Matematica - Algebra.Geometrie Clasa 8 (Editura Paralela 45) PDF [PDF]

Zitiervorschau

“ヨ一一 ｔ出 一 〓曖日〓ｔ一 “一ｔ 〓一“一 一 〓一ぃ 〓一∽ Ｏ ぃ ““ｔ一ぃ ｔ一一こＪ 一 一 〓ｔ一 ｇ一一 〓０一 Ｊヨ 鯛

す ・ ●竜

・ 亀 二纂 勝

INE

T■ ST■ ●Sι α rda′ ′ ι′d′ ″ ιJ“ `ο `′ ““

.

幸

TESTUL l幸

PARTEA I.Scrieti numai rlspunsul corect(4,5 puncto。 (0,5p)1ロ

Remltatul calculuhi 24+34-li es“ 6

α=√ T,lb=5√ ,mJ mic este… … .. …………… Calculttd← +2)2_行 ,。 blinem rezultatul.… …… ……………

(0,5p)2. Dintre nulnerele (0,5p)3.

(0,5p)4. Solulia realdaecuafiei

L

-,

*

=

este

x:

(0,Sp)5, Lungimea segmentului avdnd capetele l(0, 1) ;i B(3, 5) este (0,5p)6. Dacd ABCDoeste un paralelogram ln care n( 1, numdrul E(a) este subunitar.

ｏ︲ＨＨＨゝ一〇 ０﹁ｏ一 一ＯＥ Ｏ一０■ υ ． 海ｏ一

=(品 指― ス → 器希 特計 編 m鰯 ∈ Ⅲ:J・

ス → =[ル

(軒

― 鶏

:舟

― 尭

】 dmpl五 ・

a)Aduccti CXpresia la folllla cea mai

濯

nm辰

岬

b)Arttati C五 3(4)+3(42)sc d市 idC Cu 4 pentru oricc numtt natural″

川 ≧2.

Probleme de maxim si minim. Probleme rezolvote

E

f"

Se considerd expresia E(x)

a)Detellllinati

: 1i

+ 4x + 9, unde x este num6r real.

α∈R pentru care Eα )=α -2o-1)2.

b)A■ 4i va10area minima a lui E←

)si prcciztti

2+4レ

χ∈R penm care se atingc acest minim.

_2+11=11-2o′

Rezolvare:a)Avcm E(χ )=-2χ -2χ +1)=11-2← -1)2,deCi α este α=11. b)intruca O_1)2≧ 0,∀ χ∈R,rezul● cl ll-2← -1)2≦ 11,∀ χcR,prin urmare Emax=

valoarea cttutata a lui

=1l E● )↑ ,i

in gencral,■ e EoO="2+レ

0 Notttnl cu△

=b2_4α θdiscriminantul

+6,χ ∈R,un iinom dc gradul aHHca.

trinolnului.Sc dcmonstrcaz五

>0,atund Eo)adm■ e O vdoarc mmi面 α _券 mhim se atinge cand χ 1°

χ=1

atinge ma対 mul atunci cttd← -1)2=0,adica pentru

dacユ

,ca mai sus,c五

:

言 ),itt acest

egdtt cu Ehh=一

;

2・

dactt α下

0,amnd雖 )ad面

maxinl se atinge cand χ=_発

"O VJOare ma対

mh egJこ

cu為 は =―

α≦解ヵ≦解g≦ 甲 由 目 ≫ ● ●Ｕ 一 υ 逼理 ｔ Ｅ ２ 理 こ

瞬

晴

鶏

"Fezinttt mda ttЮ

mtta arltna詭

⇔

e

鶏

⇔ α≦ 鶏

≦砺 ⇔ 漏

2Jab 3a + b

:

´≦b(inegalitatea mediiloF), “ 灘磁 a山 あ 饉 mm鰯

五 晴響 “ Fぬ 成 愚 皿 即 )α れ

,h aCe飢

.

I Dactt α,i b sunt numere reale pozitive,α ≦b,demonstrtti c滉

m鵡

舟

a

(Jb

ぬa∝ Ю rtt Ш …

⇔ α +b動

⇔ ′≦ 4前

‖ 配Ⅳ激鳴

oが

け

“

― ≦α+お ば √ メ≧Q配 釘激叱 0%≦ %⇔ 高 ≦雫

-J;)2 >0,

adevtrrat;(4) m,=O

o ff

3b

e a + b32b+

⇔

a3

3 b, adevdrat. Observdm c[, ln fiecare situafie, egalitatea se atinge dacl pi numai dac[ a = b.

ハctivitこ ti

S

de ttvこtare

1" Oeterminali valorile minime ale urm5toarelor expresii gi stabiliti c6nd se realizea-

zi minimul:

a)E(fl=f; d)E(x) =x'*3;^

g E(x)=1a-2)2 -3

b)E(x) =(r-2)2; e)E(x) =# -10;^ D E@= (2x-s)2 +

c)E(.r) =ps+3\2; f) E(x)=1x+ l)2 +

t;

ii n1i=)(3*i

l;

t'Sri s.

2'. Determinafi valorile minime ale urm6toarelor expresii gi stabilili c6nd se rcaliz.eazi minimul: a)E=i-6r+ t0; b)E=ノ 十ター3; c) E=Z* -8,*-+l; d'1E=l +x* l; c)E=vχ 2+8χ +20; DE= rh*'4*+4.

3"

Determinali valorile maxime ale urm6toarelor expresii gi stabilifi c6nd se realizea-

z[ maximul: a'1

b)E=10-χ 2; e)E=1-行 ―嚇 、

E = -x2;

d)E=5+2x-*;

@

+". Determinati

valoarea maximl a fracliei

c)E=-3-← -1)2; DE=χ (3-χ )+1.

,: ###

5-- Determinali numerele reale x, y in urm6toarele situalii:

*,[$-1y144.

") {rLt'.1 +Zf +Zry+9 ll + abl, atunci ab : 0. (prof, C. Lazdr, O.J.M.,2010)

0.cdterumere de forma abccl verifrcd simultan a * b = c +

dgil

+

b2

=&+

8?

8n + r ?"{;Y,"i,!rll, pifrate perfecte, arnltali cil 5n * 3 nu este numdr prim. Dac[ a gi b sunt numere reale astfel incdt t@ -2b\ = *@ -2a), demonsfrafi c6

ll.

c6

b,

'itr' DacE a, b, c sunt numere rafionale pozitive astfel inc6t ab + ac * bc = l, ardta[i (l + d71t + t211t + c2) este pdfrahrl unui numir ra{ional. l3.Ardtati ci dacd numirul natural n se scrie ca suml de doui pahate perfecte,

atunci gi 2n se scrie ca sumi de dou[ pdtrate perfecte. l{.a) Ardtali cE pentru orice numere reale a qi D are loc relafia: 1a2

+ r)(b2 + t) + 5o>2(2a+ tx3b + l).

b) Determinali numerele naturale n Si p carcverific5 rela,tia: (n' + l)Qf + l) + 45 : 2(2n+ l)(3p + t).

"

I 5. DacE a, b, c, d e (0, o) astfel lncdt ac

:

(o.J.M.,2014)

ι９

bd = 12, atunci: (a + 3)(b + 3)(c + 4)(d + 4\ > 482.

ｏ︲ＨＨ日ゝ″０ ●りｏ一 一ＯＥ Ｏ一ＯＥ υ ． 海０一

a=

'16. Glsti numerele tealex,y,z cunoscfuid cdx * y

* z= 6,iat ry + xz * yz=

12.

(Gazeta Matematicd 6/2 009)

{7.Dactr a,b,c,dsuntilrmerereale astfel lncdta * b = c + d$i; +8 =c2 + d, antnci d + bn = C + d pentu orice n ) 3. I 8. a) Verificali (ax + by)z + (oy - bx\2 = (a2 + b1(l + y2) pentru orice numere reale arbrxSiy, b) Deducefi cd (ax + by)' < (l + b')(*'+ y2) pentru orice numere reale a, b, x,l. '19. Ion, Costel, Adi gi Matei joac[ tenis de cimp, c6te un set, fiecare cu fiecare c6te o datユ

.

→Ctte Semis… aujucat?

b)Dactt χl,め ,χ3,凛 reprezinta numarul victO五 ilor ttecarui cOpil,iarッ 1,y2,y3,y4 reprezina numhl mimgeri10r suferite de iё Oare copil,aratati c漱

イ+鍔 +考 +イ =ズ +メ +ズ +プ ・ 20.→ vdflCati Ca suma s=′

_(α +1)2_(α

+2)2+(α +3)2 nu depinde de

αc

R,

b)Aratati ctt multimea y={122,132,142,152,20122,20132,20142,20152}pOate■

呻

mittt m doutt submul,mi dittuncte cu aceeasi suma a clernentelor,i acela,i numar de elemente.

fapitC)lul llle FUNCTII @l

Competenfe specifice: O Recunoa$terea unor corespondenle care sunt funcgii Q Utilizarea valorilor unor funclii in rezolvarea unoiecualii a unor Ei inecualii {3 Reprezentarea ln diverse moduri a unor corespondenle li/sau a unor functii ln scopul caracterizlrii acestora {*Exprimarea prin reprezentrri grafice a unor noliuni de geometrie plantr

Numim reper cartezian @ diculare, organizate ca

(sau sistem de axe ortogonale) dou6 drepte perpenaxe de numere reale, avfurd originea comuna in punctul o de intersectie a dreptelor, pe fiecare dreapti stabilindu-se cdte un sens de p*.*r gi o unitate de mdsurd (de obicei, aceeagi). Vom nota cu xoy un astfel de reper cartezian. Axa Ox va fi numiti axa absciselor gi axa Oy va fi numiti axa ordonatelor. Cele doul axe impart planul in patru cadrane,

numerotate ca in figur[.

Fiec6rui punctl din plan li putem asocia ln mod unic, proiect6ndu-lpe cele dou[ ure, o (xt, y,e) de numere reale; spunem cd A are coordonatele (x7, y7) pi scriem _pereche A(xe, yi, Num[ru] .e se numegte abscisa lai A, iar yl se numegte ordonata ta{1." Punctele de pe axa Ox au ordonata nul[, iar eele de pe axa au abscisa nul5.

er

,t-xa)2 +(yu-yil2 _Mtjlocul segmentului AB,

.urr.de

A(xa, ya), B(xa, ya), este punohrl

natele:

L, 篭昇

ノ〃 =ツ

ズ+ツ θ

avand coordo-

，

為ソ =五

M

ｏ︲ＨＨＨ＞ Ｏ Ｏｕ理υ ． ■Ｏｇ Ｏ七 巨一 ゆυ¨

Dlstanfa dintre dour puncte A(xe, yn) si B(xs, ys) se calculeaztr cu formula:

63

Exercilii rezolvote lR se CmSdeぬ llnuttmib И={α ,2,ろ い B〓 {1,ら ,4}.simd tt perechea(1,3) apa4ine produsului cartezianИ ×B,dete..1lin4i И,3,И ∩B,/∪ B,iB× И

口

.

Rezolvare:Culn(1,3)cИ ×B,rezultる cal c И si3∈

B.A doua condilie arata cう

b=3,i

amci,m mOd necesar,α =1.Rezuhる ca∠ =(1,2,3);B=(1,3,4);∠ ∩ B=(1,3);И ∪ B=

={1,2,3,4};3× И=((1,1);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(2,4);(3,1);(3,3),(3,4)}.

A(2,1); B(0,2); C(2,6). a) Calculafi perimetrul hiunghiului lBC. b) Aritali cd MBC este dreptunghic in B. c) Calcula.ti aria triunghiahi ABC. d) Afla1i coordonatele ortocentrului qi coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului. Rezolvare: a) Setc: AB + BC + AC. Utilizand formula distantei, oblinem: ИB=イ Q― χE)2+(ノ И_ッ 2)2=√ ,И c=√ 5=5,ね r BC=V笏 .A,adar,の Bc=5+3√

E

Z*

Se consider6 punctele

.

b) Observdnd cd AC2 = AB2 + BC2 deducem, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, ci MBC este dreptunghic inB. c)

finind cont de punctul b), oblinem

cd

s{us=

ry#:

5 (u.a.).

d) in cazul triunghiului dreptunghic, ortocentrul este vdrful unghiului drept, adici B(0,2), iar

2,1\ centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei AC, ' unu*" Q( '\'2)

.

こ Acti宙 十 ti de ttVこ tare t'

Scrie{i coordonatele purctelor din figura de mai jos (axele sunt marcate din unitate

m llnhate).

― 一…………― ?И

一      Ｅ

¨                                                                                           一 レ 一 ヽ                       一 ¨ ″ 一

    Ｄ    一 一

０︲ＨＨＨゝ″ｏ ｏりｏ一 υ ． 刈υ一

一一 Ｉ 一

64

3・

Reprezentali m planul raportat la lln reper ctttezian χの elementele produselor

carteziene∠ a)∠ C)∠

4“

x3,i3x∠ ,unde:

={1,2};B={… 1,1); b)∠ =(0,1,2};B={-1,0,1}; ={1,2,3);B=(1,2}。 Se conside盟 Ш reper caFezitt χ の m plan,Reprezentali:

→mullimea職or

pllnctelor planului ctt au abscisa O;

b)muttimea tumorpunctelor planului care tt ordonata a C)mullimea tumOr pmOtelor planului care au abscisa pozitiv醐

clu muttimea職。 r punctelor 0)mullimea範 範rOr

planului care au abscisa negati哺 ,l ordontta pozitiv醐 punctelor planului ctte au abscisa… l si ordottata negativう 。

.

χ6ン・Reprezen包 静mullimile: 霊 ■ → 民 ぼ(χ y,ッ χ)lχ χ〒ノχ}erimabisectoare); 目 b)鳥 {if(ly,ッ ″)￨■κ=― ッχ}(a dOlla bisooわ areh C)C={χ (場 ,ヵ )1場 =ん ,端 ∈[-1,珂 ). E6Ⅲ・Reprezettali五 planul rttortat h un reper cart磁 鈍 χの dementeb pЮ dusebr carte2iene/x3si 3× И,llnde: a)/={1,2};B=[-1,1];b)И =[0,1];B=[1,2];c)∠ 〓[0,1)∪ {2};B=l-1,1]. ‐ サ Considerttl pllnctu1/(2,3),i nottm cu B,cD,E Simetricele lui/fatこ de α の ,θ ,respect市 ね!五 de prima bisectoare.Reprezentai punctele B,cD,i E si aflali coOr― 3‐ Se considerユ un reper ctttezian {」

,

donatele lor.

3i Calculalilungimea segmentuluiИ B,llnde: a)/← 1,0);B(3,0); b)И (-1,0);B(-5,0); C)И (0,4ゝ B(0,1ゝ d)И (0,2);B(0,5); c)И (12,0);B(0,5); DИ ←3,0);B(0,4); g)И (-1,1);B(0,3); h)И ← 3,現 );B(1,1); i)И (0,0);B(6,8). I Se consi“ ra pllnctele И ￨・ 1,0);B(0,2);∝ 2,6).CalCulai lungimile segmentelor ←

∠B,BC,iИ c apOi額江 t4i ca cele trei puncte sunt coliniare. 10'Detemina「 coOrdOnatele mlloaCe10r laturilor triunghiului ttc cllnOsc翻 И(1,9),3(-3,71)'i CC4,5). ■ linati α 11-・ Dete■ ■ ИB,lllnde ,め ,stiind ca pllnctul」 И(α ,2)este mlJ10cul segmentului

■ ズ )∞ ,) 餞乳l電 鷺LttpШdeИ ぃ ゝ ,■

.・

de pe axa Oχ astfel mctt tiunghiul ИBC tt ie:

a) isoscel, cubazaAB;

・ Fic 14・・

b)drCptunghic m И

.

И(0,1),i3(4,1).Af14i c00rdOnatele pllnctului C cu pЮprietatea

c沈

」 dBC

este echilateral. 15・・ Se considcrtt punctele

И(1,2),i3(2,1).Afltti C00rdonratele smetricului Иね punctele {6・・ Se conidett ,-1);B(3,2);a← (0,o;∠ "de pllnctul B,i pe θ ccle ale sllnetricului lui Bね 1,3). "de/・ Detemin4i coOrdOnatelc mlloaCe101 segmentelor θB,iZa → “ b)Ar激導 patrulatcrul a4BC estc paralelogram. “

pllnctului

０︲ＨＨＨ＞ ０ ０﹁０一 一ＯＥ Ｏ一０≦ υ ． 刈υ一

tali Cう triunghiulガ 3C es“ isoscel. めたこ b)Stab■ 単 Care dintrc unghiurne僣 ,i d are面 sura llllai lnare. c)Anati c。 。 rdonatele mii10Cului segmentuluiBG CalCulati aria triunghiuluiИ BG の Se consideぬ punctele И(1,1),iB(3,4).Detenninali C00rdonatele punctului C 13‐

65

17‐ Se conside轟 脚 ndeL∠ ←1,-2ゝ 3(3,0)ゞ α 5,3)。 A且 叫i coOrdonateb punctuhi D,9tihd cユ 』 α )ette paralelogamt 18‐ Se conside五 punctele∠ K-2,‐ 3ヽ 3(4,0ン a2,4),i pt-4,1),Demonstrali Cユ

圏

paも mlaterul∠ JCD

este drepttnghi。

2.IN6tiunoi do

重 潔賜琳盤W詣 景有胤L臓 編 撃脳l轟麗鷺 鑢総 → s糠

g“ r

element din 3.Scriemノ :∠

J・

"J″Mbllimea∠ se nume,te domeniul(de dettnille al)J油 “ ● odomeniul ttnclieio Relalia/0≡ y arattt ca va10area imcliei

10,iei,iar 3 se nume,te

χ∈∠este y c Fiノ se text, numeste legen de corespondenil a nmOliei Si poate i data sintetic orin deSCriere‐ diagrame,tabele etc,)Sau analitic orintr_O formul五

m

)。

Douユ 量 molii se numesc egale dacユ au acelasi domeniu,acelasi codomeniu,i aceea,1

・ →βeste

loge de corespondentユ

Dacユ /:И

o ttnc,ie,atunci muttmea va10rttor(lmaginea)luiノ ette:

Imノ ={/(χ )lχ

∈∠}⊆ β。

Activitこ ti de ttVこtare HA conSiderm/=mullimeajudele10rRo肛

輪雌 bi;B=mullimea

嗜

OraselordinRomnia,

O COreSpondenta/:И → B,care asociazユ iectti judel ora,ele din acel jud“

,

defme“ o o mctie?

→ β,care asociazユ iectti judei reSё dinta sa,deineste o mctie?AnatigArge,),IC珂 ),gcMaramures),gCVranCeり 。 C)COresponden,た 3→ /Care asociaztt iechi ora,judetul m care se ana, b)COrespondenta g:И

defmeゞ eo mlie?Aflali乃 (Bttlad);力 (Hu,1);乃 eetr。 ,ani);力 ①evり ;乃 ((>む de)。

2MA FieИ

〓mullimea

elevilor din,ooala m care↑ nveti・ DeflniJ douユ

/:И

仙nclii:

→ R,ig:И → N。

@ S' in care dintre diagramele de mai jos este reprezentatl o func[ie gi ln care nu? Justificafi rtrspunsul!

甲 目 Ц ′ｏ●３ ３ ， 電 ■こ 翠 遅

→

b)

d)

e)

C)

/α

ヽ

b―

￨＼

ヽθ ブ

ζχ

ヽ

ゞノ Z ヽ

/

4・ Desc」 eli printr_O diagttmこ ,ip五 ntr‐ un tabel Щm獣 Oarele nmcitt m iecare caz precizali dOmeniul,oodomn如 1,i mullimea Valorilor(imagineの 動nClie量

0/:{-3,-2,0,1}→ ←3,-2,… 1,0,1,2),ノ oo=χ +1;

b)ノ :{-2,-1,0,1,2)→

・Exprimali

3・

←1,0,192,3,4),ノ o)=ノ 。

cu ttutOrul unor ttmule legile de ooresponden"ale ttncttilo翼

→

り

in iecare c厖 ,precizali dOmeniul,i imaginea ttnciieit Puteli preCiZa oodomeniul ttncメ

・Detemintti cea mai mare mullime D⊆

6・

ei?

R Care poate tt dOmenm de deinitte

penttm o ttncメ e deinitュ prin formula:

→ノ )=2」 L2;

b)ノ (χ )=Vχ -2;

(″

・se

'Iニ

摺

1・

T鳳

)=イ χ

α ら ゛ メ

か ト ま {″

2+4χ

(χ

+4,

負 liile∫ :{-1,0,α )→ Z,∫ (χ )=← 1)X,ig:[∈ ZIレ ￨く 2).→ И “ Dde面nttnlmettb"de mullima 4ゞ hd磁

conside轟

7・

c)ノ

轟肺 c,aノ ロ

,QLη → R淘

→CalCulati/← 1)― /(0),

=2χ

,

摯彎

4.

b)CalCulali/(1)・ /(2)。

C)Detel..ス inali mullimea valorilor fЩ ncliei(Imヵ

.

のAnal lm/∩ N.

― ぽ se

considtt imctia/:R― )R,/(χ )=イ ワ ・χ+1. →CalCulali media aritmetioこ a numerelor/(1),i/← 1)。

.

b)CdCulati ttedia geollnetictt a numerelor/(√ ),i/(13√ )。 c)Dactt

・se 10・

α 鯰liOttnumh1/=n万・ ,b∈ Z,鑓 嵐 (/(α )― /(b))eSte cOnsidera inclia/:R―

inに g.

)R,/(χ )=3χ -5,

→CalCulali Slma s=/(1)+/(2)+… +/(10).

り

mculati prOdutt P=〈

蝕 iaノ :R→ R,ノ (χ )=… 3χ +√ →Deteminali α∈R penm “ care/(α )=0. b)Deteminaliら ∈R penm careノ (3)≧ 0. C)た ユ tali cュ 働 腱Ctia ia attt valori ralionale,cat,i valori iraliona10.

甲 目 露

JI)。 (判 。

11..se conside轟

`

b)Deteminaiii“

oメ

)=預

c N penm care/(4)=0,99`

∈N penm care/(″ )≦ 2-√ 。 ノ(2),¨ :,/(100)。

■ い だ ｏ援 ご 翠 ξ ﹃

めDe協 皿dnali″

鈍 aル N→ R,/(χ お。

，

secmsde誦

ｏ

12・

C)CalCulali prOdusu1/(1)。

67

・Se

13・

釦nctia/:N→ べ,care

consider沈

asociazう ieclmi numtt natural“ restul

lmp池 時 irii sale prin 7.

ュ ニ inali/(0),ノ (5),ノ (9),ノ (1000),/(3003). →Deteニ ュ ei/.

b)Anali lnultimea valorilor ttncメ

:R→ R,ノ (

回議14・ 'Se oonsidett inctiaノ

回 団

→CalCulali/(-5),ノ (… Nぼ ),ノ (_1),ノ (√),/(2),ノ (4). b)た 沈 叫iCユ ecualiaノ 00=O nu tte solulii。 ・ ・ 15・ Stabili,i cate鈍 。 ,dac漱 liiノ :∠ →」exi説 ユ a)∠ ‐{α ,ら };3護 ケ,y,Z}; b)∠ 篭{α ,ら ,θ };B露 ヶ,ソ ・ ・ 16・ Determinati tOate ttncliile/:{α ,ら ,θ }→ (1,2)cu prOprietatea

@

}。

cユ

:

b)ノ (ら )+ノ (C)=4・ → /(α )t

拗一

punctul A(a, 2) se afl6 pe G1

.

Afla{i a e

IR.

penfru

caf,e

tS.. Determinati coordonatele punctului de /,g:R→ R Sunt deflnhe pnn:

@

a)/(χ )=2χ +1,g(χ )=3χ +1; C)/(χ )=3,g(χ )=2χ -1;

intersecfie dintre Gy Si Gg, gtiind

b)/(χ )=-3χ -1,g(χ )=2χ cly/(χ )=χ

2,g(χ

+2;

)=4χ -41

{6-'Demonstrati cE Gt, Gr gi Gi, au un punct comun, dacdf,g, ft : IR. + x :,iar

=.r- l,g(x)= {T" f, g,

h:

IR

cl

R.,/(x):

h(x):-**r.

Determina{i coordonatele punctelor de interseclie dinfre G7, Gr qi Gp, dacd -+ IR,/(.r) = x + 2, g{x):2x - l, iar h(x) = -x - 4.

@ tg'.' Se considerl funcliile /): R + R,/.(x) : trt + 2 - m, unde meste un parametru real. a) Determinafi coordonatele punctului de interseclie dintre graficele functiilor fo b) Arltafi ci graficele tuturor funcliilor f* au un punct comun.

qifi.

liniar触

Sc llume,“ funcle lniartt o fm“

e/:D→ R,/← )=″

+ら ,unde

α ,ら ∈R,iar D

este o mulJme de nllmere reale.

Dactt D=R,graflcul incliei liniare este o dreap籠

.Dacユ D este multime ini饉

,

graflcul este fomat din pllncte coliniare.Daca D este interval,graflcul este o semidreυ 籠

(m cazul m care intervalul D este nettginio sau lln segment(m cazul tt ctte D este inteⅣ al ttgin■ ).

Fie/:R→ R,/← )=傷

+ら .Dactt

α=0,atunci

の m punctul B(0,b).D"江 α≠0,atund G/ё B(Oi b)'i a in/(_:￨,0)・

"e o dreaptう

a>0 Gy= dreaptd ascendentl

obhcう ,care

taieの

範

a宏 -5;

o5(2χ

り

;

+1)-13≦

12;

6`+2ぐ o5χ ―(競 >2-9ぐ )=χ >-7ぐ ⇒χ宏

-5⇔ χ-6>行 -10⇔ χ―行 >-10+6⇔

―録

>4⇔

χχ √+落 ⇔ χ →χ ←√)>3√

3⇔

く χ 押

10-χ ぐ⇒-3χ +14>10-χ ぐ)-2χ > 4ぐ )χ 2;

o3-2月

+12, "r'23 -r-3

d)2+2≦

**2

-5∝ (Admitere liceu, 1989)

25“

Rttdvtt dttemd de h∝

uⅢ :{iY￡ j∬

7 d“ ブ たた′ たι 夕 ,f98〃

■Deterlninali

perechile de numere intregi care veriflch simultan relatiile: lχ

…11=1,i lχ …ノ￨く

“

2.

βgS燿 ″ ♭ θ″αa 2θ θη Fゴ

`″ ll Ⅳledia aritnletictt a doutt nulnere namrale este 7,5,iar rnedia lor geometncユ

este 6.

a)A■ ali numerele. b)Ce prOcent reprezintユ

numttrul mai mic din numttlllnailnare? β

"燿

た Nα ′ ′ ο″′れ

θη 'θ

甲 目一 還 卜︰墓ｙ

24 LdV“

″ α 22θ θη Farara聰′ =。

■

28.Se considertt ecuaJa cu necunoscutaχ

:

2+4χ χ +3-″ =0,unde′ η∈R.

a) Rezolvali ecuatiapentru m= l. b) Determinali m e JR, penffu care ecuafia are doud solu{ii reale distincte.

c) Determinali m e elemenl

1R,

penfru care mu[imea

soffiilor

este format6 dintr-un singur (Admitere liceu, 1992)

ii.

Se consideri ecuafia mx2 + (2m

+m

-l)x

-l=

0 , unde rn e IR*.

a) Rezolvafi ecuafia pentru m = 2. b) Aflali valoarea lui z, penfru care x = 3 este solufie a ecuafiei.

c) Arltati c[ ecuafia are o solufie numdr inffeg, oricare ar fi m e

IR*.

!0. Aflali numlrul natural ab, gtiind

81Pr6blё lme

$

=

"e b" +5460 ab

tiroa‐

2

00 7

(Testare Nafionald,

2

00 5)

.

むoお こLIrstlriibr

'1. Se consideri ecua{ia cu necunosc otu*,

*-)=

ntr

x-2

)

tare N afionald,

(Tes

t=

scOlarol‐

, unde m e IR.

a) Pentru ce valori ale lui x are sens fracfia din membrul st6ng? b) Rezolva{i ecuafia pentru m:0. c) Rezolvali ecuafia pentru z e lR.*.

χ 判

k」 v“ mR∝u葎 &1轟 ￨十

1∵ ￨=多 い「 JiCα 鈎 ノ

&kЮ

(Admitere liceu, 1990)

市 嘲Ⅲ _川 肝引 導 aレ

Dj:'“

o=詢0,θ ′ 9,α

racaIぅ,3“

`″

″ゞ 鳥2θ θ ″

=・f-2.

4.Se cOnsidat expresia Eoo=レ ￨+レ ー11+χ -21+.… +レ ー20121.

→Aratati H ００ｏ一 一ｏＥ Ｏ一０〓 υ ． 海０一

:団

1∞

cttaの

=E(2012-α )penm O五 ce numtt real α .

b)Gユsiti″ ∈R,Stiind cこ ecuatiaEO=″ 島

k劉

Antt 蜻馘″ 3ッ

可

m z ccualia讐

numcreL me」 -24