Matematici clasice și moderne [II] [PDF]

Zitiervorschau

Acad. Calus Iacob Aurelian Crăciunescu, Constantin Cristea, Lazăr Dragoş, Ştefan Gheorghltă, Rodica Trandafir

MATEMATICI clasice şi moderne Voi. li

Editura

@i

tehnică -· ·­

Bucureşti• 1979

Control ~liintific: dr. docent llarius losffeEeu Redactor : Valentlna Crefu Telmoredactor: Elena Geru Coperta ~i supracoperta: Constantin Gul11Jü Bun de lipar: 20.Vl.1979. Coli de lipar: 3'1 Tiraj: 16 000+100+00 cxemplare legale, C. Z. 510

■

c. 1957 - I. P. INFORMA TIA str. Brezoianu, nr. 23-25, Bucure~U

PREFA'fi\ Al doilea volum, al tratatului de ,,]late·matici clas-ice ,i moderne" este consacrat uno1· cap·itole ale 1natematicii care-,i gd8esc un la1·g eco1l. în ,tiinJele natu,rii l)i au numeroase aplicatii telmice. Luc-ra1·ea este realizata de ttn colectiv de autm·i, dint1·e care unii au colabo1·at # la p1·imul volum for altii ÎlJÎ v01· continua colaborarea lJÎ la volitmul al treilea. PifrJ-ile de te01·ia probabilitatilor, de statistica matemat-ica ,ï fiabilitate, sau de informatica dezvolta eœpimeri ale aut01·ilo1· in cadrul ciclurilor de perfect-iona1'e ot'ganizate de 1.0.P P.D. pen,tru p1·ofesori sau al unor expuneri preze1itate la 1 nstitutul Politehnic Bucure~ti. Elementele de teoria fimctiilo1· co1nplexe, de teo1·ia ser-iilo1· lJÏ a integralelor Fourim· ca ~i de calcul tensorial cup-ri1id dezvolta1·i matematice ca1·e sînt necesare în cursurile gene1·ale. sau de specializa1·e p1·edate de autori la Unive1'sitatea din Bucure§ti în domeniul mecanicii ca: mecanica genm·ala a sistemelor, 1necanica fluiàelor, aerodinamica, àinamica gazelor, magnetokiàro- fÎ aerodinamica, teoria JiltraJiei apelor subtm·ane etc. Este evident ca acest ansambli1, de cuno~tinte poate fi util tuturor acelofa ca1·e v01· sa-§·i pe1tecJioneze sau sa-l)i completeze prin 'reciclare ba-gajul lo1· matematic în -vede1·ea apUcaliil01· în diverse domenii ale ~tiintelo1· natttri·i # ale telinologie-i, unde studiul fenomenelor este dom·inat fie de aspectul statist-ic-p1·obabil-ist, fie de cel determinist. P1·in f elul în cm·e este alciituit gi divizat în pa1-Ji, volumul poate fi consultat l)·i separat, pe portiuni. OU1WlJtint ele date citprind de asemenea elementele de bazii ca1·e v01· permite lectura volmnuli1,i al treilea, ce urmeaza sa apara î-n anul v-iit01·. 25 iunie 1979, Bucu~ti

Acad. prof. Caïus Iaeob

5

I

CUPfilNS

VII. Teoria probabilitatilor

. . • . conf. dr.

RODICA TRANDAFIR

Cap. 28. No/iuni §i teoreme fundamentale tn teoria probabilitèi/ilor • • . A. Algebre Boole. Corpuri ~i parU . . . . . . . . • . . B. Algebre de probabllitate . . . • . . • . . . . .

9 9

13

Cap. 29. Varlabile aleatoare. Func/ia de reparti/le. Funcfia caracteristiciî . • A. Variabile aleatoare . . . . • . • . . . . . • • . B. Functii de repartltf e • • . . . . . . . . . . C. Caracteristici numerice ale varinbilelor aleatoare D. Functu caracteristice . . . . .

26 26

Cap. ·30. $irurl Ji serii de variabile afeatoare

62

34

42 54

62

A. Convergenta stochastica . . • . B. Leg~ numerelor mari • . . . . C. ,Problema aslmptotlca centrala .

79 89

: ~,( ) dP(CA>) P( A 42

n { :

egalitatea

~Cc.>) > o})

= o.

~

are urmatoarele proprietat,i :

< M( ;) ; ~A ~() dP(CA>) · o daci iji numai daea.

.. I.2.· f . . ~( ) 4P{ ).. :- ·.

Ju...f,

•

t·• ·c)..4, .~( ~fd.Pi); ~pènku orice

~tiltilne. cél

·mult numarabila de . eveniment ..4':' e. ~ mutual disjuncte.

I.3 .

~()dP()~ ( ~() dP(). )..4. I.4. Daca (A")neN• este un ~ir ascendent (descendent) catre A, . atunci •· . · ,.(

)•

.Â.1 C À.2

implica (

JÀ1

~(c.>) dP(c.>) l1 ( ~(c.>) dP(~), ( f ~() dP() ~ ' J.

ceptia cazului cînd

~

~( (ù) dP( )

=

00

~

( ~(c.>) dP(c.>) cu ex~

pentru orice n >

...fn

.

1) .

Urmatoarea teorema stabile~te o legatura între integrala Lebesgue ~i integrala Stieltjes sub forma utilizata, în teoria probabilitatilor. Teorema 29.11. Daca ~ este o variabilii aleœoare, Ji' funcJia ei de repar➔ B o aplicaJie màsiirabilii Borel a,a inctt -r o ~ e f 1 , atunci

i,tie 1i -r: B (29.17)

( (-r o

Jo

~)( 6))

dP( 6l)

= f'

.JR

-r(œ)dF(œ).

DemonstraJie. Sa consideram mai întîi cazul în care -r(œ) ia, un numar finit de valori a1, a 2, ••• , a,.. Fie· · .Âc

= {œ; -r(œ)

= a,},

i = 1, 2, ... , n.

Atunci T

=

n

~ 4cX--fl• •=1

Pentru demonstrarea relatiei (29.17) în acest caz este suficient sa ,o verificam .pentru -r = lr•.b>• Avem ( -r O ;)(œ)

·

=

J o, daca ·;(c.>) j [a, 11, daca,· ;(6l} e [a·,

b), b),

;

.

,

deci ( ( -ro~)(c.>) dP(6lr= P({c.>: ;{6l) e- [a,b)}.)

Jo

= •li'(b) .

.F(a)

= ~b dF(œ) "

iji deci ëgalitatea este verificata. Sa presupunem ca T este O aplicavie oarooare. Atunei, tinînd seama de teorema 29.4, exista un ijir cres~ator de aplicavü simple ( 't"n(œ))n.eN• convergent la -r(œ)'. $irul de·_variabilê aleatoare ( 't'a( ~(6l))neN• este crescatoi'

iji convergent catre variabila aleatorie -r( ~( ~

.

< i < n,

atunci

Il

Il ;, e f 1 1i t=l ;, E f 1 , 1 O. Avem

= f -r( ;( )) dP( ) = ( -r( ~( )) dP( c.>) + ( -r( ~( )) dP( ). Jn )A )Ao

Tinînd seama de faptul

·

ca

~..t

(

)Ac rezulta

= {

-r( ;( )) P( )

>

-r( a)P(.A.),

-r( ~()) dP() ;;:ii O,

ca

deci

M't( ~) exista doarece M't( ~)

=

M( -r o

;)

~i -r o

;

e ! 1•

Conseeinta 29.3. (Inegalitatea lui A. A. Markov). are loc irtegalitatea P( { : 1 ;() 1 > a}

(29.26)

Daca ; e fr (r > 0),

O. Conseeinta 29.4. (Inegalitatea lui P. L. Cebi~ev). Dacii ; e .f2 , atunci P( { : 1 ~() 1> a}

(29.27)

pentru O'l'ice a> O. 0 forma ecllivalenta P( { :

(29.28)

a,

1

~

a}) ) dP(6>) eu A e

f

defin~te pe

continua în raport cu restrictia lui P µ1, Ï Nykodim [17] exista o funct,ie M( ~/Ë), (29.29)

L

~(6>) dP(6>)

2 o masura absoluta

.: P/t ~i in baza teoremei Radon-

Cf,

~)-masurabila, a~a încît

= ~A M(~/f)(oo) dP(6>)

pentru orice- A e f.

DefiniJie. Functia M( ~If), (f, 41)-masurabila, care satisface (29.29) media corulijionatii, a v .a. ~ în raport eu a-algebra f.

se nume~te

DefiniJie. Se nume~te probabilitate condijion.ata a evenimentului A e ~ în raport eu 'î:, notata P(A/f) functia M( X.Aff), unde X...t este indicatorul evenimentului A. Exemple. 1) Fie f = {0, O}. În acest caz singurelc functii (f, .$) - masuralJile stnt constantcle ~i conform dcfini\iei pentrn A= 0· avem .M(~ll:) = M(~). 2) Fie A el;, 0 < P(A) < 1 ,1 = {0, A, Ac, !l}. În acest caz

f

l l

_ l_ ( !;(Cù) dP(Cù), P(A) )A. ·

~ M(;(E)=

-

1

_(

P(A0 )

J,to ;((,)) dP(c.,),

_l_)(A_n_R_). dacii P(A)

~ P(R/"E.)=

daca (,) e A,

(ù

e A,

(t)

e A0•

P(A0 n B)

- - - , daca P(AC)

daca

c.> e A 0 •

Valorile medii conditionate au proprietat,i analoa.ge cu proprietat,ile valorilor medii. ln cazul în care ~ este (generat de o anumita familie ( ~,),e1 de v.a.) cel mai mie a-cîmp care cont,ine evenimentele de forma {