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\\imacpc4\WebImac\Dynamique\Exercice_Dynamique\Serie7\Exercice7c.doc

EPFL

Cours de Dynamique des structures

EXERCICE 7

IMAC-IS-ENAC

Prof. I. Smith

2004/2005

EXERCICE No 7 Déterminer numériquement le déplacement en tête de colonne en fonction du temps lorsque la structure est soumise à une charge explosive. Caractériser l’effet d’un amortissement sur la réponse de la structure ainsi que l’influence de la méthode choisi sur la réponse obtenu. On appliquera les procédés qui sont mis à disposition sur la page web du cours. (http://imac.epfl.ch/imac/Dynamique/dynamique2001-02.jsp) Matériel à disposition : •

Duhamel.m – Intégral de Duhamel

•

Newmark.m – Méthode de Newmark

P (t)

M

P (t) P0

h

I

I t1

P (t) = P 0 1- t t1

t1 = 1 s

P0 = 100 kN

I = 5 107 mm4

M = 5000 kg

h=5m

Amortissement :

0%

dernière modification : 26.11.2004

1%

E = 210 103 N/mm2

10%

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t

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EPFL

Cours de Dynamique des structures

EXERCICE 7

IMAC-IS-ENAC

Prof. I. Smith

Corrigé

CORRIGE - EXERCICE No 7 •

Introduction des données de la structure ainsi que l’excitation %***données structure m=10; %masse en tonnes w=20.08; %pulsation [rad/s] z=0.10; %amortissement wD=sqrt(w^2-z^2) %interval de temps: dt dt=1/100; % %temps de montee: Tr Tr=1; %vecteur de force: F F(nb)=0.0; F0=100 ; for I=1:Tr/dt ; F(I)=F0*(1-I*dt/Tr);end %déplacement statique dstat=0.0496;

•

Multiplication de la réponse avec le déplacement statique %Newmark %dessin de la reponse plot(t,u*w^2*dstat,'r')

•

%Duhamel %dessin de la reponse plot(t,-u*dstat,'r')

Effet de l’amortissement

dernière modification : 09.12.2005

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EPFL

Cours de Dynamique des structures

EXERCICE 7

IMAC-IS-ENAC

Prof. I. Smith

Corrigé

•

L’influence de la méthode choisi sur la réponse obtenu

Conclusions : •

•

Les réponses maximales varient en fonction de la méthode appliqué. Les méthodes numèriques donnent une réponse maximale légérement infèrieure de celle obtenue avec l’intégral de Duhamel (méthode dite exacte, malgré le fait d’une intégration numèrique). Les méthodes numériques induisent un certain déphasage dans la réponse (cf. ζ =0.10, t >1s).

dernière modification : 09.12.2005

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\\Poldi\Dynamique\Exercice_Dynamique\Serie6\Exercice6a.doc

Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith

EPFL IMAC-IS-ENAC

EXERCICE 6

EXERCICE No 6

x

m

B H/2

V

A

I

M

I I∞

3H/4

I∞

1.5I

I∞

2I

1.5I

Sous l’effet d’une tempête, un arbre (masse concentrée M, vitesse V) s’effondre et percute le haut d’un portique (au point A). L’arbre reste en contact avec le portique après le choc. Le mouvement se fait uniquement dans la direction x. Quel sera le déplacement maximal au point B ? M = 2 tonnes m = 8 tonnes H = 8 mètres V = 10 m/s E = 210 GPa I = 308,2 106 mm4

dernière modification : 04.10.2002

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\\Poldi\Dynamique\Exercice_Dynamique\Serie6\Exercice6a-cor.doc

Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith

EPFL IMAC-IS-ENAC

EXERCICE 6 -Corrigé -

CORRIGE EXERCICE No 6

m

M

K2 K1

V

x

Système pour le Calcul de la rigidité :

K=

Barre encastrée

12 EI l3

K1 est la rigidité équivalente du premier étage

EI = 210000 ⋅ 308.2 ⋅ 106 ⋅ 10−12 = 64720 3

kN m2 3

E ⋅ 3I  4   4  1280EI K 1 = 2 ⋅ 12 ⋅ ≅ 17.98 ⋅ 10 6 N/m  + 12E ⋅ 2I ⋅   = 3 2  3H  3H 9H   K2 est la rigidité équivalente du deuxième étage 3

EI 2 K 2 = 2 ⋅ 12EI ⋅   = 192 3 ≅ 24.27 ⋅ 10 6 N/m H H Keq est la rigidité équivalente du système masse-ressort K ⋅ K2 1 1 1 ≅ 10.33 ⋅ 10 6 N/m = + ⇒ K eq = 1 K eq K 1 K 2 K1 + K 2 ωn =

ωn =

K eq m+M

≅ 32.14 rad/s

rad 10330 ≅ 32.14 s 2+8

dernière modification : 29.11.2002

 rad   s  =

 kN   kg ⋅ m  1000 ⋅  2  m   s ⋅ m  = [t ] 1000 ⋅ [kg ]

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Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith

EPFL IMAC-IS-ENAC

EXERCICE 6 -Corrigé -

Dans le cas d’un choc mou, on a : m1 ⋅ v1 = m2 ⋅ v 2 (Loi de la conservation de la quantité de mouvement) m1 = M avec

Phase 1 : Phase 2 :

m2 = M + m v1 = V v 2 = x& (t = 0)

L’arbre tombe sur le portique. La structure subit des oscillations. Pour simplifier le calcul on admet oscillations non amorties.

En respectant les conditions initiales pour la phase 2 (voir cours p.36, éq. (62)) le déplacement Xmax est calculé de la manière suivante : X max =

m1 ⋅ v1 m ⋅V 2000 ⋅ 10 = = ≅ 0.062m (m + M ) ⋅ ω n (2000 + 8000) ⋅ 32.14 m2 ⋅ ω n

Le déplacement maximal au point B est égal à 62 millimètres.

dernière modification : 29.11.2002

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\\Poldi\Dynamique\Exercice_Dynamique\Serie5\Exercice5a.doc

Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith

EPFL IMAC-IS-ENAC

EXERCICE 5

EXERCICE No 5 Déterminer analytiquement le déplacement en tête de colonne en fonction du temps lorsque la structure est soumise à une charge explosive. P (t)

M

P (t) P0

h

I

I t1

P (t) = P 0 1- t t1 P0 = 100 kN M = 5000 kg

dernière modification : 04.10.2002

t1 = 1 s I = 5 107 mm4 h=5m

E = 210 103 N/mm2

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t

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Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith

EPFL IMAC-IS-ENAC

EXERCICE 5 Corrigé

CORRIGE EXERCICE No 5 P (t)

M

P (t) P0

h

I

I t1

K = 2⋅

rigidité :

pulsation propre:

t

N 12 ⋅ EI = 2.016 ⋅ 106 3 h m K ≅ 20.08 rad/s ωn = M

L’intégrale de Duhamel s’écrit (pas d’amortissement) : t 1 X (t ) = P (τ ) sin(ω n (t − τ ))dτ Mω n ∫0 avec: P( τ) = P 0 1 - τ 0 t1 P( τ) = 0

≤ τ ≤ t1 τ ≥ t1

0 ≤ t ≤ t1 : τ= t

X(t) = P 0 M ωn

1- τ sin ωn (t- τ) d τ t1

τ= 0 τ= t

= P0 M ωn

τ= 0

τ= t

P0 sin ωn (t- τ) d τ M ωn t 1

τ sin ωn (t- τ) d τ τ= 0

Rappel : Intégration par partie ∫ u(τ )v' (τ )dτ = u (τ )v(τ ) − ∫ u ' (τ )v(τ )dτ u (τ ) = τ

avec

u ' (τ ) = 1

v' (τ ) = sin(ω n (t − τ )) v(τ ) =

cos(ω n (t − τ ))

ωn τ= t

X(t) =

X(t) =

P0 M

ω2n

P0 M ω2n

cos ωn (t- τ)

1-cos ωn t -

dernière modification : 22.11.2002

τ=t τ=0

-

P0 M ω2n t 1

P0 M ω2n t 1

t +

τ cos ωn (t- τ)

τ=t τ=0

cos ωn (t- τ) d τ

τ =0

1 sin ω (t- τ) n ωn

τ=t τ=0

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\\Poldi\Dynamique\Exercice_Dynamique\Serie5\Exercice5a-cor.doc

Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith

EPFL IMAC-IS-ENAC

X(t) =

P0

1- cos( ωn t) -

EXERCICE 5 Corrigé

t + 1 sin( ωn t) t 1 ωn t 1

M ω2n  P  1 1 X& (t ) = 0 ω n sin(ω n t ) − + cos(ω n t ) K t1 t1  t ≥ t1 :

Le système est un oscillateur harmonique dont les conditions initiales sont:

P0 -cos( ωn t 1 ) + 1 sin( ωn t 1 ) K ωn t 1  P  1 1 X& 0 = X& (t1 ) = 0 ω n sin(ω n t ) − + cos(ω n t ) K t1 t1 

X0 = X( t 1 ) =

x(t ) = A sin(ω n t ) + B cos(ω n t )

Rappel oscillateur harmonique : X (t ) =

On trouve donc :

X& 0

ωn

sin(ω n t ) + X 0 cos(ω n t )

déplacement statique :

en t = t1: X(t 1 ) ≅ -0,287 m X& (t1 ) ≅ 0.906 s déplacement maximum :

avec

t = t − t1

∆ stat = P 0 ≅ 4,96 cm K

∆ stat X& (t ) = 0 ⇒ t ≅ 0.15s X max ≅ 1.85 ⋅ ∆ stat = 9.176cm

Réponse 0.1 0.08

dépl. [m]

0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 0.00 dernière modification : 22.11.2002

0.50

1.00 1.50 temps [s]

2.00

2.50 Page 2/2

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EPFL IMAC-IS-ENAC

Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith

EXERCICE 4

EXERCICE No 4

A. Un véhicule de masse M circule à vitesse constante sur une chaussée dont le revêtement est déformé longitudinalement.

M

v

C

K

s0

L Soit s= s0 cos(ωt) cette déformée.

Déterminer l'amplitude verticale subie par le véhicule pour les facteurs d'amortissement suivants: ξ= λ =0 ωn Données:

et

ξ = λ = 0,4 ωn

L=15 m v=20 m/s M=2 t K=20 KN/m s0=3 cm

dernière modification : 04.10.2002

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\\Poldi\Dynamique\Exercice_Dynamique\Serie4\ Exercice4a.doc

EPFL IMAC-IS-ENAC

Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith

EXERCICE 4

B. Une fondation antivibratoire est installée dans une halle dont les perturbations ambiantes induisent des vibrations d’une fréquence de 24 Hz et de 0.25 mm d’amplitude. Nous voulons que l’amplitude du bloc isolé, d’une masse M= 1 tonne, ne dépasse pas 0.05 mm. a) Déterminer la fréquence propre du dispositif d’appuis (Figure 1). L’amortissement est nul. b) Quelle est la rigidité (K1) des ressorts ? c) On ajoute au dispositif un amortisseur. Quelle est la rigidité (K1) des ressorts si ζ=20%. M

K1

K1

Figure 1 : Dispositif sans amortisseur

dernière modification : 04.10.2002

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EPFL IMAC-IS-ENAC

EXERCICE 4 Corrigé

CORRIGE EXERCICE No 4:

A. M

V

C

K

s0

L Période et pulsation de la perturbation : T=L/V=0.75s ω= 2π/T= 8.4rad/s Pulsation propre :

ωn = K

M

= 3.16rad/s

1 +4 λ ωn

Rf = 1-

ω ωn

2 2

2

ω ωn

+4 λ ωn

2 2

ω ωn

2

Amplitude verticale subie par le véhicule : s=s0⋅Rf

λ =0 ωn

λ = 0,4 ωn

⇒ Rf = 0,16

⇒ Rf = 0,37

dernière modification : 13.11.2003

⇒ s = 5 mm

⇒ s = 11 mm

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EPFL IMAC-IS-ENAC

EXERCICE 4 Corrigé

B.

xmax-eq

so

a)

Fréquence propre maximale du dispositif d’appui:

On est dans le cas du mouvement de la fondation. f=24 Hz, M=1000 kg, so= 0.25 mm, xmax-eq=0.05 mm

ω = 24 ⋅ 2π ⇒ ω ≅ 150.8

rad s

x max − eq = s 0 R f ≤ 0.05 ⇒ R f = Rf = Rd

Rd =

0.05 1 = 0.25 5

amortissement nul 1

 ω 1 −    ωn 

2

≤

1