Matematika: a láthatatlan megjelenítése 9789631627350, 9631627357, 9789639132979, 9639132977 [PDF]

Zitiervorschau

© Typotex Kiadó

Matematika: a la ´ thatatlan megjelenı´te ´se

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Keith Devlin

Matematika: a la ´ thatatlan megjelenı´te ´se

´ ˝ SZAKI KIADO MU ´ TYPOTEX KIADO BUDAPEST 2001

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

First published in the United States by WH Freeman and Company, New York and Basingstoke. Copyright 1998, 2000 by Freeman and Company. All rights reserved.

´ llamokban jelent meg a Az els˝ o kiada´s az Egyesu ¨ lt A WH Freeman and Company, New York and Basingstoke gondoza´sa´ban. Copyright 1998, 2000; Freeman and Company. Minden jog fenntartva.

c Hungarian translation Csaba Ferenc; 2001
Szakmailag Ro ´nyai Lajos ellen˝ orizte. ISBN 963 16 2735 7 ISBN 963 91 3297 7 MK 4401401

A m˝ u eredeti cı´me: The language of mathematics: making the invisible visible. Ez a tanko ¨nyv az illete´kes kurato ´rium do ¨nte´se alapja´n az Oktata´si Miniszte´rium ta´mogata´sa´val a Fels˝ ooktata´si Pa´lya´zatok Iroda´ja ´altal lebonyolı´tott Tanko ¨nyvta´mogata´si Program kerete´ben jelent meg (101/2000).

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Tartalom

El˝ oszo ´

7

Prolo ´ gus – Mi a matematika?

9

1. fejezet

A sza ´ mokkal sza ´ molnunk kell

21

2. fejezet

Elme ´s minta ´ zatok

57

3. fejezet

A matematika mozga ´sba lendu ¨l

97

4. fejezet

Az alakot o ¨ lt˝ o matematika

137

5. fejezet

A sze ´pse ´g matematika ´ ja

183

6. fejezet

Mi to ¨ rte ´nik, ha a matematika pozı´cio ´ ba keru ¨ l?

211

7. fejezet

Ese ´lylatolgata ´s

257

8. fejezet

Az Univerzum rejtett minta ´ zatai

283

Uto ´ szo ´

319

Ne ´v- e ´s ta ´ rgymutato ´

321

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

El˝ oszo ´

Ko ¨nyvu ¨ nk a matematika le´nyegi vona´sait kı´va´nja az olvaso ´ ele´ ta´rni, aki reme´lhet˝ oleg nemcsak a to ¨rte´net fordulo ´pontjairo ´l, de napjaink tudoma´nya´ro ´l is ke´pet alkothat maga´nak. A ko ¨nyv nem matematikako ¨nyv, hanem a matematika´ro ´l szo ´lo ´ ko ¨nyv – a kultu ´ ra egy e´letteli e´s gazdag teru ¨ lete´t kı´va´nja bemutatni. Olvaso ´ja´to ´l csupa´n jo ´ sza´nde´ku ´ e´rdekl˝ ode´st va´r, nem felte´telez ku ¨ lo ¨no ¨sebb matematikai el˝ oismereteket. A ko ¨nyv el˝ odje a W. H. Freemann kiado ´ Scientific American Library sorozata´ban jelent meg, Matematika: a minta´zatok tudoma´nya cı´mmel. A „tudoma´nyosan ke´pzett” olvaso ´kat megce´lzo ´ ko ¨nyv a sorozat egyik legsikeresebb tagja lett. A szerkeszt˝ ovel, Jonathan Cobb-bal folytatott besze´lgete´seink sora´n szu ¨ letett meg egy sze´lesebb ko ¨zo ¨nse´get ce´lba vev˝ o, kisse´ „meghu ´ zott” ko ¨nyv gondolata. Az u ´j ko ¨nyv, u ´ gy terveztu ¨ k, a sorozatot oly ku ¨ lo ¨nlegesse´ tev˝ o szı´nes, m˝ uve´szi ke´panyag ne´lku ¨ l, s – re´szben ennek ko ¨vetkezte´ben – a sze´lesebb olvaso ´ko ¨zo ¨nse´g sza´ma´ra is ele´rhet˝ oen ko ¨zvetı´ti majd le´nyege´ben ugyanazt az u ¨ zenetet: a matematika´nak a minta´zatok tudoma´nyake´nt valo ´ felfoga´sa´t. (Mike´nt el˝ odje, e ko ¨nyv is magyara´zattal szolga´l arra, mit tekintu ¨ nk „minta´zatnak”. Ehelyu ¨ tt legyen ele´g annyi, hogy nem csupa´n tape´taminta´kra gondolunk – ba´r jo ´ ne´ha´ny tape´taminta figyelemre me´lto ´ matematikai tulajdonsa´gokkal is rendelkezik . . . ) Amellett, hogy a ko ¨nyvet az u ´ j ce´lkit˝ uze´snek e´s forma´tumnak megfelel˝ oen teljes me´rte´kben ´at kellett dolgoznom, arra is alkalmam nyı´lt, hogy az eredeti anyagot ke´t u ´ jabb fejezettel ege´szı´tsem ki: az egyik ta´rgya´t a valo ´szı´n˝ use´g, a ma´sike´t a (fizikai) univerzum minta´zatai alkotja´k. Az eredeti va´ltozatba ezek a specia´lis forma´tum e´s a sz˝ uko ¨s hely miatt nem keru ¨ lhettek be. Az eredeti Scientific American Library ko ¨nyv ke´zirata´t Fernando Gouveˆa, Doris Schattschneider e´s Kenneth Millett ne´zte´k ´at, hasznos megjegyze´seik ezen u ´j va´ltozatnak is java´ra va´ltak. A 8. fejezethez Ron Olowin szolga´lt e´rte´kes tana´csokkal, mely fejezet a 7. mellett kiza´ro ´lag e ko ¨nyv sza´ma´ra ´ro ı ´dott. Az els˝ o va´ltozat fa´radhatatlan szerkeszt˝ oje Susan Moran volt, az u ´ j kiada´s Norma Roche munka´ja´nak nyoma´t viseli maga´n.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Prolo ´ gus – Mi a matematika?

Nem csak a sza ´ mok Mi a matematika? Ha e ke´rde´st nekiszegezzu ¨ k valakinek, feltehet˝ oen a ko ¨vetkez˝ o va´laszt kapjuk: „A matematika a sza´mokat vizsga´lja.” Ha nem hagyjuk ennyiben, s arra is kı´va´ncsiak vagyunk, mife´le vizsga´lat ez, az illet˝ o tala´n pontosı´tja va´lasza´t: „A matematika a sza´mok tudoma´nya.” De enne´l to ¨bbre nemigen juthatunk – holott „definı´cio ´nk” ma´r legala´bb ke´tezer-o ¨tsza´z e´ve ideje´t mu ´ lta! Nehezen va´rhato ´ el teha´t, hogy a nem bennfentes ´atlagember felismerje: valo ´ja´ban vila´gme´ret˝ u, folytonos, aktı´v kutato ´munka´ro ´l van szo ´, mike´nt az sem, hogy elismerje, e kutato ´munka eredme´nyei e´letu ¨ nk legku ¨ lo ¨nfe´le´bb teru ¨ letein hagytak e´s hagynak maradando ´ nyomot. A to ¨rte´nelem folyama´n a matematika mibenle´te´t firtato ´ ke´rde´sre a legku ¨ lo ¨nfe´le´bb va´laszok szu ¨ lettek. Hozza´vet˝ olegesen Kr. e. 500-ig a – babiloni e´s egyiptomi – matematika te´nylegesen a sza´mok tudoma´nya volt, „szaka´csko ¨nyv-szer˝ u”, sza´mola´si receptekre szakosodott tudoma´ny. („Vedd ezt e´s ezt a sza´mot, tegye´l vele ezt, azt, amazt – s megkapod a helyes va´laszt.”) A Kr. e. 500 ko ¨ru ¨ l kezd˝ od˝ o mintegy nyolc e´vsza´zad a go ¨ro ¨g matematika vira´gkora, az e´rdekl˝ ode´s ko ¨ze´ppontja´ba ekkor a geometria keru ¨ lt, s a sza´mokat is geometriai mo ´don, bizonyos szakaszok hosszake´nt e´rtelmezte´k; mikor pedig felfedezte´k, hogy sza´mfogalmuk ele´gtelen ahhoz, hogy segı´tse´ge´vel minden lehetse´ges – irraciona´lis – hosszu ´ sa´got kifejezzenek, el is fordultak az aritmetika´to ´l. A go ¨ro ¨go ¨k szeme´ben a matematika ma´r a sza´mok ´es a geometriai alakzatok tudoma´nya volt. A go ¨ro ¨g korszak legjelent˝ osebb u ´ jdonsa´ga azonban az, hogy a mindaddig a me´re´s, a sza´mola´s e´s elsza´mola´s ku ¨ lo ¨nfe´le technika´inak gy˝ ujteme´nyeke´nt sza´mon tartott matematika valo ´di tudoma´nnya´, me´ghozza´ vonzo ´ e´s izgalmas tudoma´nnya´ va´lt. A go ¨ro ¨go ¨k ma´r nem csupa´n a hasznossa´got tisztelte´k: felismerte´k mate-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

10

Prolo ´gus – Mi a matematika?

matikai eredme´nyeik eszte´tikai e´rte´ke´t, mi to ¨bb, a legszebb te´teleknek misztikusvalla´si jelent˝ ose´get tulajdonı´tottak. Thale´szt˝ ol ered a meggy˝ oz˝ ode´s, mely szerint a pontosan kimondott ´allı´ta´sokat forma´lis-logikai bizonyı´ta´snak kell ala´ta´masztani, a megtisztel˝ o te´tel cı´met csak ´gy ı e´rdemelhetik ki. E felfoga´s azo ´ta – mondanunk sem kell – a matematika soha ke´tse´gbe nem vont sarokko ¨ve´ve´ va´lt. A go ¨ro ¨g matematika csu ´ cspontja az Euklide´sz ´altal o ¨sszea´llı´tott Elemek, minden id˝ ok ma´sodik legsikeresebb ko ¨nyve´nek megjelene´se. (Az els˝ o terme´szetesen a Biblia.) A matematika mozga ´ sba lendu ¨l Ta´rgyunkban ege´szen a tizenhetedik sza´zad ko ¨zepe´ig nem to ¨rte´nt jelent˝ osebb el˝ orele´pe´s, amikor is Newton e´s Leibniz – egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenu ¨ l – kidolgozta´k az analı´zis, a mozga´s e´s a va´ltoza´s matematikai tudoma´nya´nak alapjait. A matematika, amely addig szinte kiza´ro ´lag statikusnak tekinthet˝ o ke´rde´sekkel – sza´mola´s, me´re´s, alakzatok leı´ra´sa – foglalkozott, ezt ko ¨vet˝ oen ma´r olyan jelense´gek leı´ra´sa´ra is alkalmassa´ va´lt, mint a bolygo ´mozga´s, a szabadese´s, a folyade´ka´ramla´s, a ga´zok kita´gula´sa, az elektromossa´g e´s a ma´gnesse´g hata´sai, a repu ¨ le´s, az ´allatok e´s a no ¨ve´nyek szaporoda´sa, a ja´rva´nyok kito ¨re´se vagy a nyerese´g id˝ obeli ingadoza´sa. Newton e´s Leibniz uta´n a matematika meghata´roza´sa ma´r ´gy ı szo ´lt: a sza´mok, a geometriai alakzatok, valamint a mozga´s, a va´ltoza´s ´es a te´r tudoma´nya. Az analı´zis elme´lete´nek kidolgoza´sa sora´n a f˝ o inspira´cio ´ a fizika teru ¨ lete´r˝ ol e´rkezett, a korszak nagy matematikusai egyszersmind a korszak nagy fizikusai is voltak. A tizennyolcadik sza´zad ko ¨zepe´t˝ ol azonban, mid˝ on a legnagyobb elme´k pro ´ba´lta´k felderı´teni, mi ´allhat a differencia´l- e´s integra´lsza´mı´ta´s sze´du ¨ letes sikerei mo ¨go ¨tt, a matematika „alanyi jogon” is az e´rdekl˝ ode´s ko ¨ze´ppontja´ba keru ¨ lt. ´ jja´e´ledt a go U ¨ro ¨g felfoga´s, mely mindennek ele´be a forma´lis bizonyı´ta´st helyezte. A tizenkilencedik sza´zad ve´ge´re a matematika meghata´roza´sa ennek megfelel˝ oen u ´ jra mo ´dosult: a sza´mok, a geometriai alakzatok, a mozga´s, a va´ltoza´s e´s a te´r, valamint az ezek vizsga´lata´ban alkalmazott matematikai arzena´l tudoma´nya. A huszadik sza´zadban a matematika robbana´sszer˝ u fejl˝ ode´sen ment keresztu ¨ l. 1900 ko ¨ru ¨ l a matematikai ismereteket mintegy nyolcvan ko ¨nyvben o ¨ssze lehetett volna foglalni – napjaink matematika´ja legala´bb sza´zezer ko ¨tetet megto ¨ltene. Az eredme´nyek nem csupa´n a re´giek u ´ j sarjai: a szı´nen sza´mos, teljesen u ´ j tudoma´nya´g is megjelent. 1900-ban a matematika´nak hozza´vet˝ olegesen tucatnyi ´aga´t ismerte´k, to ¨bbek ko ¨zo ¨tt az aritmetika´t, az analı´zist vagy a geometria´t – manapsa´g a tudoma´ny teljes katalogiza´la´sa´hoz legala´bb hatvan cı´mke´re lenne szu ¨ kse´gu ¨ nk. Re´gebbi, egykor egyse´ges tudoma´nya´gak, mint az algebra vagy a topolo ´gia, re´szteru ¨ letekre szakadtak, s olyan vadonatu ´ j teru ¨ letek jelentek meg a szı´nen, mint pe´lda´ul a bonyolultsa´gelme´let vagy a dinamikus rendszerek elme´lete.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A minta´zatok tudoma´nya

11

A minta ´ zatok tudoma ´ nya Ha figyelembe vesszu ¨ k a tudoma´ny fejl˝ ode´se´nek le´legzetela´llı´to ´u ¨ teme´t, a mi a matematika? ke´rde´sre csupa´n egy buta´cska va´lasz kı´na´lkozik: mindaz, aminek m˝ uvele´se´b˝ ol a matematikusok mege´lnek. Vannak olyanok is, akik szerint a matematika´t nem a ta´rgya, hanem a mo ´dszerei teszik egyedu ¨ la´llo ´va´. Az uto ´bbi harminc e´v sora´n azonban tanu ´ i lehettu ¨ nk azon ne´zet te´rnyere´se´nek, amelyhez manapsa´g a matematikusok to ¨bbse´ge boldogan adja a neve´t: eszerint a matematika a minta´zatok tudoma´nya. A matematikusok az absztrakt – numerikus, geometriai, a mozga´sban, a viselkede´sben, a va´laszta´sok eredme´nye´ben vagy ve´letlenszer˝ u jelense´gek isme´tl˝ ode´se´ben megnyilva´nulo ´ – minta´zatokat tanulma´nyozza´k. A valo ´s vagy ke´pzelt, statikus vagy dinamikus, mennyise´gi vagy min˝ ose´gi jelleg˝ u minta´zatok ne´melyike´nek komoly gyakorlati jelent˝ ose´ge is van, de olyan is akad, melynek vizsga´lata nem to ¨bb kellemes e´s szo ´rakoztato ´ id˝ oto ¨lte´sne´l. Sza´rmazhatnak e minta´zatok a bennu ¨ nket ko ¨ru ¨ lvev˝ o vila´gbo ´l, a te´r vagy az id˝ o, de aka´r elme´nk me´lyse´geib˝ ol is. A ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o minta´zatok vizsga´lata´ra a matematika ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ´agai szakosodtak, pe´lda´nak oka´e´rt: – – – – – –

az aritmetika e´s a sza´melme´let a sza´mok e´s a sza´mla´la´s, a geometria a legku ¨ lo ¨nfe´le´bb alakzatok, az analı´zis a mozga´s e´s a va´ltoza´s, a logika a vila´gos gondolkoda´s, a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s a ve´letlen jelense´gek, a topolo ´gia a ko ¨zelse´g e´s a folytonossa´g minta´zatait vizsga´lja.

A ko ¨nyv nyolc fejezete a modern matematika nyolc ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o teru ¨ lete´t o ¨leli fel: a sza´mla´la´s, az e´rvele´s e´s a kommunika´cio ´, a mozga´s e´s a va´ltoza´s, a ku ¨ lo ¨nfe´le alakzatok, a szimmetria´k, a pozı´cio ´k, a ve´letlen e´s az univerzum alapvet˝ o minta´zatait. A va´logata´snak e´rtelemszer˝ uen a matematika jelent˝ os teru ¨ letei estek ´aldozata´ul – me´gis u ´ gy ve´lem, a ta´rgyalt te´ma´k hozza´ja´rulnak ahhoz, hogy az olvaso ´ helyes ke´pet alkothasson e gyo ¨nyo ¨r˝ u tudoma´nyro ´l. Igyekeztem, hogy a kifejte´s – ba´r e´rtelemszer˝ uen nem te´rhet ki a legapro ´bb re´szletekre – sehol ne legyen felszı´nes. A modern matematika egy jellegzetes vona´sa´val ma´r a legels˝ o, aka´rcsak futo ´ ismerkede´s alkalma´val is azonnal szembesu ¨ lu ¨ nk: ez pedig az absztrakt jelo ¨le´s, a bonyolultnak t˝ un˝ o ke´pletek e´s geometriai ´abra´k haszna´lata. Ez azonban teljesen e´rthet˝ o, ha meggondoljuk, hogy a matematika ta´rgyai maguk is absztrakt objektumok. A valo ´sa´g ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o aspektusainak leı´ra´sa´hoz mindig megfelel˝ o szimbolikus jelo ¨le´st kell va´lasztanunk. Ha a terep domborulatait akarjuk bemutatni, vagy a ta´je´kozo ´da´st akarjuk megko ¨nnyı´teni egy idegen va´rosban, akkor a legmegfelel˝ obb eszko ¨z: a te´rke´p. A szo ¨veges leı´ra´s ez esetben sokkal nehe´zkesebb lenne. Hasonlo ´an, egy e´pu ¨ let szerkezete a tervrajz alapja´n ismerhet˝ o meg legko ¨nnyeb-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

12

Prolo ´gus – Mi a matematika?

ben. Zenedarabok megismertete´se´re pedig – eltekintve az e´l˝ o el˝ oada´sto ´l – a kotta a legalkalmasabb eszko ¨z. A matematika ta´rgya´t ke´pez˝ o absztrakt, „forma´lis” minta´zatok e´s struktu ´ ra´k tanulma´nyoza´sa sora´n e´rtelemszer˝ uen a matematika fogalmi e´s jelo ¨le´srendszere´t kell alkalmaznunk. Az o ¨sszeada´s e´s a szorza´s m˝ uvelete´nek leı´ra´sa sora´n pe´lda´ul az algebra jelo ¨le´sei a legmegfelel˝ obbek. A kommutativita´s to ¨rve´nye´t pe´lda´ul szavakkal ekke´ppen fejezhetju ¨ k ki: Ha ke´t sza´mot o ¨sszeadunk, sorrendju ¨knek nincs jelent˝ ose´ge. ´ ltala´ban azonban az ala´bbi szimbolikus kifejeze´smo A ´dot haszna´ljuk:

m + n = n + m. A matematikai minta´zatok to ¨bbse´ge az absztrakcio ´ oly magas foka´t ke´pviseli, hogy a szimbolikus jelo ¨le´sek alkalmaza´sa ne´lku ¨ l a mege´rte´s egyszer˝ uen lehetetlen lenne. A matematika to ¨rte´nete egyu ´ ttal a megfelel˝ o szimbolizmus kerese´se´nek to ¨rte´nete is. A halada ´ s jelei Az algebrai jelo ¨le´smo ´d els˝ o szisztematikus alkalmazo ´ja a Kr. e. 250 ko ¨ru ¨ l Alexandria´ban e´lt Diophantosz, akinek Aritmetika cı´m˝ u e´rtekeze´se (0.1. ´abra), melynek tizenha´rom ko ¨tete´b˝ ol csupa´n hat maradt fenn, az els˝ o algebrai ke´ziko ¨nyv. Diophantosz vezetett be specia´lis jelo ¨le´st az ismeretlenre, a hatva´nyoza´sra, a kivona´sra e´s az egyenl˝ ose´gre. Ba´r napjaink matematikako ¨nyveiben szinte hemzsegnek az absztrakt szimbo ´lumok, ez azonban e´ppu ´ gy nem jelenti a matematika le´nyege´t, mint ahogy a zene valo ´di mibenle´te sem a hangjegyek jelo ¨le´srendszere´ben keresend˝ o (0.2. ´abra). A kotta a zenedarabot csupa´n reprezenta´lja, maga´val a zene´vel akkor tala´lkozunk, amikor valaki a kotta alapja´n ele´nekli, vagy valamely hangszeren elja´tssza. Csak az el˝ oada´s alkalma´val va´lik a zene tapasztalatunk re´sze´ve´, de ekkor is kiza´ro ´lag elme´nkben le´tezik, nem a nyomtatott kottaoldalakon. Ugyanez ´all a matematika´ra: a szimbo ´lumok a matematika´t csupa´n reprezenta´lja´k. A kompetens – ami annyit tesz: matematikailag ke´pzett – olvaso ´ elme´je´ben a matematika e´ppu ´ gy e´letre kel, mint a legszebb szimfo ´nia. A zene e´s a matematika ko ¨zo ¨tti szembeszo ¨k˝ o hasonlo ´sa´g fe´nye´ben a legkeve´sbe´ sem meglep˝ o, hogy sza´mos matematikus figyelemre me´lto ´ zenei ve´na´ro ´l is tanu ´bizonysa´got tesz. A nyugati civiliza´cio ´ to ¨rte´nete´nek mintegy ke´t e´s fe´l e´vezrede alatt a matematika´t e´s a zene´t ugyanazon e´rem ke´t oldala´nak tekintette´k, az ´altala´nos felfoga´s u ´ gy tartotta, hogy az ember mindkett˝ o re´ve´n a mindense´g titkaiba nyer bepillanta´st. A ke´t „m˝ uve´szet” ege´szen a tizenhetedik sza´zadig ke´z a ke´zben ja´rt, mı´gnem a tudoma´nyos mo ´dszer el˝ oreto ¨re´se´vel u ´ tjaik sze´tva´ltak.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A halada´s jelei

13

0.1. a ´ bra. A diophantoszi Aritmetika tizenhetedik sza´zadi latin nyelv˝ u kiada´sa´nak cı´mlapja.

Van azonban egy nagy ku ¨ lo ¨nbse´g. Mid˝ on egy virtuo ´z muzsikus el˝ oadja a megtanult darabot, akkor azt mindenki, aki nem teljesen botfu ¨ l˝ u, ke´pes e´lvezni. A muzsika e´lvezete´hez nem szu ¨ kse´gesek el˝ otanulma´nyok. A matematika azonban kiza´ro ´lag u ´ gy „e´lvezhet˝ o”, ha megtanuljuk, hogy lehet e´letet lehelni a szimbo ´lumokba. A matematikai minta´zatok e´s struktu ´ ra´k e´ppu ´ gy az elme´ben tala´lnak visszhangra, mint a zenei forma´k – az emberekben me´gsem fejl˝ odo ¨tt ki semmife´le „matematikai halla´s”. A matematika csupa´n az „e´rtelem szeme´vel” la´thato ´. Fordı´tott esetben nem le´tezne zenei halla´s, s a zene csupa´n azok sza´ma´ra lenne e´lvezhet˝ o, akik megtanulta´k, mike´nt kell kotta´t olvasni. Az uto ´bbi e´vekben a sza´mı´to ´ge´p-anima´cio ´ e´s a videotechnika fejl˝ ode´se´nek eredme´nyeke´nt a matematika a keve´sse´ ke´pzett ko ¨zo ¨nse´g sza´ma´ra is hozza´fe´rhet˝ ove´ va´lt. A hozza´e´rt˝ o szakember a matematika´t ke´pes „megjelenı´teni” azok sza´ma´ra is, akik ma´sku ¨ lo ¨nben semmit sem e´rtene´nek. S ba´r ez a matematika´nak

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

14

Prolo ´gus – Mi a matematika?

0.2. a ´ bra. A zene, mike´nt a matematika is, az absztrakt struktu ´ ra´k reprezenta´la´sa´ra ku ¨ lo ¨nleges szimbolizmust haszna´l. csak bizonyos re´szteru ¨ letein valo ´sı´thato ´ meg, az ´atlagembert me´giscsak ezen a mo ´don lehet legko ¨nnyebben meggy˝ ozni arro ´l, milyen gyo ¨nyo ¨r˝ use´gben van re´sze a matematikusnak, aki e ne´lku ¨ l is „la´tja” a minta´zatokat. Amikor la ´ tni annyi, mint felfedezni A sza´mı´to ´ge´pes grafika, amellett, hogy segı´t az ´atlagembernek a matematika le´nyege´nek megragada´sa´ban, ne´hanapja´n valo ´di szolga´latokat is tesz a matematikusnak. A komplex dinamikai rendszerek vizsga´lata, amely tudoma´nya´g u ´ tto ¨r˝ oi a francia Pierre Fatou e´s Gaston Julia voltak, a hetvenes e´vek ve´ge´n e´s a nyolcvanas e´vek eleje´n robbana´sszer˝ u fejl˝ ode´sen ment keresztu ¨ l: Benoit Mandelbrot e´s ma´sok ekkor dolgozta´k ki azokat a sza´mı´to ´ge´pes grafikai mo ´dszereket, amelyek segı´tse´ge´vel megjelenı´thette´k azokat a struktu ´ ra´kat, amelyeket francia kolle´ga´ik egykor tanulma´nyoztak. A gyo ¨nyo ¨r˝ u ke´pek o ¨na´llo ´ m˝ uve´szeti ´ag alapjait teremtette´k meg. Ne´mely effe´le struktu ´ ra´t – az alapı´to ´k emle´ke´re – Julia-halmaznak neveznek (0.3. ´abra). A sza´mı´to ´ge´pes grafika egy ma´sik nevezetes alkalmaza´sa 1983-bo ´l valo ´, amikor David Hoffman e´s William Meeks III amerikai matematikusok vadonatu ´j minima´lfelu ¨ letet fedeztek fel (1. szı´nes ta´bla). A minima´lfelu ¨ letekre u ´ gy gondolhatunk, mint ve´gtelenı´tett, „idea´lis” szappanha´rtya´kra, amelyek a lehet˝ o legkisebb felu ¨ letet foglalja´k el. A valo ´di – ve´ges – szappanha´rtya egy dro ´tkereten mindig minima´lfelu ¨ letet alakı´t ki. A matematikusok az effe´le struktu ´ ra´k ve´gtelen, absztrakt analogonjait ma´r ke´tsza´z e´ve vizsga´lta´k, de – Hoffman e´s Meeks

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A szimbo ´lumokban rejt˝ oz˝ o sze´pse´g

15

felfedeze´se´ig – csupa´n ha´rom ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o minima´lfelu ¨ letet ismertek. Ma´ra, ha´la a vizua´lis megjelenı´te´snek, sok-sok u ´ jat fedeztek fel. Az elme´let alapja´t tradiciona´lis, az algebra´bo ´l e´s az analı´zisb˝ ol ko ¨lcso ¨nzo ¨tt technika´k ke´pezik, a sza´mı´to ´ge´pes grafika a matematikusokat e´ppen abban segı´tette, hogy „ke´pet” kapjanak, melyek lehetnek a helyes mo ´dszerek. Az algebrai jelo ¨le´s ne´lku ¨ l matematika nem le´tezhetne. Az ember kognitı´v ke´pesse´gei ilyenek: valamely absztrakt struktu ´ ra azonosı´ta´sa e´s a leı´ra´sa´ra alkalmas szimbolizmus kidolgoza´sa nem va´laszthato ´ el egyma´sto ´l, ugyanazon e´rem ke´t oldala´t ke´pezik. Mid˝ on egy absztrakt objektumot bet˝ uvel, szo ´val vagy ke´ppel jelo ¨lu ¨ nk, azzal arra utalunk, hogy o ¨na´llo ´ entita´sro ´l van szo ´. Ha a „7” sza´mjelet haszna´ljuk a hetes sza´m jelo ¨le´se´re, csak u ´ gy lehetse´ges, hogy ke´pesek vagyunk a hetes sza´mra, mint o ¨na´llo ´ entita´sra gondolni; ha azt mondjuk, jelo ¨ljo ¨n m tetsz˝ oleges ege´sz sza´mot, akkor nyilva´nvalo ´, hogy rendelkezu ¨ nk az ege´sz sza´m fogalma´val. Ha a megfelel˝ o jelo ¨le´st megtala´ljuk, maguk az absztrakt fogalmak is ko ¨nnyebben kezelhet˝ ok. A matematikai szimbolizmus nyelvi-fogalmi aspektusa manapsa´g to ¨bbnyire ha´tte´rbe szorul. Gyakran halljuk, hogy a matematika sokkal e´rthet˝ obb lenne az absztrakt jelo ¨le´srendszer ne´lku ¨ l – ez viszont e´ppen akkora csacsisa´g, mintha u ´ gy ve´lne´nk, Shakespeare m˝ uvei sokkal ko ¨nnyebben e´rthet˝ oek lenne´nek, ha a mindennapok nyelve´n szo ´lna´nak hozza´nk. Az absztrakcio ´ magas foka, s a vizsga´lo ´da´sokban alkalmazott absztrakt jelo ¨le´srendszer sajnos a matematika legto ¨bb – ha nem valamennyi – teru ¨ lete´t o ¨ro ¨kre ele´rhetetlenne´ teszi a nemszakmabeliek el˝ ott. De me´g a legko ¨nnyebben megko ¨zelı´thet˝ o teru ¨ letekr˝ ol is, olyanokro ´l, amilyeneket e ko ¨nyv e´s az ehhez hasonlo ´k ta´rgyalnak, csupa´n hozza´vet˝ oleges ke´pet ta´rhatunk az avatatlanok ele´, a valo ´di sze´pse´get csak re´szlegesen tudjuk visszaadni. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a matematikusok, akik ke´pesek megla´tni a matematikai szimbo ´lumok mo ¨go ¨tt rejl˝ o sze´pse´get, meg sem kı´se´relhetik megosztani emberta´rsaikkal az egyszer˝ use´g, a pontossa´g, a tisztasa´g e´s az elegancia e´rze´se´t, a matematikai minta´zatokban rejl˝ o eszte´tikumot. A szimbo ´ lumokban rejt˝ oz˝ o sze ´pse ´g 1940-ben megjelent, Egy matematikus apolo ´gia´ja cı´m˝ u ko ¨nyve´ben a jeles angol matematikus, G. H. Hardy ko ¨vetkez˝ oket ´rja: ı A matematika minta´zatai, mike´nt a fest˝ ok vagy a ko ¨lt˝ ok minta´zatai, sze´pek, a fogalmaknak e´ppu ´ gy, mint a szı´neknek vagy a szavaknak, harmonikusan kell egyma´shoz kapcsolo ´dniuk. A sze´pse´g az els˝ o krite´rium, a ru ´ t matematika´nak nincs le´tjogosultsa´ga. (. . . ) A matematikai sze´pse´g nem egyko ¨nnyen definia´lhato ´ – de a sze´pse´g ma´s va´lfajai sem. Lehet, hogy nem tudjuk megragadni, miben is rejlik egy vers sze´pse´ge – de a verset olvasva, ke´pesek vagyunk felismerni azt.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

16

Prolo ´gus – Mi a matematika?

0.3. a ´ bra. Julia-halmaz. A sze´pse´g, amelyr˝ ol Hardy besze´l, az esetek tu ´ lnyomo ´ re´sze´ben elvont, bels˝ o sze´pse´g, az absztrakt logikai struktu ´ ra sze´pse´ge, mely csupa´n az avatatott szem el˝ ott ta´rul fel. Bertrand Russell, a hı´res angol filozo ´fus e´s matematikus szerint e sze´pse´g „hideg e´s szigoru ´ ”; 1918-as Miszticizmus ´es logika1 cı´m˝ u ko ¨nyve´ben ezt olvashatjuk: A matematika´t, ha helyesen fogjuk fel, nemcsak igazsa´g, hanem egyszersmind magasrend˝ u sze´pse´g is jellemzi: hideg e´s szigoru ´ , a szobra´szate´hoz hasonlo ´ sze´pse´g, mely nem fordul gyo ¨nge´bb terme´szetu ¨ nk egyetlen re´sze´hez sem, s amely ne´lku ¨ lo ¨zi a feste´szet e´s a zene elka´pra´ztato ´ kelle´keit, viszont fense´gesen tiszta, e´s oly szigoru ´ to ¨ke´lyre ke´pes, amilyent csak a legnagyobb m˝ uve´szet tud felmutatni. A matematika, a minta´zatok tudoma´nya egyfajta „vila´g-ne´zet”, s e „vila´g” a fizikai-biolo ´giai-ta´rsadalmi ku ¨ lvila´got e´ppu ´ gy maga´ba foglalja, mint elme´nk e´s gondolataink bels˝ o vila´ga´t. Legfe´nyesebb sikereit a matematika a fizika teru ¨ lete´n ko ¨nyvelhette el, gyakran emlegette´k a (terme´szet)tudoma´nyok kira´lyn˝ ojeke´nt – vagy azok szolga´lo ´lea´nyake´nt. Mid˝ on azonban a matematika´t tanulma´nyozzuk, egyszersmind o ¨nmagunkat is go ´rcs˝ o ala´ vesszu ¨ k, elve´gre a matematika ´zig-ve ı ´rig emberi alkota´s. A sza´mok, a pontok, az egyenesek e´s a sı´kok, a felu ¨ letek, a geometriai alakzatok e´s a fu ¨ ggve´nyek egyara´nt tiszta absztrakcio ´k, amelyek csupa´n az emberise´g kollektı´v tudata´ban le´teznek, a valo ´ vila´gban elve´tve sem tala´lkozhatunk velu ¨ k. A matematika te´teleinek abszolu ´ t bizonyossa´ga e´s a matematikai 1 Magyar

kiada´sa: Budapest, Helikon, 1976. Ford. Ma´rkus Gyo ¨rgy. Az ide´zet ‘A matematika tanulma´nyoza´sa’ cı´m˝ u ´ra ı ´sbo ´l valo ´, 96–97. o.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A la´thatatlan megjelenı´te´se

17

igazsa´g o ¨ro ¨ke´rve´ny˝ use´ge azt ta´masztja ala´, hogy a matematikai minta´zatok az emberi elme´ben e´ppoly kiemelt fontossa´ggal bı´rnak, mint a fizikai vila´gban. Abban a korszakban, amikor a tudoma´nyos vizsga´lo ´da´s mindenekel˝ ott az e´gbolt tanulma´nyoza´sa´t jelentette, Galilei a ko ¨vetkez˝ oket ´rta: ı A Terme´szet nagy ko ¨nyve csak azok el˝ ott ´all nyitva, akik ismerik a nyelvet, amelyen ´rva ı van: a matematika nyelve´t. A modern korban az e´rdekl˝ ode´s ko ¨ze´ppontja´ba az atomi jelense´gek keru ¨ ltek, s e pozı´cio ´jukat nemzede´keken keresztu ¨ l meg is tartotta´k. Galilei hitvalla´sa azonban e´rve´nyben maradt: John Polkinhorne, cambridge-i fizikus szerint: A matematika az absztrakt kulcs, amely az univerzum kapuja´t nyitja. Az informa´cio ´, a kommunika´cio ´ e´s a sza´mı´to ´ge´pek kora´ban a matematika´nak u ´ jabb e´s u ´ jabb za´rak nyitja´t kell megtala´lnia. Nincs e´letu ¨ nknek olyan teru ¨ lete, amelyre a matematika – kisebb vagy nagyobb me´rte´kben – ne lenne hata´ssal. Az ´altala tanulma´nyozott absztrakt minta´zatok a gondolkoda´snak, a kommunika´cio ´nak, a sza´mı´ta´studoma´nynak, a ta´rsadalomnak, de maga´nak az e´letnek is a le´nyegi vona´sait ragadja´k meg. A la ´ thatatlan megjelenı´te ´se A „mi a matematika?” ke´rde´sre teha´t „a matematika a minta´zatok tudoma´nya” szlogennel va´laszoltunk. Hasonlo ´ frappa´ns va´lasz adhato ´ a matematika le´nyege´t e´rint˝ o ma´sik alapvet˝ o ke´rde´sre is, amely ´gy ı szo ´l: mivel foglalkozik a matematika?, mit is nyeru ¨ nk akkor, ha valamely absztrakt struktu ´ ra´t a matematika eszko ¨zeivel tanulma´nyozunk? A va´lasz: a matematika a la´thatatlant jelenı´ti meg. Hadd illusztra´ljam ezt ne´ha´ny pe´lda´val. Matematika ne´lku ¨ l soha nem e´rtene´nk meg, mi tartja a jumbo jetet a magasban. Mindannyian tudjuk, hogy nagyme´ret˝ u, fe´mb˝ ol ke´szu ¨ lt ta´rgyak nem marad˝ket. Amikor azonban a ge´p nak fenn a leveg˝ oben ane´lku ¨ l, hogy valami tartana´ o felsza´ll, alatta semmi nem la´thato ´, ami felemelhetne´. E „la´thatatlant” a tizennyol˝ neve´t visel˝ cadik sza´zadban Daniel Bernoulli ´altal felfedezett – s az o o – egyenlet jelenı´ti meg. S amikor a repu ¨ l˝ oge´pen utazunk, mi az oka, hogy minden elejtett ta´rgy, amelyet semmi nem tart a leveg˝ oben – az egy repu ¨ l˝ oge´pet lesza´mı´tva – azonnal leesik? Ke´szek vagyunk a va´lasszal: a gravita´cio ´. Ezzel azonban csak nevet adtunk a jelense´gnek, amivel a mege´rte´shez nem keru ¨ ltu ¨ nk ko ¨zelebb. Azt is mondhattuk volna: „vara´zslat”. A gravita´cio ´ mege´rte´se´hez „la´tnunk” kell – s Newton to ¨rve´nyei pontosan ebben vannak segı´tse´gu ¨ nkre. A tizenhetedik sza´zadbo ´l valo ´ newtoni matematika „megmutatja”, milyen er˝ o hata´sa´ra kering a Fo ¨ld a Nap ko ¨ru ¨ l, s mie´rt esik le az ´erett alma a fa´ro ´l.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

18

Prolo ´gus – Mi a matematika?

Bernoulli e´s Newton egyenletei egyara´nt a matematikai analı´zis eszko ¨zta´ra´t haszna´lja´k. Az analı´zis pedig a ve´gtelen kicsiny mennyise´gek, teha´t megint valami la´thatatlan megjelenı´te´se. Egy ma´sik pe´lda. Ke´t e´vezreddel az u ˝rkorszak beko ¨szo ¨nte el˝ ott Eratoszthene´sz, a hı´res go ¨ro ¨g matematikus-csillaga´sz a matematika eszko ¨zeivel bizonyı´totta be, hogy a Fo ¨ld go ¨mbo ¨ly˝ u. Mi to ¨bb, bolygo ´nk ´atme´r˝ oje´t is meghata´rozta, legala´bb 90% pontossa´ggal. Napjainkban ehhez foghato ´ tudoma´nyos eredme´nyt ko ¨nyvelhetne´nk el, ha ke´pesek lenne´nk mega´llapı´tani, vajon go ¨rbu ¨ lt-e az univerzum. A matematika e´s a hatalmas ta´vcso ¨vek segı´tse´ge´vel az univerzum ta´voli szegleteit is „la´tjuk”, s sza´mos csillaga´sz van azon a ve´leme´nyen, hogy hamarosan eljo ¨n a nap, amikor ba´rmely te´rid˝ obeli go ¨rbu ¨ letet pontosan meg tudunk majd hata´rozni. Ennek jelent˝ ose´ge´t pedig nemigen lehetne eltu ´ lozni. Ha ismerne´nk a szo ´ban forgo ´ go ¨rbu ¨ let pontos e´rte´ke´t, egyu ´ ttal bepillanta´st nyerne´nk az univerzum to ¨rte´nete´nek kezdeti szakasza´ba, „megjelenı´tve” ezzel a Nagy Bumm o ¨ro ¨kre a mu ´ lt titokzatos homa´lya´ba t˝ unt pillanatait. Te´rju ¨ nk vissza azonban a jelenbe. Hogyan „tehetne´nk la´thato ´va´”, mi is az, aminek ko ¨zvetı´te´se´vel a va´ros ma´sik re´sze´n ja´tszott focimeccs egyszerre csak megjelenik televı´zio ´nk ke´perny˝ oje´n? A va´lasz megint ke´szen ´all: specia´lis elektroma´gneses ra´dio ´hulla´mok ja´tssza´k a hı´rviv˝ o szerepe´t. Ezzel azonban, pontosan u ´ gy, ahogy a gravita´cio ´ esete´ben, nem mondunk to ¨bbet egy puszta ne´vne´l, s atto ´l, hogy valamely jelense´gcsoportnak hangzatos nevet adunk, az me´g nem va´lik automatikusan „la´thato ´va´”. A la´thatatlan ra´dio ´hulla´mokat Maxwell tizenkilencedik sza´zadban felfedezett egyenletei „mutatja´k meg” valo ´di mivoltukban. Tova´bbi minta´zatok, melyeket a matematika jelenı´t meg: – A go ¨ro ¨go ¨k matematikai eszko ¨zo ¨kkel ragadta´k meg a ku ¨ lo ¨nfe´le zenei minta´zatokat. – A dra´mai el˝ oada´s bizonyos absztrakt vona´sait Arisztotele´sz matematikai pe´lda´kkal illusztra´lta. – Az 1950-es e´vekben Noam Chomsky matematikai eszko ¨zo ¨kkel vizsga´lta a szavak azon absztrakt minta´zatait, amelyek alapja´n az e´rtelmes mondatokat mindannyian felismerju ¨ k. Az antropolo ´gia hata´rteru ¨ leteke´nt sza´mon tartott nyelve´szet ezzel egy csapa´sra igazi, egzakt tudoma´nnya´ va´lt. Ve´gu ¨ l, de nem utolso ´sorban a matematika arra is ke´pesse´ tesz minket, hogy la´ssuk, mit hoz a jo ¨v˝ o: – A valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s e´s a statisztika segı´tse´ge´vel a va´laszta´sok eredme´nyei megdo ¨bbent˝ o pontossa´ggal megjo ´solhato ´k. – A matematikai analı´zis a holnapi id˝ oja´ra´s kisza´mı´ta´sa´ban is segı´tse´gu ¨ nkre van. – A piacelemz˝ ok ku ¨ lo ¨nfe´le matematikai eszko ¨zo ¨ket felhaszna´lva pro ´ba´lja´k kisza´mı´tani az ´arfolyammozga´sokat.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A la´thatatlan univerzum

19

– A biztosı´to ´ta´rsasa´gok u ´ jfent a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s e´s a statisztika mo ´dszereivel becslik meg az eljo ¨vend˝ o e´vekben beko ¨vetkez˝ o balesetek sza´ma´t, s dı´jaikat ezekhez a becsu ¨ lt adatokhoz igazı´tja´k. A jo ¨v˝ o is egyfajta „la´thatatlan”, amelynek megjelenı´te´se a matematika ne´lku ¨ l lehetetlen lenne. Jo ´slataink persze nem mindig va´lnak be, el˝ orejelze´seink nem mentesek a te´vede´sekt˝ ol. A matematika ne´lku ¨ l azonban me´g ennyire sem lenne´nk ke´pesek. A la ´ thatatlan univerzum Vila´gunk a modern technika vila´ga. A fo ¨ldkerekse´g minden pontja´n hidak, felh˝ okarcolo ´k e´s ta´vvezete´kek e´pu ¨ lnek, az utakon auto ´k sza´guldanak, az e´gen repu ¨ l˝ oge´pek sza´llnak. A kommunika´cio ´ egykor a felek fizikai ko ¨zelse´ge ne´lku ¨l lehetetlen volt – manapsa´g matematikailag ko ´dolt, digita´lis jelekke´ alakı´tott u ¨ zeneteink a fe´ny sebesse´ge´vel sza´guldanak az optikai ka´belekben e´s az e´terben. A matematikai alapokon m˝ uko ¨d˝ o sza´mı´to ´ge´pek e´letu ¨ nk minden teru ¨ lete´n jelen vannak: nem csupa´n az ´ro ı ´asztalunkon, de mikrohulla´mu ´ su ¨ t˝ onkben, auto ´nkban, a gyerekja´te´kokban e´s a szı´vritmus-szaba´lyozo ´ berendeze´sekben. A statisztika mo ´dszerei befolya´solja´k, mit fogunk enni, melyik m˝ usort ne´zhetju ¨ k meg a televı´zio ´ban, s mely politikusokra nyı´lik majd lehet˝ ose´gu ¨ nk szavazni a legko ¨zelebbi va´laszta´son. Az ipari korszak f˝ o energiaforra´sait a ge´pekben ele´getett fosszilis tu ¨ zel˝ ok nyu ´ jtotta´k – az informa´cio ´s ta´rsadalom kora´ban a rendszert mozga´sban tarto ´ legfontosabb „u ¨ zemanyag”: a matematika. S miko ¨zben a matematika egyre inka´bb ´athatja e´letu ¨ nket, lassan teljesen elt˝ unik szem el˝ ol, egyfajta la´thatatlan univerzumke´nt ta´mogatva u ¨ gyes-bajos dolgainkat. Mike´nt minden terme´szeti jelense´g la´thatatlan er˝ ok hata´sa´nak van ala´vetve, a modern kor embere is egy la´thatatlan univerzum polga´ra: ezt a mindense´get a matematika teremtette, to ¨rve´nyei a matematika mu ´ lhatatlan szaba´lyai. E ko ¨nyv utaza´sra hı´vja az Olvaso ´t: ne´zzen ko ¨ru ¨ l e la´thatatlan univerzumban. Megla´tja, mike´nt ta´rhatja´k fel o ¨nno ¨n eszko ¨zei e la´thatatlan vila´g titkait, u ´ gy e´rzi majd maga´t, mint egy ta´voli, ismeretlen fo ¨ldre´szre te´vedt utazo ´. De legyen e vide´k me´goly ku ¨ lo ¨no ¨s, me´gsem messzi-messzi ta´j: mindannyian itt e´lu ¨ nk.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

1. fejezet

A sza ´ mokkal sza ´ molnunk kell

Sza ´ molunk A sza´mok – s sza´mokro ´l szo ´lva e fejezetben mindig ege´sz sza´mokra gondolunk – a minket ko ¨ru ¨ lvev˝ o vila´g bizonyos minta´zatainak felismere´se´b˝ ol erednek: ilyenek az „egy-se´g”, a „kett˝ o-se´g”, a „ha´rom-sa´g” minta´zatai. Hogy mi is voltake´ppen a „ha´rom-sa´g”, akkor e´rtju ¨ k meg, amikor felismerju ¨ k, mi az a ko ¨zo ¨s elem, amellyel ha´rom alma´t, ha´rom gyermeket, ha´rom labda´t vagy ha´rom kavicsot szemu ¨ gyre ve´ve tala´lkozunk. A szu ¨ l˝ o aka´r meg is ke´rdezhetne´ kisgyermeke´t, ra´mutatva ha´rom-ha´rom alma´ra, cip˝ ore, keszty˝ ure vagy ja´te´kauto ´ra: „La´tod-e ma´r a minta´zatot?” A sza´mjelek (1, 2, 3, . . . ) ezek felismere´se´t e´s megragada´˝k maguk is absztrakt sa´t tu ¨ kro ¨zik, s mike´nt az ´altaluk reprezenta´lt minta´zatok, o objektumok. A vila´g bizonyos minta´zatait tu ¨ kro ¨z˝ o sza´mfogalom megragada´sa ro ¨gvest teret nyit egy u ´ jabb, ma´r tiszta´n matematikai terme´szet˝ u minta´zat fele´: a sza´mok nagysa´grendbe ´allı´thato ´k, olyan sorba, amelyben minden sza´m eggyel nagyobb az el˝ otte ´allo ´na´l: 1, 2, 3, . . . A matematikusok ezen felu ¨ l ma´s, bonyolultabb minta´zatokat is vizsga´lnak: pa´ros e´s pa´ratlan, prı´m- e´s o ¨sszetett sza´mokro ´l, teljes ne´gyzetekr˝ ol besze´lnek, s olyan ku ¨ lo ¨nleges sza´mokro ´l, amelyek bizonyos egyenl˝ ose´geket ele´gı´tenek ki. E minta´zatok ke´pezik a sza´melme´let ta´rgya´t. Amit manapsa ´ g tud minden o ´ voda ´s Fejlett nyugati kultu ´ ra´nkban gyermekeink ma´r o ¨te´ves koruk ko ¨rnye´ke´n megteszik azt a kognitı´v szempontbo ´l alapvet˝ o jelent˝ ose´g˝ u le´pe´st, amelyhez az emberise´g csak sok-sok e´vezredes fejl˝ ode´s uta´n jutott csak el: a sza´mfogalom elsaja´tı´ta´sa´ra gondolunk. A gyermek felismeri, hogy van valami ko ¨zo ¨s a – mondjuk – o ¨t alma´bo ´l, narancsbo ´l, gyerekb˝ ol, su ¨ teme´nyb˝ ol vagy kavicsbo ´l ´allo ´ „o ¨sszesse´gek-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

22

A sza´mokkal sza´molnunk kell

ben”, s megtanulja, hogy e ko ¨zo ¨s elemet, az „o ¨t-se´get” az 5-o ¨s sza´mmal ragadjuk meg, olyan absztrakt entita´ssal, amelyet sohasem la´tott, nem is hallott, szagolt, ´zlelt ı vagy tapintott, me´gis, e´lete ha´trale´v˝ o re´sze´ben mindve´gig meghata´rozott le´tez˝ oke´nt fog kezelni. Mi to ¨bb, a sza´mok e´letu ¨ nkben oly fontos szerepet ja´tszanak, hogy sokunk szeme´ben a Mount Everestne´l e´s a Taj Mahalna´l is valo ´sa´gosabb e´s konkre´tabb – de mindenesetre hozza´nk ko ¨zelebbi – le´tez˝ ok. A sza´mfogalom kialakı´ta´sa az utolso ´ le´pe´st jelenti „egy adott o ¨sszesse´g tagjainak sza´ma” felismere´si folyamata´ban. E minta´zat to ¨ke´letesen absztrakt – olyanynyira az, hogy nem is lehet ma´ske´pp megragadni, csak az absztrakt sza´m-terminusok segı´tse´ge´vel. Pro ´ba´ljuk csak megmagyara´zni, mit is jelent, ha egy adott o ¨sszesse´g huszono ¨t tagot sza´mla´l – ane´lku ¨ l, hogy a 25-o ¨s sza´mra hivatkozna´nk! (Kisebb elemsza´m esete´n me´g haszna´lhatjuk ujjainkat is, az 5-tagu ´ sa´got pe´lda´ul kifejezhetju ¨k u ´ gy, hogy kezu ¨ nk valamennyi ujja´t felmutatva azt mondjuk: „Ennyi”.) Az absztrakcio ´ az emberi elme´t˝ ol komoly er˝ ofeszı´te´seket ige´nyel. Ha va´laszthatunk, valamennyien a konkre´tat re´szesı´tju ¨ k el˝ onyben az absztrakttal szemben. A pszicholo ´gusok e´s az antropolo ´gusok kutata´sai szerint az absztrakcio ´ ke´pesse´ge kora´ntsem velu ¨ nk szu ¨ letett adottsa´g, sza´mottev˝ o nehe´zse´gek ´ara´n saja´tı´tjuk csak el, s e´ppen ez intellektua´lis fejl˝ ode´su ¨ nk do ¨nt˝ o momentuma. Jean Piaget-nek, a kognitı´v pszicholo ´gia egyik legjelesebb ke´pvisel˝ oje´nek kutata´sai igazolta´k, hogy a te´rfogat absztrakt fogalma´t a gyermekek tanula´s u ´ tja´n saja´tı´tja´k el, igaz, ma´r fejl˝ ode´su ¨ k ege´sz korai szakasza´ban. A kisgyerek nem ismeri fel, hogy egy hosszu ´ , ve´kony u ¨ vegbe pontosan annyi folyade´k fe´rhet, mint egy keve´sbe´ magas, ´am sze´les ede´nybe, me´g akkor sem, ha saja´t szeme´vel la´tja, amint valaki az egyik u ¨ veg tartalma´t a ma´sikba o ¨nti. Meglehet˝ osen soka´ig u ´ gy gondolja, ilyenkor a folyade´k mennyise´ge va´ltozik meg, „elve´gre” a magasabb ede´ny u ˝rtartalma mindenke´ppen nagyobb. . . ´ gy t˝ U unik, az absztrakt sza´mfogalomra is tanula´s u ´ tja´n teszu ¨ nk szert. A kisgyerekek csak azuta´n saja´tı´tja´k el, miuta´n megtanultak sza´mla´lni. Hogy a sza´mfogalom nem velu ¨ nk szu ¨ letett, meggy˝ oz˝ oen ala´ta´masztja´k azok a vizsga´latok, amelyeket a modern vila´gto ´l elza´rtan fejl˝ od˝ o kultu ´ ra´kban folytattak. A Sri Lanka-i vedda to ¨rzs tagjai pe´lda´ul, ha meg akarja´k sza´molni, ha´ny ko ´kuszdio ´juk van, vesznek egy halom pa´lcika´t, s pa´rba ´allı´tja´k a dio ´kkal. Minden egyes pa´lcika´na´l ´gy ı szo ´lnak: „Ez is egy”. Ha megke´rdezzu ¨ k, ha´ny dio ´juk van, ra´mutatnak a pa´lcikako ¨tegre, s azt mondja´k: „Ennyi”. A to ¨rzs sza´mla´lo ´rendszere teha´t nem az absztrakt sza´mfogalmon, hanem nagyon is konkre´t ta´rgyakon alapul. A vedda´k rendszere a leg˝ osibb id˝ okre vezethet˝ o vissza: valamely mennyise´g elemsza´ma´t egy ma´sik – mondjuk pa´lcika´kbo ´l vagy kavicsokbo ´l ´allo ´–o ¨sszesse´g tagjaival valo ´ pa´rba ´allı´ta´s u ´ tja´n azonosı´tja´k.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Babszemnyi le´pe´sek

23

Babszemnyi le ´pe ´sek A legkora´bbi fennmaradt sza´mla´lo ´eszko ¨zo ¨k feltehet˝ oen a Kr. e. 35 000 ko ¨ru ¨ li id˝ okb˝ ol sza´rmazo ´ rova´tkolt csontok. Ezek ko ¨zu ¨ l ne´melyiket Hold-napta´rke´nt haszna´lta´k, a rajtuk le´v˝ o rova´tka´k szimboliza´lta´k a Hold ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o fa´zisait. A ko ¨lcso ¨no ¨s egye´rtelm˝ u megfeleltete´sen alapulo ´ sza´mla´la´s az ´ra ı ´st nem ismer˝ o kultu ´ ra´kban gyakran haszna´lt mo ´dszer: sza´mos afrikai kira´lysa´gban kavicsokat e´s kagylo ´kat, mı´g az u ´ jvila´gban kakao ´babot, kukorica-, bu ´ za- vagy rizsszemeket haszna´ltak ilyen ce´lra. Az effe´le rendszerek ha´tulu ¨ t˝ oje, hogy bizonyos adatokat nem ke´pesek elrakta´rozni. Rova´tka´k vagy kavicsok alkalmasak ugyan a puszta mennyise´g jelze´se´re, de az ma´r nem olvashato ´ ki bel˝ olu ¨ k, mi is az, amit me´rnek – hosszu ´ ta´von enne´lfogva nemigen haszna´lhato ´k informa´cio ´-ta´rola´sra. Az els˝ o ismert rendszert, amely felu ¨ lkerekedett ezen a nehe´zse´gen, a Ko ¨zel-Keleten, a mai Szı´ria e´s Ira´n teru ¨ lete´n vira´gzott folyamvo ¨lgyi ta´rsadalmakban fejlesztette´k ki. A Texasi Egyetemen (Austin) dolgozo ´ antropolo ´gus, Denise Schmandt-Besserat a hetvenes e´s a nyolcvanas e´vekben alapos vizsga´latnak vetette ala´ azokat az agyagta´rgyakat, amelyek a ko ¨zel-keleti ´asata´sokon keru ¨ ltek napvila´gra. A megszokott agyagede´nyek, -te´gla´k e´s szobrocska´k mellett Schmandt-Besserat valamennyi lel˝ ohelyen tala´lkozott apro ´, 1–3 cm ´atme´r˝ oj˝ u, finoman megmunka´lt, – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt – go ¨mb, korong, ku ´ p, tetrae´der, toja´s, henger, ha´romszo ¨g e´s ne´gyszo ¨g alaku ´ agyagta´rgyakkal (l. az 1.1. ´abra´t). A legkora´bbi ilyen leletek hozza´vet˝ olegesen Kr. e. 8000-re data´lhato ´k, vagyis keve´ssel a fo ¨ldm˝ uvele´s megjelene´se uta´ni id˝ okre, amikor az ember el˝ oszo ¨r szembesu ¨ lt az arata´s megterveze´se´nek e´s a rakta´roza´s megszerveze´se´nek szu ¨ kse´gesse´ge´vel. A mez˝ ogazdasa´g megszerveze´se olyan eszko ¨zo ¨ket ige´nyel, amelyek lehet˝ ove´ teszik a ke´szletek nyilva´ntarta´sa´t, a terveze´st e´s a javak csere´je´t. A SchmandtBesserat ´altal vizsga´lt agyagalakzatok feltehet˝ oen e ce´lbo ´l ke´szu ¨ ltek, s alakjuk jelezte, mi is az, aminek a mennyise´ge´t sza´mon tartja´k. Alapos okunk van felte´telezni pe´lda´ul, hogy a henger alaku ´ ta´rgyakat ´allatok sza´mla´la´sa´ra haszna´lta´k, a ku ´ pok e´s a go ¨mbo ¨k gabonafe´le´k mennyise´ge´t me´rte´k (el˝ obbi valo ´szı´n˝ uleg egy vo ¨do ¨r, uto ´bbi egy ve´ka magot reprezenta´lt), a ko ¨rlemez pedig egy ege´sz nya´jat szimboliza´lt. A rendszer nem csupa´n a ke´szletek nyilva´ntarta´sa´t ko ¨nnyı´tette meg, de a terveze´st e´s a csere´t is nagy me´rte´kben egyszer˝ usı´tette. Kr. e. 6000-re az agyagta´rgyakkal valo ´ sza´mola´s az ege´sz te´rse´gben ko ¨zkelet˝ uve´ va´lt, s a rendszer mintegy ha´rom e´vezreden keresztu ¨ l le´nyege´ben va´ltozatlan maradt. Ezt ko ¨vet˝ oen ment ve´gbe a „va´rosiasoda´s forradalma”, a sume´rok mege´pı´tette´k az els˝ o templomokat, kialakult a korma´nyza´s rendszere – mindez az arzena´l jelent˝ os finomı´ta´sa´hoz vezetett. Az u ´ jabb sza´mla´lo ´eszko ¨zo ¨k ma´r nagyobb formai va´ltozatossa´got mutatnak, megjelenik a romboid-, a karika- e´s a parabolaalak, s valamennyibe ku ¨ lo ¨nfe´le jeleket ve´snek. Az egyszer˝ ubb tı´pusok a mez˝ ogazdasa´gi u ¨ gyletekben tova´bbra is haszna´latban maradtak, az u ´ jabbakat bizonya´ra

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

24

A sza´mokkal sza´molnunk kell

1.1. a ´ bra. Az Ira´n teru ¨ lete´n fekv˝ o Susa va´rosa´ban tala´lt agyagta´rgyak, amelyeket a folyamvo ¨lgyi ta´rsadalmakban mez˝ ogazdasa´gi nyilva´ntarta´sokban haszna´ltak. Fent: Specia´lis darabok, amelyek (fels˝ o sor, balro ´l jobbra) 1 juhot, 1 egyse´gnyi olajat (?), 1 egyse´gnyi mennyise´get valamely fe´mb˝ ol, 1 o ¨lto ¨zet ruha´t, (also ´ sor) 1 o ¨lto ¨zet ma´sfe´le ruha´t, 1 ismeretlen ´arucikket e´s 1 adag me´zet reprezenta´lnak. Mind hozza´vet˝ olegesen a Kr. e. 3300 ko ¨ru ¨ li id˝ okb˝ ol valo ´. Ko ¨ze´pen: Jelze´sekkel ella´tott „agyagborı´te´k” e´s tartalma, Kr. e. 3300 ko ¨ru ¨ l. Lent: Gabonanyilva´ntarta´sra haszna´lt agyagta´bla, Kr. e. 3100 ko ¨ru ¨ l.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Babszemnyi le´pe´sek

25

ke´zm˝ uipari terme´kek – ruhanem˝ uk, fe´mta´rgyak, olajta´rolo ´ ede´nyek, pe´ka´ruk – nyilva´ntarta´sa´ra vezette´k be. Minden ke´szen ´allt a ko ¨vetkez˝ o nagyobb le´pe´s megte´tele´hez. A Kr. e. 3300 e´s 3250 ko ¨zo ¨tti id˝ oszakban fejl˝ odo ¨tt ki az ´allami bu ¨ rokra´cia rendszere, ezzel pa´rhuzamosan az agyagsza´mla´lo ´k rakta´roza´sa´nak ke´t mo ´dja terjedt el. A jobban megmunka´lt, jelze´sekkel ella´tott darabokat ko ¨ze´pen kilyukasztotta´k, s egy zsinegre f˝ uzte´k, amelyet agyagkeretre er˝ osı´tettek. A keretre jegyezte´k fel, hogy a kimutata´s mely te´tele´nek mennyise´ge´r˝ ol van szo ´. Az egyszer˝ u sza´mla´lo ´kat 5–7 cm ´atme´r˝ oj˝ u za´rt agyagede´nyekben ta´rolta´k, s ezeket szinte´n azonosı´to ´ jellel la´tta´k el. Mind a felf˝ uzo ¨tt, mind a „lepecse´telt agyagborı´te´kban” ta´rolt sza´mla´lo ´k alkalmasak voltak aka´r nyilva´ntarta´sra, aka´r szerz˝ ode´sek ro ¨gzı´te´se´re. Az uto ´bbi mo ´dszer su ´ lyos ha´tulu ¨ t˝ oje, hogy a tartalom megismere´se´hez a „borı´te´kot” mindenke´ppen o ¨ssze kell to ¨rni. A sume´rok elme´s ko ¨nyvel˝ oi eze´rt azt a foga´st alkalmazta´k, hogy leza´ra´skor a me´g puha „borı´te´kot” ku ¨ ls˝ o jelze´sekkel is ella´tta´k. A „borı´te´k” tartalma ezuta´n to ¨ke´letesen elveszı´tette jelent˝ ose´ge´t, elve´gre a ku ¨ lcsı´n minden szu ¨ kse´ges informa´cio ´t tartalmazott. Az agyagsza´mla´lo ´k feleslegesse´ va´ltak, s valo ´ban, a ne´ha´ny genera´cio ´val ke´s˝ obbi ´rnokok ı ma´r nem is alkalmazta´k ˝ket. Megszu o ¨ letett a korszakalkoto ´ tala´lma´ny: az agyagta´bla, amely a ra´nyomott jelek ´altal mindazon informa´cio ´t ke´pes volt ta´rolni, amelyeket addig csupa´n a reprezenta´cio ´ mo ´dszere´vel tudtak ro ¨gzı´teni. Modern kifejeze´ssel szo ´lva, a sume´r ´rnokok ı a fizikai ta´rgyakkal valo ´ pa´rba ´allı´ta´son alapulo ´ rendszerr˝ ol ´atte´rtek az ´rott ı sza´mjeleket alkalmazo ´ sza´mla´la´sra. Figyelemre me´lto ´, hogy a sume´rok nem ´alltak ´at nyomban az agyagta´bla´s mo ´dszerre, hanem hosszu ´ ideig haszna´lta´k a ke´tfe´le nyilva´ntarta´s – nyilva´nvalo ´an redunda´ns – kombina´cio ´ja´t. A gabona mennyise´ge´t, a juhok sza´ma´t e´s hasonlo ´kat a „borı´te´k” tartalma reprezenta´lta, a ku ¨ ls˝ o jelze´s azonban nem e valo ´sa´gos mennyise´geket, hanem azok reprezenta´cio ´ja´t, teha´t a „borı´te´k” tartalma´t szimboliza´lta. Hogy a tiszta´n fizikai reprezenta´cio ´ro ´l az absztrakt jelo ¨le´sre valo ´ ´atte´re´s ilyen hosszu ´ id˝ ot vett ige´nybe, ugyancsak azt jelzi, hogy valo ´ban le´nyeges, kognitı´v szempontbo ´l do ¨nt˝ o jelent˝ ose´g˝ u le´pe´sr˝ ol van szo ´. Nyilva´nvalo ´ persze, hogy valamely gabonamennyise´g szimbolikus reprezenta´cio ´ja o ¨nmaga´ban me´g nem vezet automatikusan a modern e´rtelemben vett sza´mfogalomhoz, nem jelenti teha´t azt, hogy a sza´mokat „dolgokke´nt”, „absztrakt objektumokke´nt” kezelte´k volna. Hogy az emberise´g pontosan mikor tette meg e do ¨nt˝ o le´pe´st, e´ppolyan nehe´z meghata´rozni, mint azt, hogy egy kisgyerek kognitı´v fejl˝ ode´se´ben az analo ´g mozzanat melyik id˝ oszakra esik. Annyi mindenesetre bizonyos, hogy mid˝ on az agyagfigura´kkal valo ´ sza´mola´ssal szakı´tottak, a sume´r ta´rsadalom e´lete´ben az „egy-se´g”, a „kett˝ o-se´g”, a „ha´rom-sa´g” stb. fogalma ku ¨lo ¨nleges jelent˝ ose´gre tett szert: az agyagta´bla´kra ve´sett jelek ugyanis e fogalmak szimbolikus ´abra´zola´sai.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

26

A sza´mokkal sza´molnunk kell

Szimbolikus fejl˝ ode ´s Egy dolog az, ha egy ta´rsadalom, mint a sume´roke´, rendelkezik a sza´mı´ra´s rendszere´vel, s azt sza´mla´la´sra e´s nyilva´ntarta´sra haszna´lja, s megint ma´s a sza´mfogalom megragada´sa s a sza´mok ku ¨ lo ¨nfe´le tulajdonsa´gainak rendszeres vizsga´lata, ro ¨viden: a sza´mok tudoma´nya´nak megalkota´sa. Uto ´bbi csupa´n a fejl˝ ode´s egy jo ´val ke´s˝ obbi szakasza´nak eredme´nye, annak a korszaknak, amelyben az ember el˝ oszo ¨r kezdett olyasfe´le intellektua´lis vizsga´lo ´da´sokba, amelyeket manapsa´g tudoma´ny ne´ven tartunk sza´mon. A matematikai szaba´lyok alkalmaza´sa e´s az azoknak engedelmesked˝ o entita´sok explicit felismere´se ko ¨zo ¨tti ku ¨ lo ¨nbse´get egy pe´lda´n szemle´ltethetju ¨ k. A sza´mla´la´s egyse´geinek – amelyekre ett˝ ol kezdve a modern terminolo ´gia´t haszna´lva, mint a terme´szetes sza´mokra hivatkozom – o ¨sszeada´sa e´s szorza´sa sora´n la´tjuk e´rve´nyesu ¨ lni a ko ¨vetkez˝ o szaba´lyokat, amelyeket algebrai jelo ¨le´ssel az ala´bbi, ko ¨nnyen kezelhet˝ o formula´k ro ¨gzı´tenek:

m + n = n + m,

m · n = n · m.

Az m e´s az n szimbo ´lumok a fenti azonossa´gokban ba´rmely ke´t terme´szetes sza´m helyett ´allhatnak. Ez a fajta jelo ¨le´s alapvet˝ oen ku ¨ lo ¨nbo ¨zik atto ´l, ahogyan a kommutatı´v to ¨rve´nyek egy-egy esete´t ro ¨gzı´tju ¨ k:

3 + 8 = 8 + 3,

3 · 8 = 8 · 3.

Az uto ´bbi nem to ¨bb egyszer˝ u megfigyele´sne´l, amely ke´t konkre´t sza´m o ¨sszeada´sa´ra e´s szorza´sa´ra vonatkozik, a babiloni e´s az egyiptomi matematika tipikus eredme´nyei mind ilyenek. Ehhez terme´szetesen ismernu ¨ nk kell az egyes absztrakt sza´mokat, a 3-at e´s a 8-at legala´bbis felte´tlenu ¨ l, nem felte´telezi azonban, mike´nt a kommutativita´s ´altala´nos szaba´lya, az absztrakt sza´mfogalom ismerete´t. Kr. e. 2000 ko ¨ru ¨ l mind a babiloniak, mind az egyiptomiak kifejlesztette´k a maguk primitı´v sza´mı´ra´sa´t, s sza´mos geometriai – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt ha´romszo ¨gekre e´s gu ´ la´kra vonatkozo ´ – megfigyele´st tettek. Bizonya´ra tiszta´ban voltak az o ¨sszeada´s e´s a szorza´s kommutativita´sa´val, abban az e´rtelemben legala´bbis, hogy a sza´mok ilyete´n viselkede´se´t jo ´l ismerte´k, s a he´tko ¨znapi sza´mı´ta´sokban gyakorta fel is haszna´lta´k. Amikor azonban leı´rta´k, mike´nt kell elve´gezni egy adott m˝ uveletsorozatot, sohasem haszna´lta´k az absztrakt algebrai jeleket, mint amilyen a fenti m vagy n. Ehelyett minden alkalommal konkre´t sza´mokra hivatkoztak, holott az esetek to ¨bbse´ge´ben nyilva´nvalo ´, hogy a pe´lda´ban szerepl˝ o sza´mok helye´be tetsz˝ oleges ma´sikat is beı´rhatunk. A Kr. e. 1850 ko ¨ru ¨ li e´vekb˝ ol, Egyiptombo ´l sza´rmazo ´ Moszkvai Papiruszon pe´lda´ul a ko ¨vetkez˝ o mo ´dszert olvashatjuk egy ne´gyzet alapu ´ csonka gu ´ la (olyan gu ´ la, amelyet egy, az alapja´val pa´rhuzamos sı´kkal elmetszettu ¨ nk – l. az 1.2. ´abra´t) te´rfogata´nak kisza´mı´ta´sa´ra:

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Szimbolikus fejl˝ ode´s

27

1.2. a ´ bra. Csonka gu ´ la. Azt a feladatot kapod: egy csonka gu ´ la magassa´ga 6, alaplapja oldalhossza 4, fed˝ olapja´e´ 2, mekkora a te´rfogata? Ne´gyzetre emeled a 4-et, az eredme´ny 16. Veszed a 4 ke´tszerese´t, kapsz 8-at. Ne´gyzetre emeled a 2-t, az eredme´ny ¨ sszeadod a 16-ot, a 8-at e´s a 4-et, az eredme´ny 28. Veszed a 6 harmada´t, 4. O ez 2. Megszorzod a 28-at 2-vel, az eredme´ny 56. A megolda´s teha´t 56. Ha ezt kaptad, jo ´l sza´molta´l. Ba´r az utası´ta´s-sorozatot konkre´t sza´mokon hajtjuk ve´gre, jelent˝ ose´ge´t me´gis az adja, hogy a feladatban szerepl˝ o sza´mok helye´be az olvaso ´ szabadon behelyettesı´thet tetsz˝ oleges ma´s sza´mokat. Modern jelo ¨le´st alkalmazva, az o ¨sszefu ¨ gge´st a ko ¨vetkez˝ o algebrai formula´val fejezhetju ¨ k ki: ha egy csonka gu ´ la alaplapja a, fed˝ olapja b oldalu ´ ne´gyzet, magassa´ga pedig h, akkor te´rfogata:

1 V = h(a2 + ab + b2 ). 3 Egy adott minta´zat felismere´se e´s haszna´lata kora´ntsem ugyanaz, mintha e minta´zatot formaliza´ljuk e´s tudoma´nyos vizsga´lo ´da´s ta´rgya´va´ tesszu ¨ k. A kommutativita´s to ¨rve´nyei explicit forma´ban ragadja´k meg azokat a minta´zatokat, amelyek a terme´szetes sza´mok o ¨sszeada´sa´ban e´s szorza´sa´ban e´rhet˝ ok tetten. A to ¨rve´nyt kifejez˝ o formula´ban az m e´s az n va´ltozo ´k haszna´lata´val, amelyek tetsz˝ oleges terme´szetes sza´mot jelo ¨lhetnek, pontosan erre az absztrakt minta´zatra helyezzu ¨k a hangsu ´ lyt, nem pedig maga´ra az o ¨sszeada´sra vagy a szorza´sra. Az absztrakt sza´mfogalom megragada´sa´ra, csaku ´ gy, mint az o ¨sszeada´sra e´s a szorza´sra vonatkozo ´ ´altala´nos to ¨rve´nyek kimonda´sa´ra azonban me´g soka´ig va´rni kellett, mı´gnem Kr. e. 600 ko ¨rnye´ke´n szı´nre le´ptek a go ¨ro ¨go ¨k, akikkel a matematika u ´ j korszaka vette kezdete´t.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

28

A sza´mokkal sza´molnunk kell

Soka ´ ig csak a go ¨ ro ¨ go ¨ k sza ´ mı´tottak Az egzakt matematika szu ¨ lete´si helye e´s ideje nem azonosı´thato ´ egyko ¨nnyen, legko ¨zelebb tala´n akkor keru ¨ lu ¨ nk az igazsa´ghoz, ha a Kr. e. 6. sza´zadot e´s Go ¨ro ¨gorsza´got adjuk meg: a mile´toszi Thale´sz ez id˝ o ta´jt tette nevezetes geometriai megfigyele´seit. Keresked˝ ou ´ tjain nyilva´nvalo ´an tala´lkozott a me´re´s elme´leti ha´ttere´t ke´pez˝ o geometriai elke´pzele´sekkel, amelyeket azonban el˝ otte senki nem tett rendszeres, o ¨na´llo ´ vizsga´lo ´da´s ta´rgya´va´. A Thale´sznak tulajdonı´tott megfigyele´sek ko ¨zo ¨tt tartjuk sza´mon az ala´bbiakat: A ko ¨rt ba´rmely a´tme´r˝ oje ke´t egyenl˝ o re´szre osztja fel. Hasonlo ´ ha´romszo ¨gek megfelel˝ o oldalainak ara´nya megegyezik. ´ llı´to A ´lag azt is megmutatta, mike´nt vezethet˝ ok le e te´telek ma´s, a hosszu ´ sa´g e´s a teru ¨ let fogalma´ra vonatkozo ´ me´g alapvet˝ obb megfigyele´sekb˝ ol: ezzel polga´rjogot nyert a bizonyı´ta´s ko ¨vetelme´nye, amely hamarosan a matematika alapko ¨ve´ve´ va´lt. A bizonyı´ta´s szu ¨ kse´gesse´ge´nek legkora´bbi pro ´ka´torai ko ¨zo ¨tt tartjuk sza´mon a ´ lete´r˝ ˝ maga e´s Kr. e. 570 e´s 500 ko ¨zo ¨tt e´lt Pitagoraszt is. E ol keveset tudunk, o tanı´tva´nyai a vila´g szeme el˝ ol misztikus ismeretlense´gbe rejt˝ oztek, s matematikai kutata´saikat is egyfajta fekete ma´giake´nt tartotta´k sza´mon. A forra´sok szerint az e´gei-tengeri Szamosz szigete´n szu ¨ letett, babiloni e´s egyiptomi mesterekt˝ ol tanult, ve´gu ¨ l to ¨bb e´vi va´ndorla´s uta´n Kroto ´nban, a gazdag de´l-ita´liai go ¨ro ¨g gyarmaton telepedett le. Iskola´ja´ban arra a ne´gy ta´rgyra helyezte´k a hangsu ´ lyt, amelyeket a ko ¨ze´pkorban a quadrivium o ¨sszefoglalo ´ ne´ven tartottak sza´mon: arithmetica (sza´melme´let), harmonia (zene), geometria e´s astrologia (csillaga´szat). A quadrivium e´s a trivium – logika, grammatika e´s retorika – egyu ¨ tt alkotta´k a ko ¨ze´pkor „he´t szabad m˝ uve´szete´t”, ezeket mindenki, aki kim˝ uvelt emberf˝ onek akart sza´mı´tani, el kellett hogy saja´tı´tsa. A pu ¨ thagoreusok filozo ´fiai spekula´cio ´i e´s misztikus numerolo ´gia´ja ko ¨zege´ben igazi matematikai gyo ¨ngyszemek is kikrista´lyosodtak, mint – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt – a hı´res Pitagorasz-te´tel. Mint az 1.3. ´abra is mutatja, a te´tel azt mondja ki, hogy ba´rmely dere´kszo ¨g˝ u ha´romszo ¨g ´atfogo ´ja hossza´nak ne´gyzete megegyezik a befogo ´k hossza´nak ne´gyzeto ¨sszege´vel. A te´tel ke´t szempontbo ´l is ku ¨ lo ¨nleges jelent˝ ose´ggel bı´r. El˝ oszo ¨r, olyan minta´zatot fedeztek itt fel, amely minden dere´kszo ¨g˝ u ha´romszo ¨gben jelen van. Ma´sodszor, e te´nya´lla´st szigoru ´ bizonyı´ta´ssal ta´masztotta´k ala´. A go ¨ro ¨g matematikusok els˝ osorban geometriai – alakzatokra, szo ¨gekre, hoszszu ´ sa´gokra e´s teru ¨ letekre vonatkozo ´ – minta´zatokat tanulma´nyoztak. A terme´szetes sza´mokto ´l eltekintve, a go ¨ro ¨g sza´mfogalom geometriai gyo ¨ker˝ u: a hosszu ´ sa´g e´s a teru ¨ let me´re´se´b˝ ol ered. A szo ¨gekre, hosszu ´ sa´gokra e´s teru ¨ letekre vonatkozo ´ megfigyele´seik, amelyeket manapsa´g ege´sz sza´mok e´s to ¨rtek segı´tse´ge´vel fogalmazunk meg, ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o me´rte´kek o ¨sszehasonlı´ta´sa´n alapultak. Az ara´nyokkal (ara´ny latinul ratio) valo ´ sza´mola´s jelentette az el˝ oja´te´kot a raciona´lis sza´m fogal-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Soka´ig csak a go ¨ro ¨go ¨k sza´mı´tottak

29

1.3. a ´ bra. Pitagorasz te´tele a dere´kszo ¨g˝ u ha´romszo ¨g leghosszabb oldala, vagyis az ´atfogo ´ja (h) e´s a ke´t ro ¨videbb oldal, a befogo ´k (a e´s b) hosszu ´ sa´ga ko ¨zo ¨tt ´allapı´t meg o ¨sszefu ¨ gge´st. ma´nak megragada´sa´hoz: azokat a sza´mokat nevezzu ¨ k ´gy, ı amelyek kifejezhet˝ ok ke´t ege´sz sza´m ha´nyadosake´nt. A go ¨ro ¨go ¨k fedeztek fel to ¨bb olyan algebrai azonossa´got, amelyek manapsa´g szinte minden dia´k el˝ ott jo ´l ismertek:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 . Ezeket szinte´n geometriai, teru ¨ letek o ¨sszeada´sa´ra e´s kivona´sa´ra vonatkozo ´o ¨sszefu ¨ gge´ske´nt tartotta´k sza´mon. Euklide´sz Elemeiben – amelyr˝ ol a ke´s˝ obbiekben b˝ ovebben is szo ´t ejtu ¨ nk majd – a fenti azonossa´gok ko ¨zu ¨ l az els˝ o a ko ¨vetkez˝ o forma´ban szerepel: II.4. Te´tel Ha egy egyenesszakaszt tetsz˝ olegesen kette´osztunk, akkor a teljes szakaszra emelt ne´gyzet egyenl˝ o az egyes re´szekkel szerkesztett ne´gyzeteknek meg a ke´t re´sz ´altal ko ¨zrefogott te´glalap ke´tszerese´nek az o ¨sszege´vel.2 A te´telt az 1.4. ´abra´n a bal oldali ne´gyzet illusztra´lja. o, u ´ gy kapAz ´abra szerint a nagy ne´gyzet teru ¨ lete, amely (a + b)2 -nel egyenl˝ hato ´ meg, ha o ¨sszeadjuk az A e´s a B ne´gyzetek, valamint a C e´s a D te´glalapok teru ¨ lete´t, nagysa´ga teha´t: a2 +ab+ab+b2 = a2 +2ab+b2 . A ma´sik azonossa´g 2 Euklide ´sz,

Elemek, Gondolat, 1983; 86. o. Mayer Gyula fordı´ta´sa.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

30

A sza´mokkal sza´molnunk kell

1.4. a ´ bra. A go ¨ro ¨go ¨k geometriai mo ´dszerrel bizonyı´totta´k az algebrai azonossa´gokat is. Balra az (a + b)2 -re, jobbra az (a − b)2 -re vonatkozo ´o ¨sszefu ¨ gge´s geometriai kifejte´se. a jobb oldali rajz alapja´n vezethet˝ o le, amelyen az oldalak hosszait ma´ske´pp jelo ¨l¨ lete, amely itt (a − b)2 -nel egyenl˝ o, oly mo ´don ´all el˝ o, tu ¨ k be. Az A ne´gyzet teru hogy a nagy ne´gyzet teru ¨ lete´b˝ ol levonjuk a C e´s a D te´glalapok teru ¨ lete´t, s az ´gy ı kapott eredme´nyhez hozza´adjuk a B ne´gyzetet (amit ke´tszer is levontunk, le´ve´n mindke´t te´glalapnak re´sze´t alkotja), a ve´geredme´ny teha´t a2 − ab − ab + b2 . A go ¨ro ¨g matematika a negatı´v sza´mokat egya´ltala´n nem ismerte, ezek csak sokkal ke´s˝ obb, a tizennyolcadik sza´zadban nyertek polga´rjogot. A Pitagorasz-te´telt manapsa´g a ko ¨vetkez˝ o algebrai egyenl˝ ose´ggel fejezzu ¨ k ki:

h2 = a2 + b2 , ahol h jelo ¨li a dere´kszo ¨g˝ u ha´romszo ¨g ´atfogo ´ja´nak, a e´s b pedig a befogo ´knak a hossza´t. A go ¨ro ¨go ¨k terme´szetesen ezt a te´telt is tiszta´n geometriailag e´rtelmezte´k, a dere´kszo ¨g˝ u ha´romszo ¨g oldalaira rajzolt ne´gyzetek teru ¨ letei ko ¨zo ¨tti o ¨sszefu ¨ gge´ske´nt, amint az 1.5. ´abra mutatja. Egy ve ´gzetes felfedeze ´s A ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o alakzatok me´rte´ke´nek o ¨sszehasonlı´ta´sa sora´n a go ¨ro ¨g matematikusok egy ´artalmatlannak t˝ un˝ o felte´teleze´ssel e´ltek, amelyr˝ ol hamarosan kideru ¨ lt: kora´ntsem olyan su ´ lytalan, amilyennek els˝ o pillanta´sra t˝ unik. Modern kifejeze´st haszna´lva, abbo ´l indultak ki, hogy minden hosszu ´ sa´g e´s teru ¨ let raciona´lis. Annak felfedeze´se, hogy e felte´teleze´s to ¨ke´letesen elhiba´zott, olyan megra´zko ´dtata´st jelentett, amelyet a go ¨ro ¨g matematika soha nem tudott teljesen kiheverni.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Egy ve´gzetes felfedeze´s

31

A felfedeze´st ´altala´ban Hippaszosznak, a pitago ´reus iskola ifju ´ matematikusa´nak tulajdonı´tja´k, aki megmutatta, hogy ba´rmely ne´gyzet ´atlo ´ja o ¨sszeme´rhetetlen az oldala´val – mai terminolo ´gia´val ezt u ´ gy fejezne´nk ki, hogy amennyiben valamely ne´gyzet oldala´nak hossza raciona´lis sza´m, akkor ´atlo ´ja nem lehet az. A sors iro ´nia´ja, hogy a bizonyı´ta´s e´ppen a mester, Pitagorasz te´tele´n alapul. Tegyu ¨ k fel, ¨ nk egyse´gnyi oldalu ´ , Pitagorasz te´tele szerint ´atlo ´ja´√ hogy ne´gyzetu nak hossza 2. Egy meglehet˝ osen egyszer˝ u, mindazona´ltal elega´ns logikai e´rvele´s alapja´n igazolhato √ ´, hogy nem le´teznek olyan p e´s q ege´sz sza´mok, amelyeknek √ p/q ha´nyadosa 2-vel lenne egyenl˝ o – vagy ahogy ma mondana´nk: a 2 irraciona´lis sza´m. A bizonyı´ta´s a ko ¨vetkez˝ o. Tegyu ¨ k fel, hogy a fentiekkel ellente ´tben me´gis le´teznek olyan p e´s q ege´sz sza´√ mok, amelyekre p/q = 2. Ha a p/q to ¨rt egyszer˝ usı´thet˝ o, akkor ve´gezzu ¨ k el az egyszer˝ usı´te´st, ve´geredme´nyben teha´t azt is feltehetju ¨ k: sza´mainkban nincsenek ko ¨zo ¨s prı´mte´nyez˝ √ ok. A p/q = 2 egyenl˝ ose´g mindke´t oldala´t ne´gyzetre emelve kapjuk, hogy 2 2 2 2 = p /q , amib˝ ol p = 2q2 . Ez uto ´bbi egyenl˝ ose´g szerint p2 pa´ros sza´m. Tudjuk azonban, hogy a pa´ros sza´mok ne´gyzete is pa´ros, pa´ratlan sza´mok ne´gyzete viszont pa´ratlan. Ha teha´t p2 pa´ros, akkor p-nek is pa´rosnak kell lennie. Valamely r sza´mra teha´t p = 2r, amit a p2 = 2q2 egyenl˝ ose´gbe helyettesı´tve azt kapjuk, hogy 4r2 = 2q2 , amib˝ ol 2r2 = q2 . Ez uto ´bbi egyenl˝ ose´g tanu ´ sa´ga szerint

1.5. a ´ bra. A Pitagorasz-te´tel a dere´kszo ¨g˝ u ha´romszo ¨g oldalaira rajzolt ne´gyzetek teru ¨ letei ko ¨zo ¨tt ´allapı´t meg kapcsolatot: az ´abra jelo ¨le´seivel H = A + B.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

32

A sza´mokkal sza´molnunk kell

azonban q2 is pa´ros sza´m, amib˝ ol – mint fentebb p esete´ben – arra ko ¨vetkeztethetu ¨ nk, hogy q is az. Ezzel azonban bela´ttuk, hogy p e´s q egyara´nt pa´ros sza´mok, ami ellente´tben ´all felte´teleze´su ¨ nkkel, miszerint p-nek e´s q-nak nincs ko ¨zo ¨s prı´mte´nyez˝ oje. Az ellentmonda´s jelzi, hogy a felteve´s, miszerint le´teznek a szo ´ban forgo ´ tulajdonsa´gu ´ p e´s q sza´mok, hamis. Ma´s szo´val: ilyen p e´s q nincs! Ennyi a bizonyı´ta´s! Egy helyes matematikai bizonyı´ta´s ve´geredme´nye´t pedig senki fia nem vonhatja ke´tse´gbe – me´g akkor sem, ha egyes ne´pszer˝ u besza´molo ´k szerint Hippaszoszt ta´rsai egy hajo ´ro ´l a tengerbe vetette´k, hogy ´gy ı akada´lyozza´k meg a borzalmas hı´r elterjede´se´t. Hippaszosz felfedeze´se sajna´latos mo ´don nem serkentette a go ¨ro ¨go ¨ket egy ´altala´nosabb sza´mfogalom megalkota´sa´ra (erre csak sokkal ke´s˝ obb, a valo ´s sza´mok elme´lete´nek kidolgoza´sa´val keru ¨ lt sor), ba´r elismerte´k, hogy eredeti kiindulo ´pontjuk tarthatatlan. A sza´mok vizsga´lata´t ett˝ ol kezdve e´lesen elva´lasztotta´k a geometria´to ´l, s legjelent˝ osebb felfedeze´seik nem hosszu ´ sa´gokra vagy teru ¨ letekre vonatkoztak, hanem a terme´szetes sza´mok bizonyos minta´zataira. E sza´mok els˝ o szisztematikus vizsga´lata´t ´altala´ban a Kr. e. 350 e´s 300 ko ¨zo ¨tt e´lt Euklide´sz neve´hez kapcsolja´k. Tisztelet Euklide ´sznek A Thale´sz e´s Pitagorasz m˝ uko ¨de´se´t˝ ol Euklide´sz szı´nre le´pe´se´ig eltelt id˝ oszakban a go ¨ro ¨g matematika – Eudoxosz e´s ma´sok teve´kenyse´ge nyoma´n – jelent˝ os el˝ orele´pe´seket tett. Eudoxosz a Plato ´n ´altal alapı´tott athe´ni Akade´mia tagja, neve´hez f˝ uz˝ odik az ara´nyok elme´lete´nek kidolgoza´sa, amely elme´let segı´tse´ge´vel megkeru ¨ lhet˝ oek voltak bizonyos nehe´zse´gek, amelyeket Hippaszosz eredme´nye vetett ´ gy tartja´k, Euklide´sz is az Akade´mia´n kezdte pa´lyafuta´sa´t, majd Kr. e. 330 fel. U ko ¨ru ¨ l Alexandria´ba, a kor szellemi ko ¨zpontja´ba ko ¨lto ¨zo ¨tt. Az alexandriai ko ¨nyvta´r a mai egyetemek el˝ odje´nek tekinthet˝ o, itt ke´szu ¨ lt el Euklide´sz monumenta´lis m˝ uve, a tizeno ¨t ko ¨nyvb˝ ol ´allo ´ Elemek, amelyben gyakorlatilag a kor matematikai ismereteinek ege´sze´t o ¨sszefoglalta, s amelyben hozza´vet˝ olegesen 465 – sı´k- e´s te´rgeometriai, valamint sza´melme´leti – te´telt bizonyı´tott be. Ezek ne´melyike minden bizonnyal saja´t eredme´nye volt, f˝ o e´rdeme me´gis inka´bb az anyag szisztematikus o ¨sszea´llı´ta´sa´ban e´s kifejte´se´ben keresend˝ o. A megı´ra´sa o ´ta eltelt e´vsza´zadok sora´n az Elemek to ¨bb mint ke´tsza´z kiada´st e´rt meg, s ba´r sza´mos logikai hiba´ja´ra fe´ny deru ¨ lt, mindma´ig a matematikai mo ´dszer mintape´lda´jake´nt szolga´l: pontosan ro ¨gzı´ti, melyek az alapfelteve´sek, s azuta´n ma´r csak olyan ´allı´ta´sokat fogad el, amelyeket ezek alapja´n sikeru ¨ lt bebizonyı´tani. Az Elemek els˝ o hat ko ¨nyve´nek ta´rgya a sı´kgeometria, a XI. e´s XIII. ko ¨nyv pedig te´rgeometria´val foglalkozik, ezekre a 4. fejezetben te´ru ¨ nk majd vissza. A X. ko ¨nyvben olvashato ´k az u ´ gynevezett „o ¨sszeme´rhetetlen mennyise´gekre”, mai ter-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A prı´msza´mok

33

minolo ´gia´val az irraciona´lis sza´mokra vonatkozo ´ vizsga´lo ´da´sok. A VII., VIII. e´s IX. ko ¨nyv foglalja o ¨ssze a terme´szetes sza´mokra vonatkozo ´ ismereteket, e ko ¨nyveket manapsa´g sza´melme´leti ta´rgyu ´ nak nevezne´nk. A terme´szetes sza´mok minta´zata´nak egyik alapvet˝ o jellemz˝ oje, hogy a sza´mok egyese´vel egyma´s uta´n sorba ´allı´thato ´k; a sza´melme´let e struktu ´ ra me´lyebb o ¨sszefu ¨ gge´seinek felta´ra´sa´t t˝ uzi ki ce´lul. A prı´msza ´ mok Az Elemek VII. Ko ¨nyve 22 definı´cio ´val kezd˝ odik, to ¨bbek ko ¨zo ¨tt ilyenekkel: pa´rosak a kette´bonthato ´, pa´ratlanok pedig a kette´ nem bonthato ´ sza´mok. Nagyobb horderej˝ u a prı´msza´mok definı´cio ´ja: ezek olyan sza´mok, amelyeknek 1-en e´s o ¨nmagukon kı´vu ¨ l nincs ege´sz oszto ´juk. Az 1 e´s 20 ko ¨zo ¨tti prı´mek pe´lda´ul a ko ¨vetkez˝ ok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Azokat az 1-ne´l nagyobb sza´mokat, amelyek nem prı´mek, o ¨sszetett sza´moknak nevezzu ¨ k. Az 1 e´s 20 ko ¨zo ¨tti o ¨sszetett sza´mok: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20. Euklide´sz a prı´mekre vonatkozo ´an – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt – az ala´bbi alapvet˝ o te´teleket bizonyı´totta be: – Amennyiben a p prı´msza´m oszto ´ja az mn szorzatnak, u ´ gy p oszto ´ja m e´s n ko ¨zu ¨ l legala´bb az egyiknek is. – Az egyne´l nagyobb sza´mok mindegyike vagy prı´m, vagy – a te´nyez˝ ok sorrendje´t˝ ol eltekintve – egye´rtelm˝ uen felı´rhato ´ prı´msza´mok szorzatake´nt. – Ve´gtelen sok prı´msza´m le´tezik. A ma´sodikra – ku ¨ lo ¨nleges jelent˝ ose´ge miatt – ´altala´ban mint a sza´melme´let alapte´tele´re hivatkoznak. Az els˝ o ke´t eredme´ny alapja´n u ´ gy tekinthetu ¨ nk a prı´mekre, mint a fizikusok az atomokra, ezek ugyanis a terme´szetes sza´mok alapvet˝ o e´pı´t˝ oko ¨vei, amelyeket a „szorza´s ko ¨te´se” tart o ¨ssze. Egy pe´lda:

328 152 = 2 · 2 · 2 · 3 · 11 · 11 · 113. A 2, 3, 11, 113 sza´mok mind prı´mek, a 328 152 prı´mte´nyez˝ oi. ´ ppA 2 · 2 · 2 · 3 · 11 · 11 · 113 szorzat a 328 152 sza´m prı´mte´nyez˝ os felbonta´sa. E u ´ gy mike´nt az anyag tulajdonsa´gairo ´l a mikrostruktu ´ ra ismerete, a terme´szetes sza´mokro ´l a prı´mte´nyez˝ os felbonta´s (faktoriza´cio ´ ) szolga´l alapvet˝ o informa´cio ´kkal. A harmadik te´tel mindazok sza´ma´ra meglep˝ o lehet, akik elto ¨lto ¨ttek pa´r o ´ra´cska´t prı´mek keresge´le´se´vel, s akik ´gy ı megfigyelhette´k, hogy ba´r az els˝ o sza´z terme´szetes sza´m ko ¨zo ¨tt a prı´mek viszonylagos gyakorisa´ggal fordulnak el˝ o, ke´s˝ obb azonban ritkulni kezdenek, s u ´ gy t˝ unik, semmi nem szo ´l az ellen, hogy ve´gleg elfogynak. 2 e´s 20 ko ¨zo ¨tt pe´lda´ul nyolc prı´met tala´ltunk, 102 e´s 120 ko ¨zo ¨tt viszont ma´r csak ne´gy van, tova´bbmenve, a 2 101 e´s 2 200 ko ¨zo ¨tti sza´z sza´mbo ´l tı´z, a 10 000 001 e´s 10 000 100 ko ¨zo ¨tti sza´zbo ´l viszont ma´r csak kett˝ o prı´m.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

34

A sza´mokkal sza´molnunk kell

Rendet va ´ gunk a prı´mek sora ´ ban A prı´mek ritkula´sa´ro ´l precı´zebb ke´pet alkothatunk, a prı´ms˝ ur˝ use´g-fu ¨ggve´ny e´rte´keit szemu ¨ gyre ve´ve, amely a sza´mok e´s a na´luk kisebb prı´mek sza´ma´nak ara´ur˝ use´get u ´ gy kapjuk meg, hogy nya´t ro ¨gzı´ti. Tetsz˝ oleges N sza´m este´n a prı´ms˝ vesszu ¨ k az N-ne´l kisebb prı´msza´mok sza´ma´t, amit π(N)-nel jelo ¨lu ¨ nk, s e sza´mot elosztjuk N-nel. Ha mondjuk N = 100, akkor az eredme´ny 0,168, az els˝ o sza´z sza´m ko ¨zo ¨tt teha´t hozza´vet˝ olegesen minden hatodik prı´m. N = 1 000 000 esete´n az eredme´ny 0,078, az 1 000 000-ig terjed˝ o sza´mok ko ¨zo ¨tt teha´t ma´r csak ko ¨ru ¨ lbelu ¨ l minden tizenharmadik prı´m. N = 100 000 000-na´l az ara´ny ma´r csak 0,058, tizenhe´t az egyhez. N tova´bbi no ¨vekede´se´vel a tendencia folytato ´dik:

N

π(N) π(N)/N

1 000 168 10 000 1 229 100 000 9 592 1 000 000 78 498 10 000 000 664 579 100 000 000 5 761 455

0,168 0,123 0,095 0,078 0,066 0,058

S ba´r a π(N)/N ara´ny folyamatosan cso ¨kken, a prı´mek sora´nak soha nem szakad ve´ge. E te´ny Euklide´szt˝ ol sza´rmazo ´ bizonyı´ta´sa az elega´ns logikai e´rvele´s o ¨ro ¨k e´rve´ny˝ u pe´lda´ja. A bizonyı´ta´s alapgondolata a ko ¨vetkez˝ o: ahhoz, hogy megmutassuk, a prı´msza´mok p1 , p2 , p3 , . . . sora ve´gtelen, ele´g azt igazolni, hogy amennyiben a – nagysa´grendben – els˝ o n darab prı´met ma´r felsoroltuk, mindig tala´lhatunk u ´ jabbat, amely ezek ko ¨zo ¨tt nem szerepel: a sor teha´t ve´gtelen. Euklide´sz brilia´ns o ¨tlete a ko ¨vetkez˝ o: tekintsu ¨k a

P = p1 · p2 · · · · · pn + 1 sza´mot, ahol p1 , p2 , . . . , pn a ma´r felsorolt prı´mek. Amennyiben P prı´msza´m, akkor ma´r tala´ltunk is egy prı´met, amely p1 , p2 , . . . , pn mindegyike´ne´l nagyobb, minek ko ¨vetkezte´ben mindegyikt˝ ol ku ¨ lo ¨nbo ¨zik, a sor teha´t minden bizonnyal folytathato ´. (P nem felte´tlenu ¨ l a sorban pn uta´n ko ¨vetkez˝ o prı´m, teha´t nem biztos, hogy megfelel pn+1 -nek, de ha prı´m, akkor biztos, hogy pn -ig nem soroltuk fel az o ¨sszes prı´met.) Ma´sre´szr˝ ol, ha P nem prı´msza´m, akkor minden bizonnyal van olyan prı´m, amellyel marade´k ne´lku ¨ l oszthato ´. A p1 , p2 , . . . , pn sza´mok ko ¨zu ¨ l azonban egy sem oszto ´ja P-nek, P definı´cio ´ja alapja´n ugyanis nyilva´nvalo ´, hogy aka´rmelyikkel pro ´ba´ljuk elosztani, a marade´k 1 lesz. Ha teha´t P nem prı´m, akkor van olyan prı´moszto ´ja, amely p1 , p2 , . . . , pn mindegyike´t˝ ol ku ¨ lo ¨nbo ¨zik (mindegyikne´l nagyobb), a sor teha´t ez esetben is folytathato ´.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Rendet va´gunk a prı´mek sora´ban

35

Felhı´vjuk a kedves olvaso ´ figyelme´t, hogy a bizonyı´ta´sban szerepl˝ o

P = p1 · p2 · · · · · pn + 1

sza´mro ´l nem kell tudnunk, valo ´ja´ban prı´m-e vagy sem – a gondolatmenet mindke´t esetben folytathato ´. Automatikusan felvet˝ odik teha´t a ke´rde´s, prı´msza´m-e P. Az els˝ oo ¨t ilyen sza´m,

P1 P2 P3 P4 P5

= 2 + 1 = 3, = 2 · 3 + 1 = 7, = 2 · 3 · 5 + 1 = 31, = 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211, = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 = 2 311

mindegyike prı´m, a ko ¨vetkez˝ o ha´rom azonban ma´r nem:

P6 = 59 · 509, P7 = 19 · 97 · 277, P8 = 347 · 27 953.

Nem tudjuk, van-e ve´gtelen sok prı´m a Pn sza´mok ko ¨zo ¨tt, mike´nt azt sem, van-e ko ¨ztu ¨ k ve´gtelen sok o ¨sszetett. (A ke´t lehet˝ ose´g ko ¨zu ¨ l legala´bb az egyik biztosan igaz. A matematikusok to ¨bbse´ge arra voksol, hogy mindkett˝ o.) Visszate´rve a prı´msza´mok eloszla´sa´nak s˝ ur˝ use´ge´t kifejez˝ o π(N)/N fu ¨ ggve´nyhez, meg kell vizsga´lnunk a ke´rde´st, vajon le´tezik-e egy jo ´l azonosı´thato ´ minta´zat, amelyhez a fu ¨ ggve´nye´rte´kek cso ¨kkene´se igazodik. Nyilva´n nem reme´lhetu ¨ nk egyszer˝ u minta´zatot. Ba´rmilyen nagy N-eket veszu ¨ nk is go ´rcs˝ o ala´, mindig ra´bukkanunk ke´t – vagy to ¨bb – egyma´shoz viszonylag ko ¨zel es˝ o prı´msza´mra, de e´ppu ´ gy tala´lkozunk hosszu ´ -hosszu ´ intervallumokkal is, amelyekben egyetlen prı´mre sem akadunk. A prı´mcsoportosula´sok e´s a prı´mtelen intervallumok ra´ada´sul u ´ gy t˝ unik, teljesen ve´letlenszer˝ uen helyezkednek el. A prı´mek eloszla´sa me´gsem teljesen kaotikus, ba´r e ke´rde´sr˝ ol a 19. sza´zad el˝ ott tu ´ l sokat nem tudtunk. Pafnutyij Csebisev orosz matematikus 1850-ben bizonyı´totta be, hogy tetsz˝ oleges N sza´m esete´n, N e´s 2N ko ¨zo ¨tt van legala´bb egy prı´m. Valamife´le rend teha´t me´giscsak fellelhet˝ o a prı´mek eloszla´sa´ban. Ve´gu ¨ l kideru ¨ lt, hogy e rend nem is aka´rmilyen – ba´r igen er˝ os nagyı´to ´ kell ahhoz, hogy e´szrevegyu ¨ k. 1896-ban ke´t francia matematikus, Jacques Hadamard e´s Charles de la Valle´e Poussin egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenu ¨ l bebizonyı´totta´k, hogy mine´l nagyobb N-eket tekintu ¨ nk, a π(N)/N mennyise´g anna´l inka´bb megko ¨zelı´ti 1/ ln N-t, ahol ln a terme´szetes alapu ´ logaritmusfu ¨ ggve´ny (amelyr˝ ol b˝ ovebben a harmadik fejezetben lesz szo ´). Ezt az eredme´nyt nevezzu ¨ k manapsa´g prı´msza´mte´telnek, amely teha´t figyelemre me´lto ´ kapcsolo ´da´si pont a terme´szetes sza´mok, valamint a valo ´s sza´mok elme´lete´ben e´s az analı´zisben fontos szerepet ja´tszo ´ terme´szetes logaritmus ko ¨zo ¨tt. (L. me´g a 3. fejezetet.) A te´tel e´rdekesse´ge, hogy kerek egy e´vsza´zaddal azel˝ ott, hogy bebizonyı´totta´k, ma´r megsejtette egy tizenne´gy e´ves matematikuspala´nta, bizonyos Karl Friedrich

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

36

A sza´mokkal sza´molnunk kell

Gauss. Gauss neve´hez annyi nevezetes eredme´ny f˝ uz˝ odik, hogy ko ¨telesse´gu ¨ nk nagyobb teret szentelni munka´ssa´ga´nak. A csodagyerek A ne´metosza´gi Brunswickben, 1777-ben szu ¨ letett Karl Friedrich Gauss (1.6. ´abra) ma´r kora gyermekkora´ban kive´teles matematikai tehetse´gr˝ ol tett tanu ´ bi˝ vezette apja u zonysa´got. Azt besze´lik, 3 e´vesen ma´r o ¨ zleti ko ¨nyvele´se´t; kisiskola´ske´nt pedig u ¨ gyes foga´ssal lepte meg tana´ra´t, aki hosszadalmas e´s unalmas – vagy legala´bbis annak ve´lt – feladattal pro ´ba´lta dia´kjait „lecke´ztetni”. ˝ a maga dolga´t A tana´r feltehet˝ oen elfoglaltsa´got keresett a tanulo ´knak, mı´g o ˝ket, adja´k o inte´zi, ´gy ı arra utası´totta o ¨ssze a sza´mokat 1-t˝ ol 100-ig. Sza´mı´ta´sa nem va´lt be: a kis Gauss pillanatokon belu ¨ l jelentkezett a ve´geredme´nnyel! Mo ´dszere a ko ¨vetkez˝ o volt. A keresett o ¨sszeget ke´tszer is leı´rjuk, el˝ oszo ¨r no ¨vekv˝ o, azta´n cso ¨kken˝ o sorrendben:

1 + 2 + 3 + ... 100 + 99 + 98 + . . .

+ 98 + 99 + 100 + 3 + 2 + 1

Ha a ke´t o ¨sszeget oszloponke´nt o ¨sszeadjuk, az eredme´ny:

101 + 101 + 101 + . . .

+ 101 + 101 + 101.

Mivel a 101-et pontosan 100-szor kell o ¨sszeadnunk, 100·101 = 10 100 a ve´geredme´ny. Ez a feladatbeli o ¨sszegnek e´ppen ke´tszerese, ma´r csak kett˝ ovel kell teha´t elosztani, hogy a tana´rnak teljes legyen az o ¨ro ¨me: ha a sza´mokat 1-t˝ ol 100-ig o ¨sszeadjuk, a ve´geredme´ny 5 050. A gondolatmenet nemcsak 100-ra, de tetsz˝ oleges n sza´mra is alkalmazhato ´. Az ´altala´nos esetben 1-t˝ ol n-ig adjuk o ¨ssze a sza´mokat, u ´ jfent egyszer emelked˝ o, egy-

1.6. a ´ bra. Karl Friedrich Gauss (1777–1855).

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A Gauss-fe´le „o ´ra-aritmetika”

37

1.7. a ´ bra. Az 1, 3, 6, 10, 15 . . . sza´mokat ha´romszo ¨gsza´moknak is nevezik, ennyi pontbo ´l szaba´lyos ha´romszo ¨gek rakhato ´k ki. szer cso ¨kken˝ o sorrendben, ezeket rendre o ¨sszeadva az n + 1 sza´m n-szerese´t kapjuk. Mike´nt az el˝ obb, az eredme´nyt most is e szorzatot megfelezve kapjuk meg:

1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)/2. Ez a formula ragadja meg a Gauss megfigyele´se mo ¨go ¨tti ´altala´nos minta´zatot. Jegyezzu ¨ k meg, hogy a formula jobb oldala´n szerepl˝ o kifejeze´snek geometriai interpreta´cio ´ is adhato ´. Az n(n + 1)/2 alakban felı´rhato ´ sza´mokat ha´romszo ¨gsza´moknak is nevezhetju ¨ k, ugyanis ha szaba´lyos ha´romszo ¨geket pontocska´kbo ´l akarunk kirakni, akkor e´ppen ilyen sza´mu ´ pontra lesz szu ¨ kse´gu ¨ nk. Az els˝ oo ¨t ha´romszo ¨gsza´m: 1, 3, 6, 10 e´s 15. (L. az 1.7. ´abra´t.) A Gauss-fe ´le „o ´ ra-aritmetika” 1801-ben, huszonne´gy e´ves kora´ban ´rta ı meg Gauss Disquisitiones Arithmeticae cı´m˝ u ko ¨nyve´t, minden id˝ ok legnagyobb jelent˝ ose´g˝ u matematikai ta´rgyu ´ ´ra ı ´sainak egyike´t. Ebben jelenik meg els˝ oke´nt a ve´ges aritmetika gondolata. A ve´ges aritmetika´ban a sza´mola´s periodikusan visszate´r a kiindulo ´ponthoz, su ´ jra kezd˝ odik. Amikor pe´lda´ul megmondjuk, mennyi az id˝ o, az o ´ra´kat az 1, 2, 3, stb. sza´mokkal adjuk meg, amikor azonban a sza´mla´la´s sora´n ele´rju ¨ k a 12t, u ´ jra kezdju ¨ k. Hasonlo ´an, a percek sza´mla´la´sa´ban a fordulo ´pont 60, innen kezd˝ odik elo ¨lr˝ ol. Ez a magyara´zata annak, hogy az effe´le ve´ges aritmetika´t o ´raaritmetika´nak nevezzu ¨ k; a matematikusok gyakran modula´ris aritmetikake´nt is emlegetik. Az o ´ra´k e´s a percek sza´mla´la´sa´t valo ´di matematika´va´ emel˝ o Gaussnak egy kisebb va´ltoztata´st is eszko ¨zo ¨lnie kellett: a sza´mla´la´st a 0-val kezdte. Instrukcio ´ja´t ko ¨vetve az o ´ra´k sza´mla´la´sa sora´n a 0, 1, 2, . . . , 11, a percek sza´mla´la´sakor a 0, 1, 2, . . . , 59 sza´mokat kell sorra vennu ¨ nk, s mindke´t esetben a 0-to ´l kell elo ¨lr˝ ol kezdenu ¨ nk. Ezen apro ´ va´ltoztata´s uta´n Gauss nekila´tott, hogy felta´rja e rendszerek alapvet˝ o vona´sait. Eredme´nyei ne´melykor kifejezetten maga´to ´l e´rtet˝ od˝ onek t˝ unnek, ma´skor viszont egyenesen megdo ¨bbent˝ oek. A 12-es o ´ra-aritmetika esete´ben pe´lda´ul 2-t e´s 3-at o ¨sszeadva 5-o ¨t kapunk, (ha´rom o ´ra´val kett˝ o uta´n valo ´ban o ¨t o ´ra

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

38

A sza´mokkal sza´molnunk kell

van), 7 e´s 6 o ¨sszege azonban 1 (he´t o ´ra uta´n hat o ´ra´val a pontos id˝ o egy o ´ra). Ennyit me´g ko ¨nnyede´n elfogadhatunk – ha azonban az o ¨sszefu ¨ gge´seket a szoka´sos jelo ¨le´ssel ´rjuk ı le, a ma´sodik kisse´ bizarrnak t˝ unik:

2 + 3 = 5,

7 + 6 = 1.

A perc-aritmetika esete´ben valaha´ny o ´ra 45 perc uta´n 0 perccel me´g mindig ...o ´ra 45 a pontos id˝ o, . . . o ´ra 48 perc uta´n 12 perccel viszont – csak a perceket ne´zve – . . . o ´ra 0 percne´l ja´runk. A ke´t o ¨sszeg aritmetikai jelo ¨le´ssel:

45 + 0 = 45,

48 + 12 = 0.

Ha els˝ o ellene´rze´su ¨ nko ¨n felu ¨ lemelkedu ¨ nk, ra´jo ¨vu ¨ nk, milyen remek o ¨tlet volt Gauss re´sze´r˝ ol, hogy az „o ´ra-aritmetika´t” ekke´ppen formaliza´lta. A szoka´sos aritmetikai to ¨rve´nyek to ¨bbse´ge a ve´ges aritmetika´ra is e´rve´nyben marad: klasszikus pe´ldake´nt arra, mike´nt o ¨ro ¨kl˝ odik egy matematikai minta´zat valamely struktu ´ ra´ro ´l egy ma´sikra (esetu ¨ nkben a szoka´sos aritmetika´ro ´l a ve´gesre). Hogy elkeru ¨ lje a fe´lree´rte´seket, Gauss a ve´gesre vonatkozo ´o ¨sszefu ¨ gge´sekben az egyenl˝ ose´g jele helyett a ≡ jelet haszna´lta, s nem „egyenl˝ ose´gnek”, hanem kongruencia´nak nevezte. Els˝ o ke´t o ¨sszefu ¨ gge´su ¨ nk ´gy ı a ko ¨vetkez˝ o alakot o ¨lti:

2 + 3 ≡ 5,

7 + 6 ≡ 1.

A sza´mot, amelyne´l a sza´mola´s elo ¨lr˝ ol kezd˝ odik – mint a fenti esetekben a 12-t e´s a 60-at – az aritmetika modulusa´nak nevezzu ¨ k. Terme´szetesen e sza´mok semmife´le specia´lis matematikai jelent˝ ose´ggel nem bı´rnak, az id˝ opontok megada´sa´ban ja´tssza´k csak szoka´sos szerepu ¨ ket. Valo ´ja´ban ba´rmely n terme´szetes sza´mhoz megadhato ´ az n modulusu ´ ve´ges, modula´ris aritmetika, amely a 0, 1, 2, . . . , n − 1 sza´mokon ve´gzett m˝ uveletek elme´lete; a szorza´s – mike´nt az o ¨sszeada´s – sora´n n ege´sz sza´mu ´ to ¨bbszo ¨ro ¨seit mindig figyelmen kı´vu ¨ l hagyjuk. A szorza´sra me´g nem mutattam pe´lda´t, elve´gre o ´ra´kat e´s perceket nemigen szoktunk o ¨sszeszorozni, matematikai szempontbo ´l azonban semmife´le nehe´zse´get nem jelent e m˝ uvelet e´rtelmeze´se: csupa´n – mike´nt az o ¨sszeada´s esete´ben – az n to ¨bbszo ¨ro ¨seit˝ ol kell eltekintenu ¨ nk. Moduluske´nt a 7-es sza´mot haszna´lva kapjuk pe´lda´ul az ala´bbi egyenl˝ ose´geket:

2 · 3 ≡ 6,

3 · 5 ≡ 1.

A kongruencia Gauss ´altal bevezetett fogalma´t gyakorta alkalmazzuk a matematika´ban, nem ritka´n to ¨bb modulust is haszna´lunk egyszerre. Ilyenkor, hogy a fe´lree´rte´seket elkeru ¨ lje´k, a matematikusok a ko ¨vetkez˝ o jelo ¨le´st haszna´lja´k:

a ≡ b (mod n),

¨ sszefu ahol n a kongruencia modulusa. O ¨ gge´su ¨ nket ´gy ı olvassuk ki: „a kongruens b-vel modulo´ n”. Tetsz˝ oleges modulus esete´n az o ¨sszeada´s, a kivona´s e´s a szorza´s e´rtelmeze´se semmife´le nehe´zse´get nem ta´maszt. (A kivona´sro ´l ez ida´ig nem szo ´ltam, de a

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A zsenia´lis m˝ ukedvel˝ o

39

fentiek alapja´n nyilva´nvalo ´, mike´nt kell bevezetnu ¨ nk: az o ´ra-aritmetika esete´ben pe´lda´ul visszafele´ kell haladnunk az id˝ oben.) Az oszta´s kisse´ megbonyolı´tja a dolgot: ne´melykor ugyanis el lehet ve´gezni, ma´skor viszont nem. ¨ l eloszthato ´ 5-tel, s Pe´lda´nak oka´e´rt, 12-es modulus mellett a 7 marade´k ne´lku az eredme´ny 11:

7/5 ≡ 11 (mod 12). Ha ellen˝ orizni akarjuk, ele´g ha mindke´t oldalt megszorozzuk 5-tel:

7 ≡ 5 · 11 (mod 12), s valo ´ban: ha 55-b˝ ol levonjuk a legnagyobb 12-to ¨bbszo ¨ro ¨st, amellyel az eredme´ny me´g e´ppen nemnegatı´v, pontosan 7-et kapunk. Ugyanezen modulus mellett azonban 6-tal csak maga´t a 6-ot tudjuk elosztani. 5 pe´lda´ul nem oszthato ´ 6-tal, amint az ko ¨nnyen ellen˝ orizhet˝ o: tetsz˝ oleges 0 e´s 11 ko ¨ze´ es˝ o sza´mot 6-tal megszorozva mindig pa´ros sza´mot kapunk, amely viszont sohasem lehet kongruens 5-tel modulo 12. Ha azonban a modulus prı´msza´m, az oszta´s mindig elve´gezhet˝ o, felte´ve terme´szetesen, hogy amivel osztunk, nem 0. Ez esetben a modula´ris aritmetika´ban mindazon szaba´lyok e´rve´nyben maradnak, amelyek a raciona´lis vagy a valo ´s sza´mokon ve´gzett m˝ uveletekre igazak, a matematikusok terminolo ´gia´ja´t haszna´lva, a m˝ uveletek kiele´gı´tik a testeket definia´lo ´ axio ´ma´kat. (A testek a 2. fejezetben ´ jabb minta´zatra bukkantunk teha´t: kapcsolo keru ¨ lnek majd u ´ jra szo ´ba.) U ´da´si pontot tala´ltunk a prı´msza´mok e´s a modula´ris aritmetika´ban e´rtelmezett oszta´s elve´gezhet˝ ose´ge ko ¨zo ¨tt. A prı´msza´mok minta´zatainak vizsga´lata´ban szerzett ele´vu ¨ lhetetlen e´rdemeket minden id˝ ok legnagyobb amat˝ or matematikusa: Pierre de Fermat. A zsenia ´ lis m˝ ukedvel˝ o Fermat (1601–1665, 1.8. ´abra) a toulouse-i helyi parlament alkalmaza´sa´ban, joga´szke´nt dolgozott. A matematika´val csupa´n harmincas e´veiben kezdett foglalkozni, szigoru ´ an „hobby-szinten” – de nem aka´rhogy: nevezetes sza´melme´leti eredme´nyei mellett kidolgozta az analitikus geometria egy forma´ja´t is, me´ghozza´ ne´ha´ny e´vvel Rene´ Descartes el˝ ott, akinek neve´t a dere´kszo ¨g˝ u koordina´ta˝rzi. Pascallal folytatott leveleze´se´ben megvetette a valo rendszer is o ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s alapjait, s a differencia´lsza´mı´ta´s egyik el˝ ofuta´rake´nt is sza´mon tartja´k, amely diszciplı´na ne´ha´ny e´vvel ke´s˝ obbi megszu ¨ lete´se´ne´l nem kisebb elme´k, mint Gottfried Leibniz e´s Isaac Newton ba´ba´skodtak. Ba´r valamennyi teru ¨ leten maradando ´t alkotott, igazi hı´rneve´t me´gis ama ku ¨ lo ¨nleges ke´pesse´ge´nek ko ¨szo ¨nheti, amely a terme´szetes sza´mok ku ¨ lo ¨nfe´le – to ¨bbnyire a prı´mekre vonatkozo ´ – minta´zatainak felismere´se´ben mutatkozott meg. S to ¨bbnyire nem ´allt meg a puszta felismere´sne´l: megfigyele´seit szigoru ´ bizonyı´ta´sokkal ta´masztotta ala´.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

40

A sza´mokkal sza´molnunk kell

1.8. a ´ bra. Pierre de Fermat (1601–1665), „a legnagyobb amat˝ or”. A „szakma´n” kı´vu ¨ l ´allo ´ke´nt Fermat viszonylag keveset publika´lt, eredme´nyeinek java re´sze – Euro ´pa legkiva´lo ´bb matematikusaival folytatott – leveleze´se´ben maradt fenn: ekke´ppen o ¨ro ¨kı´tette meg mindazt, amit ma´s mo ´don nem hozott nyilva´nossa´gra. Egyik 1640-ben ´rott ı levele´ben sza´mol be pe´lda´ul arro ´l a megfigyele´se´r˝ ol, miszerint tetsz˝ oleges p prı´msza´m e´s p-vel nem oszthato ´ a terme´szetes sza´m esete´n ap−1 − 1 mindig oszthato´ p-vel. ´ 5-tel, Fermat ´allı´ta´sa Legyen mondjuk a = 8 e´s p = 5. Mivel 8 nem oszthato szerint 84 − 1 ma´r igen: a sza´mola´st elve´gezve kapjuk, hogy 84 − 1 = 4 095, s ez te´nyleg 5 to ¨bbszo ¨ro ¨se. Hasonlo ´an, 14518 − 1 bizonyosan oszthato ´ 19-cel, noha feltehet˝ oen csak kevesen e´reznek ellena´llhatatlan ke´sztete´st arra, hogy ezt ko ¨zvetlen sza´mola´s u ´ tja´n ellen˝ orizze´k. Tala´n meglep˝ o, de Fermat ime´nti eredme´nye´t sze´les ko ¨rben alkalmazza´k, e´s nem csupa´n a matematika´ban: ez ´all a ha´ttere´ben to ¨bb adat-titkosı´ta´si mo ´dszernek valamint sza´mos ka´rtyatru ¨ kknek is. Oly gyakran el˝ ofordul, hogy nevet is

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Tesztelju ¨k a prı´meket

41

kapott: a kis Fermat-te´telke´nt emlegetik. Manapsa´g a te´tel sza´mos bizonyı´ta´sa ismert, arro ´l azonban, hogy maga Fermat mike´nt bizonyı´totta, fogalmunk sincs. Szoka´sa szerint a bizonyı´ta´sokat titokban tartotta, s az eredme´nyeket kihı´va´ske´ppen osztotta meg pa´lyata´rsaival. A „kis te´tel” esete´ben e kihı´va´s 1736-ban tala´lt csak embere´re: a nagy sva´jci matematikus, Leonhard Euler ekkor adta meg a te´tel els˝ o teljes bizonyı´ta´sa´t. A kis Fermat-te´telt a modula´ris aritmetika fogalmi rendszere´ben is kifejezhetju ¨ k. Ha p prı´m, a pedig tetsz˝ oleges 1 e´s p − 1 ko ¨ze´ es˝ o sza´m, akkor

ap−1 ≡ 1 (mod p). Ha pe´lda´ul a = 2, p pedig 2-t˝ ol ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o prı´msza´m, akkor

2p−1 ≡ 1 (mod p). Ennek ko ¨vetkezme´nye, hogy tetsz˝ oleges p sza´m esete´n, amennyiben a fenti kongruencia nem teljesu ¨ l, u ´ gy p nem lehet prı´m. E megfigyele´s az alapja annak a hate´kony mo ´dszernek, amellyel eldo ¨nthetju ¨ k, vajon egy adott sza´m prı´m-e vagy sem. Ezzel folytatjuk. Tesztelju ¨ k a prı´meket A legegyszer˝ ubb mo ´dja, hogy eldo ¨ntsu ¨ k, valamely sza´m prı´m-e√vagy sem, az, ha felı´rjuk a prı´mte´nyez˝ os felbonta´sa´t. Ehhez esetleg valamennyi N-ne´l kisebb prı´msza´mmal meg kell pro ´ba´lnunk elosztani (ha √ ugyanis N o¨sszetett, akkor van olyan prı´moszto ´ja, amely nem nagyobb, mint N ). Ha N nem tu ´ l nagy sza´m, akkor e feladat elve´gze´se sem . . . Ko ¨zepes teljesı´tme´ny˝ u sza´mı´to ´ge´ppel egy 10-ne´l kevesebb sza´mjegyb˝ uve. Ha mondjuk √ol ´allo´ sza´m esete´n ez csupa´n pillanatok m˝ N tı´zjegy˝ u, akkor N 5-jegy˝ u, teha´t kisebb, mint 100 000. Egy pillanta´st vetve a 34. oldal ta´bla´zata´ra, 10 000-ne´l is kevesebb prı´msza´m jo ¨het csak szo ´ba. Sza´mı´to ´ge´pu ¨ nk sza´ma´ra, amely ma´sodpercenke´nt m˝ uveletek millia´rdjait ke´pes elve´gezni, ez egyszer˝ u „ujjgyakorlat”. De me´g a legnagyobb teljesı´tme´ny˝ u sza´mı´to ´ge´pnek is ke´t o ´ra´ra van szu ¨ kse´ge, hogy egy 20-jegy˝ u sza´m felbonta´sa´t megtala´lja, 50-jegy˝ u sza´m esete´n viszont ugyanez ma´r tı´zmillia´rd e´vbe telne. Ha szerencse´nk van, ro ¨vid id˝ on belu ¨ l ra´bukkanhatunk egy prı´moszto ´ra, ha azonban a szo ´ban forgo ´ sza´m √ prı´m, akkor ege´szen N-ig minden sza´mot meg kell vizsga´lnunk! une´l nagyobb sza´mok esete´Az esetleges prı´moszto ´k ve´gigpro ´ba´lgata´sa 20-jegy˝ ben nem ko ¨vethet˝ o megolda´s. A matematikusok azonban, a prı´msza´mok minta´zatait kutatva, hate´konyabb mo ´dszereket is kifejlesztettek. Ha a kis Fermat-te´telt akarjuk haszna´lni, kisza´mı´thatjuk pe´lda´ul 2p−1 e´rte´ke´t a (mod p) aritmetika´ban: ha az eredme´ny nem 1, akkor p nem lehet prı´msza´m. Mi van azonban, ha az eredme´ny 1? Ez esetben sajnos nem ko ¨vetkeztethetu ¨ nk arra, hogy p prı´m. Az a helyp−1 zet ugyanis, hogy ba´r 2 ≡ 1 (mod p) tetsz˝ oleges p prı´msza´m esete´n teljesu ¨ l, vannak olyan nemprı´mek is, amelyekre fenna´ll. A legkisebb ilyen a 341 = 11 · 31.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

42

A sza´mokkal sza´molnunk kell

A mo ´dszer me´g m˝ uko ¨d˝ oke´pes lehetne, ha csupa´n maroknyi, a 341-hez hasonlo ´ kive´tel le´tezne, ez esetben ugyanis ko ¨nnyede´n ellen˝ orizhetne´nk, vajon p ezek egyike-e vagy sem. Azonban nincs szerencse´nk: ve´gtelen sok effe´le kellemetlen ellenpe´lda van. A szo ´ban forgo ´ te´tel teha´t csupa´n azt bizonyı´thatja, hogy valamely sza´m o ¨sszetett: ha 2p−1 ≡ 1 (mod p) nem teljesu ¨ l, akkor p nem lehet prı´msza´m. Atto ´l azonban, hogy a szo ´ban forgo ´ kongruencia fenna´ll, p me´g lehet prı´m is, o ¨sszetett is. Ha u ´ gy e´rezzu ¨ k, ele´g szerencse´s a kezu ¨ nk, tekinthetju ¨k u ´ gy, hogy p prı´m, nagyobb az ese´lye ugyanis annak, hogy igazunk van, mint annak, hogy te´vedu ¨ nk: meglehet˝ osen ritka´k az olyan p o ¨sszetett sza´mok, amelyre 2p−1 ≡ 1 (mod p), 1 000-ne´l kisebb csupa´n kett˝ o van, a 341 e´s az 561, s az 1 000 000-na´l kisebbek ko ¨zo ¨tt is csak 245. Mivel azonban ve´gtelen sok ilyen sza´m van, e te´tel alapja´n nem fogadhatunk biztosra – matematikai bizonyossa´gro ´l teha´t szo ´ sincs. Ez a bizonytalansa´g az oka, hogy a kis Fermat-te´tel nem tekinthet˝ o to ¨ke´letes mo ´dszernek valamely sza´m prı´m-volta´nak mega´llapı´ta´sa´ra. A bizonytalansa´got 1986-ban sikeru ¨ lt kiku ¨ szo ¨bo ¨lni L. M. Adlemannak, R. S. Rumely-nek, H. Cohennek, H. W. Lenstra´nak e´s C. Pomerance-nak. A kis Fermat-te´telb˝ ol kiindulva fejlesztette´k ki mo ´dszeru ¨ ket, amely azo ´ta ARCLP-tesztke´nt ismert, s amelyet manapsa´g a legjobb prı´m-tesztnek tekintenek: segı´tse´ge´vel egy 20-jegy˝ u sza´m tesztele´se nem tart tova´bb 10 ma´sodpercne´l, s me´g egy 50-jegy˝ u sza´me´ is elve´gezhet˝ o 15 ma´sodpercen belu ¨ l. Az ARCLP-teszt to ¨ke´letesen megbı´zhato ´, s tetsz˝ oleges N sza´mra m˝ uko ¨dik. Sza´mos olyan prı´mteszt le´tezik, amelyet specia´lis – mondjuk bn +1 alaku ´ – sza´mokra dolgoztak ki, s amelyek olyan nagy sza´mokra is alkalmazhato ´k, amelyek – nagysa´guk miatt – az ARCLP-mo ´dszerrel nem kezelhet˝ ok. Titkom, titkod Nagy prı´msza´mok kerese´se´t nem csupa´n matematikai szempontok motiva´lhatja´k: felfedezte´k, hogy remeku ¨ l alkalmazhato ´k olyan u ¨ zenetek ko ´dola´sa´ra, amelyek nem to ¨ke´letesen biztonsa´gos csatorna´kon – pe´lda´ul telefonon vagy ra´dio ´n – jutnak el ce´ljukhoz. Egy gyors sza´mı´to ´ge´ppel e´s – mondjuk – az ARCLP-teszttel felfegyverkezve u prı´msza´mot tala´lni. A sza´mı´to ´ge´p segı´tse´ge´vel ezeket gyerekja´te´k ke´t 75-jegy˝ ko ¨nnyede´n o ¨ssze is szorozhatjuk, eredme´nyu ¨ l 150-jegy˝ uo ¨sszetett sza´mot kapunk. Tegyu ¨ k fel, azt a feladatot adjuk valakinek, hogy ezt a 150-jegy˝ u sza´mot bontsa fel prı´mte´nyez˝ oire. Haszna´ljon az illet˝ o ba´rmilyen csoda-komputert, sok ese´lye nincs. Egy 150-jegy˝ u sza´mro ´l azt mega´llapı´tani, hogy prı´m-e, vagy sem, nem telik to ¨bbe ne´ha´ny ma´sodpercne´l, a prı´mte´nyez˝ os felbonta´s azonban – me´g a leghate´konyabb mo ´dszerekkel e´s a legjobb sza´mı´to ´ge´pekkel is – e´vekig, ha nem e´vtizedekig, esetleg e´vsza´zadokig tartana. Az igen nagy sza´mok prı´mte´nyez˝ os felbonta´sa nem aze´rt jelent akkora proble´ma´t, mert a matematikusok nem dolgoztak ki u ¨ gyes mo ´dszereket. E teru ¨ leten

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Titkom, titkod

43

1.9. a ´ bra. Tipikus titkosı´to ´ rendszer. is tapasztalhato ´ halada´s, a legnagyobb sza´mı´to ´ge´peken a legu ´ jabb mo ´dszerekkel u sza´m felbonta´sa sem vesz ige´nybe ne´ha´ny o ´ra´na´l to ¨bb id˝ ot. ma egy kb. 80-jegy˝ Ha teha´t figyelembe vesszu ¨ k, hogy a hagyoma´nyos mo ´dszerrel ma´r egy 50-jegy˝ u sza´m faktoriza´cio ´ja is e´vmillia´rdokba telne, la´thatjuk, hogy valo ´ban sza´mottev˝ oa fejl˝ ode´s. De amı´g a prı´mtesztek aka´r 1 000-jegy˝ u sza´mokkal is ke´pesek elba´nni, ugyanez a prı´mte´nyez˝ os felbonta´sra ma´r nem ´all, mi to ¨bb, sok minden e´ppen amellett szo ´l, hogy soha nem is lesznek megfelel˝ o mo ´dszereink, a faktoriza´cio ´ ugyanis le´nyegesen bonyolultabb feladat, mint a prı´m-tesztele´s. A ke´tfe´le proble´ma ko ¨zo ¨tt fenna´llo ´ nagysa´grendekben me´rhet˝ o ku ¨ lo ¨nbse´get haszna´lta´k ki azok a matematikusok, akik a modern, nyilva´nos kulcsu ´ titkosı´ra´srendszerek alapjait kidolgozta´k. A keve´sse´ biztonsa´gos elektronikus csatorna´kon is tova´bbku ¨ ldhet˝ o u ¨ zenetek titkosı´ta´sa´nak menete´t az 1.9. ´abra mutatja. A rendszer ke´t legfontosabb egyse´ge a ko ´dolo ´ e´s a deko ´dolo ´ program. Ilyenek megterveze´se sok id˝ ot e´s fa´radsa´got ige´nyel, nem lenne teha´t ce´lszer˝ u, ha minden felhaszna´lo ´ sza´ma´ra ku ¨ lo ¨n, saja´tbeja´ratu ´ rendszert tervezne´nek. Mindenki, akinek ilyenre van szu ¨ kse´ge, ugyanazt a ko ´dolo ´/deko ´dolo ´ programot va´sa´rolhatja meg, a biztonsa´got – mind a felado ´, mind a cı´mzett sza´ma´ra – egy numerikus kulcs nyu ´ jtja, ez ´altala´ban egy sza´zna´l is to ¨bb jegy˝ u sza´m. Ez teha´t a f˝ o-titok, amelyet meg kell tartani, amelyen a rendszer biztonsa´ga alapul, s amelyet, ez okna´l fogva, a felhaszna´lo ´k viszonylag gyakran megva´ltoztatnak. Azonban ro ¨gvest ado ´dik egy komoly proble´ma: hogyan ossza´k meg egyma´ssal a f˝ o-titkot? Nyilva´n nem ku ¨ ldhetik el azon a csatorna´n, amelyet e´ppen a titkosı´ta´s re´ve´n akarnak biztonsa´gossa´ tenni. Az egyetlen szo ´ba jo ¨het˝ o mo ´dszer: egy megbı´zhato ´ hı´rno ¨k alkalmaza´sa. Ez a strate´gia ko ¨vethet˝ o ugyan, ha csupa´n ke´t fe´lr˝ ol van szo ´, de teljesen hasznavehetetlen, ha – mondjuk – a vila´g bankjai e´s kereskedelmi va´llalkoza´sai ko ¨zo ¨tt akarjuk megvalo ´sı´tani a biztonsa´gos informa´cio ´tova´bbı´ta´st. Ma´rpedig az u ¨ zleti vila´gban alapko ¨vetelme´ny, hogy az adatok a lehet˝ o leggyorsabban, mindazona´ltal a legteljesebb diszkre´cio ´ mellett jussanak el a tranzakcio ´kban re´sztvev˝ o felekhez.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

44

A sza´mokkal sza´molnunk kell

Ezen nehe´zse´g leku ¨ zde´se´t t˝ uzte ki ce´lul ke´t matematikus, Whitfeld Diffie e´s Martin Hellman, akik 1975-ben ´alltak el˝ o a nyilva´nos kulcsu ´ titkosı´ra´s (Public Key Cryptosystem, PKS) gondolata´val. Ebben a rendszerben minden u ¨ zenetku ¨ ld˝ o ke´t kulcsot haszna´l, egy ko ´dolo ´ e´s egy deko ´dolo ´ kulcsot, az els˝ ot nyilva´nossa´gra hozza´k, teha´t mindenki sza´ma´ra ele´rhet˝ o. (Napjainkban sokan a honlapjukon is ko ¨zze´teszik.) Ezek uta´n ba´rki, aki az A szeme´lynek akar u ¨ zenni, csak leto ¨lti A kulcsa´t, ko ´dolja az u ¨ zenetet e´s elku ¨ ldi. A azta´n saja´t, titkos deko ´dolo ´ kulcsa segı´tse´ge´vel fejti meg az u ¨ zenetet. Az alapgondolat egyszer˝ u, a megvalo ´sı´ta´s azonban sok buktato ´t rejtett. A Diffie e´s Hellman ´altal kidolgozott va´ltozatro ´l hamarosan kideru ¨ lt, kora´ntsem olyan biztonsa´gos, amilyennek gondolta´k. Nem sokkal ke´s˝ obb Ronald Rivest, Adi Shamir e´s Leonard Adleman kiku ¨ szo ¨bo ¨lte´k a csorba´t, s rendszeru ¨ ket, amely nevu ¨k kezd˝ obet˝ ui uta´n az RSA nevet viseli, azo ´ta sze´les ko ¨rben alkalmazza´k a pe´nzu ¨ gyi vila´gban. (A kereskedelmi forgalomban ma´r specia´lis RSA-chipekkel is tala´lkozunk.) Az ala´bbiakban ro ¨viden ezt mutatjuk be. A nyilva´nos kulcsu ´ titkosı´ta´s rendszere´nek tervez˝ oi a ko ¨vetkez˝ o proble´ma´val szembesu ¨ lnek. A titkosı´to ´-ko ´dnak olyannyira el kell torzı´tania az u ¨ zenetet, hogy azt avatatlan szeme´ly, aki a deko ´dolo ´-kulccsal nem rendelkezik, ne legyen ke´pes elolvasni. Mivel azonban a rendszer – mint minden titkosı´ra´s – megko ¨veteli, hogy az igazi cı´mzett valo ´ban ke´pes legyen megfejteni az u ¨ zenetet, a ke´t kulcs ko ¨zo ¨tt valamife´le matematikai kapcsolatnak kell fenna´llnia. A cı´mzett rendszere a titkosı´ta´s to ¨ke´letes felolda´sa´t ve´gzi el, ´gy ı – elvben legala´bbis – lehetse´ges, hogy a ko ´dola´shoz haszna´lt kulcs e´s a program m˝ uko ¨de´se´nek ismerete´ben (uto ´bbi minden e´rdekl˝ od˝ o sza´ma´ra ele´rhet˝ o) valaki a deko ´dola´s kulcsa´t is ke´pes megfejteni. A nagy o ¨tlet az, hogy ez a lehet˝ ose´g te´nyleg csupa´n elvi, a priva´t kulcsot gyakorlatilag lehetetlen megfejteni. Az RSA-rendszerben a cı´mzett titkos ko ´dja ke´t, igen nagy, mondjuk 75-jegy˝ u prı´msza´mbo ´l ´all. Az u ¨ zenet ko ´dola´sa (hozza´vet˝ olegesen) e ke´t sza´m szorzata´n, a deko ´dola´s viszont (u ´ jfent csak hozza´vet˝ oleg) a 150-jegy˝ u szorzat prı´mte´nyez˝ os felbonta´sa´n alapul, olyan feladaton teha´t, amelynek megolda´sa a tudoma´ny e´s a technika mai ´alla´sa szerint gyakorlatilag lehetetlen. (A rendszer le´nyege´ben a kis Fermat-te´tel egy ´altala´nosı´ta´sa´ra e´pu ¨ l.) Megsejteni ko ¨ nny˝ u, bizonyı´tani nehe ´z A terme´szetes sza´moke´ az egyik leghe´tko ¨znapibb, mindenki sza´ma´ra ko ¨nnyede´n megragadhato ´ matematikai struktu ´ ra, e rendszerben teha´t ko ¨nnyede´n megla´thatjuk a legku ¨ lo ¨nfe´le´bb minta´zatokat. El˝ ofordul azonban, me´ghozza´ nem is csak elve´tve, hogy e „megla´ta´sok” szigoru ´ bizonyı´ta´sa a legkeve´sbe´ sem egyszer˝ u feladat. A prı´msza´mokra vonatkozo ´an az e´vsza´zadok sora´n sza´mos olyan sejte´st fogalmaztak meg, amelyek a mai napig ellena´llnak a bizonyı´ta´si kı´se´rleteknek. Els˝ o pe´lda´nk a Goldbach-sejte´s, amelyet Christian Goldbach fogalmazott meg egy Eulerhez ´rott ı levele´ben, 1742-ben. Eszerint minden 2-ne´l nagyobb pa´ros

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Megsejteni ko ¨nny˝ u, bizonyı´tani nehe´z

45

sza´m felı´rhato ´ ke´t prı´msza´m o ¨sszegeke´nt. Az els˝ o ne´ha´ny pa´ros sza´mra ez nyilva´nvalo ´an igaz: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, stb. Ellenpe´lda´ra – persze sza´mı´to ´ge´pek segı´tse´ge´vel – millia´rdos nagysa´grendig sem akadtak. S me´gis, t˝ unjo ¨n ba´rmily egyszer˝ unek, a mai napig senkinek sem sikeru ¨ lt sem az ´allı´ta´st, sem a tagada´sa´t bizonyı´tani. Egy ma´sik, ugyancsak egyszer˝ u proble´ma, amely ellenszegu ¨ l minden pro ´ba´lkoza´snak, az ikerprı´mek sza´ma´ra vonatkozik: van-e ve´gtelen sok olyan prı´msza´mpa´r, amelyek ku ¨ lo ¨nbse´ge 2? Ilyen pe´lda´ul a 3 e´s az 5, a 11 e´s a 13, a 17 e´s a 19, vagy – kisse´ tova´bbmenve – a 1 000 000 000 061 e´s a 1 000 000 000 063. Harmadik pe´lda´nk Fermat korta´rsa, Marin Mersenne francia szerzetes neve´hez f˝ uz˝ odik. 1644-es, Cogitata Physica-Matematica cı´m˝ u ko ¨nyve´ben Mersenne azt ´allı´tja, hogy amennyiben n a 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 sza´mok valamelyike, akkor

Mn = 2n − 1 prı´msza´m, viszont valamennyi, a fentiekt˝ ol ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o 257-ne´l kisebb n esete´n Mn o¨sszetett. Hogy Mersenne mike´nt jutott el ehhez az eredme´nyhez, s˝ ur˝ u homa´ly fedi, az igazsa´gto ´l mindazona´ltal nem ja´rt messze. A sza´molo ´ge´pek megjelene´se´vel lehet˝ ose´g nyı´lt arra, hogy sejte´se´t ellen˝ orizze´k, s kideru ¨ lt, mindo ¨ssze o ¨t esetben te´vedett: M67 e´s M257 valo ´ja´ban nem prı´mek, M61 , M89 e´s M107 viszont azok. ´ sza´mokat ma Mersenne-sza´moknak nevezzu ¨ k. Az els˝ o ne´ha´nyat Az Mn alaku ko ¨zu ¨ lu ¨ k szemu ¨ gyre ve´ve, az a sejte´su ¨ nk ta´madhat, hogy valaha´nyszor n prı´m, Mn is az:

M2 M3 M5 M7

= 22 − 1 = 3 = 23 − 1 = 7 = 25 − 1 = 31 = 27 − 1 = 127

A minta´zat azonban nem folytato ´dik: M11 = 2 047 = 23 · 89. A ko ¨vetkez˝ o Mersenne-prı´mek: M31 , M61 , M89 , M107 e´s M127 . Valo ´ja´ban a sejte´snek e´ppen a megfordı´ta´sa igaz: Mn csak akkor lehet prı´m, ha n is az, s ez egyszer˝ u algebrai sza´mola´ssal bizonyı´thato ´. Ha teha´t Mersenneprı´meket keresu ¨ nk, elegend˝ o, ha csupa´n azokat az Mn Mersenne-sza´mokat vizsga´ljuk, amelyekne´l n maga is prı´msza´m. Fo ¨lvet˝ odhet a ko ¨vetkez˝ o sejte´s is: Mn tala´n prı´m valamennyi olyan esetben, amikor n maga is Mersenne-prı´m. Amint azonban ele´rju ¨ k az M13 = 8 191 Mersenne-prı´met, e minta´zat is megto ¨rik: a 2 466 sza´mjegyb˝ ol ´allo ´ M8 191 ma´r o ¨sszetett sza´m. Mersenne-prı´mek kerese´se´t ko ¨nnyı´ti meg a Lucas – Lehmer-teszt, amely egyszer˝ u, megbı´zhato ´ e´s ko ¨nnyen programozhato ´ mo ´dszer annak eldo ¨nte´se´re, vajon egy Mersenne-sza´m prı´m-e vagy sem. Az ARLCP-teszttel szemben a Lucas –

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

46

A sza´mokkal sza´molnunk kell

Lehmer-teszt csak az Mn alaku ´ sza´mokra m˝ uko ¨dik, mı´g azonban az el˝ obbi legfo ¨ljebb kb. ezerjegy˝ u sza´mokra alkalmazhato ´, az uto ´bbival olyan gigantikus me´ret˝ u sza´mok prı´m-volta´t is sikeru ¨ lt igazolni, mint M3 021 377 . E te´ny 1988-as felfedeze´se Roland Clarkson, 19 e´ves kaliforniai matematikarajongo ´ e´rdeme. Az e´vko ¨nyvekbe is bekeru ¨ lt eredme´nyhez egy, a ha´lo ´zatro ´l leto ¨lu sza´m a harmincheto ¨tt program futtata´sa´val jutott el; a pontosan 909 526-jegy˝ tedik a Mersenne-prı´mek sora´ban. Mekkora sza´m az, amelyik ko ¨zel egymillio ´ sza´mjegyb˝ ol ´all? Kinyomtatva megto ¨ltene egy 500 oldalas ko ¨nyvet, ha egy sorba ´rna ı ´nk le, mintegy ke´t e´s fe´l kilome´ter hosszu ´ lenne, ha pedig ki akarna´nk mondani, egy ho ´napig tartana, napi nyolc o ´ra besze´ddel sza´molva. Clarkson sza´mı´to ´ge´pe´n ke´t hetet vett ige´nybe a sza´mı´ta´s, amelyet David Slowinski, vetera´n prı´mvada´sz ellen˝ orzo ¨tt. Slowinski, aki kora´bban szinte´n birtokolta egy ideig a legnagyobb ismert prı´m megtala´lo ´ja´nak bu ¨ szke cı´me´t, a Cray Research munkata´rsa, s egy Cray T90 tı´pusu ´ szupersza´mı´to ´ge´pen futtatta le ugyanazt a programot. Clarkson azon ne´gyezer o ¨nke´ntes egyike, akik szabad sza´mı´to ´ge´pes kapacita´sukat Mersenne-prı´mek kerese´se´re haszna´lja´k. Szervezetu ¨ ket, a GIMPS-et (Great Internet Mersenne Prime Search, Nagy Internetes Mersenne-Prı´m Kutata´s) George ˝ ´rja Woltman, a floridai Orlando ´ban e´l˝ o programozo ´ ira´nyı´tja, o ı e´s terjeszti a kutata´sban haszna´lt szoftvereket. Azel˝ ott a prı´mvada´szat a szupersza´mı´to ´ge´pek arisztokratikus kiva´ltsa´ga volt, ha azonban szeme´lyi sza´mı´to ´ge´pek ezreit a vila´gha´lo ´n o ¨sszekapcsolja´k, egyu ¨ ttes ereju ¨ k a vila´g legnagyobb ge´peinek teljesı´tme´nye´t is felu ¨ lmu ´ lhatja. Woltman 1996-ban indı´totta el a mozgalmat, amelyhez ro ¨vid id˝ o alatt sokan csatlakoztak. A matematikatana´rok – u ´ gy az ´altala´nos, mint a ko ¨ze´piskola´k oktato ´i – a GIMPS megismertete´se´vel pro ´ba´lja´k dia´kjaikban fele´breszteni a lelkesede´st a matematika ira´nt. Az Intel valamennyi Pentium II e´s Pentium Pro chipje´t e program segı´tse´ge´vel teszteli, miel˝ ott kereskedelmi forgalomba hozna´. Clarkson felfedeze´se ma´r a GIMPS harmadik nagy sikere. 1996-ban a szervezet francia tagja, Joel Armengaud ´allı´totta be a rekordot, az M1 398 269 Mersenne˝ ko prı´mmel, s az 1997-es csu ´ cstarto ´ is az o ¨ru ¨ kb˝ ol keru ¨ lt ki: az angol Gordon Spence, M2 976 221 -gyel. Hogy le´tezik-e ve´gtelen sok Mersenne-prı´m, nem tudjuk. A nagy Fermat-te ´tel A ko ¨nnyen megsejthet˝ o - nehezen bizonyı´thato ´ proble´ma´k sora´t me´g hosszan folytathatna´nk, ehelyu ¨ tt azonban megele´gszu ¨ nk azzal, hogy bemutatjuk a leghı´resebbet: a nagy Fermat-te´telt. Minden ke´tse´get kiza´ro ´an Pitagorasz te´tele mellett ez a matematika legnevezetesebb te´tele, amely to ¨bb mint ha´rom e´vsza´zadon keresztu ¨ l dacolt a kihı´va´ssal, s csak a ko ¨zelmu ´ ltban, 1994-ben sikeru ¨ lt bebizonyı´-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nagy Fermat-te´tel

47

tani. Neve´t Fermat uta´n kapta, aki els˝ oke´nt mondta ki, s aki, ha szava´nak hitelt adunk, be is tudta bizonyı´tani. S ba´r ´allı´to ´lagos bizonyı´ta´sa soha nem keru ¨ lt napvila´gra, me´gis Fermat utolso ´ te´teleke´nt kezdte´k emlegetni. A to ¨rte´net 1670-ben, o ¨t e´vvel Fermat hala´la uta´n kezd˝ odo ¨tt. Fia, Samuel ez id˝ o ta´jt apja jegyzetein dolgozott, melyeket ko ¨nyv forma´ja´ban sza´nde´kozott megjelentetni. A feljegyze´sek ko ¨zo ¨tt bukkant ra´ Diophantosz Aritmetika´ja´nak 1621es, Claude Bachet ´altal szerkesztett kiada´sa´ra, amelyben az eredeti go ¨ro ¨g szo ¨veg mellett a latin fordı´ta´s is helyet kapott. Diophantosz munka´ja´t ez a kiada´s tette ismertte´ a m˝ uvelt euro ´pai ko ¨zo ¨nse´g el˝ ott, s a ko ¨nyv margo ´ja´ra ´rt ı megjegyze´sek alapja´n nyilva´nvalo ´, hogy a nagy francia amat˝ or sza´melme´leti e´rdekl˝ ode´se´t a Kr. e. 3. sza´zadban e´lt mester eredme´nyeinek tanulma´nyoza´sa keltette fel. E lapsze´li jegyzetek ko ¨zu ¨ l Samuel to ¨bbet – sza´m szerint negyvennyolcat – fontosnak, de legala´bbis e´rdekesnek tala´lt, s elhata´rozta, apja jegyzeteivel ella´tva u ´ jra kiadja Diophantosz m˝ uve´t. A Megjegyze´sek Diophantosz Aritmetika´ja´hoz cı´met visel˝ o sorozat ma´sodik tagja az Aritmetica II. ko ¨nyve´nek 8. feladata´hoz f˝ uzo ¨tt kommenta´rro ´l van itt szo ´. A szo ´ban forgo ´ feladat ´gy ı szo ´l: „Adott egy ne´gyzetsza´m; ´rjuk ı fel ke´t ma´sik ne´gyzetsza´m o ¨sszegeke´nt.” Az algebra jelo ¨le´se´t haszna´lva, a ko ¨vetkez˝ or˝ ol van szo ´: a z sza´mhoz keressu ¨ nk olyan – z-t˝ ol ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o – x e´s y sza´mokat, amelyekkel

z2 = x2 + y 2 . Fermat a feladathoz az ala´bbi megjegyze´st f˝ uzte: Ma´sre´szr˝ ol, egy ko ¨bsza´mot lehetetlen felı´rni ke´t ko ¨bsza´m o ¨sszegeke´nt, mike´nt egy negyedik hatva´nyt ke´t negyedik hatva´ny o ¨sszegeke´nt, s ´altala´ban: tetsz˝ oleges olyan hatva´nyt, amelynek kitev˝ oje kett˝ one´l nagyobb, nem lehet ´ llı´ta´somat igaza´n ke´t ugyanolyan kitev˝ oj˝ u hatva´ny o ¨sszege´re felbontani. A csoda´latos bizonyı´ta´ssal tudom ala´ta´masztani, amelynek leı´ra´sa´ra e margo ´n nincs elegend˝ o hely. ´ jfent a modern jelo U ¨le´st haszna´lva, Fermat ´allı´ta´sa szerint a

zn = xn + y n egyenletnek az ege´sz sza´mok ko ¨re´ben nincs megolda´sa, amennyiben n nagyobb, mint 2. (A matematikusok a trivia´lis megolda´sokto ´l, amelyben az ismeretlenek valamelyike 0, nagyvonalu ´ an eltekintenek.) ´Igy kezd˝ odo ¨tt teha´t a to ¨rte´net, amely csak 1994-ben e´rt ve´get. Matematikusok nemzede´kei, hivata´sosok e´s amat˝ oro ¨k egyara´nt, e´vsza´zadokon keresztu ¨l pro ´ba´lkoztak a te´tel bizonyı´ta´sa´val, ha nem is felte´tlenu ¨ l azon bizonyı´ta´s megkerese´se´vel, amelyet – esetleg – Fermat is megtala´lt. Manapsa´g a legto ¨bben u ´ gy ve´lekednek, Fermat valo ´szı´n˝ uleg te´vedett, s a ke´s˝ obbiekben feltehet˝ oen vissza is vonta kijelente´se´t. Lapsze´li megjegyze´se´t mindazona´ltal nem sza´nde´kozta ko ¨zszemle´re tenni, ´gy ı semmi oka nem volt arra, hogy valamike´ppen eltu ¨ ntesse, mi-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

48

A sza´mokkal sza´molnunk kell

uta´n ra´jo ¨tt, hogy brilia´ns bizonyı´ta´sa´ba hiba csu ´ szott. Annyit mindenke´ppen meg kell jegyeznu ¨ nk, hogy a ha´romsza´z e´vvel ke´s˝ obbi bizonyı´ta´s a matematika olyan teru ¨ leteire ta´maszkodik, amelyek Fermat kora´ban me´g ismeretlenek voltak (s ez olyannyira ´gy ı van, hogy a bizonyı´ta´s ko ¨nyvem egy jo ´val ke´s˝ obbi fejezete´ben keru ¨ l csak u ´ jra szo ´ba). Annak, hogy Fermat te´nylegesen bebizonyı´totta-e sejte´se´t, a to ¨rte´net szempontja´bo ´l nincs ku ¨ lo ¨no ¨sebb jelent˝ ose´ge. Gondoljuk csak meg: egy 17. sza´zadi m˝ ukedvel˝ o matematikus bejelenti, megoldott egy proble´ma´t, amely azuta´n ha´romsza´z e´ven keresztu ¨ l ellena´ll a vila´g legzsenia´lisabb elme´i pro ´ba´lkoza´sainak. Ha mindehhez hozza´vesszu ¨ k, hogy Fermat sejte´seinek tu ´ lnyomo ´ to ¨bbse´ge igaznak bizonyult, valamint, hogy az ´allı´ta´s olyannyira egyszer˝ u, hogy ba´rmelyik kisiskola´s ko ¨nny˝ uszerrel mege´rtheti, a Fermat-te´tel vila´graszo ´lo ´ hı´rneve ma´ris maga´to ´l e´rtet˝ od˝ onek t˝ unik. Ma´r csak hab a torta´n a sza´mos pe´nzjutalom, amelyet az els˝ o helyes bizonyı´ta´se´rt t˝ uztek ki. 1816-ban a Francia Tudoma´nyos Akade´mia t˝ uzo ¨tt ki pe´nzjutalmat, amelyet egy aranybo ´l ke´szu ¨ lt e´rme´vel is megtoldottak, a go ¨ttingeni Kira´lyi Tudoma´nyos Akade´mia u ´ gyszinte´n magas o ¨sszeget aja´nlott fel, a Wolfskehl-dı´jat (amelynek e´rte´ke 1997-ben, amikor ve´gu ¨ l kiosztotta´k, 50 000 dolla´rra ru ´ gott). A te´tel vara´zsa´t pontosan az adja, hogy olyan hosszu ´ ideig ellena´llt a pro ´ba´lkoza´soknak, u ´ gy t˝ unik ugyanis, hogy sem a matematika, sem a he´tko ¨znapi e´let teru ¨ lete´n nincs semmife´le komolyabb ko ¨vetkezme´nye. Fermat lapsze´li megjegyze´se mindo ¨ssze annyit ´allı´tott, hogy bizonyos minta´zat, amely a ne´gyzetsza´mok ko ¨zo ¨tt me´g fenna´ll, magasabb kitev˝ oj˝ u hatva´nyok esete´ben ma´r nem mutathato ´ ki: s ez tiszta´n „akade´mikus” proble´ma. Ha egy ro ¨vid bizonyı´ta´ssal ve´gleg tiszta´zta volna, a ke´rde´st az eljo ¨vend˝ o korok ke´ziko ¨nyvei nem e´rdemesı´tette´k volna to ¨bbre egy futo ´ la´bjegyzetne´l. S me´gis: ha a proble´ma jo ´val kora´bban megoldo ´dott volna, a matematika ma sokkal szege´nyebb lenne, a bizonyı´ta´si kı´se´rletek ugyanis olyan fogalmak e´s technika´k kidolgoza´sa´hoz vezettek, amelyek matematikai jelent˝ ose´ge messze meghaladja az eredeti ´allı´ta´se´t. S mikor ve´gu ¨ l megszu ¨ letett a megolda´s, Andrew Wiles angol matematikus dics˝ ose´ge´t hirdetve, kideru ¨ lt: Fermat utolso ´ te´tele egyszer˝ u folyoma´nya olyan nagy jelent˝ ose´g˝ u eredme´nyeknek, amelyek a matematika vadonatu ´ j teru ¨ letei el˝ ott nyitnak utat. A „Fermat-Saga” els˝ o fejezetei Diophantosz Aritmetika´ja´nak szo ´ban forgo ´ feladata, amellyel to ¨rte´netu ¨ nk kezd˝ odik, ´gy ı szo ´l: keressu ¨ k meg a

z2 = x2 + y 2 egyenlet ege´sz megolda´sait. A proble´ma nyilva´nvalo ´ kapcsolatban ´all Pitagorasz te´tele´vel. A geometria nyelve´n a proble´ma´t ekke´ppen is megfogalmazhatjuk:

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A „Fermat-Saga” els˝ o fejezetei

49

1.10. a ´ bra. 3, 4 e´s 5 hosszu ´ sa´gu ´ szakaszokbo ´l dere´kszo ¨g szerkeszthet˝ o. Van-e olyan dere´kszo ¨g˝ u ha´romszo ¨g, amelyben mindha´rom oldal hosszu ´ sa´ga´nak me´r˝ osza´ma ege´sz sza´m? A va´lasz igen; jo ´l ismert megolda´s pe´lda´ul az x = 3, y = 4, z = 5 sza´mha´rmas:

32 + 42 = 52 . E megolda´st ma´r az o ´kori egyiptomiak is ismerte´k, e´pı´te´szeik ilyen oldalhosszu ´sa´gu ´ ha´romszo ¨gekkel jelo ¨lte´k ki a dere´kszo ¨geket. Mo ´dszeru ¨ k a ko ¨vetkez˝ o volt: tizenke´t egyenl˝ o hosszu ´ sa´gu ´ zsineget hurok forma´ban o ¨sszeko ¨to ¨ttek, amelyet az egyik csomo ´na´l a tervezett dere´kszo ¨g csu ´ csa´hoz illesztettek. Ezuta´n a szo ¨g egyik oldala´n ha´rom, a ma´sikon ne´gy o ¨sszeko ¨to ¨tt zsinegdarabot feszı´tettek ki: akkor kaptak to ¨ke´letes dere´kszo ¨get ha a marade´k o ¨t egyse´g hosszu ´ sa´gu ´ re´sz is megfeszu ¨ lt. (L. az 1.10. ´abra´t.) A mo ´dszer valo ´ja´ban nem Pitagorasz te´tele´nek, hanem a te´tel megfordı´ta´sa´nak alkalmaza´sa. Ez uto ´bbi szerint amennyiben egy ha´romszo ¨g a, b e´s h oldala´ra fenna´ll a

h2 = a2 + b2 , egyenl˝ ose´g, akkor a ha´romszo ¨g h-val szemko ¨zti szo ¨ge dere´kszo ¨g. Ez az ´allı´ta´s az Elemek I.48. sza´mu ´ te´tele, maga a Pitagorasz-te´tel a megel˝ oz˝ o, I.47. sorsza´mu ´. ¨ li megolda´s? Nem kell sokat gondolVajon a 3, 4, 5 sza´mha´rmas az egyedu kodnunk, hogy ra´jo ¨jju ¨ nk: nyilva´nvalo ´an nem. Ha ugyanis van egy megolda´sunk, akkor ve´gtelen sok is van, hiszen egy jo ´ sza´mha´rmas valamennyi tagja´t ugyanazzal a sza´mmal megszorozva, megint csak jo ´ sza´mha´rmast kapunk. A szo ´ban forgo ´ megolda´sbo ´l teha´t azonnal megkapjuk az x = 6, y = 8, z = 10, az x = 9, y = 12, z = 15 stb. megolda´sokat. Hogy az effe´le trivia´lis megolda´sokkal ne kelljen foglakoznunk, ke´rdezzu ¨ k inka´bb azt: vannak-e az egyenletnek olyan tova´bbi megolda´sai, amely sza´mha´rma¨zo ¨s oszto ´ja? Az ilyeneket nevezzu ¨ k primitı´v sokban x-nek, y-nak e´s z-nek nincs ko megolda´soknak.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

50

A sza´mokkal sza´molnunk kell

Vajon a 3, 4, 5 sza´mha´rmas adja az o ¨sszes primitı´v megolda´st? A va´lasz megint csak nem, e´s megint csak ko ¨zismert pe´lda´kkal ta´maszthato ´ ala´: x = 5, y = 12, z = 13 e´s x = 8, y = 15, z = 17 ugyancsak primitı´v megolda´sok. A primitı´v megolda´sok sza´ma valo ´ja´ban ve´gtelen, s olyan minta´zatot ko ¨vetnek, amely ma´r az Elemek szerz˝ oje el˝ ott is ismert volt. Feladatunk o ¨sszes primitı´v megolda´sa´t az

x = 2st,

y = s2 − t2 ,

z = s 2 + t2

formula´k adja´k meg, amelyekben s e´s t tetsz˝ oleges olyan terme´szetes sza´mok, amelyekre: 1. s > t; ¨zo ¨s prı´mte´nyez˝ oje; 2. s-nek e´s t-nek nincs ko ¨zu ¨ l az egyik pa´ros, a ma´sik pa´ratlan. 3. s e´s t ko Az egyenlet minden primitı´v megolda´sa ilyen alakba ´rhato ı ´, alkalmas s e´s t sza´mokkal. Visszate´rve Fermat-hoz, okunk van felte´telezni, hogy az n = 4 esetre te´nylegesen bizonyı´tani tudta ´allı´ta´sa´t, vagyis be tudta la´tni, hogy a

h4 = a4 + b4 egyenletnek nincs ege´sz megolda´sa. Az ´altala ha´trahagyott ne´ha´ny bizonyı´tott te´tel egyike ugyanis azt mondja ki, hogy amennyiben egy dere´kszo ¨g˝ u ha´romszo ¨g oldalai mind ege´sz sza´mok, akkor a ha´romszo ¨g teru ¨ lete nem lehet ne´gyzetsza´m. E te´tel ko ¨nny˝ u korolla´riumake´nt ado ´dik, hogy a

z4 = x4 + y 4 egyenlet nem oldhato ´ meg az ege´sz sza´mok ko ¨re´ben, s nem kiza´rt, hogy e te´tel – kifejezetten o ¨tletes – bizonyı´ta´sa´t az „utolso ´ te´tele´hez” vezet˝ o le´pe´sek egyike´nek tekintette. A ha´romszo ¨gteru ¨ letekre vonatkozo ´ eredme´nye´nek alapo ¨tlete a ko ¨vetkez˝ o: megmutatta, hogy ha lenne´nek olyan x, y e´s z terme´szetes sza´mok, amelyekre egyre´szt

z2 = x2 + y 2 , ma´sre´szt valamely u terme´szetes sza´mra

1 xy = u2 2 is fenna´ll (az uto ´bbi egyenl˝ ose´g e´ppen azt fejezi ki, hogy a ha´romszo ¨g teru ¨ lete´nek me´r˝ osza´ma ne´gyzetsza´m), akkor meg lehetne adni egy u ´ jabb, a fenti ko ¨vetelme´nyeknek u ´ gyszinte´n eleget tev˝ o x1 , y1 , z1 , u1 sza´mne´gyest is, me´ghozza´ olyat, amelyben z1 < z.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A „Fermat-Saga” els˝ o fejezetei

51

Ugyanezt a gondolatmenetet me´g egyszer alkalmazva kapjuk, hogy vannak to´ban ´allnak, va´bbi x2 , y2 , z2 , u2 sza´mok, amelyek egyma´ssal ugyanabban a rela´cio s ahol z2 < z1 . Az elja´ra´s azonban ve´g ne´lku ¨ l folytathato ´. Ve´geredme´nyben terme´szetes sza´mok olyan ve´gtelen z, z1 , z2 , z3 , . . . sorozata´hoz jutunk, amelyben

z > z1 > z2 > z3 > . . . Ilyen sorozat azonban nem le´tezik: egyszer el kell e´rnie az 1-hez, s akkor nincs tova´bb. Nem le´tezik teha´t a fenti tulajdonsa´gu ´ sza´mha´rmas, s Fermat e´ppen ezt akarta bizonyı´tani. Az ime´nt leı´rt mo ´dszer – e´rthet˝ o okokbo ´l – Fermat-fe´le ve´gtelen lesza´lla´s ne´ven keru ¨ lt be a ko ¨ztudatba. Szoros kapcsolatban ´all a matematikai indukcio ´val, amely a terme´szetes sza´mokra vonatkozo ´ te´telek bizonyı´ta´sa´nak igen hata´sos eszko ¨ze, s amelynek le´nyege´vel a kedves Olvaso ´ a ko ¨vetkez˝ o fejezetben ismerkedhet meg. Miuta´n az n = 4 esetre a te´telt ma´r bizonyı´tani tudta´k, a matematikusok hamar e´szrevette´k, hogy amennyiben a te´telt minden prı´m kitev˝ ore bela´tna´k, akkor abbo ´l azonnal ko ¨vetkezne a tetsz˝ oleges kitev˝ ore vonatkozo ´ ´altala´nos eredme´ny. A hı´res te´tel sze´preme´ny˝ u bizonyı´to ´i ett˝ ol fogva kiza´ro ´lag a prı´mkitev˝ oj˝ u esetekkel pro ´ba´ltak elba´nni. Az els˝ o valo ´di el˝ orele´pe´s Euler neve´hez f˝ uz˝ odik, aki 1753-ban ´allt el˝ o azzal, hogy sikeru ¨ lt bizonyı´ta´st tala´lnia az n = 3 esetre. Bizonyı´ta´sa´t ugyan su ´ lyos te´˝ neve´hez kapcsolja´k. A hiba forra´sa vede´s ´arnye´kolja be, az eredme´nyt me´gis az o egy felteve´s, amelyet Euler – te´vesen – a prı´mte´nyez˝ os felbonta´sra ´altala´nosan igaznak tekintett. A felteve´s ugyan bizonyı´thato ´ az n = 3 esetre, valamennyi prı´mte´nyez˝ ore azonban ma´r nem, s ez az a pont, ahol sza´mos ke´s˝ obbi, az euleri vonalvezete´st ko ¨vet˝ o bizonyı´ta´s za´tonyra futott. 1825-ben Euler gondolatmenete´t ko ¨vetve, de a faktoriza´cio ´ra vonatkozo ´ euleri te´vede´st elkeru ¨ lve Peter Gustav Lejeune Dirichlet e´s Adrien-Marie Legendre egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenu ¨ l bela´tta´k Fermat te´tele´t az n = 5 esetre. 1839-ben Gabriel Lame´ – me´g mindig ugyanazon megko ¨zelı´te´s alapja´n – bela´tta a te´telt n = 7-re, bizonyı´ta´sa azonban olyannyira bonyolult volt, hogy ma´r arra sem la´tszott reme´ny, hogy ugyanezen az u ´ ton tova´bb haladva aka´r a ko ¨vetkez˝ o le´pe´s, az n = 11 megtehet˝ o lenne, egy minden prı´mre e´rve´nyes, hasonlo ´ vonalvezete´s˝ u bizonyı´ta´s megtala´la´sa pedig egyenesen kila´ta´stalan feladatnak t˝ unt. A ko ¨vetkez˝ o le´pe´s a bizonyı´ta´sok ´altala´nos minta´zata´nak felta´ra´sa´n alapult, amelyet egyfajta visszale´pe´ske´nt foghatunk fel a fa´k finomstruktu ´ ra´ja´to ´l az erd˝ o magasabb rend˝ u struktu ´ ra´ja´hoz. Ebben az u ´ tto ¨r˝ o szerepet a ne´met matematikus, Ernst Kummer ja´tszotta, aki 1847-ben hozta nyilva´nossa´gra eredme´nyeit. Kummer e´szrevette, hogy bizonyos prı´mek rendelkeznek azzal a tulajdonsa´g˝ regularita´snak nevezett el, s amely tulajdonsa´g teljesu gal, amelyet o ¨ le´se elegend˝ o az Euler-tı´pusu ´ bizonyı´ta´sokhoz. Kummer ezzel valamennyi olyan esetre bizonyı´tani tudta Fermat te´tele´t, amelyben a kitev˝ o regula´ris prı´msza´m. A 100-na´l

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

52

A sza´mokkal sza´molnunk kell

kisebb prı´mek ko ¨zu ¨ l csak a 37, az 59 e´s a 67 nem regula´ris, ´gy ı egy csapa´sra megszu ¨ letett a bizonyı´ta´s 36-tal beza´ro ´lag valamennyi kitev˝ ore, valamint 37, 59 e´s 67 kive´tele´vel valamennyi 100-na´l kisebb prı´msza´m este´re. Annak definı´cio ´ja, hogy mikor tekintu ¨ nk egy prı´met regula´risnak, sza´mos ekvivalens forma´ban kimondhato ´, ezek mindegyike haszna´l azonban olyan matematikai fogalmakat, amelyeket e ponton nem ´all mo ´domban szabatosan kifejteni. Annyit mindenesetre tudnunk kell, hogy a sza´mı´to ´ge´pek segı´tse´ge´vel elve´gzett vizsga´latok alapja´n a ’80-as e´vek ve´ge´re kideru ¨ lt: a 4 000 000-na´l kisebb prı´mek tu ´ lnyomo ´ to ¨bbse´ge regula´ris. Mi to ¨bb, a 4 000 000-na´l kisebb nem regula´ris prı´mekr˝ ol kimutatta´k: valamennyi rendelkezik egy, a regularita´sna´l valamivel gyenge´bb tulajdonsa´ggal, amely mindazona´ltal ele´gse´ges a te´tel ilyen kitev˝ okre valo ´ bizonyı´ta´sa´hoz. A ’90-es e´vek eleje´n teha´t ma´r tudtuk: a nagy Fermat-te´tel (amelyet persze akkor me´g szigoru ´ an nem nevezhettu ¨ nk te´telnek) valamennyi 4 000 000na´l kisebb n esete´n igaz. Ezen a ponton bu ´ csu ´ t veszu ¨ nk a Fermat-to ¨rte´nett˝ ol, de csupa´n id˝ olegesen. A 6. fejezetben u ´ jra felvesszu ¨ k a fonalat, ott fogok besza´molni egy nevezetes 1983as felfedeze´sr˝ ol, amely a Fermat-te´tel bizonyı´ta´sa´ban a Kummer o ´ta eltelt id˝ oszak legjelent˝ osebb el˝ orele´pe´se´nek tekinthet˝ o. Sorra vesszu ¨ k majd az 1986 e´s 1994 ko ¨zo ¨tti id˝ oszak dra´mai fordulatokban b˝ ovelked˝ o eseme´nyeit, amelyek ve´gu ¨l a te´tel bizonyı´ta´sa´hoz, s ´gy ı a to ¨rte´net ve´ge´hez vezettek. A szo ´ban forgo ´ eredme´nyeket to ¨bb fejezettel ke´s˝ obbre kell halasztanunk. Ez o ¨nmaga´ban is ragyogo ´an pe´lda´zza, hogy a matematika valo ´ban a ku ¨ lo ¨nfe´le minta´zatok felismere´se´nek e´s vizsga´lata´nak tudoma´nya. Mind az 1983-as, mind az 1986 e´s 1994 ko ¨zo ¨tti eredme´nyek ugyanis a sza´moke´ito ´l alapvet˝ oen ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o – alakra e´s pozı´cio ´ra vonatkozo ´ – minta´zatokkal foglalkoznak, melyekben a ve´gtelen fogalma le´nyegi szerepet ja´tszik. A domino ´ -effektus Az el˝ oz˝ o fejezetben – Fermat ve´gtelen lesza´lla´si mo ´dszere kapcsa´n – tett ´ge ı ´retemnek megfelel˝ oen e pontban a matematikai indukcio ´ mo ´dszere´r˝ ol lesz szo ´. Az indukcio ´ mo ´dszere a matematikusok arzena´lja´nak leghate´konyabb fegyverei ko ¨ze´ tartozik. Segı´tse´ge´vel ke´t egyszer˝ u te´ny alapja´n ko ¨vetkeztethetu ¨ nk arra, hogy valamely minta´zat az o ¨sszes terme´szetes sza´mra fenna´ll. A mo ´dszer hate´konysa´ga´t senki sem vonhatja ke´tse´gbe: a ke´t eredme´ny bizonyı´ta´sa re´ve´n levonhato ´ konklu ´ zio ´ ma´r az o ¨sszes, teha´t ve´gtelen sok terme´szetes sza´mra e´rve´nyes. A mo ´dszer le´nyege´t szemle´letesen a „domino ´elv” alapja´n ragadhatjuk meg legko ¨nnyebben. Tegyu ¨ k fel, hogy a kedves Olvaso ´ e´le´re ´allı´tott domino ´kbo ´l e´pı´t egy hosszu ´ sort. Ro ¨vidı´tse P(n) azt az ´allı´ta´st, hogy az n-edik domino ´ el fog d˝ olni. La´ssuk, mike´nt gy˝ ozhetne´m meg az Olvaso ´t arro ´l, hogy valamennyi domino ´ el fog d˝ olni, hogy teha´t P(n) valamennyi szo ´ba jo ¨het˝ o n-re igaz.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A domino ´-effektus

53

Els˝ oke´nt leszo ¨gezem, hogy a domino ´k ele´g ko ¨zel ´allnak egyma´shoz, ha teha´t valamelyik eld˝ ol, akkor fel fogja do ¨nteni azt is, amelyik a sorban ko ¨zvetlenu ¨l uta´na ´all. Ro ¨vidı´tett jelo ¨le´su ¨ nket haszna´lva, ezt ekke´pp fejezhetju ¨ k ki: ha P(n) igaz, akkor P(n + 1) is igaz. Nevezzu ¨ k ezt az els˝ o sza´mu ´ informa´cio ´nak. Ma´sodszor, kijelentem, hogy az els˝ o domino ´t eldo ¨nto ¨m, ro ¨viden, hogy P(1) igaz. Ez a ma´sodik informa´cio ´. A rendelkeze´se´re ´allo ´ ke´t informa´cio ´ alapja´n az Olvaso ´ ko ¨nny˝ uszerrel levonhatja a ko ¨vetkeztete´st, miszerint valamennyi domino ´ el fog d˝ olni, ma´ske´ppen, ´t a sorban el˝ otte hogy a P(n) ´allı´ta´s minden n-re igaz (hiszen valamennyi domino ´allo ´ do ¨nti fel, amely ezuta´n feldo ¨nti az uta´na ko ¨vetkez˝ ot, amint az 1.11. ´abra mutatja). A valo ´sa´gban a domino ´k sora mindig ve´ges hosszu ´ sa´gu ´ . A bizonyı´ta´s alapgondolata azonban az ´altala´nosabb, absztrakt esetre is alkalmazhato ´, amelyben P(n) olyan tulajdonsa´got jelo ¨l, amely ba´rmely n terme´szetes sza´mro ´l e´rtelmesen ´allı´thato ´, nem u ´ gy, mint a domino ´k esete´ben. La´ssunk egy pe´lda´t az ´altala´nosabb esetre. ¨vidı´tett – terme´szetes Tegyu ¨ k fel teha´t, hogy valamely – u ´ jfent P(n)-ke´nt ro sza´mokra vonatkozo ´ minta´zatro ´l azt gyanı´tjuk, valamennyi terme´szetes sza´mra

1.11. a ´ bra. Eld˝ ol˝ o domino ´k: a matematikai indukcio ´ alapgondolata.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

54

A sza´mokkal sza´molnunk kell

jellemz˝ o. Megfigyelhetju ¨ k pe´lda´ul, hogy az els˝ o n darab pa´ratlan sza´mot o ¨sszeadva az eredme´ny mindig n2 :

1 + 3 = 4 = 22 , 1 + 3 + 5 = 9 = 32 , 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 , 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 , 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62 , e´s ´gy ı tova´bb. Az a meggy˝ oz˝ ode´su ¨ nk alakul ki, hogy e minta´zat mindig e´rve´nyben marad, azaz tetsz˝ oleges n sza´m esete´n:

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 .

Jelo ¨lju ¨ k ezt az egyenl˝ ose´get P(n)-nel. Mike´nt bizonyı´thatna´nk be, hogy a fenti o ¨sszefu ¨ gge´s minden terme´szetes sza´mra igaz? Jo ´ ne´ha´ny sza´mra ko ¨zvetlen sza´mola´s u ´ tja´n, sza´mı´to ´ge´p segı´tse´ge´vel pedig aka´r millia´rdos nagysa´grendig is ellen˝ orizhetju ¨ k. A pe´lda´k azonban semmife´le bizonyı´to ´ er˝ ovel nem bı´rnak, elve´gre nemegyszer el˝ ofordul, hogy valamely ´allı´ta´s a sza´mtalan bizonyı´to ´nak t˝ un˝ o pe´lda ellene´re is hamisnak bizonyul. A proble´ma´t az jelenti, hogy a P-vel jelo ¨lt minta´zatot ve´gtelen sok terme´szetes sza´mra kell igazolnunk, ami nyilva´n nem oldhato ´ meg u ´ gy, hogy sorra vesszu ¨ k valamennyi esetet. Ezen a ponton folyamodunk a matematikai indukcio ´ mo ´dszere´hez. Mike´nt a domino ´k esete´ben, ahhoz, hogy P(n) valamennyi terme´szetes sza´mra igaz legyen, elegend˝ o, ha a ko ¨vetkez˝ o ke´t ´allı´ta´s igaz: el˝ oszo ¨r, hogy P(n) igaz 1-re, azaz P(1) igaz, ma´sodszor, hogy amennyiben – valamely n sza´mra – P(n) igaz, akkor igaz P(n + 1) is. Ha ezeket sikeru ¨ l igazolni, ke´szen is vagyunk: P(n) minden n terme´szetes sza´mra igaz. Kezdju ¨ nk teha´t hozza´: n = 1 esete´n a szo ´ban forgo ´ egyenl˝ ose´g:

1 = 12 , s ennek az igazsa´ga´hoz nem fe´rhet ke´tse´g. Tegyu ¨ k fel most, hogy az egyenl˝ ose´g teljesu ¨ l valamely n sza´mra. (Mint ahogy feltettu ¨ k, hogy az n-edik domino ´ eld˝ ol.) Feltesszu ¨ k teha´t, hogy

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 .

A 2n − 1 uta´n ko ¨vetkez˝ o pa´ratlan sza´m 2n + 1, adjuk ezt hozza´ egyenl˝ ose´gu ¨ nk mindke´t oldala´hoz:

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1).

Elemi algebrai sza´mola´s mutatja, hogy az uto ´bbi egyenl˝ ose´gu ¨ nk jobb oldala´n (n + 1)2 ´all. Azt kapjuk teha´t, hogy

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 .

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A domino ´-effektus

55

¨sszefu ¨ gge´s. Algebrai gondolatmeneEz viszont e´ppen a P(n + 1) ´altal kifejezett o tu ¨ nk azt mutatja, hogy amennyiben P(n) igaz, u ´ gy P(n + 1) is. (Az e´rvele´s analo ´g azzal, amikor ra´mutattunk, hogy a domino ´k ele´g ko ¨zel ´allnak egyma´shoz, hogy ba´rmelyiku ¨ k, ha eld˝ ol, eldo ¨ntse az uta´na ko ¨vetkez˝ ot is.) A matematikai indukcio ´ elve alapja´n teha´t levonhatjuk a ko ¨vetkeztete´st: a P(n) ´allı´ta´s valamennyi n terme´szetes sza´mra igaz. S ez nem aka´rmi. Gondoljuk csak meg, a ve´gtelen sok

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 alaku ´ egyenl˝ ose´get semmike´ppen nem tudna´nk egyt˝ ol-egyig ellen˝ orizni, s me´gis, gondolatmenetu ¨ nk alapja´n minden ke´tse´get kiza´ro ´an bela´ttuk: valamennyi igaz. Az indukcio ´ mo ´dszere´vel teha´t ke´pesek vagyunk igazolni, hogy valamely minta´zat minden terme´szetes sza´mra e´rve´nyes. Ezzel a (tiszta) matematika kell˝ os ko ¨zepe´n tala´ljuk magunkat (a „tiszta” kifejeze´st ehelyu ¨ tt az „alkalmazott”-to ´l valo ´ elhata´rola´s ce´lja´bo ´l haszna´ljuk). A tiszta matematika m˝ uvel˝ oje minta´zatok megtala´la´sa´t t˝ uzi ki ce´lul. ´Igy ha e´szreveszi, hogy valamely tulajdonsa´g igaz az els˝ o tı´z, vagy az els˝ o sza´z terme´szetes sza´mra, azonnal felmeru ¨ l benne a ke´rde´s, igaz-e valamennyire? Megfigyele´sei vajon egy ´altala´nos to ¨rve´nyszer˝ use´g esetei? Ba´rmennyi konkre´t esetet vizsga´ljon is meg, azok semmife´le konkluzı´v er˝ ovel nem bı´rnak. Me´g ha 1 000 000-ig ellen˝ orizzu ¨ k is valamely tulajdonsa´g teljesu ¨ le´se´t, minden tova´bbi ne´lku ¨ l lehetse´ges, hogy a sorozat 1 000 001-ne´l megszakad. Sza´mos olyan minta´zatro ´l tudunk, amelyet a sza´mı´to ´ge´pek esetek millio ´ira ellen˝ oriztek, me´gis szabatos bizonyı´ta´sunk van arra, hogy – valahol, messze tu ´ l a sza´mba vett eseteken – me´gis akad ra´ ellenpe´lda. Terme´szetesen bizonyos alkalmaza´sok szempontja´bo ´l to ¨bb, mint elegend˝ o, ha az illet˝ o tulajdonsa´g fenna´lla´sa´t – mondjuk – o ¨tmillio ´ig ellen˝ oriztu ¨ k sza´mı´to ´ge´pen. A tiszta, vagyis a valo ´di matematika´ban azonban ennyivel nem ele´gedhetu ¨ nk meg: a puszta sza´mola´s o ¨nmaga´ban me´g nem matematika. A matematika a to ¨ke´letes minta´zatokat kutatja, eredme´nyei kiza´ro ´lag szigoru ´ bizonyı´ta´son alapulhatnak. Az indukcio ´ pedig a to ¨ke´letes minta´zatok megtala´la´sa´nak egyik mo ´dszere.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

2. fejezet

Elme ´s minta ´ zatok

Bizonyı´ta ´ sok, melyekhez nem fe ´rhet ke ´tse ´g Thale´sz szı´nre le´pe´se´vel a bizonyı´ta´s ko ¨vetelme´nye a matematika sine qua nonja lett. A bizonyı´ta´sok adja´k a matematikus keze´be azt az eszko ¨zt, amellyel ke´pes eldo ¨nteni, melyik ´allı´ta´s igaz (mint pe´lda´ul Pitagorasz te´tele), e´s melyik hamis. De mi is √ valo ´ja´ban egy bizonyı´ta´s? Kora´bban ma´r bemutattuk annak bizonyı´ta´sa´t, hogy 2 irraciona´lis sza´m, azaz nem ´rhato ı ´ fel ke´t ege´sz sza´m ha´nyadosake´nt. Aki csak ve´gigko ¨veti a gondolatmenetet, s minden le´pe´st alaposan meggondol, √ azonnal bela´tja, hogy valo ´ban, 2 irraciona´lis sza´m. De me´gis, mi az, ami a szo ´ban forgo ´ mondatokat bizonyı´ta´ssa´ teszi? ´ rvele´su E ¨ nket az algebrai jelo ¨le´srendszer go ¨rdu ¨ le´kenyebbe´ tette ugyan, a dolog azonban semmike´ppen sem ezen fordul meg. A bizonyı´ta´sbo ´l az algebra´nak me´g az ´arnye´ka´t is ko ¨nnyede´n kiku ¨ szo ¨bo ¨lhetne´nk, de ha minden egyes szimbo ´lum helyett a megfelel˝ o magyar kifejeze´st haszna´lna´nk, me´g mindig ugyanazon ´allı´ta´s ugyanazon bizonyı´ta´sa ´allna el˝ ottu ¨ nk! Hogy szimbolikus jelo ¨le´st haszna´lva, e´l˝ oszo ´ban vagy – esetleg – ´abra´k alapja´n bizonyı´tunk, legfo ¨ljebb a gondolatmenet hossza´t vagy e´rthet˝ ose´ge´t befolya´solhatja – annak, hogy valo ´ban bizonyı´ta´s-e vagy sem, ehhez semmi ko ¨ze. Mi teha´t egy bizonyı´ta´s? Ba´rmi, ami ke´pes meggy˝ ozni minden elegend˝ oen ke´pzett, intelligens, raciona´lis szeme´lyt. Ennek lehet˝ ose´ge kiza´ro ´lag valamife´le absztrakt minta´zaton vagy struktu ´ ra´n alapulhat, amelyet az e´rvele´s sora´n ragadunk meg. De mi is valo ´ja´ban ez az absztrakt struktu ´ ra? Ugyanezt a ke´rde´st, me´g alapvet˝ obb szinten, maga´ra a nyelvre vonatkozo ´an is feltehetju ¨ k. A nyelv ´altal kifejezhet˝ o sokfe´lese´gnek a bizonyı´ta´sok csupa´n apro ´ to ¨rede´ke´t jelentik. Mi az, aminek alapja´n e ko ¨nyv lapjain sorakozo ´ szimbo ´lumok alkalmassa´ va´lnak arra, hogy e´n, az ´ro ı ´, gondolataimat a kedves Olvaso ´ fele´ ko ¨zvetı´thessem? Mike´nt a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o szimbolizmust haszna´lo ´ bizonyı´ta´sok, a ko ¨nyv ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o nyelveken megjelen˝ o kiada´sai me´g mindig ugyanazokat a gondolatokat ko ¨zvetı´tik, a va´lasz teha´t most sem alapulhat a lapok e´s a bet˝ uk valamely

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

58

Elme´s minta´zatok

konkre´t, fizikai tulajdonsa´ga´n, mike´nt a gondolatot ko ¨zvetı´t˝ o nyelv saja´tossa´gain sem: u ´ jfent absztrakt struktu ´ ra´ro ´l van szo ´, amelyet a ko ¨nyv bet˝ uihez ta´rsı´tunk. Mi ez az absztrakt struktu ´ ra? Emberi le´nyek le´ve´n, valamennyien ke´pesek vagyunk olyan absztrakt minta´zatok felismere´se´re e´s haszna´lata´ra, amelyek nincsenek jelen a fizikai vila´gban, viszont me´lyen bee´pu ¨ ltek gondolkoda´sunkba e´s azokba a forma´kba, melyeket ko ¨vetve gondolatainkat megosztjuk egyma´ssal. Az arisztotele ´szi logikai minta ´ zatok A bizonyı´ta´sokban el˝ ofordulo ´ minta´zatok els˝ o rendszeres vizsga´lata az o ´kori go ¨ro ¨go ¨k, els˝ osorban Arisztotele´sz e´rdeme. (Nem tudjuk bizonyosan, az arisztotele´szi logika mennyiben tekinthet˝ o Arisztotele´sz saja´t m˝ uve´nek, s mennyiben ko ¨vet˝ oinek – az ‘arisztotele´szi’ terminust haszna´lva Arisztotele´szre e´s ko ¨vet˝ oire egyara´nt gondolunk.) Arisztotele´sz szerint egy bizonyı´ta´s – ma´ske´pp egy raciona´lis vagy logikus e´rvele´s – kijelente´sek olyan sorozata, amelyben minden tag megel˝ oz˝ o tagokbo ´l kaphato ´ meg, valamely logikai szaba´lyt ko ¨vetve. Ezzel a meghata´roza´ssal terme´szetesen nem lehetu ¨ nk marade´ktalanul ele´gedettek, elve´gre a bizonyı´ta´snak valahol el is kell kezd˝ odnie, a sorban els˝ oke´nt ´allo ´ kijelente´s azonban nem lehet a megel˝ oz˝ o tagok folyoma´nya! Minden bizonyı´ta´s eleve adott te´nyekb˝ ol indul ki, a szo ´ban forgo ´ kijelente´ssorozatnak ´gy ı ezekkel, de legala´bbis ezek ko ¨zu ¨ l ne´ha´nnyal kell kezd˝ odnie. (A gyakorlatban nemegyszer el˝ ofordul, hogy e felteve´sek nyilva´nvalo ´ak, s ´gy ı szu ¨ kse´gtelen ko ¨zvetlenu ¨ l is hivatkozni ra´juk. Ehelyu ¨ tt azonban a matematika idealiza´lo ´ gyakorlata´t ko ¨vetve felteszem, hogy bizonyı´ta´saink valamennyi le´pe´se´t feltu ¨ ntetju ¨ k, teha´t nem hallgatunk el ko ¨zu ¨ lu ¨ k egyetlen egyet sem.) Az ´altala´nos meghata´roza´s uta´n a ko ¨vetkez˝ o feladat azoknak a szaba´lyoknak a bemutata´sa, amelyeket ko ¨vetve a konklu ´ zio ´k levonhato ´k. Ehhez Arisztotele´sz egy tova´bbi felteve´ssel e´lt, mely szerint a bizonyı´ta´sokban szerepl˝ o valamennyi ´allı´ta´s ugyanazt a se´ma´t ko ¨veti: u ´ n. szubjektum-predika´tum forma´ju ´. ´llı´ta´snak nevezzu A ¨ k azokat a kijelent˝ o mondatokat, amelyek igazak vagy hamisak lehetnek. Az arisztotele´szi logika ´allı´ta´sainak ke´t f˝ oo ¨sszetev˝ oje: a szubjektum e´s egy tulajdonsa´g, a predika´tum, amelyet a szubjektumro ´l ´allı´tunk. Ilyen ´allı´ta´sok pe´lda´ul: Arisztotele´sz ember. Minden ember halando ´. Ne´mely zene´sz kedveli a matematika´t. Egyetlen diszno ´ sem tud repu ¨lni. Joggal felmeru ¨ lhet az Olvaso ´ban a ke´tely, vajon Arisztotele´sz helyesen ja´rt-e el, mid˝ on felte´telezte, hogy a bizonyı´ta´sokban szerepl˝ o ´allı´ta´sok kiza´ro ´lag e meglehet˝ osen egyszer˝ u se´ma´kat ko ¨vethetik. Nos, nem volt igaza: sza´mos matematikai

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az arisztotele´szi logikai minta´zatok

59

bizonyı´ta´s van, amely e keretek ko ¨ze´ nem illeszthet˝ o be. De me´g ha lehetse´ges is, a fenti se´ma´kat ko ¨vet˝ o formaliza´la´s nem e´ppen egyszer˝ u feladat. Arisztotele´sz elemze´se teha´t nem ta´rta fel azt az absztrakt struktu ´ ra´t, amely valamennyi helyes e´rvele´s ha´ttere´ben megbu ´ jik – elme´lete csupa´n a helyes e´rvele´sek egy bizonyos, me´ghozza´ meglehet˝ osen sz˝ uk ko ¨re´re alkalmazhato ´. Az arisztotele´szi m˝ u to ¨rte´neti jelent˝ ose´ge nem abban ´all, hogy a helyes bizonyı´ta´s-se´ma´k megkerese´se´t t˝ uzte ki ce´lul, hanem abban, hogy te´nylegesen tala´lt is ilyeneket. Mi to ¨bb, csaknem ke´tezer e´vnek el kellett telnie, mı´g e minta´zatok szisztematikus vizsga´lata´ban valo ´di el˝ orele´pe´s to ¨rte´nt! A logikai szaba´lyokat, amelyeken a helyes bizonyı´ta´sok alapulnak, Arisztotele´sz szillogizmusoknak nevezte: ezek segı´tse´ge´vel ´altala´ban ke´t ´allı´ta´sbo ´l vezetu ¨ nk le egy harmadikat. Egy pe´lda: Minden ember halando ´. Szo ´krate´sz ember. Szo ´krate´sz halando ´. A vonal alatti, harmadik ´allı´ta´s logikai ko ¨vetkezme´nye az el˝ oz˝ o kett˝ onek. Ezen egyszer˝ u, s kisse´ elcse´pelt pe´lda´ban a levezete´s meglehet˝ osen nyilva´nvalo ´ mo ´don helyes, Arisztotele´sz e´rdeme nem is az effe´le pe´lda´kban, hanem abban keresend˝ o, hogy azonosı´totta a bennu ¨ k megjelen˝ o absztrakt minta´zatot. Az absztrakcio ´ els˝ o le´pe´se, hogy megfelel˝ o szimbolizmust vezetett be. Egy szubjektum-predika´tum szerkezet˝ u ´allı´ta´s szubjektuma´t pe´lda´ul jelo ¨lhetju ¨ k S-sel, predika´tuma´t pedig P-vel. Pe´lda´nak oka´e´rt a Szo ´krate´sz ember ´allı´ta´sban az S Szo ´krate´szt, P az „. . . ember” predika´tumot jelo ¨li. Mindez olyan, mint amikor a sza´mok helyett algebrai jelo ¨le´st vezetu ¨ nk be, s – pe´lda´ul – az x, y, z bet˝ uket haszna´ljuk, csupa´n a P e´s az S nem tetsz˝ oleges sza´mot, hanem tetsz˝ oleges predika´tumot, illetve szubjektumot jelo ¨lnek. Az egyes konkre´t pe´lda´k tartalma ma´r irreleva´ns, s e´ppen eza´ltal va´lik lehet˝ ove´ az e´rvele´s absztrakt minta´zatainak tanulma´nyoza´sa. Arisztotele´sz elme´lete´ben minden predika´tum a´llı´to ´ e´s tagado ´ mo ´dban egyara´nt haszna´lhato ´, ekke´ppen:

S – P (tulajdonsa´gu´)

vagy

S – nem P.

A szubjektum viszont kvantifika´lhato ´, amit a ko ¨vetkez˝ oke´ppen fejezhetu ¨ nk ki: minden S

vagy

ne´mely S.

A szubjektum mindke´t tı´pusu ´ kvantifika´cio ´ja felle´phet u ´ gy az ´allı´to ´, mint a tagado ´ mo ´dban, ve´geredme´nyben teha´t az ´allı´ta´sok ne´gy tı´pusa´t ku ¨ lo ¨nbo ¨ztethetju ¨ k meg: Minden S – P. Minden S – nem P. Ne´mely S – P. Ne´mely S – nem P.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

60

Elme´s minta´zatok

A ma´sodik ´allı´ta´st ´altala´ban a ko ¨vetkez˝ o, nyelvtanilag helyesebb forma´ban haszna´ljuk: Egyetlen S sem P. Ennek azonban nincs ku ¨ lo ¨no ¨sebb jelent˝ ose´ge, a ko ¨vetkez˝ o le´pe´sben ugyanis mind a ne´gy ´allı´ta´stı´pusra specia´lis ro ¨vidı´te´st vezetu ¨ nk be:

SaP : Minden S – P. SeP : Egyetlen S sem P. SiP : Ne´mely S – P. SoP : Ne´mely S – nem P. E jelo ¨le´smo ´d ma´r alkalmas az ´allı´ta´sok absztrakt minta´zata´nak megjelenı´te´se´re. A szillogizmusok tanulma´nyoza´sa soka´ig a fenti ne´gy ´allı´ta´stı´pus vizsga´lata´ra korla´tozo ´dott. Felvet˝ odhet persze, hogy ma´r a Szo ´krate´sz ember ´allı´ta´s sem helyezhet˝ o el ebben a keretben. A la´tszat azonban csal: valo ´ja´ban azok az ´allı´ta´sok is helyet kapnak, amelyeknek szubjektuma tulajdonne´v, mi to ¨bb, ke´tszeresen is ¨li valamennyi Szo ´krate´sz o ¨sszesse´ge´t, P helyet kapnak. Amennyiben ugyanis S jelo pedig az „. . . ember” tulajdonsa´got, akkor mind az SaP, mind az SiP ´allı´ta´s a nevezetes kijelente´s formaliza´la´sa´nak tekinthet˝ o. A magyara´zat egyszer˝ u: amennyiben csupa´n egyetlen Szo ´krate´sz le´tezik, u ´ gy a „Szo ´krate´sz”,

„valamennyi Szo ´krate´sz”,

„ne´mely Szo ´krate´sz”

kifejeze´sek mind ekvivalensek, ba´r a ko ¨znyelv csupa´n az els˝ ot tekinti e´rtelmesnek. Az absztrakcio ´ azonban – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt – e´ppen a ko ¨znapi haszna´latto ´l valo ´ elszakada´st jelenti. Az elme´let els˝ odleges ce´lja az individua´lis szubjektumok o ¨sszesse´geire vonatkozo ´ ´allı´ta´sok vizsga´lata, ami azzal a ko ¨vetkezme´nnyel ja´r, hogy a szubjektumhelyen ´allo ´ terminusok e´ppu ´ gy ´allhatnak a predika´tum-terminus helye´n is. Pe´lda´nak oka´e´rt nem csupa´n a minden ember halando ´, de a minden halando ´ ember is jo ´lforma´lt ´allı´ta´snak tekinthet˝ o. A szerepek felcsere´le´se´vel a jelente´s is megva´ltozhat: el˝ ofordul, hogy az u ´ jabb ´allı´ta´s ma´r hamis, az is lehet, hogy egyenesen e´rtelmetlen. Az absztrakt struktu ´ ra mindenesetre ugyanaz marad: minden . . . -ra a´ll, hogy . . . Ugyanezt a csere´t terme´szetesen az ime´nt felsorolt ne´gy ´allı´ta´stı´pus mindegyike´ben ve´grehajthatjuk, a szubjektum-predika´tum szereposzta´s teha´t kommutatı´v. Az ´allı´ta´sok absztrakt struktu ´ ra´ja´nak felta´ra´sa uta´n hozza´foghatunk szillogizmusok vizsga´lata´hoz. A ko ¨vetkez˝ o ke´rde´sre keresu ¨ nk va´laszt: melyek azok az e´rve´nyes szaba´lyok, amelyek alapja´n a helyes e´rvele´sek szillogizmusok egyma´suta´njake´nt e´pı´thet˝ ok fel? Minden szillogizmus ke´t ´allı´ta´sbo ´l, a premissza´kbo ´l indul ki, ezekb˝ ol kapjuk meg a szaba´ly alkalmaza´sa´val a harmadikat, amelyet a szillogizmus konklu ´zio ´ja´nak nevezu ¨ nk. A konklu ´ zio ´beli szubjektumot jelo ¨lju ¨ k S-sel, a predika´tumot

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az arisztotele´szi logikai minta´zatok

61

¨ kse´gu ¨ nk lesz me´g egy, mindpedig P-vel, ahhoz, hogy ke´t premissza´nk legyen, szu kett˝ oben el˝ ofordulo ´ terminusra. Ez uto ´bbit ko ¨ze´ps˝ o terminusnak szoka´s nevezni, ehelyu ¨ tt M- mel jelo ¨lju ¨ k. Ha a ma´r bemutatott pe´lda´ban, Minden ember halando ´. Szo ´krate´sz ember. Szo ´krate´sz halando ´.

S Szo´krate´szt, P a „. . . halando´”, M pedig az „. . . ember” tulajdonsa´got jelo¨li, akkor szillogizmusunk a ko ¨vetkez˝ o absztrakt forma´t o ¨lti: MaP SaM SaP (A ma´sodik premissza´ban e´s a konklu ´ zio ´ban a helyett i-t is ´rhatna ı ´nk.) Az M-et e´s P-t tartalmazo´ premissza´t a fels˝o, az S-et e´s M-et tartalmazo´t az also ´ premissza´nak nevezzu ¨ k, s ezeket az elneveze´seket a szillogizmus felı´ra´sa´ban is e´rve´nyre juttatjuk. Most ma´r ke´szen ´allunk, hogy va´laszoljunk a ke´rde´sre: ha´ny szillogizmus van, s melyek azok? A fels˝ o premissza els˝ o helye´n – teha´t a szubjektum pozı´cio ´ja´ban – egyara´nt ´allhat M e´s P is, mike´nt az also ´ premissza els˝ o helye´n S is e´s M is szerepelhet. Ez o ¨sszesen ne´gy lehet˝ ose´g, a lehetse´ges szillogizmusok enne´lfogva ne´gy oszta´lyba sorolhato ´k, amelyeket alakzatoknak szoka´s nevezni. I

II

III

IV

MP SM — SP

PM SM — SP

MP MS — SP

PM MS — SP

Mind a ne´gy alakzat mindha´rom ´allı´ta´sa´ban a szubjektumot e´s a predika´tumot szimboliza´lo ´ bet˝ uk ko ¨ze´ az a, e, i, o bet˝ uk ba´rmelyike´t ´rhatjuk. ı A lehetse´ges szillogizmusok sza´ma enne´lfogva: 4 · 4 · 4 · 4 = 256. A 256 szillogizmus ko ¨zo ¨tt nyilva´nvalo ´an vannak logikailag helyesek e´s helytelenek is. Arisztotele´sz ce´lja, hogy ezeket elku ¨ lo ¨nı´tse egyma´sto ´l. Ala´bbi lista´nk azt a 19 szillogizmust veszi sorra, amelyet szerz˝ onk e´rve´nyesnek tala´lt. (Ke´t esetben te´vedett: olyan minta´zatokat is az e´rve´nyesek ko ¨ze´ sorolt, amelyek valo ´ja´ban nem azok, mike´nt a ko ¨vetkez˝ o fejezetben la´tni fogjuk.)

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

62

Elme´s minta´zatok I. alakzat: aaa, eae, aii, eio II. alakzat: eae, aee, eio, aoo III. alakzat: aai, iai, aii, eao, oao, eio IV. alakzat: aai, aee, iai, eao, eio

Euler: a szillogizmusok bekerı´te ´se A szillogizmusok e´rve´nyesse´ge´nek ellen˝ orze´se´re Euler elega´ns, egyszer˝ u geometriai ´abra´kon alapulo ´ mo ´dszert tala´lt. Alapgondolata a ko ¨vetkez˝ o: a szillogizmusokat ha´rom egyma´st metsz˝ o ko ¨rrel reprezenta´ljuk, mint azt a 2.1. ´abra mutatja. Az S-sel jelo ¨lt ko ¨rvonal ´altal ko ¨zrefogott teru ¨ let az S tulajdonsa´gu ´ objektumokat, a P e´s az M ko ¨ro ¨k belseje pedig a P-ket e´s az M-eket szimboliza´lja. A szillogizmus tesztele´se abban ´all, hogy rendre megvizsga´ljuk, mit mond a szillogizmus ha´rom ´allı´ta´sa az ´abra´n 1-t˝ ol 7-ig megsza´mozott tartoma´nyokro ´l. La´ssunk egy pe´lda´t. Vizsga´ljuk meg a ma´r ta´rgyalt

MaP SaM SaP szillogizmus e´rve´nyesse´ge´t. A minden M – P fels˝ o premissza szerint az ´abra´n 3mal e´s 5-tel jelo ¨lt tartoma´nyok u ¨ resek. (Valamennyi M tulajdonsa´gu ´ objektum egyu ´ ttal P tulajdonsa´gu ´ is, enne´lfogva vagy a 2-es vagy a 4-es jel˝ u tartoma´nyba esik.) A minden S – M also ´ premissza szerint viszont az 1 e´s 7 jelze´s˝ u tartoma´nyok u ¨ resek. Ha teha´t mindke´t premissza igaz, akkor az 1, 3, 5, 7 jel˝ u tartoma´nyok mindegyike u ¨ res kell legyen. ol e´s a P-r˝ ol olyan ´allı´ta´st megfogalmazni, amely nem Pro ´ba´ljunk most az S-r˝ mond ellent a premissza´knak. Mivel a 3-as e´s a 7-es tartoma´ny u ¨ res, az S tulajdonsa´gu ´ objektumok nem eshetnek ma´shova, csak az 1 vagy a 4 jel˝ u tartoma´nyba, vagyis csak P tulajdonsa´gu ´ ak lehetnek. Ma´s szo ´val: minden S – P. Szillogizmusunk teha´t e´rve´nyes. A mo ´dszer valamennyi szillogizmusra m˝ uko ¨dik, ha nem is ilyen egyszer˝ uen. Az Euler-diagramok mo ´dszere egyszer˝ use´ge ellene´re is figyelemre me´lto ´: lehet˝ ove´ teszi ugyanis, hogy a levezete´seket geometriai ´abra´kkal szemle´ltessu ¨ k. A gondolati minta´zatokat el˝ oszo ¨r algebrai, majd me´rtani forma´ban ragadtuk meg, u ´ jfent igazolva a matematikai absztrakcio ´ ereje´t. Miuta´n a lehetse´ges szillogizmusok ko ¨zu ¨ l kiva´lasztottuk az e´rve´nyeseket, elme´letu ¨ nket tova´bb egyszer˝ usı´thetju ¨ k. Arisztotele´sz lista´ja´ban bizonyos ko ¨vetkezte´ ´allı´ta´sokban pe´lda´ul a szubte´si se´ma´k ke´tszer is megjelennek. Az e e´s az i tı´pusu jektum e´s a predika´tum felcsere´le´se az ´allı´ta´s jelente´se´t nem befolya´solja, ezen a mo ´don teha´t – logikailag – szinonim szillogizmusokhoz jutunk. Ha kiku ¨ szo ¨bo ¨lju ¨k a redundancia´kat Arisztotele´sz lista´ja´bo ´l, a ko ¨vetkez˝ ot kapjuk:

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A gondolatok algebra´ja

63

2.1. a ´ bra. Euler-ko ¨ro ¨k.

I. alakzat: aaa, eae, aii, eio II. alakzat: aoo III. alakzat: aai, eao, oao

A IV. alakzat valamennyi szillogizmusa elt˝ unik. Az el˝ oz˝ o fejezet ve´ge´n emlı´tett ke´t e´rve´nytelen szillogizmus mindazona´ltal me´g mindig ko ¨zo ¨ttu ¨ k van. Megtala´lja-e az Olvaso ´ ezeket? Az Euler-diagramok mo ´dszere´vel a hiba´k felfedezhet˝ ok – ha azonban me´gsem sikeru ¨ l ra´bukkanni, hol rejt˝ oznek, semmi ok az elkeserede´sre: csaknem ke´t e´vezredbe telt, mı´g napvila´gra keru ¨ ltek. (Kiku ¨ szo ¨bo ¨le´su ¨ kre a ko ¨vetkez˝ o fejezet ve´ge´n te´ru ¨ nk majd vissza.) Meg kell jegyezzu ¨ k azonban, ennek magyara´zata nem abban keresend˝ o, hogy a szillogizmusok tanulma´nyoza´sa´ra az e´vsza´zadok sora´n keve´s figyelmet fordı´tottak, e´ppen ellenkez˝ oleg: Arisztotele´sz elme´lete a m˝ uvel˝ ode´sto ¨rte´net egyik legfe´nyesebb lapja. Az oxfordi egyetem szaba´lyzata pe´lda´ul me´g a tizennegyedik sza´zadban is tartalmazta azt a kite´telt, mely szerint „azon tudo ´sok e´s tudo ´sjelo ¨ltek, akik nem ko ¨vetik Arisztotele´sz tanı´ta´sa´t, minden egyes elte´velyede´se´rt o ¨t shilling bu ¨ ntete´st ko ¨telesek fizetni”. Ke´rju ¨ k a sza´mla´t! A gondolatok algebra ´ ja Az o ´kori go ¨ro ¨go ¨kt˝ ol a tizenkilencedik sza´zadig eltelt id˝ o alatt a raciona´lis e´rvele´sminta´zatok matematikai vizsga´lata´nak teru ¨ lete´n semmife´le el˝ orele´pe´s nem to ¨rte´nt. Az els˝ o ´atto ¨re´s az angol matematikus, George Boole (2.2. ´abra) e´rdeme, aki megmutatta, mike´nt alkalmazhato ´k az algebra mo ´dszerei a logikus gondolkoda´s tanulma´nyoza´sa´ban.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

64

Elme´s minta´zatok

2.2. a ´ bra. George Boole (1815–1864). Az 1815-ben szu ¨ letett, ´r ı szu ¨ l˝ ok gyermekeke´nt De´l-Anglia´ban nevelkedett Boole az id˝ o ta´jt va´lt matematikussa´, amikor pa´lyata´rsai el˝ ott egyre nyilva´nvalo ´bba´ va´lt: az algebra nem csupa´n a ko ¨zo ¨nse´ges aritmetika´ra alkalmazhato ´, szimbo ´lumai nem kiza´ro ´lag terme´szetes sza´mokat jelo ¨lhetnek. A tizennyolcadik sza´zad ve´ge´n dolgozta´k ki a komplex sza´mok elme´lete´t (a valo ´s sza´mok elme´lete´nek ´altala´nosı´ta´sa´t, amelyr˝ ol re´szletesebben a 3. fejezetben lesz szo ´), a vektoralgebra, Hermann Grassmann munka´ssa´ga nyoma´n, szinte´n ez id˝ o ta´jt jelent meg a szı´nen. (A vektor olyan mennyise´g, amelynek nemcsak nagysa´ga, hanem ira´nya is van, mike´nt a fizika´ban a sebesse´gnek vagy az er˝ onek. A vektorok geometriai e´s algebrai mo ´dszerekkel egyara´nt tanulma´nyozhato ´k.) Boole teha´t azt a ce´lt t˝ uzte ki maga ele´, hogy megvizsga´lja, a gondolati minta´zatok mike´nt elemezhet˝ ok az algebra mo ´dszereivel. A kor szelleme´nek megfelel˝ oen ez mindenekel˝ ott az arisztotele´szi logika algebraiza´la´sa´t jelentette. Nem csupa´n arro ´l van szo ´, hogy e logika terminusait e´s formula´it az algebra absztrakt jelo ¨le´seit haszna´lva ´rjuk ı fel, elve´gre ezt ma´r az el˝ oz˝ o fejezetben is megtettu ¨ k, hanem enne´l to ¨bbr˝ ol: Boole nem csupa´n a jelo ¨le´seket, de magukat a struktu ´ ra´kat is az algebra teru ¨ lete´r˝ ol va´lasztotta. Egyenleteket ´rt ı fel, megmutatta, mike´nt lehet azokat megoldani – s hogy mi ezen egyenletek (e´s megolda´saik) logikai jelente´se. Vizsga´latainak eredme´nye´t Boole 1854-ben tette ko ¨zze´, An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (A gondolkoda´s azon to ¨rve´nyeinek vizsga´lata, amelyeken a logika

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A gondolatok algebra´ja

65

´es a valo ´szı´n˝ use´g matematikai elme´lete nyugszik). A ko ¨nyv, amelyet ´altala´ban A gondolkoda´s to ¨rve´nyei cı´men emlegetnek, Boole egy kora´bbi, keve´sse´ ismert The Mathematical Analysis of Logic (A logika matematikai elemze´se) cı´m˝ u m˝ uve´n alapul. A gondolkoda´s to ¨rve´nyeinek els˝ o fejezete e szavakkal kezd˝ odik: Vizsga´lo ´da´sunk ta´rgya´t azon m˝ uveletek ´altala´nos to ¨rve´nyei alkotja´k, amelyeknek alapja´n elme´nk logikus e´rvele´sre ke´pes, ezeket egy kalkulus szimbolikus nyelve´n fogjuk kifejteni, s erre az alapra e´pı´tju ¨ k fel a logika tudoma´nya´t e´s mo ´dszertana´t. Boole kiindulo ´pontja ugyanaz, mint Eulere´: az ´allı´ta´sok ta´rgya´t na´la is objektumok o ¨sszesse´gei (oszta´lyai) alkotja´k, a logika enne´lfogva ezen oszta´lyok s viszonyaik vizsga´lata. Pe´lda´ul a ma´r emlegetett minden ember halando ´ ´allı´ta´s tartalma a ko ¨vetkez˝ o: az emberek oszta´lya re´sze a halando ´k oszta´lya´nak. Ezt u ´ gy is kifejezhetju ¨ k, hogy az emberek oszta´lya´nak valamennyi eleme a halando ´k oszta´lya´nak is eleme. Boole nem az elemekre, hanem magukra az oszta´lyokra (o ¨sszesse´gekre) o ¨sszpontosı´totta figyelme´t, ezek aritmetika´ja´t dolgozta ki. Az alapgondolat egyszer˝ u e´s elega´ns, s nyugodtan kijelenthetju ¨ k, az elme´let kia´llta az id˝ o pro ´ba´ja´t. Jelo ¨lju ¨ k ta´rgyak tetsz˝ oleges oszta´lyait az x, y, z stb. bet˝ ukkel. Azoknak az objektumoknak az o ¨sszesse´ge´t, amelyek x-nek e´s y-nak is elemei, xy-nal, azoknak az objektumoknak az o ¨sszesse´ge´t pedig, amelyek vagy x-nek, vagy y-nak vagy mindkett˝ onek elemei, x + y-nal jelo ¨lju ¨ k. (Az „o ¨sszeada´s” definı´cio ´ja´ban Boole valo ´ja´ban ku ¨ lo ¨n kezelte azt az esetet, amelyben az o ¨sszeadando ´knak nincs ko ¨zo ¨s elemu ¨ k, s azt, amelyben a ke´t oszta´ly ´atfedi egyma´st. A te´ma modern feldolgoza´sai azonban – s ko ¨nyvemet is ezek ko ¨ze´ sorolom – ´altala´ban e ke´t esetet nem va´lasztja´k el egyma´sto ´l.) Jelo ¨lje 0 az u ¨ res oszta´lyt, 1 pedig valamennyi objektum o ¨sszesse´ge´t. Az x = 0 egyenlet teha´t azt fejezi ki, hogy x-nek egyetlen eleme sincs. Mindazon elemek o ¨sszesse´ge´t, amelyek nem elemei az x oszta´lynak, 1 − x fogja jelo ¨lni. Boole aritmetika´ja´nak alapvet˝ o to ¨rve´nyei:

x+y=y+x x + (y + z) = (x + y) + z x(y + z) = xy + xz x+0=x 2x = x + x = x

xy = yx x(yz) = (xy)z 1x = x x2 = xx = x

Az els˝ oo ¨t azonossa´g az elemi aritmetika´bo ´l is jo ´l ismert: az o ¨sszeada´s e´s a szorza´s kommutativita´sa´t e´s asszociativita´sa´t, valamint a szorza´s o ¨sszeada´sra vonatkozo ´ disztributivita´sa´t ro ¨gzı´tik.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

66

Elme´s minta´zatok

A ko ¨vetkez˝ o ke´t o ¨sszefu ¨ gge´s azt fejezi ki, hogy a 0 az o ¨sszeada´s, 1 pedig a szorza´s neutra´lis eleme, s ezek pontosan u ´ gy viselkednek, mint a megfelel˝ o terme´szetes sza´mok. Az utolso ´ ke´t azonossa´g ku ¨ lo ¨no ¨snek t˝ unhet, a sza´mok ko ¨re´ben ezek nyilva´n˝ket. valo ´an nem e´rve´nyesek. Az idempotencia to ¨rve´nyeinek nevezzu ¨k o Manapsa´g objektumok minden olyan o ¨sszesse´ge´t, amelyen e´rtelmezve van ke´t m˝ uvelet, amely valamennyi fenti felsorolt azonossa´got kiele´gı´ti, Boole-algebra´nak nevezzu ¨ k. Valo ´ja´ban az ime´nt bemutatott rendszer nem pontosan a Boole ´altal definia´lt, az eredetiben az o ¨sszeada´sra az idempotencia to ¨rve´nye nem volt e´rve´nyes. De mike´nt az e´let ma´s fontos teru ¨ letein, a matematika´ban is mindig akadnak, akik a jo ´ gondolatokat tova´bbfejlesztik. Boole algebrai logika´ja´ban az arisztotele´szi szillogizmusok ko ¨nnyede´n e´s elega´nsan kezelhet˝ ok. A ne´gy alapvet˝ o szubjektum-predika´tum ´allı´ta´stı´pus boole-i rekonstrukcio ´ja:

SaP SeP SiP SoP

: : : :

s(1 − p) = 0 sp = 0 sp = 0 s(1 − p) = 0

Ha a szillogizmusokat ily mo ´don reprezenta´ljuk, e´rve´nyesse´gu ¨ k egyszer˝ u algebrai sza´mola´s u ´ tja´n eldo ¨nthet˝ o. Vegyu ¨ k pe´lda´ul azt a szillogizmust, amelynek premissza´i: Minden P – M. Egyetlen M sem S. Algebrai ruha´jukban ezek ´gy ı mutatnak:

p(1 − m) = 0 ms = 0 Elemi algebrai ´atalakı´ta´sok uta´n az els˝ ot ´gy ı is ´rhatjuk: ı

p = pm Ha most – a Boole-algebra szaba´lyait betartva – ja´tszunk egy kicsit a jelekkel, szem el˝ ott tartva, hogy olyan kifejeze´st akarunk kapni, amelyben csak p e´s s szerepel (elve´gre ko ¨ze´ps˝ o terminus nem szerepelhet a konklu ´ zio ´ban), a ko ¨vetkez˝ oket kapjuk:

ps = (pm)s = p(ms) = p0 = 0 Szavakban: Egyetlen P sem S.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A logika atomi fele´pı´te´se

67

Boole logika´ja´nak ereje az effe´le sza´mı´ta´sokban mutatkozik meg. Minden logikai o ¨sszefu ¨ gge´s algebrai m˝ uveletek elve´gze´se´re reduka´lo ´dik, annyi ku ¨ lo ¨nbse´ggel, hogy a bet˝ uk nem sza´mokat, hanem oszta´lyokat jelo ¨lnek (mike´nt Grassmann a vektorokon elve´gezhet˝ o m˝ uveleteket a koordina´ta´kon elve´gezhet˝ o algebrai m˝ uveletekre vezette vissza). Boole algebrai-logikai mo ´dszere derı´tett fe´nyt Arisztotele´sz ma´r emlı´tett te´vede´se´re. Van ke´t szillogizmus, amelyeket Arisztotele´sz az e´rve´nyesek ko ¨ze´ sorolt, holott valo ´ja´ban nem azok: az els˝ o alakzatbeli aai e´s eao. Az els˝ o a ko ¨vetkez˝ o: Minden M – P Minden M – S Ne´mely S – P Algebrai forma´ban:

m(1 − p) = 0 m(1 − s) = 0 sp = 0 Ko ¨vetkezik-e a harmadik egyenl˝ ose´g az els˝ o kett˝ ob˝ ol? A va´lasz: nem. Ha ugyanis m = 0, akkor – ba´rmit jelo¨ljo¨n s vagy p – az els˝ o ke´t egyenl˝ ose´g mindenke´ppen igaz. Mivel azonban a harmadik minden tova´bbi ne´lku ¨ l hamis is lehet, a szillogizmus nem tekinthet˝ o e´rve´nyesnek. Az els˝ o alakzat eao jelze´s˝ u szillogizmusa´nak e´rve´nytelense´ge ugyanı´gy igazolhato ´. Ha viszont kiza´ro ´lag azokat az interpreta´cio ´kat vizsga´ljuk, amelyekben m = 0, akkor mind a ke´t szillogizmus e´rve´nyes marad. Valo ´szı´n˝ uleg ez az oka, hogy a hiba´ra oly soka´ig nem deru ¨ lt fe´ny. Ha valo ´di predika´tumokra gondolunk, nemigen fordul meg a feju ¨ nkben, hogy ezek esetleg egyetlen ta´rgyro ´l sem ´allı´thato ´k. Ha azonban algebrai egyenletekkel dolgozunk, akkor nemcsak terme´szetes, de a matematikus sza´ma´ra egyenesen beidegz˝ ode´sszer˝ u annak ellen˝ orze´se, hogy a te´nyez˝ ok 0-to ´l ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ ok-e. Az algebrai fordı´ta´s teha´t nem va´ltoztatja meg a logikai minta´zatok bels˝ o struktu ´ ra´ja´t, csak ezen minta´zatok vizsga´lata´nak mo ´dszere´t. Ami az egyik megko ¨zelı´te´s szerint szokatlannak, esetleg tu ´ lzottan bonyolultnak t˝ unik, a ma´sik szerint ko ¨nnyede´n kezelhet˝ o. Mike´nt az e´letben, a matematika´ban is e´rve´nyes: nem csupa´n az sza´mı´t, hogy mit mondunk, hanem az is, hogy mike´nt mondjuk. A logika atomi fele ´pı´te ´se La´ttuk, Boole algebrai logika´ja sikerrel alkalmazhato ´ az arisztotele´szi szillogisztika vizsga´lata´ban. Jelent˝ ose´ge azonban nem meru ¨ l ki ennyiben.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

68

Elme´s minta´zatok

Az arisztotele´szi logika, legyenek ba´rmekkora´k is e´rdemei, tu ´ lsa´gosan sze´les ko ¨rben nem alkalmazhato ´. Le´tezik ugyan sza´mos e´rvele´s, amely kiza´ro ´lag szubjektum-predika´tum forma´ju ´ ´te ı ´letekb˝ ol e´pu ¨ l fel, vannak azonban – s nem cseke´ly sza´mban – olyanok is, amelyek e megko ¨zelı´te´sben nem elemezhet˝ ok. Boole kezdeme´nyeze´se u ´ j utakat nyitott: a logikusok azo ´ta a ko ¨vetkeztete´si minta´zatok vizsga´lata´nak u ´ jabb e´s u ´ jabb mo ´dszereit dolgozta´k ki. Szakı´tottak azzal az arisztotele´szi dogma´val, mely szerint a levezete´sekben kiza´ro ´lag bizonyos ˝si – az arisztotele´szi rendtı´pusu ´ ´allı´ta´sok szerepelhetnek. Ebben a logika egy o szerrel egykor verseng˝ o, ke´s˝ obb hosszu ´ e´vsza´zadokon ´at a felede´s homa´lya´ban rejt˝ oz˝ o – megko ¨zelı´te´se´t e´lesztette´k u ´ jra: a sztoikusok logika´ja´t. A sztoikusok bizonyos alapvet˝ o, analiza´latlan ´allı´ta´sokbo ´l indultak ki, amelyekr˝ ol, azon kı´vu ¨ l, hogy a´llı´ta´sok, azaz vagy igazak, vagy hamisak, semmi egyebet nem tudunk, s nem is kell tudnunk. Ezekb˝ ol bizonyos – ro ¨gvest ta´rgyalando ´– szaba´lyok alkalmaza´sa´val tova´bbi, o ¨sszetett ´allı´ta´sok ke´pezhet˝ ok, levezete´seinket ve´gu ¨ l ez uto ´bbiakbo ´l e´pı´tju ¨ k fel. E logikai rendszer modern elneveze´se: propoziciona´lis (vagy nulladrend˝ u) logika. Absztrakt volta´hoz nemigen fe´rhet ke´tse´g: az ´allı´ta´sok semmife´le tartalmat nem fejeznek ki, a hangsu ´ ly a logikai minta´zatokon van. Ha fizikai analo ´gia´t keresu ¨ nk, mindez leginka´bb az anyag molekula´ris szerkezete´nek felta´ra´sa´ra emle´keztet: ebben ugyanis eltekintu ¨ nk atto ´l, hogy a molekula´k valo ´ja´ban atomokbo ´l e´pu ¨ lnek fel, s csupa´n az el˝ obbiek alkotta szerkezetet vesszu ¨ k go ´rcs˝ o ala´. Arisztotele´sz logika´ja´hoz hasonlo ´an a propoziciona´lis logika sem alkalmas valamennyi lehetse´ges e´rvele´s szerkezete´nek felta´ra´sa´ra, sok-sok olyan minta´zat le´tezik, amely ezen a mo ´don nem ragadhato ´ meg. Mindennek ellene´re a propoziciona´lis logika mo ´dszerei mind a matematikai bizonyı´ta´sok elme´lete´ben, mind a levezete´sek szerkezete´nek ´altala´nos vizsga´lata´ban gyu ¨ mo ¨lcso ¨z˝ onek bizonyultak. Mivel az ´allı´ta´sok tartalma e vizsga´latokban semmife´le szerepet nem ja´tszik, ily mo ´don sza´mos tiszta logikai minta´zatot sikeru ¨ lt felta´rni. Az o ¨sszetett ´allı´ta´sok ke´pze´si szaba´lyai le´nyege´ben azok, amelyekb˝ ol a sztoikusok (illetve jo ´val ke´s˝ obb Boole is) kiindultak, a ko ¨vetkez˝ okben ezeket ta´rgyaljuk. Terme´szetesen tekintetbe vesszu ¨ k a Boole uta´ni eredme´nyeket is, ahogy ezt a Boole-algebra bemutata´sakor is tettu ¨ k. Egy propoziciona´lis logikai ´allı´ta´sro ´l az egyetlen dolog, amit tudhatunk, hogy igaz-e vagy hamis. Nem meglep˝ o teha´t, hogy az elme´letben az Igaz e´s a Hamis, a ke´t igazsa´ge´rte´k ja´tssza a ke´t f˝ oszerepet. A felta´rt logikai minta´zatok teha´t az igazsa´g minta´zatai. Az ´allı´ta´sok o ¨sszekapcsola´sa´nak els˝ o mo ´dja a konjunkcio ´. Ezen opera´cio ´ alkalmaza´sa´val tetsz˝ oleges p e´s q ´allı´ta´sokbo ´l a [p ´es q] o ¨sszetett ´allı´ta´st kapjuk. Pe´lda´nak oka´e´rt a Jani szereti a fagylaltot e´s a Mari szereti az anana´szt ´allı´ta´sok konjunkcio ´ja: Jani szereti a fagylaltot ´es Mari szereti az anana´szt. A p e´s q ´allı´ta´sok [p ´es q] konjunkcio ´ja´ro ´l a legto ¨bb, ami elmondhato ´, hogy igazsa´ge´rte´ke mike´nt hata´rozhato ´ meg a p, illetve q igazsa´ge´rte´ke alapja´n. A va´lasz maga´to ´l

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A logika atomi fele´pı´te´se

69

e´rtet˝ od˝ o: amennyiben p e´s q mindegyike igaz, akkor [p ´es q] is, ha azonban legala´bb egy ko ¨zu ¨ lu ¨ k hamis, akkor [p ´es q] is az. E minta´zat legterme´szetesebben egy igazsa´gta´bla´zat forma´ja´ban jelenı´thet˝ o meg. A konjunkcio ´ igazsa´gta´bla´zata mellett az ala´bbiakban bemutatjuk ha´rom ma´sik propziciona´lis logikai opera´cio ´, az alterna´cio ´ (vagy diszjunkcio ´ ), a nega´cio ´ (vagy tagada´s) e´s a kondiciona´lis (implika´cio ´) igazsa´gta´bla´zata´t. A p ´allı´ta´s tagada´sa´t [nem-p], a p e´s q ´allı´ta´sok alterna´cio ´ja´t, illetve a bel˝ olu ¨ k (ebben a sorrendben) ke´pzett kondiciona´list [p vagy q], illetve [p → q] ro ¨vidı´ti. p

q

p ´es q

p vagy q

I I H H

I H I H

I H H H

I I I H

p→q I H I I

nem-p H H I I

A ta´bla´zatokban I jelo ¨li az Igaz, H a Hamis igazsa´ge´rte´ket. Az o ¨sszetett ´allı´ta´sok igazsa´ge´rte´ke kiza´ro ´lag komponenseik igazsa´ge´rte´ke´t˝ ol fu ¨ gg, s azok alapja´n egye´rtelm˝ uen meghata´rozhato ´, pontosan u ´ gy, ahogy a ta´bla´zatok sorai mutatja´k. Ta´bla´zatainkat a logikai m˝ uveletek definı´cio ´ja´nak is tekinthetju ¨ k. A nega´cio ´ igazsa´gta´bla´zata nem szorul magyara´zatra, az alterna´cio ´ e´s a kondiciona´lis azonban mege´r egy ro ¨vid kite´r˝ ot. A mindennapi nyelvbeli „vagy” ke´tfe´le e´rtelemben haszna´latos. Az egyik a kiza´ro ´ vagy, amikor, mike´nt az ajto ´ be van za´rva, vagy nincs beza´rva ´allı´ta´s esete´ben, a ke´t lehet˝ ose´g ko ¨zu ¨ l legfeljebb egy lehet igaz. Haszna´lhatjuk azonban megenged˝ o e´rtelemben is, mint pe´lda´ul esni fog, vagy havazni, amikor el˝ ofordulhat, hogy mindke´t lehet˝ ose´g megvalo ´sul. Hogy e´ppen melyik e´rtelmeze´sr˝ ol van szo ´, a szo ¨vegko ¨rnyezet alapja´n to ¨bbnyire vila´gos. A propoziciona´lis logika´ban azonban semmife´le kontextus nincs, kiza´ro ´lag az sza´mı´t, hogy az ´allı´ta´sok igazak vagy hamisak. Mivel a matematika´ban egyetlen definı´cio ´ sem lehet ambivalens, va´lasztani kellett: a matematikusok a megenged˝ o e´rtelmeze´st va´lasztotta´k, ezt az igazsa´gta´bla´zat alapja´n a kedves Olvaso ´ feltehet˝ oen ma´r nyugta´zta. Valo ´ja´ban ezen o ¨nke´nyes do ¨nte´s miatt semmit sem veszı´tettu ¨ nk: a kiza´ro ´ vagy ko ¨nnyede´n definia´lhato ´ a megenged˝ o vagy e´s a to ¨bbi logikai m˝ uvelet segı´tse´ge´vel. A do ¨nte´s mindazona´ltal nem teljesen o ¨nke´nyes: a megenged˝ o vagy fejezi ki ugyanis azt a jelente´st, amelyet a Boole-algebra analo ´g m˝ uvelete. A kondiciona´lis jelente´se´t egyetlen magyar szo ´ sem adja vissza marade´ktalanul. A logikai ko ¨vetkezme´nyrela´cio ´val ´all szoros kapcsolatban, ´gy ı tala´n az „implika´lja” lenne a legmegfelel˝ obb „magyar” szo ´. A kondiciona´lis azonban nem „implika´cio ´”, az uto ´bbit ugyanis to ¨bbnyire oksa´gi viszonnyal hozzuk kapcsolatba: ha azt mondjuk, p implika´lja q-t (ami csupa´n a ha p, akkor q stila´ris va´ltozata), arra gondolunk, valami kapcsolat ´all fenn p e´s q ko ¨zo ¨tt. A propoziciona´lis logika´ban azonban az igazsa´ge´rte´keken kı´vu ¨ l semmi ma´s kapcsolatot nem veszu ¨ nk figye-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

70

Elme´s minta´zatok

lembe, valo ´di, a kauzalita´son alapulo ´ implika´cio ´t enne´lfogva egyetlen m˝ uvelettel sem tudunk kifejezni. A kondiciona´lis a ko ¨vetkezme´nyfogalom igazsa´ge´rte´kminta´zata´nak ke´t fontos vona´sa´t mindazona´ltal megragadja: – Amennyiben a ha p, akkor q ´allı´ta´s igaz, u ´ gy ha p igaz, akkor q-nak is igaznak kell lennie. – Amennyiben p igaz, q viszont hamis, u ´ gy ha p, akkor q nem lehet igaz. A fenti ke´t te´ny a kondiciona´lis igazsa´gta´bla´zata´nak els˝ o ke´t sora´ban tu ¨ kro ¨z˝ odik. A ko ¨vetkez˝ o ke´t sor, amely azokra az esetekre vonatkozik, amelyekben p hamis, ma´r kisse´ o ¨nke´nyesnek t˝ unhet, s a ko ¨nnyebb alkalmazhato ´sa´got ce´lozza. Egy matematikai minta´zatra hagyatkozunk, hiszen a „valo ´ vila´g” semmife´le u ´ tmutata´ssal nem szolga´l. Mivel a logikai m˝ uveletek valamennyi vona´sa kiolvashato ´ az igazsa´gta´bla´zatukbo ´l, ´gy ı ha ke´t o ¨sszetett ´allı´ta´s igazsa´gta´bla´zata sorro ´l-sorra megegyezik, azokat minden szempontbo ´l egyene´rte´k˝ unek kell tartanunk. Az igazsa´gta´bla´zatok alapja´n a logikai algebra sza´mos to ¨rve´nye´t igazolhatjuk. Ha az ´es helyett a ⊗, a vagy helyett pedig a ⊕ jelet haszna´ljuk, a nega´cio ´t pedig a mı´nusz-jellel (−) fejezzu ¨k ki, ko ¨nnyede´n ellen˝ orizhetju ¨ k, mennyiben hasonlı´tanak, e´s miben ku ¨ lo ¨nbo ¨znek a fenti m˝ uveletek az aritmetika +, · e´s − m˝ uveleteit˝ ol. Az ala´bbiakban 1 tetsz˝ oleges igaz ´allı´ta´st (mint amilyen az 5 = 5), 0 pedig tetsz˝ oleges hamis ´allı´ta´st (pe´lda´ul 5 = 6) jelo¨l.

p⊗q=q⊗p p ⊗ (q ⊗ r) = (p ⊗ q) ⊗ r p ⊗ (q ⊕ r) = (p ⊕ q) ⊗ (p ⊕ r) p⊗1=p p⊗0=0 −(p ⊗ q) = (−p) ⊕ (−q) −(−p) = p p → q = (−p) ⊕ q

p⊕q=q⊕p p ⊕ (q ⊕ r) = (p ⊕ q) ⊕ r p ⊕ (q ⊗ r) = (p ⊗ q) ⊕ (p ⊗ r) p⊕1=1 p⊗1=p −(p ⊕ q) = (−p) ⊗ (−q)

A fenti egyenl˝ ose´gek ´altal kifejezett minta´zatok e´s a boole-algebrai azonossa´gok ko ¨zo ¨tt szoros kapcsolat ´all fenn. Ha p ⊗ q-t a pq Boole-szorzatnak, p ⊕ q-t a Boole-o ¨sszegnek, −p-t 1 − p-nek, a fenti ta´bla´zatban szerepl˝ o 0-t e´s 1-et pedig a megfelel˝ o Boole-konstansoknak feleltetju ¨ k meg, akkor – az utolso ´ kive´tele´vel – valamennyi egyenl˝ ose´gu ¨ nk egy Boole-algebrai azonossa´got fejez ki. Az itteni „egyenl˝ ose´gek” nem valo ´di egyenl˝ ose´gek, csupa´n annyit mondanak, hogy a ke´t oldalon ´allo ´o ¨sszetett ´allı´ta´soknak ugyanaz az igazsa´ge´rte´ke. Ha az egyenl˝ ose´get ilyen e´rtelemben haszna´ljuk, mondhatjuk pe´lda´ul azt is, hogy A 7 prı´msza´m. = A ha´romszo ¨g szo ¨geinek o ¨sszege 180◦ . A matematikusok erre a ce´lra nem az = jelet, hanem – hangsu ´ lyozva, hogy az azonossa´g egy specia´lis esete´r˝ ol van csak szo ´ – a ↔ vagy a ≡ jelet haszna´lja´k.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az ´ervele´s minta´zatai

71

A sztoikusok, akik az e fejezetben ta´rgyalt logikai m˝ uveletekr˝ ol csaknem mindazt ismerte´k, amit ta´bla´zatunk azonossa´gai kifejeznek, nem haszna´lta´k az algebrai jelo ¨le´st, valamennyi megfigyele´su ¨ ket a mindennapi nyelven fogalmazta´k meg. Ez, mint az va´rhato ´ is, hosszu ´ , ko ¨rmo ¨nfont e´s gyakorlatilag olvashatatlan mondatokat eredme´nyezett. Valo ´szı´n˝ uleg nem te´vedu ¨ nk nagyot, amikor azt ´allı´tjuk, e´ppen ezen okna´l fogva nem terjedt el a sztoikus logika rendszere sze´lesebb ko ¨rben, s csaknem ke´t e´vezredet kellett va´rni, amı´g – Boole-nak ko ¨szo ¨nhet˝ oen – fele´bredt Csipkero ´zsika-a´lma´bo ´l. Az e ´rvele ´s minta ´ zatai Az ´allı´ta´sok ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o tı´pusu ´o ¨sszekapcsola´sai mo ¨go ¨tt rendre az igazsa´ge´rte´kek megfelel˝ o minta´zatai bukkannak fel. Melyek vajon a levezete´s minta´zatai? Ma´ske´ppen, mi felel meg a propoziciona´lis logika´ban az arisztotele´szi szillogizmusoknak? A va´lasz megdo ¨bbent˝ o. Egyetlen, egyszer˝ u levezete´si szaba´ly, amely ma´r a sztoikusok el˝ ott is ismert volt, s amelyet ke´s˝ obb modus ponensnek (leva´laszta´snak) neveztek el:

p → q e´s p alapja´n q-ra ko¨vetkeztethetu ¨ nk.

A szaba´ly igazolja azt a megla´ta´sunkat, miszerint a kondiciona´lis szoros kapcsolatban ´all a ko ¨vetkezme´nyfogalommal. Hangsu ´ lyoznunk kell, hogy a modus ponens alkalmaza´sakor a szo ´ban forgo ´ p e´s q nem kell, hogy egyszer˝ u ´allı´ta´s legyen. Mi to ¨bb, a propoziciona´lis logika vizsga´lata sora´n ´altala´nosan e´rve´nyes szaba´ly, hogy algebrai szimbo ´lumaink tetsz˝ oleges ´allı´ta´sokat jelo ¨lhetnek, egyszer˝ ueket e´ppu ´ gy, mint o ¨sszetetteket. Valamely ´allı´ta´s – bizonyos ´allı´ta´sok alapja´n valo ´ – propoziciona´lis logikai bizonyı´ta´sa (levezete´se) ezek uta´n ´allı´ta´sok olyan sorozatake´nt e´rtelmezhet˝ o, amely sorozat minden tagja vagy a premissza´k egyike, vagy leva´laszta´ssal kaphato ´ meg a sorozat megel˝ oz˝ o tagjaibo ´l. A levezete´sek sora´n az el˝ oz˝ o alpontban felsorolt logikai azonossa´gok minden tova´bbi ne´lku ¨ l felhaszna´lhato ´k, e´ppen u ´ gy, ahogy az aritmetikai azonossa´gokat is szabadon alkalmazhatjuk sza´mı´ta´sainkban. Igaz ugyan, hogy vannak olyan bizonyı´ta´sminta´zatok, amelyeket a propoziciona´lis logika keretei ko ¨zo ¨tt nem tudunk vizsga´lni, e logikai rendszer jelent˝ ose´ge´t me´gis nehe´z lenne eltu ´ lozni. Sza´mı´to ´ge´peink pe´lda´ul ve´gs˝ o soron nem tesznek ma´st, mint propoziciona´lis logikai levezete´seket hajtanak ve´gre. Nem ve´letlen, hogy a sza´mı´ta´studoma´ny ke´t u ´ tto ¨r˝ oje, Neumann Ja´nos e´s Alan Turing a matematikai logika teru ¨ lete´n is maradando ´t alkottak.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

72

Elme´s minta´zatok

A logikai atom nem oszthatatlan A matematikai bizonyı´ta´sok minta´zatainak te´rke´pe´r˝ ol az utolso ´ fehe´r foltokat Guiseppe Peano e´s Gottlob Frege tu ¨ ntette´k el, a tizenkilencedik sza´zad utolso ´ e´v˝ e´rdemu tizedeiben. Az o ¨ k a logikai atomok elemi re´szeikre valo ´ felbonta´sa, szı´nre le´pe´su ¨ k uta´n a logika legkisebb, oszthatatlan e´s analiza´latlan e´pı´t˝ oko ¨vei ma´r nem az ´allı´ta´sok voltak. A propoziciona´lis logika eszko ¨zta´ra´t olyan ko ¨vetkeztete´si szaba´lyokkal b˝ ovı´tette´k ki, amelyek ma´r nem csupa´n az ´allı´ta´sok igazsa´ge´rte´ke´t˝ ol, de azok bels˝ o szerkezete´t˝ ol is fu ¨ ggtek. Ezzel az arisztotele´szi felfoga´st – amelyben minden szillogizmus e´rve´nyesse´ge a benne szerepl˝ o ´allı´ta´sok struktu ´ ra´ja´n mu ´ lik –o ¨sszeha´zası´totta´k a tiszta logika levezete´si minta´zatainak felta´ra´sa´ban jelent˝ os sikereket ele´rt propoziciona´lis logika´val. Az u ´ j elme´letet predika´tum-logika´nak (vagy els˝ orend˝ u logika´nak) nevezik, s ez az elme´let ma´r valo ´ban sokkal ´altala´nosabb e´rve´ny˝ u, mint az arisztotele´szi szillogisztika. (Ez uto ´bbiban is szerepet kapnak ugyan a minden e´s a ne´mely logikai kifejeze´sek, ezek azonban csak az ˝ket megillet˝ els˝ orend˝ u logika´ban kapja´k meg az o o kitu ¨ ntetett figyelmet.) Az els˝ orend˝ u logika´ban teha´t nincsenek analiza´latlan, felbonthatatlannak tekintett ´allı´ta´sok. A logikai ko ¨vetkeztete´sek minta´zatainak vizsga´lata az ´allı´ta´sokban megjelen˝ o nyelvi minta´zatok felta´ra´sa´ra e´pu ¨ l. A rendszer alapegyse´gei nem az ´allı´ta´sok, hanem a tulajdonsa´gok, idegen szo ´val, a predika´tumok. Ezek ko ¨zu ¨ l a legegyszer˝ ubbek ma´r az arisztotele´szi logika´ban is felt˝ untek: . . . ember; . . . halando ´; . . . („egy”) Arisztotele´sz. Az els˝ orend˝ u logika´ban azonban megengedu ¨ nk olyan o ¨sszetett predika´tumokat is, amelyek to ¨bb objektum ko ¨zo ¨tt ´allapı´tanak meg valamilyen kapcsolatot: . . . felese´gu ¨l ment . . . -hoz pe´lda´ul ke´t individuum (ember), . . . ´es . . . o ¨sszege . . . pedig ha´rom objektum (sza´m) ko ¨zo ¨tti kapcsolatot ´allapı´t meg. Az els˝ orend˝ u logika´ban a hangsu ´ lyt a mondatokra (bizonyos tı´pusu ´ formula´kra) helyezzu ¨ k. Ennek jelent˝ ose´ge´t az adja, hogy e rendszerben olyan formula´kat is felı´rhatunk, amelyek nem felte´tlenu ¨ l rendelkeznek igazsa´ge´rte´kkel, szigoru ´ an ve´ve teha´t nem egy ´allı´ta´st reprezenta´lnak. Az o ¨sszetett formula´kat az egyszer˝ ubbekb˝ ol a propoziciona´lis logikai m˝ uveletek – az ´es, a vagy, a nem- e´s a kondiciona´lis (→) – valamint a ke´t kvantor, a minden e´s a ne´mely segı´tse´ge´vel e´pı´tju ¨ k fel. A ne´mely, mike´nt Arisztotele´sz logika´ja´ban, itt is azt jelenti: legala´bb egy, pe´lda´ul: ne´mely pa´ros sza´m prı´m. Ugyanezt a „le´tezik . . . ” fordulattal is

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A logikai atom nem oszthatatlan

73

kifejezhetju ¨ k: le´tezik pa´ros prı´msza´m, vagy a „van olyannal”: van olyan pa´ros sza´m, amely prı´m. A formula-ke´pze´s valamennyi szaba´lya´nak, ma´s szo ´val az els˝ orend˝ u logika grammatika´ja´nak bemutata´sa ehelyu ¨ tt nem lehet ce´lunk, megele´gszu ¨ nk azzal, hogy az alapgondolatot ne´ha´ny pe´lda´n illusztra´ljuk. Az arisztotele´szi minden ember halando ´ ´allı´ta´s az els˝ orend˝ u logika´ban a ko ¨vetkez˝ o forma´t o ¨lti: Minden x-re, ha x ember, akkor x halando ´. Ezt a kedves Olvaso ´ minden bizonnyal sokkalta nehe´zkesebbnek tala´lja, mint az ´ rdemes teha´t jelezni, mi is az, amit ko eredetit. E ¨zben a va´mon nyeru ¨ nk. Ro ¨viden: az ´allı´ta´s bels˝ o, logikai struktu ´ ra´ja´t marade´ktalanul csak az els˝ orend˝ u logikai formaliza´la´s ragadja meg. E logikai szerkezet pedig akkor ta´rul fel igaza´n, ha a ko ¨znyelvi kifejeze´sek helyett logikai ro ¨vidı´te´seket vezetu ¨ nk be. Az „x ember” predika´tumot a logikusok ekke´ppen szeretik haszna´lni: ember(x), az „x halando ´” predika´tumot pedig ´gy: ı halando ´(x). Ezzel mintha csak azt a hata´st e´rne´k el, hogy ami mindeddig egyszer˝ unek t˝ unt, most hirtelen bonyolultta´ e´s zavarossa´ va´lt – a ce´l azonban e´ppen ennek az ellenkez˝ oje. A te´nyleges logikai minta´zatot e formalizmus mutatja a legnyilva´nvalo ´bb mo ´don. Egy predika´tum esete´ben csak az sza´mı´t, hogy az egyes objektumokra igaz-e vagy sem, e tekintetben pedig maga´n a – predika´tum ´altal kifejezett – tulajdonsa´gon e´s az objektumokon kı´vu ¨ l minden ma´s le´nyegtelen. Az Arisztotele´sz (egy) ember ´allı´ta´st a ko ¨vetkez˝ oke´ppen formaliza´ljuk: Ember (Arisztotele´sz), az Anna felese´gu ¨l ment Be´la´hoz ´allı´ta´st pedig ´gy: ı Felese´gu ¨ l-ment(Anna, Be´la). Jelo ¨le´su ¨ nk kiemeli a predika´tumok alapvet˝ o vona´sa´t: egy predika´tum ´altal kifejezett tulajdonsa´g (vagy rela´cio ´) egy adott objektumra (vagy objektumokra) vagy teljesu ¨ l, vagy nem. Az ´altala´nos se´ma teha´t: Predika´tum(objektum, objektum, . . . ), vagy nem-Predika´tum(objektum, objektum, . . . ). Ke´t tova´bbi szimbo ´lumra van me´g szu ¨ kse´gu ¨ nk: a minden kifejeze´st egy fordı´tott ¨ kro ¨zo ¨tt E-vel (∃) jelo ¨lju ¨ k; az els˝ o neve A bet˝ uvel (∀), a le´tezik fordulatot pedig tu univerza´lis, a ma´sodike´ egzisztencia´lis kvantor. A minden ember halando ´ ´allı´ta´s ezek uta´n ekke´ppen formaliza´lhato ´:

∀x : Ember(x) → Halando´(x)

A formula teha´t a ko ¨vetkez˝ o logikai elemekb˝ ol e´pu ¨ l fel: – a ∀ univerza´lis kvantor;

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

74

Elme´s minta´zatok

– ke´t predika´tum, az ember e´s a halando ´ ; valamint – az ezeket o ¨sszekapcsolo ´ logikai ko ¨t˝ ojel, a →.

Utolso ´ pe´lda´nk: van olyan ember, aki nem alszik:

∃x : Ember(x) ´es nem-Alszik(x) Me´g egyszer hangsu ´ lyozzuk: ba´r avatatlan szemnek e formalizmus ku ¨ lo ¨no ¨snek t˝ unik, a logikusok keze´ben ku ¨ lo ¨nlegesen hate´kony fegyvernek bizonyult. S azt is tudnunk kell, hogy az els˝ orend˝ u logika keretei ko ¨zo ¨tt ma´r valamennyi matematikai ´allı´ta´s formaliza´lhato ´. Egy formaliza´lt ´allı´ta´s vagy definı´cio ´ egyenesen re´miszt˝ onek t˝ unik, la´tszo ´lagos bonyolultsa´ga azonban e´ppense´ggel az ere´nye: a szo ´ban forgo ´ ´allı´ta´s vagy definı´cio ´ logikai szerkezete´t e szimbolizmus ma´r marade´ktalanul visszaadja. Mike´nt a propoziciona´lis logika´ban, az els˝ orend˝ u logika´ban is tala´lkozunk olyan azonossa´gokkal, amelyek az egyes opera´torok ko ¨zo ¨tt ´allapı´tanak meg kapcsolatot. Pe´lda´nak oka´e´rt, tetsz˝ oleges P(x) predika´tum esete´n fenna´ll, hogy nem- [∀x : P(x)] ≡ ∃x: nem-P(x). Egy ko ¨znyelvi pe´lda: Nem minden ember szereti a focit. ≡ Van olyan ember, aki nem szereti a focit. S mike´nt a propoziciona´lis logika´ban, ≡ itt is az „ugyanazt ´allı´tja, mint” fordulatot helyettesı´ti. Az els˝ orend˝ u logika arzena´lja a matematikusok sza´ma´ra lehet˝ ove´ tette, hogy a matematikai bizonyı´ta´sok minta´zatait formaliza´lja´k, s ekke´pp tegye´k vizsga´lo ´da´suk ta´rgya´va´. Ez a keret azonban nem tekinthet˝ o sem szentnek, sem se´rthetetlennek. Senki nem gondolja, hogy valamennyi matematikai ´allı´ta´st az els˝ orend˝ u logikai szimbolizmust ko ¨vetve kellene felı´rni, s hogy a bizonyı´ta´sokban kiza´ro ´lag a leva´laszta´st e´s a kvantorokra vonatkozo ´ – e helyu ¨ tt nem ta´rgyalt – levezete´si szaba´lyokat lehet csak alkalmazni. Mindez – tala´n a legegyszer˝ ubb ´allı´ta´sok kive´tele´vel – igen sok fa´radsa´gba keru ¨ lne, s az eredme´nyben u ´ gyszo ´lva´n semmi ko ¨szo ¨net nem volna: a formula´k e´rthetetlenek, a bizonyı´ta´sok pedig gyakorlatilag ko ¨vethetetlenek lenne´nek. Me´gis, az els˝ orend˝ u logikai minta´zatok tanulma´nyoza´sa nem csupa´n a matematikai bizonyı´ta´sok terme´szete´nek me´lyebb megismere´se´hez vezetett, de arro ´l is biztosı´totta a matematikusokat, hogy jo ´u ´ ton ja´rnak: a matematikai igazsa´g kerese´se´ben a bizonyı´ta´sok valo ´ban a legfontosabb u ´ tjelz˝ ok. A matematika´ban e´ppen ez id˝ o ta´jt ment ve´gbe az a fordulat, amely e bela´ta´st ku ¨ lo ¨no ¨sen nagy jelent˝ ose´ggel ruha´zta fel.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A modern kor hajnala

75

A modern kor hajnala A tizenkilencedik sza´zad ma´sodik fele a matematika dics˝ ose´ges korszaka. Ekkor szu ¨ letett meg sokak munka´ja´nak eredme´nyeke´nt a valo ´s sza´mok (a kontinuum) precı´z elme´lete, amellyel sikeru ¨ lt ve´gre szigoru ´ an megalapozni a matematikai analı´zis – mintegy ha´rom e´vsza´zaddal kora´bbi, Newton e´s Leibniz ´altal kidolgozott – mo ´dszereit. (L. a 3. fejezetet.) A fejl˝ ode´s egyik hajto ´ereje az axiomatikus mo ´dszer egyre hata´rozottabb, esetenke´nt kiza´ro ´lagos alkalmaza´sa volt. A matematika ta´rgyai absztrakt ta´rgyak. Igaz ugyan, hogy sza´mos matematikai diszciplı´na a fizikai vila´g konkre´t objektumainak vizsga´lata´bo ´l sarjadt ki, s ezek az elme´letek kifejlett forma´jukban tala´n me´g inka´bb alkalmasak e vila´g leı´ra´sa´ra, a valo ´di matematikai objektumok – a sza´mok, a geometriai alakzatok, a ku ¨ lo ¨nfe´le minta´zatok e´s struktu ´ ra´k – azonban egyt˝ ol-egyig absztrakt entita´sok. Az analı´zis esete´ben e minta´zatok ra´ada´sul elva´laszthatatlanok a ve´gtelen matematikai fogalma´to ´l, nyilva´nvalo ´ teha´t, hogy nem lehetse´ges semmife´le direkt kapcsolat ko ¨zo ¨ttu ¨ k s a fizikai vila´g ko ¨zo ¨tt. Felmeru ¨ l azonban a ke´rde´s, ha egyszer a matematika kiza´ro ´lag absztrakt objektumokkal foglalkozik, mike´nt lehetse´ges eldo ¨nteni, hogy valamely ezen objektumokra vonatkozo ´ kijelente´s igaz-e vagy hamis. A fizikus, a vegye´sz e´s a biolo ´gus mind a kı´se´rleti megfigyele´sek alapja´n tartja´k meg vagy vetik el hipote´ziseiket – ezt a mo ´dszert a matematikus, az esetek do ¨nt˝ o to ¨bbse´ge´ben legala´bbis, nem ko ¨vetheti. Ha egy ke´rde´s puszta numerikus sza´mola´s u ´ tja´n eldo ¨nthet˝ o, akkor nem is e´rdemes ra´ to ¨bb szo ´t vesztegetni. A fizikai vila´g eseme´nyeinek vizsga´lata azonban legfo ¨ljebb ha sugallhatja valamely matematikai te´ny fenna´lla´sa´t, mi to ¨bb, fe´lre is vezethet minket: a matematikai igazsa´g ugyanis gyakran szembekeru ¨ l a mindennapos tapasztalattal e´s intuı´cio ´inkkal. Annak felfedeze´se, hogy le´teznek nemraciona´lis valo ´s sza´mok, az egyik els˝ o olyan matematikai igazsa´g bela´ta´sa´t jelentette, amely ellentmond a he´tko ¨znapi jo ´zan e´sznek. Elve´gre tetsz˝ oleges ke´t raciona´lis sza´m ko ¨zo ¨tt tala´lhato ´u ´ jabb: pe´lda´ul a kett˝ oo ¨sszege´nek a fele. Ha a mindennapok logika´ja´t ko ¨vetju ¨ k, u ´ gy t˝ unik, egyszer˝ uen nincs u ¨ res hely a raciona´lis sza´megyenes pontjai ko ¨zo ¨tt, olyan s˝ ur˝ un helyezkednek el. A pu ¨ thagoreusok azonban, saja´t maguk legme´lyebb ba´nata´ra, minden ke´tse´get kiza´ro ´an bizonyı´totta´k, hogy nem ez a helyzet. Pu ¨ thagoreus kolle´ga´ik minden ellene´rze´se´t leku ¨ zdve, a ke´s˝ obbi korok matematikusai mind elfogadta´k az irraciona´lis sza´mok le´teze´se´t, elve´gre e te´nyt szigoru ´ bizonyı´ta´s ta´masztotta ala´. A bizonyı´ta´s pedig, mint ma´r to ¨bbszo ¨r leszo ¨geztu ¨ k, Thale´sz o ´ta a matematika alfa´ja e´s o ´mega´ja. A matematika´ban sem a tapasztalat, sem a demokratikus to ¨bbse´gi szavazat, me´g keve´sbe´ valamely autorita´s – aka´r a legnagyobb e´l˝ o matematikus – do ¨rgedelme nem sza´mı´t: a matematikai igazsa´g kiza´ro ´lag bizonyı´ta´s alapja´n e´rdemelheti ki e magas cı´met. Nem ´allı´tjuk, hogy a matematikusok kiza´ro ´lag u ´ jabb e´s u ´ jabb bizonyı´ta´sok kio ¨tle´se´vel to ¨ltik napjaikat. A matematika a minta´zatok tudoma´nya, sokan keres-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

76

Elme´s minta´zatok

nek u ´ jabb e´s u ´ jabb minta´zatokat, pro ´ba´lja´k ezek viselkede´se´t mine´l egyszer˝ ubb szaba´lyokkal megragadni, felteszik a ke´rde´st, vajon el˝ ofordulnak-e valamely nem va´rt, u ´ j teru ¨ leten, s hogy alkalmazhato ´k-e, s ha igen, mike´nt, a fizikai vila´g le´ra ı ´sa sora´n. Ilyenkor gyakran ce´lra vezet˝ o, ha megvizsga´ljuk, mennyiben vannak o ¨sszhangban a felismert minta´zatok a tapasztalattal, illetve mennyiben lehet fenna´lla´sukat konkre´t sza´mı´ta´sokkal ellen˝ orizni. Amennyiben azonban az igazsa´g hangzatos ke´rde´se felmeru ¨ l, azt csak egy bizonyı´ta´s tiszta´zhatja. A matematika igazsa´gai egyt˝ ol-egyig ha A, akkor B forma´ju ´ ak. Ma´ske´ppen, minden matematikai „te´ny” bizonyos el˝ ozetes felteve´sek, axio ´ma´k (a go ¨ro ¨g axio ´ma jelente´se: olyan ´allı´ta´s, amelynek igazsa´ga nem vonhato ´ ke´tse´gbe) alapja´n levezetett igazsa´g. Mid˝ on a matematikus azt ´allı´tja, hogy valamely B te´ny „igaz”, akkor se to ¨bbet, se kevesebbet nem mond, mint hogy B levezethet˝ o axio ´ma´k egy A o ¨sszesse´ge´b˝ ol. Megengedhet˝ o hanyagsa´g, ha ezt ro ¨viden ´gy ı fejezzu ¨ k ki: „B igaz” (felte´ve, hogy axio ´ma´ink mindegyike nyilva´nvalo ´, de legala´bbis a matematikusta´rsadalom sze´les re´tegei elfogadja´k). Hogy egy pe´lda´t emlı´tsu ¨ nk, valamennyi matematikus elfogadja, hogy tetsz˝ oleges pozitı´v ege´sz N esete´n, N e´s 2N ko ¨zo ¨tt tala´lhato ´ legala´bb egy prı´msza´m. Mie´rt olyan biztosak a dolgukban? Nyilva´n nem ellen˝ orizte´k valamennyi esetet, elve´gre ve´gtelen sok pozitı´v terme´szetes sza´m van. Bebizonyı´totta´k, hogy az ´allı´ta´s igaz, me´ghozza´ a terme´szetes sza´mokra vonatkozo ´ olyan axio ´ma´k alapja´n, amelyeket senkinek nem jut esze´be ke´tse´gbe vonni. Ha a bizonyı´ta´s helyesse´ge nyilva´nvalo ´, akkor csupa´n egy ponton nyı´lik lehet˝ ose´g a matematikai igazsa´gok elleni ta´mada´sra: ra´ke´rdezhetu ¨ nk, vajon az axio ´ma´k marade´ktalanul megfelelnek-e intuı´cio ´inknak. Ha ugyanis egyszer az axio ´ma´kat ro ¨gzı´tettu ¨ k, akkor valamennyi azokbo ´l levezetett ´allı´ta´st igaznak kell tekintenu ¨ nk az objektumok azon rendszere´re vonatkozo ´an, amelyet axio ´ma´ink megragadni hivatottak. (Szigoru ´ an ve´ve, azt kellett volna mondanom, „objektumok minden olyan rendszere´ben”, axio ´marendszereink to ¨bbse´ge ugyanis, fu ¨ ggetlenu ¨ l atto ´l, hogy milyen ce´lbo ´l ro ¨gzı´tettu ¨ k, nem csupa´n egyetlen objektumrendszert hata´roz meg.) Mi to ¨bb, el˝ ofordulhat az is, hogy az axio ´marendszeru ¨ nk ´altal te´nylegesen megragadott struktu ´ ra e´ppense´ggel nem az, amelynek vizsga´lata´t eredetileg ce´lul t˝ uztu ¨ k ki. Euklide´sz Kr. e. 350 ko ¨ru ¨ l ro ¨gzı´tette sı´kgeometriai axio ´ma´it, amelyekkel a fizikai te´r szerkezete´t ve´lte megragadni. Ezekb˝ ol az axio ´ma´kbo ´l sza´mos ´allı´ta´st sikeru ¨ lt levezetnie, eszte´tikailag kellemeset e´ppu ´ gy, mint a mindennapi e´let sza´ma´ra hasznosat. A tizenkilencedik sza´zadra azonban felmeru ¨ lt a ke´tely: a te´r fizikai struktu ´ ra´ja´t tala´n nem is az euklideszi axio ´ma´k ´rja ı ´k le. A nagy mu ´ ltu ´ axio ´marendszer legfo ¨ljebb jo ´ ko ¨zelı´te´snek tekinthet˝ o, ba´r olyan pontos ko ¨zelı´te´snek, hogy az elte´re´sek a mindennapi tapasztalat sza´ma´ra e´szreve´tlenek maradnak. A

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A modern kor hajnala

77

fizika legu ´ jabb elme´letei szerint a te´r valo ´di geometria´ja nem Euklide´sz geometri´aja. (A to ¨rte´net re´szleteivel az Olvaso ´ a 4. fejezetben ismerkedhet meg.) Az axiomatikus mo ´dszert illusztra´lando ´, ´alljon itt az ege´sz sza´mok aritmetika´ja´nak axio ´marendszere: ¨sszeada´s e´s a 1. Tetsz˝ oleges m e´s n esete´n, m + n = n + m e´s mn = nm (az o szorza´s kommutatı´v). 2. Tetsz˝ oleges m, n e´s k esete´n, m + (n + k) = (m + n) + k e´s m(nk) = (mn)k (az o ¨sszeada´s e´s a szorza´s asszociatı´v). 3. Tetsz˝ oleges m, n e´s k esete´n, k(m + n) = km + kn (disztributivita´s). ¨sszeada´s neutra´lis eleme). 4. Minden n-re: n + 0 = n (0 az o 5. Minden n-re: 1n = n (1 a szorza´s neutra´lis eleme). 6. Minden n-hez van olyan k, hogy n + k = 0 (az additı´v inverz le´teze´se). ´ gy 7. Tetsz˝ oleges m, n e´s k esete´n, ha k = 0, akkor amennyiben km = kn, u m = n (az egyszer˝ usı´te´s szaba´lya). A felsorolt axio ´ma´kat minden matematikus elfogadja, a bel˝ olu ¨ k levezetett te´teleket pedig egyt˝ ol-egyig „igaznak” tekintik. Ko ¨nnyede´n felı´rhatunk azonban olyan igaz te´nyeket, amelyeket soha senki nem fog ellen˝ orizni, sem direkt sza´mola´s u ´ tja´n, sem valamilyen kı´se´rleti alapon, mondjuk fille´reket sza´mla´lva. Igaz-e pe´lda´ul a ko ¨vetkez˝ o egyenl˝ ose´g?

12 345678 910 + 314 159987 654 321 = 314 159987 654 321 + 12 345678 910 Egyenl˝ ose´gu ¨ nk m + n = n + m alaku ´ , ´gy ı az els˝ o axio ´ma alapja´n tudjuk, hogy igaz, me´g csak nem is kell a bizonyı´ta´s kerese´se´vel fa´radoznunk. Valo ´ban lehet ilyen alapon biztosan „tudni” valamit? Az ege´sz sza´mok aritmetika´ja´nak axio ´marendszere´vel a matematikusok olyan minta´zatokat ragadtak meg, amelyek fenna´lla´sa´t te´nyleges megfigyele´sek ta´masztotta´k ala´. A sza´mola´ssal kapcsolatos leghe´tko ¨znapibb tapasztalatok egyike, hogy az o ¨sszeada´s vagy a szorza´s eredme´nye nem fu ¨ gg a tagok, illetve a te´nyez˝ ok sorrendje´t˝ ol. Az pe´lda´ul, hogy 3 + 8 = 8 + 3, e´rme´k sza´mla´la´sa´val is meger˝ osı´thet˝ o: ha van ha´rom e´rme´nk, s azokhoz hozza´veszu ¨ nk me´g nyolcat, ugyanannyi e´rme´nk lesz, mintha nyolcbo ´l kiindulva ha´rom tova´bbit kasszı´rozna´nk. Ugyanezzel a minta´zattal tala´lkoztunk, ba´rmely ke´t sza´mot adtuk is o ¨ssze. Mi to ¨bb, e´sszer˝ unek t˝ unik a felte´teleze´s, hogy azokra a sza´mokra is e´rve´nyes lesz, amelyek esetleg holnap keru ¨ lnek majd sorra, s˝ ot, valamennyi olyan sza´mpa´rra, amellyel valaha ember csak tala´lkozni fog. A matematikus csupa´n ezt a – jo ´zan e´sz sza´ma´ra nyilva´nvalo ´ – felte´teleze´st ro ¨gzı´ti, mid˝ on kinyilva´nı´tja: e minta´zat minden egyes sza´mpa´rra igaz. Mivel e szaba´lyokat axio ´make´nt ro ¨gzı´tju ¨ k, a bel˝ olu ¨ k levezethet˝ o ´allı´ta´sok mind igazak lesznek objektumok minden olyan rendszere´ben, amelyben maguk az axio ´ma´k is igazak. Pe´lda´nak oka´e´rt, a fenti axio ´ma´k alapja´n bela´thato ´ az additı´v inverz egye´rtelm˝ use´ge: tetsz˝ oleges n „sza´mhoz” pontosan egy olyan k „sza´m”

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

78

Elme´s minta´zatok

tala´lhato ´, amelyre n + k = 0. Nem le´tezik teha´t „sza´mok” olyan, az axio ´ma´kat kiele´gı´t˝ o rendszere, amelyben valamely „sza´mnak” ke´t (ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o) additı´v inverze is van. A „sza´m” szo ´t az el˝ oz˝ o bekezde´sben csak ide´z˝ ojelesen haszna´ltuk. Mint ma´r emlı´tettu ¨ k, gyakran megesik, hogy valamely axio ´marendszerr˝ ol kideru ¨ l, hogy nem csupa´n egy rendszer ele´gı´ti k. A fenti axio ´ma´knak eleget tev˝ o rendszereket integrita´si tartoma´nynak nevezik. Integrita´si tartoma´nyra nem az ege´sz sza´mok adja´k az egyetlen pe´lda´t. Ugyanezen axio ´ma´kat a polinomok, valamint az 1. fejezetben emlı´tett ve´ges aritmetikai rendszerek ne´melyike is kiele´gı´ti. A prı´m modulusu ´ modula´ris aritmetika´kban me´g egy tova´bbi, 8. axio ´ma is teljesu ¨ l: 8. Minden 0-to ´l ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o n-hez tala´lhato ´ olyan k, hogy nk = 1. Axio ´ma´nk a multiplikatı´v inverz le´teze´se´t posztula´lja, a 7. axio ´ma valo ´ja´ban ennek egy ko ¨vetkezme´nye. (Pontosabban, az 1–6. e´s a 8. axio ´ma´kbo ´l a 7. axio ´ma levezethet˝ o.) Azokat a struktu ´ ra´kat, amelyekre mind a nyolc axio ´ma teljesu ¨ l, testnek nevezzu ¨ k. Sza´mos pe´lda´t mutathatunk testekre: a raciona´lis, a valo ´s e´s a komplex sza´mok mind testet alkotnak (l. a 3. fejezetet). Vannak ezeken felu ¨ l olyan testek is, amelyek elemei nem „sza´mok” – legala´bbis nem olyan e´rtelemben, amelyben e szo ´t to ¨bbnyire haszna´ljuk. Az absztrakcio ´ ereje Mid˝ on el˝ oszo ¨r tala´lkozunk a modern, absztrakt matematika´val, me´lta´n ta´madhat olyan e´rze´su ¨ nk, hogy csupa´n komolytalan ja´te´kro ´l van szo ´ – nem mintha az ilyen ja´te´kokban ba´rmi kivetnivalo ´t tala´lna´nk. A mo ´dszer azonban, amely axio ´ma´k fela´llı´ta´sa´n e´s ko ¨vetkezme´nyeik vizsga´lata´n alapul, az e´vek sora´n sza´mos teru ¨ leten bizonyult gyu ¨ mo ¨lcso ¨z˝ onek, s fejtett ki hata´st a mindennapi e´letre, ´alda´sosat e´ppu ´ gy, mint ´atkosat. Nyugodtan kijelenthetju ¨ k: e´letu ¨ nkben tu ´ lnyomo ´re´szt olyan ismeretekre ta´maszkodunk, amelyekre az emberise´g az axiomatikus mo ´dszert ko ¨vetve tett szert. (Nem ´allı´tjuk, hogy ez tuda´sunk ege´sze´re e´rve´nyes, azt azonban igen, hogy le´nyegi o ¨sszetev˝ or˝ ol van szo ´. Elegend˝ o, ha arra hivatkozunk: e mo ´dszer hı´ja´n az uto ´bbi e´vsza´zadban tapasztalt technolo ´giai fejl˝ ode´s nemigen valo ´sulhatott volna meg.) Mivel magyara´zhato ´ az axiomatikus mo ´dszer diadala? Vajon az axio ´ma´k te´nylegesen az e´rtelmes e´s helyes se´ma´kat ragadja´k meg? Hogy pontosan melyik ´allı´ta´sokat fogadjuk el axio ´ma´nak, olyan ke´rde´s, amelynek megva´laszola´sa sokkal inka´bb tu ¨ kro ¨zi az ember ´te ı ´l˝ oke´pesse´ge´t, mint ba´rmi ma´s. Polga´rta´rsaink zo ¨me pe´lda´ul aka´r e´lete´t is feltenne´ az o ¨sszeada´s kommutativita´sa´nak e´rve´nyesse´ge´re, holott e szaba´lyt te´nylegesen csak igen keve´s pe´lda´ra ellen˝ orizte´k. (A kedves Olvaso ´ vajon ha´nyszor pro ´ba´lta konkre´t sza´mpa´rokra

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az absztrakcio ´ ereje

79

ellen˝ orizni? Gondoljon csak erre, amikor legko ¨zelebb repu ¨ l˝ oge´pre sza´ll, ahol sorsunk – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt – e to ¨rve´nyen ´all vagy zuhan.) Az effe´le meggy˝ oz˝ ode´snek semmife´le logikai alapja nincs. A matematika´ban se szeri, se sza´ma az olyan ´allı´ta´soknak, amelyek esetek millio ´ira e´rve´nyesek, me´gsem igazak ´altala´ban. A terme´szetes sza´mokra vonatkozo ´ Mertens-sejte´st ma´r mintegy 7,8 millia´rd sza´mra ellen˝ orizte´k, mı´gnem 1983-ban bela´tta´k, hogy me´giscsak hamis. De ezt megel˝ oz˝ oleg sem jutott esze´be soha senkinek, hogy a sejte´sben megfogalmazott ´allı´ta´st az aritmetika axio ´ma´ihoz csatolja. Mi lehet az oka, hogy a matematikusok axio ´make´nt fogadnak el olyan, alig ala´ta´masztott ´allı´ta´sokat, mint amilyen az o ¨sszeada´s kommutativita´sa, mı´g ma´sokat, amelyeket esetek millio ´ira te´nylegesen ellen˝ oriztek, nem re´szesı´tenek e tiszteletben? A do ¨nte´s a jo ´zan e´sz illete´kesse´gi ko ¨re´be tartozik. Ahhoz, hogy valamely se´ma´t axio ´make´nt fogadjon el, a matematikus nem csupa´n azt ne´zi, hogy a felteve´s gyu ¨ mo ¨lcso ¨z˝ o-e – o ¨sszhangban kell ´alljon a szemle´lettel, mi to ¨bb, „hihet˝ onek” s lehet˝ ose´g szerint mine´l egyszer˝ ubbnek kell lennie. Nem sokat nyom teha´t a latban a numerikus pe´lda´k sza´ma – holott egy axio ´ma elvete´se´hez ma´r egyetlen ellenpe´lda is elegend˝ o! Nyilva´n senkit sem akada´lyozhatunk meg abban, hogy papı´rra vesse tetsz˝ olegesen kiva´lasztott posztula´tumok egy lista´ja´t, majd ennek alapja´n elkezdjen te´teleket bizonyı´tani. Annak ese´lye azonban, hogy te´teleinek a gyakorlatban – vagy aka´r a matematika valamely ma´s teru ¨ lete´n – haszna´t vehetju ¨ k, meglehet˝ osen cseke´ly. Az ilyenfajta teljesı´tme´ny ra´ada´sul nemigen tarthat ige´nyt a matematikusta´rsadalom elismere´se´re sem. A matematikusoknak nincs kifoga´suk az ellen, ha teve´kenyse´gu ¨ ket egyfajta „ja´te´kke´nt” ´rja ı ´k le – ro ¨gvest kike´rik maguknak azonban, ha e ja´te´kot „e´rtelmetlennek” titula´lja´k. A to ¨rte´nelem tanu ´ sa´ga mellettu ¨ k szo ´l: eredme´nyeik to ¨bbse´ge a gyakorlatban is hasznosnak bizonyult. A matematikus, mid˝ on ro ¨gzı´t egy hihet˝ o axio ´marendszert, amely valamely rendszer kiindulo ´pontja´ul szolga´l, a ke´nyelem szempontja´ra is tekintettel van: a mege´rte´s folyamata´ban ugyanis, amely a te´telek bizonyı´ta´sa´ban o ¨lt testet, ma´r minden egyedu ¨ l az axio ´ma´kon mu ´ lik. Az axio ´ma´k rendszere leginka´bb egy impoza´ns e´pı´tme´ny alapzata´hoz hasonlı´thato ´. Ba´rmilyen gondosan e´pı´tse is fel a matematikus a falakat s a struktu ´ ra tova´bbi re´szeit, amennyiben az alapk˝ o lete´telekor nem ja´rt el ele´g gondosan, az ege´sz fele´pı´tme´ny o ¨sszeomolhat. Ele´g egyetlen hamis axio ´ma, s valamennyi ko ¨vetkezme´ny helytelen lesz – vagy e´rtelmetlen. Az el˝ oz˝ o fejezetekben amellett e´rveltu ¨ nk, hogy a matematika valamely u ´ j teru ¨lete´nek megho ´dı´ta´sa sora´n az els˝ o le´pe´s mindig egy adott minta´zat felismere´se. Ezt ko ¨veti az absztrakcio ´, melynek sora´n azonosı´tanak egy matematikai objektumot vagy struktu ´ ra´t, mint amilyen a terme´szetes sza´m vagy a ha´romszo ¨g. Az absztrakt fogalmak tanulma´nyoza´sa sora´n olykor egy axio ´marendszer krista´lyosodik ki. Ett˝ ol kezdve azonban ma´r semmife´le szerepet nem ja´tszik annak a jelense´gko ¨rnek az ismerete, amely az axio ´ma´khoz a kiindula´si alapot szolga´ltatta – a tova´bbiak a tiszta absztrakcio ´n, a logikailag korrekt levezete´seken nyugszanak.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

80

Elme´s minta´zatok

A kiindulo ´pontul szolga´lo ´ minta´zat terme´szetesen eredhet a mindennapok vila´ga´bo ´l is, mint azt euklideszi geometria e´s – bizonyos me´rte´kig – az elemi aritmetika esete´ben la´ttuk, lehetse´ges azonban az is, hogy a szo ´ban forgo ´ minta´zatok maga´bo ´l a matematika´bo ´l sza´rmaznak. ´Igy jelennek meg az absztrakcio ´ egyre magasabb szintjei. E folyamatra jo ´ pe´lda´t szolga´ltatnak az integrita´si tartoma´nyt definia´lo ´ axio ´ma´k, amelyeknek nem csupa´n az ege´sz sza´mok, de a polinomok e´s sza´mos tova´bbi matematikai rendszer is eleget tesz, melyek mindegyike a megel˝ oz˝ o, alacsonyabb absztrakcio ´s szintet ke´pvisel˝ o struktu ´ ra ´altala´nosı´ta´sa´nak tekinthet˝ o. A tizenkilencedik sza´zadban az absztrakcio ´s folyamat olyan szintre jutott, hogy a matematikusok – zsenik egy maroknyi csoportja´t lesza´mı´tva – tudoma´nyuk u ´ jabb eredme´nyeinek legnagyobb ha´nyada´t ma´r nem ke´pesek nyomon ko ¨vetni. Egyma´sra e´pu ¨ l˝ o absztrakcio ´k hatalmas tornya emelkedett az e´g fele´, s to ¨r egyre magasabbra. Mindez sokakat elriaszt a modern matematika´to ´l, pedig az absztrakcio ´ magasabb foka nem jelenti felte´tlenu ¨ l azt, hogy a rendszerek egyszersmind sokkalta bonyolultabbak is. A matematikai gyakorlat az absztrakcio ´ ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o szintjein le´nyege´ben ugyanazokon a mechanizmusokon alapul. Figyelemre me´lto ´, hogy az uto ´bbi e´vsza´zad sora´n hasonlo ´ folyamatnak nem csupa´n a matematika, de az irodalom, a zene e´s a ke´pz˝ om˝ uve´szetek teru ¨ lete´n is tanu ´ i lehettu ¨ nk – s˝ ot, me´g az eredme´ny is gyakorta ugyanaz: akik nem tartoznak a bennfentesek sz˝ uk ko ¨re´hez, ma´r nemigen ke´pesek e´rte´kelni az u ´ jabb fejleme´nyeket. A hajle ´kony halmazfogalom Az absztrakcio ´ magasabb szintjeinek megjelene´se´vel a halmaz fogalma a matematika´ban egyre inka´bb el˝ ote´rbe keru ¨ lt. (Halmaznak nevezzu ¨ k adott tı´pusu ´ objektumok tetsz˝ oleges o ¨sszesse´ge´t.) ´ jabb kelet˝ U u matematikai fogalmainkat – a csoport, az integrita´si tartoma´ny, a test, a topologikus te´r vagy a vektorte´r – ´altala´ban u ´ gy definia´ljuk, mint objektumok olyan halmaza´t, amelyen specia´lis m˝ uveleteket e´rtelmeztu ¨ nk, amilyen pe´lda´ul az o ¨sszeada´s vagy a szorza´s. A geometria re´gi va´ga´su ´ meghata´roza´sait is u ´ jakra csere´ltu ¨ k: egyenesekr˝ ol, ko ¨ro ¨kr˝ ol, ha´romszo ¨gekr˝ ol, sı´kokro ´l, kocka´kro ´l, oktae´derekr˝ ol e´s effe´le´kr˝ ol ma´r u ´ gy besze´lu ¨ nk, mint adott tulajdonsa´gu ´ pontok ´ s hogy el ne felejtsu halmazairo ´l. E ¨ k: Boole maga´nak a logika´nak a fogalmait is a halmazelme´let terminolo ´gia´ja szerint definia´lta. Ba´r Boole ma´r jo ´val kora´bban megtette a kezd˝ ole´pe´seket, az absztrakt halmazelme´let els˝ o rendszeres kifejte´se´re a tizenkilencedik sza´zad ve´ge´ig va´rni kellett, amikor Georg Cantor, ne´met matematikus ko ¨zze´tette korszakalkoto ´ eredme´nyeit. Cantor elme´lete´nek alapjai hasonlo ´ak Boole szillogizmus-rekonstrukcio ´ja´nak kiindulo ´pontja´hoz: mindke´t elme´let a halmazok „aritmetika´ja´ra” e´pu ¨ l:

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A hajle´kony halmazfogalom

81

¨lje xy azon elemek o ¨sszesse´ge´t, ameTetsz˝ oleges x e´s y halmazok esete´n jelo lyek x-nek is e´s y-nak is elemei, x + y pedig azt a halmazt, amelynek valamennyi eleme x e´s y ko ¨zu ¨ l legala´bb az egyiknek eleme. A boole-i elme´lettel o ¨sszehasonlı´tva, a do ¨nt˝ o ku ¨ lo ¨nbse´get az jelenti, hogy most tetsz˝ oleges x e´s y halmazokat sza´mı´ta´sba veszu ¨ nk, nem csupa´n azokat, amelyek valamely logikai ´allı´ta´s kapcsa´n keru ¨ ltek szo ´ba. A ko ¨vetkez˝ o „aritmetikai” axio ´ma´k, amelyeket ma´r a Boole-algebra´k ta´rgyala´sakor felsoroltunk, ebben az ´altala´nosabb esetben is e´rve´nyben maradnak:

x+y=y+x xy = yx x + (y + z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z x(y + z) = xy + xz x+0=x x+x=x xx = x (Az 1-re vonatkozo ´ Boole-axio ´ma e felsorola´sbo ´l hia´nyzik: a halmazelme´letben effe´le „univerza´lis” objektumra nincs szu ¨ kse´gu ¨ nk, mi to ¨bb, felteve´se technikai bonyodalmakhoz vezet.) A modern halmazelme´letben xy-t x e´s y metszete´nek, x + y-t pedig a ke´t halmaz unio ´ja´nak nevezzu ¨ k. Ezek bevett jelo ¨le´se rendre x ∩ y e´s x ∪ y. Az u ¨ res halmazt (azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs) manapsa´g to ¨bbnyire ´lummal jelo ¨lju ¨ k. (E halmaz olyan szerepet to ¨lt be a nem 0-val, hanem a ∅ szimbo halmazelme´letben, mint a 0 az aritmetika´ban.) Kisebb halmazokat, amelyeknek legfo ¨ljebb egy tucatnyi elemu ¨ k van, ´altala´ban az elemeik felsorola´sa´val adjuk meg. Azt a halmazt pe´lda´ul, amelynek elemei 1, 3 e´s 11, ´gy ı jelo ¨lju ¨ k:

{1, 3, 11}. Nagyobb, ku ¨ lo ¨no ¨sen a ve´gtelen halmazok ilyen mo ´don nyilva´n nem jelo ¨lhet˝ ok. El˝ ofordulhat, hogy a halmaz elemei valamilyen nyilva´nvalo ´ minta´zatot ko ¨vetnek, amely ma´r az els˝ o ne´ha´ny elem alapja´n felismerhet˝ o,

{2, 4, 6, . . . } pe´lda´ul e´rtelemszer˝ uen a pozitı´v pa´ros sza´mok – ve´gtelen – halmaza´t jelo ¨li. Akadnak olyan esetek is, amikor a szo ´ban forgo ´ halmazt egyszer˝ u leı´ra´ssal lehet csak megadni, ilyenre pe´lda: „a prı´msza´mok halmaza”. Azt, hogy valamely x objektum eleme az A halmaznak, ekke´ppen jelo ¨lju ¨ k: x ∈ A, azt, hogy x nem eleme A-nak, pedig ´gy: ı x∈ / A.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

82

Elme´s minta´zatok

Sza ´ mok a semmib˝ ol A halmazelme´let, la´tszo ´lagos egyszer˝ use´ge ellene´re, a matematikai arzena´l ne˝si ke´rhe´ztu ¨ ze´rse´ge´nek bizonyult. Ezen elme´let alapja´n va´lasz kı´na´lkozott egy o de´sre is: Mik is voltake´ppen a sza´mok? Nyilva´nvalo ´, hogy a matematikusok ´altala´ban nem bajlo ´dnak effe´le ke´rde´sek˝k is, mike´nt valamennyi ember, egyszer˝ kel, ´altala´ban o uen csak haszna´lja´k a sza´mokat. A tudoma´nyban azonban gyakorta felle´p˝ o ige´ny, hogy valamely fogalmat ma´s, alapvet˝ obb fogalmakra vezessu ¨ nk vissza, s ez nincs ma´ske´pp a matematika´ban sem. A redukcio ´ ha´rom alapvet˝ o le´pe´se: a valo ´s sza´mokat a raciona´lis sza´mok, a raciona´lis sza´mokat az ege´sz sza´mok, az ege´sz sza´mokat pedig a terme´szetes sza´mok elme´lete´nek keretei ko ¨zo ¨tt definia´ljuk. A re´szletek ismertete´se´t˝ ol ehelyu ¨ tt eltekintu ¨ nk, csupa´n annyit szo ¨gezu ¨ nk le, hogy – a valo ´s sza´mok raciona´lis sza´mok bizonyos (ve´gtelen) re´szhalmazaival azonosı´thato ´k; – a raciona´lis sza´mok reprezenta´lhato ´k ege´sz sza´mokbo ´l alkotott sza´mpa´rok bizonyos (ve´gtelen) halmazaival; – az ege´sz sza´mok pedig terme´szetes sza´mokbo ´l ´allo ´, adott tulajdonsa´gu ´ pa´rok (u ´ jfent csak ve´gtelen) halmazake´nt e´rtelmezhet˝ ok. Ha legalapvet˝ obbnek a halmazfogalmat tartjuk, akkor a redukcio ´k sora´t azzal kell za´rnunk, hogy megmutatjuk, mike´nt reprezenta´lhato ´k a terme´szetes sza´mok a halmazelme´let keretein belu ¨ l. Ez lehetse´ges, me´ghozza´ megdo ¨bbent˝ o mo ´don egyfajta „semmib˝ ol teremte´ske´nt”: a terme´szetes sza´mok ve´gtelen sokasa´ga a halmazok vila´ga´ban a „semmib˝ ol”, pontosabban szo ´lva a ∅ u ¨ res halmazbo ´l kiindulva ko ¨nnyede´n megkaphato ´. Legyen a 0 definı´cio ´ szerint az u ¨ res halmaz: ∅. Az 1-et most azonosı´tsuk a {0} halmazzal, azzal a halmazzal teha´t, amelynek a 0 az egyetlen eleme. (Ha belegondolunk, 1 tulajdonke´ppen a {∅} halmaz, amelynek egyetlen eleme az u ¨ res halmaz. Mı´g az ∅ halmaznak egyetlen eleme sincs, {∅}-nak ma´r van, me´ghozza´ pontosan egy eleme.) A 2 ezek uta´n per definitionem a {0, 1}, a 3 a {0, 1, 2} halmaz, s ´gy ı tova´bb. Ha valamely sza´mot ma´r definia´ltunk, azt azon nyomban felhaszna´ljuk a ko ¨vet´ ltala´ban: az n sza´mot az n-ne´l kisebb terme´szetes kez˝ o sza´m definia´la´sa sora´n. A sza´mok halmazake´nt hata´rozzuk meg:

n = {0, 1, 2, . . . , n − 1} ´ jfent hangsu (Az n halmaznak teha´t pontosan n eleme van.) U ´ lyozzuk, az ege´sz ´ s ez nem semmi! folyamat az ∅ u ¨ res halmazbo ´l, vagyis a „semmib˝ ol” indult ki. E

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Repede´sek az alapokban

83

Repede ´sek az alapokban A sza´zadfordulo ´ra a halmazelme´let a matematika csaknem minden re´sze´nek ´altala´nosan elfogadott keretelme´lete´ve´ va´lt. Anna´l nagyobb volt a meglepete´s ereje, amikor 1902-ben, egy ver˝ ofe´nyes ju ´ niusi napon a matematika vila´ga´t rettenetes megra´zko ´dtata´s e´rte: kideru ¨ lt, Cantor halmazelme´lete ellentmonda´sos (ma´s ´. (Az elszo ´val inkonzisztens), azaz benne – aka´r – a 0 = 1 ´allı´ta´s is bizonyı´thato lentmonda´st valo ´ja´ban Gottlob Frege, ne´met logikus rendszere´ben e´rte´k tetten, azonban a cantori halmazelme´letre e´ppolyan ve´gzetesnek bizonyult, mint Frege logikai rendszere´re.) Ha egy axio ´marendszerrel valami proble´ma ado ´dik, a lehetse´ges legsu ´ lyosabb, ami szo ´ba jo ¨het: az inkonzisztencia. Ha az axio ´ma´k nehezen e´rthet˝ ok, atto ´l me´g lehet velu ¨ k dolgozni. Az sem felte´tlenu ¨ l tragikus, ha kideru ¨ l: a rendszer me´gsem azt a struktu ´ ra´t ragadja meg, amelyet le akartunk ´rni ı – lehetse´ges, s nemegyszer el˝ o is fordult, hogy az ily mo ´don leszerepelt rendszer egy ma´sik struktu ´ ra´ra ma´r helyesnek bizonyult. Egy inkonzisztens axio ´marendszer azonban to ¨ke´letesen hasznavehetetlen. A szo ´ban forgo ´ ellentmonda´s felfedeze´se Bertrand Russell e´rdeme; az id˝ o ta´jt Frege m˝ uve ma´r a nyomda´ban volt. Russell e´rvele´se egyszer˝ u ugyan, de kive´dhetetlen. Cantor, Frege e´s feltehet˝ oen a kor valamennyi matematikusa, aki e te´ma´val, aka´rha csak kutyafutta´ban, tala´lkozott, szila´rdan meg volt gy˝ oz˝ odve arro ´l, hogy tetsz˝ oleges P tulajdonsa´g esete´n le´tezik a P-tulajdonsa´gu ´ objektumok halmaza. Ha pe´lda´ul P(x) az „x (egy) ha´romszo ¨g” tulajdonsa´g, akkor a neki megfelel˝ o halmaz a ha´romszo ¨gek halmaza. (Frege logikai munka´ssa´ga´nak egyik vı´vma´nya, a ma´r ta´rgyalt els˝ orend˝ u logika, voltake´ppen a tulajdonsa´gok forma´lis elme´leteke´nt is felfoghato ´.) A P tulajdonsa´gu ´ objektumok halmaza´t ´altala´ban ´gy ı jelo ¨lju ¨ k:

{x : P(x)} Pe´lda´ul a prı´msza´mok halmaza´ra ekke´ppen hivatkozhatunk:

{x : x prı´msza´m} Itt a P tulajdonsa´g terme´szetes sza´mokra alkalmazhato ´, a fenti halmaz elemei teha´t terme´szetes sza´mok. Russell gondolatmenete´ben halmazokra vonatkozo ´ tulajdonsa´gokro ´l van szo ´, az „alaphalmaz” na´la teha´t „minden halmazok halmaza”. A halmazokra vonatkozo ´ tulajdonsa´gok ko ¨zo ¨tt van az is, amely pontosan akkor ´allı´thato ´ egy halmazro ´l, ha az eleme o ¨nmaga´nak. Ha pe´lda´ul az e ko ¨nyvben megnevezett halmazok halmaza´t U jelo ¨li, akkor nyilva´n U ∈ U . Vannak persze halmazok, amelyekre ez a tulajdonsa´g nem ´all: ilyen pe´lda´ul a terme´szetes ˝ maga nem terme´szetes sza´m – nem eleme sza´mok N halmaza, amely – le´ve´n o o ¨nmaga´nak: N ∈ / N.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

84

Elme´s minta´zatok

Az ellentmonda´s levezete´se´hez Russellnek e´ppen ez uto ´bbi o ¨sszefu ¨ gge´s ´altal kifejezett tulajdonsa´gra volt szu ¨ kse´ge: arra az R tulajdonsa´gra, amellyel egy halmaz akkor rendelkezik, ha nem eleme o ¨nmaga´nak. Ne´mely halmaz, mint pe´lda´ul N , ilyen tulajdonsa´gu ´ , ma´s halmazok viszont, mint az ime´nti U , nem. R kisse´ ku ¨lo ¨no ¨s, mindazona´ltal to ¨ke´letesen jo ´l meghata´rozott tulajdonsa´g, a cantori-fregei alapelv e´rtelme´ben ´gy ı le´teznie kell az R tulajdonsa´gu ´ halmazok halmaza´nak; jelo ¨lju ¨ k e halmazt R-rel:

R = {x : x halmaz e´s x ∈ / x} Eddig meglenne´nk. Russell ezen a ponton a ko ¨vetkez˝ o nyilva´nvalo ´ ke´rde´st tette fel: vajon az ´gy ı definia´lt R halmaz eleme-e o ¨nmaga´nak? ˝t maga´t definiHa R eleme o ¨nmaga´nak, e´rvelt Russell, akkor ´allı´thato ´ ro ´la az o ´alo ´ R tulajdonsa´g: azaz R nem eleme o ¨nmaga´nak. Ha teha´t R eleme o ¨nmaga´nak, akkor eleme is o ¨nmaga´nak e´s nem is: lehetetlen egy helyzet. ¨nmaga´nak? Ez esetben nem teljesu ¨l Mi van azonban akkor, ha R nem eleme o ra´ az elemeit jellemz˝ o tulajdonsa´g, azaz nem ´all, hogy R nem eleme o ¨nmaga´nak. Ezzel azonban pontosan azt mondjuk, hogy R eleme o ¨nmaga´nak: a konklu ´ zio ´ teha´t ugyanaz: R eleme o ¨nmaga´nak, e´s ugyanakkor nem eleme o ¨nmaga´nak. Zsa´kutca´ba jutottunk. R ugyanis vagy eleme o ¨nmaga´nak, vagy nem. Aka´rmelyik eset ´alljon is fenn, arra lyukadunk ki, hogy mindkett˝ onek egyszerre fenn kell ´allnia – ez azonban lehetetlen. A bemutatott proble´ma´t Russell-paradoxon ne´ven tartja´k sza´mon. Felfedeze´se jelzi, hogy a cantori halmazelme´let ko ¨ru ¨ l valami nincs rendben – de vajon mi? Russell e´rvele´se´nek helyesse´ge´hez nem fe´r ke´tse´g, a paradoxonban enne´lfogva ´ja lehet ludas. Ez a definı´cio ´ azonban oly egyszer˝ u, csak az R halmaz definı´cio hogy egyszer˝ ubbet alig lehetne elke´pzelni. Azok a halmazok, amelyeket a ku ¨lo ¨nbo ¨z˝ o sza´mfajta´k konstrukcio ´ja sora´n haszna´lunk, enne´l sokkalta bonyolultabbak. Nem volt mit tenni: legyen ba´rmennyire fa´jdalmas, a matematikusoknak szakı´taniuk kellett azzal a meggy˝ oz˝ ode´ssel, miszerint minden egyes tulajdonsa´g egye´rtelm˝ uen meghata´roz egy halmazt. Mindez emle´keztet az ´altala´nos megro ¨ko ¨nyo ¨de´sre, amit a pu ¨ thagoreusok e´rezhettek, mid˝ on felfedezte´k, hogy le´teznek hosszu ´ sa´gok, amelyek egyetlen ismert sza´mmal sem fejezhet˝ ok ki. Akkor sem volt ma´s va´laszta´s: ba´r az eredeti elme´let egyszer˝ u, elega´ns e´s szemle´letes volt, me´gis meg kellett va´ltoztatni, esetleg u ´ jabb, ma´s elme´letet kellett a helye´re le´ptetni. Cantor elme´lete is egyszer˝ u, elega´ns e´s szemle´letes volt . . . A cantori teo ´ria´t felva´lto ´ rendszer az Ernst Zermelo e´s Abraham Fraenkel ´altal kidolgozott axiomatikus halmazelme´let. Ez sokat meg˝ orzo ¨tt el˝ odje´nek szemle´letesse´ge´b˝ ol, s az is kideru ¨ lt, keretei ko ¨zo ¨tt ugyanu ´ gy formaliza´lhato ´ a tiszta matematika valamennyi teru ¨ lete – me´gis: az u ´ j elme´letet nem tekinthetju ¨ k ku ¨ lo ¨no ¨sebben elega´ns teo ´ria´nak. Cantor elme´lete´vel o ¨sszevetve, a Zermelo ´to ´l sza´rmazo ´ he´t, s a Fraenkel ´altal ezekhez csatolt, keve´sse´ maga´to ´l e´rtet˝ od˝ o nyolcadik axi-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A Hilbert-program tu ¨ndo ¨kle´se ´es buka´sa

85

o ´ma egyu ¨ ttese els˝ o pillanta´sra inka´bb egy kupac tarkabarka formula, mint egy koherens elme´let benyoma´sa´t kelti. Ezen axio ´ma´k egyre´szt lehet˝ ove´ teszik, hogy minden olyan halmazt megkonstrua´lhassunk, amelyre a matematika´ban szu ¨ kse´gu ¨ nk lehet, ma´sre´szt o ´vja´k az elme´letet a Russell-tı´pusu ´ ellentmonda´sokto ´l. A Zermelo – Fraenkel elme´letet sikerei miatt a legto ¨bb matematikus elfogadja, mint azt a k˝ oszikla´t, amelyre a matematika temploma fele´pı´thet˝ o. Akadnak azonban sze´p sza´mmal olyanok is, akikben a Russell-paradoxon e´s kiku ¨ szo ¨bo ¨le´se´nek to ¨rte´nete az elveszett ´artatlansa´g kellemetlen e´rzete´t kelti. Ba´r a „tiszta” halmazok az avatatlan szem el˝ ott az egyszer˝ use´g netova´bbja´nak t˝ unnek, a ko ¨zelebbi vizsga´lat e´ppen ennek ellenkez˝ oje´t ta´rja fel. Meglehet, hogy a halmazok elme´lete az emberi intellektus ve´gs˝ o nagy vı´vma´nya, az absztrakcio ´ legmagasabb ele´rhet˝ o foka – de mint minden nagyszaba´su ´ matematikai konstrukcio ´nak, ennek az elme´letnek is megvannak a maga saja´tos ja´te´kszaba´lyai, amelyeket – absztrakco ´ ide vagy oda – nem lehet figyelmen kı´vu ¨ l hagyni. A Hilbert-program tu ¨ ndo ¨ kle ´se e ´s buka ´ sa Harminc e´vvel azuta´n, hogy Russell paradoxonja porig rombolta a cantori intuitı´v halmazelme´letet, a matematika u ´ jabb megra´zko ´dtata´son ment keresztu ¨ l. Ezu ´ ttal maga az axiomatikus mo ´dszer volt az „a´ldozat”, amelynek nagytekinte´ly˝ u bajnoka David Hilbert, a hı´res ne´met matematikus volt. Az axiomatikus megko ¨zelı´te´smo ´d lehet˝ ove´ teszi, hogy a matematika´ban e´lesen elku ¨ lo ¨nı´tsu ¨ k egyma´sto ´l a bizonyı´thato ´sa´got e´s az igazsa´got. Egy ´allı´ta´s bizonyı´thato ´, ha az adott axio ´ma´kbo ´l korrekt mo ´don levezethet˝ o. Igaznak akkor nevezhetju ¨ k, ha axio ´ma´ink is azok. A bizonyı´thato ´sa´g tiszta´n technikai jelleg˝ u fogalom, amely fo ¨lo ¨tt a matematikus to ¨ke´letes ellen˝ orze´st gyakorol, az igazsa´g azonban me´ly, filozo ´fiai jelleg˝ u proble´ma´kat vet fel. A ke´t fogalmat e´lesen elva´lasztva egyma´sto ´l, a matematikusok elkeru ¨ lhette´k az igazsa´g mibenle´te´t firtato ´ ke´nyelmetlen ke´rde´seket, s egyedu ¨ l a bizonyı´thato ´sa´gra koncentra´lhattak. Mid˝ on azonban teve´kenyse´gi ko ¨ru ¨ ket ily mo ´don lesz˝ ukı´tette´k, s egyedu ¨ l az axio ´marendszereik alapja´n bizonyı´thato ´ ´allı´ta´sokra o ¨sszpontosı´totta´k figyelmu ¨ ket, egyszeriben olyba´ t˝ unt, a matematika csupa´n egyfajta ja´te´k, amelynek szaba´lyait a logika, a kezd˝ o´alla´st pedig az axio ´ma´k hata´rozza´k meg. A matematika formalista megko ¨zelı´te´se szerint alapvet˝ o jelent˝ ose´g˝ u a megfelel˝ o axio ´ma´k megtala´la´sa. Az ira´nyzat ko ¨vet˝ oinek hallgato ´lagos el˝ ofelteve´se az, hogy lehetse´ges valamennyi axio ´ma´t felderı´teni – felte´ve, ha az embernek elegend˝ o id˝ o ´all a rendelkeze´se´re. Az axio ´marendszer teljesse´ge va´lt az ´ahı´tott ide´alla´: ez annyit jelent, hogy a rendszer alapja´n valamennyi, az elme´let nyelve´n e´rtelmesen feltehet˝ o ke´rde´s eldo ¨nthet˝ o puszta´n az axio ´ma´kra, teha´t kiza´ro ´lag a bizonyı´ta´s metafizika´to ´l nem terhelt mo ´dszere´re hagyatkozva. A terme´szetes sza´mok Peano-fe´le axio ´marendszere ez id˝ o ta´jt ma´r sze´les ko ¨rben elfogadott volt

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

86

Elme´s minta´zatok

– felmeru ¨ lt teha´t a ke´rde´s: teljes-e ez a rendszer, vagy tova´bbi axio ´ma´kra van szu ¨ kse´g? A ma´sodik ke´rde´s, amely mine´l el˝ obbi va´laszt su ¨ rgetett, s amely a Russellparadoxon uta´n ku ¨ lo ¨no ¨s jelent˝ ose´ggel bı´rt: konzisztens-e a rendszer? A paradoxonok felbukkana´sa jelezte: nem is olyan egyszer˝ u feladat „tiszta´n e´s elku ¨ lo ¨nı´tetten” megragadni azokat az axio ´ma´kat, amelyek a matematika valamely ´aga´t megalapozhatja´k. A matematika´nak e formalista megko ¨zelı´te´se´t, amelynek teha´t els˝ odleges ce´lkit˝ uze´se egy teljes e´s konzisztens axio ´marendszer megtala´la´sa, a kor vezet˝ o matematikusa´ro ´l Hilbert-programnak nevezzu ¨ k. Ba´r maga Hilbert nem volt logikus, legala´bbis nem abban az e´rtelemben, ahogyan Frege e´s Russell, a matematika megalapoza´sa´nak proble´ma´ja me´gis e´le´nken foglalkoztatta. Saja´t kutata´sai a matematika legabsztraktabb teru ¨ leteihez kapcsolo ´dtak, a neve´t visel˝ o Hilbert-terek pe´lda´ul a ha´romdimenzio ´s euklide´szi te´r ve´gtelen dimenzio ´s ´altala´nosı´ta´sai. A Hilbert-programba vetett minden reme´ny egy csapa´sra foszlott szerte, amikor 1931-ben egy fiatal osztra´k matematikus, Kurt Go ¨del (2.3. ´abra) olyan te´telekkel ´allt el˝ o, amelyek egyszer s mindenkorra megva´ltoztatta´k a matematika´ro ´l kialakı´tott ke´pu ¨ nket. Bebizonyı´totta, hogy ba´rmely konzisztens axio ´marendszer, amely a matematika ele´g nagy teru ¨ lete´t megragadja, semmike´ppen nem lehet tel-

2.3. a ´ bra. Kurt Go ¨del (1906–1978).

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A Hilbert-program tu ¨ndo ¨kle´se ´es buka´sa

87

jes: mindig lesznek olyan ke´rde´sek, amelyek a rendszer axio ´ma´i alapja´n nem va´laszolhato ´k meg. A „matematika ele´g nagy teru ¨ lete” kite´tel egyre´szt azt jelenti, hogy kiza´rjuk az olyasfe´le trivia´lis „elme´leteket”, mint amilyen az egyetlen pontra korla´tozo ´do ´ 0-dimenzio´s geometria. Ma´sre´szr˝ ol viszont, Go ¨del felhaszna´lta, hogy a rendszer maga´ba foglalja a terme´szetes sza´mok aritmetika´ja´nak axio ´ma´it. Ha a matematika ege´sze´t akarjuk megragadni, e ko ¨vetelme´nyt nemigen nevezhetju ¨ k tu ´ lsa´gosan er˝ osnek. Ba´r a Go ¨del-te´tel bizonyı´ta´sa meglehet˝ osen technikai, az alapgondolat kifejezetten egyszer˝ u. Eredete az o ´kori go ¨ro ¨go ¨k ´altal is ismert hazug-paradoxonra nyu ´ lik vissza. Tegyu ¨ k fel, hogy valaki hozza´nk fordul, s ´gy ı szo ´l: „Amit e pillanatban ´allı´tok, hamis.” Ha kijelente´se igaz, akkor valo ´ban hazudik, ami azonban annyit jelent, hogy amit mond, hamis. Ma´sre´szt, ha kijelente´se hamis, akkor pontosan az ´all fenn, amit ´allı´t: vagyis igazat mond. Mindke´t felte´teleze´s alapja´n ellentmonda´sra jutunk. Go ¨del megtala´lta a mo ´dja´t, mike´pp fordı´thato ´ le e paradoxon a modern matematika nyelve´re, me´ghozza´ u ´ gy, hogy az igazsa´g fogalma´t a bizonyı´ta´se´val csere´lju ¨ k fel. Az alapul szolga´lo ´ logika´t e´s a rendszer axio ´ma´it az aritmetika nyelve´re fordı´totta, aminek eredme´nyeke´nt a „. . . a rendszerben bizonyı´thato ´ ´allı´ta´s” tulajdonsa´got sikeru ¨ lt egy aritmetikai formula´val ko ´dolnia. Ezuta´n felı´rt egy – ugyancsak aritmetikai – ´allı´ta´st, amelynek „tartalma” le´nyege´ben ko ¨vetkez˝ o: ¨lt a´llı´ta´s nem bizonyı´thato ´. (∗) Az ezen az oldalon csillaggal jelo A (∗) jel˝ u ´allı´ta´s (pontosabban annak Go ¨del ´altal formaliza´lt va´ltozata) vagy igaz, vagy hamis: igaz vagy hamis a szo ´ban forgo ´ matematikai struktu ´ ra´ban, mondjuk az aritmetika´ban vagy a halmazelme´letben. Ha az ´allı´ta´s hamis, akkor bizonyı´thato ´, mint az nyilva´nvalo ´ annak alapja´n, amit ´allı´t. Ha azonban feltesszu ¨ k, hogy minden, ami bizonyı´thato ´, annak igaznak kell lennie, akkor erre az eredme´nyre jutunk: ha (∗) hamis, akkor igaz – de ezt nem fogadhatjuk el. (∗) teha´t igaz. De vajon bizonyı´thato ´-e? Ha igen, akkor ime´nti megjegyze´su ¨ nk szerint egyszersmind igaz is, ebb˝ ol viszont – megint csak annak alapja´n, amit ´allı´t – az ko ¨vetkezik, hogy nem bizonyı´thato ´. Megint ellentmonda´sra, s arra a ko ¨vetkezte¨ sszefoglalva: (∗) a szo ´. O ´ban te´sre jutottunk, hogy (∗) nem lehet bizonyı´thato forgo ´ struktu ´ ra´ban igaz, ´am a struktu ´ ra´t megragadni hivatott axio ´ma´k alapja´n nem bizonyı´thato ´ ´allı´ta´s. Go ¨del bizonyı´ta´sa tetsz˝ oleges matematikai struktu ´ ra axio ´ma´ira alkalmazhato ´, amely axio ´ma´kat ke´pesek vagyunk sorra leı´rni. Uto ´bbi kiko ¨te´su ¨ nk nem keru ¨ lhet˝ o meg. Elve´gre rendelkeze´su ¨ nkre ´all egy trivia´lis mo ´dja annak, mike´nt lehet valamely matematikai struktu ´ ra teljes axiomatiza´la´sa´t megvalo ´sı´tani: egyszer˝ uen tekintsu ¨ k valamennyi igaz a´llı´ta´st axio ´ma´nak. Ez a megolda´s mer˝ oben idegen az axiomatiza´la´s hagyoma´nyos felfoga´sa´to ´l, azon kı´vu ¨ l nyilva´nvalo ´an hasznavehetetlen.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

88

Elme´s minta´zatok

Ma´sre´szt, a „leı´rhato ´” kite´telt nem szabad szo ´ szerint sem vennu ¨ nk: elve´gre nem csupa´n nagy – mindazona´ltal ve´ges – sza´mu ´ axio ´ma´val dolgozhatunk, el˝ ofordulhat, e´s el˝ o is fordul, hogy rendszeru ¨ nk ve´gtelen sok axio ´ma´bo ´l ´all. Ilyenkor a ko ¨vetelme´nyt ekke´ppen mo ´dosı´tjuk: le´teznie kell egy grammatikai minta´zatnak, amelyet ko ¨vetve ke´pesek vagyunk rendre egyik axio ´ma´t a ma´sik uta´n sorra venni. Az aritmetika Peano-fe´le s a halmazelme´let Zermelo – Fraenkel-fe´le axio ´marendszere egyara´nt ilyen tı´pusu ´ , ve´gtelen rendszer. Go ¨del felfedeze´se´vel, miszerint a matematika komolyabb teru ¨ leteinek nem adhato ´ meg teljes e´s konzisztens axiomatiza´la´sa, a Hilbert-program eredeti ce´lkit˝ uze´se duga´ba d˝ olt. Ez azonban me´g nem a teljes to ¨rte´net: Go ¨del ugyanis megmutatta, hogy – amennyiben rendszeru ¨ nk konzisztens –, a konzisztencia´ja´t kimondo ´ (illetve ko ´dolo ´) ´allı´ta´s ugyancsak az igaz, ´am nem bizonyı´thato ´ formula´k sora´t gyarapı´tja. Teha´t me´g csak nem is reme´nykedhetu ¨ nk abban, hogy valaha sikeru ¨l bizonyı´tani axio ´ma´ink ellentmonda´s-mentesse´ge´t. Az axiomatiza´la´s ja´te´ka´ban teha´t legfo ¨ljebb felte´telezhetju ¨k, hogy rendszeru ¨ nk konzisztens, e´s legfo ¨ljebb reme´nykedhetu ¨nk abban, hogy a minket e´rdekl˝ o valamennyi ke´rde´sre va´laszt tala´lunk benne. El kell fogadnunk a te´nyt, miszerint sohasem leszu ¨ nk ke´pesek axio ´ma´ink alapja´n valamennyi ke´rde´st megva´laszolni, hogy mindig lesznek igaz ´allı´ta´sok, amelyek az axio ´ma´k alapja´n nem bizonyı´thato ´k. A logika aranykora Go ¨del te´telei a Hilbert-program ve´ge´t, egyszersmind egy u ´ j e´ra, a logika aranykora´nak kezdete´t jelezte´k, amely ege´szen a hetvenes e´vek ma´sodik fele´ig tartott. A matematikai logika a kezdetekt˝ ol fogva ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o, ba´r egyma´ssal szoros kapcsolatban ´allo ´ diszciplı´na´k egyu ¨ ttese. A bizonyı´ta´selme´let Arisztotele´sz e´s Boole munka´ssa´ga´nak folytata´sa, a matematikai bizonyı´ta´sok vizsga´lata´ban ele´rt eredme´nyei u ´ jabban a sza´mı´ta´studoma´nyban, kiva´ltke´pp a mesterse´ges intelligencia kutata´sa´ban tala´ltak alkalmaza´sra. A modellelme´let a matematikai struktu ´ ra´kban e´rtelmezett igazsa´gfogalom e´s a struktu ´ ra´t megragadni hivatott forma´lis rendszerek ´allı´ta´sai ko ¨zo ¨tti kapcsolatokat vizsga´lja, kezdeme´nyez˝ oje a lengyel sza´rmaza´su ´ amerikai matematikus-logikus Alfred Tarski. A ma´r emlı´tett te´tel, mely szerint ba´rmely axio ´marendszer mindig to ¨bb struktu ´ ra´t ragad meg egyszerre, a modellelme´let nevezetes eredme´nye. Az o ¨tvenes e´vekben az amerikai Abraham Robinson modellelme´leti eszko ¨zo ¨kkel az infinitezima´lis mennyise´gek elega´ns elme´lete´t dolgozta ki, amellyel a matematikai analı´zist – a tizenkilencedik sza´zadi megko ¨zelı´te´st˝ ol elte´r˝ o, s az elme´let eredeti szelleme´hez ko ¨zelebb ´allo ´ mo ´don – sikeru ¨ lt megalapoznia. A modellelme´leti technika´k alkalmaza´sa a halmazelme´letben is u ´ j eredme´nyekhez vezetett. Az igazi ´atto ¨re´snek Paul Cohen 1963-as te´tele tekinthet˝ o. Cohen

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Nyelvi minta´zatok

89

egy specia´lis matematikai ´allı´ta´sro ´l mutatta ki, hogy a Zermelo – Fraenkel axio ´marendszer keretein belu ¨ l nem do ¨nthet˝ o el: sem bizonyı´tani, sem ca´folni nem lehet. Eredme´nye´nek jelent˝ ose´ge Go ¨del te´tele´vel vetekszik: az uto ´bbibo ´l csupa´n az deru ¨ lt ki, hogy le´teznek az elme´letben eldo ¨nthetetlen ke´rde´sek, Cohen azonban pe´lda´t is adott, me´ghozza´ nem aka´rmilyet: a Hilbert ´altal 1900-ban felvetett, nevezetes kontinuum-proble´ma´ro ´l mutatta meg, hogy a Zermelo – Fraenkel elme´let keretein belu ¨ l nem do ¨nthet˝ o el. A bizonyı´ta´s-elme´let gyo ¨kerei a harmincas e´vekre nyu ´ lnak vissza, els˝ o jelent˝ os eredme´nyei maga´to ´l Go ¨delt˝ ol sza´rmaznak. Ku ¨ lo ¨no ¨sen tanulsa´gos, ha sorra vesszu ¨ k, a kisza´mı´thato ´sa´gnak milyen elme´letei szu ¨ lettek meg hu ´ sz e´vvel a legkezdetlegesebb elektromos sza´molo ´ge´pek, s mintegy o ¨tven e´vvel a modern szeme´lyi sza´mı´to ´ge´pek megjelene´se el˝ ott. Az angol Alan Turing bebizonyı´totta, hogy elme´letileg lehetse´ges olyan ge´pet konstrua´lni, amely tetsz˝ oleges sza´mı´ta´st ke´pes elve´gezni. Stephen Cole Kleene amerikai logikus viszont bebizonyı´totta, hogy az effe´le ge´pek alapja´ul szolga´lo ´ absztrakt program le´nyege´t tekintve nem ku ¨ lo ¨nbo ¨zik azokto ´l az adatokto ´l, amelyeken a ge´p a sza´mı´ta´sokat ve´gzi. A felsorolt teru ¨ letek ko ¨zo ¨s vona´sa, hogy valamennyi szorosan kapcsolo ´dik a matematika´hoz, nem csupa´n mo ´dszereik, de az ´altaluk vizsga´lt elme´letek is szinte kiza´ro ´lag matematikaiak. A logika eredme´nyeinek teha´t ´ara van. Az o ´kori go ¨ro ¨go ¨k me´g az o ¨sszes – nem felte´tlenu ¨ l matematikai – e´rvele´s struktu ´ ra´ja´nak felta´ra´sa´t t˝ uzte´k ki ce´lul, s me´g Boole matematikai technika´ja is alkalmazhato ´ nemmatematikai jelleg˝ u argumentumok vizsga´lata sora´n. A huszadik sza´zadban a logika a matematikai to ¨ke´letesede´s u ´ tja´ra le´pve elfordult eredeti ce´lja´to ´l: az e´rvele´sek terme´szete´nek matematikai eszko ¨zo ¨kkel valo ´ felta´ra´sa´to ´l. A logika diadalmenete´vel pa´rhuzamosan ma´s absztrakt minta´zatok matematikai vizsga´lata is u ´ j impulzusokat kapott. Ezek az eredme´nyek azonban nem matematikusok, hanem egy ege´szen ma´s tudoma´nya´g ke´pvisel˝ oinek dics˝ ose´ge´t hirdetik. Nyelvi minta ´ zatok A legto ¨bb ember me´lyse´gesen megdo ¨bben, amikor azt hallja, hogy a matematika a terme´szetes, emberi nyelvek – mint amilyen a magyar, az angol, a spanyol vagy a japa´n – vizsga´lata sora´n is alkalmazhato ´. Elve´gre ha le´tezik valami, ami a he´tko ¨znapi jo ´zan e´sz szerint ta´vol ´all a matematika´to ´l, akkor az e´ppense´ggel maga a nyelv. Arra ke´rem az Olvaso ´t, lehet˝ ose´g szerint gondolkoda´s ne´lku ¨ l do ¨ntse el, vajon az ala´bbi A, B e´s C e´rtelmes magyar mondatok-e. A A biolo ´gusok szerint a Spinelli morpheneum faj figyelemre me´lto ´ vona´sokkal rendelkezik. B A kvadratikus reciprocita´s sok matematikust leny˝ ugo ¨z. C Bana´nok ro ´zsaszı´n, mert matematika meghata´rozza.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

90

Elme´s minta´zatok

Ha nem, vagy csak ro ¨vid ideig to ¨prengett, az Olvaso ´ nagy valo ´szı´n˝ use´ggel az A e´s a B mondatokat e´rtelmesnek, a C-t azonban e´rtelmetlennek tala´lta. Pedig az A mondatban olyan kifejeze´sek szerepelnek, amelyekkel eleddig nem tala´lkozhatott! Honnan tudom ezt ilyen bizonyosan? Nos, a Spinelli e´s a morpheneum szavakat e´n tala´ltam ki. A kedves Olvaso ´ ´altal valo ´di, e´rtelmes magyar mondatnak min˝ osı´tett „mondatban” teha´t olyan karaktersorozatok szerepelnek, amelyek me´g csak nem is valo ´di szavak! A B pe´ldabeli mondatban minden szo ´ valo ´di, mi to ¨bb, a mondat te´nylegesen igaz is. Ha azonban az Olvaso ´ nem szakmabeli, a kvadratikus reciprocita´s kifejeze´ssel ve´lhet˝ oen most tala´lkozott el˝ oszo ¨r. – S a mondatot ennek ellene´re e´rtelmesnek tala´lta! A C mondatot azonban, ba´r valamennyi benne szerepl˝ o szo ´ jo ´l ismert, feltehet˝ oen mindannyian gondolkoda´s ne´lku ¨ l diszkvalifika´ljuk. Mike´ppen vagyunk ke´pesek ilyen cseke´ly er˝ ofeszı´te´ssel ilyen – la´tszo ´lag legala´bbis – ku ¨ lo ¨nleges teljesı´tme´nyre? Pontosabban fogalmazva, mi az, ami a C mondatot A-to ´l e´s B-t˝ ol megku ¨ lo ¨nbo ¨zteti? Nyilva´nvalo ´, semmi ko ¨ze nincs ehhez annak, hogy a mondat igaz-e vagy sem, illetve hogy ke´pesek vagyunk-e arra, hogy a tartalma´t mege´rtsu ¨ k. Me´g az sem sza´mı´t, hogy a mondatokban valo ´di szavak sorakoznak-e. Do ¨nte´su ¨ nket kiza´ro ´lag a mondat (vagy a „nem-mondat”) ´altala´nos struktu ´ ra´ja´ra alapoztuk, arra a mo ´dra, ahogyan a benne el˝ ofordulo ´ szavak (illetve „nem-szavak) egyma´shoz kapcsolo ´dnak. Ez a struktu ´ ra nyilva´nvalo ´an absztrakt „dolog”, nem lehet csak u ´ gy ra´mutatni, ´ mint a szavakra vagy a mondatokra. Ugy t˝ unik, a legto ¨bb, amit tehetu ¨ nk, hogy a helyzetet a fentiekhez hasonlo ´ pe´lda´kkal illusztra´ljuk. S ezen a ponton le´p szı´nre a matematika, az absztrakt minta´zatok tudoma´nya. Mid˝ on aka´r ´ra ı ´sban, aka´r szo ´ban mege´rtetju ¨ k magunkat a ma´sikkal, automatikusan e´s tudattalanul a magyar nyelv szintaktikai struktu ´ra´ja´t ko ¨vetju ¨ k. Az e struktu ´ ra´t megragado ´ „axio ´ma´kat” a nyelv grammatika´ja´nak (nyelvtana´nak) nevezzu ¨ k. E ne´z˝ opont nem tekint vissza nagy mu ´ ltra, le´nyege´ben a matematikai logika harmincas e´s negyvenes e´vekbeli eredme´nyei inspira´lta´k. A sza´zadfordulo ´ ko ¨ru ¨ li id˝ okben ment ve´gbe az a folyamat, amelynek eredme´nyeke´ppen a nyelvtudoma´nyi kutata´sok hangsu ´ lya a nyelvek eredete´t e´s fejl˝ ode´se´t firtato ´, a to ¨rte´neti nyelve´szet vagy filolo ´gia ta´rgya´t alkoto ´ ke´rde´sekr˝ ol a nyelvnek, mint adott helyen e´s id˝ oben le´tez˝ o kommunika´cio ´s rendszernek a vizsga´lata´ra helyez˝ odo ¨tt. Ez uto ´bbit, a to ¨rte´neti ke´rde´seket figyelmen kı´vu ¨ l hagyo ´ ira´nyzatot nevezik szinkro ´n nyelve´szetnek. A matematikai nyelve´szet a fejl˝ ode´snek ebbe, a francia Mongin-Ferdinand de Saussure, valamint az amerikai Frank Boas e´s Leonard Bloomfield neve´vel fe´mjelzett vonala´ba illeszkedik. Bloomfield a nyelve´szet tudoma´nyos megko ¨zelı´te´se mellett sza´llt sı´kra. A Rudolf Carnaphoz e´s a Be´csi Ko ¨rho ¨z kapcsolo ´do ´ filozo ´fiai ira´nyzatnak, a logikai pozitivizmusnak volt prominens ke´pvisel˝ oje. A logikai pozitivista´k, a logikai e´s

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Nyelvi minta´zatok

91

a matematika alapjaira vonatkozo ´ kutata´sok, els˝ osorban a Hilbert-program sikerein felbuzdulva azt a ne´z˝ opontot tette´k maguke´va´, hogy az e´rtelmes kijelente´sek e´pı´t˝ oelemei kiza´ro ´lag e´rzetadatokat (amit teha´t az ember la´t, hall, tapint vagy szagol) kifejez˝ o ´allı´ta´sok e´s propoziciona´lis logikai opera´torok lehetnek. Bloomfield ´alla´spontja´t ne´ha´ny nyelve´sz, ko ¨ztu ¨ k az amerikai Zellig Harris tova´bb radikaliza´lta, amennyiben a lingvisztikai vizsga´lo ´da´sokban a matematikai mo ´dszerek fontossa´ga´t hangsu ´ lyozta´k. Ba´r a nyelv grammatikai struktu ´ ra´ja´t megragado ´ „axio ´marendszer” gondolata´t Wilhelm von Humboldt ma´r a tizenkilencedik sza´zadban felvetette, az igazi ´atto ¨re´s a neves amerikai nyelve´sz, Noam Chomsky (2.4. ´abra) e´rdeme. Saja´t szavait ide´zzu ¨ k: „Egy nyelv grammatika´ja´t megadni valo ´ja´ban annyit tesz, mint ro ¨gzı´teni bizonyos ´altala´nosı´ta´sokat, azaz egy elme´letet, amely ke´pes sza´mot adni a nyelv empirikus vizsga´lata sora´n felta´rt szaba´lyszer˝ use´gekr˝ ol.” Forradalmian u ´ j nyelvelme´lete´t Chomsky 1957-es, Szintaktikai szerkezetek3 cı´m˝ u ko ¨nyve´ben tette ko ¨zze´. A ro ¨vidke e´rtekeze´s – a f˝ oszo ¨veg alig to ¨bb, mint sza´z oldal – az amerikai nyelvtudoma´ny u ´j u ´ tjait jelo ¨lte ki, s a diszciplı´na, amelyet addig az antropolo ´gia re´szteru ¨ leteke´nt tartottak sza´mon, egy csapa´sra egzakt, matematikai tudoma´nnya´ va´lt. (Euro ´pa´ban a hata´s keve´sbe´ volt dra´mai.) ´ lljon itt pe´ldake´nt a magyar nyelv Chomsky-tı´pusu A ´ (generatı´v) grammatika´ja´nak ne´ha´ny szaba´lya.4 A nyelv – ezt senki nem vonja ke´tse´gbe – ku ¨ lo ¨no ¨sen komplex struktu ´ ra, ne´ha´ny szaba´llyal enne´lfogva legfo ¨ljebb egy kis re´szlete´t tudjuk csak leı´rni. Az mindenesetre jo ´l la´thato ´, hogy valo ´ban matematikai jelleg˝ u struktu ´ ra´ro ´l van szo ´.

DP VP → S V DP → VP DP P → PP D NP → DP DP PP → DP ADJ NP → NP N → NP

Az els˝ o szaba´ly szerint egy determina´nsos f˝ oneves kifejeze´st (DP, phrasis, kifejeze´s) ige´s kifejeze´ssel (VP, V , verbum, ige) kiege´szı´tve mondatot (S, sententia) kapunk. A ma´sodik alapja´n ige e´s DP egyma´suta´nja ige´s kifejeze´st eredme´nyez, a harmadik szerint a ne´vuto ´val (P, postpositio) megtoldott DP-k mind ne´vuto ´s ¨vetkez˝ o szaba´ly azt mondja ki, hogy a f˝ oneves kifejeze´seket kifejeze´sek (PP). A ko a determina´ns (D, mint pe´lda´ul az az ne´vel˝ o) teheti hata´rozotta´. A ke´t utolso ´

3 Magyar

kiada´sa: Szintaktikai szerkezetek. Nyelv ´es elme. Osiris-Sza´zadve´g, 1995. ´ . Kiss Katalin, Kiefer Ferenc e´s Sipta´r Pe´ter ala´bbi szaba´lyok jelo ¨le´srendszere´ben e´s terminolo ´gia´ja´ban E ´ j magyar nyelvtana´t (Osiris, 1999.) ko U ¨vettem. – A ford. 4 Az

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

92

Elme´s minta´zatok

2.4. a ´ bra. Noam Chomsky, a Massachusetts Institute of Technology professzora.

szaba´ly szerint a melle´kneves kifejeze´sek (ADJ, adjectivum), valamint maguk a f˝ onevek (N, nomen)is f˝ oneves kifejeze´snek min˝ osu ¨ lnek. A mondatok genera´la´sa´hoz (e´s vizsga´lata´hoz) ma´r csak egy lista´ra van szu ¨ kse´gu ¨ nk, amely minden egyes szo ´ katego ´ria´ja´t ro ¨gzı´ti. Ne´ha´ny pe´lda: a →D fele´ → P szalad → V nagy → ADJ n˝ o →N auto ´ →N

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Nyelvi minta´zatok

93

Miniat˝ ur lexikonunk e´s a fenti szaba´lyok birtoka´ban ma´r ke´pesek vagyunk az ala´bbi mondat struktu ´ ra´ja´nak felta´ra´sa´ra: A n˝ o a nagy auto ´ fele´ szalad. Az elemze´s eredme´nye´t a 2.5. ´abra´n la´thato ´ mondatelemz˝ o fa mutatja. (Az alakzat te´nylegesen egy fa´hoz hasonlatos, azzal az elhanyagolhato ´ ku ¨ lo ¨nbse´ggel, hogy a gyo ¨kere van legfelu ¨ l.) A fa – legfo ¨lu ¨ l elhelyezked˝ o – gyo ¨ke´rpontja´ban maga a mondat ´all. Ahogyan lefele´ haladunk, minden egyes szint u ´ jabb nyelvtani szaba´lyok alkalmaza´sa´t jelenti. A legels˝ o le´pe´s pe´lda´ul a

DP VP → S

szaba´ly alkalmaza´sa. A mondat absztrakt struktu ´ ra´ja´t, amelyet a nyelv valamennyi kompetens haszna´lo ´ja – tudattalanul is – ke´pes felismerni, a fa ege´sze reprezenta´lja. Ba´rmely szo ´t kicsere´lhetu ¨ nk egy ma´sikkal, s˝ ot, aka´r egy, a megfelel˝ o nyelv-

2.5. a ´ bra. Mondatelemz˝ o fa.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

94

Elme´s minta´zatok

tani katego ´ria la´tszata´t kelt˝ o nem-szo ´val is, az ´gy ı kapott mondat me´g mindig magyar mondatnak t˝ unik. Ha megadjuk valamennyi szaba´lyt, amelyet ko ¨vetve az effe´le fa´k ´agai sorra vehet˝ ok, azzal a magyar nyelv absztrakt struktu ´ ra´ja´t to ¨bb le´nyeges aspektusbo ´l is sikeru ¨ l megragadni. Chomsky elme´lete´nek sikerei nem azt jelzik, hogy a matematika mo ´dszereivel a nyelvi struktu ´ ra´kat marade´ktalanul sikeru ¨ l felta´rni. A matematika semmir˝ ol sem tud mindent elmondani, amit csak tudni lehet, az ´altala nyu ´ jtott bela´ta´sok csupa´n egy nagy ege´sz bizonyos re´szeit vila´gı´thatja´k meg. Az e´l˝ o nyelvek, amilyen a magyar, folytonosan va´ltozo ´, o ¨sszetett rendszerek; a grammatika e nagy ege´sznek csupa´n ne´mely, mindazona´ltal fontos re´szlete´t ta´rja fel. Ma´sre´szt, a matematikai mo ´dszerek e diszciplı´na´ban (s me´g ne´ha´ny ma´s teru ¨ leten) alkalmazhato ´k a legko ¨nnyebben. Mivel a nyelvi struktu ´ ra´k mind absztrakt struktu ´ ra´k, legprecı´zebben a matematika eszko ¨zeivel vizsga´lhato ´k. A szavainkban rejt˝ oz˝ o ujjlenyomat A Chomsky ´altal is haszna´lt algebrai mo ´dszerek olyan struktu ´ ra´kat ragadnak meg, amelyet mindannyian ugyanu ´ gy haszna´lunk. A matematika azonban olyan nyelvi minta´zatok felte´rke´peze´se´re is alkalmas, amelyek segı´tse´ge´vel ´rott ı szo ¨vegei alapja´n ba´rki azonosı´thato ´. Ezt bizonyos szavak relatı´v gyakorisa´ga, egyfajta „numerikus lenyomat” teszi lehet˝ ove´, amelynek alapja´n meglehet˝ os – ba´r az ujjlenyomatna´l tala´n keve´sbe´ csalhatatlan – bizonyossa´ggal a legto ¨bb ember felismerhet˝ o. A mo ´dszer alkalmaza´sa´nak u ´ tto ¨r˝ oi Frederick Mosteller e´s David Wallace ame´ llamok alkotma´nyto rikai matematikusok, akik egy, az Egyesu ¨ lt A ¨rte´ne´szeit re´go ´ta foglalkoztato ´ proble´ma´t, a Fo ¨deralista ´ra ı ´sok szerz˝ oinek azonosı´ta´sa´t oldotta´k meg. A Fo ¨deralista gy˝ ujteme´ny nyolcvano ¨t ´ra ı ´sa´t 1787 e´s 1788 ko ¨zo ¨tt publika´lta Alexander Hamilton, John Jay e´s James Madison, hogy New York ´allam lakossa´ga´t meggy˝ ozze´k az u ´ j Alkotma´ny ratifika´la´sa´nak fontossa´ga´ro ´l. Az ´ra ı ´sok nem viselik szerz˝ oju ¨ k neve´t, a to ¨rte´ne´szek feladata teha´t, hogy mega´llapı´tsa´k, melyiket ki ´rta. ı A proble´ma jelent˝ ose´ge´t nemigen lehet ala´becsu ¨ lni: azoknak a politikai ne´zeteir˝ ol van szo ´, akik az amerikai Alkotma´nyt megfogalmazta´k, s kijelo ¨lte´k az ´ llamok jo Egyesu ¨ lt A ¨v˝ oje´nek u ´ tja´t. Tizenkett˝ o kive´tele´vel valamennyi ´ra ı ´s szerz˝ oje´t sikeru ¨ lt azonosı´tani: az elfogadott ne´z˝ opont szerint o ¨tvenegyet Hamilton, tizenne´gyet Madison, ha´rmat pedig Jay ´rt. ı A tizeno ¨t eldo ¨ntetlen ko ¨zu ¨ l ha´rmat ko ¨zo ¨s m˝ unek tartanak, a marade´k tizenkett˝ o pedig – a to ¨rte´ne´szek szerint – vagy Hamilton vagy Madison tolla´bo ´l sza´rmazik. Mosteller e´s Wallace az ´ra ı ´sok bizonyos nyelvi – nem szintaktikai, hanem numerikus jelleg˝ u – minta´zatainak felte´rke´peze´se´t t˝ uzte ki ce´lul. A vizsga´lat elvi alapja, hogy mindenkinek az ´ra ı ´sa´ban fellelhet˝ ok olyan stı´luselemek, amelyek

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A szavainkban rejt˝ oz˝ o ujjlenyomat

95

2.6. a ´ bra. A „by” szo ´ relatı´v gyakorisa´ga a Fo ¨deralista ´ra ı ´sokban.

statisztikai mo ´dszerekkel napvila´gra hozhato ´k, a vitatott szerz˝ ose´g˝ u ´ra ı ´sok minta´zatait ´gy ı csupa´n az ismert eredet˝ uekkel kell o ¨sszevetni. ´ rdemes mindenekel˝ E ott megvizsga´lni, a szerz˝ o ´atlagosan ha´ny szo ´bo ´l e´pı´ti fel a mondatait. Ez az ´ra ı ´s ta´rgya´to ´l fu ¨ gg˝ oen nagy va´ltozatossa´got is mutathat, mikor azonban valaki – mint a Fo ¨deralista ´ra ı ´sok esete´ben – egyetlen te´ma´ro ´l ´r, ı az ´atlagos mondathossz jo ´ ko ¨zelı´te´ssel ´allando ´nak tekinthet˝ o. Esetu ¨ nkben ezen isme´rv nem lehetett ele´gse´ges: a bizonyosan ´altaluk ´rt ı cikkekben Hamilton ´atlagosan 34,5, Madison pedig 34,6 szo ´t haszna´lt mondatonke´nt, a ku ¨ lo ¨nbse´g teha´t tu ´ lsa´gosan kicsiny ahhoz, hogy do ¨nt˝ o lehessen.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

96

Elme´s minta´zatok

Hasonlo ´ mo ´don eredme´nytelen maradt bizonyos finomabb minta´zatok, mint pe´lda´ul a „mı´g” e´s az „amı´g” (while, illetve whilst) szavak haszna´lata´nak o ¨sszevete´se. A do ¨nt˝ o szo ´t ve´gu ¨ l harminc, gondosan kiva´lasztott ko ¨znyelvi kifejeze´s – mint amilyen az eszerint, az ez vagy az ahol – relatı´v gyakorisa´ga´nak o ¨sszehasonlı´ta´sa alapja´n lehetett kimondani. A sza´mı´to ´ge´pes elemze´s ve´geredme´nye megdo ¨bbent˝ o volt: Hamilton e´s Madison ´ra ı ´saiban egyma´sto ´l e´lesen megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o, egye´ni vona´sokat fedeztek fel. ˝ tolla´bo Azokban az ´ra ı ´sokban, amelyek vita´n felu ¨ l az o ´l sza´rmaznak, Hamilton az „on” e´s az „upon” szavakat ko ¨zel egyenl˝ o ara´nyban haszna´lta, Madison viszont az uto ´bbit szinte sohasem. 1 000 szo ´ra Hamilton ´ra ı ´saiban 91, Madison-na´l 94 „the” esett, ami ketteju ¨ k ko ¨zo ¨tt ugyan nem nagy ku ¨ lo ¨nbse´g, ´am ha a vitatott ´ra ı ´sok ezen isme´rve´nek a fenti kett˝ ovel le´nyege´ben egyez˝ o eredme´nye´t o ¨sszevetju ¨k Jay 67-es mutato ´ja´val, akkor nyomban meger˝ osı´tve la´tjuk a to ¨rte´ne´szek ´alla´spontja´t. A 2.6. ´abra a „by” szo ´ relatı´v gyakorisa´ga´t mutatja Hamilton e´s Madison ´ra ı ´saiban, valamint a vitatott esetekben. Egyetlen kiragadott pe´lda persze legfel´ m harminc, to jebb sugallhatja a va´laszt. A ¨bbnyire ugyanazzal az eredme´nnyel ja´ro ´ vizsga´lat ma´r csaknem biztosan kiza´rja a te´vede´s lehet˝ ose´ge´t. Az eredme´ny pedig: a vitatott ´ra ı ´sok szerz˝ oje minden valo ´szı´n˝ use´g szerint James Madison. Korunkban, amikor sokan szinte ke´rkednek matematika´ban valo ´ ja´ratlansa´gukkal, a nyelve´szek e´s a statisztikusok ime´nt bemutatott eredme´nyei mellett nem mehetu ¨ nk el szo ´ ne´lku ¨ l: u ´ gy t˝ unik, – ba´r csupa´n a tudattalan szintje´n, de – maga´ban a nyelvhaszna´latban is fellelhet˝ ok a matematikai elemek. A nyelvtanilag helyes mondatok struktu ´ ra´ja Chomsky vizsga´latai szerint matematikai, de legala´bbis matematikai eszko ¨zo ¨kkel vizsga´lhato ´ minta´zatokat ko ¨vet, Mosteller e´s Wallace pedig azt bizonyı´totta´k, hogy szo ´haszna´latunk relatı´v gyakorisa´gainak matematikai minta´zatai olyba´ vehet˝ ok, mint egyfajta ´ra ı ´sunkban megmutatkozo ´ „ujjlenyomat”. A matematika nem csupa´n a Terme´szet nyelve, mint azt Galilei megjegyezte, hanem abban is segı´tse´gu ¨ nkre lehet, hogy jobban mege´rtsu ¨ k egyma´st.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

3. fejezet

A matematika mozga ´ sba lendu ¨l

Az o ¨ ro ¨ kke ´ va ´ ltozo ´ vila ´g Szakadatlanul va´ltozo ´ vila´gban e´lu ¨ nk, de a va´ltoza´sokban gyakran mutatkozik rendszeresse´g. A Nap minden reggel felkel, hogy megfussa szoka´sos e´gi u ´ tja´t. Pa´lya´ja az e´vszakok va´ltoza´sa´val egyre magasabbra emelkedik a la´to ´hata´r fo ¨le´, id˝ ovel u ´ jra ala´bbsza´ll, majd minden kezd˝ odik elo ¨lr˝ ol. A sze´l, azaz a mozga´sban le´v˝ o leveg˝ o az arcunkba va´g, a feju ¨ nket es˝ o veri, az apa´lyt daga´ly va´ltja, a deru ¨ lt e´gbolton felh˝ ok t˝ unnek fel, ´allatok szaladnak, cammognak, repu ¨ lnek e´s u ´ sznak tova, a talajbo ´l no ¨ve´nyek sarjadnak, no ¨vekednek, majd elpusztulnak, ja´rva´nyok to ¨rnek ki, s terjednek el a lakossa´g ko ¨re´ben. Ba´rmerre tekintu ¨ nk, minden mozga´sban van. A mozga´s ne´lku ¨ li e´let o ¨nellentmonda´s, csupa´n a kia´llı´to ´termek sterilita´sa´ban le´tezhet. A va´ltoza´s az e´let le´nyegi, megku ¨ lo ¨nbo ¨ztet˝ o jellemvona´sa. A mozga´s bizonyos forma´i egyenesen kaotikusnak t˝ unnek, ma´sok azonban szembeo ¨tl˝ o regularita´st mutatnak. E rendszeresse´g absztrakt minta´zatai pedig a megfelel˝ o matematikai mo ´dszerekkel – elvben legala´bbis – vizsga´lat ta´rgya´va´ tehet˝ ok. A matematika eszko ¨zrendszere azonban eredend˝ oen statikus: a sza´mok, a pontok, az egyenesek vagy az egyenletek o ¨nmagukban nem utalnak sem mozga´sra, sem va´ltoza´sra. A mozga´s tanulma´nyoza´sa´hoz el˝ oszo ¨r is meg kellett tala´lni a mo ´dja´t, mike´nt lehet e statikus arzena´lt „mozgo ´sı´tani”. Az emberise´gnek mintegy ke´tezer e´ve´be telt a megolda´s megtala´la´sa, melynek sora´n a legnagyobb el˝ orele´pe´st a differencia´l- e´s integra´lsza´mı´ta´s, azaz a matematikai analı´zis megszu ¨ lete´se jelentette a tizenhetedik sza´zad ko ¨zepe´n. Ez a matematikai felfedeze´s o ¨nmaga´ban olyan forradalmi hata´st gyakorolt e´letu ¨ nk ege´sze´re, hogy a to ¨rte´nelem fordulo ´pontja´nak kell tekintenu ¨ nk, olyan vı´vma´nynak, amellyel csak a kere´k vagy a ko ¨nyvnyomtata´s feltala´la´sa emlı´thet˝ o egy lapon.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

98

A matematika mozga´sba lendu ¨l

3.1. a ´ bra. A lejt˝ on lego ¨rdu ¨ l˝ o golyo ´.

Az analı´zis le´nyege´ben olyan mo ´dszerek gy˝ ujteme´nye, amelyek a ve´gtelen kicsi e´s a ve´gtelen nagy mennyise´gekkel valo ´ sza´mola´sra egyara´nt alkalmasak. Elve´gre ma´r Ze´no ´n ro ¨videsen bemutatando ´ paradoxonjai is jelezte´k: a mozga´s le´nyege´nek mege´rte´se egyu ´ ttal a ve´gtelen le´nyege´nek mege´rte´se´t is jelenti. ´ s ez nem minden. Annak ellene´re, hogy a ve´gtelen a minket ko E ¨ru ¨ lvev˝ o vila´gban ko ¨zvetlenu ¨ l nem nyilva´nul meg, az emberi elme´nek me´gis fo ¨le´be kell kerekedni. Lehetse´ges, hogy az analı´zis mo ´dszerei ro ´lunk, emberekr˝ ol legala´bb annyit ela´rulnak, mint a fizikai vila´gro ´l, amelynek leı´ra´sa´ban oly hasznosnak bizonyulnak. A mozga´s e´s a va´ltoza´s ´altaluk megragadott minta´zatai ke´tse´get kiza´ro ´an megfelelnek a te´nyleges mozga´soknak e´s va´ltoza´soknak, de – a ve´gtelen minta´zataike´nt – valo ´di le´teze´su ¨ k elme´nk birodalma´ba esik. Olyan minta´zatok teha´t, amelyeket mi magunk alkottunk meg, hogy a vila´g leı´ra´sa´ban segı´tse´gu ¨ nkre legyenek. A numerikus mozga´sminta´zatok le´teze´se´t egyszer˝ u kı´se´rlettel szemle´ltethetju ¨ k. Ke´szı´tsu ¨ nk hosszu ´ m˝ uanyag va´lyu ´ t, s do ¨ntsu ¨ k meg bizonyos szo ¨gben (l. a 3.1. ´abra´t). Tegyu ¨ nk egy golyo ´t a fels˝ o ve´ge´re, s engedju ¨ k el. Jelo ¨lju ¨ k meg a golyo ´ helyzete´t pontosan egy ma´sodperc eltelte uta´n. Ezt a hosszat me´rju ¨ k fel a lejt˝ o sze´le´re, annyiszor, aha´nyszor csak ra´fe´r. Ha most u ´ jraindı´tjuk a kı´se´rletet, azt tapasztaljuk, hogy a golyo ´ 1 ma´sodperc eltelte´vel az els˝ o, 2 ma´sodperc eltelte´vel a negyedik, 3 ma´sodperc eltelte´vel pedig pontosan a kilences sza´mu ´ jelz˝ oponthoz e´rkezik meg. Ha a pa´lya elegend˝ oen hosszu ´ , a 4. ma´sodperc ve´ge´n ma´r a tizenhatodik rova´tka´na´l fog ja´rni. A minta´zatot nem nehe´z azonosı´tani: n ma´sodperc alatt a golyo ´ n2 egyse´gnyi utat tesz meg. Ra´ada´sul ugyanezt tapasztaljuk, ba´rmekkora is a lejt˝ o meredekse´ge.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az „alapı´to ´ atya´k”

99

A minta´zat teha´t ko ¨nnyede´n felismerhet˝ o – s me´gis, a kimerı´t˝ o matematikai elemze´shez a differencia´l- e´s integra´lsza´mı´ta´s csaknem ege´sz fegyverta´ra´ra szu ¨ kse´g van. Ko ¨nyvu ¨ nk ko ¨vetkez˝ o fejezeteit e te´mako ¨r bemutata´sa´nak szentelju ¨ k. Az „alapı´to ´ atya ´ k” Az analı´zis alapjait csaknem egyszerre, mindazona´ltal egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenu ¨l dolgozta ki ke´t kiva´lo ´ elme: Isaac Newton Anglia´ban e´s Gottfried Wilhelm Leibniz Ne´metorsza´gban (3.2. ´abra). Ismerkedju ¨ nk most meg ko ¨zelebbr˝ ol e ke´t tudo ´ssal, akiknek matematikai zsenialita´sa o ¨ro ¨k nyomot hagyott minden uta´nuk ko ¨vetkez˝ o nemzede´k e´lete´n. Isaac Newton 1642 kara´csonya´n szu ¨ letett a Lincolnshire gro ´fsa´gbeli Woolsthorpe falucska´ban. 1661-ben, a helyi iskola elve´gze´se uta´n a cambridge-i Trinity College-be keru ¨ l, ahol – jo ´re´szt o ¨na´llo ´ tanula´s u ´ tja´n – csillaga´szattal e´s matematika´val foglalkozik. 1664-ben tova´bbi tanulma´nyai folytata´sa´hoz e´s a tudoma´nyos cı´m megszerze´se´hez ne´gy e´vre szo ´lo ´ anyagi ta´mogata´st nyer el. 1665-ben, mikor az egyetemet az Anglia-szerte du ´ lo ´ pestisja´rva´ny miatt beza´rja´k, visszate´r szu ¨ l˝ ofaluja´ba, s a huszonha´rom e´ves fiatalember az elko ¨vetkez˝ o ke´t e´v leforga´sa alatt ege´sz sor eredeti fizikai e´s matematikai elme´letet dolgoz ki, olyan tudoma´nyos teljesı´tme´nyt mutatva fel, amilyet addig a vila´g me´g nem la´tott. Az ´altala fluxio ´sza´mı´ta´snak nevezett differencia´lsza´mı´ta´s, s megfordı´ta´sa´nak,

3.2. a ´ bra. Sir Isaac Newton e´s Gottfried Wilhelm Leibniz, az analı´zis „alapı´to ´ atya´i”.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

100

A matematika mozga´sba lendu ¨l

az integra´lsza´mı´ta´snak a kidolgoza´sa csupa´n kett˝ o az 1665–66-os e´vek gyu ¨ mo ¨lcseinek sora´ban. 1668-ban megkapja a magiszteri fokozatot, s a Trinity College o ¨ro ¨ko ¨s tagja´va´ va´lasztja´k. Egy e´vvel ke´s˝ obb, mikor Isaac Barrow a Lucas-professzori sze´ket a kira´lyi ka´pla´n tisztse´ge´re csere´li, Newton keru ¨ l a helye´re. A bı´ra´latokto ´l valo ´ fe´lelem ege´szen 1684-ig visszatartotta Newtont eredme´nyei publika´la´sa´to ´l, akkor azonban – Edmund Halley, a hı´res csillaga´sz nyoma´sa´ra – ko ¨zze´tette a mozga´s to ¨rve´nyeire e´s a gravita´cio ´ra vonatkozo ´ elme´lete´t. Az 1687ben megjelent Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A terme´szettudoma´ny matematikai alapjai) egyszer s mindenkorra megva´ltoztatta a fizika tudoma´nya´t, s Newtont egy csapa´sra minden id˝ ok legzsenia´lisabb tudo ´sainak sora´ba emelte. ´ llami Pe´nzverde o ˝re´nek nevezik ki, s e magas tisztse´g 1696-ban Newtont az A ´ llami szolga´lata ko kedve´e´rt megva´lik egyetemi ´alla´sa´to ´l. A ¨zben fejezi be Optika cı´m˝ u monumenta´lis m˝ uve´t, Cambridge-i e´vei tudoma´nyos eredme´nyeinek o ¨sszefoglala´sa´t. A ko ¨nyv egyik fu ¨ ggele´ke´ben ro ¨viden bemutatta a fluxio ´sza´mı´ta´s alapjait is: ez volt az els˝ o alkalom, hogy ezekkel az eredme´nyekkel a nyilva´nossa´g ele´ le´pett. Hosszabb le´legzet˝ u, De Analysi cı´m˝ u e´rtekeze´se´t, amely az angol matematikusok ko ¨re´ben ma´r 1670-t˝ ol kezdve ko ¨zke´zen forgott, csupa´n 1711-ben jelentette meg. Elme´lete´nek igaza´n alapos o ¨sszefoglala´sa viszont csak 1736-ban, kilenc e´vvel hala´la uta´n la´tott napvila´got. Nem sokkal az Optika megjelene´se el˝ ott megva´lasztotta´k a Kira´lyi Ta´rsasa´g (Royal Society) elno ¨ke´nek. Az angol tudoma´nyos e´let u ´ jdonsu ¨ lt els˝ o embere´t 1705-ben Anna kira´lyn˝ o nemesi rangra emelte. Az egykori fe´le´nk, gyo ¨nge´cske falusi fiu ´ valo ´di „nemzeti kincske´nt” e´lte le ha´trale´v˝ o e´veit. Sir Isaac Newton 1727-ben, nyolcvanne´gy e´ves kora´ban halt meg, a Westminster apa´tsa´gban helyezte´k ve´gs˝ o nyugalomra. Sı´rja´n a ko ¨vetkez˝ o felirat ´all: „Halando ´k, u ¨ dvo ¨zo ¨lje´tek egyma´st, hogy ily hatalmas elme e´lt ko ¨zo ¨ttetek, az ege´sz emberi nem dics˝ ose´ge´re.” A ma´sik „alapı´to ´ atya”, Gottfried Wilhelm Leibniz Lipcse´ben szu ¨ letett, 1646ban. Csodagyerek, filozo ´fiatana´r apja gazdag ha´zi ko ¨nyvta´ra´t kiolvasva ma´r kisgyermekkora´ban sze´les ko ¨r˝ u m˝ uveltse´gre tesz szert. Tizeno ¨t e´ves kora´ban iratkozott be a lipcsei egyetemre, o ¨t e´v eltelte´vel pedig ma´r a jogi doktori cı´met is megszerezte. A tudoma´nyos karrier helyett ekkor a korma´ny szolga´lata´t va´lasztotta. 1672-ben magas beoszta´su ´ diplomatake´nt Pa´rizsba keru ¨ l, ahonnan ro ¨vid utaza´sokat tesz Hollandia´ba e´s Anglia´ba. Ezek sora´n alkalma nyı´lik megismerkedni kora vezet˝ o tudo ´saival, to ¨bbek ko ¨zo ¨tt Christian Huygens-szel, a neves holland fizikussal, aki ele´vu ¨ lhetetlen szerepet ja´tszott abban, hogy a fiatal ne´met diplomata´ban u ´ jra fele´bredjen az e´rdekl˝ ode´s a matematika ira´nya´ban. Tala´lkoza´suk olyannyira gyu ¨ mo ¨lcso ¨z˝ onek bizonyult, hogy a matematika´ban le´nyege´ben kezd˝ onek sza´mı´to ´ Leibniz 1676-ra ma´r az analı´zis alapjait is kidolgozta.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A mozga´s paradoxonja

101

Valo ´ban? 1684-ben, amikor eredme´nyeit az ´altala szerkesztett Acta Eruditorum cı´m˝ u folyo ´iratban ko ¨zze´tette, a kor angol matematikusai szinte egyszerre szisszentek fel. Bizonyos, hogy 1673-ban, mid˝ on a Kira´lyi Ta´rsasa´gna´l tett la´togata´st, Leibniznek alkalma volt betekinteni Newton – akkor me´g – ke´ziratos m˝ uveibe, s 1676-ban, Leibniz kifejezett o ´haja´ra, Newton ke´t levelet is ´rt, ı amelyben bizonyos eredme´nyeit re´szletesen is kifejtette. Ba´r ett˝ ol Newton e´s Leibniz ta´vol tartotta´k magukat, az angol e´s ne´met matematikusok ko ¨zo ¨tt az els˝ obbse´gr˝ ol folytatott vita ro ¨vid id˝ o alatt csu ´ nya´n eldurvult. Newton minden bizonnyal megel˝ ozte Leibnizet, eredme´nyeit azonban nem hozta nyilva´nossa´gra, mı´g vete´lyta´rsa nem ke´slekedett, s˝ ot, olyan szemle´letes forma´ban tette ko ¨zze´ munka´ja´t, hogy az – e´ppen terme´szetesse´ge oka´n – hamarosan Euro ´pa-szerte ismertte´ va´lt. Napjaink analı´zis kurzusai is a diszciplı´na leibnizi felfoga´sa´t ko ¨vetik, a deriva´ltat is ´altala´ban a t˝ ole sza´rmazo ´ dy/dx jelo ¨li. Newton fizikai terminusokhoz ko ¨t˝ od˝ o megko ¨zelı´te´se e´s jelo ¨le´smo ´dja ezzel szemben szinte kiza´ro ´lag fizikus-ko ¨ro ¨kben terjedt csak el. A tudoma´nyto ¨rte´ne´szek manapsa´g ´altala´nosan elismerik, hogy Leibniz az elme´let bizonyos elemeivel Newton m˝ uve´b˝ ol ismerkedett meg, de azt is leszo ¨gezik: saja´t hozza´ja´rula´sa mindehhez olyannyira jelent˝ os e´s eredeti, hogy nyugodt szı´vvel tekinthetju ¨ k mindkett˝ oju ¨ ket az analı´zis atyja´nak. Newtonhoz hasonlo ´an Leibniz sem ele´gedett meg azzal, hogy ege´sz e´lete´t a matematika´nak szentelje. Filozo ´fiai e´s szimbolikus logikai eredme´nyei ma´r eleve a legnagyobbak sora´ba emelik, de a szanszkrit nyelv ´es a kı´nai kultu ´ ra alapos ismer˝ ojeke´nt is sza´mon tartja´k. 1700-ban kulcsszerepet va´llal a Berlini Akade´mia megalapı´ta´sa´ban, amelynek 1716-ban beko ¨vetkezett hala´la´ig az elno ¨ki tiszte´t is beto ¨lto ¨tte. Mı´g azonban Newtont a legnagyobb ´allami pompa´val kı´se´rte´k utolso ´u ´ tja´ra, a ne´met szellemo ´ria´st csendesen, szinte titokban helyezte´k o ¨ro ¨k nyugalomra. ˝ teha´t az analı´zis alapı´to Ok ´ atya´i. Miuta´n szeme´lyu ¨ kr˝ ol ke´pet alkottunk, ideje, hogy elme´letu ¨ kkel is alaposabban megismerkedju ¨ nk. A to ¨rte´net, mint a matematika´ban oly gyakran, az o ´kori go ¨ro ¨go ¨kkel kezd˝ odik. A mozga ´ s paradoxonja Az analı´zis a folytonos, nem pedig a diszkre´t mozga´s vizsga´lata´nak eszko ¨ze. ´ gy t˝ U unik azonban, hogy a folytonos mozga´snak ma´r a puszta eszme´je is ellentmonda´sos. Gondoljuk csak meg: tetsz˝ oleges test ba´rmely id˝ opillanatban a te´r egy adott pontja´t foglalja el. Ha egyedu ¨ l erre a pillanatra koncentra´lunk, a test nem ku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o meg egy ugyanezen helyet elfoglalo ´, ´am nyugalomban le´v˝ o ta´rgyto ´l. Ha azonban ez minden pillanatra ´all, akkor vajon mi ku ¨ lo ¨nbo ¨zteti meg a szo ´ban forgo ´ mozgo ´ testet egy nyugalomban le´v˝ ot˝ ol? Ha ugyanis egy hosszabb id˝ otartam minden egyes pillanata´ban nyugalomban van, akkor az id˝ o ege´sze´t tekintve is ez kell hogy legyen a helyzet.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

102

A matematika mozga´sba lendu ¨l

3.3. a ´ bra. A mozga´s paradoxonja. Ba´rmelyik pillanatot vizsga´ljuk, a ta´rgy mindegyikben nyugalomban van: mike´nt az ´abra´n a szo ¨kell˝ o szarvas. Ha azonban ez valamennyi pillanatra ´all, mike´nt lehet me´gis mozga´sban a test a pillanatokbo ´l fele´pu ¨ l˝ o id˝ otartam ege´sze´ben? A gondolatmenet Ze´no ´nto ´l, a hı´res go ¨ro ¨g filozo ´fusto ´l ered, aki a proble´ma´t kihı´va´ske´nt ´allı´totta mindazok ele´, akik az id˝ ot diszkre´t pillanatok egyma´suta´njake´nt e´rtelmezte´k. A mozga´s most ismertetett paradoxonja Ze´no ´nto ´l, a hı´res go ¨ro ¨g filozo ´fusto ´l sza´rmazik, aki feltehet˝ oen a pu ¨ thagoreusok numerolo ´gia´ja´t ta´madta meg e´rvele´se´vel. Ze´no ´n az e´leai iskola´t megalapı´to ´ Parmenide´sz tanı´tva´nya, m˝ uko ¨de´se a ˝ Kr. e. 450 ko ¨ru ¨ li e´vekre tehet˝ o. A mozga´s ime´nt bemutatott elvi proble´ma´ja az o el˝ oada´sa´ban a repu ¨l˝ o nyı´l paradoxonja, amely mindaddig nem oldhato ´ fel, amı´g a teret e´s az id˝ ot egyara´nt atomos szerkezet˝ uke´nt gondoljuk, diszkre´t id˝ opillanatok sorozata´bo ´l, illetve diszkre´t te´rbeli pontokbo ´l fele´pu ¨ l˝ onek. Akik pedig u ´ gy ve´lekednek, hogy mind a te´r, mind az id˝ o ve´gtelenu ¨ l oszthato ´, u ´ gyszinte´n megkapja´k a maguk ze´no ´ni apo ´ria´ja´t, Akhilleusz ´es a tekn˝ osbe´ka nevezetes proble´ma´ja´t. Tegyu ¨ k fel, hogy a gyorsla´bu ´ Akhilleusz 100 me´teres versenyfuta´sra hı´vja ki a na´la tı´zszerte lassabb tekn˝ ost, s 10 me´ter el˝ onyt ad neki. Mire Akhilleusz ele´r arra a pontra, ahonnan ellenfele indult, addig az is megtesz 1 me´ternyi utat, valamennyi el˝ onye teha´t marad. Akhilleusz villa´mgyorsan lefutja ezt az 1 me´teres ta´vot is – ´am a tekn˝ os ko ¨zben u ´ jfent el˝ ore´bb keru ¨ l, ezu ´ ttal 10 centime´terrel. Mire Akhilleusz apro ´cska ha´tra´nya´t ledolgozza, a tekn˝ os megint ´ s ez ´gy el˝ ore´bb van: kereken 1 centime´terrel. E ı megy a ve´gtelense´gig: a tekn˝ os el˝ onye folyamatosan cso ¨kken, de soha nem fogy el: ´alljon ellenfele ba´rmilyen jo ´ ˝t megel˝ futo ´ hı´re´ben, ke´ptelen o ozni. Ze´no ´n nem akarja ca´folni, hogy a repu ¨ l˝ o nyı´l mozog, s hogy Akhilleusz ve´gu ¨ l utole´ri a tekn˝ ost: mind a kett˝ o ke´tse´gbevonhatatlan, empirikus te´ny. Valo ´di ce´lpontjai az id˝ o, a te´r e´s a mozga´s terme´szete´re vonatkozo ´ korta´rs, filozo ´fiai elme´letek voltak, s kihı´va´sa´nak egyik sem tudott megfelelni. A paradoxonok megnyugtato ´ felolda´sa´ra ege´szen a tizenkilencedik sza´zadig va´rni kellett, amikor

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A ve´gtelen megszelı´dı´te´se

103

a matematikusok megtala´lta´k a megfelel˝ o gyo ´gymo ´dot a ve´gtelen proble´ma´ja´nak kezele´se´hez. A ve ´gtelen megszelı´dı´te ´se A mozga´s e´s a va´ltoza´s matematikai vizsga´lata´nak kulcsa a ve´gtelen mennyise´gekkel valo ´ sza´mola´s technika´inak megtala´la´sa volt. Meg kellett keresni, mike´nt ´rhato ı ´ le, s mike´nt haszna´lhato ´ fel az a sokfe´le minta´zat, amelyben a ve´gtelen matematikai fogalma megnyilva´nul. Az Akhilleuszra e´s a tekn˝ osre vonatkozo ´ ze´no ´ni paradoxon pe´lda´ul a ko ¨vetkez˝ oke´ppen oldhato ´ fel. A versenyz˝ ok ko ¨zo ¨tt a futam egyes szakaszaiban – me´terben me´rve – a ta´volsa´g:

10, 1,

1 1 1 , , ,... 10 100 1 000

A paradoxon teha´t feloldhato ´, ha ke´pesek vagyunk kezelni az ala´bbi ve´gtelen o ¨sszeget:

10 + 1 +

1 1 1 + + + ..., 10 100 1 000

amelyben a ha´rom pont (. . . ) azt jelzi, hogy a tagok a jelzett minta´zat szerint ve´gtelen hosszu ´ sorban ko ¨vetik egyma´st. Ha ugyanis e ta´volsa´go ¨sszeg ve´ges, az sem to ¨bbet, sem kevesebbet nem jelent, mint hogy ekkora u ´ t megte´tele uta´n Akhilleusz utole´ri a tekn˝ ost. Nyilva´nvalo ´an reme´nytelen pro ´ba´lkoza´s egy ve´gtelen o ¨sszeget tagonke´nt o ¨szszeadni. Valo ´ja´ban maga az „o ¨sszeg” szo ´ haszna´lata is megte´veszt˝ o, a matematikusok, hogy a konfu ´ zio ´t elkeru ¨ lje´k, ilyen esetekben ve´gtelen sorro ´l besze´lnek. Az elneveze´s azt a matematika´ban bevett gyakorlatot ko ¨veti, miszerint bizonyos ko ¨znyelvi kifejeze´seket meghata´rozott, technikai jelente´ssel ruha´zunk fel, amely jelente´s a szo ´ eredeti, ko ¨znapi e´rtelme´t˝ ol esetenke´nt meglehet˝ osen messze ´all. Ha figyelmu ¨ nket nem az egyes tagokra, hanem ve´gtelen sorunk ´altala´nos minta´zata´ra o ¨sszpontosı´tjuk, proble´ma´nkat ko ¨nny˝ uszerrel megoldhatjuk. Jelo ¨lju ¨k a keresett o ¨sszeget S-sel:

S = 10 + 1 +

1 1 1 + + + ... 10 100 1 000

˝t ko A sorban megnyilva´nulo ´ minta´zat: valamennyi tag tizedre´sze az o ¨zvetlenu ¨l megel˝ oz˝ onek. Ha teha´t az ege´szet megszorozzuk 10-zel, akkor – az els˝ o tagot lesza´mı´tva – a sor ege´sze´ben ve´ve nem va´ltozik:

10S = 100 + 10 + 1 +

1 1 1 + + + ... 10 100 1 000

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

104

A matematika mozga´sba lendu ¨l

Ha ebb˝ ol kivonjuk az el˝ oz˝ o egyenl˝ ose´get, a jobb oldalon csaknem valamennyi tag elt˝ unik:

10S − S = 100. Ez viszont ma´r ko ¨zo ¨nse´ges, a jo ´l ismert mo ´don megoldhato ´ egyenlet:

9S = 100, ahonnan 100 1 S= = 11 . 9 9 Akhilleusz teha´t pontosan 11 91 me´ternyi utat tesz meg, amı´g utole´ri a tekn˝ ost. A do ¨nt˝ o megfigyele´s: ve´gtelen sok tagu ´ o ¨sszeg aka´r ve´ges is lehet. Mindaddig, amı´g u ´ gy gondoljuk, ve´gtelen sok tag o ¨sszege csak ve´gtelen lehet, Ze´no ´n paradoxonja paradoxon marad. Vegyu ¨ k e´szre, a ve´gtelen sor o ¨sszege´nek meghata´roza´sakor a do ¨nt˝ o momentum az volt, hogy figyelmu ¨ nket nem az egyes tagokra, hanem a sorban megnyilva´nulo ´ ´altala´nos minta´zatra o ¨sszpontosı´tottuk. Pontosan ez jelenti a ve´gtelen mennyise´gekkel valo ´ sza´mola´s kulcsa´t. A ve ´gtelen visszava ´g El˝ oz˝ o fejezetbeli sza´mı´ta´saink ko ¨zben a kedves Olvaso ´ban minden bizonnyal felmeru ¨ lt a ke´tely: vajon megengedhet˝ o m˝ uvelet-e egy ve´gtelen sort – tagonke´nt – megszorozni egy sza´mmal, vagy ke´t ilyen sort – ugyancsak tagonke´nt – kivonni egyma´sbo ´l. E ke´telyek to ¨ke´letesen megalapozottak: a ve´gtelen sorok ko ¨nnyede´n megtre´fa´lhatja´k a jo ´hiszem˝ u halando ´kat. Vegyu ¨ k pe´lda´ul a ko ¨vetkez˝ ot:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... Ha a sor minden tagja´t −1-gyel megszorozzuk, ugyanazt a sort kapjuk, csupa´n a tagok el˝ ojelei va´ltoznak ellenkez˝ oju ¨ kre:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... −S = − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... Ha most az utolso ´ egyenl˝ ose´get kivonjuk az utolso ´ el˝ ottib˝ ol, az els˝ o kive´tele´vel valamennyi tag elt˝ unik:

2S = 1 Azt kapjuk teha´t, hogy S = 12 . Ezzel meg is lenne´nk. De ´rjuk ı csak fel me´g egyszer a sort, ezu ´ ttal u ´ gy, hogy a tagokat pa´rosı´tjuk:

S = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A ve´gtelen visszava´g

105

A za´ro ´jelek kiı´ra´sa nyilva´n megengedhet˝ o technika: me´g ha ve´gtelen hosszu ´ is, a sor minta´zata´t ezzel, u ´ gy t˝ unik legala´bbis, le´nyegileg nem va´ltoztathatjuk meg. Most azonban valamennyi za´ro ´jeles tag o ¨sszege 0, maga a sor enne´lfogva:

S = 0 + 0 + 0 + ... A ve´geredme´ny: S = 0. De a za´ro ´jelek ma´ske´pp is beszu ´ rhato ´k:

S = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . Az o ¨sszeg ezu ´ ttal S = 1. Eredeti sorunk teljesen egye´rtelm˝ uen megragadhato ´ minta´zatot mutatott. Ellenben a sort ha´rom ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o mo ´don „manipula´lva” ha´rom, egyma´ssal o ¨ssze1 egyeztethetetlen ve´geredme´nyhez jutottunk: az S o ¨sszeg el˝ oszo ¨r 2 -nek, ma´sodszor 0-nak, harmadszor 1-nek ado ´dott. Melyik vajon a helyes? Az igazsa´g az, hogy a helyes eredme´ny egyszer˝ uen nem le´tezik. A szo ´ban forgo ´ ve´gtelen sor matematikailag kezelhetetlen, minta´zata nem engedi, hogy a tagokon algebrai m˝ uveletet ve´gezzu ¨ nk. Az Akhilleuszro ´l e´s a tekn˝ osr˝ ol szo ´lo ´ feladat ve´gtelen sora nem ilyen: ott az elve´gzett m˝ uveletek mindegyike megengedett, legitim m˝ uvelet volt. A ve´gtelen sorok e ke´t alapvet˝ o tı´pusa´nak elku ¨ lo ¨nı´te´se, s a kezelhet˝ o sorok elme´lete´nek precı´z kidolgoza´sa e´vsza´zadokat vett ige´nybe, a megnyugtato ´ megolda´s pedig ege´szen a tizenkilencedik sza´zad ve´ge´ig va´ratott maga´ra. A geometriai sor nagyszer˝ u pe´lda arra, mike´nt lehet egy ve´gtelen sor o ¨sszege´t a minta´zattal manipula´lva meghata´rozni. Ezen sorok ´altala´nos forma´ja:

S = a + ar + ar2 + ar3 + . . . A sorban egyma´s uta´n ko ¨vetkez˝ o tagok mindegyike a ko ¨zvetlenu ¨ l el˝ otte ´allo ´ rszerese, ahol r egy el˝ ore megadott ´allando ´. Az effe´le sorok gyakorta el˝ ofordulnak a he´tko ¨znapi e´letben is: a radioaktı´v bomla´s jelense´ge´nek leı´ra´sa´ban, vagy a banki hitelek e´s jelza´logko ¨lcso ¨no ¨k uta´n fizetend˝ o kamat kisza´mı´ta´sa´ban. Az Akhilleuszro ´l e´s a tekn˝ osr˝ ol szo ´lo ´ feladat ve´gtelen sora ugyancsak ilyen tı´pusu ´ (pe´lda´nkban 1 az r ´allando ´ e´rte´ke 10 volt). A megolda´s sora´n ko ¨vetett strate´gia valamennyi ilyen sorozatna´l alkalmazhato ´. Az S o ¨sszeg kisza´mı´ta´sa´hoz el˝ oszo ¨r a sor minden egyes tagja´t megszorozzuk r-rel:

S = ar + ar2 + ar3 + ar4 + . . . , majd az ´gy ı kapott sort kivonjuk az eredetib˝ ol:

S − Sr = a. Ebb˝ ol az egyenletb˝ ol az S ismeretlent ma´r gyerekja´te´k kifejezni, az eredme´ny: S = a/(1 − r). Egyetlen ke´rde´s maradt csupa´n: megengedett m˝ uveleteket ve´geztu ¨ nk-e a sor tagjain? Az alapos vizsga´lat azt ta´rta fel, hogy m˝ uveleteink

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

106

A matematika mozga´sba lendu ¨l

mindig megengedettek, ha r 1-ne´l kisebb pozitı´v sza´m (illetve minden olyan negatı´v r esete´n, amely nagyobb, mint −1). Az ala´bbi sorban pe´lda´ul:

1 1 1 1 1 + + + + ··· + n + ... 2 4 8 16 2 az els˝ o tag a = 1, az ´allando ´ szorzo ´te´nyez˝ o pedig r = 12 . A sor o ¨sszege teha´t: S=1+

S=

1 1−

1 2

=

1 1 2

= 2.

Annak, hogy az r szorzo ´te´nyez˝ o 1-ne´l kisebb (illetve, amennyiben negatı´v, −1ne´l nagyobb), nyilva´nvalo ´ ko ¨vetkezme´nye, hogy a sorban el˝ orehaladva a tagok – abszolu ´ t e´rte´ku ¨ kben – egyre kisebbek lesznek. Ez lenne tala´n a „sze´pen viselked˝ o” sorok differentia specifica´ja? A gondolat helye´nvalo ´nak t˝ unik: ha a tagok egyre cso ¨kkennek, akkor a sor o ¨sszege´re egy id˝ o uta´n ma´r nem gyakorolhatnak ke´zzelfoghato ´ hata´st. Ha valo ´ban ´gy ı ´allna a dolog, a ko ¨vetkez˝ o csinos kis sor o ¨sszege ugyancsak ve´ges lenne:

1 1 1 1 + + + ··· + + ... 2 3 4 n A sor minta´zata a zenei hangsor bizonyos jellemz˝ oit ragadja meg, elneveze´se is ezt tu ¨ kro ¨zi: harmonikus sor. A sor els˝ o ezer tagja´nak o ¨sszege (ha´rom tizedes pontossa´ggal): 7,485, az els˝ o egymillio ´ tage´ 14,357, az els˝ o egymillia´rde´ ko ¨ru ¨ lbelu ¨ l 21, az els˝ o billio ´ is csupa´n 28. Mennyi lehet a teljes, ve´gtelen o¨sszeg? Mint azt ma´r a tizennegyedik sza´zadban bebizonyı´totta Nicolae Oresme, e ve´gtelen o ¨sszeg nem le´tezik. A tanulsa´g: atto ´l, hogy egy sor tagjai egyre kisebbek, o ¨sszege me´g nem lesz felte´tlenu ¨ l ve´ges. Mike´nt tudna´nk bela´tni, hogy sorunknak nincs ve´ges o ¨sszege? Nyilva´n nem pro ´ba´lkozhatunk azzal, hogy mindig to ¨bb e´s to ¨bb tagot adunk o ¨ssze. Ha a sor tagjait egy szalagra ´rna ı ´nk fel, s minden egyes tagra 1 centime´ternyi helyet sza´nna´nk (ami nemigen tarthato ´, elve´gre a to ¨rtek nevez˝ oje´be egyre nagyobb sza´mokat kell ´rnunk), ı akkor ahhoz, hogy a felı´rt sza´mok o ¨sszege meghaladja a 100-at, 1043 centime´ter hosszu ´ sa´gu ´ szalagra lenne szu ¨ kse´gu ¨ nk. Ez azonban 1025 fe´nye´vnek felel meg, amely ta´volsa´g sokkalta nagyobb, mint az univerzum becsu ¨ lt me´rete (a tudoma´ny jelenlegi ´alla´sa szerint hozza´vet˝ olegesen 1012 fe´nye´v). Az el˝ oz˝ oek alapja´n nem meglep˝ o: a bizonyı´ta´sban nem a tagokra, hanem a sor ege´sze´nek minta´zata´ra kell koncentra´lnunk. Vegyu ¨ k e´szre el˝ oszo ¨r, hogy a harmadik e´s a negyedik tag mindegyike legala´bb 14 , o ¨sszegu ¨ k enne´lfogva nem kisebb, mint 2 · 14 = 12 . A ko ¨vetkez˝ o ne´gy tag, 15 , 16 , 17 e´s 18 egyike sem kisebb, 1 mint 8 , ezek o ¨sszege teha´t legala´bb 4 · 18 = 12 . Hasonlo ´ gondolatmenet mutatja, 1 1 1 hogy a ko ¨vetkez˝ o nyolc tag, 9 -to ´l 16 -ig mind legala´bb 16 , ezek o ¨sszege teha´t 1 1 isme´t csak nem lehet kevesebb, mint 8 · 16 = 2 . Elja´ra´sunkat terme´szetesen a S=1+

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Szı´nre le´pnek a fu ¨ggve´nyek

107

ve´gtelense´gig folytathatjuk, elegend˝ o sok tagot o ¨sszeadva mindig ele´rhetju ¨ k, hogy ¨sszeadva azonban az eredme´ny o ¨sszegu ¨ k legala´bb 12 legyen. Ve´gtelen sok 12 -et o nem lehet ve´ges – a harmonikus sor teha´t nem o ¨sszegezhet˝ o. A tizenhetedik e´s a tizennyolcadik sza´zad folyama´n a matematikusok a ve´gtelen sorokkal valo ´ sza´mola´s egyre bonyolultabb technika´it dolgozta´k ki. 1671-ben pe´lda´ul a sko ´t James Gregory bebizonyı´totta, hogy:

π 1 1 1 1 1 = − + − + − ... 4 1 3 5 7 9 Figyelemre me´lto ´, hogy a geometria´bo ´l jo ´l ismert π sza´m, a ko ¨r keru ¨ lete´nek e´s ´atme´r˝ oje´nek ara´nya, egy ve´gtelen sor o ¨sszegeke´nt jelenik meg. Euler, aki a ve´gtelen soroknak ege´sz ko ¨nyvet szentelt, amely Introductio in Analysin Infinitorum cı´mmel 1748-ban jelent meg, 1736-ban ma´sik, szinte´n a π-vel kapcsolatos ve´gtelen o¨sszeget tala´lt:

π2 1 1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... 6 1 2 3 4 5 A ve´gtelent teha´t u ´ gy sikeru ¨ lt megszelı´dı´teni, hogy a matematikusok nem az aritmetikai m˝ uveletekre, hanem a sorok ´altala´nos minta´zata´ra o ¨sszpontosı´totta´k figyelmu ¨ ket. A do ¨nt˝ o el˝ orele´pe´s e te´ren a tizenhetedik sza´zad ma´sodik fele´ben ko ¨vetkezett be, mikor Newton e´s Leibniz kidolgozta´k a differencia´lsza´mı´ta´s alapjait, megı´rva ezzel a matematika to ¨rte´nete´nek egyik legfe´nyesebb lapja´t s o ¨ro ¨kre megva´ltoztatva az emberise´g e´lete´t. A differencia´lsza´mı´ta´s ne´lku ¨ l a modern technika egyszer˝ uen nem le´tezne, nem lenne´nek sem elektromos ge´peink, sem telefonunk, az utca´n nem ja´rna´nak auto ´k, a ko ´rha´zakban nem ve´gezhetne´nek su ¨ rg˝ osse´gi szı´vm˝ ute´teket. Az ezek alapja´ul szolga´lo ´ tudoma´nyok ugyanis le´nyegi mo ´don e´pı´tenek a differencia´lsza´mı´ta´s eredme´nyeire. Szı´nre le ´pnek a fu ¨ ggve ´nyek Azoknak a mozga´soknak e´s va´ltoza´soknak a vizsga´lata sora´n, amelyekben hata´rozottan megmutatkozik valamife´le minta´zat, a differencia´lsza´mı´ta´s a megfelel˝ o matematikai eszko ¨z. A szo ´ban forgo ´ minta´zatot azonban el˝ oszo ¨r matematikai forma´ban kell megragadnunk, csak ezuta´n folyamodhatunk a differencia´lsza´mı´ta´shoz, a matematikai analı´zis egyik eszko ¨ze´hez. (A kalkulus, a matematikai analı´zis ma´sik bevett elneveze´se, a latin „kavics” szo ´bo ´l ered – gondoljunk csak arra, hogy ˝si kultu a kavicsok primitı´v e´s o ´ ra´k jo ´l beva´lt sza´mla´lo ´eszko ¨zei.) A differencia´lsza´mı´ta´s alapvet˝ o m˝ uvelete a deriva´la´s, amelynek ce´lja valamely va´ltozo ´ mennyise´g va´ltoza´si u ¨ teme´nek meghata´roza´sa. Ahhoz, hogy e m˝ uvelet ve´grehajthato ´ legyen, a szo ´ban forgo ´ mennyise´g va´ltoza´sa´t el˝ oszo ¨r egy alkalmas formula´val ki kell fejeznu ¨ nk: a deriva´la´s (ma´ske´ppen differencia´la´s) m˝ uvelete´t csak e formula ismerete´ben ve´gezhetju ¨ k el.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

108

A matematika mozga´sba lendu ¨l

Tegyu ¨ k fel, hogy egy auto ´ mozga´sa´t ko ¨vetju ¨ k nyomon, amint egyenes mente´n halad el˝ ore, s t id˝ o eltelte´vel a kiindula´si pontto ´l x ta´volsa´gra jut, az ala´bbi formula szerint:

x = 5t2 + 3t. A differencia´lsza´mı´ta´s szaba´lyai szerint az auto ´ sebesse´ge´t a t id˝ opontban ekkor a

v = 10t + 3 ke´plettel adhatjuk meg, amelyben a 10t + 3 az 5t2 + 3t kifejeze´s deriva´la´sa´nak ve´geredme´nye. (A kedves Olvaso ´ pillanatokon belu ¨ l a sza´mı´ta´s re´szleteivel is megismerkedhet.) Vegyu ¨ k e´szre, hogy pe´lda´nkban a kocsi sebesse´ge nem ´allando ´, id˝ ovel, mike´nt a megtett u ´ t nagysa´ga, ez is egyre nagyobb lesz. A deriva´la´s m˝ uvelete´t u ´ jra, ezu ´ ttal a sebesse´gre alkalmazva kapjuk meg az auto ´ gyorsula´sa´t, amely a sebesse´g va´ltoza´sa´nak u ¨ teme´t mutatja. A 10t + 3 kifejeze´s deriva´la´sa´nak eredme´nye

a = 10, s esetu ¨ nkben ez ma´r ´allando ´. Azok a matematikai objektumok, amelyeken – mike´nt a sza´mokon az o ¨sszeada´s – a deriva´la´s m˝ uvelete elve´gezhet˝ o, s amelyek ne´lku ¨ l nem lenne e´rtelme analı´zisr˝ ol besze´lni: a fu ¨ggve´nyek. De mife´le objektumok a fu ¨ ggve´nyek? A legegyszer˝ ubb meghata´roza´s a ko ¨vetkez˝ o: olyan matematikai szaba´lyok, amelyek alapja´n tetsz˝ oleges adott sza´m esete´n ki tudunk sza´molni egy ma´sikat. (Szigoru ´ an ve´ve, ez csupa´n az ´altala´nos definı´cio ´ specia´lis esete, az analı´zis le´nyege´nek mege´rte´se´hez mindazona´ltal ennyi e´ppen elegend˝ o.) Az ala´bbi polinomkifejeze´s pe´lda´ul egye´rtelm˝ uen meghata´roz egy fu ¨ ggve´nyt:

y = 5x3 − 10x2 + 6x + 1, elve´gre tetsz˝ oleges x sza´m esete´n egye´rtelm˝ uen adott, mike´nt kell a megfelel˝ o y-t kisza´mı´tani. Ha mondjuk x = 2, akkor

y = 5 · 23 − 10 · 22 + 6 · 2 + 1 = 40 − 40 + 12 + 1 = 13.

Tova´bbi pe´lda´kkal szolga´lnak a trigonometrikus fu ¨ggve´nyek, amelyekne´l a hozza´rendele´si szaba´ly ekke´ppen adhato ´ meg: y = sin x, y = cos x, illetve y = tg x, s amelyek esete´ben nem ´all rendelkeze´su ¨ nkre semmife´le egyszer˝ u utası´ta´s a megfelel˝ o e´rte´kek kisza´mı´ta´sa´hoz. A jo ´l ismert definı´cio ´k, amelyek a dere´kszo ¨g˝ u ha´romszo ¨g bizonyos oldalainak ara´nyake´nt hata´rozza´k meg e fu ¨ ggve´nyek e´rte´keit, csak olyan x-ekre e´rtelmesek, amelyek kisebbek a dere´kszo ¨g me´r˝ osza´ma´na´l. A matematikusok e nehe´zse´gen a ko ¨vetkez˝ oke´ppen kerekednek felu ¨ l. A tangensfu ¨ ggve´nyt a szinusz e´s a koszinusz ha´nyadosake´nt definia´lja´k: tg x =

sin x , cos x

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az ´erint˝ ok meghata´roza´sa

109

a ke´t uto ´bbit pedig specia´lis ve´gtelen sorok o ¨sszegeke´nt hata´rozza´k meg: sin x = x −

x 3 x5 x7 + − + ... 3! 5! 7!

x 2 x4 x6 + − + ... 2! 4! 6! A definı´cio ´k mege´rte´se´hez tudnunk kell, hogy az n! sza´m (kiolvasa´sa: „n faktoria´lis”) tetsz˝ oleges n esete´n a pozitı´v ege´sz sza´mok szorzata 1-t˝ ol n-ig, pe´lda´ul: 3! = 1·2·3 = 6. A szinuszt e´s a koszinuszt definia´lo´ ve´gtelen soroknak tetsz˝ oleges x esete´n le´tezik az o¨sszege, mi to¨bb, e sorokkal nagyja´bo´l u ´ gy sza´molhatunk, mint a – ve´ges – polinomia´lis kifejeze´sekkel. E ve´gtelen sorok o ¨sszege hegyesszo ¨g˝ u x-ekre a hagyoma´nyos definı´cio´knak megfelel˝ o e´rte´ket adja, de – me´g egyszer hangsu ´ lyozzuk – tetsz˝ oleges valo ´s sza´m esete´n le´tezik. Az el˝ obbiekre ne´mileg hasonlı´t a nevezetes e alapu ´ exponencia´lis fu ¨ ggve´ny definı´cio ´ja: cos x = 1 −

x1 x 2 x 3 x 4 + + + + ... 1! 2! 3! 4! E sor o ¨sszege is ve´ges, ba´rmilyen sza´m is az x, s – mike´nt a trigonometrikus fu ¨ ggve´nyeket definia´lo ´ sorokon – ezen is elve´gezhet˝ ok a szoka´sos m˝ uveletek. Az x = 1 va´laszta´ssal a ko¨vetkez˝ ot kapjuk: ex = 1 +

1 1 1 1 + + + + ... 1! 2! 3! 4! A nevezetes e sza´m, e ve´gtelen sor o ¨sszege irraciona´lis – ko ¨zelı´t˝ o e´rte´ke: 2,71828. Az ex fu ¨ ggve´ny inverz fu ¨ ggve´nye a terme´szetes alapu ´ logaritmusfu ¨ ggve´ny: ln x. Egy fu ¨ ggve´ny inverze´re u ´ gy tekinthetu ¨ nk, amely mintegy semlegesı´ti az illet˝ o fu ¨ ggve´ny hata´sa´t. Pe´lda´ul az a sza´mra az ex fu ¨ ggve´nyt alkalmazva a b = ea sza´mot kapjuk, az ln x fu ¨ ggve´nnyel pedig ebb˝ ol a b-b˝ ol u ´ jra visszakapjuk az a-t: a = ln b. e = e1 = 1 +

Az e ´rint˝ ok meghata ´ roza ´ sa A polinomia´lis algebrai kifejeze´sek vagy az exponencia´lis e´s a trigonometrikus fu ¨ ggve´nyek definı´cio ´ja´ban szerepl˝ o ve´gtelen sorok kiva´lo ´an megfelelnek bizonyos minta´zatok leı´ra´sa´ra. E minta´zatok sza´mokat kapcsolnak o ¨ssze: a sza´mola´s beme¨ggetlen va´ltozo ´ e´rte´keit) e´s az x-ekt˝ ol fu ¨gg˝ o y e´rte´keket. nete´t ke´pez˝ o x-eket (a fu Jo ´ ne´ha´ny esetben e minta´zatot meg is jelenı´thetju ¨ k, ´gy ı kapjuk a fu ¨ ggve´ny grafikonja´t, amelynek alapja´n, mint azt a 3.4. ´abra mutatja, megmondhatjuk, mike´nt fu ¨ ggenek az y e´rte´kek az x e´rte´keit˝ ol. A szinuszfu ¨ ggve´ny esete´ben pe´lda´ul, amint x egyre nagyobb lesz 0-na´l, az y e´rte´kek vele egyu ¨ tt no ¨vekednek, ege´szen a – hozza´vet˝ oleg – x = 1,5 pontig (a pontos e´rte´k x = π2 ), ett˝ ol kezdve y e´rte´ke cso ¨kkenni kezd, s x = 3,1 ko ¨rnye´ke´n

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

110

A matematika mozga´sba lendu ¨l

3.4. a ´ bra. Ko ¨zismert fu ¨ ggve´nyek grafikonjai. La´thato ´, mike´nt fu ¨ ggenek egyma´sto ´l az x e´s az y e´rte´kek.

negatı´vva´ va´lik (pontosan az x = π helyen), tova´bb cso ¨kken, mı´gnem az x = 4,7 ko ¨ru ¨ li e´rte´ket elhagyva (valo ´ja´ban az x = 3π e ´ rte ´ kne ´ l) u ´ jra no ¨vekedni kezd. 2 Newton e´s Leibniz a ko ¨vetkez˝ o ke´rde´sre kerestek va´laszt: mike´pp lehet egy tetsz˝ oleges fu ¨ ggve´ny – mint amilyen pe´lda´ul a sin x – no ¨vekede´se´nek u ¨ teme´t meghata´rozni, ma´s szo ´val, hogy mike´nt adhato ´ meg y va´ltoza´sa´nak u ¨ teme x fu ¨ ggve´nyeke´nt. Ha a fu ¨ ggve´ny grafikonja´ra gondolunk, akkor nyilva´nvalo ´, hogy e proble´ma megolda´sa egyene´rte´k˝ u a grafikon e´rint˝ oje meredekse´ge´nek meghata´roza´sa´val. A feladat nehe´zse´ge´t az adja, hogy a no ¨vekede´s u ¨ teme nem felte´tlenu ¨l ´allando ´: ne´mely helyen a grafikon csaknem fu ¨ gg˝ olegesen to ¨r a magasba (a meredekse´g me´rte´ke ilyenkor nagy abszolu ´ t e´rte´k˝ u, pozitı´v sza´m), ma´skor ko ¨zelı´t a vı´zszinteshez (0-hoz ko ¨zeli meredekse´g), megint ma´skor tragikusan lefele´ hanyatlik (nagy abszolu ´ t e´rte´k˝ u, ´am ezu ´ ttal negatı´v meredekse´g). Ro ¨viden: mike´nt az y fu ¨ ggve´nye´rte´kek, a grafikon e´rint˝ oje´nek meredekse´ge is az x e´rte´kek alapja´n, teha´t egy fu ¨ ggve´ny hozza´rendele´si szaba´lya szerint adhato ´ meg. A feladat ma´rmost e´ppen az, hogy ezt a szaba´lyt a fu ¨ ggve´ny eredeti hozza´rendele´si szaba´lya, teha´t az y e´s az x e´rte´keit o ¨sszekapcsolo ´ kifejeze´s alapja´n hata´rozzuk meg. Newton e´s Leibniz a ko ¨vetkez˝ o mo ´dszert alkalmazta´k. Va´lasszuk pe´lda´nak az egyszer˝ use´g kedve´e´rt az x2 fu ¨ ggve´nyt, amelynek grafikonja´t a 3.5. ´abra´n va´zol-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az ´erint˝ ok meghata´roza´sa

111

¨vekede´se´vel, mint az jo ´l la´thato ´, nem csupa´n az y e´rte´ke lesz egyre tuk. x no nagyobb, de a grafikon is egyre meredekebben to ¨r felfele´. Az x e´rte´khez tartozo ´ 2 y „magassa´ga´t” x adja meg – mely formula adja meg vajon az x e´rte´khez tartozo´ pontban a go ¨rbe meredekse´ge´t? A brilia´ns gondolat a ko ¨vetkez˝ o. Va´lasszunk egy u ´ jabb pontot, az x-t˝ ol ege´szen cso ¨ppnyi h ta´volsa´ggal jobbra, ahogy a 3.5. ´abra´n jeleztu ¨ k. Az x + h-hoz tarozo ´ Q pont „magassa´ga”: (x + h)2 . A grafikon P-t˝ ol Q-ig az x2 go ¨rbe´je mente´n ´vel ı felfele´ – amennyiben azonban h ele´g kicsiny, akkor a P-t s a Q-t o ¨sszeko ¨t˝ o egyenes egyre inka´bb megko ¨zelı´ti a go ¨rbe ´ve ı ´t, minek ko ¨vetkezte´ben a P-beli e´rint˝ o meredekse´ge is egyre jobban ko ¨zelı´thet˝ o a PQ egyenes meredekse´ge´vel. Az egyenes meredekse´ge´nek kisza´mı´ta´sa´na´l azonban mi sem egyszer˝ ubb: csak el kell osztani a fu ¨ gg˝ oleges ira´nyu ´ no ¨vekme´nyt azzal a vı´zszintes elmozdula´ssal, amelyhez e no ¨vekme´ny tartozik. Esetu ¨ nkben a P e´s a Q pontok magassa´gbeli elte´re´se:

(x + h)2 − x2 , a vı´zszintes ira´nyu ´ elte´re´s pedig e´rtelemszer˝ uen h, a PQ szakasz meredekse´ge enne´lfogva:

(x + h)2 − x2 . h A to ¨rt sza´mla´lo ´ja elemi algebrai ´atalakı´ta´sok uta´n: (x + h)2 − x2 = x2 + 2xh + h2 − x2 = 2xh + h2 , a meredekse´gre teha´t a ko ¨vetkez˝ ot kapjuk:

2xh + h2 , h amely az oszta´st elve´gezve a 2x + h-ra egyszer˝ uso ¨dik.

3.5. a ´ bra. Az y = x2 fu ¨ ggve´ny e´rint˝ oje´nek meghata´roza´sa.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

112

A matematika mozga´sba lendu ¨l

Megkaptuk teha´t a P e´s a Q pontokon ´atmen˝ o egyenes meredekse´ge´t. Ko ¨zelebb keru ¨ ltu ¨ nk-e ezzel kit˝ uzo ¨tt ce´lunkhoz, az y = x2 go ¨rbe P-beli e´rint˝ oje meredekse´ge´nek meghata´roza´sa´hoz. Nos, a szo ´ legszorosabb e´rtelme´ben ko ¨zelebb keru ¨ ltu ¨ nk. Newton e´s Leibniz gondolatmenete ugyanis ekke´ppen folytato ´dik: feledkezzu ¨ nk meg egy pillanatra az ime´nt bemutatott statikus szitua´cio ´ro ´l, s vizsga´ljuk meg, mi to ¨rte´nik, ha a P e´s a Q pontok ko ¨zo ¨tti vı´zszintes ira´nyu ´ ta´volsa´g folyamatosan egyre kisebbe´ va´lik. Ahogy h cso ¨kken, a Q pont egyre ko ¨zelebb keru ¨ l P-hez. Emle´keztetu ¨ nk arra, hogy a PQ szakasz meredekse´ge´t – ba´rhol legyen is a Q pont – a 2x + h kifejeze´s adja meg. Ha pe´lda´ul x = 5, h-nak pedig a 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001 e´rte´keket adjuk, akkor a megfelel˝ o PQ szakaszok meredekse´ge rendre 10,1, 10,01, 10,001 e´s 10,0001. A numerikus minta´zat ennek alapja´n ma´r ko ¨nnyen azonosı´thato ´: a PQ szakasz meredekse´ge´nek me´rte´ke egyre pontosabban ko ¨zelı´t 10,0-hez. (A matematikusok ezt u ´ gy mondja´k, hogy e mennyise´g hata´re´rte´ke 10,0, mid˝ on h e´rte´ke 0-hoz tart.) ´ jabb pillanta´st vetve az ´abra´ra, e numerikus minta´zat geometriai megfelel˝ U oje´t is felfedezhetju ¨ k: amint h egyre kisebb lesz, a PQ szakasz, valamint a P e´s Q pontokat o ¨sszeko ¨t˝ o, a fu ¨ ggve´ny grafikonja ´altal meghata´rozott ´v ı egyre ko ¨zelebb keru ¨ l egyma´shoz, s a PQ szakasz meredekse´ge´nek hata´re´rte´ke e´ppen a go ¨rbe Pbeli e´rint˝ oje´nek meredekse´ge lesz. Az x = 5 helyen a go ¨rbe e´rint˝ oje´nek meredekse´ge e´ppen 10 lesz; ´altala´ban pedig az x helyen 2x. S ezzel megtala´ltuk a minket e´rdekl˝ o hozza´rendele´si szaba´lyt: az e´rint˝ o meredekse´ge´t x fu ¨ ggve´nye´ben a 2x kifejeze´s (2x + h hata´re´rte´ke, amennyiben h tart 0-hoz) adja meg. „Kimu ´ lt mennyise ´gek kı´se ´rtetei” A to ¨rte´neti h˝ use´g kedve´e´rt meg kell jegyeznu ¨ nk: a differencia´la´s m˝ uvelete Newton felfoga´sa´ban nem pontosan a fent leı´rt mo ´dszert ko ¨veti. Newton e´rdekl˝ ode´se´nek homloktere´ben fizikai va´ltoza´sok – mindenekel˝ ott a bolygo ´k mozga´sa´nak – leı´ra´sa ´allt. Nem a fent bemutatott geometriai e´rtelmeze´st, az egyma´sohoz rendelt x e´s y mennyise´gek ´altal meghata´rozott grafikont e´s annak e´rint˝ je´t tartotta szem el˝ ott, hanem valamely ta´volsa´gadat (pe´lda´ul az r suga´r) id˝ oben valo ´ va´ltoza´sa´t, amely pe´lda´ul ilyen formula´val ´rhato ı ´ le: r = t2 . Az ´gy ı megadott fu ¨ ggve´nyt fluensnek nevezte, az e´rint˝ o meredekse´ge´t meghata´rozo ´ fu ¨ ggve´nyt pedig fluxio ´nak. (A newtoni terminolo ´gia szerint teha´t el˝ obbi eredme´nyu ¨ nket ekke´ppen fogalmazhatjuk meg: az r = t2 fluens fluxio ´ja: 2t.) A kicsinyke no ¨vekme´ny (az el˝ oz˝ o fejezetbeli h) jelo ¨le´se´re Newton az o szimbo ´lumot haszna´lta, ezzel is jelezve, hogy olyan mennyise´gr˝ ol van szo ´, amely megko ¨zelı´ti ugyan a 0-t, de nem egyenl˝ o vele. Leibniz ezzel szemben az el˝ oz˝ oekben bemutatott geometriai mo ´dszert tette maga´e´va´, amely szerint a differencia´la´s m˝ uvelete´nek eredme´nye egy adott go ¨rbe me-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

„Kimu ´lt mennyise´gek kı´se´rtetei”

113

˝ dx-szel jelo ¨lte, redekse´ge´nek sza´mszer˝ u megragada´sa. A pe´lda´ban szerepl˝ o h-t o az y mennyise´g ennek megfelel˝ o va´ltoza´sa´t (a P e´s Q pontok magassa´gbeli elte´re´se´t) pedig dy-nal. A deriva´ltfu ¨ ggve´nyre a dy/dx jelo ¨le´st vezette be, ezzel is e´rze´keltetve, hogy ke´t kicsinyke no ¨vekme´ny ha´nyadosa´ro ´l van szo ´. (dy/dx kiolvasa´sa: „de´-y per de´-x”.) A kiindulo ´pont mindazona´ltal mind Newtonna´l, mind Leibnizne´l ugyanaz: egy kapcsolat, amely ke´t mennyise´g ko ¨zo ¨tt ´all fenn. Newtonna´l ez

r = egy kifejeze´s, amelyben t szerepel, Leibnizne´l pedig

y = egy kifejeze´s, amelyben x szerepel alaku ´ . Manapsa´g ezt u ´ gy mondjuk, hogy r a t mennyise´g fu ¨ ggve´nye, s ekke´ppen jelo ¨lju ¨ k: r = f(t) vagy r = g(t), s mutatis mutandis az y e´s x szereposzta´ssal. A motiva´cio ´- e´s jelo ¨le´sbeli ku ¨ lo ¨nbse´gekt˝ ol eltekintve, az analı´zis „alapı´to ´ atyjai” ugyanazt a korszakalkoto ´ felfedeze´st tette´k. A go ¨rbe valamely pontbeli e´rint˝ oje megkerese´se´nek – le´nyege´t tekintve statikus – feladata´t egy dinamikus proble´ma´ra vezette´k vissza: arra, mike´nt lehet a szo ´ban forgo ´ e´rint˝ ot egyre pontosabban egyenes szakaszokkal megko ¨zelı´teni. Az ennek sora´n megjelen˝ o numerikus ˝ket a helyes va´laszhoz. e´s geometriai minta´zatok felismere´se vezette el o A mo ´dszer nem csupa´n a pe´ldabeli egyszer˝ u fu ¨ ggve´nyre alkalmazhato ´. Az x3 fu ¨ ggve´ny differencia´la´sa´nak eredme´nye (ma´s ne´ven: a fu ¨ ggve´ny deriva´ltja) a 3x2 fu ¨ ggve´ny, ´altala´ban pedig: tetsz˝ oleges n terme´szetes sza´m esete´n az xn fu ¨ ggve´ny n−1 deriva´ltja nx . Az e szaba´lyban megjelen˝ o „differencia´la´sminta´zat” – me´g ha kisse´ ku ¨ lo ¨no ¨snek t˝ unik is – ko ¨nnyen megjegyezhet˝ o. Mindenke´ppen szem el˝ ott kell tartanunk, hogy a mo ´dszer le´nyege nem az, ´ rvelhetne valaki u uen 0-val tesszu ¨ k egyenl˝ ove´. E ´ gy hogy a h mennyise´get egyszer˝ is, hogy amennyiben pe´lda´nkban az e´rint˝ o meredekse´ge´t megado ´ 2x + h kifejeze´sben h = 0, akkor e´ppen a helyes, 2x eredme´nyt kapjuk. Ez eddig rendben is lenne – de amennyiben h = 0, u ´ gy a P e´s a Q pont egy e´s ugyanaz, PQ szakaszro ´l ´ s nem csupa´n a geometriai minta´zat ez esetben egyszer˝ uen nem is besze´lhetu ¨ nk. E t˝ unne el: elve´gre a go ¨rbe´hez ko ¨zelı´t˝ o szakasz meredekse´ge´t a 2xh + h2 e´s a h ha´nyadosake´nt hata´roztuk meg, ha azonban h = 0, akkor – mivel 0-val nem lehet osztani – e ha´nyadosnak nincs e´rtelme. Az elja´ra´s fe´lree´rte´se nem csupa´n Newton e´s Leibniz korta´rsainak, de nemzede´kekkel ke´s˝ obbi matematikusoknak is igen sok fejfa´ja´st okozott. A mai matematikus, aki az absztrakt minta´zatok tudoma´nya´val foglalkozik, a differencia´la´sban tetten e´rhet˝ o geometriai e´s numerikus minta´zatokkal, csaku ´ gy, mint a folytonos ko ¨zelı´te´s eszme´je´vel meghitt viszonyban van – a tizenhetedik sza´zadban azonban kora´ntsem ez volt a helyzet. Me´g Newtonnak e´s Leibniznek sem sikeru ¨ lt kiele´gı´t˝ oen precı´z forma´ban kifejteni elme´letu ¨ ket, amit e´les hangu ´ kritikusok nem is mulasztottak el szo ´va´ tenni. A neves angol filozo ´fus, Berkeley pu ¨ spo ¨k pe´lda´ul

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

114

A matematika mozga´sba lendu ¨l

1734-ben ro ¨vid kis pamfletet adott ki, amelyben e´leselme´j˝ uen mutatott ra´ az analı´zis elme´lete´nek alapjaiban megmutatkozo ´ fogalmi z˝ urzavarra. Leibniz a dx e´s dy mennyise´gek „jelente´se´nek” meghata´roza´sa sora´n a „ve´gtelenu ¨ l” vagy „meghata´rozatlanul kicsi” kifejeze´seket haszna´lta. Mikor ra´do ¨bbent, hogy ezzel nem tudja to ¨ke´letesen megvila´gı´tani a proble´ma´t, o ¨nmaga (e´s mindenki) megnyugtata´sa´ra leszo ¨gezte: Ba´rki nyugodtan gondolhatja u ´ gy, hogy effe´le mennyise´gek le´teze´se egyszer˝ uen lehetetlen, szempontunkbo ´l to ¨ke´letesen elegend˝ o, ha elismeri, hogy a sza´mı´ta´sok elve´gze´se´ben jo ´ hasznukat vesszu ¨ k. Newton az olyan kifejeze´sek haszna´lata´t, mint amilyen a „ve´gtelen kicsiny” menynyise´g, igyekezett elkeru ¨ lni, ehelyett a fluxio ´kat „elt˝ un˝ o mennyise´gek ha´nyadosake´nt” hata´rozta meg. Berkeley riposztja:5 ´ s mik De mik ezek a fluxio ´k? Az elt˝ un˝ oben lev˝ o no ¨vekme´nyek sebesse´gei? E ezek az elt˝ un˝ oben lev˝ o no ¨vekme´nyek? Se nem ve´ges mennyise´gek, se nem ve´gtelenu ¨ l kicsinyek, me´g csak nem is semmik. Mi ma´sok lenne´nek teha´t, mint a kimu ´ lt mennyise´gek kı´se´rtetei? Ha Newton e´s Leibniz megko ¨zelı´te´se´t statikusan e´rtelmezzu ¨ k, s a h-t kicsiny, de ve´ges, ro ¨gzı´tett mennyise´gnek gondoljuk, akkor Berkeley ellenvete´se to ¨ke´letesen helye´nvalo ´. Amennyiben azonban h-t va´ltozo ´ mennyise´gnek tekintju ¨ k, s a folytonos ko ¨zelı´te´s menete´re o ¨sszpontosı´tjuk figyelmu ¨ nket, akkor e´rve´nek ereje ro ¨gvest szertefoszlik. Ehhez azonban ki kell dolgoznunk a va´ltozo ´ mennyise´gek precı´z matematikai elme´lete´t, ami sem Newtonnak, sem Leibniznek nem sikeru ¨ lt. A hata´re´rte´k fogalma´nak megragada´sa e´s jelent˝ ose´ge´nek felismere´se a francia Augustin-Louis Cauchy e´rdeme, s erre ege´szen 1821-ig va´rni kellett, a precı´z, forma´lis definı´cio ´kat pedig tova´bbi hosszu ´ e´vek eltelte´vel mondta csak ki a ne´met Karl Weierstrass. Ekkorra viszont az elme´let ma´r ke´t e´vsza´zados sikersorozatot tudhatott maga mo ¨go ¨tt. Ko ¨vetkez˝ o fejezetu ¨ nkben egyre´szt arra keresu ¨ nk va´laszt, mie´rt va´ratott maga´ra annyi ideig az elme´let szigoru ´ megalapoza´sa, ma´sre´szt arra, hogy mike´nt lehetett az analı´zist olyan sze´les ko ¨rben e´s olyan hate´konyan haszna´lni – ane´lku ¨ l, hogy szigoru ´ , logikailag biztos alapokra helyezte´k volna.

5 ‘Az analiza ´lo ´’, in: Tanulma´ny az emberi megismere´s alapelveir˝ ol ´es ma´s ´ıra´sok. Budapest, Gondolat, 1985. (Ford.: Fehe´r Ma´rta)

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az alapok kerese´se

115

Az alapok kerese ´se Mind Newton, mind Leibniz megla´ta´sa helyes volt: mindketten a folytonos ko ¨zelı´te´s mo ´dszere´nek dinamika´ja´t tartotta´k szem el˝ ott. A Principia´ban Newton ma´r a logikailag korrekt megfogalmaza´shoz is ko ¨zel keru ¨ lt: A szo ´ban forgo ´ ha´nyadosok, amelyben a mennyise´gek ve´geredme´nyben elt˝ unnek, szigoru ´ an ve´ve nem valo ´di mennyise´gek ha´nyadosai, sokkal inka´bb tekinthet˝ ok olyan hata´re´rte´knek, amelyhez e valo ´di ha´nyadosok tartanak, mid˝ on a bennu ¨ k szerepl˝ o mennyise´gek minden hata´ron tu ´ l egyre kisebbek lesznek. Ma´s szo ´val, ahhoz, hogy – mondjuk – az x2 fu ¨ ggve´ny deriva´ltja´t meghata´rozzuk, azt kell mega´llapı´tanunk, mi to ¨rte´nik a (2xh + h2 )/h ha´nyadossal, amennyiben ´ jfent h e´rte´ke tart a 0-hoz, ennek sora´n azonban nem tehetju ¨ k fel, hogy h = 0. (U emle´keztetu ¨ nk arra, hogy a 2x + h kifejeze´shez vezet˝ o egyszer˝ usı´te´s csak akkor ve´gezhet˝ o el, ha h = 0.) Azonban sem Newton, sem Leibniz, s˝ ot, ege´szen Cauchy e´s Weierstrass szı´nre le´pe´se´ig senki sem tudott precı´z matematikai definı´cio ´t adni a hata´re´rte´k do ¨nt˝ o jelent˝ ose´g˝ u fogalma´ra. Ennek oka´t abban kell keresnu ¨ nk, hogy nem voltak ke´pesek elegend˝ o nagy le´pe´st tenni visszafele´, a va´ltoza´s dinamika´ja´to ´l a matematika szelleme´hez ko ¨zelebb ´allo ´ statikus minta´zatok fele´. A matematika ugyanis me´g az alapvet˝ oen dinamikus mozga´sminta´zatokat is a maga statikus eszko ¨zrendszere´vel ragadja meg. Newton a bolygo ´k mozga´sa´t is „statikus” kifejeze´sekkel adta meg, mint amilyen pe´lda´ul az r = t2 . A „dinamikus” minta´zatot teha´t egy fu ¨ ggve´ny „statikus” hozza´rendele´si szaba´lya reprezenta´lja. Az analı´zis megalapoza´sa´hoz ugyanezt a „statikussa´ te´telt” a hata´re´rte´k fogalma´val is ve´gig kellett vinni. A folytonos ko ¨zelı´te´s, amelynek sora´n h cso ¨kkene´se´vel a (2xh + h2 )/h ha´nyados e´rte´ke egyre pontosabban adja meg az x pontbeli e´rint˝ o meredekse´ge´t, a matematika jo ´l beva´lt, statikus eszko ¨zeivel is definia´lhato ´. A ve´gs˝ o, helyes megfogalmaza´s Weierstrass e´rdeme. Legyen adott egy f(h) fu ¨ ggve´ny (pe´lda´nkban ennek hozza´rendele´si szaba´lya (2xh + h2 )/h, amely kifejeze´sben h-t tekintju ¨ k a va´ltozo ´nak, x-et viszont adott ´allando ´ mennyise´gnek). Azt, hogy az L sza´m (esetu ¨ nkben 2x) az f(h) fu ¨ ggve´ny ¨vetkez˝ oke´ppen definia´lta: hata´re´rte´ke, amennyiben h tart 0-hoz, Weierstrass a ko Tetsz˝ oleges ε > 0 sza´mhoz megadhato ´ olyan δ > 0, hogy amennyiben 0 < |h| < δ, u ´ gy |f(h) − L| < ε. Ha a kedves Olvaso ´nak e definı´cio ´hoz mindezida´ig nem volt szerencse´je, nem valo ´szı´n˝ u, hogy ke´pes megfejteni a jelente´se´t. Elve´gre a professziona´lis matematikusoknak is mintegy ke´t e´vsza´zados fejto ¨re´sbe keru ¨ lt, mı´g e – ko ¨rmo ¨nfontnak t˝ un˝ o – megfogalmaza´shoz eljutottak. Mindenekel˝ ott arra hı´vjuk fel a figyelmet, hogy a definı´cio ´ ma´r nem utal semmife´le dinamikus jelleg˝ u folyamatra: mindo ¨ssze egy specia´lis tulajdonsa´gu ´ δ sza´m le´teze´se´t mondja ki. Le´nyege´t tekintve a

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

116

A matematika mozga´sba lendu ¨l

do ¨nt˝ o le´pe´s ugyanaz, amit ma´r maga Newton is megtett, mid˝ on a mozga´s minta´zatait fu ¨ ggve´nyek segı´tse´ge´vel reprezenta´lta: egyszer˝ uen olyan kifejeze´seket ´rt ı fel, amelyekben a – statikus – t va´ltozo ´ szerepel. Hasonlo ´an: Weierstrass a h mennyise´get va´ltozo ´ke´nt te´telezve a hata´re´rte´k fogalma´t – teha´t a folytonos ko ¨zelı´te´s gondolata´t – egy h-t tartalmazo ´ formula´val ragadta meg. Ha Newton a t-, akkor Weierstrass a h-minta´zat felfedez˝ oje. Cauchy, aki kidolgozta a hata´re´rte´k fogalma´nak ´atfogo ´ elme´lete´t, me´g a re´gi va´ga´su ´ , dinamikus e´rtelmeze´st ko ¨vette, munka´ssa´ga´nak jelent˝ ose´ge e´ppen abban keresend˝ o, hogy valamennyi fontosabb definı´cio ´t a hata´re´rte´k fogalma´ra vezette vissza. (Ez uto ´bbi tiszta´za´sa Weierstrass e´rdeme.) De vajon mi az oka, hogy ezt az utolso ´ le´pe´st sem Newton, sem Leibniz, de me´g Cauchy sem tudta megtenni? Mindha´rom nagy matematikus to ¨ke´letes biztonsa´ggal haszna´lta a va´ltozo ´kat a mozga´sok, s a va´ltozo ´kat tartalmazo ´ kifejeze´seket a mozga´sok minta´zatainak leı´ra´sa´ra. A va´lasz ma´sutt keresend˝ o: azon absztrakt objektumok ko ¨re´nek, amelyeket a fejl˝ ode´s egy adott szintje´n az emberi elme o ¨na´llo ´ entita´ske´nt ke´pes kezelni, szigoru ´ korla´tai vannak. Newton e´s Leibniz kora´ban ma´r az is nagy el˝ orele´pe´snek sza´mı´tott, hogy ke´pesek voltak a fu ¨ ggve´nyeket – nem dinamikus folyamatke´nt, hanem – befejezett, statikus objektumokke´nt kezelni. Az e´rint˝ o egyre pontosabb megko ¨zelı´te´se´nek folyamata, mint o ¨na´llo ´, absztrakt, le´tez˝ o – ez ma´r tu ´ l sok volt! Ehhez hosszu ´ id˝ ore volt szu ¨ kse´g, mialatt az elme´let technika´ja folyamatos fejl˝ ode´sen ment keresztu ¨ l. A nagy matematikusok ku ¨ lo ¨nleges szellemi teljesı´tme´nyekre ˝k is csak emberek, az ´arnye´kukon o ˝k sem tudnak ´atle´pni. A kognitı´v ke´pesek: de o fejl˝ ode´s korszakos le´pe´seihez valo ´ban korszakoknak kell eltelni. Mivel alapvet˝ o megla´ta´saik to ¨ke´letesen helyta´llo ´ak voltak, Newton e´s Leibniz keze´ben a differencia´lsza´mı´ta´s megbı´zhato ´ e´s hate´kony eszko ¨zze´ va´lt. A siker kulcsa, isme´telju ¨ k meg, abban keresend˝ o, hogy a fu ¨ ggve´nyeket o ¨na´llo ´, absztrakt objektumokke´nt kezelte´k, nem csupa´n sza´mı´ta´sokban felhaszna´lando ´ utası´ta´sokke´nt. A folytonos ko ¨zelı´te´s mo ´dszere´b˝ ol ered˝ o minta´zatokat helyesen ismerte´k fel, e´s ra´juk hagyatkozva pontos mo ´dszereket sikeru ¨ lt kidolgozniuk – ´am hogy maga´ra a ko ¨zelı´te´s folyamata´ra, mint o ¨na´llo ´ matematikai minta´zatra tekintsenek, ˝ korukban me´g nem e´rett meg az id˝ arra az o o. Differencia ´ lsza ´ mı´ta ´s Mint az el˝ oz˝ o fejezetben la´ttuk, a differencia´la´s m˝ uvelete adja kezu ¨ nkbe azt az eszko ¨zt, amelynek segı´tse´ge´vel egy go ¨rbe´t meghata´rozo ´ kifejeze´s alapja´n fel tudjuk ´rni ı a go ¨rbe e´rint˝ oje´nek meredekse´ge´t megado ´ kifejeze´st. (Az elneveze´s a latin differentia (ku ¨lo ¨nbse´g) szo ´bo ´l ered, amely a deriva´lt kisza´mı´ta´sa´nak menete´t jelzi: dy e´s dx a szo´ban forgo´ mennyise´gek y, illetve x ira´nyu ´ ku ¨ lo ¨nbse´geit jelo ¨lik.) Az e´rint˝ o meredekse´ge´t megado ´ fu ¨ ggve´nyt a szo ´ban forgo ´ fu ¨ ggve´ny deriva´ltja´nak nevezzu ¨ k.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Differencia´lsza´mı´ta´s

117

Pe´lda´nkban az x2 fu ¨ ggve´ny deriva´ltja a 2x, x3 -e´ a 3x2 fu ¨ ggve´ny, az ´altala´nos n n−1 ke´plet pedig a ko ¨vetkez˝ o: az x fu ¨ ggve´ny deriva´ltja: nx . Leibniz e´s Newton a bonyolultabb fu ¨ ggve´nyek deriva´ltja´nak kisza´mı´ta´sa´ra ko ¨nnyede´n haszna´lhato ´ szaba´lyokat is kidolgoztak. Az elme´let az elko ¨vetkez˝ o e´vsza´zadokban sza´mos teru ¨ leten e´rt el sikereket, az alapjait illet˝ o fogalmi z˝ urzavar ellene´re. Mindenki tudta, mit kell tenni, ba´r nem tudta´k, mie´rt is m˝ uko ¨dik. Ugyanezt az e´lme´nyt a ta´rggyal el˝ oszo ¨r ismerked˝ o dia´kok nemzede´kei u ´ jra e´s u ´ jra megtapasztalja´k. A szo ´ban forgo ´ szaba´lyokat a modern terminolo ´gia´t e´s jelo ¨le´srendszert haszna´lva a legko ¨nnyebb bemutatni, a fu ¨ ggve´nyeket f(x) e´s g(x), deriva´ltjukat f  (x) e´s g  (x) jelo ¨li. Ha f(x) az x5 fu ¨ ggve´ny, akkor deriva´ltja f  (x) = 5x5−1 = 5x4 . Els˝ o pe´lda´nk arra vonatkozik, amikor fu ¨ ggve´nyu ¨ nk A · f(x) alaku ´ , ahol A adott (a´llando ´) sza´m. A deriva´lt ekkor az f  (x) deriva´lt A-szorosa, teha´t Af  (x). A 41x2 fu ¨ ggve´ny deriva´ltja teha´t 41 · 2x = 82x.

Ko ¨vetkez˝ o szaba´lyunk az f(x) + g(x) alaku ´ fu ¨ ggve´nyekre vonatkozik: a ke´t (vagy to ¨bb) fu ¨ ggve´ny o ¨sszegeke´nt felı´rhato ´ fu ¨ ggve´ny deriva´ltja a deriva´ltak o ¨ssze3 2 2 ge; az x + x fu ¨ ggve´ny deriva´ltja teha´t: 3x + 2x. Hasonlo ´ szaba´ly vonatkozik az f(x) − g(x) alaku ´ fu ¨ ggve´nyekre is. Fenti szaba´lyaink alapja´n ma´r tetsz˝ oleges polinomfu ¨ ggve´ny deriva´ltja´t ki tudjuk sza´mı´tani, ezek ugyanis x hatva´nyok ´allando ´szorosainak o ¨sszegeke´nt ´rhato ı ´k fel. Egy pe´lda: 5x6 − 8x5 + x2 + 6x deriva´ltja 30x5 − 40x4 + 2x + 6. A pe´lda´ban szerepl˝ o 6x mege´rdemel egy megjegyze´st. E fu ¨ ggve´ny deriva´ltja az x fu ¨ ggve´ny deriva´ltja´nak 6-szorosa. Az x deriva´ltja´nak kisza´mı´ta´sa´hoz azt a szaba´lyt alkalmazzuk, mely szerint az xn fu ¨ ggve´ny deriva´ltja nxn−1 . x ma´ske´pp 1 1−1 0 x , deriva´ltja enne´lfogva 1x , azaz 1x . Tudjuk azonban, hogy ba´rmely sza´m 0-dik hatva´nya 1, az x fu ¨ ggve´ny deriva´ltja enne´lfogva az azonosan 1 fu ¨ ggve´ny. El˝ ofordul az is, hogy valamely ´allando ´ sza´m, mondjuk a 11 deriva´ltja´t kell kisza´mı´tanunk, pe´lda´ul az x3 − 6x2 − 4x + 11 deriva´ltja´nak meghata´roza´sakor. A deriva´la´s, mint tudjuk, nem sza´mokra, hanem kiza´ro ´lag fu ¨ ggve´nyekre alkalmazhato ´ m˝ uvelet, amikor teha´t 11 deriva´ltja´t keressu ¨ k, nem sza´mke´nt, hanem fu ¨ ggve´nyke´nt kell tekintenu ¨ nk, amely minden sza´mhoz a 11-et rendeli (az ilyen fu ¨ ggve´nyeket nevezik konstans fu ¨ ggve´nynek). A gondolat furcsa´nak t˝ unhet, a geometriai szemle´let azonban sokat segı´t: e fu ¨ ggve´ny grafikonja egy x tengellyel pa´rhuzamos, atto ´l 11 egyse´g ta´volsa´gra halado ´ egyenes. Ezen egyenes e´rint˝ oje´nek meghata´roza´sa´hoz pedig nincs is szu ¨ kse´gu ¨ nk a differencia´lsza´mı´ta´sra: az e´rint˝ o (is) vı´zszintes, meredekse´ge nem lehet ma´s, csak 0. Az ´altala´nos szaba´ly teha´t: konstans fu ¨ ggve´ny deriva´ltja az azonosan 0 fu ¨ ggve´ny. Cauchy hata´re´rte´kelme´lete to ¨bbek ko ¨zo ¨tt az ime´nt ismertetett szaba´lyok szigoru ´ bizonyı´ta´sa´t ce´lozta. Mı´g az ´allando ´val valo ´ szorza´sra e´s a ke´t fu ¨ ggve´ny o ¨sszege´re (illetve ku ¨ lo ¨nbse´ge´re) vonatkozo ´ szaba´lyok meglehet˝ osen egyszer˝ uek, a

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

118

A matematika mozga´sba lendu ¨l

szorza´s esete´ben a differencia´la´s minta´zata ma´r kisse´ bonyolultabb. Az f(x)g(x) fu ¨ ggve´ny deriva´ltja:

f(x)g  (x) + f  (x)g(x). Az (x2 + 3)(2x3 − x2 ) fu ¨ ggve´ny deriva´ltja pe´lda´ul az

(x2 + 3)(6x2 − 2x) + (2x + 0)(2x3 − x2 ) fu ¨ ggve´ny. A trigonometrikus fu ¨ ggve´nyek deriva´ltjai u ´ jfent viszonylag egyszer˝ u minta´zatokat ko ¨vetnek: sin x deriva´ltja cos x, a cos x deriva´ltja − sin x, tg x-e´ pedig 1/(cos x)2 . Enne´l is egyszer˝ ubb az exponencia´lis fu ¨ ggve´ny deriva´la´sa. ex deriva´ltja nem x ma´s, mint maga az e , fu ¨ ggve´nyu ¨ nk teha´t a ko ¨vetkez˝ o egyedu ¨ la´llo ´ tulajdonsa´ggal rendelkezik: e´rint˝ oje´nek meredekse´ge´t minden egyes x helyen maga a fu ¨ ggve´nye´rte´k adja meg. A szinusz, a koszinusz e´s az exponencia´lis fu ¨ ggve´ny deriva´ltja´t u ´ gy kaphatjuk meg, hogy az ezeket definia´lo ´ ve´gtelen sorokat tagonke´nt deriva´ljuk, mintha ve´ges polinomok lenne´nek, a kedves Olvaso ´, ha kedve tartja, ezen a mo ´don ellen˝ orizheti is az el˝ oz˝ o bekezde´sek eredme´nyeit. Ma´s esetekben elke´l ne´mi o ´vatossa´g: e mo ´dszer valamennyi ´gy ı definia´lt fu ¨ ggve´nyre nem m˝ uko ¨dik. ´ logaritmusfu ¨ ggve´ny deriva´ltja az 1/x fu ¨ ggve´ny. Az ln x terme´szetes alapu Vesze ´lyes-e a suga ´ rza ´ s? Az 1986-os csernobili nuklea´ris balesetet ko ¨vet˝ oen a le´gko ¨rbe sza´mottev˝ o mennyise´g˝ u radioaktı´v anyag keru ¨ lt. A hato ´sa´gok a lakossa´g megnyugtata´sa´ra ko ¨zo ¨lte´k: a le´gko ¨ri radioaktivita´s me´rte´ke a ko ¨rnyez˝ o teru ¨ leteken sehol sem haladja meg a katasztro ´fa´val fenyeget˝ o szintet. De milyen alapon vonta´k le ezt a ko ¨vetkeztete´st? S egya´ltala´n, mike´nt lehet a radioaktivita´s szintje´t jo ´ el˝ ore megjo ´solni, hogy a megfelel˝ oo ´vinte´zkede´sekre, s ha szu ¨ kse´ges, a lakossa´g kitelepı´te´se´re elegend˝ o id˝ o ´alljon rendelkeze´sre? A megolda´s: meg kell oldani egy differencia´legyenletet, olyan egyenletet teha´t, amelyben fu ¨ ggve´nyek deriva´ltjai is szerepelnek. Esetu ¨ nkben a le´gko ¨ri radioaktivita´s me´rte´ke´t keressu ¨ k, a baleset uta´n t id˝ o eltelte´vel. Nyilva´nvalo ´, hogy a minta´zatot egy M(t) fu ¨ ggve´ny adja meg, elve´gre id˝ oben va´ltozo ´ mennyise´gr˝ ol van szo ´. A vizsga´lo ´da´s kezdete´n e fu ¨ ggve´ny me´g nem ismert el˝ ottu ¨ nk. A folyamat fizikai elme´lete mindazona´ltal rendelkeze´su ¨ nkre ´all: eszerint a radioaktı´v anyag no ¨vekede´se´nek u ¨ teme, teha´t a dM/dt e´rte´k ha´rom te´nyez˝ o fu ¨ ggve´nye. Az els˝ o maga az M e´rte´k, a ma´sodik a le´gko ¨rbe keru ¨ lt radioaktı´v anyag k mennyise´ge, a harmadik pedig egy r fizikai ´allando ´, amely az adott anyag bomla´sa´nak sebesse´ge´t jellemzi. E mennyise´gek kapcsolata´t a

dM rk = dt r−M

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Vesze´lyes-e a suga´rza´s?

119

differencia´legyenlet ´rja ı le. Az egyenlet megolda´sa a felte´telnek eleget tev˝ o M(t) fu ¨ ggve´ny megkerese´se´t jelenti; az egyenlett˝ ol fu ¨ gg˝ oen lehet, hogy van megolda´s, de az is el˝ ofordulhat, hogy nincs. A pe´lda´nkban szerepl˝ o egyenlet az el˝ obbi tı´pusba tartozik, s a megolda´s nem is tu ´ l bonyolult:

M(t) =

k . r(1 − e−rt )

Ha egy pillanta´st vetu ¨ nk e fu ¨ ggve´ny grafikonja´ra (a 3.6. ´abra´n la´thato ´ grafikonok ko ¨zu ¨ l az els˝ o), azt la´tjuk, hogy a kezdeti meredek emelkede´s uta´n a no ¨vekede´s u ¨ teme lelassul, s egyre jobban ko ¨zelı´t a k/r – ´allando ´ – hata´re´rte´khez. A legmagasabb szint, amelyet M valaha is ele´rhet, nem lehet teha´t k/r-ne´l to ¨bb. Ugyanilyen tı´pusu ´ differencia´legyenlettel nemcsak a radioaktı´v bomla´s leı´ra´sa sora´n tala´lkozunk: ilyen Newton leh˝ ule´si to ¨rve´nye a fizika´ban, a Hull-fe´le tanula´si minta´zat a pszicholo ´gia´ban, az infu ´ zio ´val a ve´rbe keru ¨ lt anyagok mennyise´ge´t leı´ro ´ to ¨rve´ny az orvostudoma´nyban, de ugyanilyen alaku ´ ak a to ¨megme´dia ´altal bele´nk sulykolt informa´cio ´ terjede´se´t vagy – hogy ko ¨zgazdasa´gi pe´lda´kat is emlı´tsu ¨ nk – az e´rte´kcso ¨kkene´st, az u ´ j terme´kek elada´sa´nak sikeresse´ge´t vagy az u ¨ zleti no ¨vekede´st leı´ro ´ to ¨rve´nyek. Az ´altala´nos minta´zat – valamely mennyise´g folya-

3.6. a ´ bra. Ne´gy ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o alaku ´ differencia´legyenlet megolda´sa.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

120

A matematika mozga´sba lendu ¨l

matosan no ¨vekszik, s egyre jobban megko ¨zelı´t egy maxima´lis e´rte´ket – a korla´tos no ¨vekede´s minta´zata. Differencia´legyenletekkel teha´t olyankor tala´lkozunk, amikor valamely menynyise´g va´ltoza´sa´nak u ¨ teme´t egyenlettel tudjuk kifejezni. A va´ltoza´snak felte´tlenu ¨l folytonosnak kell lennie, ez le´nyege´ben annyit jelent, hogy a szo ´ban forgo ´ fu ¨ ggve´ny va´ltozo ´ mennyise´ge´t valo ´s sza´mokkal reprezenta´lhatjuk. Az e´letben sza´mos folyamat apro ´, egyma´sto ´l jo ´l elku ¨ lo ¨nı´thet˝ o, diszkre´t va´ltoza´sok sorozata, me´gis, mivel az ege´szhez viszonyı´tva ezen apro ´ le´pe´sek elhanyagolhato ´ me´rte´k˝ uek, ilyenkor nem tu ´ l nagy er˝ oszak, ha a va´ltoza´st ege´sze´ben ve´ve folytonosnak tekintju ¨ k. Ra´ada´sul e felteve´s ma´r elegend˝ o ahhoz, hogy a szo ´ban forgo ´ minta´zat leı´ra´sa´hoz a differencia´lsza´mı´ta´s teljes arzena´lja´t csatasorba ´allı´thassuk. Ma´s tı´pusu ´ va´ltoza´sokat ma´s tı´pusu ´ differencia´legyenletek ´rnak ı le. A

dP = rP dt egyenlet a korla´tlan no ¨vekede´s minta´zata´t ´rja ı le, amelyben P(t) valamely popula´cio ´ t id˝ opontbeli nagysa´ga, r pedig e popula´cio ´ no ¨vekede´se´nek u ¨ teme. Az egyenlet megolda´sa a P(t) = Mert fu ¨ ggve´ny, ahol M a popula´cio ´ kezdeti nagysa´ga´t adja meg, s amelynek grafikonja´t a 3.6. ´abra´n baloldalt alul la´thatjuk. Ro ¨vid ta´von az ´allati popula´cio ´k no ¨vekede´se´t, a ja´rva´nyok terjede´se´t, a ra´kos sejtek burja´nza´sa´t s az infla´cio ´t is ilyen forma´ju ´ to ¨rve´nyek ´rja ı ´k le. Hosszabb ta´von valo ´szı´n˝ ubb az ala´bbi differencia´legyenlet szerinti ke´sleltetett no ¨vekede´s: dP = rP(L − P). dt A megolda´s

P(t) =

ML ; M + (L − M)e−Lrt

mint a 3.6. ´abra jobb fels˝ o grafikonja´n is la´thato ´, az M kezdeti e´rte´kr˝ ol a fu ¨ ggve´ny el˝ oszo ¨r lassan, majd egyre gyorsabban ko ¨zelı´t az L e´rte´khez, s ahogy az id˝ o tova´bb telik, a no ¨vekede´s u ¨ teme megint fokozatosan lelassul. Ve´gu ¨l a

dP = −rP dt egyenlet ´altal megragadott minta´zat a korla´tlan elfogya´s minta´zata, az egyenlet megolda´sa P(t) = Me−rt .

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Hulla´mok, melyeken a popzene hajo ´zik

121

A radioaktı´v bomla´s e´s bizonyos terme´szetes er˝ oforra´sok fogya´sa is ezt ko ¨veti; a grafikon szinte´n a 3.6. ´abra´n la´thato ´. A fentiekne´l bonyolultabb differencia´legyenletekben a deriva´ltak deriva´ltjai, az u ´ gynevezett ma´sodik deriva´ltak is megjelennek. Ilyenekkel kiva´lt a fizika tudoma´nya´ban tala´lkozunk. A differencia´legyenletek megolda´sa´ra a matematika egy o ¨na´llo ´ ´aga szakosodott. Azokban az esetekben, amikor a hagyoma´nyos mo ´dszerekkel nem ´rhato ı ´ fel a pontos megolda´s, sza´mı´to ´ge´pes mo ´dszereket ige´nybe ve´ve pro ´ba´lja´k azt grafikusan vagy numerikusan va´zolni. Mivel differencia´legyenletekkel az e´let szinte valamennyi teru ¨ lete´n tala´lkozunk, a matematika ezen ´aga az emberise´g ege´sze´nek szempontja´bo ´l ku ¨ lo ¨nleges jelent˝ ose´ggel bı´r. Ve´gte´re is, ezek az egyenletek az e´let alapvet˝ o jelense´geit ragadja´k meg: a no ¨vekede´st, a fejl˝ ode´st e´s az elmu ´ la´st. Hulla ´ mok, melyeken a popzene hajo ´ zik Mid˝ on napjaink valamely divatos zenekara szintetiza´tormuzsika´val ho ´dı´t, feltehet˝ oen sem a rajongo ´k, sem maguk a zene´szek nincsenek tudata´ban annak, hogy a ge´p ´altal kibocsa´tott hang mo ¨go ¨tt jeles tizennyolcadik sza´zadi euro ´pai matematikusok eredme´nyei ´allnak. A szintetiza´tor, vagyis a sza´mı´to ´ge´p, amely az egyszer˝ u rezg˝ oko ¨ro ¨kkel kelthet˝ o hangokbo ´l bonyolult, o ¨sszetett hangza´sokat ke´pes el˝ o´allı´tani, a legu ´ jabb id˝ ok technika´ja´t haszna´lja ugyan, ´am m˝ uko ¨de´se´nek matematikai alapjai ma´r re´go ´ta ismertek, s ezek az alapok a differencia´lsza´mı´ta´s e´s a ve´gtelen sorok elme´lete´nek eredme´nyein nyugszanak. Az diszciplı´na neve Fourier-analı´zis, kidolgozo ´i pedig Jean d’Alembert, Daniel Bernoulli, Leonhard Euler e´s Joseph Fourier. Az elme´let nem specia´lis ve´gtelen o ¨sszegek kisza´mı´ta´sa´val, sokkal inka´bb ilyen o ¨sszegekkel megadott fu ¨ ggve´nyek vizsga´lata´val foglalkozik. Az elme´let ahhoz a megdo ¨bbent˝ o felismere´shez vezetett, hogy elegend˝ o sza´mu ´ hangvilla segı´tse´ge´vel aka´r Beethoven IX. szimfo ´nia´ja is el˝ oadhato ´ – a ko ´rusre´szlettel egyu ¨ tt. (Gyakorlatilag terme´szetesen igen sok hangvilla´ra lenne szu ¨ kse´gu ¨ nk, hogy a re´z- e´s fafu ´ vo ´sok, a vono ´sok, az u ¨ t˝ oso ¨k e´s az e´nekesek keltette hangot to ¨ke´letesen uta´nozni tudjuk – az elvi lehet˝ ose´g mindenesetre fenna´ll.)

3.7. a ´ bra. Fent: Tipikus hanghulla´m. Lent: Szinuszos hulla´m.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

122

A matematika mozga´sba lendu ¨l

3.8. a ´ bra. Az also ´ hulla´m a fels˝ o ha´rom o ¨sszeada´sa´nak eredme´nye.

Bizonyı´thato ´ ugyanis, hogy tetsz˝ oleges hanghulla´m (mint pe´lda´ul az, amelyik a 3.7. ´abra fels˝ o re´sze´n la´thato ´), s˝ ot, ba´rmely tı´pusu ´ hulla´m el˝ o´allı´thato ´ szinuszhulla´mok (tiszta hulla´mforma´k, egy ilyen la´thato ´ a 3.7. ´abra also ´ re´sze´n) ve´gtelen sorake´nt. (A hangvilla´k ´altal keltett hang e´ppen ilyen szinuszhulla´m.) A 3.8. ´abra fels˝ o re´sze´n la´thato ´ ha´rom szinuszhulla´m egyu ¨ ttese pe´lda´ul az alattuk elhelyezked˝ oo ¨sszetett hulla´mforma´t eredme´nyezi. A pe´lda kive´telesen egyszer˝ u: a gyakorlatban ´altala´ban igen nagy sza´mu ´ – el˝ ofordulhat, hogy ve´gtelen sok – szinuszos komponens szu ¨ kse´ges ahhoz, hogy egy adott hulla´mforma´t reproduka´ljunk. A szo ´ban forgo ´ te´telt, amely megadja, mike´nt lehet egy hulla´mforma´t szinuszok o ¨sszegeke´nt el˝ o´allı´tani, Fourier te´teleke´nt tartjuk sza´mon. A te´tel minden periodikus fu ¨ ggve´nyre e´rve´nyes, azokra a fu ¨ ggve´nyekre teha´t, amelyeknek e´rte´kei adott id˝ o eltelte´vel u ´ jra e´s u ´ jra visszate´rnek. Pe´lda´ul egy y(t) periodikus fu ¨ ggve´ny, amely id˝ oben va´ltozo ´ mennyise´get ´r ı le, s amelynek e´rte´kei szaba´lyos egyma´suta´nban ma´sodpercenke´nt sza´zszor isme´tl˝ odnek, esetleg a ko ¨vetkez˝ o alakban ´rhato ı ´ fel:

y(t) = 4 sin 200πt + 0,1 sin 400πt + 0,3 sin 600πt + . . . A jobb oldali o ¨sszeg ve´ges e´s ve´gtelen egyara´nt lehet. Az id˝ ot jelo ¨l˝ o t va´ltozo ´t valamennyi tagban a frekvencia 2π-szerese´vel kell megszorozni. Az els˝ o tag az alaphang (alapharmonikus), ennek frekvencia´ja´t (esetu ¨ nkben a 100-at) nevezzu ¨k alapfrekvencia´nak. A ko ¨vetkez˝ o tagok a felhangok (felharmonikusok), amelyeknek frekvencia´i az alapfrekvencia to ¨bbszo ¨ro ¨sei. A hulla´m alakja a tagok egyu ¨ tthato ´ito ´l (4; 0,1; 0,3 stb.) fu ¨ gg, s ezek – az analı´zis ku ¨ lo ¨nfe´le eszko ¨zeire ta´maszkodo ´ ¨ ggve´ny Fourier-analı´zise´nek feladata. – megtala´la´sa az y(t) fu Fourier te´tele szerint tetsz˝ oleges hulla´mfu ¨ ggve´ny, legyen ba´r me´goly bonyolult, fele´pı´thet˝ o egyszer˝ u, tiszta, szinuszos hulla´mminta´zatokbo ´l. Az igazsa´ghoz tartozik, hogy Fourier a te´telt nem bizonyı´totta be: kimondta az eredme´nyt, s megpro ´ba´lt az igazsa´ga mellett e´rvelni, argumentuma azonban nem tekinthet˝ o valo ´di bizonyı´ta´snak. A matematikusok a te´telt me´gis ro ´la nevezte´k el, elismerve ezzel, hogy a legjelent˝ osebb le´pe´s a minta´zat azonosı´ta´sa volt.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

¨ sszea´ll-e a ke´p az apro O ´ re´szletekb˝ ol?

123

¨ sszea O ´ ll-e a ke ´p az apro ´ re ´szletekb˝ ol? A differencia´lsza´mı´ta´s fejl˝ ode´se meglep˝ o felfedeze´shez vezetett: kideru ¨ lt, hogy a deriva´la´s minta´zatai le´nyegu ¨ ket tekintve azonosak a teru ¨ let- e´s te´rfogatsza´mı´ta´si minta´zatokkal. Pontosabban, a teru ¨ let- e´s te´rfogatsza´mı´ta´s a differencia´lsza´mı´ta´s inverz m˝ uvelete´n alapul. A csoda´latos felfedeze´s eredme´nye egy vadonatu ´ j matematikai tudoma´nya´g, az integra´lsza´mı´ta´s megszu ¨ lete´se. Te´glalapok teru ¨ lete´nek vagy egy kocka te´rfogata´nak kisza´mı´ta´sakor egyszer˝ uen csak o ¨sszeszorozzuk a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ira´nyu ´ kiterjede´seket: a hosszu ´ sa´got, a sze´lesse´get e´s a magassa´got. De mike´nt hata´rozzuk meg a go ¨rbe vonallal hata´rolt alakzatok teru ¨ lete´t, vagy a nem sı´klapokkal hata´rolt testek te´rfogata´t? Mike´ppen ´s sza´molhatjuk ki a 3.9. ´abra´n la´thato ´, parabolaı´vvel hata´rolt alakzat teru ¨ lete´t? E egy ku ´ p te´rfogata´t? Az els˝ o jelent˝ os eredme´ny terme´szetesen a go ¨ro ¨go ¨kt˝ ol sza´rmazik: a Plato ´n akade´mia´ja´n tanulo ´ Eudoxosz az ´altala kidolgozott, s a kimerı´te´s mo ´dszereke´nt sza´mon tartott elja´ra´s segı´tse´ge´vel bebizonyı´totta, hogy ba´rmely ku ´ p te´rfogata harmadre´sze a vele azonos alapu ´ e´s magassa´gu ´ henger te´rfogata´nak. A 3.10. ´abra´n is feltu ¨ ntetett eredme´ny sem trivia´lisnak, sem ko ¨nnyede´n felismerhet˝ onek nem nevezhet˝ o, felfedeze´se valo ´di matematikai ve´na´ra vall. A parabolaı´vvel hata´rolt teru ¨ let kisza´mı´ta´sa az Eudoxosz mo ´dszere´t tova´bbfejleszt˝ o Arkhime´de´sz e´rdeme. Gondolatmenete´nek le´nyege a ko ¨vetkez˝ okben foglalhato ´ o ¨ssze. A szo ´ban forgo ´ alakzatot, mint azt a 3.11. ´abra is mutatja, fu ¨ gg˝ oleges egyenesekkel keskeny sa´vokra osztjuk, a keresett teru ¨ let ekkor – a jobbe´s a balsze´len elhelyezked˝ o – ke´t ha´romszo ¨g, illetve jo ´ ne´ha´ny trape´z teru ¨ lete´nek o ¨sszege´vel ko ¨zelı´thet˝ o. E ko ¨zelı´te´s anna´l pontosabb, mine´l to ¨bb sa´vra osztjuk fel az eredeti alakzatot. A kimerı´te´s mo ´dszere abban ´all, hogy addig rajzolunk be u ´ jabb e´s u ´ jabb sa´vokat, amı´g el nem e´ru ¨ nk az ´altalunk kı´va´nt pontossa´ghoz. A mo ´dszer neve teha´t nem onnan ered, hogy Eudoxoszt igencsak kimerı´tette az egyre pontosabb ko ¨zelı´te´sek ve´gigsza´mola´sa, sokkal inka´bb abbo ´l a te´nyb˝ ol, hogy

3.9. a ´ bra. Parabolaı´v ´altal hata´rolt teru ¨ let.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

124

A matematika mozga´sba lendu ¨l

3.10. a ´ bra. A ku ´ p te´rfogata a vele azonos alapu ´ e´s magassa´gu ´ henger te´rfogata´nak harmada. amennyiben a ko ¨zelı´te´sek sora´t ve´gtelenu ¨ l folytatjuk, aka´r a kimerı´t˝ oen helyes eredme´nyhez is eljuthatunk. A parabola´k e´s ellipszisek ira´nti e´rdekl˝ ode´st tova´bb fokozta, amikor a tizenhetedik sza´zad eleje´n Johannes Kepler felfedezett ha´rom elega´ns „e´gi minta´zatot”, a bolygo ´mozga´s ro ´la elnevezett to ¨rve´nyeit: (1) a bolygo ´k a Nap ko ¨ru ¨ l ellipszis alaku ´ pa´lya´n keringenek, amely ellipszis egyik fo ´kuszpontja e´ppen a Nap; (2) a Napto ´l a bolygo ´hoz hu ´ zott suga´r a keringe´s sora´n egyenl˝ o id˝ otartamok alatt a pa´lya egyenl˝ o nagysa´gu ´ teru ¨ leteit su ´ rolja; (3) a bolygo ´pa´lya nagytengelye ko ¨be´nek e´s a keringe´si id˝ o ne´gyzete´nek ha´nyadosa valamennyi bolygo ´ esete´n ugyanakkora.

3.11. a ´ bra. A parabola alatti teru ¨ let ha´romszo ¨g, illetve trape´zteru ¨ letek o ¨sszege´vel ko ¨zelı´thet˝ o. E ko ¨zelı´te´s anna´l pontosabb, mine´l to ¨bb szeletet veszu ¨ nk figyelembe.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

¨ sszea´ll-e a ke´p az apro O ´ re´szletekb˝ ol?

125

A kor matematikusai, Galilei, Kepler e´s mindenekel˝ ott az ita´liai Cavalieri Bonaventura a teru ¨ letek e´s te´rfogatok kisza´mı´ta´sakor az oszthatatlanok mo ´dszere´t alkalmazta´k. Eszerint minden sı´kidom, illetve minden test ve´gtelen nagy sza´mu ´ oszthatatlan, „atomi” egyse´gb˝ ol e´pu ¨ l fel, amelyek egyu ¨ ttesen adja´k ki a keresett teru ¨ letet, illetve te´rfogatot. Az alapgondolatot a 3.12. ´abra szemle´lteti. A so ¨te´tebb sı´kidomok mind te´lalapok, amelyeknek a teru ¨ lete pontosan kisza´mı´thato ´, s amely teru ¨ letek o ¨sszege a parabolaı´v alatti teru ¨ let ko ¨zelı´te´se´nek tekinthet˝ o. Ha ve´gtelen sok ilyen te´glalapunk lenne, amelyek sze´lesse´ge ez esetben ve´gtelen kicsiny lenne, akkor teru ¨ letu ¨k o ¨sszege pontosan a keresett teru ¨ letet adna´ – ha effe´le ve´gtelen felbonta´st e´s o ¨sszeada´st el lehetne ve´gezni. Cavalieri 1635-ben megjelent, Geometria Indivisibilus Continuorum cı´m˝ u ko ¨nyve´ben e´ppen ilyen mo ´dszereket dolgozott ki, s alapja´ban ve´ve helyes megla´ta´sokat fogalmazott meg. S ha mindezt a Cauchy e´s Weierstrass ´altal kidolgozott hata´re´rte´k-fogalom segı´tse´ge´vel szigoru ´ alapokra helyezzu ¨ k, ma´r kezu ¨ nkben is van az integra´lsza´mı´ta´s modern elme´lete. Eudoxosz e´s Cavalieri mo ´dszere kiva´lo ´an alkalmas egy adott go ¨rbe alatti teru ¨ let kisza´mı´ta´sa´ra, az egyetlen proble´ma az, hogy a ko ¨zelı´te´sek ve´gigsza´mola´sa´t minden egyes feladatna´l elo ¨lr˝ ol kell kezdeni. A matematikusok hate´konyabb mo ´dszert kerestek, egy ´altala´nosan e´rve´nyes szaba´lyt, amelynek alapja´n egy go ¨rbe egyenlete´nek ismerete´ben azon nyomban fel tudja´k ´rni ı a go ¨rbe alatti teru ¨ let nagysa´ga´t megado ´ ke´pletet – e´ppu ´ gy, ahogy egy fu ¨ ggve´ny hozza´rendele´si szaba´lya´nak ismerete´ben egyszer˝ u deriva´la´ssal megadhatjuk az e´rint˝ o meredekse´ge´t valamennyi pontban meghata´rozo ´ ´altala´nos szaba´lyt. S itt jo ¨n az igazi meglepete´s! Az ´altala´nos mo ´dszer le´tezik, mi to ¨bb, nem ma´s, mint a deriva´la´s mo ´dszere´nek ko ¨zvetlen ko ¨vetkezme´nye. A minta´zat felismere´se´ben a do ¨nt˝ o le´pe´s ezu ´ ttal is abban ´all, hogy a hangsu ´ lyt az egyes konkre´t sza´mı´ta´si feladatokro ´l a keresett teru ¨ letet e´s te´rfogatot megado ´ fu ¨ggve´ny megtala´la´sa´ra helyezzu ¨ k.

3.12. a ´ bra. Az oszthatatlanok mo ´dszere.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

126

A matematika mozga´sba lendu ¨l

3.13. a ´ bra. A teru ¨ letfu ¨ ggve´ny.

Ne´zzu ¨ nk egy pe´lda´t teru ¨ letsza´mı´ta´sra. A 3.13. ´abra´n la´thato ´ fu ¨ ggve´ny egye´rtelm˝ uen meghata´roz egy teru ¨ letfu ¨ ggve´nyt: azt a fu ¨ ggve´nyt, amely tetsz˝ oleges x sza´mhoz hozza´rendeli az ´abra´n so ¨te´tı´te´ssel jelzett teru ¨ let nagysa´ga´t. (Az ´altala´nos szitua´cio ´ valamivel komplika´ltabb ugyan, az elv azonban le´nyege´ben ugyanaz.) Jelo ¨lje a fu ¨ ggve´nyt f(x), a teru ¨ letfu ¨ ggve´nyt pedig A(x). A feladat: f(x) ismerete´ben hata´rozzuk meg A(x)-et! A(x)-r˝ ol kezdetben semmit nem tudunk – azon kı´vu ¨ l, hogy fu ¨ ggve´ny. Ha pedig ˝ deriva´ltja? S kapaszkodjunk fu ¨ ggve´ny, akkor e´rtelmes a ke´rde´s: vajon mi az o meg: az A(x) fu ¨ ggve´ny deriva´ltja f(x), az a fu ¨ ggve´ny teha´t, amelynek grafikonja alatti teru ¨ letet maga az A(x) hata´rozza meg! E to ¨rve´ny minden bizonyos kiko ¨te´seknek eleget tev˝ o ke´plettel megadott f(x) fu ¨ ggve´nyre ´all, s maga´t az A(x) fu ¨ ggve´nyt a bizonyı´ta´shoz nem is kell ismernu ¨nk! A bizonyı´ta´s a teru ¨ letsza´mı´ta´sban e´s a deriva´la´sban megjelen˝ o ´altala´nos minta´zatokon alapul. Ne´zzu ¨ k meg, mike´nt va´ltozik az A(x) teru ¨ letfu ¨ ggve´ny e´rte´ke, ha x e´rte´ke´t egy kicsiny h mennyise´ggel megno ¨velju ¨ k. Az A(x + h) teru ¨ let – mint azt a 3.14. ´abra ¨ letre s egy jo ´ ko ¨zelı´te´ssel te´glalapnak mutatja – ke´t re´szre oszthato ´: az A(x) teru tekinthet˝ o kisebb sı´kidom teru ¨ lete´re. Ha e kisebb teru ¨ letet akarjuk kisza´molni, csak az oldalak hossza´ra van szu ¨ kse´gu ¨ nk, az ´abra alapja´n azonban nyilva´nvalo ´, hogy a vı´zszintes oldal h, a fu ¨ gg˝ oleges pedig ko ¨zelı´t˝ oleg f(x) hosszu ´ sa´gu ´ . A te´glalap teru ¨ lete teha´t ko ¨zelı´t˝ oleg h · f(x), ezzel

A(x + h) ≈ A(x) + h · f(x), ahol ≈ a „ko ¨zelı´t˝ oleg egyenl˝ o” fordulatot ro ¨vidı´ti. Egyenletu ¨ nk ne´mi ´atalakı´ta´s uta´n ekke´ppen fest:

A(x + h) − A(x) ≈ f(x). h

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

¨ sszea´ll-e a ke´p az apro O ´ re´szletekb˝ ol?

127

´ jfent csak ko U ¨zelı´t˝ o egyenl˝ ose´gr˝ ol van szo ´: elve´gre a teru ¨ letno ¨vekme´ny nem te´ m mine´l kisebb a h, ko kinthet˝ o to ¨ke´letes te´glalapnak. A ¨zelı´te´su ¨ nk anna´l pontosabb. Utolso ´ – ko ¨zelı´t˝ o – egyenl˝ ose´gu ¨ nk bal oldala minden bizonnyal ismer˝ os az e´les szem˝ u Olvaso ´nak: ez a kifejeze´s adja meg az A  (x) deriva´ltat, amennyiben h e´rte´ke 0-hoz ko ¨zelı´t. Amint teha´t h egyre kisebb, ha´rom dolog to ¨rte´nik egyszerre: az egyenl˝ ose´g egyre pontosabba´ va´lik, a bal oldal egyre jobban az A  (x) deriva´lt e´rte´ke´hez ko ¨zelı´t, a jobb oldal pedig marad f(x). A ve´geredme´ny ma´r nem ko ¨zelı´t˝ o, hanem valo ´di egyenl˝ ose´g:

A  (x) = f(x). A te´telt, amely a go ¨rbe e´rint˝ oje e´s a go ¨rbe alatti teru ¨ let ko ¨zo ¨tt ´allapı´t meg egy fontos o ¨sszefu ¨ gge´st, s amelynek analogonja a ha´romdimenzio ´s esetben is fenna´ll, az integra´lsza´mı´ta´s alapte´teleke´nt emlegetju ¨ k. Az alapte´tel egyszer˝ u mo ´dszert ad a kezu ¨ nkbe az A(x) fu ¨ ggve´ny megtala´la´sa´ra. Ha adott az y = f(x) egyenlet˝ u go ¨rbe, akkor pontosan azt a fu ¨ ggve´nyt kell megkeresnu ¨ nk, amelynek deriva´ltja maga az f(x). Tegyu ¨ k fel pe´lda´ul, hogy f(x) az x2 fu ¨ ggve´ny. Mivel x2 e´ppen az x3 /3 fu ¨ ggve´ny deriva´ltja, a keresett teru ¨ letfu ¨ ggve´ny: A(x) = x3 /3. Ha teha´t arra vagyunk kı´va´ncsiak, mekkora az x2 fu ¨ ggve´ny grafikonja alatti teru ¨ let az x = 0 pontto ´l az x = 4-ig, csupa´n be kell helyettesı´tenu ¨ nk a 4-et az ime´nt kapott fu ¨ ggve´nybe:

43 64 1 = = 21 . 3 3 3 (Ba´r az ´altala´nos esetben bizonyos, ehelyu ¨ tt nem ta´rgyalt komplika´cio ´k felle´pnek, maga az alapgondolat le´nyege´ben ugyanez.) A fu ¨ ggve´ny grafikonja alatti teru ¨ let kisza´mı´ta´sa´hoz teha´t csupa´n a deriva´la´s m˝ uvelete´nek „megfordı´ta´sa´ra” van szu ¨ kse´gu ¨ nk. S e´ppen u ´ gy, mint a deriva´la´sra, az integra´lsza´mı´ta´sra is ko ¨nnyede´n ´rhato ı ´ megfelel˝ o sza´mı´to ´ge´pes program. A(4) =

3.14. a ´ bra. Az integra´lsza´mı´ta´s alapte´tele´nek bizonyı´ta´sa.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

128

A matematika mozga´sba lendu ¨l

Az integra´lsza´mı´ta´s alapte´tele ragyogo ´ pe´lda arra, milyen gyu ¨ mo ¨lcso ¨z˝ o lehet, ha mindig a me´lyebb, ´altala´nosabb e´s absztraktabb minta´zatokig pro ´ba´lunk le´asni. Mind az e´rint˝ o meghata´roza´sa´ban, mind a teru ¨ letek kisza´mı´ta´sa´ban a ve´gs˝ o ce´l egy adott sza´m megtala´la´sa – e ce´lt azonban u ´ gy e´rju ¨ k el, hogy egy jo ´val ´altala´nosabb feladatot oldunk meg: megkeressu ¨ k azt a formula´t, amely leı´rja, mekkora az e´rint˝ o meredekse´ge, illetve a grafikon alatti teru ¨ let nagysa´ga tetsz˝ oleges x pontban. Valo ´ s sza ´ mok Folytonos-e a te´r e´s az id˝ o, vagy diszkre´t, atomos terme´szet˝ u? A ke´rde´s a legkora´bbi id˝ okt˝ ol fogva alapvet˝ o tudoma´nyos jelent˝ ose´ggel bı´r. Az o ´kori go ¨ro ¨go ¨kt˝ ol kezdve ege´szen a tizenkilencedik sza´zad ve´ge´ig a te´r e´s az id˝ o valamennyi tudoma´nyos e´s matematikai elme´lete abbo ´l a felteve´sb˝ ol indult ki, hogy mind a te´r, mind az id˝ o folytonos. Ezzel – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt – Ze´no ´n paradoxonjait is sikeru ¨ lt kikeru ¨ lni. Plato ´n szerint a kontinuum nem ma´s, mint az apeiron folytonos mozga´sa´nak eredme´nye, az apeiron viszont a go ¨ro ¨g filozo ´fia olyan ve´gletesen absztrakt fogalma, amelynek a mai tudoma´nyban semmife´le megfelel˝ oje nem le´tezik. Newton e´s Leibniz ideje´ben a te´r e´s az id˝ o folytonossa´ga ma´r egyet jelentett egy matematikai struktu ´ ra, a valo ´s sza´mok struktu ´ ra´ja´nak analo ´g tulajdonsa´ga´val. E felfoga´s szerint az id˝ o vagy valamely ma´s fizikai mennyise´g – mint amilyen a hosszu ´ sa´g, a h˝ ome´rse´klet, a su ´ ly vagy a sebesse´g – me´re´se´nek eredme´nyeke´nt mindig a valo ´s kontinuum bizonyos elemeit kapjuk meg. Mi to ¨bb, a differencia´lsza´mı´ta´s eszko ¨zei is kiza´ro ´lag a valo ´s sza´mokon e´rtelmezett fu ¨ ggve´nyekre alkalmazhato ´k. Az 1870-es e´vekben, amikor Cauchy, Weierstrass e´s Richard Dedekind a hata´re´rte´k-fogalom precı´z matematikai megalapoza´sa´t t˝ uzte´k ki ce´lul, a valo ´s sza´mok mibenle´te´re vonatkozo ´ ke´rde´s is u ´ j e´rtelmet nyert. Kiindulo ´pontjuk az az intuitı´v ke´p, mely szerint a valo ´s sza´mok egy specia´lis halmaz, a sza´megyenes elemeit alkotja´k, amely egyenes mindke´t ira´nyban ve´gtelen. A valo ´s sza´mokat a raciona´lis sza´mstruktu ´ ra kib˝ ovı´te´seke´nt kapjuk meg, a valo ´s sza´mok axio ´ma´i ko ¨zu ¨l to ¨bb, pe´lda´ul az alapm˝ uveletekre vonatkozo ´k, a raciona´lis sza´mokra is e´rve´nyesek. Ezen axio ´ma´k tartalma´t ro ¨viden u ´ gy fejezzu ¨ k ki, hogy a valo ´s sza´mok testet alkotnak. Tova´bbi axio ´ma´kat mondunk ki a rendeze´sre (a < rela´cio ´ tulajdonsa´gaira), ezek azonban szinte´n e´rve´nyesek ma´r a raciona´lis sza´mokra is. A kiza´ro ´lag a valo ´s sza´mokra igaz, azokat a raciona´lis sza´mokto ´l megku ¨ lo ¨nbo ¨ztet˝ o axio ´ma pedig e´ppen a hata´re´rte´rte´k-elme´let megalapoza´sa´hoz szu ¨ kse´ges. Cauchy megfogalmaza´sa´ban ezen axio ´ma ´gy ı szo ´l: Legyen a1 , a2 , a3 , . . . valo ´s sza´mok olyan ve´gtelen sorozata, amelynek tagjai minden hata´ron tu ´ l ko ¨zelebb keru ¨ lnek egyma´shoz (abban az e´rtelemben, hogy a sorozatban el˝ orehaladva, a tagok ko ¨zo ¨tti ku ¨ lo ¨nbse´g egyre ko ¨zelı´t a 0-hoz). Ekkor le´teznie kell egy L valo´s sza´mnak, amelyhez a sorozat tagjai

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Komplex sza´mok

129

ol egyre ko ¨zelebb keru ¨ lnek (abban az e´rtelemben, hogy az an sza´mok L-t˝ valo ´ elte´re´sei minden hata´ron tu ´ l megko ¨zelı´tik a 0-t). ¨ k. √ Az L sza´mot az a1 , a2 , a3 , . . . sorozat hata´re´rte´ke´nek nevezzu Vegyu ¨ k e´szre, hogy a raciona´lis sza´mokra e tulajdonsa´g nem ´all. 2 egyre pontosabb tizedesto ¨rt-ko ¨zelı´te´sei – 1, 1,4, 1,41, 1,414, . . . – pe´lda´ul olyan raciona´lis sza´msorozatot alkotnak, amelynek tagjai minden hata´ron tu ´ l megko ¨√ zelı´tik egyma´st, e sorozatnak azonban – az ime´nt definia´lt e´rtelemben – egyedu ¨ l 2 lehetne a hata´re´rte´ke, amelyr˝ ol viszont tudjuk, hogy nem raciona´lis. Cauchy axio ´ma´ja´t szoka´s a teljesse´g axio ´ma´jake´nt emlegetni. Georg Cantor adta meg azt a forma´lis konstrukcio ´t, amelyet ko ¨vetve a raciona´lis sza´mokbo ´l kiindulva a valo ´s sza´megyenes u ´ jabb e´s u ´ jabb pontjai ´allı´thato ´k el˝ o. Ezen u ´ j pontok mindegyike olyan raciona´lis sza´msorozat hata´re´rte´ke, amely rendelkezik a Cauchy axio ´ma´ja´ban kimondott tulajdonsa´ggal. A valo ´s sza´mok egy ma´s tı´pusu ´ bevezete´se Dedekind e´rdeme. A valo ´s sza´mok elme´lete, az erre e´pu ¨ l˝ o hata´re´rte´k-elme´let, valamint a differencia´l- e´s integra´lsza´mı´ta´s jelentette a napjainkban valo ´s analı´ziske´nt ismert diszciplı´na kezdeteit. A fels˝ obb matematika ezen teru ¨ lete manapsa´g a ta´rgy egyetemi e´s f˝ oiskolai tananyaga´nak tekinte´lyes re´sze´t ke´pezi. Komplex sza ´ mok Hogy a mozga´s e´s a va´ltoza´s tudoma´nyos vizsga´lata ve´gu ¨ l a hata´re´rte´kek e´s a kontinuum elme´lete´hez vezetett, egya´ltala´n nem meglep˝ o fejleme´ny: ha meggondoljuk, ma´r Ze´no ´n paradoxonjai is a fejl˝ ode´snek ebbe az ira´nya´ba mutattak. Sokkal megdo ¨bbent˝ obb azonban, hogy az analı´zis sikerei olyan fogalmak elfogada´sa´t is el˝ omozdı´totta´k, amelyek hosszu ´ ideig a matematika birodalma´nak perife´ria´ja´ra szorultak, s melyek ko ¨zo ¨tt olyan, szinte lehetetlen szerzetekkel tala´lkozhatunk, mint amilyen a −1 ne´gyzetgyo ¨ke. A to ¨rte´net mintegy sza´z e´vvel azel˝ ott kezd˝ odo ¨tt, hogy Newton e´s Leibniz hozza´fogott az analı´zis alapjainak kidolgoza´sa´hoz. A tizenhatodik sza´zadi euro ´pai matematikusok, ko ¨zo ¨ttu ¨ k is els˝ osorban az ita´liai Girolamo Cardano e´s Rafaello Bombelli, ekkorta´jt fedezte´k fel, hogy bizonyos algebrai egyenletek megolda´sa sora´n ce´lravezet˝ o, ha nem csupa´n negatı´v sza´mokkal, de ilyenek ne´gyzetgyo ¨ke´vel is sza´molni tudunk. E felteve´st kiza´ro ´lag „hasznossa´gi szempontok” indokolta´k, az effe´le objektumok le´tjogosultsa´ga´t kezdett˝ ol fogva a leger˝ osebb ke´tely o ¨vezte. A matematikusok akkoriban ma´r – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt – ismerte´k a −(−a) = a e´s az 1/(−a) = −(1/a) szaba´lyokat, ´am a negatı´v sza´mok haszna´lata´t csak annyiban tekintette´k legitimnek, amennyiben segı´tse´gu ¨ kkel el lehetett jutni az egyenletek valo ´di, pozitı´v megolda´sa´hoz. E bizalmatlansa´g gyo ¨kereit a go ¨ro ¨go ¨kt˝ ol o ¨ro ¨ko ¨lt sza´mfogalomban kell keresnu ¨ nk, mely szerint a sza´mok adott hosszu ´ sa´gu ´ szakaszokkal reprezenta´lhato ´k – negatı´v hosszu ´ sa´gu ´ szakaszok pedig nyilva´nvalo ´an

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

130

A matematika mozga´sba lendu ¨l

nem le´tezhetnek. A negatı´v sza´mokkal szembeni ellene´rze´s ege´szen a tizenhetedik sza´zadig fennmaradt. Hasonlo ´ sors va´rt a negatı´v sza´mok ne´gyzetgyo ¨keire is, amelyekre egyenesen imagina´rius sza´mke´nt hivatkoztak azok, akik nemigen hittek az effe´le ke´ptelen teremtme´nyekben. Mike´nt a negatı´v sza´mok, ezek is bizonyos sza´mı´ta´sok re´szeredme´nyeike´nt jelentek meg el˝ oszo ¨r a szı´nen, s u ´ gy t˝ unt, a megszokott algebrai to ¨rve´nyek ra´juk is e´ppu ´ gy e´rve´nyesek, mint boldogabb sorsu ´ rokonaikra. Automatikusan felmeru ¨ lt a ke´rde´s: le´tezhetnek-e ilyen „sza´mok”? A proble´ma egyetlen imagina´rius sza´m, a −1 ne √´gyzetgyo¨ke le´te´nek ke´rde´se´re reduka´lhato ´. Tegyu ¨ k fel ugyanis, hogy le´tezik a −1 sza´m, amelyet Euler nyoma´n i-vel szoka´s jelo ¨lni. Ha most egy tetsz˝ oleges −a negatı´v sza ´m ne´gyzetgyo ¨√ ke´re vagyunk kı´va ´ ncsiak, akkor ezt ko ¨ nnyede ´ n felı ´rhatjuk az i a szorzat for√ ma´ja´ban, ahol a a-beli gyo ¨kvona´s ma´r teljesen legitim, ha ugyanis −a negatı´v, akkor a pozitı´v kell hogy legyen. A matematikusok, jo ´ szoka´suk szerint, nem sokat foglalkoztak azzal, vajon le´tezik-e „valo ´ban” ilyen sza´m – ehelyett elkezdte´k azt vizsga´lni, mire jutnak az a + bi alaku ´ sza´mok felte´teleze´se´vel, ahol a e´s b egyara´nt valo ´s sza´mok. Az effe´le „hibrideket” komplex sza´moknak nevezte´k el. Ra´do ¨bbentek, hogy amennyiben szem el˝ ott tartja´k az i2 = −1 specia´lis o ¨sszefu ¨ gge´st, akkor a megszokott algebrai m˝ uveletek ilyen sza´mokkal is ko ¨nnyede´n elve´gezhet˝ ok. La´ssunk egy pe´lda´t komplex sza´mok o ¨sszeada´sa´ra:

(2 + 5i) + (3 − 6i) = (2 + 3) + (5 − 6)i = 5 − 1i = 5 − i. A szorza´s sem okoz gondot:

(1 + 2i)(3 + 5i) = 1 · 3 + 2 · 5 · i2 + 2 · 3 · i + 1 · 5 · i = 3 − 10 + 6i + 5i = −7 + 11i. (Az oszta´s ma´r kisse´ bonyolultabb.) Modern szo ´haszna´lattal e´lve azt mondhatjuk: a komplex sza´mok – a raciona´lis e´s a valo ´s sza´mokhoz hasonlo ´an – testet alkotnak. A valo ´s sza´mok rendeze´se azonban ma´r nem terjeszthet˝ o ki a komplex sza´mokra: ez uto ´bbiak ko ¨re´ben nem lehet olyan < rela´cio ´t e´rtelmezni, amely eleget tesz a valo ´s sza´mokra e´rve´nyes szaba´lyoknak. Mı´g a valo ´s sza´mokat egy sza´megyenes, a komplex sza´mokat a sı´k pontjaival reprezenta´lhatjuk: a + bi a komplex sza´msı´k azon pontja, amelynek vı´zszintes e´s fu ¨ gg˝ oleges koordina´ta´i rendre a e´s b. Koordina´ta-rendszeru ¨ nk vı´zszintes tengelye´t valo ´s, a fu ¨ gg˝ olegest pedig imagina´rius (ke´pzetes) tengelynek nevezzu ¨ k, mivel a valo ´s sza´mok mind az el˝ obbin, az imagina´riusok viszont egyt˝ ol-egyig az uto ´bbin foglalnak helyet. A sı´k o ¨sszes

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ahol minden egyenlet megoldhato ´

131

3.15. a ´ bra. A komplex sza´msı´k. to ¨bbi pontja olyan komplex sza´mot reprezenta´l, amely egy valo ´s e´s egy imagina´rius sza´m o ¨sszegeke´nt ´rhato ı ´ fel. Mivel a komplex sza´mok – a valo ´s sza´mokkal ellente´tben – nem egyetlen egyenesen helyezkednek el, nincs e´rtelme arro ´l besze´lni, hogy valamely komplex sza´m nagyobb a ma´sikna´l. Ennek ellene´re e sza´mok nagysa´ga´t is jellemezhetju ¨ k: az a+bi komplex sza´m abszolu´t ´erte´ke´nek nevezzu ¨ k a sza´mot reprezenta´lo ´ pontnak a koordina´ta-rendszer kezd˝ opontja´to ´l valo ´ ta´volsa´ga´t, jelo ¨le´se |a+bi|. Pitagorasz te´tele (e´s a 3.15. ´abra) alapja´n nyilva´nvalo ´, hogy
|a + bi| = a2 + b2 .

Az abszolu ´ t e´rte´kek pedig – le´ve´n valo ´s sza´mok – ma´r o ¨sszehasonlı´thato ´k, ba´r el˝ ofordulhat az is, hogy ke´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o komplex sza´m abszolu ´ t e´rte´ke megegyezik: a 3 + 4i e´s a 4 + 3i sza´mok abszolu ´ t e´rte´ke pe´lda´ul egyara´nt 5. Nagyot te´ved azonban, aki u ´ gy ve´li, a komplex sza´mok bevezete´se csupa´n a matematikusok szoka´sos ´artatlan szo ´rakoza´sainak egyike. Akkor do ¨bbenu ¨ nk ra´, hogy valami sokkal komolyabb dologro ´l is szo ´ lehet, amikor az algebrai egyenletek megoldhato ´sa´ga´nak ke´rde´se szo ´ba keru ¨ l. Ahol minden egyenlet megoldhato ´ A legalapvet˝ obb matematikai struktu ´ ra´t a terme´szetes sza´mok alkotja´k. Tegyenek azonban me´goly jelent˝ os szolga´latot a sza´mla´la´sban, e sza´mok ko ¨re´ben az egyenletek megolda´sa igen gyakran lehetetlen feladat. Ma´r az olyan egyszer˝ u kis egyenletek megolda´sa´hoz, mint amilyen az

x + 5 = 0,

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

132

A matematika mozga´sba lendu ¨l

az ege´sz sza´mok b˝ ovebb csala´dja´nak tagjait kell segı´tse´gu ¨ l hı´vnunk. S nem ´allhatunk meg: a

2x + 3 = 0 egyenlet megolda´sa´hoz ma´r a raciona´lis sza´mokra is szu ¨ kse´g van, kereteink azonban me´g mindig tu ´ l sz˝ ukek. Az

x2 − 2 = 0 egyenlet – mint tudjuk – a raciona´lis sza´mok ko ¨re´ben nem oldhato ´ meg, az effe´le proble´ma´k miatt volt szu ¨ kse´g a valo ´s sza´mok bevezete´se´re. Utolso ´ egyenletu ¨ nknek teha´t a valo ´s sza´mok ko ¨re´ben van megolda´sa – de valamennyi ma´sodfoku ´ egyenlettel me´g e sza´mok segı´tse´ge´vel sem boldogulunk:

x2 + 1 = 0 olyan – me´ghozza´ meglehet˝ osen egyszer˝ u – pe´lda, amelynek megolda´sa´hoz komplex sza´mokra van szu ¨ kse´gu ¨ nk. A matematikai minta´zatok kerese´se´re hangolt Olvaso ´t csa´bı´thatja a gondolat, miszerint e folyamat soha nem e´r ve´get: ahhoz, hogy u ´ jabb e´s u ´ jabb egyenlettı´pusokkal ba´nhassunk el, a sza´mfogalom folyamatos b˝ ovı´te´se´re van szu ¨ kse´gu ¨ nk. Nos, nem ez a helyzet. A komplex sza´mok bevezete´se a ve´ga´lloma´s: a komplex sza´mok ko ¨re´ben ma´r tetsz˝ oleges polinomia´lis egyenletnek le´tezik megolda´sa. Az ilyen egyenletek ´altala´nos alakja:

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0,

ahol az a0 , . . . , an egyu ¨ tthato ´k mindegyike komplex sza´m.6 E nevezetes eredme´nyt az algebra alapte´teleke´nt emlegetik, s ba´r igazsa´ga´t ma´r a tizenhetedik sza´zad eleje´n sejtette´k, az els˝ o helyes bizonyı´ta´sra – d’Alembert 1746-os e´s Euler 1749-es sikertelen pro ´ba´lkoza´sai uta´n – 1799-ig, Gauss doktori e´rtekeze´se´nek megjelene´se´ig va´rni kellett. A csoda ´ latos Euler-formula A komplex sza´mok a lehet˝ o legva´ratlanabb mo ´don t˝ unnek fel a matematika sok ma´s teru ¨ lete´n. Euler 1748-ban fedezte fel pe´lda´ul, hogy tetsz˝ oleges x valo ´s sza´m esete´n

eix = cos x + i sin x. A trigonometrikus fu ¨ ggve´nyek, az alapvet˝ o e ´allando ´ e´s a −1 misztikus ne´gyzetgyo ¨ke ko ¨zo ¨tti kapcsolat titokzatos, absztrakt sza´mminta´zatot ta´r fel el˝ ottu ¨ nk. 6A

megoldhato ´sa´ghoz szu ¨ kse´ges me´g az is, hogy az egyenlet ne legyen elfajult: ha a0
= 0, akkor az a1 , ¨ tthato ´k valamelyike sem 0. . . . , an egyu

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Titokzatos sza´mminta´zatok

133

¨ nk, s figyelembe vesszu ¨ k, hogy Ha Euler formula´ja´ban x helye´be π-t helyettesı´tu cos π = −1 e´s sin π = 0, a ko ¨vetkez˝ ot kapjuk:

eiπ = −1, amib˝ ol

eiπ + 1 = 0. Uto ´bbi egyenl˝ ose´gu ¨ nk az o ¨t legnevezetesebb matematikai ´allando ´: e, π, i, 0 e´s 1 ko ¨zo ¨tt ´allapı´t meg kapcsolatot. A formula egyik e´rdekes ko ¨vetkezme´nye, hogy irraciona´lis sza´m irraciona´lis – s˝ ot, imagina´rius irraciona´lis – kitev˝ oj˝ u hatva´nya aka´r ege´sz sza´m is lehet. Hasonlo ´an, imagina´rius alapu ´ e´s kitev˝ oj˝ u hatva´ny e´rte´ke meglehet, hogy valo ´s: az els˝ o egyenl˝ ose´gb˝ ol az x = π/2 va´laszta´ssal – s felhaszna´lva, hogy cos π/2 = 0 e´s sin π/2 = 1 – a ko ¨vetkez˝ ot kapjuk: iπ

e 2 = i, majd mindke´t oldalt i-edik hatva´nyra emelve: π

e− 2 = ii . Ha sza´molo ´ge´p segı´tse´ge´vel kisza´mı´tjuk e−π/2 e´rte´ke´t, az eredme´ny

ii = 0,207 879 576 . . . (Tudnunk kell, hogy ez csupa´n a ve´gtelen sok lehetse´ges e´rte´k egyike; a hatva´nyoza´s a komplex sza´mok ko ¨re´ben nem mindig egye´rtelm˝ u m˝ uvelet.) Az algebra alapte´tele´nek hasznossa´ga e´s az Euler-formula elegancia´ja ko ¨vezte´k ki a komplex sza´mok teljes elfogada´sa fele´ vezet˝ o utat. A valo ´di polga´rjogot ve´gu ¨ l a tizenkilencedik sza´zadban nyerte´k el, amikor Cauchy e´s ma´sok munka´ssa´ga nyoma´n nyilva´nvalo ´va´ va´lt, milyen impoza´ns eredme´nyekhez vezet, ha a differencia´l- e´s integra´lsza´mı´ta´s mo ´dszereit a komplex sza´mokra alkalmazzuk. Az u ´ j sza´mokat ezen a – ve´geredme´nyben eszte´tikai – alapon ma´r mindenkinek el kellett fogadnia, mint a „ta´rsasa´g” teljes jogu ´ tagjait. Az elega´ns e´s gyo ¨nyo ¨r˝ u te´telek csa´bı´ta´sa gy˝ ozedelmeskedett, a mell˝ ozo ¨ttse´g sanyaru ´ kora´nak ve´ge szakadt. A komplex analı´zis – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt – a sza´melme´let teru ¨ lete´n is sza´mottev˝ o eredme´nyekhez vezetett. E te´ny a matematikai absztrakcio ´ ereje´t mutatja: a komplex sza´mok bevezete´se´vel olyan sza´mminta´zatokra deru ¨ lt fe´ny, amelyek egye´bke´nt tala´n o ¨ro ¨kre titokban maradtak volna. Titokzatos sza ´ mminta ´ zatok A terme´szetes sza´mok minta´zatainak a komplex analı´zis mo ´dszereivel valo ´ tanulma´nyoza´sa´nak (a manapsa´g analitikus sza´melme´letnek nevezett diszciplı´na´nak) u ´ tto ¨r˝ oje a neves ne´met matematikus, Bernhard Riemann. 1859-es, Adott

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

134

A matematika mozga´sba lendu ¨l

korla´tna´l kisebb prı´mek sza´ma cı´m˝ u e´rtekeze´se´nek ta´rgya a Gauss ´altal ma´r e´vtizedekkel kora´bban megla´tott sza´melme´leti o ¨sszefu ¨ gge´s: az N-ne´l kisebb prı´mek π(N) sza´ma ko ¨zelı´t˝ oleg N/ ln N-nel egyenl˝ o. (Pontosabban fogalmazva: amennyiben N ve´gtelenhez tart, a π(N)/[N/ ln N] kifejeze´s hata´re´rte´ke 1.) Az eredme´nyt akkoriban prı´msza´m-sejte´ske´nt tartotta´k sza´mon. A sejte´s bizonyı´ta´sa´hoz Riemann el˝ ott Pafnutyij Csebisev keru ¨ lt legko ¨zelebb, aki igazolta, hogy a szo ´ban forgo ´ hata´re´rte´k 0,992 e´s 1,105 ko ¨ze´ esik. Eredme´nye´hez az Euler ´altal bevezetett, s a neve´ben is az euleri jelo ¨le´st ko ¨vet˝ o ze´ta-fu ¨ggve´nyt haszna´lta fel. A ze´ta-fu ¨ ggve´nyt Euler a ko ¨vetkez˝ o ve´gtelen sorral definia´lta:

1 1 1 1 + + + + ..., 1x 2x 3x 4x ahol x tetsz˝ oleges 1-ne´l nagyobb valo ´s sza´m lehet. Amennyiben x nem nagyobb, mint 1, u ´ gy a sor nem o ¨sszegezhet˝ o; x = 1 esete´n pe´lda´ul a ma´r kora´bban bemutatott harmonikus sort kapjuk. Ha viszont x 1-ne´l nagyobb, a sor o ¨sszege mindig ve´ges. A ze´ta-fu ¨ ggve´ny prı´msza´mokkal valo ´ kapcsolata Euler el˝ ott sem volt ismeretlen: bebizonyı´totta, hogy valamennyi olyan x-re, amelyre e´rtelmezve van, ζ(x) egyenl˝ o az ζ(x) =

1 1 1 · · · ... 1 1 1 − 2x 1 − 3x 1 − 51x ve´gtelen szorzattal, amelynek te´nyez˝ oi mind

1 1 − p1x alaku ´ ak, ahol p prı´msza´m. Az eredme´nyt joggal tartjuk megdo ¨bbent˝ onek: elve´gre a prı´mek meglehet˝ osen rendszertelen sora´ban va´gunk egyfajta rendet, amikor a szaba´lyos, valamennyi terme´szetes sza´mon ve´gigfuto ´ o ¨sszeggel definia´lt ze´ta-fu ¨ ggve´nnyel hozzuk kapcsolatba. Riemann gondolatmenete´nek kezd˝ o le´pe´se az volt, hogy a fu ¨ ggve´ny e´rtelmeze´si tartoma´nya´t kiterjesztette valamennyi komplex sza´mra. (A komplex fu ¨ ggve´nyek va´ltozo ´ja´t a matematika´ban z-vel szoka´s jelo ¨lni, megku ¨ lo ¨nbo ¨ztete´su ¨l a valo ´s va´ltozo ´t jelo ¨l˝ o x-t˝ ol.) Riemann e´rvele´se az absztrakcio ´ e´s a komplex analı´zis technika´ja´nak igen magas szintje´t ke´pviseli, ´gy ı a jelen ko ¨nyv keretei ko ¨zo ¨tt a re´szletekr˝ ol nem ´all mo ´domban besza´molni. Annyit aze´rt ela´rulhatunk: Riemann megmutatta, hogy a prı´msza´m-te´tel bizonyı´ta´sa a

ζ(z) = 0 egyenlet komplex gyo ¨keinek megtala´la´sa´n mu ´ lik.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Titokzatos sza´mminta´zatok

135

Az egyenlet valo ´s gyo ¨kei – mint az ko ¨nnyen la´thato ´ – a pa´ros negatı´v sza´mok: −2, −4, −6, . . . (Az Olvaso´ most felvethetne´: de hiszen Euler csupa´n az 1-ne´l nagyobb sza´mokra e´rtelmezte fu ¨ ggve´nye´t. Most azonban ma´r a Riemann ´altal definia´lt komplex fu ¨ ggve´nyr˝ ol van szo ´.) A ze´ta-fu ¨ ggve´nynek e valo ´s gyo ¨ko ¨ko ¨n tu ´ l ve´gtelen sok komplex gyo ¨ke is van, ez uto ´bbiak mindegyike olyan x + iy alaku ´ sza´m, amelyben x e´rte´ke 0 e´s 1 ko ¨ze´ esik, az ilyen sza´mokat reprezenta´lo ´ pontok a komplex sza´msı´kon az y tengely e´s az x = 1 egyenlet˝ u fu ¨ gg˝ oleges egyenes ko ¨zo ¨tt helyezkednek el. De tudunk-e enne´l to ¨bbet is mondani? Szo ´ban forgo ´ cikke´ben Riemann azzal a hipote´zissel ´allt el˝ o, hogy valamennyi megolda´s 12 + iy alaku ´ , azaz a komplex sza´msı´k x = 12 egyenlet˝ u egyenese´re esik. A prı´msza´m-te´tel e felteve´s alapja´n ma´r levezethet˝ o. Riemann nem alapozhatta sejte´se´t ma´sra, mint a ze´ta-fu ¨ ggve´ny viselkede´se´re vonatkozo ´ intuı´cio ´ira – numerikus sza´madatok nemigen ´alltak rendelkeze´se´re. A sza´mı´to ´ge´pek kora´nak beko ¨szo ¨nte´vel igazola´st nyert, hogy az egyenlet els˝ o mintegy fe´lmillia´rd megolda´sa te´nylegesen a riemanni minta´zatot ko ¨veti – a sejte´s bizonyı´ta´sa azonban mind ez ida´ig senkinek sem sikeru ¨ lt. Napjaink matematikusainak to ¨bbse´ge egyete´rt azzal, hogy ez a matematika legjelent˝ osebb megoldatlan proble´ma´ja. A prı´msza´m-sejte´st ve´gu ¨ l – mint arro ´l ma´r besza´moltunk – egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenu ¨ l Jacques Hadamard e´s Charles de la Valle´e Poussin bizonyı´totta´k be 1896ban. Bizonyı´ta´sukban felhaszna´lta´k ugyan a ze´ta-fu ¨ ggve´nyt, Riemann hipote´zise´re azonban nem volt szu ¨ kse´gu ¨ k. A prı´msza´m-sejte´s bizonyı´ta´sa´val (amelynek neve ett˝ ol fogva prı´msza´m-te´tel) nagy ko ¨r za´rult be. A matematika tudoma´nya a sza´mla´la´s alapja´t ke´pez˝ o terme´szetes sza´mok vizsga´lata´val kezd˝ odo ¨tt. Az analı´zis Newton e´s Leibniz munka´ja nyoma´n a ve´gtelen e´s a folytonos mozga´s tudoma´nya´va´ va´lt. A komplex sza´mok bevezete´se e´s az algebra alapte´tele az egyenletek megoldhato ´sa´ga´nak ke´rde´se´t tiszta´zta, Cauchy e´s Riemann pedig megmutatta´k, mike´nt lehet az analı´zis eszko ¨zeit a komplex fu ¨ ggve´nyek vizsga´lata sora´n hasznosı´tani. Riemann e´s ma´sok ve´gu ¨ l e meglehet˝ osen absztrakt e´s bonyolult elme´let eredme´nyeit a terme´szetes sza´mokra vonatkozo ´ te´telek bizonyı´ta´sa´ban kamatoztatta´k.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

4. fejezet

Az alakot o ¨ lt˝ o matematika

A geometria ´ hoz mindenki e ´rt Mit la´t vajon a kedves Olvaso ´ a 4.1. ´abra´n? Ha csak futo ´lag pillant ra´, feltehet˝ oen, mint mindenki, egy ha´romszo ¨get, ha azonban jobban megne´zi, e´szreveszi, hogy az ´abra´n semmife´le ha´romszo ¨g nincs, csupa´n ha´rom ko ¨r alaku ´ folt, amelyek mindegyike´b˝ ol hia´nyzik egy kis darab. A ha´romszo ¨g csupa´n akaratlan e´s tudattalan optikai csalo ´da´s eredme´nye, e´rtelmu ¨ nk ege´szı´ti ki az ´abra´t, hogy ko ¨nnyebben kezelhet˝ o legyen. Vizua´lis-kognitı´v rendszeru ¨ nk folyamatosan keresi a geometriai minta´zatokat – valamennyien o ¨szto ¨no ¨s geome´terek vagyunk. Akarva-akaratlanul „la´tjuk” a geometriai alakzatokat – de mi is az, aminek alapja´n valamit, mondjuk, ha´romszo ¨gke´nt azonosı´tunk. Jelen lehet a ko ¨nyv egy lapja´n, kijelo ¨lhetik bizonyos domborzati elemek, de az is el˝ ofordulhat, hogy sehol ma´shol, csupa´n elme´nkben le´tezik. Nyilva´nvalo ´an nem a me´ret sza´mı´t, nem is a szı´n, de me´g a vonalak vastagsa´ga sem. A do ¨nt˝ o szempont: az alak. Ha ha´rom,

4.1. a ´ bra. Ha´romszo ¨get eredme´nyez˝ o optikai csalo ´da´s.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

138

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.2. a ´ bra. Szakasz „aranymetsze´se” za´rt teru ¨ letet ko ¨zrefogo ´ szakaszt la´tunk, az alakzatot nyomban ha´romszo ¨gke´nt ismerju ¨ k fel. A ha´romszo ¨g absztrakt fogalma´t az egyes konkre´t ha´romszo ¨gekb˝ ol vonatkoztatjuk el, ahogy a 3-as sza´m a ha´romelem˝ uo ¨sszesse´gekben megjelen˝ o absztrakt minta´zat megragada´sa´nak eredme´nye. A ha´romszo ¨g fogalma´val valamennyien rendelkezu ¨ nk: a geometria´t mindenki „e´rzi e´s la´tja”. A vila´g geometriai minta´zatait azonban nem csupa´n e´rze´kelju ¨ k, de ne´melyek ira´nya´ban kifejezett vonzalmat is e´rzu ¨ nk. Effe´le preferencia´ra kiva´lo ´ pe´lda az aranymetsze´s, amely ma´r Euklide´sz el˝ ott is ismert volt: az Elemek VI. ko ¨nyve´ben ta´rgyalja. A go ¨ro ¨g felfoga´s szerint valamennyi te´glalap ko ¨zu ¨ l az a legkedvesebb az emberi szemnek, amelynek oldalai az aranymetsze´s ara´nya´ban ´allnak egyma´ssal. A Parthenon elu ¨ ls˝ o homlokzata´t maga´ba foglalo ´ alakzat is ilyen, de hasonlo ´ pe´lda´kat az antik go ¨ro ¨g e´pı´te´szetb˝ ol me´g garmada √ ´val sorolhatna´nk. Az aranymetsze´s sza´me´rte´ke (1 + 5)/2, amely nyilva´n irraciona´lis, ko ¨zelı´t˝ o e´rte´ke 1,618. Ilyen ara´nyban ´all egyma´ssal egy szakasz ke´t re´sze, ha ko ¨zu ¨ lu ¨k a hosszabbik pontosan u ´ gy viszonyul az ege´szhez (teha´t a kett˝ oo ¨sszege´hez), mint ro ¨videbb a hosszabbhoz. Ha a ro ¨videbb oldal 1, a hosszabb pedig x (l. a 4.2. ´abra´t), akkor x az

x+1 x = , x 1 azaz – ekvivalens ´atalakı´ta´sok uta´n – az

x2 = x + 1 √ egyenlet pozitı´v megolda´sa: x = (1 + 5)/2. Az aranymetsze´ssel a matematika legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb teru ¨ letein tala´lkozhatunk. A legismertebb a Fibonacci-sorozathoz f˝ uz˝ od˝ o kapcsolat; e sorozat els˝ o ke´t tagja 1, valamennyi tova´bbi tagja pedig a megel˝ oz˝ o ke´t tag o ¨sszege. A sorozat els˝ o ne´ha´ny tagja: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . A sorozat a no ¨ve´nyek szaporoda´sa´t leı´ro ´ to ¨rve´nyekt˝ ol a sza´mı´to ´ge´pes adatba´zisok no ¨vekede´se´ig sza´mtalan teru ¨ leten megjelenik. Ha a sorozat n-edik tagja´t F(n)-nel jelo ¨lju ¨ k, akkor az F(n + 1)/F(n) ha´nyados, amint n egyre nagyobb e´s nagyobb lesz, e´ppen az aranymetsze´s sza´me´rte´ke´hez keru ¨ l egyre ko ¨zelebb.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A fo ¨ldme´re´s tudoma´nya

139

E numerikus e´rte´k ve´gtelen emeletes to ¨rttel ekke´ppen fejezhet˝ o ki:

1

1+

1

1+

.

1 1 + ... Az aranymetsze´s a terme´szet minta´zatai ko ¨zo ¨tt is gyakorta felbukkan: a kagylo ´k csigavonalai, az e´rett napraforgo ´ vagy a feny˝ otoboz magjainak elrendez˝ ode´se mind ezt ko ¨vetik. E minta´zatok mindegyike kellemes e´rze´st va´lt ki bennu ¨ nk, u ´ jfent ala´ta´masztva, hogy elme´nk bizonyos geometriai forma´kra o ¨szto ¨no ¨sen ra´ van hangolo ´dva. 1+

A fo ¨ ldme ´re ´s tudoma ´ nya A geometria kifejeze´s eredete a go ¨ro ¨g ‘fo ¨ldme´re´s’ szo ´ra vezethet˝ o vissza. A ˝sei az egykori egyiptomi fo mai geome´terek o ¨ldme´r˝ ok, akik az ´arado ´ Nı´lus ´altal eltu ¨ ntetett hata´rvonalakat u ´ jra e´s u ´ jra mega´llapı´totta´k, az e´pı´te´szek, akik a babiloni e´s az egyiptomi templomokat, sı´rhelyeket e´s a – legnyilva´nvalo ´bban geomet˝si tengere´szek, akik riai minta´zatot ko ¨vet˝ o – piramisokat tervezte´k, valamint az o megtanulta´k, mike´nt lehet a Fo ¨ldko ¨zi-tenger partjai mente´n ta´je´kozo ´dni. E korai civiliza´cio ´k, ba´r haszna´lta´k a sza´mokat, valo ´di sza´mfogalommal nem rendelkeztek, nem is besze´lve a sza´mok elme´lete´nek kidolgoza´sa´ro ´l. A geometria esete´ben sem volt ez ma´ske´pp: az egyenesek, a szo ¨gek, a ha´romszo ¨gek e´s a ko ¨ro ¨k mind ismertek voltak el˝ ottu ¨ k – ane´lku ¨ l, hogy ezeket ´atfogo ´ matematikai elme´letbe illesztette´k volna. Mint az els˝ o fejezetben emlı´tettu ¨ k, a geometria igazi – me´ghozza´ az els˝ o – matematikai diszciplı´na´va´ Thale´sz munka´ssa´ga nyoma´n va´lt, a Kr. e. 6. sza´zadban. Euklide´sz Elemek cı´m˝ u munka´ja is tu ´ lnyomo ´re´szt geometriai ta´rgyu ´. Az Elemek I. Ko ¨nyve´ben Euklide´sz a sı´kbeli alakzatok legalapvet˝ obb absztrakt minta´zatait ne´ha´ny definı´cio ´ e´s posztula´tum segı´tse´ge´vel ro ¨gzı´tette. A huszonha´rom definı´cio ´ ko ¨zo ¨tt szerepelnek az ala´bbiak:7 1. Definı´cio ´ – Pont az, aminek nincs re´sze. 2. Definı´cio ´ – A vonal sze´lesse´g ne´lku ¨ li hosszu ´ sa´g. 4. Definı´cio ´ – Egyenes vonal az, amelyik a rajta lev˝ o pontokhoz viszonyı´tva egyenl˝ oen fekszik. 10. Definı´cio ´ – Ha valamely egyenesre egyenest ´allı´tunk u ´ gy, hogy egyenl˝ o melle´kszo ¨gek keletkeznek, akkor a ke´t egyenl˝ o szo ¨g dere´kszo ¨g, e´s az ´allo ´ egyenest mer˝ olegesnek mondjuk arra, amelyen ´all. 7 Az Elemek valamennyi re ´szlete´t Mayer Gyula fordı´ta´sa´ban, a ma´r emlı´tett kiada´s (Budapest, Gondolat, 1983) alapja´n ide´zzu ¨ k.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

140

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

23. Definı´cio ´ – Pa´rhuzamosak azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a sı´kban vannak e´s mindke´t oldalt ve´gtelenu ¨ l meghosszabbı´tva egyiken sem tala´lkoznak. A mai matematikus az els˝ o ha´rom definı´cio ´t – definı´cio ´nak legala´bbis – nem fogadja el, elve´gre ha´rom definia´latlan fogalom helyett ha´rom ma´sik, ugyancsak definia´latlan fogalom bevezete´se semmit nem tesz vila´gosabba´. A ‘pont’ e´s az ‘egyenes’ a modern felfoga´s szerint definia´latlan alapfogalmak. A to ¨bbi euklideszi definı´cio ´ mindazona´ltal mega´llja a helye´t. Figyelju ¨ k meg, hogy a dere´kszo ¨g meghata´roza´sa´ban emlı´te´s sincs 90◦ -ro ´l vagy π/2-r˝ ol, a definı´cio ´ teha´t nem kvantitatı´v jelleg˝ u. S ez a go ¨ro ¨g geometria ege´sze´r˝ ol elmondhato ´: a szakaszok vagy a szo ¨gek meghata´roza´sa mindig geometriai, sohasem numerikus. Miuta´n az alapfogalmakat – legjobb meggy˝ oz˝ ode´se szerint – ilyenforma´n tiszta´zta, Euklide´sz kimondja azt az o ¨t posztula´tumot, amelyb˝ ol – u ´ jfent legjobb meggy˝ oz˝ ode´se szerint – valamennyi geometriai te´tel tiszta logikai eszko ¨zo ¨kkel levezethet˝ o: 1. Posztula´tum – Ko ¨veteltesse´k meg, hogy minden pontbo ´l minden ponthoz legyen egyenes hu ´ zhato ´. ´ s hogy ve´ges egyenes vonal egyenesben folytato 2. Posztula´tum – E ´lag meghoszszabbı´thato ´ legyen. ´ s hogy minden ko 3. Posztula´tum – E ¨ze´pponttal e´s ta´volsa´ggal legyen ko ¨r rajzolhato ´. ´ s hogy minden dere´kszo 4. Posztula´tum – E ¨g egyma´ssal egyenl˝ o legyen. ´ s hogy ha ke´t egyenest u 5. Posztula´tum – E ´ gy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkez˝ o bels˝ o szo ¨gek (o ¨sszegben) ke´t dere´kszo ¨gne´l kisebbek, akkor a ke´t egyenes ve´gtelenu ¨ l meghosszabbı´tva tala´lkozze´k azon az oldalon, amerre az (o ¨sszegben) ke´t dere´kszo ¨gne´l kisebb szo ¨gek vannak. A posztula´tumok ro ¨gzı´te´se e´s ko ¨vetkezme´nyeik levezete´se semmi szı´n alatt sem ˝t ko tekinthet˝ o puszta logikai ja´te´knak. Euklide´sz, s az o ¨vet˝ o matematikusok soksok genera´cio ´ja sza´ma´ra a geometria a vila´gban megfigyelhet˝ o, valo ´sa´gos, szaba´lyos alakzatok tudoma´nya. Az o ¨t posztula´tum enne´lfogva nem o ¨t o ¨nke´nyesen va´lasztott kiindulo ´pont, sokkal inka´bb a terme´szetben is megfigyelhet˝ o, alapvet˝ o minta´zatok megragada´sa´t ce´lozza. Valamennyien ke´pesek vagyunk arra, hogy felismerju ¨ k a ku ¨ lo ¨nfe´le geometriai alakzatokat, s to ¨bbnyire arra is, hogy azokat ha´romszo ¨gke´nt, te´glalapke´nt stb. azonosı´tsuk. Ezen alakzatok tanulma´nyoza´sa´bo ´l sarjadt ki a modern matematika to ¨bb ´aga, to ¨bbek ko ¨zo ¨tt a geometria, jelen fejezetu ¨ nk ta´rgya. Az alakzatok ma´s, absztraktabb jellemz˝ oivel, a szimmetria´kkal e´s a topologikus tulajdonsa´gokkal a ko ¨vetkez˝ o fejezetekben foglalkozunk.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ami elkeru ¨lte Euklide´sz figyelme´t

141

Ami elkeru ¨ lte Euklide ´sz figyelme ´t Euklide´sz posztula´tumai a sı´kgeometria megalapoza´sa´t ce´lozta´k meg, ko ¨zelebbr˝ ol azoknak a nyilva´nvalo ´ te´nyeknek az o ¨sszefoglala´sa´t, amelyek az I. Ko ¨nyv te´teleihez, f˝ oke´nt az utolso ´ kett˝ oho ¨z, Pitagorasz te´tele´hez e´s a te´tel megfordı´ta´sa´hoz szu ¨ kse´gesek. Ha figyelembe vesszu ¨ k, micsoda ce´lt t˝ uzo ¨tt ki maga ele´, az o ¨t posztula´tum valo ´ban nem t˝ unik soknak. Tudnunk kell azonban, hogy a bizonyı´ta´sok sora´n olyan ´allı´ta´sokat is fel kell haszna´lni, amelyeket Euklide´sz elmulasztott expliciten ro ¨gzı´teni, mindazona´ltal „ke´zpe´nznek vett”, s ´gy ı tett ko ¨vet˝ oinek tu ´ lnyomo ´ re´sze is. Ilyenek pe´lda´ul a ko ¨vetkez˝ ok: – Ha egy egyenes ´atmegy valamely ko ¨r ko ¨ze´ppontja´n, akkor metszi a ko ¨rvonalat is. – Ha egy egyenes egy ha´romszo ¨g valamely oldala´t metszi, de nem megy ´at a ha´romszo ¨g egyetlen csu ´ csa´n sem, akkor az illet˝ o ha´romszo ¨gnek egy ma´sik oldala´t is metszi. – Egy egyenes tetsz˝ oleges ha´rom pontja ko ¨zu ¨ l az egyik mindig a ma´sik kett˝ o ko ¨zo ¨tt helyezkedik el. Ha figyelembe vesszu ¨ k, hogy Euklide´sz ce´lja a geometria kifejte´se, ´abra´kra e´s szemle´letre valo ´ hivatkoza´s ne´lku ¨ l, akkor kifejezetten megdo ¨bbent˝ o, hogy ilyen alapvet˝ o ´allı´ta´sokat elmulasztott ro ¨gzı´teni. Impoza´ns kı´se´rlete azonban sza´zadokkal el˝ ozte meg kora´t, ku ¨ lo ¨no ¨ske´ppen, ha a fizika vagy az orvostudoma´ny ´allapota´val vetju ¨k o ¨ssze. To ¨bb mint ke´t e´vezrednek kellett eltelni, amı´g David Hilbert a 19. e´s a 20. sza´zad fordulo ´ja´n felı´rta azt a hu ´ sz axio ´ma´t, amelyek alapja´n az Elemek valamennyi te´tele, egyedu ¨ l a tiszta logika´ra hagyatkozva, bizonyı´thato ´. Euklide´sz o ¨t posztula´tuma ko ¨zu ¨ l csupa´n az o ¨to ¨dik t˝ unik ki komplika´ltsa´ga´val. A ko ¨rmo ¨nfont megfogalmaza´s a ko ¨vetkez˝ o egyszer˝ u ´allı´ta´st leplezi: amennyiben ke´t egyenes ko ¨zelı´t egyma´shoz, akkor te´nylegesen tala´lkozni is fognak. Ez ekvivalens azzal, hogy amennyiben adott egy egyenes e´s rajta kı´vu ¨ l egy pont, akkor pontosan egy olyan egyenes le´tezik, amely a szo ´ban forgo ´ egyenessel pa´rhuzamos e´s ´atmegy az illet˝ o ponton. Az ´allı´ta´s sokkal inka´bb egy te´telre emle´keztet, s feltehet˝ oen Euklide´sznek is fenntarta´sai voltak, ugyanis ege´szen az I. Ko ¨nyv 29. Te´tele´ig nem haszna´lja fel. Az elko ¨vetkez˝ o e´vsza´zadok sora´n sza´mos matematikus pro ´ba´lkozott azzal, hogy a to ¨bbi ne´gyb˝ ol levezesse´k, vagy hogy helyettesı´tse´k egy me´g alapvet˝ obb posztula´tummal, amelyb˝ ol ko ¨vetkezik. Nem arro ´l van szo ´, hogy ba´rki ke´tse´gbe vonta volna az o ¨to ¨dik posztula´tum ´ ppen ellenkez˝ igazsa´ga´t. E oleg, a legteljesebb me´rte´kben nyilva´nvalo ´nak gondolta´k. Valo ´ja´ban kiza´ro ´lag a forma´ja okozta a proble´ma´t: mindenki u ´ gy ve´lte, egy axio ´ma´nak egyszer˝ unek kell lennie, nem specifikusnak e´s ko ¨rmo ¨nfontnak. (Ma´ra a helyzet gyo ¨keresen megva´ltozott: a tizenkilencedik sza´zad o ´ta a matematikusok megtanultak egyu ¨ tt e´lni komplika´lt axio ´ma´ikkal, amelyek, mike´nt Euklide´sz o ¨to ¨dik posztula´tuma, ugyancsak „nyilva´nvalo ´ igazsa´gok” megragada´sa´t ce´lozza´k.)

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

142

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

Az o ¨to ¨dik posztula´tum azonban nem adta meg maga´t: senki nem tudta a marade´k ne´gy alapja´n bebizonyı´tani. E kudarcot soka´ig u ´ gy e´rtelmezte´k, mint az embernek a vila´g geometria´ja´nak to ¨ke´letes mege´rte´se´re valo ´ ke´ptelense´ge´t – manapsa´g u ´ gy ve´lju ¨ k, igaza´bo ´l nem az euklideszi geometria´t e´rtettu ¨ k fe´lre. A valo ´di ke´rde´s az, vajon Euklide´sz geometria´ja te´nylegesen a bennu ¨ nket ko ¨ru ¨ lvev˝ o vila´g geometria´ja-e. A ke´rde´sre Immanuel Kant, e´s sza´mos ma´s filozo ´fus is igennel va´laszolt. A proble´ma´ra ke´s˝ obb visszate´ru ¨ nk. Most ne´zzu ¨ k inka´bb, mire jutott Euklide´sz a nevezetes o ¨t posztula´tum alapja´n. Euklide ´sz Elemei Az Elemek tizenha´rom ko ¨nyve ko ¨zu ¨ l az els˝ o hat – valamilyen forma´ban – sı´kgeometriai te´ma´ju ´. Az I. Ko ¨nyv to ¨bb te´tele is a ko ¨rz˝ ovel e´s vonalzo ´val valo ´ szerkeszthet˝ ose´g ke´rde´se´vel foglalkozik. A vonalzo ´n nincsenek beoszta´sok, a ko ¨rz˝ o pedig semmi ma´sra, csak ko ¨rı´vek rajzola´sa´ra haszna´lhato ´, s miuta´n a lapro ´l elvettu ¨ k, me´g azt sem biztosı´tja semmi, hogy a ko ¨rı´v ko ¨ze´ppontja´t – tova´bbi megfontola´sok ne´lku ¨l – azonosı´tani tudjuk. A legels˝ o te´tel nyomban egy effe´le szerkeszte´s menete´t ´rja ı le: ´ llı´tsunk adott ve´ges egyenesszakasz fo I.1. Te´tel A ¨le´ egyenl˝ o oldalu ´ ha´romszo ¨get. A 4.3. ´abra´n illusztra´lt mo ´dszerne´l, u ´ gy t˝ unik, mi sem lehet egyszer˝ ubb. Ha adott az AB egyenes, szu ´ rjuk a ko ¨rz˝ o hegye´t az A pontba, s rajzoljunk az AB suga´rral egy ko ¨rı´vet, majd ugyanezt isme´telju ¨ k meg a B pontbo ´l is, szinte´n AB hosszu ´ sa´gu ´

4.3. a ´ bra. Szaba´lyos ha´romszo ¨g szerkeszte´se.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Euklide´sz Elemei

143

¨g suga´rral. Amennyiben a ke´t ko ¨rı´v metsze´spontja a C pont, az ABC ha´romszo megfelel a ko ¨vetelme´nyeknek. Euklide´sz ma´r legels˝ o te´tele bizonyı´ta´sa sora´n felhaszna´l – hallgato ´lagosan – olyan felteve´seket, amelyeket nem ro ¨gzı´tett posztula´tumke´nt. Honnan tudjuk pe´lda´ul, hogy a ke´t ko ¨rı´v metszi egyma´st? Az ´abra alapja´n nyilva´nvalo ´, hogy ez a helyzet, egy ´abra azonban nem lehet ve´gs˝ o e´rv. El˝ ofordulhatna pe´lda´ul, hogy a C pont helye´n√az ´vek ı „lyukasak”, ahogy a raciona´lis sza´megyenesen is „lyuk” van ott, ahol a 2 sza´mnak kellene lenni. S a posztula´tumok ro ¨gzı´te´se´vel is e´ppen az volt a ce´l, hogy ne kelljen ´abra´kra ta´maszkodnunk. Euklide´sz bizonyı´tja, hogy a szo ¨gfeleze´s (I.9. Te´tel), adott hosszu ´ sa´gu ´ szakasz megfeleze´se (I.10.) e´s adott egyenesre – annak valamely pontja´bo ´l – valo ´ mer˝ olegesa´llı´ta´s (I.11.) mind megoldhato ´ egyedu ¨ l ko ¨rz˝ o e´s vonalzo ´ segı´tse´ge´vel. A la´tszat ellene´re a go ¨ro ¨g geometria nem szorı´tkozott a csupa´n ko ¨rz˝ ovel e´s vonalzo ´val valo ´ szerkeszte´sekre: a go ¨ro ¨g matematikusok nem haboztak ma´s eszko ¨zt haszna´lni, ha a szu ¨ kse´g megkı´va´nta. Ma´sre´szr˝ ol, a ko ¨rz˝ ovel e´s vonalzo ´val elve´gezhet˝ o szerkeszte´seket – e´ppen egyszer˝ use´gu ¨ k oka´n – ku ¨ lo ¨nlegesen elega´nsnak tartotta´k, s az egyedu ¨ l ezekkel megoldhato ´ feladatoknak eszte´tikai e´rte´ket tulajdonı´tottak. Amellett, hogy a ko ¨rz˝ ovel e´s vonalzo ´val valo ´ szerkeszte´sekre vonatkozo ´an to ¨bb hasznos te´telt is kimondott, Euklide´sz az Elemek I. Ko ¨nyve´ben to ¨bb krite´riumot is megfogalmazott arra vonatkozo ´an, mikor tekinthetu ¨ nk ke´t ha´romszo ¨get egybeva´go ´nak (ke´t alakzatot egybeva´go ´nak mondunk, ha megfelel˝ o oldalaik e´s szo ¨geik rendre ugyanakkora´k). Az I.8. Te´tel pe´lda´ul azt mondja ki, hogy amennyiben ke´t ha´romszo ¨g megfelel˝ o oldalai egyenl˝ oek, az ma´r elegend˝ o ahhoz, hogy a ke´t ha´romszo ¨g egybeva´go ´ legyen. Az I. Ko ¨nyv utolso ´ ke´t ´allı´ta´sa: a Pitagorasz-te´tel (I.47.) e´s annak megfordı´ta´sa (I.48.). Az uto ´bbi bizonyı´ta´sa oly elega´ns, hogy e´rdemes a re´szleteivel is megismerkednu ¨ nk (l. a 4.4. ´abra´t):8 I.48. Te´tel Ha egy ha´romszo ¨gben az egyik oldalra emelt ne´gyzet egyenl˝ oa ha´romszo ¨g ma´sik ke´t oldala´ra emelt ne´gyzetek o ¨sszege´vel, akkor dere´kszo ¨g a ha´romszo ¨g ma´sik ke´t oldala ´altal ko ¨zrefogott szo ¨g. B IZONYI´TA´ S : Legyen ugyanis az ABC ha´romszo ¨g egyik oldala´ra, a BC-re emelt ne´gyzet egyenl˝ o a BA, AC oldalakra emelt ne´gyzetekkel. Azt ´allı´tom, hogy BAC dere´kszo ¨g. Hu ´ zzuk ugyanis az A pontbo ´l az AC egyenessel dere´kszo ¨gben AD-t (I.11.), e´s me´rju ¨k fo ¨l ra´ a BA-val egyenl˝ o AD-t, e´s hu ´ zzuk meg DC-t. Minthogy AB-vel AD egyenl˝ o, az AD oldalu ´ ne´gyzet is egyenl˝ o az AB oldalu ´ ne´gyzettel. Adjuk hozza´juk (ko ¨zo ¨s tagnak) az AC oldalu ´ ne´gyzetet, ´gy ı az AD, AC oldalu ´ ne´gyzetek (egyu ¨ tt) egyenl˝ ok a BA, AC oldalu ´ ne´gyzetekkel (2. axio ´ma). Azonban az

8 Euklide ´sz

az ala´bb ide´zett bizonyı´ta´sokban ke´t axio ´ma´ra is hivatkozik. Ezek a ko ¨vetkez˝ ok: 1. Axio ´ma: Amik ugyanazzal egyenl˝ ok, egyma´ssal is egyenl˝ ok. 2. Axio ´ma: Ha egyenl˝ okho ¨z egyenl˝ oket adunk, az o ¨sszegek egyenl˝ ok.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

144

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.4. a ´ bra. A Pitagorasz-te´tel megfordı´ta´sa´nak bizonyı´ta´sa. AD meg az AC oldalu ´ ne´gyzettel egyenl˝ o a DC oldalu ´ , DAC ugyanis dere´kszo ¨g (I.47.), a BA meg az AC oldalu ´ ne´gyzettel pedig a felte´tel szerint egyenl˝ o a BC oldalu ´ ; teha´t a DC oldalu ´ ne´gyzet egyenl˝ o a BC oldalu ´ val (1. axio ´ma), u ´ gyhogy a DC oldal is egyenl˝ o ´ s minthogy AD egyenl˝ BC-vel. E o BA-val, AC pedig ko ¨zo ¨s (oldal), e ke´t-ke´t (oldal), AD, AC e´s BA, AC egyenl˝ o; e´s a DC alap egyenl˝ o a BC alappal; a DAC szo ¨g teha´t egyenl˝ o a BAC szo ¨ggel (I.8.). DAC viszont dere´kszo ¨g, dere´kszo ¨g teha´t BAC is. Ha teha´t egy ha´romszo ¨gben az egyik oldalra emelt ne´gyzet egyenl˝ o a ha´romszo ¨g ma´sik ke´t oldala´ra emelt ne´gyzetek o ¨sszege´vel, akkor dere´kszo ¨g a ha´romszo ¨g ma´sik ke´t ´ ppen ezt kellett megmutatni. oldala ´altal ko ¨zrefogott szo ¨g. E

A II. Ko ¨nyv geometriai mo ´don ta´rgyal olyan ke´rde´seket, amelyeket manapsa´g to ¨bbnyire algebrai jelo ¨le´ssel fejezu ¨ nk ki, mint pe´lda´ul a ko ¨vetkez˝ o azonossa´got:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . A III. Ko ¨nyv harminche´t te´tele mind ko ¨ro ¨kkel kapcsolatos; ko ¨zo ¨ttu ¨ k szerepel Thale´sz te´tele, mely szerint valamennyi fe´lko ¨rbe rajzolhato ´ szo ¨g dere´kszo ¨g. Nem tudok ellena´llni a kı´se´rte´snek, ´gy ı e te´tel elme´s bizonyı´ta´sa´t is megosztom a kedves Olvaso ´val (l. a 4.5. ´abra´t): III.31. Te´tel Egy ko ¨rben a fe´lko ¨rbeli szo ¨g dere´kszo ¨g. (. . . ) B IZONYI´TA´ S : Legyen ABCD egy ko ¨r, BC egy ´atme´r˝ oje, E pedig a ko ¨ze´ppontja, e´s hu ´ zzuk meg BA-t, AC-t, AD-t, DC-t. Azt ´allı´tom, hogy a BAC fe´lko ¨rbeli BAC szo ¨g dere´kszo ¨g. (. . . ) Hu ´ zzuk meg AE-t, e´s hosszabbı´tsuk meg BA-t F-ig. Minthogy BE egyenl˝ o AE-vel, egyenl˝ o az ABE szo ¨g is BAE-vel (I.5. [– mely szerint az egyenl˝ o sza´ru ´ ha´romszo ¨geknek az alapon fekv˝ o szo ¨gei egyenl˝ ok egyma´ssal]). Isme´t, minthogy CE egyenl˝ o AE-vel, egyenl˝ o az ACE szo ¨g is CAE-vel, a teljes BAC szo ¨g teha´t egyenl˝ o e ke´t szo ¨ggel, ABC-vel meg ACB-vel (2. axio ´ma). De az ABC ha´romszo ¨g FAC ku ¨ ls˝ o szo ¨ge is egyenl˝ o e ke´t szo ¨ggel, ABC-vel meg ACB-vel (I.32. [– mely szerint minden ha´romszo ¨gben az egyik oldal meghosszabbı´ta´sakor keletkezett ku ¨ls˝ o szo ¨g egyenl˝ oa ke´t szemko ¨zti bels˝ o szo ¨g o ¨sszege´vel, ´es a ha´romszo ¨g ha´rom bels˝ o szo ¨ge – egyu ¨tt – ke´t dere´kszo ¨ggel egyenl˝ o]), egyenl˝ o teha´t a BAC szo ¨g is az FAC szo ¨ggel (1. axio ´ma); dere´kszo ¨g teha´t mind a kett˝ o (I.10. definı´cio ´); a BAC fe´lko ¨rbeli BAC szo ¨g teha´t dere´kszo ¨g.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Euklide´sz Elemei

145

Az Elemek IV. Ko ¨nyve ta´rgyalja a szaba´lyos sokszo ¨gek – olyan sokszo ¨gek, melyeknek valamennyi oldala e´s szo ¨ge ugyanakkora – szerkeszte´se´vel kapcsolatos ismereteket. A legegyszer˝ ubb ilyen alakzatok: az egyenl˝ o oldalu ´ ha´romszo ¨g e´s a ne´gyzet. Az√V. Ko ¨nyv Eudoxosz ara´nyelme´lete´t mutatja be, azt a teo ´ria´t, amelynek ce´lja a 2 sza´m irracionalita´sa miatt felle´p˝ o „va´lsa´ghelyzet” megolda´sa volt. (A proble´ma ve´gleges, megnyugtato ´ megolda´sa´ra a tizenkilencedik sza´zadig, a valo ´s sza´mok elme´lete´nek kidolgoza´sa´ig va´rni kellett.) Az V. Ko ¨nyv eredme´nyei a VI. Ko ¨nyvben ko ¨szo ¨nnek vissza, a hasonlo ´ alakzatok ta´rgyala´sa sora´n. (Ke´t alakzatot hasonlo ´nak nevezu ¨ nk, ha megfelel˝ o szo ¨geik mind megegyeznek, megfelel˝ o oldalaik ara´nya pedig egyenl˝ o.) A VI. Ko ¨nyvvel fejez˝ odnek be az Elemek sı´kgeometriai vonatkoza´su ´ re´szei; a ko ¨vetkez˝ o ha´rom ko ¨nyv sza´melme´leti te´ma´kkal, a X. pedig a me´re´s elme´lete´vel foglalkozik. Az utolso ´ ha´rom ko ¨nyv megint geometriai ta´rgyu ´ : egyma´st metsz˝ o sı´kokro ´l szo ´l a XI. Ko ¨nyv harminckilenc te´tele; ezek ko ¨zo ¨tt szerepel a nevezetes eredme´ny (XI.21.), mely szerint „valamennyi te´rszo ¨get o ¨sszegben ne´gy dere´kszo ¨gne´l kisebb sı´kszo ¨gek fognak ko ¨zre”. A XII. Ko ¨nyv az el˝ oz˝ o fejtegete´seit Eudoxosz mo ´dszere´nek alkalmaza´sa´val folytatja. A XII.2. Te´tel szerint „a ko ¨ro ¨k (teru ¨ letei) u ´ gy ara´nylanak egyma´shoz, mint az ´atme´r˝ oik ne´gyzetei”. A XIII. Ko ¨nyv tizennyolc te´tele´nek ta´rgya´t a szaba´lyos testek alkotja´k; szaba´lyosnak nevezzu ¨ k azokat a testeket, amelyeknek valamennyi lapja egybeva´go ´ szaba´lyos sı´kidom, s valamennyi lap egyforma szo ¨gben metszi a szomsze´dos lapokat. A go ¨ro ¨go ¨k ma´r a legkora´bbi id˝ okt˝ ol fogva ismerte´k a 4.6. ´abra´n is la´thato ´o ¨t szaba´lyos testet: – a (szaba´lyos) tetrae´dert, amelyet ne´gy szaba´lyos ha´romszo ¨glap hata´rol;

4.5. a ´ bra. Az Elemek III.31. Te´tele´nek bizonyı´ta´sa.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

146

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.6. a ´ bra. Az o ¨t szaba´lyos test. – a hat ne´gyzettel hata´rolt kocka´t; – az oktae´dert, amelynek mind a nyolc lapja szaba´lyos ha´romszo ¨g; – a dodekae´dert, amelynek lapjai szaba´lyos o ¨tszo ¨gek, sza´m szerint tizenkett˝ o; ve´gu ¨l – a hu ´ sz-lapu ´ ikozae´dert, amelynek minden lapja szaba´lyos ha´romszo ¨g. Mivel ezek Plato ´n ´ra ı ´saiban is megjelennek, gyakran plato ´ni testeknek is nevezik ˝ket. o Az Elemek utolso ´ el˝ otti ´allı´ta´sa, a XIII.18. Te´telhez f˝ uzo ¨tt kiege´szı´te´s szerint to ¨bb szaba´lyos test nincs is; Euklide´sz frappa´ns bizonyı´ta´sa egyedu ¨ l az ime´nt emlı´tett X.21. Te´telre ta´maszkodik. XIII.18. Te´tel [kiege´szı´te´se] Azt ´allı´tom, hogy az emlı´tett o ¨t testen kı´vu ¨l nem szerkeszthet˝ o ma´s egyenl˝ o oldalu ´ , egyenl˝ o szo ¨g˝ u e´s egyma´ssal egyenl˝ o lapok ´altal ko ¨zrefogott test. B IZONYI´TA´ S : Ke´t ha´romszo ¨gb˝ ol vagy egya´ltala´n lapbo ´l nem szerkeszthet˝ o ugyanis te´rszo ¨g. Ha´rom ha´romszo ¨gb˝ ol a gu ´ la [tetrae´der], ne´gyb˝ ol az oktae´der, o ¨tb˝ ol pedig az ikozae´der te´rszo ¨ge szerkeszthet˝ o. Hat, egy ponthoz (mint ko ¨zo ¨s csu ´ cshoz) szerkesztett egyenl˝ o oldalu ´ e´s egyenl˝ o szo ¨g˝ u ha´romszo ¨gb˝ ol nem lesz te´rszo ¨g, hiszen mivel az egyenl˝ o oldalu ´ ha´romszo ¨g egy szo ¨ge ke´tharmad dere´kszo ¨g, a hat ne´gy dere´kszo ¨ggel egyenl˝ o, ami nem lehetse´ges, mert valamennyi te´rszo ¨get o ¨sszegben ne´gy dere´kszo ¨gne´l kisebb szo ¨gek

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Geometria: a mindense´g tudoma´nya

147

fognak ko ¨zre (XI.21.). Ugyanı´gy hatna´l to ¨bb (ilyen) sı´kszo ¨gb˝ ol sem szerkeszthet˝ o te´rszo ¨g. Ha´rom ne´gyzet a kocka te´rszo ¨ge´t fogja ko ¨zre. Ne´gyb˝ ol nem lehet, mert isme´t ne´gy dere´kszo ¨g az o ¨sszeg. Az egyenl˝ o oldalu ´ e´s egyenl˝ o szo ¨g˝ uo ¨tszo ¨gekb˝ ol: ha´rombo ´l a dodekae´der te´rszo ¨ge szerkeszthet˝ o, ne´gyb˝ ol viszont nem lehet, hiszen mivel az egyenl˝ o oldalu ´o ¨tszo ¨g egy szo ¨ge egy ege´sz egyo ¨to ¨d dere´kszo ¨g, a ne´gy nagyobb ne´gy dere´kszo ¨gne´l, ami nem lehetse´ges. Ugyanezen ellentmonda´s miatt ma´s sokszo ¨gek sem fognak ´ ppen ezt kellett megmutatni. ko ¨zre te´rszo ¨get. E

Geometria: a mindense ´g tudoma ´ nya A geometria sze´pse´ge e´s elegancia´ja sza´mos matematikust e´s filozo ´fust olyanynyira leny˝ ugo ¨zo ¨tt, hogy univerzumunk szerkezete´ben is geometriai minta´zatokat ve´ltek felfedezni. Plato ´n pe´lda´ul, Timaiosz cı´m˝ u dialo ´gusa´ban az anyag egy speci´alis, a pu ¨ thagoreusok sza´mmisztika´ja´ra emle´keztet˝ o „atomelme´lete´t” a szaba´lyos testekre alapozta. A Timaiosz szerint a vila´got alkoto ´ ne´gy elem – a t˝ uz, a leveg˝ o, a vı´z e´s a fo ¨ld – mindegyike apro ´, oszthatatlan egyse´gekb˝ ol ´all o ¨ssze, s – mivel a vila´g csak to ¨ke´letes alkoto ´elemekb˝ ol e´pu ¨ lhet fel – ezen alapegyse´gek mind szaba´lyos testek. A t˝ uz az elemek legko ¨nnyebbje, emellett a t˝ uz nyelve a lege´lesebb: nem ´allhat ma´sbo ´l, csak szaba´lyos tetrae´derekb˝ ol. A legstabilabb a fo ¨ld: alkoto ´elemei teha´t apro ´ kocka´k. A folye´kony e´s alakja´t ko ¨nnyede´n va´ltoztato ´ vı´z elemei minden bizonnyal ikozae´derek, elve´gre az ikozae´der a „leggo ¨rdu ¨ le´kenyebb” szaba´lyos test. Plato ´n szerint „a leveg˝ ou ´ gy viszonyul a vı´zhez, mint a vı´z a fo ¨ldho ¨z”, s ebb˝ ol – titokzatos mo ´don – azt a ko ¨vetkeztete´st vonja le, hogy a leveg˝ o re´szecske´i oktae´der alaku ´ ak. S nem maradt ki a dodekae´der sem: „azt a mindense´gre haszna´lta fel az isten, mid˝ on abba csillagke´peket sz˝ ott”. Mai szemmel Plato ´n elme´lete ne´mike´pp furcsa´nak t˝ unik – a gondolat azonban, mely szerint a mindense´g szerkezete´t szaba´lyos testek hata´rozza´k meg, ege´szen a tizenhatodik-tizenhetedik sza´zadig fennmaradt. Kepler, aki me´g illusztra´cio ´kat is ke´szı´tett Plato ´n elme´lete´hez (4.7. ´abra), a szaba´lyos testek jelent˝ ose´ge´t ne´mike´pp ma´sban la´tta; elme´lete mindazona´ltal – ba´r a tudoma´nyossa´g la´tszata´t kelti – e´ppen u ´ gy te´ves, mint a nagy go ¨ro ¨g gondolkodo ´e´. A Kepler ideje´ben ismert hat bolygo ´: a Merku ´ r, a Ve´nusz, a Fo ¨ld, a Mars, a Jupiter e´s a Szaturnusz. Kopernikusz elme´lete szerint, melyet le´nyege´ben Kepler is elfogadott, ezek mind a Nap ko ¨ru ¨ l keringenek. Kepler arra keresett va´laszt, hogy mie´rt pontosan hat bolygo ´ van, s hogy a bolygo ´k Napto ´l valo ´ ta´volsa´gainak elte´re´sei mo ¨go ¨tt rejt˝ ozik-e me´lyebb ok. A megolda´s szerinte nem numerikus, sokkal inka´bb geometriai minta´zatokban keresend˝ o. A bolygo ´k aze´rt vannak pontosan hatan, e´rvelt, mert ba´rmely ke´t szomsze´dos bolygo ´ ko ¨zo ¨tt egy szaba´lyos test le´tesı´t kapcsolatot – ez uto ´bbiakbo ´l pedig pontosan o ¨t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o le´tezik. Ne´mi kı´se´rleteze´s uta´n sikeru ¨ lt kidolgoznia egy egyma´sba ´agyazott szaba´lyos testekb˝ ol e´s go ¨mbo ¨kb˝ ol ´allo ´ modellt, amelyben minden bolygo ´pa´lya valamelyik go ¨mb felu ¨ lete´re esik. A legku ¨ ls˝ o go ¨mb (a Szaturnusze´) egy kocka´t foglal maga´ba,

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

148

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.7. a ´ bra. Plato ´n elme´lete a ne´gy elemr˝ ol e´s Univerzumro ´l, Johannes Kepler illusztra´cio ´ja.

a kocka egy go ¨mbo ¨t (a Jupiter pa´lya´ja´val), ez uto ´bbi pedig egy szaba´lyos tetrae´dert, melynek beı´rt go ¨mbje a Mars pa´lya´ja´t jelo ¨lte ki. A Mars-go ¨mbbe Kepler dodekae´dert rajzolt, melynek beı´rt go ¨mbje´n a Fo ¨ld, a „Fo ¨ld-go ¨mbben” elhelyezked˝ o ikozae´der belseje´ben le´v˝ o go ¨mbo ¨n a Ve´nusz, ve´gu ¨ l, egy oktae´derrel beljebb a Merku ´ r pa´lya´ja kapott helyet. Az elme´let impoza´ns – e´s fa´radsa´gos munka´val elke´szu ¨ lt – megjelenı´te´se a 4.8. ´abra´n la´thato ´. Kepler feltehet˝ oen me´lyse´gesen ele´gedett volt m˝ uve´vel, amely ellen csupa´n egyetlen kifoga´st emelhetu ¨ nk: hogy az ege´sz to ¨ke´letesen e´rtelmetlen! El˝ oszo ¨r is, a bolygo ´pa´lya´k ta´volsa´gviszonyai e´s az egyma´sba szerkesztett go ¨mbo ¨k ko ¨zo ¨tti o ¨sszefu ¨ gge´s csak ko ¨zelı´t˝ oleg pontos. Ezzel maga Kepler is tiszta´ban volt, s u ´ gy keresett kiutat, hogy modellje´ben ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o vastagsa´gu ´ go ¨mbo ¨ket szerepeltetett – mondanunk sem kell: ane´lku ¨ l, hogy megindokolta volna. A ma´sodik proble´ma´t ma´r semmife´le u ¨ gyeskede´ssel nem lehet orvosolni: mint kideru ¨ lt, a bolygo ´k sza´ma nem hat, hanem kilenc – ha teha´t tova´bb akarna´nk menni a kepleri u ´ ton, nyolc szaba´lyos testre lenne szu ¨ kse´gu ¨ nk, holott ke´szleteink ma´r a hatodik bolygo ´na´l kimeru ¨ ltek. Modern ne´z˝ opontunkbo ´l kiindulva, aka´r el is csoda´lkozhatna´nk, hogy akkora elme´k, mint Plato ´n vagy Kepler, effe´le bolondos elme´leteket o ¨tlo ¨ttek ki. Mi sugallhatta vajon, hogy a szaba´lyos testek e´s az univerzum szerkezete ko ¨zo ¨tt valamife´le kapcsolatnak kell lenni?

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Geometria: a mindense´g tudoma´nya

149

A va´lasz egyszer˝ u. Ugyanabbo ´l a meggy˝ oz˝ ode´sb˝ ol indultak ki, mint korunk terme´szettudo ´sai: a vila´g minta´zatait a matematika eszko ¨zei ´rja ı ´k le, s – bizonyos me´rte´kig legala´bbis – magyara´zza´k meg. Akkoriban a matematika legjobban kidolgozott teru ¨ lete a geometria volt, a szaba´lyos testek elme´lete pedig me´g ezen belu ¨ l is kive´teles sta´tust vı´vott ki: sikeru ¨ lt meghata´rozni a lehetse´ges szaba´lyos testek sza´ma´t, mi to ¨bb, azonosı´totta´k, s re´szletes vizsga´latnak vetette´k ala´ valamennyit. Kepler elme´lete´t˝ ol az igazsa´got elvitathatjuk ugyan, ´am elegancia´ja´t senki nem vonhatja ke´tse´gbe. Az egyma´sba ´agyazott go ¨mbo ¨kre e´pu ¨ l˝ o modell to ¨ke´letesen megfelel a nagy korta´rs, Galilei ma´r ide´zett sza´llo ´ige´je´nek: „A Terme´szet nagy ko ¨nyve csak azok el˝ ott ´all nyitva, akik ismerik a nyelvet, amelyen ´ ppense´ggel a matematikai minta´zat magasabb´rva ı van: a matematika nyelve´t.” E rend˝ use´ge´be vetett hit a magyara´zat arra, hogy Kepler me´g olyan esetleges te´nyez˝ oket is bee´pı´tett modellje´be, amelyekre nemigen tudott magyara´zattal szolga´lni. A plato ´ni e´s kepleri elme´letet persze elvethetju ¨ k, s tekinthetju ¨ k mindkett˝ ot, ´ m az alapvet˝ u ´ gy, ahogy vannak, nonszensznek. A o meggy˝ oz˝ ode´s, mely szerint a terme´szet absztrakt minta´zatai csak a matematika eszko ¨zeivel tanulma´nyozhato ´k ˝ket, amely manapsa´g is e´l, s adekva´t mo ´don, olyan tradı´cio ´ re´szeseive´ teszik o amely a legfe´nyesebb sikereket tudja felmutatni.

4.8. a ´ bra. Kepler illusztra´cio ´ja a bolygo ´pa´lya´k ´altala megalkotott elme´lete´hez.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

150

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.9. a ´ bra. A ku ´ pszeletek azok a go ¨rbe´k, amelyek egy ku ´ p e´s egy sı´k metsze´svonalake´nt ´allı´thato ´k el˝ o. A ku ´ pszeletek A go ¨ro ¨g geometria´nak az Euklide´szt ko ¨vet˝ o korbo ´l sza´rmazo ´ eredme´nyei ko ¨zu ¨l kiemelkedik Apollo ´niosz monumenta´lis, nyolc ko ¨tetes, Ku ´pszeletek cı´m˝ u e´rtekeze´se. Ku ´ pszeletet, mint azt a ne´v is jelzi, akkor kapunk, ha egy ku ´ pot sı´kkal elmetszu ¨ nk. Ha´rom ilyen nevezetes go ¨rbe van: az ellipszis, a parabola e´s a hiperbola. (Mint a 4.9. ´abra´n la´thato ´, a ko ¨r is felfoghato ´ specia´lis ku ´ pszeletke´nt: amennyiben a szo ´ban forgo ´ sı´k mer˝ oleges a ku ´ p tengelye´re, a ku ´ pbo ´l ko ¨rt metsz ki.) A go ¨ro ¨g geometria ezekre vonatkozo ´ eredme´nyeinek Apollo ´niosz ko ¨nyve olyasfe´le o ¨sszefoglala´sa, mint az euklideszi Elemek. A Ku ´pszeletek, Euklide´sz e´s Arkhime´de´sz munka´i mellett ege´szen a tizenhetedik sza´zadig nagy megbecsu ¨ le´snek o ¨rvendett, ami csak tova´bb n˝ ott, mikor Kepler ko ¨zze´tette a bolygo ´pa´lya´k alakja´ra vonatkozo ´ nevezetes to ¨rve´nyeit, minek eredme´nyeke´nt az ellipszis, az a go ¨rbe teha´t, amelyen minden bolygo ´, s a Fo ¨lddel egyu ¨ tt az emberise´g is e´gi pa´lya´ja´t ro ´ja, s amelynek vizsga´lata´t addig legfo ¨ljebb eszte´tikai szempontok motiva´lta´k, a hirtelen u ´ jja´e´led˝ o e´rdekl˝ ode´s ko ¨ze´ppontja´ba keru ¨ lt. A bolygo ´pa´lya´kra vonatkozo ´ Kepler-to ¨rve´nyek mellett a ku ´ pszeleteknek a fizika szı´npada´n ma´s jelene´sei is vannak. Az eldobott k˝ o pe´lda´ul parabolapa´lya´n

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A ku ´pszeletek

151

esik vissza a fo ¨ldre; a matematikusok ´gy ı ko ¨zrem˝ uko ¨dhettek azoknak a l˝ ota´bla´zatoknak az o ¨sszea´llı´ta´sa´ban, amelyeknek ha´boru ´ s id˝ okben a tu ¨ ze´rek igen nagy haszna´t veszik. Gyakran emlegetik a to ¨rte´netet, amely arro ´l szo ´l, mike´nt nyu ´ jtott segı´tse´get Arkhime´de´sz Szu ¨ rakuszai ostroma´na´l, mikor a va´rost a kartha´go ´i hadja´rat re´szeke´nt a ro ´maiak ostromolta´k. A nagy matematikus-fizikus ´allı´to ´lag hatalmas parabola alaku ´ tu ¨ kro ¨ket ´allı´ttatott fel, amelyek a Nap fe´nye´t o ¨sszegy˝ ujto ¨tte´k, s az ellense´ges hajo ´kra ira´nyı´totta´k, ´gy ı felgyu ´ jtva azokat. A tru ¨ kk matematikai alapja a parabola azon tulajdonsa´ga, miszerint a tengelye´vel pa´rhuzamosan e´rkez˝ o fe´nysugarak mind ugyanazon a ponton mennek ´at, a parabola fo ´kuszpontja´n (4.10. ´abra). Az elv egyszer˝ u ugyan, a megvalo ´sı´ta´s azonban tu ´ lsa´gosan nagy nehe´zse´gekkel ja´r, aminek alapja´n a to ¨rte´net hitelesse´ge er˝ osen ke´tse´gbe vonhato ´. Napjaink technikai fejlettse´ge mellett ma´r teljesen ma´s a helyzet: az auto ´k fe´nyszo ´ro ´ja, a m˝ uholdvev˝ o-antenna´k e´s a ra´dio ´ta´vcso ¨vek mind parabola alaku ´ ak. A ha´rom ku ´ pszelet els˝ o pillanta´sra ha´rom egyma´sto ´l alapvet˝ oen ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o go ¨rbe: az egyik za´rt, a ma´sik egy, a harmadik ke´t ve´gtelen ´agbo ´l tev˝ odik o ¨ssze. Hogy valo ´ja´ban ugyanazon geometriai minta´zat ha´rom alfaja´t ke´pviselik, csupa´n akkor deru ¨ l ki, mikor „eredetu ¨ k” ta´rgyala´sa´ra keru ¨ l a sor. Vegyu ¨ k e´szre, hogy az egyse´ges alapminta´zat felismere´se´hez egy dimenzio ´beli ugra´s is szu ¨ kse´ges: a sı´kgo ¨rbe´k mindegyike ugyanabbo ´l a te´rbeli alakzatbo ´l sza´rmazik. A ku ´ pszeletek ma´sik ko ¨zo ¨s – algebrai – jellemz˝ oje´nek felfedeze´se Rene´ Descartes, francia filozo ´fus e´s matematikus e´rdeme. Az ´altala kidolgozott koordina´tageometria megko ¨zelı´te´se´ben az alakzatok algebrai egyenletekkel ´rhato ı ´k le. Pe´lda´ul a ku ´ pszeletek e´ppen azok az alakzatok, amelyek ke´tva´ltozo ´s ma´sodfoku ´

4.10. a ´ bra. A parabola tengelye´vel pa´rhuzamosan e´rkez˝ o fe´nysugarak visszaver˝ ode´s uta´n mind ´athaladnak a parabola F fo ´kuszpontja´n. A jelense´gnek ha´boru ´s e´s be´keid˝ oben egyara´nt sza´mos gyakorlati alkalmaza´sa le´tezik.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

152

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

egyenletekkel hata´rozhato ´k meg. A ko ¨vetkez˝ o fejezetben e minta´zatot vesszu ¨k ko ¨zelebbr˝ ol szemu ¨ gyre. Le ´gy a mennyezeten ´ rtekeze´s a mo 1637-ben jelent meg Descartes nevezetes ko ¨nyve, az E ´dszerr˝ ol, amely a tudoma´nyos mo ´dszer rendkı´vu ¨ l eredeti filozo ´fiai elemze´se´t adja. Ennek els˝ o kiada´sa´ban szerepelt a Geometria cı´m˝ u fu ¨ ggele´k, a ta´rgy forradalmian u ´ j, algebrai megko ¨zelı´te´se´vel. Ett˝ ol kezdve nem csupa´n egy u ´ j mo ´dszer ´allt rendelkeze´sre a geometriai feladatok megolda´sa´hoz – maga´t a geometria´t is fel lehetett fogni az algebra egy ´agake´nt. Descartes do ¨nt˝ ou ´ jı´ta´sa a ke´t koordina´tatengely bevezete´se (4.11. ´abra). A ke´t tengely valo ´ja´ban ke´t egyma´sra mer˝ oleges, egyma´st a 0 pontban metsz˝ o valo ´s sza´megyenes; a vı´zszintest x, a fu ¨ gg˝ olegest y tengelynek, metsze´spontjukat origo ´nak nevezzu ¨ k. Annak az egyenesnek az egyenlete pe´lda´ul, amelynek meredekse´ge m (azaz jobbra 1 egyse´gnyit haladva az egyenesen m egyse´ggel keru ¨ lu ¨ nk fo ¨ljebb), s amely az y tengelyt az y = c helyen metszi:

y = mx + c.

4.11. a ´ bra. A sı´k Descartes-fe´le koordina´ta-rendszere. Minden ponthoz egye´rtelm˝ uen hozza´rendelhet˝ o egy valo ´s sza´mpa´r, amely megadja a pontnak a tengelyekt˝ ol valo ´ ta´volsa´ga´t. Az ´abra´n la´thato ´ P pont koordina´ta´i: (a, b).

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Le´gy a mennyezeten

153

¨ze´ppontu ´ , r sugaru ´ ko ¨r egyenlete pedig: A (p, q) ko

(x − p)2 + (y − q)2 = r2 . A za´ro ´jelek felbonta´sa´val egyenletu ¨ nk a ko ¨vetkez˝ o alakot o ¨lti:

x2 + y2 − 2px − 2qy = k, ahol k = r2 − p2 − q2 . Utolso ´ egyenletu ¨ nk kiza´ro ´lag akkor reprezenta´l ko ¨rt, ha az r2 =
k + p2 + q2 kifejeze´s pozitı´v, ez esetben a ko ¨ze´ppont a (p, q) pont, sugara pedig k + p2 + q2 . Amennyiben a ko ¨r ko ¨ze´ppontja az origo ´, sugara pedig r, u ´ gy egyenlete ku ¨ lo ¨no ¨ske´ppen egyszer˝ u:

x2 + y2 = r 2 .

Origo ´ ko ¨ze´ppontu ´ ellipszist ´r ı le pe´lda´ul az

x2 y2 + 2 = 1, 2 a b egyenlet, az y = x2 + ax + b. egyenlet pedig fu ¨ gg˝ oleges tengely˝ u parabola´t. Origo ´ ko ¨ze´ppontu ´ hiperbola´kat kapunk az

x2 y2 − = 1, a2 b2 e´s az egyszer˝ ubb xy = k egyenletekkel. A go ¨rbe´kre pe´lda´kat a 4.12. ´abra´n la´thatunk. Descartes-ro ´l szo ´lva nem hagyhatjuk ki a to ¨rte´netet, amely arro ´l sza´mol be, mi is vezette szerz˝ onket a koordina´tageometria gondolata´hoz. Ege´szse´ge´vel gyakran ado ´dtak gondok, s egy alkalommal, mid˝ on az ´agyat nyomta, s unalma´ban a mennyezeten ma´szka´lo ´ legyeket figyelte, felismerte, hogy ba´rmely le´gy helyzete minden pillanatban pontosan meghata´rozhato ´, amennyiben ke´t egyma´sra mer˝ oleges falto ´l valo ´ ta´volsa´ga´t egyidej˝ uleg megadjuk. S azok az algebrai kifejeze´sek, amelynek va´ltozo ´i helye´ben e ke´t ta´volsa´gadat szerepel, a le´gy mennyezeten beja´rt lehetse´ges „pa´lya´it” adja´k meg. Ha egyeneseket e´s go ¨rbe´ket algebrai kifejeze´sekkel reprezenta´lunk, a go ¨ro ¨go ¨k ´altal kidolgozott geometriai mo ´dszerek helyett algebrai m˝ uveleteket ve´gezhetu ¨ nk. Ha pe´lda´ul ke´t go ¨rbe metsze´spontjait akarjuk meghata´rozni, a go ¨rbe´ket megado ´ egyenletekb˝ ol ´allo ´ algebrai egyenletrendszert kell megoldanunk. Sza´mı´tsuk ki pe´lda´ul a az y = 2x egyenes e´s a x2 + y2 = 1 egyenlet˝ u ko ¨r metsze´spontjait (4.13. ´abra). Ha a ma´sodik egyenletben y helye´be 2x-et helyet√ tesı´tu ¨ nk, az x2 + 4x2 = 1 egyenletet kapjuk, amelynek megolda´sai x = ±1/ 5.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

154

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

Ezek az e´rte´kek adja´k meg a metsze´spontok x koordina´ta´it, a megfelel˝ o y koordina´ta ´ k pedig az y = 2x formula ´ bo ´ l sza ´ mı ´thato ´ k ki. A ke ´ t metsze ´ spont ve´gu ¨ l: √ √ √ √ P(1/ 5, 2/ 5) e´s Q(−1/ 5, −2/ 5). Ke´t egyenes mer˝ olegesse´ge´nek – szu ¨ kse´ges e´s ele´gse´ges – felte´tele szinte´n arra pe´lda, hogy mike´nt ragadhato ´ meg egy geometriai minta´zat algebrai o ¨sszefu ¨ gge´su egyenesek pontosan akkor sel: az y = mx + c e´s az y = nx + d egyenlet˝ mer˝ olegesek egyma´sra, ha mn = −1. Ha a differencia´lsza´mı´ta´s eszko ¨zeit is hadrendbe ´allı´tjuk, az algebrai kifejeze´sekkel megadott go ¨rbe´k adott pontbeli e´rint˝ oire is egyszer˝ u szaba´lyokat mondhau go ¨rbe e´rint˝ oje az x = a koordina´ta´ju ´ pontban az tunk ki. Az y = f(x) egyenlet˝ ala´bbi egyenes:

y = f  (a)x + [f(a) − f  (a)a].

4.12. a ´ bra. Ku ´ pszeletek grafikonja. Balra fent: Az x2 + y2 = r2 egyenlet˝ u ko ¨r. Jobbra fent: Az x2 /a2 + y2 /b2 = r2 egyenlet˝ u ellipszis. Balra lent: Az y = x2 egyenlet˝ u parabola. Jobbra lent: Az xy = 1 egyenlet˝ u hiperbola.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A ko ¨r ne´gyszo ¨gesı´te´se ´es ma´s lehetetlense´gek

155

4.13. a ´ bra. A ko ¨r e´s az egyenes P e´s Q metsze´spontjainak megtala´la´sa´hoz a ke´t alakzat egyenlete´b˝ ol ´allo ´ egyenletrendszert kell megoldanunk.

Atto ´l persze, hogy algebrai mo ´dszereket veszu ¨ nk ige´nybe, me´g nem va´ltoztatjuk a geometria´t algebra´va´. A geometria az alakzatok tudoma´nya, s mint ilyen, e´ppen aze´rt matematikai tudoma´ny, mert egy absztrakt minta´zatot vizsga´l logikailag korrekt eszko ¨zo ¨kkel. Az eszko ¨zo ¨k tekintete´ben azonban semmife´le tova´bbi megszorı´ta´snak nincs helye. Az analitikus sza´melme´let pe´lda´ul az analı´zis technika´inak alkalmaza´sa´ra e´pu ¨ l, te´teleinek sza´melme´leti jellege´t mindazona´ltal senki nem vonja ke´tse´gbe. Az algebra´bo ´l (e´s az analı´zisb˝ ol) ko ¨lcso ¨nzo ¨tt technika´k a geometria´ban az absztrakcio ´u ´ j lehet˝ ose´gei, olyan minta´zatok tanulma´nyoza´sa fele´ nyitottak utat, ame˝si proble´ma´k is meglyekre ma´sku ¨ lo ¨nben nem deru ¨ lt volna fe´ny. Emellett olyan o oldo ´dtak, amelyek ma´r a re´gi go ¨ro ¨go ¨k ideje´ben is nyugtalanı´totta´k a matematikusokat. A ko ¨vetkez˝ o fejezetet ezek bemutata´sa´nak szentelju ¨ k. A ko ¨ r ne ´gyszo ¨ gesı´te ´se e ´s ma ´ s lehetetlense ´gek A ne´gyzet vagy a te´glalap teru ¨ lete´nek kisza´mı´ta´sa´hoz a szorza´son kı´vu ¨ l semmi ma´sra nincs szu ¨ kse´gu ¨ nk, a go ¨rbe vonallal hata´rolt alakzatok – pe´lda´ul a ko ¨r vagy az ellipszis – teru ¨ lete´nek kisza´mı´ta´sa´hoz azonban ma´r ko ¨rmo ¨nfontabb mo ´dszerekre van szu ¨ kse´gu ¨ nk. A go ¨ro ¨go ¨k a kimerı´te´s technika´ja´t ko ¨vette´k, a mai matematikusok integra´lokat sza´mı´tanak ki – mindkett˝ o jo ´val bonyolultabb a puszta szorza´sna´l. A teru ¨ letsza´mı´ta´s proble´ma´ja´nak ma´sik lehetse´ges megolda´sa az lehetne, ha valamike´ppen el˝ o´allı´tana´nk a szo ´ban forgo ´ alakzattal egyenl˝ o teru ¨ let˝ u ne´gyzetet, amelynek teru ¨ lete´t azta´n ko ¨nny˝ uszerrel kisza´mı´thatna´nk. Ilyen ne´gyzet minden bizonnyal le´tezik – mike´ppen lehetne megtala´lni? A ne´gyszo ¨gesı´te´s (vagy kvadratu ´ra) proble´ma´jake´nt ra´nk hagyoma´nyozo ´dott feladatok ko ¨zu ¨ l az egyik legegysze-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

156

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

r˝ ubb – legala´bbis annak t˝ un˝ o – a ko ¨r ne´gyszo ¨gesı´te´se: adott egy ko ¨r, szerkesszu ¨k meg a vele azonos teru ¨ let˝ u ne´gyzetet! A go ¨ro ¨go ¨k e´vsza´zadokon keresztu ¨ l pro ´ba´lkoztak azzal, hogy a feladatot ko ¨rz˝ ovel e´s vonalzo ´val – az Elemek tiszta eszko ¨zeivel – megoldja´k, de minden er˝ ofeszı´te´su ¨ k, csaku ´ gy, mint a ke´s˝ obbi korok matematikusainak e´s o ¨njelo ¨lt „ko ¨rne´gyszo ¨gesı´t˝ oinek” valamennyi kı´se´rlete, sikertelen maradt. (Terme´szetesen a pontos megolda´s megtala´la´sa volt a ce´l, ko ¨rz˝ os-vonalzo ´s ko ¨zelı´t˝ o megolda´soknak ege´sz sora ismert.) A megolda´s reme´nye´t 1882-ben ve´gleg szertefoszlatta Ferdinand Lindemann ne´met matematikus, aki ke´tse´get kiza´ro ´an bebizonyı´totta: a proble´ma megoldhatatlan. A bizonyı´ta´s csupa´n algebrai eszko ¨zo ¨ket haszna´l, vagyis az analitikus geometria keretein belu ¨ l marad. Az els˝ o le´pe´s az euklideszi szerkeszte´sek algebrai megfelel˝ oinek azonosı´ta´sa. Ko ¨nnyen igazolhato ´, hogy pontosan azok a szakaszok szerkeszthet˝ ok meg ko ¨rz˝ ovel e´s vonalzo ´val, amelyeknek a hossza ege´sz sza´mokbo ´l kiindulva o ¨sszeada´ssal, kivona´ssal, szorza´ssal, oszta´ssal e´s ne´gyzetgyo ¨kvona´ssal megkaphato ´. Tetsz˝ oleges ilyen hosszu ´ sa´g sza´me´rte´ke enne´lfogva algebrai sza´m, azaz megkaphato ´ egy polinomegyenlet megolda´sake´nt; az ilyen egyenletek ´altala´nos forma´ja

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 = 0, ahol az an , . . . , a0 egyu ¨ tthato ´k mind valo ´s sza´mok. Azokat a valo ´s sza´mokat, amelyek nem algebraiak, transzcendensnek mondjuk. √ ol A transzcendens sza´mok mind irraciona´lisak, fordı´tva azonban ez nem ´all: 2-r˝ tudjuk, hogy irraciona´lis, ellenben nyilva´nvalo ´an algebrai, le´ve´n az

x2 − 2 = 0 egyenlet egyik megolda´sa. Ma´rmost Lindemann – az analı´zis mo ´dszereit alkalmazva – bebizonyı´totta, hogy a π sza´m transzcendens; ennek egyik ko ¨vetkezme´nye, hogy a ko ¨r ne´gyszo ¨gesı´te´se lehetetlen. Tekintsu ¨ k ugyanis az egyszer˝ use´g kedve´e´rt az egyse´gnyi sugaru ´ ko ¨rt. Ennek 2 π · r = π · 1 = π , a vele egyenl˝ o teru ¨ let˝ u ne ´ gyzet oldala enne´lfogva teru ¨ lete √ π. Ha e ne´gyzet ko ¨ rz˝ o vel e ´ s vonalzo ´ val megszerkeszthet˝ o volna, abbo ´l az ko ¨√ ı maga a π is algebrai lenne, ellentmondva Lindemann vetkezne, hogy π, s ´gy te´tele´nek. Az analitikus geometria algebrai mo ´dszereivel sikeru ¨ lt bela´tni egy ma´sik klaszszikus go ¨ro ¨g proble´ma, a kocka megkett˝ oze´se´nek megoldhatatlansa´ga´t is. A feladat: egy adott kocka oldala´nak ismerete´ben szerkesszu ¨ k meg – kiza´ro ´lag ko ¨rz˝ o e´s vonalzo ´ segı´tse´ge´vel – a na´la ke´tszer nagyobb te´rfogatu ´ kocka oldala´t. Amennyiben az eszko ¨zo ¨kre vonatkozo ´ megszorı´ta´sto ´l eltekintu ¨ nk, a feladat megoldhato ´: pe´lda´ul – bizonyos vonalak mente´n mozgathato ´ – csu ´ szo ´ vonalzo ´ e´s ko ¨rz˝ o segı´tse´ge´vel, esetleg ku ´ pszeleteket vagy (ha´rom dimenzio ´s szerkeszte´sekben) egy hengert, ku ´ pot vagy to ´ruszt felhaszna´lva.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nemeuklideszi geometria´k felfedeze´se

157

Ha az egyse´gnyi te´rfogatu ´ kocka megkett˝ ozhet˝ o lenne, akkor meg tudna´nk √ 3 ´ sa´gu ´ szaszerkeszteni a – ke´t egyse´g te´rfogatu ´ kocka oldala´t ke´pez˝ o – 2 hosszu kaszt. Bela´thato ´ azonban, me´ghozza´ Lindemann te´tele´ne´l egyszer˝ ubb gondolatmenet alapja´n, hogy ez a sza´m – amely mellesleg az x3 − 2 = 0 egyenlet megolda´sa – nem kaphato ´ meg a ne´gy alapm˝ uvelet s a ne´gyzetgyo ¨kvona´s ve´ges sza´mu ´ alkalmaza´sa´val, a keresett szakasz teha´t ko ¨rz˝ ovel e´s vonalzo ´val nem szerkeszthet˝ o meg. A harmadik, az o ´kori go ¨ro ¨go ¨kt˝ ol sza´rmazo ´ klasszikus feladat a szo ¨gharmadola´s proble´ma´ja: le´tezik-e – kiza´ro ´lag ko ¨rz˝ ot e´s vonalzo ´t haszna´lo ´ – mo ´dszer, melyet ko ¨vetve tetsz˝ oleges szo ¨g harmadolhato ´? Bizonyos szo ¨gek esete´ben a feladat ko ¨nnyen megoldhato ´: mivel 30◦ -os szo ¨g ko ¨nnyen szerkeszthet˝ o, a dere´kszo ¨g harmadola´sa nem proble´ma. A feladat azonban olyan ´altala´nos mo ´dszer megkerese´se, amely tetsz˝ oleges szo ¨gre alkalmazhato ´. A szo ¨gharmadola´s proble´ma´ja´nak megfelel˝ o algebrai feladat szinte´n egy harmadfoku ´ egyenlet megolda´sa, amely csupa´n az euklideszi alapszerkeszte´seknek megfelel˝ o m˝ uveletek (a ne´gy alapm˝ uvelet e´s a ne´gyzetgyo ¨kvona´s) alkalmaza´sa´val nem oldhato ´ meg. A ko ¨rz˝ os-vonalzo ´s ´altala´nos mo ´dszer teha´t nem le´tezik. Hangsu ´ lyozzuk: e feladatok o ¨nmagukban nem tekinthet˝ ok fontos matematikai proble´ma´knak, hı´rnevu ¨ ket a hosszu ´ id˝ onek ko ¨szo ¨nhetik, melynek folyama´n mindve´gig ellena´lltak a megolda´si kı´se´rleteknek. A csupa´n ko ¨rz˝ ot e´s vonalzo ´t haszna´lo ´ szerkeszte´sek a go ¨ro ¨go ¨k intellektua´lis ja´te´kake´nt foghato ´k fel; az eszko ¨˝k maguk is ismertek megolda´sokat. zo ¨kre vonatkozo ´ libera´lisabb kiko ¨te´sekkel o Amire azonban mindenke´pp e´rdemes felfigyelni: a megolda´sok akkor szu ¨ lettek meg, amikor a tiszta´n geometriai jelleg˝ u proble´ma´kat sikeru ¨ lt az algebra nyelve´re lefordı´tani. Eredeti megfogalmaza´sukban a proble´ma´k geometriai szerkeszthet˝ o˝ket egyense´gr˝ ol szo ´ltak; a megolda´sok kulcsle´pe´se pedig az volt, hogy sikeru ¨ lt o e´rte´k˝ u algebrai minta´zatok segı´tse´ge´vel ´atfogalmazni. A nemeuklideszi geometria ´ k felfedeze ´se Mint ma´r emlı´tettu ¨ k, Euklide´sz posztula´tumai ko ¨zu ¨ l egyedu ¨ l az o ¨to ¨dik t˝ unt problematikusnak: ba´r igazsa´ga´ban senki nem ke´telkedett, sokan me´gis u ´ gy e´rezte´k, inka´bb olyan te´telnek kell lennie, amely me´g alapvet˝ obb ´allı´ta´sokbo ´l ko ¨vetkezik. Az o ¨to ¨dik posztula´tumot to ¨bb ekvivalens forma´ban is sikeru ¨ lt megfogalmazni, melyek ko ¨zo ¨tt – e´rdekes mo ´don – Euklide´sz eredeti posztula´tuma e´ppense´ggel a legko ¨rmo ¨nfontabbak egyike: Playfair posztula´tuma: Ha adott egy egyenes e´s egy – nem rajta fekv˝ o – pont, akkor pontosan egy olyan egyenes le´tezik, amely pa´rhuzamos a szo ´ban forgo ´ egyenessel, e´s ´atmegy az illet˝ o ponton. Proklosz axio ´ma´ja: Amennyiben egy egyenes ke´t pa´rhuzamos egyenes valamelyike´t metszi, u ´ gy metszi a ma´sikat is.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

158

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

Az egyenl˝ o ta´volsa´g posztula´tuma – A pa´rhuzamos egyenesek mindenu ¨ tt egyenl˝ o ta´volsa´gra helyezkednek el egyma´sto ´l. A szo ¨go ¨sszeg posztula´tuma: Ba´rmely ha´romszo ¨g bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege ke´t dere´kszo ¨ggel egyenl˝ o. A ha´romszo ¨gteru ¨ let posztula´tuma: Le´tezik tetsz˝ olegesen nagy teru ¨ let˝ u ha´romszo ¨g. A ha´rom pont posztula´tuma: Ba´rmely ha´rom pont vagy egy egyenesen, vagy egy ko ¨rvonalon helyezkedik el. A fenti ´allı´ta´sok to ¨bbse´ge´t – tala´n a ha´romszo ¨g szo ¨go ¨sszege´re e´s a ha´rom pontra vonatkozo ´ posztula´tum kive´tele´vel – majdnem mindenki „nyilva´nvalo ´nak” tartja. Tekintsu ¨ k pe´lda´nak Playfair posztula´tuma´t. Mike´nt bizonyosodhatna´nk meg igazsa´ga´ro ´l? Hu ´ zzunk teha´t egy egyenest, e´s jelo ¨lju ¨ nk ki egy pontot az egyenesen kı´vu ¨ l. Be kell la´tni, hogy ezen a ponton keresztu ¨ l egyenesu ¨ nkkel egy e´s csak egy pa´rhuzamos hu ´ zhato ´. Ekkor azonban hirtelen to ¨bb proble´ma´val is szembesu ¨ lu ¨ nk. El˝ oszo ¨r is, ha meghu ´ zunk egy egyenest, az ´gy ı kapott vonal – ba´rmilyen hegyes ´ro ı ´eszko ¨zt haszna´ljunk is – adott vastagsa´gu ´ sa´v lesz, nem pedig euklideszi, idea´lis, ve´gtelenu ¨ l ve´kony vonal. Ma´sodszor, ahhoz, hogy la´ssuk, egyeneseink valo ´˝ket, sohasem tala´lkoznak, a ban pa´rhuzamosak, azaz ba´rhogy meghosszabbı´tva o ve´gtelenbe kellene la´tnunk, ami lehetetlen. (Olyan egyenest, amely a lapon nem tala´lkozik adott egyenesu ¨ nkkel, sokat behu ´ zhatna´nk.) Playfair posztula´tuma teha´t kifejezetten alkalmatlan arra, hogy empirikusan ellen˝ orizzu ¨ k. Vajon a ha´romszo ¨gek szo ¨go ¨sszege´re vonatkozo ´ posztula´tum ilyen? Annyi bizonyos, a posztula´tum ellen˝ orze´se´hez nem kell olyan „messzire elmennu ¨ nk”, mint az el˝ oz˝ o esetben. Tala´n az ´allı´ta´s keve´sbe´ intuitı´v, mivel azonban Playfair posztula´tuma´val to ¨ke´letesen egyene´rte´k˝ u, ez nem szabad, hogy befolya´soljon minket. Tegyu ¨ k fel teha´t, hogy ha´romszo ¨geket rajzolunk, melyek szo ¨geinek o ¨sszege´t – a napjainkban egya´ltala´n nem ele´rhetetlen – 0,001◦ -os pontossa´ggal ke´pesek vagyunk megme´rni. Ha most ha´romszo ¨geink szo ¨go ¨sszege´re 180◦ -ot kapunk, csak arra ko ¨vetkeztethetu ¨ nk, hogy a szo ´ban forgo ´o ¨sszeg 179,999◦ e´s 180,001◦ ko ¨ze´ esik, ezzel azonban semmit sem bizonyı´tottunk. Ma´sre´szr˝ ol viszont, ha valamely ha´romszo ¨g bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege´re 179,9◦ -t kapunk, akkor posztula´tumunkat megca´foltuk: ekkor ugyanis az o ¨sszeg 179,899◦ ◦ e´s 179,901 ko ¨ze´ kell, hogy essen, semmike´ppen nem lehet teha´t 180◦ . A tizenkilencedik sza´zad eleje´n Gauss ´allı´to ´lag kı´se´rletileg is megpro ´ba´lta tesztelni az o ¨to ¨dik posztula´tumot. Hogy a vonalak ve´ges vastagsa´ga´bo ´l sza´rmazo ´ hiba´kat kiku ¨ szo ¨bo ¨lje, olyan ha´romszo ¨get va´lasztott, amelyek csu ´ csai egyma´sto ´l messzire fekv˝ o hegycsu ´ csok voltak, az oldalakat enne´lfogva fe´nysugarak jelo ¨lte´k ki, melyekne´l finomabbat semmife´le ´ro ı ´eszko ¨zzel nem rajzolhatott volna. Az eredme´ny: 180◦ , plusz-mı´nusz a me´re´si hiba. A hiba pedig, legyu ¨ nk ba´rmily optimista´k, nem lehetett kisebb 30 szo ¨gma´sodpercne´l. A nagyreme´ny˝ u kı´se´rlet teha´t

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nemeuklideszi geometria´k felfedeze´se

159

– me´rfo ¨ldes le´pte´kben – u ´ jra igazolta, amiben azt megel˝ oz˝ oleg is biztosak voltak: a ha´romszo ¨g bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege nagyon jo ´ ko ¨zelı´te´ssel 180◦ . Semmife´le lehet˝ ose´g nem kı´na´lkozik teha´t arra, hogy ´allı´ta´sunkat kı´se´rletileg igazoljuk. S me´gis, Playfair posztula´tuma´t igaznak hisszu ¨ k, s˝ ot, igazsa´ga´ro ´l a leghata´rozottabban meg vagyunk gy˝ oz˝ odve. Az egyenes vonal absztrakt fogalma´val mind tiszta´ban vagyunk, nem tartjuk lehetetlen gondolatnak, hogy az egyenesek minden hata´ron tu ´ l meghosszabbı´thato ´k, s a pa´rhuzamossa´g koncepcio ´ja´ban sem la´tunk semmi kivetnivalo ´t: ezek uta´n nyilva´nvalo ´, hogy a szo ´ban forgo ´ pa´rhuzamos le´teze´se´ben e´s egye´rtelm˝ use´ge´ben eszu ¨ nk ´aga´ban sincs ke´telkedni. Fejezetu ¨ nk eleje´n ma´r leszo ¨geztu ¨ k: az alapvet˝ o geometriai fogalmak e´s az azokhoz kapcsolo ´do ´ intuı´cio ´ nem felelnek meg semminek a fizikai vila´gban. Kiza´ro ´lag elme´nkben le´teznek, legyen teha´t a fizikai te´r struktu ´ ra´ja aka´r euklideszi, aka´r nem (ba´rmit jelentsen is ez), a vila´got e forma´k szerint ´erze´kelju ¨k. Mivel foglalkozik akkor a geome´ter? Mire alapozza tudoma´nya´t: idealiza´lt, absztrakt objektumokra, melyeket az e´rze´kele´su ¨ nk is befolya´sol? Ha a matematika´ban az igazsa´g ke´rde´se szo ´ba keru ¨ l, csak axio ´ma´kon alapulhat, melyek az alapfogalmakat e´rtelmezik. Empirikus me´re´si eredme´nyek sohasem eredme´nyeznek matematikai bizonyossa´got. A geometriai gondolatmenetekben az intuı´cio ´ ugyan segı´tse´gu ¨ nkre lehet – ve´gu ¨ l azonban mindent kiza´ro ´lag az axio ´ma´k alapja´n kell bizonyı´tanunk. Az axiomatiza´la´s, a szemle´letesse´g kiku ¨ szo ¨bo ¨le´se´nek eszme´je az euklideszi geometria veze´relvei – e´s me´gis, csaknem ke´t e´vezredbe telt, mı´g a matematikusok ke´pesse´ va´ltak feladni azt a ne´zetet, miszerint Euklide´sz geometria´ja a geometria, az egyetlen, amely a mindense´g elme´leteke´nt szo ´ba jo ¨het. Az euklideszi alapok els˝ o megingato ´ja Girolamo Saccheri ita´liai matematikus volt, aki 1733-ban ko ¨nyvet jelentetett meg, A minden hiba´to ´l megszabadı´tott Euklide´sz cı´mmel. Ebben az o ¨to ¨dik posztula´tumot u ´ gy kı´se´relte meg bizonyı´tani, hogy a tagada´sa´bo ´l ellentmonda´st pro ´ba´lt levezetni. Ha adott egy egyenes e´s egy nem rajta fekv˝ o pont, akkor a posztula´tumbeli pa´rhuzamost illet˝ oen ha´rom lehet˝ ose´g jo ¨het szo ´ba: 1. pontosan egy pa´rhuzamos le´tezik; 2. egyetlen pa´rhuzamos sem le´tezik; 3. egyne´l to ¨bb pa´rhuzamos le´tezik. A lehet˝ ose´geket a 4.14. ´abra illusztra´lja. Az els˝ o lehet˝ ose´g pontosan az, amelyet Euklide´sz o ¨to ¨dik posztula´tuma ´r ı el˝ o. Saccheri megpro ´ba´lta bizonyı´tani, hogy a ma´sik ke´t lehet˝ ose´g ellentmonda´sra vezet. Euklide´sz ma´sodik posztula´tuma szerint ba´rmely egyenes tetsz˝ olegesen meghosszabbı´thato ´, Saccheri szerint ez a ma´sodik lehet˝ ose´ggel nem egyeztethet˝ o o ¨ssze. A harmadikat ma´r nem tudta ilyen ko ¨nnyen kiza´rni: to ¨bb, a szemle´letnek ellentmondo ´ ko ¨vetkezme´nye´t is levezette, ´am forma´lis ellentmonda´st – vagyis egy ´allı´ta´st a tagada´sa´val egyu ¨ tt – nem tudott kicsikarni.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

160

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.14. a ´ bra. A pa´rhuzamossa´gi posztula´tum. Ha adott egy l egyenes e´s egy ra´ nem illeszked˝ o P pont, akkor a P ponton ´atmen˝ o, l-lel pa´rhuzamos egyenes(ek)re vonatkozo ´an ha´rom lehetse´ges esetet kell megvizsga´lnunk: (i) pontosan egy ilyen pa´rhuzamos le´tezik, (ii) nem le´tezik ilyen pa´rhuzamos, (iii) to ¨bb ilyen pa´rhuzamos is le´tezik. Euklide´sz o ¨to ¨dik posztula´tuma szerint az els˝ o ´all fenn.

Sza´z e´vvel ke´s˝ obb ne´gy matematikus, egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenu ¨ l, u ´ jra nekiveselke˝ dett a Saccheri ´altal torzo ´ban hagyott feladatnak. Oket azonban ma´r nem ko ¨to ¨tte gu ´ zsba a meggy˝ oz˝ ode´s, mely szerint „egy a geometria, e´s abban Euklide´sz o ¨to ¨dik posztula´tuma igaz”. A sorban az els˝ o Gauss. A Saccheri-fe´le harmadik lehet˝ ose´ggel ekvivalens ´allı´ta´sbo ´l kiindulva, mely szerint a ha´romszo ¨g bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege 180◦ -na´l kisebb, ra´mutatott, hogy a felte´teleze´s nem ellentmonda´shoz, hanem egy teljesen u ´ j, nemeuklideszi geometria´hoz vezet. Eredme´nyeit nem publika´lta, az els˝ o ´ra ı ´sos

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nemeuklideszi geometria´k felfedeze´se

161

emle´k, amelyben ezekr˝ ol emlı´te´st tesz, egy kolle´ga´ja´nak, Franz Taurinusnak ´rt ı leve´l, 1824-b˝ ol: A felteve´s, miszerint a ha´romszo ¨g bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege 180◦ -na´l kisebb, ku ¨ lo ¨nleges, a mienkt˝ ol szo ¨gesen elte´r˝ o geometria´t eredme´nyez, amely mindazona´ltal me´gsem ellentmonda´sos, s amelynek elemeit – jo ´magam legnagyobb megele´gede´se´re – re´szletesen is kidolgoztam. Egy ma´sik, 1829-ben ´rott ı levele´ben azt is ela´rulja, mie´rt habozott a vila´g ele´ ta´rni eredme´nyeit: u ´ gy ve´lte, tudoma´nyos tekinte´lye´t csorbı´tana´, ha hı´re menne, hogy szerinte nem Euklide´sze´ az egyetlen lehetse´ges geometria. Az ifju ´ magyar tu ¨ ze´rkapita´nyt, Bolyai Ja´nost effe´le gondok nem nyomasztotta´k. Apja, Bolyai Farkas, a nagy Gauss bara´tja, aki maga is foglalkozott a pa´rhuzamosok proble´ma´ja´val, fia´t azonban igyekezett elte´rı´teni ez ira´nyu ´ kutata´saito ´l. ˝ O me´gsem adta fel, s Gausshoz hasonlo ´an arra a meggy˝ oz˝ ode´sre jutott: az o ¨to ¨dik posztula´tum tagada´sa nem inkonzisztencia´hoz, hanem egy vadonatu ´ j, „ma´s vila´g” megteremte´se´hez vezet. Az ifju ´ Bolyai munka´ja 1832-ben, apja Tentamen cı´m˝ u ko ¨nyve´nek fu ¨ ggele´keke´nt jelent meg. Gauss ezuta´n szı´ve´lyesen tudatta a ˝ ma´r jo Bolyaiakkal, hogy o ´val kora´bban hasonlo ´ eredme´nyekre jutott. Bolyai, akinek munka´ja´t e´lete´ben semmife´le elismere´s nem o ¨vezte, me´g azzal ˝ munka´ja jelent meg elsem vigasztalo ´dhatott, hogy nyomtata´sban legala´bb az o s˝ oke´nt az u ´ j, nemeuklideszi geometria´ro ´l: a kazanyi egyetem tana´ra, Nyikolaj Lobacsevszkij 1829-ben, teha´t ha´rom e´vvel a nevezetes Appendix el˝ ott ma´r nyilva´nossa´gra hozta eredme´nyeit, Imagina´rius geometria cı´mmel. A tizenkilencedik sza´zad dereka fele´ ko ¨zeledve teha´t ma´r ke´t geometria volt a szı´nen: az euklideszi, amelyben a pa´rhuzamossa´gi posztula´tum egy e´s csak egy pa´rhuzamos le´teze´se´t garanta´lta, s a hiperbolikus vagy Bolyai – Lobacsevszkij-fe´le geometria, amely to ¨bb pa´rhuzamos le´teze´se´t is megengedte. Nem kellett soka´ig va´rni, s a harmadik is megjelent: 1854-ben Bernhard Riemann ra´mutatott, a ma´sodik lehet˝ ose´g Saccheri-fe´le ca´folata nem ´allja meg a helye´t, s hogy a felteve´s, hasonlo ´an a harmadikhoz, nem vezet ellentmonda´sra. Saccheri gondolatmenete azon bukott meg, hogy Euklide´sz ma´sodik posztula´tuma´bo ´l (abbo ´l, hogy egy egyenes tetsz˝ olegesen meghosszabbı´thato ´) nem ko ¨vetkezik, hogy az egyenes ve´gtelen hosszu ´. Riemann teha´t, hasonlo ´an el˝ odeihez, egy u ´ jabb geometria lehet˝ ose´ge´t villantotta fel: a Riemann-fe´le geometria´ban a ha´romszo ¨gek bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege mindig nagyobb 180◦ -na´l. To ¨rte´netu ¨ nk egyetlen szerepl˝ oje´nek sem jutott esze´be ke´tse´gbe vonni, hogy a vila´gunk valo ´di, „igaz” geometria´ja az euklideszi geometria. Csak arra hı´vta´k fel a figyelmet, hogy az o ¨to ¨dik posztula´tum a to ¨bbi ne´gy alapja´n nem vezethet˝ o le, e´s nem is ca´folhato ´. Annak bizonyı´ta´sa´ra, hogy a nemeuklideszi geometria´k ellentmonda´smentesek (pontosabban, hogy amennyiben maga az euklideszi geometria ˝k is azok) 1868-ig kellett va´rni, amikor Eugenio Beltrami konzisztens, akkor o

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

162

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.15. a ´ bra. A szfe´rikus geometria egyenesei a go ¨mbi f˝ oko ¨ro ¨k, amelyek az adott pontok ko ¨zo ¨tti legro ¨videbb – mindazona´ltal a go ¨mb felszı´ne mente´n halado ´ – utat hata´rozza´k meg.

megmutatta, mike´nt modellezhet˝ o a hiperbolikus e´s a Riemann-fe´le geometria az euklideszi elme´letben. S ez az a pont, mikor kideru ¨ lt, mit is jelent valo ´ban csupa´n az axio ´ma´kra ta´maszkodni, s megszabadulni szemle´leti beidegz˝ odo ¨ttse´geinkt˝ ol. Az euklideszi geometria alapvet˝ o objektumai a pontok e´s az egyenesek. (A ko ¨r ma´r definia´lhato ´: adott pontto ´l egyenl˝ o ta´volsa´gra le´v˝ o pontok halmazake´nt.) Ezekre vonatkozo ´an a legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb intuı´cio ´kkal rendelkezhetu ¨ nk, amennyiben azonban intuı´cio ´inkat nem ta´mogatja´k meg axio ´ma´k, bizonyı´ta´sainkban nem hivatkozhatunk ra´juk. Euklide´sz geometria´ja a sı´k geometria´ja. Mi a helyzet azzal a geometria´val, amely mondjuk a Fo ¨ld felszı´ne´n e´rve´nyes? Tegyu ¨ k fel, hogy a Fo ¨ld to ¨ke´letes go ¨mb; mivel e go ¨mb ha´romdimenzio ´s, a felszı´ne – mike´nt a megszokott sı´k – ke´tdimenzio ´s. Nevezzu ¨ k az e felu ¨ leten e´rve´nyes geometria´t szfe´rikus geometri´anak. Melyek e geometria egyenesei? A legke´zenfekv˝ obb va´lasz: a geodetikus vonalak, amelyek ba´rmely ke´t pont ko ¨zo ¨tt a minima´lis hosszu ´ sa´gu ´ utat adja´k meg. A go ¨mbfelszı´nen ezek a go ¨mbi f˝ oko ¨ro ¨k, azaz olyan ko ¨rı´vek, amelyek egy a go ¨mb ko ¨ze´ppontja´n ´atmen˝ o sı´k e´s a go ¨mbfelszı´n metsze´svonalake´nt kaphato ´k meg (4.15. ´abra). Ha a magasbo ´l ne´zzu ¨ k, az effe´le „egyenesek” valo ´ja´ban nem egyenesek, elve´gre a Fo ¨ld go ¨rbu ¨ lete´t ko ¨vetik. Amennyiben azonban nem szakadunk el a talajto ´l, egyeneseink valamennyi, az egyenesekt˝ ol elva´rhato ´ tulajdonsa´ggal rendelkezni fognak. A 4.15. ´abra´n a New York – London ko ¨zo ¨tti legro ¨videbb repu ¨ l˝ outat tu ¨ ntettu ¨ k fel, amely e´rtelemszer˝ uen egy f˝ oko ¨r mente´n halad. A szfe´rikus geometria pontjai e´s egyenesei marade´ktalanul kiele´gı´tik Euklide´sz els˝ o ne´gy posztula´tuma´t, mindazona´ltal nyilva´nvalo ´, hogy az egyenesek – ma´sodik posztula´tum ´altal megko ¨vetelt – folytonos meghosszabbı´thato ´sa´ga´bo ´l nem ko ¨vetkezik az egyenesek ve´gtelense´ge. Ha egy egyenest ele´g soka´ig folytatunk, egyszer csak megkeru ¨ li a go ¨mbo ¨t, s visszate´r o ¨nmaga´ba. Az o ¨to ¨dik posztula´tum nem

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nemeuklideszi geometria´k felfedeze´se

163

teljesu ¨ l, mi to ¨bb: ebben a geometria´ban nincsenek pa´rhuzamosok, ba´rmely ke´t egyenes metszi egyma´st, me´ghozza´ a go ¨mb ke´t ´atellenes pontja´ban (4.16. ´abra). A go ¨mbfelu ¨ let geometria´ja teha´t kiele´gı´ti Euklide´sz els˝ o ne´gy posztula´tuma´t – abban a forma´jukban legala´bbis biztosan, ahogy Euklide´sz kimondta azokat. Manapsa´g ´altala´ban u ´ gy ve´lju ¨ k, az els˝ o posztula´tumban Euklide´sz nemcsak azt ko ¨veteli meg, hogy ba´rmely ke´t pont egyenessel o ¨sszeko ¨thet˝ o legyen, de azt is, hogy pontosan egy ilyen egyenes le´tezzen. A szfe´rikus geometria´ban ez az er˝ osebb kiko ¨te´s ma´r nem teljesu ¨ l: a go ¨mb ke´t ´atellenes pontja ve´gtelen sok egyenessel – teha´t go ¨mbi f˝ oko ¨rrel – o ¨sszeko ¨thet˝ o. A szigoru ´ bb posztula´tumnak is eleget tehetu ¨ nk, ha kiko ¨tju ¨ k, hogy az ´atellenesen elhelyezked˝ o pontpa´rok valo ´´ szaki sark teha´t ugyanaz, mint a De´li, ja´ban egyetlen pontot ke´pezzenek. Az E hasonlo ´an, az Egyenlı´t˝ o valamennyi pontja azonosnak tekintend˝ o a vele ´atellenes – de ugyancsak egyenlı´t˝ oi – ponttal. Ily mo ´don definia´lhatunk egy „geometriai szo ¨rnyszu ¨ lo ¨ttet”, amely csak igen keve´sse´ szemle´letes. De megjelenı´thet˝ ose´g ide vagy oda, ebben a ku ¨ lo ¨no ¨s vila´gban Riemann o ¨sszes axio ´ma´ja – s enne´lfogva valamennyi azokbo ´l levezethet˝ o te´tel – igaz. Az interpreta´cio ´ „pontjai” a go ¨mbfelu ¨ let pontjai, „egyenesei” pedig a go ¨mbi f˝ oko ¨ro ¨k, amelyeknek ´atellenes pontjait egybeejtettu ¨ k. A modell csupa´n akkor zavarba ejt˝ o, ha egyetlen pillanta´ssal akarjuk megragadni a Riemann-fe´le „sı´k” ege´sze´t. Az ´atellenes pontok egybeejte´se valo ´ja´ban csupa´n ahhoz szu ¨ kse´ges, hogy egyetlen egyenes se fogjon ´at to ¨bbet egy fe´l f˝ oko ¨r´vne ı ´l, s ezzel elkeru ¨ lju ¨ k a „ve´gtelen hosszu ´ ” egyenesek miatt felle´p˝ o nehe´zse´geket. Ha kisebb me´retekre szorı´tkozunk, akkor e geometria nem ku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o meg a Fo ¨ld felszı´ne´n e´rve´nyes, vila´gja´ro ´ felebara´taink ´altal a gyakorlatban is tesztelt geometria´to ´l.

4.16. a ´ bra. A szfe´rikus geometria´ban nincsenek pa´rhuzamos egyenesek: ba´rmely ke´t egyenes a go ¨mbfelszı´n ke´t ´atellenes pontja´ban tala´lkozik.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

164

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.17. a ´ bra. A szfe´rikus geometria´ban ba´rmely ha´romszo ¨g bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege nagyobb, mint 180◦ . Ha analo ´gia´nkna´l maradva a Fo ¨ld felszı´ne´n megtett hosszu ´ utakra gondolunk, akkor nyilva´nvalo ´, hogy e geometria´ban ba´rmely ha´romszo ¨g bels˝ o szo ¨geinek ot, mine´l nagyobb a ha´romszo ¨g, anna´l nagyobb a o ¨sszege nagyobb 180◦ -na´l, s˝ bels˝ o szo ¨gek o ¨sszege is. Ke´pzelju ¨ k el pe´lda´ul azt a ha´romszo ¨get, amelynek egyik ´ szaki Sark, a ma´sik az Egyenlı´t˝ csu ´ csa az E o e´s a greenwich-i de´lko ¨r metsze´spontja, a harmadik pedig a ma´sodikto ´l pontosan 90◦ -kal nyugatra helyezkedik el. E ha´romszo ¨g valamennyi szo ¨ge 90◦ -os, bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege ´gy ı 270◦ . (‘Ha´romszo ¨g’ ehelyu ¨ tt terme´szetesen a szfe´rikus geometria szerinti ha´romszo ¨get jelent: olyan alakzatot, amelynek ha´rom csu ´ csa´t ha´rom geodetikus vonal ko ¨ti o ¨ssze.) S mine´l kisebb a ha´romszo ¨g, anna´l kisebb a bels˝ o szo ¨gek o ¨sszege, ege´szen kicsiny ha´romszo ¨gek esete´ben nagyon keve´ssel to ¨bb csak, mint 180◦ . Ha teha´t saja´t, „fo ¨ldho ¨zragadt” perspektı´va´nkbo ´l vizsga´lo ´dunk, a ha´romszo ¨gek szo ¨go ¨sszege´t nagy pontossa´ggal 180◦ -nak fogjuk tala´lni (ba´r a matematikailag pontos eredme´ny enne´l mindig nagyobb). Vajon hasonlo ´ mo ´don a hiperbolikus geometria is reprezenta´lhato ´? A va´lasz: igen, s az alapo ¨tlet ugyanaz: a hiperbolikus sı´k egyeneseit is egy megfelel˝ o felu ¨ let geodetikusaival kell modellezni – de melyik legyen ez a felu ¨ let? A megolda´s olyan minta´zaton alapul, amelyet minden szu ¨ l˝ o ismer, aki ma´r la´tta gyermeke´t, amint ja´te´kait maga uta´n hu ´ zza. Mikor a gyermek e´les kanyart vesz, a zsino ´r nem e´les szo ¨gben, hanem la´gy ´vben ı keru ¨l u ´ jra mo ¨ge´: egy specia´lis go ¨rbe, a traktrix alakja´t veszi fel. Helyezzu ¨ nk most ke´t traktrixot egyma´ssal szembe, mike´nt a 4.18. ´abra mutatja, s forgassuk meg az alakzatot az AB vonal ko ¨ru ¨ l. Az ´gy ı kapott felu ¨ letet pszeudoszfe´ra´nak nevezzu ¨ k, s szinte´n a 4.18. ´abra´n la´thato ´. E felu ¨ let mindke´t ira´nyban ve´gtelen, s egyre jobban „ra´simul” az AB tengelyre. A hiperbolikus geometria a pszeudoszfe´ra geodetikusainak geometria´ja. Euklide´sz els˝ o ne´gy posztula´tuma´nak mindegyike e´rve´nyes, mike´nt az euklideszi geometria hilberti axio ´ma´i is – az egy pa´rhuzamossa´gi axio ´ma kive´tele´vel. Ha adott

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nemeuklideszi geometria´k felfedeze´se

165

egy egyenes, s egy pont, amely nincs rajta ezen az egyenesen, akkor ve´gtelen sok, az adott ponton ´atmen˝ o s a szo ´ban forgo ´ egyenessel pa´rhuzamos – teha´t azt soha nem metsz˝ o – egyenes le´tezik. A ha´romszo ¨gek bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege a hiperbolikus geometria´ban mindig kisebb, mint 180◦ . Az ege´szen kicsi ha´romszo ¨gek esete´ben – e´ppu ´ gy, mint a szfe´rikus geometria´ban – az elte´re´s minima´lis. Ha azonban ha´romszo ¨gu ¨ nket nyu ´ jtani kezdju ¨ k, szo ¨geinek o ¨sszege folyamatosan cso ¨kkenni fog. Megismerkedtu ¨ nk teha´t ha´rom, egyma´sto ´l szo ¨gesen ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o geometria´val. Melyik vajon az igazi, a Terme´szet ´altal kiva´lasztott geometria? A ke´rde´sre, meglehet, nincs egye´rtelm˝ u va´lasz. Az Univerzum t˝ olu ¨ nk fu ¨ ggetlenu ¨ l, a saja´t to ¨rve´nyei szerint le´tezik – a geometria azonban emberi alkota´s, amely bizonyos, sza´munkra le´nyeges minta´zatokon alapul. Mie´rt kellene egya´ltala´n a mindense´gnek geometria´val rendelkezni? Fogalmazzunk kicsit ma´ske´ppen! A matematikai minta´zatok ne´melyike a terme´szet jelense´geinek leı´ra´sa e´s magyara´zata sora´n komoly sikereket e´rt el. A geometriai minta´zatok pedig bizonyos megfigyelhet˝ o e´s me´rhet˝ o fizikai viszonyokat tu ¨ kro ¨znek. Melyik geometria felel meg legjobban a megfigyele´si adatoknak? Emberi le´pte´kben – ami a fo ¨ldfelszı´n egy re´sze´t, vagy aka´r ege´sze´t is jelentheti –, ahol a fizikai jelense´geket Newton to ¨rve´nyei to ¨ke´letes pontossa´ggal leı´rja´k, a szo ´ban forgo ´ geometria´k ko ¨zu ¨ l ba´rmelyik megteszi. Mivel a ha´rom ko ¨zu ¨ l Euklide´sze´ ´all legko ¨zelebb szemle´letu ¨ nkho ¨z, semmi nem akada´lyozhatja meg, hogy ezt tartsuk „a fizikai vila´g valo ´di geometria´ja´nak”. Ha azonban nagyobb le´pte´kben kezdu ¨ nk vizsga´lo ´dni, s a Naprendszer, s˝ ot, galaxisunk hata´rain is tu ´ lra tekintu ¨ nk, akkor a klasszikus newtoni fizika helye´t Einstein relativita´selme´lete veszi ´at, s ekkora ta´volsa´gokban ma´r a nemeuklideszi geometria´k t˝ unnek helye´nvalo ´nak. A relativita´selme´let szerint a te´rid˝ o go ¨rbu ¨ lt,

4.18. a ´ bra. A pszeudoszfe´ra (lent) egy kett˝ os traktrix (fent) forgata´sa´bo ´l sza´rmaztathato ´.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

166

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.19. a ´ bra. A pszeudoszfe´ra´n elhelyezked˝ o ba´rmely ha´romszo ¨g bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege kisebb, mint 180◦ .

s amit mi gravita´cio ´nak nevezu ¨ nk, tulajdonke´ppen e go ¨rbu ¨ let megnyilva´nula´sa. Az Univerzum go ¨rbu ¨ lete´t a fe´nysugarak, a geometria idea´lis egyeneseinek fizikai megfelel˝ oi jelzik. Mid˝ on valamely ta´voli csillagbo ´l kiindulo ´ fe´nysuga´r egy nagyobb test, mondjuk Napunk mellett „halad el”, pa´lya´ja ne´mileg meggo ¨rbu ¨ l, teha´t e´ppu ´ gy elte´r az – idea´lis, geometriai – egyenest˝ ol, mint pe´lda´ul a go ¨mbi f˝ oko ¨ro ¨k. Az Univerzum elme´lete alapja´n kell teha´t eldo ¨ntenu ¨ nk, melyik geometria´t is va´lasszuk. Ha u ´ gy ve´lju ¨ k, a vila´gegyetem ta´gula´sa nem tart o ¨ro ¨kke´, s bizonyos – igen hosszu ´ – id˝ o eltelte´vel o ¨sszehu ´ zo ´da´sba megy ´at, akkor Riemann geometria´ja a megfelel˝ o. Ha viszont kideru ¨ l, hogy a ta´gula´s o ¨ro ¨kke´ folytato ´dik, az annyit jelent, hogy a te´r „igazi” geometria´ja hiperbolikus. ´ rdemes megjegyezni, hogy a relativita´selme´let felfedeze´se mindo E ¨ssze fe´l e´vsza´zaddal ko ¨vette a nemeuklideszi geometria´ke´t. A matematika ez esetben teha´t a ˝rs szerepe´t ja´tszotta. A he´tko vila´g mege´rte´se´e´rt folyo ´ ku ¨ zdelemben az el˝ oo ¨znapi megfigyele´s sora´n felta´rulo ´ minta´zatokat az euklideszi geometria pompa´s, elega´ns matematikai elme´lette´ absztraha´lta, az u ´ jabb tı´pusu ´ elme´letek viszont csak jo ´val ke´s˝ obb, az axiomatikus mo ´dszer ko ¨zelebbi vizsga´lata sora´n jelentek meg a szı´nen. Ve´gu ¨ l kideru ¨ lt: az eredetileg kiza´ro ´lag matematikai ce´lzattal kidolgozott absztrakt teo ´ria´k galaktikus le´pte´kben sokkal inka´bb megfelelnek fizikai keretelme´letke´nt, mint a jo ´o ¨reg euklideszi geometria. A renesza ´ nsz m˝ uve ´szek geometria ´ ja A te´rke´pke´szı´te´shez vagy tet˝ oszerkezetek ´acsola´sa´hoz az euklideszi geometria to ¨ke´letesen megfelel˝ o keretelme´let. A tengere´sznek, aki a vizek ha´ta´n, vagy a pilo ´ta´nak, aki a szelek sza´rnya´n tesz Fo ¨ld ko ¨ru ¨ li utaza´sokat, ma´r a szfe´rikus geometria minta´zatai is ismer˝ osek. A csillaga´sz viszont esetleg a hiperbolikus geometria to ¨rve´nyeit la´tja e´rve´nyesu ¨ lni. A megfelel˝ o geometria kiva´laszta´sa mindig atto ´l fu ¨ gg, mivel e´s milyen megko ¨zelı´te´sben foglalkozunk. A renesza´nsz kor m˝ uve´szei, Leonardo da Vinci e´s Albrecht Du ¨ rer festme´nyeiken e´s metszeteiken a te´r me´lyse´ge´nek, teha´t a harmadik dimenzio ´nak a meg-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A renesza´nsz m˝ uve´szek geometria´ja

167

4.20. a ´ bra. Albrecht Du ¨ rer Institutiones Geometricae cı´m˝ u fametszete a vetı´te´sen alapulo ´ perspektivikus ´abra´zola´s technika´ja´t illusztra´lja. A bal oldali alak keze´ben tartott u ¨ veglapon az asztalon elhelyezked˝ o ta´rgy perspektivikus ke´pe la´thato ´, amely u ´ gy keletkezett, hogy a m˝ uve´sz a keretben elhelyezett lap mo ¨go ¨tt u ¨ lve to ¨bb pont esete´ben is berajzolta a szeme´b˝ ol kiindulo ´, s az illet˝ o ponton ´atmen˝ o egyenes e´s az u ¨ veglap metsze´spontja´t. A mo ´dszer teha´t: sı´kra vonatkozo ´ vetı´te´s.

jelenı´te´se´t t˝ uzte´k ki ce´lul. Kezdeme´nyeze´su ¨k u ´ tto ¨r˝ o jelleg˝ u: a megel˝ oz˝ o korok alkota´sain, amelyre pe´lda´t a 2. szı´nes ta´bla´n la´thatunk, a te´r me´lyse´ge´re me´g csak utala´s sincs. A 3. ta´bla´n ellenben a renesza´nsz korban kidolgozott technika´k e´rhet˝ ok tetten, amelyek ma´r mindha´rom dimenzio ´ e´rze´keltete´se´re alkalmasak. Az alapgondolat: a va´sznat mind Du ¨ rer, mind Leonardo u ´ gy tekintette´k, mint ablakot, mely ta´rgya´ra nyı´lik. A vonalak, amelyek a ta´rgybo ´l indulnak ki szemu ¨ nk fele´, ´athaladnak ezen az ablakon, s az itt hagyott nyomukat, a ta´rgy vetu ¨lete´t o ¨ro ¨kı´ti meg a m˝ uve´sz (mint a 4.20. ´abra´n la´thato ´ Du ¨ rer-metszeten). Sza´ma´ra a legfontosabb geometriai minta´zatok enne´lfogva azok, amelyek a sı´kra vonatkozo ´ vetu ¨ letekre (idegen szo ´val projekcio ´kra) e´s a perspektivikus viszonyokra vonatkoznak. Ezek a fogalmak a projektı´v geometria alapfogalmai. Ba´r a perspektivita´s alapgondolata´t ma´r a tizeno ¨to ¨dik sza´zadban felfedezte´k, s feste´szeti technikake´nt fokozatosan uralomra jutott, o ¨na´llo ´ matematikai diszciplı´na´va´ csak a tizennyolcadik sza´zad ve´ge´re va´lt. 1813-ban Jean-Victor Poncelet,

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

168

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.21. a ´ bra. Ko ¨ze´ppontos vetı´te´s.

´ cole Polytecnique fiatal oktato a pa´rizsi E ´ja oroszorsza´gi hadifogsa´ga ideje´n ´rta ı meg az els˝ o projektı´v geometriai ta´rgyu ´ ko ¨nyvet, Traite´ des Proprie´te´s Projectives des Figures (Az alakzatok projektı´v tulajdonsa´gainak vizsga´lata) cı´mmel. A tizenkilencedik sza´zad eleje a ta´rgy rohamos fejl˝ ode´se´nek kora. Amennyiben az euklideszi geometria´t a minket ko ¨ru ¨ lvev˝ o vila´gro ´l alkotott menta´lis ke´peink absztrakt elme´leteke´nt fogjuk fel, akkor a projektı´v geometria a vila´g te´nylegesen e´rze´kelt aspektusait ragadja meg, azt a ke´pet, amely retina´nk – ke´t dimenzio ´s – felu ¨ lete´n kialakul. Mid˝ on a m˝ uve´sz tudatosan alkalmazza a perspektivita´s szaba´lyait, a ke´tdimenzio ´s ke´pb˝ ol minden tova´bbi ne´lku ¨ l ke´pesek vagyunk visszako ´dolni a te´rbeli alakzatokat. (Jo ´ pe´lda erre a 3. szı´nes ta´bla´n la´thato ´ festme´ny.) A projektı´v geometria azokat az alakzatokat, illetve az alakzatok azon tulajdonsa´gait vizsga´lja, amelyeket a vetı´te´sek va´ltozatlanul hagynak. Ha egy pontot vagy egy egyenest vetı´tu ¨ nk – mondjuk egy sı´kra –, akkor a ke´p is pont, illetve egyenes lesz: a pontok e´s az egyenesek teha´t a projektı´v geometria´nak is alapegyse´gei. Ehelyu ¨ tt azonban elke´l ne´mi o ´vatossa´g. A vetı´te´seknek ugyanis nem csupa´n egyetlen fajta´ja le´tezik. Egyetlen pontbo ´l kiindulo ´, u ´ n. centra´lis (ko ¨ze´ppontos) vetı´te´sre a 4.21. ´abra´n, pa´rhuzamos vetı´te´sre a 4.22. ´abra´n la´tunk pe´lda´t. A P pont ke´pe´t mindke´t ´abra´n P  , az l egyenese´t pedig l  jelo ¨li. A projektı´v geometria axiomatikus fele´pı´te´se´ben e ke´tfe´le vetı´te´s ko ¨zo ¨tt nem tehetu ¨ nk ku ¨ lo ¨nbse´get, e geometria´ban ugyanis nincsenek pa´rhuzamos egyenesek, amit teha´t az el˝ obb pa´r-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A renesza´nsz m˝ uve´szek geometria´ja

169

huzamos vetı´te´snek mondtunk, az szigoru ´ an ve´ve a szo ´ban forgo ´ pa´rhuzamosok „ve´gtelen ta´voli” metsze´spontja´bo ´l kiindulo ´ centra´lis vetı´te´s. A vetı´te´sek a szakaszok hossza´t e´s a szo ¨gek nagysa´ga´t e´rtelemszer˝ uen megva´ltoztatja´k, e geometria´ban teha´t nincs e´rtelme a ta´volsa´gokra vonatkozo ´ axio ´ma´k szerepeltete´se´nek, ´gy ı sem ezekre, sem a szo ¨gekre, sem az alakzatok egybeva´go ´sa´ga´ra vonatkozo ´an nem tudunk te´teleket kimondani. A ‘ha´romszo ¨g’ a projektı´v geometria´ban is e´rtelmes fogalom, az egyenl˝ o sza´ru ´ vagy egyenl˝ o oldalu ´ ha´romszo ¨ge´ azonban ma´r nem az. Valamely go ¨rbe vetı´te´se´nek eredme´nyeke´nt mindig egy u ´ jabb go ¨rbe´t kapunk. Felmeru ¨ l teha´t a go ¨rbe´k projektı´v geometriai oszta´lyoza´sa´nak proble´ma´ja. A ko ¨r nyilva´nvalo ´an nem projektı´v geometriai alakzat, ha ugyanis egy ko ¨rt vetı´tu ¨ nk, az eredme´ny igen gyakran nem ko ¨r, hanem ellipszis lesz. A ku ´ pszeletek esete´ben ma´r nem ez a helyzet, ezek vizsga´lata a projektı´v geometria´ban is e´rtelmes feladat. (Az euklideszi geometria „perspektı´va´ja´bo ´l” valamennyi ku ´ pszelet definia´lhato ´ egy ko ¨rnek valamely sı´kon keletkez˝ o vetı´tett ke´peke´nt. A ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o mo ´do ´n megadott vetı´te´sek ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ku ´ pszeleteket eredme´nyeznek.) E fejezetben a pontok e´s az egyenesek projektı´v tulajdonsa´gaira helyezzu ¨k a hangsu ´ lyt. Arra a ke´rde´sre keressu ¨ k a va´laszt, hogy melyek a legegyszer˝ ubb, ´am projektı´v szempontbo ´l is releva´ns minta´zatok. Ha egy pont valamely egyenesre illeszkedik, akkor a pont tetsz˝ oleges vetı´te´s sora´n keletkezett ke´pe az egyenes ke´pe´n marad – a pontok valamely egyenesre valo ´ illeszkede´se, valamint to ¨bb egyenesnek ugyanabban a pontban valo ´ tala´lkoza´sa enne´lfogva e´rtelmes projektı´v geometriai fogalmak. Nyugodtan haszna´lhatunk

4.22. a ´ bra. Pa´rhuzamos vetı´te´s.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

170

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.23. a ´ bra. Az – egyazon egyenesre illeszked˝ o – A, B, C e´s D pontok kett˝ osviszonya a CA/CB e´s a DA/DB ara´nyok ha´nyadosa. teha´t olyan fordulatokat, miszerint ha´rom pont ugyanarra az egyenesre illeszkedik (azaz kollinea´risak), vagy ha´rom egyenes ugyanabban a pontban tala´lkozik. A kedves Olvaso ´, ha kisse´ szkeptikus, ezen a ponton lehet, hogy elkedvetlenedik: elve´gre az euklideszi geometria csaknem valamennyi alapvet˝ o fogalma´t kihajı´tottuk az ablakon, s joggal ta´madhatnak ke´tse´geink afel˝ ol, hogy ami maradt, ele´gse´ges-e aka´r egyetlen nemtrivia´lis te´tel bizonyı´ta´sa´hoz. Geometria´nkat azonban u ´ gy hata´roztuk meg, mint a perspektivita´s tudoma´nya´t – nem lehet teha´t, hogy semmife´le tartalommal ne bı´rjon. A ke´rde´s ma´r csak az, hogy a szo ´ban forgo ´ „tartalom” e´rdekes geometriai te´telekben is testet o ¨lt-e. Ba´r a projektı´v geometria´ban nincs e´rtelme euklideszi ta´volsa´gokro ´l besze´lni, le´tezik egy projektı´v fogalom, amely tetsz˝ oleges, de ugyanazon egyenesre illeszked˝ o ne´gy pont relatı´v elhelyezkede´se´re vonatkozik: a kett˝ osviszony. Amennyiben az A, B e´s C pontok ugyanarra az egyenesre illeszkednek, akkor tetsz˝ oleges vetı´te´s, amely ezeket az – ugyancsak kollinea´ris – A  , B  e´s C  pontokba viszi, ´altala´ban megva´ltoztatja az AB e´s BC ta´volsa´gokat, s˝ ot, az AB/BC ha´nyados e´rte´ke´t is. Valo ´ja´ban tetsz˝ oleges A, B, C, illetve A  , B  e´s C  pontok esete´n megadhatunk ke´t vetı´te´st, amelyeknek az egyma´suta´nja az A-t A  -be, a B-t B  -be, a C-t pedig C  -be viszi, az A  B  /B  C  ara´ny enne´lfogva tetsz˝ oleges e´rte´ket felvehet. Ne´gy, egy egyenesre illeszked˝ o pont esete´n azonban ma´r le´tezik egy specia´lis mennyise´g, a ne´gy pont kett˝ osviszonya, amely a vetı´te´sek sora´n mindig ´allando ´ osviszonya´t a ko ¨vetkez˝ oke´ppen definia´ljuk marad. Az A, B, C e´s D pontok kett˝ (4.23. ´abra):

CA/CB . DA/DB Annak ellene´re teha´t, hogy ta´volsa´gfogalom a projektı´v geometria´ban nem e´rtelmezhet˝ o, a ha´tso ´ kapun aze´rt besettenkedik: a kett˝ osviszonyt, amely az elme´let sza´mos me´ly eredme´nye´ben kulcsfontossa´gu ´ szerepet ja´tszik, ve´geredme´nyben szakaszok hossza´ra vezettu ¨ k vissza. Hogy ve´gleg eloszlassuk a szkeptikusok agga´lyait, ´alljon itt egy megdo ¨bbent˝ o eredme´ny, amely a tizenhetedik sza´zad eleje´n e´lt francia matematikus, Ge´rard Desargues neve´t viseli: ¨g megfelel˝ o csu ´ csait o ¨sszeDesargues te´tele – Ha az ABC e´s az A  B  C  ha´romszo ko ¨t˝ o egyenesek ugyanabban az O pontban tala´lkoznak, akkor a megfelel˝ o ol-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A renesza´nsz m˝ uve´szek geometria´ja

171

4.24. a ´ bra. A sı´kbeli Desargues-te´tel. dalegyenesek meghosszabbı´ta´sainak metsze´spontjai egyazon egyenesre illeszkednek. A te´telt a 4.24. ´abra illusztra´lja. A kedves Olvaso ´, amennyiben egyetlen ´abra nem gy˝ ozi meg, ke´szı´tsen nyugodtan tova´bbi rajzokat. Nyilva´n projektı´v geometriai te´telr˝ ol van szo ´, elve´gre kiza´ro ´lag pontok, egyenesek, ha´romszo ¨g, pontok egyenesre valo ´ illeszkede´se, illetve egyenesek adott pontban valo ´ tala´lkoza´sa, teha´t csupa projektı´v geometriai fogalom fordul el˝ o benne. A te´telt be lehet la´tni az euklideszi geometria eszko ¨zeivel is, a bizonyı´ta´s azonban a legnagyobb jo ´indulattal sem nevezhet˝ o egyszer˝ unek. Sokkal ko ¨nnyebb dolgunk van, ha a projektı´v geometria keretei ko ¨zo ¨tt maradunk. A projektı´v geometria tetsz˝ oleges te´tele´re ´all, hogy amennyiben valamely konfigura´cio ´ra sikeru ¨ l bela´tni, u ´ gy tetsz˝ oleges olyan konfigura´cio ´ra is e´rve´nyes, amely az eredetib˝ ol valamely vetı´te´s eredme´nyeke´nt kaphato ´ meg. Bizonyı´ta´sunk kulcsle´pe´se, amely els˝ o pillanta´sra u ´ gy t˝ unik, mindent to ¨ke´letesen elbonyolı´t, a ko ¨vetkez˝ o. Ahelyett, hogy az eredeti, ugyanazon sı´kban elhelyezked˝ o ha´romszo ¨gekkel foglalkozna´nk, megpro ´ba´ljuk bela´tni a te´tel te´rbeli analogonja´t, amelyben a ke´t ha´romszo ¨g ke´t, egyma´st metsz˝ o sı´kon foglal helyet. Ezt az ´altala´nosabb ´allı´ta´st illusztra´lja a 4.25. ´abra. Az eredeti, sı´kbeli va´ltozat nyilva´n egyszer˝ uen megkaphato ´, ha az egyik ha´romszo ¨get a ma´sik sı´kja´ra vetı´tju ¨ k: valo ´ban elegend˝ o teha´t, ha a te´rbeli te´telt bebizonyı´tjuk. A 4.25. ´abra jelo ¨le´seit haszna´ljuk. Vegyu ¨ k e´szre el˝ oszo ¨r, hogy az AB e´s az A  B  egyenesek ugyanabban a sı´kban helyezkednek el. A projektı´v geometria´ban ba´rmely ke´t, ugyanazon sı´kban halado ´ egyenesnek van ko ¨zo ¨s pontja; jelo ¨lju ¨ k AB e´s A  B  metsze´spontja´t Q-val. AC e´s A  C  , illetve BC e´s B  C  ugyancsak egy sı´kban haladnak, ugyanu ´ gy le´tezik teha´t a metsze´spontjuk, jelo ¨lje ezeket rendre R    e´s P. Mivel a P, a Q e´s az R pontok az ABC e´s az A B C ha´romszo ¨gek oldalainak meghosszabbı´ta´sain helyezkednek el, valamennyien benne vannak mindke´t

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

172

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.25. a ´ bra. A te´rbeli Desargues-te´tel.

ha´romszo ¨g sı´kja´ban, minek ko ¨vetkezte´ben mindegyik ugyanarra az egyenesre, a ke´t ha´romszo ¨g sı´kjainak metsze´svonala´ra illeszkedik. A m˝ uve´szek, akik a perspektivikus ´abra´zola´s elme´lete´t kidolgozta´k, ra´jo ¨ttek, milyen el˝ onyo ¨kkel ja´r a ve´gtelen ta´voli pontok haszna´lata: azokat a pontokat nevezzu ¨ k ´gy, ı amelyekben a ke´p azon egyenesei tala´lkozna´nak – amennyiben persze ˝ket –, amelyek a ke´p eredetije´n pa´rhuzamos egyeneseknek meghosszabbı´tana´nk o felelnek meg. Azt is mega´llapı´totta´k, hogy amennyiben to ¨bb ilyen pontot is fo ¨lvesznek, azoknak mind egy egyenesre kell illeszkedniu ¨ k. Az elme´let egy impoza´ns gyakorlati megvalo ´sı´ta´sa´t a 4.26. ´abra´n tanulma´nyozhatjuk. A projektı´v geometria´val foglalkozo ´ matematikusok hasonlo ´ utat ja´rtak be, a ˝k is bevezette´k. A projektı´v geometria´ban a ve´gtelen ta´voli, „idea´lis” pontokat o sı´k minden egyenese´hez rendelu ¨ nk egy ilyen pontot, az illet˝ o egyenessel pa´rhuzamos egyenesek ebben a pontban „tala´lkoznak”. Az ´gy ı definia´lt ve´gtelen ta´voli pontok pedig ugyanarra a ve´gtelen ta´voli, „idea´lis egyenesre” illeszkednek, amely egyenesnek az idea´lis pontokon kı´vu ¨ l ma´s pontja nincs is. Figyelju ¨ nk fel arra, hogy minden egyenesnek egyetlen ve´gtelen ta´voli pontja van csak, ami ne´mike´pp ellenkezik az euklideszi geometria szemle´lete´vel, amely szerint az egyenesek mindke´t ira´nyban meghosszabbı´thato ´k, minek ko ¨vetkezte´-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A renesza´nsz m˝ uve´szek geometria´ja

173

4.26. a ´ bra. Albrecht Du ¨ rer Szent Jeromos cı´m˝ u fametszete (fent); a ke´pen megjelenı´tett perspektı´va elemze´se´b˝ ol (lent) kideru ¨ l, a m˝ uve´sz ha´rom „ve´gtelen ta´voli ponttal” (X, Y e´s Z dolgozott, amelyek mind ugyanarra a – „ve´gtelen ta´voli” – egyenesre illeszkednek.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

174

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

ben igaza´bo ´l ke´t – a ke´t ira´nynak megfelel˝ o – „ve´gtelen ta´voli” pontro ´l kellene besze´lnu ¨ nk. A projektı´v geometria azonban a ve´gtelen ke´t ira´nya´t „o ¨sszemossa”: minden egyeneshez egyetlen – ra´ illeszked˝ o – ve´gtelen ta´voli pontot rendelu ¨ nk. Az idea´lis pontok e´s egyenesek a pa´rhuzamossa´g proble´ma´inak kiku ¨ szo ¨bo ¨le´se´t ce´lozza´k; a pa´rhuzamossa´g ugyanis – mivel a vetı´te´sek ke´pesek elrontani – nem projektı´v fogalom. Az euklideszi szemle´lethez ko ¨t˝ od˝ o emberi elme nem egyko ¨nnyen ke´pes elke´pzelni az egyma´ssal tala´lkozo ´ pa´rhuzamosokat, a sı´k idea´lis pontokkal e´s az idea´lis egyenessel valo ´ kib˝ ovı´te´se enne´lfogva a ke´pzel˝ oer˝ ot szinte lehetetlen feladat ele´ ´allı´tja. Nincs teha´t semmi csoda´lnivalo ´ abban, hogy a projektı´v geometria elme´lete´nek fele´pı´te´se is az axiomatiza´la´s jo ´l beva´lt mo ´dszere´t ko ¨veti. Amennyiben az idea´lis pontok e´s az idea´lis egyenes is teljes jogu ´ objektumok, u ´ gy a projektı´v sı´k az ala´bbi egyszer˝ u axio ´ma´kkal ragadhato ´ meg: 1. Le´tezik legala´bb egy pont e´s legala´bb egy egyenes. 2. Ha X e´s Y ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o pontok, akkor pontosan egy egyenes van, amelyre mindkett˝ o illeszkedik. 3. Ha l e´s m ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o egyenesek, akkor pontosan egy pont van, amelyben tala´lkoznak. 4. Minden egyenesnek van legala´bb ha´rom pontja. 5. Nincs olyan egyenes, amelyre a sı´k minden pontja illeszkedik. Az axio ´ma´kban emlı´te´s sem to ¨rte´nik arro ´l, mit nevezu ¨ nk pontnak, egyenesnek, vagy hogy mikor mondjuk, hogy egy pont valamely egyenesre illeszkedik. Az axio ´ma´k az alapvet˝ o projektı´v geometriai fogalmak e´s minta´zatok le´nyegi jellemz˝ oit ragadja´k meg – semmit nem mondanak a szo ´ban forgo ´ objektumokro ´l. S a modern, absztrakt matematika le´nyege ´eppen ebben ´all. Az axiomatikus, absztrakt ta´rgyala´s a projektı´v geometria esete´ben egy ku ¨lo ¨nleges fejleme´nyhez, a te´telek megkett˝ oz˝ ode´se´hez vezet. Amennyiben ugyanis sikeru ¨ l egy te´telt a fenti axio ´ma´kbo ´l levezetni, akkor a te´tel dua´lisa is automatikusan bizonyı´ta´st nyer. Egy te´tel dua´lisa´t pedig u ´ gy kapjuk meg, ha a te´telben szerepl˝ o valamennyi ‘pont’ szo ´ helyett ‘egyenest’ mondunk ´es megfordı´tva, valamint felcsere´lju ¨ k az ‘ugyanarra az egyenesre illeszkednek’ e´s az ‘ugyanazon pontban tala´lkoznak’ fordulatokat. A dualita´s elve az axio ´ma´kban megjelen˝ o szimmetria ko ¨vetkezme´nye. Az 1. axio ´ma´ban a ‘pont’ e´s az ‘egyenes’ minden tova´bbi ne´lku ¨ l felcsere´lhet˝ o, a 2. e´s a 3. axio ´ma pedig egyma´s dua´lisai. A 4. e´s az 5. axio ´ma nem alkot ilyen pa´rt, ha azonban helyettu ¨ k a ko ¨vetkez˝ oket szerepeltetju ¨ k: 4’. Minden pontban legala´bb ha´rom egyenes tala´lkozik. 5’. Nincs olyan pont, amelyben a sı´k valamennyi egyenese tala´lkozik. – akkor az ´gy ı kapott axio ´marendszer ekvivalens lesz az eredetivel. Ha teha´t egy ´allı´ta´st az axio ´ma´kbo ´l le tudunk vezetni, akkor le tudjuk vezetni a ‘pont’ e´s

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A renesza´nsz m˝ uve´szek geometria´ja

175

4.27. a ´ bra. Pascal te´tele. az ‘egyenes’ – valamint az illeszkede´sre e´s a tala´lkoza´sra vonatkozo ´ kifejeze´sek – felcsere´le´se´vel kapott dua´lis ´allı´ta´st is. A tizenhetedik sza´zadban bizonyı´totta Blaise Pascal a ko ¨vetkez˝ o te´telt: Ha egy hatszo ¨g csu ´ csai felva´ltva ke´t egyenesen helyezkednek el, akkor a hatszo ¨g szemko ¨zti oldalegyeneseinek metsze´spontjai egyazon egyenesre illeszkednek. A te´telt a 4.27. ´abra illusztra´lja. Egy e´vsza´zaddal ke´s˝ obb Charles Julien Brianchon igazolta, hogy amennyiben egy hatszo ¨g oldalegyenesei felva´ltva ke´t pontban tala´lkoznak, u ´ gy a szemko ¨zti csu ´ csokat o ¨sszeko ¨t˝ o egyenesek egy pontban tala´lkoznak. A te´tel ´allı´ta´sa´t a 4.28. ´abra´n mutattuk be. Brianchon bizonyı´ta´sa ugyan Pascale´to ´l fu ¨ ggetlen, a modern geome´ter mindazona´ltal azonnal e´szreveszi, hogy a ke´t ´allı´ta´s egyma´s dua´lisa, ´gy ı elegend˝ o csupa´n az egyiket bebizonyı´tani. Desargues te´tele´nek dua´lisa egyszer˝ uen a te´tel megfordı´ta´sa: Ha ke´t, ugyanabban a sı´kban fekv˝ o ha´romszo ¨g megfelel˝ o oldalait meghosszabbı´tva azok metsze´spontjai ugyanarra az egyenesre illeszkednek, akkor a ha´romszo ¨gek megfelel˝ o csu ´ csait o ¨sszeko ¨t˝ o egyenesek egy pontban tala´lkoznak.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

176

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.28. a ´ bra. Brianchon te´tele. A dualita´s elve alapja´n teha´t minden tova´bbi bizonyı´ta´s ne´lku ¨ l ba´tran kimondhatjuk: Desargues te´tele´nek a megfordı´ta´sa is igaz. A dualita´s elve nyilva´nvalo ´an csupa´n aze´rt e´rve´nyes, mert a ‘pont’ e´s az ‘egyenes’ fogalma´hoz semmife´le specia´lis, az axio ´ma´kban ro ¨gzı´tetten tu ´ lmen˝ o jelente´st nem kapcsolunk. A projektı´v geometria´val foglalkozo ´ matematikusnak persze lehetnek mindenfe´le menta´lis ke´pzetei a pontokra e´s az egyenesekre vonatkozo ´an – ´am ezek legfo ¨ljebb egyfajta intuitı´v ta´maszt jelenthetnek, a matematika´nak semmife´le, ezekb˝ ol lesz˝ urhet˝ o specia´lis informa´cio ´ra nem lehet szu ¨ kse´ge. David Hilbert pe´lda´ja´val e´lve, besze´lhetu ¨ nk ‘pontok’ e´s ‘egyenesek’ helyett asztalokro ´l e´s so ¨ro ¨skorso ´kro ´l, helyettesı´thetju ¨ k az ‘ugyanabban a pontban tala´lkoznak’ fordulatot az ‘ugyanazon asztalon ´allnak’ fordulattal, az ‘ugyanazon egyenesre illeszkednek’ helyett mondhatjuk, hogy ‘ugyanaz a korso ´ ´all rajtuk’. E „rendszer” nem ele´gı´ti ki a projektı´v geometria axio ´ma´it – amennyiben a szavakat a szoka´sos jelente´su ¨kkel vesszu ¨k figyelembe. (Hogy ma´st ne mondjunk, egy korso ´ legfo ¨ljebb egy asztalon ´allhat.) Ha azonban e jelente´seket u ´ gy tekintju ¨ k, hogy azokat semmi ma´s, csupa´n az o ¨t projektı´v geometriai axio ´ma hata´rozza meg, akkor te´teleink az asztalokra e´s a korso ´kra is e´ppu ´ gy igazak lesznek, mint a pontokra e´s az egyenesekre. Tu ´ l a harmadik dimenzio ´n A megismert geometria´k a forma´k vizsga´lata´nak ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ ou ´ tjait jelentik. Vannak azonban a geometriai minta´zatoknak olyan aspektusai is, amelyek szigoru ´ an ve´ve nem tekinthet˝ ok geometriai jelleg˝ unek. A dimenzio ´ ezek ko ¨ze´ tartozik.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Tu ´l a harmadik dimenzio ´n

177

A dimenzio ´ fogalma´nak jelent˝ ose´ge´t nemigen lehetne eltu ´ lozni. Azok a ta´rgyak, amelyekkel ´altala´ban tala´lkozunk, to ¨bbse´gu ¨ kben ha´romdimenzio ´sak: sze´lesse´gu ¨ k, hosszu ´ sa´guk e´s me´lyse´gu ¨ k is van. Szemu ¨ nk kett˝ os letapogato ´-rendszerke´nt m˝ uko ¨dik, ´gy ı kapunk a bennu ¨ nket ko ¨ru ¨ lvev˝ o vila´gro ´l ha´romdimenzio ´s ke´pet. Az el˝ oz˝ o fejezetben ta´rgyalt perspektivita´s megfelel˝ o keretelme´letu ¨ l szolga´l ahhoz, mike´nt lehetse´ges ke´tdimenzio ´s felu ¨ leten megjelenı´teni a valo ´sa´g „me´lyse´geit”. Mondjanak ba´rmit a fizikai elme´letek, bomba´zhatnak azzal, hogy az Univerzum dimenzio ´sza´ma legala´bb egy tucat – a mi vila´gunk, amelyben otthonosan mozgunk, e´ppen ha´rom kiterjede´ssel bı´r. De mit is jelent a dimenzio ´? Mire gondolunk, mid˝ on a sı´kot ke´t-, a teret pedig ha´romdimenzio ´snak mondjuk? Egy naiv elke´pzele´st mutat be a 4.29. ´abra, mely szerint a dimenzio ´k ira´nyokkal, azaz egyenesekkel reprezenta´lhato ´k. Egyetlen egyenes egyetlen dimenzio ´t – vagy egyetlen dimenzio ´ menti kiterjede´st – jelo ¨l. Ha felveszu ¨ nk egy ma´sik, erre mer˝ oleges egyenest, akkor ma´r ezek egyu ¨ tt ke´t, ha pedig tova´bbi, mindke´t el˝ oz˝ ore mer˝ olegessel megtoldjuk, akkor egyu ¨ ttesen ma´r ha´rom dimenzio ´t szimboliza´lnak. A folyamatnak ezen a ponton ve´ge szakad, elve´gre negyedik, mindha´rom el˝ oz˝ ore mer˝ oleges egyenest ma´r nem tudunk hova elhelyezni.

4.29. a ´ bra. Ha ha´rom rudat pa´ronke´nt egyma´sra mer˝ olegesen er˝ osı´tu ¨ nk egyma´shoz, akkor mind a ha´rom ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o dimenzio ´ban helyezkedik el.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

178

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

4.30. a ´ bra. A ha´romdimenzio ´s te´r analitikus geometria´ja a ha´romdimenzio ´s dere´kszo ¨g˝ u (Descartes-fe´le) koordina´ta-rendszeren alapul.

A 4.30. ´abra a dimenzio ´fogalom megragada´sa´nak egy ma´sik mo ´dja´t mutatja, amelynek alapgondolata Descartes analitikus geometria´ja´bo ´l ered. Ha egyetlen sza´megyenest rajzolunk fel, azzal egydimenzio ´s vila´got teremtu ¨ nk, ha ehhez tova´bbi, az el˝ oz˝ oekre mer˝ olegeseket veszu ¨ nk hozza´, akkor megkapjuk a ke´t-, illetve ha´romdimenzio ´s vila´g geometriai reprezenta´cio ´ja´t. A negyedik dimenzio ´nak, u ´ gy t˝ unik legala´bbis, ebben a modellben sincs helye. A ke´tfe´le, mindazona´ltal igen-igen hasonlo ´ megko ¨zelı´te´s ko ¨zo ¨s ha´tulu ¨ t˝ oje, hogy tu ´ lsa´gosan ta´maszkodik az egyenes euklideszi fogalma´ra. A dimenzio ´ gondolata ko ¨nnyebben megragadhato ´, ha a szabadsa´gi fokok fogalma´ra hivatkozunk. A vonat, le´ve´n, hogy „sı´nen van”, egyetlen dimenzio ´ mente´n mozoghat. A sı´n persze kanyarodhat, mehet hegynek fo ¨l, hegynek le – a vonat csupa´n egyetlen ira´nyt ko ¨vethet. (Amennyiben tolat, felfoghatjuk u ´ gy, hogy negatı´v ira´nyban megy „el˝ ore”.) Ha felveszu ¨ nk egy kezd˝ opontot, akkor az abbo ´l kiindulva megtett u ´ t – el˝ ojeles – hossza egye´rtelm˝ uen meghata´rozza a vonat helyzete´t. Egyetlen parame´ter – egy dimenzio ´. A tengeren u ´ szo ´ hajo ´ ke´t ira´nyt is ko ¨vethet: az el˝ ore-ha´tra va´laszta´s mellett jobbra vagy balra is kanyarodhat. Az o ´cea´nok felszı´ne a fo ¨ldfelszı´n go ¨rbu ¨ lete´t ko ¨veti, teha´t nem teljesen sı´k, mint ahogy a sı´n sem felte´tlenu ¨ l egyenes. S ba´r a vı´ztu ¨ ko ¨r szigoru ´ an ve´ve ha´romdimenzio ´s, a hajo ´ pontos helyzete´nek megada´sa´-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Tu ´l a harmadik dimenzio ´n

179

hoz ke´t adat, pe´lda´ul a fo ¨ldrajzi sze´lesse´g e´s hosszu ´ sa´g, to ¨ke´letesen elegend˝ o. Ke´t parame´ter – ke´t dimenzio ´. A repu ¨ l˝ oge´p viszont ma´r a te´r minden ira´nya´ban mozoghat: repu ¨ lhet el˝ ore, de ha megfordul, akkor ha´tra is, jobbra e´s balra, s˝ ot, magassa´ga´t is ke´pes megva´ltoztatni. A repu ¨ l˝ oge´p pontos helyzete´nek megada´sa´hoz ha´rom informa´cio ´ra van szu ¨ kse´gu ¨ nk: a hajo ´na´l is szerepl˝ o ke´t adatot, a fo ¨ldrajzi sze´lesse´get e´s hosszu ´ sa´got a magassa´ggal kell kiege´szı´tenu ¨ nk. Ha´rom parame´ter – ha´rom dimenzio ´. A szabadsa´gi fokok nem csak a test te´rbeli helyzete´t adhatja´k meg. Amennyiben valamely rendszer va´ltoza´sa olyan parame´terekkel jellemezhet˝ o, amelyek mindegyike ke´pes a to ¨bbit˝ ol fu ¨ ggetlenu ¨ l va´ltozni, akkor ezek a parame´terek egy-egy szabadsa´gi fokot jelentenek. Ha a dimenzio ´t nem geometriai mo ´don, hanem a szabadsa´gi fokokon keresztu ¨ l ragadjuk meg, akkor semmi okunk nincs mega´llni a ha´rom dimenzio ´na´l. A repu ¨ l˝ oge´p mozga´sa´t pe´lda´ul o ¨t egyma´sto ´l fu ¨ ggetlen informa´cio ´val ´rhatjuk ı le: a helyzete´t meghata´rozo ´ ha´rom adat mellett releva´ns lehet sebesse´ge´nek nagysa´ga e´s ira´nya is. Ha mind az o ¨t parame´ter az id˝ o fu ¨ ggve´nye, akkor ahhoz, hogy az eredme´nyeket grafikonon ´abra´zolhassuk, hat dimenzio ´ra lenne szu ¨ kse´g. Az ´gy ı kapott go ¨rbe teha´t o ¨tdimenzio ´s te´rben „halad”, s minden egyes pontja a repu ¨ l˝ oge´p mozga´sa´nak valamely id˝ opontbeli teljes leı´ra´sa´t adja meg. Matematikai szempontbo ´l a dimenzio ´kat reprezenta´lo ´ tengelyek sza´ma´ra vonatkozo ´an nincsenek megszorı´ta´sok. Tetsz˝ oleges n terme´szetes sza´m esete´n besze´lhetu ¨ nk az En n-dimenzio ´s euklideszi te´rr˝ ol. Az n darab koordina´tatengelyt n x1 , x2 , . . . , xn jelo¨li. Az E -beli pontok az (a1 , . . . , an ) n-esekkel adhato´k meg, ahol a1 , a2 , . . . , an mind valo ´s sza´mok. Ezek uta´n a geometria alapjai tiszta´n algebrai forma´ban kifejthet˝ ok, Descartes elme´lete ko ¨nnyede´n ´altala´nosı´thato ´ tetsz˝ oleges n dimenzio ´sza´mra. E2 a jo´l ismert euklideszi sı´k. Egy ebben halado´ egyenes egyenlete

x2 = mx1 + c, ahol m e´s c adott valo ´s sza´mok. E3 -ban a hasonlo´ alaku ´

x3 = m1 x1 + m2 x2 + c egyenlettel egy sı´kot adhatunk meg. ´ s ´gy E ı tova´bb, a dimenzio ´ugra´sok matematikai minta´zata ma´r ennyib˝ ol is vi´l az E4 -re valo ´ ugra´s ku ¨ lo ¨nlegesse´ge´t egyedu ¨ l az la´gosan felismerhet˝ o. Az E3 -ro adja, hogy az uto ´bbi vizua´lis megjelenı´te´se tu ´ l van az emberi ke´pesse´gek hata´ra´n. E2 -t vagy E3 -at minden tova´bbi ne´lku ¨ l ke´pesek vagyunk lelki szemeink ele´ ide´zni – E4 -ne´l azonban ma´r megbicsaklik a szemle´let. Vagy me´gsem? Tala´n me´gis lehetse´ges valamife´le ke´pet alkotni a ne´gydimenzio ´s objektumokro ´l. Elve´gre a perspektivikus ´abra´zola´s alapja´n is ke´pesek vagyunk ha´romdimenzio ´s ke´pet alkotni a ke´tdimenzio ´s ´abra´zola´s alapja´n. Ilyen-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

180

Az alakot o ¨lt˝ o matematika

forma´n tala´n elke´pzelhetju ¨ k, milyen is lehet egy ne´gydimenzio ´s „hiperkocka”, ha megpro ´ba´ljuk ha´romdimenzio ´s „vetu ¨ letekb˝ ol” o ¨sszerakni. A 4. szı´nes ta´bla a hiperkocka egy effe´le modellje´nek a fe´nyke´pe – az o ¨sszehasonlı´ta´s kedve´e´rt az analo ´gia alapja´ul szolga´lo ´ ko ¨zo ¨nse´ges, ha´romdimenzio ´s kocka ke´pe´vel. Vegyu ¨ k szemu ¨ gyre el˝ oszo ¨r a ko ¨zo ¨nse´ges kocka´t. Az elo ¨lne´zeti ke´p ke´tdimenzio ´s, a hozza´nk legko ¨zelebb es˝ o lap, amennyiben szembene´zu ¨ nk vele, ne´gyzetnek la´tszik. A t˝ olu ¨ nk legta´volabbra es˝ o ha´tlap ugyancsak ne´gyzet, s az el˝ oz˝ o belseje´ben foglal helyet, a kocka to ¨bbi oldala trape´z alaku ´. A ha´romdimenzio ´s kocka oldalai ke´tdimenzio ´s ne´gyzetek – a ne´gydimenzio ´s kocka´nak ma´r minden – mind a nyolc – oldala ha´romdimenzio ´s kocka. A 4. ta´bla´n legku ¨ ls˝ o nagy kocka a hiperkocka hozza´nk „legko ¨zelebbi” oldala´t reprezenta´lja, a ko ¨ze´ppontban gubbaszto ´ kicsiny kocka pedig a „legta´volabbi” oldal. A to ¨bbi kockaoldal mind ne´gyzet alapu ´ csonka gu ´ la´nak la´tszik. Ke´pet alkotni egy ne´gydimenzio ´s objektumro ´l, me´ghozza´ egy ha´romdimenzio ´s modell ke´tdimenzio ´s ke´pe alapja´n – kora´ntsem egyszer˝ u feladat! Me´g egy ha´romdimenzio ´s forma visszako ´dola´sa is komoly szellemi er˝ ofeszı´te´st – e´s sza´mtalan tru ¨ kko ¨s technika´t – ige´nyel; a fe´ny-a´rnye´k hata´sok, a ko ¨rnyezet, a textu ´ ra e´s tulajdon elva´ra´saink mind szerepet ja´tszanak. Proble´ma´nk klasszikus bemutata´sa Plato ´n barlanghasonlata, Az a´llam Hetedik ko ¨nyve´ben. E to ¨rte´net szerint bizonyos le´nyek arccal a barlang belseje fele´, gu ´ zsba ko ¨tve e´lik e´letu ¨ ket, s a barlangon kı´vu ¨ li vila´gbo ´l csupa´n a barlang fala´ra vetu ¨ l˝ o ´arnyke´peket e´rze´kelik. A testek valo ´di alakja´ro ´l vannak ugyan bizonyos benyoma´saik, pe´lda´ul az elfordulo ´ alakok ´altal vetett ´arnye´kok alapja´n, de ezek – amı´g csak ki nem jo ¨hetnek a barlangbo ´l – bizonytalanok e´s szege´nyesek maradnak. A barlanghasonlat u ´ j, modern e´rtelmeze´st nyert 1978-ban, amikor a Brown egyetem ke´t munkata´rsa, Thomas Banchoff e´s Charles Strauss elke´szı´tette´k A hiperkocka: vetu ¨letek ´es szeletek cı´m˝ u filmju ¨ ket. A sza´mı´to ´ge´pes anima´cio ´ sora´n ku ¨ lo ¨nfe´le szı´neze´sek e´s mozgata´sok segı´tse´ge´vel pro ´ba´lta´k meg e´rze´keltetni a ne´gydimenzio ´s hiperkocka „valo ´di alakja´t”. A film egy kocka´ja´t az 5. szı´nes ta´bla´n csoda´lhatjuk meg. A hiperkocka´ro ´l a legh˝ ubb ke´pet tala´n e´ppen akkor alkothatjuk meg magunknak, ha ahelyett, hogy szemle´letu ¨ nkt˝ ol ko ¨vetelne´nk a csaknem lehetetlent, a reprezenta´cio ´ egyszer˝ ubb mo ´dja´t va´lasztjuk: a koordina´ta´kon alapulo ´ algebrai megko ¨zelı´te´st. Maga A hiperkocka is ´gy ı ke´szu ¨ lt: a sza´mı´to ´ge´p algebrai m˝ uveleteket ve´grehajtva szı´nezte a ne´gy ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o dimenzio ´nak megfelel˝ o vonalakat ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o szı´nekkel. Ha az algebra eszko ¨zta´ra´t is ige´nybe vesszu ¨ k, az n-dimenzio ´s alakzatok (hiperkocka´k, hipergo ¨mbo ¨k, stb.) matematikai ta´rgyala´sa semmife´le nehe´zse´get nem okoz; ha me´g az analı´zis mo ´dszereit is hadrendbe ´allı´tjuk, akkor az n-dimenzio ´s

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Tu ´l a harmadik dimenzio ´n

181

´s te´rfogata´t is ki tudjuk sza´molni. Az r sugaru ´ 4-dimenzio ´s testek n-dimenzio hipergo ¨mb te´rfogata pe´lda´ul:

1 2 4 π r . 2 A sokdimenzio ´s te´rbeli alakzatok matematikai vizsga´lata azonban nem jelentette a matematika valo ´sa´gto ´l valo ´ elszakada´sa´t, e´ppen ellenkez˝ oleg, az e´let legmozgalmasabb teru ¨ letein nyert alkalmaza´st. A szimplex-mo ´dszer, amelyet a gazdasa´g sza´mos teru ¨ lete´n haszna´lnak, s amelynek sza´mı´to ´ge´pes programjai sze´les ko ¨rben elterjedtek, a profitmaximaliza´la´s feladata´t oldja meg. Egy adott ipara´gban az ele´rhet˝ o profit mennyise´ge ´altala´ban to ¨bb sza´z parame´ter fu ¨ ggve´nye: az alapanyagok beszerze´se, a piacok va´ltoza´sa, az ´arke´pze´s lehet˝ ose´gei, a szeme´lyzet felke´szu ¨ ltse´ge mind-mind olyan te´nyez˝ ok, amelyekkel – a szo ´ legszorosabb e´rtelme´ben – sza´molnunk kell. S erre ke´pes a sza´mı´to ´ge´p az amerikai George Danzig ´altal 1947-ben kidolgozott mo ´dszer alapja´n. A teljes folyamatot egy n-dimenzio ´s te´rben modellezzu ¨ k, ahol n a jelense´get befolya´solo ´ egyma´sto ´l fu ¨ ggetlen te´nyez˝ ok sza´ma. A tipikus eset az, amikor a folyamat ke´pe egy n-dimenzio ´s polito ´p, a sı´klapokkal hata´rolt te´rbeli testek ´altala´nosı´ta´sa. A szimplex-mo ´dszer e polito ´pok geometriai tulajdonsa´gait elemezve tala´l maxima´lis profitot ado ´ parame´tereket. Hasonlo ´ proble´ma a telefonos hı´va´sterele´s optimaliza´la´sa. Ha az orsza´g egyik ve´ge´b˝ ol a ma´sikat hı´vjuk, akkor ez ´altala´ban to ¨bbfe´le mo ´don is megvalo ´sı´thato ´. A lehetse´ges kapcsola´si sorozatok pedig szinte´n felfoghato ´k n-dimenzio ´s polito ´pke´nt. A sza´mı´to ´ge´pek, amelyeken a sokmillio ´ le´pe´st ige´nyl˝ o programok futnak, nyilva´n nem „la´tja´k” a szo ´ban forgo ´ geometriai alakzatokat, csupa´n elve´gzik azokat ˝ket. Az n-dimenzio az algebrai m˝ uveleteket, amelyekre a program utası´tja o ´s geometria algebrai mo ´dszerei csak a programı´ra´s sora´n keru ¨ lnek el˝ o. A matematikusok ke´pesek ugyan gondolataikat algebrai ruha´ba o ¨lto ¨ztetni, de ´altala´ban nem ezt a forma´t re´szesı´tik el˝ onyben. Me´g a legke´pzettebb matematikusnak is komoly nehe´zse´geket okoz egy hosszadalmas algebrai m˝ uveletsor ve´gigbogara´sza´sa. A menta´lis ke´peket e´s az ezek ´altal megjelenı´tett alakzatokat viszont mindannyian sokkal ko ¨nnyebben kezelju ¨ k, s mid˝ on a matematikus az algebrai minta´zatot geometriaiva´ ko ´dolja vissza, azt aze´rt teszi, hogy alapvet˝ o emberi geometriai ke´pesse´geit kiakna´zhassa. Geometriai fejtegete´seinket azzal kezdtu ¨ k, hogy leszo ¨geztu ¨ k: valamennyien o ¨szto ¨no ¨s geome´terek vagyunk. A matematikusok ezt va´ltja´k ke´szpe´nzre, amikor a geometria szemle´letesse´ge´t az algebra szigoru ´ mo ´dszereivel ha´zası´tja´k o ¨ssze.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

5. fejezet

A sze ´pse ´g matematika ´ ja

A „csoportosı´ta ´ s” el˝ onyei A geometria a vila´gban alakot o ¨lt˝ o minta´zatok felta´ra´sa´val foglalkozik. Az alakzatok legszembeo ¨tl˝ obb vona´sai ko ¨zo ¨tt azonban olyanok is akadnak, amelyek nem a szigoru ´ an vett alakot, hanem a forma´t jellemzik: tipikusan ilyen a szimmetria. Egy ho ´pehely vagy vira´g szimmetria´ja mindig valamilyen geometriai szaba´lyszer˝ use´gb˝ ol ered, ´gy ı ennek vizsga´lata mindig az alakzat me´lyebb, absztraktabb vona´saira derı´t fe´nyt. E minta´zatok to ¨bbnyire kellemes e´rze´st va´ltanak ki bennu ¨ nk, tanulma´nyoza´sukat enne´lfogva a sze´pse´g matematika´ja´nak is nevezhetju ¨ k. A szimmetria´k matematikai elme´lete az alakzatok transzforma´cio ´inak vizsga´lata´val kezd˝ odik. A geometriai transzforma´cio ´kat a matematikusok specia´lis fu ¨ ggve´nyekke´nt definia´lja´k; ilyenek pe´lda´ul: a forgata´sok, az eltola´sok, a tu ¨ kro ¨ze´sek, a nyu ´ jta´sok vagy a kicsinyı´te´sek. Az olyan transzforma´cio ´kat, amelyek egy alakzatot – ha nem is pontonke´nt, de ege´sze´ben felte´tlenu ¨ l – helyben hagynak, az illet˝ o alakzat szimmetria´inak nevezzu ¨ k. Szimmetrikus alakzatra kiva´lo ´ pe´lda a ko ¨r. Tetsz˝ oleges szo ¨g˝ u e´s ira´nyu ´ forgata´s, amelynek ko ¨ze´ppontja a ko ¨r ko ¨ze´ppontja, ba´rmelyik ´atme´r˝ ore valo ´ tengelyes tu ¨ kro ¨ze´s, valamint ilyenek ba´rmilyen kombina´cio ´ban valo ´ egyma´suta´njai a ko ¨rt mind helyben hagyja´k. A ko ¨rvonal egyes pontjai terme´szetesen elkeru ¨ lnek eredeti helyu ¨ kr˝ ol – ha a pontok helye´t ro ¨gzı´tettnek gondoljuk, akkor a ko ¨r a szo ´ban forgo ´ transzforma´cio ´k egyike´re sem invaria´ns. Amennyiben pe´lda´ul egy o ´ra sza´mlapja´t kilencven fokkal az o ´ramutato ´ ja´ra´sa´val ellenkez˝ o ira´nyban elforgatjuk, akkor a 12-es a 9-es helye´re keru ¨ l, s vele egyu ¨ tt valamennyi sza´m helyet va´ltoztat. A sza´mlap egyes pontjai teha´t nem maradnak egy helyben. Ha pedig a sza´mlapot a 12-esen e´s a 6-oson ´atmen˝ o fu ¨ gg˝ oleges tengelyre tu ¨ kro ¨zzu ¨ k, akkor – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt – a 3-as ´es a 9-es is helyet fog csere´lni, vagyis a sza´mlap megint le´nyeges va´ltoza´son megy ´at. Ha teha´t a ko ¨rvonal minden egyes pontja´nak helyzete´t figyelembe vesszu ¨ k, a transzforma´cio ´k alakzatunkat megva´ltoztatja´k, amennyiben

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

184

A sze´pse´g matematika´ja

azonban csak a ko ¨r ege´sze´re vagyunk tekintettel, akkor nem la´tunk ku ¨ lo ¨nbse´get az eredeti e´s annak ke´pe ko ¨zo ¨tt. Tetsz˝ oleges alakzat szimmetriacsoportja´nak nevezzu ¨ k azoknak a transzforma´cio ´knak az o ¨sszesse´ge´t, amelyek az alakzatot helyben hagyja´k, azaz amelyekne´l az alakzat ke´pe nem ku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o meg az eredetit˝ ol. A ko ¨r szimmetriacsoportja a ko ¨ze´ppontja ko ¨ru ¨ li forgata´sok e´s az ´atme´r˝ oire valo ´ tengelyes tu ¨ kro ¨ze´sek tetsz˝ oleges kombina´cio ´ibo ´l ´all. A forgata´sokra vonatkozo ´ invarianca a ko ¨r forga´si, a tu ¨ kro ¨ze´sekre valo ´ invariancia pedig a ko ¨r tu ¨ kro ¨ze´si szimmetria´ja. Mindke´t szimmetriatı´pus ko ¨nnyen e´szrevehet˝ o, elegend˝ o, ha az alakzatra egy pillanta´st vetu ¨ nk. Amennyiben S e´s T a ko ¨r szimmetriacsoportja´nak ke´t eleme, akkor egyma´suta´njuk is ilyen. Azt a transzforma´cio ´t, amelyet u ´ gy kell elve´geznu ¨ nk, hogy el˝ oszo ¨r S-et, azta´n pedig T -t hajtjuk ve´gre, S e´s T – ebben a sorrendben valo´ – kompozı´cio ´ja´nak nevezzu ¨ k, s T ◦ S-vel jelo ¨lju ¨ k. (E ku ¨ lo ¨no ¨snek t˝ un˝ o sorrendnek megvan a maga magyara´zata, amely a csoportok e´s a fu ¨ ggve´nyek ko ¨zo ¨s, absztrakt minta´zatain alapul – ehelyu ¨ tt ezekben a re´szletekben nem kı´va´nok elmeru ¨ lni.) Ke´t transzforma´cio ´ egyma´s uta´n valo ´ elve´gze´se, amely m˝ uvelet eredme´nye u ´ jfent egy transzforma´cio ´, bizonyos me´rte´kig a sza´mok o ¨sszeada´sa´ra e´s szorza´sa´ra emle´keztet: ke´t sza´mon ve´grehajtva e m˝ uveletek eredme´nye mindig egy harmadik sza´m. A ke´tfe´le minta´zat, illetve struktu ´ ra ko ¨zo ¨tt fenna´llo ´ – aka´rcsak felszı´nes – rokonsa´g a matematikust ma´r arra sarkallja, hogy ra´ke´rdezzen, mife´le tulajdonsa´gokkal is rendelkezik az a „m˝ uvelet”, amely a szimmetriacsoport ke´t eleme´hez egy harmadikat, a kett˝ o egyma´suta´nja´t rendeli. El˝ oszo ¨r is, e m˝ uvelet asszociatı´v: amennyiben S, T e´s W a ko ¨r szimmetriacsoportja´nak ha´rom eleme, u ´ gy

(S ◦ T ) ◦ W = S ◦ (T ◦ W).

Ebben a tekintetben teha´t u ´ j m˝ uveletu ¨ nk pontosan u ´ gy viselkedik, mint a szorza´s vagy az o ¨sszeada´s. Ma´sodszor, m˝ uveletu ¨ nknek le´tezik egyse´geleme: azt a transzforma´cio ´t nevezzu ¨ k ´gy, ı amelyik a ko ¨r valamennyi pontja´t – teha´t nem csupa´n a ko ¨r ege´sze´t – helyben hagyja. Ezen I transzforma´cio ´ a 0◦ -os szo ¨ggel valo ´ elforgata´s, amelyet tetsz˝ oleges T transzforma´cio ´val egyu ¨ tt elve´gezve, mindig e´rve´nyben marad a

T ◦ I = I ◦ T = T.

o ¨sszefu ¨ gge´s. Az I transzforma´cio ´ szerepe analo ´g a 0-nak az o ¨sszeada´sban, illetve az 1-nek a szorza´sban ja´tszott szerepe´vel. Harmadszor, minden T transzforma´cio ´nak le´tezik inverze: olyan S transzforma´cio ´, amelyre

T ◦ S = S ◦ T = I.

Egy forgata´s inverze az ugyanakkora szo ¨g˝ u, de ellente´tes ira´nyu ´ forgata´s, a tu ¨ kro ¨ze´sek pedig o ¨nmaguk inverzei. Valaha´ny – de persze ve´ges sok – transzforma´cio ´

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A „csoportosı´ta´s” el˝ onyei

185

egyma´suta´nja´nak inverze pedig u ´ gy kaphato ´ meg, ha a szo ´ban forgo ´ transzforma´cio ´k inverzeinek az ellenkez˝ o sorrendben vesszu ¨ k az egyma´suta´nja´t, azaz el˝ oszo ¨r ve´grehajtjuk az utolso ´ tag inverze´t, azta´n az utolso ´ el˝ ottie´t, s ´gy ı tova´bb. Az o ¨sszeada´sra vonatkozo ´an minden ege´sz sza´mnak van inverze: tetsz˝ oleges m ege´sz sza´mhoz megadhato´ olyan n ege´sz sza´m, amelyre

m + n = n + m = 0, (ahol terme´szetesen 0 az o ¨sszeada´s „egyse´geleme”), nyilva´n n = −m. Ugyanez az ege´sz sza´mok szorza´sa´ra vonatkozo ´an ma´r nem mondhato ´ el: nem igaz, hogy ba´rmely m ege´sz sza´mhoz tala´lhato ´ olyan n ege´sz sza´m, amelyre

n · m = m · n = 1, (1 a szorza´s egyse´geleme). Ko ¨nnyen la´thato ´, hogy csak az m = 1 e´s az m = −1 sza´mokhoz tala´lhato ´ a kı´va´nt tulajdonsa´ggal rendelkez˝ o n. ¨ sszefoglalva: a ko O ¨r tetsz˝ oleges ke´t szimmetria-transzforma´cio ´ja´nak egyma´suta´nja is szimmetria-transzforma´cio ´, a transzforma´cio ´k egyma´s uta´ni ve´grehajta´sa´nak „m˝ uvelete” asszociatı´v, rendelkezik egyse´gelemmel, e´s valamennyi transzforma´cio ´nak le´tezik inverze; bizonyos „aritmetikai” szaba´lyok teha´t e geometriai minta´zatban is e´rve´nyben maradnak. Hasonlo ´ megfontola´sok ma´s szimmetrikus alakzatokra is ´erve´nyesek. S˝ ot, a fent felsorolt tulajdonsa´gokkal rendelkez˝ o m˝ uveletek a matematika´ban oly gyakran el˝ obukkannak, hogy a minta´zat ku ¨ lo ¨n nevet kapott: csoportnak nevezzu ¨ k. A szimmetriacsoport elneveze´s magyara´zata is ebben keresend˝ o. Az ´altala´nos defiuvelettel (amelynek nı´cio ´ a ko ¨vetkez˝ o: a G halmazt, az elemein e´rtelmezett
m˝ eredme´nye is mindig G-beli elem) csoportnak nevezzu ¨ k, amennyiben teljesu ¨ lnek a ko ¨vetkez˝ ok: oleges x, y e´s z elemeire (x
y)
z = x
(y
z). G1 G tetsz˝ oleges G-beli G2 G-ben le´tezik egy e egyse´gelem, amelyre x
e = e
x = x, tetsz˝ x esete´n. ´ olyan (ugyancsak G-beli) y, amelyre G3 Tetsz˝ oleges G-beli x elemhez tala´lhato x
y = y
x = e, ahol e a G2-ben szerepl˝ o egyse´gelem. A ko ¨r szimmetriacsoportja´nak elemei teha´t valo ´ban csoportot alkotnak. Ugyanez terme´szetesen tetsz˝ oleges alakzatot helybenhagyo ´ transzforma´cio ´k o ¨sszesse´ge´re is ´all; a
m˝ uvelet eredme´nye – mint alappe´lda´nkban – itt is a transzforma´cio ´k egyma´s uta´ni ve´grehajta´sa´val kapott transzforma´cio ´. El˝ oz˝ o megjegyze´seink alapja´n nyilva´nvalo ´, hogy amennyiben G az ege´sz sza´mok halmaza,
pedig az o ¨sszeada´s m˝ uvelete, akkor a csoportokat definia´lo ´ axio ´ma´k mind teljesu ¨ lnek. Az ege´sz sza´mokra e´s a szorza´sra ez ma´r nem ´all, ha azonban G helye´ben a nemnulla raciona´lis sza´mok halmaza szerepel, akkor a szorza´ssal is csoportot kapunk.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

186

A sze´pse´g matematika´ja

Az 1. fejezetben ta´rgyalt ve´ges (modula´ris) aritmetika´k tova´bbi pe´lda´kat adnak csoportokra. A 0, 1, . . . , n − 1 sza´mok a modulo n o ¨sszeada´sra ne´zve tetsz˝ oleges n ege´sz sza´m esete´n csoportot alkotnak. A csoportoknak a fentiekben felsorolt ha´rom tı´pusa a csoportfogalom hasznossa´ga´t e´pphogy csak e´rze´keltetni tudja. A csoportok minduntalan felbukkannak, a tiszta matematika´ban e´ppu ´ gy, mint az alkalmaza´sokban. A matematika to ¨rte´nete´ben a csoportok el˝ oszo ¨r e´ppense´ggel nem az aritmetika vagy a geometriai transzforma´cio ´k kontextusa´ban meru ¨ ltek fel, hanem a polinomia´lis egyenletek megoldhato ´sa´ga´nak algebrai vizsga´lata sora´n. Az els˝ o megfogalmaza´s Evariste Galois e´rdeme – vele e´s m˝ uve´vel a ko ¨vetkez˝ o alfejezetben foglalkozunk re´szletesebben. Egy alakzat szimmetriacsoportja olyan matematikai struktu ´ ra, amely – bizonyos e´rtelemben – az illet˝ o alakzatban megjelen˝ o szimmetrikussa´g me´rte´ke´t is jellemzi. A ko ¨r esete´ben a szimmetriacsoport ve´gtelen: a ko ¨rt ba´rmely szo ¨ggel forgassuk is el, ba´rmely ´atme´r˝ oje´re tu ¨ kro ¨zzu ¨ k is, mindig helyben marad. E „b˝ ose´get”, a „to ¨ke´letes szimmetria´t” e´rze´kelju ¨ k, mid˝ on egy ko ¨rre pillantunk. A ma´sik ve´gletet azok az alakzatok alkotja´k, amelyek semmife´le szimmetria´val ˝ szimmetriacsoportjuk egyetlen elemb˝ nem rendelkeznek: az o ol, az identikus – teha´t a „semmittev˝ o” – transzforma´cio ´bo ´l ´all. Ko ¨nnyen ellen˝ orizhetju ¨ k, hogy az identita´sbo ´l ´allo ´ egyelem˝ u halmaz – a kompozı´cio ´ m˝ uvelete´vel – csoportot alkot, e´ppen u ´ gy, mint az egyedu ¨ l a 0-bo ´l ´allo ´ halmaz az o ¨sszeada´ssal. Miel˝ ott tova´bbi pe´lda´kat emlı´tene´nk, e´rdemes ko ¨zelebbr˝ ol is szemu ¨ gyre venni a G1–G3 kiko ¨te´seket, amelyek teljesu ¨ le´se esete´n valamely halmazt – egy rajta e´rtelmezett m˝ uvelettel – csoportnak nevezu ¨ nk. Az els˝ o a szo ´ban forgo ´ m˝ uvelet asszociativita´sa´t ko ¨veteli meg: e tulajdonsa´got az aritmetika´bo ´l is jo ´l ismerju ¨ k, mint az o ¨sszeada´s e´s a szorza´s alapvet˝ o jellemz˝ oje´t. (A kivona´sra e´s az oszta´sra azonban nem e´rve´nyes.) A G2 kiko ¨te´s az egyse´gelem le´teze´se´t ko ¨veteli meg. Ha van egyse´gelem, akkor egye´rtelm˝ u: ha ugyanis e e´s i egyara´nt egyse´gek, akkor G2 alapja´n

e = e
i = i, ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o elemei. e e´s i teha´t nem lehetnek G ku Egy csoportnak teha´t pontosan egy, a G2-beli tulajdonsa´ggal rendelkez˝ o egyse´geleme van, s ugyanez ´all az inverzekre is: minden elemnek pontosan egy inverze van, amely eleget tesz a G3-beli kiko ¨te´snek. Ez uto ´bbi is ko ¨nnyede´n igazolhato ´: ha ugyanis y e´s z egyara´nt x inverzei, akkor

(1) x
y = y
x = e, e´s (2) x
z = z
x = e.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A „csoportosı´ta´s” el˝ onyei

187

Ekkor azonban:

y = = = = =

y
e y
(x
z) (y
x)
z e
z z

(e megfelel˝ o tulajdonsa´ga szerint) (a (2) egyenl˝ ose´g alapja´n) (G1 szerint) (az (1) egyenl˝ ose´g alapja´n) (e megfelel˝ o tulajdonsa´ga szerint)

y e´s z teha´t G ugyanazon eleme. Mivel ba´rmely x-hez pontosan egy olyan y le´tezik, amely eleget tesz a G3-beli ko ¨vetelme´nynek, ezen y-nak nevet is adhatunk: x – csoportbeli – inverze´nek mondjuk, s ´altala´ban x−1 jelo¨li. Fenti gondolatmenetu ¨ nk valo ´ja´ban egy csoportelme´leti te´tel bizonyı´ta´sa, e te´tel szerint ba´rmely csoportban minden elemnek pontosan egy inverze le´tezik. A bizonyı´ta´s egyedu ¨l a G1, G2, G3 csoportaxio ´ma´kon alapult. A te´tel bizonyı´ta´sa – e´s persze maga az ´allı´ta´s is – ku ¨ lo ¨no ¨sen egyszer˝ u, e´s me´gis: ´altala a matematikai absztrakcio ´ mindenhato ´ ereje´t is szemle´ltethetju ¨ k. Sza´mtalan e´s me´g anna´l is to ¨bb csoport le´tezik a matematika´ban, s a fenti axio ´ma´k felı´ra´sa´val a matematikusok az absztrakt, valamennyiben megjelen˝ o minta´zatot ragadta´k meg. Mivel te´telu ¨ nket egyedu ¨l ezen axio ´ma´k alapja´n bizonyı´tottuk be, ezzel biztosı´tottuk, hogy ´allı´ta´sunk ba´rmely csoportra teljesu ¨ l. Ha egy sze´p napon u ´ jfajta matematikai struktu ´ ra´val szembesu ¨ lu ¨ nk, amelyr˝ ol sikeru ¨ l megmutatni, hogy eleget tesz mindha´rom csoportaxio ´ma´nak, akkor egyu ´ ttal azt is ro ¨gvest tudni fogjuk, hogy e struktu ´ ra valamennyi eleme´nek pontosan egy inverze le´tezik. S˝ ot, valamennyi olyan tulajdonsa´g e´rve´nyes lesz ra´, amely egyedu ¨ l csoportaxio ´ma´k alapja´n levezethet˝ o. Mine´l to ¨bb pe´lda le´tezik valamely absztrakt struktu ´ ra´ra, mint amilyen a csoport, anna´l sze´lesebb ko ¨rben haszna´lhato ´k a kiza´ro ´lag az axio ´ma´k alapja´n bizonyı´tott te´telek. Az eredme´nyek ´altala´nossa´ga´nak ´ara az absztrakcio ´ igen magas foka: e te´telek bizonyı´ta´sa sora´n kiza´ro ´lag absztrakt objektumok absztrakt minta´zataival foglalkozunk. A csoportelme´le´szt nem e´rdekli, melyek a csoport elemei, s hogy mi a csoportm˝ uvelet – sza´ma´ra csupa´n az absztrakt struktu ´ ra le´tezik. Lehetnek az elemek sza´mok, geometriai transzforma´cio ´k, a m˝ uvelet pedig az o ¨sszeada´s, a szorza´s vagy a transzforma´cio ´k kompozı´cio ´ja, a le´nyeg az, hogy a G1–G3 axio ´ma´k mind teljesu ¨ ljenek. Me´g egy fontos megjegyze´s a csoportaxio ´ma´kra vonatkozo ´an. A G2 e´s a G3 axio ´ma´kban a m˝ uveleteket mind a ke´t lehetse´ges sorrendben felı´rtuk. Aki azonban ismeri az aritmetikai m˝ uveleteket, me´lta´n ra´ke´rdezhet, mi indokolja ezt az elja´ra´st. Megtehettu ¨ k volna ugyanis, hogy G2-ben egyszer˝ uen annyit ´runk, ı hogy x
e = x, a G3-ban pedig, hogy

x
y = e, s fo ¨lveszu ¨ nk egy negyedik axio ´ma´t:

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

188

A sze´pse´g matematika´ja

G4 G tetsz˝ oleges x e´s y eleme´re x
y = y
x. Ha ´gy ı ja´rtunk volna el, sza´mos csoportot indokolatlanul kiza´rtunk volna a vizsga´lo ´da´s ko ¨re´b˝ ol. A szimmetriacsoportok jelent˝ os re´sze´ben a G4-ben kimondott kommutativita´si to ¨rve´ny nem e´rve´nyes, ba´r sok olyan csoport van, amelyekben igen. Az uto ´bbiak ku ¨ lo ¨n nevet is kaptak: Niels Henrik Abel norve´g matematikus tisztelete´re Abel˝ket. Vizsga´latuk a csoportelme´let o csoportnak nevezzu ¨k o ¨na´llo ´ ´aga´t ke´pezi. Vegyu ¨ k most szemu ¨ gyre a szaba´lyos ha´romszo ¨g szimmetriacsoportja´t (5.1. ´abra). A ha´romszo ¨gnek pontosan hat szimmetria´ja van: az I identikus transzforma´cio ´, a v 120◦ -os e´s a w 240◦ -os – az o ´ramutato ´ ja´ra´sa´val ellenkez˝ o ira´nyu ´ – forgata´s, valamint az x, y, z – rendre az X, Y e´s Z tengelyekre valo ´ – tu ¨ kro ¨ze´sek. A to ¨bbi forgata´st nem kell szerepeltetnu ¨ nk, hata´suk ugyanis vagy v, vagy w hata´sa´val egyezik meg. A felsorolt transzforma´cio ´k kompozı´cio ´it ma´r nem kell ku ¨ lo ¨n sza´mba vennu ¨ nk, ba´rmely kett˝ o egyma´suta´nja ugyanis mindig a hat ko ¨zu ¨ l valamelyiket eredme´nyezi. Az 5.2. ´abra ta´bla´zata´ban sorra vettu ¨ k, mi az eredme´nye ke´t transzfor´ ma´cio ´ egyma´suta´nja´nak. Ha pe´lda´ul kı´va´ncsiak vagyunk, mi az x ◦ v kompozı´cio eredme´nye, megkeressu ¨ k az x sora´nak v oszlopa´nak a metsze´spontja´t. Itt az y-t tala´ljuk, enne´lfogva

x ◦ v = y.

5.1. a ´ bra. A szaba´lyos ha´romszo ¨g szimmetria´i.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

189

Galois ◦

I

v

w

x

y

z

I v w x y z

I v w x y z

v w I y z x

w I v z x y

x z y I w v

y x z v I w

z y x w v I

5.2. a ´ bra. A ha´romszo ¨g szimmetriacsoportja. A w e´s az x transzforma´cio ´k – ebben a sorrendben valo ´ – egyma´s uta´ni alkalmaza´sa´nak eredme´nye, teha´t az x ◦ w transzforma´cio ´ a ta´bla´zat szerint a z, v-t ´, hogy v e´s ke´tszer egyma´s uta´n ve´grehajtva pedig w-t kapjuk: v ◦ v = w. La´thato w egyma´s, x, y e´s z pedig o¨nmaguk inverzei. Mivel hat transzforma´cio ´nk ko ¨zu ¨ l ba´rmelyik kett˝ o egyma´suta´nja szinte´n egy a hat ko ¨zu ¨ l, ugyanez tetsz˝ oleges – ve´ges – transzforma´cio ´sorozat elemeire is igaz. A (w ◦ x) ◦ y transzforma´cio ´ pe´lda´ul nem ma´s, mint y ◦ y, amely ve´gu ¨ l e´ppen az I. Galois A vila´g a csoport matematikai fogalma´t egy fiatal francia matematikusnak, Evariste Galois-nak ko ¨szo ¨nheti, aki hu ´ sz e´ves kora´ban, 1832. ma´jus 30-a´n egy pa´rbajban vesztette e´lete´t. Nem e´rhette meg, hogy tanu ´ ja legyen eredme´nyei forradalmi hata´sa´nak. Igaz ugyan, hogy ezek valo ´di jelent˝ ose´ge´nek felismere´se´hez majdnem egy teljes e´vtizednek kellett eltelnie. A csoport fogalma´hoz Galois-t egy specia´lis algebrai proble´ma vezette el. Polinomegyenletek egyszer˝ u ke´plettel valo ´ megoldhato ´sa´ga´t vizsga´lta. Az

ax2 + bx + c = 0 ma´sodfoku ´ egyenlet megolda´sa´t – mint azt minden ko ¨ze´piskola´s fu ´ jja – az ala´bbi formula adja meg: √ −b ± b2 − 4ac x= . 2a A harmad- e´s negyedfoku ´ egyenletek megolda´sa hasonlo ´, ba´r sokkalta bonyolultabb formula´kkal ´rhato ı ´ fel. A harmadfoku ´ egyenlet ´altala´nos alakja

ax3 + bx2 + cx + d = 0, a negyedfoku ´ egyenletben pedig egy tova´bbi, x4 -et tartalmazo ´ tag is szerepel. A megolda´sokban nem szerepelnek n-edik gyo ¨kkifejeze´sekne´l bonyolultabb objektumok.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

190

A sze´pse´g matematika´ja

1824-ben Abel megmutatta, hogy hasonlo ´, kiza´ro ´lag gyo ¨kkifejeze´seket haszna´lo ´ megoldo ´ke´plet az o ¨to ¨dfoku ´ egyenletre nem adhato ´. Pontosabban, azt bizonyı´totta be, hogy nem le´tezik olyan ke´plet, amely minden o ¨to ¨dfoku ´ egyenletre alkalmazhato ´; vannak olyan o ¨to ¨dfoku ´ egyenletek, amelyekre van megoldo ´ke´plet, ma´sokra azonban nincs. Galois olyan mo ´dszert kidolgoza´sa´t t˝ uzte ki ce´lul, amelynek alapja´n tetsz˝ oleges egyenlet esete´n eldo ¨nthet˝ o, vajon megoldhato ´-e gyo ¨ko ¨s kifejeze´sekkel. Megolda´sa´nak eredetise´ge a feladat nehe´zse´ge´vel vetekszik. Galois felfedezte, hogy a megolda´sok gyo ¨kkifejeze´sekkel valo ´ felı´ra´sa az egyenlet szimmetria´ito ´l fu ¨ gg, ko ¨zelebbr˝ ol e szimmetria´k csoportja´nak bizonyos jellemz˝ oit˝ ol. Amennyiben a kedves Olvaso ´ nem e´ppen a fiatal Galois (ami csak keve´sse´ valo ´szı´n˝ u), s nem is tala´lkozott az elme´lete´vel, feltehet˝ oen soha nem meru ¨ lt fel benne, hogy az egyenletek ba´rmilyen szimmetria´val – vagy aka´r csak valamilyen alakkal – rendelkezhetnek. Pedig ´gy ı van. Az egyenletek szimmetria´i absztrakt, algebrai szimmetria´k, a szemnek la´thatatlanok. Galois teha´t a szimmetria hagyoma´nyos fogalma´bo ´l indult ki, s ennek absztrakt leı´ra´sa´t – a szimmetriacsoportok elme´lete´t – alkalmazta az egyenletekre. Ez volt az egyik lego ¨tletesebb „technolo ´gia-transzfer” a matematika to ¨rte´nete´ben. Hogy ke´pet alkothassunk Galois elme´lete´r˝ ol, vegyu ¨ k pe´lda´nak az

x4 − 5x2 + 6 = 0 egyenletet, amelynek oz˝ od√ √ gyo¨√kei (amint arro´l a kedves Olvaso´ maga is meggy˝ √ het): 2, − 2, 3 e´s − 3. Jelo ¨lju ¨ k e gyo ¨ko ¨ket a-val, b-vel, c-vel e´s d-vel, ´gy ı ko ¨nnyebb lesz elvonatkoztatni magukto ´l a sza´me´rte´kekt˝ ol. a e´s b, valamint c e´s d o ¨sszetartozo ´ pa´rt alkotnak: a ko ¨zo ¨ttu ¨ k fenna´llo ´ „algebrai szimmetria” azonban nem meru ¨ l ki annyiban, hogy b e´ppen −a, d pedig −c-vel egyenl˝ o. Amennyiben a, b, c e´s d valamely raciona´lis egyu ¨ tthato ´s kifejeze´se elt˝ unik (azaz e´rte´ke 0), akkor ugyanilyen marad, ha a-t b-vel vagy c-t d-vel felcsere´lju ¨ k, s˝ ot, akkor is, ha egyszerre mindke´t csere´t ve´grehajtjuk. Ha a kifejeze´sben csupa´n az a szerepel, akkor a e´s b csere´je azt jelenti, hogy a helye´be mindenu ¨ tt b keru ¨ l. (Az x2 − 2 = 0 egyenletet pe´lda´ul mind a, mind b kiele´gı´ti. Az x + y = 0 egyenletnek pedig az x = a, y = b e´s az x = b, y = a pa´rok egyara´nt megolda´sai.) Ha a szo´ban forgo´ kifejeze´sben mind ¨ sszefoglalva: a ne´gy bet˝ u szerepel, akkor a ke´t csere egyszerre is ve´grehajthato ´. O raciona´lis kifejeze´sek gyo ¨keike´nt a e´s b, valamint c e´s d nem ku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ ok meg egyma´sto ´l. a e´s c ma´sre´szr˝ ol ko ¨nnyede´n megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o: a2 − 2 = 0 pe´lda´ul igaz, c2 − 2 = 0 viszont nem. Eredeti egyenletu ¨ nk gyo ¨keinek lehetse´ges felcsere´le´sei (permuta´cio ´i) alkotja´k az egyenlet Galois-csoportja´t: esetu ¨ nkben ez a e´s b, valamint c e´s d felcsere´le´se´b˝ ol, illetve a ke´t csere szimulta´n ve´grehajta´sa´bo ´l ´all. A csoportot u ´ gy is tekinthetju ¨ k, mint a ne´gy gyo ¨k azon szimmetria´it, amelyek a gyo ¨ko ¨kre teljesu ¨ l˝ o (raciona´lis egyu ¨ tthato ´s, egy- vagy to ¨bbva´ltozo ´s) polinomegyenletekre vonatkoz-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Galois

191

nak. Az olyan csoportokat, amelynek elemei permuta´cio ´k, permuta´cio ´csoportnak nevezzu ¨ k; a Galois-csoportok is ilyenek. Galois definia´lt egy csoporttulajdonsa´got, s megmutatta, hogy egy egyenlet pontosan akkor oldhato ´ meg kiza´ro ´lag gyo ¨kkifejeze´sekkel, ha szimmetriacsoportja ilyen tulajdonsa´gu ´ . A szo ´ban forgo ´ felte´tel kiza´ro ´lag a csoport algebrai struktu ´ ra´ja´to ´l fu ¨ gg. A to ¨rte´neti h˝ use´g kedve´e´rt meg kell jegyeznu ¨ nk, hogy Galois nem adta meg a csoport definı´cio ´ja´t abban a forma´ban, ahogy mi tettu ¨ k: a G1–G3 axio ´ma´k ro ¨gzı´te´se Arthur Cayley e´s Edward Huntington e´rdeme, s csak a sza´zadfordulo ´n keru ¨ lt ra´ sor. Az alapo ¨tlet azonban ke´tse´gbevonhatatlanul Galois-e´. Mikor Galois elme´lete ismertte´ va´lt, a matematikusok sza´mos tova´bbi alkalmaza´sa´ra bukkantak ra´. Augustin-Louis Cauchy e´s Joseph Louis Lagrange re´szletesen kidolgozta´k a permuta´cio ´csoportok elme´lete´t, 1849-ben Auguste Bravais a krista´lyok szimmetriatulajdonsa´gainak kimerı´t˝ o oszta´lyoza´sa´t u ´ gyszinte´n a csoportelme´let mo ´dszereivel, a ha´romdimenzio ´s te´r szimmetria´inak vizsga´lata alapja´n adta meg. A krisztallogra´fia e´s a csoportelme´let ko ¨zo ¨tt azo ´ta is gyu ¨ mo ¨lcso ¨z˝ o kapcsolat ´all fenn, amire a ke´s˝ obbiekben me´g visszate´ru ¨ nk. A csoportelme´let fejl˝ ode´se´re sza´mottev˝ o hata´st gyakorolt Felix Klein 1872-ben Erlangenben megtartott el˝ oada´sa, s az ebben meghirdetett erlangeni program. A program a geometria egyse´ges szemle´let˝ u ta´rgyala´sa´t t˝ uzte ki ce´lul; az Olvaso ´, aki ko ¨nyvu ¨ nket ida´ig ko ¨vette, feltehet˝ oen sejti ma´r, mie´rt keresik a matematikusok az effe´le egyse´gesı´t˝ o elveket. A tizenkilencedik sza´zadban, az euklideszi geometria csaknem ke´t e´vezredes uralma´nak let˝ unte´vel a szı´nen geometria´k ege´sz sora jelent meg: az euklideszi mellett a Bolyai – Lobacsevszkij- e´s a Riemann-geometria, a projektı´v geometria e´s a legu ´ jabb, a topolo ´gia, amelyet ma´r csak er˝ os jo ´indulattal lehet „geometria´nak” nevezni, s amellyel a ko ¨vetkez˝ o fejezetben foglalkozunk majd re´szletesebben. Klein e´rtelmeze´se´ben egy geometria ce´lja az alakzatok olyan jellemz˝ oinek felta´ra´sa, amelyek – sı´k-, te´r- vagy ba´rmely egye´b tı´pusu ´ – transzforma´cio ´k valamely csoportja´ra ne´zve invaria´nsak. Az euklideszi geometria pe´lda´ul olyan tulajdonsa´gokkal foglalkozik, amelyek nem va´ltoznak meg, ha az alakzatokat elforgatjuk, eltoljuk, tu ¨ kro ¨zzu ¨ k vagy hasonlo ´sa´gi transzforma´cio ´knak vetju ¨ k ala´. Ezen elme´let szerint ke´t ha´romszo ¨get akkor nevezu ¨ nk egybeva´go ´nak, ha van olyan „euklideszi szimmetria”, azaz egy eltola´s e´s egy elforgata´s (s esetleg egy tu ¨ kro ¨ze´s) egyma´suta´nja, amely egyiket a ma´sikba viszi. (Euklide´sz definı´cio ´ja szerint ke´t ha´romszo ¨g akkor egybeva´go ´, ha megfelel˝ o oldalaik e´s szo ¨geik mind egyenl˝ o nagysa´gu ´ ak.) A projektı´v sı´k geometria´ja az alakzatok azon vona´sait vizsga´lja, melyek invaria´nsak a projektı´v transzforma´cio ´csoport valamennyi eleme´re ne´zve. Hasonlo ´an, a topolo ´gia ce´lja a topologikus transzforma´cio ´k invaria´nsainak felta´ra´sa. Az erlangeni program az absztrakcio ´ u ´ jabb sikere, a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o geometria´k absztrakt minta´zataira a csoportelme´let mo ´dszereivel felta´rhato ´ struktu ´ ra´k vizsga´lata derı´tett fe´nyt.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

192

A sze´pse´g matematika´ja

5.3. a ´ bra. A narancsok jo ´l ismert gu ´ la alaku ´ elrendeze´se. Hogyan pakoljunk narancsot? A matematikai minta´zatokra u ´ ton-u ´ tfe´len ra´bukkanunk. Szimmetria´kkal tala´lkozunk, mid˝ on megcsoda´lunk egy ho ´pelyhet vagy egy vira´got; egy ma´sik e´rdekes forma´ra figyelhetu ¨ nk fel, ha alaposabban szemu ¨ gyre vesszu ¨ k a gu ´ la-forma´ba o ¨sszerakott narancsokat a legko ¨zelebbi szupermarketben (5.3. ´abra). Mife´le rend ´ s mike´nt helyezte´k el a narancsokat azokban a rekeszekben, nyilva´nul itt meg? E ˝ket? A narancs szempontja´bo amelyekben sza´llı´totta´k o ´l a stabilita´s, a sza´llı´ta´s szempontja´bo ´l az optima´lis te´rkihaszna´la´s a ce´l. Ugyanaz-e a ke´t elrendeze´s? (Eltekintve persze atto ´l, hogy a gu ´ la´ba rakott narancsokna´l az elrendeze´snek ‘oldalai’ is vannak.) Vajon a stabilita´s e´s az optima´lis te´rkihaszna´la´s feladata´nak mindig ´ s ha igen, mie´rt? ugyanaz a megolda´sa? E A ke´rde´s ekke´pp is feltehet˝ o: valo ´ban a gu ´ laforma a leghate´konyabb elrendeze´s? (Leghate´konyabbnak tekintju ¨ k azt az elrendeze´st, amelyet ko ¨vetve az adott helyen a lehetse´ges legto ¨bb narancs helyezhet˝ o el.) A ku ¨ lo ¨nfe´le ta´rgyak optima´lis elhelyeze´se´nek minta´zatai e´ppu ´ gy tanulma´nyozhato ´k a matematika eszko ¨zeivel, mint a szimmetria´k. A narancspakola´s proble´ma´ja a matematika´ban a go ¨mbi elrendeze´s proble´ma´ja: a ke´rde´s az, mike´nt lehet a leghate´konyabban elrendezni azonos nagysa´gu ´ go ¨mbo ¨ket. A proble´ma ma´r a tizenhetedik sza´zadban felmeru ¨ lt, Keplert is foglalkoztatta – teljes ´altala´nossa´ga´ban azonban egyel˝ ore megoldatlan. Helye´nvalo ´ lesz tala´n, ha a go ¨mbelrendeze´s ha´romdimenzio ´s proble´ma´ja´t egyel˝ ore fe´lretesszu ¨ k, s az analo ´g sı´kbeli feladatot, a ko ¨relrendeze´st vesszu ¨ k go ´rcs˝ o ala´: mike´ppen lehet a leghate´konyabban azonos sugaru ´ ko ¨ro ¨kkel adott teru ¨ letet kito ¨lteni?

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Hogyan pakoljunk narancsot?

193

5.4. a ´ bra. Azonos sugaru ´ ko ¨rlapokkal a sı´k ne´gyzetesen e´s hatszo ¨gesen is lefedhet˝ o. A rendelkeze´sre ´allo ´ teru ¨ let alakja e´s me´rete terme´szetesen le´nyeges szempont, a matematikai vizsga´lathoz el˝ oszo ¨r azt kell tenni, ami ilyen esetekben ´altala´ban ce´lravezet˝ o: meg kell tala´lni azt a minta´zatot, amely fu ¨ ggetlen az egyes esetek ku ¨ lo ¨nfe´le saja´tossa´gaito ´l. Mivel ez esetben az elrendeze´s minta´zata a le´nyeges, a rendelkeze´sre ´allo ´ teru ¨ let nagysa´ga´to ´l eltekintu ¨ nk, s feladatke´nt az ege´sz sı´k (illetve, ha´romdimenzio ´s esetben az ege´sz te´r) kito ¨lte´se´t t˝ uzzu ¨ k ki ce´lul. Az idealiza´lt esetre kapott megolda´s feltehet˝ oen csupa´n az igen nagy me´ret˝ u konte´nerekre alkalmazhato ´: mine´l nagyobbak, anna´l jobb a ko ¨zelı´te´s. Az 5.4. ´abra a sı´kbeli ko ¨relrendeze´s ke´t lehetse´ges mo ´dja´t mutatja: a ne´gyzetes e´s a hatszo ¨ges elrendeze´st. (A terminolo ´gia a ko ¨ro ¨k ko ¨zo ¨s e´rint˝ oi ´altal beza´rt sokszo ¨gekre utal.) Mike´pp hata´rozhato ´ meg ezen elrendeze´sek hate´konysa´ga? Ma´r maga´nak a ke´rde´snek a megfogalmaza´sa´na´l is o ´vatosnak kell lennu ¨ nk. A hate´konysa´got terme´szetesen a s˝ ur˝ use´g me´ri: a lefedett e´s az ege´sz rendelkeze´sre ´allo ´ teru ¨ let ha´nyadosa. Amennyiben azonban az ege´sz sı´kot lefedju ¨ k, e ha´nyados az e´rtelmetlen ∞/∞ alakot o ¨lti. A proble´ma megolda´sa´nak alapjaival ma´r az el˝ oz˝ o fejezetben megismerkedtu ¨ nk: a szo ´ban forgo ´ s˝ ur˝ use´g kisza´mı´ta´sa´ban ugyanazok a minta´zatok nyu ´ jtanak segı´tse´get, amelyek Newtont e´s Leibnizet az analı´zis felfedeze´se´hez vezette´k: a hata´re´rte´kek. Sorra kisza´mı´tjuk a s˝ ur˝ use´get, teha´t a lefedett e´s az ege´sz rendelkeze´sre ´allo ´ teru ¨ let ha´nyadosa´t egyre nagyobb ve´ges teru ¨ letekre. Ezuta´n kisza´mı´tjuk, mennyi e ha´nyadosok hata´re´rte´ke, amennyiben a rendelkeze´sre ´allo ´ teru ¨ let nagysa´ga a ve´gtelenhez tart (azaz mindig nagyobb e´s nagyobb lesz, minden fels˝ o korla´t ne´lku ¨ l). A ko ¨ro ¨k esete´ben az egyre nagyobb teru ¨ letekkel kell elosztani a kito ¨lto ¨tt teru ¨ letek nagysa´ga´t. Az analı´zis eszko ¨zeinek alkalmaza´sa´hoz – ami a kedves Olvaso ´nak feltehet˝ oen nem okoz meglepete´st – nem kell te´nylegesen kisza´molni az

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

194

A sze´pse´g matematika´ja

5.5. a ´ bra. Sı´kbeli ra´csok; fent: ne´gyzetalapu ´ , lent: paralelogrammaalapu ´ ra´cs. u ´ jabb e´s u ´ jabb s˝ ur˝ use´ge´rte´keket, csupa´n a ke´pletekb˝ ol kiolvashato ´ minta´zatot kell azonosı´tani. Kepler a megolda´snak pontosan ezt az u ´ tja´t ko ¨vette, s mega´llapı´totta, hogy a ¨zelı´t˝ oleg 0,785), a hatszo ¨ges elrendeze´se´ ne´gyzetes √ elrendeze´s s˝ ur˝ use´ge π/4 (ko pedig π/2 3 (a ko ¨zelı´t˝ o e´rte´k 0,907), az uto ´bbi teha´t hate´konyabb. A meglepete´st˝ ol feltehet˝ oen nem akad el a le´legzetu ¨ nk, elve´gre az 5.4. ´abra alapja´n egy pillanta´s elegend˝ o, hogy nyugta´zzuk: a hatszo ¨ges elrendeze´s esete´n kevesebb u ¨ res hely marad ki, mint a ne´gyzetesne´l. Az azonban nem nyilva´nvalo ´, hogy egya´ltala´n nem le´tezhet a hatszo ¨gesne´l hate´konyabb elrendeze´s. Elke´pzelhet˝ o ugyanis, hogy bizonyos – nem felte´tlenu ¨ l ennyire szaba´lyos – elrendeze´ssel jobb helykito ¨lte´s is megvalo ´sı´thato ´. A ko ¨rlapok leghate´konyabb elrendeze´se proble´ma´ja´nak a megolda´sa´hoz ve´gu ¨ l egy tova´bbi specia´lis eset vizsga´lata vezetett el. 1831-ben Gauss bebizonyı´totta, hogy a hatszo ¨ges elrendeze´s minden ra´csos elrendeze´s ko ¨zo ¨tt a leghate´konyabb. A ra´csos elrendeze´s ´altala bevezetett fogalma az ´altala´nos megolda´shoz vezet˝ ou ´ t mente´n u ´ jabb jelz˝ oko ¨vet rakott le. A sı´kbeli ra´csokat olyan pontok alkotja´k, amelyek egy szaba´lyos, ke´tdimenzio ´s ha´lo ´zat metsze´spontjai (l. az 5.5. ´abra´t). A ha´lo ´zat alapegyse´gei ne´gyzetek, de

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Hogyan pakoljunk narancsot?

195

paralelogramma´k is lehetnek. A ra´csokat matematikai szempontbo ´l az eltola´si (vagy transzla´cio ´s) szimmetria tu ¨ nteti ki: bizonyos eltola´sok a ra´csot ege´sze´ben va´ltozatlanul hagyja´k – me´g ha minden pont elkeru ¨ l is eredeti helye´r˝ ol. A ra´csos ko ¨relrendeze´sek ma´rmost azok, amelyekben a ko ¨ro ¨k ko ¨ze´ppontjai egy ra´cs pontjait alkotja´k. A ma´r ta´rgyalt ne´gyzetes e´s a hatszo ¨ges elrendeze´s nyilva´nvalo ´an ra´csos. A sı´kbeli ra´csos ko ¨relrendeze´sek vizsga´lata´ban a Lagrange ´altal kidolgozott sza´melme´leti mo ´dszerek is alkalmazhato ´k, ezekre hivatkozva sikeru ¨ lt Gaussnak megmutatni, hogy az ilyenek ko ¨zu ¨ l a hatszo ¨ges elrendeze´s biztosı´tja a leghate´konyabb kito ¨lte´st. Ezzel a leghate´konyabb ´altala´nos megolda´s ke´rde´se persze me´g nyitva maradt. Axel Thue 1892-ben bejelentette, igazolni tudja, hogy a hatszo ¨ges elrendeze´s a leghate´konyabb valamennyi lehetse´ges elrendeze´s ko ¨zu ¨ l. A helyes bizonyı´ta´st ve´gu ¨ l csak 1910-ben hozta nyilva´nossa´gra.

5.6. a ´ bra. Ha´rom ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o te´rbeli go ¨mbelrendeze´s le´tezik, amelyben valamennyi re´teg szaba´lyos ra´csminta´t ko ¨vet. A go ¨mbo ¨k ko ¨ze´ppontjai szaba´lyos kockara´csot, lapcentra´lt kockara´csot vagy hatszo ¨ges te´rbeli ra´csot alkotnak.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

196

A sze´pse´g matematika´ja

´ s az eredeti, ha´romdimenzio ´ sszer˝ E ´s go ¨mbelrendeze´s proble´ma´ja? E unek t˝ unik – Gauss is ezt tette –, ha el˝ oszo ¨r azt a specia´lis esetet vizsga´ljuk, amelyben a go ¨mbo ¨k ko ¨ze´ppontjai szaba´lyos, ha´romdimenzio ´s ra´cs pontjai. A ha´romdimenzio ´s ra´csoknak – mint azt Auguste Bravais, francia botanikus e´s fizikus 1848-ban bebizonyı´totta – pontosan tizenne´gy tı´pusa le´tezik. Ezeket manapsa´g Bravais-ra´csokke´nt emlegetik (6. szı´nes ta´bla). Ha a go ¨mbo ¨ket szaba´lyos rendben helyezzu ¨ k el, akkor le´nyege´ben az ´aruha´zi alkalmazottat ko ¨vetju ¨ k, aki a narancsokat gu ´ la´ba pakolja. A hate´kony elrendeze´shez ce´lszer˝ unek t˝ unik valamennyi re´tegben a ma´r megismert ne´gyzetes vagy hatszo ¨ges elrendeze´st ko ¨vetni; ezen a mo ´don ha´rom ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ha´romdimenzio ´s ra´csot kaphatunk, mint azt az 5.6. ´abra mutatja. A dolog magyara´zata a ko ¨vetkez˝ o. Ha minden re´tegben a ne´gyzetes elrendeze´st ko ¨vetju ¨ k, ke´t lehet˝ ose´g ko ¨zu ¨ l va´laszthatunk: vagy pontosan egyma´s teteje´re helyezzu ¨ k az egyes re´tegek go ¨mbjeit, vagy valamennyi go ¨mbo ¨t az alatta le´v˝ o re´teg ne´gy go ¨mbje ko ¨ze´ helyezzu ¨ k be. (A narancsokat az uto ´bbi forma´t ko ¨vetve rakja´k gu ´ la´ba, mivel ez nagyobb stabilita´st biztosı´t.) Az els˝ o a szaba´lyos, a ma´sodik a lapcentra´lt kockara´cs, amely uto ´bbiban a kocka´k „egy csu ´ csukon ´allnak”. A re´tegekben a hatszo ¨ges elrendeze´st ko ¨vetve megint csak ke´t eset lehetse´ges: vagy egyma´s teteje´re helyezzu ¨ k az e´rintkez˝ o re´tegek go ¨mbjeit, vagy a kialakulo ´ ´ gy t˝ ˝ket. U „re´sekbe” illesztju ¨ k be o unik teha´t, mintha ne´gy ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o te´rbeli elrendeze´st is megvalo ´sı´thatna´nk. A la´tszat azonban csal. Az „eltoltan” e´pı´tkez˝ o ne´gyzetes e´s hatszo ¨ges ra´cs valo ´ja´ban ugyanaz az elrendeze´s, ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o szo ¨gb˝ ol ne´zve. Ekvivalencia´jukat a kedves Olvaso ´ is ellen˝ orizheti, ha a gu ´ la´ba rakott narancsok elrendeze´se´t „to ¨bb ne´z˝ opontbo ´l” is megvizsga´lja. Valo ´ja´ban teha´t csak ha´rom ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o elrendeze´st tala´ltunk, a harmadikat a krisztallogra´fusok hatszo ¨ges ra´csnak nevezik. Kepler mindha´rom ra´cs s˝ ur˝ use´ge´t meghata´rozta. A szaba´lyos u√ kockara´cs s˝ r˝ use´ge π/6 (ko ¨zelı´t˝ oleg 0,5236),√a lapcentra´lt kockara´cse´ π/3 2 (ko ¨zelı´t˝ oleg 0,7404), a hatszo¨gese´ pedig π/3 3 (ko¨zelı´t˝ oleg 0,6046). A leghate´konyabb elrendeze´st teha´t a lapcentra´lt kockara´cs biztosı´tja, a narancsgu ´ la´ban is ezt ko ¨vetik. ´ ltala´nosabban: De ez lenne a leghate´konyabb valamennyi ra´cselrendeze´s ko ¨zu ¨ l? A ez lenne a leghate´konyabb te´rbeli elrendeze´s, ha azokat is figyelembe vesszu ¨ k, amelyek nem mutatnak a fentiekhez hasonlo ´ szaba´lyszer˝ use´get? Az els˝ o ke´rde´st – nem sokkal az analo ´g sı´kbeli proble´ma tiszta´za´sa uta´n, s ahhoz hasonlo ´an sza´melme´leti eszko ¨zo ¨kkel – ma´r Gauss megva´laszolta. A ma´sodik azonban mind ez ida´ig tiszta´zatlan. Egyel˝ ore teha´t nem ´allı´thatjuk teljes bizonyossa´ggal, hogy a narancsokat a lehet˝ o leghate´konyabb mo ´don helyezzu ¨ k el a rekeszekben. Annyi bizonyos, hogy a lapcentra´lt kockara´cse´ nem lehet az egyedu ¨li leghate´konyabb elrendeze´s: le´tezik ugyanis vele azonos hate´konysa´gu ´ , mindazona´ltal nem ra´csos elrendeze´s. Gondoljuk meg ugyanis a ko ¨vetkez˝ ot. Amennyiben ke´t

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ho ´pelyhek ´es le´psejtek

197

hatszo ¨ges re´teget egyma´sra helyezu ¨ nk, akkor egy harmadik ugyanilyen re´teget ke´tfe´leke´ppen helyezhetu ¨ nk a ma´sodikra. Az egyikne´l a harmadik re´teg go ¨mbjeinek ko ¨ze´ppontjai pontosan az els˝ o re´teg go ¨mbko ¨ze´ppontjai fo ¨le´ keru ¨ lnek, a ma´sikna´l nincs ilyen megfelele´s. A ma´sodik lehet˝ ose´g – amennyiben a megkezdett rend szerint e´pı´tju ¨ k tova´bb – lapcentra´lt kockara´csot eredme´nyez, az els˝ o azonban olyan te´rbeli elrendeze´shez vezet, amely nem ra´csos szerkezet˝ u ugyan, s˝ ur˝ use´ge mindazona´ltal a ma´sodike´val azonos. Ugyanezt a gondolatmenetet ko ¨vetve, amennyiben hatszo ¨ges ra´csminta´t ko ¨vet˝ o re´tegeket ve´letlenszer˝ uen helyezu ¨ nk egyma´sra, ku ¨ lo ¨nfe´le – ba´r azonos s˝ ur˝ use´g˝ u – te´rbeli elrendeze´seket kapunk. Ba´r egyel˝ ore nem tiszta´zo ´dott, hogy a narancsok elrendeze´se a lehetse´ges legjobb te´rkito ¨lte´st valo ´sı´tja-e meg, az ma´r biztos, hogy nem lehet messze az optima´listo ´l. Bizonyı´thato ´ ugyanis, hogy nem le´tezik olyan te´rbeli go ¨mbelrendeze´s, amelynek s˝ ur˝ use´ge 0,77836-na´l nagyobb. Ho ´ pelyhek e ´s le ´psejtek Kepler e´rdekl˝ ode´se´t a go ¨mbi elrendeze´s proble´ma´ja ira´nt nem a narancspakola´s ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o lehetse´ges mo ´dozatai keltette´k fel, hanem egy ma´sik, terme´szetes minta´zat: a ho ´pelyhek alakja. A gyu ¨ mo ¨lcso ¨k sem keru ¨ lte´k el figyelme´t, de nem a narancs, hanem a – matematikai szempontbo ´l legala´bb olyan izgalmas – gra´na´talma. S persze nem feledkezhetu ¨ nk meg a me´hek ´altal ke´szı´tett le´p hatszo ¨ges forma´ja´ro ´l sem. Kepler megfigyelte, hogy a ho ´pelyhek, amelyek egyma´sto ´l sza´mos apro ´ re´szletben elte´rhetnek, mind hatszo ¨gesen szimmetrikusak: amennyiben egy ho ´pelyhet 60◦ -os szo¨ggel (a teljes, 360◦ -os fordulat hatodre´sze´vel elforgatjuk, akkor mintha ugyanaz maradna (5.7. ´abra). Vajon mie´rt van az, tette fel Kepler a ke´rde´st, hogy e szimmetria minden egyes ho ´pelyhet jellemez? Kepler, mike´nt ma´s esetekben is, a geometria teru ¨ lete´n kereste a va´laszt. (Em˝ az, aki felfedezte a bolygo le´kezzu ¨ nk vissza, hogy o ´pa´lya´k elliptikus alakja´t, hogy mennyire leny˝ ugo ¨zte Plato ´nnak az o ¨t szaba´lyos testr˝ ol szo ´lo ´ tanı´ta´sa, s hogy ezt milyen eredeti mo ´don – ba´r ve´geredme´nyben sikertelenu ¨ l – alkalmazta a bolygo ´k Napto ´l valo ´ ta´volsa´gelte´re´seinek magyara´zata´ra.) Elme´lete szerint a la´tszo ´lag egyma´sto ´l szo ¨gesen elte´r˝ o tı´pusu ´ objektumok, mint a ho ´pelyhek, a gra´na´talma´k e´s a le´pek, egyara´nt a terme´szet er˝ oinek hata´sa´ra veszik fel a szaba´lyos geometriai alakot. Kepler abbo ´l indult ki, hogy bizonyos geometriai testekkel lehetse´ges a teret kito ¨lteni. A te´rkito ¨lte´s terme´szetes mo ´don u ´ gy valo ´sı´thato ´ meg, e´rvelt, hogy kiindulunk egy go ¨mbi elrendeze´sb˝ ol, s a go ¨mbo ¨ket addig ta´gı´tjuk, amı´g o ¨ssze nem e´rnek, s a ko ¨zo ¨ttu ¨ k le´v˝ ou ¨ res helyek elt˝ unnek. Ha abbo ´l indulunk ki, hogy a Terme´szet mindig a leghate´konyabb mo ´don valo ´sı´tja meg ce´ljait, e´sszer˝ u felte´telezni,

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

198

A sze´pse´g matematika´ja

5.7. a ´ bra. A ho ´pehely hatszo ¨gszimmetria´ja. Ha egy ho ´pelyhet valaha´nyszor 60◦ -os szo¨ggel elforgatunk, alakja nem va´ltozik meg.

hogy a le´p, a ho ´pehely e´s a gra´na´talma minta´zata egyara´nt valamely hate´kony go ¨mbi elrendeze´sb˝ ol sza´rmazik. A szaba´lyos kockara´csban elrendezett go ¨mbo ¨k kocka´kka´, a hatszo ¨ges ra´csbeli go ¨mbo ¨k hatszo ¨glet˝ u hasa´bokka´, a lapcentra´lt kockara´csbeliek pedig rombdodekae´derre´ „terjeszthet˝ ok ki” (5.8. ´abra). A gra´na´talma no ¨vekede´se mintha pontosan ezt a minta´zatot ko ¨vetne´: a gyu ¨ mo ¨lcs magjai eleinte – lapcentra´lt kockara´csban elhelyezked˝ o – go ¨mbo ¨cske´k, s csak fokozatosan veszik fel az e´rett gra´na´talma´ra oly jellemz˝ o rombdodekae´der-forma´t, amely ma´r to ¨ke´letesen kito ¨lti a rendelkeze´su ¨ kre ´allo ´ teret. Kepler eszme´i nem csupa´n a go ¨mbi elrendeze´sek matematikai vizsga´lata´nak adtak lo ¨ke´st, de kı´se´rleti vizsga´lo ´da´sokat is elindı´tottak. Az angol Stephen Hales 1727-ben megjelent, a ba´jos Vegetable Staticks (Zo ¨ldse´g-statika) cı´met visel˝ o ko ¨nyve´ben leı´rja, hogy mid˝ on egy ede´nyt megto ¨lto ¨tt borso ´val, majd annyira o ¨szszenyomta, amennyire csak bı´rta, az o ¨sszepre´sel˝ odo ¨tt borso ´k szaba´lyos dodekae´der alakot vettek fel. Megfigyele´se´be feltehet˝ oen hiba´k csu ´ szhattak, dodekae´derekkel ugyanis nem lehet a teret kito ¨lteni. De ha szaba´lyos dodekae´der forma´val nem is tala´lkozunk, a ve´letlenszer˝ u go ¨mbi elrendeze´sek o ¨sszenyoma´sa te´nylegesen rombos alakokat eredme´nyez. 1939-ben J. W. Marvin e´s E. B. Matzke botanikusok Kepler teo ´ria´ja´t kı´se´rletileg pro ´ba´lta´k ellen˝ orizni. Egy hengerben o ´lomgolyo ´kat rendeztek el lapcentra´lt kockara´csos forma´ban, ezeket dugattyu ´ val o ¨sszenyomta´k – s az elme´let ´altal megjo ´solt rombdodekae´der-forma´t kapta´k. Szaba´lytalan, ve´letlenszer˝ u elrendeze´sb˝ ol kiindulva ugyancsak szaba´lytalan, tizenne´gyoldalu ´ testeket kaptak.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ho ´pelyhek ´es le´psejtek

199

Tova´bbi kı´se´rleti eredme´nyek is ala´ta´masztotta´k, hogy a ve´letlenszer˝ u elrendeze´sek hate´konysa´ga nem e´ri el a lapcentra´lt kockara´cse´t. Ilyenekkel legfo ¨ljebb – hozza´vet˝ olegesen – 0,637 nagysa´gu ´ s˝ ur˝ use´get e´rhetu ¨ nk el. (Emle´kezzu ¨ nk csak, a narancsgu ´ la hate´konysa´ga 0,740.) Vajon a me´hek ´altal ke´szı´tett le´p (5.9. ´abra) minek ko ¨szo ¨nheti hatszo ¨gletes ´ sszer˝ alakja´t? E unek t˝ unik a felte´teleze´s, miszerint a me´hek a viaszt kis cseppecske´k forma´ja´ban va´lasztja´k ki, amely azta´n a felu ¨ leti nyoma´s hata´sa´ra nyeri el ve´gs˝ o alakja´t. A ku ¨ ls˝ o nyoma´s ugyanis e´ppen enne´l a forma´na´l a legkisebb. Ezt az ´alla´spontot ke´pviseli D’Arcy Thompson is, nevezetes Laws of Form (A forma to ¨rve´nyei) cı´m˝ u ko ¨nyve´ben. Egy ma´sik lehetse´ges magyara´zat szerint a me´hek el˝ oszo ¨r kis hengereket e´pı´tenek, amelyeknek a pala´stja´t addig ko ¨zelı´tik egyma´shoz, amı´g – a teret kito ¨lt˝ o – hatszo ¨g alapu ´ hasa´bokat nem kapnak. Nem kisebb tekinte´ly, mint maga Charles Darwin vallotta ezt a ne´zetet. Az igazsa´g az, hogy mindke´t elme´let te´ves. Nem a szervetlen terme´szet to ¨rve´nyei a felel˝ osek a le´p hatszo ¨gletes alakja´e´rt – a magyara´zat magukban a me´hekben keresend˝ o, akik a le´pet sejtr˝ ol sejtre e´pı´tik fel. A me´hek ku ¨ lo ¨nlegesen jo ´l ke´pzett geome´terek, az evolu ´ cio ´ sora´n bele´ju ¨ k programozo ´dott a ke´pesse´g, hogy a matematikailag leghate´konyabb elrendeze´st valo ´sı´tsa´k meg. Ha´travan me´g a ho ´pelyhek alakja´nak magyara´zata. Vajon igaza volt-e Keplernek? A tudoma´nyos mo ´dszerek fejl˝ ode´se´nek ha´la, fokozatosan kideru ¨ lt, hogy va-

5.8. a ´ bra. Rombdodekae´der, amelynek tizenke´t egybeva´go ´ rombusz alkotja az oldallapjait.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

200

A sze´pse´g matematika´ja

5.9. a ´ bra. A me´hsejt geometriai forma´ja. ˝ket alkoto lo ´ban: a krista´lyok ku ¨ ls˝ o, megfigyelhet˝ o alakja az o ´ re´szecske´k nagyfoku ´ rendezettse´get mutato ´, bels˝ o struktu ´ ra´ja´t tu ¨ kro ¨zi. A ve´gs˝ o kı´se´rletet Lawrence Bragg ve´gezte el 1915-ben, az akkoriban felfedezett ro ¨ntgensugarakat alkalmazo ´ technika´val. Kideru ¨ lt, hogy a krista´lyok para´nyi, egyforma alkoto ´elemekb˝ ol (atomokbo ´l) ´allnak, melyek szaba´lyos ra´csszerkezetben helyezkednek el (5.10. ´abra). A ho ´pelyhek a le´gko ¨r fels˝ obb re´tegeiben keletkeznek, para´nyi, hatszo ¨gletes je´gkrista´lyszemcse´kb˝ ol. Ahogy a le´gmozga´sok hata´sa´ra ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o h˝ ome´rse´klet˝ u re´tegeken sza´llnak keresztu ¨ l, a krista´ly no ¨vekede´snek indul. Apro ´ me´retu ¨ k miatt minden oldalukon ugyanaz a minta´zat alakul ki, az eredeti hatszo ¨gforma´t mindve´gig meg˝ orzik, hatszo ¨ges szimmetria´juk ´gy ı alakul ki. (Maga a ‘krista´ly’ kifejeze´s is a go ¨ro ¨g ‘je´g’ szo ´bo ´l ered.) A go ¨mbi elrendeze´sek matematikai vizsga´lata teha´t sza´mos terme´szeti jelense´g magyara´zata´ban visszako ¨szo ¨n, Keplert, a vizsga´lo ´da´sok u ´ tto ¨r˝ oje´t is effe´le ce´lkit˝ uze´s motiva´lta. Bizonyosan meglep˝ odne azonban, ha tudoma´st szerezne arro ´l, hogy a gra´na´talma´k e´s ho ´pelyhek geometriai minta´zatainak tudoma´nya a huszadik sza´zadi digita´lis kommunika´cio ´-technolo ´gia elme´leti alapjaiban is szerepet ´ jfent ala´ta´kap, me´ghozza´ ne´gy- e´s to ¨bbdimenzio ´s ´altala´nosı´tott forma´ja´ban. U maszta´st nyert teha´t, hogy aka´r me´g gyakorlati haszon is sza´rmazhat abbo ´l, ha a matematikusok az absztrakt, csupa´n az elme´ben le´tez˝ o minta´zatokra koncentra´lnak. A ne´gy- e´s o ¨tdimenzio ´s esetben a leghate´konyabb elrendeze´st me´g a lapcentra´lt kockara´cs – ne´gy- s o ¨tdimenzio ´s – analogonjai valo ´sı´tja´k meg, magasabb dimenzio ´sza´m esete´n azonban ez ma´r nincs ´gy. ı A magyara´zat abban keresend˝ o, hogy a dimenzio ´sza´m no ¨vekede´se´vel az e´rintkez˝ o go ¨mbo ¨k ko ¨zti „u ¨ res te´r” nagysa´ga

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ho ´pelyhek ´es le´psejtek

201

egyre nagyobb lesz. Amint ele´rkezu ¨ nk a nyolcadik dimenzio ´hoz, a lapko ¨ze´ppontos kockara´cs ma´r olyannyira „leveg˝ os”, hogy a szabad helyeken me´g egy, ugyanilyen ra´cs elhelyeze´se´re lehet˝ ose´g nyı´lik, s e´ppen az ´gy ı kapott elrendeze´s lesz – a nyolcdimenzio ´s esetben – a legnagyobb s˝ ur˝ use´g˝ u, mi to ¨bb, ennek bizonyos metszetei alkotja´k a leghate´konyabb he´t-, illetve hatdimenzio ´s ra´csokat. Mindezt H. F. Blichfeldt bizonyı´totta be 1934-ben. Hogy a go ¨mbelrendeze´s proble´ma´ja´ro ´l pontosabb ke´pet alkothassunk, ce´lszer˝ u ne´ha´ny specia´lis esetet megvizsga´lni. Az 5.11. ´abra´n ne´gy – egyse´gnyi sugaru ´ – ko ¨rt la´tunk, amelyek egy 4 · 4-es ne´gyzet belseje´ben helyezkednek el. A szomsze´dos ko ¨ro ¨k e´rintik egyma´st, s lehetse´ges ko ¨zo ¨ttu ¨ k elhelyezni egy tova´bbi, kisebb me´ret˝ uo ¨to ¨dik ko ¨rt is, amelynek ko ¨ze´ppontja a ne´gyzet ko ¨ze´ppontja, s amely mind a ne´gy eredeti ko ¨rt e´rinti. Az 5.12. ´abra az analo ´g ha´romdimenzio ´s elrendeze´st szemle´lteti. A 4 egyse´g oldalu ´ kocka´ban most nyolc egyse´gsugaru ´ , egyma´st e´rint˝ o go ¨mbo ¨t, ezek ko ¨zo ¨tt pedig egy kisebb, mind a nyolcat e´rint˝ o kilencediket helyeztu ¨ nk el. Ugyanez terme´szetesen a ne´gy-, az o ¨t-, s˝ ot, tetsz˝ oleges n-dimenzio ´s esetben is megtehet˝ o – ba´r reme´nytelenu ¨ l nehe´z feladat vizua´lisan elke´pzelni az ´gy ı kapott elrendeze´seket. A 4 · 4 · 4 · 4-es, ne´gydimenzio ´s kocka belseje´be pe´lda´ul tizenhat, egyse´gsugaru ´ ne´gydimenzio ´s go ¨mbo ¨t helyezhetu ¨ nk el, valamint ko ¨ze´pre egy tizenhetediket, amely mind a tizenhatot e´rinti. Az ´altala´nos minta´zat nyilva´n a ko ¨vetkez˝ o: az n-dimenzio ´s 4 egyse´g oldalu ´ kocka belseje´be 2n darab egyse´gnyi sugaru ´ go ¨mb helyezhet˝ o el, egy tova´bbi, ko ¨zo ¨ttu ¨ k helyet foglalo ´, s valamennyit e´rint˝ o bels˝ o go ¨mbbel egyetemben. De nem ez az egyetlen megfigyelhet˝ o minta´zat. A ke´tdimenzio ´s esetben az eredeti ne´gy ko ¨ze´ helyezett o ¨to ¨dik, s a ha´romdimenzio ´s esetben a kilencedik go ¨mb

5.10. a ´ bra. A konyhaso ´ (na´trium-klorid) krista´lyra´csa to ¨ke´letes kockaalakot ke´pes felvenni, amely alak a ra´csot alkoto ´ ionok bels˝ o struktu ´ ra´ja´t tu ¨ kro ¨zi. A szaba´lyos kockara´cs pontjaiban a na´trium- e´s a kloridionok felva´ltva foglalnak helyet.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

202

A sze´pse´g matematika´ja

5.11. a ´ bra. Ne´gy, egyma´st e´rint˝ o, egybeva´go ´ ko ¨r ko ¨ze´ egy kisebb, valamennyit e´rint˝ oo ¨to ¨dik helyezhet˝ o. Amennyiben a nagyobb ko ¨ro ¨k ko ¨ze´ppontjai az (1, 1), (1, −1), (−1, −1) e´s (−1, 1) koordina´ta´ju ´ pontok, akkor a kisebb ko ¨r ko ¨ze´ppontja e´ppen az origo ´ba esik. egyara´nt az ege´sz alakzatot maga´ba foglalo ´ ne´gyzet, illetve kocka belseje´ben maradt. Ne´gy-, o ¨t- e´s hatdimenzio ´ban a helyzet hasonlo ´, s legto ¨bben nem is felte´telezne´nk, hogy a dolog lehet ma´ske´pp is. A meglepete´s azonban ma´r a le´pcs˝ oha´zban toporog. Amint ele´rkezu ¨ nk a kilencdimenzio ´s esethez, valami igen-igen furcsa dolog to ¨rte´nik. A 4 egyse´g oldalu ´ , kilencdimenzio ´s kocka´ban elhelyezked˝ o egyse´gsugaru ´ go ¨mbo ¨k ko ¨ze´ helyezett go ¨mb e´rinti a szo ´ban forgo ´ kocka oldallapjait, ˝t „maga´ba foglalo magasabb dimenzio ´kban pedig egyenesen „kilo ´g” az o ´” kocka´bo ´l, me´ghozza´ mine´l nagyobb a dimenzio ´sza´m, anna´l inka´bb. A jelense´g magyara´zata egyszer˝ u, s csupa´n elemi algebrai eszko ¨zo ¨kre ta´maszkodik. Hata´rozzuk meg els˝ oke´nt a ke´tdimenzio ´s esetben az o ¨to ¨dik, kisebb ko ¨r sugara´t. A ne´gy, eredeti ko ¨r e´s a ne´gyzet ko ¨ze´ppontja´nak ta´volsa´ga Pitagorasz te´tele szerint
√ 12 + 12 = 2. √ Mivel az eredeti ko ¨ro ¨k sugara 1, a kisebb ko ¨r sugara az ´abra alapja´n 2 − 1, ko ¨zelı´t˝ oleg 0,41. Ekkora ko ¨r b˝ ose´gesen elfe´r a 4 · 4-es ne´gyzet belseje´ben. Az ´altala´nos, n-dimenzio ´s esetben a Pitagorasz-te´tel – n-dimenzio ´s – analogonja szerint az egyse´gsugaru ´ go ¨mbo ¨k ko ¨ze´ppontja´nak az origo ´to ´l (a beillesztett ko ¨r ko ¨ze´ppontja´to ´l) valo ´ ta´volsa´ga
√ 12 + 12 + · · · + 12 = n. √ A szabadon hagyott helyet elfoglalo ´ go ¨mb sugara teha´t n − 1. A ha´romdimenzio ´s te´rbeli elrendeze´sben a megfelel˝ o sza´me´rte´k 0,73, egy ekkora sugaru ´ go ¨mb

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ho ´pelyhek ´es le´psejtek

203

´ kocka belseje´ben. Amennyiben viszont n = 9, me´g mindig elfe´r a 4 egyse´g oldalu u ´ gy a bels˝ o go ¨mb sugara´ra pontosan 2 ado ´dik, go ¨mbu ¨ nk teha´t e´ppen e´rinteni fogja a – kilencdimenzio ´s – kocka oldala´t. Ha pedig n > 9, akkor a szo ´ban forgo ´ suga´r 2-ne´l nagyobb, a „te´rkito ¨lt˝ o” go ¨mb teha´t olyan jo ´l ella´tja a feladata´t, hogy me´g ki is tu ¨ remkedik a „befoglalo ´” kocka´bo ´l. A magyara´zat az, hogy az n-dimenzio ´s go ¨mbo ¨k ko ¨zo ¨tt n no ¨vekede´se´vel egyre nagyobb u ¨ res hely marad, elve´gre ma´r a sı´kbeli e´s a te´rbeli eset ko ¨zo ¨tt is no ¨vekszik a bels˝ o ko ¨r sugara: 0,41-r˝ ol 0,73-ra. A kitu ¨ remkede´s csupa´n aze´rt meglep˝ o, mert 9-ne´l kisebb dimenzio ´sza´m esete´n nem jelentkezik, ez pedig – a szo ´ szoros e´rtelme´ben – „tu ´ l” van a he´tko ¨znapi tapasztalat ko ¨re´n. Az adata´tvitellel valo ´ kapcsolat, amelyet ma´r beharangoztam, a huszonne´gy-dimenzio ´s te´rbeli go ¨mbelrendeze´s megolda´sa sora´n meru ¨ l fel. 1965-ben a csoportelme´let eszko ¨zeit felhaszna´lva John Leech ku ¨ lo ¨nleges – huszonne´gy-dimenzio ´s – ra´csot konstrua´lt, amelyet tisztelete´re Leech-ra´csnak neveztek el. E ra´cs olyan go ¨mbelrendeze´st tesz lehet˝ ove´, amely – az adott dimenzio ´sza´m mellett – szinte bizonyosan a legs˝ ur˝ ubb, s amelyben minden egyes go ¨mb 196 560 ma´sikat e´rint. A felfedeze´s valo ´di ´atto ¨re´st jelentett – a hibakeres˝ o e´s -javı´to ´ ko ´dok elme´lete´ben. Els˝ o halla´sra tala´n meglep˝ o, ha a go ¨mbi elrendeze´s e´s a ku ¨ lo ¨nfe´le adatok ko ´dola´sa ko ¨zo ¨tti kapcsolat keru ¨ l szo ´ba, ez azonban te´nyleg egyszer˝ u. (Hogy az o ¨tlet le´nyege´t mine´l ko ¨nnyebben bemutathassam, kisse´ leegyszer˝ usı´tem a dolgot.) Ke´pzelju ¨ k el teha´t, hogy – valamely kommunika´cio ´s csatorna´n valo ´ tova´bbı´ta´s ce´lja´bo ´l – nyolc egyse´g hosszu ´ sa´gu ´ bina´ris sorozatokkal ko ´doljuk a szavakat, mint amilyen az (1,1, 0,0, 0,1, 0,1) vagy a (0,1, 0,1, 1,1, 0,0). A jel tova´bbı´ta´sa sora´n a sorozatok ne´ha´ny helyen megva´ltozhatnak, elke´pzelhet˝ o pe´lda´ul, hogy az (1,1, 1,1, 1,1, 1,1)-ke´nt elku ¨ ldo ¨tt ko ´d (1,1, 1,1, 0,1, 1,1)-ke´nt e´rkezik meg. Hogy a kommunika´cio ´ effe´le hiba´it ke´pesek legyu ¨ nk kijavı´tani, ce´lszer˝ u, ha olyan ko ´do-

5.12. a ´ bra. Nyolc, egyma´st e´s egy kocka oldalait e´rint˝ o go ¨mb ko ¨zo ¨tt egy mindegyiket e´rint˝ o kisebb kilencedik is elfe´r.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

204

A sze´pse´g matematika´ja

la´sse´ma´t va´lasztunk, amely szerint a ma´sodik sorozat nem ko ´dja egyetlen szo ´nak sem, teha´t nyomban hibake´nt lehet azonosı´tani. Me´g enne´l is jobb, ha a felismert hiba´t ki is tudjuk javı´tani. Mindke´t feladat megoldhato ´, ha olyan se´ma´t va´lasztunk, amely szerint ba´rmely ke´t szo ´ ko ´dja´nak legala´bb ha´rom helyen ku ¨ lo ¨nbo ¨znie kell egyma´sto ´l. Ma´sre´szr˝ ol viszont, se´ma´nknak lehet˝ ose´g szerint mine´l to ¨bb szo ´ ko ´dola´sa´ra alkalmasnak kell lennie. Ha most a feladatot a geometria nyelve´re fordı´tjuk, kideru ¨ l: valo ´ja´ban a nyolcdimenzio ´s go ¨mbelrendeze´s proble´ma´ja ´all el˝ ottu ¨ nk. A lehetse´ges ko ´dok ugyanis mind felfoghato ´k egy nyolcdimenzio ´s egyse´gkocka csu ´ csainak koordina´ta´ike´nt, teha´t egy nyolcdimenzio ´s szaba´lyos kockara´csot hata´roznak meg. Ha most egy s rendezett nyolcas valamelyik szavunkat ko ´dolja, akkor biztosnak kell lennu ¨ nk abban, hogy ba´rmely ma´s ko ´d s-t˝ ol legala´bb ha´rom helyen ku ¨ lo ¨nbo ¨zik. Geometriailag ez annyit jelent, hogy minden ma´sik ko ´dnak √ ¨ze´ppontu ´ , r = 3 sugaru ´ ko ¨ro ¨n kı´vu ¨ li ra´cspontnak kell lennie. Ha most az s ko maxima´lni akarjuk azon ko ´dok sza´ma´t, amelyek ko ¨zu ¨ l ba´rmely kett˝ o legala´bb r ta´volsa´gra van egyma´sto ´l, akkor – geometriailag – az r/2 sugaru ´ go ¨mbo ¨k legs˝ ur˝ ubb elhelyeze´se´t keressu ¨ k a szo ´ban forgo ´ ra´cson. A ho ´pelyhek e´s a gra´na´talma´k geometriai minta´zataito ´l teha´t – a sokdimenzio ´s tereken keresztu ¨ l – a modern digita´lis technolo ´gia´hoz e´rkeztu ¨ nk meg! Ha ´ nyfe ´le tape ´taminta le ´tezik? A digita´lis kommunika´cio ´ elme´lete´nek fennko ¨lt magassa´gaihoz viszonyı´tva a tape´taminta´k te´ma´ja kifejezetten frivolnak t˝ unik. Ahogy azonban a ho ´pelyhek e´s gra´na´talma´k minta´zatai a hibajavı´to ´ ko ´dok elme´leti alapvete´se´hez vezettek, ki tudja, mi su ¨ lhet ki a tape´taminta´k vizsga´lata´bo ´l? A tape´taminta´k elve´gre o ¨nmagukban is figyelemre me´lto ´, me´ly matematikai forma´k. A tape´ta´k matematikai szempontbo ´l legfigyelemreme´lto ´bb vona´sa, hogy szaba´lyszer˝ u rendben isme´tl˝ odve ke´pesek az ege´sz sı´kot kito ¨lteni (7. szı´nes ta´bla). E minta´kkal nem csupa´n tape´ta´n, de m˝ uanyagpadlo ´n, ruha´n, takaro ´n e´s sz˝ onyegen is tala´lkozhatunk. A valo ´sa´gban ezek a falat e´s a padlo ´t fedik csak le, a matematikusok viszont a minden ira´nyban ve´gtelenu ¨ l meghosszabbı´tott idea´lis esettel foglalkoznak. A tape´taminta´k alapegyse´ge minden esetben egy Dirichlet-tartoma´ny: egy adott ra´cs valamely pontja´hoz tartozo ´ Dirichlet-tartoma´ny a sı´k azon pontjaibo ´l ´all, amelyek az illet˝ o ponthoz ko ¨zelebb vannak, mint ba´rmely ma´sik ra´csponthoz. Ezek a tape´ta-minta´k szimmetria´ja´nak e´pı´t˝ oko ¨vei. Amikor tape´taminta´t tervezu ¨ nk, mindig a papı´r egy kisebb re´sze´n rajzolunk meg valamilyen minta´t, majd ugyanezt a minta´t isme´telve to ¨ltju ¨ k ki a teljes rendelkeze´sre ´allo ´ teru ¨ letet. Pontosabban egy sı´kbeli ra´csbo ´l indulunk ki, egy kiszemelt Dirichlet-tartoma´nyon rajzolunk, s e rajzzal to ¨ltju ¨ k ki a to ¨bbi tartoma´nyt. A

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ha´nyfe´le tape´taminta le´tezik?

205

5.13. a ´ bra. A ke´tdimenzio ´s ra´csokon o ¨tfe´le ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o Dirichlet-tartoma´ny adhato ´ meg. tervez˝ ok e´s a m˝ uve´szek – nem felte´tlenu ¨ l tudatosan, de – minden esetben ezt a gyakorlatot ko ¨vetik. A sı´kon mindo ¨ssze o ¨t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o tı´pusu ´ Dirichlet-tartoma´ny le´tezik (5.13. ´abra), s valamennyi vagy ne´gy-, vagy hatszo ¨g alaku ´. Terme´szetesen nincs fels˝ o korla´tja a lehetse´ges tape´taminta´k sza´ma´nak. De vajon matematikai szempontbo ´l ha´nyat tudunk egyma´sto ´l megku ¨ lo ¨nbo ¨ztetni, ma´ske´ppen: ha´ny olyan van, amelynek szimmetriacsoportja valamennyi ma´sikto ´l ku ¨lo ¨nbo ¨zik? A va´lasz lehet, hogy meg fogja lepni a kedves Olvaso ´t! Ba´r ve´gtelen sok minta lehetse´ges, ezek mindegyike tizenhe´t szimmetriacsoport valamelyike´t kell hogy ko ¨vesse. A te´ny matematikai bizonyı´ta´sa meglehet˝ osen bonyolult; a tizenhe´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o szimmetria´t a 8. szı´nes ta´bla´n tanulma´nyozhatjuk. A tervez˝ ok e´s a m˝ uve´szek valamennyit felfedezte´k ma´r, mire a matematikusok bela´tta´k, hogy nem is e´rdemes tova´bbiakon to ¨prengeni. A Dirichlet-tartoma´nyok e´s a tape´taminta´k ko ¨nnyede´n ´altala´nosı´thato ´k kett˝ one´l to ¨bb dimenzio ´ esete´re is. A 6. szı´nes ta´bla´n la´thato ´ tizenne´gy ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ha´romdimenzio ´s ra´csban o ¨sszesen o ¨t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o Dirichlet-tartoma´ny le´tezhet (5.14. ´abra), amelyek – ba´r keve´sbe´ ismertek – e´ppoly alapvet˝ ok, mint a plato ´ni szaba´lyos testek.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

206

A sze´pse´g matematika´ja

5.14. a ´ bra. A ha´romdimenzio ´s ra´csokban le´tez˝ oo ¨t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o tı´pusu ´ Dirichlettartoma´ny.

A ha´romdimenzio ´s Dirichlet-tartoma´nyokbo ´l kiindulva o ¨sszesen 230 ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ha´romdimenzio ´s „tape´taminta´t” tudunk megku ¨ lo ¨nbo ¨ztetni. Ezek ko ¨zu ¨ l jo ´ ne´ha´ny a terme´szetben is el˝ ofordul, a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o krista´lyok fele´pı´te´se´ben. A szimmetriacsoportok elme´lete teha´t a krisztallogra´fia hasznos elme´leti sege´deszko ¨ze; a 230 ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o minta azonosı´ta´sa is javare´szt 19. sza´zadi krisztallogra´fusok munka´ja´nak eredme´nye. Periodikus e ´s aperiodikus mozaikok A go ¨mbelrendeze´s proble´ma´ja arra vonatkozott, hogy mike´nt lehet a rendelkeze´sre ´allo ´ teret adott tı´pusu ´ alakzatokkal a lehet˝ o leggazdasa´gosabban kito ¨lteni. A mozaikok matematikai vizsga´lata ezzel szemben arra a ke´rde´sre keresi a va´laszt, milyen alakzatokkal lehet az ege´sz sı´kot – vagy az ege´sz teret – kito ¨lteni. A ke´rde´s hasonlo ´ a fizika´nak az anyagot alkoto ´ re´szecske´k mibenle´te´t e´s kapcsolo ´da´sa´nak mo ´dja´t illet˝ o, vagy a sza´melme´letnek a sza´mok prı´mte´nyez˝ os felbonta´sa´ra vonatkozo ´ ke´rde´se´hez. Mike´nt az 5.15. ´abra´n la´thato ´, a szaba´lyos ha´rom-, ne´gy- e´s hatszo ¨gek egyara´nt alkalmasak arra, hogy velu ¨ k az ege´sz sı´kot kito ¨ltsu ¨ k. Vannak-e vajon ezeken kı´vu ¨l ma´s szaba´lyos sokszo ¨gek, amelyek ugyanerre a ce´lra alkalmasak? (Emle´keztetu ¨ nk ra´, szaba´lyosnak azokat a sokszo ¨geket nevezzu ¨ k, amelyeknek valamennyi oldala e´s bels˝ o szo ¨ge ugyanakkora.) A va´lasz: nincsenek.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Periodikus ´es aperiodikus mozaikok

207

Ha to ¨bb ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o forma´t is megengedu ¨ nk, de kiko ¨tju ¨ k, hogy a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o sokszo ¨gek mindig ugyanazon oldalaik mente´n e´rintkezzenek egyma´ssal, akkor tova´bbi nyolc lehetse´ges minta meru ¨ l fel, amelynek egyse´gei ha´romszo ¨gek, ne´gyzetek, hatszo ¨gek, nyolcszo ¨gek e´s tizenke´tszo ¨gek lehetnek (9. szı´nes ta´bla). Mind˝ket padlo egyik minta kellemes a szemnek, ´gy ı szı´vesen alkalmazzuk o ´mintake´nt, tala´n e´ppen az el˝ oz˝ oleg ta´rgyalt tizenhe´t tape´taminta valamelyike´nek kiege´szı´te´seke´nt. Ha tetsz˝ oleges, nem felte´tlenu ¨ l szaba´lyos sokszo ¨geket is megengedu ¨ nk, akkor a lehetse´ges minta´k sza´ma ve´gtelen. Specia´lisan, tetsz˝ oleges ha´romszo ¨g vagy ne´gyszo ¨g alkalmas a teljes sı´k kito ¨lte´se´re. Ez persze nem jelenti azt, hogy ugyanezt tetsz˝ oleges sokszo ¨ggel is megvalo ´sı´thatjuk. Szaba´lyos o ¨tszo ¨gekkel pe´lda´ul nem lehet a sı´kot to ¨ke´letesen lefedni. Azok az o ¨tszo ¨gek azonban, amelyeknek van ke´t pa´rhuzamos oldaluk, ma´r megfelelnek. A matematikusok mind ez ida´ig tizenne´gy ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ oo ¨tszo ¨g-fajta´t azonosı´tottak, amelyekkel a sı´k hia´nytalanul lefedhet˝ o, az utolso ´ 1985-o ¨s felfedeze´s – de hogy e lista teljes-e, arro ´l fogalmunk sincs. (A pontossa´g kedve´e´rt meg kell jegyeznu ¨ nk, hogy ezen eredme´ny konvex o ¨tszo ¨gekre vonatkozik, azaz olyanokra, amelyeknek nincs 180◦ -na´l nagyobb bels˝ o szo ¨ge.) A hatszo ¨gekre vonatkozo ´an ma´r 1918-ban bebizonyı´totta´k, hogy mindo ¨ssze ha´rom ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o fajta konvex hatszo ¨g le´tezik, amellyel a sı´k lefedhet˝ o, ezek a 10. szı´nes ta´bla´n tanulma´nyozhato ´k. A hatszo ¨gekkel azonban ele´rkeztu ¨ nk a lehet˝ ose´geink hata´raihoz. Egyetlen he´t vagy to ¨bb oldalu ´ konvex sokszo ¨g sem le´tezik, amellyel a sı´k lefedhet˝ o lenne. Mike´nt a go ¨mbelrendeze´s proble´ma´ja esete´ben, ahol a ra´csos elrendeze´seket megku ¨ lo ¨nbo ¨ztettu ¨ k a szaba´lytalanokto ´l, a mozaikminta´knak is le´tezik egy terme´szetes feloszta´sa. Az egyik tı´pusba tartoznak azok, amelyek isme´tl˝ od˝ o, periodikus mo ´don to ¨ltik ki a sı´kot, azaz eltola´si szimmetria´val rendelkeznek (5.15. ´abra), a ma´sikba pedig azok, amelyekben ilyen szimmetria nincs, ma´s szo ´val: aperiodikusak. Mindez emle´keztet a valo ´s sza´mok raciona´lisokra e´s irraciona´lisokra valo ´

5.15. a ´ bra. Ha´rom olyan szaba´lyos sokszo ¨g le´tezik, amellyel a sı´k ege´sze lefedhet˝ o: a szaba´lyos ha´romszo ¨g, a ne´gyzet s a szaba´lyos hatszo ¨g.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

208

A sze´pse´g matematika´ja

feloszta´sa´ra: az el˝ obbiek tizedesto ¨rt alakja´ban ugyanazon szakaszok isme´tl˝ odnek a ve´gtelense´gig, uto ´bbiak ilyen felı´ra´sa´ban azonban semmilyen szaba´lyossa´g nem figyelhet˝ o meg. A periodikus mozaikokro ´l igen sokat tudunk. Pe´lda´nak oka´e´rt, ba´rmelyiku ¨k szimmetriacsoportja megegyezik a tizenhe´t lehetse´ges tape´taminta valamelyike´nek szimmetriacsoportja´val. De mi van az aperiodikus mozaikokkal? Vannak egya´ltala´n ilyenek? Lehetse´ges a sı´kot u ´ gy kito ¨lteni egyforma sı´kidomokkal, hogy me´gsem tapasztalhato ´ a rendben semmife´le rendszeresse´g? A ke´rde´sre a va´laszt 1974-ben adta meg Roger Penrose brit matematikus: legyen me´goly meglep˝ o is, ilyen minta´k le´teznek. Penrose olyan sı´kidompa´rost tala´lt, amelyekkel a sı´k to ¨ke´letesen lefedhet˝ o – de csak aperiodikus mo ´don – ane´lku ¨ l teha´t, hogy az elrendeze´sben ba´rmilyen eltola´si szimmetria tetten e´rhet˝ o lenne. Penrose eredeti alakzatai ko ¨zu ¨ l az egyik konka´v (nem konvex), ´am a feladat ke´t konvex ne´gyszo ¨ggel is megoldhato ´, mint az 5.16. ´abra´n la´thato ´; a rombuszok e´s Penrose eredeti alakzatai ko ¨zo ¨tt ko ¨zeli rokonsa´g ´all fenn. A ne´gyszo ¨gek e´leit megfelel˝ o rendben kell egyma´shoz illeszteni. Az e´lek illeszte´se´nek mo ´dja´t u ´ gyis jelezhetju ¨ k, hogy a rombuszok oldala´t kis fu ¨ lecske´kkel e´s beva´ga´sokkal la´tjuk el (5.17. ´abra).

5.16. a ´ bra. Penrose-mozaikok. Amennyiben a rombuszokat azonos ira´nyu ´ nyilak mente´n helyezzu ¨ k egyma´s melle´, a sı´k to ¨ke´letesen kito ¨lthet˝ o – de csupa´n aperiodikusan.

5.17. a ´ bra. A sı´kot aperiodikusan lefed˝ o Penrose-mozaik alapegyse´gei. Az o ¨sszeilleszte´s mo ´dja´t a fu ¨ lecske´k e´s a beva´ga´sok jelzik.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Periodikus ´es aperiodikus mozaikok

209

A kedves Olvaso ´, aki a ko ¨nyvet ida´ig elolvasva ma´r hozza´szokott, hogy a legku ¨ lo ¨nfe´le´bb minta´zatok a legva´ratlanabb helyeken bukkannak fel, ma´r bizonya´ra nem lep˝ odik meg, ha ela´ruljuk, hogy az aranymetsze´s – amelynek sza´me´rte´ke ko ¨zelı´t˝ oleg φ = 1,618 – a Penrose-mozaikokban is felbukkan. Amennyiben ugyanis az 5.16. ´abra´n la´thato ´ rombuszok oldala egyse´gnyi, akkor a bal oldali rombusz hosszabb ´atlo ´ja φ, a jobb oldali rombusz ro ¨videbb ´atlo ´ja pedig ´eppen 1/φ. Amennyiben az ege´sz sı´kot e ke´tfe´le rombusszal fedju ¨ k le, akkor a testesebbek e´s a sova´nyabbak ara´nya – hata´re´rte´kke´nt kisza´mı´tva – pontosan φ. A 11. szı´nes ta´bla´n sı´kbeli Penrose-mozaik la´thato ´. Ne´melyu ¨ tt mintha o ¨tszo ¨gszimmetria t˝ unne fel – ez azonban szigoru ´ an loka´lis, nem terjed ki a minta ege´szre. (Ha nem is lehetse´ges a sı´kot szaba´lyos o ¨tszo ¨gekkel kirakni, loka´lis o ¨tszo ¨gszimmetria teha´t aze´rt felbukkan bizonyos minta´kban.) Penrose felfedeze´se, amely csupa´n kellemes id˝ oto ¨lte´s eredme´nye, igazi jelent˝ ose´ge´t 1984-ben nyerte el, mikor a krisztallogra´fusok felfedezte´k a kva´zikrista´lyokat. Kideru ¨ lt, hogy bizonyos alumı´nium–manga´n-o ¨tvo ¨zetben loka´lis o ¨tszo ¨gszimmetria figyelhet˝ o meg. A krista´lyok szimmetria´i azonban csak kett˝ os, ha´rmas, ne´gyes vagy hatos szimmetria´k lehetnek – innen a ‘kva´zikrista´ly’ elneveze´s. A re´szecske´k az ilyen anyagokban is meghata´rozott rendben kapcsolo ´dnak egyma´shoz, s ba´r ege´sze´ben ve´ve egyik ismert ra´csrendet sem ko ¨vetik, loka´lisan szimmetria´k aze´rt kialakulnak ko ¨zo ¨ttu ¨ k. A kva´zikrista´lyok tanulma´nyoza´sa egyel˝ ore gyerekcip˝ oben ja´r, me´g azt sem tudjuk biztosan, hogy struktu ´ ra´juk te´nylegesen a Penrose-minta´t ko ¨veti-e. A Penrose-mozaikok le´teze´se mindenesetre azt jelzi, hogy az u ´ jonnan felfedezett anyagok matematikai vizsga´lata´nak keretei ma´r ke´szen ´allnak. Megint azt la´tjuk teha´t, hogy az u ´ jabb e´s u ´ jabb minta´zatokat kutato ´ tiszta matematika olyan eredme´nyeket is ke´pes felmutatni, amelyek orrhosszal megel˝ ozik a gyakorlati alkalmaza´st. ´ s mi a helyzet a ha´romdimenzio E ´s „mozaiklapokkal”? Kocka´kkal nyilva´nvalo ´an kito ¨lthet˝ o a te´r – de ma´s szaba´lyos testtel ugyanez nem valo ´sı´thato ´ meg. A teret kito ¨lt˝ o nemszaba´lyos testekkel ma´r megismerkedtu ¨ nk, az 5.14. ´abra´n tanulma´nyozhato ´k. Az aperiodikus Penrose-mozaikok ha´romdimenzio ´s analogonjait ma´r jo ´ ideje ismerju ¨ k. Penrose maga is tala´lt egy ke´tfajta romboe´deren (megdo ¨nto ¨tt kocka´n) alapulo ´ elrendeze´st, amelyben – meghata´rozott oldallap-kapcsolo ´da´sokkal – megvalo ´sı´thato ´ a te´r aperiodikus kito ¨lte´se. 1993-ban a matematikusta´rsadalom ´altala´nos meglepete´se´re John Horton Conway olyan konvex testet tala´lt, amely egymaga´ban elegend˝ o a te´r teljes, aperiodikus lefede´se´re. A szo ´ban forgo ´ alakzat az 5.18. ´abra´n is la´thato ´ kett˝ os prizma: ke´t, o ¨sszeillesztett ferde ha´romszo ¨g alapu ´ prizma´bo ´l (hasa´bbo ´l) ´allo ´ test, amelynek ne´gy-ne´gy egybeva´go ´ ha´romszo ¨g e´s paralelogramma alkotja´k az oldalait. A ha´romdimenzio ´s elrendeze´s valamennyi re´tege periodikus, ´am ahhoz, hogy eggyel magasabb re´tegbe keru ¨ lju ¨ nk, adott, irraciona´lis szo ¨g˝ u fordulatot kell tenni,

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

210

A sze´pse´g matematika´ja

5.18. a ´ bra. A John Conway ´altal 1993-ban felfedezett kett˝ os prizma alapu ´ aperiodikus te´rkito ¨lte´s kartonpapı´rbo ´l ke´szu ¨ lt modellje´nek fe´nyke´pe. a minta teha´t fu ¨ gg˝ olegesen nem lehet periodikus. (Egy nemkonvex testet haszna´lo ´ aperiodikus elrendeze´s – Peter Schmitt osztra´k matematikus felfedeze´se – ma´r kora´bban ismert volt.) Az uto ´bbi negyedsza´zadot lesza´mı´tva a mozaikminta´k vizsga´lata´t – a matematikai e´rdekl˝ ode´s˝ u tervez˝ oket lesza´mı´tva – csupa´n ne´ha´ny matematikus szo ´rakoztato ´ id˝ oto ¨lte´seke´nt, s ekke´ppen a matematika meglehet˝ osen fe´lrees˝ o re´szeke´nt tartotta´k sza´mon. Manapsa´g rendkı´vu ¨ l gyorsan fejl˝ odik, eredme´nyei a matematika legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb teru ¨ letein kı´vu ¨ l me´g olyan meglep˝ o feladatokra is alkalmazhato ´k, mint az elektronikus ´aramko ¨ro ¨k terveze´se vagy az ´aruke´szletek terı´te´se. Kideru ¨ lt, a mozaikoknak sza´mos olyan vonatkoza´sa is van, amelyek magyara´zata´val a matematikusok egyel˝ ore ado ´sak. Ez pedig u ´ jfent ra´mutat arra, hogy matematikai kihı´va´sok az e´let legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb teru ¨ letein szu ¨ lethetnek.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

6. fejezet

Mi to ¨ rte ´nik, ha a matematika pozı´cio ´ ba keru ¨ l?

A jo ´e ´s rossz te ´rke ´p A londoni metro ´ha´lo ´zatnak a 12. szı´nes ta´bla´n la´thato ´ te´rke´pe´t el˝ oszo ¨r 1931ben vetette papı´rra Henry C. Beck, a London Underground Group huszonkilenc e´ves alkalmazottja. Beck ke´t e´ven ´at gy˝ ozko ¨dte elo ¨lja´ro ´it, amı´g m˝ uve´vel – amelyet manapsa´g mindenki ismer – a nyilva´nossa´g ele´ le´phetett. A va´llalat o ´vatos duhajke´nt eleinte csak ne´ha´ny pe´lda´nnyal tett kı´se´rletet, abban a meggy˝ oz˝ ode´sben, hogy a te´rke´pnek, amely a valo ´di fo ¨ldrajzi viszonyokat egyenesen semmibe veszi, nem lehet ma´s a sorsa, csak a ko ¨zo ¨nyo ¨s elutası´ta´s. Te´vedtek. A londoni utazo ´ko ¨zo ¨nse´g ro ¨vid id˝ on belu ¨ l megkedvelte, s a nagyme´ret˝ u va´ltozat egy e´v mu ´ lva ma´r ott dı´szelgett valamennyi metro ´´alloma´son. A metro ´ha´lo ´zat minden ´ze ı ´ben topologikus reprezenta´cio ´ja nem csupa´n ne´pszer˝ uve´ va´lt, de a hagyoma´nyos, me´retara´nyos ´abra´zola´ssal szembeni el˝ onyeire is hamar fe´ny deru ¨ lt. Napjaink londoni metro ´te´rke´pe – eltekintve atto ´l, hogy jo ´ ne´ha´ny u ´ jabb vonallal gazdagodott – ma is ugyanezt a se´ma´t ko ¨veti. Hosszu ´ ta´vu ´ sikere a ko ¨nny˝ u haszna´lhato ´sa´g e´s az eszte´tikus ku ¨ lcsı´n ko ¨zo ¨s folyoma´nya. Geometriai szempontbo ´l mindazona´ltal reme´nytelenu ¨ l elhiba´zott: ha ra´helyezzu ¨ k London va´roste´rke´pe´re, azonnal la´thato ´, hogy a te´rke´pen feltu ¨ ntetett mega´llo ´k szinte egyetlen esetben sem ott vannak, ahol azok a „valo ´sa´gban” megtala´lhato ´k. Ami te´nylegesen pontos, mi to ¨bb, to ¨ke´letes, az maga´nak a ha´lo ´zatnak a reprezenta´cio ´ja: a te´rke´p alapja´n ko ¨nnyede´n meg tudjuk mondani, mike´nt lehet A-bo ´l B-be jutni, ha´nyszor e´s mely ´alloma´sokon kell ko ¨zben ´atsza´llni. S e´ppen ez az, amire a metro ´val utazo ´knak szu ¨ kse´ge van, elve´gre csak u ´ gy, az utaza´s alatti la´tnivalo ´k kedve´e´rt nemigen veszik a metro ´t ige´nybe. A minta´zatot, melyet a te´rke´p feltu ¨ ntet, topologikus minta´zatnak mondjuk. A ke´tdimenzio ´s topolo ´giai minta´zatok tanulma´nyoza´sa´t szoka´s „gumileped˝ ogeometria´nak” is nevezni, a szo ´ban forgo ´ minta´zatok ugyanis pontosan azok, amelyek fu ¨ ggetlenek atto ´l, hogy megnyu ´ jtjuk vagy elforgatjuk a felu ¨ letet, amelyre

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

212

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

az alakzatokat rajzoltuk. A londoni metro ´vonalak topologikus reprezenta´cio ´ja´val manapsa´g igen gyakran tala´lkozhatunk, ha´la a souvenir-po ´lo ´knak, amelyekre el˝ oszeretettel ra´nyomja´k. Ezen rajzok alapja´n me´g mindig to ¨ke´letes ke´pet alkothatunk a metro ´vonalakro ´l – ba´r a jo ´lneveltse´g korunk topolo ´gusait visszatartja atto ´l, hogy e minta´zatokat tu ´ lsa´gosan ko ¨zelr˝ ol e´s tu ´ lsa´gosan alaposan szemu ¨ gyre vegye´k! A topolo ´gia a mai matematika egyik alapvet˝ o ´aga, amelynek mind a matematika, mind a fizika teru ¨ lete´n sza´mos alkalmaza´sa´val tala´lkozunk. Maga a szo ´a go ¨ro ¨g ‘hely(zet)tudoma´ny’ kifejeze´sb˝ ol ered. A ko ¨ nigsbergi hidak proble ´ma ´ ja A topolo ´gia eredete, a matematika to ¨rte´nete´ben kora´ntsem egyedu ¨ la´llo ´ mo ´don, egyszer˝ u kis fejto ¨r˝ ore vezethet˝ o vissza. A kelet-poroszorsza´gi Ko ¨nigsberg va´rosa a Pregel-folyo ´ ke´t partja´n teru ¨ l el. A folyo ´ban ke´t sziget tala´lhato ´, amelyeket egyma´ssal e´s a ke´t parttal hidak ko ¨tnek o ¨ssze: mint a 6.1. ´abra´n la´thato ´, az egyik szigetr˝ ol ke´t-ke´t, a ma´sikro ´l egy-egy hı´d vezet mindke´t partra, s van egy hı´d, amely a szigeteket ko ¨ti o ¨ssze. A jo ´ er˝ oben le´v˝ o ko ¨nigsbergi polga´rok vasa´rnapi se´ta´juk alkalma´val el˝ oszeretettel ja´rta´k be a hidakat e´s a szigeteket – tala´n t˝ olu ¨ k sza´rmazik a ke´rde´s, hogy van-e olyan u ´ tvonal, amelyen ve´gigse´ta´lva valamennyi hidat u ´ tba ejthetik, de mindegyiket pontosan egyszer. 1735-ben Euler oldotta meg a proble´ma´t. Felismerte, hogy a szigetek e´s a hidak pontos elhelyezkede´se a feladat szempontja´bo ´l ko ¨zo ¨mbo ¨s. Egyedu ¨ l az sza´mı´t, milyen mo ´don ko ¨tik o ¨ssze a hidak a szigeteket e´s a partokat – az, amit manapsa´g a hidak ´altal meghata´rozott ha´lo ´zatnak nevezne´nk (6.2. ´abra). A hidak alkotja´k a ha´lo ´zat ´eleit, a ke´t sziget e´s a folyo ´ ke´t partja pedig a csu ´csokat. A ke´rde´s

6.1. a ´ bra. A ko ¨nigsbergi hidak proble´ma´ja. Van-e olyan se´tau ´ t, amely minden hı´don keresztu ¨ lvezet, de mindegyiken csupa´n egyszer? A va´lasz nemleges. Ezt Leonhard Euler bizonyı´totta be 1735-ben.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A matematika ha´lo ´zatai

213

6.2. a ´ bra. Euler bizonyı´ta´sa´nak alapvet˝ o felismere´se, hogy elegend˝ o a szigetek, a partok e´s a hidak ´altal alkotott ha´lo ´zatot vizsga´lni. A ha´lo ´zat A, B, C e´s D pontjai a 6.1. ´abra´n la´thato ´ te´rke´p A, B, C e´s D pontjainak felelnek meg. A ha´lo ´zat e´lei a hidakat reprezenta´lja´k.

ekke´ppen tehet˝ o fel: van-e olyan u ´ t, amely u ´ gy halad ve´gig a ha´lo ´zaton, hogy valamennyi e´let pontosan egyszer veszi ige´nybe? Euler gondolatmenete a ko ¨vetkez˝ o. Tekintsu ¨ k a ha´lo ´zat csu ´ csait. Valamennyi csu ´ csbo ´l, amely nem a se´ta kezd˝ o- vagy ve´gpontja, pa´ros sza´mu ´ e´lnek kell kiindulni. Mivel valamennyi ilyen csu ´ csbo ´l tova´bb is kell mennu ¨ nk, ha teha´t minden e´lt pontosan egyszer akarunk ige´nybe venni, akkor ko ¨zu ¨ lu ¨ k az egy pontba befuto ´kat (kive´ve a kezd˝ o e´s ve´gpontot) pa´rba kell tudnunk ´allı´tani. Azonban ha´lo ´zatunk mind a 4 csu ´ csa´bo ´l pa´ratlan sza´mu ´ e´l indul ki, a ha´lo ´zat felte´telu ¨ nket kiele´gı´t˝ o beja´ra´sa enne´lfogva nem valo ´sı´thato ´ meg. Az ´ahı´tott se´tau ´ tvonal teha´t nem le´tezik. Euler do ¨nt˝ o felismere´se az volt, hogy a megolda´snak a szigetek e´s a hidak geometriai elhelyezkede´se´hez semmi ko ¨ze nincs. A szigetek e´s a ke´t folyo ´part reprezenta´la´sa´hoz elegend˝ o egy-egy pont, amelyek ko ¨zo ¨tt a hidak le´tesı´tenek kapcsolatot – s e kapcsolatok szempontja´bo ´l is csupa´n annyi le´nyeges, hogy ke´t adott pont ko ¨zo ¨tt fenna´llnak-e vagy sem. A geometria´to ´l valo ´ elszakada´s a topolo ´gia alapvet˝ o vona´sa. A ko ¨nigsbergi hidak proble´ma´ja´nak euleri megolda´sa a topolo ´gia egyik vira´gzo ´ ´aga´nak, a ha´lo ´zatelme´letnek a kezdete´t jelzi, amely manapsa´g a kommunika´cio ´s e´s sza´mı´to ´ge´pha´lo ´zatok terveze´se´nek legfontosabb sege´dtudoma´nya. A matematika ha ´ lo ´ zatai A ha´lo ´zatok matematikai definı´cio ´ja a ko ¨vetkez˝ o egyszer˝ u se´ma´t ko ¨veti: vegyu ¨ nk ne´ha´ny pontot (a ha´lo ´zat csu ´ csait), e´s ne´melyeket ko ¨zu ¨ lu ¨ k ko ¨ssu ¨k o ¨ssze

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

214

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

6.3. a ´ bra. Euler ha´lo ´zatokra vonatkozo ´ te´tele. Tetsz˝ oleges sı´kbeli ha´lo ´zat csu ´csainak c, e´leinek e´ e´s lapjainak l sza´ma´ra fenna´ll a c − e´ + l = 1 o ¨sszefu ¨ gge´s. (ı´gy kapjuk a ha´lo ´zat e´leit). Az e´lek alakja´nak nincs jelent˝ ose´ge, csak annyit ko ¨tu ¨ nk ki, hogy nem metszhetik sem egyma´st, sem o ¨nmagukat, ke´t e´l legfo ¨ljebb a ve´gpontjaiban tala´lkozhat, s hogy e´l nem alkothat ugyanoda visszate´r˝ o hurkot sem. A sı´kbeli, illetve a valamilyen ke´tdimenzio ´s felu ¨ letre rajzolt ha´lo ´zatok esete´n uto ´bbi krite´riumunk mindazona´ltal sok olyan esetet kiza´r, amellyel ha´rom dimenzio ´ban – ahol az egyes e´lek minden tova´bbi ne´lku ¨ l haladhatnak egyma´s fo ¨lo ¨tt, ane´lku ¨ l, hogy tala´lkozna´nak – ma´r semmi proble´ma nincs. E fejezetben kiza´ro ´lag sı´kbeli ha´lo ´zatokkal foglalkozunk. Egy tova´bbi megszorı´ta´ssal is e´lu ¨ nk: kiko ¨tju ¨ k, hogy ha´lo ´zatunk legyen o ¨sszefu ¨gg˝ o, azaz ba´rmely csu ´ csbo ´l ba´rmely ma´sik csu ´ csba el lehessen jutni a ha´lo ´zat e´lein keresztu ¨ l. Ha´lo ´zatokra mutat pe´lda´t a 6.3. ´abra. A sı´kbeli ha´lo ´zatok vizsga´lata meglep˝ o eredme´nyekhez vezetett, amelyek legnevezetesebbike az 1751-ben felfedezett Euler-formula. A sı´kbeli – vagy ba´rmely ke´tdimenzio ´s felu ¨ letre rajzolt – ha´lo ´zatok e´lei a sı´kbo ´l (illetve a szo ´ban forgo ´ felu ¨ letb˝ ol) za´rt tartoma´nyokat kerı´tenek el, ezeket a ha´lo ´zat lapjainak nevezzu ¨ k. Ha a ha´lo ´zat lapjainak sza´ma´t l, a csu ´ csoke´t c, az e´leke´t pedig e´ jelo ¨li, akkor a

c − e´ + l o ¨sszeg mindig 1, ba´rmilyen ha´lo ´zatro ´l van is szo ´! Ba´rmily bonyolult teha´t ha´lo ´zatunk, rajzoljunk bele ba´rmennyi csu ´ csot e´s e´lt – o eredme´ny bizonyı´ta´sa a szo ´ban forgo ´o ¨sszeg mindig ugyanannyi: 1. E meglep˝ meglep˝ oen egyszer˝ u. Legyen teha´t adott egy ha´lo ´zat; a bizonyı´ta´s alapja az ala´bbi elja´ra´s. Kı´vu ¨ lr˝ ol befele´ haladva sorra elto ¨ro ¨lju ¨ k a ha´lo ´zat csu ´ csait e´s e´leit, mint azt a 6.4. ´abra mutatja. Amennyiben valamelyik ku ¨ ls˝ o e´lt elto ¨ro ¨lju ¨ k, ve´gpontjait azonban va´l¨kken, c viszont nem tozatlanul hagyjuk, akkor e´ e´s l e´rte´ke egyara´nt 1-gyel cso ´ ´ va´ltozik. A c − e + l e´rte´k teha´t, mivel e e´s l cso ¨kkene´se´t ellenkez˝ o el˝ ojellel kell figyelembe vennu ¨ nk, nem va´ltozik.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A matematika ha´lo ´zatai

215

Amennyiben olyan e´l keru ¨ l sorra, amelynek valamelyik ve´gpontja´bo ´l tova´bbi e´lek nem indulnak ki, akkor to ¨ro ¨lju ¨ k az illet˝ o e´lt e ve´gpontja´val egyu ¨ tt. (Ha ma´r az e´l mindke´t ve´gpontja szabad, to ¨ro ¨lju ¨ k el az egyiket az e´llel egyu ¨ tt, a ma´sikat pedig hagyjuk meg izola´lt csu ´ csnak – hogy melyiket, azt szabadon eldo ¨nthetju ¨ k.) Ezu ´ ttal c e´s e´ cso ¨kken egyara´nt 1-gyel, a c − e´ + l e´rte´k teha´t u ´ jra csak va´ltozatlan marad. Az elja´ra´st – a ku ¨ ls˝ o e´lek, illetve szabad e´lek e´s csu ´ csok to ¨rle´se´t – folytatva a ha´lo ´zat ve´gu ¨ l egyetlen, izola´lt csu ´ csra reduka´lo ´dik. E meglehet˝ osen egyszer˝ u ha´lo ´zatra nyilva´nvalo ´an c − e´ + l = 1, mivel azonban a c − e´ + l e´rte´k egyet´ s ezzel te´telu len le´pe´sben sem va´ltozott, eredetileg is 1-nek kellett lennie. E ¨ nk bizonyı´ta´st nyert! A te´tel pa´rhuzamba ´allı´thato ´ az elemi geometria azon ´allı´ta´sa´val, mely szerint ba´rmely ha´romszo ¨g bels˝ o szo ¨geinek o ¨sszege 180◦ . Az egyes ha´romszo ¨gekben a legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb nagysa´gu ´ szo ¨gek szerepelhetnek, o ¨sszegu ¨ k azonban mindig 180◦ . Hasonlo ´an, egy ha´lo ´zatban a csu ´ csok e´s az e´lek sza´ma tetsz˝ oleges, a c − e´ + l o ¨sszeg azonban csak 1 lehet. A ku ¨ lo ¨nbse´g abban ´all, hogy mı´g a ha´romszo ¨gre vonatkozo ´o ¨sszefu ¨ gge´s tiszta´n geometriai jelleg˝ u, Euler te´tele to ¨ke´letesen fu ¨ ggetlen az alakto ´l. A ha´lo ´zat e´lei lehetnek egyenesek vagy go ¨rbe´k, az ege´szet rajzolhatjuk

6.4. a ´ bra. A ha´lo ´zatokra vonatkozo ´ Euler-formula bizonyı´ta´sa´nak ke´t kulcsle´pe´se.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

216

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

sı´kba, de hulla´mos vagy aka´r o ¨sszehajtogatott felu ¨ letre is, mi to ¨bb, olyan anyagra is, amely megnyu ´ la´sra e´s o ¨sszehu ´ zo ´da´sra egyara´nt ke´pes – a ha´lo ´zat geometriai ´ jellemz˝ oit mindez befolya´solhatja ugyan, de a c − e + l e´rte´ket nem. A topolo ´gia az alakzatoknak pontosan az effe´le, a nyu ´ jta´sokto ´l fu ¨ ggetlen, a gy˝ ur˝ ode´seket is jo ´l visel˝ o jellemz˝ oivel foglalkozik. Mi to ¨rte´nik, ha a ha´lo ´zatot nem sı´kba, hanem egy go ¨mb felszı´ne´re rajzoljuk? Ilyen ha´lo ´zatot a kedves Olvaso ´ is ke´szı´thet, mindo ¨ssze egy filctoll e´s egy narancs szu ¨ kse´ges hozza´. Amennyiben a ha´lo ´zat az ege´sz rendelkeze´sre ´allo ´ felu ¨ letet kito ¨lti (azaz nem csupa´n egy re´sze´t, amikor is le´nyege´ben egy meggo ¨rbı´tett sı´kbeli ¨bbe´ nem ha´lo ´zattal lenne dolgunk), akkor azt tapasztaljuk, hogy a c− e´ +l e´rte´k to 1, hanem 2. A sı´kbeli ha´lo´zatnak, amelyre a csavara´s, a nyu ´ jta´s e´s az o ¨sszegy˝ ure´s nem volt hata´ssal, a go ¨mbfelu ¨ letre keru ¨ lve egy alapvet˝ o jellemz˝ oje nyomban megva´ltozik. Ma´sre´szr˝ ol, a nyu ´ jta´s, a csavara´s e´s az o ¨sszegy˝ ure´s e´ppu ´ gy nincs hata´ssal a go ¨mbfelu ¨ letre rajzolt ha´lo ´zatra, mint a sı´kbelire, ami ko ¨nnyede´n illusztra´lhato ´ – pe´lda´ul – egy le´ggo ¨mbbel: a go ¨mbi ha´lo ´zatokra c − e´ + l mindig 2. Uto ´bbi o ¨sszefu ¨ gge´su ¨ nk bizonyı´ta´sa teljesen analo ´g a sı´kbeli esetre vonatkozo ´ gondolatmenettel. Le´tezik azonban egy ma´sik, topologikus bizonyı´ta´s is, amely u ´ jabb te´telu ¨ nket az el˝ oz˝ o, ma´r bizonyı´tott ´allı´ta´s ko ¨vetkezme´nyeke´nt vezeti le. A bizonyı´ta´shoz tegyu ¨ k fel, hogy a go ¨mbfelu ¨ let, amelyre ha´lo ´zatunkat rajzoltuk, to ¨ke´letesen rugalmas anyagbo ´l ke´szu ¨ lt. (Ilyen anyag a valo ´sa´gban terme´szetesen nincs, de ennek nincs jelent˝ ose´ge: elve´gre a matematikai minta´zatok csupa´n elme´nkben le´teznek.) Ta´volı´tsuk most el a ha´lo ´zat egyik lapja´t, a marade´k felu ¨ letet pedig nyu ´ jtsuk ege´szen addig, amı´g sı´kba teru ¨ l ki, mike´nt a 6.5. ´abra mutatja. A nyu ´ jta´s – mint ma´r to ¨bbszo ¨r megjegyeztu ¨ k – a c − e´ + l o ¨sszeg egyik tagja´nak e´rte´ke´t sem befolya´solja, ´gy ı persze maga´t az o ¨sszeget sem. A kiterı´te´s eredme´nyeke´nt teha´t egy sı´kbeli ha´lo ´zatot kaptunk, amelyre viszont ´zat egyetlen tekintetben va´lma´r tudjuk, hogy c− e´ +l = 1. Az elja´ra´s sora´n a ha´lo tozott: lapjainak sza´ma 1-gyel cso ¨kkent. Az c − e´ + l e´rte´k teha´t eredetileg 1-gyel nagyobb volt, mint a sı´kbeli ha´lo ´zatban, amelyhez ve´geredme´nyben eljutottunk. Azaz: a go ¨mbi ha´lo ´zatban c − e´ + l = 2. A go ¨mbi ha´lo ´zatokra vonatkozo ´ te´telnek e´rdekes ko ¨vetkezme´nye van a polie´derekre ne´zve. Amennyiben egy polie´der e´leinek sza´ma´t e´, csu ´ csainak sza´ma´t c, oldallapjainak sza´ma´t pedig l jelo ¨li, akkor

c − e´ + l = 2. A topologikus bizonyı´ta´s az eddigiek alapja´n ma´r nem okozhat meglepete´st. Egyszer˝ uen „felfu ´ jjuk” polie´deru ¨ nket, minek eredme´nyeke´nt csu ´ csai e´s e´lei egy go ¨mbi ha´lo ´zatot fognak meghata´rozni, amelyre viszont ´allı´ta´sunkat ma´r bela´ttuk. To ¨rte´netileg ez az utolso ´nak emlı´tett eredme´ny volt az els˝ o; a polie´derekre vonatkozo ´ c−e´+l = 2 formula´t Rene´ Descartes fedezte fel 1639-ben, bizonyı´tani azonban nem tudta. A bizonyı´ta´s Euler e´rdeme, akinek tisztelete´re az o ¨sszefu ¨ gge´st Euler polie´der-te´teleke´nt tartjuk sza´mon.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

˝ szalagja Mo ¨bius ´es az o

217

6.5. a ´ bra. Tetsz˝ oleges go ¨mbfelu ¨ letre rajzolt ha´lo ´zat sı´kba terı´thet˝ o ki, amennyiben egy lapot elta´volı´tunk, s a megmaradt re´szt kisimı´tjuk. Az elja´ra´s sora´n a csu ´ csok e´s az e´lek sza´ma nem va´ltozik, a lapok sza´ma azonban eggyel cso ¨kken.

˝ szalagja Mo ¨ bius e ´s az o A tizennyolcadik sza´zadi matematikusok ko ¨zo ¨tt nem Euler volt az egyetlen, aki felismerte a topolo ´giai vizsga´lo ´da´sok jelent˝ ose´ge´t. Gauss e´s Cauchy is erre a meggy˝ oz˝ ode´sre jutottak. A topologikus transzforma´cio ´k precı´z definı´cio ´ja´nak kimonda´sa azonban a Gauss-tanı´tva´ny Augustus Mo ¨bius e´rdeme. A topolo ´gia

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

218

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

6.6. a ´ bra. Mo ¨bius-szalagot kapunk, ha egy papı´rcsı´kot fe´lig megcsavarunk, majd a ke´t ve´ge´t o ¨sszeragasztjuk. A kapott felu ¨ letet ´altala´ban u ´ gy jellemzik, mint amelynek csupa´n egyetlen oldala e´s egyetlen e´le van.

ennek alapja´n, mint azt ma´r Klein erlangeni programja kapcsa´n megemlı´tettu ¨ k, az alakzatok azon tulajdonsa´gainak tudoma´nyake´nt hata´rozhato ´ meg, amelyeket ezen transzforma´cio ´k va´ltozatlanul hagynak. A szo ´ban forgo ´ definı´cio ´ szerint topologikusnak nevezzu ¨ k azokat a transzforma´cio ´kat, amelyek valamely alakzatot u ´ gy visznek ´at egy ma´sik alakzatba, hogy az eredeti alakzat ba´rmely ke´t, egyma´shoz ele´g ko ¨zel fekv˝ o pontja a ke´palakzatban is ko ¨zel lesz egyma´shoz. Terme´szetesen a definı´cio ´ precı´z kimonda´sa bizonyos ko ¨ru ¨ ltekinte´st ige´nyel, elve´gre az „ele´gge´ ko ¨zeli” kite´telt u ´ gy kell e´rtelmezni, hogy a nyu ´ jta´sokat, amelyek nyilva´nvalo ´an megno ¨velik a ta´volsa´gokat, me´g topologikus transzforma´cio ´nak tekinthessu ¨ k. Az intuı´cio ´ mindazona´ltal ele´gge´ vila´gos. A definı´cio ´ alapja´n az alakzat kette´va´ga´sa vagy feldarabola´sa nem topologikus transzforma´cio ´k – kive´ve persze azt az esetet, amelyben a sze´tdarabolt re´szeket ro ¨gvest o ¨ssze is illesztju ¨ k, me´ghozza´ u ´ gy, hogy az eredetileg egyma´shoz ko ¨zel es˝ o pontok az o ¨sszeragaszta´s uta´n is ele´g ko ¨zel legyenek. Kezdetben a topologikus vizsga´latok szinte kiza´ro ´lag a ke´tdimenzio ´s felu ¨ letekre szorı´tkoztak. A lege´rdekesebb eredme´nyek egyike Mo ¨biusnak e´s – a szinte´n Gauss-tanı´tva´ny – Johann Listingnek az a felfedeze´se, miszerint le´teznek olyan felu ¨ letek, amelyeknek csupa´n egyetlen oldala van. A kedves Olvaso ´ is ko ¨nnyede´n el˝ o´allı´that ilyen csodaszerzetet: elegend˝ o, ha papı´rbo ´l keskeny csı´kot va´g ki, egy fe´lfordulatnyit csavar rajta, majd o ¨sszeragasztja a ve´geine´l, mike´nt a 6.6. ´abra mutatja. Ha az ´gy ı kapott felu ¨ letet szı´nezni kezdju ¨ k, az a meglep˝ o dolog to ¨rte´nik, hogy – megfordı´ta´s ne´lku ¨ l! – „mindke´t oldala´t” sikeru ¨ l kifesteni. A Mo ¨bius-szalag a matematikusok kedvelt pe´lda´ja, amellyel a gyerekek e´s a kezd˝ ok el˝ ott a topologikus tulajdonsa´gok mibenle´te´t pro ´ba´lja´k e´rze´keltetni. A dolog matematikai jelent˝ ose´ge – a legkeve´sbe´ sem meglep˝ o mo ´don – enne´l le´nyegesen nagyobb. El˝ oszo ¨r is, a matematikai felu ¨ leteknek nincsenek „oldalaik”. Az „oldal” fo˝t targalma´nak csupa´n akkor van e´rtelme, amikor a szo ´ban forgo ´ felu ¨ letre az o talmazo ´ ha´rom dimenzio ´s te´rb˝ ol ne´zu ¨ nk. A felu ¨ leten e´l˝ o „ke´tdimenzio ´s” le´nyek

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

˝ szalagja Mo ¨bius ´es az o

219

nem tudnak ke´pet alkotni vila´guk „oldalairo ´l”. (A ne´gydimenzio ´s te´rid˝ oben a mi vila´gunknak is vannak oldalai: a mu ´ lt e´s a jo ¨v˝ o. Ezek azonban csak abban az esetben jelentik vila´gunk hata´rait, ha a – negyedik – id˝ odimenzio ´t is felveszzu ¨ k.) S mivel a matematikai felu ¨ leteknek nincs oldala, nem is lehetse´ges „valamelyik oldalukra” rajzolni; egy ´abra csak a felu ¨ letben helyezkedhet el, „rajta” nem. (Ba´r a matematikusok gyakorta fogalmaznak ekke´ppen: „tekintsu ¨ k ezt az ´abra´t a . . . felu ¨ leten”. Ne is to ¨r˝ odju ¨ nk vele! A terminolo ´giai ke´rde´sek u ´ gyis csak azokkal a felu ¨ letekkel kapcsolatban bı´rnak valo ´di jelent˝ ose´ggel, amelyek mindennapi tapasztalatunk re´sze´t ke´pezik. A szigoru ´ an vett matematikai vizsga´lo ´da´sok ha´lo ´zatai mindig a felu ¨ letekben vannak.) Szigoru ´ an ve´ve teha´t nem helyes azt ´allı´tani, hogy a Mo ¨bius-szalagnak csupa´n egyetlen oldala van. De akkor mi az, ami megku ¨ lo ¨nbo ¨zteti az egyszer˝ u, he´tko ¨znapi, csavar ne´lku ¨ li, hengerpala´st alaku ´ szalagokto ´l? A va´lasz: az uto ´bbi felu ¨let ira´nyı´thato ´, az el˝ obbi viszont nem. Az ira´nyı´thato ´sa´g a felu ¨ letek absztrakt, matematikai tulajdonsa´ga, amellyel ne´melyek rendelkeznek, ma´sok viszont nem. Szemle´letesen, egy felu ¨ let ira´nyı´thato ´sa´ga azt jelenti, hogy a felu ¨ leten e´rtelme van az o ´ramutato ´ ja´ra´sa´val egyez˝ o e´s azzal ellente´tes forgata´sok, illetve a jobb- e´s balkezes ira´nyok megku ¨ lo ¨nbo ¨ztete´se´nek. Ke´pzelju ¨ nk el ke´t, vetı´te´sre alkalmas ´atla´tszo ´ anyagbo ´l ke´szu ¨ lt szalagot, amelyek egyike szoka´sos, hengeres forma´ju ´ , a ma´sik viszont Mo ¨bius-fe´le. (Az idea´lis az lenne, ha a kedves Olvaso ´ elke´szı´tene´ maga´nak e ke´t szalagot, s az instrukcio ´kat te´nylegesen ve´gre is hajtana´ . . . ) Rajzoljunk most kis ko ¨ro ¨ket mindke´t szalagra, s jelo ¨lju ¨ k meg egy nyilacska´val az o ´ramutato ´ ja´ra´sa´val megegyez˝ o ira´nyt. Ez uto ´bbi persze atto ´l fu ¨ gg, melyik ira´nybo ´l ne´zzu ¨ k a szalagunkat – ha ´atla´tszo ´ anyagbo ´l ke´szı´tettu ¨ k el, akkor te´nylegesen mindke´t ira´nybo ´l lehet˝ ose´gu ¨ nk van megvizsga´lni. A fo ´lia teha´t matematikai szempontbo ´l h˝ use´gesebb reprezenta´cio ´, mint a papı´rlap. Tekintsu ¨ k els˝ oke´nt a Mo ¨bius-szalagot. Ke´pzelju ¨ k el, hogy kis ko ¨ru ¨ nket ve´gigcsu ´ sztatjuk a szalagon. Te´nylegesen ezt u ´ gy valo ´sı´thatjuk meg, hogy addig rajzolgatjuk az eredetivel megegyez˝ o ko ¨ro ¨cske´ket egyma´s melle´ (persze az ira´nymutato ´ nyilakkal egyu ¨ tt), amı´g „ko ¨rbe” nem e´ru ¨ nk a szalagon; a processzus menete´t a 6.7. ´abra mutatja. Az utolso ´ ko ¨r e´ppen az eredeti helye´re keru ¨ l – a szalag (fizikai szempontbo ´l) ma´sik oldala´n. A nyı´l azonban ez uto ´bbi ko ¨ro ¨n e´ppense´ggel az els˝ oe´vel ellente´tes ira´nyba mutat. A szalagon ve´gighaladva teha´t a ko ¨ro ¨k ira´nyı´ta´sa ellenkez˝ oje´re va´ltozott. Mivel azonban a ko ¨ro ¨k mindve´gig a felu ¨ letben maradtak, ve´geredme´nyben azt mutattuk meg, hogy ezen a felu ¨leten egyszer˝ uen nincs e´rtelme a ke´tfe´le ira´ny megku ¨ lo ¨nbo ¨ztete´se´nek. Amikor azonban ugyanezt a szokva´nyos szalaggal megisme´telju ¨ k, az eredme´ny az el˝ obbivel szo ¨ges ellente´tben ´all. Mikor a ko ¨ro ¨cske´k rajzola´sa´val ko ¨rbee´ru ¨ nk, az utolso ´ ko ¨r ira´nyı´ta´sa megegyezik az eredetie´vel. A hengeres felu ¨ letbe rajzolt alakzatok ira´nyı´ta´sa teha´t nem va´ltozik meg a felu ¨ leten valo ´ mozgata´s sora´n.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

220

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

6.7. a ´ bra. A Mo ¨bius-szalag „egyoldalu ´ sa´ga´val” o ¨sszefu ¨ gg˝ o topolo ´giai jellemz˝ oje, hogy nem ira´nyı´thato ´. Az o ´ramutato ´ ja´ra´sa´val megegyez˝ oen ira´nyı´tott ko ¨r a szalagon elcsu ´ sztatva ellente´tesen ira´nyı´totta´ va´lik.

Mint az ime´nt utaltunk ra´, az ira´nyı´thato ´sa´g absztrakt fogalma a jobb- e´s balkezes ira´nyok megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ ose´ge´vel is megragadhato ´. Ha a Mo ¨bius-szalagra egy emberi ke´z va´zlatos ke´pe´t rajzoljuk fel, e´s – mike´nt az el˝ obb – ve´gigcsu ´ sztatjuk a felu ¨ leten, akkor azt tapasztaljuk, hogy az eredetileg – mondjuk – bal ke´z ke´pe ve´gu ¨ l egy jobb kezet ´abra´zol. Felu ¨ letu ¨ nko ¨n teha´t nem lehet a jobb e´s a bal kezet megku ¨ lo ¨nbo ¨ztetni egyma´sto ´l. Az ira´nyı´thato ´sa´g valo ´di topologikus tulajdonsa´g: mivel a Mo ¨bius- e´s az egyszer˝ u hengeres szalag e tekintetben ku ¨ lo ¨nbo ¨znek egyma´sto ´l, nem le´tezik olyan topologikus transzforma´cio ´, amely egyiket a ma´sikba viszi. Ez to ¨ke´letes o ¨sszhangban ´all intuı´cio ´nkkal, mely szerint a hengeres szalagbo ´l csupa´n u ´ gy lehet Mo ¨bius-fe´le´t ke´szı´teni, ha el˝ oszo ¨r kette´va´gjuk, megcsavarjuk, s csak ezuta´n ragasztjuk u ´ jra o ¨ssze. Mindeko ¨zben azonban – a va´ga´s vonala mente´n – lesznek olyan pontok, amelyek eredetileg ko ¨zel voltak egyma´sto ´l, e´s most ta´volabbra (a szalag ma´sik sze´le´re) keru ¨ ltek: a va´ga´s e´s a fe´lcsavart ko ¨vet˝ oo ¨sszeilleszte´s teha´t nem topologikus transzforma´cio ´. A felu ¨ letek e topologikus oszta´lyoza´sa´t me´g jobban megvila´gı´thatjuk, ha egy harmadik felu ¨ letet is szemu ¨ gyre veszu ¨ nk: azt, amelyet a henger-pala´stbo ´l u ´ gy kapunk, hogy elva´gjuk, de – nem egy fe´l, hanem – egy teljes csavara´s uta´n ragasztjuk ´ j szalagunk a kiindulo o ¨ssze. U ´ hengeres szalaggal ekvivalens: a teljes fordulatos sze´tva´ga´s-e´s-o ¨sszeilleszte´s ugyanis ma´r topologikus transzforma´cio ´, az egyma´shoz ko ¨zeli pontok a transzforma´cio ´ uta´n is azok maradnak. Hajtsunk ve´gre most egy radika´lisabb m˝ uveletet: ragadjunk ollo ´t, e´s va´gjuk el mindha´rom szalagunkat a ko ¨ze´pvonala mente´n. A ha´rom esetben egyma´sto ´l szo ¨gesen elte´r˝ o ve´geredme´nyt kapunk, ami me´lta´n okoz meglepete´st azoknak, akik a jelense´ggel el˝ oszo ¨r tala´lkoznak. Az egyszer˝ u hengeres szalagot kette´va´gva kett˝ o, az eredetivel azonos hosszu ´ sa´gu ´ – de persze fele olyan keskeny – szalagot kapunk. A Mo ¨bius szalag kette´va´ga´sa´nak eredme´nye egy ke´tszeres hosszu ´ sa´gu ´ , de imma´r teljes-fordulatos (teha´t „harmadik tı´pusu ´ ”) szalag. Ve´gu ¨ l a teljes-fordulatos szalagot kette´va´gva ke´t darab ugyanilyen tı´pusu ´ , egyma´sba hurkolo ´do ´ szalagunk lesz.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

˝ szalagja Mo ¨bius ´es az o

221

A hengeres e´s a Mo ¨bius-szalag kette´va´ga´sakor jelentkez˝ o ku ¨ lo ¨nbse´get aka´r a topologikus ku ¨ lo ¨nbse´g sza´mla´ja´ra is ´rhatjuk ı – de a topologikusan ekvivalens hengeres e´s teljes-fordulatos hengeres szalagok kette´va´ga´sakor kapott elte´r˝ o eredme´ny ma´r semmike´ppen nem magyara´zhato ´ ilyen mo ´don. A magyara´zat sokkal inka´bb abban keresend˝ o, hogy e felu ¨ letek ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o mo ´don ´agyazo ´dnak be a ha´romdimenzio ´s te´rbe. Javasoljuk a kedves Olvaso ´nak, ve´gezzen el egy tova´bbi kı´se´rletet a szo ´ban forgo ´ felu ¨ letekkel. Vizsga´lja meg, mi to ¨rte´nik, ha – u ´ jra csak hossza´ban, ´am ezu ´ ttal – sze´lesse´ge´nek harmada mente´n va´gjuk el szalagjainkat. Vajon mi a kapcsolat az el˝ oz˝ o esettel? Az ira´nyı´thato ´sa´g nem az egyetlen topologikus tulajdonsa´g, amellyel felu ¨ leteink megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ ok egyma´sto ´l. A felu ¨ leteket az ira´nyı´thato ´sa´g mellett e´leik sza´ma´val is jellemezhetju ¨ k. A go ¨mbnek egyetlen e´le sincs, a Mo ¨bius-szalagnak egy, a hengeres szalagnak pedig ke´t e´le van. (Hogy a Mo ¨bius-szalagnak valo ´ban csupa´n egyetlen e´le van, ko ¨nnyen ellen˝ orizhetju ¨ k, ha e´le mente´n ceruza´nkkal vonalat rajzolunk.) Az e´lek sza´ma teha´t olyan topologikus tulajdonsa´g, amelynek alapja´n a Mo ¨bius-szalag e´ppu ´ gy megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o a hengeres szalagto ´l, mint az ira´nyı´thato ´sa´g alapja´n. Ugyanezen jellemz˝ oje alapja´n viszont a Mo ¨bius-szalag nem ku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o meg a ke´tdimenzio ´s ko ¨rlemezt˝ ol – ez uto ´bbi esetben az ira´nyı´thato ´sa´g ma´r megfelel: a ko ¨rlemez ugyanis, ellente´tben a Mo ¨bius-szalaggal, ira´nyı´thato ´. Mi van azonban azzal a ko ¨rlemezzel, amelynek lyuk van a ko ¨zepe´n? E felu ¨ let ira´nyı´thato ´, e´leinek sza´ma pedig kett˝ o – ugyanolyan jellemz˝ okkel bı´r teha´t, mint a hengeres szalag. S valo ´ban: a ke´t felu ¨ let topologikusan ekvivalens, a szalagot – szigoru ´ an matematikailag – megnyu ´ jtva e´s kisimı´tva a lyukas ko ¨rlemez te´nylegesen megkaphato ´. A Mo ¨bius-szalagnak e´s „rokonainak” ku ¨ lo ¨nfe´le jellemz˝ oi meglehet˝ osen e´rdekesek, bizonyos me´rte´kig me´g szo ´rakoztato ´ak is. Matematikai jelent˝ ose´gu ¨ k azon´ ltala´ban, ha a matematikusok felfedeznek valamely ban nem meru ¨ l ki ennyiben. A igaza´n alapvet˝ o, absztrakt minta´zatot, akkor arro ´l hamarosan kideru ¨ l, hogy a legku ¨ lo ¨nfe´le´bb teru ¨ leteken lehet alkalmazni. Hangsu ´ lyozottan ez a helyzet a topologikus minta´zatok esete´ben. A topolo ´giai vizsga´latok jelent˝ ose´ge´re a komplex analı´zis eredme´nyei vila´gı´tottak ra´ el˝ oszo ¨r, mely diszciplı´na – mike´nt neve is jelzi – a differencia´l- e´s integra´lsza´mı´ta´s mo ´dszereit komplex va´ltozo ´s e´s komplex e´rte´keket felvev˝ o fu ¨ ggve´nyekre alkalmazza. A valo ´s sza´mok egy sza´megyenesen jelenı´thet˝ ok meg, egy fu ¨ ggve´ny enne´lfogva, amely valo ´s sza´mokhoz valo ´s sza´mokat rendel, sı´kbeli go ¨rbe´vel – a fu ¨ ggve´ny grafikonja´val – reprezenta´lhato ´. A komplex fu ¨ ggve´nyek grafikonja azonban ma´r nem egy vonal, hanem egy felu ¨ let; amennyiben a fu ¨ ggve´nye´rte´kek valo ´s sza´mok, akkor ha´romdimenzio ´s te´rben reprezenta´lhato ´ felu ¨ let: a komplex sza´msı´k minden pontja fo ¨lo ¨tt a fu ¨ ggve´nye´rte´kek hata´rozza´k meg a felu ¨ let szo ´ban forgo ´ pontja´nak

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

222

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

„magassa´ga´t”. A felu ¨ leteknek a komplex fu ¨ ggve´nytanban ja´tszott szerepe´re a tizenkilencedik e´s a huszadik sza´zad fordulo ´ja´nak ko ¨rnye´ke´n Bernhard Riemann mutatott ra´, a topolo ´gia ekkor keru ¨ lt a matematikai vizsga´lo ´da´sok homloktere´be – ahol a helye´t azo ´ta is meg˝ orizte. Ka ´ ve ´scse ´sze e ´s donut Miuta´n kideru ¨ lt, hogy a felu ¨ letek alapvet˝ o jelent˝ ose´ggel bı´rnak, el˝ ote´rbe keru ¨ ltek a topologikus oszta´lyoza´sukkal kapcsolatos proble´ma´k. Olyan tulajdonsa´gokat kellett tala´lni, amelyek a topologikusan ekvivalens felu ¨ leteket egyara´nt jellemzik, a nemekvivalenseket viszont ke´pesek megku ¨ lo ¨nbo ¨ztetni, abban az e´rtelemben, hogy amennyiben ke´t felu ¨ let nem topologikusan ekvivalens, akkor van legala´bb egy olyan topologikus tulajdonsa´g, amely az egyiket jellemzi, a ma´sikat viszont nem. Az euklideszi geometria´ban pe´lda´ul a sokszo ¨gek kimerı´t˝ oen jellemezhet˝ ok csu ´ csaik sza´ma, valamint oldalaik e´s szo ¨geik nagysa´ga alapja´n. A topolo ´gusok el˝ ott ´allo ´ feladat a felu ¨ letek egy ezzel analo ´g oszta´lyoza´sa´nak a kidolgoza´sa volt. Azokat a tulajdonsa´gokat, amelyek alapja´n topologikusan ekvivalens felu ¨ letek nem ku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ ok meg egyma´sto ´l, topologikus invaria´nsnak mondjuk. Ke´t ilyennel, az e´lek sza´ma´val e´s az ira´nyı´thato ´sa´ggal ma´r megismerkedtu ¨ nk. E ke´t tulajdonsa´g ma´r elegend˝ o ahhoz, hogy – mondjuk – a go ¨mbo ¨t, a hengert e´s a Mo ¨bius-szalagot megku ¨ lo ¨nbo ¨ztessu ¨ k egyma´sto ´l. E ke´t tulajdonsa´g azonban nem tud sza´mot adni a go ¨mb e´s a to ´rusz ko ¨zo ¨tti ku ¨ lo ¨nbse´gr˝ ol (13. szı´nes ta´bla): e felu ¨ letek ugyanis egyara´nt ira´nyı´thato ´k, s egyiknek sincsenek e´lei. Mondhatjuk persze, hogy a to ´rusznak lyuk van a ko ¨zepe´n, a go ¨mbnek viszont nincs – a lyuk azonban e´ppen u ´ gy nem a felu ¨ let re´sze, mint ahogy az oldalai sem azok. A to ´rusz lyukas ko ¨zepe valo ´ja´ban azt a mo ´dot jellemzi, ahogyan a felu ¨ let a ha´romdimenzio ´s te´rben elhelyezkedik. Ha a to ´ruszfelu ¨ leten (pontosabban: a felu ¨ letben) para´nyi, ke´tdimenzio ´s le´nyek e´lne´nek, soha nem fedezne´k fel a vila´guk ko ¨zepe´n ta´tongo ´ lyukat. A felu ¨ letek oszta´lyoza´sa´ban szerepelnie kell teha´t egy topologikus tulajdonsa´gnak, melynek fenna´lla´sa´t aka´r ezek a teremtme´nyek is ellen˝ orizhetik, s amelynek alapja´n a to ´rusz e´s a go ¨mb megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o egyma´sto ´l. Milyen topologikus invaria´nsok vannak me´g az ira´nyı´thato ´sa´gon e´s az e´lek sza´ma´n kı´vu ¨ l? Euler ha´lo ´zatokra vonatkozo ´ te´tele sugall egyet: tala´n a felu ¨ leteken elhelyezked˝ o ha´lo ´zatokat jellemz˝ o c − e´ + l o ¨sszegb˝ ol kellene kiindulni. A c, az e´ e´s az l e´rte´kei nem va´ltoznak, ha a felu ¨ letet, amelyen a ha´lo ´zat elhelyezkedik, topologikus transzforma´cio ´knak vetju ¨ k ala´. Idea´lis az lenne, ha c − e´ + l o ¨sszeg – mike´nt azt a sı´k e´s a go ¨mb esete´n be is la´ttuk – minden, az adott felu ¨ letre rajzolt ha´lo ´zat esete´n ugyanakkora lenne. A c − e´ + l o ¨sszeg ez esetben sikerrel pa´lya´zhatna a keresett invaria´ns cı´me´re. ´ s valo E ´ban! Az euleri redukcio ´s gondolatmenet, amely a sı´kbeli e´s go ¨mbre rajzolt ha´lo ´zatokra sikeresen alkalmazhato ´, minden felu ¨ letre m˝ uko ¨dik: a c − e´ + l

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ka´ve´scse´sze ´es donut

223

6.8. a ´ bra. Ha egy felu ¨ leten ke´t lyukat va´gunk, s ezek ko ¨zo ¨tt egy – belu ¨l u ¨ res – hengerfelu ¨ lettel le´tesı´tu ¨ nk kapcsolatot, fogantyu ´ t kapunk.

o ¨sszeg minden egyes ha´lo ´zatra ugyanakkora, teha´t maga´t a szo ´ban forgo ´ felu ¨ letet jellemzi: a felu ¨ let Euler-sza´ma´nak nevezzu ¨ k. (Minden esetben u ¨ gyelni kell arra, hogy a ha´lo ´zat te´nylegesen kito ¨ltse az ege´sz felu ¨ letet.) A to ´rusz Euler-sza´ma 0, ˝ket s ez valo ´ban elte´r a go ¨mbo ¨t jellemz˝ o 2-es e´rte´kt˝ ol: megtala´ltuk teha´t az o megku ¨ lo ¨nbo ¨ztet˝ o topologikus invaria´nst. A felu ¨ leteket imma´r ha´rom szempont szerint tudjuk oszta´lyozni: az e´lek sza´ma, az ira´nyı´thato ´sa´g e´s az Euler-sza´m alapja´n. Van-e ma´s ezeken kı´vu ¨ l? Vagy ami me´g fontosabb: szu ¨ kse´gu ¨ nk van-e tova´bbiakra ahhoz, hogy ba´rmely topologikusan nem ekvivalens felu ¨ letpa´rt megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethessu ¨ nk egyma´sto ´l? Tala´n meglep˝ o, de e ha´rom tulajdonsa´g ma´r lehet˝ ove´ teszi a felu ¨ letek kimerı´t˝ o oszta´lyoza´sa´t. E te´ny bizonyı´ta´sa a tizenkilencedik sza´zadi matematika egyik legjelent˝ osebb eredme´nye.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

224

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

6.9. a ´ bra. A ke´t gy˝ ur˝ utartoma´ny ko ¨zo ¨tti re´szt „felfu ´ jva” a kett˝ os to ´rusz ke´tfogantyu ´ s go ¨mbbe´ alakı´thato ´. A bizonyı´ta´s a standard felu ¨leteken alapul, amelyek ko ¨zo ¨tt valamennyi felu ¨lettı´pusra tala´lhato ´ pe´lda. Sikeru ¨ lt igazolni, hogy ba´rmely felu ¨ let ekvivalens egy olyan go ¨mbbel, amelyben valaha´ny – esetleg nulla – lyuk ta´tong, s ne´ha´ny – esetleg nulla – „fogantyu ´ ” e´s „keresztsapka” csatlakozik hozza´. A felu ¨ letek vizsga´lata teha´t effe´le „torz” go ¨mbo ¨k vizsga´lata´ra reduka´lo ´dik. Tegyu ¨ k fel teha´t, hogy a vizsga´lando ´ felu ¨ letu ¨ nkho ¨z megtala´ltuk a vele topologikusan ekvivalens standard felu ¨ letet. Az uto ´bbiban tala´lhato ´ lyukak sza´ma az eredeti felu ¨ let e´leinek sza´ma´val egyezik meg. Valo ´ja´ban ezt a go ¨mbi ha´lo ´zatokra vonatkozo ´ Euler-te´tel bizonyı´ta´sakor ma´r la´ttuk: az egyik lap elta´volı´ta´sakor a felu ¨ leten egy lyuk keletkezett, amely a sze´thu ´ za´s eredme´nyeke´nt kapott sı´kbeli felu ¨ let e´le´ve´ va´lt. A gondolatmenet az ´altala´nos esetre is ugyanı´gy alkalmazhato ´.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ka´ve´scse´sze ´es donut

225

6.10. a ´ bra. A fogantyu ´ s go ¨mbfelu ¨ let Euler-sza´ma´nak meghata´roza´sa.

A tova´bbiakban feltesszu ¨ k, hogy felu ¨ letu ¨ nknek – mike´nt a go ¨mbnek vagy a to ´rusznak – nincsenek e´lei; az ilyen felu ¨ leteket za´rtnak nevezzu ¨ k. Mid˝ on egy felu ¨ letet fogantyu ´ val la´tunk el, valo ´ja´ban ke´t lyukat va´gunk rajta, ezekbe pedig egy meggo ¨rbu ¨ lt cs˝ o alakot helyezu ¨ nk, mike´nt azt a 6.8. ´abra mutatja. Minden za´rt, ira´nyı´thato ´ felu ¨ let topologikusan ekvivalens egy olyan go ¨mbbel, amelyhez adott sza´mu ´ fogantyu ´ t illesztettu ¨ nk. A fogantyu ´ k sza´ma teha´t topologikus invaria´ns: a felu ¨ let nemsza´ma´nak mondjuk. Tetsz˝ oleges n ≥ 0 terme´szetes sza´m esete´n az n nemsza´mu ´ standard (za´rt) felu ¨ let egy n darab fogantyu ´ val ella´tott go ¨mb. A ko ¨zo ¨nse´ges go ¨mb teha´t a 0 nemsza´mu ´ standard ira´nyı´thato ´ felu ¨let; a to ´rusz az „egyfu ¨ l˝ u”, a kett˝ os to ´rusz pedig a „ke´tfu ¨ l˝ u” go ¨mbbel, az 1, illetve 2 nemsza´mu ´ standard ira´nyı´thato ´ felu ¨ lettel ekvivalens. A 6.9. ´abra´n tanulma´nyozhatjuk, mike´nt lehet egy – megfelel˝ oen ke´ple´keny anyagbo ´l ke´szu ¨ lt – kett˝ os to ´ruszt ke´tfogantyu ´ s go ¨mbbe´ alakı´tani. Az n fogantyu ´ val ella´tott go ¨mb Euler-sza´ma 2 − 2n. Ennek bizonyı´ta´sa´ra rajzoljunk egy – ele´g nagy – go ¨mbi ha´lo ´zatot (amelyre, mint tudjuk c − e´ + l = 2), s la´ssuk el a go ¨mbo ¨t n darab fogantyu ´ val, oly mo ´don, hogy valamennyi fogantyu ´ mindke´t „ve´ge” a ha´lo ´zat egy-egy lapja´ba – pontosabban, a lap elta´volı´ta´sa´val kapott lyukba – illeszkedjen. Hogy ha´lo ´zatunk valo ´ban kito ¨ltse az ege´sz rendelkeze´se´re ´allo ´ felu ¨ letet, valamennyi fogantyu ´ ra ke´t u ´ j e´lt rajzolunk, mike´nt a 6.10. ´abra mutatja. A lyukak miatt az eredeti ha´lo ´zat lapjainak l sza´ma 2-vel cso ¨kken, a fogantyu ´ kra rajzolt e´lek viszont mind e´, mind l e´rte´ke´t 2-vel no ¨velik. A c − e´ + l o ¨sszeg teha´t minden egyes fogantyu ´ hozza´illeszte´sekor 2-vel cso ¨kken. n fogantyu ´ esete´n e cso ¨kkene´s nyilva´n 2n, ve´geredme´nyben teha´t a c − e´ + l o ¨sszeg valo ´ban 2 − 2n lesz. Az n nemsza´mu ´ standard nemira´nyı´thato ´ (za´rt) felu ¨ let olyan go ¨mb, amelyhez n darab keresztsapka´t illesztettu ¨ nk, azaz a go ¨mbbe n darab lyukat va´gunk, s mindegyikbe egy-egy Mo ¨bius-szalagot ragasztunk, ahogy a 6.11. ´abra mutatja. A Mo ¨bius-szalag sze´le´nek teljes ege´sze´ben a lyuk sze´le´hez kell illeszkedni, ez ha´-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

226

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

6.11. a ´ bra. Keresztsapka´t kapunk, ha a felu ¨ leten lyukat va´gunk s abba egy Mo ¨bius-szalagot illesztu ¨ nk. Ha´rom dimenzio ´ban ez csupa´n elme´leti lehet˝ ose´g, a szalag ugyanis kikeru ¨ lhetetlenu ¨ l metszeni fogja o ¨nmaga´t, ne´gy dimenzio ´ban viszont az o ¨na´tmetsze´s ma´r elkeru ¨ lhet˝ o. A keresztsapka teha´t olyan felu ¨ let, amely igaza´bo ´l csak ne´gy dimenzio ´ban ragadhato ´ meg.

rom dimenzio ´ban csak u ´ gy valo ´sı´thato ´ meg, ha a szalag valahol metszi o ¨nmaga´t. Ne´gydimenzio ´s te´rben ez elkeru ¨ lhet˝ o lenne. (Ne zavarjon minket, hogy a felu ¨ letek minden esetben ke´tdimenzio ´s alakzatok: a felu ¨ letet ko ¨ru ¨ lo ¨lel˝ o te´r maga´nak a felu ¨ letnek nem re´sze. Amennyiben egy felu ¨ let nem sı´k, legala´bb ha´rom dimenzio ´ra van szu ¨ kse´g ahhoz, hogy megjelenı´thessu ¨ k. Feltehet˝ oen a keresztsapka az

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ka´ve´scse´sze ´es donut

227

els˝ o ilyen, o ¨nno ¨n valo ´ja´ban kiza´ro ´lag ne´gy dimenzio ´ban megjelenı´thet˝ o felu ¨ let, amellyel a kedves Olvaso ´ tala´lkozik.) A keresztsapka´kkal megtoldott go ¨mb Euler-sza´ma´nak meghata´roza´sa´hoz megint csak egy – elegend˝ oen nagy – go ¨mbi ha´lo ´zatbo ´l indulunk ki. Minden egyes Mo ¨bius-szalagot a ha´lo ´zat egy lapja´nak helye´re illesztju ¨ k be; a szalagra egy u ´ j e´lt rajzolunk be, amely eredeti ha´lo ´zatunk valamelyik pontja´t o ¨nmaga´val ko ¨ti o ¨ssze, mike´nt a 6.12. ´abra´n la´thato ´. ¨kkenti, a Mo ¨bius-szalag beilleszte´se´vel Egy lap elta´volı´ta´sa l e´rte´ke´t 1-gyel cso viszont egy-egy u ´ j e´l e´s lap jelenik meg. A c − e´ + l = 2 o ¨sszeget teha´t minden egyes keresztsapka 1-gyel cso ¨kkenti. Az n darab keresztsapka´val megtoldott go ¨mb Euler-sza´ma enne´lfogva: 2 − n. Az egyetlen keresztsapka´val rendelkez˝ o go ¨mbben teha´t c − e´ + l = 1; a ke´t keresztsapka´t „visel˝ o” go ¨mb Euler-sza´ma pedig 0. Az uto ´bbi felu ¨ letet, amely teha´t ke´t Mo ¨bius-szalag e´leik mente´n valo ´ o ¨sszeragaszta´sa´nak eredme´nye, Kleinkancso ´nak nevezzu ¨ k (14. szı´nes ta´bla). A megszokott e´rtelemben persze nem nevezhetju ¨ k ede´nynek, elve´gre nincsen „belseje” – ahogy „ku ¨ lseje” sincs. A ke´t Mo ¨bius-szalag u ´ jfent ´atmetszi egyma´st, ami megint csak annak ko ¨vetkezme´nye, hogy felu ¨ letu ¨ nket ha´rom dimenzio ´ban pro ´ba´ljuk megjelenı´teni. Ne´gy dimenzio ´ban e kellemetlense´g ma´r elkeru ¨ lhet˝ o. A felu ¨ letek kimerı´t˝ o oszta´lyoza´sa´hoz ma´r csak annyi van ha´tra, hogy bela´ssuk: tetsz˝ oleges za´rt (vagyis e´l ne´lku ¨ li) felu ¨ let topologikusan ekvivalens standard felu ¨ leteink valamelyike´vel. A bizonyı´ta´s alapgondolata az, hogy amennyiben egy za´rt felu ¨ letb˝ ol indulunk ki, s a rajta le´v˝ o Mo ¨bius-szalagokat e´s hengeres fu ¨ leket sorra elta´volı´tjuk, s helyu ¨ kre rendre egy, illetve ke´t ko ¨rlemezt illesztu ¨ nk, ve´gu ¨l

6.12. a ´ bra. A keresztsapka´val ella´tott go ¨mbfelu ¨ let Euler-sza´ma´nak meghata´roza´sa.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

228

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

6.13. a ´ bra. Ka´ve´scse´sze e´s donut. A topolo ´gus szeme´ben nincs ko ¨ztu ¨ k ku ¨ lo ¨nbse´g. egy go ¨mbo ¨t kapunk. Az elja´ra´st sze´tszabdala´snak nevezhetju ¨ k; technikai re´szleteire ehelyu ¨ tt nem ´all mo ´domban kite´rni. Ado ´sak vagyunk me´g a cı´m magyara´zata´val. Hogyan ku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o meg egy ka´ve´scse´sze e´s egy donut? A topolo ´gusok va´lasza: sehogy sem. Ha fa´nkunk ele´g ke´ple´keny, ko ¨nnyede´n ´atalakı´thatjuk – ane´lku ¨ l, hogy ba´rhol is elszakı´tana´nk – egyfu ¨ l˝ u ka´ve´scse´sze´ve´. A topolo ´gus teha´t az a matematikus, aki ke´ptelen a ka´ve´scse´sze´t e´s a donutot megku ¨ lo ¨nbo ¨ztetni egyma´sto ´l. A ne ´gyszı´n-te ´tel A te´rke´pek kiszı´neze´se a legkora´bbi topologikus proble´ma´k ko ¨ze´ tartozik. A ne´gyszı´n-proble´ma 1852-ben vet˝ odo ¨tt fel el˝ oszo ¨r: vajon elegend˝ o-e ne´gy szı´n ba´rmely te´rle´p kiszı´neze´se´hez, ha az egyma´ssal szomsze´dos tartoma´nyoknak ku ¨lo ¨nbo ¨z˝ o szı´n˝ unek kell lenniu ¨ k? Ha´rom szı´n me´g a legegyszer˝ ubb te´rke´pekhez is keve´snek bizonyul. Ma´sre´szt viszont, u ´ gy t˝ unt, ne´gy szı´n ma´r ba´rmely te´rke´p kiszı´neze´se´hez elegend˝ o. (A 15. szı´nes ta´bla´n Nagy-Britannia ko ¨zigazgata´si te´rke´pe la´thato ´, ne´gy szı´nnel kiszı´nezve.) A ne´gyszı´n-sejte´s szerint ez ba´rmely sı´kbeli te´rke´pre ´all. Az e´vek sora´n sza´mos matematikus – hivata´sosak e´s m˝ ukedvel˝ ok egyara´nt – pro ´ba´lkozott a bizonyı´ta´ssal. Mivel a sejte´s tetsz˝ oleges te´rke´p kiszı´neze´se´re vonatkozik, az o ¨sszes lehet˝ ose´g sorra ve´tele nem ja´rhato ´u ´ t. A proble´ma nyilva´nvalo ´an topologikus jelleg˝ u. A te´rke´p ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o tartoma´nyainak alakja nem sza´mı´t, csupa´n elhelyezkede´su ¨ k jellege; az, hogy ko ¨zu ¨ lu ¨k melyeknek vannak ko ¨zo ¨s hata´raik, s melyeknek nincsenek. A szu ¨ kse´ges szı´nek sza´ma´t nem befolya´solja, ha a felu ¨ letet, amelyre a te´rke´pet rajzoltuk, topologikus transzforma´cio ´knak vetju ¨ k ala´ – a felu ¨ let tı´pusa azonban meglehet, ma´r nem

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Lehet˝ ose´gek sokasa´ga

229

elhanyagolhato ´ te´nyez˝ o. El˝ ofordulhat, hogy a go ¨mbre, illetve a to ´ruszra rajzolt te´rke´pek esete´ben ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o va´laszokat kapunk. A sı´kba, illetve go ¨mbre rajzolt te´rke´pekhez szu ¨ kse´ges szı´nek minima´lis sza´ma mindazona´ltal azonos, a ne´gyszı´nsejte´s enne´lfogva sı´kbeli e´s go ¨mbre rajzolt te´rke´pekre egyara´nt megfogalmazhato ´. Kenneth Appel e´s Wofgang Haken 1976-ban ´alltak el˝ o a kı´va´nt bizonyı´ta´ssal: a ne´gyszı´n-sejte´s neve ett˝ ol kezdve ne´gyszı´n-te´tel. A bizonyı´ta´s forradalmi u ´ jdonsa´ga a sza´mı´to ´ge´p alkalmaza´sa volt. A ne´gyszı´n-te´tel az els˝ o olyan te´tel a matematika´ban, amelynek bizonyı´ta´sa´t senki emberfia nem olvashatta ve´gig, ne´mely helyen annyi esetet kellett ugyanis megvizsga´lni, amennyit sza´mı´to ´ge´p ne´lku ¨ l nem lett volna lehetse´ges. A matematikusoknak meg kellett ele´gedniu ¨ k azzal, hogy a ge´p az o ¨sszes esetet ´attekintette helyettu ¨ k. A szı´neze´s proble´ma´ja terme´szetes mo ´don kiterjeszthet˝ o nem sı´kba rajzolt te´rke´pekre is. A tizenkilencedik e´s a huszadik sza´zad fordulo ´ja´n Percy Heawood tala´lt egy formula´t, amely – egy kive´telt˝ ol eltekintve – tetsz˝ oleges za´rt felu ¨ let kiszı´neze´se´hez megadja az illet˝ o felu ¨ letre rajzolt te´rke´pek szı´neze´se´hez szu ¨ kse´ges szı´nek minima´lis sza´ma´t: amennyiben a felu ¨ let Euler-sza´ma n, akkor legala´bb √ 7 + 49 − 24n 2 szı´n szu ¨ kse´ges. Az n = 0 Euler-sza´mu ´ to ´ruszra rajzolt te´rke´pekhez e formula szerint 7 szı´n szu ¨ kse´ges. A go ¨mb esete´ben, amelyre n = 2, a ke´plet 4-et ad eredme´nyu ¨ l. (Heawood – sajna´latos mo ´don – ez uto ´bbi eredme´ny helyesse´ge´t, amelyb˝ ol a ne´gyszı´n-proble´ma megolda´sa´t is megkaphatta volna, nem tudta bebizonyı´tani.) Ma ma´r tudjuk, hogy a Heawood-formula valamennyi szo ´ba jo ¨het˝ o esetre a helyes eredme´nyt adja – az egyetlen, n = 0 Euler-sza´mu ´ Klein-kancso ´ kive´tele´vel, amelyre a ke´plet 7-et ad, holott e felu ¨ leten ba´rmely te´rke´p kiszı´neze´se´hez elegend˝ o 6 szı´n. Lehet˝ ose ´gek sokasa ´ ga Egy felu ¨ letet tekinthetu ¨ nk u ´ gy is, mint ami – esetleg igen nagy sza´mu ´ – apro ´ sı´klapokbo ´l tev˝ odik o ¨ssze, amelyek viszont felfoghato ´k az euklideszi sı´k kicsiny tartoma´nyaike´nt. A felu ¨ let ege´sze´re jellemz˝ o tulajdonsa´gok e darabok o ¨sszeraka´sa´nak mo ´dja´to ´l fu ¨ ggenek. A go ¨mb e´s a to ´rusz elte´r˝ o saja´tossa´gai pe´lda´ul a para´nyi komponensek ma´sfe´le kapcsolo ´da´si mo ´dja´val magyara´zhato ´k. Ha csupa´n kicsiny re´szletu ¨ ket vesszu ¨ k figyelembe, mindke´t felu ¨ let az euklideszi sı´kra jellemz˝ o saja´tossa´gokat mutat, a ke´t felu ¨ let globa´lis vona´sai azonban jelent˝ osen elte´rnek egyma´sto ´l. A jelense´gre a mindennapi tapasztalatbo ´l is hozhatna´nk pe´lda´t: ha csupa´n he´tko ¨znapi, sz˝ uk ko ¨rnyezetu ¨ nkre vonatkozo ´ tapasztalatainkbo ´l indulunk ki, semmilyen mo ´don nem lenne´nk ke´pesek eldo ¨nteni, vajon bolygo ´nk go ¨mb vagy to ´rusz alaku ´ -e. Az euklideszi sı´kgeometria´nak a mindennapi e´let szempontja´bo ´l e´ppen ez ad megku ¨ lo ¨nbo ¨ztetett jelent˝ ose´get.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

230

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

Azokat a felu ¨ leteket, amelynek o ¨sszetev˝ oi sima´n e´rintkeznek egyma´ssal, megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethetju ¨ k azokto ´l, amelyeknek e´lei e´s csu ´ csai vannak. Az els˝ o csoportba tartozo ´ felu ¨ leteket sima felu ¨leteknek nevezzu ¨ k. (A matematikusok a ’sima’ szo ´t ehelyu ¨ tt egy technikai e´rtelemben haszna´lja´k, ez azonban szerencse´re o ¨sszhangban van a szo ´ he´tko ¨znapi jelente´se´vel.) Amennyiben a felu ¨ letnek e´lei vannak, az e´leket ko ¨ru ¨ lvev˝ o tartoma´ny ma´r nem euklideszi jelleg˝ u. A fenti megfontola´sok alapja´n Riemann vezette be a sokasa´g fogalma´t, a felu ¨ let fogalma´nak ´altala´nosı´ta´sa´t magasabb dimenzio ´s esetekre. A felu ¨ letek, mint pe´lda´ul a go ¨mb vagy a to ´rusz, ke´tdimenzio ´s, ro ¨viden 2-sokasa´gok. Az n-dimenzio ´s, ol tev˝ odnek o ¨ssze, amelyek minden le´nyero ¨viden n-sokasa´gok olyan kis re´szekb˝ ges tekintetben megegyeznek az n-dimenzio ´s euklideszi te´r egy kicsiny tartoma´nya´val. Ha e tartoma´nyokat alkoto ´ darabok e´lek e´s sarkok ne´lku ¨ l illeszkednek egyma´shoz, a sokasa´got sima´nak mondjuk. Vajon az Univerzum, amelyben e´lu ¨ nk, milyen tı´pusu ´ 3-sokasa´g? Napjaink fizika´ja´nak egyik alapvet˝ o ke´rde´se ez. Loka´lisan a vila´g a ha´romdimenzio ´s euklideszi te´r saja´tossa´gait mutatja, mike´nt valamennyi 3-sokasa´g. De milyen lehet a globa´lis struktu ´ ra´ja? Vajon mindenu ¨ tt olyan, mint az euklideszi te´r? Esetleg 3-go ¨mb, 3-to ´rusz vagy ma´sfe´le ha´romdimenzio ´s sokasa´g? A va´laszt senki nem ismeri. Tegyu ¨ k fe´lre ´atmenetileg az Univerzum proble´ma´ja´t, s fordı´tsuk figyelmu ¨ nket a sokasa´gok elme´lete´nek alapvet˝ o ke´rde´se´re, az oszta´lyoza´s proble´ma´ja´ra. Mint a felu ¨ letek esete´ben, ezu ´ ttal is olyan topologikus invaria´nsok megkerese´se a ce´l, amelyek alapja´n a topologikusan nemekvivalens sokasa´gok megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ ok egyma´sto ´l. Ilyenek lehetnek pe´lda´ul az ira´nyı´thato ´sa´g fogalma´nak e´s az Euler-sza´moknak a magasabb dimenzio ´s megfelel˝ oi. A klasszifika´co ´ proble´ma´ja´nak megolda´sa´to ´l egyel˝ ore ta´vol vagyunk. A matematikusok me´g mindig egy olyan nehe´zse´gen pro ´ba´lnak felu ¨ lkerekedni, amely a proble´ma legels˝ o megolda´si kı´se´rlete sora´n meru ¨ lt fel. A to ¨bbdimenzio ´s sokasa´gok topologikus invaria´nsai kutata´sa´nak egyik u ´ tto ¨r˝ oje Henry Poincare´ (1858–1912) volt. Munka´ssa´ga egy u ´ j tudoma´nyteru ¨ let, az algebrai topolo ´gia alapjait vetette meg, amely a sokasa´gok tanulma´nyoza´sa´hoz e´s oszta´lyoza´sa´hoz az algebra fogalmai rendszere´t ´allı´tja csatasorba. Poincare´ vezette be a sokasa´g fundamenta´lis csoportja´nak fogalma´t. Az alapgondolat a ko ¨vetkez˝ o (6.14. ´abra). Ro ¨gzı´tju ¨ k a sokasa´g egy O pontja´t, s tekintju ¨ k azoknak a sokasa´gban halado ´ hurkoknak az o ¨sszesse´ge´t, amelyeknek az O a kezd˝ o- e´s ve´gpontja. Ezen a halmazon pro ´ba´lunk egy csoportot megadni, azaz olyan m˝ uveletet keresu ¨ nk, amely ke´t ilyen hurokhoz egy harmadikat rendel, s amely m˝ uvelet eleget tesz a csoportaxio ´ma´knak. Poincare´ a ko ¨vetkez˝ o „o ¨sszeada´st” e´rtelmezte: amennyiben s e´s t egyara´nt O-ban kezd˝ od˝ o e´s ve´gz˝ od˝ o hurkok, legyen az s + t o ¨sszeg az a hurok, amelyet s e´s t egyma´s uta´n f˝ uze´se´vel kapunk. E m˝ uvelet – mint az ko ¨nnyen bela´thato ´ – asszociatı´v, a legjobb u ´ ton haladunk teha´t afele´, hogy csoportot kapjunk. Van tova´bba´ egy nullelem: a 0-hurok, amely so-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Lehet˝ ose´gek sokasa´ga

231

6.14. a ´ bra. Sokasa´g fundamenta´lis csoportja.

hasem hagyja el az O pontot. Annyit kell csak biztosı´tani, hogy minden elemnek le´tezzen inverze, s ´ahı´tott ce´lunkat ma´r el is e´rtu ¨ k. Az F hurok inverze´nek szerepe´re a legese´lyesebb jelo ¨ltnek az F vonala mente´n visszafele´ halado ´ hurok t˝ unik, s amelyet ennek alapja´n −F-lel is jelo ¨lhetu ¨ nk. Van azonban egy bo ¨kken˝ o. −F te´nylegesen semlegesı´ti az F hurok hata´sa´t, azonban a kett˝ o −F + F o ¨sszege nem a nullhurok: elve´gre ha New Yorkbo ´l San Francisco ´ba, majd visszarepu ¨ lu ¨ nk, az kora´ntsem ugyanaz, mintha egya´ltala´n el sem hagytuk volna New Yorkot, s ege´sz id˝ o alatt otthon u ¨ ltu ¨ nk volna. New York mindke´t esetben a kezd˝ o e´s a ve´gpont, ´am ami „menet ko ¨zben” to ¨rte´nik, az a ke´t esetben teljesen ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o. A proble´ma megolda´sa´nak kulcsa az, hogy ba´rmely ke´t hurkot, amelyek – a sokasa´gban – folytonosan egyma´sba vihet˝ ok, azonosnak nyilva´nı´tunk. A 6.14. ´abra´n la´thato ´ p pe´lda´ul folytonosan ´atvihet˝ o a p  -be, a kett˝ o teha´t topologikusan ekvivalens. E foga´ssal proble´ma´nk megoldo ´dik: −F + F valo ´ban transzforma´lhato ´ u ´ gy, me´ghozza´ folytonosan, hogy a ve´geredme´ny a nullhurok legyen. Valamely huroknak vagy egy sokasa´gban halado ´ vonalnak egy ma´sikba valo ´ folytonos transzforma´cio ´ja´t homoto ´pia´nak nevezzu ¨ k, Poincare´ fundamenta´lis csoportja´t pedig a sokasa´g egy homoto ´pia-csoportja´nak. Abban az igen egyszer˝ u esetben, amikor sokasa´gunk egy ko ¨rvonal (1-sokasa´g), az egyes hurkok csak abban ku ¨ lo ¨nbo ¨znek egyma´sto ´l, hogy ha´nyszor keru ¨ lik meg a teljes ko ¨rt. A fundamenta´lis csoport ekkor le´nyege´ben az ege´sz sza´mok additı´v (vagyis az o ¨sszeada´s m˝ uvelete´n alapulo ´) csoportja´val egyezik meg. A fundamenta´lis csoport maga´ban ele´gtelen ahhoz, hogy a sokasa´gok oszta´lyoza´sa´hoz alapul szolga´ljon. Az alapgondolat azonban jo ´ volt, Poincare´ e´s ma´sok hamarosan tova´bbfejlesztette´k. Amennyiben 1-dimenzio ´s hurkok helyett ndimenzio ´s go ¨mbo ¨kb˝ ol indulunk ki, tetsz˝ oleges n terme´szetes sza´m esete´n e´rtelmezhet˝ ok a sokasa´g n-dimenzio ´s (magasabb rend˝ u) homoto ´pia-csoportjai. Ba´rmely ke´t topologikusan ekvivalens sokasa´g valamennyi homoto ´pia-csoportja´nak meg kell egyeznie. A ke´rde´s ezek uta´n ´gy ı szo ´l: elegend˝ oek-e a homoto ´pia-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

232

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

csoportok ahhoz, hogy ´altaluk ba´rmely ke´t, topologikusan nem ekvivalens sokasa´g megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o legyen? A 2-sokasa´gok oszta´lyoza´sa elinte´zett dolog le´ve´n, a ko ¨vetkez˝ o le´pe´s e´rtelemszer˝ uen a ha´romdimenzio ´s sokasa´gok vizsga´lata volt. Az els˝ o ke´rde´st maga Poincare´ vetette fel 1904-ben: igaz-e vajon, hogy amennyiben az M 3-sokasa´g homoto ´pia-csoportjai azonosak az S3 3-go ¨mbe´ivel, u ´ gy M topologikusan ekvivalens S3 -mal? A va´lasz Poincare´ szerint igenl˝ o, s ezt azo ´ta Poincare´-sejte´ske´nt emlegetik. A sejte´s ko ¨nnyede´n ´altala´nosı´thato ´ magasabb dimenzio ´ra, ekkor azt mondja ki, hogy amennyiben az M n-sokasa´g homoto ´pia-csoportjai azonosak az Sn ngo ¨mbe´ivel, u ´ gy M topologikusan ekvivalens Sn -nel. Az n = 2 esetre a ke´tdimenzio ´s sokasa´gok oszta´lyoza´sa alapja´n a sejte´s igazolhato ´. (A proble´ma ekkor a standard felu ¨ letek homoto ´pia-csoportjainak vizsga´lata´ra egyszer˝ uso ¨dik.) A magasabb dimenzio ´k ira´nya´ban azonban hosszu ´ e´vekig semmife´le el˝ orele´pe´s nem to ¨rte´nt, minek ko ¨vetkezte´ben a Poincare´-sejte´sre kezdtek u ´ gy tekinteni, mint Fermat sejte´se´nek topolo ´giai megfelel˝ oje´re. Az o ¨sszehasonlı´ta´s egy szempontbo ´l kisse´ igazsa´gtalan. Fermat sejte´se ugyanis u ´ gy va´lt a sikertelen bizonyı´ta´si pro ´ba´lkoza´sok eredme´nyeke´nt egyre hı´resebbe´, hogy ko ¨zben semmife´le jelent˝ os ko ¨vetkezme´nye´re nem deru ¨ lt fe´ny. Poincare´ sejte´se azonban egy u ´ j tudoma´nya´g kulcsfontossa´gu ´ proble´ma´ja, megoldatlansa´ga a sokasa´gok mege´rte´se´nek u ´ tja´ban ´allo ´ akada´ly. Abbo ´l, hogy a proble´ma a ke´tdimenzio ´s esetben viszonylag ko ¨nnyede´n megadta maga´t, aka´r arra is ko ¨vetkeztethetne´nk, hogy a ko ¨vetkez˝ o le´pe´s a ha´rom dimenzio ´ lesz, majd az n = 4 eset, s ´gy ı tova´bb. A proble´ma ugyan az 1-r˝ ol a 2majd a 3-dimenzio ´s esetre tova´bbhaladva egyre ko ¨rmo ¨nfontabba´ e´s o ¨sszetettebbe´ va´lik, el˝ ofordulhat azonban, hogy dolgok a 4- e´s to ¨bbdimenzio ´s esetben le´nyegesen egyszer˝ uso ¨dnek. A dimenzio ´sza´m no ¨vekede´se´vel lehetse´ges, hogy egyre to ¨bb „hely” marad, amely a proble´ma megolda´sa sora´n kihaszna´lhato ´. S a Poincare´-sejte´s esete´ben pontosan ez to ¨rte´nt. 1961-ben Stephen Smale bebizonyı´totta, hogy a sejte´s igaz valamennyi n ≥ 7 esetben. Nem sokkal ke´s˝ obb John Stallings jelentkezett az n = 6, majd Christopher Zeeman az n = 5 eset bizonyı´ta´sa´val. Ma´r csak ke´t eset hia´nyzott! ¨ t. Egy e´vtized. Ke´t e´vtized. E ´ s me´g mindig nem la´tszott Eltelt egy e´v. Kett˝ o. O semmi reme´ny a megolda´sra! A proble´ma´t a holtpontro ´l Michael Freedman mozdı´totta el, aki 1982-ben bizonyı´totta, hogy Poincare´ sejte´se az n = 4 esetben is igaz. Egyetlen eset ´allt ma´r csak ellen a pro ´ba´lkoza´soknak: az n = 3. S a matematikusta´rsadalom legnagyobb ba´nata´ra a mai napig ellena´ll. Mivel n = 3 kive´tele´vel a sejte´s minden terme´szetes sza´mra bizonyı´tott, er˝ osen valo ´szı´n˝ u, s napjaink topolo ´gusainak to ¨bbse´ge is ezen a ve´leme´nyen van, hogy valamennyi n sza´mra igaz. A va´rakoza´s azonban, legyen ba´r me´goly ´ahı´tatos, nem bizonyı´ta´s – Poincare´ sejte´se tova´bbra is a topolo ´gia legfontosabb megoldatlan proble´ma´inak egyike.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Lehet˝ ose´gek sokasa´ga

233

A proble´ma megko ¨zelı´te´se´nek egyik lehetse´ges mo ´dja, amely ra´ada´sul a 3sokasa´gok kimerı´t˝ o oszta´lyoza´sa´nak megolda´sa´val is kecsegtet, az, hogy a geometria mo ´dszereit hı´vjuk segı´tse´gu ¨ l. A hetvenes e´vekben William Thurston ´allt el˝ o ezzel a javaslattal. Elke´pzele´sei szoros kapcsolatba hozhato ´k Klein erlangeni programja´val, amely szerint, mint emle´kszu ¨ nk ra´, a geometriai vizsga´latokban a csoportok kitu ¨ ntetett szerepet ja´tszanak. Igaz ugyan, hogy a topologikus minta´zatok csak igen keve´sse´ geometriai jelleg˝ uek, Thurston me´gis u ´ gy ve´lte, hogy a 3-sokasa´gok vizsga´lata´ban komoly hasznukat veheti. Az ilyen nagyszaba´su ´ program megvalo ´sı´ta´sa nem lehet zo ¨kken˝ omentes. El˝ oszo ¨r is, ha´rom dimenzio ´ban nyolc ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o geometria´t kell sza´mba venni, mint azt maga Thurston bizonyı´totta be 1983-ban. Ko ¨zu ¨ lu ¨ k ha´rom a ma´r jo ´l ismert sı´kgeometria-tı´pusoknak felel meg: a ha´romdimenzio ´s euklideszi, hiperbolikus ´es elliptikus te´r, mely uto ´bbi a ke´tdimenzio ´s Riemann-fe´le geometria ha´romdimenzio ´s analogonja. A to ¨bbi o ¨t le´nyege´ben u ´ j, ra´juk Thurston vizsga´latai derı´tettek fe´nyt. Thurston programja´t mindezida´ig nem sikeru ¨ lt to ¨ke´letesen megvalo ´sı´tani, az ele´rt jelent˝ os halada´s azonban u ´ jfent azt mutatja, milyen haszon sza´rmazhat abbo ´l, ha a matematika valamely teru ¨ lete´r˝ ol sza´rmazo ´ minta´zatokat valahol ma´sutt mozgo ´sı´tjuk. Thurston programja´nak els˝ o le´pe´se a lehetse´ges geometria´k (amelyeket, mint emle´kszu ¨ nk, Klein felfoga´sa´ban bizonyos transzforma´cio ´-csoportok hata´roznak meg) csoportelme´leti elemze´se, s ezt ko ¨vetne´ a felta´rt geometriai minta´zatok alkalmaza´sa a 3-sokasa´gok topolo ´giai vizsga´lata´ban. Meg kell jegyeznu ¨ nk, hogy amennyiben Poincare´ sejte´se ha´rom dimenzio ´ban is igaz, u ´ gy az feltehet˝ oen nem annak ko ¨vetkezme´nye, hogy a sejte´st ma´r az o ¨sszes to ¨bbi esetben sikeru ¨ l bebizonyı´tani. Ha a topolo ´gusok valaha is u ´ gy gondolta´k volna, hogy a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o dimenzio ´k to ¨bbe´-keve´sbe´ hasonlo ´an viselkednek, az 1983-as e´v egy va´ratlan e´s dra´mai felfedeze´se azonnal ´alla´spontjuk radika´lis meg˝ket. A ku va´ltoztata´sa´ra ke´nyszerı´tette volna o ¨ lo ¨nleges eredme´ny egy fiatal angol matematikus, Simon Donaldson neve´hez f˝ uz˝ odik. A fizikusok e´s a me´rno ¨ko ¨k a 3- vagy to ¨bbdimenzo ´s euklideszi terek vizsga´lata´ban gyakran ta´maszkodnak a differencia´lsza´mı´ta´s mo ´dszereire. A differencia´lsza´mı´ta´s ke´tdimenzio ´s, ko ¨nyvu ¨ nk harmadik fejezete´ben bemutatott mo ´dszerei ku ¨ lo ¨no ¨sebb nehe´zse´g ne´lku ¨ l ´altala´nosı´thato ´k magasabb dimenzio ´kra. A fizikusok azonban nem csupa´n az n-dimenzio ´s euklideszi tereken, hanem ma´s nsokasa´gokon is haszna´lni akarja´k a differencia´lsza´mı´ta´s mo ´dszereit. Mivel e sokasa´gok mindegyike apro ´ kis tartoma´nyokbo ´l ´all o ¨ssze, amelyek mindegyike az n-dimenzio´s euklideszi terekre jellemz˝ o saja´tossa´gokat mutat, mely uto ´bbiakra a differencia´la´s elme´lete ma´r rendelkeze´su ¨ nkre ´all, szigoru ´ an loka´lis e´rtelemben a differencia´la´s proble´ma´ja az n-sokasa´gokra megoldottnak tekinthet˝ o. A ke´rde´s ma´rmost az, lehetse´ges-e a globa´lis differencia´la´s, mely a sokasa´g ege´sze´re vonatkozik? A globa´lis differencia´la´s-se´ma´kat sima struktu ´ra´nak nevezzu ¨ k.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

234

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

Az ’50-es e´vek ko ¨zepe´re ismert volt ma´r, hogy valamennyi 2-, illetve 3-dimenzio ´s sima sokasa´gon pontosan egy sima struktu ´ ra adhato ´ meg; az ´altala´nos ve´lekede´s az volt, hogy ez nincs ma´ske´pp magasabb dimenzio ´sza´m esete´ben sem. 1956-ban azonban John Milnor azzal a meglep˝ o felfedeze´ssel ´allt el˝ o, hogy a 7-dimenio ´s go ¨mbfelu ¨ leten 28 ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o sima struktu ´ ra le´tezik! Hamarosan kideru ¨ lt, hasonlo ´ a helyzet ma´s go ¨mbfelu ¨ letek esete´ben is. A topolo ´gusok me´g vigasztalhatta´k magukat azzal, hogy e ku ¨ lo ¨no ¨s vona´s az n-dimenzio´s euklideszi teret tala´n nem jellemzi. A jo´l beva´lt newtoni e´s leibnizi mo ´dszerek, u ´ gy ve´lte´k, a jo ´l ismert euklideszi tereken egyeduralkodo ´k. Biztosan? Annyi ma´r ismeretes volt, hogy az euklideszi sı´kon e´s a ha´romdimenzio ´s te´rben egyetlen sima struktu ´ ra le´tezik csak. Ezt nevezzu ¨ k a standard sima struktu ´ ra´nak. Azt is bebizonyı´totta´k, hogy az n > 4 esetekben az n-dimenzio ´s euklideszi tereken is csupa´n egyetlen (standard) sima struktu ´ ra le´tezik. A ne´gydimenzio ´s esetre azonban, ku ¨ lo ¨no ¨s mo ´don, senkinek sem sikeru ¨ lt ugyanezt bela´tni. Csak azzal vigasztalo ´dhattunk, csupa´n id˝ o ke´rde´se, hogy a matematikusok meg´ rthet˝ tala´lja´k a megfelel˝ o eszko ¨zo ¨ket, s el˝ o´alljanak a hia´nyzo ´ la´ncszemmel. E o teha´t az ´altala´nos ele´gedetlense´g, mely annak ko ¨vetkezte´ben uralkodott el, hogy a bizonyı´ta´st csak nem sikeru ¨ lt senkinek megtala´lnia. Ra´ada´sul a ne´gydimenzio ´s euklideszi te´r a ne´gydimenzio ´s te´rid˝ o-struktu ´ ra´t kutato ´ fizikusok sza´ma´ra ku ¨ lo ¨n˝k egyre tu legesen fontos matematikai modell, s o ¨ relmetlenebbu ¨ l va´rta´k, hogy matematikus-kolle´ga´ik megoldja´k a proble´ma´t. Ami ve´gu ¨ l to ¨rte´nt, azon ritka esetek ko ¨ze´ tartozik, amikor a dolgok szoka´sos menete ellente´tes ira´nyt vesz. Ahelyett, hogy a fizikusok bukkantak volna a matematika egy u ´ jabb alkalmaza´sa´ra, ezu ´ ttal a fizika mo ´dszerei hu ´ zta´k ki a matematikusokat a csa´va´bo ´l. 1983-ban az elemi re´szek kvantumos viselkede´se´nek leı´ra´sa´ban haszna´lt Yang – Mills me´rte´kterek elme´lete e´s a ne´gydimenzio ´s Poincare´sejte´s bizonyı´ta´sa´hoz Michael Freedman ´altal kidolgozott mo ´dszerek egyu ¨ ttes alkalmaza´sa´val Simon Donaldson megmutatta, mike´nt adhato ´ meg a 4-dimenzio ´s euklideszi te´ren egy nemstandard sima struktu ´ ra. A dolog kisva´rtatva egyenesen bizarr fordulatot vett. Clifford Taubes bizonyı´totta, hogy a ne´gydimenzio ´s euklideszi te´r standard sima struktu ´ ra´ja csupa´n egy a ve´gtelen sok sima struktu ´ ra ko ¨zu ¨ l! Donaldson e´s Taubes eredme´nyei teljesen ´ gy t˝ va´ratlanok, s szo ¨gesen szembea´llnak a szemle´lettel. U unik, a ne´gydimenzio ´s euklideszi te´r nem csupa´n a fizika szempontja´bo ´l bı´r kitu ¨ ntetett jelent˝ ose´ggel, le´ve´n vila´gunk – amennyiben az id˝ ot is ide sza´mı´tjuk – ne´gydimenzio ´s, hanem a tiszta matematika szempontja´bo ´l is a lege´rdekesebb, a legnagyobb kihı´va´sokat rejt˝ o struktu ´ ra. A proble´ma´ra hamarosan visszate´ru ¨ nk. Most azonban a topolo ´gia egy ma´sik teru ¨ lete´re invita´ljuk a kedves Olvaso ´t: a csomo ´k elme´lete´r˝ ol lesz szo ´.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A matematikusok csomo ´kba gabalyodnak

235

A matematikusok csomo ´ kba gabalyodnak Az els˝ o topolo ´giai te´ma´ju ´ ko ¨nyv a Gauss-tanı´tva´ny Johann Listing 1847-ben megjelent Vorstudien zur Topologie (El˝ otanulma´nyok a topolo ´gia´hoz) cı´m˝ u m˝ uve. A ko ¨nyv jelent˝ os re´sze a csomo ´k elme´lete´vel foglalkozik, egy olyan teru ¨ lettel, amely a topolo ´gusokat azo ´ta is foglalkoztatja. A 6.15. ´abra´n ke´t tipikus csomo ´t la´tunk, az egyik a jo ´l ismert egyszer˝ u csomo ´, a ma´sik a nyolcas alakzat. Feltehet˝ oen mindenki egyete´rt azzal, hogy ke´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o csomo ´ro ´l van szo ´. De vajon miben ´all e ku ¨ lo ¨nbse´g? Biztosan nem abban, hogy a ke´t csomo ´ ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o zsinegekb˝ ol ´all, s nem nyom sokat a latban a csomo ´ alakja sem. Ha a zsino ´r ke´t ve´ge´t meghu ´ zna´nk, vagy megva´ltoztatna´nk a hurkok me´rete´t, a csomo ´ alakja meglehet˝ osen megva´ltozna, ´am me´g mindig ugyanaz a csomo ´ ´allna el˝ ottu ¨ nk. Ezen va´ltoztata´sok egyike sem alkalmas arra, hogy az egyszer˝ u csomo ´t nyolcassa´ transzforma´ljuk. Egy csomo ´ megku ¨ lo ¨nbo ¨ztet˝ o jegye a „csomo ´zottsa´ga´ban” keresend˝ o, abban a mo ´dban, ahogy saja´t maga´t ´athurkolja. S ez az absztrakt minta´zat az, amely a matematikusok e´rdekl˝ ode´se´t a csomo ´k fele´ ira´nyı´totta. Mivel egy zsino ´r csomo ´zottsa´ga´nak jellege´n mit sem va´ltoztat, ha megszorı´tjuk, meglazı´tjuk vagy ma´s mo ´don va´ltoztatjuk meg az egyes hurkok alakja´t, a csomo ´k minta´zatait topologikus minta´zatoknak tekinthetju ¨ k. Terme´szetes elva´ra´s teha´t, hogy a topolo ´gia fogalmai e´s mo ´dszerei a csomo ´k vizsga´lata´ban is alkalmazhato ´ak legyenek. Elke´l azonban egy kis o ´vatossa´g. Hogy ma´st ne mondjunk, ko ¨nnyede´n elke´pzelhetu ¨ nk olyan topologikus transzforma´cio ´t, amely az egyszer˝ u csomo ´t a nyolcasba viszi: nem kell ma´st tenni, mint kibogozni, majd u ´ jra o ¨sszehurkolni, imma´r nyolcas alakban. Mindeko ¨zben a zsino ´rt nem va´gtuk el, topolo ´giai szem-

6.15. a ´ bra. Ke´t jo ´l ismert csomo ´: az egyszer˝ u csomo ´ e´s a nyolcas-alakzat.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

236

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

6.16. a ´ bra. Matematikai csomo ´k: a ha´romlevel˝ u csomo ´ e´s a ne´gyes-csomo ´.

pontbo ´l teha´t minden to ¨ke´letesen helye´nvalo ´nak t˝ unik. Nyilva´nvalo ´ azonban, hogy a csomo ´k matematikai elme´lete´b˝ ol az effe´le tru ¨ kko ¨ket sza´m˝ uzni akarjuk. A csomo ´kat tanulma´nyozo ´ matematikus enne´lfogva megko ¨veteli, hogy egyetlen csomo ´nak se legyenek szabad ve´gei. Miel˝ ott valamely adott csomo ´ vizsga´lata´hoz la´tna, a matematikus el˝ oszo ¨r o ¨sszeko ¨ti a csomo ´ ke´t ve´ge´t, hogy o ¨nmaga´ba za´ro ´do ´ hurkot kapjon. A 6.16. ´abra´n az egyszer˝ u csomo ´bo ´l e´s a nyolcasbo ´l ezen a mo ´don kapott csomo ´kat la´thatjuk: az els˝ ot ha´romlevel˝ u csomo ´nak, a ma´sodikat ne´gyes-csomo ´nak nevezzu ¨ k. Ha fizikai, valo ´sa´gos csomo ´kro ´l van szo ´, a ve´gek o ¨sszeko ¨te´se ko ¨nnyede´n megoldhato ´ – csupa´n egy keve´s ragaszto ´ szu ¨ kse´geltetik. Ha figyelmu ¨ nket azokra a csomo ´kra korla´tozzuk, amelyek o ¨nmagukba za´ro ´do ´ zsino ´rokkal jelenı´thet˝ ok meg, akkor mentesu ¨ lu ¨ nk atto ´l, hogy a kibonta´s e´s u ´ jracsomo ´za´s elja´ra´sa´val a vizsga´latot ve´gletesen leegyszer˝ usı´tsu ¨ k. A ha´romlevel˝ u csomo ´t minden valo ´szı´n˝ use´g szerint lehetetlen ne´gyes-csomo ´va´ transzforma´lni. (Csak pro ´ba´lja meg a kedves Olvaso ´ – e´s megla´tja! Ke´szı´tsen egy darabka zsinegb˝ ol ha´romlevel˝ u csomo ´t, ko ¨sse o ¨ssze a ve´geit, s pro ´ba´lja meg – ane´lku ¨ l, hogy a zsino ´r ke´t ve´ge´t u ´ jra sze´tva´lasztana´ – ne´gyes-csomo ´va´ alakı´tani.) Miuta´n leszo ¨geztu ¨ k, hogy a zsineg anyaga´ra nem vagyunk tekintettel, valamint azt is, hogy csomo ´inknak nem lehet szabad ve´gu ¨ k, a csomo ´k matematikai definı´cio ´ja ro ¨gvest megadhato ´: csomo ´nak nevezu ¨ nk minden ha´romdimenzio ´s te´rbeli za´rt hurkot. (E definı´cio ´ szerint a 6.15. ´abra´n la´thato ´ „csomo ´k” valo ´ja´ban nem

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A matematikusok csomo ´kba gabalyodnak

237

azok.) A matematikai e´rtelemben vett csomo ´knak terme´szetesen nincs vastagsa´guk: egydimenzio ´s objektumok, pontosabban 1-sokasa´gok. A feladat teha´t a csomo ´minta´zatok behato ´ tanulma´nyoza´sa. El kell tekintenu ¨ nk a csomo ´ vastagsa´ga´to ´l, me´rete´t˝ ol, az egyes hurkok alakja´nak jellemz˝ oit˝ ol, s a csomo ´nak a te´rben elfoglalt helyzete´t˝ ol; a matematikusok a topologikusan ekvivalens csomo ´kat azonosnak tekintik. De mit jelent vajon ehelyu ¨ tt a „topologikus ekvivalencia”? Elve´gre ko ¨nny˝ uszerrel, e´s topolo ´giai szempontbo ´l to ¨ke´letesen legitim mo ´don ´atalakı´thatjuk – mondjuk – a ha´romlevel˝ u csomo ´t ne´gyes-csomo ´va´: nem kell ma´st tennu ¨ nk, mint elva´gni a zsino ´rt, kibogozni, u ´ jrahurkolni, majd az elva´gott ve´geket o ¨sszeragasztani. Az egyma´shoz ko ¨zeli pontok a transzforma´cio ´ sora´n ugyanilyenek maradtak: megengedhet˝ o topologikus transzforma´cio ´ro ´l van teha´t szo ´. A vizsga´lo ´da´s szelleme´vel azonban mindez szo ¨gesen ellente´tes, elve´gre ha valamit nem akarunk megengedni a csomo ´k tanulma´nyoza´sa sora´n, akkor a „gordiuszi megolda´s” felte´tlenu ¨ l ilyen. A matematikai csomo ´k ku ¨ lo ¨nlegesse´ge, hogy minta´zatuk abbo ´l ered, mike´nt ˝ket ko helyezkednek el az o ¨ru ¨ lvev˝ o euklideszi te´rben. Ezek a minta´zatok minden ke´tse´get kiza´ro ´an topologikus minta´zatok, arra kell csak u ¨ gyelnu ¨ nk, hogy a szo ´ban forgo ´ transzforma´cio ´k ne csupa´n az o ¨nmaga´ban tekintett csomo ´, hanem a teljes ha´romdimenzio ´s te´r transzforma´cio ´i legyenek. Amikor a matematikus ke´t csomo ´t ekvivalensnek (teha´t le´nyege´ben egyma´sto ´l megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethetetlennek) nevez, ezzel se to ¨bbet, se kevesebbet nem ´allı´t, mint hogy megadhato ´ a ha´romdimenzio ´s te´r olyan topologikus transzforma´cio ´ja, amely az egyik csomo ´t a ma´sikba viszi. A csomo ´k ekvivalencia´ja´nak e matematikai definı´cio ´ja, ba´r az alapos vizsga´lat sza´ma´ra ne´lku ¨ lo ¨zhetetlen, nem nevezhet˝ o tu ´ lsa´gosan szemle´letesnek. Le´nyege´ben a csomo ´k sze´tva´ga´sa´t za´rja csak ki, minden ma´s topolo ´giai tru ¨ kko ¨t megenged. A teljes ha´romdimenzio ´s te´r csak a „fels˝ obb” csomo ´elme´letben keru ¨ l el˝ ote´rbe, amikor a topolo ´gusok azt a komplika´lt 3-sokasa´got vizsga´lja´k, amelyet akkor kapunk, amikor a csomo ´t elta´volı´tjuk a ha´romdimenzio ´s te´rb˝ ol. A csomo ´k vizsga´lata klasszikus pe´lda´ja annak, mike´nt ko ¨zelı´tenek meg a matematikusok egy sz˝ uz teru ¨ letet. Els˝ o le´pe´sben egy u ´ j jelense´gre, esetu ¨ nkben a hurkoltsa´gra figyelnek fel. Ezt ko ¨vet˝ oen elvonatkoztatnak minden, a vizsga´lat szempontja´bo ´l le´nyegtelen ko ¨ru ¨ lme´nyt˝ ol, s megfogalmazza´k az alapfogalmak, a csomo ´ fogalma´nak e´s a csomo ´k ekvivalencia´ja´nak absztrakt definı´cio ´it. A ko ¨vetkez˝ o le´pe´s a ku ¨ lo ¨nfe´le csomo ´minta´zatok leı´ra´sa´ra e´s elemze´se´re legalkalmasabb mo ´dszerek megkerese´se. Mi ku ¨ lo ¨nbo ¨zteti meg a ha´romlevel˝ u csomo ´t a nullcsomo ´to ´l, azaz a csomo ´zatlan hurokto ´l? A ku ¨ lo ¨nbse´g szembeo ¨tl˝ o – azonban e´ppen az ime´nt szo ¨geztu ¨ k le, hogy a mo ´d, ahogyan a csomo ´ megjelenik el˝ ottu ¨ nk, le´nyege´ben irreleva´ns. A ke´rde´s a ko ¨vetkez˝ o: lehetse´ges-e a ha´romlevel˝ u csomo ´t u ´ gy manipula´lni, persze elva´ga´s ne´lku ¨ l, hogy a eredme´nyu ¨ l nullcsomo ´t kapjunk. Els˝ o pillanta´sra u ´ gy t˝ u-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

238

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

nik, hogy nem. Ha zsino ´rbo ´l ha´romlevel˝ u csomo ´t ke´szı´tu ¨ nk, s elja´tszadozunk vele egy ideig, azt tapasztaljuk, hogy ke´ptelenek vagyunk kibogozni. Ez azonban me´g nem bizonyı´ta´s – elve´gre el˝ ofordulhat, hogy nem pro ´ba´ltuk ki valamennyi lehet˝ ose´get. ´ rvelhetu (E ¨ nk persze amellett is, hogy az ime´ntihez hasonlo ´ egyszer˝ u esetekben a menta´lis vagy fizikai manipula´cio ´ igenis fele´r egy bizonyı´ta´ssal, tala´n csak a bizonyı´ta´s legszigoru ´ bb logikai e´rtelmeze´se szerint nem. E definı´cio ´ azonban oly szigoru ´ , hogy a matematika szinte egyetlen valo ´di te´tele´nek bizonyı´ta´sa sem felel meg neki. Bonyolultabb csomo ´k esete´ben azonban effe´le meggondola´sok semmike´ppen nem tekinthet˝ ok bizonyı´ta´snak. Ra´ada´sul nem is olyan foga´sokat keresu ¨ nk, amelyekkel bizonyos adott csomo ´kkal elba´nhatunk, hanem olyan ´altala´nos mo ´dszert, amely valamennyi csomo ´ra alkalmazhato ´, me´g azokra is, amelyekkel me´g soha senki nem tala´lkozott. A pe´lda´kkal mindig o ´vatosnak kell lennu ¨ nk. A pe´lda´nak, hogy valo ´ban az legyen, egyszer˝ unek kell lennie – valo ´di ce´lja ugyanis e´ppen az, hogy segı´tsen mege´rteni azokat a fogalmakat e´s mo ´dszereket, amelyek a bonyolultabb esetekre is alkalmazhato ´k.) Ke´t csomo ´ megku ¨ lo ¨nbo ¨ztete´se´nek a szemle´letre valo ´ hivatkoza´sna´l alkalmasabb mo ´dja, ha tala´lunk egy olyan csomo ´invaria´nst, amelyet a csomo ´k megengedett ´atalakı´ta´sai nem va´ltoztatnak meg, s amelynek e´rte´ke a vizsga´lt csomo ´k esete´ben elte´r egyma´sto ´l. Ahhoz, hogy ilyen invaria´nsokat tala´lhassunk, a csomo ´kat el˝ oszo ¨r valahogy reprezenta´lnunk kell. Id˝ ovel az algebrai jelo ¨le´smo ´d is segı´tse´gu ¨ nkre lehet, a vizsga´lo ´da´s kezdete´n azonban a legterme´szetesebb reprezenta´cio ´ mindenke´ppen az, ha a csomo ´kat egyszer˝ uen lerajzoljuk. Ke´t ilyen rajzot ma´r be is mutattam 6.16. ´abra´n. A matematikusok ´abra´i ezekt˝ ol csupa´n annyiban ku ¨ lo ¨nbo ¨znek, hogy nem zsinegb˝ ol vagy ko ¨te´lb˝ ol ke´szu ¨ lt fizikai csomo ´kat jelenı´tenek meg: egyszer˝ u vonalat hu ´ znak, amely a csomo ´ minta´zata´t mutatja. A 6.17. ´abra´n tova´bbi pe´lda´kat la´tunk, ko ¨zo ¨ttu ¨ k a 6.16. ´abra´n ma´r bemutatott ha´romlevel˝ u csomo ´ matematikusabb va´ltozata´t. A vonal megszakı´ta´sa azokat a pontokat jelzi, ahol az egyik vonaldarab a ma´sik felett halad. Az effe´le ´abra´zola´st a szo ´ban forgo ´ csomo ´ reprezenta´cio ´ja´nak nevezzu ¨ k. Bonyolultabb csomo ´k mege´rte´se´nek egyik mo ´dszere az, ha egyszer˝ ubb, kisebb csomo ´kra bontjuk. A vitorla´s- e´s a ve´nasszony-csomo ´ pe´lda´ul egyara´nt ke´t ha´romlevel˝ u csomo ´ra bonthato ´. Megfordı´tva, vitorla´s- vagy ve´nasszony-csomo ´t (matematikailag) u ´ gy ´allı´thatunk el˝ o, hogy ugyanazon a (matematikai) zsino ´ron ke´t ha´romlevel˝ u csomo ´t ke´szı´tu ¨ nk, majd o ¨sszeko ¨tju ¨ k a zsino ´r ve´geit. Az ezen elja´ra´s szerint, teha´t ugyanazon zsinegen elhelyezked˝ o ke´t csomo ´ „ro ¨vidre za´ra´sa´val” kapott csomo ´t a ke´t csomo ´o ¨sszege´nek nevezzu ¨ k. A csomo ´k ´gy ı e´rtelmezett o ¨sszeada´sa asszociatı´v m˝ uvelet, amelynek egyse´geleme e´rtelemszer˝ uen a nullcsomo ´. Ezen a ponton a matematikus azonnal to ¨prengeni kezd azon, vajon nem egy csoporttal van-e dolga. Csupa´n annyit kell ellen˝ orizni, hogy minden csomo ´nak le´tezik-e inverze. Igaz-e, hogy tetsz˝ oleges csomo ´ melle´ – ugyanara a matematikai zsino ´rra – fo ¨lvehetu ¨ nk egy olyan csomo ´t,

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A matematikusok csomo ´kba gabalyodnak

239

¨ t egyszer˝ 6.17. a ´ bra. O u csomo ´, ahogyan a csomo ´elme´le´szek ´altala´ban megjele˝ket. Elegend˝ nı´tik o o ne´ha´ny pillanat, hogy la´ssuk, o ¨t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o csomo ´ro ´l van szo ´, azaz semmike´ppen nem tudjuk egyiket sem valamelyik ma´sikka´ alakı´tani. A te´ny matematikai bizonyı´ta´sa ma´r keme´nyebb dio ´.

hogy a kett˝ o o ¨sszege a nullcsomo ´ legyen, ami annyit jelent, hogy lehetse´ges a zsino ´rt a megengedett mo ´dszerekkel csomo ´zatlan hurokka´ alakı´tani? A b˝ uve´szek ugyan sza´mtalan csomo ´ kibonta´sa´ra ismernek effe´le mo ´dszert – vannak azonban olyan csomo ´k is, amelyekre semmife´le ilyen tru ¨ kk nem m˝ uko ¨dik, amelyeknek teha´t nincs inverze. A b˝ uve´szek csomo ´i ra´ada´sul nem is igazi csomo ´k, csupa´n annak t˝ unnek. A csomo ´o ¨sszeada´s ime´nt definia´lt m˝ uvelete´vel teha´t nem kapunk csoportot. Abbo ´l persze, hogy a vizsga´lo ´da´s egyik ira´nya´val nem volt szerencse´nk, me´g nem ko ¨vetkezik, hogy valamennyi pro ´ba´lkoza´s kudarcra van ´te ı ´lve. Az o ¨sszeada´sra ugyan a csoportaxio ´ma´k nem e´rve´nyesek, vannak azonban ma´s algebrai minta´zatok is. Kiindulva abbo ´l, hogy a ve´nasszony- e´s a vitorla´s-csomo ´t ke´t egy-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

240

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

szer˝ ubb csomo ´o ¨sszege´re bonthatjuk, bevezethetju ¨ k a prı´mcsomo ´ fogalma´t: olyan csomo ´t nevezu ¨ nk ´gy, ı amely nem ´allı´thato ´ el˝ o egyszer˝ ubb csomo ´k o ¨sszegeke´nt. Miel˝ ott tova´bbmenne´nk, meg kell mondanunk, mit is e´rtu ¨ nk ebben a vonatkoza´sban azon, hogy „egyszer˝ ubb”. Elve´gre ko ¨nnyede´n ke´pesek vagyunk egy csomo ´zatlan hurkot u ´ gy o ¨sszebogozni, hogy a ve´geredme´ny o ¨rdo ¨gien bonyolult csomo ´nak la´tsszon. A nyakla´ncok pe´lda´ul gyakran keru ¨ lnek effe´le ´allapotba, la´tszo ´lag minden emberi beavatkoza´s ne´lku ¨ l. A szo ¨rnyen o ¨sszetekeredett e´s o ¨sszebogozo ´dott la´nc olyan, mint egy rendkı´vu ¨ l bonyolult, o ¨sszetett csomo ´, holott valo ´ja´ban a le´tez˝ o legegyszer˝ ubb: a nullcsomo ´. A csomo ´k bonyolultsa´ga´nak jellemze´se´re a matematikusok bevezette´k a kereszteze´si sza´m fogalma´t. Ha alaposan megvizsga´ljuk a csomo ´ rajza´t, o ¨sszesza´molhatjuk, ha´ny alkalommal keresztezi o ¨nmaga´t a csomo ´. (Amennyiben a rajz a matematikai ´abra´zola´smo ´dot ko ¨veti, azt kell megsza´molnunk, ha´ny szakada´s van a csomo ´ vonala´ban.) A kereszteze´sek sza´ma jo ´l jellemzi a szo ´ban forgo ´ rajz bonyolultsa´ga´t – maga´ro ´l a csomo ´ro ´l azonban nem sokat ´arul el. A proble´ma´t az okozza, hogy ezen a mo ´don tetsz˝ oleges csomo ´hoz ve´gtelen sok ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o sza´mot is rendelhetu ¨ nk: ha csomo ´nkon csavarunk egyet, akkor ezzel valo ´ja´ban nem va´ltoztatjuk meg, a kereszteze´sek sza´ma viszont 1-gyel no ¨vekedni fog. Minden egyes csomo ´ esete´n egye´rtelm˝ uen megadhato ´ azonban a kereszteze´sek minima´lis sza´ma. Ez a sza´m ma´r egye´rtelm˝ uen maga´nak a csomo ´nak a bonyolultsa´ga´t jellemzi: abban a rajzban adja meg a keresztez˝ ode´sek sza´ma´t, amely a csomo ´t a lehet˝ o legegyszer˝ ubben, minden felesleges csavaroda´s ne´lku ¨ l ´abra´zolja. A csomo ´ kereszteze´si sza´ma´nak ma´rmost a kereszteze´seknek ezt a minima´lis sza´ma´t nevezzu ¨ k. E sza´m arro ´l ad felvila´gosı´ta´st, hogy minimum ha´nyszor kellett a zsinegu ¨ nket ´athurkolni, hogy a csomo ´t le´trehozhassuk – s to ¨ke´letesen fu ¨ ggetlen atto ´l, hogy csomo ´nkat mike´nt jelenı´tju ¨ k meg. A ha´romlevel˝ u csomo ´ kereszteze´si sza´ma pe´lda´ul 3, a vitorla´s- e´s a ve´nasszony-csomo ´e´ pedig 6. S ezzel kezu ¨ nkben van az eszko ¨z tetsz˝ oleges ke´t csomo ´o ¨sszehasonlı´ta´sa´ra: az A csomo´ egyszer˝ ubb, mint a B, ha A kereszteze´si sza´ma B-e´ne´l kisebb. Prı´mnek pedig akkor nevezu ¨ nk egy csomo ´t, ha nem lehet el˝ o´allı´tani ke´t na´la egyszer˝ ubb csomo ´o ¨sszegeke´nt (melyek ko ¨zu ¨ l egyik sem a nullcsomo ´). A csomo ´elme´let vizsga´lo ´da´sai ko ¨ze´ppontja´ban kezdetben az a proble´ma ´allt, hogy azonosı´tsa´k az o ¨sszes adott kereszteze´si sza´mu ´ prı´mcsomo ´t. A tizenkilencedik e´s a huszadik sza´zad fordulo ´ja´ra a 10-ne´l nem nagyobb kereszteze´si sza´mu ´ prı´mcsomo ´k ko ¨zu ¨ l igen sokat sikeru ¨ lt azonosı´tani. Az eredme´nyeket ´altala´ban ta´bla´zatokban foglalta´k o ¨ssze, amelyben a csomo ´k rajzait bizonyos szempontok szerint rendezte´k el; a 6.18. ´abra´n egy ilyen ta´bla´zat la´thato ´. A feladat pokolian bonyolult. El˝ oszo ¨r is, a legegyszer˝ ubb eseteket lesza´mı´tva, szinte lehetetlen mega´llapı´tani, hogy ke´t, ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ onek t˝ un˝ o rajz ugyanazt a csomo ´t reprezenta´lja-e. Senki nem lehet teha´t biztos abban, hogy a legu ´ jabb csomo ´ta´bla´zatokban nem szerepel to ¨bbszo ¨r egyetlen csomo ´ sem. J. W. Alexander e´s G. B. Briggs 1927-es eredme´nyei alapja´n annyi mindenesetre bizonyos, hogy

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A matematikusok csomo ´kba gabalyodnak

241

6.18. a ´ bra. Csomo ´ta´bla, amely azon csomo ´kat sorolja fel, amelyeknek kereszteze´si sza´ma legfeljebb 7.

a legfeljebb 8 keresztez˝ ode´si sza´mu ´ csomo ´k prı´mta´bla´zata´ban nincs isme´tl˝ od˝ o elem; nem sokkal ke´s˝ obb H. Reidemeister igazolta, hogy a 9-es prı´mcsomo ´k ta´bla´zata ugyancsak to ¨ke´letes. A 10-es csomo ´k proble´ma´ja´t K. A. Perko bogozta ki 1974-ben. Valamennyiu ¨ k eredme´nyeiben az elte´r˝ o csomo ´kat megku ¨ lo ¨nbo ¨ztet˝ o csomo ´invaria´nsok megtala´la´sa volt a do ¨nt˝ o mozzanat. A kereszteze´si sza´m meglehet˝ osen gyenge csomo ´invaria´ns. Igaz ugyan, hogy ha tudjuk ke´t csomo ´ro ´l, hogy kereszteze´si sza´muk ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o, akkor egyre´szt abban is biztosak lehetu ¨ nk, hogy a ke´t csomo ´ nem ekvivalens, ma´sre´szt a ke´t

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

242

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

csomo ´ bonyolultsa´ga´t is o ¨ssze tudjuk hasonlı´tani. Tu ´ lsa´gosan sok olyan csomo ´ van azonban, amelyek kereszteze´si sza´ma azonos, ezen az alapon teha´t nemigen ˝ket. 10-es kereszteze´si sza´mu lehetse´ges oszta´lyoznunk o ´ prı´mcsomo ´bo ´l pe´lda´ul nem kevesebb, mint 165 ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o le´tezik. Annak oka, hogy a kereszteze´si sza´m olyan gyenge invaria´ns, to ¨bbek ko ¨zo ¨tt abban keresend˝ o, hogy nincs tekintettel a kereszteze´sek minta´zataira: egyszer˝ uen csak a sza´mukat adja meg. A megolda´s egyik lehetse´ges u ´ tja´t J. W. Alexander tala´lta meg 1928-ban. Megmutatta, mike´nt lehet egy adott csomo ´ esete´n meghata´rozni – nem egy sza´mot, hanem – egy polinomot, amelyet manapsa´g Alexander-polinomnak nevezu ¨ nk. A dolog technikai re´szleteit˝ ol nyugodtan eltekinthetu ¨ nk, elegend˝ o, ha ke´t pe´lda´ra szorı´tkozunk: a ha´romlevel˝ u csomo ´ Alexander-polinomja x2 − x + 1, a ne´gyes-csomo ´e´ pedig x2 − 3x + 1. Amikor ke´t csomo ´t o ¨sszeadunk, a csomo ´o ¨sszeg Alexander-polinomja a tagok Alexanderpolinomja´nak szorzata. A vitorla´s- e´s a ve´nasszony-csomo ´ Alexander-polinomja enne´lfogva egyara´nt

(x2 − x + 1)2 = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1. Az Alexander-polinom algebrai forma´ban ugyan, de megragadja a csomo ´ tekerve´nyeinek minta´zata´t, ´gy ı mindenke´ppen hasznos csomo ´invaria´ns. Figyelemre me´lto ´, hogy a csomo ´k minta´zata – ha csak re´szlegesen is, de – kapcsolatba hozhato ´ egy algebrai minta´zattal. Az Alexander-polinomok mo ´dszere mindazona´ltal me´g mindig nem ele´g hate´kony: nem alkalmas pe´lda´ul a vitorla´s- e´s a ve´nasszonycsomo ´ megku ¨ lo ¨nbo ¨ztete´se´re, holott erre minden gyermek ke´pes, aki e´lete´ben legala´bb egyszer ´allı´tott ma´r sa´trat. A vitorla´s- e´s a ve´nasszony-csomo ´ megku ¨ lo ¨nbo ¨ztete´se´n az elko ¨vetkez˝ o e´vek sora´n javasolt to ¨bbi egyszer˝ u csomo ´invaria´ns is rendre kudarcot vallott. A pro ´ba´lkoza´sok azonban, minden hia´nyossa´guk ellene´re u ´ jfent ra´mutattak, mike´nt nyerhetnek alkalmaza´st a matematikusok ´altal felta´rt minta´zatok a legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb teru ¨ leteken. Az Alexander-polinom egy ma´sik, igen hate´kony csomo ´invaria´nsbo ´l sza´rmaztathato ´: a csomo ´csoportbo ´l. E csoport annak a 3-sokasa´gnak a fundamenta´lis (vagy homoto ´pia-) csoportja, amely a ha´romdimenzio ´s te´rb˝ ol marad, ha abbo ´l a csomo ´t elta´volı´tjuk: e sokasa´got a szo ´ban forgo ´ csomo ´ komplemense´nek nevezzu ¨ k. E csoport elemei za´rt, ira´nyı´tott hurkok, amelyek kezd˝ o- e´s ve´gpontja ugyanaz a – nem a csomo ´n elhelyezked˝ o – pont, s amelyek a csomo ´ ko ¨re´ tekerednek. Azokat a hurkokat, amelyek egyma´sba vihet˝ ok ane´lku ¨ l, hogy a csomo ´t elva´gna´nk, azonosnak tekintju ¨ k. A 6.19. ´abra´n a ha´romlevel˝ u csomo ´ csoportja´t tanulma´nyozhatjuk. A csomo ´csoport olyan eszko ¨zt ad a matematikus keze´be, amelynek alapja´n a csomo ´kat csoportelme´leti jellemz˝ ok szerint oszta´lyozhatja. E csoport algebrai jellemz˝ oi a csomo ´ ´abra´zola´sa´bo ´l olvashato ´k ki.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A matematikusok csomo ´kba gabalyodnak

243

6.19. a ´ bra. A ha´romlevel˝ u csomo ´ csoportja. A csoport elemei olyan za´rt, ira´nyı´tott hurkok, amelyek az X pontbo ´l indulnak ki, s ve´gpontjuk is X. Az a, a b e´s a g hurkokat azonosnak tekintju ¨ k, mivel a csomo ´ elva´ga´sa ne´lku ¨ l egyma´sba vihet˝ ok. A c e´s a d hurkok azonban ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ ok, hiszen a csomo ´ vonala´t ellente´tes ira´nyban keru ¨ lik meg. A h hurok a nulla hosszu ´ sa´gu ´ null-hurokkal, a csoport egyse´geleme´vel azonosı´thato ´. A csoportm˝ uvelet a hurkok kombina´cio ´ja: az x e´s y hurok x+y o¨sszege az a hurok, amelyet u ´ gy kapunk, hogy y-t x uta´n f˝ uzzu ¨ k. (A hurkok o ¨sszef˝ uze´sekor az X-en valo ´ ´athalada´st nem vesszu ¨ k figyelembe.) Pe´lda´ul d + d = f e´s c + d = h. A csomo ´k oszta´lyoza´sa´nak ma´sik, eredeti mo ´dszere a ko ¨vetkez˝ o. Tetsz˝ oleges csomo ´ esete´n konstrua´lunk egy ira´nyı´thato ´ (teha´t „ke´toldalu ´ ”) felu ¨ letet, amelynek egyetlen e´le´t a csomo ´ vonala ke´pezi. To ¨bb ilyen tulajdonsa´gu ´ felu ¨ let is le´tezik, amelyeknek a nemsza´ma elte´rhet egyma´sto ´l, az ilyen felu ¨ letek nemsza´mainak minimuma azonban a csomo ´ invaria´nsa´nak bizonyul. E sza´mot a csomo ´ nemsza´ma´nak nevezzu ¨ k. A vitorla´s- e´s a ve´nasszony-csomo ´ megku ¨ lo ¨nbo ¨zete´se´re azonban egyik eddig bemutatott invaria´ns sem alkalmas. Hosszu ´ e´vekig u ´ gy t˝ unt, hogy a proble´ma´nak nincs egyszer˝ u megolda´sa. (Bonyolultabb mo ´dszerekkel a csomo ´elme´le´szek ma´r el tudnak ba´nni a ke´rde´ssel.) 1984-ben minden megva´ltozott, amikor Vaughan Jones u ´ j-ze´landi matematikus a csomo ´k polinom-invaria´nsainak egy ege´szen u ´j tı´pusa´t fedezte fel. A felfedeze´s egy ve´letlennek ko ¨szo ¨nhet˝ o. Jones olyan analı´zisbeli proble´ma´n, Neumann-algebra´k egyszer˝ ubb struktu ´ ra´kra valo ´ felbonta´sa´n dolgozott, amely-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

244

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

nek megolda´sa f˝ oke´nt a fizika szempontja´bo ´l bı´rt jelent˝ ose´ggel. Jones kolle´ga´it az ´altala felfedezett megolda´s bizonyos, Emil Artin ´altal az 1920-as e´vekben felismert, csomo ´kra vonatkozo ´ minta´zatokra emle´keztette´k. Felismerve, hogy va´ratlan, rejtett kapcsolatra bukkant, Jones kike´rte Joan Birman csomo ´elme´le´sz ve´leme´nye´t – a to ¨bbi, mondhatna´nk, to ¨rte´nelem. A Jones-polinom, csaku ´ gy, mint az Alexander-polinom, a csomo ´ diagramja alapja´n kaphato ´ meg, azonban kora´ntsem az uto ´bbi egyszer˝ u varia´nsa, mike´nt azt Jones eleinte gondolta, hanem valami ege´szen ma´s. A Jones-polinommal ma´r a vitorla´s- e´s a ve´nasszony-csomo ´ is megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o egyma´sto ´l. A ke´t csomo ´ elte´re´se annak ko ¨vetkezme´nye, hogy a ha´romlevel˝ u csomo ´k, amelyb˝ ol el˝ o´allı´thato ´k, a ke´t esetben nem ugyanolyan ira´nyı´ta´ssal kapcsolo ´dnak o ¨ssze. Ha kisse´ belegondolunk, ra´jo ¨vu ¨ nk, hogy a ha´romlevel˝ u csomo ´ sza´la ke´tfe´le mo ´don is keresztezheti maga´t, amely mo ´dok e´ppense´ggel egyma´s tu ¨ko ¨rke´pei. Az Alexander-polinom e ke´tfe´le ha´romlevel˝ u csomo ´t nem tudja megku ¨ lo ¨nbo ¨ztetni, minek ko ¨vetkezte´ben a vitorla´s- e´s a ve´nasszony-csomo ´t sem. A Jones-polinomokkal azonban ma´r a ke´t ha´romlevel˝ u csomo ´ is megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o; a szo ´ban forgo ´ polinomok:

x + x 3 − x4 x−1 + x−3 − x−4 . Szigoru ´ an ve´ve, a ma´sodikat nem nevezhetne´nk polinomnak, egy polinomkifejeoj˝ u hatva´nyai. A matematize´sben ugyanis nem szerepelhetnek az x negatı´v kitev˝ kusok me´gis ezt a szo ´t haszna´lja´k. Jones korszakos felfedeze´se nem csupa´n o ¨nmaga´ban tekinthet˝ o jelent˝ os fejleme´nynek. Utat nyitott egy ege´sz sor polinom-invaria´ns felfedeze´se fele´, e´s ezzel a csomo ´elme´leti kutata´sok u ´ j, hatalmas lendu ¨ letet vettek. A csomo ´k ira´nti e´rdekl˝ ode´st fokozta, hogy mind a fizika´ban, mind a biolo ´gia´ban u ´ j, izgalmas alkalmaza´sokra bukkantak. A ko ¨vetkez˝ okben ezekr˝ ol ejtu ¨ nk ne´ha´ny szo ´t. Vegyu ¨ k el˝ oszo ¨r a biolo ´gia´t. Az emberi DNS egyetlen sza´la, amennyiben kiegye¨ sszecsavarodva azonban ko nesı´tene´nk, ele´rne´ az 1 me´teres hosszu ´ sa´got. O ¨nnyede´n elfe´r azokban a sejtmagokban, amelyeknek az ´atme´r˝ oje hozza´vet˝ olegesen a me´ter o ¨t-milliomod re´sze. Nyilva´nvalo ´, hogy a DNS-molekula ele´g szorosan o ¨ssze van gabalyodva. Me´gis, amikor a DNS-sza´l kette´oszto ´dik, a ke´t re´sz minden tova´bbi ne´lku ¨ l ke´pes elva´lni egyma´sto ´l. Mife´le csomo ´minta´zatok teszik lehet˝ ove´ az ilyen ko ¨nny˝ u sze´tva´la´st? Azon ke´rde´sek egyike ez, amelyek az ´elet titkait kutato ´ biolo ´gusok sza´ma´ra kulcsfontossa´gu ´ ak. A va´laszhoz a matematika nyu ´ jthat fogo ´dzo ´t. A nyolcvanas e´vek ko ¨zepe o ´ta a biolo ´gusok csomo ´elme´le´szekkel ta´rsulva pro ´ba´lja´k felderı´teni, mife´le csomo ´¨ na´llo minta´zatokat ko ¨vet a terme´szet, mid˝ on a ge´nekben informa´cio ´t ta´rol. O ´ DNS-molekulasza´lakat izola´ltak, ke´t ve´gu ¨ ket o ¨sszeillesztve matematikai csomo ´t ´allı´tottak el˝ o, amit azta´n mikroszko ´pos vizsga´latnak vetettek ala´. Eza´ltal lehet˝ ose´g nyı´lt a matematika mo ´dszereinek – to ¨bbek ko ¨zo ¨tt a Jones-polinomok elme´le-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A matematikusok csomo ´kba gabalyodnak

245

6.20. a ´ bra. Balra: DNS-molekula elektronmikroszko ´pos ke´pe. Jobbra: a molekula csomo ´-szerkezete´nek rajza.

te´nek – alkalmaza´sa´ra ezen alapvet˝ o minta´zatok oszta´lyoza´sa´ban e´s elemze´se´ben (6.20. ´abra). A vizsga´latok a vı´rusfert˝ oze´sekkel szembeni ku ¨ zdelemben nyernek e´letbeva´go ´an fontos alkalmaza´st. Mikor a vı´rus megta´mad egy sejtet, gyakorta megva´ltoztatja a sejt DNS-e´nek csomo ´minta´zata´t. A fert˝ ozo ¨tt sejt DNS-csomo ´struktu ´ra´ja´nak vizsga´lata´to ´l a kutato ´k azt va´rja´k, hogy fe´nyt derı´t a vı´rus m˝ uko ¨de´se´nek mo ´dja´ra, minek eredme´nyeke´ppen ko ¨nnyebben kidolgozhatja´k a megfelel˝ o ellenanyagot, illetve kezele´st. La´ssuk most a fizika´t. Lord Kelvin ma´r 1867-ben olyan elme´lettel ´allt el˝ o, mely szerint az atomok valo ´ja´ban apro ´cska csomo ´k az e´terben. Az atomok o ¨rve´nyelme´lete´nek nevezett elke´pzele´s mo ¨go ¨tt er˝ os e´rveket lehetett felsorakoztatni. Magyara´zattal szolga´lt az anyag stabilita´sa´ra, s tekinte´lyes sza´mu ´ ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o atom le´teze´se´nek lehet˝ ose´ge´t biztosı´totta, elve´gre akkoriban ma´r igen sok csomo ´fajta´t ismertek, amelyek oszta´lyoza´sa´hoz a matematikusok e´ppen az id˝ o ta´jt fogtak hozza´. Az elme´let ma´s atomi jelense´gek magyara´zata´ra is ke´pes volt. Kelvin elme´lete´t ele´g komolyan vette´k, s ez lendu ¨ letet adott a csomo ´k oszta´lyoza´sa´ra ira´nyulo ´ er˝ ofeszı´te´seknek. Kelvin munkata´rsa, P. G. Tait is ke´szı´tett csomo ´ta´bla´zatokat. Az elme´let, matematikai elegancia´ja ellene´re, ugyanarra a sorsra jutott, mint Plato ´n kora´bban ta´rgyalt atomelme´lete. Ro ¨vid id˝ on belu ¨ l Niels Bohr teo ´ria´ja va´ltotta fel, mely az atomokat para´nyi Naprendszerekke´nt ´rta ı le. Napjainkban, amikor ma´r Bohr elme´lete´t is tu ´ lsa´gosan naivnak tartjuk, a csomo ´k elme´lete u ´ jra el˝ ote´rbe keru ¨ lt. A fizikusok amellett e´rvelnek, hogy az anyag szuperhu ´ rokbo ´l, a te´rid˝ oben elhelyezked˝ o ve´kony, o ¨sszefono ´do ´ za´rt hurkokbo ´l ´all, amelyek tulajdonsa´gai szoros kapcsolatban ´allnak csomo ´zottsa´guk me´rte´ke´vel. Visszate´rve a ta´rgyala´s f˝ o vonala´hoz, 1987-ben, nem sokkal a Jones-polinomok felfedeze´se uta´n tova´bbi csomo ´invaria´nsokat is tala´ltak, amelyek a statisztikus mechanika´val, a ga´zok e´s a folyade´kok viselkede´se´t leı´ro ´ alkalmazott matematikai elme´lettel hozhato ´k szoros kapcsolatba. Nem telt bele sok id˝ o, s kideru ¨ lt:

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

246

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

a Jones-polinomok ´altal megragadott minta´zatok maguk is megjelennek a statisztikus mechanikai vizsga´latokban. A csomo ´k teha´t, pontosabban, az ´altaluk megjelenı´tett minta´zatok, u ´ gy t˝ unik, mindent o ¨sszeko ¨tnek. A csomo ´k ku ¨ lo ¨nleges jelent˝ ose´ge´t dra´mai mo ´don illusztra´lja a fizika egy u ´j ´aga, az Edward Witten ´altal a nyolcvanas e´vek ve´ge´n kidolgozott topologikus kvantum-te´relme´let sze´du ¨ letes iramu ´ fejl˝ ode´se. Sir Michael Atiyah, a neves matematikai fizikus volt az els˝ o, aki felvetette, hogy a Jones-polinom ´altal felta´rt minta´zat aka´r a fizikai univerzum mege´rte´se´ben is segı´tse´gu ¨ nkre lehet. Witten, va´laszul e felvete´sre, egyetlen, igen me´ly elme´letben egyesı´tette e´s ´altala´nosı´totta a kvantumelme´let, a Jones-polinomok e´s a Simon Donaldson kora´bban ugyancsak emlı´tett alapvet˝ o eredme´nyei ´altal felta´rt minta´zatokat. E nagyszaba´su ´ szinte´zis a fizikusok ele´ az univerzum egy gyo ¨keresen u ´ j ke´pe´t ta´rja, a matematikusok sza´ma´ra pedig a csomo ´k elme´lete´nek mer˝ oben u ´ j ne´z˝ opontja´t adja. A topolo ´gia, a geometria e´s a fizika eszme´it vegyı´t˝ o elme´let mindha´rom teru ¨ leten sza´mos u ´ j eredme´nnyel kecsegtet. A te´ma´ra a nyolcadik fejezetben me´g visszate´ru ¨ nk. Addig is, o ¨sszefoglala´ske´ppen, szo ¨gezzu ¨ k le, hogy a matematikusok, miko ¨zben megalkotta´k a csomo ´k matematikai elme´lete´t, olyan u ´ jfajta ne´z˝ opontokra tala´ltak, melyek segı´thetnek az e´letben oly alapvet˝ o szerepet ja´tszo ´ DNS-molekula, vagy a fizikai univerzum e´rtelmeze´se´ben. S mi ma´sban is ´allna a mege´rte´s, mint bizonyos minta´zatok felismere´se´ben? A nagy Fermat-te ´tel – u ´ jra Ele´rkezett az id˝ o, hogy a Fermat-sejte´s 1. fejezetben elkezdett to ¨rte´nete´nek a ve´ge´re ja´rjunk. Mint arra mindannyian jo ´l emle´kszu ¨ nk, a Fermat ´altal ra´nk hagyoma´nyozott feladat a ko ¨vetkez˝ o: be kell bizonyı´tani, hogy amennyiben n > 2, az

xn + yn = zn egyenletnek nem le´tezik (nemtrivia´lis) megolda´sa az ege´sz sza´mok ko ¨re´ben. Az ege´sz sza´mokkal valamennyien meghitt kapcsolatban ´allunk, a proble´ma pedig aligha lehetne sokkal egyszer˝ ubb – e´sszer˝ unek t˝ unik a felte´teleze´s, hogy a megolda´s sem lehet tu ´ lsa´gosan bonyolult. Az effe´le ad hoc ke´rde´sfelteve´sek gyakori nehe´zse´ge, hogy a va´lasz megtala´la´sa´hoz me´ly e´s mindaddig rejtett minta´zatokig kell lea´snunk. Ku ¨ lo ¨no ¨ske´ppen ´gy ı van ez a Fermat-sejte´s esete´ben, ahol a szo ´ban forgo ´ minta´zatok sza´mosak, sokfe´le´k e´s igen me´lyek. Igen ke´tse´ges, hogy ne´ha´ny tucatnyina´l to ¨bb matematikus e´lne a vila´gon, aki teljes ege´sze´ben mege´rtette a proble´ma´val kapcsolatos legu ´ jabb eredme´nyeket. A jelen ro ¨vid ismertete´st aze´rt vettem fel ko ¨nyvembe, mert a Fermat-sejte´s megolda´sa kiva´lo ´ pe´lda´ja annak, hogy a matematika la´tszo ´lag ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o teru ¨ letei ko ¨zo ¨tt micsoda me´ly, alapvet˝ o kapcsolatok ´allnak fenn.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nagy Fermat-te´tel – u ´jra

247

Az uto ´bbi o ¨tven e´vben a Fermat-sejte´ssel foglalkozo ´ munka´k kiindulo ´pontja az volt, hogy a proble´ma´t bizonyos egyenletek raciona´lis megolda´sainak le´teze´se´re vezette´k vissza. Vegyu ¨ k e´szre, hogy az

xn + yn = zn alaku ´ egyenletek (belee´rtve ezu ´ ttal az n = 2 esetet is) ege´sz megolda´sainak megkerese´se ekvivalens az

xn + yn = 1 egyenlet raciona´lis megolda´sainak megtala´la´sa´val. Valo ´ban, ha megtala´ljuk az els˝ o egyenlet egy ege´sz megolda´sa´t, mondjuk x = a, y = b, z = c sza´mha´rmast, ahol a, b e´s c terme´szetesen mind ege´sz sza´mok, akkor az x = a/c, y = b/c raciona´lis sza´mpa´r a ma´sodik egyenlet egy raciona´lis megolda´sa´t adja. Pe´lda´ul

32 + 42 = 52 alapja´n az x = 3, y = 4, z = 5 sza´mha´rmas az els˝ o egyenlet ege´sz megolda´sa. Ha most x-et e´s y-t elosztjuk z-vel, akkor megkapjuk a ma´sodik egyenlet egy raciona´lis megolda´sa´t, az x = 35 , y = 45 sza´mpa´rt:  2  2 4 3 + = 1. 5 5

Ha pedig rendelkeze´su ¨ nkre ´all a ma´sodik egyenlet egy raciona´lis megolda´sa, mondjuk x = a/c, y = b/d, akkor  a n  b n + = 1, c d az egyenletet a nevez˝ okkel megszorozva az eredme´ny

(ad)n + (bc)n = (cd)n , vagyis x = ad, y = bc, z = cd az els˝ o egyenlet ege´sz megolda´sa´t adja. Mid˝ on a Fermat-sejte´st raciona´lis megolda´sok le´teze´se´re vonatkozo ´ ´allı´ta´ske´nt fordı´tjuk le, geometriai e´s topolo ´giai minta´zatok is megjelennek a szı´nen. Az

x2 + y2 = 1 egyenlet pe´lda´ul az origo ´ ko ¨ze´ppontu ´ , egyse´gnyi sugaru ´ ko ¨r egyenlete. Az egyenlet raciona´lis megolda´sainak megkerese´se ugyanaz, mint arra ke´rdezni ra´, melyek a fenti ko ¨rvonal azon pontjai, amelyeknek mindke´t koordina´ta´ja raciona´lis. A ko ¨r specia´lis matematikai objektum, sokak szeme´ben minden geometriai forma legto ¨ke´letesebbike. Nem meglep˝ o teha´t, ha a raciona´lis koordina´ta´ju ´ pontok megtala´la´sa nem okoz ku ¨ lo ¨no ¨sebb gondot. A dolog alapja a ko ¨vetkez˝ o geometriai gondolatmenet. A 6.21. ´abra´t ko ¨vetve, kiindula´ske´ppen jelo ¨lju ¨ k ki a ko ¨rvonal egy P pontja´t. Ba´rmelyik raciona´lis koordina´ta´ju ´ pont megfelel, az egyszer˝ use´g kedve´e´rt

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

248

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

6.21. a ´ bra. Geometriai mo ´dszer a pitagoraszi sza´mha´rmasok meghata´roza´sa´ra.

¨r olyan pontjainak megtala´la´sa, va´lasszuk a (−1, 0) pontot. A feladat teha´t a ko ¨r tetsz˝ oleges pontja, amelyek mindke´t koordina´ta´ja raciona´lis. Legyen Q a ko rajzoljuk be a P-t Q-val o ¨sszeko ¨t˝ o szakaszt. A szakasz az y tengelyt egy adott pontban metszi; jelo ¨lje t a metsze´spont y-koordina´ta´ja´t. Egyszer˝ u algebrai e´s geometriai eszko ¨zo ¨kkel igazolhato ´, hogy a Q pont koordina´ta´i akkor e´s csak akkor raciona´lisak, ha t is az. Az egyenlet raciona´lis megolda´sait kapjuk teha´t, valaha´nyszor a P-b˝ ol olyan egyeneseket hu ´ zunk, amelyek az y tengelyt valamely raciona´lis helyen metszik: a szo ´ban forgo ´ egyenesek a ko ¨rt mindig egy raciona´lis koordina´ta´ju ´ Q pontban fogja´k metszeni. ¨nnyede´n meghata´rozhato ´k: Ha pe´lda´ul t = 12 , akkor a Q pont koordina´ta´i ko 3 4 5 12 35 12 ( 5 , 5 ); hasonlo´an t = 23 esete´n a ( 13 , 13 ), t = 16 esete´n a ( 37 , 37 ) pontot kapjuk. E pontok rendre megfelelnek a (3, 4, 5), (5, 12, 13) e´s (35, 12, 37) pitagoraszi sza´mha´rmasoknak. Ha alaposan megvizsga´ljuk az ´abra geometriai minta´zata´t, ra´do ¨bbenu ¨ nk, mike´nt kaphato ´ meg ennek alapja´n a pitagoraszi sza´mha´rmasokat el˝ o´allı´to ´ szaba´ly, melyet az els˝ o fejezetben ma´r megismertu ¨ nk. ¨r kellemes tulajdonsa´gai lehet˝ ove´ tette´k, hogy az Az n = 2 esetben teha´t a ko

xn + yn = zn egyenlet megolda´sait geometriai mo ´dszerrel keressu ¨ k meg. Az n tova´bbi e´rte´keine´l azonban ma´r nincs ilyen ko ¨nny˝ u dolgunk, ezekben az esetekben a megfelel˝ o

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nagy Fermat-te´tel – u ´jra

249

go ¨rbe´k ma´r nem olyan egyszer˝ uek e´s elega´nsak, mint a ko ¨r (6.22. ´abra). A proble´ma´t a geometria nyelve´n megfogalmazva, a feladat az

xn + yn = 1 egyenlet˝ u go ¨rbe raciona´lis koordina´ta´ju ´ pontjainak megkerese´se. Jo ´ ira´nyban indulunk ugyan el, de amennyiben n nagyobb, mint 2, hosszu ´ e´s kanyargo ´s u ´ t ´all el˝ ottu ¨ nk. A proble´ma´t az okozza, hogy a go ¨rbe´k elemze´se, amelyek imma´r nem csinos kis ko ¨ro ¨k, u ´ gy t˝ unik legala´bbis, semmivel sem ko ¨nnyebb, mint eredeti egyenleteink vizsga´lata. Szembesu ¨ lve a nehe´zse´gekkel, a legto ¨bb halando ´ inka´bb feladna´ a ku ¨ zdelmet, s valami ma´ssal pro ´ba´lkozna. Ha azonban emberu ¨ nk azon matematikusok egyike, akiknek munka´ssa´ga a nagy Fermat-te´tel mege´rte´se´ben u ´ jabb e´s u ´ jabb el˝ orele´pe´seket hozott, akkor a megha´tra´la´s szo ´ba sem jo ¨hetett. A go ¨rbe geometriai jellemz˝ oin kı´vu ¨ l tova´bbi minta´zatokat kerestek, s reme´nykedtek abban, hogy ezen u ´ jabb, s egyre bonyolultabb minta´zatok u ´ j, addig ismeretlen struktu ´ ra´kra derı´tenek fe´nyt, amelyek alapja´n az ´altala´nos minta´zat mege´rte´se´hez – e´s az ´ahı´tott bizonyı´ta´shoz – is ko ¨zelebb keru ¨ lnek. El˝ oszo ¨r is, ´altala´nosı´thatjuk a proble´ma´t oly mo ´don, hogy tetsz˝ oleges ke´tva´ltozo ´s polinomegyenletet megengedu ¨ nk. Ilyen egyenleteket vizsga´lva is felvethet˝ oa raciona´lis megolda´sok le´teze´se´nek ke´rde´se, s az is el˝ ofordulhat, hogy valamennyi

6.22. a ´ bra. A Fermat go ¨rbe: x3 + y3 = 1.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

250

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

6.23. a ´ bra. Ke´t elliptikus go ¨rbe. A fels˝ o go ¨rbe´t a matematikusok egyetlen go ¨rbe´nek tekintik, ba´r ke´t darabbo ´l ´all. Az also ´o ¨nmaga´t keresztezi az origo ´ban. ilyen egyenletet vizsga´lva ra´tala´lhatunk olyan minta´zatokra, amelyek Fermat eredeti proble´ma´ja´nak megolda´sa´hoz is elvezethetnek. Kideru ¨ l azonban, hogy az ´altala´nosı´ta´s folyamata ezen a ponton me´g nem ´allhat meg, sok-sok tova´bbi struktu ´ ra´t meg kell me´g vizsga´lni, amı´g a megolda´shoz segı´t˝ o minta´zatok el˝ oszo ¨r hı´rt

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nagy Fermat-te´tel – u ´jra

251

adnak magukro ´l. A go ¨rbe´k, u ´ gy t˝ unik, nem szolga´lnak elegend˝ o hasznos informa´cio ´val. A ko ¨vetkez˝ o le´pe´s az, hogy feltesszu ¨ k: egyenletu ¨ nkben az x e´s az y lehetse´ges e´rte´kei nem valo ´s, hanem komplex sza´mok. Az egyenlet ekkor terme´szetesen nem egy go ¨rbe´t, hanem egy – za´rt, ira´nyı´thato ´ – felu ¨ letet fog meghata´rozni (a 16. szı´nes ta´bla´n ke´t ilyet tanulma´nyozhatunk). Igaza´bo ´l nem vezet minden egyenlet kellemes, sima felu ¨ lethez, de kis extra munka´val ez a pont elsimı´thato ´. Az ´altala´nosı´ta´s ezen le´pe´se´nek do ¨nt˝ o mozzanata, hogy a felu ¨ letek olyan szemle´letes matematikai objektumok, amelyekben ma´r sok-sok olyan hasznos minta´zat azonosı´thato ´, amelyek vizsga´lata´ra gazdag matematikai ismeretanyag ´all rendelkeze´su ¨ nkre. A felu ¨ letek oszta´lyoza´sa pe´lda´ul az alaposan kidolgozott elme´letek ko ¨ze´ tartozik: valamennyi za´rt, ira´nyı´thato ´, sima felu ¨ let topologikusan ekvivalens egy go ¨mbbel, amelyhez ne´ha´ny fogantyu ´ kapcsolo ´dik, ez uto ´bbiak sza´ma´t a szo ´ban forgo ´ felu ¨ let nemsza´ma´nak mondjuk. Terme´szetes ´altala´nosı´ta´s, ha az egyenlet ´altal meghata´rozott felu ¨ let nemsza´ma´t egyu ´ ttal az egyenlet nemsza´ma´nak is nevezzu ¨ k. Az n-kitev˝ oj˝ u Fermat-egyenlet nemsza´ma a sza´mı´ta´sok szerint

(n − 1)(n − 2) . 2 Kideru ¨ lt, hogy a raciona´lis megolda´sok (azaz a raciona´lis go ¨rbe-pontok) le´teze´se´nek ke´rde´se szoros kapcsolatban van a go ¨rbe (vagyis a neki megfelel˝ o felu ¨let) nemsza´ma´val. Mine´l nagyobb ez a sza´m, anna´l bonyolultabb a felu ¨ let geometri´aja, s anna´l nehezebb a go ¨rbe´n raciona´lis pontokat tala´lni. A legegyszer˝ ubb esetben a nemsza´m 0: ilyenek pe´lda´ul az x2 + y2 = k Pitagorasz-tı´pusu ´ egyenletek, amelyekben k ege´sz sza´m. Ilyenkor ke´t eset lehetse´ges. Az egyik az, amikor egyetlen raciona´lis megolda´sa sincs, ez a helyzet pe´lda´ul az

x2 + y2 = −1 egyenlet esete´ben. Amennyiben azonban van az egyenlet ´altal meghata´rozott go ¨rbe´nek legala´bb egy raciona´lis pontja, akkor – mike´nt a ko ¨r esete´ben la´ttuk –, le´tezik egy ko ¨lcso ¨no ¨sen egye´rtelm˝ u megfeleltete´s a raciona´lis sza´mok e´s a go ¨rbe raciona´lis koordina´ta´ju ´ pontjai ko ¨zo ¨tt: minden t raciona´lis sza´mhoz hozza´ tudjuk rendelni a go ¨rbe egy raciona´lis pontja´t. Ez esetben teha´t ve´gtelen sok raciona´lis megolda´s le´tezik, amelyek e´ppen e t-megfeleltete´s alapja´n ´rhato ı ´k fel. Az 1 nemsza´mu ´ go ¨rbe´k esete´ben a dolog ma´r kora´ntsem ilyen egyszer˝ u. Az 1 nemsza´mu ´ egyenletek ´altal meghata´rozott go ¨rbe´ket elliptikus go ¨rbe´knek nevezzu ¨ k, ugyanis azokban a sza´mı´ta´sokban is felt˝ unnek, melyek sora´n valamely ellipszis egy adott ´ve ı ´nek hossza´t hata´rozzuk meg. A 6.23. ´abra´n ne´ha´ny elliptikus go ¨rbe´t tanulma´nyozhatunk. E go ¨rbe´knek sok olyan jellemz˝ oje van, ame-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

252

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

lyek a sza´melme´let szempontja´bo ´l ku ¨ lo ¨nleges jelent˝ ose´ggel bı´rnak. A nagy sza´mok prı´mte´nyez˝ os felbonta´sa´ra ´rt ı leghate´konyabb sza´mı´to ´ge´pes mo ´dszerek ne´melyike pe´lda´ul az elliptikus go ¨rbe´k elme´lete´n alapul. A 0 nemsza´mu ´ go ¨rbe´khez hasonlo ´an az elliptikus go ¨rbe´k ko ¨zo ¨tt is vannak olyanok, amelyeknek egyetlen raciona´lis pontjuk sincs. Amikor azonban le´tezik raciona´lis megolda´s, akkor egy megdo ¨bbent˝ o jelense´g is felle´p, amelyet Lewis Mordell angol matematikus fedezett fel a huszadik sza´zad eleje´n. Megmutatta, hogy annak ellene´re, hogy raciona´lis pontokbo ´l aka´r ve´ges, aka´r ve´gtelen sok is lehet, mindig megadhato ´ ve´ges sok olyan raciona´lis pont (amelyeket genera´toroknak nevezu ¨ nk), amelyekb˝ ol egyszer˝ u elja´ra´ssal az o ¨sszes raciona´lis pont el˝ o´allı´thato ´. A bizonyı´ta´s elemi algebrai o ¨sszefu ¨ gge´seken kı´vu ¨ l csupa´n olyan egyenesek felve´tele´n alapul, amelyek a szo ´ban forgo ´ go ¨rbe´t vagy e´rintik, vagy ha´rom pontja´ban metszik. Kideru ¨ lt teha´t, hogy me´g azokban az esetekben is, amikor a megolda´sok sza´ma ve´gtelen, tala´lhato ´ olyan minta´zat, amelynek re´ve´n ko ¨nnyede´n elboldogulhatunk velu ¨ k. Az 1 nemsza´mu ´ esetek vizsga´lata nem t˝ unik ku ¨ lo ¨no ¨sen fontosnak, amennyiben a Fermat-sejte´s bizonyı´ta´sa a ce´lunk: elve´gre ha n legala´bb ha´rom, akkor – mint az ko ¨nnyen kisza´molhato ´ – az egyenlet nemsza´ma mindig nagyobb, mint 1. Eredme´nyei alapja´n azonban 1922-ben Mordell olyan megfigyele´st tett, amely ma´r proble´ma´nk szempontja´bo ´l is ku ¨ lo ¨nleges jelent˝ ose´g˝ u: ra´mutatott, hogy olyan 1ne´l nagyobb nemsza´mu ´ egyenletet me´g senkinek sem sikeru ¨ lt tala´lnia, amelynek ve´gtelen sok raciona´lis megolda´sa van! Mordell szerint ez nem lehet a ve´letlen m˝ uve: u ´ gy ve´lekedett, hogy egyetlen 1-ne´l nagyobb nemsza´mu ´ egyenletnek sem lehet ve´gtelen sok raciona´lis megolda´sa. Mordell sejte´se´nek ko ¨vetkezme´nye, hogy tetsz˝ oleges n > 2 sza´m esete´n az

xn + yn = 1 egyenletnek legfo ¨ljebb ve´ges sza´mu ´ raciona´lis megolda´sa lehet. A Mordell-sejte´s bizonyı´ta´sa teha´t, ha nem is jelenti ro ¨gto ¨n a Fermat-te´tel bizonyı´ta´sa´t, jelent˝ os le´pe´s lenne az ´ahı´tott ce´l ira´nya´ban. A Mordell-sejte´st 1983-ban bizonyı´totta be Gerd Faltings, fiatal ne´met matematikus. Bizonyı´ta´sa´ban sza´mos me´ly gondolatot kellett o ¨tvo ¨znie egyma´ssal. Ezek ko ¨zu ¨ l az egyik 1947-ben, Andre´ Weil eredme´nyeiben jelent meg els˝ oke´nt, aki ve´ges aritmetika´kban vizsga´lta bizonyos egyenletek ege´sz megolda´sait. Azt a ke´rde´st tette fel, hogy tetsz˝ oleges adott p prı´msza´m esete´n egy egyenletnek ha´ny ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ege´sz megolda´sa lehet modulo p. A proble´ma nyilva´nvalo ´an o ¨sszefu ¨ gg a nagy Fermat-te´tellel, elve´gre ha modulo p nem le´tezik megolda´s, akkor az ege´sz sza´mok ko ¨re´ben sem. Bizonyos topolo ´giai eredme´nyek minta´ja´ra a proble´ma´ra vonatkozo ´an Weil to ¨bb, technikai jelleg˝ u sejte´st is megfogalmazott. A sejte´sek egy re´sze algebrai sokasa´gokra vonatkozott, amelyekre u ´ gy gondolhatunk, mint egy adott egyenletrendszer megolda´sainak halmaza´ra. Weil sejte´seit Pierre Deligne bizonyı´totta be 1975-ben.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nagy Fermat-te´tel – u ´jra

253

Mordell sejte´se´nek bizonyı´ta´sa´ban do ¨nt˝ o szerepet ja´tszott egy olyan megfigyele´s is, amely a ko ¨zo ¨nse´ges egyenletek, amelyek egyu ¨ tthato ´i mind sza´mok, e´s az olyan egyenletek ko ¨zo ¨tti analo ´gia´n alapult, amelyeknek egyu ¨ tthato ´i nem sza´mok, hanem raciona´lis fu ¨ ggve´nyek. Ez uto ´bbiak ´altala´nos forma´ja p(x)/q(x), ahol p(x) e´s q(x) egyara´nt polinomok. E kapcsolat igen szoros, sza´mos sza´melme´leti fogalomnak e´s eredme´nynek, ko ¨ztu ¨ k a Mordell-sejte´snek is le´tezik megfelel˝ oje a fu ¨ggve´nytestek elme´lete´ben. A Mordell-sejte´s igazsa´ga´ba vetett hit u ´ jabb meger˝ osı´te´st nyert, amikor 1963-ban Jurij Manyin szovjet matematikus bebizonyı´totta a Mordell-sejte´s ezen megfelel˝ oje´t. Faltings bizonyı´ta´sa´nak harmadik sza´la a Safarevics-sejte´sen alapul. Nem sokkal Manyin bizonyı´ta´sa´nak megjelene´se uta´n honfita´rsa, Igor Safarevics arra vonatkozo ´an fogalmazott meg egy sejte´st, hogy mike´nt fu ¨ ggenek egy adott egyenlet ege´sz megolda´sai ugyanazon egyenletnek bizonyos (mod p) ve´ges aritmetika´kban valo ´ megolda´sa´to ´l, ahol a p-k mind prı´msza´mok. 1968-ban A. N. Parshin megmutatta, mike´nt bizonyı´thato ´ Safarevics sejte´se´b˝ ol Mordelle´. 1966-ban az amerikai John Tate algebrai sokasa´gokra vonatkozo ´an fogalmazta meg sejte´se´t, amely azta´n Faltings bizonyı´ta´sa´ban szinte´n hasznosnak bizonyult. A sejte´sek egyre nagyobb sza´ma a proble´ma egyre me´lyebb mege´rte´se´t jelezte; elve´gre a matematikusok csak olyankor ´allnak el˝ o sejte´seikkel, amikor er˝ osen meg vannak gy˝ oz˝ odve azok igazsa´ga´ro ´l. Esetu ¨ nkben a sok ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o sejte´s mind ugyanabba az ira´nyba mutatott. Tate sejte´se´t els˝ oke´nt maga Faltings bizonyı´totta be, a Mordell-sejte´s bizonyı´ta´sa´nak egy le´pe´se´ben. Erre, valamint Deligne-nek a Weil-sejte´sre vonatkozo ´ eredme´nyeire ta´maszkodva Safarevics sejte´se´t is sikeru ¨ lt igazolnia. Parshin 1968-as eredme´nye alapja´n ezzel egyu ´ ttal Mordell sejte´se is beigazolo ´dott. Az eredme´ny u ´ jabb nagyszaba´su ´ pe´lda´ja annak, hogy az absztrakcio ´ egyre magasabb foka, az egyre me´lyebb minta´zatok vizsga´lata mike´nt lehet segı´tse´gu ¨ nkre nagyon is konkre´t, esetu ¨ nkben bizonyos egyenletek ege´sz megolda´saira vonatkozo ´ te´telek bizonyı´ta´sa´ban. Ha´rom e´v sem telt el, s a Fermat-sejte´s bizonyı´ta´sa´hoz vezet˝ ou ´ ton u ´ jabb jelent˝ os ´alloma´st sikeru ¨ lt ele´rni. Mike´nt a Mordell-sejte´s esete´ben, az eredme´nyt ezu ´ ttal is sejte´sek ege´sz sora el˝ ozte meg, s az elliptikus go ¨rbe´k elme´lete megint csak el˝ ote´rbe keru ¨ lt. 1955-ben Yutaka Taniyama japa´n matematikus e´rdekes sejte´st fogalmazott meg az elliptikus go ¨rbe´k s egy ma´sik, sokat vizsga´lt (de nem egyko ¨nnyen definia´lhato ´) go ¨rbecsoport, a modula´ris go ¨rbe´k ko ¨zo ¨tt. Taniyama szerint tetsz˝ oleges elliptikus go ¨rbe valamike´ppen kapcsolatba hozhato ´ egy modula´ris go ¨rbe´vel, s e kapcsolat a szo ´ban forgo ´ elliptikus go ¨rbe sza´mos vona´sa´t meghata´rozza. Taniyama sejte´se´nek pontos megfogalmaza´sa´ra 1968-ig kellett va´rni, amikor Andre´ Weil bebizonyı´totta, hogy mike´nt lehet meghata´rozni egy adott elliptikus go ¨rbe´hez a neki megfelel˝ o modula´ris go ¨rbe´t. 1971-ben Goro Shimura megmutatta, hogy Weil elja´ra´sa egyenletek egy specia´lis oszta´lya´ra te´nylegesen m˝ uko ¨-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

254

Mi to ¨rte´nik, ha a matematika pozı´cio ´ba keru ¨l?

dik. Taniyama sejte´se´t ett˝ ol fogva Shimura – Taniyama- (esetenke´nt Shimura – Taniyama – Weil-) sejte´ske´nt kezdte´k emlegetni. Soka´ig nem la´tszott, hogy ezen eredme´nyek ba´rmife´le kapcsolatba hozhato ´k lenne´nek Fermat-sejte´se´vel, s a legto ¨bb matematikus ke´telkedett is effe´le o ¨sszefu ¨ gge´s le´teze´se´ben. 1986-ban azonban Gerhard Frey saarbru ¨ ckeni matematikus, mindenki legnagyobb meglepete´se´re bebizonyı´totta, hogy ilyen kapcsolat, me´ghozza´ teljesen u ´ jszer˝ u, igenis le´tezik. Frey felismerte, hogy amennyiben vannak olyan a, b, c e´s n ege´sz sza´mok, amelyek kiele´gı´tik az an +bn = cn egyenletet, akkor csak igen keve´sse´ valo ´szı´n˝ u, hogy az

y2 = x(x − an )(x + bn ) egyenlet˝ u elliptikus go ¨rbe´re alkalmazhato ´ Taniyama mo ´dszere. Frey megfigyele´se´t Jean-Pierre Serre fogalmazta ´at, aminek alapja´n Kenneth Ribet amerikai matematikusnak sikeru ¨ lt bela´tnia, hogy egy, a Fermat-sejte´st ca´folo ´ ellenpe´lda´bo ´l olyan elliptikus go ¨rbe le´teze´se ko ¨vetkezne, amely nem lehet modula´ris, s ez ellentmondana a Shimura – Taniyama-sejte´snek. Uto ´bbi bizonyı´ta´sa teha´t egyszersmind Fermat sejte´se´t is igazolna´. S ez hatalmas el˝ orele´pe´st jelentett. Sikeru ¨ lt azonosı´tani egy meghata´rozott struktu ´ ra´t, amelyr˝ ol ma´r ele´g sokat tudtak: a Shimura – Taniyama-sejte´s olyan geometriai objektumokra vonatkozik, melyekr˝ ol akkorra a matematikusok ma´r igen sokat tudtak – eleget ahhoz, hogy a sejte´s igazsa´ga´ban meglehet˝ osen biztosak legyenek. S akadt, aki ma´r a munka tova´bbi ira´nya´t is la´tta: Andrew Wiles angol matematikus. Fermat sejte´se Wiles-t ma´r gyermekkora´ban megige´zte, s – ko ¨ze´piskola´s mo ´dszerekkel – meg is pro ´ba´lkozott a bizonyı´ta´ssal. Ke´s˝ obb, mikor cambridge-i egyetemi e´vei alatt megismerkedett Ernst Kummer eredme´nyeivel, u ´ jra nekiveselkedett, imma´r a ne´met matematikus ´arnyaltabb mo ´dszereit is csatasorba ´allı´tva. Mikor azonban szembesu ¨ lt azzal, hogy ha´ny kolle´ga´ja vallott kudarcot, felhagyott a pro ´ba´lkoza´ssal, s a modern sza´melme´let proble´ma´ira o ¨sszpontosı´totta figyelme´t, ezen belu ¨ l is az elliptikus go ¨rbe´k elme´lete´re. Va´laszta´sa el˝ ore nem la´tott ko ¨vetkezme´nyekkel ja´rt. A teru ¨ letr˝ ol, amelynek egyik legnagyobb tekinte´lye´ve´ va´lt, Ribet va´ratlan e´s megdo ¨bbent˝ o felfedeze´se nyoma´n kideru ¨ lt, e´ppen az, amelynek mo ´dszerei a nagy Fermat-te´tel bizonyı´ta´sa´val kecsegtetnek. A ko ¨vetkez˝ o he´t e´vben Wiles minden energia´ja´t a Shimura – Taniyama-sejte´s bizonyı´ta´sa´nak szentelte. 1991-re, a Barry Mazur, Matthias Flach, Victor Kolyvagin e´s ma´sok ´altal kidolgozott hate´kony mo ´dszereket is bevetve, u ´ gy e´rezte, jo ´u ´ ton ja´r. Ke´t e´v eltelte´vel ma´r biztos volt abban, hogy keze´ben a megolda´s, s 1993 ju ´ niusa´ban az angliai Cambridge-ben megtartott matematikus-tala´lkozo ´n ezt nyilva´nosan is bejelentette. Azt ´allı´totta, sikeru ¨ lt bebizonyı´tania a Shimura – Taniyamasejte´st, s ´gy ı Fermat utolso ´ te´tele´t is. (Valo ´ja´ban csupa´n annyit ´allı´tott, hogy be

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A nagy Fermat-te´tel – u ´jra

255

tudja bizonyı´tani a sejte´s egy specia´lis esete´t, amely nem az o ¨sszes, csupa´n bizonyos tulajdonsa´gu ´ elliptikus go ¨rbe´kre vonatkozik. E specia´lis esetek mindazona´ltal felo ¨lelte´k a Fermat-sejte´s szempontja´bo ´l e´rdekes go ¨rbe´ket, ´gy ı bizonyı´ta´sa elegend˝ o lett volna a vila´graszo ´lo ´ eredme´nyhez.) Te´vedett. Ugyanazon e´v decembere´re ra´ kellett do ¨bbennie, hogy bizonyı´ta´sa´nak egyik kulcsle´pe´se´be hiba csu ´ szott. Ba´r mindenki elismerte, hogy eredme´nyei a huszadik sza´zad legnagyobb sza´melme´leti teljesı´tme´nyei ko ¨ze´ tartoznak, me´gis u ´ gy t˝ unt: sorsa az, hogy bea´lljon azoknak a nagynev˝ u matematikusoknak – tala´n e´ppen Fermat-val kezd˝ od˝ o – a sora´ba, akik nem tudtak megfelelni a nevezetes lapsze´li megjegyze´s kihı´va´sa´nak. Ne´ha´ny ho ´nap csend ko ¨vetkezett. Wiles visszavonult princeton-i otthona´ba, s megpro ´ba´lta kiku ¨ szo ¨bo ¨lni a csorba´t. 1994 okto ´bere´ben bejelentette, hogy egykori tanı´tva´nya, a cambridge-i egyetemen dolgozo ´ Richard Taylor segı´tse´ge´vel sikeru ¨ lt teljesse´ tenni az e´rvele´st. A bizonyı´ta´s, amelynek helyesse´ge´t imma´r senki nem vonta ke´tse´gbe, ke´t cikkben jelent meg: Wiles Modula´ris elliptikus go ¨rbe´k ´es a nagy Fermat-te´tel cı´m˝ u, a bizonyı´ta´s csaknem teljes ege´sze´t tartalmazo ´, s a Taylorral ko ¨zo ¨sen ´rt ı Hecke-algebra´k gy˝ ur˝ uelme´leti tulajdonsa´gai cı´m˝ u tanulma´nyban, mely uto ´bbi Wiles bizonyı´ta´sa´nak egyik kulcsle´pe´se´t alapozza meg. A ke´t ´ra ı ´s a nagy tekinte´ly˝ u Annals of Mathematics cı´m˝ u folyo ´irat 1995 ma´jusi sza´ma´ban jelent meg. A Fermat-sejte´s ve´gre Fermat te´tele´ve´ lett. A te´tel bizonyı´ta´sa´nak to ¨rte´nete ragyogo ´an illusztra´lja az emberise´gnek a tuda´s e´s a mege´rte´s ira´nya´ban tett szakadatlan er˝ ofeszı´te´seit. A matematika az egyetlen tudoma´ny, ahol egy tizenhetedik sza´zadban felvetett – s az o ´kori go ¨ro ¨go ¨k vizsga´lo ´da´saiban gyo ¨kerez˝ o – proble´ma napjainkban is e´ppolyan jelent˝ os, mint egykor volt. A matematika´t az is egyedu ¨ la´llo ´va´ teszi, hogy a re´gebbi elme´letek nem va´lnak e´rve´nytelenne´, u ´ jabb eredme´nyek alapjaiva´ va´lnak. A Pitagorasz-te´telt˝ ol e´s Diophantosz Aritmetika´ja´to ´l hosszu ´u ´ t vezetett Fermat lapsze´li megjegyze´se´ig, s napjaink nagyszaba´su ´ elme´lete´hez, amelynek eredme´nyei Wiles bizonyı´ta´sa´ban csu ´ csosodtak ki. A ve´gs˝ o eredme´nyben sok-sok matematikus munka´ja o ¨tvo ¨z˝ odo ¨tt. A vila´g legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb re´szein e´ltek (e´s e´lnek), ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o nyelveken besze´ltek (e´s besze´lnek), to ¨bbse´gu ¨ k sohasem tala´lkozott a to ¨bbiekkel. A matematika ˝ket. Az e´vek sora´n u szeretete egyesı´tette o ´ jra e´s u ´ jra kisegı´tette´k egyma´st, az u ´ jabb e´s u ´ jabb genera´cio ´k egyma´snak adta´k ´at tuda´sukat. A te´r, az id˝ o e´s a kultu ´ ra nem ˝ket: mindannyian ugyanazon proble´ma´val ku volt ke´pes elva´lasztani o ¨ szko ¨dtek – s ezzel tala´n az emberise´g ege´sze´nek mutattak pe´lda´t.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

7. fejezet

Ese ´lylatolgata ´s

´ vr˝ E ol e´vre mintegy harmincmillio ´ ember zara´ndokol egy kisva´rosba, a Nevadasivatag ko ¨zepe´be. Utaza´suk ce´lja, ami Las Vegast kiemelte az ´almos, poros falucska´k ko ¨zu ¨ l: a szerencseja´te´k. Napjaink Amerika´ja´ban a szerencseja´te´k 40 millia´rd dolla´ros u ¨ zlet, s nagyobb u ¨ temben fejl˝ odik, mint ba´rmely ma´s ipara´g. A ve´letlen minta´zatait mege´rtve, a kaszino ´tulajdonosok biztosak abban, hogy valamennyi feltett dolla´r uta´n ha´rom centet zsebelhetnek be. Az eredme´ny: 16 millia´rd dolla´r haszon e´vente. A kaszino ´k csillogo ´-villogo ´ – ba´r ne´ha kisse´ ma´snapos hangulatu ´ – vila´ga´t szemu ¨ gyre ve´ve, nehe´z elhinni, hogy az ege´sz ipara´gat ke´t tizenhetedik sza´zadi francia matematikus leve´lva´lta´sa alapozta meg. Ugyanerre a tizenhetedik sza´zadi alapzatra e´pu ¨ l a szerencseja´te´k-ipar valamivel elismertebb unokao ¨ccse: a biztosı´ta´s. (A biztosı´ta´s igaza´bo ´l nem o ¨rvendett mindig nagy megbecsu ¨ le´snek. A tizennyolcadik sza´zadig az e´letbiztosı´ta´s Anglia´n kı´vu ¨l Euro ´pa valamennyi orsza´ga´ban illega´lis u ¨ zleta´gnak sza´mı´tott.) A francia matematikusok leveleiben megszu ¨ letett teru ¨ let a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s, a ve´letlen minta´zatainak tudoma´nya. Kie ´ lesz az Olu ¨ mposz? A vak ve´letlen a kezdetekt˝ ol fogva nyugtalanı´tja az emberise´get. A go ¨ro ¨g mi˝sid˝ tolo ´gia szerint az o okben ha´rom testve´r, Zeusz, Poszeido ´n e´s Ha´de´sz kocka´t vetettek, ´gy ı do ¨nto ¨ttek a vila´g sorsa´ro ´l. A fa´ma szerint Zeusz nyerte az els˝ o dı´jat, az istenek olu ¨ mposzi lakhelye´t, Poszeido ´ne´ lett a tenger, Ha´de´sznak pedig be kellett e´rnie az alvila´ggal. A korabeli kocka´kat ´altala´ban juh vagy szarvas la´bsza´rcsontja´bo ´l faragta´k, s asztralaginak nevezte´k. Kockaja´te´kot ´abra´zolo ´ festme´nyek az egyiptomi sı´rok

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

258

Ese´lylatolgata´s

fala´n e´s a go ¨ro ¨g va´za´kon egyara´nt megjelennek; az o ´kori vila´g legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb szegleteib˝ ol sza´rmazo ´ csiszolt csontkocka´k to ¨bb ´asata´son is el˝ okeru ¨ ltek. Ba´rmilyen ne´pszer˝ uek voltak is a szerencseja´te´kok, a tizenhetedik sza´zadig senkinek sem jutott esze´be, hogy kidolgozza matematikai elme´letu ¨ ket. Tala´n meglep˝ o, de ilyesmivel me´g a go ¨ro ¨go ¨k sem foglalkoztak. Tudva, hogy milyen nagyra becsu ¨ lte´k a matematikai ismereteket, feltehet˝ o, hogy u ´ gy ve´lte´k: a ve´letlen eseme´nyekben semmife´le rend nem mutatkozik. Szemu ¨ kben a ve´letlen a rend to ¨ke´letes hia´nya´t jelentette. Arisztotele´sz szerint „e´ppoly ostobasa´g lenne egy matematikusto ´l valo ´szı´n˝ use´gi e´rvele´st ko ¨vetelni, mint egy szo ´nokto ´l valo ´di bizonyı´ta´st.” Bizonyos e´rtelemben persze a go ¨ro ¨go ¨knek igazuk volt: a tiszta´n ve´letlenszer˝ u ˝ket, semmife´le rendszer nem taeseme´nyekben, amennyiben izola´ltan tekintju ¨k o pasztalhato ´. Ahhoz hogy rendre, teha´t matematikai minta´zatra tala´ljunk, azt kell megvizsga´lni, mi to ¨rte´nik, ha ugyanolyan tı´pusu ´ ve´letlen eseme´nyek elegend˝ oen sokszor megisme´tl˝ odnek. A valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s a ve´letlen eseme´nyek isme´tl˝ ode´seinek tanulma´nyoza´sa´bo ´l ered. Az ese ´lyek latolgata ´ sa A ve´letlen eseme´nyek vizsga´lata´ban megtett els˝ o le´pe´s Girolamo Cardano, ita´liai orvos e´s megro ¨gzo ¨tt szerencseja´te´kos e´rdeme, aki leı´rta, mike´nt lehet a kockadoba´s lehetse´ges kimeneteleihez sza´me´rte´keket rendelni. Megfigyele´seit Ko ¨nyv a szerencseja´te´kokro ´l cı´mmel foglalta o ¨ssze. Tegyu ¨ k fel teha´t, mondja Cardano, hogy kocka´nk el van vetve. Ha nem cinkelt, a sza´mok 1-t˝ ol 6-ig ugyanakkora ese´llyel keru ¨ lnek felu ¨ lre. Annak ese´lye teha´t, hogy a hat sza´m ko ¨zu ¨ l ba´rmelyiket dobjuk, 1 a 6-hoz, vagyis 16 . E sza´mra manapsa´g valo ´szı´n˝ use´gke´nt hivatkozunk, s azt mondjuk, annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy pe´lda´ul 5-o ¨st dobjunk, 16 . Cardano a ko ¨vetkez˝ oke´ppen folytatta e´rvele´se´t. Annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy ol sza´munkra egyest vagy kettest dobunk, 26 , azaz 13 , elve´gre a hat lehetse´ges esetb˝ kett˝ o kedvez˝ o. S ba´r Cardano itt me´g nem ´allt meg, valo ´di tudoma´nyos ´atto ¨re´st me´gsem sikeru ¨ lt ele´rnie. Kisza´mı´totta pe´lda´ul, mekkora a valo ´szı´n˝ use´ge bizonyos kimeneteleknek akkor, ha egy kocka´t egyma´s uta´n to ¨bbszo ¨r is feldobunk, vagy ha to ¨bb kocka´val dobunk egyszerre. Mi a valo ´szı´n˝ use´ge pe´lda´ul annak, hogy ke´tszer egyma´s uta´n hatost dobunk? 1 -nak kell lenCardano u ´ gy okoskodott, hogy e sza´mnak 16 -szor 16 -nak, vagyis 36 nie. A ke´t valo ´szı´n˝ use´get aze´rt kell o ¨sszeszoroznunk, mert az els˝ o doba´s mind a hat lehetse´ges kimenetele´hez a ma´sodik doba´sbo ´l sza´rmazo ´, szinte´n hat eset ta´rsul, az o ¨sszes lehetse´ges eset sza´ma teha´t 36. Hasonlo ´an, annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy ke´tszer egyma´s uta´n vagy 1-est vagy 2-est sikeru ¨ l dobnunk, 13 -szor 13 , azaz 19 . Mi a valo ´szı´n˝ use´ge annak, hogy ke´t kocka´val gurı´tva, a sza´mok o ¨sszege egy adott e´rte´k, mondjuk 5 lesz? Cardano ekke´ppen ko ¨zelı´tette meg a proble´ma´t.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az ese´lyek latolgata´sa

259

Mindke´t kocka´val hat ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o sza´mot dobhatunk, az o ¨sszes lehet˝ ose´g sza´ma o kocka´val valo ´ doba´s mind a hat lehetse´ges teha´t harminchat (6 · 6), elve´gre az els˝ kimenetele´hez hozza´ja´rulhat a ma´sik kocka´val valo ´ doba´s ugyanennyi lehetse´ges kimenetele´nek ba´rmelyike. Ha´ny esetben lesz ezek ko ¨zu ¨ l a ke´t dobott sza´m o ¨sszege e´ppen 5? Ko ¨nnyede´n felsorolhatjuk valamennyit: 1 e´s 4, 2 e´s 3, 3 e´s ¨ sszesen teha´t ne´gy eset felel meg a felte´telu 2, 4 e´s 1. O ¨ nknek. A harminchat lehetse´ges esetb˝ ol teha´t ne´gy alkalommal lesz a szo ´ban forgo ´o ¨sszeg 5. A keresett 4 valo ´szı´n˝ use´g teha´t 36 , azaz 19 . Cardano elemze´se elegend˝ o alapot biztosı´tott a fogado ´knak ahhoz, hogy bo ¨lcsen tegye´k meg te´tjeiket – tala´n ahhoz is, hogy bo ¨lcsen a ja´te´kkal valo ´ felhagya´s mellett do ¨ntsenek. A gondolatmenetet azonban nem folytatta, pedig ma´r csak kicsinyke le´pe´s hia´nyzott ahhoz, hogy szeme´lye´ben a modern valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s megalapı´to ´ja´t tisztelhessu ¨ k. Le´nyege´ben ugyanezen a ponton ´allt meg Galilei, a nagy ita´liai fizikus is, akit patro ´nusa, a toscanai nagyherceg ke´rt fel ez ira´nyu ´ vizsga´lo ´da´sra, hogy a ja´te´kasztalok mellett me´g nagyobb sikereket e´rhessen el. A do ¨nt˝ o le´pe´st az a ke´t francia matematikus tette meg, akikr˝ ol ma´r a fejezet eleje´n, igaz, nevu ¨ k emlı´te´se ne´lku ¨ l szo ´t ejtettu ¨ nk: Blaise Pascal e´s Pierre de Fermat. 1654-es leve´lva´lta´sukat manapsa´g a modern valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s megalapoza´sake´nt tartjuk sza´mon. Elemze´su ¨ k ugyan egy specia´lis, szerencseja´te´kokra vonatkozo ´ proble´ma fogalmi keretei ko ¨zo ¨tt maradt – de az ´altala´nos elme´let, amelyet kidolgoztak, sokkal sze´lesebb ko ¨rben, a legku ¨ lo ¨nfe´le´bb jelense´gek kimeneteleinek el˝ orejelze´se´re is alkalmasnak bizonyult. A proble´ma, amelyet Pascal e´s Fermat alaposan kivese´zett, a ko ¨vetkez˝ o: mike´nt osztozzon ke´t ja´te´kos a nyereme´nyen, ha a ja´te´kot hirtelen fe´lbe kell hagyniuk? Tegyu ¨ k fel pe´lda´ul, hogy o ¨t fordulo ´s ja´te´kot ja´tszanak (az nyer, aki ha´rom fordulo ´ban tud gy˝ ozni), s a ja´te´k akkor szakad fe´lbe, amikor egyiku ¨ k 2 : 1 ara´nyban vezet. Mike´nt osztozzanak a nyereme´nyen? Amennyiben a ja´te´k do ¨ntetlenre ´allna, ilyen proble´ma fel sem meru ¨ lne: a nyereme´nyt ilyenkor egyszer˝ uen megfelezhetik. A szo ´ban forgo ´ esetben azonban nem ez a helyzet. Ahhoz, hogy a nyereme´ny eloszta´sa´t igazsa´gosnak mondhassuk, tu ¨ kro ¨znie kell, mekkora el˝ onyre tett szert az egyik ja´te´kos a ma´sikkal szemben. Valamike´ppen meg kell ´allapı´taniuk, mi lett volna a legvalo ´szı´n˝ ubb ve´gkifejlet, ha a ja´te´kot nem kellett volna abbahagyni. Ma´s szo ´val, a jo ¨v˝ or˝ ol, esetu ¨ nkben egy hipotetikus, soha meg nem valo ´sult jo ¨v˝ or˝ ol kell mondani valamit. A fe´lbehagyott ja´te´k proble´ma´ja´t legjobb tudoma´sunk szerint a tizeno ¨to ¨dik sza´zadban vetette fel Luca Pacioli, az a szerzetes, akit˝ ol Leonardo de Vinci matematika´t tanult. Pascal figyelme´t a ke´rde´sre egy francia nemesu ´ r, de Me´re´ lovag hı´vta fel, aki egyforma´n kedvelte a szerencseja´te´kokat e´s a matematika´t. Pascal nem tudott megbirko ´zni a feladattal, s Fermat segı´tse´ge´t ke´rte, akit akkor ma´r a kor legnagyobb elme´i ko ¨zo ¨tt tartottak sza´mon. Pacioli proble´ma´ja´nak megolda´sa´hoz Pascal e´s Fermat el˝ oszo ¨r sorra vette´k a ja´te´k valamennyi lehetse´ges ve´gkifejlete´t, s minden esetben mega´llapı´totta´k, ki

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

260

Ese´lylatolgata´s

lett volna a gy˝ oztes. Az egyszer˝ use´g kedve´e´rt tegyu ¨ k fel, hogy Pascal e´s Fermat a ke´t ja´te´kos, s ha´rom fordulo ´ uta´n Fermat vezet 2 : 1 ara´nyban. A ja´te´knak ne´gy lehetse´ges ve´gkifejlete le´tezik: Mind a negyedik, mind az o ¨to ¨dik fordulo ´t Pascal nyeri, Pascal nyeri a negyediket ´es Fermat az o ¨to ¨diket, Fermat nyeri a negyediket e´s az o ¨to ¨diket is, vagy Fermat nyeri a negyediket, s Pascal az o ¨to ¨diket. Terme´szetesen abban a ke´t esetben, amikor a negyedik ko ¨rben Fermat nyer, a ja´te´k befejez˝ odik, az o ¨to ¨dik menet ugyanis ma´r nem va´ltoztathat azon, hogy a ja´te´kot Fermat nyeri. A matematikai elemze´s sora´n azonban tekintetbe kell venni az o ¨t menetb˝ ol ´allo ´ ja´te´k valamennyi lehetse´ges kimenetele´t. (A megolda´sban, amelyhez ve´gu ¨ l Fermat e´s Pascal eljutott, pontosan ez a megfigyele´s a do ¨nt˝ o.) A ne´gy lehetse´ges ve´gkifejlet ko ¨zu ¨ l ha´romban Fermat nyer, egyben pedig Pascal. (Fermat csak abban az esetben veszı´t, ha mind a negyedik, mind az o ¨to ¨dik ko ¨rben Pascal nyer.) Annak valo ´szı´n˝ use´ge teha´t, hogy a ja´te´kot – ma´r amennyiben folytatta´k volna – Fermat nyerne´, 34 . A nyereme´nyt teha´t u ´ gy kell elosztaniuk, hogy Fermat zsebelje be a 34 , Pascal pedig az 14 re´sze´t. Pascal e´s Fermat megolda´sa´nak kulcsmozzanata teha´t az, hogy sza´mba vette´k a ja´te´k valamennyi lehetse´ges kimenetele´t, s rendre mega´llapı´totta´k, melyik esetben ki a gy˝ oztes. Mint azt le is szo ¨gezte´k, ez a megko ¨zelı´te´smo ´d ma´s ja´te´kokra, s ma´sfe´le ve´letlen eseme´nysorozatokra is alkalmazhato ´. Pacioli proble´ma´ja´ra adott megolda´suk, valamint Cardano eredme´nyei jelentik a valo ´szı´n˝ use´g modern elme´lete´nek kezdeteit. A ve ´letlen geometriai minta ´ zatai Pascal e´s Fermat, akik az e´letben soha nem tala´lkoztak egyma´ssal, s akiknek leve´lva´lta´sa megvetette a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s alapjait, a proble´ma´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o szempontok alapja´n ko ¨zelı´tette´k meg. Fermat az algebrai technika´t re´szesı´tette el˝ onyben, amelyet sza´melme´leti eredme´nyeiben is olyan elso ¨pr˝ o sikerrel alkalmazott. Vele szemben Pascal a ve´letlen geometriai minta´zatait pro ´ba´lta felta´rni. A ve´letlen eseme´nyekben ilyen minta´zatok te´nylegesen fellelhet˝ ok, me´ghozza´ nem is aka´rmilyenek, egy nevezetes pe´lda, a Pascal-ha´romszo ¨g a 7.1. ´abra´n tanulma´nyozhato ´. A sza´moknak az ´abra´n megfigyelhet˝ o szimmetrikus elrendez˝ ode´se az ala´bbi elja´ra´s szerint kaphato ´ meg. – Kezdju ¨ k egy 1-essel, ´rjuk ı ezt legfo ¨lu ¨ lre. – A ko ¨vetkez˝ o sorba ´rjunk ı ke´t 1-est. – A harmadik sor eleje´re e´s ve´ge´re ugyancsak ´rjunk ı 1-est, ko ¨ze´pre pedig annak a ke´t sza´mnak az o ¨sszege´t, amelyek az el˝ oz˝ o sorban – jobbra e´s balra – fo ¨lo ¨tte helyezkednek el, e sza´m nyilva´n 1 + 1 = 2. – A negyedik sor eleje´re e´s ve´ge´re szinte´n ´rjunk ı 1-est, s minden egyes helyre, amely ke´t el˝ oz˝ o sorbeli sza´m ko ¨ze´ esik, ´rjuk ı az illet˝ o ke´t sza´m o ¨sszege´t: a ma´sodik helyre ´gy ı 1 + 2 = 3, a harmadikra pedig 2 + 1 = 3 keru ¨ l.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A ve´letlen geometriai minta´zatai

261

7.1. a ´ bra. A Pascal-ha´romszo ¨g. – Az o ¨to ¨dik sor eleje´re e´s ve´ge´re szinte´n ´rjunk ı 1-est, s minden egyes helyre, amely ke´t el˝ oz˝ o sorbeli sza´m ko ¨ze´ esik, ´rjuk ı az illet˝ o ke´t sza´m o ¨sszege´t: a ma´sodik helyre ´gy ı 1 + 3 = 4, a harmadikra 3 + 3 = 6, a negyedikre pedig 3 + 1 = 4 keru ¨ l. Ha elja´ra´sunkat a fentiek szerint folytatjuk tova´bb, a hı´res Pascal-ha´romszo ¨g jelenik meg el˝ ottu ¨ nk. Minden egyes sorban olyan sza´mok szerepelnek, amelyek gyakorta felt˝ unnek a valo ´szı´n˝ use´gi sza´mı´ta´sokban: a ha´romszo ¨g teha´t a ve´letlen vila´ga´nak egy geometriai minta´zata´t ta´rja ele´nk. Ne´zzu ¨ nk egy pe´lda´t. Tegyu ¨ k fel az egyszer˝ use´g kedve´e´rt, hogy amennyiben egy ha´zaspa´rnak gyermeke szu ¨ letik, ugyanakkora az ese´lye annak, hogy a gyermek fiu ´ lesz, mint annak, hogy kisla´ny. (Ege´szen pontosan ugyan nem ez a helyzet, de nem ja´runk messze az igazsa´gto ´l.) Mi a valo ´szı´n˝ use´ge annak, hogy egy ke´tgyermekes csala´dban mindke´t gyermek fiu ´ ? S annak, hogy egyiku ¨ k fiu ´ , a ma´sik la´ny? Esetleg mindkett˝ o la´ny? A keresett valo ´szı´n˝ use´gek rendre 14 , 12 e´s 14 . A magyara´zat a ko ¨vetkez˝ o. Mindke´t gyermek e´ppu ´ gy lehet fiu ´ , mint la´ny, ´gy ı (szu ¨lete´su ¨ k sorrendje´ben) a ko ¨vetkez˝ o esetek lehetse´gesek: fiu ´ -fiu ´ , fiu ´ -la´ny, la´ny-fiu ´, la´ny-la´ny. Mind a ne´gy lehet˝ ose´g valo ´szı´n˝ use´ge ugyanakkora, annak ese´lye teha´t, hogy ke´t fiu ´ gyermek lesz, egy a ne´gyhez, annak, hogy a ke´t gyermek ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o nem˝ u, kett˝ o a ne´gyhez, ve´gu ¨ l ke´t lea´nygyermek szu ¨ lete´se´nek ese´lye u ´ jra csak egy a ne´gyhez. S mi ko ¨ze mindennek a Pascal-ha´romszo ¨gho ¨z? A ha´romszo ¨g harmadik sora: 1, 2, 1. A ha´rom sza´m o ¨sszege 4. A sor minden tagja´t az o ¨sszegu ¨ kkel elosztva kapjuk az 14 , 24 (= 12 ), 14 sza´mokat, amelyek e´ppen a pe´lda´nkban szerepl˝ o valo ´szı´n˝ use´gek. S ha a pa´r ha´rom gyermeket szeretne? Mi a valo ´szı´n˝ use´ge, hogy mind a ha´rom gyermek fiu ´ lesz? Ke´t fiu ´ e´s egy la´ny? Egy la´ny e´s ke´t fiu ´ ? Ha´rom la´ny? A va´laszt ezu ´ ttal a Pascal-ha´romszo ¨g negyedik sora adja meg, amelyben a ko ¨vetkez˝ o 1 3 3 sza´mok ´allnak: 1, 3, 3, 1. Az o ¨sszeg 8; a keresett valo ´szı´n˝ use´gek ´gy: ı , , e ´ s 8 8 8 1 . 8 Hasonlo ´an, ne´gy gyermek esete´n a lehetse´ges kombina´cio ´k valo ´szı´n˝ use´ge rend1 4 6 4 1 1 1 3 1 1 re 16 , 16 , 16 , 16 e´s 16 , a to ¨rteket egyszer˝ usı´tve: 16 , 4 , 8 , 4 e´s 16 .

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

262

Ese´lylatolgata´s

´ ltala´ban, ha valamely eseme´ny ke´t lehetse´ges kimenetele´nek valo A ´szı´n˝ use´ge megegyezik, akkor az eseme´ny to ¨bbszo ¨ri megisme´tl˝ ode´sekor a lehetse´ges kombina´cio ´k valo ´szı´n˝ use´geit mind kiolvashatjuk a Pascal-ha´romszo ¨gb˝ ol. Ha a szo ´ban forgo ´ eseme´ny N-szer isme´tl˝ odik meg, a ha´romszo ¨g N + 1-edik sora fogja megadni a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o lehetse´ges kombina´cio ´k sza´ma´t. Ha pedig e sza´mokat elosztjuk a sor o ¨sszege´vel, e kombina´cio ´k valo ´szı´n˝ use´geit kapjuk. A Pascal-ha´romszo ¨g sorait egyszer˝ u, geometriai jelleg˝ u utası´ta´sokat ve´grehajtva kaptuk meg. Vila´gos teha´t, hogy a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s ´altal felvetett ke´rde´sek mo ¨go ¨tt geometriai struktu ´ ra´k is felbukkannak. A felfedeze´s alapvet˝ o jelent˝ ose´g˝ u. Pascal ha´romszo ¨ge lehet˝ ove´ teszi, hogy – azokban az esetekben, amikor ke´t lehetse´ges kimenetel valo ´szı´n˝ use´ge ugyanakkora – megjo ´soljuk, mit hozhat a jo ¨v˝ o. Azonnal fo ¨lvet˝ odik a ke´rde´s: vajon akkor is lehetse´ges effe´le el˝ orejelze´s, amikor a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o kimenetelek valo ´szı´n˝ use´ge elte´r egyma´sto ´l? Ha a va´lasz igenl˝ o, az emberise´g el˝ ott megnyı´lik a lehet˝ ose´g arra, hogy kezelni tudja a kocka´zatokat. Er˝ os va ´ runk ne ´ku ¨ nk a matematika Nem kell felte´tlenu ¨ l kaszino ´ba mennu ¨ nk, ha ki akarjuk pro ´ba´lni a szerencse´nket. Sokan vannak, akik a szerencseja´te´kok megro ¨gzo ¨tt ellense´geinek vallja´k magukat, s me´gis nap mint nap megteszik te´tjeiket arra vonatkozo ´an pe´lda´ul, hogy mekkora e´rte´ket tulajdonı´tanak e´letu ¨ knek, ha´zuknak, auto ´juknak e´s egye´b javaiknak. Amikor ugyanis biztosı´ta´si szerz˝ ode´st ko ¨tu ¨ nk, pontosan ezt tesszu ¨ k. A ta´rsasa´g megbecsu ¨ li, hogy – mondjuk – mi a valo ´szı´n˝ use´ge annak, hogy auto ´nk egy karambolban tota´lka´rosra to ¨rik, s odds-ot aja´nl arra, hogy ez nem ko ¨vetkezik be. Amennyiben nem to ¨rte´nik baleset, a biztosı´to ´ megtartja a befizetett – s a ka´r esete´n felmeru ¨ l˝ o ko ¨ltse´gekhez ke´pest alacsony – dı´jat, ha viszont beko ¨vetkezik, ˝k ´allja´k a javı´ta´s vagy az u o ´ j auto ´ va´sa´rla´sa´nak ko ¨ltse´ge´t. A rendszer aze´rt m˝ uko ¨d˝ oke´pes, mert a baleset valo ´szı´n˝ use´ge´t a matematika segı´tse´ge´vel hata´rozza´k meg. A balesetek (ne´ha csak megbecsu ¨ lt) gyakorisa´ga´bo ´l kiindulva a biztosı´to ´ meghata´rozza, hogy a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o szolga´ltata´soke´rt mekkora dı´jat kell felsza´mı´tani ahhoz, hogy a befizetett o ¨sszeg a megfelel˝ o me´rte´kben meghaladja azt az o ¨sszeget, amelyet va´rhato ´an ki kell fizetni a ka´rok fedeze´se´re. Azokban az e´vekben, amikor to ¨bb biztosı´ta´si eseme´ny to ¨rte´nik, mint amennyit el˝ orejeleztek, a biztosı´to ´nak a tervezettne´l nagyobbak a kiada´sai, a profit ´gy ı valamelyest cso ¨kken. A „nyugalmasabb” e´vekben persze a megszokottna´l magasabb nyerese´get ko ¨nyvelhetnek el. A dolog nem sokban ku ¨ lo ¨nbo ¨zik a szerencseja´te´k-eredme´nyek valo ´szı´n˝ use´ge´nek kisza´mı´ta´sa´to ´l. Az igazi szerencseja´te´kok kimeneteleinek valo ´szı´n˝ use´ge pontosan meghata´rozhato ´, mike´nt azt Cardano megmutatta a kockadoba´s esete´ben. Az auto ´balesetek esete´ben ez persze egyedu ¨ l a matematika mo ´dszereivel nem lehetse´ges. Valo ´di adatokra is szu ¨ kse´gu ¨ nk van.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Er˝ os va´runk ne´ku ¨nk a matematika

263

Az e´letbiztosı´ta´si ´agazatban pe´lda´ul halando ´sa´gi ta´bla´zatokbo ´l indulnak ki, amelyek azt adja´k meg, mekkora a va´rhato ´ e´lettartama egy adott koru ´ embernek, annak fu ¨ ggve´nye´ben, hogy hol e´l, mivel foglalkozik, milyen e´letforma´t ko ¨vet, stb. A halando ´sa´gi ta´bla´k statisztikai vizsga´laton alapulnak. Az els˝ o ilyet Londonban ve´gezte el egy keresked˝ o, bizonyos John Graunt. Alapos elemze´snek vetette ala´ az 1604 e´s 1661 ko ¨zo ¨tti szu ¨ lete´si e´s hala´loza´si adatokat, eredme´nyeit Empirikus ´es politikai megfigyele´sek a hala´loza´s ara´nya´ro ´l cı´m˝ u ko ¨nyve´ben tette ko ¨zze´. Adatainak legf˝ obb forra´sa´t azok a „hala´loza´si nyilva´ntarta´sok” adta´k, amelyeket London va´rosa 1603-to ´l vezetett. Ezekben he´tr˝ ol-he´tre feljegyezte´k a va´rosban to ¨rte´nt valamennyi hala´lesetet, az el˝ oide´z˝ o okkal egyetemben, valamint a keresztel˝ oket. Graunt kitu ¨ ntetett figyelmet szentelt a hala´leseteket el˝ oide´z˝ o okoknak, melyek ko ¨zo ¨tt az akkoriban tombolo ´ pestis ´allt az els˝ o helyen. Napjaink va´roslako ´i feltehet˝ oen elcsoda´lkoznak, ha ela´ruljuk: a Graunt ´altal re´szletesen feldolgozott 1632-es adatok szerint abban az e´vben Londonban mindo ¨ssze he´t gyilkossa´g to ¨rte´nt. Besza´mol tova´bba´ ugyanezen e´vben egy kutyaharapa´s okozta hala´los se´ru ¨ le´sr˝ ol e´s egy fagyhala´lro ´l is. Hogy mi ke´sztette Grauntot e vizsga´latra, o ¨ro ¨k homa´ly fedi. Elke´pzelhet˝ o, hogy nem to ¨bbr˝ ol, mint intellektua´lis kı´va´ncsisa´gro ´l volt csak szo ´. Saja´t bevalla´sa szerint „nagy e´lvezettel vonta le a mindaddig rejtve maradt e´s va´ratlan tanulsa´gokat, melyekkel e mell˝ ozo ¨tt nyilva´ntarta´sok szolga´ltak”. Feltehet˝ o ma´sre´szr˝ ol, hogy munka´ja ha´ttere´ben u ¨ zleti e´rdekek is tetten e´rhet˝ ok. Kutata´sai, ´rja, ı lehet˝ ove´ tette´k, hogy el˝ ore tudja, „ha´nyan lesznek az emberek nem, ´allapot, kor, valla´s, foglalkoza´s, ta´rsadalmi rang stb. szerint, aminek ismerete´ben egy keresked˝ o vagy a korma´ny biztosabb alapokon hozhatja meg do ¨nte´se´t, s hosszu ´ ta´vra is nyugodtan tervezhet; amennyiben ugyanis az el˝ obbiek szerint ismerju ¨ k a ne´pet, egyu ´ ttal fogyaszta´si szoka´sait is el˝ ore la´thatjuk, s ´gy ı nem kell kereskedelmi sikerekben reme´nykednu ¨ nk, amikor erre semmi kila´ta´s nincs”. Ba´rmi volt is Graunt motiva´cio ´ja, szeme´lye´ben az els˝ o modern statisztikust e´s piackutato ´t tisztelhetju ¨ k. Harminc e´vvel Graunt munka´ja´nak megjelene´se uta´n a neves angol csillaga´sz, Edmund Halley, akinek neve´t leginka´bb az ´altala felfedezett u ¨ sto ¨ko ¨sr˝ ol ismerju ¨ k, a halando ´sa´gi ta´bla´zatokat me´g alaposabb elemze´snek vetette ala´. Vizsga´lataihoz az adatokat a ne´metorsza´gi Breslau (ma Wrocław, Lengyelorsza´g) nyilva´ntarta´sai szolga´ltatta´k, melyeket 1687 e´s 1691 ko ¨zo ¨tt havi rendszeresse´ggel ro ¨gzı´tettek. Az adatgy˝ ujte´s e´s -feldolgoza´s Graunt e´s Halley ´altal kidolgozott mo ´dszerei teret nyitottak egy u ´ j, modern kori u ¨ zleta´g, a biztosı´ta´s megjelene´se´hez. A halando ´sa´gi ta´bla´zatok alapja´n pe´lda´ul megbecsu ¨ lhet˝ o, mi a valo ´szı´n˝ use´ge annak, hogy valamely (adott koru ´ , nem˝ u, foglalkoza´su ´ , meghata´rozott anyagi ko ¨ru ¨ lme´nyek ko ¨zo ¨tt e´l˝ o) polga´r az elko ¨vetkez˝ o e´v folyama´n elta´vozik az e´l˝ ok sora´bo ´l. S ez nem jelent kevesebbet, mint hogy matematikusok a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s alapja´n ke´pesek megjo ´solni jo ¨v˝ obeli eseme´nyek valo ´szı´n˝ use´ge´t, mint amilyen valakinek az elko ¨vetkez˝ o e´vben beko ¨vetkez˝ o hala´la. E becsle´sek nem lehetnek olyan pontosak, mint a szerencseja´te´kok esete´ben, ahol nem kell empirikusan megfigyelt

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

264

Ese´lylatolgata´s

adatokra ta´maszkodni, s ahol az egyes kimeneteleknek – pe´lda´ul egy kockadoba´s lehetse´ges eredme´nyeinek – a valo ´szı´n˝ use´ge to ¨ke´letesen pontosan meghata´rozhato ´. Az el˝ orejelze´sek mindazona´ltal elegend˝ oen pontosak ahhoz, hogy alapul szolga´ljanak egy jo ´l jo ¨vedelmez˝ ou ´ j ipara´ghoz. A nagy biztosı´to ´ta´rsasa´gok azonban, f˝ oke´nt az erko ¨lcsi jelleg˝ u ellenvete´sek miatt, csak a tizennyolcadik sza´zadban jelentek meg. Az els˝ o amerikai biztosı´to ´ta´rsasa´g neve stı´lszer˝ uen First American. A ce´g, melyet maga Benjamin Franklin alapı´tott 1752-ben, els˝ osorban t˝ uzka´rokra szakosodott. Az els˝ o amerikai e´letbiztosı´to ´t a presbiteria´nusok alapı´totta´k 1759-ben. A biztosı´ta´si ko ¨tve´ny angol elneveze´se, a ‘policy’, az olasz ‘polizza’, ´ge ı ´ret szo ´bo ´l ered. Az els˝ o nemzetko ¨zi biztosı´to ´ta´rsasa´g a napjainkban is igen aktı´v londoni illet˝ ose´g˝ u Lloyd’s, amely 1771-ben, hetvenkilenc kisebb o ¨na´llo ´ biztosı´to ´ egyesu ¨ le´se´b˝ ol szu ¨ letett meg. A ce´g neve´t onnan vette´k, ahol addig – to ¨bbnyire hajo ´za´ssal kapcsolatos – u ¨ zleteiket megko ¨to ¨tte´k: Edward Lloyd Lombard Street-i ka´ve´ha´za´nak neve´b˝ ol. A va´llalkoza´sban maga Lloyd is aktı´v re´szt va´llalt: 1696-ban, o ¨t e´vvel ka´ve´ha´za´nak megnyita´sa uta´n elkezdte vezetni a nevezetes Lloyd’s List-et, amely naprake´sz informa´cio ´kkal szolga´lt mind a hajo ´k elindula´sa´ra e´s mege´rkeze´se´re, mind a hajo ´za´s ko ¨ru ¨ lme´nyeire e´s a ce´la´lloma´sokra vonatkozo ´an. Ezen adatok jelent˝ ose´ge´hez a hajo ´k e´s a rakoma´nyok biztosı´ta´sa szempontja´bo ´l nem fe´r ke´tse´g. Manapsa´g a legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb eseme´nyekre lehet biztosı´ta´st ko ¨tni, to ¨bbek ko ¨zo ¨tt hala´lesetre, lopa´s, t˝ uz, ´arvı´z, fo ¨ldrenge´s, hurrika´n okozta ka´rokra, a ha´ztarta´si berendeze´sek meghiba´soda´sa´ra, poggya´szunk elveszı´te´se´re a repu ¨ l˝ oge´pen, stb. Szı´ne´szek ne´pszer˝ u vona´saikra, ta´ncosok a la´bukra, e´nekesek a hangjukra ko ¨tnek biztosı´ta´st. Aka´r azt is biztosı´thatjuk, hogy kerti partinkon nem fog eleredni az es˝ o, vagy hogy esku ¨ v˝ onket nem zavarja meg semmi rendkı´vu ¨ li eseme´ny. De tu ´ lsa´gosan is el˝ oreszaladtunk. Graunt statisztikai jelleg˝ u megfigyele´seit˝ ol napjaink biztosı´ta´si ipara´ig a matematikai elme´letnek sza´mottev˝ o fejl˝ ode´sen kellett keresztu ¨ lmennie. A vila ´ graszo ´ lo ´ Bernoullik A ve´letlen matematika´ja´nak tizennyolcadik sza´zadi fejl˝ ode´se annak a ke´t fe´rfiu ´ nak ko ¨szo ¨nheti a legto ¨bbet, akik minden id˝ ok legnevezetesebb matematikai famı´lia´ja´nak tagjai voltak. „A vila´graszo ´lo ´ Bernoullik” – aka´r egy cirkuszi mutatva´ny beharangozo ´ja is lehetne, a f˝ oszerepl˝ ok azonban nem a trape´zon, s nem is a magasban kihu ´ zott ko ¨te´len rukkoltak el˝ o nevezetes mutatva´nyaikkal, hanem a matematika porondja´n. A csala´d nem kevesebb, mint nyolc tagja ´rta ı be neve´t a matematika to ¨rte´nete´be. A csala´dalapı´to ´ Nicolaus Bernoulli (1623–1708) volt, gazdag baseli (Sva´jc) keresked˝ o. Fiai, Jacob, Nicolaus e´s Johann mindha´rman els˝ orangu ´ matematikusok lettek.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A vila´graszo ´lo ´ Bernoullik

265

Jacob to ¨bbek ko ¨zo ¨tt a nagy sza´mok to ¨rve´nye, a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s egyik alapvet˝ oo ¨sszefu ¨ gge´se´nek felfedez˝ ojeke´nt ismert. A csala´d tova´bbi tagjai, akik az u ´ j tudoma´nya´gban, a ve´letlen matematika´ja´ban maradando ´t alkottak: Johann fia, ˝rzi (amely arra szolDaniel, akinek neve´t az ´altala felfedezett fizikai egyenlet is o ga´l magyara´zattal, mike´nt emelkedhet a repu ¨ l˝ oge´p a magasba), valamint Jacob unokao ¨ccse, Nicolaus (egy ma´sik Nicolaus, a csala´dban o ¨sszesen ne´gy Nicolaus volt). Jacob e´s Daniel mindketten ugyanazon alapvet˝ o ke´rde´st ja´rta´k ko ¨ru ¨ l: hogyan alkalmazhato ´k a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´snak a ja´te´kok vizsga´lata´ban olyannyira beva´lt mo ´dszerei a valo ´ vila´gban, ahol a valo ´szı´n˝ use´gek pontos meghata´roza´sa – ellente´tben a szerencseja´te´kokkal – nem lehetse´ges? A Jacobot foglalkoztato ´ proble´ma ma´r John Graunt halando ´sa´gi ta´bla´zatokra vonatkozo ´ vizsga´latainak ha´ttere´ben megjelent. Graunt maga is tiszta´ban volt azzal, hogy adatai, legyenek me´goly alaposak is, csupa´n egy, az orsza´g teljes ne´pesse´ge´b˝ ol vett sz˝ ukebb minta´t, a londoni lakossa´got reprezenta´lja´k. S me´g a Londonra vonatkozo ´ adatok is csak egy adott id˝ oszakra vonatkozo ´an ´alltak rendelkeze´se´re. Ez me´gsem akada´lyozta meg abban, hogy olyan ´altala´nosı´ta´sokat fogalmazzon meg, amelyek messze tu ´ lle´pte´k adatainak hato ´ko ¨re´t. Lista´inak adatait az ege´sz orsza´g lakossa´ga´ra, s a vizsga´ltna´l jo ´val nagyobb id˝ ointervallumokra extrapola´lva Graunt els˝ oke´nt vont le statisztikus ko ¨vetkeztete´seket: a popula´cio ´ ege´sze´re fogalmazott meg ´allı´ta´sokat egy sz˝ uk minta alapja´n. Ahhoz, hogy az ilyen elja´ra´sbo ´l megbı´zhato ´ ko ¨vetkeztete´seket vonhassunk le, a minta´nak reprezentatı´vnak kell lennie. De mike´nt biztosı´thatjuk, hogy az legyen? Ezzel szorosan o ¨sszefu ¨ gg a ke´rde´s, hogy vajon a nagyobb minta megbı´zhato ´bb eredme´nyekhez vezet-e, s ha igen, milyen nagynak kell va´lasztanunk? A proble´ma´t Jacob Bernoulli vetette fel egy Leibnizhez (akir˝ ol az analı´zis kapcsa´n ma´r volt szo ´) ´rott ı levele´ben, 1703-ban. Pesszimista hangve´tel˝ u va´laszlevele´ben Leibniz a ko ¨vetkez˝ oket ´rja: ı „a terme´szetben kialakultak olyan minta´zatok, amelyek az eseme´nyek rendszeres visszate´re´se´ben mutatkoznak meg, de ez nem e´rve´nyes mindenre, csupa´n a jelense´gek to ¨bbse´ge´re”. S e´ppen ez a „csupa´n a jelense´gek to ¨bbse´ge´re” kite´tel t˝ unt a legf˝ obb akada´lynak a valo ´ vila´g valo ´szı´n˝ use´geinek matematikai elemze´se sora´n. Leibniz va´lasza nem vette el Bernoulli kedve´t a tova´bbi vizsga´lo ´da´sto ´l. Az elko ¨vetkez˝ o ke´t e´vben, e´lete utolso ´ e´veiben, jelent˝ os eredme´nyeket e´rt el. 1705ben beko ¨vetkezett hala´la uta´n unokao ¨ccse, Nicolaus Bernoulli rendezte sajto ´ ala´ m˝ uveit, ami nem bizonyult kis feladatnak: kerek nyolc e´vbe telt, amı´g ve´gu ¨l 1713-ban – Jacob neve alatt – megjelent A sejte´s m˝ uve´szete cı´m˝ u ko ¨nyv. Jacob azzal kezdte, hogy a Leibniznek is feltett ke´rde´st ke´t re´szre bontotta, a valo ´szı´n˝ use´g ke´tfe´le e´rtelmeze´se´nek megfelel˝ oen. Ezek ko ¨zu ¨ l az els˝ ot a priori valo ´szı´n˝ use´gnek nevezte: ezt ane´lku ¨ l sza´mı´tjuk ki, hogy a te´nyeket ismerne´nk. Lehetse´ges vajon kisza´mı´tani valamely jelense´g egy adott kimenetele´nek valo ´szı´n˝ use´ge´t – me´g miel˝ ott az beko ¨vetkezne? A szerencseja´te´kok esete´ben a va´lasz hata´rozott igen. Mike´nt azonban Leibniz is leszo ¨gezte, ha betegse´gekr˝ ol vagy

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

266

Ese´lylatolgata´s

hala´lesetekr˝ ol van szo ´, a kisza´mı´tott valo ´szı´n˝ use´gek „csupa´n a jelense´gek to ¨bbse´ge´re” lehetnek e´rve´nyesek. A valo ´szı´n˝ use´g ma´sik tı´pusa´t, amelyet az eseme´ny beko ¨vetkezte uta´n sza´molunk ki, Jacob a posteriori valo ´szı´n˝ use´gnek nevezte. A f˝ o ke´rde´s itt a ko ¨vetkez˝ o: amennyiben minta´t veszu ¨ nk egy popula´cio ´bo ´l, s ennek alapja´n kisza´mı´tunk bizonyos valo ´szı´n˝ use´geket, a kapott eredme´ny vajon milyen megbı´zhato ´an jellemzi a popula´cio ´ ege´sze´t? Tegyu ¨ k fel pe´lda´ul, hogy nagy, ´atla´tszatlan urna´t tesznek ele´nk, tele piros e´s ke´k golyo ´kkal. Tudjuk, hogy az urna´ban o ¨sszesen 5 000 golyo ´ van, de nem tudjuk, melyikb˝ ol mennyi. Ve´letlenszer˝ uen kihu ´ zunk egyet – piros. Visszatesszu ¨ k, o ¨sszekeverju ¨ k, megint hu ´ zunk – ezu ´ ttal ke´ket. Az elja´ra´st 50-szer megisme´telve az eredme´ny: 31 alkalommal piros, 19 alkalommal viszont ke´k golyo ´t hu ´ ztunk. Az a sejte´su ¨ nk alakul teha´t ki, hogy hozza´vet˝ olegesen 3 000 piros ´ lehet az urna´ban, annak a posteriori valo ´szı´n˝ use´ge teha´t, hogy e´s 2 000 ke´k golyo 3 ve´letlenszer˝ uen hu ´ zva, piros golyo ´ lesz a kezu ¨ nkben: 5 . Mennyire lehetu ¨ nk biztosak e becsle´su ¨ nkben? S vajon biztosabbak lehetne´nk, ha to ¨bb golyo ´t, mondjuk 100-at hu ´ ztunk volna? Bernoulli bebizonyı´totta, hogy amennyiben elegend˝ oen nagy minta´t veszu ¨ nk, sejte´su ¨ nk bizonyossa´ga´t tetsz˝ oleges me´rte´kig no ¨velhetju ¨ k. Pontosabban fogalmazva, tetsz˝ oleges el˝ ore mega´llapı´tott bizonyossa´g esete´n megadhato ´ az a mintanagysa´g, amelynek alapja´n kisza´mı´tott becsle´su ¨ nk a szo ´ban forgo ´ valo ´szı´n˝ use´get a megadott bizonyossa´ggal hata´rozza meg. A te´telt a nagy sza´mok to ¨rve´nyeke´nt tartjuk sza´mon, ez a valo ´szı´n˝ use´gelme´let egyik ko ¨zponti eredme´nye. Tegyu ¨ k fel, hogy urna´nkban pontosan 3 000 piros e´s 2 000 ke´k golyo ´ van. Bernoulli meghata´rozta, ha´nyszor kell a ve´letlen mintave´telt megisme´telnu ¨ nk ahhoz, hogy annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy a mintabeli eloszla´s alapja´n kisza´mı´tott e´rte´k hiba´ja meghaladja a 2%-ot, egy ezredne´l kisebb legyen. Az eredme´ny: a kı´va´nt pontossa´gu ´ becsle´shez a ve´letlenszer˝ u hu ´ za´sokat 25 550-szer kell megisme´telnu ¨ nk. Ez azonban sokkal to ¨bb, mint a golyo ´k sza´ma, esetu ¨ nkben teha´t jo ´val hate´konyabb mo ´dszer, ha egyenke´nt sza´mba vesszu ¨ k a golyo ´kat. Bernoulli elme´leti jelent˝ ose´g˝ u eredme´nye mindazona´ltal megmutatta, hogy elegend˝ oen nagy minta esete´n az abbo ´l kisza´mı´tott valo ´szı´n˝ use´g tetsz˝ oleges bizonyossa´ggal megko ¨zelı´theti a valo ´di e´rte´ket. S ha sikeru ¨ l is kisza´mı´tani valamely eseme´ny a posteriori valo ´szı´n˝ use´ge´t, jelente ez megbı´zhato ´ alapot ahhoz, hogy jo ¨v˝ obeli eseme´nyek valo ´szı´n˝ use´ge´t megjo ´soljuk? A ke´rde´s, ha ´gy ı tesszu ¨ k fel, nem matematikai terme´szet˝ u. Valo ´ja´ban arro ´l van szo ´, hogy a mu ´ lt szolga´ltat-e elegend˝ o alapot ahhoz, hogy a jo ¨v˝ ot el˝ ore la´thassuk? A ke´rde´sre to ¨bbfe´le va´lasz is adhato ´. Leibniz, a Jacob Bernoullihoz ´rt ı ma´r ide´zett levele´ben ekke´ppen fogalmaz: „Az emberi fajt mindig u ´ jabb e´s u ´ jabb ko ´rok ta´madja´k meg, ´gy ı ba´rmennyi holttestet megvizsga´lhatunk, a jo ¨v˝ obeli eseme´nyek terme´szete´re vonatkozo ´an semmife´le megszorı´ta´sokat nem tehetu ¨ nk.” S hogy a modern korbo ´l is ide´zzu ¨ nk egy tekinte´lyt, a ne´hai Fischer Black, az els˝ o pe´nzu ¨ gyi szakemberek egyike, aki az M. I. T. tudoma´nyos kutato ´i sta´tusa´t a Wall

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Fe´lelem a repu ¨le´st˝ ol

267

Street pe´nzu ¨ gyi vila´ga´ra csere´lte, a jo ¨v˝ onek a mu ´ lt matematikai elemze´se´n alapulo ´ el˝ orejelze´se´re vonatkozo ´an a ko ¨vetkez˝ o megjegyze´st tette: „A Hudson partja´ro ´l ne´zve a piacok sokkal keve´sbe´ eredme´nyesek, mint a Charles partja´ro ´l ne´zve.”9 Fe ´lelem a repu ¨ le ´st˝ ol Leibniz bara´tjake´nt Jacob Bernoulli az els˝ ok ko ¨zo ¨tt e´rtesu ¨ lt az analı´zis, a mozga´s e´s a va´ltoza´s tudoma´nya´nak az id˝ o ta´jt kidolgozott ku ¨ lo ¨no ¨sen hate´kony mo ´dszereir˝ ol. Neve´hez a teru ¨ let to ¨bb korai eredme´nye f˝ uz˝ odik. ˝ azonDaniel Bernoullit szinte´n sza´mon tartjuk az analı´zis u ´ tto ¨r˝ oi ko ¨zo ¨tt is. O ban nagyba´tyja´to ´l elte´r˝ o ce´lt t˝ uzo ¨tt maga ele´: az analı´zis mo ´dszereit a folyade´kok e´s ga´zok mozga´sa´nak vizsga´lata´ban hasznosı´totta. Sza´mos eredme´nye ko ¨zu ¨ l manapsa´g – okkal – a neve´t visel˝ o Bernoulli-egyenletet tartjuk a legjelent˝ osebbnek, amely magyara´zattal szolga´l arra, mi tartja a repu ¨ l˝ oge´pet a magasban, s ´gy ı a modern repu ¨ l˝ oge´p-terveze´s alapja´t jelenti. Daniel Bernoulli egyenlete´nek a huszadik sza´zadi repu ¨ l˝ oge´pgya´rta´sban valo ´ alkalmaza´sa´ra ke´tsza´z e´vet kellett va´rni, de a nagy sva´jci matematikusnak nem ez az egyetlen eredme´nye, amely a repu ¨ le´sre vonatkozo ´an jelent˝ ose´ggel bı´r. Gyakran emlegetett te´ny, miszerint a le´gi ko ¨zlekede´s annak ellene´re a legbiztonsa´gosabb mo ´dja az utaza´snak, hogy igen sokan vannak, akiknek a szı´ve´t jeges re´mu ¨ let szorı´tja o ¨ssze, valaha´nyszor a fede´lzetre le´pnek. Nem keve´s azoknak a sza´ma sem, akik ilyen fe´lelmeik miatt sohasem va´lasztja´k az utaza´snak ezt a mo ´dja´t. Repu ¨ le´st˝ ol retteg˝ o polga´rta´rsaink meglehet, hogy nagyon is tiszta´ban vannak az ese´lyekkel, melyek szerint elenye´sz˝ oen cseke´ly annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy a leveg˝ oben balesetet szenvednek, jo ´val kisebb, mintha ge´pkocsival utazna´nak. Fe´lelmu ¨ ket sokkal inka´bb az ta´pla´lja, hogy a repu ¨ l˝ oge´p-szerencse´tlense´gekr˝ ol – legyenek ba´r me´goly valo ´szı´n˝ utlenek is – ku ¨ lo ¨no ¨sen er˝ oteljes ke´p alakult ki bennu ¨ k. Hasonlo ´ ara´nyte´veszte´s munka´l a villa´mcsapa´sto ´l valo ´ fe´lelem ha´ttere´ben is: sokan sokkal er˝ oteljesebb fe´lelmet e´reznek, mint azt annak elenye´sz˝ o me´rte´k˝ u valo ´szı´n˝ use´ge indokolna´, hogy valaki te´nylegesen effe´le baleset ´aldozata´va´ va´lik. Daniel Bernoullit e´ppense´ggel a valo ´szı´n˝ use´gnek ez az emberi oldala foglalkoztatta: arra keresett va´laszt, vajon vizsga´lhato ´-e valamilyen mo ´don az, hogy mike´nt ´allapı´tjuk meg a kocka´zatokat. E ke´rde´sr˝ ol szo ´lo ´ nevezetes tanulma´nya 1738-ban jelent meg, a Szentpe´terva´ri Birodalmi Tudoma´nyos Akade´mia Kiadva´nyaiban. Ebben az ´ra ı ´sban vezette be a hasznossa´g ko ¨zponti jelent˝ ose´g˝ u fogalma´t. A hasznossa´g Bernoulli-fe´le fogalma´nak mege´rte´se´hez a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s egy ma´sik kulcsfontossa´gu ´ fogalma´val, a va´rhato ´ ´erte´kkel is meg kell ismerkednu ¨ nk. Tegyu ¨ k fel, hogy kockavete´sre invita´lom a kedves Olvaso ´t. Ha pa´ros sza´mot dob, annyi dolla´rt fizetek, amennyit dobott, ha azonban pa´ratlant dob,

9A

Charles a Massachusetts Institute of Technology, a Hudson a Wall Street ko ¨zele´ben folyik. – A szerk.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

268

Ese´lylatolgata´s

¨ n fizet nekem ke´t dolla´rt. Az Olvaso akkor O ´ re´sze´r˝ ol va´rhato ´ nyerese´g azt me´ri, mekkora nyerese´gre sza´mı´that a ja´te´k szaba´lyai alapja´n. Ez az e´rte´k azoknak a nyerese´geknek az ´atlaga, amit a ja´te´k sokszori megisme´tle´se sora´n e´rne el. A va´rhato ´ nyerese´g kisza´mı´ta´sa´hoz el˝ oszo ¨r a ja´te´k valamennyi kimenetele´nek valo ´szı´n˝ use´ge´t meg kell szoroznunk a neki megfelel˝ o nyereme´ny o ¨sszege´vel, majd o ¨ssze kell adni az ´gy ı kapott szorzatokat. A ke´t dolla´ros vesztese´get mı´nusz ke´t dolla´ros nyerese´gnek sza´mı´thatjuk, a szo ´ban forgo ´ ja´te´kban az Olvaso ´ va´rhato ´ nyereme´nye ´gy ı

1 1 1 1 · 2$ + · 4$ + · 6$ + · (−2$) = 1$. 6 6 6 2 A pe´nzo ¨sszegek a 2, 4 e´s 6 dolla´ros nyereme´nynek, illetve a 2 dolla´ros vesztese´gnek felelnek meg. Sza´mı´ta´sunk teha´t azt mutatja, hogy a ja´te´kot ele´g soka´ig ja´tszva, az Olvaso ´ fordulo ´nke´nt ´atlagosan egy dolla´rt nyerne. Nyilva´nvalo ´ teha´t, hogy helyzete az enye´mne´l sokkal el˝ onyo ¨sebb. Ha megva´ltoztatna´nk a szaba´lyokat, s az Olvaso ´nak minden pa´ratlan doba´s uta´n ne´gy dolla´rt kellene fizetnie, a va´rhato ´ nyereme´ny e´rte´ke nulla´ra cso ¨kkenne, a ja´te´k szaba´lyai ´gy ı egyiku ¨ nknek sem kedvezne´nek. Ha pedig a „bu ¨ ntete´ske´nt” fizetend˝ oo ¨sszeg meghaladna´ a ne´gy dolla´rt, ellenfelem szinte bizonyosan vesztese´get ko ¨nyvelne el. A va´rhato ´ e´rte´k, amely mind a valo ´szı´n˝ use´geket, mind az elko ¨nyvelt vesztese´get, illetve nyerese´get figyelembe veszi, a ja´te´kban re´szt vev˝ o felek sza´ma´ra a kocka´zat me´rte´ke´r˝ ol ad felvila´gosı´ta´st. Mine´l nagyobb a va´rhato ´ e´rte´k, anna´l csa´bı´to ´bb a kocka´zat va´llala´sa. Ezt mondja teha´t az elme´let. Sok esetben a va´rhato ´ e´rte´k kisza´mı´ta´sa megfelel˝ o eszko ¨znek bizonyult a kocka´zat megı´te´le´se´ben. Felmeru ¨ lt azonban egy proble´ma, melyet Daniel unokao ¨ccse, Nicolaus zavarba ejt˝ o fejto ¨r˝ ovel illusztra´lt, amely azo ´ta szentpe´terva´ri paradoxon ne´ven keru ¨ lt be a ko ¨ztudatba. A ko ¨vetkez˝ or˝ ol van szo ´. Tegyu ¨ k fel most, hogy az Olvaso ´val pe´nzfeldoba´st ja´tszunk. Ha az Olvaso ´ els˝ ore fejet dob, 2 dolla´rt kap, s a ja´te´knak ve´ge. Ha els˝ ore ´ra ı ´st, ma´sodszorra fejet dob, 4 dolla´rt fizetek, s a ja´te´kot u ´ jfent befejezzu ¨ k. Ha az Olvaso ´ ke´t ´ra ı ´s uta´n dob egy fejet, 8 dolla´rt kap, s ´gy ı tova´bb. A ja´te´k minden esetben addig tart, amı´g az Olvaso ´ doba´sa fej nem lesz, s minden egyes doba´sna´l megdupla´zom a feje´rt ja´ro ´o ¨sszeget. Ke´pzelje most el a kedves Olvaso ´, hogy valaki tı´z dolla´rt aja´nl neki aze´rt, hogy ´ s ha 50 dol´atvehesse a helye´t a ja´te´kban. Elfogadna´ vagy visszautası´tana´? E la´rt aja´nlana´nak? Esetleg sza´zat? Ma´ske´ppen, hogyan ve´lekedik, mennyit e´rne a ja´te´kban valo ´ re´szve´tel? A va´rhato ´ e´rte´k kisza´mı´ta´sa – elvben legala´bbis – pontosan az effe´le esetekben lehet hasznos. A ja´te´k aka´r ve´gtelen hosszu ´ is lehet, a szo ´ba jo ¨het˝ o pe´nzdoba´s-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Fe´lelem a repu ¨le´st˝ ol

sorozatok: F, ´IF, ´I´IF, ´I´I´IF, ´I´I´I´IF, . . . , amelyeknek valo ´szı´n˝ use´ge rendre: 1 1 , , . . . . A va ´ rhato ´ e ´ rte ´ k enne ´ lfogva: 16 32

269 1 1 1 , , , 2 4 8

1 1 1 1 1 ·2+ ·4+ ·8+ · 16 + · 32 . . . 2 4 8 16 32 amely ve´gtelen o ¨sszeg ´gy ı is ´rhato ı ´:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... Az o ¨sszeg e´rte´ke teha´t, azaz a va´rhato ´ nyerese´g, ve´gtelen nagy. A ve´gtelen nagy va´rhato ´ nyerese´g alapja´n az elme´let azt jo ´solna´, hogy senki emberfia nem szalasztana´ el a lehet˝ ose´get, hogy re´szt vehessen e ja´te´kban, s nem adna´ a helye´t semmi pe´nze´rt. Legto ¨bben azonban – a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s megbecsu ¨ lt m˝ uvel˝ oit is belee´rtve – 10 dolla´rna´l tala´n me´g habozna´nk, de minden bizonnyal elfogadna´k az 50 dolla´ros aja´nlatot. Annak ese´lye ugyanis, hogy a ja´te´kban ennyit nyerju ¨ nk, meglehet˝ osen cseke´lynek t˝ unik. Tala´n a va´rhato ´ e´rte´k fogalma´val van valamife´le proble´ma? A ke´rde´sen t˝ un˝ odve Daniel Bernoulli egy ma´sik, a va´rhato ´ e´rte´kne´l sokkal keve´sbe´ forma´lis fogalmat is bevezetett: a hasznossa´ge´t. A hasznossa´g azt hivatott me´rni, hogy valamely eseme´nynek mekkora jelent˝ ose´get tulajdonı´tunk. Ez nyilva´nvalo ´an jelent˝ os egye´ni elte´re´seket mutathat, hiszen le´nyege´ben az hata´rozza meg, hogy az illet˝ o szeme´ly mennyire tartja az eseme´ny ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o lehetse´ges kimeneteleit. A hasznossa´g az e´n sza´momra nem ugyanaz, mint az Olvaso ´ sza´ma´ra. Amikor azonban a va´rhato ´ e´rte´k matematikailag pontos fogalma´nak helye´be a bevallottan szubjektı´v hasznossa´got helyezzu ¨ k, ezzel u ´ gy t˝ unik, minden tova´bbi tudoma´nyos vizsga´lat lehetetlenne´ va´lik. Me´gsem ez a helyzet. Bernoulli a hasznossa´gra vonatkozo ´an a ko ¨vetkez˝ o me´ly o ¨sszefu ¨ gge´st ´allapı´totta meg: „(A) vagyon tetsz˝ olegesen kicsiny gyarapoda´sa´bo ´l sza´rmazo ´ hasznossa´g fordı´tottan ara´nyos a ma´r megel˝ oz˝ oleg birtokolt javak mennyise´ge´vel.” A szaba´ly magyara´zattal szolga´l arra, mie´rt is tekinti egy jo ´mo ´du ´ polga´r sokkal nagyobbnak a fa´jdalmat, amit akkor e´rez, mikor vagyona´nak fele´t elveszı´ti, mint az o ¨ro ¨met, amely ugyanezen vagyon megke´tszereze´se´t kı´se´ri. Vagyis csak nagyon kevesen vannak, akik dupla vagy semmi alapon vagyonuk fele´t feltenne´k. Nagy kocka´zatra csak azok va´llalkoznak, akikne´l a „vajon mit veszı´thetne´k?” fordulat te´nylegesen nem puszta szo ´vira´g. Tegyu ¨ k fel a pe´lda kedve´e´rt, hogy az Olvaso ´nak e´s nekem egyara´nt van 10 000 dolla´runk. A ko ¨vetkez˝ o javaslattal ´allok el˝ o: dobjunk fel egy e´rme´t, ha fej, e´n ˝ fizet nekem ugyanannyit. Az ele´rhet˝ fizetek 5 000-et az Olvaso ´nak, ha ´ra ı ´s, o o nyereme´ny e´s a nyere´s valo ´szı´n˝ use´ge, 12 , kett˝ onk esete´ben azonos, a nyereme´ny va´rhato ´ e´rte´ke enne´lfogva kereken 0. Ebbe a ja´te´kba me´gsem menne´nek bele tu ´l sokan. Legto ¨bbu ¨ nk u ´ gy tartana´, elfogadhatatlanul nagy a kocka´zat. Az, hogy 0,5 valo´szı´n˝ use´ggel elveszı´thetu ¨ nk 5 000 dolla´rt (vagyonunk fele´t), sokkal to ¨bbet

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

270

Ese´lylatolgata´s

nyom a latban, mint az, hogy ugyanekkora valo ´szı´n˝ use´ggel 5 000 dolla´rt nyerhetu ¨ nk (ami vagyoni helyzetu ¨ nk 50%-os gyarapoda´sa´t jelentene´). A hasznossa´gi to ¨rve´ny megolda´st kı´na´l a szentpe´terva´ri paradoxonra is. Mine´l hosszabb a ja´te´k, anna´l nagyobb a nyereme´ny, mikor ve´gu ¨ l fejet dobunk. (Ha a hatodik doba´s uta´n me´g mindig ja´te´kban vagyunk, nyereme´nyu ¨ nk biztosan meg¨bbet, haladja a 100 dolla´rt, ha a tizedik doba´sig ele´ru ¨ nk, 1 000 dolla´rna´l is to ha az o ¨tvenedikig, akkor millio ´szor millia´rdos nagysa´grend˝ u nyereme´nyt va´gunk zsebre.) Bernoulli hasznossa´gi to ¨rve´nye szerint, amint ele´rju ¨ k a ja´te´knak azt a pontja´t, amelyen tu ´ l minden nyereme´ny ma´r saja´t me´rce´nkkel me´rve is sza´mottev˝ o nagysa´gu ´ , a ja´te´k tova´bbi re´sze´ben ele´rhet˝ o nyereme´ny hasznossa´ga cso ¨kkenni kezd. S ez az e´rte´k az, amely meghata´rozza, mennyire e´rte´kelju ¨ k a ja´te´kban valo ´ re´szve´telt. Ennyit teha´t a va´rhato ´ nyereme´ny me´rte´ke´r˝ ol, mely szerint mindenke´ppen ja´te´kban kellene maradnunk, ameddig csak lehet. A hasznossa´g Bernoulli-fe´le fogalma´ra sem va´rt fe´nyesebb jo ¨v˝ o: mid˝ on a matematikusok e´s a ko ¨zgazda´szok alaposabb elemze´snek vetette´k ala´ az emberi viselkede´st, u ´ jabb, haszna´lhato ´bb ˝ fogalmak va´ltotta´k fel. Daniel Bernoullito ´l azonban nem vitathato ´ el, hogy o volt az els˝ o, aki hangsu ´ lyozta: amikor a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s mo ´dszereit a valo ´ vila´g proble´ma´ira akarjuk alkalmazni, az emberi te´nyez˝ ot nem hagyhatjuk figyelmen kı´vu ¨ l. A kockavete´s e´s pe´nzfeldoba´s alapja´n felismert minta´zatok az effe´le vizsga´latokhoz nem ele´gse´gesek. Megkondul a haranggo ¨ rbe A Jacob Bernoulli ´altal bizonyı´tott nagy sza´mok to ¨rve´nye alapja´n meghata´rozhato ´, ha´ny megfigyele´s szu ¨ kse´ges ahhoz, hogy a minta alapja´n mega´llapı´tott valo ´szı´n˝ use´g a valo ´di e´rte´ket az el˝ ore kiko ¨to ¨tt – tetsz˝ oleges – bizonyossa´ggal megko ¨zelı´tse. Az eredme´ny elvi jelent˝ ose´ge sokkal nagyobb, mint gyakorlati haszna. Hogy ma´st ne mondjunk, alkalmaza´sa´hoz ismernu ¨ nk kell a valo ´szı´n˝ use´g pontos e´rte´ke´t. Ma´sodszor, mike´nt azt az urna´s feladat kapcsa´n maga Bernoulli is meg´allapı´totta, ahhoz, hogy a valo ´szı´n˝ use´get ele´g pontosan meghata´rozhassuk, tu ´ lsa´gosan sokszor kell a mintave´telt megisme´telnu ¨ nk. A fordı´tott proble´ma megolda´sa sokkal nagyobb hasznunkra lenne: ha adott valaha´ny megfigyele´si eredme´ny, meghata´rozhato ´-e, mekkora a valo ´szı´n˝ use´ge annak, hogy a bel˝ olu ¨ k levont ko ¨vetkeztete´s a pontos e´rte´ket – adott bizonyossa´ggal – megko ¨zelı´ti. Ha e ke´rde´sre va´laszt tala´lna´nk, egy mintave´tel alapja´n a sokasa´gra vonatkozo ´ valo ´szı´n˝ use´geket u ´ gy tudna´nk meghata´rozni, hogy ko ¨zben eredme´nyu ¨ nk bizonyossa´ga´nak me´rte´ke´vel is tiszta´ban vagyunk. A ke´rde´st els˝ oke´nt Jacob unokao ¨ccse, Nicolaus Bernoulli vetette fel, mikor nagyba´tyja hagyate´ka´t ke´szı´tette el˝ o kiada´sra. Pe´lda´ja a gyermekszu ¨ lete´sek sza´ma´ra vonatkozott. Amennyiben minden 17 lea´nygyermekre 18 fiu ´ jut, 14 000 u ´ jszu ¨ lo ¨tt esete´n a kisfiu ´ k sza´ma´t 7 200-ra becsu ¨ lhetju ¨ k. Kisza´mı´totta, hogy 43 az

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Megkondul a haranggo ¨rbe

271

7.2. a ´ bra. A haranggo ¨rbe. 1-hez biztonsa´ggal ´allı´thatjuk, hogy e sza´m 7 200 − 163 e´s 7 200 + 163, azaz 7 037 e´s 7 363 ko ¨ze´ esik. Nicolausnak nem sikeru ¨ lt to ¨ke´letesen megoldania a proble´ma´t, bizonyos eredme´nyeket azonban elko ¨nyvelhetett, amelyeket 1713-ban meg is jelentetett, ugyanabban az e´vben, mint elhunyt nagyba´tyja posztumusz m˝ uve´t. Ne´ha´ny e´vvel ke´s˝ obb a fonalat Abraham de Moivre francia matematikus vette fel, aki – protesta´ns le´ve´n – a katolikusok u ¨ ldo ¨ze´se el˝ ol ma´r 1688-ban Anglia´ba meneku ¨ lt. ´ j haza´ja´ban nem sikeru U ¨ lt a tudoma´nyos pa´lya´n elhelyezkednie, matematikatanı´ta´sbo ´l e´lt, s biztosı´ta´si bro ´kereket la´tott el tana´csokkal valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´si ke´rde´sekben. A Nicolaus Bernoulli ´altal felvetett proble´ma´ra de Moivre kimerı´t˝ o megolda´st adott, amely els˝ oke´nt Az ese´lyek elme´lete cı´m˝ u ko ¨nyve´nek 1733-as ma´sodik kiada´sa´ban jelent meg. Az analı´zis e´s a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s mo ´dszereit felhaszna´lva megmutatta, hogy a ve´letlen megfigyele´sek eredme´nyei ezen adatok ´atlage´rte´ke ko ¨ru ¨ l meghata´rozott eloszla´st mutatnak. A de Moivre ´altal vizsga´lt eloszla´st manapsa´g norma´lis eloszla´snak nevezzu ¨ k. Amennyiben ezt grafikusan akarjuk szemle´ltetni, s a megfigyele´seket az x, a hozza´juk tartozo ´ gyakorisa´got (illetve valo ´szı´n˝ use´get) az y tengelyen jelenı´tju ¨ k meg, a kapott go ¨rbe alakja egy harange´ra emle´keztet (7.2. ´abra). Emiatt ´altala´ban haranggo ¨rbe´nek nevezik. Mike´nt a grafikonbo ´l kiolvashato ´, a legto ¨bb megfigyele´s eredme´nye a ko ¨ze´ps˝ o, az ´atlage´rte´ket reprezenta´lo ´ re´szre esik. A ko ¨ze´ps˝ o re´szt˝ ol kifele´ a go ¨rbe szim´l valo ´ pozitı´v ira´nyu ´ elte´re´sekhez metrikusan ko ¨zelı´t az x tengelyhez, az ´atlagto ugyanannyi minta tartozik, mint az ugyanakkora negatı´v ira´nyu ´ elte´re´sekhez. A go ¨rbe eleinte lanka´san, majd meredekebben lejt, a sze´leihez ko ¨zelı´tve pedig igen lapossa´ va´lik. Az ´atlagto ´l nagy elte´re´st mutato ´ megfigyele´sek sokkal ritka´bbak, mint az ´atlag ko ¨zeliek. A haranggo ¨rbe´hez de Moivre ve´letlen megfigyele´sek vizsga´lata sora´n jutott el. A go ¨rbe szimmetria´ja azt jelzi, hogy a ve´letlen eseme´nyek csinos geometriai minta´zatokat ko ¨vetnek. S matematikai szempontbo ´l ma´r maga´ban ez a felfedeze´s is igen nagy jelent˝ ose´g˝ u. Ezzel azonban me´g nem jutottunk a to ¨rte´net ve´ge´re. Nyolcvan e´vvel ke´s˝ obb Gauss arra lett figyelmes, hogy amennyiben nagy sza´mu ´ fo ¨ldrajzi vagy csillaga´szati megfigyele´s eredme´nye´t jelenı´ti meg, azok igen er˝ osen emle´keztetnek de Moivre go ¨rbe´je´re. Egy fo ¨ldi vagy csillaga´szati ta´volsa´g to ¨bb-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

272

Ese´lylatolgata´s

szo ¨ri megme´re´se´nek eredme´nyeib˝ ol az ´atlage´rte´k ko ¨ru ¨ li harangot forma´zo ´ alakzatot kapott. A me´re´sek kiku ¨ szo ¨bo ¨lhetetlen hiba´ja, u ´ gy t˝ unik, a norma´lis eloszla´st ko ¨veti. A haranggo ¨rbe´t imma´r nem a ve´letlen eseme´nyek geometriai minta´zata´nak, hanem a me´re´sek hiba´ja´bo ´l ered˝ o ko ¨vetkezme´nynek tekintve Gauss ra´jo ¨tt, hogy a norma´lis eloszla´snak bizonyos adatok meghata´roza´sa´ban is haszna´t veheti. A haranggo ¨rbe alapja´n pe´lda´ul meghata´rozhato ´ az egyes me´re´sek pontossa´ga´nak valo ´szı´n˝ use´ge, annak minta´ja´ra, ahogy egy kockadoba´s-sorozat va´rhato ´ eredme´nyeinek valo ´szı´n˝ use´gei is megbecsu ¨ lhet˝ ok. Mine´l ko ¨zelebb van valamely me´rt eredme´ny a ko ¨ze´pe´rte´khez, anna´l nagyobb annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy a pontos e´rte´ket adja meg. S ezzel a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s Pascal, Fermat, a Bernoullik e´s ma´sok ´altal kidolgozott mo ´dszerei a rulettasztalto ´l elszakadva imma´r a valo ´ vila´gban is megtala´lta´k alkalmaza´sukat. Gauss e´rdemeire tekintettel a norma´lis eloszla´st Gauss-eloszla´snak is nevezik. A haranggo ¨rbe gaussi alkalmaza´sa´nak alapja egy technikai jelleg˝ u fogalom volt, melyet me´g de Moivre vezetett be. Manapsa´g ezt szo ´ra´snak nevezzu ¨ k, e´rte´ke azt me´ri, hogy bizonyos megfigyele´sek mennyiben tekinthet˝ ok a sokasa´g ege´sze´re ´ gy kapjuk meg, hogy kisza´mı´tjuk, mennyire vonatkozo ´an reprezentatı´vnak. U te´rnek el a megfigyelt e´rte´kek az ´atlagto ´l. Norma´lis eloszla´s esete´n az adatok hozza´vet˝ olegesen 68%-a a ko ¨ze´pe´rte´k egy szo ´ra´snyi ko ¨rnyezete´be esik, ke´tszer ekkora intervallum pedig ma´r az adatok 95%-a´t maga´ba foglalja. Ez a magyara´zata annak, hogy amikor u ´ jsa´gokban statisztikus vizsga´latok eredme´nyeit ko ¨zlik, ´altala´ban feltu ¨ ntetik a szo ´ra´s nagysa´ga´t is. Me´lta´n ta´madhatnak ke´telyeink, ha ezt elmulasztja´k. Elve´gre az ember, akinek feje a ka´lyha´ban, la´ba pedig a h˝ ut˝ oszekre´nyben van, „a´tlagban” e´ppen jo ´l e´rzi maga´t – de micsoda elte´re´s van a „sze´ls˝ ose´gek” ko ¨zo ¨tt! Ha figyelembe vesszu ¨ k a statisztika´nak az e´letu ¨ nkben ja´tszott jelent˝ ose´ge´t, a haranggo ¨rbe´t korunk egyik jelke´pe´nek is tekinthetju ¨ k. Segı´tse´ge´vel a legku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ obb eseme´nyek valo ´szı´n˝ use´ge´t sza´mı´thatjuk ki, s a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s eredme´nyeit a valo ´ vila´g jelense´geire is alkalmazhatjuk. Az ´altala´nos esetben, ba´rmekkora nagy is a vizsga´lt o ¨sszesse´g, amelyben az egyes tagokna´l me´rt e´rte´kek egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenek, a haranggo ¨rbe azonnal felt˝ unik, s Gauss mo ´dszere´vel mindja´rt meg´te ı ´lhetju ¨ k, adataink mennyire megbı´zhato ´ak. A biztosı´to ´ta´rsasa´gok Gauss nyomdokain haladva ´allapı´tja´k meg dı´jaikat, a va´llalatok vezet˝ oi ilyen mo ´don do ¨ntenek u ´ j piacok megho ´dı´ta´sa´ro ´l, a korma´nyok a ko ¨vetend˝ o politika´ro ´l, a tana´rok a dolgozatok eredme´nyeir˝ ol, a ke´rdez˝ obiztosok ´altal begy˝ ujto ¨tt adatokat ilyesfajta vizsga´latnak vetik ala´, s ennek megfelel˝ oen vonja´k le a ko ¨vetkeztete´seket, a kutato ´orvosok ´gy ı tesztelik az u ´ j mo ´dszerek hate´konysa´ga´t, a ko ¨zgazda´szok a gazdasa´gi eredme´nyeket, a biolo ´gusok a no ¨ve´nyek no ¨vekede´se´t s a pszicholo ´gusok emberta´rsaik viselkede´se´t.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Bayes tiszteletes

273

Bayes tiszteletes A modern vila´gban szu ¨ ntelen adatok to ¨mkelege´vel ´allunk szemben, a statisztikus (valo ´szı´n˝ use´gi jelleg˝ u) ko ¨vetkeztete´sek jelent˝ ose´ge enne´lfogva egyre jobban fele´rte´kel˝ odik. Az adatok jelent˝ os re´sze rejtve marad el˝ ottu ¨ nk, nem is ´all mo ´dunkban ellen˝ orizni, minek ko ¨vetkezte´ben reaga´lni sem tudunk ra´juk. Mike´nt tekintsu ¨ nk az ele´nk keru ¨ l˝ o statisztika´kra? Hogyan e´rtelmezzu ¨ k azt a tengernyi kvantitatı´v e´s statisztikus informa´cio ´t, amellyel nap mint nap bomba´znak bennu ¨ nket az u ´ jsa´gok lapjain, a ra´dio ´ban, a televı´zio ´ban vagy a munkahelyu ¨ nko ¨n? Gyakran keru ¨ lu ¨ nk olyan helyzetbe, amikor ege´szse´gu ¨ nket, otthonunkat vagy munka´nkat e´rint˝ o ke´rde´sekben statisztikus adatokon alapulo ´ do ¨nte´st kell hoznunk – helyesen do ¨ntu ¨ nk-e ilyenkor? A va´lasz sajna´latos mo ´don az, hogy effe´le helyzetekben nagyon gyenge´n muzsika´lunk. Az evolu ´ cio ´ to ¨bb sza´zezer e´ve alatt a terme´szet sza´mos adottsa´ggal felruha´zott bennu ¨ nket, pe´lda´ul a nyelvhaszna´lattal e´s a veszedelmes helyzetekb˝ ol valo ´ meneku ¨ le´s o ¨szto ¨ne´vel. Az evolu ´ cio ´ azonban ado ´s maradt a statisztikus e´s valo ´szı´n˝ use´gi jelleg˝ u adatok kezele´se´nek ke´pesse´ge´vel – e´letu ¨ nkben ugyanis ezek csak a leguto ´bbi id˝ oben va´ltak ku ¨ lo ¨no ¨sen fontossa´. Amennyiben adataink numerikus jelleg˝ uek, gyakran a matematika´ra kell ta´maszkodnunk. Gauss vizsga´lata´nak ha´la, a haranggo ¨rbe e´s a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s mo ´dszerei biztos alapot nyu ´ jtanak. Ha ezeket ko ¨vetju ¨ k, ne´ha arra is ra´ kell do ¨bbennu ¨ nk, hogy szemle´letu ¨ nk milyen fe´lrevezet˝ o is tud lenni. Tegyu ¨ k fel pe´lda´ul, hogy orvosunk egy viszonylag ritka, a lakossa´g hozza´vet˝ olegesen 1 sza´zale´ka´t megta´mado ´ ra´kbetegse´g sz˝ ur˝ ovizsga´lata´ra ku ¨ ld el bennu ¨ nket. Az eddigi eredme´nyek azt mutatja´k, hogy a vizsga´lat megbı´zhato ´sa´ga 79 sza´zale´kos. Pontosabban, a vizsga´lat mindig felfedi a betegse´get, ´am az ege´szse´gesek 21 sza´zale´ka´na´l is pozitı´vnak bizonyul; az ilyeneket „hamis pozitı´v” eredme´nyeknek nevezhetju ¨ k. Tegyu ¨ k fel, hogy a vizsga´lat eredme´nye pozitı´v. Mi a valo ´szı´n˝ use´ge annak, hogy valo ´ban betegek vagyunk? A legto ¨bben a ko ¨vetkez˝ oke´ppen okoskodna´nak: mivel a teszt megbı´zhato ´sa´ga 80%-os, ennek megfelel˝ oen annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy betegek vagyunk, ugyancsak hozza´vet˝ olegesen 80 sza´zale´k (valo ´szı´n˝ use´ge´nek e´rte´ke teha´t 0,8). Igazuk van? Nincs. A fenti adatok alapja´n a szo ´ban forgo ´ valo ´szı´n˝ use´g csupa´n 4,6 sza´zale´kos (azaz e´rte´ke 0,046) – ami szinte´n riaszto ´ ugyan, de kora´ntsem olyan me´rte´kben, mint a ve´gzetesnek t˝ un˝ o nyolcvan sza´zale´k. Hogyan kaptuk vajon ezt az eredme´nyt? Az itt alkalmazando ´ matematikai elme´let kidolgoza´sa egy tizennyolcadik sza´zadban e´lt angol tiszteletes, Thomas Bayes e´rdeme. Bayes mo ´dszere abban van segı´tse´gu ¨ nkre, hogy meghata´rozzuk valamely E eseme´ny valo ´szı´n˝ use´ge´t (esetu ¨ nkben annak valo ´szı´n˝ use´ge´t, hogy te´nylegesen ra´kunk van), amennyiben ismerju ¨k

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

274

Ese´lylatolgata´s

1. E valo ´szı´n˝ use´ge´t, mindenfe´le ala´ta´maszto ´ bizonyı´te´k ne´lku ¨ l; 2. az E-t ala´ta´maszto ´ bizonyı´te´kot; valamint 3. e bizonyı´te´k megbı´zhato ´sa´ga´t (annak valo ´szı´n˝ use´ge´t teha´t, hogy a bel˝ ole levonhato ´ ko ¨vetkeztete´s megfelel a valo ´sa´gnak). Pe´lda´nkban az 1. pontbeli valo ´szı´n˝ use´g 0,01, a 2. pontbeli bizonyı´te´k az, hogy tesztu ¨ nk pozitı´vnak bizonyul, amelynek megbı´zhato ´sa´ga esetu ¨ nkben 79 sza´zale´kos. Az eredme´ny szempontja´bo ´l mindha´rom informa´cio ´ra szu ¨ kse´gu ¨ nk van, s a betegse´g valo ´szı´n˝ use´ge´nek meghata´roza´sa´hoz a helyes mo ´don kell velu ¨ k sza´molni. Miel˝ ott a sza´mı´ta´s re´szleteibe meru ¨ lne´nk, bemutatunk me´g egy pe´lda´t, amelyben szemle´letu ¨ nk ugyancsak megcsalna minket, s amelyben ugyancsak Bayes matematika´ja siet segı´tse´gu ¨ nkre. Ke´pzelju ¨ nk el egy va´rost, amelyben ke´t taxi-ta´rsasa´g m˝ uko ¨dik, a Ke´k Taxi e´s a Fekete Taxi. A Ke´k Taxi tizeno ¨t, a Fekete Taxi nyolcvano ¨t kocsit u ¨ zemeltet. Egy e´jszaka egy taxi balesetet okoz, de tova´bbhajt. A baleset ideje´n a va´ros mind a sza´z taxija szolga´latban volt. Egy szemtanu ´ azt ´allı´tja, ke´k taxit la´tott. A rend˝ orse´gen a tanu ´ t vizua´lis tesztnek vetik ala´, amelyben azt vizsga´lja´k, hasonlo ´ – e´jszakai – ko ¨ru ¨ lme´nyek ko ¨zo ¨tt mennyire ke´pes helyesen mega´llapı´tani a szı´neket. Mikor ve´letlenszer˝ u sorrendben fekete e´s ke´k taxik hajtanak el el˝ otte, o ¨t alkalombo ´l ¨ tb˝ ´atlagosan ne´gyszer sikeru ¨ lt a valo ´di szı´nt felismernie. (O ol egyszer a ke´k auto ´t feketeke´nt, vagy a fekete´t ke´kke´nt azonosı´totta.) Az ismertetett adatok alapja´n a kedves Olvaso ´ vajon melyik ta´rsasa´gra gyanakodna? A szemtanu ´ valloma´sa alapja´n feltehet˝ oen arra a ko ¨vetkeztete´sre jut, hogy ke´k taxiro ´l van szo ´. Aka´r me´g ennek ese´lye´t is megbecsu ¨ lheti: annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy az illet˝ o te´nyleg ke´k taxit la´tott, ne´gy az egyhez (a valo ´szı´n˝ use´g teha´t 0,8), ami persze megegyezik a szemtanu ´ „megbı´zhato ´sa´ga´nak” me´rte´ke´vel. Ha Bayes mo ´dszere alapja´n sza´molunk, kideru ¨ l, a dolog nem ´gy ı ´all. Adataink alapja´n annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy a balesetet ke´k auto ´ okozta, csupa´n 0,41. Ez az e´rte´k pedig kevesebb, mint 0,5 – nagyobb teha´t annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy me´giscsak fekete taxiro ´l van szo ´. A magyara´zat a ko ¨vetkez˝ o: hajlamosak vagyunk eltekinteni atto ´l a ko ¨ru ¨ lme´nyt˝ ol, hogy „vakon” ra´mutatva egy taxira a va´rosban, annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy fekete: 0,85. Bayes mo ´dszere´t ko ¨vetve ilyen hiba´t nem ko ¨vetu ¨ nk el. Ha a szemtanu ´ to ´l eltekintu ¨ nk, annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy a balesetet egy fekete ´szı´n˝ use´ge taxi okozta, megegyezik a fekete taxik ara´nya´val, 0,85-tel. Annak valo teha´t, hogy a szo ´ban forgo ´ taxi ke´k, miel˝ ott megtala´lta´k a szemtanu ´ t, viszonylag alacsony: 0,15. Ez az 1. pontban emlı´tett valo ´szı´n˝ use´g, amit alap-valo ´szı´n˝ use´gnek is nevezu ¨ nk: a „dolgok ´alla´sa´n” alapul, fu ¨ ggetlenu ¨ l minden tanu ´ bizonysa´gto ´l. Miuta´n a szemtanu ´ azonosı´totta az auto ´ szı´ne´t, annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy te´nyleg ke´k kocsiro ´l van szo ´, valo ´ban megn˝ ott – de kora´ntsem akkora me´rte´kben, hogy ele´rje a tanu ´ megbı´zhato ´sa´ga´nak 0,8-es me´rte´ke´t. E megbı´zhato ´sa´got ugyanis az eredeti 0,15%-os alap-valo ´szı´n˝ use´ggel egyu ¨tt kell figyelembe venni, a

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Bayes tiszteletes

275

helyes e´rte´ket ´gy ı kapjuk meg. Bayes mo ´dszere pontosan megmondja, mi a teend˝ o. Eszerint annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy a b˝ uno ¨s egy ke´k taxi volt, a ko ¨vetkez˝ o formula´val fejezhet˝ o ki (amelyben P(E) jelo ¨li az E eseme´ny valo ´szı´n˝ use´ge´t):

P(a taxi ke´k) · P(a tanu ´ nak igaza van) . P(a taxi ke´k) · P(a tanu ´ nak igaza van) + P(a taxi fekete) · P(a tanu ´ te´ved)

A sza´me´rte´keket behelyettesı´tve

0,15 · 0,8 , 0,15 · 0,8 + 0,85 · 0,2 ami a sza´mı´ta´sok elve´gze´se uta´n 0,12 0,12 = ≈ 0,41. 0,12 + 0,17 0,29 Hogyan is jutottunk el ehhez az eredme´nyhez? 8 A tanu ´ szerint az ´altala la´tott taxi ke´k volt. Az esetek 10 -ed re´sze´ben „megla´ta´sa” helyesnek bizonyult. Ha az adott ko ¨ru ¨ lme´nyek ko ¨zo ¨tt taxik szı´ne´t kellett volna azonosı´tania, ha´ny esetben ´allı´totta volna azt, hogy a taxi ke´k volt? A tizeno ¨t ke´k taxi nyolcvan sza´zale´ka´t, azaz tizenkett˝ ot helyesen ke´kke´nt azonosı´tott volna. (Effe´le gondolatmenetekben feltehetju ¨ k, hogy a taxik sza´ma pontosan megfelel a valo ´szı´n˝ use´geknek.) A szemtanu ´ a 85 fekete taxi 20 sza´zale´ka´t, 17-et – helytelenu ¨ l – ugyancsak ke´kke´nt azonosı´totta volna. (Megint csak a taxik sza´ma´val okoskodunk.) Szemtanu ´ nk teha´t o ¨sszesen 100-bo ´l 29 esetben la´tott volna ke´k taxit. Valo ´ja´ban teha´t 29 taxival kell sza´molnunk. A szo ´ba jo ¨het˝ o 29 taxibo ´l 12 te´nylegesen ke´k. Azon az alapon teha´t, amit a tanu ´ ´allı´t, annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy a taxi ke´k volt, 12 , ko ¨ zelı ´t˝ o leg 0,41 . 29 A ra´kvizsga´lat esete´ben hasonlo ´ gondolatmenet vezet a ko ¨zo ¨lt ve´geredme´nyhez. Ide´zzu ¨ k fel u ´ jra adatainkat: a szo ´ban forgo ´ betegse´g gyakorisa´ga 1%, a teszt ´bbi azt jelenti, hogy a ra´kot, amennyiben vamegbı´zhato ´sa´ga pedig 79%-os, ez uto lo ´ban jelen van, biztosan kimutatja, azonban az ege´szse´gesek 21%-a´na´l is – hamis – pozitı´v eredme´nyt ad. Ko ¨vessu ¨ k a taxis gondolatmenetet. Hogy a sza´mı´ta´s egyszer˝ ubb legyen, te´telezzu ¨ k fel, hogy a lakossa´g le´leksza´ma 10 000 f˝ o. Mivel kiza´ro ´lag (sza´zale´kos) ara´nyokro ´l van szo ´, ez az egyszer˝ usı´te´s az eredme´nyt nem befolya´solja. Mike´nt a taxik esete´ben, azt is feltesszu ¨ k, hogy a sza´madatok to ¨ke´letes pontossa´ggal megfelelnek a valo ´szı´n˝ use´geknek, azaz a 10 000 f˝ onyi ne´pesse´gb˝ ol 100 szenved a szo ´ban forgo ´ betegse´gben, 9 900 pedig nem. Ha nem vetju ¨ k ala´ magunkat a vizsga´latnak, csupa´n annyit tudunk: annak valo ´szı´n˝ use´ge, hogy a ko ´r megta´madott bennu ¨ nket, e´ppen 1 sza´zale´k. A vizsga´lat pozitı´v eredme´nye mike´nt va´ltoztat e valo ´szı´n˝ use´gen? Van 100 lakos, akikne´l a vizsga´lat helyesen azonosı´tana´ a betegse´get.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

276

Ese´lylatolgata´s

A marade´k 9 900 f˝ o 21%-a´na´l a teszt ugyancsak – ezu ´ ttal persze hamisan – pozitı´v eredme´nyt adna, 9 900 · 0,21 = 2 079 f˝ ot azonosı´tva (te´vesen) ra´kbetegke´nt. Mindent o ¨sszevetve teha´t a vizsga´lat 100 + 2 079 = 2 179 szeme´ly esete´ben adna pozitı´v eredme´nyt. Ha tesztu ¨ nk pozitı´v, ezek ko ¨zo ¨tt vagyunk. (Ennyi, s nem to ¨bb, amire a pozitı´v eredme´nyb˝ ol ko ¨vetkeztethetu ¨ nk.) A ke´rde´s ma´r „csak” az: vajon abba a csoportba tartozunk, amelynek tagjai te´nylegesen betegek, vagy abba, amelynek tagjaina´l a pozitı´v eredme´ny te´vede´sb˝ ol sza´rmazik? o ko ¨zu ¨ l 100 beteg – annak valo ´szı´n˝ uA vizsga´lat ´altal „gyanu ´ ba hozott” 2 179 f˝ se´ge teha´t, hogy ez uto ´bbi csoportba tartozunk, 100/2 179 ≈ 0,046. Annak ese´lye teha´t, hogy betegek vagyunk, ko ¨zelı´t˝ oleg csupa´n 4,6%. Ez persze ele´gge´ aggaszto ´. De messze nem annyira, mint az els˝ o gondolatke´nt felmeru ¨ lt 79%. A pe´lda mutatja, milyen ko¨vetkezme´nyekkel ja´r, ha nem vesszu ¨ k tekintetbe az els˝ odleges, esetu ¨ nkben a lakossa´g ege´sze´nek ege´szse´gi ´allapota´ra vonatkozo ´ valo ´szı´n˝ use´geket. Szı´nre le ´p az a ´ tlagember A statisztika korszaka´nak hajnala´n u ´ j teremtme´ny t˝ unt fel a porondon: az a´tlagember. Senki nem tala´lkozhat vele. Nem e´l ko ¨zo ¨ttu ¨ nk, nem a mi leveg˝ onket ´ ppu o „a´tlagos le´legzi be. E ´ gy, mint ke´sei lesza´rmazottja, a 2,4 gyermeket nevel˝ amerikai csala´d”, a statisztikusok agyszu ¨ leme´nye, aki a haranggo ¨rbe alo ´l pattant ki. Els˝ o szı´nrele´pe´se´nek ideje 1835, helyszı´ne a belga polihisztor, Lambert Que´ rtekeze´s az emberr˝ telet E ol ´es az emberi ke´pesse´gek kifejl˝ ode´se´r˝ ol cı´m˝ u ko ¨nyve. Quetelet a statisztika tudoma´nya´nak egyik els˝ o hı´ve volt, a te´ma´ro ´l ha´rom ko ¨nyvet is ´rt, ı s aktı´v szerepet ja´tszott to ¨bb ta´rsasa´g, to ¨bbek ko ¨zo ¨tt az Angol Kira´lyi Statisztikai Ta´rsasa´g megalapı´ta´sa´ban, valamint a Nemzetko ¨zi Statisztikai ˝ tala´lta ki azon ke´pzeKongresszus szerveze´se´ben. A l’homme moyen kifejeze´st o letbeli „szeme´ly” megneveze´se´re, akiben a statisztikusok vizsga´latainak eredme´nyei mintegy testet o ¨ltenek. De Moivre a ve´letlen mintave´telek elemze´se sora´n fedezte fel a haranggo ¨rbe´t, amelyr˝ ol ke´s˝ obb Gauss megmutatta, mike´nt alkalmazhato ´ fo ¨ldrajzi e´s csillaga´szati me´re´sek kie´rte´kele´se sora´n. Quetelet a ta´rsadalmi le´pte´k˝ u elemze´sekben vette haszna´t, nevezetes ´atlagembere ´eppen a haranggo ¨rbe ko ¨ze´ppontja´ban foglal helyet. Hatalmas mennyise´g˝ u adatot o ¨sszegy˝ ujtve e ke´pzeletbeli le´ny sza´mos – fizikai, menta´lis, viselkede´sbeli – saja´tossa´gait felsorolta, me´ghozza´ annak fu ¨ ggve´nye´ben, hogy „az illet˝ o” – kora, foglalkoza´sa, sza´rmaza´sa e´s ma´s te´nyez˝ ok szerint – melyik ta´rsadalmi csoport tagja. Munka´ssa´ga´nak ke´t hajto ´ereje is volt. Az els˝ o a statisztikai vizsga´lo ´da´s ira´nti olthatatlan szomja. Soha nem mulasztotta volna el, hogy sza´moljon vagy me´rjen, ha erre alkalma ado ´dott. Megvizsga´lta a halando ´sa´got a kor, a foglalkoza´s, a ¨ sszegy˝ helyszı´n fu ¨ ggve´nye´ben, bo ¨rto ¨no ¨kben e´ppu ´ gy, mint ko ´rha´zakban. O ujto ¨tte a re´szegekre, az elmeha´borodottakra, az o ¨ngyilkosokra e´s a b˝ uno ¨z˝ okre vonatkozo ´

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Szı´nre le´p az a´tlagember

277

´t katona mellb˝ ose´ge´t, ma´skor 100 000 francia adatokat. Egy alkalommal 5 738 sko u ´ jonc testmagassa´ga´t vette sza´mba. Ma´sodszor, meggy˝ oz˝ ode´se volt, hogy adataival befolya´solhatja a szocia´lpolitika´t. Elemze´seivel arra akart fe´nyt derı´teni, vajon mi az, ami miatt az emberek szı´vesebben va´lasztanak egy csoportot valamely ma´sik ellene´ben. E ce´lbo ´l minden esetben igyekezett, hogy feldolgozando ´ adatai a haranggo ¨rbe szerinti eloszla´st mutassa´k, meggy˝ oz˝ ode´se szerint ugyanis ezen eloszla´snak minden esetben meg kellett jelennie. Meggy˝ oz˝ ode´se olyan er˝ os volt, hogy olyankor is kimutatta a Gauss-go ¨rbe szerinti eloszla´st, amikor a valo ´sa´gban semmi effe´le nem mutatkozott. Mint azt napjaink statisztikusai nagyon jo ´l tudja´k, az adatokbo ´l, ha jo ´l manipula´ljuk azokat, tetsz˝ oleges minta´zatot ki lehet mutatni. Az objektivita´s azonban minden effe´le munka els˝ o sza´mu ´ ko ¨vetelme´nye. Ha u ´ gy la´tunk hozza´ az adatgy˝ ujte´shez, hogy ma´r el˝ ore tudjuk, mit fogunk vele ala´ta´masztani, meglehet˝ osen ingova´nyos talajra te´vedu ¨ nk. Mo ´dszertani te´vede´sei ellene´re Quotelet az els˝ o, aki a norma´lis eloszla´st ta´rsadalmi vonatkoza´su ´ adatok elemze´se sora´n haszna´lta fel, s els˝ oke´nt vette ige´nybe a matematika mo ´dszereit ta´rsadalmi jelense´gek okainak felta´ra´sa´ra. Szeme´lye´ben teha´t a korunkra olyannyira jellemz˝ o, statisztikusan megalapozott szocia´lpolitika egyik u ´ tto ¨r˝ oje´t tisztelhetju ¨ k. Quetelet nyomdokaiba az angol John Galton, Charles Darwin unokatestve´re le´pett. A statisztika ira´nti szenvede´lye´t˝ ol veze´relve 1884-ben megalapı´totta Antropometriai Laborato ´riuma´t, amelynek ce´lkit˝ uze´se az emberi test minden re´szletre kiterjed˝ o alapos vizsga´lta volt. Az ujjlenyomatokra vonatkozo ´ eredme´nyek, s Galton 1893-ban megjelent, e te´ma´ju ´ ko ¨nyve adta´k az indı´ttata´st ahhoz, hogy az ujjlenyomat-ellen˝ orze´s a rend˝ orse´g jo ´l beva´lt e´s sze´les ko ¨rben alkalmazott mo ´dszere´ve´ va´ljon. Mike´nt Quetelet, Galton is a haranggo ¨rbe elega´ns szimmetria´ja´nak megsza´l˝ is u lottja volt, s mike´nt el˝ odje, o ´ gy e´rezte, e minta´zatnak mindenu ¨ tt meg kell jelennie. Egy alkalommal 7 634 cambridge-i matematika-vizsgadolgozatot vetett elemze´s ala´, s eredme´nyu ¨ l to ¨ke´letes haranggo ¨rbe´t kapott. Ugyancsak norma´lis eloszla´st ´allapı´tott meg a sandhurst-i Kira´lyi Katonai Iskola leend˝ o no ¨vende´kei felve´teli vizsgaeredme´nyeinek eloszla´sa´ban. S mike´nt Quetelet, Galton is saja´tos ce´l e´rdeke´ben teve´kenykedett. A ku ¨ lo ¨nleges tehetse´gekben b˝ ovelked˝ o Darwin csala´d sarja, nagyapja, Erasmus Darwin neves orvos e´s polihisztor, akinek 1796-os Zoono ´mia, avagy a genera´cio ´k elme´lete cı´m˝ u ko ¨nyve sok tekintetben megel˝ olegezte a hatvanha´rom e´vvel ke´s˝ obbi, Charles, a hı´res unoka tolla´bo ´l megjelen˝ o A fajok eredete´t. Galton teha´t olyan ko ¨rnyezetben n˝ ott fel, amelyet joggal nevezhetu ¨ nk az intellektua´lis cre`me de la cre`me-nek, s nagyapja elme´lete alapja´n u ´ gy ve´lte, bizonyos tehetse´gek valo ´ban o ¨ro ¨ko ¨lhet˝ ok. Az o ¨ro ¨ko ¨lt vona´sok tanulma´nyoza´sa´nak eredme´nyeit 1869-ben megjelent, Az o ¨ro ¨klo ¨tt zsenialita´s cı´m˝ u ko ¨nyve´ben foglalta o ¨ssze. 1883-ban az

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

278

Ese´lylatolgata´s

˝ vezette be teha´t a ko ´altala ke´pviselt tudoma´nynak az eugenika nevet adta, o ¨ztudatba azt a terminust, amelyet a na´cik tettek hı´rhedte´, faji politika´juk „tudoma´nyos” igazola´sake´nt. A „fels˝ obbrend˝ u faj” megjelene´se´t jo ´solo ´ „eugenikai” eredme´nyek valo ´ja´ban ˝ reverzio szo ¨ges ellente´tben ´alltak Galton legjelent˝ osebb te´zise´vel, amelyet o ´nak nevezett, s amelyet az uto ´kor a ko ¨ze´pe´rte´khez valo ´ visszate´re´s (regresszio ´) to ¨rve´nyeke´nt tart sza´mon. A regresszio ´ annak a monda´snak a statisztikus megfelel˝ oje, mely szerint „egyszer fent, ma´sszor lent”. Ba´rmely sokasa´gban megfigyelhet˝ o tendencia, hogy az egyedek egyre inka´bb megko ¨zelı´tik a haranggo ¨rbe csu ´ csa´t jellemz˝ o ´atlage´rte´ket. Ba´r egy felme´re´sben Galton 286 bı´ro ´ fiu ´ gyermekeinek pa´lya´ja´t vette szemu ¨ gyre, s azt tala´lta, hogy a fiu ´ k maguk is bı´ra´k, magas rangu ´ katonatisztek, ko ¨lt˝ ok, rege´nyı´ro ´k e´s orvosok lettek, ma´s vizsga´lataibo ´l azt a ko ¨vetkeztete´st sz˝ urte le, hogy a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ira´nyu ´ tehetse´gek nem jelennek meg va´ltozatlanul a jo ¨v˝ o genera´cio ´iban. Egy alkalommal mega´llapı´totta, hogy kiva´lo ´ emberek egy csoportja´ban ´ kia fiaknak ma´r csak 36, az unoka´knak pedig mindo ¨ssze 9%-a mutatott hasonlo va´lo ´sa´got. A haranggo ¨rbe´t, u ´ gy t˝ unt, sokkal inka´bb az eugenika csapda´ja´nak, mintsem el˝ o´ra ı ´sa´nak kell tekinteni. Ma´sik alkalommal borso ´szemek ezreit me´rte meg, hogy mind a tı´z fajta´bo ´l he´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o me´ret˝ ut tudjon elku ¨ lo ¨nı´teni. A fajta´kat tı´z csoportba osztotta, s mindegyikbe mind a he´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o me´retb˝ ol va´lasztott egy-egy szemet. Egy ilyen csoportot megtartott maga´nak, kilenc ma´sikat pedig sze´tku ¨ ldo ¨tt a Brit Szigetek ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o szegleteibe, meghata´rozott, minden re´szletre kiterjed˝ o utası´ta´sokkal arra vonatkozo ´an, hogy mike´nt u ¨ ltesse´k el. Mikor a borso ´szemek kikeltek, s u ´j magokat hajtottak, Galton bara´tai visszaku ¨ ldte´k neki a terme´st, hogy u ´ jra o ¨sszevethesse a magok me´rete´t. A kı´se´rlet azt is ala´ta´masztotta ugyan, hogy a nagyobb borso ´szemekb˝ ol nagyobb magok sza´rmaznak, a legfontosabb eredme´ny me´gis az volt, hogy a ko ¨ze´pe´rte´khez valo ´ visszate´re´s to ¨rve´nye u ´ jfent igazola´st nyert. Az eredeti minta borso ´szemeinek me´rete 15 e´s 21 sza´zad hu ¨ velyk ko ¨zo ¨tt mozgott, a visszaku ¨ ldo ¨tt ¨ velyknyi hosszu ´ volt. borso ´k ko ¨zo ¨tt a legkisebb 15,4, a legnagyobb 17,3 hu Ugyanerre az eredme´nyre jutott Galton akkor is, amikor 205 ha´zaspa´r 928 feln˝ ott gyermeke´t vizsga´lta meg. Egy apro ´ kis proble´ma mindazona´ltal megmaradt. A ko ¨ze´pe´rte´khez valo ´ viszszate´re´s te´ny – de vajon mi a magyara´zata? Ba´r maga´t a mechanizmust nem ismerte, Galton u ´ gy ve´lte, a magyara´zat ve´letlen eseme´nyekben keresend˝ o. Sejte´se´t a nevezetes, azo ´ta Galton-deszkake´nt sza´mon tartott kı´se´rleti eszko ¨zzel ellen˝rizte. o A Galton-deszka fa´bo ´l e´s u ¨ vegb˝ ol ke´szu ¨ lt ve´kony ke´tre´teg˝ u lemez, amelyet fu ¨ gg˝ olegesen fela´llı´tunk, s apro ´ labda´kat ejtu ¨ nk ra´. A labda´k pa´lya´ja´t a deszka´ba szaba´lyos rendben bevert szegek hata´rozza´k meg. Mid˝ on a labda valamelyik szegnek u ¨ tko ¨zik, ugyanakkora valo ´szı´n˝ use´ggel pattanhat jobbra, mint balra. Ezuta´n

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A ve´letlen absztrakt minta´zatai

279

u ´ jabb szo ¨get tala´l el, amelyr˝ ol megint csak ke´t ira´nyban pattanhat tova´bb: ´gy ı folytatja u ´ tja´t, mı´g le nem e´r a ta´bla alja´ra. A Galton-deszka´val to ¨ke´letesen ve´letlen eseme´nysorozatokat valo ´sı´thatunk meg, amelyek a labda´k jobbra, illetve balra pattana´saibo ´l ´allnak o ¨ssze. Mikor egy labda´t u ´ tja´ra engedu ¨ nk, fogalmunk sincs, hol fogja befejezni kacskaringo ´s u ´ tja´t. Ha azonban nagy sza´mu ´ labda´val ja´tsszuk el ugyanezt, meglehet˝ os pontossa´ggal el˝ ore jelezhetju ¨ k, hol fog a labda´k to ¨bbse´ge fo ¨ldet e´rni. Mi to ¨bb, megjo ´solhatjuk, hogy a deszka alja´ra e´rt labda´k milyen alakzatban fognak felhalmozo ´dni. Mike´nt azt Galton maga is mega´llapı´totta, az eredme´ny egy haranggo ¨rbe. S ezzel megvolt a va´lasz a ke´rde´sre. A ko ¨ze´pe´rte´khez valo ´ visszate´re´s valo ´ban a ve´letlen hata´sa´nak tudhato ´ be, amely kiegyenlı´t minden olyan tendencia´t, melynek alapja´n a szu ¨ l˝ ok „ku ¨ lo ¨nleges” (teha´t az ´atlagto ´l ta´vol es˝ o) ke´pesse´geiket megpro ´ba´lja´k gyermekeikre ´atruha´zni. Hasonlo ´ke´ppen, a ve´letlen elte´re´sek okozza´k az ´atlagoshoz valo ´ visszate´re´st a focicsapatok, a baseball-u ¨ t˝ oja´te´kosok e´s a szimfonikus zenekarok teljesı´tme´nye´ben csaku ´ gy, mint az id˝ oja´ra´sban. A ve ´letlen absztrakt minta ´ zatai Korunk statisztikusai az adatgy˝ ujte´s mo ´dszereit olyan m˝ uve´szi to ¨ke´lyre fejlesztette´k, hogy ma´r ku ¨ lo ¨nlegesen pontos el˝ orejelze´sekre is ke´pesek. El˝ ore meg tudja´k jo ´solni jo ¨v˝ obeli eseme´nyek kimenetele´t a mu ´ ltban to ¨rte´ntek, s a teljes popula´cio ´ jellemz˝ oit egy sz˝ uk minta alapja´n. Az e´let nagyon is el˝ orejelezhetetlen vila´ga´t ´gy ı szinte olyan pontossa´ggal ke´pesek vizsga´lni, amilyen pontossa´gra a tizenhatodik e´s a tizenhetedik sza´zad matematikusai csak a szerencseja´te´kok vonatkoza´sa´ban voltak ke´pesek. A tiszta matematika m˝ uvel˝ oi id˝ oko ¨zben maga´nak a valo ´szı´n˝ use´gnek a minta´zatait kutatta´k. A tudoma´nyt – Euklide´sz geometria´ja´nak minta´ja´ra – axiomatikus alapokra kı´va´nta´k helyezni. A valo ´szı´n˝ use´g els˝ o, azo ´ta sze´les ko ¨rben elfogadott axio ´marendszere´t A. N. Kolmogorov orosz matematikus dolgozta ki a huszadik sza´zad harmincas e´veiben. Elme´lete szerint a valo ´szı´n˝ use´g olyan fu ¨ ggve´ny, amely bizonyos halamazokhoz 0 e´s 1 ko ¨zo ¨tti valo ´s sza´mokat rendel. Azon halmazok egyu ¨ ttese´t, amelyen e fu ¨ ggve´ny e´rtelmezve van, manapsa´g halmaztestnek nevezzu ¨ k; ez a ko ¨vetkez˝ oket jelenti. Valamennyi halmaz egy U alaphalmaz re´szhalmaza, s o ¨sszesse´gu ¨ knek maga az U is eleme; a halmaztest ba´rmely ke´t eleme´nek unio ´ja e´s metszete, s valamennyi elem U-ra vonatkozo ´ komplementuma is a halmaztesthez tartozik. A valo ´szı´n˝ use´g-fu ¨ ggve´nyre vonatkozo ´an Kolmogorov ke´t kiko ¨te´st tett: El˝ oszo ¨r, az u ¨ res halmazhoz a 0, maga´hoz az U-hoz pedig az 1 e´rte´ket kell rendelnie. Ma´sodszor, kiko ¨to ¨tte, hogy amennyiben ke´t halmaznak nincs ko ¨zo ¨s eleme, akkor az unio ´jukhoz rendelt fu ¨ ggve´nye´rte´k a hozza´juk rendelt fu ¨ ggve´nye´rte´kek o ¨sszege legyen.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

280

Ese´lylatolgata´s

Az absztrakcio ´nak ezen a szintje´n kideru ¨ lt, a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s szoros kap´ mile csolatban ´all a matematika egy ma´sik ´aga´val, a me´rte´kelme´lettel, amelyet E Borel, Henri-Le´on Lebesgue e´s ma´sok dolgoztak ki, s amely a teru ¨ let- e´s te´rfogatsza´mı´ta´s absztrakt ´altala´nosı´ta´sa´nak tekinthet˝ o. Az elme´let f˝ o ce´lkit˝ uze´se Newton e´s Leibniz tizenhetedik sza´zadi integra´lelme´lete´nek me´lyebb mege´rte´se e´s ´altala´nosı´ta´sa. Kideru ¨ lt teha´t, hogy az a matematikai elme´let, amely kezdetben a kaszino ´kban valo ´ mine´l nagyobb nyerese´g ele´re´se´t ce´lozta meg, le´nyege´ben ugyanaz, mint az Univerzumban megfigyelhet˝ o mozga´s e´s va´ltoza´s tudoma´nya. A matematikai absztrakcio ´ sze´du ¨ letes ereje u ´ jfent bizonyı´ta´st nyert. La´ssunk most me´g egy pe´lda´t arra, mike´nt lehet segı´tse´gu ¨ nkre az analı´zis e´s a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s a jo ¨v˝ ot illet˝ o do ¨nte´seink meghozatalakor. Opcio ´ va ´ laszta ´ s – matematikai alapon Az 1997-es ko ¨zgazdasa´gi Nobel-dı´jat megosztva kapta Myron Scholes, a Stanford Egyetem (nyugalmazott) pe´nzu ¨ gytan-professzora e´s Robert C. Merton, a Harvard ko ¨zgazdasa´gtan-tana´ra. A dı´jat minden ke´tse´get kiza´ro ´an Fischer Black ˝ azonban 1995-ban va´ratlanul elhunyt. A kitu is megkapta volna, o ¨ ntete´s egyetlen matematikai ke´plet, a Black – Scholes formula felfedeze´se´e´rt ja´rt. A Scholes e´s Black ´altal els˝ oke´nt felı´rt, a ke´s˝ obbiek sora´n Merton ´altal tova´bbfejlesztett formula arro ´l ad felvila´gosı´ta´st a befektet˝ oknek, hogy mekkora e´rte´ket tulajdonı´tsanak egy sza´rmaze´kos u ¨ gyletnek. Ezek olyan pe´nzu ¨ gyi eszko ¨zo ¨k, amelyek o ¨nmagukban nem, csupa´n valamely ma´s befektete´s re´ve´n bı´rnak e´rte´kkel. Tipikus pe´lda a t˝ ozsdei opcio ´, amelynek birtokosa jogot szerez arra, hogy valamely ke´s˝ obbi, meghata´rozott id˝ opontig egy re´szve´nyt egy el˝ ore meghata´rozott ´aron va´sa´roljon meg. A ce´l nyilva´nvalo ´an a kocka´zatok cso ¨kkente´se, amelyek o ¨ro ¨kke´ va´ltozo ´ vila´gunkban az u ¨ zleti e´let kikeru ¨ lhetetlen te´nyez˝ oi. A Black – Scholes-formula segı´tse´ge´vel meghata´rozhato ´, mekkora ´arat e´rdemes egy sza´rmaze´kos u ¨ gylete´rt fizetni. A sza´rmaze´kos u ¨ gyletek piaca´t, amely addig csupa´n valamife´le tippel˝ os ja´te´knak t˝ unt, a formula hatalmas beve´teleket hozo ´, vonzo ´ ipara´gga´ va´ltoztatta. Ma´r maga az o ¨tlet, hogy a sza´rmaze´kos u ¨ gyletek ´ara´nak meghata´roza´sakor a matematika´ra ta´maszkodhatunk, olyan forradalmi volt, hogy Blacknek e´s Scholesnak ma´r eredme´nyu ¨ k publika´la´sakor is komoly nehe´zse´gekkel kellett megku ¨ zdeniu ¨ k. 1970-ben pro ´ba´lkoztak el˝ oszo ¨r, de mind a Chicago ´i Egyetem gondoza´sa´ban megjelen˝ o Journal of Political Economy, mind a harvardi Review of Economics and Statistics visszautası´totta cikku ¨ ket, me´g ro ¨vidke emlı´te´sre sem me´ltatta´k. Csupa´n 1973-ban jelent meg, mikor a Journal of Political Economy engedett a chicago ´i ko ¨zgazdasa´gtan-tansze´k nyoma´sa´nak. Az u ¨ zleti vila´g nem volt olyan ro ¨vidla´to ´, mint az egyetemi elefa´ntcsonttornyok lako ´i. A tanulma´ny megjelene´se uta´n hat ho ´nappal a Texas Instruments ma´r be-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Opcio ´va´laszta´s – matematikai alapon

281

programozta a formula´t a legu ´ jabb sza´molo ´ge´pe´be, s ezt az u ´ jı´ta´st a Wall Street Journal-ban fe´loldalas hirdete´s rekla´mozta. A kocka´zat kezele´se´nek modern forma´i, a biztosı´ta´s, a t˝ ozsdei kereskedelem e´s a ku ¨ lo ¨nfe´le befektete´sek mind azon alapulnak, hogy a jo ¨v˝ obeli folyamatok el˝ orejelze´se´ben a matematika´ra ta´maszkodhatunk. 100%-os pontossa´gro ´l persze szo ´ sincs, az el˝ orejelze´sek me´gis lehet˝ ove´ teszik, hogy bo ¨lcsen do ¨ntsu ¨ nk pe´nzu ¨ nk sorsa´ro ´l. Amikor biztosı´ta´st ko ¨tu ¨ nk vagy re´szve´nyeket va´sa´rolunk, mindig a kocka´zatot tartjuk szem el˝ ott. A pe´nzu ¨ gyi piacok alapto ¨rve´nye: mine´l nagyobb a kocka´zat, anna´l nagyobb a potencia´lis nyerese´g. A matematika sohasem fogja kiku ¨ szo ¨bo ¨lni a kocka´zati te´nyez˝ ot. Abban azonban segı´tse´gu ¨ nkre van, hogy meghata´rozzuk, tulajdonke´ppen mekkora is az a kocka´zat, amelyet va´llalni akarunk, s hogy mindeze´rt mekkora ´arat szabad kifizetni. Black e´s Scholes pedig pontosan ezt tette´k: megmutatta´k, mike´nt hata´rozhato ´ meg egy re´szve´nypiaci opcio ´ e´rte´ke. Az u ¨ gylet le´nyege a ko ¨vetkez˝ o. Opcio ´t va´sa´rolunk, aminek birtoka´ban valamely re´szve´nyt egy el˝ ore meghata´rozott id˝ opontig az el˝ ore meghata´rozott ´aron va´sa´rolhatunk meg. Ha a re´szve´nyek ´ara a hata´rid˝ o letelte´vel a kialkudott ´ar fo ¨le´ emelkedik, akkor a va´sa´rla´ssal nyerese´get ko ¨nyvelhetu ¨ nk el, amit, ha u ´ gy tartja kedvu ¨ nk, a re´szve´nyek elada´sa´val azonnal realiza´lhatunk is. Ha a re´szve´nyek ´ara nem emelkedett a megfelel˝ o u ¨ temben, ela´llhatunk a va´sa´rla´sto ´l – csupa´n az opcio ´ ´ara´t veszı´tju ¨ k el. Az opcio ´s u ¨ gyletek vonzereje abban rejlik, hogy a va´sa´rlo ´ el˝ ore tudja, mekkora a legnagyobb vesztese´g, amellyel sza´molnia kell: az opcio ´ ´ara. A nyerese´gnek – elme´letileg – nincs fels˝ o hata´ra, ha a szo ´ban forgo ´ re´szve´ny ´ara az e´gbe szo ¨kik, akkor nyerese´gu ¨ nk is ko ¨veti. Az opcio ´s u ¨ gylet ku ¨ lo ¨no ¨sen olyan piacokon vonzo ´, amelyeken a re´szve´nyek ´ara gyors e´s jelent˝ os me´rte´k˝ u ingadoza´sokat mutat, ilyen pe´lda´ul a sza´mı´to ´ge´pek e´s a szoftverek piaca. A ke´rde´s teha´t a ko ¨vetkez˝ o: mekkora ´arat e´rdemes fizetni egy adott piacon egy adott opcio ´e´rt? E ke´rde´s foglalkoztatta Blacket, Mertont e´s Scholes-t a hatvanas e´vek ve´ge´n. Black akkoriban szerezte meg harvardi doktora´tusa´t matematikai fizika´bo ´l, de a fizika´nak ha´tat fordı´tva egy bostoni u ¨ zleti tana´csada´ssal foglalkozo ´ ce´g, az Arthur D. Little munkata´rsa lett. Scholes a Chicago ´i Egyetemen ve´dte meg PhD disszerta´cio ´ja´t, pe´nzu ¨ gytanbo ´l. Merton a New York-i Columbia Egyetemen ve´gzett me´rno ¨k-matematikuske´nt, s az M. I. T. ko ¨zgazdasa´gtan-tansze´ke´n kapott egy tana´rsege´di ´alla´st. A ha´rom fiatal – az id˝ o ta´jt hu ´ szas e´veit taposo ´ – kutato ´ a matematika segı´tse´ge´vel pro ´ba´lta a proble´ma´t megoldani, annak minta´ja´ra, ahogy egy me´rno ¨k vagy egy fizikus a ke´rde´shez ko ¨zelı´tene. Elve´gre, mint azt Pascal e´s Fermat megmutatta´k, a matematika hasznunkra lehet abban is, hogy mega´llapı´tsuk, mekkora te´tet e´rdemes feltenni valamely jo ¨v˝ obeli eseme´ny egy lehetse´ges kimenetele´re, amikor e´ppense´ggel egy szerencseja´te´kro ´l van szo ´. Az aktua´riusok hasonlo ´ – statisztikai – alapon hata´rozza´k meg a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o biztosı´ta´sok dı´jait, ami le´nyege´ben ugyancsak egyfajta fogada´s arra, hogy mi fog, illetve nem fog a jo ¨v˝ oben megto ¨rte´nni.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

282

Ese´lylatolgata´s

De mi a helyzet egy olyan teru ¨ leten, amely, mint az opcio ´s u ¨ zletek, e´ppen hogy a megszu ¨ lete´s ´allapota´ban van? (A chicago ´i opcio ´s piac csak 1973. ´aprilisa´ban nyı´lt meg, mindo ¨ssze egy ho ´nappal azel˝ ott, hogy Black e´s Scholes cikke ve´gre megjelent.) A piacok sza´mos agg szake´rt˝ oje u ´ gy ve´lekedett, az effe´le megko ¨zelı´te´s eleve kudarcra van ´te ı ´lve, „elve´gre” az opcio ´kkal valo ´ kereskedelem a matematika hato ´ko ¨re´n kı´vu ¨ l esik. Ha igazuk van, e teru ¨ let o ¨ro ¨kre a vad e´s vakmer˝ o kocka´zatok vila´ga marad. A bo ¨lcs o ¨regek ezu ´ ttal te´vedtek. A matematika igenis alkalmazhato ´ az opcio ´k ´ara´nak megbecsle´se sora´n, me´ghozza´ az a teru ¨ lete, amely a valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s e´s az analı´zis eszko ¨zeit kombina´lja: a sztochasztikus differencia´legyenletek elme´lete. A Black – Scholes formula ne´gyfe´le adaton alapul: az opcio ´ leja´rata´nak ideje, az ´arak, a kamatla´bak e´s a piac va´ltoze´konysa´ga – az eredme´ny pedig megadja, mekkora o ¨sszeget e´rdemes kiadnunk a ke´rde´ses opcio ´e´rt. Az u ´ j formula nem csupa´n beva´lt – egyenesen megva´ltoztatta a piacot. Mikor a chicago ´i opcio ´s piac megnyı´lt, naponta kevesebb, mint ezer u ¨ zletet ko ¨to ¨ttek, 1995-re ez a sza´m ma´r a millio ´t is meghaladta. A Black – Scholes formula – e´s a Mertonto ´l sza´rmazo ´ mo ´dosı´ta´sok – jelent˝ ose´ge´t mi sem bizonyı´tja jobban, mint hogy az amerikai re´szve´nypiac 1978-as o ¨sszeomla´sakor a jeles pe´nzu ¨ gyi magazin, a Forbes egyenesen e formula´t kia´ltotta ki a baj okozo ´ja´nak. Scholes maga u ´ gy nyilatkozott: a hiba´t nem a formula´ban kell keresni, hanem azokban a piaci re´sztvev˝ okben, akik nem tudtak feln˝ oni a feladathoz, hogy kell˝ o ko ¨ru ¨ ltekinte´ssel alkalmazza´k. Scholes e´s Merton Nobel-dı´ja jelzi, hogy ma´ra a vila´gon mindenu ¨ tt felismerte´k: mekkora hata´ssal is lehet e´letu ¨ nk ege´sze´re egyetlen matematikai formula felfedeze´se, s hogy mike´nt ke´pes a matematika arra, hogy megva´ltoztassa e´letu ¨ nket.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

8. fejezet

Az Univerzum rejtett minta ´ zatai

A va ´ ndorok Ezredve´gi bo ¨lcsesse´g ide vagy oda, nem sokan vannak, akiket nem fog el az ´ahı´tat e´rze´se, mid˝ on egy csillagfe´nyes e´jszaka´n az e´gre pillantanak. Tudjuk ugyan, a pisla´kolo ´ fe´ny a terme´szet nuklea´ris koho ´ibo ´l ered, s hogy minden csillag egy-egy nap, e´ppolyan, mint a mienk, mindez me´gsem cso ¨kkenti a la´tva´ny gyo ¨nyo ¨r˝ use´ge´t. A csillagok fe´nye, mı´g hozza´nk ele´rt, e´vmillio ´kat utazott a hideg u ˝ro ¨n keresztu ¨ l, s hogy ezzel is tiszta´ban vagyunk, me´g hatalmasabbnak e´rezzu ¨ k a mindense´get, melybe belecso ¨ppentu ¨ nk. ˝seinket is e´ppen ´gy Nincs okunk teha´t csoda´lkozni azon, hogy o ı elb˝ uvo ¨lte a csillagos e´gbolt la´tva´nya, s hogy az Univerzum mege´rte´se´re ira´nyulo ´ els˝ o kı´se´rleteket e´ppense´ggel a csillagok inspira´lta´k. Az o ´kori egyiptomi e´s babiloni csillaga´sz-papok a Nap e´s a Hold helyzete´nek va´ltoza´sairo ´l re´szletes nyilva´ntarta´st vezettek, napta´rt ke´szı´tettek, s sza´mon tartotta´k az e´vszakok va´ltoza´sait, aminek a mez˝ ogazdasa´gban vette´k haszna´t. Matematikai ismereteik azonban nem voltak ele´gse´gesek ahhoz, hogy megfigyele´seik alapja´n az e´gitestek mozga´sa´nak elme´lete´t kidolgozhassa´k. A do ¨nt˝ o le´pe´st Kr. e. ´ gy t˝ 600 ko ¨ru ¨ l a go ¨ro ¨go ¨k tette´k meg. U unik, mind Thale´sz – akinek neve´hez, mint arro ´l ma´r besza´moltunk, a bizonyı´ta´s matematikai jelent˝ ose´ge´nek felismere´se´t kapcsoljuk –, mind Pitagorasz komoly er˝ ofeszı´te´seket tettek, hogy ne´ha´ny csillag mozga´sa´t matematikai alapon megmagyara´zza´k. Ma ma´r tudjuk, hogy e ˝ket, valo „csillagok”, amelyeknek bonyolult mozga´sa olyannyira leny˝ ugo ¨zte o ´ja´ban nem is csillagok, hanem naprendszeru ¨ nk bolygo ´i. Maga a plane´ta kifejeze´s is, amely a go ¨ro ¨g va´ndor szo ´bo ´l ered, ezt az o ¨sszetett mozga´st tu ¨ kro ¨zi. A pu ¨ thago ´reusok meg voltak gy˝ oz˝ odve arro ´l, hogy a Fo ¨ld go ¨mbo ¨ly˝ u, s e meggy˝ oz˝ ode´st, annak ellene´re, hogy le´nyege´ben semmi nem ta´masztotta ala´, id˝ ovel ma´s go ¨ro ¨g gondolkodo ´k is maguke´va´ tette´k. E te´ny els˝ o matematikai terme´szet˝ u igazola´sa Eratoszthene´sz e´rdeme, akinek teve´kenyse´ge a Kr. e. 250 ko ¨ru ¨ li id˝ okre

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

284

Az Univerzum rejtett minta´zatai

tehet˝ o. A Nap la´to ´hata´r fo ¨lo ¨tti magassa´ga´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o helyeken megme´rve nem csupa´n a Fo ¨ld go ¨mb alakja mellett hozott fel er˝ os e´rveket, de ´atme´r˝ oje´nek hossza´t is meghata´rozta, mintegy 90%-os pontossa´ggal. Erathosztene´szt megel˝ oz˝ oen Eudoxosz (hozza´vet˝ olegesen Kr. e. 408–355), Plato ´n tanı´tva´nya a mindense´g olyan go ¨mbo ¨ko ¨n alapulo ´ modellje´t dolgozta ki, amelyek ko ¨zo ¨s, mozdulatlan ko ¨ze´ppontja´ban a Fo ¨ld helyezkedik el, s a csillagok mindegyike valamelyik go ¨mb felszı´ne´n ja´rja e´gi u ´ tja´t. Nem tudjuk, Eudoxosz milyen magyara´zatot adott a bolygo ´k (a „va´ndorcsillagok”) mozga´sa´ra, e ta´rgyu ´ ´ra ı ´sai nem maradtak fenn. Az sem ismert, sikeru ¨ lt-e sza´mot adnia arro ´l, mie´rt va´ltozik id˝ or˝ ol-id˝ ore a bolygo ´k fe´nyesse´ge. Ha ugyanis a bolygo ´k mind egy-egy Fo ¨ld-ko ¨ze´ppontu ´ go ¨mbfelu ¨ leten mozognak, akkor fe´nyesse´gu ¨ k ´allando ´ kellene hogy legyen. E technikai jelleg˝ u nehe´zse´gek ellene´re teo ´ria´ja mindenke´ppen figyelemreme´lto ´ mint az e´gi mozga´sok els˝ o matematikai elme´leteinek egyike. A Kr. e. 4. sza´zadban He´rakleide´sz a bolygo ´k komplex mozga´sa´nak e´s va´ltozo ´ fe´nyesse´ge´nek olyan magyara´zata´val ´allt el˝ o, amelyben ke´t forradalmian u ´ j gondolatot is felvetett: el˝ oszo ¨r, hogy a Fo ¨ld forog saja´t tengelye ko ¨ru ¨ l, ma´sodszor, hogy a Ve´nusz e´s a Merku ´ r mozga´sa´t aze´rt la´tjuk olyan bonyolultnak, mert mindkett˝ o a Nap ko ¨ru ¨ l kering. A szamoszi Arisztarkhosz, mintegy sza´z e´vvel ke´s˝ obb, me´g egy le´pe´ssel tova´bbment, s kijelentette: maga a Fo ¨ld is a Nap ko ¨ru ¨ l kering. Megla´ta´saik nem leltek nagy visszhangra, s amikor Hipparkhosz Kr. e. 150 ko ¨ru ¨l u ´ jra felelevenı´tette Eudoxosz ko ¨ro ¨ko ¨n alapulo ´ elke´pzele´se´t, a mozdulatlan ko ¨ze´ppontba u ´ jfent a Fo ¨ld keru ¨ lt. Rendszere´nek u ´ jdonsa´ga, hogy a bolygo ´k – la´tszo ´lagos – bonyolult mozga´sa´t azzal a felte´teleze´ssel magyara´zza, mely szerint pa´lya´juk olyan ko ¨r, amelynek ko ¨ze´ppontja maga is ko ¨r alaku ´ pa´lya´n mozog, pontosan u ´ gy, ahogy a Hold, mint azt ma ma´r jo ´l tudjuk, a Fo ¨ld ko ¨ru ¨ l kering, keringe´se´nek ko ¨ze´ppontja, a Fo ¨ld viszont a Nap ko ¨ru ¨ l. A mozdulatlan Fo ¨ld mint ko ¨ze´ppont elke´pzele´se´t tette maga´e´va´ az o ´kor legnagyobb csillaga´sza, Ptolemaiosz (90–160) is, akinek tizenha´rom ko ¨tetes monumenta´lis m˝ uve, az Almagest mintegy ezerne´gysza´z e´ven ´at az euro ´pai csillaga´szat alapm˝ uve´nek sza´mı´tott. Ptolemaiosz matematikailag pontos forma´ba o ¨nto ¨tte Eudoxosz gondolatait; modellje nagyon jo ´l egyezett az egyre pontosabb e´s egyre nagyobb sza´mu ´ csillaga´szati me´re´sekkel. Egyre kevesebb ko ¨r A go ¨ro ¨go ¨k uta´n ko ¨vetkez˝ o, hozza´vet˝ olegesen 500-to ´l 1500-ig terjed˝ o e´vezredet a katolikus egyha´z befolya´sa uralta, ez id˝ o alatt nem sokan e´reztek o ¨szto ¨nze´st arra, hogy a mindense´g tudoma´nyos magyara´zata´t megalkossa´k, mi to ¨bb, sokan inka´bb elrettentek az ez ira´nyu ´ vizsga´latokto ´l. Az egyha´z hivatalos tanı´ta´sa szerint az Univerzum isteni terveze´s eredme´nye, amely terveze´s kiza´ro ´lagossa´ga´t senki nem ke´rd˝ ojelezhette meg. Ma´sre´szr˝ ol viszont az ember ko ¨telesse´ge´nek tekintette´k, hogy megpro ´ba´lja mege´rteni az isteni akaratot. E felhatalmaza´st kihaszna´lva

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Egyre kevesebb ko ¨r

285

ne´ha´ny tizenhatodik sza´zadi ba´tor gondolkodo ´ azt a gondolatot vetette fel, hogy ´ r matematikai to az U ¨rve´nyek szerint alkotta meg az mindense´get, s az embernek nem csupa´n lehet˝ ose´ge, de Isten ira´nti ko ¨telesse´ge is e to ¨rve´nyek mege´rte´se. Miuta´n a matematikai alapu ´ csillaga´szati megfigyele´sek ira´nt u ´ jra fele´ledt az e´rdekl˝ ode´s, a korai renesza´nsz gondolkodo ´k felelevenı´tette´k az o ´kori go ¨ro ¨g eszme´ket, s szembesı´tette´k azokat a kor sokkal pontosabb me´re´si eredme´nyeivel. A dogmatikus-misztikus spekula´cio ´t fokozatosan felva´ltotta a matematikai szigoru ´sa´ggal elve´gzett analı´zis. A csillaga´szok e´s a matematikusok ege´szen addig ve´dekezhettek azzal a gondolattal, hogy a vizsga´lo ´da´saikat csupa´n a teremte´s m˝ uve´nek mine´l alaposabb mege´rte´se veze´rli, amı´g eredme´nyeik szembe nem keru ¨ ltek az egyha´z egyik legalapvet˝ obb te´zise´vel, miszerint a Fo ¨ld a mindense´g ko ¨ze´ppontja. Az eretnek ne´zetek egyik els˝ o ke´pvisel˝ oje Kopernikusz (1473–1543), aki hirtelen vihar ko ¨zepe´ben tala´lta maga´t. A Kopernikusz szı´nre le´pe´se´ig egyeduralkodo ´ ptolemaioszi rendszert fokozatosan to ¨ke´letesı´teni kellett, hogy az egyre to ¨bb adattal o ¨sszhangba hozhassa´k, ve´gu ¨ l a Nap, a Hold e´s az o ¨t akkoriban ismert bolygo ´ mozga´sa´t ma´r egy hetvenhe´t ko ¨rb˝ ol ´allo ´ modell ´rta ı le. Ismerve Arisztarkhosz e´s ma´s go ¨ro ¨g csillaga´szok heliocentrikus (Nap-ko ¨ze´ppontu ´ ) rendszereit, Kopernikusz azt a ke´rde´st tette fel maga´nak, vajon nem lehetse´ges-e egyszer˝ uben leı´rni az e´gitestek mozga´sa´t akkor, ha a ko ¨ze´ppontba a Napot helyezzu ¨ k. Ahhoz, hogy az u ´ j rendszer is megfeleljen az adatoknak, ne´mi zsenialita´s is szu ¨ kse´geltetett, ve´gu ¨ l azonban sikeru ¨ lt az eredeti modell ko ¨reinek sza´ma´t hetvenhe´tr˝ ol harmincne´gyre cso ¨kkenteni. Matematikai szempontbo ´l a kopernikuszi modell fels˝ obbrend˝ use´ge´t nem lehetett megke´rd˝ ojelezni, az egyha´z oldala´ro ´l azonban heves indulatokat va´ltott ki: kijelentette´k, az u ´ j elme´letet „a kereszte´nyse´g szempontja´bo ´l gy˝ ulo ¨letesebb e´s ´artalmasabb, mint ba´rmi, ami Ka´lvin, Luther vagy ma´s eretnekek ´ra ı ´saiban megjelent”. Tycho Brahe da´n csillaga´sz minden addigina´l pontosabb csillaga´szati me´re´sekkel pro ´ba´lta Kopernikusz elme´lete´t megca´folni, eredme´nyei azonban me´gis a heliocentrikus modell fels˝ obbrend˝ use´ge´t ta´masztotta´k ala´. S e´ppen Brahe me´re´sei vezette´k el egykori munkata´rsa´t, Johannes Keplert (1571–1630) annak felfedeze´se´hez, hogy a bolygo ´k pa´lya´inak alakja nem ko ¨r, hanem ellipszis. A bolygo ´mozga´s ha´rom Keplert˝ ol sza´rmazo ´ to ¨rve´nye (amelyekkel a 4. fejezetben ma´r alkalmunk volt megismerkedni), a Naprendszerr˝ ol minden addigina´l pontosabb leı´ra´st ad, az elko ¨vetkez˝ o e´vekben lezajlo ´ tudoma´nyos forradalom tipikus eredme´nye. 1. A bolygo ´k a Nap ko ¨ru ¨ l ellipszis alaku ´ pa´lya´n keringenek, s ezen ellipszis egyik fo ´kuszpontja a Nap. 2. A Napto ´l a bolygo ´hoz hu ´ zott suga´r a keringe´s sora´n egyenl˝ o id˝ otartamok alatt a pa´lya egyenl˝ o nagysa´gu ´ teru ¨ leteit su ´ rolja. 3. A bolygo ´pa´lya nagytengelye ko ¨be´nek e´s a keringe´si id˝ o ne´gyzete´nek ha´nyadosa valamennyi bolygo ´ esete´n ugyanakkora.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

286

Az Univerzum rejtett minta´zatai

A bolygo ´mozga´s Kepler-fe´le to ¨rve´nyei egyszer˝ use´gu ¨ kben messze felu ¨ lmu ´ lta´k Kopernikusz ko ¨rpa´lya´kon alapulo ´ elme´lete´t. S ami me´g enne´l is to ¨bbet nyomott a latban, segı´tse´gu ¨ kkel viszonylag ko ¨nnyen el˝ ore lehetett jelezni, az e´gbolt mely pontja´n lesz la´thato ´ egy bolygo ´ valamely jo ¨v˝ obeli id˝ opontban. Az utolso ´ szo ¨get az egyha´z ´altal ta´mogatott geocentrikus modell koporso ´ja´ba Galileo Galilei verte be, aki az ´altala felfedezett ta´vcs˝ ovel minden addigina´l nagyobb pontossa´ggal tudta az e´gi ta´volsa´gokat meghata´rozni. Kepler elme´lete ve´gs˝ o gy˝ ozelmet aratott. 1633-to ´l 1822-ig Galilei tanı´ta´sait az Egyha´z hivatalosan eretnekse´gnek tekintette, fenntartva a mindense´g Fo ¨ld-ko ¨ze´ppontu ´ doktrı´na´ja´t. Ennek ellene´re a renesza´nsz korto ´l kezdve le´nyege´ben valamennyi tudo ´s a kopernikuszi modellt fogadta el. Mie´rt voltak olyan biztosak a dolgukban? Elve´gre a mindennapos tapasztalat te´nylegesen azt sugallja, hogy a Fo ¨ld a talpunk alatt nyugalomban van, s a Nap, a Hold e´s a csillagok azok, amelyek az e´gen folyamatos mozga´sban vannak. A va´laszt a matematika adja meg. A heliocentrikus modell mellett egyedu ¨ l az szo ´lt, hogy sokkal egyszer˝ ubb matematika´val ´rta ı le az e´gitestek mozga´sa´t, mint a jo ´o ¨reg ptolemaioszi rendszer. A kopernikuszi forradalom az els˝ o olyan alkalom a to ¨rte´nelemben, amikor a matematika – ege´szen pontosan az egyszer˝ ubb matematikai magyara´zat ira´nti va´gy – arra is ra´vette az embereket, hogy felu ¨ lbı´ra´lja´k e´rze´keik tanu ´ bizonysa´ga´t. Az ember, aki ele ´rte, hogy a sza ´ mok sza ´ mı´tsanak Kepler to ¨rve´nyeinek ve´gs˝ o meger˝ osı´te´se csupa´n egy Galileo Galilei sza´mtalan tudoma´nyos teljesı´tme´nye ko ¨zu ¨ l. 1654-ben szu ¨ letett Firenze´ben, tizenhe´t e´ves kora´ban pedig ma´r a pisai egyetem hallgato ´ja, orvostudoma´nyt tanul, de Euklide´sz e´s Arisztotele´sz m˝ uvei e´rdekl˝ ode´se´t a terme´szettudoma´ny e´s a matematika fele´ fordı´totta´k. E pa´lyava´ltoztata´s nem csupa´n Galilei e´lete´ben, de az ege´sz emberise´g szempontja´bo ´l hatalmas jelent˝ ose´ggel bı´rt. Hı´res korta´rsa´val, Rene´ Descartes-tal Galilei az u ´ jkori terme´szettudoma´nyos forradalom za´szlo ´viv˝ oje´ve´ va´lt, napjaink tudoma´nya´nak e´s technikai vı´vma´nyainak el˝ ofuta´ra´va´. Mı´g Descartes a kı´se´rletileg ala´ta´masztott adatokbo ´l kiindulo ´ logikai e´rvele´s jelent˝ ose´ge´t hangsu ´ lyozta, Galilei a me´re´sek pontossa´ga´t tekintette els˝ odlegesnek. Ezzel a terme´szettudoma´nyt egyszer e´s mindenkorra megva´ltoztatta. Ahelyett, hogy a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o terme´szeti jelense´gek mo ¨go ¨tt rejt˝ oz˝ o okokat kutatta volna, ami az o ´kori go ¨ro ¨go ¨k o ´ta a tudoma´ny (ma´r amennyiben annak nevezhetju ¨ k) els˝ o sza´mu ´ ce´lkit˝ uze´se´nek sza´mı´tott, Galilei a me´rhet˝ o mennyise´gek ko ¨zo ¨tti numerikus o ¨sszefu ¨ gge´seket kereste. Pe´lda´nak oka´e´rt, a toronybo ´l leejtett ta´rgyakat vizsga´lva, Galilei nem azt ke´rdezte, vajon mi az oka annak, hogy mind a fo ¨ldre hullik, ehelyett azt vizsga´lta, mike´nt va´ltoztatja´k a helyzetu ¨ ket az egyes leejtett testek. E ce´lbo ´l kicsiny, nehe´z golyo ´kat ejtett le a magasbo ´l (a fa´ma szerint a pisai ferde

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Mike´nt esik le az alma a fa´ja´ro ´l

287

toronybo ´l, ba´r ezt semmilyen forra´s nem ta´masztja ala´), s megme´rte, mennyi id˝ o telik el, amı´g bizonyos magassa´gokba e´rnek el. Felfedezte, hogy az elejtett testek ´altal megtett u ´ t egyenesen ara´nyos az elejte´su ¨ kt˝ ol eltelt id˝ o ne´gyzete´vel. Algebrai jelo ¨le´ssel, felismerte a d = kt2 to ¨rve´ny e´rve´nyesse´ge´t, amelyben d a szabadese´s sora´n megtett u ´ t, t az eltelt id˝ o, k pedig egy ´allando ´. Manapsa´g, amikor az effe´le matematikai o ¨sszefu ¨ gge´sek oly megszokottak, ko ¨nnyen elfeledkezu ¨ nk arro ´l, hogy ez a megko ¨zelı´te´s csupa´n ne´gysza´z e´ves mu ´ ltra tekinthet vissza, s a legkeve´sbe´ sem tekinthet˝ o terme´szetesnek. Ahhoz, hogy egy Galileie´hez hasonlo ´ formula´t fela´llı´thassunk, el˝ oszo ¨r fel kell ismerni, hogy a vila´g bizonyos jelense´gei matematikai me´re´seknek vethet˝ ok ala´, s hogy ilyen me´re´sek eredme´nyei ko ¨zo ¨tt e´rtelmes kapcsolatok ´allapı´thato ´k meg. Az ilyen me´rhet˝ o mennyise´gek ko ¨ze´ tartozik az id˝ o, a hosszu ´ sa´g, a teru ¨ let, a te´rfogat, a su ´ ly, a sebesse´g, a gyorsula´s, a tehetetlense´gi nyomate´k, az er˝ o, a lendu ¨ let vagy a h˝ ome´rse´klet. Ezekkel szemben le´nyegtelenek az olyan jellemz˝ ok, mint a szı´n, a felu ¨ let simasa´ga, a szag vagy az ´z. ı Ha meggondoljuk, az els˝ o csoport mennyise´geit, amelyekre Galilei mo ´dszere alkalmazhato ´, egyt˝ ol-egyig tiszta´n matematikailag vezette´k be, s valamely konkre´t jelense´gre vonatkozo ´an csak akkor e´rtelmesek, ha megadjuk numerikus e´rte´ku ¨ ket is. (Galilei mo ´dszere´nek alkalmazhato ´sa´ga´hoz me´g azokat is numerikussa´ kellett tenni, amelyek eredeti e´rtelmeze´su ¨ k szerint nem voltak ilyenek.) Ha valamely jelense´get megfigyelve bizonyos fizikai mennyise´gek ko ¨zo ¨tti numerikus kapcsolatot egy ke´plettel fejezu ¨ nk ki, azzal a szo ´ban forgo ´ jelense´get leı´rjuk ugyan, de nem magyara´zzuk, a ha´tte´rben ´allo ´ okokat nem adjuk meg. Ez a ne´z˝ opont a „tudoma´ny m˝ uvele´se´ben” do ¨nt˝ o fordulatot hozott, s mint ilyen, komoly ellena´lla´sba u ¨ tko ¨zo ¨tt. Ez u ¨ gyben me´g Descartes is szkeptikus volt, aki szerint: „Mindaz, amit Galilei a le´gu ¨ res te´rben szabadon es˝ o testekr˝ ol mond, megalapoza´sra szorul; el˝ oszo ¨r a nehe´zkede´s valo ´di terme´szete´t kellett volna felta´rnia.” A forradalmian u ´ j megko ¨zelı´te´s azonban hatalmas sikereket ko ¨nyvelt el. „A terme´szet minta´zatainak”, melyeket az elko ¨vetkez˝ o sza´zadok sora´n a matematika´ra ta´maszkodva ta´rtak fel, tu ´ lnyomo ´ re´sze a Galilei ´altal els˝ oke´nt megjelenı´tett la´thatatlan, kvantitatı´v univerzum minta´zata. Mike ´nt esik le az alma a fa ´ ja ´ ro ´l Ugyanabban az e´vben, 1642-ben, amikor Galilei meghalt, szu ¨ letett meg az angliai Woolstorp falucska´ban Isaac Newton (l. a 3. fejezetet), aki az els˝ ok ko ¨zo ¨tt alkalmazta a tudoma´nyban a nagy ita´liai tudo ´s kvantitatı´v mo ´dszereit. Az er˝ o e´s a gravita´cio ´ newtoni elme´lete az u ´ jsu ¨ tet˝ u absztrakt megko ¨zelı´te´s ´atu ¨ t˝ o sikere´t hozta. Tekintsu ¨ k pe´lda´ul Newton jo ´l ismert ma´sodik to ¨rve´nye´t, mely szerint egy testre hato ´ er˝ ok o ¨sszege egyenl˝ o a test to ¨mege´nek ´es gyorsula´sa´nak szorzata´val.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

288

Az Univerzum rejtett minta´zatai

A to ¨rve´ny ha´rom kifejezetten absztrakt mennyise´g, a to ¨meg, a gyorsula´s e´s az er˝ o ko ¨zo ¨tt le´tesı´t numerikus kapcsolatot, amelyet to ¨bbnyire egy matematikai egyenl˝ ose´ggel fejezu ¨ nk ki: F = m · a. A vastagabb bet˝ uk – mint a matematika´ban ´altala´ban – itt is azt jelzik, hogy a szo ´ban forgo ´ mennyise´gek vektorok, amelyeknek nem csupa´n nagysa´ga, ira´nya is fontos. A Newton to ¨rve´nye´ben szerepl˝ o mennyise´gek ko ¨zu ¨ l az er˝ o e´s a gyorsula´s vektorok; az alaposabb vizsga´lat azt is kiderı´tette, hogy a to ¨meg sem olyan e´rtelemben „fizikai realita´s”, ahogyan azt els˝ ore gondolna´nk. Ma´sodik pe´lda´nk Newton nevezetes gravita´cio ´s to ¨rve´nye: Ba´rmely ke´t test ko ¨zo ¨tti er˝ o egyenesen ara´nyos a to ¨megu ¨k szorzata´nak ´es ta´volsa´guk ne´gyzete´nek ha´nyadosa´val. Matematikai forma´ban: M·m F=k· , r2 ahol F a gravita´cio ´s er˝ o nagysa´ga´t, M e´s m a szo ´ban forgo ´ testek to ¨mege´t, r pedig a ko ¨zo ¨ttu ¨ k le´v˝ o ta´volsa´got jelo ¨li. A to ¨rve´ny tudoma´nyos jelent˝ ose´ge minden ke´pzeletet felu ¨ lmu ´ l. 1820-ban pe´lda´ul a csillaga´szok az Ura´nusz pa´lya´ja´ban olyan elte´re´seket fedeztek fel, amelyek ellente´tben ´alltak e to ¨rve´ny el˝ orejelze´seivel. A legvalo ´szı´n˝ ubb magyara´zatnak az t˝ unt, hogy az Ura´nusz pa´lya´ja´t egy ma´sik, ismeretlen bolygo ´ jelenle´te zavarja meg. Az ismeretlen bolygo ´nak nevet is adtak: Neptunusznak keresztelte´k. Ma´r csak egy ke´rde´sre kellett va´laszt adni: arra, hogy le´tezik-e. 1841-ben John Couch Adams angol csillaga´sz az Ura´nusz pa´lya´ja´t – Newton to ¨rve´nye´b˝ ol kiindulva – alapos vizsga´latnak vetette ala´, aminek alapja´n ke´pes volt az ismeretlen bolygo ´nak mind a pa´lya´ja´t, mind a to ¨mege´t meghata´rozni. Eredme´nyeir˝ ol e´vekig tudoma´st sem vettek. Amikor azonban 1846-ban a ne´met csillaga´sz, Edmund Halle keze´be keru ¨ ltek, az u ´ j bolygo ´t ne´ha´ny o ´ra´n belu ¨ l sikeru ¨ lt ta´vcs˝ ove´gre kapni. A – Newton to ¨rve´nye ´altal lehet˝ ove´ va´lt – matematikai el˝ orejelze´s ne´lku ¨ l a ta´vcso ¨ves megfigyele´sek akkori pontossa´ga´val az u ´ j bolygo ´t szinte lehetetlen lett volna megtala´lni. Hogy u ´ jabb kelet˝ u pe´lda´t is emlı´tsu ¨ nk, Newton to ¨rve´nye ke´pezi az alapja´t azoknak a rendszereknek, amelyekkel Fo ¨ld ko ¨ru ¨ l kering˝ o m˝ uholdakat ro ¨gzı´tett pa´lya´jukra ´allı´tja´k, s amelyekkel megtervezik a hosszu ´ , bolygo ´ko ¨zi u ´ tra indulo ´ u ˝rhajo ´k pa´lya´ja´t. Annak ellene´re azonban, hogy Newton to ¨rve´nye minden addigina´l pontosabb sza´mı´ta´sokat is lehet˝ ove´ tett, a gravita´cio ´ terme´szete´r˝ ol, arro ´l, hogy mi is a gravita´cio ´ valo ´ja´ban, semmit sem mond. A to ¨rve´ny a gravita´cio ´ matematikai leı´ra´sa. A fizikai magyara´zat egyel˝ ore va´rat maga´ra. (Einstein o ´ta tudjuk, hogy a gravita´cio ´ e´rtelmezhet˝ o a te´rid˝ o go ¨rbu ¨ lete´nek megnyilva´nula´sake´nt – ami felfoghato ´

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A bennu ¨nket o ¨sszetarto ´ la´thatatlan sza´lak

289

a jelense´g re´szleges fizikai magyara´zatake´nt. Az einsteini elme´let azonban sokkal bonyolultabb matematika´t haszna´l, mint a newtoni to ¨rve´ny egyszer˝ u algebra´ja.) A bennu ¨ nket o ¨ sszetarto ´ la ´ thatatlan sza ´ lak Napjainkban a legterme´szetesebb dolgok ko ¨ze´ tartozik, hogy telefonon el tudjuk e´rni a vila´g tu ´ lso ´ fele´n e´l˝ o bara´tainkat, a televı´zio ´ban olyan eseme´nyek ko ¨zvetı´te´se´t la´thatjuk, amelyek messze, esetleg to ¨bb ezer kilome´terre t˝ olu ¨ nk to ¨rte´ntek, a ra´dio ´ban pedig annak a zene´sznek a ja´te´ka´t e´lvezhetju ¨ k, aki a va´ros ma´sik ve´ge´n egy stu ´ dio ´ban ja´tszik. Bolygo ´nk minden lako ´ja egyre ko ¨zelebb keru ¨ l egyma´shoz, ha´la a modern telekommunika´cio ´s technolo ´gia´nak, amely, bizonyos „hulla´mok” segı´tse´ge´vel a legnagyobb ta´volsa´gokat is le tudja gy˝ ozni; e hulla´mok a ra´dio ´hulla´mok, pontosabban: az elektroma´gneses hulla´mok. (Hamarosan vila´gossa´ va´lik majd, mie´rt is tettu ¨ k a ‘hulla´m’ szo ´t ide´z˝ ojelek ko ¨ze´.) Az uto ´bbi harminc e´v sora´n kialakult e´s hatalmas u ¨ temben fejl˝ od˝ o elektroma´gnesse´gen alapulo ´ kommunika´cio ´s technolo ´gia a negyedik az emberi e´letet u ´ jra e´s u ´ jra megva´ltoztato ´ kommunika´cio ´s „felfedeze´sek” sora´ban. Az els˝ o forradalmi le´pe´s a nyelvhaszna´lat megjelene´se volt, amelynek kezdetei mintegy sza´zezer e´vvel ezel˝ ottre tehet˝ ok, s amelynek re´ve´n lehet˝ ove´ va´lt az egyes szeme´lyek e´s a genera´cio ´k ko ¨zo ¨tti, szemt˝ ol-szembeni kommunika´cio ´. Az ´ra ı ´s mintegy he´tezer e´vvel ezel˝ otti felfedeze´se´vel az informa´cio ´ viszonylag hosszu ´ ta´vu ´ ta´rola´sa is lehet˝ ove´ va´lt, s a kommunika´cio ´ ma´r nagyobb ta´volsa´gokon e´s hosszabb id˝ otartamokon is ´at tudott ´velni. ı A nyomtata´s tizenhatodik sza´zadi felfedeze´se´vel egyetlen ember ma´r ege´sz to ¨megeket tudott egyszerre ele´rni. A fejl˝ ode´s mindegyik le´pcs˝ ofoka´n to ¨bb e´s to ¨bb ember keru ¨ lt egyre ko ¨zelebb egyma´shoz, aminek eredme´nyeke´ppen egyre nagyobb e´s nagyobb va´llalkoza´sokba tudtak belefogni. Ve´gu ¨ l, a telefon, a televı´zio ´, a ra´dio ´ e´s az elektronikus kommunika´cio ´u ´ jabb forma´inak felfedeze´se´vel az emberi ko ¨zo ¨sse´g egyre egyse´gesebbe´ va´lik, az emberek ma´r olyan foku ´ egyu ¨ ttm˝ uko ¨de´sre is ke´pesek, aminek eredme´nyeke´ppen u ´ jfajta, kollektı´v intelligencia kialakula´sa´nak lehetu ¨ nk tanu ´ i. Hogy ma´st ne mondjunk, ane´lku ¨ l, hogy ke´pesek lettu ¨ nk volna sok ezer ember munka´ja´nak egyetlen ce´l e´rdeke´ben valo ´ o ¨sszehangola´sa´ra, sohasem tudtunk volna embert ku ¨ ldeni a Holdra, s e´lve visszahozni onnan. Modern e´letu ¨ nket a szo ´ legszorosabb e´rtelme´ben az elektroma´gneses hulla´mok fogja´k o ¨ssze, amelyek mindenhol ele´rnek bennu ¨ nket e´s keresztu ¨ lhatolnak rajtunk. Tudjuk, hogy ezek a hulla´mok le´teznek (vagy legala´bbis, hogy valami le´tezik), hiszen „szolga´lataikat” nap mint nap ige´nybe vesszu ¨ k. De mik is valo ´ja´ban? Mike´p˝ket? Az els˝ pen tudjuk olyan biztos ke´zzel, s oly nagy hate´konysa´ggal ira´nyı´tani o o ke´rde´sre nem ismerju ¨ k a va´laszt. Nem tudjuk, valo ´ja´ban mi az elektroma´gneses suga´rza´s, e´ppu ´ gy, ahogy a gravita´cio ´ mibenle´te´r˝ ol sincs ko ¨zelebbi elke´pzele´su ¨ nk.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

290

Az Univerzum rejtett minta´zatai

Nem ke´tse´ges azonban, hogy a gyakorlati alkalmaza´s sikereinek mi a kulcsa: a matematika. Az elektroma´gneses hulla´mokat a matematika „jelenı´ti meg” el˝ ottu ¨ nk, lehe˝ket. t˝ ove´ teszi, hogy ilyen hulla´mokat keltsu ¨ nk, ellen˝ orizzu ¨ k e´s felhaszna´ljuk o Az elektroma´gneses hulla´moknak csupa´n matematikai leı´ra´sa le´tezik. Mi to ¨bb, legjobb tuda´sunk szerint egyedu ¨ l a matematika ´altal leı´rt e´rtelemben tekinthet˝ ok hulla´moknak. Ma´ske´ppen, a matematikai elme´let, amelyet az elektroma´gneses hulla´mok leı´ra´sa´ban haszna´lunk, a hulla´mmozga´s elme´lete. A matematiza´la´s egyetlen igazola´sa az, hogy m˝ uko ¨dik. Hogy a valo ´sa´gos jelense´g te´nylegesen – valamely ko ¨zegben megjelen˝ o – hulla´mokbo ´l ´all, nem tudjuk. Mintha csupa´n annyi lenne biztos, hogy a hulla´m-ke´p a legjobb ko ¨zelı´te´se a jelense´gnek, amelynek valo ´di terme´szete´vel tala´n sohasem leszu ¨ nk to ¨ke´letesen tiszta´ban. A modern kommunika´cio ´s technolo ´gia mindenu ¨ tt jelen van – anna´l meglep˝ obb, hogy a tudoma´nyos megalapoza´sa kevesebb mint ma´sfe´l e´vsza´zados mu ´ ltra tekinthet csak vissza. Az els˝ o ra´dio ´jelet 1887-ben bocsa´totta´k ki. A jelense´g matematikai elme´lete akkor mindo ¨ssze huszono ¨t e´ve le´tezett. A vila ´ g-csala ´ d Maxwell-ha ´ za Gyakran halljuk manapsa´g, hogy a kommunika´cio ´s technolo ´gia a vila´got egyetlen – globa´lis – faluva´ va´ltoztatta, s hogy nem telik bele sok id˝ o, s valamennyien egyazon csala´d tagjaike´nt fogunk e´lni, ugyanabban a ha´zban. Ha a ta´rsadalmi proble´ma´k to ¨mege´re e´s a soha el nem simulo ´ konfliktusokra gondolunk, e metafora csak akkor t˝ unik tala´lo ´nak, ha a csala´d, amelyr˝ ol szo ´l, meglehet˝ osen ta´vol ´all atto ´l, hogy idea´lisnak nevezhessu ¨ k. Amennyiben viszont az azonnali, valo ´s idej˝ u kommunika´cio ´ lehet˝ ose´ge´r˝ ol van szo ´, amely aka´r hangos, aka´r ke´pi o ¨sszeko ¨ttete´st jelenthet a vila´g ba´rmely ke´t pontja ko ¨zo ¨tt, kommunika´cio ´s szempontbo ´l a vila´g valo ´ban egyre inka´bb emle´keztet egy nagy csala´dra. E vila´gme´ret˝ u e´pı´tkeze´s tudoma´nyos alapjait James Clerk Maxwell (1831–1879) angol matematikus-fizikus teremtette meg. A maxwelli elektroma´gnesse´g-elme´lethez vezet˝ o do ¨nt˝ o megfigyele´s egy 1820as ve´letlen eredme´nye. A da´n fizikus, Hans Christian Oersted laborato ´riuma´ban dolgozva egy sze´p napon arra lett figyelmes, hogy a kicsiny ma´gnest˝ u, amelyet egy vezete´k ko ¨zele´be helyeztek, kilendu ¨ lt, amikor a vezete´kbe ´aramot vezettek. ´ gy besze´lik, mikor Oersted besza´molt asszisztense´nek a felfedeze´sr˝ U ol, az csak va´llat vont, s megjegyezte, mindig ez to ¨rte´nik. Volt-e ilyen besze´lgete´s, vagy nem – a le´nyeg, hogy Oersted ele´g fontosnak tartotta a jelense´get, hogy jelentse a Da´n Kira´lyi Tudoma´nyos Akade´mia´nak. Megszu ¨ letett teha´t az els˝ o kı´se´rleti bizonyı´te´k arra, hogy a ma´gnesse´g e´s az elektromossa´g nem fu ¨ ggetlenek egyma´sto ´l. A ma´gnesse´g e´s az elektromossa´g ko ¨zo ¨tt fenna´llo ´u ´ jabb kapcsolatra a ko ¨vetkez˝ o e´vben deru ¨ lt fe´ny: Andre´-Marie Ampe`re francia fizikus ekkor figyelte meg, hogy amikor ke´t, egyma´shoz ko ¨zeli, pa´rhuzamos vezete´kben ´aram folyt, azok

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A vila´g-csala´d Maxwell-ha´za

291

8.1. a ´ bra. Ha egy lapra szo ´rt vasreszele´ket ma´gnes fo ¨le´ helyezu ¨ nk, a reszele´k a ma´gneses te´r er˝ ovonalai mente´n fog elrendez˝ odni. ma´gneske´nt kezdenek viselkedni. Ha az ´aram a ke´t vezete´kben ugyanabban az ira´nyban folyt, vonzotta´k, ha ellenkez˝ o ira´nyban, akkor taszı´totta´k egyma´st. Tı´z e´vvel ke´s˝ obb egy angol ko ¨nyvko ¨t˝ o, Michael Faraday e´s egy amerikai iskolamester, Joseph Henry egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenu ¨ l, egyszerre fedezte´k fel az ellenkez˝ o jelense´get: amennyiben vezete´kb˝ ol tekercset ke´szı´tettek, s azt va´ltozo ´ ma´gneses te´rbe helyezte´k, a tekercsben ´aram induka´lo ´dott. Maxwell ezen a ponton le´pett a szı´nre. 1850 ko ¨rnye´ke´n fogott hozza´, hogy megalkossa azt a tudoma´nyos elme´letet, amely sza´mot ad az elektromossa´g e´s a ma´gnesse´g la´thatatlan jelense´geir˝ ol. Nagy hata´st gyakorolt ra´ a hı´res angol fizikus, William Thomson (Lord Kelvin), aki e jelense´gek mechanikai magyara´zata´t t˝ uzte ki ce´lul. Thomson, aki a folyade´kokban terjed˝ o hulla´mok matematikai elme´lete´t kidolgozta, u ´ gy ve´lte, az elektromossa´g e´s a ma´gnesse´g az e´ter bizonyos er˝ otereike´nt e´rtelmezend˝ o. Az ´eter a h˝ o e´s a fe´ny terjede´se´nek az elme´let ´altal posztula´lt – de kı´se´rletileg soha ki nem mutatott – ko ¨zege. Az er˝ ote´r, ma´s szo ´val az elektroma´gneses mez˝ o fogalma kiza´ro ´lag matematikailag ´rhato ı ´ le (egy specia´lis matematikai objektumke´nt, amelyet vektormez˝ onek nevezu ¨ nk). Az „er˝ ovonalakro ´l” szemle´letes ke´pet kaphatunk, ha vasreszele´ket

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

292

Az Univerzum rejtett minta´zatai

8.2. a ´ bra. Ha vasreszele´ket olyan lapra szo ´runk, amelynek ko ¨zepe´ben ´aramto ´l ´atja´rt vezete´k halad, megjelenı´thetju ¨ k az ´aram ´altal keltett ma´gneses te´r er˝ ovonalait. papı´rlapra szo ´runk, s egy ma´gnes fo ¨le´ helyezzu ¨ k. Ha lapunkat finoman megu ¨ to ¨getju ¨ k, a vasreszele´k csinos geometriai minta´zatokat alkot, amelyek a la´thatatlan ma´gneses er˝ ovonalak ke´pe´t ta´rja´k ele´nk (8.1. ´abra). Hasonlo ´ „ke´pet” az elektromos er˝ ote´rr˝ ol is alkothatunk, ha vasreszele´kkel beszo ´rt lapunkba lyukat va´gunk, azon ´aramto ´l ´atja´rt dro ´tot vezetu ¨ nk keresztu ¨ l, s a lapot megint finoman megu ¨ to ¨getju ¨ k. A reszele´k a vezete´k ko ¨ru ¨ l koncentrikus ko ¨ro ¨ket forma´l (8.2. ´abra). A matematikus szeme´ben egy er˝ ote´r olyan tartoma´ny, amelynek minden pontja´ban adott nagysa´gu ´ e´s ira´nyu ´ er˝ o hat, s e nagysa´g e´s ira´ny a te´rben elmozdulva ´altala´ban folytonosan, to ¨re´sek e´s ugra´sok ne´lku ¨ l va´ltozik. Ha a te´rben egyik helyr˝ ol a ma´sikba mozdulunk el, az illet˝ o pontban hato ´ er˝ o nagysa´ga e´s ira´nya is meg fog va´ltozni. Sok olyan er˝ ote´r is van, ahol e mennyise´gek ra´ada´sul az id˝ oben is va´ltoznak. Maxwell bizonyos volt abban, hogy az olyan absztrakt objektumok, mint amilyenek az er˝ oterek, Galilei mo ´dszere´t ko ¨vetve, matematikailag ´rhato ı ´k csak le, s olyan egyenleteket keresett, amelyek pontosan sza´mot adnak az elektromossa´g e´s a ma´gnesse´g jelense´geir˝ ol. Pro ´ba´lkoza´sa fe´nyes sikerrel ja´rt. Eredme´nyeit 1865ben jelentette meg Az elektroma´gneses te´r dinamikai elme´lete cı´m˝ u ko ¨nyve´ben.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Az er˝ o egyenletei

293

Az er˝ o egyenletei Manapsa´g ne´gy Maxwell-egyenletet tartunk sza´mon, amelyek az E elektromos, a B ma´gneses te´r e´s ke´t ma´sik fizikai mennyise´g, az elektromos to ¨lte´ss˝ ur˝ use´g (ρ) e´s az elektromos ´arams˝ ur˝ use´g (j) ko ¨zo ¨tti kapcsolatot ´rja ı ´k le. Fontos, hogy tiszta´ban legyu ¨ nk vele: mind a ne´gy mennyise´g szigoru ´ an matematikai terme´szet˝ u, amelyek to ¨ke´letesen csak azoknak az egyenleteknek az alapja´n e´rthet˝ ok meg, amelyekben megjelennek. E e´s B pe´lda´ul olyan fu ¨ ggve´nyek, amelyek a te´r minden egyes pontja´hoz minden id˝ opillanatban hozza´rendelik az illet˝ o pontbeli elektromos, e´s a ma´gneses te´rer˝ osse´gvektort. A Maxwell-egyenletek parcia´lis differencia´legyenletek. Az E e´s a B mennyise´gek a te´rbeli koordina´ta´k e´s az id˝ o szerint egyara´nt va´ltozhatnak. Id˝ obeli va´ltoza´suk u ¨ teme´t a t szerinti parcia´lis deriva´ltak jelzik, ezeket rendre

∂E ∂t e´s

∂B ∂t jelo ¨li. [A kett˝ o- vagy to ¨bbva´ltozo ´s fu ¨ ggve´nyek esete´ben, mint amilyen az E, to ¨bb deriva´ltat is definia´lhatunk, annyit, aha´ny va´ltozo ´ja van a fu ¨ ggve´nynek. E deriva´ltak definı´cio ´ja pontosan ugyanazt a se´ma´t ko ¨veti, amelyet a 3. fejezetben az egyva´ltozo ´s esetben bemutattunk, a to ¨bbi va´ltozo ´t egyszer˝ uen ´allando ´nak tekintju ¨ k. Hogy jelezze´k, vannak ma´s va´ltozo ´k is, a matematikusok e ce´lra ku ¨ lo ¨n jelo ¨le´st vezettek be, s – mondjuk – ddtE helyett a ∂∂tE jelo ¨le´st alkalmazza´k. Az ilyen deriva´ltakat nevezzu ¨ k parcia´lis deriva´ltnak.] A legegyszer˝ ubb eset az, amikor az elektromos e´s a ma´gneses teret le´gu ¨ res te´rben vizsga´ljuk, Maxwell egyenletei – az ´allando ´ szorzo ´te´nyez˝ okt˝ ol eltekintve – ekkor a ko ¨vetkez˝ o alakot o ¨ltik (az egyenleteket csak a rend kedve´e´rt ro ¨gzı´tju ¨ k; a szo ´beli magyara´zattal nem maradunk soka´ig ado ´sak): 1. 2. 3. 4.

div E = ρ rot B = j + ∂∂tE rot E = − ∂∂tB div B = 0

(Gauss to ¨rve´nye) (Ampe`re – Maxwell-to ¨rve´ny) (Faraday to ¨rve´nye) (Nem le´tezik ma´gneses monopo ´lus)

A div (divergencia) e´s a rot (rota´cio ´) a vektor-differencia´lsza´mı´ta´s, az analı´zis ´ rtelmeze´su vektor-fu ¨ ggve´nyekre valo ´ alkalmaza´sa´nak m˝ uveletei. E ¨ kho ¨z egy tova´bbi fogalomra, a fluxusra is szu ¨ kse´gu ¨ nk van. Tetsz˝ oleges F vektormez˝ o – egy adott te´rfogatre´szb˝ ol kile´p˝ o – fluxusa azt mutatja, ha´ny er˝ ovonal le´p ki az adott te´rfogatre´szb˝ ol, hozza´vet˝ olegesen teha´t azt jelzi, milyen intenzita´su ´ F az adott te´rfogatre´szben. A div F mennyise´g a te´r minden egyes pontja´ban azt adja meg, hogy mekkora a fluxus az illet˝ o pont egy kicsiny go ¨mbi ko ¨rnyezete´ben. F rota´cio ´ja egy

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

294

Az Univerzum rejtett minta´zatai

adott pontban azt mutatja, mekkora a mez˝ o „o ¨rve´nyesse´ge” a pont egy kicsiny ko ¨rnyezete´ben, nagyja´bo ´l teha´t azt adja meg, milyen me´rte´kben „fordul el” az er˝ ote´r a pont egy kis ko ¨rnyezete´ben. Mindezek alapja´n Maxwell egyenleteit leı´ro ´ mo ´don is megfogalmazhatjuk: 1. Az elektromos mez˝ o fluxusa egy adott te´rfogatre´szben egyenes ara´nyos az annak belseje´ben le´v˝ o to ¨lte´s nagysa´ga´val. 2. Az elektromos ´aram, illetve az elektromos fluxus va´ltoza´sa ma´gneses mez˝ ot kelt. 3. Ha a ma´gneses fluxus va´ltozik, elektromos mez˝ o jelenik meg. 4. Ve´ges te´rfogatre´szb˝ ol kile´p˝ o ma´gneses fluxus nagysa´ga mindig nulla. Maxwell egyenleteib˝ ol ko ¨vetkezik, hogy amennyiben egy vezete´kben oda-vissza halad az elektromos ´aram, a keletkez˝ o elektroma´gneses te´r elszakad a vezet˝ ot˝ ol, s elektroma´gneses hulla´m alakja´ban tovaterjed a te´rben. A hulla´m frekvencia´ja ˝t kelt˝ megegyezik az o o va´ltakozo ´ ´aram frekvencia´ja´val. (A ra´dio ´- e´s a televı´zio ´ada´snak egyara´nt ez a jelense´g az alapja.) Egyenletei alapja´n Maxwell kisza´mı´totta az elektroma´gneses hulla´mok terjede´se´nek sebesse´ge´t is, az eredme´ny: 300 000 kilome´ter ma´sodpercenke´nt. E sebesen sza´guldo ´ „valami” vajon milyen e´rtelemben tekinthet˝ o hulla´mnak? Matematikailag a „dolog” nem egye´b, mint egy fu ¨ ggve´ny: a Maxwell-egyenletek egy megolda´sa. E fu ¨ ggve´ny azonban pontosan olyan tı´pusu ´ , amilyennel a folyade´kokban vagy ga´zokban terjed˝ o hulla´mok leı´ra´sa sora´n tala´lkozunk. Matematikai szempontbo ´l teha´t to ¨ke´letesen helyesen ja´runk el, ha hulla´mnak nevezzu ¨ k. De emle´kezzu ¨ nk csak vissza, Maxwell egyenleteit vizsga´lva Galilei nyomdokain haladunk, s egy ´altalunk teremtett, absztrakt, matematikai vila´got pro ´ba´lunk leı´rni. Az egyenletekben megjelen˝ o mennyise´gek ko ¨zo ¨tti kapcsolat, amennyiben helyesen e´rtelmezzu ¨ k, to ¨ke´letes pontossa´ggal megfelel a valo ´ vila´g jelense´geinek. A matematika eszko ¨zeivel teha´t kiva´lo ´ leı´ra´sa´t kapjuk jelense´geknek – magyara´zattal azonban nem szolga´lhatunk. A matematika fe ´nyt derı´t a fe ´nyre Legyen aka´r hulla´m, aka´r valami ma´s, Maxwell figyelme´t nem keru ¨ lhette el, hogy a terjede´si sebesse´g, amelyet egyenletei alapja´n meghata´rozott, nagyon emle´keztet valamire. Eredme´nye ugyanis nagyon jo ´ ko ¨zelı´te´ssel egyezett a fe´nysebesse´ggel, amelynek nagysa´ga´t akkoriban ma´r ele´g pontosan meg tudta´k hata´rozni. Az egyeze´s olyan foku ´ volt, hogy minden tova´bbi ne´lku ¨ l elke´pzelhet˝ onek t˝ unt: a ke´t sza´me´rte´k valo ´ja´ban ugyanakkora. (A fe´nysebesse´get els˝ oke´nt 1673-ban me´rte meg Olaf Ro ¨mer, a Jupiter egyik holdja, az Io ´ megfigyele´se alapja´n. Az Io ´, amikor a Fo ¨ld a legko ¨zelebb volt a Jupiterhez, 15 perccel hamarabb t˝ unt el a Jupiter ´arnye´ka´ban, mint amikor a ke´t bolygo ´ ko ¨zo ¨tti ta´volsa´g a lehetse´ges legnagyobb volt. Felte´ve, hogy a ke´se´s magyara´zata abban keresend˝ o, hogy a fe´ny-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A matematika fe´nyt derı´t a fe´nyre

295

nek valamivel hosszabb – hozza´vet˝ olegesen a fo ¨ldpa´lya ´atme´r˝ oje´nek 300 millio ´ kilome´teres hossza´val megegyez˝ o – utat kellett megtennie, a fe´ny sebesse´ge´re ko ¨zelı´t˝ oleg 312 000 km/s-ot kapott. A tizenkilencedik sza´zad ma´sodik fele´ben ma´r pontosabb mo ´dszereket is ismertek, amelyek alapja´n a fe´nysebesse´gre valamivel – nem sokkal – 300 000 km/s alatti e´rte´k ado ´dott.) Maxwell teha´t joggal gondolhatta – s te´nylegesen u ´ gy is gondolta –, hogy az elektroma´gneses hulla´mok fe´nysebesse´ggel terjednek. 1662-ben megfogalmazta azt az er˝ osebb felteve´st is, miszerint a ke´t jelense´g egy e´s ugyanaz. A fe´ny tala´n specia´lis – mondjuk meghata´rozott frekvenciasza´mu ´ – elektroma´gneses hulla´m lenne? Akkoriban a fe´ny mibenle´te´re vonatkozo ´an ke´t elme´let volt jelen a pa´ston. Az egyik a Newton ´altal 1650 ko ¨ru ¨ l kidolgozott korpuszkula´ris elme´let, mely szerint a fe´ny apro ´, la´thatatlan re´szecske´kb˝ ol (korpuszkula´kbo ´l) ´all, amelyeket a vila´gı´to ´ testek bocsa´tanak ki, s amelyek egyenes mente´n terjednek tova. A ma´sik verseng˝ o elme´let a Christian Huygens neve´hez f˝ uz˝ od˝ o hulla´melme´let. (Ma ma´r tudjuk, hogy egyik elme´let sem ragadja meg marade´ktalanul a fe´ny terme´szete´t, vannak jelense´gek, amelyekr˝ ol az egyik, de olyanok is, amelyekr˝ ol a ma´sik alapja´n kapunk pontosabb ke´pet.) Maxwell ideje´ben a me´rleg nyelve a hulla´melme´let fele´ billent, aminek alapja´n arra sza´mı´thatna´nk, hogy felteve´se´t, miszerint a fe´ny elektroma´gneses hulla´m, sze´les ko ¨rben elfogadta´k. Nem ´gy ı volt. A proble´ma´t a maxwelli elme´let tu ´ lsa´gosan matematikai jellege okozta. Egy 1884-es besze´de´ben maga Lord Kelvin jelentette ki, hogy Maxwell egyenletei nem adja´k meg a fe´ny kiele´gı´t˝ o magyara´zata´t, s hogy a fizikusoknak folytatniuk kell a kerese´st, hogy ra´tala´ljanak egy „valo ´ban” magyara´zo ´ jelleg˝ u, mechanisztikus modellre. Maxwell szinte´n csatlakozott a trendhez: to ¨bbszo ¨r is megpro ´ba´lkozott egy mechanikus modell kidolgoza´sa´val, azonban mindannyiszor kudarcot vallott. Ilyen modellt a mai napig nem sikeru ¨ lt megalkotni senkinek. Maxwell elme´lete azonban, annak ellene´re, hogy szemle´letesnek nemigen volt nevezhet˝ o, tudoma´nyos szempontbo ´l kia´llta az id˝ o pro ´ba´ja´t, s manapsa´g az elektroma´gneses suga´rza´s pontos matematikai leı´ra´sa´nak tekintju ¨ k. Heinrich Hertz ne´met fizikus ma´r 1887-ben sikeresen elve´gzett egy kı´se´rletet, amelyben egy ´aramko ¨rben keltett elektroma´gneses hulla´mokat egy ma´sik, az els˝ ot˝ ol bizonyos ta´volsa´gra mege´pı´tett ´aramko ¨r segı´tse´ge´vel tudta e´rze´kelni. Ro ¨viden: sikeru ¨ lt leadnia e´s fognia az els˝ o ra´dio ´jeleket. Ne´ha´ny e´v eltelte´vel a ra´dio ´hulla´mok ´altal ko ¨zvetı´tett emberi hang ma´r egyre nagyobb ta´volsa´gokat tudott ´athidalni, s nem telt bele to ¨bb, mint nyolcvanke´t esztend˝ o, s 1969-ben a fo ¨ldi szeme´lyzet ma´r az els˝ o Holdra le´p˝ ou ˝rhajo ´s hangja´t hallhatta a ra´dio ´ke´szu ¨ le´ken. Ma ma´r tudjuk, hogy a fe´ny – mike´pp azt Maxwell megjo ´solta – valo ´ban elektroma´gneses hulla´m. Az elektroma´gneses hulla´mok, hulla´mhosszuk szerint a 10−14 me´teres hulla´mhosszu ´ , nagyfrekvencia´s hulla´mokto ´l a 108 m hulla´mhosszu ´ , alacsony frekvencia´ju ´ hulla´mokig terjednek. A ra´dio ´- e´s televı´zio ´ada´s

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

296

Az Univerzum rejtett minta´zatai

jeleit tova´bbı´to ´ ra´dio ´hulla´mok, melyeknek frekvencia´ja a fe´nye´ne´l jo ´val alacsonyabb, az elektroma´gneses spektrum also ´ re´sze´n tala´lhato ´k. Fo ¨lo ¨ttu ¨ k, de me´g a la´thato ´ fe´ny frekvencia´ja alatt tala´lhato ´k az infravo ¨ro ¨s hulla´mok, amelyek la´thatatlanok ugyan, de h˝ o ko ¨zvetı´te´se´re ma´r alkalmasak. A fe´ny az elektroma´gneses hulla´mok la´thato ´ tartoma´nya, also ´ hata´ra´t az alacsony frekvencia´ju ´ vo ¨ro ¨s, fels˝ o hata´ra´t a magas frekvencia´ju ´ ibolyaszı´n ke´pezi. A kett˝ o ko ¨zo ¨tt sorra megjelennek a sziva´rva´ny jo ´l ismert szı´nei: a narancs, a sa´rga, a zo ¨ld, a ke´k e´s az indigo ´ke´k. A la´thato ´ fe´nyne´l valamivel magasabb frekvencia´kon az ultraibolya sugarakat tala´ljuk, amelyek az emberi szem sza´ma´ra la´thatatlanok ugyan, a fe´nye´rze´keny foto ´lemezeket azonban megfeketı´tik, s megfelel˝ o eszko ¨zo ¨kkel meg is jelenı´thet˝ ok. Az ultraibolya tartoma´nyt is elhagyva e´rkezu ¨ nk meg a ro ¨ntgensugarakhoz, amelyek, amellett, hogy a filmen nyomot hagynak, az emberi testen is ke´pesek ´athatolni: e ke´t tulajdonsa´gukat az orvostudoma´ny akna´zza ki. A spektrum legmagasabb frekvencia´ju ´ tartoma´nya´t a gamma-sugarak ke´pezik, amelyeket bizonyos radioaktı´v anyagok bocsa´tanak ki, s amelyeket az orvostudoma´ny szinte´n alkalmazni tud. Az emberi la´ta´s, a kommunika´cio ´, az orvostudoma´ny – nem is besze´lve a mikrohulla´mu ´ su ¨ t˝ or˝ ol – mind az elektroma´gneses suga´rza´son, s mint ilyenek, Maxwell elme´lete´n alapulnak. A ne´gy egyenlet pontossa´ga´nak ala´ta´maszta´sa´hoz nem is kell er˝ osebb bizonyı´te´k. Ezek az egyenletek azonban, mint azt ma´r kora´bban megjegyeztu ¨ k, nem szolga´lnak magyara´zattal arra, mi is az elektroma´gneses suga´rza´s. Az elme´let tiszta´n matematikai jelleg˝ u, s ragyogo ´an pe´lda´zza, mike´nt ke´pes a matematika „megjelenı´teni a la´thatatlant”. Elfu ´ jta a sze ´l Maxwell elme´lete to ¨bb ke´rde´st is megva´laszolatlanul hagyott, melyek ko ¨zu ¨l az egyik a ko ¨vetkez˝ o: milyen terme´szet˝ u az a ko ¨zeg, amelyben az elektroma´gneses hulla´mok terjednek? A fizikusok e ko ¨zeget e´ternek nevezte´k, mibenle´te´r˝ ol azonban semmit sem tudtak. A hagyoma´nyoknak megfelel˝ oen a legegyszer˝ ubb elme´letet keresve feltette´k, hogy e titokzatos „anyag” az Univerzumban mindenu ¨ tt nyugalomban van, s ez alkotja annak az el˝ oada´snak az ´allando ´ ha´ttere´t, melyet a csillagok, a bolygo ´k e´s az elektroma´gneses hulla´mok mutatnak be. A ro ¨gzı´tett e´ter felteve´se´nek ellen˝ orze´se´t t˝ uzte ki ce´lul 1881-ben Albert Mi¨ tletes berendeze´st ke´szı´tett, amellyel az e´ter jelenle´te chelson, amerikai fizikus. O kimutathato ´. Ha ugyanis az e´ter nyugalomban van, a Fo ¨ld pedig benne halad, miko ¨zben a Nap ko ¨ru ¨ l kering, akkor, e´rvelt Michelson, folyamatos, szemb˝ ol fu ´ jo ´ „e´terszelet” kell tapasztalnunk. Kı´se´rlete´ben ezt az e´terszelet, pontosabban ennek a fe´ny terjede´se´re gyakorolt hata´sa´t pro ´ba´lta kimutatni. Elke´pzele´se a ko ¨vetkez˝ o volt: ke´t fe´nyjelet bocsa´tott ki, pontosan ugyanabban az id˝ opontban, az egyiket a Fo ¨ld pa´lya´ja´val megegyez˝ o ira´nyban, a ma´sikat arra mer˝ olegesen. E

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Elfu ´jta a sze´l

297

8.3. a ´ bra. Michelson kı´se´rlete. A fe´nyforra´st (A) elhagyo ´ fe´nynyala´bot a fe´lig foncsorozott (B) tu ¨ ko ¨r kette´va´lasztja. A ke´t nyala´b a C e´s a D tu ¨ kro ¨kr˝ ol visszaver˝ odve az E e´s F nyala´bke´nt folytatja u ´ tja´t. A BC e´s a BD ta´volsa´g ugyanakkora. Michelson nem tudott az E e´s az F nyala´bok ko ¨zo ¨tt semmilyen interferenciajelense´get kimutatni. ¨gben a jel u ´ tja´ba helyezett tu ¨ kce´lra igaza´bo ´l egyetlen fe´nyjelet, s egy 45◦ -os szo ro ¨t haszna´lt, amely a fe´nyjelet ke´t, egyma´sra mer˝ olegesen tova´bbhalado ´ nyala´bra bontotta. Mindke´t nyala´b ke´t u ´ jabb, az els˝ ot˝ ol egyenl˝ o ta´volsa´gra elhelyezked˝ o tu ¨ ko ¨rig folytatta u ´ tja´t, amelyr˝ ol visszaver˝ odve egy detektorhoz e´rkeztek meg. A kı´se´rlet o ¨sszea´llı´ta´sa´t a 8.3. ´abra mutatja. Mivel az els˝ o fe´nynyala´b u ´ tja´nak els˝ o fele´t a felte´telezett e´tersze´llel szemben, a ma´sodik fele´t pedig e sze´l ira´nya´ban tette meg, bizonyos elte´re´snek kellett mutatkozni a ma´sik fe´nynyala´bbal szemben, amely u ´ tja´nak fele ta´volsa´ga´t e sze´lre mer˝ olegesen tette meg: az el˝ obbinek valamivel a ma´sodik uta´n kellett a detektorhoz mege´rkeznie. Ke´pzelju ¨ nk el ke´t azonos ke´pesse´g˝ u u ´ szo ´t, akik ko ¨zu ¨ l az els˝ o a folyo ´n felfele´, majd lefele´ haladva tesz meg bizonyos ta´volsa´got, a ma´sik viszont az egyik partro ´l a ma´sikig, majd vissza teszi meg ugyanazt a ta´vot. Az els˝ o versenyz˝ o valamivel ke´s˝ obb fog visszae´rni, mint a ma´sodik. A ma´sodikat, aki a mindve´gig a sodra´s ira´nya´ra mer˝ olegesen u ´ szik, az ´ar egy kisse´ elsodorja, minek ko ¨vetkezte´ben valo ´ja´ban kisse´ lejjebb fog partot e´rni, mint a kiindula´si helyzete. Ugyanez terme´szetesen a Michelson-kı´se´rletre is igaz, ´am a fe´ny sebesse´ge mellett a felte´telezett e´tersze´l sebesse´ge´nek nagysa´ga (a Fo ¨ld keringe´se´nek sebesse´ge, hozza´vet˝ olegesen 30 km ma´sodpercenke´nt) elhanyagolhato ´, ´gy ı ezt a lejjebb sodro ´da´st nyugodtan elhanyagolhatjuk, a detektor nem is ke´pes kimutatni. Michelson azt pro ´ba´lta megme´rni, mekkora az id˝ obeli elte´re´s a ke´t fe´nynyala´b detektorhoz valo ´ mege´rkeze´se ko ¨zo ¨tt. Mike´nt lehetse´ges ez? Me´g napjaink

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

298

Az Univerzum rejtett minta´zatai

legmodernebb o ´ra´ival sem tudna´nk a ma´sodpercenke´nt 30 kilome´teres sebesse´ggel „su ¨ vı´t˝ o” e´tersze´lnek a 300 000 kilome´terrel sza´guldo ´ fe´nynyala´bra gyakorolt hata´sa´t megme´rni. Michelson ragyogo ´ o ¨tlete: haszna´ljuk fel az elte´re´s me´re´se´re maga´t a fe´nynyala´bot! Mivel ugyanabbo ´l a fe´nyforra´sbo ´l sza´rmaznak, a ke´t fe´nynyala´b egyma´ssal to ¨ke´letes szinkronban e´rkezik az els˝ o tu ¨ ko ¨rho ¨z, ahol u ´ tjaik elva´lnak. Ha ma´rmost valo ´ban ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o nagysa´gu ´ utat kell megtenniu ¨ k, akkor visszae´rkeze´su ¨ kig e szinkron jelleg elromlik, s a detektorra e´rkez˝ o, a ke´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o fe´nynyala´bbo ´l o ¨sszetev˝ od˝ o jel to ¨bbe´ ma´r nem fog megegyezni az eredetileg kibocsa´tott fe´nnyel, s a ku ¨ lo ¨nbse´g „e´szrevehet˝ o” lesz, a szo ´ legszorosabb e´rtelme´ben. Minden va´rakoza´s ellene´re Michelson semmife´le elte´re´st nem tudott kimutatni, amelynek alapja´n a visszate´r˝ o, o ¨sszetett fe´nynyala´bot az eredetileg kibocsa´totto ´l megku ¨ lo ¨nbo ¨ztethette volna. A ke´t nyala´b to ¨ke´letesen szinkronban volt azuta´n is, hogy – ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ira´nyu ´u ´ tjukat megte´ve – u ´ jra tala´lkoztak. Az eredme´ny megbı´zhato ´sa´ga´ban maga Michelson is ke´telkedett, az elko ¨vetkez˝ o e´vekben kı´se´rlete´t to ¨bbszo ¨r is megisme´telte. Az egyik lehet˝ ose´g, amivel sza´molnia kellett, hogy a kı´se´rlet elve´gze´se´nek ideje´ben a Fo ¨ld pa´lya´ja e´ppen egyu ¨ tt mozgott az e´terrel. A ma´sik, hogy a berendeze´s nem pontosan 90◦ -os szo ¨get za´rt be az e´tersze´l ira´nya´val. Pro ´ba´lkozhatott azonban aka´rha´nyszor, aka´rmilyen bea´llı´ta´ssal, a ke´t fe´nynyala´b to ¨ke´letesen szinkronban maradt. ´ gy t˝ Hol rejt˝ ozhetett a hiba? U unt, semmife´le e´tersze´l – azaz semmife´le e´ter – nem mutathato ´ ki. Akkor viszont miben terjednek az elektroma´gneses hulla´mok? Egy lehetse´ges kiu ´ tra egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenu ¨ l Hendrik Antoon Lorentz e´s George FitzGerald mutattak ra´: azzal a radika´lis megolda´ssal ´alltak el˝ o, hogy az e´terben bizonyos sebesse´ggel halado ´ testeknek a mozga´s ira´nyu ´ me´retei pontosan olyan me´rte´kben cso ¨kkennek, amely e´ppen kiegyenlı´ti azt az elte´re´st, amelyet Michelson kı´se´rlete´ben kellett volna tapasztalni. A felteve´s nem csupa´n radika´lisnak, de kifejezetten mesterke´ltnek is t˝ unt, soka´ig ennek megfelel˝ o hitetlense´g o ¨vezte. A kı´se´rletek azonban azt mutatta´k, ba´rmilyen valo ´szı´n˝ utlen legyen is, az igazsa´gto ´l nem ´allhat tu ´ lsa´gosan messze. A kimutathatatlan e´ter proble´ma´ja´nak ve´gs˝ o megolda´sa Albert Einstein speci´alis relativita´selme´lete adta meg, 1905-ben. Minden id˝ ok leghı´resebb tudo ´ sa Ha nyugati kultu ´ ra´nkban az ´atlagembert arra ke´rju ¨ k, nevezzen meg egy tudo ´st – esetleg egy „tudoma´nyos ge´niuszt” – csaknem biztosak lehetu ¨ nk va´lasza´ban: Albert Einstein. A ne´met sza´rmaza´su ´ sva´jci hivatalnokbo ´l princeton-i professzorra´ lett Einstein neve a „tudoma´nyos ge´niusz” szinonima´ja lett, legala´bbis a nyugati kultu ´ ra´ban. Az 1879-ben Ulmban szu ¨ letett Einstein gyermekkora´t e´s iskolae´veit Mu ¨ nchenben to ¨lto ¨tte. 1896-ban, a ne´met militarizmussal szemben ta´pla´lt ellene´rze´se miatt

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Minden id˝ ok leghı´resebb tudo ´sa

299

lemondott ne´met ´allampolga´rsa´gro ´l, s 1901-ig, amı´g a sva´jci ´allampolga´rsa´got meg nem kapta, „haza´tlan” volt. Id˝ oko ¨zben Sva´jcba ko ¨lto ¨zo ¨tt, ahol fizikatana´ri oklevelet szerzett. 1902-t˝ ol miuta´n a Sva´jci Politechnikai Inte´zetben nem sikeru ¨ lt ´alla´st szereznie, a sva´jci szabadalmi hivatalban dolgozott, mint III. oszta´lyu ´ m˝ uszaki szake´rt˝ o. 1905-ben jelentkezik a specia´lis relativita´s elme´lete´vel, azzal a forradalmi teo ´ria´val, amely ro ¨videsen vila´gszerte ismertte´ tette a neve´t. 1909-ben szabadalmi hivatali ´alla´sa´t elhagyva a zu ¨ richi, ke´s˝ obb a berlini egyetem fizikaprofesszora. A na´ci zsido ´u ¨ ldo ¨ze´s el˝ ol 1933-ban Amerika´ba emigra´l, az u ´ jonnan alapı´tott princeton-i (New Jersey) Institute for Advanced Study munkata´rsa lesz, amely pozı´cio ´ja´t mindve´gig megtartotta. 1940-t˝ ol amerikai ´allampolga´r. Princeton-ban halt meg 1955-ben. A relativita´s le´nyege´nek mege´rte´se´hez ke´pzelje el maga´t a kedves Olvaso ´ egy e´jszakai repu ¨ l˝ ou ´ ton. Az ablakok mind be vannak csukva, a ku ¨ lvila´gbo ´l teha´t semmi nem la´thato ´. Ha a repu ¨ le´st nem zavarja´k meg le´go ¨rve´nyek, semmi jel nem utal arra, hogy a repu ¨ l˝ oge´p mozga´sban van. Ha kedvu ¨ nk tartja, fela´llhatunk a helyu ¨ nkr˝ ol s ko ¨rbese´ta´lhatunk. A le´gikisasszony egy cse´sze ka´ve´t to ¨lt poharunkba. A mogyoro ´szacsko ´t unottan doba´ljuk egyik kezu ¨ nkb˝ ol a ma´sikba. Minden to ¨ke´letesen norma´lisnak t˝ unik, e´ppen olyannak, mintha otthonunkban u ¨ ldo ¨ge´lne´nk. S me´gis: ge´pu ¨ nk ko ¨zel 1 000 km/h sebesse´ggel szeli a leveg˝ ot. Mi magyara´zza, hogy mikor fela´llunk, semmi sem lo ¨k vissza minket az u ¨ le´sbe? S mike´pp lehetse´ges, hogy a ka´ve´ nem o ¨mlik a ruha´nkra, s hogy a mogyoro ´szacsko ´ sem esik ki a kezu ¨ nkb˝ ol? A va´lasz a ko ¨vetkez˝ o. Valamennyi mozga´s, amelyet megemlı´tettu ¨ nk – testu ¨ nk, a ka´ve´ vagy a mogyoro ´ mozga´sa – egyara´nt a repu ¨ l˝ oge´p mozga´sa´hoz viszonyı´tott relatı´v mozga´s. A ge´p belseje adja ezen mozga´sok mozdulatlan ha´ttere´t, azt, amit a fizikusok vonatkoztata´si rendszernek neveznek, s amelyhez viszonyı´tva az Olvaso ´, a ka´ve´ vagy a mogyoro ´ mozga´sa leı´rhato ´. A repu ¨ l˝ oge´p belseje´b˝ ol ne´zve minden pontosan u ´ gy viselkedik, mintha nyugalomban lenne. A ge´p mozga´sa´t csupa´n akkor e´rze´kelju ¨ k, ha kinyitjuk az ablakot, s la´tjuk alattunk a fo ¨ldi fe´nyeket. S erre e´ppen aze´rt vagyunk ke´pesek, mert o ¨ssze tudunk vetni ke´t vonatkoztata´si rendszert: a repu ¨ l˝ oge´pe´t e´s a fo ¨lde´t. A pe´lda a mozga´s relativita´sa´t mutatja: valamely dolog mozga´sa´t mindig egy ma´sikhoz viszonyı´tva ´rjuk ı le. Amit „abszolu ´ t mozga´snak” la´tunk e´s gondolunk, az valo ´ja´ban ahhoz a vonatkoztata´si rendszerhez viszonyı´tott mozga´s, amelyben helyet foglalunk. Le´tezik-e „kitu ¨ ntetett” vonatkoztata´si rendszer? Ha u ´ gy tetszik: van-e a terme´szetnek saja´t vonatkoztata´si rendszere? Arisztotele´sz szerint a va´lasz igenl˝ o: mivel a Fo ¨ld nyugalomban van, a hozza´ viszonyı´tott mozga´sok mind „abszolu ´ t mozga´sok”. Kopernikusz meggy˝ oz˝ ode´se szerint ellenben valamennyi mozga´s relatı´v. Newton vele szemben a ro ¨gzı´tett, „abszolu ´ t” te´rben hitt, amelyhez viszonyı´tva minden dolog vagy abszolu ´ t nyugalomban van, vagy abszolu ´ t mozga´st ve´gez. Lorentz hitvalla´sa le´nyege´ben ugyanez: a terme´szetben le´tezik

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

300

Az Univerzum rejtett minta´zatai

egy kitu ¨ ntetett, nyugalmi vonatkoztata´si rendszer, amelyhez ke´pest minden vagy nyugalomban, vagy mozga´sban van – ez az e´ter. Lorentz szerint teha´t az e´terhez viszonyı´tott mozga´s: abszolu ´ t mozga´s. Lorentz egy le´pe´ssel tova´bb ment, s azt is felvetette, hogy amennyiben a testek to ¨mege, s ennek ko ¨vetkezte´ben a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o testek ´altal egyma´sra hato ´ er˝ o nagysa´ga is va´ltozik az e´terhez viszonyı´tott sebesse´g fu ¨ ggve´nye´ben, e´ppu ´ gy, mint a sebesse´g ira´nya´ba es˝ o hosszme´reteik (amely uto ´bbi jelense´get, melyr˝ ol e´pp az ime´nt ejtettu ¨ nk szo ´t, Lorentz-kontrakcio ´nak nevezik), akkor a terme´szeti jelense´gek leı´ra´sa pontosan ugyanazokat a to ¨rve´nyeket fogja ko ¨vetni minden egyes vonatkoztata´si rendszerben – felte´ve, hogy a megfelel˝ o me´r˝ orudakat haszna´ljuk. Ha teha´t ke´t megfigyel˝ o egyike (az e´terhez viszonyı´tva) mozga´sban, ma´sik viszont nyugalomban van, akkor nem lesznek ke´pesek mega´llapı´tani, melyiku ¨ k mozog e´s melyiku ¨ k ´all. Lorentz elme´lete´nek egyik folyoma´nya, hogy a testek to ¨mege sebesse´gu ¨ k no ¨vekede´se´vel folyamatosan egyre nagyobb lesz. Kisebb sebesse´gek esete´ben e to ¨megno ¨vekede´s oly kicsiny, hogy nem lehet kimutatni, amint azonban a sebesse´g megko ¨zelı´ti a fe´nysebesse´get, ma´r jelent˝ osse´ va´lik. A radioaktı´v atomok ´altal kibocsa´tott nagy sebesse´g˝ u elektronokna´l a to ¨megno ¨vekede´s a modern berendeze´sek segı´tse´ge´vel te´nylegesen kimutathato ´, s to ¨ke´letesen egyezik a Lorentz ´altal megjo ´solt e´rte´kekkel. Lorentz elme´lete´b˝ ol kiindulva Einstein megtette a do ¨nt˝ o le´pe´st: a nyugalomban le´v˝ o e´ter elme´lete´t egy az egyben elvetette, s kijelentette: minden mozga´s relatı´v mozga´s, nem le´tezik teha´t kitu ¨ ntetett vonatkoztata´si rendszer. Ezt Einstein hı´res specia´lis relativita´si elve. Hogy elme´lete matematikai szempontbo ´l helyes legyen, Einsteinnek azzal a felteve´ssel kellett e´lnie, hogy az elektroma´gneses suga´rza´s rendelkezik egy – a ko ¨znapi szemle´lettel hata´rozottan szembekeru ¨ l˝ o – vona´ssal. Ba´rmely vonatkoztata´si rendszerben vagyunk, jelentette ki, a fe´ny (illetve tetsz˝ oleges elektroma´gneses hulla´m) sebesse´ge le´gu ¨ res te´rben mindig ugyanakkora. Ami teha´t abszolu ´ t, az Einstein szerint nem valamife´le anyagi szubsztancia, hanem az elektroma´gneses hulla´mok sebesse´ge. Az egyidej˝ use ´g proble ´ma ´ ja Ha egyszer a fe´nysebesse´get valamennyi vonatkoztata´si rendszerben ugyanakkora´nak tekintju ¨ k, akkor – mike´nt Einstein is tette – megolda´st adhatunk egy ma´sik me´ly proble´ma´ra: mit jelent az, hogy ke´t eseme´ny egyszerre megy ve´gbe? Az egyidej˝ use´g proble´ma´ja akkor keru ¨ l az el˝ ote´rbe, amikor a szo ´ban forgo ´ eseme´nyeket hatalmas ta´volsa´g va´lasztja el. Einstein elme´lete szerint az id˝ o sem abszolu ´ t, atto ´l a vonatkoztata´si rendszert˝ ol fu ¨ gg, amelyben me´rju ¨ k. Az egyidej˝ use´g e´rtelmeze´se´hez a fe´ny adja a fogo ´dzo ´t. Ke´pzelju ¨ k el egy vonatot, amely igen nagy sebesse´ggel halad. A vonat mindke´t

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Me´rlegen a helyzet su ´lya

301

ve´ge´n egy-egy ajto ´ van, amelyet fe´nyjelekkel lehet nyitni e´s za´rni, e jelek forra´sa pedig pontosan a vonat ko ¨zepe´n tala´lhato ´. (Valo ´ja´ban egy hipotetikus, u ´ n. gondolatkı´se´rletr˝ ol van szo ´, amelyben feltesszu ¨ k, hogy a me´re´sek to ¨ke´letesen pontosak, az ajto ´k ke´slekede´s ne´lku ¨ l kinyı´lnak stb.) Ke´pzelju ¨ k magunkat egy olyan utas helye´be, aki a vonat ko ¨zepe´n, a jelforra´sna´l foglal helyet. (Vonatkoztata´si rendszeru ¨ nk teha´t a mozgo ´ vonathoz ro ¨gzı´tett vonatkoztata´si rendszer.) Mit la´tunk, amikor elku ¨ ldju ¨ k a jelet? La´tjuk, amint a ke´t ajto ´ egyszerre kinyı´lik. Ugyanakkor nyı´lnak ki, mert a fe´nyjelnek ugyanakkora id˝ obe telik a vonat egyik ve´ge´re ele´rni, mint a ma´sikra. Tegyu ¨ k fel most, hogy nem a vonaton u ¨ lu ¨ nk, hanem a sı´nt˝ ol 50 me´terre ´alldoga´lva figyelju ¨ k, amint elrobog mellettu ¨ nk. A fe´nyjel megint elindul. Mit la´tunk most? Els˝ oke´nt a ha´tso ´ ajto ´t la´tjuk kinyı´lni, s csak azuta´n az els˝ ot. A magyara´zat a ko ¨vetkez˝ o. A vonat – a mi vonatkoztata´si rendszeru ¨ nkho ¨z ke´pest – mozga´sban van, ´gy ı a ha´tso ´ ajto ´ az alatt az id˝ o alatt, amı´g a fe´nyjel ele´r hozza´, megtesz egy ro ¨vidke utat a jellel szemben haladva, az els˝ o ajto ´ ugyanakkor el˝ ore´bb keru ¨ l egy kicsivel, a fe´nyjel teha´t – a ku ¨ ls˝ o szemle´l˝ o rendszere´b˝ ol ne´zve – ro ¨videbb utat tesz meg, amı´g a ha´tso ´ ajto ´ig ele´r, mint amı´g az els˝ o ajto ´ig. A fe´nysebesse´g azonban Einstein szerint minden vonatkoztata´si rendszerben ugyanakkora, enne´lfogva – a ku ¨ ls˝ o szemle´l˝ o ne´z˝ opontja´bo ´l – a fe´ny hamarabb megteszi az utat a ha´tso ´ ajto ´ig, mint az els˝ oig. Ve´geredme´nyben teha´t azt la´tjuk, hogy mı´g a vonat ko ¨zepe´n helyet foglalo ´ megfigyel˝ o sza´ma´ra az ajto ´kat pontosan ugyankkor nyı´lnak ki, a sı´n mellett ´allo ´ a ha´tso ´ ajto ´t el˝ obb fogja kinyı´lni la´tni, mint az els˝ ot. Az id˝ o teha´t az einsteini elme´let szerint nem lehet abszolu ´ t: a megfigyel˝ ot˝ ol fu ¨ gg, e´ppu ´ gy, mint a sebesse´g. Me ´rlegen a helyzet su ´ lya Einstein specia´lis relativita´selme´lete, minden tudoma´nyos er˝ osse´ge ellene´re csak olyan esetekben alkalmazhato ´, amikor ke´t – vagy to ¨bb – vonatkoztata´si rendszer egyma´shoz ke´pest ´allando ´ sebesse´ggel mozog. Az elme´let, ba´r a te´rr˝ ol e´s az id˝ or˝ ol valo ´ elke´pzele´su ¨ nket alapvet˝ oen megva´ltoztatta, semmit nem mond a to ¨megr˝ ol e´s a gravita´cio ´ro ´l, az Univerzum ma´sik ke´t alapvet˝ o e´pı´t˝ oeleme´r˝ ol. Einstein maga tala´lta meg a mo ´dja´t, mike´nt ´altala´nosı´thato ´ az elme´let u ´ gy, hogy ezekr˝ ol is sza´mot adjon: 1915-ben ´allt el˝ o a´ltala´nos relativita´selme´lete´vel. Az u ´ j elme´let alapja az a´ltala´nos relativita´s elve, mely szerint minden jelense´g ugyanu ´ gy megy ve´gbe valamennyi vonatkoztata´si rendszerb˝ ol szemle´lve, fu ¨ ggetlenu ¨ l atto ´l, hogy az gyorsul-e vagy sem. Az u ´ j elme´let szerint amennyiben egy terme´szeti folyamat a gravita´cio ´ hata´sa´ra megy ve´gbe, akkor u ´ gy ´rhato ı ´ le, mintha gravita´cio ´ ne´lku ¨ li, de gyorsulo ´ vonatkoztata´si rendszerb˝ ol vizsga´lna´nk. Tekintsu ¨ k megint az e´jszakai, beso ¨te´tı´tett ablaku ´ repu ¨ l˝ ou ´ t pe´lda´ja´t. Amikor a ge´p gyorsul, u ´ gy e´rezzu ¨ k, mintha egy er˝ o nyomna bennu ¨ nket az u ¨ le´s ha´tta´mla´ja´hoz. S˝ ot, ha a gyorsula´s ideje´n e´ppen ba´me´szkodva ´alldoga´lunk, ko ¨nnyen

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

302

Az Univerzum rejtett minta´zatai

megeshet, hogy egyensu ´ lyunkat elveszı´tve hirtelen a ge´p ha´tso ´ re´sze fele´ vesszu ¨k az ira´nyt. Hasonlo ´an, amikor repu ¨ l˝ oge´pu ¨ nk hirtelen lassı´t (mint azt lesza´lla´skor teszi), olyan er˝ ot e´rze´kelu ¨ nk, amely a ge´p orra fele´ taszı´t bennu ¨ nket. A gyorsula´st, illetve a lassula´st a ke´t esetben egy er˝ o e´rze´keltette velu ¨ nk. Igaz ugyan, hogy ha az ablakon nem la´tunk ki, akkor azt sem la´tjuk, hogy a ge´p lassul-e vagy gyorsul. Ha ma´s magyara´zat nem jut eszu ¨ nkbe, aka´r u ´ gy is ve´lhetju ¨ k, hogy valamife´le titokzatos er˝ o taszı´t minket a ge´p orra, illetve a farka fele´ – s ezt a titokzatos er˝ ot aka´r „gravita´cio ´nak” is nevezhetju ¨ k. Az ´altala´nos relativita´s elme´lete mellett szo ´lo ´ els˝ o e´rv a Merku ´ r ku ¨ lo ¨nleges mozga´sa´nak sikeres magyara´zata volt. Newton elme´lete szerint a bolygo ´k – a kepleri to ¨rve´nyeknek megfelel˝ oen – ellipszis alaku ´ pa´lya´n keringenek a Nap ko ¨ru ¨ l. Az u ´ jabb id˝ ok pontosabb me´re´sei azonban kiderı´tette´k, hogy a Merku ´ r esete´ben e pa´lya nem teljesen staciona´rius: kicsiny, de e´szrevehet˝ o me´rte´k˝ u ingadoza´sokat ´ mutat. Evsza´zadonke´nt ko ¨ru ¨ lbelu ¨ l 41 szo ¨gma´sodperc annak az elte´re´snek a nagysa´ga, amelyr˝ ol Newton elme´lete nem tud sza´mot adni. Az elte´re´s kicsi ugyan, de a ke´rde´s su ´ lya´t nem cso ¨kkenti: vajon mi lehet a jelense´g ha´ttere´ben? Az ´altala´nos relativita´selme´let kidolgoza´sa el˝ ott a tudo ´sok nem tudtak valo ´di magyara´zattal szolga´lni. Einstein elme´lete azonban azt jo ´solta, hogy nem csupa´n a Merku ´ r, de valamennyi bolygo ´ esete´ben tapasztalni kell effe´le pa´lyaelte´re´seket. Ezen elte´re´seknek ra´ada´sul a pontos e´rte´ke´t is meg lehetett hata´rozni, de – az egy Merku ´ r esete´t˝ ol eltekintve – ezek tu ´ lsa´gosan kicsik voltak ahhoz, hogy me´rhet˝ ok legyenek. A Merku ´ rna´l viszont az elme´let ´altal szolga´ltatott adat to ¨ke´letesen egyezett a csillaga´szok me´re´si eredme´nyeivel. Ba´r a Merku ´ r pa´lyaelte´re´se´nek magyara´zata meger˝ osı´tette az u ´ j teo ´ria´ba vetett bizalmat, igazi ´atto ¨re´st me´gis csak egy 1919-es csillaga´szati megfigyele´s hozott. Az ´altala´nos relativita´selme´let egyik megdo ¨bbent˝ o te´zise, hogy maga a fe´ny is u ´ gy viselkedik, mintha to ¨mege lenne, a fe´nysugarak is ki vannak te´ve teha´t a gravita´cio ´s vonza´s hata´sa´nak. Mid˝ on a fe´ny egy nagy to ¨meg˝ u test, pe´lda´ul egy csillag mellett halad el, a csillag gravita´cio ´s er˝ otere elte´rı´ti a fe´nysugarat eredeti pa´lya´ja´to ´l. Az 1919-es napfogyatkoza´s ideje´n a csillaga´szoknak alkalmuk nyı´lt Einstein elme´lete´nek ezt az el˝ orejelze´se´t kı´se´rletileg is ellen˝ orizni – s az adatok „fe´nyesen” igazolta´k a teo ´ria´t. A megfigyele´sek sora´n a csillaga´szok egy szerencse´s egybeese´st akna´ztak ki. Mer˝ o ve´letlen, hogy a Fo ¨ld, a Hold e´s a Nap relatı´v me´retei olyanok, hogy a Nap a Fo ¨ldr˝ ol ne´zve pontosan ugyanakkora, mint a Hold, ´gy ı alkalmas helyr˝ ol e´s alkalmas id˝ oben szemle´lve a Hold e´ppen el tudja takarni a Napot. A napfogyatkoza´st ke´t kutato ´csoport ko ¨vette nyomon. Amikor a Hold e´ppen eltakarta a Napot, az egyik csoport pontosan meghata´rozta ne´ha´ny csillag helyzete´t a Napot eltakaro ´ Hold ko ¨rnye´ke´n. Ugyanezeket a csillagokat a ma´sik kutato ´csoport akkor me´rte be, amikor a Nap ta´volabb volt t˝ olu ¨ k. A ke´t esetben mega´llapı´tott helyzetek elte´re´seket mutattak. Pontosabban, azok a csillagok is megfigyelhet˝ ok voltak a ta´vcso ¨vo ¨n keresztu ¨ l, amelyekr˝ ol tudta´k, hogy a Hold ´altal eltakart Nap

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A te´rid˝ o geometria´ja

303

8.4. a ´ bra. Mikor egy ta´voli csillagbo ´l e´rkez˝ o fe´nysuga´r elhalad a Nap mellett, a Nap gravita´cio ´s vonza´sa elte´rı´ti eredeti pa´lya´ja´to ´l. A jelense´get el˝ oszo ¨r az 1919¨lt csillag az Y helyen es napfogyatkoza´s alkalma´val figyelte´k meg. Az X-szel jelo t˝ unt fel. mo ¨go ¨tt vannak (8.4. ´abra). S pontosan ez az, amit Einstein elme´lete el˝ ore jelzett. Az elme´let szerint ugyanis a szo ´ban forgo ´ csillagokbo ´l e´rkez˝ o fe´nysugarak pa´lya´ja a Nap ko ¨zele´ben, annak gravita´cio ´s mezeje hata´sa´ra meggo ¨rbu ¨ l. A Nap mo ¨ge´ bu ´ jt csillag ennek eredme´nyeke´ppen me´gis la´thato ´va´ va´lt. A csillaga´szok meglehet˝ os pontossa´ggal meg tudta´k ´allapı´tani a „rejt˝ ozko ¨d˝ o” csillagok helyzete´t, s adataik to ¨ke´letesen egyeztek az elme´let ´altal jo ´solt e´rte´kekkel. S ez a bizonyı´te´k ma´r perdo ¨nt˝ onek sza´mı´tott. A gravita´cio ´ e´s a bolygo ´mozga´s newtoni elme´lete to ¨ke´letesen megfelelt a mindennapi gyakorlat sza´ma´ra ele´gse´ges pontossa´gu ´ napta´rak e´s ´ar-apa´ly-ta´bla´zatok elke´szı´te´se´hez, amikor azonban a csillaga´szati megfigyele´sek ele´rte´k a precizita´s egy adott szintje´t, ´at kellett adnia a helyet Einstein elme´lete´nek. A te ´rid˝ o geometria ´ ja Ta´rgyala´sunk alapja´n tala´n nem t˝ unt fel, Einstein specia´lis e´s ´altala´nos relativita´selme´lete me´gis ´zig-ve ı ´rig geometriai elme´let: mindkett˝ o az Univerzum geometriai struktu ´ ra´ja´t ta´rja fel. Mi to ¨bb, le´nyege´ben maga az elme´let ´altal haszna´lt matematika is egyfajta geometria, me´g ha nem is a megszokott euklideszi geometria. Valo ´ja´ban egy nemeuklideszi geometriai elme´let, abba a sorba illeszkedik teha´t, amelybe a 4. fejezetben bemutatott projektı´v, Bolyai – Lobacsevszkij-, illetve a Riemann-fe´le geometria. Pontosabban, ke´t u ´ j geometria´ro ´l van szo ´: az egyik a specia´lis, a ma´sik az ´altala´nos relativita´selme´let geometria´ja, amelyek ko ¨zu ¨ l az els˝ o a ma´sodik specia´lis esete´nek tekinthet˝ o. Ha az ´altala kidolgozott geometria´t alaposan megvizsga´ljuk, la´thatjuk, hogy Riemann maga is igen ko ¨zel ´allt ahhoz, hogy az ´altala´nos relativita´selme´letet – Einsteint megel˝ ozve – felfedezze. Kezdju ¨ k a specia´lis relativita´s elme´lete´vel. Mit mond ez az elme´let az Univerzum geometria´ja´ro ´l? Az els˝ o e´s legfontosabb vona´s, hogy az id˝ o e´s a te´r ko ¨zo ¨tt szoros kapcsolat ´all fenn. A mozgo ´ testek hossza sebesse´gu ¨ k no ¨vekede´se´vel

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

304

Az Univerzum rejtett minta´zatai

8.5. a ´ bra. A Minkowski-te´rid˝ o. Az id˝ otengely fu ¨ gg˝ olegesen felfele´ mutat. Ha´rom te´rbeli tengelyt kellene megjelenı´teni, az x, az y e´s a z tengelyt, melyek ko ¨zu ¨l a ko ¨nnyebb ´attekinthet˝ ose´g kedve´e´rt csak az els˝ o kett˝ o szerepel az ´abra´n. A te´rid˝ o tetsz˝ oleges pontja ne´gy koordina´ta´val, egy (t, x, y, z) valo ´s sza´mne´gyessel adhato ´ meg.

cso ¨kken, az egyidej˝ use´g pedig fe´nyhulla´mok terjede´se´n alapul. Amikor valamely eseme´ny megto ¨rte´nik, fe´nysebesse´ggel terjed˝ o fe´nyjelek indulnak ki a te´r minden ira´nya´ba. Geometria´nk teha´t nem az e´rze´keink sza´ma´ra megszokott ha´romdimenzio ´s geometria, hanem a te´rid˝ o ne´gydimenzio ´s geometria´ja. A specia´lis relativita´selme´let geometria´ja´t els˝ oke´nt Hermann Minkowski vizsga´lta, az a ne´met matematikus, akinek o ´ra´it Einstein is la´togatta zu ¨ richi egyetemi e´vei alatt. A Minkowski-fe´le te´rid˝ oben egy pont ne´gy koordina´ta´val adhato ´ meg, amelyek mindegyike valo ´s sza´m: t, x, y e´s z. A t az id˝ okoordina´ta, x, y e´s z a pont te´rbeli helyzete´t adja´k meg. Amikor a fizikusok vagy a matematikusok a te´rid˝ o koordina´ta-rendszere´t ´abra´zolja´k, az id˝ otengelyt ´altala´ban fu ¨ gg˝ olegesen (az id˝ o „folya´sa´nak” ira´nya teha´t fu ¨ gg˝ olegesen felfele´ mutat), a te´rkoordina´ta´kat pedig (rendszerint csak kett˝ ot) erre mer˝ olegesen veszik fel, amint a 8.5. ´abra mutatja. A fe´nynek (a´ltala´nosabban szo ´lva, az elektroma´gneses suga´rza´snak) az elme´letben ja´tszott specia´lis – e´s alapvet˝ o – szerepe abban is megmutatkozik, hogy a t tengely mente´n valo ´ elte´re´sek esete´n e´ppu ´ gy gondolhatunk id˝ obeli elte´re´sre, mint valo ´sa´gos, te´rbeli ta´volsa´gra. A T hosszu ´ sa´gu ´ id˝ o-intervallum felfoghato ´ cT nagysa´gu ´ te´rbeli ta´volsa´gke´nt, ahol c a fe´nysebesse´g (cT teha´t az a ta´volsa´g, amelyet a

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A te´rid˝ o geometria´ja

305

o alatt megtesz). Hogy mind a ne´gy tengely mente´n azonos – hosszu ´ sa´g fe´ny T id˝ jelleg˝ u – me´rte´kegyse´get haszna´lhassunk, a t tengely menti intervallumok hossza´t mindig megszorozzuk c-vel. A 8.6. ´abra´n egy kett˝ os ku ´ pot la´thatunk, amelynek tengelye a t tengely, csu ´ csa az origo ´, nyı´la´sszo ¨ge pedig 90◦ -os. E ku ´ p egyenlete:

(ct)2 = x2 + y2 + z2 . Az egyenlet nem ma´s, mint a Pitagorasz-te´tel ne´gydimenzio ´s megfelel˝ oje. Csupa´n arra kell u ¨ gyelni, hogy a t tengely mente´n me´rt ta´volsa´gokat a c-nyi egyse´gekben me´rju ¨ k. A 8.6. ´abra´n la´thato ´ ku ´ p ku ¨ lo ¨nleges jelent˝ ose´ggel bı´r a relativita´selme´let szempontja´bo ´l: fe´nyku ´pnak is nevezik. Ke´pzelju ¨ k el, hogy a koordina´ta-rendszer O kezd˝ opontja´bo ´l fe´nyjeleket bocsa´tunk ki. Ahogy az id˝ o mu ´ lik, a fe´nysugarak minden pillanatban egy folyton no ¨vekv˝ o go ¨mbfelu ¨ let hata´ra´ig e´rnek el. E folyamatosan no ¨vekv˝ o ha´romdimenzio ´s go ¨mb a Minkowski-te´rid˝ oben a fe´nyku ´ p fels˝ o to ¨lcse´re´nek felel meg. Hogy ezt la´ssuk, elegend˝ o, ha elke´pzelju ¨ k, mi a helyzet T id˝ ovel a jel kibocsa´ta´sa uta´n. A fe´nysuga´r ez id˝ o alatt cT nagysa´gu ´ utat tett meg. A jel teha´t ele´rte a ha´romdimenzio ´s te´rbeli, O ko ¨ze´ppontu ´ , cT sugaru ´ go ¨mbfelu ¨lete´t. E go ¨mb egyenlete:

(cT )2 = x2 + y2 + z2 , s ez e´ppen a fe´nyku ´ p t = cT szerinti metszete. Amit teha´t a ha´romdimenzio ´s te´rbeli megfigyel˝ o folyamatosan no ¨vekv˝ o go ¨mbnek e´rze´kel, az a maga´t az id˝ on kı´vu ¨ lre helyezni ke´pes, ne´gydimenzio ´s vila´got „la´to ´” megfigyel˝ o sza´ma´ra a fe´nyku ´ p fels˝ o to ¨lcse´re.

8.6. a ´ bra. Fe´nyku ´ p a Minkowski-te´rid˝ oben.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

306

Az Univerzum rejtett minta´zatai

8.7. a ´ bra. A fe´nyku ´ p fels˝ o re´sze. A ku ´ p alkoto ´i az origo ´ban kibocsa´tott fotonok te´rid˝ obeli pa´lya´i. A nemnulla nyugalmi to ¨meg˝ u, ´allando ´ sebesse´ggel az origo ´bo ´l kiindulo ´ re´szecske´k pa´lya´ja szigoru ´ an a ku ´ p belseje´ben halad.

A fe´nyku ´ p also ´ fele, amely a t < 0 e´rte´keknek felel meg, egy olyan (go ¨mbi) fe´nyjel „to ¨rte´nete´t” reprezenta´lja, amely a t = 0 id˝ opontban e´ri el az origo ´t. Az o ¨sszehu ´ zo ´do ´ go ¨mb ke´pe kisse´ bizarr – a fizikusok ´altala´ban el is tekintenek a fe´nyku ´ p also ´ fele´nek megjelenı´te´se´t˝ ol, ez ugyanis nem felel meg egyetlen olyan jelense´gnek sem, amellyel alkalmunk van tala´lkozni. Az egyszer˝ use´g kedve´e´rt e´n is ezt a strate´gia´t ko ¨vetem. A fizikusok gyakorta u ´ gy besze´lnek a fe´nysugarakro ´l, mint para´nyi re´szecske´kb˝ ol, fotonokbo ´l ´allo ´ nyala´bokro ´l. Ha a fe´ny ezen e´rtelmeze´se´t fogadjuk el, akkor a fe´nyku ´ p fels˝ o (vagy pozitı´v) alkoto ´inak, a ku ´ p felszı´ne´n halado ´ s az origo ´n ´atmen˝ o fe´legyeneseknek is tulajdonı´thatunk fizikai jelente´st: ezen egyenesek egy-egy, az origo ´bo ´l kibocsa´tott foton pa´lya´ja´t adja´k meg. A foton nyugalmi to ¨mege az elme´let szerint 0. Elve´gre a relativita´selme´let szerint ba´rmely re´szecske nyugalmi to ¨mege, amely fe´nysebesse´ggel ke´pes haladni, csak 0 lehet. (A „nyugalmi” jelz˝ ot csupa´n aze´rt haszna´ljuk, mert a to ¨meg a sebesse´ggel egyu ¨ tt no ¨vekszik.) A nemnulla to ¨meg˝ u re´szecske´k nem ke´pesek ele´rni a fe´nysebesse´get. Egy ´allando ´ sebesse´g˝ u, origo ´bo ´l indulo ´, nemnulla nyugalmi to ¨meg˝ u re´szecske te´rid˝ obeli pa´lya´ja egy egyenes, amely a fe´nyku ´ p belseje´ben halad (8.7. ´abra). Valamely objektum Minkowski-te´rid˝ obeli pa´lya´ja´t az illet˝ o objektum vila´gvonala´nak nevezzu ¨ k. Minden objektumnak van vila´gvonala, azoknak is, amelyek nyugalomban vannak: uto ´bbiak vila´gvonala pa´rhuzamos a t tengellyel. (Az ilyen re´szecske x, y e´s z koordina´ta´i nem va´ltoznak, az id˝ o azonban eko ¨zben is telik . . . )

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ne´gydimenzio ´s ta´volsa´gok

307

8.8. a ´ bra. Nem ´allando ´ sebesse´g˝ u nemnulla nyugalmi to ¨meg˝ u re´szecske vila´gvonala nem egyenes, de a vonal minden pontja szigoru ´ an az illet˝ o ponthoz tartozo ´ pozitı´v fe´nyku ´ p belseje´ben halad. Ha egy objektum az origo ´bo ´l indul, sebesse´ge azonban nem ´allando ´, akkor vila´gvonala nem lesz egyenes. Azonban ez a vila´gvonal is teljes ege´sze´ben a fe´nyku ´p belseje´ben halad, mi to ¨bb, e´rint˝ oje´nek a t tengellyel beza´rt szo ¨ge minden pontban kisebb lesz, mint 45◦ . A kett˝ os fe´nyku ´ p belseje alkotja az Univerzum azon tartoma´nya´t, amely az origo ´ban helyet foglalo ´ megfigyel˝ o sza´ma´ra ele´rhet˝ o (vagy ha u ´ gy tetszik, amely tartoma´ny a megfigyel˝ o sza´ma´ra le´tezik). A ku ´ p fels˝ o re´sze, amelyben t > 0, reprezenta´lja az Univerzum O-beli ´allapota´nak jo ¨v˝ oje´t, az also ´, t < 0 ´altal meghata´rozott re´sz pedig ugyanezen megfigyel˝ o szempontja´bo ´l a mu ´ ltat fejezi ki. Ma´ske´ppen fogalmazva, a kett˝ os ku ´ p belseje´nek azon pontjaira, amelyeknek t koordina´ta´ja negatı´v, u ´ gy gondolhatunk, mint a megfigyel˝ o (kiterjesztett) mu ´ ltja´nak te´rid˝ o-pontjaira, azok a pontok pedig, amelyekre t > 0, jo ¨v˝ oje´nek lehetse´ges ´alloma´sai. o jelene´t reprezenta´lja. Amı´g a megfigyel˝ o az origo ´Az O pont a megfigyel˝ ban van, a fe´nyku ´ pon kı´vu ¨ li pontok sza´ma´ra nem le´teznek – kı´vu ¨ l esnek az ´altal megfigyelhet˝ o tartoma´nyon, sem a mu ´ ltja´nak, sem a jo ¨v˝ oje´nek nem lehetnek ´alloma´sai. Ne ´gydimenzio ´ s ta ´ volsa ´ gok Az id˝ ot a te´rkoordina´ta´kkal egyenrangu ´ an kezel˝ o Minkowski-geometria segı´tse´gu ¨ nkre van abban, hogy elke´pzelju ¨ k a ne´gydimenzio ´s te´rid˝ ot. Az ´altala nyu ´ jtott szemle´letes ke´p azonban csupa´n re´szleges, elve´gre egy ne´gydimenzio ´s vila´got nem

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

308

Az Univerzum rejtett minta´zatai

tudunk to ¨ke´letesen megjelenı´teni. A Minkowski-fe´le te´rid˝ o geometria´ja´nak mege´rte´se´hez azt is tudnunk kell, mike´nt sza´molhatjuk ki e vila´gban a ta´volsa´gokat. Matematikus kifejeze´st haszna´lva, meg kell adnunk egy metrika´t. A ke´tdimenzio ´s euklideszi „Univerzum” metrika´ja´t Pitagorasz te´tele adja meg: az (x, y) pontnak az origo ´to ´l valo ´ d ta´volsa´ga

d2 = x2 + y2 . Hasonlo ´an, a ha´romdimenzio ´s te´rben az (x, y, z) pont esete´n ugyanez a ta´volsa´g:

d2 = x2 + y2 + z2 , s hasonlo ´ ke´plet e´rve´nyes a magasabb dimenzio ´s euklideszi terekben is. A Pitagorasz-te´tel ´altal meghata´rozott metrika´t Pitagorasz-fe´le metrika´nak mondjuk. A Pitagorasz-fe´le metrika a Minkowski-fe´le te´rid˝ oben is felı´rhato ´: a (ct, x, y, z) pont origo ´to ´l valo ´ pitagoraszi ta´volsa´ga

d2 = (ct)2 + x2 + y2 + z2 . Minkowski zsenialita´sa kellett ahhoz, hogy e´szrevegye, e metrika nem felel meg a relativita´selme´let ce´ljainak, s hogy ra´jo ¨jjo ¨n, melyik az a metrika, amelyik a megfelel˝ o eredme´nyeket adja. A (ct, x, y, z) pontnak az origo ´to ´l valo ´ dM Minkowskita´volsa´ga

d2M = (ct)2 − x2 − y2 − z2 . Mindenki, aki az euklideszi geometria´n nevelkedett, e metrika´t feltehet˝ oen igen ku ¨ lo ¨no ¨snek tartja. Ha a definı´cio ´nkat ma´s alakban ´rjuk ı fel,

d2M = (ct)2 − (x2 + y2 + z2 ), akkor la´tjuk, hogy a te´rkoordina´ta´kra vonatkozo ´an metrika´nk euklideszi. Ami ku ¨ lo ¨no ¨s, az a ke´pletben megjelen˝ o mı´nusz-jel, aminek ko ¨vetkezte´ben az id˝ okoordina´ta ege´sz ma´ske´nt viselkedik, mint a te´r-koordina´ta´k. Vizsga´ljuk meg alaposabban, mit is nyeru ¨ nk e ku ¨ lo ¨no ¨s formula´val. Amennyiben a (ct, x, y, z) pont a fe´nyku ´ p felu ¨ lete´n helyezkedik el, u ´ gy e pontra dM = 0. Ezt az eredme´nyt u ´ gy interpreta´ljuk, hogy a fe´nyku ´ p valamennyi pontja olyan eseme´nyeket reprezenta´l, amelyek egyidej˝ uek az origo ´beli eseme´nnyel. Ha azonban a (ct, x, y, z) pont a fe´nyku ´ p belseje´ben van, akkor (ct)2 > 2 2 2 x + y + z , ahonnan dM > 0. A dM ta´volsa´got ez esetben az O-beli e´s a (ct, x, y, z) pontnak megfelel˝ o eseme´nyek ko ¨zo ¨tti id˝ ointervallumke´nt e´rtelmezzu ¨ k, amelyet olyan o ´ra´val me´rhetu ¨ nk meg, amelynek vila´gvonala az O-t a (ct, x, y, z) ponttal o¨sszeko¨t˝ o egyenes. Erre gyakran mint az O-to ´l (ct, x, y, z)-ig eltelt valo ´di id˝ otartamra hivatkozunk. Ve´gu ¨ l, a ku ´ pon kı´vu ¨ l elhelyezked˝ o (ct, x, y, z) pontok esete´ben (ct)2 < x2 + y2 + z2 , ilyenkor teha´t dM imagina´rius sza´m. Mindez o¨sszhangban van a kora´bban mondottakkal, miszerint a fe´nyku ´ pon kı´vu ¨ li pontok az O-beli megfigyel˝ o

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ne´gydimenzio ´s ta´volsa´gok

309

8.9. a ´ bra. Ha a nemnulla nyugalmi to ¨meg˝ u re´szecske a Minkowski-te´rid˝ o P pontja´bo ´l Q-ba keru ¨ l, akkor vila´gvonala a P-beli pozitı´v, s a Q-beli negatı´v fe´nyku ´ p belseje´ben halad. sza´ma´ra egyszer˝ uen nem le´teznek (abban az er˝ os e´rtelemben, hogy nem is le´teztek soha, e´s nem is fognak – a szo ´ban forgo ´ megfigyel˝ o szempontja´bo ´l legala´bbis). A te´rid˝ o P = (ct, x, y, z) e´s Q = (ct  , x  , y  , z  ) pontjainak Minkowskita´volsa´ga:

d2M = (ct − ct  )2 − (x − x  )2 − (y − y  )2 − (z − z  )2 . A ke´plet alapja´n dM -re pontosan akkor kapunk valo ´s sza´mot, ha Q a P, P pedig ´ cspontu ´ fe´nyku ´ p belseje´ben helyezkedik el. Ha a felte´telek teljesu ¨ lnek, a Q csu akkor dM a P-beli e´s Q-beli eseme´nyek ko ¨zo ¨tti id˝ ointervallum nagysa´ga´t adja meg, amelyet azzal az o ´ra´val me´rhetu ¨ nk meg, amelynek vila´gvonala egy P-n e´s Q-n egyara´nt ´atmen˝ o egyenes (8.9. ´abra). Amennyiben ke´t eseme´ny is to ¨rte´nik ugyanazon te´rbeli pontban, akkor fenti ke´pletu ¨ nkben x = x  , y = y  e´s z = z  , amivel

d2M = (ct − ct  )2 , azaz dM = c|t − t  | a c e´s a – klasszikus e´rtelemben – te´nylegesen eltelt id˝ o szorzata. Azt kaptuk teha´t, hogy egy ro ¨gzı´tett te´rbeli pontban me´rt Minkowskiid˝ o megegyezik a ko ¨zo ¨nse´ges, klasszikus fizika szerinti id˝ ovel. A Minkowski-ta´volsa´g ku ¨ lo ¨no ¨s vona´sa az euklideszi geometria´val szemben, hogy mı´g az uto ´bbiban a P e´s Q pontokat o ¨sszeko ¨t˝ o szakasz a ke´t pont ko ¨-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

310

Az Univerzum rejtett minta´zatai

8.10. a ´ bra. Az ikerparadoxon. Kezdetben az ikerpa´r mindke´t tagja a P te´rid˝ obeli pontban van. Egyiku ¨ k R-be utazik, majd visszate´r, s Q-ban tala´lkozik five´re´vel. A Minkowski-te´rid˝ oben a PQ ta´volsa´g nagyobb, mint a PR e´s RQ ta´volsa´gok o ¨sszege, ´gy ı az a testve´r, aki a hosszabb utat megtette, a tala´lkoza´skor fiatalabb lesz. zo ¨tti legro ¨videbb ta´volsa´got adja meg, addig a Minkowski-te´rid˝ oben ennek e´ppen az ellenkez˝ oje igaz: a P pontbo ´l a Q-ba vezet˝ o, ´allando ´ sebesse´g˝ u re´szecske vila´gvonala menti ta´volsa´g a Minkowski-te´rid˝ obeli maxima´lis ta´volsa´g (a ke´t pont ko ¨zo ¨tti valo ´di id˝ ointervallum a lehetse´ges legnagyobb). Ezen alapul a hı´res ikerparadoxon (8.10. ´abra). Ke´pzelju ¨ nk el egy ikerpa´rt a Minkowski-te´rid˝ o egy P pontja´ban. Az egyik testve´r, Home´r a Fo ¨ldo ¨n marad, hu ´ ga, Rockette viszont egy ta´voli bolygo ´t la´togat meg, ja´rm˝ uve a fe´nysebesse´get megko ¨zelı´t˝ o sebesse´ggel sza´guld. Mikor Rockette visszae´rkezik, az ikrek a Q pontban tala´lkoznak u ´ jra. S mire Rockette visszate´r, ˝ szempontja´bo ma´r fiatalabb, mint five´re, az o ´l ugyanis az utaza´s ro ¨videbb ideig tartott, ami annak ko ¨vetkezme´nye, hogy a Q pontba az R pont e´rinte´se´vel e´rkezett meg, s e ke´t szakaszbo ´l ´allo ´ u ´ tvonal ro ¨videbb, mint a P-b˝ ol ko ¨zvetlenu ¨l Q-ba vezet˝ o egyenes szakasz, amely five´re vila´gvonala´nak re´sze´t ke´pezi. (Hiszen uto ´bbi e´ppen a ke´t pont ko ¨zo ¨tti egyenes szakaszt, vagyis a leghosszabb utat reprezenta´lja.) A PRQ u ´ tvonal Rockette, a PQ pedig Home´r „e´letu ´ tja´t” ´abra´zolja. A Minkowski-metrika mellett szo ´l to ¨bb kı´se´rlet tanu ´ bizonysa´ga is. Ilyen eredme´nyekre jutottak azok a fizikusok, akik az atmoszfe´ra fels˝ o re´tegeibe a kozmikus

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A gravita´cio ´ minta´zatai

311

suga´rza´ssal e´rkez˝ o re´szecske´k pa´lya´ja´t vizsga´lta´k, s ezeket meger˝ osı´tette´k a nagy energia´ju ´ re´szecskegyorsı´to ´kban elve´gzett kı´se´rletek is. Ugyanilyen eredme´nyekre vezetett a repu ¨ l˝ oge´pen lezajlo ´ eseme´nyek pontos id˝ otartama´nak me´re´se. Ahhoz, hogy az ikerparadoxon esete´ben kı´se´rletileg ellen˝ orizhet˝ o korku ¨ lo ¨nbse´g le´pjen fel a testve´rek ko ¨zo ¨tt, a csillagko ¨zi kira´ndula´sra indulo ´ ikernek igen hosszu ´ utat kell megtennie, me´ghozza´ a fe´nysebesse´ghez ko ¨zeli sebesse´ggel. Az ikerparadoxon teha´t csupa´n egy gondolatkı´se´rlet eredme´nye. Amennyiben a kı´se´rletben megjelen˝ o ta´volsa´gok nem tu ´ l nagyok, mint amilyenek pe´lda´ul az ember Holdra sza´lla´sa esete´n voltak, a korku ¨ lo ¨nbse´g e´rze´kelhetetlen. E te´ny a fe´nysebesse´g nagysa´ga´val magyara´zhato ´. A (ct − ct  )2 e´rte´k ugyanis sokszorosa a Minkowski-ta´volsa´g ke´plete´ben szerepl˝ o (x − x  )2 + (y − y  )2 + (z − z  )2 tagnak. A dM Minkowski-ta´volsa´g a „norma´lis” esetekben jo ´ ko ¨zelı´te´ssel megegyezik c|t − t  |-vel. A Minkowski-id˝ o teha´t a szoka´sos id˝ ovel egyezik meg; a te´rbeli ta´volsa´g csupa´n a csillaga´szati me´retek esete´n keru ¨ l be a ke´pbe. A gravita ´ cio ´ minta ´ zatai A ce´lbo ´l, hogy elme´lete a gravita´cio ´ro ´l is sza´mot adjon, Einstein a Minkowskite´rid˝ ot egy go ¨rbu ¨ lt te´rid˝ osokasa´ggal va´ltotta fel. Sokasa´gokkal, me´ghozza´ te´rbeli sokasa´gokkal ma´r a 6. fejezetben tala´lkoztunk. ´s sokasa´g olyan struktu ´ ra, amelyben minden Mint emle´kszu ¨ nk, egy n-dimenzio pont ko ¨rnyezete az n-dimenzio ´s euklideszi te´r egy tartoma´nya´nak ke´pe. A go ¨mbvagy a to ´ruszfelu ¨ let pe´lda´ul ke´tdimenzio ´s sokasa´g: ba´rmely pont elegend˝ oen kicsiny ko ¨rnyezete to ¨ke´letes hasonlo ´sa´got mutat az euklideszi sı´k egy kis tartoma´nya´val. Globa´lis struktu ´ ra´juk mindazona´ltal szo ¨ges elte´re´seket mutat (egyma´sto ´l e´ppu ´ gy, mint az euklideszi sı´kto ´l). Mivel go ¨rbu ¨ letu ¨ k elte´r˝ o, sokasa´gke´nt is ku ¨ lo ¨nbo ¨znek egyma´sto ´l. Mindke´t sokasa´g sima, a pontjaikhoz rendelhet˝ o sima struktu ´ ra´k to ¨ke´letesen o ¨sszeilleszthet˝ ok. Einstein felismerte, hogy a gravita´cio ´ e´rtelmezhet˝ o a te´rid˝ o go ¨rbu ¨ lete´nek megnyilva´nula´sake´nt. Az Univerzum matematikai modelljeke´nt egy ne´gydimenzio ´s te´rid˝ osokasa´got alkalmazott. E sokasa´g tetsz˝ oleges pontja´nak elegend˝ oen kicsiny ko ¨rnyezetei a ne´gydimenzio ´s Minkowski-te´rid˝ o jegyeit mutatja´k. Einstein kiindulo ´pontja egy ne´gydimenzio ´s M sokasa´g. M-en metrika´t definia´lt, amely tetsz˝ oleges pont elegend˝ oen kicsiny ko ¨rnyezete´ben megegyezik a Minkowski-fe´le metrika´val. A Minkowski-metrika szerint minden pontban megadhato ´ az a fe´nyku ´ p, amelynek csu ´ csa a szo ´ban forgo ´ pont. Az Einstein ´altal bevezetett u ´ j metrika az id˝ o mu ´ la´sa´t e´ppu ´ gy leı´rja, mint a fe´nynyala´bok terjede´se´t vagy a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o (a´llando ´ sebesse´g˝ u, illetve gyorsulo ´) re´szecske´k e´s a bolygo ´k mozga´sa´t. Ha egyszer Einstein a gravita´cio ´t is magyara´zni akarta, az M sokasa´g ´altal reprezenta´lt Univerzum geometria´ja´t o ¨ssze kellett kapcsolnia a to ¨megnek az Univerzumbeli eloszla´sa´val. Ez uto ´bbi matematikailag a energia-impulzus-tenzorral fejezhet˝ o ki, amelynek re´szletesebb bemutata´sa´ra ehelyu ¨ tt nincs lehet˝ ose´gu ¨ nk.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

312

Az Univerzum rejtett minta´zatai

Ele´g, ha annyit mondunk, hogy e bonyolult matematikai objektum megfelel a newtoni gravita´cio ´s elme´letben szerepl˝ o to ¨megs˝ ur˝ use´gnek (pontosabban, annak ´altala´nosı´ta´sa). Newton elme´lete´nek egyik alapvet˝ o eredme´nye az a differenci´alegyenlet (a Poisson-egyenlet), amely a to ¨megs˝ ur˝ use´g e´s a gravita´cio ´s potencia´l kapcsolata´t ´rja ı le. Az ´altala´nos relativita´selme´letben szerepl˝ o Einstein-egyenlet ennek ´altala´nosı´ta´sake´nt az energia-impulzus-tenzor e´s a te´rid˝ o metrika´ja´bo ´l levezetett go ¨rbu ¨ let ko ¨zo ¨tt ´allapı´t meg o ¨sszefu ¨ gge´st. Az Einstein-egyenlet szerint az anyag jelenle´te a te´rid˝ o go ¨rbu ¨ lete´hez vezet, ami minden testre hata´ssal van. A newtoni gravita´cio ´s, teha´t fizikai er˝ o szerepe´t a te´rid˝ o go ¨rbu ¨lete´nek geometriai fogalma vette ´at. Az einsteini elme´let ma´sik emlı´te´st e´rdeml˝ o ko ¨vetkezme´nye a to ¨meg e´s az energia egyene´rte´k˝ use´ge, amit a nevezetes

E = mc2 egyenlet fejez ki. Vajon helyes ez az elme´let? A te´rid˝ o valo ´ban go ¨rbu ¨ lt lenne? Szigoru ´ an ve´ve, nincs e´rtelme arra ra´ke´rdezni, hogy valamely fizikai elme´let helyesen ´rja-e ı le a valo ´sa´got. Annyit kell csak tudnunk, hogy o ¨sszhangban van-e a kı´se´rleti megfigyele´sekkel, s hogy ´altala pontos – esetleg minden ma´s elme´letne´l pontosabb – el˝ orejelze´seket tehetu ¨ nk. A leguto ´bbi id˝ okben a technika fejlettse´ge lehet˝ ove´ tette, hogy a gravita´cio ´s mez˝ o ´altal a Minkowski-te´rid˝ oben keltett para´nyi elte´re´seket is kimutathassuk. 1960-ban pe´lda´ul Robert V. Pound e´s Glen A. Rebka o ¨sszehasonlı´totta´k egy o ´ra ja´ra´sa´t egy 22,6 me´ter magas torony la´ba´na´l e´s teteje´n. Az o ´ra´k sebesse´ge´nek ara´nya nem 1-nek, hanem 1,000 000 000 000 0025nek ado ´dott. S ez pontosan az ´altala´nos relativita´selme´let ´altal megjo ´solt eredme´ny. (Mivel az o ´ra´k ja´ra´sa a te´rid˝ o geometria´ja´t mutatja, Pound – Rebka eredme´nye´t u ´ gy tekinthetju ¨ k, mint az igazi te´rid˝ o e´s a Minkowski-te´rid˝ o ko ¨zo ¨tti elte´re´s megme´re´se´t.) Anyagi proble ´ma ´k Az ´altala´nos relativita´selme´let az Univerzum geometriai szerkezete´t ´rja ı le. Megmutatja, hogy milyen – ke´toldalu ´ – kapcsolat ´all fenn az anyag e´s a geometriai struktu ´ ra ko ¨zo ¨tt. Az elme´let nem ad azonban va´laszt a ke´rde´sre: mi is valo ´ja´ban az anyag? Ez ma´r a fizika ma´sik sikerelme´lete´nek, a kvantumelme´letnek az illete´kesse´gi ko ¨re. Az 1920-as e´vek eleje´r˝ ol sza´rmazo ´ elke´pzele´sek szerint az anyag atomokbo ´l, para´nyi naprendszerszer˝ u re´szecske´kb˝ ol e´pu ¨ l fel, amelyeknek ko ¨ze´ppontja´ban az atommag (az atom „Napja”) helyezkedik el, ko ¨ru ¨ lo ¨tte pedig a sokkal kisebb to ¨meg˝ u elektronok (a rendszer „bolygo ´i”) keringenek. Az atommag ke´tfe´le elemi re´szecske´b˝ ol tev˝ odik o ¨ssze: protonokbo ´l e´s neutronokbo ´l. A pozitı´v to ¨lte´s˝ u protonok e´s a negatı´v to ¨lte´s˝ u elektronok ko ¨zo ¨tt felle´p˝ o elektromos vonza´s az atomot

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Anyagi proble´ma´k

313

o ¨sszetarto ´ „gravita´cio ´”. (E nagyon is leegyszer˝ usı´tett ke´p to ¨bb szempontbo ´l me´g ma is mega´llja a helye´t.) De mik is valo ´ja´ban az atomokat fele´pı´t˝ o re´szecske´k, az elektronok, a protonok e´s a neutronok? E ke´rde´sre 1920 ko ¨ru ¨ l Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schro ¨dinger e´s ma´sok kereste´k a va´laszt. Az ´altaluk kidolgozott kvantumelme´let az igen ku ¨ lo ¨no ¨s kı´se´rleti eredme´nyekre is magyara´zattal szolga´l, azonban – e´ppen emiatt – a ve´letlen e´s a valo ´szı´n˝ use´gi szemle´let kulcsszerepet ja´tszik benne. Ezzel Einstein ellenkeze´se´t is kiva´ltotta´k, aki egyszer meg is jegyezte: „Isten nem szo ´rakozik kockavete´ssel.” (A kvantumelme´let megmagyara´zza a fe´nynek azt a ku ¨ lo ¨no ¨s vona´sa´t is, hogy ne´melykor hulla´mke´nt, ma´skor viszont para´nyi re´szecske´k „za´porake´nt” viselkedik.) A kvantumelme´let szerint minden re´szecske´t, vagy ma´s fizikai objektumot egy valo ´szı´n˝ use´g-eloszla´s ad meg, amely azt ´rja ı le, hogy a szo ´ban forgo ´ re´szecske´re vagy objektumra mennyire jellemz˝ o, hogy e´ppen egy bizonyos ´allapotban van. A matematikai elme´let le´nyege, hogy minden re´szecske´nek egy ψ hulla´mfu ¨ ggve´nyt feleltet meg, amely az M einsteini te´rid˝ osokasa´g minden egyes x pontja´hoz egy ψ(x) vektort rendel, amelynek hossza a rezge´s amplitu ´ do ´ja´t, ira´nya pedig a fa´zisa´t adja meg. A ψ(x) vektor hossza´nak ne´gyzetgyo ¨ke az a valo ´szı´n˝ use´g, amellyel a re´szecske az x pont M-beli ko ¨rnyezete´ben tarto ´zkodik. A kvantumelme´let teha´t szakı´t a klasszikus fizika ´altal kialakı´tott azon ke´ppel, mely szerint minden re´szecske a te´r egy meghata´rozott pontja´ban tarto ´zkodik. E leı´ra´s helye´t a kvantum-te´r veszi ´at, egyfajta folytonos ko ¨zeg, amely a te´rben mindenu ¨ tt jelen van. A re´szecske´k az elme´let szerint nem egyebek, mint loka´lis o ¨sszes˝ ur˝ uso ¨de´sek, energia-koncentra´cio ´k a kvantum-te´rben. ´ Alljunk meg most egy pillanatra, s vegyu ¨ k szemu ¨ gyre me´g egyszer az atom „Naprendszer-modellje´t”. Tudjuk, mi tartja az elektronokat az atommag ko ¨ru ¨ li pa´lya´jukon: az ellente´tes to ¨lte´s˝ u protonok ´altal kifejtett elektromos vonza´s. De vajon mi tartja o ¨ssze az atommagot? Elve´gre az ugyanolyan to ¨lte´sek taszı´tja´k egyma´st – mie´rt nem robban sze´t akkor az atommag, amelyben csak a protonoknak van elektromos to ¨lte´se? Kell hogy legyen egy er˝ o, me´ghozza´ igen hate´kony er˝ o, amely az atommagot o ¨sszetartja. A fizikusok ezt az er˝ ot er˝ os mager˝ onek vagy er˝ os ko ¨lcso ¨nhata´snak nevezik, s valo ´ban annak is kell lennie, ha az elektromosan egyma´st taszı´to ´ protonokat o ¨ssze tudja tartani. Hato ´ta´volsa´ga ezzel szemben igen ro ¨vid, az atommag me´rete´nek megfelel˝ o. Nem ´all fenn teha´t annak vesze´lye, hogy ke´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o atom atommagjait „o ¨sszera´ntja”, ez esetben mi is, az Univerzum ege´sze´vel egyetemben, tragikus hirtelense´ggel magunkba zuhanna´nk. Az er˝ os ko ¨lcso ¨nhata´st – a gravita´cio ´ e´s az elektromossa´g mellett – a terme´szet alapvet˝ o ko ¨lcso ¨nhata´sai ko ¨zo ¨tt tartjuk sza´mon. A fizikusok egy negyedik ko ¨lcso ¨nhata´sro ´l is tudnak: ez a gyenge ko ¨lcso ¨nhata´s, amely pe´lda´ul bizonyos radioaktı´v bomla´sok sora´n ja´tszik szerepet. A szkeptikus Olvaso ´ban ezen a ponton nyilva´nvalo ´an felmeru ¨ l a gondolat, hogy bizonya´ra tova´bbi ko ¨lcso ¨nhata´stı´pusok is le´teznek, amelyeknek felfedeze´se

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

314

Az Univerzum rejtett minta´zatai

me´g va´rat maga´ra. Ba´r e lehet˝ ose´g teljes bizonyossa´ggal nem za´rhato ´ ki, a fizikusok me´gis u ´ gy ve´lik, nem ez a helyzet. Meggy˝ oz˝ ode´su ¨ k szerint a gravita´cio ´, az elektroma´gnesse´g, valamint az er˝ os e´s a gyenge ko ¨lcso ¨nhata´s egyu ¨ tt a terme´szet er˝ oinek kimerı´t˝ o felsorola´sa´t adja´k. Amennyiben a fizikusoknak igaza van, s valo ´ban csupa´n ne´gy alapvet˝ o ko ¨lcso ¨nhata´s le´tezik, akkor az anyag ´atfogo ´ elme´lete´nek mind a ne´gyet maga´ba kell foglalnia. A fizikusok ma´r egy ideje pro ´ba´lkoznak azzal, hogy a ne´gy ko ¨lcso ¨nhata´s leı´ra´sa´t egyetlen matematikai elme´letbe foglalja´k bele – a teljes siker egyel˝ ore va´rat maga´ra. A matematikai idea, amely pro ´ba´lkoza´saikat veze´rli: a szimmetria. A szimmetria fogalma´val az 5. fejezetben tala´lkoztunk el˝ oszo ¨r. Mint arra a kedves Olvaso ´ bizonya´ra jo ´l emle´kszik, egy alakzatot akkor nevezu ¨ nk szimmetrikusnak, ha rajta valamely transzforma´cio ´t ve´grehajtva, a ke´p nem ku ¨ lo ¨nbo ¨ztethet˝ o meg az eredetit˝ ol. Ra´mutattunk, hogy a geometria maga is e´rtelmezhet˝ o u ´ gy, mint objektumok vagy alakzatok azon tulajdonsa´gainak vizsga´lata, amelyek nem va´ltoznak meg, ha az alakzat helye´t vagy helyzete´t megva´ltoztatjuk. S az is kideru ¨ lt, hogy tetsz˝ oleges alakzat szimmetria´i mindig csoportot alkotnak: az illet˝ o alakzat szimmetriacsoportja´t. A huszadik sza´zad eleje´n figyeltek fel arra a fizikusok, hogy a klasszikus megmarada´si te´telek (mint amilyen az elektromos to ¨lte´s megmarada´sa´nak to ¨rve´nye) az Univerzum struktu ´ ra´ja´nak szimmetria´ibo ´l erednek. Sok olyan fizikai tulajdonsa´g van pe´lda´ul, amely az eltola´sra e´s az elforgata´sra ne´zve invaria´ns, az ilyen mennyise´gekre vonatkozo ´ kı´se´rletek eredme´nye nem fu ¨ gg atto ´l, hogy laborato ´riumunk hol helyezkedik el, vagy hogy a berendeze´st mely e´gta´jak ira´nya´ba ´allı´tjuk be. E ke´t szimmetria az alapja az impulzus s az impulzusmomentum megmarada´sa´t kimondo ´ to ¨rve´nyeknek. Emmy Noether ne´met matematikus ve´gu ¨ l bebizonyı´totta, hogy minden megmarada´si te´tel egy szimmetriatulajdonsa´gbo ´l ered. Minden megmarada´si te´telnek megfeleltethet˝ o teha´t egy szimmetriacsoport, az elektromos to ¨lte´s megmarada´sa to ¨rve´nye´nek e´ppu ´ gy, mint a modern kvantumfizika – pe´lda´ul a ritkasa´gra vagy a spinre vonatkozo ´ – megmarada´si te´teleinek. 1918-ban Hermann Weyl az ´altala´nos relativita´selme´let e´s a klasszikus elektrodinamika egyesı´te´se´t kı´se´relte meg. Kiindulo ´pontja a Maxwell-egyenleteknek a hosszme´rte´kek megva´ltoztata´sa´to ´l valo ´ fu ¨ ggetlense´ge, invariancia´ja (azaz bizonyos tı´pusu ´ „szimmetria´ja”) volt. Az elektroma´gneses mez˝ ot ennek megfelel˝ oen u ´ gy pro ´ba´lta e´rtelmezni, mint a relativisztikus hosszu ´ sa´gok valamely za´rt go ¨rbe mente´n (pe´lda´ul egy ko ¨ro ¨n) valo ´ ve´gighalada´skor jelentkez˝ o torzula´sa´t. E ce´lbo ´l a ne´gydimenzio ´s te´rid˝ o minden pontja´hoz egy szimmetriacsoportot rendelt. ´ban forgo ´ csoportot pedig Weyl az u ´ j teo ´ria´t me´rte´k-elme´letnek10 nevezte, a szo me´rte´k-csoportnak.

10 Nem

azonos a 7. fejezetben emlı´tett me´rte´kelme´lettel, az integra´lsza´mı´ta´s ´altala´nosı´ta´sa´val. – A ford.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Anyagi proble´ma´k

315

Weyl eredeti elgondola´sa´t nem tudta megvalo ´sı´tani. A kvantumelme´let megjelene´se´vel e´s a hulla´mfu ¨ ggve´ny el˝ ote´rbe keru ¨ le´se´vel kideru ¨ lt, mi a hiba. A Maxwell-egyenletek szempontja´bo ´l nem a ska´lakalibra´la´s a do ¨nt˝ o, hanem a fa´zis. Weyl nem a megfelel˝ o szimmetriacsoportot va´lasztotta! Kiindulo ´pontja a pozitı´v valo ´s sza´mok multiplikatı´v (a szorza´sra vonatkozo ´) csoportja volt. A fa´zisra valo ´ ´atte´re´ssel a megfelel˝ o csoport a a ko ¨r forgata´sainak csoportja lett. A helyes kiindulo ´pontot megtala´lva Weyl hamarosan kidolgozta az elektroma´gnesse´g u ´ j elme´lete´t, amelyet manapsa´g kvantum-elektrodinamika, ro ¨viden QED ne´ven emlegetu ¨ nk, s amely megszu ¨ lete´se o ´ta a fizikusok e´s matematikusok vizsga´lo ´da´sa´nak kedvelt teru ¨ lete. Weyl nyomdokain haladva a fizikusok a nagy egyesı´tett elme´let (az Univerzum e´s az anyag mind a ne´gy alapvet˝ o ko ¨lcso ¨nhata´sa´t ´atfogo ´ elme´let) megalkota´sa´t t˝ uzte´k ki ce´lul, s e va´llalkoza´s do ¨nt˝ o eszko ¨ze a me´rte´k-elme´let. Azt a me´rte´kcsoportot keresik, amely a ne´gy er˝ o egyse´ges ta´rgyala´sa´t teszi lehet˝ ove´. Az 1970-es e´vekben Abdus Salam, Sheldon Glashow e´s Steven Weinberg megalkotta´k az elektroma´gneses e´s a gyenge ko ¨lcso ¨nhata´s egyse´ges elme´lete´t. me´rte´kcsoportjuk az U(2), a ke´tdimenzio ´s komplex sı´k forgata´sainak egy csoportja. Munka´jukat Nobel-dı´jjal ismerte´k el. A ko ¨vetkez˝ o le´pe´st egy e´vtizeddel ke´s˝ obb Glashow e´s Howard Georgi tette meg, akiknek egy nagyobb me´rte´k-csoporttal, az SU(3) × U(2)-vel sikeru ¨ lt az elme´letbe az er˝ os ko ¨lcso ¨nhata´st is belefoglalni. Az utolso ´ le´pe´s megte´tele´re, a gravita´cio ´ elme´lete´nek bee´pı´te´se´re, mindezida´ig senki nem volt ke´pes, manapsa´g ez az elme´let a fizikusok „Szent Gra´lja”. E ve´gs˝ o egyesı´te´shez a fizikusok u ´ jabb, a me´rte´k-elme´letne´l is ´altala´nosabb matematikai mo ´dszereket mozgo ´sı´tanak. A legese´lyesebb jelo ¨ltnek ez id˝ o ta´jt a hu ´ relme´let t˝ unik, amelynek legjelesebb m˝ uvel˝ oje Edward Witten. A hu ´ relme´let szerint a legalapvet˝ obb fizikai objektumok nem te´rid˝ osokasa´g vila´gvonalain utazo ´ re´szecske´k, hanem ve´kony, nyı´lt vagy za´rt „hu ´ rok”, amelyek egy ke´tdimenzio ´s felu ¨ leten, az u ´ n. vila´gfelu ¨leten so ¨po ¨rnek ve´gig. Hogy e megko ¨zelı´te´s m˝ uko ¨d˝ oke´pes legyen, a fizikusoknak meg kellett tanulniuk, mike´nt kezelhet˝ ok a legala´bb tı´zdimenzio ´s te´rid˝ osokasa´gok. Kisebb dimenzio ´sza´m esete´n egyszer˝ uen a vila´gfelu ¨ leteken valo ´ „so ¨pre´shez” nincs ele´g szabadsa´gi fok. Ha valaki a tı´zdimenzio ´t soknak tartana´: a hu ´ relme´letnek ma´r egy huszonhatdimenzio ´s va´ltozata´t is kidolgozta´k. A fizikusok teha´t, annak ellene´re, hogy ve´gs˝ o ce´ljuk a ha´romdimenzio ´s vila´g alaposabb mege´rte´se, egyre absztraktabb matematikai vila´gokba jutottak. Vila´gunkro ´l nem biztos, hogy to ¨ke´letes ke´pet alkotunk, ha matematikai Univerzumke´nt gondolunk ra´ – mege´rte´se´re azonban kiza´ro ´lag a matematika´n keresztu ¨l kı´na´lkozik mo ´d.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

316

Az Univerzum rejtett minta´zatai

Vice versa Mindenki el˝ ott jo ´l ismert te´ny, hogy a fizikusok sok-sok matematika´t haszna´lnak. Az Univerzum tanulma´nyoza´sa´hoz Newton az ehhez szu ¨ kse´ges matematika´t, az analı´zist is kidolgozta. Einstein relativita´selme´lete a nemeuklideszi geometria´kra e´s a sokasa´gelme´letre ta´maszkodik. A QED elme´lethez Weyl-nek a me´rte´k-csoportok elme´lete´re volt szu ¨ kse´ge . . . s a sort me´g soka´ig folytathatna´nk. A matematika fizikai alkalmaza´sa hosszu ´ e´vsza´zadok jo ´l beva´lt gyakorlata´t ko ¨veti. Sokkal ritka´bb az ellenkez˝ o ira´nyu ´ kapcsolat, amikor a fizika´bo ´l ered˝ o gondolatok e´s mo ´dszerek u ´ j matematikai felfedeze´sekhez vezetnek. Mintegy ma´sfe´l e´vtizede azonban pontosan ez to ¨rte´nt. A „ki, kit˝ ol, mit vesz ´at” jo ´l beva´lt rendje´ben ve´gbement dra´mai fordulat eredete a me´rte´k-elme´letig, Weyl 1929-es munka´ja´ig vezethet˝ o vissza. Weyl ekkori vizsga´latainak kiindulo ´pontja, a ko ¨r forgata´sainak csoportja Abelcsoport (amelyben teha´t, mint arra az 5. fejezet alapja´n emle´kszu ¨ nk, a m˝ uvelet kommutatı´v). Az ennek alapja´n kidolgozott elme´let neve ennek megfelel˝ oen Abel-fe´le me´rte´k-elme´let. Az 1950-es e´vekben ne´ha´ny fizikus, tiszta´n spekulatı´v szempontbo ´l, azt kezdte vizsga´lni, mi to ¨rte´nik, ha valamely ma´s csoportbo ´l, pe´lda´ul a go ¨mb vagy ma´s, magasabb dimenzio ´s objektumok szimmetriacsoportja´bo ´l indulnak ki. Az ´gy ı kapott elme´let neve: nem Abel-fe´le me´rte´k-elme´let. Az u ´ j teo ´ria u ´ tto ¨r˝ oi Chen-Ning Yang e´s Robert Mills voltak, akik 1954-ben felı´rta´k az elme´let alapvet˝ o egyenleteit, a Maxwell-egyenletek ta´voli lesza´rmazottait. Mı´g Maxwell egyenletei az Abel-csopornak megfeleltetett elektroma´gneses mez˝ ot ´rja ı ´k le, a Yang – Mills-egyenletek szinte´n egy fizikai mez˝ ot ´rnak ı le, e mez˝ onek azonban a re´szecske´k ko ¨zo ¨tti ko ¨lcso ¨nhata´sok leı´ra´sakor vesszu ¨ k haszna´t. S˝ ot, az uto ´bbiak kiindulo ´pontja egy nemkommutatı´v csoport. Ezen a ponton ma´r ne´ha´ny matematikus is felfigyelt arra, mi zajlik a fizika berkeiben. A Yang – Mills-egyenleteket a fizikusok ugyan kiza´ro ´lag a kvantumelme´letben haszna´lta´k, az egyenleteknek mindazona´ltal le´tezik a klasszikus (nemkvantumos) va´ltozata is, amelynek keretelme´lete a ko ¨zo ¨nse´ges ne´gydimenzio ´s te´rid˝ osokasa´g. S a matematikusok ez uto ´bbi egyenletekre o ¨sszpontosı´totta´k figyelmu ¨ ket. Sikeru ¨ lt megoldaniuk A Yang – Mills-egyenleteket egy specia´lis (az u ´ n. o ¨ndua´lis) esetben, a megolda´sokat insztantonoknak nevezte´k el. A dolog ugyan felkeltette ne´ha´ny fizikus e´rdekl˝ ode´se´t is, ennek ellene´re nem t˝ unt to ¨bbnek matematikai ja´te´kna´l. S ekkor megjelent a szı´nen egy fiatal brit matematikus, Simon Donaldson, akinek neve´vel ma´r a 6. fejezetben tala´lkoztunk. Donaldson az o ¨ndua´lis Yang – Mills-egyenleteket e´s az insztantonokat ´altala´nos ne´gydimenzio ´s sokasa´gokra alkalmazta, amivel hatalmas ta´vlatokat nyitott. A ne´gydimenzio ´s euklideszi te´r nemstandard sima struktu ´ ra´ja´nak felfedeze´se csupa´n els˝ o volt a dra´mai eredme´nyek sora´ban.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Vice versa

317

Hangsu ´ lyozzuk: Donaldson munka´ssa´ga´val az eszme´k ´atada´sa´nak e´s ´atve´tele´nek szoka´sos menete fordulatot vett. Mind a matematikusok, mind a fizikusok el˝ ott megszokott dolog volt, hogy a fizika´ban a matematika kiva´lo ´an haszna´lhato ´. Most azonban e´ppen ennek ez ellenkez˝ oje to ¨rte´nt, s ez u ´ j korszak kezdete´t harangozza be, amelyben a geometria e´s a fizika eddig sosem la´tott me´rte´kben fono ´dik majd o ¨ssze. Donaldson elme´lete´nek egyik fontos ko ¨vetkezme´nye, hogy lehet˝ ose´g nyı´lt a 4sokasa´gok invaria´nsainak genera´la´sa´ra, amivel viszont megnyı´lt az u ´ t e sokasa´gok oszta´lyoza´sa´nak re´go ´ta megoldatlan, s egyre e´get˝ obb proble´ma´ja fele´. A feladat persze me´g ´gy ı is emberes: Donaldson eredme´nyeib˝ ol a kı´va´nt invaria´nsok csak keme´ny munka´val voltak el˝ ocsalogathato ´k. Donaldson egykori mestere, Michael Atiyah meg volt gy˝ oz˝ odve arro ´l, hogy e nehe´zse´gek, s ma´s, a fizikusokat foglalkoztato ´ proble´ma´k megolda´sa a matematika e´s a fizika egyfajta u ´ jraegyesı´te´se´vel oldhato ´k csak meg. Tana´csa´t megfogadva Edward Witten (Princeton) 1988-ban Donaldson elme´lete´t a kvantumos Yang – Mills-terekre alkalmazta. Eltekintve atto ´l, hogy az u ´ j eredme´nyeket a fizikus ta´rsadalomban is ismertte´ tette, Witten munka´ja´bo ´l 1993-ig semmilyen komolyabb eredme´ny nem szu ¨ letett. To ¨rte´netu ¨ nk ko ¨vetkez˝ o f˝ oszerepl˝ oje, a fizikus Nathan Seiberg ekkor le´pett a pa´stra, s a dolgok megint egyszer dra´mai fordulatot vettek. Seiberg az 1970-es e´vekben bevezetett szuperszimmetria-elme´leten dolgozott, amely az elemi re´szecske´k ke´t alapvet˝ o oszta´lya, a fermionok (ko ¨ze´ju ¨ k tartoznak to ¨bbek ko ¨zo ¨tt az elektronok e´s a re´szecske´k egy ma´sik csoportja, a kvarkok) e´s a bozonok (ilyenek pe´lda´ul a fotonok, a fe´nyt alkoto ´ re´szecske´k e´s a gluonok, a kvarkok ko ¨zo ¨tti ko ¨lcso ¨nhata´s ko ¨zvetı´t˝ oi) alapvet˝ o szimmetria´inak felta´ra´sa´val foglalkozik. Seiberg kidolgozta a kvantumos me´rte´k-elme´let „szuperszimmetrikus” va´ltozata´t. 1993-ban Seiberg e´s Witten ko ¨zo ¨sen vizsga´ltak egy – Donaldson elme´lete´vel kapcsolatos – proble´ma´t. A Witten ´altal „e´lete legizgalmasabb e´lme´nye´nek” nevezett munka eredme´nye egy u ´ j egyenletpa´r felfedeze´se volt, amellyel az eredeti, Donaldson-fe´le egyenleteket helyettesı´teni tudta´k. S ez komoly el˝ orele´pe´st jelentett a fizika´ban e´s a 4-sokasa´gok oszta´lyoza´sa´nak matematika´ja´ban egyara´nt. A donaldsoni e´s a Seiberg – Witten-fe´le elme´let ko ¨zo ¨tti do ¨nt˝ o ku ¨ lo ¨nbse´g a kompaktsa´gban rejlik. A kompaktsa´g a topologikus terek technikai jelleg˝ u tulajdonsa´ga. Szemle´letesen azt fejezi ki, hogy amennyiben a te´r minden pontja´ban megadjuk a pont egy kicsiny ko ¨rnyezete´re vonatkozo ´ informa´cio ´kat, akkor a te´r ege´sze´re vonatkozo ´ informa´cio ´t ve´ges sza´mu ´ pontot megvizsga´lva o ¨sszegy˝ ujthetju ¨ k. A Donaldson-elme´letben szerepl˝ o te´r nem kompakt, a Seiberg – Witten-fe´le azonban ma´r igen. A ku ¨ lo ¨nbse´g teha´t a kompaktsa´gban rejlik. Seiberg e´s Witten felfedeze´se´nek jelent˝ ose´ge nem korla´tozo ´dik a fizika teru ¨ lete´re. Ba´r motiva´cio ´ja els˝ osorban fizikai volt, Witten a 4-sokasa´gokra vonatkozo ´ ko ¨vetkezme´nyeket is kidolgozta. Megfogalmazott egy sejte´st is, mely szerint az u ´j

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

318

Az Univerzum rejtett minta´zatai

egyenletek ugyanazokat az invaria´nsokat adja´k, mint Donaldson eredeti egyenletei. A sejte´ssel a Harvard Egyetemen dolgozo ´ matematikus, Clifford Taubes kezdett foglalkozni, s hamarosan valami ege´szen ku ¨ lo ¨no ¨s dolog to ¨rte´nt. Egyel˝ ore nem tudjuk, hogy az u ´ j egyenletek invaria´nsai ugyanazok-e, mint Donaldsone´i. De azt tudjuk, hogy legala´bb olyan jo ´k, s ami igen fontos, sokkal ko ¨nnyebb velu ¨ k sza´molni. Segı´tse´gu ¨ kkel a matematikusok ne´ha´ny he´t alatt, sokkal kisebb er˝ ofeszı´te´ssel eljutottak olyan eredme´nyekhez, amelyekhez a re´gi mo ´dszerrel e´vek munka´ja kellett, s olyan proble´ma´k megolda´sa´t sikeru ¨ lt megtala´lni, amelyek mindaddig ellena´lltak a pro ´ba´lkoza´soknak. S a matematikusok ve´gre valo ´di el˝ orele´pe´st e´rze´keltek a 4-sokasa´gok mege´rte´se´ben. A matematika ha´rom e´vsza´zadon ´at tett ragyogo ´ szolga´latot a fizika´nak. Ve´gre ele´rkezett az id˝ o a to ¨rleszte´sre. S ba´r ta´rgyala´sunk itt befejez˝ odik, a matematika energia´i terme´szetesen soha nem meru ¨ lnek ki. Az Univerzum e´s az e´let rejtett minta´zatainak felderı´te´se´ben nincs ve´ga´lloma´s.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Uto ´ szo ´

S ez me´g nem minden. Messze nem. Az el˝ oz˝ o fejezetekben sorra vett ´altala´nos te´ma´k a mai matematika´nak csupa´n ne´ha´ny teru ¨ lete´t e´rze´keltetik. Nem is emlı´tettu ¨ k, vagy csak futo ´lagosan a kisza´mı´thato ´sa´g elme´lete´t, a bonyolultsa´gelme´letet, a numerikus analı´zist, a ka´oszelme´letet, a ve´gtelen halmazok elme´lete´t, a ja´te´kelme´letet, a va´laszta´si rendszerek elme´lete´t, a konfliktuselme´letet, az opera´cio ´kutata´st, az optimaliza´cio ´elme´letet, a matematikai ko ¨zgazdasa´gtant, a pe´nzu ¨ gyek matematika´ja´t, a katasztro ´faelme´letet vagy az id˝ oja´ra´s-el˝ orejelze´st. Nem emlı´tettu ¨ k, vagy csak futo ´lag a me´rno ¨ki tudoma´nyokban, a csillaga´szatban, a pszicholo ´gia´ban, a biolo ´gia´ban, a ke´mia´ban, a ko ¨zgazdasa´gtanban vagy a repu ¨ l˝ oge´p-terveze´sben alkalmazott matematika´t. Mindegyik felsorolt te´mako ¨r, s˝ ot, olyanok is, amelyek kimaradtak, egy ege´sz fejezetet e´rdemelne. Egy ko ¨nyv ´ro ı ´ja´nak azonban va´logatnia kell a lehetse´ges te´ma´k ko ¨zo ¨tt. E ko ¨nyvben a matematika terme´szete´r˝ ol akartam ´attekinte´st adni, u ´ gy a mai, modern matematika elemeir˝ ol, mint ezen eredme´nyek to ¨rte´nete´r˝ ol. Me´gsem akartam a sok-sok ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o te´ma ne´ha´ny oldalas, lelta´rszer˝ u ´attekinte´se´t az Olvaso ´ feje´re zu ´ dı´tani. A sza´mos re´szteru ¨ let, a ma´s tudoma´nyokkal e´s az e´let ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o teru ¨ leteivel valo ´ kapcsolatok ellene´re a matematika egyse´ges ege´sz. Egy jelense´g matematikai vizsga´lata sok hasonlo ´sa´got mutat ma´s jelense´gek matematikai vizsga´lata´val. Az els˝ o le´pe´s mindig egyfajta egyszer˝ usı´te´s, amelynek sora´n a kulcsfontossa´gu ´ fogalmakat azonosı´tjuk. E fogalmakat azuta´n me´lyebb elemze´snek vetju ¨k ala´, sorra, e´s egyre alaposabban felismerju ¨ k a vizsga´lo ´da´s szempontja´bo ´l le´nyeges minta´zatokat. A ko ¨vetkez˝ o le´pe´s az axiomatiza´la´s, az absztrakcio ´ magasabb szintje. Te´teleket fogalmazunk meg e´s bizonyı´tunk be. A matematika ma´s teru ¨ leteihez f˝ uz˝ od˝ o kapcsolatokat ´allapı´tunk – vagy sejtu ¨ nk – meg. Az elme´letet ezuta´n ´altala´nosı´tjuk, melynek sora´n u ´ jabb kapcsolatokra deru ¨ l fe´ny. Ez teha´t a vizsga´lt teru ¨ letek ´altala´nos struktu ´ ra´ja. A va´lasztott te´mako ¨ro ¨k mindegyike a matematika ko ¨ze´pponti teru ¨ lete, kisebb-nagyobb me´rte´kben va-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

320

Uto ´szo ´

lamennyi a szoka´sos egyetemi tanrend re´sze´t ke´pezi. Ebben az e´rtelemben a szelekcio ´ terme´szetesnek mondhato ´. Az igazsa´g azonban az, hogy ba´rmely he´t vagy nyolc te´mako ¨rt kiva´lasztva ugyanezt a to ¨rte´netet mese´lhettem volna el. A matematika a minta´zatok tudoma´nya, s e minta´zatokra mindenu ¨ tt ra´bukkanunk, ba´rmerre tekintu ¨ nk is: a fizikai Univerzumban, az e´l˝ ovila´gban vagy aka´r tulajdon elme´nkben. S a la´thatatlant a matematika jelenı´ti meg. Csak me ´g egy pillanat! A matematika lendu ¨ letben van. Ko ¨nyvemet ma´r a nyomdai munka´latokra ke´szı´tette´k el˝ o, amikor e´rkezett a hı´r, hogy a go ¨mbi elrendeze´snek az 5. fejezetben emlı´tett proble´ma´ja´t sikeru ¨ lt megoldani. Thomas Hales (University of Michigan) hat e´vet viaskodott a feladattal, mı´g bebizonyı´totta: Kepler sejte´se helyes: a lapko ¨ze´ppontos kockara´csna´l nincs s˝ ur˝ ubb te´rkito ¨lte´s. Hales bizonyı´ta´sa a magyar matematikus, Fejes To ´th La´szlo ´ 1953-as eredme´nye´n alapul, amellyel a proble´ma visszavezethet˝ o egy nagyme´ret˝ u, sok-sok esetet felo ¨lel˝ o sza´mı´ta´sra. Ezzel lehet˝ ose´g nyı´lt arra, hogy a megolda´sban sza´mı´to ´ge´pes mo ´dszereket alkalmazzanak. 1994-ben Hales a Fejes To ´th ´altal kijelo ¨lt utat ko ¨vetve o ¨t le´pe´ses strate´gia´t dolgozott ki, a re´szletes megvalo ´sı´ta´sban egy tanı´tva´nya, Samuel Ferguson is segı´tse´ge´re volt. Hales 1998 augusztusa´ban jelentette be, hogy sikerrel ja´rt, s a teljes bizonyı´ta´st ko ¨zze´tette a vila´gha´lo ´n, a http://www.math.lsa.umich.edu/∼hales/ cı´men. A bizonyı´ta´s: mintegy 250 oldalnyi szo ¨veg e´s hozza´vet˝ olegesen 3 gigaba´jtnyi program. Aki ko ¨vetni akarja Hales gondolatmenete´t, annak nem csupa´n a szo ¨vegen kell ´atra´gnia maga´t, de le kell to ¨ltenie e´s futtatnia kell a programot is. A Kepler-sejte´s Hales-fe´le bizonyı´ta´sa a hagyoma´nyos matematikai gondolatmenetek e´s a sok sza´z specia´lis eseten ve´gigfuto ´ sza´mı´to ´ge´pes mo ´dszerek kombina´cio ´ja, s mint ilyen, leginka´bb a ne´gyszı´n-te´tel Kenneth Appel e´s Wolfgang Haken ´altal megadott bizonyı´ta´sa´ra emle´keztet.11

11 Keith Devlin a fenti sorokat 1998-ban ´rta. ı Hales e´rvele´se´nek helyesse´ge´t mostana´ig (2001. tavasza) sem sikeru ¨ lt marade´ktalanul ellen˝ orizni. Erre utal az a te´ny, hogy munka´ja me´g nem jelent meg szakfolyo ´iratban. – A szerk.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ne ´v- e ´s ta ´ rgymutato ´

a posteriori valo ´szı´n˝ use´g, 266 a priori valo ´szı´n˝ use´g, 265 Abelcsoport, 188 absztrakt jelo ¨le´s, 11 Adams, John Couch, 288 Adleman, Leonard, 42, 44 Akhilleusz e´s a tekn˝ osbe´ka, 102 Alexander, J. W., 240–242 Alexander-polinom, 242 Alexandria, 32 algebra alapte´tele, 132 algebrai sokasa´g, 252 algebrai sza´m, 156 algebrai topolo ´gia, 230 ´allı´ta´s, 58 ´altala´nos relativita´selme´let, 301–303 alterna´cio ´, 69 Ampe`re, Andre´-Marie, 290 analı´zis, 10, 11, 18, 97–135 aperiodikus mozaik, 208 Apollo ´niosz, 150 aranymetsze´s, 138–139, 209 ARCLP-teszt, 42 Arisztotele´sz, 18, 58–62 Aritmetika, Diophantosz m˝ uve, 12, 47 Arkhime´de´sz, 123, 150–151 Artin, Emil, 244 Atiyah, Michael, 246, 317 ´atlagember, 276 axio ´ma, 76–80 axiomatikus halmazelme´let, 84 babiloni matematika, 9, 26 Banchoff, Thomas, 180 Bayes, Thomas, 273 Bayes-mo ´dszer, 273–276 Berkeley, George, 113 Bernoulli csala´d, 264

Bernoulli, Daniel, 121, 267–270 Bernoulli, Jacob, 265–267 Bernoulli, Nicolaus, 264, 270 Bernoulli-egyenlet, 17, 267 bizonyı´ta´s, 10, 28, 57–58 bizonyı´ta´s-elme´let, 89 biztosı´ta´s, 257, 262–264 Black, Fischer, 280–282 Black – Scholes formula, 280–282 Bohr, Niels, 245, 313 Bolyai Farkas, 161 Bolyai Ja´nos, 161 bolygo ´, 283 Boole, George, 63–67 Brahe, Tycho, 285 Bravais-ra´cs, 196 Brianchon te´tele, 175 Brianchon, Charles Julien, 175 Briggs, G. B., 240 Cantor, Georg, 80, 83, 129 Cardano, Girolamo, 129, 258–259 Cauchy, Augustin-Louis, 114–116, 125, 128, 135, 191, 217 Cavalieri, Bonaventura, 125 Cayley, Arthur, 191 centra´lis vetı´te´s, 168 Chomsky, Noam, 18, 91 Cohen, H., 42 Cohen, Paul, 88 Conway, John Horton, 209 Csebisev, Pafnutyij, 35, 134 csomo ´, 235–246 egyszer˝ u, 235 komplemense, 242 reprezenta´cio ´ja, 238 csomo ´csoport, 242 csomo ´invaria´ns, 238

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

322

Ne´v- ´es ta´rgymutato ´

csoport, 185 csoportelme´let, 187 csu ´ cs, ha´lo ´zate´, 212 Danzig, George, 181 Dedekind, Richard, 128 Deligne, Pierre, 252 deriva´lt, 110–114 Descartes, Rene´, 39, 151, 216, 286 differencia´legyenlet, 118–121 differencia´lsza´mı´ta´s, 116–118 Diffie, Whitfeld, 44 dimenzio ´, 176–181 Diophantosz, 12 Dirichlet, Peter Gustav Lejeune, 51 Dirichlet-tartoma´ny, 204–206 diszjunkcio ´, 69 DNS, 244 Donaldson, Simon, 233–234, 246, 316–318 dualita´s elve, 174 Du ¨ rer, Albrecht, 166 e, 109 ege´sz sza´m, 77, 82 egyidej˝ use´g, 300–301 egyiptomi matematika, 26 Einstein, Albert, 298–299 e´l, 214 elektroma´gneses hulla´m, 289, 294–296 elektroma´gneses mez˝ o, 291 Elemek, 29 Elemek, 10, 138–147 ellipszis, 124, 150, 153, 169 elliptikus go ¨rbe, 251 Eratoszthene´sz, 18, 283 erlangeni program, 191 er˝ ote´r, 291 e´ter, 291 Eudoxosz, 32, 123, 145, 284 Euklide´sz, 10, 29, 32–33, 76, 138 o ¨to ¨dik posztula´tuma, 141, 157 posztula´tumai, 141 euklideszi te´r, 179 Euler polie´der-te´tele, 216 Euler, Leonhard, 41, 51, 62–63, 107, 132, 134, 212, 216 Euler-formula, 132–133 Euler-formula, ha´lo ´zatokra vonatkozo ´, 214 Euler-sza´m, 223 exponencia´lis fu ¨ ggve´ny, 109 faktoria´lis, 109 Faltings, Gerd, 252–253 Faraday, Michael, 291 Fatou, Pierre, 14 felu ¨ let, 218–222 fe´nyku ´ p, 305

fe´nysebesse´g, 294–295, 300 Fermat, Pierre de, 39–41, 259–260 Fibonacci-sorozat, 138 FitzGerald, George, 298 Flach, Matthias, 254 fluens, 112 fluxio ´, 112 formula, 72 foton, 306 Fourier te´tele, 122 Fourier, Joseph, 121 Fourier-analı´zis, 121–122 Fo ¨deralista ´ra ı ´sok, 94–96 Fraenkel, Abraham, 84 Franklin, Benjamin, 264 Freedman, Michael, 232, 234 Frege, Gottlob, 72, 83 Frey, Gerhard, 254 fundamenta´lis csoport, 230 fu ¨ ggve´ny, 108 Galilei, Galileo, 17, 125, 259, 286–287 Galois, Evariste, 186, 189–191 Galois-csoport, 190 Galton, John, 277–279 Galton-deszka, 278–279 Gauss, Karl Friedrich, 36–37, 132, 134, 158, 160, 194, 196, 271–272, 293 Gauss-eloszla´s, 272 geodetikus vonal, 162 geometria, 9, 137–178, 233, 247, 260 geometriai sor, 105 geometriai transzforma´cio ´, 183 Georgi, Howard, 315 GIMPS, 46 Glashow, Sheldon, 315 Goldbach, Christian, 44 Goldbach-sejte´s, 44 Go ¨del, Kurt, 86–88 Go ¨del-te´tel, 86 go ¨mbi elrendeze´s, 192–197, 320 go ¨ro ¨g matematika, 9, 10 grammatikai struktu ´ ra, 91 Graunt, John, 263, 265 gravita´cio ´, 17, 100, 166, 288, 311–312 Gregory, James, 107 gyo ¨kkifejeze´s, 189 Hadamard, Jacques, 35, 135 Hales, Thomas, 320 Halley, Edmund, 100, 263 halmaz, 80–82 ha´lo ´zat, 213–216 haranggo ¨rbe, 271 Hardy, G. H., 15 harmonikus sor, 106 ha´romlevel˝ u csomo ´, 236 hasonlo ´ alakzatok, 145

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ne´v- ´es ta´rgymutato ´ hasznossa´g, 267–270 hata´re´rte´k, 112, 114 hatszo ¨ges elrendeze´s, 193 Heawood, Percy, 229 Heawood-formula, 229 Heisenberg, Werner, 313 Hellman, Martin, 44 Henry, Joseph, 291 Hertz, Heinrich, 295 hibakeres˝ o e´s -javı´to ´ ko ´d, 203–204 Hilbert, David, 85, 89, 141, 176 programja, 85–88 hiperbola, 150, 153 hiperbolikus geometria, 161 hiperkocka, 180 Hippaszosz, 31 Hoffman, David, 14 homoto ´pia-csoport, 231 ho ´pehely, 183, 197, 199 Huntington, Edward, 191 hu ´ relme´let, 315 i, 130 igazsa´gta´bla´zat, 69 ikerparadoxon, 310–311 imagina´rius sza´m, 130, 308 insztanton, 316 integra´lsza´mı´ta´s, 123 alapte´tele, 127 integrita´si tartoma´ny, 78 invaria´ns sokasa´ge´, 317 topologikus, 222 inverzelem, 185 ira´nyı´thato ´ felu ¨ let, 219–220 irraciona´lis sza´m, 31 Jones, Vaughan, 243–244 Jones-polinom, 244 Julia, Gaston, 14 Julia-halmaz, 14 Kelvin atomelme´lete, 245 Kepler to ¨rve´nyei, 124, 285–286 Kepler, Johannes, 124–125, 147–150, 194, 196–198, 320 kereszteze´si sza´m, 240 keresztsapka, 224 ke´sleltetett no ¨vekede´s, 120 kett˝ osviszony, 170 kimerı´te´s mo ´dszere, 123 kis Fermat-te´tel, 41 kisza´mı´thato ´sa´g-elme´let, 89 Kleene, Stephen Cole, 89 Klein, Felix, 191 Klein-kancso ´, 227 kocka-megkett˝ oze´s, 156

323

Kolmogorov, Andrej Nyikolajevics, 279 Kolyvagin, Victor, 254 kommutativita´s to ¨rve´nye, 26, 77 komplex sza´mok, 129–133 kondiciona´lis, 69 kongruencia, 38 koordina´ta-geometria, 152–155 Kopernikusz, 285 korla´tlan elfogya´s, 120 korla´tlan no ¨vekede´s, 120 korla´tos no ¨vekede´s, 120 koszinuszfu ¨ ggve´ny, 109 ko ¨nigsbergi hidak proble´ma´ja, 212–213 ko ¨r-ne´gyszo ¨gesı´te´s, 155 ko ¨rz˝ ot e´s vonalzo ´t haszna´lo ´ szerkeszte´s, 156– 157 krista´ly, 200 krisztallogra´fia, 191 Kummer, Ernst, 51–52 ku ´ pszelet, 150–152 kvadratu ´ ra, 155 kvantor, 72 kvantum-elektrodinamika, 315 kvantum-te´r, 313 kvantumelme´let, 312–313 kva´zikrista´ly, 209 Lame´, Gabriel, 51 la´thatatlan univerzum, 19 Leech, John, 203 Leech-ra´cs, 203 Legendre, Adrien-Marie, 51 Leibniz, Gottfried Wilhelm, 10, 39, 100–101, 114, 265–266 Lenstra, H. W., 42 Leonardo da Vinci, 166, 259 le´psejt, 197–199 Lindemann, Ferdinand, 156 Listing, Johann, 235 Lobacsevszkij, Nyikolaj, 161 logika, 11 Lorentz, Hendrik Antoon, 298 Lorentz-kontrakcio ´, 300 mager˝ o, 313 Mandelbrot, Benoit, 14 matematikai indukcio ´, 52–55 Maxwell, James Clerk, 291–292 Maxwell-egyenletek, 18, 293–294 Mazur, Barry, 254 Meeks, William III, 14 Mersenne, Marin, 45 Mersenne-prı´m, 45 Mersenne-sza´m, 45 me´rte´k-csoport, 314 me´rte´kelme´let, 280, 314 Merton, Robert, C., 280–282 metrika, 308

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

324

Ne´v- ´es ta´rgymutato ´

metszet, 81 Michelson, Albert, 296 Michelson-kı´se´rlet, 296–298 Mills, Robert, 316 Milnor, John, 234 minima´lfelu ¨ let, 14 Minkowski, Hermann, 304 Minkowski-ta´volsa´g, 308–311 minta´zat, 11 modellelme´let, 88 modula´ris aritmetika, 37 modula´ris go ¨rbe, 253 modulus, 38 modus ponens, 71 Moivre, Abraham de, 271 mondatelemz˝ o fa, 93 Mordell, Lewis, 252 Mordell-sejte´s, 252–253 Moszkvai Papirusz, 26 mozaik, 206–210 aperiodikus, 208 Mo ¨bius, Augustus, 217 Mo ¨bius-szalag, 218–221, 227 nagy egyesı´tett elme´let, 315 nagy Fermat-te´tel, 46–52, 246–255 nagy sza´mok to ¨rve´nye, 265 nega´cio ´, 69 ne´gyes-csomo ´, 236 ne´gyszı´n-te´tel, 228–229 nem-ira´nyı´thato ´ felu ¨ let, 225 nemeuklideszi geometria, 157–166, 303 nemsza´m csomo ´e´, 243 egyenlete´, 251 felu ¨ lete´, 225 Newton, Isaac, 10, 39, 99–100 gravita´cio ´s to ¨rve´nye, 17, 288 korpuszkula´ris fe´nyelme´lete, 295 ma´sodik to ¨rve´nye, 287 norma´lis eloszla´s, 271 nullcsomo ´, 237 nyelve´szet, 18, 90 nyilva´nos kulcsu ´ titkosı´ra´s, 43 nyolcas alakzat, 235 Oersted, Hans-Christian, 290 o ´ra-aritmetika, 37–39 oszthatatlanok mo ´dszere, 125 o ¨sszetett sza´m, 33 o ¨to ¨dfoku ´ egyenlet, 190 parabola, 150, 153 parcia´lis deriva´lt, 293 pa´rhuzamos vetı´te´s, 168 Pascal te´tele, 175 Pascal, Blaise, 39, 175, 259–260

Pascal-ha´romszo ¨g, 260 Peano, Giuseppe, 72 Penrose, Roger, 208–209 Penrose-mozaik, 209 periodikus fu ¨ ggve´ny, 122 Perko, K. A., 241 permuta´cio ´csoport, 191 Pitagorasz, 28–32 Pitagorasz-fe´le metrika, 308 Pitagorasz-te´tel, 30, 49, 202, 305, 308 pitagoraszi sza´mha´rmas, 49–50, 248 Plato ´n, 32, 128, 147, 180, 284 plato ´ni test, 146 Playfair posztula´tuma, 157 Poincare´, Henry, 230–232 Poincare´-sejte´s, 232 polito ´p, 181 Polkinhorne, John, 17 Pomerance, C., 42 Poncelet, Jean-Victor, 168 Pound, Robert W., 312 Poussin, Charles de la Valle´e, 35, 135 predika´tum, 58, 67, 72–73 predika´tum-logika, 72 prı´mcsomo ´, 240 primitı´v megolda´s, 49 prı´ms˝ ur˝ use´g-fu ¨ ggve´ny, 34 prı´msza´m, 33–36, 41–42 prı´msza´m-sejte´s, 134–135 prı´msza´m-te´tel, 35, 135 prı´mte´nyez˝ os felbonta´s, 33 projektı´v geometria, 166–176 propoziciona´lis logika, 68 pszeudoszfe´ra, 164 Ptolemaiosz, 284 QED, 315 Quetelet, Lambert, 276–277 raciona´lis sza´m, 28, 82 ra´csos elrendeze´s, 194 radioaktivita´s, 105, 118, 121, 296, 300, 313 Rebka, Glen A., 312 regula´ris prı´msza´m, 51 Reidemeister, H., 241 re´szve´nypiac, 281 Ribet, Kenneth, 254 Riemann, Bernhard, 133, 135, 161, 303 Riemann-fe´le geometria, 161–163 Riemann-hipote´zis, 135 Rivest, Ronald, 44 Ro ¨mer, Olaf, 294 RSA-rendszer, 44 Rumely, R. S., 42 Russell, Bertrand, 16, 83 Russell-paradoxon, 83–84

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Ne´v- ´es ta´rgymutato ´ Saccheri, Girolamo, 159 Salam, Abdus, 315 Schmitt, Peter, 210 Scholes, Myron, 280–282 Schro ¨dinger, Erwin, 313 Seiberg, Nathan, 317 Seiberg – Witten-elme´let, 317 Shamir, Adi, 44 Shimura, Goro, 253 Shimura – Taniyama-sejte´s, 254 sima struktu ´ ra, 233, 311 Smale, Stephen, 232 sokasa´g, 229–234, 237 specia´lis relativita´selme´let, 298–301 Stallings, John, 232 standard felu ¨ let, 224 statisztikus ko ¨vetkeztete´s, 265 s˝ ur˝ use´g, elrendeze´se´, 193 szaba´lyos sokszo ¨g, 145, 206 test, 145–147 sza´melme´let, 11, 21 alapte´tele, 33 analitikus, 133 szappanha´rtya, 14 sza´rmaze´kos u ¨ gylet, 280–282 szentpe´terva´ri paradoxon, 268 sze´pse´g a matematika´ban, 15 szerencseja´te´k, 257–260 szfe´rikus geometria, 162 szimmetria, 174, 183–185, 190, 314 o ¨tszo ¨ges, 209 hatszo ¨ges, 197 szimmetriacsoport, 185, 190 szimplex-mo ´dszer, 181 szintaktikai szerkezet, 91–94 szinuszfu ¨ ggve´ny, 109 szı´vm˝ ute´t, 107 szo ´ra´s, 272 szo ¨gharmadola´s, 157 sztoikusok, 68 szuperhu ´ r, 245 szuperszimmetria-elme´let, 317 Tait, P. G., 245 tangensfu ¨ ggve´ny, 108 Taniyama, Yutaka, 253 tape´taminta, 204–206 Tate, John, 253 Taubes, Clifford, 234, 318 Taylor, Richard, 255 teljesse´g axio ´ma´ja, 129 teljesse´g, axio ´marendszere´, 85 te´rid˝ o, 18, 165, 303–312 te´rid˝ osokasa´g, 311

325

terme´szetes sza´m, 26 halmazelme´leti reprezenta´cio ´ja, 82 test, 39, 78, 128, 130 Thale´sz, 10, 28, 32, 57, 75, 139, 283 Thale´sz-te´tel, 144 Thomson, William (Lord Kelvin), 291, 295 Thue, Axel, 195 Thurston, William, 233 titkosı´ra´s, 43–44 topolo ´gia, 11, 191, 212 to ´rusz, 156, 222, 225, 229, 230 traktrix, 164 transzcendens sza´m, 156 trigonometrikus fu ¨ ggve´nyek, 108 unio ´, 81 valo ´s analı´zis, 129 valo ´s sza´m, 32, 82, 128–129 valo ´szı´n˝ use´g, 313 valo ´szı´n˝ use´gsza´mı´ta´s, 11, 257–282 va´rhato ´ e´rte´k, 267 ve´gtelen, 103–107 ve´gtelen sor, 103 ve´gtelen ta´voli egyenes, 172 ve´gtelen ta´voli pont, 172 vektor, 64, 288, 313 vektormez˝ o, 291 ve´letlen, 257 ve´nasszony-csomo ´, 238 vetu ¨ let, 167 vila´gvonal, 306 visszate´re´s a ko ¨ze´pe´rte´khez, 278–279 vitorla´s-csomo ´, 238 vonatkoztata´si rendszer, 299 Weierstrass, Karl, 114–116, 125 Weil, Andre´, 252, 253 Weinberg, Steven, 315 Wiles, Andrew, 48, 254–255 Witten, Edward, 246, 315, 317 Woltman, George, 46 Yang, Chen-Ning, 316 Yang – Mills-elme´let, 234, 316 za´rt felu ¨ let, 227 Zeeman, Christopher, 232 zene, 12 Ze´no ´n, 98, 102 Ze´no ´n-paradoxon, 102–103 Zermelo, Ernst, 84 Zermelo – Fraenkel halmazelme´let, 84–85 ze´ta-fu ¨ ggve´ny, 134

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

Kiadja a M˝ uszaki Kiado ´ e´s a Typotex Kiado ´ Felel˝ os kiado ´ Be´rczi Sa´ndor e´s Votisky Zsuzsa Felel˝ os szerkeszt˝ o Halmos Ma´ria M˝ uszaki szerkeszt˝ o Na´dai La´szlo ´ A borı´to ´t tervezte Ne´meth Csongor Terjedelem 23 (A/5) ´v ı Ke´szu ¨ lt az Ola´h Nyomdaipari Kft.-ben Felel˝ os vezet˝ o Ola´h Miklo ´s

© Keith Devlin Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)