MM 411 Teoria Semana 2 [PDF]

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Soluci´on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden David Z´ uniga Universidad Nacional Aut´ onoma de Honduras [email protected]

24 de enero de 2019

David Z´ uniga (UNAH)

Soluci´ on de edo primer orden

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Contenido

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Soluci´on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Diferenciales Exactas Ecuaciones Diferenciales No Exactas Ecuaciones Diferenciales Lineales Soluci´ on de EDO por Sustituci´ on

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Sugerencias Observaciones Finales

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Introducci´on

En esta semana analizaremos las EDO en la forma anal´ıtica, lo cual significa que estudiaremos t´ecnicas especializadas para obtener soluciones expl´ıcitas e impl´ıcitas dependiendo el tipo de EDO.

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Objetivos

Identificar las ecuaciones diferenciales exactas y describir el proceso para resolverlas. Identificar las ecuaciones diferenciales no exactas y describir el proceso para resolverlas. Identificar las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y describir el proceso para resolverlas. Identificar las ecuaciones diferenciales con coeficientes homog´eneos y describir el proceso para resolverlas.

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas Si z = f (x, y) es una funci´ on de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en una regi´ on R del plano xy, entonces su diferencial (tambi´en llamado diferencial total) es dz =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

Ahora, si f (x, y) = c, a partir de la ecuaci´ on anterior se deduce que ∂f ∂f dx + dy = 0 ∂x ∂y En otras palabras, dada una familia de curvas de un par´ametro f (x, y) = c, podemos generar una ecuaci´ on diferencial de primer orden al calcular el diferencial. David Z´ uniga (UNAH)

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Definici´on: Una expresi´ on diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy es una diferencial exacta en una regi´ on R del plano xy si corresponde al diferencial de alguna funci´ on f (x, y). Se dice que una ecuaci´ on diferencial de primer orden de la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es una ecuaci´ on exacta si la expresi´ on del lado izquierdo es una diferencial exacta.

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Teorema Digamos que M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una regi´ on rectangular R definida por a < x < b, c < y < d. Entonces, una condici´ on necesaria y suficiente para que M (x, y)dx + N (x, y)dy sea una diferencial exacta es ∂N ∂M = ∂y ∂x

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales No Exactas

Ecuaciones Diferenciales No Exactas Diremos que una EDO de la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es ∂M ∂N inexacta o no exacta si 6= , pero esta puede transformarse en ∂y ∂x exacta usando el Factor Integrante. Definici´on: Llamaremos factor integrante a la expresi´ on µ(x, y) que transforma la EDO M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 no exacta en exacta. Es decir, a veces podemos encontrar un factor integrante µ(x, y) de modo que despu´es de multiplicar la EDO M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 , obtenemos µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 la cual es una ecuaci´on diferencial exacta.

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales No Exactas

Ecuaciones Diferenciales No Exactas

Dado que la EDO µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 es una ∂ ∂ ecuaci´on diferencial exacta, se debe cumplir que (µM ) = (µN ), ∂y ∂x entonces ∂ ∂ (µM ) = (µN ) ⇒ µy M + µMy = µx N + µNx ∂y ∂x A esta ultima la llamamos la EDP de primer orden que satisfacen todos los Factores Integrantes y la dificultad para determinar la µ(x, y) a partir de la ED anterior, estriba en que necesitaremos resolver una EDP.

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales No Exactas

Ecuaciones Diferenciales No Exactas Elaboraremos un supuesto de simplificaci´ on; suponga que µ(x, y) es una funci´on de una variable, digamos que µ depende s´olo de x, es decir µ(x, y) = µ(x) entonces µ y = 0 y µx =

dµ ⇒ µy M + µMy = µx N + µNx ⇒ dx

dµ dµ + µNx ⇒ µ(My − Nx ) = N ⇒ dx dx Z (My − Nx ) (My − Nx ) dµ ⇒ dx = ⇒ dx + C = ln(µ) ⇒ N µ N Z  (My − Nx ) C ⇒ µ(x) = e exp dx ⇒ N ⇒ µMy = N

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales No Exactas

Ecuaciones Diferenciales No Exactas

Si tomamos C = 0 tenemos Z µ(x) = exp

(My − Nx ) dx N



Similarmente el factor integrante que depende exclusivamente de la variable y tenemos Z  (Nx − My ) µ(y) = exp dy M

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ecuaciones Diferenciales Lineales Definici´on: Se dice que una ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden de la forma a1 (x)

dy + a0 (x)y = g(x) con dx

a1 (x) 6= 0

es una ecuaci´ on diferencial lineal en la variable dependiente y Al dividir ambos lados de la ecuacion diferencial entre el primer coeficiente a1 (x) obtenemos una forma todav´ıa m´ as u ´til, la forma est´andar de una ecuaci´on diferencial lineal a0 (x) g(x) dy + P (x)y = f (x) en donde P (x) = y f (x) = dx a1 (x) a1 (x)

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ecuaciones Diferenciales Lineales Dada la EDO

dy + P (x)y = f (x) dx Buscamos una soluci´on sobre un intervalo I para el cual ambas funciones, P y f , sean continuas. Llevamos la ED anterior a la forma siguiente dy + (P (x)y − f (x)) dx = 0 y como no es exacta buscamos el factor integrante apropiado, obteniendo lo siguiente Z  µ(x) = exp

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P (x)dx

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ecuaciones Diferenciales Lineales Entonces la ED Z exp

 Z  P (x)dx dy + exp P (x)dx (P (x)y − f (x)) dx = 0

es exacta y cuya soluci´on impl´ıcita es Z  Z  Z exp P (x)dx y − exp P (x)dx f (x)dx = C y despejando para y tenemos que la soluci´ on es:  Z  Z   Z y = exp − P (x)dx C + exp P (x)dx f (x)dx

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Por tanto la soluci´on de la EDO de la forma: dy + P (x)y = f (x) dx Es  Z  Z   Z y = exp − P (x)dx C + exp P (x)dx f (x)dx

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Soluci´ on de EDO por Sustituci´ on

Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Homog´eneos

Definici´on: Si una funci´ on f posee la propiedad f (tx, ty) = tα f (x, y) para alg´ un n´ umero real α, entonces se dice que f es una funci´ on homog´enea de grado α. Definici´on: Una EDO de primer orden escrita en la forma diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, se dice que es de coeficientes homog´eneos, si ambos coeficientes M y N son funciones homog´eneas del mismo grado. En otras palabras, la EDO es de coeficientes homog´eneos si M (tx, ty) = tα M (x, y) y N (tx, ty) = tα N (x, y).

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Soluci´ on de EDO por Sustituci´ on

Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Homog´eneos Si M y N son funciones homog´eneas de grado α, tambi´en podemos escribir y M (x, y) = xα M (1, u) y N (x, y) = xα N (1, u) donde u = x M (x, y) = y α M (v, 1)

y N (x, y) = y α N (v, 1)

donde v =

x y

y x yv = son las sustituciones que se pueden emplear x y para resolver una ecuaci´on diferencial con coeficientes homog´eneos. Entonces u =

En espec´ıfico, cualquiera de las dos sustituciones y = ux o x = vy, donde u y v sean nuevas variables dependientes, reducir´a una ecuaci´on diferencial con coeficientes homog´eneos en una ecuaci´on diferencial de variables separables. David Z´ uniga (UNAH)

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Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Soluci´ on de EDO por Sustituci´ on

Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Homog´eneos Dada la siguiente ecuacion diferencial con coeficientes homog´eneos M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 si usamos el cambio de variable y = ux y dy = udx + xdu reduce a: N (1, u)du dx + =0 x M (1, u) + uN (1, u)

esta se

y al usar el otro cambio x = vy y dx = vdy + ydv la ed con coeficientes homog´eneos se reduce a: dy M (v, 1)dv + =0 y N (v, 1) + vM (v, 1) Cabe se˜ nalar que las f´ormulas anteriores no deben memorizarse; en vez de eso, el procedimiento debe realizarse en cada ocasi´on. David Z´ uniga (UNAH)

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Soluci´ on de EDO por Sustituci´ on

Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Homog´eneos Existe un tercer cambio de variable que reduce la ed con coeficientes homog´eneos en una ed de variables separables el cual es el cambio de variable a coordenadas polares, el cual se usa as´ı: x = r cos(θ) ⇒ dx = cos(θ)dr − r sin(θ)dθ y = r sin(θ) ⇒ dy = sin(θ)dr + r cos(θ)dθ y reemplazando en la ed con coeficientes homog´eneos la reducen a: dr cos(θ)N (cos(θ), sin(θ)) − sin(θ)M (cos(θ), sin(θ)) + dθ = 0 r cos(θ)M (cos(θ), sin(θ)) + sin(θ)N (cos(θ), sin(θ)) Cualquiera de las sustituciones indicadas puede usarse para toda ed con coeficientes homog´eneos, pero podr´ıa suceder que despu´es de usar una sustituci´on, nos podamos encontrar con integrales dif´ıciles o quiz´as complejas de evaluar; alternar sustituciones puede dar como resultado un problema f´acil. David Z´ uniga (UNAH)

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Sugerencias

Observaciones Finales

Sugerencias Ecuaciones diferenciales exactas Profundice la tem´atica y familiar´ıcese con el proceso de soluci´on buscando mas ejemplos en los libros de Ecuaciones Diferenciales y resolviendo mas ejercicios, a parte aprenda a diferenciar una ED exacta de una ED Inexacta. Ecuaciones diferenciales inexacta Profundice la tem´atica y familiar´ıcese con el proceso de calcular el factor integrante apropiado, recuerde que el factor integrante reduce la ed inexacta en exacta, cuyo proceso de soluci´ on ya esta familiarizado. Ecuaciones diferenciales lineales Profundice la tem´atica y familiar´ıcese con el proceso de soluci´on buscando mas ejemplos en los libros de Ecuaciones Diferenciales y resolviendo mas ejercicios, a parte recuerde que debe llevar la ed de su forma general a la forma est´ andar, para poder utilizar el resultado de David Z´ uniga (UNAH)

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Sugerencias

Observaciones Finales

Sugerencias Ecuaciones diferenciales lineales Profundice la tem´atica y familiar´ıcese con el proceso de soluci´on buscando mas ejemplos en los libros de Ecuaciones Diferenciales y resolviendo mas ejercicios, a parte recuerde que debe llevar la ed de su forma general a la forma est´ andar, para poder utilizar el resultado de la soluci´on directa. Ecuaciones diferenciales con coeficiente homog´eneos Profundice la tem´atica y familiar´ıcese con el proceso de soluci´on buscando mas ejemplos en los libros de Ecuaciones Diferenciales y resolviendo mas ejercicios, recuerde no memorice la expresi´on a la cual se reduce la ed luego de aplicar el cambio de variable y si las integrales que surgen con un cambio de variable son complicadas intente con la otra sustituci´on. David Z´ uniga (UNAH)

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Sugerencias

Observaciones Finales

Referencias Zill, D. G., & Wright, W. S. (2015) Octava Edici´ on Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera, CENGAGE. Zill, D., & Cullen, M. (2008) Tercera Edici´ on Ecuaciones Diferenciales,Mac Graw Hill. Rainville, E., Bedient, P., & Bedient, R. (1998) Octava Edici´ on Ecuaciones Diferenciales,Prentice Hall. Boyce, W., & Diprima, R. (1984) Tercera Edici´ on Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa. Campbell, S., & Haberman, R. (1998) Segunda Edici´ on Introducci´ on a las Ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera, Mc Graw Hill. Penney, D., & Edwars, H. (2001). Cuarta Edici´ on Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, PEARSON. David Z´ uniga (UNAH)

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“Hay una fuerza motriz m´as poderosa que el vapor, la electricidad y la energ´ıa at´omica: la voluntad.” Albert Einstein

“El triunfo no est´a en vencer siempre, sino en nunca desanimarse” Napole´on Bonaparte

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