Matematiniai galvosūkiai: knyga mokiniams [PDF]

Zitiervorschau

J £ { 22.1 B a 3 11

Recenzavo fizikos ir matematikos m o k s l ų kandi­ datas Petras Vaškas ir Vilniaus 40-osios vidurinės mokyklos mokytojas Vladas Vitkus

Iliustravo Norbertas Zovė

Baltrūnas A. Ba311 Matematiniai galvosūkiai: Knyga mo­ kiniams / [Pratarmė, p. 3, aut.].— K.: Šviesa, 1989.— 191 p.: iliustr. Bibliogr.: išnašose.

ISBN 5—430— 00419— 7 Knygoje, skirtoje V — IX klasių mokiniams, autorius pateikia originalių galvosūkių, sąm ojo u ž­ davinių, lavinančių vaikų nuovoką ir loginį m ą s­ tymą. K nygos gale duoti detalūs sprendimai ir atsakymai.

„ 4306020500-082M_ g p M 853(10)—89

ISB N 5— 430— 00419— 7

BBK 22.1. 51

(g) „Šviesos" leidykla,

1989

Turinys Pratarmė

..........................................................................

4

I. BOKITE NUOVOKOS!

Galvosūkiai Sprendimai

6 88

II. BE LO G IK O S— NE ŽINGSNIO!

Galvosūkiai Sprendimai

16 100

III. DETEKTYVO MĖGĖJAMS

Galvosūkiai Sprendimai

32 115

IV. AR VISUOMET BŪTINA LYGTIS?

Galvosūkiai Sprendimai

43 119

V. PER ANGUSTA AD AUGUSTA

Galvosūkiai Sprendimai

55 136

VI. AR MEGSTATE GEOMETRIJĄ?

Galvosūkiai Sprendimai

65 161

VII. UŽSLĖPTA ARITMETIKA

Galvosūkiai Sprendimai

....72 172

VIII. MATEMATINES PRAMOGOS

Galvosūkiai Sprendimai

79 184

Pratarmė M atem atiko darbas — tarsi kopimas į aukštą kal­ ną. K a d ir kaip tikėtum sa vo jėgom is, be specia­ laus pasirengim o sunku pasiekti jo viršūnę. No­ ras bent kiek padėti jauniesiem s m atem atikam s kopti į ją — tokia šios knygos atsiradim o p a ­ skata. Joje pateikiam i galvosūkiai. Kodėl? P a ­ sla p tis paprasta — galvosūkiam s, šiem s iš liau­ dies taip m ėgstam ų mįslių ir minklių kilusiems uždaviniam s, išspręsti užtenka minimalių m ate­ m atikos žinių. Tai nieko nuostabaus — k n y g a skiriam a V— IX klasių mokiniams. Tačiau tikiuosi, kad ją a t­ sivers ir vyresni moksleiviai, ir tie, kuriems mo­ kyklinės dienos liko kaip brhngus prisiminimas. K n yg a su daryta iš dviejų dalių: pirmoje pateikti galvosūkiai, antroje — jų sprendimai. Neskubėki­ te a tsiv e rsti antrąją dalį. Ji g a li likti ir neper­ sk a ity ta t O tiems, kurie neatsispirs pagundai ir pasižiūrės į sprendim us, siūlyčiau, pasukti g a lvą ir p a m ėgin ti rasti naują sprendimą. Jei šios kny­ g os skaitytojas patirs bent vieną malonią akimir­ ką, autorius jausis laimingas, kad jo triūsas nenu­ ėjo perniek. Esu dėkingas recenzentams ir prie LTSR liau­ dies švietim o ministerijos veikiančios Mokslinės metodinės tarybos m atem atikos mokymo komisi­ jai už vertingas pastabas.

Colvosūkioi

6

Galvosūkiai

I. Būkite nuovokūs! „Tėveli, kaip tu tapai įžymus?** — kartą A. Einšteiną paklausė jo sūnus. Didysis fizikas atsakė: „Kai vabalas šliaužia žeme, jis nejaučia, kad Žemė apvali. O man pasisekė tai pajusti**. Sis istorinis anekdotas geriausiai gali nusakyti mokslinių ieškojimų, iš dalies ir matematinių, e s­ mę. Mokslinė kūryba yra susijusi su naujo, dar nežinomo atradimu. Taip jau būna, kad, norint padaryti atradimą, į nagrinėjamą dalyką reikia pažiūrėti tarsi iš kitos pusės, įžvelgti jame nau­ jas savybes, kurių dar niekas nepastebėjo. Taigi būtina nugalėti mąstymo šabloniškumą, nepasi­ kliauti vien sveiku protu. Tiesa, dažnai mūsų pa­ tirtis, dar vadinama sveikuoju protu, padeda kuo geriau ir mažesnėmis pastangomis orientuotis kasdienybėje. Tačiau nusistovėjusios pažiūros trukdo atrasti ką nors nauja. Juk nauja neiš­ vengiamai pajudina susigulėjusius gyvenimo pa­ tirties klodus, verčia perkainoti vertybes. Norint nugalėti sustabarėjusį mąstymą, ypač svarbu išsiugdyti nuovokumą. Jo prireiks ir sprendžiant šiuos galvosūkius. 1. Dviejų monetų vertė 8 kapeikos. Viena iš jų — ne trikapeikis. Kokios tai rnęnetos? 2. Vilniuje šiandien dvyliktą valandą nakties

Bukite nuovokūsi

7

lyja. Ar galima tikėtis, kad čia po 72 h bus sau­ lėta? # 3. Vienas kiaušinis išv™da per 5 min. Per kiek laiko išvirs 6 kiaušiniai? 4. Vaikų mėgstamų knygų „Alisa stebuklų šalyje“ ir „Alisa Veidrodžio karalystėje11 autorius Luisas Kerolas buvo Oksfordo universiteto mate­ matikos profesorius Carlsas Latvidžas Dodžsonas (1832— 1898). Jis sukūrė tokį galvosūkį: „Urnoje yra du skirtingų spalvų rutuliai, apie kuriuos ži­ nome tik tiek, kad kiekvienas jų yra arba baltas, arba juodas. Kaip nustatyti jų spalvą, neišimant iš urnos?44 5. Medyje tupėjo 8 varnos. Atėjo medžiotojas ir dvi iš jų nušovė. Kiek varnų liko medyje? 6. Pučia stiprus šiaurės vakarų vėjas. Dyze­ linis lokomotyvas traukia sąstatą iš pietų į šiau­ rę. Kokia kryptimi rūksta , dūmai iš lokomotyvo kamino? 7. Kokį daiktą išmetame, kai jis būna reika­ lingas, ir paimame, kai pasidaro nereikalingas? 8^ Antanas atsigulė miegoti 19 valandą, užsu­ kęs žadintuvą taip, kad pažadintų 8 valandą ryto. Kiek laiko miegojo Antanas, jei žinoma, kad at­ sigulęs jis iš karto užsnūdo? 9. Iš Vilniaus į Kauną 80 km/h greičiu išva­ žiuoja keleivinis traukinys. Tuo pačiu metu iš Kauno į Vilnių 40 km/h greičiu išvažiuoja pre­ kinis traukinys. Po kažkiek laiko jie susitiko. Ku­ ris jų tuo metu buvo toliau nuo Vilniaus? ^ 10. Vienoje pasakoje sakoma: „Stebuklinga vištelė kas antrą dieną deda paprastą kiaušinį, o kas trečią — auksinį44. Ar taip gali būti net ir pa­ sakoje?

8

Galvosūkiai

11. — Kiek čia nubrėžta apskritimų? — rody­ damas lapelį, p a k la u ^ mokytojas mokinį. — Septyni,— a tsa lę tasai. — O dabar tu suskaičiuok, kiek čia yra ap­ skritimų,— mokytojas kreipėsi į kitą mokinį, ro­ dydamas tą patį lapelį. — Dešimt,— atsakė mokinys. — Jūs abu teisūs,— tarė mokytojas. Ar taip gali būti? 12. Krepšyje yra 6 obuoliai. Kaip juos pada­ lyti 6 mergaitėms, kad kiekviena gautų po obuo­ lį ir vienas obuolys liktų krepšyje? 13. Pirklys nusipirko arklį už 60 dolerių, o pardavė jį už 70 dolerių. Po kiek laiko jis nusi­ pirko tą patį arklį už 80 dolerių, bet tuojau par­ davė už 90 dolerių. Pamėginkite greit mintinai suskaičiuoti pirklio gautą pelną po visų šių pre­ kybinių operacijų? 14. Kodėl negalima Plungėje palaidoti žmo­ gaus, kuris gyvena Kelmėje? 15. Kuris mėnuo turi 28 dienas? 16. Jaunasis fizikas pasakoja savo draugams: „Vakar aš, išjungęs šviesą, suspėjau nueiti iki lovos ir atsigulti, kol kambario dar neapgaubė tamsa. Nuo jungiklio iki mano lovos yra ne toks jau mažas atstum as— daugiau kaip 3 m“. Kaip jis sugebėjo tai padaryti? 17. Trys vištos per tris dienas padėjo tris kiaušinius. Kiek kiaušinių per dvylika dienų su­ dės dvylika vištų? 18. Koks skaičius dalijasi be liekanos iš visų skaičių, išskyrus tik vieną? 19. Ar gali trupmena, kurios skaitiklis mažes­ nis už vardiklį, būti lygi trupmenai, kurios skai­ tiklis didesnis už vardiklį?

linkite nuovokūs!

9

20. Įrenginys su tara kainuoja 21 rub. Jis brangesnis už tarę 20 rulf. Kiek kainuoja įren­ ginys? 21. Lenkų fizikas L. Infeldas (1898— 1968) au­ tobiografinėje knygoje * rašo apie uždavinį, kurį tarybinis fizikas P. Kapica pasiūlė jam ir L. Lan­ dau: „ . . . Prie šuns uodegos pririšta metalinė keptuvė. Jam bėgant, keptuvė atsimuša į grindinį ir barška. Kokiu greičiu turi bėgti šuo, kad ne­ girdėtų keptuvės barškėjimo? Mes su L. Landau ilgai mąstėme. Pagaliau P. Kapica mūsų pasi­ gailėjo ir pateikė atsakymą,— savaime supranta­ ma, labai šm aik štų .. Koks P. Kapicos atsakymas? 22. Mokinys klausia mokytoją: „Ar galima bausti už tai, ko žmogus nepadarė?44 Mokytojas atsako, kad negalima. Tada mokinys prašo jo n e­ bausti, mat neparengęs pamokų. Ar jis teisus? 23. Du žmonės atėjo prie upės. Ant jos kran­ to buvo tik viena valtis, kuria gali plaukti tik vienas žmogus. Abu keliautojai be kitų pagalbos persikėlė per upę ir toliau nukeliavo. Kaip jie tai padarė? 24. Du tėvai ir du sūnūs pusryčiams išsivirė ir suvalgė 3 kiaušinius. Visi suvalgė po lygiai. Kiek kiaušinių teko kiekvienam? ,. O b e l i u s skynė trijų kartų vyrai: 2 sene­ liai, 4 tėvai ir 6 sūnūs. Seneliai priskynė 15 kg, tėvai 35 kg, s ū n ū s — 100 kg obuolių. Kiek iš viso buvo priskinta obuolių? 26. Susitiko du seniai nesimatę draugai. Vienas prisiminė: „Tais metais, kada tu, Petrai, gi* Infeld

L.

Szkice z Przesziosci.— W arszawa. 1964.

10

Galvosūkiai

• 1 paVl

mei (pažymime juos x ) t man jau buvol/ x —43 metų“. Kada gimė Pet­ ras? 27. Jonukas pasakoja savo draugams: „Vakar mano tėtį už­ klupo liūtis. Kadangi jis buvo be skrybėlės, neturėjo skėčio ir negalėjo pasislėpti nuo lietaus, namo sugrįžo permirkęs. Tačiau nė vienas plaukas ant jo

galvos net nesušlapo“. Kaip tai galėjo atsitikti? 28. Į aukštą 5 cm skersmens indą įkrito 4 cm skersmens guminis sviedinukas. Kaip jį išimti neapvertus indo? 29. Berniukas pasakoja svečiui: „Užvakar man buvo 11 metų, o kitąmet man sukaks 14 metų“. Ar taip gali būti? 30. Jūs matote pliuso ženklą (1 pav.). Per­ kelkite vieną degtuką taip, kad gautute kvadratą. 31. Sala — žemės gabalas, iš visų pusių ap­ suptas vandens. Ežeras yra vandens plotas, kurį iš visų pusių riboja sausuma. Ar galima įsivaiz­ duoti tokią salą, kuri vienu metu būtų ir sala, ir žemė, supanti ežerą (tą pat], kurio sala ji yra)? 32. O štai dar pora L. Kerolo galvosūkių: a) Karalius, matydamas, kad jo karalystė diena iš dienos nyksta, nusprendė atsikratyti sa­ vo rūmų išminčiais, mėgusiais skaniai pavalgyti ir nieko nedirbti. Tačiau, ką daryti jei pagal se­ ną įstatymą rūmuose turi būti septyni akli abiem

Būkite nuovokūs!

11

akimis, du akli viena akimi, penki matantys abiem akimis ir devyni matantys viena akimi išminčiai. Kiek išminčių karalius turi palikti rumuose? b) 2 kg sveriančią lazdą pada­ lijo į 7 lygias dalis ir perpjovė pjuklu. Kiek svers viena dalis? 33. a) Raskite visų natūrinių skaičių nuo 1 iki 16 sandaugos tris paskutinius skaitmenis. b) Pasakykite visų nelyginių pirminių skaičių, mažesnių už 100, i pav. sandaugos paskutinį skaitmenį. 34. Vėžlys šliaužia prie jūros. Per dieną jis pasislenka 600 m į priekį, tačiau naktį, išsigan ­ dęs tamsos, grįžta 400 m atgal. Per kiek dienų jis pasieks jūrą, jei iki jos iš pradžių buvo 1 km 220 m? 35. Restorano lankytojas užsisakė sriubos. Besiruošdamas valgyti, lėkštėje pastebėjo plū­ duriuojančią musę. Pakviestas kelneris atsiprašė, nunešė lėkštę į virtuvę ir, greit grįžęs, patiekė sriubos lėkštę. — Kaip jums negėda,— vos paragavęs, sušuko lankytojas,— jūs man atnešėte tą pačią sriubą. Kaip jis suprato kelnerio apgaulę? 36. Kioskininkas gavo kelis pakelius po 100 vokų. Greit atėjo du pirkėjai. Pirmasis jų norėjo įsigyti 70, o antrasis — 90 vokų. Per kiek laiko kioskininkas greičiausiai gali aptarnauti šiuodu pirkėjus, jei žinoma, kad jis per 10 s atskaičiuoja 10 vokų (tarkime, kad pinigams paimti ir grąžai atiduoti nesugaištama laiko)?

12

G alv o sū k ia i

37. Įsivaizduokite, kad jūsų kišenėje yra d e g ­ tukų dėžutė, o joje — tik vienas degtukas. Naktį įeinate į patalpą, kurtoje yra žvakė, žibalinė lem ­ pa ir dujinė viryklė. Ką pirmiausia uždegsite? 38. Tikriausiai atpažįstate triušį 2 paveiksle. Pagalvokite, kaip reikia pakeisti šį paveikslą, kad jis vaizduotų ančiuką. 39. Du L. Kerolo galvosūkiai: a) Kuris laikrodis geresnis: ar tas, kuris ro­ do tikslų laiką vieną kartą per metus, ar tas, ku­ ris rodo tikslų laiką dukart per parą? b) Kas geriau: stovintis ar kas parą vėluojan­ tis vieną minutę laikrodis? 40. Vokiečių filosofas I. Kantas (1724— 1804) garsėjo punktualumu. Jam išėjus pasivaikščioti, Karaliaučiaus (dabar Kaliningradas) gyventojai tikslindavo savo laikrodžius. Bet kartą I. Kanto tarnas užmiršo prisukti sieninį laikrodį, ir jis su ­ stojo. Lyg tyčia kišeninis laikrodis buvo atiduotas taisyti. Ką daryti? Tačiau ne veltui I. Kantas sa­ vo karjerą universitete pradėjo matematikos pro­ fesoriumi. Štai ką jis sugalvojo: užvedė sustojusį laikrodį ir nuėjo pas pažįstamą Smitą, gyvenantį apie 1 km nuo filosofo namų. Įeidamas pažvelgė \ prieškambaryje kabantį laikrodį. Išeidamas iš * Smito namų, vėl pažvelgė į, laikrodį. Grįžo tuo pačiu keliu įprasta oria eisena. Namuose I. Kan­ tas iškart tiksliai nustatė savo laikrodį. Kaip jis s u ž i n o j o tikslų laiką? 41. P a m o t ė Ž ie ž u la ta r ė J o n u k u i: „R ytoj a š p a s i r i n k s i u t r i s s k a i t m e n i s a, b, c, tu n u r o d y s i m a n t r i s s k a i č i u s x, y, z. T u o m e t a š p a s a k y s i u , k a m y r a l y g u s ax + by + cz, ir t u t u r ė s i a t s p ė t i s k a i t m e n i s a, b, c. J e i n e a t s p ė s i , n u l ė k s t a v o g a l -

Būkite nuovokūs!

13

3 pav.

va nuo pečių“. Padėkite Jonukui atspėti šiuos skaitmenis. 42. Gimnastų komandos marškinėliai sunum e­ ruoti taip: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9. Kaip padalyti g im ­ nastus į dvi grupes, kad, juos išrikiavus, abiejų grupių numerių suma būtų ta patf? v., i?* ^ u . dviratininkai kryžkelėje (3 pav.) g in ­ čijasi, kurį kelią pasirinkti. Vienas siūlo važiuoti į šiaurę, kitas — į pietus. Ginčui įsiliepsnojus, pir­ masis taria: „Tu daryk kaip nori, o aš važiuoju į šiaurę . Antrasis sėda ant dviračio ir taip pat važiuoja į šiaurę. Kodėl jis taip daro? +• ^ n^ s t a lo guli 9 monetos. Ką reikia dary­ ti, kad iš čia paėmę 4 monetas ir pridėję 3 m o­ netas, turėtume 7 monetų krūvelę?

14

Galvosūkiai

45. D augelis tikriausiai prisimena 2. Verno ro­ mane „Aplink pasaulį per 80 dienų14 aprašytą netikė­ čiausią situaciją: kelionėje išbuvę 80 parų, keliautojai grįžta į gimtinę po 79 pa­ rų. Kodėl taip atsitiko? gk 46. Vienas pokštininkas į perskaitęs 2. Verno „Ap­ link pasaulį per 80 dienų44, pasiūlė tokią „laiko m a­ šin ą 44: netoli šiaurės arba pietų ašigalio eikite lygia­ grete į rytus; kiekvieną­ kart sugrįžę į pradinę vie­ tą, rasite vakarykščią die­ ną. Taip apėję Žemę daug kartų, galite atsidurti to­ limoje praeityje. Ar įma­ 4 pav. noma tokia „laiko m aši­ na44? 47. Vienas architektas pasiūlė statyti kvadrati­ nį namą, kurio visų sienų langai žvelgtų į pie­ tus. Ar jūs norėtumėte gyventi tokiame name? 48. 2m ogus nuėjo dienovidiniu 10 km į pietus, po to lygiagrete 10 km į rytus, pasisuko ir paėjėjo dienovidiniu 10 km į šiaurę, ir atsidūrė pradinėje vietoje. Ar tai įmanoma? 49. Vienas medžiotojas papasakojo tokią isto­ riją: „Išėjęs medžioti, už 100 m į pietus nuo sa ­ vęs pastebėjau lokį. Nenorėdamas atkreipti būsi­ mo laimikio dėmesį, iš pradžių nuėjau 100 m į vakarus, po to pasisukau veidu į šiaurę ir nusi­ taikęs nušoviau lokį. Kaip jūs manote, kokios spal­

Būkite nuovokūs!

15

vos lokio kailį parsivežiau?1* Ką jūs atsakytumė­ te medžiotojui? 50. Saulėtą dieną kiekvienas daiktas meta š e ­ šėlį. Vidurdienį šešėlis yra trumpiausias, vakarė­ jant ilgėja. Ar yra Žemėje vieta, kur šešėlio ilgis tarp 10 valandos ir 17 valandos niekuomet nesi­ keičia? 51. Per palubėje pritvirtintą skridinį permes­ tas lynas. Viename lyno krašte kabo beždžionė, ki­ tame — beždžionės masę atitinkantis krovinys (4 pav.). Beždžionė pradėjo lipti lynu į viršų. Kas bus su kroviniu?

16

Galvosūkiai

II. Be logikos — nė žingsnio! Būdama glaudžiai susijusi su gamtos moks­ lais, matematika daug kuo nuo jų skiriasi. Ji n a g ­ rinėja tokius objektus, kurių realiame pasaulyje nėra. Paimkime kad ir tiesę. Matematikai ją su­ pranta kaip begalinę, absoliučiai tiesią, neturin­ čią pločio liniją. Tačiau gyvenime tokios tiesės nėra. Tobulėjant matematikai, atsirasdavo vis daugiau tokių jos objektų — tai grupės, me­ namieji skaičiai, integralai ir dar daug daug kas. Matematika yra tarsi realaus pasaulio atvaiz­ das mūsų proto veidrodyje. Todėl susidaro įspū­ dis, lyg ji pati kuria savo nagrinėjamą dalyką, kuris dar vadinamas matematiniu pasauliu. Todėl daug kas, stovėdamas šio nuostabaus rūmo — matematikos — tarpduryje, gali savęs paklausti: ar visa tai, ką čia matau, teisinga? Gal matema­ tika yra mokslas tik pats sau, gal ji pasuko klyst­ keliais ir yra bevaisė? Juk matematinių rezultatų negalima patikrinti nei čiupinėjant, nei uostant, nei kramtant. Nuo šių pavojų matematiką saugo logika. To­ dėl matematikai yra sukūrę savotišką rezultatų nustatymo metodą, vadinamą „matematiniu4*, „griežtai loginiu44 ir pan. O logiškai mąstyti pri­ valo kiekvienas žmogus. Kad ne visi taip mąsto pavyzdžiais parodė olandų matematikas H. Froidentalis. Kartą Šveicarijos laikraštyje jis aptiko

B p logikos — i v žingsnio!

17

tokį skelbimą: „Ieškau žmogaus, galinčio vietoj manęs kasdien iš ryto pasivaikščioti pagal gydy­ tojo nurodymą14. Žinoma, toks skelbimas galėjo būti pokštininko išdaiga. Tačiau štai šis nugirstas pokalbis nepanašus į išdaigą: „Iš pradžių man pasirodė, kad tai jūsų brolis. Kada jūs priartėjo­ te, man dingtelėjo mintis, kad tai jūs pats. O dabar pamačiau, kad jūs ir esate jūsų brolis“. Arba: „Kodėl šuo vizgina uodegą?4* Atsakymas: „Šuo yra labai sunkus, todėl uodega negali viz­ ginti šunimi“. Matematikas visuomet turi mokėti sudėlioti mintis į darnią, logiškai nepriekaištingą grandi­ nę. O jūs ar tai sugebate? Pasitikrinkite, spręs­ dami šiuos galvosūkius. 52.

Ginčijasi trys draugai Gan piktokai ir ilgai! Pirmas: — Susiraskim guminius batusl Lis rytoj smarkus lietus! Antras:

— Ką jūs! Tai tikra apgaulė! Bus rytoj giedra ir saulei Trečias:

— Pasakyti lieka, Kad rytoj sulauksim sniego! Trys draugai, linksmi vaikinai — Jonas, Vytas ir Laurynas — Ginčijasi visada. Jonas nuolatos atspėja, Vytas — niekad neatspėja, O Laurynas — kai kada. Tas, kuris kalbėjo trečias, 2

-

6486

18

G alvosūkiai

Gal už pirmą kiek teisesnis, Bet vis viena neteisus. Atsakyt prašau visus: Ką kalbėjo Jonas, Ką gi teigė Vytas, Ką draugams Laurynas sakė? Jau atsakėt? O dabar paklausti jūsų noriu: Pasakykit, Koks rytoj bus oras? 53. Geologų ekspedicijos maisto atsargos — konservai ir kitokie maisto produktai. Konservai sudarė dvi trečiąsias visų atsargų. Kontrolė nu­ statė, kad dvi trečiosios visų atsargų sugedusios. Ar galima nustatyti, kuri konservų dalis yra s u ­ gedusi? 54. Spynos (5 pav.) priekyje pavaizduotos geometrinės figūros. Dešinėje pusėje po plokšte­ le — skylė raktui. Išnagrinėję, kaip keičiasi fig ū ­ ros, pamėginkite įspėti, kokios formos išpjovą s le ­ pia plokštelė. Kokios formos yra rakto galas? 55. Buvo surašinėjami namo, kuriame g y v e ­ no tik šeimos su vaikais, gyventojai. Surašinėto­ jas buvo pokštininkas ir todėl pateikė tokią ata­ skaitą: „Name suaugusiųjų gyvena daugiau ne­ gu vaikų. Kiekvienas berniukas turi seserį. Ber­ niukų yra daugiau negu mergaičių. Bevaikių š e i­ mų nėra“. Si ataskaita buvo pripažinta neteisinga. Ko­ dėl? 56. Jonas visada sako tik tiesą. Tačiau į du­ kart iš eilės pateiktą tą patį klausimą jis davė skirtingus atsakymus. Koks klausimas buvo p a ­ teiktas Jonui?

Be logikos — nė žingsnio!

19

57. Keliautojas nuo 9 valandos ryto visą dieną plaukė prieš srovę sraunia upe. Rytojaus dieną taip pat 9 valandą ryto jis išplaukė at­ gal ta pačia upe. Abi dienas jis plaukė skirtingais greičiais, kartais net sustoda­ mas pailsėti. Grįžęs * P i ­ namo ir peržiūrėjęs kelionės užrašus, jis nustebo: „Pasirodo, kad abi dienas tuo pačiu laiku aš buvau toje pačioje vietojeM. Ar tai įmanoma? 58. Matematikas paklausė fiziko: „Štai turime tuščią arbatinuką ir neuždegtą dujinę viryklą. Kaip užvirinti vandenį?14 — Pripilti į arbatinuką vandens, uždegti du­ jas ir arbatinuką pastatyti ant viryklės,— atsakė fizikas. — Teisingai, — tarė matematikas. — O dabar išspręskite antrą uždavinį: šalia uždegtos viryk­ lės stovi pilnas vandens arbatinukas. Kaip dabar užvirinti vandenį? — Tai dar paprasčiau — tereikia pastatyti ar­ batinuką ant viryklės. — Ne! — sušuko matematikas.— R eik ia... Kokį būdą pasiūlė matematikas? 59. Imperatoriaus Karolio Didžiojo dvariškis Alkuinas (735— 804) vienintelis tais laikais Euro­ poje parašė įdomiosios matematikos uždavinių rinkinį „Uždaviniai jaunuolių protui lavinti44, ku­ riame yra toks ir dabar dar populiarus galvosū­

20

Galvosūkiai

kis: „Žmogus kėlė per upę laiveliu vilką, ožką ir kopūstą. Tačiau mažame laivelyje galėjo tilpti tik vienas žmogus ir su juo arba vilkas, arba ožka, arba kopūstas. Palikus be žmogaus vilką ir ožką. vilkas suėstų ožką; palikus ožką ir kopūstą, ožka sugraužtų kopūstą, bet žmogui matant niekas nieko nelietė. Kaip žmogus turi perkelti per upę savo krovinį?" O kaip jūs perkeltumėte? 60. Marko Tveno kūrinyje „Heklberio Fino nuotykiai" yra pateikiamas toks klausimas: „Kai penkiolika karvių ganosi ant kalnelio, kelios iš jų ėda, nukreipusios galvas į tą pačią pusę?" P a ­ mėginkite atsakyti. 61. Berniukas turi 25 įvairias varines m one­ tas. Ar tarp jų yra bent 7 vienodos vertės m one­ tos? 62. Diktantą rašė 27 mokiniai. Tik Petriukas padarė 12 klaidų, kiti — mažiau. A r yra bent trys mokiniai, kurie padarė vienodą skaičių klaidų? Tarp tokių mokinių gali būti ir tie, kurie padarė 0 klaidų. 63. Štai ką po Čipolino — Džanio Rodario pa­ sakos „Čipolino nuotykiai" herojaus — pabėgimo sinjoras Pomidoras galėjo įsakyti Citrinai: „ S iun­ čiu jums 99 kareivius. Padalykite juos į tris bū­ rius. Pirmasis būrys tegul išnaršo visą baseiną ir apklausia auksines žuveles,— įtariama, kad jos padėjo organizuoti pabėgimą. Antrasis būrys te­ gul išrausia visus kelius,— gal tai sutrukdys b ėg­ liams pasislėpti. Trečiasis būrys, tokio dydžio, kaip pirmasis ir antrasis kartu paėmus, tegul vyksta į kalnus: Morkos teigimu, nusikaltėliai yra pasislėpę tenai". Tačiau šis sinjoro Pomidoro pla­ nas jau huo sumanymo buvo pasmerktas sužlugti. Pagalvokite ir pamėginkite įspėti, kodėl.

0 c logikos 64.

nč žingsnio!

21

Katė suėda pelę per vieną minutę. Per kiek laiko katė suės 60 000 pelių? 65. Žymaus prancūzų matematiko Simono P u ­ asono (1781 — 1840) tėvai norėjo, kad jų sūnus b ū t ų gydytojas. Gal S. Puasonas ir būtų paten­ kinęs j ų norą, jei ne vienas įvykis. Vienąkart jis su draugais atsidūrė nuošaliame Bretanės kaime. Nušokę nuo žirgų pailsėti valstiečio kieme, jie paprašė parduoti pieno. Valstietis atsinešė iš rū­ sio kibirą, kuriame buvo 8 kvortos pieno, ir s u ­ tiko pusę parduoti. Tačiau negalėjo žadėto kiekio perpilti, nes turėjo tik du ąsočius — penkių ir trijų kvortų talpos. Draugai buvo besutinką pirkti tris kvortas pieno, kai S. Puasonas pasakė galįs ir tu­ rimais indais atseikėti 4 kvortas pieno. Bematant jis tai padarė. Tada vienas iš draugų, matemati­ kos, mokytojas, patarė jam studijuoti matematiką. Jaunuolis paklausė patarimo ir ilgainiui tapo įžy­ mus matematikas. Pamėginkite įspėti, kaip S. Puasonas atseikėjo pieną. 66. Laborantas turi 24 ml talpos flakoną su chemikalais. Prieš bandymą jis nori padalyti che­ mikalus į tris lygias dalis, o turi tik tris tuščias menzūrėles: 13, 11 ir 5 ml talpos. Ar gali labo­ rantas po lygiai padalyti chemikalus? Jei gali, pamėginkit jam padėti. 67. Vieną rytą du turistai susitiko moterį su dviem pilnais 15 1 talpos bidonais pieno. Turistai turėjo 5 1 ir 4 1 talpos indus, o norėjo nusipirkti po 2 1 pieno. Moteris, truputį pagalvojusi, pripylė prašomą kiekį. Kaip ji tai padarė? 68. Man reikia iškepti 6 kotletus per 15 min. Keptuvėje telpa tik 4 kotletai. Patarkite, kaip juos kepti, jei viena kotleto pusė iškepa per 5 min.

22

Galvosūkiai

69. Aš turiu du senovinius smėlio laikrodžius. Iš mažesniojo laikrodžio viršutinės dalies smėlis išbyra per 11 min, o iš didesniojo — per 16 min. Kaip abiem smėlio laikrodžiais išmatuoti ’aiką, lygų 21 min? 70. Audrius pastebėjo, kad per atostogas: a) lietus lijo 7 kartus ir tai atsitikdavo rytą arba vakare; b) jei lydavo vakare, tai rytą visada š v ie s d a ­ vo saulė; c) 5 kartus vakare buvo saulėtas oras; d) 6 kartus rytą švietė saulė. Kiek užtruko Audriaus atostogos? 71. Išspręskite dar vieną uždavinį iš Alkuino uždavinyno: „Du žm onės už 100 solidų * nusipir­ ko kiaulių, mokėdami už kiekvienas penkias po 2 solidus. Kiaules jie pasidalijo pusiau, vėl parda­ vė, imdami už kiekvienas penkias po 2 solidus, ir gavo pelno. Kaip tai galėjo atsitikti?" 72. Du broliai norėjo išsiaiškinti, kuris grei­ tesnis. Susitarė bėgti 100 m. Per lenktynes v y ­ resnysis aplenkė jaunesnįjį 3 m. Tada jie nu­ sprendė bėgti dar kartą, bet dabar kiek kitaip — vyresniojo brolio distancija bus 103 m, o ja u n e s­ niojo 100 m. Kuris nugalės dabar, jei žinoma, kad abu jie bėgs tokiu greičiu, kokiu bėgo pirmą kartą? 73. Arabas turėjo 17 kupranugarių ir 3 s ū ­ nus. Mirdamas jis jauniausiajam sūnui paliko pu­ sę, viduriniajam — trečdalį, o vyriausiajam — de­ vintąją dalį savo turto. Pradėję dalybas, broliai sutriko. Tada vienas jų pasiūlė pasiskolinti vieną * Solidas — Rom os, B izan tijos ir Frankų v a lsty b ė s auk­ sinė mqneta (taip, beje, buvo vad in am a ir auksinė se n o v ė s Lenkijos m oneta).

Be logikos — nė žingsnio!

23

kupranugarį iš kaimyno. Taigi jie turėjo 18 kup­ ranugarių, iš kurių jauniausias brolis gavo 9, vi­ durinysis — 6 ir vyriausias — 2 kupranugarius. Vieną likusį kupranugarį jie grąžino kaimynui. Kaip paaiškinti šias dalybas? 74. Kartą susitiko keletas jaunųjų matematikų. — Šiandien mums mokytojas pasakojo apie vieną seną galvosūkį,— dalijosi naujienomis Pet­ raitis.— Arabas paliko trims sūnums 17 kupranu­ garių, kurie turi būti jiems padalyti tokiomis da­ limis: jaunesniajam V2 , viduriniajam V3 ir vyriau­ siajam V9. Kaip padalyti kupranugarius? — Aš žinau,— įsiterpė vyrėlesnis Jonaitis.— Jis neturi sprendinio. Tas atsakymas, kurį visi pa­ teikia, yra klaidingas. — Tu tikriausiai turi omenyje,— prakalbo Juozėnas,— tą sprendimą, kada sūnūs pasiskolina iš kaimyno vieną kupranugarį, kad turėtų 18, ir po to pasiima atitinkamai 9, 6 ir 2 kupranugarius, o skolą grąžina kaimynui? — Būtent šitą,— pasakė Jonaitis.— Tada kiek­ vienas sūnus gauna daugiau negu jam priklauso. — Palauk,— sušuko Adomaitis.— Tu neteisus. Jei kiekvienas sūnus gautų daugiau negu jam priklauso, kupranugarių būtų daugiau negu 17. Tačiau, sudėję 9, 6 ir 2, gausime tik 17. — Iš pirmo žvilgsnio tai atrodo keista,— tarė Jonaitis.— Esmė tokia: jei kiekvienas sūnus g a u ­ tų jam skirtą palikimo dalį, tai visiems jiems tek­ tų mažiau negu 17 kupranugarių. Faktiškai lieka nepaliesta viena palikimo dalis. Ta prasme už­ davinys ir neturi sprendinio. — Jūs visi klystate,— įsiterpė Petraitis.— P a ­ likimą galima padalyti nenusižengiant testamen­ tui ir nesužalojant nė vieno kupranugario.

24

Galvosūkiai

Ir, visų nuostabai, paaiškino, kaip tai padaryti. Kaip reikia padalyti kupranugarius, nenusižen­ giant testamento sąlygoms? 75. Ant stalo guli trys kortos nugarėlėmis į viršų. Apie jas žinoma štai kas: Karaliaus dešinėje yra dvi arba viena dama; bent vienos damos kairėje yra dvi arba viena dama; būgnų kortos kairėje yra dvi arba viena v y ­ nų korta; bent vienos vynų kortos dešinėje yra dvi ar­ ba viena vynų korta. Kokios kortos guli ant stalo? 76. Kai teismo gydytojų komisija tyrė J. Hašeko herojaus šauniojo kareivio Sveiko psichinę būseną, jis pasiūlė komisijai uždavinį. „Namas keturių aukštų, kiekviename šito n a ­ mo aukšte po aštuonis langus, ant stogo dar du langai ir du kaminai, kiekviename aukšte gyvena po du nuomininkus. Dabar atspėkit, ponai, kuriais metais mirė kiemsargio bobutė?4* * Sis uždavinys labai panašus į „šveikišką", ta­ čiau nuo pastarojo skiriasi tuo, kad jį galima iš­ spręsti: Gatvės pradžioje stovi namas. Šeštam e aukš­ te gyvena A, o septintame— B, C ir D, kurie yra A broliai. Daugiau brolių A neturi. A bute yra trejos durys ir du langai. B bute yra tiek langų, kiek C bute durų, ir tiek durų, kiek C bute langų. Butuose, kuriuose gyvena D broliai, iš viso yra tiek langų, kiek ir durų. * H a š ė k a s J. Šauniojo kareivio Sveiko nuotykiai p a­ sauliniame kare.— V.: Mintis, 1987.— P. 26.

Bukite nuovokus!

25

O dabar pasakykite, ar gyvena šioje gatvėje A uošvė? 77. Senovės graikų išminčius Zenonas įrodi­ nėjo, kad ir koks greitas būtų Trojos karo didvy­ ris Achilas, jis negalėtų pavyti n e t . . . vėžlio. Štai jo „įrodymas": „Tegul Achilą ir vėžlį skiria tam tikras atstumas. Kol Achilas atbėgs iki tos vie­ tos, kur pirmiau buvo vėžlys, šis nors ir mažai, bet vis tiek bus pasislinkęš į naują vietą. Kol Achilas atbėgs iki šios vietos, vėžlio jis neužtiks, nes tasai vėl bus pasislinkęs pirmyn. Achilas vėl turės bėgti pirmyn ir taip be galo. Vadinasi, jis nepavys v ėžlio 14. Kur Zenono klaida? .v 7.8, D ^ž ėje, kurios šonuose yra dvi skylės, tupi kiškis. Iš vienos pusės prie dėžės sėlina lapė, iš kitos — vilkas. P ažvelgęs per vieną skylę, kiškis pamato lapę ir per 1 s strykteli prie kitos skylės. Tačiau, išvydęs vilką, dar labiau išsigąsta ir per /2 s nušoka prie pirmosios skylės. Nuo jos per /4 s nušoka prie antros skylės, o per Vs s — vėl prie pirmos skylės ir t. t. Ar bus toks laiko m o­ mentas, kada kiškis žvelgs pro abi skyles? 79. Vienoje populiarioje kaimo kirpykloje klien­ tus stebina neįprastas skelbimas: „Čia skutami tiktai tie, kurie patys nesiskuta44. Ar šios kirpyklos kirpėjas pats skutasi? 80. Vieną kartą „Frankfurter Zeitung44 laik­ raščio vyriausiasis redaktorius gavo įžymaus fi­ ziko A. Einšteino laišką. Fizikas siūlė laikraštyje spausdinti jo sugalvotus galvosūkius, bet pa g ei­ davo, kad autoriaus pavardė liktų paslaptyje. Ka­ dangi redaktorius sutiko, daugelis galėjo išban­ dyti savo jėgas, spręsdami A. Einšteino g a lv o sū ­ kius. Štai vienas jų.

26

Galvosūkiai

Turkų pirklys ieškojo dalininko. Jam siūlėsi du vyrai. Norėdamas išsirinkti protingesnį, jis nusivedė abu vyrus į kambarį, kuriame nebuvo nei veidrodžio, nei langų. Rodydamas į atsineštą ryšulėlį, jis tarė: „Siame ryšulėlyje yra du rau­ doni ir trys juodi fesai *. Dabar aš užgesinsiu šviesą. Kiekvienas pasiimkime po fesą ir užside­ kime jį ant galvos. Paskui aš uždegsiu šviesą, ir kiekvienas turėsite pasakyti, kokios spalvos fesas yra ant jūsų galvos41. Kai užsidegė šviesa, vyrai pamatė, kad ant pirklio galvos yra raudonas fesas. Po kelių sekun­ džių vienas jų tarė: „Mano fesas yra juodas44. Ar jis atspėjo? 81. Nuvargę nuo ginčų ir vasaros kaitros, trys senovės graikų išminčiai užsnūdo po Akademijos sodo medžiu. Kol jie miegojo, pokštininkai angli­ mi ištepė jų kaktas. Pabudę ir pažvelgę vienas į kitą, jie pradėjo juoktis, tačiau nė vienas nesutri­ ko, nes kiekvienam atrodė, kad kiti du juokiasi vienas iš kito. Staiga visi trys nustojo juoktis, nes kiekvienas suprato, kad ir jo kakta ištepta. Kaip jie tai perprato? 82. Vienoje šalyje gyveno teisuoliai ir m ela­ giai. Pirmieji visada sakydavo tik tiesą, o antrie­ j i — tik melą. Svetimšalis, aplankęs tą šalį, su ­ tiko tris vietinius gyventojus ir pasidomėjo: tei­ suoliai jie ar melagiai. Pirmasis sušnibždėjo kaž­ ką į ausį svetimšaliui, bet šis nieko neišgirdo. Antrasis tarė: „Jis sakė esąs m elagis44. Trečiasis * Fesasy— nupjautinio kūgio formos vyriška fetro kepu­ raitė, vadinama pagal Maroko miesto Feso pavadinimą. F e­ sai nešiojami šiaurės Afrikoje, kai kuriose Artimųjų Rytų šalyse, Albanijoje, Graikijoje.

Be lo gikos — nė žingsnio!

27

antrajam: „Tu melagis!" Teisuolis ar me­ lagis yra trečiasis? 83. Vienoje Rytų šalyje buvo trys dievai, į ku­ riuos gyventojai kreipdavosi patarimų. Tiesos dievas visuomet sakydavo tiesą, melo dievas — visuomet meluodavo, dievas diplomatas — kartais s a k y d a v o tiesą, kartais meluodavo. Visų trijų die­ vų išvaizda buvo vienoda. Tai buvo paranku žy ­ niams: jei pranašavimas neišsipildydavo, jie s a ­ kydavo, kad ne į tą dievą buvo kreiptasi. Vienas žmogus nutarė atpažinti dievus. Kairėje stovin­ čiam dievui jis pateikė klausimą: „Kas stovi gre­ ta tavęs?“ Sis atsakė: „Greta manęs — tiesos die­ vas". Dievą, stovintį centre, paklausė: „Kas tu toks?“ Sis pasakė: „Aš esu dievas diplomatas44. Dievą, stovintį dešinėje, paklausė: „Kas stovi gre­ ta tavęs?" Sis atsakė: „Greta manęs stovi melo dievas". „Viskas aišku,— tarė žmogus,— aš jus at­ pažinau". Kaip jis atpažino dievus? 84. Vienos Ramiojo vandenyno salelės gy v en ­ tojų buvo dvejopos pavardės: Dondu ir Kondu. Dondu visada sakydavo tiesą, o Kondu visuomet meluodavo. Atvykėlis kaimelyje sutiko keturis vietinius gyventojus ir pasidomėjo, kas jie: Dondu ar Kon­ du. Pirmasis atsakė: „Mes visi esame Kondu44. Antrasis pasakė: „Tik vienas iš mūsų yra Kon­ du". Trečiasis pareiškė: „Ne, du iš mūsų yra Kondu44. O ketvirtasis išdidžiai tarė: „Tik aš esu Dondu". Tas, kuris pasakė „tik aš esu Dondu44, gali bū­ ti Dondu arba Kondu. Ar iš tikrųjų jo pavardė Dondu? 85. Vienoje saloje gyveno dvi giminės — tei­ suoliai ir melagiai. Išminčius aplankė šią salą ir pasakė

28

Galvosūkiai

sutiko du vietinius gyventojus. Kadangi neži­ nome jų vardų, pavadinsime juos A ir B . Išmin­ čius paklausė A: — Jūs abu teisuoliai? A atsakė vienu iš žodžių „taip44 arba „ne“. Tačiau išminčius dar negalėjo nuspręsti, kas yra A ir B — teisuoliai ar melagiai. Todėl jis A pa­ teikė dar vieną klausimą: — Ar jūs abu iš vienos giminės? A irgi atsakė vienu iš žodžių „taip44 arba „ne“. Štai tada išminčius ir suprato, kas jie tokie. O jūs ar galite nustatyti, kurios giminės yra A ir kurios — B? 86. Jau vakarėjo, kai chodža Nasredinas * pa­ siekė Bucharą. Kukliai užkandęs arbatinėje, cho­ dža įsitaisė ant seno daug mačiusio pakloto ir jau buvo beužmiegąs, kai jo dėmesį patraukė keturių vyrų pokalbis. Vyrai kalbėjosi armėnų, persų, graikų ir turkų kalbomis ir dažnai vienas išversdavo kitam, ką pasakė trečiasis. Jis taip pat pastebėjo, kad nė vienos šių kalbų nemoka visi keturi, bet kiekvie­ nas kalba dviem kalbomis. Greit chodžai paaiškėjo šių vyrų vardai. Pats mažiausias, Salalas, nemokėjo persų kalbos, bet versdavo senojo perso Abdulos žodžius, kai tas kreipdavosi į Muchamedą. Ateivis iš Bosforo Muchamedas gerai mokėjo savo gimtąją turkų kalbą ir laisvai kalbėjosi su graiku Jusufu, nors šis tur­ kiškai nesuprato nė žodžio. ).

* Nasredinas — Rytų ša ly s e paplitusių humoristinių p a­ sakojimų herojus (chodža — ten priimtas kreipimasis į i š ­ silavinusį ir gerbiamą ž m o g ų ).

Be logikos — nė žingsnio!

29

Nei Salalas, nei Abdula, nei Jusufas nemokė­ jo tokios kalbos, kuria galėtų kalbėtis tarpusavy­ je. Iš jų nė vienas nekalbėjo turkiškai. Tik vienas chodža Nasredinas puikiai suprato kiekvieną jų. Kokias kalbas mokėjo kiekvienas vyras? 87. Vienoje mokykloje matematiką, fiziką, che­ miją, biologiją, istoriją ir braižybą dėsto mokyto­ jai Augaitis, Bretkūnas ir Kazlauskas. Kiekvienas mokytojas moko dviejų dalykų. Chemijos moky­ tojas ir matematikos mokytojas gyvena viename name. Augaitis yra jauniausias. Matematikos mokytojas su Kazlausku labai dažnai žaidžia šachmatais. Fizikos mokytojas yra vyresnis už biologijos mokytoją, tačiau jaunesnis už Bretkū­ ną. Vyriausias mokytojas gyvena toliausiai. Kokius dalykus dėsto kiekvienas mokytojas? 88. Rungtyniavo šešios rajono futbolo ko­ mandos. Kiekviena jų susitiko su kita po vieną kartą. Penkis šeštadienius iš eilės vyko po trejas rungtynes. Pirmąjį šeštadienį „Erelis14 nugalė­ jo „Meteorą44, antrąjį šeštadienį „Erelis44 įveikė „Kibirkštį44, trečiąjį šeštadienį „Kibirkštis44 nuga­ lėjo „Vimpelą44. Ketvirtame rate „ B a n g o s44 ir „Meteoro44 rungtynės baigėsi lygiosiomis. Su ko­ kia komanda „Strėlė44 susitiko paskutiniame rate? 89. Trys plėšikai — storasis, vidutinysis ir plo­ nasis — pavogė iš pilies brangenybių skrynią. Pasprukti su grobiu jie gali tik pro vieną pilies langą. Mat prie šio lango į sieną įmūrytas skri­ dinys, o per jį permesta virvė. Prie jos galų pri­ rišta po pintinę. Krūvių skirtumas, kylant ar lei­ džiantis žmogui, turi būti ne didesnis kaip 10 kg, nes priešingu atveju nusileidimo greitis pavojin­ gas. Aišku, kad skryniai ši taisyklė negalioja.

30

Galvosūkiai

Storojo plėšiko masė 85 kg, v id u t in io — 50 kg, o plonojo — 40 kg, skrynios su b rangenybė­ m i s — 30 kg. Pintinėje telpa tik du plėšikai arba vienas .plėšikas ir skrynia. Pagalvokite ir a tsa ­ kykite, kaip plėšikams pavyko pabėgti ir išsinešti grobį? 90. Trys plėšikai nori pasidalyti grobį. Kiek­ vienas isitikinęs, kad galėtų padalyti grobį į ly­ gias dalis, tačiau kiti juo nepasitiki. Jeigu p lė ši­ kų būtų ne trys, o tik du, sunkumų neturėtų: v ie ­ nas padalytų grobį į dvi dalis, o kitas paimtų dalį, kuri jam atrodytų didesnė. Nurodykite, ką turi daryti trys plėšikai, kad pasidalytų grobį ir nesijaustų nuskriausti — kiekvienas jų gautų ne mažiau kaip trečdalį grobio. (Grobis toks įvai­ rus, kad objektyviai palyginti jo dalių neįm a ­ noma.) 91. Senais laikais 100 laukinių, kurių dalis yra žmogėdros, paėmė į nelaisvę baltųjų ekspe­ diciją. Yra žinoma, kad: a) bent vienas laukinis — ne žmogėdra; b) iš bet kurių dviejų laukinių bent vienas yra žmogėdra. Kiek iš viso buvo žmogėdrų? 92. Miestelio gyventojai nutarė paįvairinti kasmetines automobilių lenktynes. Tuo tikslu jie įsteigė prizą lenktynininkui, kurio m a šin a fini­ šuos paskutinė. Prizas buvo labai vertingas. S u ­ mišo lenktynininkai. Tik ir girdėjosi kalbant: — Kiekvienas norės atvažiuoti paskutinis. V a ­ dinasi, visi stengsis važiuoti kuo lėčiau. O tai truks tol, kol visos m ašinos galų g a le sustos. G^ila, šių metų lenktynės sužlugo.

O. l a i k o s - n ė žingsnio!----------------------------------------------------1'

Bet į p o k a lb į įsiterpė jaunas automobilininkas: — Aš žinau, ką turime padaryti, kad lenkty­ nės įvyktų. Reikia. • • Ir išties, tąsyk buvo lenktyniaujama kaip niek3 d3 Ką pasiūlė jaunasis automobilininkas?

32

Galvosūkiai

III. Detektyvo mėgėjams Amerikiečių rašytojas Edgaras Po apsakyme „Pagrobtas laiškas", viename pirmųjų pasaulyje detektyvinio žanro kūrinių, pateikia matematikos „paskaitą". Su daugeliu joje išdėstytų teiginių galima nesutikti arba, atvirkščiai, visiškai jiems pritarti. Bet ne tai svarbu. Svarbiau yra kitkas — šiame detektyve jau buvo nusakytas šio žanro ryšys su matematika. Ilgus amžius manyta (ir dabar dar kai kas laikosi tos nuomonės), kad tarp meno, iš dalies literatūros, ir mokslo yra neperžengiama praraja. Bet ar gali būti visai nesusijusios šios šakos, kurios augina žmonijos kultūros vaisius? Ir nors tos žmogaus intelektualios veiklos sritys turi daug ką bendra, tačiau kiekviename sąlyčio taške jos išsiskiria, priešingu atveju mokslas nebūtų moks­ lu, o menas menu. Bet yra viena grandis, jun­ gianti tos prarajos kraštus. Tai — detektyvas. Juk kiekvienas detektyvas prasideda paslaptimi, kurią paskui įvairiais bū­ dais bandoma atskleisti. Būdami vienodai galimi tie būdai, atrodo, pačiam skaitytojui leidžia įminti mįslę, tačiau iš tikrųjų tik supainioja jį ir dar la­ biau suintriguoja. Kiekvienas detektyvas — tarsi žmogaus minties darbo atvaizdas. Galbūt todėl Edgaras Po ir rašė detektyvus, šiuos savotiškus „loginius pasakojimus", norėdamas atskleisti žmogaus minties darbą. O kas gali geriau jį iliu­

Detektyvo m ėgėjam s

33

struoti kaip griežtai logiškai pagrįsti samprota­ vimai (kaip tik tokiais ir remiasi matematika). Po šių aiškinimų gal nieko nenustebinsime, pa­ sakydami, kad detektyvus galima laikyti savotiš­ kais matematiniais galvosūkiais. Įžymūs XIX a. prancūzų rašytojai broliai E. ir Z. Gonkūrai (jų premija dabar kasmet apdovanojamas geriausias prancūzų rašytojų kūrinys) savo literatūriniame „Dienoraštyje4*, aprašydami tą susižavėjimą, ku­ rį patyrė skaitydami E. Po kūrinius, sako, kad jie yra ir matematiška literatūra. Tad pabūkite sekliais ir pamėginkite įminti šias mįsles. 93. Susitiko du jaunystės draugai, pirmąkart po mokyklos baigimo. Tarp jų įvyko toks pokalbis: — Kiek metų aš tavęs nemačiau ir netgi nie­ ko negirdėjau apie tave! — O aš jau turiu dukterį! — Kuo ji vardu? — Jos vardas toks, kaip ir motinos. — Kokio amžiaus tavo Danutė? Kaip pirmasis pašnekovas sužinojo dukters vardą? 94. Trys asmenys — viso miesto gerbiamas pi­ lietis, žinomas apgavikas ir nežymus miesto g y ­ ventojas — davė parodymus dėl įvykusios žm og­ žudystės. Jų pavardės: Braunas, Džonsas ir Sm i­ tas. Vienas iš jų — nusikaltėlis. Parodymai tokie: B r a u n a s : Aš nenužudžiau. Ir Džonsas ne žudikas. D ž o n s a s : Braunas nenužudė. Žudikas Sm i­ tas. S m i t a s : Aš ne žudikas. Nužudė Braunas. Tiriant bylą, išaiškėjo, kad visų gerbiamo pi­ liečio abu parodymai buvo teisingi, apgavikas abu 3

-

6486

34

Galvosūkiai

kartus pamelavo, o nežymus pilietis vieną kartą pamelavo, bet kitą kartą pasakė tiesą. N ustatyki­ te jų pavardes ir žudiką. 95. Trys draugai apsistojo viešbutyje. Už kam­ barį šeimininkė paėmė iš jų 30 dolerių. Tačiau vėliau ji prisiminė, kad nuomininkams reikia m o ­ kėti tik 25 dolerius ir paliepė tarnui nunešti grąžą. Tarnas nusprendė, kad draugams užteks trijų do­ lerių, todėl du dolerius pasisavino. Taigi draugai, gavę po dolerį grąžos, už kambarį sumokėjo 9 * 3 = 27 dolerius. Du doleriai liko pas tarną. Kur dar vienas doleris? 96. Kartą Šerlokas Holmsas pasakojo daktarui Votsonui: „Mano bičiulis liliputas gyvena dvide­ šimtame aukšte. Kiekvieną rytą jis nusileidžia liftu į pirmą aukštą, ir eina į darbą. Vakare jis liftu pakyla į dešimtą aukštą, o toliau lipa laip­ tais iki savo buto. Kodėl jis taip elgiasi?" Ir jūs pamėginkite įminti šią liliputo mįslę. 97. Vienos firmos plastmasiniai kėglių rutuliai muitininkui pasirodė įtartini: jie svėrė tiek pat, kiek tokio pat dydžio mediniai rutuliai, tačiau ne­ atrodė masyvūs, jų sienelės visur buvo vienodo stiprumo. Muitininkas pagalvojo, kad kiekviename rutulyje gali būti ertmė kontrabandinėms pre­ kėms. Be specialių prietaisų atlikęs labai papras­ tą bandymą, jis nustatė, kad viename iš dvylikos rutulių yra kontrabanda. Atidaręs rutulį, rado dei­ mantinių papuošalų. Kaip muitininkui pavyko tą rutulį nustatyti? 98. Bobas Dausonas rūpestingai pasiruošė fo­ tografuoti. Kameros regėjimo l a u k e — atviras lan­ gas, dalis sienos su sieniniu kalendoriumi, palan­ gė, ant kurios saulėje šildėsi Bobo katinas; už lan­ go — alyvų krūmas ir pašto rūmų bokštas su

Detektyvo mėgėjams

35

laikrodžiu, kuris rodė 8 valandą. Kalendoriaus la­ pelyje buvo lapkričio 17 diena, nors iš tikrųjų buvo 16-oji. Kitos dienos rytą Bobas, užsivilkęs apsiaustą, pakėlęs apykaklę, užsitraukęs ant akių skrybėlę, stovėjo už storo medžio direktoriaus Pulmano vi­ los sode, stengdamasis per miglą įžiūrėti vilos duris. Jis laukė jau pusę valandos. Lygiai 8 v a ­ landą durys atsidarė, direktorius išėjo ir tuoj kri­ to ant laiptų, pakirstas Bobo pistoleto kulkos. Po valandos inspektorius Vagneris kalbėjosi su Bobų jo bute. — Tamsta, be abejo, pažinojote direktorių Pulmaną, kuris žuvo nuo nežinomo žudiko kulkos? — Žuvo? Tai baisu. Toks idealus šefas,— su ­ šuko Bobas. — Kodėl šiuo metu ne darbe? — Jau kelios dienos atostogauju. Šiandien fo­ tografavau,— ir parodė inspektoriui dar drėgną fotografiją. — Ar neišmetė jūsų iš darbo už medžiagų per­ eikvojimą? Ar Pulmanas nesakė, kad iškels jums bylą teisme? —. Mes kuo puikiausiai sutarėme. Šiaip ar taip šiandien neišėjau iš namų. Pažiūrėkite į fotografiją. Matote laikrodį. — Būtent* fotografija man kelia įtarimą,— ta­ rė inspektorius. Bobas išbalo. Ką įtarė inspektorius? 99. Profesorius Mūras per kriminologijos pa­ skaitą pasakojo studentams apie savo draugą sek­ li Trautą. Trautas ėjo pro lombardą, kurį tvarkė jo pažįstama Judita Karson. Nors lombardas bu­ vo mažas, tačiau jis darė didelę apyvartą. Sek­

36

G a lv o ju

lys, žvilgtelėjęs j vidų, neišvydo nė vieno žm o­ gaus. [ėjęs vidun, jis rado Juditą už prekystalio surištą, užkimšta burna. Išlaisvinta šeimininkė papasakojo štai ką: „Apie pirmą valandą įėjo aukštas, tam sia p la u ­ kis, stambus vyriškis. Pasikalbėjęs su manim ke­ letą minučių, jis išsitraukė pistoletą, surišo m a ­ ne, susirinko vertingiausias brangenybes ir s u s i­ dėjo į nedidelį lagaminėlį. Aš n egaliu suprasti, kodėl jis nė kiek nebijojo, kad kas nors jį užklups. Juk aš buvau susitarusi susitikti su trimis klien­ tais tarp pirmos ir antros valandos, tačiau, be jū ­ sų, niekas nepasirodė. V a g is išbuvo iki pirmos valandos keturiasdešimt m inučių44. Seklys pamatė, kad dabar lygiai antra v a ­ landa. „Kai aš atėjau, nieko ypatinga nepastebė­ j a u — tarė jis — Tačiau iš jūsų pasakojimo g a l i ­ m a ’ manyti, jog v a g is veikiausiai buvo Konrojus Otis. Šį metodą jis naudojo ir anksčiau44. Ką v a g is turėjo padaryti, kad būtų įsitikinęs sėkme? 100. Deividas Lipartas,— pasakojo seržantas Fitas inspektoriui Verneriui,— pranešė, kad iš jo pagrobė labai vertingą monetą, įsigytą vos prieš keletą dienų. Su Lipartu gyvena du jo broliai, taip pat kolekcionieriai. V yresnysis, Frederikas, kolekcionuoja pašto ženklus, o jaunesnysis, Anton įs>— senovines knygas. Broliai labai pavydi v ie ­ nas kitam ir, įsigijus kuriam nors vertingą daik­ tą, kiti jaučia didžiulį nepasitenkinimą. V isos trys kolekcijos saugom os vienoje spintoje. Raktas nuo kolekcijų spintos yra vazoje ant židinio. Vakar Deividą aplankė jo draugas Janekas, kuris už nau­ jąją monetą pasiūlė didelę pinigų sumą. Tačiau Deividas jos nepardavė. Šiandien rytą Janekas

D e tcktyvo mėgėjams_____

37

telefonu vėl pakartojo savo pasiūlymą. Deividas ir šį kartą atsisakė, po to nuėjo į kambarį pasi­ gėrėti naująja moneta, tačiau jos nerado. Spinta atidaryta raktu, nes spyna buvo sveika. — Ar neliko pirštų atspaudų? — paklausė in­ spektorius. — Ne. Visos vietos, kurias galėjo liesti ranka, rūpestingai nuvalytos. Frederikas tvirtina, kad jis nieko nežino apie monetos dingimą, o Antonis šįryt išvyko nežinoma kryptimi. — Man beveik aišku, kuris iš trijų pavogė monetą,— pasakė inspektorius Verneris. Pamėkinkite ir jūs įspėti nusikaltėlį. 101. š e š i liudininkai taip apibūdino nusikal­ tėlį: A n t a n a s : Jo plaukai rudi, akys žydros, kos­ tiumas pilkas, jam yra 34 metai. B r o n i u s : Tai blondinas, akys juodos, kos­ tiumas mėlynas, 30 metų. V l a d a s : Nusikaltėlio plaukai rudi, akys rusvos, kostiumas rudas, jam 34 metai. G i n t a s : Tai buvo brunetas, kurio akys žyd­ ros, kostiumas nerudas, 30 metų. D o n a t a s : Jis šatenas, akys juodos, kostiu­ mas pilkas, jam 28 metai. E d v a r d a s : Tai buvo blondinas, kurio akys rusvos, kostiumas mėlynas, 32 metų. Nepaisant tokių prieštaringų apibūdinimų, nu­ sikaltėlį pavyko sugauti. Tuomet ir paaiškėjo, kad kiekvienas liudininkas apsiriko tris kartus. Vis dėlto kiekvienas nusikaltėlio požymis buvo apibūdintas bent vienu teisingu parodymu. Ar šių duomenų pakanka nusikaltėlio išvaizdai apibūdinti?

38

Galvosūkiai

102. Prie gydytojo namelio durų inspektoriaus laukė moteris. — Tai aš jums skambinau,— pasakė ji.— P a ­ mačiau pro langą, kad mano kaimynas guli ant grindų savo kabinete ir įtariau kažką negera. Ant namelio durų kabojo kortelė su užrašu „Išėjau į ligoninę14. Tačiau durys buvo neužra­ kintos. Įėjęs j kabinetą, inspektorius pamatė, kad gydytojas guli ant grindų ir kad jis žuvo nuo revolverio kulkos. Kaimynė papasakojo, kad dar 14 valandą juo­ du kalbėjosi. — Ar po to jį dar kas nors aplankė? — Trys asmenys. Visi gydytojo lankytojai tu­ ri praeiti pro mano vartelius ir pro juos sugrįžti. Apie 14 valandą 30 minučių jį trumpam aplankė vaistininkas Petersas. Apie 15 valandą ponia Moltkė tikriausiai buvo konsultuotis. Apie 15 va­ landą 45 minutės gydytoją aplankė Belis. Beliui išėjus, panorau gydytoją kažko paklausti, pasily­ pėjau ant tvoros, bet pro langą pamačiau, kad jis guli nejudėdamas. — Iš kur jūs taip tiksliai žinote kiekvieno sv e­ čio apsilankymo laiką? — Vaistininkas ėjo pro vartelius kaip tik tada, kai gydytojo kabinete radijas sakė „Dabar 14 v a ­ landų 30 minučių4*. Tik praėjus poniai Moltkei, tuoj užkaukė fabriko sirena, kuri švilpia kasdien 15 valandą. Belis praeidamas paklausė, kiek v a ­ landų. Pasižiūrėjus į laikrodį, pamačiau, kad jau 15 valandų 45 minutės. Manau, kad gydytoją už­ mušė vienas iš šių trijų asmenų. Pamėginkite įminti, kas gydytojo žudikas. 103. Tradicinį kriminalistų kongresą buvo nu­ tarta užbaigti siurprizu: geriausi šešių šalių de­

Detektyvo m ėgėjam s

39

tektyvai turėjo išmėginti jėgas, tirdami nusikalti­ mą. Viešbučio, kuriame vyko kongresas, salone Šerlokas Holmsas paskelbė varžybų sąlygas: kai tik vakare viešbučio parke pasigirs šūvis ir riks­ mas, kriminalistai turi skubėti ten, kaip galima greičiau išaiškinti, kas atsitiko ir pamėginti su­ rasti „piktadarį44. Techninių priemonių naudoti negalima. Nugalės tas, kuris greičiau išaiškins „nusikaltimą44. Praėjo daug laiko, jau artėjo pusiaunaktis, bet niekas nesudrumstė tylos. — Šis ilgas laukimas pradeda mane erzinti,— pasakė daktaras Votsonas. Inspektorius Visažinys atsistojo ir nuėjo į gre­ timą kambarį, kurio langai išėjo į priešingą ne­ gu parkas pusę. — Kur jus? — paklausė Votsonas. — Reikia pasiruošti operacijai,— atsakė V isa ­ žinys. Neįjungęs šviesos, jis patogiai įsitaisė fo­ telyje. Votsonas tik nusišypsojo. Po kelių minučių detektyvai išgirdo šūvį. In­ spektorius Visažinys išbėgo į parką, pirmas su ­ rado „auką44 ir užtiko pabėgusio „nusikaltėlio" pėdsakus. šerlokas Holmsas iškilmingai įteikė inspekto­ riui prizą — sidabrinę pypkę. — Prašom pasakyti mano draugui Votsonui savo p a s l a p t į š y p s o d a m a s i s paprašė „krimina­ listų tėvas44. Kokia Visažinio paslaptis? 104. Teismo posėdyje ieškovas, gudriai žybčiodamas akimis, kalbėjo: — Aš radau dvi auksines monetas: vieną, pa­ gamintą Romoje 49 m.p.m.e., kitą — Ivano I lai­

40

G alvosūkiai

ku. Žinodamas atsakovo aistrą seniem s daiktams, pasiūliau pirkti šias monetas. Jis jas paėmė neva ištirti. Po savaitės, kai aš paprašiau grąžinti m o ­ netas arba už jas užmokėti, jis įžūliai pareiškė, kad jų visai neėm ęs ir net nem atęs sav o akyse. Tad aš reikalauju, kad teismas įpareigotų a tsa ­ kovą man atlyginti už šias monetas. — O iš kur jūs žinote, kad m onetos senos? — paklausė teisėjas. — Ant v ien o s jų buvo įsp austa data „49 m .p.m.e.“, o kitoje — valdovo portretas ir užrašas „Ivanas I“. — Viskas aišku,— tarė teisėjas.— Ieškovo p a ­ rodymai yra m e la g in g i. Aš m anau, kad būtina jį patraukti baudžiam ojon atsakom ybėn už siekimą apg a u le pasipelnyti. Kaip teisėjas suprato, kad ieškovas melavo? 105. Inspektorius Tom psonas v ežė svarbius dokum entus kito m iesto ekspertui. Buvo žinoma, kad šiu o s dokumentus bet kokia kaina trokšta įsig y ti g a n g s te r ių gauja. Traukinyje v isą laiką inspektorių stebėjo pilku šv&rku vilkintis v y r iš ­ kis. Kai jų ž v ilg s n ia i susidurdavo, vyriškis dė­ davosi abejingu. Tom psonui kilo įtarimas. Išlipęs iš traukinio, jis tuoj telefonu paskambino eksper­ tui. — Ekspertas klauso,— inspektorius išgirdo v y ­ rišką balsą. — Norėčiau ištirti kelis sen ovin ių pinigų ban­ k n o t u s , — pasakė Tom psonas sutartą frazę. — Laukiu jū sų ,— atsakė ekspertas. Išėjęs iš telefon o būdelės, Tom psonas vėl p a­ matė tą patį pilku švarku vyriškį. Jis neva skai­ tė žurnalą, o iš tikrųjų stebėjo Tom psoną. In s­

Detektyvo m ėgėjam s

41

pektoriaus įtarimas pasitvirtino: vos tik jis įsėdo į taksi, pajudėjo ir kitas automobilis, kuris visą laiką važiavo paskui. Tompsonas išėmė iš aplan­ ko dokumentus ir įdėjo į vidinę švarko kišenę, o į aplanką — seną laikraštį. Abu automobiliai su ­ stojo kartu prie to paties pastato. Tompsonas greit susirado kambarį, ant kurio durų buvo užrašyta „Ekspertas4*. Kambarys buvo labai mažas: jame tilpo tik nedegamoji spinta, stalas ir pora kėdžių. Įėjus Tompsonui, iš už stalo pakilo jaunas, malonus vyras ir prisistatė: — Ekspertas. Inspektorius įteikė jam aplanką. Gavęs pa­ kvitavimą, jis greit išėjo lauk. Paėjęs kelis met­ rus, pasislėpė už namo kampo ir ėmė stebėti pa­ statą. Po keliolikos minučių iš pastato išėjo vyriškis pilku švarku ir žmogus, pasivadinęs eks­ pertu. Kai jie dingo jam iš akių, Tompsonas atsi­ duso: — Dabar aš tikrai galėsiu atlikti savo už­ duotį. Kaip inspektorius suprato, kad jam buvo pa­ spęsti spąstai? 106. Tą dieną visi Las V egaso rytiniai laikraš­ čiai tik ir terašė apie azartinių žaidimų lošėją Deivį ir jo turtuolę žmoną. Išvakarėse, po Deivio eilinio pralošimo, juodu išvažiavo į kalnus pasli­ dinėti. Ten žmoną ištiko nelaimė: besileisdama nuo kalno, ji nuslydo į prarają ir žuvo. Vieninte­ lis to įvykio liudininkas buvo jos vyras. Perskaitęs žinutę apie nelaimingą atsitikimą kalnuose, vienos turistinės agentūros klerkas tuoj

42

Galvosūkiai

paskambino policijai. Gavęs pranešimą, policijos komisaras iškart įsakė suimti Deivį, kaip įtariamą savo žmonos nužudymu. Turistinės agentūros klerkas greit tapo dienos įžymybe. Vėliau jis taip komentavo šią istoriją: „Aš nesu pažįstamas nei su Deiviu, nei su jo žmo­ na. Nieko neįtariau apie jo piktus kėslus, kol ne­ perskaičiau žinutės apie nelaimingą atsitikimą kalnuose14. Kodėl klerkas sk am b in o policijai ir kodėl ji p a tik ėjo pranešim u?

IV. Ar visuomet būtina lygtis! Pradėję mokytis algebros, jūs tikriausiai pa­ stebėjote, kad sunkūs uždaviniai lengvai spren­ džiami sudarant atitinkamas lygtis. Aritmetinį ir algebrinį sprendimo būdus vaizdžiai palygino L. Kerolas: „Aritmetinis uždavinių sprendimo me­ todas yra grynai sintetinis: nuo vieno žinomo fakto einama prie kito tol, kol galų gale pasie­ kiamas tikslas. Algebrinis sprendimo būdas iš esmės yra analitinis: jis pradeda nuo galo ir, pa­ žymėjęs ieškomą tikslą sutartiniu simboliu, tol skuba į priekį, iš paskos tempdamas savo auką — inkognito, kol neišeina į akinančią žinomų faktų šviesą, nuplėšia nuo jos kaukę ir sako: „Jūs at­ pažinta" *. O tiems, kurių neįtikina šie abstraktūs samprotavimai, jis pateikia pavyzdį: „Į namus įsiveržęs plėšikas jus apvogė ir pabėgo. Jūs kviečiatės budintį policininką. Jo raportas apie to­ lesnius įvykius gali būti toks: „Taip, aš mačiau, kaip kažkoks išstypėlis perlipo per sodo tvorą. Jis buvo tolokai nuo manęs ir iškart negalėjau jo sučiupti. O gal man, galvoju aš, užbėgti jam už akių? Ir tikrai, išbėgau į gretimą gatvelę, žiū­ riu — iš už kampo visu greičiu išlekia Bilas Saiksas. Aš jį capt už apykaklės ir šaukiu: „Aha, ba­ landėli, pakliuvai! Taip tau ir reikia!" Ir daugiau * Kappoji

JI.

H

ctophh

c V3ejiKaMH.— M.,

1973.—

44

Galvosūkiai

jam nė žodžio. O jis man: „Et, tegul bus tavo viršus. Nieko nepadarysi, vesk į nuovadą14. Taip elgtųsi aritm etinis policininkas. O štai kitas ra­ portas apie tuos pačius įvykius: „Matau — kažkas bėga. Ką daryti? Vytis? Tai beprasmiška: labai jau jis toli. Todėl nusprendžiau apžiūrėti sodą. Matau — klomboje ištryptos gėlės, tokie ryškūs jo kojyčių pėdsakai. Apžiūrinėju atidžiau: kairysis kulnas įsispaudęs giliau negu dešinysis. Vadina­ si, vaikinas, kuris juos paliko, turi būti aukšto ūgio ir šlubas kaire koja. Perbraukiau ranka per tvorą toje vietoje, kur jis lipo. Ranka suodina. Stengiuosi prisiminti, kur aš mačiau aukštą vai­ kiną, kaminkrėtį, šlubuojantį kaire koja. Ir čia kaip žaibas tvyksteli mintis: juk tai Bilas Saiksas. Taip veiktų algebrinis policininkas, mano nuomone, daug intelektualesnis už pirmąjį1* *. Tačiau ar reikia labai peikti aritmetinį polici­ ninką? Ką darytų algebrinis policininkas, jei plė­ šikas sode nebūtų palikęs tokių ryškių pėdsakų? Gal reikėjo iš pradžių pabandyti pavyti plėšiką ir tik nepavykus pagauti ieškoti jo pėdsakų? Panašiai sprendžiami ir matematikos uždavi­ niai. Juolab, kad L. Kerolas, išgyręs algebrinį už­ davinių sprendimo būdą, pridūrė: jei uždavinys gali būti išspręstas aritmetiškai, tai „labai sudė­ tingų metodų taikymas yra blogo tono ženk­ las" **. Pamėginkite išspręsti šiuos uždavinius ir įsitikinsite, kad ne visuomet būtina sudarytį lygtį. 107. Vienoje klasėje mokėsi trys tingūs moki­ niai. Kad jų dykinėjimas nekristų į akis, nutarė * K a p p o j i JI. H C. 79. • • Terf pat.— P. 69.

ctophh

c

y3e^iK3M H .—

M.,

1973.—

Ar visuomet būtina lygtis?

45

nerengti pamokų skirtingomis dienomis. Didžiau­ sias slunkius taip elgtis numatė kas trečią dieną, antrasis — kas penktą dieną, trečiasis — kas še š­ tą dieną. Taip jie tikėjo sulaukti mokslo metų pabaigos, nė karto neįkliuvę visi trys. Tačiau netrukus atsitiko tai, ko jie nesitikėjo,— vieną dieną visi trys atėjo neparengę pamokų. Tada ir trūko mokytojo kantrybė.. . Kelintą dieną tai įvyko? 108. Krepšyje yra ne daugiau kaip 100 obuo­ lių. Juos bandyta išdalyti 8 mergaitėms, tačiau nepavyko. Paaiškėjo, kad šį kiekį galima padalyti po lygiai 4, 6 ir 9 mergaitėms. Kiek krepšyje obuolių? 109. Dviejuose kambariuose buvo 78 vaikai. Po to, kai iš vieno kambario į kiemą išėjo 28, o iš kito — 42 vaikai, abiejuose kambariuose vaikų buvo po lygiai. Kiek vaikų buvo iš pradžių kiek­ viename kambaryje? 110. Senovėje skysčius seikėjo statinėmis, ąso­ čiais ir kibirais. Iš senų knygų žinome, kad 1 sta ­ tinė ir 20 ąsočių buvo lygūs 3 statinėms, o 19 s ta ­ tinių, 1 kibiras ir 15,5 ąsočių lygu 20 statinių ir 8 ąsočiams. Kiek kibirų telpa vienoje statinėje? 111. Profesorius Zetas Ygrekas garsėjo kaip aistringas gyvūnų ir humoro mėgėjas. Paklaustas, kokius jis namuose laiko gyvūnus, sąmojingai at­ sakė: „Visi jie, išskyrus du, yra šunys; visi jie, išskyrus du, yra katės; visi jie, išskyrus du, yra papūgos". Kiek profesorius turėjo gyvūnų? 112. Vienuolikos futbolininkų amžiaus vidurkis 22 metai. Per rungtynes vienas jų susižeidė ir ne­ galėjo žaisti. Aikštėje likusių žaidėjų amžiaus v i­ durkis tapo lygus 21 metams. Kiek metų futboli­ ninkui, gavusiam traumą?

46

Galvosūkiai

113. D au gelis tikriausiai žino šią su antikos matematiku Archimedu susijusią legendą. V ieną­ kart Sirakūzų valdovas Hieronas įtarė, kad auksa­ kalys, daręs jam karūną, dalį aukso pakeitė s i­ dabru. Tačiau įrodyti nepavyko: karūna svėrė tiek pat, kiek ir žaliava ir nesiskyrė nuo auksinės. Tuomet Hieronas kreipėsi į Archimedą. Ilgai jis suko galvą, kol pirtyje pastebėjo, kad panardinti vienodo svorio skirtingi kūnai išstumia skirtingą vandens tūrį. Tada Archimedas suprato, kad gali išspręsti šį uždavinį. U žsidegęs troškimu kuo greičiau surasti uždavinio sprendimą, nuogas bėgo per miestą šaukdamas „Eureka! Eureka!44 („Radau, radau!14). Pagerbdamas Archimedą, antikos rašytojas Metrodoras apie 330 m. sukūrė tokią epigramąuždavinį: „60 minų * karūnoje yra aukso, vario, bron­ zos ir geležies. Auksas ir varis kartu sudaro 2Į3, auksas ir bronza 3/4, auksas ir geležis 3/s karūnos bendros masės. Koks kiekvieno metalo kiekis yra karūnoje?44 Pamėginkite atsakyti į šį klausimą. 114. Klasės mokinių skaičius mažesnis už 49. Už kontrolinį darbą l/ 7 gavo penketus, V3 — ket­ vertus, V2 — trejetus. Visų kitų klasės mokinių darbai buvo įvertinti nepatenkinamai. Kiek m o­ kinių gavo nepatenkinamą pažymį? 115. 9 vienodos knygos kainuoja II rublių ir kažkiek kapeikų, 13 tokių pat k n y g ų — 15 rublių ir kažkiek kapeikų. Kiek kainuoja viena knyga? 116. Jonukas ir Marytė norėjo nusipirkti ledų. Tačiau Jonukui trūko 7 kap., o Marytei — 1 kap. * Mina — senovės Rytų valstybių, vėliau graikų pinigi­ nis ir svorio vienetas.

Ar visuomet būtina lygtis?

47

Bet ir susidėję pinigus, juodu neįstengė nusi­ pirkti vienos ledų porcijos. Kiek kainuoja ledų porcija? 117. Trys vairuotojai turėjo nuvežti 7 pilnas tepalo statines, 7 pripildytas iki pusės statines ir 7 tuščias statines. Kadangi visi turėjo vežti po vienodą krovinį, susiruošė tepalo įpilti į tuščias statines. Tačiau vienas vairuotojas pareiškė, kad tai nebūtina. Ir iš tikrųjų, tiek tepalą, tiek sta­ tines jis padalijo vairuotojams po lygiai, neper­ pildamas jų turinio. Kaip jis tai padarė? 118. Trys turistai atvyko į turistinę bazę. Ka­ vinėje jie užsisakė pyragaičių ir paprašė atnešti juos į kambarį. Belaukdami pyragaičių, jie už­ migo. Padavėja pyragaičius atnešė į kambarį ir pa­ dėjo ant stalo. Tas, kuris atsibudo pirmas, suskai­ čiavo pyragaičius, suvalgė jų trečdalį, ir vėl už­ migo. Po to atsibudo antras turistas, suskaičiavo pyragaičius, suvalgė trečią dalį, ir atsigulė mie­ goti. Trečiasis pasielgė taip, kaip ir pirmieji du. Liko aštuoni pyragaičiai. Kiek pyragaičių bu­ vo atnešta? 119. Matematikos profesorius sugrįžo iš atos­ togų. I klausimą, koks buvo oras, jis atsakė: „Iš 25 atostogų dienų 96% buvo šaltos, 80% dienų lijo; 76% dienų pūtė stiprus vėjas ir 68% dienų buvo apsiniaukusios. Visai kaip balandžio mėnesį“. Ar galite pasakyti, kiek profesorius turėjo v i­ siškai blogo oro atostogų dienų, t. y. kai buvo ir šalta, ir lijo, ir pūtė stiprus vėjas, ir buvo apsi­ niaukę? 120. Vasaros vakarą jaunuolis su skrybėle stovėjo ant tilto ir susimąstęs žiūrėjo į vandenį. Vėjo gūsis nuplėšė nuo jo galvos skrybėlę. Ji

48

Galvosūkiai

akimirksniu atsidūrė vandenyje. Jaunuolis visai negalvodamas šoko paskui ją, bet, būdamas išsi­ blaškęs, dešimt minučių plaukė prieš srovę. P a ­ galiau supratęs, kad plaukia ne ten, kur reikia, jaunuolis pasuko atgal ir pavijo skrybėlę ties antru tiltu, esančiu už kilometro nuo pirmojo. Kokiu greičiu teka upė? 121. St ai dar vienas uždavinys iš Alkuino uždavinyno: „Šuo vejasi kiškį, esantį už 150 pėdų. Kiekvienu savo šuoliu šuo nušoka 9 pėdas, o kiš­ kis — tik 7 pėdų atstumą. Po kiek šuolių šuo pa­ vys kiškį ?“ 122. Ir dar vienas panašus uždavinys, tik iš daug senesnio arabų veikalo: „Kiškis yra nutolęs nuo lapės per 36 jos šuolius. Kol kiškis nušoka 4 šuolius, lapė — 5 šuolius. 7 kiškio šuoliai lygūs 11 lapės šuolių. Po kiek šuolių lapė pavys kiškį?44 123. Vokiečių matematikas J. Vidmanas žymus tuo, kad jo dėka vartojame matematikos ženklus m+ « jr 1489 m. išleistame veikale jis pa­ teikė tokį uždavinį: „Jei liūtas suėda avį per v a ­ landą, vilkas — per 4 h, o šuo — per 6 h, tai per kiek laiko jie sudoros avį kartu?44 124. O štai uždavinys iš pirmojo rusų kalba matematikos vadovėlio, kurį 1703 m. išleido L. Magnickis: „Vyras atlieka darbą per 14 die­ nų, dviese su žmona — jau per 10 dienų. Per kiek dienų tą darbą padarytų viena žmona?44 125. Parduotuvė gavo 6 konteinerius, kuriuo­ se buvo atitinkamai 15, 16, 18, 19, 20 ir 31 1 pieno. Iki pietų pieną pardavė iš trijų konteine­ rių, o iki uždarant parduotuvę — visą pieną dar iš dviejų konteinerių. Paaiškėjo, kad rytą pieno buvo parduota dukart daugiau negu po pietų. Iš kurių konteinerių buvo parduotas pienas iki pietų?

Ar visuom et būtina lygtis?

49

126. Matematikos profesorius vakare išėjo pa­ sivaikščioti. Jis ėjo pastoviu 2 km/h greičiu. Po valandos paskui jį iš tos pačios vietos 3 km/h greičiu išskubėjo jo draugas su šunimi, š u o bėgo 4 km/h greičiu. Atbėgęs iki profesoriaus, šuo apsisukdavo ir bėgdavo iki savo šeimininko. Čia vėl apsisukdavo ir vydavosi profesorių. Taip jis bėgiojo tol, kol jo šeimininkas nepavijo profeso­ riaus. Kiek kilometrų per tą laiką nubėgo šuo? 127. Mykolas su sūnumi ir Petras su sūnumi išvyko žvejoti. Yra žinoma, kad Mykolo su g a u ­ tų žuvų skaičius baigiasi skaitmeniu 2, o jo sū­ naus sugautų žuvų skaičius — skaitmeniu 3. Petro sugautų žuvų skaičius baigiasi skaitme­ niu 3, o jo sūnaus sugautų žuvų skaičius — skaitmeniu 4. Bendras sugautų žuvų kiekis yra natūrinio skaičiaus kvadratas. Kuo vardu Mykolo sūnus? 128. Šį uždavinį sugalvojo L. Kerolas: „Du draugai, išėję pasivaikščioti iš viešbučio 3 v a ­ landą dienos, į jį grįžo 9 valandą vakaro. Jų maršrutas driekėsi lygia vietove, kilo į kalną ir leidosi į pakalnę. Lygia vietove jie ėjo 4 km/h greičiu, į kalną — 3 km/h, pakalnėn — 6 km/h greičiu. Kokį atstumą nuėjo draugai?4* 129. O šis uždavinys yra daug senesnis — jis rastas XIII a. veikale. Kelne gyveno trys broliai, turintys 9 indus su vynu. Tų indų talpa tokia: 1 kvortos, 2 kvortų, 3 kvortų ir t. t. Kiekvieno indo talpa viena kvorta didesnė. Kaip broliams pasidalyti po lygiai v y ­ ną, kad kiekvienam tektų po 3 indus? 130. Poilsio minutę garsieji muškietininkai Atas, Portas, Aramis ir d’Artanjanas nusprendė 4

-

8488

50

Galvosūkiai

išmėginti jėgas, traukdami virvę. Portas su d’Artanjanu lengvai įveikė Atą su Aramiu. Tačiau Portas su Atu vos nugalėjo Aramį su d’Artanjanu. O Porto su Aramiu ir Ato su d’Artanjanu poros užfiksavo lygiąsias. Suskirstykite m uš­ kietininkus pagal stiprumą. 131. Karalius Kyras * į nelaisvę paėmė 100 žymių priešų. Juos uždarė vienutėse, kurių kiek­ vienos raktą saugojo pats Kyras. Kameros buvo atrakinamos pirmu rakto pasukimu, užrakinamos antru pasukimu, vėl atrakinamos trečiu pasukimu ir t. t. Kyras nusprendė savo gimimo dieną paleisti visus belaisvius. Kadangi jie vis tiek turėjo būti išlaisvinti, jis paliepė dvariškiui atrakinti visas kameras. Tačiau belaisviai negalėjo išeiti į lais­ vę, nes koridorių saugojo iki dantų ginkluota sar­ gyba. Bet rytojaus dieną Kyras persigalvojo ir liepė pasukti raktą antros, ketvirtos, šeštos ir v i­ sų kitų lyginių kamerų spynų. Trečią dieną tas pats buvo padaryta su trečios, šeštos, devintos ir t. t. kamerų spynomis. Kasdien raktai būdavo sukami tų kamerų, kurių numeriai buvo tos die­ nos skaičiaus kartotiniai. Šimtąją dieną buvo pa­ suktas tik šimtosios kameros spynos raktas. Tą dieną Kyras šventė savo gimtadienį, todėl sa rg y ­ ba buvo paleista. Belaisviai, kurių kameros buvo atrakintos, išėjo į laisvę. Kiek belaisvių paleido karalius Kyras? 132. Gyveno penki broliai: Jonas, Saulius, Andrius ir dvyniai Rimas bei Romas. Rimo ir Ro­ mo metų sandauga lygi Andriaus gimimo metams, Andriaus ir Sauliaus metų sandauga lygi Jono gimimo metams. Jono sūnus 1986 metais buvo * Kyras — Persijos

karalius

(558— 529 m.p.m.e.).

Ar visuomet būtina lygtis?

51

penkiskart jaunesnis už savo bendravardį dėdę. Kuo vardu Jono sūnus? 133. Vyrui laisva kas devinta diena, o žmo­ nai — kas šešta diena. Jis nedirba šiandien, o ji — rytoj. Kada ši pora ilsėsis kartu? 134. Muškietininkai iš savo pulko kareivinių iki karaliaus rūmų nujoja per 40 min, o d’Artanjanas — per 30 min. Vieną rytą, atvykęs į karei­ vines, d’Artanjanas sužinojo, kad prieš 5 min muškietininkai išjojo į karaliaus rūmus. Per kiek laiko d’Artanjanas pavys muškietininkų pulką? 135. Jonas gyvena Taikos gatvėje, o įstaiga, kurioje jis dirba, yra netoli universiteto. Nors nuo namų iki darbo nemažas atstumas, Jonas į darbą eina pėstute pastoviu greičiu. Nuėjęs treč­ dalį kelio, jis prie troleibusų sustojimo aikštelės mato laikrodį. Tuomet jis rodo 7 valandas 55 mi­ nutes. Pusiaukelėje — pieno kavinė. Tuo metu yra 8 valandos 5 minutės. Kavinėje jis pusryčiauja 15 min. Kelintą valandą Jonas ateina į darbovie­ tę? Kada jis išeina iš namų? 136. Jei į darbą aš einu pėstute, o grįžtu au­ tobusu, tai kelionėje užtrunku 1 h 35 min. Jei į abi puses važiuoju autobusu, iš viso tądien ke­ lyje būnu 40 min. Kiek laiko užtrukčiau kelionė­ je, jei į darbą ir iš darbo eičiau pėstute? 137. Kambaryje yra taburečių ir kėdžių. Ta­ buretės yra trikojės, o kėdės — keturkojės. Kai ant visų taburečių ir kėdžių susėdo žmonės, kambary­ je iš viso buvo 39 kojos. Kiek kėdžių ir tabure­ čių buvo kambaryje? 138. Turime du natūrinius skaičius, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 5. Iš didesniojo atima­ me mažesnį skaičių. Kam bus lygus mažiausias iš visų tokių skirtumų?

52

Galvosūkiai

139. Sunkvežimio vairuotojas kelionės pra­ džioje atkreipė dėmesį į tai, kad spidometras ro­ do simetrinį skaičių 15951. Po 2 h spidometras rodė sekantį simetrinį skaičių. Koks sunkmežimio greitis? 140. Raskite mažiausią skaičių, kurį padalijus iš 2 gaunama liekana 1, padalijus iš 3 — liekana 2, padalijus iš 4 — liekana 3, padalijus iš 5 — liekana 4, padalijus iš 6 — liekana 5, padalijus iš 7 — liekana 6, padalijus iš 8 — liekana 7 ir padalijus iš 9 — liekana 8. 141. Elipsės šalyje buvo paskelbtas buto tipi­ nio projekto konkursas. Bute gali gyventi viena, dvi, trys arba keturios šeimos. Kambarių turi būti kiek galima mažiau ir visais atvejais g y v e ­ namas plotas turi būti padalytas po lygiai visoms jame gyvenančioms šeimoms. Pateikite pasiūly­ mą dėl kambarių skaičiaus ir dydžio. 142. Prancūzų rašytojas Stendalis autobiogra­ finėje apysakoje taip aprašo vieną mokyklinių dienų epizodą: „Aš radau pas jį (matematikos mokytoją — A. B.) Oilerio veikalą ir jame užda­ vinį apie kiaušinių kiekį, kurį valstietė nešė į tur­ gų. . . Man tai buvo atradimas. Aš supratau, ką reiškia naudotis tokiu ginklu kaip algebra. Bet, velniai griebtų, niekas man apie tai nebuvo kal­ bėjęs. . Štai tas uždavinys iš L. Oilerio „Pilno įvado į algebrą11: „Dvi valstietės nunešė į turgų 100 kiaušinių. Pirmoji jų turėjo daugiau už antrąją. Už kiaušinius valstietės gavo po lygiai pinigų. Tada antroji valstietė ir tarė pirmajai: „Jei bū­ čiau turėjusi tavo kiaušinius, būčiau gavusi 15

Ar visuortiet būtina lygtis?

kreicerių Į tai pirmoji atsakė: „O jei aš bū­ čiau turėjusi tavo kiaušinius, būčiau gavusi tik 62/3 kreicerio44. Kiek kiaušinių turėjo kiekviena valstietė?44 ** 143. Žymus rusų rašytojas L. Tolstojus labai mėgo tokį uždavinį: „Šienpjoviai turėjo nupjauti dvi pievas. Iš ryto pradėję pjauti didesniąją pie­ vą, po pusiaudienio jie pasiskirstė: pusė pasili­ ko pirmojoje ir iki vakaro ją nupjovė, o kita pusė nuėjo pjauti antrosios pievos, kurios plotas du kartus m ažesnis už pirmosios. Kiek buvo šien­ pjovių, jeigu likusią pievos dalį per kitą dieną nupjovė vienas šienpjovys?44 144. Rašytojas Džekas Londonas viename s a ­ vo apsakyme aprašė, kaip jis penkių šunų trau­ kiamomis rogėmis skubėjo iš Skagvėjaus (Alias­ koje) į stovyklą, kur jo pagalbos laukė mirštantys draugai. Tą apsakymą galima interpretuoti kaip įdomų matematinį galvosūkį. Pirmas 24 h rogės lėkė di­ džiausiu, Dž. Londono norimu greičiu. Tačiau baigiantis šioms 24 h du kinkinio šunys perkrimto pavalkus ir pabėgo su vilkais. Dž. Londonas turėjo toliau keliauti su trejetu šunų, kurie trau­ kė roges greičiu, lygiu 3/s pradinio greičio. Todėl jis į stovyklą atvyko pavėlavęs 2 * 2 4 = 4 8 h. Kar­ tu autorius pabrėžia: „Jei visi šunys būtų traukę kinkinį dar 50 mylių, tai būčiau pavėlavęs tik vieną parą44. • Kreiceris — Iki X IX a. pab aigos Austrijos-V engrijoje ir Vokietijoje vartotas smulkus pinigas. ** E u 1 e r L. V ollsta n d ig e A nfeitung zur Algebra.— St. Petersburg, 1802.— T. 2.— S. 81.

54

G alvosūkiai

Kyla klausimas: koks buvo atstumas nuo Skagvėjaus iki stovyklos? Apsakyme apie tai nėra nieko pasakyta, tačiau gerai pagalvoję jūs galite nustatyti. 145. Sį galvosūkį sukūrė prancūzų m atem ati­ kas Eduardas Liuką — įdomiosios matematikos knygos autorius. Vienoje matematikų konferenci­ joje jis pateikė tokį uždavinį: „Tarkime, kad kas­ dien iš Havro į Niujorką ir iš Niujorkp į Havrą išplaukia po garlaivį. Kelionė trunka lygiai 7 p a ­ ras. Pasiekęs kelionės tikslą, garlaivis iškart apsigręžia ir plaukia atgal. Kiek šios linijos laivų aš sutiksiu kelyje, jei šiandien per pietus iš ­ plauksiu iš Havro į Niujorką?14 Pam ėginkite ir jūs atsakyti į šį klausimą.

V. Per angusta ad augusta Kas yra matematika? D aug kas nepagalvojęs atsakys: tai aritmetika, algebra, geometrija. Ta­ čiau, jei jų paklaustume, kodėl aritmetika ar al­ gebra yra matematika, daugelis negalėtų atsa­ kyti. Tad klausimas — „Kas yra matematika?" — nėra savaime aiškus, kaip gali atrodyti iš pirmo žvilgsnio. Ir nieko nuostabaus. Per visą matema­ tikos istoriją yra pateikta daugybė įvairių jos apibrėžimų. Kitaip ir negali būti,— juk matemati­ ka yra amžinai jaunas mokslas, kas amžių vilkin­ tis nauju rūbu, besipuošiantis naujomis teorijo­ mis ir rezultatais. Tačiau daugelis nesugebėjusių pateikti tiks­ laus matematikos apibrėžimo vis tiek atskirtų ma­ tematiką nuo kitų mokslų. Kaip sakoma, liūtą pa­ žinsi iš nagų. Kad ir kaip nugrimuotas būtų šis žvėrių karalius, niekas jo nesupainios nei su ožka, nei su kate. „Mokslų karalienės44 (taip matematiką pavadino įžymus XIX a. matematikas K. F. Gau­ sas) irgi negalima supainioti su jokiu kitu mokslu. Tuo patys įsitikinsite, jei pamėginsite išspręsti šiuos galvosūkius. * Per aukštumas.

an gu sta

ad

au gu sta

(lot.) — per

sunkum us

į

56

Galvosūkiai

146. 16 bloknotų kainuoja tiek rublių, kiek bloknotų galima nupirkti už vieną rublį. Kiek kainuoja vienas bloknotas? 147. Svečias vyresniajam broliui davė pusę atsineštų saldainių ir dar pusę saldainio, o jau­ nesniajam broliui — pusę likusių saldainių ir dar pusę saldainio. Kiek saldainių gavo vyresnysis brolis, jei žinoma, kad broliams teko sveikas skaičius saldainių, iš jų jaunėliui — 4 saldainiai? 148. Aš jaunesnis už savo senelį tiek kartų, kiek kartų esu vyresnis už savo seserį. Kiek man metų, jei mano seseriai dar nėra 6 m., o mums su seneliu kartu yra 84 m.? 149. Vienas keliautojas nutarė pereiti per dy­ kumą, kurioje nebuvo nė vienos oazės, per šešias dienas. Kiek nešikų turėjo pasisamdyti keliauto­ jas, jei jis pats ir kiekvienas nešikas gali nešti tiek maisto ir vandens atsargų, kiek jų pakanka vienam žmogui keturioms dienoms? 150. Šaudydamas į taikinį, sportininkas kele­ tą kartų pataikė į „dešimtuką44, tiek pat kartų su­ rinko po 8 taškus ir kažkiek kartų pataikė į „pen­ ketuką44. Kiek kartų iššovė sportininkas, jei jis surinko iš viso 99 taškus? 151. Sveikieji skaičiai a ir b tenkina lygtį a + b = ab. Raskite a ir b. 152. Kurių dviejų natūrinių skaičių suma ly­ gi jų sandaugos dešimtadaliui? 153. Triženklio skaičiaus pirmieji du skaitme­ nys vienodi, o trečiasis — 5. Tą skaičių padali­ jus iš vienaženklio skaičiaus gaunama liekana 8. Raskite tą triženklį skaičių. 154. Tarp 26 monetų viena yra netikra (ma­ žesnės, m asės). Keliais svėrimais svirtinėmis

Per angusta ad augusta

57

svarstyklėmis (be svarsčių) galima nustatyti ne­ tikrą monetą? 155. Keliais svėrimais svirtinėmis svarstyk­ lėmis ir 200 g svareliu galim a iš 9 kg cukraus kiekio atsverti 2 kg cukraus? 156. Turime 4 panašias monetas. Kiekviena jų privalo sverti 5 g. Yra žinoma, kad tik viena mo­ neta yra kitokios masės. Kaip, naudojantis svirti­ nėmis svarstyklėmis ir vienu 5 g svareliu, dviem svėrimais surasti netikrą monetą ir nustatyti, ko­ kia ji — sunkesnė ar lengvesnė už kitas? 157. Iš 32 mokinių būrio mokytojas išsirinko vieną mokinį. Vaikai turi jį nustatyti. Mokytojas į klausimus gali atsakyti tik „taip44 arba „ne44. Kiek mažiausiai klausimų turime pateikti moky­ tojui, kad galėtum e nustatyti pasirinktą mokinį? 158. Turime du indus. Vienam e jų yra 300 g vandens, kitame — 300 g acto. Iš pirmojo indo į antrąjį ir atgal pilstykime po 100 g skysčio (kas­ kart rūpestingai sumaišykime m išinį). Ar gali taip atsitikti, kad po kažkiek tokių pilstymų abie­ juose induose bus vienodas acto kiekis? 159. Vieną kartą mokytojas savo mokiniams liepė sudėti visu s natūrinius skaičius nuo 1 iki 100 imtinai. Jis manė, kad, kol vaikai susidoros su šiuo uždaviniu, praeis ne mažiau kaip pus­ valandis. Tačiau nepraslinko nė dvi minutės, kai vienas dešimtmetis berniukas pasisakė išsprendęs uždavinį ir nurodė teisingą atsakymą: 5050. Tas berniukas buvo Karlas Frydrichas Gausas. P a s a ­ kykite, kaip jis per dvi minutes galėjo išspręsti uždavinį. 160. Kiek mažiausiai reikia paimti sumos 1 + 2 4 - 3 + 4 + . . . dėmenų, kad gautume dviženk­ lį skaičių, užrašomą vienodais skaitmenimis?

58

Galvosūkiai

161. Vienoje gatvės pusėje tarp dviejų sa n ­ kryžų esančių namų numerių suma „lygi 33. P a ­ sakykite namų numerius. 162. Trys žvejai žvejojo prie upės. Vakare jie savo laimikį sudėjo krūvon ir nuvargę užmigo. Naktį atsibudo vienas žvejys, suskaičiavo žuvis, vieną išmetė į upę, likusias padalijo į tris lygias dalis, pasiėmė savąją dalį ir, nepažadinęs mie­ gančių draugų, iškeliavo namo. Netrukus atsibudo antras žvejys, irgi suskaičiavo žuvis, vieną išmetė į upę ir, paėmęs trečiąją likusių žuvų dalį, iške­ liavo namo. Atsibudo ir trečiasis žvejys. Nežino­ damas, kad kiti jau išėję namo, jis, išmetęs vie­ ną žuvį, pasiėmė trečią likusių žuvų dalį ir išėjo namo. Kokį mažiausią žuvų skaičių sugavo žvejai? 163. Keturi draugai atsidūrė negyvenamoje s a ­ loje. Nusiskynę bananų, jie užmigo. Naktį atsi­ budo vienas jų, suskaičiavo bananus, vieną ati­ davė netoliese buvusiai beždžionėlei, likusius pa­ dalijo į keturias lygias dalis, suvalgė vieną dalį ir vėl užsnūdo. Tą patį padarė ir visi kiti draugai. Kokį mažiausią bananų kiekį jie buvo nusiskynę? 164. Reikėjo supakuoti knygas. Kai jas imta rišti po 4, po 5 arba po 6 į vieną ryšulį, tai kiek­ vieną kartą likdavo viena knyga. Ir tiktai paban­ džius jas rišti į ryšulį po 7 knygas, atliekamų knygų neliko. Kokį mažiausią knygų kiekį reikė­ jo supakuoti? 165. Vaikai dalijosi riešutus. Pirmasis paėmė 1 riešutą ir dar septintą dalį liekanos, antrasis paėmė 2 riešutus ir dar septintą dalį naujos lie­ kanos, trečiasis — 3 riešutus ir septintą dalį nau­ jos liekanos ir t. t. Visi riešutai buvo išdalyti po lygiai. Kiek buvo vaikų?

feer angusta ad augu sią

166. Kartą, rugpjūčio pabaigoje, kai vilniečiai pradėjo grįžti iš atostogų, Jonas susitiko žvalų, energingą Juozą, atostogavusį Kaukaze. — Kur atostogavai? — paklausė Juozas. — Beveik penkias savaites praleidau Palan­ goje. — O koks ten oras? Tikriausiai kaprizingas? — Nepaprastai! Bet tam aš buvau pasiruošęs. Manęs nenustebino ir tai, kad lietingų dienų bu­ vo daugiau negu saulėtų. — Nepasisekė tau! Klausyk, juk žadėjai dau­ giau nevalgyti šokoladinių saldainių. Pats aiški­ nai, kad jie kenkia sveikatai. Kam juos perki? — Ž ad ėjau .. . Bet Palangoje vėl pradėjau. Oras privertė. Be to, pastebėjau, kad lietingomis dienomis suvalgydavau po 20 saldainių, o saulė­ tomis — daug mažiau: penktadalį kiekvienai atos­ togų dienai vidutiniškai tenkančio kiekio. Pagalvokite, ar šių duomenų užtenka, kad g a ­ lima būtų apskaičiuoti, kiek lietingų dienų buvo Palangoje. 167. Legenda pasakoja, kad Indijos šachas nu­ tarė apdovanoti šachmatų išradėją. Šachas pasi­ kvietė jį į rūmus ir pasiūlė pasirinkti brangenybę. Išradėjas atsisakė įvairių brangakmenių bei auk­ so ir paprašė už_ pirmą šachmatų lentos laukelį vieną kviečio grūdą, už antrą — du grūdus, už trečią — keturis ir t. t. už kiekvieną kitą dvigubai daugiau grūdų. Šachas nusijuokė: „Kad ir paikas tu: dėl kelių maišų grūdų atsisakai tokių brange­ nybių". Ir galima įsivaizduoti, kaip jis nustebo, kai atėjęs tarnas pranešė, jog prašomo grūdų kie­ kio ne tik kad dabar nėra, bet ir neturėta per visą šacho valdymą. Kiek grūdų užsiprašė šachmatų išradėjas?

w

60

Galvosūkiai

168. Vieną kartą piratai sugavo 6 plantato­ rius. Kiekvienas jų turėjo tarną negrą. Nesitikė­ dami gauti išpirkos, piratai nusprendė belaisvius paleisti, prieš tai šešis jų išplakus. Belaisviai turėjo sustoti ratu. Piratai, pradėję skaičiuoti nuo vyriausio plantatoriaus, kas dvyliktą ištraukdavo iš rato, išperdavo ir skaičiuodavo toliau. P lan ta ­ toriai norėjo taip sustoti, kad rykščių gautų tik tarnai. Tačiau dėl savo neišmanymo visi planta­ toriai buvo išperti. Pamėginkite įspėti, kaip be­ laisviai sustojo ratu. 169. Senovinėse knygose pasakojama apie Ry­ tų gudruolį, kuris kartu su 40 gentainių, bėgda­ mas nuo romėnų, pasislėpė giliame urve. Kada beveik neliko vilčių išlikti gyviems, bėgliai nu­ sprendė nusižudyti. Jie sustojo ratu ir, pradėję skaičiuoti nuo kurio nors, kas trečią pasmerkdavo mirčiai. Taip jie turėjo skaičiuoti tol, kol neliks nė vieno. Tačiau gudruolis ir jo draugas p a g a l­ vojo: jei jie liks paskutiniai, galbūt jiems pa­ vyks kaip nors išvengti persekiotojų. Todėl g u d ­ ruolis pradeda skaičiuotę taip, kad lemtingas skaičius jokiu būdu neiškristų jam arba jo drau­ gui. Kurioje vietoje turėjo atsistoti gudruolis ir jo draugas? 170. A ir B pardavė triušių ir už kiekvieną triušį gavo tiek rublių, kiek iš viso buvo triušių. Gautus pinigus juodu dalijosi taip: vienas po ki­ to ėmė 10 rub. banknotą. A gavo vienu tokiu banknotu daugiau. Kad nenuskriaustų draugo, prie likučio pridėjo savo piniginę (be abejo, tuš­ čią). Kiek kainavo piniginė? 171. Važiuodamas dideliu greičiu, neatsargus vairuotojas ,parbloškė pėsčiąjį, ir nesustojęs nu­ važiavo toliau. Įvykį matė trys liudininkai. Deja,

Per angusta ad augusta

61

nė vienas iš jų neįsidėmėjo nei automobilio mar­ kės, nei spalvos, nei numerio. Štai jų parodymai: — Aš pastebėjau, kad pirmieji du automobilio numerio skaitmenys vienodi. — Aš įsidėmėjau, kad du paskutiniai numerio skaitmenys vienodi. — Aš neprisimenu numerio. Žinau tik, kad jis buvo natūrinio skaičiaus kvadratas. Ar galite nustatyti automobilio numerį? 172. Senovės romėnai buvo geri teisininkai, tačiau nekokie matematikai. Kaip jūs padėtumėte jiems išspręsti tokį uždavinį: „Vyras, mirdamas prieš gimstant kūdikiui, paliko tokį testamentą: jei gims sūnus, jam teks dvigubai daugiau pa­ likimo negu motinai; jei gims duktė, jai teks dvi­ gubai mažiau palikimo negu motinai. Gimė dvy­ n i a i — berniukas ir mergaitė. Kaip turi būti pada­ lytas palikimas?** 173. Senovinis kinų uždavinys: „Mandarino sode yra fazanų ir triušių. Visi kartu jie turi 35 galvas ir 94 kojas. Kiek ten fazanų ir triušių?” 174. O šis uždavinys iš vieno XVIII a. mate­ matikos uždavinyno: „80 asmenų, sužinoję apie skurstančius malabardiečius, surinko jiems 200 talerių. Aukojo vyrai, moterys ir mokiniai. Vyrai davė po 6 talerius, moterys po 3, mokiniai po 1. Kiek buvo vyrų, kiek — moterų ir kiek — moki­ nių ?“ 175. Žymus lietuvių poetas A. Baranauskas buvo neblogas matematikas mėgėjas. Dar vaikys­ tėje jis išsprendė tokį uždavinį: „Kiek galima nu­ pirkti jaučių, karvių ir veršiukų, mokant už jautį 10 rub., už karvę — 5 rub., o už veršiuką — pusę rublio, kad už 100 rub. būtų nupirkta 100 galvi­ jų?" Pamėginkite ir jūs išspręsti.

62

Galvosūkiai

176. Per atostogas keturios sutuoktinių poros išgėrė 49 butelius limonado. Onutė išgėrė 2 bu­ telius, Beatričė — 3, Saulė — 4, Agnė — 5. Tuo tarpu Adomėnas išgėrė tiek butelių, kiek ir jo žmona, Braškūnas — dvigubai daugiau už savo žmoną, Jonaitis — trigubai daugiau už žmoną, Gražys — keturgubai daugiau už savo žmoną. Kokia kiekvienos moters pavardė, jei žinoma, kad Onutė ne Jonaitienė? 177. Vieną kartą svečias paklausė matemati­ kos mokytoją: — Kiek jūs turite vaikų ir kokio jie amžiaus? — Turiu tris berniukus,— atsakė tas.— Jų m e­ tų sandauga lygi 72, o suma — mūsų namo nu­ meriui. Svečias išėjo laukan, pažiūrėjo į numerį ir pa­ sakė: — Uždavinio dar neįmanoma išspręsti. — Taip, jūs teisus,— tarė mokytojas,— tačiau aš vis dar tikiuosi, kad mano vyriausias sūnus taps Vilniaus miesto plaukimo čempionu. Kiek metų kiekvienam berniukui? 178. Sis uždavinys buvo sukurtas 1923 metais Jungtinėse Amerikos Valstijose. Jis tuojau pa­ traukė ne tik Amerikos, bet ir Europos m atemati­ kos mėgėjų dėmesį: „Marija 24 metų. Ji dabar turi dvigubai daugiau metų negu jų turėjo Ana tuo metu, kai Marijai buvo tiek metų, kiek dabar jų Anai. Kiek dabar Anai metų?“ 179. Mokiniai sprendė tokį uždavinį: „Nuo Kauno iki Kuršių marių motorlaivis plaukia (ne­ sustodamas) 5 h. Grįždamas (irgi be sustojimų) jis sugaišta 7 h. Per kiek laiko nuo Kauno iki Kuršių marių nuplauks sieliai, nešami tik N em u­ no srovės?",

Per angusta ad augusią

Prie mokinių priėjo Kindziulis ir larė: „Kas čia sunkaus! Reikia tik 5 padauginti iš 7 ir g a u ­ sime ieškomą laiką“. Ar teisus Kindziulis? 180. Matematikos mokytojas tarė mokiniams: — Štai aš parašiau kubinį daugianarį su svei­ kaisiais koeficientais. Šiandien yra mano sūnaus gimtadienis. Jei jo amžių A įrašysite vietoj x į š j daugianarį, tai pastarojo reikšmė irgi bus lygi A . Tačiau, jei vietoj x įrašysite 0, tai gausite skaičių 13, kuris yra daug didesnis už A. P a m ė ­ ginkite apskaičiuoti mano sūnaus amžių. Visi puolė atlikti veiksmus. Tik Tomas neprisilietė prie popieriaus. Net nepažvelgęs į šį aaugianarį, jis tarė: — Jūsų sūnui dabar yra . . . Nustatykite, ką pasakė Tomas ir kaip jis su ­ gebėjo apskaičiuoti mokytojo sūnaus amžių. 181. Senais laikais jaunuolis atėjo pas įžymų matematiką, prašydamas jį priimti savo mokiniu. O ką tu moki? — paklausė senasis m ate­ matikas. — Parašykite man bet kokią penktojo laips­ nio lygtį, kurios koeficientai būtų skaičiai 5, - 2 , 7* 3, 2, ir aš bematant pasakysiu bent vieną natūrinį šios lygties sprendinį. — Matau, kad tu išmanai matematiką,— nusi­ šypsojęs tarė išm intingasis matematikas. Pam ėginkite įspėti jaunuolio paslaptį. 182. Trečiojo laipsnio daugianario P ( x ) koe­ ficientai yra sveikieji skaičiai, o a ir b — natūri­ niai skaičiai. Yra žinoma, kad: a) a dvigubai didesnis už b; b) P ( a ) = 0, P ( b ) = 5; c) a nėra pirminis skaičius. Kam yra lygūs a ir b ?

64

Galvosūkiai

183. Kas daugiau: 0,2 ar 0 ,1 9 9 9 9 ... ? 184. Septintokai ir aštuntokai pririnko 1989 kg metalo laužo. Kiekvienas septintokas atnešė 17 kg, o kiekvienas aštuntokas— 19 kg metalo. Kiek mažiausiai mokinių rinko metalo laužą? 185. Du sunkvežimiai dvi dienas vežė krovi­ nius. Pirmą dieną pirmasis sunkvežimis padarė 4, o antrasis — 3 reisus, iš viso nuvežė mažiau ne­ gu 21 t. Antrą dieną pirmasis sunkvežimis pada­ rė 7, o antrasis — 4 reisus, iš viso nuvežė dau­ giau kaip 33 t. Katras sunkvežimis gali pervežti didesnį krovinį vienu reisu? 186. Name gyvena šeimos su vaikais. Yra ži­ noma, kad vaikų daugiau negu tėvų, o šių dau­ giau negu berniukų; berniukų daugiau negu mer­ gaičių, o mergaičių daugiau negu šeimų. Vaikų skaičius šeimose nevienodas. Kiekviena mergaitė turi brolį ir daugių daugiausia — vieną seserį. Viena šeima turi daugiau vaikų už visas kitas šeimas kartu paėmus. Kiek šeimų gyvena name?

65

VI. Ar mėgstate geometriją? Antikos žmonėms žodis „geom etrija44 reiškė tą patį, ką ir „matematika". Tad pagrįstai tie lai­ kai dar vadinami geometrijos aukso amžiumi. Galbūt todėl viduramžiais, kada antikos išm in­ čiai buvo ypač gerbiami (jų žodis lemdavo įvairių mokslinių ginčų baigtį), matematiko nie­ kas kitaip ir neįsivaizduodavo kaip su jo neat­ skiriamu palydovu — skriestuvu. Štai kodėl tų laikų paveiksluose ir graviūrose matematikai išdi­ džiai laiko rankose skriestuvą — savo mokslo š a ­ kos ženklą. Ir net XVIII a. filosofui bei m atem a­ tikui Dalamberui skriestuvas buvo jo m inties dar­ bo simbolis. Tačiau šių dienų mokslininkai matematikai skriestuvą, liniuotę labiau linkę atiduoti kons­ truktoriui, matininkui ar matematikos mokytojui. Matematikoje dabar vyrauja analizė ir skaičių teorija, tikimybių teorija ir m atematinė logika, ir su skriestuvu nėra ką veikti. Ir vis dėlto neturi­ me užmiršti senovės graikų istoriko Plutarcho žodžių. „Platonas sakė, kad dievas visada viską geometrizuoja44. Kažin ar pajėgsim e papriešta­ rauti šiam antikos išminčiui, jei, žinoma, žodį „dievas suprasime kaip „ g a m tą 44. Prisim inus g e o ­ metriją, mums pirmiausia iškyla trikampio, kvad­ rato, rombo vaizdiniai. Tačiau tai tik trupinėlis, palyginti su gam tos geometrijos figūromis. Jo8

—

8486

66

Galvosūkiai

je rasime tokių kreivių ir figūrų, kurių nėra ty­ rinėjęs nė vienas pasaulio matematikas. Galbūt todėl gamta tarsi magnetas traukia žmones pail­ sėti ir prasiblaškyti. O geometrija gali būti pui­ kus prieglobstis tiems, kas pavargo nuo skaičių ir raidinių simbolių. Tik čia mūsų vaizduotė gali plačiai išskleisti savo sparnus. Ar jūs m ėgstate geometriją? Neskubėkite at­ sakyti. Pirmiau išspręskite šiuos galvosūkius. 187. Vieną kartą matematikos mokytojas pa­ sakojo savo mokiniams: „Šiandien man pasiūlė pirkti trikampį m edžiagos gabalą, kurio kraštinės lygios 160, 250 ir 90 cm. Ir, be to, visai pigiai: 1 m2 kainuoja tik 1 rub. Kiek aš turiu sumokėti už pirkinį?" Mokytojo auklėtiniai atsakė į šį klausimą. O jūs ar pajėgūs surasti atsakymą? 188. Tėvas tarė savo sūnums: „Duosiu aš jums trikampių vaflių. Šie trikampiai yra dviejų tipų. Be to, antrojo tipo trikampio kiekviena kraš­ tinė yra didesnė už pirmojo tipo trikampio bet kurią kraštinę. Kokius vaflius jūs pasirinktumė­ te?" Jaunesnysis sūnus tarė: „Duok man vaflius, kurių kraštinės yra didesnės". Vyresnysis sūnus, jau mokęsis matematikos, pasakė: „Bet tokio tri­ kampio plotas gali būti mažesnis už kito trikam­ pio, kurio kraštinės mažesnės, plotą". Ar jis teisus? 189. Sudarykite 8 trikampius iš 7 degtukų. 190. Kaip iš 6 degtukų sudaryti 4 lygiašonius trikampius? 191. Kaip 4 vienodus butelius pastatyti ant stalo taip, kad jų kakleliai būtų vienodai nutolę vienas nuo kito?

Ar m ėgstate geometriją?

67

192. Vieną kartą mažos valstybėlės ka­ riuomenės vadas gavo tokį įsakymą: „Valdovo atvykimo proga išri­ kiuokite visą savo ka­ riuomenę šešiomis eilė­ mis taip, kad kiekvie­ noje eilėje stovėtų 5 kareiviai44. Vadas su­ glumo: „Juk aš turiu tik 24 kareivius44. Ta- 6 pav. čiau netrukus, jis vis tiek sugalvojo, kaip įvykdyti užduotį. Ką jis pa­ darė? 193. Karvę ganyti moteris galėjo pusskritulio formos pievoje. Išgindam a karvę, ji pasiėmė tris kuoliukus, žiedelį ir virvę. Kaip moteris turėjo pri­ rišti karvę, kad ji galėtų ėsti žolę bet kurioje šios pievos vietoje, neišeidama už jos ribų? 194. I kiekvieną iš trijų namų norima įvesti dujas, elektrą ir vandenį. Ar galim a komunikaci­ jas nutiesti taip, kad jos, niekur nesusikirsdamos, kiekvieną namą sujungtų su elektros, duju ir vandens šaltiniais? 195. Laikrodžio ciferblato valandos surašytos arabiškais skaičiais. Ciferblatą reikia suskirstyti į šešias dalis taip, kad kiekvienoje jų skaičių s u ­ ma būtų ta pati. 196. Padalykite laikrodžio ciferblatą į tris da­ lis taip kad kiekvienoje dalyje skaičių suma bū­ tų lygi 17. 197. Viename pilies požemio (6 pav.) kamba^ jYa? Paslėpė visas savo brangenybes. Valdovo įpėdiniams testamente buvo nurodyta

68

7 pav.

Galvosfikfai

8 pav.

kaip rasti paslėptą lobį: iš pradžių įeiti į vieną iš kraštinių požemio kambarių ir nuo jo eiti per visas požemio duris tik po vieną kartą. Tos durys, kurios bus paskutinės, ir nurodys ieškomąją vietą. Suraskite požemio kambarį, kuriame paslėptas lobis. 198. Įsivaizduokite, kad jūs norite apžiūrėti sodą (7 pav.), kurio A — įėjimas, B — išėjimas. Du kartus eiti ta pačia alėja negalima. Kokį maršrutą pasirinktute? 199. Nupieškite figūrą (8 pav.), neatitraukę pieštuko nuo popieriaus ir nebrėžę du kartus tos pačios linijos. 200. Keturiems sūnums tėvas liepė pasidaly­ ti žemę, kurioje augo 4 obelys jr 4 kriaušės (9 paveiksle obelys pavaizduotos taškais, kriaušės kryžiukais). Kad nė vienas nebūtų nuskriaustas, žemę turėjo padalyti į lygias, vienodos formos dalis; kiekvienoje jų turėjo būti po obelį ir kriau- , šę. Kaip sūnūs išsprendė uždavinį?

69

Ar mėgstate geometriją?

X X X X X X X X X 9 pav.

A ii ii ii i i•

X X X X X "T

ii ii

10 pav.

201. Devyni medžiotojai gali nušauti visus keturiolika kiškių (10 pav.). Pagalvokite, kaip išdėstyti medžiotojus ir kiškius, kad nė vienas medžiotojas negalėtų nušauti nė vieno kiškio. Medžiotojai gali šauti vertikaliai, horizontaliai ir įstrižaine. 202. Dešimt monetų išdėstytos trikampiu (11 pav.). Perkelkite tik tris monetas taip, kad tri­ kampio viršūnė būtų apačioje. 203. Įsivaizduokite, kad tiek Žemė, tiek mo­ kyklinis gaublys yra apjuosti siūlu per pusiau­ ją. Abiejų siūlų ilgius pailginame vienu metru. Per kurį iš susidariusių tarpų galėtų pralįsti katė? 204. Žymus senovės Romos poetas Vergilijus poemoje „Eneida44 taip aprašo Kartaginos miesto įkūrimą. Kilmingoji Didonė kartu su savo arti­ maisiais finikiečiais atkeliavo į pusiasalį, kur vė­ liau iškilo Kartagina (finikietiškai — Naujas miestas), ir vietinių gyventojų paprašė duoti jiems žemės įsikurti. Pastarieji, nenorėdami neprašytų

70

Galvosūkiai

o O O o

o

o

oooo 11 pav.

•

•

•

•

.

•

. . . 12 pav.

atsikėlėlių, sutiko suteikti tiek žemės, kiek jie ap­ rėps viena jaučio oda. Tačiau Didonė nesutriko ir, supjausčiusi jaučio odą plonomis juostelėmis bei iš jų surišusi ilgą virvę, ja atsitverė visą kal­ vą, kuri stūkso ties Kartaginos kyšuliu. Reikia manyti, kad jos turėta nemažų matematinių g a ­ bumų, nes su ta pačia virve galima aprėpti ne­ vienodo ploto sklypus. Kad pajustumėte, su ko­ kiais matematiniais sunkumais jai teko susidurti, pamėginkite išspręsti tokį uždavinį: „Reikia pa­ rinkti stačiakampį sklypą taip, kad jis turėtų di­ džiausią plotą, o perimetras būtų lygus duotam skaičiui P “. 205. Ar įmanoma nuspalvinti abi popieriaus lapo puses, neatitraukus teptuko nuo lapo (lai­ kykime, kad popieriaus lapas neturi storio, todėl negalima braukti per jo briauną, norint persikel­ ti į kitą jo pusę)? 206. Devynis taškus (12 pav.), kurių keturi yra kvadrato viršūnėse, po vieną kraštinės vidu- , ryje ir vienas kvadrato centre, reikia sujungti ke­ turiomis atkarpomis, neatitraukiant pieštuko nuo

71

Ar m ėgstate geometriją? _

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

t

•

•

•

•

•

•

13 pav.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

^ pav.

popieriaus ir nebrėžiant tos pačios linijos dukart. Kaip tai padaryti? 207. Neatitraukdami pieštuko nuo popieriaus ir nebrėždami tos pačios linijos dukart, šešiomis at­ karpomis sujunkite 16 taškų, esančių kvadrate (13 pav.). 208. O šis uždavinys yra nepalyginamai sun­ kesnis už du ankstesnius. Kaip, neatitraukiant pieštuko nuo popieriaus ir nebrėžiant tos pačios linijos dukart, aštuoniomis atkarpomis sujungti 25 kvadratinio laukelio taškus (14 pav.)?

72

G alvosūkiai

VII. Užslėpta aritmetika Jau senovėje žmonės griebėsi įvairių priemo­ nių laiškams nuo pašalinės akies apsaugoti. A t­ sirado vokai, antspaudai ir pan. Tačiau jos nepa­ siteisindavo, kai kildavo pavojus laiškams pakliū­ ti į priešo rankas. O taip palyginti dažnai a tsi­ tikdavo, nes viduramžiais Europoje kas nors su kuo nors vis kivirčydavosi, kariaudavo. Imta ieš­ koti veiksmingesnių atsargumo priemonių. Viena jų — laiško šifravimas. P agal tam tikrą taisyklę vienos teksto raidės būdavo pakeičiamos kitomis arba skaitmenimis *. Šifruotas laiškas atrodė kaip beprasmiškas skaičių rinkinys. Tačiau ne visada ir tai padėdavo. Antai XVI a. Ispanijos valdovai su savo vietininkais Olandijoje susirašinėjo gana įmantriu šifru, kuris kartkartėmis buvo keičiamas. Tokie šifruoti laiškai dažnokai patekdavo jų prie­ šams prancūzams, bet šie niekaip negalėdavo jų perskaityti. Tuomet ėmėsi darbo matematikas F. Vietas (1540— 1603). Per trumpą laiką jis iš ­ narpliojo ispanų šifrą, ir beveik dvejus metus prancūzai žinojo visas ispanų rezgamas intrigas. Ispanai, sužinoję, kad jų laiškus perskaito pran­ cūzai, buvo pritrenkti: jie apkaltino karalių Hen* Žodis „šifras** kilęs iš prancūziško chiffre, kuris at­ siradęs Ii lotynlikojo clfra. Ir dabar {vairiose kalbose (pavyždžiui, rusų, vokiečių) skaitmenys vadinami žodžiu citra. ,

Užslėpta aritmetika

73

riką IV (dar taip neseniai buvusį eretiką huge­ notą) susidėjus su velniu. Tačiau matematikams maloniau spręsti atvirkščius uždavinius — surasti skaičius, kurių skaitme­ nys šifruoti raidėmis. Kai kas gali pasakyti, kad jau nuo seno algebroje, o dabar ir visoje mate­ matikoje raidiniais simboliais yra žymimi dy­ džiai. Tačiau algebroje raide pažymimas koks nors dydis, visai nesigilinant į jo struktūrą. O čia kiekvienas skaičiaus skaitmuo yra šifruojamas tam tikra raide. Norint įminti šifrą, reikia atlikti aritmetinius veiksmus su šiais šifruotais skaičiais. Indijoje ir Kinijoje tokia „matematinių pra­ m ogų” rūšis atsirado daugiau kaip prieš tūkstan­ tį metų. Deja, Europoje ji paplito tik XX a. ir buvo pavadinta skaitiniais galvosūkiais. Dažnai iš jų buvo gaunami prasmingi tekstai. Pavyzdžiui, 1924 metais įžymus anglų matematinių galvosū ­ kių meistras H. Djudenis sugalvojo tokius skaiti­ nius galvosūkius: šen d + more = money (atsiuntė daug pinigų) arba (tw o )2= th r e e ( (d u )2= trys). Tikriausiai ir skaitytojui bus įdomu pasigaly­ nėti su šiais užslėptos aritmetikos uždaviniais. 209. Klaustukus (15 pav.) pakeiskite natūri­ niais skaičiais. 210. Sudėję duoto triženklio skaičiaus skaitme­ nis, gavome dviženklį skaičių. Tą patį padarę ir su dviženklio skaičiaus skaitmenimis, gavome vie­ naženklį skaičių. Visi trys skaičiai gali būti už-

74

Galvosūkiai

+ 7' + 2 — 6 + + V/M + '(M, 2 + i 5 VM/s — + + WA 5 -h n + f= — m w ■4- ?5T 8 9 9 1 +

i

O

□

o

X

A

UI

15 pav.

16 pav.

šifruoti taip, kaip parodyta 16 paveiksle. Koks pradinis skaičius? 211. Kiek mažiausiai degtukų reikia perkelti, kad neteisinga lygybė (17 pav., veiksmų ženk­ lai — ne iš degtukų) taptų teisinga? 212. Perkelkite šiose neteisingose lygybėse (18 pav., veiksmų ženklai iš degtukų) po vieną degtuką taip, kad jos taptų teisingos. 213. Keturiose eilėse yra po du degtukus. N ie­ ko nepridedami padarykite taip, kad kiekvienoje eilėje būtų penki. 214. Yra žinoma, kad a bbbb bbbb -f bbbb bbbb bbbb abbbb Kam yra lygūs a ir b}

Užslėpta aritmetika

+

75

X

17 pav.

a) I

b) 18 pav.

215. Užsienyje dėl infliacijos mėsos kainos pasidarė tokios didelės, kad mėsininkas nedrįso jų iškabinti vitrinoje. Vietoj kainų jis iškabino galvosūkį ir paskelbė, kad kiekvienam, kas jį iš­ spręs, prie pirkinio veltui bus pridėta kiaulės kumpių. Jų kiekis lygus C, be to, C didesnis už 2. Štai tas galvosūkis: C=

PORK CHOP

Reikia sužinoti, kam yra lygus C ir kokie skaičiai šifruoti žodžiais P O R K (kiauliena) ir CH OP (kumpis).

Galvosūkiai

76

216. ratu:

Skaičius XYZ buvo taip

x +

keliamas kvad­

*yz XYZ ...Z ... Y ..X

Suraskite šį skaičių. 217. Išspręskite tokį skaitinį galvosūkį: ( K A S ) 2= S E S K A S 218. Vieno kažkada Lietuvos giriose gyvenusio žvėries vardas buvo užšifruotas tokia dalyba: Isyo Is sly y k lo lo Nustatę užšifruotus skaitmenis, juos išdėstykite didėjimo tvarka. Virš jų parašę atitinkamas rai­ des, perskaitysite žvėries vardą. 219. Suraskite, kam yra lygus skaičius K ir skaitmuo A: /C* 108^4 = 4 8 0 1 . 220. Išspręskite šį skaitinį rebusą: SULA SULA + SULA SULA ALUS

Užslėpta aritmetika

77

221. Pamėginkite išnarplioti sugalvotą skaitinį galvosūkį: send more money

šį

H.

Djudenio

222. Suraskite visus triženklius skaičius abc, tenkinančius lygybę: bc-c=abc. 223. Iššifruokite skaitinį galvosūkį: ( V A ) V = = KVA. 224. Šešiaženklis natūrinis skaičius A baigia­ si skaitmeniu 4. Jei šį skaitmenį perkelsime į skaičiaus pradžią, tai gausime skaičių, keturis kartus didesnį už A. Kam yra lygus skaičius A? 225. Žymus lietuvių vaikų rašytojas P. Mašio­ tas buvo matematikas. Nenuostabu, kad ir pomė­ gis matematikai atsispindi jo kūryboje. Štai „Juo­ zuko kaštonai44 yra iš esmės ne kas kita, kaip įdo­ mus matematinis etiudas: „Juozukas žaidė kaš­ tonais. Dėstė juos šiaip, dėstė taip — kaip visi maži daro. Prireikė jam dar kelių kaštonų. — Dėde,— sako,— pasaugok mano kaštonus, kad Stasiukas nepaimtų. Palieku suskaitęs, štai žiūrėk: iš visų šalių po 12 ir įstrižai po 12.44 * Kol Juozuko nebuvo, dėdė perdėjo jo kašto­ nus. „Atbėgo Juozukas, pažiūrėjo į kaštonus ir sa ­ ko: — Jau Stasiukas buvo, paėmė mano kaštonų. — Buvo,— juokauja dėdė,— tik nė vieno ne­ ėmė, o dar savo atnešė. Skaityk: iš šalių po 12 ir įstrižai po 12. O štai kiek tau dar atnešė. ♦M ašiotas

P. P asakėlės.— V.,

1971.— P. 97.

78

Galvosūkiai

19 pav.

20 pav.

Juozukas patikrino ir aprimo: ir šiaip, ir taip buvo po dvylika, o šalia dar 6 g u lė jo /4 * Pamėginkite patys įspėti, kaip dėdė perdėjo Juozuko kaštonus. 226. Trikampio viršūnėse yra parašyti skaičiai 1, 2 ir 3. Skaičius 4, 5, 6, 7, 8 ir 9 paskirstykite šio trikampio kraštinėse po du taip, kad kiekvie­ nos kraštinės skaičių suma būtų lygi 17. 227. Ornamentą sudaro 16 mažų trikampių (20 pav.). Kai kurie 4 gretimi maži trikampiai sudaro vieną didelį trikampį. Nesunku suskaičiuo­ ti, kad iš viso yra 6 tokie dideli trikampiai, iš dalies dengiantys vienas kitą. Įrašykite į kiekvie­ ną mažą trikampį skaičius nuo 1 iki 16 (nekarto­ dami jų) taip, kad kiekvieno didelio trikampio skaičių suma būtų lygi 34. ♦ M a š i o t a s

P. P asak ėlės.— V.,

1971.— P. 98.

VIII. Matematinės pramogos Kas paprieštaraus teiginiui, kad matematika — sausas ir nuobodus mokslas? Vien todėl, kad n a g ­ rinėja realiai neegzistuojančius objektus (skai­ čius, vektorius, integralus ir t. t.) ir labiau pri­ mena žongliravimą painiomis formulėmis negu mėginimą perprasti gamtos paslaptis, šis mokslas gali atrodyti kaip savotiška protą lavinanti inte­ lektuali gimnastika, labiau tinkanti susikaupu­ siems ir oriems išminčiams. Tad kokios gali bū­ ti matematinės pramogos? Ar ne todėl Anatolio Franso romano herojė mokytoja ištaria: „Pramo­ gaujant nesimokoma". Matematika išties rimtas mokslas, tačiau jame slypi neaprėpiamos ir neperprastos galimybės pa­ daryti jį įdomesnį ir patrauklesnį, tam pasitelkus net pramogas. Štai kodėl tai mokytojai Anatolis Fransas atsako: „Tik pramogaujant ir moko­ masi". Net viduramžiais, kada įvairios pramogos buvo ribojamos, įžymus mokslininkas Blezas Paskalis patarė: „Matematika yra toks rimtas mokslas, kad nereikia praleisti progos padaryti jį įdomesnį". Skaitytojui siūlome keletą matematinių pra­ mogų. Vieniems jos padės įdomiai praleisti lais­ valaikį, kitiems, turintiems matematinę gyslelę, bus įdomūs matematiniai galvosūkiai.

80

G alvosūkiai

228. Tarkime, kad turime 0,1 mm storio g a ­ na didelį popieriaus lapą. Perlenkime jį pusiau. Gautą dvigubą lapą vėl perlenkime pusiau ir taip toliau. Po 40 tokių lenkimų gausim e x storio lankstinį. Susilažinkite su kuo nors, pasiūlę bent apytiksliai nustatyti x, pavyzdžiui, taip, kad jo pasakytas skaičius būtų ne daugiau kaip 100 kar­ tų mažesnis ar didesnis už tikrąją x reikšmę. Tu­ rėtumėte laimėti tokias lažybas. Beje, būtų pra­ vartu ir pačiam keliskart paspėlioti, o tik po to imtis tikslesnio skaičiavimo. 229. Du berniukai žaidžia tokį žaidimą^ ant apskrito stalo paeiliui deda penkių kapeikų v e r ­ tes monetas. Pralošia tas, kuris eiliniu ėjimu neranda vietos savo monetai. Kaip jūs manote, kat­ ram labiau gali nusišypsoti pergalės laimė: tam kuris daro pirmąjį ėjimą ar jo varžovui? o2?0'- D T‘- mergaitės sugalvojo tokį žaidim ą Paeiliui skina ramunės žiedlapius. Vienu ėjim u ga ima nuskinti arba vieną žiedlapį, arba du g r e ­ timus žiedlapius. Laimi ta mergaitė kuri nusk! na paskutinį žiedlapį, [rodykite, k^d m ergaite antra skinanti žiedlapius, visada gali laimėti ’ d

lika

TeanJ1 1

* fokusininkas kreipėsi į pub-

gų nuliui, skaitmenį apveskite rJtf.L7 ’, neIy' skaitmenis sudėkite o m*n J ra*uku, likusius nurodysiu, kuri skaitmpn* •y e s u m 3- Aš Pamėginkite įspėti kaio fokn*- a.PYedėte ratuku". i Kaip fokusininkas tai padaro.

Matematinės pramogos

81

232. Grįžęs iš cirko, kur matė skaičius atspėjantį fokusininką, Jonukas irgi nutarė juo tapti. Pradžiai jis pateikė sesutei tokią užduotį: „Su­ galvok triženklį skaičių, kurio nevienodi skait­ menys; paskui paimk kitą skaičių, užrašytą tais pačiais skaitmenimis kaip ir pirmasis, bet kita tvarka; iš didesnio skaičiaus atimk mažesnį, skir­ tumo vieną skaitmenį apvesk ratuku, likusius su­ dėk, o man pasakyk tik sumą. Tuomet aš įspėsiu, kurį skaitmenį tu apvedei ratuku”. Sesutė paėmė skaičius 658 ir 865, jų skirtumas lygus 207. Ji apvedė skaitmenį 0 ratuku, o likusių skaitmenų sumą 9 pasakė broliukui. Jonukas, žinodamas cir­ ko fokusininko paslaptį (o jūs, ar įminėte anks­ tesnį galvosūkį?), iškart nurodė atsakymą: 9. Ta­ čiau sesutė pareiškė, kad atsakymas neteisingas ir parodė savo skaičiavimą. Kodėl suklydo Jonu­ kas? 233. Senovėje teisėjas tarė mirties bausme nu­ baustam galvažudžiui: „Pasigailėsiu tavęs, jei iš­ spręsi tokį uždavinį. Parašysiu triženklį skaičių, kurio tu nežinai. Po to — kitą triženklį skaičių tais pačiais skaitmenimis kaip ir pirmą, bet at­ virkščia tvarka. Iš didesnio skaičiaus atimsiu mažesnį. Skirtumo paskutinis skaitmuo yra 6. P a ­ sakyk man skirtumą44. Galvažudys kelis mėnesius vargo su šiuo uždaviniu, kol galų gale, netekęs vilties, pasidavė: „Vesk mane į kartuves, šis už­ davinys bausmė, sunkesnė net ir už mirties bausmę44. O kaip jūs išspręstumėte šį uždavinį? 234. Skaičiavimo fenomenas vengras Ferencas Patakis per sekundę sugeba mintinai sudauginti du triženklius skaičius. 1979 metais televizijos žiūrovams jis pasiūlė tokį uždavinį: „Savo batų numerį padauginkite iš 2, prie šios sandaugos 6

-

6480

82

Galvosūkiai

pridėkite 39, visa tai padauginkite iš 50, dar pri­ dėkite 29 ir iš gauto skaičiaus atimkite savo g i­ mimo metus“. Nustebo žiūrovai: atlikę visus nu­ rodytus veiksmus, gavo keturženklį skaičių, kurio pirmieji du skaitmenys reiškė batų numerį, o paskutiniai du — amžių, kuris 1979 metais turėjo sukakti žiūrovui. Pamėginkite įminti šio skaičiavimo paslaptį. 235. Palydint senuosius 1988 metus, Juozas pasiūlė Jonui tokį uždavinį: — Nueik į gretimą kambarį ir ten vienas atlik šiuos veiksmus: prie savo gimimo metų pridėk savo tėvo amžių, o prie tėvo gimimo metų pridėk savo amžių. Abu šiuos gautus skaičius irgi su ­ dėk. Po 5 min grįžusį Joną nustebino Juozo pa­ staba: — O juk tu gavai skaičių 3976, ar ne taip? Išties popieriaus lape, kurį laikė Jonas, puika­ vosi skaičius 3976. Pagalvokite ir pamėginkite įspėti, kaip Juo­ zas, nežinodamas kada gimė Jonas ir jo tėvas, galėjo nustatyti šį skaičių. 236. Senovės Romoje pasmerktiems mirti nu­ sikaltėliams leisdavo pamėginti laimę: traukti burtus. Tas, kuriam nusišypsodavo laimė, likdavo gyvas. Tačiau vienas teisėjas, nepasitikėdamas at­ sitiktinumu, metų pabaigoje vietoj burtų trauki­ mo nuteistajam pasiūlydavo išspręsti tokį užda­ vinį: „Prie mano gimimo metų (žinoma, skaičiuo­ jant pagal tą kalendorių, kurį naudojo romėnai — nuo Romos įkūrimo datos) pridėjus mano pra­ gyventus metus, mano tėvo gimimo metus ir mano tėvo amžių, gauname tam tikrą skaičių. Aš tau pasakau šį skaičių, o tu turi įminti, prieš kiek m e­

Matematinės pramogos

83

tų mirė mano tėvas. Įspėsi, būsi laisvas44. Deja, nė vienas nuteistųjų nenorėdavo išbandyti savo laimės. O jūs, ar galėtumėte nustatyti, kada mi­ rė teisėjo tėvas? 237. Du berniukai žaidžia tokį žaidimą. Pir­ masis pasako skaičių 1, kitas prie jo prideda bet kurį natūrinį skaičių, ne didesnį už 9, pirmasis prie tos sumos irgi prideda pasirinktą, ne didesnį už 9, natūrinį skaičių ir t. t., jie tol deda skaičius, kol gauna 101. Tas, kuris pirmasis pasako šį skaičių, tampa nugalėtoju. Kas turi neabejotiną galimybę laimėti šį žaidimą? 238. Vėl panašus žaidimas. Dabar kiekvienas žaidėjas gali pridėti bet kurį natūrinį skaičių, ne didesnį už 10; visa tai tęsiasi tol, kol vienas iš žaidėjų pasako skaičių 102 ir tampa nugalėtoju. Kokį pirmą skaičių turi pasakyti pirmasis žaidė­ jas, kad laimėtų? 239. Dar ne taip seniai šis žaidimas padėdavo apgavikams pasipelnyti iš lengvatikių. Jo esmė tokia. Imamos 24 kortelės (gali būti ir kortos). Keturios jų pažymėtos skaičiumi 1, keturios — skaičiumi 2 ir t. t., paskutinės keturios — skaičiu­ mi 6. Pirmas žaidėjas paima kurią nors kortelę, atideda ją į šalį ir pasako jos skaičių. Antrasis paima bet kurią kitą iš nepaimtų, padeda prie atidėtosios ir prideda jos skaičių prie ankstesnio. Pirmasis žaidėjas vėl paima kortelę, deda ją prie atidėtųjų ir prideda jos skaičių prie turėtos su­ mos ir t. t. Laimi tas, kuris pirmas gauna skai­ čių 31. Kaip reikia žaisti, norint laimėti? 240. Šis žaidimas, nors ir senas, dar ir š ia n ­ dien yra populiarus. Languotame popieriuje nu­ brėžiamas 9 langelių kvadratas, ir paeiliui žaidė-

82

Galvosūkiai

pridėkite 39, visa tai padauginkite iš 50, dar pri­ dėkite 29 ir iš gauto skaičiaus atimkite savo g i ­ mimo m etus41. Nustebo žiūrovai: atlikę visus nu­ rodytus veiksmus, gavo keturženklį skaičių, kurio pirmieji du skaitmenys reiškė batų numerį, o paskutiniai du — amžių, kuris 1979 metais turėjo sukakti žiūrovui. Pamėginkite įminti šio skaičiavimo paslaptį. 235. Palydint senuosius 1988 metus, Juozas pasiūlė Jonui tokį uždavinį: — Nueik į gretimą kambarį ir ten vienas atlik šiuos veiksmus: prie savo gimimo metų pridėk savo tėvo amžių, o prie tėvo gimimo metų pridėk savo amžių. Abu šiuos gautus skaičius irgi s u ­ dėk. Po 5 min grįžusį Joną nustebino Juozo pa­ staba: — O juk tu gavai skaičių 3976, ar ne taip? Išties popieriaus lape, kurį laikė Jonas, puika­ vosi skaičius 3976. Pagalvokite ir pamėginkite įspėti, kaip Juo­ zas, nežinodamas kada gimė Jonas ir jo tėvas, galėjo nustatyti šį skaičių. 236. Senovės Romoje pasmerktiems mirti nu­ sikaltėliams leisdavo pamėginti laimę: traukti burtus. Tas, kuriam nusišypsodavo laimė, likdavo gyvas. Tačiau vienas teisėjas, nepasitikėdamas at­ sitiktinumu, metų pabaigoje vietoj burtų trauki­ mo nuteistajam pasiūlydavo išspręsti tokį užda­ vinį: „Prie mano gimimo metų (žinoma, skaičiuo­ jant pagal tą kalendorių, kurį naudojo romėnai — nuo Romos įkūrimo datos) pridėjus mano pra­ gyventus metus, mano tėvo gimimo metus ir mano tėvo amžių, gaunam e tam tikrą skaičių. Aš tau pasakau šį skaičių, o tu turi įminti, prieš kiek m e­

Matematinės pramogos

_— ---------------------------------------------------

mirė mano tėvas, [spėsi b ū s i laisvas". Deja, nė vienas n u t e i s t ų j ų , nenorėdavo i š b a n d y t i savo laimės. O jūs, ar galetumete nustatyti, kada mi­ rė teisėjo tėvas? v . v . Jtv 237 Du berniukai žaidžia tokį žaidimą. Pir­ masis pasako skaičių 1, kitas prie jo prideda bet kurį natūrinį skaičių, ne didesnį už 9, pirmasis prie tos sumos irgi prideda pasirinktą, ne didesnį už 9, natūrinį skaičių ir t. t., jie tol deda skaičius, kol gauna 101. Tas, kuris pirmasis pasako šį skaičių, tampa nugalėtoju. Kas turi neabejotiną galimybę laimėti šį žaidimą? 238. Vėl panašus žaidimas. Dabar kiekvienas žaidėjas gali pridėti bet kurį natūrinį skaičių, ne didesnį už 10; visa tai tęsiasi tol, kol vienas iš žaidėjų pasako skaičių 102 ir tampa nugalėtoju. Kokį pirmą skaičių turi pasakyti pirmasis žaidė­ j a s , kad laimėtų? 239. Dar ne taip seniai šis žaidimas padėdavo apgavikams pasipelnyti iš lengvatikių. Jo esme tokia. Imamos 24 kortelės (gali būti ir kortos). Keturios jų pažymėtos skaičiumi 1, keturios — skaičiumi 2 ir t. t., paskutinės keturios — skaičiu­ mi 6. Pirmas žaidėjas paima kurią nors kortelę, atideda ją į šalį ir pasako jos skaičių. Antrasis paima bet kurią kitą iš nepaimtų, padeda prie atidėtosios ir prideda jos skaičių prie ankstesnio. Pirmasis žaidėjas vėl paima kortelę, deda ją prie atidėtųjų ir prideda jos skaičių prie turėtos su ­ mos ir t. t. Laimi tas, kuris pirmas gauna skai­ čių 31. Kaip reikia žaisti, norint laimėti? 240. Šis žaidimas, nors ir senas, dar ir š i a n ­ dien yra populiarus. Languotame popieriuje nu­ brėžiamas 9 langelių kvadratas, ir paeiliui žaidė­ tų

84

Galvosūkiai

jai piešia savo ženklą (kryžiuką ar nuliuką) laisvame langelyje. Lai­ mi tas, kuris pirmas gali per tris savo ženk­ lus nubrėžti tiesę. Tar­ kime, kad abu žaidėjai yra įgudę ir jų m eist­ riškumas vienodas. Katras turi daugiau šansų laimėti: padaręs pirmą ėjimą ar jo var­ žovas? 241. Kai nusibodo žaisti kryžiukais ir nuliu­ kais, Jonas pasiūlė tokį šio žaidimo variantą. Tai­ syklės senos, skirtumas tik tas, kad kiekvienas žai­ dėjas, kai ateina jo eilė, gali dėti arba kryžiuką, arba nuliuką. Laimi tas, kuris pirmas baigia trijų vienodų ženklų (trijų kryžiukų arba trijų nuliu­ kų) eilę. Tarkime, kad abu žaidėjai yra vienodai įgudę. Katras dabar laimės — padaręs pirmą ėjimą ar jo varžovas? 242. O šis žaidimas irgi labai senas. Jį savo kūrinyje mini senovės Romos poetas Ovidijus. Du žaidėjai turi po tris „sa v o s44 spalvos (bal­ tus arba juodus) skrituliukus. Juos paeiliui deda į vieną iš devynių vietų (21 pav.), stengdam iesi sudėti išilgai tiesės ir laimėti. Kai visi skrituliu­ kai yra ant lentos ir nė vienas žaidėjas nepasiekė pageidaujamo rezultato, jie paeiliui perkelia (tik į gretimą laisvą vietą) savo skrituliukus tuo pa­ čiu tikslu — laimėti žaidimą. Pagalvokite ir pa­ sakykite, kaip reikia žaisti, norint laimėti.

Matematinės pram ogos

85

243. Popieriuje pažymimi 6 taškai taip, kad per tris iš jų nebūtų galima nubrėžti tiesės. Du žaidėjai, paėmę skirtingų spalvų pieštukus, paei­ liui jungia du taškus atkarpa (savaime supranta­ ma, kad antrą kartą jungti tuos pačius taškus at­ karpa negalim a). Laimi tas, kuris pirmasis nu­ braižo trikampį (jo viršūnės — pažymėtuose ta š­ kuose). Pamėginkite pažaisti — gal tuomet įmin­ site, kas turi neabejotiną galimybę laimėti šį žai­ dimą. 244. Eile sudėta 10 vienodų monetų, atverstų herbu. Pirmasis žaidėjas apverčia bet kurią mo­ netą skaičiumi į viršų. Po to antrasis žaidėjas g a ­ li apversti arba vieną monetą, arba dvi gretimas monetas skaičiumi į viršų. Pirmasis žaidėjas irgi gali atlikti tokius veiksmus ir t. t. Laimi tas žaidėjas, kuris apverčia paskutinę monetą. Kas, jūsų nuomone, gali visuomet laimėti šį žai­ dimą? 245. Dviese žaidžia degtukais. Juos žaidėjai paeiliui ima iš dviejų krūvelių. Kiekvienas žaidė­ jas gali paimti kiek nori degtukų iš bet kurios vie­ nos krūvelės (net ir visą ją). Vienoje krūvelėje yra 69, kitoje — 76 degtukai. Laimi tas, kuris paima paskutinį degtuką. Kas turi neabejotiną g a ­ limybę laimėti? 246. Ant stalo guli dvi krūvelės degtukų. Pir­ moje jų yra 4, a n t r o j e 5. Du žaidėjai paeiliui ima degtukus, tačiau tik iš vienos krūvelės ( g a ­ lima paimti net ir visą krūvelę). Laimi tas, kuris priverčia varžovą paimti paskutinį degtuką. Kas turi daugiau šansų laimėti: padaręs pirmą ėjimą ar jo varžovas, jei žinoma kad abu žaidžia ra­ cionaliai? ’

86

G alvosū k iai

247. Žymaus prancūzų režisieriaus Aleno Renė filmo „Pernai Marienbad e “ (Venecijos kino festi­ valyje apdovanotam „Auk­ sinio liūto“ prizu) veikėjai žaidžia su degtukais. Gal tai ir paskatino žm ones la­ biau susidomėti šiuo ž a i­ dimu. 16 degtukų išdėstyki­ me taip, kaip parodyta 22 paveiksle: pirmoje eilėje — 7, antroje — 5, trečioje — 22 pav. 3 ir ketvir vienas žaidėjas (o jų yra du) paeiliui ima tiek degtukų, kiek nori, bet tik iš vienos eilės — nors ir visą eilę iš karto. Pralaimi tas, kas paim a paskutinį degtuką. Pam ėginkite ir jus pažaisti.

Sprendimai

88

Sprendimai

I. Būkite nuovokūs! 1. Kadangi viena moneta ne trikapeikis, tai ji — pelikių kapeikų vertės. Kita moneta yra tri­ kapeikis. 2. Po 72 h irgi bus dvylikta valanda nakties. Todėl tikėtis, kad tuomet bus saulėta, negalime. 3. Šešis kiaušinius visai nebūtina virti pusę valandos (5*6 = 30 min). Juos galima sudėti į didelį indą ir išvirti per 5 minutes. 4. Vienas rutulys yra baltas, o kitas — juodas. 5. Nė vienos. Nušautosios nukrito ant žemės, o kitos, išbaidytos šūvių, nuskrido. 6. Dyzelinis lokomotyvas — ne garvežys, dūmų neleidžia. 7. Inkarą. 8. Antanas miegojo tik valandą — iki 8 va­ landos vakaro. 2adintuvas juk negalėjo žinoti, kad Antanas ruošiasi keltis ne 8 valandą vaka­ ro, o 8 valandą ryto. 9. Susitikimo metu abu traukiniai buvo vieno­ dai nutolę nuo Vilniaus. 10. Antrą, ketvirtą, šeštą dienomis vištelė de­ da po paprastą, o trečią, šeštą, devintą dieną — po auksinį kiaušinį. Vadinasi, šeštą dieną padė­ tas kiaušinis turi būti ir paprastas, ir auksinis. O tai neįmanoma net ir pasakoje. 11. Taip, tai gali būti. Kiekvienas paprastas popieriaus lapas turi dvi puses. Vienoje lapelio

Būkite nuovokūs!

89

pusėje buvo nubrėžti septyni apskritimai, o kito­ je — dešimt. 12. Penkioms mergaitėms duoti po obuolį, o šeštai — krepšį su paskutiniu obuoliu. Tad tuo­ met ir kiekviena mergaitė gaus po obuolį, ir vie­ nas obuolys liks krepšyje. 13. Ne vienas, norėdamas išspręsti šį uždavi­ nį, tuoj puola skaičiuoti pelną arba nuostolius po kiekvienos prekybinės operacijos. Tai atsitinka to­ dėl, kad daugelį išmuša iš vėžių žodžiai „tą patį arklį”. Jei šį uždavinį suformuluotume taip: „pirk­ lys pirko karvę už 60 dolerių, o pardavė už 70 dolerių. Arklį jis pirko už 80 dolerių, o pardavė už 90 dolerių”, jokių sunkumų nebūtų. Kiekvie­ nas tuoj pasakytų, kad pirklio pelnas 20 ( 1 0 + 1 0 = = 20) dolerių. Sis uždavinys dar yra vadinamas Mejerio uždaviniu. Šiuolaikinis* amerikiečių psichologas I. Mejeris su galvojo keletą uždavinių, kuriuose parodė, kaip nereikalinga infor­ macija uždavinio formuluotėje ne tik kad nepadeda išspręs­ ti uždavinį, bet, atvirkščiai, supainioja mintį ir tuo pačiu trukdo perprasti uždavinio esmę.

14. Šis klausimas iškart taps aiškesnis, jei iš jo išmesime miestų pavadinimus: „Kodėl negali­ ma palaidoti žmogaus, kuris gyvena?” Supranta­ ma, gyvi žmonės nelaidojami. Tai dar vienas iš Mejerio uždavinių. 15. Peršasi toks atsakymas: „Vasaris turi 28 dienas”. Tačiau argi sausis ir kovas neturi 28 dienų? 16. Jaunasis fizikas susiruošė miegoti prie­ blandoj: tad jis suspėjo nueiti iki lovos, atsigul­ ti ir net užmigti, kol kambario neapgaubė tamsa. 17. Visai ne dvylika kiaušinių, kaip kad iš­ kart gali pasirodyti. Jei trys vištos per tris die­

90

Sprendimai

nas padeda tris kiaušinius, tai viena višta per tris dienas padeda vieną kiaušinį. Tad per dvyli­ ka dienų višta padės 4 kiaušinius, o dvylika v i š ­ tų per dvylika dienų — 48 ( 4 * 1 2 = 4 8 ) kiaušinius. 18. Tiktai nulis dalijasi be liekanos iš visų skaičių, išskyrus patį save. 19. Jei šių trupmenų skaitikliai ir vardikliai bus vien tik natūriniai skaičiai, tai tokia lygybė neįmanoma. Tad čia turime trupmenas, kurių m o ­ dulis yra 1. K adangi - a < a (a — natūrinis skai­ čiu s), tai ieškomos trupmenos bus ~ ~ ir N eig ia m ieji skaičiai m a tem atik oje įsitvirtino tik vid u r­ am žiais. N eįp rastos v eik sm ų su n e ig ia m a is skaičiais ta i­ sy k lės labai dažnai trikdė žm on es. Todėl ir atsirado d a u ­ gybė su tais skaičiais su siju sių paradoksų. V ienas jų yra Šis u žd a v in y s, vad in a m a s Arno paradoksu. M a t A. Arno (1612— 1694) labai steb ėjosi tuo, kad p adalijus m a ž e sn į skaičių iš didesnio i r — did esn į iš m a žesn io , g au ti d a lm e ­ nys lyg ū s. V isa tai atrodė n eįm a n o m a , v a d o v a u ja n tis s v e i ­ ku protu.

20. Peršasi toks atsakymas: 20 rub. Tačiau tuomet įrenginys už tarą būtų brangesnis tik 19 (20— 1 = 19) rub. V adinasi, įrenginys kainuoja 20,5 rub., o tara — 0,5 rub. 21. Šuns greitis turi būti lygu s nuliui, t. y. šuo turi stovėti vietoje. 22. Mokinio klausimas ir mokytojos atsakymas yra nepilni. Mokinys nepatikslino, ar galim a bausti už tai, ko žm ogus nepadarė, bet turėjo pa­ daryti. Mokytoja turėjo galvoje tą situaciją, kai žmogaus negalim a bausti už tai, ko jis nepadarė ir neprivalėjo padaryti. 23. Žmonės atėjo prie priešingų upės krantų. Tas? kurio pusėje buvo valtis, persikėlė į kitą

B ūkite n u o vo k ū s!

91

krantą. D a b a r jo v ietą u ž ė m ė kitas keliautojas. Taip abu g a l ė ­ jo keliauti s a v o reik alais toliau. 24. Tikriausiai n e p a g a lv o j o ­ te, kad kiekvienas s u v a l g ė po 3/4 kiaušinio. P u s r y č ia v o trys asm en ys: se n e lis A, tėvas B ir sū n u s C: A yra B tėvas, B yra C tėvas, B yra A sū n u s ir C yra B sūnus. 25. Jei jūs m anote, kad pri­ skinta 15 + 3 5 + 1 0 0 = 1 5 0 k g 23 pav. obuolių, tai labai klystate. S e n e ­ liai priskynė 15 kg obuolių, o jų sū n ū s ir sūnų s ū n ū s — 100 kg obuolių. Tad iš viso priskinta 1 5 + 1 0 0 = 1 1 5 kg ob_uolių. 2 6 . _Kadangi V x —43 yra natūrinis skaičius, tai V * ^ 4 4 . Bet iš Petro gim im o metų g a lim a ištraukti kvadratinę šaknį, vadinasi, jo gim im o metai yra natūrinio skaičiaus kvadratas ir, be to, a^5*442= 1 9 3 6 . Tačiau nėra jokio kito skaičiaus, didesnio už 1936 ir m ažesnio už 2000, kuris būtų natūrinio skaičiaus kvadratas. Vadinasi, Petras gim ė 1936 metais. 27. Jonuko tėvas buvo plikas, todėl nė vienas plaukas ant jo galvos nesušlapo — juk negali s u ­ šlapti tai, ko nėra. 28. Indą iki viršaus pripilkime vandens. Gu­ minis sviedinukas (jis lengvesnis už vandenj) iš­ kils ir galėsime jį paimti. 29. Berniukas taip kalbėjo per Naujuosius m e­ t u s — sausio 1-ąją dieną. Užvakar, gruodžio 30-ąją, jam dar buvo II metų. Gruodžio 31-ąją dieną berniukui sukako 12 metų. Šių metų gruo-

I

92

Sprendimai

džio 31-ąją jis švęs savo tryliktąjį, o kitais me­ tais — keturioliktąjį gimtadienį. 30. Degtuką reikia perkelti taip, kad gautu­ me skaičių 4,— juk 4 yra skaičiaus 2 kvadratas (23 p a v.). 31. Tarkime, kad pusę Žemės sudaro žemynas, o antrą pusę užima vandenynas. Žemyną, kaip iš visų pusių apsuptą vandens, galima laikyti van­ denyno sala. Tačiu vandenyną iš visų pusių su­ pa žemynas, todėl tai didelis ežeras, esantis š ia ­ me žemyne. Vadinasi, turime, kad žemynas vienu metu yra ir didelio ežero (vandenyno) sala, ir že­ mė, kuri supa šį ežerą. 32. a) Kiekvienas, aklas abiem akimis, bus ak­ las ir viena akimi. Kiekvienas, matantis abiem akimis, matys ir viena akimi. Todėl rūmuose rei­ kia palikti 16 išminčių, iš kurių septyni yra akli abiem akimis, penki matantys abiem akimis ir ke­ turi matantys viena akimi. b)' Tik jau ne 2Įj kg! O kur pjuvenų masė? Pasakojam a, kad vienas se n o v ė s Išminčius, paklaustas, kiek sveria dūmai, atsakei „Pasverkite m alkas, kuriomis ruošiatės pakurti krosnį, o jom s su d egu s,— pelenus. Dūmų masė bus lygi šių dviejų m asių skirtumui!**

33. aJ Į šią sandaugą įeina skaičiai 4, 5, 10, 15. Kadangi 4*5* 10* 15=3000, t. y. baigiasi tri­ mis nuliais, tai ir visų natūrinių skaičių nuo 1 iki 16 sandauga taip pat baigsis trimis nuliais. b) Į šią sandaugą įeina skaičius 5. Visi kiti dauginamieji — nelyginiai skaičiai. Jų sandauga taip pat bus nelyginis skaičius. Jo ir 5 sandauga visuomet baigiasi skaitmeniu 5. 34 Kiekvieną dieną vėžlys pasistumia į prie­ kį 600—4 00 * 2 0 0 m. Tačiau tai nereiškia, kad jū-

.

BOkfte nuovokflsl

93

rą jis pasieks tik sep­ tintą dieną. Po trijų dienų vėžlys bus pasislinkęs 600 m. Ketvir­ tos dienos pabaigoje jis jau bus nukeliavęs 600 + 600=1200 m, t. y. jūra bus tik už 20 m nuo jo. Tačiau nakčiai vėžlys pasitrauks 400 m atgal. Penktos dienos rytą jam iki jūros bus likę 420 m, kuriuos jis 24 pav. tą dieną ir įveiks. 35. Lankytojas buvo sūrių ir aštrių patiekalų mėgėjas. Prieš pakviesdamas kelnerį, jis jau buvo sriubą pasūdęs ir įbėręs pipirų. 36. Pirmajam pirkėjui aptarnauti prireiks 30 s, kol kioskininkas iš pakelio atskaičiuos 30 vokų, kuriuos pasiliks sau, o likusius (100—30 = 70) įteiks pirkėjui. Antrajam pirkėjui aptarnauti pri­ reiks dar mažiau laiko — tik 10 s, kol iš pakelio atskaičiuos 10 vokų. 37. Daugelis tikriausiai atsakys, kad pirmiau­ sia uždegs žvakę arba dujinę viryklę. Tačiau, no­ rint užžiebti žvakę, dujinę viryklę arba žibalinę lempą, pirmiausia reikia uždegti degtuką. 38. Paveikslo nereikia keisti: užtenka jį tik pa­ sukti ir išvysite ančiuką (24 pav.). 39. Į klausimą katras laikrodis geresnis, ar tas, kuris rodo tikslų laiką vieną kartą per me­ tus, ar tas, kuris rodo tikslų laiką dukart per parą, daugelis atsakys, kad antrasis. Tačiau ne­ skubėkime. Tarkime, kad turime du laikrodžius: vienas jų stovintis, antras — kas parą vėluojantis vieną minutę. Kuris iš jų geresnis? Ir vėl daugu­

Sprendimai

94

ma atsakys, kad antrasis. Bet kas parą atsilie­ kantis viena minute laikrodis turi atsilikti 12 h (arba 720 min), kad vėl parodytų tikslų laiką. Vadinasi, toks laikrodis tikslų laiką parodys tik vienąkart per dvejus metus. O stovintis laikrodis tikslų laiką juk rodo dukart per parą. Tad katras geresnis? Daugelis gali paprieštarauti: „Kas iš to, kad stovintis laikrodis rodo tikslų laiką dukart per parą, jei negalima pasakyti, kada tai įvyksta?" [ tai L. Kerolas taip atsakė: „Įsivaizduokite, kad laikrodis sustojo lygiai aštuntą valandą (ryto ar vakaro — nesvarbu). Argi neaišku, kad aštuntą valandą ryto ir aštuntą valandą vakaro jis rodys tikslų laiką. Ir tai bus kiekvieną kartą, kada ateis aštunta valanda vakaro arba aštunta valanda ry­ to. . . Galima paklausti: „Iš kur aš sužinosiu, kad dabar aštunta valanda ryto (ar vakaro)? Mano laikrodis juk neparodys!" Kantrybės, kantrybės! Jums žinoma, kad, kai ateis aštunta valanda ryto arba aštunta valanda vakaro, jūsų laikrodis rodys tikslų laiką. Nenuleiskite nuo jo akių, ir tada, kada jis parodys tikslų laiką, jūs galite drąsiai pasakyti, kad jau yra aštuonios v a la n d o s .. . “ * O teisybę pasakius, ne taip jau sunku nu­ spręsti, katras jų yra geresnis. Meška su lokiu abudu tokiu! 40. I. Kantas tikslų laiką nustatė taip. Išei­ damas iš namų, jis užvedė sieninį laikrodį, todėl žinojo, kiek jis tada rodė. Grįžęs jis iš karto pa­ žvelgė į laikrodį ir suskaičiavo, kiek laiko nebuvo namuose. Kantas tiksliai žinojo, kiek valandų sve­ čiavosi pds Šmitą (atėjęs ir išeidamas, žvilgtelėjo * K 3 f) p o .1 C. 367.

JI.

l ICTOpHH c V3e/IKaMH.— M.,

1973 —

Būkite nuovokflsl

95

į laikrodi). Šį laiką jis atėmė iš viso laiko, kurį nebuvo namuose. Taip nustatė, kiek jis sugaišo kelionei pas Šmitą ir atgal. Kadangi abu kartus jis ėjo tuo pačiu keliu vienodu greičiu, tai į sve­ čius ėjo (arba iš svečių grįžo) pusę apskaičiuoto laiko. Taip I. Kantas tiksliai nustatė sugrįžimo į namus laiką. 41. Jonukui reikia nurodyti tokius skaičius: x = l 00, y = 10, z = l . Tuomet a x + b y + c z = 100a + + 10b + c = a b c . Vadinasi, Žiežula tokiu atveju'tu­ rėjo pasakyti triženklį skaičių (atitinkamai dvi­ ženklį arba vienaženklį, jei tik a = 0, 6 = 0), kurio paskutinis skaitmuo bus c, antras — b, o pirmas — a. Tiesa, galima šį uždavinį ir apibendrinti: leis­ ti Žiežulai pasirinkti dviženklius skaičius, šiu o atveju Jonukas turėtų nurodyti tokius skaičius: a;=104, y = 102, z = l . Tada Žiežulos pasakyto skai­ čiaus paskutiniai du skaitmenys reikš skaičių c, sekantys du skaitmenys — skaičių b, o visi kiti — skaičių a. 42. Atrodytų, neįmanoma taip padalyti, nes numerių suma yra lygi 31, o nelyginis skaičius nesidalija iš 2. Tačiau neužmirškime, kad šis už­ davinys apie gimnastus. Padalykime juos į dvi grupes taip: pirmojoje yra visi, vilkintys marškinė­ lius, kurių numeriai 2, 5, 7, o antrojoje— 1, 3, 4, 9. Tegul tas gimnastas, kurio numeris 9, atsi­ stoja ant rankų, tuomet devyni virs šešiais ir kiek­ vienos grupės numerių suma taps lygi 14. 43. Dviratininkai keliavo tandemu — dviviečiu dviračiu (25 pav.). Tad, jei pirmas jų važiavo šiaurės link, tai ir antras turėjo važiuoti ta kryp­ timi. 44. Dažnas pasakys, kad iš 9 monetų atėmus, 4 monetas ir padėjus atgal 3 monetas, gaunamos

96

Sprendimai

25 pav.

ne 7, bet 8 monetos. Ir, žinoma, bus teisus. Tad kaip išspręsti uždavinį? Tas 4 monetas, paimtas iš krūvos, reikia ati­ dėti atskirai. Prie jų pridėjus 3 monetas, susida­ ro krūvelė, kurioje 7 monetos. 45. Pusė (arba apytiksliai pusė) Žemės visa­ da yra apšviesta Saulės. Žemei sukantis, apšvies­ tas plotas slenka iš vienos vietos į kitą, pasiekda­ mas bet kurį Žemės tašką. Žemei apsisukus vie­ ną kartą, toje pačioje vietovėje pasikeičia para. Pasirinkę kurį nors dienovidinį, galime jį laikyti sąlygine datos keitimosi linija. Įsivaizduokime, kad šį sukimąsi mato stebė­ tojas, esantis už Saulės sistemos ribų. Sakykime kad jis nustato tašką, ties kuriuo datos keitimosi linija nusako naują parą. Sis stebotojas galėjo pastebėt/, kad Z. Verno romano veikėjai visą lai­

B flklte nuovokūs!

97

ką keliavo į rytus ir apsuko Žemę. Tačiau ji irgi sukasi ta pačia kryptimi. Kai Žemė stebėtojo at­ žvilgiu apsisuko 79 kartus (tiek praėjo parų), ro­ mano veikėjai kartu su Žeme apsisuko 80 kartų, t. y. 80 kartų prasilenkė su tašku, kuris stebėtojo buvo pasirinktas naujai parai nusakyti. Todėl ke­ lionei jie sugaišo 80 parų, nors per tą laiką Lon­ done tepraėjo 79 paros. 46. Gal ir iš tikrųjų būtų teisinga, jei Žemės paviršius nebūtų padalytas j laiko juostas. Keliau­ jantis į rytus žmogus, pereidamas iš vienos laiko juostos į kitą, turi pavaryti savo laikrodį viena valanda į priekį. (Todėl iš tikrųjų Z. Verno ro­ mano veikėjų para buvo trumpesnė už įprastinę 24 h parą.) Kai žmogus apkeliaus Žemę, jo laik­ rodis rodys rytdienos laiką, nors galbūt valandos bus tos pačios, kaip ir iškeliaujant. Tačiau tuo­ met jis jau bus perkirtęs datos keitimosi liniją, vadinasi, atsidurs vakardienoje. Šiedu laiko pa­ sikeitimai vienas kitą kompensuoja, todėl po ke­ lionės žmogus ir lieka šiandienoje. 47. Kažin, ar kas nors labai trokštų apsigy­ venti tokiame name. Juk architektas jį suprojek­ tavo žmogui, pageidaujančiam įsikurti Šiaurės ašigalyje. Mat Šiaurės ašigalyje negalima išvesti rytų—vakarų krypties lygiagrečių, ir visos kryptys sutampa su dienovidiniais, vedančiais į pietus. 48. Dažnas, spręsdamas šį uždavinį, taip sam ­ protauja: „Kadangi iš pradžių žmogus ėjo 10 km vienu dienovidiniu, o grįžo kitu dienovidiniu ir vis tiek atsidūrė pradinėje vietoje, tai ta vieta tu­ ri būti dienovidinių susikirtimo taškas. Tokie taš­ kai ant Žemės paviršiaus yra tik du: Šiaurės ir Pietų ašigalis. Kadangi žmogus iš pradžių ėjo į 7 - 8486

98

p ie tu s,

Sprendimai

tai

p r a d in ė

v ie ta

te g a li

b ū ti

tik

S ia u r ė s

a š ig a lis 44 (26 pav.). Bet čia tikriausiai daugelis paabejos: kodėl nepanaudota uždavinio formuluotės sąly g a „žmo­ gus dar ėjo lygiagrete 10 km į rytus44. Ir žinoma, bus teisūs. Taigi Siaurės ašigalis, kaip žm ogaus pradinė vieta, nėra vienintelis atsakymas. Žmogus taip pat galėjo būti arti Pietų ašigalio (27 pav.), bet kurioje vietoje už 1 0 km į šiaurę nuo 1 0 km ilgio lygiagretės (pavadinkime ją A ) . Tuomet iš pradinės vietos nukeliavęs j pietus 1 0 km, jis at­ siduria ant lygiagretės A, ja nuėjęs 1 0 km, jis ap­ suka visą Žemę ir vėl atsiduria tame pačiame taške, kur ir pradėjo kelionę į rytus. O iš čia tereikia nukeliauti tik 1 0 km į šiaurę ir vėl būna išeities taške. Žmogus taip pat gali būti 1 0 km J šiaurę nuo 5 km ilgio lygiagretės. Tuomet ly ­ giagrete jam teks Žemę apkeliauti jau du kartus. Apskritai žm ogaus išeities vieta, be Siaurės a ši­ galio, gali būti bet kuriame taške 1 0 km į šiaurę nuo 1 0 /n (n — natūrinis skaičius) km ilgio ly­

Būkite nuovokfisl

99

giagretės (žinoma, teoriškai,— kai n labai dide­ lis, tokia lygiagrete sunku keliauti). 49. Panašiai samprotaudami, kaip ir spręsda­ mi 48 uždavinį, nustatome, kad lokys buvo arba Siaurės ašigalyje, arba netoli Pietų ašigalio, už 1 0 0 m į šiaurę nuo 1 0 0 jn ( n — natūrinis skaičius) m ilgio lygiagretės. Toliau daugelis sprendėjų taip išvedžioja: „Kadangi Antarktidoje lokiai ne­ gyvena, tai nušautas lokys galėjo būti tik Siaurės ašigalyje. Arktikoje visi lokiai yra balti. Todėl ir lokio kailis buvo baltas11. Viskas būtų gerai, jei ne vienas „bet“. Ar jūs esate tik­ ri, kad po tokių samprotavimų kažkas nepanorės jums pa­ kišti kojos,— nuveš rudąjį lokį į Antarktidą, pasodins jį už 100 m į šiaurę nuo 100 m ilgio lygiagretės ir, atlikęs visas uždavinio sąlygoje nurodytas keliones, nušaus jį?

50. Kiekvieno daikto šešėlio ilgis priklauso nuo Saulės padėties dangaus skliaute: kai Saulė žemai, šešėlis yra didelis, Saulei kylant, šešėlis mažėja, šešėlio ilgis tarp 1 0 valandos ir 17 v a ­ landos nesikeis, jei tuo metu dangaus skliaute Saulė savo padėties nekeis (arba ją keis ne­ daug). Vienintelė vieta Žemėje, kur tuo laiku Saulė dangaus skliaute beveik nekeičia savo pa­ dėties, yra už poliarinio rato, arti ašigalių. 51. Krovinys ir beždžionė visą laiką turi išlai­ kyti pusiausvyrą. Beždžionei pradėjus lipti į vir­ šų krovinys irgi kils į viršų.

100

Sprendimai

II. Be logikos — nė žingsnio! 52. Jeigu trečias kalbėtojas yra neteisus, tai tuo labiau neteisus bus pirmasis. Tad teisybę sakė antrasis. Vadinasi, rytoj bus giedra ir švies saulė. 53. Kadangi dvi trečiosios visų atsargų yra sugedę produktai, tai gali būti, kad visi konser­ vai (jie sudaro dvi trečiąsias atsargų) yra sugedę. Pasvarstykime, kokiu atveju bus mažiausiai sugedusių konservų. Jei laikysime sugedusiais vi­ sus kitus produktus, tai dar vieną trečdalį s u g e ­ dusių atsargų turi sudaryti konservai. Taigi bent pusė konservų tikrai yra sugedę. 54. Kiekvienoje eilėje ir kiekviename stulpely­ je cikliškai (vienoda tvarka viena po kitos) kar­ tojasi trys figūros: trikampis, kvadratas ir skritu­ lys. Kadangi matomoje dalyje yra pavaizduoti trys skrituliai, tai plokštelė slepia kvadratą ir tri­ kampį. Rakto galas pavaizduotas 28 paveiksle. 55. Kadangi bevaikių šeimų nėra, tai kiekvie­ noje šeimoje yra bent viena mergaitė. Nėra to­ kios šeimos, kurioje būtų vien berniukai, nes, re­ miantis sąlyga, kiekvienas berniukas turi seserį. Tad mergaičių skaičius yra ne mažesnis už šeimų skaičiij. Tačiau berniukų yra daugiau negu mer­ gaičių. Tad vaikų skaičius yra daugiau negu dvi­ gubai didesnis už šeimų skaičių. Vadinasi, vaikų

Be logikos —

------------------------------------------------

yra daugiau negu su­ augusiųjų. O tai prieš­ tarauja surašinėtojo ataskaitai. 56. „Ar jūsų šjan- ™ P™dien jau ko nors klau- . . . , , . sė?M I šį klausimą pirmą kartą Jonas atsake nei­ giamai, antrą kartą (nes jau buvo klaustas) — teigiamai. 57. Tarkime, kad antrą dieną iš pradinės vie­ tovės 9 valandą ryto priešpriešiais išplaukia kitas žmogus. Jis elgiasi visai taip pat, kaip ir keliau­ tojas pirmą dieną: plaukia tuo pačiu greičiu, ilsisi tuo pat metu ir toje pat vietoje,— kitaip sakant, jis imituoja keliautojo pirmos dienos kelionę. Ka­ dangi keliautojas ir jo antrininkas plaukia prieš­ priešiais, tai kažkokiu momentu (tarkime, a v a ­ landą b minučių) kokioje nors vietoje jie susitiks. Tad abi dienas šioje vietovėje keliautojas buvo tuo pačiu laiku. 58. Matematikas patarė: „Reikia išpilti v a n ­ denį iš arbatinuko, užgesinti dujinę viryklę. Ta­ da turėsime prieš tai buvusį uždavinį, kuris jau išspręstas44. Sis Išties klek netikėtas atsakym as gali kai ką n u ste­ binti, tačiau ne matematiką. M atem atikoje neįm anom a iš ­ spręsti visą uždavinį nuo pradžios iki g a loi per d a u g s u ­ dėtinga tapo StaoIalkfnA m atem atika, o r apskritai kam be reikalo eikvoti jėgas. Juk form ulės pritaikymas, sprendžiant uždavinį, Iš tikrųjų yra ne kas kita kaip nau d ojim asis kfto, jau išspręsto, uždavinio sprendimu. D ažniausiai u žd a v in y s laikomas išspręstu, jei jj galim a pakeisti kitu uždaviniu, ku­ rio sprendimas jau yra Žinomas. Toks uždavinių sprendim o būdas ir vadinamas „arbatinuko principu". ♦ ~ IS , «u »arĮ)at,? uko principas", būdamas v isa g a lis m a­ tematikoje, praktiniame gyven im e yra b ejėgis. Cla Jis yra tapęs [vairių pokštų priežastimi. P asak amerikiečių log ik o

102

Sprendimai

Raimundo M. Sm aliano, jei dega namas, žm o g u s turi iš ­ kviesti gaisrininkus. Tačiau daryti, jei namas nedega? Sekant „arbatinuko principu**, jį reikia padegti, ir mūsų už­ davinys jau bus pertvarkytas į kitą uždavinį, kurio spren­ dimas jau surastas! Todėl praktikoje net ir matematikai nesivadovauja šiuo principu.

59. Palikime su vilku kopūstą ir perkelkime ožką į kitą krantą. Grįžę J valtį įsodinkime vilk^, o nugabenę jį į kitą krantą, atgal plaukime su ožka. Ožką palikime ant kranto, o į kitą krantą nuvežkime kopūstą. Dabar reikia tik grįžti ir pa­ imti ožką. Taip visus sveikus perkelsime per upę. 60. Markas Tvenas rašė, kad, norint atsakyti į šį klausimą, reikia pagyventi kaime. Tačiau m a­ nau, kad tai nebūtina. Į kurią pusę gali būti nu­ kreipusios galvas karvės, jei jos ant aukšto kal­ nelio rupšnoja sodrią žolę? 61. Varinės monetos yra keturių rūšių: 1 kap. vertės, 2 kap. vertės, 3 kap. vertės ir 5 kap. ver­ tės. Jei berniukas turėtų ne daugiau kaip po 6 šių rūšių monetas, tai bendras jų skaičius būtų ne di­ desnis už 4 * 6 = 2 4 . Tačiau berniukas turi 25. V a ­ dinasi, bent 7 iš turimų monetų yra vienodos ver­ tės. Spręsdami šį uždavinį, taikėme principą, kuris turi v o ­ kiečių matematiko Dirichlė vardą. Kaip pokštas, jis n u sa ­ komas taip: „Jei 4 narvuose reikia patalpinti 5 triušius, tai vienam e jų bus bent 2 triušiai**.

62. Visus klasės mokinius suskirstykime į 13 grupių. Sakykime, kad pirmajai priklauso tie, ku­ rie diktante nepadarė nė vienos klaidos, antra­ j a i — tie, kurie padarė vieną klaidą ir t. t., tryliktajai — tik Petriukas, įsigudrinęs padaryti net dvylika klaidų. Tarkime, kad nėra trijų mokinių, kurie būtų padarę vienodą skaičių klaidų. Tuomet

Be logikos — nė žingsnio!

103

kiekvienoje grupėje būtų ne daugiau kaip 2 mo­ kiniai. Vadinasi, iš viso jų negalėtų būti daugiau kaip 26 (2-13 = 26). Tačiau diktantą rašė 27 mo­ kiniai. Tad mūsų prielaida neteisinga,— yra bent trys mokiniai, kurie padarė vienodą skaičių klaidų. 63. Sinjoras Pomidoras siuntė 99, t. y. nely­ ginį skaičių kareivių. Bet trečias būrys turi būti tokio dydžio, kaip pirmasis ir antrasis kartu pa­ ėmus. Tokiu atveju kareivių skaičius bus lyginis. Vadinasi, Citrina negalės gaudyti bėglių, nes niekaip nesuskirstys kareivių į būrius. 64. Katė galbūt įstengs suėsti 60 pelių (tam ji sugaiš vieną valandą), ir štai tuomet likusios — 5 9 940 pelių — tikriausiai pradės griaužti vos be­ pajudančią, persiėdusią katę. Todėl šio galvosū­ kio autorius L. Kerolas atsako taip: „Negreit. Aš pats manau, kad pelės greičiau suės katę“ *. 65. S. Puasonas iš pradžių pripylė 5 kvortų ąsotį, paskui iš jo — 3 kvortų ąsotį. Iš 3 kvortų ąsočio pieną išpylė į kibirą, o 2 kvortas pieno, li­ kusias 5 kvortų ąsotyje, perpylė į 3 kvortų ąsotį. Po to pripylė 5 kvortų ąsotį ir iš jo dalį pieno nu­ pylė į 3 kvortų ąsotį (kuriame buvo 2 kvortos pieno). 5 kvortų ąsotyje tuomet liko 4 kvortos pieno. Tačiau šis pilstymo būdas yra ne vienintelis. Skaitytojams siūlome patiems surasti dar vieną šio uždavinio sprendimą. 6 6 . Laborantas turi atlikti tokius veiksmus: a) pripilti 11 ir 5 ml talpos menzūrėles, tuo­ met flakone liks 8 ml chemikalų (neužmirškime, * C. 382,

K. a p p o

ji

JI.

HcTopiiH c y3ejiKaMH.— M.,

1973,—*

104

Sprendimai

b) 29 pav.

kad chemikalus reikia padalyti į tris dalis po m l); b) pripilti 13 ml talpos menzūrėlę, išpilant visus chemikalus iš 5 ml talpos menzūrėlės ir da­ lį chemikalų iš 11 ml talpos menzūrėlės. Tuomet 11 ml talpos menzūrėlėje liks 1 1 + 5 — 13 = 3 ml chemikalų; c) iš 13 ml talpos menzūrėlės pripilti chemi­ kalų 5 ml talpos menzūrėlę; čia liks 13—5 = 8 ml chemikalų, tai bus ant­ roji dalis; 2 - a s i51 talpos ■41 talpos! 1 -as d) dabar reikia v i­ indas | bidonas aidonas indas sus chemikalus iš 5 ml — 15 15 talpos menzūrėlės iš ­ — 5 pilti į 11 ml talpos 15 10 menzūrėlę. Turėsime 4 1 15 10 8 ml chemikalų. — 1 15 14 Tai ne vienintelis šio 1 uždavinio sprendimas. 15 14 Kadangi norėjome kuo 1 5 15 9 greičiau baigti daliji­ A 15 9 mą, tad pateikėme S — sprendimą su m ažiau­ 15 13 siu perpylimų skaičiu­ A 11 13 mi. 14 15 S 67. Moteris pieną pilstė taip: 8

—

-

Be logikos — nė žingsnio! 68.

105

Į keptuvę įdėkite 4 kotletus. Po 5 min 2 kotletus apverskite, 2 kotletus išimkite, o į jų vietą įdėkite likusius 2 kotletus. Dar po 5 min 2 kotletai bus iškepę, o likusių 4 kotletų apke­ pusi viena pusė. Jie iškeps per paskutines 5 mi­ nutes. 69. Pastatyti abu smėlio laikrodžius (29, a pav.). Po 11 min (29, b pav.) mažesniojo laik­ rodžio smėlis išbyrės, o didesniame laikrodyje jo liks dar 5 min. Apversti mažesnįjį smėlio laik­ rodį (29, c pav.). Po 5 min didesniojo laikro­ džio smėlis bus išbyrėjęs, o mažesniojo laikrodžio bus išbyrėjęs tas minutes atitinkantis kiekiš (29, d pav.). Didesnįjį smėlio laikrodį atidėti, o m a­ žesnįjį vėl apversti (29, e pav.). Smėlis dar by­ rės 5 min. Taip iš viso bus praėjusios 1 1 + 5 + 5 = = 2 1 min. 70. Yra žinoma, kad per Audriaus atostogas 7 pusdienius lijo ir 5 + 6 = 1 1 pusdienių švietė sau ­ lė. Tad Audriaus atostogos truko 7 + 5 + 6 = 1 8 pusdienių, arba 9 dienas. 71. Žmonės nusipirko 250 kiaulių ir jas pasi­ dalijo pusiau. Pirmasis jas pardavinėjo po 1 solidą už dvi kiaules, antrasis — po 1 solidą už tris kiaules (už kiekvienas penkias kiaules gaudavo po 2 solidus). Pirmasis pardavė 120 kiaulių ir g a ­ vo 60 solidų. Antrasis už tiek pat kiaulių pelnė 40 solidų. Jiems liko po 5 kiaules. Tos 10 kiaulių ir yra minimas pelnas. 72. Per laiką, kurį jaunesnysis brolis sugaišta bėgdamas 97 m, vyresnysis brolis įveikia 100 m. Tad, kol jaunėlis nubėga 3 m, vyresnysis įveikia atstumą, didesnį negu 3 m. Vadinasi, per tą lai­ ką, kol jaunesnysis brolis nubėga 100 m (97 +

Sprendimai

106

+ 3 = 1 0 0 ) , vyresnysis įveikia daugiau negu 103 m. Todėl ir antrąsias lenktynes laimėjo vy­ resnysis brolis. 73. Senasis arabas tikriausiai nelabai mokėjo matematiką, tiksliau, aritmetiką. Priešingu atve­ ju, argi jis savo sūnums būtų palikęs tik ~1T ^ ~1T ^ l t ==9~*:^ 2 turt° dalį. O kam turėjo atitekti likusioji '/iš palikimo dalis? Kai broliai pasiskolino vieną kupranugarį, tai tuomet kiekvienai Vis turto daliai teko vienas kup­ ranugaris. Tad kaimyno gyvulys ir atitiko tą Via turto dalį, kuri turėjo atitekti nežinia kam. 74. Septyniolika kupranugarių reikia padalyti santykiu Tai visai nereiškia, kad sūnūs turi gauti būtent šias skaičiaus 17 dalis. Santykį galima užrašyti ir taip: -r®- : • lo

lo

lo

Kitaip tariant, jauniausias brolis palikimo turi gauti pusantro karto daugiau negu vidurinysis, o vidurinysis — tris kartus daugiau negu vyriau­ sias brolis. Sakykime, kad vyriausias brolis gavo a kupranugarių, tuomet vidurinysis turi gauti 3 a, jauniausias — 4,5a. Bet a + 3 a + 4 , 5 a = 1 7 arba a = 2. Tad broliams turi tekti atitinkamai 9, 6 ir 2 kupranugariai. 75. Kadangi karaliaus dešinėje yra bent v ie­ na dama, o damos kairėje — bent viena dama, tai kortos taip išdėstytos (iš kairės į dešinę): kara­ lius, dama, dama. Bet būgnų kortos kairėje — bent viena vynų korta, tad viena dama yra būg­ nų. Iš to, kad vynų kortos dešinėje irgi yra bent viena vynų korta, galima padaryti išvadą: ant stalo guli vynų karalius, vynų dama ir būgnų dama.

Be logikos — nė žingsnio!

107

76. Butuose, kuriuose gyvena D broliai, bend­ ras langų ir durų skaičius yra lyginis. B ir C bu­ tuose langų ir durų skaičius irgi yra lyginis. Ta­ čiau A bute yra trejos durys ir du langai, t. y. durų ir langų kiekis — nelyginis skaičius. Tad A nėra D brolis. Tačiau D yra A brolis. Vadinasi, A yra D sesuo. A yra moteris, tad ji negali tu­ rėti uošvės. J. Hašekas nebuvo pirmasis rašytojas, su ga lv o jęs „šveikišką" uždavinį. B u sim asis prancūzų rašytojas G. Floberas (1821— 1880) laiške (1841 m. g e g u ž ė s 16 d.) s e s e ­ riai Karolinai rašė: „Tu m ėgsti geometriją ir trigonom etri­ ją, tai išspręsk tokį uždavinį: su vilna iš B osto n o išplaukė 200 t talpos laivas. Jo tikslas — Havras. P agrindinis stiebas nulaužtas, ant denio yra junga, laive dvylika keleivių, pučia šiaurės rytų vėjas, laikrodis rodo penkiolika minučių ket­ virtos, visa tai vyksta g e g u ž ė s m ė n e s į .. . Kiek metų kapitonui?“

77. Tarkime, kad Achilą ir vėžlį skiria tik 1 0 0 m, o pailsęs Achilas už vėžlį bėga tik 1 0 kartų greičiau. Iš Zenono samprotavimų išplau­ kia, kad nubėgęs 1 0 0 m Achilas vėžlio neras, nes vėžlys bus pasistūmęs į priekį 1 0 m. Kol Achilas įveiks tuos 1 0 m, vėžlys nuo jo bus už 1 m. Achi­ lui nubėgus ir šį metrą, vėžlys į priekį pasislinks 1 0 cm. Kai Achilas įveiks ir šį atstumą, vėžlys bus priekyje už 1 cm ir t. t., vėžlys visada bus nutolęs nuo Achilo atstumu, nelygiu nuliui. Ta­ čiau dabar tikriausiai dažnas paklaus: ar gali taip būti,— juk Achilas nesiderins prie vėžlio žingsnių? Užtenka, kad iuos teskirs.tik 1 0 cm ir tuomet Achilas vienu galingu žingsniu paliks už­ pakalyje savęs vėžlį. 78. Iš pirmos skylės kiškis žvelgia l - H A * T 1 + 1/ 2 + ,a + ,/ 8 = 2 - v 8, 1 + V 2 + V 4 + V 8 + + / 16+ / 3 2 = 2 — V32 > . . . , 2 — 722n+1> . . . laiko m o­

? r Y 2i,

1 08

Sprendimai

mentais {n — natūrinis skaičius). Iš antros sky­ lės kiškis žvelgs 1, 1 + V2 + V4 = 2 - V 4 , I + V2 + V 4 + + V 8 + i/ 16= 2 - ,/ 16, . . . , 2 - V 22n, ••• laiko momen­ tais (n — natūrinis skaičius). Tad antrąją sekundę nuo stebėjimo pradžios kiškis jau turėtų žvelgti pro abi skyles, nes tiek 2 — 7 2 2n+1> tiek ir 2 — — 7 2 2t\ kai n neaprėžtai auga (t. y. didėjant kiš­ kio šuolių skaičiui), artėja prie 2. Tačiau, ar iš tikrųjų taip bus? Labiau tikėti­ na, kad iki to laiko kiškis jau bus lapės arba vil­ ko naguose. O jei taip ir neįvyko, jis vis tiek kaž­ kokiu momentu nesugebėtų šitaip šokinėti. Kaip sako fizikai, gamtoje joks kūnas negali judėti greičiau už šviesą, kurios greitis 300 000 km/s. Jau savo trisdešimt penktu šuoliu kiškis seniai turėjo aplenkti šviesą (net jei jo dėžė tokia ma­ ža, kad jam tenka šuoliu įveikti tik 10 cm ), nes 235*1 0 - 4> 220> 3 0 0 000. 79. Vos tik pradėjęs skustis, kirpėjas tuoj tu­ ri mesti šį darbą, nes priešingu atveju nusižen g­ tų skelbimo reikalavimui. Tačiau, nesiskųsdamas kirpykloje, jis tuoj įgyja teisę čia skustis. Bet pradėjęs skustis, jis vėl privalo mesti šį darbą ir taip viskas kartojasi be galo. Patekome į ydin­ gą ratą. Tačiau žinome, kad ši kaimo kirpykla garsėja savo populiarumu. Ir tikriausiai ne todėl, jog ten blaškosi niekaip negalėdamas nusiskusti vargšas kirpėjas, o kad čia puikiai aptarnauja. Kaip rasti išeitį iš šio prieštaravimo? O gal šį prieštaravimą atskleisti padėtų prielaida, kad kir­ pėjui visai nebūtina skustis. Vadinasi, šioje kir­ pykloje dirba kirpėja moteris, kuriai nereikia skustis. 80. Vyras samprotavo taip: „Jei ant mano g a l­ vos būtų raudonas fesas, tai kitas vyriškis, m aty­

Be logikos — nė žingsniol

10 9

damas du raudonus fesus, padarytų išvadą, kad ant jo galvos tegali būti juodas fesas. Tačiau jis tyli, vadinasi, ant mano galvos jis mato juodą fesą“. 81. Pirmasis išminčius samprotavo taip: „Kiekvienas iš mūsų gali galvoti, kad jo veidas š v a r u s . Antrasis išminčius yra tikras, kad jo vei­ d a s švarus, ir juokiasi iš ištepto trečiojo išmin­ čiaus veido. Tačiau, jei antrasis išminčius maty­ tų, kad mano veidas švarus, jį stebintų trečiojo išminčiaus juokas, nes tokiu atveju pastarasis ne­ turėtų priežasties juoktis. Tačiau antrasis nenu­ stebęs, vadinasi, jis gali galvoti, kad trečiasis juokiasi iš manęs. Taigi mano veidas yra ištep­ tas". Panašiai samprotavo ir kiti du išminčiai. 82. Melagis niekuomet neprisipažins, kad jis yra melagis. Jei tai padarytų, vadinasi, jis saky­ tų tiesą, o tai neįmanoma. Tad antrasis gyvento­ jas, teigdamas, jog pirmasis prisipažino melagiu, sakė netiesą. Tad teisus yra trečiasis, vadinasi, jis teisuolis. 83. Jei tiesos dievas stovėtų kairėje, tai jis sa­ kytų, kad greta jo stovi arba melo dievas, arba dievas diplomatas. Tačiau jis taip nesako. Vadi­ nasi, kairėje stovi ne tiesos dievas. Jei tiesos dievas būtų centre, tai jis taip ir pasakytų žmo­ gui. Centre stovintis taip nesako, vadinasi, jis ne tiesos dievas. Tad tiesos dievas stovi dešinė­ je. Kadangi jis visuomet sako tiesą, tai greta jo yra melo dievas, o kairėje stovi dievas diplomatas. 84. Pirmasis kaimelio gyventojas negali būti Dondu, nes tai prieštarautų jo žodžiams. Tad ne visi sutikti žmonės yra Kondu, t. y. melagiai. Tarkime, kad jų yra tik vienas — tas, kuris pri­ sistatė pirmas. Tuomet antrasis turėtų būti Don-

110

Sprendimai

du. Bet jo ž o d ž i a i prieštarauja trečiojo gyvento­ jo teiginiui. Tad antrasis irgi yra Kondu. Jei Kondu būtų tik du asmenys, tai trečiąjį galėtu ­ me laikyti Dondu. Tačiau jo ir ketvirtojo gyven ­ tojo pareiškimai vienas kitam prieštarauja, tad ir trečiasis nėra Dondu. Kadangi tarp jų turi bū­ ti bent vienas Dondu, tai ketvirtas sako t i e s ą __ jo pavardė yra Dondu. ? 85. Galimi keturi atvejai: I. A ir B — teisuoliai; II . A — t e i s u o l i s , B — melagis; I I I . A — melagis, B — teisuolis; IV. A iv B — melagiai. Pirmu, trečiu ir ketvirtu atveju išm inčius į pir­ mą klausimą būtų Išgirdęs atsakymą „taip44, ant­ ru — „ne“. Kadangi jis po pirmo atsakymo dar ne­ galėjo nuspręsti, kas yra A ir B , tai šis atsakymas nebuvo „ n e“. I antrą klausimą išminčius g alėjo išgirsti at­ sakymą „taipw pirmu ir trečiu atveju, „ne" — ket­ virtu atveju. Jei šis atsakymas būtų buvęs „taip“ išminčius dar negalėtų žinoti, kas yra A — tei­ suolis. ar m elagis. Tačiau jis identifikavo A ir B vadinasi, jis išgirdo atsakym ą „ n e M. Tad A ir B yra melagiai. 86. Kadangi S alalas nem okėjo nei persų, nei turkų kalbos, tai jis kalbėjo graikiškai ir armė­ niškai. Vadinasi, viena iš šių kalbų turėjo kalbėti ir p eisas Abdula, nes S ala la s v ersd av o jo žodžius Muchamedui. Abdula n e g a li mokėti graikiškai nes tuomet Abdula, Jusufas ir S a la la s susikalbė­ tų šia kalba. Tad Abdula moka armėnų ir persu kalbą. Dėl tos pačios priežasties Ju su fas negali mokėti armėniškai, va d in asi, jis kalba graikų ir j)ersų kalbą. M ucham edas nem oka p ersiškai, nes

Be lo g ik o s — nė žin g sn io l

111

S a la la s verčia jo ir A bdulos pokalbį, tad su Jusufu jis g a li susikalbėti tik graikiškai. V a d in a si, kiekvienas, be sa vo g im to sio s kal­ bos, dar moka šią kalbą: armėnas S a la la s — g r a i­ kų, graikas Ju sufas — persų, persas Abdula — armėnų, turkas M uch am ed as — graikų. 87. Žinome, kad A u g a itis iš visų trijų m o k y­ tojų yra jau n iau sia s, o fizikos mokytojas vyres^ s jtuj b io lo g ijo s m okytoją, bet ja u n e sn is už Bretkūną. V a d in a si, A u g a itis dėsto biologiją, o K a zlau skas fiziką. V y riau sia m mokytojui, šiuo atveju Bretkūnui, n am o tenka eiti ilg ia u sią kelią. T a ig i A u g a it is su K azlausku g y v e n a v ie ­ n a m e nam e. Tad jie dėsto chem iją ir m a te m a ti­ ką. Tačiau m a tem a tik o s mokytojas su K azlausku dažnai žaidžia ša ch m a ta is, v a d in a si, A u g a itis dar dėsto ir m a tem atik ą, o K azlauskas — chemiją. Tuom et Bretkūno dėstom i dalykai yra istorija ir braižyba. 88. V is u s d u o m en is su rašo m e lentelėje: verti­ kaliai g a lim a s kom andų poras, horizontaliai — v i ­ su s ratus, kada turi įvykti šių kom andų r u n g ty ­ nės. Jei ru n g ty n ė s įvy k u sio s, atitinkam am e la n ­ g e ly je p a r a šo m e žodį „žaidė", v is u s kitų ratų la n ­ g e liu s tie s šia pora ir v isa s kitas šių dviejų ir likusių k o m an dų r u n g ty n e s užbraukiame. G a u ­ n a m e tokią 30 p a v e ik s le p av a izd u o tą lentelę. Iškart m a to m e, kad „Kibirkštis44 ir „M eteoras44 su sitik o penktą šešta d ien į. V a d in a si, tą dieną šios k o m a n d os n e g a li ru n gty n ia u ti su kitomis, tad tuos la n g e liu s užbraukiam e. D abar m atom e, kad pirmame rate žaidė „Kibirkštis44 ir „ B a n g a 44. Vėl u žb rau k iam e v is ų n e g a lim ų su sitikim ų lan geliu s. Iš čia išplaukia, kad pirmojo rato trečiose ru n g ­ ty n ė s e su sitik o „ V im p e la s 44 ir „ S trėlė44. Iš šių

112

S p re n d im a i

30 pav.

duom enų g a lim e n u sta tyti, kad p enktą š e š t a d ie n į „Strėlė" ža id ė arba su „ B a n g a " , arba su „ E re­ liu". Iš len telės m atyti, kad antrą š e š ta d ie n į žaidė „Meteoras" ir „Vim pelas". Tad antrą š e š t a d ie n į susitiko šio s kom an dos: „Erelis" su „Kibirkšti­ mi", „Meteoras" su „Vimpelu" ir „ B a n g a " su „Strėle". V a d in a si, pasku tin iam e rate ža id ė „ S tr ė ­ lė" su „Ėreliu".

89, Plėšikai turėjo atlikti tokius veiksm us: 1) nuleisti skrynią žemyn; 2) į antrą pintinę įsodinti ploną plėšiką. Jį nuleisti žem yn. Tada skrynia pakyla į viršų; 3) skrynią išim ti iš pintinės, į jos vietą įs o ­ dinti vid u tin įjį plėšiką. Jį n u leisti žem yn, o p lo ­ nąjį pakelti į viršų; 4) skrynią n u leisti žem yn; 5) į pin tin ę su skrynia įsod in ti vidutinįjį p lė ­ šiką, viršuje — storąjį. Storąjį nuleisti žem yn, v i­ dutinįjį su skrynia pakelti į viršų; 6) skrynią n u leisti žem yn; 7) plonąjį n u leisti žem yn, skrynią pakelti į viršų; 8) vietoj sk ryn ios įsod in ti vidutinįjį plėšiką. Jį n u leisti žem y n , plonąjį pakelti į viršų; 9) sk ry n ią n u leisti žem yn; 10) į p a k ilu sią tu šč ią pintinę įsodinti plonąjį plėšiką. Jį n u leisti žem yn , skrynią pakelti į viršų; 11) skrynią n u leisti žem yn. 90. T eg u l pirm asis plėšikas grobį padalija į tris, jo nu om one, ly g ia s dalis, o antrasis ir tre­ č ia sis plėšikai, n epriklausom ai vienas nuo kito, nurodo tą dalį, kuri jie m s atrodo didesnė. Jei jie nurodys skirtingas dalis, te g u l kiekvienas pasiim a tą dalį, kurią jis laiko didesne, o pirmajam p lė­ šikui teks likusi dalis. Jei jie nurodytų tą pačią dalį, te g u l ją p a sid a lytų , kaip nurodyta u žd av in io są ly g o je . P o to a n tra sis ir trečiasis plėšikai, vėl n epriklausom ai vien as nuo kito, turėtų nurodyti tą iš dviejų likusių dalių, kuri jie m s atrodo di­ desnė. Jei jie nurodytų tą pačią dalį, teg u l p a s i­ dalytų ją, o pirmasis plėšikas paim tų likusią dalį. Jei jie nurodytų skirtingas dalis, tai kiekvienas jų S — 64S8

112

Sprendim ai

duomenų g a lim e nustatyti, kad penktą šešta d ien į „StrėlėM žaidė arba su „B an ga", arba su „Ere­ liu". Iš lentelės matyti, kad antrą šeštadien į žaidė „Meteoras44 ir „V im pelas44. Tad antrą šešta d ien į susitiko šios komandos: „ E re lis44 su „Kibirkšti­ m i44, „Meteoras44 su „V im pelu44 ir „ B a n g a 44 su „Strėle44. V adinasi, paskutiniame rate žaidė „S trė­ lė44 su „Ereliu44.

Be l o g i k o s — nė ž i n g s n i o !

113

89. Plėšikai turėjo atlikti tokius veiksmus: 1) nuleisti skrynią žemyn; 2) į antrą pintinę įsodinti ploną plėšiką. Jį nuleisti žem yn. Tada skrynia pakyla į viršų; 3) skrynią išimti iš pintinės, į jos vietą įs o ­ dinti vidutinįjį plėšiką. Jį nuleisti žemyn, o p lo­ nąjį pakelti į viršų; 4) skrynią nuleisti žemyn; 5) į pintinę su skrynia įsodinti vidutinįjį plė­ šiką, viršuje — storąjį. Storąjį nuleisti žemyn, v i­ dutinįjį su skrynia pakelti į viršų; 6) skrynią nuleisti žemyn; 7) plonąjį nuleisti žem yn, skrynią pakelti į viršų; 8) vietoj skrynios įsodinti vidutinįjį plėšiką. Jį nuleisti žem yn, plonąjį pakelti į viršų; 9) sk ry n ią n u leisti žemyn; 10) į p akilusią tuščią pintinę įsodinti plonąjį plėšiką. Jį nuleisti žem yn, skrynią pakelti į viršų; 11) skrynią nuleisti žemyn. 90. T egu l pirmasis plėšikas grobį padalija į tris, jo nuom one, ly gias dalis, o antrasis ir tre­ čiasis plėšikai, nepriklausom ai vienas nuo kito, nurodo tą dalį, kuri jiem s atrodo didesnė. Jei jie nurodys skirtingas dalis, teg u l kiekvienas pasiim a tą dalį, kurią jis laiko didesne, o pirmajam plė­ šikui teks likusi dalis. Jei jie nurodytų tą pačią dalį, teg u l ją pasidalytų, kaip nurodyta uždavinio są ly g o je. Po to antrasis ir trečiasis plėšikai, vėl nepriklausom ai vienas nuo kito, turėtų nurodyti tą iš dviejų likusių dalių, kuri jiem s atrodo di­ desnė. Jei jie nurodytų tą pačią dalį, tegul p a si­ dalytų ją, o pirmasis plėšikas paimtų likusią dalį. Jei jie nurodytų skirtingas dalis, tai kiekvienas jų

114

S p ren d im a i

t e g u l p asid a lija jam patikusią dalį uždavinio s ą ­ ly g o j e aprašytu būdu su pirmuoju plėšiku. 91. Žinome, kad bent vienas laukinis yra ne ž m o g ė d r a . Tarkime, kad du iš jų nėra žm o gėd ­ ros. B et tada jie sudarytų vieną porą. Tai prieš­ ta rau ja s ą ly g a i (iš bet kurių dviejų laukinių bent v ie n a s yra ž m o g ė d r a ). V adinasi, prielaida netei­ s in g a . T a ig i vienas laukinių ne žmogėdra, visi ki­ ti — žm ogėd ro s. 92. J a u n a sis automobilininkas patarė: „Reikia v is i e m s susikeisti m ašin o m is,— juk prizą laimi tas kurio m a š i n a į finišą atvažiuoja paskutinė. T u om et kiekvienas, žinodamas, jo g finišavęs pa­ sk u tin is tikrai neteks prizo, s te n g sis važiuoti kuo •v • „„U g reičia u . A p s k r it a i šio p rizo la im ė jim a s p rim en a loteriją,— juk k ie k v ie n a s g a li p a d a r y ti tik tai, kas b ū tin a, kad laim ėtų £Jjz a __ n e f i n iš u o t i s u s v e tim a m a š i n a p a sk u tin is. B e t tai dar v i s a i n e r e iš k ia , j o g tokiu a tv eju jis tikrai p e ln y s tą prizą.

III. Detektyvo mėgėjams 93. Jei abu pašnekovai būtų vyriškiai, tuomet pirmasis iš jų, nieko nežinantis apie antrojo g y ­ venimą po mokyklos baigimo, negalėjo žinoti ii jo žm onos vardo. Tad antrasis pašnekovas g a ­ lėjo būti tik moteris. Pirmasis pašnekovas, žino­ damas jos vardą, lengvai galėjo pasakyti ir jos dukters vardą. 94. Sakykime, kad Braunas yra viso miesto gerbiamas pilietis, t. y. kad jis abu kartus pasakė tiesą. Bet tuomet išeina, kad ir Džonsas abu kar­ tus pasakė tiesą, o tai prieštarauja sąlygai. Tad visų gerbiamas pilietis yra Smitas. Iš jo parody­ mų išplaukia, kad žudikas yra Braunas. Džonsas tuomet yra žinomas apgavikas, o žudikas Brau­ nas — n ežym us m iesto pilietis. 95. Keliautojai už viešbutį sumokėjo 25 dole­ rius, 2 dolerius p asisav in o tarnas ir 3 dolerius jie gavo grąžos. 96. G alim as dalykas, kad daktaras Votsonas į klausimą: „Kodėl liliputas taip elgiasi?" pasirin­ ko vien ą iš šių atsakymų: „Meta svorį", „Treni­ ruoja širdį", „Lanko draugą dešim tam e aukšte". Jie v isi išties yra visiškai įtikinami bei logiški. Tačiau nereikia pamiršti, kad čia kalbama apie liliputą. O juk aukščiau nurodytais atvejais taip elg tis g a li ne tik liliputas, bet ir milžinas. O Ii-

116

Sprendimai

liputas, pasirodo, gali pasiekti tik iki dešimto aukšto mygtukus. 97. Muitininkas rutulius įmetė į indą su v a n ­ deniu. To rutulio, kuriame buvo paslėpti d eim an­ tiniai papuošalai, m a sės centras nesutapo su g e o ­ metriniu centru, tad jis vandenyje vartėsi ne taip, kaip kiti. 98. Nuotraukoje buvo įamžintas saulėtas (ant p alan gės saulėje šildėsi Bobo katinas) bei giedras (aiškiai buvo matyti pašto rūmų bokštas) rytas. Tačiau lapkričio 17 dienos rytas, kada žuvo di­ rektorius Pulmanas, buvo kitoks — tada žem ę gaubė tiršta m igla. 99. V a gis, prieš įeidamas į lombardą, ant jo durų pakabino kortelę „Lombardas uždarytas: pietauju iki 14 v a la n d o s 4*. Išeidamas jis nukabino kortelę ir nusinešė. 100. Jei monetą būtų p a v og ęs vienas iš bro­ lių, jis nebūtų valęs pirštų atspaudus — juk bro­ liai spinta naudojosi bendrai. K adangi atspaudai nuvalyti, monetą pavogė tas, kuris nenorėjo jų palikti. Vienintelis toks asmuo gali būti tik Janekas. O jo skambutis kitą dieną — vienas iš bū­ dų nukreipti įtarimą. 101. Vladas ir Gintas apie kostiumo spalvą (ruda ir neruda) pateikia vienas kitam priešta­ raujančius parodymus, iš kurių teisingas gali bū­ ti tik vienas. Tarkime, kad nusikaltėlio kostiumas nėra rudas, t. y. pilkas arba mėlynas. Vadinasi, tris kartus liudininkai teisingai nurodė kostiumo s Palvą. Tačiau iš viso buvo tik 6 teisingi parody­ mai (kiekvieno liudininko po v ie n ą ). Tad apie ki­ tus nusikaltėlio požymius (akių bei plaukų spaly.? ^ amžių) teisingi parodymai buvo pateikti tlk Po vieną kartą Tačiau, kad ir kokia butų jo

D etektyvo m ėg ėja m s

117

Parodym ai

PLAUKAI

AKYS

ANTANO

Rudi

Žydros

B R O N IA U S

Šviesus

Juodos

D O N A TO EDVARDO

'Pilka*

A M Ž IU S

34 30

Rudas

V LA D O

G IN T O

KOSTIUM AS

M-

Tam sūs

žydros

30

Kaštoniniai

Duodos

28

Šviesūs

Rusvos

32

31 pav.

akių sp alva, liudininkai ją savo parodymuose mi­ nėjo du kartus. S is prieštaravimas ir paneigia m ūsų prielaidą. V ad in a si, nusikaltėlis vilkėjo rudu kostiumu S udarom e lentelę (31 p av.), kurioje surašome liu­ dininkų parodymus. Išaiškintus m elagingus pa­ rodymus perbraukiame brūkšniu (iš pradžių te­ žinome, kad m e la g in g i yra parodymai apie neru­ dą n u sik altėlio kostiumo sp alv ą ). Iš s ą ly g o s , kad nusikaltėlis vilkėjo rudu kos­ tiumu, pirmiausia nustatome, kad jo akys žydros, o jau tuomet, kad jo plaukai šviesūs ir kad jam 28 metai. Tad susidarom e tokį žodinį nusikaltėlio portretą: tai 28 metų žydrų akių blondinas, vilkįs rudu kostiumu. 102. Atrodytų, kad Belis žudikas — juk jis buvo paskutinis gydytojo lankytojas. Tačiau kai­ m ynė negirdėjo šūvio. Tad jį turėjo nuslopinti kitas, n ep a ly g in a m a i stipresnis, garsas. O juo' te­ g a lė jo būti tik fabriko sirena. Vadinasi, žudike yra ponia Moltkė. Išeidam a ^ ant durų ji pakabino kortelę „Išėjau \ ligoninę .

118

Sprendimai

Todėl Belis, j ą išvydęs, pasuko atgal, net ne­ užėjęs j gydytojo namelį. 103. Visažiniui, ne taip, kaip kitiems, išbėgu­ siems į parką, nereikėjo laukti, kol akys pripras prie tamsos. 1 0 4 .4 9 m. p. m. e. Romos piliečiai nežinojo, nei kada prasidės mūsų era, nei kad tuomet bu­ vo 49 m.p.m.e. Žymuo „prieš mūsų erą" buvo įvestas daug vėliau, norint atskirti datas, einan ­ čias chronologine tvarka prieš tas, kurios ir s u ­ daro „mūsų erą". Pirmasis iš carų Ivanų gyvas nesivadino „Ivanu I"; kol neatsirado Ivanas II, daugiau valdovų šiuo vardu nebuvo. 105. Tompsonas su ekspertu kalbėjosi telefo­ nu, vadinasi, eksperto kambaryje turėjo būti te ­ lefonas. Tačiau tame kambaryje, į kurį atėjo Tompsonas, jokio telefono nebuvo. Gangsteriai iš anksto buvo sukeitę lenteles, tikėdamiesi tuo lengvai apgauti inspektorių. 106. Prieš išvykdamas į kalnus, D eiv is pas klerką užsisakė du bilietus į kalnus ir tik viena atgal.

IV. Ar visuomet būtina lygtis! 107. Pirmasis pamokų nerengė 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; . . . dienomis, antrasis — 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; . . . dienomis, o trečiasis — 6; *12; 18; 24; 30; 36; . . . dienomis. Tad jau tris­ dešimtą dieną visi trys tinginiai į mokyklą atėjo neparengę pamokų. Skaičius 30 yra skaičių 3, 5 ir 6 bendras m ažiausias kartotinis, t. y. pats m a­ žiausias iš natūrinių skaičių, kurie be liekanos dalijasi iš 3, 5 ir 6. 108. Obuolių kiekis turi būti skaičių 4 ir 9 kartotinis (tuomet jis dalysis ir iš 6), t. y. turi būti skaičiaus 36 (4 *9 = 36) kartotinis. Todėl g a ­ limas obuolių kiekis yra 36 arba 72. Tačiau 72 dalijasi iš 8, vadinasi, krepšyje yra 36 obuoliai. 109. V aikam s išėjus, kambariuose liko 7 8— _ ( 2 8 + 4 2 ) = 7 8 —7 0 = 8 asmenys. Tad kiekviena­ me iš kambarių pasiliko po 4 vaikus. O iš pradžių juose buvo atitinkamai 2 8 + 4 = 32 ir 4 2 + 4 = 4 6 vaikai. 110. K ad an gi 1 statinė ir 20 ąsočių lygu 3 sta ­ tinėms, tai viena statinė lygi 10 ąsočių. Tačiau 19 statinių, 1 kibiras ir 15,5 ąsočio ly g u 20 sta ­ tinių ir 8 ąsočiam s. Iš čia išplaukia, kad 1 ki­ biras ir 5,5 ąsočio lygu 8 ąsočiam s. Kitaip tariant, vienam e kibire telpa 2,5 ąsočio. Todėl viena sta ­ tinė lygi 4 kibirams. 111. Profesorius laikė šunų, kačių ir papūgų. Kadangi visi jie, išskyrus du, yra šunys^ tai ka­ čių ir p ap ū g ų skaičius ly g u s 2. A nalogiškai nu*

120

Sprendim ai

statome, kad Šunų ir p apūgų skaičius yra ly g u s 2 bei kačių ir šunų bendras skaičius ly g u s 2. Tuomet sum a 2 + 2 + 2 = 6 bus d vigubas p rofeso­ riaus laikytų šunų, kačių ir p ap ū g ų skaičius, t. y. dvigubas jo turėtų g y v ū n ų skaičius. Tad p rofeso­ rius laikė 3 g y v ū n u s: šunį, katę ir pap ūgą. 112. Bendra futbolininkų am žių su m a lyg i 2 2 * 1 1 = 2 4 2 metai. A ikštėje likusių d ešim ties fut­ bolininkų am žių su m a 21 * 1 0 = 2 1 0 m. Todėl trau ­ m uotam futbolininkui dabar 2 4 2 — 2 1 0 = 3 2 metai. 113. Karūnos auksas ir varis kartu sveria 2

3 * 60 = 40 minų,

auksas

3

ir b r o n z a ------ ^ - * 6 0 =

= 45 minas, auksas ir g e l e ž i s ----- *60 = 36 minas. Šių dydžių su m a 40 + 45 + 3 6 = 1 2 1 yra karūnos vario, bronzos, g e le ž ie s bei trijų aukso dalių m a ­ sė. Tačiau ji pati sveria 60 minų. V a d in a si, d vi­ gubas karūnos aukso kiekis sveria 121— 60 = 61 miną. Tad karūnoje aukso yra 30,5 m inos, v a ­ rio 4 0 —30,5 = 9,5 m inos, bronzos 4 5 — 3 0 , 5 = 1 4 , 5 minos, g e le ž ie s 3 6 — 30,5 = 5,5 m inos. 114. K a d a n gi

~

k la sės m okinių g a v o penke­

tus, tai m okinių skaičius d alijasi iš 7. A n a lo gišgai nustatom e, kad k la sės m okinių skaičius taip pat dalijasi iš 3 ir 2. V ad in a si, k lasės mokink] skaičius dalijasi iš 42 ( 7 * 3 * 2 = 4 2 ). Bet žinome, kad klasėje yra ne d a u g ia u kaip 49 mokiniai. To­ dėl klasėje yra 42 mokiniai. 6 iš jų g a v o penke­ tus, 14 — ketvertus, 2 1 — trejetus. N ep a ten k in a ­ mą pažymį mokytojas parašė 4 2 — ( 6 + 14 + 21) ** = 4 2 —41 = 1 mokiniui. 115. Kadangi 9 k n ygos kainuoja d au g ia u kaip 11 rub., todėl vienos k n y g o s kaina d idesnė už

121

Ar v i s u o m e t b ū tin a l y g t i s ?

“ - = 1 , 2 2 2 . . . rub. K a d a n g i kainuoja

13 tokių pat knygų

15 rub. ir kažkiek kapeikų, tai vienos

k n y g o s kaina ne d id esn ė u

1fi

ž

= 1 , 2 3 0 7 . . . rub.

V a d in a si, vien a k n y g a kainuoja 1 rub. 23 kap. 116. N orin t išsp ręsti šį uždavinį, galim a s u ­ daryti įvairias n e ly g y b e s ir, jas iša n a liza v u s, g a u ­ ti atsa k y m ą. Tačiau tokį sprendim o būdą įžym u ­ sis rusų rašytojas L. T olstoju s yra p avadinęs ,.švietim o v a isiais" , t. y. n ereik alin gu sa v o m o ­ kytumo d em o n stra vim u . Yra visai paprastas šio u žd a v in io sprendim as. Jei Jonukas turėtų bent 1 kap. ir atiduoti] ją Marytei, jie nusipirktų ledų porciją. Tačiau jie nenusipirko ledų. V a d in a si, Jonukas neturėjo tos kapeikos, t. y. jis iš v iso neturėjo pinigų. K adangi jam iki v ie n o s ledų porcijos trūko 7 kap., tai le ­ di] porcija kainuoja 7 kap. 117. V ie n o s s ta tin ė s talpą p ažym ėjo 1. V a i­ ruotojai turi p a sid a ly ti 10,5 tepalo kiekį, todėl 10 5 k iek vien am jų tenka — = 3 , 5 tepalo kiekis. D v ie m v a ir u o t o j a m s a tid a v ė po 3 pilnas, 1 pri­ p ild y tą iki p u s ė s ir 3 tu š č ia s s ta tin e s. Jam liko 1 p iln a , 5 p u siau pripildytos ir 1 tuščia statinė. 118. P a v a l g i u s trečiajam turistui, liko 8 p y ­ ragaičiai. V a d in a si, jis s u v a lg ė 4 pyragaičius.

Tad a tsib u d ęs trečiasis turistas rado 8 —

= 8+

+ 4 = 12 p yragaičių . Tada antrasis atsibudęs rado 12 -

— = 18

pyragaičių.

Atitinkamai

kad

pirm asis turistas rado

nustatom e,

18 • —— = 2 7 p y ra g a i­

čius. Tad tu rista m s buvo atnešti 27 pyragaičiai.

122

S p ren d im a i

119. Tarkime, kad p ro fesoriu s turėjo n e 25 a to s to g ų dienas, o keturiskart d a u g ia u , t. y. 100 a to s to g ų dienų. Per tą laikotarpį b lo g o oro p o ž y ­ miai p a sireišk ė 96 + 80 + 76 + 68 = 320 kartų. V a ­ dinasi, v isa s 100 dienų kasdien g a lė j o būti trys b lo g o oro p o žy m ia i ir dar 20 kartų v is iš k a i b lo ­ g a s oras (keturi b lo g o oro p o ž y m ia i) . K a d a n g i p rofesoriu s a t o s t o g a v o n e 100, o 25 dienas, tai vi20

sišk ai b lo g o oro buvo ne m a ž ia u k a i p - į - = 5 a t o s ­ to g ų dienos. 120. Tarkime, kad kažkokiu g reičiu teka ne upė, o į p r ie š in g ą p u sę juda krantai. U p ė s v a n ­ duo tu om et stovi. P a d a ry ti tokią p riela id ą turim e teisę, nes, kaip yra įrodęs A. E in š te in a s s a v o re­ lia ty v u m o teorijoje (o dar a n k sč ia u ir G. G a l i l ė ­ j u s ) , svarbu yra tai, ką p a s ir in k o m e ju d ėjim o atsk a ito s s is te m a . V a ž iu o j a n t is traukiniu ž m o g u s n eju d a traukinyje, ta č ia u š a lik e lė j e s t o v in č io s t e ­ bėtojo a t ž v ilg iu jis ju d a kartu su traukiniu. V a ­ d in asi, ju d ėjim a s v is u o m e t yra r e lia t y v u s (n et ir A. E in šte in o teorija p a v a d in ta r e lia ty v u m o v a r ­ d u ). J a u n u o lis s t o v in č ia m e v a n d e n y j e į v ie n ą p u ­ s ę plaukė

Ą-

h. Kad s u g r įž t ų a t g a l į tą pačią

vietą, jis turėjo s u g a i š t i tiek pat laiko, t. y. V a d in a si, v a n d e n y j e j a u n u o lis išb u v o tą laiką krantai p a s is lin k o

h. h. Per

1 km. T ad iešk om as

upės g reitis yra 1 : * = 3 km/h. 121. K iek vien u šu o liu šu o priartėja prie k iš­ kio per 9 — 7 = 2 pėdas. Kad p a v y tų kiškį, š u o tu ­ ri padaryti 150 : 2 = 7 5 šu o liu s,

123

Ar v i s u o m e t b ū tin a l y g t is ?

122. N i e k a d a n e p a v y s . V i e n a s kiškio š uo li s ly­ gus

— l a p ė s šu ol i ų. P e r ta laiką, kol lapė n u ­

šoka

5

šuolius,

4 •—

= 6

kiškis

įveikia

lapės

atstumą,

šuolių. Vadinasi,

lygų lapė

ne tik kad n ep a v ys kiškio, bet g au d y n ėse net be­ viltiškai nuo jo atsiliks. Jei jie bėga ratu, tai jau greičiau kiškis pavys lapę. 123. Liūtas per v a la n d ą suėda 1 avį, vilkas — J — a vi e s , o š u o — 4 v a l a n d ą jie s u d o r o t ų

avies. H —

1

Kartu 1

17

^ ~6~

V adinasi, kartu jie avį suės per -

ė s d a m i per l y

12

124. Per vieną dieną vyras atlieka

avies.

valandos.

~ ~

darbo

dalį. Dirbdami su žmona, per dieną jie atlieka T(f~ ^ ar^° viena, atliktų

žm ona,

dieną dirbdama

-------- ^ = , Z ^ L = _ 1 _

darbo da­

lį. V adin asi, viena žm ona tą darbą padarytų per 35 dienas. 125. K ad a n g i rytą pieno pardavė dvigubai d augiau n eg u po pietų, tai parduotą pieną galim a suskirstyti į tris dalis, iš kurių dvi buvo parduo­ tos rytą, v ie n a — po pietų. Todėl parduoto pieno litrų kiekis yra skaičiaus 3 kartotinis. Iš viso tą dieną atvežė 1 5 + 1 6 + 1 8 + 1 9 + 2 0 + 3 1 = 119 1 pie­ no. Tą kiekį padaliję iš trijų, ga u n am e liekaną, ly ­ gią 2. V a d in a si, ir konteinerio, kurio pienas liko, talpą padaliję iš 3 turime gauti tą pačią liekaną. V ienintelis toks konteineris yra 20 1 talpos. Tad tą dieną pardavė 119— 2 0 = 9 9 1 pieno, iŠ kurių rytą — 66, o po pietų — 33 1. Tie du konteine-

126

S p re n d im a i

ly g io s. N orint išsp ręsti m ū s ų u žd a v in į, reikia sk a ičiu s nuo 1 iki 9 iš d ė s ty ti m a g i š k a m e k v a d r a ­ te. Yra žin o m a s toks m a g i š k a s i s k vad ratas 4

9

2

3

5

7

8

1

6

Kaip m atom e, g a lim a su d a r y ti n et 12 m ū sų u ž d a v in io sprendinių: tiek k v ad rato s t u lp e liu s , tiek jo e ilu te s įm a n o m a p a sk irsty ti trim s b r o lia m s 6 bū dais. Sis magiškasis kvadratas labai senas: jis atrastas net II

t ū k s t a n t m e t y j e p, m. e. k in ų m a t e m a t i k ų . J ie y p a č

im -yo

magiškuosius kvadratus. Ir ne vien dėl savotiškos matema­ tinės pramogos. Jie liudija didžiulį senovės kinų matema­ tikų domėjimąsi skaičių abstrakčiomis savybėmis. Tai be ko negali susiformuoti matematika kaip mokslas. Europoje magiškieji kvadratai pasirodė palyginti vėlai; šis uždavinys yra bene pirmasis šaltinis, kur jie minimi. Tačiau gan greit jie patraukė visų dėmesį. Koks tai buvo triumfas, galima įsitikinti, pažiūrėjus į Albrechto Diurerio paveikslą „Melancholija4*, kurio viename kampe yra ir ma­ giškasis kvadratas.

130. D ’A rta n ja n a s yra s t ip r e s n is už Atą, nes, ja m s u s ik e it u s v ie t o m i s su Atu, P o rtas ir Atas vos įveik ė d’A r ta n ja n ą su A ra m iu . T ark im e, kad d ’A rtan jan a s yra stip r ia u s ia s iš d ra u g ų . T u o m e t Atas turi būti s ilp n ia u s ia s , n es A lo ir d ’A rta n ja n o j ė g o s yra l y g i o s P o rto su A ra m iu j ė g o m s . T ačiau tad a A ra m is, b ū d a m a s p a j ė g e s n i s už s ilp n ia u s ią jį Atą, ir d ’A rta n ja n as, s t ip r e s n is už P o rtą, turė­ jo n u g a lė ti P o rtą su Atu, bet taip nėra. A ram is irgi n e g a li būti stip ria u sia s, n e s tu o m e t jis, bū­ d am a s s t ip r e s n is už Portą, ir d ’A r ta n ja n a s , pajė­ g e s n i s už Atą, būtų n u g a l ė j ę P o r tą su Atu. V a ­

Ar v i s u o m e t b ū tin a l y g t i s ?

127

dinasi, stip riau sias yra Portas. Tuom et A ram is turi būti s ilp n ia u sia s, nes jo ir Porto j ė g o s ly g io s Alo su d’A rtan jan u jė g o m s . Tad m uškietininkai p a g a l stiprum ą skirstomi taip: Portas, d ’A rta n ja ­ nas, Atas ir A ram is. 131. Iki k a ra lia u s Kyro g im im o dienos k a m e ­ rų užraktai buvo pasukti tiek kartų, kiek tos ka­ meros n u m eris turi daliklių. Ir išties, jei N d a li­ jasi iš 1, a, b, . . . , N , tai kamera, turinti šį n u ­ merį, buvo rakinam a pirmą, a-tą, b - tą, . . . , N - t ą dienomis. Į la is v ę g a lė jo išeiti tik tie, kurių ka­ meros buvo ra k in a m o s n e ly g in į skaičių kartų, t. y. kurių num eriai turi n e ly g in į skaičių daliklių. Kiek­ vienas sk aičius, kuris nėra natūrinio skaičiaus kvadratas, turi ly g in į skaičių daliklių. Jei a yra toks skaičius, tai k iek vien am jo dalikliui, p a v y z ­ džiui, b, g a lim a nurodyti kitą, jam n e ly g ų p a p il­ domą daliklį

x = ° - ^ b . P a v y z d ž iu i,

skaičiaus 8

daliklį 1 atitinka daliklis 8, daliklį 2 — daliklis 4. Tačiau jei s k a ič iu s yra natūrinio sk aičiaus k v a d ­ ratas, tarkim e a 2, tai daliklio a papildom as dalik­ lis

x=

aQ — a bus ly g u s

jam pačiam. Todėl n a ­

tūrinio s k a ič ia u s kvadratas turi n ely g in į skaičių daliklių. P a v y z d ž iu i, sk a ičia u s 9 dalikliai yra 1, 3 ir 9. 7 Tad k a raliu s Kyras paleido tuos b elaisviu s, kurių k am eros buvo su n u m eru oto s natūrinių s k a i­ čių kvad ratais. Tai kam eros, turinčios numerius: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. V ad in a si, k a ­ ralius Kyras p a s ig a ilė j o 10 b elaisvių. 132. Tarkime, kad broliai g y v e n a m ūsų d ien o ­ mis, t. y. jie v is i yra g i m ę XX a. Rimas ir Romas yra d v y n ia i, tad jų m etų s a n d a u g a bus natūrinio sk a ičia u s kvadratas. T ačiau turim e tik v ie n ą s k a i­

S p ren d im a i

128

čių, didesnį už 1900 ir m a ž e sn į už 2000, kuris yra natūrinio skaičiaus kvadratas. Tai 1936. V adinasi, Rimui ir Romui šiuo metu yra 44 metai, nes 1936 = 442. 1986 m etais Andriui sukako 50 metų. Todėl Jono gim im o metai yra skaičiaus 50 karto­ tinis, t. y. g a li būti ly g u s tiek 1900 metai, tiek 1950 metai. Pirmu atveju Sauliui yra 38 metai, antru atveju — 39 metai. K a d an g i Jono sūnus yra penkiskart ja u n esn is už savo bendravardį dėdę, tai pastarojo am žius turi būti skaičiaus 5 karto­ tinis. Tačiau tiktai A ndriaus am žius (50 m.) ten­ kina šią są ly g ą . V ad in asi, Jono su n u s yra A nd­ rius. 133 Jei vyras ir žm ona kartu poilsiauja, p a ­ vyzdžiui, šiandien, tai jie kartu ils ė sis ir po 18 dienų, nes 18 yra skaičių 9 ir 6 (kada vyras ir žm ona nedirba) bendras m a žia u sia s kartotinis. Tad, jei ši pora kada nors ilsisi kartu, tai visa tai kartojasi kas 18 dienų. Norint nustatyti, kada jie ilsėsis kartu, užtenka išn agrinėti pirmąsias 18 dienų. Vyras ilsisi pirmą, dešim tą, devynioliktą dieną, o žm ona — antrą, aštuntą, keturioliktą, dvidešim tą dieną. Šios poilsio dienos nesutampa, vadinasi, ši pora niekada n e s iils ė s kartu. 134 D ’A rtanjanas v isą atstum ą nujoja, m uš­ kietininkus aplenkdamas 10 min. V adin asi, nujo­ jęs pusę kelio, jis pirmaus 5 min. Kaip tik šio­ m is 5 min d’Artanjanas ir atsiliko nuo m uškieti­ ninkų pulko. Todėl jis m u škietininkus pavys pu­ siaukelėje į karaliaus rūmus. Tačiau pusę kelio d’Artanjanas nujoja per 15 min. Tad ir m uškie­ tininkų pulką jis pavys po 15 min. 135 Atstum as tarp pieno k avinės ir troleibusų

.

.

.

sustojimo aikštelės sudaro

-- -------- L ^

- i - viso

Ar visu om et būtina lygtis?

129

kelio dalį. Jį Jonas įveikia per 10 min. Todėl iki darbovietės jis eina 1 h, neskaitant pusryčių pie­ no kavinėje. Kadangi pusiaukelėje Jonas būna 8 valandą 5 minutės, tai iš namų jis išeina 7 v a ­ landą 35 minutės. Kelyje jis užtrunka 1 h + 15min. Todėl darbovietę pasiekia 8 valandą 50 minučių. 136. Jei aš du kartus įveikiu kelią „namai — darbovietė — namai“ pirmu būdu, tai tada du kar­ tus atstumą tarp namų ir darbovietės važiuoju autobusu ir du kartus einu pėstute, iš viso už­ trukdamas 3 h 10 min. Vadinasi, pėstute nueiti į darbą ir po to grįžti namo man prireiks 3 - į — -----?- = 2 — h 3 2 137. Kai ant kėdžių ir taburečių susėdo žm o­ nės, tai ties kiekviena taburete buvo 5 kojos (3 — taburetės ir 2 — sėd in čio jo ), o ties kiekviena kė­ de — 6 kojos. Jei visi kambario baldai būtų tri­ kojai, tai jų kiekis negalėtų būti didesnis už 8 ( - 3|

< 8 j . Analogiškai nustatome, kad jų kie­

kis yra didesnis už 6 ^ - ~ —> 6 j, jei baldai ketur­ kojai. V adinasi, kambaryje iš viso yra 7 kėdės ir taburetės. Jei kambaryje būtų vien taburetės, tai iš viso turėtume 7 - 5 = 3 5 kojas. Taigi 3 9—3 5 = = 4 kojos yra kėdžių. Kadangi kiekviena kėdė tu­ ri 1 koja daugiau negu taburetė, tai kėdžių yra 4. V ad in a si, taburečių bus 7 —4 = 3. 138. Jei jūs manote, kad šis skirtumas ly g u s 5, labai klystate. Paim kim e du skaičius, kurių skaitm enų su m os dalijasi iš 5, pavyzdžiui, 49999 ir 50000, ir pam atysim e, kam yra ly gu s pats m a ­ žiausias tokių skaičių skirtumas. 139. N u v a ž ia v u s 49 km, spidometras rodė 16000 km. Per tą laiką nebuvo nė vieno simetri-

S p ren d im a i

130

nio skaičiaus. Po 15951 pirmas sim etrinis skaičius yra 16061. Tad sunkvežim is per 2 h n uvažiavo 16061 — 15951 = 110 km. Todėl jo greitis (žinoma, vidutinis) buvo 55 km/h. 140 Atrodytų, šį uždavinį patogiau sia spręsti algebriškai. Bet kaip tada išklampoti iš 8 lygčių sistem os pelkės? Paslaptis paprasta — šiam u ž­ daviniui išspręsti nereikia jokių lygčių, jokios a l­ gebros — pakanka tik nesudėtingų aritmetinių samprotavimų. Sakykime, kad ieškomas skaičius yra A. Tuo­ met skaičių y4 + l padaliję iš dviejų, ga u sim e lie­ kaną 1+ 1 = 2 , t. y. šis naujasis skaičius iš dviejų dalijasi be liekanos. A nalogiškai galim a n u sta ty ­ ti, kad >4 + 1 be liekanos dalijasi taip pat iš 3, iš 4 iš 5, iš 6, iš 7, iš 8 ir iš 9. Tačiau, jei jis d a­ lijasi iš 9, tai kartu dalysis ir iš 3; jei dalijasi iš 8, tai dalysis ir iš 4 bei 2; jei dalijasi iš 9 * 8 = 72, tai dalysis ir iš 6. Tad turime, kad /4 + l = 9 - 8 * 7 x X 5 = 2520. Tuomet ieškom asis skaičius yra 2519. Kad jis tikrai tenkina uždavinio są ly g a s, įsitikinti paliekame skaitytojui.

.

,

Sis uždavinys parodo, kaip matematiką išmanantis žmo­ gus gali pasinaudoti matematinėmis priemonėmis, kad spręsdamas uždavinį pasiektų tikslą tiesiausiu ir patikimiau­ siu keliu, visai nekreipdamas dėmesio į sprendimo metodą (aritmetinį, algebrinį, geometrinį ar pan.).

.

141 Buto plotą pažym ėkim e 1. Butas negali susidėti iš 4 vienodo ploto kambarių, nes tuomet ten negalim a reikalaujamomis s ą ly g o m is a p g y v en ­ dinti tris šeimas. Sakykime, kad yra 5 kambariai. Jei ten apgyvendintum e tris šeimas, dviem iš jų tektų po du kambarius, o vienai — vienas - | r di­ dumo kambarys. Kad galėtum e apgyvendinti ke­

131

Ar visuom et būtina lygtis?

turias

šeimas, tris

iš

jų tektų

talpinti trijuose

vienoduose ploto kambariuose. Tačiau į - f — > 1 . Tad kambarių skaičius negali būti lygus 5. Sakykime, yra 6 kambariai. Jei apgyven­ dintume keturias šeimas, dviem iš jų tektų po vieną kambarį, kurio plotas turi būti ly g u s - į - .

Apgyvendinus tris šeimas, kiekviena jų turėtų po du kambarius. Tad prie kambario, Kurio p l o ­ t a s - 4 - , tektų pridėti tokį kambarį, kad bendras 1 šeimos naudojamas plotas butų l y g u s T o d ė l kitų

dviejų

kambarių

plotai

turėtų

būti lygūs

------ dviejų kambarių plotai turi būti lygūs - į - , o dar d v i e j ų ------ Kad nusta­ tytume paskutinių dviejų kambarių plotus, pa­ nagrinėkime, kokius kambarius turi užimti tos šeim os iš keturių šeimų komplekto, kurioms teks po du kambarius. Kaip žinome, vienas jų kamba1 1 1 1 rys y r a - j 2“ ploto. Kitas turi būti — ... ploto. Tad butą reikia padalyti

į 6

kambarius,

kurių plotai yra atitinkamai - j - ; - i - ;

_L_ ;

— : - 4 - . V ienai šeimai tenka visas butas. Dviem 6

’

6

(—

į — , - į - ). Trims šeim om s butas galėtų bū12 O / / . 1 \ / 1 1 \ paskirstytas taip: ( — ’ - į y - ) '

šeim om s butą galim a taip padalyti: ti

/ 1

1

l \

, -j-y

l- i - , - i - J . Keturioms šeim om s teks tokie kamba.

/

1

\

/

1

\

i

1

1

/ - L

y..\

132

Sprendimai

142. Nors Stendalis, minėdamas šį uždavinį, ir išgyrė algebros metodus, bet, pasirodo, jį g a ­ lima išspręsti paprasčiau. Tarkime, kad pirmoji valstietė turėjo k kartų daugiau kiaušinių už antrąją. Tačiau abi jos g a ­ vo vienodą pinigų sumą. Tad antroji valstietė s a ­ vo kiaušinius pardavė k kartų brangiau negu pirmoji. Jei prieš parduodamos jos būtų apsikeitusios prekėmis, tai antroji valstietė turėtų k kartų daugiau kiaušinių už pirmąją ir būtų juos pardavusi k kartų brangiau. Tai reiškia, kad ji būtų gavusi pinigų k2 kartų daugiau už pirmąją valstietę. Tačiau žinoma, kad tada pirmoji valstietė

būtų

gavusi 6 -

o

kreicerio,

o

a n t r o j i— 15.

Vadinasi, antroji valstietė būtų ga v u si 15: 6 ~ = O 9 Q = — kartus daugiau už pirmąją. Todėl k 2 = - ~ » arba

k—

Vadinasi, jei antroji valstietė turėjo

1 dalį kiaušinių, tai pirmoji — 3

, abi kartu — 14-

5

+ — = - 2~ . Norint nustatyti, kiek antroji v a ls tie ­ tė atnešė į turgų kiaušinių, reikia 100 padalyti iš

Ą - . Gausime 40. Tuomet pirmoji valstietė turėjo 60 kiaušinių. Pasakojama, kad visai apakęs L. Oileris „Pilną įvadą i algebrą44 diktuodavo kamerdineriui. Šitaip mažaraštis tar­ nas pramoko algebros.

143. Kadangi didesniąją pievą iki pietų pjovė dvigubai daugiau šienpjovių n eg u po pietų, tai jie ir nupjovė dvigubai daugiau. Tad iki pietų buvo nupjautos dvi did esn iosios p iev o s dalys, o po pietų — viena. Vadinasi, per pusę dienos pusė

133

Ar v i s u o m e t b ū tin a l y g t i s ?

š ie n p jo v ių n u p jo v ė trečd alį d i d e s ­ n io s io s p ie v o s. Todėl po pietų p u ­ sė š ie n p jo v ių a n troje p ie v o je irgi n u p jo v ė sk ly p ą , ly g ų trečd aliu i d id e s n i o s i o s p ie v o s. T a č ia u m a ­ ž e s n io j i p ie v a yra ly g i tik p u sei d i d e s n i o s i o s p ie v o s. T ad v a k a r e liko n e n u p ja u ta s sk lyp as, l y g u s l l 1 , . . ~2~ ~ " ~6~ d id esn io sio s p ie ­ vos, kurį kitą dieną nupjovė v ie ­ nas šien p jo v y s. V ad in asi, per dieną vienas šien p jo v y s nupjauna

y3

V6

1/ 3

%

33 Pav-

-jr- d id e s n io s io s pievos. Tačiau v isi per dieną nupjovė plotą, ly g ų l +

d id esn io sios pievos.

Tad bu vo - f ~ : - g - — 8 šienpjoviai. [žymus fizikas A. Cingeris taip rašė apie šį uždavinį„Šio uždavinio istorija tokia. Maskvos universiteto mate­ matikos fakultete tais laikais, kada tenai mokėsi mano tė­ vas ir mano dėdė I. Rajevskis (artimas L. Tolstojaus drau­ gas), tarp kitų dalykų dėstė kažką panašaus į pedagogiką. Tuo tikslu studentai turėjo lankyti jiems paskirtą miesto liaudies mokyklą ir ten kartu su patyrusiais mokytojais ves­ ti pamokas. Vienas iš Cingerio ir Rajevskio draugų buvo studentas Petrovas — ypatingai gabus ir originalus žmogus. Petrovo nuomone aritmetikos pamokos mokinius gadino, nes standartiniai uždaviniai buvo sprendžiami standartiniais metodais. Kad patvirtintų savo teiginius, Petrovas sugalvo­ davo nestandartinių uždavinių, kurie pridarydavo daug ne­ malonumų „patyrusiems** mokytojams. Tokius uždavinius lengvai sprendė gabūs, mokymo dar nesugadinti mokiniai. Toks ir yra uždavinys apie šienpjovius. Mokytojai, žinoma, lengvai galėjo išspręsti jį su lygtimis, tačiau paprasto arit­ metinio sprendimo jie neužčiuopė. O uždavinys toks pa­ prastas, kad jam išspręsti visai nebūtina taikyti algebrinius metodus... L. Tolstojus, visą gyvenimą mėgęs pokštų už­ davinius, šį uždavinį sužinojo iš mano tėvo dar savo jau­ nystėje. Kada man teko kalbėtis apie šį uždavinį su senu-

134__________________________________________________ S p r e n d im a i

Havras

34 pav.

ku L. Tolstojumi, jis ypač mėgavosi tuo, kad šis uždavinys pasidaro aiškesnis ir lengvesnis, jei sprendžiant naudojama­ si labai paprastu brėžiniu (33 pav.)**.

144. Iš sąlygos žinome, kad Dž. Londonas p a ­ vėluotų tik vieną parą (vietoj dviejų), jei dar 50 mylių būtų galėjęs važiuoti pirmos paros greičiu. Vadinasi, jis atvažiuotų laiku (t. y. dviem paro­ mis anksčiau), jei būtų galėjęs dvigubai daugiau, t. y. 100 mylių, važiuoti pradiniu greičiu. Iš čia išplaukia, kad po pirmos paros jam iki stovyklos buvo likę 100 mylių. Jei Dž. Londonas ir toliau būtų važiavęs visu greičiu, tai per kitas paras vietoj

100

mylių

kelią.

mylių būtų įveikęs 100 ~ Skirtumas

= 166- | -

1 6 6 - |----- 1 0 0 = 6 6 y ra

ne kas kita, kaip kelias, kurį jis nuvažiuotų v isu greičiu per tas dvi paras, kurias pavėlavo. Tad keliaudamas visu greičiu Dž. Londonas per parą nuvažiavo 3 3 - i - mylios. Tokį atstum ą jis ir su-

Ar

v is u o m e t

būtina lygtis?

135

korė pirmąją kelionės parą. Tad nuo Skagvėjaus iki stovyklos buvo 1 0 0 + 3 3 - | - = 1 3 3 - - - mylios. 145. Skaičius 7 nėra teisingas šio galvosūkio atsakymas, kad ir kaip jis lįstų mums į galvą. Šia linija iš viso kursuoja 14 garlaivių: 7 iš Niujor­ ko ir 7 iš Havro. Viename jų — mes. Tad kelio­ nėje sutiksime 13 garlaivių: iš jų 7 grįžtančius iš Niujorko į pradinį uostą Havrą, ir 6 garlaivius, plaukiančius iš Niujorko į Havrą. Galvosūkio sprendimas taps žymiai aiškesnis, jei išnagrinėsite 34 paveikslą.

V. Per angusfa ad augusta 146. Sakykime, kad už rublį galim a nu­ pirkti y bloknotų. Tuomet vieno bloknoto kaina bus — rub. O 16 bloknotų kainuos 16 kartų dau­ giau,

y. - y - rub. Iš čia išplaukia, kad

Vadinasi, */2= 1 6 , arba y = 4. Tad vieno bloknoto kaina yra - - = 0,25 rub. 147.

Tarkime,

kad

svečias a tsin ešė a saldai­

nių, iš kurių vyresniajam broliui teko N ~ - ~ a +

+ -L.

Likutis

lygus

a—

aH—| - ) = - | - a —

— } - = N — 1 saldainiui. Iš jų jaunėliui broliui teko

Ą - ( N - \ ) + -y ~ N saldainių. Vadinasi, N —2N\. Tačiau Ni = 4. Tad v y resn y sis brolis g a ­ vo N — 2 ' 4 = 8 saldainius. 148. ka metų.

Sakykime, dabar seseriai yra a, o man Tuomet senelis turi k 2a metų. Tad k2a+ka = 84. Iš čia išplaukia, kad a k ( k + 1 ) = 8 4 . Kadangi 84 = 2* 2 *3* 7 ir a < 6 , tai a ly g u s arba 1, arba 2, arba 3, arba 4, nes tik tokie skaičiai, kaip daugikliai, įeina į skaičiaus 84 skaidinį. Kai

137

Per an gu sta ad a u gu sta

a==l fl== 3 , a — 4, dviejų gretimų natūrinių skai­ čių k ir £ + 1 sandau ga turėtų būti lygi atitinkamai 2 6*7; 4*7; 3 *7. Tai negalim a. Vadinasi, a = 2. Tuomet k ( k - \ - \ ) —6 • 7 ir tuo pačiu fc = 6. Tad man dabar y r a 6 • 2 = 1 2 metų. 149. Nešikų turi būti tiek, kad trečios dienos rytą keliautojas į kelionę išsiruoštų, turėdamas 4 dienoms maisto ir van d en s atsargų. Vadinasi, nešikai jį turi lydėti ne daugiau kaip 2 dienas ir, kiekvieną kartą grįždam i atgal, atiduoti pasilie­ kantiem s savo m aisto ir van d en s atsargų pertek­ lių. Sakykime, kad a nešikų keliautoją lydi vieną dieną, o 6 — dvi dienas. Tuomet iškeliaudami jie p asiim s 4 a + 4 6 + 4 atsa rg ų porcijas; a nešikų dy­ kumoje suvartos 2a, b nešikų — 46, o keliauto­ jas — 6 atsa rg ų porcijas. Iš čia išplaukia, kad

2a=2, a = 1. Vadinasi, vienas nešikų keliautoją lydi tik pir­ mą dieną. Antros dienos rytą \ kelionę buvo išsi­ ruošta turint 3 6 + 3 -f 2 = 3 6 + 5 atsargų porcijas. Keliautojas paėmė 4 porcijas atsargų, o likusias 3 6 + 1 pasidalijo nešikai. Vadinasi, 36 + 1 dalija­ si iš 6. Iš čia matome, kad 6 = 1 . Tad keliautoją turi lydėti du nešikai, vienas jų tik pirmą dieną, antras — dvi dienas. 150. Sakykime, kad sportininkas į „dešimtuka“ ir „aštuntuką“ pataikė po x kartų, o į „penketuką“ — y kartų. Tuomet 10 x + 8 x + 5y — 99, arba 1 8 ^ + 5 y = 99.

K adangi iš š o v ė

x ^ l , tai

N = 2 x + y = 9-

~ 18

^

< 1 7 . Sportininkas

= l § ^

= ( l 8 « + y + .4«=

Sprendimai

138 9 9 -f 4 y _

p r a stin a m a

i į _į_ J* » kartų. K adangi trupmena ir

yra nesu-

y turi būti natūrinis

skaičius tai */ yra skaičiaus 9 kartotinis. Atsi­ žvelgę i tai, kad 0 n f c = 1 2 0 , tai > 4 = 9 3 ir 1 2 0 + 1 —93 = 28. T a ig i 28-toje vietoje stovintis bus „ iš s ijo ta s 44 paskutinis. Sis uždavinys dar vadinamas Juozapo Flavijaus užda­ viniu. Tačiau, ar iš tiesų žymus senovės žydų istorikas Juozapas Flavijus (36— 105) pirmasis surado šio uždavi­ nio sprendimą? Žinome, kad jis dalyvavo 70 metais sukili­ me Palestinoje, buvo paimtas į nelaisvę, kaip belaisvis at­ gabentas į Romą, ir čia savo asmeninių savybių dėka iškilo. Sukilimui pralaimėjus Juozapas Flavijus atsidūrė uždavi­ nyje aprašytoje situacijoje. Štai ką rašo lenkų istorikas Z. Kosidovskis: „Pasiduoti niekas nė neketino, visi puikiai suprato, kad jų laukia nelaisvė arba mirtis ant kryžiaus. Jiems liko tik savižudybė, bet Juozapas, smerkdamas savi­ žudybę kaip prieštaraujantį M ozės įsakymams poelgį, pa­ siūlė kitokį, originalesnį planą. Sutarė, kad visi trauktų burtus. Ištraukęs pirmąjį burtą kris nuo kardo ištraukusio antrąjį burtą, ir taip elgsis, kol pagaliau liks tik vienas žmogus, kurio pareiga bus prisiimti sunkią nuodėmę —

Per a n g u s t a ad a u g u s t a

151

nusižudyti" *. O toliau Juozapas Flavijus pasielgia, kaip tas gudruolis iš uždavinio sąlygos. Ar ne todėl 2. Kosidovskis pabrėžia: „Visa toji kraupi burtų traukimo scena kelia įtarimą, kad Juozapas ėmėsi kažkokios suktybės, juo labiau kad „Judėjos senybių" vertime į senąją rusų kalbą, besiremiančiame neva aramėjiška šio veikalo versija, ran­ dame tokius jį kaltinančius žodžius: „Jis apsukriai skaičia­ vo burtų numerius ir taip apgavo savo draugus** *♦. Štai kokios matematikos uždavinio atsiradimo prielaidosl

170. Jei A ir B pardavė x triušių, tai už juos gavo x 2 rub. K adangi per dalybas A paėmė pasku­ tinę dešimtinę, tai x 2 turi nelyginį dešimčių skai­ čių. Kai 0 < j ^ 9 , vieninteliai skaičiai, turintys šią savybę, yra 16 ir 36. Kai * ^ 1 0 , t. y. kai x yra d augiaženklis skaičius, tarkime, * = 1 0 a - \ - b , kur 0 < 6 < 9 , tai tuomet x 2= 10(10a2- f 2 a b ) + b 2. Pir­ m asis šios su m os dėmuo turi lyginį dešimčių skai­ čių, todėl b 2 privalo turėti nelyginį dešimčių skaičių. Tad čia, kaip ir ankstesniu atveju, nusta­ tome, jog b 2 yra lygus arba 16, arba 36. Iš 36 atėmę 20, g a u s im e 16. Abiem šiais atvejais, ne­ svarbu ar b 2 buvo lygu s 16 ar 36, A ir B turėjo galų g a le pasidalyti 16 rub. Tad kiekvienam pri­ klauso po 8 rub. Tačiau A paėmė 10 rub., grąžos duodamas piniginę. Todėl piniginė kainuoja 2 rub. 171. Tarkime, kad__ automobilio numeris yra a a b F . Turime, kad a a b b = 100 0 a -f 10 0 a - f 106- f 6 = = 11 ( 1 0 0 a + 6 ) . Tačiau a a b b yra natūrinio skai­ čiaus kvadratas, vadinasi, 1 0 0 a + 6 turi dalytis iš 11. Bet 100a + & n , a+ b _ O— = 9 a + - i T - . * Kosidovskis Z. Evangelijų jc|cl.— V.: Vyturys.— 1986.— P. 22. ** Ten pat.

sakmės.— 2-asis

152

S p r e n d im a i

Kadangi l ^ a ^ 9 , t a i a - f 6 = 11. V a d i n a ­ si, a a b b — 1 l 2 ( 9 a + 1 ). Ž i n o d a m i , k a d 1 0 < 9 a - M < • Tad susidaręs tarpas tarp Žemės paviršiaus ir jį juosiančio vienu metru pailginto siūlo yra apy­ tiksliai lygus 16 cm. O per tokį plyšį katė tikrai pralys! [domu tai, kad šitas tarpas visuomet yra vie­ nodas (apie 16 c m ) . 204. Tarkime, kad ieškomo stačiakampio kraš­ tinės yra a ir b. Tuomet 2(a+ b)= P ,

IZ 2-------------------------------------------------------------------------------§ p r e n d lm a i

V ad in asi, kiek viena kra§.

tinė yra didesnė už ~~-, tiek kita kraštinė nė

už

yra

-f .

m ažes­

Sakykime,

kad a = - į - + x ir b = 4

4

Tad ieškom o s ta č ia ­ kam pio plotas yra 5 = = a - 6 = - ^ ------x 2.

M atom e, kad š is plotas įg y ja

didžiausią reikšmę, kai * = 0 . Tad iš visų s ta č ia ­ kampių su vienodu perimetru, d id žiau sią plotą turi kvadratas. Tačiau iš v isų figūrų, turinčių tą patį perim et­ rą, didžiausią plotą turi skritulys — jo plotas yra ly g u s

(tuo tarpu kvadrato plotas tik

Todėl neveltui ir Didonė atsitverė skritulio formos sklypą. 205. Padarykim e m a žą eksperim entą: p aim k i­ me stačiakam pę popieriaus juostą, pasuk im e vieną jos g a lą puse apsisu kim o ir suklijuokim e p riešin ­ gų kraštinių priešingas viršūnes. Tokį persuktą „ ž ied ą “ paniekinkime nudažyti, pavyzdžiui, rau­ donai. Netrukus įsitikinsite, kad neatitraukdam i teptuko nuo popieriaus, su g e b ė jo te raudonai n u ­ dažyti v isą popieriaus juostą (53 p a v .). S uk lijavę persunktą popieriaus lapą, p a s i g a m i n o m e v i e ­ n ą n u o s t a b ia u s ių t o p o l o g i j o s objektų — M ėb ijau s * lapą, paprasčiausią v ie n p u si paviršių. Jis, n o rs ir labai keista, turi tik vieną p u s ę ir vieną k ra štą ,— tad kiekvienas, ketinąs nudažyti jį, gali per d a u g n e s iv a r g in t i v e d ž i o d a m a s t e p ­ tuku: pakanka M ėb ijau s lapą tik įmerkti j dažus. A.

F.

M ėbijus — vokiečių

m a te m a tik a s

pirmasis pasiūlęs tokio paviršiaus pavyzdį.

ir

astronom as,

A r m ėg sta te geometriją ?

171

206. Jeigu ieškomų atkarpų galais p a si­ rinksime turimus t a š ­ kus, tai nieko neišeis,— arba liks vienas taškas, arba prireiks dar v ie ­ nos, penktosios atkar­ pos. Tad, norint atlikti užduotį, reikia „išeiti“ iš šio kvadratinio lau ­ kelio. Atsakym as — 54 56 Pav> paveikslas. 207. Žinodami ankstesnio galvosūkio „paslapt į“, tikriausiai nesunkiai surasite ir šio uždavinio sprendimą (55 p a v.). 208. Eidam i tuo pačiu keliu, kaip ir pirma (206 ir 207 u ž d a v in y s ), greit rasite atsakymą (56 p a v .).

172

Sprendimai

VII. Užslėpta aritmetika

1 +3 +2 6 +Ii+m, +p + 5 2 +A 7 + + —P— h1 — 5 3 +1 ~ = i M I 9— 6 5 8

a=

57 pav.

a) 4

b)

arba

209. Atsakym as 5 7 paveiksle. 210. Sakykime, kad skritulį atitinka skait­ muo a, kvadratą —. skaitmuo b, o trikampį — skaitmuo c; a, b, c— skirtingi skaitmenys. K adangi b + c = b , tai c —0. Tuomet a + b - f+ a — \0b, vadinasi,

*!!!

9b

U žslėp ta arltmetTka

B et b turi būti ly g in is , n e l y g u s O, skaičius ir, be to, a — ~

173

^

g

b ^ . 9, tai

b = 2. Tuom et a = 9. V a ­ dinasi, ieškom as s k a i­ čiu s yra 929. 211. J e ig u jūs ma- 59 pav. 60 pav. note, kad reikia perkel­ ti v ie n ą degtuką, tai labai klystate. A psukite lapą. M atote, kad ši ly g y b ė yra teisin g a . 212. A tsa k ym as 58 paveiksle. 213. U ž d a v in io s ą ly g o j e n epasakyta, kad po pertvarkym o kiekvienoje eilėje turi būti po penkis degtukus. Tad iš pradžių eilėje degtukai buvo p a ­ dėti taip, kaip 59 p aveiksle, o paskui — kaip 60 p aveiksle. 214. L y g y b ę g a lim a u žrašyti ir taip: a-j- 5 • b b b b = a b b b b , a - 1-5 • b b b b —a • 10A-\-bbbb, 4 • bbb b = a ( 104— 1), 4 b - 1111 —a • 9999. 9a

Tad turime, kad 4b = 9a, arba b = —r . Bet a ir b yra natūriniai skaičiai, ir, be to, 0 < 6 < Į 9 . V a d in a ­ si, a —4, o b —9. 215. Sį g a lv o sū k į g a lim a taip perrašyti: v X

CHOP C PORK Iš čia išplaukia, kad C2< 1 0 . Tačiau žinome, kad C > 2. Tad v ien in telė g a lim a reikšmė yra C = = 3. Tuomet turime, kad P = 9 bei K = 7. P errašom e m ūsų galvo sū k į šitaip:

Sprendim ai

174

(3-103 + / M 0 2+ 0 - 1 0 + 9 ) - 3 = = g. 103 + 0 - 102+ / M 0 + 7, afba ( / / . 102+ 0 - 1 0 + 9 ) -3 = 0 - 102+ / M 0 + 7, 3H - 1 0 + 3 - 0 + 2 = 0 - 1 0 + / ? . Nesunku pastebėti, kad 3H 53. V a d i­ nasi, 0 ^ 8 . Tačiau P = 9 , tad 0 = 8. Tuomet /? = = 6 2 - 7 - 8 = 6 . Iššifravome tokią dalybą: 9867

o

3289 216. Turime, kad Z2= 1 0 a + Z; Y- Z=\ 0 b + Y ir X Z= 10-c+X(a, b, c — sveiki n e n e ig ia m i sk a i­ čiai). Iš čia išplaukia, kad Z ( Z — \) = 10a,

Y(Z-\) = m , X ( Z — \) 10c. Kadangi skaičių XYZ, p a d a u g in ę iš Z, g a u n a ­ —

me keturženklį skaičių, tai Z = ^ l . Aukščiau parašytose ly g y b ė se vienas d a u g ik ­ lis turi dalytis iš 5, o kitas iš 2. Jei Z — 1=^5, tuomet turėtume, kad bent du skaičiai iš X , Y, Z yra lygūs 5, o tai nega lim a . Todėl Z = 6 . Taip pat nustatome, kad skaičiai X ir Y yra lyginiai. Kadangi XYZ p a d a u g in ę iš X g a u n a m e tri­ ženklį skaičių, tai X2< \0. V a d in a si, X = 2. T u o ­ met Y yra ly g u s arba 4, arba 8 ( n e g a li būti ly-

U ž s l ė p t a a r it m e t ik a

175

g u s O, n e s tokiu a t v e j u u ž d a v i n i o s ą l y g o j e būtų p r a l e i s t a a t it in k a m a d a lin ė s a n d a u g a ) . Y^= 4, n e s 2 4 6 ir 4 s a n d a u g a yra t r iž e n k lis s k a ič iu s , o ji t u ­ ri būti k e t u r ž e n k lis s k a ič iu s . T a d Y = 8. V a d i n a s i , tu r im e to k ią l y g y b ę v 286 * 286 1716 # 2288 572 81 7 9 6 217. Iš a b ie jų l y g y b ė s ( K A S ) 2 = S E S K A S p u ­ s ių a t i m a m triž en k lį s k a ič ių / 0 4 S . T u o m e t t u r i­ m e, k ad K A S - ( K A S — 1) — S Ė S * 1000, K A S ' ( K A S - \ ) = S E S - 8 - 125. K a d a n g i s k a ič ia i /G 4S ir / 8. K adangi 1 0 > / 4 > t f > 8 , tai A = K = 9 ir tuo pačiu iš čia išplaukia, kad 9-1 0 8 9 = 9801. 220. Rebusą užrašom e taip: * 4-SULA=ALUS. K adangi kairėje pusėje yra lyg in is skaičius, tai S gali būti tik lyginis. Kita vertus, 0 < 4 S < 1 0 .

Sprendimai

178

Vadinasi, S = 2, tuomet A yra lygus arba 8, arba 9 jei A = 9 , tai sandauga 4A baigiasi skaitmeniu

^ D a b a r * Ivgtf 4 - 2U L 8 = 8 L U 2 išskleidžiame 30004-400* £ /+ 4 0 * L + 3 2 = 8 0 0 0 + 100*L -f 10* £ /+ 2, 390* £ /+ 3 0 = 60*L, 13 • U - \ - \ — 2 ' L , L -6-U + y% .

Kadangi U + l turi būti lyginis skaičius ir L ^ 9 , tai £ /= 1. Iš čia išplaukia, kad L = 7. Vadinasi, gavome lygybę 8 4*2178 = 8712. 221. Iš karto matyti, kad m = l (m reikšmė negali būti 2, nes tuomet turėtume s > 1 0 ) . Todėl 0=^=1f bet o reikšmė negali būti ir didesnė už v ie ­ netą,’ nes kai o = 2 , net ir tuo atveju, kai s = 9, sudėję šimtus, turėtume gauti „du mintyje", o to negali būti. Taigi o = 0. Nesunku matyti, kad e reikšmė turi būti m a­ žesnė už 9. Nes tuo atveju, kai e yra lygi 9, n a g ­ rinėdami sudėtį šimtų skyriuje, gautume, kad n = 0, o tai yra negalima, nes jau o = 0. Vadinasi, e < 9 ir n — e + l . Bet tuomet turime, kad s = 9. Užrašom e sudėtį šitaip: 9* 103+ č * 102+ ( č+ 1) • 1 0 + d + l • 103 + + r - 1 0 + £ = 1 • 104+ ( e + 1) • \ 0 2+ e - 1 0 + y , arba 10-1- d + r - 10+*? = 10 2+ y ,

( r + \ ) - 1 0 + e + d = \ 0 2+ y . Iš čia išplaukia, kad r —8 ( r reikšmė negali būti lygi 9, nes jau s = 9). Tad turime e - \- d — 10+#; čia e gali būti vienu iš skaičių 2, 3, 4, 5, 6 (7 negali būti, nes tuomet n=*8, kas yra n e g a lim a ).

179

U ž s lė p ta aritm etika

B et d < 8 bei y > 1, tad e g a li būti arba 5, arba 6. Jei č = 6 (tuo pačiu n = 7), tuo m et d = 4 + y t kur y ^ 2 ir, vad in a si, d ^ 6, kas yra n egalim a. Tad e = 5, tuo pačiu n —6. Tačiau tada J = 5 + t / , kur y ^ 2. Bet d= £ 8; 9, todėl d = 7, o «/ = 2. Taigi , 9567 ^ 1085 10652 . 222. Iš abiejų ly g y b ė s b c - c = a b c pusių a tim a ­ me skaičių be. Turime: b e - ( c — 1) = 100-a, 106 ( c — 1) + c ( c — 1) = 100a. S a n d a u g a c ( c — 1) turi dalytis iš 10, tad skaičius c yra ly g u s arba 1, arba 5, arba 6. Skaičius c n e g a li būti ly g u s 1, nes tada a —0, o tai p riešta ­ rauja s ą ly g a i. Skaičius c taip pat n egali būti ly ­ g u s 6, n e s tada g a u n a m e lygtį 5 6 + 3 = 10a, ku­ rios du nariai dalijasi iš 5, o trečiasis, ly g u s 3, n esid alija. V ad inasi, c = 5. Tuomet lygybę 106 ( c — — 1) + c ( c — 1) = 100a perrašome taip: 46 + 2 = 10a, 6 = 2a+

.

K adangi 6 < 9 , tai a < 4. Tačiau matyti, kad a pri­ valo būti n e ly g in is skaičius. V adinasi, a gali bū­ tį ly g u s tiek 1, tiek 3. Kai a = l , tada 6 = 2 , ir tu ­ rime tokius skaičius 25-5=125. Kai a = 3 t tai 6 = 7, ir turime šiu os skaičius 75-5=375. .. 223. Kadangi M > 1 0 , tai ( V Ą ) v > \ 0 v . TaClau, kita vertus, /(V/ 4 < 1000 - 1 0 3. Vadinasi, . \ Q v < _ ( V A ) V - K V A < 103, arba

Sprendimai

180

1 0 ^ < 1 0 3, V V A = ( V A ) \ ir tuo pačiu n u ­ statome, kad V > \ . Tad V = 2 . Vadinasi, ( 2 A ) 2= K 2 A . Iš abiejų šios lygybės pusių atimame skaičių 2A: (2 A ) 2- 2 A = K 2 A - 2 A = K00 = K ‘ l 00, 2A • (2A — 1) = K * 1 0 0 = /C • 22 • 52. Skaičiai 2A ir 2.4 — 1 neturi bendrų daliklių, išsk y­ rus vienetą, tad arba 2A, arba 2 A — 1 dalijasi iš 4. Jei 2A dalytųsi iš 4, tai tuomet jis būtų ly g u s arba 20, arba 24, arba 28. Bet visais šiais atvejais 2 A - 1 nesidalija iš 25. Tad 2 ,4 = 2 5 , ir tuo pačiu 2 5 - 2 4 = /C* 100 bei K = 6 . Vadinasi, turime lygybę 252= 6 2 5 . 224. Pirmas būdas. P a žy m ėk im e A ~ =a b c d e 4 . Turime: ^ abcde4 4a bcde Tačiau 4 - 4 = 16, tad e = 6. Vadinasi, turime y abcd64

Kadangi daugą:

4abcd6 6 4 - 4 = 2 5 6 , tai d = 5.

P errašom e s a n ­

x abc564 4abc56 Kadangi 5 6 4 * 4 = 2 2 5 6 , tai c = 2 ; s a n d a u g a p a s i d a ­ ro tokia v ab2564 X 4 4ab2Š6

U žslėp ta aritmetika

181

Bet 2564*4— 10256, vadinasi, b —0, tad turime sandaugą v a02564 X 4 4a0256 Iš čia išplaukia, kad a = 1 . Vadinasi, 4 = 102464. A n t r a s b ū d a s . Sakykime, kad A = abcde 4 . Pažym ėkim e penkiaženklį skaičių abcde raide B. Tuomet 4 = 10*5 + 4. Iš sąlygos Aabcde —4-abcdeĄ išplaukia, kad 4- 105 + B = 4 ( 1 0 * B + 4 ) , 400000-}-B = 40 • B-J-16. Vadinasi, 3 9 - B = 399984 ir tuo pačiu nustatome, kad B = 1 0 2 5 6 . Tad 4 = 102564. 225. Juozukas turėjo 36 kaštonus. Kai dėdė juos perdėjo, krūvelėje liko tik 30 kaštonų, š i o s krūvelės ieškomus kaštonų kiekius pažymėkime kaip nurodyta 61 paveiksle. Kadangi iš šalių ir įstrižai buvo po 1 2 kaštonų, tai galim e sudaryti tokias lygtis: *1 +ž/2 + *3“ 12, *i + «/i + * 2 = 12, X\ + r + £ 4 = 1 2 , *3 + ž/4 + *4— 12, * 3 + r + * 2 —1 2 * *2 + 03 + * 4 = 1 2 , X\ + * 2 + * 3 + * 4 + Ž / l +ž/2+i/3+Ž /4+^ = 30. Sudėję pirmąsias šešias lygtis, gaunam e 3 ( j c i + * 2 + £ 3 + £ 4) + i / i + ž / 2 + ž / 3 + Ž / 4 + 2 r = 7 2 . A t s iž v e lg ę į ly gtį x \ + x 2 + x z + x i + y \ ' \ - y 2 j r y z j r + ^ 44 - r = 3 0 , nustatom e, kad 2 -f* r = 4 2 . B et X\~\~X^= 12— r ir 12 r, tad 4 8 —4 r + r —42, r —2 .

182

S p re n d im a i

4j>

4 $ 61 pav.

62 pav.

Tuomet turim e tokias lygtis: #1 “f" # 2 4 " # 3 “H # 4 = 8 ,

X \ ~ \~ X ą = 1 0 , X 2 + X 3 = 10.

Tikriausiai pastebėjote, kad pirmosios se p ty n io s lygtys sudaro diofantinę lygčių s iste m ą , tad ji turi ne vieną sprendinį. V ieną iš g a lim ų jo s sprendinių nustatysime, tarę, kad X i —x 4 ir x 2= x 3 Tuomet X\ = x 2= x 3= x 4 = 5 , o į/i = į/ 2 = į / 3 = į / 4 = 2. Būtent tokį rezultatą ir nurodė P. M a š io ta s savo kūrinėlyje. O skaitytojui siū lo m e s a v a r a n k i š ­ kai surasti dar bent vieną šio užd av in io sprendinį 226. Pažym ėkim e ieškom us skaičius kaip n u ­ rodyta 62 paveiksle. Tad turime tokią lygčių sis" temą: 1 + 2 + * , + * 2 =17, 2 -j-3 -j-* 3 £ 4 = 17, 3 + l + * 5+ * 6= 1 7 , arba X \~\~X2 = 1 4 , * 3 + * 4 = 1 2 ,

* 5 + * 6- 1 3 .

m

U ž s lė p ta aritm etika

183

K adangi * 5 ir * 6 suma yra n e ly g in is skaičius, tai vienas iš jų turi b ū ­ ti ly gin is, o kitas — n elyg in is. Bet * 3 ir x 4 sum a yra ly g in is sk a i­ čius, tad abu šie sk a i­ čiai yra arba lyginiai, 63 pav. arba n elyginiai. Tą patį ga lim a pasakyti ir apie X\ bei x 2 Vadinasi, ( 1 ) s is te m o s v ien o s ly g tie s nežinomieji yra l y g i ­ niai skaičiai. G alim os tokios jų kombinacijos: (4, 6 ); (4, 8 ); ( 6 , 8 ). K adangi 4 + 6 = 1 0 , tai tinka tik paskutinės dvi kombinacijos: (4, 8 ) bei ( 6 , 8 ). Pa im k im e pirmą porą. K adangi 4 + 8 = 1 2 , tai tu ­ rime, kad * 3 = 4 , * 4 = 8 . Tuomet * 5 tegali būti ly ­ g u s vien in teliam likusiam lyg in ia m skaičiui 6 , o * 6 = 7 . B et tada *i = 5, * 2 = 9 . K a d a n g i (1) lygčių sistem a yra diofantinė, tai ir ji turi ne vienintelį sprendinį. P aėm ę antrą porą, o būtent ( 6 , 8 ), g a u n a m e tokį sprendinį: * 1 = 6 , * 2 = 8 , *3 = 5, * 4 = 7, * 5 = 4, * 6 = 9. 227. Vienas iš galim ų šio uždavinio sprendi­ nių pateiktas 63 paveiksle.

Sprendimai

184

VIII. Matematinės pramogos 228. D au gelis žmonių, su kuriais jūs s u s ila ­ žinsite* pasakys, kad lankstinio storis nesiekia nė 1 metro, o kaip yra iš tikrųjų? Po kiekvieno len ­ kimo lankstinio lapų skaičius padvigubėja. Po pirmo lenkimo turime 2 lapus, po antro lenki­ m o — 4 = 2 2 lapus, po trečio lenkimo — 8 = 2 3 la ­ pus ir t. t., lankstinį perlenkus keturiasdešim tą kartą turėsime 240 lapus. K adangi vieno lapo s to ­ ris yra 0,1 mm, tai po keturiasdešim t lenkimų gausim e 0,1 • 240 mm storio lankstinį. Kam bent apytiksliai yra ly g u s skaičius 0,1 -240? Turime, kad 0,1 •240= 0 ,1 • ( 2 10) 4 = 0,1 • (1024) 4> > 1 0 - 1* (103) 4= 1 0 11. Atsiminę, kad 1 km yra ly g u s 106 mm, galutinai nustatome, kad m ūsų lankstinio storis viršija š im ­ tą tūkstančių kilometrų! Išties tai labai įsp ū d in ­ gas skaičius. Tikriausiai d a u gu m a įž v a lg e s n ių skaitytojų pastebėjo, kad šis g a lv o s ū k is yra g a r ­ siojo „šachmatų u ž d a v in io 4* (žr. 167 g a lv o s ū k į) analogas. 229. Tarkime, kad stalo viršus yra m o n e to s didumo. Tuomet pirmasis žaidėjas, p a d ė ję s ant jo monetą, laimi. Tačiau ža id im o b a ig tis n ep rik lau ­ so nuo stalo matmenų; tad berniukas, padaręs pirmąjį ėjim^, visad a laimi.

M a t e m a t in ė s p r a m o g o s

185

O kaip jis privalo žaisti, kad pasiektų pergalę? Pirmu ėjim u m o netą jis deda sta lo centre. Iškart m in ty je s ta lą sim etrijos ašim i padalija į dvi ly­ gias dalis. Tada, kur bebūtų padėta antrojo ž a i­ dėjo moneta, pirmasis sa v o m onetą turi dėti s i ­ m etriškai šio s a š ie s a tžv ilg iu . Taigi, jei antrasis žaid ėjas ras v ieto s s a v o m onetai, atsiras vieto s ir pirmojo žaidėjo m onetai. 230. P o pirmo pirmosios m er g a itė s ėjimo a n t­ roji turi suskaičiuoti likusius ram u nės žiedlapius. Jei jų yra n e l y g in i s skaičius, tai, paim dam a v i ­ durinį, ji ž ie d la p iu s p adalija į dvi ly g ia s dalis. Jei po pirmojo pirmos m e r g a itė s ėjim o liko ly g in is ž ie d la p ių skaičius, tai antroji turi paimti du ž ie d ­ lapiu s iš vidurio — taip irgi v isi žiedlapiai bus p a d a ly ti į dvi ly g ia s dalis. Dabar, iš kurios pusės beim tų ž ie d la p iu s pirma m ergaitė, antra privalo imti sim etriškai po tiek pat žiedlapių iš kitos p u ­ sės. Taip ž a is d a m a antra m erg a itė v is a d a nuskins paskutinį žie d la p į ir, žin om a, laim ės. 231. S a kyk im e, kad s u g a lv o t ą skaičių, p a d a li­ ju s iš 9, g a u n a m a liekana a; čia 0 ^ a ^ 8 . Yra ž in o m a , kad ir skaičių, jr jo skaitm enų su m ą p a ­ d a liju s iš 9, g a u n a m a ta pati liekana. Tuom et ir skaičių, u ž r a š y tą taiss pačiais skaitm enim is, bet kita tvarka, p a d a liję ’iš 9, g a u n a m e tą pačią lie ­ k an ą a. Tačiau tada jų skirtumas jau d a ly sis iš 9, t. y. skirtumo v isų skaitm enų sum a yra sk a i­ č ia u s 9 kartotinis. V a d in a si, norint įspėti ap v e stą ratuku skaitm enį, reikia papildyti praneštą sk a it­ m enų su m ą iki a r tim ia u sio skaičiaus 9 kartotinio. S is p a p ild in y s ir bus iešk o m a sis skaitmuo. 232. Jonukas neatkreipė dėm esio į vieną fo­ kusininko p a sa k y tą s ą l y g ą — a pvestas skaitm uo turi būti ne nulis. Ir išties, jei nurodom a skirtu-

18 6

Sprendimai

mo visų, išskyrus apvestą, skaitmenų suma yra skaičiaus 9 kartotinis, tai apvestas skaitmuo irgi turi dalytis iš 9. Tad jis yra arba 0, arba 9. V a ­ dinasi, šiuo atveju gaunam e nevienareikšmį a t­ sakymą. 233. Sakykime, kad abc yra teisėjo sugalvotas pradinis skaičius. Tuomet cba bus kitas triženklis skaičius, užrašomas tais pačiais skaitmenimis, bet atvirkščia tvarka. Kadangi teisėjo apskaičiuo­ tas šių skaičių skirtumas nelygus 0, tai a=^=c. Tar­ kime, kad c > a . Tuomet skirtumas yra ly gu s c b a —a b c — 1 0 0 c + 1 0 6 + a — ( 1 0 0 a + 1 0 6 + c ) = = 99 c—99a = 99 (c —a ) . Kadangi c > a , tai c —a ^ l . Skirtumas 9 9 ( c —a ) ne mažesnis už 99. Skaičių 99 (c —a) galim a išd ė s ty ­ ti dar taip: 99 (c—a) = 100 (c—a) — 1 0 0 + 1 0 0 — ( c — a) = = 100 ( c —d — 1) + 9 0 + ( 1 0 —c + a ) = = 100 (c—a — 1) + 9 • 1 0 + (1 0 —c + a ) = d 9 k , kur d = c —a — 1, k = 10—c + a { d ^ 0 , k ^ . 9 ) . Turime, kad d~\~k—c —a — 1+ 1 0 — c-j-a = 9. Kadangi teisėjo apskaičiuoto skirtumo paskutinis skaitmuo yra 6 (£ = 6 ), tai tuomet d = 3, ir skirtu­ mas ly gu s 396. 234. Sakykime, kad jūsų batų num eris yra a, o 1979 metais jums sukako b metų. V a d in asi, jūs esate gim ęs 1979 — b metais, atlikę v isu s n u rod y­ tus veiksmus, g ausim e, kad ( ( 2 a + 3 9 ) •5 0 + 2 9 ) - ( 1 9 7 9 - 6 ) = = 100a + 1 9 5 0 + 2 9 — 1979+ b = 100 a + b . Skaičius a yra dviženklis, tad 1 0 0 a + 6 yra ke­ turženklis skaičius, kurio pirmi du s k a itm e n y s reiškė batų numerį, o paskutiniai — am žių.

187 M atem atinės p r a m o g o s ________—--------------------------------------------

235 Prie Jono g im im o m etų pridėję jo amžių (neužmirškime, kad veiksm as vyksta 1988 metų pabaigoje), g a u n a m e skaičių 1988. Tok) pat sk a i­ čių gausim e, sudėję levo g im im o m etus bei jo amžių. Vadinasi, su m a yra ne kas kita kaip sk a i­ čius 2 -1 9 8 8 = 3976. Štai, kodėl Juozas ir ga lėjo jspėti šį skaičių. 236. Tarkime, kad veiksm as vyko a m etais pagal tuomet romėnų naudotą kalendorių. Jei te i­ sėjo tėvas dar buvo gyvas, tai teisėjas turėjo p a ­ sakyti skaičių 2a. Jei tėvas miręs, tai teisėjas p a ­ sakė kažkokį kitą skaičių b, be to, b < 2 a . S a m ­ protaudami taip pat, kaip ir spręsdam i ankstesnį u ž d a v in į, nustatome, kad teisėjo tėvas mirė prieš 2 a —b metus. 237. N ugalėtojas, pasakęs skaičių 101, prieš tai turėjo gauti skaičių 91. Tuomet jo varžovas prie 91, pridėjęs bet kurį natūrinį skaičių, ne di­ desnį už 9, g a u s skaičių, ne didesnį už 100 ir ne mažesnį už 92, t. y. tada laimėtojas, pridėjęs li­ kutį, g a u s 101. A n a lo g iš k a i n ugalėtojas kiekvienu ėjimu turi gauti skaičius 81, 71, 61, 51, 41, 31, 21, 11, 1. Tačiau žinom e, kad skaičių 1 pasako pirmasis žaidėjas. Tad jis ir yra neabejotinas n u ­ galėtojas. Kaip pirmasis žaidėjas turi žaisti? Tarkime, kad antrasis žaidėjas pasirenka skaičių a, tuomet pirmasis po to turi paimti skaičių 10— a (k a d a n ­ gi l ^ a < 9 , tai 1 ^ 1 0 —a ^ 9 ) . Ir tokios taktikos pirmasis berniukas privalo laikytis v isą laiką. 238. Kadangi kiekvienas iš žaidėjų g a li rink­ tis bet kurį natūrinį skaičių, ne didesnį už 10, tai pirmasis žaidėjas, kad nugalėtų, kiekvieno ė ji­ mo sumą turi gauti tokią: 102, 91, 80, 69, 58, 47, 36, 25, 14, 3.

188

Sprendimai

V ad in a si, pirmu s a v o ėjimu pirmasis žaidėjas nurodo skaičių 3, o vė lia u kiekvienu ėjimu sk a i­ čių 1 1 —a; čia a yra prieš tai v a r ž o v o pasirinktas skaičius. 239. D ažnas, p r isim in ęs a n k stesn ių g a lv o sū k ių sprendim us, im s taip sam protauti: „ K a d a n g i kiek­ vienas iš žaidėjų g a li pasirinkti bet kurį sveikąjį skaičių, ne didesnį už 6 ir ne m a ž e s n į už 1, tai laimėtojas kiekvienu ėjim u turi g a u t i skaičius 31, 24, 17, 10, 3. V a d in a si, aš, pirmu ėjimu paėm ęs kortelę su skaičium i 3, neabejotinai turiu la im ė ­ t i 44. Ir štai žaidim as ima tekėti tokia v a g a . Pir­ m a s is žaidėjas pasirenka skaičių 3, a n tr a sis paim a 4 (sum a 7 ), pirm asis vėl nurodo 3, a n tr a sis irgi pasirenka 3 (su m a 13), pirm asis p a g a l s a v o p la ­ ną ima 4, a n trasis irgi 4 (su m a 2 1 ); pirm asis ima 3, o a ntrasis 4 (su m a 2 8 ) . Štai dabar pirm asis žaidėjas k arštligiškai ieško kortelės, kurioje p a ­ rašytas skaičius 3, ta čia u tokios nėra — v i s o s jo s jau atidėtos. T a igi laim i antrasis. Kaip m atom e, kruopščiai parengtas pirmojo žaid ėjo p lan a s ž lu n ­ g a dėl kažkokios sm u lk m en o s, kurią g a lim a p a ­ vadinti „išsek im o m e to d u 44. Tad, kaip reikia žaisti šį žaidim ą? P r a d ėjęs nuo 5, v is a d a la im ėsite. Jei v a r ž o ­ vas taip pat pasirinks skaičių 5, tai j u m s reikia paimti skaičių 2 (su m a 12). Ir toliau, kai tik va ržovas im s kortelę su skaičium i 5, jū s im ate kortelę su skaičium i 2. Taip ža id žia n t, „išse k im o m e to d a s 44 a tsig r ę žia į jūsų varžo vą , ir jis „išk rin­ t a 44 iš skaičių 10, 17, 24, 31 eilės. O ja u tu o m et jū s sto jate į ją ir laimite. Tačiau po jūsų pirmo ėiim o v a r ž o v a s g a l i p a ­ sirinkti ne skaičių 5, o kokį nors kitą. Tada jū s laim ite dar greičiau: telieka tik pasiekti, kad s u ­

M a t e m a t in ė s p r a m o g o s

189

ma būtų skaičius 10 arba 17, o jau tuomet per­ g a lė yra užtikrinta. G alite laimėti, žaidim ą pradėję skaičiumi 1 arba 2. Tačiau šiu o keliu pergalė pasiekiam a d a u g sunkiau. Bet tai dar nereiškia, kad skaity­ tojas n e g a li p a m ė g in ti juo eiti. 240. Kai žaidėjai yra pakankamai įgudę, tai ly gių jų n e išv e n g s i: jei kuris ir laimi, tai tik dėl to, kad varžovas buvo neatidus. O kaip pasiekti šias ly gią sia s? Jei pirmasis žaidėjas pirmu ėjimu sa v o ženklą padeda centre, tai antrasis turi u ž ­ imti kurį nors kampinį langelį, priešingu atveju jis pralaim ės. O jei pirmasis žaidėjas pirmu ėjimu užim a kampinį lan g elį, tai antrasis privalo iškart užim ti centrą. Bet jei pirmasis žaidėjas pradeda žaisti nuo šo n in io langelio, tai abu žaidėjai turi būti atid ū s,— čia slypi d a u g povandeninių uolų. T ačiau ir dabar pirmasis visad a ne per da ug ri­ zikuodam as g a li pasiekti lygiąsias, o jei ir išloš, tai tik „padedant" antrajam. 241. Čia praded a n ty sis žaidėjas visad a laimi,— jam užtenka tik pirmu ėjimu užimti centrinį la n ­ gelį. Tarkime, kad jis ten įrašo kryžiuką. Tuomet a n tr a sis žaidėjas gali užimti arba kampinį la n ­ gelį, arba šoninį langelį. Sakykime, jis pasirinko kam pinį la n g e lį ir, kad išven g tų labai greito pra­ laim ėjimo, ja m e įrašė nuliuką. Tada pirmasis ž a i­ dėjas turi įrašyti nuliuką priešingam e kam pinia­ me la n g e ly je (64 pa v.), o jau tuomet laimėjimas jam garantuotas. Tarkime, kad a n t r a s i s žaidėjas pasirinko ne kampinį, o vien ą i š šoninių langelių. Čia jis ir­ gi, v e n g d a m a s greito pralaimėjimo, turi^ įrašyti nuliuką (65, a p av.). Tuomet pirmasis žaidėjas nuliuką rašo priešin g am e šoniniam e langelyje

190

Sprendfm ai

o -

O

X

o

O

a)

b)

X

o o

o

X

X

O

O

O

X

o

o d\

64 pav.

65 pav.

(65, b p av.). A n trasis žaidėjas yra priverstas įra­ šyti nuliuką kitam e šo n in ia m e la n g e ly je (65, c p a v .). Likusiam e šo n in ia m e la n g e ly je pirmasis žaidėjas gali įrašyti tiek kryžiuką, tiek nuliuką, ir jau kitu ėjimu jis laimi (65, d p a v.). 242. Pirm asis žaidėjas v isa d a laimi, jei pirmu ėjimu skridinėlį padeda centre. Taip jis iš karto u žsiim a d a u g ia u sia g a lim ų krypčių — keturias. Tuomet antrojo žaidėjo p agrindinis tikslas — kaip nors neutralizuoti pirmojo skridinėlius. Tačiau, jei pirmasis žaidėjas pirmu ėjimu s a v o skridinėlio n e ­ padeda centre, tai tuomet antrasis iškart turi u ž ­ imti jį. Taip jis g a li pasiekti lygiąsias. 243. N orint laimėti šį žaidim ą, iš v ien o taško reikia nubrėžti tris atkarpas. K a d an g i pirmasis žaidėjas g a li tai padaryti greičiau, v a d in asi, jis v isa d a g a li laimėti.

M a t e m a t in ė s p r a m o g o s

191

244. P ir m a sis žaidėjas v isa d a laimi — pirmu ėjim u ja m tereikia apversti arba antrą, arba tre­ čią, arba ketvirtą m o netą nuo bet kurio krašto. 245. V is a d a laimi tas žaidėjas, kuris prade­ da. Pirmu ėjim u jam reikia iš 76 degtukų krūve­ lės paim ti 7 degtukus. Tuomet abiejose krūvelėse d egtukų sk a ičiu s bus ly g u s. Kiek bepaimtų ant­ r asis žaid ėjas degtukų iš kurios nors krūvelės, tokį pat kiekį degtukų turi imti pirmasis iš kitos krūvelės. Taip ž a is d a m a s pirmasis žaidėjas ir p a ­ ima paskutinį degtuką. 246. P ir m a sis žaidėjas, pradėdam as žaidimą, įg y ja iniciaty vą . Kad laimėtų, jis pirmu ėjimu tu­ ri iš d id e s n ė s krūvelės paimti vien ą degtuką — tu om et ab ie jo se k rūvelėse degtukų skaičius bus ly g u s . T oliau situ a c ijo s priklauso nuo antrojo ž a i­ dėjo: a) jei a n tr a sis žaid ėjas paėm ė kurią nors krū­ velę, pirm asis, kad laimėtų, iš kitos krūvelės turi paimti 3 degtukus; b) jei a n tra sis žaidėjas krūvelėje paliko 1 d e g ­ tuką, pirmajam reikia paimti v is u s kitos krūvelės d egtukus; c) jei a n tr a sis žaidėjas krūvelėje paliko ne m a ž ia u kaip 2 degtukus, tuom et pirmasis žaidėjas turi paim ti tiek pat degtukų iš kitos krūvelės — kada nors s u s id a r y s a) arba b) situacija.

Mokslo populiarinimo leidinys Baltrūnas Aleksandras

MATEMATINIAI GALVOSOKIAI Knyga mokiniams Redaktorė N. Ramanauskienė Viršelis N. Zovės. Men. redaktorė D. Vitkevičienė Techn. redaktorė N. Mieldažytė. Korektorė D. Skaparaitė

Haymio-nonyjiflpHoe H3/iaHHe BajiTpyHac AjieKcaHApac MATEMATHHECKHE TOJIOBOJIOMKH KHHra ajih yqamHxcH

XyAo?KHHK Hopčeprac 3oBe Ha JIHTOBCKOM H3bIKe /iHTOBCKaa CCP, 233000, KayHaę, np. JleH H H a, 25, H3A-BO «UlBHeca* HB M 6885 Duota rinkti 1988 06 30. Pasirašyta spaudai 1988 12 02. Formatas 70Xl00/»2. Popierius giliaspaudinis. G arnitūra „Literatūrinė", 10 punktu. Iškilioji spauda. 7,8 sąl. sp. 1. 8,1 sąl. spalv. atsp. 7,27 apsk. leid. 1. Tir. 60 000 egz. Užsakymas 6486. Leid. Nr. 11452. Kaina 30 kp „Šviesos" f-kla, 233000 Kaunas, Lenino pr. 25. Spausdino Motiejaus Sumausko sp., 232600 Vilnius, A. Strazdelio 1

Klaidos atitaisymas

93 puslapyje neteisingai pateiktas 24 paveikslas. Jis turi būti pasuktas taip, kad triušis gulėtų ant nugaros. Aleksandras Baltrūnas. Matematiniai galvosūkiai.

ISBN f>— 430 — 00419 — 7