Mi a matematika? [EPUB]

Table of contents :
Tartalomjegyzék
Előszó a második kiadáshoz
Az első kiadás előszava
A javított kiadások előszava
Hogyan használjuk ezt a könyvet
Mi a matematika?
I. A természetes számok
Bevezetés
1. § Számolás egész számokkal
1. Az aritmetika törvényei
2. Pozitív egész számok jelölése
3. Számolás nem tízes számrendszerekben
*2. § A számrendszer végtelen voltáról. A matematikai indukció
1. A matematikai indukció elve
2. Számtani sor
3. Geometriai sor
4. Az első n egész szám négyzetének összege
*5. Egy fontos egyenlőtlenség
*6. A binomiális tétel
*7. További megjegyzések a matematikai indukcióról
Kiegészítés az I. fejezethez. Számelmélet
Bevezetés
1. § Prímszámok
1. Alapvető tények
2. A prímszámok eloszlása
a) Prímszámokat előállító képletek
b) Prímszámok a számtani sorokban
c) A prímszámtétel
d) Két, prímszámokra vonatkozó megoldatlan probléma
2. § Kongruenciák
1. Alapfogalmak
2. A kis Fermat-tétel
3. Kvadratikus maradékok
3. § Püthagoraszi számok és Fermat elveszett tétele (a „nagy Fermat-tétel”)
4. § Euklidészi algoritmus
1. Általános elmélet
2. Az aritmetika alaptételének alkalmazása
3. Az Euler-féle φ-függvény. Újból a kis Fermat-tétel
4. Lánctörtek. Diophantoszi egyenletek
II. A matematika számrendszere
Bevezetés
1. § A racionális számok
1. Racionális számok mint a mérés eszközei
2. A racionális számok elméleti szükségessége. Az általánosítás elve
3. Racionális számok geometriai értelmezése
2. § Inkommenzurábilis szakaszok, irracionális számok, határérték
1. Bevezetés
2. Tizedes törtek. Végtelen tizedes törtek
3. Határérték. Végtelen geometriai sorok
4. Racionális számok és szakaszos tizedes törtek
5. Irracionális számok általános definíciója intervallumskatulyázással
*6. Más módszerek irracionális számok definiálására. Dedekind-szelet
3. § Néhány megjegyzés az analitikus geometriával kapcsolatban
1. Alapelvek
*2. Az egyenes egyenlete. Görbék egyenletei
4. § A végtelen matematikai analízise
1. Alapfogalmak
2. A racionális számok megszámlálhatósága és a kontinuum nem megszámlálhatósága
3. A Cantor-féle „számosságok”
4. Az indirekt bizonyítás
5. A végtelen paradoxonai
6. A matematika alapjai
5. § Komplex számok
1. A komplex számok eredete
2. A komplex számok geometriai szemléltetése
3. A de Moivre-képlet és az egységgyökök
*4. Az algebra alaptétele
*6. § Algebrai és transzcendens számok
1. Definíciójuk és létezésük
**2. Liouville tétele és transzcendens számok előállítása
Kiegészítés a II. fejezethez. A halmazalgebra elemei
1. Általános elmélet
2. A halmazalgebra alkalmazása a matematikai logikában
3. A halmazalgebra alkalmazásáról a valószínűségszámításban
III. Geometriai szerkesztések. Számtestek algebrája
Bevezetés
III.I. A megoldhatatlanság bizonyítása és az algebra
1. § Alapvető geometriai szerkesztések
1. A négy alapművelet és a gyökvonás mint szerkesztések
2. Szabályos sokszögek
*3. Az Apollóniosz-féle feladat
*2. § Megszerkeszthető számok és számtestek
1. Általános elmélet
2. Minden megszerkeszthető szám algebrai szám
*3. § A három görög probléma megoldhatatlansága
1. A kocka megkettőzése
2. Egy harmadfokú egyenletekre vonatkozó tétel
3. A szög harmadolása
4. A szabályos hétszög
5. Néhány megjegyzés a kör négyszögesítéséről
III.II. Különféle szerkesztési módszerek
4. § Geometriai transzformációk. Az inverzió
1. Általános megjegyzések
2. Az inverzió tulajdonságai
3. Inverz pontok geometriai megszerkesztése
4. Vonalszakasz megfelezése és a kör középpontjának meghatározása pusztán körző használatával
5. § Egyéb segédeszközöket használó szerkesztések. Mascheroni-féle szerkesztések pusztán körző használatával
*1. A kocka megkettőzésének klasszikus szerkesztési módja
2. A körző geometriája
3. Rajzolás mechanikus eszközökkel. Mechanikus görbék. Cikloisok
*4. Csuklós szerkezetek. Peaucellier-féle és Hart-féle inverzorok
6. § Az inverzió néhány sajátsága és alkalmazása
1. Szögállandóság. Körseregek
2. Alkalmazás az Apollóniosz-féle feladatok megoldására
*3. Töbszörös tükrözesek
IV. Projektív geometria. Axiomatika. Nem-euklidészi geometriák
1. § Bevezetés
1. Geometriai tulajdonságok osztályozása. Transzformációk invariánsai
2. Projektív transzformációk
2. § Alapfogalmak
1. A projektív transzformációk csoportja
2. Desargues tétele
3. § Kettősviszony
1. A kettősviszony definíciója és invariáns voltának bizonyítása
2. A teljes négyoldal
4. § Párhuzamosság és végtelen
1. Végtelen távoli pontok mint „ideális pontok”
2. Ideális elemek és projekció
3. Kettősviszony végtelen távoli elemekkel
5. § Alkalmazások
1. Előzetes megjegyzések
2. A síkbeli Desargues-tétel bizonyítása
3. Pascal tétele
4. Brianchon tétele
5. A dualitás elvéről
6. § Analitikus előállítási mód
1. Bevezető megjegyzések
*2. Homogén koordináták. A dualitás algebrai alapja
7. § Vonalzó használatával megszerkeszthető feladatok
8. § Kúpszeletek és másodrendű felületek
1. Kúpszeletek elemi metrikus geometriája
2. Kúpszeletek projektív tulajdonságai
3. Kúpszelet mint burkológörbe
4. A kúpszeletekre vonatkozó általános Pascal- és Brianchon-féle tételek
5. A hiperboloid
9. § Axiomatika és nem-euklidészi geometria
1. Az axiomatikus módszer
2. Hiperbolikus nem-euklidészi geometria
3. Geometria és valóság
4. A Poincaré-féle modell
5. Elliptikus vagy Riemann-féle geometria
Függelék *Több dimenziós terek geometriája
1. Bevezetés
2. Analitikus eljárás
*3. Geometriai vagy kombinatorikus eljárás
V. Topológia
Bevezetés
1. § Euler poliéder tétele
2. § Az alakzatok topologikus tulajdonságai
1. Topologikus tulajdonságok
2. Összefüggés
3. § További példák topológiai tételekre
1. Jordan-féle síkgörbetétel
2. A négyszínprobléma
*3. A dimenzió fogalma
*4. Egy fixponttétel
5. Csomók
4. § Felületek topológiai osztályozása
1. A felületek nemszáma
*2. A felület Euler-féle karakterisztikája
3. Egyoldalú felületek
Függelék
*1. Az ötszíntétel
2. A Jordan-tétel sokszögek esetében
**3. Az algebra alaptétele
VI. Függvény és határérték
Bevezetés
1. § Változók és függvények
1. Definíciók és példák
2. Az ívmérték
3. A függvény grafikus ábrázolása. Inverz üggvény
4. Összetett függvények
5. Folytonosság
*6. Több változós függvények
*7. Függvény és transzformáció
2. § Határérték
1. Az an sorozat határértéke
2. Monoton sorozatok
3. Az Euler-féle e szám
4. A szám
*5. Lánctörtek
3. § Függvény határértéke folytonos megközelítéssel
1. Bevezetés. Általános definíció
2. Megjegyzések a határérték fogalmáról
3. A (sinx)/x határértéke
4. Határérték, ha x
4. § A folytonosság pontos definíciója
5. § A folytonos függvények elméletének két alapvető tétele
1. Bolzano tétele
*2. Bolzano tételének bizonyítása
*3. Weierstrass tétele szélső értékek létezéséről
*4. Egy sorozatokra vonatkozó tétel. Zárt halmazok
6. § Bolzano tételének néhány alkalmazása
1. Geometriai alkalmazások
*2. Egy mechanikai probléma
Kiegészítés a VI. fejezethez. További példák a határértékre és a folytonosságra
1. § Példák a határértékre
1. Általános megjegyzések
2. qn határértéke
3. [n]p határértéke
4. A szakadásos függvények, mint folytonos függvények határértékei
*5. Határérték kiszámítása iterációval
2. § Példa a folytonosságra
VII. Szélső értékek
Bevezetés
1. § Elemi geometriai feladatok
1. Háromszög maximális területe, ha a háromszög két oldala adott
2. Héron tétele. A fénysugarak szélső érték tulajdonsága
3. A Héron-tétel alkalmazása háromszög-feladatokra
4. Az ellipszis és hiperbola érintési tulajdonságai. Megfelelő szélső érték tulajdonságok
*5. Adott görbék extrém távolságai
2. § Szélső érték problémák egyik általános alapelve
1. Az elv
2. Példák
3. § Stacionárius pontok és a differenciálszámítás
1. Szélső értékek és stacionárius pontok
2. Több változós függvények maximuma és minimuma. Nyeregpontok
3. Minimax pontok és a topológia
4. A pont távolsága egy felülettől
4. § A Schwarz-féle háromszögprobléma
1. Schwarz bizonyítása
2. Másik bizonyítás
3. Tompaszögű háromszög
4. Háromszögek fénysugarakból
*5. Néhány megjegyzés tükrözési problémákról és ergodikus mozgásról
5. § Steiner-féle probléma
1. A probléma megoldása
2. A két lehetőség elemzése
3. Egy komplementer probléma
4. Megjegyzések és feladatok
5. Általánosítás úthálózat-probléma esetére
6. § Szélső pontok és egyenlőtlenségek
1. A két pozitív mennyiség aritmetikai és geometriai közepe
2. Általánosítás n változó esetére
3. A legkisebb négyzetek elve
7. § Szélső pont létezése. Dirichlet-féle elv
1. Általános megjegyzések
2. Példák
3. Elemi szélső érték problémák
4. A bonyolultabb esetek nehézségeiről
8. § Az izoperimetrikus probléma
*9. § Szélső érték feladatok kerületi feltételekkel. Összefüggés Steiner problémája és az izoperimetrikus probléma között
10. § Variációszámítás
1. Bevezetés
2. Variációszámítás. Fermat elve az optikában
3. Bernoulli módszere a brachistochrone-probléma megoldására
4. Geodetikus vonalak a gömbön. Geodetikus vonalak és maximinimumok
11. § Minimumproblémák kísérleti megoldása. Szappanbuborék-kísérletek
1. Bevezetés
2. Szappanbuborék-kísérletek
3. A Plateau-probléma körébe tartozó új kísérletek
4. Egyéb matematikai problémák kísérleti megoldása
VIII. Az integrál- és differenciálszámítás
Bevezetés
1. § Az integrál
1. Terület mint határérték
2. Az integrál
3. Általános megjegyzések az integrálfogalomról. Általános definíció
4. Példák integrálásra. xn integrálása
5. Az integrálszámítás szabályai
2. § A derivált
1. A derivált mint érintő iránytangense
2. A derivált mint határérték
3. Példák
4. A trigonometrikus függvények deriváltjai
*5. Differenciálás és folytonosság
6. Derivált és sebesség. Második derivált és gyorsulás
7. A második derivált geometriai jelentése
8. Maximum és minimum
3. § A differenciálás technikája
4. § Leibniz jelölése és a „végtelen kicsiny”
5. § Az integrál- és differenciálszámítás alaptétele
1. Az alaptétel
2. Első alkalmazások. xr, cosx, sinx, arctgx integrálása
3. Leibniz formulája meghatározására
6. § Az exponenciális függvény és a logaritmus
1. A logaritmus definíciója és tulajdonságai. Az Euler-féle e szám
2. Az exponenciális üggvény
3. Képletek ex, ax, xs, differenciálására
4. e, ex, lnx határértékként való explicit kifejezése
5. Végtelen sorok a logaritmusra. Numerikus számítások
7. § Differenciálegyenletek
1. Definíció
2. Az exponenciális függvény differenciálegyenlete. Radioaktív bomlás. A növekedés törvénye. Kamatos kamat
3. További példák. Legegyszerűbb rezgőmozgások
4. Newton dinamikai alaptörvénye
Kiegészítés a VIII. fejezethez
1. § Elvi kérdések
1. Differenciálhatóság
2. Az integrál
3. Az integrálfogalom egyéb alkalmazásai. Munka. Hosszúság
2. § Nagyságrend
1. Az exponenciális függvény és x hatványai
2. ln(n!) nagyságrendje
3. § Végtelen sorok és végtelen szorzatok
1. Végtelen függvénysorok
2. Euler képlete: cosx+isinx=eix
3. A harmonikus sor és a zéta-függvény. Euler végtelen sora a szinuszfüggvényre
**4. § A prímszámtétel levezetése statisztikus módszerrel
IX. Újabb fejlemények
1. § Prímeket előállító képletek
2. § A Goldbach-sejtés és az ikerprímek
3. § A nagy Fermat-tétel
4. § A kontinuum-hipotézis
5. § Halmazelméleti jelölések
6. § A négyszín-tétel
7. § Hausdorff-dimenziók és fraktálok
8. § Csomók
9. § Egy mechanikai probléma
10. § A Steiner-féle probléma
11. § Szappanhártyák és minimum-felületek
12. § Nemsztenderd analízis
Függelék. Kiegészítő megjegyzések, problémák és feladatok
Aritmetika és algebra
Analitikus geometria
Geometriai szerkesztések
A projektív és a nem-euklidészi geometria
Topológia
Függvény, határérték és folytonosság
Maximumok és minimumok
A differenciál- és integrálszámítás
Az integrálás technikája
Javaslat, további olvasmányokra
Általános művek
I. fejezet
II. fejezet
III. fejezet
IV. fejezet
V. fejezet
VI. fejezet
VII. fejezet
VIII. fejezet
Javaslat, további újabb olvasmányokra
Általános művek
IX. fejezet
1. §. Prímeket előállító képletek
2. §. A Goldbach-sejtés és az ikerprímek
3. §. A nagy Fermat-tétel
4. §. A kontinuum-hipotézis
5. §. Halmazelméleti jelölések
6. §. A négyszín-tétel
7. §. Hausdorff-dimenziók és fraktálok
8. §. Csomók
9. §. Egy mechanikai probléma
10. §. A Steiner-féle probléma
11. §. Szappanhártyák és minimum-felületek
12. §. Nemsztenderd analízis