Matematyka : podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum klasa IV i V [Wyd. 2 ed.] 830204184X, 9788302041846 [PDF]

Zitiervorschau

Kazimierz Cegiełka Jerzy Przyjemski Karol Szymański

MATEMATYKA Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum Klasa IV i V

Wydanie drugie

nu Warszawa 1990 Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne

Projekt okładki i karty tytułowej Andrzej Łubniewski Redaktor Wojciech Jędrychowski Redaktor techniczny Agnieszka Ziemkiewicz Korektorzy Maria Grzęda i Ewa Mingin

Podręcznik zatwierdzony do użytku szkolnego przez Ministra Edukacji Narodowej. Opracowany na podstawie programu nauczania matematyki Nr. OP23-4120-27/84 z dnia 31 lipca 1984 r. Przeznaczony dla wszystkich profili klasy IV liceum ogólnokształcącego oraz dla klas IV—V liceum zawodowego i technikum.

ISBN 83-02-04184-X i.

© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Warszawa 1989 WYDAWNICTWA SZKOLNE I PEDAGOGICZNE WARSZAWA 1990 Wydanie drugie. Nakład 99 820 + 180 e gz. Arkuszy w>d. 17,81, arkuszy druk. 20,5 Papier offsetowy ki. III, 70 g, rola 84 cm Oddano do składania 11.01.1990 r. Podpisano do druku w marcu 1990 r. Druk ukończono w maju 1990 r. Zam. 5743/5I2/k. MEN „15" ŁÓDZKA DRUKARNIA OŚWIATOWA Łódź, ul. Kominiarska 1

SPIS TREŚCI Rozdział I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZE STATYSTYKĄ . . . . § 1. Zdarzenia i ich częstości 1.1. Stabilność częstości Zadania 1.2. Zbiór zdarzeń elementarnych Zadania ' 1.3. Algebra zdarzeń Zadania § 2. Pojęcie prawdopodobieństwa 2.1. Własności częstości Zadania 2.2. Określenie prawdopodobieństwa Zadania 2.3. Własności prawdopodobieństwa Zadania 2.4. Określanie prawdopodobieństw za pomocą drzewa Zadania 2.5. Prawdopodobieństwo warunkowe Zadania § 3. Niezależność zdarzeń 3.1. Niezależność pary zdarzeń Zadania 3.2. Niezależność-trójki zdarzeń Zadania § 4. Schemat Bernoulliego Zadania § 5. Zmienna losowa i jej zastosowania 5.1. Zmienna losowa.. Zadania 5.2. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Zadania '

6 6 6

. 2, $> • • •> ale nie wiadomo którym i przewidzenie tego jest praktycznie lub teoretycznie niemożliwe, natomiast częstości tych wyników przy wielokrotnym powtarzaniu tego doświadczenia wydają się przewidywalne, nazywamy doświadczeniem losowym (krótko: doświadczeniem). Jeśli wśród n powtórzeń doświadczenia D wynik pojawił się k razy ([neN + , keN, k < w), to przez częstość tego wyniku wśród n powtórzeń doświadczenia D rozumiemy liczbę z

Przykład 1.1. Rzuciliśmy 10 razy kostką do gry i otrzymaliśmy kolejno ściany z następującymi liczbami oczek: 2, 4, 5, 1, 2, 1, 3, 6, 4, 5. Częstość wypadnięcia ściany z czterema oczkami wśród wszystkich 2 1 wyników tego doświadczenia jest równa — = Natomiast częstość wypadnięcia ściany z czterema oczkami wśród wszystkich parzystych , 2 wyników tego doświadczenia jest równa — (mamy bowiem pięć wyników parzystych: 2, 4, 2, 6, 4). W określeniu doświadczenia losowego zwrot „częstości ( . . . ) wydają się przewidywalne" wyrażą następujący fakt: w różnych seriach powtórzeń (lub obserwacji) tego samego doświadczenia losowego częstości pojawienia się interesującego nas wyniku są prawie takie same i wraz ze wzrostem liczebności serii mają tendencję do zbliżania się do pewnej liczby. Mówimy wówczas, że częstość taka stabilizuje się. Należy jednak pamiętać, że losowy charakter doświadczenia wyraża się m.in. tym, że: 1) jeśli wynik co w pewnej serii powtórzeń doświadczenia D lub jego obserwacji pojawił się z częstością c, to nie w każdej następnej serii będzie też występował z częstością c; 2) jeśli w poszczególnych dotychczasowych seriach powtórzeń doświadczenia D lub jego obserwacji częstości wyniku co były różne, to nie oznacza to, że w każdych następnych seriach (obserwacjach) też będą różne. 7

Przykład 1.2. Rozważmy doświadczenie polegające na rzucie monetą. Wynikiem rzutu monetą jest pojawienie się orła lub reszki, przy czym z góry nie można przewidzieć, poszczególnych rezultatów. Jednak daje się zauważyć, że częstości występowania orła i reszki wśród dużej liczby powtórzeń tego doświadczenia są bliskie wartości y . Potwierdzają to dane przedstawione w tablicach 1 i 2. Tablica 1 zawiera rezultaty eksperymentów przeprowadzonych przez G.L. Buffona (francuski przyrodnik i filozof (1707—88)) i K. Pearsona (angielski matematyk i filozof (1857— —1936)). Natomiast tablica 2 prezentuje wyniki losowania orła uzyskane za pomocą maszyny cyfrowej GIER w Uniwersytecie Warszawskim w 1970 roku. Tablica 1

Liczba rzutów monetą n

Buffon Pearson

Liczba pojawień się orła k

4040

2048

0,5069

12000

6019

0,5016

24000

12012

0,5005

Tablica 2

8

Częstość pojawienia się orła k n

Liczba rzutów monetą n

Liczba pojawień się orła k

Częstość pojawienia się orła k n

200 300 500 1000 2000 5000 10 000

116 153 251 504 1002 2529 4982

0,5800 0,5100 0,5020 0,5040 0,5010 0,5058 0,4982

V

Do ustalenia częstości niektórych wyników można wykorzystać dane statystyczne. Przykład 1.3. Tablica 3 zawiera dane o częstości urodzenia się chłopca w Austrii w latach 1893—1903, a tablica 4 podobne dane dla dziewczynek urodzonych w Polsce w latach 1928—1932 oraz 1957—1966. Na podstawie danych z tablicy 4 mamy prawo przypuszczać, że dziewczynki stanowić będą około 48,3% wszystkich noworodków, które urodzą się w Polsce w przyszłym roku. Dla porównania podajemy wyniki uzyskane przez P. Laplace'a (francuski astronom, matematyk i filozof (1749—1827)) — częstość urodzenia się dziewczynki we Francji w latach 1800—1802 wynosiła 0,4834. Tablica 3 Rok

Częstość urodzenia się chłopca

1893 ' 1894 1895 1896 1897 1898 1899 1900 1901 1902 1903

0,516 0,515 0,514 0,514 0,514 0,514 0,514 0,515 0,514 0,514 0,513

Tablica 4

Nr k

Rok

Liczba urodzeń w tysiącach

1 2 3 4 5

1928 1929 1930 1931 1932

991,0 994,1 1022,8 964,6 934,7

Liczba urodzonych dziewczynek w tysiącach 477,3 479,3 494,7 467,6 452,2

Częstość w roku k

Częstość po k latach

0,4816 0,4821 0,4837 0,4848 0,4838

0,4816 0,4819 0,4825 0,4831 0,4832

9

c.d. tablicy 4

Nr k

Rok

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966

Razem ' lata 1928--1932 i lata 1957--1966

Liczba urodzonych dziewczynek w tysiącach

Częstość w roku k

Częstość po k latach

776,5 752,6 719,9 661,0 627,6 599,5 588,2 H 562,8 546,4 520,4

. 375,7 363,7 345,9 318,6 302,4 288,5 284,1 271,8 264,4 252,2

0,4838 0,4832 0,4805 0,4820 0,4818 0,4812 0,4830 0,4829 0,4839 0,4846

0,4838 0,4835 0,4826 0,4824 0,4823 0,4822 0,4823 0,4824 0,4825 0,4827

11262,1

5438,5

Liczba urodzeń w tysiącach

—

0,4829

ZADANIA 1.1. W tablicy 5 znajdują się dane statystyczne dotyczące płci ludności Polski w dniu 1976-12-31. Obliczyć częstość występowania kobiety .w poszczególnych przedziałach wiekowych. Tablica 5 Wiek w latach 0—4 5—9 10—14 15—19 20—29 30—39 40—49 50—59 60—64 65—69 70 i więcej

10

Kobiety w tys.

Mężczyźni w tys.

1461,1 1260,5 1293,1 1588,5 3241,7 2028,6 2251,1 1812,5 733,7 760,7 1301,5

1546,4 1318,7 1353,8 1654,7 3331,9 2024,9 2177,8 1506,1 560,0 574,8 755,8

1.2. W tablicy 6 przedstawiono dane statystyczne dotyczące stanu pogłowia niektórych zwierząt gospodarskich w latach 1959—1969. Obliczyć częstość występowania konia w poszczególnych latach. Tablica 6 Rok

Liczba bydła w min. sztuk

1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969

8,35 8,70 9,17 9,59 9,84 9,94 9,95 10,39 . 10,77 10,94 11,05

Liczba koni w min. sztuk 2,84 2,81 2,73 2,66 ' 2,62 2,59 2,55 2,59 2,64 - 2,67 2,63

1.3. Rzuć 30 razy kostką do gry. Po każdym rzucie notuj jego wynik. Oblicz częstość pojawienia się ściany z: a) jednym oczkiem, b) parzystą liczbą oczek, c) liczbą oczek podzielną przez 3, d) liczbą oczek większą od 3. 1.4. Wyniki 1000-krotnegó rzutu kostką do gry przedstawione są w tablicy 7. Obliczyć częstość występowania ściany z: a) jednym oczkiem, b) parzystą liczbą oczek, c) liczbą oczek podzielną przez 3, d) liczbą oczek większą od 3. Porównać otrzymane częstości z odpowiednimi częstościami z zadania 1.3. Tablica 7 Liczba oczek 1 2 3 ' 4 5 ' 6

Liczba pojawień się ściany z daną liczbą oczek 160 173 164 175 166 162

11

Tablica 8 (Tablica liczb losowych) 21333

48660

31288

00086

79889

75532

28704

62844

92337

99695

65626

50061

42539

14812

48895

11196

34335

60492

70650

51108

84380

07389

87891

76255

89604

41372

10837

66992

93183

56920

46479

32072

80083

63868

70930

89654

05359

47196

12452

38234

59847

97197

55147

76639

76971

55928

36441

95141

42333

67483

31416

11231

27904

57383

31852

69137

96667

14315

01007

31929

82066

83426

67914

21465

99605

83114

97885

74440

99622

87912

01850

42782

39202

18582

46214

99228

79541

78298

75404

63648

32315

89276

89582

87138

16165

15984

21466

63830

30475

74729

59388

42703

55198

80380

67067

97155

34160

85019

03527

78140

58089

27632

50987

91373

07736

20436

96139

73483

85332

24384

61705

57285

30392

23660

75841

21931

04295

00875

09114

32101

18914

98982

60199

99275

41967

35208

30357

76772

92656

62313

11965

94989

34803

48941

69709

16784

44642

89761

66864

62803

85251

48111

80936

81781

93248

67877

16498

31924

51315

79921

66121

96986

84844

93873

46352

91283

51151

85878

30490

15974

53972

96642

24199

58080

35450

03482

66953

49521

63719

57615

14509

16594

78883

43222

23093

58645

60257 • 89250

63266

90858

37700

07688

65533

72126

23611

93993

01848

03910

38552

17472

85466

59392

72722

15473

73295

49759

56157

60477

83284

56367

52969

55863

42312

67842

05673

91878

82738

36563

79540

61935

42744

68315

17514

02878

97291

74851

42725

57894

81434' 62041

26140

13336

67726

61876

29971

99294

96664

52817. 90039

53211

95589

56319

14563

24071

06916

59555

18195

32280

79357

04224

39113

13217

59999

49952

83021

47709

53105

19295

88318

41626

41392

17622

18994

98283

07249

53289

24209

91129

30715

06604

54684

53645

79246

70183

87731

19185

08541

33519

07223

97413

89442

61001

36658

57444

95388

36682

38052

46719

094*28

94012

36751

16778

54888

15357

68003

43564

90076

58904

40512

07725

98159

02564

21416

74944

53049

88749

02865

25772

89853

88714

12159

66144

05091

13446

45653

13684

66024

91410

51351

22772

30156

90519

95785

47454

66735

35754

11088

67310

19720

08379

59069

01722

53338

41942

65118

71236

01932

70343

25812

62275

54107

58081

82470

59407

13475

95872

16268

78436

39251

64247

99681

81295

06315

28212

45029

57701

96327

85436

33614

29070

i.5. Korzystając z tablicy liczb losowych (tablica 8) sporządzić tabelę występowania poszczególnych cyfr (porównaj tablicę 7). Na podstawie sporządzonej tablicy obliczyć częstości występowania cyfr: 0, 2, 4, 7, 9. 1.2. Zbiór zdarzeń elementarnych Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa (tzn. takim, które przyjmuje się bez definicji) jest pojęcie zdarzenia elementarnego. Wszystkie zdarzenia elementarne tworzą zbiór zwany zbiorem zdarzeń elementarnych. W podręczniku tym zbiór zdarzeń elementarnych oznaczać będziemy literą Q (ewentualnie z indeksami: Q v Q2) ...) i zakładać będziemy, że jest to niepusty zbiór skończony. W rozważaniach teoretycznych zbiór ten jest zawsze ustalony. Natomiast w zastosowaniach teorii rachunku prawdopodobieństwa do konkretnych zadań, zbiór ten należy opisać przez podanie wszystkich zdarzeń elementarnych. Jak konstruuje się taki zbiór zdarzeń elementarnych pokażemy na przykładach. Przykład 1.4. Rozważmy jednokrotny rzut monetą. Doświadczenie to może zakończyć się jednym z dwu możliwych wyników: „wypadł orzeł", „wypadła reszka", które to uznajemy za zdarzenia elementarne. Odrzucamy tu takie możliwości, jak np., że moneta „stanie,, na krawędzi, zgubi się. Jeżeli oznaczymy przez o wynik rzutu „wypadł orzeł", a przez 7 wynik rzutu „wypadłą reszka", to wówczas zbiór Q = {o, r) jest zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Przykład 1.5. Rozważmy dwukrotny rzut monetą. Wynikiem dwukrotnego rzutu monetą może być wylosowanie dwóch orłów, za pierwszym razem orla i za drugim razem reszki, za pierwszym razem reszki i za drugim razem orła, dwóch reszek. Uznajemy te wyniki za zdarzenia elementarne. Oznaczmy: przez (o, o) zdarzenie elementarne „wypadły dwa orły", przez (o, r) zdarzenie elementarne „wypadł za pierwszym razem orzeł i wypadła za drugim razem reszka", przez (r, o) zdarzenie elementarne „wypadła za pierwszym razem reszka i wypadł za drugim razem orzeł", przez (r, r) zdarzenie elementarne „wypadły dwie reszki". Wówczas zbiór Q = {(o, o), (o, r), (r, o), (r, r)} jest zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. 13

Przykład 1,6. Rozważmy dwukrotny rzut kostką do gry. Wynikiem dwukrotnego rzutu kostką do gry może być otrzymanie za pierwszym razem ściany z m oczkami i za drugim razem ściany z n oczkami, gdzie m, tie{ 1,2, 3, 4, 5, 6}. Uznajemy te wyniki za zdarzenia elementarne. Dla uproszczenia zapisu każde zdarzenie elementarne będziemy kodowali za pomocą uporządkowanej pary liczb. Oznaczmy przez (w, n) zdarzenie elementarne „wypadła za pierwszym razem ściana z m oczkami i za drugim razem ściana z n oczkami". Wówczas zbiór Q wszystkich zdarzeń e1 cmentarnych można opisać następująco: Q = {(m, n): m, ne{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Zbiór Q można również opisać używając tablicy 9, w której w wierszu o numerze m oraz w kolumnie o numerze n zapisujemy zdarzenie elementarne (m9 n), gdzie my ne{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tablica 9 Numer kolumny

1 03 N

£ o u. i 3

£

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(1,4) (2,4)

(1,5)

2

(2,5).

(1,6) (2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2) •

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

ZADANIA 1.6. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry a następnie na jednokrotnym rzucie monetą. Opisać zbiór Q wszystkich zdarzeń eleriientarnych tego doświadczenia. 1 1.7. W pudełku mamy 6 piłek, każda w innym kolorze. Wyciągamy losowo jedną piłkę, a następnie z pozostałych też jedną piłkę. Opisać zbiór Q wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. 1.8. W pudełku mamy 4 piłki, każda w innym kolorze. Wyciągamy losowo jedną piłkę i zapisujemy jej kolor. Piłkę wrzucamy do pudełka i ponownie losowo ciągniemy jedną piłkę, i znów zapisujemy jej kolor. Opisać zbiór Q wszystkich zdarzęń elementarnych tego doświadczenia. 14

1.9. Spośród cyfr: 2, 3, 6, 9 losujemy bez zwracania jedną, którą uznaje* my za liczbę tysięcy, następnie drugą (bez zwracania), którą uznajemy za liczbę setek, potem trzecią (bez zwracania), którą uznajemy za liczbę dziesiątek', i w końcu czwartą liczbę, którą uznajemy za liczbę jedności. Za zdarzenie elementarne uznajemy otrzymanie tu każdej liczby czterocyfrowej. Z ilu elementów składa się zbiór Q wszystkich zdarzeń elementarnych ? Ile jest w tym zbiorze liczb parzystych ? i 11.10. Spośród cyfr: 1, 2, 3, 4 losujemy bez zwracania jedną, którą uznajemy za liczbę dziesiątek, a następnie z pozostałych cyfr losujemy druI gą, którą uznajemy za liczbę jedności. Otrzymujemy w ten sposób liczbę jf dwucyfrową. Ile można utworzyć takich liczb dwucyfrowych ?

' 1.3. Algebra zdarzeń i Załóżmy, że skończony zbiór Q jest zbiorem zdarzeń elementarnych. *

•

>

Definicja 1.1. Każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych Q nazywamy zdarzeniem w zbiorze Q. W przypadku, gdy zbiór zdarzeń elementarnych Q jest ustalony, } to będziemy mówić krótko: zdarzenie zamiast zdarzenie w zbiorze Q. Ponieważ 0 c Q (zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze) i Q c: Q (każdy zbiór jest swoim podzbiorem), więc zbiory 0 i i? są zdarzeniami w zbiorze Q. , Zdarzenie 0 nazywamy zdarzeniem niemożliwym, a zdarzenie Q nazywamy zdarzeniem pewnym. Niech A będzie zdarzeniem w zbiorze Q (tzn. A iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A C\ By różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A\B, zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie Q\A. Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A oznaczamy symbolem A\ Zatem A' = Q\A. Mówimy, że zdarzenia A i B wyłączają się, jeżeli A n B = 0 . Mówimy, że zdarzenie A jest zawarte w zdarzeniu By jeżeli A ^ B. Przykład 1.7. Rozważmy jednokrotny rzut parą kostek do gry, z których jedna jest biała, a druga czarna. Wynikiem tego doświadczenia może być otrzymanie na białej kostce ściany z m oczkami i na czarnej kostce ściany z n oczkami, gdzie my ne{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Wyniki te uznajemy za zdarzenia elementarne. Dla uproszczenia zapisu oznaczymy przez (my ń) zdarzenie elementarne ,,wypadła na białej kostce ściana z m oczkami i na czarnej kostce ściana z n oczkami". Wówczas zbiór Q = {{my n): my ne{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}} jest zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych rozważanego doświadczenia. Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na otrzymaniu takich ścian, by suma wyrzuconych oczek równała się 4((m y n) e Q i m-\-n = 4), a przez B zdarzenie polegające na otrzymaniu takich ścian, by iloczyn wyrzuconych oczek był liczbą nieparzystą mniejszą od 6 (mn = 1 lub mn = 3, lub rHn — 5). Ponieważ A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} i B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (5, 1)}, więc: sumą zdarzeń A i B jest zdarzeni'e Ayj B = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (3,1), (5,1)}, 16

zdarzeń A i B jest zdarzenie A r\ B = {(1, 3), (3,1)}, różnicą zdarzeń A i B jest zdarzenie A\B = {(2, 2)}, różnicą zdarzeń B i A jest zdarzenie .B\A = {(1,\), (1,5), (5,1)}, zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A jest zdarzenie A' = Q \ A , które polega na otrzymaniu takich ścian, by suma wyrzuconych oczek była różna od 4 (m+n ^ 4). Zdarzeniu A' nie sprzyjają tylko następujące zdarzenia elementarne: (1, 3), (2, 2), (3, 1). iloczynem

Przykład 1.8. Rozważmy prócz zdarzeń A i B jeszcze dwa zdarzenia C i D związane z doświadczeniem opisanym w przykładzie 1.7, gdzie: C oznacza zdarzenie polegające na otrzymaniu takich ścian, by iloczyn wyrzuconych oczek był liczbą mniejszą od 6 (mn < 6); D zdarzenie polegające na otrzymaniu takich ścian, by suma wyrzuconych oczek równała się 11 (m-\-n — 11). Wówczas: . C = { ( 1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (3,1), (4, 1), (5, 1)}, D = {(5,6), (6,5)}, B c: C (każde zdarzenie elementarne, które sprzyja zdarzeniu B sprzyja również zdarzeniu C), A C\ D = 0 (nie ma takiego zdarzenia elementarnego, które jednocześnie sprzyjałoby zdarzeniu A i zdarzeniu D\ zdarzenie A n D jest zdarzeniem niemożliwym). Przykład 1.9. Włókniarka obsługuje trzy krosna: Kv K2, Niech A{ oznacza zdarzenie, że krosno Ki wymaga obsługi w ciągu 1 godziny dla *e{l, 2, 3}. Wówczas np.: A± D A2 n A3 oznacza zda-' rżenie, że wszystkie trzy krosna wymagają obsługi; A[ C\ A'2 C\ A'3 oznacza zdarzenie, że żadne krosno nie wymaga obsługi, natomiast Ax U U A2 u A3 oznacza zdarzenie, że przynajmniej jedno krosno wymaga obsługi.

Matematyka — z

17

ZADANIA 1.11. Rozważmy dwukrotny rzut kostką do gry. Jakie zdarzenia elementarne sprzyjają zdarzeniu: a) iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą pierwszą; b) iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą; c) iloczyn wyrzuconych oczek jest mniejszy od 40; d) iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą niewymierną ? Czy wśród rozpatrywanych zdarzeń jest zdarzenie pewne lub niemożliwe ? 1.12. W czworościanie foremnym poszczególne ściany oznaczono odpowiednio: 1 oczkiem, 2 oczkami, 3 oczkami, 4 oczkami. Takim czworościanem rzucamy dwukrotnie i odczytujemy sumę oczek znajdujących się w podstawie czworościanu (za podstawę przyjmujemy tu ścianę zawartą w płaszczyźnie stołu, ławki itp.). Jakie zdarzenia elementarne sprzyjają zdarzeniu: a) suma wyrzuconych oczek jest równa 5; b) suma wyrzuconych oczek jest liczbą pierwszą; c) suma wyrzuconych oczek wynosi co najwyżej 8; d) suma wyrzuconych oczek jest sześcianem liczby wymiernej; e) suma wyrzuconych oczek jest kwadratem liczby naturalnej; f) suma wyrzuconych oczek jest rozwiązaniem równania 2* = 3; g) suma wyrzuconych oczek jest rozwiązaniem nierówności 2* > 128 ? Czy wśród rozpatrywanych zdarzeń jest zdarzenie pewne lub niemożliwe ? 1.13. Z czterech odcinków o długościach odpowiednio: 1, 2, 3, 4 wybieramy losowo trzy różne. Podać zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu, że z wybranych odcinków można zbudować trójkąt. 1.14. Niech: A> By C, D będą kolejnymi wierzchołkami kwadratu o boku długości 1, z których wybieramy losowo dwa różne. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu, że odcinek o końcach wybranych ma długość równą 1. 1.15. Zbiór Q wszystkich zdarzeń elementarnych pewnego doświadczenia określony jest następująco: D = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Oznaczmy: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D={7,8,9, 10}, E = (5, 6}. 18

a) Określić zdarzenia: Au

B9 A r\ By A\By

B\Ay

C", D' u Ey U n

b) Które ze zdarzeń: Af By C, D, £" zawiera się jedno w drugim? c) Podać pary zdarzeń wyłączających się spośród zdarzeń: Ay By C, D,E. 1.16. Trzej strzelcy strzelają do jednego celu. Niech Ak oznacza zdarzenie polegające na tym, że k-ty strzelec nie trafił do celu {k e {1, 2, 3}). Wyrazić za pomocą zdarzeń Aly A2 i A3 następujące zdarzenia: a) żaden strzelec nie trafił do celu, b) wszyscy trzej strzelcy trafili do celu, c) tylko strzelec pierwszy trafił do celu, d) dokładnie jeden strzelec trafił do celu, ej przynajmniej jeden strzelec trafił do celu, f) przynajmniej jeden strzelec nie trafił do celu.

§ 2. Pojęcie prawdopodobieństwa 2.1. Własności częstości Przykład 2.1. Rozważmy doświadczenie polegające na jednokrotnym rzucie kostką do gry. Przypuśćmy, że w n (nG N+) powtórzeniach tego doświadczenia otrzymaliśmy: kx razy wynik „wypadła ściana z 1 oczkiem", k2 razy wynik „wypadła ściana z 2 oczkami", k6 razy wynik „wypadła ściana z 6 oczkami", gdzie kly k2y . . k 6 e N i kx+k2+ ... = n. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy: „wypadła ściana z tn oczkami", gdzie m e {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Oznaczmy przez cm częstość zdarzenia elementarnego „wypadła ściana z m oczkami". Częstości te spełniają następujące zależności: q = — > 0, n

c2 = A > o, . .

c6 = *L > 0,

n

n

gdzie:

jest

Modelem probabilistycznym dla losowania kuli z urny typu U2 para ( A J , P3), gdzie:

Qa = {b,c},

P3({b}) = j , PS({c}) =

f

Z etapem trzecim wiążemy trzy możliwe cząstkowe doświadczenia albo losowanie kuli z urny o składzie jedna kula biała i osiem czarnych, albo losowanie kuli z urny o składzie dwie kule białe i dwie czarne, albo jednokrotny rzut monetą symetryczną. Oznaczmy przez b zdarzenie elementarne „wylosowano kulę białą", natomiast przez c zdarzenie elementarne „wylosowano kulę czarną", zarówno przy losowaniu kuli z urny o składzie 1 kula biała i 8 czarnych, Jak 10 składzie 2 kule białe i 2 czarne. Modelem probabilistycznym dla losowania kuli z urny o składzie 1 kula biała i 8 czarnych jest para (£?4, P 4 ), gdzie: Qi = {b,c},Pi({b}) = \,Pi({c)}

= ^.

Modelem probabilistycznym dla losowania kuli z urny zawierającej

2 kule białe i 2 czarne jest para (D5, P5), gdzie: = {b, C), P5({b}) = } = 1, Pa({cj) = 1 = Modelem probabilistycznym dla jednokrotnego rzutu monetą symetryczną jest para (Q6, P6), gdz£:

. )

°* = {o,r}, P 6 ( M ) = P 6 ({r}) =

l

Korzystając z drzewa przedstawionego na rys. 2.7 oraz z reguły mnożenia budujemy model całego trójetapowego doświadczenia. Oznaczmy: przez (ui}b,b) zdarzenie elementarne „wylosowano ^fnę'typu Ui i z niej wyciągnięto kulę białą, a następnie z pozostałych U 1 kulę białą", przez («., b, c) zdarzenie elementarne „wylosowano rn y « typu U{ i z niej wyciągnięto kulę białą, a następnie z pozostałych kulę czarną", przez (u{, c, o) zdarzenie elementarne „wylosowano Urnę typu JJ{ i z niej wyciągnięto kulę czarną, a następnie przy rzucie

wynik losowania typu urny

wynik losowania kuli z urny typa U1

_

__ wynik losowania kuli z urny typu U2

ę^G Rys. 2.7

jednokrotnym monetą symetryczną otrzymano orła", przez (uiy cy r) zdarzenie elementarne „wylosowano urnę typu U{ i z niej wyciągnięto kulę czarną, a następnie przy rzucie jednokrotnym monetą symetryczną otrzymano reszkę", gdzie i e{l, 2}. Modelem probabilistycznym dla trój etapowego doświadczenia losowego jest para (Q v P 7 ), gdzie: Q7 = {(uly by b)y (uly by c)y (uly cy o)y (uly cy r)y (u2y by b)y (u2y by c)y (u2y cy o)y (u2y cy r)}y

48

P 7 ( { K b, c )}) = J'T'T 2 2

1

= iź> 6

_6_

75 '

Dla kontroli rachunków sprawdzimy, czy suma prawdopodobieństw zdarzeń jednoelementowych jest równa 1. Tak jest rzeczywiście, ponieważ i , A + + + - L + J _ + A + A . = Z ł = i. *75~

75

75

75

75

75

75

75

75

ZADANIA 2.19. W urnie jest 6 kul białych i 5 czarnych. Wyciągamy losowo jedną kulę, zatrzymujemy ją, a następnie wyciągamy losowo drugą kulę. Podać model probabilistyczny dla tego doświadczenia. 2.20. Z puszki, w której znajdują się 2 kule białe i 4 czarne wyciągnięto losowo jedną kulę i nie oglądając jej włożono do pudełka, w którym znajdowały się 4 kule białe i 2 czarne. Następnie z pudełka wyciągnięto losowo jedną kulę. Podać model probablistyczny dla tego doświadczenia. 2.21. Urna U1 zawiera 2 kule niebieskie i 1 pomarańczową. W urnach U2 i t/8 znajdują się odpowiednio 1 kula biała i 1 czarna oraz 3 kule białe i 2 czarne. Z urny U1 losujemy jedną kulę i jeżeli będzie to kuła niebieska, to losujemy jedną kulę z urny U2; jeżeli będzie to kiila pomarańczowa, to losujemy jedną kulę z urny UB. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. 2.22. Mamy 3-kule: białą, czarną, niebieską. Rozmieszczamy w sposób losowy te kule w szufladach nr 1 i nr 2. Obliczyć prawdopodobieństwo rozmieszczenia wszystkich kul tylko w szufladzie nr 1 lub tylko w szufladzie nr 2. « *2.23. Wśród 10 losów loterii znajduje się jeden los na główną wygraną oraz dwa losy uprawniające do bezpłatnego wyciągnięcia następnego 0su - Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania głównej wygranej Przy zakupie jednego losu i maksymalnym wykorzystaniu uprawnień. Matematyka - 4

49

*2.24. W urnie Ux znajdują się kule białe i czarne. W urnie C/2 jest 9 kul niebieskich" i 6 zielonych, a w urnie t/ 3 są 2 kule niebieskie i 4 zielone. Najpierw losujemy kulę z urny Uv a następnie losujemy kulę z urny t/ 2 albo z urny t/ 3 odpowiednio do tego, czy z urny t/j wylosowaliśmy kulę czarną czy białą. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z urny Ux wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania, według opisanego schematu, kuli niebieskiej jest takie same jak kuli zielonej. *2.25. Wśród m losów loterii jest 6 losów wygrywających. Dla jakich m prawdopodobieństwo tego, że zakupione 2 losy będą wygrywające jest większe od y ? #

2.26. Wśród 5 kostek do gry, jednakowych z wyglądu, znajduje się dokładnie jedna niesymetryczna, którą wyrzuca się ścianę z 6 oczkami w każdym rzucie. Obliczyć prawdopodobieństwo: a) wyrzucenia ściany z 6 oczkami losowo wybraną kostką, b) wyrzucenia wszystkich ścian z 6 oczkami przy rzucie 5 kostkami. *2.27. W urnie Ux są 3 kule białe i 2 czarne, a w urnie U2 są 2 białe i 4 czarne. Z każdej urny losujemy po jednej kuli i nie oglądając wrzucamy do pustej urny C/3, a następnie z urny t/ 3 losujemy jedną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli fyiałej z urny t/3. *2.28. W urnie Ux jest 6 kul białych i 4 czarne, a w urnie U2 jest m kul białych i 2 czarne. Z każdej urny losujemy jedną kulę i wkładamy ją do pustej urny C/3. Z urny t/ 3 losujemy jedną kulę. Ile musi być kul białych w urnie U2> aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z urny Uz było większe od 0,7? ^2.29. Rzucamy n razy symetryczną kostką do gry. Wyznaczyć tak w, aby prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej ściany z 6 oczkami było większe od J 216

2.30. W magazynie przedsiębiorstwa znajduje się 90% wyrobów dobrych i 10% wyrobów wadliwych. Na 100 dobrych wyrobów średnio 70 jest pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrana losowa sztuka spośród znajdujących się w magazynie jest pierwszego gatunku. /

2.31. Z trzech fabryk zakupiono po jednej sztuce towaru. Pierwsza fabryka produkuje 90%, druga 80%, a trzecia 70% wyrobów pierwszego 50

' tunku. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, nych sztuk co najmniej jedna jest pierwszego

że spośród trzech zakupiogatunku ?

#2 32. W każdym z trzech pudełek jest po 10 sztuk pewnych detali. Wiadomo, że liczby detali wybrakowanych w poszczególnych pudełkach wynoszą odpowiednio 1, 2 i 3. Jaka metoda postępowania daje większe szanse wylosowania trzech detali dobrych: a) losujemy pudełko, a następnie z niego trzy detale, czy b) z każdego pudełka losujemy po jednym detalu ? 2.33- W zawodach strzeleckich bierze udział dwóch zawodników A i B. Zawodnik A trafia do celu średnio w a% strzałów, natomiast zawodnik B w b% strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia do celu, jeżeli:

a) najpierw strzela zawodnik A i jeżeli nie trafi, to strzela zawodnik B; b) najpierw strzela zawodnik B i jeżeli nie trafi, to strzela zawodnik A i t

2.34. W urnach Uv U2 i Us znajdują się po 3 kule zielone i 4 czerwone, zaś w urnach C/4, Ub i f/ 6 po 3 kule zielone i 2 czerwone. Rzucamy symetryczną kostką do gry, a następnie z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek losujemy bez zwracania dwie kule. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie dwóch kul zielonych, czy dwóch kul czerwonych ? i *2.35. Mamy 3 kule białe, 3 czerwone i 3 zielone. Rozmieszczamy kule losowo w trzech szufladach. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w każdej szufladzie znajdą się kule o kolorach białym, czerwonym i zielonym ? 2.36. Transport 100 wyprodukowanych przedmiotów poddano wyrywkowej kontroli jakości. Warunkiem odrzucenia całego transportu jest znalezienie co najmniej jednej sztuki wadliwej wśród 5 wybranych losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia transportu, jeżeli zawiera on 4% przedmiotów wadliwych ?' 2.37. W grupie 30 sportowców jest 20 narciarzy, 6 kolarzy i 4 biegaczy, rawdopodobieństwa zakwalifikowania się do zawodów sportowych ^ następujące: dla narciarzy 0,9; dla kolarzy 0,5; dla biegaczy 0,75. le jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany sportowiec ędzie zakwalifikowany do zawodów? 51

2.5. Prawdopodobieństwo warunkowe Rozważmy następujący przykład. Przykład 2.17. Mamy 2 urny typu Uly w których znajdują się po 3 kule białe i po 2 czarne oraz 3 urny typu U2, w których znajdują się po 4 kule białe i po 1 czarnej. Z przypadkowo wybranej urny wyciągamy kulę w sposób losowy. Obliczymy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej (jakiejkolwiek kuli białej). Za zdarzenie elementarne uznajemy wylosowanie urny, a następnie wyciągnięcie z niej kuli. Oznaczmy: przez u{ zdarzenie elementarne „wylosowano urnę typu £/•" (gdzie ie{ 1, 2}), prze?b — zdarzenie elementarne „wylosowano kulę białą", przy losowaniu kuli z dowolnej urny, przez c — zdarzenie elementarne „wylosowano kulę czarną", przy losowaniu kuli z dowolnej urny, przez (ui9 b) — zdarzenie elementarne „wylosowano urnę typu Ui i z niej wyciągnięto kulę białą", przez (uiy c) — zdarzenie elementarne „wylosowano urnę typu U i z niej wyciągnięto kulę czarną". Korzystając z drzewa przedstawionego na rys. 2.8 zbudujemy model probabilistyczny rozważanego dwuetapowego doświadczenia.

wynik losowania typu urny

wynik losowania kuli z urny typu Ą

b

c

b—

c

wynik losowania kuli z urny typM

Rys. 2.8

Modelem probabilistycznym tego doświadczenia jest para (i2, P) gdzie: Q = {(uv b\ (uly c)y (u2y b)y (u2y c)}y 52

?({(«!• *)>) = p({(«i>*)}) = ir>

•

P({(«2> *)}) = if-> P({(«2> 0}) = (porównaj przykład 2.15. s. 44). Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej. Ponieważ A = {(«!, b), {u2, b)}, więc w myśl wzoru (4) (s. 23): P(A) = PftK

b)})+P({(u2, 6)}) = ± . + §

= §

= 0,72.

*

- Zauważmy, że > P({(ulfb)}n4)

=

P({(ul9b)}) = 0^24_ ^ J_

P(i4)

0,72

3"

Ostatni wynik interpretujemy następująco: przy wielokrotnych powtórzeniach dwuetapowego doświadczenia około y wszystkich realizacji, które zakończą się wyciągnięciem kuli białej, będzie polegało na wyciągnięciu kuli białej z urny typu Uv Stąd wynika bezpośrednio, że przy wielokrotnych powtórzeniach 2 /

1

2\

dwuetapowego doświadczenia około y 11— y = y ) wszystkich realizacji, które zakończą się wyciągnięciem kuli białej, będzie polegało na ' wyciągnięciu kuli białej z urny typu U 2. Do tego samego wniosku możemy dojść zauważając, że 2, b)} n A) P(A)

:

~~

P ({(w2> 6)}) P(A)

0,48 2 0,72 ~~ T

Przeanalizujemy jeszcze jeden przykład. Przykład 2 .18. W urnie znajdują się: 4 kule białe, każda oznaczona 1; 6 kul białych, każda oznaczona cyfrą 2; 7 kul czarnych, każda Znaczona cyfrą 1; 3 kule czarne, każda oznaczona cyfrą 2. Obliczymy Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej oraz prawdopodobieństwo Wylosowania kuli białej oznaczonej cyfrą 2. 53

Oznaczmy przez b{ zdarzenie elementarne „wylosowano kulę białą oznaczoną cyfrą V\ zaś przez ci zdarzenie elementarne „wylosowaną kulę czarną oznaczoną cyfrą f \ gdzie ig{1, 2). Modelem probabilistycznym tego doświadczenia jest para (£?, gdzie Q = {bv b2, cv c2}, i>({il}) = ± , P({62}) = ^(fe}) —

P({Cl}) = - i

(konstruując funkcję P korzystaliśmy z założenia, że szanse

wylosowania każdej z 20 kul są takie same). Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej, zaś przez B zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej oznaczonej cyfrą 2. Ponieważ A =±= {bv b2}iB = {b2}y więc P(A) = = =

+ W = °>5 1

^

F ( £ )

F

=

(

^

=

°'3'

Zauważmy dalej, że P(BnA)

=

P(A)

P{B) P(A)

=

0,3 ^ 0,5

Q 6

'

Spodziewamy się więc, że przy wielokrotnych powtórzeniach rozważanego doświadczenia około 60% wszystkich realizacji, które zakończą się wyciągnięciem kuli białej, będzie polegało na wyciągnięciu kuli białej oznaczonej cyfrą 2. Przyjmujemy teraz następującą definicję. Definicja 2.2. Niech para (£>, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast A i B dowolnymi podzbiorami zbioru Q. Ponadto niech P(A)> 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia B pod warunkiem zda.

P(BnA)

u rżenia AA nazywamy rliczbę —p^

'

Dla uproszczenia zapisu liczbę P(B\A). (9)

oznaczamy symbolem

Zatem P

{

B\A)=^^L

Wzór (9) zapisujemy często w postaci równoważnej (9a) 54

P(B nA)

= P(A) • P(B\A).

Wzór (9) przyporządkowuje każdemu zdarzeniu B pewną liczbę, więc określa na podzbiorach zbioru Q nową funkcję P ( • \A), na ogół różną od funkcji P (mamy P( • \A) = P dla A = Wstawiając w miejsce kropki ( ' ) różne podzbiory zbioru Q otrzymujemy jakieś liczby. Jakie one mogą być? ponieważ P(A)> 0 (z założenia) i P(B n A) > 0 dla każdego gez £2 (co wynika z definicji 2.1, s. 23), więc w myśl wzoru (9) P(B\A) > 0. Ponieważ P(A)> 0 (z założenia) i P(B n ^4) < P(^4) dla każdego ^ c fl (co wynika z twierdzenia 2.la) s. 30), więc w myśl wzoru (9) P(B\A)< 1. Wykazaliśmy, że jeśli tylko P{A) > 0, to dla każdego B Q speł1 niona jest nierówność podwójna 0 < P(B\A) < 1. ' Można również wykazać, że P{BX\J B2\A) = P{B1\A)Ą-P{B2\A), o ile tylko Ą n B 2 = 0 (Bly B2 c= Q). ł Okazuje się, że funkcja P(- \A) ma takie same własności jak funkcja P. Dlatego też funkcję P( • \A) nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym. Przykład 2.19. Rozważmy dwukrotny rzut symetryczną kostką do gry. Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej raz takiej liczby oczek, która jest liczbą pierwszą, natomiast przez B zdarzenie polegające na otrzymaniu sumy wyrzuconych oczek równej 6. Obliczymy prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B pod warunkiem zdarzenia A. - Model probabilistyczny tego doświadczenia skonstruowaliśmy w przykładzie 2.5 (s. 25). . Ponieważ: ^ = {(1, 2), (1, 3), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3, 2), (3, 3), (3,4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5,4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 5)}, B

= {(1> 5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)},

55

BnA

= S,

więc w myśl wzoru (9) mamy: P(B\A) = p(Br"A) V 1 ; P(A)

=

P(A)

=

5

— _ JL - ~~ 27_ — 17' 36

Spodziewamy się więc, że przy wielokrotnych powtórzeniach rozważanego doświadczenia losowego około 18,5% 0,185) wszystkich realizacji, które zakończą się wynikiem sprzyjającym zdarzeniu A będzie sprzyjało zdarzeniu B. Gdybyśmy zamiast zdarzenia B wzięli pod uwagę zdarzenie C polegające na otrzymaniu sumy oczek równej 8, to wówczas mielibyśmy; C = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}, Ar\C

= {(2, 6), (3,5), (5,3), (6,2)},

P(C\A) = JL, P(^|C) =

Przykład 2.20. Niech para P) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast B± i B2 takimi dwoma wyłączającymi się d o w o l n y m i zdarzeniami losowymi, że Ą u B 2 = P(2?i) > 0 i P(B2) > 0. Załóżmy ponadto, że A ^ Q jest dowolnym zdarzeniem. Znajdziemy związek między liczbami: P(A), P(B±), P(P 2 ), P(A\BX), P(A\B2). Ponieważ A B n C) = 0, 66'

C = {122, 212},

i

= P(B n C) = j ,

= {122},

K5'.'więc •

l

P(AnC)

= { = }-{

=

P(A)-P(C),

P{BnC)

= \ = \ - \ =

P(B)-P{C);

Każda para zdarzeń: A i B> A i C> B i C jest parą zdarzeń niezależnych, natomiast zdarzenia A, B i C nie są zdarzeniami niezależnymi. Przykład ten pokazuje, że z niezależności par zdarzeń nie musi wynikać niezależność trójki zdarzeń. ZADANIA 3.4. Rozważmy trzykrotny rzut monetą symetryczną. Niech A- oznacza zdarzenie polegające na otrzymaniu w i-tym rzucie orła, gdzie i e {1, 2, 3}. Wykazać, że zdarzenia Av A2 i A3 są niezależne. #

3.5. Niech para (Dy P) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast A, B i C dowolnymi podzbiorami zbioru Q. Wykazać, że jeżeli zdarzenia A, B i C są niezależne, to zdarzenia A U B i C są też niezależne.

§ 4. S c h e m a t B e r n o u l l i e g o ' doświadczeń wieloetapowych na szczególną uwagę zasługują . \ .^Prcj^egają na ^-krotnym powtórzeniu, w tych samych warunkach niezależnie od siebie, doświadczenia cząstkowego kończącego się tylko ym z dwu możliwych wyników. Jeden z tych wyników przyjęło się na^T sukcesem, a drugi porażką. Każde takie cząstkowe doświadczenie schemat^ Bernoulliego, natomiast w-etapowe doświadczenie ernou 8° lak ^ ^ Hiego o npróbach (od nazwiska matematyka szwajcarskiePraw Bernoulliego.(1654—1705), który stworzył podstawy rachunku Wd ?P°dobieństwa). 67'

Przykładami schematu Bernoulliego o 4 próbach są: 4-krotny rzut monetą, 4-krotny rzut kostką do gry i obserwacja czy wypadnie interesująca nas liczba oczek (np. 5), a także 4-krotne losowanie ze zwracaniem kuli z urny zawierającej kule białe i czarne i obserwacja koloru wyciągniętej kuli. Model probabilistyczny schematu Bernoulliego o n próbach łatwo jest skonstruować znając model probabilistyczny doświadczenia cząstkowego. Pokażemy to na przykładach.

Przykład 4.1. Rozważmy 4-krotny rzut symetryczną monetą. Oznaczmy przez zdarzenie polegające na otrzymaniu k orłów, gdzie Ae{0, 1, 2, 3, 4}. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia dla każdego k e {0, 1, 2, 3, 4}. Mamy tu do czynienia ze schematem Bernoulliego o 4 próbach. Próbą Bernoulliego (cząstkowym doświadczeniem) jest tu jednokrotny rzut symetryczną monetą. Sukcesem w pojedynczej próbie jest w tym przypadku wyrzucenie orła, porażką zaś wyrzucenie reszki. Model probabilistyczny dla jednokrotnego rzutu monetą symetryczną skonstruowaliśmy w przykładzie 2.3 (s. 24). Do opisu modelu probabilistycznego tego 4-etapowego doświadczenia skorzystamy z drzewa przedstawionego na rys. 4.1. Każdej krawędzi wychodzącej z tego samego węzła odpowiada jedno zdarzenie elementarne o lub r doświadczenia cząstkowego. Każdej gałęzi będącej ciągiem 4 krawędzi łączących początek drzewa z pewnym jej wierzchołkiem odpowiada zdarzenie elementarne 4-etapowego doświadczenia: ciąg czterowyrazowy, którego wyrazy należą do zbioru {o, r}. Obok każdej krawędzi drzewa podane jest prawdopodobieństwo zdarzenia jednoelementowego, które odpowiada zdarzeniu elementarnemu reprezentowanemu przez daną gałąź. Korzystając z reguły mnożenia odczytujemy natychmiast, że wszystkie zdarzenia elementarne 4-etapowego doświadczenia są jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jednoelemento. , , / i ,4 i wego jest równe i—i = —. Ponieważ: SI = {(r, r, r, r)}, = {{o, ry r, r), (r, o, r, r), (r, r, o, r), (r, r, r, o)}, 68'

wynik pierwszego rzutu monetą symetryczną

wynik drugiego rzutu monetą symetryczną

wynik trzeciego rzutu monetą symetryczną

Rys. 4.1

o

r

wynik czwartego rzutu monetą symetryczną

' sl = {(o, o, r, r,), (o, r, o, r), (o, r, r, o), (r, o, o, r), (r, o, r, o), (r, r, o, o)}, = {(o, o, o, r), (o, o, r, o), (o, r, o, o,), (r, o, o, o)j, = {{o, o, o, o)}, więc:

P(5J) =

4

1 _ 1 16

4'

69'

P{Si) = 4-^

= 1,

=

Wyobraźmy sobie, że zamiast 4-krotnego rzutu monetą symetryczną mamy 40-krotny rzut inną i^onetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w jednej próbie jest równe y ^prawdopodobieństwo wy1

2\

rzucenia reszki w jednej próbie jest równe 1—— = y j . Tym razem sporządzenie drzewa jest praktycznie niewykonalne. A jeśli nawet je sporządzimy, to będzie ono mało czytelne. Jak więc obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego np. na otrzymaniu 10 orłów podczas 40-krotnego rzutu tą monetą ? Oznaczmy to zdarzenie symbolem Wyobraźmy sobie na chwilę, że jednak sporządziliśmy drzewo dla tego 40-etapowego doświadczenia. Każde zdarzenie elementarne całego doświadczenia może być opisane za pomocą ciągu o 40 wyrazach składających się z liter o i r. Wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu są ciągami składąjącymi się z 10 liter o i 30 (40—10 = = 30) liter r rozmieszczonych na-40 miejscach. Liczba takich rozmieszczeń wyraża się wzorem (wybieramy spośród 40 miejsc 10 miejsc dla liter o, a na pozostałych miejscach umieszczamy litery r). Korzystając z reguły mnożenia dla gałęzi złożonej z 40 krawędzi, wśród których 10 reprezentuje orła i 30 reszkę, stwierdzamy, że prawdopodobieństwo , każdego takiego zdarzenia elementarnego jest takie samo i jest równe

(rr' Zatem

^ - p - d n ł r , W dalszych rozważaniach zawsze symbol oznaczać będzie zdarzenia polegające na otrzymaniu k sukcesów w schemacie Bernoulliego o n próbach (n e AT+ i k e {0, 1, ..., n}). Rozumując analogicznie jak w przykładzie 4.1 otrzymujemy następujące twierdzenie. 70'

4.1. W schemacie Bernoulliego o n próbach prawdopodobieństwo P(S^) otrzymania dokładnie k sukcesów wyraża się wzorem Twierdzenie

p(skn) =

i^pk{\-pf-k,

gdzie p jest prawdopodobieństwem sukcesu w próbie Bernoulliego, n e N+ ike{O, 1, Przykład 4.2. Rzucamy 6-krotnie symetryczną kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia polegające na tym, że: a) ściana z jednym oczkiem wypadnie dokładnie 3 razy, b) ściana z jednym oczkiem wypadnie co najwyżej raz, c) ściana z jednym oczkiem wypadnie co najmniej 5 razy. . Mamy tu do czynienia ze schematem Bernoulliego o 6 próbach. Sukcesem w próbie Bernoulliego tego doświadczenia jest wyrzucenie ściany z jednym oczkiem, porażką natomiast wyrzucenie jakiejkolwiek ściany różnej od ściany z jednym oczkiem. Zatem prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie Bernoulliego p = |prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie Bernoulliego wynosi = i—— = 6

1 —p =

6 /

" Interesują nas prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: ) b) Sg U Sl (co najwyżej jeden sukces), c) S| U Sg (co najmniej 5 sukcesów). Ponieważ Sg n Sl = 0 i S% n = 0 , więc na mocy wniosku 2.2 (s. 31) i twierdzenia 4.1 otrzymujemy:

a

1-2-3 b)

i i = 0,054, 6'

U Si) = P(S°6)+P(Si)

=

c) P(Si u 5J) = P(SI)+P(S!)

-

w

= 6-^

c

=

m

+1

s

1

m

w

-

* 0,007.

Przykład 4.3. W urnie mamy jednakowe kule: 4 białe i 6 czarnych. Losujemy 4 razy po jednej kuli, zwracając za każdym razem wylosowaną kulę do urny. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu kuli białej: a) dwa razy, b) co najwyżej dwa razy, c) co najmniej dwa razy? Rozważane doświadczenie jest schematem Bernoulliego o 4 próbach. Sukcesem w pojedynczej próbie Bernoulliego jest tu wylosowanie kuli białej, porażką natomiast wylosowanie kuli czarnej. Zatem prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie p = 0,4 (zobacz przykład 2.6, s. 27). Mamy obliczyć prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: a ) A = SI

b) B = Siu S\u Sf,

c) C = S*u Siu

Korzystając z twierdzenia 4.1 mamy: a) P(A) = P(S\) = = (2) • (M) 2 * (°>6)2 = =

• (0,24)* = 0,3456;

b) P(B) = P(Sl U 5 J U SD = = P(Sl)+P(S\)+P(Sl)

=

= (0) • (0,4)° • (0,6)*+ P j • (0,4)1.

(0>6

)3+

+ Q • (0.4)2 • (0,6)* = = 1 • 1 • (0,6) 4 +4 • 0,4 • (0,6)3+0,3456 = = 0,1296+0,3456+0,3456 = 0,8208 72'

Si

(ponieważ

(S« u S\) n Sf = 0 i S°4 n Sj = 0 , więc:

P(Sl u Sl u 51) = P((S§ u 5J) u Sl) = P(S2 u S\)+P(Sl)

=

= P(52)+P(5J)+P(S1)). Prawdopodobieństwo zdarzenia 5 możemy obliczyć inaczej, obliczając prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego B' = S% U S\. Ponieważ P(B') = P{S\ U S f ) -= P(Sl)+P(Si)

=

= (3) • (0,4)3 • (0,6)i+ p j . ( 0 4 ) 4 . =

(0>6)0

=

4 .(0,4)3-0,6+1 • (0,4)4 • 1 =

= 0,1536+0,0256 = 0,1792, więc P(B) = l-P(B)'

=

= 1-0,1792 = 0,8208,

c) Ponieważ C = A U B' i A c\B' = 0 , więc P(C) = P(A)+P(B')

=

= 0,3456+0,1792 = 0,5248. A oto inny sposób obliczenia P(C)y gdy znamy P(A) Ponieważ Bu C = B n C = Ay

i P(B).

P(BU C) = P ( P ) + P ( C ) - P ( P o C), P(fl) = 1, więc 1 = 0,8208+P(C)—0,3456, czyli P(C) = 0,5248. Oczywiście P(C) można również obliczyć korzystając wprost z twierdzenia 4.1. Tak postępowalibyśmy, gdybyśmy nie znali prawdopodobieństw zdarzeń A i B (łatwiej jednak jest obliczyć P(C"), gdzie C" = = SIU S\ i wówczas P(C) = 1 - P ( C ' ) ) . Przykład 4.4. Rozważmy w-krotny rzut monetą symetryczną. Oznaczmy przez zdarzenie polegające na otrzymaniu takiej liczby kn orłów, która spełnia nierówność

— n

ŁT" :

coeQ i X(co) = 2}) =

P({(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 6), (6, 4)}) = 8 _ 36

2 9'

P({a>: co e) = 3}) P({(1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3)}) 6 _ 1 36

EP Pi

_

6'

P({co:coe£ i X(OJ) = 4) = P({(1,5), (5, 1), (2, 6), (6, 2)}) = 4 __ 36 ~

9'

P({co: co e Q i X(co) = 5}) = = P({(1, 6), (6,1)}) =

= — = _L 36

18'

Z

ADANIA

£

graczy /I i B gra w orła i reszkę. Jeżeli wypadnie orzeł, gracz A otrzymuje 10 zł od gracza B; jeżeli wypadnie reszka to gracz " Płaci 10 zł graczowi B. Podać rozkład zmiennej losowej opisującej ograną gracza A, jeżeli moneta jest symetryczna. 85'

5.2. Dwóch graczy A i B rzuca symetryczną kostką do gry. Jeżeli wyj padnie liczba oczek mniejsza od 5, to gracz A płaci 40 zł graczowi jeżeli wypadnie liczba oczek większa od 4, to gracz A otrzymuje 80 z\ od gracza B. Podać rozkład zmiennej losowej opisującej wygraną gracza^ 5.3. W urnie są: 2 kule białe, 3 czerwone, 4 zielone i 11 żółtych. Graca wyciąga z uiny jedną kulę. Jeżeli wyciągnie kulę białą, to płaci 10 zl« jeżeli wyciągnie kulę czerwoną, to otrzymuje 3 zł; jeżeli wyciągnie kulę zieloną, to płaci 5 zł; jeżeli wyciągnie kulę żółtą to otrzymuje 2 zł. Podać rozkład zmiennej losowej opisującej wygraną gracza. 5.4. Rzucamy dwa razy monetą symetryczną., Jeżeli wypadną dwa orły, to gracz otrzymuje 10 zł; jeżeli wypadnie jeden orzeł, to gracz otrzymuje 5 zł; jeżeli wypadną dwie reszki, to gracz płaci 15 zł. Podać rozkład zmiennej losowej opisującej wygraną gracza. < 5.5. Rzucamy parą symetrycznych kostek do gry. Podać rozkład zmiennej losowej, która każdemu wynikowi przyporządkowuje: a) sumę wyrzuconych oczek, ' , ^ b) iloczyn wyrzuconych oczek, c) wartość bezwzględną różnicy wyrzuconych oczek. ?

\

i 5.2. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej

Niech para (Q, P) będzie modelem probabilistycznym jakiegoś doświadczenia losowego. Określmy na zbiorze Q zmienną losową X o rozkładzie {(*!> Pl)> (*» M • • • > (*m> Pm)}' (Pv P& --->Pm£R+> P1+P2+ • • - +Pm~ = l,meN+). ; Powtórzmy to doświadczenie k razy (ksN+). Umawiamy się przy tym, że jeżeli wynikiem doświadczenia będzie takie zdarzenie elementarne, któremu zmienna losowa X przyporządkowuje liczbę x{y to będziemy mówili krótko: pojawiła się liczba x{ (i g{1, 2, . . . , m}). P r z r puśćmy, że w wyniku ^-krotnego powtórzenia tego doświadczenia otrzymaliśmy następujące rezultaty: liczba xx pojawiła się kx razy, liczba x2 pojawiła się k2 razy, . .., liczba xm pojawiła się km razy, gdzie h k2y ..., kme N i • • • +K = k (nie jest tu istotna kolejnos pojawiania się tych wyników; jeżeli k{ = 0, to liczba x{ nie pojawiła ani * razu). 86 'I

Liczbę określoną wzorem (10), nazywamy średnim wynikiem k-krotnej realizacji doświadczenia. / Jeśli k jest duże, to zaobserwowana częstość pojawienia się liczby p o w i n n a być bliska prawdopodobieństwu piy z jakim wartość tę przyjmuje zmienna losowa X. Przy dużym k liczba x obliczona według wzoru (10) powinna więc być bliska liczbie x1p1+x2p2+ ..,.+xmpm (wzór

+ • • • +xm

(10) możemy zapisać również w postaci x = x±

Liczba ta jest przewidywanym średnim wynikiem ^-krotnej realizacji rozważanego' doświadczenia.

w-

•

Definicja 5.2. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie {(xv px\ (x2yp2)> ..., {xm,pm)} nazywamy liczbę oznaczoną symbolem EX i określoną wzorem

$

'

'

E X

.

=

X

lPl+*2p2

+

•••

+XmPm-

•

Przykład 5.3. Rozważmy jednokrotny rzut symetryczną kostką do giy. Oznaczmy przez X zmienną losową, która każdemu wynikowi rzutu przyporządkowuje liczbę oczek na wyrzuconej ścianie. Rozkład zmiennej losowej X określa następująca tabelka

Pi

1

2

3

4

5

6

1 6

l 6

i 6

1 6

l 6

i 6

Zgodnie ze wzorem (11) otrzymujemy = 1 ' ł + 2 - ł + 3 - t + 4 ' T + 5 - i + 6 " H 3>5Otrzymaną liczbę EX = 3,5, która jest wartością oczekiwaną zmien^J;losowej Xy interpretujemy następująco: Jeżeli symetryczną kostką . ^ ^ będziemy rzucać wielokrotnie i notować otrzymane liczby oczek,

to średni wynik tej wielokrotnej realizacji naszego doświadczenia (obliczony według wzoru (10)) powinien być bliski liczby 3,5. Przypuśćmy, że w wyniku 100-krótnego rzutu symetryczną kostką do gry uzyskano następujące dane: Wyrzucona liczba oczek

Liczba powtórzeń

1 2 3 4 5 6

14 15 12 25 18 16

Razem

100

Obliczymy liczbę x określoną wzorem (10). Mamy 1 • 14 + 2 • 15 + 3 • 1 2 + 4 • 25 + 5 • 18 + 6 • 16

* =

loo

,, 3 66

'

^

„

'

Otrzymana liczba x = 3,66 jest oczywiście różna od liczby EX = 3,5, czego należało się spodziewać. W różnych seriach po 100 rzutów każda, symetryczną kostką do gry, średnie obliczone na podstawie wzoru (10) na ogół będą różne i nie równe liczbie EX. Przykład 5.4. Rozważmy jednokrotny rzut monetą niesymetryczną, o której wiemy na podstawie doświadczenia, że orzeł pojawia się średnio w 40% rzutów. Modelem probabilistycznym tego doświadczenia losowego jest para (Q, P), gdzie: Q = {o, r}, P({o}) = 0,4, P({r}) = 0,6. Określmy na zbiorze Q dwie funkcje X i Y w sposób następujący: X(o) = —10 i X(r) = 20 oraz Y{o) = 5 i Y(r) = 10. Zatem rozkładem zmiennej losowej X jest zbiór 10, y j , ^20, -j-JJ, zaś zmieńnej F zbiór {(5,

(l0,})[

Obliczymy wartości oczekiwane tych zmiennych losowych. ze wzorem (11) otrzymujemy: EX= 88

x

- 1 0 - - + 2 0 • - = 8 i EY = 5 - - + 1 0 • - = 8.

Zgodnie

Widzimy więc, że zmienne losowej X i Yy choć mają różne rozkłady, to mają te same wartości oczekiwane. Zmienna losowa X przybiera dwie wartości różniące się o 30, zaś zmienna Y, też dwie wartości ale różniące się tylko o 5. Mówimy, że zmienna X ma większy rozrzut wartości, niż zmienna Y. v Znajomość średniego wyniku ^-krotnej realizacji danego doświadczenia nie wiele jeszcze mówi o samych wynikach otrzymanych jako rezultat ^-krotnego powtarzania tego doświadczenia. Interesować nas będzie również stopień rozproszenia (wielkość rozrzutu) tych wyników względem średniego wyniku (względem liczby x obliczonej na podstawie wzoru (10)). Jako miarę tego rozrzutu przyjmuje się liczbę, którą oznaczamy symbolem s2, określoną wzorem /19\

S

2 _

~

+

—

.

Z

.

.

+Xx,n — x)2km

(znaczenie poszczególnych symboli takie samo jak we wzorze (10)). Załóżmy, że zaobserwowana częstość

pojawienia się liczby x{

jest bliska prawdopodobieństwu p{ (* e{l, 2, . .., m}) z jakim wartość tę przyjmuje zmienna losowa X o rozkładzie {(xv px), Pz)i (xmy pm)}. Wówczas liczba s2 obliczona według wzoru (12) jest bliska liczbie (x1-EX)2p1+ (x2-EX)2p2+ ... + (xm-EX)2pni (liczba x obliczona według wzoru (10) jest wówczas bliska wartości oczekiwanej zmiennej losowej X, czyli bliska liczbie EX). "r Definicja 5.3. Wariancją zmiennej losowej X o rozkładzie nazywamy liczbę oznaczoną symbolem D2X i określoną wzorem (13)

M

= (x1~Exyp1+

(X-Exyp2+

...+

(Xm-ExyPm:

Z wzoru (13) wynika, że jeśli wariancja D2X zmiennej losowej X jest mniejsza od pewnej dodatniej liczby a, to i każdy składnik {xi—-EX)2piy gdzie ie{l, 2, . . m}, jest również mniejszy od a. Zatem Jeżeli (xi—EX)2 jest większe lub równe ay to p{ musi być takie, by spełniona była nierówność (xi—EX)2pi < a. Stąd wynika, że jeśli warianacja zmiennej losowej X jest mała, to prawdopodobieństwo zdarzenia !'.

89

polegającego na tym, że zmienna losowa X przyjmuje wartości dużo różniące się od jej wartości oczekiwanej EX, jest małe. Dlatego też wariancję D2X nazywamy miarą rozrzutu zmiennej losowej X. Przykład 5.5. Obliczymy wariancję zmiennej losowej X z przykładu 5.3 i porównamy ją z liczbą s2 obliczoną według wzoru (12) na podstawie danych 100-krotnego rzutu symetryczną kostką do gry (s. 88). Zgodnie ze wzorem (13) otrzymujemy (pamiętamy, że EX = 3,5) /

D*X =r (1-3,5) 2 • J- + (2—3,5)2 • J + (3-3,5)* • \

+

+ (4-3,5)* • | + (5-3,5)2 • | + (6-3,5)*• | = J M ~ 2,92. Natomiast w myśl wzoru (12) otrzymujemy (tu x = 3,66) ft =

15o K 1 " 8 ' 6 6 ) 8 " 14+(2—3,66)« • 1 5 + ( 3 - 3 , 6 6 ) 2 . 1 2 + + (4-3,66) 2 • 25+ (5-3,66)2.

=

i8

+ (6-3,66) 2 • 16] =

= 2,6844.

Przykład 5.6. Obliczymy wariancje zmiennych losowych X i Y z przykładu 5.4. Korzystając z wzoru (13) otrzymujemy odpowiednio: D*X = (—10—8)2 • 0,4+ (20—8)2 • 0,6 = 216, D2Y = (5—8)2 • 0,4+ (10—8)2 • 0,6 = 6. Zmienne losowe X i Y mają tę samą wartość oczekiwaną {EX = EY = 8), natomiast ich wariancje różnią się od siebie znacznie. Jak widzimy, wzory (12) i (13) prowadzą do niezbyt prostych rachunków. Dlatego też w zastosowaniach używa się wzorów: (14) (15)

= \ (*&+*&+ ... D*X = xlPl+xtp2+

+xlkm)-x\

... +xlpm-

{EX)\

Udowodnimy dla przykładu wzór (15). Korzystając ze wzorów o d i (13) otrzymujemy: 90'

D*X = (xl-EX)*pl+

(x2-EX)*p2+

= x\Pi+x\p2Ą- ... +xipm-2 + {Pi+P2+ •••+PJ••i-. =*lPi+*tPt+ = x\p1+x\p2+ (p!+p2+

... + (xm-EXfpm

=

• (x1p1+x2p2+ ... +xmpm) • EX+

{EXf

• • • +*lPm~2

= • (EX)*+ (EX)2 =

... +x*mpm- (EX)*.

•••+pm=l)-

Przykład 5.7. Korzystając ze wzorów (14) i (15) obliczymy wariancję zmiennej losowej X z przykładu 5.5 oraz liczbę s2 na podstawie danych 100-krotnego rzutu symetryczną kostką do gry (s. 88). Zgodnie ze wzorem (14) otrzymujemy (x = 3,66): l . 5« = - L . (l«. 14+22 • 15+3 2 • 12+4 2 • 25+5 2 • 18+6 2 • 1 6 ) - (3,66)2 = = 16,08-13,3956 = 2,6844. •

||

Natomiast w myśl wzoru (15) otrzymujemy (EX = 3,5):

pi • D*X = -6 ( l 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 ) - (3,5)2 = J;:> p:

=

—12,25 = iZii ~ 2,92. 6 6 Tym razem rachunki przeprowadzone przy obliczaniu miary rozproszenia s2 wyników otrzymanych jako rezultat 100-krotnego rzutu kostką symetryczną do gry i wariancji D2X zmiennej losowej X są dużo prostsze.

? ' Przykład 5.8. W urnie znajdują, się 2 kule czarne i 3 białe. Wyjmujemy losowo z urny po jednej kuli (bez zwracania) tak długo, dopóki nie Wyciągniemy kuli czarnej, po czym doświadczenie przerywamy. Obliczymy wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X, która Przyporządkowuje każdemu zdarzeniu elementarnemu liczbę wyciągniętych kul. : r Skonstruujemy najpierw model probabilistyczny tego doświadczeOznaczmy: przez c zdarzenie „wyciągnięto kulę czarną" — w każdym C2 ąstkowym doświadczeniu, przez b zdarzenie „wyciągnięto kulę bia-

łą" — w każdym cząstkowym doświadczeniu, przez (by c) zdarzenie ,, wy ciągnięto za pierwszym razem kulę białą i za drugim razem kulę czarną", przez (b, by c) zdarzenie wyciągnięto za pierwszym i drugim razem kulę białą, i za trzecim razem kulę czarną", przez (b, b, b, c) zdarzenie „wyciągnięto za pierwszym, drugim i trzecim razem kulę białą, a za czwartym razem kulę czarną". Zdarzenia te uznajemy za zdarzenia elementarne. Korzystając z drzewa przedstawionego na rys. 5.1 otrzymujemy model probabilistyczny rozważanego doświadczenia losowego. Jest nim para (Q, P), gdzie: Q

c

= {c, (b, c),

(b, b, c), (b, b, b, c)},

b

wynik pierwszego losowania skład kul w umie: 2 czarne i 2 białe

wynik drugiego losowania

b

- skład kul w urnie: 2 czarne i 1 biała

— b — - wynik trzeciego losowania skład kul w urnie: 2 czarne 2 2

c

92'

wynik czwartego losowania

RySł 5.1

r

w

^

i

H

f

f

p«

f f - K - i ? -

Zmienna losowa X jest określona tabelą °>i x

i

'

c

{b, c)

(b, b, c)

(b, b, b, c)

1

2

3

4

Rozkładem zmiennej losowej X jest zbiór

Zgodnie ze wzorem (11) (s. 87) otrzymujemy EX =

1 •5

+2 •—

+3 •— +4 •—

1

5

=

2.

10

Otrzymaną liczbę EX = 2, która jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej Xy interpretujemy następująco: jeżeli rozważane doświadczenie będziemy powtarzali wielokrotnie i notowali za każdym razem liczbę wyciągniętych kul (aż do otrzymania kuli czarnej), to średni wynik wielokrotnej realizacji tego doświadczenia (obliczony według wzoru (10)) . powinien być bliski liczby 2. Tak np. gdy liczba powtórzeń doświadczenia wynosi 1000, spodziewamy się wyciągnięcia około 2 • 1000 = 2000 kul. Miarą rozrzutu zmiennej losowej X jest liczba D2X, którą obliczymy korzystając ze wzoru (15): :

D2X =

P ..ł+2 5

2

• — + 13 10

2

• — +1 4 5

2

•— -2 10

2

=

1.

Przykład 5.9. W urnie znajdują się 2 kule czarne i 3 białe. Ciągniemy urny jedną kulę ze zwracaniem aż do otrzymania kuli czarnej, przy czym ciągniemy kulę co najwyżej 3 razy. Obliczymy wartość oczekiwaną 1 Wariancję zmiennej losowej X, która przyporządkowuje każdemu Wrzeniu elementarnemu liczbę losowań.

z

93'

Oznaczmy: przez c zdarzenie „wyciągnięto kulę czarną" — w każdym cząstkowym doświadczeniu, przez b zdarzenie „wyciągnięto kulę białą" — w każdym cząstkowym doświadczeniu, przez (6, c) zdarzenie „wyciągnięto za pierwszym razem kulę białą i za drugim razem kulę czarną", przez (b, b, c) zdarzenie „wyciągnięto za pierwszym i drugim razem kulę białą, i za trzecim razem kulę czarną", przez (by b, c) zdarzenie „wyciągnięto za pierwszym i drugim, i trzecim razem kulę białą". Zdarzenia te uznajemy za zdarzenia elementarne. Korzystając z drzewa przedstawionego na rys. 5.2 skonstruujemy model probabilistyczny rozważanego doświadczenia. Jest nim para (i2, P), gdzie: Q = {c, (b, c), (b, b, c), (b, b, b)}, P({c})

= j

= 0,4,

^ > 0 } ) ' = } • } = 0,24, P ( { ( M , ' ) } ) = } • } • } = 0,144, = j-}/T

=

0 216

'

-

skład kul w urnie: 2 czarne i 3 białe

$

wynik pierwszego losowania skład kul w urnie: 2czarne " i 3 białe

wynik drugiego losowania skład kul w urnie: 2 czarne i 3 białe

c -—

b

94 4

— wynik trzeciego losowania Rys. 5.2

gf Zmienną losową X i jej rozkład określają następujące tabele: co,.

c

x{

1

(b, c) 0b, b, c) (b, b, b) 2

3

3

x

i

1

2

.3

Pi

0,4

0,24

0,144+0,216 = 0,36

W myśl wzorów (11) i (15) otrzymujemy odpowiednio: f

EX = 1 • 0,4+2 • 0,24+3 • 0,36 = 1,96,

|

D*X = l 2 • 0.4+2 2 -'0,24+3 2 • 0,36- (1,96)2 = 0,7584. •

fc Liczbę EX = 1,96 interpretujemy następująco: jeżeli rozważane doświadczenie będziemy powtarzali wielokrotnie i notowali za każdym razem liczbę losowań, to średni wynik tej wielokrotnej realizacji tego doświadczenia (obliczony według wzoru (10)) powinien być bliski liczby 1,96. Tak np. gdy liczba powtórzeń wynosi 1000 spodziewamy się wykonania około 1960 losowań. Przykład 5.10. Niech para (Q, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Określmy na zbiorze Q dwie zmienne losowe X i Y o rozkładach:

Pi

Xl

x2

X

Pi

P2

pm

m -

yt = X ?

x

Pi

Pl

gdzie: *Ł > *2 . . . > * m '> 0, pv p2i .. .,pme IT *

\

X22

2 Xm

P2

Pm

px+p2+ ... +pm = 1,

,

Załóżmyi że k jest taką liczbą naturalną, że dla każdego i e{ 1,2, . . . , k) ^amy X{ > a i dla każdego ie{k-\-1, k+2r . .., ni] mamy x. < a, Sdzie u jest liczbą dodatnią.

Obliczymy wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y i prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że zmienna losowa X przyj, muje wartości nie mniejsze niż a. W myśl wzoru (11) (s. 87) mamy: EY = xlPl+xip2+

...

+xlpm.

Ponieważ A = {co: co e £2 i X (co) e {xlf x2i ..., = {co:coeQ U . . . U

i

=

X(co) = xx} kj {co: co e D

{co : co

G

Q

i

i

^l(co) =

*

2

} U

X(co) = xk}9

więc P(A) = P({co: co e Q i X(co) = ^})+P({co: co e Q i Z(co) = *2})+ + . . . +P({co: co E Q i X(co) = xk}) = = Pi+P*+ .••'+/>*. Zauważmy jeszcze, że EY = x\pl+x\pi+

... +xlpm > xfp1+xlp2+

...

+x\pk,

a stąd

Ą +

±EY > Pl • • • + 4 Pk> Pi+P*+ •••+Pk = P(A) a* a* a6 (ponieważ k < m i dla każdego ie{ 1, 2, . . . , k) mamy x{ > a9 a więc także — a > lY '

Wykazaliśmy zatem prawdziwość nierówności (*)

jr-EY>P(A).

Dla podkreślenia zależności liczb EY i P(A) od rozkładu zmiennej losowej X używa się oznaczeń: EY = EX2 i P(A) = P(X > a). Wówczas nierówność (*) przyjmie postać (**)

EX*> P(X>

a).

Nierówność (**) nosi nazwę nierówności Czebyszewa. Nazwa nierówności pochodzi od matematyka rosyjskiego P.L. Czeby* szewa (1821—1894). Z nierówności tej korzysta się m.in. przy dowodzi prawa wielkich liczb Bernoulliego. 96'

ZADANIA 5.6. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X rozkładzie określonym tabelą:

0

Pi

b)

Pi

-3

-2

3

5

0,3

0,2

0,2

0,3

-9

-8

-7

-6

0

0,1

0,1

0,1

0,1

0,4

1

2

3

4

0,05 0,05 0,05 0,05

5.7, W urnie znajdują się kule, na których napisane są odpowiednio liczby: —1, 2, 5, 6. Wyciągamy w sposób losowy kulę, zapisujemy liczbę na niej napisaną i kulę ponownie kładziemy do urny. Doświadczenie to powtarzamy wielokrotnie. Jakiego wyniku średniego należy spodziewać się? Co można przypuszczać o stopniu rozproszenia tych wyników wokół tego wyniku średniego ? Należy porównać wyniki teoretyczne z obliczonymi na podstawie poniższych danych uzyskanych jako rezultat 100-krotnego powtórzenia tego doświadczenia: Wylosowana liczba Liczba powtórzeń: w serii a

-1

2

5

6

Razem

28

26

24

22

100

w serii b

30

20

20

30

100

w serii c

27

23

24

26

100

5-8. Rzucamy trzema monetami symetrycznymi. Jeżeli: a) na wszystkich Gonetach wypadną orły, to wygrywamy 40 zł, b) na wszystkich monetach Wypadną reszki, to wygrywamy 120 zł, c) wypadną dokładnie dwa orły, to przegrywamy 40 zł, d) wypadną dokładnie dwie reszki przegrywamy ^ 2ł. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję wygranej gracza biorącego U( feiał w tej grze. 5.9. W urnie jest tyle samo kul białych co czerwonych. Losujemy z urny le jno cztery kule, zwracając każdą z wylosowanych kul do urny przed Mat

*matyka - 7

97

losowaniem następnej. Liczbie wylosowanych kul białych przyporządkowujemy: a) tę liczbę, b) jej kwadrat. Podać wartość oczekiwaną i wariancję tak określonej zmiennej losowej. 5.10. W urnie jest 6 kul w tym jedna biała, a pozostałe czarne. Losujemy po jednej kuli bez zwracania tak długo, aż wylosujemy kulę białą. Zmienną losową jest liczba wylosowanych kul. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej. *5.11. Kolejne wierzchołki sześciokąta foremnego o boku długości 1 ponumerowano liczbami: 1, 2, 3, 4, 5, 6. W urnie znajduje się 6 kul 0 numerach: 1, 2, 3, 4, 5, 6. a) Z urny losujemy 2 kule naraz i ich numery traktujemy jako numery dwu wylosowanych wierzchołków sześciokąta. Zmienna losowa jest długością odcinka wyznaczonego przez te wierzchołki. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej. b) Z urny losujemy 3 kule naraz i ich numery traktujemy jako numery trzech wylosowanych wierzchołków sześciokąta. Zmienna losowa jest polem trójkąta wyznaczonego przez te wierzchołki. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej. *5.12. Mamy 4 urny typu A i 8 urn typu B. W każdej urnie typu A znajduje się 6 kul białych i 4 czarne., zaś w każdej urnie typu B znajduje się 7 kul czarnych i 3 białe. Losujemy ze zwracaniem 4 razy urnę, a z niej również ze zwracaniem kulę. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję liczby wylosowanych kul białych. 5.13. Na egzaminie z matematyki można było uzyskać co najwyżej 89 punktów. Egzamin ten zdawały 64 osoby uzyskując następujące liczby punktów: 7, 12, 15, 18, 20, 21, 23, 26, 29, 31, 32, 32, 34, 36, 37, 37, 38, 39, 39, 40, 41, 41, 42, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 49, 50, 50/ 51, 53, 53, 54, 54, 54, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 59, 60, 63, 64, 64, 66, 67, 69, 69, 71, 74, 75, 79, 87. a) Pogrupować wyniki w klasy o odstępie (rozpiętości) 10 punktów: 0—9, 10—19, 20—29, 30—39, 40—49, 50—59, 60—69, 70—79, 80—89 1 sporządzić histogram wyników egzaminu. b) Obliczyć średni wynik egzaminu x oraz wielkość rozrzutu s2 tych wyników względem średniego wyniku x. 98'

5.14. W magazynie znajdują się detale o różnych masach (w gramach). W celu oszacowania średniej masy jednego detalu pobrano losowo 50 sztuk otrzymując następujące dane: Masa jednego detalu (w gramach) Liczba sztuk

32

34

35

38

40

42

43

35

46

48

49

50

6

7

4

2

8

1

5

2

3

2

4

6

a) Pogrupować wyniki w klasy o odstępie 4 gramów: 30—33, 34—37, 38—41, 42—45, 46—49, 50—53 i sporządzić histogram wyników losowania. b) Obliczyć średnią masę x jednego detalu w pobranej próbie oraz wielkość rozrzutu s2 tych wyników względem średniego wyniku jc. 5.15. Komisja lekarska badająca mężczyzn powołanych do odbycia służby wojskowej uzyskała następujące dane dotyczące wzrostu (w cm) 35 poborowych: 183, 171, 182, 183, 183, 179, 175, 172, 180, 173, 180, 184, 172, 176, 185, 176, 180, 186, 168, 180, 178, 179, 174, 179 182, 177, 180, 176, 186, 181, 185, 177, 176, 179, 187. a) Pogrupować dane w klasy o odstępie 5 cm: 165—169, 170—174, 175—179, 180—184, 185—189 i sporządzić histogram uzyskanych dai ' nych. b) Obliczyć średni wzrost x badanych poborowych oraz wielkość rozrzutu s2 tych wyników względem średniego wyniku x. 5.16. Wykonano 100 rzutów kostką do gry i uzyskano następujące liczby oczek: 4, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 5, 4, 3, 3, 5, 2, 5, 1, 3, 1, 5, 6, 2, 1, 6, 3, 1, 3, 3, 5, 3, 6, 5, 1, 4, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 5, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 4, 1, 5, 3, 1, 4, 2, 3, 6, 3, 2, 6, 4, 1, 2, 6, 2, 3, 5, 2, 1, 4, 5, 3, 5, 4, 6, 5, 5, 6, 6, 4, 6, 4, 4, 5, 3, 5, 5, 6, 6, 2, 2, 2, 1, 2, 6, 4, 5, 3. a) Sporządzić histogram uzyskanych wyników. b) Pogrupować wyniki w klasy o odstępie 2 : 1—2, 3—4, 5—6 1 sporządzić histogram uzyskanych wyników. c) Pogrupować wyniki w klasy o odstępie 3 : 1—3, 4—6 i sporządzić ^ histogram uzyskanych wyników. d) Obliczyć średnią liczbę wyrzuconych oczek x oraz wielkość roz*^tu s? tych wyników względem średniego wyniku x.

5.17. Sklep otrzymał partię 1000 puszek farby. Masy ich były następujące: Masa puszki Liczba puszek

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

50

440

290

200

20

Sklep sprzedaje puszki w tej samej cenie, tak jakby wszystkie ważyły tyle samo. Jak ustalić masę nominalną jednej puszki, aby sklep był sprawiedliwy w stosunku do siebie i klientów, tzn. aby nie stracił ani nie zyskał po sprzedaniu całej partii towaru ? *5.18. Fabryka konserw wyprodukowała dwie partie konserw z tego samego surowca, z których każda liczy 1000 sztuk i ma tę samą cenę. Po zważeniu każdej puszki wyniki pomiarów partii konserw X i Y przedstawione są w tabelach: a) Partia X Masa puszki

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

Liczba puszek

100

240

360

200

70

20

10

1

1,1

1,2

1,3

1,4

50

30

10

1,1 -

1,2

1,3

280

90

10

Partia Y Masa puszki

0,8

0,9

Liczba puszek

110

220

370

210

Masa puszki

0,7

0,8

0,9

1

Liczba puszek

30

20

360

210

b) Partia X

100'

•

partia Y Masa puszki

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

Liczba puszek

100

100

210

180

150

220

40

Wszystkie konserwy sprzedaje się w tej samej cenie, tak jakby każda z nich ważyła tyle samo. Którą partię konserw uznać za lepszą, z uwagi na możliwość reklamacji puszki zakupionej przez klienta? #

5.19. Dwaj obserwatorzy A i B liczą w polu widzenia mikroskopu liczbę kolonii bakteryjnych tego samego preparatu. Każdy z nich liczy czterokrotnie. Wyniki liczeń są następujące: Obserwator

Obserwator A

49

52

51

48

B

46

58

42

54

Który z obserwatorów liczy dokładniej ? *5.20. Dwaj sprzedawcy A i B sprzedają jajka na sztuki w tej samej cenie, choć jajka nie są tej samej wielkości. Jakość towaru u obu sprzedawców charakteryzuje poniższa tabela Masa jajka

60 g

65 g

70 g

75 g

80 g

Liczba jajek u sprzedawcy A

70

' 60

200

140

30

Liczba jajek sprzedawcy B

80

60

200

100

60

u

U którego ze sprzedawców należy zakupić jajka, jeżeli potrzebujemy jajko o masie 70 g?.

Rozdział

//

ZASTOSOWANIE RACHUNKU POCHODNYCH

§ 6. P o c h o d n a funkcji złożonej 6.1. Pojęcie funkcji złożonej Z funkcjami złożonymi spotykaliśmy się już niejednokrotnie. Obecnie przypomnimy to pojęcie, gdyż będziemy obliczać pochodne takich funkcji. Definicja 6.1. Jeżeli dane są dwie funkcje: / : X Y to złożeniem funkcji f z funkcją g nazywamy funkcję h: X wzorem h(x) =g(f(x)) dla każdego xeX.

i g: Y Z określoną

Złożenie funkcji / z funkcją g oznaczamy symbolem gof. Zatem (gof)(x) = g(f(x))

dla każdego

xeX.

Funkcję / nazywamy funkcją wewnętrzną funkcji gof natomiast funkcję g nazywamy funkcją zewnętrzną funkcji gof Podkreślamy, że funkcja gof (a więc złożenie funkcji / : Y z funkcją g: Y -> Z) jest określona wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji/ zawiera się w dziedzinie funkcji g. Zatem, gdy zbiór wartości funkcji / nie jest podzbiorem dziedziny funkcji g, to nie m o ż n a złożyć funkcji / z funkcją g. Złożenie funkcji/ z funkcją £ ilustruje rys. 6.1. W tym rozdziale będziemy się zajmowali takimi funkcjami, których dziedzina i zbiór wartości są podzbiorami zbioru wszystkich liczb rzeczy102'

wistych R. Przypominamy, że jeśli podajemy wzór określający funkcję / nie wskazując jednocześnie wyraźnie jej dziedziny, to za dziedzinę tej funkcji przyjmujemy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których wyrażenie f(x) ma sens liczbowy. Dziedzinę funkcji / będziemy oznaczali symbolem Df1 a zbiór jej wartości symbolem f(Df). Argument funkcji / oznaczać będziemy zazwyczaj przez x, ale możemy także użyć każdej innej litery: t, u, v itp. Tak np. jeżeli dana jest funkcja/: R - > R określona wzorem f(x) = 2x+l, to wzór określający tę funkcję możemy również zapisać w postaci :f(t) = 2ż+l, f(u) = 2w+l, /(*>) = 2v+l itd. r

Przykład 6.1. Mając dane funkcje f i g: a) /: R-+R,

f{x) = 2x+l

i

g: R->R,

g(x) = *2;

b) /: R^R,

f(x) = x*-l

i

g: R-+R,

g(x) = 2*;

i

g: R+->R,

g(x) = log*

c

) /:

2

2

f{x) = x + l

badamy czy istnieje złożenie funkcji / z funkcją g lub złożenie funkcji $ z funkcją / oraz znajdziemy wzory określające odpowiednie złożenia. a) Dziedziną funkcji/jest zbiór J? i dziedziną funkcji g jest zbiór R. Zatem Df=Dg = R. Zbiorem wartości funkcji / j e s t zbiór R, natomiast Piórem wartości funkcji £ jest zbiór R+ U {0}, czyli/(Z),) = R\g{Dg) =

= R+ U {0}. Wobec tego f(Df)