Mate IV Ejercicios 3 2018-1 - Sol [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA MATEMÁTICAS IV PRIMER SEMESTRE 2018 GUÍA DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS UNIDAD 2: CONTROL ÓPTIMO

1. Sea el siguiente problema de control Óptimo: 𝑇

𝑀𝑎𝑥 𝑉 = ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦, 𝑢)𝑑𝑡 0

𝑦′

= 𝑔(𝑡, 𝑦, 𝑢) 𝑦(0) = 𝑦0 𝑦(𝑇) = 𝑦𝑇

a) Considere que 𝑔(𝑡, 𝑦, 𝑢) = 𝑢. Demuestre que la aplicación del Principio del Máximo para el problema propuesto resulta en la relación:

𝑓𝑦 =

𝑑𝑓𝑦′ , 𝑑𝑡

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟

Solución: Planteando el Hamiltoniano: H= 𝑓(𝑡, 𝑦, 𝑢) + 𝜆 ∗ 𝑔(𝑡, 𝑦, 𝑢). Aplicamos el Principio del Máximo: i)

𝜕𝐻 𝜕𝑢

= 𝑓′𝑢 + 𝜆𝑔′𝑢 = 0, 𝑔′𝑢 = 1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑡, 𝑦, 𝑢) = 𝑢 𝑓′𝑢 = − 𝜆

′

ii)

𝑦 =𝑢

iii)

𝜆′ = −

𝜕𝐻 𝜕𝑦

= −𝑓𝑦

La cuarta condición no es necesaria para la demostración. Si derivamos respecto al tiempo el resultado de i) tenemos: 𝑑[𝑓 ′ 𝑢 ] = −𝜆′ 𝑑𝑡 Reemplazando iii) en esta relación: 𝑑[𝑓 ′ 𝑢 ]

= 𝑓𝑦 𝑑𝑡 Luego, con la consideración particular ii) tenemos:

𝑓𝑦 =

𝑑𝑓𝑦′ , 𝑑𝑡

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟

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Control Óptimo

La conclusión de esto es que Cálculo de Variaciones es un caso particular de Control Óptimo. b) Ahora considere la siguiente especificación: 𝑓(𝑦, 𝑢) y 𝑔(𝑦, 𝑢). Este problema se denomina autónomo ya que no depende explícitamente del tiempo (t). Demuestre que bajo la aplicación del Principio del Máximo, el Hamiltoniano óptimo es constante a lo largo del tiempo. 𝜕𝐻 = 0 ∀𝐼, 𝜕𝑡

𝐻 = 𝑐𝑡𝑒 ∀𝐼

𝜕𝐻(𝑦, 𝑢, 𝜆) 𝜕𝐻 𝑑𝑦 𝜕𝐻 𝑑𝑢 𝜕𝐻 𝑑𝜆 = ∗ + ∗ + ∗ 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑢 𝑑𝑡 𝜕𝜆 𝑑𝑡 Aplicando el Principio del Máximo: i)

𝜕𝐻

=0

ii)

𝜕𝑢 𝑦′

iii)

𝜆′ =

=

𝜕𝐻 𝜕𝜆 𝜕𝐻 − 𝜕𝑦

Al reemplazar estas 3 condiciones en la expresión de arriba, tenemos que

𝜕𝐻 𝜕𝑡

=0

2. Resuelva el siguiente problema de control óptimo: 𝑇

𝑀𝑎𝑥 ∫ −(1 + 𝑢2 )1/2 𝑑𝑡 0

𝑠. 𝑎. 𝑦 ′ 𝑡 = 𝑢𝑡 𝑦(0) = 𝐴 𝑦(𝑇)𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑡 ∈ [0,2] 3. Se les presenta a continuación un problema de control óptimo con horizonte temporal y valor final fijos. Resuélvalos sin utilizar la cuarta condición de primer orden: 𝑇

𝑢1−𝜙 𝑑𝑡 0 1−𝜙 𝜙 ∈]0,1[ 𝑠. 𝑎. 𝑦 ′ = −𝑦 − 𝑢 𝑦(0) = 2 𝑦(𝑇) = 1 𝑀𝑎𝑥 ∫

2

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Control Óptimo

4. Todo tiene solución… 𝑎

𝑀𝑎𝑥 ∫ 𝑢𝑑𝑡 0

𝑠. 𝑎. 𝑥̇ = 𝑥 + 𝑢2 Donde a > 0. a) Encuentre las trayectorias de las variables de control, estado y co-estado (Ayuda: no es necesario determinar las constantes de las trayectorias). 𝐻 (𝑢, 𝑥, 𝑡, 𝜆) = 𝑢 + 𝜆(𝑥 + 𝑢2 ) 𝜕𝐻 −1 (1) … = 0 = 1 + 2𝜆𝑢 → 𝑢 = 𝜕𝑢 2𝜆 (2). . . 𝜆̇ = −𝜆 → 𝜆 = 𝐻0 𝑒 −𝑡 −1 −1 𝑡 𝐷𝑒 (1)𝑦 (2): 𝑢 = 𝐻 𝑒 2 0 1 (3) … 𝑥̇ = 𝑥 + 𝑢2 → 𝑥̇ − 𝑥 = 𝐻0 −2 𝑒 2𝑡 4 1 𝑡 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 (3): 𝑥 = 𝐻1 𝑒 + 𝐻0 −2 𝑒 2𝑡 4 b) Tomando en consideración la condición inicial y terminal, demuestre que el problema no tiene solución. 𝑥 (0) = 1 ; 𝑥 (𝑎 ) = 0 Con la trayectoria de la variable de estado (x), pasamos a evaluar los datos del problema. 𝑥(0) = 1 → 4𝐻1 = 4 − 𝐻0 −2 𝑥(𝑎) = 0 → 4𝐻1 𝑒 𝑎 + 𝐻0 −2 𝑒 2𝑎 = 0 → 4𝑒 𝑎 + 𝐻0 −2 [𝑒 2𝑎 − 𝑒 𝑎 ] = 0 De donde la única forma para que se cumpla la igualdad sería: 4𝑒 𝑎 = −𝐻0 −2 [𝑒 2𝑎 − 𝑒 𝑎 ] Lo cual es una contradicción, ya que 𝑒 𝑎 es positivo, y el lado derecho de la ecuación es negativo, ya que 𝑒 2𝑎 − 𝑒 𝑎 > 0. Se demuestra que el problema no tiene solución. c) Ahora suponga una ligera variación en el problema, en particular la condición terminal ahora es: 𝑥 (1) = 𝑎 ¿Qué condiciones debería cumplir “a” para que el problema tenga solución? 𝑥(0) = 1 → 4𝐻1 = 4 − 𝐻0 −2 𝑥(1) = 𝑎 → 4𝐻1 𝑒 1 + 𝐻0 −2 𝑒 2 = 4𝑎 → 4𝑒 + 𝐻0 −2 [𝑒 2 − 𝑒] = 4𝑎 Dado que 𝐻0 −2 [𝑒 2 − 𝑒] es positivo, necesariamente debe ser el caso que 𝑎 − 𝑒 > 0, por lo que la condición que garantiza una solución al problema es que 𝑎 > 𝑒.

5. Minimizando la distancia Encuentre la curva, con la distancia más corta, de un punto P a una recta L dada. El punto P está referenciado por P(0,A). Se asume que la línea L es vertical. El problema se plantea de la siguiente manera.

3

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Control Óptimo

𝑇

1

𝑀𝑎𝑥 𝑉 = ∫ −(1 + 𝑢2 )2 𝑑𝑡 0

𝑦′ = 𝑢 𝑦(0) = 𝐴 𝑦(𝑇) 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 (𝐴, 𝑇 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠) Solución: Lo primero que podemos notar es que la variable de control no tiene una relación lineal respecto al hamiltoniano, por lo que podemos esperar una solución interior. 1

𝐻 = −(1 + 𝑢2 )2 + 𝜆𝑢 Aplicamos el Principio del Máximo: i)

𝜕𝐻 𝜕𝑢

1

1 2

= − (1 + 𝑢2 )−2 ∗ 2𝑢 + 𝜆 = 0 𝑢 ∗ (1 + 𝑢2 )−1/2 = 𝜆, 𝑢2 ∗ (1 + 𝑢2 )−1 = 𝜆2 ,

𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑢

𝑢 = 𝜆 ∗ (1 − 𝜆2 )−1/2 Es posible verificar la condición de segundo orden. ii)

𝑦′ = 𝑢

iii)

𝜆′ = −

iv)

𝜆(𝑇) = 0

𝜕𝐻 𝜕𝑦

=0

De la tercera ecuación, al integrar tenemos que la trayectoria de la variable de co-estado es constante a lo largo del tiempo. 𝜆𝑡 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Se entiende que si 𝜆𝑡 es una constante, entonces su valor en t =T es también su valor para todo t. Entonces, utilizando la condición de transversalidad, tenemos 𝜆𝑡 = 0,

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡 ∈ [0, 𝑇]

Reemplazando esto en la relación encontrada en i), tenemos que 𝑢𝑡 = 0,

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡 ∈ [0, 𝑇] 4

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Con esta relación, también tenemos que 𝑦𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. Con la condición inicial del problema, tenemos: 𝑦𝑡 = 𝐴 Con estas relaciones, se puede realizar un gráfico donde se muestra la trayectoria de la variable de estado respecto al tiempo. Esta trayectoria es la que minimiza la distancia entre el Punto P y una recta L dada.

6. Resuelva el siguiente problema a partir del Principio del Máximo. 2

𝑀𝑎𝑥 ∫ (2𝑥 − 3𝑢)𝑑𝑡 0

𝑥(0) = 4; 𝑢(𝑡) ∈ [0, 2] 𝑥′ = 𝑥 + 𝑢 Grafique la trayectoria de la variable de control y la variable de estado. 5 (𝐴𝑦𝑢𝑑𝑎: 2 − ln ≈ 1.08; 6 − 2𝑒 −1.08 ≈ 5.32) 2 𝐻 = (2 + 𝜆)𝑥 + (𝜆 − 3)𝑢 Dado que el Hamiltoniano es una función lineal de la variable de control, 2 𝑠𝑖 𝜆 > 3 i) 𝑢∗ (𝑡) = { 0 𝑠𝑖 𝜆 < 3 ii) 𝜆′ = −𝐻𝑥 = −(2 + 𝜆) iii) 𝑥 ′ = 𝐻𝜆 = 𝑥 + 𝑢 𝜆(𝑡) = 2𝑒 2−𝑡 − 2 5 2

El valor de 𝜆 = 3 se alcanza cuando 𝑡 = 2 − ln . De esta forma, si 𝑡 𝜖 [0, 1.08[, entonces 𝑢∗ = 2 y por lo tanto la ecuación de evolución del estado queda como 𝑥′ = 𝑥 + 2 Cuya solución, dada la condición inicial 𝑥(0) = 4, es 𝑥 ∗ (𝑡) = 6𝑒 𝑡 − 2. De la misma forma, si 𝑡 𝜖 [1.08, 2], se tiene que 𝑢∗ = 0 y el estado óptimo queda como 𝑥 ∗ (𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡 . Aquí no podemos usar la condición inicial dado que 0 ∄ [1.08, 2]; usamos, en cambio, para determinar el valor de 𝐴, la continuidad de la función 𝑥 en 𝑡 = 1.08, es decir, 𝑥 ∗ (1.08) = 6𝑒 1.08 − 2 = 15.668 = 𝐴𝑒 1.08 , y por lo tanto 𝐴 = 5.32. Las gráficas de las trayectorias óptimas 𝑢∗ (𝑡) y 𝑥 ∗ (𝑡) se pueden ver a continuación.

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A este tipo de problema se le denomina problemas de “bang-bang”, dado que la variable de control solo toma (quizá de manera intermitente) sus valores extremos. 7. Modelo de crecimiento de Ramsey Resuelva en base a la Teoría del Control Óptimo. El problema se enuncia así: T

𝑀𝑎𝑥 F = ∫ 𝑈(𝑐)e−ρt 𝑑𝑡 0

𝑠. 𝑎. 𝑘 ′ = 𝑓(𝑘) − 𝑐 + 𝛿𝑘 𝑘(0) = 𝑘0 𝑘(𝑇) = 𝑘𝑇

8. Halle las trayectorias óptimas d𝑦 ∗ (𝑡), 𝑢∗ (𝑡) y 𝜆∗ (𝑡) que resuelvan el problema: ∞

𝑀𝑎𝑥 L = ∫ e−3t (− 0

𝑢2 𝑦2 + 𝑦𝑢 − ) 𝑑𝑡 2 2

𝑠. 𝑎. 𝑦 ′ = 𝑢 𝑦(0) = 1

9. Introducción a la tasa de descuento En el artículo original de Frank Ramsey, los individuos no descuentan el futuro ya que Ramsey considera que éticamente insostenible el “descontar” a las generaciones futuras. Para poder acotar la integral impropia considera un nivel de utilidad máximo, que llamamos la dicha absoluta y denotamos por 𝐷. El problema de optimización a resolver es, entonces, ∞

𝑀𝑖𝑛 ∫ (𝐷 − 𝑙𝑛𝑐)𝑑𝑡 0

Sujeto a 𝑘 𝛼 = 𝑐 + 𝑘̇ y con 𝑘0 dado. Se supone, además, que 𝑢(𝑐) = 𝑙𝑛𝑐 y 𝑓(𝑘) = 𝑘 𝛼 , 0 < 𝛼 < 1, son las funciones de utilidad y producción, respectivamente.

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a) Obtener las condiciones de primer orden para el problema de optimización ¿Cómo evoluciona el consumo? 𝐻 = 𝐷 − ln 𝑐 + 𝜆(𝑘 𝛼 − 𝑐) 

 

𝜕𝐻 = 𝜕𝑐 𝜕 2𝐻

1 𝑐

− −𝜆 =0

>0 𝜕𝑐 2 𝜕𝐻 = 𝑘′ = 𝑘𝛼 − 𝑐 𝜕𝜆 𝜆′ =

−

𝜕𝐻 𝜕𝑘

= −𝛼𝜆𝑘 𝛼−1

De estas condiciones se puede obtener: 𝑐′ = 𝛼𝑘 𝛼−1 𝑐 b) Comparar los resultados del inciso anterior con el modelo usual, en donde hay una tasa subjetiva de descuento. 𝐻 = (𝐷 − ln 𝑐)𝑒 −𝜌𝑡 + 𝜆(𝑘 𝛼 − 𝑐) 

𝜕𝐻 = 𝜕𝑐 2 𝜕 𝐻

1 𝑐

− 𝑒 −𝜌𝑡 − 𝜆 = 0



>0 𝜕𝑐 2 𝜕𝐻 = 𝑘′ = 𝑘𝛼 − 𝑐



𝜆 =−

𝜕𝜆 ′

𝜕𝐻 𝜕𝑘

= −𝛼𝜆𝑘 𝛼−1

De estas condiciones se puede obtener: 𝑐′ = 𝛼𝑘 𝛼−1 − 𝜌 𝑐 10. Las ventas de una empresa dependen de su gasto en publicidad 𝑢 de acuerdo a la siguiente función de movimiento: 𝑆 ′ = 𝑎 ln(𝑢) − 𝑘𝑆 Donde 𝑆 es el nivel de ventas de la empresa, 𝑎 > 0 es una constante que refleja el impacto de un mayor gasto en publicidad sobre las ventas y 𝑘 > 0 es la tasa a la cual decaen las ventas. Así, el objetivo de la empresa es escoger el nivel de gasto en publicidad que maximiza sus beneficios, entre el periodo 0 y 𝑇, descontados a una tasa 𝜌: 𝑇

𝑉 = 𝑀𝑎𝑥 ∫ ( 𝑆 − 𝑢)𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡 0

a) Se pide que plantee las condiciones de primer orden y encuentre la trayectoria de 𝑢 que

maximiza 𝑉. Además, compruebe que se trata de un máximo. Planteo el Hamiltoniano: 𝐻 ∗ = 𝑆 − 𝑢 + 𝑚 (𝑎 ln(𝑢) − 𝑘𝑆) CPO: 1.

𝑑𝐻 ∗ 𝑎𝑚 = −1 + =0 𝑑𝑢 𝑢 7

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𝑢 = 𝑎𝑚 𝑆 ′ = 𝑎 ln(𝑢) − 𝑘𝑆 𝑑𝐻 ∗ 3. 𝑚′ = − + 𝜌𝑚 = −1 + 𝑘𝑚 + 𝜌𝑚 𝑑𝑆 ′ 𝑚 − (𝑘 + 𝜌)𝑚 = −1 𝑚𝑐 = 𝐻1 𝑒 (𝑘+𝜌)𝑡 1 𝑚𝑝 = (𝑘 + 𝜌) 1 𝑚 = 𝐻1 𝑒 (𝑘+𝜌)𝑡 + (𝑘 + 𝜌) Aplicando la condición de transversalidad: 𝑚(𝑇) = 0 1 𝑚(𝑇) = 0 = 𝐻1 𝑒 (𝑘+𝜌)𝑇 + (𝑘 + 𝜌) −1 𝐻1 = 𝑒 −(𝑘+𝜌)𝑇 (𝑘 + 𝜌) 1 𝑚= (1 − 𝑒 (𝑘+𝜌)(𝑡−𝑇) ) 𝑘+𝜌 Trayectoria de 𝑠: 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑚 = (1 − 𝑒 (𝑘+𝜌)(𝑡−𝑇) ) 𝑘+𝜌 Condición de suficiencia de Mangasarian: Se trata de un máximo 𝑑2𝐻∗ 𝑚𝑎 =− 2 0. Donde 𝑢 y 𝜋 son el desempleo y la inflación respectivamente. Esto significa que, si durante el gobierno hay alto desempleo e inflación, la población no votará por su partido en las siguientes elecciones. Además, el presidente también llevó Macro II y sabe que estas variables están relacionadas y, en este caso, se comportan de acuerdo a lo descrito en la curva de Phillips con expectativas: 8

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𝜋 = (𝑗 − 𝑘𝑢) + 𝛼𝜋 𝑒 Con parámetros dados 𝑗, 𝑘 > 0 y 0 < 𝛼 ≤ 1. Donde 𝜋 𝑒 es la tasa de inflación esperada. Las expectativas son adaptativas, es decir, ante desvíos de la inflación realizada respecto de la esperada, esta última será mayor (o menor) en el siguiente período. 𝜋̇ 𝑒 = 𝛽(𝜋 − 𝜋 𝑒 ) Con 𝛽 > 0. El presidente enfrenta un problema de control óptimo donde 𝑢 es la variable de control, 𝜋 𝑒 es la variable de estado (conocida en 𝑡 = 0, 𝜋 𝑒 (0) = 𝜋0𝑒 ) y 𝜋 se puede expresar en función de las otras dos variables. Las siguientes elecciones se darán dentro de 𝑇 años. La población tiene memoria corta, así que le dará más peso a los eventos que ocurran cerca de las elecciones. Ello se puede expresar a través de un factor de descuento 𝑒 𝑟𝑡 donde 𝑟 > 0. a) Ayude al presidente a plantear el problema de control óptimo a resolver. (Ayuda: tanto en la función objetivo como en la restricción no debe quedar 𝝅). 𝑇

𝑀𝑎𝑥 ∫ (−𝑢2 − ℎ𝑗 + ℎ𝑘𝑢 − ℎ𝛼𝜋 𝑒 ) 𝑒 𝑟𝑡 𝑑𝑡 0

𝜋̇ 𝑒 = 𝛽 (𝑗 − 𝑘𝑢 − (1 − 𝛼)𝜋 𝑒 ) 𝜋 𝑒 (0) = 𝜋0𝑒 y 𝜋 𝑒 (𝑇) 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝜋0𝑒 y 𝑇 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠

b) Plantee el Hamiltoniano y obtenga las condiciones del principio del máximo. 𝐻 = (−𝑢2 − ℎ𝑗 + ℎ𝑘𝑢 − ℎ𝛼𝜋 𝑒 ) + 𝑚[𝛽(𝑗 − 𝑘𝑢 − (1 − 𝛼)𝜋 𝑒 )] 𝜕𝐻 i) = (−2𝑢 + ℎ𝑘) − 𝛽𝑘𝑚 = 0 𝜕𝑢 𝜕𝐻 ii) 𝜋̇ 𝑒 = − = 𝛽(𝑗 − 𝑘𝑢 − (1 − 𝛼)𝜋 𝑒 ) 𝜕𝑚 𝜕𝐻 iii) 𝑚̇ = − 𝑒 − 𝑟𝑚 = −(−ℎ𝛼 − 𝑚𝛽 (1 − 𝛼 )) − 𝑟𝑚 𝜕𝜋 𝑚̇ = ℎ𝛼 + 𝑚(𝛽 − 𝛼𝛽 − 𝑟) iv) 𝑚(𝑇)𝑒 𝑟𝑇 = 0

c) A partir de las condiciones de primer orden, halle la trayectoria óptima de la tasa de desempleo en función de los parámetros del problema. (Ayuda: No es necesario hallar la trayectoria de 𝝅𝒆 ). De i): 𝑢=

1 𝑘(ℎ − 𝛽𝑚) 2

De iii): 𝑚 = 𝐴𝑒 𝐵𝑡 −

ℎ𝛼 𝐵

Donde 𝐵 = 𝛽 − 𝛼𝛽 − 𝑟 De iv): 𝑚(𝑇)𝑒 𝑟𝑇 = 0 9

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ℎ𝛼 =0 𝐵 ℎ𝛼 −𝐵𝑇 𝐴= 𝑒 𝐵 ℎ𝛼 −𝐵𝑇 𝐵𝑡 ℎ𝛼 𝑚 (𝑡 ) = 𝑒 𝑒 − 𝐵 𝐵 ℎ𝛼 (𝑒 𝐵(𝑡−𝑇) − 1) 𝑚 ∗ (𝑡 ) = 𝐵 1 ℎ𝛼 𝑢(𝑡) = 𝑘 [ℎ − 𝛽 ( (𝑒 𝐵(𝑡−𝑇) − 1))] 2 𝐵 𝐴𝑒 𝐵𝑇 −

𝑢 ∗ (𝑡 ) = −

𝑘𝛽ℎ𝛼 𝐵(𝑡−𝑇) 𝑘ℎ 𝛼𝛽 𝑒 + (1 + ) 2𝐵 2 𝐵

d) ¿Qué puede decir acerca de la evolución óptima del desempleo durante el gobierno? (Halle 𝑑𝑢⁄𝑑𝑡 , 𝑢(0) y 𝑢(𝑇) y compare). 𝜕𝑢 𝑘𝛽ℎ𝛼 𝐵(𝑡−𝑇) =− 𝑒 0 2𝐵 2 𝐵 2 Se tiene 𝑑𝑢⁄𝑑𝑡 siempre negativa y 𝑢(𝑇) > 0. Por lo tanto, 𝑢(0) > 𝑢(𝑇). Eso quiere decir que durante el gobierno el desempleo disminuyó, pero permaneció positivo.

12. Considere un modelo de crecimiento Ramsey-Cass-Koopmans aumentado con trabajo. 𝑇

𝐶 1−𝜌 −𝜃𝑡 𝑀𝑎𝑥 ∫ 𝑒 𝑑𝑡 0 1−𝜌 Sujeto a: 𝐾̇ = 𝐼 − 𝛿𝐾 𝑌 =𝐼+𝐶 𝑌 = 𝐾 𝛼 (𝐿)1−𝛼 𝐿̇ =𝑛 𝐿 𝐿(0) = 1. Donde 𝐶 es el consumo; 𝐾 es el capital; 𝐿 el trabajo; 𝐼 la inversión, 𝑌 es la producción; y 𝜌, 𝜃, 𝛿, 𝛼 y 𝑛 son parámetros conocidos del modelo. a) Reescribir el problema en términos de unidades por trabajo, designando variables en letras minúsculas iguales a las variables en letra mayúscula divididas por el trabajo, ejemplo 𝑐 = 𝐶/𝐿. La función de utilidad puede ser escrito como: 𝐶 1−𝜌 (𝑐𝐿)1−𝜌 (𝑐𝑒 𝑛𝑡 )1−𝜌 𝑐1−𝜌 𝑛(1−𝜌)𝑡 = = = 𝑒 1−𝜌 1−𝜌 1−𝜌 1−𝜌 10

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𝐾̇ 𝐾̇𝐿 − 𝐾𝐿̇ 𝐾̇ 𝐾 𝐿̇ 𝜅̇ = ( ) = = − (𝐿)2 𝐿 𝐿 𝐿𝐿 𝛼 1−𝛼 𝐾 𝐿 − 𝛿𝐾 − 𝐶 𝜅̇ = − 𝜅𝑛 𝐿 𝜅̇ = 𝑘 𝛼 − 𝑐 − (𝛿 + 𝑛)𝜅 El problema se plantea: ∞

𝑈=∫ 0

𝑐 1−𝜌 −(𝜃−𝑛(1−𝜌))𝑡 𝑒 𝑑𝑡 1−𝜌

s.a. 𝜅̇ = 𝑘 𝛼 − 𝑐 − (𝛿 + 𝑛)𝜅 b) Plantee las 3 primeras condiciones del principio del máximo. (Ayuda: considere que la solución es interior). Hamiltoniano de valor corriente: 𝑐 1−𝜌 𝐻= + 𝑚(𝑘 𝛼 − 𝑐 − (𝛿 + 𝑛)𝜅) = 0 1−𝜌 (1)

𝜕𝐻 𝜕𝑐

(2)

𝜅̇ = 𝑘 𝛼 − 𝑐 − (𝛿 + 𝑛)𝜅

(3)

𝑚̇ = −

= 𝑐 −𝜌 − 𝑚 = 0 Que implica 𝑚 = 𝑐 −𝜌 𝜕𝐻 𝜕𝑘

+ [𝜃 − 𝑛(1 − 𝜌)]𝑚

𝑚̇ = −𝑚[𝛼𝑘 𝛼−1 − (𝛿 + 𝑛)] + 𝑚[𝜃 − 𝑛(1 − 𝜌)] c) Encontrar la ecuación de Euler para el consumo 𝑐 per cápita. De (1), 𝑚̇ = −𝜌𝑐 −𝜌−1 𝑐̇ Reemplazando en (3), −𝜌𝑐 −𝜌−1 𝑐̇ = −𝑐 −𝜌 [𝛼𝑘 𝛼−1 − (𝛿 + 𝑛)] + 𝑐 −𝜌 [𝜃 − 𝑛(1 − 𝜌)] 𝜌𝑐 −1 𝑐̇ = [𝛼𝑘 𝛼−1 − (𝛿 + 𝑛)] − [𝜃 − 𝑛(1 − 𝜌)] 𝑐[𝛼𝑘 𝛼−1 − 𝛿 − 𝜃 − 𝑛𝜌] 𝑐̇ = 𝜌

13. Gasto Gubernamental Supongamos que el gobierno provee servicios 𝐺 que son parte de la función de producción (pueden pensarse como infraestructura básica necesaria para la producción). Estos servicios se pagan por medio de un impuesto 𝜏 a la producción. Si 𝑐 y 𝑘 denotan las trayectorias de consumo y capital, 𝜌 es la tasa subjetiva de descuento temporal, la función de producción es 𝑓(𝑘, 𝐺) = 𝐺 𝛼 𝑘 1−𝛼 , 0 < 𝛼 < 1 y la función de utilidad es 𝑢(𝑐) =

𝑐 1−𝛼 con 1−𝛼

𝜎 ≠ 1 el coeficiente positivo de

aversión relativa al riesgo. El problema del hogar representativo es: ∞

𝑀𝑎𝑥 ∫ 𝑢(𝑐)e−ρt 𝑑𝑡 0

Sujeto a (1 − 𝜏)𝐺 𝛼 𝑘1−𝛼 = 𝑐 + 𝑘 ′ , con 𝑘0 y 𝐺 dados. Nótese que la trayectoria de 𝐺 es paramétrica (exógena) para el optimizador. 11

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Control Óptimo

a)

Encontrar las condiciones de primer orden y obtener una ecuación que describa la evolución del consumo.

b)

Incorporar la restricción presupuestal del gobierno Obtener como función de y , sustituir en la ecuación de evolución del consumo. ¿Cuál es la tasa de crecimiento del consumo?

En tasa de crecimiento del consumo

c)

Encontrar que maximiza la tasa de crecimiento del consumo.

d)

El planeador central toma la economía en sus manos y resuelve el problema de optimización del hogar representativo. La diferencia es que no es paramétrico para el planeador y por lo tanto incorpora la restricción presupuestal del gobierno en el problema de optimización. La estricción presupuestal resultante es

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Control Óptimo

Reemplazo las condiciones de (i)

e)

¿Qué indica el Teorema de Suficiencia de Mangasarian para el presente problema? Mangasarian Máximo si H es cóncava

f)

Obtener la tasa de crecimiento del consumo. ¿Es ésta menor o mayor que la tasa obtenida en el acápite c)? Interpretar.

Reemplazamos el optima).

en la tasa de crecimiento del consumo de la economía descentralizada (tasa de impuesto

Comparamos con la tasa de crecimiento del consumo de la economía centralizada.

Planeador central genera más utilidad

14. Variación de Ramsey 13

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Control Óptimo

Considere el siguiente variante del modelo de Ramsey. Se asume que la existencia de un gobierno que presenta un presupuesto balanceado 𝐺 = 𝑇𝑦 𝑓(𝑘) + 𝑇𝑥 donde 𝑇𝑦 indica un impuesto a la producción y 𝑇𝑥 es un impuesto de suma alzada. En ese sentido se le pide resolver el siguiente problema de maximización. 𝑇

𝑀𝑎𝑥 ∫ 𝑢(𝑐)𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡 0

s.a. 𝑘 ′ 𝑡 = 𝑓(𝑘) − 𝑐 − 𝛿𝑘 − 𝐺 𝑓(𝑘) = 𝐴𝑘 𝛼 𝑘(𝑜) = 𝑘0 (𝑐 − 𝑐)1−𝜗 − 1 𝑢(𝑐) = 1−𝜗 𝜗, 𝑐, 𝑐(𝑡) − 𝑐 > 0 a) Obtenga las condiciones de primer orden utilizando el hamiltoniano a tiempo presente b) Realice un diagrama de fase de y c comparando un escenario de 𝐺 = 𝑇𝑦 = 𝑇𝑥 = 0, con otro de 𝐺𝑇𝑦 > 0 𝑦 𝑇𝑥 = 0

15. Planteando un problema de Control Óptimo José estudiaba en el 2013 Economía en la UP y cursaba, en ese momento, Matemáticas IV. No se preparó lo suficiente para su PC3 y terminó desaprobando todo el curso. Ante tal decepción, José decidió cambiarse a Administración. Ahora, en el 2015, está a punto de graduarse, lo único que necesita es terminar su empresariado. En eso, el recuerda su clase de Matemáticas IV y decide poner algo de control óptimo en su sustentación. a) Ayuda a José a recordar cómo se planteaba un problema de control óptimo. Plantea un problema de la manera más general posible de tal forma que le permita a José establecer luego el tiempo, su tasa de descuento, el número de variables de control y de estado y sus respectivas funciones, etc. Sea formal. 𝑇

𝑉 = ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 𝑓(𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑚 )𝑑𝑡 0

𝑠. 𝑎. = 𝑔1 (𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 ) … { 𝑦𝑛′ = 𝑔𝑛 (𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 ) 𝑦1′

𝑢1 𝜖Ω1 { … 𝑢𝑚 𝜖Ω𝑚

14

MATEMÁTICAS IV

Control Óptimo

𝑦1 (0) = 𝑦10 … { 𝑦𝑛 (0) = 𝑦𝑛0 b) Presenta todas las condiciones de primer orden. Sea formal. 𝑛

𝐻∗

= 𝑓(𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑚 ) + ∑ 𝑚𝑖 ∗ 𝑔𝑖 (𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 ) 𝑖=1

CPOs: 𝑛

𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑓(𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑚 ) 𝜕𝑔𝑖 (𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 ) 𝑖). = + ∑ 𝑚𝑖 ∗ = 0 ∀𝑗 = 1 … 𝑚 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑗 𝑖=1

𝑖𝑖). 𝑦𝑖′ = 𝑔𝑖 (𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 ) ∀𝑖 = 1 … 𝑛 𝑛

𝑖𝑖𝑖).

𝑚𝑙′

𝜕𝑓(𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑚 ) 𝜕𝑔𝑖 (𝑡, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 ) =− − ∑ 𝑚𝑙 ∗ + 𝜌𝑚𝑙 𝜕𝑦𝑙 𝜕𝑦𝑙 𝑖=1

∀𝑙 = 1 … 𝑛 lim ([𝐻]𝑡=𝑇 ∗ ∆𝑇 − 𝜆(𝑇) ∗ ∆𝑦𝑡 ) = 0 𝑠𝑖 𝑇 → ∞ 𝑖𝑣). {𝑇→∞ [𝐻]𝑡=𝑇 ∗ ∆𝑇 − 𝜆(𝑇) ∗ ∆𝑦𝑡 = 0 𝑑. 𝑜. 𝑚. El equipo no es solo de uno. Rosa, quien se encuentra preocupada ante el deseo de José de incluir un problema de control óptimo en su empresariado, le dice que no es suficiente con plantear el problema general, este se debe especificar al problema al que realmente se enfrentan. Un tercer miembro del equipo, Pablo, que a pesar de ser administrador llevó de electivos Mate 3 y Mate 4, les da las siguientes funciones de costos: 𝐶𝑇 = 𝐶𝑣 + 𝐶𝑓 𝐶𝑣 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑞 Donde 𝐶𝑇 representa los costos totales de la empresa, que se pueden separar en variables y fijos. Asimismo los costos variables 𝐶𝑣 dependen de tres componentes 𝑎: el costo de los insumos, ligado a la calidad del proveedor que eliges, 𝑏: la cantidad de dinero que decides gastar en publicidad por unidad producida y 𝑐: el costo por unidad asociado al mantenimiento de la capacidad que has elegido mantener. Para Pablo, además, la cantidad demandada puede ser perfectamente dividida en dos grupos. Se ha calculado que inicialmente enfrentaran una demanda de 50 y 20, respectivamente y que los comportamientos y trayectorias son completamente distintos, Pablo propone estas funciones: 𝑞′1 = (𝑎2 − 𝑎 + 𝑏 3 − 𝑏 2 )𝑐 + 𝑟𝑞1 𝑞′2 = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑟𝑞2 Rosa les recuerda que están dentro de un mercado de competencia perfecta y no pueden realizar una estrategia de discriminación de precios. 15

MATEMÁTICAS IV

Control Óptimo

c) Plantea el problema de control óptimo específico que debería resolver el equipo de empresariado si desean maximizar sus beneficios. A través de esta maximización desean no solo escoger sus variables de control sino también cuál debería ser su vida útil. Asimismo el valor terminal de sus variables de estado será función a esa vida útil. Sea formal. 𝑇

∫ (𝑝 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐) ∗ (𝑞1 + 𝑞2 ) + 𝐶𝐹 𝑑𝑡 0

𝑠. 𝑎. 𝑞′ = − 𝑎 + 𝑏 3 − 𝑏 2 )𝑐 + 𝑟𝑞1 { 1 𝑞′2 = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑟𝑞2 𝑎𝜖[0, ∞] {𝑏𝜖[0, ∞] 𝑐𝜖[0, ∞] 𝑞 (0) = 50 { 1 𝑞2 (0) = 20 d) Presenta todas las condiciones de primer orden. Sea formal. (𝑎2

𝐻 ∗ = (𝑝 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐) ∗ (𝑞1 + 𝑞2 ) + 𝐶𝐹 + 𝜆1 [(𝑎2 − 𝑎 + 𝑏 3 − 𝑏 2 )𝑐 + 𝑟𝑞1 ] + 𝜆2 [𝑎𝑏𝑐 + 𝑟𝑞2 ] CPOs: 𝜕𝐻 = −(𝑞1 + 𝑞2 ) + 𝜆1 (2𝑎 − 1)𝑐 + 𝜆2 𝑏𝑐 = 0 𝜕𝑎 𝜕𝐻 = −(𝑞1 + 𝑞2 ) + 𝜆1 (3𝑏 2 − 2𝑏)𝑐 + 𝜆2 𝑎𝑐 = 0 𝜕𝑏

𝑖).

𝜕𝐻 = −(𝑞1 + 𝑞2 ) + 𝜆1 (𝑎2 − 𝑎 + 𝑏 3 − 𝑏 2 ) + 𝜆2 𝑎𝑏 = 0 𝜕𝑐 𝑖𝑖). 𝑞′1 = (𝑎2 − 𝑎 + 𝑏 3 − 𝑏 2 )𝑐 + 𝑟𝑞1 𝑞′2 = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑟𝑞2 𝑖𝑖𝑖). 𝜆′1 = −[𝑝 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝜆1 𝑟] 𝜆′2 = −[𝑝 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝜆2 𝑟]

𝑖𝑣). [𝐻 − 𝜆1 𝜙1′ − 𝜆2 𝜙2′ ]𝑡=𝑇 = 0 Martín, el cuarto miembro del equipo, desestima todo lo planteado, y dice que: en primer lugar, lo mejor sería seguir el principio de negocio en marcha para definir la vida útil y no hacer ninguna suposición sobre valores finales; en segundo lugar, debería utilizarse una tasa descuento intertemporal; en tercer lugar, que si bien no pueden seguir una estrategia de discriminación de precios, cada grupo de demandantes se manejan en una lógica de mercado distinta, enfrentan distintos precios de mercado y por lo tanto, se podría separar 16

MATEMÁTICAS IV

Control Óptimo

las decisiones de sus variables de control en cada uno de los escenarios independientemente; en cuarto lugar, menciona que sería mejor no establecer una función explicita para las demandas, que evidentemente están mal planteadas ya que ni siquiera consideran al precio, lo mejor sería dejarlas de la manera más general posible; en quinto lugar, no se debería incluir los costos fijos ya que no tienen ningún efecto en el análisis. e) Tomando en cuenta las precisiones de Martín, vuelva a plantear el problema de control óptimo. Sea formal. ∞

∫ 𝑒 −𝑝𝑡 (𝑝𝑖 − 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 − 𝑐𝑖 ) ∗ 𝑞𝑖 𝑑𝑡

∀𝑖 = 1,2

0

𝑠. 𝑎. 𝑞′𝑖 = 𝑔𝑖 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑞𝑖 ) 𝑎𝜖[0, ∞] {𝑏𝜖[0, ∞] 𝑐𝜖[0, ∞] 𝑞 (0) = 50 { 1 𝑞2 (0) = 20 f) Presenta todas las condiciones de primer orden. Sea formal. 𝐻 ∗ = (𝑝𝑖 − 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 − 𝑐𝑖 ) ∗ 𝑞𝑖 + 𝑚[𝑔𝑖 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑞𝑖 )] 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑔𝑖 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑞𝑖 ) = −𝑞𝑖 + 𝑚 ∗ =0 𝜕𝑎𝑖 𝜕𝑎𝑖 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑔𝑖 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑞𝑖 ) = −𝑞𝑖 + 𝑚 ∗ =0 𝜕𝑏𝑖 𝜕𝑏𝑖 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑔𝑖 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑞𝑖 ) = −𝑞𝑖 + 𝑚 ∗ =0 𝜕𝑐𝑖 𝜕𝑐𝑖 𝑖𝑖). 𝑞′𝑖 = 𝑔𝑖 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑞𝑖 ) 𝜕[𝑔𝑖 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑞𝑖 )] 𝑖𝑖𝑖). 𝑚′ = − [𝑝𝑖 − 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 − 𝑐𝑖 + 𝑚 ] + 𝜌𝑚 𝜕𝑞𝑖 𝑖).

𝑖𝑣). {

lim ([𝐻]𝑡=𝑇 ) = 0

𝑇→∞

lim (𝑚(𝑇)𝑒 𝑝𝑡 ) = 0 .

𝑇→∞

g) Ahora, vuelve a plantear el problema modificando tres supuestos (distintos a los asumidos en los últimos dos casos). Sea explícito en cuanto a qué supuestos se están cambiando y por cuáles. Sea formal. **Verificar que los supuestos que se dice se están cambiando se reflejan en el planteamiento. Ejemplos: vida útil, número de variables de control, formas funcionales, acotación de variables de control, puntos iniciales de variables de estado, etc. 16. Tasas de crecimiento 17

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Control Óptimo

Se tiene el siguiente problema de control óptimo: ∞

∫ ln(ℎ𝑅𝑄) 𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡 0

𝑠. 𝑎. 𝐶 ′ = 𝐴𝛼 𝐵 𝛽 𝐶 𝛾 𝐷 𝛿 − 𝑅 𝐸 ′ = 𝐸𝜓 𝐹1−𝜓 − 𝑄 Donde se considera a R y Q como variables de control. a) Plantee el hamiltoniano en valor corriente y las condiciones de primer orden. Sea formal. 𝐻 ∗ = ln(ℎ𝑅𝑄) + 𝑚1 (𝐴𝛼 𝐵𝛽 𝐶 𝛾 𝐷 𝛿 − 𝑅) + 𝑚2 (𝐸𝜓 𝐹1−𝜓 − 𝑄) 𝜕𝐻 ∗ 1 𝑖). = − 𝑚1 = 0 𝜕𝑅 𝑅 𝜕𝐻 ∗ 1 = − 𝑚2 = 0 𝜕𝑄 𝑄 ′ 𝛼 𝑖𝑖). 𝐶 = 𝐴 𝐵𝛽 𝐶 𝛾 𝐷 𝛿 − 𝑅 𝐸′ = 𝐸𝜓 𝐹1−𝜓 − 𝑄 𝑖𝑖𝑖). 𝑚1′ = −[𝑚1 𝛾(𝐴𝛼 𝐵𝛽 𝐶 𝛾−1 𝐷 𝛿 )] + 𝑝𝑚1 𝑚2′ = −[𝑚2 𝜓(𝐸𝜓−1 𝐹1−𝜓 )] + 𝑝𝑚2 𝑖𝑣). lim ([𝐻]𝑡=𝑇 ) = 0 𝑇→∞

lim (𝑚1 (𝑇)𝑒 𝑝𝑡 ) = 0

𝑇→∞

lim (𝑚2 (𝑇)𝑒 𝑝𝑡 ) = 0

𝑇→∞

b) Encuentre una relación entre las tasas de crecimiento de las variables de control y las variables de estado. (1). 𝑅 −1 = 𝑚1 𝑅′ 𝑚′1 − = 𝑅 𝑚1 𝑚1′ = −[𝛾(𝐴𝛼 𝐵𝛽 𝐶 𝛾−1 𝐷 𝛿 )] + 𝑝 𝑚1 𝑅′ = [𝛾(𝐴𝛼 𝐵𝛽 𝐶 𝛾−1 𝐷 𝛿 )] − 𝑝 = 𝜔𝑅 𝑅 𝜔𝑅 + 𝑝 (𝐴𝛼 𝐵𝛽 𝐶 𝛾−1 𝐷 𝛿 ) = 𝛾 (2). 𝑄 −1 = 𝑚2 𝑄′ 𝑚′2 − = 𝑄 𝑚2 ′ 𝑚2 = −[𝜓(𝐸𝜓−1 𝐹1−𝜓 )] + 𝑝 𝑚2 𝑄′ = [𝜓(𝐸𝜓−1 𝐹1−𝜓 )] − 𝑝 = 𝜔𝑄 𝑄 𝜔𝑄 + 𝑝 (𝐸𝜓−1 𝐹1−𝜓 ) = 𝜓 18

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𝐶′ 𝑅 = 𝐴𝛼 𝐵𝛽 𝐶 𝛾−1 𝐷 𝛿 − 𝐶 𝐶 𝐶 ′ 𝜔𝑅 + 𝑝 𝑅 = − = 𝜔𝐶 𝐶 𝛾 𝐶 𝜔 𝐶 = 𝜔𝑅 ′ 𝐸 𝑄 (4). = 𝐸𝜓−1 𝐹1−𝜓 − 𝐸 𝐸 𝐸 ′ 𝜔𝑄 + 𝑝 𝑄 = − 𝐸 𝜓 𝐸 𝜔 𝐸 = 𝜔𝑄

(3).

Considere ahora la inclusión de una variable de estado adicional: 𝐹 ′ = 𝑙𝐹(1 − ℎ) c) Plantee el hamiltoniano en valor presente y las condiciones de primer orden. Sea formal. 𝐻

= ln(ℎ𝑅𝑄)𝑒 −𝑝𝑡 + 𝜆1 (𝐴𝛼 𝐵𝛽 𝐶 𝛾 𝐷 𝛿 − 𝑅) + 𝜆2 (𝐸 𝜓 𝐹1−𝜓 − 𝑄) + 𝜆3 𝑙𝐹(1 − ℎ) 𝜕𝐻 𝑒 −𝑝𝑡 = − 𝜆1 = 0 𝜕𝑅 𝑅 𝜕𝐻 𝑒 −𝑝𝑡 = − 𝜆2 = 0 𝜕𝑄 𝑄 𝑖𝑖). 𝐶 ′ = 𝐴𝛼 𝐵𝛽 𝐶 𝛾 𝐷 𝛿 − 𝑅

𝑖).

𝐸′ = 𝐸𝜓 𝐹1−𝜓 − 𝑄 𝐹 ′ = 𝑙𝐹(1 − ℎ) 𝑖𝑖𝑖). 𝜆′1 = −[𝜆1 𝛾(𝐴𝛼 𝐵𝛽 𝐶 𝛾−1 𝐷 𝛿 )] 𝜆′2 = −[𝜆2 𝜓(𝐸𝜓−1 𝐹1−𝜓 )] 𝜆′3 = −[𝜆2 ((1 − 𝜓)𝐸𝜓 𝐹 −𝜓 − 𝑄) + 𝜆3 𝑙(1 − ℎ)] 𝑖𝑣). lim ([𝐻]𝑡=𝑇 ) = 0 𝑇→∞

lim (𝜆1 (𝑇)) = 0

𝑇→∞

lim (𝜆2 (𝑇)) = 0

𝑇→∞

lim (𝜆3 (𝑇)) = 0

𝑇→∞

d) ¿Se mantiene las relaciones entre las tasas de crecimiento halladas en la pregunta (b)? ¿Por qué? Se mantienen, dado que la inclusión de la nueva variable de estado no altera las CPOs asociadas a las tasas de crecimiento de R, C, E y Q.

17. Suponga el siguiente modelo de control óptimo para el sistema de producción e inventarios. Denotamos a 𝑃 (𝑡) como la producción en el instante 𝑡, 𝐷(𝑡) es la demanda, ℎ(𝑡) es el costo de mantener el producto en el periodo t (costo de almacén), 𝑘 es una constante asociada al costo de producción, 𝑠(𝐼 (𝑡)) es el precio en función del inventario acumulado, 𝜃 (𝑡) es un indicador del deterioro del producto. La función de beneficios de la empresa en el instante t viene dada por: 19

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Control Óptimo

2

2

𝐵(𝐼(𝑡), 𝑃(𝑡), 𝑡) = 𝐷(𝑡)𝑠(𝐼 (𝑡)) − ℎ(𝑡)(𝐼(𝑡)) − 𝑘(𝑃 (𝑡))

Además, la dinámica de los inventarios puede ser descrita mediante la siguiente ecuación: 𝑑𝐼 = 𝑃 ( 𝑡 ) − 𝐷 (𝑡 ) − 𝜃 (𝑡 )𝐼 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 Las funciones 𝜃 (𝑡), ℎ(𝑡), 𝐷(𝑡) y 𝑠(𝐼 (𝑡)) son conocidas. Además, se conoce el valor inicial de los inventarios: 𝐼(0) = 0, así como el valor final: 𝐼(𝑇) = 𝐴, pero no se conoce el horizonte temporal. a) Plantee las condiciones del principio del máximo para resolver el problema de maximización de beneficios. No existe factor de descuento. (1 punto) El problema a resolver es el siguiente: 𝑇

2

2

max ∫ (𝐷(𝑡)𝑠(𝐼 (𝑡)) − ℎ(𝑡)(𝐼 (𝑡)) − 𝑘(𝑃(𝑡)) ) 𝑑𝑡 0

𝑠. 𝑎. 𝐼 ̇ = 𝑃(𝑡) − 𝐷(𝑡) − 𝜃 (𝑡)𝐼(𝑡) 𝐼 (0) = 0 𝐼(𝑇) = 𝐴, 𝑇 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 2

2

𝐻 = 𝐷(𝑡)𝑠(𝐼 (𝑡)) − ℎ(𝑡)(𝐼(𝑡)) − 𝑘(𝑃 (𝑡)) + 𝜆(𝑡)(𝑃(𝑡) − 𝐷(𝑡) − 𝜃 (𝑡)𝐼(𝑡)) 𝐻𝑝 = −2𝑘𝑃(𝑡) + 𝜆(𝑡) = 0

… (1)

𝐼 ̇(𝑡) = 𝑃(𝑡) − 𝐷(𝑡) − 𝜃 (𝑡)𝐼(𝑡)

… (2)

𝜆̇(𝑡) = −𝐷(𝑡)𝑠 ′ (𝐼(𝑡)) + 2ℎ(𝑡)𝐼(𝑡) + 𝜆(𝑡)𝜃(𝑡) … (3) 𝐻 (𝑇 ) = 0

… (4)

b) Asumiendo las siguientes funciones: 𝐷(𝑡) = 𝑒 𝛼𝑡 , 𝜃(𝑡) = 𝜃 (constante), ℎ(𝑡) = ℎ (constante), 𝑠(𝐼 (𝑡)) = 𝑎 − 𝑏𝐼(𝑡), encuentre la trayectoria de la variable de estado y la variable de control. (3 puntos) De la ecuación (1): 𝜆 = 2𝑘𝑃

→

𝜆̇ = 2𝑘𝑃̇

La ecuación (2) queda escrita como: 𝐼 ̇ = 𝑃 − 𝜃𝐼 − 𝑒 𝛼𝑡 … (4) La ecuación (3) queda escrita como: 𝜆̇ = 𝑏𝑒 𝛼𝑡 + 2ℎ𝐼 + 𝜃𝜆 20

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Reemplazando de (1): 2𝑘𝑃̇ = 𝑏𝑒 𝛼𝑡 + 2ℎ𝐼 + 2𝜃𝑘𝑃 ℎ 𝑏 𝛼𝑡 𝑃̇ = 𝜃𝑃 + 𝐼 + 𝑒 … (5) 𝑘 2𝑘 Resolviendo el sistema de (4) y (5) en forma algebraica, se tiene: 𝐼 ̈ = 𝑃̇ − 𝜃𝐼 ̇ − 𝛼𝑒 𝛼𝑡 Reemplazando (5): ℎ 𝑏 𝛼𝑡 𝐼 ̈ = 𝜃𝑃 + 𝐼 + 𝑒 − 𝜃𝐼 ̇ − 𝛼𝑒 𝛼𝑡 … (6) 𝑘 2𝑘 De (4): 𝑃 = 𝐼 ̇ + 𝜃𝐼 + 𝑒 𝛼𝑡 , reemplazando en (6):

ℎ 𝑏 𝛼𝑡 𝐼 ̈ = 𝜃𝐼 ̇ + 𝜃 2 𝐼 + 𝜃𝑒 𝛼𝑡 + 𝐼 + 𝑒 − 𝜃𝐼 ̇ − 𝛼𝑒 𝛼𝑡 𝑘 2𝑘

ℎ 𝑏 𝐼 ̈ − (𝜃 2 + ) 𝐼 = (𝜃 + − 𝛼) 𝑒 𝛼𝑡 𝑘 2𝑘 Raíces de la solución homogénea:

𝑟1 = √𝜃 2 +

ℎ 𝑘

𝑟2 = −√𝜃 2 +

ℎ 𝑘

En la solución particular: 𝐼𝑝 = 𝐵𝑒 𝛼𝑡 𝐼𝑝̇ = 𝛼𝐵𝑒 𝛼𝑡 𝐼𝑝̈ = 𝛼 2 𝐵𝑒 𝛼𝑡 Reemplazando en la EDO: ℎ 𝑏 𝛼 2 𝐵𝑒 𝛼𝑡 − (𝜃 2 + ) 𝐵𝑒 𝛼𝑡 = (𝜃 + − 𝛼) 𝑒 𝛼𝑡 𝑘 2𝑘

𝐵=

𝑏 𝜃 + 2𝑘 − 𝛼 ℎ 𝛼 2 − 𝜃2 − 𝑘

La trayectoria de los inventarios está descrita por: 21

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𝐼 (𝑡) = 𝐻1 𝑒 𝑟1𝑡 + 𝐻2 𝑒 𝑟2𝑡 + 𝐵𝑒 𝛼𝑡 Donde se sabe que: 𝐼 (0) = 0 𝐼 (𝑇 ) = 𝐴

→

→

𝐻1 + 𝐻2 + 𝐵 = 0

𝐻1 𝑒 𝑟1𝑇 + 𝐻2 𝑒 𝑟2𝑇 + 𝐵𝑒 𝛼𝑇 = 𝐴

Además, una vez obtenida la trayectoria de I, se puede despejar la trayectoria de la producción: 𝑃(𝑡) = 𝐼 ̇(𝑡) + 𝜃𝐼 (𝑡) + 𝑒 𝛼𝑡 Y la trayectoria de la variable de coestado: 𝜆(𝑡) = 2𝑘𝑃(𝑡) c) Utilizando la respuesta anterior, plantee la condición de transversalidad que se debe considerar en este problema (no es necesario resolverla) (1 punto) Como T es libre: 𝐻 (𝑇) = 0 2

2

𝑒 𝛼𝑇 (𝑎 − 𝑏𝐼 (𝑇)) − ℎ(𝐼 (𝑇)) − 𝑘(𝑃(𝑇)) + 𝜆(𝑇)(𝑃(𝑇) − 𝑒 𝛼𝑇 − 𝜃𝐼(𝑇)) = 0

18. Introducción a los costos de inversión Considere una firma competitiva con una función de producción 𝐹(𝐾). La firma dirige parte de sus ingresos a la inversión 𝐼 para aumentar el capital 𝐾. Sin embargo, en la práctica, no toda la inversión se convierte en nuevo capital, sino que parte de esta se pierde en la instalación. En particular, una inversión de 𝐼 genera Ψ(𝐼) < 𝐼 unidades adicionales de capital. Así, suponiendo que el capital se deprecia a una tasa constante 𝛿, la función de movimiento del capital tiene la siguiente forma: 𝐾 ′ = Ψ(𝐼) − 𝛿𝐾 Suponga que 𝐹(𝐾) y Ψ(𝐼) presentan rendimientos a escala constantes y son crecientes, cóncavas y doblemente diferenciables, con 𝐹 𝐾𝐾 < 0, Ψ𝐼𝐼 < 0. El objetivo de la firma es maximizar sus beneficios para el período 𝑡 ∈ [0; +∞[, descontdos a una tasa 𝜌: ∞

Π = ∫ (𝐹(𝐾) − 𝐼)𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡 0

a. Plantee las condiciones de primer orden y encuentre un sistema de ecuaciones entre I y K. (Deje todo en función de ΨI, ΨII y FK ).

1.

2.

𝜕𝐻 ∗

𝐻 ∗ = 𝐹(𝐾) − 𝐼 + 𝑚 (Ψ(𝐼) − 𝛿𝐾)

= −1 + 𝑚 ΨI = 0 1 𝑚= = ΨI −1 ΨI 𝑚′ = −ΨI −2 ΨII 𝐼′ 𝐾 ′ = Ψ(𝐼) − 𝛿𝐾 𝜕𝐼

22

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𝜕𝐻 ∗ + 𝑚𝜌 = −𝐹𝐾 + 𝑚𝛿 + 𝑚𝜌 = −𝐹𝐾 + 𝑚(𝛿 + 𝜌) 𝜕𝐾 Reemplazo en la 1° Condición en la 3°. −ΨI −2 ΨII 𝐼 ′ = −𝐹𝐾 + ΨI −1 (𝛿 + 𝜌) Respuesta: ΨI 𝐼′ = (𝐹 Ψ − (𝛿 + 𝜌)) ΨII 𝐾 I 𝐾 ′ = Ψ(𝐼) − 𝛿𝐾 3.

𝑚′ = −

b. Suponga ahora que 𝐹(𝐾) = 𝐾 𝛼 y Ψ(𝐼) = ln(𝐼) + 1. Grafique y caracterice el equilibrio. ¿Es un punto de ensilladura? (0 < 𝛼 < 1)

𝐼 ′ = −(𝛼𝐾 𝛼−1 − (𝛿 + 𝜌)𝐼) 𝛼𝐾 𝛼−1 𝐼′ = 0 → 𝐼 = (𝛿 + 𝜌) 𝐾 ′ = ln(𝐼) − 𝛿𝐾 𝐾 ′ = 0 → 𝐼 = 𝑒 𝛿𝐾 𝛿 + 𝜌 𝛼(1 − 𝛼)𝐾 𝛼−2 𝐽=[ 1 ] → |𝐽| < 0 −𝛿 𝐼

c. Suponga ahora que el Estado, preocupado por cerrar las brechas de infraestructura que existen en el país, ofrece un subsidio 𝑠 a la inversión de la firma. Resuelva el problema ahora bajo este supuesto.

El Hamiltoniano ahora toma la siguiente forma: 𝐻 ∗ = 𝐹(𝐾) − 𝐼(1 − 𝑠) + 𝑚 (Ψ(𝐼) − 𝛿𝐾) 𝐾′ no varía, solo varía 𝐼′: 𝛼𝐾 𝛼−1 𝐼′ = − ( − (𝛿 + 𝜌)𝐼) 1−𝑠 𝛼𝐾 𝛼−1 𝐼′ = 0 → 𝐼 = (𝛿 + 𝜌)(1 − 𝑠) ′ La curva 𝐼 = 0 se ha desplazado a la derecha en comparación con el resultado de la pregunta anterior. Así, en el nuevo equilibrio tanto la inversión como el capital son mayores. (No es necesario que encuentren los equilibrios de estado estacionario en función de los parámetros, pero sí deben hacer el gráfico). d. Compruebe la condición de suficiencia de Mangansarian. (Utilice el modelo sin incluir subsidio). 23

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𝑑2𝐻∗ = 𝑚ΨII < 0 𝑑𝐼 2 Se trata de un máximo. 19. ¿Por qué esperamos hasta el último para estudiar? Juan es un estudiante de economía cuyas notas (𝑁) dependen de su esfuerzo (𝐸) y de lo estricto que es su profesor (𝑆). Como a muchos, al inicio de ciclo no le presta mucha atención a sus notas. Sin embargo, conforme se acerca el final, él empieza a preocuparse por sus notas para asegurar el curso. Así, Juan quiere maximizar la siguiente función: 𝑇

𝑉 = 𝑀𝑎𝑥 ∫ 𝑁(𝐸, 𝑆) 𝑒 𝜌𝑡 𝑑𝑡 0

Donde 𝜌 > 0, lo que significa que conforme pasa el tiempo, Juan se interesa más por las notas. El ciclo termina en el tiempo 𝑇. Juan sabe que lo estricto que sea su profesor dependerá negativamente de su esfuerzo pero dependerá positivamente de la nota esperada que pongan sus JP: 𝑆 = 𝑎 − 𝑏𝐸 + 𝑐𝐽 Donde 𝐽 es la nota que el profesor espera que pongan sus JP. Sin embargo, el profesor sabe que sus JP son buenos, por lo que espera que ellos pongan una nota más alta si él se pasa de estricto. Es decir, 𝐽′ tiene la siguiente forma: 𝐽′ = 𝑑(𝑆 − 𝐽) Suponga que 𝑁(𝐸, 𝑆) = 𝐸 2 − ℎ𝑆. Se le pide que plantee las condiciones de primer orden y halle la trayectoria del esfuerzo de Juan. Grafique. ¿Juan se esfuerza más al inicio del ciclo o al final? (4 puntos)

𝐻 = (𝐸 2 − ℎ(𝑎 − 𝑏𝐸 + 𝑐𝐽))𝑒 𝜌𝑡 + 𝜆𝑑(𝑎 − 𝑏𝐸 + (1 − 𝑐)𝐽) 𝑑𝐻 = (2𝐸 + ℎ𝑏)𝑒 𝜌𝑡 − 𝜆𝑑𝑏 = 0 𝑑𝐸 𝑏 𝐸 = (𝜆𝑑𝑒 −𝜌𝑡 − ℎ) 2 2. 𝜆′ = ℎ𝑐𝑒 𝜌𝑡 + 𝜆𝑑(1 − 𝑐) 𝜆𝐶 = 𝐻1 𝑒 𝑑(1−𝑐)𝑡 ℎ𝑐 𝜆𝑃 = 𝐻2 𝑒 𝜌𝑡 → 𝐻2 = 𝜌 − 𝑑 + 𝑐𝑑 ℎ𝑐 𝜆 = 𝐻1 𝑒 𝑑(1−𝑐)𝑡 + 𝑒 𝜌𝑡 𝜌 − 𝑑 + 𝑐𝑑 Condición de transversalidad: 𝜆(𝑇) = 0 ℎ𝑐 𝜆= [𝑒 𝜌𝑡 − 𝑒 (𝜌−𝑑+𝑐𝑑)𝑇+𝑑(1−𝑐)𝑡 ] 𝜌 − 𝑑 + 𝑐𝑑 Ahora reemplazamos para hallar la trayectoria de 𝐸: 𝑏ℎ 𝐸= [(−𝑐𝑒 (𝜌−𝑑+𝑐𝑑)(𝑇−𝑡) ) − 𝜌 + 𝑑] 2(𝜌 − 𝑑 + 𝑐𝑑) 𝑑𝐸 >0 𝑑𝑡 Juan se esfuerza más al final del ciclo 1.

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20. Hace algunas décadas, uno de los modelos que revolucionó la teoría de crecimiento endógeno fue el postulado por Lucas. Él asegura que el capital humano es parte esencial del crecimiento de largo plazo de una economía, a diferencia de otros modelos como el AK, por ejemplo. Por ende, el planteamiento siguiente pretende incentivar a que se invierta no solo en capital físico, sino también en capital humano. Esto último depende de la productividad marginal del capital humano, por lo que Lucas asume la siguiente función de producción: 𝑌 = 𝐴𝐾𝛽 [𝑢ℎ𝐿]1−𝛽 ℎ𝑎 𝜓 donde 𝑢 es el tiempo que los individuos le dedican a trabajar (producir Y), h es una medida de calidad promedio de los trabajadores (educación), y L es la cantidad de trabajadores. De esto se desprende que uhL es el trabajo total destinado a producir Y. El término ℎ𝑎 denota el promedio del capital humano de la fuerza laboral. ℎ𝑎 𝜓 representa entonces una externalidad positiva, es decir, mientras más educada sea la fuerza laboral de manera global, mayor será mi producción. Tenga en cuenta que 2 + 𝜓 − 𝛽 > 2 − 𝛽 > 1. Se tiene además las funciones de acumulación tanto del capital físico como del capital humano: 𝐾̇ = 𝐴𝐾𝛽 [𝑢ℎ𝐿]1−𝛽 ℎ𝑎 𝜓 − 𝑐 ℎ̇ = 𝜙ℎ(1 − 𝑢) Donde 𝜙 podría ser tomado como la “productividad de estudiar”. Encuentre las tasas de crecimiento del consumo, del capital físico y del capital humano en función de los parámetros del modelo. Use el enfoque de solución de mercado. Explique su procedimiento. Tenga en cuenta que los individuos eligen 𝑐𝑡 y también la proporción de tiempo que quieren dedicarle a trabajar (𝑢) y a estudiar (1 − 𝑢), sujeto a las dos restricciones de movimiento. Además, toman ℎ𝑎 como dado. Asuma una función de utilidad como la siguiente: 𝑐𝑡 1−𝜎 1 − 1−𝜎 1−𝜎 y una tasa de descuento intertemporal 𝜌. Ayuda: use la condición de consistencia (ℎ𝑎 = ℎ) luego de haber aplicado las CPO. 21. Modelo de Ramsey con impuestos al capital y al trabajo

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En este modelo se introduce un gobierno en la economía, donde este impone un impuesto en el ingreso laboral (0 < 𝜏 𝑙 < 1) de los consumidores y otro a su ingreso por capital (0 < 𝜏 𝑘 < 1). Luego el gobierno redistribuye el ingreso por impuestos de manera uniforme entre los consumidores en forma de una transferencia de suma alzada, 𝑇. Es decir, el consumidor maximiza ∞ 𝑐(𝑡)1−𝛾 ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡 1−𝛾 0 𝑠. 𝑎. 𝑘̇(𝑡) = (1 − 𝜏 𝑙 )𝑤 + (1 − 𝜏 𝑘 )𝑟𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡) − 𝛿𝑘(𝑡) + 𝑇 a) Hallar la tasa de crecimiento del consumo.

𝐻 = 𝑒 −𝜌𝑡

𝑐(𝑡)1−𝛾 1−𝛾

+ 𝜇(𝑡)[(1 − 𝜏 𝑙 )𝑤(𝑡) + (1 − 𝜏 𝑘 )𝑟𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡) − 𝛿𝑘(𝑡) + 𝑇] 𝜕𝐻 = 𝑒 −𝜌𝑡 𝑐(𝑡)−𝛾 − 𝜇(𝑡) = 0 … (1) 𝜕𝑐(𝑡) 𝜕𝐻 = 𝜇(𝑡)[(1 − 𝜏 𝑘 )𝑟 − 𝛿] = −𝜇̇ (𝑡) … (2) 𝜕𝑘(𝑡) 𝐷𝑒 (1): 𝜇(𝑡) = 𝑒 −𝜌𝑡 𝑐(𝑡)−𝛾 … (3) 𝑐̇ (𝑡) 𝜇̇ (𝑡) = −𝜌𝑒 −𝜌𝑡 𝑐(𝑡)−𝛾 − 𝛾𝑒 −𝜌𝑡 𝑐(𝑡)−𝛾 … (4) 𝑐(𝑡)

(3) 𝑦 (4) 𝑒𝑛 (2):

𝑒 −𝜌𝑡 𝑐(𝑡)−𝛾 [(1 − 𝜏 𝑘 )𝑟 − 𝛿] = 𝜌𝑒 −𝜌𝑡 𝑐(𝑡)−𝛾 + 𝛾𝑒 −𝜌𝑡 𝑐(𝑡)−𝛾

𝑐̇ (𝑡) 𝑐(𝑡)

𝑐̇ (𝑡) 1 = [(1 − 𝜏 𝑘 )𝑟 − 𝛿 − 𝜌] 𝑐(𝑡) 𝛾 b) Hacer el diagrama de fase indicando el tipo de equilibrio, para ello utilizar el hecho que 𝑟 = 𝑓′(𝑘(𝑡)) y que 𝑓(𝑘(𝑡)) = 𝑘(𝑡)𝛼 , con 0 < 𝛼 < 1. 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒:

𝑐̇ = 0 (1 − 𝜏 𝑘 )𝛼𝑘(𝑡)𝛼−1 − 𝛿 = 𝜌

𝜌 + 𝛿 1/(𝛼−1) 𝑘(𝑡) = ( ) 𝛼(1 − 𝜏 𝑘 ) 𝑘̇ = 0 𝑐(𝑡) = 𝑘(𝑡)𝛼 − 𝛿𝑘(𝑡)

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c) Como cambia el diagrama de fase si 𝜏 𝑘 = 0. La curva de 𝑐̇ = 0 se desplaza hacia la derecha. 22. Dos variables de control y dos variables de estado En una economía, existe capital 𝐾(𝑡) y un recurso extractivo 𝑅(𝑡) que son usados para producir un bien 𝑄(𝑡) de acuerdo a la función de producción 𝑄(𝑡) = 𝐴𝐾(𝑡)1−𝛼 𝑅(𝑡)𝛼 , 0 < 𝛼 < 1. El producto puede consumirse a la tasa 𝐶(𝑡), dando una utilidad igual a ln 𝐶(𝑡), o puede convertirse en capital. El capital no se deprecia y el recurso fijo 𝑋(𝑡) en el tiempo cero es 𝑋0 . Nosotros buscamos maximizar la utilidad durante un periodo de tiempo finito, sujeto a las siguientes condiciones 𝐾(0) = 𝐾0 , 𝐾(𝑇) = 0, y 𝑋(𝑇) = 0. Formalmente, el problema puede ser escrito como: 𝑇

max ∫ ln 𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶,𝑅

0

𝑋̇ (𝑡) = −𝑅(𝑡), 𝑋(0) = 𝑋0 , 𝑋(𝑇) = 0 1−𝛼 𝛼 𝐾̇(𝑡) = 𝐴𝐾(𝑡) 𝑅(𝑡) − 𝐶(𝑡), 𝐾(0) = 𝐾0 , 𝐾(𝑇) = 0 a) Escriba el principio del máximo (sin la condición de transversalidad). 𝐻 = ln 𝐶(𝑡) − 𝜆(𝑡)𝑅(𝑡) + 𝜇(𝑡)(𝐴𝐾(𝑡)1−𝛼 𝑅(𝑡)𝛼 − 𝐶(𝑡)) 𝜕𝐻 1 = − 𝜇(𝑡) = 0 … (1) 𝜕𝐶(𝑡) 𝐶(𝑡) 𝜕𝐻 = − 𝜆(𝑡) + 𝛼𝜇(𝑡)𝐴𝐾(𝑡)1−𝛼 𝑅(𝑡)𝛼−1 = 0 … (2) 𝜕𝑅(𝑡) 𝜕𝐻 = 0 = −𝜆̇(𝑡) … (3) => 𝜆(𝑡) = 𝑐𝑡𝑒 𝜕𝑋(𝑡) 𝜕𝐻 = (1 − 𝛼)𝐴𝐾(𝑡)−𝛼 𝑅(𝑡)𝛼 = −𝑢̇ (𝑡) … (4) 𝜕𝐾(𝑡) 𝜕𝐻 = −𝑅(𝑡) = 𝑋̇(𝑡) … (5) 𝜕𝜆(𝑡) 𝜕𝐻 ̇ = 𝐴𝐾(𝑡)1−𝛼 𝑅(𝑡)𝛼 − 𝐶(𝑡) = 𝐾̇ (𝑡) … (6) 𝜕𝜇(𝑡) b) Mostrar que a lo largo de la senda óptima que el ratio 𝑅(𝑡)/𝐾(𝑡) es decreciente. 𝑅(𝑡) 𝑆𝑖: 𝑦(𝑡) = => (𝑒𝑛 2) : − 𝜆(𝑡) + 𝛼𝜇(𝑡)𝐴𝑦(𝑡)𝛼−1 = 0 𝐾(𝑡) 𝛼𝜇(𝑡)𝐴𝑦(𝑡)𝛼−1 = 𝑐𝑡𝑒 Diferenciando respecto al tiempo y ordenando: 𝑦̇ (𝑡) 𝜇̇ (𝑡) (1 − 𝛼) = … (7) 𝑦(𝑡) 𝜇(𝑡) 𝑦̇ (𝑡) 𝐷𝑒 (7)𝑦 (4) : − (1 − 𝛼) = (1 − 𝛼)𝐴𝑦(𝑡)𝛼 𝑦(𝑡) −𝑦(𝑡)−(1+𝛼) 𝑦̇ (𝑡) = 𝐴

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− ∫ 𝑦(𝑡)−(1+𝛼) 𝑦̇ (𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝐴 𝑑𝑡

1 𝛼𝐶 𝛼𝑡 − 𝐴

= 𝐴𝑦(𝑡)𝛼

𝑦(𝑡)−𝛼 + 𝐶 = 𝐴𝑡 𝛼 𝑦(𝑡)−𝛼 + 𝛼𝐶 = 𝛼𝐴𝑡 𝑦(𝑡)−𝛼 = 𝛼𝐴𝑡 − 𝛼𝐶 1 = 𝑦(𝑡)𝛼 𝛼𝐴𝑡 − 𝛼𝐶 1 = 𝐴𝑦(𝑡)𝛼 𝛼𝐴𝑡 − 𝛼𝐶 𝐴 𝑅 => ∴ 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 𝑦 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝐾

c) Mostrar que a lo largo de la senda óptima que el ratio 𝐾(𝑡)/𝑄(𝑡) es creciente. 𝐸𝑙 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 − 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜: 𝐾(𝑡) 𝐾(𝑡) 1 = = 𝑄(𝑡) 𝐴𝐾(𝑡)1−𝛼 𝑅(𝑡)𝛼 𝐴𝑦(𝑡)𝛼 𝐾(𝑡) 𝛼𝐶 = 𝛼𝑡 − => ∴ 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 − 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 "𝛼" 𝑄(𝑡) 𝐴

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