Matematik 112 : førstehjælp til formler [2nd ed.] 9788757126105, 8757126100 [PDF]

Zitiervorschau

(0,0

x Nyt

�r=

Teknisk Forlag

Indhold

Ta l og algebra 7

Komplekse tal

14

Rentesreg n i n g 23 Ligninger og u l i g h eder 28 Geometri 36 Trigonometri 46

Retvinklede trekanter 46 Vilkårlige trekanter 5 1 Trigonometriske fu n ktioner 56 Ana lytisk geo metri 69

Linje i plan 73 Cirkel 86 Proportionalitet

I nfin itesi m a l reg n i n g 737

Differentialregning 1 40 Integration 1 5 1 Arealberegning 1 58 Volumenberegning 1 61 Numerisk integration 1 63 Differentialligninger 1 68 Tabel over differentialkvotienter og stamfunktioner 1 70 Vektorer i to d i m ensioner 777 Vektorer i tre d i mensioner 792 R u m g eometri 208

Rumgeometri oversigt

213

Vektorfu n ktioner 232 89

F u n ktioner 97

Andengrads polynomiet 1 02 Tredjegrads polynomiet 1 03 Polynomier 1 04 Eksponentiel udvikling 1 1 0 Potensudvikling 1 1 8 Specielle funktioner 1 22 Regression 727 Græn seværdi 729 Asymptoter 733

Bevægelser

235

Keg lesnit 243 Sandsyn l i g h ed sreg n i n g 246

Kombinatorik 250 Stokastiske variable 255 Sandsynlighedsfordelinger

264

Rækker 282 Matematiske teg n og sym boler 290 I ndex

1- 3 Ta l og algebra

Tal og algebra Algebra betyder bogstavregning, eller operationslære og kommer fra det arabiske al-gebr. Operationer

Addition:

a+b=c

a og b: Addender. c: Summen.

Subtraktion:

a-b=c

a: Minuend. b: Subtrahend. c: Differensen.

Multiplikation:

a· b=c

a og b: Faktorer. c: Produktet.

a:b c

a: Dividend eller tæller. b: Divisor eller nævner.

Division:

=

eller:

c:

a - =c b

Kvotienten.

I

l.

Reg n i ngsarternes h iera rki Potensopløftning og roduddragning. 2. Multiplikation og division. 3. Addition og subtraktion.

Reg nereg ier for ta l Regel

Benævnelse

a+b=b+a

Kommutative lov for addition.

(a+b)+c

=

a+ ( b+ c )

Associative lov for addition.

(a· b)· c = a . (b· c)

Kommutative lov for multiplikation. Associative lov for multiplikation.

a· (b+c) a· b+a· c

Distributive lov.

a . b=b· a

=

4-6 Ta l og a l g e b ra

Reg nereg ier for brøker Operation

Løs n i n g

Addition og subtraktion:

� ± � = t I . n2 ± ni . t2

Multiplikation:

!J....!2. = � ni n2 nl · n2

Division:

t ·n ti t2 :- = i 2 -

Forlængelse:

t·a t - = - , a E IR , a,t O n n·a

Forkortelse:

t t:a - = -- , a E lR , a,t O n n:a

Multiplikation med et tal:

t t·a - ' a = - , a E IR n n

Division med et tal:

t t - : a = - , a E IR , a,t O n n·a

ni

n2

nI . n2

--

Kvad ratsætninger

(x + y) · (x- y) = x2

_

y

2

6

Reg nereg ier for n u merisk værd i

l a l = l - al

la. bl = lal ' Ibi

I�I i:: =

la+bl � lal + Ibi Trekantsuligheden.

la - bl � lal + Ibi Trekantsuligheden.

7-9 Tal og a lgebra

I

Regneregier for poten ser

(am )

"

a'" · bm == (a · b)m am == am-n an

a -m

== am·n l

am

•.

8

Regnereg ier for rod uddragning

ml n i == m·n\Jr-; a """ ;;; 'l a '\ja

rif;; == m.�an-m Va

t;;; q n� -v a'"'' == qva'"

�

� == � 3

y

==

{l al

n

for lige a for ulige n

Reg nereg ier for tita lslogaritmen 30

y-IO'

log(l O) l ==

25

log(l) == O

20

log(a · b) == log(a) + log (b)

15

log

2

4

6

o

IO

(�j == log(a) - log(b)

log(aP ) == p · log(a)

log ( � ) == � log (a) q

.

10- 12 Ta l og a lgebra

Regnereg ier for den naturlige logaritme y a = e1n(a ) =ln(ea) y=c y=x y

10

log(1O) = 1

o

log(1) = O

6

=/nx -2

4

6

o

10

ln

X

(�)

= In (a) -ln(b)

ln(aP) = p · ln(a)

( ) = L ln(a)

ln �

-2

I

=

ln(a· b) ln(a) + ln(b)

4

q

Sa mmen hæng mellem tita lslogaritmen og den naturlige logaritme

=

ln(a) = log(a)· ln(lO) log (a) ln(a)· log(e) I

Mængdeoperationer og definitioner Operation

A n g ivelse som mængde

Fællesmængden

A n B={xl x A/\ Bl E

Hvis

Foreningsmængden

A n B=ø siges A og B at være disjunkte

A U B={xl x A E

Differensmængden

XE

A \B={xl

XE

v XE

Bl

A/\x", Bl

13- 13 Ta l og a l gebra

Operation

A n g ivelse som mængde

Komplementærmængden

(9

C A = {x l x (t' Al

Grundmæntde, G

I nterva l ler For a,b E IR og a < b : Begrænsede A bne

Halvåbne

Lu kkede

I

] a, b [ = {x E IR a < x < bl

[ a,b [ = {x E IR I as x-----.... o •

•

o

•

o

-----e. ------0

[Cl; b[ ]Cl; b] ]Cl; b[ [Cl; b] [Cl;Il() [ ]Cl;Il() [ ]-Il(); b] ]-Il(); b[

..........

--------------........

14 -18 Ta l og a lgebra

Komplekse tal Reg nereg ier for kom plekse ta l

( X I + i - YI ) ± ( X 2 + i - Y 2 ) = ( X I + x 2 ) + i - ( Y I + Y 2 ) ( X I + i - YI ) - ( X 2 + i - Y 2 ) = ( X I - X 2 - YI - Y 2 ) + i - ( X I - Y 2 + X 2 - Y1 ) XI + i - YI x2 + i - Y2

I

Kom pleks konjugering

�= x + i - y = x - i - y Reg nereg ier for kom p leks konjugering --

-

-

Zl ± Z2 = ZI ± Z2

l

M od u l u s af et komplekst ta l

iz i = Ix + i - y l = �x 2 + l

Reg nereg ier for mod u l u s af et komplekst ta l

I ZI - z 2 1 = lz Jlz 2 1

1 9 - 22 Ta l og algebra

Reg nereg ier for a rg u mentet

arg( zn ) = n · arg( z)

arg(ZJ

I

de M oivres formel

I

Den binome l i g n i n g

zn = l z " I · (cos(n . arg( z) ) + i . sin(n . arg( z) ) )

nn , y arg(z) + 2 · p . n)J ,p ) z: : - l z l ( cos ( ::��: � : : ) +'. 'in ( n n z

x+i. h

K

27

eix = cos(x) + i · sin(x) e-ix = cos(x) - i . sin(x)

Eulers formler

\e x + e -i·x ) ( ) = . (i· 2

COS X

l

-

l Sin ( x ) = -. (ei.x -e x ) 2·i .

-j.

l

S

_

-

o

, l , 2 , ... , n - l

23 - 2 7 Rentesreg n i n g

Rentesregn i ng Gennemsnitlig rente

I I

2 r el1 _",+11 + ·+r�(l+rl)"1 ·( +1'2)'" ·... ·(l+rk)"k -l 1 g 1'" r" . . . , rk

er de indgående renter med terminerne

p! · X 1+ P2

Vejet gennemsnit x

=

·x2+··· + Pli

·xlI

n ' n ..., n ,. " i

er det vejede gennemsnit af x" med vægtene P" P" . . . , p" .

x

x"

...

Opspa ring

I

I

I

K il

=

Ko

·

(1 +1' ) "

n

Kapitalen efter terminer. Ko: Startkapitalen. Antallet af terminer. r: Rentefoden. K,,: n:

?

An n u itetsopspa ring A =

b. (1 +

r)" - l r

A:

Kapitalen efter sidste indbetaling. b: Terminsindbetalingen. Antal terminer. r: Rentefoden. n:

:Jf I

Gældsa n n u itet G

=

y·

1 - (l + rf" r

Gælden, hovedstolen. y: Ydelsen. Antal terminer. r: Rentefoden. G: n:

, Xn

28- 28 lig n i n g e r og u l i g heder

Ligninger og uligheder J.b

Reg ler ved løsning af l i g n i nger Problem

Restri ktioner

Addition og subtraktion

Man kan addere eller subtrahere ethvert tal, på begge sider af lighedstegnet.

Multiplikation

Man kan multiplicere med alle tal, undtagen 0, på begge sider af lighedstegnet.

Division

Man kan dividere med alle tal, undtagen 0, på begge sider af lighedstegnet.

Potens

Man kan opløfte til den samme potens, undtagen 0, på begge sider af lighedstegnet.

Rod

Man kan tage den samme rod, på begge sider af

lighedstegnet. Dog kan man kun tage en lige rod,

hvis begge sider består af positive udtryk.

Logaritme

Man kan tage logaritmen, på begge sider af lighedstegnet, hvis udtrykkene består af positive størrelser.

a'

Man kan opløfte begge sider af lighedstegnet med samme grundtal større end 0, undtagen 1.

sinus, cosinus, tangens

Man kan anvende sin, cos eller tan, , på begge sider af lighedstegnet.

Sin-l, cos-l

Man kan anvende sin - I eller cos -l på begge sider af lighedstegnet, hvis udtrykkene har værdier mellem l og 1. Der kan være flere løsninger, se -

Man kan anvende tan-I på begge sider af lighedstegnet, hvis ingen af udtrykkene er !: + p P Z' . .

2

1[,

Der kan være flere løsninger, se

E

--

34 - 3 5 Ligninger o g u l ig h eder

To ligninger med to u bekendte ved hjæl p af determ inantmetoden (Cra mers regel)

laazl a Hvis l l az al Hvis laz

Har løsningen: Hvis

bil =0/\ ICl bz Cz bil =0/\ ICl bz Cz

bIl = = bz bil =0 bz *

O:

L

O:

L

IR

Tre l i g n i nger med tre u bekendte ved hjælp af determ inantmetoden (Cra mers regel)

lal.x+bl, y +cl,z=dl Ligningssystemet: az' x+b2 . Y+Cz.z: dz a3·x+b3·Y+c3.z -d3 Har løsningen: al' Ib23 b 2 d .Ib3 b C231_ dl ·laa23 C Hvis D

=

I

D

l}

D

::I-b! ·1:: ::1 ·1:: ::1 + cI

= O

/\

:: :: :: =

=

: L

= IR

36-37 Geometri

Geometri

De n matem atiske lære om rum og fi adestrukturer.

Defi nition på vin kler Benævnelse

U d re g n es som

Komplementvinkel til v Supplementvinkel til v Eksplementvinkel til v

90°180° 360°

v

-

-

v v

Geometriske resu ltater ved rørende vinkler Situation

Sæt n i n g

Topvinkler

Topvinkler er lige store. v = v og w = w

Ensliggende vinkler

Ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store.

Centervinkel

En centervinkel er lig med den bue den spænder over.

�

EJ Periferivinkel

bcv.

Kordevinkel

v=b

En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over. b v=2

En kordevinkel er lig den halve sum af dens egen og dens topvinkels buer (Se B for definition af en korde). b+a v= --

2

37 - 3 7 Geometri

Sæt n i n g

Situation

En kordetangentvinkel er halvt så stor som den bue den spænder over. b v =-

2

En tangentvinkel er lig med

Tangentvinkel

1800 minus

den lille bue.

v = 1800 - b

En sekantvinkel er lig med den halve forskel mellem buerne.

Sekantvinkel

b-a v = --

2

b

Vinkelsummen i en trekant er 1800

Trekant

B

A

�

A + B +C = 180° C

Vinkelsummen i en firkant er 3600

Firkant

B r-r---c -

•

A + B +C + D = 360°

A D

�

Vinkelsummen i en femkant er 5400

Femkant

A

A + B + C + D + E = 540

•

o

D

Polygon

Vinkelsummen i en polygon (n-kant) er (n - 2) · 180° .

Regulær polygon

Vinklerne i en regulær polygon (n-kant) er hver n-2 · 180° . n

00

--

38- 3 8 Geometri

Cirkler Linje

Forkl a r i n g

Diameter

Ret linje, der går tværs igennem cirklen og går gennem dennes centrum.

Radius

Ret linje der går fra centrum til periferien. Radius er halvdelen af diameteren.

Sekant

Ret linje der går tværs igennem cirklen.

Tangent

Ret linje der rører cirklen i et punkt, og som er vinkelret på den linje, der går mellem røringspunktet og centrum.

Korde

Ret linje der forbinder to punkter på cirklelperiferien

c;) Q

ES)

Cirkelperiferi

o

Linje der afgrænser cirklen.

38- 38 Geometri

Cirkler Linje

Forkl a r i n g

Diameter

Ret linje, der går tværs igennem cirklen og går gennem dennes centrum.

Radius

Ret linje der går fra centrum til periferien. Radius er halvdelen af diameteren.

Sekant

Ret linje der går tværs igennem cirklen.

Tangent

Ret linje der rører cirklen i et punkt, og som er vinkelret på den linje, der går mellem røringspunktet og centrum.

Korde

Ret linje der forbinder to punkter på cirklelperiferien

6) Q

EJ

Cirkelperiferi

o

Linje der afgrænser cirklen.

39 - 39 Geometri

Trekanter linje

Højde

B

Defi n ition og skæri n g spu n ktet mellem l i njerne

A

�

L�� c B

I

A ""-------:---'-

Median

B

B

Hø jderne har et fælles skæringspunkt, men ellers har det ingen geometrisk betydning. Lin jerne kan beregnes ved hjælp af: ha

C

=

hh

=

hc

=

C

.

C

-

b

-

sin B sin A sin A

=

b

sin C sin C sin B

-

= a

= a

.

.

m,

Linjen der går fra en vinkelspids, til midtpunktet af den modstående side.

A

�

Linjen h, der går fra en vinkelspids til den modsatte side, hvor den skærer vinkelret på siden (eller dennes forlængelse) .

C

Medianerne skærer i tyngdepunktet. Dette deler medianerne i forholdet 1:2, hvor den længste side er mellem vinkelspidsen og tyngdepunktet O. Linjerne kan beregnes ved hjælp af: m = n

A ----!-_��

C

b

2

-

2 a

m!J = -+ 2

a

m = -+ c

2

a

c

+--- = 2

c

-

2 2 b

-

2

4

b

2

2 b

-

4 a

=

-

-- =

-

-

-

4 c

2

4

4 a

4

c

+-+ 4

c

2

+-+ 4

+

2 b

-

4

+

b-c cosA 2 a-c - cosB 2 a·b· cose 2

39- 39 Geometri

Defi n ition og skæri n g spu n ktet mellem l i njerne

Linje Vinkelhalveringslinje

Linjen v der går fra en vinkelspids og deler vinklen i to lige store vinkler.

A

'B

�

Vinkelhalveringslinjerne skærer i centrum for trekantens indskrevne cirkel.

C

Linjerne kan beregnes ved hjælp af: 2 · b · c · cos A 2·�s·(s - a) · b · c 2 -

vA =

-'" --'-""..._l Q Q Cirkelbue

Cirkeludsnit

Cirkelafsnit

Cirkelkorde

Q

Formler

O = 2· n ·r =nn·d l A = n·r 2 = -4 ·d 2 =-2 r'O r er radius og d er diameteren. b= 2· n ·r· -360v-" b er buelængden, r er radius og v er udsnitsvinklen. v-J 0= 2· r, (l l + n.360 0 V_ A =n·r2_ 60 0 og r er radius. 3 v er udsnitsvinklen = 2 . r . (n . _ 360 0 sin(2:.2 )) ·n A=Lr 2 2, .(l18�0 ° - Sin( V)J r er radius og v er udsnitsvinklen. o

v

r

+

v

p er pilhøjden, er radius og er udsnitsvinklen.

k k

= 2 . r . sin(�) er korden, r er radius og v er udsnitsvinklen.

43 - 43 Geometri

Figur

Formler

Cirkelring

O= 2·n·(R + r) A = 7r·(R t· m =n·r) (R2 - rZ) m= + t =R - r R, r er radierne, t er tykkelsen og m er middelomkreds. O�2.n· V� � A = n·a·b a er den halve storakse og b den halve lilleakse.

Ellipse

__-r--_

b

Parabelstykke

A=3.. · a·b a er højden på parabelstykket og b er bredden. 1_ + __1_1 O=a + b + h Jl__ sin(v 1 ) sin ( ) ) 2 A =-2 ·(a + b)·h a, b er længderne af de parallelle sider, h er højden mellem a og b, og er vinklerne fra den længste af 3

Trapez

v

l

VI' v2

b

aD

Kvadrat

Rhombe

de parallelle sider, til de resterende sider.

b

b

AY

O= 2'(a + b) aAog= ba·ber sidelængderne. O= 4z'a a aAer=sidelængden. O=2 . �dlZ + d/ A=-2 ·d1 ·dz d, og d, er længden af diagonalerne. l

44- 44 Geometri

Formler

figur

O = 2-(g + _ s ( ) Aer=grundlængden, h-g gvinkel h er højden og er den spidse mellem de hosliggende sider. m

v

v

i

Regulær polygon med n sider

O = n-b cos( �) 2 A = --n-b 4 sin( �) b er sidelængden_ rI

l

n

Trekanter behandles selvstændigt i

Formler for kru m me overfladea real (OA)' a rea l (A) og vol u men

(V) i tre d i mensioner Figur

Formler

A = 44- -r 2 = -d 2 V = --lI-r r er radius og d er diameter. 11

3

3

Kugleskive

= 2-1I-r-h A = - (4-r-(x + h) - x2 - (x + h) 2 ) -h-[r-x + (h + x)-(r - x) - �2 J højden af stykket, r er radius og xh erer stykket til toppen fra skivens endepunkt. = 2-1I-r-h A = lI-r-(�2-r-h - h2 + 2-h) V = �- -r 2 -h h er højden af stykket og r er radius. 0A

11

V =

Kugleudsnit h

11

0A

3

d

11

11

44 - 44 Geometri

Fig u r

Formler

Kuglekalot Kugleafsnit

0A

�

2 h +h ) A h h) h 6 2 h) h ·

n; · r ·

=

2

n; · (a 2

=

V

i l·

=

n; · · (4 · r 1 2· ( · r =-· n; · 6

h er højden af stykket, r er radius.

a

1 n; · 6

=-·

·

d

___-

r-_

Parabolide

V

4 n; · a · 3

= -·

b

· c

a,

b og c er halvdelen af akserne.

V

=

a

!.. · n; · 2

b2

·

a

er højden og b er bredden.

°A 2 h A 2 h+ ) =

=

·

·

n; · r ·

n; · r · ( r V = n; r 2 . h r er radius og h er højden. .

h

Cylinderrør

r

0A

A= V

R,

Sphærisk trekant

2 R+ h 2

=

·

= n; .

r

·

n; · (

r) ·

n; (R + r) · (R - r + h) .

h · (R2 - r2)

er radierne og h er højden.

A = n; r z( .

l

A + B +C

(3 · a2 + h 2 )

er radius af cirklen i afsnittet og

I

Ellipsoide

·

lJ

1800 r er radius, A, B, og C er vinklerne.

44-44 Geometri

Formler

Figur Kegle

=n-r-5 A=n-r-(5+r) 0A

V=Ln-r2-h 3

(�J - (uJ sm

k=25 - - sin v=

"2 360 =360 o

o

r -;-

u

rer radius,5er sidelængden,her højden, er topvinklen, ker kordelængden og v er udsnitsvinklen_ = n-5 (- r+R) A=n-(R2+5 (- r+R)+r2)

Keglestub

oA

l

V =--nh - -(r2+R2+r-R) 3 k=2-52- sin

R v =360 -52 o

�

Keglestub udfoldet

�

Torus

Retvinklet prisme

(� J

r,

hele keglen,her højden, ker kordelængden og v er udsnitsvinklen_

A=n2(R2_r2)

l

V=--n2-(R+r)-(R-r)2 3 rer den indre radius ogRer den ydre radius_

V=G-h Ger grundfladen ogher højden.

h

45-45 Geometri

Formler

Figur

Kasse

A=2·(a·b+a·h+b·h) V=a·bh · a,b

h

� {� )

Pyramide

A=G+2. G

+h2

(Med kvadratisk grundflade) V=�·G·h

3

Ger grundfladen ogher højden.

�

r::; C h 2 + G g .,rg:G A=G+g+2·(-vG+ vg)· -+---4 4 2

Pyramidestub

(Med kvadratisk grundflade) . (. G+ V = �h

G,

3

Gu ldins reg ler

--

Det krumme overfaldeareal kan bestemmes ved: 0A =2·na · [ · ·

v

360'

Volumen kan bestemmes ved: A

· · A--v V =2·na

3600

46-49 Trigonometri

Trigonometri Ordet trigonometri betyder trekantsmåling. Dette er læren om forholdet mellem siderne og beregninger af vinkler og sider i en trekant.

Retvi n klede treka nter Pythagoras sætning

For en retvinklet trekant gælder:

A

b

a2 + b2 = c 2

c

a

og b kaldes for kateterne og c for hypotenusen,

cW-------�

I

Pythagoras omvendte sætning Hvis der for en trekant gælder, at sammenhængen mellem siderne kan udtrykkes: a2+b 2 = c 2

Da er trekanten retvinklet. Trigonometriske formler A

G

Form ler med hypotenusen

sin A

=

cosA

=

tan A

=

modstående katete hypotenusen hosliggende katete hypotenusen modstående katete hosliggende katete

= !!:. c

=

b

c

=

!!:. b

50- 53 Trigonometri

Area l (n af retvin klet trekant A

c

b C

l T =· e · 2 2 c l

u---------------� Cl

Vilkårl ige treka nter Sinusrelationen

b -a c = = =2R · sin A sinB sinC

--

---

sin A sinB sinC 2R · b a c

Cosinusrelationerne p

A

L b

C

a2=b2+ C b2 = a2+ C

2-2·

2-2a . .

e2=a2+b2-2· b2+e2_a2 cos A= 2·b·e 2 a +e2_b2 cosB= 2'a'e 2 a +b2_e2 cosC= 2·a·b -------

------

-----

Ta ngensrelationerne p

A

L b

sinBa . sinC· e-cosB·a sinA-b sinCb . = tanB= c -cos Ab . asinB. sin A. tanC= ---b-cos A. a-cosB. tan A=

---­

----

C

54-54 Trigonometri

De fem treka ntstilfælde Kendte størrelser 3

Anvend

sider

1. Cosinusrelation (Se (1 ) til, at finde en vinkel. 2 . Sinusrelation (Se 5 ) til, at finde endnu en vinkel. 3. Vinkelsum (Se '} ) til, at finde den sidste vinkel.

2

sider, l vinkel

(Siden overfor vinklen kendes)

1.

Sinusrelation (Se :' ) til, at finde en vinkel. (Der er muligvis 2 løsninger. Se 2. Sinusrelation til, at finde den sidste side. 3. Vinkelsum (Se til, at finde den sidste vinkel.

2

sider,

l

vinkel

Altern ativ: 1. Cosinusrelation (Se , 2 ) til, at finde den sidste side. (Der er muligvis 2 løsninger til andengradsligningen Se under 2. Sinusrelation (Se 5 ) til, at finde en vinkel 3. Vinkelsum (Se ) til, at finde den sidste vinkel. (Siden overfor vinklen kendes ikke) 1. Cosinus relation (Se 2. Sinusrelation (Se � 3. Vinkelsum (Se

l

side +

2

vinkler

side +

2

vinkler

til, at finde sidste side. ) til, at finde en vinkel. til, at finde den sidste vinkel.

(Begge hosliggende)

1. 2.

l

2)

Vinkelsum (Se ";) til, at finde den sidste vinkel. Sinusrelation (Se 5 ) til de sidste sider.

(En hosliggende, en modstående)

1. 2.

Vinkelsum (Se til, at finde den sidste vinkel. Sinusrelation (Se " ) til de sidste sider.

55- 55 Trig onometri

Areal

Y2 1--------

l

a = ( x2- x

1"F

-��----------� X

o

X,

X2

logCJritmi�k. �k.CJICJ

Bestem melse af forskrift Y

Forskriften for en eksponentiel udvikling med grundtallet a og som går igennem Po (xo , Y o ) kan bestemmes af: y

= Y o _ a - xo _ a x = b - a x '-v----'

b

--�-------� X o

logCJritmi�k. �k.CJICJ

Fordoblingskonstant y

2YI

1_________

YI I------.".,....

For en eksponentielt voksende udvikling, er fordoblingskonstanten bestemt ved: T2 = x 2 - X I når 1 2 = 2 Y T2 = log 2 = In 2 log a In a l

Forskriften kan da også angives som: x -�-------� X XI O

....

1 1S-1 1 7 F u nktioner

Halveri ngskonstant /o§8ritmi O

x-->o

x"

I I

�� Sin�X )

� 00

for x � 00, for a > O

Grænseværd ier for trigonometriske forhold =

l

lolm tan(x) = l X

x-->o

--

Størrelsesorden for fu n ktioner lim x b o ln(x) = O, for b E IR + x-----* o +

ln(x) hm -b- = O, for b E IR + X °

x ----+ oo

1 33 - 1 3 3 Asym ptoter

b lim xx = O, for a > I, b IR + x-----,) oo a lim x b · a x = O, for O < a < I, b E IR + X ---7OO Generelt kan man sige at: Eksponentialfunktioner aX vinder over potensfunktioner x b , som vinder over logaritmefunktioner In(x) . Ordet vinder betyder at funktionen repræsenterer en kraftigere udvikling. E

Asymptoter Defi n ition på forske l l ige typer af asym ptoter y

y = a er en vandret asymptote for f(x) hvis: f(x) - 7 a for x -7 00 eller f(x) - 7 a for x - 7 -00 .

t(x) ---=-f'-----+

X

y

x = b er en lodret asymptote for f(x) hvis: f(x) -7 00 for x -7 b eller f(x) -7 -00 for x -7 b b skal muligvis erstattes af b - eller b + .

-

�---_r------+

x

x=b

y = a · x + b er en skrå asymptote for f(x) hvis: f(x) - (a · x + b) -7 O for x -7 00 eller f(x) - (a · x + b) -7 O for x -7 -00 .

----��r_------+ x

1 34 - 1 36 Asym ptoter

Asym ptoter for polynom i u msbrøker Hvis n er graden af nævnerpolynomiet og t er graden af tællerpolynomiet, gælder følgende: Beti ngelse

Asym ptoter

n=t

Van d ret asymptote:

y

=

koefficient foran højeste potens af x j tæller ---------------'------'-koefficient foran højeste potens af

x

i nævner

Skrå asymptote: Ingen. Vandret asymptote: y = O (x-aksen) . Skrå asymptote: Ingen. Vandret asymptote: Ingen. Skrå asymptote: Bestemmes ved polynomiers division (Se I alle tilfælde bestemmes de lodrette asymptoter ved at finde de x IR, hvor N(x) = O og T(x) 7= O .

n>t n =t+1

E

Asym ptoter for fu n ktioner, der ikke er polynom iumsbrøker Asym ptotetype

Fremgangsmåde

Vandret

Undersøg f(x) for x � ±oo . Hvis der findes en grænseværdi, vil y = grænseværdien være en vandret asymptote. Undersøg f(x) for store positive og store negative værdier af x. Hvis f(x) består af et restled, som forsvinder for store x og et lineært led x + b , vil y = x + b være en skrå asymptote. Find de steder xu ' x2 ' hvor en nævner kan give o . Hvis tælleren samtidig ikke er nul, vil x xo ' x = x, osv være lodrette asymptoter. Hvis tælleren derimod giver nul for fx xo ' kan man forkorte med (x - xo) ' og undersøge funktionen forfra.

Skrå

a·

a .

Xl'

Lodret

. • .

=

Asym ptoter for udva lgte fun ktioner Fu nktion

Asym ptoter

f(x)

Ingen

=

sin(x) y

1 36 - 1 36 Asymptoter

F u n ktion

Asym ptoter

f(x)

=

Ingen

f(x)

=

cos(x) y

tan(x)

x

y

=

10

- . n

2

+p

n,

p E :z

-10

f(x)

=

-6

f(x)

eX

-4

=

-2

O

y 5

4

O for x �

y =

O for x �

2

e-x

2

y =

6

-

00

00

"""I

"""'!!

1 36 - 1 36 Asym ptoter

Funktion

Asym ptoter

f(x) = b . a', a > l

Y

=

O for x ---7

Y

=

O for x

Y

=

O for x ---7 00

Y

=

O for x ---7

Y

(O b)

f(x) = b · a , a > l -x

Y

\ (Ob)

I'-

O =

00

x

O

f(x)

-

b . a" Y

\

a
O

For alle naturlige tal n gælder, at n er større end nul. -.{X E Al = { x ..: Al

Vektorer og koord inater Sym bol

(x; y)

AB IABI

I !iBI AB

a

x

Udtales

Koordinaterne Linjestykket AB Længden aflinjestykket AB Cirkelbuen AB

Længden af cirkelbuen AB Vektor a Længden af vektor a Tværvektor a Prikproduktet Krydsproduktet

Bemærkn i nger, e ksempler

(5; 7) er punktet i xy-koordinatsystemet hvor x = 5 og y = 7.

Betegnes også

axb

a

297 - 297 Matematiske tegn og sym boler

Sym bol

l ,)

Udtales

Bemærkn i n ger, eksempler

Enhedsvektorerne i to dimensioner

i=

Enhedsvektorerne i tre dimensioner

i , j, k

;

(�} (�) j=

� [� } � m � [�J k

J

F u n ktioner Sym bol

f(x) fAn

B

Udta les

Bemærkn i n g e r, eksempler

fafx

Funktionsværdien af x ved funktionen f

Funktionen f fra A til B =

Proportional

x y . x er proportional med y. Altså er x k y, k E � .

Vokser

Bruges i fortegnsvariationstabeller. f(x) vokser på [ 1 ; S [

Aftager

Bruges i fortegnsvariationstabeller. f(x) aftager på ] - 8; 1 [

Dm

Definitionsmængde

De x-værdier, funktionen er defineret for.

Vm

Værdimængde

De y-værdier, som funktionen antager.

Max

Maksimum

maxf(x) = max Vm(f). For eksempel max [ - 3 ; 9] = 9. max [ - 3 ; 9 [ findes ikke.

Min

Minimum

min f(x) min Vm(f). For eksempel min [ - 3 ; 9] - 3 .

Invers til f

Den modsatte funktion til f (Jo r ' ) (x) = x.

ex

/

=

'

=

=

Sammensat, bolle

(Jo g) (x) = f(g(x) ).

Log

Logaritme

y log x q x 10

Ln

Naturlig logaritme

y In x q x

Betegnes også exp(x) .

Slll

Eksponentialfunktionen Sinus

=

=

=

=eY

y

297 - 29 7 Matematiske teg n og sym boler

Sym bol

Udtales

cos tan cot sinh cosh tanh coth

cosinus tangens cotangens sinus hyperbolsk cosinus hyperbolsk tangens hyperbolsk cotangens hyperbolsk

lim

Limes. Grænseværdien

f( x ) � a for x � xo

f( x ) går mod a for x

gående mod Xo

Bemærkn i nger, eksempler

Betegnes også tg. Betegnes også ctg.

Betegnes også tgh. Betegnes også ctgh. lim � = � 4

x ->4 X

l

l

- � - for x � 4 4 x

Lix

Delta x. x tilvækst i Xo

Lix = x - x o

t1f

Delta f Funktionstilvækst for f i Xo

t1f = f( x ) - f( x o )

x =fC � Differentialkvotienten dx f( )

f (n) ( x )

Den n'te afledte

ff(x) dx

Integralet aff fra a til b Bestemt integral

ff(x) dx b

a

( x o , yo ; a )

t1f ["1m f( x ) - f( x o ) _ r - X->X f (X o ) - &1m0 X X -> Lix o o x o + Lix ) - f( x o ) f( = lim & ->0 Lix y d df Betegnes også: , , y ' dx dx -

Stamfunktion Ubestemt integral

Linj eelem en tet

Der gælder f( x o ) = y o og f ( x o ) = a

Index

A

Accelerationsvektor 238 Addend 1 Addition I, 4 Addition af vektorer 1 77 Additionsformlen 62 Additionsprincippet 251 Afstand mellem linje og linje 2 1 6 linje og plan 2 1 7 linje og punkt 8 1 , 82, 2 1 4 plan og linje 2 1 7 plan og plan 2] 8 plan og punkt 2 1 3 punkt og linje 8 1 , 82, 2 1 4 punkt og plan 2 1 5 punkt og punkt 69, 2 1 3 Afstandsformel 69, 8 1 , 82, 2 1 3 Aftagende funktion 97, 1 1 5, 1 1 7,

1 1 8, 127, 1 46, 1 48 1 -5, 6- 1 1 , 1 2, 1 3 1 25 69- 72, 73- 76, 77, 78, 79-83, 84, 85 1 02 1 02 1 02 1 69 26 1 09 265-272

Algebra Amplitude Analytisk geometri

Andengradsligning Andengradspolynomiet Andengradsulighed Andenordens differentialligninger Annuitetsopsparing Antal rødder Antalsparameter Approksimeret førstegradspolynomium 1 43 Areal 43, 44, 50, 55, 55, 1 58, 1 59, 1 60, 1 89, 202, 240

Areal mellem funktion og x-akse 1 58, 1 59 Areal mellem funktioner 1 60 Areal trekant 50, 55, 55, 71 Areal udspændt af vektorer 1 89, 202

Arealfunktion 1 54, 1 58, 1 59, 1 60 Argument for en vektor 1 80 Argument for et komplekst tal 1 9 Aritmetisk rækker 282 Arme 1 02 Associative lov 3, 1 7, 1 71 , 1 92 Associative lov for addition 3 multiplikation 3 vektoraddition 1 71 , 1 92 Asymptote 1 1 8, 1 3 3 - 1 36, 245 Asymptoter for polynomiumsbrøker

1 34

X a 1 30, 1 32, 1 70

B Bayes sætning 248 Bedste 1 50 Begrænsede intervaller Ben 1 02 Beregning af

14

a 75, 1 1 2, 1 20, 127

areal

b 127

1 58, ] 59, 1 60, 1 89, 202, 240

forskrift 76, 1 13 , 121 fremskrivningsfaktoren 1 1 2 grundtallet 1 1 2, 1 1 3 rumfang 1 61 , 1 62 volumen 1 61, 1 62 Bernouillis ligning 1 67 Bestemmelse af stamfunktion 1 57 Bestemt integrale 1 55, 1 56 Betinget sandsynlighed 247, 248 Billigste 1 50 Binome ligning 21

I ndex

Binomial fordeling 264-273 fordelings tabel 273 koefficient 254, 266-268 rækker 285 sandsynligheder 266, 272, 273 Boks 44, 99, 207 Bredde 43, 44 Brændpunkt 244 Brændvidde 243, 245 Bue 3 7 Buelængde 43 Bølgedale 1 25 Bølgetoppe 1 25 Både og princippet 250 c C 291

Centervinkel 37 Centrum for cirkel 86, 87, 88, 233 Centrum for kugle 2 1 2 Cirkel 38, 43, 86, 87, 88 Cirkelafsnit 43 Cirkelbue 43 Cirkelkorde 43 Cirkelligningen 86 Cirkelperiferi 38, 86 Cirkelring 43 Cirkeludsnit 43 Cos 22, 48, 52, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 68, 1 36, 1 70, 284, 287, 288, 297

Cosecans 58 Cosh 126, 288 Cosinus 22, 48, 52, 58, 59, 60, 61, 62,

63, 65, 66, 68, 1 36, 1 70, 284, 287, 288, 297 126, 288 52, 54 58, 1 70, 297 58, 1 70, 297 58 58 34 58 44 44

Cosinus hyperbolsk Cosinusrelationerne Cot Cotangens Covers Coversin Cramers regel Csc Cylinder Cylinderrør

D de Moivres formel 20 Definition på fakultet 252 funktion 91 Definitionsmængde 9 1 ,

1 2 7, 1 69, 297

Den logistiske ligning 1 69 Determinant 33, 34, 35, 83, 1 86- 1 90 Determinant metoden 34 Diagonaler 42, 43 Diameter 38, 43, 44 Differens 1 Differensfunktion 93, 1 44 Differenskvotient 1 40 Differensmængden 1 2 Differentiabel 1 4 1 Differentiabilitet 1 4 1 Differential kvotient 1 4 1 , 1 70, 297 Differentialligninger 1 68, 1 69 Differentialligningstyper 1 69 Differentialregning 1 40- 1 50, 1 70 Differentiation af alm funktioner ] 70 Disjunkte 1 2 Diskriminant 1 02, 1 03 Dist- formel 8 1 , 82 Distributive lov 3, 1 7, 1 71 , 1 92 Distributive lov for prikproduktet 1 71 , 1 92

Dividend 1 Divideret 1 Division 1 , 4 Division med et tal 4 Division med polynomier 1 06, 1 08 Divisionsligningen 1 06 Divisionspolynomiet 1 06 Divisor 1 Dobbelt logaritmiske papir 127 Dobbelt vinkel 65 Dobbeltpunkter 242 Donut 44 Drejning om x-aksen 1 61 Drejning om y-aksen 1 62 Dyreste 1 50 E e 286, 287, 289 E(X) 257, 258, 263 Egenskaber ved rødder 1 02, 1 03 Egentlig vektor 1 72, 1 93 Eksplementvinkel 36 Eksponentialfunktion 22, 1 3 0, 1 36,

1 70,

286, 287, 297

Eksponentiel udvikling 1 1 1 - 1 1 7, 1 36 Eksponentielt aftagende 1 1 5 Eksponentielt voksende 1 1 4 EkstremUllls punkter 1 03 EkstremUlllS sted 1 45, 1 48 Ellipse 43, 234, 243 Ellipsens ligning 243 Ellipsoide 44

I ndex

Enhedsvektor

1 72, 1 73, 1 82, 1 93, 1 94,

200

Enkel logaritmisk papir 127 Ensliggende vinkler 37 Ensrettede vektorer 1 72, 1 93 Ensvinklede trekanter 4 1 Enten eller princippet 251 Euklids algoritme 1 06 Eulers former 22 eX 1 3 0, 1 36, 1 70, 286, 287, 297 Exsec 58 Exsecans 58

� 130 x

F

f'

1 00

Faktor 1, 1 02, 1 03 Fakultet 253, 254, 266, 267, 286, 288, 289 Fart 237 Fase 1 25 Fem trekantstilfælde 54 Fem trekantstilfælde 54 Fiasko 265 Fitning 127, 1 28 Fordelingsfunktion 256 Fordoblingskonstant 1 1 4, 1 1 6 Foreningsmængde 1 2, 246 Forhold mellem sider i trekant 4 1 Forkortelse 4 Forlængelse 4 Forskrift for eksponentialfunktion 1 1 0 eksponentiel udvikling 1 1 1 , 1 1 3- 1 1 5, 1 27

hyperbel 1 22 hyperbolske funktioner 126 numerisk funktion 1 23 potensfunktion 1 1 8 potensudvikling 1 1 9, 1 2 1 , 127 ret linje 76, 127 sign funktion 1 24 svingninger 1 25 Fortegnsvariation 1 48 Fortegnsvariationstabel 1 48, 1 50 Frekvens 1 25 Fremskrivningsfaktor 1 12, 1 1 3 Funktioner 91 - 1 00, 1 01 , 1 02 - 1 09, 1 1 0- 1 24, 1 25, 1 26, 1 27, 297

Funktions nulpunkt 1 01 Funktionspapir 1 27, 281 Funktionstilvækst 1 38 Funktionsværdi 91 Fællesmængde 1 2, 246 Første ordens differentialligninger

G Gange Gennemsnit 24 Gennemsnitlig rente 23 Gentagelse 265 Geometri 36-45 Geometriske rækker 282 Grad af polynomium 1 04, 1 05, 1 09, 1 34 Grader 56, 291 Graf for

1 69

aX 1 30 eX 1 30 ln(x) 1 3 0 x" 1 30 Grafisk betydning af a 127 Grafisk betydning af b 127 Grassmans formel 246 Grundflade 44 Grundlængde 43 Grundrelation 62 Grundtallet 1 1 2, 1 1 3 Grænseværdi 1 29- 1 3 1 , 1 32, 1 33, 1 37, 1 3 9, 1 4 1 , 297

Grænseværdi for trigonometriske forhold specielle funktioner 1 30 Guldins regler 45 Gælden 27 Gældsannuitet 27

131

H Halve lilleakse 43, 234, 243, 245 Halve storakse 43, 234, 243, 245 Halveringskonstant 1 1 5, 1 1 6 Halvåbne intervaller 1 3 Hastighedsvektor 236 Hav 58 Haversin 58 Herons formel 55 Hierarki for regningsarter 2 Hosliggende katete 48, 54 Hovedstol 27 Hyperbel 122, 245 Hyperblens ligning 245 Hyperbolsk funktion 126, 288 Hypergeometrisk fordeling 264, 274-277 Hypotenuse 46, 48, 49 Hældningstal 75, 76, 77, 78, 79- 83 Højde 39, 43, 44, 49 Højders skæringspunkt 39 Højresum 1 65

I nd ex

i 290 Idiotformlen 61 Indbetaling 26 Inddeling af firkanter 42 trekanter 40 intervaller 1 63 Indre radius 44 Indskrevne cirkel 39 Indskudsreglen 1 75, 1 96 Indskudssætningen 1 56 Infinitesimalregning 1 3 7- 1 58, 1 59- 1 69, 1 70

Injektiv funktion 98 Integration 1 3 7- 1 58,

1 59- 1 69, 1 70, 240,

297

Integration af alm funktioner 1 70 Integration ved substitution 1 53, 1 56, 1 57

Integrationsprøven Intervaller 1 3, 264

1 52

K Kasse 44 Katete 46 Kegle 44 Keglesnit 243-245 Keglestub 44 Kommutative lov 3, 1 7, 1 71 , 1 92 Kommutative lov for addition 3 multiplikation 3 prikproduktet 1 71 , 1 92 vektoraddition 1 71 , 1 92 Kompleks konjugering 1 5 Komplekse tal 1 4 -22 Komplementvinkel 36 Komplementærmængden 1 2, 246 Kongruente trekanter 4 1 Konjugering 1 5, 1 6 Konstant funktion 73, 97, 1 46 Kontinuitet 1 3 7, 1 39, 1 5 1 Korde 43 Korde tangentvinkel 3 7, 38 Kordevinkel 37 Korreleationskoefficient 128 Krumme overflade areal 44, 45 Kryds produkt 1 97, 203, 205, 2 1 4, 2 1 6, 218

Krydsprodukt og prikprodukt Kugle 44 Kugle ligningen 2 1 2

206

Kugleafsnit 44 Kuglekalot 44 Kugleskive 44 Kugleudsnit 44 Kvadrant 1 1 8 Kvadrat 42, 43 Kvadratsætninger 5 Kvotient 1, 1 40 Kvotient af differenser 1 40 Kvotientfunktion 95, 1 44 Kvotientpolynomiet 1 06 Kædereglen 1 44 L Lagranges formel 205 Ledelinjen 244 Lige funktion 96, 1 1 8 Lige store koefficienters metode 32 Ligebenede trekanter 40 Ligedannede trekanter 4 1 Ligefrem proportionalitet 90 Ligesidede trekanter 40 Ligning for ellipse 243 hyperblen 245 parablen 244 kuglen 2 1 2 plan 2 1 1 , 227, 228 Ligninger 28, 29, 68, 294 Lilleakse 43, 234, 243, 245 Lim 129- 1 3 1 , 1 32, 1 33, 1 3 7, 1 3 9, 1 4 1 , 296 Lineære ekcentricitet 243, 245 Linje 73- 76, 77, 78, 79-83, 84, 85 Linje beskrevet ved vektor 84 Linje i plan 73-76, 77, 78, 79-83, 84, 85 Ln 1 0, 1 1 , 1 1 4 , 1 3 0, 1 32, 1 36, 1 70, 283, 286

Lodret asymptote 1 1 8, 1 33, 1 34 Lodret asymptote for polynomiumsbrøk 1 34 Lodret linje 74 Lodrette forskydning 1 25 Log 9, 1 1 , 1 1 4, 1 36, 1 70 Logaritme funktion 9, 1 1 , 1 1 4, 1 32, 1 36, 1 70

Logaritmer 9, 1 1 Logaritmiske formler 63 Logik 294 Logistisk ligning 1 69 Logistisk vækst 1 69 Lokale ekstremumspunkter 1 03, 1 45 Lokalt maksimumssted 1 45 Lokalt minimumssted 1 45 Lukkede intervaller 13

I ndex

Længden af en vektor 1 78, 1 79, 1 98, 1 99 Længden af krydsproduktet 205 Løsning af differentialligninger 1 69 ligninger 28, 29, 3 1 , 32, 34, 35, 68, 1 69

to ligninger med to ubekendte

N n

N

32, 34 35

M Maksimale antal rødder 1 09 Maksimumssted 1 45 Matematiske tegn 290-297 Med tilbagelægning 254 Median 39 Medianernes skæringspunkt 39 Mest sandsynlige udfald 272 Middelomkreds 43 Middelværdi 257, 258, 263, 269, 275 Middelværdi for binomialfordeling 269 Middelværdi for hypergeometriske fordeling 275 Middelværdi og varians 263 Middelværdisætningen 1 47 Midtnormal 39 Midtnormalernes skæringspunkt 39 Midtpunktet mellem to punkter 70, 209 Midtpunktsformel 70, 209 Midtsum 1 67 Mindste 1 50 Minimumssted 1 45 Minuend 1 Minus 1 mm-papir 127 Modsat rettede vektorer 1 72, 1 93 Modstående katete 48, 54 Modulus 1 7, 1 8 Moivres formel 20 Monoton funktion 97, 98 Monotoniforhold 1 48 Monotoniintervaller 97, 1 48 Multiplikation 1, 4 Multiplikation med en konstant 1 71 , 1 92 Multiplikation med et tal 4 Multiplikationsprincippet 250 Mængde differensen 1 2 Mængdelære 292 Mængdeoperationer 1 2 Mængder 1 2

291

Naturlig logaritme

1 0, 1 1 , 1 1 4 , 1 30, 1 32, 1 3 6, 1 70, 283, 286 57 1 01 278-281 281 84 84 1 04 1 69 1 01 1 72, 1 93

31,

tre ligninger med tre ubekendte trigonometriske ligninger 68 uligheder 3 0

265-272

Negativ omløbsretning Newton-Rhapson metode Normalfordeling Normalfordelings papir Normalvektor Normalvektor for linje n'te grads polynomium n'te ordens differentalligninger Nulpunkt for funktion Nulvektor Numerisk funktion 1 23 integration 1 63 - 1 67 værdi 6 Nævner 1 o

Ombytning af grænser 1 56 Omkreds 43 Omløbsretning 57, 1 88 Omskrevne cirkel 39 Omvendt funktion ] 00, 1 44 Omvendt proportionalitet 89 Opløsning i faktorer 1 02, 1 03 Opskrivning af vektor vha argumentet 1 81 retningsvinklen 1 81 Opsparing 25, 26 Optimeringsopgaver 1 50 Ordnet stikprøve 254 Ordnet stikprøve med tilbagelægning 254 uden tilbagelægning 254 Ortogonale linjer 77 Ortogonale vektorer 1 83, 1 90, 202, 203 Overgangsformler 60 p

P 265, 266, 269-272 Papir 127, 281 Parabel 1 02 Parabelstykke 43

I ndex

Parablen s ligning 244 Parabolide 44 Parallelle linjer 78, 83 Parallelle vektorer 1 90, 203 Parallellogram 42, 43 Parameterfremstilling 88 Parameterfremstilling for cirkel 88, 233 ellipse 234 linje 85, 208, 232 plan 2 1 0, 227, 228 punkt 235 Partiel integration 1 53, 1 56, 1 57 Passer godt med fit 1 28 Periferivinkel 3 7 Periodetiden 1 25 Pilhøjde 43 Planets ligning 2 1 1 , 227, 228 parameterfremstilling 2 1 0, 227, 228 Plus 1 Polygon 37, 43 Polynomiers division 1 06, 1 57 Polynomium 1 02- 1 09 Polynomium af n'te grad 1 04 Polynomium af ulige grad 1 05 Polynomiumsbrøker 1 34 Positiv omløbsretning 57 Potens af komplekst tal 20 Potens udvikling 1 1 9- 1 2 1 , 1 3 6 Potenser 7 Potensfunktion 1 1 8, 1 32 Prikproduktet 1 71 , 1 73, 1 76- 1 79, 1 83, 1 85, 1 86, 1 89- 1 91 , 1 92, 1 94, 1 97, 1 99, 201, 203-207, 2 1 6, 2 1 7, 2 1 9-222, 224-226 44

Prisme Produkt l Produktfunktion 94, 1 44 Projektion af linje på plan 226 punkt på linje 224 punkt på plan 223 vektor på plan 225 vektor på vektor 1 91 , 204, 222 Proportionalitet 89, 90 Pyramide 44 Pyramidestub 44 Pythagoras 46, 47 Pythagoras omvendte sætning 47 Q

Q

R r

128

IR 291 Radianer 56, 58, 59, 291 Radius 38, 43, 44, 8� 8� 8� 2 1 2, 233 Radius i indskrevne cirkel 55 Radius i omskrevne cirkel 5 1 , 55 Ramanujan rækker 289 Reciprokke potenser af tal 283 Regler for ligninger 28, 29 Regler for uligheder 30 Regneregier for argumentet 1 9 bestemte integraler 1 56 binomialkoefficienter 268 brøker 4 determinanten 1 87 differentiation 1 44 fakultet 253 grænseværdier 1 29 integraler 1 53, 1 56 kompleks konjugering 1 6 kompleks modulus 1 8 komplekse tal 1 4 logaritmer 9 længden af en vektor 1 79, 1 99 middelværdien 258 naturlig logaritme 1 0 numerisk værdi 6 potenser 7 roduddragning 8 rødder 8 sandsynligheder 246 sandsynlighedsfunktionen 246 spredningen 262 tal 3 tværvektor 1 85 ubestemte integraler 1 53 variansen 260 vektorer 1 71 , 1 92 vektorer med koordinater 1 76, 1 97 Regningsarternes hierarki 2 Regression 127, 128 Regulær polygon 43 Rektangel 42, 43 Relativ vækst 1 1 7 Rente 23, 25-27 Rentefoden 23, 25-27, 1 1 7 Rentesregning 23-27 Restpolynomiet 1 06, 1 07 Ret linje 73 - 76, 77, 78, 79-83, 84, 85, 1 27, 1 28, 232

291

Retningslinjer for at finde stamfunktioner 1 57

I nd ex

Retningslinjer for bestemmelse af sandsynligheds fordeling 264 Retningsvektor 85 Retningsvektor for linje 85, 232 Retvinklede trekanter 40 Retvinklet prisme 44 Retvinklet trekant 46-50 Rhombe 42, 43 Rod 1 01 , 1 02, 1 03, 1 05, 1 08 Rod for funktion 1 01 Rod for polynomium 1 05 Rolles sætning 1 47 Rumfang 1 61 , 1 62 Rumgeometri 208-23 1 Rumprodukt 207 Rumvektorer 1 92-207 Rækker 1 64 - 1 67, 257, 259, 282-289 Rødder 8 Rødder for tredjegrads polynomium 1 03 andengrads polynomium 1 02 polynomier 1 08 s

Sammenfaldende linjer 83 Sammensat funktion 99, 1 44 Sandsynlighed for betinget sandsynlighed 247, 248 foreningsmængde 246 fællesmængde 246, 249 komplementærmængde 246 r succeser 266 Sandsynlighederne lagt sammen 255 Sandsynlighedsfordeling 255 Sandsynlighedsfunktion 246 Sandsynlighedsparameter 265-273 Sandsynlighedsregning 246-254, 255-263, 264-281

Sec 58 Secans 58 Sekant 38 Sekantvinkel 3 7 Separation af de variable 1 69 Sidelængde 43, 44 Sign funktion 1 24 Sin 22, 48, 5 1 , 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 68, 1 25, 1 3 1 , 1 3 6, 1 70, 284, 287, 297 22, 48, 5 1 , 55, 58, 59, 60, 61 , 62, 63, 65, 66, 68, 1 25, 1 3 1 , 1 3 6, 1 70, 284, 287, 297 126, 288 51, 54 1 33, 1 34

Sinus

Sinus hyperbolsk Sinusrelation Skrå asymptote

Skrå asymptote for polynomiumsbrøk 1 34 Skæring med y aksen 1 02, 1 1 0, 1 1 1 Skæring mellem linje og linje 83, 23 1 linje og plan 230 plan og linje 230 plan og plan 229 to linjer 83, 23 1 Små vinkler 1 3 1 Spejlbillede i y 1 00 Sphærisk trekant 44 Spids vinkel 40, 43, 1 83, 202 Spids vinkel mellem vektorer 1 83, 202 Spidsvinklede trekanter 40 Spredning 262, 271, 277 Spredning for binomialfordeling 271 Spredning for hypergeometrisk fordeling 277 Stamfunktion 1 5 1 , 1 54, 1 57, 1 70, 240 Startkapital 25 Stigningstal 75, 76, 77, 78, 79-83 Stikprøver 254, 264 Stokastisk variabel 255-263 Storakse 43, 234, 243, 245 Stump vinkel 40, 1 83, 202 Stump vinkel mellem vektorer 1 83, 202 Stumpvinklede trekanter 40 Størrelsesorden 1 32 Størrelsesorden for funktioner 1 32 Største 1 50 Substitutionsmetoden 3 1 , 1 53, 1 56, 1 57 Subtrahend 1 Subtraktion 1, 4 Subtraktion af vektorer 1 77 Succes 265 Sum 1, 255 Sum af sandsynligheder 255 Sumfunktion 92, 1 44 Supplementvinkel 36 Svingninger 1 25 Svingningstiden 1 25 Symboler 290-297 Symmetri 96 = x

T T'h 1 1 5, 1 1 6 T, 1 1 4, 1 1 6 Tabel 1 70, 273, 279 Tabel over binomialsandsynligheder Tabel over normalfordelings sandsynligheder 279 Tal 1 -5, 6- 1 1 Taloperationer 1 , 293

273

I ndex

Tan

48, 53, 58, 59, 60, 64, 65, 67, 68, 79, 80, 1 3 1 , 1 36, 1 70, 285, 297 48, 53, 58, 59, 60, 64, 65, 67, 68, 7� 80, 1 3 1 , 1 3� 1 7� 285, 297 1 26, 288 53 38 87, 1 42, 239, 243-245

Tangens

Tangens hyperbolsk Tangensrelationerne Tangent Tangentligning Tangentligning for cirkel 87 ellipse 243 hyperbel 245 parabel 245 Tangentvinkel 3 7 Tanh 126, 288 Taylor polynomier 285-287 Tegn 290-297 Terminer 23, 25-27 To dimensionale vektorer 1 71 - 1 91 To ligninger med to ubekendte 3 1 , 32, 34 To linjers skæringspunkt 83, 23 1 Toppunkt for parabel 1 02 Topvinkel 37, 44 Torus 44 Trapez 42, 43 Trapezsum 1 66 Tre dimensionale vektorer 1 92-207 Tre ligninger med tre ubekendte 35 Tredimensionale vektorer 1 92 -207 Tredjegrads ligning 1 03 Tredjegrads polynomium 1 03 Tredobbelt vinkel 66 Trekanter 39- 4 1 Trekants areal 50, 55, 71 Trekants omskrevne cirkel 39 Trekants tyngdepunkt 39, 72 Trekantstilfælde 54 Trekantsuligheden 6, 1 79, 1 99 Trigonometri 46-50, 5 1 -54, 55 Trigonometriske funktioner 48, 5 1 -55, 58, 59, 60, 61, 62-66, 67, 68, 284, 287

Trigonometriske ligninger 68 Trigonometriske overgangsformler Tværvektor 1 84 - 1 86, 1 89, 1 90 Tykkelsen 43 Tyngdepunkt 39, 72 Tæller 1 u

Uafhængige hændelser 249, 265 Uafhængighed 249 Ubegrænsede intervaller 1 3 Ubestemte integraler 1 53 U den tilbagelægning 254

60

Udsnitsvinkel 43, 44 Uegentlig vektor 1 72, 1 93 Ulige funktion 96, 1 1 8 Uligheder 30, 293 Uordnet stikprøve 254 Uordnet stikprøve med tilbagelægning 254 uden tilbagelægning 254 v

Vandret asymptote 1 1 8, 1 33, 1 34 Vandret asymptote for polynomiumsbrøk 1 34 Vandret linje 73 Vandret vendetangent 1 48 Var(X) 259, 260, 263 Varians 259, 260, 263, 270, 276 Varians for binomialfordeling 270 Varians for hypergeometrisk fordeling 276 Vektor mellem punkter 1 74, 1 95 Vektor produkt 1 97, 202, 203, 205, 2 1 4, 2 1 6, 2 1 8

Vektoraddition 1 77 Vektorer 1 71 - 1 91 , 1 92-207, 296 Vektorer i to dimensioner 1 71 - 1 91 Vektorer i tre dimensioner 1 92-207 Vektorfunktioner 232-242 Vektorkoordinater 1 73, 1 94 Vektorsubtraktion 1 77 Venstresum 1 64 Vers 58 Versin 58 Vilkårlige trekanter 5 1 -54, 55 Vindskæve 23 1 Vinkel 43, 44, 1 83, 201, 291 Vinkel mellem linje og plan 220 linjer 80, 2 1 9 plan og linje 220 plan og plan 22 1 vektorer 1 83, 1 86, 201 Vinkel til vandret 79 Vinkelfrekvens 1 25 Vinkelhalveringslinje 39 Vinkelhalveringslinj ernes skæringspunkt 39 Vinkelrette linjer 77 Vinkelsum polygon 37 Vinkler 36, 3 7, 44 Vinkler i regulær polygon 3 7 Voksende funktion 97, 1 1 4, 1 1 7, 1 1 8, 127, 1 46, 1 48 44, 45

Volumen

I ndex

Volumen af kasse 207 Vægt 24 Vækstraten 1 1 7 Værdimængde 91, 1 1 0,

A

Åbne intervaller

x

x"

13

1 49, 297

253, 254, 26� 26� 28� 288, 289

� 1 3 0, 1 36, 1 70

130, 1 32

x

Lly

y

Ydelsen 27 Ydre radius Z 11 292

1 3 8, 1 39

f.L 257, 258, 263

44

1T

43, 44, 45, 56, 58, 59, 1 61 , 1 62, 283, 284, 287, 289, 290

l 1 64 - 1 67, 257, 259, 283 -289, 293

a(X)

261 , 262

IV

En kordetangentvinkel

.

C Q. I.C I» < ID

er halvt så stor som den

Hvad er en kordeta ngentvi n kel?

bue den spænder over.

- og hvorda n er det n u l i i i i i i g e d u fi nder a rea let mellem t o fu n ktioner? - eller længden af en vektor? - eller noget af det d u lærte i matematik, lige da d u begyndte? - eller det d u gik g l i p af, den ene dag for længe siden, da d u va r syg . . . ? Svaret findes i

Matematik 1 1 2

-

Førstehjælp til formler.

-cos (x)

A

Hvis du går i gymnasiet, på STX, HHX, HTX eller HF, og vil have et hurtigt overblik over hvad du

burde vide,

nemt og

h

enkelt, så er det her du skal lede. Med næsten 300 opslag, masser af farvefigurer og et stort

stikordsregister er bogen hurtig at gå til, og du skal være dygtig for ikke at finde det, du leder efter. Stikordsregisteret viser med farvekodede tal, på hvilket niveau stoffet hører hjemme, og farvede streger på siderne viser om du er havnet det rigtige sted:

Grøn for det indledende C-niveau, Blå for B-niveauet og

Rød for A-niveauet og videre.

I S B N 978-87-57 1 -2 6 1 0-5

111 1 1 111 111 111 1 111 1 1

9 788757 1 261 05

Lars Pedersen er gymnasie- og HF-lærer på

Holstebro Gymnasium og HF, og han udgiver hermed den bog, eleverne har skreget på i årevis.

I s a m m e serie fi n d e s Fysik 1 1 2 og

Nyt

�F

Teknisk Forlag

Kem i 1 1 2

l p til formler, o p byg get på

; a m m e måde.