Mathematik fur BWL-Bachelor: Schritt fur Schritt mit ausfuhrlichen Losungen 3834810126, 9783834810120 [PDF]

Zitiervorschau

Heidrun Matthäus

I Wolf-Gert Matthäus

Mathematik für BWL-Bachelor

Heidrun Matth äus

I Wolf-Gert Matth äus

Mathematik für BWL-Bachelor Schritt für Schritt mit ausfü hrlichen Lösungen 2., überarbeitete Aufl age STUDIUM

11 VIEWEG+ TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalb ibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar .

Dipl.-Math . Heidrun Matth äus studierte von 1970 bis 1975 Mathematik und Mathematik-Pädagogik an der Staatlichen Universität Charkow (Ukraine) . Anschließend arbeitete sie an der Technischen Hochschule Merseburg und ab 1991 an der Martin-Luthe r-Universität Halle. Seit 1996 ist sie als Lehrkraft für besondere Aufgaben zuständig für die mathematische Grundausbildung im BWL-Direkt- und Fernstudium am Standort Stendal der Hochschule Magdeburg-Stendal (FH). Dr. rer. nat. habil. Wolf-Gert Matth äus studierte von 1964 bis 1969 Mathematik an der TU Dresden. Dann lehrte er an der TH in Merseburg, wo er 1973 promovierte und sich 1978 habilitierte. Er wurde 1979 zum Dozenten für Numer ische Mathematik berufen . Von 1991 bis 1998 wirkte er am Aufbau der deutschsprachigen Abteilungen an der Marmara-Universität in Istanbul (Türkei) mit. Nach seiner Rückkehr nach Deutschland übernahm er Lehraufträge an Universitäten, Fachhochschulen , Berufsakademien und Verwaltungs- und Wirt schaftsakademien .

1. Auflage 2006 2., überarbeitete Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch

I

Nastassja Vanselow

Vieweg +Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media . www .viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielf ältigungen , Übersetzungen , Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektron ischen Systemen . Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften . Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1012-0

Vorwort Die hier vo rgelegte zwe ite Auflage, für die vom Verlag die attraktive Möglichkeit gescha ffen wurde, farbi ge Gesta ltungselemen te einfü gen zu könne n, untersche idet sich von der Erstauflage durch ein völlig neu gefasstes Ka pitel 17 zu d en linearen Gleichungssystemen . Wei ter wu rden viele Hin weise von Leserin nen und Lesern, von Fachkollegin nen und Fachkollegen und vo n Rezensenten berücksicht igt, für die wir un s hiermit a usdrü cklich bed anken. Nach dem Erscheinen d er ers ten Auflage w urden a uch Wünsche nach Erweiteru ng lind Ver tiefung geäußert, ve rmisst wu rde zu m Beispiel die Integralrechnung mit ihren ökonom ische n Anw end ung en, di e Statist ik sowie eine au sführlichere Darstellung de r linearen Optimierung. Nach Rücksprache mit d em Verlag entsch iede n wi r uns aber d afü r, dera rt ige Erweiteru ngen nicht in die ses Buch au fzune hmen, um Inhalt u nd Um fang (und Preis) in Grenzen zu halten. Sta tt de ssen erarbeiteten wir einen we iterfü hrende n Titel " Mathema tik für BWL-Master", der seit Mitte 2009 im Buchhandel ve rfügbar ist. Für alle Interessen ten möchten wir hier eine kurze Übersicht der d ort behandelten Themen angeben: Teil I: Ergän zu ngen zur An alysis

Elemente der lntegralrecllllll/Jg / Dlffcrevzen- lind Diffem ztialgleiclllwgCII Teil 11: Transportopn rruerung, Lineare Optimierung

Lineare Gleic!llIllgssysteme: Kanonische Formell, Basislösungen / Eilljiilmmg in die Transportoptimierung/ Zuordnungeprooteme I Lineare Optimieru/lg Teil III: Wahrsc he inlichkeit und beurteilende Sta tistik WiederllO/zmg: Wahrsc/leinlid/keit / Zlifa/lsgrößCII und Verteilungen / verteiumgen alternatioer lind diskreter ZlIfaUssrößell1 Stetige verteitungen und stetige ZlIfallsgrößen / Nonnaloeneiiung I Didüejunktion, Stondoränormouerteitung. Quantile / Statistische Tests: Prüfling VOll Yeneilungell / Statistische Tests: Parameterfests I Parameterpriif zlllg bei kleinen Stichproben Teil IV: Gr und zü ge d er Entscheidungstheori e Grundbegriffe der Entecheidungettseorie I Kloseiedie Entscheidungskriterien / Das BernoulliPrinzip / Elltsdieidllllg II nter Ungewissheit Wir hoffen, da ss wir mit beiden Tite ln den Bachelor- und Master-Studierenden von BWL und VWL eine gu te Un ters tützung für ihr ans trengendes Studium geben können. Für Anregu nge n u nd Hinweise s ind wi r ste ts dankbar. Uengli ngen , im Herbst 2009

Held run Matt häu s Wolf-Gert Matthäus

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage An den höchsten Bildungsstätt en des Landes vollzieh t sich, von der breiten Öffentli chkeit we itgehe nd unbem erkt, eine der größ ten Umwälzungen d es deu tschen Hoch schulwesens seit vielen Jahren :

6

Vorwort

Gem ä ß den EU-Besch lüssen von Bologna e rfolgt schrittweise d ie Um stellung d es spez ifisch de u tschen Stud iensystems au f die internationa l üb lichen Bildu ngsabschnitt e Bachelor und Master. Nahezu alle Studiengänge werden dafür auf den Prüfstand gestellt.!

Insbesondere bet rifft dies die vielfältigen Stud ienfo rmen. in d enen bishe r die Betriebswi rtschaftslehre vermitte lt w u rde. Die vorgeschriebene Akkred itie n mg als Vora uss etz ung für den Erwerb de r Leh rerlaubnis wird dazu führen, da ss es keine wesentuchen Unterschied e im d reijährigen BWLBachelor-Stud ium an den ve rschied enen hohen Schulen de s Landes meh r gebe n wird . Damit w ird bei sehr gut abgeschlossenem Bachelor-Stud ium d ie sofortige od er spä tere Weiterqualifiz ierung zu m BWL-Maste r an di esem oder andere m Or t ermöglicht. Einhe itlich w ird vor allem d ie Aus bildung in den e rsten Semes tern e rfolgen. Das betrifft insbesondere die überall erfolgende mathem ati sche Gru nd lage nausb ildung, der en Rahmen neu abgestec kt w ird. Häufi g we rd en da für zwei Semester vorgesehen, allgemein 5 bis 7 credi t points er hält der Stud iere nde dafür nach e rfolgreichem Abschluss. Das vorliegend e Lehrbuch trägt der neuen Situa tion in jed er Hinsicht Rechnu ng. Es enthä lt in siebzehn Kapiteln zus am mengefass t de n gru ndsätz lichen mat hemat ischen lehrstoff w ie er in jedem Bwl .-Bachelor-Studiengang zu vermitteln ist. Zwei Ka pi tel widmen sich ga nz spez iell de r Frage, w ie die Mathematik sin nv oll auf bet riebswirtschaftli che Fragestellungen a nge wa ndt werde n kann . Da es als begle ite nd es Buch zu den Vorles ungen und gleichzeitig als H ilfe für da s Selbststu diu m gedacht ist, stellte es die Autoren im mer wieder vo r d ie Frag e, w ie di e schwierige Bala nce zw ische n strenger, aber nüchterner mathemati scher Korrektheit und stä rker populärem Erläutern und Erkläre n gehalte n we rde n kann. Im Z we ifelsfall fiel die Entsche id ung meist zug u nsten de r Erklä rung au s. Wir hoffen, d ass dies auch im Sinne de r Lese r se in w ird . Angesichts des vorgegebene n Umfangs mu sste au ch überlegt we rde n, we lche mathem atischen Themen zu gunste n ausfü hr lich vorge rechn ete r Beispiel e gekü rz t oder nur indi rekt au fgenom men werden. So mu ssten ein führende, sys tema tisch a u fbauende Kapitel übe r ma thema tische Logik, Menge n lehre u nd den Aufbau de s Za hlen systems entfallen, w ichtige Begriffe we rden aber im Kontext d ort erklärt, w o sie benötigt werde n. Nicht gekürz t wurde abe r bei den einführenden Ka piteln, die da s elementare und höhere " ma the ma tische H an dwerkszeug" w ied erholend zu sammen ste llen, ve rtie fen un d er gä nzen . De nn die Erfahrung beider Autore n, zu sa mmen meh r als siebzig Jahr e als H ochschul-Lehre nde und als Hoch schullehrer an d iver sen höheren und höchsten Bildungseinrichtungen tä tig, we isen imme r w iede r au s, dass es nich t vordergründi g intellek tuelle Defizite ode r das Unvers tänd nis der Mathematik sind. die die BWL-Stud ierenden so oft an Mathema tik-Klau suren scheitern lassen. Für de n Dialog mit den Lese rn w ird au f der In te rne t-Seite www.w-g-m.de unter der ge so nderten Rubrik Lese rse rvice a uf oft gestellte Frag en zu m Buch gea n twortet. Uengh ngen, im Sommer 2006

Heidrun Matthaus Wolf-Gert Ma tth äus

Inhaltsverzeichnis

1 1.1

Analys is

17

Funkti onen

17

1.1.1

Begriff

.

............ 17

1.1.2

Nutzen von Funktionen

.

............. 19

1.1.3

Graph der Fu nktion

19

1.2

Au fgaben der Anal ysis

21

1.3

Vorscha u

22

2

Ele me n tares H and w erkszeug

23

2.1

Klammersetzu ng

23

2.1.1

Punkt- vo r Strichrechnung

23

2.1.2

Poten z- vo r Punktr echn ung

23

2.1.3

Klam mern

23

2.2

Bru chrechnung

24

2.2.1

Grundsätzliches

24

2.2.2

Multi plik ati on und Division von Brüchen

25

2.2.3

Addition und Subtraktion von Brü chen

26

2.3

Größen verhältni sse bei Brüchen

27

3

Erw eite rt es Handwerkszeug.•••........••........•••........•••........•••........•••........••........•••........••• 29

3.1

Potenzen, Wurzeln, Logar ithmen

29

3.1.1

Pote nzen

29

3.1.2

Pote nzgesetze

29

3.1.3

Wu rzeln

30

3.1.4

Wurzelgesetze

31

3.1.5

Der Begriff d es Loga rithmus

32

3.1.6

Dualer, dekadischer un d natürlicher Logarith mu s

33

3.1.7

Logarit hmengesetze

34

8 3.2

Inhaltsverzeichn is Gleichungen, Ungleichungen, Beträge

35

3.2.1

Allgemeines zu Gleichungen

35

3.2.2

Q uadr atische Gleichu ngen

37

3.2.3

Ung leichu ngen - Begr iff und Lösungsmenge

38

3.2.4

Ung leichungen - Multiplikation mit bekan nten Zah len

39

3.2.5

Ungleichun gen - Division d ur ch bekannte Zahlen

40

3.2.6

Ung leichungen - Multip likationlDivision ohne Vorzeichen informa tion

40

3.2.7

Beträge

45

3.2.8

Betragsgleichun gen und -u ngleichunge n

45

3.3

Umga ng mit de m Sum menzeichen

47

3.3.1

Einfache Summen

47

3.3.2

Rechen regel n für einfache Summen

49

3.3.3

Doppe lsummen

49

3.3.4

Rechenr egeln für Doppelsu mm en

50

4

Elem entare Funktionen und ih re Graphe n

51

4.1

Polynome

51

4.1.1

Allgeme ines

51

4.1.2

Berec hnung von Fun ktionswerten von Polynomen

51

4.1.3

Graphe n von Polynom en u - ten Grades, wenn nungerad e ist..

52

4.1.4

Graphe n von Polynomen

54

4.1.5

G raphe n von Polynomen zw eiten Grad es

55

4.1.6

Parabeln zeichnen

57

4.1.7

Graphe n von Polynomen ersten G rades

60

4.1.8

Polynome nullten Grades u nd ihre Graphen

61

4.2

/1-

ten Grad es, wenn n ge rade is t

Exponen tialfunktionen

61

4.2.1

Begriff.

61

4.2.2

Graphe n von Exponen tialfunktionen

62

4.2.3

Zeichnen des Grap hen

63

Logarithmu sfunktionen

64

4.3 4.3.1

Begriff

64

4.3.2

Graphe n von Logarithmu sfunktionen

64

Inh altsverzeichnis

9

5

Verwandte Funktionen und ihre G raphe n

65

5.1

Begriffserklärung

65

5.2

Ad d itione n und Subtraktione n

66

5.2.1

Ad dition und Subtraktion zur Fun ktion

66

5.2.2

Ad dition und Subtraktion zu m Argument

67

5.3

Mult ip likati onen

68

5.3.1

Multipl ikati on der Funk tion mit (- 1)

.

68

5.3.2

Multip likation des Argu ments mit (- 1)

.

68

5.4

Betragsb ild ungen

69

5.4.1

Betragsbildung im Argument

69

5.4.2

Von de r Funktio n zum Betrag der Fu nktion

70

6

Kurvend iskussion .......•••........••........•••.........••........•••........•••........•••........••........•••........••• 73

6.1

Begriff und Aufga bensteilung

73

6.2

Definitionsbereich

74

6.2.1

Bestim mung d es Definitionsbe reiches

74

6.2.2

Beschr eibu ng des Definitionsbereiches

75

6.2.3

Definitionsbereich als Lösu ng einer Ungle ichung

75

6.2.4

Definitionsbereich als Lösu ng von Betragsgleichu ngen

77

6.2.5

Definitionsbe reiche de r Gru nd fu nktionen

77

6.2.6

Definitionsbereiche verw andter Fun kt ionen ....

... 78

Rand untersuchun gen .............................................

.. 80

6.3 6.3.1

Grundfu nktionen

80

6.3.2

Beliebige Fu nk tionen

81

6.3.3

Unbes timmte Au sd rü cke

83

6.4

Wer tebereich

84

6.4.1

Begriff und Bed eutung

84

6.4.2

Wertebereiche der Grund funklionen

85

6.4.3

Wertebere iche verwa nd ter Funktionen

86

6.4.4

Wertebereiche beliebig er Funktionen

89

10 6.5

Inh altsverzeichnis Schnittpu nkte mit den Achsen

89

6.5.1

Schnittpunkt mit der senkrechten Achse

89

6.5.2

Schnittpunkte mit de r wa age rech ten Achse

90

6.6

Aus blick

92

7

Eigenschaften von Funktionen

93

7.1

Stetigkeit

93

7.1.1

Defin ition

93

7.1.2

Konsequ enzen von Stetigkeit und Unstetigkeit

94

7.1.3

Arten d er Uns tetigkeit

95

7.1.4

Suche nach Unstetigkeitsstellen

96

7.2

Beschrä nkt heit

98

7.2.1

Definitionen

98

7.2.2

Stetigkeit und Beschrän ktheit

99

7.3

Monotoni e

]00

7.3.1

Definitionen

]00

7.3.2

Rechnerische Besti mm ung des Mon otonieverhaltens

102

7.3.3

Stetigkeit und Monotonie

]03

7.4

Umkehrfu nkt ion

]04

7.4.1

Fragestellung

]04

7.4.2

Berechnung de r Umkehrfunktion

]06

7.5

Mittelbare Funktione n: Funktionen von Funkti onen

107

8

Diff eren tial rechnung

113

8.]

Vorbemerkun g, Bilanz, Ausblick

] 13

8.2

Der erste Ableitungswert.

] ]3

8.2.1

Begriff und Bed eutung

] ]3

8.2.2

Symbolik

] 14

8.3

Berechnung des ersten Ableitungswertes. Theorie

] ]5

8.4

Berechnu ng de s ersten Ableitungswertes: Praxis

] 16

8.4.1

Erster Able itu ngswert und erste Ableitungsfunkti on

] 16

8.4.2

Erste Ableitungsfu nktion von wichtigen Grundfunktionen

] 16

8.4.3

Fakto r- und Sum menregel

] 18

8.4.4

Prod uktregel

] 19

Inh altsverzeichnis 8.45

11

Q uot ient enregel

120

8.5

Kettenre gel

120

8.6

Logarithmisches Differe nzieren

123

9

Ku rvend isk ussion (Fortsetzu n g)

125

9.1

Bedeutung des ersten Ableitungswertes für de n Graphen

125

9.I.1

Anstie g de r Tangen te

125

9.1.2

Waagerechte Tangent e

128

9.1.3

Existenz de s ersten Able itun gswertes

129

9.2

Bedeutu ng der ers ten Able itun gsfu nkti on für den Graph en

132

9.2.1

Grundsätzliches

132

9.2.2

Nullstel len der ersten Ableitu ng

134

Zweit e Ableitun gsfu nktion

135

9.3.1

Begriff und Berechn un g

135

9.3.2

Bedeutung für d ie Ku rvendisku ssion

.

135

9.3.3

Kriterien und hinreichen de Bedi ngungen für relative Extrema

.

138

9.3.4

Lösung von Extremw ertau fgaben .......................................................

.

138

9.3.5

Höhere Ableitu ngsfunktionen

9.3

140

9.4

Ableitungsfunkti onen nicht übe rall d ifferen zierb arer Funktione n

140

9.5

Gren zwerte unbestimmter Aus drücke

141

10

Folge n mit Reih en

143

10.1

Folgen als spez ielle Funktionen

143

10.2

Beschränktheit und Monotonie, alternierende Folgen

144

10.2.1

Beschränkt heit vo n Folgen

144

10.2.2

Monoton ie von Folgen

144

10.2.3

Alternie rende Folgen

145

10.3

Konverge nz un d Divergenz von Folgen

145

10.3.1

Das Problem mit de m Unendliche n

145

10.3.2

Definitione n der bestimmten Divergenz

147

10.3.3

Definition d er Kon ve rgenz

148

10.3.4

Unbes timmte Au sdrücke

149

12 10.3.5

Inhal tsve rze ichnis Gre nz 'e rtsä tze

150

10.4

Reku rsiv besch riebene Fol gen

151

10.5

Reihen

154

10.5.1

Begriff, Rei hen als spezielle Folgen

154

10.5.2

Un te rsuch ung von Reihen

155

10.5.3

Ge ome trische Reihen

158

10.5.4

Konver genz von Re ihen

160

10.6

Grenzwert e iner Funk tion

162

11

Funktionen z w eier Ver änderlicher

163

11.1

Begri ff, Vo rstellung, Gra ph

163

11.1.1

Aufga bensteIlung

163

11.1.2

Veran sch aulichung

165

11.1.3

Mö glichkeite n und Grenz en

167

11.2

Zah lenmä ßige Info rm ati one n zu m Graphen

168

11.2.1

Erste parti e lle Ableitungswerte

168

11.2.2

Das tota le Differen tial

171

11.2.3

Wa agerechte Tan gentialebe ne n

] 73

11.3

Differentialrechnung fü r Funktio nen zweier Ve ränderliche r

175

11.3.1

Theorie un d Praxis

175

11.3.2

Zusätzliche Regel des pa rtiellen Differen zierens

] 76

11.3.3

Beispiel e

176

11.3.4

Bezeich nunge n

179

11.4

Hö he re partielle Ableitungen

] 79

11.5

Bestimmung von H och - und Tie fpunk ten

180

11.6

Linien gleiche r Funktionswerte : Nivea u linien

183

Begriff und Beisp iel

183

11.6.2 Ermittlung vo n Nivea u linien

185

11.6.1

11.6.3

H öhenlini en

] 88

12

Fu nktio nen m it m ehr al s z we i Veränderlich en

189

12.1

Beg riff

] 89

12.2

Unvorstellbarken

189

Inh altsverzeichnis

13

12.3

Erste pa rtielle Ableitungswerte und totales Differen tial

190

12.4

Differentialrechnung für Fu nktione n von 11 Veränderlichen (11 ) 2)

191

12.4.1

Regeln de s partiellen Differe nzteren s

191

12.4.2

Gradi ent

191

12.4.3

Höh ere partielle Ableitungsfunkti onen

192

12.4.4

Hesse-Matri x

193

12.5

Relative Extremwerte

193

13

Extremalau fgab en ........•••........•••........•••........••........•••........•••........•••........••........•••........• 195

13.1

Freie Extremelau fgaben

195

13.1.1

Funktionen eine r unab hängigen Verän de rlichen

195

13.1.2

Fun ktionen meh rerer unabhängiger Veränderliche r

200

13.2

Nebenbedingungen in Ungleichungsform

200

13.2.1

Funktionen einer un abh än gigen Verände rlichen

200

13.2.2

Funktionen meh rerer unab hängiger Verände rliche r

202

13.3

Nebenbed ing unge n in Gleichungsfo rm

203

13.3.1

Funktionen eine r unabhängigen Veränd erli chen

203

13.3.2

Fun ktionen von zwe i u nd meh r un abhängigen Verände rlichen

203

13.3.3

Die Methode der Lagr ange-M ultiplikatoren: Einführ un g

204

13.3.4

Die Method e der Lagrange-Multipli katoren: Aus blick

205

Analysis und Bet rieb sw irtschaftsl ehre

207

14.1

Preis-Absatz-Punktionen

207

14.2

Angebo tsmono polisten

208

14.3

Sättigungsprozess

211

14.4

Gewinnmaximu m und Du rchschnittskosten

211

14.5

Rent ab ilität und Marktanteil

212

14.6

C ewinnmaximierung

213

14.7

Monotonie der Nac hfrage

214

14.8

CO BB-DO UGLA5-Funktion

214

14.9

Stückkoste nkurve u nd Gren zkosten

215

14

14.10 Grenzerträge

215

Inhal tsve rze ichnis

14

14.11 Zwe i Gü ter

217

14.12 Min ima lkostenkombinationen

218

14.13 Output-Maximierung

220

15

Linear e Algebra: Matrizen

221

15.1

Allgemei nes

221

15.1.1

Der Matrixbegriff

221

15.1.2

De r Matrixbeg riff in de r Mathematik

222

15.2

Matrizen- Begriffe

223

15.2.1

Zeilen und Spa lten, Format.

223

15.2.2

Vektore n a ls spezielle Matr izen

224

15.2.3

Beziehungen zwi schen Matrizen

224

15.2.4

Tran sponier en

225

15.3

Quad rati sche Matrizen

226

15.3.1

Diagona len

226

15.3.2

Diagona l- und Einheits matr ix

226

15.3.3

Sym metr ie

227

15.4

Einfac he Rechen regeln für Matrizen

227

15.4.1

Add ition u nd Subtra ktion, N ullma trix

227

15.4.2

Multipl ikat ion einer Ma trix m it e iner Za hl

228

15.5

Matrize nm ult ip likat ion

229

15.5.1

Her stellbarkelt von Matrizenprodukten

229

15.5.2

Ver tauschb ar ke it

231

15.5.3

Rechen regeln

231

15.5.4

Besonderheiten d er Nu llmatrix

231

15.5.5

Einselement der Matrizenmul tip likation

232

15.5.6

Divi sion von Mat rizen

233

Inve rse Matrix

234

15.6.1

Fra gestellung

234

15.6.2

Defi niti on der inverse n Mat rix

234

15.6.3

Inve rse von Dia gon alma trizen

236

15.6.4

Lösung e iner Ma trixgleichu ng m it qu ad ratischer Matrix

236

15.6.5

Einzigkeit der Inversen

238

15.6

Inh alt sver zeichnis

15

16

Lin eare Al gebra: Determinanten

239

16.1

Der De termina ntenbeg riff

239

16.2

Bed eu tung der Determinante

239

16.3

Berechnung von Det erminan ten

240

16.3.1

Zweireihige Dete rminanten

240

16.3.2

D reireihige Dete rminanten - di e Regel von Sarr us

240

16.3.3

n- rethige Determinan ten - de r Entw icklungssatz

24]

16.4

Deter minanten spezie ller Mat rize n

245

16.5

Wei tere Determina ntengeset ze

247

16.6

Anwendungen

247

16.6.1

Crarner'sche Rege l

247

16.6.2

Berech nu ng de r Inversen von (2,2)·Matrizen

249

17

Lin eare Gleichu ngss ysteme..••.........••.........••........•••........•••........•••........••........•••........• 251

17.1

Defin ition, Darstellungsfor men und Begriffe

25]

17.2

Q uadra tische Gleichungssysteme

254

17.2.1

Lösu ngssitu ationen

254

17.2.2

Theorie mit Determi na nten

257

17.2.3

Praxis I: Basisversion d es Ca u ü'schen Algorithmu s

258

17.2.4

Praxi s 11: Der Oau ü'sche Algorithm us mit freier Pivotw ahl

267

17.3

Unterbes timmte linea re Gleichungssysteme

272

17.3.1

Definition u nd mögliche Lösungssitua tion en

272

17.3.2

Basisversion und freie Pivotw ahl

272

17.3.3

Kan oni sche Form und Bas islösu ngen

277

18

Lineare Algebra und Bet riebsw irtsch aft sl ehre

281

18.1

Roh stoffe und Endprod ukte

28]

18.2

Meh rstufige Prod uktion

286

18.3

Maschinenzeitfonds

288

19

Lin eare Optimierung

293

19.1

Aufga bens teilung

293

19.1.1

Allgemeines

293

Inhal tsve rze ichnis

16 19.1.2

Das Standa rd-Maximu mp roblem der LO

294

19.1.3

Das Standard -Minim u m problem der LO

295

19.2

Beispi el e

295

19.2.1

A kadem isches Bei sp iel

295

19.2.2

Anwendung: Optimale s Prod u ktionsprog ram m

296

19.2.3

Anwendun g: Diätprobl em

297

19.3

Gra fische l ösung

298

19.3.1

Zu läss ige r Bereich und Ecken

299

19.3.2

Zielfu nktion

302

19.3.3

l ösu ng des Diätproblem s

304

19.4

Weitere g ra fisch lösba re engewand te Au fgabenstellungen

306

19.4.1

Das Gärtnerproblem

306

19.4.2

Die Ra ffinieriea u fgabe

307

19.4.3

Die Kaffee aufgabe

307

19.4.4

Die Meterwarenaufgabe

307

19.4.5

Die Kohletransportau fgabe

308

19.4.6

Die Kredita ngeb ot saufgabe

308

19.4.7

Die Reiseplanungsaufgabe

308

19.4.8

Die Zu schnittaufgabe

309

19.4.9

Die Aktiena nl ageaufgabe

309

19.5

Rechne rische Lösu ng vo n Lor (Au sblick)

309

19.5.1

Schlu p fva riable

309

19.5.2

Basislösu nge n

311

19.5.3

H au p tsa tz der linea ren Opttmterung

312

19.5.4

Austauschve rfah ren

313

19.5.5

Simplex-Algorithm us

314

Weiterführende und vertiefende Liter atur

315

Sa chwortverzei chnis

317

1

Analysis

1.1

Funktionen

1.1.1

Begriff

Eine Funkt ion kann als eine Vorschrift aufgefasst we rden, die reellen Zahlen aus einer Menge X eindeutig reelle Zahlen aus einer Meng"e_Y:...::z=u=o~,d ::;;n= e =t. _

So kann durch die Vorsch rift Ordne allen positioen WerteIl das Dreifache ihres Wertes ZII eindeutig bestimmt werd en, d ass zu xj =2 de r Wert Yl =6 gehört. Zu x2=?!3 gehört d er Wer t Y2=7, und für x3=-5 wäre die Vorschrift nicht anwen dbar, denn -5 ist keine posit ive Zahl. Beispiel: Za hlt man zu m Jahresbeginn einen Betr ag Ko auf ein Konto ein, d as mit ;=3 % p .a . (cer gmllllll= pro Jahr) ver zinst wird, so kann man eindeutig aus rechnen, d ass man nach 2 Jahren einen Betrag von (1.01)

ausgeza hlt bekommt. Na ch 20 Jah ren wä re der Betrag (1.02)

ang espart wo rden . Beispiel: Bei der Best immung des Beitrages zur Krankenver sicherung wird von der Kran kenkasse " Bleib ges und" ein Beitragssat z von 14,5 '}'o de s Bruttogeh altes e rhoben . Dieser Beitrag wird jeweils zu r Hälfte vo m Arbeitne hmer un d vom Arbeitgeber gezahlt. Bei einem Brut toeinkommen von 2000 € w ü rde ein Arbeitnehmer also einen Beitrag vo n 145 € za hlen, d er Arbeitgeber seinerseits mu ss ebenfalls 145 € an die Kasse überwei sen . Dur ch das Bruttoeink ommen wird also eil/deli Hg die Höh e des Beitrages best immt. Umgekehrt kann man aus der Höh e d es Beitr ages zur Krankenversicherung nicht immer auf die Höhe des Bruttoeinkommens schließe n. Liegt d ie Beitragsbem essungsgren ze bei 4000 €, so wird beim angeno mmenen Beitra gssat z ein Kassenb eitr ag von 580 f fällig bei jedem Einkommen, das 4000 € üb ers teigt. Man könn te also led iglich feststellen, da ss ein Bruttoeinkommen von 4000 € - oder darüber - verei nb art w ur de, wenn bekannt ist, da ss ein Arbeitnehmer 290 € Kranken versicherungsbeitrag zahl t. Die vorecnrift, die die Zuordn ung beschreibt, mu ss also nu r den x-w er ten eindeu tig die y-Werte zuord nen, d . h . zu einem konkreten x-Wert gibt es gei/mi eil/eil y-Wert, wenn die Vorschrift eine Funktion sein soll. Die x-Wer te, für die d ie Vorschrift anwendbar ist, he ißen Argumellte oder IIllabllällgige versnderücnc.

-----------------

18

1 Analys is

Die sich bei der Anwendung de r Vorsc hr ift au f die x-Wer te er gebenden y-We rte heißen Funktionsteerte od er abhängige Yerdnderlichc

Man schreibt häufig kurz (1.03)

y = f (x)

und liest die se Beziehung eigen tlich

VOll

recute naclt links in folgender Weise:

Nimm einen z uliissigen x -Wert, wende a uf diese n d ie Vorschrift f an, und es er gibt sich der zugehörige y-Wert.

Diese Denkweise VOll rechts nachlinks ist historisch bedingt: Im Mittelalter en tfaltete sich die Blüte der d amaligen Mathematik im arab ischen Süds pa nie n. Und im Arabischen, d as ist beka nnt, wird von rechts nach links gelesen - und also au ch von rechts nach links ged acht. Neben de n Ziffemzeichen haben wir also auch das vo n de n alten Arabern übernommen . Nicht i mm er wi rd es ausre ichen, nur ein einziges Argulllt:IIt zu betr achten . So ist da s Endkapital Ku , d as nach n Jahren ang es part w urd e, nicht nur abhä ng ig vom eingezahlten Startkapital Ko , sondern auc h vom Zinssatz i u nd de r Laufzeit 11. Will ma n d as deutlic h machen , so schreibt man (1.04)

Betrachtet man also eine Funktion von mehr als einem Argument, so schreibt man (1.05)

und liest au ch h ier wieder: Man nehme ein konk retes Argument (XI, xz- ... , XII )' wende au f d ieses d ie vorecnriftfa n, und man erhä lt damit einen y-Werf. Das klingt komplizier t, ist es aber nicht immer. Betrachten wir zum Beispiel zwe i Punkte in der Ebe ne, P j(Xj, Yj) un d Pi Xb Y2), so erhalten wir unter Verwendung d es Satzes { 10 1l Pytlwgoras für den Abstand dieser beiden Punkte (1.06)

d =~(XI - X1)1

+(YI _ Y2)l .

Der Abstand d ist eine Funktion, die bereits vo n vier mw/llzängigen Veränderlichen ab hä ngt. Für die Punk te Pj (4,V und Pi l ,-3) erhält ma n zu m Beispiel (1.07)

d (x ) = 4. Xl = 1, YI = I' Yl = - 3) =

Derselbe Abstand

d =5

~( 4 _ 1)1 + ( 1_ (_3))1

= j

ergibt sich aber au ch z. B. für di e Punk te P l (3,2) u nd Pi -l,-V :

(1.08)

Die Eindeutigkeit der Z uordnung vom Argument Will Funtaionsuxrt ist a uch bei einer Fu nktion von meh r als einer unabhängigen Veränd erlichen gege ben. Umgekeh rt kann ma n aus dem Funkt ionswert i. Allg. /lich t einde utig a uf die u nabhängigen Veränderlichen schließen.

1.1 Fun ktionen

1.1.2

19

Nutzen von Funktionen

Ein Baumarkt annonciert: Unser Lager sol/ leer werden, wir brauchen Platz f iir neue Ware, alles IIIl/SS TaIlS.

Wer von unserem Spezialprodukt bis 1000 Stiick erwirbt, bezahlt einen Stilespreis rou 1 f ' pro Stück. Für AMIolmengen zunschen 1000 und 2000 Stiick redu ziert sicl1 der Stiickpreis auf 80 Cent, und wer iiber 2000 Stiick ertnirhi, braucht n/lr einen Stiickpreis VOll 60 Cent zu zainen. Da es zu jeder ange forde rten Stüc kza hl nur gellau einen Gesamtpreis gib t, habe n wir es hier mit eine m fUllktionalen Zusannncnnang Menge -+ Gesa mtp reis zu tun . Die be trachtete Fu nktion ist hierbei rein verbal, in Worten der uaiiirlidtcn Sprache, vo rgegeben worde n. Unklar be i dieser verba len Beschreibung könnte der Preis für eine Menge von 1000 Stück bzw . von 2000 Stück sei n. Zahlt man dort scho n den red uz ierten Preis od er noch nicht? Um h ier Klarheit zu scha ffen, versucht ma n, eine Formel zu find en, die es ermöglicht, zu jeder geka u ften Menge m den zugehö rigen Gesam tpreis p eindeutig zu errechnen. Schreibt ma n d en Zus ammenhang in folgender Form auf

(1.09)

p =p{m) =

I.aa.",

m < 1000

0,80' m

1000 $ m < 2000

{ 0,60·m

2000$ m

so kan n man nun erkennen, d ass für die Men gen vo n 1000 Stüc k bzw. 2000 Stück bereits der redu zier te Preis zu za hlen ist. Die de r natiirlidien Sprache anhaftende Ullscllärft' is t in der mathemafiscll-jorme/lIIiißigen Darstellung nicht mehr vorha nde n. Jed er, der die mathem atische Sym bolik lesen kann, ist jetzt sofo rt in der Lage, zu jedem gegebt'llem m-Wert den zugehörigen p-Wat auszu rechnen. Fu nktione n en tstehen üblicherweise nicht in de n mathem atischen Lehrveranstaltungen. Sie entsteh en vielmehr dann, wenn ein Lehrender eine r Fach-Vorlesung über die Zusammenhänge des beh andelten Fachgebietes spricht und dazu die Formeln entwickelt u nd d arlegt. Das Herausarbeiten einer Fl/llktiollsgleicllllng zur Beschre ibung eine s fachspe zifischen Zu sammenhanges nennt ma n matl'ematisc/le Model/ier/lllg.' _ Die in de r Formel (l.09) entha ltene Funkt ion ist für d as betrachtete kleine Beisp iel d as mathematische Modell, da s wir jetz t we iter un tersuchen wo llen.

1.1 .3

Graph derFunktion

Betrachten wi r nun das Bild der gegebenen Fu nktion, die wir in (l.09) gewonne n haben. Dazu verwen de n wir ein so gena nntes kartesisches Koordinoten-Svetem mit zwe i reclitunuklig auieinander eieheuden Achsen, An de r waagerechte" Ac/lse, genann t Abszisse (oder Absz issenachse) we rde n die Besieilmengm abgetrage n.

20

1 Analys is

Die result ierenden Gesamtpreise werde n au f d er senkrechten Achse, der Ordinale (ode r Ord ina tenachse ) abgetragen .

Leerer Kreis und gejiillta Kreis (hier e tw as üb er triebe n d arge stellt) erklären dabe i jeweils, welche r Teil der Grafik für d ie interessanten Bestellmen gen m = 1000 bzw. m : 2000 zu verwen den ist Solange 111 kleiner als 1000 ist, gilt d ie linke Gerade. Ab 111 = 1000 gilt d ie mittlere Gerade, wenn 111 unterhalb von 2000 bleibt. Ab 111 = 2000 gilt d ann d ie rechte Gerade (Bild 1.1).

">Xl

'Oll 1400 1~

-------------------

«co

, Oll 400

200

400

OCO

e»

«m

1200 1400 100)

1800 3XX> Z'OO

2400 2aXJ

2l!OO

3XXl

Bild 1.1: Bestetimenge lind Gesnmtpreis - Rabatt-Staffel-Funktioll Je tzt kan n man sehen, da ss man für eine Menge von 800 Stück den gleichen Gesamt preis za hlt wie für eine Menge von 1000 Stück, nä mlich 800 t' .

Auch für die beiden Bestellmengen von 1500 Stück und 2000 Stück ergibt sich ein IIl1d derselbe Gesamtpreis, 1200 € . Man erkennt: Spie len Lagerkosten od er Lagerkapazitäten keine Rolle, d ann sind also Bestellmengen in den Bereichen SOO 1) kann nur VOll posituxn Zahlen b>O gebilde t we rde n. Dagegen kön nen die Logarithmuswerte x negativ sein (siehe (3.24)), de r Logarithmus kann abe r auch die Null liefern (siehe (3.22). Das hän gt jeweils vom Verhä ltnis des Numerus (d . h. des Logarithmenargumentes) b zur Basis a ab. Fü r Basiswerte 11' >1 gilt folglich zus ammen fassend :

(3.27)

3.1.6

log ,h < O

für O.I +I' ~)i

...1

.1 ' 1

I _I

Doppelsummen

Einen besonders großen Einsparrmgseffekt (/11 Schreibarbeit e rz ielt m an d urch Verwend un g von Doppe/summen, falls d er Umgang mit dop/leU indizierten Symbolen (zum Be ispie l aij ) zu beschreiben ist :

ti:a" ,-1 /-1 (3.89)

=

t (u'J+U'2 + ...+ a,..) = ,_1

(all + al2 + + (Ol l + an +

+ 11,..) +

Olm)

+

+ (an l + °.2 + ... + a..,)

Da s Vo rgehen zur Au flösu ng einer so lchen Doppelsumme ist in (3.89) au sführlich beschrieben :

50

3 Erweitertes Hand we rkszeug Zuerst wi rd di e innere SI/filme mit dem Laufindex j ausgewertet, der Laufindex i de r auß eren Summe bleibt dabei allgemei n stehe n, ebenso da s äußere Summenzciciicn, Anschlie ßen d durchläuf t der Laufindex i d er äußeren Sl/lI1l11e seinen La u tbe reich.

Ma nch mal hängt d er Lau tbereich der inn eren Su m me soga r vo m Lau findex de r äußere n Summe ab - Program miere r von so gena nnten Zälllscllieifell können ein Lied von der Kompli ziertheit de r geda nk lichen Umse tzung solch ab häng iger Doppelsu mmen singen:

:t:i:a., , . 1» 1

=

~)a'l + ... + a,,) =

,. 1

(3.90)

Da d ie innere Sum me von Mal zu Mal um einen Sum ma nden zu nim m t, entwickelt sich d ie a usgeschriebene Doppelsum me da nn rein optisch zu einer so genann ten Dreiecksform .

3.3.4

Rechenregeln für Doppelsummen

Wenn der Fall (3.89) vorlieg t, d . h . w en n der Lnujbereicll der inneren Sumllle nicht vom Laufindex der i ußeren Sumllle abhäng t, dann dürfen di e Summcn zeichen ue rtausclü w e rden:

=

~)u,) + 0 ' 1 + ... + 0, .. ) ,~ I

(3.91)

+

+ 0)", )+ (° 1) +U12 +

+ ° 2", )+

+ (° . + °. 2 +

+ 0.,.)

= ( al l + al l +

+ an l ) + ( all + " n +

+ an2 ) +

+ (al.. + olm +

+ a"",)

= ( 0 11 + ~ l

= I (oIJ + ~ , + ... + 0.,) i· 1

~ D>" ; =1 j~ 1

1

4

Elementare Funktionen und ihre Graphen

4.1

Polynome

4.1 .1

Allgemeines

Wen n eine Funktion einer Veränderlichen d ie spez ielle Form (4.01)

besitzt un d d ie Koeffizie nte n (Vorzä hlen) " 11 bis " 0 zahlen sind, d ann sag t man, dass y VOll XpO/Y/l omial abl/iillgt. O der ku rz: Wen n eine Fun ktion d ie Gesta lt (4.01) ha t, d ann nennt ma n sie ein Polynom n-ten Grades - oder au ch eine ganze rationale Funktion.

4.1.2

Berechnung von Funktionswerten von Polynomen

Bet rachten w ir ein rech t ein faches Beispiel: Gesu cht se i der Fu nk tionswer t de s Polyn oms vier ten Grades (4.02) an der Stelle x=2. N ur unioiesende Allfiillger beginnen jetzt m it der extrem übe rflü ssigen Aktion, vierma l d ie Zahl 2 fü r x einz use tze n und dann m üh sa m di e Pot enzen auszu rechnen : (4.03)

[2]

Die Gefah r, d abei du rch unsachgemäßen und unk enzentrie rten Gebra uch der Taste einen falschen Wert auszur echnen, ist riesengroß. Kenn er dagegen e rinne rn sich an di e geniale Idee von W. G. Horner: Er schlug vor fast zw eihu ndert Jahren vor, in solche n Fällen einfach nur geschickt auszuklammern (4 .04)

und dann die Klamme n Kopf rechnen: (4.05)

l'Oll

innen /lach außen auszuw erte n. Dan n kann ma n sog ar im

) (2) = p,(2) = (((5·2 +3)·2 + 2)·2 + 4)·2 + 7 = 127

Wie ge ring w ird de r Rechen aufwa nd in d iesem Falle: Nu r vier Mult iplika tion en u nd vie r Add itionen, üb erhaupt kein Bed a rf me hr nach einer Potenzieru ngstaste. Homer, von dem beka nn t ist, da ss er schon in jungen Jah ren Rektor einer Schule w urde, ging aber noch we iter: Er w usste ja, d ass das A rbeiten mi t Klam mem nicht jede rma nn» Sache ist also en twarf er soga r ein Rccuenschcma, in das nur passend einzutragen ist.

52

4 Elementare Funktione n und ihre Graphe n

5

31

2

21

4'

28

60

71

26 1 ..s,1 ~1201 127

Bild 4.1: Horner-Scuema Und so rechnet man mit diesem Homer-Sctiema: Obe n in das Schema werden z uerst d ie Koeffizienten des Polynoms ei nget rage n, geordn et nach absteiRclldclI Potenzen. Links ste ht der x- Wert, für den man de n Polynom we rt sucht. Der Koeffizient der höc hsten x-Potenz w ird von oben nac h unten übernom men (e rster Pfeil nach un ten). Die un ten ersc hei ne nde Zahl wird mit de m x - We rt m ulti pliziert (schräger Pfeil nach rechts obe n) und ein getragen . Dann w ird addiert (Pfeil nach unten) u nd w iede r multipliziert (schräger Pfeil nach rechts oben) und eingetragen. Und so weiter. Zum Schluss ersc he in t rechts unten d er gesuchte Fun ktionswert des Polynoms. Es gibt nu r eine einzige Fehlerquelle im Zusammenhang mit d em H ome r-Schema . Sie tritt auf, we nn nich t alle .r-Potenzen vertreten sind, zu m Beisp iel in dem folgenden Po lynom sechste n Grades (4.06)

y

= Po(x ) =

Zx° + 4x ~ + 4x + 5

In solche n Fällen mu ss darauf geac h tet werden, da ss für die jeutenaen x-Potenzen unbed ingt NI/11m in d ie Kopfzeile des Horner-Scbemes einzutragen sind:

Bild 4.2: Homer-Schcma fü r die Berechnung VO ll 1'6(-1)

4.1.3

Graphen von Polynomen n -ten Grades, wenn n ungeradeist

Erinnern w ir un s w ieder an di e Aufgabenste Ilung di eses Abschnitts: Wir wollen fü r w icht ige Klassen von Fun kti onen deren Gra phen zusa m menstellen, damit soll a rtw end ungsbereites Grundwisse n erzeug t werde n. Fan gen w ir an, lerne n w ir, we lche cha ra kteristische Gesta lt d ie Graphen von Poly"omen ha ben. Betrachten w ir zue rst allgemein Polynome beliebigen Grade s 11, und dabei zunächst speziell de n Fall, dass 11 eine ungerade Zalll ist. Es gibt nur zw ei cha ra kteristische Formen, in d enen der Graph eines Polynoms ungeraden Grades auftreten kann.

53 .xz.

4.1 Poly~n~o~m~e,---

Bild 4.3 zeigt den typ ischen Verlauf des Graphen eines solchen Polynoms, wenn d er KoeJfizimt der höchsten x-Potenz poeuio ist.

•

Bild 4.3 Graph eines POlY'IOIIlS ungerader Potenz mit poeuioan a'l und 11 > 1 Der Gra ph zeigt sich als durchgehend glatte Linie, es gibt keine Unterbrechungen, keine Si"ülIXe, keine Spitzen, Der Graph kom mt - lind das ist typi sch in diesem Fall - au s d em negativen Unendlichen und wende t sich, nachd em er gg f. einige "Schwing unge n" vollfüh rt ha t, in d as positive Unendliche. Bild 4.4 dagegen zeigt den typi schen Verlauf de s Graphen eines PolY110ms ungeraden Grades, wen n dagegen der Koeffizient der tiöcusten x - Potcnz Il egativ ist.

,

\

Bild 4.4 Grapll eines Polynoms ungerader Potenz mit neganoem a" und

/I

>1

Auch hier zeigt sich der Graph als du rchgehend glatte Linie, es gibt auch diesma l keine Unterorecnungen. keine Sl'riillXc, keine Spitzen. Der Gra ph kommt d iesm al aus dem poeitit'C1l Unendlichen und wendet sich, nachd em er ggf. einige "Schw ingu ngen" vollführt hat, in da s negative tl ucndtichc.

54

4 Elemen tare Funktionen und ihre Graphen

Nachd em wi r da s Typische der Graphen 0

0:

.

0 >0

~~

Bild 4.9: Nach Ull tell geöffnete Parabeln mit a2 0

I

57 --=:~

4.1 Poly~n~o~m~e,---

Aus d en Bildern 4.7 b is 4.9 ist abw iese n, d ass d ie Graphen von Poly ,wlIlCll zux iten Grades (d . h . von qu ad ratischen Funktion en ) ste ts symmetrische Parabeln sind. Falls die Parabel d ie Achse beriihrt (falls also D :O gilt), d an n berüh rt sie sie folglich in ihrem höchsten ode r tiefsten Punkt, im Scheitel - damit kan n be i verschw indender Diskriminante auc h ohne Differen tialrechnung mi t dem Berüh rungsp un kt sofort d as relative un d gleichzeitig globale Extremuni gefun de n werden. Gibt es zwei Nullstellen. we il d ie Diskriminan te posit iv ist, dann befind et sich der Sche itel genau in der Mitte zioischcn beiden Nullstellen. Diese Tatsache werde n wir im Abschnitt 14.2 au f Seite 208 nu tzen, um a uch in solchem Falle ohne Di fferen tialrechnu ng Minima oder Maxima be stimmen zu können.

4.1 .6

Parabeln zeichnen

Bisweilen gib t es die Au fgabe, sich nicht nur gru ndsä tzlich - wie im Bild 4.7 - üb er d en Ver lau f des Graphen einer ouadratiscticn Funktion zu informieren, sonde rn d iese Parabel auch in einem Koo rdina tensystem zu skizzieren . Dazu reichen neben de r Information darübe r, ob die Parabel nachunten oder nach oben gL'Öffllet ist und de m Scluuiioerhaiten mit der uaagerccntcn Achse meist we itere vier bis sechs Punk te der Parabe l a us. Am einfa chsten ist die Situa tion , wenn bekann t ist, dass d ie Parabel d ie waagerech te Achse schneidet. Sehen wir un s das gleich an einem Beispiel an. Gesucht ist eine brauchbare Skizze der Para bel (4. 11)

y=2x 2 - IOx + 12

Beginnen wir mit den Basisinformationen: Vor de r höc hsten .r-Potenz steht d ie positiv e Za hl 2, also ist d ie Parabelllach ooen geöffnet. Für die Diskrimi nante ergibt sich gemäß Formel (4.10) der Wert (4 .12)

Diese r Wert ist positiv, also ha t d ie Parabel zwei Sclmiff1'lIukfe mit der uxugercducn Achse. Um sie zu finden, mu ss die quadratische Gleichung (4 .13)

2x2 - lOx + 12 = 0

gelöst we rden . Dazu können wir d ie Lösu ngsformel (3.51) a us Absc hn itt 3.2.2 von Seite 38 verwenden; es ergibt sich (4.14)

XI ' = _ 1_ (_ (_ 10)± 1(_ 10)2 - 4.2.l 2)= 2.(l O± 2) =:> XI = 2, .4

2. 2

v

4

X,

-

=3

Damit sind die be iden Achse nd urc hgänge der nach oben geö ffne ten Parabel bekann t, weitere oler Punkte reichen völlig aus, u m sie d ann gu t skizzieren zu können . Drei von d iesen vier Punkten suchen wir zweckmäß ig in der Nachba rscha ft der Achse nd urchgä nge. Zur Berechnu ng der Fun ktionswerte liefert uns auch hier das Horucr-Scuema gu te Dienste (siehe Bild 4.10).

4 Elemen tare Funktionen und ihre Graphen

58

2

2.5

I

-10 1 5 -5

12

I ~1 2.

I -0.5 I

Bil d 4.10: Recll1l Ullxcl/ lII it dem Hort/er-Schema

Also wissen wir nun, da ss die gesuch te Parabel durch die fün f Punkte PJ0 ,4), Pi 2,O), PJ(3,O), P4(4,4), Ps(S,12J und P6(2,5 , -0,25 ) ge h t. Hinzu kommt noch de r Scllllittplmkt mit der senkrechten Achse Po(O,12), d en w ir leicht berech nen können - wi r br auchen d azu ja nur x=O einzusetzen. Bild 4.11 zeigt uns d ie gefunde nen sieben Parabelpunkte und dazu d ie gesamte Parabel.

"I "

" Bild 4.11: Parabei schneidet die waagerechte Achse Als näch stes soll die Parabel (4.15)

y = -2x 2 + IOx - 12,5

skizziert werde n. Sie ist wegen der negativen Zalll vor Xl /lach IIl1tell geöffnet, u nd wer na chr echnet, der wird feststellen, dass diesmal d ie Diskrimin an te al l - 4aO ll2 gena u den We rt Nu ll ergibt.

59 --=:~

4.1 Poly~n~o~m~e,---

Also berührt d ie nach un ten geö ffnete Parabel von unten di e waagerech te Achse . Um d ie Stelle herau szu finden, an we lche r Stelle diese Berührung stattfinde t, verwe nde n wir wieder d ie Lösu ngsformel d er qu ad ratischen Gleichung von Seite 38. So we rde n wir informiert, d ass d ie Berührungsstelle sich bei x =2,5 befind et.

Mit dem Horuer-Sciicma werd en noch für x =l, x =4, x=5 d rei we itere Para be lwerte berechne t, dazu kommt noch de r Achsend urch gang der senkrechten Achse bei y =- 12,5. Bild 4.12 zeigt uns die gefu ndenen Pun kte u nd die zuge hörige Par abel.

• • • •

..

..

..

... .,, 1

y =-2x Z+ 10x- 12,5

Bild 4.12: Parabel bcriihrt die uxagerecnte Achse VOll unten Wenden wir uns zu m Sch luss de r Situ ation zu, d ass der Graph der gegebenen Funktion die waa gerechte Achse wed er berührt noch schne idet. Das wird sich bei der Diskussion des Polynoms (4 .16)

he rauss tellen. Doch zuerst regist rieren wi r, da ss es sich wieder u m eine nachooen geöffnete Parabel han delt. Die Diskriminante a1 2 - 4aOnl hat nun den Wert minu s 7, also mü ssen wir in d er Tat eine nllch oben gl'Öffllete Parabel ohn e gemeinsame Punkte mit der waagerech ten Achse erwarten.

Bild 4.13: Parabelolme Schnittpunkte mit der waagerechten Achse Bisher hatten wir die be kan nten Punkte aber zum Anlass genommen, in deren Nachbarschaft ein paar weitere Fu nktions werte zu beso rgen .

60

4 Elementa re Funktionen und ihre Gra phe n

Wo sollen wi r aber jetzt un ser e Pu nkte suchen? H ier hilft eine Formel, die uns sagt, wo sich der Sche itelpunkt d er Pa rabel befinde t. Diese so genannte Schcitciformcl lautet: (4.17)

I a,

X\. = - -· . 2 02

Setzen wir unsere Werte a us (4.16) ein, dann erhalten w ir x~ =2,5 . Dam it e rgibt sich nac h de m Einsetzen in die Parabelgleichu ng de n Funktionswert Ys=1,75. Diese Angabe sagt uns sofort, d ass w ir also in de r Nähe von x =2,5, zum Beispiel bei x = l , x=4 un d x =5 mit dem Hcme r-Scliema für eine kleine Wertetabe lle sorgen sollten. Bild 4.13 zeigt das Ergebnis.

4.1 .7

Graphen von Polynomen ersten Grades

Ein PolY/Will erstell Grades, auch als lineare Funktion bezeichn et (4.18)

ist zua llererst ein Polynom ungeraden Grades, also gilt für Fun ktionen d iese r Art na türli ch auc h di e Gesetzmäßigkeit a us Abschnitt 4.1.3, der zu folge de r Gr ap h en twe de r a us d em nega tive n Une nd lichen kom m t u nd ins po sitive Unend liche verschwinde t. Ode r umgekehrt, je nachdem, welc hes Vorzeichen d er fü hrende Koeffizient 11/ hat. H inzu ko m mt aber d ie Besonder heit, dass der Gra ph eines Polynoms erstell Grades stets eine Gerade ist. Diese Gerade eteigt - wenn sie eine n poeitioen Anstieg hat, der aus 11/>0 e rkennbar ist. Sie fiillt, wenn sie einen negativen Ans tieg 11/O. c< O

•

,

-

~ ,

,

,

.,

v=a.f{ " . a >O, c >O

Bild 4.16: Graphen der Exponentialiunktion beia>O, cO (b> 1) Ist a negativ, dann liegt der Graph d er Expon en tialfun ktion vollstäl1dig unserhalb der waagerechten Achse, Falls c, der Koeffizient von x im Exponenten, negati v ist, dann nähe rt sich der Graph be i x - +00 der waagerech ten Achse von unten . Andernfalls erfolgt die Annäherung an die wa age rech te Achse bei x _ - 00 (Bild 4.17).

",

y=a ·bC" , aX .

a>O, b > 1

• • •

y =8~Ogt>X,

8 1

.1

Bild 4.19: Logaritlltllllsf ullktiol/ell Weit erhin fällt au f, da ss es sich bei positivem Faktor a>O um eine strellg monoton wachsende Funkt ion ha ndelt, bei negativem Fakto r a O. Die be trachtete Funktion X(x) en tsteht aus einer bekan nte n Funktion fix ) durch 5ubtraktion einer positiven Zahl: X(x) = fix) - a, a > O. Die be trachtete Funk tion X(x) en tsteht a us einer bekannten Fun ktion fix), indem x durc h x +a ersetzt wird : g(x)=j(x+a), a > O. Die bet rachtete Funktion g(x) entsteh t a us einer bekannten Funktion fix), indem x du rch x - a ersetzt wird : X(x)=j(x - a), a> O. Die betrachtete Funk tion g(x) en tsteht aus einer bekannten Funktion fix), indem x du rch - x ersetzt wird : g(x)=fi-x). Die betrachtete Fu nktion g(x) entste ht aus einer bekan nten Funktion j(x) du rch Multiplikation mit (- 1) : g(x) =-j(x). Die be trachtete Funktion g(x) en tsteht aus einer bekannte n Funktion fix), indem x du rch lxi ersetzt wird : g(x)=fi lx l) .

66

5 Verwandte Funkti on en und ihre Graphen Die betrach tete Fu nktion g(x) ents teh t aus eine r bekannten Funktion fi x), indem der Betrag VOll fix) gebilde t wird; g(x) = lj(x) l.

Für jeden dieser Fälle lässt sich ein Gesetz angeben, wie de r Graph von g(x) sich aus dem beka nn ten Graphen von f(x) ableiten lässt .

5.2

Additionen und Subtraktionen

Unser durchgän giges Beispie l für eine bekannte Funktion, aus der die ver wandten Funktionen entstehen, wird die Logl7ritlll/lusjullktioll Y =/Il x sein. Sehen wir uns zue rs t an, wie sich der Graph verändern wi rd , wenn zu einer Funktion eine Zahl addien oder subtrahiert wird.

Addition und Subtraktionzur Funktion

5.2.1

Wir betrachten also zuerst di e beid en Beispielfunktionen fix) und ih re " Verwa ndte" g(x) f (x ) = lnr , g(x ) = Inx + 3

(5 .01)

Bild 5.1 zeigt un s, wie sich beim H ill zlIj iigm der Zahl 3 de r Graph verändert.

·

:(

:1 fex)= /n x

• "

,

.

,

.,

r --.

• •

,

"

. .. .

• • "

"

·

f(x) =/nx

• "

• "

. ..

--r .

• •

·

• "

"

.

•

• "

•

•

·

~

Bild 5.1: VerschiellUlIg nach obm bei Addition

• ,

.

• •

g (x)=Jnx +3

·

,

• ,

• • "

• "

.

g(x)= /nx - 3

Bild 5.2: VerschiellUlIg nach lIntm bei Subtraktion

· "

•

:1

. ..

.>:

Gesetz: En tsteh t eine ver wandte Fu nktion g(x) au s einer bekannten Fu nktionfix) dur ch Addition einer positiven Konstanten a>O, d an n entsteht d er Graph der ixnoondten Funktion du rch Parolleloerechietnmg des bekannten Craphcn um a Einheiten nach obclI. Bild 5.2 informie rt un s in gleicher Weise darüber, da ss sich bei d er Sub traktion d er Drei der Graph um drei Einheitennach unten verschiebt.

67

5.2 Additionen u nd Subtraktione n

Gesetz: En tsteh t eine ver wandte Funktion g(x) aus einer bekannten Funktion j(x) durch Subtraktion einer poeünxn Konstanten a>O, dann entsteht de r Graph der oenoandten Funktioll durch Parallelocrschiebung des bekalllltell Grapl1ell um a Einheiten IWell II l1tell. 5.2.2

Addition und Subtraktion zum Argument

Wie wird sich der Graph verändern, wenn d as Argu ment x in der Aus gan gsfunktton durch x +3 ersetzt wird? Sehe n w ir un s dazu Bild 5.3 an . ,

'1 f(x) =lnx

,

..

,

..

,

,

., . • ,

/

--' . ..

,

, ,

. . --'/'

,

•

,

.

..

•

.

,

•

1

,

g(x)=/n (x+3)

.1

Bild 5.3: Uberraschend: Linksocrschiebung IJei Addifioll im Argumellt "

f(x)=fn x

..

I

- - - '1 g(x)=/n(x -1)

•

- .-

Bild 5.4: Reclusoerschiebung, wenn im Argumellt subtrahiert wird Die Bildu nte rschr ift brin gt es zu m Au sd ruck : Es ist ein weni g überraschend - nicht nach rechts, sondern nachlinks verschiebt sich der Graph . Gesetz: Entsteht eine verwandte Funktion g(x) aus einer bekannten Funktion fex) dad u rch, d ass da s Argument x durch das Argument x +a (a>O) erset zt wird, dann entsteht de r Grap/l der rerumndten Funktion durch Poraiteite rectiiebung des bekannten Graphen um a Einheiten nach links. Die Vermu tung, dass be im Ersetzen von x durch x -1 andererseits eine Rediteoerschiebung stattfindet, wird durc h Bild 5.4 bestätigt. Gesetz: En tsteh t eine verwandte Funktion g(x) au s einer beka nnte n Funktion j(x) dadu rch, da ss das Argu ment x durch da s Argument x -n (a> O) ersetzt wird , dann ent ste ht der Graph der oenoanaten Funktion durc h Paraiteluerediiebung des bekannten Crcptien um n Einheiten nnch rechts.

68

5 Ve rwandte Funkti on en und ihre Graphe n

5.3

Multiplikationen

5.3.1

Multiplikation der Funktion mit (- 1)

Was passie rt. we nn t'or die gesamte Funktion ein Minuszeichen gesc hrieben w ird? Wenn also in unserem Beispiel di e Funktion y :ln x in folgender Weise geändert w ird ? f{x) = lnr . ,l,>(x) = - Inx

(5.02)

Sehen w ir uns zue rst im Bild 5.5 di e Antwort be i d iese m spez iellen Beispiel an.

:1

fex) =In x

• "

•

..

, ,

"

,/

• •

-. ..

,

,

,

• "

·

•

..

'''-

.. ..

g(x) =- In x

.I

-'

.

,

Bild 5.5: VOll I" x ZlI -111 x: Spiegelung des Graphen a ll der uxagerecnten Achse Die Bildunterschr ift erklär t den Zusammenhang: Der neue Gr aph entsteht d ad urc h, da ss alle Teile de s alten Graphen, die sich bisher unter der waagerechten Achse befanden, na ch oben abgetragen werden, de r obere Teil de s Grap hen wa nde rt nach unten . Kur z gesag t- es findet eine Spiegelung all der waagerechten Achse sta tt: Gese tz: En tsteh t eine verw and te Funk tion g(x) aus eine r bekannten Funktion fix) dadurch, d ass vor den gesa m ten Ausdruck a u f d er rechten Seite ein Milll/szeicliell geschrieben w ird, d . h. g(x): -fix), dan n ent steht de r Graph der ienoandten Funktuni durch Spiegelllng des bekannten Graphen an der uaagerecnten Achse.

5.3.2

Multiplikation des Arguments mit (- 1)

Eine verwandte Funktion kan n a uch d adurch entstehen, da ss durchgängig x du rch -x er setzt w ird . Mathematisch gesp roche n: Das Argu ment x wird übe rall durch das Arg ume nt -x e rsetzt. (5.03)

f(x) = Inx, g(xl = In(- x)

Auch in diesem Fall kommt es zu einer Spiegelung (Bild 5.6), allerd ings nun a n de r senkrechten Achse. Gese tz: Entsteht eine verw and te Funktion g(x) aus eine r bekannten Funktion fi x) da du rch, da ss d ur chgängig x durch -x ersetzt wird, d . h. g(x):j(-x), da nn entsteht der Gra ph der verwand ten Funktion durch Spiegelullg des bekannten Graphe n an der senkrec hten Achse.

69

5.4 Betragsbild un gen

:1

f(x) =Jnx

..

,

..

,

"

g(x) = In (-x)

"

..

.

.

.. .

,

•

"

"

Bild 5.6: VOll 111 x zu 111 (-x): Spiexcltm:.i des Graphen an der senkreetneu Achse

5.4

Betragsbildungen

5.4.1

Betragsbildung im Argument

Was passie rt, wenn in eine r Funktion durchgän gig da s Ar gumen t x beid seitig mit Betragsstriche n ve rsehen w ird, we nn also di e verwand te Funktion dadurch en tsteht, dass x durch Ix I e rse tzt wi rd ? Gibt es dann a uc h e ine gesetz mäßige Veränderung des Gra phen?

(5.04)

f Ix ) = Inx ,

g(x) = lnj x ]

N un m uss m an in Bild 5.7 ge nau hi nsehen, u m zu erkenn en, w as pa ssier t: Der Teil d es Gra phen, der sich rechts VOll der senkrechten Achse befindet, ble ibt erhalten, Un d e r w ird hier zusä tzlich na ch lin ks gesp iege lt. Durch di e Betragsbild ung en tsteht e in symmetrischer Graph, und d ie ve rw and te Funk tion kann plö tzlich auch lIegative x - Werte verarbeite n.

,

:1

f(x) = /n x

•

..

•

..

'I

,

••

,

17

• ,

..---..

-~ , " • •

n

--....

•

g(x)=/n ( lxi)

,,-

\ ,17

.

..---..

,

"

•

,

Bild 5.7: Rechter Teil des GrapheIl wird lIach /illks gespiegelt Scha de nu r, da ss un ser Beispiel-Logarit hm us 1/1 x nu r e inen Graphen hat , der vollställdig rechts VOll der senkreetneu Achse liegt.

So können wir mi t seine r H ilfe leid e r nich t herau sfinden , was bei de r Be tragsbildung mi t dem jeni gen Te il des Graphen pa ssiert, der sich urs prü ng lich links VOll der senkrechten Ac!/se befand. Ble ib t e r e rha lten, wird er na ch recht s gespie gelt oder ve rsch winde t er?

70

5 Ve rwandte Funkti on en und ihre Graphe n

Suc he n w ir uns für di e Ant wort ein e Funk tion, deren Gra ph be id seit ig der senkrec hte n Achse liegt. Ne hmen wir zum Beispiel den nach links verschobenen Loga rithmu s aus Ab schnitt 5.2.2, Seite 67:

g(x ) = In(l xl + 3)

f (x) = In( 01 + 1 x- I x + I > 1 I A1 : x - l > O, d. h . x >l x- I

(6.08)

x + I > I I '(x _ 1) x- I x+ l>x- I

I- x

I> - I I SI : (- cc.+ cc)

=-L,: x> l Die zweite A nnahme, bei der w ir von eine m negativen Nen ner au sge hen, führt zu einer sinnigen Scllll1ssfolgerullg bzw. falschen Aussage:

1111-

x+ I I -> x- I

(6.09)

x+ I I j.(x - I) -> x- I

x + l 1

I = ( l, cc )

Übrigens - es war zwar nicht verkehrt, mit (6.08) wieder da s Lösen einer Ungleichung zu üben, aber wir hätten uns das Leben viel leichter machen können, wenn wir die elementare Bruchrechnung (Bruch und ganze zahl, siehe Seite 26) in Anwend ung gebracht hätten: (6.11)

In(

+ 1 _ 1) = In( x + 1 _ ;r- I )= In( _ 2_ ) x- I x- I x- I x- I

Nach d ieser kleinen Umrechnung innerhalb d es Argumente s der Logarithmus-Funkti on erkennt ma n sofort, dass der Nenner nur dann positiv ist, wenn x größer als 1 ist. Da d er Zäh ler ohnehin positiv ist, haben wir damit viel schne ller den Definitionsbereich (6.10) gefunde n.

77

6.2 Definitio nsbereich

6.2.4

Definitionsbereich als Lösung von Betragsgleichungen

Bet rach ten wir zum Schluss di e Funktion (6.12)

3 y = f (x ) = ,.....,7--: Ix + 3 1- 4

und fragen auch hie r nach dem Defini tion sbereich. Auc h hier ist es w ied er g ün stig, di e Negativ- Frage zu stellen: Welche x-Werte sind allsZ/lscltliejJen? Offe nsich tlich sind da s d ie x-W erte, für di e der Nenner NI/li wird : (6.13)

Ix + 31- 4 = 0

Im Abschnitt 3.2.8 au f Seite 45 wieder holt e n wi r, wie dera rtige Bctmgsgleic1l1mgen gelöst werden könn en. Ix + 31 - 4 = 0 1.4. :x + 3 ;::: 0. d .h . x ;:::-3

(x + 3) - 4 =0 1+1 x = I ISI: x = 1 ::::) ~:

(6.14)

.r = 1

lx + 31 - 4 = 0 1A: :x + 3 < 0. d.h . x < - 3

- (x+ 3)- 4= 0 1+7

151 : x = - 7

x =-7

::::)4. : x = - 7 ::::) L: x = 1 lind x = - 7 Da mi t haben w ir di e beiden x-We rte er halten, fü r di e d er Ne nner unsere r Fun ktion Nu ll w ü rde, diese Werte sind a uszu schließen. De r De finitio nsbereich laut e t desh a lb: (6.15)

D(

6.2.5

Definitionsbereiche der Grundfunktionen

I

Ix + 31 - 4

) = ( x E'_H l x ;t - 7 un d x ;t l j =( - IX;, -7 ) v (7 , I ) U(l. oo )

Alle Polyn om e (siehe Ab schnitt 4.1 a u f Seite 51) besitzen einen nicht eingescurdukten Deli ni tiansbereicii: (6.16)

D(P. (x)) = , 1= ( -00.00). n = 0.1. 2....

Gle iches gilt für alle Exponentielfunktionen (Abschnitt 4.2 a uf Seite 61):

Wieder besteht Ge legenheit zu r Vert iefun g der Erkenntnis, da ss Loga rith me n nur VO ll positioen Zahle n gebilde t werd en könne n (Abschnitt 4.3 a u f Seite 64):

78

6 Kur vendiskussion

Der Defini tionsbe reich einer Logarithm usfunk lion bes teh t nur aus de r rechten H älfte der Zahle nge rad en . (6.18)

D(a · log"x) = '.Jr = (xE '.Jllx> O!= (O.:x» , b > O. b~ l

6,2,6

Definitionsbereiche verwandter Funktionen

Erinnern wir uns an die Gese tze au s Abschnitt 5, mit denen beschrieben wu rde, w ie sich d ie Crophen verwandter Funkti onen au s den Graphen bekannter Funk tionen ableiten lassen. W ir kommen so rech t leich t z u Schlussfolgerungen, w ie sic h d ie Definitionsbe reiche be im Übergan g z u ve rwa ndten Funktionen ändern - oder dass sie sich nicht ände rn: Entste ht eine verw andte Funktion g(x) a us einer beka nnten Funktion fix) d urch Addition oder Subtraktion einer po sitiven Konstanten a>O, dann ist de r Defin itionsbereich vo n g(x) gleich d em Definitionsbe reich vonj(x). (6.19)

I:X. f (x) ± a ) =I:X. f( x)) , c c- ü

Ent steht eine ve rwand te Fu n ktion g(x) aus e iner bekan nte n Fu n ktio n j(x) d adurch, d ass da s Argume n t x d u rch d as Argument x+a oder d a s Argument x-a (a>O) erse tzt w ird, da n n ocrschieben sich d ie Riinder des Defininoneoereicnce u m a Ein he iten nach lin ks bzw . na ch rech ts. Dies e Aussage gilt se lbs tve rs tänd lich n u r dan n, wenn d e r " Ra nd" d es Defi nitio nsbereiches nicht im Unend lichen liegt. Ent steht eine verwand te Fu nkti on g(x) a us e iner bekan n ten Fu n ktion j(x) da d urch, dass vor d en gesam ten Ausd ru ck au f d er recht en Seite ein Milluszeic1lell gesch rie ben w ird, d as hei ßt g(x) = - j(x), d ann ämtert sich der Dejic"cUcl'c'c"cbc'c"ckclc'c" cl'chcl',--(6,20)

I:X. - f(x»

=

-'

I:X. f (x))

Ent steht eine verwand te Fu n ktion g(x) a us e iner bekan nten Funktion fi x) da d urch, dass x durch - x ersetzt w ird, d . h. g(x) = j(-x), d a nn erg ibt sich d er Definitionsber eich der ver wa ndten Fu n kt ion d urch Spiegelung des Dejillitiollsbereiches d er bek annten Fu nk tion an der senkrechten Ac1lse. Ne h me n w ir hierzu d as Beispiel d er Funktion (6.21)

y =!(x) =J2x

x~

De r Radi kand, d e r Au sdruck unter dem Wu rzelzeichen, darf nicht Ilegativ se in. Unte r der Wurzel steh t e ine quadratische Punktion, die bekan ntlic h (siehe Ab sch ni tt 4.1.5 auf Seite 55) a ls Gra p h eine nach unten geö ffne te Parabel besitz t. Sch nell kann ma n a us rech ne n: Nur fü r OSxS2 verlä uft d iese Pa rabel ni cht im Nega tiven, d esh a lb lau tet der Defi nitions-

bereich dieser Funktion: (6.22)

6.2 Definition sbereich Ersetzen wi r nun

X

79

dur ch - x, dann erha lten wir d ie verw and te Funktion

(6.23)

Auch bei der ocn oandten Funktion g(x) be findet sich unter der Wurzel eine quad rat ische Funktion, de ren Gra ph ebenfalls eine nach un ten geöffnete Parabel ist. Sie allerdings hat die Schnittpunkte mi t de r waagerechten Achse bei -2 und Null, so dass wi r tatsächlich für die verwa ndte Funktion den gespiegelten Definitionstereicti (6 .24)

1J(~ - 2x - ./ ) = I x E ~HI-2 :$x :$ O}= [- 2. OJ

er ha lten. Entsteht eine verwa nd te Funktion g(x) a us einer bekannten Funktionftx) da durch, d ass d er Betrag der Funktion gebildet wird, d. h . g(x)= Ij(x) I, da nn verändert sie" der Definiticnshereiclt nidü. (6.25)

'-----------------

DJ( x )) d

XII (x) I)

Es fehlt noch d ie Aussage für d ie letz te Art de s Überga ngs zu einer verwa nd ten Funktion, die be im Ersetzen VOl l x durch Ix I stattfindet. Was passier t mit de m Definition sbereich bei g(x)=fi Ix I) ? Hier läss t sich eine allgemeine Aussage nicht so ein fach formulieren, wie wi r uns am Beispiel der be ide n in d ieser Weise verwan dten Fu nkt ionenfix) =ln (-x) un d fi lxi )= //l(-I x I) veransc ha uliche n wo llen. Bet rachten wir d afür zue rs t den Definition sbereich vonfix)=I,,(- x): (6 .26)

I(x)

= In(- x),

D(/(x ))

= D(ln(-x») = ;1 ' ={x E ; l lx < 0 1=( - >0,0 )

Wenn wir für x eine beliebige negative Zahl einse tzen, können wi r damit d en natürli chen Logarithmus bilden : x=-2 --t In(- (- 2» =/11 2=0,6931. Der Definitionebereich POil In (- x) besteht folglich, wie in (6.26) besch rieben, aus de r linken Hälfte des unendlichen Zahlensirahle. die NI/li mu ss d abei natü rlich ill/sgescillossell werde n . Der Übergang zur verwa nd ten Funktion, so vorgenomm en, dass wir x ganz formal durch Ix I ersetzen, hat hier zur üb erraschend en Folge, dass der Deji nitions/w eid / leer wird : (6.27)

K(X)

=1 (1x l) = In(- Ix l),

D( ln(- 1x l)

=0

Warum ist d er Definitionsoereich leer (das nämlich ist d ie Bedeutung des Zeichen s 0) ? Der Betrag liefert erst einmal auf jed en Fall, u nabh än gig vom eingese tzten x- Wert (xtO), eine poeittoe Zn/li. Das Minllszeichen macht daraus immer eine n negatiien Wert. Solch einen negativen Wer t aber kann kei n Logari thmus vera rbe ite n, de nn d ie Frage /le Iwd/ wie uiel ergibt etWilS Negatnxs" hat nun einmal keine Antwort.

80

6.3

6 Kurvend isku ssion

Randuntersuchungen

Anwendet fragen ge rn nach dem vernetten in Grenzsi tuationen, Was passiert mit meine m Funktionswert. wen n ich d as Argu ment sehr g roß we rde n lasse? Was passiert, wen n ich mich eine m lIicl1t zulässigen Wert näh ere? Was passier t mit de n Funkti onswerten . wenn ich das Argument eetir klein werde n lasse? Mathematisch we rden solche Frage n bean twortet mit der Untersu chung des an d en Rändern des Definitionet ereictiee der gege"be ""n"e"nCF c ,="'cckC "C n"n".

vernauene --'

Dabei werden bei Definitionsbe reichen. die bis ins Unend liche reichen, auc h die Sym bole un d - 00 in den Begriff des .Rendes" mit hinein genommen.

+ 00

6.3.1

Grundfunktionen

Das Verhalten von Polynomen, Exponenttat- u nd Logaritlmlllsflll1ktiollell an de n Rändern ihrer jeweiligen Dejillitiollsbereiclle kann sofor t aus den Graphen in Abschnitt 4 ab Seite 51 abgelesen werde n. Gewö hnen wir uns an die Symbolik, indem wir zuerst das Verhalten von Polynomen ungeraden Grades im negativen und positiven Unend lichen vermu ten: (6.28)

u u ngera de , an > 0 : lim Pn(x ) == - oc:, x... -x

n un gerad e , an < 0 ; lim Pn(x) =+ X:, x..._·x

lim Pn(x) == + (J')

x... n

limfJ. (x)

x .....

= - X)

Hier ist mit abstr ak ter mat hematischer Symbolik gen au dasselbe ausgedrückt worde n, was auf Seite 53 mit vielen Worten formu liert war; " Bei all >O komm t d er Graph aus d em ncgamxn Unclldlichcll un d wend et sich .. . in d as positive Unendliche", Die math ematische Formu lieru ng verwendet dabe i d as Limes-Symbol lim p. (x), das später in Absc hnitt 10.6 au f Seite 162 noch genaue r erkl ärt we rd en wird . x -~ - x In gleiche r Weise kann nun für Polynomc geraden Grades da s Verha lten im Unend lichen beschrieben werden: (6.29)

n ge ra de , an > 0 : !im Pn(x) == +00 , x ... - ,

n ge rad e. a. < 0 : lim fJ. (x)

=

x ... _x

- 00 ,

lim Pn(x ) == +(J')

x ... . x

lim fJ. (x)

x... . x

= - et;J

Fü r d ie Expol/eIltialjzlIlktiol1ell lassen sich gleich zus ammen fassend für alle vier möglicheIl Yorzcicucnkonibinationcn die jeweiligen Grenzw erte angeben. Dabei sei die Basis h» 1: a > O. c > O (6.30)

I·Im a· b" = { : ....-. 0 - 00

(6.31)

tim ««: =

. ... ~ "

{~

c c-üc c

ü

a < O. c > O c c

üc c

ü

a > O. c > O

s c- üc c

ü

- et;J

c c üc c- ü

o

a < O,c< O

81 -""-

6.3 Randunt ersuchungecn'--

Erneu t gab es dr ei verschied ene Arten der Beschreibun g des gleichen Sachve rha ltes, wie sich exponentiell beschriebene j unktionale Beziehungen in Grenzsituatione n verha lten: Abstrakt in mathematischer Terminologie mit den Form eln (6.30) und (6.31), mit Wortm au f de r Seite 62 sow ie onechauiich durch die Graphe n von Seite 62. Der Definitionsbereich der a/lgemeinm Logarithmusjunktion y =alogl'x beginn t rechts VOll der Null und reicht bis ins positive Unen d liche. Schre iben wir auch hier d as, was wir aus den Graphen von Bild 4.19 au f Seite 64 ablese n können, in akademisch-ma thema tischer Symbolik auf . Für die Basis b gelte auch hier b>1. (6.32)

lim u ·log, x == x....·o

coO

- 00 {

+ 0 lim u · log, x = { .---•., - cc a c O

6.3.2

Bel iebige Funktionen

Wir betrachten nun eine beliebige Funktion y =fix) und gehe n d avon au s, da ss wi r ihren Definiuoneoereicn D(j) kennen. Die Untersu chung des Verha ltens einer Funktion an d en Rändern d es Definiti on sbereiches ist in der Regel gleichbedeu tend mit de r Berechnung VOll Grenzwertell. Betrachten wir zum Beispie l die so einfach aussehe nde Funktion (6.34)

2

y =j(x) = I- x

In ih rem Definiti onsbereich ist nur x =1 ausgeschlossen, de nn der Nenner darf nicht Null toerden: (6.35)

2

0(- -) == I- x

Ixe ~lIl x ;lO I}== ( - oo. I) v

{l, Xl)

Der Definitionsbereich zerfällt folglich hier in zw ei Teile, in d ie beid en offenen Intervalle ( -00, 1) und (1 , +00) . Also mü ssen wir, um d as verhalten all den Rändern des Dejinitionsne-

reiches herau szufind en, oier Grenzwerte ermitteln:

(6.36)

lim _ 2_ = ? I- x

. ....1- 0

lim _ 2_= ? l_ x

...... . 1- x

.--- ->:

x ....l. o

lim _ 2_ = ? I- x

lim _ 2_= ?

Die Grenzwertberechnung ist eine sehr schw ierige Ange legenheit und erford ert große Kon zentration.

6 Kur vendiskussion

82

An dieser Stelle muss darau f hi ngewiesen we rden, was 111m VOll weJII envartet wird. Von einem Matlle1llatiker würde erwa rtet, dass e r tat sä chlich die Gre nzwer te findet un d da zu d ie sfretlgcll Beweise führt, d ass seine Ergebnisse richti g sind. Für Mathematiker wäre nun also er st einmal klar z u defi nieren, w as ma n überhaupt un te r eine m Gre nzwert ve rsteh t.

Denn die Sache mit dem Unend lichen ist ja ziemlich unklar - we r soll das überprüfen? Es war noch nie jemand im Unendlichen, und wenn jemand doch da wa r, d ann kehrte er nicht zurüc k ... Von einem Niclünuuhenuüiker, einem Antocnder, er wa rtet man dagegen den meh r iniuitivell Zugang, eine Grenzioertrennutung. Solche Crenuoertncrmunmgcn kan n der Anwende t sich (manch mal) era rbe iten, indem e r schrittw eise überlegt, w as passieren w ird, wenn für x na cheinand er solche Wer te eingeset zt w erde n, die dem - durch das Limeszeichen beschri ebenen - Verha lten de s Argumentes e ntspreche n. Überlegen w ir uns beispiel haft z ue rs t, notfalls a uch mit H ilfe eines Taschenr echners, was passier en wird, we nn in d ie Fu nktion nach eina nd e r minus 1000, minus eine Million, minus eine Milliarde u sw . ein gesetzt w ird, wenn wi r un s also in Richtung zum negatixen Uucndlidien bewe gen wü rden. Offensichtlich erhält der Nenner dann w egen des Minuszeiche ns vo r dem x di e wachse nden We rte 1001, 1000001, 1000000001 usw . Damit wird der Wert des Bruches (siehe Abschnitt 2.3 a uf Seite 28) aber imm er kleiner, und w ir können die erste Crenuoerroermutung aufstellen:

(6.37)

lim - ' - = O .... - :
?eradell Grades PIl(x): allxn+...+alx+aO sind stets nacii unten beschränkt, wenn all> O ist. Ist die Zahl vo r der höchsten (gerade n) .r-Potenz dagegen negativ, d . h. a,,O,b tV (siehe Seite 62) sowi e der Logoriih!/lus/unkfion y = a~ogj,X (siehe Seite 64) sind eben falls von der Art , da ss ZII jedem y- Wert ge/la u ein x-Wert gehört. Jede Exponential- u nd Loga rithm usfunktion besitzt eine Um kehrfunktion . Ve rsuchen wir nun mi t d iesen Aussagen, das Grundsätzliche herausz u finden . O ffensichtlich besitzen alle stetigen Funktionell mit zusatumeniuingendetn Definitiollsllcreich, dere n Grap hen über dem gesamtcn Dejininonsbercicu sfrCllg 1II0 l/otOll wachsend oder ii/Jer dem gesamten Deji /litiollsbereich streng mOl/o toll fallend sind, eine Umkehrfu nkt ion . Ist der Definition sbe reich nicht zusammcntui ngcnd, gibt es Unsfetigkeitsste//c" ode r Liickcn oder endiicne Sprunge, da nn müssen gesonderte Untersuchu ngen vorgenommen werden. Wie di e Funk tion y= lIx zeigt, ist aber auch in solchen Fällen (siehe Graph auf Seite 102) d ie Existenz einer Umke hrfu nkt ion nicht ausgeschlosse n. 7.4.2

Berechnung der Umkeh rfunktion

Bild 7.9 zeigte es uns - die Funktion y =2x+1 besitzt eine Umkehr fun ktion. Es könnte also eine Formel geben, mit deren H ilfe ZlI jedem y der zugehörige x-Wert ausgerec hnet werden ka nn . Diese Formel erhält man ganz einfach - man braucht nur nach x aufzutöeen: (7.21)

1

Y = 2x + 1 c> 2x '" Y - I cc x = - (y - I) 2

Probieren wir es aus: Zum Argument x =l gehört wegen y =2x+l der Funk tionswe rt y =3. Setzen wir rechts y =3 ein, so erha lten w ir rüc kwärts x =1. N un gibt es abe r ein Darstdltm gs-Pro/llem: Die mathematische n Konventionen (Schreibweisen) leben von de r Lesar t, da ss auf der rechten Seite einer solchen Fun ktionsgleich ung eben stets .r, und links eben stets y steht. So ist ma n es gewohnt. Also werd en x und y ve rtauscht, und d er Zusam menhang zw ischen Funktion und Umkehrfunktion wi rd gewöhnlich in folgender Weise beschrieben :

y = f (x) = 2x + 1 ee y = r' (x ) = ~(x - 1) 2 Wie ist da s zu lesen? Zuerst wird zu einem gegebenen x-wert der zugehörige y-w ert mit de r gegebenen Fu nktion ausgerechnet.

(7.22)

Wird d ieses Ergebnis dann, wiede r als x-Wert, in d ie Formet der Umkelirftmk tiollf setzt, muss sich wieder de r anfäng liche Wert ergeben.

-1

einge-

Kont ro lliere n w ir: Die 3 als x-Wert in j(x) =2x+l eingesetzt liefe rt den y-Wer t 7. Setzen wir di eses Ergebnis, die Zahl 7, anschließe nd sofort als Argument x in f - 1(x )=(x-1)12 ein, da nn erhalten wir w ieder die 3. Die Umkehrfu nktion y =f-!(x) a nnu lliert das Ergebnis de r Funk tion y =f(x). Folgli ch gilt stets f _I (j( x)) =x.

7.5 Mittelbare Fu nkt ione n: Funktione n von Fu nktionen

107

Stellen wir nu n ein weiteres Paar VOll Funktion IIl1d zugehöriga Umkehr/ullktion zusa mmen und überprüfen die letzte Auss age: Gesucht ist di e Umkehrfunktion yooj-l(X) zu r einfachen Exponentialfunktion y =ftx) = e. Wie wird ge rechne t? Wie kan n man diese Fu nkti onsgleichu ng na ch x au flösen? Erinnern wi r uns an die Regel von Seite 36 aus Abschnitt 3.2.1, nach der man bcidc Seiten einer Cleichung logarithmieren d arf, sofern sie lIicl1tnegatiI' sind: (7.23)

j- e

e' e:> Iny = tne' cc lny e r- Ine cc x = Iny

Nu n folgt noch, gewissermaßen als formoter Akt, die Vatau schung VOll x und y, und d amit können Funkt ion und Umkehr fu nk tion in üblicher Weise beschrieben werden: (7.24)

y = f(x ) = e'

y = F I(x) = lnx

ö

Kontrollieren wir auch hier wieder, ob da s Wecl1selspiel zioiecuen Funktion und UmkeJlrftmktion funktion iert : Setzen wir in die gege bene Funktion y =ftx ) für x d ie Zahl (das Argument) Eins ein . Dann erha lten wir als Funktionswert y di e Eulersche Zahl 1.' =2,7182 .... Wird die Eulereche Zahl c an schließen d als x in die Umkeh rfunktion y =f -!(x) eingese tzt, dann ergibt sich dort als Funktionswert da Umkehrflillktion der Wert y=ln e. Dies aber ist bekan ntlich d ie An twort auf di e Frage I.' luxti wie viel ist e. Wir erh alten also wiede r die Zahl Eins. Es bewah rheitete sich ein weiteres Ma l: (7.25)

lne' = x

Schließlich wo llen wir uns noch mit d er LogaritJIIIIl/:iflll1ktion y =lll x beschäf tigen . Sie ist stetig, und ih r Gra ph ist iibcr demgesamten Defil1itiollsbereicll streng mOl/otoll wachsend. Wenn rechte un d linke Seite der Fun ktionsg leichung als Expone nten von c geschrieben we rde n, kann nach x aufgelös t we rden. Die anschließende Vatauschllng IJ Im

•

f(x, + h) - f (x, l h

Beginnen wir - rechnen wir mit d iesem Grenzwert un sere fünf beha upteten Ableitungswe rte der Funkti on j(x) = 10x1 von Seite 114 nach . Zuvo r mü ssen wir wiederholen und uns erne ut d eutl ich machen , da ss d ie Funktionsformel j( x)=1Ox1 ste ts besagt, d ass im mer d as, was in den Klam mern hinter de m Symbo l / steht, zu quadrieren und dan n mit 10 zu multiplizieren ist: (8.03)

f( x ) = IOx l f (xo) = IO x; /(xo + h) = lO(xo + hl

Damit kön ne n wir de n Grenzwert (8.02) für unsere gegebene Funktion j(x)=1Ox1 und beliebi ges Xo aufschreiben:

· j{xo + h) - f( xo) = I'lm ~IO x''-+ -,-,:h,)'_---,,IO:::X,,-; - "(" IIm h

h ....O

h

h-->IJ

=

lim lO(x; + 2xoh + ,,1) - IOx; h

h ·>o

=

(8,04)

lim IO x; + 20xJ1+ 10h h ....O h

l

-

IOx;

2

" 20xoh + IOh = I Im =

h ->O h lim ( 20xo + lOh ) .~

= 20xo + lim ( IOh ) h _.O

= 20xo

Setzen wir dieses Ergebn is in (8.02) ein, so erhalten wir für die betr achtet e Funktion y =1Ox1: (8 ,05)

'( l

Y Xo =

I'Jnl f (x, + h) - f (x,) = 20X o h

.~

Mit Worten form uliert: Der erste Ableitungswert de r Funktion y =j(x )=1Ox z an jed er Stelle x =xo ergibt sich imme r aus de m Zwallzig/ nellen VOll Xo. xo=+10 -

y'(xo)=2oo,

xo=- 100 -

xo= - 1 -

y'(xo) =- 20,

xo=2

xo= 0

-

y'( xo)=O.

-

y'(xo)=- 2000, y'(xoJ=40,

8 Differ en tialrechnung

116

Unsere Zahlen stim m ten also. Weiter e Ableitungswe rte dieser Funktion könnten nun mit de r Formel (8.05) berechnet w erd en. Ja, d ie beiden Worte dieser Funktion sind absich tlich hervorgehoben w orden. Denn wenn die Auswertung eines Grenzwer tes die einzige Q ue lle fü r Ableitu ngswerte wä re, d an n könn ten wohl nur Wenige ers te Ableitungswer te berechn en . Offensichtlich mu ss es einen anderen, pra ktisch für Jede rmann gang ba ren Weg zu m ersten Ableitun gswert geben.

8.4

Berechnung des ersten Ableitungswertes: Praxis

8.4.1

Erster Ableitungswert und erste Ableitungsfunktion

Der prak tische Rechenweg. um de n e rs ten Ableitu ngswe rt einer Funk tion y=fix) an einer gegebenen Stelle x=xo ihres De finitionsbereiches zu ermitteln, sieht a uf de n ersten Blick w ie ein Um weg au s: Zuers t w ird grundsä tz lich eine Funktion ermitte lt. Das wird d ie erste Ableitungsjunktioll y '=j'(x) sein. Sie liefe rt mi t j'(xo> d an n die Vo rschrift, w ie zu einer gege be nen Stelle X=Xo der e rste Ableitu ngswer t an di eser Stelle be rechnet w ird . Be trachten w ir d azu w iede r un se r Beispiel: Die e rste Ableitungsfunk tion zu un serer gegebenen Funktion y =lOx.l wird sich später (siehe Seite 119) leich t berechn en lassen : Sie lau tet y ' =j'(x) =20x. Es ist nicht überraschend: Wir e rhalten na tü rlich ke ine a ndere Formel als di e be reits beka nn te Formel, di e w ir au f Seite 115 mit dem Grenzwert (8.02) ermittelte n, Aber sie ist nun viel, viel leichte r zu bestimm en :

-

Die e rs te Ableitungsfunktion y '=j'(x) zu einer gegebe nen Funk tion y=j( x>erhält man nach d en Regeln der Diffe ren tialrechnu ng ,' --'

8.4.2

Erste Ableitungsfunktion von wichtigen Grundfunktionen

In der folgenden Über sicht sind für einige wic htige Grund funktionen d ie ers ten Ableitun gsfu nktionen a nge geben. (I) y = fex) = .r" ::::) y = f'{x ) = n ·x"-l (8.06)

(2) y = a'

=> J'

(3) y = l og~x

::::)y' =f'(x ) = -

=

f'{x ) = a' ·Ina I

-

x · lna

Rege l (1) giltjiir beliebige Exponenten, auc h fü r georocnene Exponenten, w ie sie bei Wurzd [unktionen au ftre ten.

8.4 Berechnung des ersten Ableitungo,w ",eO ,'"eC'O'oPo"o'cic''--

=

117

Folglich können wi r sofort schlussfolgern, wie die folgende wu rzctfunnion abz uleiten ist: Be is pi e l : y = f (x ) =

,

j;

= x2

I

~-I

y' = f'(x) =_ ·x l

2

(8.07)

I

'

= - .x

1

2

I

=

2.Jx

Bei ande ren Wurzelexpon en ten muss man sich nu r mehr Mühe geben bei der Subtraktion der Eins im Expo nen ten:

,

Bei spie l : y=/(x)==W =x7 3 ~l ' ==f'(x) = _ ·x 7

. (8.08 )

I

7

3 7

== _ . x

'7

3

=

7if;i

Na türli ch lässt sich d ie Vorschrift (1) auch anwenden, we nn die Potenzen von x im Neuncr stehen, wen n es eine n I/cgatil'c/J EX1/(lIIe/Jlcn gibt:

(8.09 )

I -t . I : y== j .( x ) == -==x Be ·ts pie x y' == f' (x ) == (_ I) ·x- I - l -z == -x

=

x'

Und wie ist es, wen n un sere Funkti on spez iell das Poiunomuutlien Grades prfx) =x'I==l ist wenn also jedem Argum ent x derselbe konst ante Funktionsuxrt 1 zugew iese n wird (siehe Absc hnitt 4.1.8 auf Seite 61): Der erste Ableitungswert besch reibt, wie sich der Funkticnsux rt verä ndert, wenn wir d as Argument 8erillgfii8ig l.er8rößc"c'cL _ Wenden wir dies auf un sere konstante Funktio n y =j(x) ==xlJ==l an: Wenn d er Funktionswert immer und übe rall konstant Eins ist, dann hat keine Änderung de s Argumentes eine Änderung des Funktionswer tes zu r Folge. Damit ist der erste Ableitungswert dieser Funktion y ==j(x)= 1 stets und überall Null: (8.10 )

y = !\x } = I =>>, =f'(x} =O

8 Differentialrechn un g

118

Aus der zwe iten Ze ile in (8.06) können w ir sofort di e erste Ableitungs/u nktion z u unse re r oft genutzten Expo/Jelltialjllllktioll ab lesen : Y =f(x ) =e' (8.11)

y' = /,(x) = r! -lne

= e' -1

Hier brauchten w ir w ieder d en Rückgri ff au f u nse r Basistoiseen: //1 c, da s ist ja di e Ant wort au f die Frage c l10ch wie viel ist e, und di ese Antw ort lautet eben stets: Eins . Aus de r Regel (3) in (8.06) können wi r uns in gleiche r Weise di e erste Ableitullgs/unktion zum ebenfal ls se hr oft gen u tzten naturliehen Logarithmus herlei ten:

y = f ex) = Inx = log x (8 .12)

1 y' = J' (x) = - e- Ine

=

8.4.3

I x

Faktor- und Summenregel

Läss t sich eine Funk tion y =j(x) zus am mense tze n als SI/1IIme oder Differenz zux ier Funktianen, so e rgibt sich ihre erste Ableitungs/un ktion als 5uI1I1//e bzw. Differenz der erstell Ableitul/gs/un ktionen der Teilfunktionen. (8.13)

y = f( x) = h (x) ± j ;(x ) => J' = J'(x) = h '(x ) ± [,'(x )

Befindet sich vor einer Funkti on svorschr ift ein konstanter Faktor, so bleibt dieser als konstanter Faktor {Jo r der ersten Ab/eitllllgsjullktion erhalten: (8.14)

y = f (x) = a ·J;(x ) => j = J'(x) = a j ;'(x )

Die zwei te Rege l hilft uns sofort be i der Beantw ortun g de r Frage, wie d ie erste Ableitun gsfunkti on zu einem allge meine n PolY110m nullten Grades y =p,ix)=ao auss ieht. Denn wir können dafür di e AMeitUllgS/Ullktioll der Eins au s (8.10) verwende n:

(8. 15)

y = f(x) = ~ = ~ ' J;(x)

milf,(x) = I

=> y'= ao· J; ' (x)= ~ · O= O

Merken wir u ns: Additive Konstanten verschw inden beim Differenzieren, konstante Faktorm bleiben dagegen e rhalten. Mit den Regel n a us (8.06), de n Schluss folge runge n aus (8.07) bis (8.15) ist es bereits möglich, e rs te Ableitu ngs funktionen zu einer VielzalJl {JOII Funktionell zu bilden.

8.4 Berechnung de s erste n Ableitungo,w ",eO ,'"eC'O ' oPo"o'cic''--

119 =

So können wir nun jedes beliebige Polynom d ifferen zieren, d . h . seine erste Ableitlillgsjlmktion angeben: (8.16)

y = p"( x) = a"x" + a" _lx" - I + ._. + a1x + l1u

Wir erken nen: Die erste Ableitllligsfllliktioll jedes Potvnoms n-ten Grades ist wiede r ein Polynom, allerdings von einem //111 1 oerringerten Grad 11-1_ Nun ist auch der Zeitpunkt geko mmen, an dem wir uns überzeuge n können, dass die ers te Ableitungsfun ktio n unserer Beispielfunktion y = lOx 1 tatsächlich da s Zwanzigfache de s Argumen ts liefert (8.17)

y = I O - x~ c> y' = I O- (x~ )' = 1O·(2 ·x l ) = 20x

8.4.4

Produktregel

Wie d ifferen ziert ma n d ie Fun ktion y =j(x) =x-c> ? Hier steht vo r der Expo ne ntialfunktion keine Zahl als kons tanter Fakto r, sondern x als Variab le. Es handelt sich also u m ein Produkt von zwei Funkt ionen, zu de m die erste Ablei tungsfunktion zu ermitteln ist. Hier hilft uns d ie bekann te Prod uktregel weiter: (8.18)

y=

=> y' = u'(x) · \( x ) + u( x) ·v' (x)

II(X)'\~x)

Wenden wir sie auf unser Beispiel an : y = x -e' (8.19)

lI(x) = x =

Xl

=> u' (x) = I ·xo = 1

=> I"(x ) = e'

)'( x) = e'

y' = u'(x )·l'(x) + u(x )·v' (x ) = I·e'

+ .r-e' = (I + x )'e'

Da die Produktrege l doch schon komplizierter als d ie Summen- oder Faktorregel zu handhaben ist, sollte vor ihrer oorschncllcn Anwendung stets geprü ft werden, ob sie überhau p t gebraucht wird . Manchmal hilft schon einjodiee A usmultipiizieren, und d ie Prod uktregel erübr igt sich von selbst:

(8.20)

y = x(x +e' ) - ~, e 2 = x -sx- e' - x -e" y'

~

/,( x)

~

2x

Wenngleich d ie Prod uktregel leicht auswendig gelernt werden kann, vo r allem in ihrer populär ver kür zten Form (//V) '= u ' v + II V ', so führt ihre fehler hafte Anwendung doch häu fig zu schwerwiegenden Fehlern in Klausuren. Das liegt sehr oft am Verzidlt auf das ausfiillrliche Hinsenreihen der Nebellrec1/11l11lgell sowie am WeglassenVOll Klammern aller Art.

120

8.4.5

8 Differen tialrechnung

Quotientenregel

Wie di fferenzi ert man y == e< ? Hier handelt es sich offenba r u m einen Qu otienten aus zwei Funktionen. x Lernen wir deshalb die Quotielltellrexel kennen: (8.21)

y == lI( x) :::) y' (x) = U'(X) ' I\ X) - 1I(x ) ' I" (x ) (I"(x )l v(x )

Wir wo llen uns die Wirku ngsweise de r Quotientenrege l am Beisp iel veranschaulichen:

u' (x) = e< I~ X )

= x c> v'(x) = I

, U'(X)' I~X) -U(x)'v' (x ) e'· x -e'· l y (x) == (\'(x )l == x2

8.5

e' (x - 1)

x'

Keltenregel

Was haben wi r bisher gelern t? Wen n eine Funktion sich als Summe oder Differenz zuxier Funktionell sch reibe n lässt, ermitt elt man ihre erste Ableitungs fun ktion aus Su mme bzw . Differenz de r be iden verwende ten Funk tion en . Steht ein konstanter Faktor vor eine r Funktion, bleibt er von der Ableitungsbildung unberüh rt. Stellt sich eine Fun ktion als Produkt zu xier Funktionen d ar, dann ist d ie Produktregel anz uwen den. Eine Funkti on, die aus Zäh/er- und Nennerfunktion besteht, wird nach der QlIotielltenregel d ifferen ziert. Doch wie lau ten die ersten Ableitungs funktionen von beispielsweise (8.23)

(I) Y = ~ X2 _ X + 1

(2) y = l n(2x + 3)

Woh l können wir die Wurzelfunktion ableiten - aber nu r, wenn ihr ln/mit aus dem ein fachen x beste ht. Ebenso ist un s gru ndsätzlich d ie erste Able itun gsfunktion zum natürlichen Logarithmus und zur e-Fuukiion bekannt. Doch weil nicht nur d as einze lne x, sondern eine Funktion VOll x unter der Wur zel, als Argumen t in den Klam mern des Logarithmus ode r als Expon ent steht, müssen wir h ier eine weitere Regel anwe nde n, die Kettenreget. Um sie zu verstehen, müssen wir uns an de n Abschnitt 7.5 auf Seite 107 erinne rn : In allen d rei Fällen hand elt es sich be i den Fu nktione n aus (8.23) u m mittelbare Punktionen, u m Funktionen O,b ":/= 1

sind überall in ihr em Definiti onsbereich stetig und ihre Gra phen besitzen, wie man auch den Bildern 4.3 bis 4.19 auf den Seiten 53 bis 64 entnehmen kann, niemals Suitzen. Also sind Polynome, Exponenttat- u nd LogaritlJlllusjullktiol/ell in ihr em Definitionsbereich iiberall differenzierbar. Für jede Stelle x=xo aus ihrem Defini tionsbereich D(j) kann folglich de r erste Ableitungswert y'(xo) berechnet werden .

132

9 Kurvendiskussion (Fortsetzung)

9.2

Bedeutung der ersten Ableitungsfunktion für den Graphen

9.2.1

Grundsätzliches

Bisher lern ten wir d ie erste Ableitungsfu nktion y '=j'(x) zu einer gegebene n Funktion y=j(x) eigen tlich nu r ken nen als ein Rcchcnhiljemittcl, da s d ie Vorschrift j'(x) liefert, mit der man d urch Einsetzen von X=Xo jeden gewünscht en erste» Abteitungeuert y' (xo) aus rechnen kann. Nun werd en wi r fest stellen, dass d ie Bedeutung der ersten Ableitu ngsfunktion sogar größer sein wird als d ie Bed eu tun g de r ersten Ableitu ngswerte. Die erste Ablt'illmgsj ullkfioll y '=j'(x) eine r gegebenen (Ausga ngs-jltu nktion y =j(x) bietet nicht nu r d ie Möglichkeit, erste Ableifllll:.;swerte an bel iebigen Stellen aus rechnen zu kön nen. Als Funktion inform iert sie darüber hinau s über die :.;csamte Tangentensituation und damit über das MOIlO foll iel>erlwlfell der gegebenen Ausgangscfu" " eketicoc"c. ..... Die Bilder 9.8 un d 9.9 zeigen uns, wie der Graph der ersten Ableitungsfunktion übe r die Eigenschaften der Ausga ngsfunktion inform iert.

.

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Bild 9.8: Graph der .111sgallgsjzlllktil'll

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...

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>"

-

f------~

".

Bild 9.9: Graph itirer erstell Ableitungsjul/ktioll

9.2 Bed eu tung d er ersten Ableitu ngsfunkt ion für de n Grap,h,e,"'--

__' 133 -::-

Bei x= 1,25 können wir im Crophen der erslen Ablcitll/Jgsjllllktion (Bild 9.9) ungefähr den Wert y'(1,25) =1,3 ab lesen. Das Vorzeichen ist positiv, also hat an dieser Stelle der Graph der Ausgangs/unktion (Bild 9.8) eine steigende Tangente. Da d er Zahlenw er t nah e der 1 ist, haben wir d ort u ngefähr den 45-Grad- Anstieg. wie auch zu erkennen . An de r Stelle x=2 hat der Graph der erstell Ableitullgsjllllktion eine Nullstelle. Also ist der erste Ableitungeioert der Ausgallgs/ullktion an di eser Stelle NIIIl, d ie Tangente ist dort waagerecht. Deutlich zu erkennen. Zw ische n x=2 und x=3 liegt d er Cmpti der ersten Ableitullgs/unktion unterh alb der waagerechten Achse, alle ersten Ableitu ngswerte we rde n negativ. Das ist gleichbedeutend da mit, d ass alle Tangen ten am Graph der Ausgangs/unktion in d iesem Bereich nach IIn ten gerichtet sind : Die Ausgangs/ul/ktion ist zwischen x=2 und x=3 also streng wonotonfaitend. Nachde m be i x=3 mit der zwe iten Nullstelle der erstell Ableitungs/unktion wiede r eine Stelle gefund en wird, be i der de r Gml,h der Ausgangs/unktion eine uxagerecnte Tal/gente besitzt, bewegt sich der Grap h der ersten Ableitu ngs funktion an schließen d wieder im Positive n, d ie Werte werd en immer größer. Folglich, im obe ren Bild auch gut erkennba r, hat de r Graph d er Ausga ngsfun ktion dort steigende Tangenten, die immer steiler werden . Fassen wi r unsere Erkenntni sse schematisch zusa mmen:

x . Einzelhe iten d az u kön nen z. B. in 128}nachgelesen we rd en .

10

Folgen mit Reihen

10.1

Folgen als spezielle Funktionen

Von besond erer Bed eu tun g in ve rschiede ne n Anw endu ngs gebieten sind Fu nktionen, deren Definitioneoereicti nu r die Menge der natiiriictien Zahlen (1,2,3,...) u mfasst. Sie we rden als Folgen bezeichne t. Eine Folge is t eine spezielle Funktion, de ren Defin itionsbe reich nu r aus de r Menge der na_ tiirlichen Zahlen besteht . Diese r spez ielle und bei Folgen immer gleiche Defi niiionsoereicu w ird in einer besonderen Scureiouxiee zum Ausdruck gebracht. Ans telle de r bisher üblichen Formu lierung

.. . gegebe n ist di e Funk tion y =j(x) mit x=1,2,.. . schreibt man nun ku rz .. . gegeb en ist die Folge laIlJrl _u ,...

Betrachten wir d azu ein Beisp iel: Die Funktion in klassischer Schreibw eise I

x~ I.2 ....

(10 .01)

y~J(x)~-.

(10.02)

la. }~ H. n ~ 1.2•...

x wird nun beschriebe n durch die neu e Symbo lik 1

n

Der Graph als bisherige Veranschau lichung des Zusa mmenhanges zwischen Argu menten und Funkti onswerten verliert bei Folgcn seine Bedeutung, Denn Bild 10.1 zeigt, dass der Graph der Funktion (10.01), d. h. de r Folge (10.02), nu r noch aus einzelnen Punkten besteht.

"

I" "

,. 0.1

" "

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

Bild 10.1: Gmpll der Folge {n,,):(1/n}, 11: 1,2, .. .

144 Der Graph eine r Folge bes teht nur alls einzelnen Punkten . Damit sind solche Begriffe wie Stetigkeit, Tangente, Differenzierbarkeit, erste Ableitungswerte, die bei den Funk tione n sonst eine sehr groß e Rolle sp ielen, nich t mehr von Interesse. Große Bed eu tung beha lten aber d ie Begriffe Bcschriinktheit un d Monotonie.

10.2

Beschränktheit und Monotonie, alternierende Folgen

10.2.1

Beschränktheit von Folgen

Eine Folge {uu)u. U .... hei ßt nachobcll beschränkt, wenn es eine Zahl K gibt mit ull:E':K für alle 11=1, 2, ... Eine Folge la,dll.J.2.... heißt nacti unten teecnröna, wenn es eine Za hl K gibt mi t ut/?:.K für alle 11=1, 2, ... Eine Folge Ian} 11"'1.2,. . . heißt beschränkt, wenn sie sowo1l1 nadi ooen als auch nach lI1/tell beschränkt ist, d . h. we nn es zwei 2ßII/en K j un d K2 gibt mit KJ :$ al1 :$ Kl. für alle 1l'=1,2,~..~._", Beispi ele: Die Folge I }, 11:= 1, 2,... n ist offen sichtlich nach unten beschränkt, we il kein Folgenelement die Null unterschreiten wird. Sie ist auch nach cbenbeschriinkt, de nn kein Folgene lement ist größer als 1. Die Folge

(10.03)

la.l