Matematica M1 Manual pentru clasa a XI-a [PDF]

Zitiervorschau

rI.

CoNTINUTTATE

.....-........

ll,

Interpretarea grafrcda continuit[fii unei funcfii, continuitatea intr-un punct gi

pe o

mu[ime

133 133

.............,.....

Operalii cu funcfii continue

.....-.....-:.-.-..

Proprietatea lui Darboux, existen{a solufiilor unor ecuafii, semnul unei funcfii continue Le gltura continuitate -mdrginire

t37 14t

t45

III. DERIVABILITATE

145

Probleme care conduc la conceptul de derivat[ Derivabilitatea unei funcfli intr-un punct pe o mulfime, func]ia derivati Derivatele func{iilor uzuale ............:...... Legltura continuitate-derivabilitate, derivate laterale

-

SffiTffi"ffi",1i1"1'"Iiilf;':*'::::::1111

::::::::

:: :::::: ::::::::: ::::::

r45 147

152

:::

:::::::::::

154 156

Derivata funcfiei inverse Interpretarea geometric[ a derivatei unei func{ii intr-un punct ........ Derivate de ordinul doi gi de ordin superior ..............

158

oaplica{ie:R6d[cinilemultiplealeecua{iilorpolinomiale(extindere)................ Puncte de extrem, Teorema lui Fermat Teorema lui Rolle, Lagrange, Cauchy Consecinle ale Teoremei lui Rolle. $irurile lui Rolle Consecin{e ale Teoremei lui Lagrange, monotonia unei func1ii calculul derivatei unei func{ii intr-un punct ....... Regulile lui L Hospital .............. Rolul derivatei int6i in studiul funcfiilor, puncte de extrem, monotonie Rolul derivatei a doua in studiul funcfiilor, concavitate, puncte de

167

l6l

til

t70 173 175 177 181

186 189

IV. REPREZENTAREA GRAFTCA,L TUXCIILOR Reprezentarea graficL a ecuafiilor, utilizarea graficelor in determinarea num[rului de solulii ale unei ecua{ii Conicele ca locuri geometrice remarcabile Reprezentarea grafici a conicelor Probleme recapitulative de analizl

232

r93 198

201

205 209 213

CUPR'NS ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL $I SISTEME DE ECUATII Noliunea de permutare. inmullirea permutdrilor

J J

"""""""

J 4 9 9

Proprietilile inmullirii permuterilor .......'... " " Inversiuni. Semnul unei permutlri ...'.".'"' Nofiunea de matrice. Mullimi de matrice Operalii cu matrice

11

23 23

III. DETERMINANTI

l96l

No{iunea de determinant ........... Proprietif ile determinantilor Calculul determinanlilor'......'....

25 29 37

rv. sIsrEME DE ECUATTI LINTARE ........... Matrice inversabile in -'/'((A)

)t 40 42 44 48

1MI.

tung,

Sisteme Cramer Rangul unei matrice Studiut compatibilitdlii qi rezolvarea sistemelor liniare Metoda lui Gauss de rezolvare a sistemelor liniare Aplicalii ale determinanlilor in geometria analiticd

54 56 59

Probleme recapitulative de algebr[

)l

I,

:ala,

a$t

ELEMENTE DE ANA LIZ4.. MATEMATICA r. LIMITE DE FUNCTTI .............:.:........-......... Noliuni elementare despre mu[imi de puncte pe dreapta real6, intervale M[rginire, simbolurile + co gi - co, dreapta incheiata, vecin6t6fi Funcfii reale de variabild real[ ......... Funclii ra{ionale $iruri de numere reale, giruri monotone, giruri mlrginite :""""""""" comportarea valorilor unei funclii cu grafic continuu cand argumentul

n€,

lu

dati

.......... qiruri convergente, proprietd{i Limita unui gir cu vecin6tifi, Operafii cu giruri convergente sau care au limiti se apropie de o valoare

Limita girurilor monotone, criteriul de convergenfd al lui Weierstrass Trecerea la limit[ in inegalitSli, criteriile major[rii 9i clegtelui 1

iti,

Num[ru] e, girul (l+ a,)i ct an ) 0, an* 0 ......."""' Alte metode pentru calculul limitelor de giruri $iruri recurente ............... Limita unei func,tii intr-un punct, interpretare grafici Operafii cu limite de funcfii. Limitele funcfiilor elementare Calculul limitelor de funclii, caztri exceptate Criterii de existenfd a limitelor de funclii cu vecin[t[!i, cu limite laterale Asimptote 23r

63

""""""' :._:...:..:...:.:...:....... 63

65 68

7l 77 80 80 85 88 93

94 96 101

105

t07 110 115

t20 123

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL 9' STSTEME DE ECUATil LINIARE

urma

alizal

NOTIUNEA DE PERMUTARE

iNnnullrRnA PERMUrArulon

1010

fl liturii. utului

nicu liturii.

renli: )GAN

ilNU etare:

ro$u terta:

\$oL

Am vizut in clasa aX-a cd o permutarea unei multimi nevide A esteo funcfie bijectivd definit6 pe,4 cu valori in A, iar dacl mulfimea A are n elemente, atunci numtrrul permutlrile sale este z !. Vom folosi nofiunea de permutare pentru definirea, in capitolul ,,Determinan[i", a unei caracteristici numerice, numiti determinantul unei matrice. Pentru acest scop este suficient si considerim permutirile

mullimii 11,2, ..., nl, n e N*. Notim mulf;mea acestor permut[ri cu de

gradul n. De obicei, o permutare o € ,S,

(t

o:[o(t)

z

se

,S, qi o numim mulfimea

permutdrilor

noteazl printr-un tablou de tipul:

3

o(2) o(3)

n) "@)|

Prin aceasti scriere, compunereapermutlrilor (pe care o not[m multiplicativ) se face foarte ugor. Astfel, dac6 o,r e^9, iarq(i) =-1, fi atunci (o.r)(i): (otXr): o(r(i)): o(/): fr, deci

oA:

compunerea se face dupl

urm[toa?,,sche(':

2 i* ,)'I f , 2 ... i o,:( t o(2) j k o(n)/ [ (t(t) r(2) [o(l) (t 2 ... i ... n) :lr. \...

De exempru

,

dacd

k

o,r. r,,

n): ...

r(n))

...)

":[1 ? i

, 1) ,r

:(l :

'^ 1) , ,*"t

(t234\flz34\(t234\r:r or:l(a I 3 zJ[r _ll. 3 ^ 4 2) [+ 3 z -lqi t)'' (r 2 3 4)fl 2 3 4) (r z 3 4) "":[r 3 4 r)lo r 3 r):1, t 4 3)'

Datoriti notafiei multiplicative, aceasti operafie se numegte inmulyirea permut5rilor. Deoarece injectivitatea qi surjectivitatea sunt pdstrate prin compunere, rezulti c[ prin inmulfirea a doul elemente din ,S, obfinem un element din S,.

PROPRTETATTLrc iNnnULTrRrI PERM,UTANTT.ON

-
3 nu este cornutativi, deci, in general, or' *

s,

ln situalia particular[ in

t).

care, pentru permutirile

o,t

e

S,, avem or

EegI

7'o pentru

drr,

: to, vom spune cl cele dou6

Ltor

permut[ri comut[. 3) Proprietdlile inmullirii permutlrilor ne permit sd definim, pentru o permutare intregi ale lui o, astfel: [g'o'...'o, Pentru keN*

o e S,, puterile

l.-.----r-.. I kon

oo=j e , [(o-*;-',

Din aceast[ defrnilie reztiltdca or DacS

z\N

'3

' oP = ok*P qi (oo )o = o@

,

Y k,p e Z'

:d

o,t,g e S, avem echivalenfele:

oq r:9 qo 2 = o(4) 9i o (3) : 3 > 2 : o(4)' u, ,n ,*re. par de inversiuni se numescp ermutdri pare. iar cele

permutlrile "ur" impar de inversiuni se numesc permutdri impare. pentru

qi

€ ,S,, considerlm num6ru1 ralional e(o)

de propozili a ce rtrrneazd, se numeqte semnul permut6rii

: il g+=ID t 0, pentru orice e > 0. 1. Ardta{i c[ urm[toarele mulfimi sunt mirginite: a) D: [- 5; - 3] U (9; 10); b)D: {sinxlx e IR.}; c)D: {cosxlx e R}; d)D: {sinx+"orrlr e IR}; e)D:

{x2 +5x

l- f

(fgXr)

:

m.

f(x)g(r)

Ibn (q Fie

[Im

e IR, ar+ 0.

1a2,4, € IR, ar*0. Existd gi o excepfie, dat[ de urmltoarea:

unde

lo 2"

un&

n:2,ofunc{iepolinomialIde grad2

n:3,o

apb,

oo+

ao,or e iR, a, # 0. pentru

da

:Y"o*k,

unde co =

aobo

+ arbr-r+...+ aobr=

r=0

Z

i+i=k

68

o,b,

.

se face adun0nd (respectiv Cu alte cuvinte, suma (respectiv diferenfa) a doui firnc{ii polinomiale iar inmulfirea se face respectand regula *na6,nd),,termenii asemenea" (avand puteri egall ale variabilei x), dintr-o funcfie polinomiala cu fiecare de distributivitate fa[6 de adunare, aoiia inmritlind fiecare ,,termen" asemenea' termenii ;termen" din cealaltl funcfie polinomial[, dupS care,,reducem" obsemalie.Din cele de mai sus rezult[ c5 pentru orice fg e iR.[.r] avem:

l" Y

gra(f tg) grad(fS) :

< max(grad(fl, grad@)); grad(0 + grad(g).

Dac6 cel pufin una din func{iile polinomiale este nu16, se face conven{ia

ci

-oI

n, Y n e N,

respectiv-o*(-*):-oo, - @*n:-o,Vn

e N,inacestfelobservaliaprecedent[r[mdndndvalabili' daci 9i numai dac6 au Rezultatul caxe unneazd aruti- ci doul funclii polinomiale reale sunt egale relagi grad, iar coeficienfii termenilor asemenea sunt egali. Mai exact avem urm[toarea: + " ' *btx+bo' cu rboremi. Fie fg € Rk], [(x):a,x" +a,-rx'-t +"'+a{+ao' g(x)=b'x'+b'-'x-1+ a,,b, e

IR.,

i:ffi , j :w

,iar

a,*0,

b^+ 0. urm6toarele afirmafii sunt echivalente:

1o t: g; Y n:m;i ao:bo, ar:br,..., a,:b,. Demonstralie. 1o

=

zo. presupunem

t : g, adic[ f(x) : g(r), v x €

oo+afi+...+anxn =bo+brx+...+b-x', Vx e

p-re xo 1x1t

...t rp

scne

]R sau:

(l) (ao-b)+(ar-br)x+...+(ap-b)xo =0, Vx e IR, > pentruj rnde p : max(m,n) gi unde convenim cd a,: 0 pentru i n, b,: 0 t*clst

IR, ceea ce se

> m'

fiecare din aceste numere reale distincte doui cdte dou[. Scriind egalitatea (1) pentru

rnnere, obfinem ansamblul de egalit[1i:

- b) + (at - b,)xo + ... + (a p - b r)x{ b)+(ar-br)xr+ "'+(ao-b)xf ]t". -

x +ao

[

@o

I

=0

=0

Q)

t..................

g - bo) + (a, - br)x o + "'+ (a o - b)xoo = herpretiim (2) ca un sistem liniar omogen pdtratic cu I

f.(ro

Egise

necunoscutele

+ lleterminantul sistemului este de tip vandermonde de ordinulp

ao-bo, ar-b1'

"''

o, -bp

1:

rale, in

srad(0

t:W, de unde n: tn gi ao:bo, at:bt, .-., a,:b,. F = 1o. Evident[. tlbemalie. Rezultatul anterior aratd in fond unicitatea scrierii unei funclii frp)

bo:

0

: a,x'

+ an-rx"-t + "' +

afi

polinomiale sub forma

+ ao'

Dcfinifie

ft e IR[x] astfel inc6t t:gh.Scriemglf. (Se mai spune echivalent, ci f se divide cu g Sise scrie f I g)' cu suma gradelor, rcnrJtl cd llbcmayie. Dac[gl f li f + 0 folosind faptul cI gradul produsului este egal Dacd

Edk)

f,g e IR[x],

< srad(f).

spunem cd g divide

f

dacS exista

Definifie Fie

f e R[x]. Un numdr xo e IR pentru care

f(

xo

polinomial[ f. De exemplu, funcfia polinomiall de gradul intfli

)

:

0 se numeqte rdddcind (zerou) pentru funclia

f : IR. +

IR, f(x)

:

unic zerou real gi anume *, = -b , iar funcfia polinomial[ de gradul doi a

(a,b,c elR, c

* 0) pentru care discriminantul L,=b2-4ac20

ax

f

*

b (a, b e IR,

: iR -+ IR, t@)

are zerourile reale

a* :

0) areun

ax' + bx + c

,r=-#,

r Lt ,--r:--^--:-1: real[ ^x -oolo zla -^-^,,; reale, exemplu funcfia de gradul ^:Lx zerouri de avat -.. aibd s[ nu E posibil ca o funcfie polinomial[ --^1x

-n+JL *r--=#a.

al doilea in cazul A < 0. caracteizare a zerourilor unei func,tii polinomiale este datli de urm[torul rezultat important: Teoreml (Bdzout). Fie f e R.[x] qi xo e IR.. Urm6toarele afirma{ii sunt echivalente:

O

1" 2"

:

rddicinl pentru fl. (x - xr) | f (aalca tunclia g e IR.[-r], S@): x -xo divide tunc,tia f)' Demonstralie.Maiintai si observlm c[ pentru orice xo e IR avem: (1) (x -rn ) | (f(r) - f(r, )) inh-adev[r, daca (x) :d,xn +an-rx'-'+-..+afi+ao, atunci f( xo )

0

(adic[ xo

este

: a,(x" - x[) + a,-r(,'-' - x[-'') + "'+ a,(x - xo) 9i cum :1,n, inseamn[ c[ *o - *t= (r - ro) (ro-' + xo-' xo + .. + xx[-' + rf-' ), k (x -xo ) I (rt -rf ), k:G qi de aici concluzia datn de (1)' f(x)

-

f(xo )

lo +Zo.presupunem 1o adevirat5, adic[ f(xo):0.Folosind (1) oblinem (x -xo)l(r), adic[ afirma[ia2o

este adevdrat[.

-xo)|fu).Folosind (1) rezultii cdx -x, divide diferenta divizibilitate este imposibill din motive f(x) -(,f(x)-,f(ro)) , adic6 (x -xo ) | f(r. ). Dac[ f(xo ) * 0, ultima

Zo

>

lo. presupunem

de grade. Agadar f(xo )

2"

:

adevdratl, deci @

0, adicl 1o este adev[ratil.

f e IR[x] este o frrnc{ie polinomial[ de grad n > 1, findnd seama de teorema lui B6zout la inmulfire, deducem c[ f are cel mult n zerotxireale distincte.

Obsemalie.Dacl relafia gradelor

9i de

Comentariu metodic De obicei, func{iile polinomiale se studiazl in shflns[ leglturl cu polinoamele. Polinoamele sunt expresiile algebrice de forma a,X'+a,-rX'-t +.-.+arX+ao, unde ast o1 , ..., a, apartin uneia din mullimile Z, Q, R, C, iarXeste o ,pedeterminatl" 9i bineinleles, z este un num[r natural' Func{iile polinomiale sunt asociate unor astfel de polinoame, de exemplu in cazul polinomului a,X' + an_rX"-t +...+ atx +a0 cu coeficien{i reali, funcfia polinomiald reald care ii corespunde este

.f =

f : IR +

]R, {(x) = onx' + an-rx'-t + ...+ afi + ao. Teoria polinoamelor va fi studiati in clasa a XII-a intr-un context foarte general.

70

t-

R{

Funcfii ra{ionale O tuncfie lre

[ : D -+lR, datl prin formula (r)

:4!? Q@)

unde

4p

sunt tunclii polinomiale reale, Q + 0,

numegtelfznclie rafionald reald. Evident,

-

D

{x e re10(x) + 0}, adici domeniul de definilie al unei

func1ii rafionale reale este

frrrrat din toate numerele reale cu excep,tia zerourilor reale ale funcfiei polinomiale de la numitor. Evident, funcfiile polinomiale sunt cazuri particulare de funcfii rafionale, clci corespund situaliei &d funcfia polinomiai[ Q este constantii nenull (de grad zero). Altfel zis, dacd notlim cu IR.(.r) mullimea funcfiilor ra{ionale reale, avem incluziunea strictl

f[.r] c

IR(x).

Evident, suma, diferenla, produsul qi cdtul (raportul) a dou[ funcfii rafionale este, de fiecare datii, o

frncfie rafionall. Mai exact, dacl f,geJR(x) atunci t + S, t - g, fg e IR(r), iar cdnd g * 0 atunci / e R(r). o 6 Un caz particular interesant il constituie o funcfie rational[ dat5 prin raportul a doul funclii de gradul fotdi. Avem in acest sens urm6toarea:

Ilefini{ie Funcfiarafionald

Condifia A

V

*

x e m i {-4}). I c)'

acesteia

0,

*R\ f' :iR\ {-a} t c)

a,b,c,delR, a +0, c+0,iarL, {g}, cx+d lc)' f(x):**b.,unde

eliminl situalia cdnd funcfia ar fi constanti (mai precis, dacl A : 0, atunci {(*):!,

Este ugor de observat

c

ci

funcfia omograficl este bijectiv[, deci inversabili, inversa

fiind tot o tuncfie omograficl si anume f-r : IR\lg] "

lc)

*m't{-:}, .f' (*) = #*

De asemenea, cdnd e posibilI, compunerea a doui funcfii omografice este tot o funcfie omografici.

Daci tuncfiei omografice /,R\{-4}-mr{g} . f(x\-9*b t "t -^tl;l, J\x):ffi

lr:(o1).. , d) [,

/{r(R), constatiim cu ugurin!5 c[ aceleiagi funcfii ii putem asocia oricare matrice ],"A, ---t --r;;tlu ] r-' z\ ' '

-ft

g+4

poate fi amplificatd cu 1. * 0. fin0nd seama de aceastii observafie, funcfiei cx+cl iiputemasociamatriceainversl Alt,iarcompunerii t"gadoulfuncfiiomografice f qigii

€ R*, intruc0t fracfia inverse

o' --- -:.. matricea inversabilS ii asociem

putem asocia matricea produs ArAs, fapte ce se pot verifica ugor drept teme.

Func{ia putere Definifie Pentru z e N* fixat, func{ia f : iR -+ R., {(-r) Reamintim cdteva proprietiifi imediate.

lo

: r] se nrmeStefunclia

Cdnd n este impar funclia este strict crescltoare pe

f(-

x)

:-

f(r)

(este tuncfie impar[).

IR.

putere de erytonent natural n.

gi verificS egalitatea:

I

2"

Cdnd n este par funcfia este strict descrescdtoare pe (- oo, 0], respectiv strict cresc6toare pe [0, + oo) gi verific[ egalitatea f(- x) f(x) (este func{ie par6). Graficele in cele doui cazuri sunt reprezentate aldturat:.

:

t(x):

Definifie Pentru

negativ

f

(n

impar)

n e N* fixat, funclia f : IR*

-n.

Proprietiifile

se

9

t@):

R*, t@):

*-'

{

(npar)

se numegtelfznclia

citesc imediat pe grafrc, care este redat mai jos

putere de exponent intreg

in fiecare din cazurile n impaq

respectiv n par.

f(x): x-"

impar)

Funcfia radical Definifie Fie n> 2 un numlr natural. 1o Dacdnesteimpar,funcf;a f :lR.-+lR,

2"

Dacd n este par, funcfia

t@): x-' (n par)

(z impar)

fut ba

Defir

buu

f(x):(/i

r" mtmestefuncliaradicaldeordinimparn.

f : [0, oo) -+ [0, co), t@): l, respectiv 0 < a < l.

l,

f(x):1og,r (0< a l) Funcfiile trigonometrice directe gi inverse

Cele patru funclii trigonometrice directe sunt: sinus, cosinus, tangentii, cotangentd. Anumite restricfii ale acestor func$i sunt inversabile, iar funcliile trigonometrice inverse sunt respectiv: arcsinus, arccosinus,

arctangent[, arccotangentS. 73

Si le reamintim pe scurt. Definifie lo Funclia f : IR -+ [- 1, 1], f(.r) 2" Restricli" acesteia fiind

r,l-;,;1

:

sin x se numegtefunclia sinus.

- [- 1, 1J, f(x):

fa: [- 1, l] -l-;,;),

,'(.r):

arcsin

sinx

este

o tuncfie inversabilE (bijectiv[), inversa

x,ntmitifunc{ia

aresinus.

.

--l- nn1 l-i,i),

(Pentru simplitate, atiit frrncfia sinus definitil pe IR, cdt gi restricfia acesteia la intervalul fost notate cu aceeagi liter[ impar6

^"

fl.

Reamintimc[sin(-x):-sinx,VxeRgisin(x+2n):sinx,VxelR.adiclfuncfiasinuseste gi are perioada principall T:2n. De asemenea, avem arcsin(- x)

: - arcsin(x), V x e [- 1, l], adicl funcfia arcsinus este impar[. Mai

jos redlm graficul funcfiei sinus pe intervalul

f- n, nf, respectiv graficele

funcfiilor sinus restric]ionat5 la

al inversei sale, func(ia arcsinus, care sunt simetrice fap de prima bisectoare.

l-;,;)$i

restrit Ream

este n

f : [- n,7r] -+

[- l, l], f(r):

,,1-;,;)-r-

sinx

f-,:

t-1,

1l

-+

1, 11, r(x): sinx

l-;,;),

irnpqu

.f- (x):

arcsinx

Definifie

f : IR -+ [- l, l], f(x) : cos x se numegtefuncgia cosinus. 2" Restricfia f : [0, n] -+ [- 1, 1], f(r) : cos.r este o funcfie inversabil6 (bijectivl),

l"

fiind,

Funcfia

f-t: [-

1, 1]

-+ [0,

TE], .f' (r):

inversa acesteia

arccos x,mtmitdfuncgia arccosinus.

(Tot aga, pentru simplitate, func{ia cosinus definitii pe IR gi restricfia acesteia la intervalul [0, fost notate la fel).

Reamintimc[cos(-x):cos x,Y x e par6 gi are perioada principalE T:2nDe asemenea, avem arccos(-.r): fi

-

IR

r],

au

gicos(x*2n):cos x,Y x e IR.,adic6funcf;acosinuseste

arccos

x,Y x e

[- 1, 1].

Mai jos, redlm graficul funcfiei cosinus pe intervalul l- n, n], precum gi graficele fimcfiilor cosinus restricfionat5 la [0, r] gi al inversei sale, func1ia arccosinus, care sunt simetrice faf5 de prima bisectoare.

74

I

l'

f : [- n, n] -+ [-

uu

I

este

.

Mai

1, 1], f(x)

:

f : [0, n] -+ [-

cos.x

f-' ,l-

1, 1l

1, 1], f(x)

-+ [0, n],

:

cos.r arccos.r

f'(*):

Defini{ie 1o

Funclia f : m r{tzr.

t); k.z,}+

R, f(r)

: tg x se rutmeqtefunclia tansentd.

I

*h la

2.

'/-': R

Restric{i

,(-;,;)^t

iR, f(x)

:

tg x este o tunclie inversabilE, iar inversa sa este tunclia

,/\ -+,2]|, f' (x): arctg x,numitdfunclia \.22)'

--rl

(Pentru comoditate,

fu1tia tangentl defrniti pe domeniul s5u maxim de defini1ie, precum

* I* \ -],2'2)

restricfia sa la intervalul [

Reamintim

arctangentd' 9i

fost notate la fel).

cdtgx:H,ts(-x) =-tEx,tg(x+

Tc):tsx,Y

x.

mr{tz+rl;lo.4,adicdtunc{iatangentd

funcfiilor sinus gi cosinus, este o func{ie impar[, respectiv are perioada principalS T: NDe asemenea, s[ menfionim cI arctg(- r) : - arctg x, V x e R, adicS actangenta este funcfie

este raportul

impge.

Al[turat, reprezentlm grafic funclia tangentl pe intervalu, arctangentS, graficele lor

fiind simetrice fati

(-;,;)

tt

:

x

de prima bisectoare.

steia

t,(-;,;)

-R,

r(x)

:tsx;

/ _ _\

! l, -f' '/-' : R -+ I\ -+,2'2)'"

(x)

arctg

inversa acesteia, funcfia

Delinifie 1" Funcfia

f : IR \ {lar,l*eZ)-+

IR, f(x)

:

ctgx se numegtelfz nclia cotangentd.

f : (0, n) -+ IR, f(x) : ctg x este o funcfie inversabili, it), .f' (x): arcctg x,ruxritdfanclia arccotangentd.

2" Restricfia

/-':

IR.-+(0,

(Am notat cu aceeagi la intervalul (0, r)).

gi inversa acesteia este func,tia

liter[ func{ia cotangentii definitl pe domeniul ei maxim

de definilie gi restric{ia

Reamintimegalitiifilectgr:!osr,ctg(-x):-ctgx,ctg(.r*a):ctg x,Y x e IR\ {krlk.V,y,"*" sm.r aratii respectiv cE funcfia cotangent5 este raportul dintre funcfiile cosinus gi sinus, este funcfie impard gi are perioada principalI T: fi. De asemenea, reamintim egalitatea arcctg(-

x): x -

arcctgx, V x e

iR.

Mai jos, reprezentdm grafic funcfia cotangentd pe intervalul (0, n), precum 9i inversa acesteia" func(ia arccotangenti, graficele celor doui func1ii fiind simetrice fa\d de prima bisectoare.

f

: (0, m)

+ IR, f(x) :

ctgx;

.f-t

, IR

-+ (0, n),

f'(x):

*

(""

arcctgx

Comentariu metodic. Din motive de spafiu, in definiliile date funcfiilor: putere, radical, exponenfial[, logaritmic[, sinus, arcsinus, cosinus, arccosinus, tangenti, arctangenti, cotangenti, arccotangent[, am presupus cunoscute din clasele precedente semnificafiile numerelor reale x" , d; , a* , logox, sin r, arcsin x, cos ,, arcos x, t$ x, arctg x, ctg x, arcctg x. Aici am reamintit doar semnificafia num[rului log, x .

este o1

cste o1

qncifii

propse

Defini

1. Determinafi domeniul maxim de definilie al funcfiilor urmltoare: a)

+r+Jf .f(x)="f-f

c)

f(x)=!F'-*1,

trl

-r;

;

b)

f(x)=ur"rin$

d)

f(x)=log,(t-r').

'

I I i!o,

a) cre

.. L -7o a.rx.-4c

,-" xq'a)V 2. Se se arate cd funcfia f : R. -+ IR, -f(x) = x' +3x este injectiv[. b) S[ se afle valorile reale ale lui a pentru care funclia

r:.-{i}

f

: IR

{tl, rat=#

-+ ]R, ,f(r) = x'

+ar

este

injectiv[.

3.

Fie

4.

f . f. b) Demonsha[i cL f este inversabili 9i calculaf i ft . a)Considerlmofunc{ie f : IR +IR.avAndcaaxedesimetriedrepteledeecuaflix:-0gix:1.Arita{ic6

-+rR-

a) Calculali

periodicI. b) Dafi un exemplu de firnc{ie cu proprietatea de mai sus.

f

este

b)

dea

c)

,tu

strict t gir.

Obset

calcul giruri

$IRURI DE NUMERE REALE, $IRURI MONOTONE, $IRURT nnAncrNrrn mctia O succesiune de numere de forma at

[icfia , care gi are

, a2 2 ct3 t ...t

dn

, ...

este numitd

in mod obignuit

Sir de

numere

nale. De fapt, vorbind riguros, avem urmltoarea:

Defini{ie Orice func{ie definiti pe N* cu valori in

IR se numegte gir de

numere reale.

O astfel de funcfie asociaz[ fiecirui num[r natural n e N* un unic num[r real an e IR numit trmenul de rangn al girului savtetmenul general. $irul se poate scrie,desfEgurat" sub forma o1,eta3,...,o,t...,iar,,concentrat" sub forma (r,),.*. eau (a,),r,. Uneori funcfia ce definegte girul este definit6 pe N gi atunci girul incepe cu termenul de rang zeto, edic6 se scrie desfEgurat Cg1a1t o2t...7 an7..,; iar concentrat sub forma (o, ),.* sa, (r, ),,0 . in mod frecvent utilizlm pentru qiruri 9i notafii ca

(b,),,r, (",),rr, (*,\,.r, (y,),rr' (o, ),r, , (F, ),r,

Un mod ,,explicit" de a defini un gir esteprin tennenul sdu de rang n. De exemplu, girul (a, ),=, av6nd termenul general on = Ji se scrie desfdgurat: ,17,Jr,.6,...,

J;,...

.

Un mod,,implicit" de a defini un qir esteprintr-o relafie de recurenld. De exemplu, reamintim c[ un gir (o,),.r, definit prin relafia de recurenfl

$al6, )resu-

sin x,

ar+r:an* r,Y n e N* (r e IR) de o progresie aritmeticd; numIrul r se numegte ralia progresiei aritmetice. De asemenea gitul (o,),rr, definit prin relafia de recurenf[ an+t:a,. e,Y n e N* (4 e IR.) cste o progresie geometricd; numirul q se numeqte ralia progresiei geometrice. Un gir (o,),., cuproprietateacL a,= a,Y n e N*, unde a e IR este dat,

se numegtegir

constant.

Definifie Un qir de numere reale

(a,),,, se numegte:

t)

crescdtor (respectiv strict crescdtor) dacd d,1 a,*1 (respectiv a,< an*t), V n e N*;

b)

descrescdtor (respectiv strict descrescdtor) dacd

a,) a,*r

c)

(resPectiv on) on*t), V n e N*;

monoton (respectiv strict monoton) dacd este cresc[tor sau descrescitor (respectiv strict crescdtor sau

sict

descresc[tor).

Remarclm cd monotonia unui gir este, in definitiv, monotonia funcfiei numerice care definegte acel

s..

Obsemalie. Pentru a studia monotonia unui gir c6nd cunoagtem termenul siu general, procedlm astfel: ulculdm diferenla d,*t-a, Si o compardm cu zero (adic[ studiem semnul acestei diferen[e) sau, pentru

tli cd Einrri cu termeni pozitivi, calculdm raportul

!,t an

Si tl compardm cu unitatea.

77

ExEMPLE

SI studiem monotonia girurilor de termen general:

l.a,=n'-3n+1,neN*;

,.

u,

=T..

Rezolvare.l. Pentru qirul (a, ),r, calculim diferenfa on+t- a, gi avem:

an+t-an:((n*t)2 -Z(n+1)+1)-(n'-3n+l)=(r'-n-l)-(n2 inseamnd a,3d,*r,Y n e N*, adic[ girul (a,),r, este crescltor. 2. Pentru girul (b, ),r, , cu termeni pozitivi, calculdm raportul

b.,

2n+t n!

2

-3n+l)=2n-2>0, V n e N*, ceea

nel Mi,

Ibn * avem:

(l

-

bn (n+l)l 2' n+l descrescltor.

Defini{ie Un gir de numere reale (a,),,,

a) mdrginit superior dacd mullimea

se numegte:

termenilor

sli

este mdrginitd superior, adicd dacd existd

M e IR

incdt an< M,V n e N*;

b)

mdrginit inferior dacd mul{imea termenilor sii este mirginitd inferior, adici dacd exist6 incdt

z

e

IR

a,) m,Y n e N*;

c) mdrginit dac[ este mlrginit superior gi inferior, adicddaclexistAm,M e IR astfel incdtm3a,S M, V n e N*. Avem in mod evident urmltoarea observa{ie, care reprezintd totodatE o metodi de a stabili mlrginirea unui gir: Obsemalie.

$irul (a,),,,

este

lo^lSM,Vn

mlrginit daci gi numai dacd exist[ M>

eN*.

O

astfel inc6t

\

fiindcl 0 este un minorant pentru mu[imea termenilor

sii. Orice gir cu termeni negativi este mlrginit superior, 0 fiind un majorant pentru mu{imea termenilor s[i.

la, l=

lsinn

|

nn

o o

a)

1. Orice gir cu termeni pozitivi este mtrrginit inferior, $irul cu termenul general o,

a)

D(

ExEMPLE

2. 3.

De

=(-l)'"i,nn ,y n) l, este mlrginit, n

o I} i)

intrucat:

c)

3!31, v n e N*.

d

De asemenea, facem urmitoarea observafie simpl6, ce poate fi utilizat[ drept metodd: Observafie Orice gir descrescltor cu termeni pozitivi este m[rginit. 2o Orice qir cresc[tor cu termeni negativi este m[rginit.

l"

Demonstralie.

l"

Dacd

(o,),r, este descrescltor

cI girul este mlrginit. 2" Dacd (o,),r, este cresc[tor

gi are

Il

ce aratl

gi are termenii negativi, atunci arSan< 0, V n

e N*, deci qirul

este

mirginit.

al

XERCTTIU rezolvat

Seconsider[girul (a,),,, definitprin

a,:.6, o,*r:"[Q,y

monotonia gi mlrginirea acestui gir. 78

n e N*,undeo>0. Slse studieze

cI

.

a'S

,or.

Monotoaia. Observim

ci or- ,{i+ q , .6 :

at

, ceeace

ne conduce la ideea

cI qirul ar putea fi

Ne vom convinge de acest lucru, demonstrdnd prin inducfie inegalitatea p(n) : d,1a,*1, V n e N*.

[)p(1) ; ar< a, este o propozilie adevdrat[, dupl cum W)p(k): + p(k+ 1), V k e N*. Presupunem 4r I Q*r

hrt-adevlr

am

v[rut

arltim cd ao*r< ao*r.

gi

oo*r1,,[*;o..JiliJ:oo*r 9i demonstra{ia

Y z e N*, ceea ce inseamnl c[ girul

(r,\,r,

deja.

prin inducfie se incheie. Agadar lnlan+l,

este strict crescltor.

b) Mdrginirea. Folosind relafia de recurenfd gi monotonia deja stabilit4 avem pentru oice n >

4:

o + a,-r1a. * a,. adici a3-

(o,),r,

foseamn[ c[ qirul

este

o,-

cr

< 0. De aici rezulta

o,

r,.(,P,tfJ,

m[rginit.

E4crcifii prorye

l.

Demonstrafi cI urmltoarele

2n+

5

r,:L; n

b)

a,=n+l

d)

a,=#* ;

e)

an+B a,=Y,undecr,F,y,6)0,cr *0,y+09icr6-Fy*0;

Der.nonstrafi

a) an =(-l)'

d)

3.

sunt monotone:

u)

c) an=

'

n

cI girurile (o,),r,

;

n+5^

;

yn+o

lll " n+l n+2

j o,=!; n! L

;iruri (o,),.,

b) a,

2n

de mai jos nu sunt monotone:

=+,

a,=n'-zoon+10000;

c) a, -- sinff e)

;

(-l)'-' o,=t-!*!-+....+ "234n

.

Demonstra[i cI urmltoarele 9iruri sunt m[rginite:

a)

5nz ctn=h;

e)

a,=

..

1 I I o,=ml+m,+"'+f,F=;

b)

+n+l o,=L#; n2

c)

llll^11

o,=Jfr-n; d) a,=#, I

r) o,=

u+ ,"+"'+ n@+D; z+l+tl* zt *t+*.+ z\l; sinn sin2 I h) a,:,sinl+,z I I I +...+1;; g) a,=l!*r*t*...*;.; t)

4.

Demonstrafi cI girurile (o,)

a) dn=n3 -n; a)

d.=(:)'

b)

^r,

lnn ., a,=7"r,'

J)

de mai jos sunt nem6rginite:

a,=(-l)'.n;

c)

a,=r#-r;

d)

.e)' . .(:)'; r) o.=t*)*!*....:.

n -23 a "n=I*-*-+...+-' ''3'5""'2n-l'

22,

2:

ceea ce

COMPORTAREA VALORILOR UNEI FUNCTII CU GRAFIC CoNTINUU cANo ARGUMENTUL SE APROPIE DE O VALOARE O,TA Si consider[m funclia

de gradul

doi

f : IR. -+ IR, f(x) :

x2. Graficul acestei funclii ne este cunoscut din clasele precedente gi este reprezentat de o ,parabol6" avdnd vdrfill in originea axelor ( desenul al[turat). Curba-grafic este ,,continu[" adic[, intuitiv vorbind, nu prezintii nici o intrerupere sau altfel zis, poate fi ,,desenat5" |atd a ridica creionul de pe hdrtie. Se vedem ce se intdmpli cu valorile f(x) atunci cdnd valorile lui x se ,,apropie" de valoarea fixat6 0. Deoarece conceptul de gir ne este in parte familiar, s[ incerclm o ,,apropiere secvenfial6" citre 0 a lui x,

adici sd-i atribuim lui x valori din girul urmitor:

\=li xz=-l; ,1 1 *r,=-;t... *t=ri1 xq:-ii1 *t=itI *u =-rtI ...i xzn-t=;t Constatim cL

f(xr): (rr):;;...,

f(xr)- t(xr): l; t(xz,-r):

f(xr)

: t(xor:|,

t(xr,):1;.... n'

Urmdrindvalorileluixpeaxaabsciselor, iarcelealelui

valoare

Dennit

f(x) pe axa ordonateloq constat6m c[ atunci c6nd termenii girului (*,),rr, se ,,apropie" de 0, termenii girului (-f

(*,)),.,

se ,,apropie" de valoarea f(0)

:

ce deocamdatl exprimim la nivel intuitiv va

unui gir", ,,limit[

a

0. Asemenea ,,apropieri" ne vor interesa de acum incolo gi ceea

cipita treptat

o exprimare riguroas[ prin conceptele de ,,limit6 a

unei funcfii", ,,continuitate" a unei funcfii.

a)

este

b)

este

timitu).

unicita

LIMITA UNUI $IR CU VECINATAIT, $IRURI

Propoz

,CONVERGENTE, PROPRIETATI

Demon

Si incepem printr-un exemplu cumva asemdnitor celui de dinainte. Considerdm girul cu termenul general o,

=Qn

,V n e N*. Termenii acestui gir

se

reprezinti pe axarealdastfel:

distinc,

s[ fie c Cum r

Cum r

Dar att

ar

a3 as ... de o+ a2 Observdm ci pe misur[ ce rangul n al termenilor cregte, acegtia,,se apropie" din ce in ce mai mult de valoarea 0 (zero). Aceast6 ,,apropiere" are urm[toarea accepfiune: daci vom considera vecinitatea h : (- 2, 2) e'//(0), toli termenii girului incepind de la rangul I aparfin l.ui V; dacl vom considera vecin[tatea

/ t r\ V^ =l -a,a eT(O), tofi termenii pirului incepdnd de la rangul 2 apa{n hi Y2; dacl vom " \. 3'3)I

considera vecindtatea

nr=(-+,!r).frO>,tofi

termenii qirului incep6nd de la rangul 3 aparfin hti

V3

g.a.m.d.

profileaz[ ideea c[ oricum al alege o vecin[tate a originii (a lui zero), fie ea oricit de ,"rnic[", toli termenii girului incepdnd de la un anumit rang aparfin acestei vecinltili sau, echivalent spus, tofi termenii girului se glsesc in aceast[ vecin[tate, cu excep{ia unui num[r finit din ei. Se

urm[tc este

*

Teorel

echiva

1" [li Ln2" fli

Ln-

3. [li L"gdndit

intr-adevlr,dac6lulmovecindtatearbitrariVe^/\0\,existdun6>0astfelinc6t(-e,e)cVqidacd

1., oicen) ''r-'----------' nypttemscrie: n 11 t = n = lCUl max(n', n') avem a, e V'n V": A, contradic[ie. de 'EA

ra

Rezultatul ce rrmeazd este foarte important, prin aceea ci d[ o caracteizare pentru fiecare din urmdtoarele trei situafii posibile pentru un gir care are limit6: limita este finitd (girul este convergent), limita este * o, respectiv limita este - o.

Teoremi (de caracterizare ct e a limitelor de giruri). Fie (a,),,, un gir de numere reale. Atunci existd echivalenfele:

," lI$""= / eR] e [V e ] 0,1 n"e N* astfel inc6t V n) n,) la,- l. l< el. ," ll4o, - **] e [Ve ] 0,1n, e N* astfel inc6t V n) n"3 a,> a!. 3" llima," = -*l e [Ve ] 0,1n, e N* astfel incdt V n) n"] a,< - sf. fr+o --J

Facem precizarea g6ndit oricdt de mare.

c[ la 1o num6rul pozitiv e este gdndit oricdt de mic, iar la 2'gi 3" acest e este 81

Demonstralie.

1' (+)

Presupunem

IlX

o,:

1,, ceea ce inseamn[

cI orice vecin[tate a lui (, conline tofi

(l - e, l, + e) eV(l) confine tofi termenii launanumitrang, adicl f nu e N* astfelincdt Y n2nu+ ane (l - e,l. + t),deci L- e
0, vecinitatea

giruluiincep0ndde

l dn l,*e,sau-r 1ao l

!a,-l.l 0 astfel incdt (e, *f gV; conform ipotezei in care lucr[m, ] nu = nZ e N* astfel incdt Y n2ny+ an> e, adic[ ane (e, m], deci cu atit mai m1g1lt a,EJ. Textul subliniat arati clvecinltatea arbitrar aleas[ V ahri o confine toli termenii qirului de la rangul ny, caed ce arati tA

lg

an: *

l"D

aratd cd aceste numere nafurale depind de num[ru] pozitiv e, respectiv de vecin[tatea Y. De acum in colo vom intdlni des asemenea notafii qi

c[ notafiile n, Si ny:utllizate in teorema precedentd

nu le mai coment[m.

Subgiruri

, a2 , ..., a, t... este un $ir, numim sabgir al siu, orice gir de forma on,, dn,, ..., ant, . .. unde n11tx2t...;fik, ...este un gir strict crescitor de numere naturale; un astfel de subgir al girului (o,),-, s. Dacd a,

De exemplu, subgirul

o1

DacE

, a3, o5,...,

o2n-t,... care se noteazdpe scurtprin

termenilor de rang impar al girului (o,),rr; la fel, subgirul

a27 a4, a6,

..., ct2, ,

..

.

(ar,-,),r,

este

subgitul

cste (

prin

DacE

care se noteaz[ pe scurt

0
0, girul (*,),rrare limita o, adici r" : *. 0, girul

,,: l.

llg

Demonstralle. Procedlm in ordinea 2o,3o, lo. 2o Evident. 3o Fie e > 0 oarecare; ar6t5m c[ existd n" e N* astfel incit Y n)_

n"a

intr-adevir, ridic6nd in relalia (1) ambii membri la puterea pozitivd

n">

s.

(l)

r1 1, oblinem a

n

l- -Ll

,

";,

aga

cI putem

lua

n,:le" )+1. loFiee>0;arrtimcdexistr Lu6nd

ra"e

N* astfelinc0tv n)-

n"=ln'-010,inegalitatea(2)sescrieechivat.rt

pozitivd

1

se obtine

r r(:),,

asa

cdputem

tlua

n"=[(i)'].1.

felul urmltor: din teorema de caracte izare qt e renilthugor

!, )

{ 0 fixatl. Teoremi. Dacd lim a,= a e IR.9i

H(",

* b,)

=a

*

b=

I!*o,

lyb":

b e IR, atunci:

*!y12b, (limin sumei este egald cu surna limitelor).

Dernonstralie.Utilizilm teorema de caracterizare cu e. Fie e > 0 ales arbitrar. Deoarece nle Nastfelincdt: V n> n:+la,-al 0 gi, atunci pentru

, =(r,+) ,lui b se gisesc termenii sirului

^vecinrtatea (b.)"r, de la un rang incolo, deci exist[ noe N* astfel incdt: Y

t2 bb" -. b' -( 86

n>

no

* b,.(r,+) = ;.1 =

e>0oarecare.cum Y

n> n! + lb,-

b

l.

l:Xo,:o$i

t,. Ludnd

n":

1113

bn:b,exist5 n!,,nie N*astfelinc6tv n>

ni, n!)

max(no,

avem pentru oice

n:+la,-al0,unde on)0,Vn e N* $i

E"';:ab

}rg bn=b elR,atunci: =(lgr,)Hn(cdnd calculSm limita unei puteri, limita,,se distribuie'la

Fcriil.

I)anonstralie. Pentru a nu lungi expunerea, acceptim

1* ,,:0,

I)DacE

II) Dac[

atunci

l,1g

ftr[

baza Ei exponentul

demonstrafie, urmltorii doi ,B&gi" preliminari:

10': I :10JT".

I* y,: l, atunci li*ley":

0

: le(]I* /, ).

Rezulte imediat, folosind pasul I) un rezultat general gi anume:

ni

>0

: : ]rg 10" 10' l0,rl14 . .10"-') : l0'lg 10',-': lY . I : tY. fotr-adevlr: 1g 10":(10' kbaza pagilor I), II), III), lindnd seama de celelalte proprietlli ale limitei Itr) Dac[

I!* *,:

x, atunci

demonstrafia teoremei

incanil

Hrt;=1ip1grc(,ft)=6111g4re+ =16,r*(D,reo,l=rr,'*"(E?*'")= Consecin(i. Dacd

E*lq = *li = {M

Ir]:.

stabilite p6ni acum, putem face

general. Avem:

o": a )

0, unde

1g6(0+rga)=

lgus,

-

-1g*@b)

-ot.

a,) 0, y n e N*, iar fr e N, k > 2 este dat, atunci:

Qimita radicalului este egald cu radicalul timite).

Demonstralie. Aplic[m teorema precedent[, in rolul girului

(b,),.,lu6nd girul o, = l, v a e N*. 'k Menfionlm cI pentru & impar, consecinfa enunfati se menfine gi fErI condi{ia ca a gi pzitive.

Iboremi.Dacd lim

o,:a

$i

1113

bn:b,unde

$(tog,, b,)=log,b=logr*,,(lgD,)

a,)0, o, *1, b,>0,Vn

(cdnd calculSm limita unui logaritm, limita ,,se distribuie,, la buza

Eoremeiprecedente:

b

ui

l,g(rog,.

sd fre

e N*, a)0,a+0,b>O,atunci:

Si argumentul logaritmului). Demonstralie. Avem succesiv, findnd seama de propriet[lile logaritmilor qi de pasul

nr

a,

b,)=t-iry_'=r*'r!*"u o-*lEon ,--

lg%*lgo

=

--o :lEl =tos,b. O+lga

a

87

II) din

demonstrafia

OPERATII CU $IRURI CARE AU LIMITA OPERATII iN R, NEDETERMINARI Am vizut cd in clasa girurilor convergente, limita,,comut6" cu operaliile uzuale. Vom incerca acum s[ extindem acest comportament al limitei la clasa mai larg[ a tuturor girurilor care au limite. Pentru aceasta vom defini in mullimea m. 1in care se glsesc acum limitele girurilor), opera]ii care le extind pe cele din mullimea IR. (in care se glsesc limitele girurilor convergente). Vom vedea insd c[ anumite operafii nu pot fi definite in R (nu au sens). Defini{iile ,,noilor" o.pera}ii din R se fundamenteazd,peanumite -Este tez]u,ltate teoretice simple. Vom da un singur exemplu in acest sens, pentru a nu lungi expunerea. vorba de urm6toarea:

o,:

l,g b,: a, atunci I!X@,* b,): a. b) Daci *,: o $i I!* y,: o, atunci 1g (r, * y,): *. IIX

Propozifie. a) DacI

IIX

a e IR $i

Demonstralie.a)Fie e>0,e>-calesarbitrar.Deoarece

y I!*",=a,existi nje N* astfelinc6t: n2

ni

=la,-al< s+- t1a,-a1e> an> a-e.Deoare." lg bn:a,exist[ nie N*astfelincdt: Y n2 n! ) b,> 3e. Ludnd n,: max(n',, n!) avempentru orice n ) nu: a,* b,> a- e + 3e : 2e + a : E *(e * a) > e, ceea ce

inseamnd.i

lgg

(an*b,): o.

b) Deoarece

!l**,:I*y,:

Y n > n!

yn>

=

e.

oo,

pentru orice e > 0 existr

Atunci Y n ) nu: max(ni,

n!)

avem:

ni,nle N* astfel incdt: v n> n: + x,>

x,* !,>

2e gi aceasta arata cd,

Il3e,i

e gi

yn): *.

Din dorinla de a extinde la clasa girurilor care au limita proprietatea ,,limita sumei este egal6 cu suma limitelor", rezultatele din propozilia precedentI devin:

,) b)

1,g

lg

b,:Il5(an* b,) e a* @ : o, V a e iR. ,, * lr* y,:l*(x,* y,) o);

a,={;kltu.f -G),

o) a. =la

n3

1.3 3.5

-l

33

.

(2n-t)(2n+t)'

-l

(,-;), (n +l)3

-l "' (n+l)3+I 23 +l 33 +l 23

=

.

a,=J7+n+l-n'

d) o, =1tn

.t

-{7;. 3n2

Don=(+)^' h) a, = Ji+t

---l

i) o, =

-

' t...r

limitele girurilor urmEtoare:

- Jn+Jn Z)dr=-T, -

-

lll ' -!

i)a.=(,j)(,i)

.

Yl

t>t-n-l

+23 +33 +...+n3 n

1.2+2.3+...+n(n+l)

Sd se calculeze

n

--n------a-,

?,

n-

^ _(n+t)o 0 ",-@1Ff;,

3.

+(n+DJi

nJrr+t

"Ji

J71+4Jn\n+r =

o,. e)

b) an=

;

..

J) an=

+

Jii

-zJi

;

3'+4n +5' 3\4h\SNt;

t)a.="(F"*-E), n)

a,=42\3\+'

;

+6n

n'+n'+n+l'

q) a,=logr(

ns

+l)-logr(Sns

s) d, =ln(ln(z + t)) - h(lnn)

+l); ;

freN*, fixat.

LIMITA $IRURILOR MONOTONE, CRITERIUL DE coNvERGENIA ar, LUI wETERSTRASs Vom vedea cd orice gir monoton are limit6, respectiv orice gir monoton gi m[rginit este convergent (are limiti finit[). Agadar, monotonia este o condilie suficientd pentru existenfa iimiteiunui qir, in timf ce monotonia dublati de mlrginire este o condifie suficienti pentru convergenta unui gir. Mai intdi studiem cazul girurilor monotone gi nemirginite. Avem in acest sens urmltoarea: Ieoreml. Orice qir monoton gi nemlrginit are limit6, mai precis: a) Orice qir cresc6tor $i nemdrginit are limita + o; b) Orice gir descresc6tor qi nemdrginit are limita co.

Demonstralie. a) Presupunem

ci

-

girul (a,),,, este cresc[tor gi nemirginit, ceea ce inseamnl cd

este

nemlrginit superior. Fie e > 0 arbitrar. Cum (o,),r, este nemirginit superior, existl n" e N* astfel inc6t a,j e. Cum (o,),., este crescitor,rez:utltd" c[ pentru orice r 2 nE avem a,2on", deci cu at6t mai mult a,]_g. Texful zubliniat ardtd,cd

li3.r

o"= *

@.

b) Dacd (b,),r, este crescdtor gi nemirginit (inferior), atunci girul (-0,),>r este cresc[tor qi nem5rginit (zuperior). Conform cu punctul a) vom avea lim (- b,): oo deci -llg b": o, de unde lim bn: - @. Studiem acum cazul girurilor monotone gi mirginite. Avem in acest sens urmitorul important criteriu lui Weierstrass: Teoremtr (weierstrass). orice gir monoton qi mrrginit este convergent, mai precis: a) Orice qir crescdtor gi mdrginit este convergent c[tre marginea superioard a mullimii termenilor sdi. b) Orice gir descresc[tor gi mlrginit este convergent citre marginea inferioarl a mullimii termenilor sdi. Demonstralie. a)Fie (o,),r, un qir cresc[tor gi mlrginit. Si notim /: sup{ a, Conform teoremei de de convergen{i al

lreN*}.

aracteizare a m[rginirii superioare, !. veificdurmdtoarele doui conditii:

i){.>a,,VneN*; ii)V*0,J a," astfelincdt !. -ez- an,.

Atunci, pentru e > 0 arbitrar, {indnd seama de i) gi ii), precum gi de faptul

ci

girul este cresc6tor, deducem c6

existi n-e N* astfelincdtpentruoricen 2,r. avem: {,-t1a,"

,f;

liaritim cd

arru-+

temmi

2*

tmmi

0,Y n e N*, deci girul

(b,

),,,

este strict crescdtor.

mlrginit superior, de unde, inbaza teoremei Weierstrass, varcntlta cd girul

+).i* .i. r *L**. . r+:,.(i-i).(+-1). .(*-r=

intr-adev6r: b.= t

=2-1y. n)n'= ane U$i V n2n"= b,e V' Deoarece \*o,:rSi l* bo:b,exist[ n',n" e N* astfelincdtV Atunci, Y n>max(n', n'); a,e (ISi b,e Y,deci a,>0,, contradiclie cu ipoteza. Observagii

precedentil rezurlt},, in particular, negativi) are limit[ pozitivd (respectiv negativi).

1o Din propozilia

cI un gir convergent cu termenii pozitivi

2o Prin trecere la limiti inegalit{ile stricte pot deveni nestricte, de exemplu:

11

n

0, Vn e N*, dar

(respectiv

lig 1:

"*n

O.

Criteriul majorlrii. Fie (c,),.,, (b,),r, doul qiruri de numere reale, iar / un num5r real, astfel incdt:

lo la,Atunci,

(,

|


a,

V: (a,F\ .K0

cu

a, -+O).

an

an

-+a).

ogl

/ < B < l.

=/,exist[ nre N* astfelinc6t Y n> no+ -

n> ro= ?< ?eV,deci/ An

l,adicl

Cln

a.)o,*t,Y n2no.Aceastainseamndc6girul (o,),r, estestrictdescresc[tordelarangul

zo incolo.

Fiind un qir cu termeni pozitivi gi descresc6tor, este un gir m[rginit (fiindcl termenii at, az, ..., ano-., in numlr nu ,,afecteazd" mdrginirea). Conform teoremei lui Weierstrass, girul (o,),r., este convergent. SI not[m a

meil

fnit,

inaE

:Ho,e dicd

a:

IR..

Trecand la limit6

l,a sau (l

- l)a:

in egalitatea evident[

0. Cum

I - (, > 0, rezult[

I

b)SInot6m bn: ,Y n eN*.Avem 11n+@ ' a,'

0, adicl

b:":11^ on bn

"*

ar*l

mdonare

-

@

obrinem

\!X o":

]* o,.r:]* T'I*o,,

0.

(b,),,, verificl =l.l,prinurmaregirul {'

Rezult[.[ ]rg b,: O,deci lim an: @. menfiunea cI punctul b) nu exclude situalia l. : a

& lapunctul Facem

a:

o,*r:T'a,,

ipoteza

a).

0 astfel incdt (cr, *) continul aproape ca gi in canill) 9i il l[sdm drept tem6. trI) l.: - m. Analog cu II) gi in acest fel lema Stolz-Cesaro este complet demonstrat[.

il) l:

oo.

g

Z. Rafionamentul

Obsemafie. Mai simplu, lema Stolz-Cesaro se scrie:

-+ L satt ff a' lillo'+tb) in ipoteza (b,),r, strict cresc[tor gi nemdrginit, avem egalitatea: fim9L n+a $, ,-* br*t b, a) Dac[ (b,),., este strict monoton 9i nemirginit, atunci :

-+

ffU

(,

+

-

0) gi atunci refinem doar solufia pozitivi: ,:'* 2 ^ f

.Dar

(1), o

.

2.

Se considerd

(o,),r, definitprin: a, e [0, l], d,*r:-{+2an, V r e N*. S[

convergent gi s[ se determine limita acestuia. Sotulie.Avem an*r: t(a,), unde f : IR + IR, f(r)

:-x'

se arate cd

girul (a, ),,, este

+2x .indesenul

al[turat am reprezentat graficul acestei funcfii de gradul doi. Aceastl funclie este cresc6toare pe intervalul [0, 1] gi transform[ acest interval in el insugi, adic6 f([0, l]): [0, l]. Compar[m at cv a2. Avem: : az - dt: t(ar)- ar - a? + 2 ar - ar: - al + ot at (l - ar) > 0 (de altfel, se vede gi pe

grafic ce f(x) > x pentru x e [0,

l]. Rezult[

cd

atla*

: o,1a,*r, V n e N*. I) Propoziliap(l) este adevdratd, fiindci se reduce la arlar. tr) DacI presupunem ao3ao*r, de aici rentltd t@) < t(ro*), adic5- ao*r3ar*, qi demonstralia prin inducfie Demonstrdm prin induc,tie inegalitateap(n)

se incheie. 105

Inegalitatea stabilit[ aratil cd girul (a,

Deoarece

),,,

are f0, l] gi a,*,: t(a,),Y

este crescItor.

, e N* deducem

rapid (eventual prin inducfie) cd

a,e [0, I

si

V n e N*. Aceasta araticd girul (a,),,, este mirginit.

I :IlXa, e IR. Trecdnd la limitii formula de recuren{[, obfinem: l.: 12 + 2l sau 12 - l,:0, de unde l.:0 sat l,: l. Conform teoremei lui Weierstrass, girul (o,),r, este convergent gi fie

Ebines6observimcddac[ at:O,girul (a,),r, estegirulconstantnulgi,inacest caz,l,:0.Dac[

q>

girul (a;),-, este strict crescitor gi cum 1,2 ar) 0, vom avea l, : l.

a)

s-

ri s

Erercitii ?rorye

1.

Studiafi convergenfa qirurilor de mai jos. I

z) an,t=i,o,+l

,n21

. o,*r=rlo"* 1( Z\ n),

c)

2.

"t*

4.

n

2

I

-l;

$tiind

cA,

Fie 9iru1

f'*'

b)

(f,),r,

a,*z=ry,nz

definit pt'rn

fr=fz=l

l si ar = l, ar=Z;

>l

d)o*r="l2Tq,n

9i ar=3i

considerim girul lui Fibonaci calculeze 1i*

3.

gi a, =

in cazde convergenlL, aflalilimita:

qi at=Ji.

$i -f*r=.fn*rt_[, perrtru n >

l. sd

.

-f,

(L+Jr)'

= d,

*b,J, , cs ao t4 .

o,*r=y+,n2.1, an+s

Q, calculafi fim

ar>Lti 4= *,n) an+l

L b,

l.Sisearatec[giru] (b,),rresteoprogresie

geometric[ gi apoi si se calculeze lim an.

5.

Fie (4,),,, un gircuproprietateacd ar> 0 gi a,(l

-an*r)rl,n> 4

1.

S[se arate

cE qirul este convergent

qi sd se afle limita sa.

6.

Fie (a,),r, ,rgirdefinit pin

ar>0li un+l - --at+a2+"'+an ,n) n,

l.S[searatec6qirulesteconvergent

qi s[ se determine limita acestuia.

7. 8.

Slsecalculezelimitagiruluidefinitrecurentprin r, =1, xz=2 qi se dau girurile

(o,),,rsi (4L.,

astfel incdt

o*r=!iL

$i 4*r

xn+2=J--r*,,n21.

=ry

pentru n >

I gi ar>b, sL

se sfudieze convergenla celor doud giruri.

9.

Fie (a, ),,0 un gir definit prin

ao =

I gi a, = | +

oy

,_r1, Vz e

L2 )

a) SE se arate cd a,

=l+llogr(n+l)f,

Vn e N.

p G'E

riq

b) SI se calctleze fim9u. n--t6

N'.

n

105

Tnsrn DE EvALUARE Testul

I

Sd se calculeze:

4+;

b) lim (

a)' rim n+a JnqT

L

n)@

J"'+".r-n-t);

S[ se determine numerele reale a 9i D qtiind

3. Fie (x, ),r, se arate

*

"e ]rg

c) lim n+@

0arbitrar,"r,,

l,i* o,:

0 gi

lr*

in cazul funcfiei f punctul

n) n"+la"l
0: -l

S[ se calculeze:

") lg

X

_)

se

1I

tl x, _4

i)rim(ffi-F);

7.

Fie

I

8. Ar[t

s[ se calculeze limitele, folosind criteriul majorlrii a) lim x'sin1, r+U

(cr > 0 dat);

b) lim ,o.or1 , (cr > 0 dat); r-t0

X

X

I

c) lim x"arctg)-,(cr > 0 dat); x+U

") .,is

sau criteriul clegtelui:

d)

X

Y'

lg5

,(.t*)",

(a > o dat);

, ls ,[+]' e .rs,[+]'

h) lim 'r+cos'r. t+@

X

(Utilizarea limitelor remarcabile). Si se calculeze: tg 5x, a)' lim r+0 2X

d) lim

b) llm

l-c-osx

r+0 XSln,

g) rrq ,-i 4

;

e)- lim x+0

smx -cos.r ---;-; lL **--

I - cosx c) llm --;-r+0

X

sinr;tg': Xt

arcsin-r

h) liq - . r+o arctg I

;

f)

lim x+T

i)

.'./i*,s, -..[-,s, lir+0

slnmx

et'

k) x+o li^*"-oo ,a>oi x_a

eE2' -eE' m)\ i! llm---;-:; x+0 gswzx - esnx '

/*2r*-t\"

lg

,m,n

ez*; .

X

/) lim r+ll

lffi)

sinr

l- -!a

-

7t

,@>o);

e" -cos, n) Iim-;; ' -r-;i

o) lim -' -*'i6

O lg3tt*sinx)"'s';

,) lg3 (cosx),';

X,

;

a

O-f

6

P)

i

X'

4

-l x+o 6X ;

"'r) llm

3x+sin2x

r+0

ln(l+sin.r).

h(l+tgx)

'

I

I

+l' ++'\; s) lim (2'

'x+o\

5.

Si

5.

Calculafi:

3

se calculeze

a) lrm

x

;;

x+@ e'

);

I

0lu4(cosx+2sinx);'

I cosx. cos2x..... cosr{r lim , unde n e N* r_+0

b) r-t{ lim .r.e';

c) ttS

7. Fie f :lR -+(0;o)otuncfiecuproprietateacr

&

Aretati cddacd a'2* +b.3'

+c.5'=0

lir4

r+o

este dat.

x.lnx;

d)

ls,';

(rc1.+]=2.Demonstra{icd

f-

pentru oricex e

f(x))

lR.,

afunci a

- b - c- 0.

")

ls ,"".

lgf(rl:

r.

CRITERII DE EXISTENTA .q. LIMITELOR DE FUNCTTT CU yECrNArAlr, CU LIMITE LATERALE Vom stabili acum condifii necesare gi suficiente ca o funcfie

Teoremtr (de caracterizare echivalenfa:

f s[ aibn in punctul xo limita 1.. cv vecinlti$ a limitelor de funclii). Fie f : D -+ IR., xoe D'Si {. elR. Exi

VeT(l),lUeY(xo)astfelincdtV xeUlD,x*xo flim "r+r0 f(x):/]e[V

Demonstralie.,,1". Presupunem .U

1

I/o

e"/\l),

]q

*

f@)eV).

t:

t@) = !.. SE admitem prin absurd cE

lti .H

astfelinc6t V U eW(xo),1 x, e (l (1D, xr* xo cu [(x) eVo.

Vecinltatea U fiind oaxecare, s[ alegem un gir de vecinlt[{ dac6 xo e ]R,

U,:

(n,

qf

dacd

xr:

co,

respectiv

i

C}

(U,),rr, construit astfel:

U,: [- @, -

n)

dacd

oo.

U,:(*o-

\nn

1

, ro *-.1

Renot[m xu,=a,,

a,eun(1D, a,*xo gi t@,) ezo.Esteclarcr girul (/(a,)),=, ,, arelimital, Il3:-o,:xo,dar tofi termenii s[i sunt in afara vecin[t[1ii Voe1/(l). Pe de alti parte, din ipoteza lim f(x) : I qi faptul

E (o.

urmare

r+r0

l,* ,,:

xo, rezlttltd, l,:X

t@,)

:

/, contradictie.

Nd

,,€". Presupunem ci Y V e%(l),1 U eT/(xo) astfel incdt V x e (J fi D, x *xo + f(x) e V.Fie (a,),r, c D \ { x, } cu Iy ",:.tr, ; vom ardta cL l,yyl t@,) : l. Sd consider[m o vecindtate oarecare Y eZ/(l\. Conform presupunerii in care lucrdm, exist[ o U eT(xo) astfel inc6t V x e U n D, x * xo = f@) e V. Deoarece mo,:x,,3 no€ N* astfel inc0t V n )fl0 ) o,e U, adic6, a,e (J r'-l D gi de aici rezdf

tG,) e Z. Textul subliniataratd.e l,1g t(a,): t. Prin urmare, pentru orice gir

(o,),rreD \

{ xo

}

Ytr

.* lH on: xo, rezultd lim f(r, ) : / fi aceasta inseamn[ cl

lim f(x): /. x+xO

(o.

Sr

Vz Nol

finitqi/ e IR.(/frnit)Existl echivalenla: t,t5n (r) : /l0, 1 6" > 0 astfel inc6t V xeD, x* x* V- xo l< 6, +l f@) - {.1< e]. Teoremtr(decaracterizarecueqi6alimitelordefuncfii).Fie

Demonstralie. (=+). Presupunem

lq

f(r)

f :D-+1R., xoeD', xn

: /. Pentru e > 0. arbitrar, luim V eT/(l), V :

(1,-e, /+e) gi

folosind caracteizarea cu vecinlt[1i a limitei, existi U"eY(xo) astfel inc0t V x e(J,l D, x *xo ) f(x) e (l-e,1.+e). Cum U" estevecin[tatepentru xo,existl 6"10.rr(xo-6", ro*6") E(J,,decicuatiit

maimultVxe(xo-6",10+6")nD,x*x, >f(x) e(l-e,1.*e).Aceastasemaiscrie:VxeD,x*xs, V-xrl< 6" +lf(r)- ll.r.

@ozilia

din dreapta e adevdrati. 6,> 0 astfel inc6t V x e D, x

(e). Presupunem c[ V e > 0, f *xs, W - *ol < 6" + l(r) - ll. e.Vom ar[ta c[ este indeplinitl caracteizarea cu vecin5tlfi a limitei. Fie, intr-adevir, V e7/(l\ o vecrndtate arbitrard.

Atunci 3 e > 0, astfel incdt (1,-e,l.+e)gV. 120

Tcr

acu

lf

a

tu

tim

(e

2o Funclia I : rR + R,

:{{};,ffi

(r)

este continui intr-un punct .ro

;:#r*

e

lR.

dacs qi numai dacd

f(xo):g(ro). (xoI gXr)

hlulie.lo

Se gtie

ci pentru

oi,ce

Rezultd imediat, egalit[file de tunclii

a,b e IR avem max(a, 61 :a+b+)a-bl + u:max(f,rr:f s+)f - sl gi v:

Funcliilefgigfiindcontinue,rez:ultdcaf+g,t-g$ilf-gl *rnuL, r gi,

min(f

min(a, 61

:a+b-)a-bl

+ - sl ,rr- f s-lf 2

reniltlcdu

qi v sunt continue.

func{ia I este continu[ in punctul xo . Dac[, prin absurd, am avea f( x, )

c[

(o,),rreQ qi (4),rg

IR

.

suntdeasemeneafunc{iicontinue'Prin

J. exprim[ cu ajutorul unor funcfii continue, de unde

2o presupunem

,

* g( xo ), ludnd

\ Q, cu l*o,:xe, ]* b,:xo, ar tezulta |,lg.'(a,):11j* t@"): f(xo) qi xo,contradic{ie.Agadar

mrrb,):]rgs(4):g(xo),adicfllnuaravealimit6in Reciproc,s6presupunemc[ f(xo):g(xo).Fie (4,),,,g]Runqiroarecare*

f(xo):g(xo)' dn:xo.Dac[ (a,),.rare

]r13

finit de termeni iralionali, de la un rang incolo qirul (4, ),r, este qir de numere rafionale 9i deci 1*r(o,) : lTg t@): f( xo ) : t(x); analog, dacd (a,),,, are doar un num[r finit de termeni rafionali. DacL (a,\,,r are o infinitate de termeni rafionali gi o infinitate de termeni ira,tionali, notim cu (ai),r, li subgirul termenilor rafionali, respectiv subgirul termenilor ira{ionali din qirul (o,),rr' Atunci

doar un num6r

(oI),.,

\y,("',):lim t@',)= f(xo ):

li

Dar subqirurile (t(a',)),,,

(xo ) qi

(r(ol))

n,

\:*,(oD: limg(ai): ep;uizeaz[

s(.xo): (xo )'

qirul (t(o,)),rr, ceea ce inseamnl tA ]t* t(a,)

:

t(xo)'

Rezulti cd funcfia I este continu[ in xo .

tr4ercipii propue FieDcR.gi

xn e R.

xo, atunci t + g

FieDclRli

:D

S[searatecddacd f :D-+]R.estecontinulin xo

+

IR este

qi

g:D-+

IR

estediscontinulin

discontinu6in xo.

f, g:D-+lR.dou6funcfiicuproprietateacd

f+Sqi f -gsuntcontinue. Sdsearatec[ f qi

g sunt continue.

pentruofunclie f_(x)

[:D-+

IR,DcIR,definimfuncliile [*,t-:D-+IR.prin f+(-r)=max(f(x),0)9i

: min(f(x), 0), V x e D. 56 se arate cd f este continu[ dac6 gi numai dacl f* gi f- sunt continue'

e D. S[ se arate cd dacd f este discontinu[ in xo qi g este continul in xo cu g(xo ) * 0, atunci tg: D -+ iR este discontinul in ro ' Fie f : R. -+ R o func,tie cu proprietatea cI func{iile sin ./ gi cos '/ sunt continue. SE se arate cd f' Fie f, g : D -+

IR.

gi

xo

este continui.

a)

Si se

arate

c|tunclia f

: iR

-+ IR, f(x)

b) construili un exemplu de funcfie

=U*',;:

f :R +

ffi, e

R. continua

, este continui intr-un singur punct'

in exact douS puncte.

7. Fief :tR->tR.,{('-f l ' xeQ "-t-t,.relR.\Q a)

S[

se arate

b) S[ se arate

ci f este discontinulin c[ f o f este continuI.

orice punct.

c) Da[i exemplu de fi.rncfie continu[ g : IR. -+ IR astfel incdt g o

8.

Fie f : IR. -+

, ,(+): 9.

IR.

o func{ie continui cu proprietatea cL ar rt

"t(a),oricare

ae

IR ei

[(x):

f s[ fie continul. t(zx), oricare ar fr x e R. SI se arate

c6:

cryete

n e N;

Ihfini

b) f

este constantl. Fie f : IR.+lR.ofuncfiecontinuicuproprietateacd

")

f

(r+):

f(a), oricare arfrae

IR gi

f(r):

f(x'),oricare arfrx e

IR.

Sisearatec6:

valoar

n e N;

Ram,

b) f este constantii. 10. Fie

f

: IR

+R

otuncfiecontinu[cuproprietateuce

1(*+1): \ n)

f(r),oricare arfrxe R gin e N*. S[

arate cd:-

a) f(x +

b) f

q):

12. Fie

t@), oricare

n frx

e

IR 9i

q e Q;

+ IR funcfii continue

f : IR. -+ IR. o funcfie

cu proprietatea

cu proprietatea

c[ f(r) :

Teore

g(x), oricare ar fr x e Q. Aretafi cd

c[ f(x + y): f(x) + f(y), oricare

ar fr x,y e

f este continul in origine, atunci f este continu[ pe R. 13. Fie f : iR -+ R. o funclie cu proprietatea cd f(x + y): f(x) + f(y), oricare ar fr x,y e a) f(- r) : f(r), oricare ar fi x e IR;

]R..

t:

g.

SI se arate c[

multrr IR.

S[ se arate c[:

e)

Daci f

oricare ar fi

r

Dacl Pentn

t@):

*,

oricare ar fi

I 0, ar[tafic[func{iag:lno f areproprietateag(x +y):S(r)+ gO),V r,.y € IR 9i deducefictr

14. Fie

existii a > 0 cu t(x)

:a',

V.r e

t(x):*, Vx 17.

e

SA se determine

arati propr

Ie(

t(J),, Agadr

IR.

fm,

15.SAsedeterminetuncfiilecontinuef:lR-+Rcuf(0):09if(x)-r(;) :.r,oricarearfixelR. 16. Sese arate cddacd

i

Jun

e Q;

este continui, atunci exist[ a e ]R astfel incdt

intrea

(=)-l

: nt[), oricare ar fi n e N; , t(;) : ! Kr),oricare arn n e N*; :.rf(l),

If are Deno

b) f(r)

d) (x)

t(E)=

t mult fund

de urr

este constantii.

11. Fie f, g : lR

pentru

f : IR.-+lR.estecontinu[gi areproprietatea tQx)+ f(3r):

IR.

funcfiile continue

5x,Y

x e IR, atunci

il

(e).

a,b e

Notitu

Evidt

deoar

/:

[0,o) -+ IR cu proprietatea:

intre

t(z')= f (3"), vx e IR.

propr Darb,

Darb

PROPRIETATEA LUI DARBOUX, EXISTENTA SOLUTIILOR UNOR ECUATII, SEMNUL UNEI FUNCTII CONTINUE O proprietate remarcabil[ pe care o au funcfiile continue definite pe un interval, util[ in rezolvarea ecualii sau inecualii, este aga-numita proprietate a lui Darboux sau proprietate a valorilor intermediare. Dacd a, D, c sunt numere reale spunem cd c este tntre a Si b dacd c aparline intervalului inchis cu capetele a Si b.

&

Defini(ie Fie

1c

IR

un interval qi

f : 1+

IR o funcfie. Spunem cd

funcfia I are proprietatea lui Darboux dacd

],:

pentru oice a, b e I qi orice l" intre f(a) $i f(b), exist[ c intre a gi 6 astfel incdt f(c). Geometric, aceasta inseamni c[ orice valoare ,,intermediar6" ], intre f(a) qi f(b) de pe axa valoare a funcliei intr-un punct ,,intermediar" c intre a Si b, de pe axa OX.

ReamintimcIpentruofunclie

t@): { f(r) l, o muQimii

[:D-+

lR

giosubmullime

E:

este o

Ee D notlm

e E} 9i numim aceastl mullime imaginea prin funcyia

E; cdnd

OI

D mullimea f(D) se numegte simpluimaginea

f

funcyiei f. O caracteizare a funcliilor cu proprietatea lui Darboux este dati de urm[torul rezultat: Teoremi Fie f : 1-+ IR. o func{ie (1c IR. intewal). Exist6 echivalenfa: are proprietatea lui Darboux] 0, deci f >0pe (2,4). f(5):5 .49'3 '16arctg(-l)o

14.

S[ se arate c[ urmfltoarele funcfii nu au proprietatea lui Darboux:

a)f :R+rR,

c) f

f(.r):{l,ilR,q,

:R-+lR, f(x):

e) f : IR -+ IR, f(x)

3.

12. Fi(

x+l

:

f(.r):{,i,:

b)f :R+rR,

15. Fi,

i;3'

pr

(o.x 0, a * l) este derivabild,

(log,x)': f(r):;!.Scriem: ,' (o>0, a+1, x>0).inparticular, xlna xlna

I

([n-r)'=' (x>0). x

148

Demoru avdnd derivata

cdnda:eayem:

=lim

-

,+0 ,S

)emonstralie.Pentrufiecare xo>0avem:

r"g,f,.l) r"[r*1) t)0

t+$ tlna

t

Propozifie. Funclia sinus

f

:

Scriem (sinx)'=cosr (x e

l1.a

f'(xo):l,r$ f@o+tl-f(x):*log(xo+0-lo&xo0,1.,.1)

-li

t 4

xo \ha

-+ R, f(x) : sin x

iR.

este derivabild, avdnd derivata

f'

: IR -+ IR,

f'(r)

:

cos.r.

iR.).

Demonstralie.infrecarc xo e lR avem: f'(xnu') :t^ f r+o

(xo+t)- f (x) t

sin(xo +r)-sin'xo -rr* ',;o t

, Propozifie.Funcliacosinusf:lR.-+lR.,f(x):cosrestederivabilS,avAndderivataf':lR.-+lR,f(r):-sinx. Scriem:

(cosx)'=-sinx (x e R).

Demonstralie.infrecare xo e

..

=1g

IR

avem: f'(xn) v'

:1i^f,Gt-|t):J-&)--rrr, ,+0

y

cos(xo+r)-cosxo-

t+0

t

-2sin1,,,[*.i) , .i,f .( r) s,n[xo . -i,S ; -_|-l-:: ;)=-sinx,. ,

Propozi{ie. Func{ia tangenta

definilie

D,

avdnd derivata o

f : R \ {rrO t

*r:lf .Z}-R,

f' : D -)

lR,

sinl

,.

= rii-u

I

r+o I ggg(vo + /) cos

xo

cos'

definilie D,avdnd,derivata IR

+

tg2

r.

Scriern: (tg

x1'=J_ cos"

xo

)

:1i^ I@t!-2:J@)-:1i,, r+0

t

t+0

tg(ro + r)

t

-

tg xo

xn f

: R. \

{knlk e Z} -+ jR, f(x) :

f' : D -+lR. f'(r):-.+=

sln-x

Demonstralie.Pentru xoeDavem: r+o I sin(ro + r) sin

ctg x esre derivabild pe domeniul sdu de

-(l+ctg2x;. Scriem: (crgx)'=.+=-(l+ctg2x) sln"x

ctg(rr+l)-ctgxof'(xo):rr^"f(xo+t)-f(x)-r',+0 t+0 t t

ro

=

=l+tg2x

-

\ {kn ltt = 21. *sin/

x

1 ---------:- = r _r t-D g-.L^ --o '

Propozi{ie. Func{ia cotangentd

(x e D: -:

I f'G):-+: cos- x

: tg xeste derivabild pe domeniul sau de

-r\)

Demonstralie. Pentru xo e D avem: f'( .:

f(x)

-+-=-(1+ sin2 -rn

ctg2xo)

.

f : [-

Propozifie. Funcfia arcsinus

f' : (-

1, 1) -+ IR, f'(r)

l]

1,

:+, - x'

...ll

-+ lR, f(r)

:

arcsin

x

iar in punctele xo:

-

este derivabill pe

(-

1,

l)

avdnd deri

*

1 gi xo: 1 are derivata

co. Scr

I

(arcsin.r)'

(- I 0, a

* l)

(a>0, a+l) flogx;'=,lxlna sin x)' : cos'r COS

X)' =

-

(e')'=e' (ln.r)'=

I x

(0,

]R

:--\- =l+tg2x cos-

mr

-r

sln- x

=

-(l +

'.arctg

{rzr

.$|.2}

R\{ftnlt .Z1

ctg2x)

(arcsinx)'=# (arccosr)'=

*)

R

Sin X

ctgx)':-, li

oo)

R

I

tgx)'

-#

(-

1,

r)

(-

1,

l)

x)':#o

IR

,)': -#

IR

arcctg

r

care este adevdratd

151

pe

E4ercipii propse

l.

b) Funcl

Calculali derivata funcliei f in punctul din func{iile gi punctele specificate:

a)(x):i?o'o6ixo:li d) f(r): logrx i xo : logre ; e)

f(x):tsx;

i) (x):

b) f(x) e)

-r:ry;

arccos x

i

xo

:

xo

:

Uli ; xo

:

j) f(x):

arctg

!! 3' *; *o:

1

:-

fun'

c)

f(x): lff;

D

f(r):cosr ; xo:-!6'

t6;

f(x): sinx ; xo :

h) f(x):arcsin

-+ ,

exis

, ca valoare a func{iei derivate in acest punct, pentru xo

1

;

Deri ',

i;

*; ,o :

f;(0)= Teorem echivalr

1.

1' [f 2o

ar

[f es

LEGATURA CONTINUITATE _ DERIVABILITATE, DERIVATE LATERALE Ardtiim acum cI derivabilitatea este o proprietate ,,mai tare" decdt continuitatea, in sensul c[ o implic[ pe aceasta din urm6. Altfel spus, continuitatea este o condilie necesar[ pentru derivabilitate, nu insi gi suficienti. Teoremtr. O funcfie derivabil[ intr-un punct (respectiv pe o mullime) este continui in acel punct (respectiv pe acea mullime). Demonstralie. Este suficient

si stabilim proprietatea local,

adicd intr-un singur punct. SI presupunem

1.

a)

c) d)

cE

funcfia f : D -+ IR. este derivabilS in punctul xo e D gi si arlt6m cd ea este continu[ in acest punct. Este clar c[ xo este punct de acumulare pentru mul,timea D, iar din ipotezl

(x) qtim cI existi gi este finiti limita: t'(xr;: lim f @)- f rro X_Xo Arunci: limf(.r)

SA

e)

.

=fiIn(It!!x)-.(x-ro)*,f(ro)l: f,(xo).0 + f(xo): r+ro\ X-XO

cr

0

funcfia f este continu[ in punctul xo . Observafii. 1. Reciproca acestei teoreme este fals6, dupi cum arati urmitorul contraexemplu. Funclia modul f : IR J R, f(x) : lxl este continul in xo: 0, dar nu este derivabil[ in acest punct. intr-adevlr:

s)

r+Io

4#:S ; 'r$ r:

rsb

*o hd

urmltoarele funclii pe domeniile indicate:

- x'+1, x e IR ;

,".-

b)

f(r): 1*

-2x+sinx, x . m; ,y')' n e) f(x): e"+en +lnx+lnn, x e(0,co); ..fi't@): arctgx + arctg 2, x e IR ; g) f(x) : arcsin x * arccos x, x e (- 1, 1) ; h) (r) : arctg x * arcctgx, I e lR.

*€l'fft):

it,L }E

xo

U.

3x2

a) f(x)

: e'krx.Y,

b) (x)

:tgx-ctgx, x.

x e (0, co);

(ni)

",c\'f@): x'\nx, x e (0, oo) ; d) f(x) : (I+ xz)arctgx, x e IR. ;

/4"i@:

e'sin.r, x e lR ;

{firo:e'cosx,xeJR.;

f(r): e'sinrcosx, x e IR.; r- J; :--i;, hil f(x): ' t+Jx' x e (0, co);

g)

--#,

1, 1).

=l.G*tsg =#,vverR.

Revenind la variabilax, avem: (arctgx)'

SI

(arcsiny)'

este

f(x):t9xesteinversabillgiarederivata f'(x)=L+tdx carenuseanuleaz[pe

(r')'o)=Tdaj

1.

arcsiny

,

:

lnx, xe

:.***,

(0,

*

o)

;

e IR*

;

b) Ca

sinx-cosxI € ( zr 3rc). , r--rr--l U tU) sln-r+cos.r' ^ - (. 4' 4 )' /

i)

ii

pf(x):;i,xeiR.; x+)

ii

./'

S[

/n:i+,xeIR-{-r}; f(x):

!x!1, x e IR; x*2 ti", x e IR*.

m)

{-.ilIja)

:

+3x+l)'0,,

'*

f(x)

a) f(:

x2

t) t@)-

, \.

b) f(;

x

(x'?

4. R. = ;

(ro " yffti:: +r)'0, , . IR;

c) f(x)

xe

'l7l,

c) e'

lR ;

5. Dem

6. Dem 7. Sd st

;

f(x): sin2x2,

*H" f(, : i) f(x) :

j)

f(x)

:

k) (x)

x e IR;

demr

sin'2x, x e IR ;

tgx*lrg'r*1rr', , -. ln(ln x), x e (1,

:iffir,

*)

(-;,;)

t

;

xe(-*,-2)U(1,+o);

{If(x): (x+lX.r+2Xx+3), xe(-3, -2)u (- l, *); m) f(r): lnsinx+lncosx, xe (ol) n) f(x) : o) (x): p) f(x)

int xoele:

duse

xo este t

'

JuJ-*, x e (0, o); m(r+Jr'+t),, = R

-tnte|,,

=

(o,i)

;

'

q) f(x) : x e (- 1, 1); *^*, r) f(x) : log,(r + 1) , x e (1, +m) ;

g f(r) 0 f(r) :

c) f(: Utili, a) 1r

b)q

d)(x):{''\s,xelR; e) f(r) : sin2 x, x e IR ; 0 f(x) : sinx2, x e IR g)

se

xarcsin-x

Vl

-x'

+m.[-x'

, x e (- l, l)

f:

t,(+

;

'(*' +1), x e IR. a) FieDclR. qiu:D -+ (0, @), v: D -+ lR dou[ func(ii derivabile. exctsx

este derivabile

gi (z' )' = v .uu-t . tt' + u' .lnu .v'

lR -+

deci

S[searatecSfirncfia

a' : D-+

f'

IR.

inseaml .

b) Calculali derivatele funcliilor urm[toare:

Df(x):x',xe(0,o); ii) (x) :

3.

iii) f(x) : Si

x e (0, o); (1+ r)"o", x e (- l, m);

,r+sinx,

se studieze derivabilitatea urmdtoarelor (t

a)

f(x)- ]sin'

*.'

*'0

larctg'x,

b)

x)0-,,

f(x):

=

funclii:

R;

, xelR;

c) f(x) = Jrl -1, r € (- oo; - 1l U [], + m); Utilizend derivate, calcula{i sumele: a) I + 2x + 3x2 + ... + nx"-' ;

b) C)+2clx+3C)x2 +...+nCix'-t 9i Cj+ ZCj +3C)+...+nCi; c) e* +2e2'+3e3'+...+ne*,unde n e N*.

f : iR. -+ (0, *), t(x):2'+ 3'

5.

Demonstrafi cr funclia

6.

Demonstralic5funclia f : (0,o)+1R., f(,x):xllnxesteinversabiligicalculafi

7.

SlsearatecdexistEosingurifuncfief:lR,-+lR.astfelincdtf3(x)+f(x)-x,oicarearfixelR..56se demonstreze cd

f

este

derivabil[ qi cd

este

inversabil[ qi calculafi (-ft)'1zy qi (7-r)'1sy

.

(/-')'(r).

/'(x): -l+3f'(x'S' ^1L , oricare ar fi x e R.

INTERPRETAREA GEOMETRICA A DERIVATEI

uNEr FUNCTTT iNrn-UN PUNCT Dupd ce am stabilit procedeele de calcul al derivatelor, sd ne intoarcem acum la problema tangentei duse intr-un punct la graficul unei funclii. Aga cum am ardtat cI dac[ f : I -+ IR (l interval) este o funcfie gi

e I este un punct in care funclia f este derivabili, interpretarea geometricl a derivatei funcfei f in punctul xo este urmitoarea: Derivata f'(xo ) este panta tangentei duse la graficul funcliei f in punctul Msdepe grafrc,de abscis[ xo . Si se reamintim cd ecualia unei drepte ce trece printr-un punct Ms(-rr, /o) $i are panta m este | - !o: m(x - xo). Rezultd ci ecualia tangentei la graficul funcfiei f in punctul Mo(xo, f( x, )) al graficului este: y - "f (xr) = f'(x)(x - x) . (l) De exemplu, sI scriem ecuafia tangentei la graficul func{iei xo

f

: IR

-+ IR, f(r)

,,(+) a"ci

:

x'

inpunctul de abscisd

ca valoare a funcfie

f'( +):, +=.r;

inseamni

ci

tangenta in

f

in punctu

.r:+. I .r:*.

Calcullm derivata Avem t,@)

:

2*,

din punct de vedere geometric, aceasta

,,(+,i) ** cu semiaxa pozitivd OX un t6l

unghi de mdsuri

34Ecuafia tangentei im punctul Ms este: y -3 =n(--+')

o=*.

"ur"

este echivalentr

?

v=J3 x-

are ln

.

4

Si vedem ce se int6mpll in punctele in derivate laterale.

lnterpretarea geometricl a derivatelor laterale este urm[toarea: derivata la stdnga f! (xo) este panta unei semitangente la stdnga tn punctul Ms al gralicului, de abscisd xo;

derivata la dreapta "fJ (-r"o)

este

panta unei semitangente la dreapta

fn

punctul Ms al graficului, de abscisd xo-

finitii, ecuafia semitangentei corespunzltoare se obline din (l) punhnd laterall respectivl. derivata ) Daci o derivati lateral[ este infinitli, semidreapta corespunzdtoare are direcfia axei OY, deci ecuafia acestr DacS o derivatl laterall este

loc de f'( este.tr

xo

:.ro

ExER(

a) Se b) se

c)

gr SE

de

,

Solulit

Studiem hei cazuri gi anume: 1" Cel pufin una din derivatele laterale este finitd. 2" Cele dou[ derivate laterale sunt infinite gi egale. 3o Cele dou[ derivate laterale sunt infinite gi distincte.

f(x): Pe

in cazul lo, deoarece funclia f nu este derivabild in

f'(r)

semidrepte opuse)

gi

invest

f:(r). f(x): lx

Agada I

io

p*

- semi

- semi

f : IR -+lR, -f(*)=trli +o, deci xo este

n

punctt

au

punct de inJlexiune al graftcalui.

"4(0) = "f;(0) =

este

b) Pet

direcfia axei OY. in concluzie, existd in Mo o tangentd de direcfia axei OY, care ,,traverseazd" graficul; vorn vedea pulin mai tArziu cd, un astfel de punct .ro se numegte punct de intl*iune, iar punctul M se numegte

De exemplu, funcfia

=

Studie

cdnd derivatele laterale sunt infinite qi egale, cele

doui semitangente sunt in prelungire (sunt

\

Deoari

De exemplu, funcfia-modul prezinti in origine (xo:0) un punct unghiular (cele doul semitangente sunt chiar semidreptele ce alcituiesc graficul funcfiei modul gi sunt incluse in bisectoarele axelor).

in cazul 2",

IR.

xo,

inseamni fie c[ ambele derivate laterale sunt finite gi distincte, fie c[ o derivati laterall este finitd, iar cealaltl derivatl laterali este infiniti. Oricum, pantele celor doui semitangente sunt distincte gi atunci aceste semidrepte formeazd un unghi cu vffirl in punctul Mo de pe grafrc; se zice in acest caz cd xo este rnpunct unghiular iar Ms este un panct unghiular al graftcului. Asemenea puncte aratd ca in figura al6turat[.

derivate laterale

ut

este

care o funcfie nu este derivabild, dar este continud Si

are

in

origine

punct de inflexiune.

f(x):i6'

iop* - semi - semi

c) Fie

In

cazul 3o, c0nd derivatele laterale sunt infinite dar diferite, cele dou[ semitangente se suprapun (coincid) gi au direcfia axei OY; un astfel de punct .r0 se numeste punct de intoarcere, iar M6 se numeSte punct de intoarcere al graficului. Asemenea puncte aratl ca in figura allturatii.

Rezul 2

*o:

f'(

xo

De exemplu, tunclia are

f : IR + R, f(x)' :{-Y'1*:

[ {r,

in origine derivatele laterale I(0)

=

': dacb x)0

O

-oo $i f;(0) = +o, deci

ro:

0

este un punct de intoarcere.

EXF,RCITIU rezolvat

f : IR. -+ IR, f(x) :lxz -11. Se cere:

ConsiderSm funclia

a) b)

c)

S[ se studieze derivabilitatea func]iei {,precizdndu-se domeniul de derivabilitate. S[ se arate c[ punctele xo: - 1 gi xo: 1 sunt puncte unghiulare gi s[ se scrie ecualiile semitangentelor la grafic in punctele de pe grafic corespunzitoare. SI se determine punctele graficului in care tangenta la grafic este paralel6 cu una din bisectoarele axelor

de coordonate. Solulie. a) ExplicitAnd modulul, avem:

r, \

I

I(r):tl

*' -1, dacd x e (-oo, - l] u [, co) -x2, dacd xe(-l,l)

Pe IR. \

{- 1, 1} func{ia f este derivabilS 9i avem: t,, \ l2x, dace xe(-oo,-l)u(l,oo) t tx):[-2x, dacd x e

(-l,l)

!...rn-!r{sF5Bs6,,rr{',

*l'

ro: -l

gi xo: l. Deoarece funcfia are definifii distincte de o parte gi de alta a fiecIruia din aceste puncte, este natural investiglm derivabilitatea cu ajutorul derivatelor laterale. Avem: Studiem acum derivabilitatea in punctele

f:(-t)=

.rEq*f

f:(t)=l,xryf Agadar, in punctele

= ly,(* -1) = -2 ; f;(-r)= =-1,8(1

xo:

-l

estemullimeaE: IR.\ {-1, b) Pentru

+x)=-2.

$i xo:

I

]s(#

=

f;(t)=1,s9:f

sd

rg(r - r) = 2 ;

=lg(,+ t)=2.

func{ia nu este derivabilI, deci domeniul de derivabilitate al funcliei

l}.

ci in fiecare din punctele ro:

-l

qi xo: I avem derivatele finite gi distincte, inseamn[ cI

aceste

puncte sunt unghiulare. semitangentele au urmltoarele ecua{ii: in punctul xo:

-l

- f (-l) = f!(-l)(x + 1) e y - 0 = -2(x + 1) e y = -2x - 2 : y - f (-l) = fj(-l)(x + 1) 4.Deasemenea,observlm"e (u-')(*) =(-l)ke-*,egalitatecesepoate

stabili rapid prin induc{ie.

unde

Formula lui Leibniz se scrie: .f(')

(r) = (e-, . ,, )t" =

:Cl("-')(")'x3 +C)(e-')('-t\.(r')'+... +C:t("-')' .(rr;{'-rr +Cie-*.(rr)t". Studiem separat cazurile Pentru n Pentru

:

n: l, n:2, fl:3, n) 4.

I avem: -f'(x)

n:2

= Cl Ge-').x3 + Cle-' .3x2 = e-,

(-f

+3xr)

fr

funcliei

(x -xo ) .

avem:

cle-' . x3 + c)(e-' ). 3x2 + cle-' . 6x = e-' (r' - 6*, + 6i . Pentrun:3 avem: -f"(x)=Q,G"-').i +C!e-,.3x2 +Crr(-e-,).Ax+Cle-,.6=e-"(-x, +9xr_lgx+6). .f ' (x) =

) 4, formula lui Leibniz devine: .f(')(*)=c'(-l)'e-'.x'+c)1-11*te-'.3x2 +cr,1-t1*2e-".6x+cl(-l),-,e-,.6= : r-' (1-11' *3 + (-l)'-t3nx2 + (-l)'-23n(n -l)x + (-l),-3 n(n -l)(n -\) .

printr-o Defini$

in fine pentru z

166

multipl, (x -xo

)

g4ercitii prorye SI se calculeze derivatele de ordin n ale funcflilor: a) f(x) : x2, .tr € iR.;

f(r): sin.tr, r e R; c)f(x):e2',xelR;

b)

d) f(x)

:

cos

2x, -r e iR.;

I e)f(x):,{,xeIR-{l};

f) f(x) = e) f(r)

:

I

--, x'-l

x e IR.- {- 1, l};

;i,

xe

IR

- {- 1, l};

h) f(x) : ln(x2 -1), r e (1, co); i) f(x) = xllax, .r e (0, o);

j) f(x):J;,xe(o,o); k)

(x):x''e'*,xelR.

S[ se arate c5 funcfiile urm[toare sunt de doul ori derivabile in origine: a) f : R -+tR, f(x)

:

r(0. "' x>o' lx',

b)f :R-+R., f(x)-{sinx, r(-o I x , x>o

{.

cI funcfia f : (1, o) -+ R, f(x) : (,r + Jf 1x2 -t)f'1x) + xf'(x) - n'.f (x)= 0, v x > l.

3.

Si

4.

Sd se demonstreze cd nu

-l)'

se arate

o

este de

doui ori derivabill 9i satisface relalia

exist[ func1ii polinomiale f cu proprietatea cd f(x)

:

ln x pentru orice

x e (0, l).

APLTCATTE: nAOACTNT MULTTPLE ALE

ECUATIILOR POLINOMIALE (extindere) Prin ecuafie polinomiald (ecuagie algebricd) in{elegem orice ecuafie de forma

f(x):

o

unde f este o func,tie polinomialI (real[) de grad > 1. Agdsi soluliile (rldicinile) reale ale unei astfel de ecualii este echivalent cu aaflazerouile reale ale funcfiei polinomiale f. Am vdzut (teorema lui B6zout) ci dacl x, e IR este un zerou al funcfiei polinomiale f, atunci

(x-xr)l

fsireciproc.

Este posibil ca,

in situafia in

care

xo este rldlcin6 pentru f, funcf;a polinomiall

f si se dividl

printr-o putere naturall a lui x -xo . Avem in acest caztnmdtoarea:

Definifie Fie multipld

f e IR[x] o funclie polinomial5 gi r, e IR. un zerou al acesteia. Spunem ci xo este rdddcind de ordin k (k et\*) pentrufanclia fdacl (.r -*)k I f si f este maxim cu aceastaproprietate, adic6

(r -xo )o*' n, divide f.

C6'nd cdnd,

k:3

k:

1 mai spunem

spunem

cI

c[ xo este rdddcind simpld,

xo este rddcicind tripld

Si aga

cdnd

k:

2 spunem

c[

xo este rdddcind

mai departe.

De exemplu, ecuafia algebricd de gradul doi m2+bx+c=O (a,b,c

Teoremii ecualia

e

a + 0) in ( /'\2 L,=b2-4ac=0,areridrcinarealldubli *^:-!,deoareceinacest cazac'+bx+, ax' + bx + c = a[x + --- acest caz u 2a ,, ) IR,

Obsetvalie. Din motive de grade reniltd imediat cd ordinul de multiplicitate al unei r6ddcini este cel egal cu gradul funcfiei polinomiale. O caructeizare frumoasd a rid[cinilor multiple ale unei funcfii polinomiale se obline cu aj derivatelor de ordin superior ale funcfiei polinomiale respective. Avem nevoie in prealabil de urmitorul rezultat auxiliar. Lemi.Fie f e IR[x], f *0, xoe IR.or6d6cindpentrufunclia [,iark e N,&>2.

f,

multiplic

I

Demonst,

ordinul

c

gradn ot pentrup.

I

Urmdtoarele afirmafii sunt echivalente: 1o xo este rdd[cin5 multiplE de ordin /rpentru funcfia f. 2o xo este rlddcin[ multipli de ordin fr I pentru funclia

Demonstralie. lo

f(x) :

>

-

2o. Presupunem

derivati f,. xo este ridEcin[ de ordin & pentru funclia f. Aceasta inseamna ci g(xo) * 0 (nu se poate ca g(xr) : 0, c6ci din teorema lui B6zout r

ci

(x -xo)og(x), unde g e IR[.r] li insemna cL (x - xo) lg gi atunci (r-ro)**' I f, absurd). Derivdnd, obfinem: f'(x): k(x-x)k-t g(x)+(x-xo)o g'(*)= 1x-xo)k-'l*s@)+(x-xo)g'(r)]= (x-x)k-tu(x), unde am notat u(x):kg(x)+(x-xo)g'(x),a e IR.[x]. Daru(xo):kd.xo)*0,ceea cearatd"ci xo ester6d6cinddeordinul

- 1 pentru funcfia f'. 2 > lo . Presupunem c[ xo este r[d6cin[ de ordinul f - I pentru funcfia ['. Fie p ordinul de multiplicitate al

i

funcfia g

,,., k,.|

,

(

f (x)=L aici scrie

&

r[ddcinii ro pentru funclia polinomialI f (atenfie, gtim din ipotezd cI xo este r[dlcind pentru funclia fl. Conform cu implicafia lo + 2",deja probatl, reztlti c[ xo este rlddcind de ordin p | pentru funcf,a -

derivatii f'.Agadarp -l:k-l,decip:k,ceeacearutdci ro ester6ddcinideordinul/rpentrufuncfia f. Rezultatul important de care vorbeam este dat de urmitoarea: Teoremtr. Fie f e lR[r], f * 0, xoe lR gi fr e N, k22.tJtmdtoarele afirmafii sunt echivalente:

lo xo este r[dlcind multipl[

de ordin kpentru funclia f.

2 t(xo): f'(xo): f"(xo):...=

1tr-l)(xo):0Si f(r)(xo)*0. Demonstralie. lo + 2o. Presupunem ci ro este r[dicin[ de ordin & pentru Aplicdnd in mod repetat lema, f. teztitd,c[xo esterldicinddeordint-lpentruf',deordink-2pentrut,,...,deordinlpentru1(t-r).

1. Arlt simp

2.

Afla dubl

3.

SI

1.

Sds

sr

t"(xo):...: 1tt-t)(xr):0li f(e)(xo)+0. 2" + l". Presupunem cd" f( xo) : f'( xo ) : f"( xo ) :...: 1tr- r)1 xo : 0 ) li f (r\ ro ) * 0. Din 7tr-tl(xo): 0 gi 7r*r G) * 0, rezulti. conform lemei c[ xo este ridlcind de ordin I pentru 7{r-r). Agadar

f(xo):

f'(xo) =

I pentru l!'(k-t) , tot in baza lemei rezultd cd xo este r6d[cinl de ordin 2 pentru f{rt-z) . Continu6nd rafionamentul, din aproape in aproape, ajungem in final la concluzia cd xo este rdddcind de ordin ft pentru f. Incheiem aceste considerafiuni despre r[dlcinile multiple cu un rezultat care aratd" cd func{iile de gradul intdi de forma x - xo joacd, un rol similar aceluia jucat de factorii primi in descompunerea numerelor intregi. Deoarece xo este r[d6cin6 de ordin

defir

2.

Sd

sr

3.

Fie

1

v, d2 168

Teoreml.Fie f : R -+ R, f(x):a,x" +a,-rxn-t +...+6lrr+a0, unde a,e R, i:0,n, a,+Q. Presupunem cd ecualia (x):0 are numai r[d6cini reale, fie acestea xt, x2, ..., xp (x,+ x, pentru i* j) avdnd ordinele de multiplicitate

k, kr,...,

ko respectiv.Atunciexistdurmltoareadescompunereinfactoriliniariafuncliei f:

: a,(x- r,)& (x -

xr)o''...' (x - * o)r', crt kr+ k2+ ... * k r: n. Demonstralie. Proceddm prin induclie dup[p. Pentrup : I ecualia f(x) : 0 are doar ridicina real6 x, avAnd ordinul de multiplicitate maxim kr=n, deci f(x)=?"(x-nt''. Daci identificdm coeficienfii termenilor de f(x)

oblinem ?"=a,, deci f(x):a,(x-\)& . Presupunem proprietatea adevirat[ pentrup pentrup. Funclia f avdnd r[dicina x, de ordin ko, avem scrierea: grad n

f (x)

= 1x -

x)0, B@)

-

1 gi o demonstrdm

(1)

-+ IR este o funclie polinomiald care nu are rdddcina xo . intrucdt ecualia f(x) : 0 are numai rSddcini reale, rezult6 acelaqi lucru despre ecualia S@) :0, deci funclia g are drept rldlcini celelalte ridicini xt ) x2 t ..., xp-t ale lui f, cu ordinele de multiplicitate k1, kr unde

g

: IR

..., kra

resPectiv.

ZI

ul

g(x)=1.(r-x,)t'(*-*r)o'

-*r-r)oo-' 9i din (1) rezultS atunci .f(x):I(r-r,)& (*-*r)h.....1x-xo)ko. IdentificAnd coeficienfii termenilor de grad n renltd L=a, $i de Conform ipotezei de induclie

'...'(-x

aici scrierea din enun!:

f (x)=a,(x-x,)o'(, -xr)o' '...'(x -*o)oo ,cv krakr+ ...*kr:n. al 1.

trXsrcilii ?rop$e

ia

1.

Ar[tali cd r[ddcinile ecuafiei algebrice

a € IR, n e N sunt l**,,o *(*:-d-*...*(r-?)'=0, nt Mt

simple.

Aflali a,b,c e

R. gtiind

ci ecualiile algebrice xo+ffi'+bx+2=0 $i x'-3x*c=0

au o rdddcindreald

dubl6 comun[.

3.

Si

se determine a,b,c

e

IR qtiind

ci

ecualia algebric[ xt

-3/

+2x3

+d

+bx*c=O

are

ridlcina triplE 1.

Tnsrn DE EvALUARE Testul

1.

1

i-------------

G

S5 se studieze deivabilitatea funcliei f(x) = t/x+4Jx-4+tlx-4Jx-4 pe domeniul maxim de defrnilie. Sd se arate c[ func]ia { : IR. -+ IR, f(x) : e" .sinx verificdrela[ia t"@)

-

4f'(x) + 5 f(x)

:

0, oricare ar

fi r

e

IR.

Fieg:R.-+lR.ofuncliederivabiligif:lR.-+R.,f(x):[r] Z dacd qi numai dacd g(xn) : g(rn ) : 0. 169

.g(x).SAsearatecEfestederivabillinxoe

Testul 2

2o Pun

!o'

Indicali rlspunsul corect.

1.

Funclia f : tR + IR, f(x)

a)0; 2.

b)

{Or:^7,,50

1; c)2; d)- 1;

este derivabil[ dacn a este:

valoare

e)-2.

Punctul in care tangenta la graficul funcfiei dreapta de ecuafie a) (0;

3.

:

grq

1);

Fie f : IR. -+ IR,

r :y

intr-un

f : (- l, + o) -+ IR, f(x) :

punctul

*

este perpendiculard pe

maxim

este:

b) (0;

0);

{x):

arctgx. Atunci /(2m6)(0) este:

c)

(r;

r);

al (z;]);

a)0; b)2006; c)-2006; d)2006 !;

e)

e)

(-

2;

- 5).

derivat

Teorel

Dac[

l.

-r

Demon

Deci e ideile,

PUNCTE DE EXTREM, TEOREMA LUI FERMAT

f'(

in clasa a IX-a cdnd am studiat frrncfia de gradul doi, am vdzut cdgraficul acesteia are un punct de extrem (v6rful parabolei). Funcfia f : IR. + IR, f(r) :l

x'

-l

|

,

care

extrem: dou[ minime corespunzitoare absciselor r0

Funclia

a

apdrut intr-un exerciliu rezolvat, are

- - l, ro:

trei puncte

1 gi un maxim corespunz[tor abscisei

f : [0, 2] -+ IR, f(x) : x are un minim corespunz[tor abscisei ro:

de

xo

)

deoare

f'(xo )

ro:0.

0 gi un maxim

deoare

Din

corespunzitor abscisei xo: 2.Graficele acestor fun4ii sunt redate mai jos:

(l

i

Interpt extren (deriv:

i

Obsen

nl

suficie

este pt

2. Teot

func1it

dar

f(

Teoret

"f(x)=ax2 +bx+c

.f(x)=lr'-tl

f (x)= x, x ef0,2l

proprir (Pe sct

SE

definim riguros conceptele de minim, maxim, extrem.

Delinifie Fie f : D -+ IR gi xo e D. Spunem c[: 1o Functul x, este w panct de moxim (respectivp unct de minim) al funcliei f daca existl o vecindtate V eT(xo) astfel incdt f(x) < (respectiv >) f(xo), v x c D n z; corespunzdtor, yo: f(xo) se nume$te moxim (respectiv minim) alfuncliei, iar punctul M(xo, f(r, )) se numeqtep unct de moxim al graJicului (respectivp unct de minim at graftcatui).

Demot

ideile,

g(x) = (s fiin margx

2" Punctul xo este tL punct de extrem al func\iei f dac[ este punct de maxim sau de minim; corespunzStor, !o: t(xo) se numegte ertrem al funcliei, iar punctul M(xo, f(xo)) se numegte punct de extrem al graftcului. Din punct de vedere intuitiv, aceast[ definifie se traduce prin aceea cd intr-un punct de maxim valoarea funcfiei este cea mai mare dinhe toate valorile acesteia intr-o anumit[ vecindtate a acelui punct, iar intr-un punct de minim valoarea funcfiei este cea mai mic6 dintre toate valorile acesteia intr-o vecindtate a punctului respectiv. Agadar, aceste maxime sau minime sunt,,relative" la,,vecindtate", de aceea se mai numesc uneori moxitne sau minime sav extreme relative (locale). O condilie necesarl ca un punct interior unui interval sI fie un punct de extrem pentru o funclie derivabilI este datl de urmltorul rezultat important: Teorema lui Fermat. Fie f : 1+ IR (1 interval) o funcfie derivabild in punctul xo, interior intervalului 1.

funcfiei f, atunci f'( xo ) : 0. Demonstralie. Punctul xo fiind interior intervalului /, este punct de acumulare atdtla st6nga cdt 9i la dreapta. Deci existi ambele derivate laterale ale funcliei f in xo qi ele sunt egale cu derivata lui f in xo ' Fixdnd ideile, si zicem cI xo este punct de maxim (analog, proced6ndu-se in cazul unui punct de minim). Avem:

DacI xo

este punct de extrem al

(l)

wro, ,.roo x -

f'(xo):f!(xo):]g deoarece x

-

xa10 gi f(x)

f'(ro):fJGr):l$ r)xo

deoarece

xo

-

f(x, ) < 0 pe o vecin6tate a lui

xo. Analog:

ff=,,

(2)

x-xo) 09i f(r)- f(xr) 0, deci s@)-|(b)> 0 pe un interval de forma (b e,,, b), adicd,in definitiv x+b X_b X_b g(r) < g(b),V x e (b - a,,,b)i daclam aveac: b arrcntltag(D)

Solulie.(e). DacI b=+,avem a'+b, >2J@by a

=2,yx

Z,Vx e

e

IR

e

6=

1. a

+ln

D

:

Teon

1"f

2"t 3'fl Atun

Demt

0 sau ln(aD)

:

0, de wtde

f(c,

)

Nup

jR.

(=). Considerim func{ia f : lR. -+ IR, f(x) = a' + b, , eare este derivabil[. cazurile a : 1 sau D : I sunt triviale, deci putempresupune a * I qi b * l. Ipoteza a' + b' >2, V relR. se scrie f(.r)> f(0), V xelR gi arat[ cd xo:O este un punct de minim. Conform teoremei lui Fermat, rezultii f'(0):0. Dar t,(x):a,lna+b,lnD gi astfel condifia f,(0):0 se scrie ln a

r

SI pt m[rg

Exrncryu rezolvat Fie

care

ab: l. Rezult6 O = !.

deci interr

dem Teort

1'f

2"t

a

Atun Demr

EXerafi prorye

l.

Precizafi punctele de extrem ale funcfiilor urm[toare: a) f : [0, 1] -+ IR, t(x\: x' ; b) f : R. -+ IR,

c) f

2.

a$a

: IR

-+ IR, f(.r)

: I *' -3x+2 l;

d) f

e) f : IR -+IR, f(.x):cos?sc; Determinafi extremele funcfiilor urm[toare: a) f : IR -+ lR, f(.r) : cos.r; b) f

c)f:IR-+IR,

pe [a

f(r)

:

x' -3x+2;

-+ IR,

f(x): sinx; D f : R -+ IR, f(x): [.r]. : lR.

f

:R-+IR, f(r):sinx+cosr;

f(x):*

Conf

g(x)

f(c)

oI cores

3. Fiea> 0 cuproprietateacr a'2xo, oricare arftx e IR. 56 se arate c6a: e. 4. Aflafia> 0pentru care 2'+a, )3* +4,, oricare arfix e IR. 5' Fie 1c R un interval 9i f : iR. + lR. o func{ie continufl gi nemonoton[. S[ se arate c[ f are cel pufin un punct de extrem local.

Fie f : [a, b]-+lRofuncfiecontinu[. Dac[ f estederivabildina, bSi [,(a) l,oricare arfrx e [0,o). S[searatecE 10. Fie

fseanuleazdexactodatS. limitele:

L2.lJtilizindteorema lui Lagrange, calcula{i

(L -), a)lim.r2\sx-.x+rl'

I I I t

c) ln(.r2 + 1) > .r, oricare ar fi x < 0.

frrncfia

il

b) limx2[.ir-I--rr1] b),-_ */ x) \wTL x+l

13. Fie f : fa, bl-+ IR o funcfie de dou[ ori derivabil[. Dac[ pe graficul funcfiei f existi 3 puncte coliniare, atunci exist[ c e (a, b) astfel incdt f"(c):6.

I t I I I I ii

$

; l

CONSECINTE ALE TEOREMEI LUI ROLLE, $IRUL LUI ROLLE Dac[ f : 1 -+ IR (l intewal) este o funcfie oaxecare, solufiile reale ale ecuafiei f(r) : 0 se numesc zerourile (rdddcinile\funcliei f; termenul ,$dlcini" este utilizat indeosebi pentru o funcfie polinomial[. Ddm acum doui rezultate, care reprezintL consecin{e ale teoremei lui Rolle gi care stau la baza unei metode numite ,Sirul lui Rolle". Propozifie. Pentru o funcfie derivabilS pe un interval, sunt adevirate urmitoarele afirma{ii: 1" intre doud zerouri ale funcfiei se afld cel pufin un zerou al derivatei. 2" intre doui zerouri consecutive ale derivatei se afl6 cel mult un zerou al funcliei. : Demonstrafie. SI considerlm funcfia derivabill f : I -+ IR, unde l este un interval. 1o Presupunem c[ a, 6 sunt doul zerouri ale funcfiei f, unde a,b e I, a < b. Aplic0nd func{iei f teorema lui Rolle pe intervalul lo, bf, glsim un punct c e (a, b) astfel ?ncet f'(c) : 0. Agadar, c este un zerou al derivatei situat intre a gi b. 2" Presupunem cI u,$ e I, cr < B sunt dou[ zerouri consecutive ale derivatei f'. Dac[, prin absurd, intre cr gi F s-ar g[si cel pufin dou[ zerouri ale func{iei f, conform cu punctul l" intre ele s-ar mai afla un zerou y al derivatei. Prin urmare, y este un zerou al derivatei situat intre o, $i B, ceea ce contrazice ipoteza cI cr, gi B sunt zerouri consecutive ale derivatei.

175

'

Teoremi. Pentru o func{ie derivabili pe un interval sunt adev5rate urmdtoarele afirmafii: 1" Dac[ valorile funcfiei, calculate in doud zerouri consecutive ale derivatei, au semne contrare, afunci intre cele dou[ zerouri ale derivatei se afl6 un singur zerou al funcfiei. 2" Dacd valorile func{iei, calculate in doud zeroui consecutive ale derivatei, au acelagi semn, atunci infie cele doui zerouri ale derivatei nu se aflI nici un zerot al funcfiei. Demonstralie.Fie f : I + IR. o funcfie derivabil[,1fiindun interval gi sipresupunemcd a,B e l,cr < B, sud

Exnn

t)

2x

Soluli

:10.rt

dou6 zerouri consecutive ale derivatei f'. 1o Presupunem c5 f(cr) si f(F) au semne contrare. Deoarece f este o funcfie continul, rentltL c[ intre o $i p se afl5 cel pufin un zerou al funcfiei f, iar din propozi]ia precedent[ punctul 2o, deducem ci intre cr, gi se B afl[ cel mult un zerou al funcfiei f. Rezultd c[ intre cr gi B existi un singur zerou al funcfiei f. 2" Presupunem ci f(cr) f(9) au acelagi semn, s5 zicem ce f(cr) > 0 qi f(B) > 0. Mai intAirenitdc[ f(x) > O (o, Vxe B); intr-adevdr, dacd ar exista un .xo € (o, B) cu f(a) < 0, atunci intre o gi xo s-ar glsi un zerou aI

Avem

funcfiei notat cu a, intre ro gi P s-ar glsi un alt zerou al funcfiei notat cu D gi atunci, conform propozi,tiei precedente punctul 1", intre a gi b s-ar mai g[si un zerou y al derivatei, contrar ipotezei cE o gi sunt zerouri B consecutive al derivatei. Aritim acum cI funcfia f nu are nici un zerou intre o $i B. Presupunem prin absurd cd existd c e (a, B) cu f(c) 0.

b) Fie

il

:

Deoarece0: f(c)S

f(r), Vx e (o,9),deducemc[cesteunpunctdeminimalfuncfiei f. Conform :

teoremei lui Fermat reniltA f'(c) f'. Teorema este demonstrat[.

Sd presupunem acum dat are un

c[

0, ceea ce contrazice faptul

(in

R

[ : I -+ IR este o funcfie derivabild, a cirei derivati f xi

0

+ - f,Z0

este strict crescltoare (respectiv

strict descresc[toare) pe l ceea ce rezulti ugor din demonstrafia implicafiei (e). fin0nd seama de faptul cd daci- x, e I este un punct de maxim (interior intervalului) atunci

h

,,st6nga" lui "r, funcfia f este

cresc[toare, iar in ,dreapta" lui ro funcfia este descrescitoare (iar dacl xo este punct de minim lucrurile stau exact invers) oblinem o completare a teoremei lui Fermat, ce caracteizeqd punctele de extrem:

Propozifie. Fie f :1-+lR o funcfiederivabillastfelincAt E': O. Pentru un punct xo interior lui lavem echivalenfa:

E: {x. f l f,(x):0}

aredoarpuncte izolate,adid

Ixoestepunctdeexfremalfuncliei f]eIf'(xo):0$i f'aresemneconffaredeopartegidealtaapunctului xo]. O altii consecinfE importanti a teoremei lui Lagrange se referl la o modalitate practicl pentnr calculul derivatei unei funcfii intr-un punct. TeoremI. Fie f :1-+ IR o funcfie gi xo e /un punct astfel inc6t:

1" f este derivabil6 pe 1\ { xo }; 2" f este continui in ro ;

(ln cazul particular cdnd limita lui Demonstralie. Fie

l:

f

.f'(x) = lim f,(x) . in xo este finiti, reniltdci f este derivabili in

Deoarece

IR .

Nt), gisim un c, situat

c,

este intre

Trebuie sr arlt[m egalitatea

?nrre an gi xo astfel in"a,

a, gi ro rezulti imediat .6

,r^ f(x)- f(x) : l,

rer6

X-XO

l5g

l. "[ lg t,(c,): Din (l) 9i (2) rezultii ,r* f(a')-"f(x): I $ideoarece n)6

lPff:

f,(c.).

Conside

Confom

x,,Y x

e

Exrnct 1. Sis

daci

16, iar funcfia f, este

f(x)

pacare o vom proba

Se vede

-

e) girul

xo

lim f@) - f(x) : t, llg o,: xo, rezvlthci x+xo X _ Xo

adicd

t,(x) : l.

(a,),r,c1\ {ro}

(x)

toate va

in: S[s

doar

2.

(1)

c,: xo gi findnd seama de ipoteza 3o gi defini,tia

limitei unei func1ii, deducem

oo

Cum f'( 2" Fie 1

Mmaxi x

pur $i simplu apel6nd la definifia limitelorde func(ii (cu giruri). Fie (a,),,,g1\ {xo} un gir arbitrar cu lY "":.ro . Aplicdnd teorema lui Lagrange func{iei f pe intervalul compact de capete an qi xo (pentru fiecare n e

agix,gi

monotot

sau nu).

). l111r f'(x)e r+rfo

a

Derivati

Atunci f are derivatd in punctul xo dati de egalitatea:

xn

Fix6m

Solulie-

3o f'are limitd in punctul ro (finitd

continu6 in punctul

Demons

a fost arbitrar astfel inc6t

Solulie-

clrei ipr Exist6

d

Deoare


Rezu

aplicat regula lui l'Hospital, se poate repeta procedeul (verific6nd de fiecare datd ipotezele teoremei).

L:nn 4:fim 4: x-+xn g' x-+xo gn

Scriind schematic, avem agadar: fim ' x+xo g

...

3.

Nu trebuie confundat cdtul derivatelor (care apare in regulile lui l'Hospital) cu derivata cdtului (atenfie, agadar, la gregelile tipice!).

4.

Analizdnd demonstralia teoremei lui l'Hospital in cazul

lim f(x) : I xixo

@,

ci doar ca lim g(x)

:t

3 @

1.

, constatlm cd in ipoteza

EXERCITIU rezolvat S[ se calculeze limitele:

c)' limx ln x; x+0 x>0

1o nu este necesar ca

I.

o.

")1,$#; b)m(]-"*,;'

Ca

ln(lir

d)- lim x' x+0 x>0

Solulie. a) Limita confine nedeterminareu

]. 0

Corrrider0nd funcfiile

f, g :

IR

-+ R, f(r)

:

sin x,

: xe'+ sinx , avem g'(x) : e' + xe' + cosr , deci hqg'(*) jurul lui ro: 0.

:

in acest fel primele dou[ ipoteze din teorema lui l'Hospital cos.r I "f'(x) : rr* ,,,, ,-io g'(.r) "Jo s'+.re' + cos.tr 2

verificI, iar pentru a treia ipotezd putem scrie:

g(x)

Conform teoremei lui l'Hospital. cazril9 . u.r"-'

0'

se

2, ceea ce inseamn[ c[ g' nu se anuleazd in

li=I x-+o 'fin1 +SinX 2

.

16gx

Din punct de vedere practic, verificarea ipotezelor se face oral, iar calculul limitei se scrie pe scurt ca in 0

exemplele urmatoare:

I 6 ---!9lI= 1. gx + Xe' + COSX 2

liq x+0 -#{-

SinX H x+0

lggx +

b) Calcul6m limitele laterale. Avem:

I te :,'fi,,, f 1- l) :,,,,, ' - ' " ) I#(, tsx) I# xtsx'l# i#\, "tn,)

l+tg2x -l tgx + x(l+tg2x)

ri- (,1-

0

tg',

tg-x(l+tg'?x)

_ =9=0. = l1u 2 l,{r^ tg, + x+ x tg2x 1,t t* tg2x+l+tg2x+ x.2 tgx(l+tg2x)

:li*

Analoe - ------ereniltd

c) limx

2

ri* [1-.tg" r) : lf \,

o(--) :

lnx

1g

r>0

x>0

)

tn,

t

*=

: ri* - r)) x+o [1-.tg \y

0, prin urmare

i : -l,Sr: -'1 1g3 ,r0-;..

-

o.

o.

x>0

;

d) Calcullm logaritmul limitei. Avem:

tr(1,$

r') :lir4(lnr') :I$(, r>0

r>0

Rezulti

cd lim x' : x+0

ln-r)

:

(continudm ca la punctul c))

x>0

eo: l.

E^4rcipii propse Sd se calculeze

limitele:

-3 &L

-1 a)ltm r+r x t -l .i r-sinx c)' ltm -------. x+0 X'

e) lim

,,h* -t

x+0

)

d)

ls

!i

:,lt+u

g) llm --'---

Sln -f

sin.r

x' 1

fi)c

0rim4, r+l

-t i

h)' lim

.

x .xcos,

cts

x+l 1- | ' r+0

b)' lim

X-l

x-!.gx

x+0 y.9111;g 185

'

:

0'

gI__:h"r, n e N* fixat. i)'x+O lim

det

X'*'

l+lnr. il. a) r+o lim

b) llm

x

ln(l+2').

b)

SID-

I '), - lnx)'

d) lim[ ' -';l'i(x-l

V.

,

( x \ lul xln-4 arctg-a; r+0 -x+l)' l;

d)

\

a) lim r+0

lg

(-l--

b)

xtnx;

1,S

.) l,g (,-*,,(,.+))'

[]-"r',)'

e) rim

' ,-.

I

,.r, lq3

IV. a)

ale

d)' lim r+@ ln(l+3r)

x

t=). ri-[-J-x+u \ .x X, ),

rrr. a)

--:-i

x)@ e" +X

ln(l+e')' c) lim r+@

con ox t1

(e, -

.'Gi ") 1*

I

t

')

ln(x + l),/

'

") l,s

.(I-*"r.),

-"*),

I

r'h';

b)

I

lg ,;;

I

")

1,$

h)

l5

(ln(e+x;);;

f) r+o lim [*-ur"rrr')t, \Z

)

I

lrS

(cosr + sinx)'in"

;

3.

Si

se studieze derivabilitatea

Fie

f : (0, *)

-+

IR.

Rez

(JI tg,)""u'.

6

,

.f'(

I

r+o\.I[E]t' /

d) rim g)

Solt

.) 1$(cosx)7;

funcfiei f : lR -+ IR,

f(x):

o funcfie derivabili cu proprietatea

Scn

t------- , l"' -r- --+ |rg

in punctul

selx

ro:0.

Tab

(ftrl + -f'(*))= 0 . Si se demonstreze cr

|g f(x): o.

J

fr

Fie f : IR -+ R o funcfie derivabill cu proprietateacd gi f f'au limite finite in |r1g f'(.r):

.

*

rc. 56 se demonstreze

cl

o.

Fur

[-]

(1,

ROLUL DERIVATU INTAT TN STUDIUL FUNCTIILO& PT NCTE DE EXTREM, MONOTONIE Am vlzut cd prima consecin{E important[ a teoremei lui Lagrange este caracteizarea monotoniei unei funcfii prin semnul derivatei acesteia. Mai precis am vdzttt cd o funclie derivabild pe un interval este crescdtoare (respectiv descrescdtoare) pe acel intemal dacd si numai dacd derivata este pozitivd (respectiv negativ$ p) ac"l interval.

De asemenea am artrtat in teorema lui Fermat cd derivata unei funclii se anuleazd tntr-un punct de extrem interior intervalului, adicd altfel spus,punctele de extrem se afld printre zerourile derivatei.Mai mult,

intr-o propozilie am evidenfiat faptul c[ pentru func{ii cu proprietatea c[ zerourile derivatei formeazd o mulfime de puncte izolate (adici in jurul unui zerou al slu, derivata nu se mai anuleaz6) - gi acesta este cazul cel mai frecvent pe care-l int6lnim avem urm[toarea caracteizarepentru un punct de extrem: un punct este 186

mel

sefi

Ex

Solt

f(x)

t'@

de extrem dacd Si numai dacd derivatafuncliei se anuleazd tn acest punct

iar de o parte

Si de

alta are semne

contrare. RezumAnd, oblinemrolal ilerivatei intili in studiul unei funclii: determind intervalele de monotonie ale ac elei funclii, precum gi punctel e de extrem ale acesteia. Practic, pentru a obfine aceste ,,informafii" despre o func]ie datii f proceddm astfel:

calculim derivata f'a funcfiei; afl[m zerourile derivatei, adicl rezolvlm ecuafia f'(x) : 0; - stabilim semnul derivatei (eventual ,prin valori", intruc0t derivata are proprietatea lui Darboux, pe intervalele dintre zerouri consecutive menline semnul constant); deci - indic[m semnul derivatei, intervalele de monotonie gi punctele de extrem (notate cu Msau m, dttpl cum este vorba de un maxim sau un minim) intr-un tablou numitvarialiafuncyiei datd de derivata fufii. Si dlm un exemplu concret prin urmitorul:

-

EXERCITTU rezolvat

Si

se studieze intervalele de monotonie gi punctele de extrem ale

Solulie. Funcfia este derivabil6 pe

:R.-+R,

; :'

Scriind t'(*)

0, V x e [0, o) gi aceast?i inegalitate este echivalentli cu cea din enunf.

,Eercifii propue

1. Studiafi variafia func{iilor, cu ajutorul derivatei int6i: f(x): xt -3x' +2,x e IR;

a)

c) f(x)

:

f(x):

e)

tnlx'-3x+ 2l,x

b) f(x)

etR

- {1,2};

d)

: trl;'41+2,x

(x): (,.*)',.r

e

IR;

e (0,o);

**: f t ,x=l

(r.*)'.,.r e (0,0o);

0 f : (0,o)-+rR, 11r): {*

Aflagi valorile reale ale parametrului

m

astfel inc6t funcfie

,

f : IR + lR, t@): mx-ln(l+.r,;

se fie

descrescltoare. 3.

Determinafi imaginea funcfiei

4.

Si

f,.

S[ se arate c[ funcfia

se afle

a,b e

IR dac6

parametrului a e

f : IR + IR, f(r)

func{ia

t(x):

xt +u2

: --4-

+bx+l

f : IR *+ IR, Kn :+

are punctele de extrem 1 gi 2.

are doul puncte de extrem pentru orice valoare a

IR.

S[ se stabileascl inegalitiifile:

a)

e'2l+x,

"l

.-tSh(l + x)0; d)rsinx*cosx> 1, Vr. (Ui),

e) e'>

s) 7. 8.

V-r e

b)

IR;

1+ln(l *x),

V

x>-l;

,

-+

S arctg x

1x,Y x>

0;

Teo

Den

f) e'2x",y x>O;

astf

r). Presupunem c[ f este convex[. SI observ[m cI f 2" I f I

existii

este convex6 pe

inegalitatea (**1 din definilia funcfiei

convexe,semaiscrieechivar"n.

f(x)-f(x",).f(x,)-f(x) (l) x-\ x2-x

qi x2, adici x, < x 1xz. Arlt[m

c[ f' este cresc[toare. Fie x, , xz crt xrlxz.

c6ndx-+ x, ob{inem: f'(r, Dac6 in

(l)

pentruorice

x, 0 pe L 2o Analog. O categorie de puncte remarcabile pe graficul unei funcfii este dat[ de urmltoarea: Delinifie Fie f : 1 -+ IR o funclie gi xo un punct interior intervalului L Spunem cI xo este un punct de

EXER(

inllexiune dacd f este continu[ in ro, are derivatl in xo gi este convex6, respectiv concav6, de o parte gi de alta a acestui punct. Corespunzltor, punctul Mo(xo, f(xo )) se numeqtepunct de inJlexiune al gra/icului. 190

Solulir .x

e

f,,

IR,

: IR

Desenele de mai

jos reprezintilpunte de inflexiune:

hhn tmE

Cum intr-un punct de inflexiune func{ia are derivatd, finitd sau nu, tangenta la grafic in acel punct

existd gi,,traverseaz6" graficul.

Rezultatul care urmeazi dI o condifie necesari ca un punct s5 fie de inflexiune pentru o funclie de dou[ ori derivabili; acest rezultat joaci acelagi rol pentru punctele de inflexiune pe care i1 joaca teorema lui

Fermat pentru punctele de extrem.

{ liE

Teoremil

Fie f : 1-+

lR.

o funcfie de doul ori derivabil[ gi xo un punct interior intervalului

:

punct de inflexiune, afunci f"( ro ) 0. Demonstralie. Presupunem c[ funcfia

I.

Dacd xo este un

in stdnga lui xo qi concavl in dreapta lui ro. Atunci funcfia f' este crescdtoare la stdnga lui xo qi descrescltoare la dreapta lui xo . tnseamni c6 ro este un punct de maxim pentru f' qi, conform teoremei lui Fermat, ( f,),(.,r. : 0, adic[ : ) f,,( ro ) 0. Analog se rationeazL dacd, f este concavi in st6nga lui .ro qi convexl in dreapta lui .r, . Condilia exprima!5 de teorema precedentl este doar necesard, dar ea poate fi imediat completat6 pdnl la una necesar[ qi suficientl prin urm[toarea: Propozifie este convexl

o funclie de doui ori derivabilS, astfel inc6t mullimea F: {x e 1l t,,(x):0} este formatd din puncte izolate, adicd F' : A. Pentruun punct xo, interior lui { existl echivalenla: I xo este punct de inflexiune] 0 astfel ir,rcdt F(c,o) 9i ,F'(- c, 0), FF,:2c. Deoarece FF'< MF + MF'rezvltic 1a. Defini{ia elipsei MF + MF'-- 2a se scrie:

de unde

JC:cf + v' *,{Q*fi v' =zo

(1) (2)

",0)/

inmullim egalitatea (2) cu conjugata membrului stdng, adicl

J,*+;7 - JC-84 (x+c)z +y,

ilie dri

ei ob.tinem

-(*-"), -y'=zr(J@*"f *y'-J@-fi|) r-- Zcx (x+ c)2 + y2 -.i(x'a c)'+ Y' =-

apol, dup6mici calcule 9i inversareacelor (3)

Adundnd (2) 9i (3) ob.tinem

uJG."Y * y' =zo+2"* ,ruu or{1**"f * y' =a'+cx. a

(4)

in fine, ridicdnd (4) la pltrat avem succesiv: a2(x2 +2cx + c2 + yz) = aa +2a2cx + c' x' o (a' - c')x' + o' y' = a' (a' Pebazalui (1) putem nota dac[ impir{imou a2b'

b=J;'-C

> 0, deci b2 =a2

-c'

-

c')

.

qi(5) devine

(5)

b'x'+a'y'=o'b'

sant,

:

x'2 a' b' -+L=t

'

(6)

ecuatia redusd (canonicd) a elipsei. Se vede c6 pentru y : 0, din (6) ob,tinem x : + a, iar pentru x : 0 oblinem y : I b. Aceasta aratl cL elipsa 6 taie axa OX in punctele ,4(a, 0) 9i axa mate A'(- a,0), iar axa OY?npunctele B(0, b) 9i B(0, - b). De aceea segmentele AA' Si BB'se numesc : mrmesc b se OB reipectii'axa micd a eliisei (ele sunt chiar axe de simetrie), iar segmentele OA: a $i (6) numeqte mai se serniaxa ,nare rcspectii semioxa micd. in concordanf6 cu aceste denumiri, ecuafia h. a semiaxe de elipsei u Si ecua{ia redusd este Curba propriu-zis6 care este elipsa este desenat[ punctat, iar reprezentatea grafrcd riguroas[ frcut[ in paragraful urm6tor. :2a se scrie MF : a gi elipsa devine cercul de centru F si tazd Obsenagie. iacd F = F,definili a MF + MF' a. Aqadar, cercul este caz particular de elipsd gi anume este o elipsi cu focarele identice. Ecuafia (6) se nume

o

gte

Hiperbola

Definifie

)

geometric al punctelor M Se numegt e hiperbold de focare punctele F, F' Si pararnetru a O,locul din plan cu proprietatea cE I MF - MF' l= 2a. distanlelor (in Aqadar, hiperbola este locul geometric al punctelor din plan care au diferen(a modut) la doud puncte ftxe constantd. cartezian,,canonic" ca gi la elips6, adicd axa OX este dreapta FF' afocarelor, iar axa Alegem

-

r"p.*i

OY

FF'. Fie atunci c > 0 astfel incdt F(c, 0) iar F,(- c, 0), de unde

este mediatoarea segmentului

FF':2c. m tc

M(x,y) este un punct arbitrar pe hiperbola FF'> I MF - MF'l , udi"d ", ,. Definilia hiperbolei I Ur - tr'l: 2a se scrie: Dacd

fi

avem

JGW_G+d\y,_2o. DupI calcule analoage celor efectuate la elipsi (este bine ca aceste calcule s[ fie efectuate catemd!) se obline:

+a'y'=o'(a'-c'). Din (1) reztlti- c[ putem nota b=J;'4, 1a2

-b2 x' + a'y2 = -a2b2, sau, dup[ ce impirtim

pt'rn -a'b2

*'

de unde b2=c'-a2 gi atunci (2)

devine

oE

:

-r

a' -y' bz

canon

(2)

-c21x2

(3)

Ecuafia (3) se numegte ecuafia redusd (canonicd) a hiperbolei. Pentru y 0 oblinem x a, ceea ce aratd ci hiperbola etr taie axa OX

:

:t A'(-a, 0); in schimb, pentru x : 0, din (3) reniltd y' = -b'

in punctele A(a, 0) gi care nu are soMi reale, ceea ce arath cd

hiperbola nu intersecteazl axa OY. Cwba propriu-zisi care este hiperbola eff este desenatl puncta! reprezentaxea grafrcd riguroas[ fiind fbcuti in paragraful urmltor; hiperbola este o curb[ cu dou[ asimptote. Obsemalie.

in caanl a :

b hiperbola se nume

Ste

echilaterd gi are ecualia

f (x) repre2

l) Dot

,'-y'=o'. o

!=t

lI) Int III) Zi

Parabola

probk

rDD

Definifie Se numeqteparabold de focar punctul F Si directoare dreapta d locul geometric al punctelor plan egal depdrtate de punctul F gi de dreapta d.

notim cu G proiecfia focarului F pe directo area d gi fre p : FG > O. Numlrul p (distanla de la focar la directoare) se numegte parametrul parabolei. Alegem un reper cartezian ,,canonic,, astfel: rura OX este perpendiculara dus6" din focar pe directoare, iar axa oY este mediatoarea

M din

.f'(x)

Sd

segmentutui

,2

ecuafia:

rG. in acest fel ,r"

* = -1.

Fie

F(*,0), o(-t, o), i*

Definifia parabolei se scrie MF

e

x' -

arc

M(x,y) un punct arbitrar pe parabola 4 Notdnd cu N

proieclia luiMpedirectoarea vrv*rv, d,avemNf{ u, .vwllr ,, y-

F4;

dreapta d

:

lr,

MN,

*(-2., \ )''

f;(-, o(-1,0,

o d

f'(x)=

YD,.

''l

.f'(x)

). care se traduce succesiv:

Ecua!

=1,.

tl*

(, - il'

or*{* !' = x' + px++ *

+

y,

y2 =2px

.

=(.. *)'

VDfi (1)

Ecluralia (1) se numegte ecualia redusd a

parabolei. Curba propriu-zis6 care este parabola este desenatl punctat, iar reprezentarea grafici riguroas[ este

in paragraful urmdtor. Obsemalie. Parabola-grafic al unei func1ii polinomiale de gradul doi este raportatlla un alt reper cartezian

x

f'(r) f"(x) f(x)

(fafa de cel de aici) gi de aceea are alt[ ecuafie.

vID

(

REPREZENTAREA GRAFICA Emi$

A CONICELOR

Ne propunem si,,desen[m" in plan cele trei conice (elipsa, hiperbola, parabola) ale clror ecuafii canonice (reduse) le-am oblinut in paragraful precedent. ilrlE

o

Elipsa Ecuafia redusl a elipsei

0)$

nci f,W, frE-

b ry=t-tla' -x'. a

""r"

)*1=b"

I , unde

a>

b>

0,

0. Exprimdnd

pey in funcfie

Aceasta arati cE elipsa este reuniunea graficelor a doui func1ii,,opuse"

f(*)=iE=. a

f ti - f

Deoarece graficele func(iilor

reprezentdm grafic funcf ia

f

l) Domeniul de de/inilie.Din

(x) = a2

b

a

4;' - S

-x'>

f

de

qi

x se obline

-

f,

unde

sunt simetricefaldde axa oX,estesuficient s[

.

D: l-a, a). f(0):b,iary:0=f(x):g1,!j-j =0 + xr:-a,

o se obline

x e f-a, al, prin

Il)Intersecliacuaxele.Avemx:0=y: Ill) Limite, asimptote. Deoarece D'\ D : A,

D funcfia

iar pe problema s[ studiem limita in anumite puncte. IY) Derivata I. Avem

urmaxe

x2:e.

este continu[ nu avem asimptote gi nu se pune

din , pentru

S[ vedem ce

se

int6mpl6 in punctele

xo: -

Deoarece funcfia este continul in punctele )

?

fJ?o)=!m /'(x)

=

ffi= c[ in

Aceasta inseamnl 0 are r5dlcina xf = 6. Y) Derivata a II-a. Avem

-

,

Yl)

0 nu are

Tabloul de varialie.

x I -a

@+++++

ile

f(x)

m

Yll) Graficulfuncliei f:

r[d[cini.

a gi a, putem scrie:

=W:

ffi= la curbi

-@.

de direcfia axei OY. Eguatia

-x

! ,\' =-!.'o--*--''W .f,(x)=-!.(o\rlr.-*;)--;T: :

a, a).

a.

aceste puncte vom avea tangente

l-,

Ecuatia f"(x)

xo:

*@, f!(a) =\ry.f,(x)

]v"*

f'(r) :

a gi

x e (-

-- --

ba2ab

o -(r'-*')i3 ------(o'-*')i3 '

uI-l(IE

,t.

e (- a, a).

pnn rx

Curba-elipsi provine din reuniunea graficelor funcfiilor

f$-

f,

Funcfi

simetrice fa[A de OX,frindredatd,in desenul al[turat. Elipsa este o curb[ mlrginitl, avdnd dou[ axe de simetrie (axele de coordonate) qi un centru de simetrie (originea axelor). .

rv) D Si

ve
0- Exprimdnd pe 7 in funcfie de x

se

-

f,

Aceasta arati" cil hiperbola este reuniunea graficelor a doud funclii ,,opuse"

f li

f'(x) f"(x) f(x)

vII)

2

l) Domeniul de definilie. Condilia

ll)

l,

''2

"rt" ar-3=

Reprezentim grafic funcfia f dati de

U [a,

71

x

f (x)=ba ,1.'

x'-a'>

0 duce

4

.

lax e (-

*, - af l)la,co),

prin unnaxe

D: (- o, -

a] U

oo).

Interseclia cu axele. Deoarece 0 e D, nu avem intersec{ie cu axa OY.

Dacd"

xt:-

!:

0, adicl f(x)

a, x2:0. lll) Limite, asimptote. Avem -@, @ e D' \ D, deci studiem limitele funcfiei in punctele :}tg f(r): * @ 9i cercetim in continuare existenla asimptotelor oblice. ,tlq f(r) Mai int6i, spre + co.

-

oo

r---

0, rezultl

o.

Evident

astfel

,nrr-

t :4.t,,, ? _u :,r* "17 m:tim./(x) r+@ X x+@A X A xa ,,-.r222 n :lg Uti - **):t!I. !-(17 4 -,):l5g b

$i

:

x+@

---l

prin urmare

dreaptay:4,

m1: ,+{ lim f

: tm 9.

@) X

a

x+a

O

,, :,1T (tt*> - *,i):

".te

: ffir|.,:

asimptotii oblic[ spre +

X

)g!117

x+4A

o.

Spre

-

@

-l,S

f,#;:

0,

avem:

X

**,):,Lq :

#*:

206

-,[q

f,#;:

o,

un c( Obsr

prin urmare dreaptay:

-ba *este

asimptotE

oblicl

spre

-

@.

Funclia f fiind continul pe D, nu exist[ asimptote verticale.

rY)Derivatal.Avem SI vedem ce

se

x

-b.(x'-a')' -! f'(x)=!.Q; a -r'1'I =;';ffi=;'#7'

int6mpll in punctele xo:

tn: #-

-

a gi

xo:

Pentrur € (- @'- a) U (a' o)'

a. Avem:

;

#:

=ry"! fJ@):lrg,f'(x) x/-aa \Jxz_az -oo r\a x\aa \Jxz_az prin urmare in punctele xo: - a gi xo: a curba are tangente de direcfia axei OY. Ecuafia f'(r):0 nu are solulii inD. f!(-o)=

ti;n

f'(x)

=

Y) Derivataa II-a. Avem Ecuafia

t"(*):0

Yl) Tabloul x l-a

f(r)

vII)

.f'(x)=1{+)' uylx_a)

Jrf n-x.-L b Jx'-a' = a

*@,

t222 Dx-q-x

22

x-a

ab

33

a (x'-a')1

(*'-r')i

nu are solu{ii.

de varialie.

@\\\

+++ \

,V ,V

,V

+

+

7

@

Graficulfuncliei {.

rlu ultii lent

Curba-hiperbol[ provine din reuniunea graficelor func{iilor astfel:

f

gi

-

f, simetrice fa{[ de axa OX qi aratd

Hiperbola este o curbl nemerginita avAnd doul ramuri, dou[ axe de simetrie (axele de coordonate) gi un centu de simetrie (originea a:relor) precum gi dou5 asimptote. Obsemalie.in cazul particular b alhiperbolei echilatere, asimptotele sunt tocmai bisectoarele axelor.

a:

o

EJ

Parabola Ecualia redusl a parabolei este y2

unde

p > 0. Obfinem y=XJ2p*,

ceea

ce

arath

-f, unde (x):.@. grafic funcfia f datn de f($ : lppx .

parabola este reuniunea graficelor funcfiilor Sd reprezentim

=2px,

f

Afla1i tangenl

qi

I) Domeniul de definilie este D: [0, @), gi se ob{ine din condilia 2px20. II) Intersecliile cu axele. Avemx:0 =+y: f(0):0 $i.y:0 f(x):0 $ v:0, deci graficul taie ambele axe in origine. lll) Limite, asimptote. Avem oo e D'\ D qi cercetim limita in xo : + o. Evident

2.

Scriefi

3.

Consid centrel

=

lrg

f(r) :\rX rtrv: * @. Deoarece lrg f(r) :

@, nu avem

asimptoti orizontali gi intrucat

SIser

a)xzt

S[sea

f

EI x!' : n r+@

nu avem nici asimptoti oblic6. Evident, nu avem nici asimptotii vertical[, funcfia fiind continud pe D.

N) Derivatal. Scriind t@):,!2p.Ji reniltdimediat f'($:,!2p

*= E +

ro: 0

chiar

avem

fj(O)=

+o , deci in origine tangenta

mrB #:

este

pentru

axa oY.Ecua{ia

x e (0, *). in

f'(x)

:

0 nu are

r6d6cini.

Y) Derivata all-a. Avem

t"(x):0

.f'(x)=

fi(,;)'=[r(-r,

i

=-Nr.

-fi--,

pentru

xe

(0, o). Ecuafia

1.

Repre

2.

S[ se,

x'

nu are rdd[cini.

Yl) Tabloul

Cercu

de varialie.

++

scriefi

++

++

+++

Indicafi d 1. Numi

a.

2.

Dista

a

3.

Ecual

a

f

qi

-

Curba-paraboll reprezinti reuniunea gtaficelor funcfiilor f, simetrice fa{[ de axa OX gi aratl ca in desenul allturat.

Parabola este o curbl nemdrginitl care are o singur[ axi de simetrie (axa OX) gi nu are centru de simetrie gi nici asimptote.

Fiep

se ar

a) $i

b)N

c) a(

tr4ercilii proprse

1. Aflali valorile lui a e IR. pentru care cercurile de ecua{ii x2+/2 =l $i xr-4x+y2-a

sunt

tangente.

2. scriefi ecuafia cercului circumscris triunghiului cu vdrfurile A(1,2), B(- 1,2) gi c(3,4). 3. Considerim cercurile V, : x'+y'=g Si V, : x'-zx+y'=0. 56 se arate c[ locul geometric al 4.

centrelor cercurilor tangente interior la % gi ff2 (simultan) este o elipsl gi s[ se reprezinte grafic. S[ se reprezinte grafic urmdtoarele conice:

a) x2

5.

+4y'=4;

b)

-9y'=36;

c) 2x2 -!=0; d) y, -x+l=0. Si se afle a e IR pentrucareparabolele y - x, ;i y = -x, +2x+ a sunttangente. 4x2

Tnsrn DE EvALUARE Testul

f(r): 1F

1.

Reprezenta{i grafic funcfia

2.

S[ se discute dup[ valorile lui m e

]R

1

pe domeniul maxim de defini}ie.

num[ru] r[dicinilor reale ale ecuatiei:

x'-3x+l=m. Cerculdeecua{ie

*'+y' =1 esteinscrisinrombul

scrieli ecua{ia elipsei ce trece prin

vffirile

ABcD.gtiind cd,A(2;0)qi4 DapafiinaxeiOy,

rombului.

Testul 2 Indicali r[spunsul corect. 1. NumSrulr[ddcinilorrealeale ecuafiei 3x3 +3x2 -6x+lnlxl=0 este: a)0; b) l; c)2; d)3; e)4. 2. Distanfa dintre centrele cercurilor de ecuafie x' + y' +2x =2 si I +f +4x*gy=f1

3.

a)2;

Ecua{ia a) o

x' -

Jl7; c)3; d)a;

b) xy

e)8.

"r1",

* y' = I reprezint[:

elips[;

b) un

cerc;

c) o

hiperboli;

d) o

paraboli;

e) o dreapt[.

PnonT,TME RBCAPITULATIvE DE ANALIzA Fiep>q>l se arate

a)

numere intregi 9i girul de termen general

a,(p,q)= -

c[:

$irul (o,(p,q)),,,

b) Not6nd a(p,

I -lqn+l* qn+2*... * 1, pn

este convergent;

q): I* o,(r,4),

c)a(p,q):krp-lnq.

existii inegalitatea:

?P

=

a(p,q)

P

=

q

Q

,

V n e N*. 56

2.

Considerlm girurile

(",),rr, (E,),r, definite piln

e,

=(,*.*)'

,r.=f*; . Si

se demonstreze

b)$

c[:

Sis

a)e,3En,VneN*; b)

a)1

e.2'.i(, ;). .*(,-, (,j)

c) e2

8,,

V n e N*, unde e =limeo

(,-?) , v k>n>t;

uil

x2,7lB;

Fie

d) limE,=s;

$ir,

I e)0l;

n.n! I

f)0 I astfel incdt a,*o=an,y n) l. Dacil

a.=,[(,.*)' -(,.*)')

,y

n2r, sr se arate

y

n > 2. se se arate ci girul 15. Fie:

c6:

S[s

7.

u

#r(,.*)'-'

b)

a,=€.

lg

$irul (o,),ro

b)f

16. Fie,

Seconsider[giru] (a,),=o cu 40>0gi a,*, a)

a)f

o, v.r

n, e N* astfelinc6t

e

1\ {o};

y n2 n, qi V I < k m rddicinilereale distincte x, xrt ...s xn, sI se aratecd:

)

b)

l,1g*=r. trI

0. $tiind

c[ funcfia p

arc

,., (;

' 9@-==j(,r,)

a) V

e@,) . *_AD_*...* p,(xr)(x-*r)'"'- p,(x$;r), P(x) P'(xr)(x-xr)'

xe

IR

3.'a) +l

\ { x, , x2; ...t x, }, (identitatea lui Euler);

1-+...+=;_J_-__-.

. +--' +===: p,(xr)(x- xr1-"'-7@;[$ P(x) P'(xr)(x-xr)'

b)

,

,[l

v.r

P'(') 1 ' * t,x-xz ', *...* x-xn ,v x eR\ {x, , xr,..., x,l; ")' P(x)=x-xr

"' p'(x,) =o dacd n>2. . *...*-l ' --L-*=l P'(xr) P'(xr) 20. Fie tuncfia f : IR -+ R, f(x) : f undea e IR \

t. t(&)

a)

!??,*0, x'+l

a) Si se atate cd existii dou[

valori xt,x2e

este par

{0},

D

e

,(l

IR.

ci tangenta la grafic in punctele de abscise xt, este paralel[ cu ixa OX Siinplus avem egalitatea x, xr: _ l. b) Si se determine a gi 6 astfel incdt f(l):2 qi f,(2): g. c) Pentru valorile lui a gi b determinaie i, p""itot piecedent, si se reprezinte grafic funclia obfinuti. IR astfel

x2

21.Seconsid6rIfunctiaf:IR'\{l,2}-+IR,f(x):#,undezeIR..

a)

Arrtafi

zeN', fie p,aln-leanumirprimpozitiv

cd penrru

b)Aritafi cd

an

>t

p > I existi inegalitatea

*1*1*...+1, Vr.

$i

Testul.

b)x:e

I

3.4+.

an=Jt -. Pr...... Pn h-l pz-l'-- p,-l'

J, rr*1*4*...*{, p-l p p' px'

Teste d

Testul

a) S[ se determine.valorile lui rz pentru care graficul are o singura asimptot[ verticali. b) s[ se afle valorile lui z pentrucare func1ia-nu are puncte de extrem. c) S[ se reprezinte grafic pentru m: 2. -

22. Pentruorice

b)e; c

v& e N..

4.

A2=

=

B(Al

N..

1\

rimfr+1+1*...*';)=o (cf. ex.3 pct. c)pag.96), deduce[icd lima,=a. z+o\ z 3 d) Folosind inegalitatea x > ln(l + x), yx> -l (cf. ex. 6 pct. a) pag. lgg), deducefi ci: 5l I Ii;,nq , $i i#i-, liUlj,=* fr pk-l po_l *' c) Folosind faptul c6

12. b)

na

e) Folosind faptul

ci f,g[r-]l=l, '-'( p, )

pentru oice n>n€ aveminegalitatea

deducefi c6 pentru ee(0,1) fixat,

Pn-l >l-s. P,

f) Deducefi ce

[m)A

,*-k4 p*

=

o

(Euler).

212

existi

r?"

€

,=(i

N* astfel incdt 18. r)

l. |ia P arc

',(l i i),(l i N, ,(1 i;ii:Ti tji': ii) ",-', 3.'a)+,; b)- 1;

c;1-1y5! ,.") (l

i),"(L

,(i '^'ri)'r()n'-,,'-r ?) 'r(l

xl,

x2

t

: [e(o)]' :

t. e(d):

e(o) . s(o)

",,"n*u

r.(l :'^

1. 8. r.r-**

;;) " (l i ) :

? 3),

?;),

(l i i i), , (i Z', ;),

,(l ?i i), ,(l '^'r:;)

(l ? i i) -"o inversiune, deci este impard., iar c2 i) ,* a)e,o,oz; b)e,r,*,r',.n.r,: (l i

ts.b)rlestefinitr; c)Alegp :t-k; d)e:oeH; e)o-r:or-1

, [] Z', i) t.c',. b)e; c)e; il&; ")d.

eH.

t6.b)e;

"),

Teste de evaluare (pag.8) Testul 1. a) impar6; b) o

: (1,3) (2,5) (5, 4) (6, 8) (8, 7) (7, 10) (10, 9); c) k: 30. 2. b) ou:x':e; 1 b)x:e; c)ecualiasescrie.ra:r$itesteimpar[ r.":(; ? i i : !'^ \ ;'i) Testul 2. l.a. 2.a. 3. b.

3.A+r: (1 (oo 4.

t=lo

o

[oo

= B(AB)'oot

rz. ur

t(|

1),n-,: (t ab

+

bc\

3

A'

:),#"(^'?)x:i, l),

=0t, (I,+r'',

J,

(t 3a 3b(1+ a + c)')

=

[3 I

o.

T

(z

n,=(:)

-)),u, - [-+ ;)

c,-

: (t), avem (BA)2,M =

AB

_t

.J.

,=-l,2'"r=-1.2 8.x: - 2,y-- l. 9. a: l, b : 2. 10. x: 2,y : 6,2: J. (z r\ '^)'r#(,1 t\) B. t r, qi (X !,) * a2 +bc=l, a,b,c e c. t4- A -tt.[2 0)'

A-

foos .BA . 7.

(

inc6t

")

b)-'1; c)-1; d)-1

(

,,r

*.El

n

r\

",-l .o.8J ":11; [-r-S

( iii),ul

gtc+t

nn

'"'rr-t_ ;I_ ,r. , n cos-n) l.

[-sm 213

(

. nn\ sur6l ,, | "ot? nn l' l-sin4 cosa) \ 0 8k+l \

nn\ t''7 u:(: '") 15. Se verifica prin inducgie. 17. iii) 0'| "otT l, \r -z) | -sin4 .o.'n I \ + +)

t"), 18. i) x =(!u

nrc

,

|

|

A2

=-7A;

b)

A'*'

=72@4

A;

A'*u

-

A. 21. A, =l ;

? 3l

-72005

ln@+t)

\z)

rr. Rezultl

din A.

A' = An . A.

24.Avem

, ,l

1. a)

,i(l-l)'=A2 -2A3 +Aa =0,. 26.SealegmatriceleXcu l pe poziqia(ir)il0inrest. h 1l) 27.a) A=lt 3 2l; b)Cum Xtfi4:4nXireztiltdcd,aii:aiti c)Deoarece XitrXi:Xi,rezailtlcd Aa =A3

Mat

=A2

1

h),9

[r z4)

an:lXrl:3, orr:lX):3Siar':lXl:4.Deci

(oz2\ 2S.a)'[:20) n=lz 0 I l;

tr(A)reprezintiisumacardinalelormulfimilorXl ,X2qiX3.

(t 33\ b)Cum Xi\Xi:A,rezultdcdb;;:0,decih(B):0; c)A+B:l t t t l.Cum [+44)

3. al

fi= (r,

a,i*bii:lx,n ql+lx,\{l li (X,(1X)n(x,\ X):Arcniltdca :l|r.tn4)U(X\ x)l:lx,l,a""ip"

pIOI

I I ??3.l, [o I o I r t)

Ecu

liniaiapare,defiecaredat[,cardinalulmulflmiiXi.29.a)X:{0,1,2,...,5};b)C=[l

(t l l\

c)

c.c'=lt

u

, 4),1.

2

Tes

Teste de evaluare G,a;g.22)

Tes

(zt -s 5) (t n 6n-n'\ Testulr. r.all-e 5 -21;b)l'=10 I -2n 1.2.u)B'=0t;b)A(a)A(b):(lr+aB)(Ir+bB)= [s -2 t) [o o r ) =It+(a+b)B=A(a+b); c; (;1s1)'=A(5n\.

c'

=3'-t(3', A+7'^B). Testul

2. r. d.

2.

c.

3.

a)AB: BA:0i b) A" =3"-'A,

B"

=3"-tB;

c)

:det(A+

xB).Avem

10. det A

f(x):det

:

det(-

A+ax+i

A\

b)

3. d.

Determinanfi (pag.33) 1.a)-2;b)4; c)1; d)2; e)0;0-1; g)l; h)0. 2.a)t; b)6; c)ad-bc; d)t; e)6; f)1; g)0; h)12; i)-12; j)-8; k)0; /) -4(3-i). 3.a) a3+2b3-4b2a; b)0; c) (c-a)(b-a)(c-b); d)0; e) 0; 0 0; s) 2(c-a)(c-b)(a-b)(ab+bc+ca); h) 2abc(c-a)(c-b)(b-a). 7. a) 0; b) 16; c) 0; Oa8; e)0; D -o'+b2+c2. 9.a) (-1)'{(n*t); b) l; c) A,= (n-x)L,_,+(l-x)(2-x)...(n-t-x)x; O'\.(r+"@JD)r"-'. 2 )

l.a

:

detB,

(-t)'zn*t det A: d.

e Cdeci

-

det

A,

:

O. tr. Fie f(x)

f(l)+ f(- l):2detA+2detB.

b) det(A2 + 82; 1 det(A+ tB)12>-O . decinenul. 16.Searaticda,b,csuntpare,apoic[sedividcu2'VneN. folosegte definilia determinantului. 13.

deci det A

:

12. Se

15. Determinantul este impar,

Sis

l.t

b),

Ra

f.i

be

esl

17.4. 18.n:3,detA:1.

Str

Teste de evaluare (pag.36) Testul 1. a) A1 (a * b +

1.

:

-a); L2: (ab * ac * bc)(c -b)(c -a)(b -a); b) (a, b, c) :(k,kt,/re2lunde&elRgi e=cos{ *rrir!.2.L:0. 3.a)A:r3 +y3+23-3xyz dinregulaluiSamrs '33 c)(c -b)(c -a)(b

$iA: (x+y+r)(x'+f +*-xy-xz-yz)prinadunarealiniilorlaprimalinie.Testul 2. l.c).2.b).3.c).

1.

h)

{vtrr

, Itr

ci

sisteme liniare

Matrice inversabile (pag.39)

,)

(l ?), r (l ;')' , i(1, !), r *(? 7)' , ilf #), r;(:

;'), -r (l

;) 2a,\;,[l i tJ'.,*[t i j],,+[t r ij, ,;[i ,,

,;(i

;)'

j,J

\A

itXrCum

xpe

0\

ol;

t)

3.a)m*-;, b)m* c) m+4+lh5. 5.Rezultldin ( +A)(1,-A)=Ir. 6.AB:Io+A inversabil[pi 5; B = A-t= BA= 1,. 10. a) (1,- B)(1,- A)= I,- A- B + AB = I,; b) Folosind exerciliul 6, avem (1,-B)(1,-A)=I,,deundel *B:BA,deciAB:BA. ll. detA' =0, deoareceliniilematricei l. sunt propor{ionale. Cum

A.A' =detA.Io, renl/rti detA.detA' =(detA)4,

Ecuafii matriceale (pag. al)

, r(-l

-i)'r*(i

Teste de evaluare (pag.

restur

r

1.

-1),"t)l-l

jl,r;( ; :i -i) ,

-i -l ,;il.2.a)A3:g; [r, 2y-r -qy')

b) B.(13 -A+A2)=1,,deci

lx;

|-

Sisteme Cramer (pag. a3) 1.a)(3, 1, 1); b) (1,2,-2);

b) a

eR

-

cdAB:r.

a) detA:x3 eci.r e rR* eiy e rR; b) A'=l

u"ru*0ei

^B-'

=rt.A+A2.3.

-=lj :1l.r.r*, t

)0; t0; ,0;

Seara,E

al)

D: c)

de unde concluzia.

{-2, 1};

c)

c)(1,3,2);

d) (1, 1, 1);

i -6 i)

e)(-2,2,*3,3); D(2,0,0,0).

2.

2.1.a).2.d).3.a).

'-=--*--

a)a+-3;

a*312.

Rangul unei matrice (pag.47)

t.a)2;b)2;

c) 1; d)2;

e)2; Dr; e)2; h)2; i)3; j)3; k)2; t)3.3. *.(-*,i)u(2,.o). 4. o+9,

Se

DelR. sau o=9.

ojr,

este inversabil[, deci are rang n. 11. Cum

5'

n=!.5.a)Z;

b)1. 10. CumZI,-A3+93=(A+B)(A,-AB+82)renitAcLA+B

(A- I,)'

=

-f ,o avem A- I,

inversabilI.

1.

Studiul compatibilitlfii (pag. 52) c)

1.d)(l,,P,_},+2ll,_|);},,peC;,(tF*,ry^,*)if,,F€C;0(l,2,_2);g)incompatibil;

us

h) incompatibil;

i) ,l. e C; j) (0,0,0,0).

215

Teste de evaluare (pag.53)

Testul

1.

1. rang

A:3,

Ir

V o,p e R.

=*t0", , ='' 5=' , , =Y. 3. Dacd m+ 5 sistemur este l0 ! : 2, z : 0. Dacd m : 5 sistemul este compatibil simplu

2. x

compatibil determinat cu solufia x : 0, nedeterminat cu solufia x : L, /:2 - 4)u,

z:3?',

fu

e IR. Testul

2. 1. d). 2.b). 3. c).

1. l.aeA.2. xr=-I, dr:3x+y-4:0 $i dz:3x+.y:0. ' 2''2*r=].S.Dreptele ', Testul 2. 1. a). 2. b). 3. a).

k+

i,k*j

pentrucare S"

"\ ;) ,. o:

deciexist[ i impar cu o(r)

avem(ki)

'o(i):

e.3. a) Sunt.

impar;,

n+l numere impare - n-l ja ii ;

((;)')' .

.Dacd,c *

o .(ik)(i) deci &:7, fals. 5. Notiim cu S" =

numere pare

e atnnciS i *jcu o(i):7'. qi

tY

t e S, permutarea

qideaiciconcluzia.6.a)(B+C)A:BA+CA:AB*AC:A(B+e;(BqA:B(CA):B(Aq:(BA)C: (AB) c = A (BQ;b) Ak.A=Ak*'=A.Ak; c) AX=xk.x=x.xk=xA.7. AB-aA-bB=}i, = (A-br.)(B-ar.)=abr. + (;^-,")(*r-L)=+ ()a-,)(i^-1)= r. BA-bB-aA=o.

=

b) Dacr

f

Se

verific[ imediat, prin calcul. 9.a)

6ste tuncfia de la exerciliul 8,

atunciXestesolufie

e

f.(24):

=

:

(

\.14

?1),^,

x e.4(R)

dacd

+z4i.Rezult[clavemsolu{iile:

qi f(z): X,

,r=(-? }),

*,=(1, 'r),r,=() 7),*,=(-) ," an A2 -erA)A+(detA)r2=0,, deducem ca t(A2)(trA)2 + -',) +2detA=0. Scizdnd din aceastE relalie cea analoag[ pentru oblinem concluzia. ll. Din exerciliul l0 ^B rezultdcd,detA:0,deci det(A")=0.Atunci det(An * Ir)+ d,et(A" - Ir)= 2det(A")+ +2detlz=2. 12. Cum

rezrilt

d: detl > 1 gi d'=ad,-b,cn este convergent rez.;ultdcdd:1.

Din A'z-tr(A)A+(detA)Ir=0,

A'*2-tr(A)A'*t+(detA)A" =0z,deci a*r-tr(A)a,*r*d,=0 $ianalogpentrucelelalte. Fiel.+0 limitaunuiadinneqiruri.Atunci l(2-trA):0,deci trA:2.oblinem A2 -2A*Ir=0r,deci (A_Ir1z =gr. Clurm A=Iz*(A-Ir) rez;ultd cd A'=Ir+n(A-Ir), de unde a,=n(ar_l)+l , b,=nb, c,=/tc1; cd.

d,=n(dr-1)+1.

Dinconvergenlagirurilordeducem cd

ar=dr=l ;i 4="r=0.13. a)detA:0,rangA:2;

b)det(aA+bB):2l6ab*0 ab*0;c)searatiprincalcul; d)AB:BA:02;e) A,:(-6)*rA, Bn =6"8 si c" =(-6)'-'a"A+6"-tb'B .14. a) det(A-alr)=(3-a)(a'z-2o); b) se determinl rangul hi A-aI, pentru

a:3, o:0, a:2;

c) Se rezolv[ sistemul compatibil simplunedeterminat

verificr prin catcul direct; b) (10

(A-2Ir)X =0.

-nl(rr-*r) '\- 3 ) =to-1,1*!,t ' 3 3 =I+.16. a) det A:0 216

a) A2' Cum

a

x2u8

.

b) Un

sunt st

0zi

c)

tuiAe

zr=-2-i, zr=2+i, zt=l-2i, 24=-l+Zi;

arunci te7 + ,4t)

tel +24i)274:-7

det

egale a sistemr Sistem

esteminim6.Daciiro

xlxo

Asimptote (pag.l27)

1.a)x:l; y:1; b)r--l; y:x-l;

fi

2' Ld

")

cu

:

c)x:1; y:0; d)x:l; x:-t; y:l; e)y:0sprea; y:2x spre-co; Dy:x; g) y=r*1 .pr. @; y=r-].p..-*; h)y:0. 2.me {-1, l}.3. x=0, /=0

pentru flrncliaf:, a) c6nd

I

2'

y

:

mx

pentru

funcliag. 4.DacLP(x):aoaP +...+ao, Q@)=boxo +...+bo, atunci:

p : Q,avem r+*@ lim -f(*) :!, bq

avem iln: e) 1;

y=l*-l 24

*

1- 4') -!t- , r+t@ X bq

iar

de"i

y

:?

este asimptoti

orizontal[ spre

bq

+o;

b) c0nd

p:

Q

aobu' (limit[ care poate fi chiar nur[), n= r+t@ lim (/(r) -mx): :a'-tb' bO-

n este asimptoti oblic6 spre +

o. 5. Se procedeazi

*

L,

deci

ca in demonstra{ia teoremei de la pag. 125, cilci

in definitiv, asimptota oblic[ este o asimptotd polinomiall de gradul

1.

Teste de evaluare (pag. 128)

1

Ler

b,: Lq2rn, lt Ol - 1; c) * a.2. a: l, b: 4.3.Consider[m ------ girurile a,:ZnN, ' -l12' '----'-- --" 2 --" n) Avem lim a,:lim b,: * oo Si f(al :0, t(b,): - ln b,. Deoarece lim f(a,) : 0 * lim t(8,): - o, deducem '-' * o. Testul

1.

a)

ci f nu are limitii la

Testul2.

1. d). 2. e). 3. c). 4. d). 5. b).

4.)

sat

=li n

are

Continuitate Interpretarea gralici a continuitifii (pag. 132)

xr

3.a)a:L; b:l;b) a:l;b:lrc)a=e, b:l; d)o-2; g:l.4.Toatenumereleintregi.6.a) f(0):0; z b) Seutilizeazdinegalitatel x-x'.r3 sau f(x) l. Se aratii prin inducli e cd

r-qh T+l

este crescitor. Conform lemei Stolz-Cesaro, avem

lui

?,8): r

I

T

=

astfelincit Y

n)n" -

g

gi

b,:l:If:}rg 9P+: or+t

lo,f 6"10astfelincdtvx e1\ {0}, lxl.6, = l#

lr13

(1)

-rfu{o*).YAr>-*Ar) 0). I)

/

convergent, deci mirginit, prinunnare

e IR.. Din 3o rezulti.c[ qirul cu termeni pozitivi *,

=fgirr.*)

1M> o cuisg*)< M,Y n

,*r)ru- eM
0, a + rezolvate; b) Dac[ existii

s@)g(y),

inc

I ct g(x):a". Deducem imediat

x, e IR. ci g(ro ) * h(xo),

se

ce f(x)

arati c[ existi un interval

:#.

I: (xr- 6, ro + 6), 6 > 0, penfu

care f(1) nu este intenral, deci f nu are proprietatea lui Darboux. 16. f1R-+R,

K.y{(*^0

satisface enunful, conform problemei precedente punctul

xo

a).

17.

Fixim

15. a) Vezi exerciliile

q)(x- ar)"'(x-a,),

L

e IR. Not6nd

cr:

xeQ

,xelR.\Q 1 + B cu B > 0,

avempentrux+xo.|ry|=t,-,,|p,deciHry:0.Agadarf,(xo):0,VxoeIR,, 228

=(

Fol etc

deci f este constanti. 18. a) Funcfia f : [, oo) -+ [1, *), f(x) : x(l + ln x) este strict crescitoare, deci injectiv[. Cum f(1): l, f(x): * gi fA are proprietatea lui Darboux,reanltd cd f este surjectivd. Agadar

1g

estebijectivd.Eonliax(l+lnx):l.se derivabilS gi t'(x) * 0 pe [, co), rezulti funcfia f

f(x):1., deciare solufiaunicix: .f'(),);b)Deoarece f e funcfia ft(]"):.r(l) este derivabil[ gi avem: x(],)

scrie

c[

11 :-:----:::=:----;-----::-:-. Calculimlimitacerut[.Avem:

fg

'({r)) 2+lnx(}.) "f

:liglrf

fh}"

*:m

1

:1,*

;

-, -tr , :m *

. (2 +

rn,(r)) :lg3

:,

?iili8i

'ffi:

re. a) Determinam constantere reare

.r(1.) 2+lnx().)

Ar, ,4r,..., 4,

astfel

4 * 4 *...* 4", P(x) x-xr x-xz X_X,

incdt sI avem: ry,'=

vx e R\ {r,, x2,...,

xn}.

Determindm pe At, analog proceddndu-se pentru celelalte. inmul{ind identitatea pe care ne-o propunem cu Dacd

-+

f

@;

este

,:[0, ,

X_XtrentltE,dac5!inemseamacdP(x,):o:Q@)ffi=A|+(x_x,,(*--*) Trecem la limitn c6ndx

A*

adicd A, =

rr

P'(xn) x-x, 1ax2 +2(l-b)x+2a

(x'+t)'

adic[

b: - 5.21. a) ffi:

L,

Analog A, =

ffi.

in care Q@): P'(x); d) Scriem egalitatea de la b) inmugiti .u

adicl

)

O@).#=

O@:

micS;

rcef r, ))

qi oblinem

..., n. Rezultii identitatea din enunf; b) Folosim punctul a) in care

1)0,

avea

-+x,

1, V

:

0 are doui

f'(r)

*:i,

b) f,(x)

:

ridicini

reale distincte

* .ll,t).22.il

:

2,3, a)

. ' + ' +=J =l==l.. P(*) P'(xr) x-x, P'(xr). x-x, P'(x,)

xl, x2 gi avem xt x2: - l;b) a:

-3mx' +2(2m+ l)x-3 ecuafia , f'(x) (x -t\2 (x -2)2

=(2m+t)2 -em ei impundnd ca A < 0 se obline

i

x e IR.; c) Folosim punctul

P'(xr) P'(xr) , ecualia

ffi,

:

t.;. . .;:'j.

lR,

0 are discriminantul

,-

4,

A:

1

j

=f,,

pp b)

Fie

pt,

...,

p"

toatenumerele prime care

intr[

i,

d"r"o*prrnerea numere lor 2,3, 4, ..., flgi fie /r puterea

este

cea mai mare

la care apare vreunul din

ntu

=(,.*.#. .+) [,.*.*.

a

Folosim teorema de caractervarecu

\Q r0,

etc.

liile

r

acegti factori primi. Evident,

.}-)

.#

a limitelor de qiruri;

lR,

229

#=o,3a,;

sln qi ' f*]*]*...*1= 23 n d)Se ia r =;-etc;e)

f) Pentru n) n" avem

I I fr=;. pk'-.,\' ''-l$ k. pn -l