienti variabili espressi da funzioni elementari). Consideriamo, ad esempio, l’equazione differenziale, nota come equazione di Airy, y = xy

x∈R.

(1.9)

Si noti che l’equazione, benché lineare, non è a coefficienti costanti. Cerchiamo di determinare soluzioni di (1.9) nella forma6 y (x) =

+∞ 

An xn .

n=0

Derivando formalmente, si ottiene y (x) =

+∞ 

y (x) =

n An xn−1

n=1

+∞ 

n (n − 1) An xn−2

n=2

e sostituendo nell’equazione (1.9), si ricava l’identità +∞ 

n (n − 1) An xn−2 =

n=2

+∞ 

An xn+1 .

(1.10)

n=0

Inoltre +∞ 

n (n − 1) An xn−2 = 2A2 +

n=2

+∞ 

n (n − 1) An xn−2 =

ponendo m=n−3

n=3

= 2A2 +

+∞ 

(m + 2) (m + 3) Am+3 xm+1

m=0

e, tenendo conto che l’indice di una sommatoria è muto, si può porre m = n nella serie a destra dell’uguale in (1.10), ottenendo l’identità equivalente: 2A2 +

+∞  m=0

(m + 2) (m + 3) Am+3 xm+1 =

+∞ 

Am xm+1 .

m=0

Affinché l’uguaglianza sia verificata per ogni x ∈ R devono risultare uguali i

6

Per applicare con successo il metodo, non è necessario che i coefficienti siano funzioni elementari: è in generale sufficiente che i coefficienti siano analitici, cioè funzioni esprimibili localmente come somma di una serie di potenze della variabile indipendente x.

14

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

coefficienti dei termini di ugual grado: A2 = 0

(m + 2) (m + 3) Am+3 = Am .

Otteniamo così la relazione ricorsiva Am+3 =

Am (m + 2) (m + 3)

m ∈ N.

(1.11)

Assegnati i valori A0 = y (0) ed A1 = y (0), ricordando che A2 = 0, l’espressione ricorsiva (1.11) consente di calcolare tutti i coefficienti. Osservato che A3k+2 = 0 per ogni k, i primi termini dello sviluppo della soluzione sono:     x6 x7 x3 x4 y (x) = A0 1 + + + · · · + A1 x + + +··· . 2·3 2·3·5·6 3·4 3·4·6·7 Esempio 1.20. Discretizzazione di una equazione differenziale ordinaria con il metodo delle differenze finite. Si possono ottenere soluzioni approssimate di un problema di Cauchy7   u (x) = f (x, u (x)) (1.12) u (x0 ) = u0 dove f è una funzione nota, x varia in un opportuno intervallo centrato in x0 ed u è una funzione incognita, sostituendo la derivata della funzione incognita con opportuni rapporti incrementali. Ad esempio, il metodo di Eulero implicito consiste nel fissare un passo h > 0 di incremento della variabile x che individua i punti xk = x0 + hk, al variare di k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}; in corrispondenza ai punti xk si sostituisce nella (1.12) al posto di u (x) il rapporto incrementale in avanti: u (xk + h) − u (xk ) u (x0 + h (k + 1)) − u (x0 + hk) = h h e per valutare la funzione f (x, u (x)) si effettuano i calcoli in xk+1 . Consideriamo una funzione uh che approssima u. Posto Uk = uh (x0 + hk) otteniamo Uk+1 − Uk = f (xk+1 , Uk+1 ) h ossia Uk+1 = Uk + hf (x0 + (k + 1) h, Uk+1 ) 7

k = 0, 1, . . . , n − 1 ,

Cioè un problema che consiste nella determinazione di una soluzione di un’equazione differenziale verificante condizioni iniziali assegnate in modo opportuno.

1.2 Esempi

15

che, per ogni k fissato, è effettivamente una equazione implicita in Uk+1 qualora sia noto Uk : risolvendola iterativamente, a partire da U0 = u (x0 ) = u0 , si ottengono i valori Uk+1 . Ci si attende che l’approssimazione Uk di u (xk ) migliori quando h si avvicina a zero. Alternativamente, il metodo di Eulero esplicito consiste nel calcolare l’approssimazione di f in xk e conduce alla formulazione Uk+1 − Uk = f (xk , Uk ) h che, nota Uk , è un’equazione esplicita nell’incognita Uk+1 . Questo vantaggio computazionale comporta però inconvenienti sulla stabilità numerica per cui il metodo implicito risulta preferibile qualora non risulti proibitiva la soluzione dell’equazione in Uk+1 . Esempio 1.21 (Discretizzazione dell’equazione del calore). Consideriamo il problema con condizioni iniziali ed al bordo per l’equazione del calore in un sbarra ⎧ ∂v ∂2v ⎪ ⎪ x ∈ (0, a) , t > 0 = ⎪ ⎨ ∂t ∂x2 (1.13) v (x, 0) = f (x) x ∈ [0, a] ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ v (0, t) = v (a, t) = 0 t > 0 che descrive l’evoluzione della temperatura v = v (t, x) al tempo t nella posizione x di una sbarra, se si suppone che la temperatura segua la legge di Fourier, abbia il valore f al tempo 0 e sia controllata da termostati al bordo. Supponiamo f (0) = f (a) = 0. Fissiamo un passo s = a/ (N + 1) , N ∈ N\ {0}, per la variabile spaziale e poniamo tk = hk con k ∈ N e h reale strettamente positivo. In tal modo otteniamo una griglia di punti (vedi Fig. 1.2) (xj , tk ) = (js, hk)

j = 0, 1, . . . , N + 1,

k ∈ N.

Se la soluzione v di (1.13) ha derivate continue fino al secondo ordine, in ogni punto (xj , tk ) della griglia otteniamo dalla formula di Taylor: ∂v v (xj , tk+1 ) − v (xj , tk ) (xj,tk+1 ) = + O (h) ∂t h v (xj+1 , tk+1 ) − 2v (xj , tk+1 ) + v (xj−1, tk+1 ) ∂2v (xj , tk+1) = + O (s) . s2 ∂x2

16

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

Fig. 1.2. Griglia di discretizzazione per l’equazione del calore in una sbarra

Queste relazioni suggeriscono di approssimare l’equazione del calore con l’equazione alle differenze: v (js, h (k + 1)) − v (js, hk) = h =

v ((j + 1) s, h (k + 1)) − 2v (js, h (k + 1)) + v ((j − 1) s, h (k + 1)) s2

che è una discretizzazione di tipo Eulero implicito seconda spaziale approssimata con 3 punti. Denotando con Vj,k un’approssimazione di v (js, hk) dei termini, si ottiene il sistema:   ⎧ h ⎨ V = 1 + 2h V j,k j,k+1 − 2 [Vj−1,k+1 + Vj+1,k+1 ] s2 s ⎩ V0,k+1 = VN+1,k+1 = 0

nel tempo con derivata e operando un riordino

j = 1, . . . , N,

k∈N

k∈N

(1.14) È ragionevole porre Vj,0 = f (js) , j = 0, . . . , N + 1 . Allora il problema (1.14) si può risolvere ricorsivamente (con l’ausilio del calcolo automatico): i valori Vj,0 sono noti, mentre Vj,1 , j = 1, . . . , N , si deducono dai valori Vj,0 con j = 1, . . . , N . Introducendo poi la matrice N × N ⎡

1+

2h s2

− sh2

0

⎢ ⎢ − h 1 + 2h − h ⎢ s2 s2 s2 ⎢ ⎢ h A =⎢ 0 − s2 1 + 2h s2 ⎢ ⎢ . . . .. .. ⎢ .. ⎣ 0 ··· 0

···

0

···

0 .. .

··· .. .

⎤

− sh2

− sh2 1 +

2h s2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎡ V1,k

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ V2,k ⎥ ⎥ Vk = ⎢ ⎢ .. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎦ ⎣ VN,k

1.2 Esempi

17

possiamo riscrivere il sistema precedente come una equazione alle differenze vettoriale del primo ordine, a coefficienti costanti AVk+1 = Vk

(1.15)

 T con la condizione iniziale V0 = f (s) f (2s) · · · f (N s) . La discretizzazione di tipo Eulero esplicito conduce alla seguente equazione alle differenze vettoriale Wk+1 = BWk (1.16)  T con la condizione iniziale W0 = f (s) f (2s) · · · f (N s) , dove Wj,k approssima il valore di v (js, hk) e B è la matrice N × N definita da ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ B=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1− h s2

2h s2

h s2

1−

2h s2

0 .. .

h s2

0

···

.. .

0

···

0

h s2

···

0 .. .

1− .. . 0

2h s2

··· .. . h s2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

h s2

1−

2h s2

In entrambi gli schemi si noti la struttura a banda delle matrici A e B che risultano matrici definite positive (la seconda se 4h < s2 ). Osserviamo che la soluzione dello schema di Eulero esplicito consiste nel determinare iterativamente Wk+1 a partire da Wk : la soluzione numerica di tale problema consiste ad ogni passo in una moltiplicazione di una matrice di ordine N per un vettore N -dimensionale. La soluzione dello schema di Eulero implicito consiste nella determinazione di Vk+1 a partire da Vk : in questo caso la soluzione numerica consiste ad ogni passo nella soluzione di un sistema di N equazioni algebriche (anziché invertire A che nella pratica può avere dimensione molto elevata, si sfruttano le sue particolari proprietà di struttura: si vedano l’Appendice D e il paragrafo 5.8). Esempio 1.22 (Equazione dei tre momenti per una sbarra appoggiata). Consideriamo una sbarra elastica pesante ed omogenea (vedi Fig. 1.3), uniforme di lunghezza L, appoggiata ad N − 1 punti equidistanti ad una distanza δ > 0: N δ = L.

Fig. 1.3. Sbarra appoggiata a supporti equidistanti

18

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

Supponiamo che non vi siano forze agenti sulla sbarra ad eccezione del suo peso e della reazione vincolare nei supporti d’appoggio. Vogliamo determinare i momenti flettenti Mk , k = 1, , . . . , N − 1, nei punti di appoggio. Sia Mk il momento flettente nel k-esimo supporto. Consideriamo tre supporti consecutivi (di indici rispettivamente k − 1, k, k + 1) e collochiamo l’origine nel supporto centrale. Sia poi x la distanza orientata da tale punto. Allora, il momento flettente nel punto x è dato da: ⎧ x ⎪ −δ ≤ x ≤ 0 ⎨ Mk + (Mk − Mk−1 ) δ M (x) = (1.17) ⎪ ⎩ Mk + (Mk+1 − Mk ) x 0≤x≤δ δ Dalla teoria delle sbarre elastiche sappiamo che lo spostamento verticale della sbarra è descritto dal grafico di y = y (x) verificante Y I y = M (x)

(1.18)

dove Y I indica la rigidità a flessione della sbarra che supponiamo indipendente da x (Y è il modulo di Young, I il momento di inerzia rispetto ad un asse per il baricentro). Integrando la relazione differenziale (1.18) ed usando (1.17) otteniamo ⎧ x2 ⎪ ⎪ −δ ≤ x ≤ 0 + c1 ⎨ Mk x + (Mk − Mk−1 ) 2δ Y I y = (1.19) 2 ⎪ ⎪ ⎩ Mk x + (Mk+1 − Mk ) x + c2 0≤x≤δ 2δ Poiché y deve essere continua in x = 0, otteniamo c1 = c2 = c. Integrando (1.19) ⎧ 1 x3 ⎪ ⎪ + cx −δ ≤ x ≤ 0 ⎨ Mk x2 + (Mk − Mk−1 ) 2 6δ YIy = 3 ⎪ ⎪ ⎩ 1 Mk x2 + (Mk+1 − Mk ) x + cx 0≤x≤δ 2 6δ Poiché lo spostamento verticale y è nullo nei punti di appoggio (cioè per x = 0, ±δ) otteniamo due equazioni 1 δ2 Mk δ 2 − (Mk − Mk−1 ) − cδ = 0 2 6 δ2 1 Mk δ 2 + (Mk+1 − Mk ) + cδ = 0 2 6 che sommate danno l’equazione dei tre momenti: Mk−1 + 4Mk + Mk+1 = 0 .

1.3 Metodo grafico

19

1.3 Metodo grafico Per rendersi conto, almeno in prima approssimazione, del comportamento di una soluzione di una equazione alle differenze del primo ordine Xk+1 = f (Xk )

∀k ∈ N

con f : I → R, I intervallo di R, può risultare conveniente ricorrere ad una rappresentazione grafica che individua l’andamento, sia pur per pochi valori iniziali di k, della successione Xk . Illustriamo tale metodo in un caso particolare (che corrisponde ad una particolare scelta dei parametri negli Esempi 1.5, 1.8, 1.9, 1.11 e 1.12): Xk+1 = 1, 5 Xk − 0, 5.

(1.20)

Nel piano cartesiano, tracciamo i grafici della funzione affine f : R → R, f (x) = 1, 5 x − 0, 5 e della funzione identità id (x) = x. Scegliamo ora un valore iniziale X0 sull’asse delle ascisse, ad esempio X0 = 2. Allora il valore X1 = f (X0 ) = 2, 5 può essere ottenuto graficamente tracciando a partire dal punto (X0 , 0) una retta verticale fino ad incontrare la retta di equazione y = 1, 5 x − 0, 5 (Fig. 1.4a) e successivamente proseguendo con un segmento orizzontale fino all’asse verticale (Fig. 1.4b). Per determinare graficamente X2 occorre riportare il valore di X1 sull’asse delle ascisse. A questo scopo, si traccia un segmento orizzontale (Fig. 1.4c) fino alla retta di equazione y = x: chiaramente la sua proiezione verticale riporta X1 sull’asse delle ascisse. Riportiamo (Fig. 1.4d) tutti i segmenti tracciati in un unico grafico, cancellando i tratti orizzontali percorsi in andata e ritorno. Si itera la procedura tracciando un segmento verticale a partire dal punto (X1 , X1 ) fino al grafico della funzione f (Fig. 1.5a). Il grafico ottenuto “suggerisce” nell’esempio particolare che la successione Xk sia divergente a +∞ quando k → +∞. Si noti, sempre nell’esempio sopra considerato, che, se X0 = 1, “non dobbiamo disegnare nulla” dato che ad ogni passo si ha Xk = 1. Se consideriamo, invece X0 = 0, 5 , procedendo come indicato sopra, otteniamo il grafico della Fig. 1.5b. Questa volta ci aspettiamo che Xk → −∞ se k → +∞. I diagrammi ottenuti con tale procedura saranno denominati nel seguito grafici a ragnatela. Invitiamo il lettore a fornire, ove possibile, una rappresentazione grafica dell’andamento delle successioni individuate negli esempi riportati nella precedente sezione.

20

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

X1

a)

b)

X0

X0

X1

c)

d)

X0 X1

X0 X1

Fig. 1.4. Implementazione del metodo grafico

b)

a)

Fig. 1.5. Metodo grafico: f (x) = 1, 5x − 0, 5 ; a) X0 = 2, b) X0 = 0, 5

1.4 Esercizi di riepilogo Il lettore è invitato ad affrontare gli esercizi prima della lettura dei capitoli successivi, per poi confrontare le soluzioni trovate con le soluzioni svolte in dettaglio che sono proposte nel Capitolo 8. Esercizio 1.1. Una torta viene tagliata con tagli rettilinei in modo tale che due tagli qualsiasi si intersecano in uno ed un solo punto ma tre tagli differenti non si possono intersecare nello stesso punto. Si fornisca il modello alle differenze che descrive ricorsivamente il numero Nk delle porzioni in cui viene suddivisa la torta con

1.4 Esercizi di riepilogo

21

k tagli. Utilizzare il risultato ottenuto per rispondere al quesito: qual è il numero massimo di fette (eventualmente diverse fra loro) in cui si può dividere una torta circolare mediante k tagli rettilinei? Esercizio 1.2. Il lettore verifichi, a proposito dell’Esempio 1.8, che se R ≤ rS0 non si riuscirà mai ad estinguere il debito! Esercizio 1.3. Due sostanze radioattive (instabili) presenti inizialmente in quantità Y0 e X0 , ogni anno decadono secondo il seguente schema: • una frazione pY , 0 < pY < 1, del materiale denotato con Y si trasforma nel secondo materiale X; • una frazione pX , 0 < pX < 1, del materiale denotato con X si trasforma in materiale inerte. Individuare un sistema di due equazioni che descriva in forma ricorsiva le quantità Yk+1 e Xk+1 delle due sostanze radioattive dopo k + 1 anni. Esercizio 1.4 (Ammortamento uniforme). Un prestito di importo S viene rimborsato in n rate a quote capitale costanti di importo C, cioè C = S/n. Si fornisca un’equazione ricorsiva che esprima la k-esima quota interessi Ik calcolata al tasso costante r sul debito residuo Dk , ricordando che Dk+1 = Dk − C. Se ne calcoli poi l’espressione in forma chiusa (Dk come funzione della sola k). Esercizio 1.5 (Ammortamento progressivo). Un prestito di importo S viene restituito in n rate costanti annue di importo R in cui l’interesse è calcolato al tasso costante r sul debito residuo Dk , la prima delle quali viene versata un anno dopo l’erogazione del prestito. Determinare l’espressione ricorsiva per la quota capitale Ck e la quota interessi Ik . Esercizio 1.6. Si deposita oggi (k = 0) una somma S in un conto corrente bancario. Sapendo che gli interessi vengono calcolati ad un tasso annuo r in regime di capitalizzazione composta e che la banca addebita a titolo di rimborso spese un importo annuo pari a C, fornire, nell’ipotesi che non avvengano altre operazioni, l’espressione ricorsiva dell’ammontare presente sul conto dopo k + 1 anni. Esercizio 1.7. Un investimento finanziario di capitale iniziale C0 dopo un numero di giorni gg vale Cgg , cioè dà un ritorno percentuale pari a 100 (Cgg − C0 ) /C0 . Si determini il tasso interno di rendimento annuo composto s, cioè la soluzione dell’equazione (vedi l’Esempio 1.6) Cgg = (1 + s/100)gg/365 C0 . Il calcolo di s consente di confrontare l’investimento in esame con l’acquisto di uno zero coupon bond , cioè un titolo a tasso fisso e privo di cedole. Esercizio 1.8. Con riferimento al caso del decadimento radioattivo (Esempio 1.11), assegnata una frazione r, 0 < r < 1 , di particelle che decadono nell’unità di tempo, confrontare la vita media m (r) ed il tempo di dimezzamento d (r) al variare di r.

22

1 Fenomeni ricorsivi ed equazioni alle differenze

Esercizio 1.9. Un bambino dopo aver costruito una torre di k cubi li vuole riporre nella cesta dei giochi. A questo scopo, li prende uno o due alla volta. Descrivere con una equazione ricorsiva il numero dei modi differenti coi quali può essere completata l’operazione. Esercizio 1.10 (Problema della torre di Hanoi (Lucas8 , 1883)). Tre pioli sono allineati sul terreno. Sul piolo di sinistra sono impilati dischi di raggio differente a partire da quello di raggio maggiore come illustrato dalla Fig. 1.6. Si chiede di determinare la relazione che sussiste tra il numero minimo di mosse Yk necessarie a spostare i dischi sul piolo di destra quando i dischi sono k ed Yk+1 numero minimo di mosse per effettuare la medesima operazione nel caso di k + 1 dischi. Una mossa equivale allo spostamento di un disco da un piolo all’altro e non è possibile impilare alcun disco sopra uno di raggio inferiore.

Fig. 1.6. Torre di Hanoi

Esercizio 1.11. Nel problema posto dall’esercizio precedente, si aggiunga il divieto di spostare i dischi direttamente dal piolo di sinistra a quello di destra e si calcoli il numero minimo di mosse per spostare tutti i dischi in questa situazione. Esercizio 1.12. Ciascuno dei tre lati di misura unitaria di un triangolo equilatero viene suddiviso in k parti uguali; se si congiungono i punti così individuati mediante linee parallele ai lati si individuano Xk triangoli equilateri il cui lato è pari ad 1/k. Determinare una relazione ricorsiva che lega Xk+1 ad Xk . Esercizio 1.13. Studiare graficamente il modello della ragnatela (Esempio 1.10) nell’ipotesi d a+c = 0, 9 = 2. b b Si osservi che il disegno ottenuto suggerisce una spiegazione del nome di tale modello. Esercizio 1.14. una formula ricorsiva per i coefficienti An dello svi Determinare n luppo in serie +∞ n=0 An x di una soluzione y delle seguenti equazioni differenziali del secondo ordine (x ∈ R): equazione di Bessel

  x2 y + xy + x2 − k2 y = 0

equazione di Hermite y − 2xy + 2ky = 0 equazione di Laguerre xy + (1 − x) y + ky = 0    equazione di Legendre 1 − x2 y + k (k + 1) y = 0 8

François Edouard Anatole Lucas, 1842-1891.

1.4 Esercizi di riepilogo

23

dove k ∈ N è un assegnato parametro ed y , y denotano rispettivamente le derivate prima e seconda di y rispetto ad x. Esercizio 1.15. Discretizzare con il metodo di Eulero implicito le seguenti equazioni differenziali: (1) y  = xy x0 = 0 (2) y = ay (1 − y) x0 = 0 Esercizio 1.16. Discretizzare con metodi alle differenze finite le seguenti equazioni differenziali alle derivate parziali: a) equazione di Laplace

∂2 u ∂2 u + =0 2 ∂x ∂y2

b) equazionedi D’Alembert

∂2v ∂2 v − =0 2 ∂t ∂x2

Esercizio 1.17 (Equazione di Black & Scholes). L’equazione differenziale vt +

1 2 2 σ x vxx + rxvx − rv = 0 2

nell’incognita v = v (x, t), con σ (volatilità) ed r (tasso d’interesse bancario) parametri noti, si dice equazione di Black & Scholes. Risolvere tale equazione differenziale consente di determinare il prezzo v di particolari strumenti finanziari derivati (ad esempio, opzioni, contratti forward, futures) al tempo t e per un certo valore x del prodotto finanziario sottostante (obbligazioni, azioni, materie prime, indici finanziari). Ad esempio, è importante risolvere il seguente problema per una singola opzione d’acquisto (call ): ⎧ 1 ⎪ vt + σ2 x2 vxx + rxvx − rv = 0 x > 0, 0 < t < T ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨ v (0, t) = 0 0 1, allora lim |Xk | = +∞ (infatti lim ak  = +∞, e tutte le

(iii)

k

k

k

k

traiettorie corrispondenti sono divergenti, salvo quella (costante) corrispondente a X0 = α); se a = −1, allora l’equilibrio è α = b/2, e tutte le soluzioni oscillano attorno a tale equilibrio: X2k = X0

k∈N

X2k+1 = b − X0

k∈N .

Dunque, nel caso a = −1, tra le soluzioni vi è un’unica traiettoria costante (se X0 = α = b/2) ed infinite traiettorie periodiche (se X0 = b/2): se a = −1 allora: X2k = X0 2k+1

X2k+1 = (−1)

X0 +

1 − (−1) 2

2k+1

b = 2α − X0 = b − X0

28

2 Equazioni alle differenze lineari

cioè X è periodica di periodo 2 ed oscilla attorno il valore α = b/2, e in tal caso le oscillazioni hanno semiampiezza |X0 − α| = |X0 − b/2| . Prova. L’unico fatto non banale è la rappresentazione esplicita (2.4) relativa al caso a = 1: può essere provato per induzione, mostrando che la successione (2.4) descrive una soluzione di (2.3) per ogni dato iniziale X0 , e dall’unicità (a dato iniziale fissato) segue il fatto che (2.4) descrive tutte le soluzioni al variare di X0 . È tuttavia interessante ricavare direttamente la formula (2.4) anziché provarne la validità “a posteriori”, perché la dimostrazione costruttiva consente di comprenderne meglio il significato. Si tratta di provare che il caso 2) è qualitativamente simile al caso omogeneo (b = 0, Teorema 2.1) salvo cambiamenti affini di coordinate (in R): nell’ipotesi a = 1, studiamo le successioni (al variare di X0 ) Zk = Xk − α

∀k ∈ N

(2.5)

ove α = b/ (1 − a) è l’equilibrio dell’equazione (2.3). Ricavando Xk da (2.5) e sostituendo in (2.3), si ottiene Zk+1 + α = a (Zk + α) + b Zk+1 +

b ab = aZk + +b 1−a 1−a Zk+1 = aZk

la cui soluzione, dedotta dal Teorema 2.2, Zk = ak Z0 , sostituita nella (2.5) dà infine

b b Xk = Zk + α = ak (X0 − α) + α = ak X0 − + .  1−a 1−a

Le Fig. 2.1 e 2.2 descrivono l’andamento qualitativo delle traiettorie nei casi discussi nel Teorema 2.5 Osservazione 2.6. Nel caso a = 1, l’espressione (2.4) mostra che la distanza |Xk − α| tra il k-esimo termine di X ed il valore di equilibrio è un fissato multiplo del k-esimo termine della progressione geometrica di ragione |a|: k

|Xk − α| = |X0 − α| |a| . Dunque, se |a| < 1, si ottiene una stima della buona rapidità di convergenza all’equilibrio e del miglioramento della maggiorazione dell’errore a ciascun passo: |Xk+1 − α| = |Xk − α| |a| . Esempio 2.7. Nell’Esempio 1.8, se si suppone che r = 0, poiché l’equilibrio è R/r, dalla (2.4) segue   k R R (1 + r) − 1 k k Sk = S0 − (1 + r) + = (1 + r) S0 − R. r r r



2.1 Equazioni lineari ad un passo a coefficienti costanti

29

Xk

Xk+1

a=2 b = −1 k

Xk

Xk

Xk+1

a=1 b=3 Xk

Xk+1

k

Xk

a = 12 b=1

Xk

Fig. 2.1. Soluzione grafica di (2.3) con a = 2, 1, 1/2, b = −1, 3, 1

k

30

2 Equazioni alle differenze lineari Xk+1

Xk

a = − 12 b=5

k

Xk

Xk+1

Xk

a = −1 b=5

k

Xk

Xk+1

Xk

a = −2 b=6

Xk

k

Fig. 2.2. Soluzione grafica di (2.3) con a = −1/2, −1, −2, b = 5, 5, 6

2.2 Equazioni lineari ad n passi a coefficienti costanti

31

Esempio 2.8 (Modello della Ragnatela). Riprendiamo l’Esempio 1.10 del modello domanda-offerta. Se il livello dei prezzi segue la relazione ricorsiva d a+c Pk+1 = − Pk + b b

a, b, c, d > 0

allora −d/b < 0. Poiché l’equilibrio del modello è α=

a+c b+d

assegnato un livello iniziale dei prezzi P0 , per la (2.4) l’espressione in forma chiusa del livello del prezzo di equilibrio al tempo k risulta  Pk =

−

d b

k   a+c a+c + P0 − b+d b+d

k ∈ N.

Si noti che la negatività del termine −d/b implica che il comportamento del prezzo sarà sempre oscillante, e il fatto che ci sia convergenza o meno dipende dal rapporto fra le pendenze delle curve di domanda e di offerta. In particolare, se d < b allora i valori Pk dei prezzi convergeranno rapidamente all’equilibrio α per k → +∞. Se d > b non si avrà una stabilizzazione del prezzo.  Esercizio 2.1. Date le seguenti equazioni lineari a coefficienti costanti  1 Xk+1 = 4Xk − 1 Xk+1 = Xk − 1 Xk+1 = Xk + 2 (2) (3) (1) 1 3 X0 = 0 X0 = X0 = 1 4   1 Xk+1 = −3Xk + 5 Xk+1 = −Xk + 1 Xk+1 = − Xk + 3 (4) (6) (5) 5 X0 = 2 X0 = 1 X0 = 3 i) determinarne la soluzione in forma chiusa; ii) studiare il comportamento asintotico della soluzione; iii) disegnare il grafico a ragnatela e l’andamento della soluzione. Esercizio 2.2. Ricavare le tesi del Teorema 2.5 iterando la (2.3) a partire da un dato iniziale X0 .

2.2 Equazioni lineari ad n passi a coefficienti costanti In questo paragrafo vediamo come sia possibile fornire una descrizione completa delle soluzioni per le equazioni lineari a coefficienti costanti anche nel caso a più passi. A questo scopo è utile premettere alcune definizioni.

32

2 Equazioni alle differenze lineari

Definizione 2.9. La somma di due successioni F e G è la successione H il cui generico elemento Hk è ottenuto come somma dei corrispondenti elementi delle due successioni: Hk = Fk + Gk . Scriveremo H = F + G. Definizione 2.10. Il prodotto di una successione F per una costante complessa α è la successione W i cui elementi si ottengono moltiplicando per α gli elementi corrispondenti di F : Wk = αFk . Notazione: W = αF. Definizione 2.11. Due successioni F e G si dicono linearmente dipendenti se esistono due costanti α e β, non entrambe nulle, tali che αF +βG è la successione identicamente nulla. In caso contrario F e G si dicono linearmente indipendenti. Analogamente, n successioni F j , j = 1, 2, . . ., n, si dicono linearmente dipendenti se esistono n costanti α1 , α2, . . . , αn non tutte nulle tali che  n j 1 2 j=1 αj F è la successione identicamente nulla (cioè α1 Fk + α2 Fk + · · · + n αn Fk = 0 , ∀k). L’insieme delle successioni a valori complessi, dotato delle due operazioni sopra introdotte, è uno spazio vettoriale di dimensione infinita. Questo significa che la somma di (un numero finito) successioni o il prodotto di una successione per una costante sono ancora successioni, e che, comunque si scelga un intero positivo n, è possibile trovare n successioni linearmente indipendenti. Definizione 2.12. Assegnate n costanti a0 , a1 , . . . , an−1 con a0 = 0, si dice equazione alle differenze, lineare omogenea, di ordine n, a coefficienti costanti, il sistema di infinite relazioni

Xk+n + an−1 Xk+n−1 + · · · + a1 Xk+1 + a0 Xk = 0

∀k ∈ N (2.6)

L’espressione equazione ad n passi sarà usata come sinonimo di equazione di ordine n. Teorema 2.13 (Principio di sovrapposizione). Se X ed Y sono soluzioni di (2.6), allora anche X + Y e cX sono soluzioni per ogni costante c. Dunque, l’insieme delle soluzioni di (2.6) è uno spazio vettoriale. Prova. Si ottiene per semplice sostituzione in (2.6).



Il teorema precedente suggerisce l’opportunità di cercare “un numero sufficiente di soluzioni” che formino una base per lo spazio delle soluzioni. Per analogia con il caso delle equazioni lineari a coefficienti costanti del primo ordine, si possono cercare soluzioni dell’equazione omogenea (2.6) del tipo Xk = cλk ,

c = 0, λ = 0.

2.2 Equazioni lineari ad n passi a coefficienti costanti

33

Se una tale successione risolve (2.6), si ottiene per sostituzione:   λk λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0 ∀k ∈ N cioè λ deve essere soluzione di λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0. Vedremo che tutte le soluzioni di (2.6) possono essere ottenute a partire da queste. Queste considerazioni giustificano le seguenti definizioni. Definizione 2.14. Si dice polinomio caratteristico, indicato con P (λ), associato all’equazione omogenea (2.6) il seguente polinomio di grado n nella variabile λ: P (λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 L’equazione λ∈C:

P (λ) = 0

(2.7)

si dice equazione caratteristica associata all’equazione omogenea. Per il Teorema fondamentale dell’Algebra, l’equazione (2.7) ha esattamente n soluzioni nel campo complesso: λ1 , . . . , λn (ciascuna di esse si intende contata con la sua molteplicità). Anche se le costanti a0 , a1 , . . . , an−1 sono tutte reali una o più radici λj possono essere complesse. Teorema 2.15. L’equazione (2.6) ammette infinite soluzioni. Fra tali soluzioni se ne possono determinare n linearmente indipendenti; inoltre l’insieme delle soluzioni della (2.6) è un sottospazio di dimensione n dello spazio delle successioni. Se λ è una soluzione semplice (cioè di molteplicità 1) dell’equazione caratteristica (2.7), ad essa è associata una soluzione dell’equazione alle differenze della forma Fk = λk Se λ è una soluzione dell’equazione caratteristica di molteplicità m, ad essa sono associate le m soluzioni linearmente indipendenti Fk0 = λk , Fk1 = kλk , Fk2 = k 2 λk , . . . Fkm−1 = k m−1 λk

(2.8)

34

2 Equazioni alle differenze lineari

Tutte le soluzioni dell’equazione alle differenze (2.6) sono combinazioni lineari di tali soluzioni. Nel caso in cui i coefficienti aj dell’equazione (2.6) sono tutti reali, i risultati contenuti nel Teorema 2.15 possono essere ulteriormente precisati: in particolare ha interesse scrivere le soluzioni di (2.6) in forma reale anche se alcune radici del polinomio caratteristico sono complesse. Più precisamente: se a0 , a1 , . . . , an−1 sono reali e λ = a + ib è soluzione della (2.7), con a e b reali e b diverso da 0, allora anche λ = a−ib è soluzione e a tale coppia di soluzioni sono associate le due soluzioni linearmente indipendenti in forma reale Fk = ρk cos (θk)

Gk = ρk sin (θk)

dove ρ è il modulo e θ è l’argomento di a + ib:  a ρ = a2 + b 2 cos θ = √ 2 a + b2

sin θ = √

b . + b2

a2

L’affermazione precedente si ottiene scrivendo in forma reale l’espressione seguente: k k c1 (a + ib) + c2 (a − ib) a, b ∈ R. Precisamente, se a + ib = ρ (cos θ + i sin θ) , allora: k

k

(a + ib) = ρk (cos θ + i sin θ) = = ρk (cos (θk) + i sin (θk)) .

per la formula di De Moivre

Procedendo allo stesso modo su (a − ib)k , si può concludere che per ogni scelta di c1 e c2 esistono due costanti  c1 e  c2 dipendenti da c1 , c2 e k, tali che k

k

c1 ρk cos (θk) +  c2 ρk sin (θk) . c1 (a + ib) + c2 (a − ib) = 

! Si noti che, grazie alla formula di De Moivre, le due successioni ρk cos (θk) ! e ρk sin (θk) generano, mediante combinazioni lineari a coefficienti in C, lo stesso spazio bidimensionale di"successioni a valori complessi generato dalle # ! k combinazioni lineari di λk e λ . Analogamente, se λ = a + ib è una soluzione complessa della (2.7) di molteplicità m ed a0 , a1 . . . , an−1 sono reali, allora ad essa e alla soluzione λ = a − ib , pure di molteplicità m, sono associate le 2m soluzioni linearmente indipendenti Fk0 = ρk cos (θk) , Fk1 = kρk cos (θk) , . . . , Fkm−1 = k m−1 ρk cos (θk) G0k = ρk sin (θk) , G1k = kρk sin (θk) , . . . , Gm−1 = k m−1 ρk sin (θk) k

2.2 Equazioni lineari ad n passi a coefficienti costanti

35

Prova del Teorema 2.15. Ad ogni n-upla di dati iniziali X0 , X1 , . . . , Xn−1 corrisponde una ed una sola soluzione ottenibile calcolando iterativamente i valori Xk . Poiché ogni n-upla di dati iniziali si ottiene come combinazione lineare delle n scelte di dati iniziali fra loro linearmente indipendenti 1, 0, 0, . . . 0, 1, 0, . . . 0, 0, 1, . . . ... 0, 0, 0, . . .

0, 0 0, 0 0, 0 0, 1

e, per il principio di sovrapposizione delle soluzioni, le combinazioni lineari di soluzioni di (2.6) sono ancora soluzioni, concludiamo che l’insieme di tutte le soluzioni è un sottospazio di dimensione n dello spazio delle successioni. Si osservi che nessuna radice del polinomio caratteristico P è nulla perché a0 = 0. Dunque tutte le n successioni elencate nelle cornici sono non banali. Resta da provare che sono soluzioni e che sono tra loro linearmente indipendenti. Sia λ una soluzione dell’equazione caratteristica P (μ) = 0. Allora, sostituendo λk al posto di Xk nel primo membro dell’equazione (2.6), si ottiene λk+n + an−1 λk+n−1 + · · · + a0 λk = λk P (λ)

(2.9)

che è nullo per ipotesi. Dunque, Xk = λk è una soluzione di (2.6). Osserviamo che se λ è radice di molteplicità m > 1 dell’equazione P (μ) = 0, allora1 P (λ) = P  (λ) = · · · = P (m−1) (λ) = 0 .

(2.10)

Sia λ una soluzione di molteplicità 2 dell’equazione caratteristica. Allora, sostituendo kλk al posto di Xk nel primo membro della (2.6), si ottiene (k + n) λk+n +(k + n − 1) an−1 λk+n−1 +· · ·+a0 kλk = kλk P (λ)+λk+1 P  (λ) (2.11) dato che

P  (λ) = nλn−1 + (n − 1) an−1 λn−2 + · · · + 2a2 λ + a1 .

Poiché, per la (2.10), P (λ) = P  (λ) = 0, dalla (2.11) segue che kλk è soluzione di (2.6). Sia ora λ radice di molteplicità m ≥ 2 dell’equazione caratteristica. Fissato n, per 1 ≤ h ≤ m definiamo Qh,k (μ) = (k + n)h−1 μk+n + (k + n − 1)h−1 an−1 μk+n−1 + · · · + kh−1 a0 μk = n

(k + s)h−1 as μk+s . = s=0

Qh,k (μ) è il polinomio nella variabile μ di grado minore o uguale a k + n che si ottiene sostituendo kh−1 μk al posto di Xk nel primo membro della (2.6). 1

Infatti, se λ è radice di molteplicità h dell’equazione P (μ) = 0, si può scrivere: P (μ) = (μ − λ)h Q (μ)

con Q polinomio di grado n − h in μ, e derivando si ottiene la (2.10).

36

2 Equazioni alle differenze lineari

Se Qh,k è esprimibile come combinazione lineare di P e delle sue derivate successive fino all’ordine h − 1 con coefficienti che sono polinomi in μ di grado minore o uguale a k (si noti che la (2.11) ci dice che ciò è vero se m = 2), cioè se Qh,k (μ) =

h−1

cj,k (μ) P (j) (μ)

con grado cj,k ≤ k,

(2.12)

j=0

allora da (2.10) segue Qh,k (λ) = 0, dunque kh−1 λk è una soluzione di (2.6) per ogni 1 ≤ h ≤ m. Proviamo la (2.12), ragionando per induzione sull’indice h. Se h = 1, la tesi è vera dato che la (2.9) si scrive come Q1,k (μ) = μk P (μ)

∀k ∈ N.

Supponiamo ora che esista un intero 1 ≤ h < m per cui (2.12) è vera. Allora, per ogni k, otteniamo: Qh+1,k (μ) =

n

(k + s)h as μk+s =

s=0

=

n

n

(k + s)h−1 as (k + s) μk+s =

s=0

(k + s)h−1 as μ

s=0

n d d  k+s  μ =μ (k + s)h−1 as μk+s = dμ dμ s=0

per l’ipotesi di induzione d Qh,k (μ) = dμ h−1 

 cj,k (μ) P (j+1) (μ) + cj,k (μ) P (j) (μ) = =μ

=μ

j=0

=

h

cj,k P (j) (μ) 

j=0

  avendo posto  cj,k = μ cj−1,k (μ) + cj,k (μ) . Quindi anche Qh+1,k (μ) si esprime come combinazione lineare di P e delle sue derivate successive fino all’ordine h con coefficienti che sono polinomi in μ di grado minore o uguale a k. Rimane da provare l’indipendenza lineare delle soluzioni trovate. Nel caso di n radici distinte λ1 , . . . , λn basterà provare l’indipendenza lineare dei primi n valori delle successioni, cioè ⎡ ⎤ 1 λ1 λ21 . . . λn−1 1 ⎢ 1 λ2 λ22 . . . λn−1 ⎥ 2 ⎢ ⎥ det ⎢ . . . . ⎥ = 0 . ⎣ .. .. .. . . .. ⎦ 1 λn λ2n . . . λn−1 n disuguaglianza vera se λj sono distinti perché tale determinante (determinante di Vandermonde2 ) vale (λn − λn−1 ) (λn − λn−2 ) · · · (λn − λ1 ) (λn−1 − λn−2 ) · · · (λn−1 − λ1 ) · · · (λ2 − λ1 ) . 2

Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735-1796.

2.2 Equazioni lineari ad n passi a coefficienti costanti

37

Se λ è radice di molteplicità m nell’equazione caratteristica e c1 , c2 , . . . , cm sono costanti reali tali che c1 λk + c2 kλk + c3 k2 λk + · · · + cm km−1 λk = 0

k∈N

allora deve anche valere c1 + c2 k + c3 k2 + · · · + cm km−1 = 0

k∈N

e dal principio di identità dei polinomi segue c1 = c2 = · · · = cm = 0. Omettiamo i dettagli nel caso in cui siano contemporaneamente presenti radici semplici e multiple. 

Riassumendo, il Teorema 2.15 consente di costruire n soluzioni linearmente indipendenti: infatti, le radici (contate con la loro molteplicità) del polinomio caratteristico di un’equazione alle differenze di ordine n sono esattamente n, grazie al Teorema fondamentale dell’Algebra. Tutte le soluzioni dell’equazione (2.6) sono combinazioni lineari delle n soluzioni linearmente indipendenti elencate nelle cornici del Teorema 2.15. Una tale combinazione è detta soluzione generale di (2.6) perché al variare dei coefficienti si ottengono tutte le soluzioni. Precisamente, per ogni scelta dei dati iniziali X0 , X1 , . . . , Xn−1 si determina un’unica scelta di tali coefficienti e di conseguenza un’unica soluzione. Esempio 2.16. All’equazione alle differenze Xk+3 − 4Xk+2 + 5Xk+1 − 2Xk = 0 si associa l’equazione caratteristica λ3 − 4λ2 − 5λ − 2 = 0 che si fattorizza in 2

(λ − 1) (λ − 2) = 0. Dunque, abbiamo la radice semplice 2 e la radice doppia 1. La soluzione generale dell’equazione alle differenze è Xk = c1 2k + c2 + c3 k

k∈N

dove c1 , c2 e c3 sono costanti arbitrarie. Se all’equazione alle differenze si aggiungono le condizioni iniziali X0 = 0, X1 = 1 e X2 = 0, per sostituzione, si ottiene il sistema: ⎧ ⎧ ⎨ c1 + c2 = 0 ⎨ c1 = −2 2c1 + c2 + c3 = 1 c2 = 2 equivalente a ⎩ ⎩ 4c1 + c2 + 2c3 = 0 c3 = 3 da cui Xk = −2k+1 + 3k + 2. Esempio 2.17. L’equazione  Ck+1 = Ck + Ck−1 C0 = 0, C1 = 1



k ∈ N\ {0}

38

2 Equazioni alle differenze lineari

che descrive ricorsivamente i numeri di Fibonacci (si veda l’Esempio 1.10) è lineare, a coefficienti costanti, del secondo ordine. Il polinomio caratteristico λ2 − λ − 1 ammette le radici √ √ 1+ 5 1− 5 λ1 = λ2 = ; 2 2 k

k

dunque, la soluzione generale è data da Ck = c1 (λ1 ) + c2 (λ2 ) . Inoltre √ √ 1+ 5 1− 5 C0 = c1 + c2 = 0, C 1 = c1 + c2 =1 2 2 √ √ da cui segue c1 = +1/ 5, c2 = −1/ 5. Riassumendo:

1 Ck = √ 5

$

$ √ %k √ %k 1+ 5 1− 5 1 − √ 2 2 5

k∈N

   1 − √5    |λ1 | =   0 se x = 1/2, 0, 1 . Poiché 0 ∈ I e f (0) = 0, si ha 2 x 2 x √ dt dt  √√ ψ1 (x) = = 2 arcsin x = t 1−t t (1 − t) 0 0 Risulta così

  2 ψ1−1 (y) = sin 12 y

Inoltre π ψ2 (x) = + 2

2

x

1/2

x ∈ [0, 1/2] .

y ∈ [0, π/2] .

√ −1  dt = π − 2 arcsin x t (1 − t)   2 ψ2−1 (y) = cos 12 y .

x ∈ [1/2, 1]

3.10 Esercizi di riepilogo

125

La conclusione si ottiene sostituendo b, ψ e ψ−1 nella (3.9).

Le traiettorie della logistica h4 con dato iniziale X0 ∈ [0, 1] sono   √ 2 Xk = sin 2k arcsin X0

∀k ∈ N

(3.12) Verifichiamo la correttezza della formula trovata, ponendo per comodità √ A = arcsin X0 :        2  2  2  2 1 − sin 2k A = 4 sin 2k A f (Xk ) = 4 sin 2k A cos 2k A =  k+1  = sin 2 A = Xk+1 . In conclusione, la (3.12) fornisce esplicitamente le traiettorie. Nonostante l’apparente semplicità di tale espressione le traiettorie del s.d.d. {[0, 1] , h4 } presentano una sorprendente ricchezza di struttura, come vedremo nel Capitolo 4. In particolare, per quasi tutti i valori iniziali, la traiettoria {Xk } ha un andamento erratico e non periodico in [0, 1]. 

3.10 Esercizi di riepilogo Esercizio 3.21. Utilizzando le tecniche del paragrafo 3.6, si discuta la stabilità di eventuali equilibri del sistema dinamico {R, ax + b}. Esercizio 3.22. Sia data la successione 4 Yk+1 = 1 − arctan Yk π Y0 = a

∀k ∈ N\ {0}

Per a = 4 determinare l’andamento della successione, provare che ha limite per k → +∞ e calcolarne il valore. Per quali altri valori reali di a la successione ammette limite? Esercizio 3.23. Determinare al variare del parametro reale non negativo a il comportamento asintotico della successione 1 4 Yk+1 = Yk2 + 3 3 Y0 = a Esercizio 3.24. Al variare del parametro reale non negativo a, determinare il comportamento asintotico della successione 1 6 Yk+1 = Yk2 + 5 5 Y0 = a

126

3 Sistemi dinamici discreti: equazioni scalari ad un passo

Esercizio 3.25. Determinare, al variare di a > 0, il limite della successione ⎧

1 ⎨ Yk+1 = 2Yk exp − Yk ∀k ∈ N 2 ⎩ Y0 = a Esercizio 3.26. Assegnati due numeri reali positivi a, b tali che a > consideri la successione Y definita per ricorrenza: ⎧

1 b ⎨ Yk+1 = ∀k ∈ N Yk + 2 Yk ⎩ Y1 = a

√

b > 0, si

Mostrare che Yk è ben definita per ogni k, che è monotòna decrescente, che √ esiste il limite L di Yk per k → +∞ e calcolarlo. Cosa si può dire nel caso Y1 = b? Posto k = |Yk − L|, mostrare che 2 k+1 = √k . 2 b √

3 a meno di 10−7 . ( ) √ Esercizio 3.27. Provare che 6 + 6 + 6 + · · · = 3 .

Calcolare

Esercizio 3.28. Data g : R → R priva di punti fissi, posto f (x) = g (x) − x e Yk+1 = Yk + f (Yk ), dimostrare che se il massimo assoluto di f è strettamente negativo, allora Yk → −∞, mentre se il minimo assoluto di f è strettamente positivo allora Yk → +∞. Esercizio 3.29. Un tipo di batterio si suddivide in due batteri con le sue stesse caratteristiche oppure muore. Sia p la probabilità di suddivisione di ciascuno di tali batteri (e di tutta l’eventuale discendenza). Qual è la probabilità s che la discendenza di tale batterio non si estingua mai? Esercizio 3.30. Studiare graficamente il s.d.d. {I, f } con I = [0, 1] ed 1 f (x) = sin (πx). 2π Esercizio 3.31. Studiare graficamente il s.d.d. {I, f } con I = [0, 1] ed f (x) = sin (πx). Esercizio 3.32. Mostrare che esiste α ∈ (0, 1) tale che limk→+∞ cosk x = α per ogni x ∈ R. Ricavare numericamente il valore α = 0, 73909 . . . . Suggerimento: mostrare che tutte le orbite del s.d.d. {I, cos x} sono attratte dall’unico equilibrio α. Stimare tale equilibrio e mostrare che è stabile. Esercizio % &3.33. Determinare eventuali equilibri, studiandone la stabilità, del s.d.d. R, x + x3 . Esercizio % &3.34. Determinare eventuali equilibri, studiandone la stabilità, del s.d.d. R+ , x−2 .

3.10 Esercizi di riepilogo

127

Esercizio 3.35. Si studi al variare del parametro reale β la successione definita per ricorrenza √ Xk+1 = fβ (Xk ) con fβ (x) = β + x. Esercizio 3.36. Dato il s.d.d. {[0, 1] , T } ove  2x 0 ≤ x < 1/2 T (x) = 2 (1 − x) 1/2 ≤ x ≤ 1 mostrare che il dato iniziale X0 = 1/7 genera una traiettoria definitivamente 3 periodica e che il s.d.d. presenta due orbite di periodo 3 entrambe instabili (Suggerimento: si studi graficamente l’equazione T 3 (x) = x ). Esercizio 3.37. Assegnata f ∈ C 1 (I), con I ⊂ R intervallo ed 1 + f  (x) = 0 per ogni x ∈ I, dimostrare che il s.d.d. {I, f } non ha orbite di minimo periodo 2. Esercizio 3.38. (a) Assegnato il numero reale α, determinare un’espressione non ricorsiva di Xk  k∈N Xk+2 = Xk+1 + Xk X1 = 1, X2 = α (b) Studiare il comportamento della successione Yk definita da Yk+1 =

1 1 + Yk

k≥2

Y2 = 1 (c) Sfruttando il punto (a) scrivere un’espressione non ricorsiva per Yk . (d) Al variare del parametro β ∈ R, studiare il sistema dinamico discreto

Zk+1 =

1 1 + Zk

k≥2

.

Zk = β Esercizio 3.39. Studiare il s.d.d. definito da Xk+2 = (Xk+1 )5 / (Xk )6 . Esercizio 3.40. a) Studiare i s.d.d. Xk+1 =

√

1 + Xk

Xk+1 = 1 +

1 Xk

con X0 > 0 .

b) Provare che tutte le traiettorie dei due s.d.d. convergono allo stesso equilibrio (in modo monotòno nel primo caso, oscillando nel secondo), cioè vale la seguente identità tra un radicale iterato ed una frazione continua: * + ( √ 1 1 + 1 + 1 + 1 +··· = 1 + . 1 + 1+ 1 1 1+···

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Gran parte di questo capitolo è dedicato allo studio qualitativo del s.d.d. associato alla crescita logistica discreta, sia per l’importanza di tale modello matematico, sia perché, come vedremo in dettaglio, la dinamica ad esso corrispondente è simile a quella di molti altri s.d.d. non lineari unimodali. In tale studio incontreremo equilibri, orbite periodiche, biforcazioni e, in alcuni casi, anche comportamenti non banali che vengono definiti dinamiche caotiche. Alcune elementari nozioni di topologia, utili per la comprensione di questo capitolo, sono richiamate in Appendice E.

4.1 Dinamica della crescita logistica Consideriamo la crescita di una popolazione con tasso riproduttivo costante che è un esempio rilevante di modello matematico discreto non lineare ad un passo. Dalle osservazioni empiriche è chiaro che non esistono esempi di crescita illimitata di alcuna specie biologica. Come abbiamo già ricordato nel primo capitolo (Esempi 1.12, 1.13), il modello malthusiano di crescita descritto dal sistema dinamico lineare Xk+1 = aXk che fornisce successioni a crescita esponenziale, necessita di correzioni poiché, anche trascurando la competizione con altre specie e supponendo le risorse alimentari dell’habitat come illimitate, la sovrappopolazione determina sempre fattori di competizione intraspecifica. Per tenere conto di tali fenomeni sociali (una maggiore aggressività ed una diminuita attitudine alla riproduzione) occorre introdurre nel modello dei termini che si oppongono alla crescita indiscriminata e contribuiscono a limitare le dimensioni della popolazione entro valori sostenibili dall’ambiente. La più semplice correzione che si può adottare è la modifica di Verhulst al modello di Malthus, che consiste nel sostituire la relazione lineare con un polinomio di secondo grado, ottenendo in tal modo il modello di crescita E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9_4, © Springer-Verlag Italia 2014

130

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

logistica: Xk+1 = aXk (1 − Xk )

0≤a≤4

(4.1)

Il polinomio ax (1 − x) si dice funzione logistica o mappa logistica ed il suo grafico si dice parabola logistica. Nel modello (4.1), per piccole popolazioni prevale il termine lineare con coefficiente positivo, mentre per popolazioni di grandi dimensioni prevale il termine quadratico di coefficiente negativo (piccolo o grande hanno un significato relativo rispetto ai parametri in gioco e possono essere precisati quantitativamente). Si noti che la (4.1) si può riscrivere come Xk+1 = ha (Xk ) dove ha (x) = ax − ax2 , 0 ≤ a ≤ 4, e che se x ∈ [0, 1] allora ha (x) ∈ [0, 1]. Osserviamo esplicitamente che, per comodità di calcolo, si è effettuata una normalizzazione delle unità di misura, cioè si considerano solo valori della popolazione compresi tra 0 e 1. Quindi il coefficiente a (positivo per il suo significato biologico) non deve superare il valore 4 affinché l’immagine di [0, 1] mediante il polinomio ha sia contenuta in [0, 1] e, quindi, sia possibile il calcolo delle iterate a partire da ogni dato X0 ∈ [0, 1] ottenendo Xk ∈ [0, 1] per ogni k ∈ N. Come nel modello di Malthus, anche nel modello logistico, quando è fissato il valore iniziale della popolazione, tutta l’evoluzione è univocamente determina-

1

0

1

Fig. 4.1. Grafici di ha , a = 1/2, 1, 2, 3, 4: lo spessore del grafico cresce con a

4.1 Dinamica della crescita logistica

131

ta: diciamo che si tratta di modelli deterministici. Tuttavia, nel caso della crescita logistica, non si ha più una descrizione qualitativa semplice dell’andamento di Xk , né tantomeno si può pensare a crescite indefinite, o estinzioni per ogni dato iniziale e per ogni scelta del parametro positivo a; intervengono invece oscillazioni ed altri fenomeni con una struttura molto complicata. Anche senza un’analisi teorica, si può capire già da semplici esperimenti con il metodo grafico, che si possono osservare molti tipi di comportamento qualitativo. Il lettore è invitato a fare degli esperimenti grafici sia a mano, sia al computer, prima di proseguire (per generare le ragnatele si può utilizzare il Notebook relativo proposto nell’Appendice H). Cerchiamo di dare una idea di alcuni fenomeni che possono presentarsi, senza alcuna pretesa di completezza; infatti, nonostante la formulazione del modello sia elementare, la descrizione di tutte le sue soluzioni nasconde problemi tutt’altro che elementari, e talora non risolti. Consideriamo pertanto il s.d.d. {[0, 1] , ha } con a ∈ [0, 4]. Si può osservare graficamente (e si può dimostrare analiticamente) che, al crescere del parametro a il comportamento qualitativo delle traiettorie cambia radicalmente: il nostro scopo è quello di avere un’idea complessiva del quadro delle traiettorie per tutti i valori di a. Per valori piccoli di a l’analisi è elementare, come vedremo nel seguito, ma al crescere di a la situazione è decisamente più complessa e richiede l’introduzione di nuovi strumenti. Il grafico di ha è una parabola di vertice (1/2, a/4), concava e simmetrica rispetto alla retta verticale di equazione x = 1/2. Risolvendo l’equazione ha (x) = x si deduce che il s.d.d. {[0, 1] , ha} ha sempre l’equilibrio 0: tale equilibrio è unico se 0 ≤ a ≤ 1, invece, se 1 < a ≤ 4, ha presenta anche il punto fisso αa = (a − 1) /a. Inoltre, ai valori iniziali 1 e (se 1 ≤ a ≤ 4) 1/a corrispondono traiettorie definitivamente costanti, giacché ha (1) = 0 e ha (1/a) = αa.

h1/2

0

h1

1/2

1

0

1/2

1

Fig. 4.2 . Alcune ragnatele per ha a partire da X0 = 1/2 , per a = 1/2 ed a = 1

132

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Sulla base di quanto detto possiamo effettuare un’analisi qualitativa preliminare del quadro delle fasi di {[0, 1] , ha} al variare di a. (I) Se a ∈ [0, 1], vi è il solo equilibrio 0; esso è globalmente asintoticamente stabile, cioè tutte le traiettorie con dato iniziale X0 ∈ [0, 1] sono attratte da 0 che è equilibrio stabile. Infatti Xk+1 < Xk e , a ∈ [0, 1)

⇒

|ha (0)| = a < 1

a=1

⇒

ha (0) = 1, ha (0) = −2a < 0

e la conclusione segue dai Teoremi 3.25, 3.57 e 3.62. (II) Se 1 < a ≤ 4 vi sono due equilibri: 0 e αa. Precisamente 0 è instabile (ha (0) = a > 1) e: • se 1 < a < 3, allora αa è stabile ed attrattivo (|ha (αa)| = |2 − a| < 1) ed il bacino di attrazione di αa è (0, 1); • se a = 3, allora h3 (α3 ) = −1 e dunque α3 è stabile ed attrattivo per l’Esempio 3.66; • se 3 < a ≤ 4 anche αa è instabile (|ha (αa )| = a − 2 > 1). (III) Se 3 < a ≤ 4 compare un’orbita di periodo 2. Infatti, h2a (x) = x ha quattro soluzioni distinte di cui 2 sono 0 e αa (i punti fissi di ha ) e le altre due appartengono all’unica traiettoria 2 periodica del s.d.d. √ (IV) Se 3 < a < 1 + 6 = 3, 44949..., l’orbita 2 periodica è stabile ed attrattiva, il motivo della stabilità si vedrà in seguito. √ (V) Se a ≥ 1 + 6, l’analisi è molto più delicata e sarà oggetto dei paragrafi successivi. Proviamo una proposizione che sarà utile nel seguito e comunque chiarisce che la parte significativa della dinamica associata ad ha si svolge in [0, 1]. Teorema 4.1. Consideriamo la mappa logistica ha in tutto R , con a > 1. Allora tutti gli eventuali equilibri e le eventuali traiettorie periodiche di periodo ≥ 2 del s.d.d. {R, ha} sono contenute in [0, 1]. Prova. La parte relativa agli equilibri è una banale conseguenza dell’ipotesi a > 1. Se s è un intero ≥ 2, allora, poiché 0 è un punto fisso di ha per ogni a e ha (1) = 0, la tesi relativa alle orbite periodiche è dimostrata se si prova che tutte le soluzioni di {x ∈ R : hsa (x) = x} sono contenute in [0, 1]. Proviamo questo fatto. Se x < 0, allora ha (x) < x < 0, ricalcolando ha si ottiene ha2 (x) < ha (x) < x < 0, e, iterando hsa (x) < hs−1 (x) < · · · < x ∀s ≥ 1. a Se x > 1 allora ha (x) < 0, e, iterando (x) < · · · < ha (x) < 0 < x hsa (x) < hs−1 a

∀s ≥ 2.



4.2 Il teorema di Sharkovsky

133

Il risultato appena dimostrato ci assicura che se a > 1, allora lo studio delle iterate di ha può essere effettuato solo in [0, 1] senza perdere nulla della struttura delle orbite di {R, I} perché ogni soluzione che non rimane confinata in I è definitivamente decrescente strettamente.

4.2 Il teorema di Sharkovsky Consideriamo il s.d.d. {R, f} dove f (x) = −3x2 + 5x/2 + 1/2. È immediato verificare che {0, 1/2, 1} è un’orbita periodica di periodo 3: f (0) = 1/2, f (1/2) = 1, f (1) = 0. L’esempio precedente è stato costruito determinando l’unica funzione f del tipo ax2 + bx + x passante per i punti (0, 1/2), (1/2, 1), (1, 0). Ci si potrebbe chiedere quali e quante altre orbite periodiche vi sono per {R, f} . Una prima risposta è fornita dal seguente sorprendente risultato. Teorema 4.2. Se un s.d.d. {I, f}, con I intervallo contenuto in R, ammette un’orbita periodica di periodo 3, allora {I, f} ha anche orbite periodiche di periodo s, per ogni s intero positivo. Il Teorema 4.2, già sorprendente in sé, è solo una piccola parte delle sorprese relative alle orbite periodiche: si tratta di parte dell’informazione contenuta nell’elegante risultato dimostrato nel 1964 da O.M. Sharkovsky1 , che enunciamo nel seguito. Sottolineiamo che l’aspetto più interessante nella ricchezza di struttura del quadro delle traiettorie di {I, f} è che la tesi segue dalla sola ipotesi di continuità per f.

Xk

Xk+1

1/2

1/2

1

Xk k

% & Fig. 4.3. Orbita periodica {0, 1/2, 1} del s.d.d. R, −3x2 + 5x/2 + 1/2

1

Oleksandr Mikolaiovich Sharkovsky, 1936- .

134

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Definizione 4.3. Si dice ordinamento di Sharkovsky dei numeri naturali, il seguente 1 ≺ 2 ≺ 22 ≺ 23 ≺ 24 ≺ · · · ≺ 9 · 2n ≺ 9 · 22 ≺9·2 ≺9

≺ 7 · 2n ≺ 7 · 22 ≺7·2 ≺7

≺ 5 · 2n ≺ 5 · 22 ≺5·2 ≺5

≺ 3 · 2n ≺ · · · ≺ 3 · 22 ≺ · · · ≺ 3·2 ≺ ··· ≺3

La relazione a ≺ b significa che a precede b nell’ordinamento. I primi puntini sottintendono tutte le potenze di 2 in ordine crescente, i puntini successivi denotano tutte le potenze di 2 in ordine decrescente a fattore con tutti i numeri dispari diversi da 1 in ordine decrescente (ad esempio, 7 · 24 ≺ 9 · 23 ). Ogni numero naturale compare esattamente una ed una sola volta nell’ordinamento di Sharkovsky. Teorema 4.4 (di Sharkovsky). Se f : I → I è una funzione continua sull’intervallo I ⊆ R ed esiste un’orbita periodica di minimo periodo s per il s.d.d. {I, f}, allora per ogni m ≺ s secondo l’ordinamento di Sharkovsky il s.d.d. {I, f} ammette un’orbita periodica di minimo periodo m. Osservazione 4.5. Il Teorema 4.4 è molto fine nel senso che si possono fornire esempi con orbite di periodo 5 senza orbite di periodo 3 e, più in generale, se n ≺ s, si possono avere orbite di periodo n senza alcuna orbita di periodo s. Esempio 4.6. Verifichiamo graficamente che il s.d.d. {[0, 1] , h3,1 } presenta due equilibri ed una sola orbita periodica di periodo 2, ma che non vi è alcuna altra orbita periodica coerentemente con il Teorema 4.4. Il primo grafico di Fig. 4.4, mostra che vi sono due soli equilibri: 0 e 21/31 (gli equilibri non possono essere più di 2 perché h3,1 (x) = x è un’equazione di secondo grado). Dall’esame del secondo grafico, otteniamo quattro punti 2 periodici: 2 sono gli equilibri già noti (0 e 21/31), gli altri due punti corrispondono necessariamente ad un’orbita 2 periodica.

Fig. 4.4. Alcune iterazioni della logistica h3,1 : h3,1 , (h3,1 )2 , (h3,1 )4

4.2 Il teorema di Sharkovsky

135

Dall’esame del terzo grafico, si evidenziano solo quattro intersezioni con la bisettrice del primo quadrante, cioè non si ha evidenza di altre radici diverse dalle 4 già note, pertanto non vi sono orbite di minimo periodo pari a quattro. Ma allora non ve ne sono di alcun altro periodo perché 4 precede tutti i numeri diversi da 1 e 2 nell’ordinamento di Sharkovsky.  A precisazione dell’argomento usato nell’esempio precedente, occorre ricordare che, grazie al Teorema 4.1, se a > 1 allora tutti gli eventuali punti periodici di ha sono situati nell’intervallo [0, 1] il che ci consente di tralasciare lo studio della porzione di grafico in R\ [0, 1]. Per la dimostrazione completa del Teorema di Sharkovskii rinviamo a [6]. Qui proviamo solo il Teorema 4.2 che ne costituisce un caso particolare: alla sua dimostrazione premettiamo due lemmi. Lemma 4.7. Siano I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato, f : I → R una funzione continua. Se f (I) ⊃ I allora esiste un punto fisso di f su I. Prova. Poiché f (I) ⊃ I esistono c, d ∈ I tali che f (c) = a e f (d) = b. Se c = a oppure d = b il lemma è dimostrato. Altrimenti si ha c > a e d < b : in questo caso, posto g (x) = f (x) − x abbiamo anche g (c) = f (c) − c = a − c < 0 < b − d = f (d) − d = g (d) ; grazie alla continuità di g, per il teorema di esistenza degli zeri esiste t nell’intervallo di estremi c e d tale che g (t) = 0 cioè f (t) = t. 

La dimostrazione del lemma seguente è lasciata al lettore. Lemma 4.8. Se U e V sono due intervalli chiusi e limitati ed f : U → R è continua, allora V ⊂ f (U ) implica l’esistenza di un intervallo U0 ⊂ U tale che f (U0 ) = V . Osservazione 4.9. Il Lemma 4.7 non si estende al caso di funzioni di più variabili: si può dare l’esempio di una funzione f : B → Rn , B ⊆ Rn , con B compatto, non vuoto e tale che f (B) ⊃ B ma con f che non possiede punti fissi in B (si veda l’Esempio 4.10). In particolare, viene meno il Teorema 4.2 nel caso vettoriale, ossia in tal caso il periodo 3 non implica necessariamente l’esistenza di tutti gli altri periodi interi. ! Esempio 4.10. Sia D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, y ≥ 0 ed f : D → R2 definita in coordinate polari da f (ρ, θ) = (ρ, 2θ + π/2). Allora D ⊂ f (D) ma f non ha punti fissi.  Diamo per completezza la dimostrazione del Teorema 4.2 che può essere omessa in una prima lettura senza pregiudicare la comprensione del seguito.

136

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Fig. 4.5. Intervalli I0 e I1

Prova del Teorema 4.2. Sia {a, b, c} l’orbita 3 periodica dove a < b < c. Supponiamo f (a) = b, f (b) = c e f (c) = a (l’altro caso è analogo). Siano I0 = [a, b] e I1 = [b, c]. Allora per il teorema dei valori intermedi I1 ⊂ f (I0 ) ,

I0 ⊂ f (I1 ) ,

I1 ⊂ f (I1 ) .

Ma I1 ⊂ f (I1 ) implica, per il Lemma 4.7, l’esistenza di un punto fisso in I1 , dunque esiste un equilibrio (cioè un’orbita di periodo 1). Sia n > 1 ed n = 3: vogliamo mostrare l’esistenza di un’orbita n periodica. Definiamo a tal fine gli intervalli chiusi Jk , k = 0, 1, . . . , n, tali che (1) I1 = J0 ⊃ J1 ⊃ J2 ⊃ · · · ⊃ Jn ; (2) f (Jk ) = Jk−1

k = 1, 2, . . . , n − 2;

(3) f k (Jk ) = I1

k = 1, 2,. . . , n − 2;

(4) f n−1 (Jn−1 ) = I0 ; (5) f n (Jn ) = I1 . Prima mostriamo che se esistono i Jn e sono verificate le condizioni (1)-(5), allora esiste un’orbita periodica di minimo periodo n. Poi proveremo l’esistenza dei Jn . La (5) ed il Lemma 4.7 assicurano l’esistenza di un punto p ∈ Jn tale che f n (p) = p. Utilizziamo le (1)-(4) per mostrare che p ha minimo periodo n. Per la (1) p ∈ I1 = [b, c] e per la (3) f k (p) ∈ I1

k = 0, 1, . . . , n − 2

mentre per la (4) f n−1 (p) ∈ I0 = [a, b]. Deve essere p = c, altrimenti si avrebbe f (p) = f (c) = a ∈ / I1 e poiché f n−1 (p) è l’unico elemento dell’orbita che non appartiene ad I1 ne seguirebbe n = 2 in contraddizione con il periodo 3 di c. Deve essere p = b; altrimenti, per assurdo, p = b e f 2 (p) = f 2 (b) = a ∈ / I1 implica n = 3, conclusione contraddittoria perché abbiamo supposto n = 3. Riassumendo, p ∈ (b, c), f n−1 (p) ∈ I0 = [a, b] che è disgiunto da (b, c). Dunque f n−1 (p) = p, cioè p non può avere minimo periodo n − 1. Se il minimo periodo di p fosse strettamente minore di n − 1, allora la (3) ed il fatto che p = b e p = c, implicherebbero che la traiettoria di p sia contenuta interamente in (b, c), ma questo contraddice la (4). Dunque il minimo periodo di p è n. Per mostrare l’esistenza dei Jn : sia n > 1 fissato. Costruiamo gli intervalli (dapprima solo fino a Jn−2 ): poniamo J0 = I1 . Poiché f (I1 ) ⊃ I1 , abbiamo f (J0 ) ⊃ J0 e per il Lemma 4.8 esiste J1 ⊂ J0 tale che f (J1 ) = J0 . Allora J1 ⊂ J0 implica f (J1 ) ⊃ J1 e si ripete il ragionamento fino a k = n − 2, ottenendo le (1) e (2) fino ad n − 2.

4.2 Il teorema di Sharkovsky

137

Per provare la (3), osserviamo che dalla (2) si ha, per k = 1, 2, . . . , n − 2, f 2 (Jk ) = f (f (Jk )) = f (Jk−1 ) = Jk−2   f 3 (Jk ) = f f 2 (Jk ) = f (Jk−2 ) = Jk−3

(k ≥ 2) (k ≥ 3)

· · · = · · ·    f k−1 (Jk ) = f f k−2 (Jk ) = f Jk−(k−2) = f (J2 ) = J1   f k (Jk ) = f f k−1 (Jk ) = f (J1 ) = J0 = I1 Per provare la (4) siamo ancora liberi di scegliere Jn−1 . Osserviamo che   f n−1 (Jn−2 ) = f f n−2 (Jn−2 ) = f (I1 ) e, da f (I1 ) ⊃ I0 , segue f n−1 (Jn−2 ) ⊃ I0 ; allora per il Lemma 4.8 esiste Jn−1 ⊂ Jn−2 tale che f n−1 (Jn−1 ) = I0 . Infine   f n (Jn−1 ) = f f n−1 (Jn−1 ) = f (I0 ) e f (I0 ) ⊃ I1 implica f n (Jn−1 ) ⊃ I1 , nuovamente per il Lemma 4.8 esiste Jn ⊂ Jn−1 tale che f n (Jn ) = I1 cioè la (5).

Pur senza fornire la dimostrazione completa del Teorema di Sharkovsky, osserviamo che, se è nota l’esistenza di un’orbita periodica per {I, f} di minimo periodo qualsiasi allora si può provare facilmente l’esistenza di un punto fisso, con f continua ed I intervallo. Infatti, se I è un intervallo chiuso e limitato, l’esistenza del punto fisso segue dal Corollario 3.24, altrimenti supposto f (x) = x per ogni x ∈ I, sono possibili solo due casi: f (x) > x per ! ogni x, oppure f (x) < x per ogni x. Ma se α, f (α) , f 2 (α) , . . . , f s−1 (α) è un’orbita s periodica, con s > 1, allora risulta nel primo caso α < f(α) < f 2 (α) < · · · < f s (α) = α e nel secondo α > f(α) > · · · > f s (α) = α, conclusioni comunque contraddittorie. Concludiamo con un risultato il cui significato qualitativo è il seguente: se la funzione f “non oscilla troppo” allora, per ogni fissato intero s, il s.d.d. {I, f} può avere al più un numero finito di orbite di periodo esattamente s (tuttavia può avere infinite orbite periodiche come è il caso dell’esempio presentato all’inizio del paragrafo). Definizione 4.11. Sia f : I → I di classe C 3 . Chiamiamo derivata schwarziana di f, denotata con Df, la funzione (definita in tutti i punti x di I tali che f  (x) = 0): f  (x) 3 (Df) (x) =  − f (x) 2



f  (x) f  (x)

2 .

Teorema 4.12 (D. Singer, 1978). Sia {I, f} un s.d.d. con f ∈ C 3 (I) ed f  si annulli al più in un numero finito di punti x1 , . . . , xm. Sia anche

138

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

(Df)(x) < 0, ∀x ∈ I\ {x1 , . . . , xm }. Allora, per ogni s ≥ 1, (I, f) può avere solo un numero finito di orbite di periodo s. Prova. Fissato s ∈ N\ {0}, studiamo f s . Si ha f s ∈ C 3 e (vedi l’Esercizio 4.2) D (f s ) (x) < 0

x ∈ I\ {x1 , . . . , xm } .

Per mostrare la tesi basta provare che f s ha solo un numero finito di punti fissi, cioè f s (x) = x ha un numero finito di soluzioni; per il teorema di Rolle, è sufficiente verificare che l’equazione (f s ) (x) = 1 ha un numero finito di soluzioni in I. Se questo fosse falso, allora, sempre per il Teorema di Rolle, (f s ) dovrebbe avere una infinità di punti con derivata nulla ed una infinità di punti di minimo locale, e in tali punti x si avrebbe 

(f s ) (x) = 0



(f s ) (x) ≥ 0;

allora D (f s ) (x) < 0 implica (f s ) (x) < 0 e (f s ) (x) > 0. Dunque (f s ) è negativa in infiniti punti x intercalati ad infiniti punti x in cui vale 1. Ne segue l’esistenza di infiniti punti di I in cui (f s ) si annulla, cioè infiniti punti in cui si annulla f  , in contraddizione con quanto supposto precedentemente. 

Il lettore è invitato a riflettere sul fatto che la tesi del Teorema 4.12 è banalmente vera per ogni f polinomio di secondo grado. Osservazione 4.13. Se f : I → I, f ∈ C 3 con f (α) = α, f  (α) = −1 e (Df) (α) < 0, allora α è un equilibrio localmente asintoticamente stabile. Infatti 2 2f  (α) + 3 (f  (α)) = −2 (Df) (α) > 0 e si può applicare il Teorema 3.65. Esercizio 4.1. Determinare i parametri a, b e c in modo tale che tra le traiettorie del s.d.d. {R, f } con f (x) = ax2 + bx + c vi sia il 3 ciclo {1, 2, 3}. Esercizio 4.2. Verificare che, se f, g ∈ C 3 , allora la derivata schwarziana della composizione f ◦ g è  2 D (f ◦ g) (x) = (Df ) (g (x)) · g (x) + (Dg) (x) . Esercizio 4.3. Provare il Lemma 4.8.

4.3 Biforcazioni di una famiglia ad un parametro di s.d.d. Con l’espressione famiglia ad un parametro di funzioni intendiamo una collezione di funzioni fa ciascuna delle quali è individuata da un valore numerico del parametro a che varia in un insieme numerico A. Analogamente, una famiglia ad un parametro di sistemi dinamici discreti è una collezione

4.3 Biforcazioni di una famiglia ad un parametro di s.d.d.

139

{I, fa } di s.d.d. dove fa : I → I e {fa }a∈A è una famiglia ad un parametro di funzioni definite nello stesso intervallo I. Ad esempio, l’insieme delle funzioni lineari da R in R è una famiglia ad un parametro di funzioni fa (x) = ax ed a ∈ R è il parametro in questione. La corrispondente famiglia di s.d.d. {R, fa} è stata studiata in dettaglio nel Capitolo 2. L’esempio più importante che vogliamo ulteriormente analizzare è quello della dinamica logistica discreta ha , con a ∈ [0, 4]. Spesso i fenomeni fisici manifestano una dipendenza continua dai parametri che figurano nelle leggi che li descrivono. Tuttavia in alcuni casi si manifestano grandi cambiamenti in corrispondenza a piccole variazioni dei parametri, come efficacemente si intende dire nel linguaggio comune mediante l’espressione “la goccia che fa traboccare il vaso”. Lo studio delle biforcazioni si occupa appunto di quelle particolari gocce: cioè studia i valori dei parametri che determinano cambiamenti qualitativi rilevanti. Studiamo in qualche esempio come varia il quadro delle traiettorie di una famiglia ad un parametro di s.d.d., al variare di tale parametro. Per fare questo si cerca di riassumere tutte le informazioni qualitative in un unico diagramma, detto diagramma di biforcazione di {I, f}: nell’insieme A × I si riportano i punti fissi di fa e delle sue iterate in funzione di a, si determinano i valori di a per cui tali punti sono attrattivi e si rappresenta graficamente questa situazione mediante frecce verticali che puntano agli equilibri; nelle regioni in cui gli equilibri sono repulsivi le frecce verticali se ne allontanano, con gli ovvi cambiamenti si rappresentano gli equilibri nel caso semistabile; si completa il diagramma con frecce verticali che siano coerenti con la dinamica nelle regioni prive di punti fissi.

Esempio 4.14. Rappresentiamo in un diagramma di biforcazione la dinamica associata alla famiglia fa (x) = ax di funzioni lineari, a ∈ R. Se |a| < 1, il s.d.d. ha un solo equilibrio, 0, che è stabile e globalmente attrattivo; se |a| > 1, allora 0 è ancora l’unico punto di equilibrio, ma è repulsivo; se a = 1, vi sono infiniti equilibri stabili, né attrattivi, né repulsivi; se a = −1, si hanno infinite orbite periodiche {α, −α}.

Fig. 4.6. Diagramma di biforcazione di {R, ax}

140

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Quando il valore di a cresce da −∞ a −1 (−1 escluso) la dinamica resta qualitativamente invariata, analogamente se a varia in (−1, 1) o se a varia in (1, +∞); ma quando a attraversa il valore −1 o il valore +1 si ha un cambiamento repentino.  È naturale cercare di formalizzare il fenomeno che corrisponde all’esistenza di un valore a0 del parametro tale che la dinamica corrispondente ad a < a0 sia diversa da quella corrispondente ad a > a0 . Definizione 4.15. Sia fa : I → I una famiglia ad un parametro a ∈ A di funzioni, I intervallo di R. Un valore a0 interno ad A si dice di biforcazione per {I, fa } se esiste ε > 0 tale che il numero dei punti di equilibrio sommato al numero dei punti distinti appartenenti ad orbite periodiche è costante in (a0 − ε, a0 ) e in (a0 , a0 + ε), ma le due costanti differiscono. Esempio 4.16. Sia I = R, fa (x) = aex , a ∈ R+ . Dall’analisi grafica deduciamo: • se 0 < a < e−1 , allora fa ha due punti fissi x0 e x1 , con 0 < fa (x0 ) < 1 < fa (x1 ) dunque x0 è stabile e attrattivo, x1 è repulsivo. Il bacino di attrazione di x0 è (−∞, x1 ); • se a = e−1 , allora fa ha un unico punto fisso x  = 1, che risulta inferiormente stabile ed attrattivo, superiormente instabile; il bacino di attrazione di x è (−∞, 1); • se a > e−1 , allora non vi sono punti fissi. Precisamente, da f (x) > x per ogni x ∈ R, si deduce che per ogni dato iniziale reale x risulta limk f k (x) = +∞ cioè non esistono punti fissi: dunque, per il teorema di Sharkovsky, se a > e−1 non esistono neanche orbite periodiche. L’analisi si può anche effettuare mediante il cambio di parametro b = ln a, studiando la famiglia gb (x) = ex+b = fa (x) al variare di b in R. Con tale scelta a = e−1 corrisponde a b = −1. In tal modo, scelti due valori b0 e b1 del parametro, i grafici di gb0 e gb1 si ottengono l’uno dall’altro mediante una traslazione orizzontale di b1 − b0 . b=− 1, 5

b=− 1

b=0

Fig. 4.7. Ragnatele relative ai s.d.d. {R, gb }, gb (x) = ex+b , b = −1, 5; −1; 0

4.3 Biforcazioni di una famiglia ad un parametro di s.d.d.

x

141

x

+1 +1 −1

O

b

e−1 a

Fig. 4.8. Diagrammi di biforcazione: {R, fa } ,{R, gb }, fa (x) = aex , gb (x) = ex+b

O

1

2

Fig. 4.9. Diagramma di biforcazione di {R, a arctan x}, a ∈ [0, 2]

Si ottengono gli stessi risultati qualitativi con il valore di biforcazione b0 = −1 che corrisponde al valore di biforcazione a0 = e−1 .  Esempio 4.17. Sia fa : R → R , fa (x) = a arctan x con a ∈ [0, 2]. Se 0 ≤ a ≤ 1, α = 0 è l’unico equilibrio globalmente asintoticamente stabile; se 1 < a ≤ 2, lo 0 è ancora equilibrio ma diventa repulsivo ed appaiono due altri equilibri, ±α, entrambi localmente asintoticamente stabili: il bacino di attrazione di quello positivo è (0, +∞), il bacino di attrazione di quello negativo è (−∞, 0).  Per effettuare una analisi elementare dei punti di biforcazione di un s.d.d. {I, f}, consideriamo in A × I l’insieme dei punti fissi e delle orbite periodiche: ∞ 7 s=1

{(a, α) ∈ A × I : fas (α) = α} .

142

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Sotto ipotesi ragionevoli circa la dipendenza di fa da a, tale insieme sarà un’unione di curve regolari, le cui intersezioni hanno tangenti distinte e sono isolate. In tale situazione, in base ad una analisi locale delle intersezioni, i punti di biforcazione possono essere suddivisi in tre classi: 1) 2)

3)

Una curva si ripiega in avanti o all’indietro (vedi Esempio 4.16). Questo caso è denominato biforcazione sella-nodo. Due curve si incontrano in un punto in un intorno del quale sono grafici in base a. Questo caso è denominato biforcazione transcritica. Come vedremo, la logistica ha presenta una biforcazione transcritica in a = 1. Due curve si intersecano in un punto in cui una delle due si ripiega in avanti o indietro (forchetta). La dinamica del s.d.d. associato può corrispondere a una variazione del numero di equilibri (biforcazione a forchetta, vedi Es. 4.15, a0 = 1) oppure ad un raddoppio di periodo (vedi ha , a0 = 3).

Ad esempio (si veda la Fig. 4.10), possiamo considerare la famiglia ha di mappe logistiche (senza limitarci all’intervallo [0, 1]) come trasformazioni di R in sè stesso al variare del parametro a, cioè i s.d.d. {R, ha } limitatamente ai valori del parametro a compresi in [0, 4): • se 0 < a < 1, allora vi sono due equilibri distinti: 0 localmente asintoticamente stabile e αa = (a − 1) /a, che è repulsivo; • se a = 1, allora i due equilibri si riducono ad uno solo, lo 0, che è superiormente stabile ed attrattivo ed inferiormente instabile e repulsivo; • se 1 < a < 3, allora 0 diventa repulsivo ed appare un altro equilibrio αa che appartiene a (0, 1) ed è localmente asintoticamente stabile; dunque a = 1 è valore di biforcazione (transcritica); • se a = 3, allora αa = 2/3 è localmente asintoticamente stabile: infatti h3 (α3 ) = −1 e l’affermazione segue dall’Osservazione 3.66. È facile convincersi mediante simulazioni numeriche che α3 attrae le orbite molto più lentamente di αa con 1 < a < 3; • se a > 3, allora anche αa è repulsivo (h (αa) = 2 − a < −1) e compare un’orbita √ 2 periodica che si mantiene stabile ed attrattiva nel’intervallo 3 < a < 1 + 6; dunque, a = 3 è di biforcazione (raddoppio di periodo). Ad illustrazione del caso 1 < a < 3, consideriamo ad esempio a = 2.

h1/2

h1

1

h2

1

Fig. 4.10. Parabole logistiche ha su R , a = 1/2, 1, 2

1

4.3 Biforcazioni di una famiglia ad un parametro di s.d.d.

143

1_ 2

1

Fig. 4.11. Alcune iterate di h2 : h2 , h22 , h52 , h10 2

I grafici delle iterate di h2 suggeriscono la proprietà lim hk2 (x) = α2 = 1/2 se k

0 < x < 1 (vedi Fig. 4.11). Si noti che la iterata decima ha un grafico con tratti quasi verticali. La prova delle affermazioni relative all’orbita periodica richiede un poco di analisi. Poiché h2a (x) = a2 x (1 − x) (1 − ax (1 − x)) ricordando che α = 0 e αa sono equilibri per il s.d.d. {[0, 1] , ha } per a > 1, la ricerca dei punti fissi di h2a si riduce alla soluzione di ax2 − (1 + a) x +

1+a =0 a

x ∈ [0, 1] ,

1 3, allora tale disequazione equivale a a2 − 2a − 5 < 0, cioè a < 1 + 6 . Da quanto ottenuto e dal Teorema 3.69 segue che se√a > 3 compare un’orbita 2 periodica, √ che si mantiene stabile finché a < 1 + 6 e diventa instabile per a > 1 + 6.

2 1 assicura (vedi (21) nell’Appendice A) che la serie dei passi è convergente: +∞ n=1 pn < +∞ . 3

4.3 Biforcazioni di una famiglia ad un parametro di s.d.d.

149

totico è tipico di molti sistemi dinamici (ad esempio, fa (x) = a sin (πx) oppure ga (x) = ax2 sin (πx) in [0, 1]). Più precisamente, se f verifica: • • • •

f : [0, 1] → R è dotata di tutte le derivate; f ha un unico punto di massimo x  ∈ (0, 1) tale che f  ( x) < 0; f è strettamente crescente in [0,  x) e strettamente decrescente in ( x, 1]; f ha derivata schwarziana (Df) (x) < 0 per ogni x ∈ [0, 1] con x = x  (vedi Definizione 4.11);

allora al variare del parametro a in [0, 1/f ( x)] i valori ak di biforcazione corrispondenti a raddoppi di periodo della collezione di s.d.d. {I, af} sono tali che le differenze ak − ak−1 formano una successione asintoticamente geometrica e: lim k

ak − ak−1 = F. ak+1 − ak

A differenza di F il valore del parametro a∞ = limn an può ovviamente dipendere da I e da f. Riepiloghiamo in una tabella i valori approssimati di alcuni valori di biforcazione per la logistica: i valori ak corrispondenti alla comparsa del 2k ciclo, il loro limite a∞ ed aω che denota il valore del parametro corrispondente alla comparsa del 3 ciclo.

Valori di biforcazione per la logistica ha

Periodo delle orbite (stabili se an < a ≤ an+1 )

a1 = 3

2

a2 a3 a4 a5

4 8 16 32

√ = 1 + 6 = 3, 449489 . . . = 3, 544090 . . . = 3, 564407... = 3, 568759...

a6 = 3, 569692... a7 = 3, 569891 . . . .. . an .. . a∞ = 3, 5699456 . . . √ aω = 1 + 8 = 3, 828427 . . .

64 27 .. . 2n .. . 3

150

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Esercizio   4.4. Tracciare un diagramma di biforcazione di {R, fa } con fa (x) = a x − x3 . Esercizio 4.5. Determinare i punti della traiettoria di periodo 2 per il s.d.d. {[0, 1] , ha } con 3 < a ≤ 4. Esercizio 4.6. Mostrare che la traiettoria 2 periodica {βa , γa } della √ dinamica logistica {[0,√1] , ha } con a > 3 è stabile ed attrattiva se 3 < a < 1 + 6, repulsiva se a > 1 + 6. √ Esercizio 4.7. Provare la stabilità del 2 ciclo {βa , γa } di ha se a = a2 = 1 + 6. (Suggerimento: Provare che dato il s.d.d. {I, f } ed una sua orbita periodica {β, γ}, se g = f 2 , allora g (β) = g (γ) = −1

2

e

2g (β) + 3 (g (β)) > 0 2 2g (γ) + 3 (g (γ)) > 0

implica che {β,√γ} è attrattiva e stabile. Quindi applicare tale proprietà ad f = ha2 , dove a2 = 1 + 6, e dedurne la stabilità del 2 ciclo). Esercizio 4.8. Determinare mediante una simulazione numerica al computer (cioè senza utilizzare le formule esplicite dell’Esercizio 4.2) i 2 cicli della parabola logistica ha per a = 3, 1, a = 3, 2 e a = 3, 3. Provare che per ciascuno dei tre valori del parametro esiste un unico 2 ciclo. Provarne direttamente la stabilità usando il Teorema 3.69. Disegnare alcune iterazioni con il metodo grafico per la ricerca di punti fissi di h2a con i valori scelti. Esercizio 4.9. Mediante simulazione numerica al computer determinare il 4 ciclo per ha se a = 3, 5. Provare poi che è stabile e attrattivo. Verificare graficamente (ragnatela) che è un 4 ciclo. Plottare ha e le sue intersezioni con l’identità (è il modo più rapido per trovare il ciclo). Si suggerisce di trovare le intersezioni con il metodo di Newton. Si ricorda l’opportunità di inizializzare con il valore critico X0 = 1/2. Esercizio 4.10. 1) Per il s.d.d. {[0, 1] , ha } il punto αa è un equilibrio stabile e attrattivo se e solo se 1 < a ≤ 3. Determinare l’unico valore b0 di a in (1, 3] per cui αa risulta superattrattivo (cioè h (αa ) = 0). 2) Per il s.d.d. {[0, 1] , ha } l’orbita 2 periodica {γa , βa } è stabile e attrattiva se e solo √ se 3 = a1 < a ≤ a2 = 1 + 6. Determinare  l’unico valore   b1 di a ∈ (a1 , a2 ) per cui l’orbita {γa , βa } è superattrattiva (cioè h2a (γa ) = h2a (βa ) = 0 ). Con riferimento ai valori ak di biforcazione corrispondenti alla cascata di raddoppi di periodo per la logistica ha si può provare che, per ogni k ∈ N, esiste bk tale che ak < bk < ak+1 , e per a = bk la logistica ha presenta un 2k ciclo superattrattivo ed il valore 1/2 appartiene a tale ciclo. √ Esercizio 4.11. Con a che varia in un intorno di aω = 1 + 8, plottare ha e (ha )3 , studiare graficamente e numericamente le soluzioni di (ha )3 (x) = x. Dedurne che per a < aω non esistono orbite 3 periodiche e per a ≥ aω vi sono orbite 3 periodiche. Calcolare numericamente un 3 ciclo per ha corrispondente al valore a = 3, 84. Provare poi che è stabile ed attrattivo.

4.4 Caos ed insiemi frattali

151

Esercizio 4.12. Verificare che la famiglia di s.d.d. {R, fa }, con fa (x) = ax(1 − x2 ) ed a ∈ R, presenta una biforcazione a forchetta.

4.4 Caos ed insiemi frattali In questo paragrafo introdurremo alcune nozioni utili alla descrizione della dinamica logistica per valori del parametro in corrispondenza ai quali tutti gli equilibri e tutte le orbite periodiche sono repulsivi. Anche al di fuori di tale contesto tali nozioni si sono rivelate paradigmi interpretativi di sorprendente generalità nello studio delle dinamiche non lineari. Cominciamo con l’esame di un esempio semplice, ma non quanto potrebbe apparire a prima vista. Esempio 4.20. La funzione tenda T è definita da  T : [0, 1] → [0, 1]

T (x) =

2x x ∈ [0, 1/2] 2 − 2x x ∈ [1/2, 1]

Vogliamo studiare il corrispondente sistema dinamico {[0, 1] , T }. Il lettore è invitato a considerare attentamente il comportamento delle iterate di T e a riflettere sulla dinamica corrispondente, prima di proseguire nella lettura del paragrafo. Come si vede dai grafici in Fig. 4.16, l’immagine di T k ricopre 2k volte l’intervallo [0, 1]. In particolare, posto Xk+1 = T (Xk ), se si sceglie X0 = 1/7 si ottiene la traiettoria Xk di valori 1 , 7

2 , 7

4 , 7

6 , 7

2 , 7

4 , 7

6 , 7

...

cioè 1/7 appartiene al bacino del 3 ciclo {2/7, 4/7, 6/7}. Ma la presenza di un 3 ciclo implica per il Teorema di Sharkowski l’esistenza di cicli di ogni periodo intero. Dunque la dinamica associata a T non è affatto banale; anzi, come preciseremo in seguito, manifesta una dipendenza assai sensibile dai dati iniziali, a causa del gran numero di oscillazioni delle iterate di T . Osserviamo che T k presenta 2k−1 picchi e corrispondentemente (Teorema degli zeri) 2k intersezioni col grafico dell’identità (comprese quelle banali x = 0 e x = 2/3): dunque, eliminati i due punti fissi di T , i rimanenti 2k − 2 punti corrispondono necessariamente ad orbite periodiche di T con un periodo che deve essere un divisore di k. In particolare sono tutti k cicli se k è primo: riassumendo, T ha due equilibri; per l’analisi di T 2 , T ha due equilibri ed un 2 ciclo; per l’analisi di T 3 , T ha due equilibri e due 3 cicli e così via.

152

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

T

T2

T3

T4

Fig. 4.16. Grafici di T , T 2 , T 3 e T 4 e dell’identità

Esempio 4.21. Mappa D del raddoppio di fase. D : [0, 2π) → [0, 2π)

D (θ) = 2θ (mod2π)

Il lettore pignolo obietterà che D non è continua. Tuttavia, oltre all’esistenza di importanti fenomeni descritti da leggi prive della proprietà di continuità, osserviamo che in realtà D ha una interpretazione geometrica e cinematica di grande importanza, e che corrisponde alla descrizione di un moto continuo: se si interpreta θ come la posizione (espressa mediante la variabile angolare) di una lancetta nel quadrante di un orologio, o come l’anomalia di un oggetto in movimento uniforme su un’orbita circolare, allora è chiaro che ogni posizione è individuata da molti valori diversi di θ, tuttavia la funzione D che raddoppia l’angolo, o “fase”, trasforma con continuità i punti corrispondenti

4.4 Caos ed insiemi frattali 2π

153

2π

0

π

2π

2π

0

π

2π

0

π

2π

2π

0

π

2π

Fig. 4.17. Grafici di D , D2 , D3 , D4 e dell’identità. Si osservi che Dk ha un grafico costituito da 2k tratti ascendenti

della circonferenza unitaria S:5 D:S→S ! dove S = (x, y) ∈ R2 : x = cos θ, y = sin θ, θ ∈ [0, 2π) . È immediato verificare che anche D ha almeno un’orbita 3 periodica (basta osservare che il grafico di D3 ha intersezioni con quello dell’identità in punti che non appartengono al grafico di D). Inoltre la dinamica di D esibisce orbite di ogni periodo intero. Questa proprietà va verificata direttamente poiché il Teorema 4.2 non si applica a funzioni continue da S in S: si consideri ad esempio f(ϑ) = ϑ + 2π k che esibisce solo punti k periodici.  Vi sono varie definizioni di dinamica caotica, comunque tutte cercano di quantificare le proprietà qualitative esibite dai s.d.d. {I, f} che, come nel caso 5

Ci consentiamo un lieve abuso di notazione, denotando con la stessa lettera una funzione diversa ma strettamente associata a D.

154

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

della funzione tenda T , presentano orbite periodiche dense in I e sono generate da una funzione f le cui iterate distorcono fortemente la topologia di I, determinando una estrema sensibilità alle variazioni dei dati iniziali. Definizione 4.22. Un s.d.d. {I, f} è caotico (si dice anche che ha una dinamica caotica) se: • le orbite periodiche sono dense (si considerano tutti i periodi interi, 1 incluso), cioè ogni intervallo (a, b) ⊆ I contiene almeno un punto appartenente ad un’orbita periodica; • f è topologicamente transitiva, cioè per ogni x, y ∈ I e per ogni ε > 0 esistono z ∈ I e k ∈ N tali che  k  f (z) − y < ε; |z − x| < ε, • {I, f} esibisce una dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, cioè esiste δ > 0 tale che, per ogni x ∈ I ed ε > 0 esistono z ∈ I e k ∈ N tali che  k  f (x) − f k (z) > δ. |x − z| < ε Osservazione 4.23. La sola presenza di orbite periodiche arbitrariamente vicine ad ogni punto di I non descrive necessariamente una dinamica caotica (ad esempio, si pensi al semplice caso lineare f (x) = −x), tuttavia la densità di orbite periodiche, unitamente alle altre due condizioni è un ingrediente tipico delle dinamiche caotiche (si pensi alla presenza contemporanea di orbite di tutti i periodi in presenza del periodo 3). Osservazione 4.24. La proprietà “f è topologicamente transitiva” è equivalente al verificarsi della condizione: “per ogni coppia di intervalli aperti non vuoti U , V ⊂ I esistono z ∈ U e k ∈ N tali che f k (z) ∈ V ”. Questo significa che comunque si scelgano due “piccoli” intervalli, in ognuno c’è almeno un punto la cui traiettoria transita nell’altro. Osservazione 4.25. La dipendenza sensibile dai dati iniziali ha il significato seguente: se le iterazioni di una funzione con tale proprietà modellano il comportamento a lungo termine di un sistema (economico, demografico, meteorologico, ecc.), allora errori comunque piccoli nella misurazione della inizializzazione possono comportare grandi differenze fra il valore effettivo e la stima dedotta dal modello. Poiché tutte le operazioni di misura sono affette da errori, si tratta di un limite ineludibile di cui tener conto nelle applicazioni, ad esempio limitando l’uso predittivo del modello a pochi passi o iterazioni. Non si esclude tuttavia che si evidenzino attrattori (eventualmente con geometria meno banale degli equilibri e delle orbite periodiche) relativamente ai quali risultino significative anche previsioni di lungo periodo. Osservazione 4.26. La Definizione 4.22 di dinamica caotica è una sorta di miscela tra caos e ordine, nel senso che esclude una descrizione contemporaneamente semplice ed ordinata della dinamica, tuttavia prescrive con precisione

4.4 Caos ed insiemi frattali

155

alcuni requisiti geometrico-topologici alle traiettorie: ad esempio, arbitrariamente vicino ad ogni punto vi sono orbite periodiche. D’altro canto se si interpreta il s.d.d. {I, f} come la deformazione di un filo elastico I mediante la trasformazione f, allora nel caso di dinamica caotica I viene ripiegato in sè stesso in modo sempre più complicato al crescere delle iterazioni di f. Se I è un intervallo non banale ed f è continua, si può semplificare la definizione di dinamica caotica come precisato nell’enunciato seguente, di cui omettiamo la dimostrazione. Teorema 4.27. Siano I ⊂ R un intervallo non banale ed f : I → I una funzione continua. Se f è topologicamente transitiva ed i punti appartenenti ad orbite periodiche di {I, f} sono densi in I, allora {I, f} esibisce anche una dipendenza sensibile ai dati iniziali, dunque f dà luogo ad una dinamica caotica in I. Verifichiamo la definizione di sistema dinamico caotico su esempi espliciti: le dinamiche generate dalla funzione tenda T e dal raddoppio di fase D sono caotiche rispettivamente in [0, 1] e [0, 2π) oppure S. Teorema 4.28. Il s.d.d. {[0, 1] , T } ha dinamica caotica. Prova. Occorre verificare le proprietà 1)-2)-3) della Definizione 4.22. Per seguire il ragionamento è utile tenere a mente i grafici di T e delle sue iterate (vedi Fig. 4.17); osserviamo che per effettuare simulazioni al computer delle iterazioni di funzioni è opportuno memorizzare ad ogni passo le composizioni ottenute, al fine di non far ripetere alla macchina inutilmente una grande quantità di passaggi. (1) Densità delle orbite periodiche: Se k ∈ N denotando con Ih gli intervalli [h2−k , (h + 1) 2−k ), 0 ≤ h ≤ 2k − 1, allora T k ristretta ad Ih è biunivoca a valori in [0, 1] (monotòna strettamente crescente se h è pari, strettamente decrescente se h è dispari); ne segue che {[0, 1] , T } ha esattamente 2k punti periodici di periodo s, 1 ≤ s ≤ k, ognuno dei quali appartiene ad un intervallo Ih , come si deduce applicando il Teorema degli zeri alla differenza T k (x) − x in ciascuno degli intervalli Ih . (2) T è topologicamente transitiva: Fissati x, y ∈ [0, 1] ed 0 < ε < 1/2, sia k ∈ N tale che 2k ε > 2. Allora l’immagine di (x, x + ε) mediante T k è esattamente [0, 1], dunque (x, x + ε) contiene punti la cui immagine mediante T k coincide con qualunque y ∈ [0, 1]. Ovviamente nell’argomento precedente (x, x + ε) va sostituito con (x − ε, x) se x + ε > 1. (3) La dipendenza sensibile dai dati iniziali: segue da (1) e (2) e dal teorema precedente, tuttavia la sua dimostrazione diretta è estremamente semplice: basta scegliere δ = 1/2 e ripetere l’argomento della prova di (2) per ottenere la tesi. 

Osservazione 4.29. Tutte le orbite periodiche di {[0, 1] , T } di cui si è provata l’esistenza nella verifica di (1) sono repulsive. Infatti |T  (β)| = 2 > 1 in ciascun punto β appartenente a tali orbite periodiche. Inoltre 0 (in cui non è definita la derivata) è repulsivo.

156

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Teorema 4.30. Il s.d.d. {[0, 2π), D} ha una dinamica caotica. Prova. I punti (2) e (3) si dimostrano in modo identico al caso di {[0, 1] , T } senza usare il Teorema 4.27. Per il punto (1) osserviamo che pur non essendo continua D, possiamo usare lo stesso argomento della dimostrazione precedente perché Dk (x)−x  è continua e cambia segno all’interno di ciascun Ih .

Osservazione 4.31. Anche per il s.d.d. {[0, 2π), D} tutti gli equilibri e le orbite periodiche sono repulsivi. A ben riflettere, la complessità delle dinamiche associate a T e D non è così sorprendente. Basta pensare alle operazioni che compie un pasticcere per preparare una pasta sfoglia: spianandola la allunga in una direzione, poi la ripiega su sè stessa, cioè (trascurando la direzione non allungata) compie la trasformazione T , quindi la ripete un gran numero di volte (k) cioè itera il procedimento operando la trasformazione T k . Alla fine della procedura non è sorprendente constatare che punti che erano prossimi possono ritrovarsi molto lontani fra loro; inoltre piccole porzioni iniziali ricoprono con la loro proiezione tutta la sfoglia. Invece, iterare D corrisponde ad allungare, tagliare e sovrapporre anziché ripiegare, ripetendo più volte la stessa operazione: nuovamente si otterrà un grande rimescolamento e non c’è speranza di mantenere la prossimità di tutte le coppie di punti. Studieremo ora alcuni esempi modello di insiemi frattali in R che appaiono nello studio della dinamica di alcuni s.d.d.. Definiamo in modo “informale” un insieme frattale come un sottoinsieme di R che verifica le proprietà seguenti: • ha una struttura fine, cioè i dettagli sono definiti su scale arbitrariamente piccole; • non è un oggetto geometrico elementare: non coincide né localmente, né globalmente con una unione di intervalli o di punti isolati; • la “dimensione” non è intera6 ;

Fig. 4.18. Pasta sfoglia: prime operazioni del pasticcere interpretate mediante le trasformazioni T e D iterate 6

Per una definizione formale di dimensione si veda l’Appendice E.

4.4 Caos ed insiemi frattali

157

• spesso esibisce proprietà di autosimilarità (o le approssima in modo statistico): le parti che lo costituiscono sono in corrispondenza biunivoca con tutto l’insieme mediante una semplice trasformazione geometrica; • spesso è possibile definirlo mediante la ripetizione ricorsiva di regole semplici. Esempio 4.32. Consideriamo l’esempio capostipite di insieme frattale: l’insieme di Cantor C (o insieme di Cantor del terzo-medio) che si ottiene rimuovendo dall’intervallo [0, 1] il segmento aperto intermedio (1/3, 2/3) ed iterando tale operazione sui segmenti rimanenti: ciò che rimane è appunto l’insieme di Cantor. Descriviamo i primi passi della costruzione: E0 = [0, 1] ) ( ( ) 2 1 ∪ E1 = 0, ,1 3 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 7 8 1 ∪ , ∪ , ∪ ,1 E2 = 0, 9 9 3 3 9 9 ... Ciascun Ek è unione di 2k , k ∈ N, intervalli di lunghezza 3−k e si pone C=

∞ 6

Ek

k=0

Osserviamo che: • C è autosimilare: la sua intersezione con uno qualsiasi degli intervalli al passo n nella costruzione precedente corrisponde ad un suo riscalamento di un fattore 3−n , a meno di una traslazione; • C ha una struttura fine: non riusciamo a disegnarlo o ad immaginarlo con precisione;

E0 E1 E2 E3 E4

Fig. 4.19. I primi quattro passi nella costruzione dell’insieme di Cantor

158

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

• la definizione ricorsiva è estremamente semplice, benché la topologia di C sia tutt’altro che banale: non è finito, né numerabile, è totalmente sconnesso (cioè non contiene alcun intervallo non banale), ha misura 1–dimensionale nulla, ma la dimensione corretta per “misurarlo” ha un valore strettamente compreso fra 0 e 1 (si veda Appendice F). Esempio 4.33. Consideriamo il s.d.d. {R, g} dove g = 3T /2. g ripiega R\ {1/2} e lo trasforma in due copie di (−∞, 3/2). g3 presenta punti fissi (che non sono punti fissi di g) dunque vi sono orbite di periodo 3 per g e, per il Teorema di Sharkovsky, anche orbite di ogni periodo intero.  Teorema 4.34. Se g = 3T /2 e C è l’insieme di Cantor, allora g (C) = C, cioè C è invariante per il s.d.d. {R, g}.

1.5

1

1

Fig. 4.20. Grafico di g (x) = 3T (x)/2 ; due punti fissi repulsivi: 0 , 3/4

Fig. 4.21. Grafici di g2 e g3 dove g (x) = 3T (x) /2

4.4 Caos ed insiemi frattali

159

_3 2

1

Fig. 4.22. Dinamica di {C, 3T/2}

Omettiamo la dimostrazione, ma osserviamo che l’insieme invariante C è repulsivo per la dinamica di g; infatti: • se x < 0, allora gk (x) = 3k x → −∞ se k → +∞; • se x > 1, allora g (x) < 0 e g k (x) = gk−1 (g (x)) = 3k−1 g (x) → −∞ se k → +∞; • se x ∈ [0, 1] \C, allora esiste h tale che per x ∈ [0, 1] \Eh , si ha   gh (x) > 1 ; gh+1 (x) < 0 ; gk (x) = gk−h gh (x) → −∞ per k → +∞ (gli insiemi Eh sono quelli definiti nella costruzione dell’insieme di Cantor). Si può anche dimostrare che le traiettorie contenute in C sono particolarmente erratiche, precisamente vale il seguente Teorema 4.35. La dinamica del s.d.d. {C, 3T /2} è caotica. Esempio 4.36. Se a > 4, allora la mappa logistica ha determina in R una dinamica simile a quella della funzione g = 3T /2 discussa in precedenza. Questo fatto può essere provato mediante la coniugazione topologica che sarà introdotta nel paragrafo successivo. 

160

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

1

1

Fig. 4.23. ha con a > 4

Definizione 4.37. Un insieme non vuoto E ⊆ R si dice insieme di tipo Cantor se • • •

E è chiuso e limitato; E è totalmente sconnesso, cioè non contiene intervalli con più di un punto; E non ha punti isolati, cioè se p ∈ E, allora ∀r > 0, (E\ {p}) ∩ (p − r, p − r) = ∅.

Esempio 4.38. Ct : Insieme di Cantor t-medio, 0 < t < 1. Analogamente alla costruzione dell’insieme di Cantor, a partire dall’intervallo chiuso [0, 1] applichiamo una procedura iterativa che consiste nel rimuovere un intervallo aperto centrato in ciascun intervallo residuo, di lunghezza t volte quella dell’intervallo che lo contiene. Non rimane l’insieme vuoto, perché almeno gli estremi di tutti gli intervalli aperti rimossi (che sono infiniti) sono nell’insieme. Gli insiemi di Cantor t-medi (in particolare, C corrispondente ad t = 1/3) sono insiemi di tipo Cantor.  Elenchiamo alcune proprietà del s.d.d. {R, ha }, con a > 4, senza riportarne la dimostrazione. Fissato a: • l’insieme R = x ∈ [0, 1] : hka (x) ∈ [0, 1]

∀k ∈ N

!

che è per definizione invariante rispetto ad ha , è un insieme di tipo Cantor; • R è repulsivo: limk hka (x) = −∞ ∀x ∈ R\R; • la dinamica di ha ristretta ad R è caotica. Concludiamo questo paragrafo riportando senza dimostrazione un risultato importante che chiarisce come l’esistenza di orbite di periodo 3 oltre all’esistenza di tutti gli altri periodi comporta una dinamica che rimescola molto la dinamica di alcuni sottoinsiemi del dominio della funzione in esame.

4.4 Caos ed insiemi frattali

161

Teorema 4.39 (T.Y. Li & J.A. Yorke, 1975). Se il s.d.d. {I, f}, dove I è un intervallo ed f : I → I è una funzione continua, ha un’orbita periodica di minimo periodo 3, allora esiste un sottoinsieme E ⊆ I non numerabile e non contenente alcuna orbita periodica, tale che: per ogni x, y ∈ E con x = y valgono   max lim f k (x) − f k (y) > 0 k

  min lim f k (x) − f k (y) = 0 ; k

per ogni x ∈ E ed y ∈ I con y periodico, si ha   max lim f k (x) − f k (y) > 0 . k

La tesi del Teorema 4.39 viene espressa in modo colloquiale nella forma seguente “il periodo 3 implica caos”. Tale affermazione è corretta solo in un contesto in cui (nella definizione di caos) non si richiede la densità delle orbite periodiche in tutto I, e limitatamente ai s.d.d. scalari. Esercizio 4.13. Consideriamo una lancetta che si muove con velocità angolare uniforme ed unitaria nel quadrante di un cronometro, cioè compie un giro in 60 unità di tempo (secondi). Descrivere il s.d.d. che fa corrispondere alle varie posizioni iniziali le traiettorie della lancetta ad intervalli di tempo di un secondo. Dire se tale s.d.d. è topologicamente transitivo, se le orbite periodiche sono dense, e se vi è dipendenza sensibile dai dati iniziali. Esercizio 4.14. Consideriamo un orologio con due lancette, quella delle ore e quella dei minuti, che si muovono a scatti, la prima ogni ora, la seconda ogni minuto. Descrivere la dinamica Xk = ϕk − ψk dove ϕk è la posizione angolare delle lancette delle ore e ψk di quella dei minuti (si considerino angoli in [0, 2π)). Esercizio 4.15. Consideriamo il s.d.d. {R, g} dove g (x) = 10x. Mostrare che tale s.d.d. lineare non è caotico, tuttavia esibisce dipendenza sensibile dai dati iniziali. Dunque quest’ultima proprietà non si presenta solo nelle dinamiche non lineari ma anche in quelle lineari. Esercizio 4.16. Provare che esiste un insieme denso E ⊂ [0, 1] tale che per ogni X0 ∈ E si ha limk T k (X0 ) = 0 (per la precisione, esiste k0 = k0 (X0 ) tale che T k (X0 ) = 0 per ogni k > k0 ), dove T è la funzione tenda. Esercizio 4.17. Provare che esiste un insieme denso E ⊂ [0, 1] tale che per ogni X0 ∈ E si ha limk Dk (X0 ) = 0 (per la precisione, esiste k0 = k0 (X0 ) tale che Dk (X0 ) = 0 per ogni k > k0 ), dove D è la mappa del raddoppio di fase. Esercizio 4.18. Utilizzando la caratterizzazione di insiemi frattali autosimili ed il Teorema F.1 (si veda l’Appendice F), determinare la dimensione di Hausdorff dell’insieme di Cantor e, più in generale, la dimensione di Hausdorff di un insieme di tipo Cantor t medio. Esercizio 4.19. Sia A = C1/2 . Determinare la dimensione di A e di A × A.

162

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Esercizio 4.20. Il Sierpinski gasket quadrato Q si ottiene da un quadrato con il bordo e l’interno, suddiviso in nove quadrati uguali, rimuovendo quelli non adiacenti ai vertici e iterando l’operazione. Calcolarne la dimensione di Hausdorff. Esercizio 4.21. Modificare la costruzione dell’Esercizio precedente suddividendo in sedici quadrati uguali e calcolare la dimensione di Hausdorff dell’insieme W così ottenuto.

4.5 Coniugazione topologica di sistemi dinamici discreti A volte lo studio diretto di un s.d.d. risulta sorprendentemente difficoltoso, ma è possibile studiare un altro sistema che è più semplice da analizzare ed ha il quadro delle fasi qualitativamente identico a quello in esame. In tale caso i due s.d.d. si diranno topologicamente coniugati. Vedremo, ad esempio, che la funzione tenda T in [0, 1] ha una dinamica topologicamente coniugata a quella della parabola logistica h4 in [0, 1]; questo fatto ci consentirà di provare, tra l’altro, che la parabola logistica corrispondente al valore 4 del parametro ha una dinamica caotica. L’idea di partenza è molto semplice: dato un s.d.d. {I, f}, se si cambiano ragionevolmente le coordinate nel dominio I e nell’immagine f (I), e si cambia coerentemente la funzione f, allora gli aspetti qualitativi del quadro delle fasi non dovrebbero cambiare. Definizione 4.40. Siano I, J ⊂ R intervalli e f : I → I, g : J → J. Le funzioni f e g si dicono topologicamente coniugate se esiste ϕ : I → J continua, invertibile, con inversa ϕ−1 continua tale che g = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 .

(4.2)

In tal caso, ϕ si dice coniugazione topologica di f e g. Analogamente, i s.d.d. {I, f} e {J, g} si dicono topologicamente coniugati se f e g sono topologicamente coniugate. Si noti che (4.2) è equivalente a ciascuna delle seguenti relazioni g◦ϕ= ϕ◦f

f = ϕ−1 ◦ g ◦ ϕ

ϕ−1 ◦ g = f ◦ ϕ−1

come è facile verificare effettuando adeguate composizioni con ϕ e ϕ−1 e semplificando. Grazie a questa equivalenza, per verificare la eventuale coniugazione topologica negli esempi si sceglie di volta in volta la più comoda tra le precedenti uguaglianze. La situazione di coniugazione tra f e g è rappresentata dal diagramma f

−1

ϕ

I −→ I ↑ ↓ϕ g J −→ J

4.5 Coniugazione topologica di sistemi dinamici discreti

163

Osservazione 4.41. Se ϕ : I → J è continua, invertibile, con inversa continua, allora è strettamente monotòna e: 1) 2) 3)

U ⊂ I è chiuso in I se e solo se ϕ (U ) è chiuso in J; la successione {Xk } è convergente in I se e solo se la successione {ϕ (Xk )} è convergente in J; A ⊂ I è denso in I ⇔ ϕ (A) è denso in J.

Teorema 4.42. Siano I, J ⊂ R intervalli, f : I → I, g : J → J due funzioni, e ϕ : I → J una coniugazione topologica tra f e g. Allora: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii)

ϕ ◦ f k = gk ◦ ϕ, per ogni k ∈ N, cioè anche f k e gk sono topologicamente coniugate; se la successione {Xk } è una traiettoria di {I, f}, allora la successione {ϕ (Xk )} è una traiettoria di {J, g}; α è un punto s periodico per {I, f} se e solo se ϕ (α) è punto s periodico per {J, g} ; se A ⊂ I è un attrattore e B ⊂ I è il suo bacino di attrazione, allora ϕ (A) è un attrattore e ϕ (B) è il suo bacino di attrazione; le orbite periodiche di {I, f} sono dense in I se e solo se le orbite periodiche di {J, g} sono dense in J; {I, f} è topologicamente transitivo se e solo se {J, g} è topologicamente transitivo; {I, f} è caotico se e solo se {J, g} è caotico.

Prova. Per le prime sei affermazioni si tratta di semplici verifiche da effettuarsi nell’ordine di enunciazione. Limitiamoci alla verifica della prima:      ϕ ◦ f k = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 · · · ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 ϕ = gk ◦ ϕ. -. / , k volte

La (vii) segue da (v), (vi) e dal Teorema 4.27.



Relativamente alle (v), (vi) e (vii) osserviamo che la dipendenza sensibile dai dati iniziali da sola non si conserva in generale per coniugazione topologica, come mostra il controesempio seguente. ! ! Esempio 4.43. Siano (0, 1) , x2 e (1, +∞) , x2 . Allora ϕ (x) = 1/x è una coniugazione topologica tra i due s.d.d.. Ma il primo non ha una dipendenza sensibile dai dati iniziali, dato che 0 ne attrae tutte le traiettorie, men0 ∈ (1, +∞) e tre ha dipendenza sensibile dai dati iniziali: X0 , X   il secondo    X0 − X0  = ε > 0 implicano      k  = X 2k − X  2k  = Xk − X 0 0     0  X 2k−1 + X 2k−2 X  2k−1 ≥ 2kε. 0 + · · · + X = X0 − X 0 0 0 Tuttavia vale il seguente teorema di cui non diamo la dimostrazione.



164

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

Teorema 4.44. La dipendenza sensibile dai dati iniziali si preserva per coniugazione topologica se l’intervallo I (e di conseguenza anche J) è chiuso e limitato. Esplicitiamo alcuni importanti risultati che seguono facilmente dagli strumenti introdotti in questo paragrafo. Teorema 4.45. La mappa logistica di parametro 4, h4 in [0, 1] , è topologicamente coniugata alla funzione tenda T in [0, 1] , dove T è definita nell’Esempio 4.20. Prova. La funzione ϕ (x) = (sin (πx/2))2 è una coniugazione topologica tra i due s.d.d. {[0, 1] , h4 } e {[0, 1] , T }. Infatti ϕ ([0, 1]) = [0, 1], ϕ è continua in [0, 1], strettamente monotòna e inoltre:     π 2   π 4

  π 2  2 π sin cos h4 (ϕ (x)) = 4 − sin = = 4 sin x x x x 2 2 2 2  (sin (πx))2 se 0 ≤ x ≤ 1/2 = = (sin (πx))2 = (sin (πx − π))2 se 1/2 < x ≤ 1 = ϕ (T (x)) .



Il primo esempio del paragrafo 4.2 mostra che la dinamica! di un s.d.d. associato ad una funzione unimodale come R, ax2 + bx + c con a < 0 può presentare orbite di periodo 3. La coniugazione topologica ed i Teoremi 4.44 e 4.45 assicurano che la dinamica della logistica h4 in [0, 1] produce orbite di periodo 3: questo in realtà √ avviene a partire dal valore aω di a (con aω = 1 + 8 = 3, 828427...). Dunque, in accordo con il Teorema di Sharkovsky, se a > aω allora la logistica ha traiettorie periodiche di ogni periodo intero. Teorema 4.46. La mappa logistica di parametro 4 determina una dinamica caotica in [0, 1] ed il quadro delle traiettorie di {[0, 1] , h4 } coincide qualitativamente con il quadro delle traiettorie di {[0, 1] , T }. Prova. È una conseguenza immediata dei Teoremi 4.28, 4.42 e 4.45.



Osserviamo che, dati due s.d.d., non è in generale semplice verificare se sono topologicamente coniugati. Il riscontro di eventuali differenze nella dinamica prova che non lo sono (vedi Teorema 4.42). Invece, provare la coniugazione topologica corrisponde alla determinazione esplicita della funzione di coniugazione ϕ. Le tecniche del paragrafo 3.9 consentono in alcuni casi di esplicitare tale coniugazione topologica: il Teorema 3.74 fornisce esplicitamente la coniugazione tra un s.d.d. non lineare e un s.d.d. lineare. Nell’Esempio 3.77 si prova la coniugazione topologica di {(0, 1/2) , h2 } con {(0, +∞) , 2x}; le considerazioni successive al Teorema 3.74 consentono di esplicitare le soluzioni in forma non ricorsiva per casi più complicati mediante trasformazioni non biunivoche

4.5 Coniugazione topologica di sistemi dinamici discreti

165

(si veda l’analisi di h4 nell’Esempio 3.78). Nelle ipotesi del Teorema 3.74, utilizzando le notazioni del paragrafo 3.9, osserviamo che J = ψ (I) è un intervallo, i s.d.d. {I, f} e {J, bx} sono topologicamente coniugati, la coniugazione topologica è data da ψ e risulta f = ψ−1 ◦ v ◦ ψ. Osserviamo infine che il s.d.d. {J, bx} è ben definito (cioè per ogni y ∈ J risulta by ∈ J); anche questo fatto è una conseguenza del Teorema 3.74, infatti se y ∈ J allora esiste x ∈ I tale che y = ψ (x), dunque, posto x  = f (x) si ottiene by = bψ (x) = ψ ( x) che ovviamente appartiene a J. Esercizio 4.22. Verificare che il cambio di variabili ϕ (x) = x − b/ (1 − a), utilizzato nella dimostrazione del Teorema 2.5 per studiare il s.d.d. {R, ax + b} nel caso a = 1, è effettivamente una coniugazione topologica tra la funzione lineare affine f (x) = ax + b e la funzione lineare g (x) = ax. Esercizio 4.23. Mostrare con un esempio che due s.d.d. lineari possono non essere topologicamente coniugati. Esercizio 4.24. Siano f e g topologicamente coniugate, ed x  un punto fisso per f : f ( x) = x . Dimostrare che se  t è il punto corrispondente a x  mediante una coniuga zione topologica, allora  t è punto fisso per g: g  t = t (la coniugazione topologica preserva i punti fissi ). Esercizio 4.25. Dimostrare che se f e g sono topologicamente coniugate mediante una funzione ϕ monotòna crescente ed esiste un intervallo H contenuto nel dominio I di f tale che f (x) > x per ogni x ∈ H, allora risulta g (t) > t per ogni t ∈ ϕ (H). Esercizio 4.26. Mostrare che i sistemi dinamici {[0, 1] , h4 } e {[0, 1] , g} dove g (x) = % & min 4x2 , 4 (x − 1)2 non sono topologicamente coniugati, nonostante il fatto che sia h4 sia g sono unimodali, continue, suriettive e strettamente monotòne crescenti in (0, 1/2), decrescenti in (1/2, 1). Esercizio 4.27. Provare che se f e g sono topologicamente coniugate mediante ϕ, ed f è monotòna in un intervallo H, allora anche g è monotòna (nello stesso senso) in ϕ (H) (la coniugazione topologica preserva la monotonia).

Si osservi che dagli esercizi precedenti segue una condizione necessaria per la coniugazione topologica fra due funzioni f e g: vi deve essere una corrispondenza tra tutti gli eventuali punti e/o intervalli in cui f e g coincidono con la funzione identità. Esercizio 4.28. Dimostrare che il Teorema di Sharkovsky vale anche per i s.d.d. del tipo {I, f } con I intervallo aperto. Esercizio 4.29. Utilizzare gli schemi di approssimazione numerica di Eulero esplicito ed Eulero implicito (si veda l’Esempio 1.20) per approssimare la soluzione del seguente problema di Cauchy, relativo all’equazione differenziale ordinaria della crescita logistica a tempo continuo   u = b (u − u2 ) u(0) = u0 ,

166

4 Complessità dei sistemi dinamici non lineari: biforcazioni e caos

dove l’incognita u è una funzione continua e derivabile in [0, ∞) e i parametri reali b ed u0 sono assegnati e verificano b > 0, 0 < u0 < 1 . Analizzare il comportamento delle soluzioni ottenute con i due schemi numerici utilizzando la teoria sviluppata nei Capitoli 3 e 4.

4.6 Metodo di Newton Un esempio notevole di s.d.d. è quello associato al metodo di Newton per la determinazione degli zeri di funzioni non necessariamente polinomiali. Si tratta di un metodo iterativo che consente di ottenere una buona approssimazione numerica del risultato in ipotesi molto generali: è necessario accontentarsi di una approssimazione, perché in generale non sono disponibili formule risolutive neppure per calcolare gli zeri di polinomi di grado quinto o superiore. Il metodo di Newton è molto utilizzato per la sua grande efficienza numerica, benché si tratti di una tecnica ormai classica. Il metodo di Newton per la ricerca degli zeri di una funzione g derivabile consiste nel seguente metodo iterativo: si costruisce la funzione

Ng (x) = x −

g (x) g (x)

il cui dominio coincide con quello di g, privato degli zeri di g , poi, a partire da un valore X0 , si genera per ricorrenza la successione X = {Xk } iterando la funzione Ng : X1 = Ng (X0 ) , X2 = Ng (X1 ) , . . . , Xk+1 = Ng (Xk ) = Ngk+1 (X0 ) .

X0

X1

X2

Fig. 4.24. Metodo di Newton

4.6 Metodo di Newton

167

Se g ha almeno uno zero e la scelta di X0 è stata effettuata in modo opportuno, la successione X risulta rapidamente convergente ad una soluzione dell’equazione g (x) = 0 x ∈ dom (g) . Quando X0 ∈ R e g è una funzione reale di variabile reale, il significato geometrico della successione X è il seguente: noto Xk , si traccia la tangente in (Xk , g (Xk )) al grafico di g e si denota con Xk+1 l’ascissa della sua intersezione con l’asse reale. Per questo motivo il metodo di Newton è anche noto come metodo delle tangenti. Osservazione 4.47. I punti fissi di Ng sono gli zeri di g in cui la derivata g non si annulla. Volendo studiare la stabilità di un punto fisso α del s.d.d. g (x) g  (x)  associato a Ng , supposta g ∈ C 2 , possiamo calcolare (Ng ) (x) = 2 (g (x))   da cui, se g (α) = 0 e g (α) = 0, si deduce (Ng ) (α) = 0. L’Osservazione precedente ed il Teorema 3.57, provano il seguente Teorema 4.48. Se g (α) = 0 e g  (α) = 0, allora α è localmente asintoticamente stabile per Ng (più precisamente, è superattrattivo). Il risultato precedente, utile sul piano teorico, non precisa ai fini pratici quanto vicino ad α si debba partire (scelta di X0 ) per sentire l’effetto dell’attrattività locale di α. Più utile è il seguente risultato elementare, che richiamiamo senza dimostrazione, relativo alla ricerca degli zeri di una funzione reale di variabile reale. Teorema 4.49. Sia g : [a, b] → R una funzione convessa e derivabile, con g (a) < 0 < g (b). Allora g ha uno ed un solo zero α in (a, b). Inoltre, comunque si scelga X0 ∈ [a, b] tale che g (X0 ) > 0, la successione {Xk } generata con il metodo di Newton a partire da X0

Xk+1 = Xk −

g (Xk ) g (Xk )

è definita per ogni k in N e converge ad α in modo decrescente lim Xk = α, k

α < Xk+1 < Xk < X0

∀k ∈ N.

Se, inoltre, g ∈ C 2 ([a, b]), allora vale la seguente stima dell’errore: 0 < Xk+1 − α
0 non ha divisori comuni maggiori di 1. (k) Se una catena di Markov è aperiodica, allora esiste k ∈ N\ {0} tale che mii > 0 per ogni i. Con la terminologia introdotta possiamo riformulare il Lemma 7.32 ed il Teorema 7.36 come segue. Lemma 7.45. Se M è irriducibile e ha uno stato aperiodico, allora ogni suo stato è aperiodico. Teorema 7.46. Sia M la matrice di transizione di una catena di Markov ir(k) riducibile e aperiodica. Allora esiste k0 ∈ N\ {0} tale che mij > 0 per ogni k > k0 e per ogni i, j. Se una catena di Markov ha matrice di transizione che soddisfa le ipotesi del Teorema 7.13 (Frobenius) allora l’esistenza, l’unicità e la stabilità globale della distribuzione di probabilità invariante è garantita solo nel caso h = 1. Definizione 7.47. Data una catena di Markov ad n stati, un suo stato si si dice: • transiente se esiste uno stato sj con sj = si tale che si → sj ma sj → si ; • ricorrente se non è transiente, cioè se: si → sj ⇒ sj → si . In parole semplici: uno stato è ricorrente se il processo prima o poi vi tornerà sicuramente, ossia vi tornerà infinite volte; uno stato è transiente se il processo dopo esservi transitato può non tornarci più. Si noti che per una catena di Markov (con un numero finito di stati): 1. 2. 3. 4.

ogni stato è in modo esclusivo transiente oppure ricorrente; uno stato assorbente è un particolare stato ricorrente; se uno stato è ricorrente allora comunica con se stesso; gli stati non possono essere tutti transienti (perché la dinamica deve compiere infiniti passi); 5. uno stato ricorrente che non è assorbente può comunque essere visitato infinite volte in tempi successivi. Per quanto riguarda invece la partizione in classi comunicanti di una catena di Markov, valgono le seguenti conclusioni: 1. gli stati in una classe comunicante o sono tutti transienti o sono tutti ricorrenti; nel primo caso la classe si dice transiente, nel secondo ricorrente; 2. ogni classe comunicante è chiusa se e solo se è ricorrente. Una conseguenza rilevante di quanto appena esposto è il seguente enunciato. Teorema 7.48. Una catena di Markov (con un numero finito di stati) irriducibile ha tutti gli stati ricorrenti.

7.3 Ancora sulle Catene di Markov

285

Esempio 7.49. Gli stati ricorrenti dell’Esempio 6.31 (vedi Fig. 6.6) sono “vince A” e “vince B”. Tutti gli altri stati sono transienti. Si noti che gli stati transienti “vantaggio A”, “vantaggio B” e “parità” possono essere visitati più volte da una traiettoria, mentre tutti altri stati transienti possono essere visitati al più una volta. Osserviamo inoltre che la catena è assorbente ed i suoi stati assorbenti sono gli stati ricorrenti “vince A” e “vince B”. Questo vale in generale: gli stati assorbenti di una catena assorbente sono ricorrenti. La matrice di transizione riferita ai possibili andamenti di un game giunto in una situazione di parità (ordinando i cinque stati assorbenti o ricorrenti da sinistra a destra come in Fig. 6.6) è ⎡ ⎤ 1 pA 0 0 0 ⎢ 0 0 pA 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 pB 0 pA 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 pB 0 0 ⎦  0 0 0 pB 1 . Riassumendo le considerazioni precedenti, per le probabilità invarianti di una catena di Markov, valgono le seguenti conclusioni: T  1. se si è uno stato transiente e P = P1 P2 · · · Pn è una distribuzione di probabilità invariante per la matrice di transizione M, allora Pi = 0; 2. vi sono q vettori distribuzione di probabilità invariante linearmente indipendenti se e solo se la catena ha q classi di stati ricorrenti; 3. una catena ha un unico vettore distribuzione di probabilità invariante se e solo se ha un’unica classe di stati ricorrenti e Pi = 0 se si transiente ,

Pi > 0 se si ricorrente ;

4. se una catena è irriducibile allora esiste un unico vettore distribuzione di probabilità invariante e risulta P 0; 5. se una catena è (irriducibile e) primitiva allora l’unica distribuzione di probabilità invariante è globalmente attrattiva per il s.d.d. associato. Osservazione 7.50. Le definizioni di matrice riducibile e irriducibile sono state introdotte solo nel caso di matrici quadrate di ordine n > 1 (Definizione 7.4): l’esclusione del caso n = 1 è naturale qualora ci si riferisca alle proprietà della decomposizione in blocchi di una matrice, come è nel caso della Sezione 7.1. Nulla impedisce di rimuovere la restrizione sull’ordine, ricorrendo ad una definizione convenzionale. Tuttavia l’opportunità della convenzione varia a seconda del contesto. In un approccio puramente algebrico (Sezione 7.1) conviene considerare irriducibili tutte le matrici quadrate di ordine n = 1 in modo tale da conservare la validità del Teorema 7.29 anche per n = 1: ma nel caso dei grafi tale convenzione corrisponderebbe a considerare solo grafi dotati di cappi in ogni vertice. Per questo motivo, nel contesto dei grafi e delle

286

7 Matrici positive e grafi

catene di Markov, è più naturale stabilire per convenzione che una matrice di ordine 1 è riducibile (rispettivamente irriducibile) se il suo unico elemento è nullo (rispettivamente diverso da 0), in modo tale da conservare l’equivalenza tra forte connessione del grafo e irriducibilità della sua matrice di adiacenza anche per l’ordine 1.

7.4 Algoritmo PageRank: perché un buon motore di ricerca sembra leggere nel pensiero di chi lo interroga Esaminiamo un’applicazione di grande successo delle proprietà delle matrici discusse in questo capitolo: l’algoritmo PageRank utilizzato dal motore di ricerca Google ideato nel 1998 da Sergei Brin e Lawrence Page. Il nome commerciale Google rimanda ad un numero stratosferico (google=10100): il motivo è che la scala del problema che i motori di ricerca devono affrontare e risolvere è immensa. Il problema risolto da Google nel rispondere ai milioni di queries quotidiane consiste nel fornire delle risposte ciascuna delle quali deve ordinare miliardi di pagine Web1 . Il requisito essenziale per il successo di tale procedura è un valido e veloce criterio di ordinamento di tutte le pagine che soddisfano i criteri delle query in oggetto. Una volta ottenuto un metodo efficiente per ordinare le pagine Web in rapporto alla loro significatività si può utilizzare lo stesso criterio di ordinamento nella risposta a ciascuna singola query. Il meccanismo esatto del funzionamento di Google non è pubblicamente noto (ovviamente molti dettagli algoritmici sono segreti tutelati da copyright) ed alcuni aspetti della sua notevole efficienza sono chiariti solo in parte [5],[4],[13], comunque esso si basa su una procedura di ordinamento fra pagine che prescinde dal loro effettivo contenuto ed utilizza la struttura topologica del Web, cioè il tipo di connessioni esistenti fra le pagine internet. L’idea è quella di associare ad ogni pagina un indice di significatività (authority measure) che dipenda dal numero delle citazioni (hyperlinks o brevemente links) ottenute da altre pagine e dall’indice di significatività di queste ultime: tale procedura è denominata algoritmo PageRank. Descriviamo nel seguito un modo euristico per introdurre e calcolare l’indice di significatività, introducendo un modello della navigazione su Internet come processo descritto da una catena di Markov. Un insieme di pagine Web P1 , . . . , Pn può essere rappresentato come un grafo orientato G = (V, L) ove i vertici vi coincidono con le pagine Pi e il lato (vj , vi ) ∈ L se e solo se esiste un link dalla pagina Pj alla pagina Pi . Indichiamo con A = [aij ] la matrice di adiacenza di G = (V, L), quindi  1 se esiste il link da Pj a Pi . aij = 0 se non esiste il link da Pj a Pi 1

Per il “vocabolario” del Web un utile riferimento è la pagina www.webopedia.com.

7.4 Algoritmo PageRank

287

Si noti che la somma degli elementi della i-esima riga di A rappresenta il numero delle pagine che hanno un link che conduce a Pi , mentre la somma degli elementi della j-esima colonna di A rappresenta il numero di pagine alle quali si può pervenire partendo da Pj . La dimensione della matrice A è gigantesca, si pensi che già nel 1997 si stimava la presenza di circa 100 milioni di pagine Web, cifra che è enormemente aumentata nel momento in cui scriviamo e che sarà aumentata ulteriormente nel momento in cui leggerete questa pagina! L’indice di significatività xj ≥ 0 della j-esima pagina Pj deve soddisfare due requisiti: da una parte deve risultare elevato se si riferisce ad una pagina citata da molte altre pagine, dall’altra deve risultare elevato se riferito ad una pagina citata da (eventualmente poche) pagine molto significative. Dunque il mero conteggio dei link che puntano ad una pagina non è adeguato a rappresentarne l’indice di significatività (non soddisfacendo al secondo requisito); più adeguato appare definire l’indice di significatività xj della pagina Pj in modo tale che esso risulti proporzionale, con costante di proporzionalità c uguale per tutte le pagine, alla somma degli indici di significatività delle pagine che rinviano a Pj tramite un link. Illustriamo con un esempio quanto introdotto. Esempio 7.51. Date quattro pagine Web P1 , P2 , P3 e P4 , supponiamo che la pagina P1 sia citata dalla pagina P2 , la pagina P2 sia citata da P1 e P4 , la pagina P3 sia citata solo da P2 e la pagina P4 sia citata da tutte le altre tre pagine. Gli indici di significatività x1 , x2 , x3 e x4 sono soluzioni positive del seguente sistema lineare algebrico: ⎧ x1 = c x2 ⎪ ⎪ ⎨ x2 = c (x1 + x4 ) (7.8) x ⎪ 3 = cx2 ⎪ ⎩ x4 = c (x1 + x2 + x3 ) Se A è la matrice di adiacenza corrispondente al grafo delle connessioni fra  T pagine Web ed x = x1 x2 x3 x4 è il vettore dei livelli di significatività delle quattro pagine, in termini vettoriali il problema precedente si riscrive come x = cAx o, essendo c = 0, Ax = λx avendo posto λ = 1/c. Esplicitamente: ⎤ ⎡ 0 1 0 0 ⎢ 1 0 0 1 ⎥ ⎥ (7.9) A = ⎢ ⎣ 0 1 0 0 ⎦ . 1 1 1 0 Risolvendo (7.8) si ottengono i valori: cA = 0, 5651978 , autovalore dominante λA = 1, 769292 , autovettore dominan A = [ 0, 321595 0, 568996 0, 321595 0, 685125 ]T . te R L’ordinamento delle pagine rispetto all’indice di significatività ottenuto in tal 4 > R 2 > R 1 = R 3 . modo è: R 

288

7 Matrici positive e grafi

L’esempio precedente evidenzia come la ricerca dell’indice di significatività per un dato set di pagine Web sia riconducibile alla ricerca di un autovalo della matrice di adiacenza re positivo λ con associato autovettore positivo R del grafo associato alle pagine Web considerate. Ovviamente data la natura del problema, è auspicabile che le soluzioni cercate siano uniche, o perlomeno, se non sono uniche, che tutte le soluzioni trovate diano luogo allo stesso  j di ciascuna pagina Pj . ordinamento per indice di significatività dei rank R Osserviamo che la considerazione della matrice di adiacenza (che assegna un peso pari ad 1 ad ogni pagina in uscita da una data pagina) rischia di sopravvalutare l’indice di significatività delle pagine che presentano molti link in entrata da pagine poco rilevanti e/o che sono poco selettive nell’inserire i link. È quindi opportuno considerare la matrice M = [mij ] i cui elementi soddisfano  mij =

1/Nj 0

se esiste il link da Pj a Pi se non esiste il link da Pj a Pi

(7.10)

ove Nj , per j = 1, . . . , n, indica il numero delle pagine alle quali si può pervenire in un passo partendo dalla pagina Pj (ossia Nj è la somma degli elementi della colonna j-esima della matrice A). Con tale procedura, nel caso dell’Esempio 7.51, alla matrice (7.9) si sostituisce ⎤ 0 1/3 0 0 ⎢ 1/2 0 0 1 ⎥ ⎥ M = ⎢ ⎣ 0 1/3 0 0 ⎦ . 1/2 1/3 1 0 ⎡

(7.11)

Risolvendo Mx = λx si ottiene: cM = 1 , autovalore dominante λM = 1 , autovettore dominante RM = [ 0, 133333 0, 399999 0, 133333 0, 333333 ]T . L’ordinamento delle pagine rispetto agli indici di significatività ottenuto in tal modo è: R2 > R4 > R1 = R3 . Si noti che l’uso meno raffinato della matrice A dava la maggior significatività alla pagina P4 che veniva linkata da tutte le altre ma linkava solo verso la P2 ; mentre l’utilizzo più efficace della matrice M attribuisce la maggiore significatività alla pagina P2 che è linkata solo da P1 e P4 ma ha più links in uscita (verso tutte le altre). Se da ogni pagina Web si può pervenire ad almeno un’altra pagina, allora la corrispondente matrice M di elementi costruita come in (7.10) è stocastica. Di fatto la matrice M è la matrice di transizione di una catena di Markov che descrive una passeggiata aleatoria fra le pagine Web nell’ipotesi che navigando nel Web ci si muova da una pagina verso le altre a caso, che le transizioni siano equiprobabili e avvengano solo cliccando sui vari link disponibili. In tal caso l’autovalore dominante di M è λM = 1 e la soluzione del problema di determinare l’indice di significatività di tutte le pagine Web equivale alla ri-

7.4 Algoritmo PageRank

289

 (distribuzione di probabilità invariante) per la cerca di un unico equilibrio R   = MR,  R j ≥ 0,  catena di Markov associata: R j Rj . Se M fosse (positiva irriducibile e) primitiva allora (per il Teorema 7.17) tale soluzione sarebbe fornita dall’unico autovettore positivo  VM normalizzato (riM spetto alla somma delle proprie componenti V 1 = j VjM ) e calcolabile con il metodo delle potenze: questa situazione ideale può descrivere solo un grafo del Web fortemente connesso (vedi Teorema 7.27). Tuttavia è naturale supporre che (come nell’Esempio 7.51) ogni pagina non sia linkata con sé stessa, cioè la matrice M nella diagonale principale abbia tutti gli elementi nulli. Inoltre non è neppure vero che la matrice di adiacenza di tutto il Web abbia una potenza strettamente positiva. Nel caso reale sia i gruppi significativi di pagine Web sia tutta la rete del World Wide Web nel suo complesso non sono fortemente connessi. In particolare si presentano i seguenti problemi: • (p1) assegnata una pagina Pj , non è detto che da Pj si possa arrivare ad alcuna altra pagina; in tal caso Pj si dice pagina dangling e la j-esima colonna della matrice M è costituita solo da zeri, dunque M non è neppure stocastica; il grafo corrispondente GM non è connesso; • (p2) anche se da ogni pagina si può arrivare ad almeno un’altra pagina, non è detto che da ciascuna pagina si possa arrivare ad una qualsiasi altra pagina: in tal caso la matrice M non è irriducibile e il grafo corrispondente GM non è fortemente connesso. Vi sono diversi metodi per rimediare ai problemi (p1) e (p2) evidenziati: tutte queste possibilità sono basate sul fatto che il transito da una pagina all’altra non avviene solo mediante links già presenti ma anche digitando l’indirizzo delle pagine. Ci limitiamo a citare solo una delle possibilità per ciascuno di tali problemi. Per risolvere il problema (p1), una possibilità è quella di ipotizzare che tutte le pagine dangling puntino ad ogni pagina del Web: ciò equivale a sostituire alle corrispondenti colonne di soli zeri nella matrice M il vettore colonna  T 1  1n = 1/n 1/n · · · 1/n , ottenendo così una matrice stocastica M: n  = M + 1 1 n BT M n ove gli elementi del vettore colonna B sono Bj = 1 se Pj è dangling, Bj = 0 negli altri casi. Si noti che ciò corrisponde ad ipotizzare una distribuzione di probabilità uniforme circa il passaggio ad altre pagine senza utilizzo dei links, ma ipotesi più generali (e personalizzate) possono essere fatte. L’aggiustamento della matrice di adiacenza appena descritto, pur garantendo  non ne garantisce la irriducibilità. di lavorare con una matrice stocastica M, Per ottenere tale proprietà (cioè risolvere il problema (p2)) nel caso generale di tutto il Web, denotando con 1In la matrice quadrata di ordine n con tutti gli  nel seguente elementi uguali ad 1, si può perturbare la matrice stocastica M

290

7 Matrici positive e grafi

modo:

 + (1 − d) E G = dM

(7.12) 1 1 1n 1Tn = 1In n n ottenendo una matrice di transizione che è strettamente positiva: G O.  che Dunque G è irriducibile e primitiva; inoltre G è stocastica perchè sia M E lo sono. Per il Teorema di Markov-Kakutani G ammette una distribuzione di probabilità invariante, per il Teorema di Perron-Frobenius essa è unica. Denotiamo con R tale distribuzione di probabilità invariante:  GR = R, R ≥ 0, Rj = 1 . (7.13) d ∈ (0, 1)

E=

j

Tale R; oltre ad essere l’autovettore dominante di G; fornisce l’ordinamento delle sue componenti Rj , ordinamento che può essere utilizzato come valida j , attribuendo l’indice di sialternativa all’ordinamento delle componenti R gnificatività Rj alla pagina Pj : sottolineiamo che non interessa tanto il valore numerico degli Rj quanto il loro ordinamento decrescente ([4]). R è il vettore cercato dei livelli di significatività delle pagine Web: la componente Rj è l’indice di significatività della pagina Pj . I Teoremi 6.36, 6.39 e 7.17 assicurano lim Gk P0 = R k

per ogni P0 distribuzione di probabilità,

(7.14)

 quando k tende a +∞ : tutte le colonne di Mk convergono a R  |R  | ··· |R  ]. lim Gk = [ R k

(7.15)

Questi risultati teorici consentono anche di affrontare il vero problema costituito dalle dimensioni delle matrici in gioco (si stima attualmente che siano presenti almeno 9 · 109 pagine). Infatti l’algoritmo di calcolo dell’autovettore principale mediante il metodo delle potenze è molto veloce: il Teorema 7.17 assicura che la velocità è legata al secondo autovalore di G (circa la stima tramite d del secondo autovalore per la matrice G si veda ([13]). Le (7.14) e (7.15) descrivono l’analisi asintotica del s.d.d. associato alla catena di Markov regolare di matrice stocastica G : Pk+1 = G Pk

P0 distribuzione di probabilità.

(7.16)

Per la natura della matrice E il s.d.d. vettoriale omogeneo (7.16) è equivalente al s.d.d. vettoriale lineare non omogeneo  Pk + (1 − d) 1n . Pk+1 = d M n

(7.17)

7.5 Esercizi di riepilogo

291

 è molto sparsa, al contrario G ha tutti gli elementi Si noti che la matrice M strettamente positivi: dunque è assai utile sfruttare l’equivalenza evidenziata ed implementare il metodo delle potenze mediante (7.17) anziché (7.16).

7.5 Esercizi di riepilogo Esercizio 7.18. Dire se la matrice stocastica ⎡ ⎤ 0 0 0 1/2 ⎢ 1 0 1/4 0 ⎥ ⎥ M=⎢ ⎣ 0 1 0 1/2 ⎦ 0 0 3/4 0 è riducibile o irriducibile. Esercizio 7.19. Provare che la matrice quadrata A di ordine n è riducibile se e solo se corrisponde ad una applicazione lineare di Rn in Rn che trasforma in sé stesso un sottospazio V (non ridotto al solo 0) generato da vettori della base canonica di Rn . Esercizio 7.20. Assumendo che tutti i tassi di sopravvivenza siano strattamente positivi (σj > 0, j = 1, . . . , n − 1), provare che la matrice del modello di Leslie è irriducibile se e solo se il tasso di natalità dell’ultima classe verifica ϕn > 0. Esercizio 7.21. Provare che se la matrice del modello di Leslie è irriducibile (cioè, se ϕn > 0) allora è primitiva se almeno due classi di età consecutive sono fertili. Mostrare che la condizione non è necessaria. Esercizio 7.22. Nel modello per l’attribuzione dell’indice di significatività o il calcolo dell’autovettore R (Sezione 7.4 - Algoritmo PageRank) abbiamo implicitamente supposto che il risultato non dipenda dall’ordinamento (arbitrario) delle pagine, cioè dall’indice j secondo il quale vengono elencate le pagine Pj . Si provi la validità di tale ipotesi. Suggerimento: per mostrare l’indipendenza di R rispetto a una permutazione τ delle pagine basterà sfruttare l’invarianza degli autovalori ed autovettori rispetto alla trasformazione di G in TGTT dove T è la matrice di permutazione associata a τ. Esercizio 7.23. Con riferimento all’Esempio 7.51 i gestori della pagina P1 sono insoddisfatti dell’indice di significatività attribuito al tale pagina (inferiore a quello attribuito alla pagina P4 ). Nel tentativo di aumentarlo, creano una ulteriore pagina P5 con un link da P5 a P1 ed un link da P1 a P5 . Questa operazione riesce a far aumentare l’indice di significatività di P1 oltre quello di P4 ?

8 Soluzioni degli esercizi

8.1 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 1 Soluzione 1.1. Se proviamo a tracciare successivamente le varie rette, attribuendo ad ognuna un orientamento convenzionale, allora sulla (k + 1)-esima retta sono presenti k punti distinti e ordinati p1 , p2 , . . . , pk , intersezioni di tale retta con le rette preesistenti. Tali punti identificano sulla retta k − 1 segmenti e due semirette. Ciascuno di questi k + 1 oggetti geometrici sconnette una ed una sola delle regioni che “attraversa”, per cui  Nk+1 = Nk + k + 1 N0 = 1 1 1 la cui soluzione è data da Nk = k2 + k + 1. Tale formula può essere provata per 2 2 induzione. La tecnica per ottenere la formula è illustrata nel Capitolo 2. Per rispondere al quesito, basta osservare che conviene effettuare i tagli in modo tale che ogni coppia di tagli si intersechi internamente al cerchio, ma non più di due si intersechino in ciascuno di tali punti. Pertanto il numero massimo è proprio quello 1 1 fornito dalla formula trovata: Nk = k2 + k + 1. 2 2

a)

b)

p2

p1

Fig. 8.1. Se k = 2 allora si ha: a) Nk+1 = 7 , b) (k + 1)-esima retta E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9_8, © Springer-Verlag Italia 2014

294

8 Soluzioni degli esercizi

Soluzione 1.2. Procediamo per induzione. Si ha: S1 = (1 + r) S0 − R ≥ (1 + r) S0 − rS0 = S0 e quindi la proposizione è vera per k = 1. Supposta ora vera l’affermazione per un k ≥ 1, otteniamo: perché R≤rS0

Sk+1 = (1 + r) Sk − R ≥ ≥ (1 + r) Sk − rS0 ≥

per l’ipotesi d’induzione

≥ (1 + r) Sk − rSk = = Sk . Concludendo, se R ≤ rS0 , allora Sk+1 ≥ Sk , cioè il debito non diminuisce al passare del tempo. Soluzione 1.3. La quantità Yk+1 è una proporzione, con coefficiente 1 − pY , della quantità Yk . Invece, per ottenere Xk+1 si deve considerare la proporzione (1 − pX ) Xk di materiale presente al tempo precedente che non decade, alla quale va sommato l’apporto pY Yk del primo materiale. In definitiva:  Yk+1 = (1 − pY ) Yk Xk+1 = pY Yk + (1 − pX ) Xk Per la soluzione di questo semplice caso si rimanda all’Esercizio 2.17. Per la soluzione in forma chiusa di sistemi di equazioni lineari alle differenze nel caso generale si rimanda al Capitolo 5. Soluzione 1.4. La quota interessi al tempo k + 1, per definizione, è data da Ik+1 = rDk . Possiamo così scrivere S Ik+1 − Ik = rDk − rDk−1 = r (Dk − Dk−1 ) = −rC = − r n ossia

S r. n Per determinare l’espressione in forma chiusa di Ik procediamo iterativamente: Ik+1 = Ik −

S S S r = Ik−1 − 2 r = Ik−2 − 3 r = · · · = n n n S S n−k+1 = I1 − (k − 1) r = rS − (k − 1) r = rS . n n n

Ik+1 = Ik −

Soluzione 1.5. La quota interessi al tempo k + 1 è data da: Ik+1 = rDk = r (Dk−1 − Ck ) = = Ik − rCk =

perché Ck =R−Ik

= (1 + r) Ik − rR .

8.1 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 1

295

Così, dall’uguaglianza che esprime la costanza delle rate (Ck+1 + Ik+1 = Ck + Ik ) segue Ck+1 = Ck + (Ik − Ik+1 ) = Ck + rCk = (1 + r) Ck da cui Ck = (1 + r)k−1 C1 = (1 + r)k−1 (R − rS). Soluzione 1.6. L’ammontare Sk+1 presente sul conto dopo k + 1 anni è dato dall’ammontare Sk dell’anno precedente al quale vanno sommati gli interessi maturati rSk e detratte le spese fisse C: Sk+1 = Sk + rSk − C.   Soluzione 1.7. s = 100 (Cgg /C0 )365/gg − 1 . Soluzione 1.8. Poiché per 0 < r < 1 valgono +∞ +∞ +∞

1 nkrk (1 − r) = (1 − r) krk = r (1 − r) krk−1 = n k=1 k=1 k=1

  d x r  = (1 − r) r = dx 1 − x x=r 1−r

m (r) =

e 

5  5 1 log 2 d (r) = max k ∈ N : (1 − r) ≥ = max k ∈ N : k ≤ − = 2 log (1 − r)

log 2 = parte intera di − log (1 − r) k

si conclude che m (r)  d (r)

⇔



r log 2  parte intera di − . 1−r log (1 − r)

Soluzione 1.9. Sia Yk il numero di operazioni necessarie per riporre k cubi. Se k = 0 ovviamente Y0 = 0, mentre per k = 1 si ha Y1 = 1. Se, invece, si vogliono riporre nella cesta dei giochi k + 2 cubi, si hanno due sole possibilità: al primo passo si toglie un cubo, avendo poi Yk+1 differenti modi per portare a termine l’operazione, oppure, sempre al primo passo, se ne tolgono due, restando così Yk modi per operare. In definitiva: Yk+2 = Yk+1 + Yk . Si osservi che l’equazione ricorsiva coincide con quella dei numeri di Fibonacci (Esempio 1.15). Soluzione 1.10. Si supponga di dover spostare k + 1 dischi. Per poter “liberare” quello di raggio maggiore si può pensare di spostare i restanti dischi sul piolo centrale (vedi Fig. 1.6): il numero minimo di mosse necessarie per ottenere tale risultato è dato da Yk perché coincide con il numero minimo di mosse necessarie per spostare i primi k dischi sul piolo di destra; con una sola mossa si può spostare il disco di raggio maggiore dal piolo di sinistra a quello di destra, mentre ci vogliono ancora Yk mosse per spostare dal piolo centrale a quello di destra i restanti dischi. Otteniamo

296

8 Soluzioni degli esercizi

così: Yk+1 = Yk + 1 + Yk = 2Yk + 1. Osserviamo che tale numero Yk+1 di mosse è ovviamente sufficiente; che sia il minimo segue dal fatto che Yk era minimo per k dischi e lo spostamento del disco più grande è una operazione necessaria per completare lo spostamento della torre. Soluzione 1.11. Se i dischi sono k + 1, con Xk mosse si spostano i primi k dischi sul piolo di destra, poi con una mossa si sposta l’ultimo disco sul piolo di mezzo; a questo punto con altre Xk mosse si spostano i primi k dischi sul piolo di sinistra, con una mossa si sistema sul piolo di destra il disco di raggio maggiore ed infine con Xk mosse si spostano sul piolo di destra i rimanenti dischi. In conclusione: Xk+1 = 3Xk + 2. Soluzione 1.12. Supponiamo di aver diviso ciascun lato del triangolo in k + 1 parti: il numero di triangoli Xk+1 è dato dal numero dei triangoli Xk che si ottengono considerando, a partire dal vertice, le prime k parti, al quale va aggiunto il numero k + 1 dei triangolini la cui base giace sulla base del triangolo di partenza e i k triangolini che hanno il loro vertice nei punti che suddividono la base: Xk+1 = Xk + k + 1 + k = Xk + 2k + 1. Soluzione 1.13. Nella Fig. 8.2 sono riportate le prime iterazioni del modello della ragnatela (nel caso: Pk+1 = − 0, 9 Pk + 2 ) ottenute con il metodo grafico. Soluzione 1.14 (Equazione di Bessel). Posto y (x) = xh

+∞  n=0

An xn , con h ≥ 0

ed A0 = 0, derivando formalmente termine a termine e sostituendo nell’equazione

2

20 9

Fig. 8.2. Modello della ragnatela

8.1 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 1

297

assegnata, si deduce il valore identicamente nullo per la quantità seguente: +∞

(n + h)(n + h − 1)An xn+h+

n=0

+∞

(n + h) An xn+h +

n=0

+∞

An xn+h+2−k2

n=0

+∞

An xn+h

n=0

Operando il cambio di indici m = n + 2 nella terza serie e raccogliendo, possiamo scrivere +∞ +∞

# $ Am−2 xm+h = 0. (m + h)2 − k2 Am xm+h + m=0

m=2

A questo punto, uguagliando i coefficienti dei termini di ugual grado otteniamo  ⎧ 2 2 ⎨ h − k A0 = 0 2 ((h + 1) − k2 )A1 = 0 ⎩ ((m + h)2 − k2 )Am + Am−2 = 0

∀m ≥ 2

Poiché A0 = 0, dalla prima relazione si ricava che h = k e così, dalla seconda equazione, segue A1 = 0: dunque tutti i coefficienti di ordine dispari sono nulli mentre quelli di ordine pari sono individuati a partire da A0 dalla relazione A2n = −

A2n−2 4n (n + k)

n ≥ 1.

Osserviamo per completezza che, oltre alla soluzione trovata ed ai suoi multipli, ve ne sono altre definite solo per x = 0. Equazione di Hermite. Con la posizione y (x) =

+∞ 

An xn , derivando formalmen-

n=0

te termine a termine e sostituendo nell’equazione data, si giunge a +∞

n (n − 1) An xn−2 − 2

n=2

+∞

nAn xn + 2k

n=1

+∞

An xn = 0

n=0

che grazie al cambio di indici m = n − 2 nella prima serie, si riscrive come +∞

(m + 1) (m + 2) Am+2 xm − 2

m=0

+∞

m=1

mAm xm + 2k

+∞

Am xm = 0

m=0

ovvero +∞

[(m + 1) (m + 2) Am+2 + 2 (k − m) Am ] xm = 0.

m=0

Imponendo l’annullamento dei coefficienti dei termini di ogni grado, otteniamo la relazione ricorsiva: Am+2 =

2 (m − k) Am (m + 1) (m + 2)

m ∈ N.

298

8 Soluzioni degli esercizi

Equazione di Laguerre. Procedendo come nell’esempio precedente, otteniamo +∞

n (n − 1) An xn−1 +

n=2

+∞

nAn xn−1 −

n=1

+∞

nAn xn + k

n=1

+∞

An xn = 0.

n=0

Questa volta dobbiamo “sistemare” gli indici delle prime due serie: +∞

n (n + 1) An+1 xn +

n=1

+∞

(n + 1) An+1 xn −

n=0

+∞

+∞

nAn xn + k

n=1

An xn = 0.

n=0

Non resta che uguagliare i coefficienti dei termini di ugual grado: A1 + kA0 = 0,

An+1 =

n−k An . (n + 1)2

Equazione di Legendre. Con lo stesso metodo:  +∞

nAn x

n−1

n=1

−

+∞

 nAn x

n+1

+ k (k + 1)

n=1

+∞

An xn = 0

n=0

calcolando formalmente la derivata +∞

n (n − 1) An xn−2 −

n=2

+∞

n (n + 1) An xn + k (k + 1)

n=1

+∞

An xn = 0.

n=0

Con il cambio di indici n → n + 2 nella prima serie, si ricava +∞

(n + 1) (n + 2) An+2 xn −

n=0

+∞

n (n + 1) An xn + k (k + 1)

n=1

+∞

An xn = 0

n=0

e uguagliando i coefficienti dei termini di ugual grado: An+2 =

n (n + 1) − k (k + 1) An (n + 1) (n + 2)

n ∈ N.

L’esplicitazione dei coefficienti nei vari casi è illustrata nell’Esercizio 2.38. Soluzione 1.15. Utilizziamo Eulero implicito ed il passo di discretizzazione h > 0. Se Yk approssima y (hk), allora (1)

(1 − h (k + 1)) Yk+1 = Yk

(2)

ah (Yk+1 )2 + (1 − ah) Yk+1 − Yk = 0

Soluzione 1.16. a) e Sia Uj,k un’approssimazione di u (js, hk). Allora per approssimare le derivate seconde di una generica funzione f , tra i possibili schemi alle differenze finite, utilizziamo le differenze seconde centrate:

f (ξ + δ) + f (ξ − δ) − 2f (ξ) 1 f (ξ + δ) − f (ξ) f (ξ) − f (ξ − δ) f  (ξ) = = − 2 δ2 2δ δ δ

8.1 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 1

299

si ottiene Uj,k =

s2 h2 (Uj,k+1 + Uj,k−1 ) + (Uj+1,k + Uj−1,k ) . 2 2 +h ) 2 (s + h2 )

2 (s2

1 Si noti che se s = h allora Uj,k = (Uj,k+1 + Uj,k−1 + Uj+1,k + Uj−1,k ), cioè ogni 4 valore di Uj,k è la media aritmetica di quattro valori adiacenti per ogni nodo interno, dunque è compresa tra il massimo ed il minimo tra essi. Ne segue il Principio del massimo discreto per l’equazione di Laplace: se si risolve l’equazione in un aperto limitato con dati al bordo ed una griglia uniforme (s = h) allora maxj,k Uj,k è assunto al bordo (lo stesso discorso vale per il minimo). In particolare, se il massimo (o il minimo) viene assunto in un nodo interno allora Uj,k è indipendente da k e j cioè costante. b) Sia Vj,k un’approssimazione di v (js, kh); utilizzando ancora le differenze centrate, otteniamo:   2 h2 − s2 Vj,k = h2 (Vj+1,k + Vj−1,k ) − s2 (Vj,k+1 + Vj,k−1 ) . Soluzione 1.17. Operando le sostituzioni (1.21) e ponendo k = 2r/σ2 , si ottiene: 

wτ = wyy + (k − 1) wy − kw w (y, 0) = max (ey − 1, 0) .

Sostituendo la (1.22), si ricava: βu + uτ = α2 u + 2αuy + uyy + (k − 1) (αu + uy ) − ku. Imponendo le condizioni 

β = α2 + (k − 1) α − k 0 = 2α + (k − 1)

e risolvendo il sistema, si ottengono i valori dei parametri 1 α = − (k − 1) 2

1 β = − (k + 1)2 4

rispetto ai quali il problema alle derivate parziali si scrive come ⎧ ⎪ ⎨ ut = uyy

nel semipiano: − ∞ < y < +∞, τ > 0

  ⎪ ⎩ u (y, 0) = u0 (y) = max e 21 (k+1)y − e 21 (k−1)y , 0 dato che 1

1

2

w (y, τ ) = e− 2 (k−1)y− 4 (k+1) u (y, τ ) .

300

8 Soluzioni degli esercizi

Poiché è noto

1 u (y, τ ) = √ 2 πτ



+∞

−∞

2 /4τ

u0 (s) e−(y−s)

ds

si conclude

v (x, t) = xN (d1 ) − Ee−r(T −t) N (d2 )

dove si è posto 1 N (d) = √ 2π 2

σ log (x/E) + r + (T − t) 2 √ d1 = σ T −t



d

e−s

2 /2

ds

−∞



σ2 log (x/E) + r − (T − t) 2 √ d2 = . σ T −t

8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2 Soluzione 2.1. Sviluppiamo esplicitamente solo i punti i) e ii). (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Xk = −k, ∀k ∈ N; lim Xk = −∞; k k 1 Xk = −2 + 3, ∀k ∈ N; lim Xk = 3; k 3 1 k 1 lim Xk = −∞; Xk = − 4 + , ∀k ∈ N; k 12

k 3 1 5 5 1 Xk = + , ∀k ∈ N; − lim Xk = ; k 2 5 2 2 3 1 k  lim Xk ; Xk oscilla ed assume solo due Xk = (−1) + , ∀k ∈ N; k 2 2 valori; 1 5 Xk = − (−3)k + , ∀k ∈ N;  lim Xk . Il modulo |Xk | diverge a +∞. k 4 4

Soluzione 2.2. A partire dalla (2.3) ricaviamo la seguente tabella: X1 = aX0 + b X2 = aX1 + b = a (aX0 + b) + b = a2 X0 + b (1 + a)     X3 = aX2 + b = a a2 X0 + b (1 + a) = a3 X0 + b 1 + a + a2 ... = ...

  Xk = ak X0 + b 1 + a + a2 + · · · + ak−1 Poiché (vedi l’esercizio precedente) 2

k−1

1 +a + a +··· +a

⎧ k ⎨ 1−a a = 1 = 1−a ⎩ k a=1

sostituendo il valore di α, si ottengono le formule risolutive del Teorema 2.5.

8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2

301

Soluzione 2.3. L’equazione caratteristica λ2 + aλ + b = 0 ammette le due radici √ −a ± a2 − 4b λ1,2 = . 2 Se b = a2 /4, allora la soluzione generale è Xk = (c1 + c2 k) λ1k con λ1 = −a/2, e, dunque, Xk ha limite finito (uguale a 0) per ogni dato iniziale se e solo se |λ1 | < 1 cioè se e solo se |a| < 2. Se b = a2 /4, allora la soluzione generale è Xk = c1 λ1k + c2 λ2k e Xk ammette limite finito per ogni dato iniziale se e solo se |λ1 | < 1 e |λ2 | < 1, cioè per avere convergenza di tutte le soluzioni:   • se b > a2 /4, allora deve valere a2 + 4b − a2 < 4 cioè b < 1 ; √ 2 2 • se  b2 < 0 < a /4, allora deve valere a − 4b < min {2 + a , 2 − a} cioè a (|a| − 1)  2 √  a −1 − a0 > −2

⇒

a1 −1. 2

−

Dunque, P (1) > 0 e P (−1) > 0 e l’ascissa del vertice della parabola P (λ) appartiene all’intervallo (−1, 1): se le radici λ1 e λ2 sono reali, necessariamente appartengono all’intervallo (−1, 1). Se le radici sono complesse, poiché λ2 = λ1 , si ottiene: 1 > a0 = λ1 λ2 = λ1 λ1 = |λ1 |2 da cui |λ1 | = |λ2 | < 1. Viceversa, se α = 0 è attrattivo, allora le radici λ1 e λ2 sono in modulo minori di 1 e il loro prodotto è in modulo minore di 1. Se λ1 e λ2 sono reali, allora λ1 λ2 = a0 < 1 e necessariamente P (−1) > 0 e P (1) > 0. Se λ1 e λ2 sono complesse coniugate, allora   1 > |λ1 λ2 | = λ1 λ1  = |λ1 |2 = a0 e ovviamente, P (−1) > 0, P (1) > 0. n Soluzione 2.10. Posto Sk = k=1 k, l’esercizio richiede di scrivere la soluzione esplicita del problema Sk+1 = Sk + (k + 1) ,

S0 = 1 .

Si tratta di una equazione ad un passo lineare non omogenea. La soluzione generale della equazione omogenea associata è l’insieme di tutte le traiettorie costanti. Cerchiamo una soluzione particolare della equazione non omogenea, del tipo k(ak + b): sostituendo nell’equazione, si ottiene a(k + 1)2 + b(k + 1) = ak2 + bk + k + 1 , la cui soluzione è a = b = 1/2. Imponendo la condizione iniziale, si ottiene c = 0 da cui la tesi. Alternativamente, si poteva provare la formula per induzione. Ricordiamo anche la soluzione costruttiva proposta da Gauss: posto Sk = 1 + 2 + · · · + (k − 1) + k = kn=1 n, possiamo riscrivere i termini della sommatoria come Sk = k + (k − 1) + · · · + 3 + 2 + 1 e sommare le due relazioni: 2Sk = (1 + k) + (2 + k − 1) + · · · + (k − 1 + 2) + (k + 1) = = (k + 1) + (k + 1) + · · · + (k + 1) = k (k + 1) . -. / , k volte

Soluzione 2.11. Come di consueto, se è noto il risultato, o se si vuole provare a verificare una congettura circa il risultato, si effettua una verifica per induzione.

8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2

303

Tuttavia utilizziamo una tecnica che è indipendente dalla conoscenza del risultato. k  Posto Sk = n2 , possiamo scrivere: n=1



Sk+1 − Sk = (k + 1)2 S0 = 0

La soluzione generale T del problema omogeneno associato Tk+1 − Tk = 0 è data dalle successioni costanti. Cerchiamo una soluzione particolare X del problema non omogeneo di tipo polinomio di terzo grado (perché il membro destro è polinomio di secondo grado, e la costante risolve il problema omogeneo): Xk = ak3 + bk2 + ck. Sostituendo nell’equazione di partenza, si ottiene: a (k + 1)3 + b (k + 1)2 + c (k + 1) = ak3 + bk2 + ck + k2 + 2k + 1 (3a − 1) k2 + (3a + 2b − 2) k + (a + b + c − 1) = 0 a = 1/3

b = 1/2

c = 1/6 .

La soluzione generale è 1 1 1 Sk = d + Xk = d + k3 + k2 + k 3 2 6

k∈N

e dalla condizione iniziale S0 = 0 si deduce il valore della costante (d = 0), da cui: Sk =

1 k (2k + 1) (k + 1) 6

k ∈ N.

1 2 k (k + 1)2 . 4 Soluzione 2.13. L’esercizio richiede di scrivere la soluzione esplicita del problema

Soluzione 2.12. Sk =

Pk+1 = Pk + z k+1 ,

P0 = 1 .

Si tratta di una equazione ad un passo lineare non omogenea. Se z = 1 allora la soluzione del problema è Pk = k. Consideriamo ora z = 1. La soluzione generale della equazione omogenea associata è l’insieme di tutte le traiettorie costanti. Cerchiamo una soluzione particolare della equazione non omogenea, con k–esimo termine uguale a az k+1 : sostituendo nell’equazione, si ottiene az k+2 = az k+1 + z k+1 ,

a = 1/(z − 1) .

La soluzione generale dell’equazione non omogenea è quindi Pk = c + z k+1 /(z − 1). Imponendo la condizione iniziale P0 = 1 si ottiene c = 1/(1 − z), da cui Pk = −

1 1 − z k+1 1 + z k+1 = . z−1 z−1 1−z

304

8 Soluzioni degli esercizi

1 − z k+1 ; quest’ultima relazione 1−z può essere provata per induzione oppure osservando che     (1 − z) Pk = 1 + z + z 2 + · · · + z k − z + z +2 +z 3 + · · · + z k+1 = 1 − z k+1 .

Se z = 1, allora Pk = k + 1. Se z = 1, allora Pk =

Dividendo per (1 − z) si ottiene la formula cercata. Con la notazione dell’Esercizio 2.13, se z = 1, allora fh,k = k + 1 − z k+1 1. Se z =  1, allora fh,k = z hPk = z h . 1−z

Soluzione 2.14.

Soluzione 2.15. Condizione necessaria per la convergenza di una serie è che il termine generale sia infinitesimo, dunque non si ha convergenza se |z| ≥ 1. Se z ∈ C e |z| < 1, allora la serie converge assolutamente e vale +∞

zk =

k=0

1 1−z

∀z ∈ C : |z| < 1.

Infatti, ricordando l’espressione delle somme parziali (vedi Esercizio 2.13) +∞

k=0

Soluzione 2.16.

 k

z = lim k

k

 z

n

n=0

0, 99999 . . . =

+∞ 

= lim k

1 − z k+1 1 = . 1−z 1−z

9 · 10−k =

k=1

 −k 1 9 +∞ 9 10 = = 1. 10 k=0 10 1 − 1/10

Soluzione 2.17. Con riferimento alla soluzione dell’Esercizio 1.3, l’equazione in Y è disaccoppiata ed ha soluzione Yk = (1 − pY )k Y0 . Sostituendo nell’altra equazione otteniamo l’equazione lineare, non omogenea, del primo ordine: Xk+1 = (1 − pX ) Xk + pY (1 − pY )k Y0 . La soluzione generale dell’equazione omogenea associata è c (1 − pX )k . Utilizzando la Tabella 2.1 per la ricerca di soluzioni particolari, si conclude che:

pY pY Y0 (1 − pX )k + Y0 (1 − pY )k • se pX = pY , allora Xk = X0 − pX − pY pX − pY k∈N. • se pX = pY = 1, allora cercando soluzioni particolari del tipo ak (1 − pX )k , si ottiene Xk = X0 (1 − pX )k +

pX Y0 k (1 − pX )k 1 − pX

k∈N.

• se pX = pY = 1, allora Xk = Yk = 0, ∀k > 1. Soluzione 2.18. 1 (−3)k , k∈N; (1) Xk = c1 (−1)k + c2 3k + 12 √ π  π  18 − 10 3 k + c2 sin k −k+ , (2) Xk = c1 cos 6 6 3

k∈N;

8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2 305 π  π  1 π  1 π  (3) Xk = c1 + c2 cos k + c3 sin k + sin k + cos k , k∈N; 2

2 4 2 4 2 1 (4) Xk = c1 + c2 k + k2 (−1)k + c3 (−3)k , k∈N. 4 Soluzione 2.19. Impieghiamo la Z-trasformata. Posto Z {X} = x (z), dalla Tabella in Appendice G ricaviamo z (z − 1)2 Z {Xk+1 } = z (x (z) − X0 ) = zx (z) Z {k} =

Z {Xk+2 } = z 2x (z) − z 2 X0 − zX1 = z 2 x (z) − z. Sostituendo nell’equazione 

si ottiene x (z) =

 z 2 − z − 2 x (z) =

z +z (z − 1)2

z z + . (z − 2) (z + 1) (z − 2) (z + 1) (z − 1)2

Così Z −1

Z −1





z (z − 2) (z + 1)

5

= Z −1

z (z − 2) (z + 1) (z − 1)2

5   1/3 1/3 1 k − = 2 − (−1)k z z−2 z+1 3

5 = Res (f, 2) + Res (f, −1) + Res (f, 1) = 1 1 k 2 − (−1)k + 3 12 1 1 (−1)k − = 2k − 3 12 =

  zk d  = dz (z − 2) (z + 1) z=1 k 1 − . 2 4

In definitiva: Xk =

 2k+1 k 5 1 1  k+3 + 5 (−1)k+1 − 6k − 3 − (−1)k − − = 2 3 12 2 4 12

k ∈ N.

Soluzione 2.20. Impiegando la Z-trasformata, posto x (z) = Z {X}, trasformando l’equazione  2  z 2 x (z) − 5zx (z) + 6x (z) = 1 ⇒ z − 5z + 6 x (z) = 1 si ricava x (z) = Z {X} =

1 . (z − 2) (z − 3)

Così: X0 = Res (g0 , z = 0) + Res (g0 , z = 2) + Res (g0 , z = 3) = Xk = Res (gk , z = 2) + Res (gk , z = 3) = 3k−1 − 2k−1

1 1 1 − + =0 6 2 3 k ≥ 1.

306

8 Soluzioni degli esercizi 5  1 può essere calcolata mediante la convoluAlternativamente Z −1 (z − 2) (z − 3) zione discreta: 5 5 5    1 1 1 −1 −1 −1 =Z ∗Z =Y ∗Z Z (z − 2) (z − 3) z−2 z−3 avendo posto 

Yk = 2k−1 Y0 = 0

∀k ≥ 1



∀k ≥ 1

Zk = 3k−1 Z0 = 0

Si ricava X0 = Y0 Z0 = 0 e Xk =

k

Yn−j Zj =

j=0

k−1

3j−1 2n−j−1 =

j=1

3k−1 − 2k−1 = 3k−1 − 2k−1 3−2

∀k ≥ 1

avendo impiegato nell’ultima uguaglianza l’identità   am − bm = (a − b) am−1 + am−2 b + · · · + abm−2 + bm−1 . Soluzione 2.21. Prendendo la Z-trasformata di entrambi i membri dell’equazione assegnata, otteniamo: 3 zx (z) − z − 2x (z) = 4 z e, risolvendo in x, x (z) =

z 3 z z + 4 = + 3z −5 . z−2 z (z − 2) z−2 z−2

Calcolando l’antitrasformata di tale espressione mediante la Tabella in Appendice G si deduce  k   2 0≤k≤4 Xk = Z −1 {x} k = 2k + 3 · 2k−5 Uk+5 = 2k + 3 · 2k−5 k ≥ 5 . Soluzione 2.22. Si tratta di un’equazione di tipo Volterra. Sostituendo k al posto di k + 1 nell’espressione di Xk e dividendo per 2, otteniamo Xk+1 = 1 + 16

k

(k − s) Xs = 1 + 16 k ∗ Xk .

s=0

Applicando la Z-trasformata ad entrambi i membri, si ricava zx (z) − z =

x (z) =

z (z − 1) =z (z − 5) (z + 3)

e dunque Xk =

1 k 1 5 + (−3)k . 2 2



z z x (z) + 16 z−1 (z − 1)2

1 1 + 2 (z − 5) 2 (z + 3)

=

1 z 1 z + 2z−5 2z+3

8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2 Calcoliamo prima Z {Y }: sia |z| < 1, allora Z {Y } =

Soluzione 2.23. per

307

−3!z 3 (z − 1)4

3 3 +∞ +∞

d d k (k + 1) (k + 2) 1 1 −z 3 3 3 = (−z) = (−z) . = 3! k k z dz z dz 1−z (z − 1)4 k=0

k=0

Dalla identità k3 = k (k + 1) (k + 2) − 3k2 − 2k e dalle Z {k} =

% & z (z + 1) Z k2 = (z − 1)3

z (z − 1)2

otteniamo per linearità % & Z {X} = Z {Y } − 3Z k2 − 2Z {k} =

z (z + 1) z −6z 3 −3 −2 = (z − 1)4 (z − 1)3 (z − 1)2

−11z 3 + 4z 2 + z . (z − 1)4

=

Soluzione 2.24. Integrando per parti, per ogni b, b > 0, e per ogni k ∈ N, si ha:  b  b  b 7b 6 e−x xk dx = −e−x xk + k e−x xk−1 dx = −e−b bk + k e−x xk−1 dx . 0

0

0

0

Passando al limite per b → +∞, si deduce  Ik = kIk−1 I0 = 1 la cui soluzione esplicita è Ik = (

k 

s)I0 = k!

s=1

Soluzione 2.25. (1) X1 = 0 · X0 = 0 e dunque Xk = 0 per ogni k (per ogni dato iniziale X0 ) ; (2) (3)

Xk =

k−1  3j + 1 4 1 3k − 2 3k − 5 ··· X0 = X0 ; 3k + 4 3k + 1 11 7 j=0 3j + 7

Xk = e

3(k−1)

Xk−1 = e

= X0 exp

3(k−1) 3(k−2)

3 k (k − 1) 2

e



3 0

. . . e e X0 = X0 exp

(4)

Xk = e

e

 j

=

j=0

; 

cos 2(k−1) cos 2(k−2)

3

k−1

...e

cos 2 cos 0

e

X0 = X0 exp

k−1  j=0

 cos 2j

.

308

8 Soluzioni degli esercizi

Soluzione 2.26. L’equazione assegnata è un’equazione ad un passo lineare non omogenea a coefficienti variabili (Definizione 2.63). Se k parte da 0 (con generico dato iniziale X0 ∈ R) allora X1 = 1 e dalla (2.24) si ricava, per ogni k ≥ 2 (la restrizione vale per i calcoli; ma la formula vale per k ≥ 1): Xk = 1 +

k−2

(k − 1) (k − 2) · · · (h + 1) = 1 + (k − 1)!

h=0

k−2

h=0

1 1 = (k − 1)! , h! h! k−1

h=0

dunque, dopo poche iterazioni il termine generale Xk cresce molto rapidamente ed è ben approssimato (con un trascurabile errore relativo) da e (k − 1)! . Se invece si parte da k = 1 (con generico dato iniziale X1 ∈ R), la soluzione in forma chiusa si ricava dalla formula semplificata fornita dall’Osservazione (2.59), ponendo Ak = k e BK = 1 ∀k ≥ 2 (la restrizione vale per i calcoli; ma la formula vale per k ≥ 1): Xk = (k − 1)!X1 +

k−1

(k − 1) (k − 2) · · · (h + 1) =

h=1 k−1

(k − 1) (k − 2) · · · (h + 1) h! = h! h=1   k−1

1 ∼ (e + X1 ) (k − 1)! . = (k − 1)! X1 + h! h=1 = (k − 1)!X1 +

Un modo alternativo (più semplice) per ottenere la soluzione generale, partendo da X0 per k = 0, consiste nel cambiare variabile ponendo Zk = Xk /(k − 1)! ∀k ≥ 1: in tal modo si ottiene la semplice relazione ricorsiva Yk+1 = Xk + 1/k! ∀k ≥ 2, di  soluzione immediata ( Yk = k−1 h=0 1/h! ) da cui si ricava Xk (occorre apportare le ovvie modifiche se si parte da X1 per k = 1). I risultati trovati sono coerenti con i Teoremi 2.64 e 2.66: l’equazione alle differenze a un passo a coefficienti non costanti ha infinite soluzioni, l’insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione 1. Coerentemente con l’Osservazione 2.59 nel problema inizializzato a k = 0 si ha perdita di memoria da k = 1: le soluzioni si differenziano solo per il valore iniziale X0 , ma per ognuna di esse vale X1 = 1 e tutte coincidono per k ≥ 1. Inoltre, con riferimento al Teorema 2.66 valgono i) ed ii) ma non vale la iii) (qui n = 1 ed il determinante della matrice 1x1 coincide con il suo unico elemento): infatti le soluzioni del problema omogeno Yk+1 = kYk , con dato iniziale Y0 in k = 0, verificano Yk = 0 ∀k ≥ 1; ciò non contraddice il Teorema, ma illustra il fatto che l’ipotesi A0k = 0 ∀k non si può rimuovere (nel caso considerato vale A00 = 0). Soluzione 2.27. Si hax · x =√1 · (1 − x) cioè x2 + x − 1 = 0 che ammette le due soluzioni distinte x1,2 = −1 ± 5 /2: di esse è accettabile solo quella positiva. La √  lunghezza della sezione aurea di un segmento misura 5 − 1 /2.

8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2

309

Soluzione 2.28. (1) Xk risolve un problema del tipo (2.28) con a = 0 e b√ =c=d  = 1. Operiamo una sostituzione come in (2.30), scegliendo α = x = 5 − 1 /2. √

−1 5−1 Posto Yk = Xk − , la (2.32) si scrive come 2 √ 5−1 √ +1 5+1 1 2 2 √ √ Yk + √ √ Y = Yk+1 = k + 1− 5 5−1 1− 5 5−1 2 2 e dal Teorema 2.5, si ricava Yk =

√ k

1+ 5 1 1 √ X0 − √ +√ 5 1− 5 5

e dunque √ Xk =

(2)

5−1 + 2

−1  √ k

1+ 5 1 1 √ √ √ + ; X0 − 5 1− 5 5

 √ √   1 + 5 k 5−1   √  = +∞ segue che lim Xk = Da lim  = x. k k 2 1− 5

Soluzione 2.29. Ricaviamo Xk+1 in funzione di Xk : Xk+1 = (4Xk + 9) / (Xk + 2). Zk+1 Se si pone Xk = − 2, l’equazione data si riscrive come Zk Zk+2 + 2Zk+1 + Zk = 0 che ha soluzione generale Zk = c1 (−1)k + c2k (−1)k . Di conseguenza, le soluzioni dell’equazione di partenza sono, posto c3 = c2 /c1 , Xk =

−3 − c3 (3k + 1) 1 + c3 k

con c3 costante arbitraria; si noti che a tale rappresentazione va aggiunta la soluzione k+1 − 2 corrispondente al caso c1 = 0. Xk = − k Si è risolto un caso particolare di equazione di Riccati: assegnate le successioni P , Q, ed R, determinare X verificante la relazione Xk+1 Xk + Pk Xk+1 + Qk Xk + Rk = 0 che, mediante il cambio di variabili Xk = lineare in Z:

Zk+1 − Pk , si trasforma in una equazione Zk

Zk+2 + (Qk − Pk+1 ) Zk+1 + (Rk − Pk Qk ) Zk = 0 . Soluzione 2.30.

(a)

Xk = 2k − 1;

(b)

Xk = 3k − 1.

310

8 Soluzioni degli esercizi

Soluzione 2.31. Xk = 3−k (λ + 3) − 3, k ∈ N. Quindi, se k → +∞, Xk → −3, qualunque sia il valore di λ. Graficamente si ha

−3

0

−3

Fig. 8.3. Soluzione dell’Esercizio 2.31 Soluzione 2.32. Xk = (−1)k (λ − 1, 5) + 1, 5 k ∈ N. Quindi, se k → +∞, il limite di Xk non esiste a meno che sia λ = 1, 5 ; in tal caso la soluzione è costante (Xk = 1, 5 ∀k), altrimenti la soluzione è 2 periodica. Se λ = 0, 5 allora graficamente si ha

3

2.5

0.5

0.5

3

Fig. 8.4. Soluzione dell’Esercizio 2.32

Soluzione 2.33. 1) 2) 3) 4)

π  π  k + c3 sin k , ∀k ∈ N ; 3   3   π π k + c4 sin k , ∀k ∈ N ; Xk = c1 + c2 (−1)k + c3 cos 2

2

π  π  3π 3π Xk = c1 cos k + c2 sin k + c3 cos k + c4 sin k , 4 4 4 4 π  π  k k Xk = 2 (c1 + c2 k) cos k + 2 (c3 + c4 k) sin k , ∀k ∈ N. 2 2

Xk = c1 (−1)k + c2 cos

∀k ∈ N ;

8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2

311

Soluzione 2.34. L’equazione caratteristica λ2 − λ − 2 = 0 ammette le radici semplici λ = −1 e λ = 2. Pertanto la soluzione generale del problema omogeneno è data da Xk = c1 2k + c2 (−1)k k ∈ N. Cerchiamo ora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea del tipo X k = ak + b. Sostituendo nell’equazione assegnata, si ottiene: a (k + 2) + b − a (k + 1) − b − 2ak − 2b = k . Uguagliando i coefficienti dei termini in k di ugual grado, si ricava il sistema  −2a = 1 2a + b − a − b − 2b = 0 1 1 le cui soluzioni sono a = −1/2 e b = −1/4. Quindi X k = − k − e 2 4 1 1 Xk = c1 2k + c2 (−1)k − k − 2 4

k ∈ N.

Infine, imponendo i dati iniziali nella soluzione generale appena scritta, si deducono i valori c1 = 2/3 e c2 = −5/12. La soluzione richiesta è così: Xk =

1 1 k+1 5 1 2 (−1)k − k − − 3 12 2 4

k ∈ N.

Soluzione 2.35. Utilizziamo la Z-trasformata. Posto x (z) = Z {X}, trasformiamo l’equazione   2 z − 5z + 6 x (z) = 1 x (z) = Xk = res

1 (z − 3) (z − 2)



z k+1 z k−1 , 0 +res , 3 = −2k−1 +3k−1 (z − 2) (z − 3) (z − 2) (z − 3)

k ≥ 1.

Si noti che





1 1 1 , 0 + res , 2 + res ,3 = X0 = res z (z − 2) (z − 3) z (z − 2) (z − 3) z (z − 2) (z − 3) 1 1 1 = − − = 0. 6 2 3 Alternativamente, da 1 1 1 = − (z − 3) (z − 2) z−3 z−2 e da Z −1 si ricava x (z) =

 Z −1



1 z−a

1 1 − z−3 z−2

5

  = τ1 ak 

5

= k

0 se k = 0 . 3k−1 − 2k−1 se k ≥ 1

312

8 Soluzioni degli esercizi

Soluzione 2.36. Nel caso particolare k = a ed s = a+b si risolve anche il problema dell’Esempio 1.17. Inoltre, osserviamo che le possibili storie diverse di una rovina sono infinite e dunque è poco pratico calcolarne le corrispondenti probabilità e poi sommarle. Sia q = 1 − p. La probabilità Rk+1 di rovina iniziando il gioco con k + 1 Euro può essere vista come somma delle probabilità di vittoria al primo turno seguita da rovina e della probabilità di sconfitta al primo turno seguita da rovina: Rk+1 = pRk+2 + qRk che per p = 0 si riscrive come Rk+2 =

1 q Rk+1 − Rk . p p

L’equazione caratteristica 1 q λ+ =0 p p ammette le radici λ1 = 1 e λ2 = q/p. Posto r = q/p λ2 −

• se p = q, allora Rk = c1 + c2 rk e tenendo conto che R0 = 1 e Rs = 0, si ottiene rk − rs 1 − rs

Rk =

se p =

1 2

• se p = q = 1/2, allora Rk = c1 + c2 k e tenendo conto che R0 = 1 e Rs = 0, si ottiene Rk =

s−k s

se p =

1 2

Ad esempio, p = 0, 48, k = 10 , s = 20, rientra nel caso p = 1/2 e mostra come, anche per p di poco minore di 0, 5 risulta R10 > 0, 5 (R10 = 0, 690066). Dunque, in tale caso, è molto più probabile rovinarsi che conservare e/o aumentare il capitale. Se si ripetono i calcoli con k = 100 e s = 200, il risultato ha una evidenza ancora più drammatica: R100 > 0, 999. L’esempio p = 0, 5 , k = 10, s = 20, rientra nel caso p = 1/2: si ottiene Rk = 0, 5. La situazione è molto migliore della precedente; anche se è possibile rovinarsi in un caso su due! Si noti che anche p = 0, 5, k = 100, s = 200 conduce a Rk = 0, 5. Dunque, è meglio non scommettere ripetutamente quando le probabilità sono anche leggermente contrarie. Se si è obbligati a scommettere avendo le probabilità avverse (p < 1/2), allora il miglior modo per sperare di raddoppiare il capitale è scommettere tutto subito! Riassumendo, se si vuole raddoppiare il capitale (s = 2k), si hanno tre casi: rk − 1  1; − r−k 1 • se p = q, allora r = 1 e Rk = , ∀k; 2 rk − 1  0. • se p > q, allora r < 1 e Rk = k r − r−k • se p < q, allora r > 1 e Rk =

rk

8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2

313

Osserviamo che la funzione k → Rk non descrive una storia di scommesse successive, ma corrisponde alla dipendenza dalla somma iniziale k (0 ≤ k ≤ s) della probabilità Rk di rovinarsi in alternativa al raggiungimento della somma s. Soluzione 2.37. Studiamo separatamente i due modelli. (1)

Posto PN = PE , dall’uguaglianza Qdk+1 = Qok+1 si ricava l’equazione d d a+c Pk+1 = − (1 − δ) Pk + − δPE . b b b Si noti che l’equazione ammette l’unico equilibrio α = PE . La soluzione in forma chiusa è

k d Pk = − (1 − α) (P0 − PE ) + PE . b poiché

     d    − (1 − α) < − d   b   b

α ∈ (0, 1)

ne segue che: • • • (2)

se c’è convergenza nel modello della ragnatela, c’è anche convergenza nel modello con prezzo normale; se ci sono oscillazioni di ampiezza costante nel modello della ragnatela, allora diventano oscillazioni smorzate; se ci sono oscillazioni amplificate nel modello della ragnatela, nel modello con prezzo normale può capitare di tutto.

e Dalla relazione Qok+1 = −c + dPk+1 e la condizione di equilibrio Qok+1 = Qdk+1 si ricava Qo + c a + c − bPk+1 e = = k+1 Pk+1 d d e sostituendo nella e − (1 − β) Pke = βPk Pk+1

β ∈ (0, 1)



d a+c Pk + β . 1−β 1+ b b L’unico equilibrio è PE , quindi si trova:

si ricava

Pk+1 =

Pk =

k d 1−β 1+ (P0 − PE ) + PE . b

La condizione di stabilità è 

   1 − β 1 + d  < 1  b 

⇔



d β 1+ 1, l’ultima condizione di stabilità è meno stringente di quella β del modello della ragnatela (Esempio 2.8). Poiché

314

8 Soluzioni degli esercizi

Soluzione 2.38. Con le notazioni dell’Esercizio 1.14, utilizziamo il Teorema 2.56 (con Xn uguale ad An , A2n o A2n+1 a seconda dei casi) per determinare i coefficienti dello sviluppo in serie di una soluzione particolare y delle equazioni differenziali proposte. Bessel: I coefficienti di indice dispari sono nulli. Da A2n = − A2n =

A2n−2 segue 4n (n + k)

(−1)n k! A0 n! (n + k)!22n

Dividendo tutti i coefficienti An per la stessa costante k!A0 si ottiene la soluzione particolare Jk , chiamata funzione di Bessel di prima specie di ordine k: Jk (x) =

+∞

n=0

(−1)n  x 2n+k n!(n + k)! 2

Per l’integrale generale dell’equazione di Bessel si veda [9],[18]). Hermite: Partiamo da An+2 =

2 (n − k) An . (n + 1) (n + 2)

Nel caso k pari consideriamo A0 = 1 e A1 = 0 : ne segue A2n+1 = 0 ∀n , A2n = 0 ∀n > k/2 , A2n = (−1)n

2n (k − 2n + 2)!! se 0 ≤ n ≤ k/2 , (2n)!

dove m!! = m (m − 2) (m − 4) . . . . Nel caso k dispari consideriamo A0 = 0 e A1 = 1 : ne segue A2n = 0 ∀n , A2n+1 = 0 ∀n > (k − 1)/2 , 2n (k − 2n + 1)!! se 0 ≤ n ≤ (k − 1)/2 . (2n + 1)! In entrambi i casi le soluzioni considerate sono polinomi Hk di grado minore o uguale a k, chiamati polinomi di Hermite di ordine k. A2n+1 = (−1)n

n−k 2 An segue (n  +1) (−1)n k An = 0 ∀n > k , An = A0 n = 0, 1, . . . , k , n! n da cui si ricava la soluzione particolare pk (polinomio di Laguerre): Laguerre: da An+1 =

+∞

(−1)n k! xn = 2 (k − n)! (n!) n=0

1 k k x − xk−1 + · · · + (−1)k−1 kx + (−1)k . = (−1)k k! 1!(k − 1)!

pk (x) =

8.2 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2 Legendre: da An+2 =

315

n (n + 1) − k (k + 1) (n − k) (n + k + 1) An = An . (n + 1) (n + 2) (n + 1) (n + 2)

Nel caso k pari: consideriamo A0 = 1 e A1 = 0 : ne segue A2n+1 = 0 ∀n , A2n = 0 ∀n > k/2 , k!! (−1)n (k − 2n + 1)!! se 0 ≤ n ≤ k/2 , A2n = (2n)! (k − 2n)!! (k + 1)!! ovviamente in tutti i coefficienti si può omettere il fattore comune k!!/(k + 1)!! Nel caso k dispari: consideriamo A0 = 0 e A1 = 1 : ne segue A2n = 0 ∀n , A2n+1 = 0 ∀n > (k − 1)/2 , (k + 2n)!! (k + 1)!! (−1)n se 0 ≤ n ≤ (k − 1)/2 , A2n+1 = (2n + 1)! (k − 2n − 1)!! k!! ovviamente in tutti i coefficienti si può omettere il fattore comune (k + 1)!!/k!! In entrambi i casi le soluzioni considerate sono polinomi Pk di grado minore o uguale a k, chiamati polinomi di Legendre di ordine k. Soluzione 2.39. Il valore attuale VA di un pagamento di importo (o valore nominale) VN effettuato dopo n anni ipotizzando un regime ad interessi composti con un tasso d’interesse costante r è dato dalla formula VA = VN (1 + r)−n . La scelta del valore r opportuno non è semplice ed una sua corretta determinazione è importante per l’efficacia del modello. Per ogni singolo caso esisteranno valori adeguati. Ad esempio, per valutare l’opportunità di effettuare un investimento il tasso r per l’attualizzazione può essere scelto pari al rendimento di titoli di stato di durata compatibile con l’investimento considerato. Tornando all’esercizio: Ak =

1 1 1 1 − (1 + r)−k 1 − (1 + r)−k 1 = + . 2 +··· + −1 = k 1+r 1 + r 1 − (1 + r) r (1 + r) (1 + r)

Dunque Ak =

1 − vk r

v = (1 + r)−1

Se Ak è il valore attuale a tasso composto r di una rendita di k rate unitarie alle scadenze 1, . . . , k, allora Ak+1 si ottiene aggiungendo ad Ak il valore attuale delle rata unitaria riscossa al tempo k + 1: Ak+1 = Ak + (1 + r)−k+1 = Ak + v k+1 e applicando la formula dell’Osservazione 2.61 si ritrova il risultato sopra determinato.

316

8 Soluzioni degli esercizi

Se r = rk , allora Ak =

k

n=1

1 (1 + rk )n

Ak+1 = Ak + (1 + rk )−k+1 .

Soluzione 2.40. Utilizzando la formula dell’esercizio precedente, si ricava la rela1 − vk zione M = Q da cui r

Q=

Mr 1 − vk

v = (1 + r)−1

Soluzione 2.41. a) b)

Poiché τk > 0, risulta rk ∈ [1, 5 , 15]. Il tasso dell’1, 5% si dice floor dell’obbligazione. Si deve soddisfare l’equazione Pk 100 = rk τk Di conseguenza, nelle ipotesi semplificatorie effettuate, tale prezzo dovrebbe essere Pk = 100 max {1, 5 , 15 − 2τk } /τk .

c) d)

Osserviamo l’elevata volatilità del titolo: se τk = 7, 25 allora Pk si riduce a 20, 68 (in base 100) cioè si subisce una grossa perdita; ma, se τk → 0 allora il prezzo tende a +∞. È chiaro che i valori di Pk variano molto anche se τk varia poco (effetto leva). Pk +100 (r1 + r2 + · · · + rk−1 ). Vendendo il titolo a scadenza si ottiene il valore 100 (1 + r1 + · · · + r10 ). 100 (1 + 5 + 5, 1 + 5, 2 + 4, 9 + 4 + 3 + 2, 5 + 2, 6 + 4 + 7, 5) .

Soluzione 2.42. Poiché è possibile riordinare i termini delle serie assolutamente convergenti, si ha: k k +∞ +∞

1 1 Xh Yk−h = X Y = = h k−h zk zk z h z k−h k=0 k=0 h=0 k=0 h=0  +∞   +∞ +∞ +∞

Xh

Ys Xh Ys = = Z {X} Z {Y } . = zh zs zh zs s=0 h=0 s=0 h=0

Z {X ∗ Y } =

Soluzione 2.43.

+∞

(X ∗ Y )k

Dalla formula del binomio di Newton segue che   k

k k mk−s m ∈ N. (m + 1) = s s=0

8.3 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 3

317

Sostituendo in tale formula successivamente al posto di m i primi n numeri interi positivi e sommando tali relazioni, si ricava:     n   n n k k k

k k k−s k mk−s = Sk−s (m + 1)k = m = s s m=1 s m=1 m=1 s=0 s=0 s=0 che si riscrive come     k

k k Sk − 1 + (n + 1) = Sk−s Sk + s 0 s=1 k

da cui si ricava Sk−1 = (n + 1)k − 1 Soluzione 2.44.

  k

k Sk−s . s s=2

Se n = 2, allora 1 0 1 μ1 = μ2 − μ1 det 1 μ2

Se n = 3, allora sostituendo μ al posto di μ1 nella matrice ⎤ ⎡ 1 μ1 μ21 2 ⎣ 1 μ2 μ2 ⎦ 1 μ3 μ23 calcolando il determinante, otteniamo un polinomio P (μ) di secondo grado. Se si sostituisce l’incognita μ anche al posto di μ2 oppure di μ3 il determinante si annulla e dunque μ2 e μ3 sono radici di P (μ). Ciò significa che vale l’uguaglianza P (μ) = a (μ − μ2 ) (μ − μ3 ) dove a è il coefficiente del termine di secondo grado μ2 di P . Dunque a coincide con il complemento algebrico di μ21 e di conseguenza ⎡ ⎤ 1 μ1 μ21 det ⎣ 1 μ2 μ22 ⎦ = (μ3 − μ2 ) (μ1 − μ2 ) (μ1 − μ3 ) . 1 μ3 μ23 La formula relativa al caso di dimensione n si ottiene analogamente, supponendo nota quella del caso di dimensione n − 1.  5 +∞  1 1 Soluzione 2.45. Z = = e1/z . k k! k=0 z k!

8.3 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 3  Soluzione 3.3.

5  5 2 4 6 2 4 8 , , , , , . 7 7 7 9 9 9

Soluzione 3.4. Gli equilibri sono soluzione di x2 = x cioè α1 = 0 e α2 = 1. Per determinare eventuali cicli, notiamo che l’iterata k-esima della mappa è x2k e quindi

318

8 Soluzioni degli esercizi

si deve risolvere

x2k = x

che ha soluzioni α1 = 0 oppure α2 = 1 Si conclude che non esistono orbite periodiche. Soluzione 3.5. L’equazione x ∈ [−3, 3] : equivale a



x≥0 2x2 = 9

)

⇒

9 − x2 = x

α=

3√ 2. 2

Per determinare eventuali orbite 2 periodiche, risolviamo + 2 ) √ 9− 9 − x2 = x ⇒ x2 = x ⇒

|x| = x.

Ogni x ≥ 0 è soluzione e quindi (a parte α) appartiene ad un’orbita 2-periodica. Infine è sufficiente notare che se x ∈ [−3, 0) allora f (x) ≥ 0 e quindi tali punti √ appartengono ad orbite definitivamente 2 periodiche oppure (−3 2/2) ad orbite deinitivamente stazionarie. Soluzione 3.6. Gli equilibri sono soluzione di |x| − x =x 2

⇒

|x| = 3x

⇒

α = 0.

Poiché se X0 > 0 allora f (X0 ) = 0 tali punti appartengono ad orbite definitivamente stazionarie. Inoltre, se X0 < 0 allora f (X0 ) > 0 e quindi anche tali punti appartengono ad orbite definitivamente stazionarie. In definitiva non ci sono orbite periodiche. Soluzione 3.7. Sia {α0 , α1 } un ciclo di ordine 2 per il s.d.d. {I, f }. Poiché per definizione α0 = α1 , possiamo supporre che sia α0 < α1 Dunque: α0 < α1 = f (α0 ) ;

α1 > α0 = f (α1 ) .

Dalla continuità di f e dal fatto che α0, α1 ∈ I segue l’esistenza di c ∈ (α0 , α1 ) tale che f (c) = c. Osserviamo che

Soluzione 3.8. X1 − X0 =

√

X0 + 2 − X02 X0 + 2 − X0 = √ ≥0 X0 + 2 + X0

⇔

−2 ≤ X0 ≤ 2.

Proviamo che {Xk } è strettamente crescente per λ ∈ [−2, 2). A questo scopo, dopo aver notato che la successione è a termini positivi, verifichiamo che se X0 ∈ [−2, 2) allora Xk < 2 per ogni k ∈ N. Infatti, X0 ∈ [−2, 2); inoltre se si suppone, per k ≥ 1, (ipotesi di induzione) che Xk < 2 si ottiene: √ √ Xk+1 = Xk + 2 < 2 + 2 = 2. Mostriamo ora che, se X0 ∈ [−2, 2), allora {Xk } è una successione crescente . Per

8.3 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 3

319

ogni k ≥ 1, si ha: Xk+1 − Xk =

√

moltiplicando e dividendo per

Xk + 2 − Xk =

Xk + 2 − Xk2 = √ = Xk + 2 + Xk

Xk +2+Xk

fattorizzando

− (Xk + 1) (Xk − 2) √ ≥ Xk + 2 + Xk ≥ 0. =

√

perché Xk 2, verificando che si ottiene una successione (decrescente e) convergente ad α = 2. Soluzione 3.9.

Sia {α0 , α1 } l’orbita 2 periodica, con α0 < α1 . α0 < α1 = f (α0)

α1 > α0 = f (α0) .

Applicando il Teorema degli zeri alla funzione continua x − f (x) nell’intervallo [α0, α1 ] ⊂ I, segue l’esistenza di α ∈ (α0 , α1 ) tale che α = f (α).  3 2 Soluzione 3.11. X1 = − (X0 )3 = −X03 , X2 = − −X03 = (−1)2 (X0 )3 = X09 . Iterando:

k

Xk = (−1)k (X0 )3

k ∈ N.

Soluzione 3.12. Per prima cosa disegnamo il grafico della funzione f : R → R, f (x) = (x + |x|) /4. L’unico punto di equilibrio è α = 0. Se X0 < 0, allora X1 = f (X0 ) = 0 e dunque Xk = 0 per ogni k ∈ N. Se X0 > 0, l’analisi grafica suggerisce che la successione {Xk } sia decrescente e convergente a 0: la conferma può essere ottenuta per induzione.

X0

Fig. 8.5. Grafico di f (x) = (x + |x|) /4

320

8 Soluzioni degli esercizi

Soluzione 3.13. Il sistema dinamico presenta due equilibri: α1 = −π e α2 = π. Dall’analisi grafica si deduce che qualunque sia il dato iniziale in (−π, π) la successione corrispondente {Xk } risulta crecente e convergente a π. Soluzione 3.14. intervallo chiuso.

Proviamo gli algoritmi nel caso più generale f : I → I, I ⊆ R

Algoritmo I. Sia X0 ≤ X1 . Dimostriamo che X è crescente, procedendo per induzione. Per k = 1 la relazione è vera per ipotesi. Se (ipotesi di induzione) Xk−1 ≤ Xk , poiché f è crescente, si ricava f (Xk−1 ) ≤ f (Xk ) che equivale a Xk ≤ Xk+1 . Allo stesso modo si procede se X0 ≥ X1 . Sia ora f crescente e continua sull’intervallo chiuso I, e X0 < X1 . Se I ha estremo superiore b ∈ R, allora, per il Teorema 3.23, f ammette almeno un punto fisso in [X0 , b]. L’insieme dei punti fissi di f su [X0, b] è sicuramente limitato (perché è limitato [X0 , b]), è non vuoto (perché f ammette almeno un punto fisso). Quindi, l’insieme dei punti fissi di f ammette estremo inferiore, diciamo α, che è anche minimo. Infatti, se {αn } è una successione di punti fissi tale che αn → α per n → +∞, dalla continuità di f segue f (αn ) → f (α) ed essendo f (αn ) = αn , ∀n, ciò implica f (α) = α ovvero α appartiene all’insieme dei punti fissi. Verifichiamo ora che Xk ≤ α per ogni k. Se k = 0, la relazione è vera perché α ∈ (X0 , b]. Se (ipotesi di induzione) Xk ≤ α , dato che f è crescente, si ha Xk+1 = f (Xk ) ≤ f (α) = α. In conclusione, X è una successione crescente e limitata superiormente: dunque, essa ammette limite finito L ≤ α. Ma essendo f continua, per il Teorema 3.25 L è punto fisso per f e non potendo essere minore di α si ricava L = α. Infine, se I è illimitato superiormente, e f non ammette punti fissi “a destra” di X0 , X risulterà una successione illimitata, perché altrimenti il suo limite sarebbe punto fisso di f . Procedendo allo stesso modo si dimostra il caso X1 < X0 . Algoritmo II. La funzione g = f ◦ f = f 2 risulta crescente, e X2k = f (X2k−1 ) implica X2k+1 = f (X2k ) = g (X2k−1 ) . Concludiamo così che la successione {X2k+1 } è definita per ricorrenza mediante la funzione crescente g e le conclusioni seguono dall’Algoritmo I. Allo stesso modo si procede per {X2k }. Sia ora X1 ≤ X2 . Supponendo che, per k ≥ 1 fissato, sia X2k−1 ≤ X2k , si deduce X2k+1 = g (X2k−1 ) ≤

perché g è crescente e X2k−1 ≤X2k

≤ g (X2k ) = X2k+2 . Per il principio di induzione risulta così X2k−1 ≤ X2k per ogni k ≥ 1. Soluzione 3.16. La funzione f : R → R definita da f (x) = |x − 1| /2 ammette un unico punto fisso α = 1/3, soluzione di x∈R:

|x − 1| = x. 2

8.3 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 3

321

Poiché f è una contrazione (con costante 1/2), il Teorema 3.32 permette di concludere che qualunque sia il dato iniziale X0 ∈ R la successione corrispondente Xk = f (Xk−1 ) converge ad 1/3. Dall’analisi grafica si può dedurre che la convergenza non è monotòna. Nei vari casi gli equilibri verificano:   1. α = 1, 0, −1; f (x) = 12 3x2 + 1 ; f  (0) = 12 (l.a.s.); f  (±1) = 2 (repulsivo); 1√ 1√ 1 1 2. α = 5 − ,− 5 − , 0; f  (x) = 3x2 + 2x; f  (0) = 0 (l.a.s.); 2 2 2 2

√  √  1√ 1 7 1√ f 5− 5 > 1 , f  − 12 5 − 12 = 12 5 + 72 > 1 (repulsivi); = − 2 2 2 2 Soluzione 3.18.



3. α = 0,1; f  (x) = (1 − x) e1−x ; f  (0) = e (repulsivo); f  (1) = 0 (l.a.s.); 4. α = −1, 0; f  (x) = 3x2 + 2x + 1; f  (0) = 1; f  (x) = 6x + 2; f  (0) = 2 (s.r. e i.l.a.s.); f  (−1) = 2 (repulsivo); 5. α = 0; f  (x) = ex ; f  (0) = 1; f  (x) = ex ; f  (0) = 1 (s.r. e i.l.a.s.); 6. α = 0, f  (x) = 1 − 3x2 , f  (0) = 1, f  (x) = −6x, f  (0) = 0, f  (x) = −6 < 0 (l.a.s.); 7. α = 0; f  (x) = 3x2 + 1; f  (0) = 1; f  (x) = 6x; f  (0) = 0; f  (0) = 6 > 0 (instabile); 2

8. α = 0, 2; f  (x) = 2x − 1; f  (0) = −1; 2f  (0) + 3 (f  (x)) = 4 > 0 (l.a.s.); f  (2) = 3 (repulsivo) √ √  √  9. α = 2, − 2, 0; f  (x) = 3x2 − 1; f  (0) = −1, f  ± 2 = 5 (repulsivo); 2 f  (x) = 6x; f  (x) = 6; 2f  (0) + 3 (f  (0)) = 30 > 0 (l.a.s.). Soluzione 3.19. Con la prima  strategia (quantità  prefissata): f (x) = (1 + a) x − ) 2 ax − b, gli equilibri sono α1,2 = 1 ± 1 − 4b/a /2 , e • se 0 < b < a/4, allora vi sono due equilibri positivi: α1 > α2 > 0, con α1 stabile e attrattivo e α2 repulsivo; • se b = a/4, allora α1 = α2 = 1/2 che è instabile; • se b > a/4, allora non vi sono equilibri. Riassumendo, il massimo pescato sostenibile con la prima strategia è a/4, che però corrisponde ad una situazione instabile. Con la seconda strategia (proporzione fissata), f (x) = (1 + a − r) x − ax2 , gli equilibri sono α2 = 0, α1 = 1 − r/a, f  (α1 ) = 1 − a + r, α1 stabile se 0 < r < a (la condizione r > a − 2 è automatica se a < 2, dovendo essere r ∈ (0, 1)). Dunque, con la seconda strategia  a/4 0≤a≤2 . Pmax (a) = max rα1 = 1 − 1/a a > 2 [a−2,a]∩[0,1] Osserviamo che la quantità massima di pescato Pmax (a) è funzione crescente di a. Osserviamo inoltre che se a > 2 può convenire la prima strategia, a condizione di non eccedere... .

322

8 Soluzioni degli esercizi

Soluzione 3.21.

Gli eventuali equilibri sono soluzione dell’equazione x∈R:

(1 − a) x = b.

Se a = 1 e b = 0, ogni c ∈ R è di equilibrio; se a = 1 e b = 0, non ci sono punti di equilibrio; infine, se a = 1, vi è un solo punto di equilibrio: c = b/ (1 − a). Per quanto riguarda la stabilità, se a = 1 e b = 0, ogni punto di equilibrio è stabile ma non attrattivo; se a = 1, poiché g (x) = a, per il Teorema 3.57, ogni punto di equilibrio è globalmente asintoticamente stabile se |a| < 1, repulsivo se |a| > 1. Si confrontino i risultati ottenuti con grafici e commenti del paragrafo 2.1. Soluzione 3.22.

Utilizziamo l’Algoritmo II. 4 arctan x è continua e strettamente decrescente, con π

La funzione f (x) = 1 −

−1 < 1 −

4 arctan x < 1 π

∀x ∈ R .

4 Se Y0 = 4, allora Y1 = 1 − arctan 4 = Y0 , e anche Y2 < Y0 . È necessario allora π determinare eventuali punti fissi di

4 4 f 2 (x) = 1 − arctan 1 − arctan x . π π Osserviamo che f 2 (0) = 0 e f 2 (1) = 1. Inoltre: 

 16 f 2 (x) = 2 π

 (1 +

x2 )



1

4 1 + 1 − arctan x π

2 

  e quindi f 2 (x) < 1 per ogni x ≥ 1: a destra di x = 1 non vi sono altri punti fissi di f 2 . Allora, per l’Algoritmo II, si deduce che Y2k  1 e Y2k+1  f (1) = 0. Soluzione  3.23. Tracciando il grafico della funzione f : R → R definita da f (x) =  2 x + 4 /3 ci si rende conto che non esistono punti di equilibrio: qualunque sia a ≥ 0, la successione risulta crescente e non limitata, quindi divergente a +∞. In effetti, ∀a ≥ 0, si ha: Yk+1 − Yk =

 Yk2 + 4 1 2 − Yk = Yk − 3Yk + 4 ≥ 0 3 3

∀k ∈ N

dato che il discriminante del polinomio di secondo grado in parentesi è negativo. Inoltre, poiché 4Yk ≤ Yk2 + 4 la differenza fra due termini consecutivi cresce con k Yk+1 − Yk =

 1 2 1 Yk − 3Yk + 4 ≥ Yk 3 3

e quindi la successione non è superiormente limitata.

8.3 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 3

323

Soluzione  3.24. Tracciando il grafico della funzione f : R → R definita da f (x) =  2 x + 6 /5, ci si rende conto della presenza di due punti di intersezione, in x = 2 e x = 3, fra il suo grafico e la bisettrice del primo e terzo quadrante. Ciò significa che vi sono due punti di equilibrio: se a = 2

Yk = 2

∀k ∈ N

se a = 3

Yk = 3

∀k ∈ N.

Da un’analisi grafica si deduce che il primo equilibrio è attrattivo, il secondo è repulsivo e, più precisamente: • se |a| < 3, allora limk Yk = 2; • se |a| > 3, allora limk Yk = +∞. Cerchiamo una conferma analitica di tali risultati. Grazie al Teorema 3.57, dato che f  (2) =

4 1 5

deduciamo che α = 2 è un equilibrio localmente asintoticamente stabile, mentre α = 3 è repulsivo. Inoltre, poiché f , per x > 0, è strettamente crescente, grazie all’Algoritmo I si deduce che: • poiché Y1 < Y0 = a per ogni a ∈ (2, 3), si ha limk Yk = 2; • poiché Y1 > Y0 per ogni a ∈ (0, 2), segue che limk Yk = 2; • poiché Y1 > Y0 per ogni a ∈ (3, +∞), segue che Yk  +∞. I risultati nel caso x < 0 si ottengono per simmetria dai precedenti. Soluzione 3.25. Per prima cosa, tracciamo il grafico della funzione f : R → R, f (x) = 2x exp (−x/2). A tale scopo, notiamo che lim f (x) = 0+ ; x  f  (x) = e−x/2 −2 2

lim f (x) = −∞

x→−∞

x→+∞

f  (x) = e−x/2 (2 − x) e quindi f  (x) ≥ 0 

f (x) ≥ 0

⇔

x≤2

⇔

x ≥ 4.

Per determinare eventuali punti fissi, osserviamo che f (0) = 0 e f  (0) = 2. Ciò significa che, per x > 0, il grafico della funzione identità interseca il grafico di f in un solo punto, diciamo x. Inoltre, poiché 2 f (1) = √ > 1 = f (1) e

f (2) =

4 < 2 = f (2) e

si ha 1 < x < 2. Da quanto sopra ricavato, per l’Algoritmo I, la successione Y converge a x, se 0 < a < x oppure x < a ≤ 2. Se a > 2, poiché necessariamente Y1 = f (Y0 ) < 2 si rientra nel caso precedente e quindi di nuovo si ha convergenza al valore x.

324

8 Soluzioni degli esercizi

Fig. 8.6. Grafico di 2xe−x/2 √ Per ogni Y0 = a > b la successione calcolata per ricorrenza da

1 b Yk + Yk+1 = ∀k ∈ N 2 Yk √ è ben definita. Infatti, si prova per induzione, che √ Yk > b, ∀k ∈ N. Per k = 1, l’affermazione è vera per ipotesi. Supposto ora Yk > b (ipotesi di induzione), si ha:

√ √ 1 b Yk+1 − b = Yk + − b= 2 Yk  √ quadrato del binomio 1  2 = Yk − 2 bYk + b = 2Yk √ 2 ipotesi di induzione 1  Yk − b > = 2Yk > 0.

Soluzione 3.26.

La successione Y è strettamente decrescente. Infatti, per ogni k ≥ 1,  √  √

b − Yk b + Yk 1 b b − Yk2 Yk+1 − Yk = = b>0 2 = k < 2Yk 2 < √k . 2 b

√ Posto β = 2 b, risulta k+1 < β

k β

2

−6. Allora vi è un solo equilibrio α = 3, perché 3 è l’unica soluzione di 0 < α = 6 + α. α è localmente asintoticamente stabile perché f  (3) = 1/6. Più precisamente, è globalmente attrattivo perché se X0 = 3, allora Xk = 3 per ogni k, altrimenti Xk ≥ 0 per ogni k ≥ 1 e x>3 0 0, allora {Sk } è monotòna convergente a 2 − 1/p. Concludendo, per completezza, se p > 1/2 il batterio ha probabilità s = 2 − 1/p di essere “immortale” (ne è sicuro solo se p = 1), poiché la probabilità di essere immortale è il limk→+∞ Sk . % & Per provare la monotonia, studiamo il s.d.d. R+ , f con f (x) = 2px−px2 al variare di p ∈ [0, 1]. Se p = 0 la dinamica è banale. Se p ∈ (0, 1], il grafico di f è una parabola (concava). Determiniamo eventuali equilibri: −px2 + 2px = x

⇔

x [px − (2p − 1)] = 0

⇔

x = 0 oppure x = 2 − 1/p.

Poiché f  (x) = 2p (1 − x), tenendo conto che deve essere x ≥ 0 possiamo concludere che: • se p ∈ (0, 1/2), allora vi è solo l’equilibrio nullo che è stabile in quanto f  (0) = 2p < 1; • se p = 1/2, allora l’unico equilibrio è lo 0 che è stabile in [0, 1] perché è semistabile superiormente in R; • se p ∈ (1/2, 1], allora vi sono due equilibri α0 = 0 e α1 = 2 − 1/p; α0 è instabile dato che f  (α0 ) = 2p > 1, mentre α1 è localmente asintoticamente stabile

8.3 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 3

327

1

1

1

1 2

1 2

1

1 2

1

2

2

1

Fig. 8.7. Ragnatele dell’Esercizio 3.29 : 0 ≤ p < 1/2 , p = 1/2 , 1/2 < p < 1

poiché f  (α1 ) = 2 (1 − p) < 1, ed il suo bacino è (0, +∞). Dunque, partendo da S1 = p > α1 , Sk converge ad α1 decrescendo. Soluzione 3.32. Tracciando il grafico di f (x) = cos x e della funzione identità, ricaviamo l’esistenza di un unico equilibrio α del s.d.d. assegnato. Necessariamente α ∈ (0, 1) e da f  (x) = − sin x si deduce |f  (α)| = |sin α| < 1. Dunque, per il Teorema 3.57, α è un equilibrio stabile. Osserviamo ora che X1 ∈ [−1, 1] e X2 ∈ [0, cos 1] qualunque sia X0 ∈ R. Inoltre −1 < − sin 1 ≤ f  (x) ≤ 0

∀x ∈ [0, cos 1] .

Dunque, se k ≥ 3, allora Xk − α e Xk+1 − α hanno segni opposti e |Xk+1 − α| ≤ c |Xk − α| avendo posto c = sin 1. Quindi {Xk } converge ad α oscillando. Risolvendo numericamente l’equazione α = cos α si può ottenere il valore cercato. Soluzione 3.33. Notiamo che la mappa f (x) = x + x3 è strettamente crescente, quindi utilizziamo l’Algoritmo 1. Consideriamo un dato iniziale X0 e calcoliamo X1 = X0 + X03 . Si ha: X1 = X0 ⇔ X0 = 0 quindi α = 0 è l’unico equilibrio del s.d.d.. Inoltre: X1 > X0

⇔

4

6

X0 > 0

1

0.5

2

8

10

12

-0.5

-1

Fig. 8.8. Grafici di f , f 2 ,f 5, f 20 con f (x) = cos x

328

8 Soluzioni degli esercizi

e quindi, per l’Algoritmo 1, si ha: ∀X0 > 0

lim f k (X0 ) = +∞

∀X0 < 0

lim f k (X0 ) = −∞.

k k

Soluzione 3.34. Dato che la mappa considerata è strettamente decrescente, utilizziamo l’Algoritmo 2 per l’analisi. Consideriamo un dato iniziale X0 > 0 e dato X1 = X0−2 osserviamo che X1 = X0

⇔

X03 = 1

⇔

X0 = 1.

Quindi α = 1 è l’uncio equilibrio del sistema. Per X0 = 1, dato che X2 = X04 si conclude che X2 = X0 ⇔ X03 = X0 ⇔ X0 = 1 ossia non ci sono 2 cicli. Poiché X2 > X0

⇔

X03 > X0

per l’Algoritmo 2, lim X2k = +∞; k

⇔

X0 > 1

lim X2k+1 = 0+ . k

Se X0 ∈ (0, 1) allora lim X2k = 0+ ; k

lim X2k+1 = +∞ . k

Soluzione 3.35. La funzione fβ , per ogni valore di β, è continua e crescente. Cerchiamone eventuali punti fissi: % & % & % & √ √ x ≥ 0 : β + x = x = x ≥ 0 : x = x − β = x ≥ max {0, β} : x = (x − β)2 = % & = x ≥ max {0, β} : x2 − (2β + 1) x + β 2 = 0 . Il discriminante Δ = (2β + 1)2 − 4β 2 = 1 + 4β risulta non negativo se e solo se β ≥ −1/4. In conclusione: • se β < −1/4 non vi sono punti di equilibrio; • se β = −1/4 vi è un unico punto di equilibrio: α = β + 1/2 = 1/4; • se β > −1/4 occorre determinare le soluzioni del sistema ⎧ x≥0 ⎪ ⎨ x≥β √ √ ⎪ ⎩ x = β + 1 + 1 + 4β oppure x = β + 1 − 1 + 4β . 1 2 2 2 Evidentemente x1 è sempre accettabile mentre x2 lo è solo quando ) 1 − 1 + 4β ≥ 0 ⇔ β ≤ 0. Studiamo ora i vari casi individuati. Se β < −1/4, dopo un numero finito di passi l’iterazione si deve arrestare in quanto esiste un k tale che Xk < 0. Dunque, in tal caso la successione non è definita.

8.3 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 3

329

Se β = −1/4, allora X1 < X0 per ogni X0 = 1/4 e dunque, per l’Algoritmo I, quando X0 < 1/4 allora Xk → α mentre per 0 ≤ X0 < 1/4 il sistema si arresta dopo un numero finito di passi. √ 1 + 1 + 4β Se −1/4 < β ≤ 0 esistono due equilibri, α1 = β + e α2 = β + 2 √ 1 − 1 + 4β con 0 < α2 < α1. Sempre in base all’Algoritmo I, possiamo concludere 2 che se X0 > α1 allora X0 → α1 ; se α2 < X0 < α1 poiché X1 > X0 e α1 > X0 si conclude nuovamente che Xk → α2 ; infine, partendo a sinistra di α2 , per β = 0, il sistema si ferma dopo un numero finito di passi. √ 1 + 1 + 4β . Se X0 > α allora X1 < X0 è Se β > 0 vi è un unico equilibrio α = β + 2 così l’Algoritmo I ci dice che Xk → α e la stessa cosa accade per X0 < α in quanto X1 > X0 . Soluzione 3.36. L’equzione T 3 (x) = x presenta 8 soluzioni (vedi Fig. 8.9): due sono equilibri, le altre 6 corrispondono a due orbite 3 periodiche (vedi Esercizio 3.3). Le due orbite 3 periodiche sono entrambe instabili come si deduce adattando l’argomento del Teorema 3.73. Una di tali orbite periodiche è {2/7, 4/7, 6/7}. Inoltre T (1/7) = 2/7, dunque 1/7 è nel bacino del 3 ciclo indicato e la traiettoria che parte da 1/7 è definitivamente periodica: 1 2 4 6 2 4 6 2 , , , , , , , , ... 7 7 7 7 7 7 7 7

Fig. 8.9. Grafici di T e T 3 Soluzione 3.37. Per assurdo, se esitessero α0 , α1 ∈ I tali che α0 = α1 e α1 = f (α0), α1 = f (α0), otterremmo:  α1 0 = (1 + f  (x)) dx = α1 − α0 + f (α1 ) − f (α0) = 0 . α0 2 Soluzione 3.38. √  L’equazione caratteristica λ −λ−1 = 0 ammette le due soluzioni  λ1,2 = 1 ± 5 /2 e quindi la soluzione generale dell’equazione è

Xk = c1

√ k √ k 1+ 5 1− 5 + c2 . 2 2

330

8 Soluzioni degli esercizi

Sostituendo i valori X1 e X2 si determinano le costanti c1 e c2 e dunque la soluzione particolare √ √ k √ √ k 1 2α − 1 + 5 1 + 5 1 2α − 1 − 5 1 − 5 √ √ Xk = √ −√ . 2 2 5 1+ 5 5 1− 5 Si noti che se α = 1, Xk coincide per k ≥ 1 con la successione dei numeri di Fibonacci. (b) Si ha Yk+1 = f (Yk ) dove f : R\ {−1} → R, f (x) = (1 + x)−1 è una funzione non lineare. La successione Y ha termini positivi perché se x > 0, allora f (x) > 0. Un eventuale √ limite finito deve risolvere {x ≥ 0 : f (x) = x} la cui unica soluzione è  l = −1 + 5 /2. Effettivamente risulta limk Yk = l. Infatti, poiché f è strettamente decrescente nell’intervallo (0, +∞) e f (l) = l, seguono le implicazioni f (x) < l; 0 < x < l ⇒ f (x) > l √ −1 + 5 e dunque Y2k+1 < < Y2k per ogni k ≥ 1. 2 Inoltre la successione {Y2k } è strettamente decrescente e {Y2k+1 } è strettamente crescente. Infatti, posto g (x) = f 2 (x) = f (f (x)) = 1−(2 + x)−1 , vale 0 < g (x) < 1/2 per ogni x > 0, da cui, applicando a g ∈ C 1 (0, +∞) il Teorema di Lagrange, x>l

⇒

|Y2k+2 − l| = |f (f (Y2k )) − f (f (l))| = |g (Y2k ) − g (l)| =   1 |1 − l| = g (ξ) · |Y2k − l| < |Y2k − l| < k+1 2 2

k≥0

e analogamente 1 l − 1/2 k ≥ 0. |Y2k−1 − l| < 2 2k √   Concludendo, Yk converge rapidamente a −1 + 5 /2 oscillando attorno a tale valore. |Y2k+1 − l|
1. Se β > −1, allora si può ripetere l’analisi fatta al punto (b), concludendo che Zk > 0 per ogni k ≥ 2, e Zk tende rapidamente ad l qualunque sia il dato iniziale , oscillando rispetto ad l. Il caso β ≤ −1 è più delicato: infatti, la successione {Zk } risulta definita per ogni k ≥ 2 se e solo se β = −1 ed ogni valore di Zk calcolato a partire da β è diverso 1−t da −1. A questo scopo consideriamo la funzione inversa f −1 di f : f −1 (t) = e t denotiamo con Wk la successione così definita  Wk+1 = f −1 (Wk ) W1 = −1 i cui primi termini sono {−1, −2, −3/2, −5/3, −8/5, −13/8, . . . }.

Fig. 8.10. Ragnatele relative all’Esercizio 3.28

332

8 Soluzioni degli esercizi

Si verifica per induzione che Wk = −Fk+1 /Fk per ogni k ≥ 1: W1 = −1 = −

F2 , F1

Wk+1 =

1 − Wk Fk + Fk+1 Fk+2 =− =− . Wk Fk+1 Fk+1

Si noti che −2 ≤ Wk ≤ −1, per ogni k. Dunque il s.d.d. è ben definito per ogni valore iniziale α ∈ R diverso da −Fk+1 /Fk , ∀k ∈ N, dove Fk è il k-esimo numero di Fibonacci. Se β < −2 è un dato iniziale (automaticamente ammissibile), allora Zk > −1 per ogni k ≥ 3 e per l’analisi precedente Zk converge oscillando ad l. Se −2 < β < 1 è un dato iniziale ammissibile (cioè β = −Fk+1 /Fk per ogni k) allora, come al punto (b), si prova che Zk oscilla attorno ad α2 , passando dalla regione {x ∈ R : −2 < x < α2 } a quella {x ∈ R : α2 < x < −1} e viceversa in modo tale che |Zk − α2 | risulta monotòno strettamente crescente, fino a che Xk < −2, dopodiché Zk+1 > −1 e la traiettoria finisce per essere attratta anch’essa dall’equilibrio α1 con le modalità descritte in (b). Soluzione 3.39. Supponendo X0 > 0 e X1 > 0, si ha che Xk > 0 per ogni k ∈ N. Allora, il problema assegnato è equivalente a log Xk+2 = 5 log Xk+1 − 6 log Xk

k∈N

che è una equazione alle differenze lineare del secondo ordine (nella nuova incognita Zk = log Xk ) ottenuta prendendo il logartimo di entrambi i membri. L’equazione caratteristica λ2 − 5λ + 6 = 0 ammette le due radici λ1 = 2 e λ2 = 3, e dunque la soluzione generale è Zk = c1 2k + c2 3k k ∈ N. da cui si ricava

  Xk = exp c1 2k + c2 3k

k ∈ N.

Osserviamo che se X0 = 0 o X1 = 0, la successione non è definita. Inoltre, se X0 = 0 = X1 , allora la successione ha lo stesso segno di X1 , ∀k ≥ 1.

8.4 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 4 Soluzione 4.1. Affinché vi sia il 3 ciclo {1, 2, 3} si deve verificare X0 = 1, f (X0 ) = X1 = 2, f (X1 ) = X2 = 3 e f (X2 ) = X3 = 1, cioè deve ammettere soluzione il sistema ⎧ ⎨a+ b+c = 2 4a + 2b + c = 3 ⎩ 9a + 3b + c = 1. Si ricava che tale sistema ammette l’unica soluzione: a = −3/2, b = 11/2, c = −2 . Soluzione 4.5. L’equazione x ∈ [0, 1] : ha (x) = x ammette le soluzioni α = 0 e αa = (a − 1) /a che sono i punti fissi del s.d.d.. I punti della traiettoria 2 periodica sono soluzioni di x ∈ [0, 1] : h2a (x) = x, ha (x) = x.

8.4 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 4

333

Poiché   h2a (x) = a [ax (1 − x)] [1 − ax (1 − x)] = a2 x (1 − x) 1 − ax + ax2 si ottiene  $ #  h2a (x) − x = x a2 1 − ax + ax2 − x + ax2 − ax3 − 1 = # $ = x −a3 x3 + 2a3 x2 − 2a2 (a + 1) x + a2 − 1 = 0 1 1+a a2 − 1 = −a3 x x3 − 2x2 + x− . a a3 Sapendo che αa è punto fisso per ha , fattorizziamo effettuando la divisione per (x − αa ), ricavando h2a (x) − x =



a−1 a+1 a+1 = −a3 x x − x2 − x+ = a a a2 √ √





a−1 a + 1 + a2 − 2a − 3 a + 1 − a2 − 2a − 3 = −a3 x x − x− x− . a 2a 2a Dunque, se a > 3 βa =

a+1+

) (a + 1) (a − 3) , 2a

γa =

a+1−

)

(a + 1) (a − 3) 2a

sono i punti dell’orbita 2 periodica. Si noti che β3 = γ3 e βa > γa se a > 3. In particolare a2 = 1 +

6 = 3, 449489 . . . √ 3 − 2 = 1, 3178 . . . √ √ = 1 + 2 − 3 = 0, 68216 . . .

β a2 = 1 + γa2

√ √

I conti svolti provano direttamente che {βa , γa } è l’unica orbita 2 periodica di {R, ha }. Soluzione 4.6. Essendo esplicitamente noti i valori βa e γa dall’esercizio precedente, possiamo calcolare ha (βa ) e ha (γa ). Poiché ha (x) = a (1 − 2x), si ricava  ha

1−2

(βa ) = a 

ha

(γa ) = a

1−2

a+1+ a+1−

) )

(a + 1) (a − 3) 2a (a + 1) (a − 3) 2a

 = −1 −  = −1 +

e quindi ha (βa ) ha (γa ) = 1 − (a + 1) (a − 3) .

) )

(a + 1) (a − 3) (a + 1) (a − 3)

334

8 Soluzioni degli esercizi

γa

γa

βa

α a βa

Fig. 8.11. Grafici di h3,1 e h23,1

Così

|ha (βa ) ha (γa )| < 1

⇔ ⇔ ⇔

|1 − (a + 1) (a − 3)| < 1 −1 < 1 − (a + 1) (a − 3) < 1 −2 < − (a + 1) (a − 3) < 0

se a > 3

⇔ ⇔ ⇔

−2 < − (a + 1) (a − 3) a2 − 2a − √5 < 0 a < 1 + 6.

La conclusione segue dal Teorema 3.69. √ Si noti che nell’intervallo 3 < a < 1 + 6 si ha ha (βa ) < −1 e 0 < ha (γa ) < 1. Soluzione 4.7. Le relazioni proposte dal suggerimento assicurano, grazie al Teorema 3.65, che βa e γa sono equilibri stabili e localmente attrattivi per g = f 2 , ed il Lemma 3.68 consente di provare l’affermazione contenuta nel suggerimento. Sia ora f = ha2 ed g = h2a2 . Calcoliamo le derivate  2  ha = ha (ha ) ha  2  2  ha = ha (ha ) ha + ha (ha ) ha   3  2  = h + 3ha (ha ) ha ha + ha (ha ) h ha a (ha ) ha a . Tenendo conto di ha (x) = a (1 − 2x) ,

ha (x) = −2a,

e ha (γa ) = βa ,

ha (βa ) = γa ,

h2a (γa ) = γa ,

h a (x) = 0 h2a (βa ) = βa

ha (γa ) ha (βa ) = −a2 + 2a + 4 otteniamo g (γa2 ) = g (βa2 ) = −1 e, utilizzando le espressioni esplicite di γa e βa ricavate nell’Esercizio 4.5,  √   ) g (γa ) = −12a2 1 − a2 − 2a − 3 = 12a2 2−1 >0

8.4 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 4

335

2

da cui 2g (γa2 ) + 3 (g (γa2 )) > 0   g (γa ) = −2a a2 (1 − 2γa )2 + a (1 − 2βa ) = √ √



a + 1 − a2 − 2a − 3 a + 1 − a2 − 2a − 3 2 +a 1− = −2a2 a 1 − a a    √  √ √ 1+ 3 6−2 g (γa2 ) = 2 1 + 6

g (βa ) = 3 (−2a) (−2a) a (1 − 2βa2 ) = 12a3  √  √  g (βa2 ) = −12 7 + 2 6 1 + 2



−1 −

√

a2 − 2a − 3 a



 √  √ √ √  2  3 g (βa2 ) = 12 7 + 2 6 28 + 12 3 − 4 6 − 12 2 >  √  √  > 12 7 + 2 6 2 + +2 2 = −2g (βa2 ) . Soluzione 4.8. Si suggerisce di partire da X0 = 1/2 (in modo di utilizzare il Teorema di Fatou) e calcolare una sessantina di iterazioni, verificando che {X2k } e {X2k+1 } si stabilizzano con un certo numero di decimali e poi calcolare h (X60 ) h (X61 ). Si osservi che comunque, grazie alla stabilità, tutti i valori iniziali diversi da 0, αa , 1 sono nel bacino di attrazione dell’orbita periodica. L’unicità del 2 ciclo segue dal fatto che ha2 (x) = x è un’equazione di quarto grado, e quindi ha al più quattro soluzioni, di cui due sono equilibri. Soluzione 4.10 1) αa è un equilibrio superattrattivo se risolve a (1 − 2αa ) = 0 con 1 < a ≤ 3. Dunque, b0 = 2 e α2 = 1/2 è l’equilibrio superattrattivo. 2) Per il Teorema di Fatou 1/2 è nel bacino di attrazione dell’orbita {γa , βa }. Risolvendo in a ∈ (a1 , a2 ) l’equazione h2a (1/2) = 1/2 otteniamo il valore b1 di a per cui 1/2 appartiene al 2 ciclo. Per tale valore il 2 ciclo è superattrattivo grazie al Teorema 3.69:  2    ha (γa ) = h2a (βa ) = (ha ) (γa ) (ha ) (βa ) . Si tratta dunque di risolvere 

=0 a3 − 4a2 + 8√ 3< a ≤ 1+ 6 .

Alternativamente, sfruttando la conoscenza esplicita di γa e βa (vedi Esercizio √ 4.5), si risolve ina ∈ √ (a1, a2 ) l’equazione γa = 1/2. Si ottiene b1 = 1 + 5, γb1 = 1/2, βb1 = 1 + 5 /4. Per la determinazione dei valori bk si può procedere in modo analogo. Tuttavia k la risoluzione in a ∈ (ak , ak+1 ) dell’equazione (ha )2 (1/2) = 1/2 è delicata. Cok munque la superattrattività del 2 ciclo corrispondente ad a = bk è garantita dal Teorema 3.73.

336

8 Soluzioni degli esercizi

Fig. 8.12. Grafici di (ha )3 con a vicino ad aω nei casi: a < aω , a = aω , a > aω

Soluzione 4.11.

I punti di un’orbita di periodo 3 risolvono l’equazione x ∈ [0, 1] :

ha (ha (ha (x))) = x

e

ha (x) = x.

Per a vicino ad aω il grafico di (ha )3 presenta il seguente comportamento qualitativo: è simmetrico rispetto ad x = 1/2 che è punto di minimo relativo, vi sono 4 mode (massimi relativi), le radici complesse di (ha )3 (x) = x sono 8, le eventuali radici reali sono tutte in [0, 1] (Teorema 4.1). Se a < aω le radici reali di (ha )3 (x) = x sono solo due (gli equilibri di ha ), dunque non vi sono orbite 3 periodiche. Se a = aω allora le radici reali distinte di (ha )3 (x) = x sono 5 di cui tre doppie dovute ai punti di tangenza. Poiché 3 è un numero primo le radici doppie corrispondono necessariamente ad un’orbita 3 periodica. Se a > aω , vi sono 8 radici reali distinte. Necessariamente, quelle che non sono punti fissi di ha sono due orbite 3 periodiche, di cui una stabile, l’altra instabile, come si può verificare graficamente osservando le pendenze nei punti di attraversamento della bisettrice (si veda la Fig. 8.12). Dunque, il valore a = aω è di biforcazione per ha , differente da quelli classificati nel paragrafo 4.3. Sfruttando le informazioni contenute nel diagramma di biforcazione riportati nelle Fig. 4.13 e 4.14 si ottengono numericamente i valori del 3 ciclo con a = 3, 84 : {0, 1494, 0, 4880, 0, 9594} approssimato a 4 cifre decimali. Si verifica numericamente che tale 3 ciclo è stabile (Teorema 3.73): h3,84 (0, 1494) h3,84 (0, 4880) h3,84 (0, 9594) = −0, 87552 . Soluzione 4.12. Risolvendo fa (x) = x si trovano 3 equilibri per a > 1 ed 1 solo per a ≤ 1 ; inoltre si ha una sola orbita 2 periodica (α1 , α2 ) per ogni a > 0, dove αj sono le soluzioni diverse da 0 di fa (x) = −x. Soluzione 4.13. Una possibile descrizione è data dal sistema dinamico discreto seguente {[0, 2π), (θ + π/30) mod 2π} in cui la variabile angolare θ è misurata in radianti. Tutte le orbite di tale s.d.d. sono periodiche (di periodo 60) e dunque le orbite periodiche sono dense. Il s.d.d. non è topologicamente transitivo perché se θ0 = ψ + hπ/30, ∀h ∈ {0, 1, . . . , 59}, allora le traiettorie di dato iniziale θ0 hanno una minima distanza positiva da ψ. Infine, vi è dipendenza sensibile dai dati iniziali perché per ogni ε > 0 se θ0 < π/30 < ϕ0 e ϕ0 − θ0 < ε allora, chiamando θk e

8.4 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 4

337

ϕk rispettivamente la traiettoria di punto iniziale θ0 e ϕ0 , si ha θ60 − ϕ60 > 59π/30. Concludendo, la dinamica non è caotica. Tuttavia, la dipendenza sensibile dai dati iniziali è in certa misura sorprendente. In effetti, la funzione che descrive il s.d.d. non è continua; ciò nonostante, è possibile descrivere in modo più soddisfacente il movimento della lancetta modellandolo con un altro s.d.d. (la scelta di un modello è altrettanto importante della sua analisi): consideriamo l’insieme S = {z ∈ C : |z| = 1} cioè la circonferenza unitaria del piano complesso (ricordiamo che tutti i suoi punti hanno la forma eiθ con θ ∈ R) e la  iθ = ei(θ+π/30) , continua rispetto alla distanza funzione f : S → S definita da f e tra numeri complessi; allora, il s.d.d. {S, f } descrive in modo più soddisfacente il moto della lancetta dei secondi (si vedano l’Esempio 4.21 e il paragrafo 4.7). Anche il s.d.d. {S, f } ha le orbite periodiche dense e non è topologicamente transitivo, dunque non ha dinamica caotica; però, a differenza del precedente, non ha dipendenza sensibile dai dati iniziali: |θk − ϕk | = |θ0 − ϕ0 |

∀θ0 , ϕ0 ∈ S e ∀k ∈ N.

Soluzione 4.14. A differenza dell’Esercizio precedente, in questo caso la variabile significativa è quella angolare θ ∈ R considerata modulo  π 2π con riferimento alla  posizione nel quadrante ed il s.d.d. è {A, g} con A = h , h = −59, . . . , +55 e 30 g : A → A tale che, a partire da X0 = 0, risulta Xk = gk (0) con Xk = −kπ/30

se k = 0, 1, . . . , 59

X60 = π/6, X61 = 4π/30 , . . . , X65 = 0, X66 = −π/30, X67 = −2π/30, . . . , X119 = −54π/30X120 = π/3, X121 = 9π/30, . . . Le altre traiettorie si deducono da quella di dato iniziale 0. Xk descrive un moto periodico con periodo 720. A è un insieme finito, tutte le orbite sono periodiche e dunque sono dense. Tutte le traiettorie percorrono tutto A, dunque il sistema è topologicamente transitivo. Infine, non può esservi dipendenza sensibile dai dati iniziali per alcun s.d.d. il cui dominio ha un numero finito di punti. Soluzione 4.15. Sappiamo esplicitare il termine generale: Xk = 10k X0 , ∀X0 ∈ R. Dunque, il s.d.d. non è topologicamente transitivo ed è privo di orbite periodiche; in particolare, la dinamica non è caotica. Tuttavia si ha dipendenza sensibile dai dati iniziali perché un errore comunque piccolo nella misura di X0 viene amplificato enormemente: 0 = ε > 0 se X0 − X

k = 10k ε . allora Xk − X

In altre parole, poiché ad ogni iterazione si sposta la virgola verso destra di una posizione nella rappresentazione decimale di X0 , per calcolare tutti i valori di Xk occorre conoscere X0 con precisione infinita, cioè avere a disposizione tutte le cifre della sua rappresentazione decimale. Soluzione 4.16.

E = {x ∈ R : x = h2n ; h, n ∈ N, h ≤ 2n }, k0 (h2n ) = n.

338

8 Soluzioni degli esercizi

Soluzione 4.18.

L’insieme di Cantor è del tipo

1 medio, dunque 3

S2 (x) = 1 + (x − 1) /3

S1 (x) = x/3

ρi = 1/3 , i = 1, 2. s 1 = 1, da cui La dimensione s di C verifica dunque l’equazione 2 3 dimH (C) = dimB (C) = (ln 2) / (ln 3) . Per l’insieme Ct di tipo Cantor t medio abbiamo S1 (x) =

1−t x 2

S2 (x) = 1 +

si ottiene l’equazione 2

1−t 2

1−t (x − 1) 2

ρi =

1−t , i = 1, 2 2

s = 1, da cui

dimH (Ct ) = dimB (Ct ) =

ln 2 . ln 2 − ln (1 − t)

Soluzione 4.19. Dall’esercizio precedente dimH A = 1/2. Usando come ricoprimento i quadrati che intervengono nella costruzione iterativa A × A alla iterazione √ di √ k-esima si ottiene la disuguaglianza H1δ (A × A) ≤ 4k 4−k 2 = 2. D’altro canto, le proiezioni di questi stessi quadrati sulle rette perpendicolari di equazione y = 2x e √ y = −x/2 sono segmenti di lunghezza 3/ 2. Ne segue √ 3 √ ≤ H1δ (A × A) ≤ 2 5

∀δ > 0

√ 3 √ ≤ H1 (A × A) ≤ 2 . 5 Dunque la dimensione di Hausdorff di A × A è 1. Pur avendo dimensione intera è tutt’altro che un insieme elementare, e non corrisponde affatto all’idea intuitiva di linea unidimensionale. Soluzione 4.20.

dimH (Q) = dimB (Q) = 2 ln 2/ ln 3.

Fig. 8.13. Prodotto di insiemi di Cantor: C1/2 × C1/2 (terza iterazione)

8.4 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 4

339

Soluzione 4.21. dimH (W ) = dimB (W ) = 1. L’esempio mostra che esistono sottoinsiemi del piano con dimensione di Hausdorff pari a 1 che non presentano alcuna delle proprietà intuitive di una curva elementare. Soluzione 4.22. f ◦ ϕ−1 = g.

Da ϕ (x) = x − b/ (1 − a) seguono ϕ−1 (x) = x + b/ (1 − a) e ϕ ◦

Soluzione 4.23. Tra i quattro s.d.d. {R, x/2}, {R, 2x}, {R, x} e {R, x + 1} non vi è alcuna coppia di s.d.d. topologicamente coniugati. L’affermazione si deduce dal Teorema 4.42. Soluzione 4.24. Se f : I → I, g : J → J e ϕ : I → J è la coniugazione topologica, con  t = ϕ ( x), si ha:  g  t = g (ϕ ( x)) = = ϕ (f ( x)) = = ϕ ( x) = t .

ϕ è una coniugazione topologica

x  è un punto fisso

Soluzione 4.25. Se t ∈ ϕ (H) esiste x ∈ H tale che t = ϕ (x); per tali valori risulta, per ipotesi,   ϕ−1 (t) = x < f (x) = f ϕ−1 (t) .   Applicando ϕ ad ambo i membri di ϕ−1 (t) < f ϕ−1 (t) e tenendo conto della monotonia di ϕ      t = ϕ ϕ−1 (t) < ϕ f ϕ−1 (t) = g (t) . Si noti che nel caso ϕ decrescente si sarebbe provato con la stessa tecnica: t > g (t). Soluzione 4.26. Vi sono vari modi di provarlo. I modo: basta osservare (vedi Fig. 8.14) che h4 e g hanno un differente numero di punti fissi (rispettivamente 2 e 3). II modo: per l’esercizio precedente, se esistesse una coniugazione topologica ϕ crescente allora h4 (x) − x e g (x) − x dovrebbero avere lo stesso segno in un intorno destro di 0, conclusione falsa; se esistesse ϕ decrescente, allora h4 (x) − x e g (x) − x dovrebbero avere segno opposto vicino a 0, che è falso.

Fig. 8.14. Due mappe unimodali in [0, 1] associate a s.d.d. non topologicamente coniugati

340

8 Soluzioni degli esercizi

Le due dinamiche sono effettivamente diverse: in particolare 0 è repulsivo per h4 , mentre è localmente attrattivo per g. Soluzione 4.27. Siano f e ϕ monotòne crescenti. Allora per ogni t1 , t2 ∈ ϕ (H) con t1 < t2 esistono x1 , x2 ∈ H tali che x1 < x2 e ϕ1 (x1 ) = t1 , ϕ2 (x2 ) = t2 ,       g (t1 ) = ϕ f ϕ−1 (t1 ) = ϕ (f (x1 )) < ϕ (f (x2 )) = ϕ f ϕ−1 (t2 ) = g (t2 ) . Gli altri tre casi si trattano allo stesso modo (si ricordi che ϕ è sempre monotòna). Soluzione 4.28. Se I è aperto esiste ϕ : I → R continua con inversa continua. Il Teorema 4.4 si applica a {R, g} dove g = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 e per il Teorema 4.42 la dinamica di {R, g} ha le stesse proprietà della dinamica di {I, f }. Soluzione 4.29.

Il problema di Cauchy ammette un’unica soluzione u(t) =

1+

1 − u0 b(t0−t) e u0

−1 ,

cioè una funzione monotona strettamente crescente in [0, +∞) , di cui esiste il limite limt→+∞ u(t) = 1 . Metodo di Eulero esplicito Fissato il parametro di discretizzazione h > 0 si ottiene lo schema ricorsivo U0 = u0 ∈ (0, 1) ,

Uk+1 = (1 + bh) Uk − b h (Uk )2 , k ≥ 1 .

La funzione f (x) = (1 + bh)x − bhx2 si annulla in 0 ed in x = 1# + (bh)−1 ed$ ha massimo uguale a (1 + bh)2 /(4bh), dunque f trasforma l’intervallo 0, 1 + (bh)−1 in un proprio sottoinsieme per ogni h ∈ (0, 3/b). Analizziamo in dettaglio la soluzione prodotta% dallo schema numerico nel caso 0 < h < 3/b . & I s.d.d. [0, 1 + (bh)−1 ], f e {[0, 1], ha } , dove a = 1 + bh , sono topologicamente bh 1 + bh coniugati, tramite la funzione ϕ , con ϕ(x) = x , ϕ−1 (x) = x , cioè 1 + bh bh ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 (x) = h1+bh (x) . Al variare di h in (0, 3/b), il parametro della logistica a = 1 + bh varia in (1, 4). Dunque vi è sempre l’equilibrio αa della logistica, che risulta globalmente asintoticamente stabile se 0 < h ≤ 2/b (superattrattivo se h = 1/b) al quale le traiettorie si avvicinano con velocità esponenziale e con la corretta%monotonia se e solo & se 0 < h ≤ 1/b. Osserviamo esplicitamente che l’equilibrio di (0, 1 + (bh)−1 ), f , corrispondente nella coniugazione topologica ad αa , è x = 1 (cioè coincide con il valore del limite, per t tendente a +∞, della soluzione continua u) inoltre, se 0 < h ≤ b−1 il valore 1 è anche anche limite monotono, per k tendente a +∞, della successione Uk corrispondente alla soluzione discreta. Riassumiamo le principali informazioni qualitative che si possono trarre dalla coniugazione topologica con la logistica discreta di cui si è descritta la dinamica nel Capitolo 4. La discretizzazione con lo schema di Eulero esplicito dà una buona descrizione della soluzione del problema in esame, se e solo se 0 < h ≤ b−1 .

8.4 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 4

341

Se b−1 < h ≤ 2b−1 , allora la soluzione numerica è data da una successione che converge ad 1 in modo oscillante. Se h > 2b−1 , allora 1 cessa di essere attrattivo per il s.d.d. associato ad f e, al crescere di h, compaiono oscillazioni periodiche di tutti i periodi interi (oscillazioni numeriche, che non hanno riscontro nella soluzione esatta), finché, all’approsssimarsi di h a 3b−1 , la soluzione numerica ha un comportamento caotico (le traiettorie hanno un andamento erratico nell’intervallo (0, 1)) dunque è ben lontana dal descrivere il comportamento monotòno della soluzione esatta. Se h > b−1 alle traiettorie erratiche se ne aggiungono altre divergenti a −∞ . Metodo di Eulero implicito Fissato il parametro di discretizzazione h > 0 si ottiene lo schema ricorsivo V0 = u0 ∈ (0, 1) ,

bh (Vk+1 )2 + (1 − bh) Vk+1 − Vk = 0 ,

k ≥ 1.

Ad ogni passo è necessario risolvere un’equazione di secondo grado in Vk+1 con Vk noto. Per effettuare la scelta tra le due soluzioni algebriche, ricordiamo che la soluzione (crescente) dell’equazione differenziale deve assumere valori positivi, inoltre il discriminante è maggiore di zero per ogni h > 0, e vi sono sempre una variazione ed una permanenza (che garantiscono una radice positiva ed una negativa). Scegliamo dunque l’unica radice positiva: Vk+1 = g(Vk )  ) 1  −1 + bh + (1 − bh)2 + 4bh x . g(x) := 2bh La funzione g trasforma l’intervallo [0, 1] in sé. Il s.d.d. {[0, 1], g} ha un solo equilibrio (x = 1) (oltre allo 0 che è repulsivo). Risulta g ∈ C 1 , g (1) = (1 + bh)−1 , 0 < g (1) < 1 per ogni h > 0. Dunque (Teorema 3.51) x = 1 è stabile ed attrattivo (il suo bacino è (0, 1]) e, per ogni h > 0, tutte le traiettorie generate dallo schema numerico di Eulero implicito convergono ad 1 (in modo monotono) per t che tende a +∞ ; andamento questo che è in buon accordo con la soluzione esatta dell’equazione differenziale. Dunque lo schema di Eulero implicito, pur richiedendo la soluzione di una equazione non lineare, è più soddisfacente perchè fornisce una buona approssimazione della soluzione esatta (Vk è una approssimazione di u(kh)), senza particolari restrizioni sul passo di discretizzazione h. Il fatto che si sia riusciti a determinare esplicitamente per h un intervallo di valori in cui la discretizzazione è soddisfacente anche se effettuata con il metodo di Eulero esplicito, dipende dalla particolare scelta dell’equazione differenziale di cui sono ben note la soluzione esatta e la dinamica associata alla corrispondente discretizzazione. Tutto questo non è noto per generiche equazioni differenziali non lineari (altrimenti sarebbe inutile fare approssimazioni numeriche ...). Nel caso generale di una equazione differenziale ordinaria autonoma u = F (u) con dato iniziale u0 ed F  limitata (|F  | ≤ L), il metodo di Eulero implicito conduce alla situazione seguente: Vk+1 − h F (Vk+1 ) − Vk = 0 d (Id − h F ) = 0 se h < L−1 . du

342

8 Soluzioni degli esercizi

Dunque Id−hF è localmente invertibile. Sia g = (Id − hF )−1 l’inversa locale. Allora risulta α = g(α) se e solo se F (α) = 0 ; cioè α è un equilibrio (α = g(α) ) del s.d.d. sse u(t) ≡ α è la soluzione del problema di Cauchy con u0 = α . Poniamo Vk+1 = g(Vk )

k ≥ 1.

Da g = (1 − hF  )−1 ◦ g segue g (α) =

1 1 = . 1 − hF  (g(α)) 1 − hF  (α)

Concludendo, se F  (α) < 0, allora 0 < g (α) < 1 , α è stabile per il s.d.d. associato a g e Vk  α . Cioè il metodo di Eulero implicito è stabile ed accurato per ogni h ∈ (0, L−1 ) . Soluzione 4.30. ex − 3 è convessa e di classe C ∞ ; e1 = e < 3 < e5/4 , dunque applicando i Teoremi 4.48 e 4.49 vi è un unico zero α = ln 3 = 1, 09861... in (1, 5/4) che è semplice e, dunque, superattrattivo per il metodo di Newton. Scelto X0 = 5/4 abbiamo max[1,5/4] g = e5/4 , min[1,5/4] g = e, dunque vale la stima dell’errore √ 0 < Xk+1 − α < 4 e (Xk − α)2 /2 e da X1 − X0 < 1/4 segue 0 < Xk+1 − α < 4−2k < 10−3 se k = 3. Iterando Ng (x) = x − 1 + 3e−x si ottiene 1, 098 < α < 1, 099. Soluzione 4.31.

Se |z| > |c| + 1, q (z) = z 2 + c, allora:   |q (z)| = z 2 + c ≥   ≥ z 2  − |c| ≥

disuguaglianza triangolare

≥ (|c| + 1)2 − |c| = |c|2 + |c| + 1. Dunque  2    q (z) = |q (q (z))| = |q (z)|2 + c ≥  2 ≥ |q (z)|2 − |c| ≥ |c|2 + |c| + 1 − |c| = = |c|4 + 2 |c|3 + 3 |c|2 + |c| + 1 ≥ ≥ 3 |c|2 + |c| + 1. Per induzione, si ottiene      k  k 2 q (z) ≥ 2 − 1 |c| + |c| + 1. Poiché il membro di destra della disuguaglianza tende a +∞ se k diverge, si ottiene la tesi. Soluzione 4.32. Siano α un equilibrio per {I, f }, ϕ ∈ C 1 (I) una funzione scalare di una variabile a valori in J con inversa C 1 (J ) e g = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 .

8.5 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 5   −1 Allora ϕ−1 (ϕ(α)) = (ϕ (α)) , ϕ(α) è un equilibrio per {J, g} e

343



  g (ϕ(α)) = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 (ϕ(α)) =       = ϕ f ϕ−1 (ϕ(α)) f  ϕ−1 (ϕ(α)) ϕ−1 (ϕ(α)) = = ϕ (f (α)) f  (α) (ϕ−1 ) (ϕ(α)) = = f (α) . Soluzione 4.33. Siano {α1 , . . . , αs } un’orbita periodica per {I, f }, ϕ ∈ C 1 (I) una funzione scalare di una variabile a valori in J con inversa C 1 (J ) e g = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 . Allora {ϕ(α1 ), . . . , ϕ(αs )} è un’orbita periodica per {J, g}, anche {I, f s } e {J, gs } sono topologicamente coniugati tramite ϕ, dunque il moltiplicatore  (f s (α1 )) dels s  l’equilibrio α1 di {I, f } si conserva (Esercizio 4.32), ma (f (α1 )) = sj=1 f  (αj ) è anche il moltiplicatore dell’orbita.

8.5 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 5 Soluzione 5.1 1) Gli autovalori di M sono λ1 = 1 e λ2 = 2 a cui corrispondono, rispettivamente, gli autovettori (linearmente indipendenti) # $T V1 = 1 0

# $T V2 = 3 1 .

La soluzione generale del sistema è quindi 0 1 0 1 0 1 c1 + 3c2 2k 1 3 Xk = c1 + c2 2k = k 0 1 c2 2

2)

3)

k∈N.

Imponendo la condizione iniziale, si ricavano i valori delle costanti: c1 = −5, c2 = 2. Si noti che data la forma triangolare della matrice M si poteva procedere più rapidamente risolvendo la seconda equazione del sistema e successivamente la prima,⎡dopo al primo passo. ⎤ aver sostituito ⎤la soluzione⎡trovata ⎤ ⎡ 4 0 0 k∈N. Xk = ⎣ 4 ⎦ + 5 (−1)k ⎣ −1 ⎦ − 6 (−3)k ⎣ 0 ⎦ 1 1 1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡√ 0 2−1  √ k k⎣ ⎦ Xk = 3 (−1) k∈N. 1 − − 2 ⎣ 0 ⎦ 0 1

Soluzione 5.3. Ricordiamo l’identità det L = det LT . La formula (D.2) dell’Appendice D, detta sviluppo di Laplace del determinante rispetto alla riga i-esima, applicato alla matrice LT ci assicura che il determinante può essere calcolato in modo analogo sviluppando rispetto ad una qualunque colonna. Applicando tale sviluppo rispetto all’ultima colonna, si ottiene det L = (−1)1+n ϕn det diag {σ1 , σ2 , . . . , σn−1 } .

344

8 Soluzioni degli esercizi

Soluzione 5.4. Per il Teorema di Frobenius-Perron e l’Osservazione 5.20 la matrice A ha un autovalore dominante strettamente positivo λA = 1/2 (poiché la matrice A ha rango 1 tutti gli altri autovalori sono nulli). Poiché A  O, B  0 il Teorema 5.28 assicura che il s.d.d. vettoriale ha un unico equilibrio stabile e attrattivo dato da A = (I − A)−1 B. La soluzione generale è data da Xk = 1/n2k U (X0 − A) + A dove U è la matrice i cui elementi sono tutti pari a 1. Soluzione 5.5. a) Applicando l’Osservazione 5.20 alla matrice debolmente positiva M si deducono le disuguaglianze 7 ≤ λM ≤ 9. b) Con riferimento agli Esempi 5.34 e 5.36, vale M = tB con t numero reale da determinare. Risolvendo il sistema:  t − 2αt = 5 tα = 2 si ottiene α = 2/9 e t = 9. Da 0 < 2/9 < 1/4 si deduce che la matrice M è definita positiva e λk (M) = 9λk (B) = 9 − 8 sin

kπ 2 (N + 1)

2

1≤k≤N .

In particolare 1 ≤ λk (M) ≤ 9 per ogni k, qualunque sia la dimensione di M . Soluzione 5.7. Poiché M = S + T e ST = TS, impiegando la formula del binomio di Newton (che vale se gli addendi commutano), si può scrivere   k

k j k−j ; M = (S + T) = S T j j=0 k

k

ma T2 = O e quindi Tk = O per ogni k ≥ 2, da cui Mk = Sk T0 + kSk−1 T = Sk + kSk−1 T. In modo analogo si può provare la relazione (5.7) utilizzata nella dimostrazione del Teorema 5.8. Soluzione 5.8. λ risolve det (A − λI) = 0, cioè è radice di un polinomio a coefficienti reali. Ricordando che A è reale     0 = det (A − λI) = det A − λI = det A − λI cioè anche λ è autovalore di A. Poiché A è reale, AV = λV con V = 0 implica V∈ / Rn

e

AV = AV = λV = λ V

cioè V = 0 è autovettore relativo all’autovalore λ e V, V ∈ Cn \Rn . Posto V1 =

 1  V−V = Im (V) 2i

V2 =

 1 V+V = Re(V) 2

8.5 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 5

345

allora V1 , V2 ∈ Rn e  1  λV−λV = Im (λV) = b Re (V) + a Im (V) = aV1 + bV2 2i  1 λV+λV = Re (λV) = a Re (V) − b Im (V) = −bV1 + aV2 AV2 = 2 % # & $ cioè, riscrivendo A nella base V1 , V2 , posto U−1 = V1 V2 , si ottiene AV1 =

B = UAU−1 =

0

a −b b a

1 .

Infatti le colonne della matrice associata ad una applicazione lineare sono le immagini (rispetto alla stessa base) dei vettori della base. Se λ = 0, allora a = b = 0 e B = O. Se 0 = λ = a + ib = ρeiθ con ρ > 0, allora: 0 B=

1 1 0 10 1 0 cos θ − sin θ cos θ − sin θ ρ0 a −b . =ρ = sin θ cos θ sin θ cos θ 0ρ b a

Soluzione 5.9. B è una matrice che verifica le ipotesi del Teorema 5.13 (se σ1 , . . . , σn−1 e ϕ1 , . . . , ϕn−1 sono strettamente positivi). Per l’Osservazione 5.22, det L = 0 e det B = 0. Dunque l’autovalore dominante λB > 0 e l’autovettore dominante VB di B, sono tali anche per L (che aggiunge agli autovalori di B il solo autovalore nullo perché det L = 0): λL = λB

VL =

0

VB t

1 t∈R.

Rimane da provare che t > 0 (per avere VL  0): esplicitamente da LVL = λVL B segue t = λL−1 σn−1 Vn−1 > 0. Studiando la dinamica del sistema Xk+1 = BXk il Teorema 5.18 assicura che la ripartizione in classi di età che si osserva sul lungo periodo è quella fornita dal vettore VL . Soluzione 5.10. L’elemento nella prima riga e n − 2–esima colonna di L2 è uguale a σn−2 × ϕn−1 = ϕn−1 > 0. Per induzione si verifica che ad ogni aumento della potenza gli elementi strettamente positivi della prima riga aumentano di almeno uno verso sinistra, e quelli che già lo erano conservano tale proprietà, fino ad ottenere Ln con tutta la prima riga strettamente positiva, salvo al più l’ultimo elemento. Siamo dunque ricondotti al caso dell’Esercizio precedente: Ln−2 verifica le ipotesi fatte nell’Esercizio 5.9. Allora i Teoremi 5.13, 5.14 e 5.18 assicurano che esiste un autovalore dominante λL > 0 con associato un unico autovettore dominante VL > 0 e la ripartizione in classi di età che si osserva sul lungo periodo è quella fornita dal vettore VL . Soluzione 5.11. per B si ottiene:

Utilizzando l’Osservazione 5.20 sulle righe per A e sulle colonne λA = 10

Soluzione 5.12.

5 ≤ λB ≤ 6 .

$T # , k ∈ N. Xk = 2k 0 (−1)k+1

346

8 Soluzioni degli esercizi

8.6 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 6 Soluzione 6.1. e 6.2. M1 assorbente e non regolare, M2 regolare e non assorbente, M3 né regolare né assorbente. $T # , dove U1 Soluzione 6.3. Dobbiamo determinare un vettore U = U1 1 − U1 appartiene a [0, 1], tale che U = MU, cioè U1 sia soluzione del sistema  b aU1 + b (1 − U1 ) = U1 ⇒ U1 = . (1 − a) U1 + (1 − b) (1 − U1 ) = 1 − U1 1+b−a Poiché b > 0 e 1 − a > 0 segue U1 ∈ (0, 1) e quindi U è un vettore stocastico strettamente positivo. Soluzione 6.4.

I tre autovalori di M sono distinti: λ1 = 1;

λ2 =

1 ; 2

λ3 =

1 . 4

Allora grazie alla rappresentazione (6.10) di Pk = Mk P0 ed alla osservazione che (k) la colonna h-esima di Mk è uguale ad Mk e0 , sappiamo che il termine m23 si può esprimere nella forma k k 1 1 (k) m23 = a + b +c 2 4 (0)

(1)

con a, b, c costanti da determinare. Poiché m23 = 0 , m23 = 1/2 e, come si verifica (2) agevolmente col calcolo di M2 , m23 = 3/8 si ottiene il sistema lineare ⎧ a+b+c= 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 1 1 a+ b+ c = 2 4 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩a + 1b + 1 c = 3 4 16 8 le cui soluzioni sono a = 0, b = 2, c = −2 . Soluzione 6.5. • • • •

E1 E2 E3 E4

= = = =

“gli “gli “gli “gli

Definiamo i seguenti eventi:

interrutori interrutori interrutori interrutori

A e D sono chiusi”; A, C, E sono chiusi”; B, C, D sono chiusi”; B e E sono chiusi”.

L’affidabilità è allora data da: P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 ). Dall’ipotesi di indipendenza si ricava: P (E1 ) = ad P (E2 ) = ace P (E3 ) = bcd P (E4 ) = be P (E1 ∩ E2 ) = acde

P (E1 ∩ E3 ) = abcd P (E1 ∩ E4 ) = abde

P (E2 ∩ E3 ) = abcde P (E2 ∩ E4 ) = abce P (E3 ∩ E4 ) = bcde P (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = P (E1 ∩ E2 ∩ E4 ) = P (E1 ∩ E3 ∩ E4 ) = P (E2 ∩ E3 ∩ E4 ) = = P (E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ E4 ) = abcde

8.6 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 6

347

Possiamo così concludere, grazie al principio d’inclusione-esclusione (si veda il punto 7 dell’Appendice C), che l’affidabilità del ponte di Wheatstone è: P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 ) = = ad + ace + bcd + be − acde − abcd − abde − abce − bcde + 2abcde .

Fig. 8.15. Diagramma ad albero relativo all’Esercizio 6.5

Soluzione 6.6. Una matrice di permutazione ha su ogni riga e su ogni colonna un solo elemento uguale ad 1 e tutti gli altri nulli. Se l’elemento tij di T vale 1, allora per ogni vettore V, la componente i di TV è uguale alla componente j di V: l’effetto della moltiplicazione per V è una permutazione delle componenti di V. In particolare, T è anche una matrice di cambio di coordinate ortogonale: T−1 = TT . Soluzione 6.7. Sia H = TMT−1 = TMTT. Allora da mij = [M ]ij ≥ 0, tij = [T ]ij ≥ n n   0 per ogni i e j, segue hij = [H]ij ≥ 0 per ogni i e j. Inoltre, da tij = mij = 1 i=1

i=1

per ogni j, segue n

hij =

i=1

n

tis msk tjk = 1

∀j .

i,s,k=1

In altre parole, il cambio di coordinate indotto dalla matrice di permutazione T corrisponde a porre hij = mt(i),t(j) dove t (s) è la posizione di colonna nella riga s di T in cui si ha l’elemento 1. Soluzione 6.8.

Definiti gli eventi

• Hi = “un pezzo scelto a caso è stato prodotto dalla macchina i” ; • A = “un pezzo scelto a caso è difettoso” , per determinare la soluzione ricaviamo dal diagramma ad albero della Fig. 8.15 le probabilità P (Hi ) =

ri r

P (A|Hi ) =

di ri

i = 1, 2, 3 .

Dalla legge di Bayes, ricaviamo così la probabilità che il pezzo difettoso provenga

348

8 Soluzioni degli esercizi

dal macchinario i: P (Hi |A) =

di d1 + d2 + d3

i = 1, 2, 3

che è il rapporto tra il numero dei pezzi difettosi da essa prodotti ed il totale dei pezzi difettosi. Soluzione 6.9.

Questa volta la moneta non è equa...

Soluzione 6.10. Se a > b = 0, 5 e c > 0, allora C ha maggior possibilità di A anche se a = 1 (cioè A tiratore infallibile). Infatti, se a = 1 allora B è spacciato ed il duello si conclude comunque in pochi turni. Precisamente P (A vince) = 0, 5 (1 − c)2 , P (C vince) = 0, 5(1 + c) P (A muore) = 0, 5 + 1, 5c − c2 , P (B muore) = 1, P (A tutti muoiono) = c (1 − c) . Invece, se a < 1, allora fissato c, occorre ridurre b fino a che le probabilità di vittoria di A superano quelle di C; ciò è possibile solo per piccoli valori di c: con riferimento all’Esempio 6.30, si deve imporre 2 3 P (E2 ) > P (E3 ) > P∞ P∞ . ossia 2 1 P (E2 ) > P (E4 ) P∞ > P∞ ⎡

⎤ 001 Soluzione 6.13. La matrice di permutazione T = ⎣ 1 0 0 ⎦ ha autovalori λ1 = 1, 010  √  λ2,3 = −1 ± i 3 /2. Tutti gli autovalori hanno modulo pari a 1. L’autovalore λ1 non è dominante, λ2 e λ3 non sono reali. Si noti che la catena di Markov associata a T presenta il 3 ciclo # $T # $T # $T  100 , 010 , 001 . Inoltre, ⎡ la forma di⎤Jordan reale di T in opportune coordinate è data da 1 0 √0 −1/2 − 3/2 ⎦ e mostra che un generico cambio di coordinate non conserva J = ⎣0 √ 0 3/2 −1/2 la proprietà di essere una matrice stocastica o di transizione. Soluzione 6.14. La Fig. 8.16 mostra il grafo relativo al set di pallavolo dove le situazioni di 15 pari e vantaggio pari sono considerate equivalenti. Dal grafo si deducono facilmente le altre risposte. Soluzione 6.15. Se C spara ad A, le sue probabilità di sopravvivenza sono 59/189. Se C spara a B, le sue probabilità di sopravvivenza sono 50/189 (si deve tener presente che: che quando viene il turno di B, questi deve sparare ad A se A è vivo; quando viene il turno di A, questi deve sparare ad B se B è vivo). Dunque a C conviene sparare in aria: questo gesto magnanimo gli concede ben 25/63 di probabilità di sopravvivere.

8.7 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 7

1-p

14-15 batte A

349

14-15 batte B

p

p 1-p

parità batte A

p p

1-p

p

vince A

p

vant.A batteA

1-p p

1-p

parità batte B

vant.A batte B

vant.B batte A

1-p

1-p p

vant.B batte B

1-p

vince B

Fig. 8.16. Set di pallavolo a partire dal punteggio 14 − 15

8.7 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 7 Soluzione 7.2 Dati n elementi: • Il numero delle loro permutazioni è n! , come si verifica per induzione sul numero di elementi. • Le loro permutazioni cicliche sono n : corrispondente al numero di possibili scelte distinte di t; le permutazioni cicliche diverse dall’identità sono n − 1. • Le loro permutazioni circolari sono (n − 1)! . Infatti, distinguendo le “sedie per gli invitati”, vi sono esattamente n! fattoriale modi di accomodarli sulle sedie (permutazioni); ma vi sono sistemazioni sullle sedie equivalenti a meno di una rotazione; le rotazioni possibili sono n (permutazioni cicliche); dunque le permutazioni circolari sono (n − 1)! = n!/n. Soluzione 7.3 (a) L’identità In ovviamente è riducibile per ogni n > 1. (b) Fra le n! matrici di permutazione di ordine n > 1, tutte e sole le (n − 1)! matrici di permutazione di ordine n associate ad una permutazione circolare sono irriducibili. Infatti, se esiste un elemento lasciato fisso dalla permutazione, allora la matrice associata è riducibile. Se non esistono elementi fissi ma la permutazione non è circolare allora esiste un elemento che per effetto della permutazione percorre un ciclo di lunghezza maggiore o uguale a 2 e strettamente minore di n, dunque la matrice associata è riducibile. Inoltre, se T è una fissata permutazione circolare di ordine n > 1 allora   n−1

n−1 k (In + T)n−1 = T O (8.2) k k=0

L’ultima disuguaglianza è motivata dal fatto che per ogni i e j esiste una iterata di ordine k della permutazione circolare T che manda j in i, cioè esiste k dipendente da

350

8 Soluzioni degli esercizi (k)

i e j tale che tij = 1. Essendo T ≥ 0 la validità della (8.2) è condizione necessaria e sufficiente per l’irriducibilità di T (vedi Teorema 7.29). Molto più semplicemente (con riferimento alla teoria sviluppata nella Sezione 7.2), si può osservare che ogni matrice associata ad una permutazione circolare è la matrice di adiacenza di un grafo fortemente connesso, dunque è irriducibile. Soluzione 7.6. Se nella Definizione 7.4 la dimensione della sottomatrice nulla di  è (n − r) × r, con 0 < r < n, allora: A (n − r) × r − (n − 1) = (r − 1) (n − r − 1) ≥ 0. Soluzione 7.16. Calcoliamo il polinomio caratteristico P (λ) = det (T − λIn ) mediante la formula n

 det B = ε (σ) bi,σ(i) σ

i=1

dove la somma è estesa a tutte le permutazioni σ di n elementi ed ε (σ) è la segnatura di tali permutazioni. Se T = In allora P (λ) = (1 − λ)n . In particolare la tesi segue per n = 1. Sia ora n > 1. Se T è irriducibile allora è anche la matrice di adiacenza di un grafo fortemente connesso; pertanto è la matrice di permutazione associata ad una permutacircolare, dunque verifica det T = (−1)n−1 , da cui P (λ) = (−1)n−1 + (−λ)n =  zione n n λ − 1 (−1) , cioè il polinomio cercato, a meno del segno. Negli altri casi (T riducibile), a meno di una permutazione S delle coordinate, la matrice ha una struttura a blocchi quadrati irriducibili sulla diagonale, orlati da zeri: ⎡ −1

A = STS

⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣

A1

⎤ A2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

A3 ..

.

dim Aj = kj .

Am La costruzione esplicita si ottiene considerando tutti i cicli di periodo kj contenuti nella permutazione σ. Soluzione 7.17. Se la matrice è irriducibile allora la tesi è vera. Se la matrice è riducibile allora è possibile rappresentarla con un blocco di zeri in posizione nordest. Il corrispondente blocco quadrato di sud-est deve essere stocastico. Si applica il ragionamento precedente a tale blocco fino a trovare, per la finitezza della matrice, una sottomatrice irriducibile. Soluzione 7.18. Dall’analisi del grafo GM corrispondente si deduce che esso è fortemente connesso, perché esiste il ciclo {1, 2, 3, 4, 1}, quindi la matrice M è irriducibile. Soluzione 7.20. Poiché i tassi di sopravvivenza sono tutti strettamente positivi, nel grafo associato alla matrice vi sono tutti gli archi (vi , vi+1 ) per i = 1, . . . , n − 1; di conseguenza, se ϕn > 0, allora esiste anche l’arco (vn, v1 ); quindi il grafo risulta fortemente connesso.

8.7 Soluzioni degli esercizi del Capitolo 7

351

Soluzione 7.21. Se due classi consecutive sono fertili, e.g. esiste i ∈ {1, . . . , n − 1} t.c. ϕi > 0, ϕi+1 > 0, allora nel grafo associato alla matrice vi sono due cammini chiusi, di lunghezze rispettivamente i ed i + 1 (il cui M CD è 1). Dunque la matrice è aperiodica. La condizione non è necessaria: infatti il M CD dele lunghezze dei cicli è 1 nella sola ipotesi che valga ϕ1 > 0. Osserviamo che nemmeno considerare “consecutivi” definito ciclicamente renderebbe la condizione necessaria: ad esempio, ϕi > 0, ϕk > 0 con j e k primi tra loro assicurano la presenza di cicli che rendono la matrice primitiva. Soluzione 7.23. No, non riesce. Precisamente, se si analizza il problema con la matrice di adiacenza del grafo ⎤ ⎡ 0 1 0 0 1 ⎢ 1 0 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ (8.3) A = ⎢ ⎢ 0 1 0 0 0 ⎥ ⎣ 1 1 1 0 0 ⎦ 1 0 0 0 0 si ottiene λA = 1, 905166 , xA = [ 0, 396483 0, 5472576, 0, 287249 0, 646133 0, 208109 ] . Se si analizza il problema con la matrice resa stocastica normalizzando le colonne: ⎤ ⎡ 0 1/3 0 0 1 ⎢ 1/3 0 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ M = ⎢ (8.4) ⎢ 0 1/3 0 0 0 ⎥ ⎣ 1/3 1/3 1 0 0 ⎦ 1/3 0 0 0 0 si ottiene λM = 1 , xM = [ 0, 176470 0, 352941, 0, 117647 0, 294117 0, 058823 ] . Si noti che l’operazione ha migliorato lievemente l’indice di significatività (molto meno con l’uso di M) ed ha consentito di superare (solo) la pagina P3 che aveva un indice identico: l’esempio illustra come tale operazione non consenta di aggirare differenze molto significative in termini di link.

Appendice A Somme e serie

1) 2) 3) 4) 5)

n  k=0 n 

Ak = A0 + A1 + · · · + An Ak =

k=0 n  m 

n+r 

Ak,j =

k=s j=t n 

m  n 

n 

Ak

k=0

(Ak + Bk ) =

k=0

6)

Aj,k

j=t k=s

cAk = c

k=0 n 

Ak−r

k=r

n 

Ak +

k=0

n 

Bk

k=0

Sommazione per parti s n

n−1

n     Ak Bk = Bn Ak − (Bs+1 − Bs ) Ak k=0

7) 8) 9) 10) 11) 12)

n  k=0 n  k=1 n  k=1 n  k=1 n  k=1 n  k=1

13) 14)

1−x 1−x

n+1

xk =

k=0

s=0

∀x = 1

1 n (n + 1) 2 1 = n (n + 1) (2n + 1) 6 1 = n2 (n + 1)2 4   1 = n (n + 1) (2n + 1) 3n2 + 3n − 1 30   1 2 n (n + 1)2 2n2 + 2n − 1 = 12

k= k2 k3 k4 k5

n 1  Γ  (n + 1) =γ+ = γn + ln n n! k=1 k   n  Γ 1 π2 = (n + 1) − 2 6 Γ k=1 k

E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9_A, © Springer-Verlag Italia 2014

k=0

354 15)

Appendice A Somme e serie   n  1 Γ = (n + 1) + ζ (3) 3 Γ k=1 k ' +∞ −t x−1 dt , ∀ x > 0 dove: Γ (x) = 0 e t

Funzione Gamma di Eulero

γ = −Γ  (1) = 0, 57721566490153286060... γn ∈ [0, 1], ζ (x) =

γn  γ

+∞ 

k−x ,

∀x > 1

Funzione Zeta di Riemann

k=1

16)

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:  n

2

 ≤

Aj Bj

j=1

17)

20) 21) 22) 23) 24)

Aj2

 n

+∞  k=0 +∞ 

 Bj2

−

 Bj2

Ak = lim

n→+∞

n 

2 Aj Bj

=

j=1

∀Aj , Bj ∈ R

+∞ 

(A ∗ B)k =

n n 1

(Aj Bk − Ak Bj )2 2 j=1 k=1

Ak

se esiste finito

k=0

1 = +∞ k k=1 +∞  1 π2 = 2 6 k=1 k +∞  k 1 x = |x| < 1 1−x k=0 +∞  x kxk = |x| < 1 (1 − x)2 k=0 +∞  2x3 k (k − 1) xk = |x| < 1 (1 − x)3 k=0 k   (A ∗ B)k = Ak−j Bj = As Bj

k=0

26)

n

j=1

 n

j=1

j=0

25)

 Aj2

j=1

j=1

19)

n

Identità di Lagrange: ∀Aj , Bj ∈ R  n

18)

Costante di Eulero-Mascheroni

Convoluzione discreta

s+j=k

+∞  k=0

Ak

+∞ 

Bk

k=0

Un’espressione del tipo

se

+∞ 

|Ak | < +∞,

k=0

+∞ k=0

Ak xk è detta

+∞ 

|Bk | < +∞

k=0

Serie di potenze nella variabile x.

Per ogni scelta dei coefficienti Ak , esiste R, verificante 0 ≤ R ≤ +∞, detto raggio di convergenza della serie di potenze, tale che la somma della serie è ben definita per ogni numero complesso x verificante |x| < R.

Appendice B Numeri Complessi

L’insieme C dei numeri complessi è l’insieme delle coppie ordinate (x, y) di numeri reali (o, equivalentemente, l’insieme dei punti del piano cartesiano) munito delle operazioni di somma e di una operazione di prodotto verificanti le proprietà elencate nel seguito. Se indichiamo con i il numero complesso (0, 1) (detto unità immaginaria) allora ogni numero complesso (x, y) si può rappresentare1 nella forma usuale x + iy. Si scrive anche x = Re z e y = Im z. I numeri reali x e y sono detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso x + iy. Se z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 sono due numeri complessi, somma e prodotto sono definite da z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ) z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 + x2 y1 ) (si noti che, per la seconda definizione, risulta i2 = −1 ) . Tali operazioni verificano le seguenti proprietà, per ogni z1 , z2 , z3 ∈ C: z1 + z 2 = z 2 + z 1

z1 z2 = z2 z1

(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )

(z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 )

z1 + 0 = z1

1 · z1 = z1

z + (−z) = 0

z = x + iy = 0

⇒

∃ z −1 =

x − iy x2 + y 2

(z1 + z2 ) z3 = z1 z3 + z2 z3 Se z = x + iy , allora il numero z = z − iy è detto coniugato di z. Si noti che z = z se e solo se z è reale ) (cioè y = 0). Il modulo di z è il numero |z| = x2 + y2 (radice aritmetica). Ne segue che |z| = 0 se e solo se z = 0 cioè x = y = 0. Inoltre: |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |

|z1 z2 | = |z1 | |z2 |

Per ogni z = 0: z −1 = z/ |z|2 . 1

x + iy corrisponde a x (1, 0) + y (0, 1) avendo posto i = (0, 1). Analogamente si scrive 0 anziché (0, 0) ed 1 anziché (1, 0). E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9_B, © Springer-Verlag Italia 2014

356

Appendice B Numeri Complessi

L’esponenziale di un numero complesso z = x + iy è così definito: ex+iy = ex (cos y + i sin y) e verifica ez1 +z2 = ez1 ez2 per ogni z1 , z2 ∈ C. In particolare, ∀θ ∈ R sin θ =

eiθ − e−iθ 2i

cos θ =

eiθ + e−iθ . 2

Per ogni z = x + iy esiste un unico θ ∈ [0, 2π) detto argomento di z tale che posto ρ = |z| vale x + iy = ρ (cos θ + i sin θ) = ρeiθ La seconda e la terza espressione sono dette rispettivamente forma polare e forma esponenziale di un numero complesso e sono particolarmente adatte al calcolo dei prodotti (la forma cartesiana è invece utile per il calcolo delle somme): se z = ρ (cos θ + i sin θ) e w = r (cos ϕ + i sin ϕ ), allora valgono le formule di de Moivre:2 z w = ρ r (cos (θ + ϕ) + i sin (θ + ϕ)) = ρ r ei(θ+ϕ) z n = ρn (cos (nθ) + i sin (nθ)) = ρn einθ

∀n ∈ N

Se n è un intero maggiore di zero allora ogni numero complesso z = ρeiθ diverso da zero (cioè tale che ρ > 0) ha esattamente n radici n-esime complesse w1 , w2 , . . . , wn distinte (cioè n numeri wj soddisfacenti wjn = z per ogni j = 1, . . . , n): w1 = dove

√ n

√ n

θ

ρei n w2 =

√ n

ρei

θ+2π n

w3 =

√ n

ρei

θ+4π n

. . . wn =

√ n

ρei

θ+2(n−1)π n

ρ denota la radice n-esima aritmetica del numero reale positivo ρ.

Definizione. Una funzione f : C → C è derivabile in senso complesso in z0 ∈ C se esiste un numero complesso chiamato derivata di f e indicato con f  (z0 ) tale che     f (z0 + h) − f (z0 )    − f (z ) ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀h ∈ C: |h| < δ. 0  < ε  h Le funzioni derivabili in tutto C in senso complesso sono chiamate funzioni analitiche intere: esse possiedono anche tutte le derivate successive in ogni punto di C e sono somma di una serie di potenze convergente in tutto il piano complesso. Ad esempio, sono funzioni analitiche exp, sin e cos per cui valgono: exp (z) =

+∞ k

z k! k=0

2

sin (z) =

+∞

k=0

Abraham de Moivre, 1667-1754.

(−1)k

z 2k+1 (2k + 1)!

cos (z) =

+∞

k=0

(−1)k

z 2k . (2k)!

Appendice B Numeri Complessi

357

i

e5πi/6

eπi/6

1

−i

Fig. B.1. Radici cubiche di i

Equazioni algebriche Teorema fondamentale dell’Algebra. Ogni polinomio P in una variabile, con grado n maggiore o uguale ad 1, ha esattamente n radici complesse (contate con la loro molteplicità), cioè esistono z1 , . . . , zn ∈ C non necessariamente distinti ed una costante c ∈ C\ {0} tali che P (z) = c (z − z1 ) (z − z2 ) · · · (z − zn ) .



Nel seguito a, b, c, . . . sono numeri complessi assegnati con a = 0, x è la variabile incognita. √ · denota sempre la radice aritmetica (non negativa) di un numero reale non negativo. Equazione di primo grado: Soluzione: x = −b/a

ax + b = 0

Equazione di secondo grado: ax2 + bx + c = 0 √ −b ± b2 − 4ac Soluzioni: x = se b2 − 4ac ≥ 0 2a √ −b ± i 4ac − b2 x= se b2 − 4ac < 0 2a x=

−b ±

√

ρ eiθ/2 2a

se b2 − 4ac = ρeiθ ∈ C\R con ρ > 0, θ ∈ [0, 2π)

358

Appendice B Numeri Complessi

Equazione di terzo grado: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Con il cambio di variabili x = t − b/ (3a) ci si riduce all’equazione equivalente nell’incognita t: t3 + pt + q = 0 le cui soluzioni sono tk = yk − p/ (3yk )

k = 1, 2, 3 + q2 q p3 dove yk sono le radici cubiche complesse di − + + . 2 4 27 Equazione di quarto grado: a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 Con il cambio di variabili x = z − a3 /4a4 ci si riduce (per opportuni a, b, c) all’equazione equivalente nell’incognita z: z 4 + az 2 + b = cz . 

(B.1)

 √  √ 2 z2 + b = cz + 2 b − a z 2 ,

√ Aggiungendo (2 b − a)z 2 ad ambo i membri: √ √ equazione che, posto b = q e 2 b − a = p , si trasforma in (z 2 + q)2 = cz + pz 2 .

Aggiungendo 2tz 2 + t2 + 2tq ad ambo i membri di (B.2): ) ) (p + 2t)2 z 2 + cz + (t2 + 2tq)2 . (z 2 + q + t)2 =

(B.2)

(B.3)

Se si può scegliere t in modo che il secondo membro di (B.3) sia il quadrato di un binomio in z, allora (B.3) si riconduce a 2 equazioni grado in z; per ot) √ di secondo tenere questo, basta sceglere t in modo che c = 2 p + 2t t2 + 2tq , cioè risolvere l’equazione di terzo grado in t: 2 t3 + (p + 4q) t2 + 2pq t − c2 /4 ,

(B.4)

che è chiamata risolvente cubica di Ferrari e, risolta, fornisce la soluzione di (B.1). Le equazioni di quinto grado o superiore, salvo casi particolari, non possono essere risolte mediante radicali.

Appendice C Aritmetica della probabilità

Se A, B, Aj denotano eventi di cui è definita la probabilità e P denota la probabilità, allora: 1)

0 ≤ P (A) ≤ 1

2)

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

3)

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) se A ∩ B = ∅   ∞ ∞ 8  Aj = P (Aj ) se Ak ∩ Ah = ∅, ∀k = h P

4)

j=1

j=1

5)

P (A ∩ B) = P (A) · P (B) se e solo se A e B sono tra loro indipendenti

6)

P (A) ≤ P (B) se A ⊆ B

7)

Principio di inclusione-esclusione:   n 8 P Aj = j=1 n

  P Aj − = j=1

P (Ai ∩ Aj ) +

1≤i 0 :

Ax, x ≥ α x2

∀x ∈ Rn

allora tutti gli autovalori λ di symA = (A + AT )/2 sono reali t.c. λ ≥ α, dunque strettamente positivi. Teorema D.5 (Teorema di Cayley-Hamilton). Se P (λ) = det (A − λIn ), allora P (A) = O (matrice quadrata di ordine n con elementi tutti nulli). Forma canonica di Jordan Non sempre 1diagonalizzare una matrice mediante un cambio di base (ad 0 0 è 1possibile 11 10 non sono diagonalizzabili). Tuttavia è sempre possibile efe esempio 01 11 fettuare un cambio di base che renda triangolare la matrice. Più precisamente si può ridurre alla forma canonica di Jordan: cioè triangolare con elementi diversi da zero solo sulla diagonale principale e al più sulla diagonale adiacente inferiore (aij con i = j + 1). Già sappiamo che se una matrice quadrata ha tutti gli autovalori semplici allora è diagonalizzabile. Dunque le matrici che potrebbero1 non essere diagonalizzabili sono quelle che hanno almeno un autovalore algebricamente non semplice. Quelle che effettivamente non sono diagonalizzabili presentano almeno un autovalore con molteplicità algebrica strettamente maggiore della molteplicità geometrica. Sia A una matrice n × n. Nel seguito V denoterà Rn se i termini aij , λj sono reali ∀i, j = 1, 2, . . . , n ; V denoterà Cn se vi sono coefficienti o autovalori complessi. Se λ è un autovalore di A allora l’autospazio associato ad A è ker (A − λIn ). Se tale autospazio ha dimensione minore della molteplicità algebrica di λ allora A non è diagonalizzabile. Definiamo l’autospazio generalizzato relativo all’autovalore λ: 9 ker (A − λIn )k . k∈N

Teorema D.6. Per ogni autovalore λ di A l’autospazio generalizzato corrispondente ha dimensione uguale alla molteplicità algebrica di λ. Ogni elemento di V può essere ottenuto (in modo unico) mediante una combinazione lineare di elementi degli autospazi generalizzati corrispondenti a tutti gli autovalori. Esiste una base di V (l’unione delle basi di tutti gli autospazi generalizzati) in cui la matrice ha tutti gli elementi nulli salvo gli autovalori disposti in ordine lessicografico2 crescente sulla diagonale principale, ed elementi uguali a 1 o 0 sulla diagonale adiacente inferiore; ha inoltre una struttura a blocchi quadrati sulla diagonale principale di dimensione pari alla dimensione degli autospazi. Ciascun autospazio generalizzato può presentare una ulteriore sottostruttura in modo tale che i corrispondenti sottoblocchi abbiano solo valori uguali ad 1 sulla sottodiagonale. Tali sottoblocchi sono detti blocchi di Jordan. Un blocco di Jordan I2 è ovviamente diagonale pur avendo l’autovalore 1 con molteplicità algebrica e geometrica uguale a 2. 2 Cioè λ1 ≺ λ2 se Re(λ1 ) < Re(λ2 ) oppure Re(λ1 ) = Re(λ2 ) e Im(λ1 ) 0 t.c. (x − ε, x + ε) ⊂ A} . Esempio E.2. Sull’insieme E = Rn consideriamo la topologia euclidea: τ = {Ω ⊂ Rn : ∀x ∈ Ω ∃r > 0 t.c. {y : y − x < r} ⊂ Ω} . Esempio E.3. Sull’insieme E = C consideriamo la topologia euclidea: τ = {Ω ⊂ C : ∀z ∈ Ω ∃r > 0 t.c. {w : |w − z| < r} ⊂ Ω} . È facile verificare che in tutti gli esempi citati sono valide le tre proprietà che caratterizzano una topologia. Definizione E.4. Siano (X, τ ), (Y, ρ) due spazi topologici, ed f : X → Y una funzione. Si dice che f è continua se ∀A ∈ ρ risulta f −1 (A) ∈ τ , cioè la controimmagine di ogni aperto è aperta. Teorema E.5. Se X = Rn e Y = Rm , τ , ρ sono le corrispondenti topologie euclidee, allora la definizione precedente è equivalente alla usuale definizione metrica di E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9_E, © Springer-Verlag Italia 2014

372

Appendice E Topologia

continuità di f : Rn → Rm , che qui riportiamo: ∀x0 ∈ X ∀ε > 0 ∃δ > 0

tale che

x − x0  < δ

⇒

f (x) − f (x0 ) < ε .

Teorema E.6. La composizione di funzioni continue è continua. Sia (E, τ ) uno spazio topologico. Si definisce allora la famiglia σ degli insiemi chiusi in E o, brevemente chiusi, come segue: σ = {C ⊂ E : ∃A ∈ τ t.c. C = E\A} . Dunque gli insiemi chiusi sono i complementari degli insiemi aperti. È facile dedurre dalle proprietà degli insiemi aperti che per gli insiemi chiusi valgono le seguenti: 1)

E e ∅ sono elementi di σ;

2)

ogni intersezione di elementi di σ è un elemento di σ;

3)

ogni unione finita di elementi di σ è un elemento di σ.

Definizione E.7. La chiusura, denotata con D, di un sottoinsieme D di uno spazio topologico E è il più piccolo insieme chiuso che contiene D cioè D = ∩ {C : C chiuso, D ⊂ C} . Definizione E.8. Il bordo (o frontiera) di un sottoinsieme D di uno spazio topologico E è ∂D = D ∩ E\D . Definizione E.9. L’interno (o parte interna) di un sottoinsieme D di uno spazio topologico è ◦

D = D\∂D . Definizione E.10. Assegnati due sottoinsiemi A e B di uno spazio topologico, si dice che A è denso in B se B ⊂ A. Esempio E.11. Se lo spazio topologico è R con la topologia euclidea e A, B ⊂ R, con B aperto, allora A è denso in B se per ogni intervallo (a, b) ⊂ B esiste un elemento x ∈ A ∩ (a, b). Esempio E.12. Q è denso in R. Definizione E.13. Un insieme aperto U contenuto in uno spazio topologico si dice connesso se non esistono due aperti A e B non vuoti e disgiunti la cui unione sia U .

Appendice F Dimensione frattale

Accenniamo brevemente al problema della “misura” e della “dimensione” dei sottoinsiemi di uno spazio euclideo. Lo scopo è definire una funzione di insieme che corrisponda alla lunghezza nel caso di segmenti, al conteggio nel caso di insiemi costituiti da un numero finito di punti, ma si adatti in modo coerente alle situazioni intermedie (ad esempio, l’insieme di Cantor), e più in generale, consenta di misurare sottoinsiemi di Rn oltreché di attribuire loro una dimensione coerente con le nozioni di area e volume delle figure della geometria elementare. Descriviamo sinteticamente la dimensione di Hausdorff e la box counting dimension precisando alcune relazioni che intercorrono tra le due definizioni. Per ogni sottoinsieme F di Rn ed ogni numero reale non negativo s definiamo la misura di Hausdorff s dimensionale di F come Hs (F ) = lim Hsδ (F ) = sup Hsδ (F ) δ→0+

δ>0

dove, per 0 < δ < +∞, Hsδ

ωs (F ) = s inf 2

+∞

j=1

s

(diam Uj ) :

F ⊂

∞ 9

: Uj , diam Uj ≤ δ

j=1

' −1 ∞ con diam Uj = sup {|x − y| : x, y ∈ Uj } . La costante ωs = πs/2 0 e−x xs/2dx è positiva e finita per ogni s e normalizza la misura in modo da ottenere i valori corretti nei casi elementari: ω0 = H0 ({0}) = 1, ω1 = H1 ([−1, 1]) = 2 & % ω2 = H2 (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 = π & % 4 ω3 = H3 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z 2 ≤ 1 = π. 3

E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9_F, © Springer-Verlag Italia 2014

374

Appendice F Dimensione frattale

Hs è una misura1 positiva, cioè una funzione di insieme a valori in [0, +∞] che verifica le ragionevoli richieste qualitative per misurare tutti gli insiemi di Rn qui elencate: 1)

F =

∞ 8

Ej

⇒

Hs (F ) ≤

j=1

+∞ 

Hs (Ej )

subadditività numerabile

j=1

2)

Hs (F + τ ) = Hs (F )

∀F ⊂ Rn , ∀τ ∈ Rn

3)

Hs (αF ) = αs Hs (F )

4)

Hs (∅) = 0 , H0 è la misura che conta i punti, Hs è identicamente nulla se s>n

5)

se 0 ≤ s < t allora Ht (F ) > 0

∀F ⊂ Rn ,

⇒

invarianza per traslazioni

∀α ∈ R

s omogenenità di Hs

Hs (F ) = +∞.

Se gli insiemi Ej sono boreliani (unioni o intersezioni numerabili di insiemi aperti e/o chiusi) a due a due disgiunti (j = k ⇒ Ej ∩ Ek = ∅), allora nella 1) vale l’uguaglianza (additività numerabile). La dimensione di Hausdorff di un insieme F ⊂ Rn è definita da dimH (F ) = inf {s ≥ 0 : Hs (F ) = 0} = sup {s ≥ 0 : Hs (F ) = +∞} . Se s = dimH (F ) allora si hanno tre possibilità: Hs (F ) = 0,

Hs (F ) = +∞,

0 < Hs (F ) < +∞.

La dimensione di Hausdorff dell’insieme di Cantor C è dimH (C) =

ln 2 = 0, 6309297536 . . . ln 3

come si può dedurre dal seguente argomento euristico: C = CS ∪ CD dove l’unione è disgiunta: CS = C ∩ [0, 1/3]

∀s :

CD = C ∩ [2/3, 1] s s 1 1 Hs (C) + Hs (C) Hs (C) = Hs (CS ) + Hs (CD ) = 3 3

per la 3).

Se per il valore critico s = dim C risulta 0 < Hs (C) < +∞ (proprietà vera che non dimostriamo), allora s 1 ln 2 1=2 . ⇒ s= 3 ln 3 Osserviamo esplicitamente che H1 (C) = 0 e H0 (C) = +∞.

1

Più precisamente si dovrebbe parlare di misura esterna, ma noi tralasciamo tale questione.

Appendice F Dimensione frattale

375

Un metodo per costruire insiemi di dimensione di Hausdorff non banale (cioè non intera), detti per questo insiemi frattali, è la costruzione seguente, dovuta a J.E. Hutchinson. Sia M = {M1 , . . . MN } una famiglia di similitudini di Rn cioè del tipo Mj (x) = pj + ρj M x dove M è una matrice ortogonale2 , 0 < ρj < 1 ed esiste un insieme aperto U limitato in Rn tale che: Mj (U ) ⊂ U

e

Mi (U ) ∩ Mj (U ) = ∅

se i = j.

(F.1)

Teorema F.1. Se M verifica la precedente (F.1), allora esiste unico un insieme chiuso e limitato K tale che K = M1 (K) ∪ M2 (K) ∪ · · · ∪ MN (K). Tale insieme K è un frattale autosimile 3 la cui dimensione dimH (K) è l’unica soluzione s dell’equazione N

ρsj = 1. j=1

Ad esempio, l’insieme di Cantor è l’unico insieme invariante rispetto alla famiglia delle due similitudini seguenti: M1 (x) = x/3 , M2 (x) = 1 + (x − 1) /3. Vi sono numerose altre definizioni di dimensione frattale. Esse non verificano tutte le proprietà della dimensione di Hausdorff, tuttavia sono definite in modo più elementare ed è più semplice valutarle. Un esempio importante è la box counting dimension che quantifica la nozione di dimensione ad una scala δ (trascurando le scale inferiori) per poi effettuare un limite quando δ tende a 0. Definizione F.2. Sia F ⊆ Rn e δ > 0. Sia Nδ (F ) il minimo numero di insiemi di diametro minore od uguale a δ che occorrono per ricoprire F . Allora la box counting dimension di F , indicata con dimB (F ), è definita da dimB (F ) = lim

δ→0+

ln Nδ (F ) − ln δ

(F.2)

se tale limite esiste. L’idea alla base della definizione è la seguente: se esiste una omogenenità di Nδ (F ) rispetto a δ, di tipo potenza, cioè Nδ (F ) δs → m (dove m ∈ (0, +∞) svolge il ruolo di misura s dimensionale di F ), allora Nδ ∼ mδ−s , ln Nδ ∼ ln m − s ln δ; dividendo ln Nδ (F ) . e passando al limite per δ → 0+ , necessariamente s = lim − ln δ δ→0+

Q è ortogonale se e solo se trasforma basi ortonormali in basi ortonormali (equivalentemente, se e solo se la matrice ad essa associata in una qualunque base, e denotata ancora con Q, è invertibile e verifica QT = Q−1 ). 3 Autosimile significa che è unione di parti ottenibili ciascuna dall’insieme stesso con un movimento rigido ed una riduzione di scala (è una idealizzazione, per la cui comprensione puó essere utile pensare alla struttura geometrica di una felce o di un cavolfiore). 2

376

Appendice F Dimensione frattale ln N (F) δ

−ln δ

Fig. F.1. Coppie di valori empirici (δ, Nδ (F )) riportati in scala logaritmica

La formula (F.2) è particolarmente adatta a valutazioni empiriche: se si riportano in scala logartimica i valori di δ ed Nδ relativi ad alcune misure, allora s è la pendenza cambiata di segno della retta di regressione associata a tali valori. Un primo inconveniente è il fatto che il limite in (F.2) può non esistere (mentre la dimensione di Hausdorff è sempre definita). Tuttavia, quando esiste dimB (F ) essa è un numero reale in [0, n], ed assume gli usuali valori interi su punti, rette, curve, superfici regolari. Inoltre dimB verifica la naturale proprietà di monotonia: F ⊂ E ⇒ dimB (F ) ≤ dimB (E). Infine, nella definizione di Nδ (F ) è sufficiente utilizzare cubi o dischi di diametro δ per ricoprire F anziché tutti gli insiemi di diametro minore o uguale a δ. Esempio F.3. Se F è una curva in R2 , Nδ (F ) può essere scelto come il numero minimo di “passi” di lunghezza minore o uguale a δ necessari a “percorrerla”.

δ

Fig. F.2. Rettificazione di una curva con passi di lunghezza minore o uguale a δ

Appendice F Dimensione frattale

377

Esempio F.4. Se F = Q ∩ [0, 1], allora dimH (F ) = 0 = 1 = dimB (F ). Questo fatto segue dall’uguaglianza, vera per ogni F di cui sia definita dimB (F ):   dimB (F ) = dimB F dove F indica la chiusura dell’insieme F . L’ultimo esempio (dimensione box counting 1 di una unione numerabile di punti che hanno dimensione box counting nulla) prova che per la box counting dimension viene meno un’importante proprietà relativa alle unioni numerabili, valida per la misura di Hausdorff:   +∞ 8 dimH se dimH (Fj ) = s ∀j Fj = s j=1

 dimB

+∞ 8

 Fj

≥s

se dimB (Fj ) = s ∀j

j=1

Nell’ultima relazione può valere la disuguaglianza stretta (l’uguaglianza è garantita comunque se gli Fj sono in numero finito). Per questo ed altri motivo si preferisce utilizzare la nozione meno elementare di dimensione di Hausdorff. Vale comunque il seguente risultato. Teorema F.5. Se K è un frattale autosimile di Hutchinson (cioè è l’unico compatto invariante associato ad una famiglia di similitudini verificante la (F.1)), allora esiste dimB (K) e dimH (K) = dimB (K) = s dove s è l’unica soluzione dell’equazione

N

ρsj = 1 e

0 < Hs (K) < +∞ .

j=1

I Teoremi F.1 ed F.5 consente di calcolare facilmente la dimensione di alcuni frattali autosimili, come illustrato dai seguenti esempi di insiemi la cui dimensione non è un numero intero. Esempio F.6. L’insieme di Cantor C verifica dimH (C) = dimB (C) = ln 2/ ln 3. Esempio F.7. La curva di von Koch K (ottenuta a partire dal segmento [0, 1] rimpiazzando il segmento [1/3, 2/3] con i due lati di un triangolo equilatero di lato 1/3 ed iterando l’operazione) verifica dimH (K) = dimB (K) = ln 4/ ln 3. Esempio F.8. Il Sierpinski gasket triangolare G (che si ottiene da un triangolo equilatero con il bordo e l’interno, suddiviso in quattro triangoli equilateri, rimuovendo il triangolo centrale, ed iterando l’operazione) verifica dimH (G) = dimB (G) = ln 3/ ln 2 . Esempio F.9. L’insieme di Cantor t-medio Ct , 0 < t < 1 (si veda l’Esempio 4.38), verifica ln 2 dimH (Ct ) = dimB (Ct ) = . ln 2 − ln (1 − t)

378

Appendice F Dimensione frattale

Fig. F.3. Fiocco di neve costruito con la curva di von Koch e prime tre iterazioni del Sierpinski Gasket

Appendice G Tabelle di Z-trasformate

Tabella Z.1.

E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9_G, © Springer-Verlag Italia 2014

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Appendice G Tabelle di Z-trasformate

Tabella Z.2.

Appendice G Tabelle di Z-trasformate

381

Appendice G Tabelle di Z-trasformate

382

Tabella Z.3. Y = {Yk }

Z{Y }(z) = y(z)

k = 0, 1, 2, . . .

X = {Xk }

Z{X}(z) = x(z)

k = 0, 1, 2, . . .

Yk := Xk+1 = τ−1 X

y(z) = z x(z) − z X0

Yk := Xk+2 = τ−2 X

y(z) = z 2 x(z) − z 2 X0 − z X1

Yk := Xk+3 = τ−3 X

y(z) = z 3 x(z) − z 3 X0 − z 2 X1 − z X2

Yk := Xk+n = τ−n X

y(z) = z n x(z) − z n X0 − . . . − z Xn−1

n≥0

Yk := Xk−n = τn X, Yk = 0 k < n, Yk = Xk−n

k≥n≥0

Xk = Uk−n X0 =X1 = . . . = Xn−1 = 0,

z n−1 z−1 −z x (z)

k Xk k n Xk ,

Xk = 1 se k ≥ m

y(z) = z −n x(z)

n≥0

−z

1 Xk k

−

1 Xk k+n

n≥0

ak X k

d dz

z

z ∞

x(z/a)

k

z x(z) z−1

Xh h=0 k

(X ∗ Y )k =

Xh Yk−h h=0

Tabella Z.4.

x(z)

x(w) dw w

∞

−z n

n

x(z) y(z)

x(w) dw wn+1

Appendice H Alcuni algoritmi e suggerimenti per simulazioni al computer

Gran parte dei calcoli e disegni del testo sono stati effettuati mediante il software Mathematica© (Wolfram Research Inc.). Forniamo alcuni suggerimenti utili per lo studio di sistemi dinamici discreti utilizzando tale software.

Calcolo di iterate Un modo semplice per calcolare iterate di funzioni consiste nell’utilizzare il comando Nest, la cui sintassi è la seguente: Nest [ funzione, valore iniziale ,

numero di iterazioni ]

Ad esempio, un programma per il calcolo delle prime quattro iterate del coseno a partire da X0 = π è il seguente: Clear [ f, x ] f [x] = Cos [ x ] ; Nest [ f, Pi, 4 ] N [ %, 3 ] La prima istruzione è consigliabile per evitare confusione con eventuali valori di f ed x presenti in memoria perché calcolati in precedenza; la seconda istruzione definisce la funzione coseno dipendente dalla variabile x (il punto e virgola esclude la stampa di qualunque output); la terza istruzione definisce la composizione cos (cos (cos (cos (π)))) = cos4 (π); la quarta istruzione calcola il valore numerico della quantità all’istruzione precedente, con tre cifre decimali, cioè 0, 654. Se si vogliono calcolare anche le iterate precedenti, allora è opportuno sostituire la terza istruzione con NestList [f, Pi, 4] che produce {π, −1, cos 1, cos (cos 1) , cos (cos (cos 1))} cioè {X0 , X1 , X2 , X3 , X4 }; di conseguenza la quarta istruzione calcola il valore numerico di X0 , . . . , X4 con tre cifre significative, cioè {3, 14 , −1 , 0, 54 , 0, 858 , 0, 654} . E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9_H, © Springer-Verlag Italia 2014

384

Appendice H Alcuni algoritmi e suggerimenti per simulazioni al computer

Equilibri di sistemi dinamici discreti Il s.d.d. {R, cos} ha un unico equilibrio stabile ed attrattivo α, che è la soluzione di {α ∈ R : α = cos α}. Tale equilibrio può essere calcolato in vari modi: 1) Metodo di Newton: la funzione g (x) = cos x − x è continua e concava in [0, π/2] , positiva in 0 e negativa in π/2. Allora, a partire da X0 = π/2 , le iterate di Ng (x) = (x sin x + cos x) / (sin x + 1) convergono decrescendo ad α. Le istruzioni per il calcolo della 5a e 6a iterata di Ng sono: Clear [ N g , x ] Ng [ x_ ] = (x ∗ Sin [x] + Cos [x]) / (Sin [x] + 1) ; N [ Nest [ Ng , Pi/2 , 5 ] , 3 ] N [ Nest [ Ng , Pi /2 , 6 ] , 3] Output: 0, 739

,

0, 739.

L’indice x_ chiede di effettuare la valutazione della funzione Ng in tutti i casi in cui è possibile, richiesta implicita nel caso di funzioni elementari come era il caso del coseno. L’istruzione Ng [x] = (x ∗ Sin [x] + Cos [x]) / (Sin [x] + 1) avrebbe invece prodotto Ng [Ng [Ng [Ng [Ng [1, 57]]]]]. 2) Iterazioni di g: gk (X0 ) converge ad α oscillando, ∀X0 ∈ R. Scegliamo X0 = π/2 e calcoliamo la 10a e 20a iterata: Clear [ f , x ] f [x] =Cos[x] N [ Nest [ f , Pi/2 , 10 ] , 3 ] N [ Nest [ f , Pi /2 , 20 ] , 3] Output:

0, 75

0, 739

3) Usando il risolutore di equazioni “FindRoot”: FindRoot [ {Cos [ x ] == x } , { x , 0 }] Output: 0,739085.

Numeri di Fibonacci I) I numeri di Fibonacci sono definiti dall’inizializzazione F0 = 0, F1 = 1 e dalla regola ricorsiva (a due passi) Fk+1 = Fk + Fk−1 . Pertanto le istruzioni Clear [ f , x ] f [0] = 0; f [1] = 1; f [x_] := f [x − 1] + f [x − 2]

Appendice H Alcuni algoritmi e suggerimenti per simulazioni al computer

385

generano la funzione f [k] = Fk . Tuttavia anche se queste istruzioni consentono di calcolare alcuni valori, ad esempio F20 = 6765, già F50 dà grossi problemi di tempo di calcolo, perché il numero di operazioni necessarie è molto elevato: si tratta di un algoritmo poco efficiente. II) Alternativamente, possiamo sfruttare l’espressione esplicita di Fk come l’in√  k √  tero più vicino a 1 + 5 /2 / 5 ottenendo il valore approssimato di Fk con l’istruzione N [0, 5 ∗ ((1 + Sqrt [5]) ∗ 0, 5) ˆ50] La funzione N effettua un calcolo numerico approssimato. L’approssimazione potrebbe essere migliorata. Tuttavia è meglio utilizzare una procedura algebrica esatta con qualche accortezza che eviti le difficoltà del primo algoritmo. III) Un algoritmo efficiente per calcolare Fk basato sulla definizione ricorsiva deve tenere conto dei valori della successione già calcolati e tabularli per non fare crescere eccessivamente il numero di operazioni necessarie (con la ripetizione di operazioni già svolte): Clear [f, x] f [0] = 0; f [1] = 1; f [x_] := f [x] = f [x − 1] + f [x − 2] f [50] La penultima istruzione definisce una funzione f che “ricorda” tutti i valori che vengono calcolati. L’ultima calcola rapidamente il valore esatto del cinquantesimo numero di Fibonacci. L’efficienza del metodo è tale da fornire rapidamente anche il valore di F100 : F50 = 12· 586· 269· 025 F100 = 354· 224· 848· 179· 261· 915· 075 IV) Ancora più rapido è il ricorso ad una funzione predefinita nel Mathematica© 4.1 che produce il k-esimo numero di Fibonacci: Fibonacci [k]

Ragnatele di sistemi dinamici discreti Nel seguito riportiamo le istruzioni di un notebook (per il software Mathematica) simili a quelle con cui sono state generate le ragnatele nelle figure del testo. Nell’esempio si considera la logistica ha di parametro a = 3, 5 e se ne descrivono 20 iterazioni a partire dal dato iniziale X0 = 0, 1. Per adattare ad altre funzioni (che trasformano l’intervallo [0, 1] in sè stesso), dati iniziali e/o numeri differenti di iterazioni, è sufficiente effettuare le opportune variazioni nelle righe 3, 5, 6 e 7. Segnaliamo le righe di commenti intercalati alle istruzioni mediante la sintassi: (* commento *).

386

Appendice H Alcuni algoritmi e suggerimenti per simulazioni al computer

(* Scelta del sistema dinamico e sua inizializzazione *) Clear [h, x] ; h [x_] := 3.5 ∗ x ∗ (1 − x) id [x_] := x StartingValue = .1 ; FirstIt = 0 ; LastIt = 20 ; xmin = 0 ; xmax = 1 ; (* Calcolo delle iterate *) k = 0; y = N [StartingValue] ; DataTable = {{y, 0} , {y, h [y]} , {h [y] , h [y]}} ; While[k < LastIt, y = h [y] ; AppendTo[DataTable, {y, y}] ; AppendTo[DataTable, {y, h [y]}] ; k = k + 1] ; AppendTo[DataTable, {h [y] , h [y]}] ; (* Disegno della ragnatela *) Cobweb = ListPlot [ DataTable, PlotJoined − > True, PlotRange − > {{xmin, xmax} , {xmin, xmax}} , Ticks − > None, AspectRatio − > 1 , PlotStyle − > RGBColor[1, 0, 0] , DisplayFunction − > Identity ] ; (* Disegno dei grafici di ha (logistica) e dell’identità *) Graphh = Plot[h [x] , {x, xmin, xmax} , PlotRange − > {xmin, xmax} , AspectRatio − > 1 , Ticks − > None, PlotStyle − > {{Thickness [0.015] , RGBColor [0, 0, 1]}} , DisplayFunction − > Identity ] ; Graphid = Plot[id [x] , {x, xmin, xmax} , PlotRange − > {xmin, xmax} , AspectRatio − > 1 , Ticks − > None, DisplayFunction − > Identity ] ; (* Mostrare il risultato *) Show[Cobweb, Graphh, Graphid, DisplayFunction − > $DisplayFunction] ;

Appendice H Alcuni algoritmi e suggerimenti per simulazioni al computer

Fig. H.1. Una ragnatela della logistica ha con a = 3, 5

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Riferimenti bibliografici

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Indice analitico

algoritmo – Fast Fourier Transform, 79 – PageRank, 286 allele, 188 ammortamento, 21 attrattore, 104 autovalore, 186 – dominante, 205 autovettore, 187 bacino di attrazione, 104 biforcazione – a forchetta, 142 – raddoppio di periodo, 142 – sella-nodo, 142 – transcritica, 142 bordo, 372 box counting dimension, 375 cammino, 275 Casoratiano, 65 catena di Markov, 239 – assorbente, 247 – irriducibile, 283 – regolare, 245 – riducibile, 283 chiusura, 372 ciclo, 91 – localmente asintoticamente stabile, 117 – ordine del, 91 – repulsivo, 117 classe comunicante, 282 – chiusa, 282

coefficienti di Fourier, 73 complessità computazionale, 77 componente fortemente connessa, 276 – periodo di, 279 coniugazione topologica, 162 contrazione, 101 convoluzione – circolare, 82 – discreta, 55, 354 costante di Feigenbaum, 148 Cramer, regola di, 365 crescita logistica a tempo continuo , 165 derivata schwarziana, 137 determinante di Vandermonde, 36 DFT, 76 diagramma di biforcazione, 139 dimensione di Hausdorff, 374 discretizzazione di un’equazione differenziale, 14, 15 distribuzione di probabilità – iniziale, 242 – invariante, 243 disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, 361 effetto leva, 316 equazione – dei tre momenti, 17 – del calore, 15 – di Airy, 13 – di Bessel, 22 – di Black-Scholes, 23 – di d’Alembert, 23

E. Salinelli, F. Tomarelli: Modelli Dinamici Discreti. 3a edizione UNITEXT – La Matematica per il 3+2 71 DOI 10.1007/978-88-470-5504-9, © Springer-Verlag Italia 2014

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Indice analitico

– di Hermite, 22 – di Laguerre, 22 – di Laplace, 23 – di Legendre, 22 – di Riccati, 309 equazione alle differenze – di ordine n, 2 – lineare, a coefficienti costanti del primo ordine, non omogenea, 26 del primo ordine, omogenea, 25 di ordine n, non omogenea, 39, 47 di ordine n, omogenea, 32 – lineare, a coefficienti variabili del primo ordine, non omogenea, 63 del primo ordine, omogenea, 62 di ordine n, omogenea, 65 equazione caratteristica, 33 equilibrio, 40, 90 – asintoticamente stabile, 103 superiormente, 109 – attrattivo, 40, 42 superiormente, 109 – di un s.d.d. vettoriale lineare, 197 – di un’equazione lineare, 26 – globalmente attrattivo, 103 – instabile, 103, 170 superiormente, 109 – iperbolico, 108 – localmente attrattivo, 103, 170 – neutro, 108 – repulsivo, 106 superiormente, 109 – semistabile superiormente, 108 – stabile, 40, 41, 102, 170 – superattrattivo, 108 FFT, 78 filtro causale, 80 flops, 79 forma canonica di Jordan, 368 formula di Collatz-Wielandt, 210 formule di de Moivre, 356 frattali autosimili di Hutchinson, 375 frazione continua, 72 frontiera, 372 funzione – continua, 371 – di trasferimento, 55

– – – –

lineare fratta, 68 logistica, 130 tenda, 151 topologicamente transitiva, 154

Google, 286 grafo, 274 – fortemente connesso, 275 – orientato, 274 impulso, 51 insieme – aperto, 371 – aperto connesso, 372 – chiuso, 372 – denso, 372 – di Cantor, 157 – di Cantor t-medio, 160 – di Julia, 181 – di tipo Cantor, 160 – frattale, 156, 375 – invariante, 104 – localmente attrattivo, 104 – totalmente sconnesso, 158 interesse – composto, 4 – semplice, 4 interno, 372 iterata k-esima, 88 legge – di Bayes, 359 – di Hardy-Weinberg, 188 matrice – ciclica, 272 – debolmente positiva, 205 – del cambio di base, 366 – di adiacenza, 276 – di Casorati, 65 – di permutazione, 263, 265 – di rotazione, 201 – di transizione, 240 – forma canonica di Jordan, 368 – forma elementare di Frobenius, 196 – irriducibile, 267 – nilpotente, 202, 369 – periodo di una, 279 – positiva, 205

Indice analitico – primitiva, 272 – riducibile, 267 – semisemplice, 363 – sparsa, 221 – strettamente positiva, 205 medie mobili, 57 metodo – di decomposizione LU, 226 – di Eulero esplicito, 15, 17, 165, 223, 340 – di Eulero implicito, 14, 16, 165, 225, 341 – di Gauss-Seidel, 228 – di Jacobi, 228 – di Newton, 166, 171 – SOR, 227 misura di Hausdorff, 373 modello – della ragnatela, 6 – di crescita logistica, 8 – di decadimento radioattivo, 6 – di Leslie, 11 – di Lotka-Volterra, 9, 219 – di Malthus, 8 moltiplicatore – dell’equilibrio, 183 – dell’orbita, 183 mutuo, 5

– stabile, 105 – stazionaria, 90 orbita periodica – di un s.d.d. vettoriale lineare, 197 ordinamento di Sharkovsky, 134

nodo, 274 – aperiodico, 278 – connesso, 275 – fortemente connesso, 275 – periodo di un, 278 norma – di una matrice, 219 numeri di Fibonacci, 10

s.d.d., 87 segnale – di Heaviside, 51 – di Kronecker, 52 – lineare, 52 serie di Fourier, 73 Sierpinski gasket, 162 simboli – lista dei, xi simplesso, 242 sistema – mal condizionato, 229 sistema causale, 80 sistema dinamico discreto – affine, 89 – caotico, 154 – complesso, 170 – del primo ordine, autonomo, 87 – di ordine n, autonomo, 181 – lineare, 89

obbligazione – fixed-reverse, 5 – reverse-floater, 85 – zero-coupon, 21 omeomorfismo, 106 orbita, 89 – asintoticamente stabile, 105 – definitivamente periodica, 91 – definitivamente stazionaria, 91 – periodica, 91 – periodo dell’, 91

pagina dangling, 289 parte interna, 372 periodo di un nodo, 278 piano delle fasi, 202 polinomio caratteristico, 33 polinomio minimo, 270 principio – del massimo discreto, 299 – di induzione, 2 – di mutazione, 191 – di selezione, 190 probabilità di transizione, 239 quadro delle fasi, 89 query, 286 raddoppio di fase, 152 ragnatele, 96 relazione ricorsiva, 3 repulsore, 105 rovina del giocatore, 12, 84, 235 Ruffini-Horner, algoritmo di, 77

393

394

Indice analitico

– non lineare, 89 – vettoriale, 218 – vettoriale, lineare non omogeneo, 214 omogeneo, 197 positivo, 205 soluzione – di un’equazione alle differenze, 3 soluzione generale – di un’equazione alle differenze, 3 somma – di una progressione aritmetica, 49 – di una progressione geometrica, 50 somme parziali, 64 stati – comunicanti, 281 stato – accessibile, 281 – aperiodico, 283 – assorbente, 246 – ricorrente, 284 – transiente, 284 successione, 1 – periodica, 73

tempo di dimezzamento, 6 teorema – delle contrazioni, 101 – di Cayley–Hamilton, 368 – di esistenza ed unicità, 3 – di Fatou, 145 – di Frobenius, 271 – di Li–Yorke, 161 – di Markov-Kakutani, 259 – di Perron-Frobenius, 205 – di Rouché-Capelli, 365 – di Schur, 45 – di Sharkovskii, 134 – Fondamentale dell’Algebra, 357 – spettrale, 367 topologia, 371 – euclidea, 371 trasformata discreta di Fourier, 76 trasformazione – di Möbius, 68 valore attuale, 85 valore di biforcazione, 140 valore iniziale, 89 vita media, 6 Zeta trasformata, 50

Collana Unitext – La Matematica per il 3+2 A cura di: A. Quarteroni (Editor-in-Chief) L. Ambrosio P. Biscari C. Ciliberto G. van der Geer G. Rinaldi W.J. Runggaldier Editor in Springer: F. Bonadei [email protected] Volumi pubblicati. A partire dal 2004, i volumi della serie sono contrassegnati da un numero di identificazione. I volumi indicati in grigio si riferiscono a edizioni non più in commercio. A. Bernasconi, B. Codenotti Introduzione alla complessità computazionale 1998, X+260 pp, ISBN 88-470-0020-3 A. Bernasconi, B. Codenotti, G. Resta Metodi matematici in complessità computazionale 1999, X+364 pp, ISBN 88-470-0060-2 E. Salinelli, F. Tomarelli Modelli dinamici discreti 2002, XII+354 pp, ISBN 88-470-0187-0 S. Bosch Algebra 2003, VIII+380 pp, ISBN 88-470-0221-4 S. Graffi, M. Degli Esposti Fisica matematica discreta 2003, X+248 pp, ISBN 88-470-0212-5

S. Margarita, E. Salinelli MultiMath – Matematica Multimediale per l’Università 2004, XX+270 pp, ISBN 88-470-0228-1 A. Quarteroni, R. Sacco, F.Saleri Matematica numerica (2a Ed.) 2000, XIV+448 pp, ISBN 88-470-0077-7 2002, 2004 ristampa riveduta e corretta (1a edizione 1998, ISBN 88-470-0010-6) 13. A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (2a Ed.) 2004, X+262 pp, ISBN 88-470-0256-7 (1a edizione 2002, ISBN 88-470-0149-8) 14. S. Salsa Equazioni a derivate parziali - Metodi, modelli e applicazioni 2004, XII+426 pp, ISBN 88-470-0259-1 15. G. Riccardi Calcolo differenziale ed integrale 2004, XII+314 pp, ISBN 88-470-0285-0 16. M. Impedovo Matematica generale con il calcolatore 2005, X+526 pp, ISBN 88-470-0258-3 17. L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2005, VIII+396 pp, ISBN 88-470-0257-5 18. S. Salsa, G. Verzini Equazioni a derivate parziali – Complementi ed esercizi 2005, VIII+406 pp, ISBN 88-470-0260-5 2007, ristampa con modifiche 19. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica I (2a Ed.) 2005, XII+448 pp, ISBN 88-470-0337-7 (1a edizione, 2003, XII+376 pp, ISBN 88-470-0220-6)

20. F. Biagini, M. Campanino Elementi di Probabilità e Statistica 2006, XII+236 pp, ISBN 88-470-0330-X 21. S. Leonesi, C. Toffalori Numeri e Crittografia 2006, VIII+178 pp, ISBN 88-470-0331-8 22. A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (3a Ed.) 2006, X+306 pp, ISBN 88-470-0480-2 23. S. Leonesi, C. Toffalori Un invito all’Algebra 2006, XVII+432 pp, ISBN 88-470-0313-X 24. W.M. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo Aritmetica, Crittografia e Codici 2006, XVI+518 pp, ISBN 88-470-0455-1 25. A. Quarteroni Modellistica numerica per problemi differenziali (3a Ed.) 2006, XIV+452 pp, ISBN 88-470-0493-4 (1a edizione 2000, ISBN 88-470-0108-0) (2a edizione 2003, ISBN 88-470-0203-6) 26. M. Abate, F. Tovena Curve e superfici 2006, XIV+394 pp, ISBN 88-470-0535-3 27. L. Giuzzi Codici correttori 2006, XVI+402 pp, ISBN 88-470-0539-6 28. L. Robbiano Algebra lineare 2007, XVI+210 pp, ISBN 88-470-0446-2 29. E. Rosazza Gianin, C. Sgarra Esercizi di finanza matematica 2007, X+184 pp,ISBN 978-88-470-0610-2

30. A. Machì Gruppi – Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi 2007, XII+350 pp, ISBN 978-88-470-0622-5 2010, ristampa con modifiche 31 Y. Biollay, A. Chaabouni, J. Stubbe Matematica si parte! A cura di A. Quarteroni 2007, XII+196 pp, ISBN 978-88-470-0675-1 32. M. Manetti Topologia 2008, XII+298 pp, ISBN 978-88-470-0756-7 33. A. Pascucci Calcolo stocastico per la finanza 2008, XVI+518 pp, ISBN 978-88-470-0600-3 34. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri Matematica numerica (3a Ed.) 2008, XVI+510 pp, ISBN 978-88-470-0782-6 35. P. Cannarsa, T. D’Aprile Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale 2008, XII+268 pp, ISBN 978-88-470-0701-7 36. A. Quarteroni, F. Saleri Calcolo scientifico (4a Ed.) 2008, XIV+358 pp, ISBN 978-88-470-0837-3 37. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica I (3a Ed.) 2008, XIV+452 pp, ISBN 978-88-470-0871-3 38. S. Gabelli Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois 2008, XVI+410 pp, ISBN 978-88-470-0618-8 39. A. Quarteroni Modellistica numerica per problemi differenziali (4a Ed.) 2008, XVI+560 pp, ISBN 978-88-470-0841-0 40. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica II 2008, XVI+536 pp, ISBN 978-88-470-0873-1 2010, ristampa con modifiche

41. E. Salinelli, F. Tomarelli Modelli Dinamici Discreti (2a Ed.) 2009, XIV+382 pp, ISBN 978-88-470-1075-8 42. S. Salsa, F.M.G. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino Invito alle equazioni a derivate parziali 2009, XIV+440 pp, ISBN 978-88-470-1179-3 43. S. Dulli, S. Furini, E. Peron Data mining 2009, XIV+178 pp, ISBN 978-88-470-1162-5 44. A. Pascucci, W.J. Runggaldier Finanza Matematica 2009, X+264 pp, ISBN 978-88-470-1441-1 45. S. Salsa Equazioni a derivate parziali – Metodi, modelli e applicazioni (2a Ed.) 2010, XVI+614 pp, ISBN 978-88-470-1645-3 46. C. D’Angelo, A. Quarteroni Matematica Numerica – Esercizi, Laboratori e Progetti 2010, VIII+374 pp, ISBN 978-88-470-1639-2 47. V. Moretti Teoria Spettrale e Meccanica Quantistica – Operatori in spazi di Hilbert 2010, XVI+704 pp, ISBN 978-88-470-1610-1 48. C. Parenti, A. Parmeggiani Algebra lineare ed equazioni differenziali ordinarie 2010, VIII+208 pp, ISBN 978-88-470-1787-0 49. B. Korte, J. Vygen Ottimizzazione Combinatoria. Teoria e Algoritmi 2010, XVI+662 pp, ISBN 978-88-470-1522-7 50. D. Mundici Logica: Metodo Breve 2011, XII+126 pp, ISBN 978-88-470-1883-9 51. E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini Geometria proiettiva. Problemi risolti e richiami di teoria 2011, VIII+274 pp, ISBN 978-88-470-1746-7

52. C. Presilla Elementi di Analisi Complessa. Funzioni di una variabile 2011, XII+324 pp, ISBN 978-88-470-1829-7 53. L. Grippo, M. Sciandrone Metodi di ottimizzazione non vincolata 2011, XIV+614 pp, ISBN 978-88-470-1793-1 54. M. Abate, F. Tovena Geometria Differenziale 2011, XIV+466 pp, ISBN 978-88-470-1919-5 55. M. Abate, F. Tovena Curves and Surfaces 2011, XIV+390 pp, ISBN 978-88-470-1940-9 56. A. Ambrosetti Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie 2011, X+114 pp, ISBN 978-88-470-2393-2 57. L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani Solving Numerical PDEs: Problems, Applications, Exercises 2011, X+434 pp, ISBN 978-88-470-2411-3 58. A. Machì Groups. An Introduction to Ideas and Methods of the Theory of Groups 2011, XIV+372 pp, ISBN 978-88-470-2420-5 59. A. Pascucci, W.J. Runggaldier Financial Mathematics. Theory and Problems for Multi-period Models 2011, X+288 pp, ISBN 978-88-470-2537-0 60. D. Mundici Logic: a Brief Course 2012, XII+124 pp, ISBN 978-88-470-2360-4 61. A. Machì Algebra for Symbolic Computation 2012, VIII+174 pp, ISBN 978-88-470-2396-3 62. A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio Calcolo Scientifico (5a ed.) 2012, XVIII+450 pp, ISBN 978-88-470-2744-2

63. A. Quarteroni Modellistica Numerica per Problemi Differenziali (5a ed.) 2012, XVIII+628 pp, ISBN 978-88-470-2747-3 64. V. Moretti Spectral Theory and Quantum Mechanics With an Introduction to the Algebraic Formulation 2013, XVI+728 pp, ISBN 978-88-470-2834-0 65. S. Salsa, F.M.G. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino A Primer on PDEs. Models, Methods, Simulations 2013, XIV+482 pp, ISBN 978-88-470-2861-6 66. V.I. Arnold Real Algebraic Geometry 2013, X+110 pp, ISBN 978-3-642–36242-2 67. F. Caravenna, P. Dai Pra Probabilità. Un’introduzione attraverso modelli e applicazioni 2013, X+396 pp, ISBN 978-88-470-2594-3 68. A. de Luca, F. D’Alessandro Teoria degli Automi Finiti 2013, XII+316 pp, ISBN 978-88-470-5473-8 69. P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello Meccanica Razionale 2013, XII+352 pp, ISBN 978-88-470-5696-3 70. E. Rosazza Gianin, C. Sgarra Mathematical Finance: Theory Review and Exercises. From Binomial Model to Risk Measures 2013, X+278pp, ISBN 978-3-319-01356-5 71. E. Salinelli, F. Tomarelli Modelli Dinamici Discreti 2014, XVI+394pp, ISBN 978-88-470-5503-2 La versione online dei libri pubblicati nella serie è disponibile su SpringerLink. Per ulteriori informazioni, visitare il sito: http://www.springer.com/series/5418