Mica enciclopedie matematica [PDF]

Zitiervorschau

. m1ca

enciclopedie matematica

editura tehnica

mica enciclopedie matematica

•

-

m1ca enciclopedie matematica Traducere de VIORICA POSTELNICU

şi

(după

SILVIA COATU

lucrarea in limba germană .,KLEINE ENZYKLOPĂDIE DER MATHEMATIK" , apărută în a şasea ediţie în anul 1971, cu completările din ediţia in limba engleză .,MATHEMATICS AT A GLANCE", apărută în anul 1975)

\

Editura

tehnică- Bucureşti

KLEINE ENZYKLOPĂDIE DER MAT'HEMATIK MATHEMATICS AT A GLANCE

©

1971, 1975 by VEB Bibliographisches Institut Leipzig (DDR)

Editori: W. GELLERT, Dr. H. KOSTNER, Dr. M. HELLWICH, H. KĂSTNER Recenzenţi:

Profesor K. A. HIRSCH, Profesor H. REICHARDT

lucrării

Autorii

"Kleine Enzyklopadie der Mathematik" sînt:

Dr. K.H . BACHMANN G. BERTHOLD Prof. O. BEYER Prof. L. BITTNER Prof. Dr. H . BOCK Prof. H. BOSECK Dr. H . G. BOTHE Dr. G. CZICHOWSKI J. DĂHNN Prof. Dr. W . DDCK Dr. C. FRISCHMUTH Dr. D. G6HDE W. G6HLER

Prof . L. G6RKE Dr. H. G6TZKE Dr. W . HEINRICH Dr. M. HELL WICH Dr. H. HERRE Prof . M. HERRMANN H. JUNGE H. KĂSTNER G. LISSKE Dr. G. LORENZ Dr. G. MAESS Dr. W. D. M"OLLER Dr. F. NEIGENFIND

Prof. F. NOZICKA Dr. E . SCHR6DER Dr.S. OBERLÂNDER Dr. L. STAMMLER Prof. M. PESCHEL A. STEGER Prof. Dr . J. PIEHLER Prof. R. SULANKE D G p PIETZSCH Prof. H. THIELE r. . . Dr. H. THIELE Dr. B. RENSCHUCH Prof. W. TUTSCHKE Dr. W. RICHTER Dr. H . V AHLE Prof. H. J. ROSSBERG Dr. L. WAGNER p f H SACHS Prof. W. W ALSCH ro. . Dr. V. W"ONSCH Prof. H. SALIE Dr. G. WUSSING H. SCHLOSSER Prof. H. WUSSING

Cuprins Prefaţă Prefaţă

la e diţia în limba română la ediţia în limba engle ză Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 7

S

1. Matematici elementare 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Operaţii

fundamentale cu numere raţionale Operaţii de grad superior . . . . Construcţia mulţimilor de numere Ecuaţii algebrice . . . . . . . . . . . . Funcţii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procente, dobînzi şi plăţi eşalonate

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Geometrie plană . . . . . . . . . . . . Geometrie în spaţiu . . . . . . . . . . Geometrie descriptivă . . . . . . . . Trigonometrie................ Trigonometrie plană. . . . . . . . . . Trigonometrie sferică.. . . . . . . . . Geometrie analitică a planului

13 44

Teoria mulţimilor . . . . . . . . . . . . Elemente de logică matematică Grupuri şi corpuri . . . . . . . . . . Algebră liniară . . . . . . . . . . . . . . Şiruri, serii, limite. . . . . . . . . . Calculul diferenţiat . . . . . . . . . . Calculul integral . . . . . . . . . . . . Serii de funcţii . . . . . . . . . . . . . .

Ecuaţii diferenţiale ordinare . . Analiză complexă . . . . . . . . . . . . Geometrie analitică in spaţiu . . Geometrie proiectivă.. . . . . . . . . Geometrie diferenţială, corpuri

628 649 665 688

convexe. Geometrie Teoria probabilităţilor

integrală şi statis-

704

27.

tică matematică

720

Calculul erorilor, metode de compensare şi teoria aproximării Analiza numerică . . . . . . . . . . . . Optimizare matematică . . . . . .

758 787 815

28.

72 87 122

29. 30.

162 171 222 247 267 291 321 346

31. 32. 33. 3-4. 35. 36. 37.

11. Matematici superioare

14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 2 1.

22. 23. 2-4. 25. 26.

396 412 425 4-41 468 499 5-45 597

III. Matematici speciale (sinteză) Teoria numerelor . . . . . . . . . . . . Geometrie algebrică . . . . . . . . . . Alte structuri algebrice . . . . . . Topologie.................... Teoria măsurii . . . . . . . . . . . . . . Teoria grafurilor . . . . . . . . . . . . Teoria potenţialului şi ecuaţii cu derivate parţiale 38. Calculul variaţional . . . . . . . . . . 39. Ecuaţii integrale . . . . . . . . . . . . 40. Analiză funcţională . . . . . . . . . . 41. Fundamentele geometriei. Geometrie euclidiană şi geometrie neeuclidiană

42.

Fundamentele matematicii . . . . Tabele...................... Index de noţiuni . . . . . . . . . . . . Index de matematici eni . . . . . .

833 8-41 841 848 85.5 856 862 869 874 877 885 892 899 915 925 .

Prefaţă

la

ediţia

in limba

română

"Mica enciclopedie matematică" împlineşte un gol în literatura noastră. Ea este utilă atît pentru matematicienii de carieră, cît şi pentru cei care aPl!că matematica în activitatea lor ca inginerii, arhitecţii, fizicienii, economiştii, statisticienii etc. Intr-o măsură mai redusă, aceasta interesează şi pe ceilalţi cititori a căror profesie nu are contingenţă cu matematica, dar care pentru completarea culturii lor generale doresc să cunoască semnificaţia unor termeni matematici, din ce în ce mai frecvent întîlniţi în vorbirea curentă, în urma procesului de matematizare a activităţii umane . Enciclopedia este în general o lucrare lexico-grafică în care sînt expuşi termenii de bază sau noţiunile dintr-una sau mai multe ştiinţe, fie în· ordine alfabetică, fie pe prcbleme sau domenii . "Mica enciclopedie matematică" fac e parte din categoria a doua, conţinînd o expune1·e sistematică a diferitelor domenii ale matematicii clasice. Enciclopedia are trei părţi . Prima parte este consacrată matematicii elementare. Numerele naturale sînt introduse folosind noţiuni elementare de teoria mulţimilor. Se arată în mod intuitiv cum au apărut numerele negative şi numerele raţionale . Apoi este expus modul de caloul cu simboluri de numere. Se recomandă citirea acestui capitol de către învăţători. Este bine să-1 cunoască şi unii părinţi, care au fost surprinşi de faptul că în şcoala noastră copiii învaţă să numere cu ajutorul mulţimilor. Numerele sînt instrumentele cu care oamenii măsoară lumea şi legităţile ei. Orice om, fie el lucrător, contabil sau om de ştiinţă, cunoaşte şi lucrează cu anumite categorii de numere. Progresul ştiinţei şi tehnicii şi necesitatea cunoaşterii realităţii au condus succesiv la introducerea unei mari diversităţi de numere: naturale, întregi, raţionale, reale, complexe etc. În enciclopedie, cititprul găseşte o expunere concisă, accesibilă, suficientă pentru a-l face să aibă o imag~11-e clară despre noţiunea de număr. In partea elementară sînt tratate ecuaţiile de primele patru grade, ecuaţiile exponenţiale şi logaritmice, precum şi sistemele de ecuaţii. Se dedică un număr de pagini şi inecuafiilor. Funcţia reprezintă în matematică o noţiune fundamentală. In.trodusă in ştiinţă de L. Euler încă din secolul al XV II !-lea, în dezvoltarea continuă a matematicii, noţiunea de funcţie a căpătat un conţinut din ce în ce mai general şi mai abstract, ajungîndu-se la definiţia de astăzi bazată pe teoria mulţimilor. ! n enciclopedie sînt studiate funcţiile raţionale, expunîndu-se şi unele teoreme care de obicei ies din cadntl matematicii elementare, ca de exemplu. teorema lui Sturm. De asemenea sînt arătate şi proprietăţile cele mai importante ale funcţiilor neraţionale şi ale funcţiilor cu mai multe variabile. Enciclopedia are meritul că acordă o mare im}ortanţă aplicaţiilor practice ale matematicii . Prima dintre ele se referă la calculul procentelor. In viaţa de toate zilele se întîlneşte frecvent noţiunea de procent (procentul mortalităţii, p1·ocentul femeilor angajate într-o întreprindere, procentul creşterii economice etc.). Cu ajutorul procentelor se arată modul de calcul al dobînzilor şi al plăţilor eşalonat e , care sînt întîlnite în asigurări . Capitolul intitulat "Geometrie plană" conţine geometria elementară a planului, născută din necesităţi practice, fapt pentru care, în versiunea germană, autorii au folosit şi termenul de "planimetrie", care pe greceşte înseamnă măsurarea pămîntului. La fel, capitolul "Geometrie în spaţiu" conţine geometria clasică a spaţiului tridimensional, tratînd eubul, prisma, cilindrul, piramida, sfera, poliedrele etc. Cea dintîi aplicaţie a geometriei, expusă în enciclopedie, este geometria descriptivă, care are drept scop descrierea corpurilor din spaţiu şi a poziţiei lor prin desen. Cîmpul de aplicare a geometriei descriptive este imens, deoarece orice proiectare de aparate, maşini, construcţii de clădiri etc. trebuie să se bazeze pe desenarea lor într-un plan. Funcţiile trigonometrice sînt expuse în capitolul intitulat "Trigonometrie". Sînt date aplicaţii in fizică, tehnică, nautică, topometrie. Există şi un capitol de trigonometrie sferică, ramură a matematicii care serveşte ca instrument de bază astronomilor şi navigatorilor. Ca aplicaţii sint date geografia matematică şi astronomia sferică. Geometriei analitice, mare descoperire a secolului al XVII-lea, de care sîttt legate numele lui Rene Descartes şi Pierre Fermat, i se dedică un capitol separat. Partea a doua a enciclopedici "Matematici superioare" începe cu analiza matematică. Se porneşte de la teorema Bolzano-Weierstrass, 11-ecesară pentru studiul şirurilor şi seriilor, a căror expunere urmează. Sînt studiate limita unei funcţii, continuitatea, derivata şi diferenţia/a, derivarea funcţiilor de mai multe variabile, probleme de extrem şi aplicarea calculului diferenţia/ la studiul geometric al curbelor plane, unde se găsesc şi proprietăţile unor curbe clasice, ca cicloidele, epicicloidele, cisoidele, strofoidele etc. Calculul integral cuprinde integrala definită, integrala nedefinită,

6

Prefaţă

metode clasice de integrare şi integrarea funcţiilor cu mai multe variabile. Un alt capjtol este dedica.t seriilor de funcţii, unde cititorul vine în contact cu seriile trigonometrice şi cu analiza armonică. Analiza matematică se termină cu studiul ecuaţiilor diferenţiale. Introducerea calculului vectorial permite expunerea analizei vectoriale, a geometriei analitice in spaţiu şi a geometriei diferenţiale. Autorii enciclopediei au introdus un capitol numit ,.Calculul erorilor, metode de co"!_pensare şi teoria aproximării", cuprinzînd metode grafice de calcul, calculul cu diferenţe etc. In acest capitol sînt expuse teoria clasică a erorilor şi interpolările. Capitolul despre teoria probabilităţilor şi statistică matematică se reduce la cîteva definiţii, legea numerelor mari şi inegalitatea lui Cebîşev pentru probabilităţi şi la culege'Yi de date, corelaţie ţi regresie, verificarea ipotezelor statistice. O atenţie deosebită este dată, după cum este şi natural, calculului nume'Yic . In lumea contemporană există oîteva mii de limbi, care diferă între ele şi prin modul de scriere, dar există un singu1' fel de a calcula, care stă la baza limbii universale a matematicii, aceeaşi pentru toate popoarele . Perfecţiona'Yea acestui calcul în direcţia rapidităţii executării lui, a cuprinderii unor numere din ce în ce mai mari şi a unor operaţii din ce în ce mai complicate, a preocupat întotdeauna pe matematicieni . Se ştie că încă Blaise PascaJ (1623-1662) şi Wilhelm Leibniz (1646-1716) , doi oameni de ştiinţă care au dat un impuls teoretic matematicii, au fost şi invmtatorii unor maşini de calcul. 1n decursul timpului, maşinile de calcul au căpătat o con~inuă perfecţionare, atin gînd în secolul nostru performanţe uluitoare prin calculatoarele electronice. In enciclopedie cititorul găserte o expunere clară asupra mijloacelor moderne de calcul, asupra programării şi limbajelor algoritmice. O aplicaţie interesantă a matematicii este fi în domeniul economiei. Rolul matematicii în operaţiile financiare a fost cunoscut de multă vreme, dar el a fost limitat la calcule de dobînzi, împrumuturi, amortizări de sume şi la asig;trări, lăsînd la o parte operaţiile matematice care stau la baza întocmirii bilanţurilor şi bugetelor . I ntîrzierea folosirii matematici/ar superioare în economie se explică prin lipsa unor mijloace rapide de calcul, care să permită utilizarea rezultatelor numerice la timp util, fără întîrzieri dăunătoare. !n ultimele decenii au apărut probleme economice de optim care sînt expuse în enciclopedie şi care încheie primele două părţi ale acesteia. Ultima parte a enciclopediei este dedicată matematicilor moderne. Domeniile matematicii contemporane sînt expuse în foarte scurte rezumate. Faţă de dezvoltarea uriaşă a matematicii moderne, aceste rezumate oferă cititorului doar o privire de ansamblu asupra conţinutului şi problematicii fiecărui domeniu, suficient totuşi pentru a fi de mare utilitate celor care n-au studiat matematica decît în liceu sau în institutele tehnice sau economice, şi doresc să cuncască în linii mari care sînt problemele dezbătute astăzi în matematică. Conţinutul enciclopediei este, după cum se vede, bogat şi din această cauză se adresează unui cerc mare de cititori. Enciclopediile dau în general scurte informaţii asupra unui număr imens de cunoştinţe şi de aceea ele, singure, nu pot oferi un material didactic suficient pentru studierea unei discipline . Consider însă că această lucrare este de cel mai mare folos pentru profesorii de şcoală medie şi de liceu, care se prezintă la definitivat sau la obţinerea de grade în învăţămînt . Ei găsesc în această enciclopedie aproape toate cunoştinţele ce li se cer la aceste examene, expuse metodic, cu referinţe istorice şi cu exemple in.structive. Enciclopedia nu trebuie să lipsească de pe masa de lucru a unui profesor de liceu şi din motive pedagogice. Bogăţia de exemple în care se aplică matematica, expuse magistral în enciclopedie, poate face cursul lui mai interesant şi să demonstreze elevilor importanţa relaţiilor matematicii cu celelalte ramuri ale ştiinţei şi cu tehnica, utilitatea eţ în viata de toate zilele. "Mica enciclopedie matematică" se ocupă în principal cu matematicile clasice, a căror construcţie era definitiv încheiată la sfîrşitul secolului al XIX-lea. Şcoala românească de matematică s-a afirmat odată cu înfiinţarea universităţilor din Iaşi şi Bucureşti în jurul anului 1860. Astfel, realizările mari ale matematicienilor români, în afară de contribuţia lui Spiru Haret în astronomie, aparţin secolului al XX-lea. Cei dintîi oameni de ştiinţă români care au adus contribuţii importante în matematică au fost Gheorghe Ţiţeica, Dimitrie Pompeiu, Traian Lalescu. Ei au creat un centru matematic la Bucureşti, după cum a reuşit să facă şi Al. Myller la Iaşi. Opera lor a fost continuată între cele două războaie mondiale de matematicieni remarcabili ca V. Vâlcovici, S. Stoilov, O. Onicescu, D. Barbilian, O. Mayer, Al. Pantazi, M. Ghermănescu, G. Sudan, G. Vrănceanu, A. Ghica, G. Călugăreanu, N . Ciorănescu, M. Nicolescu, M. Haimcrvici, Gr. Moisil, T. Popoviciu, N. Teodorescu, C. Iacob şi alţii. Dar cea mai· mare dezvoltare a matematicii în ţara noastră are loc după anul1944. Acum apar veritabile şcoli de matematică, în care lucrează numeroşi matematicieni grupaţi pe specialităţi. Există astfel fcoli de algebră, analiză, geometrie, mecanică, teoria probabilităţilor şi statistică matematică, lingvisticd matematică etc. Contribuţiile acestor şcoli sînt semnalate in publicaţii din lumea întreagă, aparţinînd matematicii contemporane. Acad. GH. MIHOC

Prefaţă

la

ediţia

in limba

engleză

Este de la sine înţeles că în prezent ştiinţa şi tehnologia nu pot fi stăpînite fără instrumentul matematicii. Acest instrument se aplică într-o măsură din ce în ce mai mare în multe domenii. Ca o consecinţă, a apărut necesitatea obiectivă a ela borării unor treceri în revistă a rezultatelor matematicii într-o formă neconvenţională, care să facă posibilă acoperirea unor lacune î n cunoştin­ ţele celor interesaţi. Nu se poate considera că o simplă enumerare de teoreme sau o colecţie de formule ar fi potrivite acestui scop, deoarece astfel s-ar pune în evidenţă în special limbajul simbolic al semnelor şi literelor decît fondul ideii matematice, dealtfel singurul lucru care prezintă importanţă în realitate. Scopul lucrării îl constituie prezentarea noţiunilor şi relaţiilor matematice într-un mod cît mai simplu şi mai precis. Ţinînd seama de volumul materialului considerat, este evident că nu s-au redat pur şi simplu detalii din manualele fiecărei ramuri; ceea ce s-a urmărit a fost netezirea accesul·u i la literatura de specialitate pentru cît mai mulţi cititori. Cum din ediţia apărută în limba germană s-au vîndut 700 000 de exemplare, se poate aprecia că acest scop dificil a fost ati1ts de lucrare. Culorile s-au folosit pe scară mare pentru uşurarea înţelegerii. Astfel, definiţiile importante # grupurile de formule sînt date pe fond galben, exemplele pe fond albastru şi teoremele pe fond roşu. Succesiunea calculelor mai complicate este indicată prin săgeţi roşii. De asemenea, în interiorul ilustraţiilor culorile indică ideile principale. Exemplele numeroase ajută la înţelegerea enunţurilor generale. În mod frecvent, calculele numerice au fost date separat, astfel încît o problemă poate fi citită şi fără referiri la calcule, acestea putînd fi privite ca nişte detalii explicitate. Unităţile fizice, care apar în unele exemple, sînt date în sistemul S.I. Exemplele din viaţa curentă sînt dateîn unităţi de măsură curente. Subdivizarea sistematică a materialului, titrarea corespunzătoare şi cuprinsul tabelelor prezentate au ca scop orientarea rapidă şi sigură a cititorului . Indexul detaliat de termeni de specialitate al c4-rţii asigură accesul direct la documentarea în probleme specifice. Mulţumim autorilor diferitelor capitole, în special pentru că au răspuns la rugămintea noastră de a prezenta versiuni uşor accesibile chiar cu riscul de a devia de la terminologia uzuală. În special in partea a treia, mulţi autori au considerat dificil să schiţeze numai elementele de bază in domenii speciale ale matematicii, cu toate că sînt experţi în aceste domenii. Mulţumirile noastre speciale se adresează referenţilor, profesorului K. A. Hirsch, de la Q1teen Mary College- Universitatea din Londra şi profesorului H. Reichardt, secţia de matematicei, a Universităţii Humboldt din Berlin. Ei au lucrat neobosit pmtru îmbunătăţirea cărţii şi a14 contribuit la elaborarea unei lucrări care este o sursă sigu7ă de informare pentru orice cititor şi care va convinge pe oricine că matematica este pur şi simplu o disciplină ce poate fi învăţată.

Editorii

Introducere

Marile succese ale tehnicii, adînc pătrunse în viaţa oamenilor, sub toate formele ei, au contribuit la recunoaşterea rolului fundamental al matematicii. Oricine ştie sau are cel puţin idee că aceste succese, in totalitatea lor, nu s-ar fi putut obţine fără matematică. Din acest motiv, interesul pentru matematică a crescut mereu şi, odată cu acesta, necesitatea de informare asupra acestei ştiinţe. În multe privinţe, matemati~a este o ştiinţă abstractă şi aceasta in special în ceea ce priveşte modul de punere a problemelor. In timp ce un cercetător dintr-un domeniu ca medicina, zoologia, botanica, geografia, geologia sau chiar din lingvistică, istorie şi astronomie, poate să expună unui neiniţiat marea parte a problemelor, rezultatelor, ba chiar şi a metodelor şi principiilor de bază din domeniul său de specialitate, în aşa fel încît neiniţiatul să-şi poată face o idee de ansamblu asupra domeniului respectiv, acest lucru este foarte greu de făcut pentru fizica şi chimia contemporană şi încă şi mai greu pentru matematica contemporană. Nu numai întinderea rez ultatelor a crescut mult, dar problemele sînt aşa de greu de tratat şi atît de adînci, încît nici chiar un matematician nu poate avea d ecît o idee de ansamblu asupra întregii matematici. Astfel, se întîmplă adesea că unii dintre matematicieni, specializaţi în anumite domenii, nu au legături directe cu problemele de care se ocupă ceilalţi . Acestei divizări a matematicii, ca urmare a creării multor domenii speciale, i se opune tendinţa contrarie care constă în alăturarea de domenii diferite, care, uneori, nici nu sînt tangente, creîndu-se astfel o nouă teorie abstractă care dezvăluie legături între direcţiile speciale aparent îndepărtate. Acest proces poate fi privit ca o "abstracţie repetată". În timp ce, pe de o parte, disciplinele de bază , ca de exemplu algebra şi geometria, au apărut ca abstracţii ale experienţei zilnice, pe de altă parte, se poate ajunge prin astfel de abstracţii la o teorie de legătură; de exemplu, din algebră şi geometrie, prin abstractizare în condiţii diferite, se pot obţine mai multe astfel de teorii . Trebuie accentuat că prin "mod de gîndire abstract" nu se ştirbeşte nimic din valoarea modului de gîndire - cuvîntul abstract fiind uneori interpretat ca atare - aceasta însemnînd: a lăsa la o parte tot ceea ce intr-o anumită conexiune şi pentru un anume scop este neesenţial. Se poate menţiona un exemplu foarte simplu: în geometrie nu contează în ce culoare sînt desenate figurile geometrice, pe cînd într-o altă conexiune, într-un desen în care apar figuri geometrice sau ornamente, culorile pot juca un rol însemnat. Din toate acestea rezultă că nu mai este posibil să se dea unui începător o idee generală asupra întregii matematici contemporane. Prin începător se înţelege cel ce are ca pregătire matematică numai ceea ce se predă în şcoală . Chiar licenţiaţii în matematici şi profesorii de matematici pot fi consideraţi începători în anumite domeni i, imposibil de cuprins în patru, cinci ani de studii universitare, in aşa fel incit să devină specialişti în toate domeniile . De aceea, "Mică enciclopedie matematică " nu poate avea pretenţia de a cuprinde cunoştinţe asupra tuturor domeniilor speciale de matematici: cuprinsul acesteia a trebuit să fie limitat destul de mult. Ceea ce aparent pare foarte simplu , adică a se începe cu fundamentele matematicii aşa cum sînt cunoscute astăzi şi, pornind de aici, să se clădească. teoria pînă la un anumit nivel , nu este deloc simplu în realitate. În dezvoltarea istorică, matematica a apărut într-o formă cu totul naivă. A început cu numerele 1, 2, 3 ş.a.m.d. şi cu figurile intuitiv percepute în geometrie: puncte, segmente, drepte, plane în spaţiu , unghiuri, triunghiuri, cercuri şi a evoluat cu ajutorul unor concepte mai complicate, în care domeniul n_umerelor şi cel al figurilor nu s-au dezvoltat separat ci legate prin conceptul de măsurare. In acest mod, trecînd de la probleme simple, intuitive şi evidente, printr-o dezvoltare progresivă, la probleme mai complicate, s-a dezvoltat construcţia matematică la babilonieni şi egipteni, obţinîndu-se rezultate remarcabile ca de exemplu: în astronomie, calculul eclipselor de lună etc. Pe o treaptă complet nouă de dezvoltare a fost ridicată matematica de către grecii antici, care au găsit necesar nu numai să ia cu asalt multe dintre problemele noi, ci şi să descopere ce se face în fond, atunci cînd cineva face matematică. Marele lor succes a fost că datorită lor matematica a devenit o ştiinţă în sensul acceptat în zilele noastre. În primul rînd ei au

1 ntroducere

9

recunoscut că o demonstraţie constă în aceea că prin cele mai simple conexiuni logice, care de multe ori sînt sprijinite de observaţie şi experienţă, o afirmaţie matematică necunoscută este adusă la elemente cunoscute. Pe de altă parte ei au descoperit că o astfel de retrospectivă nu poate continua fără sfîrşit ci numai pînă la cele mai simple proprietăţi de bază ale nnmerelor sau figurilor, care apar din observaţie sau experienţă . În acest mod au alcătuit pentru prima oară un sistem de realităţi (fapte) fundamentale (de exemplu că prin două puncte trece o dreaptă şi numai una) şi au dezvoltat bazele logicii. Aceste două elemente au dus la construirea sistematică, deductivă, pornind de la simplu la complex, a geometriei. Această geometrie, euclidiană, a fost cu excepţia unor mici completări, mult timp, considerată modelul unei ştiinţe. Totuşi, timp de aproape două mii de ani, nu au existat nici pe departe încercări şi străduinţe de a construi algebra şi mai tîrziu analiza, în aceeaşi manieră . Grecii antici considerau proprietăţile de bază ale numerelor naturale ca de la sine înţele e, fiind interesaţi doar în problemele de divizibilitate şi de numere prime. Ei opcrau şi c u fracţii ordinare dar nu au ajuns la ideea de a introduce numer e negative. Legat de triunghiul dreptunghic isoscel, au ajuns la concluzia că fracţiile nu sînt suficiente pentru de eri rea tuturor relaţiilor dintre mărimi. Ei au observat că relaţia dintre ipotenuză şi catetă într-un astfel de triunghi nu poate fi expri mată printr-o fracţie. De aici, nu au tras concluzia, care ni e pare astăzi rezonabilă, d e a extinde în mod corespunzător dom niul fracţiilor în aşa fel încît această relaţie geometrică, şi pe cît posibil toate relaţiile geometrice, să poată fi reprezentate prin numere din domeniul lărgit în acest mod. Ei au procedat invers, au geometrizat algebra. A rezultat din aceasta o teorie echivalentă cu teoria numerelor reale, dar, prin geometrizare, au apărut complicaţii atît de mari, încît s-a oprit dezvoltarea mate maticii. Practica astronomiei şi a navigaţi ei necesita în mod imperio calcule trigonometrice care se puteau face numai cu ajutorul unor tabele ale funcţiilor trigonometrice. Deoarece valorile observate puteau fi măsurate cu o exactitate mărginită, s-a ajuns la a considera suficient ca valorile calculate să fie date nu exact ci aproximativ. Astfel, s-a ajuns la fracţiile zecimale cu un număr finit de zecimale care s-au dovedit mult mai indicate pentru calcul ul practic decî t fracţiil e ordinare. În această privinţă desigur că -a in taiat entimentul că rezultatele obţinut e sînt cu atît m'ai exacte cu cît -au calc ulat mai multe zecimale şi chiar mai mult, că printr-un număr uficient de zecimal e poat obţine orice exactitate dinainte stabili tă . Prin aceasta, s-a pătrun adînc în în ăşi esenţa numerelor reale şi s-a putut vorbi c hiar d spre fracţii zecimale cu un număr infinit d e zecimale. Dacă teoria acestor nume re s-ar fi construit în mod consecvent, s-ar fi putut obţine chiar atunci o teorie co n sistentă a numerelor reale . Se poate vedea c um această interpreta re, e drept sub o altă formă , a apărut chiar la Arhimede, printr-un exemplu interesant şi foarte importan t ca principiu. Arhimede a încercat să calculeze aria unor figuri plane mărginite de dife rite curbe. Odată el a re uşit ca prin celebra sa metodă exhau stivă să calculeze exact aria măr ginită de o porţiune de parabolă şi d e o coardă ; un raport de arii , un număr car e ra hotărîtor , s-a dovedit a fi 1/3. În schimb, Arhimede nu a reuşit să găsească un rezultat asemănător pentru aria ce rcului . Dacă r este raza cercului, atunci aria acestuia este ;:r 2 şi Arhimede trebuia să calc uleze, pentru a rezolva problema, numărul rr. După cum se ştie a tăzi, avînd la dispoziţie numai fracţiil e, el nu putea realiza acest calcul ; a trebuit să se mulţumea că prin a situa numărul 1t între 3 1 / 7 şi 3 10 / 71 . În acest scop el a calculat prin aplicarea repetată a teoremei lui Pitacrora ariile poligoanelor regulate cu 96 laturi înscris şi circumscri cercului . Este clar că Arhimede era conştient de faptul că 1t putea fi cuprins între limite din ce în ce mai strîn e, că putea fi calculat cu o exactitate dinainte dată, dacă numărul laturilor poligoanelor însc ri s şi ci rcu mscris ste suficient de mare. Această posibilitate d e a exp rima cu o exactitate dată un număr prin fracţii co n tituie însăşi esenţa numerelor reale. Această cunoastere intuitivă a esentei numerelor reale s-a co nsolidat din ce în ce în decursul timpului; aşa s-a î~tîmplat de exemplu .' cu mult înainte de fundam e ntarea calculului diferenţia! şi int grai, la alcătuirea tabelelor de logaritmi, la reprezentarea prin coordo nate a punctelor planului şi spaţiului, în geometria diferenţială a lui De cart s şi apoi în măsură şi mai mare prin construcţia calculului diferenţia! şi integral începută d e Leibniz şi ewton, co ntinuată cu e ntuzia m de fraţii Bernoulli , apoi Euler, Fermat, Cauchy, Gauss şi alţii , a tfel încît nimeni nu şi-a dat seama că de fapt ei se ocupă intens de bazele teoriei numerelor reale. Problemele privind crearea teoriei num erelor reale au jucat un rol însemnat în alte două domenii, în geometrie şi în ·algebră. În geometria e uclidiană se realizase deja (după cum s-a mai amintit) un sistem de propoziţii geometrice simple din care puteau fi deduse toate celelalte propoziţii ale geometriei. Aceste propoziţii simple, numite axiome, reprezentau o sinteză a experienţei geometrice de pînă atunci şi erau atît de clare şi evidente încît nici nu se simţea nevoia de a

Introducere

10

excepţie reprezenta totuşi axioma paralelelor. Aceasta afirmă că printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură dreaptă care nu intersectează dreapta dată. Se punea problema dacă această af.irmaţie nu reiese din sistemul de axiome, adică dacă poate fi demonstrată pe baza celorlalte axiome? 2 000 de ani o serie de matematicieni s-au ocupat zadarnic de această problemă, pînă cînd trei matematicieni: Gauss, Lobacevski şi B6lyai au reuşit să arate că axioma paralelelor este independentă de celelalte. Importanţa acestei recunoaşteri devine însă clară numai în relaţie directă cu alte dezvoltări. În algebră, în căutarea unei formule de rezolvare a ecuaţiei de gradul trei s-a ajuns la expresia V-1 aparent lipsită de sens. Dacă însă se procedează în calcule cu V-1 la fel ca şi cu alte rădăcini, de exemplu sau chiar y";, atunci se poate obţine totuşi ceva rezonabil. Aceasta a întărit credinţa despre existenţa acestui simbol pentru care se încetăţenise între timp notaţia i. Au trecut apoi aproape trei sute de ani pînă cînd Gauss a arătat că tot ceea ce s-a făcut pînă atunci poate fi justificat în mod riguros prin considerarea unei extinderi a mulţimii numerelor reale care conţine un număr nou al cărui pătrat este - 1. Dar chiar Gauss era atît de familiarizat cu numerele reale încît credea că poate să le folosească fără rezerve. Numai unele dificultăţi , intimpinate de Cauchy şi alţi matematicieni, legate de clarificarea noţiunii de limită, au prilejuit preocuparea mai serioasă pentru numere reale. S-a recunoscut astfel că toate modurile de fundamentare a acestora se bazează în ultimă instanţă pe fracţii. Acestea pot fi reduse mai departe la numere naturale, problema reduc-indu-se la studiul mulţimii numerelor naturale ale căror proprietăţi se bazează pe un număr restrîns de propoziţii aproape evidente, numite axiomele lui Peano. Prin această reducere la numere naturale s-au pus bazele teoriei numerelor reale şi complexe şi în acelaşi timp, bazele analizei complexe şi reale (adică a calculului diferenţia! şi integral, ecuaţiilor diferenţial e , calculului variaţional, teoriei funcţiilor ş.a.m.d.) şi chiar ale geometriei. Cum geometria analitică se ocupă de reprezentarea noţiunilor de bază ale geometriei, în primul rînd punctele, prin coordonatele lor, şi cum aceste coordonate sînt numere reale, rezultă în ultimă instanţă că şi geometria are la bază teoria numerelor reale. În aceeaşi ordine de idei trebuie remarcată şi o altă descoperire a cărei fundamentare a început aproximativ cu 150 de ani în urmă. S-a observat dţmult că anumite reguli pentru înmulţirea numerelor prezintă o asemănare formală cu unele reguli de adunare a numerelor. Legităţi asemănă­ toare, foarte simple, s-au observat şi la alte operaţii matematice, de exemplu, compunerea miş­ cărilor sau a permutărilor. Mult mai tîrziu însă , s-a ajuns la consecinţa de a deduce din aceste proprietăţi de bază, cu ajutorul unor procese logice, unele propri e tăţi noi mai complexe şi mai adinci. Acest domeniu creat succesiv este ceea ce se numeşte astăzi teoria grupurilor . Şi în acest caz se poate iarăşi observa cum, la fel ca în geometria euclidiană, un sistem de axiome (adică o colecţie de proprietăţi fundamentale) poate duce la dezvoltările cele mai complexe. Părţi însemna.te ale matematicii moderne, în primul rînd algebra, dar în măsură tot mai mare şi analiza şi geometria se tratează astăzi axiomatic. Acest lucru se realizează astfel: fiind dată o colecţie (de regulă numită mulţime) de obiecte matematice (elementele mulţimii) cu un sistem de axiome, adică cu unele propoziţii, care descriu proprietăţile de bază ale acestor obiecte, să se deducă din aceste axiome consecinţele cele mai tari, cele mai complexe, adică să se dezvolte cît mai adînc teoria unei astfel de structuri, obţinîndu-se o privire de ansamblu asupra tuturor posibilităţilor de realizare ale unui astfel de sistem de axiome. Se poate întîmpla ca in realitate să existe numai o astfel de posibilitate, să existe mai multe sau chiar un număr infinit de posibilităţi de realizare, dar tot aşa de bine se poate întîmpla să nu existe nici o posibilitate de realizare . Acest lucru se întîmplă cînd axiomele date sînt contradictorii. Cînd există multe posibilităţi de realizare, se caută mărimi caracteristice prin care diferitele posibilităţi pot fi deosebite, folosind procedee cu un număr finit de paşi. Pentru unele structuri, aceste probleme sînt deja complet rezolvate, pentru altele soluţia este încă departe. Se poate vedea aici foarte clar, cît de strîns legate sînt axiomatica şi logica matematică. Şi mai impetuoasă a devenit în secolul trecut necesitatea unei logici matematice ca instru..: ment de cercetare, în momentul în care în teoria mulţimilor au apărut contradicţii. Teoria mulţi­ milor este cea mai simplă "teorie de structură", deoarece ea se referă la colecţii de obiecte, nesupuse nici unei axiome. Mulţimile pot fi de puncte în plan sau în spaţiu, mulţimi de anumite numere, de exemplu de numere prime, întregi sau pozitive raţionale, sau mulţimi de mişcări, de funcţii, de figuri geometrice dar şi de oameni, de stele, de scaune sau de orice altceva. Cum nu se face nici o ipoteză asupra structurii lor, două astfel de mulţimi ·s int considerate echivalente cînd au acelaşi număr de elemente. Ceea ce se înţelege prin aceasta în cazul mulţimilor finite este cît se poate de clar; a defini însă numărul elementelor unei mulţimi infinite, aşa-zisa putere a mulţimii, a constituit însă o

fi demonstrate. O

V2, V3

11

Introducere problemll foarte grea. "Puterea" unei

mulţimi

are o serie de

proprietăţi

care nu se deduc din

propriet!ţile "numllrului elementelor" unei mulţimi finite. În acest sens exist! ,.la fel de multe"

numere naturale ca şi fracţii, dar nu atîtea fracţii cîte numere reale, iar mulţimea punctelor pe dreaptll are aceeaşi putere ca mulţimea punctelQr din plan. Acestea toate sînt afirmaţii care, deşi aparent absurde, sînt de o exactitate matematică ireproşabil!. Odatâ cu încercările de construire nelimitată a unor mulţimi, au apărut şi contradicţii, de exemplu, noţiunea de "mulţime a tuturor mulţimilor" este ea însăşi o contradicţie. Totuşi nu se poate spune că această contradicţie a declanşat o ,.criză a matematicii", ci a atras atenţia matematicienilor asupra precauţiilor ce trebuie luate atunci cînd se definesc noţiuni. De fapt, aceasta a dus la dezvoltarea sistematică a logicii matematice şi astăzi se ştie precis cum pot fi evitate astfel de contradicţii. S-ar putea crede că acest proces de abstractizare realizat prin axiomatizare, teoria structuri· lor şi logică matematică se îndepărtează tot mai mult de o matematică aplicată eficient. Or, după cum se ştie astăzi, nu este o întîmplare că încă Leibniz, pe lîngă opera sa fecundă, s·a ocupat de probleme fundamentale ale logicii, construind chiar o maşină de calcul. Cu toate acestea, apariţia maşinilor de calcul, fabricate în serie, manuale sau acţionate de motor, nu au prilejuit nici o reflexie de principiu mai importantă. Lucrurile s-au schimbat însă, odată cu apariţia maşinilor electronice de calcul la care viteza de calcul a crescut simţitor. Aceste maşini nu sînt construite în aşa fel încît acestea să poată efectua un număr mai mare sau mai mic de operaţii mai mult sau mai puţin complicate, din care să se poată combina printr-o metodă adecvată soluţia numerică a unei probleme. Dimpotrivă, acestea funcţionează după principiul negru-alb, după cum în fiecare parte componentă trece curent electric sau nu. Cu toate acestea, aceste maşini biruie calcule care altfel nu pot fi practic efectuate şi duc la bun sfîrşit, într-un timp foarte scurt, programe complicate, care altfel ar necesita foarte mult timp. Desigur, durata de rezolvare a unui astfel de calcul depinde de programul alcătuit. Încă înainte de descoperirea calculatoarelor electronice s-a ajuns la concluzia că în scopul programării trebuie observate proprietăţi care joacă un rol şi în logica matematică, care mai tîrziu s-au concretizat în teoria algoritmilor. Cu aceasta s-a dovedit încă o dată valoarea practică a unor cercetări de matematică izvorîte din necesităţi teoretice; teoria algoritmilor constituie un exemplu clasic pentru relaţia st~însă între matematica teoretică şi matematica aplicată , în speţă tehnica de calcul. În aceeaşi ordine de idei, trebuie subliniată deosebirea între rezolvabilitatea principială sau teoretică a unei probleme matematice şi rezolvabilitatea ei practică. De regulă, matematica are ca obiect probleme generale şi nu probleme specifice, particularizate pentru anumite valori, probleme care pot fi particularizate într-o infinitate de probleme specifice. Un exemplu foarte simplu poate fi acesta : să se determine aria triunghiului în raport cu lungimea laturilor sale. Pentru această arie există o formulă generală deşi lungimile laturilor pot lua o infinitate de valori. O astfel de problemă se consideră rezolvată atunci cînd se găseşte o formulă , o reţetă de rezolvare, un alg~ritm cu care poate fi rezolvat fiecare caz similar pentru care se precizează datele. În plus, se mai cere ca soluţia (formula, procedeul) să comporte un număr finit de etape. În acest caz, se consideră problema rezolvată. Se poate întîmpla însă ca, practic, problema să rămînă nerezolvabilă, deoarece numărul etapelor soluţiei, deşi finit, este aşa de mare, încît calculele nu pot fi efectuate. Se mai poate întîmpla, ca pentru valori ale datelor mici şi simple găsirea soluţiei să fie~ simplă întîmplare, pentru alte valori mai mari sau mai complicate acest lucru să fie imposibil. In aceste cazuri se poate încerca (şi aceasta poate duce la noi şi interesante probleme de matematică) găsirea unui alt procedeu mai eficace sau se găseşte o aproximare a soluţiei. În sfîrşit, se va încerca construirea unor maşini de calcul mai rapide cu ajutorul cărora se va putea rezolva un număr mai mare de cazuri. Un salt important în această direcţie l-a constituit descoperirea maşinilor electronice de calcul. Urmarea a fost dezvoltarea unor noi discipline, în special în matematica aplicată, ale căror probleme nu puteau fi rezolvate pînă atunci într-un timp acceptabil. Un exemplu de pro· blemă principial rezolvabilă este jocul de şah; este principial rezolvabilă deoarece pe baza regulilor jocului nu există decît un număr finit de procedee de joc. Pentru jocul de şah, problema dacă "albele" pot cîştiga întotdeauna, nu este încă rezolvată, deşi este finită ; chiar dacă s-ar folosi numai în acest scop toate calculatoarele existente în prezent în lume, tot nu s-ar putea obţine rezultatul. Pentru rezolvarea acestei probleme sînt necesare maşini de calcul incomparabil mai rapide decît cele de care se poate dispune astăzi. Comparînd această succintă schiţă a dezvoltării matematicii de la noţiunile ei de bază: număr, regulă de calcul, figură, măsură, pînă la aspectul ei actual puternic axiomatizat, abundent în structuri abstracte şi cu posibilităţile noi, departe de a fi complet epuizate, ale calculatoarelor, cu conţinutul cărţii: "Mică enciclopedie matematică", se pot observa multe legături directe şi indirecte. Astfel, prima parte ,.Matematici elementare" cuprinde o pondere însemnată a acelei matematici care s-a dezvoltat cu începere din antichitate, continuînd apoi în evul mediu şi mergînd

12

1 ntroducere

pînă. la descoperirţa calculului diferenţia! şi integral, cu singura deosebire că. aritmetica, teoria numerelor şi geometria ou sint expuse concomitent (cum au apă.rut in dezvoltarea lor istorică.) ci succesiv. Se incepe cu numerele naturale şi cu regulile de calcul privind operaţiile fundamentale aşa cum şi le-au imaginat oamenii la început. Imediat însă. se conturează. şi construcţia axiomatică., incepîndu-se cu numerele naturale şi terminîodu-se cu cele complexe. Odată. cu aceste noţiuni fundamentale se foloseşte un mod aparte de scriere, calculul cu litere, pe care grecii antici nu 1-au cunoscut, din care cauză. reprezentă-rile lor erau incomode şi greoaie. Scrierea cu simboluri literale este privită. astă.zi în şcoli ca ceva natural şi de la sine înţeles. Notaţiile sînt aici atît de bine alese şi aşa de uşor de mînuit încît există pericolul efectuă.rii mecanice a calculelor. Această. te .-.1dinţă. trebuie combă.tută. încă din şcoală.. ·În primul rînd vine fondul matematic al ideii, calculele fiind secundare şi nu invers. Gauss scria la 1 septembrie 1850 într-o scrisoare că.tre Schumacher : ... "Este în caract~rul matematicii zilelor noastre ca prin limbajul semnelor şi simbolurilor să. ~ispunem de o manetă prin care cele mai multe argumentări să fie reduse la un anumit mecanism ... De cîte ori se foloseşte maneta mecanic, folosirea ei implică în cele mai multe cazuri anumite ipoteze trecute sub tă.cere; eu pretind ca la orice calcul, la orice folosire de concepte, să. se ţină seama de condiţiile iniţiale, iar toate produsele mecanismului să nu fie considerate niciodată în afara cadrului autorizat de aceste condiţii" ... Multe probleme au ca obiect determinarea unor mărimi căutate din mărimi date. Grecii antici expuneau problema, modul de rezolvare şi soluţia într-o formă de cele mai multe ori greoaie, folosind multe cuvinte; prin calculul simbolic aceste probleme se formulează simplu şi limpede. De multe ori se întîmplă ca probleme care apar total diferite să fie în ceea ce priveşte ecuaţia sau sistemul de ecuaţii care rezultă absolut de aceeaşi formă. Aici apare din nou paralelismul între modul de formulare a problemei specifice şi abstractizare, în care se lasă la o parte sensul mă.rimilor date şi căutate şi se păstrează numai sîmburele matematic. Aici se iau în consideraţie în primul rînd tipuri de ecuaţii şi siste~e de ecuaţii care se întîlnesc mai frecvent şi care pot fi tratate elementar. Caracteristic pentru matematica mod er nă este gîndirea funcţională. Ea constă in considerarea unor relaţii funcţionale, care exprimă modul în care unele mărimi depind de alte mărimi, de exemplu relaţia dintre aria sau unghiurile unui triunghi şi laturile sale. Primul contact cu această gîndire se realizează la studiul· funcţiilor elementare. Geometria elementară se ocupă d e puncte, segmente, unghiuri, drepte, triunghiuri, cercuri, tetraedre ş.a.m.d. în plan şi în spaţiu. Noţiunea de număr joacă un rol important şi în geometrie, datorită necesităţii de a măsura reprezentările geometrice. Desigur, gîndirea pur geometrică nu trebuie însă neglijată, mai ales în rezolvarea unor probleme. Se încearcă rezolvarea problemelor geometrice prin metode pur geometrice, adică prin desen şi construcţie. Modalităţile în care probleme în spaţiu pot fi reprezentate grafic în plan fac obiectul geometriei descriptive. Dimpotrivă, geometria analitică reprezintă un amestec de geometrie şi calcul ; prin noţiunea de coordonată problemele geometrice pot fi transformate în probleme cu numere, în acest fel geometria se îndreaptă către metodele analizei. Începuturile analizei sînt examinate în partea a doua "Matematici superioare". Deoarece noţiunea de limită a fost deja introdusă şi folosită în matematicile elementare, matematicile superioare încep cu o expunere riguroasă a teoriei limitelor. . Se pregătesc astfel bazele teoriei şirurilor de numere şi de funcţii, atît de importante pentru înţelegerea teoriei numerelor şi teoriei funcţiilor şi, pe de altă parte, pentru noţiunea de continuitate a funcţiilor şi în general pentru calculul diferenţia! şi integral a căror însemnătate este fundamentală nu numai pentru toată matematica dar şi pentru aplicaţiile în fizică, tehnică etc. Multe probleme de geometrie şi de fizică se prezintă sub forma unor ecuaţii diferenţiale, adică sub forma unei relaţii dintre o funcţie şi derivatele ei. Ecuaţiile diferenţiale constituie astăzi o disciplină foarte cuprinzătoare care va fi reprezentată aici numai cu părţile ei cele mai simple. O altă disciplină foarte atrăgătoare este geometria diferenţială care este o aplicaţie a calculului diferenţia! şi integral la teoria curbelor în plan şi spaţiu şi a suprafeţelor în spaţiu. După cum s-a mai arătat înainte, soluţia teoretică a unei probleme este încă destul de departe de aplicarea ei corectă într-un caz concret, datorită volumului mare de calcule pe care le implică. Obiectul reprezentărilor grafice şi al metodelor numerice constă în transpunerea soluţiei teoretice într-una nemijlocit aplicabilă, la rezolvarea căreia masinile electronice de calcul au un rol dintre cele mai importante. Teoria probabilităţilor ş1 statistica matematică au de asemenea un rol important în aplicaţii ; de exemplu, în economia matematică şi în cibernetică, din care s-a dezvoltat apoi o teorie matematică a reglării. În ultima parte "Matematici speciale" se încearcă o introducere succintă într-o serie de domenii de cercetare ale matematicii contemporane. Cu bagajul de noţiuni introduse în prima parte este imposibilă o pătrundere mai adîncă în problemele specifice ale acestor domenii , care sînt încă într-o continuă. transformare şi a căror rezolvare completă este încă departe. Cine doreşte o orientare mai aprofundată este sfătuit să se adreseze literaturii de specialitate.

Hans Reichardt

1. Matematici elementare

1. 1.1.

Operaţii

Numere naturale ·N ......... . Numere

1.2.

fundamentale cu numere

şi

cijre . . ........ .. . . cu numere naturale N Teoria elementară a numerelor

13 16 20

Numere întregi Z ........... .

23

Generalităti

23

............... . Operaţii du numere întregi Z .. 1.3.

Numere

raţionale

Generalităţi

Q .. .... . . . .

............. . .. . .

Operaţii

cu jracţ1'i ordinare ... . Fractii zecimale ........... . Oper~ţii cu Jracţii zecimale ... .

27 30 32

1.'!.

Proporţionalitate şi proporţii.

.

34

1.5.

Simboluri generale ale numerelor ....................... .

37

Operaţii

38

13

Operaţii

24 26 26

raţionale

cu sume algebrice .... cu simboluri generale ale numerelor ................. .

Fracţii

42

1.1. Numere naturale N Numere

şi

cifre

Ce reprezintă numerele naturale? Strămoşii noştri au fost puşi în situaţia de a se ocupa de numere datorită a două genuri de activitate, ceea ce a condus la numerele cardinale şi ordinale. Numere cardinale. Omul a trebuit să compare diferite mulţimi de obiecte - de exemplu, pietre, cîini, tovarăşi de vînătoare - pentru a vedea care mulţime conţine mai multe elemente. Acest lucru se face astăzi prin numărare şi prin compararea numerelor astfel obţinute; dar aceasta presupune că se ştie a număra, adică se cunosc deja numerele. Se poate ajunge şi mai simplu la rezultat dacă se constată că oamenii şi caii sînt în acelaşi număr, aşezînd fiecare călăreţ pe cîte un cal. Cu alte cuvinte, se stabileşte o ordonare de perechi.oameni-cai (fig. 1.1.1). Dacă ordonarea este completă, atunci sînt acelaşi număr de oameni şi de cai şi se poate afirma că mulţimile considerate, diferite prin natura elementelor lor, au aceeaşi putere. Dacă însă toţi caii au fost puşi în corespondenţă cu numai o parte a oamenilor, atunci se spune că oamenii sînt în număr mai mare decît caii (fig. 1.1.2}.

1.1.1. Oameni

şi

cai

neordonaţi

1. 1.2. Oameni şi cai ordonaţi. Un om rămîne în plus

Matematici elementare Un alt exemplu este aranjarea unei mese unde farfuriile, în tacîmuri (fig. 1.1.3).

ceştile,

lingurile

ş.a.

sînt ordonate

Numerele cardinale indică mărimea mulţimii, respectiv numărul de elemente ale mulţimii

Numerele ordinale sint numere de ordine primul, al 2-.lea, al 3-lea, ... 1.1.3. Toate

mulţimile

Mulţimi

de

aceeaşi mărime:

care pot fi ordonate complet în acest fel au o calitate

trei comună:

număr de elemente. În acest mod se formează şi astăzi noţiunea de număr cardinal.

acelaşi

au

Această abstractizare nu se poate atinge pe toate treptele de cultură. Există triburi primitive care folosesc diferite expresii verbale pentru acelaşi număr, atunci cînd îl folosesc în legătură cu noţiuni (obiecte) diferite : două femei sînt, deci, ceva diferit de două săgeţi; nu au realizat încă abstractizarea noţiunii de număr.

Numere ordinale. O altă necesitate a fost stabilirea unei ordini în interiorul unei mulţimi. un anume criteriu - vîrstă, vitejia călăreţului - trebuie constatat care va fi la vînătoare primul, al doilea, ... Ceva asemănător se întîmplă şi la numărare. Axioma numărării arată că rezultatul numărării nu depinde de ordinea adoptată. Aşa au luat naştere numerele ordinale (fig. 1.1.4). După

1Numerele naturaleN 1O, 1, 2, 3, ... 1

1. 1.4.

Mulţime

vînători,

de patru

neordonată şi ordonată după

înăl­

ţime

Numerele cardinale şi ordinale s-au dezvoltat într-o legătură permanentă unele cu altele cele două aspecte ale numerelor naturale, la care se adaugă de cele mai multe ori prin convenţie şi numărul zero.

şi formează

Numerale şi simbolul numerelor. Reprezentarea orală şi scrisă a numerelor cardinale şi ordinale se face prin numere şi simboluri (fig. 1.1.5). Reprezentarea numerelor. Cea mai implă reprezentare a numerelor s-a făcut cu ajutorul răboj urilor, pe care s-au notat in special datoriile. De aici şi expresia: am scris pe răboj (fig. 1. 1.6). Şi astăzi, la o numărare lungă se foloseşte o metodă bazată pe linii, aceeaşi pe care Robinson Crusoe a folosit-o la numărarea zilelor. În cazul numerelor foarte mari nu se mai poate obţine repede o privire de ansamblu asupra numărului şi vor trebui grupate din nou grupele existente. Ceva asemănător, se întîmplă în cazul în care va trebui să se aleagă noi numerale şi simboluri pentru noi numere. Este neeconomic să se utilizeze un semn şi un numeral pentru orice nou număr. Pentru numere mari se folosesc mai multe cuvinte şi semne care se combină în diferite

Reprezentarea

,·

numărului

prin cuvi'nf: Simbolul numărului :

nouă

tfttllllsauJXsau9

1.1..5. Trei cifre pentru numeralul nouă

1. 1.6.

~

Răboj uri

Simboluri de bază: Simboluri auxiliare: Exemple :

X 10

c

M

100

1000

V

L

5

50

o

500

MDCCLXVill 1768

1. 1. 7. Cifre romane

Operaţii

fundamentale cu numere

După felul (numărare): sistem

moduri.

raţionale

15

de grupare şi ordonare a semnelor se deosebesc aditiv de numărare şi sistem poziţionat.

două

sisteme de

numeraţie

Sistem de numeraţie aditiv. Cel mai cunoscut exemplu îl reprezintă cifrele romane: zece semne de bază egale se pot scrie cu ajutorul unui semn de bază imediat superior. Se mai întîlnesc şi semne ajutătoare. Despre apariţia acestor cifre romane nu există date precise. Unele dintre ele (de exemplu 1 000 - M) este folosit în această formă din evul mediu. Romanii scriau CIO pentru 1 000. Specific acestui sistem este faptul că foloseşte puţine semne (şapte) (fig. 1.1. 7). Există regula ca semnul pentru numărul mai mare să fie situat în stînga semnului pentru numărul mai mic. Dar această regulă are şi o excepţie datorită dorinţei de a folosi cît mai puţine semne. Nouă poate fi reprezentat VIIII (5 + 4) sau IX (10 - 1) . Dacă o cifră mai mică se află înaintea uneia mai mari, cifra respectivă va fi scăzută şi nu adunată. Nu este permisă aşezarea mai multor semne de bază sau a unor semne ajutătoare în faţa cifrei mai mari: MCMLIX pentru 1959, CML şi nu LM pentru 950. Neajunsurile sistemului adi tiv sînt : numerele sînt în general foarte lungi şi de aceea de necuprins cu privirea; dacă numerele devin mai mari, trebuie înfiinţate noi semne; operaţiile matematice cu aceste semne sînt foarte anevoioase. O paralelă între sistemul de numeraţie aditiv şi cel poziţiona! se poate găsi în poezia lui Christian MoRGENSTERN "Doisprezece - unsprezece". Sistemul poziţionat. Sistemul de num ~raţi e poziţionat folosit astăzi a fost inventat de indieni şi preluat de europeni datorită arabilor. In acest sistem cîte 10 indivizi (unităţi u) formează o nouă grupă (zece, z) şi 10 grupe de cîte 10 formează o sută (s) şi aşa mai departe. Dar pentru fiecare grupă nouă formată nu se va folosi ca la cifre romane un nou semn , ci ele se vor deosebi datorită poziţiei. · În scrierea romană folosită pentru treizeci, XXX, fiecare semn are valoarea şi se ajunge la rezultat prin adunarea valorilor fiecărui semn. În numărul 444, folosit pentru patru sute patruzeci şi patru, fiecare cifră are aceeaşi valoare patru; dar fiecare are altă poziţie şi anume poziţia cea mai la dreapta o au unităţile :

zece

321 reprezintă: 3s + 2z + 1u ; CCCXXI reprezintă: 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1. zece

Deoarece grupele sînt formate din zece elemente, se poate vorbi de sistemul zecimal. reprezintă baza sistemului. \ alorile de poziţie reprezintă puterile lui zece.

Putere

Număr

100 101 102 103

1 10 100 1000

Numeral

Putere

unu zece o sută o mie

106 109 1012 1018

Număr

1000 1 000 1 000 1 000

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Urmează

Numărul

Numeral milion miliard bilion trilion

- adăugînd cîte şase zerouri - cvt!:drilion, cvintilion, sextilion, septilion, octilion, n onilion, decilion. 1015 se numeşte biliard. In .R.S.S., S. U.A . şi Franţa 109 este numit bilion. Se presupune că desemnarea lui zece ca bază are legătură cu numărul degetelor. În unităţi de măsură mai vechi (duzină) se întîlneşte sistemul de numeraţie cu baza doisprezece. Măsurarea timpului ( 1 h = 60 min, L min = 60 s) ca şi împărţirea cercului în 360° sînt bazate pe sistemul sexagesimal. Acest sistem d e numeraţie are trăsături evidente de sistem poziţiona!. La dezvoltarea deplină a unui astfel de sistem a lipsit folosirea unui semn pentru poziţii libere, respectiv zero. Introducerea cifrei zero reprezintă una din marile descoperiri ale indienilor (800 î.e.n.) . Pentru fi ecare sistem de poziţie trebuie folosite atîtea cifre cît este baza d e mare; cu cît baza este mai mare, cu atît avem mai multe cifre, dar lungimea numărului pe care-I scriem va fi mai mică . Sistemul binar. O importanţă deosebită în tehnică o are şi sistemul binar sau dual. Poziţiile reprezintă puterile numărului 2, adică 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... Numerele vor fi foarte lungi dar nu este nevoie decît d e două cifre O şi 1. Se va nota cifra l cu semnul L. 7 = l· 4 + 1· 2 + l· 1 = 1· 2 2 + 1· 2 + 1· 2o = L L L. 9 = 1· 8 + O· 4 + O· 2 + 1· 1 = 1· 23 + O· 2 2 + O· 21 + 1· 2° = LOOL. 22= 1·16 + 0·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 1·2' + 0·23 + 1·22 + 1·21 + 0·2o=LOLLO. Sistemul binar este folosit la calculatoare numerice.

Matematici elementare

16

Ordonarea numerelor naturale N. Orice număr natural dat are un succesor, de exemplu 96 este succesorul lui 95 . Aceasta înseamnă că în şirul numerelor naturale nu există un ultim număr, acest şir fiind infinit. O nu este succesor. Oricare alt număr natural are un predecesor; aceasta înseamnă că şirul numerelor naturale îl are pe O ca primul număr. Pentru oricare două numere naturale n 1 şi n 2 există una din cele trei relaţii: n 1 < n 2 , adică n 1 este mai mic decît n 2 ; ex. 3 < 7; n 1 = n 2 , adică n 1 este egal cu n 2 , . ex. 5 = 5; n 1 > n 2 , adică n 1 este mai mare decît n 2 , ex. 8 > 6. Dacă vrem să arătăm că n 1 este cel mult egal cu n 2 , atunci scriem n 1 ~ n 2 , adică n 1 este mai mic sau egal cu n 2 . Dacă n 1 ~ n 2 , adică n 1 este mai mare sau egal cu n 2 , aceasta reprezintă faptul că n 1 este cel puţin egal cu n 2 ; deci sînt adevărate următoarele două inegalităţi: 4 ~ 19 şi 11 ~ 11. Aceste inegalităţi se bucură de o proprietate numită tranzitivitate; de ex. dacă n 1 < n 1 şi n 2 < n 3 , atunci şi n 1 < n 3 • Relaţiil e de ordine (mai mic şi mai mare) ordonează liniar numerele naturale (fig. 1. 1.8). Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor printr-o mulţime discretă de puncte indică această ordonare. Faptul că n 1 este mai mic decît n 2 apare pe axă în felul următor: n 1 este la stînga lui n 2 •

o

1

2

4

3

5

7

6

8

1.1.8. Axa numerelor. 1.1.9. Reuniunea a Operaţii

două mulţimi

"5 + 3 = 8".

cu numere naturale N

Adunarea şi scăderea. Adunarea este cea mai simplă operaţie matematică cu numere naturale, iar scăderea este operaţia inversă adunării. Acestea sînt operaţii de gradul întîi.

Adunarea. Adunarea oglindeşte reuniunea a două mulţimi. Semnul operaţiei este + (plus). Adunarea poate fi explicată drept o numărare succesivă: 5 + 3 este 5 + 1-+ 6 + 1-+ 7 + 1-+ 8. Cele două numere care se adună se numesc termenii sumei, iar rezultatul suma (fig. 1.1.9). termen al sumei plus termen al sumei 3 + 2

suma 5

Comutativitatea a+ b= b + a

adunării

Cuvîntul sumă se foloseşte cu dublu înţeles: 8 este suma numerelor 5 şi 3, iar expresia 5 + 3 reprezintă o sumă. Adunarea a două numere naturale are solutie în multimea numerelor naturale, adică se poate găsi întotdeauna un al treilea număr nat~ral care e~te suma celorlalte două. Adunarea se bucură de următoarele proprietăţi: Comutativitatea. Suma nu depinde de ordinea termenilor, de exemplu: 5 + 3 = 3 + 5 = 8. Deoarece această lege este adevărată pentru toate numerele naturale, putem scrie pe scurt: a + b = b + a, unde a şi b reprezintă simboluri pentru orice număr natural. Asociativitatea. Pînă acum am discutat numai despre adunarea a doi termeni. Dacă trebuie să adunăm trei termeni, întîi va trebui să adunăm doi dintre ei, apoi la suma lor adunăm pe al treilea termen. Şi aici ordinea nu are nici o influenţă asupra rezultatului. Această lege este valabilă pentru toate numerele naturale. Asociativitatea

(a+b)

+c=

a

adunării

Exemple. 1. 5 + 3 + 4 = (5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12. 2. 5 + 3 + 4 = 5 + (3 + 4) = 5 + 7 = 12.

+ (b+c)

M onotonia. Inegalitatea numerelor naturale rămîne valabilă dacă ex: dacă 3 < 4, atunci şi 3 + 7 < 4 + 7. numerele na turale.

părţile acelaşi număr ; de este valabilă pentru toate

Monotonia

adunării

dacă

a


m;

-

1

· '1{ · '1{ 1

=am-n,

an

dacă

m>n;

"l..Xl..'X/....XJ. 1

'1{ ·

-a"'

·'1-l.·'l-.\.·11 1

115- 3

121

-a"' = an

1 an-m

1,

dacă

m

=

n.

Comparind cu rezultatul obţinut pent ru înmulţirea a două puteri, unde se obţinea drept exponent pentru produs suma exponenţilor, în cazul împărţirii a două puteri se obţine pentru exponentul cîtului diferenţa m - n, satt n - m , sau chiar numărul 1. În plus, deoarece împărţi­ rea reprezintă. inversul înmulţirii t rebuie ca diferenţa m - n a exponenţilor numărătorului şi numitorului să defi nească. , în orice caz, un rezultat, ceea ce rezidă în proprietatea a doua a puterilor. Proprietatea a II-a a puterilor: Împărţirea puterilor care au aceeaşi bază se rezumă la ridicarea bazei la o putere egală cu diferenţa dintre exponenţii numărltorului şi numitorului. Conform principiului continuităţii , elaborat în 1867 de către Hermann HANKEL ( 1839- 1873) valabilitatea regulilor de calcul se va păstra şi pentru o generalizare a noţiunilor . Diferenţa m - 1·t a exponenţilor , afere ntă proprietăţii a II-a a puterilor are sens, în primul rînd, pentru m > n. Conform principiului continu}tăţii aceas tă proprietate trebuie să rămînă valabilă atît pentru m = n, cît şi pent ru m < n. In acest fel apar însă la rezultatul împărţirii expo-

48

Matematici elementare

nenti nuli sau negativi, care dupl definiţia de pînă acum, a", înseamnă v fa.ctori a "egali" nu au nici un sens. Pentru aceasta se extinde noţiunea de putere prin două noi definiţii.

1 Dezvoltarea noţiunii de pute'e

a0 = 1 şi a-n

Cu aceasta, fără excepţie, în am :a" = am-n, deoarece:

concordanţă

1

= -

a"

pentru orice a ~ O

cu rezultatele anterioare, este

valabilă. relaţia

> n, am- n conform definiţiei iniţiale; = n, am-n = ao = 1; pentru m < n conform noii definiţii am-n = a-(ll-m)

1. pentru m 2. pentru m 3.

Exemple. 1.

a 3 : a15

=

2. 25 • { ~

=

a3-5

_!..

a-2 =

rn •

a2 .

(2tt.)O • _5-3

(;

rn

3. 27a4b4 · 56a 2b- 3 • -t2a-2 b3 = = 24 • 34 • 72a4b4 = (2 2 • 32 -/.

=

52-3 •

J3a4 b4 •

an • a-n • r ( - n )

=

5-laOxn

7 · 2 3a 2b-3 · 7 · 3 · 2a-2b3

=

• 7a~b2)2.

energie în kWh ( l k\Vh = 3,6 · 10 13 g cm 2s-2 ) corespunde unui defect de de 2 mg? E = mc 2 (E -energie, m-masa, c- viteza luminii~ 3· 1010 cmfs). Vom obţine

Cîtă.

masă

2. 10-a{J. 10l0)2 kWh = ·2. 9. 10- 3. 1ozo kWh = 5. 10+4kWh. 3,6 . 1013

.3,6 . 1013

Puterea ca exponent negativ este folosită pentru unităţi de măsură, de exemplu: ms- 1 = mfs pent ru vite ză; gc m- 3 = gfcm3 pen t ru densitate e tc. Se folosesc puteri ale lui zece cu exponent negativ pentru a avea o mai bună privire rte ansamblu asupra numerelor foarte mici ca de exemplu e = 1,602 · to-19C sau pentru măs urarea diametrului atomului de hidrogen d = 1,06 · 10-8 cm. Pentru a ne imagina mărim ea diametrului unui atom facem următoarea comparaţie . Raportul dintre diametrul unui atom şi cel al unei mingi de fotbal este acelaşi cu raportul dintre diametrul mingii de fotbal şi a l Pămîntului. Ridicarea la o putere a unei puteri. Pentru a calcula puterea unei puteri (am) 11 ne bazăm pe definiţia puterii şi deci vom a·rca un produs de u factori (am). care fiecare la rîndul lui este constit uit din m factori a. Deci în total avem de înmulţit m · n factori a. Acelaşi lucru se poate afirma şi în ca1.ul cînd numerele m şi 1t sînt neaative. regulă pentru ridicarea la putere: Puterile se ridică la putere ln felul următor: se ridică baza la o putere egală cu produsul exponenţilor.

A III-a

d

Ordinea factorilor se poate schimba, deci putem schimba ,i ordinea exponenţilor. Putem unei puteri în factori a căror ordine nu con tează.: am.n = (am)n = (a11 )~.

~compune exponenţii

Exemple. 1. (2 2) 4

=

(24 ) 2

=

162

=

256.

( _ t)6(3:!a2b3)5

310alObl5

3a2 b)-'

2'3'a8b4

( - 1)'(2 ·

36a2bll

----· 2'

3. Cel mai mare număr pe care-i putem scrie cu ajutorul a trei cifre este 9< 99 l căci 9 + 9 + 9 < 9 · 9 · 9 < 999 < 999 < (93) 9 < 999 < 9( 99 l = 938" 20489 • Pentru a scrie acest număr ne trebuie o hirtie lungă cît distanţa Leipzig-Helsinki, sau se pot tipări 33 cărţi cu cîte 800 pagini, fiecare pagină conţinînd 14 000 cifre. Tabele pentru

pătratul şi

eubul numerelor

Că utarea pătratelor numerelor. În ta.bel:l pătra.telo r numerelor, pe coloana notată cu O se găsesc pătratele numerelor d e la 1,O pînă la. 9,9, conţinute în coloana notată cu x, prima din stînga; de ex. 5,9 2 = 34,81.

Operaţii

de grad superior

Următoarele coloane, notate cu 1, 2, ... , 9, conţin pătratele rotunjite la patru cifre ale tuturor numerelor formate din cîte trei cifre (fig. 2. 1. 1) şi anume, cele care au ultima cifră 1, în coloana notată cu 1, cele care au ultima cifră 2, în coloana notată cu 2 ş.a.m.d. şi deci pătratul numărului .5,93, la intersecţia liniei notată cu 5,9 cu coloana notată cu 3. Rezultă valoarea rotunjită la patru cifre, 5,93 2 = 35, 16, în ti~p ce valoarea exactă este 3.5, 1649. In acelaşi mod se obţin pătratele numerelor 59,3; 593; 0,593 ; 0,0593 ş.a.m.d. , cu aceeaşi precizie, poziţia virgulei trebuind să fie fixată printr-un calcul suplimentar. Dacă baza, al cărei pătrat se caută, are patru cifre, atunci diferenţa d dintre pătratele numerelor a cîte trei cifre care o încadrează va fi împărţită în zece părţi egale (tabelă de interpolare). De ex. pentru 5,936 2 numerele care încadrează baza sînt 5,930 şi 5,940; .5,930 2 = 35, 16; 5,940 2 = 35,28; d =0,12 (sau 12 unităţi ale poziţiei a patra); O, 12 : 10 = 2. l. 1. Tabela care conţine pătratul .5,93 2 = 3.5, 16 = 0,012 (sau 1,2 valoarea unei unităţi dflO); 6 · 0,012 = 0,072 (6 · 1,2 = 7,2) reprezentînd d · z/10 = c unităţi). Corecţia c, care ·trebuie aplicată valorii unei tabele cu patru cifre rezultă prin rotunjire la 0,07 şi se obţine 5,936 2 = 35, 16 + 0,07 = 3.5,23. Avînd în vedere împărţirea în intervale egale a diferenţei d , se spune că se face o interpolare liniară. Pentru aceasta, deoarece curba pătratelor este o parabolă , porţiunea dintre punctele corespunzătoare valorilor .5,93 2 şi 5,94 2 este aproximată cu un segment de dreaptă. Cu cît este mai mică diferenţa dintre numerele succesive ale tabelei , cu atît mai mică va fi eroarea care se face prin această interpolare liniară. Cuburile numerelor se caută în a c elaşi mod în tabele de valori cubice (fig. 2.1.2).

o '

X

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

1.000 1.331 1.728 2.197 2.744

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.030 1.3&8 1.772 2.248 2.803

1.0&1 1.405 1.816 2.300 2.863

1.093 1.443 1.161 2.353 2.124

1.125 1.412 1.107 2.406 2.tll

1.158 1.521 1.853 2.410 3.041

1.1t1 1.561 2.000 .2.515 3.112

1.225 1.602 2.041 2.571 3.177

1.260 1 .643 2.097 2.628 3.242

1.29! 1.68! 2.147 2.686 3.308

2.1.2. Tabela care coneubul 1,.573 = 3,870

ţine

2. 1.3.

Pătrat

dublă .faţă. pătrat

cu aria de a unui alt

dat

Rădăcini

Noţiunea de rădăcină. Încă grecii şi-au pus intrebarea, cit este latura unui pătrat, de arie

dată, de ex. 2m 2 • Este uşor de rezolvat această. problemă, atunci cînd aria x 2 are valori ca 4m2, 9m2, 16m2 ş.a.m.d . , adică atunci cînd este pătratul unui număr întreg; din .xf = 32m2, sau din x~ = (0,.5) 2 m 2 rezultă imediat x 1 = 3m şi x 2 = 0,5m. Însă pentru cazul general, al ariei egale cu un număr pozitiv (real) oarecare, atunci nu s-a găsit nici o soluţie generală ; într-un Dialog Platonian , SocRA TES îi arată lui MENON , printr-o lungă explicaţie geometrică, că diagonala unui pătrat de latură egală cu 1 este la rîndul ei latura unui pătrat de arie egală cu 2 (fig. 2.1.3). Astăzi, conţinutul geometric al dialogului cu Menon a fost

50

Matematici elementare

concent rat în expresia că latura x 3 a unui pătrat de suprafaţă egală cu 2 este x 3 = V2. În aceasta simbolul V2 (se citeşte rădăcina de ordinul doi, sau rădăcina pătrată din 2), ca.re determină pe x 3 trebuie să îndeplinească condiţia ca, înmulţit cu el însuşi, sau, ceea ce este totpna, ridicat la pătrat să dea valoarea 2. În unele cazuri , găsirea lui x 3 prin condiţia de mai sus este uşor d e rezolvat ; de ex. , x, = V9 = 3, x 5 = VO,O 1-44. = O, 12, ceea ce se verifică imediat, dacă se face proba: xJ = 32 = 9, respectiv xg = (0,12) 2 = 0,0144.

În general , prin 1'ădăcina pătrată x = V'; din numărul1'eal nenegativ a, se înţelege numă1'ul nenegativ x, ca1'e înmulţit cu el însuşi dă o valoare egală cu a: x 2 = a. În mod analog, problema delică a matematicienilor greci antici a condus către rădăcina de ot·di nul trei , sau cubică; ei căutau latura unui cub d e volum egal cu dublul volumului cubului cu latura 1. Astăzi această problemă se reduce la forma : latura k a unui cub. de volum egal cu 2 trebuie să fie numărul k = (citeşte rădăcina de ordin ul trei , sau cubică din 2) , a cărui putere a treia trebuie să fie 2 ; k3 = 2. Această condiţie este iarăşi, în unele cazuri, uşor de rezolvat; de ex. pentru k1 = = 2 sau k 2 = \10 , 125 = 0 ,5, deoarece k~ = 23 = 8, respectiv k~ = 0,53 = O, 125. Aşa cum expresiile X = şi x 2 = a, X ~ O, respectiv k = şi Jl3 = a sînt echivalente, trebuie ca şi pentru b ~ O să existe a = şi an = b, a ~ O.

V2

V8

Va

Definiţie. Rădăcina de ordinul n a lui b, b fiind cărui a 1~-a putere are valoarea b;

real nenegativ, a

ra

fb

un an

număr

=

real nenegativ, este

numărul

a

b.

Extragerea rădăcinii (latineşte radi x , rădăcină) este operaţia. inversă ridicării la putere. Nub se numeşte cantitatea de sub radical şi corespunde puterii numărului , a este rădăcina şi corespunde bazei puterii , iar exponentul va fi numit indicele radicalului. Pentru fiecare număr pozitiv întreg n , tn = 1, deci = 1. Tot astfel din inversarea lui O" = O obţinem = O. mărul

Yt

xr

yO

Soluţiile ecuaţiei x = 2 sînt XI = + V2şi Xz = - v'2căci = ( + Vl) 2 = 2 = (- 1) 2 • ( V2 )2 = + 2. Rădăcina = x este unică, soluţiile ecuaţiei x" = b pentru tt par trebuie d eosebite prin semnul dinaintea radicalului. Ecuaţia x3 = - 8 are soluţia x = - 2. Datorită definiţiei radicalului ca fiind un număr pozitiv vom folosi următoarea scriere : x = 8) = Pentru n impar şi b < O, soluţia ecuaţiei xn = b est e x = ~ De multe ori se scrie x = ca. soluţie a ecuaţiei x3 = - 8, bazîndu-ne pe faptul că pentru n impar, radicalul dintr-un număr negativ este egal cu negativul rădăcinii extrase din valoarea absolută a numărului. Concluzia trasă , în glumă, din următoarea egalitate este falsă: ( + 2) 2 = ( -2) 2 • Extrăgînd rădăcina, obţinem + 2 = - 2 - fal s, căci V( + 2):! = V( - 2):.! = v'4 = 2; numai din rezolvarea ecuaţiei x 2 = 4 obţinem x 1 = 2, x 2 = - 2. 2

Definim![; = a .

şi

xi

=

(-

fb

V2 )

2

- V- (-

y

Extragerea pozitive.

rădăcinii şi

ridicarea la putere sînt

operaţii

lfS:

l'=--8

inverse, numai in

mulţimea

numerelor

Calcularea rădăcinilor. În aplicaţiil e practice se întîlnesc numai rădăcini de ordinul 2 sau 3 d e aceea vom trata metodele de calcul cu mare precizie. Calculul numeric. În lucrările lui Michael STIFEL (sec. XVI) întîlnim radicali de ordinul şapte. Astăzi astfel de radicali se calculează cu ajutorul logaritmilor. Vom calcula radicalii de ordinul doi. Un număr compus din două cifre ridicat la pătrat, de exemplu 21 sau 85, va fi un număr de trei sau patru cifre. În general pătratul unui număr de n cifre va fi un numă1' format din 2n -1 sat' 2n ci fre. Deoarece extragerea rădăcinii este operaţia inversă ridicării la putere vom putea stabili următoarele : rddăcina pătrată a tmui număr format din 2n şi 2n-1 cifre va fi un număr format din n cifre.

Exemplu. v:Hi 21 şi 225 85. Astfel se va putea stabili numărul de cifre pe car~-1 va avea rădăcina pătrată dintr-un număr. Împărţim cifrele numărului în grupe de două cifre pornind de la virgulă şi spre stinga şi spre dreapta. Numărul de cifre al rădăcinii dinaintea virgulei va fi egal cu numărul de grupe formate în cantitatea de sub radical înaintea virgulei iar numărul de cifre ale rădăcinii după virgulă va fi egal cu numărul de grupe formate în cantitatea de sub radical după virgulă, de ex. V44j44 j 48, 88 j 89 = 666,67, deci avem trei cifre înaintea virgulei şi două după. va fi un număr format din două cifre, adică de

=

V7

=

V4'4i

Operaţii

de grad superi 1, mai mari decit orice număr real n > l, respectiv pentru expone n ţi v, negativi , mai mici decit orice număr real O ~ n < 1. Există deci un exponent a c u proprietatea că.

2°· 01 ,

- 2 - 1

o 1 2 3

4 5 "6

=

2- 2

= __!..

+

4 3 = 5,

2

p -

1

24

-

1

23

-

1

22

1

-2:!

t+r 21

2:!

23 2-' 25 26

1t

-

-

1

16 l 8 1 4 l 2 1

2 4 8 16 32 64

56

Matematici elementare

b" ~ n


32;

lb 16- ll> 64

=

4-6

3, 1, deci 21·1

+ lb 8 =

lb (-t. 8) = lb 4

=

=

10

=

deci

25

=

32;

1 lb16

1,0069.56; lb 1,071773

=

--1,

= o, 1,

deci

1,071773;

lb 8,574184

lb 43

a

lb 4

deci 2- 4

~ +~

+

=

=

3 lb 4

= _!_

=

lb

4

3. 2

=

6

_!_ = _!_ t6

=

=

-2

l

= lb-; 4

lb 64;

(-4)

=

..

-1 ,

= ll> -.!.. 2

Expresiile date sint valabile pentru orice bază b, ele rezultînd numai din proprietăţile valabile pentru exponenţi. Din seria de puteri .. . , b- 3 • b- 2 , b- 1 , 1, bl, b2 , ba, ... rezultă. în primul rind

logb b = 1, logb 1 = O, logb -

1

l, .. . , logb -

1

bv

b

=

-v,

adică.

utilizează.

logaritmul lui este zero, iar pentru valorile uzuale se Regulile de calcul cu logaritmi sint :

tabela

alăturată..

1. Logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor. Bază

b > 1

Numere cuprinse intre l ... b b ... b2 bv .. bv + l 1

1 ... b

bv-1

Logaritmi cuprinşi

între l 1 ... 2

bl

v ... v+ 1

... -bv -v +

l = logb (n 1

•

n 2)

;

11

=

logb n 1 ;

12 = logb n 2

rezultă.

o ...

o ...

Din

- 1 1 ... -v

=

n1

=

b

11

logb

•

+ 1•,

b 11 = n 1 , b1' adică. l = 11 + 12

n 2,

.!2.. = nt.

logb n 1

-

=

n2

sau

bl

logb n 2

.2. Logaritmul unui raport este egal cu dintre

logaritmu~

~umirătorulul

diferenţa

ti cel al numitorului.

Operaţii

de grad superior

logb ~ ; / 1 nz

=

Din l

57

logb n 1 ;

=

=

12

logb n 2 rezultă

bl = ~ ; nz

b 1•

b11 = n 1 ;

=

n2

sau

Exemplu. log3 -

1 17

= log3 1 -

log3 17 = - log3 17.

8. Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul bazei puterii. .

=

Din l

logb

pr; /1 =

.

logb p rezultă

4. Logaritmul .unei rădăcini este egal cu logaritmul de sub radical, impărţiţ prin exponentul radicalului.

rC: 1 logb\'w = - log" w. r

cantităţii

1

=

Din l l = -

1

,.

logb Ţw ; 11

=

logb w

rezultă bl

=

Ţw ;

b

11

w

sau b

1

=

w"

=

r

b

·Il

, adică

·11.

Exemplu. logb

Y* -

5

~

= -

1 5 2 (logbq5- logb s2) = _1ogb q - _logb s. 3 3 3

Sisteme de logaritmi. Dintre toate sistemele de logaritmi posibile (baza b> 1), în principal se . utilizează doar două : logaritmii naturali şi logaritmii zecimali. Logaritmii naturali se întrebuinţează în mod aproape exclusiv în matematicile superioare. Baza lor, numărul e este definită prin Iim ( 1 n-+ao

+ _!_ )" n

1 e = 2,7182818 ...

J

sau prin seria

infinită

. { e=hm n-. oo

.

1 1+ -1 )" = 1+ - 1 + - 1 + -+ .... n

11

2!

3!

Puterea lui e, cu diferiţ i exponenţi reprezintă funcţia exponenţială, adecvată pentru descrierea t ut uror acelor fenomene, a căror creştere sau descreştere este astfel încît derivata este proporţională cu valoarea funcţiei, de exemplu dezintegrarea radioactivă, sau dezvoltarea

58

Matematici elementare

-

1

10'

= 10 - 3

_1_ 100

unei păduri, or a populaţiei globului. De asemenea, matematicienii din secolele 16 şi 17 au calculat mai întîi logaritmii acestui sistem. Ei vor fi notaţi cu In, în loc de loge; loge x In x (logaritmul natural al lui x). Valorile logaritmilor naturali se obţin din seria mai sus menţionată. Logaritmii zecimali sau obişnuiţi au baza 10 şi sînt cunoscuţi ca logaritmii lui Briggs, de la numele matematicianului englez Henry Briggs ( 1.561 - 1630) . Ei se folosesc aproape exclusiv pentru aplicaţiile practice şi se notează cu lg, în loc de log10 ; log 10 x lg x. Avantajul pţ care-I oferă logaritmii zecimali constă în valorile întregi pe care le iau, deoarece baza lor este aceeaşi cu cea a sistemului de numeraţie (v. tabela ală­ turată). Aceasta înseamnă de asemenea că este necesar să se calculeze logaritmii zecimali numai pentru numerele cuprinse între O şi 10 ; de ex., dacă s-a găsit că lg 2,37 = 0,3747, atunci logaritmii zecimali ai numerelor 23,7; 2 370; 0,237; 0,00237 etc., adică ai oricăror numere exprimabile ca produsul dintre 2,37 şi o putere oarecare a lui 10 se t calcula foarte uşor (v. tabela).

Logaritmul

Numărul

=

-3

= to-2

=

-2

__!... = to- l

-1

10 1 10 100 1000

o 1 2 3

Din lg 2,37

=

0,3747

Numărul

23,7 2370 0,237 0,00237

= =

rezultă

logaritmii:

10·2,37 103·2,37 1 = -·2,37 10 1 = -·2,37 108

Caracteristica logaritmului

Logaritmul

Procedeul de calcul

lg 23,7 = 1,3747 lg 2370 = 3,3747

lg lO + lg 2,37 lg 103 + lg 2,37 1 l g - + lg 2,37

lg 0,237

lO

1 l g - + lg 2,37

1 3

= 0,3747 - 1

lg 0,00237 = 0,3741 - 3

103

- 1 -3

Cifrele 3 747, care s~ calculează efectiv pentru stabilirea logaritmului se denumesc ma•ztisa sa, iar numerele l; 3; O, ... , - 1; O, ... , -3 , caracteristica sa. Această carac teristică este egală cu O, pentru numere cuprinse între l şi 9, egală cu l , pentru numere cuprinse între 10 şi 99, şi în general, pentru numere cu v cifre înaintea virgulei ia ·taloarea v - 1; dacă numărul este însă o fracţie zecimală mai mică decît l , atunci caracteristica logaritmului său zecimal este negativă şi valoarea sa este egală cu numărul de poziţii cu care trebuie deplasată virgula, către dreapta, pînă cînd prima cifră, diferită de zero, apare înaintea acesteia. Pentru logaritmii în bază b este necesar să se calculeze numai mantisele numerelor cuprinse intre 1 şi b; pentru numere cuprinse întreb şi b2, caracteristica este egală cu 1 ş.a.m.d. Avantajul logaritmilor zecimali constă in identitatea dintre baza lor şi baza sistemului de numeraţie , caracteristica calculîndu-se în mod simplu, fără a mai fi necesar să se stabilească puterile lui b. Tr~:cerea de la utz sistem de logaritmi la altul. F aptul că prin dezvoltare în serie se obţin logaritmii naturali, iar in mod practic se folosesc logaritmii zecimali face să fie necesară exprimarea logaritmului în bază bal unui număr n în funcţie de logaritmul său intr-o altă bază, a. Se cunoaşte deci la = toga n şi se caută lb = logb n. În sistemul de logaritmi cu bază a cunoscut se poate determina logaritmul lui b, baza celuilalt sistem, la = loga b. Exprimate sub formă de puteri, aceste trei relaţii devin

Ridicînd a treia

relaţie

la putere lb

rezultă

~egulă

de calcul

loga b • logb n

Operaţii

de grad superior

59

Dacă se consideră calculaţi logaritmii naturali , atunci obţine ln HHg n = ln n. Logaritmii zecimali se obţin

t

stanta - - = M 10 ; aceasta se ln 10

lgn = -

1 -

ln lO

numeşte

modul al sistemului de logaritmi in

lg M 10

Dacă, dimpotrivă,

trebuie să se trebuie ca în regula de calcul lg e

=

-

bază

10.

·lgn

lg e

= 9,6377843

M 10

1 sau lg e In 10 = lg e

treacă

să

rezultă 1

= -In 10

1

-

- - = ln

10

1

1

că

1

lnn = -

·lnn

M 10 = 0,-1342945 ...

Faptul

trebuie să se pună a = e şi b = 10 şi se prin înmulţirea celor naturali cu con-

se

10

=

2,3025851 ...

11110

de la o tabelă de logaritmi zecimali, dat~, la cei naturali , pună a = 10, b = e şi se obţine lg e · ln n = lg n.

imediat,

dacă

se ia n = 10: din ln n = lg n se lg e

obţine

=-= M 10 .

Operaţii inverse. Adunarea şi înmulţirea au fiecare numai cite o operaţie inversă, scă­ derea, respectiv împărţirea; din s 1 + s2 = s rezultă s1 = s - s2 , respectiv s2 = s - s1 ; corespunzător din J1 · J1 = p rezultă fie / 1 = p: / 2 , fie / 2 = p: f 1 • Dacă se urmăreşte însă calculul bazei ,. sau al exponentului q din expresia puterii rq = p, atunci sînt necesare două operaţii distincte; baza se obţine ca o rădăcină r = lf[P, iar exponentul ca un logaritm q = log, p. Prin

înlocuirea transformărilor inverse formale în expresia puterii

rq

= p,

se obţine fie

(9.jp)q = p,

adică definiţja rădăcinii , fie ,.Josr P = p, adică definiţia logaritm ului. Rădăcina ca inversa puterii

este

valabilă

pentru

e xponenţii raţionali

ai acesteia ; pentru q =

-

t s

,

unde t

şi

s sînt numere

·mtregt· Şl· pnme · • 1 dm ' r t/s = p rezu ltă 1me · d'1at r t = P' , r = '\1 t r:;ps • d q 1a · mtre ee, p-. A tunel· ·ms ă. , cm valoarea iraţională IX, rădăcina poate fi exprimată numai ca o putere cu exponent fracţionar: 1

,. = pa.. La

calculul puterii p şi al rădăcinii r, la exponenţi iraţionali IX, logaritmii pot fi de ajutor. Din p = ,.a. se obţine, prin logaritmarea ambilor membri, în baza zece lg p = IX lg r, ~ de unde p = lOa.lgr sau lg r _.!!.t_, r = 10 a. •

=

IX

În afara numerelor care sint ·puteri ale bazei b a sistemului de logaritmi, toţi logaritmii iau t . valori iraţionale. De ex. , dacă lg 2 = - ar h un număr raţional, cut şi s numere întregi şi s prime între ele (s > t), ar trebui ca 101/s = 2 sau tot = 28 şi după reducere, 5e = 2s-t = z, în contradicţie cu regula de descompunere a numărului z îu factori primi. Concluzia se poate generaliza pentru o bază b şi un număr n , unde n poate fi luat între 1 şi b. Contradicţia din relaţia b' = n 8 rezultă în aceea că datorită inegalităţii b > n, b trebuie să aibă cel puţin unul din divizorii lui n. Aplicaţii ale logaritmilor. La descoperirea logaritmilor, matematicianul şi astronomul francez Pierre-Simon de LAPLACE ( 1749- 1827) spunea că descoperirea logaritmilor scurtează durata unor calcule, care altfel ar dura cîteva luni, pînă la cîteva zile şi astfel, se poate spune că dublează viaţa celui care calculează. Importanţa logaritmilor nu se limitează însă numai la uşurarea considerabilă a calculelor. Noţiunea de logaritm este utilizată şi în multe domenii ale matematicilor superioare, ca de ex. în calculul diferenţiat şi integral, în ecuaţii diferenţiale, teoria funcţiilor, teoria cîmpului şi teoria analitică a numerelor.

Matematici elementare

f>O

În termodinamică, entropia S a unui corp, respectiv a unui sistem de corpuri depinde direct de logaritmul natural al probabilităţii termodinamice, W , ·existînd relaţia S = k ·In W, unde~ k este constanta lui Plan.c) O) se formează. intervalele (a~ 1 , aibi). Ele definesc la rindul lor un numă.r real. În acest caz însă., limitele intervalelor nu mai sînt raţionale. Are loc urmă.­ toarea proprietate de completitudine: Teorema de completitudine. Orice şir de intervale (pt. Pi) cu (Pl+t• Pi+l) c (p,, pi) defineşte < Pi pentru·orice i.

In mod unic un numir real p cu proprietatea Pt ~ p

Nu vom demonstra aici această. proprietate. Şirul de intervale {(a~i, aibi}) defineşte deci un n~mă.r real pe care îl vom nota cu a.~. relor

Operaţiile algebrice, raţionale.

aceleaşi proprietă.ţi

care s-au introdus aici, au

Mulţimea numerelor reale reprezintă o ~i răddcinile de orice ordin ale numerelor

extindere a pozitive.

mulţimii

'I'Htmerelor

ca

şi

in cazul nume-

raţionale.

Ea cupritlde

Modul de obţinere a numerelor reale nu a fost aici decît schiţat. Se poate introduce şi în mulţimea intervalelor definite mai sus, o relaţie de echivalenţă. care duce la o împărţire în clase. Istoric. Creator al teoriei numerelor reale poate fi considerat matematicianul grec Eunoxus (408- 3.5.5 î.e.n.). Ideile sale inspirate din geometrie au fost preluate de Karl \\rEIERSTRASS ( 181.5- 1897) şi de Richard DEDEKIND ( 1831 - 1916) şi dezvoltate prin metode aritmetice şi analitice moderne. Lui WEIERSTRASS îi aparţine definiţia numerelor reale printr-un şir descrescă.tor de intervale. DEDEKIND a introdus numerele reale ca tăieturi în domeniul numerelor raţionale iar Georg CANTOR ( 184.5- 1918) le-a construit cu ajutorul şirurilor Cauchy fundamentale. Domeniile obţinute prin aceste metode diferite sînt izomorfe între ele, astfel încît domeniul numerelor reale este unic ca structură..

3.6.

Fracţii

Fracţiile

numere

continue

continue oferă o posibilitate mai decît reprezentarea zecimală.

bună

de aproximare a numerelor reale prin

raţionale

continue de ordinul n. Fie b 0 , b1 , b2 , • •• , b,. numere întregi cu bk > O pentru k > O. de ordinul n cu termenii b1 , b2 , ••• , bn şi cu termenul iniţial b0 , b1 , b2 , ••• , bn] expresia Fracţii

numeşte fracţie continuă.

Se [b 0 ;

bo

+ ----------bz+-----ba

+

+

Exemplu. n = 3; b0 = · 2, b1

+

1

llt -1+

=

=

3; b2

[2; 3, 1, 4]

=

1 ; b3

i3

= -

=

4

.

19

1


O, atunci numlrul de sub radical este negativ şi ecuaţia nu are soluţii în mulţimea numerelor reale; în mulţimea numerelor complexe, însă., ecuaţia admite două. soluţii imaginare de semne opuse şi egale în valoare absolută.. E~emple:

1.

~~~-

4 =O,

X~o~ = ~1.1 =

~eR.

n

± ± 2, s =

Ecuaţie

pur pltraticl

~~

2.

+ 144 = O

V- 1H

soluţii

x1.1

= ±

{-2. +2}.

~1 • 1

= ± 12ieC

Ecuaţie

fţ R S

pur pltraticl

S = 0

= {-12i,

soluţii

+ 12i)

Ecuaţia din exemplul 1 are doul soluţii ~ 1 = +2 şi ~~~ = -2, aceea din exemplul 2 nu are în domeniul numerelor reale nici o soluţie ; însl în domeniul numerelor complexe are două. soluţii imaginare. În ambele exemple, soluţiile se verifică. prin probă.. .

Ruolvarea

ecuaţiei

incomplete

fă.rl

+ p~ =O 1 ~ factor comun ~ = -

3

.5 + 1 5- 1 = - - - + ---

2

~-~· ·i (3

Y3 = -

2

+ 2'1

1;-;;3

= - 3- 2i

(3

1

2

2

cubice devine deosebit de

dificilă

cînd

mărimea

..l

-

trigonometrică.

Cazul ireductibil (casus irreductibilis), rezolvare ţiei

r

p = - 1.5 şi q = - 126.

Aparent, rezolvarea ecua-

de sub semnul radicalului

(2q )2 + (-p3 ).2

negati v ă. Atunci trebuie extrasă rădăcina de ordinul trei dintr-un număr complex. Pc de parte, o ecuaţie cubică admite intotdeauna cel puţin o rădăcină reală. Matematicienii secolelor 15 şi 16 nu au reuşit mult timp să reprezinte această soluţie şi au denumit această situ aţie "caz ireductibil" (ca sus irreductibilis). So luţia a găsit-o prima d a tă F. Vieta în jurul anului 1600, folo sind metode trigonomet ric.e. S-a putut do·1edi că în acest caz, aparent atit de complicat, toate trei s oluţi i sin t reale.

este

altă

Deoarece ecuaţia redusă Mărimea

Această

f

r r

y3

+ py + q =

(

+ (~
O pentru aeN : S

2.x> 3x pentru .xe R: S

y

Inegalităţi

consistente

x O şi y > - 2 sint echivalente relativ laN, nu însă şi relat iv la Z. Transformările care transformă o inegalitate într-una echivalentă se numesc transformări echivalente. Ele au de regulă la bază operaţiile aritmetice fundamentale şi proprietăţile de monotonie a.le func_ţiilor reale.

!vlaten.atici elementare

120 PropoziţU ioegalltiţi sint

privlild transformirUe echivalente ale inegalltiţUor cu variabile. Următoarele echivalente cu E 1 < E 1 • 1. Ei < E ~. unde E 1 şi E1 cit şi E 1 şi E~ sint expresii echivalente. 2. E 1 > E 1 . 3. E 1 ± E 1 E 1 • E 1 şi E 1 /E 3 > E 3 /E 3 daci E 3 este definiti şi negativi In tot 4omeniul de


O) , substituind în inegalitatea dată, verificînd dacă. propoziţia ce rezultă. din inegalitate este adevărată. pentru toţi 1J > O. _

Exemplul 1. 2.5- 3a < 22 - 2a; ae N 2.5 - 3a + 2a - 2.5 < 22-2a + 2a-25 -a < -2 a >2 Exemplul 2. y

+x< y

+ 2a

• ( -1)

Mulţimea soluţiilor conţine

toate numerele naturale mai mari decit 2 (fig. 4. 7.2) .

este S = {(0, O) . (0, 1), (0, 2), (0, 3), {1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0) , (2,1), (3, O)} (fig. 4.7.3)~

Mulţimea soluţiilor

-x

xeN, yeN

4;

< -x

- 2.5

+4

Dacă.

domeniul de variaţie a lui x · şi y este R, atunci coordonatele punctelor care se găsesc în semiplanul de sub dreapta dt'terminată. de ecuaţia y = - x + 4 sînt sol~ţii ale inegalită.ţii .

-2

o

+~

a

mulţimii soluţiilor inecuaţiei

4.7.3. Reprezentarea grafică. a + y < 4 pentru xeN yeN,

mulţimii soluţiilor inecuaţiei şi pentru xeR şi yeR.

4. 7.4. Reprezentarea x 2 - 4 > O; x e R.

grafică.

X

•

'

•

o

•

x

Ecuaţii

121

algebt'ice

E.xemplECl 3. _x2 -

(x - 2) (x

4>

+ 2)

>

o;

.X E

Un produs este pozitiv dacă şi numai ambii factori au acelaşi semn. Se obţin cazuri:

R

O

(fig. 0şi.x + 2>0

>2 .x>2

.X

şi

.X

>

-2

:Mulţimea soluţiilor

E.xemplul 4.

.x

va fi

formată

2

Caz tt l 2 0 Şi X + 2 < 0 x şi X> X+ 2 > 4_x -4 Şi X> 6 > 3x Şi X> X 4 Şi x + 2 < 4(x -1) Şi x + 2 < ix -4 Şi 6 < 3x Şi X şi > 2 Inconsistent S2 = 0.

1 1 1 1 2}

Cazul 2 X -1 < 0 X< 1 X< 1 X< 1 X< 1

~

Mulţimea soluţiilor inegalităţii

date este S = S 1 U S 2 = S 1 numerele reale x din intervalul 1 < x < 2.

şi

1a + 5 1 = a + 5 pentru

Exemplul 6. 1a + 5 1 < 2; a e Z. Din definiţia valorii absolute a + 5 ~ O sau 1 a + 5 1 = - (a + 5) pentru a + 5 ~ O. Se deosebesc două cazuri:

C aztd 1 a+5 O, b > O şi n natural a• + b11 < (a + b) 11 • 6. Inegalitatea lui Bernoulli ( 1 + a)" > 1 + na pentru n > 2 şi a #: O, a > - 1. a +b a +b 7. Daci a ~ O şi b ~ O atunci ab < --sau r ab ~ - -- • ( 2 2 !1 - - - __., al ,+ az + ... + a-,. 8. r a1a1 ••• a,. ..._ pentru n natural a 1 ~ O, •.. , a 11 ~ O.

}2

,;-

n 9. Inegalitatea Cauchy-Schwartz

(t.··~r < sa u (a 1b1

tt.·f). (t. bl)

+ a1b1 + ... + a 11bu) 2

U nele dintre aceste exemplu :

~ (af

+ al + ... + a:)

i negalităţi

exprimă

(bf

pe scurt

+ bi + ... + b:). enunţul

unor cunoscute

propoziţii

ca de

Valoarea absolutd a un ei sume este cel mult egald cu suma valorilor absolute ale termenilcw. Media geometricd a doud 11.umere nen egative n u depd~e~te n iciodatd media lor aritmeticd.

5. 5. 1.

5.2.

Funcţii

Noţiuni de bază . Noţiunea de funcţie

. . .. . . . . . . . . . ............ R eprezentarea funcţiilor . . . . . . . . Ti puri speciale de ftmcţii . . . . . . . . Inversarea funcţiilcw . . . . . . . . . . Polinoame

şi fu ncţii raţionale

123 123 12-4 128 130

Comportarea la i nfinita funcţiitcw raţionale . . . .. . . . . . . .. . ...... . . H7 Descompun erea î n fracţii simple . . 1-49 5. 3.

. . . . 132

. . . . . . . . . . . . . . 152

Funcţii radical ................ Funcţii exponenţiale . . . . . . . . . . . . Funcţii logaritmice ............ Funcţii trigonometrice ~i invef'-

Noţiunea de funcţie raţio1~a lă . . . . Funcţii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . Funcţii de gradul doi . . . . . . . . . . Funcţii de gradul t rei . . . . . . . . . . Funcţii putere ct• exponent pozitiv

132 132 13"1 136 137 Polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Descompunerea în factori a polinoamelor .•.. . . . .. ...... ....... . . 138 Rădăcini . . • • • • . . . . . . • • . . . . . . . . 139 Cmnportarea polinoamelor la inFttit 143 Funcţii putere cu exponent tH~gativ 1-44 F arma gemrală a funcţiilor r,aţionale 146 Rădăcitlile ~i polii fracţiilor raţionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-46

Func ţii iraţionale

sele lor Funcţii Funcţii

5.4.

1.52 1.53 1.5-4

. .. . ..... .. . . ... ... .. , 1.5.5 hiperbolice . . . . . . . . . . . . 1.56 hiperbolice inverse. ... .... 157

Fu ncţl.i de ma i

multe variabile independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Definiţia gen erald Funcţii reale de

. . . . . . . . . . . . . . 158 doud variabile independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.59 Funcţii reale de n variabile independente . . . . . . . . . . . . • • . • . . . • . . 16 1

Funcţii

5.1.

123 Noţiuni

Noţiunea

de

de

bază

funcţie

Într-o expunere fă.cut'ă de EuLER în anul 1749 se menţionează de mai multe ori funcţia ca care depinde de altă mărime variabilă. Pentru unele scopuri, o astfel de definiţie a funcţiei este suficientă. În dezvoltarea ulterioară a matematicii s-a impus necesitatea de a se da noţiunii de funcţie un conţinut mai general şi mai abstract. Nu dependenţa variabilelor (prin care de obicei se înţeleg numere care pot fi comparate în ce priveşte mărimea) este esenţială în conţinutul noţiunii de funcţie, ci corespondenţa prin care anumitor obiecte li se ataşează alte obiecte. În felul acesta, noţiunea de funcţie se fundamentează pe noţiuni ale teoriei mulţimilor.

o

mărime variabilă

Corespondenţe.

Orice bară metalică prin încălzire işi modifică lungimea; de exemplu, o de cupru de lungime 10 = 200 cm la temperatura de 0°C, va avea la o temperatură de t°C lungimea 1 = 200(1 0 + 0 ,000016 t). Această for-mulă pune în corespondenţă fiecărei valori a lui t cuprinse între 0°C şi 100°C o anumită valoare l, care se găseşte între 200 cm. şi 200,32 cm. În mod analog fiecărei cantităţi dintr-o anumită marfă îi corespunde o anumită sumă de bani, preţul de vînzare, fiecărui număr de pagină din prezenta carte i se poate pune în corespondenţă un număr care reprezintă cîte litere se găsesc pe respectiva pagină ş.a.m.d. În felul acesta, pot fi puse în corespondenţă nu numai mulţimi de numere ci mulţimi generale astfel încît elementelor a din mulţimea A le corespund elemente b din mulţimea B . La un teatru fiecărui loc din sală îi corespunde un bilet de intrare sau un anume spectator.

bară

Astfel corespondenţa este determinată de o relaţie definită pe A U B (vezi cap. 14) cu domeniul de definiţie D{F) s;A şi domeniul valorilor R(F) s; B. Daţă prin această relaţie fiecărui element a din domeniul

F

D(F) îi corespunde un element b din domeniul de unul, atunci relaţia se zice de o funcţie sau aplicaţie a B (fig. 5.1. 1). Elementul b din domeniul valorilor care corespund unui element original a din domeniul de definiţie -se numeşte imagine a lui a. În consecinţă, funcţia F este o mulţime de perechi ordonate (a, b), unde primul element aparţine · domeniului de definiţie D(F) iar al doilea element 5. L l. Graficul unei funcţii domeniului valorilor R(F). Pentru o aplicaţie a lui A în B, D(F) =A, adică orice element aeA apare ca element original, şi pentru o aplicaţie a lui A in B, în plu.;, ori.ce element be B apare ca imagine. Elementul y care corespunde elementului x prin funcţia f se notează în general prin f(x) şi corespondenţa se scrie în acest caz x - y = f(x) , sau pe scurt y = f(x). Elementul x se numeşte argument şi element ul y valoarea funcţiei f(x) în punctul x . De fapt, notaţia y = f(x) este cea mai frecventă. Este mult mai corect a spune în loc de "y este o funcţie de x" - ,.elementului x îi corespunde p rin funcţia f element ul y". Acest lucru apare mai clar cînd se scrie x - y = f(x). Domeniul de definiţie (sau pe scurt domeniul) funcţiei x - y = f(x) se notează cu X iar domeniul valorilor (codome niul) cu Y . Dacă f este o funcţie din A în B, atunci, evident X s; A şi Y s; B. definiţie R(F) şi numai univalentă şi este vorba mulţimii A în mulţimea

O funcţie f este o aplicaţie a mulţimii A in mulţimea B, adică o mulţime nevic;li de perechi ordonate ( x, y) e f cu x e X s; A, y e Y s; B şi cu proprietatea ci oricirui x e X ii corespunde exact un yeY.

Matematici elemeutare

124

Reprezentarea

funcţiilor

Pentru a descrie o funcţie trebuie stabilite domeniul de dintre acestea.

definiţie,

domeniul valorilor

şi

corespondenţa

Domeniul de defimţie 5 6 7 Graful. O funcţie poate Ii reprezentată grafic printr-un graf in care domeniul de Domeniul valorilor definiţie şi domeniul valorilor sint reprezentate prin desene iar corespondenţa se indică prin săgeţi. Cum funcţia se defineşte ca .5. 1.2. Tabloul de valori ale unei funcţii aplicaţie univocă de la fiecare element al domeniului de definiţie, trebuie să pornească. o singură. săgeată pe cînd la fiecare element al domeniului valorilor pot ajunge mai multe săgeţi.

000

Tabloul de valori. În loc de graf se mai poate folosi pentru reprezentarea unei funcţii un tablou de valori (fig . .5.1.2). Pe rîndul de sus al tabloului se trec elementele domeniului de definiţie iar pe rindul de jos elementele domeniului valorilor. Exprimarea prin text. Se poate întîmpla ca domeniul de definiţie şi domeniul valorilor să fie de aşa natură. încît nu pot fi reprezentate printr-un graf sau printr-o tabelă de valori. În acest caz pentru a defini funcţia este suficientă o descriere exactă a celor două domenii şi specificarea corespondenţei prin care fiecărui element al domeniului de definiţie îi corespunde un element din domeniul valorilor. Această specificare diferă. de la caz la caz. Se poate defini o funcţie fără. nici o simbolizare matematică., expunînd corespondenţa printr-o propoziţie; de exemplu, dacă fiecă.rui joc în cadrul diviziei A la fotbal i se pune în corespondenţă. raportul dintre numărul de bilete de intrare vîndute şi numă.rul locuitorilor din localitatea unde se dispută., s-a definit astfel o funcţie. Această. funcţie poate da o idee asupra interesului publicului pentru un anumit joc. Se mai pot da multe exemple de corespondenţe formulate prin propoziţii.

Exemplul 1. · Fiecărui număr real i se pune în corespondenţă. valoarea O sau l după. cum . 3 x este iraţional sau raţional, de exemplu V2- O, - - 1.

...

Exemplul 2. g(x) mic sau egal cu x.

=

[x], unde x este un

număr

real

şi

[x] este

ce~

mai mare întreg, mai

Diagrama. O funcţie mai poate fi reprezentată printr-o diagramă, considerîndu-se axa oridomeniu de definiţie, axa verticală domeniul valorilor iar punctele de pe curba diagramei pot fi considerate ca definind corespondenţa . Curba trebuie să fie însă. astfel încît fiecărui punct al axei orizontale să-i corespundă. cel mult un punct al curbei. Din acest motiv, nu orice curbă. reprezentată. într-un sistem de coordonate poate fi privită ca reprezentare a unei funcţii. Doar cînd corespondenţa realizată prin curbă. este univocă., se poate vorbi despre o funcţie. zontală.

Noţiunea de formulă. Cea mai frecventă. reprezentare a unei funcţii în matematică. eşte printr-o formulă. În acest caz, elementele domeniului de definiţie şi ale domeniului valorilor nu pot fi decît numere sau "obiecte matematice" pentru care s-au introdus reguli de calcul corespunză.toare, de exemplu

(1) y (2) y

= 7x + 2; = VX - 4;

(3) y = sin x .

Cînd asupra domeniului de definiţie nu s-au fă.cut ipoteze speciale, se consideră. parte din acesta toate numerele reale, cărora prin formula respectivă. li se pune in denţă. o anumită. valoare. În cazurile (1) şi (3) , domeniul de definiţie este alcă.tuit de tuturor numerelor reale, în cazul (2) din toate numerele reale mai mari sau egale cu

ca fAcind corespon-

mulţimea

4. Dome-

Funcţii

12.5

niul valorilor va fi atunci: în cazul ( 1) în cazul (3) - 1 < y < + 1.

oo


O. In ongme, parabola cubică are un punct de inflexiune care este totodată centru de simetrie al curbei. Alte funcţii cubice. Funcţia y = - x 3 are drept grafic, simetrica parabolei cubice faţă de axa Ox. Funcţia y = kx 3 reprezintă o parabolă cubică întinsă (k > 1) sau turtită (O < k < 1). Funcţia y = (x - a) 3 + b reprezintă o parabolă cubică translatată cu centrul de simetrie în punctul Z(a, b). Funcţia cubică generală de gradul trei. y = A x3 + B x 2 + .Y + Cx + D are trei zerouri (rădăcini) dintre care două pot fi în anumite condiţii complexe conjugate. Se poate arăta că atunci cînd această funcţie admite trei zerouri egale , ea admite două puncte de extrem, un maxim (relativ) şi un minim (relativ). Pe exempll:tl următor , se vede diferenţa dintre o parabolă cubică şi o astfel de funcţie.

=

Exemplu. y valori:

-

3x2

-

.x

+

3 (fig. 5.2. 13). Tabloul de X

2

-1

- 0,15

o

+1

2,15

-15

o

+ 3,08

+3

o

-3,08

y

.x 3

Funcţii

putere cu exponent pozitiv

Noţiunea de funcţie putere. O este un număr întreg, este numită este pozitiv, atunci funcţia este o

n

= -

v (v

>

O

Funcţiile y număr

este un

o

funcţie funcţie funcţie

şi întreg) , atunci funcţia

y = xn, unde n putere; dacă n întreagă,

devine y

dacă

1

= --

XV

5.2. 13. Graficul y = x3 - 3x 2 -

funcţiei

x

+

3

şi este o funcţie (fracţie) raţională.

= xn c u n > O sînt pare cînd n este un număr par (n = 2m) şi impare cînd n impar (n = 2m + 1) . Graficele lor trec prin originea si tem ului de coordonate .

Funcţii putere cu exponent intreg par y = x 2m. Graficele acestor funcţii sînt simetrice de axa Oy şi au cur bura p_ozitivă (fig. 5.2. 14). Fiecare dintre ele conţine originea şi punctele Q( - 1, + 1) şi P( + 1, + 1). In vecinătatea virfului inclinarea tangentelor scade cind m creşt e, pe cînd în vecinătatea punctelor P şi Q tangentele sint cu atit mai înclinate c u cît m este mai mare. Pentru orice punct (.x1 , y 1) pe c urba y = x 2 m, se poate găsi un punct (x 2 , y 2) pe curba y = x 2m• (fig. 5.2. 15) (m 2 > m 1 ), astfel încît tangentele in aceste puncte să fie paralele. Aceste curbe se numesc parabole de ordinul 2m. faţă

y

0.9 0.8

0.7

Q6 0.5 0.4

Q3 0.2 0.1 X

0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 QB 0.9

5.2.14. Funcţiile y = .x 2m pentru m=O, 1,2, ... ; y = x 0 nu este definită pentru .x = O.

1

5.2.15. Porţiuni din parabolele de ordinul 2m ca grafice ale funcţiilor y = x 2 m.

138

Matematici eletJJentare

impar y = x 2 m+l. Graficele originea coordonatelor. Sub bisectoarea ît1tîi (y = x) aceste curbe admit .pentru valorile negative ale domeniului de O astfel incit pentru orice x cu proprietatea lx - oc l < e: rezultă g(x) =f: O. Factorul liniar x - :x îşi schimbă însă semnul la trecerea de la x < oc la x > oc. Polinomul j(x) (x - oc)k g(x) îşi schimbă cleei semnul la această trecere, cind k este impar. Pentru k par f(x) îşi păstrează semnul. Comportarea graficnh.ii în vecinătatea unei rădăcini prezintă posibilităţile reprezentate schemat'ic în figură (rădăcini de ordin impar a , b, c, rădăcini de ordin par d, e).

=

Rădăcini şi reprezentare sub formă dt · produs. Orice ca produs de factori ireductibili sub forma

Aici c este un polinom de grad zero,

adică

o

funcţie raţională întreagă

constantă diferită

scrisă

·

de zero, oc, ptJ. şi qtJ. sînt numere

reale. Exponenţii kv şi stJ. sint numere naturale legate prin relaţia n observă imediat căocv

poate fi

l

= L: v= l

kv

+

r

2

L tJ. = l

stJ.. Se

sînt rădăcini ale funcţiei şi că nu mai există alte rădăcini. Pentrp orice valori ale lui x diferite de oc1 , .•• , OCt fiecare factor liniar x- :xv. v = 1, 2, ... , l este diferit de zero. Dacă

Funcţii

141

unul din factorii pătratici x 2 + pll-x + qiJ. ar fi nul pentru x = (X , s-ar contrazice afirmaţia dt factorii p_ătratici sînt ireductibili. t:Jn polinom de gradul doi ireductibil este diferit de zero pentru orice x real, deoarece el admite două rădăcini complexe conjugate . Ca o consecinţă a acestor consideraţii se obţine teorema: Num~rulrădăcinilor reale diferite sau egale între ele ale unui ·polinom este par sau impa.r după cum gradul polinomului este par, respectiv impar. Cî"d tm polinom are gradul impar , atunci el admite cel puţin o rădăcină reală.

Teorema lui Sturm. Cînd se cunoaşte o valoare a lui x apropiată de o rădăcină , se pot găsi prin procedee de aproximare (de exemplu metoda lui Nll:wTON) valori oricit de apropiate de rădă­ cină. Chiar Rene D~scARTES ( 1596 - 1650) , FouRIER şi NEwTON ( 1643 - 17i7) s-au străduit s[t găsească criterii prin care să se poată stabili dacă într-un anumit inten·al al domeniului d e definiţie se găsesc rădăcini ale unui polinom.

R egula semnelor a lui R. Descartes. DESCARTES a considerat semnele coeficit'nţilor polinomu luif(x) = anxn + an_ 1 xn- l + ... + a 1 x + a 0 , adică semnele şirului an . an_ 1 , ..• , a 1, a 0 îu care se presupune că an şi a 0 nu sînt nuli. Ceilalţi coeficienţi nuli nu sint luaţi în consideraţie . Oa.că doi coeficienţi vecini (în şir) au semne diferite , se spune că avem o schimbar e d e semn . DESCARTES a descoperit că numărul rădăcinilor pozitive este egal cu numărul schimbărilor de semn sau cu un număr obţinut din numărul schimbărilor de semn prin scăderea · unui număr par. Numărul rădăcinilor negative se găseşte în acelaşi mod, considerîndu-se schimbările de semn în şirul coeficienţilor polinomului f( - x).

Exemplu. Polinomul f(x) = x 5 - x 4 + 2x 3 + x 2 - 3x + 2 are patru , două sau nici o rădă­ deoarece şirul coeficienţilor 1; - 1; 2 ; 1; - 3 ; 2 are patru schimbări de semn. f(- x) = - .x6 - x' - 2x 3 + x 2 + 3x + 2, se vede că f(x) are o singură rădăcină negativă , deoarece şirul coeficienţilor prezintă o singură schimbare de semn. cină pozitivă,

Numărul exact al rădăcinilor este dat de o teoremă a matematicianului fran cez JacquesCharles-Franr;ois STURM ( 1803 - 1855). Acest rezultat se obţine din reprezentarea snb formă de produs a polinomului

Dacă unii factori ireductibili apar de mai multe ori, este suficient să se considere polinomul O

N=O N O, C >O

elipsă.

A< O, C O

punct

AC< O

două.

drepte concurente curbă. reală.

A> O, C >O

nici o

A< O, C O. Scriem ecuaţia 2 canonică. a elipsei şi vom obţine: (x + 3)' + (y - 2) 1. Cent rul elipsei va fi M(-3; 2). 49 2.5 Semiaxele vor fi a = 7 şi b = .5. axă. principală.

64x1 - 2.5y2 + 2.56.x + 300y-2444 = 0 reprezintă. o hiperbol4. Gru64(x2 + 4x) - 24(y 2 - 12y) = 2244; 64(x 2 + 4x + 4) -2.5{y1 -12y+ + 36) = 2 244 + 2.56 - 900; 64{x + 2) 2 - 2.5(y- 6)2 = 1600 sau (x + 2)' {y - 6)" -= 1. 2.5 6-t Centrul biperbolei va fi M{ - 2; 6) iar semiaxele .5 şi 8.

Exemplul 3. Ecuaţia pă.m şi formă.m pă.trate :

Exemplul 4. Conica 9x1 - 4y1 = O are AC#=O şi N = O. Deoarece AC< O, ecuaţia redou4 drepte care se intersecteazd: 9x1 -4y2 = (3x- 2y){3x + 2y)=O. Din fiecare factor

prezintă.

rezultă ecuaţia

unei drepte: y

= ~ x şi 2

y

= - ~ 2

.x. Dreptele se

intersectează.

în origille.

11. Matematici superioare

14. Teoria H. 1. 1-4.2. 1-4.3. 1"1.4.

Noţiunea Operaţii

Relaţii Aplicaţii

mulţimilor

de mulţime ..... . cu mulţimi ....... . . ........... . .... . . ................ .

396 398 -400 403

1-4 ..5. 14.6.

infinite şi numere cardinale . ................. Mulţimi bine ordonate şi numere ordin ale ............... Mul_ţimi

404 408

Teoria mulţimilor este piatra fundamentală a întregului edificiu al matematicilor moderne. Definiţiile şi toate conceptele matematice se bazează pe teoria mulţimilor. Mai mult chiar, metodele raţionamentului matematic sînt o combinaţie de argumente ale logicii matematice şi teoriei mulţimilor. Pe scurt, limbajul teoriei mulţimilor este comun şi înţeles de matematicienii din lumea întreagă. Rezultă deci că oricine lucrează în domeniul matematicilor şi in aplicaţiile acesteia trebuie să fie familiarizat cu conceptele şi rezultatele de bază ale teoriei mulţimilor şi cu limbajul în care acestea sînt exprimate. Aparent, definiţia mulţimii care se va da mai jos pare foarte apropiată de noţiunea intui-

tivă, naivă, de mulţime. În felul acesta se ridică mari greutăţi ce pot fi înlăturate prin dez-

voltarea axiomatică a teoriei mulţimilor. Cînd Georg CANTOR ( 184.5- 1918), fondatorul teoriei mulţimilor , şi-a publicat concepţiile şi argumentele atît de noi şi îndrăzneţe, ele au fost recunoscute numai de un număr mic de matematicieni. Ulterior însă această teorie, sub o formă mai dezvoltată , a pătruns în aproape toate ramurile matematicii, avind o influenţă hotărîtoare pentru dezvoltarea acestora şi modificînd chiar aspectul unor teorii deja constituite. Desigur, dezvoltarea unor discipline, ca de exemplu topologia, depinde în mod esenţial de mijloacele teoriei mulţimilor. Mai mult chiar, teoria mulţimilor reprezintă o forţă unificatoare dînd tuturor ramurilor matematicii o bază comună, iar conceptelor o claritate şi o precizie nouă. Următoarele paragrafe prezintă acele părţi ale teoriei mulţimilor c:are au aplicaţii deosebtt de importante în dezvoltarea diverselor ramuri ale matematicii.

14.1.

Noţiunea

de

mulţime

În vorbirea curentă termenul "mulţime" desemnează, de regulă, o colec.ţie de obiecte care sînt legate într-un anumit sens sau sint asemănătoare. Este greu de precizat acest ultim aspect care este omis din formularea conceptului matematic.

Definiţia mulţimilor dată de Cantor: o mulţime este rezultatul cuprinderii intr-un singur tot a unor obiecte determinate ale perceperii sau gîndirii noastre · aceste obiecte se numesc elemente ale mulţimii.

~

.

Pentru a compensa lipsa de precizie a acestei definiţii care sub această formă provoacă contradicţii (vezi exemplul .5) este suficient să se introducă citeva definiţii şi concepte importante.

Teor.ia

mulţimilor

397

Dacă. un obiect a este un element al mulţimii S, se scrie aeS (se citeşte "a aparţine lui S" sau .. s conţine pe a") ; se scrie a' S daci. a nu este un element al lui S. Daci. S este mulţimea elementelor a, b, c, ... , se scrie S = {a, b, c, ... };de exemplu {1, 2, ... } este mulţimea numerelor naturale pozitive. Dacă. S conţine numai un element a, se scrie S = {a}. Daci. S conţine doul elemente distincte a şi b, atunci S se numeşte pereche neordonată. şi se scrie S = {a, b}.

O submulţime T a mulţimii S este orice mulţime ale clrei elemente aparţin toate lui S; acest lucru se scrie T s; S. Submulţimile T ale lui S care sînt distincte de S se numesc submulţimi proprii ale lui S; în acest caz se scrie T c S. Mulţimea vidă este o mulţime fără elemente. Introducerea acestei mulţimi s-a dovedit w•, ••• }. Toate aceste numere aparţin celei de-a doua clase deoarece orice supremum al unei mulţimi numă.rabile de numere de clasa a doua aparţine aceleiaşi clase. Primul numă.r din clasa a doua care nu poate fi exprimat ca o sumă de puteri de (1) este

Acesta este cel mai mic e-număr. El satisface ecuaţia c.> 1 = e. Continuînd procesul în mod analog, se ajunge la numerele e, ... , e2 , ••• , tw, ... , e1 , ••• , e , ••• (e cu indice e1 ) ş.a.m.d. N~mere 11

din clasa a doua pot fi construite la infinit dar este imposibil să. se definească o notaţie universală., deoarece se poate arăta că. există. o mulţime nenumărabilă de numere în această clasă. Teorema de bună ordonare. Argumentele precedente nu exclud posibilitatea ca unele clase rransfinite de numere ordinale să fie vide; cu alte cuvinte este încă deschisă problema dacă orice mulţime poate fi bine ordonată cel puţin într-un mod. Acesta este obiectul teoremei de bine ordonare. Această teoremă este echivalentă cu axioma alegerii. Prima demonstraţie riguroasi.'.. (folosind axioma alegerii) a fost dată de Ernst ZERM;ELO ( 1871 - 19.53) în 1904 într-o scrisoare către HILBERT. Ea a pornit controversa asupra admisibilităţii axiomei alegerii care încă. nu este rezolvată.

Teorema de

bună

ordonare. Pe orice

mulţime

S

există

o

relaţie

prin care S este bine

ordonată.

CANTOR a considerat această teoremă ca un princtpm de gîndire şi a făcut-o plauzibilă în următor. Se ia un element a 0 al lui S, apoi un al dt>ilea ş.a.m.d. Dacă S este infinită., se obţine un şir a0 , a 1, ••• Astfel S este epuizat sau nu ; dacă nu se epuizează, procesul se repetr\ atît cît este necesar pentru epuizarea mulţimii. Dacă S se ordonează prin intermediul şirului de elemente alese, atunci orice submulţime are un cel mai mic element şi anume cel ales mai întîi. La nivelul standardului de rigurozitate al matematicii actuale, acest raţionament poate fi privit ca o primă aproximare euristică. Demonstraţiile riguroase sînt lungi şi mult prea complicate spre a fi incluse aici.

felul

Buna ordonare a cardinalelor. Prin teorema de bună ordonare nici un cardinal m transfinit nu are o clasă. vidă. de ordinale Zm· Teorema de bună. ordonare poate fi folosită. pentru a arăta că orice două. cardinale sînt comparabile, adică. pentru orice mulţimi S şi T există. o aplicaţie injectivă. de la S la T sau de la T la S. Acest lucru nu este suprinză.tor, deoarece datorită. lemei lui Zorn , axioma alegerii şi teorema de bună. ordonare sînt echivalente. Bine ordonînd S şi T, afirmaţia se reduce la comparabilitatea ordnalelor. În plus, se poate ară.ta că orice mulţime nevidă de numere cardinale K are un cel mai mic element, deoarece mulţimea numerelor cardinale este similară. cu mulţimea ordinalelor iniţiale ale claselor lor (de , pt, numerele cardinale sînt deseori identificate cu aceste numere iniţiale). Din această. identificare rezultă că pentru orice mulţime de numere cardinale există. un număr cardinal mai mare decît orice element al mulţimii. În felul acesta, numerele cardinale pot fi indexate prin numere ordinale în felul următor :

r0 ICcx+l acJ..

Se

= cel mai mic numă.r cardinal infinit; = cel mai mic numă.r cardinal mai mare decît = sup {M~ 1 ; < :A} pentru numere ordinale

obţine

astfel celebrul

Deoarece 2"•

şir

Mcx; limit~

A.

de numere cardinale al lui Cantor M0 , M1 ,

... ,

"w' ...

> M, problema ipotezei continuumului, se reduce la problema locului unde apare

M numă.rul cardinal al continuumului, în acest şir. Ipoteza continuumului a lui" Cantor este

1'"•=1C1 . Aşa-numita ipoteză. generalizată. a continuumului este 2~'•

=

Met+l·

Matematici superioare

412

15. Elemente de 15. 1. 15.2.

Logica propoziţiilor Logica predicatelor

logică matematică . . . . . . . . 412 .......... 414

15.3 . 15.4.

_

Teorii formalizate ............ 420 Algoritmi şi funcţii recursive .. 421

Logica matematică. are ca obiect investigarea gîndirii f ormale ţi a inferenţei prin metodele matematice caracteristice, de exemplu ale algebrei şi teoriei algoritmilor. Dar acest scop, care îşi are originea în filozofie , nu este unicul scop al logicii matematice; astăzi logica matematică. conţine o multitudine de probleme şi aplicaţii în cele mai diverse domenii ca ştiinţele naturii, algebra circuitelor, teoria sistemelor, lingvistică cit şi in unele ramuri ale ştiinţelor sociale ca filozofia, dreptul şi etica. Un impuls decisiv pentru dezvoltarea logicii matematice 1-a cunoscut situaţia creată în matematică la sfirsitul secolului al 19-lea. Pînă atunci , matematica a acumulat o mare cantitate de rezultate şi ~ atins un înalt nivel de abstractizare fără ca să. atingă în~ă o claritate co're~­ punzătoare în ceea ce priveşte conţinutul conceptelor fundamentale , ca de exemplu noţiunile de mulţime sau de~ inferenţă logică (vezi cap. 42) care erau folosite într-o manieră mai degrabă intuitivă. In afară de necesitatea unei fundamentări a conceptului de mulţime, pentru prima dată s-a impus necesitatea aprofundării sensului logicii şi a deducţiei logice.

15.1. Logica

propoziţiilor

Pr.incîpiile logicii propoziţiilor clasice. Se •numesc propoziţii anumite formaţii lingvistice care servesc la descrierea sau comunicarea faptelor. Logica propoziţiilor clasică porneşte de la două principii. Potrivit pri·ncipiului celcr două valori, orice propoziţie este ori adevărată. ori falsă. Conceptul de adevăr folosit aici este datorat lui Aristotel, care consideră o propoziţie adevărată dacă afirmaţia exprimată prin ea corespunde unui fapt. Principiul celor două valori înseamnă în realitate două principii : 1. principiul terţului exclus conform căruia orice propoziţie este adevărată sau falsă şi 2. principiul ncn-contradicţiei, în conformitate cu câre o propoziţie nu poate fi in acelaşi timp adevărată şi falsă. De aceea clasa tuturor propoziţiilor .... se descompune în două. clase disjuncte care se notează cu simbolurile J (adevărat) şi O (fals) şi se n urnesc valori de adevăr. Cu ajutprul cuvintelor .,nu" "şi" .,sau" etc. propoziţiile date se pot combina în propoziţii mai complicate. In conformitate cu al doilea principiu fundamental, principiul extensionalităţii, valoarea de adevăr a unei propoziţii compus~ este determinată exclusiv de valorile de adevăr ale componentelor şi nu depinde de sensul lor. In consecinţă ·astfel de combinaţii pot fi privite ca funcţii care atribuie valori de adevăr n-uplurilor de valori de adevăr. Conjuncţiile cel mai frecvent folosit e în logica propoziţiilor corespund funcţiilor de adevăr. Funcţia non - negaţia - core punde la ,.nu", et- conjuncţia- la .,şi", vei- dijuncţia - la ,.sau", eq - implicaţia- la ,,dacă ... atunci" şi aeq - echivalenţa - la .,dacă şi numai dacă" . Simbolurile r spective, numite conective sau functori logici sînt 1 . 1\ , V, -+, ~- Pentru simplificare, printr-un abuz de limbaj şi notaţi e, aceleaşi simboluri se folosesc şi pentru legarea valorilor de adevăr ( 1ezi tabelul de adevăr alăturat). Tabel de

adevăr

Acoperirea variabilelor p şi q Funcţia adevăr

de

non p

Notaţia funcţorială

-P

f \ alorile de adevăr Vf, · rezultate pentru funcţiile de adevăr

vt(IP) =non VJ(P)

pvq

v1 (p 1\ q) = et (v1 (p). v1 (q)) vf(p V q) =vei (vt) (p). vf(q))

seq (p, q)

p-q

vf(p- q) seq (v 1 (p) , v1 (q))

aeq (p, q)

p~q

v1 (p

et (p, q) vel (p, q)

Pl\q

~

p

o

p 1

1

o

q) = aeq (v1 (p).

pq 00

pq 01

pq 10

pq ll

o o

o

o

1

1

1

1

1

1

1

o

o o

1

1

VJ{q))

Aceste definiţii nu se potrivesc exact cu sensul în care aceste vorbirea curentă..

conjuncţii

sînt folosite în

H3

Elemente de logicil matematicil

De exemplu propoziţia urmă.toare este adevă.ratâ: "Dacă. 2 ·2 = 5, atunci luna este lode fiinţe raţionale", deoarece în notaţia functorială. (O- O) - 1.. Obiectul logicii propoziţiilor constă. în analiza matematică. a acest·..1i concept şi este formalizatâ în acest scop în cadrul calculului propoziţiilor. Pentru a dezvolta acest calcul se porneşte de la o colecţie de simboluri fundamentale de tipul urmă.tor: (1) variabile pentru propoziţii: p1 , p 2 , ••• ; p, q, r, s, ... (2) functorii: 1\, V, - . B; ( 3) simboluri tehnice: (,) . Printre mulţimile de şiruri de simboluri, obiectele fundamentale ale calculului propoziţiilor, aşa-numitele expresii capă.tă. o definiţie inductivoă.:

cuită.

:

Definiţia

expresiilor

1

(1) Variabilele p, q, ... sint expresii. (2) Dacă. H şi G sînt expresii, atunci

J H, (H 1\ G), (H V G), (H- G), (H B G) sînt de asemenea expresii. (3) Un şir de simboluri este o expresie dacă. şi numai dacă. se formează. in conformitate cu (1) şi (2). Această. definiţie permite este sau nu o expresie.

Exemplull.

să.

se

decidă.

((p- q) 1\ (r V s))

şi

într-un

((p

B

numă.r

q)·-

finit de

paşi dacă.

un

şir

dat de simboluri

(J q- J p)) sînt expresii.

Pentru a simplifica prezentarea expresiilor se folosesc reguli pentru emiterea· parantezelor: 1) Dacă întreaga expresie este inclusă în paranteze, atunci parantezele se pot omite. 2) În şirul J, 1\ , V , -. B, fiecare functor separă. mai puternic decît functorul precedent, de ex. p 1\ q- r se citeşte ca (p 1\ q)- r. (3) Un functor marcat cu un punct dedesubt separă mai puternic d ecît unul fără. punct

(vezi exemplele 3, 4, 5, 6; în 6 două. puncte separă. mai puternic decît un punct. Semantica face legă.tura între valorile de adevă.r şi funcţiile de adevă.r pe o de parte şi expresii pe altă. parte. Acest lucru se realizează. cu ajutorul noţiunii de acoperire. O acvperire a variabilelor propoziţionale este o funcţie care atribuie fiecă.rei variabile una din cele două. valori de adevă.r O sau 1. O astfel de acoperire f se poate extinde în mod natural la funcţia v1 care atribuie o valoare de adevă.r fiecă.rei expresii. Pentru o funcţie dată. f, funcţia v 1 se defineşte inductiv folosind tabelul de adevăr : (1) pentru variabile p : Vf(P) = f(p) (2) v 1 ( j H) = non (v1 (H))

( 3) pentru expresiile H Şi G: v 1 (H 1\ G) = et (v 1 (H), v1 (G)) v 1 (H 1\ G) = vel (v f(H) , v f(G)) v1 (H- G) = seq (v 1 (H), v1 (G)) vr(H B G) = aeq (v 1 (H), v1 (G))

Acum pot fi definite conceptele de echivalenţă. semantică. Şi validitate universalâ. Două. expresii fi şi G se zic semantic echivalen te, H s G, dacă. v1(H) = _v 1 (G) pentru orice acoperire f. O expresie H este universal valabilil sau o tautologie dacă. v1 (H) = 1, cu alte cuvinte dacă. H este adevă.ratâ pentru orice acoperire f.

E xemplul2. p - (q- p) este o t autplogie; p - (p- q) -:+ q este o tautologie; (p- q) 1\ 1\ (p- 1 q) - 1 p este o tautologie pe baza principiului terţului exclus. 1

Inferenţa

logicil serveşte la obţinerea unor noi propoziţi i adevă.rate din propo ziţii pentru care s-a stabilit deja că. sînt adevă.rate. De aceea regulile de infercnţil trebuie să. pornească. de la adevă.rul unei expresii şi să. decidă. asupra expresiilor deduse. La deducerea unor astfel de reguli de inferenţă., tautologia joacă. un rol deosebit; orice tautologie de forma H- G cond~ce la o regulă. de infe{enţă.. Condiţiile de aplicare a unei reguli, premisele, se scriu deasupra liniei ori-

Matematici superioare zontale iar rezultatul 'a.plică.rii regulii, concluzia, dedesubt. Un sistem S de reguli de inferenţă o relaţie "A poate fi dedus din S" în simbol S A.

t-

determină.

Exemple de reguli de

inferenţă,

în care H, G, F

Sţ-H

3. P -

... , 13m) se poate intotdeauna prin adjuncţia unui singur element: K = P(6) cu condiţia ca ecuaţiile ale căror rădăcini sînt ()1 , ... , ()m să nu aibă. rădăcini multiple. Dacă N = P(6) este o extensie normală a lui P, f!,tunci numărul automorfismelor relative ale lui N este egal cu gradul extensiei [N: P]. Automorfismele relative ale unei extensii normale N formează un grup de ordin [N: P] în raport cu înmulţirea aplicaţiilor. Acest grup se numeşte gr·u p Galois G al extensiei normale N peste P: (G: E] = [N: P ] . obţine

Dacă. K este un corp intermediar între P şi N, atunci N este normal peste K şi automorfismele relative ale grupului Galois Gal lui N peste P care lasă. fixe toate elementele lui K, cu alte cuvint e automorfismele relative ale lui N peste K formează un subgrup H al lui .G, care este tocmai grupul Galois Gal lui N pe K. În acest mod se asociază fiecărui corp intermediar K un subgrup H al grupului Galois G. Dacă. H este un subgrup al lui G, atunci elementele lui N care rămîn fixe la toate automorfismele relative în H formează. un corp intermediar K. Astfel, studiul corpurilor intermediare între N şi P se reduce la studiul subgrupurilor grupului Galois. Metodele teoriei grupurilor se pot aplica acum teoriei corpului. Dacă. subgrupurile grupului Galois G al lui N peste P se cunosc, se pot gă.si toate extensiile între P şi N şi corpurile intermediare cît şi relaţiile dintre acestea. Dacă. Peste un corp care conţine numerele raţionale, atunci are loc teorema fundamentală. a lui Galois.

Teorema fundamentali a teoriei lui Galois. Fie N o extensie normală finiti a lui P şi G grupul ei Galois. (1). Există o cores}londenţă biunivocă Intre subgrupurlle H ale lui G şi corpurile intermediare K ale extensiei. ·

Grupuri

~i

437

corpuri

(U). Dacă K şi H corespund, atunci H se compune din !J)ate automol'fismele relative ale lui N care lasă fixe elementele lui K; K se ccmpurie din toate elementele lui N care sint fixe In raport cu automorfismele relative In H. (III). Un corp intermediar K este normal peste P dacă subgrupul asociat H este normal în G. In acest caz grupul Galois al lui K peste P este izomorf cu grupul factor GJH. (IV). Au loc următoarele relaţii: N .___. E [H:EJ = [N:K] [N:K] ~ [H:EJ K .__. H [G:H] = [K:P] [K:P] ~ [G:H] p ..,_..... G

--.1

r--.

Exemplul3. SeconsiderăextensianormalăfinităL = 2 (\'2, (A) ţ/2, (;) ţ/2) = 2 (ţ/2, (A)), corpul de descompunere al polinomului x 2 - 2 peste 2· Pentru a găsi grupul Galois al lui L peste 2 se caută întii izomorfismele relative ale lui 2 ( ţ/2) în L. Aici ţ'i- ţ/2, ţ'2 ~ fi) ţ/2 sau ţ/2-&U ţ/2. De aceea automorfismele relative ale lui 2( ţ/2, (A)) acţionează in ţ'2 şi (A) în următoarele şase moduri posibile. Aceste şase automorfisme relative formează un grup Galois G ţr2- ţ/2, fi) fi) - . . E al lui L peste 2. cu înmulţirea dată de aplicarea succesivă a celor dou~ aplicaţii. Dacă se notează cu (A) 2 = w şi (A)· w = 1, \'2- 6»ţ'2, fi) - f i ) - . . A relaţiile sînt uşor de verificat. În plus AS = E, B2 = E şi BA = A 2 B. Subgrupurile {E, A , A 2 } {E, B}. {E, AB} ţ/2- w ţ/2, f i ) - fi) -..A 2 şi {E, A 2 B} corespund corpurilor intermediare 2((A)), 2 (ţ/2) , \'2- \'2, fi) w -.. B 2((A) ţ/2) şi 2(w ţ'2). \'2-(A) ţ/2,

fi)-

\'2- (;) ţ'2,

fi)-

w -..A 2B 2 (\'2, a

Aici se

şi

g(x1 , x 2) = ( 1 + 3x1)x2

+ 5V2 + V3 + 1 V2 + 2

obţine:

~1 = Y2 şi ~2 = ţr 3 + 5 ..j2 + 6 ( V2>a

+ 7x1 + 2

şi

439

O ecuaţie f(x) =0 este rezolvabilă prin radicali peste P dacă soluţiile ei sînt expresii radicali peste P. În limbajul teoriei corpurilor o expresie radical corespunde unui şir de corpuri:

unde {3 este un element al lui K şi fiecare extensie Kt+t peste Kt se obţine prin rezolvarea unei ecuaţii de tipul x"' - gt(f31 , •.. , f3t- 1) = O. În acest caz corpul K se zice rezolvabil. Astfel, în limbajul teoriei corpurilor rezolvabilitatea unei ecuaţii poate fi exprimată în modul următor.

=

Ecuaţia f(x) O este rezolvabilă prin radicali dacă şi numai dacă există conţine corpul de desco'!'punere L al polinomului f(x).

un corp rezolvabil

K care

Se poate fie rezolvabil:

arăta

că

în aceste

condiţii

corpul de descompunere L al lui f(x) trebuie

să·

Ecuaţia f(x) = O este rezolvabUi prin radicali daci şi numai daci corpul de descompunere L al polinomului f(x) se poate obţine dintr-un şir de corp\ui P = K 0 s; K 0 ({3J = = K 1 S: •••. S: Km-1 (f3m) = l(m = L, in care fiecare corp Ki+t = K,(f3t+J se obţine din K, prin adjuncţia unei soluţii a ecuaţiei binome x"' - bt =O.

Se poate arăta existenţa unui şir în care fiecare corp este corpul de descompunere al unei ecuaţii de forma x" - b = O peste corpul precedent. Din teorema fundamentală a lui Galois rezultă existenţa unui şir de subgrupuri în grupul Galois G G = H m 2 H m-t 2 ... 2 H 1 2 H 0 = E,

în care fiecare subgrup este normal în predecesorul lui şi grupurile factor sînt izomorfe cu grupul Galois de extensii din şirul de corpuri. Acestea sînt întotdeauna abeliene în cazul ecuaţiilor binome dacă corpul de bază conţine toate cele n rădăcini ale unităţii. De aici rezultă că grupul Galois are o serie de compoziţie cu factori de ordin prim. Reciproca este de asemenea adevă.rată şi astfel se obţine criteriul: Ecuaţia

f(x)=O estf! rezolvabili prin radicali daci

şi

numai daci grupul ei Galois este

rezolvabit. Deoarece grupurile simetrice de grad 2, 3 şi 4 sînt rezolvabile, rezultă că ecuaţiile de grad şi 4 sînt rezolvabile prin radicali. Grupurile simetrice de grad .5 şi mai mare nu sînt însă rezolvabile şi de aceea nu există formule pentru soluţiile ecuaţiilor de grad mai mare sau egal cu .5. Acest rezultat a fost găsit în mod independent de către GALOIS şi ABEL. Abel nu a reuşit însă să dea un criteriu general de rezolvabilitate prin radicali.

2, 3

cubice (vezi cap. 4) este x 3 + px + q, = O, unde ecuaţiei este S 3 • Seria de compoziţie Sa 2 A 3 2 E a grupului Galois corespunde unui şir de . corpuri P S: K s; N. Au loc relaţiile [S 3 : A:J = [K : P] = 2 şi [A 3 : E] = [N : K] = 3. Pentru a simplifica lucrurile să presupunem că P conţine rădăcinile cubice ale unităţii. Trecerea de la P la K se face prin adjuncţia la P a rădăcinii pAtrate VD, unde VD trebuie să rămînă fix la permutările din A 3 • Din această condiţie se obţine V:D = V- 4p 8 - 27q2 • Dacă se notează soluţiile ecuaţiei iniţiale prin cx,_, ~. ata şi se formează rezolventa lui Lagrange, r = ot1 + ~ + m, atunci suma lor este f(x) + g(x) = anxn + ... + am+lxt1Hl + (am + bm) x 911 + ... ... +(~ + b1 )x + (a 0 + b0 ). Produsul a· f(x) al unui numă.r real cu polinomulf(x) este a· f(x) = = (aan) xn + ... + (aa1) x + (aa 0 ). Proprietă-ţile 1-8 sînt uşor de verificat. Elementul nul O este polinomul f(x) = O. 2. Mulţimea tuturor f u1~cţiilor derivabile şi de asemenea mulţimea funcţiilor i1ttegrabile formează spaţii vectoriale. Elementul zero este tot funcţia f(x ) ~ O. Funcţiile se adună prin adunarea valorilor lor şi se înmulţesc cu un număr prin înmulţirea valorilor cu acest număr. 3. Mulţimile de numere reale sau complexe formează un spaţiu vectorial cu regulile de adunare şi înmulţire obişnuite. 4. Mulţimea n-uplurilor de numere reale (a 1 , a 2 , ••• , an) formează un spaţiu Yectorial Rn pentru orice numă.r natural n. Adunarea se defineşte prin (a1 , a 2 , • •• , an) + (b 1 , b2 , ••• , bn) = = (a1 + b1 , a2 + b2 , ••• , an + bn) şi înmulţirea prin a(a1 , a 2 , ••• , an) ~ (aa 1 , aa 2 , ••• , a.an)·

+ ...

Algebra

vectorială

Spaţiul vectorial V 3 • În acest paragraf se studiază. proprietăţile u nui spaţiu vectorial deosebit de important. Acesta joacă un rol cent ral în fizică şi tehnologie şi ilustrează importanţa spaţiilor vectoriale şi a întregii algebre liniare pentru aplicaţiile practice. Denumirea de vector s-a folosit numai pentru elemente ale acestui spaţiu particular la începu t şi abia mai tîrziu a fost generalizată în terminologia actuală. Vectorii se vor descrie mai întîi geometric pornind de la spaţiul cu trei dimensiuni în care s-a definit lungimea, lăţimea şi înălţimea. Se defineşte o translaţie a spaţiului asociind fiecă.rui punct P un punct Q astfel încît segmentele (orientate) care unesc punctele cu imaginile lor sînt paralele şi au aceeaşi lungime. O astfel de translaţie mai poartă numele de vector. Din definiţie rezultă. că. un vector este complet determinat dacă. se cunoaşte efectul lui

448

Matematici superioare

adică. dacă. se cunoaşte punctul Q asociat lui P. De aceea vec-+ torul se poate caracteriza prin segmentul PQ, unde să.geata indică. orientarea de 1~ P la Q. Un astfel de segment orientat esteunreprezentant Un vect01' este o translaţie a spaţiului cu trei dimensiuni al vectorului. Punctul P poartă. numele de punct iniţial sau punct de aplicaţie iar Q este punctul -de terminaţie sau extremitate a vectorului (fig. 17.3.1). Pentru orice punct P, există. un reprezentant al orică.rui vector avînd pe P ca punct iniţial şi orice punct Q apare ca extremitate a unui anumit reprezentant. Diferiţi reprezentanţi ai aceluiaşi vector sînt paraleli şi au aceeaşi lungime. Are deci sens să. se definească. lungimea sau modulul sa~ nMma unui vector ca distanţa dintre punctele P şi Q pentru orice reprezentant al lui a. Lungimea lui a se . -+ notează. prin 1 a 1 sau 1 PQ 1· Ea este întotdeauna o cantitate nenegativă.. Vectorii de lungime 1 se numesc vectori unitate.

asupra unui singur punct,

17.3.1. Reprezentant al unui vector 17.3.2. Egalitatea vectorilor În cele ce urmează. majoritatea celorlalte concepte ale algebrei vectoriale se vor introduce cu ajutorul reprezentanţilor. Dar este incorect să. se identifice vectorul cu un singur reprezentant. Dificultă.ţile ce apar cind se face o astfel de identificare pot fi evitate dacă. se specifică. că. printr-o translaţie paralelă. a unui reprezentant al unui vector se obţine tot un reprezentant al aceluiaşi vector. Se poate enunţa propoziţia: • Doi vectori sint egali daci şi numai daci şi aceeaşi direcţie. Toate ~gmentele paralele reprezentanţi ai acelUiaşi vector (fig. 17.3.2).

oricare din reprezentanţii lor au aceeaşi lungime de lungime egali şi cu aceeaşi orientare sint

Pentru a obţine un spaţiu vectorial trebuie definite adunarea vectorilor Şi înmulţirea cu scalari. Adunarea vectorilor. Suma a doi vectori a şi b este translaţia a + b obţinută. prin efectuarea succesivă. a translaţiilor a şi b. Folosind reprezentanţi, suma poate fi definită. in modul -+ -+ urmă.tor: Dacă. PQ este un reprezentant al lui a în P şi QR un reprezentant al lui b in Q, atunci -+ . PR este un reprezentant al lui a + b (fig. 17.3.3). Se poate vedea uşor că. adunarea astfel -+ -+ definită. nu depinde de alegerea reprezentanţilor. Dacă. se consideră. reprezentanţii PQ, PQ', -+ -+ -+ Q'R şi QR ai lui a şi b în P, a in Q' şi b in Q, se obţine U_!l paralelogram cu diagonala PR reprezentind atît pe a + b cît şi pe b + a (fig. 17.3.4). In consecinţă a + b = b + a şi deci adunarea este comutativd.. Tot aşa de uşor se verifică. asociativitatea adund.rii (a + b) + c = = a + (b ·+ c) (fig. 17.3 ..5).

s

Q

17.3.4. Comutativitatea vectorilor

adună.rii

17.3.3. Adunarea vectorilor

17.3 ..5.

Asociativitatea vectorilor a+ (b + c) =(a+ b) +c

adună.rii

Algebnl

liniară

Din aceste legi

rezultă. urmă-toarele

reguli de adunare a mai mult decît doi vectori:

Mai mulţi vectori se pot aduna alegînd cfte un reprezentatnt pentru fiecare vector, astfel înctt extremitatea fiec4rui .,:eprezentant să f ie punct iniţial al vectorului urmiUor. Suma sau rezultanta este vectorul reprezentat prin segmentul care porne1te din punctul iniţial al primului reprezentant şi se termină în extremitatea ultimului reprezentant. Vectorul nul. Translaţia prin care P este dus în P şi care invariază. astfel punctele spaţiului defineşte vectorul nul care se notează. cu O. Acestui vector nu i se poate ataşa o anumită. direcţie şi lungimea lui este egală. cu O. El are proprietatea că. a r O = a pentru orice vector a. Scăderea. Pentru a defini scăderea vectorilor se foloseşte existenţa inversului unic pentru orice vector. Dacă. a + b = O, atunci b = -a şi se obţine un reprezentant al lui b schimbînd intre ele punctul iniţial şi extremitatea unui reprezentant al lui a (fig. 17.3.6). Astfel, -a are aceeaşi lungime ca şi a dar direcţia lui este opusă. direcţiei lui -a. În particular O = -0. Acum are sens să. se definească. diferenţa a - b a doi vectori prin suma lui a cu - b, a - b = a + (-b). Înmulţirea unui vector cu scalari. Dacă. punctele P, Q şi a p

~

()

-a ()'

p'

17.3.6. Reprezentarea a doi vectori opuşi p

(J'

a

PO=a ia 'i= d ·ia i

O -j a O a p ~ p'-r--

o"~

p"

~

Q'(P=/:Q, P=I:Q') se gă.sesc pe o dreaptă., atunci PQ şi PQ' sînt reprezentanţi ai vectorilor a şi a' cu aceeaşi direcţie sau cu direcţii opuse. Totuşi, în general, lungimile lui a şi a' vor fi diferite. Există. un nnmă.r real d > O astfel încît a' = d. 1a 1. definit, prin d = = 1a' 1/1 a 1 (fig. 17.3.7). Dacă. a şi a' au aceeaşi direcţie, se defineşte 1a' 1 ~ da cu d = 1 a' 1/1a 1; dacă. au direcţii diferite, se defineşte a' = - da. Se ajunge astfel la urmă.toarea. definiţie, care acoperă. şi cazurile a = O sau d = O. Produsul d · a al unui vector a cu un numă.r real d este vectorul de lungime d • 1a 1, avînd aceeaşi direcţie ca şi a dacă. d > O şi direcţie opusă. dacă. d < O. Pentru d = O, avem O· a = O. În particular 1· a = a, ( -1) ·a = -a, d ·O = O pentru orice d şi n ·a = a + a + ... + a, pentru orice numă.r natural. Dacă. n termeni

a =1: O, atunci vectorul af l a 1 are lungimea 1, deci este uu vector 17.3.7. Înmulţireavecto­ unitate care se va nota în cele ce urmează. prin a 0 • Astfel, a = rilor cu scalari = 1a 1· a 0 • Se pot uşor verifica proprietatea de asociativitate a înmulţirii şi cele două. proprietă.ţi de distributivitate. În acest mod s-a construit un spaţiu vectorial compus din toate translaţiile spaţiului cu trei dimensiuni. Acest spaţiu se va nota cu V3 • Componente şi coordonate In V 3 • Pentru a transpune consideraţiile geometrice într-o formă. adecvată. pentru calcule algebrice se introduce un sistem de coordonate, de ex. un sistem de coordonate ortogonale (carteziene) cu axele Ox, Oy, Oz. Proiecţiile ortogonale pe axe ale ~

unui reprezentant PQ al vectorului a sînt reprezentanţi ai unor vectori. Aceşti vectori, independenţi de alegerea. reprezentanţilor se numesc componentele a.z, ay, az ale lui a în raport cu sistemul de coordonate ales şi a = ax+ ay + az (fig. 17.3.8).

17.3.8. Componentele unui vector

z

450

Matematici superioare

Dacâ i, j şi k sînt versorii sistemului de coordonate, adicâ vectorii unitate ai dipozitive ale axelor Ox, Oy, Oz, atunci az =ax· i, ati= ati· j, az = az · k. Numelele reale az, ati şi az se numesc coordonatele lui a în raport cu sistemul de coordonate dat. recţiilor

Componentele lui a: az,

av.

az (vectori)

a= ax+

Coordonatele lui a: az, ati, az (numere)

şi

norma vectorului a

az

a = azi + a11j + azk

Norma lui a cu coordonatele az, ati, az Componentele

av +

repre-

-+ zentat prin PQ, P(x 0 , y 0 , z 0 ). Q(xl, y 1,

Z1).

Vai

-

1a 1

=

1a 1

= (xl - xo) i + (yl - Yo) j + (zl - zo) k

+ a: + a:

1a 1

= V(xl- Xo) 2 + {Yl - Yo) 2 + {zl- zo) 2

-+ Dacâ PQ reprezintâ pe a şi P şi Q au coordonatele {x 0 , y 0 , z0). respectiv (x1 , y 1 , z1). atunci componentele lui a sînt (x1 - x 0} i, (y 1 - y 0) j şi (z1 -z 0) k respectiv. Astfel coordonatele lui a sînt diferenţele dintre coordonatele extremitâţii şi cele ale punctului iniţial pentru un reprezentant arbitrar al lui a. Cum orice vector determinâ un triplet de coordonate şi cum orice triplet (a1 , a 2 , aa) determinâ un vector unic a cu ax = a 1 , a11 = a2 şi a~. = aa, spaţiul Va poate fi identificat cu spaţiul vectorial al tripletelor de numere reale Ra. Pentru ca aceastâ identificare să aibă sens, mai trebuie arâtat că adunarea şi înmulţirea cu scalari în V 3 corespunde cu adu~area şi înmulţirea cu scalari în R 3 , cu alte cuvinte coordonatele lui a+ b şi d · a sînt (ax + bz, a11 + b11 , az + bz) şi (daz, da 11 , daz) respectiv. Desigur din a = azi + a 11j + azk şi b = bxi + b11j + + bzk rezultă că a + b = (az + bx) i + (a 11 + b11) j + (az + bz} k şi d · a = (d ·ax) i + (d · a 11 ) j + + (d· az) k. Şi pentru acest mod de scriere se pot verifica comutativitatea şi asociativitatea adunârii şi asociativitatea pentru înmulţire şi cele două legi de distributivitate. În acest caz se spune câ se efectuează adunarea şi înmulţirea cu ajutorul coordonatelor. Deoarece -a = = - 1· a şi deci are coordonatele -az, -a11 şi -az, rezultă că şi scăderea se poate efectua cu ajutorul coordonatelor.

Vectorii se adună (se scad) adunind (scăzind) coordonatele lor; un vector se cu un scalar inmulţind coordonatele sale prin scalarul respectiv.

inmulţeşte

Exemplul 1. Pentru a = 2i + (1/2) j - k; b = -3i + 2j + 5k şi d = 2 se obţine a+ b = - i + (5/2) j + 4k; -b = 3i- 2j- 5k; a - b = 5i- (3/2) j - 6k şi da= 4i + j - 2k. Există astfel o aplicaţie bijectivă (biunivocă) a lui ·va pe Ra care păstrează adunarea şi cu scalari. Vectorii i, j , k sînt respectiv tripletele ( 1, O, 0). (0, 1, O) şi (0, O, 1) şi vectorului arbitrar a = azi + a11j + azk îi corespunde tripletul (az, a11 , az). Cum spaţiul Va este definit mai mult intuitiv, calculele în Ra sînt convenabile şi dau o imagine mult mai clară a operaţiilor în Va. V3 şi Ra au aceeaşi structură ca spaţii vectoriale, dar mulţimea obiectelor este diferită. În cele ce urmează ele nu vor fi privite ca unul şi acelaşi spaţiu (vezi "Aplicaţii liniare"). înmulţirea

Produsul scalar şi produsul vectorial in V3 • În V3 se mai introduc două operaţii naturale. Una dintre aceste operaţii asociază oricărei perechi de vectori un scalar şi poartă numele de produs scalar sau interior şi se scrie pentru vectorii a şi b, a· b. A doua operaţie are ca rezultat un vector şi se numeşte produs vectorial sau exterior ş.i se scrie pentru vectorii a şi b, a X b. Produsul scalar poate fi generalizat pentru alte spaţii vectoriale, ceea ce nu este întotdeauna posibil pentru produsul vectorial. Ambele produse au aplicaţii în fizică. De exemplu, lucrul mecanic efectuat de o forţă F care se deplasează de-a lungul unei traiectorii rectilinii s se calculează prin produsul scalar F · s iar viteza v a unui punct P al unui corp care se roteşte în j urui unei axe se calculează ca produsul vectorial dintre raza de la axă la P şi viteza unghiulară. Produsul scalar. Reprezentanţii cu acelaşi punct iniţial P, ai unor vectori nenuli a şi b, un unghi o::, 0° ~o::~ 180°, şi un unghi ~, 180°' ~ ~ ~ 360° astfel încît o:: + ~ = 360°. Unghiul ~(a, b) dintre vectorii a şi b se defineşte ca cel mai mic dintre aceste unghiuri, o::.

formează

Algebf'ă liniaf'ă

4.51

Produsul scalar a ·b a doi vectori nenuli se defineşte prin numărul 1 a 1 1 b 1 cos~ (a, b). Se poate verifica comutativitatea acestui produs a·b = b·a şi produsul scalar se zice simetric. Asociativitatea nu este în general valabilă. pentru produsul a trei vectori deoarece (a· b) · c este un multiplu al lui c, pe cînd a· (b · c) este -cn multiplu al lui a. Folosind comutativitatea se obţin următoarele

ecuaţii;

(ab· c) = a(b· c) = a(c· b) = (ac· b) = (b· ac), O operaţie efectuată. cu vectori care satisface această. proprietate şi care este distributivă se zice biliniaf'ă. Produsul scalar este întotdeauna distributiv faţă. de adunare, a· (b + c) = =a· b + a· c. Doi vectori a şi b se zic ortogonali dacă. a · b = O. Dacă a şi b . sînt amîndoi diferiţi de zero, atunci înseamnă. că. cos ~ (a, b) = O sau cx = 90° şi deci reprezentanţii vectorilor a şi b sînt perpendiculari. Produsul scalar nu se poate inverna deoarece nu se poate defini un vector unic a astfel încît a· b = c. Pentru b şi c daţi, există. o infinitate de vectori a care satisfac ecuaţia a· b = c; de ex. dacă. c = O, atunci orice multiplu al unui vector a ::1= O ortogonal lui b va satisface ecuaţia. !mpărţirea vectorilor nu este pef'misă. În produsul scalar a· b vectorul a poate fi înlocuit prin vectorul ab de lungime 1a 1· cos ~ (a· b} cu aceeaşi direcţie sau cu direcţie opusă. după. cum~ (a, b} este mai mic sau mai mare decît 90°. Un reprezentant al lui ab se poate obţine luînd proiecţia perpendiculară. a unui reprezentant al lui a pe direcţia unui reprezentant al lui b, cu acelaşi punct iniţial (fig. 7.3.9). Acelaşi lucru se poate face şi pentru b. Astfel a· b = ab · b = ba· a. Pr:odusul ab · b are proprietatea ab · b = 1 ab 1 • 1 b 1 cu a· b = 1 a 1 • 1 b 1 cos ~ (a, b). Produsul scalar exprimat cu ajutorul coordonatelor. Pentru a · d 1 d 1 ă. 17.3.9. ca cula pro usu scalar cu aJutorul coor onate1or este necesar s vector se calculeze întîi produsele scalare i · i, i · j, ... , k · k. Din definiţie rezultă. că. aceste produse sînt egale cu 1 dacă. vectorii sînt egali şi cu O dacă. sînt diferiţi. Se poate astfel obţine produsul scalar al vectorilor torul coordonatelor fără. a se cunoaşte unghiul dintre ei şi se poate folosi calculat la _obţinerea unghiului făcut de doi vectori. Produsul scalar al versorilor

i·i=j·j=k·k= 1

Produsul scalar a·b exprimat în a = a:z;i + a 11 j + azk coordonate b = b:z;i + b"j + btk Unghiul, de O

dacă. 1 al şi 1 b 1

riţi

~

Exemplul 2. Din a=3i-4j 109°28'.

c cu

,...., şi

a şi b cu ajuprodusul astfel

r

i·j=i·k=j·k=O a· b = azbx + a"b11 + azbz ·"""'

azbx + a"b" + a,_bz cos ~ (a, b) = ~ = 1 a 11 b 1 V(a~+a:+a:) (b: +b~ + b:)

sînt dife-

_.,

Proiecţia unui pe alt vector

L

b = i + 2j - 2k, se

obţine_cps ~(a,

b) = -1/3 ,

şi ~(a,

b)

~

Produsul vectorial. Prudusul vectorial a X b a doi vectori nenuli se defineşte ca vectorul proprietăţile: 1. a· c = b · c = O, adică c este ortogonal şi lui a şi lui b. ~~~

R C=

a xb

2.

1c 1

= a· b sin

~

(a· b)

şi

3. determinantul

b:z; b11 bz C:z; CJI Cz

format cu coordonatele vectorilor a , b, c, este nenegativ. Dacă a sau b este vectorul nul, atunci a X b este de asemenea vectorul nul. Pentru a găsi o interpretare geometrică a produsului vectorial a doi vectori nenuli dintre care nici unul nu este multiplu scalar al celuilalt, se consideră planul determinat de 17.3.10. Produsul vectorial

doi

1"eprezentanţi

ai

acestora

-+

PQ

şi

-+

PQ' (fig.

7.3.10).

452

Matematici superioare

--+ Atunci, din proprietă-ţile date mai sus, rezultA. pentru un reprezentant P R al lui c: --+ --+ --+ 1. PR este perpendicular pe planul determinat de PQ şi PQ'. --+ 2. Lungimea lui PR este 1 a 11 b 1 sin ~(a, b), care reprezintă. aria paralelogramului cu latu-+ --+ rile PQ şi PQ'. --+ --+ --+ 3. PQ, PQ', P R formeazA. un sistem orientat drept. Aceasta înseamnă. cA. privind din R, --+ --+ cea mai scurtă. rotaţie posibilA. ducînd PQ peste PQ' este în sensul invers acelor de ceasornic --+ {dacA. degetul mare al mîinii drepte este îndreptat în direcţia lui PQ iar degetul arA.tă.tor in --+ --+ direcţia lui PQ ', atunci palma aratA. direcţia lui P R). --+ --+ --+ --+ --+ DacA. PQ, PQ', P R, P R' sînt reprezentanţi ai vectorilor a, b, a X b şi b X a, atunci P R şi --+ --+ --+ P R' sînt perpendiculare pe planul determinat de PQ şi PQ' şi au aceeaşi lungime. Dar --+ --+ --+ --+ --+ --+ deoarece PQ, PQ' PR şi PQ', PQ, PR' formeazA. sisteme orientate drept (în ordinea indi-+ --+ cată.), P R şi P R' trebuie sA. fie orientate în direcţii opuse. Astfel, a X b = - b X a . Această. proprietate poartă. numele de anticomutativitate. Produsul vectorial nu este comutativ sau ciativ dar este biliniar, adicA. dacA. a este un scalar şi x, y şi z sînt vectori, atunci a(x x y) = = axxy = xxay şi xx(y+z) = (xxy) + (xxz) şi (x + y)xz = (xxz) + (yxz).

aso-

Produsul vectorial exprimat in coordonate. Din definiţie rezultă. imediat valorile produselor vectoriale ale versorilor i, j şi k. Folosind biliniaritatea produsului se pot apoi calcula coordonatele lui a X b:

az 1, -1 ax az 1 şi 1ax ay 1· bz bx bz bx by Acestea se pot uşor ţine minte folosind urmA.toarea regulA. mnemotehnicA.. Se scrie un determinant 3 X 3 în care prima linie este formatA. din i, j, k şi celelalte douA. linii din componentele lui a şi b. Calculînd determinantul, coeficienţii obţinuţi pentru i, j şi k vor fi coordonatele produsului vectorial a X b. ay

1b11

Produs vectorial al versorilor

ixi=jxj=kxk=O = k, j X k = i, k X i

i Xj

=

j

~

Componentele lui axb

•

Exemplul 3.

a = 5i - 3j + k

=

a xb

...

i

=

(aybz- bJilz) i + (azbx- azbz) j k j

ax

ay

az

b,;

by

bz

+ (a,;b 11 -

ayb,;) k

=

Produsul vectorial al vectorilor

şi

b

= -

i - j - 2k este

axb =

j

k

5-3

1

-1 -1

2

=

-5i- llj- 8k.

Bază şi dimensiune. Unele concepte care joacA. un rol important in studiul lui Va pot fi folosite şi în analiza altor spaţii vectoriale, de exemplu introducerea coordonatelor şi operaţiile cu coordonate. Totuşi, unele idei, ca de exemplu produsul vectorial, nu se pot generaliza.

Vectori liniar dependenţi şi vectori liniar independenţi. DacA. x 1 , x 2 , •• • , Xn sînt vectori ai unui V şi x este un vector din V, x se zice liniar dependent de x 1 , x 2 , • •. , Xn dacA. existA. numere a 1 , a 2 , ••. , an astfel îrcît x = a 1 x 1 + a 2:xz + ... + anXn· Se mai poate spune cA. x depinde de x 1 , x 2 , ••• , Xn sau x este o combinaţie liniară de x 1 , :xz, ... , Xn· De exemplu, orice vector a din Va depinde de sistemul x1 = i, x 2 = j şi x 3 = k: a = axi + a11 j + azk. spaţiu

A lgebf'IJ liniariJ

4.53

Evident vectorul nul O depinde de orice sistem de n vectori x1, zt, ... , x,.. Este sufi· cient să. se aleagA. t~t = a 1 = ... = a. = O. DacA. x este liniar dependent de x1 , zt, ... , x_, atunci existA. numere tit• a 1 , ... , a. şi a = -1, astfel încit O = a 1s 1 + a 1 zt + ... + a.x. + as. Pe de altA. parte, aceastA. ecuaţie nu stabileşte cA. s este dependent de x 1, zt, ... , z.. Din ea reznltA. cA. dacA. cel puţin unul din coeficienţii tit• a2 , ... , a. sau a nu este O, atunci vectorul corespunzA-tor este dependent de ceilalţi. Se ajun~ astfel la urmA-toarea definiţie. Un sistem x1 , zt, ... , x. de vectori se zice liniar dependent dacA. existA. numere a 1 , ... , a,. nu toate nule, astfel incit O = t~tx1 + a 1x, + ... + a,.z.. Sistemul se zice liniar independent dacA. aceastA. ecuaţie este satisfA.cutA. numai de tit = a 1 = ... = a,. = O. t~t.

Conceptul de independenţă liniarA. este deosebit de important; necesarA. şi suficientA. pentru unicitatea soluţiei ecuaţiei

independenţa

liniarA. este

condiţie

o

s

=

tit Z1

+ a2:rs + ·.. + a,.s,..

Cu alte cuvinte s 1, zt, ... , s,. sint liniar independenţi dacA. şi numai dacA. orice vector s poate fi scris intr-un singur mod ca o combinaţie liniarA. de s 1 , zt, ... , sn sau nu poate fi deloc scris sub aceastA. formA..

4. Vectorii i, j din Va formeazA. un sistem liniar independent deoarece dacA. O = atunci O= O· i = (a1i + a 1j) i = ~ şi la fel O= a 1•

E~emplul

=

a 1i

+ a1j,

Deci vectorii i, j , k sint liniar liniar dependent de i, j, k: a =

independenţi. Ei a~i a 11j a,k.

+

+

mai au proprietatea cA. orice vector este Se ajunge astfel la definiţia:

O bazA. a unui spaţiu vectorial V este un sistem B de vectori din V astfel încît orice vector din V să. se poatA. reprezenta intr-un singur mod ca o combinaţie liniarA. de vectori din B.

AceastA.

definiţie

este echivalentA. cu urmA.toarea:

O bazA. a unui spaţiu vectorial V este un sistem liniar independent B de vectori din V astfel încit orice vector din V să. depindA. liniar de B. Astfel, sistemul i, j, k formeazA. o bazA. a lui Va. Dacă. exisU o bazA. finitA. intr-un spaţiu vectorial V, acesta se zice cu dimensiune finitiJ; in caz contrar, spaţiul este cu dimensiune infinită sau infinit dimensional. Pentru spaţii vect~ riale cu dimensiune finitA. are loc urmA.toarea teoremA.: Daci V este cu dimensiune finiti, atunci doua\ baze ale lui au Intotdeauna de elemente. Acest numir este dimensiunea lui V. Dimensiunea lui Va este 3, deoarece i, j, k este o 3 elemente.

bază.;

orice bazA. a lui Va

acelaşi

numir

conţine

exact

Subspaţii. O submulţime nevidA. S a unui spaţiu vectorial V se numeşte subspaţiu dacă. satisface axiomele spaţiului vectorial pentru aceleaşi operaţii de adunare şi lnmulţire cu scalari. În particular, suma a două elemente din S trebuie să. se găsească în S şi orice multiplu scalar al lui S se găseşte în S. De fapt, aceste două proprietăţi sînt singurele care trebuie verificate, celelalte se verifică automat.

O submulţime V' a lui V , care conţine cel puţin un element, este un subspaţiu dac4 şi numai daciJ suma x + y a douiJ elemente x şi y din V' se găse~te în V' şi multiplii scalari ax ai elemen· te lor x ale lui V' se giJsesc tot în V'.

Matematici S1tperioare

"i.H

Exemplul

5,Mulţimea formată. numai din O este un subspaţiu al oricA-rui spaţiu vectorial. subspaţiu al slu. Acestea sint subspaţii triviale. Primul are di-

Orice spaţiu vectorial este un ptensiunea O.

Exemplul 6. DacA. x!:O este un vector al lui V, mulţimea V' a tuturor multiplilor scalari ai lui x este un subspaţiu al lui V, subspaţiul generat de x. Baza lui este formatA. din vectorul x şi deci are dimensiunea 1. Coordonate . Dacă. x1 , x2 , ... , x,. este o bazA. a lui V, atunci prin definiţie orice vector x se poate scrie într-un singur mod sub forma x = ~x1 + a 1 x, + ... + a,.x,.. Numerele reale a 1 , a 2 , ... , a,. se numesc coordonatele lui x in raport cu baza datA.. Coordonatele lui x se schimbA. dacă. baza se schimbA., dar numlrullor rlmine intotdeauna egal cu dimensiunea spaţiului. DacA. se dau doi vectori x şi y prin coordonatele lor, atunci rezultA. din axiomele spaţiului vectorial el vectorul sumă. se obţine prin adunarea coordonatelor şi produsul cu un scalar c se obţine din înmulţirea coordonatelor cu scalarul c.

x y

= ~x 1 + a 1 xt + ... + a,.x,. 1 x + y = (~ + bJ x1 + (a1 + b1) Xz + ... + (a,. + = b1x1 + b1 x, + ... + b,.x,. cx = (ca1) x 1 + (ca1) Xz + ... + (ca,.) x,..

b,.) x,.

Astfel, fiind dată. o bază. într-un spaţiu vectorial n-dimensional V, se poate asocia în mod unic fiecărui vector x uu n-uplu (a1 , .•. , a 11) din R" şi invers; mai mult, această. asociere păstreazl adunarea şi înmulţirea cu scalari. O astfel de aplicaţie este un izomorfism (vezi "Aplicaţii liniare") al lui V pe R". Totuşi, în studiul spaţiilor vectoriale arbitrare nu este recomandabil să. se folosească. acest izomorfism cu R", deoarece el depinde de alegerea unei baze în V ; se introduce astfel un element arbit rar şi multe cercetări pot fi foarte complicate dacă. baza nu este convenabil aleasă.

R" are o e1

=

bază normală şi

= (1,

O, ... , 0),

a nume: e2

=

(0, i, O, ..., 0), ... ,

P entru discuţiile ce urmează., se consideră. aleasă şi (a1 , .. . , a,.) se exprimă in ace:"stă. bazA. sub forma x

e,.

=

fixată.

=

a 1e1

Produsul scalar. Generalizînd produsul scalar al lui V3 , se

(0, ... , O, 1). aceastA.

bază..

Ţ

a,.e,..

+ ...

defineşte

Un vector x

produsul scalar în R"

p rin

P rodusul x · x se va scrie x 2 • Ca şi în V3 , produsul scalar este simetric şi biliniar. Lungimea, norma sau moduzul 1 x 1 pentru v ectorul x = (a1 , a 2 , ... , a,.) se defineşte p rin 1 x 1 =

VX2 = V(af + al + ... + a:). --+

--+

--+

În V3 , dacA. PQ reprezintă pe a şi Q.N pe b, atunci a treia latură. P R a triunghiului PQR reprezentă. pe a b. Există. o axiomă. prin care o laturA. a unui triunghi nu poate fi mai mare --+ --+ --+ • d ec1t suma celorla lte două., astfel încît 1 P R 1~ 1 PQ 1 + 1QR 1 sau (a + b) ~ 1 a 1 + 1 b 1· AceastA. inegalitate se numeşte ineg:~.litatea triunghiului . Ea se poate demonstra (prin inducţie) şi pentru R" şi poate fi scrisă. sub forma :

+

1X 1

+ Xs + ... + Xm 1~ 1X1 1 + 1Xs 1 + ... + 1 Xm 1.

Din inegalitatea triunghiului mai rezultă. el: 11 x 1 - 1y ll ~ 1 x sca lar \ x · y 1~ 1x 1 1y 1. Transcriind-o cu ajutor ul coordonatelor, se Schwarz, uneori numitA. şi inegalitatea lui Buneakovski. Pentru demonstraţia inegalită.ţii Cauchy-Schwarz se foloseşte produsului scalar pentru a arăta el (x ± y)2 = x' ± 2x· y + yll. demonstreazA. el (x + y) (x - y) = x2 - yll.

- y 1 şi pentru produsul obţine inegalitatea Cauchybilinaritatea şi simetria În mod asemănâtor se

Unghiuri. În paragraful asupra lui V 3 s-a găsit o formulA. pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori în funcţie de produsul lor scalar. În R" aceeaşi formulă. se foloseşte pentru a da o definiţie analiticA. a unghiului. Unghiul ~ (x, y) dintre doi vect ori nenuli x şi y este unghiul

Algelwil liniaril

4.5.5

intre O şi

cuprins

1t

al clrui cosinus satisface formula cos ~ (x, y)

x ·y . În acest lxl· 1 yl unghiului se poate defini ortogonali-

(x, y) este unic determinat. Cu aceastl definiţie ~ şi y prin condiţia x • y = O. Vectorii e1 , •.. , e,. ai bazei lui R" sint toţi de lungime 1 este o proprietate fundamentală a bazei. mod

=

~

tatea a doi vectori x

Produs scalar x · y Proprietiţi

=

(~

. ... , a,.) · (b1,

b,.)

••• ,

Norma lui x

şi

doi cîte doi ortogonali. Aceasta

x·y = ~b1 + ... + a,.b,. = y· x~~--~~J X • (y + z) = X • y + X • Z d(x· y) = (dx) • y = x· (dy) rl lxi=Vaf+ ... +a:

Inegalitatea triunghiului generalizatA Inegalitatea Cauchy-Schwarz

1X1 + ... + ~

Xm

şi

1

1

1 ~ 1X1 1 + ... + 1Xm 1 -,

" a,b, ~ ~" af • ~" bf 1x · Y 1 ~ 1x 1 1Y1 ~ ~ cos~

y

1

....

i==l

i=l

Unghiul dintre x

1

X•Y

(x, y) =

O~

~

i=l

(x, y)

~ 1t

1X 11 J 1 Spaţii vectoriale eucllcliene. Introducerea produsului scalar atribuie lui R" o structurl suplimentar! faţl de spaţiile vectoriale obişnuite. Produsul scala.r asociad. fieclrei perechi de vectori x şi y un numlr real x · y şi poate fi privit ca o funcţie de variabilele x şi y satisfă.cind anumite proprietlţi. În R" s-au folosit coordonatele în definirea produsului scalar. Dar conceptul de produs scalar se poate generaliza pentr u spaţii vectoriale arbitrare în modul urmltor:

DaciJ V este un spaţiu vectorial şi q o funcţie care asociazil fiecilrei perechi de vectori x şi y din V un numdr real, atunci q se numeşte produs scalar pe V dacii satisface conditiile: 3. q(ax, y) = aq(x, y) 1. q(x, y) = q(y, x) 4. q(x, x) > O, q(x, x) = O dacii şi numai 2. q(x + x', y) = q(x, y) + q(x', y) dacii x =O Un spatiu vectorial pentru care s-a definit un astfel de produs scalar este un spaţiu vectorial euclidian. Cînd nu se creeazil confuzii, se poate folosi pentru q(x, y) notaţia (x, y). Produsul sca.la.r pe R" are aceste proprieUţi, deci R" este un spaţiu vectoria.l euclidian. O funcţie ca.re sl.tisface 1, se zice si'm etricil; dacl satisface 2 şi 3 şi corespondentul lor pentru a doua varia.bi11 y (ceea ce rezultl a.utoma.t pentru funcţii simetrice), funcţia. se zice biliniard. Ultim:~. proprietate 4 po1.rtl numele de nm-singularitate. Din ea rezultl el q(x, y) = x · y este pozitiv definit!, adiel x · y = O pentru toţi y num:~.i dacl x = O. Acest lucru este echivalent cu afirm1.ţia. el ml.tricea. forma.tl cu e, ·es este nenul!, unde formea.zl o ba.zl arbitrar!. Dacl V este un spaţiu vectorial euclidian cu un prvdus sca.lar dat q, se pot defini lungimea şi unghiul generalizind defiitiţiile din R". Lungimea, norma sau produsul unui vector x este 1x 1= q(x, x) . Din proprietatea 4 a lui q, se poat e deduce el orice vect or nenul are lungime pozitiv!. Dacl x şi y sint vectori nenuli, atunci unghiul cp cuprins între O şi 1t pentru care

e,

Y

cos cp

=

q(x · y) este unghiul dintre x 1Z 1 1 X 1

şi

y. Vectorii de lungime 1 se numesc vectori unitate.

Dacl q(x, y) = O, atund x şi y se zic Of'togonali (in raport baze e 1 , .. . , en sugereazl urmltoarea definiţie.

cu q).

Proprietlţile

unei

O bazl a unui spaţiu vectorial euclidian se zice ortonormalil dacl toţi vectorii ei sint vectori unitate şi dacl oricare doi vectori distincţi ai bazei sint ortogonali.

În tudiul spaţiilor vectoriale euclidiene se încearcl, de regull, glsirea unei baze ortonormale, deoarece proprietlţile ei simplifică. mult calculele (in particular produsul scalar poate fi calculat prin for mula. obişnuit! pentru produsul scalar folosind coordonatele in raport cu o bază. ortonorma.lă.) .

Matematici superioare Aplicaţii

17.4.

liniare

Proprietlţi ale aplicaţiilor liniare. O aplicaţie A a unui spaţiu vectorial V pe un spaţiu vectorial V' se numeşte liniară. dacă. pentru orice vectori x şi y din V şi orice numă.r real a au loc relaţiile A(x + y) = A(x) + A(y) şi A(ax) = aA(x). Deci, nu importă. dacă. se efectuează. calculele indicate cu vectorii din V şi apoi se aplică. rezultatul sau se aplică. întîi vectorii şi apoi se efectuează. calculele cu imaginile din V'. În ambele cazuri, rezultatul final va fi acelaşi vector. Cu alte cuvinte, ecuaţiile exprimA compatibilitatea aplicaţiei cu operaţiile fundamentale din spaţiile vectoriale V şi V'. Aplicaţia A se exprimă. uneori cu ajutorul unei să.geţi A : V- V' sau x ~A (x). Vectorul unic determinat A (x) se numeşte imagine a lui x şi x se numeşte preimagine sau imagine inversd a lui A(x). Un vector în V' poate să. aibă. o preimagine, nici o preimagine sau mai multe preimagir i (vezi cap . .5).

1 1 1 1

1~ y:\_..-

1

_..

o----

17.-t.l. Rotaţia unui plan in jurul unui punct O cu un unghi cp 17.4.2. Proiecţia paralelă. a spaţiului tridimensional pe un plan şi liniaritatea proiecţiei paralele __., __., __., __.,

PQ y, PS =x+y, PT=ax, __., = x, PR= __., P'Q' __.,

= A(x),

P'S'

A(x)

=

P'R'

= A(y), __., P'T' =

+ A(y),

aA(x)

E~emplul 1. Dacă. un plan se roteşte cu un unghi f in jurul unui punct O (fig. 17.4.1), atunci orice clasă. de segmente paralele la fel orientate şi de aceeaşi lungime este transformată. tot într-o astfel de clasă.. Rotaţia induce o aplicaţie A a vectorilor definind imaginea lui x ca fiind vectorul asociat clasei obţinute după. rotaţie, din clasa reprezentanţilor lui x. Din figura 17.4.1 pe care s-a reprezentat rotaţia pentru vectorii x, y şi x + y se poate vedea că. A este liniară., paralelogramul determinat de x şi y fiind rotit cu totul. Are loc relaţia A(x + y) = = A (x) + A (y). Relaţia A {llx) = aA (x) rezultă. imediat din faptul că. rotaţia pă.strează.lungimile. E~emplul 2. La fel, orice proiecţie paralelă. a spaţiului tridimensional pe un plan realizează. de asemenea o aplicaţie liniară. a spaţiului vectorial corespunză.tor (fig. 17.4.2). Relaţia A(x + y) = = A(x) +A(y) este verificată., deoarece paralelogramul care defineşte suma x + y se aplică. pe paralelogramul care defineşte suma A (x) + A (y). Relaţia A (ax) = aA (x) rezultă. din proporţia 1PQ 1 : 1PT 1 = 1P'Q' 1 : 1P' T' 1·

imaginea unei apllcaţll Uniare. Fiecă.rei aplicaţii liniare A a lui V pe V' i se asodistincte ale lui V, respectiv nu~leul şi imaginea. Nucleul lui A este subspaţiullui V compus din acei vectori care se aplică. prin A pe vectorul nul al lui V'. Imaginea lui A este subspaţiullui V' compus din acei vectori ai lui V' care sînt imagini ale vectorilor din V. În exemt lul 2 imaginea lui A este planul pe care se proiectează. spaţiul şi nucleul este mulţimea vectorilor din spaţiul cu trei dimensiuni care sint paraleli cu direcţia. de proiecţie (evident Nucleul

şi

ciază. două. subspaţii

.. .57

Algebră liniară

conţine şi

vectorul nul). Dacă. V este de dimensiune finită. şi A este o aplicaţie liniară. a lui V pe V', atunci atît nucleul cîtşiimaginealuiA au tot dimensiune finită.. Dimensiunea nucleului se numeşte nulitatea lui A şi dimensiunea ima· Nulitatea lui A +rangul lui A =dimensiunea lui V. ginii este rangul lui A. O teoremă. impor.tantă. asupra aplicaţiilor liniare afirmă.: Din această.._ teoremă. rezultă. că. dimensiunea lui A este ~el mult egal~ cu dimensiunea lui V. Nulitatea este o măsură. a abaterii lui A de la o aplicaţie biunivocă.. Dacă. nulitatea este O, atunci A este biunivocă..

Exemplul 3. Membrul intii al unui sistem de ecuaţii liniare defineşte o aplicaţie liniară. A a spaţiului vectorial a" pe spaţiul vectorial am prin care fiecărui n-uplu x= (x1 , ... , x~) i se asociază. m-uplw A (x) = (a11 x 1 + ... + ~,.x,., am1 x 1 + ... ... + am"x,.). Se poate verifica uşor că. această. aplicaţie este liniară.. Problema rezolvării sistemului de ecuaţii poate fi interpretată. astfel: fiind dat vectorul (b1 , ... , bm) din am, să. se găsească. toţi vectorii în R" care se aplică. prin A pe (bt •... ,bm). Sistemul omogen asociat se obţine atunci cînd se caută. vectorii care se aplică. prin A pe (0, ... , 0}. Spaţiul vectorial al soluţiilor sistemului omogen este nucleul lui A. Dacă. nulitatea lui A este O, atunci sistemul omogen are numai soluţia banală. şi sistemul neomogen are cel mult o soluţie, A fiind biunivocă.. Imaginea lui A este mulţimea vectorilor (b1 , ... , bm} pentru care soluţiile sistemului există.. Rangul lui A se poate calcula din coeficienţii ecuaţiilor (vezi Rangul unei matrice).

...,

Aplicaţiile liniare biunivoce ale unui spaţiu vectorial V pe un spaţiu vectorial V' joacă. un rol important în algebra liniară.. Astfel de aplicaţii se numesc izomorfisme. Dacă. A este un izomorfism al lui V pe V', atunci imaginea inversă. este un izomorfism al lui V' pe V. Spaţiile V şi V' se numesc izomorfe şi se notează. V ~ V' . Spaţiile vectoriale izomorfe au proprietăţi algebrice identice. Izomorfismul este o relaţie de echivalenţă. definită. pe mulţimea spaţiilor vectoriale, adică. este reflexiv!, simetrică. şi tranzitivă..

Exemple de aplicaţii liniare 4. Pe orice spaţiu vectorial fiecare vector pe el însuşi, este liniară. şi este un izomorfism. I(x

+ y}

= x

+y=

I(x}

+ I(y}

şi

aplicaţia identică

I, care

aplică.

l(ax) = a • x = a · I(x}

5. Dacă. V este un spaţiu n-dimensional cu baza e 1 , ... , e,., fie aplicaţia ~a lui V peR" care pune în corespondenţă. vectorului x = a 1e1 + ... + a.e,. n-uplul (a1 , ... , a,.} al coordonatelor sale în baza dată.. Aplicaţia ~ este liniară., biunivocă. şi fiecare n-uplu de numere reale este imagine a unui vector în V. tll este deci un izomorfism şi deci orice spaţiu vectorial n-dimensional este izomorf cu a,.. Importanţa aplicaţiilor liniare. Deoarece aplicaţiile liniare sînt compatibile cu operaţiile definite într-un spaţiu vectorial, ele fac posibil transferul unor situatii algebrice sau al unor probleme dintr-un spaţiu în altul. Deosebit de importante sînt izomorfismele deoarece proprietăţile algebrice ale submulţimilor de spaţii vectoriale, de ex. dependenţa şi independenţa, sau dimensiunea sînt invariante la izomorfisme. Prin aceste aplicaţii orice teoremă. referitoare la aceste concepte este adevărată. pentru toate spaţiile izomorfe cu V, dacă. au fost demonstrate pentru V. În particular poate fi exploatat izomorfismul spaţiilor n-dimensionale cu an. Aplicaţia pe spaţiul coordonatelor transpune relaţii dintre vectori în relaţii dintre numere, respectiv dintre coordorţatele acestor vectori. Totuşi, această. aplicaţie depinde esenţial de alegerea unei baze astfel încît diferite mulţimi de ecuaţii pot să reflecte aceeaşi mulţime de relaţii. Din acest punct de vedere, aplicaţiile liniare sînt importante, deoarece des~. riu relaţii între diferitele mulţimi de coordonate.

Operaţii definite pentru aplicaţii liniare . Este remarcabil faptul că. mulţimea aplicaţiilor liniare ale unui spaţiu vectorial V pe un spaţiu vectorial V' constituie la rîndul lor un spaţiu vectorial. Dacă A şi B sînt aplicaţii liniare ale lui V pe V', atunci suma lor A+ B se defineşte prin (A + B) (x} = A (x) + B(x) pentru toţi vectorii x din V. Similar, produsul a · A se defineşte prin (a ·A)(x) = a ·A (x). Se verifică uşor că A + B şi a ·A sînt la rîndul lor liniare şi că sînt îndeplinite proprietăţile spaţiilor vectoriale. Dacă dimensiunile lui V şi V' sînt m şi n respectiv, atunci dimensiunea spaţiului aplicaţiilor liniare ale lui V pe V' este m ·n.

Matematici superioare

4.58

Produsul a două aplicaţii se defineşte ca rezultatul acţiunii lor succesive. Pentru ca acest lucru să aibă sen~. trebuie ca prima apli~aţie să fie definită pe imaginea celei de-a doua; cu alte cuvi11te, dacă B este o aplicaţie liniară a lui V pe V' şi A o aplicaţie a lui V' pe V"', atunci se obţine aplicaţia A ·B, aplicînd pe B vectorilor din V şi apoi pe A rezultatului. Astfel, A ·B este o aplicaţie liniară a lui V pe 17. 4 . 3. Produsul A ·B a V"' (fig. 17.4.3). d 011 ă li ţ·· li · Din faptul că A ·B este definitli., nu rezultă, în general, că şi ap ca 11 mare B ·A este definită, şi chiar dacă sînt amîndouă definite, aceasta nu înseamnă că. sînt amîndouă neapărat egale (fig. 17.4.4). Astfel, înmulţirea aplicaţiilor nu este comutativă. Ea este însă asociativă şi distributivă A ·(B

+ C) =

A ·B

+A

· C şi (A

+

B) · C

=

A ·C

+B

· C. ·

Aplicaţii Uniare speciale. Un interes deosebit pentru studiul structurii unui spaţiu vectorial V prezintă aplicaţiile lui V pe el însuşi. Acestea se numesc operatori liniari sau transjormiJri liniare pe V. Transf.:wmările liniare ale unui spaţiu vectorial n-dimensional JormeaziJ un spaţiu vectoria . de dimensiune n 2 • Pentru două transformări liniare A şi Bale aceluiaşi spatiu V există întotdeauna

D(z) •D(x}

j{

17.4.4. Rotaţiile sferei în jurul axei Ox (D(x)) şi în jurul axei Oz (D(z)) ; D(x) · D(z) duce punctul P în punctul P 1 iar D(z) · D(x) duce punctul P în P 2 diferit de P 1 ambele produse A · B şi B ·A. De a~ee3. se p:>3.te defini o înmulţire (neomutativ:i) p~ntru transformările liniare pe V. Un exemplu de transform:1.re liniar:i este aplicaţia identică pe un spaţiu V care poartă numele de transformare identică. Această transformare este un izomorfism al lui V pe el însuşi. Transformările liniare care sint izomorfisme ale lui V se numesc regu!ate (sau nesingulare) ; dacă o transform:lre liniară nu este un izomorfism , ea se numeşte singulară. Transformările regulate au proprietatea că. imaginea. unei baze este tot o buă. Ele m:i.i pot fi caracterizate în modul urmUor: o transform:~.re liniară A este regulată dacă şi num:Ji dacă există o transform:z.re liniară B astfel ca A · B= B ·A =1. În acest caz B este unic determinată şi poartă numele de im:1.gine inversă a transformării A şi se noteaz1 cu A-1 • De ex. I- 1 =1. Exemple de transformări regulate sînt rotaţiile planului Î!l jurul originii. Invers1. transformării este atunci rotaţia de acelaşi unghi dar în direcţie opusă. In acelaşi mod rotaţiile în jurul unei axe care trece prin origine sînt transformări liniare regulate ale spaţiului tridimensional V3 . Transformarea A B nu trebuie în general să fie regulată chiar dacă A şi B sînt astfel. Produsul A · B sau B ·A a două transformări regulate este întotdeauna regulat. Transformarea inversă pentru A· B este B-1 • A-1 . Mulţimea transformărilor regulate are în raport cu înmulţirea proprietăţi similare cu acelea ale numerelor reale diferite de zero (cu excepţia comutativităţii). Transformarea identică joacă acelaşi rol ca numărul 1, deoarece A · 1 =l ·A = A pentru orice t ransformare A. În algebra abstractă o mulţime cu aceste proprietăţi poartă numele de grup (vezi cap. 16). Mulţimea transformărilor regulate se numeşte grup liniar general pe V şi se notează cu GL(V) Dacă spaţiul vectorial este euclidian, se poate asocia fiecărei transformări liniare A o altă transformare A*, unic determinată prin condiţia A(x) · y = x · A*(y) pentru toţi vectorii x şi y din V . Acest A* estetransform:Jrea adjunctă a lui A. Transformarea adjunctă are proprietăţile

+

(A

+ B)*

=A *

+ B*,

(A · B)*

=

B* ·A*, (a ·A)* =a ·A*, (A*)* =A.

Deosebit de importante sînt transformările autoadjuncte sau simetrice. Ele sînt caracterizate prin egalitatea A • = A . Aceste transformări apar frecvent în probleme de fizică şi au în anumite

A

459

lgeb1'ă linia1'ă

privinţe o structură. foarte simplă.. Transformă.rile analoage pentru spaţii vectoriale complexe infinit dimensionale, aşa-numitele transformă1'i hermitiene, joacă un rol important în mecanica cuantică. Exemple banale de transformări simetrice sînt multiplii a· I ai transformării identice. Într-un spaţiu vectorial euclidian V, produsul scalar poate fi folosit la definirea lungimii vectorilor şi a unghiului dintre aceştia. Astfel, în investigarea acestor spaţii sînt deosebit de utile transformările liniare compatibile cu produsul scalar. O transformare liniară A pe V este ortogonală dacă lasă invariant produsul scalar, adică, dacă x·y = A(x) · A(y) pentru toţi vectorii x şi y din V. O transformare ortogonală păstrează lungimea vectorilor şi unghiul format de aceştia. Rotaţiile planului şi ale spaţiului cu trei dimensiuni sînt alte exemple de transformări ortogonale, rotaţiile păstrează lungimile şi unghiurile. Transformările ortogonale pot fi caracterizate în modul următor: o transfcrma1'e liniară este 01'togonală dacă şi numai dacă imaginea unei baze ortcnormale este tot o bază 01'tcno1'mală. O descriere mai succintă a transformării ortogonale este urmă.toarea: O transformare liniară A este ortogonală dacă şi numai dacă A* = A - 1 . Ţinînd seama de această definiţie, orice transformare ortogonală are o inversă , deci este regulată. Inversa unei transformări ortogonale este ortogonală şi produsul a două transformări ortogonale este tot o transformare ortogo nală: mulţimea tran sformărilo r ortogonale formează deci u n grup, g1'up ul o1'togcnal pe V. Toate transformările ortogonale ale lui V 3 se pot obţine ca rotaţii sau produse de rotaţii cu simetrii faţă de un plan. O rotaţie este complet determinată de rotaţia indusă într-un plan perpendicular pe axă. Acest lucru poate fi folosit pentru găsirea unor matrice speciale care să reprezinte transformările ortogonale pe v3.

17.5. Matrice Proprietăţile mulţimi i soluţiilor unui sist em de ecuaţii liniare depind în mod esen ţ ial d e coeficienţii ati ai sistemului. Un ta-blou dreptunghiular format cu aceşti coeficienţi aranjaţi în m linii şi n coloane poartă numere de mat1'ice m X n, A. N urnerele din acest tablou sînt elementele mat ricei A. n-uplul element elor pentru care primul indice este i se numeşte linia i a mat1'icei şi m-uplul elementelor pentru care al doilea indice este j formează coloana j a mat1'icei .

O matrice m x n are m linii mat ricea A se folosesc notaţiile A

şi

=

n coloane. Dacă m = n , matricea se zice păt1'ată . P entru (at j) sau A = (at j)mn pentru a indica liniile şi coloanele.

Operaţii cu matrice. Matricele de acelaşi format (adică cu acelaşi număr de linii şi cu acelaşi n umăr de coloane) se pot aduna. Suma a două astfel de matrice se defineşte ca matricea sumelor elementelor corespunzătoare din matricele iniţiale. O matrice se poate înmulţi cu un număr, înmulţind fiecare element prin acest număr.

Adunarea a

rll

două

matrice m

X

......... : : )+ C":

a~2 . . . timn

a:nl

b".mt

n b12

•• •

~m2 •·· 6mn

Înmulţirea matricelor ·cu un

("u +

b1 n )

număr

=

..

am1

~ bmt

a., + b12 am2

:r

•••

a,,. + b n ) 1

bm2 ·· · amn

1

~ bmn

real

~ ···~·) (~ ~· . ···,'"••) . cam2 .. . camn dm2 •·· a~n = C~m1

c (au :

am1

b11

1

E xempluil .

(_~

-2 1

~) + ( -2) G -2

-2)= ( 1

- 2

-1

-2

o)+ {-4

1 2

- 6

- 2 4

-4 4)4 = (-3 -7

Adunarea şi î nmulţirea cu un scalar a matricelor m X n au proprietăţile obişnuite.

5

Matematici superioare

-460 Mulţime a

spaţiu

matricelor m X n for meazA un

vectorial de dimensiune mn.

Vectorul nul al acestui spaţiu este matricea nulă care are toţi coeficienţii nuli. Două matrice nu se pot înmulţi întotdea1. na. Produsul A B al unei matrice A de tip m X n cu o matrice B de tip r x s este definit numai pentru cazul n = r. În acest caz produsul este o matrice de tip m X s, C = (ctj) ale cărei elemente se definesc astfel: Ctj

=

at 1b11

n

+ at2bzj + ... + atnbnj =

~ k=l

ao:blc1·

Elementul Ctj poate fi interpretat ca produsul scalar al liniei i a matricei A cu coloana j a matricei B .

Exemplul2.

- 1) {2 1 o 2 o

-

o) = ( 1·2 + (- 1) . 2 2 ·2 +

1

1·1 2·1

o·2

+ (- 1) ·O + 0·0

t·O 2·0

+ (- t) . (- t)) = + 0·(-1)

(o 1 1) 4 2

o

În general, existenţa produsului A ·B nu implică posibilitatea definirii produsului B ·A şi chiar ambele sînt definite, ele nu trebuie să fie egale după cum se poate vedea din următorul calcul: dacă

(~ ~) .e~) c~), c~) .(~ ~) c~) , =

Ca

=

dar

şi înmulţirea transformări/ar

înmulţirea

liniare,

matricelor nu este

comutativă.

Ea este

însă asociativă şi distributivă.

Înmulţirea matricelor

A=

Condiţii

ca

înmulţirea să

(atj}m.n · (btj)n,s

(aH)m,n

B = (btj)r,l

=

Ctj

at1b 11

posibilă:

fie

n

=

=

(Ctj)m,s 'cu

Reguli

r

+ ... + atnbnj =

(AB) C = A(BC) A(B + C) = AB + AC (A+ B)C =AC+ BC

n

~ at1cb1c1

i=l

Matricele pătrate de aceeaşi mărime se pot întotdeauna înmulţi. Există o matrice n X n, specială, matricea unitate sau matricea identică care lasă neschimbată. prin înmulţire la dreapta sau la stînga

=

(;

:. .:)

1 orice matrice: 1 ·A = A · 1 = A . :·.- . Mulţimea matricelor n x n are astfel proprietăţi similare cu mulţimea transformărilor unui spaţiu vectorial. Prin analogie cu o o •.. 1 denumirea transformărilor regulate, o matrice pătrată A se zice regulată . (sau nesingulară) dacă există o matrice pătrată B astfel încît AB = BA = 1; în caz contrar A este singulară. Matricea B este unic determinată şi se numeşte matrice inversă a lui A, fiind notată cu A-1 • Mai 1os se vor da reguli de calcul al matricei inverse.

.....

Exemplul 3. Inversa matricei

A = ( Ca şi

şi

2 -1

1 ) este A-1 1

în cazul

(AB)-1

=

=·(

2 113 113 ) pentru ( 1/3 2/3 ' - 1

transformărilor

B-lA-1, (A-1)-1

liniare, inversa

= A.

Mulţimea matricelor regulate poartă numele de grup liniar de

el este izomorf grupului GL(V).

şi

n x n formeazA grad n

şi

se

1) .(1/3 1

1/3

produsul matricelor regulate sînt tot regulate

grup in raport cu inmulţirea matricelor. El cu GL(n). Deşi conceptual diferit

notează

Algebră liniară

461

Fiecă.rei matrice m X n, A, i se poate asocia.

(a

matricemxn,AT,transp~sa

a

)

(a 1

a

)

luiA. Ea se A= .':'".~·:.~~ _ . AT= . ~.:··.. ~~ obţine din A schimbînd liniile cu coloaam1 ... amn a1 n ... amn ncle: · , Pentru o matrice pă.trată. transpunerea unei matrice se poate vizualiza ca o simetrie faţă. de diagonala principală. Exemplul 4. 5. o

A,~

(/ 0o/ 1) -1

;

Regulile după. care se face transpunerea unei matrice sînt asemă.nă.toare cu acelea prin care se obţine adjuncta unei transformă.ri liniare. (A + B)T = AT + BT; (aA)T = a·AT; (A·B)T = = BT·AT;(AT)T = A . Dacă. A este o matrice regulată., atunci şi ATeste regulată. şi inversa lui ATeste transpusa lui A-1: (A-t)T = (AT) - 1. Determinantul unei matrice. Calculul matricei inverse. Fiecă.rei matrice pă.trate A i se asociază. A un numă.r . real, determinant uZ lui A (vezi Deter-

(a11

...

~1

a 1n)

= ........ •

detA

an1 ... anm

minanţi)

Există.

o

mulţirea

Teorema produsului det (A · B) = (det A) · (det B)

legă.tură. strînsă.

matricelor

...

aln

1

= ....... · 1 1anl ... ann între în-

şi înmulţirea

determinanţilor, exprimată. prin teorema produsului. Din regulile de calcul ale determinanţilor rezultă. imediat det 1 = 1, unde 1 este matricea identică..Rezultă. că. dacă. A este regulată., atunci (det A) (det A) - 1 = 1 şi deci determinantul unei matrice regulate (nesingulare) este diferit de zero. Reciproca este de asemenea adevă.rată.. Dacă. determinantul unei matrice este diferit de zero, atunci A este regulată.. Acest lucru se explicitează. printr-o formulă. de calcul pentru A - 1.

Inversa A-1 a matricei A

au ... al")

A = ( ........

;

A -1=

__l_(Au ··· Ant) det A

anl ... ann

A. · · · ·A·· · 1n ...

nn

Aii este cofactor al lui aii în A.

Exemplul6.

o

A~(_~

-1

A-t

=

o

~ (=~ 1

-2

:

A12

=

-1

o

Elementul -4 = A 12 al matricei din dreapta este cofactorul lui a12 Exemplul 7. Calculul inversei unei matrici 2 x 2 regulate

A

=

(au a21

~2).

A-l=

a22 '

1 ( a22 ana22 - a12a21 -a21

2

-2

=

O în A.

-a12). au

În afară. de această. metodă. de gă.sire a matricei inverse prin cofactori, matricea inversă. se mai poate calcula rezolvînd un sistem de ecuaţii. Ecuaţiile se obţin considerînd elemente1e lui A-l necunoscute, în ecuaţia matriceală. (AA- 1 = 1). au ... a1n) lxu .. . X1n) ( ~~1·.- .-~~~ ;~~: . :·x~:

.

După.

(1 ... O)

= o·:.~·i

.

efectuarea îmulţirii , se obţine un sistem de n 2 ecuaţii liniare cu n 2 necunoscute. Xii' A-1 se obţine rezolvind sistemul prin regula lui Cramer. Inversa A - 1 se mai poate calcula considerînd sistemul de n ecuaţii cu 2n variabile x1, ... , Xn,

Yt• ... ,yn: auxl

+ ··· + atnXn =

Y1

Acest sistem se poate rezolva prin regula lui Cramer sau prin algoritmul lui Gauss:

-462

Matematici superioare Matricea B = (btj) a coeficienţilor sistemului din dreapta este inversa matricei A. mai puţine ecuaţii.

Această

metodă necesită

Reprezentarea prin matrice a

aplicaţiilor

liniare

Operaţiile cu matrice reflectă. evident asemă.narea acestora cu operaţiile cu aplicaţii liniare. Acest lucru este adevă.rat nu numai pentru înmulţirea cu scalari şi adunare, ci şi pentru înmulţirea aplicaţiilor liniare şi a matricelor, în particular pentru condiţiile de existenţă. a produsului, a inversei etc. Această. asemă.nare exprimată. prin terminologie similară. nu este accidentală.. Desigur, importanţa matricelor constă. în mare mă.sură. în faptul că. ele se folosesc pentru descrierea numerică. a aplicaţiilor liniare. Acest aspect este legat şi de folosirea matricelor în descrierea sistemelor de ecuaţii liniare. O aplicaţie liniară. A a unui spaţiu vectorial n-dimensional V pe un spaţiu vectorial m-dimensional V' se poate reprezenta printr-o matrice m x n în modul urmă.tor. Dacă. x1 , ••• , x 11 şi Yt> ... , Ym sînt baze în V şi V' respectiv, atunci imaginile lui x1 , ••• •.. , Xn se pot exprima în funcţie de baza y 1 , .•. , Yn prin:

sau A (xj) A(xn)

=

a1nY1

+ ··· + amnYn

=

m

~

atj

pentru

j

=

1, ... , n.

i=l

Astfel aplicaţia liniară. A este complet determinată. prin imaginile A (xt) ale vectorilor bazei x 1 , ... , Xn; un vector arbitrar x = a 1 x1 + ... + anXn din V, are atunci imagineaA(x) = A (a1 x1 + ... ... + anxn) = a 1A(x1) + ... + anA(x.n )· Aplicaţia liniară. este deci complet caracterizată. prin cele m ·n numere ati. Este mai convenabil însă. să. se folosească. pentru reprezentarea lui A t ranspusa matricei coeficienţilor. Coloana j din A este mulţimea coordonatelor lui A (xj) în raport cu baza y1 , . •• , Ym· Trebuie remarcat că. alegerea matricei care reprezintă. pe A depinde de alegerea bazelor în V şi V'. Dacă. bazele V şi V' sînt fixate, atunci corespondenta dintre aplicaţiile linimatrice are proprietă.ţile ală.turate : In aceleaşi condiţii există. o matrice m x n unică. asoci- Dacă A- A şi B- B, atunci ată. cu orice aplicaţie liniară. şi reciproc. Aceste afirmaţii A+B-+ A + B şi a· A-+ a· A sint reunite în urmă.toarea teoremă: are

ş}

Spaţiul vectorial al matricelor m X n.

aplicaţiilor

liniare de la V la V' este izomorf cu

spaţiul

vectorial al

Acelaşi lucru se întîmplă. şi cu înmulţirea. Dacă. A este o aplicaţie liniară. a lui V' pe V" şi B o aplicaţie liniară. a lui V pe V', atunci, alegînd baze în V, V' şi V", se pot asocia aplicaţiilor A Dacă A-+ A şi B-+ B, atunci A·B-+ A·B şi B matrice. Se poate demonstra că.: Reprezentarea aplicaţiilor liniare prin matrice este întru totul analoagă. reprezentă.rii vectorilor prin n-upluri în raport cu o bază.. Coordonatele unei aplicaţii liniare se aranjează. într-un mod special pentru obţinerea unei matrice. Analogia în ceea ce priveşte operaţiile apare acum ca o consecinţă. a faptului că. operaţiile cu matrice sînt definite în aşa fel încît să. corespundă. operaţiilor cu aplicaţii binare pe care le reprezintă.. Dacă. o aplicaţie liniară. a lui V pe V' este reprezentată. printr-o matriCe m X n, A = (atj) în raport cu baze fixate în V şi V', atunci ecuaţia vectorială. A (x) = x 0 poate fi rezolvată.. Se cere aici gă.sirea tuturor vectorilor x în V care se aplică prin A pe un vector x 0 a lui V'. Dacă. bt> ... , bn sînt coeficienţii lui x 0 în V', atunci problema gă.sirii coordonatelor x1 , •.. , Xn ale unui astfel de vector x este pur şi simplu problema rezolvă.rii sistemului de ecuaţii

Rezultă. Dacă.

liniare.

vectorială.

de aici legă.tura diritre ecuaţiile date prin aplicaţii liniare şi sistemele de ecuaţii sistemul este scris în formă. matriceală., devine evident că. este acelaşi lucru cu ecuaţia A (x) = x 0 scrisă. în coordonate.

Algebră liniară

463 şi

Aici coordonatele lui x

Reprezentări ale transformărilor spaţiu vectorial n-dimensional

a unui

liniare. Pentru a asocia o matrice unei transformări liniare V, este suficientă alegerea unei baze x1 , ••• , x 11 • Din ecuaţiile

A (x1) = a 11 x1 + ... + amXn .................... .. .. A(x11) = a 1 nx1 + ... + annXn

se

obţine

matricea care

Transformările

singură coloană.

x 0 se scriu ca matrice cu o

sau

A (xj)

=

n

~

atjX(

j

pentru

=

1, ... , n

i=l

reprezintă transformarea

A -A

=

{~~1. :·: .~1~) · an1 ... ann

liniare sînt întotdeauna reprezentate prin matrice

pătrate.

DaciJ o transformare liniariJ este regulată, atunci matricea care o t'eţrezintă va fi de asemenea t'egulatiJ ~i reciproc. Transfot'marea inversă este reprezentati}, prin matricea inversă. DaciJ A - A, atunci A -

1-

A - 1,

DaciJ A - A ~i B- B, atunci A + B-A+ B;

a·A- a·A; şi A ·B-A · B

Exemplul8. Dacă A este transformarea menţionată de mai multe ori, obţinută prin rotaţia planului în jurul originii O cu un unghi cp şi dacă x 1 şi ~ sînt doi vectori din bază ortogonali şi de lungime 1, atunci reprezentanţii acestor vectori aplicaţi în origine se aplică pe reprezentanţii imaginilor A(x1) şi A(x2) (fig. 17.5.1). Evident A(xJ şi A(~) verifică ecuaţiile alăturate. Operatorul A este astfel reprezentat prin matricea A. Operatorul A -1 A (xl) = cos cpx1 + sin cpx2 A(~) = -sin cpx1 + cos cpx2 este rotaţia de unghi cp în direcţia opusă, adică rotaţia de unghi - cp. A = (c~s cp -sin

cp)

Stn

cp

COS

cp

-sin ( ~cp)) = ( c~s cp sin .cp) sin ( -cp) cos ( -cp) -sm cp coscp Exemplul 9. Dacă 1 este transformarea identică a lui V :x1 , ... , Xn o bază în V, atunci

A-1 -

x,

A - 1 = (cos ( - cp)

= =

x1

1 (~) I (xn)

=

x 11

I (x1)

~

= = =

1 • x1 O • x1 O • x1

şi

17.5.1. Rotaţia planului în jurul unui punct O de un unghi cp

+ O • ~ + ... + O • x + 1 • ~ + ... + O • Xn +

O•~

+ ... +

1 • Xn

În orice bază transformarea identică se reprezintă prin matricea unitate. În general, matricea A care reprezintă transformarea liniară A depinde de alegerea bazei. x1, ... , Xn şi x~ •... , ~ sînt două baze ale lui V, atunci A - A în raport cu baza x1 , .•. , Xn şi A - A' în raport cu baza x~ .... , ~. Se poate defini acum , cu ajutorul celor două baze, transformarea C : C(x1) = x~, ... , C(x11) = ~· Dacă transformarea C este reprezentată prin matricea C în raport-cu bazele xv ... , xn, atunci are loc relaţia A' = C- 1AC. Aceasta este regula de transformare pentru matrice reprezentînd acelaşi operator. îri raport cu baze diferite. Matricele pentru care are loc relaţia de mai sus se numesc asemenea. O problemă care se ridică în mod natural, în acest context, este aceea a existenţei unei baze pentru care matricea reprezentînd o transformare dată este cea mai simplă cu putinţă. Aceasta este problema găsirii formelor normale pentru transformări şi este strîns legată de teoria valorilor proprii (vezi Transformări ale axelor principale). Dacă

şi

Schimbarea de coordonate. Dacă se dau într-un spaţiu vectorial V două baze x1 , y1, ... , y 11 , atunci un vector x are coordonate în raport cu ambele baze:

••• ,

x 11

464

Matematici superioare Schimbarea de la un sistem de coordonate la altul este sau

Yi

= ~" .= 1

Coordonatele x 1 , Xj

" = !:

. •. ,

x 11 şi y 1 ,

ajtYt pentru

... ,

i=

de

=

pentru j

a, 1x,

Yn satisfac acum

descrisă.

ecuaţiile

1, ... , n .

relaţiile

1, ... , n •

i=l

Formulele inverse se

obţin

=

trecînd de la matricea A

(atj) la matricea A - l

=

(ai 1).

Trecerea de la baza x1 , ... , x11 la baza y 1, .. , y 11 Transformarea vectorilor din

,.

Y1

= !:

bază

Transformarea coordonatelor n

a_tjXt

(atj) = A

Yt

i= l

!:

aj,x ,

(aj,) = (A-1) 7'

a11Y1

(a,,) = AT

i= l

n

X(=

= !:

ai1Yi

(ai J)

i= l

=

A -1

n .

Xj

= !:

i= l

Astfel, dacă. baza y1 , .• • , Yn este reprezentată. prin matricea A în raport cu baza xv ... , Xn atunci coordonatele lui x în raport cu baza y1 , •.. , Yn se obţin din coordonatele în raport cu x 1, •. . , Xn cu ajutorul matricei (A- 1) T , după. cum se vede din ecuaţiile de mai sus. Pentru baze ortonormale într-un spaţiu vectorial euclidian , matricea de transformare este ortogonală. şi deci egală. cu matricea de transformare a coordonatelor. În acest caz particular, coordonatele se transformă. în acelaşi mod ca bazele. Rangul unei matrice. Pentru orice ·m atrice m x n , A se poate determina un numă.r maxim de coloane sau linii liniar independente, considerînd liniile şi coloanele elemente din an sau am respectiv. Aceste două. numere sînt întotdeaun3. egale şi dete rmină. rangul matricei . Dacă. matricea A reprezintă. aplicaţia liniară. A, atunci rangul lui A este acelaşi cu rangul lui A . Rangul se poate calcula folosind urmă.toarele proprietă.ţi :

Rangul unei matrice rămîne neschimbat daci!: 1 . .un multiplu al unei linii (coloane) se aduni! la o altă linie (coloană) sau 2. · liniile (coloanele) se schimbi! între ele. Folosind aceste reguli, o matrice poate fi adusă. la o formă. în care numai elementele la care indicele coloanei este egal cu indicele liniei sînt diferite de zero. Rangul lui A este numă.rul elementelor diferite de zero. Această. metodă. este foarte apropiată. de algoritmul lui Gauss de rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Pentru o matrice pă.trată. este suficient să. fie transformată. într-o formă triunghiularil în care toate elementele aflate sub diagonala principală. (sau deasupra ei) sînt nule. Dacă. acest lucru se face în aşa fel încît diagonala principală. conţine maximum posibil de elemente nenule, atunci numă.rul acestora este rangul matricei.

Exemplul10. Matricea A se transformă. în A 2 adunînd coloana a doua la prima şi a treia. doua şi de trei ori prima din a treia, se obţine A 3 • Schimbînd primele Rangul lui A, este 2.

Scă.ziild prima coloană. din a două. coloane se obţine A,.

A = (

-1 1

o

1

o) - +A = (o1

1 3

3

1

o) __,.A ' = (o1 o1 oo)

o o

Exemplul 11 . În matricea iniţială. A se adună. prima linie înmulţită. cu 3 la a doua şi prima linie înmulţită. cu 2 se adună. la a treia. În matricea transformată. se schimbă. între ele coloana a doua cu a treia. Rangul lui A este 3.

o 3

A lgebriJ liniariJ Ţipuri speciale de matrice. Corespunzâtor diferitelor tipuri speciale de transformâri liniare, exista. unele tipuri speciale de matrice. Daca. V este un spaţiu vectorial euclidian şi daca. o transformare A este reprezentata. în raport cu o baza. ortonormalâ prin matricea A, atunci transformarea adjunctâ A • este reprezentata. prin matricea transpusâ AT. Aşadar, transformârile simetrice pentru care A = A• sînt reprezentate prin matrice simetrice pentru care A = AT. Deosebit de importante sînt matricele ortogonale deoarece ele transforma. baze ortonormale tot în baze ortonormale. Folosind coordonatele, aceasta. proprietate se exprima. astfel: Coordonatele unui vector în raport cu un sistem de coordonate rectangulare se transfcrmiJ în cocrdonatele în raport cu un alt sistem de coordonate rectangulare cu a jutcrul unei matrice ortcgcnale. O matrice este ortogonaliJ daca. AT= A - 1 • Aceasta. ecuaţie se mai poate scrie A· AT=J şi se interpreteaza. astfel : intr-o matrice ortogonaliJ produsul scalar al diferitelor linii este egal cu zero ~i produsul scalar al unei linii cu ea însiJ~i este egal cu unu. Aceleaşi afirmaţii sînt adevârate şi pentru coloanele lui A şi oricare dintre formulâri (pentru linii sau pentru coloane) reprezinta. o condiţie suficienta. pentr·u ca o matrice sa. fie ortogonalâ. De exemplu, orice matrice ortogonalâ 2 x 2 poate fi scrisa. sub forma

- sin 0, q>l şi pentru a1 O, a 1 = 11/n2 - O 1 = 1/n2 < t pentru orice n > N(e) = 1/Ve.

1an-

Şirurile

{b,.

+ b}

cu limita O se numesc ~iruri nule. Pentru orice şir nul {b,.} se poate construi un şir cu limita b. Invers, dacă {a,.} converge către a, şirul {a,. - a} este un şir nul.

Convergenţa progresiilor aritmetice~~ geometrice infinite. Şirurile care nu sînt convergente se numesc divergente. Orice progresie aritmetică infinită cu an= a 1 + (n- 1)d este divergentă. Diferenţa dintre doi termeni vecini fiind d, nu este posibil ca aproape toţi termenii să se afle într-o vecinătate a unui număr fixat.

Şiruri.

473

Serii. Limite

Dac~ raţia d num~r. oricît

orice

are valori pozitive, termenii a,. ai progresiei vor fi în final mai mari decît de mare. Simbolic, aceasta se scrie Iim a,.= oo, şi un şir cu aceast~ proprien-+oo

tate se numeşte impropriu divergent. Pentru valori negative ale lui d, termenii vor deveni mai mici decît orice num~r. oricît de mic. Şi acest şir se numeşte şir impropriu. divergent. Se scrie Iim a,. = - oo. n-+oo

Orice progresie geometrică infinită cu converge către zero, dacă valoarea absolută lq l mai mică decît 1; dacă valoarea absolută 1q 1 este mai mare decît 1, progresia este anume pentru q > 1 este impropriu divergentă . a,.=a1qn-1

raţiei este divergentă şi

a

atunci {p,.} este un sub~ir al Dac~ se alege un asemenea

... , p,., este un şir infinit şi monoton cres~tor de numere naturale , şirului de numere naturale , de exemplu şirul 1, 3, 7, 9, 13, 14, 27, ... şir {Pn} de indici, atunci din fiecare şir de numere {an} se obţine un

subşir {ap

..!. , ..!. , ... este un subşir al şirului 1, ..!. , ..!. , ..!. , ..!. ,... Dac~ pen-

Subşiruri. Da~

11

};

p1 , p2 , p3 ,

de exemplu 1,

8 64 2 4 tru orice n > n 0 , valorile lui a,. se g~esc în e-vecin~tatea limitei a, atunci acelaşi lucru este valabil şi pentru termenii subşirului .

8

16

adi~

1

a,.- a 1 < e,

Orice subşir {ap11 } : al unui ~ir {a,.} convergenta,.-a, converge de asemenea către aceeaşi limită a. Teoreme asupra şirurilor convergente. Convergenta şirului {an} este dat~ de existenţa unui num~r N(e) astfel incit 1 an- a 1< e. Eliminarea sau introducerea unui num~r finit de termeni la începutul şirului nu influenţea~ convergenţa şi limita şirului, cel mult m~rimea lui N(e) . Şirurile

se

convergente sint mirginite.

D~ şirul {an} are limita a , pentru orice num~r pozitivE:, în afara intervalului (a -E:, a+e) g~sesc numai un num~r finit de termeni şi o mulţime fini~ de numere este m~rginit~. Da~ şirul convergent {an} are marginea superioar~ K, atunci limita a nu poate fi mai mare

decît K.

Un

şir

convergent are o

singură limită.

Dac~ {an} ar avea dou~ limite diferite a şi a' , atunci E: ar putea fi ales astfel încît e-vecinM~ţile lui a şi a' ~nu aib~ puncte comune. De la un anumit indice N(r.) , o infinitate de termeni ai şirului se g~esc în afara e-vecin~~ţii lui a şi o infinitate de termeni se g~sesc în afara e-vecin~~tăţii lui a', ceea ce contrazice faptul c~ a şi a' sînt limite.

Daci şirurile a,. converg

către

şi

b,. au limitele respectiv a

şi

b, atunci

şirurile

{a,.+b,.}, {a,.-b,.}, {a11b,.}

a+ b, a- b, ab respectiv, iar daci limita b este diferiti de zero,

şirul{~} con-

verge către .!!:.. • b S~presupunem,

deexemplu, ~pentruunr. oarecare are loc l(a,.+b,.)-(a+b) l n 2• Atunci , con-

2 form inegali~ţii triunghiului 1 (a,.+ b,.) - (a+ b) 1 = 1 (an -a) + (b,.-b} + 1 b,. - b 1 < E: este adev~rată pentru n > max (n 1, n 2}.


1.

= O.

După. cum arată. ultimele două. exemple, funcţia exponenţială. aa: creşte mai repede infinit decît orice putere x", dar funcţia putere creşte mai repede decît cea logaritmică..

şi

către

Celelalte expresii nedeterminate. Cu ajutorul regulii lui Bernoulli şi l'Hospital pot fi tratate celelalte cazuri de nedeterminare, transformînd expresiile respective in forme care, pentru

"194

Matematici superioare

sau ~. 0 00 pentru cazul Iim f(x) = O, Iim g(x) = oo, atunci scriem punctul "critic", duc la expresiile nedeterminate

f(x)g(x) =

_jJ!)_ sau

~ şi

f(x) · g(x) =

1

Dacă. avem de calculat lim[(Jx)g(x)] S-+11

ajungem astfel la cazurile

1

g(x)

~,respectiv~. o

00

f(x)

Iim x arccotg x

Exemplu.

=

=

Iim arccotg x 1

S-+00

Dacă.

~

Iim

S-+00 .

1.

S-+00

avem de calculat Iim (f(x) - g(x)] pentru cazul cînd Iim f(x)

1

=

Iim g(x);:;, oo, scriem

1

-----

! (x) _

cu Iim tp(x)

=

S-+11

g( x)

= __ 1_

_ __ 1_

_1_

_1_

f(x)

g(x)

Iim ~(x)

=

=

___:_g-'-(x-'-)---:-'/'--('---'x)'---- = tp (x) ~(x)

f(x)·g(x)

O.

S-+11

_ 1 - _ 1) ( sin x x + x2

Iim

Exemplu.

S-+0

Iim s-+0

x

+ x2 -

(x

+ x2)

sin x sin x

1 + 2x- cos x

=Iim

(1+ 2x) sinx +

(x

=Iim

2 2 sin

s-+0

Dacă.

=

x -

(x

+

+

x 2) cos x

+ sin x

x 2) sin x

+

(2

1•

+

4x) cos

x

trebuie calculată. lim f(x)V(X) pentru unul din cazurile: Iim f(x)

limf(x) = oo, Iim g(x)

= =

S-+11

O sau limj(x)

=

1, Iim g(x)

= _oo,

Să

se calculeze Iim xx. Avem ln xx

=

x ln x

s-++0

Iim __x__ s-++0

=

Iim (- x)

=

O. Rezultă că lim xx s-++0

=

O;

s-+a

şi

un factor tinde către pe calea cunoscută.

Iim x In x= Iim s-++0

s-++0

Iim g(x)

vom scrie pentru fiecare dincazu-

s-+a s-+a s-+11 s-+a riie arătate In f(x)V{X) g(x) In f( x). Acesta este un produs pentru care O iar celălalt către infinit. Rezultă că Iim [g(x) ln f(x)] trebuie calculată S-+11

Exemplul 1.

=

S-+11

=

Iim e:a: ln :a:

In x

s-++0

1,

deoarece are loc

s-++0

x2

Iim aF.

=

1.

F.-+0

sf. E xempl ul 2 . S ă se ca1cu1eze 11rn r x. A re 1oc 1n 'Vsrx = -1 1n x S-+00

de

unde

rezultă

imediat că Iim ~; S-+00

X

=

1.

. Iim In X

~~

S-+00

X

=

lim - X 1

S-+00

= o,

Şi1'U1'i.

Se,-ii. Limite

495

Continuitatea unei

funcţU

Continuitatea unei funcţii se folosind noţiunea de limită..

defi-

y

neşte

O funcţie y = j(.x) (fig. 18.3.6) definiti Intr-o vecinătate a lui .x = ~ şi in punctul ~. este continuă In acest punct, cind există Iim f(.x) şi aceasta ~

..... ~

este chiar valoarea funcţiei In punctul ~. aşadar cind are loc Iim =J(.x) = f(~). ~ ..... ~ Această definiţie este echivalentA cu faptul că pentru orice număr c > O, există un număr 8(c) > O, astfel Incit oricare ar fi .x cu 1.x - ~ 1 < 8(e) să avem lf(.x) - f(~) 1 < e.

X

18.3.6. Ilustrarea

geometrică.

continuită-ţii

a

Se poate vorbi despre continuitatea late1'ală (la stînga sau la dreapta) cînd pentru x = ~ există. numai limită. la dreapta sau respectiv la stînga şi aceasta este egală. cu valoarea funcţiei. Deci se poate spune că. o funcţie este continuă., ctnd ea este continuă atît la stînga cît ~i la dreapta. Puncte de discontinuitate. Pentru clasificarea

noţiunii

de continuitate se vor studia cîteva

funcţii care sînt discontinue în anumite puncte. Într-un astfel de punct ori nu există. valoarea funcţiei

sau limita ei, ori ambele

Polii pentru tolul

există.

funcţiile raţionale

dar nu sînt egale.

sînt exemple de puncte de discontinuitate studiate în capi-

"Funcţii".

sin x - - are atît limita la dreapta cît şi la stînga, care au amînx două. valoarea 1, dar funcţia însă.şi pentru x = O nu este definită., deoarece numitorul ei este zero. Pentru punctul x

Dacă. se defineşte

o

=

O,

funcţia

altă. funcţie

j•(x), care pentru x :j. O are valorile lui sin x iar pentru •

.X

x = O are valoarea 1 a limitei, atunci funcţia j•(x) este continuă., iar discontinuitatea a fost astfel înlă.turată.. Dacă. într-o funcţie raţională numă.ră.torul are valoarea p(x) = (x- x 0)t p1 (x) iar numitorul q(x) = (x - x 0)k q1 (x) , atunci punctul x = x 0 este un punct de nedeterminare. Pentru i > k discontinuitatea poate fi înlă.turată.. Se poate defini o ' funcţie j•(x) =

=

(x -

x 0) 1-k Pt(x) pentru x :j. x 0 qt(x)

discontinuitatea poate fi (x -

înlă.turată., considerînd funcţia f*(x) =

x 0) i -k Pt(x), în punctul x

ordinul k -

şi care să. aibă. valoarea zero pentru x

=

Şi pentru i

Pentru i


~ , un număr infinit de puncte x = ~ , n8 nn pentru care argumentul ia valorile _!.. = ~; Pentru n 1 = 2 v, n 2 = 4v + 1, n 3 = 4v + 3 în intervalul - 8


O) este continuă peste tot. P entru x - ~ are loc f(x) = ax = al;ax-1;- at; · 1, deoarece lim ax-~ = 1.

5.

Funcţia logaritmică f(x)

6.

Funcţiile

=

%'+~

logg x (g

trigonometrice sin x

şi

> O, g:f: 1) este continuă pentru orice argument pozitiv.

cos x sînt continue peste tot,

.

funcţla

tg x

sin x

= --cos

este continuă

pe1ttru toţi

~

:f: (2k

este continuă pentru toţi ~ :f: k~ [k

=

+ 1)

~

- [k = O, ± 1, ±2, ...] iar funcţia cotg x 2 O, ± 1, ±2, ... ].

X

COS X

= - .SlD X

498

Matematici supe-rioare

Această. teoremă. dă. următoarele limite, pentru tg x şi cotg x folosind teorema 3, Iim sin x = O decarece - 1x 1< sin x < 1x 1; Iim cos x = 1 deoarece 1 - x 2 < cos x ~~o


O rezultl el în aceastl vecină.tate fw are acelaşi semn ca /zz·

21 ti =hf!zz+2h1h1 f%JI

+

h:J"JI

= -

f(x, y) are un ext~em pentru (xm, Ym) dacii în acest punct fz = 0,/11 pentf'u f:a < O acest extf'em este un m~xim 1i pentf'u fzs > O un minim.

=

O

şi

fzz/1111

- f'zt~

>0;

Calculul diferenJial

.529

Se poate arlta cll dacll fz~fw - J:r < O, atunci punctul respectiv nu este un extrem; de exemplu, pentru un punct şa f~~ şifw au semne diferite. Dimpotrivll din f~~fw- JJ" = O nu se poate trage nici o concluzie in ce priveşte existenţa unui punct de extrem. Dacll pentru funcţia y = f(x) se noteazll derivatele de ordinul întîi şi doi cu p, =

ay (i = 1, 2, ... , k) şi pytl. a:'~~ (v, 1.&. = 1, 2, ... ,k), atunci funcţia y= f(x) are in x,. a~, ., " un extrem dacll determinanţii de ordin par formaţi din determinantul Pu Pu· • •Pta: alllturat sînt pozitivi şi determinanţii de ordin impar au acelaşi semn ca />11 Pa·· ·p~ p11 ; dacll p11 O, un minim. =

P~ P~:a · • · P~:~: Maxim şi minim legate. În unele aplicaţii trebuie gllsite extremele unei funcţii de mai multe variabile presupunîndu-se cll aceste variabile nu sint independente ci legate prin relaţii suplimentare. Deseori aC'est gen. de probleme se rezolvll eliminind unele dintre · variabile şi rezolvînd problema de extrem pentru o funcţie cu un numllr reius de variabile. Nu întotdeauna insll este· posibilll exprimar~ explicitll a unora dintre variabile prin celelalte. O metodll care înlllturll acest neajuns este metoda multiplicatorilor lui Lagrange care se schiţeazll mai jos pentru cazul a doull variabile (fig. 19.4.12). Fie cele doull variabile x şi y ale funcţiei z = = f(x, y), legate prin condiţia q:~(x, y) = O. Funcţia z = f(x, y) reprezintll in spaţiu o suprafaţll iar condiţia q:~(x , y) = O reprezintll o curbll K' in planul xOy. Valorile extreme vor fi cllutate numai printre -valorile x, y care satisfac condiţia dată, adicll se vor gllsi pe o curbă K O. Punctul singular (x1 ; y 1) este punct dublu. Deoarece fw = O, direcţiile tangentelor sînt date de y' = oo 1 şi y' = - - fzz=f~ = O; tang~ntele coincid deci cu axele de coordonate. Derivata funcţiei

2

.

. explic1te este -dy = - J~ - = - xB2 . dx j 11 y paralellla axa Ox; pentru j 11 = O, fz

fz ~ O;

y1

= ax

~ 1,26a şi x 1 = y, ~ aJ'4 ~ 1,.59 a.

• !_ + y' -

a• a f4 ~

-

+

ay . p entru f z = O, JJI ~ O se o b ţine . tangenta t:r ax O, tangenta t11 paralelă. la axa Oy. Se obţine: j 11 = O,

+

3y' = O sau y' = 2y'a1 cînd y ::/= O -

.

1,.59 a; pentru fz = O, ! 11 = O, valorile x, = a 1

Ya = a

f2 ~

f2 ~

1,26a şi

m•-

Dacă înf(x, y) =O se substituie y = mx se obţine x'(1 + m1 ) - 3amx1 =O sau 1 + 3am - - - = O. Pentru x - ± oo se obţine 1 + m 1 = O sau m = - 1. Foliul lui Descartes are X

Matematici superioare

53-4 deci o asimptoU. + ·a'- e4 •

19..5. 1.5. Curbele lui Cassini pentru e=6; a= 10; 7; 6 şi 4, e=a=6 este lemniscata În funcţie de raportul constantelor a şi e se obţin curbe Cassini de diferite forme (fig. 19 ..5.15). În cele ce urmează. se notează. cu S 1 , S 2 , Sa, S 4 punctele de intersecţie cu axa Ox, cu N 1 şi N 2 intersecţiile cu axa Oy, valorile extreme cu E 1 , E 1 , Ea, E 4 şi punctele de inflexiune cu W1 , W2, Wa, W 4 •

=

1. a> e }1'2, curbase aseamănă. cu o elips~. S1 , S 2 (± Va 2 + e2 ; .0) N 1 , N 2 :: (O;± Ya 2 - e2 ) şi pentru a = e V2 curba se aseamănă. cu ·elipsa, S 1 , S 2 = (e ± VJ, O); N 1 , N 2 = (O; ±e) dar în N 1 şi N 2 curbura este nulă.. 2. e · dq> V2 cos 2q> dx •

valon extreme există. pentru 3q> rile extreme sint x1 , 2

1t

31t

2

2 a

=- , -

= ± -a rr:;3, y 1 ,2 = ± -, 1

2

2

51t

-

2

,

.

respectiv

!p

1t

1t

51t

6

2

6

= - , - , -

·

V alo-

r 1 , 1 =a. ·P unctul (0,.0) este un punct dublu, valo-

Matematici superioare

.HO

rile derivatelor parţiale pentru (O; O) sînt /z : : ;: : 4(x3 + xy2 - a 2 x) = O; / 11 = 4(x1y + yl + + a'y) = O;fzz= 4(3x2+y'-a2 )=-4a2 ;JZ11=8xy=0; fw=4(x 2 +3y'+a2)=4a2 ; ti= +16a'. Din -a•+y'sas= O, rezultă y' = ± 1, adică y = ±x sînt tangente in punctul (O; 0). Intersecţiile cu axele sînt Sî. S~ = (±a}"2; 0). Aria .u nei bucle se obţine astfel n

A =

0

1

'2 ~ r

2

(+4

(ep) dep = a2)

n cos 2ep dep =

--..

X

19 . .5.16. Deducerea

ecuaţiei

cicloidei

~s sin 2ep 2

-.

1+-i- =

a 1•

n

Cicloidă. Din punct de vedere mecanic o cicloidă este generată de un punct P fix aflat în interiorul unui cerc de rază r, la distanţa a de centrul acestuia, cînd cercul

se rostogoleşte fără. să alunece de-a lungul unei drepte. Se poate alege un sistem de coordonate în care axa Ox este dreapta de rostogolire. Fie ep unghiul de rostogolire. Ca origine a sistemului de coordonate se poate alege proiecţia pe a.""Ca Ox a punctului în care Pare poziţia cea mai joasă. Astfel, arcul desfă.şurat O B = rcp este mai lung decît abscisa x a lui P cu a sin ep şir este cu a cos cp mai lung decît ordonata acestui punct (fig. 19 ..5.16) ': x = rep- asinep; y = r - a cos ep. După. valoarea raportului a: r se pot deosebi (fig. 19. .5.17) cicloida scortată. (a < 1'), alungită. (a> r) şi cicloida comună. (propriu-zisă) (a = r).

X

Cicloida scu,-tatd are pentru cp =O, 27t, 47t, .. . ,puncte de minim cu Ym=r-a, cicloida al1,ngitd are pentru aceste valori ale lui cp cîte două puncte cu aceeaşi abscisă. Unul este un minim cu Ym = = r - a. Valoarea cp a celuilalt este dată de ecuaţia trigonometrică. rcp = a sin ep. Cicloida propriu-zisă ( comund) are pentru aceste valori ale lui ep vîrfuri.

Elementul ei de arc este ds=2r sin Î. dep, 2 deci lungimea s a unui arc de cicloid~ va fi s =

rn

ds = 8r. Aria

delimitată de

0

acest ar:: te A=

pn

Jq~=O

2

y dx=r' ( n ( 1-

)o

-2 cosep + cos1 ep) dep= 27tr1 +0+7tt'1 = = 37tr2 , adică. de · trei ori aria cercului care se rostogoleşte .. Epicicloidă. Mecanic o epicicloidă este generată. de un punct P fix faţă. de un cerc k cu raza r, cînd cercul se rostogoleşte de-a lungul părţi exterioare a unui _ _.::::...O~r:::::....~..L..o~---------'J'l.t-a---•x~ cerc K cu raza R (fig. 19. .5.18). După dis2 tanţa a dintre punctul P şi centrul M al cercului k se pot deosebi epiciloida scurlat4 19. .5.17. Cicloida scUrtată, alungită şi comună (a < r), alungitd. (a>r) şi comund (a=r). Cînd raza OM= R + r se roteşte cu un unghi ep, atunci cercul k se roteşte cu ~nghiul

~. unde epR=~· Perpendiculara MB coboriU. din M pe axa Ox .separă din~ unghiul' ~ 2

ep

Calculul

diferenţial

19..5. 18. Deducerea

.541 ecuaţiei

epicicloidei

astfel încî~ unghiul care ră.mîne este 6 = 1t R+r 1t = ljJ +

0. Pentru valori negative ale lui ep curba se .. înfA.şoarA." tot mai strîns, cu raza vectoare descrescătoare, în jurul polului O (fig. 19.5.28); acesta este un pu,nct asimptotic. Prin dedvare se poate vedea că orice dreaptA. care trece prin polul O taie spirala logaritmică sub acelaşi unghi -. 0 = arccotg k şi tangentele în punctele de intersecţie sînt paralele. Se mai obţine

d

___!:_

=

r'

=

~

_r_

=

· dr

rk sau dep = - ·

- ~--

Cu ajutorul unei ds

relaţii

~ deduse în capitolul 20 se poate calcula lungimea arcului s:

+ ( dr

2

=

r2

= _.!_ k

V(l + k2} dr

)

dep

dep

=

Vr 2 + r k2 dep = r V(H- k

sau s

2

2)

dep

-

=

_.!_ k

VT+"k2 (r2 -

•

r 1).

20. Calculul integral 20.1.

Integrala Integrala

definită

....... . ca limită . . Proprietăţi ale integralei definite definită

546 547 549

20.2.

Cvadraturi ............... . Integrala nedefinitA. ....... . Primitive .............•....

.554 5.59 5.59

Matematici superioare Integrarea prin părţi ....... . Integrarea prin metoda · substitutiei . ...... . ... . ... . Clase de funcţii elementare integrabile ................. . Integrale ce nu pot fi exprimate prin funcţii elementare 20.3.

Integrarea funcţiilor de mai multe variabile ............. .

1 ntegrale multiple (duble) ... . Integrale multiple .. . ...... . Calculul volumelor ......... .

Calculul lungimii curbelor şi al ariilor suprafeţelor .......... Integrale curbilinii şi integrale de suprafaţă .............. Aplicaţii ·în mecanică

561

564 568 573

20.4.

Analiza

........ .................. şi potenţial ......

vectorială.

573

Cîmpuri Gradient

574

Divergenţa şi

577 578

teorema lui Gauss Rotorul si teorema lui Stokes Operator.,;_/ nabla, reguli de calcul

581

583 586 590 590 592 594 595 596

Calculul diferenţia! oferă. fizicianului şi inginerului mijloacele de a determina pentru o traiectorie dată, viteza instantanee. Această. variaţie instantanee a unei mă.rimi fizice se mă.soară. experimental. Astfel, calculul diferenţia/ serveşte la analiza proceselor fizice, descrise cu ajutorul unei funcţii. În fizica experimentală. se ridică lnsă şi problema determină.rii proprietă-ţilor unei funcţii, cînd din experiment rezultă. valori ale derivatei acestei funcţii. A apă.rut astfel conceptul de integrală.: denumirea rezultă. din ideea deducerii unei concluzii asupra întregului din concluzii asupra pă-rţilor (lat. integer înseamnă întreg). După. cum calculul diferenţia! a apă.rut în legătură cu problema tOtngentelor, aşa şi calculul integral a apă.rut legat de probleme de cvadratură., adică. problema determină.rii ariei unei figuri cînd se cunoaşte curba care o mă-rgineşte. Denumirea de cvadratură este legată. de presupunerea grecilor că. se pot calcula numai ariile acelor figuri ce se pot transforma într-un pă.trat. Lunulele lui HIPPOCRATE arată. că. această. problemă. are soluţii.

20.1. Integrala

definită

ARHIMEDE (287-212 î.e.n.) a demonstrat că.aria segmentului de parabolă. ASB este 4/3 din aria triunghiului A BC (fig. 20. 1. 1) . Metoda 1ui Arhimede constă. în aproximarea ariei suprafeţei prin suprafeţe cu aria cunoscută.. Johannes KEPLER (1571 - 1630) a obţinut prin descompunerea suprafeţelor şi corpurilor în foarte multe pă.rţi, foarte mici, reguli utile pentru calculul volumului butoaielor. Şi principiul lui CAVALIERI are la bază aceleaşi consideraţii. Aproape toţi matematicienii de vază. din secolele 17 şi 18 s-au ocupat cu acest gen ·de probleme şi au rezolvat unele probleme speciale cu ajutorul unor artificii. Este însă. meritul lui Isaac N:ewTON ( 1643 - 1727) şi al lui Gottfried Wilhelm LEIBNIZ ( 1646- 1716) de a recunoaşte că. dintr-un anumit punct de vedere integrarea şi derivarea sint operaţii inverse; modul de scriere ilustrează in mod genial această. idee. În acest mod a apă.rut noţiunea de integrală nedefinită care constituie punctul de pornire în studiul funcţiilor integrabile. În deceniile ş ! secolele urmă.toare s-a dezvoltat noţiunea precisă' ·de integrală ~ 1 calculul integral a fost fundamentat in mod riguros. S-a putut dovedi că. un calcul integral nu este numai un procedeu potrivit pentru calculul ariilor ci şi pentru rezolvarea diverselor probleme geometrice ca de exemplu , calculul lungimii arcelor, al volumelor sau al suprafeţelor ce mă.rginesc corpur ~ rotunde ; de asemenea, calculul integral serveşte la formularea matematică. a multor noţiuni din fizică. ca centru de greutate, mome11tul forţei, lucru m ecanic potenţial. E JF-------1 Calculul integral a condus şi la lă-rgirea domeniului funcţiilor S cunoscute; astfel s-au gă.sit unele funcţii reprezentate prin integrale ce nu se pot exprima prin funcţii elementare. Pornind de la problema cvadraturii, integrala definită. reprezintă. intuitiv aria a suprafeţei mă.rginite de segmentul ab al axei Ox, de dreptele x = a şi x = b şi de porţiunea din curba definită. de funcţia y = f(x) cuprinsă. intre punctele (a,J(a)) şi (b,f(b)). Se presupune că. această. curbă. este continuă., fă.ră. salturi şi că. ia numai valori 20. 1. 1. Cvadratura segmentului de parabolă. PoZitive. Aria apare ca sumă. a unui numă.r mare de fişii mă.r-

F!

F!

Calculul integ"al

54 7

--------------------------------------------------------------------------------y

y

X

o Llx

b

20. 1.2. Aria mă.rginită. de curba y = j(x} între x = a şi x = b 20.1.3. Sume integrale şi

inferioară.

superioară.

ginite (fig. 20.1.2) de o porţiune foarte mică. a axei Ox, ~x. de paralele la axa Oy duse prin extremită.ţile acestui segment şi de porţiunea corespunză.toare a curbei y = j(x). Semnul

~:

j(x) dx (se

citeşte integrală. de la a la b din j(x)

dx) folosit pentru aria

litera S ca iniţială. a cuvîntului sumă.. Integrala nu trebuie pă.rţi deoarece în realitate ea se defineşte ca o limită..

Integrala

definită

ca

însă. privită.

F~

ca o

a fost sugerat de sumă. infinită.

de

limită

Limite ale sumelor integrale inferioare şi superioare. Se împarte intervalul (a, b} în n intervale parţiale ~xt. i = 1, ... , n, de exemplu în n intervale egale ~x, n ~x = b - a. Perpendicularele ridicate pe Ox în extremităţile intervalului l::!..x, mărginesc o fîşie de lăţime l::!..x. Se consideră dreptunghiuri de lăţime l::!..x avînd ca înălţime valoarea minimă. (mt), respectiv maximă. (Mi) a funcţiei în intervalul l::!..x, .a căror arie va fi l::!..xmt, respectiv ~xMt. Atunci 1:!::!..xmt este mai mică.şi 1:1::!..xMt este mai mare decît aria căutată (fig. 20.1.3). Aceste sume se numesc sume integrale inferioară, respectiv superioară. Dacă. se trece la diviziunea mai fină, de exemplu prin împărţirea intervalelor de diviziune în altele mai mici avînd intervalele de diviziune tot egale, atunci valorile minime ale funcţiilor în aceste intervale sînt cel puţin egale cu ordonatele mi şi valorile maxime cel mult egale cu Mt. Suma integrală inferioară creşte rămînînd însă mai mică. decît~ şi suma superioară descreşte ră.mînînd mai mare decît F~. Sumele integrale inferioa·re formează un şir monoton crescător mărginit superior iar sumele intţgrale superioare formează. un şir monoton descrescător mărginit inferior. Cele două şiruri au deci limită. Ele vor avea aceeaşi limită atunci cînd şirul diferenţelor lor 1:(Mt - mt) l::!..x tinde la zero cînd lungimea intervalului de diviziune tinde la zero, l::!..x - t O şi numă.rul punctelor de diviziune n creşte nemărginit, n--. oo. În aceste a

condiţii

se spune

că. există integrala~: f(x) dx

şirurilor

există

de sume integrale inferioare respectiv superioare. Pentru întotdeauna.

Î:

care este limita

funcţiile

Î:

comună.

continue, integrala

r

A

lim m,l::!..x = lim M,!::!..x=F! = j(x) dx L-"-~-~__ i= __• ________"_~ __~__i_=_•_______________a______~ ~ Ipoteza privind pozitivitatea valorilor funcţiei, este de prisos .Pentru pă.rţi ale curbei 20. 1.4 . Integrala I = ~:Tt sin cp dep = sub axa Ox, aria orientată ia valori negative deoarece termenii f( ţ) l::!..xt sînt negativi, j( ţ) = O privită ca o arie fiind negativi şi l::!..xt pozitivi. Pe figură se poate vedea că în cazul funcţiei sinus integrala acestei funcţii în intervalul (0, 2it) este nulă. deoarece aria figurii mărginite de două bucle alăturate ale sinusoidei este nulă, cele două porţiuni de arie corespunzătoare fiecărei bucle avînd orientări diferite (fig. 20.1.4). 2n

făcută iniţial, care se găsesc

548

Matematici superioaf'e

Definiţia analitică a integralei definite. Noţiunea de integrală. este independentă. de interpretarea ei geometrică. ca arie. Fie f(x) o funcţie mărginită. în intervalul a ~ x ~ b. Se va proceda din nou la împărţirea acestui interval in n intervale parţiale ll.x(, astfel încît cînd n -+ , cel mai mare dintre intervalele ll.x~ să. tindă. la zero. Deoarece o funcţie mărginită. nu are neapărat ·un maxim sau un minim în acest interval parţial, la alcătuirea sumelor integrale se va folosi marginea superioară. (supremum) Gt şi marginea inferioară. (infimum),g, a funcţiei în intervalul considerat. Dacă. diferenţa l::(G,-g,) ll.x, tinde la zero cînd ll.xi-+ O, n-+ O, atunci şirul sumelor superioare şi şirul sumelor inferioare au aceeaşi limită.. De ~menea orice şir F 11 = n

=

l:: f(~i) ll.x,, unde ~'este un punct oarecare din intervalulll.xc,convergecă.treaceeaşilimită.. i=l

Dacă

limita sumei Fn

=

n·

l:: f(;f) ll.x, cind n-+ oo, ll.x,-+ Oexistă, Iim F,. i= l

=

1 şi este

fl-+

independentă

de punctele de diviziune x, şi de punctele ;, din intervalele de diviziune ll.xc, atunci funcţia f(x) se zice integrabilă in intervalul [a, b] şi limita 1 este integrala funcţiei f(x) de la x = a la x = b. Noţiunea de integrală. a fost introdusă. de matematicianul Bernhard RIEMANN ( 1826-1866); o generalizare a acesteia este integt'ala Lebesgue. Mărimea x se numeşte vat'iabila de integt'a1'e; valoarea 1 a integralei pentru aceeaşi funcţie f este independentă. de notaţia folosită. pentru variabila de integrare.

Integrala definită. a· funcţiei f(x) de la x = a la x = b O

funcţie continuă

este

integrabilă.

y

ConsideraţUle făcute râmîn valabile şi pentru funccare au în intervalul închis [a, b] un numâr finit de discontinuită.ţi , dar care sînt mârginite.

ţii

Ot'ice funcţie măt'ginittl în interoalul [a, b] cat'e a,-e în acest interoal un număt' finit de discontinuittlţi este i ntegt'abilă în acest intet'val. Integrarea funcţiilor complicate, de exemplu a unei funcţii care ia în intervalul O ~ x ~ 1 pentru abscise raţionale valoarea 1 şi pentru abscise iraţio­ ţionale valoarea2, face obiectul teoriei măsurii (v. cap. 35).

o

Exemplu. Pentru calculul ariei parabolei y = x2 între x = O şi x = a, se împarte intervalul [0, a] în a n intervale egale de lungime h = - (fig. 20.1.5). Cele

fn-7Jh

mărginită.

20.1.5. Aria y = x 2.

Xn· nh-a x

de parabola.

n

n puncte care servesc ca extremitate stîngă. a intervalelor de diviziune sînt x 0 := O, x 1 = h, .. . ••. , Xn- 1 = (n 1) h iar cele n puncte care servesc ca extremitate dreaptă. x1 = h, x 2 = 2h, .. . ... , x,. = nh = a. Deoarece funcţia y = x2 este monoton c!:_eseătoare în intervalul [0, a], se obţin

sumele integrale inferioare

E..n

şi

sumele superioare F #

f..n = O + 12· h2h + 22h2 · h + ··· + (n-1)2h2·h=

= h3[12 + 22 + 32 + ... + (n -

=

ha (n - 1) • n (2n - 1)

1)2] =

Fn

= 12 · h2 · h + 22. h2 · h + ... + n2h2· h = h3[12 + 22 + 32

=

Jt,S n(n

+

6

+ ... +

1) (2n

+

n2]

1)

6

F11 = ~

1· ( 1

+~) { +.;) 2

=

=

Calculul integf'al · · au linuta · comună F oo ce1e d ou ă ştrun

P entru n -

Deci aria

x

=

.5-t9

mărginită

a este F

a• = -.

de

parabolă

Pentru a

3

alăturat arată

variaţia

=

şi

de dreptele x

6, F

=

n

= a• -3 .

=

sumelor integrale cînd n

12

creşte.

24 48 96

Proprietăţi

55

6

şi

O

72 cm1 • Tabelul

F,.

F,.

h

.•

2 1

4

8 . 1

16

91 1 814 9 7616 17 7464 225 33 70- 731 634 9 6716 49 6964

256

256

ale integralei definite

Dacă se schimbă limitele de integrare, atunci factorii !l.x, consideraţi ca lungimi de segmente orientate îşi schimbă semnul. În consecinţă, se schimbă semnul fiecărei sume Fn = ~f(~c) !l.x, şi cumj(~,) are acelaşi semn, rezultă că şi integrala îşi schimbă semnul.

La schimbayea limitelor de integrare, integrala îşi schimbă se.mnul. Descompunerea unei integrale intr-o

sumă. Dacă funcţia

f(x) este

integrabilă

în intervalul

[a, b] şi dacă c este un punct din acest interval, atunci c poate fi punct de diviziune în orice diviziune a intervalului [a, b] şi deci fiecare sumă l:j(~c) !l.xc se poate descompune în două sume, una corespunzătoare intervalului [a, c] şi cealaltă intervalului [c, b]. Cum limita unei sume este egală cu suma limitelor, rezultă că integrala pe întreg intervalul [a, b] este egală cu suma integratelor pe intervalele [a, c] şi [c, b] .

Tot din proprietatea de aditivitate a limitei rezultă

~: [j(x) + g(x)] dx = ~:f(x) dx + ~:g(x) dx lntegf'ala sumei

funcţii.

funcţiilof'

integf'abile j(x)

şi

g(x) este

egală

cu suma integf'alelOf' acestor

·

Descompunerea integralei într-o sumă prin descompunerea intervalului de integrare îşi la calculul porţiunilor de arie pozitivă şi negativă, alegîndu-se ca punct c un zero al funcţiei f(x), de exemplu găseşte aplicaţii

l

(27t = )o sin

ep dep

(7t (27t = )o sin ep dep + )7t sin ep dep =

2 - 2

=

O.

Şi în cazul funcţiilor care prezintă salturi finite este indicat să se împartă intervalul de integrare în două intervale, ca punct c fiind ales punctul în care funcţia prezintă saltul (fig. 20.1.6) . Nu se poat~ face însă integrarea în intervale care conţin puncte de discontinuitate cu salt infinit; · de exemplu, integrala ~ + 1 -dx nu are sens deoarece inter-

valul

de

integrare

-1 X conţine

punctul

x

=

O

în

care

20.1.6. Integrala unei discontinue

funcţii

~:/(x) dx + ~: /(x) dx = =

~:/(x) dx

Matematici superioare funcţia

este nedefinită. Aceste cazuri se vor studia în subcapitolul despre integrale improprii. Integrarea unei funcţii multiplicate cu un factor constant. Dacă funcţia care se integrează este de forma cf(x), unde c cf(x) dx = c dx este un factor constant, atunci acesta poate fi dat în factor în orice sumă ,I:cf(~f) tl.xf şi deci apare şi ca factor al limitei.

~:

~:f(x)

4 • ~ = 36. 3 - Teoreme de meClie a calculului integral. Orice funcţie continuă. y = f(x) interval închis [a, b] marginea superio~ră M şi marginea inferioară m. Dacă. valori pozitive, atunci din definiţia integralei definite rezultă. inegalitatea Exemplu. (

3

4x 2 dx

Jo

m(b -

a)

=

4(

3

Jo

x 2 dx

=

~ ~:f(x) dx ~ M(b-

atinge într-un ia numai

funcţia

--------------------~-

y

a),

îşi

adică. aria mărginită. de curbă. este cuprinsă între ariile a două. dreptunghiuri m(b - a) şi M(b - a). Trebuie deci să. existe o valoare (.L cu~rinsă. între m şi M

astfel încît (.L(b - a) Funcţia f(x)

fiind

să fie

~a f(x)

egal cu

continuă, există.

[a, b] astfel încît (.L =

f(~) şi

deci

un punct x

=

~

din

~:f(x) dx = (b-a)f(~).

La fel ca în cazul teoremei lui Lagrange din calculul punctul ~ poate fi notat şi cu a (b - a). unde 6 este o valoare cuprinsă. între O şi 1.

+e

diferenţiat

~:f(x) dx=(b-a) /(~). unde ~e[a, b] Daci

funcţia f(x)

M

dx (fig. 20. 1. 7).

\

X

a

b

20.1. 7. Teorema mediei din calculul integral

~:f(•) d• =(b-a) J[a+6 (b-a)], O.;6.;; 1

este continui In inter valul [a, b] , atunci integrala

~:f(x) dx

se

poate

exprima ca ·produs Intre lungimea intervalului, b-a şi valoarea funcţiei Intr-un anumit punct al intervalului. Teorema de medie se foloseşte, de exemplu, pentru evaluarea integratelor rlef inite ale funcţiilor ce nu pot fi integrate prin metode elementare sau a căror integrare este dificilă. Dacă. f(x), g(x), h(x) sînt funcţii integrabile pe intervalul a ~ x ~ b care satisfac inegalităţile f(x) ~ g(x) ~ h(x), atunci

~: f(x) dx ~ ~: g(x) dx ~ ~: h(x) dx . Exemplu . În intervalul

O 1, atunci ----;=1 (a)

pentru w-

şi integrala converge către

tinde la zero

OO·

1 - --

· 1

Ot -

Dactl f(x) este integrabiltl în orice subinterval finit din [a, oo]

funcţia

x«f(x) este

mtlrginită penru

1c~ ~d• ~ .

şi

)1

%

dactl existtl

orice x pozitiv, x > a, atunci integrala

Ot

1 - - .; Ot 1

>

0t

>

11-

1, astfel încît

improprie~~ f(x) dx

este convergenttl. Dacă. K

este o margine superioară. a funcţiei x«lf(x) 1. atunci deoarece Ot

de rezultatul Şirul

~

găsit

monoton

1. + oo -dx -1 + x2 0

=

(

00

)a

lf(x) l dx

=

crescător

(w )a

lf(x) l dx

I(w) este de asemenea

Iim ~w - dx -2 0 1 + x

Co>-+ oo

- arctg O)

Iim w-+ oo

=~ 2

=

(fig. 20.1.11) .

Iim w-+ oo

(w )a

mărginit şi

Iim (arctg w woo+- oo

~

>

1, ţinîndu-se seama 1

K« dx

=

Ka -« .

1

0t -

%

să aibă

trebuie

o

limită..

: ·" ~ .

1

.

20.1.11. Aria aflată dedesubtul curbei 1 f(x) = - 1 + x2

554

Matematici supe-rioare

Funcţia gama. Funcţia gama a apă.rut ca răspuns la urmă.toarea problemă.. Există. o funcţie care pentru valorile întregi şi pozitive ale argumentului să. ia valorile O 1 = 1, 11= 1, 21= 1· 2 = 2, 31 = 1· 2 · 3 = 6, ... , n 1 = 1· 2 ····· n? Leonhard EULER {1707- 1783} a rezolvat această. problemă cu ajutorul integratelor improprii. Adrien-Marie LEGENDRE ( 17.52- 1833) a denumit această funcţie funcţia gama a lui Euler. Ea este de forma

r(.~) = ~;

00

e-ttz-1 dt.

Funcţia gama nu are zerouri în intervalul {- oo, + oo) şi este continuă. cu excepţia punctelor O, -1, -2, ... în care admite poli de ordinul întîi (vezi cap. 5). Polii se pot recunoaşte mai bine pe urmă.toarea definiţie a funcţiei r{x) dată. de Carl Friedrich GAUSS {1777- 18.5.5):

Din relaţia funcţională. r{x + 1} = xr{x} şi din valoarea r( 1) 1ntregi ale funcţiei relaţia r(n + 1) = nr(n} = n 1 Funcţia

r(x}

gama

Definiţia

= ~: e-'tz-1 dt,

=

1 rezultă. pentru argumente

x>O

..n 1nZ-1 r{x) = Iim tJ-+oo x(x + 1} (x + 2) ... (x + n -

lui Gauss

, x:;i:O, -1, -2, ... 1)

rt·) ~ x-· .~ [( 1 + ;n~ + ~rJ r(x + 1) =

Ecuaţii funcţionale

X

r(x) ;

~

r(x} r(l - x} =

sin

r(~2 + x)r(~x ) =~: 2 ~X

~x -~

r(x) r(-x}=

x sin

COS

~x

Cvadrattui Prin

cvadratură

se

înţelege

calculul ariei unei

suprafeţe

mă.rginite

plane

de curbe.

Aria delimitată de o curbă plană. Atunci cînd funcţia f(x) ia valori pozitive pentru orice x în intervalul a ~ x ~ b, aria delimitată. de curba -'' = f(x}, x = a, y = b şi Ox este dată. de b

integral_a

F

= ~a

.

f(x) dx.

Dacă.· funcţia îşi schimbă.

semnul între

două.

zerouri in intervalul

aş3. fel încît integrala să. se descompună într-o sumă. de termeni pozitivi şi negativi. Acestor termeni le corespund -arii orientate pozitiv sau negativ. Neglijînd orientarea, aria totală. va fi dată. de suma valorilor absolute ale acestor termeni.

[a, b], atunci intervalul de integrare se descompune în

Exemplul 1. Cvadratura parabolei lui Neil y = a

..[;â (fig.

20.1.12). F

= a~:

x 312 dx =

= _:_ Dacă. se notează. cu h = a.Jiă, atunci F = _:_ gh, adică. aria F este cu~ gh mai mică 5 5 10 decît aria triunghiului dreptunghic cu baza g şi ipotenuza determinată. de punctele (0, O} şi (g; h}.

a.Ji5.

Exemplul2. Cvadratura curbei

a. este finit, atunci

[b

)-a

ez dx

exponenţiale

= eb - _!_ . e4

y

=

ez de la x

Pentru a.- - oo, F

= =

-a eb,

pînă.

la x

=

b.

Dacă

adică o valoare finită;

Calculul integral

555

y

X

a 20.1. 12. Aria aflată dedesubtul ramurii pozitive a parabolei lui Neil pentru b

=

20.1. 13. Aria dedesubtul curbei exponenţiale y = ez

'

O, de exemplu, F = 1. Integrala improprie

această suprafaţă

care se întinde

pînă

(b

J-oo ez dx (fig. 20.1.13) este convergentă;

la infinit are aria

finită.

k2 Exemplul 3. Cvadratura hiperbolei echilatere y = -

de la

pînă

x = a

la x = b :

X

k2 ('' dx = k2 {In b - In a) ; F = k2 In.!!_ • În acest caz o

)a x

cărei

măsură

a este

dată

de un

număr

curbă raţiona1ă mărgineşte

o arie a

transcendent (fig. 20. 1.14).

. Exemplul4. Cvadraturasinusoideiy =sinxdelax =

Opînăl O existi un N = N(e) care depinde de e nu insi şi de x, astfel incit pentru orice x din l, 1 R 11 (x) 1 = 1fn+l (x) fn+2(x) 1 < e cînd n ~ N.

+

+ ...

Noţiunea de convergenţă uniformă a fost introdusă Această noţiune cît şi următorul criteriu de convergenţă

de Karl WEIERSTRASS ( 1815- 1897). pot fi generalizate şi pentru valori

complexe. Criteriul lui Weierstrass (al majorantelor).

Dacă

fiecare termen j 11 (x) al seriei de

funcţii

00

F (x)

=

E fn(x)

.e ste mărginit în intervalul l, adi~i satisface o inegalitate de forma

n=O 00

00

lfn(x) 1 ~Mn şi d~ci seria EMn este convergenti, atunciF(x) = Efn(x) este uniform convern~

n~

E 00

gen ti în intervalul I. Se spune ci

n=O ClO

EJn(x). n=O

M n este

o serie

majoranti

converge~ti a seriei

Scrii de

599

funcţ#

00

•

. x unt.form convergentA., deoarece sinnx . "'smnx Exe",.pl u l 1. Sena L....! - -- este pentru once ---;;-- 1~ 1 lf=l n 1 1 00 1 ~ ---; şi seria majorantâ este convergentA.. n lf-=1 ns

E-

Exemplul 2. Seria geometrică x + x2 + x3 + ... are intervalul de convergenţă -1 < x < < + 1. Pentru un anumit x 0 , O < x 0 < 1 pentru un~> O dat 1R.(x0) 1 = 1x~+l +x~+l + ···1 = =

x~(x0 + x~ + ... )

tHl

= ~ N{~). Cînd insă x 0 tinde către + 1, atunci pentru x"+l

n > N(~). 1 R.l poate să depăşească orice valoare finită, - 0 1-x0

seria

geometrică

-

oo. S-a arătat astfel că

converge uniform în orice subinterval închis al lui (- 1, 1).

Se poate demonstra di. în locul restului R,.(x) se poate considera o ~diferenţă de forma Fn+k(x) - F,.(x) cu k ~ 1; atunci seria de funcţii converge uniform dacă

pehtru orice x din I, pentru orice n

~ N{~) şi

pentru orice k

~

1.

E j,.(x) este uniform convergentă în inter00

Limita unei serii de funcţii. Dacă seria F(x)

=

,.==0

valul a n 1 şi k ~ 1 lfn+t(x) + fn+:a(x) + ... + fn+t(x) 1 < ~. Dacă se presupune în plus atunci

adică

seria

~a,.

converge

că

orice

funcţie

f ,.(x)

către aceeaşi limită.

Atunci se poate alege un indice

are o

limită

la stînga a,. pentru x - x 0

Fie s suma acestei serii

n 2 astfel încît

1 sm

şi

sn sumele ei

-

..!_ pentru orice x. Se poate demonstra acum că şi funcţia F(x) 3 O limita s. Pentru indicele ales m şi pentru orice x din a < x < x 0 •

1 F(x)

Fm(x) fiind o

- s

sumă

1

=

1 {Fm(x)

de un

- sm) - (s- sm) + Rm(x)

număr

adicăpentruorice~umărpozitiv

O,

parţiale.

- s 1 < _!_ pentru orice m > n 1 şi 3

1 Rm(x) 1


Yl an 1 >

-

?

> _!_

>

1 x1 1

1 - sau 1anx~l

1~1

>

1,

adică

Raza de con~ !J. r= vergenţâ privit ca raza -de convergenţă. Teorema următoare că.re se enunţă fără demonstraţie afirmă determinarea razei de convergenţă, în locul şirului {YI~} se poate folosi

Serii de

Fie

funcţii

603

~ coeficienţii unei serii de

{\Y1 att+tl}

puteri.

Dacă şirul {1 ~1

convergent, atunci

#rul

este de asemenea convergent şi ambele şiruri au aceea~i limitif. 00

Exemple. Seriile de puteri

E

oo

rază

de

convergenţă

r

=

x"

oo

x"

E-;• E-;····· ,._1 n ff=l n

x•,

.... t aceeaşi

1} este

1. Este suficient să se găsească limita: lim

ff-+oo

Iim

n-.oo 1 (n

nP

+

p ~O,

au

1tls+tl == a,.

)P =1.

1 =Iim ( 1 - -1l)P

n

ff-+oo

+

1

În ce priveşte comportarea seriei de puteri în punctele extreme x = +r şi x = -r ale intervalului de convergenţă, nu există metode generale pentru studiul acesteia. Convergenta trebuie cercetată separat pentru fiecare punct. Astfel pentru primele trei serii din exemplul precedent se obţine: 00

1. Seria

E

x" diverge pentru x

1 şi pentru x

=-

= + 1;

ff=l

x" En oo

2. Seria

converge pentru x

-1 şi diverge reducîndu-se la seria armonică pentru

=

ff=l

X=

E -x"

+1;

«>

3. Seria

n=i

converge pentru x

tll

= -

1 şi pentru x

= + 1.

. «>

Daci seria de puteri

1x 1
: 3 sînt nuli.

Toţi coeficienţii

Inversarea seriilor de puteri. După cum s-a arătat în capitolul 5, în anumite condiţii de monotonie, funcţia y= f(x) admite o funcţie inversă x = cp(y). Cu ajutorul unor consideraţii care nu se vor expune aici în amănunţime, se poate deduce o teoremă analoagă şi pentru serii de puteri. Fiind dati seria de puteri y = f(x) = a1 x + a 2 x1 + a 3 x 3 + ... cu raza de convergenţă " a 1 :;& O, existi o singuri serie de puteri x = cp{y) = b1y + bfY2 + bar + ... convergentA intr-o vecinătate a lui y = O astfel incit y f [cp{y)]. şi

=

s-a demonstrat că seria de puteri x = b1y + b2 y 2 + ... are o rază de convergenţă r 1 de zero, atunci coeficienţii b1 , b2 , b3 , ... se determină prin identificare după ce s-a introdus în dezvoltarea lui x seria de puteri y = a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + ... Această determinare este unică, adică există o singură dezvoltare în serie de puteri pentru x = cp{y). Dacă

diferită

.

+ x5 31 5! = b1y + b2Y2 + baY3 + ... Se obţine: bsys + .. .

Exempl·u. Din dezvoltarea în serie de puteri a lut y se pot

obţine

y

prin înlocuire

=

+ b2Y2 + bsfl +

btY

~

-

coeficienţii

6

[

seriei x

=

Arcsin y

+

b,y4

=

.

sm x

= x- -

x3

bfy~ + 3b2bfy' + 3btbiy 5 + 3bfbaY5 + ... ]

1

+ -[ 120

adică ecuaţiile

o

Succesiv se

obţin

bs

x

sau

=

Arcsin y

1

3 bs = -

= -,

40

6

y3

3y ;;

6

10

y+ - +-+ ...

Serii Taylor in paragraful precede nt că o serie d e puteri Lan:rn cu raza d e con ve rge nţă defineşte o funcţie f( x) = ~an;rn care este conti nuă şi p(•ntrn care prin d erivare t erm en cu terme n se pot găsi derivate de orice ordin. In·t ers, fiind dată o fun cţie f(x), de exemplu sin x, Vl + x 2 sau arctg ;r, să se arate că această fun cţ ie poate fi re preze ntată S-a

arătat

po z itivă 1 x 1

< r,

610

Matematici superioare

printr-o serie de puteri convergente şi să gc determine coeficienţii acestei serii. Această problemă a fost rezolvată de Brook TAYLOR ( 1685 - 1731) şi Calin MACLAURIN ( 1698- 1741) . Dacă se presupune că funcţia dat~'t f(x) se poate dezvolta în serie de puteri f(x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + .. . +anx" + ... , atunci funcţia f(x) admite derivate de orice ordin şi prin derivare termen cu termen şi trecere la limit[L ci net x--+ O se obţin

+

+ 2a2 x + ... + 1tanxn- l + ... f"(x) = 2a 2 + 3 · 2a 3 x + ... + n(n- 1) anxn- z + ... f"'(x) = 3-2 · 1a3 + ... + n(n- 1) (n- 2) anx"- :J + ...

j'(O)

f'(x) = a 1

f!"l(x)

=

n! an+

(1~

+

+

j'(O) 1!

x

+ E_(O)

a 1,

2a 2 ,

j'"(O) = 3!a 3 ,

+ ... _____________..,

1) ... 2an+1 x

Deci în cazul cînd seria de puteri este f(x) = f(O)

j" (O)

= =

x2

2!

convergentă

+ ... Această form~'t

ea se mai poate scrie sub forma

dez·roltării poartă

a

numele lui

MACLAURIN. Aceleaşi consideraţii se pot face pentru o dezvoltare în serie de puteri cu centrul în x 0 , :Ean(x- x 0 )" din care prin trecere la limită x--+ x 0 se obţine dezvoltarea în serie TAYLOR

f(x) = f(x 0 )

+ -f'(xo)-

care se mai poate scrie în f(xo

x 0)

(x -

1!

funcţie

+ f"(xo) - -

h

+

j"(xo) h2 2!

1!

+ ...

+ h:

de h, unde x = x 0

+ h) = f(xo) + j'(xo)

x 0) 2

(x -

2!

+ ...

Teorema lui Taylor. Pentru studiul convergenţei acestor serii se scrie dezvoltarea în serie Taylor cu ajutorul sumelor parţiale şi a restului Rn, sub forma (vezi formula lui Taylor în cap. 18):

Restu l Rn reprezintă diferenţa dintre funcţia dată şi (funcţia de aproximare) suma parse poate evalua cu ajutorul dcrivatei de ordinul n + 1 a funcţiei f(x). Examinind forma restului, se poate observa că pentru n --+00 aceasta are limita O şi deci seria converge.

ţială şi

Teorema lui Taylor. Dacă funcţia f(x) admite în intervalul inchis [x 0 , x 0 +h1 derivată de ordinul n continuă J!")(x) şi derivata de ordinul n + 1 e xi stă cel puţin în interiorul acestui interval, atunci restul Rn din dezvoltarea f(xo

+ h) = f (xo) + j'(xo) h +

f"(xo) h2 2!

11

se poate exprima astfel : a) sub forma lui Lagrange : O < 6 < 1, astfel încît !Jn+l

Rn

= - - - - j!n+l) (n

+

1)1

b) sub forma lui Cauchy : !Jn+l

Rn

= - - (1 ni

(x

°

e x istă

+ 6h),

e xistă

cel

6')n p n t 1)(x0

+ ... + j!") (.~o)

puţ in

cel

h"

+ Rn

n!

un

număr

6 cuprins intre O

sau

puţi n

.

un

+ 6'h).

număr

6', O < 6' < 1, astfel incit

şi

1,

Serii de

f unc{ii

611

------~-------------------------------------------------------------------

Pentru deducerea acestor forme se foloseşte teorema lui Cauchy din calculul diferenţia! care se enunţă. astfel: Dad't două. funcţii continue F(x) şi cp{x) sînt derivabile şi au derivata COntinuă. În intervalul [Xo ,Xo + h] , atunci pentru cel puţin un 0 1

a, (x).

n!

rezultă

hn( 1 -

pn+t > (xo

a)n

+

ah)

n! - hn+l

sau hn+l

- --pn+t > (xo (n + 1)! adică

+

alr),

restul sub forma lui Lagrauge.

Cu ajutorul altor fun c ţii cp(x) se pentru cp(x) = x 0 + lr - x.

obţin

alte forme ale restului. Forma lui Cauchy se

obţine

R estul în dezvolta,rea ]\Il acLa~trin.

Şi în acest caz, teorema lui Taylor rămîne valabilă. xn+l xn+l Restul capăt (O) = - sin O= /"'(0) = j (O) =-cos o= -1

1 /(0)

lcos x

1j(O)

cos o= = J(t) = - - - - . n! n

Funcţia

ch x

= -- •

~-

dxn

+

funcţiilor

x2n+1

x4

Logaritmul. Pentru

oo

+ ... + - - - + ... , r = (2n + 1)! x2n + ... + - - + ... , r = oo

1+ + 2! 4!

=

(x In a)2

+ - -- +

1

shx=x+-+. 3! 51

th

=

ch x

1!

în serie de puteri ale sh x - (ex + e-x); th X = Şi cth X 2 ch x 1

+- +- +- + ... +- + ... ,r =

e:!:

ch x

şi

e-x)

(ex -

2

obţin dezvoltările

se

+

l- x

+ x2 -

x3

+

X

+- - - +

Această serie nu este indicată pentru calcularea logaritmului natural deoarece converae foarte încet, atunci cînd x nu este foarte mic.

x2

Din In ( 1- x) = - x- - 2 '' d ţmm

. se o b ţme

seama

x3

-

1n

ae

x4

-

-

3

X

In ( 1 + x) - In ( 1 -x) o serie care con rerge

pentru se

l-x

(l- +,ţ') -- = 1-

=

l+x

- ...

4

1

x

obţine

1




1,

formulă.

1

~

=

x


-0,100 000 000 > R 3 > 0,000003770 iar e-0•1 verifică 0,904837103 < e-o• 1 < 0,904837500. +0,00.5 000 000 -0,000 166 667 Astfel, e-o·1 s-a evaluat cu şase zecimale exacte e-0• 1 = . 0,904837 ... Folosindu -se patru termeni ai seriei, se poate aştepta în cel mai bun 0 •904 833 333 caz ca rezultatul să aibă patru, cel mult cinci zecimale exacte. Metoda este suq>rinzător de precisă pentru că abia la a şaptea zecimală apare o eroare de patru unităţi. Cu ajutorul teoremei lui Taylor se obţin evaluări bune atunci cînd valorile J(x0) şi J' '(x)2 + ~

uşor

y'(x) 4

înc9voiate se

+

··l

P en-

poate lua ca o

X

y

y

primă aproximaţie ~ ==

diferenţială

y"(x) şi se obţin e ecuaţia . · . d 2y M(x)

a barei elastzce - dx~

= --- . Ej

21.2.6. lncovoierea unei bare

622

Matematici superioare

Teorem a lui Ta ylor pentru

funcţii

de mai m ulte variabile

Teorema lui Taylor se poate extinde asupra funcţiilor de mai multe variabile. Pentru de două variabile alegind n = O se obţine

funcţie

o

f(x 0

+ h, Yo + k) = f(x 0 , y 0) + hfx(x0 + 6h, Yo + 6k) + kfy(x0 + 6h, y 0 +

6k), O < 6

< 1,

=

ceea ce este tocmai teorema lui Lagrange pentru funcţii de două variabile. Alegînd n atunci pentru O < 6 < 1 rezultă f(xo + h, Yo + k) = f(xo, Yo) + hfx(xo, Yo) + kfy(xo, Yo) +

+

+

+

+

+

+

+

+

hfx(x0 , y 0 )

+

1,

+

\ [h2fxx( .x0 6h, Yo 6k) 2hkfxy(x0 6h, Yo 6k) k 2 /yy(x 0 6h,_'l'o 6k)]. 2 Formula devine din ce în ce mai complicată cînd n este mai mare. Pentru n = 5 se obţin deja 28 termeni şi fiecare dintre d erivatele de ordin superior este desemnată prin 6

indici. Din acest motiv, se

+

_!_) f(x oy

k

0,

foloseşte

simbolică

y 0). Termenii de ordin superior vor

putere a operatorului ( "

apărea

fu ncţii

de

două

âx

( h a-

ax

nf

deci prin ridicarea

= (" _!__ ax

simbolică

+ la

variabile

+ h, Yo + k) = f(xo, Yo) + ( h ~ + k ~) f (xo.Yo) +

+ -1

kfy(x0 , y 0 )

_!_ + k _!_). ox ây

Teorema lui Taylor pentru f(xo

o scriere

+ k a- } " f (x 0 ,y0 ) + ây

ây

( h a-

1

(n

+

1) !

âx

- 1 { h â2! âx

â )' + kây

f (xo,Yo)

+ ka - )"+1 f(x 0 + 6h,y0 + 6k),

+···

O< 6< 1

ây

Mărimea 6 are în toţi termenii restului pentru aceleaşi valori h şi k, valori egale ; ea este o funcţie d e n, x 0 , y 0 , h şi k. Pentru a preciza această dependenţă, uneori se mai scrie 6 = 6(n , x 0 , -''o• h, k). Aceeaşi scriere simbolică se poate folosi şi pentru funcţii de trei sau mai multe variabile. P entru trei variabile se obţine

J( x 0

+

a )vf( x 0 , y 0 , z0) + l-

v = 1 "!

+ şi

-1 ( hâxa- + k -âya

+ h, y 0 + k, z 0 + l) = f(x 0 , y 0 , z0) + E" 1 (n

+

1) !

(11

_!_ +kâx ây

âz

1

+ l _!_ )n+ f(x 0 + 6h , y 0 + 6k, z + 6!) ,

O< 6 < 1.

âz

O extindere a procedeului de aproximare a l lu i Newton . Fie de rezolvat ecuaţiilef(x, y) = O g(x , y ) = O şi se cunosc valorile aproximative x 0 şi y 0 • Se poate scrie atunci f(x 0 h, Yo k) = O, g(x 0 h, y0 k) = O şi se dezvoltă in serie Taylor. Pentru n = O se obţine

+

f(xo , Yo) g( x 0 , y 0 )

+

+

+ hfx( Xo + 6h, )'o + 6k) + kfy( Xo + uh , Yo + 6k) = O, + hgx (x 0 + 6'h , Yo + ~'k) + kgy(x 0 + 6'h , Yo + 6'k) =

+

O.

Înlocuind in a ceste ecuaţii pe 6 şi 6' prin zero, se obţin erori , obţinîndu-se pentru h şi k valorile aproxima tive h1 şi k1 care d ete rmină valorile aproximative x 1 = x 0 + h1 şi y 1 = y 0 + k 1 cu care se continu ă proced eul. h1 şi k 1 au forma hl =

-

[ f gy -

gjy ] f rgy - /y8x x = xo

k 1

-

r

_f g:r - gfx ] U :r8y - fv8x x = Xo

Exemplu . Fie de rezolvat sistemul de ecuaţii f(x, y ) = x 2 + y - 2 =:= O, g(x, y) = x y - 2 = O. Valori aproximative ş înt x 0 = - 1,8 şi J'o = - 1, 1. Cu aceste valori se obţin h 1 = 0,031 şi kt = -0,030 cît şi noile valori aproximative x 1 = - 1, 769, y 1 = - l, 130.

Serii de

funcţii

623

21.3 . Serii trigonometrice

şi

analiza

armonică

Bazele teoriei seriilor trigonometrice au fost puse în cartea matematicianului Joseph de FouRIER ( 1768- 1830), .. TMorie analitique de la chaleur" apărută în anul 1822. Fourier s-a ocupat cîţiva ani de seriile de funcţii care îi poartă numele. Cercetările sale au dezvoltat teoria acestor serii care sînt de mare importanţă pentru matematică, fizică şi tehnică. Ideia care stă la baza acestei teorii este reprezentarea funcţiilor periodice prin serii de funcţii periodice trigonometrice. Seriile Fourier se folose~sc la cercetarea mişcărilor periodice în acustică, electrodinamică, optică, termodinamică etc. In electrotehnică se rezolvă cu ajutorul seriilor Fourier probleme de comportare a frecvenţelor ~i propagarea impulsului. Pentru navigaţie este foarte importantă prognoza mareelor; fiind vorba de procese periodice, ele conduc la serii Fourier. S-au construit dispozitive mecanice, maşini de calcul pentru maree cu care se efectuează analza Fourier în mod mecanic şi cu care se prognozează nivelul apelor în toate porturile mari . Astăzi, în toate domeniile fizicii, matematicii şi tehnicii se folosesc intens seriile Fourier. Serii trigonometrice Seriile de

funcţii

00

E fn(x)

în ca.re termenul general este de forma f(x)

=

an cos nx

+

n= O coeficienţi constanţi

+

bn sin nx , cu an şi bn , se numesc serii trigonometrice. Dacă aceste serii converg într-un interval de lungime 27t, atunci , funcţiile trigonometrice fiind periodice, ele converg pentru orice x şi reprezintă o funcţie periodică f(:~). Dar această funcţie nu este in mod necesar continuă, deseorii ea reprezintă puncte de discontinuitate între care funcţia se exprimă prin expresii diferite (fig. 21.3.1) . Pe de altă parte, dacă seria converge uniform, atunci suma ei f(x), este continuă. În acest caz, se poate stabili o legătură între coeficienţii an, bn şi funcţia f( x ). Înmulţind funcţia f(x)

=

CQ

CQ

n= O

n= O

E fn(x) = E (an cos nx + bn sin nx)

cu factorii mărginiţi cos px sau sin px, unde p este un întreg nenegativ, nu se alterează, astfel încît se pot calcula integralele

(27t '

.o

şi

f(x) cos px dx

convergenţa

seriei

(27t )o j(x) sin px dx

prin intearare termen cu termen a seriilor Lfn(x) cos px sau Lfn(x) sin px. Aceste integrări comportă integrarea în intervalul (0, 27t) a funcţiilor cos 11x cos px, sin nx cos px. cos 11x sin px , sin nx sin px. Integrînd prin părţi , se poate vedea că aceste integrale au valoarea O pentru n =1= p; pentru n = p

~:7t cos2nx dx

~:7t

=

sin 2 11xdx =

pentru

1t

11

>O

şi

cz7t )o Se

justifică

cos 2 nx dx

=

astfel scrierea

f(x)

Coeficienţii se scriu pentru orice n ~O astfel :

27t,

c27t )o

adoptată

=

sin 2 ux dx

,

O

pentru

n

=

O.

pentru seriile trigonometrice:

CQ

= :!:.2 +

E

2

n= l

(an

COSHX

+ bn sin 11x). - 1 ~21t f(x) dx,

o

27t

Formulele lui Euler-Fourier b,.

= -l ~27t f(x) 7t

o

an

sin nx dx

= -1 ~27t 1t o

f(x) cos

1tx

dx,

624

J\1[ atematici superioare

Serii Four ier. Se poate pune întrebarea: ce fel de funcţii pot fi reprezentate prin serii ·trigonometrice? Dacă f(x) este integrabilă, se pot folosi formulele Euler-Fourier pentru calculul coeficienţilor a oo au şi b", şi apoi se poate scrie formal seria ___!! + (an cos nx + bn sin n.x). 2 n=l Aceasta este seria Fourier a funcţieif(x) şi an şi bn sînt coeficienţii Fourier a i funcţiei f (x ). Totuşi, se poate întîmpla ca seria Fourier a funcţiei f(x) să nu fie convergentă, sau să conveargă dar suma ei să fie alta decît f(x); acest lucru se poate întîmpla chiar dacă f(x ) este continuă. Deci se poate presupune că f(x) admite alte reprezentări prin funcţii trigonometrice. Totuşi, dacă seria Fourier a unei funcţii continue f(x) este uniform continuă, atunci suma ei trebuie să fie f(x) şif(x) nu mai admite altă repr.ezentare printr-o serie trigonometrică uniform convergentă. Această condiţie este numai suficientă; problema găsirii unor condiţii necesare şi suficiente pentru convergenţa seriei Fourier a funcţiei f(x) nu este încă complet

B

rezolvată.

Deoarece termenii fn(x) ai seriei Fourier sînt funcţii periodice de perioadă 27t, funcţia este de asemenea o. funcţie periodică de perioadă 27t. Dacă f(x) este suma seriei f(x + 27t) = f(x). Deci, dezvoltarea în serii Fourier are sens pentru funcţii periodice cu perioada 27t. in cazul în care funcţia este periodică de perioadă 21, atunci se înlocuieşte variabila x prin variabila

sumă

1tx .

Funcţia care rezultă are perioada 27t.

l

De asemenea, uneori se caută o dezvoltare în serie Fourier pentru o funcţie definită într-un interval închis de lu ngime 21 şi care nu este periodică ~n acest interval. Atunci, presupunînd funcţia periodică la dreapta şi la stîuga acestui interval, ea poate fi de asemenea dezvoltată în serie Fourier. Seria Fourier este în acest caz dezvoltarea funcţiei periodice definite şi în afara domeniului de definiţie a fu ncţiei iniţiale prin f(x + 2kl) = f(x) (xel; k întreg) dar nu prezintă interes decît valorile ei pe intervalul de definiţie. Condi ţi a lui Dirichlet. Cum trebuie să fie o funcţie pentru ca să admită o dezvoltare în serie Fourier? Condiţiile pe care trebuie să le satisfacă aceasta nu sint încă complet cunoscute. Se cunosc de exemplu funcţii continue care nu pot fi reprezentate în serie Fourier. De asemenea există o funcţie continuă care nu este derivabilă în nici un punct şi care admite o reprezentare în serie Fourier uniform convergentă. Este vorba de funcţia descoperită de Weierstrass CX) 37t w(x) = B an cos(b~x), O< a< 1, b >O întreg, ab > 1 +

2 ·

n=l Condiţia lui Dirichlet. Daci intervalul O < x < 27t se poate descompune intr-un numi.r finit de subintervale şi f(x) este In fiecare din aceste intervale continui şi monotonă, atunci j(x) admite o reprezentare in serie Fourier şi coeficienţii Fourier se determină unic prin formulele · Euler-Fourier. Această condiţie

este îndeplinită de o clasă foarte largă de funcţiif(x) şi este satisfăcătoare pentru practică. Chiar funcţii ca cea reprezentată în fig. 21.3. 1 admit o reprezentare în serie Fourier. Este însă necesară incă o precizare. Dacă într-un punct al domeniului de definiţie limita la dreapta diferă de limita la stînga, adică 1im f(x 0 + t) =1= Iim f(.x 0 - t), atunci în acest punct se t-+0

t -+ 0

consideră

j(x0 )

1

= -

{Iim U(x 0 +t)

+ f(x 0 -t)]}.

y

f~: 1 1

1 1

1 1

~

21.3.1. Graficul unei luncţii reprezentabile prin seria sa Fourier

2 t-+0 Cu această precizare valoarea seriei Fourier coincide cu valoarea al intervalului de definiţie .

7t


n(x)

=

E

(aj cos jx + b1 sinjx), se ia, prin analogie cu

j=O

1 ~2n [f(x) - 4>n(x) integrala27t o - 4>n(x)J 2 dx. Aceasta îşi atinge minimul cînd a1 şi b1 sînt coeficienţii Fourier ai funcţieij(x). Aceasta constituie o altă proprietate importantă a coeficienţilor Fourier. Sinteza armonică. Sinteza armonică este operaţia inversă analizei armonice. Oscilaţiile pure se compun şi se obţine o rezultantă. Pe desenul alăturat este reprezentată sinteza armonică a primilor termeni ai dezvoltării Fourier din exemplul dat (fig. 21.3.4).

metoda celor mai mici

pătrate,

ca o

măsură

a

diferenţeif(x)

Calculul aproximativ al coeficienţilor Fourier. În practică funcţiile pentru care se caută reprezentarea în serie Fourier nu sînt date analitic. De regulă , funcţiile sînt date prin curbe trasate de dispozitivul de scriere al unor aparate de măsură, de exemplu diagrama presiunii unei pompe, diagrame trasate de oscilaţii mecanice sau electrice etc. Şi în aceste cazuri este

Serii de

627

funcţii

Fig. 21.3.4. Reprezentarea a sintezei armonice a unei curbe rectangulare grafică

posibilă

descompunerea în serie Fourier. Integralele din formulele Euler-Fourier se vor calcula prin metode aproximative (fig. 21.3.5). Pentru calculul aproximativ a l acestor integrale se împarte intervalul in 2m părţi egale. Este avantajos ca numărul părţilor să fie un multiplu de 4 pentru ca să se folosească valorile 12 , 24, 36, 72, ... deoarece printr-o astfel de împărţire se poate profita de proprietăţile de simetrie ale funcţiilor sinus şi cosinus. După desemnarea unui sistem de coordonate, se măsoară valorile funcţiei in punctele x 0 , x 1 , ..• , x 2 m - t· Fie y 0 , y 1 , y 2 , ••• ... , Y2nHt aceste valori. Atunci 2m-1

ao

2m

E

Yi·

2m - 1

an =

m

y

i= O

E

i= O

ni Yi cosm

pentru n = 1, 2, ... , m, bn =

l -

m

pentru n

2

~ (::o

/_,

=

1

ni

J' t sin -

m

1, 2, .. . , m -

2lt

X

l.

Fig. 21.3.5. Analiza Fourier a unei curbe date empiric

Dacă

se alege 2m

=

24, atunci se

obţin

11

Funcţia care rezultă, a 0

+E

(an cos nx

cei 24 de

coeficienţi

+ bn sin nx) + a12 cos

a 0 , a 1 , a2 , 12x

=

••• ,

f(x)

a12 , b1 , b2 ,

••. ,

b11 •

are în punctele

n= 1

de diviziune xi (i = O, 1,2, ... , 23) valorile f(xi) = J'i (i = O, 1, ... , 23). Calculele pentru analiza armonică sînt laborioase. Un calculator experimentat, folosind o maşină de calcul electrică şi scheme de calcul speciale are nevoie pentru efectuarea acestei analize armonice cu 12 puncte de aproximativ 1/2 oră, cu 24 puncte de 2 ore, cu 36 puncte de 6 ore. Pentru 72 de puncte trebuie efectuate .5000 de produse care trebuie cuprinse în 72 de sume. Un calculator electronic de viteză medie efectuează calculul pentru 36 puncte în aproximativ 2 minute; imprimarea rezultatelor durează mai mult decît calculul propriu-zis.

Analizatori armonici. Marea cantitate de timp necesară pentru efectuarea analizei armonice a curbelor a condus la descoperirea unor instrumente şi dispozitive mecanice. Cu aceasta se lucrează la fel ca şi cu planimetrele. Curba este parcursă de un creion mobil şi în mod automat pe scala indicatoare a unui aparat de calcul apare valoarea coeficientului Fourier. Astfel de aparate poartă numele de analizatori armmzici. Pentru problema specială a calculării mareelor, în unele ţări, s-au dezvotat maşini de calcul al mareelor cu care se efectuează sinteza armonică.

628

Matematici superioare

Ecuaţii diferenţiale

22. 22.1.

ordinare

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . .

628 628 630

Noţiuni fundamentale . . . . . . Ecuaţiile diferenţiale în geometrie

22.2

Ecuaţii

diferenţiale liniare de ordin superior . . . . . . . . . . . . . •

Consideraţii privind tipurile ce nu sînt integrabile prin metode elementare . . . . . . . . . . . . . . . . Metode de integrare folo site în practică .................. Consideraţii teoretice . . . . . . . .

22.3.

Tipuri integrabile prin metode elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipuri speciale de ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi integrabile prin metode elementare. . Integrarea ecuaţiilor diferenţiale de ordinul întîi . . . . . . . . . .

639

633 634

643

643 645

637

Una din ramurile matematicii cu cele mai întinse domenii de aplicaţii o constituie studiul ecuaţiilor diferenţiale. Acestea îşi găsesc aplicaţii în cercetarea oscilaţiilor pendulului, orbitelor sateliţilor, cutremurelor, construcţiilor de avioane şi de baraje, oscilaţiile membranelor difuzoarelor, propagării căldurii în motoarele cu ardere internă, vitezei reacţiilor chimice şi a dezintegrării radioactive. Aici se va prezenta numai o introducere succintă în vasta şi difidla teorie a ecuaţiilor diferenţiale. În acest capitol se vor considera numai ecuaţii diferenţiale ordinare, ecuaţiile diferenţiale cu derivate parţiale făcînd obiectul capitolelor privind teoria potenţialului şi ecuaţiile diferenţiale cu derivate parţiale. De asemenea în capitolul de faţă se vor prezenta ecuaţii diferenţiale pentru variabile reale şi funcţii cu valori reale. Neglijînd uneori rigoarea matematică, se vor prezenta o serie de metode de rezolvare care se aplică. curent în practică. De asemenea se va face o scurtă trecere în revistă asupra modului de a pune problema în acest domeniu al matematicii.

22.1. Introducere Noţiuni

fundamentale

Ecuaţie diferenţială. O ecuaţie diferenţială este o relaţie scrisă sub forma unei ecuaţii in care intervin o funcţie de una sau mai multe variabile, derivate ale acestei funcţii şi unele dintre variabile. Orice funcţie care verifică ecuaţia diferenţială se numeşte soluţie sau inte-

grală

r

ecuaţia diferenţială ( : : + y 2 = ajunge la identitatea cos 2 x + sin 2 x =

a acesteia, de ex.

prin înlocuire se = f(x , y) de două variabile x

z

y, se poate forma o

de exemplu z

integrală funcţia dată,

. d'f

şi

.

yoz -

=

1 are integrala y = sin

âz ox

=

ecuaţta

dy

-

1 erenţtală

d 2y

= cosx,

dx 2

dx

+y

care

funcţie să admită ca

âz • y, = x m acest caz, z ây

=

xy

oz

+ x - = x 2 + y 2. âx oy Dacă funcţiile care intervin in ecuaţia diferenţială sînt functii de o deci derivatele care intervin sînt în raport cu această variabilă, atunci respectivă se numeşte ordinară. Astfel de ecuaţii sînt de exemplu: . f sahs ace

deoarece

1. Invers, pornind de la o

ecuaţie diferenţială

xy. Deoarece

X

2

= 3xy,

y' 3

-

singură variabilă şi

ecuaţia

diferenţială

y'xy = O.

Cind dimpotrivă funcţiile căutate depind de mai multe variabile şi deci apar şi derivatele lor parţiale , ecuaţi ile diferenţiale se numesc ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale. Astfel de ecuaţii sînt de exemplu iJ! z

---

âxoy

in care

oz

.

+ z-=0Şl

ox

funcţia necunoscută

z

~2z

ox 2

= f(x,

oz +2 2

oy

y) este o

oz

4xyax funcţie

de variabilele x

şi

y.

Ecuaţii diferenţiale

ordinare

629

Ordinul şi gradul unei ecuaţii diferenţiale. Ordinul unei ecuaţii diferenţiale este dat de ordinul maxim al derivatelor ce apar în ecuaţie. O ecuaţie diferenţială de ordinul n poate fi ~crisă sub forma F(x, y, y', y ", ... , y(n)) = O, unde F este o funcţie de argumentele indicate. In particular y' = f(x, y) este ecuaţia generală explicită şi F(x, y, y') = O, ecuaţia diferenţiald implicită de ordinul întîi. Dacă F este o funcţie raţională de argumentele y, y', ... , ycn>, atunci gradul acestei funcţii este totodată şi gradul ecuaţiei diferenţiale; dependenţa Ecuaţia diferenţială Ordinul Gradul de n nu joacă aici nici un rol. Dimpotrivă, în cazul ecuaţiei y' = x sin y' nu se poate vorbi de un grad. 1 y' = x + siny' y' 2 = x sin x 2 1 Deosebit de importante pentru apli2 2 y" = 3x y 1 caţii sînt ecuaţiile diferenţiale de gradul 1 2 1 y " + 3y' + y cos x = sin x numite ecuaţii diferenţiale liniare în care 2 y'" + y" = y 3 funcţiile necunoscute şi derivatele lor apar numai la puterea întîi. Astfel, ecua+ fny(n) = O, unde ţia diferenţială liniară generală are forma f + foY + f 1 y' + f 2 y" + / . /0 . /1 , ... .fn sînt funcţii date de x.

+

Integrala unei ecuaţii diferenţiale. Dacă ecuaţia F(x, y, y', ... , yCn)) = O se transformă după Înlocuirea funcţiei y = cp(x) şi a derivatelor ei y', y", ... , y(n), într-o identitate în x, atunci y = = cp(x) se numeşte scluţie sau integrală a ecuaţiei date; procedeul prin care se determină integrala unei ecuaţii se numeşte integrare a ecuaţiei, iar graficul lui y = cp( x) în planul xOy curbă integrală. Soluţiile sînt rareori funcţii elementare sau expresii cuprinzînd astfel de funcţii. Dimpotrivă , multe funcţii neelementare importante pentru aplicaţii sînt definite ca soluţii ale unor tipuri speciale de ecuaţii diferenţiale, de exemplu în 1785 matematicianul francez Adrien Marie LEGENDRE ( 1752 - 1833), cercetînd puterea de atracţie a unui elipsoid asupra unui punct exterior, a stabilit o ecuaţie diferenţială ale cărei soluţii sînt polinoamele l ~ti Legendre . Deseori este posibil ca neglijînd forma completă a soluţiei să se stabilească propri etă ţile analitice ale integralei în vecinătatea unui punct x 0 şi să se studieze forma curbelor integrale, unicitatea soluţiei sau alte probleme. Teoremele de existenţă stabilesc condiţiile pe care trebuie să le satisfacă o ecuaţie diferenţială pentru ca să admită soluţii.

şi

Natura integratelor ecuaţiilor diferenţiale. Se deosebesc integrale generale, particulare singulare. Relaţiile dintre soluţii pot fi exprimate în mare şi nu tocmai riguros astfel: Integrala generali a unei o astfel de integrali este

adică

Cor espunzător,

integrala y = particulară.

uşor că

în calculul integral , se

dx

+ e.

obţine

ca

soluţie

Atribuind constantelor C1 ,

.. . ,

Totalitatea in tegratelor particulare este astfel

Exemplu. Pentru C

~f(x)

ecuaţii diferenţiale de ordinul n conţine n constante determinată abstracţie făcmd de tt constante.

Ecuaţia

=~

se

diferenţială

obţine

este vorba de o

y' 2

integrala

soluţie

+

a

ecuaţie i dife re nţiale

Cn valori fixe, se c uprin să

y 2 = 1 are integrala

particulară

prin înlocuirea în

y = sin { x

e 1, e 2, .•. , e",

obţine

în integrala

generală

+ ~)

o

y' = f(:x)

integrală

generală .

y = sin (x

+

e).

= cos x. Ne convingem

ecuaţia diferenţială.

Pe lîngă integrala generală şi integ ralele particulare, o ec uaţie difere nţială poate să aibă integrale singulare care corespund de regulă unor discontinuităţi ale ecuaţiei date. Integralele singulare nu pot fi deduse din integrala generală prin partic ularizarea constantelor; de exemplu, ecuaţia difere nţială y' 2 y 2 = 1 admite integrala singulară y = ± 1.

şi

+

Exemplu. Ecuaţia dife re nţială de ordinul doi y" + y = O are ecuaţia generală y = =el sin x + e2 cos X; prin alegerea corespunzătoare a constantelor el şi c2 se obţin integralele particulare y = O, y = cos x, y = 2 cos :x, y = sin x, y = 1t sin :x. Această ecuaţie nu are integrale singulare.

Matematici superioare

630 Ecuaţiile

diferenţiale

în geometrie

Cîmpul direcţiilor ecuaţiei diferenţiale de ordinul intii. Atît prin forma implicită F( x , y, y') = O dar mai ales prin forma explicită y' = f(x, y) ecuaţia diferenţială pune în corespondenţă fiecărui punct din planul xOy pentru care funcţiaf(x,y) este definită, o valoare p = y' = f( x, y) a derivaţei funcţiei căutate y(x). Această valoare determină direcţia tangentei la graficul funcţiei y(x). In acest fel rezultă cîmpul direcţiilor ecuaţiei diferenţiale de ordinul întîi. Tripletul x, y, p se numeşte element de linie cu suportul în punctul (x, y). Cu ajutorul cîmpului direcţiilor se poate obţine cel puţin o reprezentare aproximativă a comportării curbelor integrale ale unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi; acest lucru se face trasînd punctat direcţiile tangentelor ce porneşc dintr-un punct (x, y). Din punct de vedere geometric problema integrării unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi se reduce la determinarea curbelor ce corespund unui cîmp de direcţii, adică a curbelor care au în fiecare punct o tangentă şi admit numai elemente de linie ce corespund elementelor de linie ale ecuaţiei y' = f(x, y).

22.1.1. Cîmpul direcţiilor renţiale y' = yJx

ecuaţiei

dife-

22.1.2. Cîmpul direcţiilor ecuaţiei diferenţiale y' = - x-Jy

Ecuaţii diferenţiale şi familii d~. curbe.

Rezultatul enunţat mai sus, care afirmă că soluţia unei de ordinul întîi depinde de o constantă, se poate exprima geometric astfel: soluţia unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi este o familie de curbe cu un parametru. Şi afirmaţia inversă este adevărată: o familie de curbe cu un parametru y = tp(x, C) poate fi reprezentată analitic printr-o ecuaţie diferenţială de ordinul întîi. Această ecuaţie se obţine prin

ecuaţii diferenţiale

eliminarea lui C din sistemul de

ecuaţii y = cp(x,

C); dy dx

=

tp'(x, C).

Exemplu. Familia tuturor dreptelor care trec prin origine (fig. 22.1.1) are Atunci y'

=

C. De aici rezultă ecuaţia diferenţialli. y

=

y' x, respectiv y'

=

ecuaţia

y

y

=

Cx.

(fig. 22.1.2).

X

O familie de curbe cun parametri se poate exprima analitic printr-o ecuaţie diferenţiall de ordinul n. Reciproc, soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinu_l n este o familie de curbe cu n parametri.

631

22.1.3. Cîmpul ferenţiale y' =

direcţiilor ecuaţiei

di-

~

22.1.4. Cîmpul direcţiilor ţiale y' = x + y

ecuaţiei

diferen-

A doua parte a acestei afirmaţii rezultă. nemiJloqit din structura soluţiei generale a ecuaţie i de ordinul n. Din ecuaţia unei familii de curbe care conţine n parametri, se găseşte ecuaţia diferenţială. corespunzătoare în modul urmă.tor: se derivează. ecuaţia familiei de curbe de un numă.r suficient de mare de ori pentru a putea elimina parametrii între ecuaţiile obţinute; ecuaţia obţinută. prin eliminare este ecuaţia diferenţială. căutată.. diferenţiale

Exemplul 1. y = e1 x + e2 este ecuaţia care reprezintă. familia cu cei doi parametri ai dreptelor din plan neparalele cu axa Oy. Derivînd de două. ori, se obţine y" = O. În acest caz nu mai este nevoie de eliminare. Ecuaţia diferenţială. obţinută. arată. că. familia de curbe conţine numai curbe cu curbură. nulâ.; aceste curbe sînt deci drepte. Exemplul 2. Familia tuturor cercurilor cu raza fixă. a are ecuaţia (x - C1 ) 2 + (y -e2) 2 =a 2 • Prin derivare se obţine X - el + (y - ez) y' = o; derivîndu-se încă. o datâ., 1 + y'1 + (y - e 2) y" = O. Eliminînd, se obţine e 2 = (1 + y' 2 + yy")fy" şi e 1=x- (1 + y' 2) ~ şi prin y"'

Toate curbele familiei sînt conţinute în soluţia generală. a ecuaţiei diferenţiale. Se poate printre soluţiile ecuaţiei dif~renţiale să. figureze şi curbe care nu aparţin familiei iniţiale de curbe; de exemplu, familia de curbe y = C1 x + e2 , C1 > O, conduce la ecuaţia diferenţială. y "= O; printre soluţiile acestei ecuaţii se găsesc însă. atît drept ele cu e1 >O cît şi cele cu e2 < O. inţelege însă. că.

Soluţii singulare, infăşurătoare de familii de curbe. Familia tuturor cercurilor cu raza 1 cu centrul pe axa Ox, y 2 + (x- C) 2 = 1 satisface ecuaţia diferenţială. y2y'2 + y2- 1 = O, deoarece yy' + x - e = O, C = x + yy' (fig. 22.1..5). Această. ecuaţie este însă. satisfăcută.. şi de funcţiile y = 1 şi y = - 1 care nu sînt conţinute în integrala generală. (x - C)2 + y2 = 1 şi care sînt deci integrale singulare. Din punct de vedere geometric aceste funcţii reprezintâ. tangente la familia de cercttri şi deşi nu sînt conţinute în această. familie, coincid

şi

632

Matematici superioare

cu unele direcţii din cîmpul de direcţii determinat de ecuaţia diferenţială. Din elementele de linie respective se pot compune alte curbe care reprezintă de asemenea soluţii. Din această infinitate de curbe, pe figura 22.1.6 s-a reprezentat una singură trasată cu roşu .

y

22. 1.6. Curba soluţiilor compuse care verifică cîmpul direcţiilor ecuaţiei diferenţiale y 2y'2 + + y2 - 1 = o

22. 1..5. Familia tuturor cercurilor de rază 1 ale căror centre se află pe axa Ox

Familia de tangente la parabola y=x 2 (fig. 22.1.7). Ecuaţia tangentei la parabola y= x 2 în punctul (x 0 , y 0 ) este y + y 0 = 2xx 0 . Deoarece y 0 = x~, considerînd pe x 0 ca parametru C, se

obţine ecuaţia familiei

renţială a familiei y curbă

de curbe y

=

2Cx - C2 · Din J

=

1

2C, C

= ~

se

2

=

xy

1 -

dife-

!.__ • Jnjăsurătoarea acestei familii de curbe, tangentă la fiecare 4

'

din familie este în mod evident parabola y = x 2 • Ea nu este

generală y = 2Cx -

obţine ecuaţia

12

C2

a ecuaţiei diferenţiale y

conţinută

in

soluţia

12

=

xy

1 -

!.._, însă satisface aseastă ecuaţie şi 4

este deci o

soluţie singulară.

lnaşurătoarea defineşte

unei familii de curbe este de asemenea o familia de curbe.

soluţie

a

ecuaţiei diferenţiale

care

Din această afirmaţie rezultă procedeul de obţinere a înfăşurătoarei unei familii de curbe cu un parametru, prezentat fără demonstraţie, în cazul cînd o astfel de înfăşurătoare există. Cînd se cunoaşte soluţia generală ~ (x, y, C) = O a ecuaţiei diferenţiale care defineşte familia de curbe. atunci înfăşurătoarea se obţine prin eliminarea parametrului C între (x, y, C) = O şi oll>( x, y, C)

ac

=

O. Prin acest procedeu se pot

obţine

- pe lîngă înfăşurătoare şi alte curbe care au de regulă o semnificaţie geometrică legată de familia de curbe, de exemplu locul vîrfurilor pentru o familie de cicloide (fig. 22. 1.8) sau locul nodurilor în cazul cînd curbele din familie prezintă noduri. Şi în fizică apar probleme de găsire a înfăşurătoarelor unor familii de curbe. De exemplu, reflectatele pe o oglindă sferică ale razelor paralele cu axa înfăşoară o suprafaţă focală a cărei secţiune se numeşte catacaustică. 'f

22.1.7. Familia tangentelor parabolei y = x 2 •

22. 1.8. Familia cicloidelor. Dreapta y înfăşurătoare

=

O nu

este

Ecuaţii diferenţiale

633

ordinare

lzocline, traiectorii ortogonale. Curba care uneşte punctele care au aceeaşi direcţie in cîmp se nudimeşte izoclină a cîmpului de diferenţiale de recţii ale ecuaţiei ordinul întîi. Ecuaţia unei izocline se obţine înlocuind în y' = = f(x, y) pe y' = const = a. Cunoscind izoclinele, se obţin indicaţii asupra cîmpului de direcţii şi deci asupra de diferenţiale, ecuaţiei soluţiilor exemplu izoclinele y' = a ale ecuaţiei (x + y) y' + x - y = O diferenţiale satisfac pentru a = O ecuaţia y = x. pentru a = 1 ecuaţia x = 0, pentru a = oo, respectiv a = - 1 ecuaţiile y = - x, respectiv y = O. Soluţiile admit un punct focar ~uaţiei (fig. 22.1.9). În geometrie şi în fizică apare de multe ori -problema găsirii pentru o familie de curbe dată a familiei traiectoriilor ortogonale, adică a 22. 1.9. Curbele soluţiilor ecuaţiei diferenţiale (x + + y)y' + x - y = O, obţinută prin metoda izoclinelor curbelor care taie ortogonal curbele din familia dată. Liniile de forţă ale unui dipol electric sau magnetic formează familia liniilor de cîmp care sînt intersectate sub un unghi drept de liniile cu potenţial egal (fig. 22.1.10). Analitic, ecuaţiile diferenţiale ale traiectoriilor otogonale se obţin din ecuaţia diferenţială y' = f(x, y) care defineşte familia. de curbe

~(x,

y, C)

=

O, înlocuind pe y' cu -

_!_ • Această metodă rezultă

y' produsul pantelor tangentelor la două curbe ortogonale este egal cu - 1.

din aceea

că.

Exemplu. Traiectoriile ortogonale ale familiei de parabole y2 = -2(x + C), a căror ecuaţie diferenţiaHl este yy' = - 1, satisfac ecuaţia y' = y cu soluţia generală y = C ez. Familia curbelor exponenţiale formează deci familia traiectoriilor ortogonale familiei de parabole şi invers.

22.2. Tipuri integrabile prin metode elementare 22.1. 10. Linii de forţă ale unui dipol care intersectează liniile echipotenţiale în unghiuri drepte. O familie de curbe se compune din traiectoriile ortogonale ale celorlalte

O ecuaţie diferenţială este integYabilă prin metode elementare dacă soluţia ei generală se obţine ca. o combinaţie a unui număr finit de funcţii elementare prin metode de integrare obişnuite (cvadraturi). Acest lucru este posibil numai pentru unele tipuri de ecuaţii diferenţiale care apar frecvent în aplicaţii. În cazul metodelor de integrare ce se vor prezenta în continuare, se presupune existenţa soluţiilor.

634

Matematici superioare ecuaţii diferenţiale

Tipuri speciale de elementare fi

de ordinul intii integrabile prin metode

Ecuaţia diferenţială generală de ordinul întîi rezolvată în raport cu y',în vecinătatea punctnlui

implicite

dacă

()F oy'

O în acest punct ; se

-=F

obţine

sub formă implicită F(x, y , y') = O poate (x 0 , y 0 , y~) conform teoremei asupra funcţiilor astfel forma

explicită

y' = f(x, y).

Ecuaţia diferenţiali de tipul y = g(x). La acest tip de ecuaţii diferenţiale partea dreaptl depinde numai de x. Dacă g(x) este integrabilă în int,ervalul deschis (a, b). de exemplu continuă, atunci pentru un punct ~ oarecare, însă fix din intenalul (a, b) funcţiile

y

= ~; g(t)

dt

+ C,

a

< x
O

2 prin rezolvarea în raport cu y. Se obţine y = 1 = "'1) 2 + 2{x- ~)pentru y > ~- -1)2. După 2 cum se putea observa chiar din cîmpul de direcţii, curbele integrale sînt semiparabole (fig. 22.2.1). Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile.

22.2.1. Cimpul ţiale y' = lfy

În ecuaţiile

direcţiilor ecuaţiei

diferenţiale

y'

=

diferen-

ex sin y, y'

=

partea dreaptă este o funcţie de ambele variabile fiind un produs de x- 1 două funcţii, una numai de x, g(x) şi cealaltă numai de y, h(y). Ecuaţii ca de exemplu y' = sin (xy) sau y' = x + y nu sînt de acest tip. Cînd partea dreaptă a ecuaţiei diferenţiale y' = f(x, y) se poate scrie ca un produs g(x) . h(y), atunci variabilele se zic seţarabile. În acest caz ecuaţia. diferenţială y' = g(x) h(y) se poate uşor rezolva dacă g(x) şi h(y) sînt funcţii continue şi h(y)

=

.!. , y' = _!_±__!_ x2

este

diferită de

zero într-un interval (c, d). Din dy = g(x) h(y) se dx integrare în ambii membri ( dy = ( g(x)dx ) h{y)

)

+ C.

obţine

dy = g(x) dx h(y)

şi

prin

Ecuaţii diferenţiale

635

ordinare

Prin rezolvare in raport cu y se Exemplul 1. y'

= - !....

obţine soluţia generală

în c

O,

X

y

> O.

= - _!_, h(y) =Y· Se obţine

Aici g(x)

X

+ ln

ln y

x = C,

= xy = eC = In xy

Soluţiile

2~

C,

h#cm]

22.2.2. Descrierea presiunii atmosferice p măsu­ rate în atm la temperatură constantă., funcţie de distanţa h faţă de Pămînt măsurată. în km

c.

sînt hiperbole.

Exemplul 2. Presiunea atmosferică p variază cu înălţimea k _ măsurată. de la suprafaţa (fig. 22.2.2). La o creştere dh a înălţimii, p creşte cu dp = - pg dh, unde p este densitatea atmosferei şi g acceleraţia gravitaţiei. După legea Boyle-Mariotte rezultă relaţia Pămîntului

_g = ~ =a=const, de unde P Po

~

dp = - pag dh,

Pentru h = O presiunea

p

In -

= -a.gh sau

Po

Po

este presiunea la

p = p0 e- agh =lp 0

funcţie

şi

de raportul

y' = -

;: .

~

omogene. O

,

e

suprafaţa

1

Pamintului

şi

deci C = In p0 ; se

creşte;

ecuaţi!! diferenţială

presupunind temperatura

y' = f(x, y) t>ste

omogenă

( ~ ) ;astfel de ecuaţii sînt de exemplu y' = sin.;,

cp

= -dy =

t' x

+ t.

Se

ecua~ii se face în y' =

cp ( -; )

obţine ecuaţia diferenţială

t'x

p,

obţine

în care variabilele sînt separabile; integrala

generală

constantă,

cu

cînd f(x, y) este o

(~ y' =

-1)

X

x y

substituţia

+t=

dx

cp(t) - t

p,g1J

P=P0 e

Po .

Pentru a rezolva astfel de

. A tunet y = tx, y

Relaţia dintre presiunea atmosferică şi înălţime

- -PoCh

Presiunea scade exponenţial cînd înălţimea fiecare .5,54 km presiunea scade cu jumătate. Ecuaţii diferenţiale

._.

== - ~ ag dh + C, ln p = - agh + C. d:

cp(t) sau

= t.

: d/

dx

este

X

~ Se

obţine

dt

- - - = ln x

cp(t) - t

de aici t

torul cp(t) - t se

=

t(x)

+ C.

şi

deci

şi funcţia

y = y(x) . Metoda nu se poate aplica cînd numi-

anulează, adică cind cp(t) = t şi deci

y'

=

y X

de la început o

ecuaţi e

c u variabile separabile.

În acest caz însă ecuaţia este

636

Matematici superioare

Exemplu. Pentru găsirea tuturor consideră dreapta care face u·n ghiul