Mekanikk lærebok for ingeniørhøgskoler. 3 Hydraulikk [3] 8258502867 [PDF]

Zitiervorschau

SVERRE E. KINDEM

MEKANIKK 3. HYDRAULIKK LÆREBOK FOR INGENIØRHØGSKOLEN

\

\.l::3£73-c:31

v.o

Yrkesopplæring i • s

© Yrkesopplæring I S 1979, 1983 6. opplag ISBN 82-585-0286-7 Norbok a.s, Oslo/Gjøvik 1991

Det må ikke kopieres fra denne bok utover det som er tillatt etter bestemmelsene i «Lov om opphavsrett til åndsverk», «Lov om rett til fotografi» og i «Avtale mellom staten og rettighetshavernes organisasjoner om kopiering av opphavsrettslig beskyttet verk i undervisningsvirksomhet». Brudd på disse bestemmelsene vil bli anmeldt.

FORORD

Mine lærebøker i mekanikk, del 1 og 2, har tidligere vært supplert med et kompendium som gav en inn­ føring i elementær hydraulikk. Dette kompendiet er nå blitt omarbeidet til del 3 av mine lærebøker. Del 3, hydraulikk, følger samme mønster som kompendiet, men skulle være mer å jour, bl. a. ved bruk av SI-enheter. Noen avsnitt har fått en annen form, og jeg har ofte brukt andre regneeksempler. Jeg håper at denne boka vil gi en fremstilling av hydraulikken som fører til full forståelse hos eleven. Jeg har med hensikt begrenset emnevalget og prøvd å unngå å gå for meget i detalj, noe som lett får en nybegynner til å tape oversikten. Oslo i oktober 1975

Sverre E. Kindem

INNLEDNING

En særegen egenskap ved væsker er bl. a. at volumet er praktisk talt konstant, mens formen tilpasser seg den beholderen der væsken til enhver tid befinner seg. Ved en såkalt «idealvæske» vil en formendring av væsken kunne skje uten at det opptrer noen friksjonsmotstand mot formendringen. Ved alle virkelige væsker vil formendringer møte friksjon, og jo større friksjonen er, desto seigere arter væsken seg. Målinger viser at friksjon ved bevegelser av væsker følger andre lover enn de som gjelder for friksjon mellom faste legemer. Ved faste legemer er friksjonen tilnærmet proporsjonal med normalkraften og noenlunde uavhengig av hastigheten. Ved væsker viser det seg at friksjonen er uavhengig av trykket, men sterkt avhengig av hastigheten. Jo mindre hastigheten er, desto mindre blir friksjonen. Når hastigheten nærmer seg null, vil friksjonen også nærme seg null. I en væske som er kommet til ro i et kar, vil det ikke eksistere friksjons­ krefter. Den kraften som væsken øver mot veggene av karet, vil være rettet normalt på veggflaten i alle punkter. På samme måte vil kraftvirkningen på alle snittflater gjennom væsken bli trykkrefter, som står normalt på snittflaten. I en væske som er i ro, vil det ikke eksistere skjærspenninger, men utelukkende trykkspenninger. Når en væske blir utsatt for trykk, vil volumet av væsken minke noe, og volumendringen er proporsjonal med trykket. Oppheves trykket, vil væsken utvide seg til det gamle volum. Når vi i teknisk hydraulikk ser bort fra disse volumendringene, så kommer det selvfølgelig av at volum­ endringene er for små til å få praktisk betydning for våre beregninger. Et eiendommelig fenomen ved væsker er den såkalte væskehinne, som man fortrinnsvis må regne med der hvor væsken har en fri overflate. Denne er årsak til dråpedannelse, hårrørskrefter o. 1. Selv om fenomenet ofte er av stor betydning i teknikken, har det liten betydning for de problemstillinger vi konsentrerer oss om i faget teknisk hydraulikk.

HYDROSTATIKK

Hydrostatikk handler om forholdene ved væsker som er i ro, og hvor væsken kan betraktes som en idealvæske uten friksjonskrefter. Trykk i væsker

I fasthetslæren definerte vi begrepet spenning som forholdet mellom kraft og det areal som overfører kraften. I en friksjonsfri væske finnes det utelukkende trykkspenninger, og man er blitt enig om å bruke bokstaven p som symbol for spenningen. Man har også vedtatt å kalle denne trykkspenningen for kort og godt trykket i vedkommende punkt. Hvis den totale kraftvirkningen er P mot en flate med areal A, blir trykket (spenningen)

P=^ Måler vi her kraften P i N (newton) og arealet i m2, får p benevningen N/m2, som også skrives Pa (pascal). Eksempel. Det atmosfæriske trykk mot overflaten av havet er omtrent 105 N/m2 = 105 Pa. Dette trykket skyldes tyngden av lufthavet som omgir jorda, og som svarer til tyngden av et ca. 10 meter tykt lag med vann. Meteorologene har funnet det hensiktsmessig å definere måleenheten 1 bar lik 105 N/m2. Når de for eksempel oppgir det atmosfæriske trykk til 980 millibar, så svarer dette til 0,980 • 105 Pa. Slike måleenheter kan lette arbeidet for profesjonelle utøvere av et yrke. I en lærebok er det kanskje å foretrekke å gjøre bruk av de grunn­ leggende måleenheter, her N/m2. Trykkforholdene i en væske som er i ro, er en følge av rene likevektslover og kan beregnes ved hjelp av kjente statiske ligninger. Vi kan konsentrere vår oppmerksomhet om et væskelegeme formet som en rett streng med tverrsnitt A og lengde /. På figur 1 er strengen tegnet tykkere enn opprinnelig tenkt, for å få fram noen detaljer.

6

HYDROSTATIKK

La y betegne væskens spesifikke tyngde. Tyngden av strengen blir da yAl. Det som bærer denne tyngden, er trykket mot strengens overflate fra væsken som omgir strengen. Trykket mot sideflatene står normalt på strengens lengderetning. Ved øvre endeflate er trykket px og gir en resultantkraft pxA. Den nedre endeflaten danner vinkelen fl med strengens lengdeakse og er utsatt for en resultantkraft p2A2. Likevekten krever bl. a. at summen av alle kraftkomponenter parallelt med leng­ deaksen av strengen skal være null. Vi får p2A2 sin

= pxA + yAl sin a.

Her er A2 sin /? = A og / sin a = zJZz, lik høydeforskjellen mellom endepunktene av strengen. Vi får

p2A = pxA + yA • Ah P2 = Pi + y ■ Ah Trykk-kraften pr. flateenhet (trykket) ved nedre ende av strengen viser seg å være uavhengig av snittflatens skråstilling, angitt ved vinkelen fl. Om vi altså beregner trykket p2 for alle tenkelige helninger av flaten A2, vil vi få samme fasit på trykket. Resultatet stemmer med loven: I et vilkårlig punkt i en væske vil det være like stort trykk mot alle snittflater som kan tenkes lagt gjennom punktet. På figur 2 er det tegnet to væskestrenger, som gjensidig øver like store og motsatt rettede trykk mot hverandre på endeflatene. Ved overflaten hersker det atmosfærisk trykk p0. Vi får Pi = Po + y • Ahx P = Pi + 7 ' Ah2 = p0 + y(Ahx + d/z2) P = Po + yh

7

HYDROSTATIKK

Trykket i et vilkårlig punkt er lik trykket ved væskens overflate pluss væskens spesifikke tyngde ganger dybden under overflaten. Trykket blir uavhengig av formen av karet som omslutter væsken. Riktigheten av våre beregninger står og faller med om det er virkelig så at væsken er uten friksjon. Pascal utførte en rekke forsøk hvor han sammen­ lignet resultantkraften mot bunnflatene av beholdere med forskjellig form. Det viste seg at hvis bunnflatene var like store og væskedybden den samme, så ble resultantkraften like stor i alle tilfeller. På figur 3a er det anbrakt et vertikalt rør med den nedre ende dykket et stykke ned under overflaten av væsken i et kar. Overflaten er utsatt for det atmosfæriske trykk p0. Inne i røret er et stempel som berører væsken. Da det atmosfæriske trykk virker på oversiden av stemplet, vil stemplet øve et tilsvarende trykk mot væsken.

Fig. 3a

Fig. 3c

På figur 3b er stemplet løftet en høyde h. Væsken i røret har fulgt med stemplet, men nå er trykket mellom væsken og stemplet minket til

8

HYDROSTATIKK

p = p0 — yh. Da stemplet jo har atmosfæretrykket på oversiden, må det et drag til i stempelstanga for å heve stemplet. Trekker vi nå stemplet videre oppover, vil trykket mellom væsken og stemplet til slutt opphøre. Væsken vil da ikke stige høyere, og vi får situasjonen på figur 3c. Setter vi p = 0, får vi en maksimal stigehøyde for væsken

/, = £» 7

For vann med y — 9810 N/m3 skulle et atmosfærisk trykk 105 N/m2 gi en stigehøyde på 10,2 meter. Målinger viser at stigehøyden blir noe mindre. Dette kommer av at hulrommet mellom stemplet og væsken fylles med damp fra væsken, som gir et trykk mot væskeoverflaten. I tabellen nedenfor er metningstrykket for vanndamp ved forskjellige temperaturer angitt, og den tilsvarende stigehøyde som vann maksimalt kan få når forholdene har stabilisert seg.

Temperatur °C

Damptrykk 105 N/m2

Stigehøyde i m

0

0,006

10,2

10

0,012 10,1

20

40

60

80

100

0,023

0,074

0,199

0,473

1,013

9,5

8,2

5,5

10,0

0

Ved vanlig regnvann blir stigehøyden noe mindre på grunn av frigjøring av oppløste gasser (luft). Vi har her forutsatt at hevingen av stemplet foregår langsomt, slik at vi kan se bort fra friksjon i væsken. Ved pumpeanlegg må vi ta hensyn til friksjonen, og pumpas sugeevne kan da stille seg ugunstigere enn tabellen ovenfor gir inntrykk av. Mer om dette seinere. Absolutt trykk — Overtrykk

Det eksemplet vi nettop så på med sugerøret som «suget» væsken oppover i røret ved hjelp av et stempel, ville være vanskelig å forstå med

9

HYDROSTATIKK

mindre vi var klar over det atmosfæriske trykk, som presser væsken oppover i røret. I de oppgaver vi skal løse i teknisk hydraulikk, er som oftest det atmosfæriske trykk uten betydning for løsning av oppgaven. Skal vi for eksempel undersøke påkjenningene i veggene av en vannbeholder, vil det være differansen mellom væsketrykket inne i beholderen og det atmosfæriske trykk utenfor beholderen som har betydning. Denne differansen kaller vi væskens overtrykk. Om det absolutte trykk i en dybde h under en fri væskeoverflate er p0 + yh, så er væskens overtrykk i det samme punkt yh. Mens det absolutte trykk alltid er positivt og minst lik væskens dampmetningstrykk ved vedkommende temperatur, så kan overtrykket bli negativt. For eksempel har vi negativt overtrykk i rørene på fig. 3. Grensen for hvor stort negativt overtrykk som kan eksistere, finner vi ved å huske at det absolutte trykk må ha en minsteverdi. I de aller fleste tilfeller der vi møter ordet trykk i teknisk hydraulikk, så menes det overtrykk. I motsatt fall venter vi at det brukes betegnelsen absolutt trykk. For teknikken kan det ha stor interesse å bli kjent med trykk i vann. I en dybde 10 meter under vannspeilet er trykket (overtrykket) ca. 105 N/m2, eller noe nøyaktigere 98 kN/m2. Ofte er det tilstrekkelig bare å angi dybden som målestokk for trykk. Vi sier f. eks. at det er 60 meter vanntrykk på en rørledning. Resultanten av væsketrykk mot plane flater

Væsketrykkets fordeling over en plan veggflate kan vi vise ved et diagram, der ordinaten er trykket i vedkommende punkt på flaten. Figur 4 viser et slikt væsketrykkdiagram. Vi ser også veggflatens form sett i vanntrykkets retning. Veggflatens plan skjærer væskeoverflatens plan langs en horisontal akse X. Vi forestiller oss flaten delt i smale horisontale striper med areal fx, /2 osv. og med samlet areal lik A. Trykket (pr. flateenhet) mot en stripe er Pi = yhx = yyt sin a

p2 = yh2 = yy2 sin a

osv.

10

HYDROSTATIKK

Vi får px : p2 = yi • y*i °g finner at trykket er proporsjonalt med avstanden fra V-aksen. Trykkdiagrammet begrenses derfor av en rett linje som forlenget skjærer flatens plan ved X-aksen. Resultantkraften mot flaten blir

P = Pl fl + Pif2 +

= y sin

+ y2f> + "•) = 7 sin a • y0A

Parentesen er veggflatens statiske moment om V-aksen og er lik hele arealet A ganger tyngdepunktavstanden j’o . Bemerker vi videre at y0 sin a er lik tyngdepunktets dybde h0 under overflaten, får vi sluttformelen

P = yh0A = p0A Po = yho er trykket målt ved flatens tyngdepunkt. Hadde trykket vært jevnt fordelt over flaten, ville resultantkraften fått en angrepslinje gjennom tyngdepunktet av flaten. Men ved skrå flater øker trykket nedover, og angrepslinjen for resultanten virker derfor nedenfor tyngdepunktet. Vi finner resultantens avstand fra X-aksen ved å ta momentet om X-aksen. Resultanten må gi samme moment som enkeltkreftene.

11

HYDROSTATIKK

P a = PiAyi + p2f2y2 + "• = y sin «(y/A + y22f2 + —) — y sin a. ■ Jx

_ y sin