Matematik. M 3c 9789147107360, 9147107367 [PDF]

Zitiervorschau

JONAS SJUNNESSON t,AARilN HOLMSiRÖM

E.\/A stAEOHAMRE

N O S S E N N U J S S .. JONA M O R T S M L O H N I T MAR E R M A H D E M S A V E

•

I

e ever oc

••

arare

Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 3c och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna!

O

DEFINITION : R

O

SATS: Vertikalv

· -

Antalet värdesittro

Tydliga rutor med rubrikerna Definition och Sats, samt regelrutor återkommer genom hela boken. Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. Grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter ar annu svarare. ••

AKTIVITET

••

0

Aktiviteter är avsnitt med laborativ karaktär. Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband.

DIGITALA RUTA

I digitala rutan får du använda olika digitala verktyg för att lösa problem. Varje kapitel avslutas med ett test i två delar, varav en utan räknare.

Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Lycka till med kursen!

Författarna

3

1.1

Repetition av viktig algebra

8

1.2 Trigonometri i rätvinklig triangel Exakta värden 14 1.3 Enhetscirkeln

10

16

1.4 Triangelsatserna

22

Areasatsen 22 Sinussatsen 25 Aktivitet: Sinussatsen 30 Cosint1ssatsen 31 Problemlösning 34 Upptäck & visa: Vilken är kurvan? 1.5 Cirkelns ekvation

37

Digitala rutan: Rita en cirkel på parameterform 40

Sammanfattning TEST 1

2.1

42

44

Blandade uppgifter

46

Repetition

52

Potenser 52 Algebra och ekvationer 54 Faktorisera 56 Aktivitet: Geometriska bevis 2.2 Polynom och faktorer

58

Polynom 58 Faktorer, rötter och nollställen 2.3 Rationella uttryck

36

61

66

Förkorta rationella uttryck 66 Mer om förenkling 69 Digitala rutan: Rationella funktioner 72 Multiplikation och division av rationella uttryck 73 Addition och subtraktion av rationella uttryck 75 Upptäck & visa: Lek med tal 78 2.4 Ekvationer och olikheter

79

Lösa olikheter från grafer 79 Mer om grafer 83 Olikheter med teckenstudium Ekvationer med nämnare 90 Absolutbelopp 93 Sammanfattning 96 TEST 2 97 Blandade uppgifter 99

4

57

86

3.1

Förändringar

104

4.1

3.3 Derivator och grafer

3.4 Mer om derivator

4.2 Integraler

164

199

200

Primitiva funktioner 200 Aktivitet: Bestämma arean under en kurva 206 Beräkna integraler 207 13 7

140

Rita kurvor med hjälp av derivatan Största och minsta värde 148 Derivatans graf 151 Andraderivatan 156 Maximi- och minimiproblem 159 Aktivitet: Areaproblem 163

184

Derivatan av y = ex 184 Naturliga logaritmer 189 Derivatan av y = 2x 193 Problemlösning 195 Aktivitet: Matematisk modell

Repetition av räta linjen 104 Ändringskvot 108 En kurvas lutning 114 Beräkning av gränsvärden 120 Digitala rutan: Gränsvärde med räknare 125

3.2 Derivator 126 Använda derivatans definition 126 Deriveringsregler för polynom 130 Upptäck & visa: Symmetrisk differenskvot 136 Digitala rutan: Derivata med räknare Tillämpningar på derivata 138

Fler derivator

140

4.3 Integral och area

214

Arean av ett område mellan två kurvor 214 Mer om integraler 221 Digitala rutan: Integraler med räknare 227 Upptäck & visa: Förhållandet mellan areor 228 Tillämpningar av integraler 229 Digitala rutan: Ett hundrameterslopp 233 Sammanfattning TEST 4 236 Blandade uppgifter

234 239

Lite algebra 164 Derivatan av potensfunktioner 165 Diskontinuerliga funktioner 168 Diskret funktion 169 Inflexionspunkt och derivata 170 Sammanfattning 172 TEST 3 174 Blandade uppgifter 177

Facit

256

Facit till tankenötter Sakregister

280

281

5

I det här kapitlet får du lära dig • Exakta trigonometriska värden • Använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp • Hur man bevisar sinus-, cosinus- och areasatsen för en godtycklig triangel • Bestämma arean av en godtycklig triangel • Bestämma sidor och vinklar i en godtycklig triangel • Egenskaper hos cirkelns ekvation • Skriva funktioner på parameterform • Strategier för matematisk problemlösning • Använda digitala hjälpmedel för att lösa problem och öka din begreppsförståelse

Ordet geometri betyder jordmätning och numera kan vi använda GPS-teknik för olika avståndsmätningar. GPS är en förkortning för Global Positioning System. Med en GPS-mottagare får du veta var du befinner dig. Du får alltså både geografiska koordinater och höjd över havet. Hur fungerar detta?

För att också få höjden över havet, behövs en fjärde satellit.

., .

.'.

.'

/

..-· ···--·-- .. ._.'

..· ''

''

GPS utnyttjar att det finns satelliter på noggrant bestämda lägen. Dessa satelliter befinner sig på ca 20 000 km höjd och sänder hela tiden ut signaler. När din GPS tar emot en signal från en satellit A, beräknas den tid som det tar för signalen att färdas från satelliten till GPSmottagaren. Då kan avståndet mellan GPS-mottagaren och A bestämmas. Observera att det finns flera platser på jorden med samma avstånd till A. Alla platser som befinner sig på en viss cirkel på jordytan har samma avstånd till A. Med hjälp av ytterligare en satellit (B), kan avståndet mellan din GPS-mottagare och satelliten B bestämmas. Också här ligger alla platser som har samma avstånd till B på en cirkel. Cirklarna skär varandra i två punkter, och du befinner dig i någon av dessa punkter.

'

'• '

..

'

.

'• \

/

•

•

GPS, som ägs av USA:s försvarsmakt, utvecklades under 1970-talet och sattes i drift på 1990-talet. Idag finns även ryska, kinesiska och europeiska satelliter för positionsbestämning.

Till sist bestämmer signalen från en tredje satellit vilken punkt det är.

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

1.1 REPETITION AV VIKTIG ALGEBRA I det här korta avsnittet repeterar vi lite algebra som är bra att kunna längre fram i kapitlet . •

•

•

•

•

•

•

•

Kvadreringsr egler:

Några ekvationer:

•

•

•

•

• ••••••••

•

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b 2 X

a

=b

~

X=

a

-a = b ~a = b ·X ~

b ·a

X =b

X

Fullständig andragradsekvation :

x2 + px +

p q = 0 ~ X=- - + 2

p 2

-q

x 2 + 6x + 8 = 0

X= -3 ± J3 2 -8 X= - 3 ± 1 X = -3 + 1 = -2 1 X = - 3 - 1 = -4 2

a

c

Pythagoras sats: a2 + b2 = c2 b

Bilden visar en rätvinklig triangel. Bestäm triangelns sidor. Pythagoras sats ger ekvationen (x - 7)2 + x2 = (x + 1) 2 Vi utvecklar kvadraterna och får x2 - l 4x + 49 + x2 = x2 + 2x + 1 2 x - l 6x + 48 = 0 x- 7

(m)

Nu är ekvationen skriven på normalform. X

2

x=8± ) 8 - 48 x=8+.Ji6 x=8+4

X

l

= 12

X

2

= 4

Roten x = 12 ger sidorna 12 + 1 = 13 och 12 - 7 = 5 Roten x = 4 ger sidorna 4 + 1 = 5 och 4 - 7 = -3 Lägg märke till att roten x = 4 är en falsk rot eftersom en sida blir negativ. Den falska roten förkastas. SVAR:

Sidorna är 12 m , 13 m och 5 m.

1.1 REPETITION AV VIKTIG ALGEBRA

KA~

Förenkla 2

2

1101

a) (3 + x)

1102

a) (5 + x) + (x - 5)

-

b) (y - 8) + 16y - y

9

2

2

1111

a) Bestäm triangelns sidor.

(cm)

x+4

X

a) (3 - X) + 3 (3 - 2X)

x+2

Lös ekvationerna

1105

1106

1107 1108 1109

a)

a)

a)

7

= 0,3

b)

x=08 5 '

20= -

b)

1

b)

5x

2

6 -

= 0,5

X

2

2

a) x + 5 =13

15 2x

=0,3

X

8

24

3x

2

2

a) x + 2x - 8 = 0

a) (x - 7) 2 = 25

2

b) Är det sant att omkretsen< 24 cm?

2

b) (c - x) 2 + 2cx

1104

2

b) x + 8 = (x + 4)

2

2

X

2

a) x + 75 = (2x)

b) (4 + x) 2 - (4 - x) 2

1103

2

1110

L1

I de följande trigonometriska ekvationerna ska du lösa ut x. Observera att ditt svar inte blir ett tal, utan ett uttryck som t ex x = 5 sin v.

1112

1113

b) x

-

12x + 11 =0

a)

.

b) 0,2 = cosv

- = s1nv

3

X

0,5

. = smv

8 b) tanv = -

X

1114 2

a)

X

1115

a)

a)

X

7

X

cosv

0,2

-- - -

X

15

sina

s1nv

-- - . •

b)

8 ·X· Sill V 2 .

.

= 20

b) sina_ s1nv 7 X

2

b) (x+2) =100

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

Il

1.2 TRIGONOMETRI I RATVINKLIG TRIANGEL Sedan tidigare vet du att rätvinkliga trianglar har två kateter. Det är viktigt att du vet vilken som är vilken av dessa. Därför kallar man kateterna för närliggande repektive motstående katet, och utgår då från en av de spetsiga vinklarna. • • •• •• •

• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• •••

Den katet som är närmast vinkeln v kallas närliggande katet. Kateten som är mitt emot vinkeln v kallas motstående katet.

närliggande katet

v

motstående katet motstående katet

närliggande katet

Titta på de blå trianglarna till vänster.

12

Den stora triangeln är en förstoring av den lilla triangeln i skala 3: 1. Eftersom trianglarna har samma form (är likformiga) så är vinkeln v lika stor i båda trianglarna. motstående katet För båda trianglarna gäller att kvoten hypotenusa = 0, 5

4

Lilla triangeln:

4

8

= 0,5

Stora triangeln:

12

24

= 0,5

motstående katet Kvoten

kallas sinus för vinkeln v

hypotenusa

Här gäller för båda trianglarna att sin v = 0,5 De trigonometriska begreppen sin x, cos x och tan x definieras på följande sätt:

Q

DEFINITION: Trigonometriska funktioner

. motstående katet s,nv = = hypotenusa COSV=

tanv=

..

närliggande katet

a c b

= -

hypotenusa

c

motstående katet

a

närliggande katet

1.2 TRIGONOMETRI I RATVINKLIG TRIANGEL

=

b

a

KA~

Bestäm den sida som är markerad med x. (cm)

Definitionen av cosinus ger

7, 1

X

cos34°=7,l X = 7, 1 · COS 34° X""

34° X

5,9

SVAR:

Sidan är 5,9 cm.

Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader.

(cm) 27

20

V

Eftersom vi vet motstående katet och hypotenusan, använder vi definitionen av sin v.

.

20

sinv=27 Beräkningen av vinkeln v görs nu med räknare. Hur räknarens sinusfunktion ska användas, beror på vilken räknare som används. Det är viktigt att du vet hur just din räknare fungerar, titta gärna i bruksanvisningen. Lägg märke till att räknaren ska vara inställd på grader, dvs Degree.

SI N-1< 2 0 I 2 7 ) 47,7945536

Symbolen sin- 1 ska tolkas så att sin- 1(20/27) beräknar den vinkel v där sin v = 20/27. sin- 1 utläses ..sin- invers .. och kan även skrivas arcsin (utläses ..arcus-sinus ..) .

Räknaren ger alltså v "" 48° SVAR:

48°

TRIGONOMETRI

L1

KA~

_L1

(cm)

Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader.

15

V

31

Eftersom vi vet båda kateterna använder vi definitionen av tan v. 31 tanv=15 V ~

64° ( 64, 17 ... )

SVAR:

64°

I en likbent triangel är toppvinkeln 76,0° och motstående sida 21,6 cm enligt figuren.

' 7'60 ' ' '' '

Beräkna triangelns omkrets och area.

'' ' ''

21,6 cm

Vi drar en höjd från toppvinkeln mot basen. Höjden delar basen mitt itu och är dessutom bisektris till toppvinkeln. I den halva likbenta triangeln kallas sidorna a och b enligt nästa figur. . 380 =10,8 -a 10,8

Sill

a=---

b

38°

a

sin380

a ~ 17,54...

10,8 cm

Vi använder räknarens värde på a när omkretsen beräknas. Omkretsen = (2 · 17,54 ... + 21,6) cm~ 56,7 cm. Nu beräknar vi sidan b, som är den ursprungliga triangelns höjd. 0

10,8

tan 38 = - -

b

b = 10,8 tan38°

b ~ 13,82 Triangelns area är SVAR:

..

13,82 · 21,6 2

~

149

Omkretsen är 56,7 cm och arean 149 cm2•

1.2 TRIGONOMETRI I RATVINKLIG TRIANGEL

KA~

1201

1206

Beräkna de markerade vinklarna. Svara i hela grader. a)

L1

I en rätvinklig triangel gäller för vinkel x 4

att tanx = - . 3 a) Bestäm ett exakt värde för cosx.

b) 5

5

b) Är det sant att sin x < cos x? 3

5

2

1207

a) omkrets

7 9

c)

Triangeln ABC är likbent. Beräkna med två värdesiffror triangelns b) area. B

d)

V

(cm)

10,2

1202

Beräkna den sida som är markerad med x. Avrunda till två värdesiffror. a)

b) 31 dm X

35°

1208 Utgå från en vinkel x. Förklara varför sin x och cos x inte kan bli större än l, medan däremot tan x kan bli hur stort som helst.

X

c)

d)

X

1209

17 cm

42°

X ~

Beräkna triangelns area med två värdesiffror. (cm)

23 m

1203

8,2

I en rätvinklig triangel är kateterna 36 mm och 85 mm långa. Bestäm triangelns minsta vinkel.

41° 11,4

1204

En kraft F kan delas upp i två komposanter, Fx och FYenligt figuren. Hur stora blir FX och F)' om F = 14 kN? Fy

F

______________ _

'

32°

1205

'' '' '' '

1210

Beräkna utan räknare sin- 1(sin45°).

1211

Beräkna vinkeln vi triangeln. Svara i hela grader. 1

2

Titta på rektangeln. a) Beräkna vinkeln v i hela grader.

5

b) Beräkna rektangelns area i hela m 2 • (m)

15, 1

1212 Rita, utan att använda gradskiva, en rätvinklig triangel som har en vinkel 58°. Förklara hur du tänker.

TRIGONOMETRI

KA~

1213

_L1

Vilka koordinater har punkterna P och Q i koordinatsystemen nedan? Svara med en decimal. AY

AY Q

p

1216

Visa att det för alla rätvinkliga trianglar . s1nv gäller att tan v = - cosv

1217

Beräkna arean av en regelbunden femhörning med sidan 7,0 cm.

5 le

80°

X

X

1214

I en triangel ABC gäller för vinklarna att B + C = 90°. Visa att sinB = cos C.

1215

I en rätvinklig triangel är den kortaste sidan 8,0 cm. För den minsta vinkeln v 1 gäller att 2,4 = . Bestäm triangelns tanv största sida.

Bilden visar USA:s försvarshögkvarter Pentagon. Namnet kommer från den geometriska formen, en femhörning (pentagon).

Exakta värden För vinklarna 30°, 45° och 60° kan vi bestämma exakta värden för cosinus, sinus och tangens.

Vinklarna 30° och 60°

Triangeln nedan är liksidig och har sidan 2a. Höjden h delar triangeln i två rätvinkliga trianglar med de spetsiga vinklarna 30° och 60°. Var och en av dessa två trianglar brukar kallas en halv liksidig triangel. Höjden h i triangeln beräknas med Pythagoras sats: 2

2

h + a = (2a)

2

h2 = 4a 2 - a2 2a 2

2

h = 3a

h=(±:.))3;1

h>0

a

h=a·vl3 SLUTSATS:

..

Triangelns höjd= halva sidan·

1.2 TRIGONOMETRI I RATVINKLIG TRIANGEL

J3

a

KA~

Vinkeln 45°

L1

En rätvinklig triangel med vinkeln 45° fås enkelt genom att dela en kvadrat i två delar. Kvadraten nedan till höger har sidan 1. Med hjälp av Pythagoras sats får vi att kvadratens diagonal blir h . Prova gärna själv!

Diagonalen i en kvadrat= sidan ·

fi.

Höjd en i en liksidig triangel = halva sidan ·

'

''

2

'

''

.Ji

45° ''

'

1

'' ''

'

'

'

L.......L.----'---'- -- -- - . - . - -- -- - . '·"

1

1

Med hjälp av de två blå trianglarna ovan kan vi nu bestämma exakta trigonometriska värden för vinklarna 30°, 60° och 45°. Vi ser tex att . 60° = Sill

F3

-

2

cos45°=

1

J2

sin30° = ..!. = 0,5 2

1

tan45° = - = 1 1

Bestäm exakt värde för triangelns omkrets och area. Triangelns höjd= 4 · .J3 (halv liksidig triangel) Hypotenusan = 2 · 4 = 8

(cm)

60° 4

Omkretsen = 4+8 + 413 = 12+413 Triangelns area = 4 · 4.J3 = sJ3 2

SVAR:

Omkrets= 12+ 4../3 cm och area = sjj cm2

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

Använd "de speciella trianglarna" på förra sidan. Bestäm exakta värden till följande.

1218

a) sin 30°

1225

Beräkna exakt. a) (sin 30) 2 + (cos 30)2 b) sin 60 · tan 60 + cos 45 · sin 45

b) sin60°

c) sin 45°

1219

a) cos 30°

1226

I en "halv kvadrat" är den längsta sidan 3 cm. Bestäm ett exakt värde på längden av de övriga sidorna.

1227

I en "halv liksidig triangel" är den längsta kateten 7 cm. Ange ett exakt värde på

b) cos 60°

c) cos 45°

1220

a) tan 30°

b) tan 60°

c) tan45°

(cm)

a) längden av de övriga sidorna

1221

Beräkna ett exakt värde på triangelns area.

b) triangelarean.

1228

I en tabell kan man läsa att sin 45° =

1

J2.

8

1222

1223

1224

I en ennan tabell står det att sin 45° =

En liksidig triangel har sidan 18 cm. Beräkna ett exakt värde på triangelns area. I en liksidig triangel är höjden 6 cm. Beräkna ett exakt värde på triangelns area. I en "halv liksidig triangel" är den kortaste sidan 5 cm. Ange ett exakt värde på

J2. 2

Är båda rätt eller står det fel i någon av tabellerna? Motivera.

1229

Omkretsen av en " halv liksidig triangel" är exakt 6 cm. Visa att längden av triangelns kortaste sida är exakt (3-J3) cm.

a) längden av de övriga sidorna b) triangelns area.

1.3 ENHETSCIRKELN Bilden på nästa sida visar en cirkel som är placerad i ett koordinatsystem med medelpunkten i origo. Cirkeln har radien 1 Längdenhet och kallas

enhetscirkel.

.

. . .. .. . .......................................................... ................................... ~

Titta på den blå triangeln i cirkeln. Triangeln är rätvinklig och dess hypotenusa = cirkelns radie. Triangeln har en vinkel som är 30°. Låt oss bestämma sin 30° och cos 30° med hjälp av enhetscirkeln.

..

1.2 TRIGONOMETRI I RATVINKLIG TRIANGEL

KA~

,

100

y

90

80

'\ '\\)

.'

\ 1,'0

-

"'"':>. •

COS V

•I

cosv

Med hjälp av definitionerna, kan vi nu bestämma sinus och cosinus även för vinklar som är större än 90°.

a) Bestäm sin 140° och cos 140° med hjälp av enhetscirkeln på föregående sida. I enhetscirkeln finns en radie ritad för 140°.

Eftersom sinus-värdet= y-koordinaten, ska vi avläsa y-värdet där radien skär cirkelbågen. sin 140°:::::: 0,64. På motsvarande sätt bestämmer vi cos 140° genom att avläsa x-koordinaten. cos 140°:::::: - 0,77. b) Använd radien vid 250° och bestäm sinus och cosinus för 250°. sin 250° : : : - 0,94 cos 250° : : : - 0,34

1.3 ENHETSCIRKELN

KA~

L1

Vi ska nu titta på två viktiga samband som fås ur enhetscirkeln. y 180° -

....+-I- - -

AY V

X

X

Titta på enhetscirkeln ovan till vänster. Vinklarna v och (180°- v) har markerats. Vad gäller för y-koordinaterna för dessa? Jo, de är lika. sin (180°- v) = sin v Titta på enhetscirkeln ovan till höger. Vinklarna v och - v har markerats. Vad gäller för x-koordinaterna för dessa? Jo, de är lika. COS ( - V)

=

COS V

sin (180°- v) = sin v

COS (-V)= COS V

Detta innebär t ex att sin 10° = sin 170° och att cos 30° = cos (-30°) De här två sambanden kommer du att använda när du löser trigonometriska ekvationer.

Lös ekvationen sin v = 0,5

där 0°

$ V $

Vi använder räknaren och får v = 30°

360°

y 150° ------ ------ 30° X

Ekvationen har även lösningen V= 180° - 30° = 150° Se enhetscirkeln. För vinklar vi intervallet 0°< v < 360° får en ekvation av typen sin v = 0,5 två lösningar. Miniräknaren ger endast den ena lösningen. Använd därför alltid enhetscirkeln som hjälpmedel då du löser dessa ekvationer. SVAR: v 1 =

30°

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

Lös ekvationen cos v

=

0,5

AY

Vi använder räknaren och får

X -,....

60°

V =

Ekvationen har även lösningen v Se enhetscirkeln. SVAR: V=

1301

1302

Använd enhetscirkeln och bestäm sinus för följande vinklar.

1303

1308

1309

c) 210°

b) 110°

c) 310°

Använd enhetscirkeln och bestäm sinus för följande vinklar. a) 90°

b) 180°

c) 270°

d) 360°

e) 0°

f) -30°

Lös ekvationerna. a) cos v = 0,766 C)

COS V =

Använd e11hetscirkeln (inte räknaren) för att bestämma. b) tan 180°

c) tan 90° 1310

Ge exempel på två vinklar som har sinusvärdet 0,5.

1311

Bestäm följande med hjälp av en enhetscirkel, dvs utan att använda räknaren. a) sin-'(-0,5)

1305

Använd enhetscirkeln och bestäm cosinus för följande vinklar. a) 90°

b) 180°

c) 270°

d) 360°

e) 0°

f) -60°

Använd räknare och lös ekvationerna då 0° < v < 360°. Svara i hela grader. 1306

c) 1307

= 0,766 sin v = 0,342

a) sin v

= 0,8 sin v = 0,08

a) sin v c)

b) sin v

1312

a) sin v

b) cosv

c) tan v

d) cos(l80° - v) y

= 0,866 2

b) s1nv = 3

1.3 ENHETSCIRKELN

b) cos-' (-0,5)

Den markerade punkten i enhetscirkeln har koordinaterna (a, b). Uttryck följande med hjälp av a och b.

\V

.

b) cos v = 0,866

0,342

a) tan 45°

Använd enhetscirkeln och bestäm cosinus för följande vinklar. a) 60°

1304

b) 150°

-60°

+60°

Bestäm cos 230° med räknaren. Skissa en enhetscirkel och förklara vad det är du har räknat ut!

a) 40°

=

X

>

KA~

1

1313 Slå sin- (2) på din räknare och

1318

förklara resultatet.

1314

Vi vet att sin60° = .Jj. Använd detta 2

s1n240° = -

1315

1316

2

b) Nu startar hjulet igen och om ett tag är du igen på samma höjd som i a-uppgiften. Hur många hela meter har du åkt sedan uppehållet i a)?

?

Utgå från talen talen a = sin 20°, b = cos 95° och c = sin 170°. Ordna talen i storleksordning utan att använda räknare. Motivera. Bestäm, utan att använda räknare, ett exakt värde på a) sin 210°

1317

.Jj

b) cos 210°

d) tan 210°

a) Beräkna värdet av uttrycket (sin v) 2 + (cos v) 2 för v = 30°, 45° och 60°. Observera att du inte ska använda räknare!

Pariserhjulet i Göteborg har en radie på 30 m. Antag att du sätter dig i en korg som befinner sig längst ner. När hjulet har roterat 150° stannar det för att nya passagerare ska kliva ombord. a) Hur högt över marken befinner du dig då hjulet stannar? Svara i hela meter.

och enhetscirkeln för att förklara varför

.

L1

1319

I enhetscirkeln är en punkt med koordinaterna (a, b) markerad. Skriv ett förenklat uttryck i a och b . a) cos v · tan(v + 180°) b) sin(-v) · tan v y (a, b) X

b) Formulera en slutsats om uttryckets värde. c) Bevisa din slutsats.

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

1.4 TRIANGELSATSERNA I det förra avsnittet bestämde vi sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar. Här ska vi bevisa några satser som kan användas då trianglarna inte är rätvinkliga.

Areasatsen

-

Bilden visar en triangel där två sidor och mellanliggande vinkel är kända. Lägg speciellt märke till att:

4, 1

• Triangeln inte är rätvinklig • Höjden inte är känd 3,8

Kan vi bestämma triangelns area? Låt oss först undersöka en allmän triangel med sidorna a och b samt mellanliggande vinkeln v. Vi har dragit höjden h, så att vi får två rätvinkliga deltrianglar. Se bilden till vänster.

a V

Titta på den vänstra deltriangeln. b

. h Här gäller att sm v = a

b ·h

Triangelns area A = - 2

h = a · sin v b · a · sin v 2

Om vi känner två sidor samt den mellanliggande vinkeln kan vi bestämma triangels area. Vi kan alltså beräkna arean utan att veta höjden! SLUTSATS:

Gäller formeln även för en trubbvinklig triangel? Se bilden. Vi ritar höjden h och bestämmer sin(180° - v). . h s1n(180° -v) = ~ h = a · sin (180° - v)

h

a

~80° -

C] ____ ,__.2.._v_ _ _ _ ____,,_ Eftersom sin(180° - v) = sin v kan vi skriva att h = a · sin v b Vi får alltså samma uttryck som vi fick i den första triangeln. Areasatsen gäller alltså för alla trianglar.

O

SATS: Areasatsen a

a ·b ·sin v Arean A = - - 2

1.4 TRIANGELSATSERNA

V

b

KA~

(cm)

Bestäm triangelns area. 4, 1

3,8 · 4,1 · sin46°

Areasatsen ger A = - - - - - 2

46° 3,8

A ::::: 5,6 SVAR:

Arean är 5,6 cm2•

I en triangel är två sidor 5 cm och 6 cm. Hur stor är den mellanliggande vinkeln om triangelns area är 7,5 cm2?

(cm)

5

6

Vi använder areasatsen och får ekvationen 5 · 6 · Sin V ---=7,5 2 15 · sin v = 7,5

.

7,5

smv=15

sin v = 0,5 V=

30°

Ekvationen sin v V=

=

0,5 har också lösningen

180° - 30° = 150°.

Det finns alltså två trianglar som uppfyller villkoren. Den andra triangeln ser ut som figuren nedan:

5

,-----._150° 6

SVAR:

Den mellanliggande vinkeln är 30° eller 150°.

TRIGONOMETRI

L1

KA~

1401

_L1

Beräkna arean av trianglarna. Sidorna är givna i meter. Avrunda svaren till två värdesiffror.

b)

a)

45°

c)

4,0 2,5

120°

35° 3,2

1402

1403

1405

57° 3,0

11 ,5

1410

Beräkna arean av en triangel där två sidor är 6,8 cm och 9,5 cm och den mellanliggande vinkeln är 74°.

2

b) 17 cm

2

c) 51 cm

2

2,0

.

E

1411

I en likbent triangel är de lika långa sidorna a enheter långa och den mellanliggande vinkeln ärv. Bestäm ett samband för arean.

1412

Visa att arean A av en liksidig triangel

(m)

12

14 s 2 -fj

g50

med sidan s är A = 17

1406

1407

1408

(cm)

D

I en likbent triangel är de lika sidorna 12 cm vardera. Beräkna triangelns toppvinkel i hela grader om triangelarean är 56 cm2 • Bestäm fyrhörningens area. Se bilden.

Titta på triangeln. Här gäller att BC är en parallelltransversal och AB = 7,0 cm. Beräkna arean av triangeln ABC. A

I en triangel är två sidor 18,5 cm och 5,6 cm. Bestäm den mellanliggande vinkeln i hela grader om triangelns area är a) 24 cm

1404

1409 I en triangel ABC är AB = 5 cm och AC = 10 cm. Hur ska vinkeln A väljas för att triangeln ska få så stor area som möjligt. Förklara hur du tänker.

13

I en triangel är sidorna 12 m, 14 m och 18 m. Triangelns minsta vinkel är 41,8°. Bestäm triangelns area. I en parallellogram är sidorna 7,1 cm och 3,2 cm. En vinkel i parallellogrammen är 115°. Bestäm parallellogrammens area. En parallellogram har sidorna a och b och en vinkel v. Visa att man kan beräkna arean av en parallellogram med sambandet A = a · b · sin v.

1.4 TRIANGELSATSERNA

1413

4

.

a) Bilden visar en regelbunden 6-hörning som är inskriven i en cirkel med radie r. Visa att arean av en n-hörning kan beräknas med sambandet n . 360° 2 A = - · sm ·r 2

n

n . 360° b) Beräkna faktorn - · sin-2 n med 4 decimaler, då n = 50, n = 200 och n = 400. c) Vad händer med faktorns värde, dån blir större och större?

KA~

L1

Sinussatsen Titta på triangeln ABC .

c b

A.__ _ _ _ _ __,B c

Lägg märke till att den motstående sidan till vinkeln A kallas a. Till vinkel B kallas den motstående sidan b. Nu ska vi använda areasatsen och skriva arean på tre sätt.

b · c · sin A 2

a · c · sin B 2

a · b · sin C 2

Vi multiplicerar varje led med 2 och får b · c · sin A = a · c · sin B = a · b · sin C Till sist divideras varje led med a · b · c. sinA

sinB

a

b

sinC

c Dessa samband kallas sinussatsen.

O

SATS: Sinus-satsen

sinA

a

-

sinB

b

b

Kan även skrivas

a

b - -sinA sinB

A L->-------L...> B

Vilken av formlerna i rutan ska vi använda?

När vi ska bestämma en vinkel använder vi helst formeln med "vinkeln i täljaren'', dvs

sinA

sinB

a

b

När vi ska bestämma en sida använder vi formeln med "sidan i täljaren" dvs

a

b

sinA

sinB

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

I triangeln ABC är vinkeln A = 52° och vinkeln B = 39°. Sidan BC är 15 cm. Se figuren. c Bestäm längden av sidan AC i hela cm. b

Sinussatsen ger

b

15

~ b= 15 ·sin39° sin52° sin52°

15

sin39°

SVAR:

(cm)

Sidan AC är 12 cm.

Om vi vet två vinklar och en sida i en triangel kan vi med sinussatsen bestämma de övriga sidorna. Den tredje vinkeln kan vi bestämma med triangelns vinkelsumma.

I nästa exempel vet vi två sidor och en vinkel i en triangel. Exemplet visar hur de övriga vinklarna kan bestämmas.

B

I triangeln ABC är BC = 18 cm och AC = 15 cm. Vinkeln A = 52°. Beräkna vinklarna B och C i hela grader.

sinB 15

sin52°

---

~

. B

Sln

18

15 · sin52°

= ----

18

18

B z 41

52° A~~----~C 15

Nu använder vi triangelns vinkelsumma och beräknar vinkeln C.

c = 180° - 52° - 41 ° = 87° .

Observera att ekvationen smB =

15 · sin52°

18 också har lösningen B = 180° - 41 ° = 139°

Om B = 139° blir C = 180° - 139° - 52° < O Vinkeln B kan alltså inte vara 139°. Det är en falsk lösning! SVAR:

1.4 TRIANGELSATSERNA

B z 41 ° och C z 87°.

KA~

L1

När sinussatsen används för att bestämma en vinkel, får vi alltid två lösningar. Båda dessa lösningar måste kontrolleras, så att vi vet om lösningen är korrekt eller falsk.

Att en lösning är falsk kan ibland avslöjas genom att t riangelns vinkelsumma inte stämmer.

I en triangel ABC är sid an AC 17 cm och sidan BC 13 cm. Vinkeln A är 43°. Bestäm vinklarna B och C. Svara i hela grader.

B

Vi börjar med att rita triangeln.

(cm)

Sinussatsen ger: sinB

sin43°

17

13

. B

17·sin43° = ---13

Sill

43° A~-----~ C 17

B ""' 63°

c = 180° -

43°- 63° = 74°

eller B

B = 180° - 63° = 117°

c = 180° - 43°-

117° = 20°

Här får vi två lösningar! Se bilden.

SVAR:

(cm) B -., ___ 13

A

43°

---

'

17

B = 63°och C = 74° eller B = 117° och C = 20°

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

Om följande två villkor gäller, blir det 2 fall med sinussatsen: 1) Du vet två sidor och en motstående vinkel som är spetsig. 2) Sidan som står mot vinkeln (här 13) är kortare än den andra sidan, men längre än höjden h. Här gäller alltså h < BC < AC B

-'

'

'

''

' ''

-

''

,' B-'

''' h ', -- ..... -.. 13 ', '' ... ... ... .. ''

Här är sidan AB okänd. Vi placerar ett "gångjärn .. i C och vrider sedan sidan BC tills vi får nästa fall.

0 --' - '' 43 AL.......L...:..-=-~~~~--~--~' C 17

1414

Best äm t riangelsidornas längder. Mått i m et er. a)

1416

Bestäm triangelns area. Mått i meter. b)

a)

b)

8

9 ,0°

105°

1417

I en trian gel ABC är sidan A B = 21 cm och sidan BC = 28 cm . Vinkeln A = 7 1°. Bestäm triangelns övriga vinklar.

1418

En parallellogram h ar sidorna 88 m och 54 m . En av vinklarna är 44°. Beräkna p arallellogramn1ens area.

1419

I en triangel är två sidor 132 m och 185 m. Den vinkel som står mot den m indre av sidorna är 36,5°. Beräkna triangelns övriga vinklar med en decimal.

15,0

Bestäm t riangelns övriga vinklar. Mått i meter. a)

62

50°

56,0°

1415

35°

b) 27 115°

24

1.4 TR IAN GELSATSERNA

KA~

1420

Beräkna sidan BC i fyrhörningen ABCD.

1425

(m)

''

D

1421

1422

4,0

L1

I triangeln ABC är A = 26°, B = 43° och AB= 16 cm. Hur lång är höjden mot sidan AB?

1426 Titta på triangeln ABC. Här gäller .............. '

''

att vinkeln A och sidan AB är givna, men sidan BC kan variera. Ange ett villkor för sidan BC, så att sinussatsen kommer att ge

'

c 2

En triangel har arean 75,5 cm • Två av sidorna är 18 cm och 15 cm. Bestäm den mellanliggande vinkeln i hela grader.

a) två svar

c

I triangeln ABC är AC = 21 cm och BC = 16 cm. Vinkeln A = 35°. Beräkna triangelns area.

1424

I en triangel ABC är BC = 4 cm och AC = 5 cn1. Vinkeln A = 50°. Rita en figur och beräkna sedan vinklarna B och C. Svara i hela grader.

a

b

En trubbvinklig triangel har sidorna 30 cm, 19 cm och 13 cm. Den minsta vinkeln är 17°. Bestäm triangelns största vinkel. Svara i hela grader.

1423

b) ett svar.

A"'--------> B

c

1427

Triangeln ABC är inskriven i en cirkel som har radien R. sinA 1 Visa att - - a 2R

c

• A

a

~ ----J,

B

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

Sinussatsen Här behöver du en passare, linjal och gradskiva.

1 Rita början av en triangel genom att rita en streckad vågrät linje samt sidan AB = 8 cm där vinkeln v = 30° enligt figuren nedan. 2 Ställ in din passare på 6 cm (BC = 6 cm). Placera passarens spets i punkten B och markera sedan punkterna C 1 och C2 med passaren. På detta sätt konstruerar du de två fall som är möjliga. 8

AB= 8 cm '

'' '

30° ,' --------- ------------A __ ', V= ________________

C2

C1

3 Mät triangelns vinklar C 1 och C2 samt sträckorna AC1 och AC2 • Använd sinussatsen för att beräkna vinklarna C 1 och C2 samt sträckorna AC1 och AC2 . Jämför med dina uppmätta värden.

4 Rita nu en ny triangel med AB = 8 cm, A = 30° men med BC = 4 cm. Använd passaren för att konstruera triangeln. Blir det två fall även denna gång?

5 Mät vinkeln C och sträckan AC. Beräkna sedan vinkeln C samt sträckan AC med sinussatsen. Jämför med dina uppmätta värden. 6 Rita en ny triangel där AB = 8 cm och A = 30°, men nu med BC = 10 cm. Använd passaren och undersök om det blir ett eller två fall?

7 Hur lång blir AC? 8 För de trianglar som du har konstruerat, gäller att sidan AB = 8 cm och vinkeln v = 30°. Hur ska triangeln se ut för att du ska få 2 lösningar? Formulera villkor för längden på sidan BC så att det blir två fall.

1.4 TRIANGELSATSERNA

KA~

L1

Cosinussatsen En lantmätare har mätt upp sträckorna AB och AC samt vinkeln A enligt bilden. I det här avsnittet ska vi visa hur lantmätaren utifrån dessa mätningar kan beräkna sträckan BC. A 42°

~~~---c A 67 rn

Vi utgår alltså från en triangel där vi känner två sidor a och b samt den mellanliggande vinkeln v. Lägg speciellt märke till att triangeln inte är rätvinklig.

a V

b

a V

h

I nästa bild har vi dragit höjden h mot sidan b. Sidan b delas nu av höjden i delarna x och (b - x). Se bilden. På detta sätt har vi nu fått två små rätvinkliga trianglar.

Vi ska nu använda Pythagoras sats i de två rätvinkliga trianglarna.

X

b

Den blå triangeln ger: h2 + x2 = a2 Den vita triangeln ger: h2 + (b - x) 2 = c2 h2 + b2 - 2bx + x 2 = c2 h2 + x2 = c2 - b2 + 2bx Nu sammanför vi de båda uttrycken för h2 + x 2 och får att a2 = c2 - b2 + 2bx Om vi löser ut c2 får vi c2 = a2 + b2 - 2bx X

Titta på den blå triangeln igen! Här gäller att cosv = - ==> x a Vi sätter in uttrycket för x i formeln och får då c2 = a2 + b2 - 2b · a cos v c2 = a2 + b2 - 2ab · cos v

O

= a · cos v

Detta kallas cosinussatsen!

SATS: Cosinus-satsen B c

c 2 =a 2 + b2 - 2ab · cos C

c

b

A

Cosinussatsen kan formuleras på ytterligare två sätt nämligen: 2 2 2 a = b + c - 2bc · cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac · cos B

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

Beräkna längden av sidan BC.

B

a

Cosinussatsen ger 2 2 2 a = 67 + 35 - 2 · 67 · 35 · cos 42° a2 ~ 2228,65. . . a ~ 47 SVAR:

"JY)~

:::Sft~-l~~----

c

0

A

I,.7..

,,::.

b7 f(\

BC är 47 m

c Sidorna i en triangel är 42 cm, 53 cm och 78 cm. Bestäm triangelns vinklar.

42

78

Cosinussatsen ger 2

2

2

53 = 42 + 78 - 2 · 42 · 78 · cosA 2 2 2 2 · 42 · 78 cos A = 42 + 78 - 53 2

42 + 78

2

-

53

2

cosA = - - - - - 2 · 42 · 78

A

~

40° (39,7)

Nu kan vi antingen använda sinussatsen eller cosinussatsen för att bestämma vinkeln B. För att få lite extra träning på cosinussatsen, väljer vi den! 2

2

2

42 = 78 + 53 B ~ 30° (30,4)

-

2 · 78 · 53 cosB

Nu återstår endast vinkeln C. Prova gärna att använda cosinussatsen ännu en gång! Här väljer vi det enklare alternativet med vinkelsumman!

c = 180° - 40° - 30° = 110° c = 110°

SVAR:

Vinklarna är 40°, 30° och 110°.

Cosinussatsen används då: 1) Vi vet två sidor och mellanliggande vinkel, och ska bestämma den tredje sidan. 2) Vi vet alla tre sidorna, och ska bestämma en vinkel.

1.4 TRIANGELSATSERNA

KA~

1428

Beräkna sidan x.

a)

1433

En triangel har sidorna 5 cm, 6 cm och 7 cm. Beräkna triangelns area. Svara i hela cm2 •

1434

I triangeln ABC är AC = 25 m och BC = 19 m vinkeln A = 37°. Beräkna längden av sidan AB i hela meter med hjälp av a) cosinus-satsen

(m)

12

L1

X

40° 15

b)

(m}

b) sinus-satsen. X

1429

1435

LEDNING:

Beräkna triangelns vinklar med en decimals noggrannhet.

a)

B

Beräkna fyrhörningens vinkel v. Dra diagonalen AC. (m)

B~_1_2_~c

5,0

(m)

A

35,0

17

30,0 16

A~----~c 40,0

V

D

B

b)

(m)

1436

I en parallellogram är två sidor och mellanliggande vinkel 12 mm, 19 mm och 52°. a) Beräkna vardera diagonalens längd. b) Bestäm den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.

1430

Två krafter P 1 och P2 kan sättas samman till en resulterande kraft R enligt figuren neda11. Bestäm R.

1437

Två krafter P1 = 25 N och P2 = 15 N har samma angreppspunkt. Vilken är vinkeln mellan P1 och P2 då den resulterande kraften blir 35 N?

F2 = 41 N

F1 = 55 N 125~.---•

1438

Bilden visar ett likbent parallelltrapets. Beräkna diagonalens längd.

1431

Tänk dig en stork vars näbb är 26 cm lång. Hur bred matbit kan storken plocka upp, om gapet öppnas med vinkeln 41 °?

11

1432

Beräkna den största vinkeln i en triangel vars sidor är 4 cm, 5 cm och 6 cm. Svara i hela grader.

27

(m)

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

1439 Titta på triangeln. Med cosinus-

1440

I en triangel förhåller sig sidorna som 5:12:13. Beräkna triangelns vinklar. Svara i hela grader.

1441

En fyrhörning ABCD har sidorna AB = 6 cm, BC = 5 cm, CD = 5 cm och DA = 4 cm. 1 + 25cosC a) Visa att cosA = - - - -

satsen kan du bestämma sidan c om du vet a, b och v. a

c

V

b

Skriv cosinussatsen för triangeln och diskutera följande:

24

b) Bestäm ett exakt värde på cos A då fyrhörningen är inskriven i en cirkel.

a) Då vinkel v = 90° blir cosinussatsen en annan känd sats. Vilken? b) Vilket värde närmar sig sidan c då vinkeln v närmar sig noll. c) Vilket värde närmar sig sidan c då vinkeln v närmar sig 180°.

Problemlösning Här följer problem som du kan lösa med hjälp av kapitlets geometrilagar. Följ dessa punkter då du löser problemen. • Rita tydlig figur och inför variabler. • Välj metod, t ex sinus-satsen eller cosinus-satsen. • Reflektera över ditt svar! Kan det finnas flera lösningar?

1442

Ett område ABCD har mått enligt figuren. c \. 54 m

'

85° '

',,,

50 m

1340 m2 ',, A

62 m

1443

I en triangel ABC dras från Ben linje BP så att P ligger på sidan AC.

I triangeln gäller följande: AP= 27 mm, BP = 30 mm, BC = 82 mm och vinkel APB = 76°. Beräkna med tre värdesiffror

a) Beräkna den spetsiga vinkeln A.

a) sträckan AB

b) Beräkna längden av diagonalen BD. Svara med tre värdesiffror.

c) sträckan PC

c) Hur stor area har triangeln BCD? Svara med en värdesiffra.

1.4 TRIANGELSATSERNA

b) vinkeln C

d) arean av triangeln ABC.

KA~

1444 Över dörren till en butik sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med längden 1,0 m. Butiksägaren ska flytta stagets väggfäste så att flaggstången bildar vinkeln v = 30° med väggen. Väggfästet placeras rakt ovanför punkten P. Bestäm avståndet mellan P och väggfästets nya läge. (Np Ma D Vt 2002) (m)

1.0 väggfäste -+----> ~

p

1445

2

1446

I en triangel med arean 56 cm är summan av två sidor 36 cm och den mellanliggande vinkeln är 30°. Hur stor är triangelns största vinkel? Svara i hela grader.

1447

I härledningen av cosinussatsen utgår vi från en triangel där höjden befinner sig inuti triangeln. I en trubbvinklig triangel finns ibland höjden utanför triangeln. Visa att cosinussatsen gäller även då höjden ligger utanför triangeln.

.,.

Daniel och Linda tittar på en lägenhet. 2 Enligt uppgift är vardagsrummet 31,2 m • De vill kontrollera om detta stämmer och mäter väggarna och ritar en skiss över rummet. De vet att ett hörn i rummet är rätvinkligt. Så här ser deras skiss ut. Vilken area har vardagsrummet enligt Daniels och Lindas skiss? (Np Ma D 2005)

' 1·

6,08 _J

5, 25 ,,'

,, ' '

,'

,'

,' ' ''

~ ,1 Il

,

6,02

,' ,,

'

4,50

L1

I

I I

I )

"

TRIGONOMETRI

.. VILKEN AR KURVAN? Här ska du undersöka ekvationer av typen x 2 + y 2 = a2 där a är en konstant. Vilka lösningar har ekvationen x 2 + y2 = 52? Eftersom 32 + 42 = 25 = 52 , vet vi att x = 3 och y = 4 är en lösning till ekvationen. En annan lösning är x = 0 och y = 5. Båda dessa lösningar har markerats i koordinatsystemet. •

y

L

a-

(0 5'

(3 4'

I

~

2 ''

-)

,-

-'r

-

- - 2 - 1_, )

X

'

I

' c

'

I

~

~ ~

-4

r

6

1 Bestäm ytterligare punkter som är lösningar till ekvationen x2 + y = 5 För varje punkt väljer du ett x-värde och beräknar y-värdet. Du bör hitta minst 5 punkter i varje kvadrant. 2

2 Rita punkterna i ett koordinatsystem. Formulera en slutsats.

3 Beskriv kurvan för det allmänna fallet x 2 + y2 = a 2

Du ska nu göra samma undersökning för en ekvation på formen (x -x0) 2 + (y - y 0 ) 2 = a2 där a, x 0 och y 0 är konstanter. 4

Hitta punkter som är lösningar till ekvationen (x - 2) 2 + (y - 1)2 = 52 . Minst 5 punkter i varje kvadrant!

5 Rita alla punktena i ett koordinatsystem och formulera en slutsats. 6

Beskriv grafen för det allmä11na fallet (x - x0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 = a2 •

1.4 TRIANGELSATSERNA

2 •

KA~

L1

1.5 CIRKELNS EKVATION I avsnittet Upptäck & visa, har du redan upptäckt att de punkter som tillhör en ekvation av typen (x -x0) 2 + (y- y0 ) 2 = a2 ger en cirkel. Vi ska strax bevisa detta. ••

• • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •

Vet du hur m an definierar begreppet cirkel?

O

DEFINITION: Cirkel

En cirkel är mängd en av de punkter i planet vilkas avstånd till en given punkt A är konstant och lika med r. Punkten A är cirkelns medelpunkt och avstånd et r är cirkelns radie.

O

SATS: Cirkelns ekvation

En cirkel med radien r och medelpunkten (x0 , y0) har ekvationen (x -x0} 2 + (y - y0)2 = r2 Ett specialfall är cirkeln med mittpunkten i origo vars ekvation är x 2 + y 2 = r2

Nu härleder vi cirkelns ekvation:

AY (x, y)

r

y X ~-1~ ~ ~ -- -----'-x_w_--1- >

Vi börjar m ed specialfallet där cirkelns centrum ligger i origo. Här ger Pythagoras sats att x 2 + y2 = r 2 I figuren nedan ser vi det allmänna fallet med en cirkel som har radien r och medelpunkten i (x0, y 0 ). Punkten (x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand . y

Pythagoras sats ger oss att (x - xo)2 + (y - Yo)2 = r2

(x, y)

y-yo

1-

X

1

TRIGO NOMETRI

Vi utgår från en cirkel som har ekvationen 36 = (x - 2) 2 + (y + 3)2 . a) Ange koordinaterna för cirkelns medelpunkt samt cirkelns radie. Medelpunkten ligger i (2, -3) eftersom 36 = (x - 2)2 + (y - (-3))2 Radien = 56 = 6 SVAR:

Medelpunkten är (2, -3). Radien är 6 le.

b) Undersök om (2, 3) ligger på cirkelns rand. Vi kontrollerar genom att ersätta x och y med koordinaterna (2, 3). HL = (2 - 2) 2 + (3 + 3)2 = 0 2 + 62 = 36 HL= VL SVAR:

Ja, (2, 3) ligger på cirkelns rand.

c) Var skär cirkeln y-axeln? Cirkeln skär y-axeln då x = 0 vilket ger 36 = (O - 2)2 + (y + 3)2 2 36 = 4 + y + 6y + 9 2 y + 6y- 23 = 0 y=-3+ J 32 +23

y=-3+.fn ==> SVAR:

Y1 ~ 2,7 Y2 ~ -8,7

Cirkeln skär y-axeln då y

~

2,7 eller y

2

En cirkel har ekvationen 68 = x - 4x + y Bestäm cirkelns radie och medelpunkt. 2

2

~

-8,7

6y.

-

2

2

För att kunna skriva på formen r = (x - x0 + (y - y 0 måste vi kvadratkomplettera både för x och y. )

4x Här saknas 22 eftersom x 2 - 4x + 2 2 = (x - 2) 2 Vi kompletterar med kvadraten på halva koefficienten för x.

x

2

)

-

y2 - 6y

Här adderar vi 32 eftersom y 2 - 6y + 32 = (y - 3) 2 .

Vi får alltså följande: 68 + 2 2 + 32 = x 2 - 4x + 22 + y 2 - 6y + 32 2 2 81 = (x - 2) + (y - 3) ./si.= 9 SVAR:

1.5 CIRKELNS EKVATION

Cirkelns medelpunkt är (2, 3) och radien är 9.

KA~

1501

Skriv ekvationen för en cirkel med

1506

a) radien 5 och medelpunkten i origo b) radien 6 och medelpunkten i (2, 3) c) radien 3 och medelpunkten i (-2, 3) d) diametern 14 och medelpunkten i (-5, -2) 1502

Ange medelpunkt och radie för en cirkel vars ekvation är 81 = (x - 4) 2 + (y + 5) 2

1503

Ligger punkten (2, 1) på en cirkel med radie 3 och medelpunkt i ( - 2, 0)?

1504

Ange tre punkter som ligger på den cirkel vars ekvation är 16 = (x - 2)2 + (y - 3) 2

1505

En cirkel beskrivs av ekvationen 25 = (x - 1) 2 + (y + 2) 2

Cirkeln som har ekvationen 2 2 64 = x 4x + 4 + y + 6y + 9 skär y-axeln i två pu11kter. Bestäm avståndet mellan dessa punkter. Svara med tre värdesiffror.

1507 Utgå från cirkeln 81 = (x - 3) 2 + (y - 4) 2 • Bestäm konstanten a så att linjen y = a skär cirkeln i två punkter. Förklara hur du tänker.

1508

På en cirkels rand finns punkten (1, 0). Cirkelns medelpunkt är (3, 5). Bestäm cirkelns ekvation.

1509

För en viss cirkel kan ekvationen skrivas 32 = x 2 + 2x + y 2 - By. Vilken är cirkelns radie och medelpunkt?

1510

Bestäm de punkter där linjen y = 2x - 1 skär cirkeln 49 = (x - 2) 2 + (y - 3) 2 •

a) Bestäm y-koordinaten för cirkelns skärning med y-axeln. b) Bestän1 x-koordinaten för cirkelns skärning med x-axeln.

L1

TANKENÖT2 I en matematisk exempelsamling från 500-talet omnämns den grekiske matematikern Diofantos i ett av exemplen: "Diofantos tillbragte en sjättedel av sitt liv i barndom, en tolftedel i ungdom och ytterligare en sjundedel som ungkarl. Fem år efter hans giftermål föddes en son, som dog fyra år före sin far, hälften så gammat som fadern slutligen blev... Hur gammat blev Diofantos?

TRIGONOMETRI

KA~

_L1

Rita en cirkel på parameterform Titta på bilden . Cirkelns m edelp unkt har koordinaterna (a, b). Den m arkerade vinkeln i t riangeln är t. y (x. y)

r (a,b)

b-

r in t t

r cos t

X

a

Vi ska skriva punkten (x, y) som en funktion av vinkeln t. Här gäller att x

= a + r · cos t och y = b + r · sin t

Variabeln t, där O < t < 360, kallas en parameter. Antag att en cirkel som har ekvationen (x - 2) 2 + (y + 3)2 = 36 ska skrivas på parameterform. Från ekvationen ser vi att medelpunkten är (2, - 3) ~ a = 2 och b = - 3. Vi ser också att radien r = 56 = 6 D etta ger: x

=

2 + 6 cos t och y = -3 + 6 sin t

D essa koordinater x och y ger oss alla p unkter på cirkeln. Man säger att vi har skrivit cirkelns ekvation på param eterform. Parameterform betyder att vi har 2 ekvationer där den ena beskriver x-koordinaten och den andra beskriver y-koordi11aten för alla punkter på kurvan . I båd a ekvationerna finns en gem ensam variabel, som kallas parameter. För cirkeln i bilden ovan, är alltså parametern = vinkeln t.

O

SATS: Cirkelns ekvation på parameterform

En punkt (x, y) som ligger på en cirkel med radien r och medelpunkten (a, b) kan beskrivas med ekvationerna

x = a + r · cos t och y = b + r · sin t där tär en parameter, i detta fall en vinkel mellan 0° och 360°.

1.5 CIRKELNS EKVATI ON

KA~

L1

1 Börja med att ställa in räknaren på parameterform, så att du

växlar från Func till Par. Sci Eng iit,SN01234s6789 Radian I·, · · Func •. Pol Seq c , • ·, Dot Sequ • • Simul Rea a+bi, reA8i Full Horiz G-T

2 Sätt Tmax = 360 och ställ in fönstret så att - 15 < x < 15 och -10 < y 2 där n är ett positivt heltal. Då n = 2 känner vi igen ekvationen som Pythagoras sats x2 + y2 = i2 Till Pythagoras sats finns det många heltalslösningar, t ex lösningen med x = 3, y = 4 och z = 5. Fermats sats säger alltså att det inte finns någon lösning med heltal, till ekvationer av typen x3 + y 3 = z3 eller x4 + y4 = z4 .

Pierre de Fermat (ovan). Den stora bilden visar den brittiske matematikern Andrew Wiles. Högst upp finns tjeckiska frimärken som hyllar de båda matematikerna.

Enligt historien skrev Fermat år 1637 en anteckning i marginalen av ett exemplar av Diofantos bok Arithmetica: "Jag har ett i sanning underbart bevis för detta påstående, men marginalen är alltför trång för att rymma detsamma:' Fermats bevis har dock aldrig hittats, och man antar att han aldrig hade något sådant.

I mer än 350 år har världens främsta matematiker försökt att bevisa Fermats sats. Först år 1995 lyckade Andrew Wiles. Beviset är mycket omfattande och kan omöjligt vara det bevis som Fermat hänvisade till, bl a eftersom Wiles bevis innehåller matematik som inte var känd på Fermats tid.

ALGEBRA

2.1 REPETITION Det här korta repetitionsavsnittet handlar om potenser, algebra, ekvationer och faktorisering.

Potenser exponent

Potensen 45 betyder "produkten av 5 stycken 4:or" 45 = 4. 4. 4. 4. 4. Här gäller att talet 4 är bas och talet 5 är exponent.

bas

23 • 22 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 25 2·2 ·2·2·2 3 -2= =2 2 2·2

X

a

x- y

- =a aY

(2 . 5)3 = 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 = 23 • 53

,- ,.

r--:-

-va ·....;b =va ·b

r;: ,-;:-;::. I r:::-: vJ ·~12 = -v3 ·12 = v36 = 6

fi9 7 9 = ./9 =3 49

a 0 = 1 där a ;i:: 0 -n

1

a = - där a ;i:: 0 an

2° = 1 och 10° = 1 1 10-3 = 10 3 1

92

m ( 1 )m

an= an

2.1 REPETITION

=V9=i9 =3 3

32

(

4 = 4

21 )

=23 = 8

1 -

3 '-

73 = '1/7

Förenkla utan räknare. a) x 3 • x-2 = x 3 + •

-

0\

"',,

. )

,2 m

-"' . "Cl

I

,.

VVij

wv.

1nf\l

m

V,

;c

"'"'z )>

7,

C. .f'\

~V\

~ ~

-

Här ser du några av de nya sedlar som kommer att tas i bruk hösten 2015.

ALGEBRA

2.3 RATIONELLA UTTRYCK Det här avsnittet handlar om rationella uttryck. Med ett rationellt 2 uttryck menas kvoten eller förhållandet mellan två polynom, t ex x . 3 I engelskan betyder ratio förhållande. x+

Förkorta rationella uttryck

O

DEFINITION: Rationellt uttryck

x 2 +5x Kvoten mellan tva polynom som t ex - 1 är ett rati onellt uttryc k. xo

Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med 0.

a) Vilket värde kan x inte ha i uttrycket

2

x-8

?

Nämnaren får ej vara noll, dvs x - 8 :t= 0 v ilket ger x :t= 8. Tecknet :t= utläses "är ej lika med" eller "är skilt frå n". SVAR: X:1=

8

b) För vilka värden på x är uttrycket

x+ l X

2

-6X

ej definierat?

x2 - 6x får inte vara noll. Vi löser ekvationen x 2 - 6x = 0 med faktorise ring. x(x - 6) = 0 ger x 1 = 0 SVA R :

2.3 RATIONELLA UT TRYCK

x2 = 6

Ej definierat för x

=

0 eller x

=

6

15xy a) Förenkla 3xy

2

Om täljare och nämnare faktoriseras ser vi lättare hur vi kan förkorta. 1

2

l

I

15xy 3 ·5 ·t · j ·y -~ = =Sy 3xy 3· y I

x· I

SVAR:

Sy

I

2

12x y

b) Förenkla

8xy

3

l

2

I

I

12x y _ 4· 3 · .t· x · y _ 3x 8xy

3

4· 2 · .t· y· y · y l

I

2y

2

3x SVAR:

2y2

I

4a+a

Förenkla uttrycket

2

a

Innan vi kan förkorta måste vi faktorisera täljaren. Vi får bara förkorta faktorer! 2

1

4a + a r/l· ( 4 + a) --- = =4+a

a

SVAR: 4

r/J

+a

1

Förenkla uttrycken. a)

5x+35

10x+25

--

b)

x+3

,5 · (2x + 5)

--

x+7

x+7 2x+5

SVAR:

2x+5

I

2

3x + 9x

$·(x+7)

--

3x·(~)

(.x---Y3')

=3x

SVAR:

3x

l

ALGEBRA

2301

Vilket värde får x inte ha i följande uttryck? 1 X 6 a) b) c)

x- 5

2302

6a 2 + 6ab c) a2 b+ ab2

x+2

Vilka av uttrycken är inte definierade för x = 3? a)

2303

2x-3

2311

2x x+3

b)

x-3

2312

c)

2x - 6

c)

c)

2313

6x b) (x- 3)(x + 2)

2x+l

5a-5b b) 10a 2 -lOab 2

För vilket/vilka värden är uttrycket ej definierat? a)

ab 2 a) ab 2 + a2b

X

X

3+x

2xy-4y 2 b) x 2 -2xy

4x a) 4x 2 -8x

a)

9(2x - 3) (3x + 1) 2

12( 3x + 1) ( 2x - 3) 8(3x + 5)

2

2

b)

12(3x +5)

18x + 9x

l2x 3 + 6x 2

2

(4x- 8)(2x + 5) c) 2 ( 4x + IO)(x -2)

x+ l

x 2 -9x

2314 Vilket fel görs i följande 2304 Skriv ett rationellt uttryck som inte är

förenkling? Förklara.

definierat för a)

X=

6

b)

X=

c)

0

X=

12a- 3b --- =

+5

3a

Förenkla följande rationella uttryck.

2305

a)

15x

2

Sx 6x2y3

2306

2307

a)

3xy

4

3xy b) xy

2

a(2a+b) a) a

2315

Finns det rationella uttryck som är definierade för alla tal? Förklara i så fall med exempel hur ett sådant uttryck kan se ut.

2316

Ge exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 2 och som har värdet 6 då x = 4.

2317

En tank som innehåller vatten har sprungit läck. Den volym V liter som finns kvar i t anken efter t minuter kan beräknas med V(t) = 0,15f - 12t + 400.

Bx(x-1) c) 2(x -1)

5a 2 b b) 15ab

p 4r2t3 c)

b)

pr4t3

.i ·(4a - b) 4,(i - b = =4-b .i ·a ;i

2x(y+3) y(y+ 3)

2

c)

2308

2309

2310

4x (x-5)

2x(x - 5)

3x - 6 a) x-2

2x+6 b) x+3

ab+b a) b

2xy+2x b) 2x

a)

2x 2 -4x x-2

b)

3xy-6y 3(x- 2)

2.3 RATIONE LLA UTTRYCK

c)

c)

5x+ l 5 5

a) Ställ upp en formel, G(t), för den genomsnittliga utströmningshastigheten under de t första mi11uterna.

x 2 -xy X 2

a b+ ab c) a+b

2

b) Beräkna G(6) och tolka resultatet.

2318

I en park ska man anlägga ett område vars totala area är 1800 m 2• Området ska bestå av en gräsplan som omges av asfalterade gångar enligt figuren.

A

y

5. s v AR: x < 2 eller x > 5

ALGEBRA

Vi fortsätter med ännu ett praktiskt exempel. Figuren nedan visar hur vinsterna för två företag A och B varierar. Mkr A vinst

B

5 4

/

3

.J

/

2

......

V I

!",,

/

'\.

"'

J\

\

1

~

I

),

I

2004

0

2009

ar

Från figuren ser vi följande: 0

Ar 2004 har de två företagen lika stora vinster. Även år 2009 är vinsterna lika stora. Ar 2004- 2009 har företag A större vinst än företag B. Före år 2004 och efter år 2009 har A mindre vinst än B. 0

Nu tänker vi oss ett mer teoretiskt exempel) där vi betecknar axlarna med x och y. Den räta linjen kallar vi fortfarande B och kurvan kallar vi A. Se nästa exempel.

Vi ska använda graferna A och B när vi löser några olikheter. B

·Y ,,. /

'

1 -+--+--+--+--+--+---+---+---+---+---+---+--+-~

X ),,

4

9

a) Lös olikheten A > B Vi finner lösningen till den här olikheten där kurvan A ligger ovanför linjen B. Detta gäller för x-värden mellan 4 och 9. SVAR:

4 9. s v AR: x < 4 eller x > 9

2.4 EKVATIONER OCH OLIKHETER

2

Vi ska använda grafen till y = 4x - x och lösa några olikheter.

a) Lös olikheten 4x - x 2 < 3

2

Då 4x - x är mindre än 3, ligger kurvan y = 4x - x2 under linjen y = 3.

'

/

y, 3

\ ~

1

Vi har markerat de områden där kurvan ligger under linjen. Observera att det blir två intervall.

SVAR:

,y

'

X "

x < 1 eller x > 3

b) Titta på den övre bilden igen. Lös olikheten 4x - x 2 > 3 Observera tecknet "större än eller lika med".

SVAR:l 0

A

2402

Skriv intervallen med olikhetstecken. a) x ligger mellan 1 och 8 b) x är mindre än O eller större än 3 c) x är större än 5 och mindre än 10

2406

I koordinatsystemet finns graferna till 2

y = x + 2x - 3 och y = x - 1 y

d) x är mindre än eller lika med O 2403

Grafen visar funktionen y = a) Lös olikheten x

2

b) Lös olikheten x

2

Y! -

-

4x < 0

-

4x > 0

4x

.

1

/.

\

\

~y

/ /

y = x 2 - 4x X ,

\ I

\

I

VI~

V J

tG

I

Använd graferna och lös följande olikheter. a) x 2 + 2x - 3 < 0

\_ /

2

b) x + 2x - 3 < x - 1

c) x 2 + 2x - 3 > 0 2404

Grafen visar hur ett företags resultat R varierar med tiden t. Mkr

R

2

4

6

För vilka t gäller följande? a) R > 0

b) R < 0

2.4 EKVATIONER OCH OLIKHETER

d) x 2 + 2x - 3 > x - 1 e) x - 1 - 4

ALGEBRA

!W:l

~

I

y

Figuren visar grafen tillf(x) = 4x - x

2

/

•

\

J

Observera att grafen är ritad i ett begränsat intervall. Grafen slutar med en fylld ring och en ofylld ring.

I

1

'

a) Definitionsmängden, dvs de tillåtna x-värdena är följande: -1 < x < 3

X

-

y= f(x,

b) Värdemängden: -5 < y < 4

2409

Titta på grafen till funktionen y = f(x).

2411

b) Vilka är funktionens nollställen?

I/ ' \

I

Y! - 7x + 12

a) Bestäm f (-1)

"Y

\

J

Utgå från funktionen f (x) =

1

2412

1 X

)lo

En funktion y = f(x) är avbildad i koordinatsystemet. Lös följande uppgifter med hjälp av grafen. a) Bestäm nollställen till f(x) b) Lös olikhetenf(x) < 0 c) Lös ekvationen f (x) = 3

Ange funktionens

d) Bestäm värdemängden

a) nollställen

b) värdemängd

e) Bestäm definitionsmängden

c) definitionsmängd.

.A.

y

f(x

2410

Grafen visar funktionen y =

Y! - 4x.

/

\

I

a) Lös olikheten y < 0

I

\ 1

\

2

b) Lös ekvationen x - 4x = -4 både grafiskt och algebraiskt.

1

'

I

I

I

y

l

\

\j

c) Lös olikheten y > -3 1

X

_ y= x2 - 4x

I I I

X

.

,'

\ I

\

"

I

/

2413

Bestäm funktionernas nollställen. Graferna ska inte ritas. a) y = 2x(x - 3) c)

2.4 EKVATIONER OCH OLIKHETER

y=

16x - x

3

b) y = x 2 - lOx + 9

2414

I koordinatsystemet finns grafen till f (x) = x 2 + 2x + p och den räta linjen g(x) = kx + m.

2416

Lös följande uppgifter med hjälp av grafen till y = g(x). y

a) Bestäm konstanterna p, k och m b) Lös ekvationenf(x) = g(x)

1

X

c) Lös olikheten f(x) > g(x) I

d) Bestäm f(g(2))

I '\1

"'

-

y= g(>)

,y

V l//11

\

\ / / 2415

/ \

Eb

a) Lös ekvationen g(x) = - 2

/

1

J

b) Lös olikheten g(x) > 0

X

Rita grafen till f(x) = 0,5x - 1,5 i samma koordinatsystem

j

I

c) Lös ekvationen f (x) = g(x) d) Lös olikheten f(x) > g(x)

I koordinatsystemet finns grafen till den räta linjen y = g(x) samt andragradsfunktionen y = f(x). a) För vilka x är g(x) > O? b) Är det sant attf(- 1) = f(3)

e) Bestäm f (g(2)) 2417

Grafen visar y = 500 + 40x - x 2 a) Lös olikheten y < 0 b) Lös olikheten y 2:: 800. y

c) Bestäm g(lO) p

d) Bestäm g(f(l))

\T1

y

Q

X

I

I

"" ~ I

~

.

\

\

y = f(,

""j,;I""- I'

I

-

X

"I~ "

'

. (x)

TANKENÖT7 Man utgår från ett tvåsiffrigt positivt tal och sätter en nolla mellan siffrorna. Då bildas ett tresiffrigt tal. Kan detta tal vara 9 gånger så stort , som det tvåsiffriga talet?

ALGEBRA

j

Olikheter med teckenstudium Antag att prognosen för ett företags resultat kan beskrivas med polynomet R(x) = x 2 - Sx + 4

där R = resultat i Mkr och x = antal år efter 2010. Vi beräknar resultatet för några olika år och för in i en värdetabell. Från tabellen ser vi att resultatet är positivt (företaget går med vinst) vissa år, medan det är negativt år 2012 och 2013.

2010 2011 2012 2013 2014 2015

Mkr

4 X

> •ar

Resultat

4 0 -2 -2 0 4

Även från funktionens graf ka.n vi se hur resultatet ändras. När grafen ligger ovanför x-axeln är resultatet positivt. Då grafen ligger under x-axeln är resultatet negativt.

Resultat

1 + O -

0 1 2 3 4 5

x

4 O +

Både tabellen och grafen visar alltså hur resultatet varierar. Nu ska vi använda endast en x-axel för att visa företagets resultat. Först markerar vi funktionens nollställen, dvs 1 och 4. Sedan skriver vi "tecknen'' plus, noll eller minus ( +, 0, - ) för att visa om resultatet är positivt, noll eller negativt. Vi får på detta sätt ett teckenschema som vi kan använda när vi löser olikheter. Låt oss tex lösa olikheten R > 0.

-

1

R

1 4 + 0 - 0 +

t

t

X

Olikheten betyder att resultatet ska vara positivt, dvs R ska vara markerat med +. Lägg märke till att detta gäller för två olika intervall, nämligen före år 1 och efter år 4. Svaret blir x < 1 eller x > 4. Se de gröna intervallen i figuren. Till sist löser vi olikheten R < 0. När är R negativt? Jo, i det intervall som ligger mellan år 1 och år 4. Svaret blir 1 < x < 4.

2.4 EKVATIONER OCH OLIKHETER

•

Vid ett kemiskt experiment kan temperaturen beskrivas med funktionen t = (x - 3)(7 - x) där t = temperaturen i °C och x = antal minuter. Lös olikheten t < 0. Olikheten betyder att vi ska bestämma när temperaturen är negativ. Vi börjar med att bestämma de x som ger temperaturen noll, dvs (x - 3)(7 - x) = 0. x = 3 eller x = 7

Vi markerar dessa nollställen på en tallinje (x-axel). t

3

7

0

0

X

När har vi minusgrader? För att få veta detta, beräknar vi temperaturen före, mellan och efter tidpunkterna x = 3 och x = 7. Observera att vi väljer dessa x-värden fritt. Tex kan vi välja x = 2, x = 5 och x = 8.

x = 2 ger t = (2 - 3)(7 - 2) = (- 1) · 5 = - 5 (minustecken) x = 5 ger t

= (5 -

3)(7 - 5)

= 2 · 2 = 4 (plustecken)

x = 8 ger t = (8 - 3)(7 - 8) = 5 · (-1) = -5 (minustecken) Vi markerar tecknen i teckenschemat.

t

·--,3· 7i • x - 0 + 0 -

Till sist skuggar vi de intervall där t har minusgrader, dvs t < 0. Se teckenschemat. Vi avläser intervallen och får svaret x < 3 eller x > 7. SVAR:

x < 3 eller x > 7.

ALGEBRA

2

Lös olikheten 32 + l2x - 2x > 0 1. Vi bestämmer uttryckets nollställen. 32 + l2x - 2x2 = O x2 - 6x - 16 = 0 X= 3+J9+16 x=3±5 x = 8 eller x = - 2

2. På x-axeln har x = 8 och x = - 2 markerats. Vi bestämmer uttryckets tecken för några lämpliga x-värden. x = 10 ger x = 0 ger+ x = -10 ger -

-2 32 + 12x - 2x 2

-

8

X

0 + 0 -

2

3. Olikheten 32 + 12x - 2x > 0 innebär att uttrycket ska vara större än noll, dvs positivt. Vi markerar i teckenschemat och avläser svaret. SVAR:

- 2 0 2x(x2 - 4) > 0 2x(x + 2)(x - 2) 2:: 0 Motsvarande ekvation har lösningarna x = 0, x = -2 eller x = 2. 2. Vi beräknar värdet av uttrycket 2x3 - 8x för fyra lämpliga x-värden. Tex kan vi välja -2

x = 10, x = 1, x = -1 och x = -10.

2x3 - 8x

0

- 0 + 0 -

20 +

Tecknen markeras i teckenschemat. 3. Olikheten som ska lösas är 2x3 - 8x > 0. Olikheten innebär att uttrycket ska vara större än noll, dvs positivt. Vi skuggar motsvarande intervall och avläser. s v AR: -2 < x < 0 eller x > 2

2.4 EKVATIONER OCH OLIKHETER

X

3

Lös olikheten 4x + 12x < 0 2

Vi faktoriserar och får 4x(x + 3) < 0 Nu bestämmer vi nollställen genom att lösa ekvationen 4x(x2 + 3) = 0 2 4x = 0 ger roten x = 0 x + 3 = 0 saknar reella rötter Ekvationen har alltså bara en rot, nämligen x = 0. Olikheten 4x3 + l 2x < 0 innebär att uttrycket ska vara mindre än noll, dvs negativt. •- - Q

Vi gör ett teckenschema och markerar motsvarande intervall. SVAR:

2425

b) Lös olikheten g(x) < 0

b) (x + 1)(20 - x) > 0 2

2419

a) x(x - 8) < 0

2420

a) x

2421

Här utgår vi från polynomet f(x) = 25x - x 2•

2 -

81 < 0

X - X -

2426

Antag att prognosen för ett företag innebär att resultatet (Mkr) kan bestämmas med formeln R = 24x - x 2 - 80 där x = antal år efter 2010. När kommer företaget att gå med vinst?

2427

Temperaturen y varierar enligt y = 4x2 - 30x + 36 där y = temperaturen i °C och x = antal timmar efter kl. 24.00. Mellan vilka tider är det minusgrader?

2428

Lös olikheterna.

6>0

b) 10 - 3x - x 2 > 0

a) Bestäm nollställen till f(x). b) Lös olikhetenf(x) < 0

Lös olikheterna. 2422 2423 2424

a) 72x2 < 2x4 a) x 4 - 16 < 0 a) lOOx - x3 > 0

Vi har polynomet g(x) = x5 - 4x3 a) Vilka är polynomets nollställen?

a) (x - 2)(x - 10) > 0

b)

4x3 + 12x - 0 +

X< 0

Lös följande olikheter med hjälp av teckenstudium. 2418

X

b) x2 2: x3 b) x 3 + 2x2 + x > 0

b) l Sx - 2x2 - x 3 > O

2

a) 2x3 > 50x 2429

b) x + 56x < x 3

Lös olikheten med avseende på x då konstanten a > 0.

a) x b)

2

2

-

2ax + a > 0 x-a

x 2 - 22ax : X

a2

0

Det gäller alltid att Om

x~

0 så är

x

x

=

Om x < 0 så är

x

=- X

Figuren nedan visar att avståndet från noll till 3 och - 3 är samma.

131=l-31=3 •

I

I

I

I

I

•

-3

-2

-1

0

1

2

3

X •

Talen 3 och - 3 kallas för motsatta tal. Absolutbeloppet av två motsatta tal är alltså lika. Då x = 3 blir lxl= x = 3 Då x = -3 blir lxl= -x = - (-3) = 3 Absolutbelopp används ibland vid räkning med kvadratrötter.

Regel för kvadratrötter

Lägg speciellt märke till då a < 0, t ex a = - 2. Detta ger att

2

) (-2)

2

=l-21=2 men (.J-2 ) = -2

ALGEBRA

Beräkna lal +lbl och

la+ bl

då a = 3 och b = -5

a + bl = 3 + -5

=3 +5 =8 a +b =I3 +(-5) =1-2 =2 MATH •WOOI• CPX PRB

llabs(

Absolutbelopp kan beräknas på räknaren med funktionen abs.

SVAR:

2:round( 3: iPart( 4:fPa rt( 5:int( 6:min( 7.J,max

8 och 2

Lös ekvationen Ix -

21 = 4

Ekvationen har en lösning då x - 2 = 4 Eftersom 1-41= dvsx= - 2 SVAR: xl =

2445

c) 2446 2447

b)

12- sl

d)

(-5)·21

Finns det något tala för vilket Beräkna

4 får vi dessutom lösningen x -

2449

I- si 121-lsl

lxl+IYI och lx+ y

lal < 0?

-4

För vilka reella tal x gäller att

2450

för

c) 2451

Här utgår vi från polynomet f(x) = 25x - x 2•

350?

2.4 EKVATIONER OCH OLIKHETER

b)

lxl=9

För vilka reella tal x gäller att a) Ixl =-1

b) x= -2 ochy= -8

Är det sant att lf(-10)1=

2=

a) lxl=l c) lxl =0?

a) x = -2 och y = 8

2448

=6

6 x2 = - 2

Beräkna

a)

~x

b) Ixl = x

lxl =- x?

Lös ekvationerna. a)

lx+21= 1

b)

lx-11=6

Beräkna utan att använda räknare. 2

2452

a) (

c)

2453

a)

c)

.fi)

b)

J=? ..J=?

(-.fi)2

d) J(-7)

2

2457 Vilket är felet?

2

2

För heltalen a och b gäller att Ial + Ibl = 2 . För vilka a och b är detta möjligt?

2456

3

2

fi = ~ (

b)

3 3 - -

=(-1) 1 = - 1

2

2

d)

Lös följande ekvationer. 2454

a) lx-51=9

2455

a)

2458

b)

2 1)2 = ( (-1)2)11 = (-1)2·1/2 =

11- xl= 2

Förklara varför sambandet Ia + bl < Ial +Ibl måste gälla för alla reella tal.

12-xl= x

TANKENÖTS Axel, Buba och Cilla spelar poker med varandra. Då spelet börjar förhåller sig deras kassor som 6 : 5 : 4. Då de slutar spelet har en av de tre förlorat 60 kr och kassorna förhåller sig nu som 5 : 4 : 3. Hur mycket pengar har de tre tillsammans?

A5 L

Moderna spelkort (hjärter, spader, klöver och ruter) nådde vårt land på 1500-talet.De första svensktillverkade spelkorten är från 1731.

ALGEBRA

Kvadreringsreglerna

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 2

(a - b) = a Konjugatregeln

2

-

2ab + b2

(a + b) (a - b) = a2 - b2 2

Polynom

p(x) = 3x + x - 7 är ett fullständigt poly11om av andra graden.

Faktorisering av polynom

Om ett andragradspolynom p(x) har nollställen x = 2 och x = 5 kan polynomet faktoriseras till p(x) = k · (x - 2)(x - 5) där kär koefficienten framför x2 -termen. Om en produkt = 0 , måste minst en av faktorerna vara noll. (x - 1) · (x + 3) = 0 om x = 1 eller x = -3

Rationellt uttryck

Kvoten av två polynom kallas för rationellt uttryck. x 2 +3x Uttrycket är ej definierat för x = 2. x-2

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett tal är alltid positivt. -3 = 3

Ekvationen Ix - 21 = 4 har två lösningar.

x - 2=4

Bryta ut (-1)

Förenkling genom faktorisering

X -

2= -4

2-

X =

~

x=6

~

X =

-2

-(X -2)

x+3

(x+3)

1

5x+l5

5·(x+3)

5

---=----

x 2 -l0x +25

(x-5)2

x-5

x-5

-----=

=

(x-S)· (x - 5) (x - 5)

=x-5

4x 2 -36 4·(x 2 -9) 4·(x+3)· (x - 3) . ---= = =4(x+3) x-3 x-3 (x - 3)

0

Faktorisera så långt som möjligt.

(D

0

c) 3x4 - 6x2

© ©

a) l-81

b) 6ab+8b

a) 2x - 6

2

a) 1 - x 2

b) x + 6x + 9

Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

©

(as -b-1.s )4

X. X -4,2 . X0 ,3

b)

X - I ,9

13-SI

Förenkla så långt som möjligt. a) 4(3x + 1)(3x - 1) - (4x + 1)(9x - 4)

0

( 3a-2)3(4bo.s )2

Beräkna

och Ia -

= -2 och b = 5

2-x x 2 -25

6x b) x 2 +25

a) f(-2)

b) f(a)

c) f(a2)

d) f(a + h) - f(a)

Lös ekvationerna .

.... y

a)

~

lx - 51 =10

b)

I" \ y = f(

i " \

1\ ""

I~

a)

Förenkla följande uttryck.

J

7

f (x) = g(x)

c) g(x) > 0 e) g(x) = 0 g) Bestäm f(l).

X

),

"'-X=, rx}

€)

"

a)

b)

f) f(x) > 3

®

x 2 -x

(x-1)

x+l

b) f(x) < 0

d) f(x) = 3

för

Utgå från polynomfunktionen f(x) = 2x2 - 3x + 2 och beräkna/förenkla.

I koordinatsystemet finns grafen till den räta linjen y = g(x) samt andragradsfunktionen y = f(x). Lös följande ekvationer och olikheter med hjälp av graferna.

\'-.

bl

För vilka x -värden är följande rationella uttryck ej definierade?

a)

Ge exempel på ett fullständigt fjärdegradspolynom.

Ial - Ibl

a) a = 2 och b = 7 b) a

a4 . b-6

( 6a2b3)3 c)

b)

b) (3x - 2) 2 + (4x - 1)2 - (Sx - 2)2

c) 3 - 12x2

a)

Bestäm

a)

7 1 10 + 2x 3 x-1

Is

3x

2

-X

(x + 3)2 9 -(1 + 2) b) x2 X

17 - xl = 4

e

a)

@

e

Förenkla

1 1 + p2-l p+l

1

b)

x+h

Förenkla så långt som möjligt

1

1

X

b-1

--

Faktorisera så långt som möjligt. 2

a) x + Bx + 15

0

+

2 b+l

3

- -

b

a) För vilka värden på här uttrycket 2

b) 2x3 - 10x2 + 12x

h - h (h 3 - h) inte definierat? h+l

Lös följande olikheter med teckenstudium.

b) Visa att uttrycket alltid är positivt då det är definierat.

a) (x - 4)(x - 1) < 0 2

2

3

b) 9x -6x 6x

Lös ekvationerna.

a) b)

6 3 3 +-=2x X 2 1 2y-l

+

1

1

1+2y

y+2

=0

x +45x + 200 2

x -25

=x

BLANDADE UPPGIFTER 1

För vilket/vilka värden på variabeln x är uttrycket ej definierat? a)

3+x b) ( X

2x+l

-

10 Figuren visar grafen till y = f(x) samt den räta linjen y = g(x).

6x 3)( X + 2)

A.y

y- f(> )

x+l

c)

--

2

x -9x \

\ 1........-

Förenkla följande uttryck.

2

X

a) - + 3 2 1 1 c) - -

3

a)

3a

-X

3x

1

b)

x+l

1

x-1

+

1

x+l

a) x

b) g(x) > 2

c) f(x) = 3

d) f(x) = g(x)

a) l2xl =8

c)

b) lx+9I = 2

12 a) Faktorisera så långt som möjligt.

6

c) 3x

7

2

a) 5x - 10 4

-

b) 4x

-

2x

c)

6x + 12x

2

2

b) 4x + 28x + 49

13 a)

X

c) x · -x +4

c)

8 Förklara varför (1 - x) 4 = (x - 1)4

9

Beräkna lxl

2

X

5X

-ly + x -

a) x = 7 och y = -2 b) x = -1 och y = -5

y då

1

2x

+

b)

6x X

y

2y

14yx

Sy 9a

2

Sb 2

b)

7y

2

12x 3

_2 __ l X 3x

1

5x

5z

2

3

a) 5 - 20x2 3

1

11 a) -+

b) 3(x+5)(x-2)=0

5

>

a) g(x) < 0

8x - 33 = 0

-

'

X

Förenkla följande uttryck.

Lös ekvationerna.

4

V

'

e) f (x) > g(x)

x+l

2

gtA

!.,...--""

/

--" \ ----r-= ......

Lös följande ekvationer och olikheter med hjälp av graferna.

1

c) 1-

/

v

4a

1

2x

1

......

1 1 b) - -

X

X

~

/

4x 2

4x 3y

2

lOz 2

8x 3y2 9a

b)

5x 18y

2

15x 6y2

2

6b 2

14 Dessa två ekvationer kommer från ett fysikprov. Lös ekvationerna och svara med tre värdesiffror. 2

2

a) v = 2,4 + 2 · 9,82 · 12 där v > 0 9 82t 2 b) 15=2t+ ' därt >O

2

ALGEBRA

24 Ge exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 3 och som har värdet 2 då

15 Förklara hur du löser olikheten 2 x - 36 > 0 med teckenstudium.

X=

0.

(Np Ma C Ht 2009)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. 16 a)

1-a 1- a

c)

17 a)

b)

2

X

x 2 +4x +4 x 2 -4

2

25 a)

x 2 -6x+9

x 2 -9

X

2x

-3x

2

2x -12x + 18

b)

4x 2 -1 , 4x- -4x+ l

2

4x - 9y

b)

2

2

4x -6xy

3

c)

Förenkla följande uttryck så långt som m öjligt.

26 a)

a+a a - a5

x 2 -2xy

x -2y 2 2 X -y

x+y 9-a 2

a a + b) 3 4 a a --3 4

(a 2 -6,i+ 9)

2

Lös följande ekvationer.

2

18 a)

3 + x+l

X

b)

10x +4 x+ 1

1

1

1

x- h

X

x-h

b) 4x3 -4x 2 +x=O

27 a) x 3 - 8x2 = - 7x

c) 4x2

12x3 = 0

-

28 a) 8x-

19 Ali tillverkar och säljer smycken. Genomsnittskostnaden G(x) i kr/st kan bestämmas med . 3000 G(x) = + 0,002x + 2,5

c)

1

1- x

29 a) lx -

1

2x

+

y _i=l

b)

=0

y

y -2

1

l+ x

=3

81 = 5

b) l2x - 31= 2

c) 11-xl =x

X

där x = ant al tillverkade smycken. a) Bestäm genomsnittskostnaden då han tillverkar 300 smycken.

b) Hur påverkas genomsnittskostn aden om Ali ökar tillverknin gen från 500 smycken till 1000 smycken?

30 a) För vilka värden på x är uttrycket 4 8 ( ) inte definierat? x- 2 x x-2 4

b) Fören kla möjligt.

X -

( 2

• 1· ) sa angtsom

8 2

X X -

Lös följande olikheter. 2

20 a) x + 2x > 0 2

21 a) 4x - 6x < O

22 a) (2 - x)(3 + x) > 0

b) b)

X

X

2

2

0 är linjen stigande. Om k = 0 är linjen parallell med x-axeln. Om k < 0 är linjen fallande. Titta på linjen i koordinatsystemet. Varje trappsteg har

\

I

,-i ')

Om x-värdet ökar med 1 enhet, kommer y-värdet att minska med 2 enheter. Man skriver att !1x = 1 innebär att !1y = - 2. !1x betyder förändring av x och utläses "delta x'~ Linjens lutning k = !1y - !1x

2

= -2

1

Riktningskoefficient Rikt nin gskoefficienten för en linje genom punkterna (x, , y1) och (x2, y2) ges av kvoten

= Yz - Y,

~x x2 -x1 Par allella linjer har sa mma k-värd e För vinkelräta linjer gäller att k, · k2 = -1

3.1 FORANDRINGAR

1 --

\ !_') \! 1

bredd= 1 höjd = -2 (fallande)

k = ~y

y

- 1-

\ l-

\

X

>

y

Den räta linjens ekvation

Allmän form En punktsform

I y =2x - 3

• I

y = kx + m

k-form

I

ax + by + c =0 y-

J

I

X '

)

y0 = k(x - x0)

I )

"

-

~

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna ( 1, - 2) och (3, 4). Först bestämmer vi riktningskoefficienten.

Nu använder vi att k = 3 och att punkten (3, 4) ligger på linjen. Vi visar på två olika sätt hur linjens ekvation kan bestämmas.

y - Yo = k(x - xo)

y= kx+ m

y - 4 = 3(x - 3)

k = 3, x = 3 och y = 4 ger

y- 4 = 3x- 9

4 = 3·3+m

SVAR:

y = 3x - 9 + 4

m = 4 - 9 ger m = - 5

y = 3x - 5

y = 3x- 5

Linjen har ekvationen y = 3x - 5

DERIVATOR

10~

•

Bestäm linjens ekvation på formen y = kx + m 1) Linjen skär y-axeln i (0, 5). Detta innebär att m = 5. 2) När vi konstruerar ett trappsteg ser vi att Lix = 4 och Liy = -3. k=

-3 4

'y '7

'

'

.........

L

-

"' .,/.,.

n: "i ,

.........,.

-..., -

•

'"

'

1

•'

Linjens ekvation är y = -0,75x + 5 SVAR:

-

-

I

...,

= -0,75

b.x =4

' '

" "' '

..,

.........

'

X

"'

y = -0,75x + 5

•

Den räta linjen 5x - 2y + 4 = 0 är given. a) Bestäm ekvationen för den linje L som är parallell med den givna linjen och går genom punkten (3, 1). 5x - 2y + 4

= 0 ~ 2y = 5x + 4 ~ y =

2,5x + 2.

Vi ser att den givna linjen har k = 2,5 Linje L har samma lutning, dvs k = 2,5 och ekvationen blir y = 2,5x + m Nu bestämmer vi m-värdet genom att sätta in punkten (3, 1) i ekvationen och får 1 = 2,5 · 3 + m ~ m = -6,5 SVAR:

y = 2,5x - 6,5

b) Vilket k-värde har en linje som är vinkelrät mot linje L? För vinkelräta linjer gäller att k1 · k2 = -1 Lutningen k för den vinkelräta linjen beräknas

k · 2,5 = -1 SVAR:

1·06--- 3.1 FORANDRINGAR .....

~

k = -0,4

k= -

1

2,5

dvs k = -0,4

Bestäm ekvationer på formen y = kx + m för linjerna. 3101

a)

\

,y

"\ "

./

c) (4, 1) och (2, - 5)

a

/

1

X

"" "

)f(4) = 5, /'(4) = 0,/(5) = 3 och/'(5) = -1. Förklara hur du gör.

3140

b) Är g'(2) positiv, negativ eller noll?

Antalet invånare i en stad, räknat i 1000-tal beskrivs av funktionen n(t). År 2010 motsvaras av t = 0. Vad betyder följande?

c) Är g'(4) positiv, negativ eller noll?

a) n(O) = 82

d) Bestäm g(O)

b) n(l) = 92

' a) Är g'(O) positiv> negativ eller noll?

c) n'(l) = 0,88

3137

n(2)- n(O) d) - - - - : : : 0, 85

Titta på grafen i uppgift 3136. Vilka av följande påståenden är sanna?

2

a) Derivatan är noll då x = 2 b) Derivatan är positiv då x = 0

3141

Funktionen/ uppfyller följande två villkor

1) /(2) = 5

c) När x > 2 är derivatan negativ.

2) -1 5:f'(x)S:2 3138

Vilka värden kan /(10) anta?

Titta på grafen till y = h(x) och lös uppgifterna.

(NP Matematik C Vt 2002)

a) Bestäm h'(- 1) b) Är h'(O) positiv> negativ eller noll? c) Lös ekvationen h(x) = 0 d) Bestäm h(O)

3142

a) För en funktionf(x) gäller att /(2) = 3 och/'(2) = 4. Förklara hur du kan bestämma ett ungefärligt värde på /(2,1). b) Här ska du bestämma ett ungefärligt värde på g(6,8) när du vet att g(7) = -2 och g'(7) = -3.

y

1X

'

\ : = I ,X) I

\

'

I

/

DERIVATOR

Beräkning av gränsvärden

Tänk dig att du har en godisrem som är 1 m lång. Varje timme äter du hälften av den godisrem som du har kvar. Bilden visar vad du har kvar efter 1, 2, 3 och 4 timmar.

(1 timme)

(2 timmas)

(3 timmas)

(4 timmas)

Antal meter godis som du har ätit efter 4 timmar är 111

1

1

1

1

1

-+-+-+-=-+-+-+-=0 9375 2 3 4 2 4 8 16 2 2 2 2 ' Du har ätit nästan en meter godisrem och det är väldigt lite kvar av remmen. Efter en timme äter du hälften igen, osv. Kommer du någonsin att ha ätit upp hela godisremmen? Antal meter godis som du har ätit efter n timmar kan bestämmas enligt 1

1

1

1

1

-+-+-+-+ ... +2 4 8 16 2n Summan närmar sig 1 meter. Du kan komma mycket nära l, genom att äta väldigt många bitar, men du kommer aldrig att ta den sista biten, eftersom du varje gång tar hälften av det som finns kvar. Matematiskt säger man att summan går mot 1 då n går mot oändligheten. Detta är exempel på ett gränsvärde. Man skriver: 1

1

1

lim (- + - + ... + - ) = 1 n~ oo 2 4 2 11

Symbolen för något väldigt stort, dvs "oändligheten': skrivs med en liggande åtta, oo Lim uttalas limes och betyder gräns på latin. Observera att vi använder likhetstecken. Gränsvärdet= 1.

1·20...

.....

3.1 FORANDRINGAR

Låt oss undersöka ytterligare ett gränsvärde. Vi tittar på linjen genom punkterna A och B på kurvan y = x X

2

2

8

(x, x2 )

-4

Linjen har k = - x- 2 Vi ska undersöka vad som händer med linjens k-värde då x närmar sig 2. När vi sätter in x = 2 i uttrycket för k får vi 2 2 -4

0 k= - 2-2 0

Eftersom nämnaren inte får vara noll, så är det här uttrycket inte definierat. Vi måste göra på något annat sätt! Kanske kan vi sätta in ett x-värde som ligger väldigt nära 2? y

Vi provar med x = 2,1 och sedan med x = 2,01. 10

2 12 - 2 2 x=2,lger k = - ' - 2,l-2

4,41-4 =4, 1 0,1

När vi sätter in x = 2,01 får vi

5

k=

2,01 2 -2 2 2,01- 2

=4,01

X

1

),.

I

~I

3

2,1

Vi ser att linjens k-värde verkar närma sig gränsvärdet 4 då x ~ 2.

Det här gränsvärdet kan också beräknas algebraiskt. Vi faktoriserar och förkortar på följande sätt. I

x 2 -4 x~2 X -2

(x+2) ------'----x~2 I

O

DEFINITION: Gränsvärde i en punkt

lim f(x) = 4 utläses "gränsvärdet för f(x) då x går mota är lika med 4". x~a

Detta betyder att f(x) närmar sig 4 då x närmar sig a.

DERIVATOR

X

Bestäm värdet av a)

2

-1

x-1

b)

1,1

X=

för c)

1,01

X=

X=

1,001

1,1 2 -1 a) då x = 1,1 blir uttrycket l,l - l = 2,1

1,01 2 -1 b) då x = 1,01 blir uttrycket l,Ol - l = 2,01 1,001 2 -1

c) då x = 1 001 får vi = 2,001 ' 1,001-1 2

d) Till sist beräknar vi gränsvärdet lim

x -1

x~ l

lim x--tl

x 2 -l X- 1

= lim

1 (x+l)~ ~

x ~l

= liln ( x

x- 1

algebraiskt.

+ 1) = 1 + 1 = 2

x--t l

1 SVAR:

Gränsvärdet= 2

Jämför med svaren i a) - c).

Beräkna följande gränsvärden.

a) lim x --'JO

x

2

I -

X

x

,x(x -1) =lim =lirn(x-1)=0-1=-l x~ O ,X x~O I 1 f ~ ./'f\ 1

}' 1 1 1 . X- 2 . = 11m ~ L. = 1m b) 11m 2 X--'J2x -4 X--t2 (x+2)~ X--'J2x+2 2+2 4

1

hx+h 2 c) lim = lim h-40 h h--'JO

1 }{(x+h) ){

= lim(x+h) = x+O= x h--'JO

1 2

. h~-2h x+5hx . d) I1m = 11m h --'JO h h--tO

1 2 ){(h -2hx+5x) ){

I =

122-l 3.1 FORANDRINGAR ~

(O - 0 + 5x) = 5x

. (h 2 ) h = 11m - 2 x + 5x = h-40

Här ska vi beräkna några gränsvärden där vi inte kan förkorta som i föregående exempel.

6 6 6 ---=2 a) lim x~O 2+ lOx 2+10° 2+1 b) lim (22 + 68 · 0,98x ) x~~

När x blir större och större kommer 0,98x att närma sig noll. Parentesen kan därför skrivas (22 + 68 · O) och vi får

lim ( 22 + 68 · 0,98x ) = 22 x -+oo

a) 2

SVAR:

3143

Bestäm värdet av uttrycket a)

X =

3,1

b)

X=

3,01

c)

X =

3,001

x 2 -9

x-3

för

b) 22

3147

X 2

X

LED N ING:

- 9

Du ska alltså bestämma limx- 3

d) Beräkna gränsvärdet lim-x~3 X -3

x ~oo

b) f(x)

Jämför resultaten i a) - c) med d)

x-x 2 a) l i m - -

lim p3-5p2

2

3145

3146

1· h + 3h a) 1i1.To 2h + h

2

b)

a) lim 9hx -h2 h~ O

c) f(x) = O,lx

3148

x 2 -25 b) l i m - x~-s X+ 5

X

x~O

= lOx

3

Beräkna följande gränsvärden. 3144

Undersök med hjälp av räknare vad son1 händer med f(x) då x blir väldigt stort. 1 a) f(x)=3

p~ O

p2+ p3

x +3x

Bestäm värdet av uttrycket - - - för X

a) x = O,l b)

X=

0,01

c)

X =

0,001 3

x +3x

d) Beräkna lim--x~o X

h

7h - 9h 2 +xh 2 b) l i m - - - - h~o

h

DERIVATOR

123'

~

3149 En termos med hett kaffe glöms

3153

kvar i ett fikarum. Kaffets temperatur T °C kan bestämmas enligt

Talet e är ett berömt tal inom matematiken. Talet e kan beräknas med 1

gränsvärdet e = lim(l + - )t t

t~co

T(x) = 22 + 65 · 0,87x

a) Uppskatta ett ungefärligt värde på e genom att undersöka vad som händer med gränsvärdet för stora värden på t.

där x = tiden i timmar.

~~ ( 22+65 · 0,87x)

Bestäm

och förklara vad ditt svar betyder.

3150

b) Använd "e-knappen" på din räknare 1 och slå e för att kontrollera ditt resultat.

Beräkna 2

. (x + h) - x a) 11 m - - - - -

3154

Bestäm lim x~oo

h

h~ o

x-3x 2

2

2X

2

+X

genom att

x-3x 2 a) beräkna för allt större 2 2x +x x-värden 3151

2

b) först dividera alla termer i täljare och nämnare med x 2 och sedan låta x gå mot oändligheten.

Bilden visar grafen tillf(x) = 4x - 1 och en sekant som går genom punkterna (0,5; O) och (x,f(x)). ,y

l

3155 f x) = 4x

\

-

'\

-

3156

I

\ \

\

2

'- .,,,

f

~

'l

X 1,1

Undersök funktionen

'

a) Skriv ett uttryck för sekantens lutning. Beräkna sekantens lutning då

d)

X = X=

1 0,51

c)

e)

X = X=

0,6 0,501

f) Bestäm sekantens lutning då X -- 0,5

3152

4x 2 -1 Visa hur du kan beräkna lim - - x~o,s X - 0,5

algebraiskt. Jämför med förra uppgiften.

1·2~

.....

3.1 FORANDRINGAR

Här ska du avgöra vilken av funktionerna y = x 1•1 och y = l,l x som växer snabbast.

X

I

b)

Jx-2x Bestäm gränsvärdet lim c x ~ "" 4x + v X

f (x) = -l,lx

som är kvoten mellan potensfunktionen och exponentialfunktionen. a) Rita grafen till f(x) och förklara hur du kan se vilken av funktionerna som växer snabbast. Xl ,I

b) Förklara vilket värde lim-x ~ "" 1, l x verkar ha?

Gränsvärde med räknare Gränsvärdet lim

2x 3 -lOOOx

x ~ oo X

3

+ 1000000

. . Mata 1n funktionen

f

kan bestämmas med räknaren:

2x 3 - lOOOx . (x) = 3 1Y 1 X + 1000000 .

Nu kan du undersöka gränsvärdet både med graf och m ed tabell. Börja med fönsterinställning O < x < 1000 och O < y < 3. Det bör se ut ungefär som nedan.

X=500

Yl X 1000 1.997 1.9995 2000 3000 1.9998 4000 1.9999 1. 9999 5000 6000 7000 2 Yl= l.99996296313

-

Y=l .9801587

Då x är väldigt stort, kommer x3- termerna att dominera. Detta innebär att

2x 3 - 1OOOx X

3

+ 1000000

~

2x 3 X

=2

3

5x 3 -5x 2 +4 1 Bestäm med räknare gränsvärdet för x3 - llx då X 2

- - oo,

Förklara resultatet genom att undersöka vilka termer som dominerar då x -- oo.

. 2 Bestäm med räknaren 11m x~oo

16 x 5+2·0,9

.

Förklara resultatet.

3 Bestäm med räknaren lim (100 + 2, 7°.sx ). Förklara resultatet. x~ O

2x 2 - 8 4 Bestäm lim både med räknaren och algebraiskt. x~osx -16 Jämför resultaten.

5 Ett föremål faller fritt sträckan s under t sekunder. Sträckan kan bestämmas med formeln s(t) = 5f. 5t2 -5 Bestäm lim både med hjälp av räknaren och algebraiskt. 1~1 t -1

Förklara vad du har beräknat.

DERIVATOR

125~

3.2 DERIVATOR Använda derivatans definition Säkert minns du exemplet med blomkrukan från avsnittet med ändringskvoter. Här ska vi bestämma blomkrukans hastighet efter 1 sekund. Men, vi börjar med att bestämma krukans medelhastighet under tidsperioden x = 1 till x = 1,5. 2 Fallsträckan är y meter enligt y = f(x) = 5x • Se bilden.

~1-4

'y

, ,J

~-2- y = 51

+9- -

p'

,/ f

2

d

-8- -

~

.~

Ä

I.

A--

,_4

v ~I

- 2-

- -- . ---

(l i::

t::? X

10

05

.

h -

Medelhast1ghet v =

~y ~

-

15

2

2

f( l ,5) - f( l ) - 5 · 1,5 - 5 · 1 = 1,5 -1 1,5 - 1

-

-

6,25 0,5

=12, 5

Hastigheten 12,5 m/s motsvaras av k-värdet för sekanten i bilden. Tidsperioden h = 0,5 s. Nu väljer vi en kortare tidsperiod, nämligen h = 0,1 s och gör motsvarande beräkning . h Me d elhast1g et v

f(l,1)- f(l) = 1,1-1

2

5 ·1,1 -5·1 = 1,1-1

2

-

1,05 0,1

=10,5

Eftersom intervallet är kortare, närmar vi oss värdet för hastigheten då X= 1. Ju kortare tidsintervall vi använder, desto närmare det korrekta svaret kommer vi. Men, vi kan inte direkt sätta in h = 0, ~y O . . .. d fi . I eft ersom A = - som JU inte ar e n1erat. LlX

1·26--- 3.2 DERIVATOR .....

O

Vi använder bildens beteckningar och ställer upp ändringskvoten. Äy

,

A

,&

,

( 1 ."h) - -- --- -- --- --- --- -- - - - - - -- --- --- - ---- - --- ---· -------

~

I

I/ ~

.f7'

d

.;,

/

B

\

... ... '

( 1) --- -- - - -- --- --- -- - -- - -- . --- - ---TÄ""•••• • • • • c

~

/

?

••= , 1 ~

'

-

~-1-)

.;

=)

/

X '

.

1 >- h

f (1 + h)- f (1) --

S(l+h) 2 -5·1 2 -h h 2 2 5(1 + 2h + h )- 5 5 + 1 Oh + 5h - 5 ---h h 10h+5h 2 h(lO + Sh) --= lO+Sh h h

~y -

~

,.._,_\

Nu bestämmer vi gränsvärdet när h går mot noll.

lim (10 + Sh) = 10 + 5 · 0 = 10 h~O

Vi får alltså att blomkrukans hastighet är 10 mls efter 1 sekund. Gränsvärdet betyder att vi låter punkten A närma sig punkten B, så att sekanten "förvandlas" till en tangent. Tangenten har lutningen k = 10. Kortfattat kan detta skrivasf'(l) = 10 Se bilden nedan. 'y

+4

+-2-

y=

~{)

,, /

5x

I/ ., ~

,_g_ .,/'

I

-4-

i

-

__.. ~

-2 I

I

~

l-1l 5

~

V

V

.p'

r"'

' I

I I 10

X

!

1s

DERIVATOR

127~

O

DEFINITION: Derivatan i en punkt y

f'(a) = lim f(a + h) - f(a) h-+0 h

(a+h,f(a+h))

B

Detta är derivatan till funktionen f(x) där x = a f'(a) betyder också tangentens (a. f(a))

k-värde i den punkt där x = a

X

a

a+h

Funktionenf(x) = 3x2 har en tangent i den punkt där x = 2. Använd derivatans definition och bestäm tangentens k-värde. Vi ställer upp ändringskvoten och förenklar. 2

J(2+h)-f(2) _ 3(2+h) -3·2

2

-

2

-

3(4+4h+h )-12 -

-

h

h

h

2

2

= 12+12h+3h -12 = 12h+3h = h(l2+3h) =12+3h

h

h

h

f'(2) = lim (12 + 3h) = 12 h~O

SVAR: Tangenten har k = 12

Bestäm med hjälp av derivatans definitionf'(4) dåf(x) = 3x +5. Vi börjar med att förenkla ändringskvoten.

f(4+h)- f(4) = 3(4+h)+5-(3·4+5) = 12+3h+5-12-5 = 3h =3 h h h h Ändringskvoten är 3. Kvoten är alltså oberoende av värdet på h. Derivatan är alltid 3 eftersom funktionenf(x) = 3x + 4 är en linjär funktion som hela tiden har lutningen 3. SVAR:j'(4) = 3.

1·28---

.....

3.2 DERIVATOR

3201

Utgå från funktionen f(x) = x

2

.

3206 Förklara med hjälp av figuren vad begreppen i a) - d) betyder.

a) Ställ upp ändringskvoten

f (1 + h)- f (1)

Ay

h b) Förenkla ändringskvoten. c) Beräkna gränsvärdet för kvote11 då

h -- 0. d) Förklara vad du har beräknat i c).

3202

X

2

Utgå från funktionenf(x) = 5x och bestämf'(3) på följande sätt.

a

a) f(a) a) Ställ upp ändringskvoten

b) f(a + h) - f(a)

f (3 + h)-f (3) h

c)

b) Visa hur du förenklar kvoten.

c) Beräkna gränsvärdet för kvoten då h-- 0.

f (a + h) - f (a) (a + h)-a

d) lim

f (a + h)- f (a) h

h--'>0

d) Är det sa11t att du har beräknat lutningen för en sekant?

3207 3203

2

Bestämf'(a) med hjälp av derivatans definition för

Utgå från funktionenf(x) = x + 6x. Bestäm med hjälp av derivatans definition

a) f(x) = 6x

a) f I (1)

b) f(x) = 3x + 7

b) f ' (- 1)

2

c) f (x) = 6x2 + 3x + 7

3204

d) Jämför svaret i c med svaren i a och b. Kommentera!

Bestäm med hjälp av derivatans definition f'(S) för funktionernaf(x) = 2x + 1 och f(x) = 2x + 3. Förklara resultatet.

3208 3205

a) Bestäm med hjälp av derivatans definition f ' (4) för funktionerna f(x) = x2 och f(x) = x2 + C. b) Hur påverkas derivatans värde av konstanten C?

a) Förklara vad lim h--'> 0

(2 + h) 3 -23

h

betyder.

b) Förklara vad lim h--'>0

((4+h)2 +3) - (4 2 +3)

h

betyder.

c) Bestäm gränsvärdet i a-uppgiften.

DERIVATOR

129~

Deriveringsregler för polynom

--------------------------

-

Här ska vi härleda deriveringsregler för några polynom funktioner. Vi använder d erivatans definition för att härleda reglerna. 1) f(x) =

X

f (x+ h) - f(x) _ x+ h -x h ---= - = l h h h f (X) = lim 1 = 1 1

h~ O

2) f(x) = x

2

f (x+ h) -f(x)_(x+ h) 2 -x 2 _ x 2 + 2xh+ h 2 -x 2

h

h

_

h

1

= )t.(2x + h) = 2x +h lh 1

f '(x) = li111 (2x + h) = 2x + 0 = 2x h~O

3) f(x) = x

3

Här kommer vi att använda oss av att

(x + h) 3 = (x + h)(x + h) 2 = (x + h)(x2 + 2xh + h2 )

=

f (x +h) - j(x) _ (x+ h)3 - x 3 _x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 -x 3

h 1

h

2

11(3x + 3xh + h = lh

h

2 )

h h2

2

= 3x + 3x +

1

f'(x) = li1n (3.~ + 3xh + h 2

h~O

130~ ~

3.2 DERIVATOR

2

)

= 3x

2

_

Ser du hur f(x) ger oss f '(x)? Exponenten minskas med 1 och den "gamla'' exponenten blir koefficient.

f(x)

=

x4 ~ f'(x) = 4x3

f(x)

f'(x)

X

1

x2

2x

x3

3x2

4x3

f(x) = x 5 ~ f'(x) = 5x4

Allmänt gäller följande deriveringsregel: f(x) = x' har derivatanf'(x) = n · x 1 11

-

f(x) = x" har derivatan f'(x) = n · x11-1

Vad händer med derivatan om funktionen multipliceras med en konstant? Vi härleder för f(x) = 3x2 •

4) f(x) = 3x2

f(x+h)- f(x) _ 3(x+h) 2 -3x 2 -

h

h

2

2

_

-

3(x 2 +2xh+h 2 )-3x 2

_

h

2

= 3x +6xh+3h -3x = h(6x+3h) = x+ h

h

h

6

3

f'(x) = lim (6x + 3h) = 6x h~ O

Derivatan till y = 3x2 blir alltså y' = 2 · 3x2 - 1 = 6x Vi ser att derivatan till 3x2 blir 3 gånger så stor som derivatan till x2 •

f(x) = k · xn ~ f'(x) = k · n · xn - 1

där kär en konstant

DERIVATOR

5) f(x) = C

Här ska vi derivera en funktion som är konstant. 0 Vi tittar på f (x) = 8 som kan skrivas f (x) = 8 · x

f(x) = 8 · x0 ~ f'(x) = 8 · 0 · x- 1 = 0 Derivatan blir alltså noll när vi använder deriveringsregeln. Jämför med lutningen för linjen y = 8 som ju också är noll. Vi får naturligtvis samma resultat om vi använder derivatans definition :

f (X) = lim f (X + h) - f (X) = lim 8 - 8 = lim O = 0 h-+O h h-+ 0 h h-+ O h I

Derivatan av en konstant funktion f(x) = C ~ f '(x) = 0

Till sist ska vi härleda derivatan för en funktion med flera termer. 2

6) f(x ) = x + 5x

f(x+h)- j(x) _ (x+h) 2 +5(x+h)-(x 2 +Sx) _ -

-

h 2

h 2

x + 2hx + h + Sx + Sh - x

2

2hx + Sh + h - ------------- ----h h h(2x+S+h) h = =2x+5+ h -

Sx

2

f'(x)=lim (2x+5+h)=2x+5 h-+0 2

Om vi i stället deriverat "term för term", dvs först x och sedan Sx, hade vi fått samma resultat.

Derivatan av ett polynom

f (x) =g(x) + h(x)

~

f '(x) =g'(x) + h'(x)

f(x) = x5 + 4x2 - 9x + 2 ~ f '(x) = 5x4 + ax - 9

13~

.....

3.2 DERIVATOR

Derivera följande funktioner. a)

f (x) = 5x3 + 2x4 + 7 f' (x) = 5 · 3x2 + 2 · 4x3 + 0 = 15x2 + 8x3 Derivatan av 5 · x3 är alltså "5 gånger så stor" som derivatan av x 3 •

xs b) f(x)=2

f

'( X= ) 8x7 =4X 7 2

c) y = x 2 (4x - x 3)

Innan vi kan derivera måste vi skriva y som ett polynom. y

= X 2 · 4x 2

y' = 12x

X

2

·X

3

= 4X 3 -

X

5

4

-

5x

2X 3

X6 -

Bestäm derivatan till y = - - 3

Vi delar upp funktionen i termer på följande sätt: x 6 2x 3 y=-3 3 ,

y =

6x

5

3

-

6x 3

2

= 2x 5 -2x 2

SVAR:

y I = 2 X5

2

1

-

2X 2

y

Bilden visar grafen tillf(x) = x - 5x och en tangent i den punkt där x = 4. Beräkna tangentens lutning. f(x)

=x2 -

5x ~ f'(x)

= 2x -

I

-

X

I

5

Nu bestämmer vi derivatans värde då X= 4.

\

\

/i

I

!'(4) = 2 · 4 - 5 = 8 - 5 = 3

Detta betyder att tangentens k-värde = 3. Vi får givetvis samma k-värde om vi "räknar rutor enligt trappstegsmetoden'~ SVAR:

Tangentens lutning är 3.

DERIVATOR

133~ ~

Bestäm derivatan av följande funktioner. 3209 3210

a) y

= x7 + xs

b) y

a) y=x+2

b) y

Derivera följande funktioner.

= 3x2 - 9x4

3218

2

3

= 4- X+ X2

3211

a) y

3212

a) y = x - 10x2

b) y

= 0,2x5 - 0,3x10

3214

S)(x - 8)

= x2 (x5 - x) y = (x3 + x2) 2

a) y

b) y = O,Olx + 0,2

x3 xs a) y=-+ 3

b)

b)

3220 3213

3)

= x + 4x + 5x 3219

= x(x y = (3x -

a) y

2x3 b)

2

a) y=

x 14

y= 6 - 7

b) y=

Bestämf'(2) då

= 4x3 - 6x f(x) = 3x2 + x 4 -

3221

a) f (x) b)

a) y=

45 b) y=

3215

Bilden visar grafen tillf(x)

=x

2

-

3x 2 -7x 4 X 3 - 3X 5 3

x-x 2 2

(x - 9) 2 5

4x.

a) Beräkna f' (2).

3222

Bestäm s' ( 1) då

b) Beräkna derivatans värde i punkten B.

a) s(t) =

c) Beräkna kurvans lutning i punken C.

b) s(t) = (3t + 7) 2

y

-4-

3223

3-

f (t -

1)

2 Funktionenf(x) = 4x - 16x + 100 .. . ar given. a) Lös ekvationen f' (x) = 0

11

'.

\

c

I

]

1

2-

\

' 3--B - 4-

I

I 3224

\. /

2

3216 Funktionenf(x) = x + Sx är given. Bestämf(-3) samt f'(-3) och förklara vad du har beräknat.

3217

Funktionen f(x) = x 2 - 7 är given. a) Bestämf'(-3). b) Bestäm tangentens ekvation i den punkt där x = -3.

3.2 DERIVATOR

b) Förklara vad du har beräknat i a-uppgiften.

X

Bestäm de x-värden där grafen till f(x) = x3 + l,5x2 - 30x + 9 har lutningen 6.

3225

I figuren ser du en graf och en sekant. y '/

\

fj

\ 1

\

;J

\

w

I

I

h

\.

\

X

-.

//

... I

3226

Nedan visas grafen till en andragradsfunktion som har nollställena x 1 = 2 och x 2 = 4 , se figur. Grafen skär y-axeln i punkten (O, p). Antag att vi drar en tangent i punkten (O, p). Bestäm lutningen för denna tangent uttryckt i p. (Np fvfap C Vt 2011)

i

Grafen har ekvationen y = 2x2 - 6x + 2. Sekanten skär grafen då x = 2 och x = 3. Beskriv hur du gör för att bestämma ekvationen för den tangent som är parallell med sekanten.

y

(0. p)

X ).

DERIVATOR

13~

SYMMETRISK DIFFERENSKVOT

Bilden visar funktionenf(x) = x 2 och en sekant som skär kurvan för x = a - h och x = a + h Observera att dessa värden är symmetriska kring x = a.

y f(x) = x 2 f(a +

h)

------------------------------------

Derivatan då x = a kan approximativt bestämmas med symmetrisk differenskvot enligt f'(a) ~ f (a + h)- f (a - h) 2h

2h f(a - h) ----------_..-,..... •••••••••••••••••••••••• :' I

I

I

a-h

a

a+h

1 Använd symmetrisk differenskvot för att bestämma f'(2) för f(x) = x 2 då h = 1, h = 0,1 och h = 0,01.

2 Bestäm nuf'(2) med hjälp av deriveringsreglerna. Jämför ditt svar med svaret i uppgift 1 och formulera en slutsats. 3 Visa att din slutsats gäller för en godtycklig punkt där x = a och f(x) = x2 • ,

Visa att din slutsats gäller för den allmänna andragradsfunktionen J(x) = ax2 + bx + c.

5 Använd symmetrisk differenskvot för att bestämma f'(2) förf(x) = x 3 då h = 1 och h = 0,1. 6 Bestämf'(2) med hjälp av deriveri11gsreglerna, dåf(x) = x3.

Jämför svaret med svaret i uppgift 5 och formulera en slutsats. 7 Visa att din slutsats gäller för en godtycklig punkt där x = a och J(x) = x3.

3.2 DERIVATOR

•• ••• ••• ••• ••• ••• ••• X )I.

Derivata med räknare Med hjälp av räknare kan man bestämma ett ungefärligt värde på derivatan. Räknaren använder då symmetrisk differenskvot. Ay

Symmetrisk differenskvot

f (a + h)- f (a- h) 2h

z

f'(a)

f(a + h) -------------------------------

Här bestämmer vi lutningen för sekanten mellan a - h och a + h. Med mindre h får vi bättre approximation på f ' (a) .

X

T(x) = 100 · 0,85x beskriver hur temperaturen

a- h

a

a +h

i en kaffekopp minskar med tiden x minuter.

•

Vi börjar med att bestämma T' (6) genom att beräkna en symmetrisk differenskvot, där vi väljer h = 0,1. h = 0,1 ~ T'(6)

•

z

T(6 l) - T(5 9) '

'

z

0,2

. -6,1296 ... (grader/minut)

Nu använder vi räknarens funktion för numerisk derivering. Så här kan räknarfönstret se ut (beroende på vilken räknare som används).

1lr111;j

NUM CPX PRB

n0eriv[1 00*0.85"x,x,6] -6.12939358 1

31'3

•

4:3v( 5:xv 6:fM in( 7:fMax( E.lnDeriv( 9..i,fnlnt

Räknaren ger oss T'(6)

z

-6,1293 ...

Jämför de båda värdena! Vi ser att vår beräknade symmetriska differenskvot ger ett väldigt bra värde redan då h = 0,1. Räknarens funktion för numerisk derivering använder naturligtvis ett betydligt mindre värde på h. 5

1 Bestämf'(2) då funktionen ärf(x) = 0,4x - 3x a) "för hand" med hjälp av deriveringsregler

b) med räknare

2 Bestäm med hjälp av räknarenf'(3) då a) f(x)=

X

l+x

2

b) f(x) = 23 + 100,0086x

3 Bestäm med hjälp av räknaren ett närmevärde tillf'(l) då a) f(x) = 2°.4x b) f (x) = X 2 ..Js;

DERIVATOR

137~

Tillämpningar på derivata

Ett vagn rör sig sträckans meter på tiden t sekunder enligt s(t) = 3t2 • Beräkna och förklara följande.

b) s'(5)

a) s(5) a) s(5) = 3 · 52 = 75 SVAR:

Under de 5 första sekunderna rör sig vagnen 75 meter

b) Vi deriverar och får s'(t) = 6t. Vi sätter in t = 5 i derivatan==> s'(5) = 6 · 5 = 30 SVAR:

3227

3228

Vagnens hastighet efter 5 sekunder är 30 m/s

Under en viss tid kan antalet bakterier i en odling beskrivas med sambandet N(x) = 4000 + 3,1 · x 4 där x är antal timmar efter start. Bestäm tillväxthastigheten då x = 5 h.

3230

Med funktionen N(t) kan antalet invånare i en kommun t år efter år 2007 bestämmas. Vad betyder N(4) = 32 000 och N'(4) = -130?

3231

En buss har kört sträckan s(t) km på tiden t timmar efter start. Skriv med symboler.

Man tömmer vatten ur en tank. Efter t minuter återstår s(t) liter. Tolka följande påståenden.

a) En timme efter start har bussen kört 52km.

a) s(O) = 250 b) s(S)

=

b) En timme efter start är bussens hastighet 72 km/h.

200

c) Två timmar efter start står bussen stilla.

c) s'(lO) = -5

3229

Temperaturen i en ugn är g(t) grader vid tiden t minuter efter klockan 12.00. Förklara vad följande betyder. a) g(lO) = 45 b) g'(lO) = 5 c) g'(30) = - 3

1JS,.. 3.2 DERIVATOR .....

3232

Temperaturen T °C i en ugn kan bestämmas med T(x) där x är antal minuter efter start. Förklara vad följande betyder. a) T(5) = 40

b) T'(4) = 2

c) T'(30) = -1

d) T'(l5) = 0

3233

En liten kula skjuts rakt upp i luften. Funktionen h(t) = l2t - 4,9f anger den höjd h meter över marken som kulan befinner sig på efter t sekunder. a) Bestäm h'(t)

3236 Du vet vilken enhet som finns på y-axeln och på x-axeln. Formulera en regel hur du kan bestämma derivatans enhet. Ge några exempel.

b) Bestäm h'(l) och tolka resultatet. c) Bestäm h'(l,4) och tolka resultatet.

3237

Två stafettlöpare A och B springer andrasträckan i ett 4 x 100 meter-lopp. De går ut på andrasträckan samtidigt (vid t = O) men löpare A har en högre starthastighet och får snart ett försprång. På t sekunder springer löpare A sträckan f(t) = 8,0t - O,lf. På samma tid springer löpare B sträckan g(t) = 7,0t + O,lt.2 Vilket är det största avståndet som löpare A har från löpare B?

3238

Figuren visar en klotformad behållare med diametern 20 dm som håller på att fyllas med vatten.

d) Lös ekvationen h(t) = 5 och tolka resultatet. e) Lös ekvationen h'(t) = 2 och tolka resultatet. f) Lös ekvationen h'(t) resultatet.

3234

=

-2 och tolka

Antalet bakterier N(t) i en bakteriekultur 2 ges av N(t) = 3t + 48t + 510 där t = antal timmar efter försökets början. a) Hur många bakterier fanns vid försökets början? b) Efter hur lång tid har antalet bakterier fördubblats? c) Bestäm tillväxthastigheten då t = 4 timmar. d) Hur lång tid efter försökets början är tillväxthastigheten 50 bakterier/timme?

3235

En tåg börjar bromsa in. Sträckans (meter) som tåget fortsätter framåt efter inbromsningens början, kan bestämmas med funktionen s(t) = 40t - 0,3t2 där t = tiden i sekunder.

X

Vid en bestämd påfyllningshastighet gäller att den tidf(x) (minuter) som det tar att fylla behållaren till vattenhöjden x (decimeter) ges av sambandet f(x) = -x3 + 30x2 0 < x < 20. Bestäm det största värde som derivatan kan anta. Tolka ditt resultat.

a) Bestäm och tolka s(lO). b) Bestäm och tolka s'(lO). c) Hur lång tid tar det för tåget att stanna? d) Bestäm tågets bromssträcka. e) Vilken definitionsmängd har funktionen s(t) = 40t - 0,3f?

DERIVATOR

139~

3.3 DERIVATOR OCH GRAFER Rita kurvor med hjälp av derivatan

-

Vad innebär det för en kurvaf(x) attf'(x) = 0? Vi visar de möjliga situationerna.

1

I punkten P övergår funktionen från att ha varit växande till att bli avtagande.

2

Från att ha varit avtagande blir fu nktionen växande. Punkten P kallas minimipunkt.

Punkten P kallas maximipunkt. y

y

k=O X

3

Från att ha varit avtagande fortsätter funktionen att avta. Precis i punkten P är derivatan noll.

X

4

Från att ha varit växande fortsätter funktionen att växa. Precis i punkten P är derivatan noll.

Punkten P kallas terrasspunkt.

Även här kallas punkten P en terrasspunkt.

Funktionen är avtagande.

Funktionen är växande.

y

y

k=O p

k=O X

140.,.

......

3.3 DERIVATOR OCH GRAFER

X

Vi sammanfattar: Ay maximipunkt terrasspunkt X

>-

minimipunkt

Maximipunkter och minimipunkter kallas med ett gemensamt ord för extrempunkter. Funktionsvärdet i extrempunkten kallas extremvärde. Titta igen på graferna 3 och 4 på föregående sida. För att dessa grafer ska vara avtagande respektive växande för alla x, använder vi följande definition.

O

DEFINITION: Växande och avtagande

Om f'(x)

?;

0 så är funktionen växande.

Om f'(x) , 0 så är funktionen avtagande. f'(x) får inte vara noll i hela intervallet

Denna definition kommer vi att använda oss av i kapitlet. I andra sammanhang/böcker kan ibland begreppet strängt växande användas. Den definitionen ser du i faktarutan nedan.

Om f'(x) > 0 så är funktionen strängt växande. Om f'(x) < 0 så är funktionen strängt avtagande.

DERIVATOR

Ofta är det bra att veta "på ett ungefär" hur grafen till en polynomfunktion av högre grad ser ut. Observera att det är den största exponenten som bestämmer grafens huvuddrag. Lägg märke till hur plus- respektive minus-tecken påverkar grafens form.

x2 -kurvor Positiv koefficient framför x 2 • y=x2 2 y = 3x 2 y = 5x - 8x + 11

Negativ koefficient framför x 2 • y=2 - x 2 y = -x2 + 6x y = 6x - 0,8x2

x3 -kurvor Positiv koefficient framför x3 y = 2x3 - 1 2 3 y = Sx + 8x + x y = - 9x2 + 2x3

Negativ koefficient framför x3 . y = l - x3 y = 23 + 8x - 3x3 2 y = 4x - 0,2x3 + 12x

x4 -kurvor Positiv koefficient framför x 4 4 y = x + 2x 4 3 y = 2x - x

Negativ koefficient framför x4 .

y = x2 - x4 y = 1 - 2x4

y

På grafen har maximi-, minimioch terrasspunkt markerats. Använd grafen för att bestämma i vilka intervall som funktionen växer respektive avtar. SVAR:

14~

.....

3.3 DERIVATOR OCH GRAFER

X

-2

Funktionen växer då x < -2 eller då x > 1. Funktionen avtar då - 2 < x < 1.

1

y 2

Grafen visar funktionenf(x) = 200 + x - 25x. För vilka x-värden är funktionen avtagande? X

Eftersom x-axeln inte är graderad kan vi inte se svaret direkt från grafen. Vi får istället utnyttja följande: När en funktion avtar i ett visst intervall så är derivatan negativ i intervallet. För vilka x-värden är derivatan negativ? Vi deriverar och söker derivatans nollställen.

y

f(x) = 200 + x2 - 25x f'(x) = 2x - 25 f'(x) = 0 då 2x - 25 = 0 dvs x = 12,5 X

Att f' (x) = 0 för x = 12,5 betyder att funktionen har sin minimipunkt för x = 12,5. Från grafen ser vi att f(x) avtar för X< 12,5.

12,5

Om vi inte har någon graf att titta på kan vi teckenstudera derivatan. Vi väljer då ett x-värde på vardera sidan av nollstället x = 12,5 och undersöker om derivatan är positiv eller negativ. Vi kant ex välja x = 10 och x = 13.

f'(x) = 2x - 25 f'(lO) = -5 som är< 0 ~ avtagande f'(l3) = 1 som är> 0 ~ växande Slutligen gör vi ett teckenschema. 12,5 f'(x)

= 2x - 25

0

X

+

f(x)

I det intervall där f' (x) är negativ (- ) avtar funktionen. Vi har markerat detta med en pil som pekar snett nedåt. När f' (x) är positiv (+) växer funktionen och vi har ritat en pil som pekar snett uppåt. SVAR:

Funktionen avtar för x

~

12,5.

DERIVATOR

143'

~

3

Undersök om funktionen y = x + 2x har någon maximi-, minimi- eller terrasspunkt. 3

y = x + 2x y' = 3x2 + 2 y' = 0 då 3x2 + 2 = 0 3x2 = - 2

Ekvationen saknar reella rötter!

2

Derivatan y' = 3x + 2 saknar alltså nollställen. Att derivatan saknar nollställen betyder att funktionen saknar maximi-, minimi- och terrasspunkter. En funktion som saknar dessa punkter är antingen alltid växande eller alltid avtagande. Vilket x-värde vi än väljer så är y ' = 3x2 + 2 alltid positiv. Det betyder att funktionen är växande för alla x. Bilden visar funktionens graf. I

J I

I

1

'

J

/

X

/

I

I V=

)(J ~

2x

I I

J

SVAR:

3.3 DERIVATOR OCH GRAFER

Funktionen saknar maximi-, minimi- och terrasspunkt.

•

Skissa "för hand" grafen till funktionenf(x) = 3x4 - 4x3 med hjälp av derivata.n. Ange om funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkter. 4

f(x) = 3x

-

4x3

f'(x) = 12x3 - 12x2 = 12x2 (x - 1) f'(x) = 0 för x = 0 eller x = l Nu ska vi bestämma derivatans tecken på sidorna om dessa nollställen. Vi väljer x = -1, x = 0,5 och x = 2 och undersöker om derivatan är positiv eller negativ. f'(-1) = -24

f'(0,5) !'(2)

= -1,5

= 48

Tecknet är -

=> avtagande

Tecknet är -

=> avtagande

Tecknet är+

=> växande

0

1

f'(x)

0

0

f(x)

~terras~

X '

+

Teckenschemat visar att kurvan har en terasspunkt och en minimipunkt.Vi beräknar punkternas y-koordinater.

f(x) = 3x4 - 4x3 y

f( O) = 0

f (1) = 3 . 14 -

4 . 13 = 3 - 4 = -1

Vi bestämmer ytterligare några y -värden och skissar kurvan.

1

X \

SVAR:

Funktionen har en terrasspunkt i (0, O) och en minimipunkt i (1, - 1).

DERIVATOR

Bestäm med hjälp av derivatan i vilka intervall somf(x) är växande respektive avtagande. Rita sedan kurvorna på din räknare som kontroll. 3301

a) f(x)

= x2 -

3302

a) j(x)

= 12x -

Bx x3

b) f(x)

= 12 -

b) f(x)

= 60x -

5

7

x + x6

3308

Är funktionen y = 2x växande för x = 1?

3309

Antag att ett företags resultat i miljoner kr följer funktionen r = l,2t3 - 0,15t4 + 12 där t = antal år efter 2000. Se grafen. Under vilka år ökar resultatet?

3x 4x2

Mkr

-

-

3x

r

I en bakterieodling beror antalet bakterier N (stycken) av tiden t (minuter) på följande sätt:

3303

N(t) = 500 + 165t - 3t2 t > 0 För vilka värden på t ökar antalet bakterier? 3304

t 0

ar

För vilka x -värden är f(x) avtagande? a) f(x) = 2x2 - x 4 + 1 4

b) f(x) = x + 6x

3

Bestäm eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till funktionerna. Använd sedan räknare och rita graferna.

Bestäm eventuella maximi-, minimioch terrasspunkter till funktionerna. Funktionsgraferna ska ej ritas.

a) y = 3x - x

3306

3

b) y=

-

2

2

+3x

3311

5

b) y = x + 2 3312

3307 Robin ska undersöka funktionen f(x) = 0,2x3 - 0,6x2 - 0,75x.

Han använder sin räknare och ritar denna graf. Robin svarar att funktionen är växande för alla x och att funktionen har en terrasspunkt. Vilka extrempunkter har funktionen?

X

146~ ~

3.3 DERIVATOR OCH GRAFER

a) y = 0,25x4 - 0,5x2 b) y = 4x

3

y

a) y = x 3 -3x2

b) y = x 4 + 4x3

x2

a) y = 4x - x 2

3305

3310

a) y

=

b) y =

3313

-

3

2x X

4

2

-

-

4

5x + 4 3x 2

2X - 3

a) Bestäm konstanten c så att funktionen 2 y = 0,5x + ex - 1 får en minimipunkt för x = 2. b) Bestäm mini1nipunktens koordinater.

3314

Rita med grafritare grafen till funktionen

x3

f (x) = -

5

3316

2

- x + 4 och dess derivata f' (x)

i samma koordinatsystem. a) Hur många rötter har ekvationen f(x) = f '(x)?

(NP Matematik C Vt. 98)

b) Bestäm nollställen tillf(x) och svara med 3 värdesiffror. c) Vilket är det minsta värdet på f (x) i intervallet O < x < 6? 2

3315

Derivatan till funktionen f är f'(x) = x · (x - a) 2, där a är en positiv konstant. Beskriv hur grafen till funktionen f kan se ut.

3

I vilket intervall är f(x) = 8x + x - ~ 2 5

3317

Bestäm talen a och b så att funktionen f(x) = ax3 + bx får en minimipunkt i punkten (1, - 1). Visa hur du gör.

3318

Grafen till y = ax2 + bx + 50 har en minimipunkt i (3, 14). Bestäm konstanterna a och b.

växande? Svara med 3 värdesiffror.

DERIVATOR

147~

Största och minsta värde oc

temperatur

Grafen visar hur temperaturen i en ugn varierar från klockan 7 till kl 13.

130 110

Vi ser att temperaturkurvan har en maximipunkt kl 10 och en minimipunkt kl 12.

V \

/

\

I I I

I/

20

Temperaturen är då 110 grader respektive 50 grader.

\

J

50

\

J

\

I

'

I

Vi ska nu bestämma största och minsta värde på temperaturen i några olika tidsintervall.

J

tid

7

8

9

10

11

12

13

h

kl 7-13

I det här intervallet är minsta värdet på temperaturen 20° och största värdet är 130°. Lägg speciellt märke till att det inte är minimipunkten och maximipunkten som ger dessa värden.

kl 9-11

Minsta värdet är 80° och största värdet är 110°. Här ger maximipunkten det största värdet.

kl 10-13 Minsta värdet = 50°

Största värdet = 130°

Det största och det minsta värdet i ett begränsat intervall finner man antingen i maximi- eller

minimipunkter eller i intervallets ändpunkter.

y

I

Använd grafen för att bestämma funktionens största och minsta värde.

I

I

'

.I

\ SVAR:

X

/

'

Största värdet är 4, minsta värdet är - 3. -".l

-

148.- 3.3 DERIVATOR OCH GRAFER .....

•

Här ska vi bestämma största och minsta värde för f(x) = x 3 - 6x2 + 9x + 3 i intervallet 0,5 < x < 4,5. 1) Först bestämmer vi derivatans nollställen.

f'(x) = 3x2 - 12x + 9 f'(x) = 0 ~ 3x2 - 12x + 9 = 0 ~ x 2 - 4x + 3 = 0 ~ x = 2 + 1 x l = 3 och x 2 = 1 2) Nu kan teckenschemat fyllas i. Vi bestämmer om derivatan blir positiv eller negativ för x-värden på båda sidor om våra nollställen. Vi kan t ex välja x = 0, x = 2 och x = 4.

f'(0)=9 !'(2) = -3 !'(4)=9 f(x) f(x)

växande funktion avtagande funktion växande funktion

~ ~

~

0

1

2

3

4

+

0

-

0

+

/

~

X

-

/

3) Vi beräknar värdet av f(x) = x 3 - 6x2 + 9x + 3 i extrempunkterna och i intervallets ändpunkter. 3

2

f( l ) = 1 - 6 · 1 + 9 · 1 + 3 = 7 f(3) = 33 - 6. 32 + 9. 3 + 3 = 3 f(0,5) = 0,53 - 6 · 0,52 + 9 · 0,5 + 3 = 6,125 f(4,5) = 4,5 3 - 6 · 4,52 + 9 · 4,5 + 3 = 13,125 När vi jämför dessa fyra värden ser vi att:

,y

s ör< ta v~rd

~

I

\.

'

'

•

) /

l llll~uv~,u"'

X

Funktionens största värdet är 13,125 (för X = 4,5) Det minsta värdet är 3 och då är x = 3. Här gäller alltså att det största värdet inte finns i maximipunkten. Medan däremot det minsta värdet finns i minimipunkten (3, 3). SVAR:

Största värde är 13,125 och minsta värde är 3.

Lägg märke till följande: Om intervallet är "öppet" till höger, dvs x < 4,5 (inte "lika med"), saknas största värde.

DERIVATOR

149~

Globalt max Globalt maximum och minimum Ett annat ord för största och minsta värde är globalt maximum och globalt minimum.

Lokalt min Lokalt maximum och minimum Extrempunkter som inte är "det största" eller "det minsta" värdet, kallas ofta lokalt maximum

Globalt min

och lokalt minimum.

3319

Bestäm funktionernas största och minsta värden.

a)

3323

b)

a)

/ \ 'I- I

\

' I

X

\

3325

Bestäm största och minsta värdet för följande funktioner.

-

J

I

1

I

f (x) = 4x -

x

2

-

3326

2

b) j(x) = x2 - 5x 3321

3322

= 2x

3

-

24x

b) y = l ,5x2 - x3 + 5

Antalet anställda i ett företag varierar enligt funktionen 2 y = 34x - x + 350 där x = tiden i år från 2000. Bestäm största och minsta antalet anställda i följande tidsintervall. a) 0 ~X~ 15

b) 10 -

\

\ a) För vilka x är g(x) = O?

c)

b) När är g'(x) = O?

Ay

1X

c) Bestäm g(2) 1

d) Bestäm g'(2)

3330

Använd grafen i föregående uppgift och lös följande uppgifter. a) När är g'(x) < 0?

Graferna d), e) och f) är derivata-grafer till funktionerna ovan. Vilken derivata hör till vilken funktion?

b) När är g'(x) = 2?

d)

e) Ay'

c) När är g'(x) > 0? d) Bestäm g'(O)

A y'

X

X

1

3331

Diagrammet visar en cyklists hastighet v (meter/minut). a) Vilken hastighet har cyklisten de 5 första minuterna?

f)

Ay'

1X

b) Är det sant att hastigheten sjunker efter 5 minuter? m/min

I ),,,.

v

150 i - - - - - - -

tid ),,,

min

DERIVATOR

Historiens mest kände badare är utan tvekan Arkimedes. Då han låg i sitt badkar för ca 2300 år sedan sägs han ha fått sin aha-upplevelse, Arkimedes princip, som i korthet innebär: Vattnets lyftkraft = tyngden av det vatten som trängs undan.

f

L

3334

l

__,,,.-----

i_----..-\

.

~

Eli11 tappar upp vatten i ett badkar. Diagrammet visar vattenflödet g' (liter/minut) till badkaret.

3335

Arkimedes tappar upp vatten i sitt badkar. Diagrammet visar vattenflödet g (liter/minut) till badkaret.

a) Hur stort är vattenflödet vid t = 2?

a) Hur lång tid fylls badkaret?

b) Hur ändras vattenflödet efter 5 minuter?

b) Vad händer efter 10 minuter?

c) Är det sant att vattenflödet till badkaret minskar i punkt P? d) Är det sant att vattenmängden i badkaret minskar i punkt P?

c) Är det sant att vattenmängden i badkaret minskar i punkt P? d) När är det som mest vatten i badkaret? liter/min g'

liter/min Ag'

30 -

-----.....

20 10 -

tid 1

2

3

4

5

. min

I

5

3336 Ge exempel på två funktioner

som har samma derivata-graf.

1·5~

.....

3.3 DERIVATOR OCH GRAFER

3337

Grafen visar en funktions derivata f' (x). Lös följande uppgifter med hjälp av figuren.

3340

Vilket av följande alternativ visar grafen f'(x) då f(x) = x 3 - 12x?

b)

a) f'(x)

a) För vilka x är f' (x) = O?

f'(x)

b) Bestämf' (l) c) För vilka x är f' (x) > O?

X

X

d) För vilka x är f ' (x) < O? f'(.')

c)

y-

'"

/

\

I

f'(x)

f'(x)

X

\

X

\

I 3338

d)

Denna figur visar grafen till y '.

y·

Vilket av följande alternativ är funktionen y?

3341

En tredjegradsfunktion har en minimipunkt för x = -2 och en maximipunkt för x = 2. Vilken av graferna i föregående uppgift visar derivatagrafenf'(x)?

3342

Nedan ser du derivatan till funktionen y = f(x). Rita en skiss som visar funktionsgrafen f(x).

X

>

a) y = 2 - x 2

b) y

= 2x -

x3

c) y = x 3 - 2 d) y = x 3 - 2x

y·

3339

Ali studerar in- och utflyttning av personer i en region. Diagrammet visar förändringshastigheten n' (personer/år). Vilka av följande påståenden är sanna?

X

a) I punkt A ökar folkmängden i kommunen.

b) I punkt B är folkmängden störst.

3343

c) I punkt C ökar folkmängden. d) I punkt D är folkmängden minst. n

Figuren visar derivatagrafenf'(x). För vilket eller vilka värden på x har kurvan till funktionen f (x) en tangent som är parallell med linjen 8x - 2y = 16? y'

f'(x)

B

O tid ar 0

1

X

1

DERIVATOR

15~

Andraderivatan I det här avsnittet kommer vi att använda andraderivatan när vi bevisar maximum och minimum för en funktion. Metoden är mycket snabbare än att använda teckenstudium. Låt oss undersöka två funktioner, den ena med en minimipunkt och den andra med en maximipunkt. Vi har ritat funktionernas grafer och under dessa motsvarande derivatagrafer. y y = x2 -

bx

+

10

y y = bx - x2

X

X

3

3 y'

Ay '

y' = 2x - 6

y' = 6 - 2x X

X

För x = 3 gäller följande:

För x = 3 gäller följande:

• y-grafen har minimipunkt

• y-grafen har maximipunkt

• y'-grafen skär x-axeln, dvs y' = 0

• y' -grafen skär x-axeln, dvs y' = 0

• Vi ser också att y' -grafen har positiv lutning.

• Vi ser också att y' -grafen har negativ lutning.

Om vi deriverar uttrycket för y' så får vi andraderivatan y''. Utläses "y-biss': Sedan tidigare vet vi att y' ger oss lutningen av funktionen y. På motsvarande sätt ger oss y" lutningen av y' -grafen. 2

y = x - 6x + 10 y' = 2x - 6 y" = 2 dvs positivt

2

y = 6x- x y' = 6 - 2x y" = -2 dvs negativt

Positiv lutning på derivatagrafen innebär att "andraderivatan är positiv': Negativ lutning på derivatagrafen innebär att "andraderivatan är negativ': SAMMANFATTNING:

För funktionerna ovan gäller att y' = 0 för x = 3. När y' -grafen lutar positivt, dvs y" > 0 så har yen minimipunkt. När y' -grafen lutar negativt, dvs y" < 0 så har yen maximipunkt.

1·56--- 3.3 DERIVATOR OCH GRAFER .....

Andraderivatans betydelse för max och min Om det för en punkt där x = a gäller att y' = 0 och

• y" > 0, så har yen minimipunkt för x =a. • y" < 0, så har yen maximipunkt för x = a. Om däremot både y' = 0 och y" = 0 kan vi inte dra någon slutsats angående funktionen y. Då måste vi istället teckenstudera y' som tidigare.

Utgå från funktionen y = x 3 + 6x 2• För vilket värde på x har y maximipunkt? 2

y = x 3 + 6x y' = 3x2 + 12x = 3x(x + 4) y' = 0 för x = 0 eller x = -4

Nu använder vi den snabbare metoden m ed andrad erivatan. Vi sätter in x = 0 och x = - 4 i y" för att se om y" blir positivt eller negativt.

y" = 6x + 12 x = 0 ger y" = 6 · 0 + 12 = 12 som är > 0 =? minimipunkt x = - 4 ger y" = - 24 + 12 = - 12 som är < 0 =? m aximipun kt SVAR:

Maximipunkt för x = -4.

För funktionen y = 5 + x 4 gäller att y' = 0 för x = 0. Undersök m ed hjälp av derivata om det är en m aximi-, eller minimi- eller terrasspunkt.

y'

= 4x3 och y" = 12x2

Eftersom både y ' och y" är noll då x = 0 måste vi teckenstudera y '. O y' = 4x3

y

SVAR :

-

~

X

0

+

/

Fun ktionen y

= 5 + x 4 har en m inimipun kt då x = 0.

DERIVATOR

157~

3344

För vilket eller vilka värden på x har funktionen maximipunkt? a) y = 3x2 - x 3 c) y = 17x - x

3345

2

-

2x4

x3

-

x4

d) y

=

3

Detta är funktionens samtliga extrempunkter. 2

3

12x + 5 b) y = 0,5x

-

2

c) y = 3x(Sx - 7)

d) y = 2x

-

Rita en skiss av grafen till en funktion med följande egenskaper:

f(2) = 3,f'(2) = O,f"(2) < 0 och f(3) = l,f'(3) = O,f"(3) = 0.

Bestäm funktionens minimipunkt. a) y = x

3346

b) y = x2

3349

12x

-

x

4

+ 15

Nedan ser du grafen till en funktion f (x) samt dess förstaderivata f' (x) och andraderivatan f"(x). Vilken graf hör till funktionen, derivatan respektive andraderivatan?

3350

Vilka maximi- och minimipunkter har funktionen? 4

3

b) y= 4 X 3

-X -

a) y = 3x + 4x

3351

4

2

12x + 12

-

4X2

Vi vet följande: Hastighet v(t) = s'(t) Acceleration a(t) = v'(t) = s"(t) En hiss startar från första våningen på väg uppåt. Höjden s meter över markplanet efter t sekunder kan bestämmas med sambandet 2

s(t) = O,St

-

3

0,06t

a) Hissen stannar då hastigheten är noll. Hur högt är hissen då? 3347

b) Hur stor är hissens acceleration när den just startat?

Bestäm lokala maximi- och minimipunkter till funktionerna. 3

2

a) f(x) = x + 3x

-

9x

3352

b) f(x) = 9x2 - 2x3 + 2

Figuren nedan visar grafen till derivatan f'(x) för funktionenf(x) y'

3348

Figuren visar grafen till g'(x). I vilken eller vilka av de markerade punkterna har funktionen g(x) en maximi-, minimi- eller terrasspunkt?

1

X

1

g'(x)

c X

E

158__.e ~

3.3 DERIVATOR OCH GRAFER

Skissa i sa1n1na koordinatsystem grafen till funktionen och grafen till andraderivatan.

Maximi- och minimiproblem När du löser maximi- och minimiproblem är det bra att följa denna arbetsgång:

1) Teckna ett funktionsuttryck och ange definitionsmängd 2) Derivera funktionen och bestäm derivatans nollställen 3) Avgör extrempunkternas karaktär 4) Bestäm största eller minsta värde

Bestäm triangelns maximala area. Avrunda svaret till två värdesiffror.

(m)

2x 15 - 2x

1) Teckna ett funktionsuttryck och ange definitionsmängd

Arean A

=

2x(l5- 2x) 2

= x(l5-2x) = 15x -

2

2x

Eftersom triangelns bas 15 - 2x > 0 gäller att x < 7,5 Definitionsmängden är O < x < 7,5 2) Derivera funktionen och bestäm derivatans nollställen

A' = 15 - 4x A' = 0 då 15 - 4x = 0 dvs då x = 3,75

Vi ser att x = 3,75 ligger i definitionsmängden. 3) Avgör extrempunkternas karaktär Vi bestämmer andraderivatan A". A" = - 4 dvs A" < 0 Detta bevisar att vi har ett maximum då x = 3,75. 4) Bestäm maximala arean 2

A(3,75) = 15 · 3,75 - 2 · 3,75 = 28,125 s v AR: Den maximala arean är ca 28 m 2 •

DERIVATOR

159~

2

Figuren visar andragradskurvanf(x) = 4 - x • En rektangel ABCD har två hörn på kurvan och två hörn på x-axeln. Se bilden. a) Bestäm rektangelns maximala area. b) Kontrollera din algebraiska lösning med en grafisk metod. Ay

1) Teckna funktionsuttryck och definitionsmängd Kurvan är symmetrisk kring y-axeln. Om punkten A har kordinaterna (x, O) blir höjden AB = 4 - x 2 basen DA = 2x Rektangelns area A(x) = 2x(4 - x 2 ) = 8x - 2x3 . Grafen skär x-axeln för x = +2. Definitionsmängden är O < x < 2. 2) Bestäm derivatans nollställen 2

A '(x) = 8 - 6x

A'(x) = 0 ~ 8 - 6x 2 = 0 ~ x = +J4 I 3 ::::: +1,1547

Här är bara det positiva värdet x = 1,1547 i definitionsmängden. 3) Avgör extrempunkternas karaktär A"(x)

= -12x ~ A"(l,1547) = -12 · 1,1547 < 0 ~ maximivärde

4) Maximala arean A(l,1547) = 8 · 1,1547 - 2 · (1,1547) 3 ::::: 6,16 Till slut ritar vi areafunktionen A(x) = 8x - 2x3 för O < x < 2. Vi ser att vårt svar stämmer. Maximum

SVAR:

160.,.

.....

3.3 DERIVATOR OCH GRAFER

Rektangelns maximala area blir ca 6,2 ae

X=1 .1 547012

Y=6.1584029

3353

En bolls höjd h (meter) över marken kan beräknas med formeln

3356

h(t) = 12 + 20t - 5t2 där t = tiden i sekunder. Bestäm bollens högsta höjd över marken. 3354

3

Volymen V cm av 1 kg vatten i temperaturintervallet O < x < 30, där x är temperaturen i °C, kan bestämmas med V(x) = 999,9 - 0,0643x + 0,0085x2 - 0,000068x3 Vid vilken temperatur är volymen minst? Svara hela grader.

3355

Bestäm rektangelns maximala area. 36 - 2x

X

(m)

Värdet V (kr) av en viss aktie är en funktion av tiden t (månader) enligt V(t) = 75 - l,2t + 0,04t2

Bestäm aktiens minsta värde. 3357

Fältforskningsenheten vid Sveriges Lantbruksuniversitet har undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkar skördens storlek för olika kornsorter. För kornsorten Baronesse gäller funktionen

f (x) = 0,002x3 -

0,8lx2 + 105,6x + 1600,

0 2

3x 2 -1

b) f(x)=

3421

3423

3424 Stämmer följande påstående? "Om en funktion f är kontinuerlig i ett intervall a < x < b ochf (a) ochf (b) har olika tecken så har funktionen minst ett nollställe i intervallet'~

förx < 2

4x 2 -5 förx > 2

Använd grafritare och avgör om någon av följande funktioner är kontinuerlig. 1 1 a) y=b) y=-2 c) y=.rx X

Ge exempel på en funktion som är diskontinuerlig för x = 3.

3425

För vilka värden på C blir funktionerna kontinuerliga?

X

2

x +C förx 3

a)

f(x)=

1

förx ~ 1

X

5C-x förx < 2 b) f(x)= "\/!2x-5C 1Ör c X> 2

Diskret funktion Pedro köper biobiljetter för 50 kr/st. Kostnaden y kronor är en funktion av antalet köpta biljetter x st. Funktionen skrivs y = 50x.

kr 'y

·-

250 200

•

150

Detta är exempel på en diskret funktion. Lägg märke till att endast heltalsvärden 100 på x är tillåtna. Pedro kan ju bara köpa 50 ett helt antal biljetter. Grafer till diskreta funktioner blir alltid "punktformiga''.

X

1

2

3

4

5

st

lH::11.:Jl.i-1.3 Är funktionen diskret? a) En bils hastighet v (km/h) då du övningskör b) Kostnaden T (kr) då du köper x st semlor c) Massan m (kg) av x liter vatten d) Sträckans (meter) som ljuset hinner på tiden t (sekunder) s v AR: Endast b) är diskret.

DERIVATOR

169~

3426

Avgör vilka av funktionerna nedan som är diskreta och vilka som är kontinuerliga.

3427 Vilket/vilka av följande är alltid

en diskret variabel?

A: P(x) = 234x, där P är priset då du köper x böcker.

tid längd temperatur antal vikt

B: T(x) = 83 · 0,89x + 13, där Tär temperaturen efter x timmar.

strömstyrka kraft

C: v(t) = lOt + 20, där v är hastigheten hos en fallande sten efter t sekunder D: y(x) = 50 + 80x, där y är vikten av x kulor som ligger i en låda

lnflexionspunkt och derivata Här ser du samma bild som när vi undersökte derivatans graf. •

' ('(> 0 i ett intervall så ärf(x) växande i intervallet. Omf'(x) 5 0 i ett intervall så ärf(x) avtagande i intervallet. f ' (x) får inte vara noll i hela intervallet.

Maximi-, minimi- och terrasspunkt

Omf'(a) för x = a.

=

0 har funktionenf(x) en maximi-, minimi eller terrasspunkt y

max imipunkt ter rasspunkt X

m inimip unkt

Största och minsta värde I ett intervall har en funktion största/minsta värde antingen i maximi/minimipunkter eller i intervallets ändpunkter.

-4-

y

/

'\ \

•. X

Största värdet är 4. Minsta värdet är -5. -eLokala och globala extrempunkter

Globalt maximum = Största värde Globalt minimum = Minsta värde Man skiljer på lokala och globala extrempunkter enligt figuren.

Globalt max

Lokalt min

Globalt min

Andraderivata

Då vi deriverar y' får vi andraderivatan y" 3

y = 4x + 8x

Andraderivatans tecken

Kontinuerlig och diskontinuerlig funktion

y" = 24x

f'(a) = 0 ochf"(a) < 0

=::}

f(x) har en maximipunkt för x = a

f'(a) = 0 ochf"(a) > 0

=::}

f(x) har en minimipunkt för x = a

f'(a) = 0 ochf"(a) = 0

=::}

vi måste teckenstuderaf'(x)

Man skiljer på kontinuerliga och diskontinuerliga funktioner. Om grafen är sammanhängande och inte har några "brott" är funktionen kontinuerlig.

•

'

b

a

Diskret funktion

y' = 12x2 + 8

•

a'

b

Kontinuerlig i

Diskontinuerlig i

a~x~b

a~x~b

En diskret funktion är en funktion där endast vissa x-värden är tillåtna, t ex bara heltal.

€)

Beräkna följande gränsvärden. x 2 -25 (3+h) 2 -3 2 a) lim b) l i m - - - x-45 X - 5 h-40 h

Visa hur du bestämmer f'(l) med hjälp av 2 derivatans definition, då f(x) = 3x

20+ 0 98x c) lim ' X-4= 5

Nedan ser du grafen tillf(x) = 6x - x och en sekant dragen mellan de punkter där x = 1 och x = 3.

2

y

Bestäm derivatan till följande funktioner. a) y = x 5 - 4x3 + 9x - 4 b) y = (Sx - l)(Sx + 1)

0

Bestämf'(4) då a) f(x) = 3x3 c)

0

f (x) = 3x -

-

x

2

x2 f(x) =

b)

4

x3 -

6 a) Bestäm sekantens lutning

7

b) Det finns en tangent till grafen som har samma lutning som sekanten. Bestäm tangentens ekvation.

Bestäm från grafen

b) f(2)

a) f(O)

c) f'(l) 1

d) f' (2)

e) Lös olikheten f (x) > 0.

Ett föremål rör sig enligt s(t) = 3f + St där s är sträckan i meter och t är tiden i sekunder.

Yl I

I I I I I I I I I I I lr =lf(x1 I I

1

I

I

a) Bestäm s(2)

c) Vad betyder s(2) och s'(2)?

'

e

I XI

I JI

b) Bestäm s'(2)

\)/

Bestämf'(-1) då

a) f(x)

=

x 99

b) f(x) = (x - 3)2

c) f(x) = 7x

(!J)

Derivera följande funktioner.

a) f(x) = 5x7 - 3x4 + 102 4

2

b) g(x) = -0,5x + 4x

-

3

g(2)

3

Sx + c

c) h(u) = 8vlu - u-2 + 2u1.3 Grafen till y = x - 6x + 2 har en tangent i den punkt på grafen där x = 1. Bestäm en ekvation för tangenten.

Skissa grafen till funktionen g(x) om du vet att

®

=

11

5, g'(2) = 0 och g (2) < 0.

Vi har funktionen y = ax

3

-

2

9x + 5

a) Grafen har en minimipunkt för x = - 1. Bestäm konstanten a. b) I vilket intervall är y växande?

Funktionen g(x) har en inflexionspunkt för x = 5. Bestäm g"(5)

Ett föremål kastas lodrätt rakt uppåt med farten 20 m/s. Efter tiden t sekunder är föremålet s(t) meter över marken enligt s(t) = 20t - 5t2. Bestäm

Figuren visar en derivatas graf. y•

a) hastigheten efter 1,5 s b) höjden efter 3 sekunder

1 X

I

( '\j \,. )

c) vid vilken tidpunkt som hastigheten är noll

-

'

d) stighöjden, dvs den högsta höjden som föremålet når. Ett företag beräknar att vinsten V (kr) vid försäljning av en viss vara beror av varans pris p (kr) enligt

a) När är y' = O? b) När är y' > O? c) När är y avtagande?

V(p) = p(50 000 - 20p) - 80 000

d) När har yen maximi-, minimi- eller terrasspunkt?

a) För vilket pris på varan blir vinsten maximal? b) Vilken blir den maximala vinsten?

För funktionen h(x) gäller att h"(x) = 6x. Ge exempel på funktionen h(x).

På ett laboratorium görs försök med nedisning. Man mäter massan m (kg) av is på en flygplansmodell. Massan efter t minuter beskrivs med funktionen m(t) = 4,5 · t0' 25 • Bestäm m'(lO) och förklara vad m'(lO) betyder.

En funktions derivata visas i bilden. Beskriv den ursprungliga funktionen. y'

0

Summan av bas och höjd i en triangel är 14 cm.

X

1 X

a) Skriv triangelns area y som en funktion av basen x. b) Ange funktionens definitionsmängd. c) Bestäm triangelns största area.

DERIVA TI OR

Till kurvan y = x 2 - 2x - 1 finns två tangenter. Den ena tangeringspunkten har x = 0 och den andra har x = 2. Beräkna koordinaterna för den punkt där dessa två tangenter skär varandra.

I figuren är linjen y = -0,Sx + 4 och en rektangel ritad. Rektangeln har två sidor längs de positiva koordinataxlarna och hörnet P ligger på linjen. Punkten P:s x- koordinat betecknas med x. a) Teckna en funktion A(x) för arean av rektangeln.

Ett cirkulärt papper med radien 6,4 cm viks upp så att man får en cylindrisk pappersform för bakverk (se figur).

b) Bestäm funktionens definitionsmängd.

.,.,.----~~

c) Vilket är det största möjliga värdet på rektangelns area?

,/

I

/

I

I

I\ •

\

\

Det finns en tangent till kurvan y som har k = - 2.

=

8x - x

2

Bestäm tangeringspunktens koordinater. I en odling fanns 40 000 bakterier kl 9.00. Efter x timmar var antalet N, där 2 N(x) = 40000 + lOOOx + 200x • a) Hur många bakterier fanns det kl. 12.00? b) Hur stor var ökningen av antalet bakterier, b.N, mellan 12.00 och 14.00. flli c) Beräkna ändringskvoten ~X i uppgift b.

\

Beräkna med hjälp av derivata hur papperet ska vikas för att pappersformen ska få så stor volym som möjligt. (NP Matematik C Vt 2011)

Bestäm största och minsta värdet hos f(x) = 3x4 - 8x3 - 48x2 + 5 i intervallet - 3 < x < 5. Gränsvärdet ger derivatans värde hos en funktion f i en given punkt P. 4

4

lim ( ( 3 + h ) + 5 ) - ( 3 + 5) h~O h a) Vilken är funktionen f?

d) Tolka vad du har beräknat i uppgift c. Visa hur du bestämmer konstanten C så x2 för x :S 4 att funktionen f (x) = x+C förx > 4 blir kontinuerlig.

b) En tangent dras i punkten P. Bestäm tangentens ekvation.

BLANDADE UPPGIFTER 1

Vid ett kemiskt experiment beror temperaturen y °C av tiden x minuter enligt

y

=

5

Bestäm ur teckenschemat i uppgift 4 koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter.

6

Undersök om punkten (0, 0) är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

2

3x där O < x < 6

a) Bestäm temperaturen efter 5 minuter. b) Bestäm temperaturökningen Liy från t = 4,9 till t = 5,1. c) Beräkna och tolka Liy från t = 4,9 till t = 5,1. Lix

7 2

Derivera följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna. a) f(x) = 4x8

5x4 + 17x + 3

-

4

2

b) g(t) = -0,5x + 3x

3

-

a) y = 2x4 - x 2

b) y = 3x

c) y = x 3

d) y = x 4 - x

En bakteriekultur ökar enligt formeln N(t) = 2t3 + 50 där N(t) är antalet bakterier efter t minuter. a) Hur många bakterier finns det efter 5 minuter?

7x + a7

c) h(u) = 2Fx- 2x-4 + 2x 1' 7

b) Hur stor är tillväxthastigheten efter 1 minut?

Figuren visar grafen till en funktion f(x).

c) Hur stor är tillväxthastigheten efter 5 minuter?

y

\

\I

/ 8

& I ~\ I) V

1

A

;

Grafen visar funktionen y =f(x). y

I

,\

I

\ c \

J

~

~

X

F

A

8

.,

X

D

I~

c

I punkterna A, B och C har kurvans tangenter ritats. Bestäm med hjälp av figuren a) f'(O)

b) !'(2)

I vilken eller vilka av punkterna A - F gäller att:

c) f ' (4)

b) y' = 0

a) y= 0 4

2

En funktion har följande teckenschema. För vilka värden på x är funktionen växande respektive avtagande? -3 f'(x) f(x)

+

0

4

0

7 0

9

1

2 +

X

+

>

9

c) y' < 0

Bestäm eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till följande funktioner. Rita sedan graferna med räknare. a) y

= 12x -

x

3

b) y

= l,5x2 -

x

3

10 Är funktionen y = x 4 + x 3 + x 2 + x växande för x = -1?

DERIVATOR

11 Lös följande uppgifter med hjälp av figuren. '' y

/ '\

y = g(, )

I

1

'y

\

\

I

15 Figuren visar grafen till en funktion y = g(x) samt grafens tangent i punkten (0, -1).

\

\

\ X '

\ I

-

y-= g( 1 f '(x) = a x. Vi söker alltså en basa så att följande gäller, då h går mot noll: ah -1 - - = 1 =:> ah = 1 + h =:> a = ( 1 + h) 1111

h

a = lim(l + h)

1111

h~O

:::::

2, 718281828459045 ...

Detta tal kallas "talet e".

O

DEFINITION: Talet e 1/h

e = lim ( 1+ h) ""2, 71828 h"'O

TALET e OCH INTEGRA LER

Härledning av derivatan tillf(x) = e4x

f (x + h) - f (x)

e 4( x+h) - e 4x -

h

e 4x+4h - e 4x -

h

e4x . e 4h - e 4x

h

h

=

e 4x

e 4h

h

1 '( x=1m ) 1. e4x ·e--h--to h 4h

f

e 4h - 1 Vad händer med - - när h - O? h Från värdetabellen ser vi att

e4h - 1 - h- får gränsvärd et 4 när h - 0. 0,1 0,01 0,001

4h

f'(x)=lim e4x . e -1 =e4x ·4=4 · e4x h--tO h SLU T SAT S:

f(x)

=

e4x har derivatan f ' (x)

f(x) = e kx ~ f '(x) = k.

e kx

=

4 · e4x

där kär en konstant

Bestäm derivatan till följande funktioner. a) y = e3x

y

I

= 3 • e3X = 3e3X

-X

b) y = e = e y = - 1 · e- X = - e- X I

c) y = 200 . e-0 •4 x y' = 200. (- 0,4) . e-0,4 x = - 8oe-0·4 x

4.1 FLER DER IVATOR

-l ·X

-1

4,918 .. . 4,081 .. . 4,008 ...

Antag att en befolkning ökar enligt y = 160 . e0•03x där y är befolkningen i miljoner efter x år. Bestäm tillväxthastigheten för x = 1 och x = 10.

y' = 160 . 0,03 . e0•03x = 4,8 . e0•03x y ' (l) = 4,8 · e0 ·03 · 1 = 4,8 · e0•03 :::::: 4,9

y ' (10) = 4,8 · e0•03 · 10 = 4,8 · e0 ·3 :::::: 6,5 SVAR:

Efter 1 år är tillväxthastigheten 4,9 miljoner/år. Efter 10 år är tillväxthastigheten 6,5 miljoner/år.

Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = e-2x + 3x i den punkt på kurvan där x = 0. Rita funktionen och tangenten på din räknare för att kontrollera resultatet. Vi deriverar funktionen och beräknar derivatans värde för x = 0.

y = e-2x + 3x y = - 2 ·e-2x + 3 I

y'(O) = -2 · e-2 · 0 + 3 = -2 · e0 + 3 = -2 · 1 + 3 = -2 + 3 = 1

Tangentens lutning k = 1. Tangeringspunkte11s y-koordinat beräknas: y(O) = e-2 · 0 + 3 · 0 = e0 + 0 = 1 Tangeringspunkten är (O, 1) och k = 1. Vi bestämmer tangentens ekvation: y = kx+m l=l·O+m m =1 y=x + l SVAR:

y

y = X+ 1

TA LET e OCH INTEGRA LER

4101

Beräkna och svara med 3 värdesiffror. a) e2 b) e-0.1 d) e2,I _ eO, I

c) 2-e

4102

4103

4110

c) y = 4 + e-x 4111

Beräkna med tre värdesiffror 2

x

1

I en bakterieodling ökar antalet bakterier 51 enligt formeln N = 250 · e1' där t är tiden i timmar. Bestäm tillväxthastigheten med två värdesiffror då

a) t = 0,5 4105

b) Bestäm P'(ll) och tolka resultatet.

4112

Vilken lutning har grafen till f (x) = e" ·x i den punkt där grafen skär y - axeln?

4113

Talet e kan definieras på olika sätt.

b) t = 2 11 h

Beräknaf'(O) då

a) Använd e = lim( I+ h )

a) f(x) = Sex - 6e-3x + e-x

h~ O

4107

n~~

Ett radioaktivt preparat sönderfaller enligt formeln m = 20 · e- 0·12 1 där m är den mängd i gram som återstår efter t minuter. Hur stor mängd av preparatet återstår efter a) 5 minuter

c) Förklara, varför de två definitionerna på e ger samma närmevärde.

b) 1 h?

4114

Tänk dig en en ft1nktion f(x) där det gäller attf(O) = 30 och derivatanf'(x) = 12e2 x. Vilken är funktionen?

4115

Funktionenf(x) = ex har en tangent i den punkt där x = a. Visa att tangenten skär x-axeln då x = a - 1.

4116

Funktionenf(x) = ex är given. Vilka av alternativen nedan är sanna för alla tal a?

b) 10 minuter.

4108 Adam har lärt sig en minnesregel för komma ihåg 10 decimaler i talet e. Han säger så här: Jag vet att jag ska börja med 2,7. Så upprepar jag ett visst årtal två gånger. Sedan tänker jag på vinklarna i en halv kvadrat. Försök att lära dig talet e med 10 decimaler.

A f(2a) = 2f(a) B f(2a) = (f (a) )

2

C f(2a) = f(2) · j(a) 4109

Beräkna f"(O) då a) f(x) = 3x + e2 x

n

ett närmevärde till e med n = 10 000.

Bestäm sönderfallshastigheten i föregående uppgift efter a) 2 minuter

och bestäm

ett närmevärde till e med h = 0,0001. 1 n b) Utgå från e = lim 1 +- och bestäm

b) f(x) = 16 · e-0.4Sx 4106

Luftrycket P, som mäts i kPa, avtar exponentiellt med höjden x km över havet enligt sambandet P = 101 . e-0•12x . a) Bestäm P(l l,l)- P(l0, 9 ) och tolka 0,2 resultatet.

b) j (2) då j(X) = X - eO,Sx 4104

b) y = 6x - e-2 x

a) y = e2x

Derivera följande funktioner. b) y = 200 · e3x a) y = esx + ex d) y = e2 - e-!Ox + e-x c) y = x - e-4x

a) f'(l)dåf(x)=e

Bestäm en ekvation för tangenten till följande kurvor i den punkt på kurvorna där X= 0.

D f(2 + a) = f(2) · f(a) b) f(x) = 2800 · e-o.osx

E j(- a) = -f(a) F f(-a) = (f (a) )-1

4.1 FLER DERIVATOR

Naturliga logaritmer Tidigare har vi sett att alla positiva tal kan skrivas som tiopotenser, tex 5 = 101g5 Exponenten kallas för talets tio-logaritm. Låt oss nu använda talet e som bas. Exponenterna kallas då för e-logaritmer eller naturliga logaritmer. Dessa betecknas ln (bokstaven I från logaritm, n från naturlig).

Figuren visar grafen till y = ex

y

Vi ser att 5 : : : e1'6

Y e

Alltså gäller att ln 5 : : : 1,6. Yi = 5

1 - 1 1 - 1 -1- -- -----... ····--t·t--+--+--t--1

X

Då vi bestämmer ln 5 med räknare får vi ln 5:::::: 1,6094 ...

O

DEFINITION: Naturliga logaritmen

ln a är det tal som e ska upphöjas till för att vi ska få talet a. Lägg märke till att

ex =a ~X = lna

lg 10 = 1 och ln e = 1

TALET e OCH INTEGRALER

De logaritmlagar som du lärde dig i kurs 2c gäller också för de naturliga logaritmerna.

Logaritmlagarna 1) ln (a · b) = ln a + ln b

a 2) ln- = lna-lnb b 3) ln aP=p · ln a

När vi löser ekvationer av typen ex= 50 använder vi oss av naturliga logaritmer. Se nästa exempel.

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. a) 4e3x

-

5 = 17

4e3 x = 22

e3x = 5,5 3x = ln5,5

Definitionen på naturlig logaritm.

ln5,5

x=-X~

3 0,568

b) lnx = 1,5 X = e l ,5 X~

4,48

c) In (0,5x + 3) = 4,5 45 '

0,5x + 3 = e

0,5x = e4 ' 5 - 3 e4,5 - 3 x = ---

0,5 X=

4.1 FLER DERIVATOR

174

Använd derivata och bestäm det minsta värdet av funktionen f(x) = e2x - 5x. Kontrollera till sist resultatet med din räknare. Vi börjar med att bestämma derivatans nollställen.

f '(x) = 2e2x - 5 f '(x) = 0 då 2e2x - 5 = 0, dvs 2e2 x = 5 e2x = 2,5 2x = ln 2,5 X::::

0,458

Nu använder vi andraderivatan för att undersöka om vi har en maximi-, minimi- eller terrasspunkt. f "(x) = 4e2x f "(0,458) > 0, vilket innebär att f(x) har en minimipunkt. Vi beräknar detta minsta värde och får f(0,458) = e2 · 0•458 SVAR:

a) lnx = 4,9

4118

4121

a) lne

b) ln e-

1 c) In-

4122

a) eln2

b) eln S

c) e-In5

4123

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror.

4120

a) ln-=3 2 -

b) e5 x

= 40

c)

3

b) 3ex = 30

9=2

a) In (x + 5) = 4

e-3x

3

2

a) 4x = 12

X

c) 2e0 •5x

X=.4581 441 8 Y=.20927317

Beräkna och svara exakt.

c) e0•2 x = 5200

4119

Minimum

= 0,8

e

b) ln4x = 3,5

c) lnx = -2 a) ex= 400

5 · 0,458::::: 0,21

Minsta värdet är 0,21. Räknarens resultat visar att svaret är rätt! Se bilden.

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror.

4117

-

b) 2 3x

= 850

c) I,5-x = 0,01

= -3 då

4124

Lös ekvationen g'(x) g(x) = 15 · e-o.sx

4125

Bestäm med hjälp av derivata minimipunkten till funktionen y = ex -x. Skissa också funktionens graf.

b) lnx - I= I

TALET e OCH INTEGRALER

4126

Funktionenf(x) = 2e2x - 8x + 3 har en minimipunkt. Bestäm minimipunkten med hjälp av derivatan. Kontrollera sedan svaret genom att rita funktionen på din räknare.

4130

Beräkna det kortaste vertikala avståndet d mellan kurvan f(x) = ex och linjen g(x) = 2x (se figur). Svara exakt. (Np Ma kurs C Ht. 2000)

y •

;: I

4127 Förklara, utan att använda räknare, hur du kan bestämma ungefärligt värde på ln 3 och lg 3.

l

1

f()) I

4128

Nedan ser du grafen till både en exponentialfunktion y = Cekx och dess derivata. Vilken graf är funktionens och vilken är derivatans? Motivera!

I 4131

Ay

'/ f

/ I

/-r(x - ,-1

= ,x V

I

' X X

I

Temperaturen y (grader) i en ugn ökar enligt y = 130 · l ,2x där x är tiden i minuter. a) Skriv funktionen på formen y = C · ekx b) Bestäm temperaturen efter 10 minuter.

X

>

4129

c) Derivera den funktion som du har svarat med i uppgift a).

Bestäm med hjälp av derivata det x-värde då funktionenf(x) = x2 + e2x antar sitt minsta värde. Svara med två decimaler.

d) Beräkna och tolka y'(lO). Svara med 2 värdesiffror. 4132

4.1 FLER DERIVATOR

Visa att f(x) = 5e-2x + a3 - 10x2 har en inflexionspunkt där grafen skär y-axeln.

Derivatan av y = 2x För att kunna derivera y = 2x måste vi först skriva funktionen så att basen uttrycks i e. Eftersom 2 = e102 får vi

Vi deriverar på vanligt sätt och får y' = ln 2 · e10 2 · x = ln 2 · 2x y = 2x har alltså derivatan y'

f(x) : ax

~

f I (X) : ln a ' ax

=

ln 2 · 2x

då a > 0

Exponentialfunktioner är ofta skrivna med ändringsfaktorer. Antag t ex att antalet turister på en badort ökar med 35 % per år och att det fanns 400 turister år 2012. Exponentialfunktionen y = 400 · l,35x ger antalet turister x år efter 2012. Om vi vill veta tillväxthastigheten, måste vi derivera. Se exempel 1.

Bestäm y' då y = 400 · l,35x. y' = 400 · ln 1,35 · l,35x SVAR:

y' = 400 · ln 1,35 · l,35x

En bils värde i kronor minskar enligt V(t) = 140 000 · 0,7' där tär antalet år. Bestäm värdeminskningen i kr/år då t = 2. V'(t) = 140 000 · ln 0,7 · 0,7t V'(2) = 140 000 · ln 0,7 · 0,72 ~ - 24 500

Svaret blir negativt eftersom det är en minskning. SVAR:

Värdeminskningen är ca 24 500 kr/år.

TALET e OCH INTEGRALER

På en fysiklaboration mätte man hur snabbt kokhett vatten svalnade. Man anpassade en graf till mätvärdena och fann att vattnets temperatur kan beskrivas med sambandet y(x) = 80 + 20 · 0,9lx. Här är y temperaturen i grader och x är tiden i minuter. Efter hur lång tid minskar te1nperaturen med 1 grad per minut? y(x) = 80 + 20 · 0,9lx

Detta ger y ' (x)

=

20 · ln0,91 · 0,9lx

Vi löser ekvationen y'(x) = - 1 20 · ln0,91 · 0,9lx = - 1

0,9lx =

-l

20 · ln0,91

x · ln0,91 = ln SVAR:

4133

4135 4136

20 · ln0,91

=

5x

b) y

Bestäm P'(lO) då P(t)

=

=

~

x

~

6,73

Efter ca 7 minuter.

Derivera följande funktioner. a) y

4134

- 1

4138

150 · l,3x

200 · l,4i

På en uteservering serveras kaffe. Temperaturen hos kaffet minskar enligt y = 25 + 70 · 0,955x grader, där x är tiden i minuter efter det att kaffet har serverats. a) Bestäm kaffets temperatur efter 5 minuter.

Bestämf'(4) dåf(x) = 60 000 · l,025x

b) Bestämy'.

Lös ekvationen E'(t) = 3500 då E(t) = 20 000 · 1,05 1

c) Bestäm temperaturminskningen då X =

4137

d) När är kaffets temperatur 60 grader?

En stads befolkning N(t) ökar med tiden tår enligt N( t) = 35 000 · 1,0281•

e) När är temperaturminskningen 1,4 grader/minut?

a) Bestäm N'(t). b) Beräkna tillväxthastigheten då t = 1.

5.

c) Beräkna tillväxthastigheten efter 5 år.

I vilken punkt på kurvan y = 3 · 5x har tangenten lutningen 2?

d) Efter hur lång tid beräknas tillväxthastigheten vara 2000 personer/år?

Ange koordinaterna med tre värdesiffror.

4.1 FLER DERIVATOR

4139

4140 Du sätter in 15 000 kr på ett konto med 6 % ränta.

Teckna ett samband som visar hur mycket pengar, y (kr), du har på kontot efter x år. Visa sedan hur du löser ekvationen y '(x) = 1200 och tolka svaret.

4141

Grafen till g(x) = C · 2°.sx går genom punkten (4, 2) och har en tangent där kurvan skär y -axeln. Bestäm var tangenten skär x-axeln. Svara exakt.

.,.

. . . :. . .•. . • :!: • • • . .::: :-;

Problemlösning

Temperaturen y (grader) på varmt kaffe i en kaffekanna avtar enligt y = 20 + 80 · e-0•025x där x är tiden i minuter. Hur lång tid tar det för temperaturen att sjunka till 70 grader? 20 + 80 . e-0 •02 sx = 70 80 . e - 0,025x = 50 e -0,025x

= 0,625

-0,025x = ln 0,625

x=

ln0,625 -0,025

SVAR:

:,:::19

Ungefär 19 minuter

TALET e OCH INTEGRA LER

Vid ett experiment odlas mögelsvamp. Vikten ökar från 7 gram till 14 gram på 15 timmar. Teckna, på 3 olika sätt, modeller som visar hur mögelsvampens vikt y (gram) ökar exponentiellt med tiden x (timmar). 1) y = C · ax

y(O)

=7

~ 7

= C · a0 ~ C = 7

Nu är formeln y = 7 · ax Lägg märke till att 7 är mängden från början! Efter 15 h är mängden 14 gram, dvs I

14 = 7 · a SVAR:

15

~ a 15 = 2 ~ a = 2 15 dvs a:::::: 1,047

y = 7 · l,047x

2) y = C · lOkx

y(O) = 7 ~ 7 = C · 10° ~ C = 7 Vi får formeln y = 7 . 1Okx Efter 15 h är mängden 14 gram, dvs 14 = 7 · lOLSk ~ 2 = 1015k ~ lg2 = 15k ~ k:::::: 0,0201 SVAR:

y = 7. 100.0201x

3) y=C·e1'x Vi väljer att direkt skriva 7 e15P = 14 där 7 är den ursprungliga mängden och 14 är mängden efter 15 timmar. Nu bestämmer vi konstanten p. 15 15 7e P = 14 ~ 2 = e P ~ ln 2 = 15p ~ p:::::: 0,0462 Detta ger y = 7 e 0•0462x SVAR:

4142

y = 7e0,0462x

Antag att antalet elever på en högskola ökade enligt y = 480 · eo.ossx där y är antal elever efter x år.

4143

Värdet V (kronor) av en aktie ökar med tiden x år enligt V = 180 . e0•32x

a) Hur många elever fanns det från början?

a) Hur stor är den procentuella ökningen per år?

b) Hur många elever fanns det efter 4 år?

b) Bestäm V'(5) med tre värdesiffror.

c) Hur lång tid tog det för elevantalet att öka till 1000?

4.1 FLER DER IVATOR

4144

4147

Grafen till en exponentialfunktion y = C · ax går genom punkterna (O, 5) och (5, 20). Bestäm y'(6).

4148

En stor kastrull med kokhet soppa ställs i ett kylrum för avkylning. Soppans temperatur sjunker då från 100 °C till 66 °C på 5 minuter. a) Teckna en modell som visar hur temperaturen sjunker exponentiellt med tiden. Sätt y = temperaturen i °C och x = tiden i minuter. Använd basen e och bestäm de konstanter som förekommer.

Antalet turister i en liten by vid havet ökade med tiden x år enligt T = 200 . e0 •47x a) Hur många turister fanns det efter 5 år?

Använd din modell och lös följande uppgifter.

b) Efter hur många år fanns det 25 000 turister?

b) Vilken är soppans temperatur 2 minuter efter att avkylningen påbörjades?

c) Efter hur lång tid kan man räkna med att antalet turister ökade med 1000 personer/år?

c) Bestäm och tolka y' (1) d) Hur lång tid tar det att kyla soppan till 8 °C?

d) Hur stor var den procentuella ökningen per år?

e) Beräkna och tolka y'(4) 4145

Priset p (kronor) för en vara minskar med tiden t (veckor) enligt 041 p(t) = 70 + 250 · e-0• a) Vad kostar varan efter 3 veckor?

Antag att värdet V kronor av en aktie följer funktionen V(x) = 8,1 + e0•4 x - 2x där x = antal år efter 2007.

b) Efter hur lång tid kostar varan 220 kr?

a) Vad var aktien värd år 2007?

c) Lös ekvationen p'(t)

b) Vilket år var värdet minst?

=

4149

-5

c) Bestäm aktiens minsta värde.

d) Med hur många procent minskar priset den första veckan? 4146

Värdet av en aktie ökar från 100 kr till 115 kr på två år. Teckna en modell där aktiens värde ökar exponentiellt med tiden. Låt y vara aktiens värde i kr och x tiden i år. a) Använd basen e b) Använd basen 10 c) Bestäm aktiens värde efter ytterligare 3 år med hjälp av modellen i uppgift a)

4150

Antalet anställda vid en industri kan bestämmas med hjälp av formeln

N(t) = 3,2 + 2t - e0 ' 351 där N(t) = antalet anställda i tusental och t = antal år efter 2005, 0 < t < 10. a) Vilket år var antalet anställda störst? b) Hur många anställda var det som mest?

d) Gör nu samma beräkning med hjälp av modellen i uppgift b)

TALET e OCH INTEGRALER

4151

Det heta vattnet i en kopp svalnar enligt y = 20 + C · e-a·t där y är vattentemperaturen i °C och t = tiden i minuter.

4154

Med formeln h = 13,4ln d - 21,4 d > 20 kan man bestämma höjden h (meter) på ett träd av en viss sort, då man vet trädets diameter d (cm) som man mäter i brösthöjd. Tänk dig att ett träd har dubbelt så stor diameter som ett annat träd. Hur mycket högre är det ena trädet än det andra? Svara i meter med en decimal.

4155

Den mängd M som finns kvar av ett visst radioaktivt ämne efter tiden x kan beskrivas med sambandet M(x) = M 0 • e - Å·x där M 0 är mängden från början och konstanten A är sönderfallskonstanten.

a) Bestäm konstanterna C och a då man vet att vattnets temperatur från början är 100 °C och efter 3 minuter 75 °C. b) Vilken är temperaturen efter 5 minuter? c) Hur lång tid tar det för vattnet att svalna till 35 °C? d) Vilken blir vattnets temperatur efter mycket lång tid? 4152

Halveringstiden Tär den tid det tar för MO mängden M 0 att minska till

Sambandet h(t) = b · at där h mäts i cm och t i sekunder, visar hur höjden h på ölskummet i ett ölglas avtar med tiden t. Vid tiden t = 0 var höjden h = 17,0 cm och vid t = 300 var h = 6,3 cm. Bestäm h'(300) och tolka resultatet.

2

Visa att halveringstiden T kan ln2

bestämmas med sambandet T = A .

4156 4153

Visa hur du löser den här nationella provuppgiften.

Stekens temperatur ändras enligt y(x) = 200 - 180 · e -kx

En termos fylls med hett kaffe och placeras direkt utomhus där temperaturen ligger kring noll grader. Temperaturen på kaffet avtar exponentiellt med tiden.

där x = antal minuter som steken varit . 1 ugnen. a) Vilken temperatur har steken då den sätts in i ugnen?

Efter 4 timmar är temperaturen 76 °C och vid samma tidpunkt minskar temperaturen med hastigheten 4,1 °C per timme.

b) Hur hög blir ugnens temperatur under stekningen? c) Då steken sätts in i ugnen stiger temperaturen i steken med 2,4 °C/min. Vilken temperatur har steken efter 18 minuter? Redovisa din beräkning.

a) Vilken var temperaturen på kaffet då det hälldes i termosen? b) Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55 °C. Hur lång tid efter att man hällt kaffet i termosen är det fortfarande drickbart? (Np fvfa C Vt 2005)

Man sätter in en stek i en varm ugn och mäter stekens temperatur y grader.

d) Enligt kokboken ska steken tas ut då den nått temperaturen 65 °C. När ska steken tas ut? 4157

Visa att funktionen y = ce-2x är en lösning till differentialekvationen 0 y + y - 2y=. I>

4.1 FLER DERIVATOR

I

Matematisk modell Uppgift Du ska ställa upp en matematisk modell för ett avsvalningsförlopp

och kontrollera att din modell stämmer. Material Plastmugg och termometer. Utförande Koka upp vatten och fyll plastmuggen.

Rör om hela tiden och mät temperaturen varje minut under 12 minuter. 1 Visa ditt resultat i en tabell och rita ett diagram. Låt y vara temperaturen i grader och x tiden i minuter.

2 Bestäm ett värde på y(S) och på y'(S) med hjälp av diagrammet. 3 Avsvalningen sker exponentiellt, vilket innebär att funktionen y(x) som beskriver temperaturen kan skrivas: y(x) = A + a · bx där A är rumstemperaturen.

Använd exponentiell regression genom att mata in avvikelsen mot rumstemperatur, y - A, i en lista och tiden x i en lista. Den exponentiella regressionen ger dig värden på konstanterna a och b.

4 Skriv nu modellen på formen y(x) = A + B · ekx Bestäm y(S) och y'(S) med hjälp av din funktion. 5 Tolka vad y(S) och på y'(S) betyder. 6 Använd din funktion för att beräkna temperaturen efter 30 min.

7 Använd din funktion och beräkna när temperaturen är 25 °C.

TALET e OCH IN TE GRA LER

4.2 INTEGRALER Primitiva funktioner Tidigare har vi undersökt derivator av olika slag, tex i samband med sträcka och hastighet enligt följande: Fallsträckan s meter vid fritt fall beror av tiden t sekunder enligt funktionen s(t) = 5 · t2 Då vi deriverar funktionen s(t) får vi hastigheten v(t). Om hastigheten deriveras, får vi accelerationen a(t).

FUNKTION

DERIVATA

ANDRADERIVATA

(sträcka)

(hastighet)

(acceleration)

s(t) = 5 · f

v(t)

= s'(t) = lOt

a(t) = s"(t) = 10

Här ovan utgår vi från funktionen s( t) = 5 · t 2 Vi kan säga att s(t) är den ursprungliga funktionen. Nu ska vi istället utgå från derivatan och söka den ursprungliga funktionen. Ungefär som att "derivera åt andra hållet". Metoden kallas att integrera. Den ursprungliga funktionen kallas primitiv funktion. Ursprunglig funktion

y=x3 + 5x+ 8

y' = 3x2 + 5

?•

y'= 2x- 7

Vilken är den ursprungliga funktionen?

4.2 INTEGRALER

Den ursprungliga funktionen kan vara f(x)

=

x

2

-

7x

Observera att det finns många funktioner som har derivatanf' (x) = 2x - 7 T exf(x) = x 2 - 7x + 8 ochf(x) = x 2 - 7x - 20

Alla dessa funktioner kallas primitiva funktioner och skrivs F( x) = x 2 - 7x + C

där C är en konstant.

O

DEFINITION: Primitiv funktion

En funktion F kallas primitiv funktion till f om F' (x) = f (x).

Man säger att F(x) f(x) = 2x - 7.

=

x2 - 7x + C ger oss samtliga primitiva funktioner till

Det finns oändligt många värden som konstanten C kan anta, alltså finns det oändligt många primitiva funktioner. Bilden visar tre av dessa funktionsgrafer med olika värde på C.

y

X

TALET e OCH INTEGRALER

Primitiva funktioner betecknas alltid med stor bokstav. Funktionen g(t) har den primitiva funktionen G(t) osv. Tabellerna visar några funktioner och deras primitiva funktioner.

Potensfunktioner

Exponentialfunktioner

f(x)

F(x)

g(x)

G(x)

2x

x2

ex

e•

3x2

x3

5ex

5ex

x3

2e2x

e2x

x2

3

e2x

2

x"

x3

4

7

5x 8

e-0.5x

e-0,5x

x2.s

- 0•5

2,5

e...Jx

= - 2e-0,5x

15

Xv X = X '

f; = Xo.s

X 1,5

-

1, 5

e-3x

2x-Fx 3

Primitiv funktion x n+1

Potensfunktion : f(x) = ~ ~ F(x) =

n+1

+C

Exponentialfunktion: f(x) = e kx ~ F(x) =

e kx

+C k

4.2 INT EGRA LER

6e7x

6e7x

8

5x7

:

e2x

-3

--

e-3x 3

Bestäm en primitiv funktion. 2

a) f(x) = x + Sx + 4 b) f(x) = 6x2 - 4x3

c) f(x) = 3ex + e4 x

x

3

F(x) = -

+

5x

2

+ 4x

3 2 4 3 6 4 x F(x) = x = 2x 3 - x 4 3 4 F(x) = 3ex +

e 4x

= 3ex + 0,25e 4 x

4 1

I

X

d) f(x)=2·e 3 +9e-2 x

F(x) =

-x 2·e 3

l

+

9 · e-2x

-2

I

30 = 6e - 4,5e-2 x i

3

Bestäm samtliga primitiva funktioner.

5 - ? a) g ( x ) =-=Sx x2 b) h(x)=6fx =6x 0 •5

5

-l

G(x)= x -1

6x1.s

H (x) =

1,5

5 +C=-Sx- +C=--+C 1

X

+ C = 4x 1•5 + C

Bestäm den primitiva funktion F(x) tillf(x) = 3x2 - 4x som uppfyller villkoret F( 3) = 2. Vi börjar med att bestämma samtliga primitiva funktioner och får: F(x)

- 3x3

4x2 3 z +C = x -2x + C 3 2

Villkoret F(3) = 2 betyder att vi ska sätta in x = 3 i den primitiva funktionen, vars värde då ska bli 2. 3

3

-

2.3

2

+c= 2

27 - 18 + C = 2

C= - 7 SVAR:

F(x) = x3 - 2x2 - 7

TALET e OCH INTEGRA LER

I en kommun förväntas folkmängden N öka med hastigheten N'(t) = 80t där t = antal år efter 2010. Hur många invånare bör kommunen ha år 2018, om folkmängden år 2010 var 24 000?

Vi bestämmer funktionen N(t). N(t) = 40 f + C Vi vet att för t = 0 är folkmängden 24 000. N(O) = 24 000 ger 2 40 · 0 + C = 24 000 Detta ger C = 24 000. 2

Alltså gäller att folkmängden N(t) = 40t + 24 000 Till slut beräknar vi folkmängden år 2018, dvs för t = 8. 2 N( 8) = 40 · 8 + 24 000 = 26 560 SVAR:

4201

ca 27 000 invånare

Bestäm en primitiv funktion F(x) till

a)

4205

f (x) = 8 + 12x3 2

b) f(x) = 4x - 5 + 3x

Bestäm funktionen G(t) då a) g(t) = 2t - 3

och

G(l) = 0

b) G'(t) = t - e0 •1t

och

G(O) = 20

c) f(x) = x2 + 3x d) 4202

f (x) = 5 -

4206

2

6x

Bestäm samtliga primitiva funktioner F(x) till

a) f(x) = 2x + ex 2

c) f(x) = e x + 7x

d)

f (x) = 3 + e x 3

a) F(2) 4207

3

4

b) J(x) = 5x + 8x

Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x) = 12x2 + 6x som uppfyller villkoret

= 40

=0

Bestäm funktionen F(x) då a) F'(x) = ex - e-2x

e-x

b) F(- 2)

och F(O) = 1

b) F'(x) = 2ex - 2x - e-x och F(O) = 2 4203

Bestäm en primitiv funktion G(t) till 7

a) g(t) = 6t - 9

c) g(t) 4204

3

= 0,5t +

b) g(t) = 1 - 3e

t4

d) g(t)

2

4208 t

= 0

a) F(l) = 2

Bestäm en primitiv funktion G(x) till

2e0•5x

a) g(x)

=

c) g(x)

= 3x0 •5

4.2 INTEGRALER

b) g(x) = 4ex16

d) g(x)

=x -

Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x) = 3x2 för vilken det gäller att

e-xl3

4209

b) F(O) = -10

Ange en primitiv funktion F(x). a) f(x) = 3e2 x - 6e-?x - 2e0 .sx

b) j(x) =

1

Fx + x1.s + Fx

Bestäm en primitiv funktion F(x) till följande funktioner. 4210

4218

En vätska som har temperaturen 90 °C placeras i ett rum med temperaturen 20 °C. Vätskans temperatur ändras med 0 11 hastigheten v = - 7 e- , °C/min. Visa hur du kan bestämma vätskans temperatur 18 minuter senare.

4219

a) Bestäm den primitiva funktionen F(x) vars graf går genom punkten (1, 4).

Nedan finns 3 grafer som visar en funktionf(x), den primitiva funktionen F(x) och funktionens derivataf' (x). Vilken av funktionerna är

b) Rita grafen till F(x).

a) F(x)

a)

X

f(x) = -+ 8x 3 b) f(x) = x 2 (4x - 3) 2

4211

a) f(x)= 6x-l

b) f(x) = 3x2 - 2x 5

2 4212

4213

Vi har funktionenf(x) = 2x

Priset P (kronor) på en vara ökade med hastigheten P'(t) = 12 · e0 •2t där t = antal år efter år 2010.

b)f' (x)?

X

a) Bestäm funktionen P(t) då man vet att priset var 74 kr år 2010. b) Bestäm priset år 2017. Avrunda till hela kr. 4214

Värdet av en aktie ökade under en period med hastigheten V'(t) =0,6f där t = antal månader. Efter 5 månader var värdet 120 kr. a) Bestäm värdet fört= 0. b) Bestäm värdet efter 10 månader.

4215

4216

Om en funktionf(x) vet vi följande: f'(x) = 2,/(2) = 10 och F(S) = 20. Bestäm F(x). Bestäm F(2) om

f (x) =

3 X

4

4220

För funktionenf(x) gäller att f(x) = x2 - 2x - 3. Vi vet att det finns två primitiva funktioner som har linjen y = 2 som tangent. Bestäm dessa två primitiva funktioner. Förklara hur du tänker!

och F(l) = 3.

4217 Funktionenf(x) = 435 beskriver

medelvattenflödet i m 3/s vid ett kraftverk i en älv. Bestäm F(x) och förklara vad F(x) beskriver.

TANKENÖT 14 Jag tänker på två tal där summan av talen är lika mycket som produkten av talen, medan talens differens är samma som talet 15 delat med talens kvot. Vilka är talen?

TALET e OCH INTEGRALER

Bestämma arean under en kurva Här ska vi hitta en metod för att bestämma en area som begränsas av en kurva och x-axeln. Se de 6 bilderna nedan. Vi kallar arean för A(x) och kurvan har funktionenf(x) . Vi söker ett samband mellan A(x) ochf(x).

1

Titta på den gula rektangeln här nedan i a- uppgiften. Här ärf(x) = 2. Rektangelns bas= x och höjden= 2. Arean A(x) = 2 · x Teckna på motsvara.n de sätt areafunktionen A(x) för funktionerna. i uppgift b) till f) . a) f(x) = 2

b) f(x) = 3x

c) f(x) = Sx

'

2 A(x)

X

X

A(x) = 2 · x d) f(x) = 3x + 2

A(x)

A(x)

A(x) X

X

2

f) f(x) = kx + m

e) f(x) = kx

X

Skriv uttryck för arean i tabellens högra kolumn. f(x)

Arean A(x)

2 3x

2x

5x 3x + 2

5x + 2 kx kx+m

y

f(x)

3

Vilket är sambandet mella.n A(x) ochf(x)?

A(x)

X

X

4.2 INTEGRALER

Beräkna integraler Låt oss åter titta på hastigheten vid fritt fall, dvs grafen till v = 1Ot som bilden visar. V

v = 1Ot

1Ot-
1 gäller att X

f(x) =

f l

1 r: + 2t dt. 2vr

V

/

I

\

""'

'

V

X

/

-1

.... X

/ j

I j

s

(1, 1) och (5, 4). Beräkna

J

I \

-1

y

•

Graf a

Graf b

a) Vilken graf hör till vilken funktion? Motivera! 3

b) Visa hur du bestämmer

ff (x) dx 0

För vilka x gäller att f (x) = Fx + 7 ? Redovisa en fullständig lösning.

TALET e OCH INTEGRALER

4.3 INTEGRAL OCH AREA 0

0

Arean av ett omrade mellan tva kurvor I figuren har vi ritat två grafer y = J(x) och y = g(x).

, y

y = t(x)

-

Arean av det blå området betecknas b

f

j ( x)dx

a

Y - g(x)

-

X

a

Arean av det gröna om rådet betecknas

b

y

y =f(x)

-

b

f

g( x)dx

a

y - g(x) X

a

Arean A i den här figuren är differensen av de ti digare två areorna. b

A=

b

'' y

y = f(x)

-

b

f j'(x)dx-f g(x ) dx a

A

a

y - g(x) X

x=a

Vi förenklar uttrycket för arean: b

A= =

b

f j'(x)dx-f g(x ) dx a

=

[F(x)J: - [G{x)J:

=

a

(F(b) - F(a)) - (G(b) - G(a))

=

F(b) - F(a) - G(b) + G(a) =

=

f b

=

(F(b) - G(b) ) - (F(a) - G(a))

(f(x) - g(x) )dx

a

f(x) kallas överfunktion och g(x) kallas underfunktion.

4.3 INT EGRAL OCH AREA

-

X=b

-

SLUTSATS:

Ett område A som begränsas av en överfunktion f(x) och en underfunktion g(x) har arean b

A=

f

(f(x) - g(x) )dx

a

b

Arean=

f(f(x)-g(x)}dx a

Vad händer om graferna ligger under x-axeln? Titta på figuren nedan där y = g(x) ligger under x-axeln. y

y f(x)

X

.

a

b V=

,,..,,...

g(x)

-

Om vi adderar en konstant m till de båda funktionerna, kan vi "lyfta" dessa så att även y = g(x) kommer ovanför x-axeln. Lägg märke till att arean mellan kurvorna är densamma som förut. y y = f(x) + m

A ,.,.~...

,.,.

--

...... .. --- .. ... ....... _ ... ... __

- ...... .... ____...

~ ~

y=g(x)+m ., ... ... - ... . . . ... *....... ... ... ~

--------

~ ~

y = f(x)

.,... a

b

y = g(x)

X

TALET e OCH INTEGRALER

Vi beräknar nu arean av området A: b

b

A = f (f(x)+ m)-(g(x)+m)dx = f (f( x)+ m- g(x)-m) dx a

=.

a

b

= f (f(x)- g(x)) dx a

SLUTSATS: b

Formeln f (f (x )- g(x)) dx gäller även då graferna ligger under x-axeln. a

Beräkna arean av det markerade området.

'

,y V ~

1 -~

I bilden ser vi att linjen och kurvan skär varandra för x = -1 och x = 1.

2

-

3x + 1

I.

3X

' \

Integrationsgränserna är alltså -1 och 1. Det markerade området begränsas uppåt av den räta linjen. Linjen y = 4 - 3x är 'överfunktion'~

3

\

\JJ " V I\'

X

-1

Kurvan y = 3x2 - 3x + 1 är "underfunktion': Observera minustecknet m ellan parenteserna.

f(4-3x)-(3x -3x + l)dx l

Arean =

2

- 1

1

=

f (4 - 3x - 3x 2 + 3x -1) dx -

Vi tar bort parenteser och ändrar tecknen.

- I I

=

f(3-3x 2 )dx -

Här är det viktigt att vi förenklar.

-1

= [3x-x

3

]~ 1

=(3-1)-(-3 + 1) =

=3-1 + 3-1=4 SVAR:

4.3 INTEGRA L OCH AREA

Arean är 4 ae

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna 2 y = x - 4 och y = 2x - x2 . Se figuren. y = x2 - 4

Ay X

y = 2x - x2

Vi börjar med att beräkna kurvornas skärningspunkter genom att lösa ekvationen x 2 - 4 = 2x - x 2

Efter förenkling får vi

x2 - x - 2 = 0 Då vi löser ekvationen får vi rötterna x 1 = -1 och x 2 = 2. Rötterna ger oss skärningspunkternas x-koordinater, dvs integrationsgränserna. Arean beräknas med följande integral.

f 2

2

2

A = (2x-x -(x -4))dx -l 2 2

= Jc2x-2x +4)dx -

X

2

-

- I

=

16 4--+8 3

2X 3

2

3

+4x -1

2

1+ - - 4 3

16 2 = 4--+8-1--+4 = 3 3 18 = 15-- = 15-6 = 9 3 SVAR:

Arean= 9 ae

TALET e OCH INTEGRA LER

Vi ska beräkna arean av det område som begränsas av kurvan 2 y = x - 2x och x-axeln. Kurvan ritas och det sökta området markeras. 1 ")

'

y

I

1

\

J

y= x2. 2x

1

\

I

\

\

"

/

'-...

I X

I:

./

y = 0 (dvs x-axeln) är överfunktion y = x2 - 2x är underfunktion 2

2 2

2

A= fo-(x -2x)dx=f(-x +2x)dx= 0

0 2

x3

--+x 3

2

8

1

3

3

- 0= - -+4=10

1 SVAR: 1- ae

3

OBSERVERA:

Om vi hade "glömt bort" överfunktionen y = 0 skulle vi ha fått följande integral: 2

f (x 0

2

X

-

3

2x)dx = - - x 3

8

1

3

3

2

2

- 0= 0

=--4=-1-

1 Svaret - 1- är integralens värde. Värdet är negativt eftersom kurvan 3 ligger under x-axeln. Lägg märke till att båda beräkningarna ger samma siffervärde.

På motsvarande sätt får man rätt siffervärde men negativt tecken om man förväxlar överfunktion och underfunktion.

4.3 INTEGRA L OCH AREA

•

Beräkna arean av det markerade området.

\

"'

Lägg märke till att här finns det två överfunktioner, nämligen y = x2 + 2 och y = 4 - x.

-

f

2

x

- 1

3

B= (x +2)dx= -+2x 0 - 3 - 0

,'

•

" ' V=+ - )(

I

"'

,y

Vi delar därför arean i två delar B och C. Överfunktionerna skär varandra vid x = 1. Integral B har gränserna O och 1.

1

y x2 ~ 2

•y

. I

1 1 =-+2-0=23 3

"'

C=

2

=

"

"- V=+ -)(

-

.

-

X

"'

= 4,5

Kontrollera gärna att en integralberäkning ger samma svar! 1 1 5 Totala arean = B + C = 2- + 4- = 6-:::::: 6,8 3 2 6

Arean är ca 6,8 ae

SVAR:

Beräkna det markerade områdets area. Avläs integrationsgränserna från figuren. 4301

b)

a)

,

0

~

v

\

y y=

I

y

y-= -x

/

t~ •

/ 1-

i_

I

\

\ \

' '

/ /

4302

J

I y

F X2

+

1

tzfl

4x

t

/ \

'

/

VI

'

,

y V= 4- x2

2

x

b)

a)

,~ 1

I

/

'/ I

\ '\

/

3

I

J

X

>

j

\

X

I

J..y/

\-

/

'

I \

X

~

i/

\

y = 2x - x2

=

-

y x2 .. 2

Eftersom C är en triangel, kan vi enkelt beräkna arean utan att använda en integral. 3.3

X

J

J

\ I I 3x1I\... / y, x2 -4

I

X

! TALET e OCH INTEGRALER

4303

4304

Hur stor area har området som begränsas aV kurvorna f(x) = 5e-O,Sx OCh g(x) = 3e-O,Sx samt y-axeln och linjen x = 2? Svara med 3 värdesiffror.

4310 Ett visst områdes area kan b

beräknas enligt A = -

Hur kan det bli minustecken? Förklara integralen med hjälp av begreppen överfunktion och underfunktion.

b) y

4311

1 .

X

y=X-

4305

. .

r

X

).

1

y = x2 - 2x - 3

X2

Beräkna arean av det markerade området i figuren. Kurvan har ekvationen y = 4x - x2 och linjen är y = 4 - x.

x) dx .

a

Beräkna arean av det markerade området.

a)

ff (

Kurvorna y = e0•2x och y = x2 innesluter tillsammans med y-axeln ett område i första kvadranten. Teckna integralen för områdets area samt bestäm denna area med minst tre värdesiffror. (Np Ma D Vt 02)

4312

Kurvan y = 9 - x 2 begränsar tillsammans med linjerna y = 8x och y = 2,Sx ett område i första kvadranten. Bestäm arean av detta område.

f--;- dx = 9 2

4313

Bestäm konstanten a så att

1

4314

X

Bestäm k > 0 så att integralen k

f(k - x 4306

Skissa grafen till funktionen y = x + 2x. Beräkna arean av det område som begränsas av grafen och x-axeln.

4308

Bestäm arean av området som begränsas av grafen till f (x) = Fx och linjerna x = l, x = 9 samt y = 3. Svara exakt.

4315

Kurvan y = 4 - x2 begränsar tillsammans med linjen y = 3x och positiva x-axeln ett område i första kvadranten. Bestäm arean av detta område.

4.3 INTEGRA L OCH AREA

Visa att arean av det gula området är 1/3 av rektangelns area. Kurvan är f(x) = x 2 . y

X

4316 4309

dx får ett så stort värde som

möjligt.

2

4307

)

0

2

Skissa kurvan y = x - 4 och linjen y = 3 i samma koordinatsystem. Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan, linjen och linjerna x = 1 och x = 2.

3

Om funktionerna f och g vet vi att f(O) = 4. Vi vet också attf'(x) = 3 - 6e-2x och g'(x) = f'(x). Kurvorna y = g(x) och y = f(x) innesluter tillsammans med linjerna x = -1 och x = 4 ett område med arean 10 areaenheter. Visa hur du kan bestämma funktionen g(x).

Mer om integraler

Tre regler för integraler 1)

2)

3)

b

b

a

a

fk ·f(x) dx = k · ff(x) dx b

b

b

a

a

a

b

b

b

a

a

a

ff(x) dx - fg(x) dx = f(t(x) - g(x)) dx ff(x) dx + fg(x) dx = f(t(x) + g(x)) dx

Regel 2 och 3 innebär att en differens eller summa av två integraler som har samma integrationsgränser, kan sättas samman till en integral.

Vi visar den tredje regeln geometriskt: l

f 0

I

1

f

f

2

2 dx + x dx = (2 + x 0

2 )

dx

0

y f(x ) = 2 + x2

y f(x) = 2 ' )'

1

X

'' ' i ' '' '

X

.... .... ........ .... ~. '' I

1

X

1

Man kan tänka att vi adderar arean under y = 2 2 med arean under y = x •

TALET e OCH INTEGRALER

Till höger ser du grafen till funktionen

f(x) = x 3

-

y

6x2 + 8x.

f( 4

Vad blir integralen

x 3 - 6x 2 + 8x) dx ?

1 X

0

>-

I

1

f( 4

x

3

-

x 4

2

3 2 --2x +4x 6x + 8x) dx =

4

0

44 3 2 = - - 2 · 4 + 4 · 4 - 0 = 64 - 128 + 64 = 0 4

y

Hur kan vi förklara att integralens värde blir noll? Titta på bilden. 3

1

2

Kurvanf(x) = x - 6x + 8x och x-axeln innesluter två områden A och B i intervallet från O till 4.

X

>-

B

I stället för att beräkna integralen från O till 4, beräknar vi nu två integraler. Den ena från O till 2, och den andra från 2 till 4.

2

1)

f

(x

3

-

2

6x + 8x )dx =

0

=

x

2

4

4

3

- 2x + 4x

2 0

24 3 2 = - -2 ·2 +4·2 -0= 4

4 - 16 + 16 = 4

A ligger ovanför x-axeln och har arean 4 ae.

4

2)

f(

4 3

2

x -6x + 8x )dx =

2

44 3 2 =--2·4 +4·4 4

x 4

4

-2x 3 +4x 2

-2

24 3 2 --2·2 +4·2 4

--

= 64 - 128 + 64 - (4 - 16 + 16) = 0 - 4 = -4

Vi får ett negativt svar eftersom B ligger under x-axeln Summan av dessa två integraler blir noll, precis som integralen från O till 4 .

4.3 INTEGRA L OCH AREA

En integral kan bli positiv, noll eller negativ medan en area alltid är positiv. Om vår avsikt är att beräkna arean av området B, skriver vi 4

B=

J0-( x

3

-6x 2 +8x) dx.

2

Här gäller ju att j(x) = 0 är överfunktion. Denna integral får värdet 4.

Bestäm följande integraler med hjälp av bilden.

y

6 ae X I

5 ae

2

a)

f f(x)dx=-5

4

0

Svaret blir negativt eftersom hela arean ligger under x-axeln. 4

b) JJ( x)dx=-5 +6 = 1 0

f e3

Beräkna

f (4- e3

2

x

dx +

-2

2

x

)dx

-2

Eftersom de två ingralerna har samma integrationsgränser, kan vi omvandla till endast en integral, enligt nedan. 3

J(e

f 3

2

x

2

+ 4-e x)dx= 4 dx

-2

SVAR:

= [4x]

3 2

=

12-(-8) = 20

-2

20

TALET e OCH INTEGRALER

).

Nedan ser du grafen till funktionenf(x) . Använd grafen och lös följande uppgifter. y

X I

I

I

I

4

8

I

2

I

I

),.

10

-6 2

a) J f (x) dx = 2 · 4 = 8 (detta är arean under kurvan) 0

SVAR:

8 a

b) Bestäm talet a så att J f (x) dx får så stort värde som möjligt. 0

Integralens värde blir större och större fram till x = 5. a

Detta innebär att

Jf (x) dx har störst värde då a = 5. 0

SVAR:

a= 5 a

c) Bestäm a med två värdesiffror så att J f (x) dx = 0. 0

a

J f (x) dx = 0 då vi har lika mycket area över som under x-axeln. 0

Arean över är 4 · 3 + (4 · 2)/2 = 16 ae. Vid vilket x-värde har vi lika stor area u11der x-axeln? Triangeln mellan x = 5 och x = 8 har arean (3 · 6)/2 = 9 ae. Då "behöver" vi ytterligare 7 ae. Hur mycket längre i x-led behöver vi gå? !1x · 6 = 7 ~ !1x = 7/6::::: 1,17 a::::: 8 + 1,17::::: 9,2 a

SVAR:

JJ(x)dx=O dåa:::::9,2 0

4.3 INTEGRA L OCH AREA

4317

Bilden visar grafen till en funktionf(x).

4321

Grafen visar funktionen y = g(x). Använd grafen och bestäm

y

5

1

Jg(x)dx

a)

Jg(x)dx

b)

-3

X

-3

y

9' .\

/

Ange om följande integraler blir positiva eller negativa. 3

a)

c)

Jf(x)dx

b)

\

-3

3

l

JJ(x)dx

d)

X

\

'

Jf(x)dx 4322

-3

Bilden visar grafen till y = f(x). Kurvan begränsar tillsammans med x-axeln tre områden, vars areor är angivna. Bestäm följande integraler med hjälp av bilden.

3

2

j(3x -6x)dx b) f2xdx 0

\

),

Jf(x)dx

0

2

4319

'!-

\

Beräkna följande integraler. a)

\

0

-1

4318

/

/

a

-3

a)

Figuren visar grafen till y = f(x). Avgör med hjälp av grafen vilka av följande integraler som blir positiva.

c

Jf(x)dx

Jf(x)dx

b)

a

0

c

c)

Jf(x)dx 0

y

y

f(x)

15 ae

X

X

1 -1

a)

c)

e)

JJ(x)dx

b)

Jf(x)dx -1

l

0

JJ(x)dx

d)

-3

5

5

f)

4323 Är förenklingen nedan korrekt?

Om inte, förklara felet!

JJ(x)dx

0

Jf(x)dx

3

0

-3

0

4320

2

>

3

4

4

Jx dx + J2x dx = J(x 2

0

Jf(x)dx

3

2

+ 2x) dx

0

-3

Förenkla med hjälp av "integralreglerna'' och beräkna sedan

4324

Vattenflödet s(x) till och från en pool mäts i liter/h. Vad betyder följande då x = tiden i h från klockan 07.00? 3

a)

4

Js(x)dx = 1500 0

b)

Js(x)dx =-200 3

TALET e OCH INTEGRALER

4325

Beräkna integralerna nedan genom att först förenkla, om det går. 3

a)

f(5x

4328

f(2 +

-

f

3x + 1) dx + (2- 5x

1

2

)

dx

e 0,3x ) dx

2

-2

4329

-2

2

2

f(1 + x ) dx - f(1- x ) dx 2

2

a

1;är gäller att

f g(x)dx = 4

ff (x) dx

Figuren visar grafen till funktionenf(x). Grafen avgränsar tillsammans med x-axeln två områden A och B. Man vet att arean av A är 16/3 och att

f(x) dx = 125. f 12 -2

b

0

= 40 och

a) Bestäm

a

b) Bestäm arean av B.

Undersök om det går att beräkna integralerna nedan. Om det inte går, ska du förklara varför. b

f(f (x )- g(x)) dx f(5f(x) - 2g(x))dx

y

b

b)

fSg(x) dx f g(x) f(x) dx

y = f(x)

B

a

a

b

b

d)

a

4327

ff (x) dx -2

a

c)

e 0,3x dx

3

l

a)

-

a

b) fct 2 +2t+1)dt-fct 2 -2t+3)dt

4326

b

1

2

c)

f

b

3

2

Förenkla så långt som möjligt

X

a

A

Figuren visar grafen till funktionen X

y=f(t) O 0 och avtagande om k < 0

e-x

6

y = 3. e 0,2x

5

y = c. ekx skär y-axeln

4

i punkten (0, C)

-3 -2 - 1 -1

Naturliga logaritmer

Varje positivt tal kan skrivas som en potens av e. tex 5 = e1n 5 Exponenten kallas e-logaritm eller naturlig logaritm.

Ekvationerna ex= a och ln x = a

Derivatan av en exponentialfunktion

a) ex= 5 X=

ln 5

X=

e5

X~

1,61

X~

148

= ex J(x) = ekx f(x)

f(x)

Primitiv funktion

b) ln X= 5

= ax

=> f'(x)

= ex

=> f'(x)=kekx =>

f'(x) = lna·ax

F(x) är primitiv funktion tillf(x) om F'(x) = f(x)

1

2

3

4

5

Beräkning av integraler

b

ff (

x) dx = [ F ( x)

J: = F (b) - F (a)

a

Utläses ''integralen av f(x) från a till b". a och b kallas integrationsgränser.

f(x)

F(x)

7 2x

7x

x2

x3

x2

f(x) kallas integr and

3 2x 6 6

2x5

x 2,s

2,5 x,,s

.Jx = Xo.s

1, 5 1

1

x2

X

ex e2x

ex e2x;2 -e-x

e-x

Areaberäkning med integraler

AY

y = f(x)

y y = f(x )

A A

y = g(x) X

X

a

b

f f(x)dx

a

A=

a

Integralens värde

A=

g(x)) dx

a

2

ff(x)dx

f (f(x)b

b

y

=-5

0

6 ae

4

ff 0

X

(X) dx = - 5 + 6 = 1

5 ae

4

(D

Graferna till funktionern a f, g och h är ritade i figuren nedan.

Derivera funktionen. a) f(x) = 3ex - 4e-3x + a2

y

""-"'1,

y F g( ~)

b) f(x) = 100 · l,03x

@

Lös ekvationerna. Svara exakt. r:,

b) 3ex = 12

a) ln x = 2

/

0 0 ©

I~

I

I.....

1

r-,.....

~

,/

/

/

...

y '= h x) /

~

a)

f(x) =

3

"""

""" /

,_/ )

_c../1

/

""" 1,

X

J;

4

f

(g(x)- J(x))dx

0

Bestäm den primitiva funktionen F(x) då a) f(x) = 3ex - e-xt2 och F(O) = 1.

b) Teckna med hjälp av integraler ett uttryck för det markerade området i figuren.

b) f(x) = 3x2 + 2x - 3 och F(l) = 4.

(Np /via D Ht 2000)

Bilden visar grafen till y = J(x). 3

ff

Beräkna

(x) dx.

-1

Ay

h/ \

Beräkna följande integraler. Svara exakt.

\

'

X

\

-.

3

a)

f4dx f - 2t+l)dt f2e dx 0

6

b)

(3t

2

2

0

c)

2 --0, x

-5

€)

Beräkna summan av integralerna.

f +f 3

3

7

(4x -2x -2x+2)dx+

l

3

7

3

(- 4x +2x +2x+2)dx

I

-

I~

a) Bestäm värdet av integralen

5 b) g(x)= 2 X

I

/

I

En vagn rör sig med hastigheten v(t) m!s där v(t) =St.Två sekunder efter st art har vagnen förflyttat sig 6 m . Bestäm en formel för hur lång sträcka vagnen har förflyttat sig t sekunder efter start.

0

"""

--1-

/

a) f(x) = 6x2 - 4x3 b) f(x) = 2ex13

V

/

.,,,,

V

/

•

"I/ I"-

V

/

Bestäm en primitiv funktion till följande funktioner.

-

' v\ /

Ett företag mäter vattenförbrukningen i en fastighet. f(x) = vattenförbrukningen i kubikmeter/dygn och x = tiden i dygn.

f f(x)dx

a) Utgå från funktionenf(x) = ex och beräkna de tre integraler11a

= 240?

0

Bestäm den primitiva funktionen G(t) till funktionen g(t) = (et + 3) 2 så att G(O) = 3,5.

3

5

0

0

3

f f(x) dx, f f(x) dx och f f(x) dx

30

Vad betyder

5

b) På vilket sätt finns det ett samband mellan de 3 svaren i a-uppgiften? Du sätter in 2000 kr på ett konto med 4 % ränta. Teckna ett samband för hur mycket pengar, y kr, du har på kontot efter x år. a) på formen y = C · ax

Beräkna det positiva talet a så att

b) på formen y = C · ex

a

f2xdx

c) Beräkna y' (5) och tolka resultatet.

= 8.

l

Bestäm det markerade områdets area.

Grafen visar den primitiva funktionen y = F(x).

a)

Y

b)

y = 3x2

y

y = 0,5e2•

y / I

I

I

.....

I

'

'

F(.')

I

"

2

'I\,

X

~

b) F(2) - F(O)

6

c)

ff(x)dx. 0

1

Beräkna det område som innesluts av graferna tillf(x) = ex ochf(x) = e-x samt linjen x = 2.

Bestäm med hjälp av grafen a) F(2)

X

X

\

1-1

I

'\

Rita grafen till funktionen

1

f (x) = Fx

i intervallet 1 < x < 4 och bestäm sedan 4

ff (x) dx . Tolka vad du har beräknat. I

Bestäm arean av det område som innesluts av kurvorna y = x - x 2 och y = x2 - 1. Rita figur.

Antag att en befolkning N (miljoner personer) ökar med hastigheten 0 041 N'(t) = 0,36 · e • där tär antal år efter 2000. a) Bestäm funktionen N(t) då man vet att befolkningen var 12 miljoner år 2000. b) Hur stor blir befolkningen år 2015?

Antalet bakterier i en odling ökar med hastigheten N'(t) = 120t där t = antal timmar efter försökets början. a) Bestäm funktionen N(t) då man vet att det fanns 1 500 bakterier vid försökets början. b) Hur många bakterier kommer det att finnas efter 3 timmar?

Temperaturen y °C för en maträtt som placeras i en ugn kan beräknas med ekvationen y = 200 - 180. e - kx där x minuter är den tid maträtten stått inne i ugnen. Vid den tidpunkt då maträtten sätts in i ugnen stiger temperaturen med 2,08 °C/min. Vilken temperatur har maträtten efter 24 minuter?

Bensinflödet i liter/minut från en bensintank ges av formeln v(t) = 20. e- 0•2t där t = tiden i minuter. Hur mycket bensin lämnar bensintanken i tidsintervallet t = 0 till t = 10?

Bestäm med hjälp av derivata minimipunkten till funktionenf(x) = 3ex - x. Rita grafen på din räknare och kontrollera resultatet.

I figuren finns graferna till två exponentialfunktioner y = A . ekx. Använd de markerade punkterna och bestäm de två funktionerna.

Rita kurvan y = x 3 + 3x2 + 3 på din räknare och beräkna arean av det område som innesluts av kurvan och kurvans tangent i maximipunkten.

•

'Y

1"-

"

'

...

/ ""-. a' 2-

b)

'-... .....__

---·

/

/

V

Bilden visar hur två områden A och B begränsas av grafen tillf(x) och x-axeln. Arean av A + B = 16/3. Då O< x < 2 gäller att f(x) = 2x - x 2 • a) Bestäm arean av B.

X

2

b) Bestäm

Jf(x) dx. -3

Lufttrycket y (millibar) minskar enligt y = 1013 . e - 0,145x

y y = f(x)

där x = höjden över havet i km.

X

a) Beräkna lufttrycket på höjden 2 km. b) På vilken höjd är lufttrycket 580 mbar? c) Bestäm y'. d) Hur fort förändras lufttrycket på höjden 2 km? e) På vilken höjd kan man räkna med att lufttrycket minskar med 50 mbar/km?

A

BLANDADE UPPGIFTER 1

Ett företags export i miljoner kr beror av tiden t månader enligt funktionen E(t) = 8,9 · eo,ost . Hur stor är exporten efter 9 månader?

Derivera följande funktioner. 2

a) f(x) = 2000 · ex

b) f(x) = 5x - e-x

3

a) y = 450 . e0•02 x

b) y = 1Oe2x + e3

4

a) f(x) = 2x

b) f(x) =

5

Beräkna 12 a) e0

b)

13 a) ln e1' 5

b) lnJ;

c) ln 1

eln4

c)

e- ln2

14 Värdet av en bil avtar exponentiellt och efter x år är värdet y = 170 000 · 0,82x kr. Skriv uttrycket på formen y = C . ekx. 15 Lös ekvationenf'(x) = 0 dåf(x) = 3x + 2e- 4x

5 0,4x

Befolkningen i en kommun antas växa enligt N = 52 000 · e0•012 t där tär tiden i år räknat från år 2000.

16 Bestäm en primitiv fu11ktion till

a)

f (x) = 3x

2

b) g(x)

=

+7

5e2x

c) f(x) = x(2x + x 2)

a) Bestäm folkmängden år 2000. b) Bestäm folkmängden år 2010. Avrunda till hela tusental. c) Vilket år kan man räkna med att folkmängden blir 80 000? 6

Kurvan y = e-3 x har en tangent i den punkt där x = 0. Bestäm tangentens ekvation.

7

För vilket x-värde är y' = 0 då y = 12x - e4x + ln3?

8

3 x

Bestäm y" då y = 2e-

17 Bestäm den primitiva funktionen F(x) till funktionen

f(x) = 3x2 + 8 som uppfyller villkoret F(-2) = 3. 18 Vilken eller vilka av följande funktioner är en primitiv funktion till f(x) = 2x + 2?

a) y = 2

b) y = x

c) y = x(x + 2)

2

d) y = x

3

+ 2x X

e) y = (x + 1)2 Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. 9

a) 5eO,lx - 4 = 2

Beräkna följande integraler.

b) e(O,Sx+I) = 10

2

19 a) 10 a) 850 . e -O,O! Sx = 500

b)

-1

b) 0,4 · In (2x - 10) = 1

11 a) e2x = 3 c) e = 2

f5x dx 4

15

b) In 4x = 5

13

-1

20 a)

f (x + l)dx 1

j(x + l)dx -2

f9dx

b)

2

-1

-X

TALET e OCH INTEGRALER

22 Bestäm F(S) då F'(x) = 2x - 5e- 0•4x och F(O) = 2,5. Svara med tre värdesiffror.

21 Beräkna arean av det markerade området.

b)

a) y

y f(x) = x 2 - 6 X

f(x)

=

3x2 +

2x + 1

23 Beräkna arean av det skuggade området.

6

~'x) = X -

/

'Y

/ ' "\ /

-1 X

-1

1

>

3

' -

/

-

/

X

\

1

V

~ g(x) = 4x - x2 - 3

c) y f(x) = ex

24 Antag att antalet fiskar i en fiskodling ökar enligt funktionen F(t) = 2000 . eo,4s,

där t är tiden i dygn. 1

f(x) = 2x

a) Bestäm antalet fiskar efter 2 dygn. b) Bestäm F'(t).

X

1

c) Hur stor är tillväxthastigheten då t = 2? d) Hur stor är den procentuella ökningen av antalet fiskar per dygn?

BLANDADE UPPGIFTER

25 Diagrammet visar hur vattenflödet från en pump varierar. Bestäm vattenmängden som lämnar pumpen under 6 timmar.

30 Tänk dig att grafen i uppgift 29 visar den primitiva funktionen G(x) till y = g(x). 8

Bestäm /h '

ite

V

2

31 Område A i figuren nedan har arean 11 ae, område B = 7 ae och C = 8 ae .

, ,...'),,,

- vv

'

fg(x)dx .

'

....

,...,... vv

'

......... ...

1

...

Ay .........

'

t . ......... h

y = f(x) 8

27 Funktionen y = 7x + 4e-o.sx har en minimipunkt. Bestäm minimipunktens y - koordinat med två värdesiffror. 28 Antalet anställda på ett företag ökar enligt A = 1600 · e0 •085t där t är tiden i år efter 2010.

a) Bestäm antalet anställda år 2013. b) Med hur många procent ökar antalet anställda per år? c) Vilket år kan man räkna med att antalet anställda har fördubblats sedan 2010? d) När kan man räkna med att tillväxttakten är 500 personer/år? 29 Linjen y = f(x) är ritad i figuren nedan.

Bestäm följande integraler med hjälp av figuren. 0

a)

ff(x)dx.

e

ff(x)dx

b)

d

ff(x)dx 0

32 Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan y = e-x, x-axeln samt linjerna x = -2 och x = 3.

33 Ett område begränsas av f(x) = x2 och g(x) = 3 + 2x - x2 • Se bilden. Beräkna områdets area.

-

1

,y

\ J \ /1 \

10

Beräkna

>

c

A

26 För vilket värde på x är tangenten till kurvan y = e5x - 2x parallell med x-axeli1? Avrunda svaret till två decimaler.

X

e

J

'

\

)

'

' X

~

0 •

34 Vid en tävling springer Alvin med hastigheten v(x) m/s.

,y

48

' r-,...

-.........

Vad betyder

r-.... ..........

r--.....

i sekunder?

.......... ......... -........._

• '

~

fv( x) dx

= 400 då x = tiden

0

r---

I'

.........

X

1 .;----

TALET e OCH INTEGRALER

35 Vattenflödet till en bassäng i liter/minut ges av formeln v( t) = 300.Ji där t är tiden i minuter. Hur mycket vatten tillförs bassängen i tidsintervallet t = 2 till t = 10? Svara med en värdesiffra.

43 Timo och Peder har fått i uppgift att lösa följande problem utan räknare: F(x) = (x + 2)(x - 2) 3 är en primitiv funktion till f(x) = 4(x + l)(x - 2)2 3

36 Grafen till funktionen y = 6x - x 2 har en tangent för x = 2. Tangenten, kurvan och y-axeln innesluter ett område. Rita figur och beräkna områdets area. 37 Bestäm den positiva konstanten k så att

Beräkna

J(x + l)(x - 2) dx 2

-2

Timo säger att han först tänker utveckla 4(x + l)(x - 2)2 och sedan beräkna integralen. Peder påstår att det finns ett snabbare sätt att lösa uppgiften.

k

a) Beskriv en metod som Peder kan ha tänkt använda.

J4x dx = 80. 3

b) Lös uppgiften med valfri metod.

38 a) Bestäm det största värdet av funktionen y = 2x - ex+ 5 b) Bestäm det minsta värdet av funktionen y = 2ex - 8x

(Np Ma D Vt 2011)

44 Bilderna visar grafen till en funktionf(x) och dess primitiva funktion F(x). l

39 Beräkna arean av det blå området.

Visa hur

Jf(x)dx

kan bestämmas.

0

y ,y

y

y= -1

I \

x2

1

3

\ J

~

.__r--- x

-

1X

X

>

'

40 För en funktion f gäller att f (2) = 3 och

\

/

6

f '(x) = 0 för alla x. Beräkna

Jf(x)dx.

(Np Ma D Vt 2011)

2

Bild a

Bild b

45 Bestäm talet a så att integralen

41 För vilka positiva hela tal n gäller att I

x" dx > J_ ? Motivera!

J 0

20

42 Kurvan y = e2x , linjen x = k och de positiva koordinataxlarna innesluter ett område som är 20 ae. Bestäm konstanten k exakt.

BLANDADE UPPGIFTER

l

J(x

2

2

-

ax ) dx blir så liten som möjligt.

0

Bestäm också integralens minimivärde.

46 Grafen till y = ex har en tangent i den punkt där x = a .Visa att tangenten skär x-axeln för X = a - 1.

47 Figuren visar grafen till funktionen f(x). Grafen avgränsar tillsammans med x-axeln och linjerna x = -3 och x = 3 områdena A, B och C som har areorna 7 /6, 16/3 och 7 /6.

49 Nedan ser du grafen till funktionen 2 y = 1 - kx • Bestäm k så att den markerade arean blir 2 ae. y y = 1 - kx2

Bestäm 2

a)

~ -.

3

Jf(x) dx

b)

-3

f(J(x)+e x)dx

X

1

-3

y

X

50 Visa att då x > 1 gäller att a 2 + x3 3

2a

J

x2

dx=a +3a-4

l

51 Lös ekvationen ln(3x2 )

-

ln(x) = 1

Svara exakt.

48 Kurvan y = e2x, y-axeln samt linjen y = p innesluter ett område med arean 10 ae. Bestämp.

TALET e OCH INTEGRALER

REPETITION 1 5001

Bilden visar en rätvinklig triangel. Bestäm triangelns sidor.

5004

Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader. (c m)

(m)

15

x- 7

V

31

EX 3 SID 12

X

EX SID 8

5002

5005

Bestäm den sida som är markerad med x.

I en likbent triangel är toppvinkeln 76,0° och motstående sida 21,6 cm enligt figuren. Beräkna triangelns omkrets och area.

(cm )

7, 1

7°f>o • • '• • • • • •

EX 1 SID 11

X

'

21,6 cm

5003

EX 4 SID 12

Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader. 5006

(cm)

27

Bestäm exakt värde för triangelns omkrets och area.

20

(c m)

V

EX 2 SID 11

60° 4

RE PET IT I ONSU PPG I FTER

EX SID 15

5007

a) Bestäm sin 140° och cos 140° med hjälp av enhetscirkeln på sidan 17.

5013

b) Använd radien vid 250° och bestäm sinus och cosinus för 250°. EX1SID18

5008

Lös ekvationen sin v där 0° $ V $ 360°

=

I triangeln ABC är BC = 18 cm och AC = 15 cm. Vinkeln A = 52°. Beräkna vinklarna B och C i hela grader. EX 2 SID 26

5014

0,5

I en triangel ABC är sidan AC 17 cm och sidan BC 13 cm. Vinkeln A är 43°. Bestäm vinklarna B och C. Svara i hela grader.

EX2SID19

5009

EX 3 SID 27

5015

Lös ekvationen cos v = 0,5

Beräkna längden av sidan BC. B

EX 3 SID 20

5010

Bestäm triangelns area. (cm) EX 1 SID 32

4, 1

5016 46° 3,8

EX 1 SID 23

Sidorna i en triangel är 42 cm, 53 cm och 78 cm. Bestäm triangelns vinklar. EX 2 SID 32

5011

I en triangel är två sidor 5 cm och 6 cm. Hur stor är den mellanliggande vinkeln om triangelns area är 7,5 cm2 ?

5017

a) Ange koordinaterna för cirkelns medelpunkt samt cirkelns radie.

EX 2 SID 23

5012

Bestäm längden av sidan AC i hela cm.

c

Vi utgår från en cirkel som har ekvationen 36 = (x - 2) 2 + (y + 3)2 •

b) Undersök om (2, 3) ligger på cirkelns rand.

(cm)

c) Var skär cirkeln y-axeln? b

15 EX 1 SID 38

5018 EX 1 SID 26

En cirkel har ekvationen 68 = x 2 - 4x + y2 - 6y. Bestäm cirkelns radie och medelpunkt. EX2SID38

R EPETITI ONSU PPG I FTER

~ 5

REPETITION 2 5019

Förenkla utan räknare.

5025

(ao,a6)2

a) x3 . x-2

b)

a

1 -

b) x 3 - x 2 - 2x = 0

--

f) 27 3

e) 83

5026

EX 1 S 53

5020

2

x 3 Fx

b)

c) .J16x

x

b) x = 0 och x = -9

2

c) x = 0, x = -1 och x = 0,5

4Fx

Fx

Ge exempel på ekvationer som har följande rötter. a) x = 3 och x = 2

Skriv som en potens. a)

EX 1 SID 62

2

2 -

d) 8 3

a) (2x - 3) · (x + 4) = 0

c) (2x3) 2

-2

Lös följande ekvationer.

EX 2 SID 63

EX 2 SID 53

5027 5021

p(x) = 24 + 8x - 2x2

Faktorisera så långt som möjligt

a) 3 + 9y c) Sx3y2

-

Faktorisera polynomet EX 3 SID 63

b) 6x2 - 36x Sx2y 3

d) x 2 + 6x + 9

e) 36 - 60x + 25x2 f)

2a2

-

5028

a) Vilket värde kan x inte ha i uttrycket 2

18b2

--?

x-8 · EX SID 56

b) För vilka värden på x är uttrycket

5022

Ange koefficienter, konstantterm, gradtal samt om polynomet är fullständigt. a) 5x

3

-

5029

EX 1 SID 66

a) f(4)

b) f(-3)

Bilden visar grafen till polynomet f (x). Avläs följande värden.

1

\

I

\ I,

/

5030 5031

I EX 3 SID 59

b)

l2x 2 y 8xy

4a+a2 Förenkla uttrycket a

3

EX3SID67

Förenkla uttrycken. 2

3x +9x

b)

x+3 EX 4 SID 67

Förenkla uttrycken

'

J

3xy

a) 10x+25

5032

X

2

5x+35

a) f(O) b) f(l) c) f(2)

I

\

lS xy

EX 2 SID 67

c) f(a + h) EX 2 SID 59

,y

Förenkla a)

Utgå från polynomfunktionen f(x) = 2x2 - Sx + 6. Bestäm

1

-6X

ej definierat?

2x + 7x + 8 EX 1 SID 58

5024

X

2

2

b) 3x4 + 17x - 9

5023

x+l

a)

x 2 -8x+l6

x-4

b)

3x 2 -12 x-2 EX 1 SID 69

RE PET IT I ONSU PPG I FTER

5033 Förenkla uttrycken . 4x 2 -12x+ 9 a) 4x-- 9 ?

5040 b)

x 2 - 100

Vi ska använda graferna A och B n är vi löser några olikheter.

10- x

y _J'

EX 2 SID 70

-

2

5034 Förenkla uttrycket - - - -

.,.,,,

"'

., / V

/

x -x-6

B

"

"'

X '

EX 3 SID 70

4

h 2 -h Förenkla - h+ I

b) Lös olikheten A < B

5041

Förenkla uttrycken .

a)

x +3;x+ 3 X

X

4

4a2 -1

3a

12a

2a -1

b)

,y

a)

2x

+

5

2

b) -+

2x

X

y 3

/ \

Förenkla

3

EX 2 SID 80

Bilden visar grafen till y = 4x - x 2 • Lös följ ande olikheter.

EX 2 SID 73

5037

9

a) Lös olikheten A > B EX 1 SID 73

5036

\

1

x- 3

5035

i\

•

4

'

X '

3x EX 1 SID 75

;

•

5038

Förenkla, dvs skriv p å gem ensamt bråkstreck. 1 1 - a)

(x-h)

b)

a) 4x - x 2 < 3

b) 4x - x2 2:: 3

X

2

1

a+ l

a -1

'

c) 4x - x 2 > x EX 3 SID 81

5042

5x+ 2 I 2 + c) 2 (x - 4) {x - 2) (x+2)

Figuren visar grafen till funktio nen f(x) = x2 + p. ·Y y = f( )

EX 2 SID 76 1

5039

Grafen visar h ur temperaturen t varierar m ed tiden x.

'

X

1 \

~C

t

\

"

I

I

'( /

a) Bestäm talet p a) Lös o lik h eten t < 0

b) Lös ekvationenf(x) = - 3

b) Lös olik heten t > 0

c) Bestäm definit ionsm ängd en . EX 1 SID 79

d) Best äm värdem ängden . EX 1 SID 83

R EPETITI ONSU PPGI FTER

5043

Figuren visar grafen till f(x)

=

4x - x2•

5046

Lös olikheten 4x3 + l2x < 0 EX4SID89

·y

/ \ 1

I

5047

J

x+3 x+4 Lös ekvationen = 1+ - 3 5 EX 1 SID 90

X

5048

y= f(x

a+6 a 4-a Lös ekvationen - - = -3a 6 2a EX 2 SID 91

5049

Lös ekvationen

a) Bestäm definitionsmängden.

2-a

2 2

a -9

-

a+3

b) Bestäm värdemängden.

=1 EX 3 SID 91

EX 2 SID 84

5044

Vid ett kemiskt experiment kan temperaturen beskrivas med funktionen t = (x - 3)(7 - x) där t = temperaturen i °C och x = antal minuter. Lös olikheten t < 0. EX 1 SID 87

5045

Lös olikheten. a) 32 + 12x - 2x2 > 0 b) 2x3 > Bx EX 2,3 SID 88

~ 8

RE PET IT I ONSU PPG I FTER

5050

Beräkna lal +lbl och då a = 3 och b = -5

la+bl EX 1 SID 94

5051

Lös ekvationen

lx - 21 = 4 EX2 51094

REPETITION 3 5052 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (1, - 2) och (3, 4).

b) Hur stor var minskningen i genomsnitt per år från 2005 till år 2010?

EX 1 SID 105 EX 1 SID 109

Bestäm linjens ekvation på formen y= kx+ m

5053

5056

. y '7

" l"s

.

En blomkruka ramlar från ett fönster. Fallsträckan f (t) meter beror av falltiden t sekunder enligt f(t) = St2 • a) Beräkna differensen f (2,4) - f (2)

L

-

~

b) Beräkna och tolka ändringskvoten

- I"-

f (2,4)- f (2)

I.

" I""-

,...

"" "'

" 1 •

'

•

.

2,4-2 EX 2 SID 110 ',

I •

X

l"s ...

'

'

-

"'

EX 2 SID 106

Den räta linjen Sx - 2y + 4 = 0 är given.

5054

a) Bestäm ekvationen för den linje L som är parallell med den givna linjen och går genom punkten (3, 1). b) Vilket k-värde har en linje som är vinkelrät mot linje L? EX 3 510106

Grafen visar befolkningen i en kommun från år 1990 till år 2010.

5055 •

0

1nvanare

y

V

r-

I/

15 000

i',

V

'

/

.......

, ~

10 000

" 1990

X

1995

2000

2005

2010 år

a) Hur stor var ökningen i genomsnitt per år från 1990 till år 2000?

_) R EPETITI ONSU PPG I FTER

5059

Bestäm värdet av a)

X=

1,1

b)

X=

1,01

C)

X=

1,001

X

2

- l

x-1

för

x 2 -1 d) Beräkna gränsvärdet lim-x ""' 1 X - l algebraiskt. EX 1 SID 122

5060 5057

Grafen visar en temperaturkurva där temperaturen y beror av tiden x enligt y = f(x).

c) lim hx+h2 h \(I h

y

c

Beräkna följande gränsvärden. 2 . x-2 a) limx -x b) 11m ? x ~2 X- -4 x""'O X

H

B

EX 2 SID 122

X

5061

Beräkna

-+-~---+-~~-----.1...._~~-+-~ ~ ~

a) lim

G

x""'O

6 2 + 1Qx

A

b)

F

lim (22 + 68 · 0,98x ) X"°'°"

EX 3 SID 123

a) I vilka av punkterna A-H ökar temperaturen, dvs f'(x) är positiv? b) I vilka av punkterna A- H är f'(x)

5062

negativ?

Funktionen f(x) = 3x2 har en tangent i den punkt där x = 2. Använd derivatans definition och bestäm tangentens k-värde.

c) I vilka punkter är det nollgradigt?

EX 1 SID 128

d) Var är f'(x) = O? EX 1 SID 116

5058

Figuren visar grafen till en funktion y = f (x) samt grafens tangent i den punkt där x = 1. Bestäm med hjälp av figuren f'(l) och f'(2). ·Y

r

Bestäm med hjälp av derivatans definition f'(4) dåf(x) = 3x +5. EX 2 SID 128

5064

Derivera följande funktioner.

a) f(x) = 5x3 + 2x4 + 7

J

XB

"'\

,j 1

5063

\

I,

I

b)

\

f(x)=2

c) y = x 2 (4x - x 3 ) X

'

EX 1 SID 133

I

I

I

y= f(x

5065

Bestäm derivatan till y

=

x6

2x

-

3

3 EX 2 SID 133 EX 2 SID 117

1'so

R EPETITI ONSU PPG I FTER

5066

Grafen till f(x) = x2 - Sx har en tangent i den punkt där x = 4. Beräkna tangentens lutning.

5072

Använd grafen för att bestämma funktionens största och minsta värde. ~

EX 3 SID 133

•y I

5067

Ett vagn rör sig sträckans meter på tiden t sekunder enligt s(t) = 3t2 • Beräkna och förklara följande.

1

\

,I X

)

b) s'(S)

a) s(S)

'

I

- ')

EX SID 138

5068

På grafen har maximi-, minimioch terrasspunkt markerats. Använd grafen för att bestämma i vilka intervall som funktionen växer respektive avtar.

EX 1 SID 148

5073

Bestäm största och minsta värde för f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 3 i intervallet 0,5 2

Bestäm C så att funktionen blir kontinuerlig. EX SID 168

B

5085

Är funktionen diskret? a) En bils hastighet v (km/h) då du övningskör

A

a) Bestäm rektangelns maximala area. b) Kontrollera din algebraiska lösning med en grafisk metod. EX 2 SID 160

b) Kostnaden T (kr) då du köper x st semlor c) Massan m (kg) av x liter vatten d) Sträckans (meter) som ljuset hinner på tiden t (sekunder ) EX SID 169

5080

Skriv med kvadratrotstecken. a) 7 · x

05 •

b)

2 X o.s

c) 8 · x -o.s EX 1 SID 164

RE PETIT I ONSU PPG I FTER

REPETITION 4 5086 Bestäm derivatan till följande funktioner.

5093

a) y = e3x b) y = e-x c)

y = 200 . e -0,4x EX 1 SID 186

5087

Antag att en befolkning ökar enligt y = 160 · e0•03 x där y är befolkningen i miljoner efter x år. Bestäm tillväxthastigheten för x = 1 och x = 10.

EX 3 SID 194

5094

EX 2 SID 187

5088

På en fysiklaboration mätte man hur snabbt kokhett vatten svalnade. Man anpassade en graf till mätvärdena och fann att vattnets temperatur kan beskrivas med sambandet y(x) = 80 + 20 · 0,91 x . Här är y temperaturen i grader och x är tiden i minuter. Efter hur lång tid minskar temperaturen med 1 grad per minut?

Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = e-2x + 3x i den punkt på kurvan där X= 0.

Temperaturen y (grader) på varmt kaffe i en kaffekanna avtar enligt y = 20 + 80 . e-0,025x där x är tiden i minuter. Hur lång tid tar det för temperaturen att sjunka till 70 grader?

EX 3 SID 187 EX1SID195

5089

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror.

a) 4e3x

-

5095

5 = 17

b) ln x = 1,5

c) ln (0,5x + 3) = 4,5 5090

EX 1 SID 190

Använd derivata och bestäm det minsta värdet av funktionenf(x) = e2x - 5x. Kontrollera till sist resultatet med din räknare.

Vid ett experiment odlas mögelsvamp. Vikten ökar från 7 gram till 14 gram på 15 timmar. Teckna, på 3 olika sätt, modeller som visar hur mögelsvampens vikt y (gram) ökar exponentiellt med tiden x (timmar). EX2SID196

5096

Bestäm en primitiv funktion. a)

EX 2 SID 191

5091

Bestäm y' då y = 400 · l,35x.

c)

En bils värde i kronor minskar enligt V(t) = 140 000 · 0,7' där t är antalet år. Bestäm värdeminskningen i krI år då t = 2. EX 2 SID 193

2

+ 5x + 4

b) f(x) = 6x2

4x3

-

f (x) = 3ex + e4 x l

EX 1 SID 193

5092

f (x) = x

d) f(x) = 2·e

-x 3

+ 9e-2 x EX 1 SID 203

5097

Bestäm samtliga primitiva funktioner. 5 a) g(x) = -2 X

b) h(x) = 6--..lx EX 2 SID 203

R EPETITI ONSU PPG I FTER

5098

Bestäm den primitiva funktion F(x) till f(x) = 3x2 - 4x som uppfyller villkoret F( 3) = 2.

5103

Beräkna och svara med 2 värdesiffror.

f(e-o,sx -2x )dx 0

-1

EX4SID211

EX 3 SID 203

5104 5099

I en kommun förväntas folkmängden N öka med hastigheten N'(t) = 80t där t = antal år efter 2010. Hur många invånare bör kommunen ha år 2018, om folkmängden år 2010 var 24 000?

Bilden visar grafen till F(x) som är primitiv funktion tillf(x). 2

ff(x)dx

Beräkna med hjälp av grafen

l

y

/ •I

EX 4 SID 204

I

I

'\ F( ')

\

\ X '

5100

'

Bestäm det markerade områdets area. ,y

I

I

,

,

'

EX5SID211

= ' X/

I

'

5105

J

I •• J

Beräkna arean av det markerade området.

'

y V ~ 3, 2 -

~

'

\

I

X ),

'

J

'

'\ \

Il/

' \.) ,· "

EX 1 SID 210

-1 5101

8X + 1

Bestäm det blå områdets area. Svara med två värdesiffror.

!.

3x

X

'

EX 1 SID 216

y

5106

y = 2e2x

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna y = x 2 - 4 och y = 2x - x 2 . Se figuren. y = x2 - 4

X

y X

1

EX 2 SID 210

3

5102

Beräkna

f(4x+5)dx. -1

y = 2x - x2 EX 3 SID 211

5107

EX 2 SID 217

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan y = x 2 - 2x och x-axeln. EX 3 SID 218

RE PETIT I ONSU PPG I FTER

5108

Beräkna arean av det markerade området. y= i x2

y

\

:"'.

·""-

-

-

•

'

2

J

\ """I'- I

'- /

+-

V=

~-

I(

"'I'-

X '

EX 4 SID 219

5109

Bestäm följande integraler med hjälp av bilden. y

6 ae X I

4

5 ae

4

fJ(x)dx

2

a)

f f(x)dx

b)

o

0

fe3

5110

Beräkna

2

EX 1 SID 223

f(4 - e3

x

dx +

-2

5111

),,.

2

x

-2

)dx EX 2 SID 223

Nedan ser du grafen till funktionenf(x). Använd grafen och lös följande uppgifter. y

5112

4--l- - -

På en campingplats mäter man vattenförbrukningen. 24

X

I

I

2

I

I

I

4

I

8

I

>

I

Tolka i ord vad

10

ff (x) dx

= 2000 betyder.

0

Här gäller att f(x) = vattenflödet i liter/h och x = tiden i h. -6

EX 1 SID 229 2

a) Bestäm

ff(x)dx O

5113

ff ( a

b) Bestäm talet a så att

x) dx får så

v(t) = e0·251 där tär tiden i sekunder.

0

stort värde som möjligt. c) Bestäm a med två värdesiffror så att a

ff(x)dx 0

Hastigheten i ml s för ett föremål ges av formeln

= 0. EX 3 SID 224

Hur långt hinner föremålet under de två första sekunderna? Svara med två värdesiffror. EX 2 SID 230

R EPETITI ONSU PPG I FTER

~ 5

1203 23°

KAPITEL 1

cosC =

1204 Fx ""12 kN Fy "" 7,4 kN 1101 1102

a) 6x + x

2

2

a) 2x +50

1103

a) 18 - 12x + x

1104

a)

1105

a) x = 2

1106 1107 1108 1109

X=

2

2,1

a) x = 0,01 a)

X

b) 64

1205 a) 40°

b) 272 m 2

b) 16x

1206 a) 0,6

b) nej (0,8 > 0,6)

1207 a) 23 cm

b) 20 cm2

b) c2+x2

b)

X =

b)

X

b)

X

12

= 25 = +8

b) x=+4

=+12

a) x = 2 eller x =-4 b) x = 11 eller x = 1

1110

a) x=+5

1111

a) 6 cm, 8 cm och 10 cm b) Nej, omkretsen = 24 cm

1112

1113 1114 1115

1201

a) x =

1202 a) 6,8 cm c) 25 cm

b) 25 dm d) 7,9 m

1215

20,8 cm

1216 Se figuren nedan. a b sin v = - och cos v = - .

c

c När vi löser ut a och b, får vi a = c · sin v och b = c · sin v Detta ger a tanv =-=

.

C · Sill V

-

b c . cosv .

SlllV

- --

cosv

vsv c

a

V

närliggande katet bli t ex

1209 31 cm 1210

2

1

=2,

15

1

b

= 15 osv.

84 cm2 a) 0,5

b)

,J3

c) -

1

F2

2

45°

1219

9°

1212

Utgå från tan58° "" 1,6 :::::} motstående katet ska vara 1,6 gånger större än närliggande katet. Rita en triangel där t ex närliggande katet = 2 cm och motstående katet = 1,6·2 cm = 3,2 cm.

Rita figur där vinkel A = 90°. Från figuren ser man att sin B =

a) ..J3

1

AC BC

och_ )

1220 a)

~

-.J2

b) 0,5

c)

b) fj

c) 1

2

1213 P :::: (3,2; 2,4) Q"" (0,9; 4,9) 1214

1217 1218

2

1211

15 · sina

. s1nv b) x = 7 · sin v . sma a) 27° b) 53° d) 16° c) 34°

BC

motstående katet

b) x=6

a) x = 3 · sin v cosv b) x = =5cosv 0,2 0,5 8 b)x = a) x = - tanv smv 5 a) x= 1,4 b) X= - .cosv SinV

, dvs

sinB = cosC VSV

1208 Hypotenusan är alltid den längsta sidan i en t riangel. Både i sinx och cosx dividerar vi med hypotenusans längd. Här är alltså nämnaren större än täljaren, och svaret blir alltid mindre än 1. Vad gäller tanx, kan kvoten

a) x = 12 eller x = 2 b) x=8 eller x = -12

AC

"3

1221

32..J3 cm2

1222 81.fi cm2 1223

36

.fj

= 12.fi cm

2

1224 a) lOcmoch 5 . fj cm b) 12,5 · cm2

J3

1225 a) 1 3 1226 =

b) 2

Jz J4:s cm vardera

1227

7

14 a) ~ cm och . cm -J3 '13

49

b)

2

.fj cm

1311

2

1228 Båda uttrycken är rätt och betyder samma sak, eftersom 1· .J2

.J2 --h- E.-h- 2 1

1312 1313

1229 Antag kortaste sidan = x. Hypotenusan = 2x och den längre kateten = x . .fj Detta ger x + 2x + x · .fi = 6

_

6

.fj-

3+ 3

6(3 -J3)

1315

(3+l?,)(3 - J°3) = 6( 3 - ./3) = 3- ./3 6

1301

cos 230° ,::::-0,64. Förvinkeln 230° är x-koordinaten"" -0,64 enligt figuren. y X

'-+-..... : +.y' -,r.l-+.,.. '

1316

/

' //

1302 a) 0,64 b) 0,5 1303 a) 0,5

c) - 0,5

1317

b) - 0,34 c) 0,64

1304 a) 1 d) 0

b) 0 e) 0

c) - 1 f) -0,5

1305 a) 0 d) 1

b) - 1 e) 1

c) 0 f) 0,5

1308 a) v , "" ±40° c) v, "" +70°

_.fj 2

(sin v)

1407 21 cm2 (dela arean i två trianglar) 1408 Dra en diagonal så att du får 2 trianglar. Om mellanliggande vinkel = v blir area11 a · b · sin v A = 2· = a · b · sin v 2

Om mellanliggand e vinkel = {180° -v) blir det samma svar, eftersom sin(l 80° - v) = sin v. Alltså A = a · b · sin v VSV

1409 Om AB är t riangelns bas, vill vi att höjden mot AB sk a bli så stor som möjligt. Höjde11= ACsinA. Största höjden får vi då sin A = 1 :::::;, A = 90°. Detta ger arean 25 cm2 . 1410

4,2 cm2 2

a) Uttrycket har värdet 1 för alla t re vinklarna. 2

+ (cos v)

2

2

1411

2

1412

=1

2

+ (cos v) = 1 VSB

A rean=

.

a · sin v

Areasatsen ger

A=

s · s · sin 60°

=

2

-J3 S·S·

f;,

2

- ---=2=- = s " 3 2

1413

vsv

4

a) Varje triangels area = r · r · sin(360° In) 2

1318

a) 56 m

1319

b a) a ·-= b

b) 31 m

a

b) v,:::::: ± 30°

enligt areasatsen. Hela arean fås genom att multiplicera med n, vilket ger

b b2 b) -b·- =- a a

A = n ·r

a) 2,3 m 2 c) 5,9 m 2

b) 3,1333

1309 a) 1 b) 0 c) ej definierat (man får inte dividera med noll)

1401

1310

1402 31 cm2

30° och 150°

b)

c) Om vi tänker oss en rätvinklig triangel med hypotenusan 1 kommer kateterna att ha längderna sin v och cos v . Pythagoras sats ger

1306 a) v, "" 50° V 2 :::::: 130° b) v , : : : 60° v2 "" 120° c) v , "" 20° v2 "" 160° 1307 a) v , "" 53° v2 "" 127° b) v, : : : 42° v 2 "" 138° c) v , "" 5° v2 "" 175°

1406 84 m 2

J3

b) ( sin v)

180 m 2 (178)

d) - a

b är negativt

a) -0,5 1

c)

1404 51 ° eller 129° 1405

Räknaren visar troligen error. Värdet sin- 1 (2) är d en vinkel som har sinusvärdet 2, och någon sådan vinkel finns inte!

b< c x(3+ .J3)=6 dvs x =

a) - 30° = 330° eller 180° - (-30°) : : : 210° b ) 120° eller 240° (som kan skrivas - 120°)

b) 61 m 2

2

· sin(360°

2

3,1411

In)

vsv

3,1415

_)

1431

Lös ut h 2 ur båda ekvationerna och sätt lika. Detta ger

18 cm

c) Värdet går mot rc, vilket stä1nmer med att figuren blir allt mer lik en cirkel med arean rcr 2 .

1432 83°

1414

a) 14,5 m, 15,9 m och 15,0 m b) 32,6 m, 17,9 m och 23,0 m

1434 32 m eller 8 m (samma svar i a och b)

1415

a) 44° och 75° b) 28°och37°

1416

a) 30 m 2 (26,6) b) 610 m 2 (608)

1433

a2 = c2 + 2abcosC - b2 =::::} c2 =a2 +b2 - 2abcosC VSV

15 cm2

1435 46°

2

c) 9 = (x+2) +(y - 3)

d) 49=(x+5) + (y+2)

1437 60°

1418

3300 m 2

1419

56,5° och 87,0° eller 123,5° och 20,0°

1439 a) Pythagoras sats (c2 = a2 + b2) b) c = b - a c) c = a + b

1504 Tex (6, 3), (- 2, 3) och (2, 7) 1505 a) y ::::: - 6, 9 och y "" 2, 9 b) x ::::: -3,6 och x ::::: 5,6

1440 90°, 67° och 23°

1506 15,5 le

1441

1507 Om linjen ska skära cirkeln i 2 punkter, måste linjen finnas mellan cirkelns högsta och lägsta punkt. Cirkelns medelpunkt = (3, 4) och radien = 9. Cirkelns lägsta punkt y = 4 - 9 = - 5 och högsta punkt y = 4 + 9 = 13. Om - 5 < a < 13 kommer linjen y = a att skär a cirkeln i två punkter.

34° eller 146° 138°

a) Cosinussatsen två gånger 36 + 16 - 2 · 6 · 4 · cos A =

1423 170 cm2 eller 40 cm2

= 25 + 25 - 2·5·5·cosC

1424 B = 73° och C = 57° eller B = 107° och C = 23°

52-48cosA= 50-50cosC

1425 5,1 cm 1426 a) csinA x ""-0,92 för vinkeln 157°. 7,6 cm a) C = 180° -72°-54° = 54°. Lika basvinklar in11ebär att AB=BC VSV b) CD"" 12 m (1 1,64) 2

20 =(x+l) +(y- 4)

14

87,8°

15

a) 7,1°

KAPITEL 2 4

2101

a) 5- 7 c) 32

b) 5 d) 37

2102

a) 16x 2

b) x 4

b)yz4,7

16

390 cm2 (387)

17

a) 28 cm2 b) 30° eller 150°

2103 a)

18

a och b är korrekta

2104

a) 51.5

19

a) 53 m

2105

-8x 2

20

ca 80 m kortare (82 m)

2106

a)

21

38 minuter

2107

X

22 23

a) 104°

3 6

d) 1

c) 8x y

b) 120 m 2

fi.

X

- I

1

-15

• ---

X

b) 520 m 2

1,5

2108 65/12 a) öka med 32,7° b) minska med 12,8°

2109

24

26,6°

25

Radien är 8 le och M = (-1, 6)

2110

26

16,3°

2111

27

a) 880 m

a) 2

b) 3

c) 1/25

d) 1/16

a) 0

b)

2

a) A "" 44,1 °, B"" 29,8° och

c"" 106,1 ° b) 150 m 2 (151,3)

b) 1

a) 12

b) 86 m 2112

.Js4=(4·21)

112

-0,8

AB"" 5,8 cm eller B"" 112°,

29

l,Ocm2 (AB=l,1 cm)

=2 ·31/2 .71 12 =

C"" 33° och AB"" 3,2 cm.

30

82°

= 2,/3 .)7

16

Radie = 7 och M = (4, - 5)

31

2 cm (1,73)

17

BC"" 12 cm (12,2)

b) 22,6°

1

a) 39 cm

2

52cm

3

a och b

4

80 cm2

5

a) 17 m

6

tex 44,4° och 135,6°

7

Nej, eftersom

28° eller 32°

9

AB = 55 m och BC = 47 m

10

31 ° och 59° Vinklarna 36,9° och 53,1 ° (x = 10)

= 329

3

32

13 cm eller 6 cm

2114

4,4 %

33

(1, -2) och radien = 2 le

2115

VL kan skrivas

34

265 N eller 75,4 N

(7·5x )2 = 72 .52x =

35

45°

= 49·5 2 x VSV 600 6 100 100 Ja. 2 =(2 ) = 64 100

= 36100

Han har rätt eftersom 64100 > 36100.

b) 153 m

Ja, eftersom 13 =(-3)-+2

vsv 330

6200 = ( 62)

8

11

2113

2116

')

=

= 41/2 ·211/2 = 2 ·(3·7)1/2 =

B "" 68° , C "" 77° och

BLANDADE UPPGIFTER

.!. 3

28

15

7J7

b)

2

2117

4

2118

50200 = 5200 ·10200 och 5 = 2 · 2, 5 Räknaren ger 200 60 2 ""' ] '6069 · l 0 och 2,5 200 ""3,8726 · 10 79

50200 ""1,6069· 3,8726 · 1060+79+200 339

"" 6, 22 · 10

2119 2120 2121 2122

2123

a) -8 c) l-4a6

b) l-a 2 h 2 d) l - a-6 /9

a) h+4

b) 2a+h - 2

a) lOx+ 25 c) x 2 -1

b) 9 d) 4b 2

2212

a) 40x c) 2x 2 -10x

b) 0,8a-9 d) 2-x

2135

2214 - 2

a) x 1 = 2 x 2 = -1 b) x 1 =l x 2 =-13 c) x 1 = x 2 = 2 d) x 1 = 11 X 2 = 7 a) 12h

b) 17 - 48x

a) (x+3) b) (y - 6) c) (7-5x) 2 d) (3ab - 4) 2

a) 4(5+x)(5 - x) b) (xy 2+z3)(xy2 - z 3) c) 3(a2 - ab+b 2 ) d) 2x 2 (3x - 1)2

2136 a) a 3 (l+a x ) b) x 2(x h -1) c) bn · (bn + 1)

J 4x2 -y2 = (4·x2 -y2)0,5 =

5x-40x 3 +80x 5 2138 a) (l + y 2)(l+y)(l - y) b) 3t(4t 2 +1)(2t+l)(2t -l) c) (x40 + l)(x20 + l)(xto + l)(xs + l)(xs - 1)

= 40,5 · (x2)0.5 ·(y2)0.5 = 2xy

2201

2125

b) t=-3

a) x= - 2

2126 Bär korrekt eftersom

A är fel eftersom det är ~ (2x + y)

2

som blir 2x+ y.

2121 a)

4M

b) 28

(a+x) 2 +h 2 = df och 2 2 (a - x) +h = di ~ (a+x) 2 + h 2 +(a - x) 2 +h 2 =

2137

a) 10 c) 0

b) 40 d) b2 - 3b

a) b) c) d)

Går ej 2x(l-8x) y(x+ y) 2x 2y 3 (xy - 2)

a) (4+x)(4-x) b) (2y + 5)(2y - 5) c) (ab+8)(ab-8) d) (9xy+7ab)(9xy-7ab)

2217 a) x 1 = Oochx2 = 3 b) x 1 = 2och x 2 = - 1 c) x 1 =0, x 2 = -8 och X3 = 0,5 d) x = 3 2218

a) b) c) d)

x=Oeller x=+2 x =O eller x =l ,5 x = Oeller x = l,25 x = + 0,5 eller x = 0

2219 a) t ex (x + 2)(x-3) = 0 b) tex x(x - 16)(4x - 1)=0

2221

2204 a) - 5 c) grad 2

2223 a) b) c) d)

(x - 5)(x - 3) (x - l)(x+5) (x-3)(x + 2) (x+0,5)(x+l,5)

2224 a) b) c) d)

x = O eller x = 2 x = - 1 eller x = 4 x = - 12 eller x = 7 x = 0 eller x = - 6

2206 a) x 3 - 12

2131

2216 Multiplicera med x 3- n

2203 A och C är fullständiga. A har gradtalet 3 och C har gradtalet 2.

Efter förenkling fås 2 2 2 2a + 2x +2h = d f + d f som tillsammans 2 2 2 med x + h = b ger 2 2 2a + 2b = df + di VSV

a) 3(x+5) b) 5(2x-3) c) 4(1 + x) d) x(x - 1+2y)

2215 X= - 8

2220 a) x = 3 och x = -3 b) x = 3, x = - 3, x = - 2 och x = 7

2205 C

h = +3 eller h = +l LEDNI NG: Sätt h2 = p

2213 tex p(x) = x 2 + l

2202 A har graden 4 och B har graden 5. C är inget poly11om.

= df +df

2130

2132

2211

2134 a) 64 och 8 b) 0,01 och och 0,1

a) x +6x c) 2x 2 +4x

b) 4

2129

2

2133

2

2124 a) 2

2128

2

b) x +49 d) 0

2

2207 a) - 4

b) 7

b) 3x 2 +6x

b) 0

c) - 3

2208 a) Då x4 -termen multipliceras med x, blir graden 4 + 1 = 5. b) Här multipliceras x4 med x3, och vi får ett polynom av grad 7. c) Gradtalet blir oförändrat d) Vi får fler x 4 -termer men gradtalet ändras inte. e) Polynomet får gradtalet 5. 2209 a) b) c) d) 2210

6 2a2 -3a+4 2a2 +a+3 50a2 - 15a+4

a) 2 d) 4

b) 2 e) n

c) 3

p(x) = 45(x-6)(x+3)

2222 a = 1 och b = 3

2225 a) (-10, 0) b) 60 le c) (0, 500) 2226 a) x = 0 eller x = 2 (dubbelrot) b) x = 1 eller x = -0, 5 c) x =O d) x = O, x = 7 eller x = -2 2227 a) b) c) d)

2x(x - 2) 2 -6(x-l)(x+0,5) x(l - x+x 2 ) x(x-7)(x+2)

2228 a) x = l, x = - 3 b) a = 2

y

2229

2238 b = 1 och e = - 2 Då ekvationen har rötterna b och e gäller att

x "' + bx +e = (x - b)(x - e) 2

2230

Tex x -3x -1 0 = 0

2231

Lösningen är fel. Eftersom högra ledet ::f. 0 måste du multiplicera parenteserna och lösa med formeln. Då blir svaret x =-0,5+.J,_s-,2-s ==>

Eftersom x -koeffi.cienterna måste vara lika, får vi b =-{b+e) civs 2b = -e Konstanttermerna måste också vara lika, dvs e = be. e = be ==> e(l - b) = O dvs e = 0 eller b = 1. Dessa lösningar testas i likheten 2b = - e

x : : : 1, 79 eller x : : : -2, 79 2232 x(x -4)(2x +l ) = O

Om e = 0 blir b = 0 och vi får ekvationen x 2 = O. Om b = 1 blir e = - 2 och vi får ekvationen x 2 + x - 2 = O

2233 2x 2 - 12x-14 = 2(x 2 - 6x-7) x 2 -6x - 7 = 0 har rötterna x=7 ochx= - 1 2

2(x - 6x -7) = 2(x-7)(x+ 1) EXEMPEL:

5x. (x - 3)2 = 0

2235 a) x(x 2 -6x + 1O)

2301

c) x(x +24)

b) 1,5 c) - 2

b) tex

2

x x- 6

,Y

2306 a) -

x-2 2314

Här får vi inte förkorta med a. Förkorta innebär att vi dividerar med samma faktor i hela täljaren och nämnaren. Svaret blir alltså

4a - b

a 2315

Ja, om nämnaren saknar nollställen.

=O,lSt-12

c) 4x

p3

a

b) 3

c)

2307 a) 2a + b

,

r2

b) G(6) ::::-11 liter/min. Under de 6 första minuterna har i genomsnitt 11 liter lämnat tanken varje minut.

2318 a) (x+lO)(y+6)=1800

I

b) 2x

.

.

V

~

=}

J

x+lO

y=

!/

\

\

2308 a) 3

I

'

\

I I i'

X

/ j

4

:3,

~

b) 2

2309 a) a + 1 c) x -y 2310 a) 2x 2311

a)

b) y

1

x- 2

6 c) -

b

1800

y+6=

y c) 2x

1-- .

2x

t

b) 3y

y

3 c) 2(2x+5)

2317 a) G(t)=O,lst --12t

c) t ex 7 x+ 3 2 X - 25

2x

b)

3

')

2

2305 a) 3x

2313

a) 2(3x+5)

2316 Tex x+S x- 2

X

2237 Eftersom båda faktorerna är lika, gäller att x = a är dubbelrot och kurvan tangerar (snuddar vid) x-axeln. Bilden visar ett exempel där a = 2 .

4(3x + l)

2~: + 3 . H ar .. ser 2 x +l vi att nämnaren inte kan bli noll, eftersom x 2 + 1 alltid är positivt.

2302 Uttryck c)

2236 a) Sidan = 4 le b) Kanten= 6 le

1,

a) 5

2304 a) t ex

d) - l(x - 3)(x+8)= = (3- x )(x +8)

2a

EXEM PEL:

2303 a) X = - 0,5 b) x = 3 eller x = - 2 c) x = 0 eller x = 9

b) 2(x- 7)( x-1 )

b)

2

x +bx+e= x - (b+ c)x+ be 2

b+ a

1

c) 3(2x - 3)

,.,

X

2234

2312 a)

b

c) x+3 b) y + 1

1800 x+lO

A = x·y ==> 1800x

A= c) ab

-6

-6x VSV

x+IO

b) A:::::: 1200m2

b) 2y X

2319 a) x I 3 c) x+4

b) b d) x - 4

2320 a) a+b a- b c) a -3b b 2321 a) x+y 2x

b) x+2 d)

2332 a) -1

1

b)

I

2333 a) 2x 3 c) 9

a+ b a(a - b)

2334 a)

!

b)

b) 16

d) 2

2350 a) Sx+ 2 x+l

b)

2

d)

b) 5- 3y

2335 a) ~

5+3y

y

d) - x 2(x -1) 3+x X

C)

2

4x - 28x+49

--,--------

b)

X

Här finns inga faktorer som kan förkortas. 2325 a) (u:-3) b) (a+ 2) 2(a-2)

d)

2338 a)

2327 För att få (2 - x) också i nämnaren, bryter vi ut -1. _ -

7

(2-x) ( (- 1) · ( 2- X))S

(2 - x)

7

(- 1) ·(2 - x) X -

1

2329 a) _l_ x- 4 2330 a) x- 3 x-4

8

b)

_

2341

2- x X -

2

b) y

c) l_

20

2

2a

b)l9a

7y

6b

b) x+2

x-3 b) a(a + 2) 3(a -1 )

c) - 3 ab

2344 a) 2 +x b) _ 2Y c) - 1 3h ax 3t

!

b)

7

2.

c) 2

3x 2346 bara c) är fel

2347 a)

5x+ 2

x(x +l)

1

l · R2

R1 . R2

2

b) a + 12 a(a+4)

+

l · R1

R2 . R1

-

- R1 + R2 ~ R = R1 . R2 R1 · R2 R1+ R2 2354 a)

2a- 3 b) x (a + l)(a- 1) 1

2355 a) - -

3+h

b)

11

(x+ 5)(x- 5)

2356 a) _ _7_ _ 3(a +l )(a-1 )

b) -

2401

b) - bx

2343 a) 9x

1

2 z- 1

2357 a) _ x_ x+l

2342 a) 9x

2345 a)

=

b) y d) - 0,5

a) 0,5

1

_

d) x (x - y)

2340 a) l Ox + Sh b) 3x 2 + 3xh + h 2

a

1

2353 - = - + - = R R1 R2

b) 5(x- l)

2339 a) 4x 2 (6 - x) c) 5(x - b)

d) _ a+l

1+ 2a

x+

c) x(x +l )

1+ 5x

2328 a)

X-

1

1

4x

a) -{x + 9) b) I - 5x

c) l - 2a

3

ab (b + 1)

b) 2x + h d) 2x - h

2337 a) X c) 6x + 3h

c) x(x+2) d) 2(3b+x ) 2(x -2) 3b - x

8

2352

1

2

1

x(x - h)

Båda gör rätt

b) _ x_ x+3

2(x+ 7)(x- 7)

_

!

3h x(x+ h)

2351

d) 2a-1 3

c) 2b{b+ 3)

- -----

(2 - x) (X- 2) S

5 (x+ y )2

b- c

2336 a) a - b

-

(2x- 7)2

7

x(x+h)

4

2x 2 - 98

2326

±

2349 a) x + 2 x-5

b)

c) 3

h

b) -

X

d) går ej

2323 a) 3u- 5b 3a+ 5b

2324

d)

c) 4x

a+l

c)

b) 3

3

d) 2 - x

3

c)

3

x+S b) x - 3 x+3

x- 3

2348 a) _ _3_ _ (p - l)(p+ 2)

a = 6 eller a= - -

X

c) 2a+ 3b ab 2322 a)

2331

17

2

b)

x+2

a) x < 3 eller 7 < x < 11 b) 3 < x < 7 eller x > 11

2402 a) 1 < X < 8 b) x < 0 eller x > 3 c) 5 2 0 3

= 3(2 +

-

3h(2+ h)

h

f

I (

h

h)

1) = lim 3(2 + h) = 3 . 2 = 6 1,--.0

a) Lutning = 2 b) y = 2x + 4

9

a) 22 b) 17 c) s(2) anger hur långt föremålet har rört sig på de 2 första sekunderna. s'(2) anger hastigheten 2 sekunder efter start.

3427 Antal

10

a) 99

3428 Grafen b) har inflexionspunkt för x = 0

11

3425

a) C = 0

b) C = 0,6

3426

A och Där diskreta. B och C är kontinuerliga.

-

b) -8

c) 7

Y

5

3429 3 3430 a) C (som är inflexionspunkt) b) D och E c) A och B 3431

Det finns 2 inflexionspunkter. f"(x) = 0 => x = 0 och x = 2 Teckenstudium av andraderivatan visar att det är inflexionspunkter vid x = 0 och vid x = 2

X

2

b) -1:Sx :S O

12

a) a = -6

13

g"(5) = 0

14

a) x = 0 eller x = 3 b) x>3 c) x 1. Derivatan J'(x) = k · J(x). Om k > 1 , t ex k = 2, blir derivatan 2 gånger större än funktionen. Då gäller att röd graf= derivatan. Om O < k < 1 , blir derivatan mindre än funktionen, dvs svart graf = derivatan

4129 j'(x) = 2x + 2e2x = 0 är en ekvation som vi inte kan lösa analytiskt. Räknaren ger x"" -0,43.

413 0

d = 2 - 2 ln 2

4131

a) y::::: 130. e O, I SZx b) ca 800 grader c) y ' ::::: 23,66 . e 0,182x d) Efter 10 minuter ökar temperaturen med ca 150 grader/minut

4132 f'(x) = -loe-2x - 20x och f"(x) = 2oe-2x - 20 Grafen skär y -axeln då x = 0. Andraderivatan f "(O) = 20e0 - 20 = 0 f"(- 1) = 20e 2 - 20 ::::: 128 och f "(l) = 2oe-2 - 20 ::::: - 17 f "(O) = 0 och teckenväxling för y" ~ inflexionspunkt

4144

4145

4146

4148

4134

a) y ' = ln5 · 5x b) y ' = 150 · ln 1,3 · l ,3x P'(lO)::::: 1900 (1946, 52)

4135 !'(4)::::: 1600 (1635, 36) 4136

4149

4137

4138

413 9

a) N'(t) = 35 000 · ln 1,028 · 1,028 1 b) 990 personer/år c) 1100 personer/år d) Efter 26 år a) b) c) d) e)

81 grader y' = 70 · ln 0,955 · o,955x 2,6 grader/minut Efter 15 minuter Efter 18 minuter (18,1)

X ::::: -

0,548 y ::::: 1,24

4140 y = 15000' l,06X~ y = 15000. e"· lnl.06 y' = 15000 ' ln 1,06 ' l,06X= = 1200 ~X::::: 5,44 Efter ca 5 år växer kapitalet med 1200 kr/år. 4141 4142

4143

2 x =--ln2 a) 480 elever b) ca 670 elever (674) c) 8,6 år a) ca 38 % (37,7 %) b) 285

4151

a) y = 100. e0•0699x b) Y = 100 ·100,0303x c) 142 kr d) 142 kr

a) y = 100. e-O,OS3Jx b) 85 grader c) Efter 1 minut minskar temperaturen 1ned 7,6 grader/minut d) 30 minuter e) Efter 4 minuter minskar temperaturen med ca 6 grader/1ninut a) 9,1 kr b) år 201 1 c) ca 5 kr (5,05)

4152

4153

a) År 2010 b) 7400 personer a) b) c) d)

C = 80 och a ::::: 0,125 63 grader 13 minuter 20 grader

~ 4156

a) Antag att formeln är y = C · e°t, vilket ger y' = a · C · e"' = a · y Vi vet att y(4) = 76 och y ' (4) = - 4,l vilket ger - 4,1 = a · 76, dvs a ::::: - 0,054. 76 = C · e-0•054 · 4 ger C::::: 94,3. C är temperaturen hos kaffet då t = 0, dvs då det hälldes i termosen. b) 94,3 · e- 0•0541 = 55 ger ln(55/94,3) - 0,054 10 timmar.

4154 9,3 m

T = ln

2

VSV

Å

a) 20 grader b) 200 grader c) ca 58 grader. y'(x) = 180 · k · e-kx . y '(O) = 2,4 ger k = 2,4/180 ::::: 0,0133. Detta ger y(l8) = 200 - 180 . e-0.0133. is ::::: 58 d) Efter ca 22 minuter

4157 y = Ce-2 x ~ y' = - 2Ce-2x ~ y" = 4Ce-2x

y" + y' - 2y ~ 4Ce-2x - 2Ce-2x -2e-2x = O

vsv 4201

a) F(x) = 8x + 3x4 b) F(x) = 2x2 - 5x + x 3 x 3 3x 2 c) F(x) = - + -

3 2 d) F(x) = 5x - 2x3

4202 a) F(x) = x 2 + e' + C b) F(x)=x5 +2x4 +C e 2x 7x2 c) F(x)= + +C

0,021 cm/s. Detta är de11 hastighet med vilken ölskummet sjunker efter 300 s (dvs 5 minuter).

t=

~

- Å · T = ln.!. = ln2- 1 = -ln 2 2

a) 292 kr b) Efter 13 veckor c) t ::::: 17,3 d) ca 3 %

t::::: 26 4150

1M M 0 ·e-kT =2 0

e-kT =-1 2

4147 y'(6)::::: 7,3

vsv 4133

4155

a) ca 2100 b) Efter 10 år c) Efter 5 år d) 60 % per år

::::::

2

2

d) F ( x ) = 3x+

e

3x

3

4203 a) G(t)=

6t 8

X

+e- - C

- 9t

8 Kan skrivas: 0,75t8 - 9t b) G(t) = t - l,5e21 c) G(t) = 0,125t4 + 0,2 t5 d) t ex G(t) = 5

4204 a) G(x) = 4e0 ,sx b) G(x) = 24ex16 c) G(x) = 2x1•5 2

d) G(x) = ~+3e- x13 2

4205 a) G(t) = t 2

-

3t + 2

t2 b) G(t) =--lOe0 ·1t + 30 2 4206 a) F(x) = 4x3 + 3x2 - 4 b) F(x) = 4x3 + 3x2 + 20

4207 a) F(x) = ex+ 0,5e-2x - 0,5 b) F(x) = 2eX - x2 + e-x - 1

4219

4208 a) F(x) = x 3 + 1 b) F(x) = x 3 - 10

a) 6 -7x F(x) = 1 5e 2 x + e - 4eo.sx ' 7 b) 2 x 1.s F(x) = +0,4x 2 '5 +2.fx" +5 3

4209

x2

4210

a) F(x) = -

+2x 4

4

b) F(x) = x 4 - x 3 4211

4220 y = 2 är en horisontell linje som tangerar kurvan till F(x) i den/de punkter där derivatan till F(x) är noll. F'(x) = f(x) = 0 ger x = 1

1

Omy=2dåx=3~C=ll SVAR:

b)

F(x) = - x - x - 3x +C 3 där C = 1 I 3 eller C = 11.

1

•,y

F(x) = x2 + 3

j

'I\.

I /

3

2

4221

a) 15

b) 9

4222

a) 19,l

b) 3,19

4223

X

.

'

4213

0 21 •

a) P(t) = 60e

+ 14

b) P(7) = 257 kr 4214

a) 95 kr

4215

F(x) = x + 6x - 35

4216 4217

a) 1,72 ae

b) 10

4225

a) 88

b) 25,0

4226

a) 5,33 ae

b) 9 ae

Jf(x) dx = F(2)-F(l ) =

F(x) = 435x + C. Här gäller att x är tiden i sekunder

b) 3

+C = 70e--0.i, + C

- 0,l y(O) = 90 ~ 70 + C = 90 dvs C = 20. y(l8) = 70e-O,l . IS + 20 : : : 31,6 Temperaturen är ca 32 °C.

a) 5,6

b) 2,74

4230

a) 42

b) 3,55

4231

Från grafen ser man att F{2) = 0 och F(-1) = - 3.

Jf (x) dx = F(2) -

F(- 1)

-I

= 0 - (- 3) = 3

4232 9 ae 4233

a) 8,08

b) 84,4

4234 a) 5,25

b) 39

4235

b) a:::::: 1,89

a) 3,46 ae

~

x 2 = 9~x = +3 där x = -3 är en falsk rot. SVAR: x = 3 4238 26 a

J5e-o,,x dx = -5-e--0,7x -0,7

=

il

0

5 (e--0,7a - e--0,7·0) - 07 ~ ' e =l

ll ..... 00

0

a

0

0

- - ::::::7,14 0,7

2

y =-

Fx +x 2 - 2 = .Jx +7

5

4229

Uttrycket v = - 7e-0• 11 är derivata till temperaturfunktionen y. 7 e -0,11

-2

5 - - (lim e--0'70 - e--0,7-0 ) = -0,7 a.....oo A[

= 4 - 3 = 1.

a) 0,583

2

Ekvationen blir

- 0,7

I

4228

Ji. +1 )=-fx" +x 2

5-e-0 ,7x = lim

2

3,875

=

lim f 5e-0' 7 x dx =

4227 Avläs F(2) och F(l) från grafen.

2

]~

b) Det område som begränsas av koordinataxlarna och kurvan i första kvadranten är cirkaa 7,1 ae .

b) 3,44 ae

4224 a) 10

b) 295 kr

efter en viss tidpunkt. F(x) anger hur många kubikmeter vatten som passerar kraftverket på x sekunder. 4218

)-(

Ji +t

Integralen = 5 ger e-0 •70 - 1 = -0,7 dvs - 0,7a = ln 0,3 ~ ln0,3 a= dvs a :::::: 1,72 - 0,7

1

1

=(.Jx +x

2

1

a) F(x) = x 2 + 3

\

f(x)=[

Omy = 2 dåx = -1 ~c = 3

- x2

b) F(x) = - 5 4212

4237

2

0

2

3

2

3

3

F(x) =- x - x - 3x+C.

a) F(x)= x -x

4236 3

4239 a)

ochx=3.

2

3

X

a) Den primitiva funktionen är den funktion som har högsta graden, dvs den röda grafen. b) f'(x) är den graf som har lägsta graden, dvs den blå linjen.

=

4240 a) Grafenf(x) är derivata till F(x). Där derivatagrafen = 0 ska tangenten till funktionsgrafen vara horisontell. Nollstället i graf a då x = 3, svarar mot terrasspunkten (x = 3) i graf b. Nollstället i graf b har inte någon motsvarande horisontell tangent i graf a. Alltså gäller att graf a = f(x) _} och graf b = F(x).

3

ff(x)dx

b)

= F(3)-F(O) =

4311

0

= 2 - (-1) = 3 4301

a) 4 ae

b) 4,5 ae 1 b) 2- ae 6

4302 a) 4 ae

Kurvorna skär varandra då e0•2x = x2 . Ekvationen kan inte lösas analytiskt, men med räknaren fårvix:::::: 1,118. Exponentialfunktionen är överfunktion.

eftersom integralerna har olika grä11ser. 4324 a) Frå11 kl 07.00 till 10.00

ökar vattenmängden med 1500 liter. b) Från kl 10.00 till 11.00 minskar vattenmängden med 200 liter.

l,ll8

f

A=

4303 2,53 ae

4323 Nej. Det är inte korrekt

(e 0 •2 x

-

x 2 ) dx:::::: 0, 787 ae

0

2 4304 a) 1,125 ae b) 1- ae 3 1 4305 6 - ae:::::: 6,17 ae 6 2 4306 Arean = 4 - ae 3

4312

5,67 ae

4313

a = 18

4314 4315

k=h

,y y '1 3

4325

Vi antar att rektangelns hörn ligger i x = - a och x = a. Rektangelns area = bas · höjd==* A = 2a · a2• Den gttla arean = a

fx

1

..X

y = x2 - 4

"

4316

4308

X

'

2

6- ae 3

4309 3,17 ae 4310

Tänk dig att arean ligger under x-axeln och attf(x) har nollställe i x = a och x = b. Linjen y = 0 är överfunktion och y = f (x) är underfunktion. Då blir

/

2a3 = -1 3

f(4t - 2) dt

b

a

a) negativ b) positiv c) negativ d) positiv a) - 4

b) 0

2

f4xdx

=6

l

b

4326 a) f (J(x) - g(x))dx = (/

b

/1

ff(x)dx- fg(x)dx

=

a

=

a

= 36 b

b)

f5g(x)dx

b

f

= 5 g(x)dx = a

a

= 20 b

c)

f(5f(x) - 2g(x))dx= a

b

f

b

f

= 5 f(x)dx - 2 g(x)dx = (I

b, e och f

f6dx

= -8.

c) Om vi utvecklar kvadraterna och sedan subtraherar får vi

f(x) = f c3 - 6e-2 x)dx =

a

=192

3

4320

= f (- f(x))dx=- f f(x)dx a

4318

f (o- f(x))dx = a

b

4317

4319

b

A=

2

-2

3

= 3x + 3e-2x + 1. Eftersom g'(x) = f'(x), skiljer sig g(x) från f(x) endast med en konstant, kurvorna är alltså "parallella': Området mellan kurvorna har bredden 5 och höjden 2 eftersom A = 10. y = g(x) ligger antingen 2 enheter över eller 2 enheter under f(x). Detta in11ebär att g(x) = 3x + 3e-2 x + 3 eller g(x) = 3x + 3e-2x - 1.

J

"\. /

b) Subtrahera först.

= 3x + 3e-2 x + C.Villkoret f(O) = 4 ger C = 1 dvs f(x)

2 - y = x + 2x .

'

I

3

3

vsv

.)

1- ...,I

f c- 3x + 3)dx = - 6 .

dx = [ x I 3 ]~a = 2a I 3 3

Förhållandet 2a

1 4307 Arean = 1- ae 3 , y I/

\

3

-a

I

'

2

a) Eftersom integralerna har samma gränser kan vi först addera funktioner11a och får då en mycket e11klare integral.

= 18 - 6 = 12

I

4321

a) 6

b) - 4,5

4322

a) - 12 c) -11

b) 1

d) Integralen kan inte bestämmas eftersom det är e11 kvot. Kvoten beror på fu11ktionerna som vi inte känner.

4327 a) g(2) = 10 (arean under grafen mellan t = 0 och t = 2). b) 12,5 c) Ja,vidx = Oochx = 6. d) För 6 < x < 9. Då är den "negativa arean" större än den "positiva arean ". 4328 2b - 2a 0

ff (x) dx = - A =

4329 a)

- 16 I 3

-2

b) B = 15,75 ae

4330 y = 1 - 2x eller y = 2x - 1 (ska gälla att k = - 2m) 6

4331

f(J(x)+k)dx = ff(x)dx+ fkdx fk dx kx ]~ 2

6

4342 33 % 4343 a) A: Kulan når vattenytan och dess acceleration ändras tvärt. B: Kt1lan sjunker allt långsammare genom vattnet, eftersom vattnet bromsar farten. C: Kulan sjunker med konstant hastighet. D: Kulan når botten och stannar t värt. b) 1,25 m c) Vattendjupet är 4,84 m 4344 a) ca 1000 m 3 (1017) b) 5 timmar (mellan 17 och 22)

6

6

fv(t)dt ::::

c)

2

Eftersom

= (

2

10

8

11

Under de 30 första dygnen är vattenförbrukningen 240 kubikmeter.

12

G(t) = 0,5e2t + 6et + 9t - 3

13

a= 3

14

a) 5 c) 1 - 1

15

- 0.5

= 9/8 = 1,125 5

16

=

519

"" 147

""19

0

4345 27 Nm = 27 J Arean under grafen = potentiella ener gin = = 0,3 · 600 · 0,3/2 = 27.

ff (x) dx ::::

f 6dt

TEST4

0

1

b) 147 = 19 + 128

17

4335 10 000 liter 4336 Under de två första åren växer trädet med 80 cm. 4337 Under de 24 första timmarna avdunstar 60 ml vatten. 4338 Frå11 klockan 5 på morgonen till klockan 12 förbränns 15 m 3 olja 4339 a) 285 ae b) Under de första 5 minuterna läcker ca 285 liter vatten ut. c) Ja 4340 Under den andra t immen kör Emma 80 km.

3 4

a) f '(x) = 3e-' + 12e-3x b) f '(x) = 100 · 1111,03 · l,03x

a) x = e2

b)

X =

a) F(x) = 3e-' + 2e-x12 - 4

6

s(t) = 2,5t2 - 4

7

a) 12 c) lOe - 10

b) 180

a) 12 4

b)

f (J (x) -

h(x))dx +

0 7

+ f (g(x) - h(x))dx 4

b) 1,60 ae

f -

2

20 a) - 0,5

1

1

3

+3x 2 + 3))dx =

22

b) 36ae

a) 4ae c) 0,718 ae

42

k = ln41 2

= 27 /4 = 6,75 8

25 BLANDADE UPPGIFTER 1

14 miljoner kr

2

a) J'(x) = 2000 · ex b) f'(x) = 5 + e-x

26

a) 52 000 c) år 2036

b) 59 000

7

X :::::

8

y" = l8e-3x

9

a) x::::: 1,82

b) x::::: 2,61

10

a)

b)

11

a)xz0,549 b)xz37,l c) X "" -0,693

13

5

:::::-0,18

0

d) Ar 2025

l

JJ(x) dx = F(l) -

F(O) =

0

- 3 - 5- - 2.

b) -1

a) -11

45 a = 3 I 4 och minimivärdet är 1 I 80 = 0,0125.

35 6000 liter ( 5759)

46 Tangeringspunkten är (a, ei). Eftersom y' = eX är k = ea. Tangentens ekvation kan skrivas y - e = e (x - a). 0

2

3

11,1

,.11

y

.J

'

VSV

'

47 \

\

b)

I

b) 0,5

y= 6 -

I J

I

1

a) -A+B = -7/6+ 16/3 = = 25/6 3

J j

0

Då y = 0 får vi -ei = ea(x - a) ~ - 1 = x - a dvs x = a - 1

36 Arean = 2- ae

b) 4

14 y = 170 000 . e-O,l9 Sx

"svara mot" den primitiva funktionens max och min. Bild b visar funktionenf(x).

30 -3

I

4

44 Fu11ktionens nollställen ska

34 Alvin springer 400 m på 48 s.

2

= 1,25

b) 1,25

29 25 31

=

5- 0

4

33 9 ae

0,27

a) 1,5 1 c) - = 0,5

X =

F(3) - F(- 2)

-

32 7,34 ae

y = 1 - 3x

a) 1 c) 0

ln0,4

0

X:::::

J (x + l)(x - 2) dx =

1200 liter

b) 8,9 % c) Ar 2018

6

35,4

2

28 a) ca 2100 (2065)

a) f '(x) = ln2 · 2x b) f '(x) = 0,4 - ln5 · 5o,4x

12

3

-2

27 y::::: - 3,5

a) y' = 9 . e 0,02x b) y' = 20. e2 x

X:::::

F(x) .. . .. f k . ar pr1m1t1v un t1on 4 till den givna integralen ~

c) ca 2200 fiskar per dygn d) 57 % per dygn

b) - 3

5

43 a) och b)

24 a) ca 4900 fiskar b) F' (t) = 900 · e0 ·45'

29 a) 4 /3ae

3

16,7

23 4,5 ae

-2

~20 > n+ 1

dvs n < 19

l

J(7 - (x

= -n+l O n+l

2 X

3

Jf(x) dx + Jex dx = -3

-3

3

J

= - A + B-C+ ex dx =

. X ),

1

-3

= 3 + e 3 - e-3

""

23

48

p ~ 12,5 (lös p ln p - p = 19

KAPITEL 5

med grafritare) 49 50

k = 4/9 a J I

5001

2+ x 3

-dx 2 x

=[ - 2x-

1

2

Ja

= (-

X

I

+ O,Sx

= - 2a- 1 + 0,5a 2

2

2

+x) dx

J:' =

5004 64°

-

5005 Omkretsen är 56,7 cm och arean 149 cm2 •

2

=--+0,Sa + 1,5 a

2a

2

J :x 2

5006 Omkrets = 12+4"'3 cm

3

dx =

och area =

I

2 + 0,Sa 2 = 2a(--

a = - 4 + a 3 + 3a 51

e x =3

5002 Sidan är 5,9 cm. 5003 48°

- (- 2. 1- 1 +0,s. 12)

2 a

=

12 m, 13 m och 5 1n.

)

+ 1,5 = VSV

8.../3

cm2

5007 a) sin 140° ~ 0,64 cos 140° ~ -0,77 b) sin 250° ~ -0,94 cos 250° ~ - 0,34 5008 v 1 = 30° V =

5010

Arean är 5,6 cm2•

5011

30° eller 150°.

5025 a) X I = 1' 5 X 2 = - 4 b) x 1 = 0 x 2 = 2 x 3 = -1

+60°

5026 a) t ex (x - 3)(x - 2) = 0 b) tex x(x + 9) = 0 c) tex 3x(x + 1)(2x - 1) = 0 5027 p(x) = - 2(x - 6)(x + 2)

5012 AC är 12 cm. 5013 B ~ 41 ° och C ~ 87°. 5014 B = 63° och C = 74° eller B = 117° och C = 20° 5015 BC är 47 m 5016

5023 a) 18 b) 39 c) 2a2 + 4ah +2h2 - Sa - Sh +6 5024 a) j(O) = 3 b) f(l) = 0 c) f(2) = - 1

v2 = 150°

5009

5022 a) Koefficienterna är 5, - 2 och 7. Konstanttermen är 8. Polynomet är av tredje graden och fullständigt. b) Koefficienter är 3 och 17. Konstanttermen är - 9. Gradtalet är 4. Polynomet är ofullständigt.

5028 a) X =t 8 b) Ej definierat för x = 0 eller x = 6 5029 a) Sy

40°, 30° och 110°.

a) M = (2, -3) Radie = 6 b) Ja c) Cirkeln skär y-axeln då y ~ 2,7 eller y ~ - 8,7

5018 Cirkelns medelpunkt är (2, 3) och radien är 9. 5019

a) x

b) a

d) 2

e) 4

14

c) 4x f)

6

5020 a) x3•5 b) x 1•5 c) x0 •5

a) b) c) d) e)

3(1 + 3y) 6x(x- 6) Sx2y 2 (x - y)

(x + 3) 2 (6 - 5x) 2 f) 2(a + 3b)(a - 3b)

x+7 a) 2 x + S

5032 a) x - 4

b) 3x b) 3(x + 2)

2x - 3 5033 a)

2

x+

3

b) - x - 10

5034 X+ 2

h- 1 5035

h+l

1 9

5021

2y2

5030 4 + a 5031

5017

b)

3x

b) 2a+ 1 4

5036 a) x 3 4

b) _!Q_

5037 a) -

3x

X

h 5038 a) x(x - h) a- 3 b) (a+ l )(a-1)

c)

4

x-2

5039 a) 2 < X < 5 b) x < 2 eller x > 5

c)

5040 a) 4 < X < 9 b) x < 4 eller x > 9 5041

5061

5042 a) p = - 4 b) x= - lochx = 1. c) Definitionsmängd: alla reella x d) Värdemängd: y > - 4

5044 x < 3 eller x > 7. ~

2

5046 X< 0 X=

6

5048 a = 5 5049 a = 3,4 5050 8 och 2 5051

X

1

5075 Grafen blir ungefär som den nedre bilden.

4

d) 5x

X

a) 2

A

b) 22

5062 k = 12 X

5063 !'(4) = 3

1

5064 a) f '(x) = 15x2 + 8x3 b) f '(x) = 4x7 c) y' = 12x2 - 5x4

= 6 X 2 = -2

5052 y = 3x - 5 5053 y = -0,75x + 5 5054 a) y = 2,5x - 6,5 b) k = - 0,4

A

5065 y' = 2x5 - 2x2

f(x)

.;,-:-...

5067 a) s(5) = 75 Under de 5 första sekunderna rör sig vagnen 75 m. b) s'(5) = 30 Vagnens hastighet efter 5 s är 30 m/s.

5076 Maximipt1nkt för x = -4.

5068 Funktionen växer då x < - 2 eller då x > 1. Funktionen avtar då - 2 < x < 1.

5079 a) ca 6,2 ae b)

5056 a) /(2,4) - f(2) = 8,8 b) Ändringskvoten betyder att blomkrukans medelhastighet är 22 m/s då den faller från t = 2 s till t = 2,4 s.

X

1

3

5077 Minimipunkt då x = 0 5078 ca 28 m 2

5069 Funktionen avtar för X :s; 12,5. 5070 Funktionen saknar maximi-, minimi- och terrasspunkt. 5071

Maximum

X=l.1547012

Fx

b)

8

c)

.../x 5081

• ,y

Y=6.1584029

2

5080 a) 7 .j";

Funktionen har en terrasspunkt i (0, 0) och en minimipunkt i (1, -1).

5055 a) Befolkningen ökar med 500 personer/år. b) Befolkningen minskar med 600 personer/år.

a) -

5082

2

x3

b) -

h x(x+h)

f '(x) = 20x + 3

2

;

+ l,5Fx

X

5083

1

s'(t) = 1-J.. t2

X

'

'\

.

5084 C= - 1 5085 Endast b) är diskret.

5057 a) A, B, G och H b) D och E c) B och E d) Coch F

5072 Största värdet är 4, minsta värdet är -3.

5058 f'(l) = 2 ochf'(2) = 0

5073 Största värde är 13,125 och minsta värde är 3.

5059 a) 2,1 b) 2,01 c) 2,001 d) Grä11svärdet = 2

3

5066 Tangentens lutning är 3.

5043 a) -1 :s; X < 3 b) -5 -3

5086 a) y' = 3e3X b) y' = - e-X c) y' = -8oe-0,4x 5087 Efter 1 år är tillväxthastigheten 4,9 miljoner/år. Efter 10 år är tillväxthastig. heten 6,5 miljoner/år.

5088 y =X + l

5110 20

5089 a) b)

5111

0,568 X "" 4,48 c) X"" 174 X""

a) 8

FACIT

TANKENÖTTER

b) a = 5

c) a ,,, 9,2

5112

5090 Minsta värdet är 0,21. Räknarens resultat visar att svaret är rätt! Se bilden.

På 24 h förbrukas 2000 liter vatten.

11

5113 2,6 meter.

a) 16 b) 442 = 1936

12 84 år 13 34 år 14

Nej

15 Ali

Min imum X=.45814418

Y=.20927317

16

5091 y' = 400 · ln 1,35 • l,35x

- 6,3 % 1,0526 • 0,95 26 "" 0,937

5092 ca 24 500 kr/år

17 Ja, talet 45 blir 405

5093 Efter ca 7 minuter.

18

3 600 kr

5094 Ungefär 19 minuter

19

Hörnplattan längst upp till vänster flyttas så att den ansluter tex plattan längst till höger.

5095 Y = 7 · l,047x y = 7 . l00,020lx y = 7e0,0462x 5

3

2

5096 a) F{x)=~+ ~ X +4x 3

2 b) F(x) = 2x3 - x 4 c) F(x) = 3ex + 0,25e 4 x l

-x

d) F{x)=6e:' -4,5e- 2 x

110 Barnen är 2 år, 2 år och 9 år Faktorisera 36 i tre faktorer. Faktorern a 2, 2 och 9 ger samma sum1na som faktorerna 1, 6 och 6. Om A bor i hus nr 13, så behövs alltså m er information. LED NING:

5 a) G(x) = +C 5097 X

b) H(x)

=4x1•5 + C

5098 F(x) = x3 - 2x2

-

7

5099 ca 27 000 invånare 5100 8 ae 5101

112 210 liter

A "" 6,4 ae

Volym = flöde. tid Tid före och efter byte = 63 . 63 . = - min + - min 29 87 Andra tunnans volym = 63 63 = - · 87 +- · 29 87 29 LEDNI NG:

5102 36 5103 2,3 5104 1 5105 4 ae

113 Minst 12 st

5106 9 ae 5107

114 Talen är 5 och 1,25

1 1- ae 3

eller -3 och 0,75

5108 Arean är ca 6,8 ae 5109 a) -5

111 12 (a = 4, b = 1, c = d = 3, e = 1)

b) 1

115 ca 12 miljoner (23 3 ·103

,::,

1,2. 107 )

Sakregister absolutbelopp 93 allmän form 105 andraderivatan 156 areafunktion 208 areasatsen 20 asymptot 72 avtagande 141

globalt 1naximum 150 globat minimum 150 gps 7 grad (för polynom) 58 graf polynomfunktion 142 gränsvärde 115, 121 hypotenusa

bas

79

parallella linjer 104 parameterform 40 polynom 58 potens 52 primitiv funktion 200, 202 Pythagoras sats 8

52

cirkelns ekvation COS V

10

olikl1et

37

10, 17

cosinussatsen

31

defi.nitionsmängd 83 derivata 115 derivata, y = e" 186 derivata, y = 2x 193 derivata, potensfunktioner 166 derivatans definition 128 derivatans graf 151 deriveringsregler 130 differenskvot 108 diskontinuerlig funktion 168 diskret funktion 169

e 185 e-logaritm 189 enhetscirkel 16 enpunktsform 105 Euler 183 exponent 52 exponentialfunktion extrempunkt 141 faktorisera 56 Fermats sats 51 fullständigt polynom

184

58

inflexionspunkt 171 integral 209 integrand 209 integrationsgränser 209 integrationsvariabel 209 intervall 79 inverterat tal 73 k-form

105 koefficient 58

konjugatregeln 54 kontinuerlig funktion 168 kurvai1s lutning 115, 120 kvadreringsregler 8, 54 Leibniz 103 limes 115 logaritmlagar 190 lokalt extremvärde 150 maximipunkt 141 mg11 75, 90 minimipunkt 141 minsta värde 148 motsatta tal 93 motstående katet 10 naturlig logaritm 189 Newton 103 nollställe 61 normalform 8 närliggande katet 10

rationellt uttryck 66 riktningskoefficient 104 rötter 61 sekant 110 sin v 10, 17 sinussatsen 25 strängt avtagande 141 strängt växande 141 största värde 148 symmetrisk differenskvot tan v 10, 17 tangent 115 teckenstudium 86 term 58 terrasspunkt 141 underfunktion

214

Wiles 51 vinkelräta linjer 104 värdemängd 83 växande 141 y-biss 156 ändringskvot 110 överfunktion 214

136

..

BILDFORTECKNING

103 (3) Scie11ce Photo Library/IBL 108, 111, 118 Shutterstock

Omslagsfoto: Les Cuncliffe/ Age fotostock/IBL 6 (1), 7 (1) Photodisc 6 Magnus Hallgren/DN/Scanpix 7 (2) Shutterstck 14 Photo Researchers/IBL 21 David Andren/IBL 29 Mark D Callanan/Getty Images 35 Hussein El Alawi/Sydsv/Scanpix 47 Anders Nicander/Scanpix 48 Conny Hedengren/IBL 50 Peter Goddard/Science Photo Library/IBL 51 Science Photo Library/IBL 55 Shutterstock 65 Riksbanken 69 Photo Researchers/IBL 74, 95, 101, 102 Shutterstock 103 (2) Jeremy Burgess/Science Photo Library/IBL

135 Danny Twang/Scanpix 147, 154 Shutterstock 161 Michael Steinberg/Scanpix 163, 179, 181, 182 (1, 2) Shutterstock 182 (3) Bridge1nan Art Library/IBL 192 Hans Runesson/Scanpix 195 Lars l-Iallstro1n/ Age/Scanpix 197 Berit Roald/Scanpix 227 Claudio Bresciani/Scanpix 231 Jann Lipka/Scanpix 232, 233 Shutterstock 240 Gorm Kallestad/Scanpix 243 Volvo Personvagnar Sverige AB

244 249 250 255 256

Nils-Johan Norenlind/Tiofoto/NordicPhotos Sl1utterstock Tom Schandy/Rex Features Elin Berge/DN/Scanpix Matton In1ages

Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 3c. Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen. Boken passar också för vuxenutbildning och basår. •

Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken.

•

Nivå indelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera.

•

Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor.

•

Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar.

M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.

Best.nr 47-10736-0