Linearna algebra: zbirka zadataka 9531975213 [PDF]

Zitiervorschau

Neven Elezović Andrea Aglić

LINEARNA ALGEBRA ZBIRKA ZADATAKA

3.

izdanje

Zagreb, 2006.

©Prof. dr. sc. Neven Elezović, 1995.

Urednik

Prof. dr. sc. Neven Elezović Za nakladnika

Sandra Gračan, dipl. inž

ELEMliNT,

Nakladnik

2

Zagreb, Menčetićeva telefoni: 01/6008-700, 01/6008-701 faks: 01/6008-799 http:ffwww.element.hr/ e-mail: [email protected] Slog, crteži i prijelom

Element, Zagreb

Design ovitka

Boje vremena, Zagreb

Tisak

Element, Zagreb

Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti umnažati na bilo koji način, bez pismenog dopuštenja nakladnika

PREDGOVOR

Ova je zbirka pisana po programu istoimenog predmeta koji se preda­ je na Fakultetu elektrotehnike i računarstva u Zagrebu, u prvom semestru sa satnicom od 3+ 2 sata tjedno (45 sati predavanja i 30 sati vježbi). Ona prati odgovarajući udžbenik. Na početku svakoga poglavlja dan je kratak podsjetnik najvažnijih definicija i teorema. Sva potrebna detaljnija objašnjenja čitatelj treba potražiti u udžbeniku. U svakom su poglavlju zatim dani zadaci s detaljnim rješenjima. Oni se (možda ne svi) rješavaju na auditomim vježbama. Student svakako tre­ ba pokušati samostalno riješiti i te zadatke, ne čitajući unaprijed rješenje. Na koncu svakoga poglavlja naveden je dovoljan broj zadataka (njihovi su odgovori na kraju zbirke) koji trebaju poslužiti za samostalnu vježbu. Neki od njih proširuju i produbljuju osnovno gradivo i namijenjeni su boljim studentima. Sigurni smo da će i ova zbirka pomoći studentima u lakšem usvajanju ovoga lijepog dijela matematike. Kako je riječ o pripremnom izdanju, bit ćemo zahvalni na svakoj korisnoj napomeni ili ispravku pogrešaka koje su ostale u knjizi.

Autori U Zagrebu, listopada 1995.

SADRZˇ AJ

1. Matrice . . . . . . . . . . . 1.1. Operacije s matricama 1.2. Zadaci za vjezˇ bu . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Laplaceov razvoj i Sarrusovo pravilo 2.2. Svojstva determinanti . . . . . . . . 2.3. Racˇunanje determinanti n -toga reda 2.4. Zadaci za vjezˇ bu . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Rang i inverz matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Cramerovo pravilo za racˇunanje inverza matrice 3.4. Zadaci za vjezˇ bu . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Sustavi linearnih jednadzˇ bi . . . 4.1. Gaussova metoda eliminacije 4.2. Cramerovo pravilo . . . . . . 4.3. Zadaci za vjezˇ bu . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Operacije s vektorima . . . . . . . . . 5.2. Koordinatni sustav i kanonska baza . . 5.3. Skalarni, vektorski i mjesˇoviti produkt 5.4. Zadaci za vjezˇ bu . . . . . . . . . . . . 6. Pravac i ravnina . . . 6.1. Ravnina . . . . 6.2. Pravac . . . . . 6.3. Pravac i ravnina 6.4. Zadaci za vjezˇ bu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . 7.1. Baza i dimenzija vektorskog prostora 7.2. Promjena baze . . . . . . . . . . . . 7.3. Zadaci za vjezˇ bu . . . . . . . . . . . 8. Linearni operatori . . . . . . . . . 8.1. Prikaz operatora . . . . . . . . 8.2. Promjena baze. Slicˇne matrice 8.3. Algebra operatora . . . . . . . 8.4. Minimalni polinom . . . . . . 8.5. Zadaci za vjezˇ bu . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 8 14 15 16 21 30 37 37 43 46 47 51 51 58 62 67 67 71 73 80 86 86 91 96 105 112 112 117 120 122 122 126 128 130 132

9. Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti . . . . . . 9.1. Karakteristicˇni polinom i svojstvene vrijednosti 9.2. Dijagonalizacija operatora. Matricˇne funkcije . 9.3. Hamilton-Cayleyev teorem . . . . . . . . . . . 9.4. Zadaci za vjezˇ bu . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Skalarni produkt. Dijagonalizacija simetricˇne matrice 10.1. Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije . . . 10.3. Dijagonalizacija simetricˇne matrice . . . . . . . . . 10.4. Zadaci za vjezˇ bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148 148 . 152 . 154 . 156

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

158 158 163 166

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

11. Kvadratne forme. Krivulje i plohe drugog reda 11.1. Dijagonalizacija kvadratne forme . . . . . . 11.2. Krivulje i plohe drugoga reda . . . . . . . . 11.3. Zadaci za vjezˇ bu . . . . . . . . . . . . . . . Odgovori

136 136 . 139 . 144 . 145

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

1.

Matrice

Matrice

Matrica je svaka pravokutna tablica realnih ili kompleksnih brojeva. Ako ona ima m redaka i n stupaca, tada kaˇzemo da je tipa m × n i zapisujemo je u obliku ⎡ ⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A=⎢ ⎣ ... ⎦

Matrica je svaka pravokutna tablica realnih ili kompleksnih brojeva. Ako ona ima m redaka i n stupaca, tada kaˇzemo da je tipa m × n i zapisujemo je u obliku ⎡ ⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A=⎢ ⎣ ... ⎦

ili kra´ce A = (aij ) . Element aij naziva se op´ci element matrice A . To je realan ili kompleksan broj. Op´ci element oznaˇcavamo cˇ esto i na naˇcin (A)ij . Skup svih matrica tipa m × n oznaˇcavamo s Mmn .

ili kra´ce A = (aij ) . Element aij naziva se op´ci element matrice A . To je realan ili kompleksan broj. Op´ci element oznaˇcavamo cˇ esto i na naˇcin (A)ij . Skup svih matrica tipa m × n oznaˇcavamo s Mmn .

∗*∗

∗*∗

Za kvadratnu matricu tipa n × n kaˇzemo da je reda n . Skup svih kvadratnih matrica toga reda oznaˇcavamo s Mn . Elementi a11 , a22 , . . . , ann cˇ ine dijagonalu kvadratne matrice. Kvadratna matrica je gornja trokutasta ako je aij = 0 za i > j (svi elementi ispod dijagonale jednaki su nuli), donja trokutasta ako je aij = 0 za i < j (svi elementi iznad dijagonale jednaki su nuli), dijagonalna ako je aij = 0 za i = j , skalarna ako je dijagonalna i svi su joj dijagonalni elementi jednaki. Jediniˇcna matrica je dijagonalna matrica s jedinicama na dijagonali. Oznaˇcavamo ju s I . Nul matricu, cˇ iji su svi elementi jednaki nuli, oznaˇcavamo s 0 . Transponirana matrica A matrice A ima elemente (A )ij = aji . Ona se dobiva iz matrice A zamjenom redaka i stupaca, sˇ to se kod kvadratne matrice moˇze interpretirati i kao zrcaljenje s obzirom na dijagonalu. Kvadratna matrica je simetriˇcna ako vrijedi A = A , tj. aij = aji za sve i, j ; antisimetriˇcna ako vrijedi A = −A , tj. aij = −aji za sve i, j .

Za kvadratnu matricu tipa n × n kaˇzemo da je reda n . Skup svih kvadratnih matrica toga reda oznaˇcavamo s Mn . Elementi a11 , a22 , . . . , ann cˇ ine dijagonalu kvadratne matrice. Kvadratna matrica je gornja trokutasta ako je aij = 0 za i > j (svi elementi ispod dijagonale jednaki su nuli), donja trokutasta ako je aij = 0 za i < j (svi elementi iznad dijagonale jednaki su nuli), dijagonalna ako je aij = 0 za i = j , skalarna ako je dijagonalna i svi su joj dijagonalni elementi jednaki. Jediniˇcna matrica je dijagonalna matrica s jedinicama na dijagonali. Oznaˇcavamo ju s I . Nul matricu, cˇ iji su svi elementi jednaki nuli, oznaˇcavamo s 0 . Transponirana matrica A matrice A ima elemente (A )ij = aji . Ona se dobiva iz matrice A zamjenom redaka i stupaca, sˇ to se kod kvadratne matrice moˇze interpretirati i kao zrcaljenje s obzirom na dijagonalu. Kvadratna matrica je simetriˇcna ako vrijedi A = A , tj. aij = aji za sve i, j ; antisimetriˇcna ako vrijedi A = −A , tj. aij = −aji za sve i, j .

am1 am2 . . . amn

am1 am2 . . . amn

2

1. MATRICE

2

1. MATRICE

1.1. Operacije s matricama

1.1. Operacije s matricama

Operacija mnoˇzenja skalara s matricom definira se za svaki λ ∈ R i A ∈ Mmn na naˇcin (λ A)ij := λ aij .

Operacija mnoˇzenja skalara s matricom definira se za svaki λ ∈ R i A ∈ Mmn na naˇcin (λ A)ij := λ aij .

To je ponovo matrica istoga tipa. Operacija zbrajanja matrica definira se za matrice istoga tipa na naˇcin

To je ponovo matrica istoga tipa. Operacija zbrajanja matrica definira se za matrice istoga tipa na naˇcin

(A + B)ij := aij + bij .

(A + B)ij := aij + bij .

(Dvije se matrice zbrajaju tako da im se zbroje odgovaraju´ci elementi.) Mnoˇzenje matrica definirano je samo za ulanˇcane matrice: broj stupaca prve mora se podudarati s brojem redaka druge matrice. Ako je A tipa m × n , i B tipa n × p , tada je umnoˇzak AB definiran i ima tip m × p ,

(Dvije se matrice zbrajaju tako da im se zbroje odgovaraju´ci elementi.) Mnoˇzenje matrica definirano je samo za ulanˇcane matrice: broj stupaca prve mora se podudarati s brojem redaka druge matrice. Ako je A tipa m × n , i B tipa n × p , tada je umnoˇzak AB definiran i ima tip m × p ,

(AB)ik :=

n 

aij bjk .

(AB)ik :=

j=1

1.1.

Izraˇcunaj 2A + − C ako je A =

10 8 5 i C= . −7 −2 1

aij bjk .

j=1

1 B 3

n 



−3 0 12 1 5 −2 , B= 21 1 0 −3 0 2



1.1.

Izraˇcunaj 2A + − C ako je A =

10 8 5 i C= . −7 −2 1 1 B 3



−3 0 12 1 5 −2 , B= 21 1 0 −3 0 2

ˇ . Izraˇcunajmo prvo umnoˇske matrice i skalara (pomnoˇzimo svaki element RJE SENJE matrice skalarom)



1 5 −2 2 10 −4 , = 2A = 2 · −3 0 2 −6 0 4



−3 0 12 −1 0 4 1 . B = 13 = 3 21 1 0 7 13 0

ˇ . Izraˇcunajmo prvo umnoˇske matrice i skalara (pomnoˇzimo svaki element RJE SENJE matrice skalarom)



1 5 −2 2 10 −4 , = 2A = 2 · −3 0 2 −6 0 4



−1 0 4 1 1 −3 0 12 . B = = 3 3 21 1 0 7 13 0

Sve su matrice istoga tipa 2 × 3 pa je



−1 0 4 2 10 −4 10 8 1 − + 2A + 3 B − C = 7 13 0 −6 0 4 −7 −2

−9 2−1−10 10+0−8 −4+4−5 = = −6+7+7 0+ 31 +2 4+0−1 8

Sve su matrice istoga tipa 2 × 3 pa je



−1 0 4 2 10 −4 10 8 − + 2A + 13 B − C = 7 13 0 −6 0 4 −7 −2

−9 2−1−10 10+0−8 −4+4−5 = = −6+7+7 0+ 31 +2 4+0−1 8

5 1



2 −5 . 7 3 3

5 1



2 −5 . 7 3 3

1. MATRICE

3



1.2.

Izraˇcunaj umnoˇzak matrica A =



10 2 2 8 1 4 . 14 −1 , B = 2 −2 3 0 2 −5

1. MATRICE

3



1.2.

Izraˇcunaj umnoˇzak matrica A =



10 2 2 8 1 4 . 14 −1 , B = 2 −2 3 0 2 −5

ˇ . Matrica A je tipa 3 × 2 , B tipa 2 × 4 te je umnoˇzak AB definiran i bit RJE SENJE c´ e tipa 3 × 4 : 

10 2 2 8 1 4 AB = 14 −1 · 2 −2 3 0 2 −5  10 · 2+2 · 2 10 · 8+2 · (−2) 10 · 1+2 · 3 10 · 4+2 · 0 = 14 · 2+(−1) · 2 14 · 8+(−1) · (−2) 14 · 1+(−1) · 3 14 · 4+(−1) · 0 2 · 2+(−5) · 2 2 · 8+(−5) · (−2) 2 · 1+(−5) · 3 2 · 4+(−5) · 0  24 76 16 40 = 26 114 11 56 . −6 26 −13 8

ˇ . Matrica A je tipa 3 × 2 , B tipa 2 × 4 te je umnoˇzak AB definiran i bit RJE SENJE c´ e tipa 3 × 4 : 

10 2 2 8 1 4 AB = 14 −1 · 2 −2 3 0 2 −5  10 · 2+2 · 2 10 · 8+2 · (−2) 10 · 1+2 · 3 10 · 4+2 · 0 = 14 · 2+(−1) · 2 14 · 8+(−1) · (−2) 14 · 1+(−1) · 3 14 · 4+(−1) · 0 2 · 2+(−5) · 2 2 · 8+(−5) · (−2) 2 · 1+(−5) · 3 2 · 4+(−5) · 0  24 76 16 40 = 26 114 11 56 . −6 26 −13 8

Primijeti da umnoˇzak BA nije definiran.

Primijeti da umnoˇzak BA nije definiran.



1.3.

Za matrice A =

1 2 1 2 1 2 1 2 3





i B=

4 1 1 −4 2 0 1 2 1





ˇ se odredi AB i BA . Sto

1.3.

moˇze zakljuˇciti? ˇ . Vrijedi RJE SENJE



AB =

ˇ . RJE SENJE





i B=

4 1 1 −4 2 0 1 2 1



ˇ se odredi AB i BA . Sto

moˇze zakljuˇciti?

−3 7 2 6 8 4 , −1 11 4



BA =



ˇ . Vrijedi RJE SENJE

7 11 9 0 −6 0 . 6 6 8

Vidimo da je AB = BA . Mnoˇzenje matrica nije komutativno. (Za neke matrice ovakvi umnoˇsci mogu biti jednaki.)

1.4.

Za matrice A =

1 2 1 2 1 2 1 2 3

Ako je x = [3, 1, 2] , y = [2, −1, 1] , izraˇcunaj x y i xy .   3 6 −3 3  x y = 1 [2, −1, 1] = 2 −1 1 , 4 −2 2 2  2 xy = [3, 1, 2] −1 = [7]. 1

Matricu s jednim elementom poistovje´cujemo s brojem. Zato je xy = 7 .



AB =

−3 7 2 6 8 4 , −1 11 4



BA =

7 11 9 0 −6 0 . 6 6 8

Vidimo da je AB = BA . Mnoˇzenje matrica nije komutativno. (Za neke matrice ovakvi umnoˇsci mogu biti jednaki.)

1.4. ˇ . RJE SENJE

Ako je x = [3, 1, 2] , y = [2, −1, 1] , izraˇcunaj x y i xy .   3 6 −3 3 x y = 1 [2, −1, 1] = 2 −1 1 , 4 −2 2 2  2 xy = [3, 1, 2] −1 = [7]. 1 

Matricu s jednim elementom poistovje´cujemo s brojem. Zato je xy = 7 .

4

1.5.

1. MATRICE

Izraˇcunaj f (A) ako je



a) f (x) = x + 2x − x + 5x − x + 8 , A = 5

4

3

2



0 1 0 0 0 1 ; 0 0 0

4

1.5.



0 0 1 ˇ RJE SENJE . a) Imamo A = 0 0 0 , A3 = 0 , A4 = A5 = 0 , zato je 0 0 0  8 −1 5 f (A) = A5 + 2A4 − A3 + 5A2 − A + 8I = 0 8 −1 . 0 0 8



4 −6 10 −15 2 2 b) A = , f (A) = 2A + 3A − 4I = . 0 16 0 40 c) f (A) = 0 .



2 −1 a b Neka je A = . Odredi matricu B = takvu da vrijedi c d −5 3 AB = I . Provjeri da pri tom vrijedi BA = I .

AB = odnosno



2 −1 −5 3





0 1 0 0 0 1 ; 0 0 0



0 0 1 ˇ RJE SENJE . a) Imamo A2 = 0 0 0 , A3 = 0 , A4 = A5 = 0 , zato je 0 0 0  8 −1 5 5 4 3 2 f (A) = A + 2A − A + 5A − A + 8I = 0 8 −1 . 0 0 8



4 −6 10 −15 b) A2 = , f (A) = 2A2 + 3A − 4I = . 0 16 0 40 c) f (A) = 0 .

1.6.

1 0 a b , = c d 0 1



2 −1 a b . Odredi matricu B = takvu da vrijedi c d −5 3 AB = I . Provjeri da pri tom vrijedi BA = I .

Neka je A =



AB =



2a−c 2b−d 1 0 . = −5a+3c −5b+3d 0 1

Njihova su rjeˇsenja a = 3 , c = 5 , b = 1 , d = 2 . Dakle B = matricu vrijedi i





3 1 2 −1 1 0 . = 5 2 −5 3 0 1

2

2 −1 b) f (x) = 2x + 3x − 4 , A = ; 0 4  1 −2 0 3 2 0 3 0 . c) f (x) = x − 6x + 11x − 6 , A = −1 4 2

ˇ . Iz jednakosti RJE SENJE



Izjednaˇcavanjem odgovaraju´cih elemenata dobiju se dva sustava

2a − c = 1, 2b − d = 0, i −5 a + 3 c = 0 , −5b + 3d = 1.

3







4

2

2





a) f (x) = x + 2x − x + 5x − x + 8 , A =

2 −1 ; 0 4  1 −2 0 3 2 0 3 0 . c) f (x) = x − 6x + 11x − 6 , A = −1 4 2

ˇ . Iz jednakosti RJE SENJE

Izraˇcunaj f (A) ako je 5

b) f (x) = 2x2 + 3x − 4 , A =

1.6.

1. MATRICE

odnosno



3 1 . Za ovu 5 2



2 −1 −5 3





1 0 a b , = c d 0 1



2a−c 2b−d 1 0 . = −5a+3c −5b+3d 0 1

Izjednaˇcavanjem odgovaraju´cih elemenata dobiju se dva sustava

2a − c = 1, 2b − d = 0, i −5 a + 3 c = 0 , −5b + 3d = 1. Njihova su rjeˇsenja a = 3 , c = 5 , b = 1 , d = 2 . Dakle B = matricu vrijedi i





3 1 2 −1 1 0 . = 5 2 −5 3 0 1



3 1 . Za ovu 5 2

1. MATRICE

5

1.7.

Za zadanu matricu A odredi najop´cenitiji oblik

matrice B istoga

tipa 1 2 1 2 ; b) A = . za koju vrijedi AB = 0 , ako je a) A = 3 4 3 6

a b ˇ RJE SENJE . Oznaˇcimo elemente matrice B na naˇcin B = . c d





1 2 a b 0 0 a) Iz = imamo 3 4 c d 0 0

a+2c b+2d 0 0 . = 3a+4c 3b+4d 0 0 Odavde je

a + 2c = 0, b + 2d = 0, 3a + 4c = 0, 3b + 4d = 0. Rjeˇsenja ovih sustava su a = b = c = d = 0 . Stoga je matrica B nulmatrica. b) Sada iz AB = 0 slijedi

0 0 a+2c b+2d . = 0 0 3a+6c 3b+6d Izjednaˇcavanjem elemenata dobivamo sustave

b + 2d = 0, a + 2c = 0, 3a + 6c = 0, 3b + 6d = 0. Rjeˇsenje prvoga je a = −2c , a drugoga b = −2d , pa jednadˇzbu zadovoljava svaka −2c −2d gdje su c i d po volji odabrani realni brojevi. matrica oblika B = c d 

1.8.

Odredi sve matrice koje komutiraju s X =

0 1 0 0 0 1 . 0 0 0

ˇ RJE SENJE . Oznaˇcimo traˇzenu matricu s A . Da bi oba umnoˇska AX i XA bila definirana, takva matrica mora biti kvadratna, istoga reda kao i X . Dakle,  a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 . Iz AX = XA slijedi a31 a32 a33   a21 a22 a23 0 a11 a12 0 a21 a22 = a31 a32 a33 . 0 a31 a32 0 0 0 Odavde dobivamo niz jednakosti a21 = a31 = a32 = 0 , a11 = a22 , a21 = a32 , a12 = a23 , a22 = a33 . Oznaˇcimo li praktiˇcnije a11 = x , a12 = y , a13 = z , dobivamo traˇzenu matricu u sljede´cem obliku  x y z A= 0 x y . 0 0 x

1. MATRICE

5

1.7.

Za zadanu matricu A odredi najop´cenitiji oblik

matrice B istoga

tipa 1 2 1 2 ; b) A = . za koju vrijedi AB = 0 , ako je a) A = 3 4 3 6

a b ˇ RJE SENJE . Oznaˇcimo elemente matrice B na naˇcin B = . c d





1 2 a b 0 0 a) Iz = imamo 3 4 c d 0 0

a+2c b+2d 0 0 . = 3a+4c 3b+4d 0 0 Odavde je

a + 2c = 0, b + 2d = 0, 3a + 4c = 0, 3b + 4d = 0. Rjeˇsenja ovih sustava su a = b = c = d = 0 . Stoga je matrica B nulmatrica. b) Sada iz AB = 0 slijedi

0 0 a+2c b+2d . = 0 0 3a+6c 3b+6d Izjednaˇcavanjem elemenata dobivamo sustave

b + 2d = 0, a + 2c = 0, 3a + 6c = 0, 3b + 6d = 0. Rjeˇsenje prvoga je a = −2c , a drugoga b = −2d , pa jednadˇzbu zadovoljava svaka −2c −2d gdje su c i d po volji odabrani realni brojevi. matrica oblika B = c d 

1.8.

Odredi sve matrice koje komutiraju s X =

0 1 0 0 0 1 . 0 0 0

ˇ RJE SENJE . Oznaˇcimo traˇzenu matricu s A . Da bi oba umnoˇska AX i XA bila definirana, takva matrica mora biti kvadratna, istoga reda kao i X . Dakle,  a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 . Iz AX = XA slijedi a31 a32 a33   a21 a22 a23 0 a11 a12 0 a21 a22 = a31 a32 a33 . 0 a31 a32 0 0 0 Odavde dobivamo niz jednakosti a21 = a31 = a32 = 0 , a11 = a22 , a21 = a32 , a12 = a23 , a22 = a33 . Oznaˇcimo li praktiˇcnije a11 = x , a12 = y , a13 = z , dobivamo traˇzenu matricu u sljede´cem obliku  x y z A= 0 x y . 0 0 x

6

1. MATRICE

⎡

1.9.

⎤ x1 . Neka je x = ⎣ .. ⎦ (broj komponenti n u sljede´cim primjerima nije xn uvijek jednak). Odredi matricu A ako je poznat umnoˇzak Ax : 

0 x2 a) Ax = x1 ; b) Ax = ; x3 −3x4 x ⎡ 2 ⎤ ⎡ ⎤ x2 x1 −x3 +x4 ⎢ x1 −x4 ⎥ ⎢ x −x ⎥ ⎢ ⎥ 0 d) Ax = ⎣ 2 3 ⎦ . c) Ax = ⎢ ⎥; 0 ⎣ x +x −x ⎦ 2 3 4 x1 +x4 −x1

6

ˇ . Matrica A mora imati onoliko redaka koliko i rezultat Ax . Broj stupaca RJE SENJE matrice A odgovara broju komponenti vektora x . Njih moˇzemo tek naslutiti na osnovu danih umnoˇzaka, tako u primjeru a) matrica ima barem dva stupca, no moˇze imati i viˇse. Tako npr. uvjet zadovoljavaju sljede´ce matrice    0 0 0 0 0 0 0 0 0 A= 1 0 0 , A= 1 0 0 0 A= 1 0 , 0 1 0 1 0 0 1 0 0 itd. Mi c´ emo izabrati matricu s minimalnim brojem stupaca. ⎡ ⎤ 0 1 0 0 ⎡ ⎤ 1 0 −1 1

⎢ 1 0 0 −1 ⎥ 0 1 0 0 ⎢ 0 1 −1 0 ⎥ ⎢ ⎥ b) ; c) ⎢ 0 0 0 0 ⎥ ; d) ⎣ . 0 0 1 −3 0 0 0 0⎦ ⎣ 0 1 1 −1 ⎦ 1 0 0 1 −1 0 0 0

1. MATRICE

⎡

1.9.

⎤ x1 . Neka je x = ⎣ .. ⎦ (broj komponenti n u sljede´cim primjerima nije xn uvijek jednak). Odredi matricu A ako je poznat umnoˇzak Ax : 

0 x2 a) Ax = x1 ; b) Ax = ; x3 −3x4 x 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x2 x1 −x3 +x4 ⎢ x1 −x4 ⎥ ⎢ x −x ⎥ ⎢ ⎥ 0 d) Ax = ⎣ 2 3 ⎦ . c) Ax = ⎢ ⎥; 0 ⎣ x +x −x ⎦ 2 3 4 x1 +x4 −x1

ˇ . Matrica A mora imati onoliko redaka koliko i rezultat Ax . Broj stupaca RJE SENJE matrice A odgovara broju komponenti vektora x . Njih moˇzemo tek naslutiti na osnovu danih umnoˇzaka, tako u primjeru a) matrica ima barem dva stupca, no moˇze imati i viˇse. Tako npr. uvjet zadovoljavaju sljede´ce matrice    0 0 0 0 0 0 0 0 0 A= 1 0 0 , A= 1 0 0 0 A= 1 0 , 0 1 0 1 0 0 1 0 0 itd. Mi c´ emo izabrati matricu s minimalnim brojem stupaca. ⎡ ⎤ 0 1 0 0 ⎡ ⎤ 1 0 −1 1

⎢ 1 0 0 −1 ⎥ 0 1 0 0 ⎢ 0 1 −1 0 ⎥ ⎢ ⎥ b) ; c) ⎢ 0 0 0 0 ⎥ ; d) ⎣ . 0 0 1 −3 0 0 0 0⎦ ⎣ 0 1 1 −1 ⎦ 1 0 0 1 −1 0 0 0



1.10.

a 1 Izraˇcunaj A (n ∈ N) ako je A = . 0 a n



1.10.

Izraˇcunaj An (n ∈ N) ako je A =

a 1 . 0 a

ˇ . Izraˇcunajmo prvih nekoliko potencija. RJE SENJE 2

3

4

a 2a a 3a2 a 4a3 2 3 2 4 3 A = , A =A A= , A =A A= . 0 a2 0 a3 0 a4 n

a nan−1 Na osnovu ovog moˇzemo naslutiti da vrijedi An = . Slutnju c´ emo provje0 an riti matematiˇckom indukcijom. Za n = 1 baza indukcije je ispunjena. Pretpostavimo zato da je An gornjeg oblika. Tada imamo n



a nan−1 a 1 n+1 n A =A A= 0 an 0 a n

n+1 n n−1 ·a (n+1)an a · a a +na a . = = 0 an · a 0 an+1

ˇ . Izraˇcunajmo prvih nekoliko potencija. RJE SENJE 2

3

4

a 2a a 3a2 a 4a3 3 2 4 3 A2 = , , . A = A A = A = A A = 0 a2 0 a3 0 a4 n

a nan−1 n Na osnovu ovog moˇzemo naslutiti da vrijedi A = . Slutnju c´ emo provje0 an riti matematiˇckom indukcijom. Za n = 1 baza indukcije je ispunjena. Pretpostavimo zato da je An gornjeg oblika. Tada imamo n



a nan−1 a 1 n+1 n A =A A= 0 an 0 a n

n+1 n n−1 ·a (n+1)an a · a a +na a . = = 0 an · a 0 an+1

Vidimo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj n .

Vidimo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj n .

1. MATRICE

7

cos α − sin α Izraˇcunaj A ako je A = . sin α cos α

1. MATRICE



1.11.

7



1.11.

n

cos α − sin α Izraˇcunaj A ako je A = . sin α cos α n

ˇ . Direktnim raˇcunom dobivamo RJE SENJE



cos2 α − sin2 α − cos α sin α − sin α cos α cos 2α − sin 2α 2 . = A = sin α cos α + cos α sin α − sin2 α + cos2 α sin 2α cos 2α



cos 3α − sin 3α cos nα − sin nα 3 n Sliˇcno je A = pa naslu´cujemo da je A = . sin 3α cos 3α sin nα cos nα Dokazujemo indukcijom. Za n = 1 baza indukcije je ispunjena. Dokaˇzimo korak indukcije.



cos nα − sin nα cos α − sin α n+1 n A =A A= sin nα cos nα sin α cos α

cos nα cos α − sin nα sin α − cos nα sin α − sin nα cos α = sin nα cos α + cos nα sin α − sin nα sin α + cos nα cos α

cos(n+1)α − sin(n+1)α . = sin(n+1)α cos(n+1)α

ˇ . Direktnim raˇcunom dobivamo RJE SENJE



cos2 α − sin2 α − cos α sin α − sin α cos α cos 2α − sin 2α 2 . = A = sin α cos α + cos α sin α − sin2 α + cos2 α sin 2α cos 2α



cos 3α − sin 3α cos nα − sin nα 3 n Sliˇcno je A = pa naslu´cujemo da je A = . sin 3α cos 3α sin nα cos nα Dokazujemo indukcijom. Za n = 1 baza indukcije je ispunjena. Dokaˇzimo korak indukcije.



cos nα − sin nα cos α − sin α n+1 n A =A A= sin nα cos nα sin α cos α

cos nα cos α − sin nα sin α − cos nα sin α − sin nα cos α = sin nα cos α + cos nα sin α − sin nα sin α + cos nα cos α

cos(n+1)α − sin(n+1)α . = sin(n+1)α cos(n+1)α

1.12.

1.12.

Koriste´ci relacije







43 −24 3 4 3 0 7 −4 , = 70 −39 5 7 0 1 −5 3

10 43 −24 izraˇcunaj . 70 −39



7 −4 −5 3





3 4 1 0 = 5 7 0 1

Koriste´ci relacije







43 −24 3 4 3 0 7 −4 , = 70 −39 5 7 0 1 −5 3

10 43 −24 izraˇcunaj . 70 −39



7 −4 −5 3





3 4 1 0 = 5 7 0 1

ˇ . Oznaˇcimo matrice redom s A , B , C , D pa vrijedi A = BCD i DB = I . RJE SENJE Koriste´ci asocijativnost matriˇcnog mnoˇzenja imamo

ˇ . Oznaˇcimo matrice redom s A , B , C , D pa vrijedi A = BCD i DB = I . RJE SENJE Koriste´ci asocijativnost matriˇcnog mnoˇzenja imamo

A2 = (BCD)(BCD) = BC(DB)CD = BC2 D.

A2 = (BCD)(BCD) = BC(DB)CD = BC2 D.

Sliˇcno vrijedi i za sve ostale potencije: A = (BCD)(BCD) · · · (BCD) 10

= BC(DB)C(DB) · · · (DB)CD = BCICI · · · ICD = BC10 D



10

3 4 3 0 7 −4 = −5 3 5 7 0 1

10

3 4 3 0 7 −4 = 5 7 0 1 −5 3 11





3 4 7 −4 7 · 311 −20 −4 · 311 +12 . = = 5 · 310 7 −5 3 35 · 310 −35 −20 · 310 +21

Sliˇcno vrijedi i za sve ostale potencije: A10 = (BCD)(BCD) · · · (BCD) = BC(DB)C(DB) · · · (DB)CD = BCICI · · · ICD = BC10 D



10

3 4 3 0 7 −4 = −5 3 5 7 0 1

10

3 4 3 0 7 −4 = 5 7 0 1 −5 3 11





3 4 7 −4 7 · 311 −20 −4 · 311 +12 . = = 5 · 310 7 −5 3 35 · 310 −35 −20 · 310 +21

8

1. MATRICE

8

1. MATRICE

1.2. Zadaci za vjeˇzbu

1.2. Zadaci za vjeˇzbu

1.13.

Zapiˇsi matricu A tipa 3 × 3 cˇ iji je op´ci element aij dan formulom a) aij = 1 i + j ; b) aij = |i − j| ; c) aij = ij ; d) aij = (i − j)2 ; e) aij = i+j−1 ; f) aij = i − j + 1 . Koje su medu njima simetriˇcne?

1.13.

Zapiˇsi matricu A tipa 3 × 3 cˇ iji je op´ci element aij dan formulom a) aij = 1 i + j ; b) aij = |i − j| ; c) aij = ij ; d) aij = (i − j)2 ; e) aij = i+j−1 ; f) aij = i − j + 1 . Koje su medu njima simetriˇcne?

1.14.

Izraˇcunaj:

−2 0 2 −10 1 ⎦ , B = −8 −4 0 −6 ; a) 3A + 12 B ako je A = ⎣ 1 2 −2 2 −4 6 − 3 3 −1    1 2 2 1 2 1 0 6 4 0 −1 −1 , C = 0 −5 1 ; b) A+2B−C za A = 0 1 3 , B = 3 0 2 −3 2 2 −3 4 8 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −3 0 0 0 8 0 0 0 ⎢ 0 2 0 0⎥ ⎢0 3 0 0⎥ , B=⎣ ; c) A + B za A = ⎣ 0 0 −1 0 ⎦ 0 0 6 0⎦ 0 0 0 5 0 0 0 0  2 −4 6 d) A + A za A = 5 2 7 . −1 0 4 Kakve su dobivene matrice?

1.14.

Izraˇcunaj:

Zadane su matrice

1.15.

⎡1 3 4 3 1 3

1.15.

A=



3 1 −1 2 , 0 1

0 − 13 2 0 3

5 3



⎤





2 0 1 . B= −1 1 3

1.17.

Odredi umnoˇske matrica:     1 2 3 −1 1 0 1 0 0 0 1 2 2 −2 0 ; b) 2 −1 1 −3 −3 4 . a) 4 1 1 2 1 0 2 3 4 1 0 −1 −2 −2 3 Kakve su dobivene matrice?

 2 1 0

 2 1 3 −2 1 1 5 2 0 −1 1 ; b) 0 −1 ; Izraˇcunaj: a) 2 1 0 3 8 6 1 −2 −1 2 1 ⎡ ⎤ 0 1 3 

 1 −1 3 2 1 1 3 2 ⎢ 3 −1 2 ⎥ 4 0 5 1 ; d) ⎣ 2 . c) 0 2 1 2 −1 0 ⎦ −2 3 2 0 −1 5 10 −2

⎤

 −2 0 2 −10 ⎦ 1 , B = −8 −4 0 −6 ; a) 3A + −2 2 −4 6 − 13 23 −1    1 2 2 1 2 1 0 6 4 0 −1 −1 , C = 0 −5 1 ; b) A+2B−C za A = 0 1 3 , B = 3 0 2 −3 2 2 −3 4 8 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −3 0 0 0 8 0 0 0 ⎢ 0 2 0 0⎥ ⎢0 3 0 0⎥ , B=⎣ ; c) A + B za A = ⎣ 0 0 −1 0 ⎦ 0 0 6 0⎦ 0 0 0 5 0 0 0 0  2 −4 6 d) A + A za A = 5 2 7 . −1 0 4 Kakve su dobivene matrice? 1 2B

ako je A = ⎣

Zadane su matrice A=

Izraˇcunaj: a) 2A + B ; b) A − 2B . 1.16.

⎡1



3 4 3 1 3

3 1 −1 2 , 0 1

0 − 13 2 0 3

5 3



2 0 1 . B= −1 1 3

Izraˇcunaj: a) 2A + B ; b) A − 2B . 1.16.

1.17.

Odredi umnoˇske matrica:     1 2 3 −1 1 0 1 0 0 0 1 2 2 −2 0 ; b) 2 −1 1 −3 −3 4 . a) 4 1 1 2 1 0 2 3 4 1 0 −1 −2 −2 3 Kakve su dobivene matrice?

 2 1 0

 2 1 3 −2 1 1 5 2 0 −1 1 ; b) 0 −1 ; Izraˇcunaj: a) 2 1 0 3 8 6 1 −2 −1 2 1 ⎡ ⎤ 0 1 3  

1 −1 3 2 1 1 3 2 ⎢ 3 −1 2 ⎥ 4 0 5 1 ; d) ⎣ 2 . c) ⎦ 0 2 1 2 −1 0 −2 3 2 0 −1 5 10 −2

1. MATRICE

1.18.

1.19.

Izraˇcunaj umnoˇske:   1 −3 2 2 5 6 a) 3 −4 1 1 2 5 ; 2 −5 3 1 3 2 ⎡ ⎤⎡ 2 −1 3 −4 7 8 6 ⎢ 3 −2 4 −3 ⎥⎢ 5 7 4 c) ⎣ 5 −3 −2 1 ⎦⎣ 3 4 5 2 1 1 3 −3 −1 2 Pomnoˇ z i matrice:



3 4 7 −4 ; a) 5 7 −5 3   4 2 3 1 −3 2 4 −5 2 3 −4 1 ; c) 2 −5 2 −2 3 1   3 −2 −1 1 2 3 e) 4 −1 −3 1 2 3 ; 2 −1 −1 1 2 3

9



 5 8 −4 3 b) 6 9 −5 4 4 7 −3 9 ⎤ ⎡ 9 5 7 5⎥ ⎢7 6 ; d) ⎣ 6⎦ 6 4 2 8 5

2 −1 6 −3 −4 −3 −6

5 3 ; 5 ⎤⎡ −4 1 −5 ⎥ ⎢ 2 −2 ⎦ ⎣ 1 −1 2

1.18.

2 3 3 4

3 4 5 6

⎤ 4 5⎥ . 7⎦ 8



3 0 7 −4 b) ; 0 1 −5 3   2 1 0 3 1 −2 1 1 2 3 −2 4 ; d) −1 2 2 −3 5 −1 ⎡ ⎤ 2 3 ⎢1 0⎥ f ) [ 1 −2 5 3 ]⎣ . 2 4⎦ 1 −5

3 4 5 7

1. MATRICE



Uvjeri se neposrednim mnoˇzenjem da vrijedi (ABC) = C B A , ako je





1 2 2 −1 0 1 3 , B= , C= ; a) A = −1 3 −1 2 1 3 2 

−3 1 2 2 1 , C= . b) A = [ 2 3 −1 ] , B = 1 −2 3 1.21. Zadane su matrice  



6 2 0 5 1 2 0 2 −1 0 , B= , C = 1 −1 , D = 2 2 7 . A= 1 0 −5 −1 3 0 −4 8 0 1

1.20.

1.19.

Izraˇcunaj umnoˇske:   1 −3 2 2 5 6 a) 3 −4 1 1 2 5 ; 2 −5 3 1 3 2 ⎡ ⎤⎡ 2 −1 3 −4 7 8 6 ⎢ 3 −2 4 −3 ⎥⎢ 5 7 4 c) ⎣ 5 −3 −2 1 ⎦⎣ 3 4 5 2 1 1 3 −3 −1 2 Pomnoˇ z i matrice:



3 4 7 −4 ; a) 5 7 −5 3   4 2 3 1 −3 2 4 −5 2 3 −4 1 ; c) 2 −5 2 −2 3 1   3 −2 −1 1 2 3 e) 4 −1 −3 1 2 3 ; 2 −1 −1 1 2 3

9



 5 8 −4 3 b) 6 9 −5 4 4 7 −3 9 ⎤ ⎡ 9 5 7 5⎥ ⎢7 6 ; d) ⎣ 6⎦ 6 4 2 8 5

2 −1 6 −3 −4 −3 −6

5 3 ; 5 ⎤⎡ −4 1 −5 ⎥ ⎢ 2 −2 ⎦ ⎣ 1 −1 2

2 3 3 4

3 4 5 6

⎤ 4 5⎥ . 7⎦ 8



3 0 7 −4 ; 0 1 −5 3   2 1 0 3 1 −2 1 1 2 3 −2 4 ; d) −1 2 2 −3 5 −1 ⎡ ⎤ 2 3 ⎢1 0⎥ f ) [ 1 −2 5 3 ]⎣ . 2 4⎦ 1 −5

b)

3 4 5 7



Uvjeri se neposrednim mnoˇzenjem da vrijedi (ABC) = C B A , ako je





1 2 2 −1 0 1 3 , B= , C= ; a) A = −1 3 −1 2 1 3 2 

−3 1 2 2 1 , C= . b) A = [ 2 3 −1 ] , B = 1 −2 3 1.21. Zadane su matrice  



6 2 0 5 1 2 0 2 −1 0 , B= , C = 1 −1 , D = 2 2 7 . A= 1 0 −5 −1 3 0 −4 8 0 1

1.20.

Odredi sve umnoˇske ovih matrica (koji su definirani).

Odredi sve umnoˇske ovih matrica (koji su definirani).

1.22.

Zadane su matrice 

2 −1 1 0 −2 a) A = , B= 0 2 ; 2 −1 3 1 −1   3 −1 2 2 1 −1 b) A = −1 0 2 , B = 3 1 2 . −1 0 4 2 −1 1 Izraˇcunaj: 1) AB ; 2) A B ; 3) B A ; 4) BA .

1.22.

Zadane su matrice 

2 −1 1 0 −2 a) A = , B= 0 2 ; 2 −1 3 1 −1   3 −1 2 2 1 −1 b) A = −1 0 2 , B = 3 1 2 . −1 0 4 2 −1 1 Izraˇcunaj: 1) AB ; 2) A B ; 3) B A ; 4) BA .

1.23.

Neka je matrica A tipa m × n , Im , In jediniˇcne matrice reda m odnosno n . Dokaˇzi da je Im A = AIn = A .

1.23.

Neka je matrica A tipa m × n , Im , In jediniˇcne matrice reda m odnosno n . Dokaˇzi da je Im A = AIn = A .

1.24.

Neka su x , y vektor-stupci jednake duljine i A = xy . Pokaˇzi da vrijedi A2 = λ A za neki skalar λ .

1.24.

Neka su x , y vektor-stupci jednake duljine i A = xy . Pokaˇzi da vrijedi A2 = λ A za neki skalar λ .

10

1. MATRICE

10

∗*∗

1. MATRICE

∗*∗

1.25.

Neka je matrica A tipa 5 × 3 , B tipa 3 × 3 , C tipa 3 × 2 , D i E tipa 2 × 1 . Odredi koji je od sljede´cih izraza definiran i koji je tip rezultiraju´ce matrice b) B4 ; c) ABC ; d) ABCD ; a) A6 ; e) ACBD ; f ) CD + E ; g) AB + AC ; h) BC + CB .

1.25.

Neka je matrica A tipa 5 × 3 , B tipa 3 × 3 , C tipa 3 × 2 , D i E tipa 2 × 1 . Odredi koji je od sljede´cih izraza definiran i koji je tip rezultiraju´ce matrice b) B4 ; c) ABC ; d) ABCD ; a) A6 ; e) ACBD ; f ) CD + E ; g) AB + AC ; h) BC + CB .

1.26.

Izmnoˇzi sljede´ce matriˇcne izraze, pretpostavljaju´ci da su svi oni definirani. a) (A + B)2 ; b) (2A + B)(A + 2B) ; c) (A + B)C(D + E) ; d) (A − I)(A + 3I) ; e) (A + B)3 ; f ) (A + B)3 , ako je AB = BA .

1.26.

Izmnoˇzi sljede´ce matriˇcne izraze, pretpostavljaju´ci da su svi oni definirani. a) (A + B)2 ; b) (2A + B)(A + 2B) ; c) (A + B)C(D + E) ; d) (A − I)(A + 3I) ; e) (A + B)3 ; f ) (A + B)3 , ako je AB = BA .

1.27.

Neka je f (x) = x4 − 2x3 + x − 1 . Odredi f (A) ako je 



0 1 0 2 1 1 2 ; b) A = ; c) A = 0 0 1 . a) A = −1 1 0 3 0 0 0 Odredi f (A) ako je  1 −2 3 a) f (x) = 3x2 − 2x + 5 , A = 2 −4 1 ; 3 −5 2  5 2 −3 b) f (x) = x3 − 7x2 + 13x − 5 , A = 1 3 −1 . 2 2 −1  1 −1 2 Provjeri da za matricu A = −1 0 1 i polinom f (x) = x3 − 4x2 + 5x + 4 vrijedi f (A) = 0 . −2 1 3

a b zadovoljava jednadˇzbu Pokaˇzi da matrica A = c d

1.27.

Neka je f (x) = x4 − 2x3 + x − 1 . Odredi f (A) ako je 



0 1 0 2 1 1 2 ; b) A = ; c) A = 0 0 1 . a) A = −1 1 0 3 0 0 0 Odredi f (A) ako je  1 −2 3 2 a) f (x) = 3x − 2x + 5 , A = 2 −4 1 ; 3 −5 2  5 2 −3 b) f (x) = x3 − 7x2 + 13x − 5 , A = 1 3 −1 . 2 2 −1  1 −1 2 Provjeri da za matricu A = −1 0 1 i polinom f (x) = x3 − 4x2 + 5x + 4 vrijedi f (A) = 0 . −2 1 3

a b zadovoljava jednadˇzbu Pokaˇzi da matrica A = c d

1.28.

1.29. 1.30.

1.31.

1.32.

1.33.

1.28.

1.29. 1.30.

A2 − (a + d)A + (ad − bc)I = 0.

A2 − (a + d)A + (ad − bc)I = 0.

∗*∗

∗*∗

Izraˇcunaj matrice

5

10 3 −1 2 1 ; b) ; a) 1 0 1 −1



5 1 1 1 c) 0 1 1 . 0 0 1 





0 1 2 1 1 1 1 1 2 Neka je A = , B= , C= , D= 0 0 3 . 1 1 0 1 −3 2 0 0 0 Izraˇcunaj sljede´ce: a) A10 ; b) B20 ; c) C4 ; d) D20 ; 4 4 3 3 e) (ABC) ; f ) (CBA) ; g) C B ; h) (CB)3 .

2

3

4

5 3 −1 sin α − cos α 1 a 4 −1 ; b) ; c) ; d) . Izraˇcunaj: a) cos α sin α a 1 4 2 5 −2

1.31.

1.32.

1.33.

Izraˇcunaj matrice

5

10 3 −1 2 1 ; b) ; a) 1 0 1 −1



5 1 1 1 c) 0 1 1 . 0 0 1 





0 1 2 1 1 1 1 1 2 Neka je A = , B= , C= , D= 0 0 3 . 1 1 0 1 −3 2 0 0 0 Izraˇcunaj sljede´ce: a) A10 ; b) B20 ; c) C4 ; d) D20 ; 4 4 3 3 e) (ABC) ; f ) (CBA) ; g) C B ; h) (CB)3 .

2

3

4

5 3 −1 sin α − cos α 1 a 4 −1 ; b) ; c) ; d) . Izraˇcunaj: a) cos α sin α a 1 4 2 5 −2

1. MATRICE

11



1.34.

Izraˇcunaj: a) 

1 1 0 1

n



; b)

1 λ 0 1

n

; c)

1 λ 0 2

n



; d)

2 −1 3 −2

1 1 0 0 1 1 . Pokaˇzi da za svaki prirodni n vrijedi 0 0 1 ⎡ ⎤ 1 n n(n−1) 2 An = ⎣ 0 1 n ⎦. 0 0 1

1.35.

Neka je A =

1.36.

Izraˇcunaj zadane potencije matrica ⎡ ⎤n ⎡ 0 1 0 ... 0 1 1 ⎢0 0 1 ... 0⎥ ⎢0 1 ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ; b) ⎢ 0 0 . a) ⎢ ⎢. ⎥ ⎢. ⎣0 0 0 ... 1⎦ ⎣ ..

1.37.



n



. e)

3 −1 4 −1

n -toga reda: ⎤3 ⎡ ⎤n−1 1 ... 1 1 1 0 0 ... 0 ⎢0 1 1 0 ... 0⎥ 1 ... 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 . . . 1 ⎥ ; c) ⎢ 0 0 1 1 . . . 0 ⎥ . ⎥ ⎢. ⎥ ... ⎦ ... ⎦ ⎣ .. 1 0 0 ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 1

5







17 −6 17 −6 2 3 2 0 −7 3 Izraˇcunaj koriste´ci = . 35 −12 35 −12 5 7 0 3 5 −2

1. MATRICE

n

11



.

1.34.

Izraˇcunaj: a) 

1 1 0 1

n



; b)

1 λ 0 1

n

Neka je A =

1.36.

Izraˇcunaj zadane potencije matrica ⎡ ⎤n ⎡ 0 1 0 ... 0 1 1 ⎢0 0 1 ... 0⎥ ⎢0 1 ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ; b) ⎢ 0 0 . a) ⎢ ⎢. ⎥ ⎢. ⎣0 0 0 ... 1⎦ ⎣ ..

∗*∗

; c)

1 λ 0 2

n



; d)

2 −1 3 −2

1 1 0 0 1 1 . Pokaˇzi da za svaki prirodni n vrijedi 0 0 1 ⎡ ⎤ 1 n n(n−1) 2 An = ⎣ 0 1 n ⎦. 0 0 1

1.35.

1.37.



n



. e)

3 −1 4 −1

n -toga reda: ⎤3 ⎡ ⎤n−1 1 ... 1 1 1 0 0 ... 0 ⎢0 1 1 0 ... 0⎥ 1 ... 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 . . . 1 ⎥ ; c) ⎢ 0 0 1 1 . . . 0 ⎥ . ⎥ ⎢. ⎥ ... ⎦ ... ⎦ ⎣ .. 1 0 0 ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 1

5







17 −6 17 −6 2 3 2 0 −7 3 Izraˇcunaj koriste´ci = . 35 −12 35 −12 5 7 0 3 5 −2 ∗*∗

1.38.

Za zadanu matricu A odredi najop´c enitiji oblik matrice B za koju vrijedi

2 5 0 0 , b) A = . AB = 0 . a) A = 0 0 1 0

1.38.

Za zadanu matricu A odredi najop´c enitiji oblik matrice B za koju vrijedi

2 5 0 0 , b) A = . AB = 0 . a) A = 0 0 1 0

1.39.

Odredi neke ne-nul matrice A i B takve da je AB = 0 , ako je a) A tipa 5 × 3 , B tipa 3 × 1 , b) A tipa 5 × 2 , B tipa 2 × 2 , c) A tipa 1 × 2 , B tipa 2 × 3 . Zadane su matrice



3 2 1 −5 , . A= B= −2 1 2 3

1.39.

Odredi neke ne-nul matrice A i B takve da je AB = 0 , ako je a) A tipa 5 × 3 , B tipa 3 × 1 , b) A tipa 5 × 2 , B tipa 2 × 2 , c) A tipa 1 × 2 , B tipa 2 × 3 . Zadane su matrice



3 2 1 −5 , . A= B= −2 1 2 3

1.40.

1.41.

1.42.

1.43. 1.44.

Odredi matricu X za koju vrijedi a) 2A + 3X = I ; b) 3A − 2X = B . Odredi sve matrice koje komutiraju s matricom ⎡ ⎤ 1 1 0 0 



2 1 0 1 2 7 −3 ⎢0 1 0 0⎥ ; b) ; c) 0 2 1 ; d) ⎣ . a) 3 4 5 −2 0 0 2 1⎦ 0 0 2 0 0 0 2 Odredi sve matrice koje komutiraju s matricom   

3 0 0 1 −1 0 0 1 1 1 −2 a) 0 −1 0 ; b) ; c) 0 1 −1 ; d) 0 0 1 . 1 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 Odredi sve matrice koje komutiraju sa svim matricama drugoga reda. Dokaˇzi da neka matrica komutira sa svim dijagonalnim matricama onda i samo onda ako je i sama dijagonalna.

1.40.

1.41.

1.42.

1.43. 1.44.

Odredi matricu X za koju vrijedi a) 2A + 3X = I ; b) 3A − 2X = B . Odredi sve matrice koje komutiraju s matricom ⎡ ⎤ 1 1 0 0 



2 1 0 1 2 7 −3 ⎢0 1 0 0⎥ ; b) ; c) 0 2 1 ; d) ⎣ . a) 3 4 5 −2 0 0 2 1⎦ 0 0 2 0 0 0 2 Odredi sve matrice koje komutiraju s matricom   

3 0 0 1 −1 0 0 1 1 1 −2 a) 0 −1 0 ; b) ; c) 0 1 −1 ; d) 0 0 1 . 1 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 Odredi sve matrice koje komutiraju sa svim matricama drugoga reda. Dokaˇzi da neka matrica komutira sa svim dijagonalnim matricama onda i samo onda ako je i sama dijagonalna.

n

.

12

1.45.

1. MATRICE

Dokaˇzi da matrica A reda n komutira sa svim matricama istoga reda onda i samo onda ako je oblika λ I .

12

1.45.

1. MATRICE

Dokaˇzi da matrica A reda n komutira sa svim matricama istoga reda onda i samo onda ako je oblika λ I .

∗*∗

∗*∗

1.46.

Odredi sve matrice drugoga reda cˇ iji je kvadrat jednak nul-matrici.

1.46.

Odredi sve matrice drugoga reda cˇ iji je kvadrat jednak nul-matrici.

1.47.

Odredi sve matrice drugoga reda cˇ iji je kub jednak nul-matrici.

a b Ako za matricu A = vrijedi An = 0 za neki prirodni broj n , dokaˇzi c d da je tada ad − bc = 0 .

1.47.

Odredi sve matrice drugoga reda cˇ iji je kub jednak nul-matrici.

a b Ako za matricu A = vrijedi An = 0 za neki prirodni broj n , dokaˇzi c d da je tada ad − bc = 0 .

Neka je A matrica drugoga reda i n > 2 prirodan broj. Pokaˇzi da jednakost An = 0 vrijedi onda i samo onda ako vrijedi i A2 = 0 .

1.49.

1.48. 1.49.

1.48.

Neka je A matrica drugoga reda i n > 2 prirodan broj. Pokaˇzi da jednakost An = 0 vrijedi onda i samo onda ako vrijedi i A2 = 0 .

∗*∗

∗*∗

1.50.

Ako je A2 = I , tada se matrica A naziva involutorna. a) Odredi sve involutorne matrice drugoga reda. b) Pokaˇzi da je A involutorna onda i samo onda ako vrijedi (I − A)(I + A) = 0.

1.50.

Ako je A2 = I , tada se matrica A naziva involutorna. a) Odredi sve involutorne matrice drugoga reda. b) Pokaˇzi da je A involutorna onda i samo onda ako vrijedi (I − A)(I + A) = 0.

1.51.

Matrica A ∈ Mn je nilpotentna ako za neki pozitivni cijeli broj p vrijedi Ap = 0 . Pokaˇzi da je svaka gornja trokutasta matrica s nulama na glavnoj dijagonali nilpotentna.

1.51.

Matrica A ∈ Mn je nilpotentna ako za neki pozitivni cijeli broj p vrijedi Ap = 0 . Pokaˇzi da je svaka gornja trokutasta matrica s nulama na glavnoj dijagonali nilpotentna.

1.52.

Pokaˇzi da je umnoˇzak dviju trokutastih matrica istoga tipa ponovno trokutasta matrica istoga tipa.

1.52.

Pokaˇzi da je umnoˇzak dviju trokutastih matrica istoga tipa ponovno trokutasta matrica istoga tipa.

1.53.

Dokaˇzi da za operaciju transponiranja vrijedi (AB) = B A .

1.53.

Dokaˇzi da za operaciju transponiranja vrijedi (AB) = B A .

1.54.

Dokaˇzi da je za svaku matricu A ∈ Mn matrica AA simetriˇcna.

1.54.

Dokaˇzi da je za svaku matricu A ∈ Mn matrica AA simetriˇcna.

1.55.

Svaka se kvadratna matrica dade rastaviti na zbroj simetriˇcne i antisimetriˇcne. Provjeri da su to matrice

1.55.

Svaka se kvadratna matrica dade rastaviti na zbroj simetriˇcne i antisimetriˇcne. Provjeri da su to matrice

As = 12 (A + A ), Odredi te matrice ako je A=



Aa = 12 (A − A ).

As = 12 (A + A ), Odredi te matrice ako je

1 5 0 −3 −1 6 . 10 4 −7

A=



Aa = 12 (A − A ).

1 5 0 −3 −1 6 . 10 4 −7

1.56.

Pokaˇzi da jednakost (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 vrijedi onda i samo onda kad matrice A i B komutiraju.

1.56.

Pokaˇzi da jednakost (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 vrijedi onda i samo onda kad matrice A i B komutiraju.

1.57.

Neka su A i B simetriˇcne matrice. Pokaˇzi na primjeru da AB ne mora biti simetriˇcna.

1.57.

Neka su A i B simetriˇcne matrice. Pokaˇzi na primjeru da AB ne mora biti simetriˇcna.

1.58.

Neka su A i B simetriˇcne matrice. Dokaˇzi da je AB simetriˇcna onda i samo onda ako matrice A i B komutiraju.

1.58.

Neka su A i B simetriˇcne matrice. Dokaˇzi da je AB simetriˇcna onda i samo onda ako matrice A i B komutiraju.

1. MATRICE

1.59.

1.60.

1.61.

1.62.

1.63.

1.64. 1.65.

1.66. 1.67.

1.68.

13

Neka su A i B antisimetriˇcne matrice. Dokaˇzi da je njihov produkt AB antisimetriˇcna matrica onda i samo onda ako A i B antikomutiraju tj. ako vrijedi AB = −BA . Provjeri da mnoˇzenje dijagonalnom matricom slijeva odgovara mnoˇzenju redaka s njenim dijagonalnim elementima. Sliˇcno, mnoˇzenje dijagonalnom matricom zdesna za rezultat ima mnoˇzenje stupaca sa odgovaraju´cim dijagonalnim elementima. Komutatorom [AB] kvadratnih matrica reda n naziva se matrica [AB] := AB − BA . Pokaˇzi da komutator posjeduje sljede´ca svojstva: a) [AB] = 0 onda i samo onda ako A i B komutiraju; b) [AB] = −[BA] (antikomutativnost); c) [[AB]C] + [[BC]A] + [[CA]B] = 0 (Jacobijev identitet). ¯ na naˇcin Za kompleksnu matricu A definiramo konjugiranu matricu A ¯ ij = a¯ij , gdje je a¯ij kompleksno konjugirani broj broju aij . Takoder (A) ¯ . definiramo adjungiranu matricu A∗ na naˇcin A∗ = (A)  2−i 3i 0 - A ¯ i A∗ . Za matricu A = 1+2i 5 6−i nadi 2 3−i −2i Za (kompleksnu) kvadratnu matricu kaˇzemo da je hermitska ako vrijedi A∗ = A , antihermitska ako je A∗ = −A . (U realnom sluˇcaju ove se matrice podudaraju s simetriˇcnim i antisimetriˇcnim jer je tada A∗ = A .) Pokaˇzi da je u hermitskoj matrici dijagonala uvijek realna, a u antihermiskoj cˇ isto imaginarna. Pokaˇzi da se svaka kvadratna matrica moˇze prikazati kao zbroj hermitske i antihermitske matrice. Neka je A ∈ Mn takva da vrijedi AB = B za sve B ∈ Mn . Pokaˇzi da je A jediniˇcna matrica. Za kvadratnu matricu A definiramo njen trag kao sumu dijagonalnih elemenata: tr A = a11 + a22 = . . . + ann . Dokaˇzi da vrijedi tr(AB) = tr(BA) , tr(A + B) = tr A + tr B , tr(A) = tr(A ) za sve A, B ∈ Mn . Dokaˇzi da ne postoje kvadratne matrice A i B takve da vrijedi AB − BA = I . Jordanov produkt kvadratnih matrica A i B definira se na naˇcin A ∗ B := 1 (AB + BA) . Dokaˇzi sljede´ca svojstva: a) A ∗ B = B ∗ A ; b) A ∗ A = A2 ; 2 c) A ∗ I = A ; d) A ∗ (B + C) = A ∗ B + A ∗ C .

0 1 . Uvjeri se da vrijedi J2 = −I . Pokaˇzi da se skup svih Neka je J = −1 0 matrica oblika

α β {Z = α I + β J = : α , β ∈ R} −β α s obzirom na operacije zbrajanja i mnoˇzenja matrica ponaˇsa identiˇcno skupu kompleksnih brojeva {z = α + iβ } .

1. MATRICE

1.59.

1.60.

1.61.

1.62.

1.63.

1.64. 1.65.

1.66. 1.67.

1.68.

13

Neka su A i B antisimetriˇcne matrice. Dokaˇzi da je njihov produkt AB antisimetriˇcna matrica onda i samo onda ako A i B antikomutiraju tj. ako vrijedi AB = −BA . Provjeri da mnoˇzenje dijagonalnom matricom slijeva odgovara mnoˇzenju redaka s njenim dijagonalnim elementima. Sliˇcno, mnoˇzenje dijagonalnom matricom zdesna za rezultat ima mnoˇzenje stupaca sa odgovaraju´cim dijagonalnim elementima. Komutatorom [AB] kvadratnih matrica reda n naziva se matrica [AB] := AB − BA . Pokaˇzi da komutator posjeduje sljede´ca svojstva: a) [AB] = 0 onda i samo onda ako A i B komutiraju; b) [AB] = −[BA] (antikomutativnost); c) [[AB]C] + [[BC]A] + [[CA]B] = 0 (Jacobijev identitet). ¯ na naˇcin Za kompleksnu matricu A definiramo konjugiranu matricu A ¯ ij = a¯ij , gdje je a¯ij kompleksno konjugirani broj broju aij . Takoder (A) ¯ . definiramo adjungiranu matricu A∗ na naˇcin A∗ = (A)  2−i 3i 0 - A ¯ i A∗ . Za matricu A = 1+2i 5 6−i nadi 2 3−i −2i Za (kompleksnu) kvadratnu matricu kaˇzemo da je hermitska ako vrijedi A∗ = A , antihermitska ako je A∗ = −A . (U realnom sluˇcaju ove se matrice podudaraju s simetriˇcnim i antisimetriˇcnim jer je tada A∗ = A .) Pokaˇzi da je u hermitskoj matrici dijagonala uvijek realna, a u antihermiskoj cˇ isto imaginarna. Pokaˇzi da se svaka kvadratna matrica moˇze prikazati kao zbroj hermitske i antihermitske matrice. Neka je A ∈ Mn takva da vrijedi AB = B za sve B ∈ Mn . Pokaˇzi da je A jediniˇcna matrica. Za kvadratnu matricu A definiramo njen trag kao sumu dijagonalnih elemenata: tr A = a11 + a22 = . . . + ann . Dokaˇzi da vrijedi tr(AB) = tr(BA) , tr(A + B) = tr A + tr B , tr(A) = tr(A ) za sve A, B ∈ Mn . Dokaˇzi da ne postoje kvadratne matrice A i B takve da vrijedi AB − BA = I . Jordanov produkt kvadratnih matrica A i B definira se na naˇcin A ∗ B := 1 (AB + BA) . Dokaˇzi sljede´ca svojstva: a) A ∗ B = B ∗ A ; b) A ∗ A = A2 ; 2 c) A ∗ I = A ; d) A ∗ (B + C) = A ∗ B + A ∗ C .

0 1 . Uvjeri se da vrijedi J2 = −I . Pokaˇzi da se skup svih Neka je J = −1 0 matrica oblika

α β {Z = α I + β J = : α , β ∈ R} −β α s obzirom na operacije zbrajanja i mnoˇzenja matrica ponaˇsa identiˇcno skupu kompleksnih brojeva {z = α + iβ } .

2.

2.

Determinante

Determinante

Determinanta realne kvadratne matrice je funkcija det : Mn → R . Determinantu matrice A oznaˇcavamo s    a11 . . . a1n   .  . det A ili |A| ili  ..  a ... a  n1 nn Definiramo je induktivno po redu n matrice. Za n = 1 i A = [ a11 ] je det

A = a11 . a11 a12 Za n = 2 i A = , a21 a22   a a  det A =  11 12  := a11 a22 − a12 a21 . a21 a22

Determinanta realne kvadratne matrice je funkcija det : Mn → R . Determinantu matrice A oznaˇcavamo s    a11 . . . a1n   .  . det A ili |A| ili  ..  a ... a  n1 nn Definiramo je induktivno po redu n matrice. Za n = 1 i A = [ a11 ] je det

A = a11 . a a Za n = 2 i A = 11 12 , a21 a22    a11 a12    := a11 a22 − a12 a21 . det A =  a21 a22 

Za matrice viˇsega reda determinanta se definira (i moˇze raˇcunati) razvojem po bilo kojem retku ili stupcu, na naˇcin          a11 a12 a13   a22 a23   a21 a23   a21 a22         . + a13  − a12  det A =  a21 a22 a23  = a11  a32 a33  a31 a33  a31 a32    a31 a32 a33 Op´cenito se determinanta matrice reda n dobije pomo´cu determinanti reda n − 1 tako da se zbroje (ili oduzmu) produkti elemenata nekog retka ili stupca s determinantama matrica koje se dobiju uklanjanjem retka i stupca u kojem se taj element nalazi. Toˇcnije zapisano n  det A = (−1)i+j aij Mij ,

Za matrice viˇsega reda determinanta se definira (i moˇze raˇcunati) razvojem po bilo kojem retku ili stupcu, na naˇcin          a11 a12 a13   a22 a23   a21 a23   a21 a22         . + a13  − a12  det A =  a21 a22 a23  = a11  a32 a33  a31 a33  a31 a32    a31 a32 a33 Op´cenito se determinanta matrice reda n dobije pomo´cu determinanti reda n − 1 tako da se zbroje (ili oduzmu) produkti elemenata nekog retka ili stupca s determinantama matrica koje se dobiju uklanjanjem retka i stupca u kojem se taj element nalazi. Toˇcnije zapisano n  det A = (−1)i+j aij Mij ,

j=1

j=1

(rastav po i -tom retku, ili det A =

n 

(rastav po i -tom retku, ili (−1)i+j aij Mij .

i=1

(rastav po j -tom stupcu). Tu je Mij minor elementa aij : determinanta matrice reda n − 1 u kojoj se ne nalazi i -ti redak niti j -ti stupac poˇcetne matrice.

det A =

n 

(−1)i+j aij Mij .

i=1

(rastav po j -tom stupcu). Tu je Mij minor elementa aij : determinanta matrice reda n − 1 u kojoj se ne nalazi i -ti redak niti j -ti stupac poˇcetne matrice.

2. DETERMINANTE

15

2. DETERMINANTE

15

Definicija determinante je dobra, poˇsto ovaj Laplaceov razvoj ne ovisi o izboru retka ili stupca po kojem vrˇsimo razvoj. Izbor predznaka + ili − pamtimo po sljede´coj shemi za matrice reda 3 i 4: ⎡ ⎤ + − + −  + − + ⎢− + − +⎥ − + − , ⎣ + − + − ⎦. + − + − + − +

Definicija determinante je dobra, poˇsto ovaj Laplaceov razvoj ne ovisi o izboru retka ili stupca po kojem vrˇsimo razvoj. Izbor predznaka + ili − pamtimo po sljede´coj shemi za matrice reda 3 i 4: ⎡ ⎤ + − + −  + − + ⎢− + − +⎥ − + − , ⎣ + − + − ⎦. + − + − + − +

2.1. Laplaceov razvoj i Sarrusovo pravilo

2.1. Laplaceov razvoj i Sarrusovo pravilo

Direktnim razvojem po nekom retku ili stupcu raˇcunamo uglavnom determinante matrica maloga reda (3 ili 4). Specijalno, za determinante tre´cega reda ponekad je brˇze dati gotov razvoj:    a11 a12 a13    det A =  a21 a22 a23  a a a  31 32 33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12 ). Ovaj se razvoj pamti iz sljede´ceg zapisa kojeg nazivamo Sarrusovo pravilo. Prva dva stupca determinante se prepiˇsu iza tre´cega i potom izmnoˇze po tri broja koja se nalaze na istovrsnim dijagonalama. Padaju´ce dijagonale nose pozitivan, a rastu´ce negativan predznak: + + + a11 a12 a13 a11 a12 det A = a21 a22 a23 a21 a22 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a31 a32 a33 a31 a32 −(a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12 ). − − −

Direktnim razvojem po nekom retku ili stupcu raˇcunamo uglavnom determinante matrica maloga reda (3 ili 4). Specijalno, za determinante tre´cega reda ponekad je brˇze dati gotov razvoj:    a11 a12 a13    det A =  a21 a22 a23  a a a  31 32 33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12 ). Ovaj se razvoj pamti iz sljede´ceg zapisa kojeg nazivamo Sarrusovo pravilo. Prva dva stupca determinante se prepiˇsu iza tre´cega i potom izmnoˇze po tri broja koja se nalaze na istovrsnim dijagonalama. Padaju´ce dijagonale nose pozitivan, a rastu´ce negativan predznak: + + + a11 a12 a13 a11 a12 det A = a21 a22 a23 a21 a22 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a31 a32 a33 a31 a32 −(a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12 ). − − −

2.1.

2.1.

Izraˇcunaj determinante:    2 1 −1    a)  3 1 −2 ; b) 1 0 1   1 2 3   d)  2 3 4 ; e) 3 4 5

 1  2 2  0  2 3

 2 2  1 −2 ; −2 1   1 3  3 5 . 5 7

   −2 3 1    c)  3 6 2 ;  1 2 1

ˇ RJE SENJE . a) Determinantu raˇcunamo razvojem po tre´cem retku        2 1 −1   1 −1  2 1       − 2 = 1 · + 1 · 3 1    1 −2  3 1   1 0 1 = (−2 − (−1)) + (2 − 3) = −2.

Izraˇcunaj determinante:    2 1 −1    a)  3 1 −2 ; b) 1 0 1   1 2 3   d)  2 3 4 ; e) 3 4 5

 1  2 2  0  2 3

 2 2  1 −2 ; −2 1   1 3  3 5 . 5 7

   −2 3 1    c)  3 6 2 ;  1 2 1

ˇ RJE SENJE . a) Determinantu raˇcunamo razvojem po tre´cem retku        2 1 −1   1 −1  2 1       − 2 = 1 · + 1 · 3 1    1 −2  3 1   1 0 1 = (−2 − (−1)) + (2 − 3) = −2.

16

2. DETERMINANTE

16

2. DETERMINANTE

b) Laplaceovim razvojem po prvom retku dobivamo         1 2 2  1 −2   2 −2  2 1         −2· +2·  2 1 −2  = 1 ·  2 1 2 −2  −2 1    2 −2 1 = 1 · (1 − 4) − 2(2 + 4) + 2(−4 − 2) = −27.

b) Laplaceovim razvojem po prvom retku dobivamo         1 2 2  1 −2   2 −2  2 1   −2·     2 1 −2  = 1 ·   2 1  + 2 ·  2 −2  −2 1    2 −2 1 = 1 · (1 − 4) − 2(2 + 4) + 2(−4 − 2) = −27.

c) Sarrusovim pravilom    −2 3 1  −2 3    3 6 2  3 6 = −12 + 6 + 6 − (6 − 8 + 9) = −7.   1 2 1 1 2

c) Sarrusovim pravilom    −2 3 1  −2 3    3 6 2  3 6 = −12 + 6 + 6 − (6 − 8 + 9) = −7.   1 2 1 1 2

d) 0. e) 4.

d) 0. e) 4.

2.2.

Izraˇcunaj determinantu    3 1 −1 2     −5 1 3 −4  D= .  2 0 1 −1   1 −5 3 −3 

ˇ RJE SENJE . Razvijamo po tre´cem retku        1 −1 2   3 1 2  3 1 −1        D = 2 ·  1 3 −4  + 1 ·  −5 1 −4  − (−1) −5 1 3        1 −5 −3 1 −5 3 −5 3 −3 = (Sarrusovim pravilom) = 2(−9 − 20 + 6 + 30 + 12 − 3) + (−9 − 4 + 50 − 2 − 60 − 15) + (9 + 3 − 25 + 1 + 45 + 15) = 2 · 16 − 40 + 48 = 40.

2.2.

Izraˇcunaj determinantu    3 1 −1 2     −5 1 3 −4  D= .  2 0 1 −1   1 −5 3 −3 

ˇ RJE SENJE . Razvijamo po tre´cem retku        1 −1 2   3 1 2  3 1 −1        D = 2 ·  1 3 −4  + 1 ·  −5 1 −4  − (−1) −5 1 3        1 −5 −3 1 −5 3 −5 3 −3 = (Sarrusovim pravilom) = 2(−9 − 20 + 6 + 30 + 12 − 3) + (−9 − 4 + 50 − 2 − 60 − 15) + (9 + 3 − 25 + 1 + 45 + 15) = 2 · 16 − 40 + 48 = 40.

2.2. Svojstva determinanti

2.2. Svojstva determinanti

Navedimo neka svojstva determinanti. 1) det A = det A . 2) Zamjenom dva retka (ili stupca) determinanta mijenja predznak. 3) Determinantu mnoˇzimo skalarom tako da tim skalarom pomnoˇzimo sve elemente nekog retka ili stupca determinante. Ovo se pravilo cˇ eˇsc´ e koristi na naˇcin da se svi elementi nekog retka ili stupca skrate za zajedniˇcki faktor koji se izvlaˇci ispred determinante.

Navedimo neka svojstva determinanti. 1) det A = det A . 2) Zamjenom dva retka (ili stupca) determinanta mijenja predznak. 3) Determinantu mnoˇzimo skalarom tako da tim skalarom pomnoˇzimo sve elemente nekog retka ili stupca determinante. Ovo se pravilo cˇ eˇsc´ e koristi na naˇcin da se svi elementi nekog retka ili stupca skrate za zajedniˇcki faktor koji se izvlaˇci ispred determinante.

2. DETERMINANTE

17

2. DETERMINANTE

17

4) Ako su svi elementi nekog retka (ili stupca) jednaki nuli, determinanta je jednaka nuli. 5) Ako su u determinanti dva retka (ili stupca) jednaka (ili proporcionalna), ona je jednaka nuli. 6) Vrijednost determinante se ne mijenja ako se nekom retku (ili stupcu) pribroje elementi nekog drugog retka (ili stupca) pomnoˇzeni skalarom λ . 7) Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnoˇsku elemenata na dijagonali. 8) Binet-Cauchyjev teorem: det(AB) = det A · det B . Od ovih svojstava pri raˇcunanju determinante najˇceˇsc´ e koristimo svojstvo 6. Cilj - donju) trokutastu i je pomo´cu takve transformacije dovesti matricu na gornju (rjede tako izraˇcunati njenu vrijednost.

4) Ako su svi elementi nekog retka (ili stupca) jednaki nuli, determinanta je jednaka nuli. 5) Ako su u determinanti dva retka (ili stupca) jednaka (ili proporcionalna), ona je jednaka nuli. 6) Vrijednost determinante se ne mijenja ako se nekom retku (ili stupcu) pribroje elementi nekog drugog retka (ili stupca) pomnoˇzeni skalarom λ . 7) Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnoˇsku elemenata na dijagonali. 8) Binet-Cauchyjev teorem: det(AB) = det A · det B . Od ovih svojstava pri raˇcunanju determinante najˇceˇsc´ e koristimo svojstvo 6. Cilj - donju) trokutastu i je pomo´cu takve transformacije dovesti matricu na gornju (rjede tako izraˇcunati njenu vrijednost.

2.3.

2.3.

Izraˇcunaj determinante:     2 5 6  2+a 1+b  ; b)  1 2 5 ; a)  a b  1 3 2

 5  2 c)  2 2

2 5 2 2

2 2 5 2

 2  2 ; 2 5

 4  0 d)  0 5

0 4 5 0

0 5 4 0

 5  0 . 0 4

ˇ RJE SENJE . a) Determinantu transformiramo tako da drugi redak oduzmemo od prvog:      2+a 1+b     = (1.r − 2.r) =  2 1  = 2b − a.    a  b a b - oprez, u jednom koraku moˇze se sprovoditi nekoliko transformab) Uz odredeni cija tipa 6. Dopuˇsteno je jednom retku dodati linearnu kombinaciju nekoliko preostalih redaka:     2 5 6  0 0 −1       1 2 5  = (1.r−2.r−3.r) =  1 2 5  1 3 2 1 3 2 = (rastav po prvom retku)   1 2   = −(3 − 2) = −1. = (−1) 1 3

c)

 5  2  2 2

2 5 2 2

    11 11 11 11  2    2  2 5 2 2  = (1.r+(2.r+3.r+4.r)) =   2  2 2 5 2   5 2 2 2 5   1 1 1 1   2 5 2 2 = 11  = (2.r−2×1.r, 3.r−2×1.r, 4.r−2×1.r) 2 2 5 2 2 2 2 5   1 1 1 1   0 3 0 0 = 11  = (trokutasta matrica) = 11 · 33 = 297. 0 0 3 0 0 0 0 3

2 2 5 2

Izraˇcunaj determinante:     2 5 6  2+a 1+b  ; b)  1 2 5 ; a)  a b  1 3 2

 5  2 c)  2 2

2 5 2 2

2 2 5 2

 2  2 ; 2 5

 4  0 d)  0 5

0 4 5 0

0 5 4 0

 5  0 . 0 4

ˇ RJE SENJE . a) Determinantu transformiramo tako da drugi redak oduzmemo od prvog:      2+a 1+b     = (1.r − 2.r) =  2 1  = 2b − a.    a  b a b - oprez, u jednom koraku moˇze se sprovoditi nekoliko transformab) Uz odredeni cija tipa 6. Dopuˇsteno je jednom retku dodati linearnu kombinaciju nekoliko preostalih redaka:     2 5 6  0 0 −1       1 2 5  = (1.r−2.r−3.r) =  1 2 5  1 3 2 1 3 2 = (rastav po prvom retku)   1 2   = −(3 − 2) = −1. = (−1) 1 3

c)

 5  2  2 2

2 5 2 2

    11 11 11 11  2    2  2 5 2 2  = (1.r+(2.r+3.r+4.r)) =   2  2 2 5 2   5 2 2 2 5   1 1 1 1   2 5 2 2 = 11  = (2.r−2×1.r, 3.r−2×1.r, 4.r−2×1.r) 2 2 5 2 2 2 2 5   1 1 1 1   0 3 0 0 = 11  = (trokutasta matrica) = 11 · 33 = 297. 0 0 3 0 0 0 0 3

2 2 5 2

18

2. DETERMINANTE

d)  4  0  0 5

0 4 5 0

   9 0 0 9 0 5    5 0 0 9 9 0  = (1.r+4.r, 2.r+3.r) =   4 0 0 5 4 0   0 4 5 0 0 4   1 0 0 1   0 1 1 0 = 92   = (4.r−5×1.r, 3.r−5×2.r) 0 5 4 0 5 0 0 4   1 0 0 1   0 1 1 0 = 81  = 81.  0 0 −1 0   0 0 0 −1 

18

2. DETERMINANTE

d)  4  0  0 5

0 4 5 0

   9 0 0 9 5    0 0 9 9 0  = (1.r+4.r, 2.r+3.r) =   0 0 5 4 0   4 5 0 0 4   1 0 0 1   2 0 1 1 0  =9   = (4.r−5×1.r, 3.r−5×2.r) 0 5 4 0 5 0 0 4   1 0 0 1   0 1 1 0 = 81  = 81.  0 0 −1 0   0 0 0 −1 

0 5 4 0

∗*∗

∗*∗

Dakako da ovdje navedeni postupci raˇcunanja nisu jedini mogu´ci, pa moˇzda cˇ ak niti ‘najjednostavniji’; cˇ itatelj moˇze potraˇziti i druge naˇcine za njihov izraˇcun. Pri tom treba paziti da se pri koriˇstenju svojstava determinanti ne uˇcini circulus viciosus — vrtnja u krugu. Spomenuli smo da je dozvoljeno u jednom koraku retku dodati linearnu kombinaciju nekolicine preostalih, medutim ako se to uˇcini s nekolicinom redaka istovremeno, vrlo je vjerojatno da c´e do´ci do pogreˇske. Pogreˇsna primjena moˇze dovesti i do ovakovih ‘raˇcuna’   3 8 2    2 −3 3  = (1.r+2.r,2.r+1.r)   2 1 −1     5 5 5 0 0 0     =  5 5 5  = (1.r−2.r) =  5 5 5  = 0.  2 1 −1   2 1 −1 

Dakako da ovdje navedeni postupci raˇcunanja nisu jedini mogu´ci, pa moˇzda cˇ ak niti ‘najjednostavniji’; cˇ itatelj moˇze potraˇziti i druge naˇcine za njihov izraˇcun. Pri tom treba paziti da se pri koriˇstenju svojstava determinanti ne uˇcini circulus viciosus — vrtnja u krugu. Spomenuli smo da je dozvoljeno u jednom koraku retku dodati linearnu kombinaciju nekolicine preostalih, medutim ako se to uˇcini s nekolicinom redaka istovremeno, vrlo je vjerojatno da c´e do´ci do pogreˇske. Pogreˇsna primjena moˇze dovesti i do ovakovih ‘raˇcuna’   3 8 2    2 −3 3  = (1.r+2.r,2.r+1.r)   2 1 −1     5 5 5 0 0 0     =  5 5 5  = (1.r−2.r) =  5 5 5  = 0.  2 1 −1   2 1 −1 

Mi c´ emo ubudu´ce koristiti sljede´ce pravilo (koje je upotrebljeno u zadatku c): dopuˇsteno je u jednom koraku svakom (osim jednog) dodati taj redak pomnoˇzen s brojem.

Mi c´ emo ubudu´ce koristiti sljede´ce pravilo (koje je upotrebljeno u zadatku c): dopuˇsteno je u jednom koraku svakom (osim jednog) dodati taj redak pomnoˇzen s brojem.

2.4.

2.4.

Izraˇcunaj determinante:   1 1 1    b) a)  1 a a ;  2 2 1 a a

ˇ RJE SENJE . a) 0 (dva identiˇcna stupca).

  1 1 1    a b c ;  2 2 2 a b c

   x y x+y    c)  y x+y x .   x+y x y

Izraˇcunaj determinante:   1 1 1    b) a)  1 a a ;  2 2 1 a a

ˇ RJE SENJE . a) 0 (dva identiˇcna stupca).

  1 1 1    a b c ;  2 2 2 a b c

   x y x+y    c)  y x+y x .   x+y x y

2. DETERMINANTE

b)

19

    0 0  1 1 1 1      a b c  = (2.s−1.s, 3.s−1.s) =  a b−a c−a   a2 b2 c2   a2 b2 −a2 c2 −a2       b−a c−a   1 1     =  2 2 2 2  = (b − a)(c − a) b −a c −a b+a c+a 

2. DETERMINANTE

b)

= (b − a)(c − a)(c − b). c)

    y x+y   x  2x+2y 2x+2y 2x+2y      x+y x   y x+y x  = (1.r+(2.r+3.r)) =  y  x+y x  x+y y  x y    1 1  1   = (2x + 2y) y x+y x  = (2.s−1.s, 3.s−1.s)  x+y x y       1 0 0   x x−y      x x−y  = 2(x + y) = 2(x + y) y −y −x    x+y −y −x

Izraˇcunaj determinante:    2 7 −8 1     3 15 18 91  a)  ; b)  0 0 0 0  27 13 39 1     1 2 −1    e) d)  0 1 −6 ;   3 8 −15

  8 28 38   4 14 19  7 5 3 1 3 5   378 253   377 252  −3 −3

    0 0  1 1 1 1      a b c  = (2.s−1.s, 3.s−1.s) =  a b−a c−a   a2 b2 c2   a2 b2 −a2 c2 −a2       b−a c−a   1 1     =  2 2 2 2  = (b − a)(c − a) b −a c −a b+a c+a 

= (b − a)(c − a)(c − b). c)

= 2(x + y)(−x2 − y2 + xy) = −2(x3 + y3 ).

2.5.

19

 48   24  ; 1 7  127   126 ;  −3

    y x+y   x  2x+2y 2x+2y 2x+2y      x+y x   y x+y x  = (1.r+(2.r+3.r)) =  y  x+y x  x+y y  x y    1 1  1   = (2x + 2y) y x+y x  = (2.s−1.s, 3.s−1.s)  x+y x y       1 0 0   x x−y      x x−y  = 2(x + y) = 2(x + y) y −y −x    x+y −y −x

= 2(x + y)(−x2 − y2 + xy) = −2(x3 + y3 ).

   3 −1 2 4     1 2 5 1 c)  ;  7 0 9 9  13 −1 17 4     2789 3453   . f)  2790 3454 

ˇ RJE SENJE . a) 0 (3. redak). b) 0 (1. redak = 2 × 2 . redak). c) 0 (3. redak = 2 × 1 . redak + 2. redak). Dakako da ova veza nije oˇcigledna. Medutim, svaki drugi ispravan naˇcin raˇcunanja ove determinante dati c´ e isti rezultat. d) 0 (3. redak = 3 × 1 . redak + 2 × 2 . redak). e)      378 253 127   1 1 1     D = −3 377 252 126  = (1.r − 2.r) = −3 377 252 126  = 0.     1 1 1 1 1 1    2789 3453   = 2789 − 3453 = −664 . f) D = (2.r − 1.r) =  1 1

2.5.

Izraˇcunaj determinante:    2 7 −8 1     3 15 18 91  a)  ; b)  0 0 0 0  27 13 39 1     1 2 −1    e) d)  0 1 −6 ;   3 8 −15

  8 28 38   4 14 19  7 5 3 1 3 5   378 253   377 252  −3 −3

 48   24  ; 1 7  127   126 ;  −3

   3 −1 2 4     1 2 5 1 c)  ;  7 0 9 9  13 −1 17 4     2789 3453   . f)  2790 3454 

ˇ RJE SENJE . a) 0 (3. redak). b) 0 (1. redak = 2 × 2 . redak). c) 0 (3. redak = 2 × 1 . redak + 2. redak). Dakako da ova veza nije oˇcigledna. Medutim, svaki drugi ispravan naˇcin raˇcunanja ove determinante dati c´ e isti rezultat. d) 0 (3. redak = 3 × 1 . redak + 2 × 2 . redak). e)      378 253 127   1 1 1     D = −3 377 252 126  = (1.r − 2.r) = −3 377 252 126  = 0.     1 1 1 1 1 1    2789 3453   = 2789 − 3453 = −664 . f) D = (2.r − 1.r) =  1 1

2. DETERMINANTE

20

2.6.

Izračunaj detenninante:

l b) 0l o

oo9 l

a)

OO 8 2 .

0 0 7 3' l 2 3 4

l o 0 o

25 75 e) 75 25

5 4 2 -1 . 3 O' 2 -4

31 94 94 32

17 53 54 20

43 132 134 · 48

RJEŠENJE.

a)

razvojem po prvom stupcu:

o9 l

D=- O 8 2 =O.

o7 3

b) l 2

-l

D= (po2. stupcu ) =- O 3

O

o 2 -4

= (pol. stupcu ) =

e)

-l� � l -

l 3 . . . /.s) = 25 D= (1zlučmw251z 3 l

= 12.

3 1 17 94 53 94 54 32 20

:::::: (2.s-3lxl.s, 3.s-17xl.s, 4.s-43xl.s )

l 3 ::::2:: 5 3 l

o l 1 l

o 2 3 3

43 132 134 48

o 3 = 25 1l 23 53 = 0 5 l 3 5 5

(drugi i treći redak su jednaki).

2.7.

Izračunaj detenninantu petoga

reda

-2 5 o l o 3 D= 3 -1 O 2 6 -4 o -3 -1

-1 3 7 -2 5 -5 . l 2 2 3

RJEšENJE. Koristit ćemo elementarne transformacije. Krenimo sa stuecem u kojem je dovoljno upotrijebiti samo dvije transformacije -trećim stupcem. Zelimo postići

2. DETERMINANTE

21

nule u drugom i četvrtom retku, a kao stožerni element biramo onaj iz petog retka.

-9

D= (4.r-4x5.r, 2.r+3x5.r) =

l -9

-2l 5 oo -113 73 -2 5 -113 73 -5 2o3 -1-318 -1oo -725 -10-53 = (-1) 23 -118 -75 -10

S ada za stožer biramo prvi element drugoga retka.

-9

D= (l.r+2x2.r, 3.r-3x2.r, 4.r-2x2.r)

-13 2513 177 -13 25 17 2636 -33 -34 -26 2636 -34 -33 -26 -24 -1313 -1725 -1317 = (l.r+2.r, 3.r-2.r) = 6 13o -178 -134 =2 3 -1 6 5 12 - l l ,-8 = 6 ( -13 1 : � 1 - l l - l� -11 1 ) = 6 ( -13 . 16 - ( -36)) = -1032 . o l o o

·

-24

·

Ne postoji općeniti postupak koji bi bio koristan pri računu determinanti n -toga reda. Najčešće se koristimo svojstvima determinanti bilo u pokušaju da ih sveđerno na trokutasti oblik, bilo na oblik pogodan za Laplaceov razvoj, bilo da uočimo vezu između determinante i sličnih determinanti manjega reda. Taj je problem složen i zahtijeva velik nivo apstrakcije da bi se uočile zakonitosti među elementima početne determinante i onih koje dobivamo u postupku računanja. Osvrnut ćemo se na najčešće metode računanja ovih determinanti.

Svođenje na trokutasto formu. Determinantu svodimo na gornju (ili donju) trokutastu formu bilo rastavom po nekome retku, bilo koristeći elementarne transfor­ macije. 2.8.

Izračunaj sljedeće determinante reda

a)

00 01 01 .. .. .. 00 00 01 00 00 .... .. 00 01

n:

a {jO O a {j

oo oo

b) ooo ... a fJ fjOO ...O a

2. DETERMINANTE

22

)

RJEšENJE. a Determinantu rastavljamo po prvom stupcu: o ... oo o ... oo

ll

(-l t+l . l .

oo ... o

l

= (-l t+l .

b) Determinantu rastavljamo po prvom stupcu

aO a/3 /3O ... OO /3 f30 00 .... . . 00 a D=a + (-l)n+l/3 O a /3 . . . O oo . . . a /3 O O ... 1O a . . a /3 oo . n = a + (-l t+w.

2.9.

Izračunaj sljedeće determinante:

222 23Z4 .. .. .. 22 2 2 2 ... n + l 2n-l ll 3Z55 ... . 2n-l l 3 4 . . Zn-l z ... z

a)

b)

d)

l 3 5 Zn-Z

RJEšENJE. a)

• . •

l O O . . . an

.

2l 2 ) = O O 2 . . . O = Z(n 1)! O O O ... n-l z

D= (

.

z

_

(determinanta gornje trokutaste matrice). b) 2 33 ...... nn -1-ll o-Z O =( D= -l -2 -3 . .o ... n

...

o o ... o

od svakog retka osim · prvog odu-onemo prv1

zn

'

..

.

..

... 2n

-4

. .

e)

-2-2 o-44 o66 .. .... 2nZn . -2 -6 ... o o l l .. . l ll oa1 oa . oo 2 z

z

)=

svakom ret� dodamo prv1

zn

Oo1 o2Z633 ........ . 2nZnn .

O O O ... n

=

zn n !.

2. DETERMINANTE

23

l -13 o5 ... 2n-l -1 o o o o . . . -l

e) Od svakoga retka oduzmemo prvi

D=

o

O

O O

= (- l t -1 •

d) Od prvog retka oduzmemo drugi podijeljen s itd. Dobit ćemo trokutastu matricu:

D=

- I:7l=1 i o oo . .. o l l o oo... n n 2 2 . . . 2 22 2 2 .. .. .. 22 2 2 2 .. a1

O O ... O

O

az

O ... O

=

Izračuna j determinante reda

az

(L�). i= l ' n

-a1 az .. . an

a

2.10.

a1 , zatim treći podijeljen s

:

-l

a)

-l

-l

.

-l

011... 11

lOx ... xx e)

lxO ... xx lxx ... Ox lxx ... xO

RJEšENJE. tor:

a)

D=

Prvom retku dodajmo zbroj preostalih i izlučimo potom zajednički fak­

2n-3 2n-3 . . . 2n-3 . ... . 2 22 2n-3 2 2 2 2 2 -l 2 (2n - 3) 2 2 -l 2 2 2 2 -l 2 2 2 lo -3 o ol -3 (-3)n-1(2n - 3). (2n- 3) o o o . . . -3

=

-l

l l

-1

-l

Sada od svakog retka oduzimamo dvostruki prvi:

D=

l

O O

l

O

=

l

l

.

2. DETERMINANTE

24

b)O. Prvom retku dodamo zbroj preostalih. e) Od svakog retka (osim prvog) oduzmemo prvi redak pomnožen s

x:

0l -x1 1 1 . . 1 D= l -x l x . . -x n-l 1 -x D= l -x = (n - l )(- 1 )"-1x "-2 • l . -x x x-aa a a a -a-x D = -a-x x-a . . . -a-x x-a 2. H-a-xx-a ) x-a . . . ! (x+a ) D = -a-x x-a . . -a-x x-a . . = Hx-a )(x -at- 1 + (-1 )"+1 Hx +a )(-x-a )"- 1 = ! [(x -a )"+ (x +at]. O

O O ... O O . . .O

O OO .

Zbroj svih redaka osim prvog, podijeljen s X

dodajemo prvom retku:

o o o ... o o o ... o o O ... o

O OO

d)

,

.

.

Od svakog retka (osim prvog) oduzmemo prethodni

O O O

O

o

o

O O

O

Sada prvom retku dodajemo zbroj preostalih redaka podijeljen s

Nakon toga deter­

minantu rastav ljamo po prvom retku.

o

o . . o .

o

o

2.11.

o

o o o

o o

o

-xal aX2 a3 . .. a,. . -x X

Izračuna j determinante reda h :

a)

o

-x

o X

o o . .

o o

-xall -xXa22z Xa33 a ., . .. -Xn-l X11 o

b)

o

o o

o o

2. DETERMINANTE RJEšENJE. a)

25

l:a0 i aX2 a03 aon

Prvom stupcu dodajemo preostale. Dobivenu determinantu razvijemo

0 .. .. .. O0 X D= O O = (ti=l ai) 0 0 ... X O O x1 = x2 = ... = Xn = aXl1 Xa22 Xna3 Xnan D= X1X2 · · X n -1O -1 o oO o o a) = aXl1 a1

po prvom stupcu:

-x

x

• . •

b)

-x x

-x x

Ova je determinanta općenitiji slučaj prethodne. Ukoliko nju izračunamo, x dobit ćemo prethodni rezultat!

uvrštavajući

Iz svakoga

stupca izlučimo odgovarajuću nepoznanicu:

l

l

-l l

o o o

, kod koje je x

Sada smo dobili specijalni slučaj determinante iz moramo staviti

umjesto

l! Dakako,

i slično za ostale veličine:

Korištenje rekurzijskih formula.

Razvojem po nekom retku ili stupcu mogu­

će je ponekad determinantu reda n izraziti s pomoću istih determinanti reda n - l . Ponavljajući tu formulu unatrag, dobivamo vrijednost tražene determinante.

2.12.

Izračunaj determinante reda n :

RJEŠENJE. a)

101 111 011 ........ . 001 001 001 a) 00 00 00 .. .. .. 01 11 01

01 01 01 00 .. .. .. 00 00 0 1 0 1 ... 0 0 00 00 00 00 .. .. .. 01 01

b)

Označimo tražene determinante s .6.,. .

Rastavom po prvom stupcu dobivamo

!l.n =

l

1 01 00 .. .. .. 00 11 11 01 .. .. .. 01 1 . O . . O . O ... O ooo ooo l l

.

o o o

-l

l

l l

o

o o

l

= -11n-l · l

2. DETERMINANTE

26 Iz ove jednakosti slijedi dalje

( l:::t.n =l -l:::t.n-1 =l - l

-

l:::t.n z) = l:::t.n-2• -

Za osnovu uzimamo n= 3 (to je prvi n za koji determinanta ima karakterističan oblik koji vrijedi potom za svaki veći broj n):

!:::t.3

Ill

=

���

11 10 - 1 =l . =1 ll 1 l l1

Zato j e !:::t. 2n+1 = !:::t. 3 =l . Za parne indekse vrijedi !:::t.2n = � =l- !:::t.3 =O.

b)

Ponovo rastavom po prvom stupcu pa potom po prvom retku dobivamo rekur­

zijskurelaciju l:::t.n = -!:::t.,._z, Kako je !:::t.2 = -1, !:::t.3 =O, to dobivamo !:::t.2n+l =O,

n ( -l) •

!:::t.2n

2.13.

Izračunaj determinante reda n :

1-A. 2 l 2-A.

a)

l

2

3 3

n n

b)

3 ... n-A.

lll ...l n+l

RJEšENJE. Označimo traženu determinantu s l:::t.n

a)

2l l ... l l l 3l ... l l ll 4 . .. l l

•

Determinantu možemo prikazati kao zbroj dviju determinanti, cijepajući pos-

ljednji stupac na zbroj dvaju stupaca:

l:::t.n=

1-A. 2 l 2-A. l

2

3 ... n 3 ...n 3 ... n

+

1-A. 2 l 2-A. l

2

3 3

o o

3

-A.

U prvoj determinanti ćemo od svakog retka oduzeti posljednji i tako dobiti trokutastu determinantu. Drugu determinantu rastavljamo po posljednjem stupcu.

A. !::t.,.=

o ... o o -A. o ... o o o -A. ... o o

l 2

3 ... n

=n( -A. )"-1 - A.!:::t.n-1·

1-A. 2 3 l 2-A. 3 2 3-A. - A. l l

2

3

n-l n-l n-l ...n-1-A.

2.

DETERMINANTE Vrijedi

�1==nl(-A- t.-l -A [(n -l)(-A )n -2 -A �n-2] 1 2 + == ((-A.t + n -l ) A. [ n A . ( ] 2 1 -A.t- (n + (n -l) + (n -2)]-A.3 �n-3 == ((--A.tA.t--ll [[nn ++ ((nn -l)+ -l)+ .. . .. ++ 22]]++ ((--l)l tn--llA.A_nn--11 (�11 -A.) = (- l t[A.n -An-l n (n l) ] · �n == n�n[(nn--l)1 + (An. -l)2 +(! n -2) ! ]+n!· -l - -3)!]n+n! + = n(n -l)[(n -2)�n-3 +(n (n � l �) n.- il1 +n.l' ( l l+ l + . . l+ ;;l ) - n.' (2 + + · · · + ;;) · A.

A,.

27

lterirajući ovu rekurzijsku relaciju dobivamo

;

b) Istom transformacijom kao u prošlom primjeru dobivamo

_

lA

2

3

2+3

2.14.

lX1 Xl2 l W(x t, ... , Xn) = XI X � x x: l Xl2 X1 P(x) = W(xt, ... , Xn- t, X) = XIn 1 X�n 1 x 1 - x 2-

Izračunaj Vandermondeovu determinantu

.RJEšENJE. Stavimo u ovoj determinanti nepoznanicu mo je kao funkciju

Xxl2 xn- 1

umjesto broja

od

.

.

•

Xn ,

i promotri­

2. DETERMINANTE

28

l.

Razvojem determinante po posljednjem stupcu zaključujemo da je P(x) polinom stupnja n- Vrijedi P(x1) =P(xz) =...=P(xn-1) =O, jer odgovarajuće deter­ minante imaju dva jednaka stupca. Zato je P(x) = C(x-xd(x - xz) ··· (x - Xn-d, gdje je C vodeći koeficijent ( uz potenciju xn-l). U rastavu po posljednjem stupcu prepoznajemo taj koeficijent: to je identična determinanta reda n - l . Tako dobivamo

P(x) = W(xh ... , Xn-d(x - xi)· · · (x-Xn-d i odavde, stavljajući x =Xn , W(x�, ...,xn )=P(xn ) =(xn - xl) ···(xn - Xn-1 )W(x1,...,xn-1 ) = II (xn - xi)W(x�, . . ., Xn-1) i lx - yl2 lx - al > lx -YI · a = y. Ovo je posljedica činjenice da je jedan vektor cija preostala dva.

od

linearna kombina­

Da smo toga bili u početku svjesni, mogli smo jedan (bilo

koji!) vektor izbaciti i nastaviti s jednostavnijim računom. U ovoj situaciji može­ mo za vrijednost parametra ). izabrati bilo koji broj.

- l , 5)

( 3, O,

i

Uzmimo ).

Udaljenost dvaju vektora vektorskog prostora ma njihove razlike, a udaljenost vektora

kao minimum svih udaljenosti između podskupa.

Neka su

od

aproksimacija od

RJEšENJE. Ali

Uzmimo bilo koji

x

O

definira se kao nor­

od nekog podskupa od V

i bilo kojeg vektora iz tog

s obzirom na potprostor

Drugim riječima,

Dokaži da

je najbolja

V.

Vrijedi J.

zbog

odnosno, jasno je da vrijedi

;i:

V

jednaka

u

Tada je

l. ortogonalna projekcija i ortogonalna

i

komponenta vektora

je udaljenost

V

O.

i

pa je

===?

===?

Minimum se postiže za

e2, ... , ek}

t , ..

Pretpostavimo da su X

.

definiran na način

Xn bilo koji linearno nezavisni vektori. Sustav

{et,

10.

153

SKALARNI PRODUKT. DIJAGONALIZACUA SIMETRIĆNE MATRICE

je ortogonalan sustav takav da se za svaki j potprostor L(xt. . . . , xi ) podudara s L(e1 , , ei) . Ovaj algoritam naziva se Gramm-Schmidtov postupak ortogonaliza­

cije.

• . •

10.9.

R3 od vektora a 1 = (l, O, l) , a2 = (l, 2, O ) , a 3 = (0, 2, 3) . Gramm-Schmidtovim postupkom ortonormiraj skup u

koji se sastoji

a1 , a2 , a3 su nezavisni (provjeri !) pa razapinju čitav prostor R3 . 3 3 Zbog toga će i e1 , e2 , e3 razapinjati čitav R i tvoriti ortonormiranu bazu za R ..!!... (1, 0, l ) (fl Y1) o e1 - l at i - /2 - 2 ' ' 2 ' b2 = a2 - (a2 j et)e1 = a2 - �e 1 = ( t, 2, -t) ,...., 4, - l ), b2 ( l , 4, - l) ( v'2 w _ .Y:1 ) = = 6 ' 3 ' 6 e2 = b 2 l 1 3 VZ b3 = a3 - (a3 j e 1 )e1 (a3 l e2 )e2 RJEšENJE. Vektori

•

-

(I,

-

! !!) = a3 - b:1e - h!l'e 2 = (-!! 2 6 9 , 9' 9 b ( - 2, 1, 2 ) 2 l 2) e3 = 3 = = ( -3, 3• 3 . 3 l bJ I

l

10.10.

Ortonormiraj kanonsku bazu produkt

(p, q ) =

,....,

(-2, l ' 2 ) '

{ l, t, t2 , t 3 } od &3

j_ll p(t)q(t)dt .

ako je zadan skalami

154

10. SKALARNI PRODUKT. DIJAGONALIZACUA SIMETRIČNE MATRICE

Nadopuni do ortononniranebaze u R4 skup { ( �, �' �' � ) , ( �, �' - �, - �) } .

10.11. RJEšENJE.

Skalami je umnožak ova dva vektora

Cf , t , f, V · ( � , f, - t , - t) = o,

a njihova norma

{4ffi2

=l IC�, t. t , t ) l = IC t , t , - t , - t) l = pa su ova dva vektora nonnirana i međusobno okomita. Označimo ih redom sa e1 i e2 . Skup {et , e2 } linearno je nezavisan. Nadopunimo ga s bilo koja dva vektora a3 i 34 , ali tako da ostane linearno nezavisan. Uzmimo na primjer vektore ( l , O, O, O) i

(0, o, o, l ) .

Nastavljamo sa Gramm-Schmidtovim postupkom b3 = a3 - (a3 ! et ) e1 - (a3 ! e2)e2 = b3 - t e 1 - t e2 = ( t , - t , O, 0) , b3 - b3 - :il v'2 e3 ( 2 , -2, 0, 0) , -l l b3 1 - 72 b4 = a4 - (84 1 et)e1 (84 1 e2) e2 - (84 1 e3) e3 = a4 - t e1 + te2 - OeJ = (0, O, - t , !) , b4 b4 :il :il ) e4 - l - (O, O , - 2 ' 2 l b4 l v'2 Dimenzija prostora R4 je 4 pa ova četiri vektora čine bazu za R4 Ako sa L označimo prostor razapet sa {eh e2 } ondaje prostor razapet sa {eJ, e4} ortogonalni komplement od L koji se označavama sa L.i (vidi sljedeći zadatak) . Ovaj postupak ne dovodi do jedinstvenog ljesenja ( e3 i e4 ) , jer smo zadane vektore mogli nadopuniti do baze i nekim drugom vektorima. Ali ta druga Jjesenja bi razapinjala isti potprostor kao i eJ i e4 , drugim riječima L.i je jedinstven. -

-

-

•

-

•

SS

ST .

kažemo daje ortogonalna ako su njeni stupci ortonormirani vektori. Ako je ortogonalna, tada vrijedi s-l = Za simetrično matricu A vrijedi: l ) ona posjeduje točno realnih svojstvenih vrijednosti (brojeći njihovu višes­ trukost) ; 2) postoji baza koju čine n međusobno okomitih svojstvenih vektora; Za matricu

n

lO.

155

SKALARNI PRODUKT. DUAGONALIZACUA SIMETRIĆNE MATRICE 3)

matrica

S

10.12.

A. STAS= [:' : : : �]

čiji su stupci normirani svojstveni vektori ortogonalna je matrica

koja dijagonaslizira matricu

Vrijedi

A= [ -2; ; =�]5

Nađi ortonormiranu bazu u kojoj je simetrična matrica

S STAS k(A )= A-2-2 A-5-2 }., -2 5 =A3 -12A2 +2U+10 =(A -l?(A -10). A1 = A, = l 1 = [�l [ _:] . A, = l v3 = [j]. ., = . ., = nJ v,= [� l , v, = LtS ] . v, = U� l ts s= [ o -33{sv'5 i] s s-l =sT . STAS= [o� o� 10gl · -4

dijagonalna (odnosno ortogonalnu matricu

nalna) .

tako da je

dijago­

RJEŠENJE.

4

2

Za

4

svojstvene vrijednosti su

Svojstven; vektori v1 ;

v3

;

v

, X

Još preostaje normirati sve vektore:

Od ovih vektora formiramo stupce matrice

Matica

je ortogonalna pa je

za

O

pripadaju ;stoj svojstvenoj vrijednosti ; nisu

okomiti. Uzmimo zato

l

v, =

4

7s - Ns

3 2

-3

Vrijedi

156

10. SKALARNI PRODUKT. DIJAGONALIZACUA SIMETRIČNE MATRICE

10.13.

Dijagonaliziraj simetričnu u matricu A pomoću ortogonalne matrice S

[ o� -�2 -� ] [ -2: --�4 -�4 ] [ i � - � ] [ -22 2 -21 ] [ o1 04 0o ] ; oo7 2 2 1 1 4o o0 ] ; 1 [ 21 21 -22 ] 0 [ [ 2l -2l l l o [oo36o6 oo] lo 006 (tako daje ST AS dijagonalna matrica) ako je A :

a)

b)

5

RJEšENJE.

b) e)

a)

S =

s=

s =

l

3

l

l -l

5

i sT AS =

i STAS =

3

l

-

73 V'2 ..L ..L v'3 v'2

- V'6 -k y6

2

Neka je

A

i s T AS -

.

76

73

10.14.

e)

:

V2

-+

� linearan operator zrcaljenja na pravcu y = X .

Odreadi mu matricu A u bazi

{i, j} , nađi svojstvene vrijednosti i orto­

gonalnu matricu S takvu daje ST AS dijagonalna matrica.

[ � �] ,

RJEšENJE. A =

A- 1 = l i

v1

= U] , � =

-l ,

v2 =

[ !1 ]

na pa stupce matrice S formiramo od jediničnih svojstvenih vektora S = S T AS = s- 1 AS =

10.15.

[� � ] l

.

[ tz � l ,

. A je simetrič­

?z - ?z

Provjeri da su slijedeći vektori međusobno okomiti i nadopuni ih do ortogo­

), (2,3,--33, 2,). 4); (1, -1,2,1,2),2, -3(1,2,

nalne baze

a) b) 10.16.

(l,

l

Provjeri da su slijedeći vektori međusobno okomiti i normirani i nadopuni ih

)

do ortonormirane baze

l 2 2 . a ( 23• 3• 32 ) ( 3• 3• -3 ) ' b) (t, t, t, i) . ( t , t . - t , - t ) . •

10. SKALARNI PRODUKT. DIJAGONALIZACUA SIMETRIČNE MATRICE

157

10.17. Ortogonaliziraj sljedeće vektore a) ( 1 , 2, 2, - 1 ) , ( 1 , 1, - 5 , 3 ) , ( 3 , 2, 8, -7 ) ; b) ( 1, 1 , - 1, -2) , (5, 8, -2, -3 ) , (3 , 9, 3, 8 ) ; e ) (2, l, 3 , l ) (7 , 4, 3 , -3 ) , ( l , l, -6, O) , ( 5 , 7, 7 , 8 ) . 10.18. Ortononniraj skup funkcija { l , sinx, sin2 x} ako je skalami produkt (j, g) = -

,

f, J(x)g(x)dx .

10.19. Dokaži daje skup funkcija { l , cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, . . . , cosnt, sin nt, . . . } ortogonalan s obzirom na skalami produkt (j, g) = J�,J(t)g(t)dt .

10.20. Nađi bazu za L.l. ako je L nizapet vektorima a1 = ( 1 , 0,2; 1 } , 82 = (2, l, 2, 3 ) , &J = (0, l, -2, 1 ) . 10.21. Nađi ortogonalnu projekciju y i ortogonalnu komponentu z vektora x na potprostor L ako je a) x = ( 5 , 2, -2, 2) i L razapet vektorima a1 = (2, ( l, l , 3 , O) , a3 = ( l , 2, 8, l) ; b) x = (7, -4, -l, 2) i L zadan linearnim sustavom 2x 1 +x2 +x 3 +3x4 = o, 3x l +2xz +2x3 +x4 = O, X1 +2x2 + 2x3 -9X4 = 0.

{

l , l, - 1 ) , a2 =

10.22. Neka je {e�, e2 , . . . , en } ortononnirana baza u V . Dokaži da vrijedi x = .L:,1 (x, e; )e;, Vx E V. 10.23. Neka je V unitaran prostor, {e� , e2 , , et} ortononniran skup u V , x E V i a; = (x l e;) . Dokaži daje tada (x l x) � lad 2 + l a2 l 2 + . . . + l ak l 2 • • • •

l l.

Kvadratne forme. Krivulje i plohe drugog reda

Kvadratna forma pridružena simetričnoj matrici A je funkcija oblika

f (x)

ili

f (x "

==

. . . , Xn

)

(Ax l x) n

=L

aijXiXj .

Forma je kanonska ako je odgovarajuća matrica dijagonalna. Kanonska forma ima oblik f(x" . . . , Xn ) auxi + a22X� + . . . + annx� .

=

==

Svaka se kvadratna forma može svesti na kanonsku zamjenom x Sy . Lagrangeov postupak dijagonalizacije kvadratne forme . • Ako je au =/; O (ili neki drugi dijagonalni element) uvodimo zamjenu YI

Time dobivamo formu

=

aux!

f(yh X2, . . . , Xn )

+ . . . + a,nxn,

= -1-yf au

+ JI (x2 ,

· · ·

,

Xn)

u kojoj je prva nepoznanica izdvojena od ostalih. Postupak se nastavlja s kvadratnom formom fi . • Ako su pak u polaznoj formi (ili nakon neke od prethodnih transformacija) svi dijagonalni koeficijenti jednaki nuli, tada uvodimo pomoćnu zamjenu, kojom će se forma svesti na oblik u kojemu to nije slučaj. Ako je, recimo, a 12 =/; O , stavljamo Y2

=

-x,

+ a 12x2 + . . . + a!nXn,

Time dobivamo kvadratnu formu u kojoj postoji član prvom slučaju.

2xf . Dalje nastavljamo kao u

l l.

KVADRATNE FORME. KRIVULJE I PLOHE DRUGOG REDA

1 1.1.

159

Lagrangeovim postupkom dijagonaliziraj kvadratnu formu

f(xt, Xz, X3) = 4xi - X� - xi - 4XtX2 + 4XtX3 - 3XzXJ.

RJEšENJE. Uočimo prvu nepoznanicu čiji kvadrat se pojavljuje u kvadatnoj formi,

X t . Izlučimo 2xt iz sume mješovitih članova koji sadrže x 1 kao faktor: 2xt (-2xz + 2x3) . Uvodimo novu nepoznanicu Y t kao sumu 4x1 (x 1 pomnožen koeficijentom uz xi ) i članova iz prethodne zagrade Y t 4xt - 2xz + 2x3 . Ako izrazimo odatle x 1 i uvrstimo u kvadratnu formu dobije se oblik koji više ne sadrži mješovite članove sa X t (odnosno Y t ): to je

==

�

f(x r, xz, x3) = (4xt - 2xz + 2x3f - x� - xi + 2xzx3 - x� - x� - 3xzx3 l = 4Yf 2x� - 2x� - XzX3. Dalje nastavljamo na isti način: sljedeća nepoznanica čiji kvadrat se tu pojavljuje je

x2 i uvodimo Yz : pa je

uz supstituciju

1 1 .2.

Lagrangeovim postupkom dijagonaliziraj kvadratnu formu

j(Xt,Xz, XJ) = 2xtX2 + 4XtX3 - 2xzX3.

RJEšENJE. U ovoj formi su isključivo mješoviti članovi pa se postupak u prvom koraku razlikuje od prethodnog primjera. Izlučimo li 2x1 iz ove forme imamo f(x h xz, x3) = 2xt (xz + 2x3) - 2xzx3 . Uvodimo novu nepoznanicu y2 kao razli­ ku članova iz prethodne zagrade i x 1 ,

Yz = xz + 2x3 - x1 . Uvrštavajući odavde x2 = y2 + x 1 - 2x3 dobivamo kvadratnu formu u kojoj sigurno postoji barem jedan kvadratni član i to 2x i : f(xh Xz, x3) 2x� + 2Xt Y2 - 2yzx3 + 4x� - 2xtx3.

l l . KVADRATNE FORME. KRIVULJE J PLOHE DRUGOG REDA

160

Nastavljamo kao i prethodnom zadatku: izlučimo 2x1 iz sume mješovitih članova koji sadrže X t kao faktor. Tome izrazu pribrojimo 2x 1 i imamo novu nepoznanicu

Zt f(x1, xz, x3 )

=

=

2xt + Yz - x3 .

l z l z l z z 2 ( 2xt + Yz - x3 ) - 2Y2 - 2x3 + YzX3 - 2yzx3 + 4x3

1 2

_ 1

7

- 2 Z21 - 2Y2 - YzXJ + 2x23. Napravimo isti korak za nepoznanicu

y2 : l

l

Zz = 2Y2 + 2x3 ,

J(Xt , Xz, x3 ) Konačno

z3

=

x3

=

l z l l 2 l z 7 z 2 z1 - 2( 2Yz + 2X3 ) + 2x3 + 2x3

i dijagonalni oblik je

J(Xt, Xz, x3 )

=

uz supstituciju

Zt Zz

=

1

l z 2 2 2 z 1 - 2z2 + 4x3 .

z I z _z 2 z - 2z2 + 4z3 ,

2xt + (xz + 2x3 - xi ) - x3

l l = -(x z + 2x3 - xt) + -x3 2 2

Uvijek možemo pronaći

=

=

=

Xt + xz + x3, l

l

3

- -x 1 + -Xz + -x3 , 2 2 2

ortogonalnu matricu

S takvu da je S T AS dijagonalna.

Takva matrica svodi kvadratnu formu na kanonski oblik, pri čemu je i novi sustav ortogonalan, a koeficijenti kvadratne forme su svojstvene vrijednosti matrice A . Matricu S biramo tako da njeni stupci budu ortonormirani svojstveni vektori matrice A . Tada vrijedi

S T AS = D =

1[�.: � �l O

O

An

i kvadratna forma će biti kanonska, po novim varijablama

J = A1Yi + AzY� +

. . .

+ AnY �·

Y t . . , Yn : . .

161

l l . KVADRATNE FORME. KRIVULJE I PLOHE DRUGOG REDA 11.3.

Svedi na kanonski oblik kvadratnu formu

f(x" Xz, x3) 6xi + Sx� + 7x� -4x,xz + 4x,x3 . =

RJEŠENJE.

[ -� -;o �l ·

Matrica koja odgovara ovoj kvadratnoj formi je

2

Rješenja njene karakteristične jednadžbe

7

A.-6 2

A.

=

5

-2

O

=

O su A.,

=

3, Az 6,

[ !J, [ Y l , [ �� l 2 l. 3[ -2

A3 9.

2

Pripadne svojs�ene vebore

-

O

v, =

A. -7

v, =

v, =

=

n�

mirarno i od njih formirarno stupce ortogonalne matrice Q . Dakle,

Smvljajući

[�: l [H =

Q

Q =

-1

2

l

2

-

2

-1

2

-1

2

odnosno

x, jYI - jY2 + jY3, xz 3Y + 3Y2 - jY3, X3 - 3y' + jY2 + jY3 ( ) f(x" Xz, x3) 3yi + 6y� + 9y�. =

=

2

2

1

l

2

2

l

l

=

2

2

imamo kanonski oblik polazne kvadratne forme

koji možemo direktno napisati po­

moću svojstvenih vrijednosti

=

m l [�; l = QT

Obratna veza nom i starih ne!M=R"ica j e

y, 3x' + 3xz - 3x3 YI - 3x ' + 3x2 3 x3 y, 3x' - 3x2 3x3. =

2

l

=

=

2

2

2

l

,

l

+

+

2

2

,

' odnosno

162

l l.

KVADRATNE FORME. KRIVULJE I PLOHE DRUGOG REDA

f(xb x2, x3) = 3xi + 3x� - 2xtX2 + 4XtX3 + 4x2x3 .

11.4.

Svedi na kanonski oblik kvadratnu formu

A= [ -2i -!2 �]·0

RJESENJE. Matrica ove kvadratne forme je

A.-3l ). -3l -22 ). = 2 , ). = ).3 = 4 . -2 -2 -). 1 - 2 v1 = [i2] v2 = [ �l· v3 = v1 v, = [ �� l · ovih su

Korijeni karakterističnog polinoma

Pripadni svojstveni vektori su

biti okomit na

v1 v2 i

i

1\eći svojstveni vektor mora

x

pa stavimo

Nakon normiranja

vektora dobijemo ortogonalnu matricu

Q= [ 76� tso -�7ml2 . [;: l = Q [m [�: l = Q [;: l ) f(xh X2, X3) = -2YI + 4y� + 4y�. l -Y'6 7s - 730

2

Ako sraffino

(odnosno

T

imanw kanons� oblik

polazne kvadratne forme

1 1.5.

Ispitaj definitnost s ljedećih kvadratnih formi:

2xr + 3x� + 4x� - 2x1x2 + 4xtx3 - 3x2x3 ; b) -xi - Sx� -6x� +4xtX2 + 2xtX3; ) XI + X� + 3x� + 4XtX2 + 2xtX3 + 2x2X3 · a) e

RJEšENJE.

a)

Odgovarajuća matrica za ovu kvadratnu formu je

D2 = l -2l -3l l > O,

računajmo sve glavne minore ove matrice

[ 2 3 - 2f ] -1

-1

2 -� 4 D3 = -221 -13� -!2 > O. 4

Sve su strogo veće od nule pa je ova kvadratna forma pozitivno definitna.

.

Iz-

l l.

KVADRATNE FORME. KRIVULJE I PLOHE DRUGOG REDA

163

Sada imamo matricu [ -�l _o; -6� l za kojuje D, = l -l l < O, Dz = 1 -� _; 1 > 0 i D3 = -�l _o; -6� < 0. Vrijedi (-l)nDn > O za n = l, 2, 3 paje ova kvadratna forma negativno definitna. ) matricu [� : n je D, = i l l > O, D, = l � i l < O i odmah zaključujemo ova kvadratna forma je indefinitna. Odredi sve A E za koje vrijedi 11.6. a) XI + X� + x� + 2Ax,xz + 2AX!X3 + 2AxzX3 je pozitivno definitna; b) 2xr Sx�-3x� + 2Ax,x2 +4x1x3-2Ax2x3 je negativnodefinitna. RJEšENJE. a) D1 = l > 0, D2 = ll � l = l - A 2 > 0 odakle slijedi A 2 < 0, odnosno -l < A < l . D3 = AAl AAl AAl = l - 3A 2 + 2A 3 > O. Racionalni korijeni ove kubnej slobodnog jednadžbečlana moraju biti iz skupa {±lj vodećeg brojnik koridobi jenajemo: mora lbitije , ±4} (jer djeljitel l, a nazivnik djelitel 2). Provjerom nultočkakratnosti 2, a -4 kratnosti l. Rješenje nejednadžbe D3 < O je zato A > -4 . Konačno rješenje je A ( -l, l ) ( -4, oo) = (-�, oo) . b) D, = -2 < O, D2 = � ; -� � = 16 - A 2 > O pa slijedi I A I < 4 . Uv­ jet D3 = -2A2 -A-8A -A-32 = A 2 - 16 < O je ekvivalentan prethodnom i Iješenje je A ( -4, 4) . b)

e

Za

R

-

-

E

n

E

Za

Polinom drugog stupnja je funkcija oblika p(x) = (Ax l x) + (b l x) + matrice reda 2 koristimo zapis p(x, Y) = [ x y] [ :�: :�� ] [ � ] + [ b, hz ] [ � ] + y = aux2 + 2anXY + azzY2 + b,x + bzy + y, Y

1()4

l l. KVADRATNE FORME. KRIVULJE I PLOHE DRUGOG REDA

sličnoNuli za-točke matriceovihtrećeg reda.su, u nedegeneriranom slučaju, krivulje (plohe) drugoga polinoma reda. ja određujemo dijagonalizaci jomortogonal kvadratne forme. Prikakotombiuglav­ Vrstu krivul nom biramo postupak di j agonalizaci j e s pomoću n ih matrica, i novi sustav bio kartezijev (s okomitim osima). Odredi krivulju zadanu jednadžbom ll. 7. + + 9l + + 18y - 36 O. Prva tri člana određuju kvadratnu formu sa matricom [ 4112 129 ] . Njene normirani svojstveni vektorisvojstvene vrijednosti su = i = , a odgovarajući = }.o [i]. = [ -31 ] . Od njih formiramo stupce matrice S : S = 0o [ 3l -13 ] . Uvodimonovevarijablenanačin [� ] = s [�: ] , (obratnavezaje Uvrštavajući = + = jednadžba se svodi na + + - - 36 = O odnosno + /o) - � - 36 = O. + + fo ) - � + Uvodimo nove varijable translacijom sustava = - )w, = + pasejednadžbasvodina + = odnosno -1 + 9 = 1 . Ovomrotaci jednadžbom sustavu koji je od početnog der biven jom za kutje zadana takavelidapsa,jekoja cos je =centralna #o i sin = � a potom translatiran ( u zarotiranom sustavu) za vektor [ -1o ]· RJEšENJE.

41x2 24xy 24x 45 2 5 v2 i\.1

==

i\.

Vt

l

710

l

x �(3x' -y'), y 7io(x' 3y'), 45x'2 5y12 x' 45(x'2 kx' 5(y12 - vToY' x" x' J.o, y" y' 45x'f122 5y"22 45, x' y" _29..._

y1o

cp

cp

0o

.lQ....

y1o

u

cp

,

165

l l . KVADRATNE FORME. KRIVULJE I PLOHE DRUGOG REDA 11.8.

Odredi krivulju zadanujednadžbom

o. RJEšENJE.

jednosti su

3xz + 10xy+3y2-2x-14y-13 =

Matrica kvadartne fonne prva tri člana je

A.1 = 8 , A.z = -2

Sada je S �

[ � -t' l

••

= [�l

[� ;J

, = [ -t' l

.

Njene svojstvene vri­

i odgovarajući normirani svojstveni vektori .,

i uvodimo nove varijable na način

[;l =

jednadžba svodi na

odnosno

S

[;:l·

Tako se

8x'2 - 2y'z - ?zx' - �y' - 13 = O, 8(x'z - fzx' + ! ) -4 - 2(y12 + }zy' + V + 9 - 13 = O. x' ' y" = y' + ?z 8x'12 - 2y"z = 8, y"z = 1 . x-112 - 4 l

Uvodimo nove varijable translacijom sustava X

pa imamo

odnosno

"

-

- 72,

[_�l ·

Ovo je jednadžba hiperbole koja je centralna u sustavu koji je najprije zarotiran od početnog za kut q> �

11.9. RJEšENJE.

i

, a potom i translatiian za vektor

Odredi plohu zadanu jednadžbom

4V'2y + 4V'2z + 4 = O.

9x2 + 20yz + 20zz - 40yz - 36x -

[� -202g -2g20 l ·

Matrica ove kvadratne forme je

o

Njene svojstvene vrijednosti vektori

A.1 = 9, A.z = A.3 = O 40 ,

i odgovarajući svojstveni

l l . KVADRATNE FORME. KRIVULJE I PLOHE DRUGOG REDA

166 Zato imamo

A= i uz supstituciju

[l

O

o o

��

o -?z

7i

]

jednadžba se svodi na

Stavimo li

2 + 40y12 - 36x' - 8y' + 4 = O, 9x' 9(x12 -4x' + 4) + 40(y12 - ty' + 1� ) = 32.4 x" = x' -2, y" = y' - fo y"2 = 1 . x'-f2 + 3.6 0.81

dobijemo jednadžbu cilindra

11.10.

Lagrangeovim postupkom dijagonaliziraj slijedeće kvadratne forme:

== xi-xi+-2x�8x�++5x�2x1x-2x1x ; ; 2 + 4xzx3 + 4xzX3 J 2 e) f = xi + x� + 3x� + 4x1Xz + 2x 1x 3 2xzx3 ; d) f = 6xi + 5x� + 1x� -4x 1 xz + 4xlx3 ; e) f = 3xi + 3x� - 2x1x2 + 4xlx3 + 4xzx3 ; f) f = 2x1x2 -4xlx3 + 3xzx3 ; g) = X 1X2 + XzX3. 11.11. = Qy : a) J = llxi + 5x� + 2x� + l6x1x2 + 4xlx3 - 20xzX3 ; b) f =xi + x� + 5x� - 6x1x2 - 2xlx3 + 2x2X3 ; e) f =xi +x� +x� + 4x1xz + 4xlx3 + 4xzx3; d) f = 17xi + 14x� + 14x� -4x 1x 2 - 4xlx3 - 8xzx3; e) J = xi -5x� + x� + 4x1xz + 2x 1 x3 + 4x2X3 ; f) f = Sxi -1x� + 8x� + 8x1x2 - 2x1x3 + 8xzx3; g) f = 2x1x2 - 6x 1X3 - 6xzX4 + 2x3X4; h) f = 5xi+5x�+5x�+5x�-10x1xz+2x 1x3+6x 1x4 +6xzx3+2xzx4-10x3x4 ; i) J = 3xi - 3x� + 4x� + x� + 8x1x2 - 4x3x4 ; j) = xi +X� - 2x� - 2x� + 2x 1X2 - 4X3X4; k) f = 9xi + 5x� + 5x� + 8x� + 8xzx3 -4xzx4 + 4x3x4. a) f

b)

j

+

Svedi na kanonski oblik slijedeće kvadratne forme i odredi ortogonalnu mat­

ricu transformacije Q za koju je x

j

l l . KVADRATNE FORME. KRIVULJE I PLOHE DRUGOG REDA

11.12.

Ispitaj definitnost sljedećih kvadratnih formi: a) J = xi + lOx1x2 + 26x� ; b) J = -xi + 2x1x2 - 4x� ; e) J = xi - 15x� + 4XtX2 - 2xtX3 + 6x2x3 ; d) J = - l lxi - � - 6x� + 12xtX2 - 12xtX3 + 6x�3 ; e) J = 9xi + 6x� + 6x� + 12xtX2 - lOx1x3 - 2x2x3 ; f) J = 2x� + XtX2 + XtX3 - 2x2X3 + 2x2X4 ; g) J= xi + 4x� + 4x� + 8x� + 8x2x4 .

11.13.

Odredi it E R za koje su slijedeće kvadratne forme pozitivno definitne: a) J = Sxi + x� + itx� + 4XtX2 - 2xtx3 - 2x2x3 ; b) J = 2xi + � + 3xi + 2itXtX2 + 2xtX3 ; e ) J = xi + x� + Sxi + 2itxtX2 - 2xtX3 + 4x�3 ; d) J = XI + 4x� + xi + 2itXtX2 + 10XtX3 t 6x2X3 ; e) J = 2xi + 2x� + X� + 2itXtX2 + 6x1X3 + 2x�3 ; f) J = 2xi - X� + 4x� + (2it - l )XtX2 + it 2X2X3 ; g) J = X� + X� + 4itXtX2 + it 2x1X3 ; h) J = XI + X� + X� + 4XtX2 + 2itXtX3 + 2itx�3 ; i) J = xi + 5x� + (it 2 + l )x� + 4xJx2 + 2xtx3 + 4xzx3 .

11.14.

Odredi it E R za koje su slijedeće kvadratne forme negativno definitne: a) J = -xi - X� - 4XtX2 - 4XtX3 - it 2XzX3 ; b) J = itxi + X� + 3x� + 2xtXz + 2xtX3 + 4XzX3 ; e ) J = itxi + itx� + (it - 3)x� + 2xtXz + 2itxlx3 + 2xzx3 ; d) J = -xi + itx� - x� + 4xtXz + 8x�3 ; e) J = itxi - 2x� - 3x� + 2xtXz - 2xtX3 + 2xzx3 .

11.15.

Ispitaj definitnost kvadratnih formi u ovisnosti o parametru it : a) J = itxi + X� + 4XtX2 ; b) J = 2xf + 3x� + 2itxtxz + 2xtX3 - 4xzx3 ; e ) J = -xi + itx� - 4XtXz + 6x1x3 + 10xzx3 .

11.1().

Odredi krivulje zadane jednadžbama: a) 17x 2 + 12xy + 8y2 + 20VSx + 20 = O ; b) 5x2 + 24xy - 5y2 + 6VT3x + 4VT3y + 13 = O ; 2 2 e ) 16x - 24xy + 9y + 25x - 50y + 50 = O ; 2 2 d) 9x - 4xy + 6y + 16x - 8y - 2 O ; e) x2 2xy + y 2 - lOx - 6y + 25 = O ; f) 5x2 + l2xy - 22x - 12y 19 = O ; g) 4x2 - 4xy + y2 - 6x + 3y 4 = O ; h) 2x+4xy + 5y2 - 6x - 8y - l = O ; i) x2 - 4xy + 4y2 - 4x - 3y - 7 = O.

167

l l. KVADRATNE FORME. KRIVULJE I PLOHE DRUGOG REDA

168

11.17. Odredi plohe zadane jednadžbama:

4x2 +4y2 - 8z2 - lOxy +4yz+4xz- 16x - 16y - 8z+72 = O; 7x22 + 6y22 + 5z2 - 4xy -4yz - 6x - 24y + 18z + 30 = O; ) 2x -7y - 4z2 + 4xy + 20yz - 16xz + 60x - 12y + 12z -90 = O; d) 2x2 + 2y2 - 5z2 + 2xy - 2x -4y -4z + 2 = O; ) 2x2 + 2y2 + 3z2 + 4xy + 2yz + 2xz -4x + 6y - 2z + 3 = O; f) 4x2 + y2 + 4z2 -4xy + 4yz - 8xz - 28x + 2y + 16z + 45 = O; g) 2x2 + Sy2 + 2z2 - 2xy -4yz + 2xz + 2x - lOy - 2z - l = O; h) x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 2yz + 6xz - 2x + 6y + 2z = O; i) x2 - 2y2 z2 + 4xy + 4yz- lOxz + 2x + 4y - lOz - l = O. a)

b) e

e

+

[ 4 5 �6] ; b) [�2 �1 i0] ; e [;3 ;6 9�]; d) [�4 �1 i0]. ; e) [! t t] ; [;3 �2 -�l ] 51 1.14. b) [�o �o -2�] d) [ i5 !7 �] 1.15. a) [ -; ;l ] ; b) [ 3 o -25 ] . . 6 9 2 1 1.16. a) [ o 5o 4o ] b) [ o2 33 -123 ] 1.17. a) [ � i -q ; b) [ 1� -��] ; e) [ : � ;; �] ; d) 27 )T . 5 -22 3229] [�1�6 ;�12 ;�9 20i� ] d) [ :7 �7 _;7 -l�7] 1.18. a) [ 32l 190 -5-7 ] b) [ ll193 -27 -17 26 7 l 3 10 9 7 1.19. a) [ � � ] b [;� =i:] ; e) [ �� �� 1 � ] ; d) ( -3� �5 �] ;e) [ 1 3 9

1.13. a) i !

)

t i }

f)

. Simetrične su sve osim posljednje.

(dijagonalna); e)

a) O (nul-matrica);

(skalama);

(simetrična).

8

8

-l

O

-1

l

(gornja trokutasta);

1

(simetrična).

[ - 1 -1

O

;

)

;

;

e)

-

-ll

10

l

O

;

·

8

8

O ; f)

8).

170 1.21.

1.22.

[ [ CB =

AB = 4l -2l -15o

1.27.

1.28.

o

o

]

. 2)

1.32.

]

5 10

a) Nije definiran; b ) 3 x 3 ; e) definiran; b) nije definiran.

a)

]

[

]

. 3) -

�

2

[�

[ � -�l -�] ; [� =� � ] ) [ l� =� �� · ; ] . 4)

_

. 3)

-1

9 o

3

.

.

-5

4

5 -3 2

]

5 x 2 ; d) 5 x l ; e) nije definiran; f) nije definiran; g) nije

A2 + AB + BA + B2 • ( AB + BA nije isto što i 2AB ) ; b) 2A2 + 4AB + BA + 2B2 ; e) ACD + ACE + BCD + BCE ; d) A2 + 2A - 31 ; e) A3 + A2B + ABA + AB2 + BA2 + BAB + B2A + B3 ; f) A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 . .

a) f(A) = [ � ;� ] ;

21 -23 15 4 10 -9 22 25

a) [ 14455 --5251 ] ; 5 12 ] a) [ 551212 512 '

[ a) [

]

o o o o ; g)

]

[ ; =� ]

];

e) /(A) =

b) /(A) = O .

[ 31814529 1 315695 ] ;

[ -i

]

[� i l ;l .

e)

o o

-

i !] _

·

]

[o o o [ -2963 -42 · d) o o o ; e) [ -5 6 ] ; ] -5 6 -50 ' o o o h) [ -8 -24 ] . 8 2 + 1 4a(l+a2 ) ] . [ --cossin 3a3a -cossin 3a3a ] . e) [a4+6a 4a(l+a2 ) a4+6a2 + 1

[ � 2� ] ; [ -23-3 -31 -67 ];

5 -5 b) 20 o ; 304 -61 305 -62 .

[ ] 1.34. a) [ � � ] ; b) d)

b) b)

[ ; -l� ] ;

b) /(A) =

a) /(A) = [ -13

f) 1.33.

]

A2 = (xyT)(xyT) = x(yT x)yT = A xyT = AA gdje smo s A označili skalar yT x .

1.30. Direktnim uvrštavanjem. 1.31.

[

-40

5 -9 10 6 14 -6 -10 1 -1 5 , CA = 3 -3 , DC = l4 -26 . -4 o 20 4 -12 48 12

[ -! -il ; [-� ��

1.24. Vrijedi

1.26.

]

[ ll6 225 ] ' BD = [ -2 85 -5-4 ] ,

=

a) l) [ � -� ] . 2) [ � -� � -7 6 -5

b) l)

1.25.

] ' BC

RJEŠENJA ZADATAKA

e)

24

[ � l+(n;- l)A ] ;

za neparni n ; e)

e)

'

[ Ol (2n 2n-l )A ] '.

[ 2��� l-2-nn ] ·

1.35. Matematičkom indukcijom po broju

n.

•

d)

[� �]

za

parni n ,

171

RJEŠENJA ZADATAKA

1 31 3 .. 0 1.36. O O . 1.37. [73853197 -1-922266 ] . 6

a)

l;

l

b)

et1 ) . . . (2) . . ("2 1 ) .

e)

o o o ...

{n )l ) (n 21 ) e 11 )

{"!1) {"2 1 ) o e11)

o

o

o

o

o

e:: D ("-1 ) n- 2

("-l) n-3

o

1.38. [ -la -�b] ; [ � �]. [ �t -f ] ; [ 121 ] . a b ] a b a a 3b O a O O [ 1.41. [ 3b a+3b]; [ -5b a+9b J ; [O aO ab] ; OO OO O c a b cl 1.42. [ : a�;, J [� � :] ; [ OO aO ab . . 1.1.4443.. aii a;J O 1.45. aii O bii b 2:k=l a;tbq -aii, k2:=l b;kaA;i ai). -ay aii O, bij ka;=; l a;atjbA;. ; au, 2:k=l btkak.f = au. 1.46. [a -ab ] -a2. 1.47. [a -ab J bc -a2. 1.40.

a)

!

b)

-! 2b

a)

a)

b)

4

-4

o

e)

b)

oo

e

d)

o

a) Sve dijagonalne matrice; b)

e

·

d)

e)

;

d

Matrica A l , A E R .

Očito j e da dijagonalne matrice međusobno komutiraju.

Obrat ćemo pokazati pozivanjem na suprotno. Pretpostavimo da tnatrica

A koja komutira

sa svim dijagonalnim matricatna itna bar jedan vandijagonalni element različit od nule npr za

neke

i, j , i l= j .

Tada ona specijalno komutira i sa matricom

jedinicu i na ostalim mjestima nule. Usporedimo matrice

=

tnatrica

DA

za

što je u kontradikciji sa polaznom pretpostavkom

A

D

na

matricu

dijagonalna.

(i, i) itna (i, j) . Slijedi

koja na mjestu

i AD

mjestu

A.

Zaključak je da je

Jedan je smjer očit, A I komutira sa svim matricatna istoga reda. Obrat Pretpostavirno suprotno da matrica

i, j , i 1: j .

Uzmimo matricu

nuli. Tada je

B

za koju je

n

(AB ) ij

Zbog pretpostavke AB

=

BA

=

A i

l= za neke jj = - l , a svi ostali elementi jednaki su

irna bar jedan element

n

=

(BA);j =

=

slijedi

l

tj

2a;j =

kontradikcija ! Dakle, svi ele­

menti van dijagonale jednaki su nuli. Preostaje dokazati da su dijagonalni elementi međusobno jednaki. Uzmimo matricu B za koju je = l za neke fiksne i # j , a svi ostali elementi

jednaki su nuli. Sada je

n L

(AB) y

Zaključujemo da mora biti Matrice oblika

e

Matrice oblika

e

da je

A2 # O i A3 = O .)

==

(BA)tj =

Kako su indeksi

i, j

n

izabrani po volj i, slijedi tvrdnj a.

pri čemu vrijedi bc =

pri čemu vrijedi

(Ne postoji matrica drugoga reda takva

RJEŠEN1A ZADATAKA

172

1.48. Neka je k najmanji prirodan broj za koji vrijedi Ak = O . Svaka kvadratna matrica zadovoljava relaciju A2 = (a + d)A - (ad - bc)I . Odavde slijedi A1 = (a + d)Ak- ! - (ad - bc)A1-2 te zbog pretpostavke slijedi (a + d)Ak- ! = (ad - bc)A/c-2 . Množenjem ove jednakosti s A i korištenjem pretpostavke, dobivamo O = (ad - bc)A k-l . Odavde slijedi tvrdnja 1.49. Koristit ćemo rezultate

zadataka 1.30 i 1.48. Vrijede jednakosti A2 = (a + d)A - (ad - bc)I O pa je stoga A2 = (a + d)A . Ako je k najmanja potencija za koju vrijedi Ak = O , tada vrijedi po gornjemu Ak = O = (a + d)Ak-I te mora biti i a + d = O . No, po prvoj relaciji tada slijedi i A2 O . i ad

- bc

=

=

1.50. A ) Iz zadanoga uvjeta dobivamo sistem jednadžbi

[

] [ o]

{

� + bc = l ,

b(a + d) = o, a2+bc ab+bd = l O l ==> ca+dc cb+d2 e(a + d) = O, cb + d2 = l. Iz druge jednadžbe mora biti a + d = O ( b bilo kakav) ili b = O U prvom slučaju slijedi a = -d i a2 + bc = l . U drugom mora biti e = O te a2 = d2 = l ( a # -d ) . Odavde a = d = l ili a = d = - l . a b , a2 + bc = l te I i -I . Prema tome, rješenje čine matrice oblika -a •

uz

[ ] e

uz

b) Trebamo pokazati oba smjera implikacije. l) Ako je A involutoma, tj. A2 = I , onda je I - A2 = 0 , I - A + A - A2 ::;:: 0 , dakle (I - A)(I + A) ::::: O . 2) 0bratno, ako je (I - A)(I + A) = O , množenjem slijedi I - A + A - A2 = O , tj. I - A2 = O pa je A involutoma 1.51. Dokazujemo matematičkom indukcijom po broju n . Za n = l matrica ima oblik A = [OJ i tvrdnja vrijedi uz p = n = l . Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za matrice reda n . Izaberimo matricu B reda n + l , gornju trokutastu s nulama na glavnoj dijagonali. Nju možemo prikazati u obliku B =

[! �] .

Tu

je matrica A istoga tipa,

ali

reda n , x vektor stupac dimenzije

n - l , O vektor redak dimenzije n - l sastavljen od nula. Za potencije matrice B vrijedi

[

Bp = AP O

AP-'x O

]'

p+ ! =

B

[ ApO+I APxo ] ·

Kako je AP = O , vidimo da je B nilpotentna Primjeri da iz dokaza slijedi i ocjena p � n .

1.52. Neka su A i B gornje trokutaste matrice (za donje trokutaste dokaz je analogan). Tada vrijedi a;j = O , b;i = O za i > j . lzračunajmo matricu e = AB . Njen opći element je Cij = L:�= l a;/cbkj . Pokažimo daje za i > j on jednak nuli.

(ail b!i + . . . + a;ib.ii) + (aii+ !bj+!j + . . . + ambnj) = 0 U prvoj zagradi su elementi matrice A jednaki nuli ( ai! = . . . = aij = O ) a u drugoj zagradi poništavaju se elementi matrice B ( bi+Ii = . . . = bni = O ). Zato je e gornja trokutasta. Cij =

1.53. Ako je A tipa m x n i B tipa n x p , tada je B T tipa p x n i A T tipa n x m paje umnožak B T A T definiran i tipa je p x m , baš kao i matrica (AB) T . Odredimo element na mjestu (i, j)

173

RJESENJA ZADATAKA u ove dvije matrice.

n

((AB)T] ij = [AB1; = :L>jtht;,

k=l

n

n

[B T A T] ij = L [B T J;t [A T]� = L bkiajk ·

k= l

k= l

Opći element se podudara pa su i matrice jednake. 1.54. (AA T) T

= (AT) T AT = AAT .

1.55. Očigledno je

A = As + Aa . As je simetrična matrica jer vrijedi

�

�

[

[

�

(As)T = ( (A + AT))T = (AT + (AT)T) = (AT + A) = As. Aa je antisimetrična: (Aa)T = ( ! (A - AT))T = !(AT - (AT)T) = !(A'f - A) = -Aa. 2 2 2 Za matricu A ovaj rastav je l l 5 l 5 O O 4 -5 A = -3 -l 6 = l -l 5 + -4 O l . Slično,

10

1.56. Tvrdnja slijedi iz jednakosti

4 -7

J

5

5 -7

[

J

5 -1

(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 .

o

J

1.57. Vidi sljedeći zadatak.

A i B simetrične ( A = A T , B = B T ) . Ako je AB simetrična, onda je AB = (AB) T = B T A T = BA pa A i B komutiraju. Obratno, ako je AB = BA , tada imamo (AB) T = B TA T = BA = AB te je AB simetrična matrica.

1.58. Neka su

1.59. Slično

kao

u predhodnom

(AB) T = -(AB)

{::::::}

zadatku:

BA = -AB .

(AB) T = B TA T = (-B)(-A) = BA pa vrijedi

[AB] = O {::::::} AB-BA = O {::::::} AB = BA , b) [AB] = AB-BA = -(BA-AB) = -[BA] , e) Vrijedi [[AB]C] = [AB]C - C[AB] = (AB - BA)C - C(AB - BA) = ABC - BAC - CAB + CBA . Slično je i [[BC]A] = BCA - CBA - ABC + ACB i [[CA]B] = CAB - ACB - BCA + BAC . Zbrajajući sve tri jednakosti dobijemo traženu.

1.61. a)

[

2+i -3i o

J

[

1.62.

A = l-2i 5 6+i ,

1.63.

Iz uvjeta A = A* slijedi a;; = �i te je hermitsku i antihermitsku glasi

2

3+i 2i

2+i l-2i 2 5 3+i o 6+i 2i

A* = -3i

J.

aii realan. Slično za antihermitske. Rastav matrice na

A = �(A + A*) + �(A - A*). 1.64. Uputa. Izaberi za matricu B matricu koja ima sve elemente jednake nuli osim jednog b;j = l , na poziciji i # j . Tada će slijediti nužno a;; = l , aji = O . kako su indeksi i , j izabrani po volji, svi dijagonalni elementi matrice A moraju biti jednaki l, a svi vandijagonalni O.

174 1.65.

RJEŠENJA ZADATAKA

tr(AB) = �(AB)i = �(�aijbji) = � � aijbji, tr(BA) =�(BA); = �(� b;jaji) = � � ai;b;j·

Izračunajmo oba traga:

Ove su dvije sume jednake - zamijenimo imena indeksima

trivijalne.

1.66.

Pretpostavimo obratno:

takve matrice postoje.

tr(AB - BA) = tr i = n . Međutim, tr(AB) - tr(BA) = O . Proturječje. ve

i , j . Druga i treća jednakost su

Tada bi moralo vrijediti

prema prošlom zadatku imamo

za

njihove trago­

tr(AB - BA) =

1.67. a) Vrijedi zbog komutativnosti zbrajanja matrica; b) Tvrdnja je očigledna; e) Vrijedi zbog AI = lA = A ; d) A * (B + C) = t (A(B + C) + (B + C)A) = t(AB + AC + BA + CA) = t (AB + BA) + t (AC + CA) = A * B + A * C.

1.68.

Provjeri da vrijedi (ar i + fJrJ) + (a I + fJ J) = (ar + a )I + (fJr + /h )J 2 2 2 (ar i + fJr J) (a2 I + fuJ) = (ar a2 - 13rfh )l + (ar /h + a2 fJr )J .

Uputa

i

·

2.17. a) -96

(po

2.

retku) ;

b) 80 (po l .

2.18. a) abed ; b) abed ; e)

xyzuv .

stupcu);

e) 75

(po 2.retku) ;

d) 102 (po 2.

stupcu).

2.19. a) l ; b) -80 ; e) 9 ; d) O ; e) l ; f) -3 .

2.20. a) -24 ; b) -200 ; e) 42 .

2.22. a) - 140 ; b) 8 ; e) - 13 ; d) -2 . 2.24. a) -8 ; b) -3 ; e) -160.

2.21. a) 320; b) O; e) 3 19.

2.23. a) 1 15 ; b) -12 ; e) 8 .

2.25. a) x(x2 - 22) ; b) (x2 - l)(x2 - 32) ; e) x(x2 - 22)(x2 - 42) .

2.26. a) - 100 ; b) l ; e) O ; d) 900 ; e) 45 . 2.27. 9v'IO(v'3 - v'i) .

2.28. a) 3abc - a3 - b3 - c3 ; b) O ; e) (ab + bc + ca)x + abc ; d) l + a2 + {J 2 + y2 ; e) l .

2.29. a) sin(tl - r) + sin(y - a) + sin(a - tJ) ; b) O; e) O; d) O.

2.30. a) 2abc(a + b + c)3 ; b) 4(b + c)(c + a)(a + b) ; e) 4(a - b)(a - c)(b - c) ; d) (a2 + b2 + c2 + d2)2 ; e) (ax + by + cz)2 f) a2 + if + c2 - 2ab - 2bc - 2ac + 2d .

a + cos2 tJ + cos2 y 2.34. D = (l - a4 )3 . 2

=

l.

2.31.

cos

2.35.

Knristimo Binet-Cauchyjev teorem:

l = det l = det(AAT ) = det A det A T = (det Af

175

RJEŠENJA ZADATAKA

±l .

Odavde slijedi det A =

nalna, a ima determinantu jednaku

2.36.

[; � ]

Obrat ne vrijedi. Na primjer, matrica A =

l.

·

nije ortogo-

Zbog detA = det A po Binet-Cauchyjevoom teoremu je

l

l = det I = det(UU* ) = det Udet U = det Ul Odavde slijedi tvrdnja.

2

•

2.37.

Izlučimo - l iz svakog retka: det( A) = ( - l )" det A. Sada za autisimetričnu matricu neparnog T reda vrijedi det A = det(A ) = det( -A) = ( - I t det A = - det A . Slijedi det A = O .

2.38.

Premještanjem posljednjeg stripca na mjesto prvog za rezultat množenje determinante sa ( - I t- 1 . Slično, premještanje posljednjeg (u tako dobivenoj matrici) na mjesto drugog

ima

(-l )"-

stupca odgovara množenju sa = ( - l )n(n - 1)/2 .

( - 1 ) 1+2+ ...+n - l

2

, itd.

Konačno, početna determinanta se množi s

2.39.

Neće se promijeniti. (Ova transformacija odgovara transponiranju, zamjeni stupaca i zamjeni

2.40.

a)

redaka u suprotnom poretku. ) Ne; b) ne;

e)

da;

d) da.

2.41.

Indukcijom po broju blokova matrice A , (vidi sljedeći zadatak uz

2.42.

Tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom po redu matrice D . Baza: tvrdnja je očigledna za matricu reda

2.

Pretpostavka: neka tvrdnja vrijedi za svaku matricu reda

[� :]

Korak: nekaje D = reda

k i n-k.

C = O ).

kvadratna matricareda

n

,

n

-

l.

dok su matrice A i B kvadratne

Razvijamo determinantu od D po prvom retku ( Dij označava matricu D bez

i-tog retka i j-tog stupca)

det D = Matrica D i zato je

li je reda n

-

n

� L...,.. ( - 1 ) l+id

l

i=l

i

det D l =

�i

k � L...,.. ( -1) l+ia

i=l

1 ; det D t

�

i

·

l pa po pretpostavci indukcije za nju vrijedi det D

k

det D =

l:

au

l i = det A li det B

det A1i det B = det A · det B.

i= l

2.43.

a)

Vrijedi jednakost blok-matrica

[ � � ] [! ] [ � -B l

=

D

�

BC

]

.

Računajući determinante matrica s obiju strana slijedi tvrdnjajerje det

l po prethodnom zadatku.

b)

Tvrdnja slijedi na isti način iz sljedeće jednakosti

[ C I ] [ -CI OI ] - [ A B

_

A-BC B

O

]

I .

[! -lB ]

= det I det I =

176

RJEŠENJA ZADATAKA

e)

[ A B] [A-1 -B] = [AA-1 -AB+BA] = [ ICD A CA-1 -CB+DA CA l -CB+DA ] [I -CB+AD A-1 B ] .

Tvrdnju dobijemo iz jednakosti

O

O

'

O

2.44.

1:�;� :�;� l' = (a(x)d(x) - b(x)c(x))' = a(x)1d(x) + a(x)d(x)' b(x)'c(x) - b(x)c(x)1 = (a(x)'d(x) - b(x)'c(x)) + (a(x)d(x)' - b(x)c(x)') = 1:�1; ��1; l + j:gf :�?� l ·

Za determinantu n-tog reda na lijevoj strani analogne formule imamo sumu od n determinanti tako da i-ta sadrži derivacije u i-tom retku.

2.45.

l l l ... l 122 2 ( a) l 2 3 · · · 3 = l 2 3 ... n 1 2 3 4 . .. n 2 2 3 4 . n (od b) 3 3 3 4 . . . n n n n n ... n e) O 1 2 ... n-l 1 O 1 ... n-2 2 1 O . n-3 n-1 n-2 n-3 . . . O :

.

)

od svakog retka osim prvog odu-onemo prethodni

· · ·

.

lll ll l

o o o

=

l -1 ) = -1-1 -1-1 ( -l)n-l n. n n n ... n O 1 2 ... n-1 l -l -1 -1 l l -1 -1 = l -l l l o l -2 o o = l o -2 o o o -2 o o o ... o o ... o o ... o -1 . . . O

svakog retka osim posljednjeg odu-onemo sljedeći

. .

L

=

...

..

.

d) Svakom retku osim prvog oduzmemo prethodni. Zatim od svakom stupcu osim posljednjeg dodamo posljednji. Na taj način dobijemo gornju trokutastu matricu. Produkt elemenata na . I Je diJagonal" 2.46.

n +-l ( -2)n- 1 . 2 a) D n-l x x E {2, 3, . .. , n} l( x"- 1 D = (x - 2)(x - 3 ) · · · (x - n) . D n-l x b) x E {l, 2, . . . , n - l} xn l n D = n(x - l)(x - 2) · · · (x - n + l ) .

je polinom stupnja po nepoznanici determinanta je . Za jednaka nuli, jer su joj tada dva retka proporcionalna Također je vodeći koeficijent ovog polinoma jednak najveću potenciju je Slično, je polinom stupnja Koeficijent uz najveću potenciju

-

dobivamo množeći elemente na dijagonali). Zato

u

je

koji se poništava u

paje

.

177

RJEŠENJA ZADATAKA

n-1 s vodećim koeficijentom (-1)"- 1 i snultočkama O, l, 2, . . . , n-1 . ( -1 )"-1x(x - l ) (x - 2) · · · (x - n + l). 2.48. a) l ; b) l ; e) (-l )"(n -l)/2A · · ·A ; d) (-1)"-1 ; e) (1 + (-1)"]/2 . Vrijedi ll,. = 1 " l- l. 2.49. a) n! ; b) (-2)"-1(Sn - 2) ; e) ( -l )"(n- l)/2 -! n"- 1(n+ l ) ; d) (-3)"12 . 2.50. a) n( -1(21) ; b) ( -l )"- 1n! ; e) [a + (n - 1 )b](a - b)"- 1 ; d) L,:�=l kxk-l . 2.51. a) X t (x - a 12 )(x3 - a23) .. . (xn - an t,,. ); b) ao(x - at)(x-a2) . . . (x- a,.) ; e) x(at x) . . . (an2 -x)( � + � + . . . + � -) d) (at - Xt)(a2 -x2) . . . (a,. - Xn) - a1 a2 . .. a,. . ; d) 2.52. a) 3"+ 1 - 2"+ 1 ; b) n+ l ; e) 2.47. D jepolinomstupnja Dakle, D = t\"_

a1 x

a. x ;

s•+l_2•+l

2 ; b) l ,. e) 2·, d) 2 ; e) 2; f) 3; g) 2·, 3.14. a) 2; b) 2 ; e) 3 ; d) l ; e) 2; f) 4 ; g) 2; 3.15. a) -4 ; b) A i= -4 ; e) ne postoji takav A

3.13. a)

,.

i\.

E R.

i\. 1'7

=l= - 4l .

h) s .

s.

h)

A = 3 matrice je 2, a A :f= 3 je 3. b) A = l je l , A :f= l je 3 . je 2, i\. :f= 3 2. e) i\. [-8 29 -ll ] e) t [ -7S -36 -1-1 ] ; 3.19. a) [ -3! �! -3!] ; b) -S 1 8 l -3 -6 3 3 27 -29 l l l ll d) � [�2 -2i ;l ) ; e) ll -1l -1l -1 -1 . -1 -1 l 7 [ sin a - cos a 3.20. a) 1 [ -1 -8]3 . b) 1 [S3 12 ] . e) cos a sin a ] ' 1 -l d) t[=� -� :1 ; e) -}g[=!� � �] ; f) -� [ -7� =; -��] . -4 -1 s 2 14 8o 8 3.16.

3.17. a)

rang

Za

rang je

==

Za

24

l 4

_

TI'

3.21. a)

d)

�

'

[ � Ho o �l;o

za

3 rang

b)

[

za

rang

l

-7

l

-l

_

za

;

.

'

[�o -lo -1� �l l ; e) [o� -lo -io �!]l ;

l[!l -1i -i-1 =il ] ; e) .ful�oo -�oo -2�6 -�-13 �1 ; l

rang

Za

rang

-7 5

f)

[

1

� �]·

-k go �go �:o 32 -16 o o o o 32

178

3.22.

RJEšENJA ZADATAKA

[o� o! o� �ll � [-�2 -�2 j2 -5�l [_!l -� -il =io] . [a) oo: ol -lol ....... .. oo] ool ol l -ll (-l)((-lf-2-l)nn-3-1 a)

;

;

b)

-1

1 -l

3.23.

e)

-1

[2o n�o Oo ..o . ... . oOl o o o[2-n 2-n 2-n . l n oo. . 2-n [ oo o [ 26 [ oo [ 0 1

;

b)

-1

.

l l -l

-

l

e)

a

3.25.

Matrica

1 d) __l

-

l

m

b)

5 -5 ] ;

l

.

l ili, l i1i,

Iz jednakosti

(A-I)TA = A=

jednakost

B=C

3.29. 3.30.

l ..

. . . , a;; l

AA -I l

.

=I

l l ... l l l ... l l l : ·. :: l ...

oo o

(A-I)T AT = l . 1 A A-1 (A-I)T = A- tj.

transponiranjem je

slijeva s

A-1 .

A A-1AB = A-1AC,

Ako je

Imamo

regularna postoji tj .

. Dakle, smijemo kratiti samo sa regulamim matricama!

Iz uvjeta je

I = -A - A2 = A(-I - A) = (-I - A)A, Dobije se

B = 2A - I 4A2 - 4A + I = I {=::::} 4A2 = 4A Neka je matrica

involutorna

{=::::} A

A -I m = IC .

{=::::}

je

. Pomnožimo

A -1 = -I - A . da A-I A2A- l = AA-I :=:::? A = l .

2=A

A-1

i matrica

Slijedi

dakle

Pretpostavimo da je idempotentna matrica regularna Znači

A2 = A.

A ; e) od j-tog

je simetrična pa je

je

[� �] , B = [; � ] , C = [� �] .

AB = AC

D invertibilna

i-ti stupac se podijeli sa

očigledan, jer je jedinična matrica i idempotentna i regularna

3.32.

d)

45 l l ] ;

l

na di"J agonal"t.

Množenjem zdesna s

s njom zdesna jednakost

3.31.

·

od nule. Njen inverz je također dijagonalna matrica sa

simetrična. Slično i za antisimetričnu. Npr.

l

15 - 13

311

e)

3.26. ) U inverznoj matrici se zamijene i-ti i j-ti stupac; b) stupca se oduzme i-ti podijeljen s A .

3.28.

l ... l l ... l .. l

ima inverz ako i samo ako je njena determinanta različita od nule pa je

elementirna

3.27.

l l

.

l

ako i samo ako su svi di različiti

a

l l

. . -l

- 10 -7] ;

l

;

-1 .

10

m

l

l

l

3·24. )

-1

B2 = I {=::::} A

postoji

{=::::}

pa pomnožimo Obrat je

(2A - I)2 = I

je idempotentna.

Direktno provjerom

(I - A)(I + A + A2 + . . . + AP-1) = (I+ A + A2 + . . . + AP-1)(I - A) = l - A +A - A2 + . . . + Ap-I - AP = I - AP = I.

{=::::}

179

RJEŠENJA ZADATAKA 3.33.

3.34.

a)

AB(B-1A-1) = ABB-1A-1 = AIA-1 = AA-1 I slično je i B-1A- 1AB = I pa slijedi (AB)-1 = B-1 A - l . b) Lako se provjeri indukcijom po k . e) Kontraprimjer: uzmimo A = I i B = 21 . Vrijedi (A + B)-1 = ji , A-1 + B-1 �1 . =

,

=

Iz jednakosti

AB = BA invertiranjem je B-1 A - l = A - l B-1 • Množeći početnujednakost zdesna i slijeva s B-1 je B-1 ABB-1 = B-1BAB-1

===>

B-1A = AB-1 .

Slično, množenjem zdesna i slijeva s A -l dobije se A - l B = BA- l .

3.35. Uputa: dokaži prvo (S-1 AS)m = s-1 Ams Vm E N . 3.36. a) Dokažimo prvo

da

vrijedi (A T)-1 = (A - J ) T . To je istina zbog A T (A -J) T = A T (A T) T = A T A l , slično je i (A - l ) T A l pa je A - l također ortogonalna. b) Neka su A i B ortogonalne. Tada je (AB) (AB) T = ABBT A T = AlA T l . Također je i (AB) T (AB) = I paje AB ortogonalna. e) Lako, provjerom. =

=

=

a)

3.37. Slično kao u prethodnom zadatku je u-' (U - 1 ) * = U* (U*)* = U* U = I i analogno U1IUi l a također i (U- 1)*U- 1 = l . b) Vrijedi U,Uz(U Uz)* = U,UzU�Ui J (U, Uz)*U, Uz = l . =

=

,

3.38. Svojstvo (l) je ekvivalentno sa A = A T , Svojstvo (2) je ekvivalentno sa AA T :::;: A T A = l , tj . A- J = A T , Svojstvo (3) je ekvivalentno sa A2 = I , tj. A- l = A . Lako se vidi da bilo koja dva od svojstava (l) A = A T , (2) A T = A- l , (3) A - l A povlače treće. =

,

180

4.18.

RJEšENJA ZADATAKA

a)

Za J.

� l Qjjotiv.

Qošenj< i
jcloojo i
-t , c) = le 6.113. d(T, p) = i ST i · srn

--+

P2 , vektori Tt T2 ,

Ct

= (lt, mt, nt ) i c2 = (12, m2, n2)

jef l .

--+

--+

�

--+

6.114. Nekaje d(pt, p2) = d(At, A2) , At E Pl · A2 E P2 · Tadaje A1A2 = AtTI + T1 T2 + T2A2 .--o+ --+ --+ --+ i At Tl = ac1 , T2A2 = f3c2 , A1A2 = r(ct x c2) . Množeći A1A2 skalarno sa vektorom CJ

--+

�

--+

c2 imamo A1A2 (c1 ·

X

--+

c2) = A1T1 · (c1 X c2) + T1T2 · (c1 X c2) + T2A2 · (c1 X c2) i zbog gore navedenog je I A1A2 · (ct x c2)l = I AtA2 I · Ict x c2l , AtTI · (cl x c2) = O i X

-

--+

T2A2 · (c1 x c2) = O . Dakle, d(pt. P2) = I A1A2 I = .L;.:.;;,::....;::.:.,:.;;=

7.12. U novoj bazi

7.11. Ne, jer nisu linearno nezavisni. 7.13. U novoj bazi 7.14.

x

ima koordinate

Jedna moguća haza je

[ -S

U]

ima koordinate

·

(0, 2, l , 2) .

{(1, 0, 0, 2 ), (O, l, O, -l), (O, O, l, - l)} i dim V = 3 .

7.16. a) Da, b) ne, e) da, d ) ne,

7.15. a) Da, b) ne.

7.17. T =

x

]

O -4 -4 -l 4 . l3 3 -l

7.18. T =

[ !: -� -! �] · -z

ll

[ -� -� -�] .

7 -2 -,:

e)

ne.

o

7.19. U oba slučaja su linearno nezavisne i njihov broj jednak je dimenziji prostora antisimetričnih

[l � � l

matrica reda 3 . T =

7.20. Oba sku T=

o O l

�

37

8

��nezavisna i kardinalnog broja jednakog dimenziji od [!1'3 .

l e 8 -2 l 6 0

-S

8

1

o 4 . O -3

RJEšENJA ZADATAKA

7.21. T

[!

�< � ;:

o o

o

o

u (k+ l ) -vom stupcu su

7..22.

189

: · · (-��:::-' ] , ..

l

t (-cl . Ct�1)(-ct-• . (t�2)(-c) -l , . . , (�)(-e) . .

.

n(n ; l ) , a u bazi su matrice Eij

Dimenzija za potprostor gornjih trokutastih matrica je kanonske

baze za .A,.

i � j.

ali samo one za koje je

iz

Slično, za potprostor donjih trokutastih koji je iste dimenzije kao prethodni bazu čine

matrice

Eij za sve i, j takve da je i ?; j .

Dimenzija i a potprostor simetričnih matrica je

n(n; 1 ) ,

i � j , sa svim nulama osim jedinicom na mjestima (i, j) Za antisimetrične dimenzij a je

nulama osim l na mjestu

7.23. a)

b)

Dimenzija je Dimenzija je

(i, j)

n (n :; 1 )

,

i (j,

i) .

a bazu čine matrice Fij za

a bazu čine matrice Gv za

te - l na mjestu (j, i) .

i


(i) i (iii) ===> (i) (obrat je trivijalan). Ako je A injekcija onda je d(A) = O pa imamo dim Y = dimX = d(A) + r(A) = r(A)

RJEŠENJA ZADATAKA

193

O.

odakle slijedi da je A i surjekcija, odnosno bijekcija Slično, ako je A surjekcija vrijedi dim Y = r(A) pa je d(A) = dimX - r(A) dim Y - r(A) = Zato je A i injekcija, odnosno bijekcija

8.44. Neka je

a = ax i + ayj + azk,

b = bxi + byj + hzk,

e

= exi + cyj + Czk.

Operator je zadan ako je poznato njegovo djelovanje na bazi. Ako vrijedi tvrdnja zadatka (za x uvrstimo redom i, j, k ) tada mora biti

A(i) = ax i + bxj + ex k,

A(k) = azi + bJ + Czk.

A(j) = ayi + byj + cyk,

To znači da je matrica operatora A jednaka

A=

[:� � ::] Cx Cy Cz

Odavde se vidi da je vektor a prvi redak, b drugi redak, a bazi {i, j, k} .

e

treći redak matrice operatora u

8.45. Vrijedi Dakle, A nije linearan operator nad C jer je općenito a i= a i /3 =/= 73 . Uoči da A jest linearan operator nad R , jer je a = a i /3 = 73 za a, /3 E R .

8.46. Prvo tvrdimo da postoji e E Rn takav da su e i Ae linearno nezavisni. U suprotnom je A(x) = Axx. Vx . Nckaje A(x) = AxX i A (y) = AyY · Tada imamo A(x + y) = Ax+y (x + y) . S druge strane je A(x + y) = A(x) + A(y) = Ax X + AyY . Ako odaberemo linearno nezavisne x i y iz Ax+y(x + y) AxX + AyY slijedi Ax+y = Ax = Ay , odnosno A = U što je u kontradikciji sa tr1i = O . Dakle, postoji e E Rn takav da su e i A(e) linearno nezavisni pa skup {e, Ae} nado­ punimo do baze za Rn . U toj bazi je matrica operatora

[OO l O O [O [ ] O [! �] o:::

l

:

a 12 . . . a 1n a22 · . a2n a32 . . . a3n . ·

( "' )

· . .

an2

ann

Tvrdnju dobijemo indukcijom po n . Baza: za n = l zbog tr A = je A = J pa je tvrdnja očigledna. Pretpostavka: neka tvrdnja vrijedi za n - l . Korak: Po (*) je A =

��

, gdje su

Y, X,

B

O

redom blokovi tipa l

X

(n - l) ,

(n - l ) x l , i (n - l) x (n - l) . Ako je tr A = onda je i tr B = pa po pretpostavci indukcije postoji regularna matrica prijelaza S tako da je s- 1 BS sa nulama na dijagonali. Pokažimo da je T =

(blok-matrica istih dimenzija kao i A ) matrica prijelaza za A .

194

RJEšENJA ZADATAKA

Vrijedi

T

-1 ::: [ ! 5! t ] .

Računamo

[! ! 1 ] [� i ] [! � ] = [ s�x s!ru) [ � :] = [ s �1 s��s)

T- 1 AT =

a

s-t BS

y- l AT : 8

x

je matrica sa nulama na dijagonali pa je takva i

1

T- AT .

A1 Az = - 1 v1 = [ l , I ] T ; T T At V2 . Az = -VZ; Vj = [ l, V2 ] , Vz [ t, -V2 ] ; At = 0 , Az = 5 ; v l [ 1, l ] T . vz = [ l , -4 J T ; At = -4 , Az = 4 ; v1 [8, - l ] T , Vz = [ O, l ] T ; At = O , Az l ; v1 = (0, l ] T , vz = ( l, l ] T ; AI 2 , ..:1.2 l ; vt = [ 2, 1 1 J T , v2 = [ 1, - l J T ; AI 2 , A2 = 7 ; VJ = (2, l ) T , V2 = [ - l, 2] T ; A t 2 , Az = O ; v1 = ( 1 , l ) T , Vz = ( l, -l ] T ; 9.12. a) A j = A2 l , A3 = -l ; v1 = [ 1 , O, O ] T . vz [ O, 1, 1 ] T , v3 = [ 0, -1, l ) T . b) AJ = 0, Az l , A3 2 ; Vj = [ O, l, l ] T , vz = [ 1, 1, l ] T , v3 [ 1, O, l ] T . - I ; v1 [ 1, l, I ] T , v2 = [ 1, O, l ] T , v3 e) At = l , Az = 2 , A3 T [ l, -3, -5 ] . d) At = Az 2 , A3 = -5 ; Vt = [ 2, l, O ] T , vz [ I , O, I ] T , VJ = [ l, 3, 2 ) T . e) AJ = -1 , Az = 2 , A3 = 5 ; vi = ( l, O, - 1 J T , v2 (0, l , OJ T , VJ = ( 3, 4, 3 ] T . f) AJ = 1 , A2 = 0 , AJ = 3 ; vt = ( l, 0, 1 J T , v2 = (0, 1, -2J T , v3 = [ 3, -2, l ] T . T g) At = l , A2 A3 = 2 ; Vt = [ l, l, l j T , Vz = [ l, 0, -3 ) T , V3 ( 0, l , 3 ) . T T h) AJ = 2 , Az AJ = l ; v1 [ l, O, Oj , v2 = (0, l, O J . i) At A2 = AJ = 2 ; V t = ( l, O, 1 ] T . 9.13. a) At Az = l , A3 = A4 = - 1 ; VJ = [ l, O, O, l J T , Vz = [ 0, l, l , O ] T , V3 = [0, -1, l, O ] T , V4 = [ -l, o, o, 1 ] T . b) At = Az l , AJ = A4 = - l ; Vt = [ 1, l, O, O ] T , v2 [ O, O, 1 , l ] T , v3 [ -1, l, O, O ] T , v4 = [0, O, -1, 1 ) T . ( 0, l, l, O ] T , e) At = A2 = A3 = O , A4 == 4 ; VI = ( l, l, O, O] T , v2 v3 [0, O, l , l ] T , v4 = [ l, - 1, l, - l ] T . O , A4 2 ; Vt = [ 1, O, O, l ] T , v2 = ( O, I , l, O] T , Az = A3 d) At T v4 = [ 1 , - 1, l, - I J . e) A) = A2 = l , A3 = A4 -t ; v1 = [ 1, l, 1, l ] T , v3 = [ 1, 1, o, o ] T . f) At = A2 = 2 , A3 A4 = O ; Vt ( O, l, O, O ] T , (O, O, O, l ] T , V3 T V4 [ l, O, l, O J .

9.11.

a) b) e) d) e) f) g) h)

195

RJEŠENJA ZADATAKA

(

9.14. a) v1 = ( 1, l, - l ] T , Vz = ( 2, l, O J T , v3 = (3, O, 2 ; D = diag(-1 , 0, 0) . b) v1 = ( 2, l, -3 , vz = ( - 1 , 2, O ] T , V3 = ( 6, 3 , 5 ] T : D = diag(l4, 0, 0) . e) v1 = ( 1 , - 1 , O ] T , Vz = ( l , O, l ] T , v3 = ( 1, 2, 4] T ; D = diag(3, 3, 2) . d) v1 = ( -2, l , 2 j T , Vz = ( -8, 3 , 7 , v3 = ( -3, l , 3 ; D = diag(1, 2, 3) . . e v1 = ( 1 , 3, O j T , Vz = ( O, -3, l j T , v3 = ( l , -2, 2 j T ; D = diag(l , l , -2) . ne može se dijagonalizirati. f)

(

(

)

(

[ 21 23 ] , J = [ -01 -1l ] ; [ 2 3 [ -2O -2l ] ; T = -l 2] ' J =

b) T = d) f)

-

T= [ ; ! ] . J= [ � � ] ; [� � J J = [� n ; [ ] [ ] [ ]J [ ] [� � ! [ � �l ]

h) T =

.

1 1 1 1 1 o l 2 2 , J= O l O ; 2 3 4 o o 2 l 1 o 2 1 o d) T = O l O = O 2 l ; o o 2 l o l

b) T =

�l ·

9.17. Matrica ovog operatora (vidi Zadatak 8.5.) je A =

,

Ovo je dijagonalna blok

o o o l

matrica sa blokovima reda l , 2 i l , što bitno olakšava računanje karakterističnog polinoma: det(AI - A) = det (A - l j · det

l

·

det ( A - l j

3 z = (A - l)(A - l)(A - l) = (A - 1 ) (A + l) pa su svojstvene vrijednosti A 1 = Az = A3 = l i A4 = - l . Svojstveni vektori su Vl =

9.18. A =

[ � �] [� �] [� � � •

�l

Vz =

o o o 4

•

V3 =

[� n

•

V4 =

[ � �] l

·

i očigledno v1 = l , v2 = t , v3 = tz , v4 = t3 .

9.19. A 1 = 2 , Az = A3 = A4 = O 9.20. A = x(Z) =

[ � �] [ -r] .

(u kanonskoj bazi {i, j} ).

A1

9.21. Neka je su A i B slične matrice pa postoji regularna matrica S takva daje B = s- 1 AS . a) Koristimo svojstvo tr AB = tr BA . Imamo: 1 tr B = tr(S- 1 AS) = tr(S- 1 (AS)) = tr((AS)S- ) = tr(A(SS- 1 )) = tr A .

196

RJEŠENJA ZADATAKA

b)

Ovdje koristimo Binet-Cauchyjev teorem:

det B = det(S-1AS) = det S - 1 det A det S

= det A (det S - 1 det S) = det A det(S - 1 S) = det A det l = det A .

)

e

det(A I - s - 1 AS) = det(), S - 1 1S - s- 1AS) = det(S-1 (A I - A)S)

= det S-1 det(A I - A) det S = det(A. I - A) (det S-1 det S)

9.23.

[� :] .

Uzmimo A =

= det(A I - A) det(S- 1 S) = det(A I - A) det l = det(A I - A).

Tada je

A. a k(A. ) = l �

A poništava kA (A ) , tj .

}:

,\ d l

= A- 2 - (a + d)A. + ad -

d

i

Prema zadanoj jednakosti je A2 = (trA)A i indukcijom imamo Ak = (trA)k - I A . Za k ;;::

3

det A = ad -

bc

A2 - (a + d)A + (ad - bc)l =

bc.

pa slijedi tvrdnja.

O.

Također je i tr A = a +

9.24. Pretpostavimo obratno, neka takva matrica postoji. Ako je Ak = O za k ;;:: det A1 = O :=:::} (det A/ = O :=:::} det A = O.

na lijevoj strani je nulmatrica pa zbog A zadanu jednakost imamo A2 =

9.25.

#O

3 , onda je

slijedi tr A = O . Ponovnim uvrštavanjem u

Kontradikcija! Slijedi da ne postoji takva matrica

O.

Vrijedi det(A2 + 2A + 21) = O . Trebamo pokazati da je tada i det(A4 + 41) = O . Koristimo

faktorizaciju:

n4 + 4 = (n4 + 4n2 + 4) - 4n2 = (n2 + 2)2 - (2n)2 = (n2 + 2n + 2)(n2 - 2n + 2).

Zbog toga je

det(A4 +41) = det((A2 +2A+ 21)(A2 - 2A + 21)) = det(A2 +2A+21) det(A2 -2A+ 21) = O.

9.26.

Za pridruženu matricu tog operatora također vrijedi A2 = -A . Neka je A svojstvena vrijed­ nost zadanog operatora i x pripadajući svojstveni vektor. Tada je i s druge strane

A2(x) = A(A(x)) = A(h) = A.A(x) = A. 2x

paje A 2 = -A odnosno Ai =

9.27.

A2(x) = -A(x) = -h

-l

i A- = O . 2

Pretpostavimo obratno, v1 + v jest svojstveni vektor od F . Postoji A 2 F(v + v ) = A. (v, + v ) . 2 2 1 Neka s u A., i A- svojstvene vrijednosti vektora v, i v . Tada j e 2 2 F(v1 + v ) = F(v ) + F(v ) = A., v, + A. v 2 2 2 2 1 pa mora biti

ER

takav daje

197

RJEšENJA ZADATAKA odnosno

(A. - At)Vt + (A. - A2)v2 = O.

v 1 i v2 su pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima i stoga linearno nezavisni pa je A - A. 1 = O i A - A.2 = O , odnosno A = A. 1 = A.2 = O što je u kontradikciji sa polaznom pretpostavkom ;., ::/: A2 . Slijedi tvrdnja.

9.28.. Neka je A odgovarajuća svojstvena vrijednost za vektor x i operator F . F je linearan pa vrijedi F'(x) F'- 1 (F(x)) Fn- I (A.x) 2 2 = AF'- l (x) = ;., F'- (x) = . . . = ;., nx. Dakle, x je i svojstveni vektor za operator � , odgovarajuća svojstvena vrijednost je A 11 =

•

9.29. Neka je x svojstveni vektor za F i A , tj. F(x) A X . F je regularan, svaka svojstvena vrijednost mu je različita od nule. Specijalno, A f; O pa vrijedi 1 F- l o F(x) = F- 1 (A.x) = A. F- (x),

odnosno

F- 1 (x) = A. - ' x. Dakle, A - l je svojstvena vrijednost za F- 1 i odgovarajući svojstveni vektori su isti.

-6, - l) ; b) npr. (1, -2, 1, 0) , (25, 4, -17, -6) .

10.15. a) Npr. (2, 2, l, O) , (5,

(�, -�, -t) ili (-!, j, l) ;

b) npr. ( ! , - !, ! , - ! ) , ( ! , - !, - !, ! ) . 2) , (2, 5, 1, 3 ) ; 10.17. a) (1, 2, 2, - l ) , (2, 3, -3, 2) , (2, - l, - l , -2) ; b) (1 , 1 , e) (2, 1, 3, -1) , (3, 2, -3, -1) , (1, 5, 1 , 10) .

10.16. a)

l . 2 (sm · 2x l smx 10• 18• � ,, y;;r , y;;r

:z ) . l

10.20. Npr. b 1 = (2, -2, - l, O) i b2 = (l, l, O, - l ) . 10.21. a) y = (3, l , - l , -2) , z (2, l, -1, 4) ; b) y = (5, -5, -2, -l) , z = (2, l, 1 , 3) .

10.22. Trazimo koeficijente u prikazu x = E7=t a;e; . Pomnožimo ovu jednakost skalama sa ej . Zbog ortonormiranosti je n n (x l ej ) = ie; l ej) = :L a;(ed ej) = ai i�l

to.l3.

t�!

pa tvrdnja slijedi.

Nadopunimo ovaj skup do ortonormirane baze za V {eh e2, . . . , en } (ukoliko on to nije). Po prethodnom zadatku vrijedi n n n n (x i x) = (L ate; l L ajej) = L L ataj(e; l ej) j=l i=l i=l j=l n n n k 2 :L a;a;(e; l e;) = L: a;a; :L ia;f � :L 1 ad • i=!

i=l

i=l

i=l

193

RJEšENJA ZADATAKA

4[4 o o-fo 4o

199

RJEŠENJA ZADATAKA

Q=

v'2

11.12. a) Pozitivno-definitna; b) negativno-definitna; e) indefinitna; d) negativno-definitna; e) pozitivno-definitna; f) indefinitna; g) pozitivno-definitna.

/i;

11.13. a) A > 2 ; b) IA I < 0 8 < A < O ; d) ne postoji takav A ; e ) ne postoji takav e) ) A ; f) ne postoji takav A ; g ne postoji takav A ; h) ne postoji takav A ; i) VA :j= O . -

.

11.14. a) Ne postoji takav A ; b) ne postoji takav A ; e) A < - l ; d) A
4 , indefinitna inače; b) indefinitna VA, VA, E R . 11.16. a) Elipsa

T + ;- = l ; b) dva pravca x"2 - y112 = l //2

//2

; e)

E R ; e)

pravci x" = 2 i x" = -2 ; h) elipsa 112

b) elipsoid

T + ;-- + ;//2

6

+

Y 35

.ll2

3

6

=

l;

T - ;-- = 112

//2

d) dvoplošni eliptički hiperboloid

//2

-

//2

-T - ;-. + � = l ;

112 ) 11 e) eliptički paraboloid ;,:; + Y ;,:; = 2z ; 5v2 v 2 T --;rf) parabolički cilindar y'12 = jx11 ; 112 112 x112

2z" ; 112

B

B

\ + ;-- = l ; 112 112 h) jednoplošni eliptički hiperboloid ;- + ;-- � = l ; g) eliptički cilindar

i) hiperbolički cilindar

112

!

;- ;- = l . 112

!

112

-

!

b

-

!

indefinitna

112

=

l ; g) paralelni

l = l ; i) parabola /12 = v'š .

112

112 !

e) hiperbolički paraboloid

35

T - ;- = z" ;

11.17. a) Hiperbolički paraboloid

112

x112

-0.6 .

parabola y "2 = x" ; d) elipsa

T + dry'12 v'š 1 = l ; e) parabola y'12 = 4V'2x" ; f) hiperbola � 4 - ;v'š 112

e) A