Macchine Termiche Parte A [PDF]

Zitiervorschau

G. Cornetti e F. Millo

Tomo

A FONDAMENTI DELLE SCIENZE TERMICHE E MACCHINE A VAPORE ~ Bib

•

l

Il

GR UPP O

EDITORIALE

il capitello (

A questo volume sono allegati:

- Diagramma di Moll ier h-s del vapor d'acqua - Diagramma di Mollier p-h deli'Rl34a - Diagranuna psicrometrico

Progetto grafico:

Valentino Oro Videoimpaginazione e illustrazioni:

JGL- Torino Realizzazione lastre CTP:

Fotoincisa EFFEGI - Savigliano (CN) Stampa: Edizioni il capitello - Torino

PROPRIETÀ LETTERARIA RISERVATA

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BIBL . CENT . LE DI INGEGNERIA POLITECNICO MILANO

18 edizione: Ottobre 2007

F

Ristampa: 54 3 2 1

D

2012 2011

2010 2009 2008

0533 001

© EDIZ IONI IL CAPITELLO Via Sansovino, 243/22 - 10151 Torino Telefono 011/451 .36.1 1 Internet: www.capitello.it E-mail: info @capitello.it

ACI 2 5 05

In copertina e su/ retro:

Turbine a vapore Ansa!do Energia.

Grandezza

Simbolo

A AIF

Area di una sezione Rapporto aria-combustibile

c

Coefficiente Coefficiente di resistenza aerodinamica Coefficienti di contrazione della vena, di efflusso e di velocità Corsa dello stantuffo Velocità assoluta Velocità del suono Velocità ideale Capacità termica massica a pressione costante Capacità termica massica a volume costante Consumo specifico di combustibile

ex Cc, Ce, Cv c

Diametro, alesaggio Diametro specifico Frequenza: numero di cicli al secondo Forza

Unità

mm rn/s m/s

rn/s kJ/(kg·K) kJ/(kg-K) g/MJ (g/kWh) mm

Hz = 1/s N

Accelerazione di gravità (9 ,8 1) Carico idraulico totale Potere calorifico inferiore Prevalenza, carico Altezza della paletta in una turbina Entalpia massica, entalpia di ristagno

m MJ/kg

m mm kJ/kg

Numero dei getti in una turbina idraulica k, k.

Coefficiente di velocità periferica Coefficiente di resistenza localizzata, coefficiente di resistenza di attrito

x

Titolo della miscela liquido-vapore

k

m

m

Lavoro, lavoro massico Lavoro interno, lavoro delle resistenze passive Lunghezza Lavoro nell'unità di tempo (potenza meccanica)

kJ, kJ/kg kJ/kg mm kW

Momento Massa molecolare Massa Portata in massa

N·m kglkmole kg kg/s

v SIMBOLI

Simbolo

Grandezza

Unità

NPSH

Numero di Avogadro (6,024 x 106 ) Velocità (o frequenza) di rotazione Numero di moli Altezza netta positiva di aspirazione

p p , po

Potenza Pressione, pressione di ristagno

Q, q Q

Calore, calore massico Calore scambiato nell'unità di tempo (potenza termica)

kJ, kJ/kg

R

Costante caratteristica del gas in esame Grado di reazione nelle turbine termiche Numero di Reynolds Resistenza Raggio di un cerchio Costante universale dei gas (8,314)

kJ/(kg·K)

N n

S, s, s0

molecole/kmole giri/s (giri/min) kmole

m kW MPa

kW

kN mm kJ/(kmole·K)

Entropia, entropia massica, entropia di ristagno Lunghezza di un arco di circonferenza Scorrimento Velocità specifica di cavitazione

MPa

Temperatura, temperatura di ristagno Tempo

K, s

Coefficiente globale di scambio Energia interna massica Velocità tangenziale o periferica

W/(m2·K) kJ/kg m/s

v r:o v

Volume, volume massico Cilindrata di una macchina volumetrica Volume molare (22,414) Portata in volume Velocità, velocità media

m 3 , m 3/kg

w

Velocità relativa

m/s

y

Perdita di carico totale in un condotto Perdita di carico continua, perdita di carico localizzata Frazione molare, frazione in massa del componente i di una miscela di gas

m

s

s* T, T

0

t

u u

V, v

z

f3F

A

r (gamma) E (epsilon)

17 (eta)

oc

dm3 m 3/kmole m 3/s m/s

m

Numero dei cilindri in una macchina volumetrica

Simbolo (lettere greche)

a(alfa) f3 (beta)

kJ/K, kJ/(kg· K)

mm

Grandezza

Angolo Angolo Rapporto di compressione Coefficiente di effetto frigorigeno specifico Coefficiente di effetto utile o coefficiente di prestazione della pompa di calore Rapporto delle capacità termiche massiche e/cv Rapporto di compressione volumetrico Rendimento

Unità

rad, o rad, o

VI SIMBOLI

Simbolo (lettere greche)

e

(theta) A (lambda maiuscolo) A(lambda minuscolo)

J.1 (mi) v (ni)

p (ro) CJTh (sigma) r(tau)

b a

(i)+ T

ln - 2 (

T;

)

R ln (

= -

:~) ~

CP Cv

Cv

=>

~

v, v v ln -=- =- (y -l) In - 2 = In - 2 ( vt ) ( vl ( vl )

i (~~ )-r-

)

-~- D

T2 = ~ T; ( v2 )

(y - 1)

A-38

(y - 1)

=

A-39

Il lavoro si ricava sostituendo la pressione ricavata dali' equazione di base dell ' isentropica pvY = costante (A-36, 15-19) nella 15-5. Si ottiene un'espressione in cui figura il rapporto delle temperature T/ T1, che a sua volta può essere esplicitato in funzione del rapporto dei volumi v/ v2 oppure delle pressionip/ p 1 con la A-38 o la A-39 ricavate sopra. 2 2 2 J z(costante) d v = costanteJ2 -dv = costante lv- r+l 1 = costante lv-rv1 / = pd v = 1 2 1 1 vY 1 vY -y + l 1 l - y 1

f

--"p--v 1/

2 = costante

costante 1- y

~===--

A-44, A-45

21 15.1 1 -TRASFORMAZIONI DE L GAS PERFETIO NEL SISTEMA CHIUSO

lnp

b

Fig. 15.12- In coordinate logaritmiche In p e In v l'equazione della politropica pv" =costante è rappresentata da un segmento di retta di pendenza pari all' esponente della politropica: -(bi a ) = - n. Ris ulta infatti In p v " =In p+ In v" = = lnp + n In v = In (costante); posti y = In p, x = ln v e cost = ln (costante), si può scrivere: y + n x = cost =} y = cost- n x, equazione che rappresenta una retta.

La politropica è una trasformazione reversibile 15 ·5 nella quale avviene uno scambio di calore tale da poter essere rappresentata dall'equazione pvn = costante = p 1v 1" =p 1v 2" dove n, costante, è l'esponente della politropica (Tabella A .J3.5). È di particolare interesse in quanto molto spesso le trasformazioni subite dai gas seguono questa equazione: ne è un esempio l'espansione dei gas combusti nel cilindro di un motore alternativo. In un diagramma che ha come coordinate il logaritmo naturale di pressione e volume massico, l'equazione della politropica viene rappresentata da una retta di pendenza uguale ad n, esponente della politropica (Figura 15.12).

Sostituendo l' esponente n della politropica all'esponente y dell'adiabatica, si possono riscrivere le espressioni del rapporto delle temperature in funzione del rapporto dei volumi o delle pressioni di una politropica. Il lavoro risulta cosi: l - R(T.. - Tz) - (pzvz - p,vl) A-58, A-59 1 2 n- l l -n Il calore scambiato in tma trasformazione politropica si ottiene dal primo principio 1q 2 (15-6), tenendo presente l'espressione della capacità termica a vohune costante 15-12':

1/ 2

= u2 - u 1

15.5 L'aggettivo «reversibile», che accompagna la definizione di una trasformazione politropica, e comune a tutte le letterature; si citano, ad esempio, i Paragrafi 7. 10 di J. Van Wylen e R.E . Sonntag, Fundamenta/s of Classica! Thermodynamics, John Wiley, 1976, e il Paragrafo 3.7.2 di F.W. Schmidt, R.E. Henderson e C.H. Wolgerriuth, lntroduction to Thermal Sciences, John Wiley, 1984). La politropica viene anche definita come quella t rasformazione per cui la capacità termica massica rimane costante lungo tutta la t rasformazione.

Vapplicazione del principio di conservazione dell ' energia ad un sistema termodinamico chiuso stabilisce che, nel passare dallo stato iniziale l allo stato finale 2 della trasformazione, la somma algebrica dello scambio di calore 1q 2 [kJ/kg] e dello scambio di lavoro 112 [kJ/kg] è uguale alla variazione di una proprietà di stato del sistema, l'energia interna che vale u 1 nello stato l ed u2 nello stato 2: 1q2 - J2 = u2 - u 1• Per convenzione, si assume positivo il calore entrante e negativo il calore uscente dal sistema; il contrario avviene per il lavoro che è positivo quando esce dal sistema e negativo se entra . Il lavoro massico è espresso dall'integrale del prodotto della pressione per la variazione di volume massico: 112

=

r

pdv . Introdotta l'entalpia h = u + pv, proprietà dello stato del sistema

come l'energia interna, il principio di conservazione dell' energia, nel caso di una trasformazione a pressione costante del sistema chiuso, si scrive 1q2 = h2 - h 1•

22 CAPITOLO 15 - TERMODINAMICA

Il bilancio energetico, ripreso dal primo principio della termodinamica, garantisce l' impossibilità di produrre energia meccanica senza la simultanea diminuzione di un'altra energia, come il calore, suscettibile di trasformazione. Ogni processo può tuttavia essere ripercorso in senso inverso senza violare il primo principio. Tale possibilità è negata dal secondo principio che afferma che alcuni processi non possono avvenire. La guida offerta dal secondo principio per determinare la direzione naturale dei processi è rappresentata da una funzione di stato, l'entropia s [kJ/(kg-K)], che nella trasformazione reale (irreversibile) viene definita dall'integrale di Tds uguale al calore massico q scambiato dal sistema con l'esterno più il calore di irreversibilità /w che il sistema riceve per effetto del lavoro delle resistenze passive:

JTds = q + /w.

Nel diagramma pressione-volume p-v, l'area sottesa alla trasformazione rappresenta il lavoro J2, mentre nel diagramma temperatura-entropia T-s l'area sottesa è il calore 1q2 • I diagrammi termodinamici più utilizzati sono quelli in cui l'entalpia h è una delle due coordinate. Per un gas perfetto, quel gas cioè che segue l 'equazione pv = RT, l' energia interna e così pure l' entalpia risultano funzioni della sola temperatura. La capacità termica massica [kJ/(kg·K)] assume un valore costante per ciascun gas perfetto: la capacità termica a volume costante cv, definita dalla relazione u 2 - u 1 = c/_T2 - T1), è funzione della variazione di energia interna; la capacità termica a pressione costante cP, definita da h2 - h 1 = cp(T2 - T1), è funzione della variazione di entalpia. Le capacità termiche sono legate alla costante del gas R dalla relazione cp- Cv= R; r= e/ cv è il loro rapporto. Nel sistema chiuso le equazioni che caratterizzano le trasformazioni a temperatura costante (isoterma), a pressione costante (isobara) e a volume costante (isocora) si ottengono dall 'equazione di stato del gas perfetto ponendo costante rispettivamente temperatura T, pressione p e volume massico v. I.:isentropica, trasformazione reversibile del gas perfetto quando non viene scambiato calore con l'esterno (adiabatica), è definita da pvr = costante =p1v t= p 2v[. Molte trasformazioni dei gas seguono la politropica, trasformazione rappresentata dall'equazione pvn =costante = p 1vr = p 2v~', con n costante.

~

15.1 Calcolare il calore scambiato 1Q2 durante una trasformazione di un sistema termodinarnico chiuso in cui viene scambiata una quantità di lavoro 1L2 = 40 kJ con una variazione di energia interna t).U = U2 - U1 = 660 kJ. Sapendo che l'energia interna iniziale vale U1 = 200 kJ, calcolare l'energia interna finale

u2.

15-6:

1Q2 -

1L 2

= 1L2 + t).U = 40 kJ + 660 kJ = 100 kJ U2 = U1 + t).U = 200 kJ + 660 kJ = 860 kJ

= U2 - U1 = t).U

U2 - U1 =t).U

==>

==>

1Q2

~

15.2 Assumendo una capacità termica costante (Tabella A.6), calcolare la variazione di entalpia massica !).h di idrogeno, elio, aria ed argon quando vengono scaldati da T1 = 300 oc a T2 = 800 °C. 15-11':

t).hidrogeno

= h2 -

h 1 = 14,2091 kJ/(kg·k) X 500 K = 7 104 kJ/kg

t).helio

= 5, 1926 kJ/(kg·k) X 500 K = 2596 kJ/kg

t).haria

= 1,00351 kJ/(kg·k) X 500 K = 502 kJ/kg

t).hargon

=0,5203 kJ/(kg· k) X 500 K =260 kJ/kg

23 ESERCIZI RISOLTI

~ 15.3 Calcolare la massa m d'aria contenuta in un cilindro di volume V1 = l m 3 alla pressione

T1 = 600 K. Sapendo che l'aria viene fatta espandere in modo reversibile in condizioni isoterme fino alla pressione p 2 =O, lMPa, calcolare calore massico 1q2 , lavoro massico 112, quantità di calore 1Q2 e lavoro 1L2 scambiati nella trasformazione.

p 1 = 4 MPa e alla temperatura

p1~ = mRT; ~

15-3, TabellaA.6:

A-7:

m=

~i = 0,~8~ ~~;(~::): 6~; K = 23,228 kg "" 23,2 kg 1

4

1 =1q2 = RT; ln(l!J...) = 0,287 kJ/(kg-K) x 600 K In( MPa ) = 635,2 kJ/ kg P2 0,1 MPa

1 2

l= L/m oppure q = Q/m ~ L = ml ~ IL2 = IQ2 = 635,2 kJ/kg x 23,2 kg = 14.736,64 kg

Paragrafi 15.5:

~ 15.4 Calcolare il lavoro

1L 2 necessario per riempire di gas un pallone di raggio r = 11 m, sapendo che il volume iniziale del pallone è praticamente nullo (V1 = O) e che la pressione interna p viene mantenuta sostanzialmente uguale alla pressione atmosferica esterna di l Ol ,32 kPa.

A-15:

1 = p(v1 - v 1);

12

l= L/m;

v= V/m;

V2 =

4 31tr

3

4 = ) x

1t

x (11 m) 3 = 5575,3 m 3

1 ~ = mp (~ - ~)=p (V ~) = 0,10132 MPa x (5575,3 m 2 -

3

-

O) = 564,9 MJ

~ 15.5 Le condizioni iniziali dell'aria, contenuta in un cilindro, sono caratterizzate dalla pres-

sione p 1 = l 00 kPa, dalla temperatura T 1 = 500 K e dal volume di V1 = l Om 3 . Calcolare le condizioni finali di temperatura T2 e pressione p 2, qualora il volume dell' aria venga ridotto fino V2 = l ,5 m 3 seguendo una trasformazione isobarica oppure iso termica oppure politropica di esponente n= 1,33 oppure infine adiabatica. A-13:

T;

=

5 • m r;(~) = 500 K x ( 110m

3

3

V1

= 75

)

K;

p1

= p 1 = l 00 kPa

=p (vv) =100 kPa x(10m -=666,7 kPa; 1,5 m 3

A-2:

p2

1

---l.

3

)

T1 =T; = 500 K

2

V1 n )

3

,33 10m )1 =100 kPa x -=1246,8 kPa 1,5 m (

A-52:

p1

=p

A-54:

T1

=T

A-36:

P2

=P1 (~)r =100 kPa x(lO m:) =1423,9 kPa v 1,5 m

1( -

v2

1(

~) v2

n -1

3

3)0,33 =500 K x 1,5 lO m =935,1 K m (

3

1

.4

2

A-38:

T2

=T;(~)r-I =500 K x(lO m:)= 1423,9 K v 1,5 m 2

24 CAPITOLO 15 - TERMODINAMICA

~ 15.6 La pressione e la temperatura iniziali di una massa d 'aria m= 0,1 kg, contenuta in un cilindro, valgono rispettivamente p 1 = 100 kPa e T1 = 300 K. Varia viene compressa secondo una politropica di esponente n= 1,246 fino a raggiungere un rapporto tra volume iniziale e volume finale v/v2 = 8. Calcolare il lavoro scambiato J2, la temperatura finale T2, l'energia interna per unità di massa iniziale u 1 e finale u2 e il calore scambiato 1Q2•

l = RT; [l _

A-60, TabellaA.6: l= L/m

1L 2

qz

2

'

= mJ2 = 0,1 kg x(- 233,75 kJ/kg) =- 23,4 kJ

ju j300 K = 2 14,09 kJ/kg;

TabellaA.8:

l

(..!i)n -t]= 0,287 kJ/l (kg-K) x 300 K [l _ 80,246] = _ 233 75 kJ/ k v 246 - l ' g

~ T,(:: ~ 300 K x 8°·'" ~ 500 K

T,

A-63:

n- l

r'

=::}

A-54:

1 2

1

ju j500 K = 359,53 kJ/kg 2

= (u - u) + R(T;- T2 ) = (359 53 -2 14 09) kJ/ k + 0' 287 kJ/(kg·K) x (300- SOO) K 2 l n- l ' ' g l 246- l

q= Q/m

1Q2

=::}

= m 1q2 = 0,1 kg x(- 87,89 kJ/kg) =- 8,9 kJ

'

= -87 89 kJ/ k '

g

= 173 kPa e alla temperatura T1 = 300 K viene compressa da un pistone, secondo una politropica di esponente n= 1,3, fino a raggiungere la pressione finale p 2 =600 kPa. Calcolare la massa d'aria m contenuta nel cilindro, il volume finale V2 , il rapporto tra i volumi iniziale e finale VJ V2, il lavoro scambiato 1L 2, la temperatura finale T2, l'energia interna massica iniziale u 1 e finale u 2, il calore scambiato 1Q2 •

~ 15.7 Varia contenuta in un cilindro di volume V1 = 0,5 m 3 alla pressione p 1

v;

v; = mRT;

m= p 1

p1

15-3, TabellaA.6:

RT;

1/n

A-56:

V=V. =05m 3 x 2 1 ( lì ) ' p2

A-54:

T2 =T.

A-60:

'l, ~ nR:l [l -

l (

l = L /m TabellaA.8:

A-63 :

v;

v2

Il - l

( 173

3

(

= 300 K x )

(

~

)1/1,3

kPa 600 kPa

r] ~

O,S m

0,287 kJ/

3

173 kPa x 0,5 m = 10k 0,287 kJ/ (kg-K) x 300 K ' g

=05m 3 x(0288) 0·769 = 0192m 3 ' ' '

)1 3-1 ,

0,192m 3

=

= 300 K x 2 6°·3 = 400 K '

(~~3K) x 300 K [l - 2,6'·' l ~ -95,27 kJ / kg

L = m 1l2 = l kg x (- 95,27 kJ / kg) = -95,27 kJ

=::}

1 2

ju 1j300 K = 214,09 kJ/ kg;

q = (u2 -u1 ) + R(T;- TJ n- l

1 2

Paragrafo 15.5:

q= Q/m

u 1 l 2 400 K

= 286,19 kJ/ kg

214,09)kJ/ kg+ 0' 287 kJ/(kg·K) x (300- 400) K 1,3 -l

=(286,19 -

= -23,57 kJ/ kg

Q2 = m ,q2 = l kg x(- 23 ,57 kJ/kg) =- 23,57 kJ

1

25 ESERCIZI RISOLTI

~ 15.8 Calcolare calore massico q e potenza termica Q da somministrare ad una massa d'aria =20 kg contenuta in un recipiente rigido (il volume cioè rimane costante) affinché, in un tempo t = l 000 s, aumenti la propria temperatura del valore !1T = l 00 °C.

m

A-30, Tabella A. 6:

q = Cv(T;-

1 2

~)

= Cvl1T = 0,7165 kJ/ (kg·K)

· . m 20 kg P= Q= mq= - q= --71,65 kJ/ kg

Paragrafo 15.5:

t

1000 s

X

100 K = 71,65 kJ/ kg

= 1,433 kW

di elio m= 4 kg alla pressione p 1 =4 MPa e alla temperatura T1 = 300 K. Ali' elio viene fornita una quantità di calore 1Q2 = 800 kJ in un processo a pressione costante (p, =p 2 =p). Si fa l'ipotesi di considerare l'elio un gas perfetto e di poter assumere un valore costante della capacità termica massica cP, dato il modesto aumento di temperatura T2 - T 1 come si vedrà con il valore di T2 • Calcolare temperatura T2 e volume V2 nelle condizioni finali nonché il lavoro 1L 2 ottenuto. ~ 15.9 In un cilindro è contenuta una massa

TabellaA.6 - elio:

15-3:

pV

R

= mRT

= 2,077 kJ/(kg-K), =>

V.= mR~ 1 p

A-18:

cP = 5,1926 kJ/(kg·K);

=

T;

=>

4 kg x 2,077 kJ/(kg· K) x 300 K =O m 63 3 4000 kPa '

=~ +

'Q2 mcP

A-14:

= 300 K +

V= V.1 2

~ 15.10 A una bombola di volume

800 kJ 4 kg x 5,19 kJ/ (kg· K)

= 338,5 K

(T )=

338 5 O 63m3 x ( • K) = O 71m 3 ' 300 K '

2

T.l

V = 0,05 m 3, contenente aria alla pressione p 1 = 20 MPa e

alla temperatura T1 = 300 K, viene sonuninistrata una quantità di calore ,Q2 = 837 kJ. La trasformazione è un'isocora. Si fa l'ipotesi di considerare l'aria un gas perfetto e di poter assumere un valore costante della capacità termica massica cv, dato il modesto aumento di temperatura T2 - T, come si vedrà con il valore di T2 . Determinare la massa m d'aria contenuta nella bombola, l'energia interna iniziale u" la temperatura T2 e la pressione p 2 alla fine del processo.

TabellaA.6- aria:

15-3:

pV

TabellaA.8:

R

= mRT

= 0,287 kJ/(kg·K), 1 => m = p V = R~

cv= 0,7165 kJ/(kg-K); 3

=>

u 2 = u 1 + 1Q 2 m T = T. + u2 2

p2

= 11 61 k '

g

u300 K = u 1 = 214,09 kJ/kg;

A -29:

A-26:

3

20 x 10 kPa x 0,05 m 0,287 kJ/ (kg-K) x 300 K

=p

(T

2

1

~

)

= 20 MPa x (

°

40

K) 300 K

1

-

Cv

= 214,09 kJ/ kg + u,

837

kJ 11 ,6 1kg

= 286,18 kJ/ kg

= 300 K + 286,18 kJ/ kg- 214,09 kJ/ kg = 400 K 0,7165kJ/ (kg-K)

= 26,67 MPa

26 CAPITOLO 15 - TERMODINAMICA

Le sostanze pure possono esistere come solidi o liquidi o vapori. Queste diverse forme fisiche si chiamano fasi oppure stati di aggregazione della sostanza pura. Il passaggio da una fase all'altra come fusione (passaggio da solido a liquido) e vaporizzazione (da liquido a vap ore) e i loro inversi, rispettivamente solidificazione e liquefazione, vengono chiamati cambiamenti di fase oppure passaggi di stato di aggregazione. Ai cambiamenti di fase che abbiamo citato, occorre aggiungere la sublimazione consistente nel passaggio diretto da solido a vapore. Nella presentazione delle caratteristiche della sostanza pura (Paragrafo 15. 3), si è visto che uno stato di equilibrio è definito da due variabili indipendenti (ad esempio pressione e temperatura), che vengono associate a una terza variabile dipendente (la massa volumica) per mezzo dell'equazione di stato F (p, p, T)= O. V esperienza dimostra che, durante il cambiamento di fase di una sostanza pura, pressione e temperatura sono legate tra loro dall'equazione p = f(T) del Paragrafo 15.4, che prende il nome di relazione di equilibrio, e perciò non possono più essere considerate come variabili indipendenti. Tuttavia la conoscenza di una delle variabili, come la pressione del sistema durante il cambiamento di fase, non ci consente di definire la trasformazione; non possiamo sapere infatti la quantità di una fase (ad esempio il liquido) rispetto all'altra fase (il vapore), a mano a mano che il processo progredisce. Né d'altra parte ci può aiutare la conoscenza della temperatura, presente durante il cambiamento di fase, in quanto questa, essendo funzione della pressione, rappresenta soltanto un altro modo di esprimere quelle stesse informazioni che derivavano dalla conoscenza della pressione. In generale si può affermare che, in un sistema a due fasi, la proporzione di una fase rispetto all'altra (ad e sempio la concentrazione di vapore sul totale di liquido più vapore) e lo stato del sistema a quella data pressione (oppure a quella data temperatura) sono definiti allorché vengono assegnati o la pressione o la temperatura, a cui avviene il cambiamento di fase, e un'ulteriore variabile indipendente come, ad esempio, volume massico o energia interna oppure entalpia.

di fase - Trasformazione isotermobarica Si consideri il passaggio da liquido a vapore dell'acqua, fluido utilizzato in molti processi termodinamici. In questo cambiamento di fase il sistema sia costituito da l kg di acqua contenuta in un cilindro alla temperatura di 20 °C (Figura 16.1-a); un pistone a tenuta è posto sul liquido e il peso del pistone è tale da mantenere una pressione pari a O, l MPa all'interno del cilindro. Iniziamo a fornire calore all'acqua: la temperatura aumenta, il volume massico aumenta di poco mentre la pressione rimane costante (cammino l -t 2). Allorché la temperatura arriva a 99,63 oc (punto 3), l'acqua inizia a trasformarsi da liquido a vapore; in questo stato il liquido viene chiamato liquido saturo perché l 'ulteriore somministrazione di calore determina la trasformazione di parte del liquido in vapore (cammino 3 -7 4). I valori di pressione e temperatura in corri-

27 ~

2 - CAMBIAMENTO DI FASE - TRASFORMAZIONE ISOTERMOBARICA

l Liquido

2 Liquido

3 Liquido saturo

4 Liquido+ vapore

5 Vapore saturo

6 Vapore surriscaldato

Fig. 16.1-a- Passaggio da liquido a vapore dell'acqua.

spondenza dei quali si verifica il passaggio da liquido a vapore (o viceversa da vapore a liquido) sono detti rispettivamente pressione e temperatura di saturazione o anche pressione e temperatura di equilibrio, in quanto pressione e temperatura sono legate tra loro, durante il cambiamento di fase, dalla relazione di equilibrio p= f(T). Durante il cambiamento di fase, pressione di saturazione (nel nostro caso O, l MPa) e temperatura di B A saturazione (99,63 °C) rimangono • lsotem1a critica • 374,14 costanti, mentre il volume massico aumenta notevolmente pasp=O,l MPa sando da 0,00 l 043 m 3/ kg per il 6 liquido saturo a 1,6940 m3/kg per 99,63 -----------.-- - - 4 3 5 il vapore saturo (Figura 16.1-b). Alla fine, tutto il liquido si è tra2 20 - --- - -- sformato in vapore (punto 5). In queste condizioni il vapore si dice vapore saturo 16· 1: la rimozione inv[mllkg] fatti di una sia pur piccola quantità di calore dal vapore determineFig. 16.1-b - Diagramma temperatura T - volume massico v correbbe l'inizio della condensazione. rispondente al processo d i riscaldamento della Figura 16.1-a. Se si continua a somministrare calore, la temperatura del vapore inizia di nuovo a salire, partendo da 99,63 °C. Parallelamente aumenta il volume massico del vapore (punto 6). In queste condizioni il vapore si dice vapore surriscaldato in quanto si trova ad una temperatura maggiore della temperatura di saturazione (99,63 °C) a quella data pressione (0,1 MPa). Per tutta la durata del cambiamento di fase, che avviene a pressione costante, la temperatura rimane essa pure costante, mentre il calore, che continua ad essere somministrato, determina il passaggio da una fase ali ' altra della sostanza pura oggetto della trasformazione. La temperatura comincia nuovamente a salire, a seguito della somministrazione di calore, soltanto quando è presente una sola fase: è il caso del vapore surriscaldato lungo il cammino da 5 a 6. Più in generale si può affermare che il cambiamento di fase è una trasformazione che avviene a temperatura e pressione costanti (isotermobarica). Essendo il calore scambiato in una trasformazione a pressione costante uguale alla variazione di entalpia (15-10), il calore fornito al (oppure ceduto dal) sistema durante il cambiamento di fase è misurato dall'aumento (oppure dalla diminuzione) di entalpia del cambiamento di fase. Sul diagramma T- s (temperatura - entropia massica) della Figura 16.1-c il cambiamento di fase relativo alla vaporizzazione del liquido avviene all' interno di una curva a campana in cui la 16.1 Nella letteratura italiana, a differenza delle letterature francese, inglese e tedesca, si usa al posto di vapor saturo, il termine vapor saturo secco, per indicare l'assenza di qualsiasi parte di liquido nel vapore (si veda anche la nota 16.2).

28 CAPITOLO 16- VAPORI

T[OC]

400

300

200

100

o o

Punto critico

lsotrrma critica Liquido compresso

Liquido saturo

3'

2

3

4

5

6

7

8

9

s [kJ/(kg·K)]

Fig. 16.1-c - Diagramma entropico per le fasi liquido e vapore deli ' acqua.

miscela di liquido saturo e di vapore saturo si trova in condizioni di equilibrio. Questa regione liquido-vapore 16·2 è delimitata da due ramit 6 ·3 : a sinistra, la curva limite inferiore (o curva de/liquido saturo), luogo dei punti in cui il liquido inizia il processo di vaporizzazione; a destra, la curva limite superiore (o curva del vapore saturo), luogo dei punti in cui termina la vaporizzazione.

e area racchiusa nella regione liquido-vapore si va progressivamente restringendo all'aumentare della temperatura (e quindi della pressione) fino ad arrivare al punto critico (per l'acqua, Pcritica = 22,080 MPa e Tcritica = 374,136 °C), al di là del quale svanisce la distinzione tra le due fasi, liquido e vapore 16 ·4 . Poiché nel piano T-s l'area sottesa alla trasformazione rappresenta il calore scambiato (Paragrafo 15.1 0), è possibile evidenziare sul diagramma, momento per momento, le quantità di calore che vengono fornite all'acqua (Figura 16.1-d) . Trattandosi di un processo a pressione costante (0,1 MPa), l'area sottesa alla trasformazione l -7 6 rappresenta anche l'entalpia for-

16.2 Nella letteratura italiana, la regione liquido-vapore viene chiamata regione del vapor saturo intendendosi per vapore saturo un vapore che si trova in presenza del proprio liquido. È sempre per questo motivo che la letteratura italiana parla del vapore saturo secco per indicare la fine del processo di vaporizzazione (punto 5 di Figura 76.7-c). 16.3 Ricordiamo che il vapore è surriscaldato quando (punto 6 della Figura 76.7-c) si trova a una temperatura maggiore della temp.eratura di saturazione corrispondente a quella data pressione. Un liquido può essere indicato sia come liquido sottoraffreddato, poiché la sua temperatura è più bassa di quella di saturazione a quella data pressione (punto 2 di Figura 16. 7-c), oppure liquido compresso, perché la sua pressione è maggiore della pressione di saturazione a quella data temperatura (punto 3' di Figura 16. 7-c). 16.4 A temperature al di sopra della temperatura critica, il fluido può passare da una zona, dove le sue proprietà sono simili a quelle di un liquido (punto A nella Figura 76.1-b), a una zona, dove le sue proprietà sono simili a quelle di un vapore (punto B nella Figura 16.1-b), senza subire un improwiso e distinto cambiamento con due fasi in equilibrio come awiene all'interno della regione liquido-vapore. Il cambiamento è piuttosto graduale e continuo: si verifica una variazione continua della massa volumica e in ogni istante è presente soltanto una fase. Ci si può porre allora una domanda: quando dobbiamo considerare l'acqua un liquido e quando invece un vapore? La risposta è che, a temperature superiori a quella critica, non vi saranno mai due fasi liquido e vapore di una sostanza pura esistenti in condizioni di equilibrio: dobbiamo parlare genericamente di un fluido, il cui comportamento, particolarmente per valori modesti della massa volumica, può essere approssimato a quello del gas perfetto. In effetti le sostanze che noi chiamiamo gas non sono altro che vapori altamente surriscaldati.

29 16.2- CAM BIAMENTO DI FASE- TRASFORMAZIONE ISOTERMOBARICA

300

200

o

2

3

4

5

6

8

7

9

s [kJ/(kg·K)]

Fig. 16.1-d -Zone del diagramma T-s con evidenziato il calore scambiato nei diversi stadi del passaggio da liquido compresso a vapore surriscaldato. I;area sottesa al tratto 3 --7 5, che dà il calore somministrato per far awenire il cambiamento di fase (2258 kJ/kg), prevale nettamente sulle quantità di calore utilizzate per far aumentare la temperatura del liquido da 20 °C a 99,63 °C ( l --7 3) o del vapore (5--7 6).

nita all'acqua per passare dallo stato iniziale l allo stato finale 6; in particolare l'area sottesa al tratto 3 ~ 5 è l'entalpia di vaporizzazione (2258 kJ/kg) necessaria perché avvenga il passaggio da liquido a vapore.

16.3

Titolo di una miscela liquido-vapore La miscela liquido-vapore viene caratterizzata con il titolo x, rapporto tra la massa di vapore saturo mg e la massa totale m somma della massa del liquido saturo mr e di quella del vapore saturo mg (m =mc+ mg):

x

massa di vapore saturo massa di liquido saturo + massa di vapore saturo

= ------------------~-----------------

16-1

Il titolo è zero (x= O) quando è presente solo liquido saturo (mg =0), mentre vale uno (x= l ) quando è presente solo vapore saturo (mc= O); in tutti gli altri casi il titolo x assume un valore compreso tra zero e uno. Dalla 16-1 si ricava prima la massa del vapore mg=xm; si ricava quindi la massa del liquido mc in funzione del titolo x e della massa m della miscela liquido-vapore con i seguenti passaggi: m = mr + mg => mc= m- mg = m - xm = (l - x)m. In conclusione si ha: mg=xm

16-1'

mr=(l-x)m

Se, ad esempio, la miscela di liquido e vapore con massa m = l kg contiene una massa di vapore mg = 0,4 kg, titolo e massa di liquido valgono rispettivamente mg = xm => x= m/ m = = 0,4 kg/1 kg = 0,4 e m c= (l -x) m= (l - 0,4) x l kg = 0,6 kg; risulta così verificata la massa totale m = mr + mg = 0,6 kg + 0,4 kg = l kg. Le curve che, all'interno della regione liquidovapore, congiungono punti a ugual titolo sono dette isotitolo (Figura 16.1-c). Il titolo x permette di determinare le proprietà dello stato del fluido nella regione liquido-vapore mediante le formule che seguono: 16-2 16-4

Zrg

= zg -

zx = zg -(l -

Zc

x) z rg

16-3 16-5

30 CAPITOLO 16- VAPORI

dove z

zx zr zg Zrs

è la generica proprietà: può essere il volume massico v [m3/kg] o l'entalpia h [kJ/kg] o l'entropia s [kJ/(kg-K)] oppure infine l'energia interna u [kJ/kg]; è la proprietà calcolata in corrispondenza del titolo x; è la proprietà riferita al liquido saturo; è la proprietà riferita al vapore saturo; è il valore di vaporizzazione della proprietà.

Dimostriamo queste formule nel caso in cui la generica proprietà di stato sia il volume massico v. Dalla definizione di volume massico v= V/m e dalle 16-1' si ha:

vx

Vr+~

V

= --L =--= m m

mrVr +mgvg m

=

(1 - x)mvr+xmvg m

= (1 -

x) Vr +xv

g

Tenendo conto che la differenza tra i due volumi vrg = vs- vrrappresenta l'aumento del volume massico quando lo stato cambia da liquido saturo a vapore saturo, la relazione precedente scritta in funzione di Vrs dà la 16-4 e la 16-5.

Volume massico del vapore

Esempio 16.1

Calcolare il volume massico v,. di vapore a 21 O°C, avente un titolo x pari a 0,8. Sono noti il volume massico del liquido saturo Vr = 0,001173 m 3/kg e il volume massico del vapore saturo vs = 0,10441 m 3/kg.

C equazione 16-2 scritta sostituendo az il volume massico v, dà: vx = (l -x)vr+ xvg =(l- 0,8) 0,001173 m 3/kg + 0,8 x 0, 10441 m 3/kg = 0,8376 m 3/kg

Titolo di una miscela liquido-vapore .

Esempio 16.2

'

Calcolare il titolo x di una miscela liquido-vapore che, con una massa totale m = 3 kg, occupa un recipiente avente un volume V,.= O, 12m3 . Sono noti il volume massico del liquido saturo vr 0,001173 m3/kg e il volume massico del vapore saturo vg 0,10441 m 3/kg.

=

=

Soluzione

'·.·~~.-

l: equazione 16-2 scritta sostituendo az il volume massico v, dà: vx

-

Vr

x= - - -

vs- Vr Sempre dalla 16-2 ricaviamo il volume massico vx della miscela e quindi il titolo x: 3

v

V 0,12 m = --L = = O' 04 m3/ kg x m 3kg

x =

0,04m 3/ kg-0,001173m 3 / kg = 0376 0,10441 m 3/ kg- 0,001173 m 3/ kg '

Commenti :Nello stato considerato la miscela è costituita dal37,6% di vapore saturo e da (l- 0,376)100 = 62,4% di liquido saturo.

3 16.3- TITOlO DI UNA MISC ELA LIQUIDO-VAPORE

16.4

Tabelle Esistono delle tabelle che danno le proprietà di stato per diverse sostanze e, in generale, esse si presentano tutte nella stessa forma. In questo capitolo ci riferiremo in particolare alle tabelle del vapor d'acqua (sono le Tabelle A. l , A.2 e A.3 riportate in Appendice), che è la sostanza di gran lunga più utilizzata negli impianti di potenza e nei processi industriali. La Tabella A.l presenta le proprietà del liquido e del vapore saturo in funzione della temperatura. Nella prima colonna è appunto indicata la temperatura T [0 C], mentre nella seconda colonna è riportata la corrispondente pressione di saturazione p [kPa] oppure [MPa]; come è d'uso nella trattazione delle macchine termiche, la pressione, che figura nelle tabelle, è la pressione assoluta e non quella relativa (Paragrafo 4.2). Quindi di seguito abbiamo: - volume massico [m3/kg] del liquido saturo Vr e del vapore saturo vg; - entalpia massica [kJ/kg] del liquido saturo hr, di vaporizzazione hrs e del vapore saturo hg; - entropia massica [kJ/(kg·K)] del liquido saturo sr, di vaporizzazione Srg e del vapore saturo sg Per convenzione si sono posti uguali a zero i valori di hr ed sr relativi al liquido saturo, in corrispondenza della temperatura di O °C (273,15 K). Questo perché, le grandezze precedenti vengono calcolate come variazione rispetto a uno stato di riferimento che occorre sempre definire, sia pure in modo arbitrario. La Tabella A.2 è equivalente alla Tabella A.1; riporta però nella prima colonna la pressione e nella seconda colonna la corrispondente temperatura di saturazione. La Tabella A.2 viene utilizzata quando è assegnata la pressione, mentre la Tabella A.1 viene impiegata quando si conosce la temperatura. Il valore della generica proprietà zx in corrispondenza del titolo x si calcola con le formule del Paragrafo 16.3. La Tabella A.3 è stata suddivisa nella Tabella A.3.1, relativa al vapore surriscaldato, e nella TabellaA.3.2, relativa al liquido compresso; queste tabelle riportano i valori delle proprietà v, h ed sin funzione di coppie di valori della pressione p [MPa] (riga in alto) e della temperatura T [0 C] (nella prima colonna). È necessaria una coppia di valori di pressione e di temperatura, in quanto, uscendo dalla regione di equilibrio liquido-vapore, non esiste più una relazione univoca tra queste due variabili. Accanto alla pressione, tra parentesi tonde, viene indicato il valore della temperatura di saturazione corrispondente a quella pressione. Naturalmente non figurano più i pedici «f» e «g» relativi rispettivamente al liquido saturo e al vapore saturo, in quanto siamo al di fuori della regione di saturazione. La TabellaA.3.1 comprende anche le caratteristiche dell'acqua nella regione al di sopra dell'isoterma critica, regione che avevamo detto appartenere al gas (ma il gas non è altro che vapore altamente surriscaldato 16.4). Per illustrare l 'uso delle tabelle, si consideri adesso la trasformazione della Figura 16.1 con il passaggio di l kg d'acqua dalla temperatura T = 20 °C a quella di 200 °C, mantenendo nel cilindro una pressione costante p= 0,1 MPa. Il titolo all' interno della regione liquido-vapore sia x = 0,4. Trattandosi di una trasformazione a pressione costante, la variazione di entalpia rappresenta il calore scambiato (15-10): occorre quindi determinare il valore di entalpia nei singoli punti della Figura l 6.1.

l. p = O, l MPa, T= 20 oc => h 1 = 84,0 kJ/kg Siamo nella regione del liquido compresso. Il valore dell 'entalpia si ricava dalla TabellaA. 1 alla temperatura di 20 o c (hr =83,96 kJ/kg :::: 84,0 kJ/kg) in quanto, per pressioni modeste, la differenza tra l' entalpia del liquido compresso e quella del liquido saturo, alla stessa temperatura (20 °C), è molto piccola. Solitamente un processo, in cui il liquido viene scaldato a pressione costante, si considera coincidente con la linea del liquido saturo fino a quando viene raggiunta la temperatura di saturazione (Figura 16.1-c). Un altro modo per ricavare h 1 è passare attraverso la capacità termica massica dell 'acqua cacqua = 4, 18 kJ/(kg·K), che si può assumere

32 CAPITOLO 16 - VA PORI

costante al variare della temperatura. Per la 15-4, si ottiene un risultato uguale a quanto avevamo posto prima 16 ·5: h 1 = cacqua/::,.T= 4,18 kJ/(kg·K) X 20 °C = 83,6 kJ/kg ""' 84 kJ/kg. 2. p= 0,1 MPa, T= 60 oc

: : :}

h 2 = 251,12 kJ/kg

È il valore ottenuto dalla Tabella A.1, in corrispondenza alla temperatura di 60 °C. Facendo uso della formula approssimata, si avrebbe h2 = 4,18 kJ/(kg·K) x 60 °C = 250,8 k:J/kg ""' 251 kJ/kg. 3. p = 0,1 MPa, T= 99,63

oc

: : :}

h3 = 417,46 kJ/kg

Poiché è assegnata la pressione, entriamo con il valore di 0,1 MPa nella Tabella A.2 ericaviamo la temperatura di saturazione T = 99,63 o c e l'entalpia del liquido saturo hr = h3 .

4. p= 0,1 MPa, T= 99,63 °C, x= 0,4 :::::} h4 = 1320,68 kJ/kg C entalpia si calcola con la 16-2, sostituendo alla generica proprietà z l'entalpia h. I valori dell' entalpia del liquido e di quella del vapore sono rispettivamente hr = 4 17,46 kJ/kg e h g = 2675,5 kJ/kg: h_, = (1-x) hr+xhg =(l- 0,4) 417,46 kJ/kg + 0,4 x 2675,5 kJ/kg = 1320,60 kJ/kg 5. p= 0,1 MPa, T= 99,63

oc

: : :}

h5 = 2675,5 kJ/kg

Dalla Tabella A.2 si legge, come entalpia del vapore saturo (x = 1), hg = 2675,5 kJ/kg. 6. p= 0,1 MPa, T= 200,0

oc

: : :}

h 6 = 2875,3 kJ/kg

Siamo nella regione del vapore surriscaldato. Sulla Tabella A. 3.1 si legge, alla temperatura di 200 oc nel quadro che si riferisce alla pressione di 0,1 MPa, l'entalpia h= 2875,3 kJ/kg. Il calore, che va fornito all'acqua per passare, lungo l' isobara con pressione pari a 0,1 MPa, dallo stato di liquido a 20 oc allo stato di vapore surriscaldato a 200 °C, è dato dalla somma delle variazioni di entalpia nei tre intervalli relativi al liquido, alla regione liquido-vapore, al vapore surriscaldato (Figura 16.1). Il calore da fornire al liquido, per passare dalla temperatura iniziale di 20 oc alla temperatura di saturazione di 99,63 °C, è uguale alla differenza di entalpia del liquido saturo a 99,63 °C e quella del liquido a 20 °C: ql3 = h3- hl =

417,46 kJ/kg - 84,0 kJ/kg = 333,46 kJ/kg = 333 ,5 kJ/kg

Il calore da fornire nel passaggio di stato, per passare da liquido saturo a vapore saturo, è dato dalla differenza di entalpia hg - hr =hrg, che è appunto l'entalpia di vaporizzazione: q 35 = h5 - h 3 = 2675,5 kJ/kg - 417,46 kJ/kg = 2258,0 kJ/kg Il calore da fornire al vapore saturo per portarlo nello stato di vapore surriscaldato alla pressione di 0,1 MPa è uguale alla differenza tra l'entalpia del vapore surriscaldato e quella del vapore saturo: q56 = h6 - h5 = 2875,3 kJ/kg- 2675,5 kJ/kg = 199,8 kJ/kg Il calore complessivo 16·6 somministrato all'acqua è allora:

q,6 =

ql 3 +

q35 +q56= 333,5 kJ/kg + 2258,0 kJ/kg + 199,8 kJ/kg = 2791 ,3 kJ/kg

16.5 flT è una differenza di temperatura valutata rispetto a O0 ( (273, 15 K), temperatura in corrispondenza della quale abbiamo assunto il valore di zero dell'entalpia. Questa differenza di temperatura può perciò essere espressa indifferentemente in oc oppure in K. 16.6 In ogni trasformazione che coinvolge un cambiamento di fase non bisogna mai dimenticare di introdurre l'entalpia di vaporizzazione; nel caso citato il calore da fornire nel passaggio di stato (2258 kJ/kg) è di gran lunga superiore al calore fornito nel riscaldamento del liquido (333,5 kJ/kg) o di quello necessario per surriscaldare il vapore (199,8 kJ/kg) e ciò in accordo con le aree evidenziate nella Figura 16.1 -d.

33 :; .! -

,ABELLE

Questo calore deve essere uguale alla differenza di entalpia nello stato finale 6 e nello stato iniziale l in quanto si ha:

ql6 = ql3 + q35 + qs6 = (h3- hl)+ (hs- h3) + (hs- h6) = (h6- hl) =

= 2875,3 kJ/kg- 84,0 kJ/kg = 2791,3 kJ/kg In conclusione, possiamo scrivere che in una trasformazione isobarica (è la trasformazione che riguarda in particolare i generatori di vapore) il calore da fornire all'acqua nello stato iniziale l per arrivare allo stato finale 2 di vapore surriscaldato, è espresso dalla variazione di entalpia ~!!h ed è composto da tre termini:

16-6 dove /!ih 1iquido è l'entalpia da fornire al liquido per arrivare allo stato di liquido saturo, hrg è l'entalpia di vaporizzazione e /!ihsurr è l'entalpia di surriscaldamento necessaria per passare da vapore saturo a vapore surriscaldato.

Il valore dell'entropia massica si ricava dalle Tabelle A. l, A.2 e A.3. I: entropia di vaporizzazione sr8 può essere anche ricavata dall'entalpia di vaporizzazione hr8 , tenendo presente la definizione di entropia 15-15 e la costanza durante il cambiamento di fase di temperatura (la temperatura assoluta T può perciò essere portata fuori dal segno di integrale) e pressione

S~8

=

S -Sr 8

=

cfc 8q è perciò uguale alla variazione di entalpia hr 8

8

f&(Òq)

Jr T

= _!_ rev

fSÒq =

T Jr

):

hfg

T

Se, ad esempio, si vuole calcolare Sr8 alla pressione di saturazione di O, l MPa, dopo aver letto sulla Tabella A.2 una temperatura di saturazione di 99,63 °C e un' entalpia di vaporizzazione hr8 = 2258 kJ/kg, si ottiene 6,057 kJ/(kg ·K), valore praticamente coincidente con quello di 6,0568 kJ/(kg · K) che si legge sulla Tabel/aA.2.

s

= hrg =

rs

16.5

T

2258 kJ /kg = 6 057 kJ /(k ·K) (273,15 + 99,63)K ' g

Diagramma di Mollier Lo schema del diagramma di Mollier per l'acqua (ordinate: entalpia massica h [kJ!kg]; ascisse: entropia massica s [kJ/(kg· K)]) è illustrato nella Figura 16.2. Come per le tabelle dell'Appendice, i valori di entalpia e di entropia sono posti uguali a zero alla temperatura di O oc (273,15 K); tuttavia l'origine non cade nel diagramma, poiché viene in pratica utilizzata soltanto la parte prossima alla curva del vapore saturo o curva limite superiore. La zona al di sopra della curva del vapore saturo è la regione del vapore surriscaldato, la zona al di sotto è la regione della miscela liquido-vapore. All'interno di quest'ultima regione, le isobare coincidono con le isoterme (ricordiamo che il cambiamento di fase è caratterizzato da una trasformazione isotermobarica). Queste linee sono rette che hanno una pendenza uguale alla temperatura assoluta16·7 : la loro inclinazione perciò aumenta, a mano a mano che ci si sposta verso l'alto, perché in corrispondenza aumenta la temperatura assoluta di saturazione T. Per questo motivo il punto

16.7 Si può dimostrare che il rapporto tra la variazione di entalpia (segmento hr8 sull'asse verticale) e la variazione di entropia (segmento sr8 sull'asse orizzontale), durante il processo di vaporizzazione, è costante e uguale alla temperatura di saturazione: T= hc8 1sr8 . La temperatura assoluta T è perciò il coefficiente angolare della retta isotermobarica che rappresenta il cambiamento di fase.

34 CAPITOLO 16 - VAPORI

, [hJ/kg]

lsocora

4000

critico non coincide con il massimo della curva limite, ma è il punto di tangenza, a questa curva, della retta con pendenza uguale alla temperatura critica Tcr·

lsohara

Passando dalla regione liquido-vapore alla regione del vapore surriscaldato, le isobare piegano lentamente verso l'asse 3000 delle ordinate, separandosi dalle isoterme Punto che piegano verso il basso e tendono, per elevati valori dell'entropia, a diventare parallele all'asse delle ascisse. Al cre2000 scere dell'entropia infatti, per una data temperatura, il vapore si allontana dalle condizioni di saturazione e approssima, nel suo comportamento, quello del gas 1000 perfetto, comportamento caratterizzato da valori dell'entalpia, funzioni soltanto della temperatura; ad un dato valore della 9 4 5 6 7 8 3 s [kJ/(kg-K)] temperatura corrisponde cioè un solo valore deli ' entalpia. Le iso core (Figura Fig. 16.2- Scheletro del diagramma di Mollier per l'acqua. Sono tracciate le tra15.11), hanno pendenza superiore alle :;funnazioni con valore costante di pressione p (iso bara in azzurro), temperatura isobare. Proprio per il fatto che l'entalpia, T (iso tenna in rosso), volume massico v (isocora in verde) e titolo x (in nero). ali' interno della regione liquido-vapore, non è funzione della sola temperatura, l'andamento del diagramma entalpico è, a differenza di quanto avveniva per il gas perfetto, molto diverso dal diagramma entropico. Carea sottesa a una generica trasformazione nel piano h-s non ha nessun significato, mentre, 1 nel piano T- s, l 'area Tds rappresenta il calore scambiato. Nel diagramma h- s , le isentalpiche sono rette parallele all'asse delle ascisse, mentre le isentropiche sono rette parallele all'asse delle ordinate. Lungo le linee contemporaneamente isoterme e isobare, interne alla regione liquido-vapore, il calore relativo alla differenza di fase si ricava dalla lettura diretta della differenza di entalpia. Le curve isotitolo, caratterizzate cioè da un valore x costante, convergono nel punto critico, punto di incontro della curva del liquido saturo (o curva limite inferiore) e della curva del vapore saturo (o curva limite superiore). Un diagramma di Mollier per l'acqua è allegato al testo; qualora non sia richiesta una precisione particolarmente elevata, precisione per cui si deve far ricorso alle tabelle ormai disponibili sul calcolatore, questo diagramma costituisce uno strumento rapido e straordinariamente efficace nell ' analisi dell'evoluzione del fluido acqua nelle macchine termiche.

1

Esempio 16.3

Proprietà del vapore dal diagramma di Mollier

l nlizzando il diagramma di Mollier allegato al testo, determinare per l kg di vapor d'acqua: a temperatura Tg, volume massico v8 , entalpia massica hg ed entropia massica s8 nelle condizioni di

'-apore saturo a 0,1 MPa; b ,·olume massico v, entalpia massica h ed entropia massica s nelle condizioni di 0,1 MPa e 200 °C; -: la quantità di calore q, che deve essere fornita al vapore saturo, per portarlo a 200 °C lungo l'isobara conp=O,l MPa.

'Soluzione ~

Sono le condizioni di vapore saturo (titolo x= l) alla pressione di O, l MPa. Sul diagramma di Mollier, il punto è individuato dalla intersezione della linea nera ascendente (pressione p= O, l MPa) con la

35 : 5 - 91AGRAMMA DI MOLLIER

curva nera del vapore saturo o curva limite superiore (luogo dei punti per i quali il titolo x è uguale a 1). La temperatura si legge sulla curva nera con andamento prossimo ad un orizzontale passante per questo punto, mentre il volume massico è un valore intermedio tra due curve verdi ascendenti con l ,6 e l ,8 m 3/kg. Sulle ordinate e sulle ascisse si leggono rispettivamente entalpia ed entropia.

b) A 0, 1 MPa e 200 °C, il vapore è surriscaldato; sul diagramma di Mollier si osserva infatti che il punto, intersezione della isobara nera ascendente (a O, l MPa) con l' isotenna nera quasi orizzontale (a 200 °C), si trova nella regione situata a l di sopra della curva limite superiore. Il volume massico ha un valore leggermente superiore alla curva verde ascendente con 2,0 m 3/kg. Entalpia ed entropia si leggono sugli assi.

v= 2,2 m 3/kg; h= 2875 kJ/kg; s = 7,83 kJ/(kg-K) c) Trattandosi di una trasformazione a pressione costante, il calore da fornire al vapore è (16-5) la differenza delle entalpie del vapore surriscaldato hsurr (indicata con h nella risposta precedente) e del vapore saturo hg:

q= hsurr - hg= 2875 kJ/kg- 2675 kJ/kg = 200 kJ/kg

Esempio 16.4

Proprietà dell'acqua in alcuni punti

La tabella seguente riporta condizioni diverse del! 'acqua, in corrispondenza a coppie di valori di pressione e di altre proprietà. Completare la tabella individuando i vari stati e mostrare ciascun stato su un diagramma entropico.

Pressione Stato

p

T

[kPa]

[OC]

A

100

20

B

3500

4 50

c

700

D

30.000

E

200

Volume massico v [m 3/kg]

Temperatura

Entalpia h [kJ/kg]

Energia interna u [kJ/kg]

Entropia

s [kJ/kg·K]

2250

***

80

7, 1271

***

* Nelle condizioni D ed E, non si richiede la determinazione dell'energia intema.

Soluzio11e

,

A. La temperatura di saturazione corrispondente alla pressione di l 00 kPa (0, l MPa) è 99,63 °C (Tabella A.2); la temperatura assegnata (20 oq e inferiore alla temperatura di saturaz ione e ci troviamo quindi nella regione del liquido compresso. Le proprieta nello stato A vengono approssimate con le proprietà del liquido saturo (pedice «f») alla temperatura di 20 oc (Tabella A. l), come spiegato nel Paragrafo 16.4. VA "' Vr=

0,001002 m 3/kg

hA"' hr = 84,0 kJ/kg 0,2963 kJ/(kg-K) UA "' Ur= 84,0 kJ/kg

S A "' Sr =

Il valore dell'energia interna u, non 1iportato nelle tabelle, si ottiene dalla definizione di entalpia 15-8:

h = u+pv

~

u = h-pv

uA = 84 x 103 J/kg - 100 x 103 Pa x 0,001002 m 3/kg = 84,0 kJ/kg

36 CAPITOLO 16 - VAPORI

B. La temperatura di saturazione corrispondente alla pressione di 3500 kPa (3,5 MPa) è 242,6 °C (Tabella A.2); la temperatura assegnata in B (450 °C) è superiore alla temperatura di saturazione e siamo perciò nella regione del vapore surriscaldato. Dalla TabellaA.3.1 si ha: V8

= 0,09 196 m3/kg

h 8 = 3337,2 kJ/kg

s 8 = 7,0052 kJ/(kg-K) u8 = h 8 - pv8 = 3337,2 x l 03 J/kg- 3500 x l 0 3 Pa x 0,09196 m 3/kg = 3015,3 kJ/kg

C. Lo stato C viene individuato, esaminando, nella TabellaA.2, i valori di entalpia del vapore saturo in funzione della pressione assegnata Pc = 700 kPa. I;entalpia assegnata hc= 2250 kJ/kg è maggiore di hr= 697,22 kJ/kg (enta lpia del liquido saturo) e minore di h8 = 2763,5 kJ/kg (entalpia del vapore saturo). Siamo percio nella regione liquido-vapore. Il titolo x della miscela si ottiene dalla 16-4 dove, al posto della generica proprietà z, sostituiamo h: =>

h -h x = - ·-"_ _r hfg

Indicati con Xc il titolo x e con hc l'entalpia che corrisponde a questo titolo (h x= hc), si ha: Xc= hc -

hc = 2250 kJ/ kg- 697,22 kJ/ kg = 0,

hfg

2066,3 kJ/ kg

751

Temperatura di saturazione alla pressione Pc (dalla Tabella A.2):

Te = 164,97 oc

ve= ve+ Xc(vg- ve)= 0,001108 m3/kg + 0,751 (0,2729- 0,0011 08) m 3/kg = 0,2052 m 3/kg

(16-4 e 16-3)

Se= Sr+ Xc;Srg = l ,9922 kJ/(kg·K) + 0,751 X 4 7158 kJ/(kg-K) = 5,5338 kJ/(kg· K)

(16-4)

Ltc = hc- pvc =2250 x l 0 J/kg- 700 x l 0 Pa x 0,2052 m 3/kg = 2 106 kJ/kg

(15-4)

3

3

D. La pressione di 30.000 kPa (30 MPa) è molto più alta della pressione di saturazione (31, 19 kPa) corrispondente alla temperatura assegnata (80 °C), come si deduce dalla Tabella A.2. Lo stato D si trova nella reg ione del liquido compresso. A pressioni così elevate, i dati del liquido compresso si devono ricavare dalla Tabella A.3.2 e non si possono più approssimare con quelli del liquido saturo all a stessa temperatura (Tabella A.l). Per confronto riportiamo i valori delle due tabelle: TabellaA.3.2

(p0

Tabella A. l (T0 = 80 °C)

=30 MPa, T0 = 80 °C)

v 0 = 0,00101 56 m 3/kg

hl) = 358,77 kJ/kg S 0 = l ,056 1 kJ/ (kg-K)

V 0 ""

Vr= 0,001029 m 3/kg

h0

hr= 334,91 kJ/kg

""

S 0 ""Sr=

450

1,0753 kJ/(kg-K) 0,1 MPa

E. In corrispondenza della pressione assegnata PE = 0,2 MPa (200 kPa), leggiamo sulla Tabella A.3.1 l'entropia sE= 7, 127 1 kJ/(kg-K) quale entropia del vapore saturo sg a quella pressione. Ci troviamo perciò sulla curva del vapore saturo o curva limi te superiore con titolo x= l. Quanto sopra poteva anche essere ottenuto dall 'esame della TabellaA.2 per la pressione di 0.2 MPa. I valori delle altre proprietà sono: TE= 120,23

oc

'"" = vg = 0,8857 m3/kg hE=hg= 2706,7 kJ/kg

~-~__,..,-~-

- DIAGRAMMA DI MOLLIER

160 120

80 20

2

3

4

56

78 9 s [kJ/(kg·K)]

Fig. 16.3 - Individuazione degli stati dell 'Esempio 16.4 su un diagramma entropico.

Riasswnendo, i risultati ottenuti e gli stati corrispondenti sono:

Stato

c

D E

Temperatura

p [kPa)

T

v

h

[oC)

[m 3/kg]

[kJ/kg]

Entalpia

Energia interna u [kJ/kg)

Entropia

s [kJ/kg-K]

A

100

20

0,001002

84,0

84,0

0,2966

B

3500

450

0,09196

3337,2

3015,3

7,0052

c

700

164,97

5,5338

30.000 200

80 120,23

2250 358,77 2706,7

2 106

D

0,2052 0,001015

*** ***

1,056 1 7,127 1

E

A B

Volume massico

Pressione

:=} :=} :=} :=}

=>

0,8857

liquido compresso vapore surriscaldato liquido-vapore liquido compresso vapore saturo sulla curva limite superiore

Il diagramma entropico della Figura 16.3 è stato tracciato con scale alterate in modo da evidenziare meglio i vari stati esaminati. Sul diagramma sono riportate le isobare e si sono indicati i valori di temperatura relativi ai singoli stati.

Esempio 16.5

Calore e lavoro in una trasformazione a pressione costante

Un cilindro chiuso da uno stantuffo ha un volwne V, = 0,15 m3 e contiene una massa m= 0,75 kg di una miscela in equilibrio liquido-vapore alla pressione p= 0,6 MPa. Mantenendo costante la pressione, viene somministrato calore fino a raggiungere la temperatura di 350 °C. Determinare il calore 1Q2 e il lavoro 1L 2 scambiati durante la trasformazione.

Soluzione In una trasformazione a pressione costante il calore scambiato, dato dalla massa m per il calore massico q, è uguale alla variazione di entalpia (1 5-10):

Q2 =m 1q2 =m(h 2 - h 1)

1

mentre il lavoro è dato dalla A-15, che, se scritta in tetmini di pressione e di variazione di volwne massico, è valida per qualsiasi fluido e non solo per il gas perfetto: L = m 1l 2 =mp(v2 -v1)

1 2

La massa m di fluido e la pressione sono assegnate; occorre perciò calcolare entalpia massica e volume massico nello stato iniziale l e nello stato finale 2. l - Si trova all' interno della regione liquido-vapore alla pressione di saturazione p= 0,6 MPa. Dalla TabellaA.2 si ha: vr= 0,001101 m 3/kg, vg = 0,3 157 m3/kg, hr= 670,56 k.J/kg, hg= 2986,3 kJ/kg.

STATO

Il volume massico iniziale v1 è noto in quanto sono assegnati il volume iniziale V, e la massa totale della miscela in equilibrio m: v. = = 0,15 m 3 = 0,2 m 3J kg m 0,75 kg

v;

Il titolo x della miscela si ticava dalle 16-4 e 16-3, dove indichiamo con v 1 il volume massico v, corrispondente al titolo x . x = v1 - vr = 0,2 m 3 /kg- 0,001101 m 3 / kg = 0 63 vg- vr 0,3157 m 3/ kg- 0,001101 m 3/ kg '

38 CAPITOLO 16 - VAPORI

~oto

il tito lo x, possiamo calcolare, con la 16-4, l'entalpia iniziale (anche qui indichiamo hx con h 1):

h 1 = hc+ xhr8 = 670,56 kJ/kg + 0,63 x 2086,3 kJ/kg = 1989,5 kJ/kg 5L\TO 2 - È assegnata pressione (è sempre la stessa: p = 0,6 Mpa) e temperatura (T2 = 350 °C). Siamo nt'lla zona del vapore surriscaldato (TabellaA. 3. 1); la temperatura di saturazione pari a158,85 °C, indi.:ara in tabella, per la pressione di 0,6 MPa è più bassa della temperatura assegnata di 350 °C. Dalla TabellaA.3 abbiamo: v2 = 0,4742 m3/kg, h 2 = 3165 kJ/kg.

Siamo adesso in grado di calcolare il calore e il lavoro scambiati: 1Q2

~

= m 1q2 = m(h 2 - h,)= 0,75 kg (3 165, 7 kJ/kg - 1989,5 kJ/kg) = 882,1 kJ

~

L = m 1/ 2 = mp (v2 - v 1) = 0,75 kg x 600 kPa (0,4742- 0,2) m3/kg = 123 ,4 kJ

1 2

Esempio 16.6

Calore scambiato in una trasformazione a volume costante

con un volume V = l Om3 contiene acqua alla pressione di O, 15 MPa, parte sotto forma di quido saturo con volume V11 ;q = 0 ,097 m 3 e parte sotto fo rma di vapore saturo con volume ..,. = 9,903 m3 . Viene fornito calore finché tutta l'autoclave e piena di vapore saturo (titolo x = l). Determinare la quantità di calore scambiato. I valori di energia interna nello stato iniziale sono: •:.1. autoclave

= u lliq =466,94 kJ/kg e ug = u l va p = 2519,7 kJ/kg.

la rrasformazione avviene a volume costante in quanto il volume in cui è contenuto il fluido, e cioè l'aux:ave, non varia. In una trasformazione a volume costante il calore scambiato da tutta la massa di fluido - =è uguale alla variazione di energia interna (si veda la 15-7 applicata ad una trasformazione isocora): - == U2 - U, . 1:....

energia interna u, è la somma della energia interna del liquido ulliq e di quella del vapore ulvap date prodotto della massa delliquldo m 11;q e del vapore m1""P per le rispettive energie interne massiche:

u, =

m lliqulliq

+m

lvdpu lvap

le energie interne u 1 del liquido e del vapore sono state assegnate inizialmente; occorre adesso calco;:re la massa di liquido e di vapore. Leggiamo allora sulla Tabella A.2, in corrispondenza della pressione .. 15 MPa, il volume massico v 1 = 0,00 l 053 m 3/kg e vs = l , 1593 m3/kg ri spettivamente del liquido e ~ vapore. La massa si ottiene come rapporto tra il volume V e il relativo volume massico v: = _v;,_ ;q

""'

ve

=

0,097 m 3 0,001053 m 3/ kg

= 92 12 '

k g

v; vap ml vap

9,903 m

3

= _v_g_ = 1,1593 m 3 / kg

= 8 54 k

'

g

u, = 92,12 kg x 466,94 kJ/kg + 8,54 kg x 25 19,7 kJ/kg =64.533 kJ Pa- deternùnare lo stato finale 2 della trasformazione, occorre conoscere due proprietà indipendenti. Una c :-3 stata assegnata ed è il titolo x = l in quanto, alla fine, tutto il fluido si trova nelle condizioni di vapore :.:ro. I;altra proprietà è il volume massico v2 , che può essere calcolato dal momento che sono noti il ::rme V dell'autoclave e la massa finale m, somma della massa iniziale del liquido e della massa inie del vapore: m= m 11;q + m 1vap =92,12 kg + 8,54 kg = l 00,66 kg 3

v2 = V = lO m =O 099 m 3/ ko m 100,66 kg ' o ~.:a TabellaA.2, al volume massico v8 = 0,099 m3/kg (cioè il volume del vapore saturo) corrisponde

_pressione di 2,00 MPa e un 'entalpia massica hg= 2799,5 kJ/kg. Dall 'entalpia si ricava, per mezzo Ca definizione 15-8, l' energia interna us:

u 2 = ug = hg- pvs = 2799,5 x 103 J/kg- 2 x 10 6 Pa x 0,099 m 3/kg = 2601 kJ/kg

u2 = mu2 = 100,66 kg x 2601 kJ/kg = 26 1.817 kJ ,Q2 = U2 - u, = 261.817 kJ- 64.353 kJ = 197.464 kJ

~

39 " :; - JU\GRAMMA DI MOLLIER

16.6

Diagramma pressione-volume

Un altro diagramma utile per visualizzare le variazioni nelle proprietà della sostanza legate al p (MPa] cambiamento di fase è il diagramma pressione5,00 volume massico. La Figura 16.4 descrive, nel piano p- v, una compressione isotermica dell' acqua (T = 140 o q dallo stato l, nella regione del vapore surriscaldato, allo stato 2, nella regione del liquido compresso. I punti «f» e «g» indicano rispettivamente il liquido saturo (sulla curva limite inferiore) e il vapore saturo (sulla 0,3613 curva limite superiore). Nella regione del liquido compresso, l' isoterma da «f» a 2 è molto ripida: alla temperatura di 140 °C il volume massico diminuisce di appena lo 0,3% (da 0,001080 a vapore 0,00 l 0768 m 3 /kg), allorché la pressione aumenta da 0,3613 MPa (Tabella A.1) a 5 MPa (Tabella A.3.2). I.:osservazione della Tabella v [m3fkg] A.3.2, relativamente al liquido compresso, mette appunto in rilievo come le proprietà subiscano Fig. 16.4 - Diagramma pressione-volume massico per la regione variazioni molto modeste, al variare della presliquido-vapore. sione per una temperatura prefissata. È per questo motivo che le proprietà dei liquidi compressi possono, con ragionevole accuratezza, dipendere dalla sola temperatura, quando le pressioni non sono troppo elevate(< 5 MPa). Usando questa approssimazione, volume massico e così pure entalpia ed entropia del liquido compresso possono essere ottenuti dai valori del liquido saturo vr, hr e sr, entrando nella Tabella A.1 con il valore della temperatura del liquido compresso.

16.7

Diagrammi pressione-volume-temperatura

p [Pa]

: Punto critico

Fase liquido

Fase

Fase

solido

vapore Punto triplo

Fig. 16.5 - Diag ramma pressione-temperatura per una sostanza che si comporta come l'acqua.

Le caratteristiche del cambiamento di fase si p ossono esprimere anche con il diagramma pressione-temperatura (Figura 16. 5) relativo a una sostanza, come l ' acqua, che aumenta di volume nel passaggio da liquido a solido. Finora abbiamo esaminato solo la vaporizzazione, perché è il cambiamento di fase che più interessa nelle applicazioni. È tuttavia opportuno esaminare brevemente anche gli altri cambiamenti di fase, da solido a liquido oppure direttamente da solido a vapore, in modo da avere una visione generale del problema. Nel diagramma della Figura 16.5 sono tracciate delle trasformazioni, ad esempio AB, che avvengono, fornendo calore al sistema in un processo a pressione costante . Le linee nere indicano, sotto quali valori di pressione e temperatura, le tre fasi, solido, liquido e vapore, possono coesistere in equilibrio. Lungo la linea di sublimazione sono in equilibrio le due fasi solido e vapore; lungo la linea di fusione sono in equilibrio le due fasi, solido e liquido; lungo la linea di vaporizzazione sono

40 CAPITOLO 16 - VAPORI

infine in equilibrio la fase liquida e la fase vapore. Il solo punto in cui tutte e tre le fasi possono coesistere in equilibrio è il punto triplo. Per l' acqua il punto triplo è definito dalla temperatura di 0,0 l O °C e dalla pressione di 0,6 11 3 kPa. La linea di vaporizzazione finisce al punto critico; oltre il punto critico tale linea viene tracciata a tratti per indicare che non è più possibile un cambiamento distinto da fase liquida a fase vapore. Consideriamo un solido nello stato A indicato nella Figura 16.5. Allorché si aumenta la temperatura, mantenendo costante la pressione, la sostanza passa direttamente dalla fase solida alla fase vapore. Questo tipo di trasformazione è ben evidenziato dal diossido di carbonio solido (ghiaccio secco) nelle condizioni di pressione atmosferica ( ~ O, 1 MPa). Il diossido di carbonio (C0 2 ) ha una pressione al punto triplo di 0,517 MPa, valore che è ben al di sopra di quello della pressione atmosferica, cosicché alla pressione di 0,1 MPa il diossido di carbonio sublima a una temperatura di circa- 77 °C. Nella trasformazione CD, sempre a pressione costante, la sostanza passa dapprima dalla fase solida a quella liquida in corrispondenza di un determinato valore di temperatura, e quindi da liquido a vapore ad una temperatura più alta. Un riassunto, particolarmente espressivo di quanto detto fino ad ora, è rappresentato dall'esame della superficie termodinamica individuata dalle tre coordinate, mutuamente ortogonali, pressione-volume massico-temperatura. Le figure che seguono mostrano due superfici riferite a sostanze che aumentano di volume quando solidificano, come l'acqua (Figura 16.6), oppure che subiscono una contrazione nel solidificare, come quasi tutte le sostanze (Figura 16. 7). Sempre nelle Figure 16.6 e 16. 7 sono riportate le proiezioni sui piani p-T e p-v del diagramma spaziale: le proiezioni non sono nient'altro che i diagrammi illustrati dalle Figure 16.5 e 16.4, che abbiamo appena commentato. Ciascun stato di possibile equilibrio è rappresentato da un punto sulla superficie termodinamica; una sostanza pura è infatti individuata da due variabili indipendenti: assegnati, ad esempio, volume massico e temperatura, la pressione risulta univocamente determinata. Le regioni della superficie che rappresentano una singola fase, cioè o solo solido o solo liquido o solo infine vapore, sono indicate nelle Figure 16.6 e 16.7 e sono caratterizzate da superfici a doppia curvatura. Al contrario le regioni a due fasi e cioè solido-liquido oppure sol ido-vapore oppure liquido-vapore sono evidenziate da rette parallele all'asse del volume massico. Queste rette, essendo il cambiamento di fase un processo isobaro-isotermo, sono il luogo dell' intersezione di piani a pressione costante con piani di corrispondente temperatura di saturazione costante. Il punto triplo del piano p- T diventa una linea tripla sulla superficie p-v-T; pressione e temperatura infatti sono fissate, mentre il volume massico può variare in funzione della pro-

' o• l

:-El

ra• :~cn:

"'eu

·~.:::;

:.: l \. 1

A-.

o.

~

Gas Vapore

· : 1 ~ '

\

\ critico

:g~~ ,:\ Linea tripla -~------. ••• ~ ·. VJ : ,

,_i-;----- ------ - ~ .. cy;o;; .... \/

Temperatura T

~

'\ : • Gas :l 1 -8~ o, • ·e' ~ : \ ! ~~ & : 1 ~:i ~ Punto

Solido - vapore • • •

Volume massico v

Fig. 16.6- Diagranuna spaziale p-v-T con proiezioni sui piani p- Te p- v per sostanze che aumentano di volume quando solidificano.

41 . 6.7- DIAGRAMMI PRESSIONE-VOLUME-TEMPERATURA

Temperatura T

Volume massico v

Fig. 16.7 - Diagramma spaziale p-v- T con proiezioni sui piani p-T e p- v per sostanze che diminuiscono di volume quando solidificano.

porzione di ciascuna fase. I.:isoterma critica presenta un flesso in corrispondenza del punto critico. È facile vedere, dalla superficie p-v-T, che qualsiasi processo a pressione costante, per cui p è maggiore di Per• non può coinvolgere un cambiamento di fase liquido-vapore. La Figura 16. 6, relativa all 'acqua, mostra come la regione solido-liquido sia una superficie nascosta sul diagramma. Un processo a pressione costante, come quello tracciato in figura che porti l'acqua da liquido a ghiaccio provoca perciò un aumento del volume massico, aumento che indica la presenza di una dilatazione nel congelamento 16·8.

16.8 In realtà le variazioni del volume massico nelle due fasi sono piuttosto modeste; si è perciò dovuto espandere la scala del volume massico per evidenziare il fenomeno.

Esempio 16.7

Capacità termica massica a pressione costante

Determinare il valore della capacità termica massica a pressione costante per l 'acqua nelle condizioni di gas alla pressione di l MPa e alla temperatura di 800 °C.

Solu:ioue

4392,9 ----------- - - - --- -- -

Leggiamo sulla Tabella A. 3.1 due valori di entalpia, situati alle estremità dell' intervallo di teljlReratura all 'interno del quale si vuole calcolare la capacita termiciì::massica a pressione costante; prendiamo, ad esempio, TA = 700 °C e T8 = 900 °C. A queste temperature corrispond ono rispettivamente le en talpie hA= 3923, 1 kJ/ kg e h8 = 4392,9 kJ/kg. Applichiamo qu indi la 15-11':

= h8 -

c P

" (kJ/kg]

hA = 4392,9 kJ/ kg - 3923,1 kJ / kg T.B - TA 900 oc - 700 oc

= 2 35 kJ/(k

'

·K) ~

4154,7 3923,1

700 800 900

g Fig. 16.8 - Determinazione della capacità termica massica a pressione costante.

Commenti l. Al denominatore, possiamo esprimere la variazione di temperatura sia in °C sia in K, dal momento che si tratta di una differenza di temperatura.

42 CAPITOLO 16- VAPORI

2.

e operazione che abbiamo fatto è stata quella di approssimare la curva della Figura 16.1Ocon un segmento di retta, nell' intervallo di temperatura considerato, in modo da ottenere un valor medio della capacità termica massica valido per quel dato intervallo. Nota la capacità termica massica a pressione costante, possiamo detenninare il valore dell' entalpia per qualsiasi punto all'interno dell'intervallo applicando la 15-11'. Ad esempio, per la temperatura di 800 oc l'entalpia h0 vale:

h0 - hA= cP (T0

-

TA)

:::::}

h0 =

cP

(T0 - T,.) + hA

h0 = 2,35 kJ/(kg-K) (800 -700) °C + 3923,1 kJ/kg = 4158,1 kJ/kg

contro il valore di 4154,7 kJ/kg dato dalla Tabella A.3.1.

La miscela liquido-vapore viene caratterizzata dal titolo x, rapporto h·a la massa di vapore saturo mg e la massa totale, somma della massa di liquido saturo mr e della massa di vapore saturo mg:

Il titolo è quindi zero (x = O) quando è presente solo liquido saturo (mg = 0), mentre vale l (x= l ) quando è presente solo vapore saturo (mr = O); in tutti gli altri casi il titolo x assume un valore compreso tra zero e uno. Isotitolo sono le curve che, all'interno della regione di equilibrio liquido-vapore, congiungono tra loro punti a ugual titolo. Il titolo x viene utilizzato per calcolare le altre proprietà del fluido: volume massico v, entalpia h ed entropia s. Nel processo a pressione costante tipico del passaggio di stato, la variazione di entalpia rappresenta il calore scambiato. Risulta perciò particolarmente utile nelle applicazioni il diagramma di Mollier (ordinate: entalpia massica [kJ/kg]; ascisse: entropia massica [kJ/(kg·K)]), in cui, lungo le linee contemporaneamente isoterme e isobare interne alla regione liquido-vapore, il calore relativo alla differenza di fase si ricava dalla lettura diretta della differenza di entalpia. In una trasformazione isobarica il calore da fornire all'acqua per arrivare allo stato di vapore surriscaldato è espresso dalla variazione di entalpia !1h ed è composto da tre termini:

/1h =

/1hliquido

+ h fg + /1hsurr

dove /1h 1;quido è l'entalpia da fornire al liquido per arrivare allo stato di liquido saturo, hfg è l'entalpia da vaporizzare e 6.hsurr è l'entalpia di surriscaldamento necessaria per passare da vapore saturo a vapore surriscaldato.

~ 16.1 Leggiamo sulle Tabelle dell'Appendice in quali regioni si trovano i seguenti stati dell'acqua:

a) p= 1,0 MPa, T= 205 oc b) p= 1,0 MPa, T= 95 oc c) d) e) f) g)

p=l,OMPa, T=179,91 °C, x=O,O p= 1,0 MPa, T= 179,91 °C, x= 0,55 p= 1,0 MPa, T= 179,91 °C, x= 1,0 T= 340 °C, p = 22,0 Mpa T= 340 oc, p= 2,2 Mpa

Tabella A. 3 .l: vapore surriscaldato TabellaA.3.2: liquido compresso TabellaA.2: liquido saturo Tabella A.2: liquido saturo (curva limite inferiore) TabellaA.2: vapore saturo (curva limite superiore) TabellaA.3.2: liquido compresso TabellaA.J.J: vapore surriscaldato

43 ESERC IZI RISOLTI

h) i) l) m)

T= 340 oc, p= 14,586 MPa, x= 1,0 T= 340 °C, p= 14,586 MPa, x = 0,0

==> ==> ==> ==>

T= 600 °C, p = 30 MPa p= 50 MPa, T= 100 oc

TabellaA.l: vapore saturo (curva limite superiore) TabellaA.J : liquido saturo (curva limite inferiore) Tabella A. 3.1: vapore surriscaldato TabellaA.3.2: liquido compresso

~ 16.2 Essendo l'acqua una sostanza pura, due proprietà indipendenti ne determineranno lo

stato. Per ciascuno degli stati che seguono, leggiamo sulle Tabelle dell'Appendice la fase dell'acqua indicando il valore della proprietà richiesta: a) p= 800 kPa, v= 0,04 m 3/kg, T=??? °C b) p= 200 MPa, T= 40 °C, v=??? m 3/kg c) T= 600 °C, v= 2,0 m 3/kg, p=??? kPa d) p= l MPa, T= 300 °C, v=??? m 3/kg

==> ==> ==> ==>

Tabella A.2: liquido-vapore, T= 170,43 °C Tabella A. l : liquido com presso, v = 0,001008 m 3/kg Tabella A.3.1: vapore surriscaldato, p= 200 kPa Tabella A.3. l: vapore surriscaldato, v= 0,26 m 3/kg

~ 16.3 Definire volume massico del liquido saturo vr e del vapore saturo vg del refrigerante Rl34a in corrispondenza della temperatura di saturazione T= 80 °C. Calcolare poi il volume massico v" e il titolo x di una miscela liquido-vapore di massa totale m = 2 kg, che occupa un volume V= 0,01 m 3 .

TabellaA.4 :

16-3:

==>

Zrg = zg- Zr

Paraora. 1o 15.4: o ·· ' '

v = x

16-4:

Vr= 1,076 dm 3/kg, vg = 6,50 dm3/kg

==>

T = 80 °C

Vrg =

vs- Vr = 0,00650 m 3/kg- 0,00107 m 3/kg = 0,005424 m3/kg

~m = 0•201kgm

3

==>

= O005 m 3/ kg '

==>

x= vx - Vr Vrg

= 0,005 m 3/ kg- 0,001076 m 3/ kg = 0 723 0,005424 m 3 / kg

'

~ 16.4 Definire pressione p, volume massico Vr ed entalpia hr del liquido saturo, volume massico vg ed entalpia hg del vapore saturo nel caso di acqua alla temperatura T= 30 °C.

Tabella A.l :

T = 30 °C ~p= 4,246 kPa, Vr= 0,001004 m3/kg, hr= 125,79 kJ/kg, vg = 32,89 m3/kg, hg = 2556,3 kJ/kg

~ 16.5 Definire temperatura T, volume massico

Vr ed entalpia hc del liquido saturo, volume massico vs ed entalpia h8 del vapore saturo nel caso di acqua alla pressione p= 2 MPa.

Tabella A.2:

p =2 MPa ~ T= 212,42 °C, Ve= 0,001177 m3/kg, hr= 908,79 kJ/kg, vg =0,09963 m3/kg, h8 = 2799,5 kJ/kg

~ 16.6 Definire lo stato e trovare volume massico

peratura T= 400 TabellaA.3:

o

c e alla pressione p = l MPa.

v, entalpia h ed entropia s di acqua alla tem-

T= 400 °C,p =l MPa ~ vapore surriscaldato, v= 0,3066 m3/kg, h= 3263,9 kJ/kg, s = 7,4651 kJ/(kg-K)

~ 16.7 Definire volume massico del liquido saturo vr e del vapore saturo vs del refrigerante R134a in corrispondenza della temperatura di saturazione T= 50 °C. Calcolare il volume massico di vaporizzazione vrg e il volume massico vx corrispondente ad un titolo x= 15% .

Tabella A.4:

T= 50 °C

16-3: Zrs =zg- Zr

==>

==>

Vrg

16-5: zx = zg- (1- x)zrg

==>

Vr = 0,907 dm3/kg, vg

= vg- Vr =

= 15,05 dm3/kg

15,05 dm 3/ kg -0,907 dm 3/ kg = 14,143 dm 3/ kg = 0,014143 m 3/kg

vx= vg- (1- x) vr8 = 0,01505 m 3/ kg- (t- 0,15) x 0,014143 m 3/ kg = 0,00303 m 3/ kg

44 CAPITOLO 16 - VAPORI

• 16.8 In corrispondenza della pressione di saturazione p= I O MPa, determinare la temperatura di saturazione T, il volume di vaporizzazione vrg e il volume massico v, dell'acqua, sapendo che il titolo è x= 98%. TabellaA.2:

p = lOMPa ~

16-3: zfg = zg- Zr

==>

T = 3ll,06°C, vr=0,001452m3/kg, vg=0,018026 m 3/kg

Vrg = vg- Vr = 0,018026 m 3 / kg- 0,001452 m 3/ kg = 0,0 16574 m 3 / kg

16-5: zx=zg -(l- x)zr8

==> v, = vg- (1- x)vrg= 0,018026 m3/ kg- (l- 0,98) x 0,016574 m3/kg = 0,0 1769452 m3 /kg

16.9 Un recipiente di volume V = O, 15 m3 contiene una massa m = l kg di acqua alla temperatura T= 150 °C. Calcolare il titolo x , la massa di vapore mg e il volume vg occupato dal vapore. ~

TabellaA.1:

16-3:

==>

T = 150 °C

Zrg = zg - Zr

Paragrafo 15.4:

~

vr = 0,001091 m 3/kg,

vg =

0,3928 m3 /kg

Vrg = vg- Vr = 0,3928 m 3/ kg- 0,001091 m 3/ kg = 0,391709 m 3 /kg

V 0,15 m 3 v , =-= m l kg

= 0,15 m 3/ kg 3

3

x = v, - Vr = 0,15 m / kg- 0,001091 m / kg =O

0,391709 m 3/ kg

Vrg 16-1':

mg = xm= 0,38

Paragrafo 15.4:

X

l kg = 0,38 kg,

mr =m - mg = l kg- 0,38 kg = 0,62 kg

Vg = mgvg = 0,38 kg x 0,3928 m3/kg = 0, 149264 m 3

~ 16.10 Leggere, sul diagramma di Mollier, titolo

x, ed entalpia h 1 di una massa m = 0,5 kg d'acqua alla pressione p 1 = 140 kPa e con un volume massico v 1 = 1,0 m 3/kg. Leggere il nuovo valore di entalpia h 2, che si raggiunge in un riscaldamento a pressione costante fino alla temperatura T2 = 170 oc. Determinare infine la quantità di calore q somministrata all ' unità di massa e il calore complessivo Q. Mollier:

p 1 = 140 kPa, v 1 = 1,0 m3 /kg

Mollier:

lungo isobarap 1 = 140 kPa fino a isoterma T2 = 170 °C

15-10:

==>

x= 0,8, h 1 = 2240 kJ/kg

q= h2- h , = 2820 kJ/kg - 2240 kJ/kg = 580 kJ/kg

Paragrafo 15.5:

ESE RCIZI RISOLTI

Q= mq= 0,5 kg x 580 kJ/kg = 290 kJ

==>

h2 = 2820 kJ/kg

'

38

17.1

Il ciclo di Carnot Il sistema termodinamico esegue un ciclo quando viene assoggettato ad una successione di trasformazioni attraverso le quali, dopo aver scambiato calore e lavoro con l'ambiente esterno, ritorna nelle stesse condizioni che aveva all'inizio. La variazione delle proprietà di stato del sistema quali, ad esempio, pressione, volume massico, temperatura, energia interna, entalpia ed entropia è nulla: coincidendo infatti il punto iniziale con il punto finale della trasformazione ed essendo le proprietà citate funzione solo dello stato del sistema, i valori iniziale e finale delle proprietà devono essere uguali. Un ciclo viene quindi rappresentato in un piano, avente per coordinate determinate proprietà dello stato del sistema, ad esempio pressione p e volume massico v oppure temperatura T ed entropia massica s, da una linea chiusa (Figura l 7.1). In questo capitolo viene considerato tm ciclo ideale, percorso da unfluido ideale (avente cioè caratteristiche chimicofisiche costantF') che evolve senza perdite (il lavoro /w delle resistenze passive è nullo: lw= 0). p

l' 4'

2' 3'

v

Fig. 17.1-a- Ciclo di Carnot nel piano p-v.

J2 i3 i4 / 4 1

Il ciclo di Carnot è costituito da due trasformazioni isoterme (l ~ 2 e 3 ~ 4) e da due trasformazioni adiabatiche (2 ~ 3 e 4 ~ l). Iniziamo considerando il ciclo percorso in senso orario. Si ricorda che l'area sottesa ad una trasformazione reversibile esprime nel piano p - v il lavoro massico che, per la 15-3, è positivo in una trasformazione in cui il volume massico v aumenta, mentre l'area sottesa ad una trasformazione reversibile esprime nel piano T-s il calore massico scambiato che, per la 15-13, è positivo quando l'entropia s aumenta. I lavori scambiati durante le singole trasformazioni sono rappresentati da (Figura 17.1-a):

~

area 122' l'

il lavoro è positivo poiché il volume massico aumenta nel passare da l a 2;

~

area 233'2'

il lavoro è ancora positivo;

~

area 344'3'

il lavoro diviene negativo poiché il volume massico diminuisce nel passare da 3 a 4;

~

area 411 '4'

il lavoro rimane negativo.

17.1 Nel Paragrafo 3.1 si era considerato come fluido ideale quel fluido che ha un coefficiente di viscosità nullo. Nella

trattazione dei cicli dei motori termici per fluido ideale si intende un fluido che evolve nel ciclo mantenendo proprietà chimico-fisiche costanti.

46 CAPITOLO 17 - CICLI

Il lavoro del ciclo è espresso dal lavoro positivo scambiato lungo il cammino da l a 3 passando per 2 (area 1233'1') a cui va sottratto il lavoro negativo scambiato lungo il cammino da 3 a l passando per 4 (area 3411'3'). Il lavoro complessivo, rappresentato dall'area interna al ciclo, risulta positivo . I calori scambiati durante le singole trasformazioni sono rappresentati da (Figura 17.1 -b):

T

q => area 122'1'

1 2

il calore è positivo poiché l'entropiamassica aumenta nel passare da l a 2; trattandosi di una adiabatica reversibile (isentropica) il calore scambiato è uguale a zero;

q 3 4

2'

l'

=> area 341'2'

il calore è negativo poiché l'entropia massica diminuisce nel passare da 3 a 4; il calore scambiato è uguale a zero come lungo la trasformazione 2 => 3.

s

F1g. 17.1 -b- Ciclo di Carnot nel piano T- s.

Il calore scambiato dall'unità di massa del fluido è rappresentato dall'area a tratti interna al ciclo, area che rimane allorché al calore positivo 1q 2 si toglie la parte negativa 3q 4 (Figura 17.1-c).

T

T

T

2

l

:u~

Ts - - - - - - - -· - . - - - - - -- - . - - .

4

3

4

s

]'

3

2'

s

4:

:

l'

2'

s

Fig. 17.1-c - Calore massico scambiato nel ciclo di Carnot (1 5-8): 1q 2 lungo l' adiabatica l --+ 2, lungo l'adiabatica 3 --+ 4 e somma algebrica 1q2 - 3q 4 , rappresentata dall'area racchiusa dal ciclo.

Nel ciclo di Carnot, percorso in senso orario, il lavoro complessivo scambiato è positivo; per la convenzione di segno del Paragrafo 15. 7, ciò significa che il sistema fornisce lavoro all'esterno. Allo stesso tempo anche il calore scambiato è positivo; per la medesima convenzione, ciò vuoi dire che il calore entra dall'esterno nel sistema . Un generico ciclo termodinamico percorso in senso orario prende il nome di ciclo diretto oppure di ciclo motore in quanto al sistema viene fornita una data quantità di calore per produrre lavoro. Il ciclo inverso è invece un ciclo percorso in senso antiorario (Figura l 7.2); l'area del ciclo inverso nel piano p - v rappresenta questa volta un lavoro negativo, fatto cioè dall'esterno sull' unità di massa del fluido durante il ciclo, mentre nel piano T- s rappresenta una quantità di calore negativa: il calore viene cioè trasmesso dal sistema ali' esterno. In un ciclo inverso viene fornito del lavoro al sistema per sottrarre calore ali 'esterno; un ciclo inverso tipico è il ciclo frigorigeno.

47 17.1 -IL CICLO DI CARNOT

T

l' 4'

2' 3'

v

Fig. 17.2-a- Ciclo di Carnot inverso nel piano p-v.

17.2

Le macchine termiche

2'

l'

s

Fig. 17.2-b- Ciclo di Carnot inverso nel piano T- s.

·

Un motore termico è un sistema costituito da uno o più componenti che, operando in modo continuo secondo un ciclo termodinamico, trasforma in lavoro parte del calore trasferito al fluido di lavoro. Un motore termico (Figura 17.3-a) riceve il calore qs da una regione ad alta temperatura T8 , la sorgente superiore, trasforma in lavoro l soltanto una parte dell' energia fornita e cede infine la parte di calore q~> che rimane, a una regione a bassa temperatura T,, la sorgente infèriore. La Figura 17.3-b mostra un impianto semplificato per la generazione di potenza: • la pompa porta il liquido fino alla pressione richiesta dalla caldaia; • una sorgente ad alta temperatura, la caldaia, fornisce il calore qs necessario per generare il vapore; • il lavoro l viene prodotto facendo espandere il vapore nella turbina termica; • il calore q, viene ceduto alla sorgente inferiore, facendo condensare il vapore per mezzo dell'acqua di raffreddamento che circola in un condensatore, in modo da chiudere il ciclo.

Sorgente superiore Ts

Turbina

Sorgente inferiore

r,

Fig. 17 .3-a - Schema del motore termico.

Fig. 17.3-b- Schema di un impianto a vapore per la generazione di potenza quale quello realizzato nell' impianto di turbine a vapore per la generazione di energia elettrica.

48 CAPITOLO 17 -CICLI

Se si cambia il verso delle frecce che indicano il flusso dell'energia nel motore termico, si ottiene una macchina che, invece di produrre, assorbe lavoro. Questa macchina, che effettua un ciclo inverso, prelevando il calore q1 dalla sorgente inferiore e cedendo il calore q5 alla sorgente superiore (Figura 17.4-a) viene chiamata pompa di calore perché il lavoro meccanico l immesso nel sistema viene utilizzato per trasferire energia, sotto forma di calore, da una regione a bassa temperatura a una regione ad alta temperatura, in modo analogo a quanto avviene per una pompa che sposta l'acqua da una zona, situata a una quota bassa, a un'altra zona che si trova a una quota più elevata. Gli impianti per la generazione del freddo rappresentano una classe particolare di pompe di calore in cui (Figura 17.4-b): • il vapore saturo a bassa pressione entra nel compressore alternativo che fornisce il lavoro l necessario per far aumentare la pressione del vapore; • il vapore ad alta pressione entra in un condensatore dove condensa, cedendo all'ambiente il calore q5 generato nel cambiamento di fase, ed esce come liquido saturo; • il liquido viene fatto espandere nella valvola di espansione in modo da passare dall'alta pressione del condensatore alla bassa pressione con cui si presenta ali' evaporatore; il liquido in parte vaporizza e contemporaneamente diminuisce la temperatura; • la parte ancora liquida passa allo stato di vapore nell'evaporatore, sottraendo il calore q 1 dalla zona da raffreddare che in pratica circonda l'evaporatore, e chiude il ciclo.

Sorgente superiore Ts

Fig. 17 .4-a - Schema di una pompa di calore.

Fig. 17 .4-b - Schema di un impianto semp lificato per la generazione del freddo.

In entrambi gli impianti precedenti dedicati alla generazione di energia elettrica e alla generazione del freddo il fluido di lavoro esegue un ciclo termodinamico chiuso: il sistema scambia con l'esterno unicamente energia, sotto forma di calore e lavoro, ma non massa. Ad esempio (Figura 17.3-b), all' uscita dalla turbina il fluido viene mandato al condensatore che sottrae calore al vapore fino a ricondurlo allo stato liquido in modo da poter essere inviato nuovamente alla pompa di alimento permettendo così al fluido di concludere il ciclo termodinamico. Tn altri casi tuttavia il fluido non subisce un'evoluzione cicl ica, ma viene, al termine del ciclo ricambiato con fluido "fresco" prelevato dall'ambiente: il sistema scambia con l'esterno non soltanto energia ma anche massa ed il ciclo viene detto aperto. Esempio di ciclo aperto è que llo descritto dalla turbina a gas per la generazione di energia elettrica (Capitolo 33) in cui il fluido di lavoro, costituito inizialmente da aria prelevata dali 'ambiente, viene prima compresso e quindi inviato in un combustore dove la combustione del combustibile iniettato con l'aria genera gas combusti ad alta temperatura che vengono fatti espandere in una turbina producendo lavoro e quindi scaricati ne li 'atmosfera. A ltro fluido ("fresco") rappresentato da aria prelevata

49 17.2 - LE MACCHINE TERMICHE

dal compressore inizia quindi un nuovo ciclo. Anche in questi casi (tipic i le turbine a gas e i motori alternativi) il fluido di lavoro ritorna periodicamente nelle condizioni iniziali, riassumendo quindi i medesimi valori di energia interna, potenziale, cinetica, ecc.; è allora possibile assimilare i cicli aperti ai cicli termodinamici chiusi considerando una trasformazione "virtuale" di chiusura in grado di riportare alle condizioni iniziali il fluido scaricato nell 'atmosfera.

17.3

Rendimento del ciclo Si è visto che, quando il sistema termodinamico esegue un ciclo, la successione delle trasformazioni è tale da farlo ritornare allo stato iniziale. In particolare, il primo principio della termodinamica (15-2) applicato ad un ciclo diviene ILIciclo = lq lciclo' poiché l'energia interna u, che è una funzione di stato, assume lo stesso valore all'inizio e alla fine del ciclo (uinizio = ufi nc). Il calore scambiato nel ciclo l ql ciclo è (si veda, ad esempio, la Figura 17. 1-c) la diffe renza tra il calore entrante q 5 = 1q2 fornita al fluido dalla sorgente superiore e il calore uscente q,= 3q4 ceduto dal fluido alla sorgente inferiore; il lavoro nel ciclo Il iciclo è allora rappresentato da:

17-1 Ma per il secondo principio della termodinamica espresso dalla 15-8': segno

f Td s = q + /w, dove il

f indica l'integrale sul ciclo, l' area racchiusa dal ciclo sul piano T-s rappresenta, nel

caso del ciclo ideale (/w= 0), il calore q e quindi, per la 17-1, il lavoro l del c iclo. Il rendimento 7] del ciclo di un motore termico è il rapporto tra il lavoro l (energia in forma meccanica che si vuole ottenere dal ciclo) e la quantità di calore q 5 fornita al fluido dalla sorgente superiore, oppure, per la 17-1, tra q 5 - q 1 e qs: "7] =

energia meccanica ottenuta dal ciclo energ1a spesa

l

- qs- q, qs

=

l - !JJ... qs

17-1'

Nel caso di un ciclo inverso, si parla di coefficiente di prestazione della pompa di calore (o coefficiente di effetto uti le) f3r, rapporto tra la quantità di calore qs, che v iene trasmessa per riscaldare la regione ad a lta temperatura, e il lavoro speso l; applicando ancora la re lazione l = qs - q~' si ottiene: effetto utile

=

energta spesa

qs l

=

qs qs - q,

17-2

Gli impianti per la generazione del freddo ifrigorigeni) possono essere considerati una classe speciale di pompe di calore in cui il calore qs reso disponibile dal processo di condensazione viene smaltito nell'ambiente esterno caldo, mentre il calore q 1 viene estratto mediante il processo di evaporazione dall' interno dell'impianto frigorigeno che si trova alla temperatura T, , inferiore a ll a temperatura ambiente. Essendo questa volta l'effetto desiderato rappresentato dal calore q 1 sottratto alla sorgente inferiore, l' impianto ottimo raggiunge il massimo coefficiente di prestazione del ciclo frigorigeno f3r: sottraendo la quantità di calore q 1 (e quindi raffreddando un determinato ambiente) con la minima richiesta di lavoro/: f3r

=

effetto utile energia spesa

=

!lJ. l

17-2'

Le espressioni precedenti del rendimento oppure del coefficiente di prestazione sono state scritte in termini di lavoro massico l e calore massico q [kJ/kg] scambiati nel ciclo. Queste stesse relazioni possono venire espresse, utilizzando i valori estesi a tutta la massa [kJ]: lavoro L= mi e calore Q= mq, opp·m e questi valori calcolati nell' unità di tempo [kJ/s = kW]: L (potenza meccanica) e Q (potenza termica).

50 CAPITOLO 17 - CICLI

Dei molti enunciati del secondo principio della termodinamica, tutti tra loro equivalenti, due riguardano in particolare le macchine termiche (Figura 17.5):

Sorgente superiore Ts

Macchina che nega l'enunciato di Clausius

Macchina che nega l'enunciato di Kelvin-Planck

Fig. 17.5-a- Schema di macchina che nega l'enunciato di KelvinPlanck.

l. enunciato di Kelvin-Planck: è impossibile realizzare un ciclo con produzione di lavoro utilizzando una sola sorgente di calore;

/=o

2. enunciato di Clausius: è impossibile realizzare un ciclo che trasferisca calore da una sorgente, a una determinata temperatura, a una sorgente a temperatura più alta senza apporto di energia. Fig. 17 .5-b - Schema di macchina che nega l 'enuncia to di Klausius.

Si è visto sopra che le macchine termiche richiedono rispettivamente:

l. una sorgente a bassa temperatura, a cui trasferire il calore proveniente dalla sorgente ad alta temperatura, qualora, attraverso un ciclo diretto, si voglia produrre lavoro (Figura 17.3-a); 2. un'immissione di lavoro dall'esterno nel sistema qualora si voglia pompare calore dalla sorgente con temperatura bassa a quella con temperatura alta, secondo il ciclo inverso della Figura 17.4-a. Si può così spiegare come mai viene posto un limite superiore al rendimento dei motori termici; il rendimento della trasformazione del calore in lavoro non può arrivare ad l a causa della necessità di disporre della sorgente fredda inferiore, la qual cosa implica la presenza del termine sottrattivo q/q 5 nell'espressione 17-1' del rendimento. Per quantificare il limite del rendimento, occorre ritornare al ciclo di Carnot il cui rendimento è dato da (si veda il Paragrafo 17.4):

T.

17-3

T]=l -_j_

'Fs

Il rendimento del ciclo di COJ'not non dipende dalle caratteristiche del flu ido di lavoro ed è funzione soltanto delle due temperature [K] superiore T5 e inferiore T1• Il rendimento del ciclo aumenta rapidamente all'aumentare della temperatura superiore Ts, come si vede mantenendo, ad esempio, fissa la temperatura inferiore ad un valore prossimo a quella ambiente T1 = 300 K:

T5 [K]

500

1000

1500

2000

2500

T]

0,4

0,7

0,8

0,85

0,88

Tr& tutti i cicli possibi li, realizzabili tra le stesse temperature estreme T5 e T1, il ciclo di Carnot è quello che presenta il rendimento maggiore; il valore del rendimento del ciclo di Carnot, comunque sempre inferiore ad l , rappresenta il limite a cui debbono tendere, senza mai poterlo raggiungere, i motori termici. Il ciclo di Carnot, che essendo un ciclo reversibile può essere percorso in senso inverso, fornisce le seguenti espressioni del coefficiente di prestazione della pompa di calore f3r e dell'impianto fi·igorigeno f3F: 1:s 17-4 f3 p --

'Fs-T..

Il coefficiente di prestazione dipende solo dalle temperature [K] estreme del ciclo e rappresenta il limite a cui tendono, senza poterlo raggiungere, una pompa di calore e un impianto frigorigeno che operano tra le stesse temperature estreme.

51 17.3- RENDIMENTO DEL CICLO

Esempio 17.l

Coefficienti di prestazione

I; impianto di condizionamento di una casa, alimentato con una potenza meccanica L = 3 kW, è in grado di trasferire alla sorgente superiore il calore nell ' unità di tempo Q 5 = 12 kW.

Determinare: a) il coefficiente di prestazione f3P, quando, durante l ' inverno, la casa va riscaldata con la potenza termica Q8 , fornita dall'impianto che funz iona come pompa di calore; b) il coefficiente di prestazione f3F, quando, nella stagione estiva, la casa va raffreddata, cedendo all'esterno la potenza termica Q5 con l'impianto che funziona come refrigeratore .

Soluzione a) Essendo assegnate delle potenze, il coefficiente di prestazione va calcolato come rapporto tra potenza termica e potenza meccanica anziché dei corrispondenti lavori (17-2):

f3 = ~s = 12 kW = 4 P

L

3 kW

b) Il lavoro q 5 scambiato nel ciclo è la differenza tra il calore entrante q5 e i l calore uscente q 1 ( 17-1): l= q5 - q 1• Si esprima questo bilancio in termini di potenze: . . . => Q 1 = Q 5 - L = 12 kW - 3 kW = 9 kW e si applichi la 17-2' per calcolare il coefficiente di prestazione dell' impianto fiigorigeno:

Commenti È regola generale, come si ricava da questo Esempio, che il coeffic iente di prestazione della pompa di ca lore è uguale al coefficiente di prestazione del corrispondente impianto fiigorigeno aumentato di l.

17.4

Rendimento del ciclo di Carnot in funzione della temperatura Il ciclo di Carnot (Figura 17.1 ) è un ciclo semplice, in quanto Io scambio di calore avviene con due sole sorgenti, quella calda alla temperatura superiore Ts e quella fredda mantenuta alla temperatura inferiore r;, ed è composto dalle quattro trasformazioni reversibili 17 ·2 :

17.2 Affinché il processo 9lobale sia reversibile occorre in primo luogo che il ciclo termodinamico sia di quasi-equilibrio (Paragrafo 15.5) e cioè che il fluido che compie il ciclo evolva solo attraverso successivi stati di equilibrio; è quindi esclusa la presenza di attriti e di dissipazioni interne. Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente in quanto gli scambi tra il fluido ed i sistemi esterni (le sorgenti) devono anch'essi awenire in modo reversibile: il fluido deve cioè essere costantemente in equilibrio termico con le sorgenti di calore. In altre parole gli scambi di calore devono awenire con temperatura del fluido costante ed uguale a quella delle sorgenti stesse; si suppone perciò che le due sorgenti siano di capacità infinita. In particolare la reversibilità richiede che, nelle t rasformazioni 1 ~ 2 e 3 ~ 4, la temperatura del fluido di lavoro differisca soltanto di una quantità infinitesima d T da quella della sorgente: durante la somministrazione di calore (trasformazione 1 ~ 2) la temperatura del fluido è inferiore del valore dT alla temperatura T 5 della sorgente calda, mentre durante la cessione di calore (trasformazione 3 ~ 4) la temperatura del fluido è superiore di d T alla temperatura ~ della sorgente fredda; si tratta di differenze di temperatura infinitesime, necessarie perché si verifichi lo scambio di calore tra il f luido di lavoro e le sorgenti. Oltre alle due isoterme, corrispondenti alle due sorgenti, un ciclo termodinamico reversibile dovrà essere composto da altre trasformazion i che consentono scambi di calore reversibile esclusivamente all'interno della macchina: due adiabatiche 2 ~ 3 e 4 ~ 1 (ciclo di Carnot) oppure due isobare (ciclo di Erickson) oppure due isocore (ciclo di Stirling). Per ulteriori approfondimenti si suggerisce di consultare Fundamentals of Classica/ Thermodynamics, G.J. Van Wylen e R.E. Sonntag, John Wiley & Sons, 1978 (Paragrafo 6.5) e Introduzione alla termodinamica tecnica, E. Pedrocchi e M. Silvestri, Clup Milano, 1987 (Capitolo IX).

52 CAPITOLO 17- CICLI

l => 2

somministrazione del calore q 5 alla temperatura costante T5 ;

2 => 3

espansione adiabatica dalla temperatura T5 alla temperatura T1;

3 => 4

cessione del calore q 1 alla temperatura costante T1;

4 => l

compressione adiabatica dalla temperatura T1 alla temperatura T5 .

Nel caso di trasformazioni reversibili il lavoro delle resistenze passive è uguale a zero (lw= O)

J

e il secondo principio della termodinamica espresso dalla 15-14' diviene q +/w = Td s q =

=>

J Td s. I calori q5 e qy. scambiati rispettivamente nelle trasformazioni l => 2 e 3 => 4, risul-

tano allora:

qs = fTsds = Ts(sz - s, )

q= f3~~ds = T,(s 1

4 -

s3 ) =

~(s 1 - s 2 )

=>

,q, l = ~ (s2 - s,)

Da qui , facendo il rapporto dei calori q 5 e q 1 secondo la 17-1', si ricava la 17-3:

q, qs

1]=1- - = 1-

~(s2 -

s1)

~

= 1- -

1's

Ts(Sz - s,)

Il ciclo di Carnot è anche un ciclo simmetrico, costituito cioè da trasformazioni che a due a due, alternativamente in modo da poter chiudere il ciclo, appartengono alla stessa famiglia. Si può dimostrare che, in un ciclo simmetrico, il prodotto delle coordinate (v-p-T) in due vertici non consecutivi è costante: 17-5

La 17-5 si può dimostrare per un caso particolare: gas perfetto che descrive il ciclo simmetrico della Figura 17.1. Facendo il prodotto, membro a membro, delle equazioni relative alle trasformazioni isoterme l ~ 2 e 3~ 4 (p,v, =p 2v2 e p 3 v3 p 4 v4 dall 'equazione A-2 dell 'appendice) e alle trasformazioni

=

adiabatiche 2 -7 3 e 4

-7

l (p2v{ =p 3v{ e p 4 vl =p 1v( dall 'equazione A-36), si ottiene:

Tenendo presente che yè diverso da I, l'unico modo per verificare i due risultati è che sia ( v2 v 4 ) /( v1v3 ) = l. Applicando poi l' equazione di stato del gas perfetto 15-2, si ottiene anche l'equazione che lega tra loro le temperature in due vertici non consecutivi del ciclo.

53 17.4 - RENDIMENTO DEL CICLO DI CARNOT IN FUNZIONE DELLA TEMPERATURA

Nel caso del gas perfetto, il calore q scambiato nelle due trasformazioni isotermiche si ricava dalle relaz ioni A-6 dell'AppendiceA.J3 17.3. Per la proprietà dei cicli simmetrici (v 1v3 = v2v4 => v/ v 1 = v3/v4), q 1 può anche essere espresso in funzione del rapporto v/v 117.4 . 17-6

17.3 Nella 17-6, l'espressione del calore scambiato q 1 con la sorgente alla temperatura inferiore sarebbe 3q4 = RT1 In (v4 /v3): si tratta di un calore negativo perché ceduto dal sistema; preso, ad esempio, v 4 / v 3 = 1/1 O= O, 1, il logaritmo naturale di O, 1 risulta negativo: In O, 1 =- 2,3. Qui invece si considera il valore assoluto lqd = 13q4 j; per questo, si è preso il rapporto v3 /v4 anziché il rapporto v4 /v3 • In tal modo si ottiene un numero positivo: In (v3 /v4) = In (1 0/1) =In 10 = 2,3. 17.4 La 17-3 può anche essere ricavata dalle 17-6:

RT~ In ~- RT., In .:l 1J = qs - lh =

v,

Esempio 17.2

v4

R'fsln~ v,

qs

Ciclo di Carnot

.

Viene realizzato un ciclo di Carnot tra due sorgenti aJie temperature T5 = 370 K e T1 = 240 K con una pressione massima di 700 kPa e una pressione minima di l 00 kPa. Il fluido di lavoro e costituito da l kg di azoto. Determinare: a) i valori delle coordinate del ciclo nel piano p-v; b) la quantità di calore scambiato alla temperatura superiore e a quella inferiore; c) il rendimento rJ del ciclo motore e il coefficiente di prestazione di una pompa di calore {3Pe di un frigorifero {3F, basandosi sia sulle quantità di calore scambiate q sia sulle temperature T.

Soluzione a) Per poter tracciare il ciclo nel piano p-v occorre conoscere i valori di pressione p e volume massico v. Compiliamo in primo luogo una tabella con le variabili di stato assegnate (i diversi stati sono individuati dai numeti riportati in Figura 17.5 e determiniamone i valori non ancora noti: Stato

T[K]

p [kPa]

v [m3/kg]

l 2 3 4

370 370 240 240

700

??? ??? ??? ???

??? 100

???

Il volume massico v nei punti 1 e 3 si ricava con l'equazione di stato 13-2 dove, come valore della costante deli ' azoto, assumiamo, dalla Tabella A.6, R = 0,2968 kJ/(kg· K): pv = RT

v,

RT v=p

= RT; = 0,2968 kJ/(kg-K) x 370 K = O,lS 7 m 3/ kg 700 kPa

p1

v3

==>

_ RT3

-

p3

_

-

0,2968 kJ/(kg-K) x 240 K _ O 3/ k , 712 m g 100 kPa

54 CAPITOLO 17- CIC LI

Preso un rapporto delle capacità termiche y = 1,4 (TabellaA.6), con l'equazione A-37 dell'Appendice A.13 calcoliamo i valori della pressione ne i punti 2 e 4 relativi alle trasformazi oni adiabatiche 2=>3 e 4 => l: P2 = PJ [ T2 J r'= l 00 kPa [3 70 K ] 1,4t(l.4-Il = 455 kPa .... T3 · 240 K

p 4 =p 1

T ]yl(y-1) [

_i_

T.

=700 kPa K

[ 240 K]l.41(1.4-I) -=154 kPa 370 K

con l'equazione A-3, tenendo presente che la trasformazione l => 2 è isote rmica: v2 = v 1

[/2] = P2

0,157 m 3/ kg [

700

kPa] 455 kPa

=0,241 m 3/ kg

Per la relazione 17-5 caratteristica dei c ic li simmetrici, si ha: v _ v2 v4 3 v1 -

3

3

0,241 m / kg x 0,7 12 m / kg == m /k 1096 3 0,157 m 3/ kg ' g

_ -

Possiamo adesso completare la tabella che avevamo scritto all'inizio: Stato

T [K]

p [kPa]

v [m3/kg]

l 2 3 4

370 370 240 240

700 455 100 154

0,157 0,241 1,096 0,7 12

b) Le quantità di calore scambiate con le sorgenti alla temperatura superiore T8 e a lla temperatura inferiore T1 sono date dalle 17-6. Il valore numerico del rapporto de i vol umi massici v/v 1 = v/ v4 viene assunto pari a l ,539.

~ == 0,241 m / kg 0,154 m 3 / kg v1 3

qs

v,

= 1q2 = RT8 In ~==

v,

=

3

v3 = 1,096 m / kg v4 0,712 m 3 / kg

= 1 539 '

0,2968 kJ/ (kg-K) x 370 K x In 1,539 = 47,31 kJ/ kg

jq,j = R'f. In ~= 0,2968 kJ/ (kg· K) x 240 K x In 1,539 == 30,69 kJ/ kg v4

~~

Il rendim ento del ciclo motore (77) e i coefficienti di presentazione de l c iclo inverso (come pompa di calore f3r e come ciclo frigorigeno {3F) possono essere ottenuti o in funzione delle quantità di calore scambiate (equazioni 17-1', 17-2, 17-2') oppure in funzione delle te mperature (equazioni 17-3 e 17-4). Nel primo caso si ha: = qs- q1 = 47,31 kJ/ kg - 30,69 kJ/ kg = , ..,.. 0 35 1 17 qs 47,3 1 kJ/ kg

f3r == ___!b__ == 47,31 kJ/ kg == 2 ,846 q5 - q1 47,31 kJ/ kg - 30,69 kJ/ kg 1_ {3F= _q_ q5 - q 1

=

30,69 kJ/ kg 47,3 1 kJ/ kg - 30,69 kJ/ kg

....

= (,846

Quando i calcoli vengono fatti in fun zione de lle due temperature limite del ciclo, abbiamo:

11

f3

r

=

7's- T,_ T.s

= 370 K - 240 K = O 351 370 K '

=~ = T. -T.

= _!j_ =

f3 F

T.S - T.I

370 K 370 K - 240 K

=2 846

240 K 370 K - 240 K

= l 846

'

,

5~

7 4- RENDIMENTO DEL CICLO DI CARNOT IN FUNZIONE DELLA TEMPERATURA

Commenti I valori delle quantità di calore q5 e q1 scambiate rispettivamente con la sorgente alla temperatura superiore e con quella alla temperatura inferiore, sono uguali sia che la macchina lavori come motore sia come pompa di calore oppure come frigorifero. Differiscono soltanto per il verso secondo cui si attua lo scambio termico: nel caso del motore termico q 5 entra e q1 esce, nel caso della pompa di calore o del frigorifero invece q1 entra e q5 esce. Analogamente, il lavoro prodotto dal motore oppure richiesto dalla pompa di calore ha lo stesso valore (17-1): l= q5

-

q1 = 47,3 1 kJ/kg- 30,69 kJ/kg = 16,62 kJ/kg

Tutto ciò è possibile soltanto in quanto si tratta di un ciclo reversibile che opera tra due sorgenti di calore a temperatura determinata. È questo un altro modo di presentare il concetto associato alla definizione di processo reversibile.

17.5

Corollari di Carnot Si è visto che un motore reale che operi tra le due temperature T5 e T1 non può avere un rendimento maggiore del motore reversibile che operi tra le stesse temperature. È questo il primo corollario di Carnot. Il rendimento del ciclo di Camot (17-3) rappresenta perciò il limite del motore reale irreversibile l7.5. Un'altra conseguenza del secondo principio della termodinamica (secondo corollario di Carnot) è che tutti i motori reversibili, che operano tra le stesse temperature limiti, hanno uguale rendimento termodinamico. e equazione 17-3 era stata sviluppata per un ciclo reversibile, relativo a un sistema chiuso, di un motore di Carnot che usava come fluido di lavoro un gas perfetto. Sulla base dei due corollari, si può affermare che il massimo rendimento terrnodinamico per qualsiasi motore termico che lavori tra la sorgente superiore alla temperatura T5 e la sorgente inferiore alla temperatura T1 è dato da 77max = 71rev =(T5 - T1)1T5 • Un motore reversibile, che riceve calore da una sorgente alla temperatura Ts e cede calore alla sorgente a temperatura T1, dovrebbe convertire in lavoro per la 17-l ' una frazione massima del calore trasferito dalla sorgente alla temperatura T5 pari a lmay/qs = lrcJ q 5 = (Ts - T1)1T5 . TI rapporto /maJqs è tanto maggiore quanto maggiore è la temperatura della sorgente T5 , a pari temperatura dell'ambiente esterno T1• Nei motori reali le temperature massime sono più limitate dalle caratteristiche di resistenza dei materiali in grado di operare in modo continuato a temperature elevate, che non dalla nostra capacità di generare sorgenti ad alta temperatura. Occorre infine ricordare che, per quanto detto sopra, la necessità di cedere calore alla sorgente a temperatura inferiore T 1 è, per il secondo principio della termodinamica, inevitabile. La Figura 17.6 mostra un esempio di una macchina termica che opera secondo un ciclo di Camot: si tratta di un impianto a vapor d' acqua per la generazione di potenza, analogo a quello che abbiamo già commentato nella Figura 17.3 . Il calore viene trasferito dalla sorgente ad alta temperatura, la caldaia, all 'acqua in modo da portarla allo stato di vapor saturo. Perché si verifichi uno scambio di calore reversibile la temperatura della miscela liquido-vapore deve essere solo infinitesimamente più bassa della temperatura della sorgente. Ciò impl ica che, essendo costante la temperatura della sorgente, anche la temperatura del fluido di lavoro rimanga costante. Il cambiamento di fase da liquido a vapore a pressione costante è appunto un processo che avviene a temperatura costante: il sistema evolve perciò secondo un ' isoterma reversibile. La trasformazione successiva, nella turbina, avviene senza scambio di calore con l'esterno ed è quindi adiabatica. Poiché tutte le trasformazioni del ciclo di Carnot sono reversibili, questa è

17.5 Il motore reale si trova in pratica a lavorare non tra sorgenti semplici - tra sorgenti cioè che hanno una distribuzione di temperatura uguale in tutti i punti (uniforme) e costante nel tempo-, ma tra sorgenti che presentano temperature diverse da punto a punto e anche, in alcuni casi, variabili con il tempo. Risulta perciò difficile individuare le due temperature estreme, ma, quando questa identificazione è possibile, il rendimento del ciclo del motore reale risulta sempre inferiore a quello del ciclo di Carnot tra le stesse temperature.

56 CAPITOLO 17 - CICLI

Sorgente ad alta temperatura Ts

Evaporatore (Condensatore)

-------.

Pompa (Turbina)

·--------

Condensatore (Evaporatore) (lfr)

Sorgente a bassa temperatum Tr

Fig. 17.6 - Esempio di macchina termica che opera secondo il ciclo di Carnot; linea continua: impianto a vapor d'acqua per la generazione di potenza; tra parentesi e linea tratteggiata: impianto frigorigeno.

una trasformazione adiabatica reversibile, durante la quale la temperatura del fluido di lavoro passa dalla sorgente superiore a quella della sorgente inferiore. Nella trasformazione successiva, il calore viene ceduto dal fluido di lavoro alla sorgente alla temperatura inferiore; questa deve essere una trasformazione reversibile isotermica, in cui la temperatura del fluido è in:finitesimamente più alla di quella della sorgente a bassa temperatura. Durante questa trasformazione parte del vapore condensa. La trasformaz ione finale che completa il ciclo è un'adiabatica reversibile che fa aumentare la temperatura del fluido di lavoro dal valore inferiore T, a quello superiore T5 . Poiché la compressione di una miscela liquido-vapore dà luogo a inconvenienti, nella pratica si preferisce condensare completamente il vapore in modo che la pompa possa lavorare con la sola fase liquida. Nella Figura 17.6 sono anche indicati- tra parentesi e con linea tratteggiata - gli elementi di un ciclo di Carnot inverso, in questo caso un ciclo frigorigeno.

17.6

Energia disponibile Il primo principio della termodinamica pone la base del bilancio dell'energia nelle sue varie forme. Le limitazioni che esistono nel convertire l'energia da una forma all 'altra sono imposte dal secondo principio, il quale in primo luogo afferma che non tutta l 'energia relativa al calore è di uguale utilità nel produrre lavoro. Abbiamo così un'energia disponibile qdi>r• che è quella parte di calore fornita dalla sorgente che può essere convertita in lavoro da un motore termico reversibile che opera tra le temperature estreme del ciclo T5 e T1, e un 'energia inutilizzabile qinutii> che è quella parte di

h 1 = 3398 kJ/kg, s 1 = 7,02 kJ/(kg·K);

s 1 = s2 = 7,02 kJ/(kg·K), p 2 = lO kPa => h2s = 2225 kJ/kg, !J.hs= h1 - h2s = (3398 - 2225) kJ/kg = 1173 kJ/kg;

74 CAPITOLO 18 - SISTEMA APERTO

1Pr7: .Mollier:

1Pr5:

~

p 2 = l OkPa, h2 = 240 l kJ/kg

x 2 = 0,923

,12 =l;= h,- h2 = 3398 kJ/kg- 2401 kJ/kg = 997 kJ/kg

18.5 Una turbina è alimentata con vapore avente una pressione p 1 = 1,5 MPa e una tempe-

.-ura T 1 = 350°C. Il vapore lascia la turbina alla pressione p 2 = l OkPa. Il lavoro raccolto dalla

pante è 1/ 2 =744,5 kJ/kg. Seguendo il procedimento illustrato nella risposta d) dell'Esempio 18.4, determinare, all'inizio dell'espansione, entalpia h 1 ed entropia s,, e, alla fine dell'espansione, entalpia ideale h2 , salto entalpico ideale M ., titolo ideale x2s, rendimento dell'espansione flr entalpia effettiva h2 e titolo effettivo x2 •

.\follier: p 1 = 1,5 MPa, T1 = 350 °C

~

Mollier:

~

18-7:

s1 =s2 = 7,10 kJ/(kg-K), p2 =lO kPa

11t = h, - h2

=~ =

h, - h2s

18-5: J 2 =l;= h, - h2 .\!ollier:

Mzs ~

h 1 = 3147 kJ/kg, s 1 = 7,10 kJ/(kg-K); h2s= 2250 kJ/kg, 6.hs= h1 - hz.= (3147 - 2250) kJ/kg= 897 kJ!kg,.xzs= 0,86

744,5 kJ/ kg = o83 897 kJ/ kg ' h2 =h ,- 112 = 3147 kJ/kg- 744,5 kJ/kg = 2402,5 kJ/kg

p 2 = 10 kPa, h2 = 2402,5 kJ/kg

~

x2 = 0,925

75 ESERCIZI RISOLTI

19.1

Ugelli e diffusori Un u ello è un condotto in cui il fluido comprimibile subisce un'espansione con aumento di velocità; un diffusoreè invece un condotto nel quale il fluido subisce una diminUzione eh veloertae corrispondentemente iln aumento di pressione. Si tratta in pratica di condotti caratterizzati da - una variazione graduale di sezione lungo l'asse (Figura 19.1) in modo tale che il movimento si possa considerare costituito da filetti fluidi paralleli all'asse (moto unidimensionale);

(!)

-una superficie molto levigata delle pareti inteme 19· 1 in modo tale che il gas oppure il vapore "" evolva secondo una trasformazione che può essere con(2) siderata praticamente reversibile. l

~ l

l Flusso ~

Pressione statica

o pressione di ristagno

Fig. 19 .l - Pressione stati ca e pressione di ristagno in un condotto.

19.2

Il processo può essere considerato adiabatico in quanto avviene in un tempo sufficientemente rapido da poter trascurare lo scambio di calore con l'esterno; il moto è stazionario in quanto non vengono considerati i transitori iniziali e finali del movimento del fluido. Le relazioni che intercorrono tra il profilo delle aree del condotto in cui scorre il fluido e le proprietà della corrente lungo l'asse del condotto si basano su alcuni concetti quali quelli di proprietà di ristagno e di velocità del suono, che verranno esposti nei Paragrafi che seguono.

Condizioni di ristagno Si è visto (Capitolo 15) che, in molti problemi, è sufficiente conoscere la variazione delle proprietà del sistema rispetto ad uno stato scelto come riferimento. Per un fluido comprimibile questo stato di riferimento è rappresentato dalle proprietà di ristagno, definite come quelle condizioni che esistono nel punto della corrente dove la velocità del fluido viene ridotta a zero attraverso un processo isentropico (adiabatico e reversibile). Nel Paragrafo 5. 6.1 si era definita la pressione di ristagno p 0 (o pressione totale, perché sonuna della pressione statica p e della pressione dinamica pv 2/2), quale quella misurata da una sonda avente l'imboccatura rivolta contro la corrente (Figura 19.1). Questa definizione era stata ottenuta dall'equazione di Bemoulli 19.1 Una superficie molto levigata delle pareti interne costituisce una condizione fondamentale per evitare che la tra-

sformazione diventi irreversibile. Ma non è la sola. Esistono infatti anche altre condizioni, oltre l'assenza di rugosità delle pareti, da verificare se si vuole evitare l'insorgere di irreversibilità. Fattori di irreversibilità possono essere rappresentati dalla forma stessa del condotto -un angolo di apertura troppo elevato nel tratto divergente di un ugello subsonico può causare il distacco dello strato limite- oppure dal valore della pressione a valle che, in un ugello convergente-divergente, può essere tale da generare urti, e quindi irreversibilità, all'interno del condotto.

76 CAPITOLO 19- DINAMICA DEl FLUIDI COMPRIMIBILI

che è valida soltanto per una corrente incomprimibile, non viscosa e adiabatica. Ciò significa che la decelerazione della velocità della corrente avviene in un processo reversibile (senza attriti) e senza scambio di calore. ~pari della pressione, anche ogni altra proprietà del fluido diviene una proprietà di ristagno nel momento in cui si realizza l'arresto della corrente attraverso un processo tsen!!:2.PlCQlv.z:- - -Trattandosi di un processo caratterizzato da (Paragrafo 19.1) uno scambio di calore con l'esterno trascurabile (q = 0), poiché il processo avviene in tempi molto brevi, e da uno scambio di lavoro nullo (l= 0), poiChé il fluido scorre in un condotto con le pareti fisse e all'interno della corrente non esìSte alcun organo mobile in grado di raccogliere lavoro, l'equazione del bilancio energetico 18-3 si riduce a:

v2

v2

1 2 h l +2 =h 2 +2

-

19-1

Si definiscono condizioni di ristagno quelle condizioni per cui:

---

.

-è verificata la 19-1 scritta tra uno stato generico e lo stato 0 , che individua il ristagno della corrente (la velocità ciOè si annulla: v 0 = O) ; 19-2 -il processo avviene, come è stato detto prima, in modo isentropico: l'entropia dello stato generico è uguale ali' entropia di ristagno (s = s 0) pO= Pressione di ristagno isentropica h 0

h

h

-

I -·7_:.:·

ro =Temperatura di ristagno

-;o~~.--- isentropica

2

p= Pressione effettiva

J. ________/

T = Temperatura effettiva

_

7

!.,._____Stato effettivo

s =so

s

Fig. 19.2 - Defin izione delle condizioni di ristagno sul diagramma di Mollier per il vapore. Nel caso del gas perfetto, l' entalpia è funzione della sola temperatura (h = ePT con cP costante dalla 15-11') e quindi il diagramma h- s diviene simile al diagramma T- s.

La Figura 19.2 illustra questa definizione delle condizioni di ristagno: i valori delle proprietà di ristagno, e in particolare quello dell'entalpia di ristagno h0 , si leggono sul diagramma di Mollier in corrispondenza del punto p 0- T 0 che si ottiene aggiungendo, lungo l'isentropica s = s0 all' entalpia h del punto p- T che rappresenta le condizioni generiche del fluido) una quantità pari, per la 19-2, all'energia cinetica v 2/2 della corrente. V equazione 19-2 puo essere risolta rispetto alla velocità del fluido, che viene così espressa in funzione della variazione di entalpia D.h = h0 - h:

v = ~2 (h 0

-

h)

= ~2D.h)

19-3

Nel diagramma di Mollier del vapor acqueo allegato al testo è appunto riportato, in alto a sinistra, un segmento che, sul lato sinistro, reca la scala della variazione di entalpia D.h [kJ/kg] da O a l 000, mentre, sul lato destro, riporta la corrispondente scala della velocità v [mis] da Oa 1400. La conversione tra salto entalpico D.h e la velocità v è basata sulla 19-3, corretta in modo da tener conto che occorre moltiplicare per 1000 il D.h espresso in kJ/kg per ottenere J/kg, da cui, estraendo la radice, si ottiene la velocità in m/s [J/kg = N·rnlkg = (kg·ms- 2)·mlkg = m 2/s2]:

v=

~2D.h = ~2D.h [kJ/ kg] x 1000 [J/ kJ] = ~2000 [JikJ] ~D.h [kJ/ kg] = 44,72-Jt:h

19-4

V equazione 19-2 ci dice che nella corrente, che scorre nel condotto in un processo isentropico e senza scambio di lavoro, l'entalpia di ristagno si conserva, mantiene cioè un valore costante 19.2 Le proprietà di ristagno vengono raggiunte nel momento in cui si verifica l'arresto adiabatico e reversibile, quindi isentropico, della corrente. Il requisito della reversibilità si applica a tutte le proprietà fatta eccezione per l'entalpia (e, per la 15-1 1', la temperatura nel caso del gas perfetto). L'entalpia di ristagno infatti può essere raggiunta attraverso un arresto adiabatico anche non isentropico.

77 19.2 - CONDIZIONI DI RISTAGNO

uguale ad h0 in tutte le sezioni del condotto. Oltre all'entalpia, le altre proprietà del fluido che rimangono costanti sono 19·3 l'entropia s = s0 e la pressione di ristagno p 0 . Per un gas perfetto poi, essendo l'entalpia funzione della sola temperatura attraverso la capacità termica a pressione costante (h= ePT con cPcostante dalla 15-11') si conserva anche la temperatura di ristagno T 0 • Essendo infatti i valori delle entalpie nelle due sezioni l e 2 del condotto uguali al valore h0 indicato nella 19-2 (h 1 =h~ = h0 ), risulta: cPT1 =cPT2 =cPT0 :::::} T1 = T2 = T 0 • Al posto delle tabelle oppure del diagramma di Mollier necessari per calcolare (19-2) le caratteristiche del moto del vapore in un condotto, nel caso del gas petfetto vengono utilizzate le relazioni dell'Appendice A.13 relative alla trasformazione isentropica.

°

°

°

° °

19.3 Dalla 15-18, riscritta in termini di proprietà di ristagno T 0ds0 = dh0 - v 0dt, risulta dJ!= Oe dh 0 =O, perché entalpia ed entropia di ristagno si mantengono costanti; allora è anche dp = O e quindi la pressione di ristagno p 0 rimane costante.

Esempio 19.1

Proprietà di ristagno dell'aria in un condotto

In un condotto isolato a sezione variabile scorre, in modo reversibile e senza scambio di lavoro con l'esterno, dell 'aria avente le seguenti caratteristiche: -all'ingresso: temperatura statica ~ = 800 K e velocità v 1 = 150 m/s; - ali 'uscita: pressione statica p 2 = l 00 k.Pa e velocità v 2 = 600 mis. Determinare:

°

°

a) le temperature di ristagno T1 all'entrata e T2 all'uscita del condotto; b) la temperatura statica T2 all'uscita; c) la pressione di ristagno p?all'entrata; d) il rapporto A/A2 tra la sezione di ingresso e quella di uscita.

Soluzione a) Il flusso è isentropico in quanto la trasformazione è reversibile e adiabatica (abbiamo detto che il condotto è isolato). Per la definizione 19-2, possiamo allora scrivere che l'entalpia di ristagno o entalpia totale nella sezione di entrata h 1°(nella definizione era stata indicata con h0) è data da:

relazione che, per un gas perfetto, diviene (15-6'):

v2 c p (T.oT.)=_!_ l l 2 Risolvendo rispetto alla temperatura di ristagno in ingresso = 1003,5 J/(kg-K) (Tabella A.6), si ha:

Tl0

e utilizando per l 'aria il valore

cP = 1,0035 kJ/(kg·K)

~ 0 = v~+~= 2cP

2

(1SOm /s) +800K=811,2K 2 x 1003,5 J/(kg·K)

°

La temperatura di ristagno all'uscita del condotto T2°è uguale a quella in ingresso T1 dal momento che, lungo il condotto, non vi è scambio né di calore né di lavoro. Indicato con T 0 il valore costante della temperatura di tistagno, possiamo scrivere che:

78 CAPITOLO 19- DINAMICA DEl FLUIDI COMPRIMIBILI

•

b) La temperatura statica T2 all'uscita si calcola sempre con la relazione 19-2 , scritta nella forma precedente, che tiene conto del gas perfetto, e applicata alla sezione di uscita dove la velocità ha il valorev 2: 0 T.=T. 2 2

-

v~

=8112K=

2cP

'

2

(600mls) =6318K 2 x 1,0035 x l 0 3 Jl(kg·K) '

°

c) Possiamo ricavare la pressione di ristagno p 2 all'uscita con la relazione A-37, in Appendice, che lega pressione e temperatura del gas perfetto: o ) y/ (y- 1) 0

p2

=

p

2 (

!J._

(

811 2 ) 1,4/(1,4 - 1) • K = 239 8 kPa 631 8 K '

= 100 kPa

T.

2

'

Ma in un flusso isentropico e senza scambio di lavoro, così come avviene per la temperatura di ristagno, la pressione di ristagno in ingresso è uguale a quella ali 'uscita, assume cioè il valore costante p 0 . Otteniamo così il valore della pressione di ristagno in ingresso: ~

p ?=p 2°=p 0 =239,8kPa

d 1 Per l'equazione di continuità 5-2 in cui mettiamo, al posto della massa volumica p, il valore ricavato

dall'equazione di stato del gas perfetto 15-1, si ha:

e il rapporto tra l'area di ingresso A 1 e quella di uscita A2 è: At P2V2T; -=-A2 PtVtTz La pressione p 1 si ottiene sempre con l'equazione A-37: 0 P1 = p1 (

T.1 T.l0 )

-

y/(y - 1)

(

= 239 8 kPa '

800 K 81 l ' 2 K

)1,4/(1.4 - 1)

= 228 4 kPa '

~ _ p 2v 2T; = 100 kPa x 600 mis x 800 K = , 2 22 A2 p 1V 1T2 228,4 kPa X 150 mis X 631,8 K

Esempio 19.2

Proprietà del vapore nel distributore di una turbina

In una data sezione del distributore di una turbina a vapore si ha: pressione di ristagno p 0 = 800 kPa, temperatura di ristagno T 0 = 200 oc e pressione statica p = 350 kPa. Utilizzando il diagramma di Mollier, determinare:

h

pO= 800 kPa T O= 200 °C

a) la temperatura statica T e i corrispondenti valori di entalpia h e di volume massico v; h

b) la velocità del vapore v ; c) la portata del vapore riferita all'unità di area lillA.

superiore (x = 100 %) Regione l iqui~o-vapore

Soluzione a) In corrispondenza di p = 800 kPa e T 0 = 200 °C, leggiamo, sul diagramma di Mollier allegato al testo, entalpia ed entropia:

s

0

h 0 = 2839 kJ/kg, s 0 = 6,815 kJI(kg-K)

Fig. 19.3 - Condizioni del vapore relative ail'Esempio 19.2.

79 19.2- CONDIZIONI DI RISTAGNO

Le condizioni di ristagno corrispondono, per definizione, alla trasfom1azione isentropica caratterizata, sul diagramma di Mollier, dali 'intersezione della verticale s = s 0 e l'isobara con pressione stati ca p= 350 kPa (Figura 19.3). D punto si trova all'interno della regione liquido-vapore; la temperatura T è allora quella di saturazione corrispondente alla pressione p. Sul diagramma di Mollier leggiamo:

T= 139 oc

v= 0,5 m 3/kg

h= 2681 kJ/kg

...,..

b) La velocità si ottiene con la 19-3:

v=

~2 (h 0 - h)

=

~2t.hv = ~2 (2839- 268 1) x l 0 3 J/ kg

=

~2 x 158 x 103 J/ kg

= 562,1 mi s

...,..

Il valore della velocità del vapore v poteva anche essere ricavato utilizzando la scala di conversione, posta in alto sulla sinistra, del diagramma di Mollier (19-4); entrando con t.h =!58 kJ/kg (valori a sinistra), leggiamo (a destra) un valore della velocità v ""560 m/s. c) Per l 'equazione di continuità 5-2 scritta in funzione del volume massico v, si ha: .

Av

m=v

19.3

=>

m= !:. = A

v

562,1 m /s 0,5 m 3/ kg

= 1124 2 kg/s '

m2

Velocità isentropica del suono La velocità del suono c è la velocità con cui le piccole perturbazioni della pressione si propagano, sotto forma di onde, in un fluido comprimibile. La piccola perturbazione, proprio perché piccola e cioè di intensità estremamente modesta, associata alla propagazione dell'onda sonora può essere considerata un fenomeno adiabatico reversibile e quindi isentropico. È per questo motivo che parliamo di velocità isentropica del suono, chiamata tuttavia, più semplicemente, velocità del suono. Nel caso di Lm gas o di un vapore la velocità del suono c [rn/s] è data da:

c=F;

19-5

con yrapporto tra le capacità massiche a pressione e a volume costante. Nel caso dell'acqua è y = 1,3 per il vapore surriscaldato e r = 1,135 per il vapore saturo. Nel caso del gas perfetto (13-1), la velocità diviene: 19-6 c = ~yRT In particolare per l'aria, essendo

c

r

= l ,4 ed R = 287 J (kg· K), si ha:

= ~yRT = ~1,4 x 287 J/(kg·K) T =

20,04

.fi

19-7

Nel caso generale la velocità del suono c è espressa dal rapporto tra la variazione della pressione !1p rispetto alla variazione della massa volumi ca t.p del fluido per un processo isentropico: c =

~l f.p / t.pl s=costante.

Numero di Mach M è il rapporto tra la velocità locale del fluido v e la velocità del suono c corrispondente ai valori di pressione e massa volumica che esistono nel punto dove viene misurata v.

M=!!_ c

19-8

Caria va considerata un fluido comprimibile quando il numero di Mach risulta superiore a 0,3; al di sotto di tale valore l'aria può essere trattata con le stesse equazioni del fluido incompri-

80 CAPITOLO 19- DINAMICA DEl FLUIDI COMPRIMIBILI

mibile utilizzate per le macchine idrauliche. Quando il numero di Mach e inferiore a uno la corrente si dice subsonica; se invece è maggiore di uno, la corrente è supersonica (vedere il paragrafo che segue).

Esempio 19.3

Velocità del suono nel vapore in un condotto

Calcolare la velocità del suono c nel vapore che scorre in un condotto con temperatura T= 200 oc e pressione p = 0,8 MPa.

:Soluzione Siamo nella regione del vapore surriscaldato (Tabella A. 3.1); applich iamo allora la 19-5 con un valore del volume massico v = l!p = 0,2608 m3/kg ricavato dalla Tabella:

c=

Esempio 19.4

r= l ,3 e

~y ~ = .JY; = ~ 1,3 x 800.000 Pa x 0,2608 m / kg = 520,8 m /s 3

Numero di Mach dell'aria in un condotto

Dell 'aria scorre in un condotto con velocità v= 500 m/s. Determinare il numero di Mach M: a) in corrispondenza di due livelli di temperatura pari a 298 K e 1200 K; b) qualora, al posto dell'aria, nel condotto venga fatto scorrere elio a lla temperatura di 298 K.

Soluzione a) La velocità del suono c si calcola con la 19-7:

c = 20,04

fi = 20,04 ~298 K = 346 m /s

mentre il numero di Mach M si calcola con la 19-8:

M

= !!_ = c

500 m /s 346 m /s

= l 44 '

(flusso supersonico)

Analogamente alla temperatura di 1200 K, si ha: c = 20,04 ~ J/(kg· K)

~1200 K

= 694,4 m /s

M =

500 m/s 694,4 m/s

= 0,72 (flusso subsonico)

~

b) La velocità del suono nel caso dell'elio viene calcolata con la formula generale 19-6, mentre le costanti dell'elio si ricavano dalla Tabella A. 6:

c= ~yRT = ~ 1,667 x 2,077 x 10 3 J/ (kg-K) x 298 K = 1015,8 m/ s 500

M = !!_ = m /s = O49 (flusso subsonico) c 1015,8 m /s '

Commenti Si osservi il sensibile aumento della velocità del suono c all'aumentare della temperatura dell'aria. Parallelamente, essendo costante la velocità della corrente v, il flusso passa da supersonico a subsonico. Nel caso dell'elio, gas molto più leggero dell'aria, la velocità del suono è molto più alta di quella dell'aria e allora il flusso rimane subsonico anche se la temperatura è bassa.

81 19.3 - VELOC ITÀ ISENTROPICA DEL SUONO

19.4

Flusso adiabatico isentropico in un condotto 19.4.1

Andamento delle aree

La velocità di propagazione delle perturbazioni della pressione, quando confrontata con la velocità della corrente, costituisce un'importante misura degli effetti della comprimibilità del fluido. Quando un gas, come l'aria, oppure un vapore si muove con una velocità abbastanza più bassa di quella del suono (re[?ime iposonico), il fluido non manifesta la sua comprimibilità. Non avviene però così a velocità della corrente di poco inferiori a quella del suono (regime subsonico) e tanto meno a velocità maggiori (regime supersonico) o molto più grandi (regime ipersonico). Il comportamento deLfluido n~l .Passare da una velocità più bassa a u~a velocità più alta di quella del suono cambia drasticamente. A velocità della corrente inferiori a quelladel suono infatti ciò che avviene in un punto del campo di moto influenza ed è, a sua volta, influenzato da ciò che avviene in ogni altro punto. A velocità maggiori di quella del suono esistono in ogm punto del campo di moto delle zone di influenza e delle zone di silenzio.fl fenomeno più vistQso mezzi che si muovono a velocità prossime a quelle del suono (regime transonico) legato oppure superiori è rappresentato dal formarsi di onde d ' urto che sono delle discontinuità nel campo di moto attraverso le quali si verifica un brusco aumento della pressione e dell'entropia (il fenomeno è dissipativo) e una brusca diminuz ione della velocità. Per lungo tempo, nel progetto delle macchine, si è èvitato con cura di avvicinarsi a velocità della corrente prossime a quella del suono proprio per evitare la comparsa di fenomeni- in primo luogo le onde d ' urto -non sufficientemente conosciuti e quindi poco dominabili. Più recentemente la possibilità di disporre di misure accurate del campo di moto e lo svilu po di modelli multidimensionali hanno consentito la realizzazione di macchine che, funzionando con fluidi di lavoro che si muovono c:§n velocità prossime oppure superiori a quella del suono, §Ono in grado di cogliere alcuni vantaggi propri del regime supersonico.

m

Consideriamo due casi estremi del comportamento del çondotto: ugello e diffusore. Ricordiamo che l'ugello è Ugello subsonico Diffusore subsonico un condotto accelerante in cui si vuole aumentare la velocità del fluido e diminuirne la pressione, !Dentrej l diffusore è un condotto decelerante in cui si vuQle Flusso 4i.rni.llllìre la velocità e aumentare la pressione nella corr~nte. La Figura 19.4 illustra il comportamento di un ugello e di un diffusore nei due casi di regime subsonico (M< l) e supersonico (M> l). tJ"el caso di un ugello, se il moto è subsonico, a una di.J.ninuzione dell'area della sezione trasversale dél condotto corrisponde una dimip diminuisce Flusso +---l~ nuzione della pressione, mentre la velocità aumenta. È C"(> l) v aumenta lo stesso comportamento che avevamo osservato trattando con l'equazione di Bemoulli un flusso incomprimibile in un ugello (Capitolo 5). Quando il regime Ugello supersonico Diffusore supersonico diviene supersonico, l'andamento dell'area di passaggio dell' ugello si inverte completamente dal momento che il Fig. 19.4- Effetto della variazione dell'area su un fluido comfluido deve incontrare, nel suo moto, sezioni di area via primibile. v!a crescente perché si verifichi la diminuzione della pressione e l' aumento della velocità. Rimane ancora valido, sia nel caso subsonico sia in quello supersonico, l'andamento relativo della velocità e della pressione: la velocità aumenta e la pressione diminuisce all'avanzare del fluido nel condotto.

.,

-

Nel caso di un diffusore, l'obiettivo di decelerare la corrente viene raggiunto attraverso un andamento delle aree di passaggio opposto a quello illustrato nel caso dell' ugello. Di solito il gas o il vapore si trova in una condizione di quiete con velocità e numero di Mach uguali azero. ~ si vuole accelerare la corrente da questo stato di riposo fino a velocità supersoniche l'u..... -- ~

82 CAPITOLO 19- DINAMICA DEI FLUIDI COMPRIMIBILI

nica soluzione è quella di far percorrere al fluido, che si trova in condizioni subsoniche, il primo tratto convergente (in alto a sinistra nella Figura 19. 4) in modo che il flusso acceleri fino alla veloçità soni ca (M= l) e poi imboccare il secondo tratto divergente (in basso a sinistra nella Figura 19. 4) in modo da accelerare ulteriormente il fluido utilizzando le leggi del moto supersonico.

Sezione ristretta (o minima)

--+- M> l

Fig. 19.5-a- Schema di ugello De Lavai.

Il risultato è rappresentato da (Figura 19.5-a) un ugello convergentedivergente (ugello De Lava/) caratterizzato da una sezione minima o ristretta, la gola dell'ugello, che collega i due tratti convergente e divergente in cui si raggiunge la velocità del suono (M= l ). Lo studente probabilmente sa che i motori a razzo usano degli ugelli convergenti-divergenti (Figura 19.5-b) e può rimanere sorpreso per il fatto che anche le turbine a vapore usino gli stessi ugelli per produrre alte velocità di efflusso. l condotti di ingresso dell 'aria dei motori a getto supersonici utilizzano passaggi convergenti-divergenti nel modo opposto, portando cioè un flusso, inizialmente supersonico, fino a una bassa velocità subsonica e renderlo così adatto a lla compressione e alla successiva combustione.

Fig. 19.5-b- Ugello D e Lavai

del razzo Ariane 5.

La variazione della sezione del condotto dA può essere messa in relazione con la variazione di velocità dv della corrente nel condotto attraverso l'equazione dA = dp (l- M2) A pv2

19-9

oppure, se al posto della variazione di pressione dp, si vuole considerare la variazione di velocità della ~orrente dv, dall'equazione 19 .4

19-10

19.4 La dimostrazione di queste due equazioni che danno la variazione frazionale dell'area dAlA (rapporto tra la variazione dell'area e l'area stessa) si può trovare nei testi di fl uidodinamica. come, ad esempio, F.W. Schmidt. R. E. Henderson e C. H. Wolgemuth, lntroduction to Thermal Sciences, John Wiley, 1984 (Paragrafo 6.5.5).

83 19.4- FLUSSO ADIABATICO ISENTROPICO IN UN CONDOITO

In queste due equaz ioni Uermini dA , dp e dv indi cano rispettivamente una variazione infìnitesima (differenziale) de lla sezione del condotto A, della pressione p e della velocità della corrente v. Questa '!_ariazione può essere positiva (aumenlo) oppure negativa (diminuzione); ad esempio, dA> O indica un awnento della sezione, mentre dA O e quindi dA deve avere lo stesso segno di dp: se è dA < O, allora deve essere anche dp < O; - un aumento della velocità (dv> 0). Nell' equazione 19-10 dA ha segno opposto a dv e quindi se è dA< O, allora deve essere dv > O. Nel caso supersonico (M > 1), un aumento della sezione del condotto (dA > O) conduce a: - una diminuz ione della pressione (dp < 0). Questa volta, risulta ( l - M2) < O in quanto è M> l e il prodotto dp (l - M2) nell'equazione 19-9 ha segno negativo; - un aumento della velocità (dv> 0). Il secondo membro de lla 19-10, dato dal prodotto di due termini negativi (-dv) e ( l - M 2), ha per risultato un numero positivo. Perciò nel caso di flusso supersonico, se si vuole far aumentare la velocità del fluido, occorre aumentare la sezione del condotto, anziché diminuirla come avviene nel caso subsonico. Il comportamento del diffusore viene dedotto dalle equazioni 19-9 e 19-10 util izzando uno schema di di scussione analogo a quello seguito sopra per l' ugello. Finora abbiamo esaminato i casi di flusso subsonico e supersonico. Cosa avviene quando la corrente è sonica (M= l)? Ponendo M = l nell' equaz ione 19-10, risulta dA /dv= O in quanto sia A che v han no valori fi niti diversi da zero. Se dA /dv= O, l'area della sezione trasversale deve essere o massima oppure minima. La Figura 19.4 ci dice che tale area deve essere que lla minima dal momento che la corrente prima accelera (tratto subsoni co) nella parte convergente de l condotto, arriva alla velocità del suono nella gola dell ' ugello e quindi continua ad acce lerare, ma questa volta in regime supersonico, nel tratto divergente. In altre parole la sezione che connette la parte convergente con la parte divergente, può essere soltanto la sezione minima dell ' ugello; in questo modo si ottiene il caratteristico profilo convergente-divergente dell ' ugello De Lavai della Figura 19.5-a.

19.4.2 Efflusso del gas perfetto 19.4.2.1

Rapporto critico

Per caratterizzare l 'efflusso del gas in un condotto occorre disporre di re laz ioni che leghino tra loro le proprietà local i (in p art icolare massa volumica p, pressione p e temperatura T), le proprietà di ristagno (p0 , p0 , T 0 ) e il numero di Mach M. 11 gas si consid e ra perfetto. Di partico lare inte resse è il rapporto tra T 0 e T dato da:

ro = l + (r - l ) M 2

19-11

2

T

L'equazione 19-2, che mette in relaz ione tra loro entalpia, energia cinetica ed entalpia di ristagno, risolta rispetto a v dà: Per un gas perfetto l 'entalpia è funzione della temperatura attraverso la capacità termica massica a pressione costante cP (h= ePT); questo può, a sua volta, essere espresso in fun zione della costante del gas R e del rapporto tra le capacità termiche massiche y secondo la t 5-12' :

v2

= 2c

(T 0 P

-

T)

= 2y RT (~ - 1) y -l

T

84 CAPITOLO 19 - DINAMICA DEl FLUIDI COMPRIMIBILI

Ricordando l'espressione 19-6 della velocità del suono c e quella del numero di Mach M 19-8, l'equazione precedente diviene:

v2 = M z c2

=

_ 2 yl

(.z:__

19-17

Fatto M= l nell 'equazione 19-16, otteniamo la portata per unità di area m/A* nella sezione minima dell'ugello: 19-18

Nel caso dell'aria, questa equazione si riduce a: . m

A

19.4.2.3

o

= 0,0404 ~(kg-K)/J ~

>

~To

19-19

Condotto semplicemente convergente

Pc

x

Fig. 19.6 - Flusso comprimibile attraverso un ugello convergente.

Vediamo adesso come varia la portata attraverso l 'ugello al variare della contropressione Pc· la pressione cioè che si trova a valle dell 'ugello e che immaginiamo di regolare attraverso l'apertura o la chiusura della valvola schematizzata nella Figura 19. 6. Distinguiamo due casi: ugello convergente e ugello convergente-divergente. N eli 'ugello semplicemente convergente di Figura 19. 6, p 0 e T 0 sono rispettivamente pressione e temperatura di ristagno della corrente indisturbata a monte dove la velocità del gas è trascurabile (v:::: O),Pu è la pressione nella sezione di uscita dell'ugello e Pc è la contropressione regolata dalla valvola. Nella parte inferiore della Figura 19. 6 è riportato il rapp01to tra pressione locale e pressione di ristagn o p!p 0, misurato lungo l'asse dell' ugello. La portata me il rapporto delle pressioni all'uscita dell'ugello Pulp 0 variano al variare della contropressione Pc secondo i diagrammi di Figura 19. 7. Esaminiamo quattro valori decrescenti della contropressione Pc indicati con le lettere a, b, c, d nelle Figure 19.6 e 19. 7.

86 CAPITOLO 19- DINAMICA DEl FLUIDI COM PRIMIBILI

Pu

m

pO

d

c

Portata critica

\.--

l

--------- ------a ' '

d

'

l

Pc pO

o

''

c ''

:'

·y

' ' '' '

l

Pc pO

Fig. 19.7 - Portata e pressione ali 'uscita in funzioiJe della contropressione per un ugello convergente.

a) La contropressione Pc è uguale a p 0 (pclp 0 = l ). Non vi può essere nessun flusso di gas nell ' ugello (la portata è zero) e nella sezione ristretta risulta Pulp 0 = l. b) La contropressione Pc viene ridotta (pclp 0 < 1). Il rapporto delle pressioni Pclp 0 si mantiene tuttavia sempre maggiore del rapporto critico espresso dalla 19-14 e quindi la velocità del gas è ancora subsonica. Al diminuire del rapporto Pclp 0 , la portata minizia a salire e la pressione all'uscita P u è uguale a Pc· c) La contropressione Pc viene ridotta fino al valore critico p* (pclp 0 =p*/p 0) Nella sezione ristretta dell 'ugello si raggiunge finalmente la velocità del suono; il numero di Mach è uguale a uno e la pressione all'uscita de il 'ugello P u è ancora uguale alla contropressione Pc· d) La contropressione Pc viene ridotta ulteriormente e arriva a un valore inferiore alla pressione critica p* (pclp 0 < p*/p0 ). In queste condizioni non si verifica alcun aumento di portata rispetto al caso precedente in quanto nella sezione minima dell 'ugello la pressione di uscita Pu si conserva costante e uguale alla pressione critica p* in corrispondenza di M= l. La caduta di pressione si verifica questa volta al di fuori della sezione minima e precisamente tra questa e la valvola. Nell'ugello passa la massima portata compatibilmente con i valori della pressione e della temperatura di ristagno che esistono a monte dell' ugello (equazione 19-1 8); perciò la portata massima ormai non aumenta più, comunque si diminuisca la contropressione a valle.

...-

Ugelli convergenti critici sono spesso utilizzati come strumenti di misura della portata. Essendo infatti nelle condizioni critiche la portata indipendente dalla contropressione, la misura di p 0 , T 0 e dell'area critica A* è sufficiente, secondo l'equazione 19-18, per individuare la portata m. Spesso gli ugelli critici vengono utilizzati come mezzi per mantenere u n flusso stazionario in sistemi, come reattori chimici, indipendentemente dalle fluttuazioni di pressione nella camera di reazione.

19.4.2.4

Condotto convergente-divergente

Analogamente ali 'ugello semplicemente convergente, distinguiamo d iversi casi a contropressione Pc decrescente nell 'ugello conver gente-divergente di Figura 19. 8. In questa figura è stata anche riportata la variazione del numero di Mach M lungo l'asse del condotto. a) La contropressione Pc è uguale a p 0 (pclp 0 = l ). La portata è nulla in quanto la pressione a monte è uguale alla pressione a valle. b) La contropressione Pc viene ridotta (pclp 0 < l ). Il rapporto delle pressioni Pclp0 è tuttavia maggiore del rapporto critico. La velocità del gas aumenta nel condotto convergente, ma nella sezione ristretta non viene raggiunta la velocità del suono e quindi, essendo il flusso subsonico, nel tratto divergente la velocità diminuisce e la pressione aumenta. Il condotto si comporta come il diffusore descritto nella Figura 19.4.

87 ·g 4

- FLUSSO ADIABATICO ISENTROPICO IN UN CONDOITO

Gola

M

Pc l

l

LI pO

lb=--~r----------r.~-.

o ~----~------~~L----­

Jngrcsso

x

Scarico

Regione degli w-ti

Ingresso

Gola

Scarico

x

Fig. 19.8- Flusso comprimibile attraverso un ugello convergente-divergente.

c) La contropressione Pc viene ridotta fino ad un valore che permette di raggiungere la pressione critica p* nella sezione ristretta dell'ugello. Nella sezione ristretta dell' ugello si raggiunge la velocità del suono, ma il tratto divergente si comporta come un diffusore subsonico, che ha ali 'ingresso M= l, e così la pressione aumenta di nuovo e la velocità diminuisce. Fin qui il comportamento dell'ugello convergente-divergente è quello di un tubo di Venturi. y) La contropressione Pc viene ancora ridotta ma non tanto da permettere di realizzare un'espansione supersonica fino all'uscita dell ' ugello. Si raggiunge sempre la velocità del suono nella sezione ristretta; da qui inizia un'espansione supersonica nella prima parte del condotto convergente. Ma la contropressione è ancora troppo elevata; si forma un'onda d 'urto che comprime il gas, portandolo a una pressione prossima alla contropressione Pc e a un numero di Mach inferiore ad uno. L'onda d ' urto è fonte di un tipico fenomeno dissipativo con notevole aumento di entropia. Mano a mano che diminuisce la contropressione, l' espans ione supersonica si estende nel tratto divergente, ma non arriva a stabilirsi fino all'uscita dell'ugello.

...

d) La contropressione Pc viene finalmente ridotta ad un valore tale per cui il flusso è supersonico in tutto il divergente. La velocità del suono, raggiunta dal gas nella sezione ristretta, viene progressivamente aumentata lungo tutto il divergente. L'espansione del gas continua fino all'uscita, dove la pressione P u è uguale alla contropressione Pc, e avviene in modo iseotropico in quanto non sono più presenti fenomeni dissipativi legati alla presenza di onde d'urto. In queste condizioni l ' ugello supersonico si dice adattato. e) La contropressione Pc diminuisce ancora. A questa ulteriore diminuzione della contropressione non corrisponde più una diminuzione della pressione ali 'uscita Pu· La caduta di pressione tra Pu e Pc avviene al di fuori deIl' ugello.

Esempio 19.5

Portata di aria in un ugello convergente

9

Da un condotto effluisce ari a attraverso un ugello semplicemente convergente con sezione di sbocco

A 0 = 520 mm2• La pressione e la temperatura di ristagno a monte del convergente valgono rispettivamente p 0 = l 042 kPa e J'O = 400 K. N eli 'ipotesi di efflusso isentropico, determinare la portata di ariani in corrispondenza dei seguenti valori della pressione di uscita p 2 : a) p 2 = pressione critica; b) p 2 = 850 kPa; c) p 2 = 400 kPa.

88 CAPITOLO 19- DINAMICA DEl FLUIDI COMPRIMIBILI

Soluzione a Per l'aria il rapporto critico delle pressioni vale (19-15):

p:p = 0,528 La pressione critica è allora:

p* = 0,528p 0 = 0,528 x l 042 kPa = 550 kPa La portata nella sezione di uscita Usi calcola con l'equazione di continuità 5-2:

m= PuAuVu In quest'equazione l'area della sezione di uscita Au è un dato de li' Esempio, mentre occorre ricavare la massa volurnica critica p* = Pu per mezzo dell'equazione di stato dei gas perfetti 15-1 e la velocità Vu che, essendo la sezione critica, coincide con la velocità del suono c data, per l'aria, dalla 19-7. In ambedue le equazioni compare la temperatura critica T*; dobbiamo allora ottenere prima di rutto la temperatura con l'equazione 19-11:

To = l + (y - l) M 2 T 2 dove posto M= l , perché il calcolo si riferisce alla sezione critica, abbiamo:

T*

To =l+ (y -l) T* 2

T*= T 0

=

2

r +l

2 -

r

- *-p* Pv - p - RT* c=

T0

2 - = 400-= 333 3 K +1 1,4 + 1 '

550kPa =5 75k Jm3 0,287 kJ/ (kg-K) x 333,3 K ' g

20,04~1/(kg-K)..j"r

m= p*A c=5,75 kg/m

3

0

=

20,04~333,3 K

= 366 m/s

x 520 x J0-6 m 2 x 366 m/s = 1,094 kg/s

La p011ata critica poteva essere direttamente ricavata per mezzo della 19-19 valida per l'atia:

m=!!!_ A* = 2104,8 kg/(s-m 2 ) x 520 x JQ- 6 m 2 = 1,094 kg/s A*

b) La pressione di uscita vale ora p 2 = 850 kPa. Dobbiamo ricavare in primo luogo la temperatura nella sezione di uscita T2 con la 19-12:

~=

T2

(po) che lega la velocità reale v a quella ideale vs secondo la relazione: V= q>Vs

19-21

Il coefficiente q> risulta pari a 0,97 + 0,99 per ugelli convergenti e a 0,94 + 0,96 per ugelli convergenti-divergenti che presentano, nel tratto divergente, velocità più elevate e quindi perdite maggiori. Le due velocità, effettiva e ideale, corrispondono all ' incremento di energia cinetica, che viene calcolato scrivendo il bilancio energetico dell'ugello, dato dall'equazione 19-1 , per l'espansione reale e nell' ipotesi di espansione isentropica, a parità di condizioni iniziali e di pressione finale. Questo bilancio è illustrato graficamente mediante il diagramma di Mollier (Figura 19.11) che mette in evidenza come l'espansione reale sia rappresentata da una linea inclinata,

94 CAPITOLO 19 - DINAMICA DEl FLUIDI COMPRIMIBILI

®

'

~,~

0

h

h

' :-----+v2 '

# ~_:

7r.2 - ---- -- -- -----~-- 2 o2s

' ;_------

' '

s

s

" !g. 19. 11-a - Schema dell'ugello con il volume di controllo. Fig. 19.11-b - Espansione in un diagramma h-s con evidenziati gl i effetti delle irreversibil ità in un ugello in cui il gas entra con velo&.à nulla. !'ig. 19.11-c - Espansione in un diagramma h-s con evidenziati gli effetti delle irreversibilità in un ugello in cui il gas entra con velo::tà diversa da zero.

mentre l'espansione isentropica segua al solito una verticale. In particolare possiamo distinguere due casi in cui la velocità all' ingresso dell 'ugello sia - nulla (v,= 0), come illustrato dalla Figura 19.1 1-b, e allora le condizioni iniziali dell 'espansione (punto l = punto O) coincidono con quelle di ristagno individuate dalla pressione p 0 e dalla temperatura T 0 ; - diversa da zero (v 1 > 0), come illustrato dalla Figura l 9.1 1-c, e allora le condizioni di ristagno sono spostate, rispetto alla pressione p " di un segmento verticale pari a v~/2 per raggiungere la pressione di ri stagno P? a cui corrisponde l 'entalpia di ristagno h?.

Si definisce rendimento di un effusore o d eli' ugello 'T] e il rapporto tra l'energia cinetica effettiva all 'uscita de il 'ugello e l'energia cinetica a li 'uscita dell' ugello neli 'ipotesi di flusso isentropico a parità di condizioni iniziali e di pressione finale: Energia cinetica effettiva all ' uscita dell'ugello 71 • = Energia cinetica all'uscita dell'ugello con flusso isentropico Applicando questa defi nizione al caso illustrato dalla Figura 19. 11-b e ricordando la 19-1, si ottiene: 7)2

h 0 = h 2 + _1_ p er l'espansione reale

2

?

h0

= hs + v; 2

per l 'espansione isentropica

Il rendimento d eli 'ugello 'T]" è allora dato da:

19-22 Confrontando questa equaz ione con la 19-21 , abbiamo :

19-23

95

=5- EFFLUSSO ADIABATICO NON ISENTROPICO

Nel caso di un diffusore, una parte della variazione di energia cinetica si converte in calore e quindi, a pari variazione di entalpia !1h e di energia cinetica (v ~ -vi)/2 (Figura 19.12), l' aumento di pressione risulta minore di quello che si raggiungerebbe con una compressione isentropica.

h

2----T vi -v~ 2 P1

l

- - - - -- - - - - _Y_

l

s

Fig. 19. 12 - Trasformazione in un diffusore su un diagramma h- s.

Esempio 19.9

Espansione reale del vapore

In un ugello convergente-diyergente del distributore di una turbina (Figura 19.13), viene fatto espandere del vapore, che entra' coh velocità trascurabile (v 1 =v 0 = O) e pressione p 0 = l O MPa e temperatura T0 = 550 °C, fino ~la pressione p 2 =3 MPa. Nel! 'espansione reale si verifica una perdita quantizzata da un coefficiente di rid~ione della velocità ideale di efflusso pari a q>= 0,95. Determinare:

r--- - - -- -- - - - - - . ,

a) la velocità reale di efflusso v 2 ; b) l'entalpia effettiva h 2 alla fine dell'espansione reale.

Fig. 19.1 3 -Schema del di stributore dell'Esempio 19.9.

Soluzione a) La velocità reale di efflusso del vapore v2 è, per la 19-21, data dal prodotto del coefficiente di riduzione della velocità q> per la velocità ideale vs, data a sua volta, per la 19-3, dal salto entalpico corrispondente all'espansione isentropica (Figura 19.11-b):

Nel punto individuato dap0 = IO MPae T0 = 550 oc (TabellaA.3.1), l'entalpia èh 0 = 3500,9 kJ/kg, mentre l'entropia vale s 0 = 6,7561 kJ/(kg-K). Scendendo, sul diagramma di Mollier, lungo la verticale a entropia costante, uguale a s 0 , fino a incontrare l'isobarap2 = 3 MPa, individuo il punto 2s caratterizzato da entalpia hs = 3125 kJ/kg:

v = 0,95 ~2 (3500,9 x 10 3 J /kg - 3125 x 103 J / kg) = 823,7 m is b) L'entalpia h2 si ottiene risolvendo la 19-1 , che rappresenta il bilancio di energia scritto tra ingresso ( l = O) e uscita (2) del distributore. h0 = h 2 +

~

=>

h 2 = h0

-

~~

2 823 7 = 3500,9 x 10 3 J/ kg - ( • m/s) = 3.161.659 J/ kg = 3161,6 kJ / kg 2

..

96 CAPITOLO 19- DINAMICA DEl FLUIDI COMPRIMIBILI

19.6

Misura della portata in un fluido comprimibile I parametri generali che influenzano la portata di un fluido comprimibile sono stati esaminati nel Paragrafo 19.4.2.2. La misura della portata di un fluido comprimibile viene realizzata impiegando gli stessi strumenti, come tubo di Venturi, boccaglio e diaframma, che sono stati utilizzati per il fluido incomprimibile. Viene mantenuta ancora nella forma la stessa equazione, che adesso esprime la portata in massa n1 e non più quella in volume V, attraverso l' introduzione di un f attore di espansione Y 19·5 definito come rapporto del flusso di un fluido comprim ibile a quello di un fluido incomprimibile a parità di numero di Reynolds R. Le equazioni 6-10 del venturimetro e 6-11 del boccaglio oppure del diaframma vanno perciò moltiplicate per il fattore di espansione che, nel caso di un gas con rapporto delle capacità termiche y= 1,4 (tipicamente l'aria), assume i valori espressi in funzione del rapporto tra le pressioni nella sezione ristretta p 2 e all'ingresso dello strumento p 1 e per diversi valori del rapporto tra i diametri d/D dalle linee della Figura 40.21. In particolare, nel caso del tubo di Venturi, la portata in massa è data da: 19-24

dove, oltre al fattore di espansione Y, troviamo il coefficiente di portata C0 , la radice quadrata contenente il rapporto tra i diametri della sezione ristretta e del condotto d/ D, l' area della sezione ristretta a, la massa volumica del gas p 1, che viene determinata con l'equazione di stato dei gas 15-2, e la differenza delle pressioni /).p =p 1 - p 2•

Consideriamo la differenza h (Figura 6.9) tra il livello segnato da un piezometro nella sezione l , all' ingresso del convergente, e il livello segnato da un piezometro posto nella gola 2 del venturi; teniamo conto che, trattandosi di un gas, il contributo dato dalla differe nza di quota z è trascurabile. Facciamo poi riferimento alle proprietà de lla corrente all' ingresso l della sezione di misura dove la massa volumica del gas è rappresentata da p 1•

h

= CP1

- P2) plg

Moltiplichiamo l' equazione 6-10 della portata in volume Vper il fattore di espansione Ye la massa volumica del gas p 1 in modo da ottenere la portata in massa m. In questa equazione sostitu iamo ad h il valore trovato sopra.

Portando sotto radice la massa volumica p 1 e semplificando si ottiene la 19-24:

. m=

YC a e

~l - (d / D) 4

2gp~ (PJ - P2 ) P1g

=

YCea

~l - (d/ D) 4

~2gpl (p) -

P2)

19.5 Per la derivazione dell'equazione della portata del fluido comprimibile in un tubo di Venturi e del fattore di espansione Y, si rimanda ai testi di meccanica dei fluidi e in particolare a J.K. Vennard e R. L. Street. Elementary Fluid Mechanics, John Wiley, 1982 (Paragrafo 5.8) e R.L. Daugherty, J.B. Franzini e E.J. Finnemore, Fluid Mechanics with Engineering Applications, McGraw-Hill, 1985 (Paragrafo 12.1 O).

97 19.6- MISURA DELLA PORTATA IN UN FLUIDO COMPRIMIBILE

L'equazione 19-24 è direttamente applicabile alla misura, con un tubo di Venturi, della portata di un fluido comprimibile in condiz ioni subsoniche. Il fattore di espansione Y viene infatti dato dalla Figura 19.14 fino al rapporto di pressione p / p 1 critico, che nel caso di gas con rapporto delle capacità termiche y = l ,4 vale 0,52 8 (19-15); è in corrispondenza di questo valore che si raggiunge la velocità del suono nella gola del Venturi. Nel caso di efflusso in condizioni supersoniche occorre tener presente la formazione di onde d 'urto, e questa trattazione non è più valida.

(pl -p2)/pl

1,00

o

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0.6

0,95 0,90

:>.,

0,85

Q)

c: o ·;;; c:

0,80

'O

0,75

"'o. l3

eo

t:

~

0,70

Per un diaframma, il fattore di espansione Y varia in modo diverso da quello del Venturi, in quanto nel dia0,65 framma è presente una contrazione della vena fluida caratterizzata da un coefficiente Cc che dipende dal rap0,60 porto di pressione p/ p 1 (Paragrafo 6.4.3). I valori del rapporto di espansione Y per un diaframma sono perciò diversi da quelli del tubo di Venturi (o del boccaglio). 0,55 l 0,8 0,9 0,7 0,4 Inoltre non si può più utilizzare come limite il rapporto Pt P1 critico delle pressioni (Y è infatti tracciato anche a valori di p/p 1 inferiori a 0,528), in quanto nelle prove dei diaFig. 19. 14- Fattori di espansione Y. frammi non si osserva il fenomeno del flusso critico. Nel caso del diaframma la massima velocità del getto è quella sonica, ma ciò non pone un limite alla pot1ata in quanto l'area del getto continua a crescere al diminuire del rapporto p/p 1•

Esempio 19.10

Portata d'aria con un tubo di Venturi

l n un condotto con diametro D= 34 mm scorre dell'aria alla pressione assoluta p 1 = 700 kPa e alla temperatura T1 = 310 K. Calcolare la portata in massa 1n sapendo che la pressione assoluta misurata nella gola di un tubo di Venturi, avente un diametro d= 24 mm e un coefficiente di portata Ce= 0,98, è p2 = 550 kPa.

Soluzione Si applica l'equazione 19-24 che dà la portata in massa m. Sapendo che il rapporto tra i diametri vale d/D= (24 mm)/(3 4 mm) = 0,7 e che il rapporto tra le pressioni vale p/p 1 = (550 kPa)/(700 kPa) = 0,79, sulla Figura 19.14 si legge un valore del fattore di espansione Y"" 0,84. La massa volumica p 1 si calcola con l'equazione di stato dei gas 15-2, in cui prendiamo la costante dell'aria R = 0,287 kJ/(kg·K) (Tabella A.6):

Pt = RT;

Pt I.; area

==>

550 kPa

P1

3 Pt = RT; = 0,287 kJ/ (kg-K) x 310 K = 6' 18 kg/ m

della sezione di gola è data da: a

= rtd 2 = 1t x (0,024 m2) 4

4

= O 00045 m 2

'

mentre la differenza di pressione !:J.p è:

!:J.p =p 1 - p 2 = 700 kPa - 550 kPa = 150 kPa = 150.000 Pa

98 CAPITOLO 19- DINAMICA DEl FLUIDI COMPRIMIBILI

txJnata

mrisulta allora:

YC