Lois D'ecoulement [PDF]

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CHAPITRE

5

Lois de l’écoulement 5.1 INTRODUCTION Ce chapitre présente les principales lois de l’écoulement et les concepts fondamentaux. Il traitera de l’équation de Darcy qui est le fondement de toutes les théories d’écoulement, des notions de potentiel, de l’équation de la continuité, la solution de quelques problèmes simples d’écoulement, des réseaux d’écoulement et de l’hypothèse de Dupuit--Forcheimer.

5.2 ÉQUATION DE DARCY Dans le cadre de ses expérimentations pour améliorer la qualité des filtres utilisés à la purification des eaux d’alimentation de la ville de Dijon en France, Henry Darcy fut le premier à observer en 1856 la relation entre le débit à travers le sable et la perte de charge qui lui était associée. Quoique expérimental au début, les observations subséquentes en ont fait une loi de portée générale qui porte son nom. Le débit au travers d’un matériel poreux présenté à la figure 5.1 s’exprime : Q = − K ∆H A ∆L

[5.1]

Q = débit (m3/j) K = coefficient de proportionnalité appelé conductivité hydraulique du sol (m/j) H = perte de charge (m) L = longueur de l’écoulement (m) A = section d’écoulement (m2) Le débit est proportionnel à la perte de charge par unité de longueur et proportionnel à la surface de l’écoulement. Le débit est aussi proportionnel à un coefficient dépendant du type de

LOIS DE L’ÉCOULEMENT

44

∆H

Sol

Q

∆L Figure 5.1 Schéma représentant l’écoulement au travers d’un matériel poreux. sol, coefficient qui a été appelé conductivité hydraulique. Le rapport de la perte de charge par unité de longueur est appelé gradient hydraulique ”i”: i = ∆H ∆L

[5.2]

5.3 VITESSE RÉELLE, VITESSE APPARENTE, FLUX Le flux est la vitesse apparente d’écoulement, la vitesse de déplacement du fluide dans l’espace comme s’il n’y avait pas de matériel. Le flux ou vitesse apparente s’exprime alors : q=

Q = − K ∆H A ∆L

[5.3]

q = flux ou vitesse apparente d’écoulement (m/j) La vitesse réelle est la vitesse de circulation de l’eau dans les pores du sol. Cette vitesse moyenne réelle est obtenue en divisant la vitesse apparente par la porosité.

5.4 PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE La conductivité hydraulique à saturation apparaissant dans l’équation de Darcy est une manifestation de résistance à l’écoulement que provoquent les forces de frottement. La conductivité hydraulique est fonction de la perméabilité intrinsèque du sol ”κ”, de la masse volumique du liquide ”ρw”, de la viscosité dynamique du liquide ”ηw” et de la gravité comme le montre l’équation suivante : w g K= η w

[5.4]

La perméabilité intrinsèque représente l’effet de la matrice solide face à un liquide. Elle est fonction des caractéristiques du sol comme la granulométrie, la structure du sol, la distribution porale, la tortuosité, etc. La perméabilité représente les caractéristiques intrinsèques d’un milieu à laisser circuler tout liquide alors que la conductivité hydraulique représente cette capacité pour un liquide en particulier, l’eau.

45

PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE

5.5 NOTIONS DE POTENTIEL Le second concept en écoulement est le potentiel. Le potentiel est le niveau d’énergie que possède l’eau en un point. Le potentiel total en un point est la somme du potentiel de gravité, du potentiel de pression, du potentiel de vitesse et du potentiel osmotique. Il s’exprime simplement : φ = φz + φh + φv + φo φz

= potentiel d’élévation ou de gravité

φ h = potentiel φv

[5.5]

de pression

= potentiel de vitesse

φ o = potentiel

osmotique

Comme les vitesses d’écoulement dans les sols sont relativement lentes, le potentiel de vitesse est considéré comme négligeable. Le potentiel osmotique est le résultat de la concentration en sels et ses variations se manifestent principalement au niveau microscopique comme dans le voisinage des racines. Dans une approche macroscopique comme celle des problèmes d’écoulement, les variations sont négligeables et le potentiel osmotique est considéré comme constant et sans contribution. Dans l’étude des problèmes d’écoulement, l’expression simplifiée suivante du potentiel est utilisée : φ = φz + φh

[5.6]

L’unité la plus utilisée pour exprimer le potentiel est la hauteur de la colonne d’eau. Le potentiel d’élévation est l’élévation du point considéré au--dessus du point de référence. Le potentiel de pression est simplement la hauteur de la colonne d’eau au--dessus du point considéré. Si le concept semble simple, il n’est pas évident à utiliser et c’est pourquoi il est nécessaire de présenter quelques exemples pour mieux le comprendre. Le potentiel total est parfois appelé charge hydraulique. La figure 5.2 présente les potentiels dans un bocal d’eau. La première étape est d’établir un niveau de référence qui est laissé à la discrétion de l’utilisateur. Certains niveaux de référence sont plus intuitifs que d’autres comme le fond du bocal. La seconde étape est d’établir les potentiels aux points connus. Ainsi, à la surface de l’eau, le potentiel de pression est nul ( φ h = 0) et le potentiel d’élévation est égal à l’élévation du niveau d’eau au--dessus du point de référence ( φ z = h). Au niveau du fond du bocal, le potentiel d’élévation correspond au niveau de référence ( φ z = 0) et le potentiel de pression est égal à la hauteur de la colonne d’eau au-dessus du fond ( φ h = h). La figure à droite représente le diagramme des potentiels. Ainsi, le potentiel total qui est la somme des potentiels de pression et d’élévation est ici égal en tout point du bocal à la hauteur de la colonne d’eau au--dessus du fond ( φ = h). Il est laissé au lecteur d’établir le même diagramme des potentiels en fixant le niveau de référence au niveau de l’eau dans le bocal.

Édition 2016

LOIS DE L’ÉCOULEMENT

46 z

φh

h

φz φ

Réf. h

Potentiel

Figure 5.2 Diagramme des potentiels dans un bocal d’eau. La nappe phréatique se définit comme le lieu dans le sol où la pression de l’eau est nulle ( φ h = 0). Elle correspond au niveau de l’eau qui se stabilise dans un trou creusé dans le sol. La figure 5.3 présente les potentiels dans un bocal de sol où une nappe d’eau est présente. Le niveau de référence est fixé au fond du bocal. La seconde étape est d’établir les potentiels aux points connus. Ainsi, à la surface de la nappe, le potentiel de pression est nul ( φ h = 0) et le potentiel d’élévation est égal à l’élévation du point au--dessus du point de référence ( φ z = h). Au niveau du fond du bocal, le potentiel d’élévation correspond au niveau de référence ( φ z = 0) et le potentiel de pression est égal à la hauteur de la colonne d’eau au--dessus du fond ( φ h = h). À la surface du sol, le potentiel d’élévation est φ z = h + d. La figure à droite repréz

d

φh

h

Réf. --d

φ

φz

h

Potentiel

Figure 5.3 Diagramme des potentiels dans un bocal de sol avec une nappe. sente le diagramme des potentiels. Le potentiel de pression à la surface du sol peut être déduit en prolongeant la ligne du potentiel de pression. La pression est négative d’une valeur égale à la distance à la nappe. Cette pression négative est appelée succion ou potentiel matriciel. Le potentiel total qui est la somme des potentiels de pression et d’élévation est ici égal en tout

47

PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE

point du bocal à la hauteur de la colonne d’eau au--dessus du fond ( φ = h). Dans un système au repos comme celui--ci et le précédent, le potentiel total est constant sur toute la profondeur. La figure 5.4 présente le diagramme des potentiels de la figure 5.1. À l’entrée de l’échantillon, la pression est H1 et le potentiel d’élévation est nul si le bas de l’échantillon est considéré comme référence. À la sortie de l’échantillon, la pression est H2 et le potentiel d’élévation est aussi nul. Ainsi, les potentiels totaux à l’entrée et à la sortie de l’échantillon sont respectivement HI et H2 . Potentiel H1

φ = φh

H2

Q

Sol Réf. Figure 5.4 Schéma représentant l’écoulement au travers d’un matériel poreux.

La figure 5.5 présente le diagramme des potentiels d’un échantillon dans un perméamètre. Le niveau de référence est fixé au bas de l’échantillon. À la surface de l’échantillon, la pression est φ h = b, le potentiel d’élévation est φ z = L et le potentiel total est φ = b + L. Au bas de l’échantillon, la pression est φ h = a, le potentiel d’élévation est nul et le potentiel total est φ = a. Le diagramme des potentiels est par la suite tracé en rejoignant les points au bas et au haut de l’échantillon. Cette variation est linéaire. Il y a une différence de potentiel total entre le haut et le bas de l’échantillon qui provoque l’écoulement. De l’analyse des exemples précédents, il se dégage les règles suivantes : 1. Le niveau de référence doit être établi au point de départ, 2. Le potentiel de pression est nul au niveau de la nappe ou d’une surface d’eau, 3. La pression se transmet intégralement dans un espace occupé par l’eau, 4. Dans un système au repos, il n’y a pas d’écoulement et le potentiel total est constant.

5.6 LOI DE DARCY GÉNÉRALISÉE La généralisation de la loi de Darcy en milieu saturé s’effectue en prenant la limite de l’équation [5.3] : dφ q = lim ∆L→0 − K ∆H = − K dH = − K dl dl ∆L

→

→

qx = − K

Édition 2016

dφ dx

[5.7] [5.8]

LOIS DE L’ÉCOULEMENT

48

z φh

b

φz

L

φ

Sol a

Réf. a

b

b+L

Potentiel

Figure 5.5 Diagramme des potentiels d’un échantillon de sol dans un perméamètre. →

→

→

→

[5.9]

q = qx i + qy j + qz k

→

q = − Kx

dφ → dφ → dφ → i − Ky j − Kz k dx dx dx

[5.10]

Pour un milieu homogène et isotrope, l’équation s’écrit : →

q = − Kx

dφdx

→

i+



dφ → dφ → j+ k dx dx

→

→

q = − K < dφ > { i } = − K ∇φ

[5.11] [5.12]

5.7 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ L’équation de Darcy ne permet pas de solutionner les problèmes complexes puisqu’elle ne permet pas d’évaluer le potentiel aux différents points du domaine. L’équation de Darcy nécessite plutôt la connaissance des potentiels pour estimer le flux. L’équation de la continuité permet d’évaluer les potentiels. La figure 5.6 permet de définir le bilan sur un élément de référence infinitésimal. Compte tenu que le milieu est saturé et que le fluide (l’eau) est incompressible, la somme des débits entrants et sortants de cet élément est nul. ∆Q x + ∆Q y + ∆Q z = 0

[5.13]

Le débit est le produit du flux (q) par la section d’écoulement (A) : Qx = qx A

[5.14]

49

ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ

qz

z

qy qx y

x Figure 5.6 Bilan des flux d’eau au travers d’un élément infinitésimal. La variation de débit selon l’axe x est :





∆Q x = Q x+∆x − Q x−∆x = q x+∆x − q x−∆x ∆y ∆z 2

2

2

2

[5.15]

En utilisant l’expansion de Taylor, cette équation s’écrit : ∆Q x =

 q + 12 dxd (q ) ∆x  − q − 12 dxd (q ) ∆x  ∆y ∆z x

∆Q x =

x

x

x

dxd (qx)  ∆x ∆y ∆z

[5.16]

[5.17]

La loi de Darcy [éq. 5.8] permet d’estimer le flux (qx ) : qx = − Kx

∂φ ∂x

[5.18]

En introduisant l’équation de Darcy dans l’équation 5.17, cette équation peut s’écrire : ∆Q x =



 ∆x ∆y ∆z = − K ∂∂xφ ∆x ∆y ∆z 2

d − K ∂φ x ∂x dx

x

2

[5.19]

Les variations de débit selon les axes y et z sont dérivées de la même façon et s’écrivent : ∆Q y =



 ∆x ∆y ∆z = − K ∂∂yφ ∆x ∆y ∆z

[5.20]



 ∆x ∆y ∆z = − K ∂∂zφ ∆x ∆y ∆z

[5.21]

∆Q z =

Édition 2016

d − K ∂φ y ∂y dy

d − K ∂φ z ∂z dz

2

y

2

2

z

2

LOIS DE L’ÉCOULEMENT

50

En utilisant les différentes expressions de la variation des débits, l’équation 5.13 devient l’équation de la continuité qui s’écrit :



− Kx

Kx



∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ − K − K ∆x ∆y ∆z = 0 y z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + K + K =0 y z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

[5.22] [5.23]

Si le sol est isotrope, (Kx = Ky = Kz ), l’équation de la continuité devient l’équation de Laplace : ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + 2+ 2 =0 ∂x 2 ∂y ∂z

[5.24]

En coordonnées cylindriques, l’équation de la continuité s’écrit : 1 ∂φ + ∂ 2φ + 1 ∂ 2φ + ∂ 2φ = 0 r ∂r ∂r 2 r 2 ∂θ 2 ∂z 2

[5.25]

L’équation de Laplace ou de la continuité a comme caractéristiques : S le potentiel est défini en tout point du domaine, S la solution est unique en chaque point, i.e. une seule valeur de potentiel est définie en un point donné, S la solution particulière est déterminée avec les conditions limites particulières du problème.

5.8 SOLUTION ANALYTIQUE DE PROBLÈMES 5.8.1 Colonne de sol composée d’un seul type de sol Solutionnons un problème simple d’un écoulement dans une colonne de sol (figure 5.7), problème qui a été solutionné graphiquement à la figure 5.5. La solution analytique passe par la définition du domaine, l’établissement de la solution générale, l’établissement des conditions aux limites et la solution aux conditions limites. Domaine : 0 ≤ z ≤ z 1 Équation (équation de la continuité qui se réduit à une dimension) : ∂ 2φ =0 ∂z 2 L’équation [5.26] a comme solution générale : Kz

φ=Az+B Les conditions aux limites sont : z = 0,

φ=a

z = z 1,

φ = z1 + d

∂φ =0, ∂x

∂φ =0 ∂y

[5.26]

[5.27]

51

SOLUTION ANALYTIQUE DE PROBLÈMES

z

d z1

a 0

Sol Réf.

Figure 5.7 Écoulement dans une colonne de sol. La solution aux conditions limites est : z = 0,

φ=a=A.0+B

z = z 1,

φ = z1 + d = A . z1 + B

Après substitution, les paramètres A et B sont obtenus : B=a z +d−a A= 1 z 1

La solution particulière du potentiel est : φ=

z1 + d − a z+a z1

La pression s’exprime alors : φh = φ − z =

z1 + d − a a z+a−z=d− z1 z1 z + a

5.8.2 Colonne de sol composée de deux types de sol La figure 5.8 présente le cas d’une colonne de sol composée de deux sols ayant des conductivités hydrauliques différentes. Le niveau de référence est fixé au bas du récipient. Cette colonne de sol est composée de deux domaines : Domaine [A]

c < z ≤ c + LB

Domaine [B]

c + LB < z ≤ LB + LA

Chaque domaine a comme solution générale :

Édition 2016

Domaine [A]

φ=Az+B

Domaine [B]

φ=Cz+D

[5.28] [5.29]

LOIS DE L’ÉCOULEMENT

52

d KA

LA

KB

LB

e c Figure 5.8 Écoulement dans une colonne de sol composée de deux types de sol. Comme il y a quatre (4) inconnues, il faut identifier quatre (4) conditions limites. Les potentiels étant connus aux extrémités, il faut identifier deux conditions limites qui existent à la limite entre les deux sols. La première est que le potentiel est le même à la sortie du sol [A] qu’à l’entrée du sol [B]. La deuxième condition est que les flux sont les mêmes à la sortie du sol [A] et à l’entrée du sol [B]. Les conditions aux limites s’expriment : z = c,

φ=e

z = c + L B + L A,

φ = c + LB + LA + d

z = c + L B,

φ[A] = φ[B]

z = c + L B,

q[A] = q[B]

− KA

dφ[A] dφ[B] = − KB dz dz

La solution aux conditions limites est : z = c,

Cc+D=e

z = c + L B + L A,

A (c + L B + L A ) + B = c + L B + L A + d

z = c + L B,

A (c + L B ) + B = C (c + L B ) + D

z = c + L B,

− KA

dφ[A] dφ[B] = − KB dz dz

La solution algébrique de ce problème est laissé comme exercice.

− K A A = − KB C

53

CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE ÉQUIVALENTE

5.9 CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE ÉQUIVALENTE Un sol stratifié horizontalement en plusieurs couches homogènes et isotropes constitue un cas particulier de milieu hétérogène d’intérêt. Comme la conductivité hydraulique varie d’un horizon à l’autre, le comportement hydraulique un tel sol sera différent selon la direction de l’écoulement. L’écoulement vertical dans un tel sol est considéré comme un écoulement en série alors que l’écoulement horizontal est considéré comme un écoulement en parallèle.

5.9.1 Écoulement en série Pour un écoulement en série schématisé par la figure 5.9, la conductivité hydraulique équivalente de tels sols peut être facilement déterminée.

d L1

K1

L2

K2

φ1

.... Ln--1

Kn--1

Ln

Kn

φ2

c

Réf

Figure 5.9 Schéma d’un écoulement en série. Comme le débit passe successivement dans chacune des couches, les débits dans chacune des couches sont égaux et correspondent au débit du système : q1 = q2 = q3 = . . . = qn = q K1

[5.30]

∆φ 3 ∆φ 1 ∆φ 2 ∆φ T ∆φ n = K2 = K3 = . . . = Kn = Ke =q L1 L2 L3 Ln LT Ke = Conductivité hydraulique équivalente LT

= Longueur totale

∆φ T = Perte de charge totale dans

Édition 2016

le système

[5.31]

LOIS DE L’ÉCOULEMENT

54 La perte de charge dans chacune des couches est : ∆φ 1 = q

L1 K1

∆φ 2 = q

L2 K2

∆φ n = q

Ln Kn

∆φ T = q

LT Ke

∆φ 3 = q

L3 K3

Comme la perte de charge dans le système est égale à la somme des pertes de charge dans chacune des couches, elle s’exprime : ∆φ T = ∆φ 1 + ∆φ 2 + ∆φ 3 + . . . + ∆φ n q



L L L LT L =q 1+ 2+ 3+ ... + n Ke K1 K2 K3 Kn

[5.32]



[5.33]

Comme la longueur totale est égale à la somme de chacune des longueurs, la conductivité hydraulique équivalente s’énonce : Ke =

 Li KL + KL + KL + . . . + KL   KL L1 + L2 + L3 + . . . + Ln 1

2

3

n

1

2

3

n

=

i

[5.34]

i

Le débit peut être facilement calculé au travers d’un sol stratifié lorsque la conductivité hydraulique de chacune des couches est connue. Le calcul de la conductivité hydraulique équivalente permet aussi de faciliter la détermination des potentiels dans un écoulement en série. La conductivité hydraulique équivalente est déterminée dans une première étape, le flux y est par la suite déterminé et la perte de charge dans chacune des couches est alors déduite : q = Ke

∆φ T ∆L T

[5.35]

Li Ki

[5.36]

∆φ i = q

Par la suite, le potentiel à l’interface de chacune des couches est déterminé en procédant d’un point où le potentiel est connu, soit le bas ou le haut de l’échantillon, en additionnant ou soustrayant (selon le cas) la perte de charge dans une couche au potentiel connu à la limite de la couche. Cette méthode est intéressante lorsque le sol contient plusieurs couches, le nombre de calculs étant “2 + 2 n” (n = nombre de couches) alors que la solution analytique requiert approximativement “n 2“ calculs.

5.9.2 Écoulement en parallèle Quant à l’écoulement parallèle, il est représenté schématiquement par la figure 5.10.

55

EXEMPLE D’APPLICATION

∆φ

L1

K1

Q1

L2

K2

Q2

Kn

Qn

........ Ln

∆x

Figure 5.10 Schéma d’un écoulement en parallèle. Le débit total est égal à la contribution de chacune des couches : Q = Q1 + Q2 + Q3 + . . . + Qn = Ke

∆φ L ∆x T

[5.37]

Connaissant le débit de chaque couche par l’équation de Darcy, l’équation précédente s’écrit : K1

∆φ ∆φ ∆φ ∆φ ∆φ L1 + K2 L2 + K3 L3 + . . . + Kn Ln = Ke L ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x T [5.38]

Comme la perte de charge est la même pour chacune des couches, la conductivité hydraulique équivalente s’écrit après simplification : Ke =

K L + K L + KL L + . . . + K L  = KLL 1

1

2

2

3

3

T

n

n

i

i

[5.39]

i

5.10 EXEMPLE D’APPLICATION Dans le cadre d’un projet de recherche d’essais de pompage de l’eau du fleuve St--Laurent pour combler les besoins en eau d’irrigation des cultures sur l’Île d’Orléans, il était nécessaire de contrôler la propagation des moules zébrés dans le réseau hydrique de l’Île. Pour réaliser ce contrôle, il a été décidé de filtrer l’eau du fleuve à l’aide d’un filtre au sable. Le système a été conçu de la façon suivante (figure 5.11). L’eau est pompée du fleuve par une pompe débitant 5 l/s dans un étang dont le fond est constitué d’un filtre au sable. Le fond et les talus inclinés à 45_ de l’étang sont recouverts d’une géomembrane étanche. Le système de filtration est construit de la façon suivante sur cette membrane au fond de l’étang (du bas vers le haut) : S S

une couche de 40 cm d’épaisseur de pierre concassée 20 mm net; un géotextile Novatex III

Édition 2016

56

LOIS DE L’ÉCOULEMENT

S

une couche de 80 cm d’épaisseur de sable ayant un d85 de 0,60 mm pouvant retenir les particules de plus de 65 µm.

Un réseau de drains de 10 cm de diamètre est installer dans la pierre concassée pour recueillir les eaux filtrées et les acheminer dans un tuyau vers un grand étang. Sur ce tuyau, un système de contrôle du niveau d’eau comme ceux utilisés en irrigation souterraine (figure 9.4) y est installé pour ajuster le niveau d’eau dans la pierre concassée. Lors des premiers essais de cet été, l’épaisseur d’eau au--dessus du sable était de 85 cm et la différence entre le niveau d’eau dans l’étang au--dessus du sable et le niveau d’eau dans le système de contrôle du niveau d’eau à la sortie était de 58 cm. À la profondeur moyenne du sable, la surface du filtre est d’environ 7 m x 7 m.

Eau

85 cm

Sable

80 cm

58 cm

Géotextile Concassé

Q

40 cm

Géomenbrane Drain

Figure 5.11 Schéma du filtre.

5.10.1 Le schéma de l’écoulement dans le filtre L’eau pénètre dans le sable pour aller rejoindre le concassé au travers du géotextile. Par la suite, elle va librement rejoindre le drain où elle s’écoule vers le système de contrôle du niveau d’eau. Compte tenu de la faible épaisseur du sable (80 cm) par rapport à la largeur de l’étang, le traçage d’un réseau en 2--D montrerait un réseau quasi vertical.

Eau

85 cm

Sable

80 cm

Géotextile Concassé Géomenbrane Drain

5.10.2 Les conditions limites La référence est au fond de l’étang sur la géomemnbrane z = 205, z = 120, z = 40, z = 0,

φ z = 205, φ h = 0, φ = 205 φ z = 120, φ h = 85, φ = 205 (essentielle) φ z = 40, φ h = 107 (147 − 40), φ = 147 (essentielle) φ z = 0, φ h = 147, φ = 147 = 205 − 58

40 cm

57

EXEMPLE D’APPLICATION

5.10.3 Les hypothèses à poser pour résoudre le problème S S S S

La loi de Darcy est valide La perte de charge dans le concassé (20 mm) est négligeable en rapport à celle du sable (d85 = 0,60 mm), La perte de charge dans le géotextile est négligeable, L’épaisseur de sable est faible (80 cm) par rapport aux dimensions de l’étang (7 m ) de filtration, => écoulement unidimensionnel vertical correspondant à un perméamètre,

5.10.4 Calcul des principaux paramètres lors des premiers essais La perte de charge dans le sable : 58 cm

Le gradient hydraulique dans le sable : i=

∆φ = 58 cm = 0, 725 80 cm ∆L

La courbe de répartition de la pression et des potentiels dans le filtre : z 205 φh

120

φz φ

40

85 107

147

205

Potentiel

Le flux dans le sable : q=

5 ls 5 ls * 86400 sj Q = = = 8, 7 mj A 7m * 7m 1000 lm 3 * 7m * 7m

= 0, 0102 cms ou 0, 000102 ms

La conductivité hydraulique du sable : K sable = q ∆L = 8, 7 mj 80 cm = 12, 1 mj ou 0, 014 cms ou 0, 00014 ms 53 cm ∆φ

5.10.5 Colmatage du filtre Comme l’eau pompée contient des substances fines en suspension (moules, sédiments, algues, etc.), le filtre se colmate avec le temps. À la fin du dernier essais, la différence entre le niveau

Édition 2016

LOIS DE L’ÉCOULEMENT

58

d’eau dans l’étang au--dessus du sable et le niveau d’eau dans le système de contrôle du niveau d’eau à la sortie était de 81 cm. À la fin du pompage, le filtre a été asséché et une couche fine d’environ 3 mm d’épaisseur gisait sur la surface du sable. Si l’on suppose que l’accroissement de la perte de charge n’est du qu’à cette couche, quelle serait la conductivité hydraulique de cette couche? Comme le débit et le flux sont inchangés, le gain de perte de charge n’est du qu’à la fine couche à la surface du sable. Cette perte de charge additionnelle due à la fine couche de 3 mm est de 23 cm (81 cm -- 58 cm). 0, 3 cm K colmatage = q ∆L = 8, 7 mj = 0, 11 mj ou 0, 000133 cms ou 1, 33 x 10 −4cms 23 cm ∆φ

5.11 RÉSEAU D’ÉCOULEMENT La solution d’un problème en deux dimensions comme celui de la figure 5.12 est plutôt difficile analytiquement. Par contre, en suivant une goutte d’eau qui se déplace dans le sol saturé,

Figure 5.12 Écoulement dans un bac de sol. cette goutte trace une ligne appelée ”ligne de courant” et l’espace entre deux lignes de courant →

définit un tube de courant. Ce chemin V que suit la goutte d’eau est déterminé par la direction du gradient de potentiel et il correspond au déplacement vectoriel du flux d’écoulement : →

V=

dφ → dφ → i+ j dx dx

[5.40]

Les propriétés mathématiques qui se dégagent sont : -- les lignes de courants sont perpendiculaires aux lignes équipotentielles dues à la dérivée,

59

RÉSEAU D’ÉCOULEMENT

-- la définition d’une nouvelle fonction représentant les lignes de courants “ψ” qui a comme propriétés : ∂ψ ∂φ [5.41] =− ∂x ∂y ∂ψ ∂φ = ∂y ∂x

[5.42] ∂φ

∂φ

Si nous remplaçons les fonctions ∂x et ∂y dans l’équation de Laplace [5.24] par leur équivalent des fonctions de ligne de courant, nous obtenons : ∂ 2ψ ∂ 2ψ + 2 =0 ∂x 2 ∂y

[5.43]

Les propriétés des fonctions de potentiel “ϕ” et de courant “ψ” permettent de déterminer une solution graphique aux problèmes d’écoulement en deux dimensions, approche qui est dépassée face aux méthodes numériques mais qui est fort pratique pour aider à comprendre rapidement un problème étudié. Cette solution graphique est appelée réseau d’écoulement. Il faut noter que le traçage d’un réseau d’écoulement se fait par tâtonnement (essais et erreur). La solution procède comme suit : 1. Identification des conditions limites : -- les limites de potentiels constants sont des équipotentielles “ϕ“; -- les limites imperméables sont des lignes de courant ψ et correspondent aux limites d’un tube de courant; -- les zones de suintement sont des limites de pression nulle (pression atmosphérique). Le potentiel n’est pas constant mais peut y être calculé. 2. Identification d’une ou des zones d’écoulement uniforme et division de cette ou ces zones en un nombre de tubes de courant entiers et égaux. L’utilisation des propriétés de symétrie de certains problèmes facilite le travail. 3. À partir de ces zones de départ, traçage d’un réseau de carreaux où les lignes de courant sont perpendiculaires aux lignes équipotentielles. Il est souvent nécessaire d’effacer certaines parties du réseau et de le corriger quand les propriétés d’orthogonalité entre les lignes équipotentielles et les lignes de courant ne sont plus respectées ou que les carreaux deviennent plutôt des rectangles. La régularité des carreaux est réalisée en s’assurant que les diagonales sont égales dans chaque carreau, Le traçage des carreaux permet de définir des divisions aux propriétés intéressantes : -- les pertes de charge dans chaque carreau sont les mêmes et constantes (∆ϕ = constante) -- le débit entre deux lignes de courant est le même quelque soit les lignes de courant (∆ψ = constante). Le traçage d’un tel réseau à la main a une précision de l’ordre de 20 à 30 %. De ce réseau, il est alors facile de définir les valeurs des équipotentielles, des débits et des gradients hydrauliques. Le ∆ϕtotal étant la perte de charge totale entre l’entrée et la sortie de

Édition 2016

LOIS DE L’ÉCOULEMENT

60

l’écoulement, le nombre de carreaux “ne ” le long d’une ligne de courant définit le nombre de pertes de charge et permet de définir la perte de charge dans un carreau : ∆φ =

∆φ total ne

[5.44]

À partir d’une situation de potentiels connus, les valeurs des équipotentielles sont déterminées par addition ou soustraction des pertes de charge “∆ϕ” dans chaque carreau en procédant le long d’une ligne de courant. La configuration des carreaux permet de calculer le débit dans un tube de courant (figure 5.13) : ∆Q = ψ 2 − ψ 1 = → q ∆n ∆Q = − K

[5.45]

φ2 − φ1 ∆φ ∆n = − K ∆n ∆s ∆s

φ1

φ2

[5.46] φ3

∆S

Ψ1 →

q

∆n

Ψ2

Figure 5.13 Configuration d’un carreau d’un réseau. En utilisant l’expression de “∆ϕ” dérivée de l’équation [5.44] et en considérant “∆n” et “∆s” égaux conséquemment à la construction de carreaux, le débit d’un tube s’exprime : ∆Q = − K

∆φ total ne

[5.47]

Connaissant le nombre de tube de courant “nf ”, le débit total s’écrit : nf Q = n f ∆Q = − K n ∆φ total e

[5.48]

Le débit total est fonction du rapport entre le nombre de tubes “nf ” de courant et le nombre de pertes de charges “ne ”. Ce rapport est indépendant du nombre de tubes de courant choisi au début du traçage. La figure 5.14 présente des exemples de réseaux d’écoulement sous des structures de type barrage.

61

a) Réseaux d’écoulement sous un barrage où l’imperméable est très profond et peu profond (adapté de Polubarinova--Kochina, 1962).

b) Réseau d’écoulement sous une palplanche (adapté de Polubarinova--Kochina, 1962).

c) Réseaux d’écoulement sous un barrage avec une palplanche (adapté de Polubarinova-Kochina, 1962).

Figure 5.14 Exemples de réseaux d’écoulement pour des structures de type barrage.

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62 La figure 5.15 présente des exemples de réseaux d’écoulement autour d’un drain lorsque la lame d’eau est à la surface du sol. LAME D’EAU SURFACE DU SOL

PIÉZOMÈT RE

RÉFÉRENCE

a) Imperméable à très grande profondeur (adapté de Luthin 1957, p.154).

b) Imperméable à deux fois la profondeur du drain et pour différents écartements (adapté de Luthin, 1957, p.260).

c) Terrain en pente (adapté de Luthin, 1957, p.180). Figure 5.15 Exemples de réseaux d’écoulement autour d’un drain lorsque la lame d’eau est à la surface du sol.

63

HYPOTHÈSE DE DUPUIT-- FORCHEIMER

5.12 HYPOTHÈSE DE DUPUIT--FORCHEIMER Dans le cas d’un écoulement quasi horizontal, la composante de la vitesse verticale est quasi nulle et le gradient de potentiel est approximativement la pente de la surface libre de la nappe. Cette situation permet de définir l’hypothèse de Dupuit--Forcheimer, du nom des chercheurs français et allemand qui ont présenté de façon indépendante cette hypothèse. La figure 5.16 montre les éléments de cette hypothèse.

Hn

φ

Référence Figure 5.16 Écoulement quasi horizontal. Ainsi, les équipotentielles sont quasi verticale et le potentiel en un point est approximativement la hauteur de la nappe au--dessus du point de référence. φ ≈ Hn

[5.49]

Les gradients de potentiels sont : ∂φ ∂H n ≈ , ∂x ∂x

∂φ ∂H n ≈ , ∂y ∂y

∂φ ≈0 ∂z

[5.50]

→

[5.51]

et les flux sont : →

qx ≈ − Kx

∂H n ∂H n , → qy ≈ − Ky , ∂x ∂y

qz ≈ 0

Le bilan de l’écoulement dans un élément de référence (figure 5.17) permet d’écrire l’équation des débits dans les directions “x” et “y” :

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Qx = − Kx

∂H n H n ∆y ∂x

[5.52]

Qy = − Ky

∂H n H n ∆x ∂y

[5.53]

64

R

∆Hn

Hn

Référence

∆y ∆x

Figure 5.17 Bilan de l’écoulement dans un élément de référence. La variation de la quantité d’eau dans le volume de référence (rabattement de la nappe dn/dt et l’apport de précipitation R) permet par la suite d’écrire l’équation de la continuité : −f









dH n ∆x ∆y + R ∆x ∆y = d (Q x) ∆x + d Q y ∆y dt dx dx

[5.54]

En introduisant l’expression du débit des équations 5.52 et 5.53, l’équation de la continuité s’écrit : −f



dH n ∂H ∆x∆y + R ∆x∆y = d − K x n H n ∆y ∂x dt dx

∆x + dyd − K ∂H∂y y

n

∆y

H n ∆x

[5.55] Après simplification, l’équation de la continuité s’écrit : f









dH n ∂H ∂H = d Kx n Hn + d Ky n Hn + R ∂x ∂y dt dx dy

[5.56]

Cette équation est non linéaire. L’utilisation de l’hypothèse de Dupuit--Forcheimer dans les situations où elle est valide permet de réduire le problème d’une dimension; un problème à deux dimensions est réduit à une dimension et un problème à trois dimensions est réduit à deux dimensions.

BIBLIOGRAPHIE Luthin, J. M. 1957. Drainage of Agricultural Lands. American Society of Agronomy, Vol. 7, Madison, Wisconsin, 620 pages. Polubarinova--Kochina, P. YA. 1962. Theory of ground water movement. (traduiit du russe par J.M. Roger de Weist). Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 613 pages.

65

PROBLÈMES

PROBLÈMES

SÉRIE 5.

5.1. Pour le perméamètre suivant (figure 5.18), a) tracez le profil (diagramme) des potentiels de pression, gravitationnel et total. b) présentez la solution analytique (équation différentielle, conditions limites, équations du potentiel de pression et du potentiel total. a = 1 cm b = 10 cm

d

d = 10 cm L = 40 cm

Sol b

L

a

Figure 5.18 Écoulement dans un perméamètre. 5.2. De l’eau s’écoule horizontalement au travers de trois strates parallèles de sol ayant pour conductivité hydraulique respectivement 0,5, 1,0, 0,1 m/j, et pour épaisseur 1, 2, 0,5 m. Si le gradient hydraulique est unitaire, quel sera le débit par unité de largeur? 5.3. Un sol est constitué d’une couche de sable grossier (1 mètre d’épaisseur et 0,1 cm/sec de conductivité hydraulique ) surmontant 20 cm de limon argileux (conductivité hydraulique de 0,0001 cm/sec). Calculez la conductivité hydraulique équivalente pour ces deux couches, a) si l’écoulement est vertical? b) si l’écoulement est horizontal? 5.4. Un coteau ayant un pente de 10 % est constitué de granit recouvert de 1 m de sol homogène ayant un conductivité hydraulique de 0,5 m/j. a) Quel débit (par unité de largeur) s’écoulera--t--il dans le fossé d’interception au pied du coteau si la nappe est situé 60 cm au--dessus du roc? b) Si la porosité est de 50 %, quelle serait la vitesse réelle de l ’eau?

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66 5.5. Pour la colonne de sol suivante (figure 5.19), a) présentez la solution analytique (équation différentielle, conditions limites, équations du potentiel de pression et du potentiel total. b) tracez le profil (diagramme) des potentiels de pression, gravitationnel et total. KA = 1,0 m/j d

LA

KB = 5,0 m/j LA = 40 cm

KA

LB = 45 cm a = 1 cm

LB

KB

a

b = 10 cm d = 15 cm b

Figure 5.19 Écoulement dans une colonne de sol composée de deux types de sol. 5.6. Pour le problème précédent, déterminez la solution en utilisant l’approche de la conductivité équivalente de la section 5.9. 5.7. Des piézomètres sont installés cote à cote dans un champ, avec leur ouverture au bas à 2, 4, 6 mètres de la surface du sol respectivement. Les profondeurs du niveau d’eau par rapport à la surface du sol sont 20, 50 et l00 cm respectivement. a) Quels sont les gradients hydrauliques? b) Dans quelle direction l’eau s’écoule--t--elle? c) Si la conductivité hydraulique entre le premier et le deuxième piézomètre est de 5 cm/h, quelle est la conductivité entre les deux autres piézomètres? d) Quelle est la conductivité hydraulique équivalente? 5.8. Le fond d’une lagune à fumier est construit de la façon suivante (du bas vers le haut) après avoir excavé 3 m de sol : -- 10 cm de sable dans lequel un drain est installé pour drainer l’effluent (K = l.0 m/j) -- 20 cm d ’argile compacte (K = 0,0l m/j) L’épaisseur de liquide dans la lagune est de 2,5 m et le sol original est considéré comme peu perméable. a) Tracez le profil des potentiels total et de pression au travers du fond de la lagune, b) Calculer le débit d’effluent au travers du fond (dimension 30 m x 40 m), c) Si le fumier colmate la couche d’argile sur un cm (K = 0,001 m/j), évaluez son influence sur la question a) et b).

67

PROBLÈMES

5.9. Pour un sol homogène, a) Tracez le profil des potentiels total et de pression lorsque la nappe est stable à 80 cm de profondeur. b) Maintenant, considérons que ce même sol possède une couche indurée de 1 cm d’épaisseur sous la couche de labour (20 cm d’épaisseur) et que cette couche possède une conductivité hydraulique égale à 1/3 de celle du reste du profil. Suite à une pluie, il se forme, comme nous pouvons le prévoir, une nappe perchée dans la couche de labour qui remonte à 10 cm de la surface du sol. Tracez le profil des potentiels total et de pression si la nouvelle nappe profonde est située à 70 cm de profondeur. Quelles hypothèses devez vous poser pour solutionner le problème? c) Avec quel débit la nappe perchée alimentera la nappe profonde si la conductivité hydraulique est de 0,5 m/j?. Exprimez ce débit en terme de hauteur de lame d’eau. 5.10. Pour le perméamètre suivant (figure 5.20), déterminez la conductivité hydraulique de chacune des couches de sol. Le débit est de 3,2 ml/s et la section est de 62 cm2.

10 cm 20 cm

A

20 cm

B

31 cm

29,3 cm

36,1 cm

C 16 cm 1 cm

Figure 5.20 Écoulement dans une colonne de sol munie de piézomètres.

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68 5.11. Pour le cas suivant, présentez les conditions limites, tracez le réseau d’écoulement et déterminez le débit unitaire. A)

80 cm

5 cm

K = 1,0 m/j

40 cm

20 cm

15 cm

5.12. Pour le cas suivant, présentez les conditions limites, tracez le réseau d’écoulement et déterminez le débit unitaire.

3m

BARRAGE IMPERMÉABLE

6m 4m

IIMPERMÉABLE

10 cm