Méthode des éléments finis: Approche pratique en mécanique des structures 2100544632, 9782100544639 [PDF]

Zitiervorschau

Michel Cazenave

Méthode des éléments finis Approche pratique en mécanique des structures

9782100544639.indb 3

09/02/10 14:53

© Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-055065-4

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Table des matières

1 • Introduction

1

2 • Rappels sur le calcul matriciel

3

2.1 Notion de matrice

3

2.2 Opérations de base

4

2.3 Matrices carrées

7

3 • Rappels sur la mécanique du solide 3.1 Les contraintes

15

3.2 Les déformations

19

3.3 Relations entre contraintes et déformations

22

3.4 Énergie de déformation élastique

27

4 • Principes de la méthode des éléments finis en statique

31

4.1 Approximation nodale – fonctions de forme 

31

4.2 Résolution

33

4.3 Organigramme général de résolution

43

5 • Éléments de barre et de ressort 5.1 Élément de barre © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

15

45 45

5.2 Matrices de rigidité élémentaires

45

5.3 Élément de ressort

46

5.4 Exemple 1 : console

47

5.5 Exemple 2 : treillis

54

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

61

6.1 Équation générale des poutres planes

61

6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds

63

6.3 Élément de poutre tridimensionnel à 2 nœuds

72

6.4 Exemple 3 : poutre continue

78

6.5 Exemple 4 : portique

89



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V

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7 • Éléments isoparamétriques 7.1 Problématique du maillage

101 101

7.2 Familles d’éléments

104

7.3 Caractéristiques élémentaires

120

7.4 Intégration numérique

123

8 • Éléments de membrane

127

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle

128

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire

140

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée

155

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console

176

9 • Éléments de plaque

185

9.1 Rappels sur les théories des plaques

185

9.2 Exemple 9 : plaque simplement appuyée sur 4 côtés

192

9.3 Exemple 10 : plancher dalle 

208

10 • Éléments de coque

215

10.1 Aspects théoriques

215

10.2 Exemple 11 : coque plate comprimée fléchie

218

10.3 Exemple 12 : étude d’une poutre en I

221

11 • Analyse non linéaire géométrique

227

11.1 Aspects théoriques

227

11.2 Exemple 13 – Étude d’un shed symétrique

240

11.3 Exemple 14 – Flambement des poutres

254

11.4 Exemple 15 – Flambement des plaques

265

11.5 Exemple 16 – Déversement d’une poutre

275

Bibliographie

281

Compléments en ligne

283

1. Notice d’utilisation

283

2. Conditions générales d’utilisation

285

Index alphabétique

287

VI

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1 • Introduction



A

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Pour mener à bien un projet technique, l’ingénieur ou technicien de bureau d’études doit concevoir puis dimensionner l’ouvrage de manière à fournir à l’entreprise exécutante les plans nécessaires à sa réalisation. Très souvent, celui-ci utilisera un outil de calcul basé sur la méthode dite des éléments finis dont l’utilisation s’est généralisée dans l’industrie depuis une vingtaine d’années. Cette méthode, qui n’est pas uniquement dédiée aux problèmes de structures lui permettra de résoudre un éventail très large de problèmes : structurels, thermiques, électromagnétiques, fluidiques, avec des aspects linéaires ou non linéaires, stationnaires ou transitoires. Différents éditeurs de logiciels se sont imposés sur ce marché. Ils proposent généralement plusieurs modules permettant d’aborder des problèmes multi physiques. La structure de ces codes comporte habituellement un pré-processeur, un ou plusieurs solveurs, un ou plusieurs post-processeurs. Le pré-processeur est une interface graphique permettant à l’utilisateur de décrire la géométrie et le type de problème à résoudre. Le ou les solveurs intègrent les bases des méthodes de résolution (linéaire ou non linéaire, stationnaire ou transitoire, etc.) spécifiques au cas étudié. Le ou les post-processeurs permettent de visualiser les résultats sous forme de courbes (évolution en fonction du temps, des charges, des déplacements, etc.) ou d’isovaleurs matérialisant le comportement de la structure par une échelle de couleurs variant du bleu au rouge généralement. Mais avant d’utiliser un tel code de calcul de manière opérationnelle, il est essentiel d’explorer ses capacités et surtout ses limites. Pour ce faire, le futur utilisateur devra maîtriser un minimum de prérequis théoriques dans le secteur visé (mécanique, génie civil, etc.) mais également dans le domaine de la méthode des éléments finis. Toujours dans ce même domaine et au niveau pratique, il devra être capable de résoudre des problèmes simples avec le logiciel mis à sa disposition. Généralement, les éditeurs de ces logiciels joignent au produit un manuel dit de vérification permettant de comparer les résultats obtenus à un référentiel souvent issu de bases théoriques. Dans le cadre de la mise en œuvre d’une nouvelle technique ou peut-être même lors d’une première utilisation, l’opérateur pourra aussi utiliser ce manuel comme base de formation à l’outil. C’est la démarche que nous avons essayé de reproduire en basant nos développements sur des résultats connus. Cet ouvrage a donc pour but de familiariser les ingénieurs et techniciens mais également les étudiants à cette méthode en abordant sa problématique par la pratique. 16 exemples traitant les aspects théoriques et pratiques de manière graduelle sont 

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1 • Introduction

 

ainsi proposés. Quand cela s’avère nécessaire, ceux-ci sont accompagnés de rappels sur les théories des poutres, des plaques ou des coques. Leurs résultats seront d’ailleurs, comme indiqué précédemment, très souvent utilisés comme référentiels. Ceci étant, cet ouvrage ne prétend pas couvrir la méthode de manière exhaustive car les techniques numériques abordées font partie des plus courantes dans les codes de calcul commerciaux. Partant de pré requis en mathématiques et mécanique du solide, le principe d’approximation élémentaire utilisé par cette méthode est tout d’abord appliqué en statique aux structures filaires en barres et poutres. La problématique du maillage et de la validation des modèles de calcul est ensuite abordée lors de l’étude des modélisations surfaciques avec des éléments membranes, plaques ou coques. Enfin, ces éléments sont ensuite utilisés dans le cadre de l’étude de la non linéarité géométrique et des méthodes de résolution associées telles que celles de Newton-Raphson ou de longueur d’arc. Ces différents aspects sont ensuite appliqués aux instabilités des structures comme le flambement, le déversement ou le voilement des âmes. Afin de bien décrire la méthodologie utilisée, la grande majorité de ces exemples est traitée pas à pas par des calculs manuels ou semi automatiques avec le logiciel Mathcad™ développé par la société Parametric Technology Corporation et dont les résultats sont recoupés avec les codes de calcul Advance Structure/Effel™ ou A ­ baqus™ édités respectivement par les sociétés Graitec SA et Dassault Systèmes Simulia Corporation. Nous remercions d’ailleurs très sincèrement ces trois éditeurs pour nous avoir permis d’utiliser leurs logiciels pour illustrer nos exemples.

2

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2 • Rappels sur le calcul matriciel



A Le calcul par éléments finis nécessitant le maniement de nombreuses valeurs numériques, il est plus aisé d’exprimer celles-ci sous forme matricielle. En regroupant des termes de même nature au sein d’une seule et même variable, cette écriture plus synthétique permet en effet une meilleure compréhension des différentes phases de construction de la méthode. Ceci nécessite néanmoins la maîtrise des opérations de base associées à ce type de calcul  : l’addition ou le produit de plusieurs matrices, la résolution de systèmes linéaires, etc.

2.1 Notion de matrice Soit la fonction polynomiale suivante : v( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 + b3 x 3 avec x Œ [0, L ] (2.1) Et sa dérivée : v ʹ( x ) = b1 + 2b2 x + 3b3 x 2 (2.2) Supposant que v( x ) et v ʹ( x ) valent v1 et β1 en x = 0 , v2 et β 2 en x = L , on peut aisément établir le système de 4 équations suivant :

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⎧v1 = v ( 0 ) = b0 ⎪ ⎪ β1 = v ʹ ( 0 ) = b1 ⎨ 2 + b L3 v v L b b L b L = = + + ( ) 2 0 1 2 3 ⎪ ⎪ β 2 = v ʹ ( L ) = b1 + 2b2 L + 3b3 L2 ⎩

(2.3)

Cependant, ce système peut être exprimé de manière plus synthétique sous ⎧ v1 ⎫ ⎪β ⎪ ⎪ 1⎪ forme matricielle en posant que le vecteur {v} = ⎨ ⎬ peut être relié au vecteur ⎪ v2 ⎪ ⎧b0 ⎫ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪b ⎪ ⎪ 1⎪ {b} = ⎨ ⎬ via une matrice [ R ] . ⎪b2 ⎪ ⎪⎩b3 ⎪⎭ 

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

2.2 Opérations de base 

Anticipant sur les règles relatives au produit des matrices (cf. § 2.2.2), On a donc : ⎧ v1 ⎫ ⎡1 ⎪ β ⎪ ⎢0 ⎪ 1⎪ v = { } ⎨ ⎬ = ⎢⎢ ⎪ v 2 ⎪ ⎢1 ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎣0

0 0 0 ⎤ ⎧b0 ⎫ 1 0 0 ⎥ ⎪⎪b1 ⎪⎪ ⎥ ⋅ ⎨ ⎬ = [ R ] ⋅ {b} L L2 L3 ⎥ ⎪b2 ⎪ ⎥ 1 2 L 3L2 ⎦ ⎪⎩b3 ⎪⎭

équivalent au système d’équations (2.3). Dans ce cas {v} et {b} sont des vecteurs « colonne » à 4 lignes alors que la matrice [ R ] est une matrice dite carrée à 4 lignes et 4 colonnes. De manière générale, une matrice peut être caractérisée par un ensemble de nombres ordonnés et regroupés en n lignes et m colonnes. On aura alors une matrice de dimensions n ¥ m :



⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ a31 ⎢ [ A] = ⎢ . ⎢ ai1 ⎢ ⎢ . ⎢a ⎣ n1

a12 a22 a32 . ai 2 . an 2

a13 a23 a33 . ai 3 . an 3

. . . . . . .

a1 j a2 j a3 j . aij . anj

. . . . . . .

a1m ⎤ a2m ⎥ ⎥ a3m ⎥ ⎥ . ⎥ aim ⎥ ⎥ . ⎥ anm ⎥⎦

(2.4)

aij caractérisant le terme des i ème ligne et j ème colonne de la matrice [ A ] . Si n = 1 ou m = 1, la matrice sera associée suivant le cas, soit à un vecteur ligne, soit à un vecteur colonne qui sont généralement notés { } . De plus et spécifiquement pour les matrices dites carrées (n = m), les termes aii seront appelés termes diagonaux et formeront la diagonale de la matrice.

2.2 Opérations de base 2.2.1 Addition

Soit deux matrices [ A ] et [ B ] de dimensions n ¥ m construites à partir de (2.4), la matrice [C ] de mêmes dimensions, somme des matrices [ A ] et [ B ] , sera obtenue en posant que chacun des termes cij est égal à aij + bij . On aura alors :

4

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

c13 c 23 c33 . ci 3 . cn 3

. . . . . . .

c1 j c2 j c3 j . cij . cnj

. . . . . . .

c1m ⎤ c 2m ⎥ ⎥ c 3m ⎥ ⎥ . ⎥= cim ⎥ ⎥ . ⎥ cnm ⎥⎦

A 

⎡ c11 c12 ⎢c c ⎢ 21 22 ⎢c31 c32 ⎢ [C ] = ⎢ . . ⎢ c i1 c i 2 ⎢ . ⎢ . ⎢c ⎣ n1 cn 2

2.2 Opérations de base 

⎡ a11 + b11 ⎢a + b ⎢ 21 21 ⎢ a31 + b31 ⎢ . ⎢ ⎢ ai1 + bi1 ⎢ . ⎢ ⎢a + b ⎣ n1 n1

a12 + b12 a22 + b22 a32 + b32 . ai 2 + bi 2 . an 2 + bn 2

a13 + b13 a23 + b23 a33 + b33 . ai 3 + bi 3 . an 3 + bn 3

. a1 j . a2 j . a3 j . . aij . . anj

+ b1 j + b2 j + b3 j . + bij . + bnj

. a1m . a2m . a3m . . aim . . anm

+ b1m ⎤ (2.5) ⎥ + b2m ⎥ + b3m ⎥ ⎥ . ⎥ = [ A] + [B ] + bim ⎥ ⎥ . ⎥ + bnm ⎥⎦

Dans le cas d’une différence des matrices [ A ] et [ B ] , on posera de la même façon : cij = aij − bij



(2.6)

⎡1 0 2 3 ⎤ ⎡3 4 7 2 ⎤ Exemples : Soit les matrices [ A ] = ⎢ et [ B ] = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣3 1 0 5 ⎦ ⎣1 6 2 3 ⎦

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⎡ 4 4 9 5⎤ ⎡ −2 −4 −5 1 ⎤ [C ] = [ A ] − [ B ] = ⎢ ⎥ ⎥. ⎣ 7 2 8⎦ ⎣ 2 −5 −2 2 ⎦

[C ] = [ A ] + [ B ] = ⎢ 4

2.2.2 Produit ■■ Produit d’une matrice par un scalaire

Soit une matrice [ A ] de dimensions n ¥ m, la matrice [C ] , produit de la matrice [ A ] par le scalaire l sera obtenue en multipliant chacun des termes de la matrice [ A ] par l. On aura donc : cij = λ ⋅ aij (2.7) Exemple : 

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⎡1 0 2 3 ⎤ ⎡ 3 0 6 9 ⎤ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 1 0 5 ⎦ ⎣9 3 0 15⎦

[C ] = 3 ⋅ [ A ] = 3 ⋅ ⎢3

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

2.2 Opérations de base 

■■ Produit de 2 matrices

Soit deux matrices [ A ] et [ B ] de dimensions respectives n ¥ m et m ¥ l, la matrice [C ], produit des matrices [ A ] et [ B ] 1, de dimensions n ¥ l, sera obtenue en posant que les termes cij sont égaux à :

cij =

k =m

∑ aik × bkj

(2.8)

k =1

Par exemple, on trouvera pour le premier terme : c11 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 + ..... + a1m ⋅ bm1 Cependant et pour que ce produit soit possible, il est important de noter que le nombre de colonnes de la matrice [ A ] doit être égal au nombre de lignes de la matrice [ B ] . ⎡4 9⎤ ⎢3 1 ⎥ ⎡1 0 2 3 ⎤ ⎢ ⎥ Exemple : Soit les matrices [ A ] = ⎢ ⎥ et [ B ] = ⎢1 6 ⎥ 3 1 0 5 ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣7 5 ⎦ ⎡1 ⋅ 4 + 0 ⋅ 3 + 2 ⋅1 + 3 ⋅ 7 1 ⋅ 9 + 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 5⎤ ⎡27 36 ⎤ [C ] = [ A ] ⋅ [ B ] = ⎢ 3 ⋅ 4 + 1 ⋅ 3 + 0 ⋅1 + 5 ⋅ 7 3 ⋅ 9 + 1 ⋅1 + 0 ⋅ 6 + 5 ⋅ 5 ⎥ = ⎢50 53 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ■■ Produit de 3 matrices

Soit trois matrices [ A ] , [ B ] et [C ] de dimensions respectives n ¥ m, m ¥ l et l ¥ p, la matrice [ F ] , produit des matrices [ A ] , [ B ] et [C ] , de dimensions n ¥ p sera obtenue en effectuant dans un premier temps soit le produit [ A ] ⋅ [ B ] soit celui de [ B ] ⋅ [C ] , les deux approches amenant au même résultat. ⎛ [D ] ⎞ ⎛ [E ] ⎞ [ F ] = [ A ] ⋅ [ B ] ⋅ [C ] = [ A ] ⋅ ⎜⎜ [ B ] ⋅ [C ] ⎟⎟ = [ A ] ⋅ [ D ] = ⎜⎜ [ A ] ⋅ [ B ] ⎟⎟ ⋅ [C ] = [ E ] ⋅ [C ] ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡4 ⎢3 ⎡1 0 2 3 ⎤ ⎢ B = , Exemple : Soit les matrices [ A ] = ⎢ [ ] ⎥ ⎢1 3 1 0 5 ⎣ ⎦ ⎢ ⎣7

9⎤ 27 36 ⎤ 1⎥ ⎥ et [C ] = ⎡ ⎢ ⎥ 6⎥ ⎣50 53 ⎦ ⎥ 5⎦

⎛ ⎡4 9⎤ ⎞ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎡1 0 2 3 ⎤ ⎢ 3 1 ⎥ ⎟ ⎡27 36 ⎤ ⎡27 36 ⎤ ⎡27 ⎜ ([ A ] ⋅ [ B ]) ⋅ [C ] = ⎜ ⎢3 1 0 5⎥ ⋅ ⎢1 6 ⎥ ⎟ ⋅ ⎢50 53 ⎥ = ⎢50 53 ⎥ ⋅ ⎢50 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎜⎜ ⎣ ⎢ ⎥ ⎟⎟ 7 5 ⎛ ⎣ ⎦⎠ ⎝ ⎡4 9⎤ ⎞ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ ⎡1 0 2 3 ⎤ 3 1 ⎡27 36 ⎤ ⎡27 36 ⎤ ⎡27 36 ⎤ ⎡ 2529 ([ A ] ⋅ [ B ]) ⋅ [C ] = ⎜⎜ ⎢3 1 0 5⎥ ⋅ ⎢⎢1 6 ⎥⎥ ⎟⎟ ⋅ ⎢50 53 ⎥ = ⎢50 53 ⎥ ⋅ ⎢50 53 ⎥ = ⎢ 4000 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎜⎜ ⎣ ⎢ ⎥ ⎟⎟ 7 5 1. Le produit [A] ◊ [B] ≠ [B] ◊ [A]. ⎣ ⎦Généralement, ⎠ ⎝ matriciel n’est pas commutatif.

36 ⎤ ⎡ 2529 28880 ⎤ = 53 ⎥⎦ ⎢⎣ 4000 4609 ⎥⎦ 28880 ⎤ 4609 ⎥⎦

6

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

2.3 Matrices carrées 

9⎤ ⎞ ⎡ 558 621⎤ ⎟ ⎥ 1 ⎡27 36 ⎤ ⎟ ⎡1 0 2 3 ⎤ ⎢131 161 ⎥ ⎡ 2529 2880 ⎢ ⎥⋅ ⎥= = 6 ⎥ ⎢⎣50 53 ⎥⎦ ⎟ ⎢⎣3 1 0 5 ⎥⎦ ⎢327 354 ⎥ ⎢⎣ 4000 4609 ⎟ ⎢ ⎥ ⎥ ⎟ 5⎦ ⎣ 439 3117 ⎦ ⎠ ⎛ ⎡4 9⎤ ⎞ ⎡ 558 621⎤ ⎜⎢ ⎟ ⎢ ⎥ ⎥ ⎡1 0 2 3 ⎤ 3 1 ⎡27 36 ⎤ ⎡1 0 2 3 ⎤ 131 161 ⎡ 2529 2880 ⎤ [ A ] ⋅ ([ B ] ⋅ [C ]) = ⎢3 1 0 5 ⎥ ⋅ ⎜⎜ ⎢⎢1 6 ⎥⎥ ⋅ ⎢50 53 ⎥ ⎟⎟ = ⎢3 1 0 5⎥ ⎢⎢327 354 ⎥⎥ = ⎢ 4000 4609 ⎥ ⎣ ⎦ ⎜ ⎦ ⎣ ⎦⎟ ⎣ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎜ ⎢7 5 ⎥ ⎟ 439 31 1 7 ⎣ ⎦ ⎦ ⎝⎣ ⎠ ⎛ ⎡4 ⎜⎢ ⎡1 0 2 3 ⎤ ⎜ ⎢ 3 [ A ] ⋅ ([ B ] ⋅ [C ]) = ⎢3 1 0 5 ⎥ ⋅ ⎜ ⎢1 ⎣ ⎦ ⎜ ⎜ ⎢7 ⎝⎣



A

2.2.3 Matrice transposée

Soit la matrice [ A ] de dimensions n ¥ m, la matrice [ B ] de dimensions m ¥ n T transposée de [ A ] (notée [ A ] ) sera obtenue en posant pour chacun des termes de [ B ] que bij = a ji . Pratiquement, ce calcul revient à échanger les lignes et les colonnes de la matrice [ A ] . ⎡1 0 2 3 ⎤ T Exemple : soit la matrice [ A ] = ⎢ ⎥ [B ] = [ A] 3 1 0 5 ⎣ ⎦

⎡1 ⎢0 =⎢ ⎢2 ⎢ ⎣3

3⎤ 1⎥ ⎥. 0⎥ ⎥ 5⎦

On notera par ailleurs que : T

([ A ] ⋅ [ B ])



T

T

= [B ] ⋅ [ A]

(2.9)

2.3 Matrices carrées 2.3.1 Matrice identité © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

La matrice identité, notée [ I ] , est une matrice carrée dont les termes diagonaux sont égaux à 1, tous les autres étant nuls. De ce fait, le produit de la matrice identité par une matrice [ A ] quelconque (ou inversement) est égal à la matrice [ A ] elle-même.





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⎡1 ⎢0 ⎢ [ I ] = ⎢0 ⎢ ⎢. ⎢0 ⎣

0 1 0 . 0

0 0 1 . 0

. . . . .

0⎤ 0⎥ ⎥ 0 ⎥ et [ I ] ⋅ [ A ] = [ A ] ⋅ [ I ] = [ A ] ⎥ .⎥ 1 ⎥⎦

(2.10)

7

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

2.3 Matrices carrées 

2.3.2 Matrice inverse −1

−1

−1

−1

[ A] ⋅ [ A] = [ A] ⋅ [ A]

−1

La matrice inverse de [ A ] notée [ A ] est définie telle que [ A ] ⋅ [ A ] = [ A ] ⋅ [ A ] = [ I ] = [ I ] et peut être calculée en posant : 1 T ⋅ Com [ A ] (2.11) [ A ]−1 = det [ A ] où Com [ A ]  et det [ A ] sont respectivement la comatrice et le déterminant de la matrice [ A ] . La matrice [ A ] sera donc inversible à condition que son déterminant soit différent de 0.

■■ Calcul du déterminant

– 2 dimensions : ⎡ a11 det ⎢ ⎣ a21



a12 ⎤ a11 = a22 ⎥⎦ a21

a12 = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21 a22

(2.12)

– 3 dimensions : ⎡ a11 ⎢ det ⎢ a21 ⎢ a31 ⎣



a12 a22 a32

a13 ⎤ a11 ⎥ a23 ⎥ = a21 a33 ⎥⎦ a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

(2.13)

Qui peut être calculé grâce à la règle de Sarrus : a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21

a12 a22

a13 a33

+ Produit des 3 termes – Produit des 3 termes

= a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a21 ⋅ a32 ⋅ a13 + a31 ⋅ a12 ⋅ a33 − a13 ⋅ a22 ⋅ a31 − a23 ⋅ a32 ⋅ a11 − a33 ⋅ a12 ⋅ a21 ■■ Calcul de la comatrice et la matrice inverse

La comatrice de [ A ] , notée Com [ A ] , correspond à la matrice des cofacteurs de [ A ] .i +Lej cofacteur du terme i, j de la matrice [ A ] est obtenu en multipliant par ( −1) le déterminant de la sous-matrice issue de la suppression des ligne i et colonne j. – 1 dimension : 1 (2.14) [ A ] = a11 ⇒ [ A ]−1 = a11 8

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

2.3 Matrices carrées 

– 2 dimensions :



⎣

21

−1

⇒ [ A]

a12 ⎤ ⎡ a22 ⇒ Com [ A ] = ⎢ ⎥ a22 ⎦ ⎣ −a12

⎡ a22 1 = ⋅⎢ det [ A ] ⎣ − a21

−a12 ⎤ a11 ⎥⎦

−a21 ⎤ a11 ⎥⎦



(2.15)

– 3 dimensions : a21 a23 a21 a22 ⎡ a22 a23 − + ⎢+ a31 a33 a31 a32 ⎢ a322 a33 ⎡ a11 a12 a13 ⎤ ⎢ a12 a13 a11 a12 a11 a13 [ A ] = ⎢⎢ a21 a22 a23 ⎥⎥ ⇒ Com [ A ] = ⎢ − a a + a a − a a ⎢ 32 33 31 33 31 32 ⎢ a31 a32 a33 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ + a12 a13 − a11 a13 + a11 a12 ⎢ a21 a23 a21 a22 ⎣ a22 a23 ⎡ a22 a33 − a23 a32 a23 a31 − a21a33 a21a32 − a22 a31 ⎤ 1 ⎢ ⎥ −1 a13 a32 − a12 a33 a11a33 − a13 a31 a12 a31 − a11a32 ⎥ ⇒ [ A] = ⎢ det [ A ] ⎢ a12 a23 − a13 a22 a13 a21 − a11a23 a11a22 − a12 a21 ⎥ ⎣ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (2.16) ⎥ ⎦

A 

⎡ a11

[ A] = ⎢a

2.3.3 Méthodes de résolution de systèmes linéaires

Considérant n équations à n inconnues (qui sont regroupées dans le vecteur {q} ), la résolution du système linéaire de type [ K ] ⋅ {q} = {F } amène à isoler le vecteur {q} de manière à obtenir : −1 −1 −1 K ] ⋅ [ K ] ⋅ {q} = [ K ] ⋅ {F } ⇒ {q} = [ K ] ⋅ {F } [ K ] ⋅ {q} = {F } ⇔ [ 

(2.17)

[I ]

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Ceci suppose bien sûr que le déterminant de la matrice [ K ] est différent de 0. Dans le cas contraire, on parlera de système singulier. Nous verrons d’ailleurs par la suite qu’en éléments finis la singularité de la matrice de rigidité [ K ] est souvent à associer à un problème de conditions d’appui. De plus, la méthode de calcul par éléments finis amenant dans la plupart des cas à la résolution d’un système de n équations à n inconnues de grandes dimensions, l’inversion conventionnelle vue au chapitre précédent s’avérera peu efficace. Les outils de calcul par éléments finis font donc très souvent appel à des méthodes plus pertinentes telles que celles par élimination de Gauss, de Cholesky ou frontale. Il existe deux grandes familles de méthodes de résolution : les méthodes directes (Gauss, Cholesky, frontale, etc.) et les méthodes itératives (gradients conjugués). Leur efficacité sera directement liée aux performances du ou des processeurs de l’ordinateur utilisé, de la vitesse d’accès au disque dur mais surtout de la quantité de mémoire vive (RAM) disponible. Généralement, les méthodes de gradients conjugués se révèlent moins gourmandes en terme de mémoire. Ceci étant et spécifiquement pour les problèmes linaires 

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9

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

2.3 Matrices carrées 

élastiques comportant plusieurs cas de charges, leur utilisation apparaît moins pertinente dans la mesure où celles-ci nécessitent une résolution complète à chaque changement d’état de charges. En effet et dans le cas des méthodes directes appliquées aux problèmes linéaires élastiques, seul le premier cas de charges nécessite une inversion de la matrice de rigidité, les résultats des cas suivants étant obtenus par linéarité après stockage de la matrice inversée en mémoire (uniquement si les conditions d’appui ou de température ne varient pas). ■■ Résolution par la méthode par élimination de Gauss

Soit le système à résoudre [ K ] ⋅ {q} = {F } (n équations à n inconnues) :



⎧k11q1 + k12 q2 + k13 q3 + ................. + k1n qn = F1 ⎪k q + k q + k q + ................. + k q = F 2n n 2 ⎪ 21 1 22 2 23 3 ⎪⎪ . . . . . ⎨ . . . . ⎪ . ⎪ . . . . . ⎪ ⎪⎩kn1q1 + kn 2 q2 + kn 3 q3 + ................. + knn qn = Fn

(2.18)

Pour éliminer la 1re inconnue, la méthode consistera à exprimer q1 en fonction des autres inconnues et à la remplacer dans les (n –1) équations restantes :

q1 =

1 ( F1 − k12 q2 − k13q3 − ................ − k1n qn ) k11

(2.19)

Donc et en remplaçant (2.19) dans (2.18), le système devient :



avec

⎧k11q1 + k12 q2 + k13 q3 + ................. + k1n qn = F1 ⎪ 1 q + k1 q + ................. + k1 q = F 1 k22 2 23 3 2n n 2 ⎪ ⎪⎪ . . . . ⎨ . . . . ⎪ ⎪ . . . . ⎪ 1 1 1 kn 2 q2 + kn 3 q3 + ................. + knn qn = Fn1 ⎪⎩

(2.20)

k s −1ksjs−1 ⎧ s s −1 − is k = k ⎪ ij ij ksss−1 ⎪ ⎨ s −1 F s −1 k s is ⎪ F s = F s −1 − i ⎪⎩ i ksss−1

Au terme de la nième élimination, le système s’écrit sous forme triangulaire ce qui rend aisée sa résolution : 10

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2.3 Matrices carrées 

⎧k11q1 + k12 q2 + k13 q3 + ................. + k1n qn = F1 ⎪ 1 q + k1 q + ................. + k1 q = F 1 k22 2 23 3 2n n 2 ⎪ 2 2 2 ⎪⎪ k33 q3 + ................. + k3n qn = F3 ⎨ . . ⎪ ⎪ . . ⎪ n− −1q = F n −1 ⇒ q knn ⎪⎩ n n n

(2.21)

Ceci étant, l’utilisation de la méthode par élimination n’est envisageable que si les termes diagonaux de la matrice [ K ] sont non nuls. Dans le cas contraire, un ou plusieurs pivots nuls rendront l’inversion de la matrice [ K ] impossible. Bien évidemment, tous ces pivots doivent être différents de zéro et nous verrons même qu’en éléments finis, ceux-ci doivent être positifs.

A 

2 • Rappels sur le calcul matriciel

■■ Exemple de résolution par la méthode de Gauss

Soit le système d’équations suivant :



⎡ 3 0 −1 −1 0 ⎤ ⎧U 2 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎢ 0 2 −1 0 0 ⎥ ⎪V ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎥ ⎪⎪ 2 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ES ⎢ ⎢ −1 −1 2 1 −1⎥ ⎨V3 ⎬ = ⎨− P ⎬ 2L ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ −1 0 1 3 0 ⎥ ⎪U 4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎢ 0 0 −1 0 2 ⎥ ⎪V4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.22)

□□ 1re étape : élimination de U2

De la 1re équation de (2.22), on déduit que :

U2 =

V3 + U 4 3

(2.23)

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

En remplaçant (2.23) dans (2.22), la nouvelle expression du système fait apparaître quatre équations indépendantes de U 2  : −1 −1 ⎡3 0 ⎢0 2 0 −1 ⎢ ⎢ 1 1 ES ⎢0 −1 2 − 1− 3 3 2L ⎢ 1 1 ⎢0 0 1 − 3− ⎢ 3 3 ⎢0 0 1 0 − ⎣



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0⎤ ⎡3 0 −1 −1 0 ⎤ ⎥ ⎢0 2 −1 0 0 ⎥ ⎧U 2 ⎫ ⎧ 0 ⎫ U ⎧ ⎫ 2 0 ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪V 2 ⎪ ⎢ ⎥ V2 5 2 −1⎥ ⎪⎪V ⎪⎪ ⎪⎪− P ⎪⎪ −1⎥ ⎪V ⎪ ES ⎢0 −1 ⎨ 3⎬= ⎨ 3⎬=⎨ ⎬ 3 3 ⎥ ⎪ ⎪ 2L ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ U ⎢0 0 2 8 0 ⎥ ⎪U 4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ 0 ⎥⎪ 4⎪ ⎥ ⎪V ⎪ ⎢ ⎥ ⎪V ⎪ ⎪ 0 ⎪ 3 3 ⎥⎩ 4 ⎭ ⎢0 0 −1 0 2 ⎥ ⎩ 4 ⎭ ⎩ ⎭ 2⎦ ⎣ ⎦ (2.24)

11

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

2.3 Matrices carrées 

□□ 2e étape : élimination de V2

Pour éliminer V2 , on répète l’opération en considérant cette fois la deuxième équation de (2.24) d’où : V V2 = 3 (2.25) 2 Le système devient alors : ⎡3 ⎢0 ⎢ ⎢ ES ⎢0 2L ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣

−1 0 ⎤ ⎡3 0 −1 −1 0 ⎤ ⎢0 2 −1 0 0 ⎥ ⎧U 2 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎥ 0 0 ⎧U 2 ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ 0 ⎢ ⎥ V2 ⎥ ⎪V 2 ⎪ 7 2 2 −1⎥ ⎪⎪V ⎪⎪ ⎪⎪− P ⎪⎪ −1⎥ ⎪V ⎪ ES ⎢0 0 ⎨ 3⎬= ⎨ 3⎬=⎨ ⎬ 6 3 3 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ 2L ⎢ U 8 ⎢0 0 2 8 0 ⎥ ⎪U 4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ 0 ⎥⎪ 4⎪ ⎥ ⎪V ⎪ ⎢ ⎥ ⎪V ⎪ ⎪ 0 ⎪ 3 3 3 ⎥⎩ 4 ⎭ ⎢0 0 −1 0 2 ⎥ ⎩ 4 ⎭ ⎩ ⎭ 0 2⎦ ⎣ ⎦

0 2

−1 −1 5 1 0 − 3 2 2 0 3 0 −1

(2.26) Et ainsi de suite… □□ 3e étape : élimination de V3

6 ⎛ 2 PL 2 ⎞ V3 = ⎜ − − U 4 + V4 ⎟ 7 ⎝ ES 3 ⎠





⎡3 ⎢0 ⎢ ⎢ 0 ES ⎢ ⎢ 2L ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ ⎡3 ⎢0 ⎢ ⎢ ES ⎢0 ⎢ 2L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢⎣

0 −1 2 −1 7 0 6 0 0 0 2 0 0 0

0 ⎤ −1 ⎧ 0 ⎫ 0 0 ⎥ ⎧U ⎫ ⎪ ⎥ 2 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ 2 −1 ⎥ ⎪V2 ⎪ ⎪ − P ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎥ ⎨V3 ⎬ = ⎨ ⎬ 8 2 6 ⎛ 2 ⎞ 2 6 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪2 ⋅ 6 P ⎪ 0 + ⋅ ⋅⎜− ⎟ ⋅ ⎥ U4 3 3 7 ⎝ 3 ⎠ 3 7 ⎪ ⎪ ⎪3 7 ⎪ ⎥ ⎪V ⎪ ⎪ 6 ⎪ 6 ⎛ 2⎞ 6⎥⎩ 4 ⎭ ⎪ − P ⎪ 0 − ⋅⎜− ⎟ 2− ⎩ 7 ⎭ 7 ⎝ 3⎠ 7 ⎥⎦ −1 −1 0 ⎤ ⎧ 0 ⎫ −1 0 0 ⎥ ⎧U 2 ⎫ ⎪ ⎥ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 7 2 −1⎥ ⎪V2 ⎪ ⎪ − P ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6 3 ⎥ ⎨V3 ⎬ = ⎨ 4 ⎬ 16 4 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ P ⎪ U4 0 7 ⎪ 7 7 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎩V4 ⎪⎭ ⎪ 6 ⎪ 4 8⎥ ⎪⎩− 7 P ⎪⎭ 0 ⎥ 7 7⎦

(2.27)

(2.28)

12

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

2.3 Matrices carrées 

□□ 4e étape : élimination de U4

U4 =

0 −1 −1 2 −1 0 7 2 0 6 3 16 0 0 7 0

0

(2.29)

0 0

⎤ 0 ⎧ ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ U ⎧ ⎫ 2 ⎥ 0 ⎪ ⎥ ⎪V ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ −1 P − ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V = ⎥⎨ 3 ⎬ ⎨ ⎬ 4 4 P ⎥ ⎪U ⎪ ⎪ ⎪ 7 ⎥⎪ 4⎪ ⎪ ⎪ 7 ⎥ ⎪⎩V4 ⎪⎭ ⎪ 6 1 ⎪ 8 4 ⎛ 1 ⎞⎥ ⎪⎩− 7 P − 7 ⋅ P ⎪⎭ + ⎜− ⎟ 7 7 ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦

0

(2.30)

A 



⎡3 ⎢0 ⎢ ⎢ 0 ES ⎢ ⎢ 2L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣⎢

PL V4 − 2 ES 4

Soit finalement :



⎡3 ⎢0 ⎢ ⎢ ES ⎢0 ⎢ 2L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢⎣

0 −1 −1 2 −1 0 7 2 0 6 3 16 0 0 7 0

0

0

0 ⎤ 0 ⎫ ⎧ 0 ⎥ ⎧U 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎥ 0 ⎪ ⎥ ⎪V 2 ⎪ ⎪ ⎪ −P −1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ V = ⎥⎨ 3 ⎬ ⎨ ⎬ 4 4 ⎥⎪ ⎪ ⎪ P ⎪ U4 7 ⎪ 7 ⎥⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎥ ⎪⎩V4 ⎪⎭ ⎪ 6 8 1⎥ ⎪⎩− 7 P − 7 ⋅ P ⎪⎭ − 7 7 ⎦⎥

(2.31)

On déduit de la 5e équation :

ES 2 PL ⋅V4 = − P ⇒ V4 = − 2L ES

(2.32)

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

D’où à partir de (2.23), (2.25), (2.27) et (2.29), les valeurs des autres inconnues : PL V4 PL − = 2 ES 4 ES 6 ⎛ 2 PL 2 4 PL ⎞ V3 = ⎜ − − U 4 + V4 ⎟ = − ES 7 ⎝ ES 3 ⎠ V3 2 PL V2 = =− ES 2 V3 + U 4 PL U2 = =− ES 3 U4 =





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(2.33)

13

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2 • Rappels sur le calcul matriciel

2.3 Matrices carrées 

Bien évidemment, la méthode par élimination de Gauss s’avère dans ce cas bien compliquée comparée à une approche plus classique telle que celle décrite ci-dessous. Reprenant le système (2.22), les 2e et 5e équations permettent de déduire respectivement que 2V2 = V3 et 2V4 = V3 d’où V2 = V4 . De la somme des 1re et 4e équations résulte que 2U 2 + 2U 4 = 0 ⇒ U 2 = −U 4 . D’où à partir de la 1re : 3U 2 − V3 − U 4 = 0 ⇒ V3 = 4U 2 . En remplaçant ces différents résultats dans la 3e équation, on obtient finalement : 2 PL 2 PL 4 PL ⇒ −2U 2 + V3 = − ⇒ V3 = − ES ES ES 2 PL PL . U 2 = −U 4 = − et V2 = V4 = − ES ES

−U 2 − V2 + 2V3 + U 4 − V4 = − Soit

14

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3 • Rappels sur la mécanique du solide



A 3.1 Les contraintes 3.1.1 Notion de contrainte

Soit un solide en équilibre comportant 2 parties 1 et 2 limitées par une section S, S

1

O

2

Figure 3.1 – Équilibre d’un solide.

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Son état d’équilibre permet d’établir que la somme vectorielle des forces issues de  1 et agissant   sur 2 d’une part, et de 2 agissant sur 1 d’autre part, est nulle  : F1→2 + F2→1 = 0 . L’équilibre de chacune des parties, 1 par exemple, est donc caractérisé par l’action des forces extérieures de volume et de surface qui lui sont appliquées mais également par les forces intérieures exercées par la partie 2 sur la  section S.  dF On définit donc le vecteur contrainte f1 comme étant la limite de lorsque la dS  surface dS tend vers zéro. Quand dS est considérée dans le plan yz, ce vecteur f1 peut être décomposé en trois composantes : une normale à cette surface et deux dF dans son plan. La première, égale à  σ xx = σ x = lim x , est appelée contrainte dS →0 dS dFy normale alors que les deux autres, notées respectivement  τ xy = lim et dS →0 dS dF τ xz = lim z , sont dites de cisaillement. dS →0 dS 

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15

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.1 Les contraintes  τxy

S

y

O

1

σx

τxz

 dF

 j

z dS

 i

x

 k

Figure 3.2 – Notion de contrainte.

  En répétant l’opération pour les plans xz f 2 et xy f 3 , deux contraintes normales et quatre de cisaillement viennent s’ajouter aux trois précédentes, soit σ yy ,τ yx ,τ yz pour le premier et σ zz ,τ zx ,τ zy pour le second. Finalement, les vecteurs contrainte ont pour expressions :

( )

( )

⎧τ ⎫ ⎧σ ⎫ ⎧τ ⎫  ⎪ xx ⎪  ⎪ yx ⎪  ⎪ zx ⎪ f1 = ⎨ τ xy ⎬ ; f 2 = ⎨σ yy ⎬ ; f 3 = ⎨ τ zy ⎬ (3.1) ⎪τ ⎪ ⎪τ ⎪ ⎪σ ⎪ ⎩ xz ⎭ ⎩ zz ⎭ ⎩ yz ⎭ La convention de signes la plus souvent retenue dans les logiciels éléments finis est d’associer une contrainte normale positive à une traction. 3.1.2 Équations internes

L’étude de l’équilibre d’un infiniment petit de côtés dx , dy , dz soumis à des forces internes de volume f xv , f yv , f zv permet d’établir  dans un premier temps la réciprocité des contraintes de cisaillement. En effet et en se basant sur l’équilibre des moments, on peut déduire pour :

L’axe z

∑ M /Oz = 0 ⇔

∂τ xy ⎞ ∂τ yx ⎞ ⎤ dy ⎡⎛ ⎤ dx dx ⎡⎛ dy dx ⎟ ⋅ dydz ⎥ ⋅ + τ xy ⋅ dydz ⋅ − ⎢⎜τ yx + dy ⎟ ⋅ dxdz ⎥ ⋅ − τ yx ⋅ dxdz ⋅ = 0 ⎢⎜τ xy + ∂x 2 ⎣⎝ ∂y 2 M /Oz = 0 ⇔ ⎠ ⎠ ⎣⎝ ⎦ 2 ⎦ 2 ∂τ xy ⎞ ∂τ yx ⎞ ⎤ dy ⎤ dx dx ⎡⎛ dy + dx ⎟ ⋅ dydz ⎥ ⋅ + τ xy ⋅ dydz ⋅ − ⎢⎜τ yx + dy ⎟ ⋅ dxdz ⎥ ⋅ − τ yx ⋅ dxdz ⋅ = 0 2 ⎣⎝ ∂x ∂y 2 ⎠ ⎠ ⎦ 2 ⎦ 2 ∂τ xy dx ∂τ yx dy ⇒ τ xy − τ yx + ⋅ − ⋅ =0 ∂ ∂y 2 x 2     

(

(

)

)

(

(

)

)

≈0

≈0

16

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3.1 Les contraintes 

σ yy¢ = σ yy +

τxz

τ ¢τ’ zy zy

fz v σ ¢zz

τyx

dy

τ ¢yx

τ ¢yx = τ yx +

τ xy¢ = τ xy +

∂τ xy ∂x

σzz

τzx

dy τxy

∂y

fyv

τ ¢yz

σxx

∂σ yy

fxv

O τzy τ ¢zx τyz

∂τ yx ∂y

dy

dx

σ xx¢ = σ xx +

A

∂σ xx dx ∂x



3 • Rappels sur la mécanique du solide

τ ¢xz

dz y x

dx

z

σyy τ ¢zx = τ zx +

∂τ zx dz ∂z

Figure 3.3 – Équilibre de volume.

d’où :

τ xy = τ yx

(3.2)

τ yz = τ zy et τ zx = τ xz

(3.3)

Et les deux autres axes x et y

Le nombre de contraintes de cisaillement se réduit donc à trois. Les six valeurs caractérisant l’état de contrainte peuvent alors être regroupées au sein d’un vecteur de composantes :

{σ }T = {σ xx σ yy σ zz τ xy τ yz τ xz }

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



(3.4)

Maintenant et en effectuant la somme des efforts suivant x, l’équation d’équilibre correspondante permet également de montrer que : ⎛

∑ F/ x = 0 ⇔ ⎜ σ xx + ⎝

⎛ ∂τ yx ⎞ ∂σ xx ⎞ dx ⎟ ⋅ dydz + ⎜τ yx + dy ⎟ ⋅ dxdz ∂x ∂y ⎠ ⎝ ⎠

∂τ ⎛ ⎞ + ⎜τ zx + zx dz ⎟ ⋅ dxdy − σ xx ⋅ dydz − τ yx ⋅ dxdz − τ zx ⋅ dxdy + f xv ⋅ dxdydzz = 0 ∂z ⎝ ⎠ ∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx + + f xv = 0 ⇒ + ∂y ∂z ∂x 

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.1 Les contraintes 

Soit après extension de l’opération aux deux autres axes : ∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx + + + f xv = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ yy ∂τ zy + + + f yv = 0 ⇔ div (σ ) + f = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ zz + + + f zv = 0 ∂x ∂y ∂z

(3.5)

Ces trois équations sont généralement appelées équations d’équilibre de volume. 3.1.3 Équations externes y

B

σzz τxz

s

τzx

σxx τxy

f

τzy

O

τyz

A

x

τyx σyy C z Figure 3.4 – Équilibre de surface.

Soit un tétraèdre OABC infiniment petit dont l’aire ABC, notée ds , constitue la surface du milieu solide. ⎧ f xs ⎫  ⎪ ⎪ Sachant qu’une charge répartie f s de composantes ⎨ f ys ⎬ est appliquée sur cette ⎪f s⎪ ⎩ z⎭ 18

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.2 Les déformations 

surface et que les cosinus directeurs de la normale au plan ABC sont notés l, m et n, l’équilibre du tétraèdre se résume à un système de trois équations : f xs ⋅ ds = l ⋅ ds ⋅ σ xx + m ⋅ ds ⋅τ yx + n ⋅ ds ⋅τ zx f ys ⋅ ds = l ⋅ ds ⋅τ xy + m ⋅ ds ⋅ σ yy + n ⋅ ds ⋅τ zy f zs ⋅ ds = l ⋅ ds ⋅τ xz + m ⋅ ds ⋅τ yz + n ⋅ ds ⋅ σ zz

⎧ f xs ⎫ ⎡σ xx f xs = l ⋅ σ xx + m ⋅τ yx + n ⋅τ zx ⎪ ⎪ ⎢ f ys = l ⋅τ xy + m ⋅ σ yy + n ⋅τ zy ⇔ ⎨ f ys ⎬ = ⎢ τ xy ⎪ f s ⎪ ⎢τ f zs = l ⋅τ xz + m ⋅τ yz + n ⋅ σ zz ⎩ z ⎭ ⎣ xz

τ yx σ yy τ yz

⎧l ⎫ τ zx ⎤ ⎧ l ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ τ zy ⎥ ⎨m ⎬ = [σ ] ⋅ ⎨m ⎬ (3.6) ⎪n ⎪ σ zz ⎥⎦ ⎪⎩ n ⎪⎭ ⎩ ⎭

A 

Soit après simplification :

Ces équations d’équilibre de surface correspondent en fait aux conditions aux limites du système d’équations aux dérivées partielles (3.5). [σ ] est appelé tenseur des contraintes (cf. [1]).

3.2 Les déformations 3.2.1 Notion de déformation

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

L’action de forces extérieures sur un solide déformable entraîne pour chacun des points de sa géométrie un mouvement pouvant être décomposé en trois phases distinctes : une translation d’ensemble (mouvement de corps rigide en translation), une rotation d’ensemble (mouvement de corps rigide en rotation) et enfin une déformation pure. La déformation qui correspond à un mouvement relatif par rapport à un référentiel donné, peut suivre plusieurs hypothèses comme celles des petites ou grandes déformations mais également être associée à des petits ou grands déplacements. Considérant le cas le plus courant, seules les hypothèses de petites déformations et petits déplacements seront développées dans ce qui suit, les deux restantes étant abordées au chapitre 11. 3.2.2 Déplacements

 Le mouvement d’un point de O vers O’ caractérisé par le vecteur q peut être décomposé dans un système xyz en 3 composantes u, v, w qui représentent les déplacements de ce point sur les axes de référence soit :     q = u ⋅i + v ⋅ j + w ⋅ k (3.7) On définit par ailleurs la norme du déplacement comme étant :  q = u2 + v 2 + w 2

(3.8)

Ces déplacements u, v ou w sont généralement des fonctions de x pour les poutres, de x et y pour les plaques et coques, de x, y et z pour les solides. 

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.2 Les déformations 

y

v

 q

O

O’

j

u

i

x

k

w z Figure 3.5 – Déplacement d’un point.

3.2.3 Relations entre déplacements et déformations

En considérant dans un premier temps un état plan de déformation dans le plan xOy, Les déformations normales et distorsion angulaire peuvent être obtenues (cf. [2]) en posant que : ∂u dx + u + dx − u − dx ∂u AʹB ʹ − AB ∂x = = lim ε xx = lim dx →0 dx →0 dx ∂x AB (3.9) ∂v dy + v + dy − v − dy ∂y ∂v AʹD ʹ − AD = = lim ε yy = lim dy →0 dy →0 ∂y dy AD

⎛π ⎞ ∂v ∂u + γ xy = lim ⎜ − B ʹAʹD ʹ ⎟ = dx →0 2 ∂x ∂y ⎝ ⎠ dy →0

(3.10)

La généralisation de cette approche bidimensionnelle aux deux autres plans permettra d’obtenir :



∂u ∂x ∂v = ∂y ∂w = ∂z

∂v ∂u + ∂x ∂y ∂v ∂w = + ∂z ∂y ∂u ∂w = + ∂z ∂x

ε xx =

γ xy =

ε yy

γ yz

ε zz

γ zx

(3.11)

20

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.2 Les déformations 

d’où l’expression générale des composantes du vecteur des déformations : T

{

}

(3.12) {ε } = ε xx ε yy ε zz γ xy γ yz γ xz L’expression (3.11) est en fait une version linéarisée de celle établie lors de l’étude de la non linéarité géométrique au chapitre 11 (cf. équations (11.3) et (11.4)). Par ailleurs, (3.11) pourra également être exprimée sous la forme matricielle suivante :



u+

y

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

∂ ∂x ∂ ∂z 0

A

(3.13)

C’ D’ C B’ ∂v ∂x

A’

v

B A

0

∂u dy ∂y

D dy

∂ ∂y

⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ ∂ ⎥⎧ ⎫ u ∂z ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎨v ⎬ 0 ⎥ ⎪w ⎪ ⎥⎩ ⎭ ∂⎥ ⎥ ∂y ⎥ ∂⎥ ⎥ ∂x ⎦

π − γ xy 2

∂u ∂y

∂v v + dy ∂y

0



⎡∂ ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ⎧ε xx ⎫ ⎢ 0 ⎪ε ⎪ ⎢ ⎪ yy ⎪ ⎢ 0 ⎪⎪ε zz ⎪⎪ ⎢ {ε } = ⎨ ⎬ = ⎢ ∂ ⎪γ xy ⎪ ⎢ ⎪γ yz ⎪ ⎢ ∂y ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩γ xz ⎪⎭ ⎢ 0 ⎢ ⎢∂ ⎢ ⎣ ∂z

u dx

u+

v+

∂v dx ∂x

∂u dx ∂x

x O Figure 3.6 – Déformations planes.



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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.3 Relations entre contraintes et déformations 

3.3 Relations entre contraintes et déformations 3.3.1 Essai de traction pure

Considérant un barreau de longueur L et de section S, la contrainte normale résulF est constante tout le long tant de l’action de la force F à son extrémité σ xx = S du barreau. Sa déformation suivant x peut être calculée grâce à la relation (3.9) soit : du ΔL ε xx = = . dx L En faisant varier F , l’évolution de la contrainte normale en fonction de la déformation axiale, pour un matériau isotrope, peut être dans le cas d’un acier doux schématisée sous la forme suivante.

Secon S x y

L

z

u

h

d

F Figure 3.7 – Allongement d’un barreau.

σu σe

σ xx =

F S

ε xx =

E=

σ xx ε xx

Zone linéaire élasque

Zone plasque

Raffermissement

∆L L

Rupture

Figure 3.8 – courbe contrainte – déformation.

22

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.3 Relations entre contraintes et déformations 

avec : σ e et σ u limites d’élasticité et de rupture du matériau, E : module d’élasticité longitudinal ou module de Young (pour l’acier E = 2.1 1011 N/m2). La zone élastique est caractérisée par la loi de Hooke : σ xx = E ⋅ ε xx (3.14) liant linéairement contraintes et déformations. En plus de la déformation axiale et toujours dans le domaine élastique, une déformation associée à la contraction transversale du barreau est observée à la fois suivant y :

σ Δh = −ν ⋅ ε xx = −ν ⋅ xx h E

(3.15)

ε zz =

Δd σ = −ν ⋅ ε xx = −ν ⋅ xx d E

(3.16)



ε yy =

A

et suivant z :

n qui correspond au coefficient de Poisson doit être, tout en étant positif, stricte-

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

ment inférieure à 0.5.

Figure 3.9 – Modélisation 3D volumique du barreau et contraction transversale (Abaqus).

3.3.2 Relations entre déformations et contraintes

Restant dans le domaine élastique linéaire, l’application de la démarche précédente aux deux autres axes y et z, amènerait immanquablement à des résultats similaires (permutations croisées des indices x, y et z). De ce fait et toujours en raison de la linéarité, la relation tridimensionnelle entre déformations et contraintes normales peut être obtenue par superposition des trois états d’équilibre suivant x, y et z soit : 

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23

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.3 Relations entre contraintes et déformations 

1⎡ σ xx −ν ⋅ σ yy + σ zz ⎤⎦ E⎣ 1 ε yy = ⎡⎣σ yy −ν ⋅ (σ xx + σ zz ) ⎤⎦ (3.17) E 1 ε zz = ⎡⎣σ zz −ν ⋅ σ xx + σ yy ⎤⎦ E De plus, il est également possible via un essai de cisaillement pur de montrer qu’il existe des relations linéaires entre contraintes et déformations de cisaillement telles que : τ xy τ yz E τ γ xy = ; γ yz = ; γ xz = xz avec G = (3.18) 2 (1 + ν ) G G G

ε xx =

(

)

(

)

d’où la relation finale entre déformations et contraintes :



⎡ 1 ⎢ E ⎢ ⎢− ν ⎢ E ⎢ ν ⎢− ε = ⋅ σ = D D avec {} [ ]{ } [ ] ⎢ E ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

ν E 1 E ν − E −

ν E ν − E 1 E

−

0

0

0

0

0

0 0

0

0

1 G

0

0

0

1 G

0

0

0

0

⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ G⎦

(3.19)

3.3.3 Relations entre contraintes et déformations

L’inversion des expressions (3.17)  et (3.18) permet de déduire les contraintes à partir des déformations, soit : E ⎡ε ⋅ (1 −ν ) + ν ⋅ ε yy + ε zz ⎤ ⎦ (1 + ν ) ⋅ (1 − 2ν ) ⎣ xx E ⎡ε ⋅ (1 −ν ) + ν ⋅ ( ε xx + ε zz ) ⎤⎦ σ yy = (1 + ν ) ⋅ (1 − 2ν ) ⎣ yy E ⎡ε ⋅ (1 −ν ) + ν ⋅ ε xx + ε yy ⎤ σ zz = ⎦ (1 + ν ) ⋅ (1 − 2ν ) ⎣ zz τ xy = G ⋅ γ xy

σ xx =



(

)

(

)

(3.20)

τ yz = G ⋅ γ yz τ xz = G ⋅ γ xz 24

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.3 Relations entre contraintes et déformations 

soit sous forme matricielle :

{σ } = [ H ] ⋅ {ε } 

⎡1 −ν ⎢ ν ⎢ ⎢ ν ⎢ E ⎢ 0 [H ] = (1 + ν ) ⋅ (1 − 2ν ) ⎢⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0 ce qui permet de démontrer que

ν ν ν 1 −ν ν 1 −ν 0 0 0

[H ]

0 0 0 1 − 2ν 2

(3.21) 0 0 0

0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 ⎥ = [ D ]−1 ⎥ ⎥ 1 − 2ν 0 ⎥ 0 0 2 ⎥ 1 − 2ν ⎥ 0 0 0 2 ⎥⎦ n’est pas définie pour ν = 0.5 .

A 

avec

3.3.4 État plan de contrainte et de déformation ■■ Déformation plane

Considérant un solide de section transversale constante, l’hypothèse de déformation plane consiste à considérer un comportement plan identique quelle que soit la profondeur. En d’autres termes, le solide peut être décomposé en « tranches » d’épaisseur unitaire, le calcul se limitant à l’étude d’une seule de ces tranches. y

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

ε yy

ε zz = 0

x

ε xx

z Figure 3.10 – État plan de déformation.



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25

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.3 Relations entre contraintes et déformations 

En conséquence, toutes les déformations associées à l’axe transversal, z en l’occurrence, seront prises égales à zéro. On a donc :

ε zz = γ xz = γ yz = 0 et τ xz = τ yz = 0



(3.22)

En remplaçant (3.22) dans (3.21), la relation contrainte-déformation devient pour les déformations planes :



⎡ ⎢1 −ν ⎧σ xx ⎫ ν ⎢ E ⎪ ⎪ 1 −ν ⎨σ yy ⎬ = ⎢ ν ⎪ τ ⎪ (1 + ν ) ⋅ (1 − 2ν ) ⎢ ⎩ xy ⎭ 0 ⎢ 0 ⎣

⎤ 0 ⎥ ⎧ε xx ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⋅ ⎨ε yy ⎬ 1 − 2ν ⎥ ⎪⎩γ xy ⎪⎭ ⎥ 2 ⎦

(3.23)

De (3.17), on déduit également que :

σ zz = ν ⋅ (σ xx + σ yy )



(3.24)

■■ Contrainte plane

À l’inverse de l’état de déformation plane, l’hypothèse de contrainte plane suppose que toutes les contraintes associées à l’axe transversal, z en l’occurrence, sont nulles. On a donc :

σ zz = τ xz = τ yz = 0 et γ xz = γ yz = 0

(3.25)

z

σ zz = 0

x

σ xx σ yy

y Figure 3.11 – État plan de contrainte.

(3.17) permet d’établir que :

ε zz = −

ν ⋅ (σ xx + σ yy ) E

(3.26)

26

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.4 Énergie de déformation élastique 

Mais également que :



⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ ⎧ε xx ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⋅ ⎨ε yy ⎬ ⎢ν 1 ⎢ 1 −ν ⎥ ⎪⎩γ xy ⎪⎭ ⎢0 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦

(3.27)

Cette approche étant directement applicable aux éléments de faibles épaisseurs, les éléments membranes, plaques et coques suivront cette hypothèse de contrainte plane.

A 

⎧σ xx ⎫ E ⎪ ⎪ ⎨σ yy ⎬ = 2 ⎪ τ ⎪ 1 −ν ⎩ xy ⎭

3.4 Énergie de déformation élastique 3.4.1 Cas du chargement uniaxial

F F

F

dW

dy y x

dz dx (1+ ε x)

u du

z

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 3.12 – Énergie de déformation uniaxiale.

Soit un infiniment petit de dimensions dx , dy , dz extrait d’un solide quelconque, l’énergie emmagasinée par le volume dV soumis à une charge F constante dans la direction x sera égale à : 1 dW = F ⋅ du 1 (3.28) 2 Comme du = ε xx ⋅ dx et F = σ xx ⋅ dydz , dW peut également s’exprimer sous la forme : 1 dW = σ xx ⋅ ε xx ⋅ dxdydz (3.29) 2

1. Le « ½ » provient de l’hypothèse de linéarité.



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27

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.4 Énergie de déformation élastique 

Généralisée au volume du solide, l’expression de l’énergie de déformation devient : W =



1 1 σ xx ⋅ ε xx ⋅ dxdydz = ∫ σ xx ⋅ ε xx ⋅ dV ∫ 2V 2V

(3.30)

3.4.2 Cas général

L’extension du cas uniaxial précédent aux deux autres axes y et z permettra d’obtenir par superposition : W =



1 σ xx ⋅ ε xx + σ yy ⋅ ε yy + σ zz ⋅ ε zz ⋅ dV 2 V∫

(

)

(3.31)

La démarche étant similaire pour les cisaillements, on a également (figure 3.13) : dx

γ xy

γ xy ⋅ dx

dy

τ xy τ xy Figure 3.13 – Énergie de déformation de cisaillement.

dW =



1 1 τ xy ⋅ dydz ⋅ γ xy ⋅ dx = τ xy ⋅ γ xy ⋅ dxdydz 2 2

(

)

(3.32)

L’énergie de déformation élastique vaudra donc finalement : W =

1 σ xx ⋅ ε xx + σ yy ⋅ ε yy + σ zz ⋅ ε zz + τ xy ⋅ γ xy + τ yz ⋅ γ yz + τ xz ⋅ γ xz ⋅ dV (3.33) 2 V∫

(

)

Soit sous forme matricielle :

W =

T 1 {ε } ⋅ {σ } ⋅ dV ∫ 2V

(3.34)

28

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3 • Rappels sur la mécanique du solide

3.4 Énergie de déformation élastique 

W peut également être exprimée uniquement en fonction des contraintes en injectant (3.17) et (3.18) dans (3.33) d’où : W =

1 2 + σ 2 + σ 2 ⋅ dV σ xx yy zz 2 ⋅ E V∫

(

)

(3.35)

A

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



ν 1 − ∫ (σ xx ⋅ σ yy + σ yy ⋅ σ zz + σ xx ⋅ σ zz ) ⋅ dV + (τ xy2 + τ 2yz + τ xz2 ) ⋅ dV EV 2 ⋅ G V∫



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29

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4 • Principes de la méthode des éléments finis en statique



A

4.1 Approximation nodale – fonctions de forme

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Partant d’hypothèses de petits déplacements et petites déformations, la mécanique du solide a permis d’établir deux types de conditions régissant l’équilibre d’un corps : les équations d’équilibre des forces et la compatibilité des déplacements. Dans le cas des forces, le champ de contraintes, dit statiquement admissible, doit satisfaire aux relations (3.5) et (3.6) alors que le champ de déplacements, dit cinématiquement admissible doit permettre la compatibilité avec les déformations, c’est-à-dire vérifier (3.11). En d’autres termes, le champ de déplacement doit être dérivable au moins une fois. L’intégration de ces équations n’étant pas aisée, une des méthodes les plus utilisées pour les résoudre est la méthode dite des éléments finis qui revient à remplacer le système continu par un système discret. Le solide est alors divisé en un certain nombre de sous-domaines appelés éléments, dont l’assemblage permet la reconstitution de la géométrie initiale. Chacun des éléments est relié à ces voisins par des nœuds dont les degrés de liberté (DDL) constituent les inconnues du problème.

Éléments

Nœuds

Figure 4.1 – (a) Solide (Poutre en I) ; (b) Modèle éléments finis.

Considérant un champ de déplacement cinématiquement admissible sur l’élément, la méthode consiste le plus souvent à approximer celui-ci au moyen d’une fonction 

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31

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4 • Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.1 Approximation nodale – fonctions de forme

polynomiale formée d’un nombre fini de paramètres et à l’exprimer en fonction des déplacements nodaux (les déplacements associés aux degrés de liberté). On aura donc : n

X ( x, y, z ) = ∑ N i ( x, y, z ) ⋅ X i i =1

= N1 ( x , y , z ) ⋅ X 1 + N 2 ( x , y , z ) ⋅ X 2 + ..... + N n ( x , y , z ) ⋅ X n



(4.1)

où les : – X i désignent les inconnues en déplacement associées aux degrés de liberté considérés, – N i ( x , y , z ) désignent les fonctions de forme de l’élément permettant d’obtenir les déplacements de celui-ci en n’importe quel point de sa géométrie et ce toujours à partir des déplacements nodaux. À titre d’exemple, prenons un élément « barre » travaillant uniquement en traction ou en compression. Le matériau utilisé étant supposé linéaire, la déformation est de fait constante sur la hauteur de sa section. La fonction de déplacement u( x ) est alors forcément linéaire. On a donc :

ε xx =

du = Cte ⇒ u( x ) = a0 + a1 ⋅ x dx

(4.2)

Par ailleurs, on sait qu’en : x = 0 ⇒ u ( 0 ) = u1 x = L ⇒ u ( L ) = u2 d’où x ⎫ ⎧ u1 ⎫ ⎬⋅ ⎨ ⎬ L ⎭ ⎩u2 ⎭

x x ⎧ x u( x ) = (1 − ) ⋅ u1 + ⋅ u2 = ⎨1 − L L ⎩ L soit sous une autre forme (figure 4.2) :

N1

N2

x 1

u1

u (x)

2

u2

L Figure 4.2 – Fonctions de forme d’un élément barre.

32

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Principes de la méthode des éléments finis en statique



4.2 Résolution

2 x x u( x ) = (1 − ) ⋅ u1 + ⋅ u2 = N1 ⋅ u1 + N 2 ⋅ u2 = ∑ N i ⋅ ui = [ N ] ⋅ {qe } (4.3) L L i =1

En regroupant toutes les fonctions de forme de l’élément au sein de la matrice [ N ] et les déplacements nodaux dans le vecteur {qe } , le champ de déplacement s’exprime alors : (4.4)

avec {u} correspondant au vecteur des fonctions de déplacement applicables sur l’élément : u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z), bx(x, y, z), etc. Le degré du polynôme retenu pour l’élément est donc intimement lié aux nombres de nœuds et de degrés de liberté par nœud. Par exemple, un élément unidimensionnel à trois nœuds aura une fonction d’approximation parabolique. Généralement, les fonctions d’interpolation retenues sont linéaires, quadratiques et plus rarement cubiques ce qui ne se révèle pas toujours conforme aux théories visées telles que celles des poutres, des plaques ou des coques. En effet, les ligne et surface élastique découlant de ces théories sont plutôt du troisième voire du quatrième degré. Une solution revient à discrétiser le modèle de telle manière à reconstituer le champ réel de déplacement à partir de fonctions de degré inférieur. La qualité et l’efficacité d’une telle reconstitution dépendront donc d’une part du type d’élément choisi, en d’autres termes de ses capacités, et d’autre part de la densité du maillage. Dans le cas des éléments courants et toujours dans une hypothèse de linéarité, ce choix aura pour conséquence de ne pas garantir la continuité du champ de contrainte d’où la recherche d’une discrétisation adaptée permettant sa bonne reconstitution. De ce fait, la taille des éléments utilisés sera généralement petite.

A 

{u} = [ N ] ⋅ {qe }



4.2 Résolution

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

La méthode de résolution s’inspire généralement de celle de Rayleigh – Ritz qui consiste via une minimisation de l’énergie potentielle, en une recherche des termes d’une fonction approximant le champ inconnu et satisfaisant aux conditions aux limites. On définit l’énergie potentielle E comme étant la différence entre l’énergie de déformation W et le travail T des forces de volume et de surface :

E = W −T =

T 1 {ε } ⋅ {σ } ⋅ dV − ∫ {u}T ⋅ { f v } ⋅ dV − ∫ {u}T ⋅{ f s } ⋅ dS (4.5) ∫ 2 V  S V     W

T

Le problème revient alors à rechercher un champ de déplacement minimisant E de manière à caractériser son équilibre. L’étude d’un barreau en traction permet de décrire simplement la démarche suivie. 

9782100544639.indb 33

33

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4 • Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.2 Résolution

4.2.1 Application à un barreau en traction

Soit un barreau de longueur L et de section constante S soumis à une charge extérieure F ,

F

y

1 x L

2

k

u

W u

Y X

F Figure 4.3 – Barreau en traction.

Posant que  ε xx =

du u2 − u1 u − 0 F = = et σ xx = , la relation contrainte-défordx L L S

mation s’écrit :

σ xx = E ⋅ ε xx ⇔



F u ES =E⋅ ⇒F = ⋅u = k ⋅u S L L

(4.6)

ES correspondant dans le domaine élastique à la rigidité du barreau et à L la pente de la droite F = k ⋅ u . La déformation ε xx étant indépendante de x, l’énergie de déformation devient : avec k =

L



2 1 1 2 ⋅ dS ⋅ dx = E ⋅ ε xx dS ⋅ dx W = ∫ σ xx ⋅ ε xx ⋅ dV = ∫ E ⋅ ε xx ∫ 2V 2V 2 ∫S 0   S

L



(4.7)

2

=

E ⋅S ⋅L ⎛ u ⎞ 1 ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ k ⋅ u2 2 2 ⎝L⎠

De plus et sachant que le travail de la force F est égal à F ⋅ u , l’énergie potentielle s’exprimera sous la forme :

E = W −T =

1 ⋅ k ⋅ u2 − F ⋅ u 2

(4.8)

34

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Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.2 Résolution

Considérant un problème statique, ce qui signifie qu’après obtention de l’équilibre, le déplacement u n’évolue plus, la variation du potentiel par rapport à u sera alors nulle d’où : dE = 0 = k ⋅u − F ⇒ k ⋅u = F (4.9) du d’où le déplacement u .

Notant la relation (3.13) sous une forme plus synthétique {ε } = [ ∂ ]{u} , le vecteur des déformations pourra être exprimé en fonction des déplacements nodaux à partir de : ∂ ][ N ] ⋅ {qe } = [ B ] ⋅ {qe } {ε } = [∂ ]{u} = [





A

4.2.2 Énergie de déformation élémentaire

(4.10)

[B ]

avec [ ∂ ]  : opérateur dérivation dont les dimensions dépendent de celles de l’élément étudié. Soit pour l’élément barre : ε xx =

du ⎧ 1 1 ⎫ ⎧ u1 ⎫ = ⎨− ⎬ ⋅ ⎨ ⎬ . Le champ de contrainte u dx ⎩ L L ⎭ ⎩ 2 ⎭ [B ]

étant obtenu à partir de la relation contrainte-déformation (3.21) {σ } = [ H ] ⋅ {ε }  , l’énergie de déformation We associée à l’élément e peut être déduite en posant : We =

T T 1 1 {ε } ⋅ {σ } ⋅ dVe = ∫ {qe } ⋅ [ B ]T ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ {qe } ⋅ dVe ∫ 2V 2V e



e

1 T = {qe } ⋅ [ ke ] ⋅ {qe } 2

(4.11)

[ke ] = ∫ [ B ]T ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ dVe 

avec

(4.12)

Ve

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

matrice de rigidité élémentaire de ­l’élément e. Ceci donne pour l’élément barre : T

L

[ke ] = ∫ [ B ] ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ dVe = ∫0 Ve





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⎡ 1 L ⎢ L2 [ke ] = ES ⋅ ∫0 ⎢ 1 ⎢− ⎢⎣ L2

⎧ 1⎫ ⎪⎪− L ⎪⎪ ⎧ 1 dS ∫ e ⎨ 1 ⎬ ⋅ E ⋅ ⎨⎩− L ⎪ ⎪ s  ⎩ L ⎪⎭ S ⎪

1⎤ − 2⎥ L ⋅ dx = ES ⎡ 1 −1⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ L ⎣ −1 1 ⎦ L2 ⎥⎦

1⎫ ⎬ ⋅ dx L⎭ (4.13)

35

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4 • Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.2 Résolution

4.2.3 Travail élémentaire des forces de volume et de surface

En traduisant les actions des éléments connectés à e sous la forme d’un vecteur forces { pe } , Te s’écrit :

Te =



T

T

}T⋅ {p e} ∫ {u} ⋅ { f v } ⋅ dVe + ∫ {u} ⋅ { f s } ⋅ dSe + {qe

Ve

Se

actions des autres éléments sur e

(4.14)

Comme {u} est égal à [ N ] ⋅ {qe } , on a : T

Te =

T

T T T ∫ {qe } ⋅ [ N ] ⋅ { f v } ⋅ dVe + ∫ {qe } ⋅ [ N ] ⋅ { f s } ⋅ dSe + {qe } ⋅ { pe } (4.15)

Ve

Se

D’où finalement : T

Te = {qe }

avec :

({ f ev } + { f es } + { pe })

(4.16)

{ f ev } = ∫ [ N ]T ⋅ { f v } ⋅ dVe forces nodales de volume.

(4.17)

{ f es } = ∫ [ N ]T ⋅ { f s } ⋅ dSe

(4.18)

Ve

forces nodales de surface.

Se

4.2.4 Assemblage des matrices élémentaires

Les caractéristiques globales sont obtenues par assemblage des différentes quantités We et Te établies en (4.11) et (4.16). L’énergie potentielle totale de la structure est alors égale à la somme des différences entre énergies de déformation et travaux des forces de chacun des éléments : E = W − T = ∑We −∑Te

e

e

1 T T = ∑ {qe } ⋅ [ ke ] ⋅ {qe } − ∑ {qe } ({ f ev } + { f es } + { pe }) e 2 e

(4.19)

■■ Changement de repères

Cependant, les éléments n’ayant pas forcément le même repère local, la sommation des énergies de déformation et des travaux des forces extérieures ne peut être directement appliquée. Il est donc nécessaire de les exprimer dans un référentiel unique appelé repère global. Pour ce faire, un changement de base doit être effectué du repère global vers le repère local de chacun des éléments. Quand on se limite à des problèmes plans, les formules de changement de base permettant de passer du repère global au repère local s’écrivent :

x = X ⋅ cos (θ ) + Y ⋅ sin (θ ) y = − X ⋅ sin (θ ) + Y ⋅ cos (θ )



(4.20)

36

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Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.2 Résolution

Y y

x

θ

A

X



Figure 4.4 – Changement de repères.

À titre d’exemple, le changement de base d’un élément barre plan à deux nœuds revient à appliquer la relation (4.20) à ses deux nœuds i et j, soit : 0 0 ⎤ ⎧U i ⎫ ⎧ ui ⎫ ⎡ cos (θ ) sin (θ ) ⎥ ⎪ v ⎪ ⎢ − sin θ cos θ 0 0 ⎥ ⎪⎪ Vi ⎪⎪ ( ) ( ) ⎪ i⎪ ⎢ (4.21) = ⎨u ⎬ ⎢ ⎨ ⎬ 0 cos (θ ) sin (θ ) ⎥ ⎪U j ⎪ ⎪ j⎪ ⎢ 0 ⎥ ⎪⎩v j ⎪⎭ ⎢ 0 0 − sin (θ ) cos (θ ) ⎥⎦ ⎪⎩V j ⎭⎪ ⎣ D’une manière générale, ce changement de base permet de calculer les déplacements des nœuds de l’élément e en repère local {qe } à partir de ceux du repère global {Qe } via une matrice de passage nommée [ Re ] .

{qe } = [ Re ] ⋅ {Qe }



(4.22)

Y

Vi © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Vj

L

y

i

u (x)

ui

j

uj

x

Uj

θ

Ui

X

Figure 4.5 – Changement de base d’un élément barre.

L’énergie de déformation We devient alors : 1 1 T T We = {qe } ⋅ [ ke ] ⋅ {qe } = ([ Re ] ⋅ {Qe }) [ ke ] ⋅ [ Re ] ⋅ {Qe } 2 2 [K e ]  1 T T We = {Qe } ⋅ [ Re ] ⋅ [ ke ] ⋅ [ Re ] ⋅ {Qe } 2 

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(4.23)

37

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4 • Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.2 Résolution

1 {Qe }T ⋅ [ K e ] ⋅ {Qe } 2 D’où l’expression de la rigidité élémentaire en repère global : We =



Soit pour l’élément barre :



(4.24)

[ K e ] = [ Re ]T ⋅ [ke ] ⋅ [ Re ]

⎡ cos2 θ ⎢ ES ⎢ cosθ sin θ [K e ] = ⎢ − cos2 θ L ⎢ ⎢⎣ − cosθ sin θ

cosθ sin θ sin 2 θ − cosθ sin θ − sin 2 θ

(4.25)

− cos2 θ − cosθ sin θ cos2 θ cosθ sin θ

⎡1 ⎢ ES ⎡ 1 −1⎤ (ui ) ES ⎢ 0 = avec d’après (4.13) [ ke ] = ⎢ ⎥ L ⎣ −1 1 ⎦ (u j ) L ⎢ −1 ⎢ ⎣0

− cosθ sin θ ⎤ ⎥ − sin 2 θ ⎥ (4.26) cosθ sin θ ⎥ ⎥ sin 2 θ ⎥⎦

0 −1 0 0 0 1 0 0

0 ⎤ (ui ) 0 ⎥ (vi ) ⎥ 0 ⎥ (u j ) ⎥ 0 ⎦ (v j )

1

0 0 ⎤ ⎡ cos (θ ) sin (θ ) ⎢ ⎥ 0 0 ⎥ − sin (θ ) cos (θ ) ⎢ et (4-21) [ Re ] = ⎢ 0 0 cos (θ ) sin (θ ) ⎥ ⎢ ⎥ 0 − sin (θ ) cos (θ ) ⎥⎦ ⎢⎣ 0 Ce qui donne pour le barreau du chapitre 4.2.1 (nœud 1 vers 2 ⇒ θ =-90° ) : ⎡0 −1 ⎢1 0 [ R1 ] = ⎢⎢0 0 ⎢ ⎣0 0

0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ et 0 −1⎥ ⎥ 1 0⎦

⎡0 0 ⎢ ES 0 1 [ K 1 ] = ⎢⎢0 0 L ⎢ ⎣0 −1

0 0 ⎤ (U1 ) 0 −1⎥ (V1 ) ⎥ 0 0 ⎥ (U 2 ) ⎥ 0 1 ⎦ (V2 )

En appliquant (4.22) aux vecteurs charges, le travail élémentaire des forces (4.16) s’écrit : T

Te = {qe }

T

= {Qe }

T

= {Qe }

({ f ev } + { f es } + { pe }) = ([ Re ] ⋅ {Qe })T ({ f ev } + { f es } + { pe }) ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ T T T v s Re ] ⋅ { f e } + [ Re ] ⋅ { f e } + [ Re ] ⋅ { pe } ⎟ ⎜ [    ⎟ ⎜ {Pe } {Fev } {Fes } ⎠ ⎝



(4.27)

({Fev } + {Fes } + {Pe })

1. On notera qu’il a été nécessaire de transformer la matrice [ke] initialement de dimensions 2 ¥ 2 en une matrice 4 ¥ 4 pour permettre la projection des ui et uj sur les axes globaux X et Y.

38

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Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.2 Résolution

d’où l’expression finale de l’énergie potentielle : E = W − T = ∑We − ∑Te e



e

1 T T = ∑ {Qe } ⋅ [ K e ] ⋅ {Qe } − {Qe } 2 e

({Fev } + {Fes } + {Pe })



(4.28)

■■ Matrices booléennes d’assemblage

{Qe } = [ Ae ] ⋅ {Q } Exemple : soit deux éléments barres de connectivité 1, 2 et 3

A 

Les matrices de rigidité et vecteurs forces des différents éléments étant exprimés dans le repère global, il reste néanmoins à positionner chacun d’entre eux dans une matrice de rigidité [ K ] et un vecteur charges {F } caractérisant l’ensemble de la structure. Considérant une structure à n nœuds, le vecteur global des déplacements {Q } aura un nombre de lignes égal à n fois le nombre de degrés de liberté par nœud. Il en est d’ailleurs de même pour le vecteur {F } . Pour ce qui concerne la matrice [ K ] , matrice carrée de mêmes dimensions, l’assemblage s’effectuera en positionnant chacune des matrices de rigidité élémentaires [ K e ] en fonction des degrés de liberté des nœuds de l’élément considéré. Ce positionnement est mis en œuvre au niveau informatique via une matrice booléenne d’assemblage [ Ae ] qui permet de placer les degrés de liberté associés à un élément donné dans le vecteur global des déplacements {Q } . On a donc : (4.29)

Y 1

2





3

X

Figure 4.6 – Assemblage de deux éléments barres.

Des vecteurs des déplacements en repère global des éléments barres 1 et 2 :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎧U1 ⎫ ⎧U 2 ⎫ ⎪V ⎪ ⎪V ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ 2⎪ {Q1} = ⎨ ⎬ , {Q2 } = ⎨ ⎬ ⎪U 2 ⎪ ⎪U 3 ⎪ ⎪⎩V2 ⎪⎭ ⎪⎩V3 ⎪⎭

et du vecteur global



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⎧U1 ⎫ ⎪V ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪⎪U 2 ⎪⎪ {Q } = ⎨ ⎬ , ⎪V2 ⎪ ⎪U 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩V3 ⎪⎭ 39

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4 • Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.2 Résolution

on déduit pour [ A1 ] et [ A2 ]  : ⎧U1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎧U1 ⎫ ⎡1 0 0 0 0 0 ⎤ ⎪ V1 ⎪ ⎪ V ⎪ ⎢0 1 0 0 0 0 ⎥ ⎪U ⎪ ⎪ 1⎪ ⎥ ⋅ ⎪⎨ 2 ⎪⎬ {Q1} = ⎨ ⎬ = ⎢⎢ ⎪U 2 ⎪ ⎢0 0 1 0 0 0 ⎥⎥ ⎪V2 ⎪ ⎪⎩V2 ⎪⎭ ⎣0 0 0 1 0 0 ⎦ ⎪U 3 ⎪  ⎪ ⎪ [ A1 ] ⎪⎩V3 ⎪⎭ ⎧U1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎧U 2 ⎫ ⎡0 0 1 0 0 0 ⎤ ⎪ V1 ⎪ ⎪V ⎪ ⎢0 0 0 1 0 0 ⎥ ⎪U ⎪ ⎪ 2⎪ ⎥ ⋅ ⎪⎨ 2 ⎪⎬ {Q2 } = ⎨ ⎬ = ⎢⎢ ⎪U 3 ⎪ ⎢0 0 0 0 1 0 ⎥⎥ ⎪V2 ⎪ ⎪⎩V3 ⎪⎭ ⎣0 0 0 0 0 1 ⎦ ⎪U 3 ⎪  ⎪ ⎪ [ A2 ] ⎪⎩V3 ⎪⎭ En introduisant (4.29) dans l’expression de l’énergie potentielle (4.28), celle-ci devient : E = W −T 1 T T T T = ∑ {Q } [ Ae ] [ K e ][ Ae ]{Q } − {Q } [ Ae ] e 2 E=

({Fev } + {Fes } + {Pe })

(4.30)

⎛ ⎞ 1 {Q }T ⎜ ∑ [ Ae ]T ⋅ [ K e ] ⋅ [ Ae ] ⎟{Q } 2 ⎝ e ⎠ T ⎛ T − {Q } ⎜ ∑ [ Ae ] ⎝ e T

⎞

({Fev } + {Fes } + {Pe }) ⎟ (4.31) ⎠

T

Sachant que les termes [ Ae ] ⋅ [ K e ] ⋅ [ Ae ] et [ Ae ] ({Fev } + {Fes } + {Pe }) correspondent respectivement aux positionnements de [ K e ] dans [ K ] et des {Fe } dans {F } , on obtient alors : 1 T T E = W − T = ∑We − ∑Te = {Q } ⋅ [ K ] ⋅ {Q } − {Q } ⋅ {F } (4.32) 2 e e avec : T ∑ [ Ae ] ⋅ [ K e ] ⋅ [ Ae ] = [ K ]  : matrice de rigidité de la structure. e

T ∑ [ Ae ] {Pe } = {P }  : vecteur des charges nodales concentrées définies dans le e

repère global. 40

9782100544639.indb 40

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Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.2 Résolution

Comme l’équilibre est caractérisé par une variation nulle d’énergie potentielle par rapport au déplacement, le système s’écrit finalement :

T

= {dQ }



(4.33)

([ K ] ⋅ {Q } − {F }) = 0 ⇒ [ K ] ⋅ {Q } = {F }

De par sa construction, la matrice [ K ] est symétrique. Elle est encore singulière ( det [ K ] = 0 ) du fait de l’absence de conditions d’appui. En d’autres termes, elle ne peut traduire pour l’instant qu’un mouvement de corps rigide.

A 



dE T T = {dQ } ⋅ [ K ] ⋅ {Q } − {dQ } ⋅ {F } dQ

4.2.5 Introduction des conditions d’appui

Pour fixer la structure au sol, des conditions d’appui sont introduites de telle manière à assurer sa stabilité d’ensemble. Suivant la nature des degrés de liberté bloqués, ces supports peuvent reconstituer des appuis ponctuels, des appuis rotulés ou des encastrements mais également correspondre à des déplacements nuls1 ou imposés2. Regroupant les déplacements connus3 liés aux appuis au sein d’un vecteur {Q B } et ceux inconnus dans {Q L } , le système [ K ] ⋅ {Q } = {F } peut être transformé de telle manière à séparer les degrés de liberté libres et bloqués soit :

⎡[ K ] [ K LB ]⎤ ⎧⎪{Q L }⎫⎪ ⎧⎪{Fext }⎫⎪ [ K ] ⋅ {Q } = {F } ⇔ ⎢ LL ⎬=⎨ ⎬ ⎥⎨ ⎣[ K BL ] [ K BB ]⎦ ⎩⎪{Q B }⎭⎪ ⎩⎪ {R } ⎭⎪

(4.34)

[ K LL ] ⋅ {QL } = {Fext } − [ K LB ] ⋅ {QB } ⇒ {QL }

(4.35)

Avec : {R }  : vecteur des réactions d’appui, {Fext }  : vecteur des charges associées aux degrés de liberté libres. Les déplacements inconnus {Q L } peuvent donc être déterminés en résolvant le système linéaire :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



Pour être inversible et donc ne pas être singulière, [ K LL ] ne devra pas comporter de termes diagonaux nuls (cf. § 2.3.3). Ceux-ci ne pourront pas non plus être T négatifs du fait de son caractère définie positive (i.e. {Q L } ⋅ [ K LL ] ⋅ {Q L } > 0 ). Dans le cas contraire, on parlera de « pivot négatif ou nul », terme qui d’ailleurs est largement repris par les logiciels lorsque le calcul est interrompu pour ces raisons. Une fois {Q L } déterminé, les réactions d’appui peuvent être calculées à partir de :

{R } = [ K BL ] ⋅ {QL } + [ K BB ] ⋅ {QB }

(4.36)

1. Appuis infiniment rigides. 2. Utilisation  : dénivellation d’appui d’un pont nécessitée par un changement d’appareil d’appui par exemple. 3. Si les déplacements sur appuis sont pris égaux à zéro, l‘introduction des conditions aux limites revient à barrer dans la matrice [K], la ligne et la colonne du degré de liberté considéré.



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4 • Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.2 Résolution

Ce qui donne pour le calcul du barreau de la figure 4.3 : ⎡0 0 ⎢ ES 0 1 [ K ] ⋅ {Q } = [ K 1 ] ⋅ {Q } = ⎢⎢0 0 L ⎢ ⎣0 −1

0 0 ⎤ ⎧U1 ⎫ ⎧RH1 ⎫ 0 −1⎥ ⎪⎪ V1 ⎪⎪ ⎪⎪ RV1 ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ 0 0 ⎥ ⎪U 2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎥ 0 1 ⎦ ⎪⎩V2 ⎪⎭ ⎪⎩ − F ⎪⎭

d’où RH1 = 0 ⎧U 2 = 0 ⎧ ⎪ ⎪ et FL ES ⎨ ⎨ ⎪⎩V2 = − ES ⎪⎩RV1 = − L V2 = F On notera par ailleurs que la force F est une force nodale et que le déplacement V2 est négatif car exprimé dans le repère global. ⎧ u1 ⎫ ⎡0 −1 ⎪ v ⎪ ⎢1 0 ⎪ 1⎪ De plus et comme {q1} = [ R1 ] ⋅ {Q1 } ⇔ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎪u2 ⎪ ⎢⎢0 0 ⎪⎩v2 ⎪⎭ ⎣0 0 déduit : FL u2 = puisque u2 = −V2 ES

0 0 ⎤ ⎧U1 ⎫ 0 0 ⎥ ⎪⎪ V1 ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬ , on 0 −1⎥ ⎪U 2 ⎪ ⎥ 1 0 ⎦ ⎪⎩V2 ⎪⎭

4.2.6 Calcul des efforts internes en repère local

Une fois les déplacements en repère global connus et pour déterminer les efforts internes aux nœuds, il suffit de calculer pour chacun des éléments, les déplacements associés en repère local puis de les injecter dans la relation de rigidité élémentaire. On a donc :

{ f e }int erne = [ke ] ⋅ {qe }

(4.37)

avec : {qe } = [ Re ] ⋅ {Qe } soit pour l’élément barre de la figure 4.3 : ES ⎡ 1 −1⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎧− N1 ⎫ ⎧− F ⎫ ⎬ = ⎨ ⎬ ⇒ N 1 = F 1. ⎢ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ L ⎣ −1 1 ⎦ ⎩u2 ⎭ ⎩ N1 ⎭ ⎩ F ⎭

1. Hypothèse : effort normal positif = traction, convention nœud sur barre.

42

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Principes de la méthode des éléments finis en statique

4.3 Organigramme général de résolution

4.3 Organigramme général de résolution Structure à n nœuds et m éléments

Construction de la matrice de rigidité [k e ] (repère local)

A 

m éléments

e=1

Construction du vecteur de charges [ f e ] (repère local) e=1 Calcul de la matrice de passage

m éléments

[Re ] liant repères global et local Calcul de la matrice de rigidité exprimée en repère T global [K e ] = [Re ] ⋅ [k e ] ⋅ [R e ] Calcul du vecteur charges exprimé en repère global {Fe } = [Re ] ⋅ { f e } T

Assemblage de [K ] Assemblage de {F } en prenant en compte les éventuelles charges nodales © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Résolution du système [K ] ⋅ {Q} = {F } après introduction des conditions d’appui ⇒ {Q LL }, {R}

m éléments

e=1 Calcul des efforts internes en repère local par la relation [ke ] ⋅ {qe } FIN



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43

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9782100544639.indb 44

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5 • Éléments de barre et de ressort



A 5.1 Élément de barre Y

Vj

L

y

E, S

Vi i

ui

uj

j

x

Uj

θ

Ui

X

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 5.1 – Élément barre 2D.

Comme vu au chapitre 4, l’élément de barre est un élément à 2 nœuds comportant un seul degré de liberté dans son repère local et deux (2D) ou trois (3D) dans le repère global. Ses caractéristiques géométriques et matérielles se résument à une section constante S et un module d’élasticité longitudinal E . Fonctionnant en traction ou compression uniquement, l’hypothèse généralement retenue dans les logiciels du marché est d’associer un effort normal N positif à une traction. De plus et afin de simplifier les développements, seul le cas plan sera traité.

5.2 Matrices de rigidité élémentaires L’élément barre possédant un seul degré de liberté en repère local et deux dans le repère global, il est nécessaire, pour envisager ce changement de base, d’exprimer [ke ] sous la forme d’une matrice de dimensions 4 ¥ 4. Pour ce faire, on reprend l’expression de [ ke ] établie en (4.13) et on ajoute deux lignes et deux colonnes de zéros associées à des vi et v j fictifs. 

9782100544639.indb 45

45

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.3 Élément de ressort 

On a alors : ⎡1 ⎢ ES ⎡ 1 −1⎤ (ui ) ES ⎢ 0 [ke ] = ⎢ −1 1 ⎥ (u ) = ⎢ −1 L ⎣ L ⎦ j ⎢ ⎣0



0 −1 0 0 0 1 0 0

0 ⎤ (ui ) 0 ⎥ (vi ) ⎥ 0 ⎥ (u j ) ⎥ 0 ⎦ (v j )

(5.1)

Le changement de base est alors possible en posant que :

T

 [ K e ] = [ Re ]

⎡ cosθ ⎢ − sin θ ⋅ [ ke ] ⋅ [ Re ]  avec [ Re ] = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

sin θ cosθ 0 0

0 0 cosθ − sin θ

0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ sin θ ⎥ ⎥ cosθ ⎦

(5.2)

On retrouve alors la forme générique (4.26) de la matrice de rigidité [ K e ] en repère global :



⎡ cos2 θ ⎢ ES ⎢ cosθ sin θ [K e ] = ⎢ − cos2 θ L ⎢ ⎢⎣ − cosθ sin θ

cosθ sin θ sin 2 θ − cosθ sin θ − sin 2 θ

− cos2 θ − cosθ sin θ cos2 θ cosθ sin θ

− cosθ sin θ ⎤ ⎥ − sin 2 θ ⎥ (5.3) cosθ sin θ ⎥ ⎥ sin 2 θ ⎥⎦

5.3 Élément de ressort Y

Vj

y

k

Vi u i i

j

uj

x

Uj

θ

Ui

X

Figure 5.2 – Élément ressort 2D.

De par son fonctionnement également uniaxial, l’élément ressort suit exactement les mêmes règles de construction que l’élément barre. Sa seule différence se situe dans le terme de rigidité k . Les matrices de rigidité élémentaires sont donc tout à ES fait similaires, la valeur de k se substituant à la rigidité de l’élément barre. L 46

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.4 Exemple 1 : console 

⎡1 ⎢0 ⎡ 1 −1⎤ (ui ) [ke ] = k ⋅ ⎢ −1 1 ⎥ (u ) = k ⋅ ⎢⎢ −1 ⎣ ⎦ j ⎢ ⎣0



0 −1 0 0 0 1 0 0

0 ⎤ (ui ) 0 ⎥ (vi ) ⎥ 0 ⎥ (u j ) ⎥ 0 ⎦ (v j )

(5.4)

De ce fait et en cas de nécessité, l’élément barre peut être substitué à un élément ressort en remplaçant k par une combinaison de termes E , S et L .



5.4 Exemple 1 : console

A

F

y x

E, S, L

3

2

k= 4

E,

45°

ES L

2S , 2 L

y

Y x 1

X

L

Figure 5.3 – Exemple 1 : système de 2 barres en console.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Tableau 5.1 – Exemple 1 : connectivité élémentaire. Élément

Nœud i

Nœud j

1 (barre)

1

3

2L

2S

2 (barre)

2

3

L

S

3 (ressort)

4

3

–

–

Application numérique :



9782100544639.indb 47

E

= 2.1 1011 N/m2,

L

= 10 m,

S

Longueur

= 0.0001 m2,

F

Section

= 10000 N

47

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.4 Exemple 1 : console 

5.4.1 Calcul sans ressort ■■ Matrices de rigidité en repère local

En appliquant (5.1) aux deux éléments, on déduit pour [ k1 ] et [ k2 ]  :



⎡1 ⎢ E 2S ⎢ 0 [k1 ] = 2L ⎢ −1 ⎢ ⎣0 ⎡1 ⎢ ES ⎢ 0 k = [ 2] L ⎢ −1 ⎢ ⎣0

0 −1 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 0

0 ⎤ (u1 ) 0 ⎥ (v1 ) ⎥ 0 ⎥ (u3 ) ⎥ 0 ⎦ (v3 )

(5.5)

0 ⎤ (u2 ) 0 ⎥ (v2 ) ⎥ 0 ⎥ (u3 ) ⎥ 0 ⎦ (v3 )

■■ Matrices de rigidité en repère global

La forme générique (5.3) étant directement utilisable, on obtient pour :

L’élément 2 : nœuds 2 → 3, q = 0°



⎡1 ⎢ ES 0 [ K 2 ] = ⎢⎢ −1 L ⎢ ⎣0

0 −1 0 0 0 1 0 0

0 ⎤ (U 2 ) 0 ⎥ (V2 ) ⎥ 0 ⎥ (U 3 ) ⎥ 0 ⎦ (V3 )

(5.6)

L’élément 1 : nœuds 1 → 3, q = 45°



⎡ 1 ⎢ 2 ⎢ ⎢ 1 ES [ K 1 ] = ⎢⎢ 21 L ⎢− ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢⎣ − 2

1 2 1 2 1 − 2 1 − 2

1 2 1 − 2 1 2 1 2 −

1⎤ − ⎥ 2 ⎥ 1 ⎥ (U1 ) − (V ) 2⎥ 1 1 ⎥ (U 3 ) ⎥ 2 ⎥ (V3 ) 1 ⎥ 2 ⎥⎦

(5.7)

■■ Système [K ] ◊ {Q } = {F  }

Pour établir le système [ K ] ⋅ {Q } = {F } , il est tout d’abord nécessaire de construire la matrice de rigidité de la structure [ K ] en positionnant (5.6) et (5.7) suivant les degrés de liberté requis. On remarquera d’ailleurs que le terme diagonal associé à V2 est nul. Ceci provient du fait que l’élément barre ne peut projeter d’effort sur l’axe global vertical Y. Ensuite, le vecteur charges {F } est défini en appliquant d’une part la force F négativement (car opposée à Y) suivant le degré de liberté associé à V3 et d’autre part les réactions horizontales et verticales aux nœuds 1 et 2. 48

9782100544639.indb 48

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⎡ 1 ⎢ 2 ⎢ ⎢ 1 ⎢ 2 ES ⎢ 0 [ K ] ⋅ {Q } = {F } ⇔ ⎢ 0 L ⎢ ⎢ 1 ⎢− ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢− ⎣ 2

1 2 1 2 0 0 1 − 2 1 − 2

5.4 Exemple 1 : console 

0

0

0

0

1 0

0 0

−1 0 0

0

1 2 1 − 2 −1 0 1 1+ 2 1 2 −

1⎤ − ⎥ 2 ⎥ 1 ⎥ ⎧U1 ⎫ ⎧ RH1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 2 ⎥ ⎪ V1 ⎪ ⎪ RV1 ⎪ 0 ⎥ ⎪⎪U 2 ⎪⎪ ⎪⎪RH 2 ⎪⎪ ⎥⋅⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (5.8) 0 ⎥ ⎪V2 ⎪ ⎪ RV2 ⎪ 1 ⎥ ⎪U 3 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎥ ⎪⎩V3 ⎪⎭ ⎪⎩ − F ⎪⎭ 1 ⎥ ⎥ 2 ⎦

A 

5 • Éléments de barre et de ressort

■■ Introduction des conditions d’appui

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Dans la mesure où les appuis sont infiniment rigides et comme indiqué en § 4.2.5, l’introduction des conditions aux limites aux nœuds 1 et 2 revient à barrer la ligne et la colonne du degré de liberté considéré.

Figure 5.4 – Exemple 1 : déformée sans ressort (Effel).

Le système (5.8) se réduit donc aux termes liés aux déplacements U 3 et V3  :



9782100544639.indb 49

⎡ 1 1+ ES ⎢ 2 ⎢ L ⎢ 1 ⎢⎣ 2

1⎤ 2 ⎥ ⋅ ⎧U 3 ⎫ = ES ⎡3 1⎤ ⋅ ⎧U 3 ⎫ = ⎧ 0 ⎫ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 1 ⎥ ⎩V3 ⎭ 2 L ⎢⎣1 1⎥⎦ ⎩V3 ⎭ ⎩− F ⎭ 2 ⎥⎦

(5.9)

49

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.4 Exemple 1 : console 

FL ⎧ ⎪⎪U 3 = ES = 4.762 mm ⎨ ⎪V3 = − 3 FL = −14.286 mm ⎪⎩ ES

d’où

(5.10)

Il suffit alors d’injecter les résultats (5.10) dans (5.8) pour obtenir les réactions aux appuis : RV1 = RH1 =

ES ⎛ U 3 V3 ⎞ ES − ⎟ = F ; RH 2 = ( −U 3 ) = − F ; RV2 = 0 ⎜− 2 ⎠ L L ⎝ 2

(5.11)

■■ Efforts dans les barres

F

y

N2

x

E, S, L

N1

N2

3

2 4

E,

45°

y

k=

ES L

2S , 2 L

Y x

N1

1

L

X

Figure 5.5 – Exemple 1 : efforts dans les barres.

La détermination des efforts dans les barres est basée sur l’application de la relation (4.37). Il est néanmoins nécessaire de calculer préalablement les déplacements dans le repère local de chacun des éléments. Ainsi, nous avons pour :

L’élément 1 : nœuds 1 → 3, q = 45° ⎡1 ⎧ u1 ⎫ ⎢ ⎪v ⎪ 2 ⎢ −1 ⎪ 1⎪ Comme d’après (4.22) {q1} = [ R1 ] ⋅ {Q1 } ⇔ ⎨ ⎬ = ⎪u3 ⎪ 2 ⎢⎢ 0 ⎪⎩v3 ⎪⎭ ⎣0

1 0 1 0 0 1 0 −1

0 ⎤ ⎧U1 ⎫ 0 ⎥ ⎪⎪ V1 ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ , 1 ⎥ ⎪U 3 ⎪ ⎥ 1 ⎦ ⎪⎩V3 ⎪⎭

50

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.4 Exemple 1 : console 

On déduit alors de (4.37) :

⎡1 ⎢ E 2S ⎢ 0 = 2 L ⎢ −1 ⎢ ⎣0

0 −1 0 0 0 1 0 0

0⎤ ⎡1 ⎥ 0 2 ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0⎥ 2 ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0⎦ ⎣0

1 0 1 0 0 1 0 −1

0 ⎤ ⎧U1 ⎫ ⎧ ⎪ 0 ⎥ ⎪⎪ V1 ⎪⎪ ⎪ ⎥⋅⎨ ⎬ = ⎨ 1 ⎥ ⎪U 3 ⎪ ⎪− ⎥ 1 ⎦ ⎪⎩V3 ⎪⎭ ⎪ ⎩

2P ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎬ 2P ⎪ 0 ⎪⎭

(5.12)

A 



⎧− N1 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ = [ k1 ] ⋅ {q1} = [ k1 ] ⋅ [ R1 ] ⋅ {Q1 } ⎨ ⎪ N1 ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭

d’où la valeur de l’effort normal et de la contrainte dans l’élément 1 :



ES 2 (U 3 + V3 ) = − 2 P = −14142 N L 2 N1 ⇒ σ xx1 = = −100 MPa 2S N1 =

(5.13)

Comme indiqué précédemment, l’hypothèse retenue pour les efforts normaux est d’associer une valeur positive à une traction. Cela revient dans notre cas à retenir comme convention, l’action du nœud sur la barre d’où le signe « – » appliqué à l’effort normal du nœud de départ.

L’élément 2 : nœuds 2 → 3, q = 0°

Les repères local et global étant confondus, il est possible de déterminer directement l’effort dans la barre n°2 car [ R2 ] = [ I ] (i.e. u3 = U 3 ). On a donc :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



ES ⎡ 1 −1⎤ ⎧u2 ⎫ ⎧− N 2 ⎫ ⎧− F ⎫ ⎬=⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ L ⎣ −1 1 ⎦ ⎩u3 ⎭ ⎩ N 2 ⎭ ⎩ F ⎭ N2 ⇒ N 2 = F = 10000 N ⇒ σ xx2 = = 100 MPa S

(5.14)

5.4.2 Calcul avec ressort ■■ Matrice de rigidité du ressort en repère local

L’élément ressort étant orienté de 4 vers 3, on peut écrire d’après (5.4) que :





9782100544639.indb 51

⎡1 ⎢ ES ⎢ 0 [k3 ] = ⎢ −1 L  k ⎢ ⎣0

0 −1 0 0 0 1 0 0

0 ⎤ (u4 ) 0 ⎥ (v4 ) ⎥ 0 ⎥ (u3 ) ⎥ 0 ⎦ (v3 )

(5.15)

51

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.4 Exemple 1 : console 

■■ Matrice de rigidité du ressort en repère global

Il est alors possible, en appliquant (5.3) avec un changement de base θ = 90° , de calculer la matrice de rigidité de l’élément ressort en repère global [ K 3 ] , soit : ⎡0 0 ⎢ ES ⎢0 1 [ K 3 ] = ⎢0 0 L ⎢ ⎣0 −1



0 0 ⎤ (U 4 ) 0 −1⎥ (V4 ) ⎥ 0 0 ⎥ (U 3 ) ⎥ 0 1 ⎦ (V3 )

(5.16)

■■ Système [K ] ◊ {Q } = {F  }

La construction du système d’équations revient à ajouter (5.16) à (5.8) ce qui donne :



1 ⎡ 1 ⎢1 + 2 2 ⎢ 1 1 ⎢ 1+ ⎢ 2 2 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ES ⎢ 0 ⎢ 1 L ⎢ 1 − − 2 ⎢ 2 ⎢ 1 1 − ⎢− 2 ⎢ 2 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎣

0

0

0

0

1 0

0 0

−1 0 0

0

0 0

0 0

1 1 ⎤ 0 0⎥ − 2 2 ⎥ ⎧U1 ⎫ ⎧ RH 1 ⎫ 1 1 − − 0 0 ⎥ ⎪V ⎪ ⎪ R ⎪ ⎥⎪ 1 ⎪ ⎪ V1 ⎪ 2 2 −1 0 0 0 ⎥ ⎪U 2 ⎪ ⎪ RH 2 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 0 0 ⎥ ⎪V2 ⎪ ⎪ Rv 2 ⎪ ⎥ ⎨U ⎬ = ⎨ 0 ⎬ (5.17) 1 1 ⎪ 1+ 0 0 ⎥⎪ 3⎪ ⎪ 2 2 ⎥ ⎪V3 ⎪ ⎪ − F ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1+ 0 −1⎥ ⎪U 4 ⎪ ⎪RH 4 ⎪ 2 2 ⎥ ⎪V ⎪ ⎪ R ⎪ 0 0 1 0 ⎥⎩ 4 ⎭ ⎩ V 4 ⎭ −1 0 1 ⎥⎦ 0 −

■■ Introduction des conditions d’appui

L’introduction des conditions aux limites aux nœuds 1, 2 et 4 permet de trouver un système très similaire à (5.9) :



1 ⎤ ⎡ 1 1+ ⎢ ES 2 2 ⎥ ⎧U 3 ⎫ = ES ⎡3 1 ⎤ ⎧U 3 ⎫ = ⎧ 0 ⎫ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 1 V 2 L ⎣1 3 ⎦ ⎩V3 ⎭ ⎩− F ⎭ L ⎢ 1 1+ ⎥ ⎩ 3 ⎭ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦

(5.18)

FL ⎧ ⎪⎪U 3 = 4 ES = 1.190 mm (5.19) d’où ⎨ 3 FL ⎪V3 = − = −3.571mm ⎪⎩ 4 ES En effet, la seule différence se situe au niveau de la rigidité associée à V3 qui comES supplémentaire dû à la présence du ressort. porte un terme L 52

9782100544639.indb 52

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.4 Exemple 1 : console 

Les réactions peuvent alors être calculées en injectant (5.19) dans (5.17) d’où : ES ⎛ U 3 V3 ⎞ F ⎧ ⎪RV1 = RH1 = L ⎜ − 2 − 2 ⎟ = 4 ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎪R = ES −U = − F ( 3) H ⎨ 2 4 L ⎪RV = RH = 0 4 ⎪ 2 S 3F E ⎪R = V3 ) = ( V 4 ⎪⎩ L 4

(5.20)

A 



© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 5.6 – Exemple 1 : déformée avec ressort (Effel). ■■ Efforts dans les barres

En appliquant la même procédure qu’en § 5.4.1, on obtient pour :

L’élément 1 : nœuds 1 → 3, q = 45° ⎡1 ⎧ u1 ⎫ ⎢ ⎪v ⎪ 2 ⎢ −1 ⎪ 1⎪ Comme {q1} = [ R1 ] ⋅ {Q1 } ⇔ ⎨ ⎬ = ⎪u3 ⎪ 2 ⎢⎢ 0 ⎪⎩v3 ⎪⎭ ⎣0 

9782100544639.indb 53

1 0 1 0 0 1 0 −1

0 ⎤ ⎧U1 ⎫ 0 ⎥ ⎪⎪ V1 ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ 1 ⎥ ⎪U 3 ⎪ ⎥ 1 ⎦ ⎪⎩V3 ⎪⎭ 53

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.5 Exemple 2 : treillis 

On a : ⎧− N1 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ = [ k1 ] ⋅ {q1} = [ k1 ] ⋅ [ R1 ] ⋅ {Q1 } ⎨ ⎪ N1 ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭

⎡1 ⎢ E 2S ⎢ 0 = 2 L ⎢ −1 ⎢ ⎣0

0 −1 0 0 0 1 0 0

0⎤ ⎡1 ⎥ 0 2 ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0⎥ 2 ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0⎦ ⎣0

1 0 1 0 0 1 0 −1

⎧ 0 ⎤ ⎧U1 ⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪⎪ V1 ⎪⎪ ⎪ ⎥⋅⎨ ⎬ = ⎨ 1 ⎥ ⎪U 3 ⎪ ⎪ − ⎥ 1 ⎦ ⎪⎩V3 ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ (5.21) ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ 2F ⎪ 4 ⎪ 0 ⎪⎭

2F 4 0

d’où : N1 =

2F ES 2 N = −3536 N ⇒ σ xx1 = 1 = −25 MPa (5.22) (U 3 + V3 ) = − 4 L 2 2S

L’élément 2 : nœuds 2 → 3, q = 0°



⎧ F⎫ − − − 1 1 u N ⎤ ⎧ 2 ⎫ ⎧ 2 ⎫ ⎪⎪ 4 ⎪⎪ ES ⎡ F ⎢ −1 1 ⎥ ⎨u ⎬ = ⎨ N ⎬ = ⎨ F ⎬ ⇒ N 2 = = 2500 N 4 L ⎣ ⎦⎩ 3⎭ ⎩ 2 ⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 4 ⎪⎭ N ⇒ σ xx2 = 2 = 25 MPa S

(5.23)

L’élément 3 : nœuds 3 → 4, q = 0° N 3 = k ⋅V3 = −

3F 4

On notera qu’il est possible de trouver directement l’effort dans le ressort grâce à la relation liant rigidité et déplacement du nœud 3.

5.5 Exemple 2 : treillis Soit la structure suivante formée de cinq éléments barres et quatre nœuds. Le chargement se décompose en 2 charges horizontale et verticale, respectivement PX et PY  appliquées toutes deux au nœud 4. Les conditions d’appui à prendre en compte sont des appuis rotulés aux nœuds 1 et 3. On désire déterminer les déplacements, les réactions et les efforts dans cette structure. 54

9782100544639.indb 54

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.5 Exemple 2 : treillis  H

1

H

 E, S, H

 E, S, H

2

3

 E, S, H  E,

S , 2H  E, 2

S , 2H 2

A 

H

PX

4 Y PY

X

Figure 5.7 – Exemple 2 : structure treillis.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Tableau 5.2 – Exemple 2 : connectivité élémentaire. Élément

Nœud i

Nœud j

Longueur

Section

1 (barre)

1

2

H

S

2 (barre)

2

3

H

S

3 (barre)

1

4

2H

S

2

4 (barre)

3

4

2H

S

2

5 (barre)

2

4

H

S

Application numérique : S = 0.01 m2, E = 2.1 1011 N/m2, H = 10 m, PX = 100000 N, PY = 200000 N.

5.5.1 Matrices de rigidité en repère local

En adaptant la relation (5.1) aux spécificités de chacune des barres, les matrices en repère local s’écrivent pour :

Les éléments 1, 2 et 5 

9782100544639.indb 55

[k1 ] = [k2 ] = [k5 ] =

ES ⎡ 1 −1⎤ ⎢ ⎥ H ⎣ −1 1 ⎦

(5.24) 55

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.5 Exemple 2 : treillis 

Les éléments 3 et 4

[k3 ] = [k4 ] =

E

S 2 2H

1

⎡ 1 −1⎤ ES ⎡ 1 −1⎤ ⎢ −1 1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 H ⎣ −1 1 ⎦

3

2

Y

(5.25)

PX

4 X PY

Figure 5.8 – Exemple 2 : connectivité élémentaire et repères locaux.

5.5.2 Matrices de rigidité en repère global

Toujours en utilisant la forme générique (5.3), les rigidités en repère global s’écrivent pour :

L’élément 1 : nœuds 1 → 2, q = 0°

⎡1 ⎢ ES ⎢ 0 [ K 1 ] = ⎢ −1 H ⎢ ⎣0

0 −1 0 0 0 1 0 0

0 ⎤ (U1 ) 0 ⎥ (V1 ) ⎥ 0 ⎥ (U 2 ) ⎥ 0 ⎦ (V2 )

(5.26)

L’élément 2 : nœuds 2 → 3, q = 0°

[K 2 ] = [K1 ] L’élément 3 : nœuds 1 → 4, q = – 45°

⎡ 1 −1 −1 1 ⎤ (U1 ) ⎢ ⎥ ES −1 1 1 −1 (V ) [ K 3 ] = ⎢⎢ −1 1 1 −1⎥⎥ (U1 ) 4H 4 ⎢ ⎥ 1 1 1 1 − − (V V ⎣ ⎦ 4)

(5.27)

56

9782100544639.indb 56

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.5 Exemple 2 : treillis 

Élément 4 : nœuds 3 → 4, q = – 135° ⎡ 1 1 −1 −1⎤ (U 3 ) ⎢ ⎥ ES ⎢ 1 1 −1 −1⎥ (V3 ) [K 4 ] = 4 H ⎢ −1 −1 1 1 ⎥ (U 4 ) ⎢ ⎥ V4 ) ⎣ −1 −1 1 1 ⎦ (V



(5.28)

A

⎡0 0 ⎢ ES ⎢0 1 K = [ 5] H ⎢0 0 ⎢ ⎣0 −1



0 0 ⎤ (U 2 ) 0 −1⎥ (V2 ) ⎥ 0 0 ⎥ (U 4 ) ⎥ 0 1 ⎦ (V4 )



Élément 5 : nœuds 2 → 4, q = – 90°

(5.29)

5.5.3 Système [K ] ◊ {Q } = {F  }

L’assemblage des matrices élémentaires en repère global (5.26) à (5.29) permet d’obtenir : −1 0 0 0 1 ⎤ ⎧U1 ⎫ ⎧ RH 1 ⎫ ⎡ 4 + 1 −1 −4 ⎢ −1 1 −1 ⎥ ⎪ V1 ⎪ ⎪ RV 1 ⎪ 0 0 0 0 1 ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ −4 −4 0 4+4 0 0 0 0 ⎥ ⎪U 2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎥ ⎪V2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ 0 0 4 0 0 0 ES ⎢ 0 = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ (5.30) −1 ⎥ ⎪U 3 ⎪ ⎪RH 3 ⎪ −4 −1 1 0 0 4 +1 1 4H ⎢ 0 ⎢ ⎥ −1 −1 ⎥ ⎪V3 ⎪ ⎪ RV 3 ⎪ 0 0 0 1 1 ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ −1 1 −1 −1 1 + 1 −1 + 1 ⎥ ⎪U 4 ⎪ ⎪ PX ⎪ 0 0 ⎢ ⎥ −1 −4 −1 −1 −1 + 1 4 + 1 + 1⎥⎦ ⎪⎩V4 ⎭⎪ ⎪⎩ − PY ⎪⎭ 0 ⎢⎣ 1

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Ce qui donne après simplification :





9782100544639.indb 57

⎡ 5 −1 −4 0 0 0 −1 ⎢ −1 1 0 0 0 0 1 ⎢ ⎢ −4 0 8 0 −4 0 0 ⎢ 4 0 0 0 ES ⎢ 0 0 0 4 H ⎢ 0 0 −4 0 5 1 −1 ⎢ ⎢ 0 0 0 0 1 1 −1 ⎢ −1 1 0 0 −1 −1 2 ⎢ ⎢⎣ 1 −1 0 −4 −1 −1 0

1 ⎤ ⎧U1 ⎫ ⎧ RH 1 ⎫ −1⎥ ⎪ V1 ⎪ ⎪ RV 1 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪U 2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −4 ⎥ ⎪V2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ −1⎥ ⎪U 3 ⎪ ⎪RH 3 ⎪ ⎥ −1⎥ ⎪V3 ⎪ ⎪ RV 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪U 4 ⎪ ⎪ PX ⎪ ⎥ 6 ⎥⎦ ⎪⎩V4 ⎪⎭ ⎪⎩ − PY ⎪⎭

(5.31)

57

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.5 Exemple 2 : treillis 

5.5.4 Introduction des conditions d’appui

Les conditions d’appui permettent de déduire que U1 = U 3 = V1 = V3 = 0 d’où le système à résoudre :



⎡8 0 ⎢ ES ⎢0 4 4 H ⎢0 0 ⎢ ⎣0 −4

0 0 ⎤ ⎧U 2 ⎫ ⎧ 0 0 −4 ⎥ ⎪⎪V2 ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎥⎨ ⎬ = ⎨ 2 0 ⎥ ⎪U 4 ⎪ ⎪ PX ⎥ 0 6 ⎦ ⎪⎩V4 ⎪⎭ ⎪⎩− PY

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

(5.32)

Les déplacements aux nœuds 2 et 4 sont donc égaux à :



⎧U 2 = 0 ⎪V = V 4 ⎪ 2 ⎪ 2P H ⎨U 4 = X = 0.952 10−3 m ES ⎪ ⎪ 2 PY H = −1.905 10−3 m ⎪V4 = − ES ⎩

(5.33)

Figure 5.9 – Exemple 2 : déformée (Effel).

58

9782100544639.indb 58

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.5 Exemple 2 : treillis 

Ce qui, en injectant (5.33) dans (5.31), donne pour les réactions :

(5.34)

A 



ES ⎛ 2 PX H 2 PY H ⎞ PX + PY ⎧ = −150 kN ⎪RH 1 = 4 H ⎜ − ES − ES ⎟ = − 2 ⎝ ⎠ ⎪ ES ⎛ 2 PX H 2 PY H ⎞ PX + PY ⎪ = 150 kN ⎪⎪RV 1 = 4 H ⎜⎝ ES + ES ⎟⎠ = 2 ⎨ ⎪RH 3 = ES ⎛ − 2 PX H + 2 PY H ⎞ = − PX + PY = 50 kN ⎜ ⎟ ⎪ 2 4H ⎝ ES ES ⎠ ⎪ ⎪RV 3 = ES ⎛⎜ − 2 PX H + 2 PY H ⎞⎟ = − PX + PY = 50 kN 4H ⎝ 2 ES ES ⎠ ⎩⎪

5.5.5 Efforts dans les barres

Les barres 1 et 2 ne subissant aucun allongement ou raccourcissement (U 2 = 0 ) , les efforts dans ces éléments sont bien évidemment nuls ( N1 = N 2 = 0 ) . De la même façon, il n’y a pas d’effort dans la barre 5 ( N 5 = 0 ) puisque V2 est égal V4 . Pour obtenir les efforts dans l’élément 3, on pose :

⎡1 −1 ⎧ u1 ⎫ ⎢ ⎪v ⎪ 2 ⎢1 1 ⎪ 1⎪ ⎨ ⎬= ⎪u4 ⎪ 2 ⎢⎢0 0 ⎪⎩v4 ⎪⎭ ⎣0 0

⎡1 −1 ⎧ u1 ⎫ ⎢ ⎪v ⎪ 2 ⎢1 1 ⎪ 1⎪ = ⎨ ⎬ ⎪u4 ⎪ 2 ⎢⎢0 0 ⎪⎩v4 ⎪⎭ ⎣0 0

0 0 ⎤ ⎧U1 ⎫ 0 0 ⎥ ⎪⎪ V1 ⎪⎪ 2 2 ⎛ 2 ( PX + PY ) H ⎞ U 4 − V4 ) = d’où ⎥ ⎨ ⎬ d ’ oø u4 = ( ⎜ ⎟ 1 −1⎥ ⎪U 4 ⎪ 2 2 ⎝ ES ⎠ ⎥⎪ ⎪ 1ce qui 1 ⎦permet V ⎩ 4 ⎭ de trouver grâce à (4-37) :

⎡ 1 −1⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎧− N 3 ⎫ ⎢ −1 1 ⎥ ⎨u ⎬ = ⎨ N ⎬ ⎣ ⎦⎩ 4⎭ ⎩ 3 ⎭ (5.35) 2 ( PX + PY ) 2 ( PX + PY ) H ⎞ = 212132 N ⎟⎟ = 2 ES ⎠

ES 2H

⇒ N3 = © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

0 0 ⎤ ⎧U1 ⎫ 0 0 ⎥ ⎪⎪ V1 ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬ d ’ oø u = 2 (U − V ) = 2 ⎛ 2 ( PX + PY 4 4 4 ⎜ 1 −1⎥ ⎪U 4 ⎪ 2 2 ⎝ ES ⎥ 1 1 ⎦ ⎪⎩V4 ⎪⎭

ES ⎛ ⎜ 2H ⎜⎝

De la même façon et pour l’élément 4, on déduit : ⎡ −1 −1 0 0 ⎤ ⎧U 3 ⎫ ⎧u3 ⎫ ⎢ ⎪v ⎪ ⎥⎪ ⎪ 2 ⎢ 1 −1 0 0 ⎥ ⎪V3 ⎪ 2 2 ⎛ 2 ( − PX ⎪ 3⎪ d ’ oø u4 = −U 4 − V4 ) = ( ⎬ ⎨ ⎬= ⎨ ⎜ 2 2 ⎝ ⎪u4 ⎪ 2 ⎢⎢ 0 0 −1 −1⎥⎥ ⎪U 4 ⎪ ⎪⎩v4 ⎪⎭ ⎣ 0 0 1 −1⎦ ⎪⎩V4 ⎪⎭

u3 ⎫ ⎡ −1 −1 0 0 ⎤ ⎧U 3 ⎫ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ 2 ⎢ 1 −1 0 0 ⎥ ⎪V3 ⎪ 2 2 ⎛ 2 ( − PX + PY ) H ⎞ 3⎪ = d ’ oø u4 = −U 4 − V4 ) = ( d’où ⎬ ⎬ ⎨ ⎜ ⎟ u4 ⎪ 2 ⎢ 0 0 −1 −1⎥ ⎪U 4 ⎪ 2 2 ⎝ ES ⎠ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ − V 0 0 1 1 4⎭ ⎣ ⎦⎩ 4 ⎭ 

9782100544639.indb 59

59

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5 • Éléments de barre et de ressort

5.5 Exemple 2 : treillis 

⎡ 1 −1⎤ ⎧u3 ⎫ ⎧− N 4 ⎫ ⎢ −1 1 ⎥ ⎨u ⎬ = ⎨ N ⎬ ⎣ ⎦⎩ 4⎭ ⎩ 4 ⎭ (5.36) 2 ( − PX + PY ) H ⎞ 2 ( − PX + PY ) = 70711 N ⎟⎟ = 2 ES ⎠ ES 2H

⇒ N4 =

ES ⎛ ⎜ 2H ⎜⎝

60

9782100544639.indb 60

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds



A 6.1 Équation générale des poutres planes y G

H

E

F

C

D

A

B

y

x

Axe neutre

O

dβ

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

G’

H’

E’ ρ

F’

C’

D’

A’

y

x

B’

Figure 6.1 – Déformation d’une poutre en flexion.

Les sections droites d’une poutre en flexion restant droites après déformations (principe de Navier-Bernoulli), l’étude des déformations longitudinales sur un tronçon ABGH permet d’établir une relation linéaire entre la déformation longitudinale et le rayon de courbure ρ . En effet et de par sa définition (3.9), la déformation à l’ordonnée y est égale à : E ’ F ’− EF ε xx = (6.1) EF 

9782100544639.indb 61

61

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.1 Équation générale des poutres planes 

Comme EF = CD et CD = C’D’, on déduit que : E ’ F ’− EF ( ρ − y ) ⋅ d β − ρ ⋅ d β y = ε xx = =− EF ρ ⋅dβ ρ

(6.2)

Enfin et en combinant l’équation d’équilibre de la section à celle liant contrainte et déformation, on retrouve la relation moment-courbure de la théorie des poutres :

∫ σ xx ⋅ y ⋅ dS − M z = 0⎫⎪ S

σ xx = E ⋅ ε xx

1 M E ⎪ ⇒ M z = − ∫ y 2 ⋅ dS ⇔ − z = ⎬ E ρS EI z ρ = − ⋅ y⎪     ρ ⎪⎭ Iz

(6.3)

avec I z = ∫ y 2 ⋅ dS  : moment d’inertie autour de l’axe z (perpendiculaire au plan xy). S

De plus et sous l’effet des charges extérieures, le point situé sur l’axe neutre à l’abscisse x subira un déplacement vertical v( x ) et une rotation β ( x ) . Par ailleurs et dβ 1 d’après la figure 6.2, on sait que dx = ρ ⋅ d β ⇒ mais également que = dx ρ dv β= ce qui permet de déduire : dx 1 d β d 2v = = (6.4) ρ dx dx 2 En égalisant (6.3) et (6.4), les relations moment-courbure et déformation-courbure deviennent : 1 M d 2v =− z = 2 (6.5) ρ EI z dx

ε xx = −

y d 2v = −y 2 ρ dx

(6.6)

Sachant que  l’effort tranchant correspond à la dérivée du moment fléchissant ⎛ dM z ⎞ = T y ⎟ et que celle de l’effort tranchant1 est équivalente à la charge répartie ⎜ dx ⎝ ⎠ ⎛ dT y ⎞ = −q y ( x ) ⎟ , on obtient finalement : ⎜ ⎝ dx ⎠ d 2v EI z 2 = − M z ( x ) dx d 3v EI z 3 = −T y ( x ) dx d 4v EI z 4 = q y ( x ) dx

(6.7) (6.8) (6.9)

1 Cf. démonstration dans [7].

62

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds 

Les relations (6.7) et (6.9) sont les formes les plus connues de l’équation générale des poutres. O



A y

dβ q y (x)

ρ x

v(x) dβ

ds dx ≈ ds

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 6.2 – Rotation et courbure.

6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds Soit un élément de poutre plane de longueur L , de section S et d’inertie I constantes et dont le matériau a un module d’élasticité longitudinal E . Cet élément à deux nœuds destiné au calcul des réseaux de poutres chargés dans leur plan fait appel à la théorie des poutres qui permet de ramener le problème tridimensionnel à un problème unidimensionnel en condensant ses caractéristiques au niveau de sa fibre moyenne. Chacun de ses nœuds possède trois degrés de liberté dv ui , vi et i qui permettent de reconstituer les fonctions de déplacements axial dx u( x ) et transversal v( x ). Ses caractéristiques sont donc : L  : Longueur. 

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63

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds 

E  : Module d’élasticité longitudinal. S  : Section axiale. I = I z  : Moment d’inertie suivant l’axe z (perpendiculaire au plan xy). Y

v(x)

y βi =

vi

dvi dx

βj =

vj

dv j dx

u (x)

ui i

E, S , I

uj

x

j θ

L

X Figure 6.3 – Élément de poutre plane.

Les inconnues étant les déplacements en i et en j, la première opération consistera dv à exprimer ces champs de déplacement en fonction des valeurs nodales ui , vi , i dx dv j et u j , v j , . dx 6.2.1 Matrices de rigidité élémentaire en repère local

u( x ) En l’absence de flexion, l’élément du fait de son raccourcissement ou de son allongement, a un comportement identique à celui d’une barre. u( x ) est donc encore une fois une fonction linéaire de la forme u( x ) = a0 + a1 x . La déformation associée du = a1 . est bien évidemment homogène sur la section et vaut comme en (4.2) ε xx = dx De plus et comme u ( 0 ) = ui en i et u ( L ) = u j en j, on obtient comme pour l’élément barre, la même fonction de déplacement que celle établie en (4.3) :

■■ Champ de déplacement axial



x x u( x ) = (1 − ) ⋅ ui + ⋅ u j L L

(6.10)

64

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds 

v( x ) En flexion, chacun des nœuds de cet élément possède deux degrés de liberté, un en translation dans la direction transversale v et un associé à la rotation β autour de l’axe z perpendiculaire au plan xy. Quatre conditions aux limites vi , βi , v j , β j peuvent donc être utilisées pour définir sa fonction d’approximation ce qui explique l’expression de v( x ) sous la forme d’un polynôme de degré 3.

■■ Champ de déplacement transversal



v( x ) = b0 + b1 ⋅ x + b2 ⋅ x 2 + b3 ⋅ x 3 = {1 x

x2

⎧b0 ⎫ ⎪b ⎪ ⎪ 1⎪ x 3} ⋅ ⎨ ⎬ ⎪b2 ⎪ ⎪⎩b3 ⎪⎭

)

(6.11)

A 

(

Cette approche revient en fait à intégrer la forme (6.9) de l’équation générale des poutres avec une charge répartie nulle. L’équation du moment fléchissant sera alors d’après (6.7) une fonction linéaire. À partir des conditions aux limites de v( x ) (i .e . v(0) = vi , v ʹ(0) = βi , v( L ) = v j , v ʹ( L ) = β j ) , le vecteur des déplacements nodaux s’écrit : ⎧ vi ⎫ ⎡1 ⎪ β ⎪ ⎢0 ⎪ i⎪ ⎢ ⎨v ⎬ = ⎢ ⎪ j ⎪ ⎢1 ⎪⎩ β j ⎪⎭ ⎣0



0 0 0 ⎤ ⎧b0 ⎫ ⎧b0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪b ⎪ ⎥ 1 0 0 ⎪b1 ⎪ ⎥ ⎨ ⎬ = [ R ] ⋅ ⎪⎨ 1 ⎪⎬ L L2 L3 ⎥ ⎪b2 ⎪ ⎪b2 ⎪ ⎥⎪ ⎪ 2 ⎪⎩b3 ⎪⎭ 1 2 L 3L ⎦ ⎩b3 ⎭

(6.12)

Soit en injectant (6.12) dans (6.11),

v( x ) = {1 x

x2

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

v( x ) = {1 x

x2

⎧ vi ⎫ ⎪ ⎪ −1 ⎪ βi ⎪ 3 x } ⋅ [R ] ⋅ ⎨ ⎬ ⎪v j ⎪ ⎪⎩ β j ⎪⎭ 0 0 ⎡ 1 ⎢ 0 1 0 x 3} ⋅ ⎢ 2 ⎢ −3 / L −2 / L 3 / L2 ⎢ 3 1 / L2 −2 / L3 ⎣ 2/L

0 ⎤ ⎧ vi ⎫ 0 ⎥ ⎪⎪ βi ⎪⎪ ⎥⋅⎨ ⎬ −1 / L ⎥ ⎪ v j ⎪ ⎥ 1 / L2 ⎦ ⎪⎩ β j ⎪⎭

(6.13)

D’où finalement, ⎧ 3x 2 2 x 3 v( x ) = ⎨1 − 2 + 3 L L ⎩



9782100544639.indb 65

x−

2x 2 x 3 + 2 L L

3x 2 2 x 3 − 3 L2 L

⎧ vi ⎫ ⎪ ⎪ x 2 x 3 ⎫ ⎪ βi ⎪ − + 2 ⎬ ⋅ ⎨ ⎬ (6.14) L L ⎭ ⎪v j ⎪ ⎪⎩ β j ⎪⎭ 65

09/02/10 14:55

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds 

C’est d’ailleurs grâce à cette relation que certains logiciels arrivent à tracer la déformée entre les nœuds. Ils calculent les valeurs de v( x ) en certains points intermédiaires1 et reconstituent ensuite la déformée. Ceci permet de se limiter à la géométrie de la structure et donc de réduire le nombre de nœuds. ■■ Champ de déformation

En regroupant les résultats (6.10) et (6.14) dans (6.15), le champ de déplacement complet de l’élément s’écrit : ⎧u( x )⎫ ⎨ ⎬= ⎩v( x ) ⎭ ⎧ x 0 ⎪⎪1 − L ⎨ 3x 2 2 x 3 ⎪ 0 1− 2 + 3 ⎪⎩ L L

x L

0 x−

2x 2 x 3 + 2 L L

0

0 3x 2 2 x 3 − 3 L L2

⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ ⎫⎪ i ⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ βi ⎪⎪ ⎬⎨ ⎬ x 2 x 3 u (6.15) − + 2 ⎪⎪ j ⎪ L L ⎪⎭ ⎪ v j ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ β j ⎪⎭

⎧u( x )⎫ ⎬ = [ N ] ⋅ {qe } ⎨ ⎩v( x ) ⎭

La déformation de la poutre résultant de la concomitance de la flexion (6.6) et des variations de longueur (4.2), on a :

ε xx =



du d 2v −y 2 dx dx

(6.16)

Le champ de déformation devient alors :

ε xx =

⎧ 1 ⎨− ⎩ L

⎛ 6 12 x ⎞ ⎛ 4 6x ⎞ ⎜ 2 − 3 ⎟⋅ y ⎜ − 2 ⎟⋅ y L L ⎝ ⎠ ⎝L L ⎠

ε xx = [ B ] ⋅ {qe }

1 L

⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ i⎪ ⎛ 2 6 x ⎞ ⎫ ⎪⎪ βi ⎪⎪ ⎛ 6 12 x ⎞ ⎜ − 2 + 3 ⎟ ⋅ y ⎜ − 2 ⎟ ⋅ y ⎬ ⎨u ⎬ L ⎠ ⎝ L L ⎠ ⎭⎪ j ⎪ ⎝ L ⎪v j ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ β j ⎪⎭

(6.17) 1. Au quart, à la moitié et aux trois quarts de la longueur de l’élément par exemple.

66

9782100544639.indb 66

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds 

■■ Matrice de rigidité élémentaire

Reprenant l’expression de l’énergie de déformation élémentaire (4.11), T T 1 1 {ε } ⋅ {σ } ⋅ dVe = ∫ {qe } ⋅ [ B ]T ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ {qe } ⋅ dVe ∫ 2V 2V e



=

e

1 {qe }T ⋅ [ke ] ⋅ {qe } 2

(6.18)

et sachant que la matrice [ H ] , les vecteurs contrainte et déformation se réduisent respectivement aux seuls termes E , σ xx et ε xx , We s’écrit : We =

T 1 1 σ xx ⋅ ε xx ⋅ dVe = ∫ ([ B ] ⋅ {qe }) E [ B ] ⋅ {qe } ⋅ dVe ∫ 2V 2V e

e

[ke ]

We =

A 

We =

1 {qe }T 2

 ⎞ ⎛ T ⋅ ⎜ E ∫ [ B ] ⋅[ B ] ⋅ dVe ⎟ ⋅ {qe } ⎟ ⎜ V ⎠ ⎝ e



(6.19)

d’où l’expression finale de la matrice de rigidité élémentaire : L⎛ ⎞ T T k = E B ⋅ B ⋅ dV = E [ e] ∫[ ] [ ] e ∫ ⎜⎜ ∫ dSe ⎟⎟ ⋅ [ B ] ⋅ [ B ] ⋅ dx 0 ⎝ Se Ve ⎠

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

1 ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ L ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ 6 − 12 x ⎞ ⋅ y ⎪ ⎪ ⎜⎝ L2 L3 ⎟⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ 4 6x ⎞ ⎪ ⎪ L⎛ ⎞ ⎪ ⎜⎝ L − L2 ⎟⎠ ⋅ y ⎪ = E ∫ ⎜ ∫ dSe ⎟ ⋅ ⎨ ⎬ ⋅ 1 ⎟ ⎜ ⎪ 0 ⎝ Se ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ L ⎪⎛ 6 12 x ⎞ ⎪ ⎪⎜ − 2 + 3 ⎟ ⋅ y ⎪ L ⎠ ⎪ ⎪⎝ L ⎪ ⎛ 2 6x ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ − 2 ⎟⋅ y ⎪ ⎩ ⎝L L ⎠ ⎭ ⎧ 1 ⎨− ⎩ L



9782100544639.indb 67

⎛ 6 12 x ⎞ ⎛ 4 6x ⎞ ⎜ 2 − 3 ⎟⋅ y ⎜ − 2 ⎟⋅ y L ⎠ ⎝L ⎝L L ⎠

1 L

(6.20)

⎛ 6 12 x ⎞ ⎛ 2 6x ⎞ ⎫ ⎜ − 2 + 3 ⎟ ⋅ y ⎜ − 2 ⎟ ⋅ y ⎬ ⋅ dx L ⎠ ⎝ L ⎝L L ⎠ ⎭

67

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds 

Rigidité  du nœud i ⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 [ke ] = ⎢ ES ⎢ ⎢− L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

Facteur de transmission du nœud i vers j 0

0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

0

0

−

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 2 EI L

−

−

ES L 0 0

ES L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

Facteur de transmission du nœud j vers i avec : ∫ dSe = S (section constante). se

∫ y ⋅ dSe = 0

⎤ ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0

(6.21)

Rigidité  du nœud j

∫ y 2 ⋅ dSe = I



(inertie constante).

se

(moment statique nul par rapport à la fibre moyenne).

se

On notera que les termes en «  EI » sont bien liés aux degrés de liberté associés à la flexion de l’élément poutre. 6.2.2 Matrices de rigidité élémentaire en repère global

L’élément de poutre plane possédant deux nœuds à trois degrés de liberté, la matrice de changement de base s’écrit en vertu de (4.22) : n (θ ) ⎧ ui ⎫ ⎡ cos (θ ) sin ⎪ v ⎪ ⎢ − sin θ cos θ ( ) ( ) ⎪ i⎪ ⎢ ⎪⎪ βi ⎪⎪ ⎢ 0 0 {qe } = [ Re ] ⋅ {Qe } ⇔ ⎨ u ⎬ = ⎢ 0 ⎪ j⎪ ⎢ 0 ⎪v j ⎪ ⎢ 0 0 ⎪ ⎪ ⎢ 0 ⎪⎩ β j ⎪⎭ ⎢⎣ 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos (θ ) sin (θ ) 0 − sin (θ ) cos (θ ) 0

0

0

0 ⎤ ⎧U i ⎫ ⎥ 0 ⎥ ⎪⎪ Vi ⎪⎪ 0 ⎥ ⎪⎪ Βi ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬ (6.22) 0 ⎥ ⎪U j ⎪ 0 ⎥ ⎪V j ⎪ ⎥⎪ ⎪ 1 ⎥⎦ ⎪⎩Β j ⎪⎭

On notera cependant l’ajout du «1» associé aux rotations autour des axes z et Z qui sont colinéaires dans le cas plan. La matrice de rigidité élémentaire en repère global est ensuite obtenue en appliquant (4.25), soit : 68

9782100544639.indb 68

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12 EI 2 ⎡ ES 2 ⎢ L cos θ + L3 sin θ ⎢ ⎢ ⎛ ES 12 EI ⎞ ⎢ ⎜⎝ L − L3 ⎟⎠ cosθ sin θ ⎢ 6 EI ⎢ − 2 sin θ ⎢ L ⎢ ES ⎢ − cos2 θ − 12 EI sin 2 θ ⎢ L L3 ⎢ ES 12 EI ⎞ ⎢⎛⎜ − + 3 ⎟ cosθ sin θ L ⎠ ⎢⎝ L ⎢ 6 EI − 2 sin θ ⎢ ⎣ L

⎛ ES 12 EI ⎞ − 3 ⎟ cosθ sin θ ⎜ L ⎠ ⎝ L ES 2 12 EI sin θ + 3 cos2 θ L L 6 EI cosθ L2 ⎛ ES 12 EI ⎞ + 3 ⎟ cosθ sin θ ⎜− L ⎠ ⎝ L 12 EI ES 2 − sin θ − 3 cos2 θ L L 6 EI cosθ L2

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



9782100544639.indb 69

ES 2 12 EI cos θ − 3 sin 2 θ L L ⎛ ES 12 EI ⎞ + 3 ⎟ cosθ sin θ ⎜− L ⎠ ⎝ L 6 EI sin θ L2 ES 2 12 EI cos θ + 3 sin 2 θ L L ES EI 12 ⎛ ⎞ − 3 ⎟ cosθ sin θ ⎜ L ⎠ ⎝ L 6 EI sin θ L2 −

(6.23)

6 EI sin θ L2 6 EI cosθ L2 4 EI L 6 EI sin θ L2 6 EI − 2 cosθ L 2 EI L −

T

 [ K e ] = [ Re ] [ ke ][ Re ] =



⎛ ES 12 EI ⎞ + 3 ⎟ cosθ sin θ ⎜− L ⎠ ⎝ L ES 12 EI − sin 2 θ − 3 cos2 θ L L 6 EI − 2 cosθ L ⎛ ES 12 EI ⎞ − 3 ⎟ cosθ sin θ ⎜ L ⎠ ⎝ L ES 2 12 EI sin θ + 3 cos2 θ L L EI 6 − 2 cos θ L

6 EI ⎤ sin θ ⎥ L2 ⎥ 6 EI ⎥ cos θ ⎥ 2 L ⎥ 2 EI ⎥ ⎥ L ⎥ 6 EI ⎥ θ sin L2 ⎥ ⎥ 6 EI − 2 cosθ ⎥ L ⎥ ⎥ EI 4 ⎥ L ⎦ −

6 • Éléments de poutre à deux nœuds 6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds 

A

69

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds 

6.2.3 Vecteur Charges exprimé en repère local Y

x

L

y

j

qy i

X

Figure 6.4 – Élément de poutre plane chargé uniformément.

Considérant une poutre plane chargée uniformément, le vecteur charges réduit à celui des forces nodales de surface (4.18) soit { f es } =

T

{ fe }

se

∫ [ N ] ⋅ { f s } ⋅ dSe .

Se T

L

⎧ 0 ⎫

{ f e } = { f es } = ∫ [ N ] ⋅ { f s } ⋅ dSe = ∫0 [ N ]T ⋅ ⎨−q ⎬ dx y ⎩

Se



⎧ 3x 2 2 x ⎪1 − 2 + 3 L L ⎪ ⎧ Fiy ⎫ 2x 2 x 3 ⎪ ⎪M ⎪ x− + 2 L⎪ ⎪ ⎪ iz ⎪ L L =⎨ = ⎬ ∫0 ⎨ 2 3 F x x 3 2 ⎪ ⎪ jy ⎪ − ⎪ L2 ⎪⎩ M jz ⎪⎭ L3 ⎪ x2 x3 ⎪ − + L L3 ⎪⎩

⎭

⎧ qyL ⎫ ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q y L2 ⎪ ⎪⎪ ⎧ 0 ⎫ ⎪⎪− 12 ⎪⎪ dx ⋅ = ⋅ ⎨ ⎬ ⎬ ⎨ −q ⎬ ⎪ − qyL ⎪ ⎪ ⎩ y⎭ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ q L2 ⎪ ⎪ ⎪ y ⎪ ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭ ⎪⎭

3⎫

(6.24)

D’une manière générale et dans le cas de forces orientées dans le sens y négatif, le vecteur charges d’un élément de poutre plane soumis à un système de charges transversales est égal à l’inverse des réactions et moments d’encastrement de la poutre bi-encastrée subissant le même chargement. En d’autres termes, ce vecteur traduit les actions nodales équivalentes au chargement appliqué sur la poutre (cf. tableau 6.1 des charges nodales équivalentes).

70

9782100544639.indb 70

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9782100544639.indb 71

i

i

i

i

i

a

a

L/2

c L

q

L

L

q

L

P

L

P

b

j

j

j

j

j

q

Type de chargement

P 2

(

−

qL 2

3qL 20

−

Pb2 ( 2a + L ) L3

−

Fiy

(

⎧ ⎪ c ⎪ ⎪ ( a + c )3 − a3 ⎪ −q ⋅ ⎨ − L2 ⎪ ⎪ ( a + c )4 − a4 ⎪+ ⎪⎩ 2L3

−

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

)

)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

PL 8

( ( (

qL2 30

) ⎫⎪ )⎬⎪⎪ ) ⎪⎭

⎧ 6L2 ( a + c )2 − a2 ⎪ q ⎪ 3 − ⋅ ⎨−8L ( a + c ) − a3 12L2 ⎪ ⎪ +3 ( a + c )4 − a4 ⎩

−

qL2 12

Pab2 L2

−

−

−

Miz P 2

−

qL 2

7qL 20

−

Pa2 ( L + 2b ) L3

−

Fjy

)

(

⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

) ⎫⎪

(

⎧ ( a + c )3 − a3 ⎪ ⎪ L2 −q ⋅ ⎨ 4 ⎪ ( a + c ) − a4 ⎪− 2L3 ⎩

−

Tableau 6.1 – Charges nodales équivalentes.



q 12L2

( (

⎧ 4L ( a + c )3 − a3 ⎪ ⋅⎨ 4 ⎪−3 ( a + c ) − a4 ⎩

qL2 20

qL2 12

Pa2b L2

PL 8

Mjz

) ⎫⎪ ⎬ )⎪⎭

6 • Éléments de poutre à deux nœuds 6.2 Élément de poutre plane à 2 nœuds 

A

71

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.3 Élément de poutre tridimensionnel à 2 nœuds 

6.2.4 Calcul des efforts internes en repère local

Une fois les déplacements en repère global connus, il suffit de calculer pour chacun des éléments, les déplacements associés en repère local puis de les injecter dans la relation de rigidité élémentaire pour obtenir les efforts aux nœuds correspondants. On a donc : ⎧ Ni ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪⎪ Mi ⎪⎪ ⎨ N ⎬ = [ ke ] ⋅ {qe } − { f e } ⎪ j⎪ ⎪ Tj ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ M j ⎪⎭ ⎡ ES ⎢ L ⎢ N ⎧ i⎫ ⎢ 0 ⎪T ⎪ ⎢ ⎪ i ⎪ ⎢ ⎪⎪ Mi ⎪⎪ ⎢ 0 ⎨N ⎬ = ⎢ ⎪ j ⎪ ⎢ − ES ⎪ Tj ⎪ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩ M j ⎪⎭ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

0

0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

0

0

−

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 2 EI L

−

-

ES L 0 0

ES L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ ⎥ (6.25) 6 EI ⎥ ui ⎫ ⎧ L2 ⎥ ⎪ ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ vi ⎪ ⎥ L ⎥ ⎪⎪ βi ⎪⎪ − f ⎨ ⎬ { e} ⎥ ⎪u j ⎪ 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ vj 6 EI ⎥ ⎪ β ⎪ − 2 ⎪⎩ j ⎪⎭ L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0

avec : {qe } = [ Re ] ⋅ {Qe } .

{ f e }  : vecteur des charges nodales équivalentes au chargement appliqué sur la poutre.

6.3 Élément de poutre tridimensionnel à 2 nœuds La formulation de cet élément revient à superposer les effets de traction-compression à ceux de flexion autour des axes z et y. La matrice de rigidité liée au plan xz qui reste semblable à celle établie au § 6.2.1, comporte, du fait de la prise en compte du sens direct de z vers x, une inversion de signe des termes associés à β y .

72

9782100544639.indb 72

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.3 Élément de poutre tridimensionnel à 2 nœuds 

6.3.1 Prise en compte de la torsion

Il reste maintenant à prendre en compte la torsion de l’élément pour couvrir l’ensemble des six degrés de liberté. Partant d’une hypothèse de torsion libre, la fonction β x ( x ) devra être évaluée à partir des deux rotations d’extrémités βix et β jx .

j



x

A

u

βx

v

βy

L

y i

z

w

βz Figure 6.5 – Élément de poutre 3D.

L’approche sera alors identique à celle utilisée pour l’élément barre, d’où :

β x ( x ) = a0 + a1 x

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

avec en x = 0 , β x ( 0 ) = βix et x = L , β x ( L ) = β jx . ce qui donne : x x β x ( x ) = (1 − ) ⋅ βix + ⋅ β jx L L

(6.26)

(6.27)

Les sections droites restant planes (torsion sans gauchissement), on peut établir pour la déformation de torsion que :



9782100544639.indb 73

γ =r⋅

d βx ⎡ 1 = r ⋅ ⎢− dx ⎣ L

1 ⎤ ⎧ βix ⎫ ⋅⎨ ⎬ L ⎥⎦ ⎩ β jx ⎭

(6.28)

73

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.3 Élément de poutre tridimensionnel à 2 nœuds 

d’où l’expression de l’énergie de déformation : WT =

T 1 {γ } ⋅ {τ } ⋅ dVe ∫ 2V e

WT =



1 r ⋅ βix 2 V∫

{

e

WT =

1 βix 2

{

⎧ 1⎫ ⎪⎪− L ⎪⎪ ⎧ 1 β jx ⋅ ⎨ ⎬ ⋅ G ⋅ r ⋅ ⎨− 1 ⎩ L ⎪ ⎪ ⎪⎩ L ⎪⎭ ⎧ βix ⎫ ⋅ [ kT ] ⋅ ⎨ ⎬ ⎩ β jx ⎭

1 ⎫ ⎧ βix ⎫ ⎬ ⋅ ⎨ ⎬ ⋅ dVe L ⎭ ⎩ β jx ⎭

}

(6.29)

β jx }

x

γ

dβx r dx

0 (centre de torsion) Figure 6.6 – Relation entre angle et déformation de torsion.

La matrice de rigidité associée à la torsion est alors égale à : ⎧ 1⎫ ⎪⎪− L ⎪⎪ L 1 2 [kT ] = ∫0 ∫ r ⋅ dSe ⎨ 1 ⎬ ⋅ G ⋅ ⎧⎨− ⎩ L s    ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ L ⎭ J

[kT ] =

GJ L

⎡ 1 ⎢ L2 1⎫ ⎬dx = GJ ∫ ⎢ 1 L⎭ 0 ⎢− ⎢⎣ L2 L

1⎤ L2 ⎥ ⋅ dx ⎥ 1 ⎥ L2 ⎥⎦

−

(6.30)

⎡ 1 −1⎤ ⎢ −1 1 ⎥ ⎣ ⎦

avec  J  : Moment d’inertie de torsion. 74

9782100544639.indb 74

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.3 Élément de poutre tridimensionnel à 2 nœuds 

Bien évidemment, cette matrice de rigidité est très similaire à celle de l’élément barre (5.1). 6.3.2 Prise en compte de la déformation d’effort tranchant

Considérant une poutre console à deux nœuds, la relation de rigidité dans le plan xy s’écrit : 0

0

12 EI z L3 6 EI z L2

6 EI z L2 4 EI z L

0

0

−

12 EI z L3 6 EI z L2

6 EI z L2 2 EI z L

−

-

ES L

0 12 EI z L3 6 EI − 2z L

0

−

0 ES L

0 12 EI z L3 6 EI − 2z L

0 0

⎤ ⎥ ⎥ 6 EI z ⎥ ⎧ui ⎫ ⎧ N i ⎫ L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 EI z ⎥ ⎪vi ⎪ ⎪Ti ⎪ ⎥ L ⎥ ⋅ ⎪⎪ βi ⎪⎪ = ⎪⎪ Mi ⎪⎪ ⎨ ⎬ ⎨N ⎬ ⎥ u 0 ⎥ ⎪ j⎪ ⎪ j⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪v j ⎪ ⎪T j ⎪ 6 EI − 2 z ⎥ ⎪⎩ β j ⎪⎭ ⎪⎩ M j ⎪⎭ L ⎥ 4 EI z ⎥ ⎥ L ⎦

A

0



⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ES ⎢− L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

(6.31)

y

γ xy 1

x

2

L

Figure 6.7 – Déformation d’effort tranchant.

Après introduction des conditions d’appui, celle-ci devient :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎡ L3 EI z ⎡ 12 −6 L ⎤ ⎧ v j ⎫ ⎧ T j ⎫ ⎧ v j ⎫ ⎢⎢ 3 EI z ⎢ ⎥⋅⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⇒ ⎨ ⎬ = L3 ⎣ −6 L 4 L2 ⎦ ⎩ β j ⎭ ⎩ M j ⎭ ⎩ β j ⎭ ⎢ L2 ⎢ 2 EI z ⎣

L2 ⎤ 2 EI z ⎥ ⎧ T j ⎫ ⎥⋅⎨ ⎬ L ⎥ ⎩M j ⎭ EI z ⎥⎦

(6.32)

On sait par ailleurs d’après (3.20) que : En posant :

τ xy = G ⋅ γ xy

(6.33)

T y = τ xy ⋅ S1, y

(6.34)

avec S1, y : section d’effort tranchant dans la direction y. 

9782100544639.indb 75

75

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.3 Élément de poutre tridimensionnel à 2 nœuds 

Et en combinant (6.33) et (6.34), on obtient finalement que :

γ xy =



Ty GS1, y



(6.35)

Β à l’effort tranchant peut alors être calculé à Le déplacement additionnel Δviαdû partir de : Δvi = γ xy ⋅ L =



Ty L GS1, y



(6.36)

Finalement et après cumul des effets dus à la flexion et au cisaillement, on obtient : L ⎡ L3 + ⎢ ⎧ v j ⎫ ⎢ 3 EI z GS1, y ⎨β ⎬ = L2 ⎩ j⎭ ⎢ ⎢ 2 EI z ⎣



⎡ 12 EI z ⎢ 3 ⎧ Tj ⎫ ⎢ L 1+ ϕy ⇒⎨ ⎬=⎢ ⎩ M j ⎭ ⎢ −6 EI z ⎢ L2 1 + ϕ y ⎣

(

(

avec ϕ y =

) )

L2 ⎤ 2 EI z ⎥ ⎧ T j ⎫ ⎥⋅⎨ ⎬ L ⎥ ⎩M j ⎭ ⎥ EI z ⎦ −6 EI z ⎤ 2 L 1+ ϕy ⎥ ⎧v ⎫ ⎥ j ⋅⎨ ⎬ EI z 4 + ϕ y ⎥ ⎩ β j ⎭ ⎥ L 1 + ϕ y ⎥⎦

( ( (

)

)

)

(6.37)

12 EI z . GS1, y L2

6.3.3 Matrice de rigidité

Après assemblage des relations (6.21), (6.30) et (6.37), la matrice de rigidité de l’élément poutre tridimensionnel correspondant au modèle de Timoshenko a pour expression :

76

9782100544639.indb 76

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⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ − ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣



9782100544639.indb 77

(

)

(1 + ϕ y )

6 EI z

0

0

0

(1 + ϕ y )

12 EI z

0

(1 + ϕ y )

6 EI z

L3

L2

−

L2

0

0

0

L3 1 + ϕ y

12 EI z

0

−

−

−

0

0

0

(1 + ϕ z )

6 EI y

L2

0

(1 + ϕ z )

6 EI y

0

L3 (1 + ϕ z )

12 EI y

L2

0

L3 (1 + ϕ z )

−

0

0

GJ L

0

0

0

0

0

GJ L

0

0

0

12 EI y

0

0

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

 (6.38)

0

( 2 − ϕ y ) EI z L (1 + ϕ y )

0

0

0

0

0

0

0

(1 + ϕ y )

6 EI z

( 2 − ϕ z ) EI y L (1 + ϕ z )

L2

0

−

ES L

0

L2 (1 + ϕ z )

6 EI y

0

0

0

0

( 4 + ϕ y ) EI z L (1 + ϕ y )

0

0

0

0

0

0

ES L

( 4 + ϕ z ) EI y L (1 + ϕ z )

0

)

−

0

L2 (1 + ϕ z )

(

L2 1 + ϕ y

6 EI z

0

0

−

6 EI y

0

0

−

(

12 EI z

0

(1 + ϕ y )

6 EI z

0

0

0

(1 + ϕ y )

L2

)

(1 + ϕ y )

6 EI z

12 EI z

L2

0

0

0

L3 1 + ϕ y

L3

−

−

0

L2

0

(1 + ϕ z )

6 EI y

0

L3 (1 + ϕ z )

12 EI y

0

0

0

(1 + ϕ z )

6 EI y

0

L3 (1 + ϕ z )

L2

−

12 EI y

0

0

0

0

0

0

0

GJ L



0

0

GJ L

−

0

0

0

0

L2 (1 + ϕ z )

0

( 4 + ϕ z ) EI y L (1 + ϕ z )

0

L2 (1 + ϕ z )

6 EI y

0

0

0

( 2 − ϕ z ) EI y L (1 + ϕ z )

−

6 EI y

0

0

(

(

(

(

(

(

)

)

)

)

)

)

⎤ ⎥ ⎥ 6 EI z ⎥ L2 1 + ϕ y ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2 − ϕ y EI z ⎥ ⎥ L 1+ϕy ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ 6 EI z ⎥ ⎥ − L2 1 + ϕ y ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 4 + ϕ y EI z ⎥ ⎥ L 1 + ϕ y ⎥⎦ 0

6 • Éléments de poutre à deux nœuds 6.3 Élément de poutre tridimensionnel à 2 nœuds 

A

77

09/02/10 14:55

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

On notera l’apparition de deux termes supplémentaires ϕ y =

ϕz =

12 EI y GS1,z L2

12 EI y 12 EI z   et ϕ = z GS1,z L2 GS1, y L2

correspondant à la prise en compte par l’élément de la déformation

­d’effort tranchant. Ces deux paramètres sont liés aux sections d’effort tranchant S1, y et S1,z respectivement associées aux axes y et z. À titre d’exemple, la section d’effort tranchant d’une section rectangulaire est égale à 5/6 de sa section axiale, celle d’une section circulaire à 9/10. Si ces sections sont nulles, la formulation de l’élément revient à celle de l’élément de poutre classique dit élancé, ϕ y et ϕ z étant pris égaux à zéro dans ce cas. On sera d’ailleurs dans la même configuration lorsque L est grand.

6.4 Exemple 3 : poutre continue Soit la poutre continue suivante formée de trois éléments et quatre nœuds : deux éléments poutres élancées et un élément ressort de rigidité k y . Une charge P est appliquée au point A, milieu de la 1re travée. On désire étudier le comportement de cette structure pour différentes valeurs de k y . P

Y 1

X

A

4

ky

2

3

L/2

L

L

Figure 6.8 – Exemple 3 : poutre continue comportant un appui élastique. Tableau 6.2 – Exemple 3 : connectivité élémentaire. Élément

Nœud i

Nœud j

Section

Inertie

1 (poutre)

1

2

S

I

2 (poutre)

2

3

S

I

3 (ressort)

3

4

–

–

Application numérique : E = 2.1 1011 N/m2, L = 10 m, S = 0.00285 m2, I = 0.00001943 m4 (IPE200), P = 1000 N.

La matrice de rigidité de chacun des éléments poutres prenant la forme (6.21), on obtient aisément en choisissant des repères locaux élémentaires colinéaires au 78

9782100544639.indb 78

09/02/10 14:55

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

repère global XY [ k1 ] = [ K 1 ] = [ k2 ] = [ K 2 ] = [ ke ] . De plus et dans une hypothèse de petits déplacements, les mouvements horizontaux sont forcément nuls en raison de l’absence de charge dans cette direction. Le système à résoudre se réduit donc aux seuls termes de flexion (termes en EI ). Par ailleurs, les actions d’encastrement d’une poutre bi-encastrée subissant une charge ponctuelle centrée ont d’après le tableau 6.1 du chapitre 6.2.3 les valeurs suivantes (figure 6.9). L/2

A

PL 8

P



PL 8

j

i L

P 2

P 2

Figure 6.9 – charges nodales équivalentes à P.

6.4.1 ky = 0

Dans ce cas, il s’agit d’une poutre sur deux appuis simples ( v1 = v2 = 0 ) subissant une charge centrée P. Le porte à faux n’étant pas chargé, il est possible de considérer uniquement l’élément 1 en posant que V3 = L ⋅ β 2 . Le système à résoudre se réduit donc à :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



6 EI 12 EI 6 EI ⎤ ⎧ P ⎫ − 3 ⎪−2 ⎪ ⎥ 2 2 L L L ⎪ ⎥ ⎧ v1 ⎫ ⎪ PL ⎪ ⎧ RV1 ⎫ 4 EI 6 EI 2 EI ⎥ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 2 L L L ⎥ ⋅ ⎪ β1 ⎪ = ⎪ 8 ⎪ + ⎪ 0 ⎪ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ 6 EI ⎥ ⎪ v2 ⎪ ⎪ P ⎪ ⎪RV2 ⎪ 6 EI 12 EI − − (6.39) − 2 ⎥ L3 L2 ⎥ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪ 2 ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ L ⎪ PL ⎪ 2 EI 6 EI 4 EI ⎥ − 2 ⎪ ⎪ ⎥ L L L ⎦ ⎩ 8 ⎭ PL2 ⇒ β1 = − = − β 2 = −0.00153rad 16 EI ⎡ 12 EI ⎢ L3 ⎢ ⎢ 6 EI ⎢ L2 ⎢ 12 EI ⎢− 3 ⎢ L ⎢ 6 EI ⎢⎣ L2

Soit pour les réactions d’appui :





9782100544639.indb 79

P 6 EI ⎧ ⎪⎪ RV1 = 2 + L2 ( β1 + β 2 ) = ⎨ ⎪RV = P − 6 EI ( β1 + β 2 ) = ⎪⎩ 2 2 L2

P 2 P 2

(6.40)

79

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

⎧ N1 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪⎪ M1 ⎪⎪ et les efforts dans l’élément 1  ⎨ ⎬ = [ k1 ] ⋅ {q1} − { f1} qui est équivalent à : ⎪N2 ⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎧ N1 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪⎪ M1 ⎪⎪ ⎨ ⎬= ⎪N2 ⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎡ ES 0 ⎢ L ⎢ 12 EI ⎢ 0 ⎢ L3 ⎢ 6 EI ⎢ 0 L2 ⎢ ⎢ ES 0 ⎢− L ⎢ 12 EI ⎢ 0 − 3 ⎢ L ⎢ 6 EI ⎢ 0 L2 ⎣

0 6 EI L2 4 EI L 0 6 EI L2 2 EI L

−

−

ES L 0 0

ES L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ ⎧ 0 ⎫ ⎥ ⎪ P ⎪ 6 EI ⎥ u ⎧ 1⎫ ⎪− ⎪ L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ v1 ⎪ ⎪ PL ⎪ ⎥ ⎪− ⎪ L ⎥ ⋅ ⎪⎪ β1 ⎪⎪ − ⎪ 8 ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎥ ⎪ u2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ P ⎪ ⎥ v2 6 EI ⎥ ⎪ β ⎪ ⎪ − 2 ⎪ − 2 ⎪⎩ 2 ⎪⎭ ⎪ ⎪ L ⎥ ⎪ PL ⎪ 4 EI ⎥ ⎪⎩ 8 ⎪⎭ ⎥ L ⎦ 0

(6.41)

Ce qui permet de montrer que les moments sur appuis sont bien nuls. 2 EI PL 4 EI PL 2 EI PL PL ⎧ ⎪⎪ M1 = 8 + L β1 + L β 2 = 8 + L β1 = 8 − 8 = 0 (6.42) ⎨ ⎪ M 2 = − PL + 2 EI β1 + 4 EI β 2 = − PL + 2 EI β 2 = − PL + PL = 0 ⎪⎩ 8 8 8 L L 8 L Le moment fléchissant au milieu de la première travée peut être déterminé à partir de l’équation générale des poutres (6.7) et de la double dérivation de (6.14) ce qui donne :

d 2v PL ⎛L⎞ M ⎜ ⎟ = − EI 2 = − dx 8 ⎝2⎠

(6.43)

80

9782100544639.indb 80

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

Auquel il faut ajouter le moment au centre de la poutre bi-encastrée décrite à la figure (6.9), soit finalement au point A :

PL PL PL ⎛ L ⎞ PL MA = M ⎜ ⎟ − =− − =− = −2500 Nm 8 8 4 ⎝2⎠ 8

(6.44)



A Figure 6.10 – Exemple 3 : diagramme (Effel) du moment fléchissant ky = 0.

Enfin, le déplacement au même endroit peut être calculé en x =

L à partir de la 2

relation (6.14), d’où : ⎧ v1 ⎫ ⎪ ⎪ PL3 L ⎧1 L 1 L ⎫⎪ β1 ⎪ L v( x = ) = ⎨ − ⎬⎨ ⎬ = ( β1 − β 2 ) = − (6.45) 2 ⎩2 8 2 8 ⎭ ⎪ v2 ⎪ 8 64 EI ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ auquel il faut ajouter le déplacement au même endroit de la poutre bi-encastrée ⎛ PL3 ⎞ correspondante ⎜ − ⎟ soit finalement au point A : ⎝ 192 EI ⎠

vA = −

PL3 PL3 PL3 − =− = −5.106 mm 64 EI 192 EI 48EI

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

De plus et comme v3 = L ⋅ β 2 , on a v3 =

(6.46)

PL3 = 15.318 mm . 16 EI

Figure 6.11 – Exemple 3 : déformée (Effel) ky = 0.

6.4.2 ky Æ •

La rigidité étant infinie à l’appui 3, la poutre est désormais sur trois appuis simples (v1 = v2 = v3 = 0 ) . Il s’agit donc d’une poutre continue à deux travées. L’assemblage des éléments 1 et 2 au nœud 2 revient à additionner les rigidités des degrés 12 EI 12 EI de liberté correspondants ce qui permet de trouver des termes en 3 + 3 et L L 

9782100544639.indb 81

81

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

4 EI 4 EI 6 EI 6 EI + respectivement associés à v2 et β 2 alors que ceux en 2 − 2 L L L L s’annulent. Une fois assemblé, le système a pour expression : 6 EI 12 EI ⎡ 12 EI − 3 ⎢ L3 2 L L ⎢ 6 EI 4 EI 6 EI ⎢ − ⎢ L2 L L2 ⎢ 12 EI 6 EI 12 EI 12 EI + 3 − 2 ⎢− 3 L3 L L ⎢ L 2 EI 6 EI 6 EI ⎢ 6 EI − 2 ⎢ L2 L L2 L ⎢ 12 EI ⎢ 0 0 − 3 ⎢ L ⎢ 6 EI 0 ⎢ 0 ⎣ L2 ⎧ P ⎫ ⎪−2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ RV ⎫ ⎪− PL ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪⎪ P ⎪⎪ ⎪⎪RV ⎪⎪ = ⎨ − ⎬+⎨ 2 ⎬ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ PL ⎪ ⎪ ⎪ RV ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ 3⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭

6 EI L2 2 EI L 6 EI 6 EI − 2 L2 L 4 EI 4 EI + L L 6 EI − 2 L 2 EI L

0 0 12 EI L3 6 EI − 2 L 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎧ v1 ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ 6 EI ⎥ ⎪ β1 ⎪ ⎥ L2 ⎥ ⋅ ⎪⎪ v2 ⎪⎪ ⎨ ⎬ 2 EI ⎥ ⎪ β 2 ⎪ L ⎥ ⎪ v3 ⎪ ⎥ 6 EI ⎥ ⎪ β ⎪ − 2 ⎪⎩ 3 ⎪⎭ L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ (6.47) L ⎦ 0

Assemblage au nœud 2

qui après introduction des conditions d’appui, devient : ⎡ 4 EI ⎢ L ⎢ ⎢ 2 EI ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎣

2 EI L 8EI L 2 EI L

⎧ PL ⎫ ⎧ β = − 3 PL2 = −0.00115 rad ⎤ d 0 ⎥ ⎪− 8 ⎪ ⎪ 1 64 EI ⎫ ⎧ β 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 2 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ PL ⎪ ⎪ PL2 = 0.00077 rad (6.48) ⋅ ⎨β2 ⎬ = ⎨ ⎬ ⇒ ⎨β2 = 32 EI L ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ 4 EI ⎥ ⎩ β3 ⎭ ⎪ 0 ⎪ ⎪ PL2 ⎥ β = − = −0.00038 rad ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪ 3 L ⎦ 64 EI ⎩

82

9782100544639.indb 82

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

d’où les réactions aux nœuds d’appui : 6 EI P 13 P = 406.25 N ( β1 + β2 ) + = 2 2 32 L 6 EI P 11P = 2 ( − β1 + β3 ) + = = 687.50 N 2 16 L −3P 6 EI = − 2 ( β 2 + β3 ) = = −93.75 N L 32

RV1 = RV2 RV3

(6.49)

A

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎧ N1 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪⎪ M1 ⎪⎪ Les efforts dans l’élément 1 sont obtenus en posant  ⎨ ⎬ = [ k1 ] ⋅ {q1} − { f1} soit, ⎪N2 ⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎡ ES 0 0 ⎢ L ⎢ 12 EI 6 EI N ⎧ 1⎫ ⎢ 0 3 L L2 ⎪T ⎪ ⎢ ⎢ 1 6 EI 4 EI ⎪ ⎪ ⎪⎪ M1 ⎪⎪ ⎢ 0 2 L L ⎨ ⎬=⎢ N ES ⎢ ⎪ 2⎪ − 0 0 ⎪ T2 ⎪ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ 12 EI 6 EI − 3 − 2 ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎢ 0 ⎢ L L ⎢ 6 EI 2 EI ⎢ 0 L2 L ⎣ ⎧ 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ N1 ⎫ ⎪ 13 P ⎪ ⎧ 0 ⎫ ⎪ T ⎪ ⎪ 32 ⎪ ⎪ 406.25 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ M1 ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⇒⎨ ⎬=⎨ 0 ⎬=⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪N2 ⎪ ⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ 19 P ⎪ ⎪ 593.75 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 32 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ M 2 ⎪⎭ ⎪ 3 PL ⎪ ⎪⎩−937.50 ⎪⎭ ⎪− ⎪ ⎩ 32 ⎭



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-

ES L 0 0 ES L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ ⎧ 0 ⎫ ⎥ ⎪ P ⎪ 6 EI ⎥ ⎧ u1 ⎫ ⎪ − ⎪ L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ v1 ⎪ ⎪ PL ⎪ ⎥ ⎪− ⎪ L ⎥ ⋅ ⎪⎪ β1 ⎪⎪ − ⎪ 8 ⎪ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ 0 ⎪ ⎥ u 0 ⎥ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ P ⎪ ⎥ v2 6 EI ⎥ ⎪ β ⎪ ⎪ − 2 ⎪ − 2 ⎪⎩ 2 ⎪⎭ ⎪ ⎪ L ⎥ ⎪ PL ⎪ 4 EI ⎥ ⎪⎩ 8 ⎪⎭ ⎥ L ⎦





0

(6.50)

83

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

⎧N2 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪⎪ M 2 ⎪⎪ et ceux de l’élément 2 à partir de  ⎨ ⎬ = [ k2 ] ⋅ {q2 } − { f 2 } soit, ⎪N3 ⎪ ⎪ T3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ M 3 ⎪⎭



⎡ ES 0 0 ⎢ L ⎢ 12 EI 6 EI ⎧N2 ⎫ ⎢ 0 3 L L2 ⎪T ⎪ ⎢ 6 EI 4 EI ⎪ 2⎪ ⎢ ⎪⎪ M 2 ⎪⎪ ⎢ 0 2 L L ⎨ ⎬=⎢ N ES ⎪ 3 ⎪ ⎢− 0 0 ⎪ T3 ⎪ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ 12 EI 6 EI − 3 − 2 ⎪⎩ M 3 ⎪⎭ ⎢ 0 ⎢ L L ⎢ 6 EI 2 EI ⎢ 0 L2 L ⎣ 0 ⎧ ⎫ ⎪ 3P ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 0 ⎫ ⎪ 32 ⎪ ⎪ 93.75 ⎪ ⎪ ⎪ 3 PL ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪937.50 ⎪⎪ = ⎨ 32 ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−93.75⎪ ⎪− 3P ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 32 ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪ 0 ⎪ ⎩ ⎭

-

ES L 0 0 ES L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ ⎧ u2 ⎫ L2 ⎥ ⎪ ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ v2 ⎪ ⎥ L ⎥ ⋅ ⎪⎪ β 2 ⎪⎪ ⎨ ⎬ ⎥ u 0 ⎥ ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ v3 ⎪ 6 EI − 2 ⎥ ⎪⎩ β3 ⎪⎭ L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ (6.51) L ⎦ 0

On notera que le moment M 2 de l’élément 1 est l’opposé de celui trouvé dans l’élément 2. Notre convention étant de type « forces à gauche » avec un sens positif pour le moment correspondant à celui du trièdre direct, il est normal que le moment du nœud de départ soit égal au moment fléchissant (signe opposé pour celui du nœud d’arrivée). De plus et en appliquant la même procédure qu’en (6.43) et (6.44), il est également possible de calculer le moment fléchissant au milieu de la 1re travée ce qui permet de trouver au point A : M A = −2031 N.m.

84

9782100544639.indb 84

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

Figure 6.12 – Exemple 3 : diagramme (Effel) du moment fléchissant ky Æ •.

A 

Dans la pratique, les logiciels éléments finis transforment automatiquement les signes des efforts normaux, efforts tranchants ou moments fléchissants de telle manière à afficher les éléments de réduction dans les conventions les plus fréquentes, généralement une traction positive et des moments associés au sens direct. De plus et en appliquant les relations (6.7) et (6.14) à un nombre limité de points intermédiaires (cf. note1 § 6.2.1), il est possible de reconstituer la déformée et les diagrammes du moment fléchissant ou de l’effort tranchant sur l’élément luimême. Ceci permet ainsi dans notre exemple d’obtenir une déformée en ne disposant que des rotations nodales.

Figure 6.13 – Exemple 3 : diagramme (Effel) de l’effort tranchant ky Æ •.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Pour assurer la discontinuité de l’effort tranchant au niveau de la charge P, Advance Structure™ a ajouté automatiquement un nœud à cet endroit. Ceci s’avère nécessaire car une seule valeur d’effort tranchant peut être calculée à une position donnée sur l’élément. La même problématique se présentera également pour les couples ponctuels. Par ailleurs et en s’inspirant de la même méthodologie qu’en (6.45) et (6.46), on déduit pour les déplacements en travée :

Pour la travée 1 v( x =



9782100544639.indb 85

L ⎧1 )=⎨ 2 ⎩2

L 8

1 2

⎧ v1 ⎫ ⎪ ⎪ 23 PL3 L ⎫⎪ β1 ⎪ PL3 =− = −3.67 mm − ⎬⎨ ⎬ − 8 ⎭⎪ v2 ⎪ 192 EI 1536 EI ⎪⎩ β 2 ⎪⎭

(6.52)

85

09/02/10 14:55

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

Pour la travée 2 v( x =



L ⎧1 )=⎨ 2 ⎩2

1 2

L 8

⎧ v2 ⎫ ⎪ ⎪ L ⎫⎪ β 2 ⎪ 3 PL3 = 1.436 mm − ⎬⎨ ⎬ = 8 ⎭⎪ v3 ⎪ 512 EI ⎪⎩ β3 ⎪⎭

(6.53)

Figure 6.14 – Exemple 3 : déformée (Effel) ky Æ •.

6.4.3 ky = 10 000 N/m

Dans ce cas, il suffit d’ajouter au système (6.47) la raideur du ressort k y dans la direction v3  :



6 EI ⎡ 12 EI ⎢ L3 L2 ⎢ 4 EI ⎢ 6 EI 2 ⎢ L L ⎢ 12 EI 6 EI − 2 ⎢− 3 L ⎢ L 2 EI ⎢ 6 EI ⎢ L2 L ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ ⎧ P ⎫ ⎪−2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ RV ⎫ ⎪− PL ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪⎪ P ⎪⎪ ⎪⎪RV ⎪⎪ = ⎨ − ⎬+⎨ 2 ⎬ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ PL ⎪ ⎪ ⎪ RV ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ 3⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭

12 EI L3 6 EI − 2 L 24 EI L3

−

0 −

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 2 EI L 0 8EI L 6 EI − 2 L 2 EI L

0 0 12 EI L3 6 EI − 2 L 12 EI + ky L3 6 EI − 2 L −

⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎧ v1 ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ 6 EI ⎥ ⎪ β1 ⎪ ⎥ L2 ⎥ ⋅ ⎪⎪ v2 ⎪⎪ ⎨ ⎬ 2 EI ⎥ ⎪ β 2 ⎪ L ⎥ ⎪ v3 ⎪ ⎥ 6 EI ⎥ ⎪ β ⎪ − 2 ⎪⎩ 3 ⎪⎭ L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ (6.54) L ⎦ 0

86

9782100544639.indb 86

09/02/10 14:55

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

Il en résulte pour la détermination des déplacements :



2 EI L 8EI L 6 EI − 2 L 2 EI L

6 EI L2 12 EI + ky L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ ⎧ PL ⎫ ⎥ ⎧ β1 ⎫ ⎪− 8 ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ L ⎥ ⋅ ⎪ β 2 ⎪ = ⎪ PL ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ 8 ⎬ 6 EI ⎥ v − 2 ⎥ ⎪ 3⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ L ⎥ ⎪⎩ β3 ⎪⎭ ⎪ ⎪ 0 ⎪ 4 EI ⎥ ⎩ ⎭ L ⎥⎦

( (

) )

0

0

−

⎧ 3 PL2 2 EI + k y L3 ⎪ β1 = − = −0.00129 rad 32 EI 3 EI + 2k y L3 ⎪ ⎪ PL2 3 EI + k y L3 ⎪ = 0.00106 rad ⎪β2 = 16 EI 3 EI + 2k y L3 ⎪ ⇒⎨ 3 PL3 ⎪v = ⎪ 3 16 3 EI + 2k L3 = 0.005816 m y ⎪ ⎪ PL2 −6 EI + k y L3 ⎪ β3 = − = 0.00034 rad 3 ⎪ EI EI + k L 32 3 2 y ⎩

( (

)

(

A 

⎡ 4 EI ⎢ L ⎢ ⎢ 2 EI ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0



(6.55)

)

)

( (

) )

Le déplacement au milieu de la 1re travée peut être déterminé à partir de (6.45) et (6.46), soit :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



v( x =

L ⎧1 )=⎨ 2 ⎩2

L 8

1 2

⎧ v1 ⎫ ⎪ ⎪ L ⎫⎪ β1 ⎪ PL3 = −4.215mm − ⎬⎨ ⎬ − 8 ⎭⎪ v2 ⎪ 192 EI ⎪⎩ β 2 ⎪⎭

(6.56)

Figure 6.15 – Exemple 3 : déformée (Effel) ky = 10000 N/m.



9782100544639.indb 87

87

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.4 Exemple 3 : poutre continue 

d’où les réactions aux nœuds d’appui : RV1 =

RV2

(

)

3 6 EI P P 24 EI + 13k y L β + β + = = 441.84 N ( ) 1 2 2 L2 16 3 EI + 2k y L3

( ) 3 P P (12 EI + 11k y L ) 6 EI = 2 ( − β1 + β3 ) + = = 616.31 N L 2 8 ( 3 EI + 2k y L3 )

RV3 = −k y ⋅ v3 =

3 PL3 k y

(

16 3EI + 2k y L3

)

(6.57)

= −58.16 N

Reprenant les relations (6.50) et (6.51) pour les efforts, on obtient :

Pour l’élément 1 0 ⎧ ⎪ 3 ⎪ P 24 EI + 13k y L ⎧ N1 ⎫ ⎪ 16 3EI + 2k L3 y ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 0 ⎪⎪ M1 ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎨ ⎬=⎨ N 2 ⎪ ⎪ ⎪ P 24 EI + 19k L3 y ⎪ T2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 16 3 EI + 2k y L3 ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎪ ⎪ 3 PL4 k y − ⎪ 3 ⎪⎩ 16 3 EI + 2k y L

(6.58)

)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 441.84 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎬=⎨ ⎬ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 558.16 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩−581.56 ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎭

0 ⎧ ⎪ 3 PL3 k y ⎪ ⎧ N 2 ⎫ ⎪ 16 3EI + 2k L3 y ⎪T ⎪ ⎪ 2 4 ⎪ ⎪ ⎪ 3PL k y ⎪⎪ M 2 ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ 16 3 EI + 2k y L3 ⎪N3 ⎪ ⎪ 0 ⎪ T3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 PL3 k y ⎪⎩ M 3 ⎪⎭ ⎪− ⎪ 16 3 EI + 2k y L3 ⎪ 0 ⎩

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 0 ⎫ ⎪ ⎪ 58.16 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪581.56 ⎪⎪ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪−58.16 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎭

(6.59)

(



(

(

)

(

)

(

)

)

Pour l’élément 2



(

)

(

)

(

)

L’application de (6.43) et (6.44) permet également d’obtenir au point A  : M A = −2209.22 N.m. 88

9782100544639.indb 88

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 

Figure 6.16 – Exemple 3 : diagramme (Effel) du moment fléchissant ky = 10000 N/m.



A

Figure 6.17 – Exemple 3 : diagramme (Effel) de l’effort tranchant ky = 10000 N/m.

6.5 Exemple 4 : portique Soit la structure suivante formée de trois éléments poutres élancées et quatre nœuds. Le chargement consiste en une charge répartie verticale q appliquée aux éléments 1 et 2. Sachant que les appuis aux nœuds 1, 3 et 4 sont tous encastrés, on cherche à déterminer les déplacements et efforts dans cette structure. L

L

y

y q

x

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

1

x 2

E , S , I ( IPE 270)

E , S , I ( IPE 270)

Y X

E , S , I ( IPE 270)

3

L

x y

4

Figure 6.18 – Exemple 4 : portique.



9782100544639.indb 89

89

09/02/10 14:55

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 

Tableau 6.3 – Exemple 4 : connectivité élémentaire. Élément

Nœud i

Nœud j

Longueur (m)

Section (m2)

Inertie (m4)

1 (poutre)

1

2

L

S

I

2 (poutre)

2

3

L

S

I

3 (poutre)

4

2

L

S

I

Application numérique : L = 10 m, q = 10 kN/m, E = 2.1 1011 N/m2, S = 0.00459 m2, I = 0.0000579 m4.

6.5.1 Matrices de rigidité en repère local Les éléments 1, 2 et 3 étant tous identiques, leur matrice de rigidité s’écrit d’après (6.21) : ES ⎡ ES ⎤ 0 0 0 0 ⎥ − ⎢ L L ⎢ ⎥ EI EI 12 6 12 EI 6 EI ⎥ ⎢ 0 0 − 3 ⎢ L3 L2 L L2 ⎥ ⎢ 6 EI z 2 EI ⎥ 6 EI 4 EI 0 − ⎢ 0 ⎥ L L2 L ⎥ (6.60) L2 ⎢ k = k = k = [ 1] [ 2 ] [ 3 ] ES ⎢ ES ⎥ 0 0 0 0 ⎥ ⎢− L L ⎢ ⎥ EI EI 12 6 12 EI 6 EI ⎥ ⎢ 0 − 3 − 2 0 − ⎢ L L L3 L2 ⎥ ⎢ 2 EI 6 EI 4 EI ⎥ 6 EI 0 − ⎢ 0 ⎥ ⎣ L2 L L2 L ⎦ 6.5.2 Matrices de changement de repères

Pour les éléments 1 et 2 (q = 0°)

[ R1 ] = [ R2 ] = [ I ]



(6.61)

Pour l’élément 3 (q = 90°) ⎡ cosθ ⎢ − sin θ ⎢ ⎢ 0 [ R3 ] = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

sin θ cosθ 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 cosθ 0 − sin θ 0 0

0 0 0 sin θ cosθ 0

0⎤ ⎡ 0 0 ⎥ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢ 0⎥ ⎢ 0 0⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ (6.62) 0⎥ 0 −1 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 0 1 ⎥⎦

90

9782100544639.indb 90

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 

6.5.3 Matrices de rigidité en repère global

Pour les éléments 1 et 2 0

0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

0

0

−

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 2 EI L

−

−

ES L 0 0

ES L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI − 2 ⎥ L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0

A (6.63)



⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 K = k = [ 1 ] [ 1 ] ⎢ ES ⎢ ⎢− L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

Rigidité du nœud 2

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 [ K 2 ] = [k2 ] = ⎢ ES ⎢ ⎢− L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣



9782100544639.indb 91

0

0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

0

0

−

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 2 EI L

−

−

ES L 0 0

ES L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ ⎥ L ⎥ (6.64) ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0

91

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 

Pour l’élément 3 ⎡ 12 EI ⎢ L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 6 EI ⎢− 2 [ K 3 ] = [ R3 ]T [k3 ][ R3 ] = ⎢⎢ 12LEI ⎢ − L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 6 EI ⎢− 2 ⎣ L

0 ES L 0 0 −

ES L 0

−

6 EI L2

−

12 EI L3

0

0

4 EI L 6 EI L2

6 EI L2 12 EI L3

0

0

2 EI L

6 EI L2

0 −

ES L 0 0

ES L 0

6 EI ⎤ L2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2 EI ⎥ ⎥ L ⎥ (6.65) 6 EI ⎥ L2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦

−

Rigidité du nœud 2 6.5.4 Vecteurs charges

La charge répartie q appliquée à chacun des deux éléments est équivalente aux charges nodales suivantes (cf. tableau 6.1) :



⎧ 0 ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 12 ⎪ { f1} = { f 2 } = ⎨ 0 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭

(6.66)

Les repères locaux des éléments 1 et 2 étant confondus avec le repère global, on a bien sûr :

92

9782100544639.indb 92

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6.5 Exemple 4 : portique 

⎧ 0 ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 12 ⎪ {F1} = { f1} = ⎨ ⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭

⎧ 0 ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 12 ⎪ {F2 } = { f 2 } = ⎨ ⎬ (6.67) 0 ⎪ ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ Charges nodales ⎪⎩ 12 ⎪⎭ du nœud 2

A 

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5.5 Résolution du système [K ] ◊ {q } = {F }

De par les conditions d’appui, seul le nœud 2 est libre. Il suffit donc d’additionner les parties de rigidité et de vecteurs charges encadrées aux chapitres 6.5.3 et 6.5.4 : ⎡ ES ES 12 EI ⎢ L + L + L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 6 EI ⎢ L2 ⎣ ⎧ ⎫ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ qL qL ⎪ = ⎨− − ⎬ 2 ⎪ ⎪ 2 2 2 qL qL ⎪ ⎪ ⎪⎩ 12 − 12 ⎪⎭

0 12 EI 12 EI ES + 3 + L3 L L 6 EI 6 EI − 2 L2 L

6 EI ⎤ ⎥ 2 L ⎥ ⎧U 2 ⎫ 6 EI 6 EI ⎥ ⋅ ⎪⎨V2 ⎪⎬ − 2 2 ⎥ ⎪ ⎪ L L 4 EI 4 EI 4 EI ⎥ ⎩ B2 ⎭ + + ⎥ L L L ⎦



(6.68)

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Soit après simplification :



⎡ 2 ES 12 EI ⎢ L + L3 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 6 EI ⎢ L2 ⎣

0 24 EI ES + L3 L 0

6 EI ⎤ L2 ⎥ ⎧U 2 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⋅ ⎨V2 ⎬ = ⎨−qL ⎬ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 12 EI ⎥ ⎩ B2 ⎭ ⎩ 0 ⎭ ⎥ L ⎦

(6.69)

La structure respectant les conditions de symétrie (symétrie de la géométrie, des conditions d’appui et des charges), on peut déduire directement que U 2 = B2 = 0 d’où : 

9782100544639.indb 93

93

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 

−qL = −1.034 mm (6.70) 24 EI ES + L3 L La structure étant symétrique par rapport à un axe passant par X = L , il aurait été possible de réduire le problème aux seuls éléments 1 et 3. Dans cette hypothèse, il aurait fallu en plus des conditions d’appui, bloquer le nœud 2 horizontalement mais également en rotation (U 2 = B2 = 0 ) . Cependant et pour être totalement équivalente à l’approche globale, ces calculs devraient prendre en compte la moitié de l’inertie I pour l’élément 3, celui-ci étant dans l’axe de symétrie. D’une manière générale, les caractéristiques des entités (charges, appuis élastiques, etc.) situées sur l’axe de symétrie doivent être divisées par deux. Enfin, un moyen mnémotechnique simple permet de se souvenir des degrés de liberté à bloquer : « on bloque la translation suivant l’axe de symétrie passant par une valeur de X,Y ou Z puis les rotations suivant les deux autres axes » ce qui se résume par le tableau suivant : V2 =



Tableau 6.4 – Symétries et DDL bloqués. Axe de symétrie passant par

Translation bloquée

Rotation bloquée autour de

Rotation bloquée autour de

X

X

Y

Z

Y

Y

X

Z

Z

Z

X

Y

Figure 6.19 – Exemple 4 : déformée (Effel).

94

9782100544639.indb 94

09/02/10 14:55

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 

Les déplacements aux milieux des deux traverses peuvent également être calculés à partir de (6.45) et (6.46) ce qui donne :



v( x =

L ⎧1 )=⎨ 2 ⎩2

1 2

L 8

⎧ v1 ⎫ ⎪ ⎪ qL4 L ⎫⎪ β1 ⎪ = −21.935mm − ⎬⎨ ⎬ − 8 ⎭⎪ v2 ⎪ 384 EI ⎪⎩ β 2 ⎪⎭

(6.71)

A 

6.5.6 Efforts dans les poutres

Efforts dans l’élément 1

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎧ N1 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪⎪ M1 ⎪⎪ ⎨ ⎬ = [ k1 ] ⋅ {q1} − { f1} ⎪N2 ⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎡ ES ⎢ L ⎢ ⎧ N1 ⎫ ⎢ 0 ⎪T ⎪ ⎢ ⎪ 1 ⎪ ⎢ ⎪⎪ M1 ⎪⎪ ⎢ 0 ⎨ ⎬=⎢ ⎪ N 2 ⎪ ⎢ − ES ⎪ T2 ⎪ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

0

0

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

0

0

−

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 2 EI L

−

-

ES L 0 0 ES L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ ⎧ 0 ⎫ ⎥ ⎪ qL ⎪ 6 EI ⎥ ⎪ u1 ⎫ ⎪ − ⎧ L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ v1 ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎥ ⎪− ⎪ L ⎥ ⋅ ⎪⎪ β1 ⎪⎪ − ⎪ 12 ⎪ (6.72) ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 0 ⎪ ⎥ u 0 ⎥ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ v2 ⎪ ⎪ − qL ⎪ 6 EI − 2 ⎥ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪ 2 ⎪ L ⎥ ⎪ qL2 ⎪ ⎥ 4 EI ⎪⎩ 12 ⎪⎭ ⎥ L ⎦ 0

⎧ N1 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎧ u1 ⎫ ⎧U1 ⎫ ⎪ T ⎪ ⎪ 50151 ⎪ ⎪v ⎪ ⎪V ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪⎪ M1 ⎪⎪ ⎪⎪ 84088 ⎪⎪ ⎪⎪ β1 ⎪⎪ ⎪⎪ Β1 ⎪⎪ avec ⎨ ⎬ = [ I ] ⋅ ⎨ ⎬ d’où ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ . ⎪N2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ u2 ⎪ ⎪U 2 ⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ 49849 ⎪ ⎪ v2 ⎪ ⎪V2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎪⎩−82579 ⎪⎭ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎩⎪Β2 ⎪⎭ 

9782100544639.indb 95

95

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6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 

Figure 6.20 – Exemple 4 : diagramme (Effel) du moment fléchissant.

Figure 6.21 – Exemple 4 : diagramme (Effel) de l’effort tranchant.

96

9782100544639.indb 96

09/02/10 14:55

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 

Efforts dans l’élément 3 ⎧N4 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ 4⎪ =0  ⎪⎪ M 4 ⎪⎪ k q ⋅ − = ⎨ ⎬ [ 3 ] { 3} { f3} ⎪N2 ⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ M 2 ⎪⎭



A

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



⎡ ES 0 0 ⎢ L ⎢ 12 EI 6 EI ⎧N4 ⎫ ⎢ 0 3 L L2 ⎪T ⎪ ⎢ 6 EI 4 EI ⎪ 4⎪ ⎢ ⎪⎪ M 4 ⎪⎪ ⎢ 0 2 L L ⎨ ⎬=⎢ N ES ⎪ 2 ⎪ ⎢− 0 0 ⎪ T2 ⎪ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ 12 EI 6 EI − 3 − 2 ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎢ 0 ⎢ L L ⎢ 6 EI 2 EI ⎢ 0 L2 L ⎣ 99698 N N = − ⎧ 4 ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ T ⎪ ⎪ 0 ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ M 4 ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⇒⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ N 2 = + N ⎪ ⎪−99698⎪ ⎪ T2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ M 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭

⎧ u4 ⎫ ⎧U 4 ⎫ ⎡ 0 ⎪v ⎪ ⎪V ⎪ ⎢ −1 ⎪ 4⎪ ⎪ 4⎪ ⎢ ⎪⎪ β 4 ⎪⎪ ⎪⎪ B4 ⎪⎪ ⎢ 0 avec ⎨ ⎬ = [ R3 ] ⋅ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎪ u2 ⎪ ⎪U 2 ⎪ ⎢ 0 ⎪ v2 ⎪ ⎪V 2 ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ ⎪⎩ B2 ⎪⎭ ⎢⎣ 0



9782100544639.indb 97

1 0 0 0 0 0

-

ES L 0

12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 ES L

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0

0

0 0 0 1 0 0

⎤ ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ ⎧ u4 ⎫ L2 ⎥ ⎪ ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ v4 ⎪ ⎥ L ⎥ ⋅ ⎪⎪ β 4 ⎪⎪ ⎨ ⎬ ⎥ u 0 ⎥ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ v2 ⎪ 6 EI − 2 ⎥ ⎪⎩ β 2 ⎪⎭ L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ (6.73) 0

0 ⎤ ⎧U 4 ⎫ 0 ⎥ ⎪V4 ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎧u = V 2 0 ⎥ ⎪⎪ B4 ⎪⎪ ⎪ 2 v U = − ⋅ ⇒ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ 2 0 ⎥ ⎪U 2 ⎪ ⎪ 2 β = B2 0 ⎥ ⎪V 2 ⎪ ⎩ 2 ⎥ ⎪ ⎪ 1 ⎥⎦ ⎪⎩ B2 ⎪⎭

97

09/02/10 14:56

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 

Figure 6.22 – Exemple 4 : diagramme (Effel) de l’effort normal.

6.5.7 Contraintes dans les poutres

Les contraintes peuvent ensuite être déduites des efforts grâce aux relations issues de la résistance des matériaux, à savoir pour : ■■ Les contraintes normales



σ xx =

N My M ± ⋅z ± z ⋅ y S Iy Iz

(6.74)

La relation (6.74) correspond en fait au cas le plus général c’est-à-dire la flexion composée déviée. ■■ Les contraintes tangentielles



τy =

Ty Sy

et τ z =

Tz Sz

(6.75)

où S y et Sz représentent les sections de cisaillement.

98

9782100544639.indb 98

09/02/10 14:56

6 • Éléments de poutre à deux nœuds

6.5 Exemple 4 : portique 



A

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 6.23 – Exemple 4 : Diagramme (Effel) des contraintes normales1 sxx.

1. Ces contraintes sont calculées en fibres supérieure et inférieure du profil IPE270.



9782100544639.indb 99

99

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9782100544639.indb 100

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7 • Éléments isoparamétriques



A 7.1 Problématique du maillage

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Les modélisations filaires abordées aux chapitres 5 et 6 ont montré que le strict respect des singularités géométriques (positions des appuis, des charges, des attaches, etc.) suffisait à obtenir en statique des résultats identiques à ceux de la théorie des poutres. Ceci s’explique par la conformité des fonctions de forme choisies avec la dite théorie. Hormis quelques cas comme les charges (forces ou moments) ponctuelles, la discrétisation intermédiaire des éléments s’avère rarement nécessaire en statique. Il n’en est pas de même pour les modélisations surfaciques ou volumiques qui nécessitent une discrétisation beaucoup plus fine. En effet et afin de coller au mieux à la géométrie, cette reconstitution requiert surtout au niveau des singularités, des éléments de petites tailles. Cette opération est prise en charge par un outil appelé mailleur dont le rôle va être d’établir automatiquement, dans le respect de la géométrie étudiée, la forme des éléments, leur connectivité et les coordonnées des nœuds. Ceci étant et comme on peut le voir à la figure 7.1, la taille et la forme des éléments peuvent varier significativement. Enfin, deux grands types de maillage sont possibles à partir de bases quadrangulaires (carrés, hexaèdres, etc.) ou triangulaires (triangles, tétraèdres, etc.).

Figure 7.1 – Exemple de maillage (Abaqus).



9782100544639.indb 101

101

09/02/10 14:56

7 • Éléments isoparamétriques

7.1 Problématique du maillage 

Les éléments pouvant être de tailles et de formes quelconques, il n’est pas envisageable, pour établir leurs caractéristiques élémentaires, de reprendre stricto sensu la méthodologie utilisée pour les poutres et barres. Les matrices de rigidité et vecteurs charges variant systématiquement, une méthodologie permettant de calculer ces caractéristiques quelles que soient les géométrie et configuration des éléments, s’avérera beaucoup plus rentable au niveau calcul. Celle-ci consistera, pour chaque type d’élément, à définir un élément de référence de géométrie conventionnelle (appelé également élément « parent ») de telle manière à obtenir la géométrie de n’importe quel élément réel de forme semblable à partir d’une transformation géométrique biunivoque (i.e. bijective). En d’autres termes, pour chacun des points P ’ (ξ ,η ) de l’élément « parent » défini dans un repère unitaire correspondra, via la transformation Τe , un point et un seul de l’élément réel P ( x , y ) . Y

2 (1,1) P' (ξ ,η )

3

Τe

1

(-1,-1)

x

y

η (-1,1)

k P ( x, y )

j l

ξ

i

(1,-1)

X 4 Élément réel

Élément parent

Figure 7.2 – Transformation géométrique Te.

La transformation Τe permet de calculer les coordonnées (x,y) de chacun des points de l’élément réel à partir de celles du point correspondant de l’élément de référence. On a donc :

⎧⎪ x (ξ ,η ) Τe : ξ ,η → ⎨ ⎪⎩ y (ξ ,η )

(7.1)

Τe est bien évidemment dépendante de la géométrie de l’élément réel et donc des coordonnées des nœuds le définissant. De ce fait, une transformation doit être envisagée pour chacun des éléments du modèle.

( (

) )

⎧ x ξ ,η , xi , x j , x k , xl ⎪ Τe : ξ ,η → ⎨ ⎪⎩ y ξ ,η , yi , y j , yk , yl

(7.2)

102

9782100544639.indb 102

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7 • Éléments isoparamétriques

7.1 Problématique du maillage 

Y 3 2 (-1,1)

(1,1)

(-1,-1)

2

Τ2

7

1

ξ

3

4

Τ1

1

8

5

(1,-1)

A

6

Τ3



η

X

4 Éléments réels

Élément parent

Figure 7.3 – T1 , T2 , T3 transformations associées aux éléments réels 1, 2 et 3.

Du fait du caractère biunivoque de la transformation, chacun des points de l’élément de référence devra coïncider avec un point de l’élément réel et un seul. Il en résulte une correspondance entre nœuds géométriques des éléments réel et de référence. En d’autres termes, il n’est pas par exemple possible d’associer un élément parent triangulaire à un élément réel carré. Chaque point de coordonnées x, y, z de l’élément réel peut donc être repéré à partir des coordonnées de ses nœuds et de variables N i ( x , y , z ) , similaires aux fonctions de forme vues précédemment, soit : n1

x = ∑ N i ( x , y , z ) ⋅ xi i =1



n1

y = ∑ N i ( x , y , z ) ⋅ yi

(7.3)

i =1 n1

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

z = ∑ N i ( x , y , z ) ⋅ zi i =1

avec :

⎧ δ ij = 1 si i = j N i ( x , y , z ) = δ ij ⎨ . ⎩δ ij = 0 si i ≠ j n1 : nombre de nœuds géométriques de l’élément réel.

Par ailleurs, la notion de fonctions de forme abordée au chapitre 4.1 nous a permis d’établir pour les déplacements que : 

9782100544639.indb 103

103

09/02/10 14:56

7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments  n2

u ( x , y , z ) = ∑ N i ( x , y , z ) ⋅ ui i =1



n2

v ( x , y , z ) = ∑ N i ( x , y , z ) ⋅ vi

(7.4)

i =1 n2

w ( x , y , z ) = ∑ N i ( x , y , z ) ⋅ wi i =1

avec n2 : nombre de nœuds utilisés pour le calcul des déplacements. n1 correspondant à la définition de la géométrie et n2 à celle des déplacements, il serait tout à fait possible d’envisager n1 supérieur à n2 ou n1 inférieur à n2, les éléments étant respectivement qualifiés dans ces cas, de super-paramétriques ou sub-paramétriques. Le nombre de fonctions de forme étant directement lié à celui des nœuds de l’élément considéré, il est rarement nécessaire de complexifier les calculs en enrichissant ou au contraire en appauvrissant celui de la géométrie. De ce fait, les fonctions de forme associées au calcul des déplacements seront également utilisées pour la définition de la géométrie des éléments d’où le nom d’éléments isoparamétriques i .e . n1 = n2 ⇔ N i = N i .

(

)

7.2 Familles d’éléments La notion de transformation géométrique évoquée au chapitre précédent a permis d’établir que plusieurs éléments réels pouvaient être générés à partir d’un seul élément « parent » de même type. De manière très synthétique, la transformation s’effectuera par un ou plusieurs changements de variables liant géométrie de l’élément « parent » à celles des éléments réels. Pour ce faire, l’élément de référence sera défini dans un repère unitaire dont les coordonnées (ξ ,η ,ζ ) varieront suivant le cas entre 0 et 1, ou –1 et 1. Bien évidemment, les caractéristiques de ces éléments sont établies comme vu précédemment, à partir de leurs fonctions de forme. En complément des notions vues au chapitre 4.1, ces transformations doivent : – Permettre le mouvement de corps rigide (déplacement sans déformation), – Être capable de reproduire au minimum une déformation constante, – Garantir la continuité des déplacements sur l’élément et aux frontières de celuici. Cependant, il faut faire le distinguo au niveau des DDL pris en compte ce qui se traduit par deux grandes catégories d‘éléments dans les bibliothèques élémentaires des logiciels éléments finis. La première, appelée famille C0, assure uniquement la continuité des translations u, v, w . L’élément barre en fait partie. On a alors :

εξ =

du = Cte ⇒ u(ξ ) = a0 + a1 ⋅ ξ dξ

104

9782100544639.indb 104

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

x = −1 ⇒ u ( −1) = u1 x = 1 ⇒ u (1) = u2 d’où : i =2 1 1 u(ξ ) = (1 − ξ ) ⋅ u1 + (1 + ξ ) ⋅ u2 = ∑ N i ⋅ ui 2 2 i =1

N1

1 -1

A

N2

2

u1

(7.5)

0 u (ξ )

1





x

u2

Figure 7.4 – Élément barre.

Ces nouvelles fonctions de forme sont tout à fait équivalentes à celles trouvées en x (4.3), le changement de variable ξ = 2 − 1 permettant de passer des unes aux L autres. Ceci nous permet également d’évoquer les propriétés très particulières des fonctions de forme. Celles-ci sont en effet égales à l’unité aux nœuds auxquels elles sont rattachées, zéro ailleurs1. De plus, la somme des fonctions de forme est dans ce cas égale à 12 ce qui permet de démontrer la condition de mouvement de corps rigide (MCR), soit : Translation d’ensemble  u0 ⇔ u1 = u2 = u0

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

d’où

u(ξ ) = N1 ⋅ u0 + N 2 ⋅ u0 = u0

(7.6)

La famille C1 qui constitue la deuxième catégorie, assure à la fois la continuité des translations et des rotations. L’élément poutre à deux nœuds associant à la fois translations et rotations nodales est donc de ce fait un élément de cette famille. Les chapitres 7.2.1 et 7.2.2 décrivent les éléments de base les plus généralement utilisés. Cette liste reste néanmoins non exhaustive, les principes décrits ci-après pouvant être déclinés à des éléments plus performants.

1. En i Ni = 1, en i π j Ni = 0. 2.

n

∑ Ni = 1 . i =1



9782100544639.indb 105

105

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

7.2.1 Famille C0

Les éléments de cette famille garantissant la continuité des translations, leurs fonctions d’approximation devront, pour satisfaire au critère de la déformation constante, être au minimum de degré 1. Le terme constant de ces fonctions permettra alors de respecter la condition de mouvement de corps rigide (MCR). Enfin et en raison de la nature de la fonction d’interpolation (un polynôme), la continuité des déplacements sera assurée à la fois sur l’élément et à ses frontières si celui-ci est conforme (cf. § 8.3.3). On parlera alors de continuité d’ordre 0. L’approximation nodale bidimensionnelle est basée sur l’écriture d’une série de termes produits faisant intervenir les coordonnées de l’élément « parent » pondérées par un coefficient ai . n

u(ξ ,η ) = ∑ ai ⋅ ξ j ⋅η k



(7.7)

i =1

Ces fonctions sont souvent linéaires, quadratiques et parfois cubiques. Si celles-ci comportent tous les termes d’un polynôme de degré un, deux ou trois, les éléments correspondants sont dits complets. Le choix de ce degré étant intimement lié au nombre de nœuds de l’élément, il sera parfois impossible d’intégrer tous ces termes. Dans ce cas et sachant que l’on néglige prioritairement les termes de degrés les plus élevés, il s’agira alors d’éléments incomplets. Pour déterminer les différents termes de ces polynômes, il est possible de s’inspirer de la logique du triangle de Pascal. Linéaire

1 ξ ξ2 ξ2η ξ3η

ξη2 ξ2η2

ξ3η2

Cubique

η2

ξη

ξ3

Parabolique

η η3 ξη3 ξ2η3 ξ3η3

Figure 7.5 – Éléments quadrangulaires complets.

Linéaire

1 ξ ξ2 ξ2η ξ3η

Cubique

η2

ξη

ξ3

Parabolique

η ξη2

η3 ξη3

Figure 7.6 – Éléments quadrangulaires incomplets.

106

9782100544639.indb 106

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

Linéaire

1 ξ ξ2 ξ3

Parabolique

η

Cubique

η2

ξη ξ2η

ξη2

η3

Figure 7.7 – Éléments triangulaires.

A 

■■ Éléments à base quadrangulaire □□ Quadrangle bilinéaire Q4 (4 nœuds)

Horizontalement, quatre valeurs nodales u1 , u2 , u3 et u4 de déplacements sont définies d’où l’expression du champ de déplacement correspondant :

4

u(ξ ,η ) = a0 + a1 ⋅ ξ + a2 ⋅η + a3 ⋅ ξ ⋅η = ∑ N i ⋅ ui

(7.8)

i =1

η 2

1

(-1,1)

(-1,-1)

3

v

(1,1)

u

ξ

(1,-1)

4 Figure 7.8 – Élément Q4.

Il s’agit en fait de l’équation d’un plan. Le champ de déplacement vertical peut être 4

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

déterminé suivant la même approche en posant que : v(ξ ,η ) = ∑ N i ⋅ vi 1. i =1

Pour chacun des segments de l’élément, il est possible de définir l’équation d’une droite fonction des valeurs nodales d’où son caractère bilinéaire. Ses fonctions de forme ont donc pour expressions :



N1 =

1 1 (1 + ξ ) ⋅ (1 + η ) N 2 = (1 − ξ ) ⋅ (1 + η ) 4 4

N3 =

1 1 (1 − ξ ) ⋅ (1 − η ) N 4 = (1 + ξ ) ⋅ (1 − η ) 4 4

(7.9)

1. De ce fait, seul le déplacement u sera traité dans ce qui suit.



9782100544639.indb 107

107

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

On notera que ces expressions peuvent être également obtenues en effectuant les produits croisés des fonctions de forme de l’élément barre (7.5). De manière plus synthétique, celles-ci peuvent s’exprimer en fonction de coordonnées ξi ,ηi des nœuds de l’élément en posant : 1 N i = (1 + ξi ⋅ ξ ) ⋅ (1 + ηi ⋅η ) (7.10) 4 □□ Quadrangle quadratique complet Q9

Cet élément est quadratique, chacun de ces segments comportant trois nœuds. Ceux-ci permettent une approximation parabolique sur chacun de ses côtés. Néanmoins, la fonction d’approximation n’aurait pu être totalement parabolique sans le nœud milieu, le terme η 2 ⋅ ξ 2 étant obtenu grâce au nœud n°9. C’est pourquoi, il est dit complet ce qui signifie qu’il couvre tous les termes du degré de la fonction d’approximation visée (parabolique).

η 3

2

1

v 4

5

9

u

6

8 ξ

7

Figure 7.9 – Élément Q9.

On a donc : 9

u(ξ ,η ) = ∑ N i ⋅ ui i =1

= a0 + a1 ⋅ ξ + a2η + a3 ⋅ ξ ⋅η + a4 ⋅ ξ 2 + a5 ⋅η 2 + a6 ⋅ ξ ⋅η 2 + a7 ⋅η ⋅ ξ 2 + a8 ⋅η 2 ⋅ ξ 2



(7.11)

T

= {a} ⋅ { X } avec :

{a}T = {a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 } { X }T = {1 ξ η ξη ξ 2 η 2 ξη 2 ηξ 2 η 2ξ 2 } 108

9782100544639.indb 108

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

Pour établir les fonctions de forme de cet élément, il suffit de reprendre la méthodologie décrite au chapitre 6.2.1 en posant que : ⎧ u (1,1) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ u ( 0,1) ⎪ ⎪ u ( −1,1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ( −1, 0 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨u ( −1, −1) ⎬ = [ R ] ⋅ {a} ⎪ u ( 0, −1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u (1, −1) ⎪ ⎪ u 1, 0 ⎪ ⎪ ( ) ⎪ ⎪⎩ u ( 0, 0 ) ⎪⎭

(7.12)

A 



avec ⎡1 ⎢ ⎢1 ⎢1 ⎢ ⎢1 [ R ] = ⎢⎢1 ⎢1 ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1

1 0 −1 −1 −1 0 1 1 0

1 1 1 0 −1 −1 −1 0 0

1 0 −1 0 1 0 −1 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1 0

1 1 1 0 1 1 1 0 0 T

1 0 −1 0 −1 0 1 0 0

1 0 1 0 −1 0 −1 0 0

1⎤ ⎥ 0⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

−1

puis d’effectuer le produit matriciel : {N } = { X } ⋅ [ R ] . D’où les fonctions de forme de l’élément Q9 : 1 (1 + ξ ) ⋅ (1 + η ) ⋅ ξ ⋅η 4 1 = − (1 − ξ ) ⋅ (1 + η ) ⋅ ξ ⋅η 4 1 = (1 − ξ ) ⋅ (1 − η ) ⋅ ξ ⋅η 4 1 = − (1 + ξ ) ⋅ (1 − η ) ⋅ ξ ⋅η 4 = (1 − ξ 2 ) ⋅ (1 − η 2 )

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

N1 = N3

N5 N7 N9



9782100544639.indb 109

1 (1 − ξ 2 ) ⋅ (1 + η ) ⋅η 2 1 N 4 = − (1 − ξ ) ⋅ (1 − η 2 ) ⋅ ξ 2 1 N 6 = − (1 − ξ 2 ) ⋅ (1 − η ) ⋅η 2 1 N 8 = (1 + ξ ) ⋅ (1 − η 2 ) ⋅ ξ 2

N2 =

(7.13)

109

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

□□ Quadrangle quadratique incomplet Q8

η 3

2

1

v 4

5

u

6

8 ξ

7

Figure 7.10 – Élément Q8.

On reprend la relation (7.11) en supprimant le terme en η 2 ⋅ ξ 2 . On a donc : 8

u(ξ ,η ) = ∑ N i ⋅ ui i =1

u(ξ ,η ) = a0 + a1 ⋅ ξ + a2 ⋅η + a3 ⋅ ξ ⋅η + a4 ⋅ ξ 2 + a5 ⋅η 2 + a6 ⋅ ξ ⋅η 2 + a7 ⋅η ⋅ ξ 2 u(ξ ,η ) =



(7.14)

{a}T ⋅ { X }

avec :

{a}T = {a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 } { X }T = {1 ξ η ξη ξ 2 η 2 ξη 2 ηξ 2 } Comme,



⎧ u (1,1) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ u ( 0,1) ⎪ ⎪ u ( −1,1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ( −1, 0 ) ⎪ ⎨ ⎬ = [ R ] ⋅ {a} , 1 1 u − − ( ) ⎪ ⎪ ⎪ u ( 0, −1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u (1, −1) ⎪ ⎪ u (1, 0 ) ⎪ ⎩ ⎭

(7.15)

110

9782100544639.indb 110

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

avec 1 0 −1 −1 −1 0 1 1

1 1 1 0 −1 −1 −1 0

1 0 −1 0 1 0 −1 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 1 0 1 1 1 0

1 0 −1 0 −1 0 1 0

1⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥ −1⎥ ⎥ 0⎥ −1⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

A 

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ 1 [ R ] = ⎢⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢1 ⎢ ⎢⎣1

−1

On déduit pour les fonctions de forme de l’élément Q8 : {N } = { X } ⋅T [ R ] ⇒ 1 (1 + ξ ) ⋅ (1 + η ) ⋅ (1 − ξ − η ) 4 1 N 3 = − (1 − ξ ) ⋅ (1 + η ) ⋅ (1 + ξ − η ) 4 1 N 5 = − (1 − ξ ) ⋅ (1 − η ) ⋅ (1 + ξ + η ) 4 1 N 7 = − (1 + ξ ) ⋅ (1 − η ) ⋅ (1 − ξ + η ) 4

1 (1 − ξ 2 ) ⋅ (1 + η ) 2 1 N 4 = (1 − ξ ) ⋅ (1 − η 2 ) 2 (7.16) 1 2 N 6 = (1 − ξ ) ⋅ (1 − η ) 2 1 N 8 = (1 + ξ ) ⋅ (1 − η 2 ) 2

N1 = −



N2 =

□□ Hexaèdre trilinéaire H8 8

u(ξ ,η ,ζ ) = ∑ N i ⋅ ui i =1

ζ

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

7

8

6

w 3

2

η

v

5

ξ

u 4 1

Figure 7.11 – Élément H8.



9782100544639.indb 111

111

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

S’inspirant de la relation (7.10), on trouve pour l’hexaèdre H8 : Ni =



1 (1 + ξi ⋅ ξ ) ⋅ (1 + ηi ⋅η ) ⋅ (1 + ζ i ⋅ ζ ) 8

(7.17)

■■ Éléments à base triangulaire □□ Triangle linéaire T3 3

u(ξ ,η ) = a0 + a1 ⋅ ξ + a2 ⋅η = ∑ N i ⋅ ui i =1

N1(ξ ,η ) = 1 − ξ − η N 2 (ξ ,η ) = ξ N 3 (ξ ,η ) = η



(7.18)

η 3

(0,1)

v

u

1

(1,0)

2

ξ

Figure 7.12 – Élément T3. □□ Triangle quadratique T6

u(ξ ,η ) = a0 + a1 ⋅ ξ + a2 ⋅η + a3 ⋅ ξ 2 + a4 ⋅η 2 + a5 ⋅ ξ ⋅η 6

u(ξ ,η ) = ∑ N i ⋅ ui i =1

N1(ξ ,η ) = − (1 − ξ − η ) ⋅ (1 − 2 (1 − ξ − η ) ) N 2 (ξ ,η ) = 4 ⋅ ξ ⋅ (1 − ξ − η )

N 3 (ξ ,η ) = −ξ ⋅ (1 − 2ξ ) N 4 (ξ ,η ) = 4ξ ⋅η



(7.19)

N 5 (ξ ,η ) = −η ⋅ (1 − 2η ) N 6 (ξ ,η ) = 4η ⋅ (1 − ξ − η ) 112

9782100544639.indb 112

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

η 5 4

v

u

1

A

ξ

3

2



6

Figure 7.13 – Élément T6. □□ Tétraèdre linéaire T4 4

u(ξ ,η ,ζ ) = ∑ N i ⋅ ui i =1

Par déclinaison de la relation (7.18), on trouve : N1(ξ ,η ,ζ ) = 1 − ξ − η − ζ N 2 (ξ ,η ,ζ ) = ξ N 3 (ξ ,η ,ζ ) = η N 4 (ξ ,η ,ζ ) = ζ



(7.20)

ζ 4

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

w u

1

v

3

η

2

ξ Figure 7.14 – Élément T4.

7.2.2 Famille C1

Comme pour la famille C0, les fonctions de forme C1 doivent approximer le champ de déplacement à partir des valeurs nodales et assurer non seulement la continuité des déplacements nodaux ui , vi , wi mais aussi celle des rotations nodales 

9782100544639.indb 113

113

09/02/10 14:56

7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

dui dui dw , ,..., i . De ce fait, les fonctions de forme doivent être au minimum de dx dy dz degré 2 pour satisfaire au critère de la déformation constante  ; la condition de mouvement de corps rigide étant quant à elle assurée par les deux premiers termes de cette même fonction. Ces éléments ont une continuité dite d’ordre 1, la  continuité des déplacements étant assurée à la fois sur l’élément et à ses frontières si celui-ci est conforme (cf. § 8.3.3). L’élément poutre tel que celui décrit au chapitre 6.2.1 fait partie de cette famille. ■■ Plaque Q4 (semi C1)

η 2

1

ξ

3

4

Figure 7.15 – Élément Plaque Q4.

⎧ ⎫ ⎪ wi ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ wi ⎪ Sachant que cet élément à trois degrés de liberté par nœud {wi } = ⎨ ⎬ , la ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂ wi ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂η ⎭ fonction d’approximation s’écrit : w(ξ ,η ) = a0 + a1 ⋅ ξ + a2 ⋅η + a3 ⋅ ξ ⋅η + a4 ⋅ ξ 2 + a5 ⋅η 2 + a6 ⋅ ξ 2 ⋅η + a7 ⋅ ξ ⋅η 2 + a8 ⋅ ξ 3 + a9 ⋅η 3 + a10 ⋅ ξ 3 ⋅η + a11 ⋅ ξ ⋅η 3 T

= {a} ⋅ { X }



(7.21)

avec :

{a}T = {a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11} { X }T = {1 ξ η ξη ξ 2 η 2 ξ 2η ξη 2 ξ 3 η 3 ξ 3η ξη 3 } La démarche est bien évidemment identique à celle vue au § 7.2.1. 114

9782100544639.indb 114

09/02/10 14:56

7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

Il est néanmoins nécessaire de calculer les dérivées correspondant aux rotations nodales, soit :

∂w = ∂ξ (7.22) a1 + a3 ⋅η + 2 a4 ⋅ ξ + 2 a6 ⋅ ξ ⋅η + a7 ⋅η 2 + 3a8 ⋅ ξ 2 + 3a10 ⋅ ξ 2 ⋅η + a11 ⋅η 3

wξ (ξ ,η ) =

d’où :

⎧ w(1,1) ⎫ ⎪ w (1,1) ⎪ ⎪ ξ ⎪ ⎪ wη (1,1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w( −1,1) ⎪ ⎪ wξ ( −1,1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ wη ( −1,1) ⎪ ⎨ ⎬ = [ R ] ⋅ {a} ⎪ w( −1, −1) ⎪ ⎪wξ ( −1, −11)⎪ ⎪ ⎪ ⎪wη ( −1, −1)⎪ ⎪ w(1, −1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ wξ (1, −1) ⎪ ⎪ w (1, −1) ⎪ ⎩ η ⎭



A 

∂w = ∂η (7.23) a2 + a3 ⋅ ξ + 2a5 ⋅η + a6 ⋅ ξ 2 + 2a7 ⋅ ξ ⋅η + 3a9 ⋅η 2 + a10 ⋅ ξ 3 + 3a11 ⋅ ξ ⋅η 2

wη (ξ ,η ) =

(7.24)

avec :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ 0 [ R ] = ⎢⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣



9782100544639.indb 115

1 1 0 −1 1

1 0 1 1 0

1 1 1 −1 1

1 2 0 1 −2

1 0 2 1 0

1 2 1 1 −2

1 1 2 −1 1

1 3 0 −1 3

1 0 3 1 0

1 3 1 −1 3

0 −1

1 −1

−1 1

0 1

2 1

1 −1

−2 −1

0 −1

3 −1

−1 1

1 0 1

0 1 −1

−1 −1 −1

−2 0 1

0 −2 1

2 1 −1

1 2 1

3 0 1

0 3 −1

−3 −1 −1

1 0

0 1

−1 1

2 0

0 −2

−2 1

1 −2

3 0

0 3

−3 1

1⎤ 1⎥ ⎥ 3⎥ ⎥ −1⎥ 1⎥ ⎥ −3 ⎥ 1⎥ ⎥ −1⎥ −3 ⎥⎥ −1⎥ ⎥ −1⎥ 3 ⎥⎦

115

09/02/10 14:56

7 • Éléments isoparamétriques

T

7.2 Familles d’éléments  −1

En posant que {N } = { X } ⋅ [ R ] , on obtient pour cet élément plaque :



 −1 ⋅ (ξ + 1)⋅ (1 + η )⋅ (η 2 − η + ξ 2 − ξ − 2) 8  2 1   ⋅ (ξ − 1)⋅ (ξ + 1) ⋅ (1 + η )   8   2 1   ⋅ (η − 1)⋅ (1 + η ) ⋅ (ξ + 1) 8   1  2 2  8 ⋅ (ξ − 1)⋅ (1 + η )⋅ (η − η + ξ + ξ − 2)    2 1   ⋅ (ξ + 1)⋅ (ξ − 1) ⋅ (1 + η )   8   2 −1 ⋅ (η − 1)⋅ (1 + η ) ⋅ (ξ − 1)   8 T  {N } =   −1  2 2 ( ) ( ) ( ) − 1 ⋅ ⋅ − 1 ⋅ + + + − 2 ξ η η η ξ ξ 8    2 − 1   ⋅ (ξ + 1)⋅ (ξ − 1) ⋅ (η − 1) 8     2 −1 ( ) ( ) ( ) ⋅ 1 + ⋅ − 1 ⋅ − 1 η η ξ   8    1 ( + 1) ( − 1) ( 2 + + 2 − − 2)   8⋅ ξ ⋅ η ⋅ η η ξ ξ    2 −1   (⋅ ξ − 1)⋅ (ξ + 1) ⋅ (η − 1) 8     2 1 ⋅ (1 + η )⋅ (η − 1) ⋅ (ξ + 1)   8  

(7.25)

116

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

■■ Plaque Q4 (C1)

Dans ce cas de figure, la fonction d’approximation est complète et a donc 16 coefficients. w(ξ ,η ) = a0 + a1 ⋅ ξ + a2 ⋅η + a3 ⋅ ξ ⋅η + a4 ⋅ ξ 2 + a5 ⋅η 2 + a6 ⋅ ξ 2 ⋅η + a7 ⋅ ξ ⋅η 2 + a8 ⋅ ξ 3 + a9 ⋅η 3 + a10 ⋅ ξ 3 ⋅η + a11 ⋅ ξ ⋅η 3

(7.26) T

Avec :

{a}T = {a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 }

A 

+ a12 ⋅ ξ 3 ⋅η 2 + a13 ⋅ ξ 2 ⋅η 3 + a14 ⋅ ξ 2 ⋅η 2 + a15 ⋅ ξ 3 ⋅η 3 = {a} ⋅ { X }

{ X }T = {1 ξ η ξη ξ 2 η 2 ξ 2η ξη 2 ξ 3 η 3 ξ 3η ξη 3 ξ 3η 2 ξ 2η 3 ξ 2η 2 ξ 3η 3 } ⎧ wi ⎫ ⎪ ∂w ⎪ i ⎪ ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ⎪ Cet élément nécessite donc quatre degrés de liberté par nœud {wi } = ⎨ ∂ wi ⎬ ⎪ ∂η ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ∂ wi ⎪ ⎪⎩ ∂ξ∂η ⎪⎭ ce qui explique l’introduction de la dérivée seconde par rapport à ξ et η .

∂w ∂ξ = a1 + a3 ⋅η + 2 a4 ⋅ ξ + 2 a6 ⋅ ξ ⋅η + a7 ⋅η 2 + 3a8 ⋅ ξ 2

wξ (ξ ,η ) =

(7.27)

+ 3a10 ⋅ ξ 2 ⋅η + a11 ⋅η 3 + 3a12 ⋅ ξ 2 ⋅η 2 + 2 a13 ⋅ ξ ⋅η 3 + 2 a14 ⋅ ξ ⋅η 2 + 3a15 ⋅ ξ 2 ⋅η 3

∂w ∂η = a2 + a3 ⋅ ξ + 2 a5 ⋅η + a6 ⋅ ξ 2 + 2 a7 ⋅ ξ ⋅η + 3a9 ⋅η 2

wη (ξ ,η ) = © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



(7.28)

+ a10 ⋅ ξ 3 + 3a11 ⋅ ξ ⋅η 2 + 2 a12 ⋅ ξ 3 ⋅η + 3a13 ⋅ ξ 2 ⋅η 2 + 2 a14 ⋅ ξ 2 ⋅η + 3a15 ⋅ ξ 3 ⋅η 2

∂ 2w ∂ξ∂η = a3 + 2 a6 ⋅ ξ + 2a7 ⋅η + 3a10 ⋅ ξ 2 + 3a11 ⋅η 2

wξη (ξ ,η ) =

(7.29)

+ 6a12 ⋅ ξ 2 ⋅η + 6 a13 ⋅ ξ ⋅η 2 + 4 a14 ⋅ ξ ⋅η + 9a15 ⋅ ξ 2 ⋅η 2



9782100544639.indb 117

117

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7 • Éléments isoparamétriques

7.2 Familles d’éléments 

⎧ w(1,1) ⎫ ⎪ w (1,1) ⎪ ⎪ ξ ⎪ ⎪ wη (1,1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ wξη (1,1) ⎪ ⎪ w( −1,1) ⎪ ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = [ R ] ⋅ {a} . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ w(1, −1) ⎪ ⎪ wξ (1, −1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ wη (1, −1) ⎪ ⎪w (1, −1)⎪ ⎩ ξη ⎭



(7.30)

Avec : ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 [ R ] = ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣

1 1

1 0

1 1

1 2

1 0

1 2

1 1

1 3

1 0

1 3

1 1

1 3

1 2

1 2

0 0 −1 1 0 0 −1 1 0

1 0 1 0 1 0 −1 0 1

1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1

0 0 1 −2 0 0 1 −2 0

2 0 1 0 2 0 1 0 −2

1 2 1 −2 1 −2 −1 2 1

2 2 −1 1 −2 2 −1 1 2

0 0 −1 3 0 0 −1 3 0

3 0 1 0 3 0 −1 0 3

1 3 −1 3 −1 3 1 −3 −1

3 3 −1 1 −3 3 1 −1 −3

2 6 −1 3 −2 6 −1 3 2

3 6 1 −2 3 −6 −1 2 3

2 4 1 −2 2 −4 1 −2 −2

0 1 1 0 0

0 −1 0 1 0

1 −1 −1 1 1

0 1 2 0 0

0 1 0 −2 0

−2 −1 −2 1 2

−2 1 1 −2 −2

0 1 3 0 0

0 −1 0 3 0

3 −1 −3 1 3

3 −1 −1 3 3

−6 1 3 −2 −6

−6 −1 −2 3 6

4 1 2 −2 −4

1⎤ 3⎥ ⎥ 3⎥ ⎥ 9⎥ −1⎥ ⎥ 3⎥ −3 ⎥ ⎥ 9⎥ 1⎥⎥ −3 ⎥ ⎥ −3 ⎥ 9⎥ ⎥ −1⎥ −3 ⎥ ⎥ 3⎥ 9 ⎥⎦

118

9782100544639.indb 118

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7 • Éléments isoparamétriques

T

7.2 Familles d’éléments 

−1

Comme {N } = { X } ⋅ [ R ] , les fonctions de forme s’écrivent :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.





9782100544639.indb 119

A 

 1 ⋅ ( ξ − 2) ⋅ (ξ + 1) 2 ⋅ (η − 2) ⋅ (1 + η )2   16     −1 ⋅ ( ξ − 1) ⋅ (ξ + 1 )2 ⋅ (η − 2) ⋅ (1 + η )2   16   −1 2 2  ⋅ ( ξ − 2) ⋅ (ξ + 1 ) ⋅ (η − 1) ⋅ (1 + η )   16   1 ⋅ ( ξ − 1) ⋅ (ξ + 1) 2 ⋅ (η − 1) ⋅ (1 + η )2   16   2 2  −1 ⋅ ( ξ + 2 ) ⋅(ξ − 1 ) ⋅ (η − 2) ⋅ (1 + η )   16  2 2  −1  16 ⋅ ( ξ + 1 ) ⋅(ξ − 1 ) ⋅ (η − 2) ⋅ (1 + η )     1 ⋅ ( ξ + 2) ⋅ (ξ − 1) 2 ⋅ (η − 1) ⋅ (1 + η )2   16  1 2 2  ⋅ ( ξ + 1) ⋅ (ξ − 1) ⋅ (η − 1) ⋅ (1 + η )  16  {N }T =  2 2 1  16 ⋅ ( ξ + 2) ⋅ (ξ − 1) ⋅ (2 + η ) ⋅ (η − 1)     1 ⋅ ( ξ + 1) ⋅ (ξ − 1) 2 ⋅ (2 + η ) ⋅ (η − 1)2   16  1 2 2  ⋅ ( ξ + 2) ⋅ (ξ − 1) ⋅ (1 + η ) ⋅ (η − 1)   16   1 ⋅ ( ξ + 1) ⋅ (ξ − 1) 2 ⋅ (1 + η ) ⋅ (η − 1)2   16   2 2  −1 ⋅ ( ξ − 2) ⋅ (ξ + 1 ) ⋅ (2 + η ) ⋅ (η − 1)   16  2 2 1  16 ⋅ ( ξ − 1) ⋅ (ξ + 1) ⋅ (2 + η ) ⋅ (η − 1)     −1 ⋅ ( ξ − 2) ⋅ (ξ + 1) 2 ⋅ (1 + η ) ⋅ (η − 1)2   16  1 2 2  ⋅ ( ξ − 1) ⋅ (ξ + 1) ⋅ (1 + η ) ⋅ (η − 1)   16 



(7.31)

119

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7 • Éléments isoparamétriques

7.3 Caractéristiques élémentaires 

7.3 Caractéristiques élémentaires 7.3.1 Matrice de rigidité élémentaire

Reprenant l’expression de la matrice de rigidité élémentaire en repère local (4.12), on pose que :

[ke ] = ∫ [ B ]T ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ dVe  = ∫∫∫ [ B ]T ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ dxdydz

(7.32)

Ve

La relation (7.32) fait intervenir une matrice [ B ] déduite des relations (3.13) et (4.4). Par déclinaison de (4.10), celle-ci peut également être développée en une série de sous matrices [ Bi ] associées à chacun des nœuds de l’élément, soit :

{ε } = [ B ] ⋅ {qe } = ⎣⎡ B1 B2 . Bi . Bn ⎤⎦ ⋅ {qe }

⎡∂ Ni ⎢ ∂x ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ avec  [ Bi ] = ⎢ ∂ N i ⎢ ∂ y ⎢ ⎢∂ Ni ⎢ ⎢∂y ⎢ ⎢ 0 ⎣

(7.33)

⎤ 0 ⎥ ⎥ ∂ Ni 0 ⎥ ⎥ ∂y ∂ N i ⎥⎥ 0 ∂z ⎥ ⎥ . La détermination de [ B ] nécessitera de faire ∂ Ni 0 ⎥ ∂x ⎥ ∂ Ni ⎥ 0 ⎥ ∂x ⎥ ∂ Ni ∂ Ni ⎥ ⎥ ∂z ∂y ⎦ ∂ Ni ∂ Ni ∂ Ni le calcul des différentes dérivées partielles , , associées à chacun ∂x ∂y ∂z 0

des nœuds. Ceci étant et comme vu en 7.2, les fonctions de forme N i sont définies dans un repère unitaire (ξ ,η ,ζ ) et non dans le repère local ( x , y , z ) . La transformation géométrique Τe issue de (7-1) permet néanmoins d’écrire que :

∂ Ni ∂ Ni ∂ x ∂ Ni ∂ y ∂ Ni ∂ z = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ξ ∂ x ∂ξ ∂ y ∂ξ ∂ z ∂ξ

∂ Ni ∂ Ni ∂ x ∂ Ni ∂ y ∂ Ni ∂ z ⋅ + ⋅ = ⋅ + ∂η ∂ x ∂η ∂ y ∂η ∂ z ∂η

(7.34)

∂ Ni ∂ Ni ∂ x ∂ Ni ∂ y ∂ Ni ∂ z = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ζ ∂ x ∂ζ ∂ y ∂ζ ∂ z ∂ζ 120

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7 • Éléments isoparamétriques

7.3 Caractéristiques élémentaires 

soit sous une forme matricielle :

∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ζ

∂ z ⎤ ⎧∂ Ni ⎫ ⎧∂ Ni ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ξ ⎥ ∂ x ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ∂ z ⎥ ⎪∂ Ni ⎪ ⎪∂ Ni ⎪ ⋅⎨ ⎬ ⎬ = [ J ]⋅ ⎨ ⎥ ∂η ⎪ ∂ y ⎪ ⎪∂y ⎪ ⎥ ⎪∂ Ni ⎪ ∂ z ⎥ ⎪∂ Ni ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ζ ⎥⎦ ⎩ ∂ z ⎭ ⎩ ∂z ⎭

(7.35)

A

[ J ] correspond à la matrice jacobienne de la transformation Τe . En inversant (7.35), on obtient : ⎧∂ Ni ⎫ ⎧∂ Ni ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪∂ Ni ⎪ −1 ⎪ ∂ N i ⎪ (7.36) ⎬ ⎨ ⎬ = [J ] ⋅⎨ ⎪ ∂η ⎪ ⎪∂y ⎪ ⎪∂ Ni ⎪ ⎪∂ Ni ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂z ⎭ ⎩ ∂ζ ⎭





⎧∂ Ni ⎫ ⎡∂ x ⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ∂ξ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪∂ Ni ⎪ ⎢∂ x ⎬=⎢ ⎨ ⎪ ∂η ⎪ ⎢ ∂η ⎪∂ Ni ⎪ ⎢∂ x ⎪ ⎪ ⎩ ∂ζ ⎭ ⎢⎣ ∂ζ

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

n ⎧ x = ⎪ ∑ N i ⋅ xi i =1 ⎪ n ⎪⎪ Par ailleurs et comme d’après (7-3) ⎨ y = ∑ N i ⋅ yi , [ J ] devient : i =1 ⎪ n ⎪ ⎪ z = ∑ N i ⋅ zi ⎪⎩ i =1





9782100544639.indb 121

⎡ n ∂ Ni ⋅ xi ⎢∑ ⎢ i =1 ∂ξ ⎢ n ∂N [ J ] = ⎢ ∑ i ⋅ xi ⎢ i =1 ∂η ⎢ n ∂N i ⎢∑ ⋅ xi ⎢⎣ i =1 ∂ζ ⎡ ∂ N1 ⎢ ∂ξ ⎢ ∂N [ J ] = ⎢⎢ 1 ∂η ⎢ ⎢ ∂ N1 ⎢⎣ ∂ζ

n

∂ Ni ⋅ yi i =1 ∂ξ

∑ n

∂ Ni ⋅ yi i =1 ∂η

∑ n

∂ Ni ⋅ yi i =1 ∂ζ

∑

∂ Ni ∂ξ ∂ Ni . ∂η ∂ Ni . ∂ζ .

n

⎤ ∂ Ni ⋅ zi ⎥ i =1 ∂ξ ⎥ n ⎥ ∂ Ni ∑ ∂η ⋅ zi ⎥ ⎥ i =1 ⎥ n ∂N ∑ ∂ζ i ⋅ zi ⎥⎥ i =1 ⎦

∑

∂ Nn ⎤ ⎡ x 1 ∂ξ ⎥⎥ ⎢ . ∂ Nn ⎥ ⎢ . ⋅ ⎢ xi ∂η ⎥ ⎢ ⎥ . ∂ Nn ⎥ ⎢ . ⎢x ∂ζ ⎥⎦ ⎣ n

.

y1 . yi . yn



(7.37)

z1 ⎤ .⎥ ⎥ zi ⎥ ⎥ .⎥ zn ⎥⎦ 121

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7 • Éléments isoparamétriques

7.3 Caractéristiques élémentaires 

Pour calculer l’intégrale sur le volume Ve et sachant que [ B ] est désormais fonction des coordonnées unitaires, il reste à effectuer un changement de variables entre les repères ( x , y , z ) et (ξ ,η ,ζ ) . Ce changement de variables représente en fait les relations géométriques liant, via la transformation Τe , éléments réel et de référence. Ces relations sont obtenues à partir du jacobien de la transformation. La matrice rigidité élémentaire exprimée dans le repère (ξ ,η ,ζ ) a donc pour expression :

[ke ] = ∫∫∫ [ B ]T ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ dxdydz



1 1 1

=

∫∫

T

∫ [ B ] ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ det [ J ] ⋅ d ξ dη d ζ



(7.38)

−1 −1 −1

Avec : ⎧dx ⎫ ⎧d ξ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dy ⎬ = [ J ] ⋅ ⎨ dη ⎬  et dxdydz = det [ J ] ⋅ d ξ dη d ζ ⎪dz ⎪ ⎪d ζ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ En appliquant ces résultats à la matrice de rigidité de l’élément barre (4.13), on s’aperçoit que le jacobien ou son inverse représentent le rapport des dimensions des éléments réel et de référence. On a donc d’après le changement de variable établi en 7.2 : x 2 ξ = 2 − 1 ⇒ d ξ = ⋅ dx (7.39) L L ce qui donne comme prévu pour [ ke ]  : T

[ke ] = ∫ [ B ] ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ dVe Ve

L

T

= ES ∫ [ B ] ⋅ [ B ] ⋅ dx 0

⎧ 1⎫ ⎪⎪− ⎪⎪ ⎧ 1 1 ⎫ 2 = ES ∫ ⎨ 2 ⎬ ⋅⎨− ⎬⋅ ⋅ d ξ 1 ⎪ ⎩ 2 2⎭ L −1 ⎪ ⎪⎩ 2 ⎪⎭ 1⎤ ⎡ 1 − ⎥ 1 2 ES ⎢ 4 4 ⋅ d ξ = ES ⎡ 1 −1⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∫ L −1 ⎢ 1 1 ⎥ L ⎣ −1 1 ⎦ − ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦ 1





(7.40)

7.3.2 Vecteurs charges élémentaires

Pour les forces de volume (4.17), la démarche est similaire à celle suivie pour la rigidité élémentaire, le changement de base s’effectuant toujours via le déterminant du jacobien.

T

1 1 1

{ f ev } = ∫ [ N ] ⋅ { f v } ⋅ dVe = ∫ ∫ ∫ [ N ]T ⋅ { f v } ⋅ det [ J ] ⋅ d ξ dη d ζ (7.41) ve

−1 −1 −1

122

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7 • Éléments isoparamétriques

7.4 Intégration numérique 

Pour ce qui concerne les forces de surface (4.18), le calcul consistera à exprimer la quantité dSe en fonction des coordonnées normées des arêtes ou facettes des éléments surfaciques ou volumiques.

7.4 Intégration numérique

b



∫a

r

f (ξ ) ⋅d ξ = ∑ wi ⋅ f (ξi )

A 

Le calcul des matrices de rigidité des éléments barre (7.40) et poutre (6.21) a permis d’établir celles-ci en fonction de paramètres tels que longueur, section, inerties, etc. Ces matrices sont généralement codées de manière explicite dans les logiciels de calcul par éléments finis. Cette approche n’est bien sûr pas envisageable pour les éléments surfaciques et volumiques dont les formes et configurations varient systématiquement. La solution numérique s’impose alors. Ceci étant, il est indispensable de disposer d’une méthode permettant une intégration exacte des quantités recherchées. La méthode de Gauss qui est la plus couramment utilisée, répond à cette condition. Bien que sa maîtrise ne soit pas fondamentale pour les utilisateurs courants, il est néanmoins important de bien assimiler la notion de points d’intégration ou «  points de Gauss  » pour comprendre les différentes approches utilisées pour le postraitement des résultats. C’est pourquoi, l’intégration numérique à 1 dimension est développée ci-après. Soit une fonction f d’une seule variable ξ , l’intégrale de f sur l’intervalle [ a,b ] pourra être évaluée numériquement par la méthode de Gauss en posant que : (7.42)

i =1

ce qui revient à remplacer l’intégrale de la fonction polynomiale f (ξ ) par une combinaison linéaire de valeurs de f aux points ξi (appelés points d’intégration) et de coefficients wi (appelés poids). Les r abscisses sont déterminées de manière à intégrer exactement des polynômes d’ordre n ≤ 2r − 1. Pour les éléments isoparamétriques, l’intervalle [ a,b ] sera bien évidemment égal à [ −1,1] . L’intégration numérique consiste alors à faire passer un polynôme ψ (ξ ) par © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

un certain nombre de valeurs de f (ξ ) de telle manière à obtenir comme approximation de

b

∫a f (ξ ) ⋅ d ξ . On a donc :

f (ξ ) ≈ ψ (ξ ) = a1 + a2 ⋅ ξ + ....... + a2r ⋅ ξ 2r −1



b

∫a ψ (ξ ) ⋅ d ξ (7.43)

En injectant (7.43) dans les deux membres de (7.42), on obtient : b

b

b

b

∫a f (ξ ) ⋅ d ξ = a1 ∫a d ξ + a2 ∫a ξ ⋅ d ξ + ..... + a2r ∫a ξ 2r −1 ⋅ d ξ

= a1(w1 + w2 + ..... + wr ) + a2 (w1 ⋅ ξ1 + w2 ⋅ ξ 2 + ..... + wr ⋅ ξr ) (7.44) + ..... + a2r (w1 ⋅ ξ12r −1 + w2 ⋅ ξ 22r −1 + ..... + wr ⋅ ξr2r −1 )



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123

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7 • Éléments isoparamétriques

7.4 Intégration numérique 

2 lorsque α est pair, 1+α l’équation (7-44) peut alors s’écrire sous la forme d’un système linéaire de 2r équations : 2 = w1 + w2 + ........ + wr 0 = w1ξ1 + w2ξ 2 + ........ + wr ξr 2 = w1ξ12 + w2ξ 22 + ........ + wr ξr2 (7.45) 3 . . Sachant que

1

∫−1ξ α ⋅ d ξ

est égal à 0 si α est impair et

0 = w1ξ12r −1 + w2ξ 22r −1 + ........ + wr ξr2r −1 ce qui permet de trouver les différentes valeurs de ξi et wi . Exemple : Calcul des coefficients de Gauss à 2 points 2

1

wi ⋅ f (ξi ) = w1 ⋅ f (ξ1 ) + w2 ⋅ f (ξ 2 ) ∫−1 f (ξ ) ⋅d ξ = ∑ i =1 Cette intégrale sera évaluée de façon exacte si le polynôme est de degré inférieur ou égal à 2r − 1 = 3 . Les coefficients sont obtenus en résolvant le système linéaire suivant : 2 = w1 + w2 ⎫ 0 = w1 ⋅ ξ1 + w2 ⋅ ξ 2 ⎪ ⎧ w1 = w2 = 1 ⎪⎪ ⎪ 1 2 ⎬⇒⎨ = w1 ⋅ ξ12 + w2 ⋅ ξ 22 ⎪ ⎪ξ1 = −ξ 2 = ± 3 3 ⎩ ⎪ 0 = w1 ⋅ ξ13 + w2 ⋅ ξ 23 ⎭⎪ Tableau 7.1 – Tables de Gauss-Legendre (1 dimension). r

xi

wi

degré maximum du polynôme à intégrer

1

0

2

1

1

3

±

2

1 3 0

3

3 5

5/9

±

3−2 6 /5 7

1 1 + 2 6 6/5

±

3+2 6 /5 7

1 1 − 2 6 6/5

±

4

8/9 5

7

124

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7 • Éléments isoparamétriques

7.4 Intégration numérique 

La généralisation au plan se fera aisément en posant que :

1 1

Α=

∫ ∫ f (ξ ,η ) ⋅ d ξ dη = ∑i ∑j wi ⋅ w j ⋅ f (ξi ,η j )

(7.46)

−1 −1

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



A



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125

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8 • Éléments de membrane



A Les éléments membranes sont destinés à modéliser des structures planes travaillant uniquement dans leur plan. Leurs nœuds possèdent uniquement deux degrés de liberté u et v . Ils ont une épaisseur constante notée e et suivent l’hypothèse de contrainte plane décrite au chapitre 3.3.4. La relation contrainte-déformation issue de (3.27) s’écrit alors :



⎧σ xx ⎫ E ⎪ ⎪ ⎨σ yy ⎬ = 2 ⎪ τ ⎪ 1 −ν xy ⎩ ⎭

⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ ⎧ε xx ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⋅ ⎨ε yy ⎬ = [ H ] ⋅ {ε } ⎢ν 1 ⎢ 1 −ν ⎥ ⎪⎩γ xy ⎪⎭ ⎢0 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦

(8.1)

⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ ⎥ E ⎢ ν 1 Avec [ H ] = 0 ⎥. ⎢ 2 1 −ν ⎢ 1 −ν ⎥ ⎢0 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Le vecteur déformation s’écrit quant à lui en adaptant (3.13) au cas plan, soit :



⎡∂ ⎢ ⎧ε xx ⎫ ⎢ ∂ x ⎪ ⎪ ⎢ {ε } = ⎨ε yy ⎬ = ⎢ 0 ⎪γ ⎪ ⎢ ⎩ xy ⎭ ⎢ ∂ ⎢∂ y ⎣

⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎧u ⎫ ∂ ⎥ ⎧u ⎫ = ∂ ⋅ [ ] ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ∂ y ⎥⎥ ⎩v ⎭ ⎩v ⎭ ∂ ⎥ ∂ x ⎥⎦

(8.2)

Si nécessaire la déformation ε zz pourra être calculée à partir de la relation (3.26). Ceci nous amène à évoquer le cas des éléments en déformation plane dont les caractéristiques sont très similaires aux membranes. Ce sont bien évidemment t­ oujours des éléments plans travaillant dans leur plan. La déformation transversale ε zz étant cette fois prise égale à zéro (cf. § 3.3.4), seule l’expression de la matrice 

9782100544639.indb 127

127

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8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

[ H ]   changera. Il suffira alors de la remplacer dans (8.1) par son expression en déformation plane, soit : ⎡ ⎢1 −ν ν ⎢ E ν 1 −ν [H ] = (1 + ν ) ⋅ (1 − 2ν ) ⎢⎢ 0 ⎢ 0 ⎣



⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 1 − 2ν ⎥ ⎥ 2 ⎦

(8.3)

La contrainte σ zz pourra également être évaluée à partir de (3.24). Dans cette hypothèse, les résultats seront donnés par unité de profondeur suivant z.

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle Soit la structure suivante modélisée avec deux éléments isoparamétriques membranes carrés à quatre nœuds d’épaisseur e  : 1

2 y



h

x

3

4

q = 1 ◊ 107 N/m

2h

y

 x

5

Y X

6 h

Figure 8.1 – Exemple 5 : deux éléments membranes quadrangles.

Application numérique  : E = 2.1 ◊ 1011 N/m2, n = variable, q = 1 ◊ 107  N/m, h = 1 m, e = 0.1 m. 128

9782100544639.indb 128

09/02/10 14:56

8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

Tableau 8.1 – Exemple 5 : connectivité élémentaire. Nœuds I

J

K

L

1

1

2

3

4

2

4

3

5

6

L’élément utilisé est un quadrangle de type Q4. Ses fonctions de forme sont égales à celles établies en (7.9), soit :



1 1 (1 − ξ ) ⋅ (1 + η ) N1 = (1 + ξ ) ⋅ (1 + η ) 4 4 1 1 N 3 = (1 − ξ ) ⋅ (1 − η ) N 4 = (1 + ξ ) ⋅ (1 − η ) 4 4

N2 =

A 

Élément

(8.4)

η 2

1

v

u

3

ξ

4

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 8.2 – Élément de référence Q4.

8.1.1 Calcul de la matrice jacobienne et de son inverse

Du fait de la symétrie par rapport à Y, un seul élément est nécessaire au calcul. Retenant l’élément 1, la matrice jacobienne de sa transformation est obtenue à partir de la relation (7.37) :





9782100544639.indb 129

⎡ ∂ N1 ⎢ ∂ξ [ J ] = ⎢∂ N ⎢ 1 ⎢⎣ ∂η

∂ N2 ∂ξ ∂ N2 ∂η

∂ N3 ∂ξ ∂ N3 ∂η

∂ N 4 ⎤ ⎡ x1 ⎢ ∂ξ ⎥ ⎢ x2 ⎥⋅ ∂ N 4 ⎥ ⎢ x3 ∂η ⎥⎦ ⎢⎣ x 4

y1 ⎤ y2 ⎥ ⎥ y3 ⎥ ⎥ y4 ⎦

(8.5)

129

09/02/10 14:56

8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

soit pour cet élément :

[J]= [J]=

[J]=

⎡ x1 (1 − η ) ⎤ ⎢⎢ x2 ⎥⋅ − (1 + ξ ) ⎦ ⎢ x3 ⎢ ⎣ x4

1 ⎡(1 + η ) − (1 + η ) − (1 − η ) ⎢ 4 ⎣(1 + ξ ) (1 − ξ ) − (1 − ξ )

1 ⎡ x1 − x2 − x3 + x 4 + η ( x1 − x2 + x3 − x 4 ) ⎢ 4 ⎣ x1 + x2 − x3 − x 4 + ξ ( x1 − x 2 + x3 − x 4 )

1 ⎡ x1 − x2 − x3 + x 4 + η ( x1 − x2 + x3 − x 4 ) ⎢ 4 ⎣ x1 + x2 − x3 − x 4 + ξ ( x1 − x 2 + x3 − x 4 )

y1 ⎤ y2 ⎥ ⎥ y3 ⎥ ⎥ y4 ⎦

(8.6)

y1 − y2 − y3 + y 4 + η ( y1 − y2 + y3 − y 4 ) ⎤ ⎥ y1 + y2 − y3 − y 4 + ξ ( y1 − y2 + y3 − y 4 ) ⎦

y1 − y2 − y3 + y 4 + η ( y1 − y2 + y3 − y 4 ) ⎤ ⎥ (8.7) y1 + y2 − y3 − y 4 + ξ ( y1 − y2 + y3 − y 4 ) ⎦

Bien que la connectivité des éléments réel et de référence soit identique, les coordonnées xi , yi correspondent bien à celles de l’élément réel.

h 0 + η (0) ⎡h + h + η ( 0 ) ⎤ ⎡⎢ 1 ⎥ = ⎢2 [ J ] = ⎢⎢ h h h h 4 0 + ξ (0) + + + + ξ ( 0 )⎥ ⎢ 0 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ 2 2 2 2 ⎣

⎤ 0⎥ ⎥ h⎥ 2 ⎥⎦

(8.8)

h2 Le déterminant et l’inverse de [ J ] sont donc respectivement égaux à det [ J ] = 4 et : ⎡h ⎤ 0⎥ ⎢ 1 2 ⎡1 0 ⎤ (8.9) [ J ]−1 = h 2 ⎢ 2 h ⎥ = ⎢0 1 ⎥ h ⎣ ⎦ ⎢0 ⎥ 4 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Ce qui permet de déduire les relations entre les



∂ Ni ∂ Ni ∂ Ni ∂ Ni , et ,  : ∂x ∂ y ∂ξ ∂η

∂ Ni 2 ∂ Ni = ∂x h ∂ξ ∂ Ni 2 ∂ Ni = h ∂η ∂y

(8.10)

La valeur 2 h correspond au rapport entre les coordonnées x et x ou h et y. Par ailleurs, les termes non diagonaux nuls de [ J ] caractérisent le fait que l’élément n’a pas subi de rotation durant la transformation. 8.1.2 Matrice de rigidité élémentaire en repère local ■■ Expression générale de [k1]

Reprenant l’expression (7.38) de la rigidité élémentaire, on obtient en l’adaptant au cas plan : 130

9782100544639.indb 130

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

1 1

[k1 ] = e ⋅ ∫ ∫ [ B ]T ⋅ [ H ] ⋅ [ B ] ⋅ det [ J ] ⋅ d ξ dη



(8.11)

−1 −1

[k1 ] =

1 1

Ee T ⋅ ∫ ∫ [B ] 2 1 −ν −1 −1

(8.12)

A 



⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ ⎢ ⎥ h2 0 ⎥ ⋅ [ B ] ⋅ ⋅ d ξ dη ⋅ ⎢ν 1 4 ⎢ 1 −ν ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦

avec d’après (4.4), (4.10) et (8.2) :

⎧u ⎫ ⎡ N1 ⎨ ⎬ = [ N ] ⋅ {q1} = ⎢ ⎩v ⎭ ⎣0

0 N1

N2 0

0 N2

N3 0

0 N3

N4 0

0

∂ N4 ∂x

⎧ u1 ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪u2 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎤ ⎪ v2 ⎪ ⋅ ⎨ ⎬ (8.13) N 4 ⎥⎦ ⎪u3 ⎪ ⎪v3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪u4 ⎪ ⎪u4 ⎪ ⎩ ⎭

[ B ] = [∂ ][ N ]

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎡∂ N 1 ⎢ ∂ x ⎢ ⎢ =⎢ 0 ⎢ ⎢∂ N 1 ⎢ ∂ y ⎢⎣

0

∂ N1 ∂y ∂ N1 ∂x

∂ N2 ∂x

0

0

∂ N2 ∂y

∂ N2 ∂y

∂ N2 ∂x

∂ N3 ∂x 0

∂ N3 ∂y

∂ N3 ∂y

∂ N3 ∂x

0

∂ N4 ∂y

⎤ 0 ⎥ ⎥ ∂ N4 ⎥ ⎥ ∂y ⎥ ∂ N4 ⎥ ⎥ ∂ x ⎥⎦

(8.14)

Qui grâce à la transformation (8.10) devient :

[B ] =

1 2 ⋅ ⋅ 4 h

⎡(1 + η ) 0 − (1 + η ) − (1 − η ) 0 0 0 ⎤ (1 − η ) ⎢ ⎥ 0 0 − (1 − ξ ) 0 − (1 + ξ ) ⎥ (8.15) (1 − ξ ) ⎢ 0 (1 + ξ ) ⎢ ⎥ ⎣(1 + ξ ) (1 + η ) (1 − ξ ) − (1 + η ) − (1 − ξ ) − (1 − η ) − (1 + ξ ) (1 − η ) ⎦ 

9782100544639.indb 131

131

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

Le calcul (8-12) permet alors de trouver pour [ k1 ]  : ⎡ 3 −ν ⎢ 6 ⎢ ⎢ 1 +ν ⎢ 8 ⎢ ⎢ −3 −ν ⎢ 12 ⎢ ⎢ −1 + 3ν ⎢ 8 [k1 ] = Ee 2 ⎢ 1 −ν ⎢ −3 + ν ⎢ 12 ⎢ ⎢ −1 − ν ⎢ 8 ⎢ ⎢ ν ⎢ 6 ⎢ ⎢ 1 − 3ν ⎢⎣ 8

1 +ν 8 3 −ν 6 1 − 3ν 8 ν 6 −1 −ν 8 −3 + ν 12 −1 + 3ν 8 −3 − ν 12

−3 −ν 12 1 − 3ν 8 3 −ν 6 −1 −ν 8 ν 6 −1 + 3ν 8 −3 + ν 12 1 +ν 8

−1 + 3ν 8 ν 6 −1 −ν 8 3 −ν 6 1 − 3ν 8 −3 − ν 12 1 +ν 8 −3 + ν 12

−3 + ν 12 −1 −ν 8 ν 6 1 − 3ν 8 3 −ν 6 1 +ν 8 −3 −ν 12 −1 + 3ν 8

−1 −ν 8 −3 + ν 12 −1 + 3ν 8 −3 −ν 12 1 +ν 8 3 −ν 6 1 − 3ν 8 ν 6

ν 6 −1 + 3ν 8 −3 + ν 12 1 +ν 8 −3 − ν 12 1 − 3ν 8 3 −ν 6 −1 −ν 8

1 − 3ν ⎤ 8 ⎥ ⎥ −3 −ν ⎥ 12 ⎥ ⎥ 1 +ν ⎥ 8 ⎥ ⎥ −3 + ν ⎥ 12 ⎥ ⎥ (8.16) −1 + 3ν ⎥ 8 ⎥ ⎥ ν ⎥ 6 ⎥ ⎥ −1 −ν ⎥ 8 ⎥ ⎥ 3 −ν ⎥ 6 ⎥⎦

■■ Calcul de deux termes de [k1] par intégration numérique

Considérant une intégration numérique à deux points à la fois suivant x et h, il y a 1 1 , ηi = ± . donc quatre points de Gauss situés aux coordonnées ξi = ± 3 3 η 2

1 1 1  ,   3 3

 1 1 − ,   3 3

v ξ u  1 1  − ,−   3 3

 1 1  ,−   3 3

3

4 Figure 8.3 – Points de Gauss.

132

9782100544639.indb 132

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

Pour ν = 1 3 , les deux termes k11 et k12 de la matrice de rigidité sont donc égaux à : k11 =

Ee 1 −ν 2

1 1

⎛ ⎛ 1 + η ⎞2 1 − ν ⎛ 1 + ξ ⎞2 ⎞ Ee 3 −ν ∫ ∫ ⎜⎜ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ + 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎟⎟ d ξ dη = 1 −ν 2 6 = 1.05 ⋅1010 N/m ⎠ −1 −1 ⎝

2 2 2 2 ⎡ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎢ ⎜ 1 + 3 ⎟ 1 −ν ⎜ 1 − 3 ⎟ 1 −ν ⎜1+ 3 ⎟ ⎜1+ 3 ⎟ ⎥ ⎢ 1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⋅1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⋅1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⎟ + ⎟ + ⎟ + 1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 2 2 ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎥ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ Ee ⎢ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎥ ⎢ = 2 2 1 −ν 2 ⎢ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎥ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 1 − 1 + 1 1 − − ⎢ ⎥ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 3 ⎟ 1 −ν 3 ⎟ 1 −ν 3⎟ 3⎟ ⎥ ⎢ +1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⋅1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⋅1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⎟ + ⎟ + ⎟ ⎟ + 1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⎢ 2 2 ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎥ ⎜ 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣



A

2 2 2 2 ⎡ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ + 1 1 1 − 1 + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 3 ⎟ 1 −ν 3⎟ 3 ⎟ 1 −ν 3⎟ ⎥ ⎢ 1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⋅1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⋅1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⎟ + ⎟ + ⎟ + 1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⎟ ⎢ 2 2 ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎥ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎢ Ee ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎥ ⎢ = (8.17) 2 2 2 1 −ν ⎢ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎥ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎢ ⎜ 1 − 3 ⎟ 1 −ν ⎜ 1 + 3 ⎟ 1 −ν ⎜1− 3 ⎟ ⎥ ⎜1− 3 ⎟ ⎢ +1 ⋅ 1 ⋅ ⎜ ⋅1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⋅1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⎟ + ⎟ + ⎟ ⎥ ⎟ + 1 ⋅1 ⋅ ⎜ ⎢ 4 4 2 4 4 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣

= 1.05 ⋅1010 N/m

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

k12 =

Ee 1 −ν 2

1 1

Ee 1 + ν ⎛ 1 +ν ⎛ 1 + ξ ⎞ ⎛ 1 + η ⎞ ⎞ = 3.9375 ⋅109 N/m ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ d ξ dη = 2 8 − 2 4 4 1 ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ −1 −1

∫ ∫ ⎜⎝

1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎛ 1+ 1+ 1− 1+ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 +ν 1 +ν 3 3 3 3⎟⎥ ⎢ 1 ⋅1 ⋅ ⋅⎜ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ +1 ⋅1 ⋅ ⎟⎜ ⎟⎥ 2 ⎜ 4 ⎟⎜ 4 ⎟ 2 ⎜ 4 ⎟⎜ 4 ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ Ee ⎢ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (8.18) = ⎢ ⎥ 1 ⎞⎥ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 ⎞⎛ 1 −ν 2 ⎢ ⎛ ⎛ 1− 1− 1− 1+ ⎢ 1 +ν ⎜ 1 +ν ⎜ 3 ⎟⎜ 3 ⎟⎥ 3 ⎟⎜ 3⎟ ⋅⎜ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ ⎟ +1 ⋅1 ⋅ ⎢ +1 ⋅1 ⋅ 2 ⎜ 4 ⎟⎜ 4 ⎟ 2 ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎠ 9 = 3.9375 ⋅10 N/m 

9782100544639.indb 133

133

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

8.1.3 Vecteur charges en repère local T

On sait d’après (4.18) que { f1s } = ∫ [ N ] ⋅ { f s2

s

} ⋅ dS1 .

Considérant uniquement la face chargée (ξ = 1) de l’élément 1, seules les fonctions de forme N1 et N 4 interviennent dans le calcul de { f1s } , les charges nodales associées aux nœuds 2 et 3 étant forcément nulles. ξ valant tout le temps 1 le long h de la face 1-4 et comme dy = ⋅ dη , on a : 2 ⎧ F1x ⎫ ⎪F ⎪ ⎪ 1y ⎪ ⎪ F2 x ⎪ ⎪ ⎪ F s = ⎪ 2y ⎪ f { 1 } ⎨F ⎬ ⎪ 3x ⎪ ⎪ F3 y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ F4 x ⎪ ⎪ F4 y ⎪ ⎩ ⎭ ⎧F ⎪ 1x ⎫ = 1 ⎡ N 1 ⎪ F1 y ⎬⎭ ∫−1 ⎢⎣ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ =⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F ⎪ 4x ⎫ = 1 ⎡N 4 ⎪ F4 y ⎬⎭ ∫−1 ⎢⎣ 0 ⎪⎩ ⎧ qh ⎫ ⎪2⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ =⎨ ⎬ ⎪0⎪ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ qh ⎪ ⎪2⎪ ⎪0⎪ ⎩ ⎭ 134

9782100544639.indb 134

⎧ qh ⎫ ⎫ qh 1 ⎪ ⎪ ∫ 4 (1 + 1) (1 + η ) 2 dη = ⎨ 2 ⎬ ⎪⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪ −1 ⎪ F2 x ⎫ ⎧0 ⎫ ⎪ = ⎨ ⎬ F2 y ⎬⎭ ⎩0 ⎭ ⎪⎪ ⎬ F3 x ⎫ ⎧0 ⎫ ⎪ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ F3 y ⎭ ⎩0 ⎭ ⎪ qh ⎫⎪ ⎧ 1 0 ⎤ ⎧q ⎫ h qh 1 ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎬ dη = ∫ (1 + 1) (1 − η ) dη = ⎨ 2 ⎬⎪ ⎥ N 4 ⎦ ⎩0 ⎭ 2 4 2 ⎪⎩ 0 ⎪⎭⎪ −1 ⎭

0 ⎤ ⎧q ⎫ h ⎨ ⎬ dη = N1 ⎥⎦ ⎩0 ⎭ 2

1

(8.19)



09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

8.1.4 Système [K ] ◊ {Q } = {F }

[ K ] ⋅ {Q } = [k1 ] ⋅ {Q } = { f1s } = {F }

Avec :

(8.20)

A 

La structure étant symétrique, il est possible de résoudre le problème en ne prenant en compte qu’un seul des deux éléments, l’élément 1 en l’occurrence. De plus et toujours en raison de cette symétrie, on sait que V4 = 0 . Il reste donc trois inconnues : U1 ,V1 et U 4 . La matrice de rigidité et le vecteur charges de la structure se réduisent respectivement à [ k1 ] (8.16) et { f1s } (8.19). Aucun changement de base n’est en effet nécessaire puisque les repères xy et XY sont colinéaires. Le système s’écrit :

[K ] =

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎡ 3 −ν ⎢ 6 ⎢ ⎢ 1 +ν ⎢ 8 ⎢ ⎢ −3 −ν ⎢ ⎢ 12 ⎢ −1 + 3ν ⎢ Ee ⎢ 8 1 −ν 2 ⎢ −3 + ν ⎢ ⎢ 12 ⎢ −1 −ν ⎢ ⎢ 8 ⎢ ⎢ ν ⎢ 6 ⎢ ⎢ 1 − 3ν ⎢⎣ 8

1 +ν 8

−3 −ν −1 + 3ν −3 + ν −1 −ν 12 8 12 8

3 −ν 6

1 − 3ν 8

ν 6

1 − 3ν 8

3 −ν 6

−1 −ν 8

ν 6

−1 −ν 8

3 −ν 6

1 − 3ν −3 −ν 8 12

1 +ν 8

−1 −ν 8

ν 6

1 − 3ν 8

3 −ν 6

1 +ν 8

−3 −ν 12

−3 + ν −1 + 3ν −3 −ν 12 8 12

1 +ν 8

3 −ν 6

1 − 3ν 8

−1 + 3ν −3 + ν 8 12

1 +ν 8

−3 − ν 1 − 3ν 12 8

3 −ν 6

−3 − ν 12

−3 + ν −1 + 3ν 12 8

1 +ν 8

ν 6

−1 −ν −3 + ν −1 + 3ν 8 12 8

ν 6

−1 + 3ν −33 + ν 12 8

ν 6

−1 −ν 8

1 − 3ν ⎤ 8 ⎥ ⎥ −3 −ν ⎥ 12 ⎥⎥ 1 +ν ⎥ ⎥ 8 ⎥ −3 + ν ⎥ ⎥ 12 ⎥ (8.21) −1 + 3ν ⎥ ⎥ 8 ⎥ ν ⎥⎥ 6 ⎥ ⎥ −1 − ν ⎥ 8 ⎥ ⎥ 3 −ν ⎥ 6 ⎦⎥

Ce qui donne après introduction des conditions d’appui et de symétrie (termes en pointillés) :





9782100544639.indb 135

⎡ 3 −ν ⎢ 6 ⎢ Ee ⎢ 1 + ν 1 −ν 2 ⎢ 8 ⎢ ν ⎢ ⎣ 6

1 +ν 8 3 −ν 6 −1 + 3ν 8

ν ⎤ ⎧ qh ⎫ 6 ⎥ ⎧U ⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎥ 2 −1 + 3ν ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⋅ ⎨ V1 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ 8 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 −ν ⎥ ⎩U 4 ⎭ ⎪ qh ⎪ ⎥ ⎩2⎭ 6 ⎦

(8.22)

135

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

8.1.5 v = 0 ■■ Déplacements

Le système (8.22) devient pour ν = 0  :



⎡1 ⎢2 ⎢ 1 Ee ⋅ ⎢ ⎢8 ⎢ ⎢0 ⎣

1 8 1 2 −1 8

⎤ ⎧ qh ⎫ 0⎥ ⎪2⎪ ⎧ ⎫ U 1 ⎥ −1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⋅ ⎨ V1 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ 8⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎥ ⎩U 4 ⎭ ⎪ qh ⎪ ⎥ ⎩2⎭ 2⎦

(8.23)

Ce qui permet de déduire après résolution :



⎧ qh ⎪U1 = Ee = 0.476 mm ⎪ ⎨V1 = 0 ⎪ qh ⎪U 4 = = 0.476 mm = U1 Ee ⎩

(8.24)

Figure 8.4 – Exemple 5 : déformée (Effel) pour n = 0. ■■ Réactions

En injectant les déplacements (8.24) dans (8.20), on obtient pour les réactions : 136

9782100544639.indb 136

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

E ⋅ e ⎡⎛ −3 −ν ⎞ ⎤ ⎛ 1 − 3ν ⎞ ⎛ −3 + ν ⎞ ⋅ ⎢⎜ ⎟ ⋅U1 + ⎜ ⎟ ⋅V1 + ⎜ ⎟ ⋅U 4 ⎥ 2 ⎝ 8 ⎠ ⎝ 12 ⎠ (1 −ν ) ⎣⎝ 12 ⎠ ⎦ qh EeU1 ⎡ U V U ⎤ R X 2 = Ee ⋅ ⎢ − 1 + 1 − 4 ⎥ = − =− 8 4 ⎦ 2 2 ⎣ 4 E ⋅ e ⎡⎛ −1 + 3ν ⎞ ⎤ ⎛ν ⎞ ⎛ 1 +ν ⎞ RY 2 = ⋅ ⋅ U + ⋅ V + ⋅ U 1 1 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝6⎠ ⎝ 8 ⎠ (1 −ν 2 ) ⎣⎝ 8 ⎠ ⎦ RX 2 =

A 



U ⎤ ⎡ U RY 2 = Ee ⋅ ⎢ − 1 + 0 + 4 ⎥ = 0 8 ⎦ ⎣ 8 (8.25) E ⋅ e ⎡⎛ −3 + ν ⎞ ⎤ ⎛ −3 −ν ⎞ ⎛ −1 −ν ⎞ RX 3 = ⋅V + ⋅U ⋅ ⋅U + (1 −ν 2 ) ⎢⎣⎜⎝ 12 ⎟⎠ 1 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 1 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 4 ⎥⎦ qh EeU1 ⎡ U V U ⎤ R X 3 = Ee ⋅ ⎢ − 1 − 1 − 4 ⎥ = − =− 8 4 ⎦ 2 2 ⎣ 4 E ⋅ e ⎡⎛ −1 −ν ⎞ ⎤ ⎛ −3 + ν ⎞ ⎛ 1 − 3ν ⎞ RY 3 = ⋅ ⋅ U + ⋅ V + 1 1 ⎜ ⎟ ⋅U 4 ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ 2 ν 1 8 12 8 − ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ⎣⎝ ⎦ U ⎤ ⎡ U RY 3 = Ee ⋅ ⎢ − 1 + 0 + 4 ⎥ = 0 8 ⎦ ⎣ 8

On notera que la réaction R X 3 est à multiplier par deux en raison de la symétrie. ■■ Déformations et contraintes

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Les déformations pouvant être calculées grâce aux expressions (4.10) et (8.15), ⎧ u1 ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪u2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v2 ⎪ (8.26) {ε } = [ B ] ⋅ {q1} = [ B ] ⋅ ⎨ ⎬ ⎪u3 ⎪ ⎪v3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪u4 ⎪ ⎪u4 ⎪ ⎩ ⎭ On déduit les déformations et contraintes dans l’élément 1 en appliquant (8.2) et (8.1) :





9782100544639.indb 137

⎧ u1 ⎫ ⎧ε xx ⎫ ⎧ ⎫ ⎪h ⎪ (1 + η ) ⋅ u1 + (1 − η ) ⋅ u4 ⎪ ⎪ 2 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ {ε } = ⎨ε yy ⎬ = ⋅ ⎨ (1 + ε ) ⋅ v1 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ (8.27) ⎪γ ⎪ h 4 ⎪(1 + ξ ) ⋅ u + (1 + η ) ⋅ v − (1 + ξ ) ⋅ u ⎪ ⎪ 0 ⎪ 1 1 4⎭ ⎩ ⎩ xy ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 137

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.1.6 v = 1/3

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

q ⎧σ xx ⎫ ⎧ ⎫ ⎧100 MPa ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ e ⎪⎪ ⎪ ⎪ {σ } = ⎨σ yy ⎬ = ⎨ 0 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ ⎪ ⎪τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎩

(8.28)

■■ Déplacements

En posant maintenant ν = 1 3 , le système (8.22) s’écrit : 3 ⎡1 ⎢ 2 16 ⎢ 3 1 Ee ⋅ ⎢ ⎢16 2 ⎢1 0 ⎢ ⎣16 Ce qui donne pour les déplacements :



1⎤ ⎧ qh ⎫ 16 ⎥ ⎧U ⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎥ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⋅ ⎨ V1 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎥ ⎩U 4 ⎭ ⎪ qh ⎪ ⎥ ⎩2⎭ 2⎦

28 qh ⎧ ⎪U1 = 27 Ee = 0.494 mm ⎪ 7 qh ⎪ = −0.185 mm ⎨V1 = − 18 Ee ⎪ 47 qh ⎪ ⎪⎩U 4 = 54 Ee = 0.414 mm

(8.29)

(8.30)

Figure 8.5 – Exemple 5 : déformée (Effel) pour n = 1/3.

138

9782100544639.indb 138

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8 • Éléments de membrane

8.1 Exemple 5 : élément quadrangle 

■■ Réactions

Les réactions sont alors égales : ⎤ ⎞ ⎛ 1 − 3ν ⎞ ⎛ −3 + ν ⎞ ⎟ ⋅U1 + ⎜ ⎟ ⋅V1 + ⎜ ⎟ ⋅U 4 ⎥ ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎦ 13 Ee R X 2 = [ −10U1 + 0 − 8U 4 ] = − qh = −5.417 MN 32 24 E ⋅ e ⎡⎛ −1 + 3ν ⎞ ⎤ ⎛ν ⎞ ⎛ 1 +ν ⎞ ⋅ ⎢⎜ RY 2 = ⎟ ⋅U1 + ⎜ ⎟ ⋅V1 + ⎜ ⎟ ⋅U 4 ⎥ 2 ⎝6⎠ ⎝ 8 ⎠ (1 −ν ) ⎣⎝ 8 ⎠ ⎦

E ⋅ e ⎡⎛ −3 −ν ⋅ (1 −ν 2 ) ⎢⎣⎜⎝ 12

A 

RX 2 =

9 Ee ⎡ V1 U 4 ⎤ = 1.389 MN 0+ + 8 ⎢⎣ 18 6 ⎥⎦ (8.31) E ⋅ e ⎡⎛ −3 + ν ⎞ ⎤ ⎛ −1 −ν ⎞ ⎛ −3 −ν ⎞ ⋅V + ⋅U = ⋅ ⋅U + (1 −ν 2 ) ⎢⎣⎜⎝ 12 ⎟⎠ 1 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 1 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 4 ⎥⎦

RY 2 = RX 3

9 Ee ⎡ 2U1 V1 5U 4 ⎤ − − − = −4.583 MN 8 ⎢⎣ 9 6 18 ⎥⎦ E ⋅ e ⎡⎛ −1 −ν ⎞ ⎛ −3 + ν ⎞ ⎛ 1 − 3ν = ⋅ ⎢⎜ ⎟ ⋅U 1 + ⎜ ⎟ ⋅V1 + ⎜ 2 ⎝ 12 ⎠ ⎝ 8 (1 −ν ) ⎣⎝ 8 ⎠

RX 3 = RY 3

RY 3 =

⎤ ⎞ ⎟ ⋅U 4 ⎥ ⎠ ⎦

9 Ee ⎡ U1 2V1 ⎤ − − + 0⎥ ≠ 0 ⎢ 8 ⎣ 6 9 ⎦

La réaction R X 3 est encore une fois à multiplier par deux en raison de la symétrie. Celle au nœud 3 dans la direction Y est non nulle. Cependant, cette valeur s’annule avec celle de l’élément limitrophe qui grâce à la symétrie permet de bien trouver RY 3 égale à zéro. ■■ Contraintes

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

En appliquant à nouveau la relation (8.26), on trouve pour ν = 1 3  :





9782100544639.indb 139

⎧ε xx ⎫ ⎧ ⎫ (1 + η ) ⋅ u1 + (1 − η ) ⋅ u4 ⎪ ⎪ 2 1⎪ ⎪ {ε } = ⎨ε yy ⎬ = ⋅ ⎨ (1 + ε ) ⋅ v1 ⎬ ⎪γ ⎪ h 4 ⎪(1 + ξ ) ⋅ u + (1 + η ) ⋅ v − (1 + ξ ) ⋅ u ⎪ 1 1 4⎭ ⎩ ⎩ xy ⎭ ⎧ 103 + 9η ⎫ ⎪ ⎪ 108 ⎪ ⎪ 7 (1 + ξ ) ⎪ q ⎪ = ⎨ − ⎬ Eh ⎪ 36 ⎪ ⎪ ( 4 + 7η − 3ξ ) ⎪ ⎪− ⎪ 36 ⎩ ⎭

(8.32)

139

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8 • Éléments de membrane



8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

⎧ ( 96 + 9η − 7ξ ) ⎫ ⎪ ⎪ 96 ⎧σ xx ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q ⎪ ( 40 + 9η − 63ξ ) ⎪ {σ } = ⎨σ yy ⎬ = ⎨ ⎬ 288 ⎪τ ⎪ e ⎪ ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎪ ( 4 + 7η − 3ξ ) ⎪ ⎪− ⎪ 96 ⎩ ⎭

(8.33)

soit en fonction des coordonnées x, h :

ξ = −1; η = 1 ⎧σ xx ⎫ ⎧ 116.7 MPa ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ {σ } = ⎨σ yy ⎬ = ⎨ 38.9 MPa ⎬ ⎪ τ ⎪ ⎪−14.6 MPa ⎪ ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩

ξ = 1; η = 1 ⎧σ xx ⎫ ⎧ 102 MPa ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ {σ } = ⎨σ yy ⎬ = ⎨−4.86 MPa ⎬ ⎪ τ ⎪ ⎪ −8.33 MPa ⎪ ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩

ξ = 0; η = 0



⎧ ⎫ ⎪ 1 ⎪ ⎧σ xx ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ 100 MPa ⎫ ⎪ ⎪ q ⎪ 40 ⎪ ⎪ ⎪ {σ } = ⎨σ yy ⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨ 13.89 MPa ⎬ ⎪ τ ⎪ e ⎪ 288 ⎪ ⎪−4.17 MPa ⎪ ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎪− 4 ⎪ ⎩ ⎪⎩ 96 ⎪⎭

ξ = −1; η = −1 ⎧σ xx ⎫ ⎧97.9 MPa ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ {σ } = ⎨σ yy ⎬ = ⎨32.6 MPa ⎬ ⎪τ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩

(8.34)

ξ = 1; η = −1 ⎧σ xx ⎫ ⎧ 83.3 MPa ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ {σ } = ⎨σ yy ⎬ = ⎨−11.1 MPa ⎬ ⎪ τ ⎪ ⎪ 6.25 MPa ⎪ ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩

La comparaison des résultats obtenus avec les deux valeurs de coefficient de P ­ oisson met en évidence le raccourcissement transversal associé à ν = 1 3 . En effet, la charge répartie q provoque dans ce cas des contraintes normales horizontales mais également transversales. On notera également l’apparition de contraintes de cisaillement.

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire Soit la structure suivante modélisée avec deux éléments isoparamétriques membranes triangulaires à trois nœuds d’épaisseur e  : 140

9782100544639.indb 140

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

q = 1 107 N/m

Y X 4

3

x y 

h

A

y 1



 x

2 h

Figure 8.6 – Exemple 6 : deux éléments membranes triangulaires.

Application numérique : E = 2.1 1011 N/m2, n = 0.3, q = 1 107 N/m, h = 1 m, e = 0.1 m Tableau 8.2 – Exemple 6 : connectivité élémentaire. Nœuds Élément

I

J

K

1

1

2

4

2

3

4

2

Les fonctions de forme de l’élément de référence associé sont d’après (7.18) égales à : ⎧ N1(ξ ,η ) = 1 − ξ − η ⎪ ⎨ N 2 (ξ ,η ) = ξ ⎪ N (ξ ,η ) = η ⎩ 3

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



(8.35)

η 3 (0,1)

v u 1

(1,0) 2

ξ

Figure 8.7 – Élément de référence T3.



9782100544639.indb 141

141

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

8.2.1 Calcul de la matrice jacobienne et de son inverse

Le principe de calcul du jacobien étant celui décrit en (7.37), on a pour l’élément 1 :



⎡ ∂ N1 ⎢ ∂ξ [ J1 ] = ⎢ ∂ N ⎢ 1 ⎢⎣ ∂η

∂ N2 ∂ξ ∂ N2 ∂η

∂ N3 ⎤ ⎡ x1 ∂ξ ⎥ ⎢ ⎥⋅ x ∂ N3 ⎥ ⎢ 2 ⎢x ∂η ⎥⎦ ⎣ 4

⎡ x1 y1 ⎤ ⎥ ⎡ −1 1 0 ⎤ ⎢ ⋅ x y2 ⎥ = ⎢ −1 0 1 ⎥⎦ ⎢ 2 ⎣ ⎢ x4 y 4 ⎥⎦ ⎣

y1 ⎤ ⎥ y2 ⎥ (8.36) y 4 ⎥⎦

y2 − y1 ⎤ ⎡h 0 ⎤ = et det [ J1 ] = h 2 y 4 − y1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 h ⎥⎦

(8.37)

ce qui donne :

⎡ x 2 − x1 ⎣ 4 − x1

[ J1 ] = ⎢ x

De la même façon, nous avons pour l’élément 2 : ⎡ x3 ⎡ −1 1 0 ⎤ ⎢ [ J 2 ] = ⎢ −1 0 1 ⎥ ⋅ ⎢ x 4 ⎣ ⎦ ⎢x ⎣ 2



y3 ⎤ ⎥ y4 ⎥ y2 ⎥⎦

(8.38)

soit :

⎡ x 4 − x3 ⎣ 2 − x3

[ J2 ] = ⎢x

y 4 − y3 ⎤ ⎡ h 0 ⎤ = et det [ J2 ] = h 2 y2 − y3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 h ⎥⎦

(8.39)

1 ⎡1 0 ⎤ ⎢ ⎥ h ⎣0 1 ⎦

(8.40)

d’où finalement :

[ J1 ]−1 = [ J 2 ]−1 =

De ce fait, les relations entre les

∂ Ni ∂ Ni ∂ Ni ∂ Ni , et , sont égales à : ∂x ∂ y ∂ξ ∂η



⎧∂ Ni 1 ∂ Ni ⎪⎪ ∂ x = h ∂ξ ⎨∂ N 1 ∂ Ni i ⎪ = h ∂η ⎩⎪ ∂ y

(8.41)

On notera par ailleurs qu’en (8.37) et (8.39) le déterminant du jacobien est égal à deux fois l’aire du triangle ce qui constitue une des particularités de l’élément triangulaire à trois nœuds.

142

9782100544639.indb 142

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8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

8.2.2 Matrice de rigidité élémentaire en repère local

Reprenant la même démarche qu’en § 8.1.2, on a :



∂ N2 ∂x

0

∂ N1 ∂y ∂ N1 ∂x

0

∂ N2 ∂y ∂ N2 ∂x

0

∂ N2 ∂y

∂ N3 ∂x 0

∂ N3 ∂y

⎤ 0 ⎥ ⎥ ∂ N3 ⎥ ∂ y ⎥⎥ ∂ N3 ⎥ ∂ x ⎥⎦

(8.42)

A 

⎡∂ N 1 ⎢ x ∂ ⎢ ⎢ [B ] = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ∂ N1 ⎢ ∂y ⎣

⎡ −1 0 1 0 0 0 ⎤ 1⎢ ⎥ = ⎢ 0 −1 0 0 0 1 ⎥ h ⎢ −1 −1 0 1 1 0 ⎥ ⎣   ⎦ [ B1 ]

On sait en vertu de (7.38) que :

[k1 ] =

Les

⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⋅ [ B1 ] ⋅ det [ J1 ] ⋅ d ξ dη ⋅ ⎢ν 1 ⎢ 1 −ν ⎥ ⎥ ⎢0 0 2 ⎦ ⎣

T eEh 2 1 1 1 1−ξ B [ ] 1 (1 −ν 2 ) h h ∫0 ∫0

(8.43)

∂ Ni ∂ Ni et étant indépendants de ξ ,η , il est possible de considérer chacun ∂ξ ∂η

des termes de la matrice [ k1 ] comme une constante et d’intégrer une seule fois le produit d ξ dη , soit :

1 1−ξ

∫0 ∫0

1

1−ξ 0

d ξ dη = ∫ [η ] 0

1

1 ξ2 ⎤ ⎡ ⋅ d ξ = ∫ (1 − ξ ) ⋅ d ξ = ⎢ξ − ⎥ = (8.44) 0 2 ⎦0 2 ⎣ 1

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

d’où finalement :



⎡ 3 −ν ⎢ 1 +ν ⎢ ⎢ −2 Ee [k1 ] = ⎢ 2 4 (1 −ν ) ⎢ −1 + ν ⎢ −1 + ν ⎢ ⎢⎣ −2ν

1 +ν 3 −ν −2ν −1 + ν −1 + ν −2

−2 −2ν 2 0 0 2ν

−1 + ν −1 + ν 0 1 −ν 1 −ν 0

−1 + ν −1 + ν 0 1 −ν 1 −ν 0

−2ν ⎤ −2 ⎥ ⎥ 2ν ⎥ ⎥ (8.45) 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2 ⎥⎦

qui est aussi égale à [ k2 ] puisque les deux éléments sont semblables. 

9782100544639.indb 143

143

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8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

8.2.3 Matrices de rigidité élémentaire en repère global

La démarche étant identique à celle décrite en § 4.2.4, les matrices de changement de repère [ R1 ] et [ R2 ] sont de la forme :



⎡ cosθ ⎢ − sin θ ⎢ ⎢ 0 [ Re ] = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

sin θ cosθ 0 0 0 0

0 0 cosθ − sin θ 0 0

0 0 sin θ cosθ 0 0

0 0 0 0 cos θ − sin θ

0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ sin θ ⎥ ⎥ cosθ ⎥⎦

(8.46)

On déduit alors pour les matrices [ K 1 ] et [ K 2 ] en repère global :

Élément 1 : q = 0

[ R1 ] = [ I ] ⇒ [ K 1 ] = [ R1 ]T ⋅ [k1 ] ⋅ [ R1 ] = [k1 ]

(8.47)

[ R2 ] = − [ I ] ⇒ [ K 2 ] = [ R2 ]T ⋅ [k2 ] ⋅ [ R2 ] = [k2 ]

(8.48)



Élément 2 : q = p

8.2.4 Vecteur charges en repère local et global T

On sait en vertu de (4.18) que { f 2s } = ∫ [ N ] ⋅ { f s2

s

} ⋅ dS2 .

La face 3-4 de l’élément 2 étant la seule chargée, seules les fonctions de forme N1 et N 2 seront concernées pour le calcul. En posant le changement de base dx = h ⋅ d ξ , on obtient :



⎧ ⎧ 0 ⎫⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎪ F3 x ⎫ ⎪ qh ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎡ N1 0 ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ qh ⎪ ⎢ ⎥ F N 0 0 1 ⎧ ⎫ 1⎥ ⎪ 2 ⎪⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 3y ⎪ = ⎢ ⎪ F4 x ⎬ ∫0 ⎢ N 2 0 ⎥ ⋅ ⎨q ⎬ ⋅ h ⋅ d ξ = ⎨ 0 ⎬⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪⎪ = ⎪ ⎪ { f 2s } = ⎨⎪F4 y ⎪⎪ ⎢ 0 N 2 ⎥ ⎩ ⎭ ⎪ qh ⎪⎬ ⎨ qh ⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2 ⎭⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ F2 x ⎫ ⎧0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = F2 y ⎬⎭ ⎨⎩0 ⎬⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭

(8.49)

144

9782100544639.indb 144

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

T

Comme {F2s } = [ R2 ] ⋅ { f 2s } , on déduit :

⎧ 0 ⎫ ⎪ qh ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ 0 ⎪ {F2s } = ⎪⎨ qh ⎪⎬ ⎪− ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭

(8.50)

A 



8.2.5 Assemblage des matrices élémentaires

En divisant chacune des matrices [ K 1 ] et [ K 2 ] en neuf sous matrices 2 ¥ 2 K ij (i nœud de départ, j nœud d’arrivée), les matrices de rigidité élémentaire deviennent :

⎡ K 11 [ K 1 ] = ⎢⎢ K 21 ⎢ K 41 ⎣

K 12 K 22 K 42

⎡ K 33 K 14 ⎤ ⎥ ⎢ K 24 ⎥ et [ K 2 ] = ⎢ K 43 ⎢ K 23 K 44 ⎥⎦ ⎣

K 34 K 44 K 24

K 32 ⎤ ⎥ K 42 ⎥ K 22 ⎥⎦

(8.51)

d’où la matrice de rigidité de la structure :



⎡ ( K 11 )1 ⎢ (K ) K = [ ] ⎢⎢ 021 1 ⎢ ⎢⎣( K 41 )1

0 ⎤ ( K 12 )1 ( K 14 )1 ( K 22 )1 + ( K 22 )2 ( K 23 )2 ( K 24 )1 + ( K 24 )2 ⎥⎥ (8.52) ⎥ ( K 32 )2 ( K 33 )2 ( K 34 )2 ⎥ ( K 42 )1 + ( K 42 )2 ( K 43 )2 ( K 44 )1 + ( K 44 )2 ⎥⎦

d’où :

[K ] = © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎡ 3 −ν ⎢ 1 +ν ⎢ ⎢ −2 ⎢ Ee ⎢ −1 + ν 4 (1 −ν 2 ) ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ −1 + ν ⎢ ⎢⎣ −2ν

1 +ν −2 −1 + ν 3 −ν −2ν −1 + ν −2ν 2 + 1 −ν 0 −1 + ν 0 1 −ν + 2 0 −1 + ν −2ν 0 −1 + ν −2 −1 + ν 0 1 −ν + 2ν −2 2ν + 1 −ν 0

0 0 −1 + ν −2ν 3 −ν 1 +ν −2 −1 + ν

0 −1 + ν −2ν ⎤ 0 −1 + ν −2 ⎥ ⎥ −1 + ν 0 2ν + 1 −ν ⎥ ⎥ −2 1 −ν + 2ν 0 ⎥ 1 +ν −2 −1 + ν ⎥ ⎥ 3 −ν −2ν −1 + ν ⎥ ⎥ −2ν 1 −ν + 2 0 ⎥ −1 + ν 0 2 + 1 −ν ⎥⎦ (8.53)



9782100544639.indb 145

145

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8 • Éléments de membrane

soit après simplification : ⎡ 3 −ν 1 + ν ⎢ 1 + ν 3 −ν ⎢ ⎢ −2 −2ν ⎢ Ee ⎢ −1 + ν −1 + ν [K ] = 2 0 4 (1 −ν ) ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ −1 + ν −1 + ν ⎢ −2 ⎢⎣ −2ν

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

−2 −2ν 3 −ν 0 −1 + ν −1 + ν 0 1 +ν

−1 + ν −1 + ν 0 3 −ν −2ν −2 1 +ν 0

0 0 −1 + ν −2ν 3 −ν 1 +ν −2 −1 + ν

0 0 −1 + ν −2 1 +ν 3 −ν −2ν −1 + ν

−1 + ν −1 + ν 0 1 +ν −2 −2ν 3 −ν 0

−2ν ⎤ −2 ⎥ ⎥ 1 +ν ⎥ ⎥ 0 ⎥ (8.54) −11 + ν ⎥ ⎥ −1 + ν ⎥ 0 ⎥ ⎥ 3 −ν ⎥⎦

Ceci étant, il aurait été tout à fait possible d’utiliser les matrices booléennes d’assemblage vues en § 4.2.4. Il suffirait alors de poser que [ A1 ] et [ A2 ] sont respectivement égales à : ⎡1 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡0 0 0 0 1 0 0 0 ⎤ ⎢0 1 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢0 0 0 0 0 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢0 0 1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢0 0 0 0 0 0 1 0 ⎥ [ A1 ] = ⎢0 0 0 1 0 0 0 0 ⎥ [ A2 ] = ⎢0 0 0 0 0 0 0 1 ⎥ (8.55) ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢0 0 0 0 0 0 1 0 ⎥ ⎢0 0 1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 1 0 0 0 0 ⎥⎦ et de calculer ensuite :

[ K ] = [ A1 ]T ⋅ [ K 1 ] ⋅ [ A1 ] + [ A2 ]T ⋅ [ K 2 ] ⋅ [ A2 ]

(8.56)

8.2.6 Conditions d’appui : nœuds 1, 2 et 4 bloqués ■■ Déplacements

Les nœuds 1,2 et 4 étant bloqués dans les directions horizontale et verticale, le vecteur charges {F } en repère global s’écrit : ⎧ RX 1 ⎫ ⎪ R ⎪ Y1 ⎪ ⎪ ⎪ RX 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ RY 2 ⎪ ⎪ ⎪ (8.57) {F } = ⎨ 0 ⎬ qh ⎪ ⎪ ⎪ − 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ RX 4 ⎪ ⎪ qh ⎪ ⎪RY 4 − ⎪ 2⎭ ⎩ 146

9782100544639.indb 146

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8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

Le système [ K ] ⋅ {Q } = {F } associé à (8.54) et (8.57) devient après introduction des conditions d’appui : ⎧ 0 ⎫ ⎧⎪ ⎡3 −ν 1 + ν ⎤ ⎧U 3 ⎫ ⎪ E ⎪ (8.58) ⎨ ⎢1 + ν 3 −ν ⎥ ⋅ ⎨V ⎬ = ⎨ qh ⎬ 2 ⎪⎩ 4 (1 −ν ) ⎣ ⎦ ⎩ 3 ⎭ ⎪− ⎪ ⎩ 2⎭ ce qui donne pour les déplacements au nœud 3 :

A (8.59)





2 ⎧ qh (1 + ν ) = 0.201mm ⎪U 3 = ⎪ 4 Ee ⎨ ⎪V = − qh (1 + ν ) ( 3 −ν ) = −0.418 mm ⎪⎩ 3 4 Ee

Figure 8.8 – Exemple 6 : déformée (Effel) avec nœuds 1, 2 et 4 bloqués.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

■■ Réactions



Les réactions aux nœuds bloqués peuvent être obtenues directement à partir de la matrice de rigidité du système (8.54) et de la relation : 0 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎧ 0 ⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎧ RX 1 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ qh (1 −ν ) ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ RY 1 ⎪ ⎪ ⎪0⎪ ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪RX 2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ qh ( 3 + ν ) ⎪ ⎪ 875000 N ⎪ ⎪ RY 2 ⎪ ⎪0⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4125000 N ⎪ 8 ⎨ 0 ⎬ = [ K ] ⋅ ⎨U ⎬ − ⎨ ⎬ =⎨ ⎬ (8.60) ⎬=⎨ 0 0 qh 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 ⎪ 0 ⎪ ⎪V3 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪R X 4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ qh (1 −ν ) ⎪ ⎪ −875000 N ⎪ ⎪R ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ qh ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ 5875000 N ⎪ 8 ⎩ Y4⎭ ⎩ ⎭ ⎪− ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ ⎩ 2 ⎭ ⎪ qh ( 5 −ν ) ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ 8 147

9782100544639.indb 147

09/02/10 14:57

8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

□□ Contraintes

Les nœuds 1, 2 et 4 de l’élément 1 étant tous bloqués, les contraintes dans cet élément sont bien évidemment toutes nulles. Concernant l’élément 2 et afin d’évaluer les déplacements dans son repère local, il est tout d’abord nécessaire de faire le changement de base inverse suivant : (8.61) {q2 } = [ R2 ] ⋅ {Q2 } = − [ I ] ⋅ {Q2 } = − {Q2 } Avant de calculer les contraintes proprement dites, il faut évaluer les déformations au moyen de la relation (4.10) en posant que {ε } = [ B ] ⋅ {q2 } , [ B ]  correspondant dans ce cas à l’expression trouvée en (8.42). On a : ⎧u3 ⎫ ⎪v ⎪ 3 ⎡ −1 0 1 0 0 0 ⎤ ⎪ ⎪ 1 ⎪⎪u4 ⎪⎪ (8.62) {ε } = − ⎢⎢ 0 −1 0 0 0 1 ⎥⎥ ⎨ ⎬ v4 ⎪ h ⎪ ⎢ −1 −1 0 1 1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎪u ⎪ 2 ⎪ ⎪ v ⎩⎪ 2 ⎪⎭ d’où les contraintes dans l’élément : ⎧ q (1 −ν ) ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ 4e ⎪ ⎧ 17.5 MPa ⎫ ⎢1 ν ⎧σ xx ⎫ 0 ⎥ ⎪ ⎥ E ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q (3 +ν ) ⎪ ⎪ ν ε 1 0 = ⋅ {σ 2 } = ⎨σ yy ⎬ = { } ⎨− ⎬ = ⎨−82.5 MPa ⎬ (8.63) ⎢ ⎥ 2 − ν 1 e 4 ⎪τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−17.5 MPa ⎪ ⎢ 1 −ν ⎥ ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎪ q (1 −ν ) ⎪ ⎩ ⎢0 0 ⎥ − ⎣ 2 ⎦ ⎪ 4e ⎪⎭ ⎩ 8.2.7 Conditions d’appui : nœuds 1, 2 et 3 bloqués ■■ Déplacements

Répétant le processus du § 8.2.6 en considérant maintenant les nœuds 1, 2 et 3 bloqués, le vecteur {F } et le système à résoudre deviennent respectivement : ⎧ RX 1 ⎫ ⎪ R ⎪ Y1 ⎪ ⎪ ⎪ RX 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ RY 2 ⎪ ⎪ ⎪ (8.64) {F } = ⎨ R X 3 ⎬ qh ⎪ ⎪ ⎪RY 3 − 2 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ qh ⎪ ⎪ ⎪ − 2 ⎭ ⎩ 148

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8 • Éléments de membrane

⎡3 − ν E ⎢ 4 (1 −ν 2 ) ⎣ 0



8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

0 ⎫ 0 ⎤ ⎧U 4 ⎫ ⎧⎪ ⎪ ⋅ ⎨ ⎬ = ⎨ qh ⎬ 3 −ν ⎥⎦ ⎩V4 ⎭ ⎪− ⎪ ⎩ 2⎭

(8.66)

A 

d’où les déplacements au nœud 4 : ⎧U 4 = 0 ⎪ 2qh (1 −ν 2 ) ⎨ = −0.321mm V = − 4 ⎪ Ee ( 3 −ν ) ⎩

(8.65)

Figure 8.9 – Exemple 6 : déformée (Effel) avec nœuds 1, 2 et 3 bloqués. ■■ Réactions

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Le calcul des réactions devient :





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⎧ qhν ⎫ ⎪ 3 −ν ⎪ ⎪ ⎧ 0 ⎫ ⎪ qh ⎪ ⎪ ⎧ 1111111 N ⎫ ⎧ RX 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ν − ⎪ ⎪R ⎪ ⎪ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3703703 N ⎪ Y 1 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 qh ν + ( ) ⎪ ⎪−2407407 N ⎪ ⎪RX 2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ − 2 3 ν ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ 0 ⎪ RY 2 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪⎪ 0 ⎨ ⎬ (8.67) ⎬=⎨ ⎬ = [K ] ⋅ ⎨ ⎬ − ⎨ ⎬=⎨ ⎪R X 4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ qh ⎪ ⎪ qh (1 −ν ) ⎪ ⎪ 1296296 N ⎪ ⎪ RY 4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6296296 N ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ( 3 −ν ) ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪U 4 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ qh ( 2 −ν ) ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪V4 ⎪ ⎪ qh ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪− ⎪ ⎪ 3 −ν ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ 2⎭ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪⎩ ⎪⎭ 149

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8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

■■ Contraintes

Le repère local de l’élément 1 étant confondu avec le repère global, on sait que  {q1} = [ R1 ] ⋅ {Q1} = [ I ] ⋅ {Q1} = {Q1} d’où pour les contraintes dans cet élément :



⎧ u1 ⎫ ⎪v ⎪ 1 ⎧σ xx ⎫ ⎡ −1 0 1 0 0 0 ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ u 1 ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪⎪ {σ1} = ⎨σ yy ⎬ = [ H ] ⋅ {ε } = [ H ] ⋅ ⎢⎢ 0 −1 0 0 0 1 ⎥⎥ ⋅ ⎨ ⎬ (8.68) v h ⎪τ ⎪ ⎢ −1 −1 0 1 1 0 ⎥ ⎪ 2 ⎪ ⎣ ⎦ ⎪u ⎪ ⎩ xy ⎭ 4 ⎪ ⎪ ⎪⎩v4 ⎪⎭

2qν ⎫ ⎧ ⎪− e ( 3 −ν ) ⎪ ⎧σ xx ⎫ ⎪ ⎪ ⎧−22 MPa ⎫ 2q ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ d’où   {σ 1 } = ⎨σ yy ⎬ = ⎨− ⎬ = ⎨−74 MPa ⎬ . − ν e 3 ( ) ⎪τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ La démarche de calcul étant identique à celle établie en § 8.2.6, les contraintes dans l’élément 2 sont égales : ⎧u3 ⎫ ⎪v ⎪ 3 ⎧σ xx ⎫ ⎡ −1 0 1 0 0 0 ⎤ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪⎪u4 ⎪⎪ {σ 2 } = ⎨σ yy ⎬ = [ H ] ⋅ {ε } = [ H ] ⎢⎢ 0 −1 0 0 0 1 ⎥⎥ ⎨ ⎬ (8.69) v h ⎪τ ⎪ ⎢ −1 −1 0 1 1 0 ⎥ ⎪ 4 ⎪ ⎣ ⎦ ⎪u ⎪ ⎩ xy ⎭ 2 ⎪ ⎪ v ⎪⎩ 2 ⎪⎭ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧σ xx ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎧ 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ soit   {σ 2 } = ⎨σ yy ⎬ = ⎨ 0 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ . ⎪ τ ⎪ ⎪ q 1 −ν ⎪ ⎪26 MPa ⎪ )⎪ ⎩ ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎪ ( ⎪⎩ e ( 3 −ν ) ⎪⎭ 8.2.8 Propriétés de l’élément triangle

Les déplacements obtenus aux chapitres 8.2.6 et 8.2.7 mettent en évidence une dissymétrie de comportement étrange, les deux modélisations devant amener normalement aux mêmes résultats. Ceci est dû au fait que l’élément triangle ne répartit pas uniformément les rigidités. Pour éviter cet inconvénient, il est donc conseillé 150

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8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

de réaliser des maillages le plus symétriques possibles ou à défaut d’utiliser des éléments de petites tailles. Considérant maintenant le modèle précédent appuyé uniquement aux nœuds 1 et 2, on s’aperçoit même que l’élément triangle introduit des dissymétries sur des modèles symétriques. Pour calculer ces nouveaux déplacements, il suffit de reprendre la matrice de rigidité [ K ] (8.54) et de résoudre le système  [ K LL1 ] ⋅ {Q L1 } = {Fext } avec : ⎡ 3 −ν ⎢ 1 +ν ⎢ ⎢ −2 ⎢ Ee ⎢ −1 + ν 4 (1 −ν 2 ) ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ −1 + ν ⎢ ⎢⎣ −2ν

1 +ν 3 −ν −2ν −1 + ν 0 0 −1 + ν −2

−2 −2ν 3 −ν 0 −1 + ν −1 + ν 0 1 +ν

−1 + ν −1 + ν 0 3 −ν −2ν −2 1 +ν 0

0 0 −1 + ν −2ν 3 −ν 1 +ν −2 −1 + ν

0 0 −1 + ν −2 1 +ν 3 −ν −2ν −1 + ν

−1 + ν −2ν ⎤ −1 + ν −2 ⎥ ⎥ 0 1 +ν ⎥ ⎥ 1 +ν 0 ⎥ −2 −11 + ν ⎥ (8.70) ⎥ −2ν −1 + ν ⎥ 3 −ν 0 ⎥ ⎥ 0 3 −ν ⎥⎦

A 

[K ] =

[ K LL1 ] ⎧ 0 ⎫ ⎪ qh ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ et {Fext } = ⎨ 2 ⎬ résultant de (8.50) et correspondant aux efforts aux nœuds 3 ⎪ 0 ⎪ ⎪ qh ⎪ ⎪− ⎪ ⎩ 2⎭ et 4 de l’élément 2. On obtient alors : © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

4qhν (1 + ν ) ⎧ = 0.0989 mm ⎪U 3 = − Ee (ν 2 − 2ν − 7 ) ⎪ ⎪ qh (1 + ν ) (ν 2 − 4ν + 7 ) ⎪V3 = = −0.486 mm Ee (ν 2 − 2ν − 7 ) ⎪ [ K LL1 ] ⋅ {QL1} = {Fext } ⇒ ⎨ 2 ⎪U = 2qhν (1 −ν ) = −0.0346 mm ⎪ 4 Ee (ν 2 − 2ν − 7 ) ⎪ qh (ν + 7 ) (1 −ν 2 ) ⎪ = −0.421mm ⎪V4 = Ee (ν 2 − 2ν − 7 ) ⎩ 

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(8.71)

151

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8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

Figure 8.10 – Exemple 6 : déformée (Effel) avec nœuds 1 et 2 bloqués.

La même structure modélisée avec un élément quadrangle Q4 donnerait, a contrario de l’élément triangle, des résultats symétriques. Pour ce faire, on reprend la matrice de rigidité trouvée en (8.21) :

[K ] = ⎡ 3 −ν ⎢ 6 ⎢ ⎢ 1 +ν ⎢ 8 ⎢ −3 −ν ⎢ ⎢ 12 ⎢ −1 + 3ν ⎢ Ee ⎢ 8 1 −ν 2 ⎢ −3 + ν ⎢ 12 ⎢ −1 −ν ⎢ ⎢ 8 ⎢ ν ⎢ ⎢ 6 ⎢ 1 − 3ν ⎢⎣ 8

1 +ν 8 3 −ν 6 1 − 3ν 8 ν 6 −1 −ν 8 −3 + ν 12 −1 + 3ν 8 −3 − ν 12

−3 −ν 12 1 − 3ν 8 3 −ν 6 −1 −ν 8 ν 6 −1 + 3ν 8 −3 + ν 12 1 +ν 8

−1 + 3ν 8 ν 6 −1 −ν 8 3 −ν 6 1 − 3ν 8 −3 −ν 12 1 +ν 8 −3 + ν 12

−3 + ν 12 −1 −ν 8 ν 6 1 − 3ν 8 3 −ν 6 1 +ν 8 −3 − ν 12 −1 + 3ν 8

−1 −ν 8 −3 + ν 12 −1 + 3ν 8 −3 −ν 12 1 +ν 8 3 −ν 6 1 − 3ν 8 ν 6

ν 6 −1 + 3ν 8 −33 + ν 12 1 +ν 8 −3 −ν 12 1 − 3ν 8 3 −ν 6 −1 −ν 8

1 − 3ν ⎤ 8 ⎥ ⎥ −3 −ν ⎥ 12 ⎥ 1 +ν ⎥ ⎥ 8 ⎥ −3 + ν ⎥ 12 ⎥ (8.72) ⎥ −1 + 3ν ⎥ 8 ⎥ ν ⎥ ⎥ 6 ⎥ −1 − ν ⎥ ⎥ 8 ⎥ 3 −ν ⎥ 6 ⎦⎥

[ K LL2 ] et on résout [ K LL 2 ] ⋅ {Q L 2 } = {Fext } d’où : 152

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8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

⎧ 6qhν (1 − ν 2 ) U = 0.0956 mm = − ⎪ 3 Ee ( 6ν 2 + ν − 9 ) ⎪ ⎪ qh (ν − 9 ) (1 −ν 2 ) ⎪V3 = − = −0.462 mm Ee ( 6ν 2 + ν − 9 ) ⎪⎪ ⎨ 2 ⎪U = 6qhν (1 −ν ) = −0.0956 mm ⎪ 4 Ee ( 6ν 2 + ν − 9 ) ⎪ ⎪ qh (ν − 9 ) (1 −ν 2 ) = −0.462 mm ⎪V4 = − Ee ( 6ν 2 + ν − 9 ) ⎪⎩

(8.73)

A 

8 • Éléments de membrane

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Figure 8.11 – déformée (Effel) avec nœuds 1 et 2 bloqués (Q4).

Figure 8.12 – Déplacements /X (Effel) – T3 / Déplacements /Y (Effel) – T3.



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153

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8 • Éléments de membrane

8.2 Exemple 6 : élément triangulaire 

Bien évidemment, la diminution de la taille des éléments triangulaires fera disparaître peu à peu la dissymétrie, l’idéal étant bien sûr de réaliser un maillage le plus homogène possible (cf. figure 8.13). Dans le cas contraire et comme il est possible de le constater à la figure 8.12, les résultats pourront être parfois assez curieux, ceci se traduisant dans notre cas par des différences entre les déplacements latéraux et verticaux. Bien évidemment, tout rentrera dans l’ordre avec un maillage plus homogène.

Figure 8.13 – Déplacements /X (Effel) – T3 / Déplacements /Y (Effel) – T3.

En conséquence, l’utilisation de triangles hétérogènes peut perturber assez sensiblement les résultats. En effet et sachant qu’en théorie, le déplacement vertical de cette membrane doit être égal à : qh Δv σ −qh he ε= = = ⇒ Δv = − = −0.476 mm 1 h E E Ee

Figure 8.14 – Déplacements /X (Effel) – Q4 / Déplacements /Y (Effel) – Q4.

1. On néglige dans ce calcul l’effet dû au coefficient de Poisson. De ce fait, on retrouve le résultat (8.24).

154

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

La comparaison démontre un bon comportement des maillages quadrangles et triangles homogènes, le premier dissymétrique restant approximatif.

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 0,6 m

0,1 m

0,2 m



0,05 m

A q

Y X

Figure 8.15 – Exemple 7 : plaque rectangulaire trouée.

Application numérique : L = 0.60 m, E = 2.1 1011 N/m2, n = 0.3, h = 0.20 m, q = 1 106 N/m, e = 1 cm (épaisseur de la tôle), r = 5 cm (rayon du trou). 8.3.1 Principe de la modélisation géométrique

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Comme vu précédemment, l’approche par éléments finis est essentiellement basée sur une notion d’éléments. Chacun de ces éléments doit être décrit suivant son type à partir des nœuds sommets caractérisant sa géométrie. On parlera alors de connectivité élémentaire. Cette approche par discrétisation élémentaire pouvant devenir très lourde dans le cas de structures complexes, il a été fait appel à des techniques empruntées à la CAO (Conception Assistée par Ordinateur) qui permettent une description précise de la géométrie avec un minimum d’entrées de données. De manière très synthétique, il s’agit en fait de décrire la structure à partir de points, de lignes, de surfaces ou de volumes, chacune de ces entités géométriques devant être associée à un type d’élément. Par exemple, une ligne géométrique pourra être discrétisée avec des éléments poutres, une surface avec des éléments membranes, un volume avec à des éléments hexaédriques.

Figure 8.16 – modélisation géométrique.



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155

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

Dans notre cas d’étude, cette modélisation se réduira à la création d’une surface rectangulaire de 0.6 par 0.2 m et à la soustraction d’un disque de 0.05 m de rayon. Cependant, cette séquence pourra varier en fonction du logiciel utilisé, certains prenant en charge automatiquement la création de la plaque trouée dès génération du rectangle et du cercle. Finalement et comme indiqué à la figure 8.16, le modèle comportera une surface trouée et cinq lignes, quatre pour le rectangle, une pour le cercle. 8.3.2 La problématique du maillage

Une fois la géométrie définie, la phase suivante consiste à transformer celle-ci en un modèle éléments finis. Cette opération est prise en charge par un outil appelé « mailleur » dont le rôle est de définir automatiquement les coordonnées des nœuds et la connectivité élémentaire. Les formes pouvant être complexes, le succès de cette opération n’est pas garanti, l’utilisateur doit alors itérer en modifiant les différents paramètres de maillage. Pour réaliser cette tâche, le mailleur fait appel à diverses informations relatives aux tailles d’éléments qui sont généralement imposées par l’utilisateur. Deux approches complémentaires sont généralement mises à la disposition de celui-ci pour les définir. La première permet de spécifier une taille minimale pour les éléments, le mailleur prenant ensuite en charge la discrétisation proprement dite. Très souvent utilisée en première approche, elle a pour principal avantage sa rapidité qui permet d’obtenir un premier résultat et donc une première évaluation du comportement du modèle.

Figure 8.17 – Maillage avec une taille minimale de 0.02 m.

Pour piloter le mailleur plus précisément, une deuxième technique consiste à définir un nombre de divisions ou des tailles minimales d’éléments sur les lignes géométriques. Le mailleur suit alors ces informations tout en essayant d’assurer une certaine progressivité dans les tailles d’éléments. Ainsi et pour obtenir le maillage de la figure 8.18, les lignes verticales, horizontales et le cercle ont été scindées respectivement en 12, 40 et 26 divisions. Il est également possible d’imposer des tailles d’éléments sur certaines zones tout en laissant le mailleur gérer le complémentaire avec une taille minimale d’élément. Enfin, cette approche automatique a pour grand intérêt d’autoriser la modification, l’augmentation ou la diminution des tailles de mailles à volonté. 156

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8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

A

Figure 8.18 – Divisions des lignes.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Ceci étant, la forme de l’élément n’a pas été évoquée jusqu’à maintenant. En effet généralement, les mailleurs offrent deux possibilités : les maillages en quadrangles ou en triangles, le mixe des deux étant peu conseillé compte tenu de leurs différences de formulation. Incluant les maillages volumiques hexaédriques ou tétraédriques dans ces deux options, l’approche triangulaire reste la plus simple et la plus rapide. Le succès du maillage est dans ce cas quasiment garanti ce qui a pour corollaire un très grand nombre d’éléments de dimensions et d’orientations très diverses. Ce sont ses principaux désavantages. Le maillage quadrangulaire n’a pas tous ces inconvénients. Il nécessite néanmoins beaucoup de soins avec des structures de géométries complexes. Bien que les mailleurs soient de plus en plus performants, il est parfois nécessaire de « reprendre les commandes » et ainsi de le piloter presque manuellement. Dans ce cas, il est utile de se rappeler que la forme de base idéale est soit la surface à quatre cotés, soit le volume à six faces. De ce fait et pour mailler une structure en quadrangles, il est souvent nécessaire de partitionner la géométrie en entités de ce type. Cependant, cette règle n’est qu’indicative, les mailleurs quadrangles ou hexaédriques arrivant suivant leurs origines à discrétiser des formes plus évoluées. Néanmoins et sans ce travail préalable, le mailleur pourra être mis en défaut. Ceci étant, certaines formes comme le cercle posent un léger problème, le quadrangle n’étant pas l’idéal pour reconstituer une géométrie curviligne. On utilise alors une astuce qui consiste, comme décrit à la figure 8.19, à insérer une forme carrée dans le cercle et à couper les différents segments ainsi obtenus avec le même nombre de divisions. Prenant comme exemple un disque à mailler en quadrangles, on voit figure 8.19 que chacun des éléments a bien quatre faces. Si la discrétisation devait être augmentée, il suffirait alors de prendre chacun des segments et de les fractionner en un nombre égal de divisions. La même démarche peut également être utilisée pour les objets cylindriques. En plus d’une grande souplesse en terme de maillage, l’approche géométrique a également l’avantage de permettre l’attribution de données comme les conditions d’appui ou les charges à des entités géométriques. On pourra par exemple lier la charge répartie q ou des conditions d’appui à des lignes géométriques différentes. Dans ce cas, les attributs correspondants seront transmis automatiquement aux nœuds et aux éléments lors de l’opération de maillage. 

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8 • Éléments de membrane

157

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

Figure 8.19 – Maillage d’un cercle avec des quadrangles.

8.3.3 Continuité – convergence-conformité

L’approximation polynomiale décrite au chapitre 4.1, base de la méthode des éléments finis fait que la solution obtenue n’est pas forcément exacte. En d’autres termes, les fonctions de forme des éléments utilisés reconstituent la forme des déplacements de la structure avec plus ou moins de précision. La solution exacte est donc sensée être approchée lorsque la taille des éléments diminue. Néanmoins, cette convergence monotone du champ de déplacement ne peut être effective qu’à condition de satisfaire à la condition de mouvement de corps rigide (MCR), au critère de la déformation constante, et de garantir la continuité des déplacements sur l’élément et aux frontières de celui-ci (cf. § 7.2). Dans ce cas, l’élément est qualifié de conforme. A contrario, les éléments non conformes qui n’assurent pas la continuité aux frontières ont une convergence lente et non assurée. Cependant, certains d’entre eux ont des performances parfois supérieures à leurs homologues conformes. Ceci doit être vérifié par la technique du patch test. De plus, [3] précise que l’élément doit posséder une base polynomiale complète jusqu’à l’ordre n pour garantir la convergence des dérivées de u, v ou w d’ordre n. 8.3.4 Discontinuité du champ de contraintes-déformations

La continuité du champ de déplacement étant garantie dans la majorité des cas (les éléments utilisés sont généralement conformes et convergents), il n’en est pas de même pour les champs de déformations, de contraintes et d’efforts. Ceux-ci sont en effet continus sur l’élément mais en aucune façon sur ses frontières. Dans ce cas de figure, les équations d’équilibre de volume (3.5) et de surface (3.6) ne sont pas forcément satisfaites. Deux modes de visualisation des contraintes, des déformations ou des efforts sont généralement disponibles dans les codes de calcul pour aider l’utilisateur à vérifier l’équilibre de son modèle : les modes lissé ou non lissé1. 1. On utilise également parfois le terme de moyenné.

158

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

Le premier consiste à lisser les champs de contraintes, de déformations ou d’efforts en rendant ces valeurs continues. Considérant un nœud précis1, le principe revient à calculer en ce point les valeurs des contraintes, des déformations ou des efforts dans les éléments liés à ce nœud et à en retenir la moyenne. Par exemple et pour un nœud i connecté à m éléments, la contrainte lissée ou moyennée σ xx en i sera donnée par : m

(σ xx )i = e =1



m



(8.74)

Généralement, ce calcul est effectué à partir des valeurs calculées aux points de Gauss. Bien évidemment, ce mode de calcul ne permet plus d’estimer les discontinuités des contraintes, des déformations ou des efforts. Il a de plus comme principal inconvénient d’écrêter ces valeurs en cas de fortes discontinuités. Le deuxième mode de visualisation en valeurs non lissées ou non moyennées revient à afficher l’évolution des contraintes, des déformations ou des efforts sur les éléments pris un à un. On peut se servir dans ce cas de la méthodologie de calcul utilisée pour les exemples 5 et 6 aux chapitres 8.1.6 ou 8.2.6. Certains logiciels se limitent cependant à une seule valeur calculée au centre de gravité de l’élément. 2

3

9





1

4

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A 

∑ ⎡⎣(σ xx )i ⎤⎦e

8



 4

(σ xx )1 =

∑ [(σ ) ] e =1

xx 1 e

4

5

Points de Gauss

6

Figure 8.20 – Calcul de la contrainte moyennée

7

σ xx

au nœud 1.

1. Dans notre exemple de la figure 8.20, le nœud 1.



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159

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

8.3.5 Validation du modèle ■■ Maillage en quadrangles

Choisissant de discrétiser notre cas d’étude en quadrangles, la principale difficulté se situe au niveau du maillage du trou circulaire. Pour résoudre ce problème, il suffit d’inscrire ce cercle dans un carré (cf. figure 8.21) soit une approche inverse à celle décrite au chapitre 8.3.2. La périphérie du trou est alors divisée en quatre aires de dimensions égales garantissant ainsi un maillage symétrique et homogène.

Figure 8.21 – Exemple 7 : modèle géométrique Abaqus.

En l’absence de solution connue, la mise au point d’un modèle de calcul par éléments finis passe en premier lieu par une vérification de la convergence des déplacements. Dans un deuxième temps, on compare les solutions lissées et non lissées pour valider les contraintes et estimer leurs discontinuités. Pour valider notre modèle, trois densités de maillage imposant respectivement 24, 32 et 48 divisions au niveau du trou circulaire ont été retenues. Choisissant dans un premier temps un élément linéaire Q4, les déplacements obtenus avec le logiciel Abaqus™ se résument aux graphiques pages suivantes.

160

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



A

Figure 8.22 – Déplacements – Élément Q4 (Abaqus).



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161

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

Figure 8.23 – Contraintes σ max lissées – Élément Q4 (Abaqus).

162

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



A

Figure 8.24 – Contraintes σ max non lissées – Élément Q4 (Abaqus).



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163

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

On retiendra donc une valeur de 0.36 mm pour le déplacement maximal. L’affichage en mode non lissé met en évidence l’évolution des discontinuités de contraintes. L’élément utilisé étant un Q4, l’évolution des contraintes sur celui-ci est linéaire (cf. § 8.1.6). On reconstitue en fait le champ de contraintes à partir de tronçons de droites d’où une convergence plus lente que pour son homologue quadratique (Q8). En effet et en utilisant ce type d’élément, on obtient pour les trois types de discrétisation :

Figure 8.25 – Déplacements – Élément Q8 (Abaqus).

164

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



A

Figure 8.26 – Contraintes σ max lissées – Élément Q8 (Abaqus).



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165

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

Figure 8.27 – Contraintes σ max non lissées – Élément Q8 (Abaqus).

166

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

On s’aperçoit dans ce cas que les contraintes lissées et non lissées sont tout à fait équivalentes, les variations entre les deux étant négligeables. On notera également que la continuité des contraintes non lissées est quasi parfaite quelle que soit la densité de maillage. La contrainte maximale retenue sera donc comprise entre 433 (Q4) et 438 MPa (Q8), valeur tout à fait comparable à celle calculée à partir du coefficient de concentration de contrainte ( K = 2.16 ) issu des courbes de Peterson (cf. [4]).

A 

0,6 m B q×h

=

1 10 6 × 0,2

(h − 2r ) × e (0,2 − 0,1) × 0,01

= 200MPa

A σ A = σ A' = K ⋅ σ AB = = 2,16 ⋅ σ AB = 432 MPa

A’

q

0,05 m

h = 0,2 m

d = 0,1 m

σ AB =

Figure 8.28 – Calcul de la contrainte au point A.

Finalement, les deux types de maillage Q4 et Q8 donnent des résultats tout à fait similaires, le deuxième convergeant plus rapidement du fait de sa formulation mais avec bien sûr un nombre de nœuds plus important à nombre de divisions égal. Tout est en fait une affaire de compromis entre rapidité de convergence et temps de calcul. ■■ Maillage en triangles

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Le maillage en triangles est bien évidemment beaucoup plus simple. Il suffit de reprendre la description géométrique de la figure 8.16, soit un rectangle et un cercle, et d’imposer les mêmes nombres de divisions au niveau du trou. De plus, deux sortes de maillage en éléments T3 et T6 sont envisagées successivement. Par rapport à un Q4, le T3 est beaucoup plus lent à converger vers la solution. Ceci tient au fait que la reconstitution de la continuité des contraintes est plus délicate, celles-ci étant constantes sur l’élément (cf. § 8.2.6). On s’aperçoit par ailleurs que les contraintes non lissées sont beaucoup plus proches de l’objectif que celles lissées et ce toujours pour la même raison. De plus, il est légèrement plus rigide que son homologue quadrangle. Le même modèle maillé en T6 donne de bien meilleurs résultats dès le premier type de discrétisation. Néanmoins et bien que la continuité soit quasi réalisée sans moyennage, les contraintes maximales lissées et non lissées sont dans tous les cas différentes, l’une tendant peu à peu vers l’autre. 

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167

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

Figure 8.29 – Déplacements – Élément T3 (Abaqus).

168

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



A

Figure 8.30 – Contraintes σ max lissées – Élément T3 (Abaqus).



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169

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

Figure 8.31 – Contraintes σ max non lissées – Élément T3 (Abaqus).

170

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



A

Figure 8.32 – Déplacements – Élément T6 (Abaqus).



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171

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

Figure 8.33 – Contraintes σ max lissées – Élément T6 (Abaqus).

172

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



A

Figure 8.34 – Contraintes σ max non lissées – Élément T6 (Abaqus).



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173

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8 • Éléments de membrane

8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

■■ Critères d’évaluation de la qualité d’un modèle

L’utilisateur ayant généralement peu de références pour valider son modèle, celui-ci sera immanquablement amené à s’interroger sur la qualité des résultats obtenus. Pour ce faire, il devra développer une méthodologie lui permettant de s’assurer de leur stabilité. En préalable, deux options s‘offrent à lui, soit un maillage en quadrangles, soit celui en triangles. Généralement et à densité de maillage constante, ce dernier converge plus lentement et génère plus d’éléments ce qui est un léger handicap. Comme indiqué précédemment, il a cependant pour principal avantage de libérer l’utilisateur des opérations géométriques1 nécessitées par les mailleurs hexaédriques. Il s’agit en fait d’un compromis entre le temps passé pour la modélisation et celui nécessité par le calcul. Pour valider son modèle, l’utilisateur devra dans un premier temps contrôler la stabilité des déplacements. Les modèles éléments finis convergeant assez vite dans ce cas2, une variation inférieure à 5% entre deux maillages successifs constitue un critère d’acceptation.

0,362

Déplacement maxi (mm)

0,361 0,360 Q4

0,359

Q8 T3

0,358

T6

0,357 0,356 0,355 24

32 40 Maillage (nombre de divisions)

48

Figure 8.35 – Évolution du déplacement maximum en fonction du maillage.

1. Ces opérations ont pour but d’obtenir un maximum de surfaces à 4 côtés ou de cubes à 6 faces. 2. Les éléments utilisés sont très souvent conformes.

174

9782100544639.indb 174

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8.3 Exemple 7 : étude d’une plaque trouée 

Généralement, les déplacements obtenus avec des éléments quadrangles sont assez rapidement représentatifs, ceux associés à des triangles évoluant plus lentement. Ceci vérifié, il devra examiner les tracés des contraintes non lissées et statuer sur leur continuité. Bien évidemment, plus l’élément utilisé est riche, plus cette continuité est établie rapidement. Pour les éléments linéaires, celle-ci peut évoluer assez lentement et contraindre1 l’utilisateur à se contenter de maillages de densité insuffisante. Dans ce cas, il sera préférable de retenir les contraintes non lissées à celles lissées, ces dernières pouvant être altérées éventuellement par de fortes variations entre éléments. Une autre approche consiste à comparer les maximums des contraintes lissées et non lissées puis à vérifier leur convergence. Ceci étant, on se méfiera dans ce cas de figure des discontinuités géométriques ou des changements de matériaux qui peuvent provoquer des concentrations de contraintes non convergentes2.

A 

8 • Éléments de membrane

440 430

Contrainte max lissée (MPa)

420 410

Q4

400

Q8

390

T3

380

T6

370

Objecf

360 350 340 330 320

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

24

32

40

48

Maillage (nombre de divisions) Figure 8.36 – Évolution de σ max lissée en fonction du maillage.

1. Pour des raisons de capacités informatiques ou de temps de calcul par exemple. 2. La contrainte ne fait qu’augmenter au fur et à mesure que la taille des éléments diminue.



9782100544639.indb 175

175

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8 • Éléments de membrane

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console 

Contrainte max non lissée (MPa)

450 440 430

Q4 Q8

420

T3 T6

410

Objecf

400 390 380 24

32

40

48

Maillage (nombre de divisions) Figure 8.37 – Évolution de σ max non lissée en fonction du maillage.

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console y q = 10 000 N/ml

x

C

A

h = 0,5 m

B b = 0,2 m

L/2 L = 10 m Figure 8.38 – Exemple 8 : poutre console.

Application numérique : L = 10 m, E = 2.1 1011 N/m2, n = 0.3, h = 0.50 m, b = 0.2 m, q = 1 104 N/m.

176

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8 • Éléments de membrane

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console 

8.4.1 Modélisation filaire

Considérant dans un premier temps un élément de poutre plane (cf. § 6.2) de longueur L et d’inertie I , le système sans prise en compte de l’effet de l’effort tranchant s’écrit d’après (6.21) et (6.24). y q

A

1

L



x 2

Figure 8.39 – Exemple 8 : modélisation poutre.

ES ⎡ ES ⎤ 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L ⎧0 ⎫ L ⎢ ⎥ ⎪ qL ⎪ EI EI EI EI 12 6 12 6 ⎢ 0 ⎥ ⎧u ⎫ ⎪− ⎪ ⎧H ⎫ 0 − 3 ⎢ L3 L2 L L2 ⎥ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 1 ⎪ V ⎢ ⎥ v 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI ⎥ ⎪ 1 ⎪ ⎪− qL2 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ − 0 ⎪M ⎪ ⎪β ⎪ ⎢ L2 L L2 L ⎥ ⋅ ⎪⎨ 1 ⎪⎬ = ⎪⎨ 12 ⎬⎪ + ⎪⎨ 1 ⎪⎬ (8.75) ⎢ ES ⎥ u2 0 ES ⎪ ⎪0 ⎪ 0 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢− L ⎢ L ⎥ ⎪v2 ⎪ ⎪− qL ⎪ ⎪0 ⎪ 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI ⎥ ⎪⎪ β 2 ⎪⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪⎪0 ⎪⎪ ⎢ ⎩ ⎭ ⎪ 2 ⎪ ⎩ ⎭ − − − 0 0 ⎢ 3 2 3 2 ⎥ L L L L ⎪ qL ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎩ 12 ⎪⎭ EI EI EI EI 6 2 6 4 ⎢ 0 ⎥ 0 − 2 2 ⎢⎣ L ⎥⎦ L L L Comme u2 est forcément nul du fait de l’hypothèse de petits déplacements, on obtient après introduction des conditions d’appui :

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

⎧ qL ⎫ − 12 − 6 L v ⎤ ⎧ 2 ⎫ ⎪⎪ 2 ⎪⎪ EI ⎡ ⎬ ⎢ ⎥⋅⎨ ⎬ = ⎨ L3 ⎣ −6 L 4 L2 ⎦ ⎩ β 2 ⎭ ⎪ qL2 ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭ d’où les déplacements du nœud 2 (point C) :

avec I = 

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qL4 = −28.57 mm 8EI qL3 β2 = − = −0.003809 rad 6 EI

v2 = −

(8.76)

(8.77)

bh 3 = 0.002083 m 4 . 12 177

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8 • Éléments de membrane

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console 

Maintenant et afin de mesurer les effets de l’effort tranchant, il suffit de reprendre les développements du chapitre 6.3.2 en posant : T2 = −

qL qL2 5 ; M2 = ; S1, y = bh = 0.08333 m 2 . 2 12 6

On trouve alors à partir de (6-37) :



avec G =

L ⎡ L3 + ⎢ ⎧ v2 ⎫ ⎢ 3 EI z GS1, y ⎨ ⎬= L2 ⎩β2 ⎭ ⎢ ⎢ 2 EI z ⎣

L2 ⎤ 2 EI z ⎥ ⎧ T2 ⎫ ⎧ −28.65 mm ⎫ ⎥⋅⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ L ⎥ ⎩ M 2 ⎭ ⎩−0.003809 rad ⎭ ⎥ EI z ⎦

(8.78)

E . 2 (1 + ν )

L’effet de l’effort tranchant est donc quasi négligeable ce qui était prévisible compte ⎛L ⎞ tenu de l’élancement géométrique de la poutre ⎜ = 20 > 5 ⎟ . La contrainte maxih ⎝ ⎠ male de flexion située au niveau de l’encastrement (point A) vaut par ailleurs : qL2 Mh h =± 2 = ± 60 MPa σ xx = ± (8.79) I 2 I 2 Celle à mi-portée (point B) est quant à elle égale au quart de cette valeur, soit 15 MPa. 8.4.2 Modélisation surfacique

Compte tenu de la géométrie de cette poutre console, il est bien évidemment préférable de s’orienter vers une modélisation en quadrangles. De plus et comme pour l’exemple précédent, celle-ci sera effectuée dans un premier temps avec des éléments membranes Q41 ce qui reste tout à fait conforme à la théorie des poutres puisque la variation des contraintes sur cet élément est linéaire (cf. § 8.1.6). Enfin et afin de mettre en évidence l’influence du nombre d’éléments sur la précision des résultats, deux discrétisations différentes sont envisagées verticalement et horizontalement : 2, 4, 8 ou 16 éléments suivant y ; 20, 40, 80, 120 ou 160 éléments par rapport à x. Le nombre d’éléments fixé horizontalement peut cependant paraître élevé. Pour l’expliquer, il est nécessaire de rappeler que l’élément membrane utilisé n’a que deux degrés de liberté de translation par nœud ce qui est insuffisant pour modéliser un problème de flexion tel que le nôtre. En effet, les rotations nodales qui en théorie des poutres sont issues de la dérivée de la ligne élastique sont reconstituées dans notre cas par des déplacements différentiels. 1. D’épaisseur b.

178

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8 • Éléments de membrane

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console 

30

20

2 4

15

8

10

A

16 Objecf



Déplacement VC (mm)

25

5 0 20

40

60

80

100

120

140

160

Maillage horizontal (nombre d'éléments) Figure 8.40 – Évolution du déplacement en C en fonction du maillage vertical.

À l’analyse des déplacements, on notera tout d’abord une relative faible influence de la discrétisation verticale, 4 ou 8 éléments étant largement suffisants pour approcher les résultats du modèle filaire.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 8.41 – Déformée (Effel) avec éléments Q4 – 8 divisions verticales et 160 horizontales.

Ceci étant et comme pour l’exemple précédent, on constate une convergence lente de l’élément Q4 vers la valeur objective, celle-ci n’étant atteinte à moins de 1% qu’au bout de 160 divisions horizontales et 8 verticales. Bien évidemment, un élément quadratique aurait permis d’avoir une bien meilleure précision plus rapidement. Par exemple, un élément Q9 avec 40 divisions horizontales et 4 verticales permet d’obtenir 28.6 mm en extrémité de console soit une erreur de 0.07 % :



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8 • Éléments de membrane

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console 

Figure 8.42 – Déformée (Effel) avec éléments Q9 – 4 divisions verticales et 40 horizontales.

Au niveau des contraintes1 de flexion, celles au point B convergent bien de manière monotone vers la valeur objective de 15 MPa. 16

Contrainte sxx en B (MPa)

14 12 2

10

4

8

8

6

16 Objecf

4 2 0 20

40

60

80

100

120

140

160

Maillage horizontal (nombre d'éléments) Figure 8.43 – Évolution des contraintes

σ xx

en B en fonction du maillage vertical.

Par contre celles associées au point A divergent pour atteindre une valeur nettement supérieure à 60 MPa2. On est en fait en présence d’un effet local lié à l’encastrement et dû au coefficient de Poisson. En effet, le raccourcissement au niveau de l’encastrement est rendu impossible par le blocage des nœuds à ce niveau. Il en résulte la création d’une contrainte verticale qui via le coefficient de Poisson se projette horizontalement et explique l’excès de contrainte constatée. Pour s’en convaincre, il suffit de refaire le calcul avec un coefficient de Poisson nul. 1. Cette comparaison a été faite uniquement avec des contraintes non lissées. 2. 68.85 MPa pour 16 divisions verticales et 160 horizontales.

180

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8 • Éléments de membrane

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console 

On retrouve alors la contrainte longitudinale de 60 MPa calculée par la théorie des poutres. 70,00

2

50,00

A

4

40,00

8



Contrainte sxx en A (MPa)

60,00

16

30,00

Objecf

20,00 10,00 0,00 20

40 60 80 100 120 140 Maillage horizontal (nombre d'éléments)

Figure 8.44 – Évolution des contraintes

σ xx

160

en A en fonction du maillage vertical.

Contrainte sxx en A (MPa)

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

80 68,85 60,31 60 52,01 54,63 44,20 45,09 40 36,63 36,81 29,19 29,07 21,83 21,63 20 14,52 14,35 7,25 7,15 0 – 0,01 0,00 – 7,16 0 0,1 0,2 – 7,26 0,3 0,4 0,5 – 14,53 – 14,35 – 20 – 21,84 – 21,63 – 29,19 – 29,08 – 36,63 – 36,80 – 40 – 44,20 – 45,08 – 51,99 – 54,61 – 60 – 60,26 – 68,79 – 80 Hauteur h

0,3 0

Figure 8.45 – Comparaison des résultats1 pour v = 0 et v = 0.3.

1 Maillages vertical = 16 – horizontal = 160.



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181

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8 • Éléments de membrane

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console 

On peut également mettre en évidence le phénomène en affichant sous forme de vecteurs les contraintes principales dans chacun des éléments. On s’aperçoit alors que la mineure est quasiment nulle pour ν = 0 (cf. figure 8.47). Ce mode d’affichage dont la symbolique peut varier en fonction du code de calcul utilisé est toujours très intéressant pour mettre en relief les flux de contraintes et leur distribution dans la matière.

Figure 8.46 – Contraintes principales non lissées (Effel) à l’encastrement pour v = 0.3 (maillage 160).

Figure 8.47 – Contraintes principales non lissées (Effel) à l’encastrement pour v = 0 (maillage 160).

182

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8 • Éléments de membrane

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console 

De plus et comme la concentration de contrainte pour ν = 0.3 est liée à l’appui, celle-ci croît au fur et à mesure que la taille des éléments diminue. Il serait donc illusoire de vouloir affiner ce résultat en augmentant la discrétisation à nouveau. Le phénomène constaté à l’encastrement incite à faire un parallèle avec le calcul thermo-élastique qui consiste à introduire une déformation initiale liée à une variation de température. Cette déformation généralement notée ε 0 est alors prise en compte dans la loi contrainte-déformation (3.21) en posant :

{σ } = [ H ] ⋅ ({ε } − {ε 0 })

(8.80)

A 

avec

{ε 0 }T = {α x ΔT α y ΔT α z ΔT 0 0 0}   � DT  : Variation de température (généralement en °C). α x ,α y ,α z  : Coefficients de dilatation thermique (en m/m.C°) associés aux directions x, y, z. En reprenant l’expression de l’énergie de déformation élémentaire établie en (4.11) T 1 We = ∫ {ε } ⋅ {σ } ⋅ dVe , le calcul permet de déduire le vecteur des forces nodales 2V e

internes { f e0 } liées à cette variation de température, soit : We =

T T 1 1 {ε } ⋅ {σ } ⋅ dVe = ∫ {qe } ⋅ [ B ]T ⋅ [ H ] ⋅ ([ B ] ⋅ {qe } − {ε 0 }) ⋅ dVe (8.81) ∫ 2V 2V e

e

d’où, We =

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.



T 1 1 {qe }T ⋅ [ke ] ⋅ {qe } − ∫ {qe } ⋅ [ B ]T ⋅ [ H ] ⋅ {ε 0 } ⋅ dVe 2 2V e

1 1 T T We = {qe } ⋅ [ ke ] ⋅ {qe } − {qe } ⋅ { f e0 } 2 2



(8.82)

Une fois calculées, ces forces viennent s’ajouter purement et simplement à celles associées aux charges appliquées sur l’élément (4.16). Le schéma de résolution est alors identique à celui vu au chapitre 4.2. Ces forces nodales s’auto équilibrant avec les efforts calculés lors de la résolution, il est assez délicat de vérifier la bonne entrée des données1. En d’autres termes, quelles que soient les températures et coefficients de dilatation introduits, les réactions sont systématiquement nulles. Une solution pour résoudre ce problème consiste à isoler une partie du modèle et à intégrer quand c’est possible, les efforts afin de vérifier que ceux-ci correspondent bien aux données introduites. Ceci étant, deux cas extrêmes peuvent se présenter après calcul. Soit le modèle est complètement libre de se déformer et dans ce cas, la déformation thermique se traduira uniquement par des déplacements sans apparition de contraintes. 1. Généralement, on vérifie la correspondance entre charges appliquées et réactions.



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183

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8 • Éléments de membrane

8.4 Exemple 8 : étude d’une poutre console 

Par exemple et si on applique une variation de température de 20°C à la poutre console sans chargement décrite à la figure 8.39, le déplacement horizontal sera de :

ε 0 = α ⋅ ΔT ⇒ u = ε 0 ⋅ L = α ⋅ ΔT ⋅ L = 1.2 ⋅10−5 ⋅ 20 ⋅10 = 2.4 mm

Figure 8.48 – Allongement d’une poutre console pour DT = 20°.

On notera dans ce cas que l’effort normal est nul dans l’élément. Inversement et si on applique la même charge thermique à une poutre bi-encastrée de mêmes caractéristiques, on n’obtiendra aucun déplacement mais un effort normal de compression de :

ε 0 = α ⋅ ΔT ⇒ N = σ xx ⋅ S = E ⋅ ε 0 ⋅ S = E ⋅ α ⋅ ΔT ⋅ S N = 2.1 ⋅1011 ⋅1.2 ⋅10−5 ⋅ 20 ⋅ 0.5 ⋅ 0.2 = 5040 kN soit une contrainte normale σ xx de compression dans l’élément égale à 50.4 MPa.

Figure 8.49 – Effort normal dans une poutre bi-encastrée soumise à

ΔT = 20° .

Il est donc très important de ne pas perdre de vue ces aspects lorsque l’on effectue un calcul thermo-élastique car suivant la nature des appuis ou des rigidifications liées à la géométrie de la structure, on peut voir apparaître des contraintes parfois très importantes dans certaines zones bridées ou au contraire observer une déformation libre dans certaines autres.

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9 • Éléments de plaque



A 9.1 Rappels sur les théories des plaques 9.1.1 Théorie des plaques minces

La théorie de Kirchhoff relative aux plaques minces qui revient à ne pas prendre en compte le cisaillement transverse, est applicable lorsque le rapport de la plus petite de leurs dimensions sur l’épaisseur est supérieur ou égal à 201 (cf. [5]). ■■ Relations moments-courbures

z, w( x, y)

y, v (x, y)

u

v

e

a

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

x, u (x, y)

b

Figure 9.1 – Plaques minces de côtés a, b.

Les déplacements horizontaux peuvent être exprimés en fonction de w en posant que : ∂w u = −z ⋅ ∂x (9.1) ∂w v = −z ⋅ ∂y

1.

a b ou ≥ 20 . e e



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185

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9 • Éléments de plaque

9.1 Rappels sur les théories des plaques 

z

z

v

u

x

∂w