Mathematiques Tout-en-un pour la Licence, Niveau L2: Cours complets avec applications et 760 exercices corriges 2100507435, 9782100507436 [DJVU]

Table of contents :
Préface......Page 6
Table des matières......Page 8
AVANT-PROPOS......Page 22
II Algèbre......Page 24
1 Quotients......Page 26
1.1 Quotient d'un ensemble par une relation d'équivalence......Page 27
1.2 Passage au quotient d'une loi de composition interne......Page 30
1.3 Groupes quotients......Page 33
1.4 Anneaux quotients......Page 37
1.5 Espaces vectoriels quotients......Page 40
2.1 Idéaux......Page 42
2.2 Polynômes sur un anneau commutatif......Page 46
2.3 Anneaux euclidiens......Page 50
2.4 Anneaux principaux......Page 53
2.5 Anneaux factoriels......Page 54
3 Algèbres sur un corps commutatif......Page 59
4 Séries formelles......Page 62
4.1 La K-algèbre des séries formelles......Page 63
4.2 Convergence dans K[[X]]......Page 72
EXERCICES......Page 83
MODULE II.2 ACTIONS DE GROUPES......Page 93
1.1 Définitions et exemples......Page 94
1.2 Espaces affines et actions de groupes......Page 99
2 Orbites, stabilisateurs......Page 101
2.1 Orbites......Page 102
2.2 Points fixes. Stabilisateur......Page 105
2.3 Classes modulo un sous-groupe......Page 109
3.1 Problèmes de classification......Page 112
3.2 Groupes de symétries......Page 113
3.3 Applications au groupe symétrique......Page 116
3.4 Applications aux groupes finis......Page 120
3.5 Une application à la combinatoire......Page 124
EXERCICES......Page 126
MODULE II.3 ALGÈBRE BILINÉAIRE......Page 133
1.1 Formes linéaires et hyperplans......Page 134
1.2 Orthogonalité......Page 136
1.3 Transposition......Page 137
1.4 Dualité en dimension finie......Page 138
2.1 Définitions et exemples......Page 142
2.2 Retour sur le déterminant......Page 144
2.3 Formes bilinéaires......Page 147
2.4 Formes bilinéaires symétriques, antisymétriques......Page 150
3.1 Généralités sur les formes quadratiques......Page 154
3.2 Décomposition LU. Décomposition de Gauss......Page 159
4 Formes quadratiques sur un espace vectoriel réel......Page 167
4.1 Formes positives, définies positives; inégalité de Cauchy-Schwarz......Page 168
4.2 Signature d'une forme quadratique réelle. Théorème d'inertie de Sylvester......Page 170
4.3 Matrices symétriques réelles définies positives. Décomposition de Cholesky......Page 172
EXERCICES......Page 175
1 Espaces vectoriels préhilbertiens réels, espaces euclidiens......Page 180
1.1 Produit scalaire, norme euclidienne......Page 181
1.2 Orthogonalité. Projecteurs orthogonaux, symétries orthogonales......Page 184
1.3 Distance d'un point à un sous-espace de dimension finie. Inégalité de Bessel......Page 191
1.4 Orthogonalisation de Gram-Schmidt......Page 194
1.5 Adjoint d'un endomorphisme d'un espace préhilbertien réel......Page 200
1.6 Groupe orthogonal......Page 203
1.7 Endomorphismes symétriques et applications......Page 208
2 formes sesquilinéaires, formes hermitiennes......Page 225
2.1 formes sesquilinéaires......Page 226
2.2 formes hermitiennes......Page 230
3.1 produit scalaire, norme hermitienne......Page 235
3.2 orthogonalité. distance d'un point à un sous-espace de dimension finie, inégalité de Bessel......Page 236
3.3 adjonction, groupe unitaire, endomorphismes hermitiens......Page 238
3.4 réduction d'un endomorphisme normal et applications......Page 242
EXERCICES......Page 245
MODULE II.5 réduction des matrices......Page 251
1.1 sommes directes de sous-espaces vectoriels......Page 252
1.2 calculs matriciels par blocs......Page 255
1.3 polynômes d'endomorphismes......Page 259
1.4 trace d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme......Page 261
2.1 sous-espaces propres, sous-espaces stables......Page 263
2.2 théorème de Cayley-Hamilton......Page 269
2.3 endomorphismes et matrices diagonalisables......Page 270
2.4 endomorphismes et matrices trigonalisables......Page 278
3.1 sous-espaces caractéristiques......Page 282
3.2 endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes......Page 287
3.3 décomposition de Dunford......Page 290
3.4 réduction de Jordan......Page 294
EXERCICES......Page 296
MODULE II.6 groupes classiques......Page 302
1.1 propriétés algébriques......Page 303
1.2 propriétés géométriques......Page 307
1.3 propriétés topologiques et différentielles......Page 314
2.1 propriétés algébriques......Page 322
2.2 propriétés géométriques......Page 325
2.3 propriétés topologiques et différentielles......Page 328
2.4 les groupes O3(R) et SO3(R)......Page 331
3.1 Le groupe projectif PGL2(K) et la droite projective P^1(K)......Page 339
3.2 Le groupe spécial projectif réel et le demi-plan de Poincaré......Page 342
EXERCICES......Page 347
MODULE II.7 POLYNÔMES À PLUSIEURS INDÉTERMINÉES......Page 353
1.1 Construction de K[X1,...,Xn]......Page 354
1.2 Règles de calcul......Page 359
1.3 Dérivations......Page 365
1.4 Polynômes symétriques......Page 370
2.1 Prolongement des identités algébriques......Page 377
2.2 Résultant et discriminant......Page 380
EXERCICES......Page 388
MODULE II.8 STRUCTURES DISCRÈTES ET RÉCURSIVITÉ......Page 396
1 Mots et langages......Page 397
1.1 L'algèbre des mots......Page 398
1.2 Langages......Page 401
2.1 Graphes non orientés......Page 406
2.2 Graphes orientés......Page 411
2.3 Arbres......Page 415
3.1 Exemples expliqués......Page 419
3.2 Analyse d'algorithmes récursifs......Page 424
3.3 Récursion et induction structurelle......Page 426
4 Fractions continues......Page 427
4.1 Compléments à l'algorithme d'Euclide......Page 428
4.2 Développement en fraction continue dans Q et dans K(X)......Page 430
4.3 Les réduites d'une fraction continue sur un corps arbitraire......Page 433
4.4 Développement en fraction continue d'un réel......Page 436
4.5 Développement en fraction continue d'une série formelle......Page 439
EXERCICES......Page 442
III Géométrie......Page 450
MODULE III.1 SURFACES......Page 452
1.1 Définitions......Page 453
1.2 Nappes géométriques......Page 457
1.3 Plan tangent, espace tangent......Page 459
1.4 Position par rapport au plan tangent......Page 464
2.1 Définitions......Page 471
2.2 Sous-variétés lisses......Page 472
2.3 Espace et plan tangent......Page 473
2.4 Intersection de deux surfaces......Page 475
3.1 Nappes réglées......Page 478
3.2 Nappes de révolution......Page 481
3.3 Quadriques......Page 484
EXERCICES......Page 494
IV Analyse......Page 500
MODULE IV.1 ESPACES VECTORIELS NORMES......Page 502
1.1 Normes......Page 503
1.2 Espaces métriques......Page 506
1.3 Limites de suites dans un espace métrique......Page 510
1.4 Parties ouvertes, parties fermées......Page 513
1.5 Applications continues......Page 518
1.6 Applications linéaires ou multilinéaires continues......Page 525
1.7 Normes équivalentes......Page 531
2.1 Suites de Cauchy, Espaces complets......Page 533
2.2 Théorème du point fixe......Page 537
2.3 Séries dans un espace vectoriel normé......Page 539
3.1 Définition et premières propriétés......Page 542
3.2 Fonctions continues sur un compact......Page 546
4.1 Théorèmes fondamentaux......Page 550
4.2 Normes matricielles......Page 553
5.1 Parties convexes......Page 554
5.2 Espaces connexes......Page 558
5.3 Fonctions convexes......Page 563
5.4 Inégalités de convexité......Page 568
6 Espaces de Hilbert......Page 571
6.1 Théorème de projection......Page 572
6.2 Bases hilbertiennes......Page 574
EXERCICES......Page 579
1 Suites de fonctions......Page 586
1.1 Convergence simple, convergence uniforme......Page 587
1.2 Convergence uniforme et continuité......Page 591
1.3 Intégration et dérivation......Page 594
1.4 Théorème d'approximation de Weierstrass......Page 598
2.1 Passage des suites de fonctions aux séries de fonctions......Page 600
2.2 Convergence normale......Page 604
3.1 Domaine de convergence......Page 611
3.2 Opérations algébriques sur les séries entières......Page 620
3.3 Dérivation terme à terme d'une série entière......Page 625
3.4 Fonctions développables en série entière......Page 633
3.5 Exponentielle d'une matrice carrée......Page 641
EXERCICES......Page 646
MODULE IV.3 INTÉGRATION......Page 654
1.1 L'intégrale de Riemann......Page 656
1.2 L'intégrale de Henstock-Kurzweil......Page 659
1.3 Premières propriétés de l'intégrale......Page 663
1.4 Exemples de fonctions intégrables......Page 665
1.5 Le théorème fondamental de l'analyse......Page 669
2 Intégration sur un intervalle quelconque......Page 671
2.1 Intégrales impropres (au sens de Riemann)......Page 672
2.2 Intégrales de Henstock-Kurzweil......Page 679
2.3 Le lemme de Henstock......Page 683
2.4 Fonctions absolument intégrables......Page 684
3.1 Convergence uniforme......Page 687
3.2 Les théorèmes de Lebesgue......Page 688
3.3 Fonction définie par une intégrale......Page 692
4.1 Définition et premières propriétés......Page 698
4.2 Théorème de Fubini......Page 701
4.3 Intégrales sur un ouvert de R^n......Page 703
4.4 Formule de changement de variable......Page 707
EXERCICES......Page 714
MODULE IV.4 SÉRIES DE FOURIER......Page 718
1 Coefficients de Fourier......Page 720
1.1 La famille des exponentielles......Page 721
1.2 La famille des sinus et cosinus......Page 724
1.3 Propriétés des coefficients de Fourier......Page 725
1.4 Taille des coefficients de Fourier......Page 727
1.5 Problème inverse......Page 728
2.1 Produit de convolution......Page 730
2.2 Formule de Parseval......Page 733
2.3 Théorème de Dirichlet......Page 735
2.4 Théorème de Féjer......Page 738
2.5 Une fonction continue qui n'est pas la somme de sa série de Fourier......Page 740
3.1 Fonctions réglées......Page 742
3.2 Coefficients de Fourier, formule de Parseval......Page 743
3.3 Théorèmes de Dirichlet et de Féjer......Page 748
3.4 Phénomène de Gibbs......Page 751
4.1 Équation de la chaleur......Page 753
4.2 Théorème ergodique......Page 757
4.3 Inégalité isopérimétrique......Page 759
4.4 Séries lacunaires......Page 761
EXERCICES......Page 763
MODULE IV.5 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES......Page 767
1.1 Rappels......Page 768
1.2 Énoncés des théorèmes......Page 770
1.3 Exemples......Page 773
1.4 Démonstrations des théorèmes......Page 779
2.1 Définition et exemples......Page 783
2.2 Sous-variétés paramétrées......Page 786
2.3 Espaces tangents......Page 789
3 Développement de Taylor......Page 793
3.1 Fonctions de classe Ck......Page 795
3.2 Les formules de Taylor......Page 800
3.3 Classification des points critiques d'une fonction......Page 805
4.1 Intégrales curvilignes......Page 809
4.2 Dérivée d'une forme différentielle de degré 1......Page 814
4.3 Formule de Green-Riemann......Page 816
4.4 Quelques explications......Page 821
EXERCICES......Page 823
MODULE IV.6 FONCTIONS ANALYTIQUES......Page 828
1.1 Retour sur les séries entières......Page 829
1.2 Fonctions analytiques......Page 834
2 Principe du prolongement analytique - Principe des zéros isolés......Page 836
2.1 Principe du prolongement analytique......Page 837
2.2 Principe des zéros isolés......Page 839
3.1 Logarithme complexe......Page 843
3.2 Racines k-èmes......Page 846
3.3 Théorème d'inversion locale......Page 848
3.4 Analyticité du logarithme complexe et des racines k-èmes......Page 850
4.1 Formule de Cauchy pour un cercle......Page 852
4.2 Analyticité des fonctions holomorphes......Page 854
4.3 Inégalités de Cauchy......Page 856
4.4 Principe du maximum......Page 859
4.5 Suites de fonctions analytiques......Page 860
EXERCICES......Page 863
MODULE IV.7 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES......Page 868
1 Équations différentielles linéaires sur R......Page 869
1.1 Généralités......Page 873
1.2 Équations à coefficients constants......Page 881
1.3 Vectorialisation et existence des solutions globales......Page 888
2.1 Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire......Page 896
2.2 Aspects qualitatifs......Page 905
2.3 Équations à coefficients périodiques......Page 915
3.1 Généralités......Page 919
3.2 Existence et comportement des solutions......Page 927
3.3 Systèmes différentiels autonomes......Page 934
EXERCICES......Page 945
MODULE IV.8 MÉTHODES NUMÉRIQUES......Page 952
1.1 Rappels et compléments sur le calcul en base b......Page 953
1.2 Calcul en représentation flottante......Page 956
1.3 Performances des méthodes itératives......Page 961
1.4 La formule de Stirling......Page 963
2 Résolution approchée de l'équation f(x)=0......Page 964
2.1 Principes généraux......Page 965
2.2 Les principales méthodes......Page 970
3.1 Interpolation polynomiale......Page 978
3.2 Approximation polynomiale......Page 982
4 Calcul approché d'intégrales......Page 988
4.1 Première approche......Page 989
4.2 Méthodes de quadratures......Page 992
4.3 Méthode de Gauss......Page 1003
5.1 Méthodes directes......Page 1006
5.2 Méthodes itératives......Page 1016
EXERCICES......Page 1024
V Probabilités, statistiques......Page 1030
MODULE V.1 NOTIONS FONDAMENTALES SUR LES PROBABILITÉS......Page 1032
1.1 Ensemble fondamental......Page 1033
1.2 La notion d'événement......Page 1034
1.3 La notion de tribu......Page 1035
2 Probabilités......Page 1036
2.1 Propriétés élémentaires d'une probabilité......Page 1037
2.2 Probabilité uniforme sur un ensemble fini......Page 1040
2.3 Probabilités sur un ensemble dénombrable......Page 1042
2.4 Probabilités uniformes sur R (ou R^d)......Page 1044
2.5 Probabilités de réunions d'ensembles: règle d'inclusion-exclusion......Page 1045
3.1 Intuition et définition......Page 1048
3.2 Formule de Bayes......Page 1051
3.3 Conditionnement multiple......Page 1054
4.1 Indépendance de deux événements......Page 1055
4.2 Indépendance de plusieurs événements......Page 1057
4.3 Construction d'un espace de probabilité......Page 1059
4.4 Probabilité de réunions d'événements indépendants......Page 1061
5.1 Un exemple classique: la ruine du joueur......Page 1066
5.2 Paradoxes......Page 1068
6 Complément : Équations aux différences......Page 1071
EXERCICES......Page 1072
1.1 Définitions......Page 1076
1.2 Histogrammes......Page 1078
2.1 Loi de Bernoulli......Page 1080
2.2 Loi binomiale et nombre de succès......Page 1081
2.3 Temps d'attente et loi géométrique......Page 1084
2.4 Échantillonnage et loi hypergéométrique......Page 1085
3 Espérance de variables aléatoires discrètes réelles......Page 1087
3.2 Propriétés élémentaires de l'espérance......Page 1088
3.3 Propriétés de transport......Page 1089
3.4 Quelque remarques......Page 1090
3.5 Variance......Page 1091
3.6 Espérances et variances pour des lois usuelles......Page 1093
4.1 Approximation de la loi hypergéométrique......Page 1097
4.2 Approximation de la loi binomiale et loi de Poisson......Page 1099
5.1 Loi d'un vecteur aléatoire......Page 1100
5.2 Covariance et corrélation......Page 1102
5.3 Indépendance......Page 1104
5.4 Indépendance et covariance......Page 1105
5.5 Schéma succès-échec infini......Page 1108
6.1 Définition......Page 1111
6.2 Cas des vecteurs aléatoires......Page 1113
6.3 Indépendance et convolution......Page 1114
6.4 Fonctions génératrices de lois usuelles......Page 1115
6.5 Sommes aléatoires de v.a. indépendantes......Page 1118
EXERCICES......Page 1119
1.1 Définition......Page 1124
1.2 Loi et fonction de répartition......Page 1126
2.1 Densité de probabilité......Page 1128
2.2 Lois usuelles......Page 1129
2.3 Caractérisation des v.a. réelles à densité......Page 1132
3.1 Espérance......Page 1133
3.2 Moments......Page 1135
3.3 Moments des lois usuelles......Page 1137
3.4 Inégalités célèbres......Page 1138
4.2 Vecteur aléatoire à densité......Page 1140
5.1 Définition......Page 1142
5.2 Indépendance de variables aléatoires à densité......Page 1144
5.3 Covariance et variance......Page 1146
5.4 Somme de variables aléatoires à densité indépendantes......Page 1148
5.5 Vecteurs gaussiens......Page 1150
6.1 Simulation d'une v.a. uniforme......Page 1156
6.2 Méthode de la fonction inverse......Page 1157
6.4 Simulation d'une v. a. Gaussienne......Page 1159
6.5 Méthode du rejet pour une loi uniforme......Page 1160
EXERCICES......Page 1163
1 Loi des grands nombres......Page 1166
1.1 Loi faible des grands nombres......Page 1167
1.2 Loi forte des grands nombres......Page 1168
2.1 Approximation normale de la loi binomiale......Page 1170
2.2 Énoncé du théorème......Page 1173
3.1 But de l'estimation......Page 1178
3.2 Qualités d'un estimateur......Page 1180
3.3 Estimateurs usuels......Page 1181
4.1 Intervalle de confiance et estimation......Page 1185
4.2 Échantillons gaussiens......Page 1186
4.3 Échantillons non-gaussiens......Page 1194
EXERCICES......Page 1198
VI En route vers le L3......Page 1204
1 Introduction......Page 1206
2.1 Introduction......Page 1207
2.2 Formules de récurrence et formule de Darboux-Christoffel......Page 1210
2.3 Les zéros des polynômes orthogonaux......Page 1214
2.4 Approximation et formules de quadrature......Page 1215
3.1 Équations différentielles et polynômes orthogonaux......Page 1224
3.2 Formule d'Olinde Rodrigues......Page 1238
3.3 Polynômes de Jacobi et cas particuliers (Legendre et Tchebychev)......Page 1242
3.4 Polynômes d'Hermite......Page 1252
3.5 Polynômes de Laguerre......Page 1260
3.6 Séries génératrices......Page 1264
3.7 Propriétés de densité pour les polynômes d'Hermite et de Laguerre......Page 1268
4.1 Déterminants de Hankel et approximants de Padé......Page 1271
4.2 Polynômes orthogonaux et fractions continues......Page 1284
EXERCICES......Page 1289
ÉLÉMENTS DE RÉPONSE......Page 1304