Linearna algebra 9531975205 [PDF]

Zitiervorschau

Neven Elezović Redoviti profesor Fakulteta elektrotehnike i računarstva Zavod za primijenjenu matematiku

LINEARNA ALGEBRA

(s 58 crteža)

3.

izdanje

Zagreb, 2006.

©Prof. dr.

sc.

Neven Elezović, 1995.

Urednik Prof. dr.

sc.

Neven Elezović

Za nakladnika Sandra Gračan, dipl. inž

Nakladnik ELEMENT, Zagreb, Menčetićeva 2 telefoni: 01/6008-700,01/6008-701 faks: 01/6008-799 http://www.element.hr/ e-mail: [email protected]

Slog, crteži i prijelom Element, Zagreb

Design ovitka Boje vremena, Zagreb

Tisak Element, Zagreb

Nijedan dio ove knjige ne smije sc prcslikavati niti umnai.ati na bilo koji način. bez pismenog dopuštenja nakladnika

PREDGOVOR

Ovaj udžbenik linearne algebre pisan je po programu istoimenog predmeta koji se predaje na Fakultetu elektrotehnike i računarstva u Zagrebu, u prvom seme­

stru sa satnicom od 3 +2 sata tjedno (45 sati predavanja i 30 sati vježbi). Udžbenik

prati i odgovarajuća zbirka zadataka koji zbog toga nisu u njemu zastupljeni u dovoljnoj mjeri.

Namjena je postavila i okvire knjizi. Mnogi dijelovi linearne algebre morali su biti preskočeni: za njih u jednosemestralnom kolegiju nema niti mjesta, a vje­ rojatno niti potrebe. U uvodnom kolegiju teško da se može krenuti mnogo dalje

od temeljnih definicija i prikaza najvažnijih teorema. S druge strane, osnovni se

pojmovi-poput vektora, vektorskog prostora, linearne nezavisnosti i zavisnosti,

skalarnog umnoška i dr. - definiraju u više navrata, svaki naredni put u ponešto promijenjenim okolnostima. To je učinjeno namjerno, s ciljem da se ti pojmovi što temeljitije usvoje. Nastojao sam gradivo izložiti u potpunoj strogosti. Neki su dokazi od/oženi, kako ne bi u prvom čitanju zasmetali jasnoći osnovnih ideja. Pažljivi čitatelj će otkriti tek par mjesta gdje unatoč svemu strogi dokaz nije bilo moguće navesti jer bi to zahtijevalo bitno povećanje opsega knjige. Jedan dio knjige, tiskan smanjenim slogom, predstavlja dopunski materijal. On se može preskočiti bez opasnosti po razumijevanje ostalog dijela. To ne znači da je suvišan, naprotiv! Taj je dio namijenjen boljim studentima, jer će u njemu pronaći dodatne informacije za daljnji studij. Zahvaljujem se kolegama doc. dr. sc. Petru lavoru, doc. dr. sc. Luki Korku­ tu, prof dr. sc. Ljubi Maranguniću i doc. dr. sc. Darku Žubriniću koji su pratili nastanak rukopisa i pomogli mnogim korisnim savjetima. Nedostatak odgQWJra­

juće literature utjecao je i na brzinu tiskanja ovog pripremnog izdanja. Stoga �

zasigurno preostale raznovrsne pogreške. Vjerujem da će sljedeće biti potp"f.l-,zije i primjerenije u čemu će sigunJO doprinijeti i savjeti pažljivih čitatelja. Svaki ću

savjet rado primiti i pokušati uvažiti.

U Zagrebu, rujna 1995.

SADRZˇ AJ

1. Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Definicija i primjeri matrica . . . . . . 1.2. Operacije s matricama . . . . . . . . . 1.3. Algebra matrica . . . . . . . . . . . . 1.4. Matricˇna jednadzˇ ba i inverzna matrica 1.5. Algebarske strukture . . . . . . . . . . 1.6. Blok matrice . . . . . . . . . . . . . . 2. Determinante . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Definicija determinante . . . . . . 2.2. Svojstva determinanti . . . . . . . 2.3. Determinante i inverzna matrica . . 2.4. Slozˇ enost algoritma . . . . . . . . 2.5. Opravdanje definicije determinante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Rang i inverz matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Elementarne transformacije i reducirani oblik matrice 3.2. Elementarne matrice. Ekvivalentne matrice . . . . . . 3.3. Rang i inverz matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Linearna nezavisnost vektora i rang matrice . . . . . 3.5. Dodatni teoremi o rangu . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Linearni sustavi . . . . . . . . . . 4.1. Gaussova metoda eliminacije 4.2. Homogeni sustavi . . . . . . 4.3. Nehomogeni sustavi . . . . . 4.4. Cramerovo pravilo . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Operacije s vektorima . . . . . . . . 5.2. V 3 je vektorski prostor . . . . . . . 5.3. Koordinatni sustavi i kanonska baza 5.4. Skalarni umnozˇ ak . . . . . . . . . . 5.5. Vektorski umnozˇ ak . . . . . . . . . 5.6. Mjesˇoviti umnozˇ ak . . . . . . . . . 5.7. Rastav vektora po bazi . . . . . . . . 5.8. Dvostruki umnozˇ ak . . . . . . . . . 5.9. Dodatak . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 6 8 14 17 20 23 23 28 35 39 40 42 42 45 48 52 58 61 61 63 67 69 71 72 75 77 81 84 86 88 90 92

6. Tocˇka, pravac i ravnina . . . . . . . . . . 6.1. Tocˇka . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Ravnina . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Pravac . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Medusobni polozˇ aj pravaca i ravnina

94 94 . 97 . 103 . 107

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Baza i dimenzija vektorskoga prostora 7.2. Promjena baze . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Linearni operatori . . . . . . . . . . . . . 8.1. Prikaz operatora . . . . . . . . . . . . 8.2. Promjena baze. Slicˇne matrice . . . . 8.3. Primjeri operatora u ravnini i prostoru 8.4. Algebra operatora . . . . . . . . . . . 8.5. Minimalni polinom . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 122 . 127 . 129 . 136 . 140

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti . . . . . . 9.1. Karakteristicˇni polinom i svojstvene vrijednosti 9.2. Dijagonalizacija operatora. Matricˇne funkcije . 9.3. Hamilton-Cayleyev teorem . . . . . . . . . . . 9.4. Jordanova forma matrice . . . . . . . . . . . .

11. Kvadratne forme. Krivulje i plohe drugog reda 11.1. Kvadratna forma pridruzˇ ena matrici . . . . . 11.2. Pregled krivulja drugoga reda . . . . . . . . 11.3. Plohe drugoga reda . . . . . . . . . . . . . 11.4. Pozitivnost kvadratne forme . . . . . . . . .

144 144 . 147 . 155 . 156

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Skalarni produkt. Dijagonalizacija simetricˇne matrice 10.1. Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije . . . 10.3. Simetricˇne matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Ortogonalne matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Dijagonalizacija simetricˇne matrice . . . . . . . . .

Kazalo . . Literatura

112 112 118

163 163 . 166 . 168 . 171 . 173

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177 177 185 188 197 199 202

1.

1.

Matrice

Matrice

1. Definicija i primjeri matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Definicija i primjeri matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Algebra matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Algebra matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Matriˇcna jednadˇzba i inverzna matrica . . . . . . . . . . 14

4. Matriˇcna jednadˇzba i inverzna matrica . . . . . . . . . . 14

5. Algebarske strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Algebarske strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6. Blok matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6. Blok matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1. Definicija i primjeri matrica

1.1. Definicija i primjeri matrica

Matrice. Matrica 1 je pravokutna tablica saˇcinjena od nekoliko redaka i stupaca ispunjenih njezinim elementima. Ti su elementi obiˇcno brojevi, najˇceˇsc´e realni, no ponekad i kompleksni. Elementi mogu biti i drugi objekti, poput funkcija, vektora, diferencijalnih operatora, pa cˇak i samih matrica. Mi c´emo promatrati uglavnom matrice realnih brojeva. Evo primjera nekih matrica: ⎡ ⎤     0 0 2 1 3 0 −1 A= ; B= ; C = ⎣ 0 0 ⎦. 3 −2 2 1 π 0 0

Matrice. Matrica 1 je pravokutna tablica saˇcinjena od nekoliko redaka i stupaca ispunjenih njezinim elementima. Ti su elementi obiˇcno brojevi, najˇceˇsc´e realni, no ponekad i kompleksni. Elementi mogu biti i drugi objekti, poput funkcija, vektora, diferencijalnih operatora, pa cˇak i samih matrica. Mi c´emo promatrati uglavnom matrice realnih brojeva. Evo primjera nekih matrica: ⎡ ⎤     0 0 2 1 3 0 −1 A= ; B= ; C = ⎣ 0 0 ⎦. 3 −2 2 1 π 0 0

Matrica A ima dva retka i dva stupca. B ima dva retka i tri stupca, dok C ima tri retka i dva stupca.

Matrica A ima dva retka i dva stupca. B ima dva retka i tri stupca, dok C ima tri retka i dva stupca.

1

engl. matrix, njem. Matrix, franc. matrice, rus. matrica od lat. matrix – stablo, matica.

1

engl. matrix, njem. Matrix, franc. matrice, rus. matrica od lat. matrix – stablo, matica.

2

1. MATRICE

2

1. MATRICE

Zapis matrice. Element matrice oznaˇcavamo indeksima, pozivanjem prvo na redak pa zatim na stupac u kojem se on nalazi. Tako (A)11 = 2 naznaˇcava da je element matrice A koji se nalazi u prvom retku i prvom stupcu jednak 2. Na primjer, (B)13 = −1 , (B)21 = 2 i sliˇcno.

Zapis matrice. Element matrice oznaˇcavamo indeksima, pozivanjem prvo na redak pa zatim na stupac u kojem se on nalazi. Tako (A)11 = 2 naznaˇcava da je element matrice A koji se nalazi u prvom retku i prvom stupcu jednak 2. Na primjer, (B)13 = −1 , (B)21 = 2 i sliˇcno.

Obiˇcaj je da se op´ci (po volji odabrani) element matrice oznaˇcava malim latinskim (ponekad i grˇckim) slovom. Tako je a11 element matrice A koji leˇzi u prvom retku i prvom stupcu, a11 = (A)11 , i sliˇcno aij = (A)ij . Op´ci oblik matrice je

Obiˇcaj je da se op´ci (po volji odabrani) element matrice oznaˇcava malim latinskim (ponekad i grˇckim) slovom. Tako je a11 element matrice A koji leˇzi u prvom retku i prvom stupcu, a11 = (A)11 , i sliˇcno aij = (A)ij . Op´ci oblik matrice je

⎡

⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A=⎢ ⎣ ... ⎦

⎡

⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A=⎢ ⎣ ... ⎦

am1 am2 . . . amn

am1 am2 . . . amn

Ova matrica ima m redaka i n stupaca. Za nju kaˇzemo da je tipa m × n ili tipa (m, n) . Elementi matrice su brojevi aij ; i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n , indeksirani s dva indeksa. Prvi oznaˇcava broj retka, a drugi broj stupca u kojem se dotiˇcni element nalazi. Prema tome, retci se sastoje od sljede´cih elemenata:

Ova matrica ima m redaka i n stupaca. Za nju kaˇzemo da je tipa m × n ili tipa (m, n) . Elementi matrice su brojevi aij ; i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n , indeksirani s dva indeksa. Prvi oznaˇcava broj retka, a drugi broj stupca u kojem se dotiˇcni element nalazi. Prema tome, retci se sastoje od sljede´cih elemenata:

prvi redak .. .

a11

a12

...

a1j

...

a1n

a11

a12

...

a1j

...

a1n

i -ti redak .. .

ai1

ai2

...

aij

...

prvi redak .. .

ain

ai1

ai2

...

aij

...

ain

m -ti redak

am1

am2

...

amj

...

i -ti redak .. .

amn

m -ti redak

am1

am2

...

amj

...

amn

(prvi indeks je cˇvrst i oznaˇcava broj retka, a drugi se mijenja).

(prvi indeks je cˇvrst i oznaˇcava broj retka, a drugi se mijenja).

Stupce pak saˇcinjavaju elementi cˇiji je drugi indeks cˇvrst i oznaˇcava broj stupca, a prvi indeks se mijenja.

Stupce pak saˇcinjavaju elementi cˇiji je drugi indeks cˇvrst i oznaˇcava broj stupca, a prvi indeks se mijenja.

Sl. 1.1. Zapis op´ceg elementa matrice

Sl. 1.1. Zapis op´ceg elementa matrice

1. MATRICE

3

1. MATRICE

3

prvi stupac

...

j -ti stupac

...

n -ti stupac

prvi stupac

...

j -ti stupac

...

n -ti stupac

a11 .. .

...

a1j .. .

...

a1n

a11 .. .

...

a1j .. .

...

a1n

ai1 .. .

...

aij .. .

...

ain

ai1 .. .

...

aij .. .

...

ain

am1

...

amj

...

amn

am1

...

amj

...

amn

Kra´ce matricu A zapisujemo na naˇcin A = (aij ) navode´ci samo ime njezinog op´ceg elementa.

Kra´ce matricu A zapisujemo na naˇcin A = (aij ) navode´ci samo ime njezinog op´ceg elementa.

Jednakost matrica. Dvije matrice, A i B su jednake ako • su istoga tipa (imaju jednak broj redaka i jednak broj stupaca), • imaju jednake odgovaraju´ce elemente, tj. vrijedi aij = bij za sve i, j . Matricu tipa (1, 1) moˇzemo poistovjetiti s realnim brojem, tako smijemo pisati [3] = 3 . Ovakvo poistovje´civanje ne´ce nikad uzrokovati zabunu. Ako je broj redaka m jednak broju stupaca n , za matricu kaˇzemo da je kvadratna matrica reda n .

Jednakost matrica. Dvije matrice, A i B su jednake ako • su istoga tipa (imaju jednak broj redaka i jednak broj stupaca), • imaju jednake odgovaraju´ce elemente, tj. vrijedi aij = bij za sve i, j . Matricu tipa (1, 1) moˇzemo poistovjetiti s realnim brojem, tako smijemo pisati [3] = 3 . Ovakvo poistovje´civanje ne´ce nikad uzrokovati zabunu. Ako je broj redaka m jednak broju stupaca n , za matricu kaˇzemo da je kvadratna matrica reda n .

∗*∗

∗*∗

Navedimo sad nekoliko karakteristiˇcnih matrica te tipove matrica specijalnoga oblika.

Navedimo sad nekoliko karakteristiˇcnih matrica te tipove matrica specijalnoga oblika.

Nul-matrica. Matrica cˇiji su svi elementi nule naziva se nul-matrica i oznaˇcava s 0 , neovisno o tome kojega je tipa ili reda. Ta nepreciznost ne´ce stvarati nikakvih problema. Tako su sve sljede´ce matrice nul-matrice ⎡ ⎤ ⎡ ⎤   0 ... 0 0 0 0 0 . ⎣ .. ⎦. ⎣ 0 0 ⎦, [ 0 0 0 ], [0], , 0 0 0 0 0 ... 0

Nul-matrica. Matrica cˇiji su svi elementi nule naziva se nul-matrica i oznaˇcava s 0 , neovisno o tome kojega je tipa ili reda. Ta nepreciznost ne´ce stvarati nikakvih problema. Tako su sve sljede´ce matrice nul-matrice ⎡ ⎤ ⎡ ⎤   0 ... 0 0 0 0 0 . ⎣ .. ⎦. ⎣ 0 0 ⎦, [ 0 0 0 ], [0], , 0 0 0 0 0 ... 0

Dijagonalna matrica. Dijagonala matrice definirana je samo za kvadratne matrice. Ona sadrˇzi elemente s jednakim indeksima: a11 , a22 , . . . , ann . Matrica kojoj su svi elementi van dijagonale jednaki nuli naziva se dijagonalna matrica. Sljede´ce su matrice dijagonalne ⎡ ⎤ a11 0 . . . 0 ⎡ ⎤   3 0 0 ⎢ 0 a22 . . . 0 ⎥ 2 0 ⎢ . . ⎥ ⎣ 0 0 0 ⎦, , ⎣ .. .. . . . ... ⎦. 0 1 0 0 4 0 0 . . . ann

Dijagonalna matrica. Dijagonala matrice definirana je samo za kvadratne matrice. Ona sadrˇzi elemente s jednakim indeksima: a11 , a22 , . . . , ann . Matrica kojoj su svi elementi van dijagonale jednaki nuli naziva se dijagonalna matrica. Sljede´ce su matrice dijagonalne ⎡ ⎤ a11 0 . . . 0 ⎡ ⎤   3 0 0 ⎢ 0 a22 . . . 0 ⎥ 2 0 ⎢ . . ⎥ ⎣ 0 0 0 ⎦, , ⎣ .. .. . . . ... ⎦. 0 1 0 0 4 0 0 . . . ann

U literaturi se dijagonalna matrica ponekad oznaˇcava simbolom diag. Tako na primjer gornje se matrice mogu zapisati ovako: diag(2, 1) , diag(3, 0, 4) , diag(a11 , . . . , ann ) .

U literaturi se dijagonalna matrica ponekad oznaˇcava simbolom diag. Tako na primjer gornje se matrice mogu zapisati ovako: diag(2, 1) , diag(3, 0, 4) , diag(a11 , . . . , ann ) .

4

1. MATRICE

4

1. MATRICE

Jediniˇcna matrica. To je dijagonalna matrica cˇiji su dijagonalni elementi jednaki 1. Oznaˇcavamo ju slovom I . (Ponegdje se u literaturi koristi i slovo E .) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 ... 0   1 0 0 ⎢0 1 ... 0⎥ 1 0 ⎥ I= ili ⎣ 0 1 0 ⎦ ili ⎢ . . . ⎦. ⎣ ... 0 1 0 0 1 0 0 ... 1

Jediniˇcna matrica. To je dijagonalna matrica cˇiji su dijagonalni elementi jednaki 1. Oznaˇcavamo ju slovom I . (Ponegdje se u literaturi koristi i slovo E .) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 ... 0   1 0 0 ⎢0 1 ... 0⎥ 1 0 ⎥ I= ili ⎣ 0 1 0 ⎦ ili ⎢ . . . ⎦. ⎣ ... 0 1 0 0 1 0 0 ... 1

Trokutaste matrice. Pojam je definiran samo za kvadratne matrice. Matrica je gornja trokutasta ako su svi njezini elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli. Evo nekih primjera: ⎤ ⎡ a11 a12 . . . a1n ⎡ ⎤   1 2 0 ⎢ 0 a22 . . . a2n ⎥ 2 −1 ⎥. ⎢ . ⎣ 0 0 2 ⎦, , ... ⎦ ⎣ .. 0 2 0 0 1 0 0 . . . ann

Trokutaste matrice. Pojam je definiran samo za kvadratne matrice. Matrica je gornja trokutasta ako su svi njezini elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli. Evo nekih primjera: ⎤ ⎡ a11 a12 . . . a1n ⎤ ⎡   1 2 0 ⎢ 0 a22 . . . a2n ⎥ 2 −1 ⎥. ⎢ . ⎣ 0 0 2 ⎦, , ... ⎦ ⎣ .. 0 2 0 0 1 0 0 . . . ann

Matrica je donja trokutasta ako su svi njezini elementi iznad dijagonale jednaki nuli: 



1 0 , 1 1

⎡

⎤ 3 0 0 ⎣ 0 2 0 ⎦, 1 0 1

⎡

⎤ a11 0 . . . 0 ⎢ a21 a22 . . . 0 ⎥ ⎢ . ⎥. ... ⎣ .. ⎦ an1 an2 . . . ann

Matrica je donja trokutasta ako su svi njezini elementi iznad dijagonale jednaki nuli: 



1 0 , 1 1

⎡

⎤

3 0 0 ⎣ 0 2 0 ⎦, 1 0 1

⎡

⎤ a11 0 . . . 0 ⎢ a21 a22 . . . 0 ⎥ ⎢ . ⎥. ... ⎣ .. ⎦ an1 an2 . . . ann

Transponirana matrica. Matrica B je transponirana matrica matrice A ako vrijedi za sve i, j. (B)ij = (A)ji ,

Transponirana matrica. Matrica B je transponirana matrica matrice A ako vrijedi za sve i, j. (B)ij = (A)ji ,

Kako dobivamo transponiranu matricu? Elemente prvoga retka matrice A , ne mijenjaju´ci njihov poredak, zapiˇsemo na mjesto prvog stupca matrice B itd. Matrica B je tipa (n, m) . Ovo pridruˇzivanje nazivamo transponiranjem. Evo nekoliko primjera transponiranja ⎡ ⎤       3 −1 3 0 1 2 −1 2 3 ⎣ 0 2 ⎦ → , → , −1 2 4 3 1 −1 1 1 4 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ a11 a21 . . . am1 a11 a12 . . . a1n ⎢ a a22 . . . am2 ⎥ ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ → ⎢ 12 ⎥. ⎢ . .. . . ⎣ ... ... . . . ⎦ ⎦ ⎣ .. . .

Kako dobivamo transponiranu matricu? Elemente prvoga retka matrice A , ne mijenjaju´ci njihov poredak, zapiˇsemo na mjesto prvog stupca matrice B itd. Matrica B je tipa (n, m) . Ovo pridruˇzivanje nazivamo transponiranjem. Evo nekoliko primjera transponiranja ⎤ ⎡       3 −1 2 −1 2 3 3 0 1 ⎣ 0 2 ⎦ → , → , 3 1 −1 1 −1 2 4 1 4 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ a11 a21 . . . am1 a11 a12 . . . a1n ⎢ a a22 . . . am2 ⎥ ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ → ⎢ 12 ⎥. ⎢ . .. . . ⎣ ... ... . . . ⎦ ⎦ ⎣ .. . . am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn

am1 am2 . . . amn

a1n a2n . . . amn

Kroneckerov simbol. S δij uobiˇcajeno oznaˇcavamo Kroneckerov delta simbol: j 1 ako je i = j, δij = 0 ako je i = j. Vidimo da su δij upravo matriˇcni elementi jediniˇcne matrice: I = (δij ).

Kroneckerov simbol. S δij uobiˇcajeno oznaˇcavamo Kroneckerov delta simbol: j 1 ako je i = j, δij = 0 ako je i = j. Vidimo da su δij upravo matriˇcni elementi jediniˇcne matrice: I = (δij ).

1. MATRICE

5

Transponiranu matricu oznaˇcavamo simbolom A , (A )ij := (A)ji ,

1. MATRICE

5

Transponiranu matricu oznaˇcavamo simbolom A , (A )ij := (A)ji ,

∀i, j.

Primjer 1.1. a) Ako je D dijagonalna matrica, tad je D = D . b) Ako je L gornja trokutasta, tad je L donja trokutasta, i obratno. c) (A ) = A , za svaku matricu A .

∀i, j.

Primjer 1.1. a) Ako je D dijagonalna matrica, tad je D = D . b) Ako je L gornja trokutasta, tad je L donja trokutasta, i obratno. c) (A ) = A , za svaku matricu A .

Ako je A kvadratna matrica, tad se transponirana matrica dobiva tako da se elementi matrice A zrcale s obzirom na njezinu dijagonalu.

Ako je A kvadratna matrica, tad se transponirana matrica dobiva tako da se elementi matrice A zrcale s obzirom na njezinu dijagonalu.

Simetriˇcne matrice. Matrica A je simetriˇcna ako je A = A , tj. aij = aji , ∀i, j . Simetriˇcna matrica nuˇzno je kvadratna. Zrcaljenjem s obzirom na dijagonalu matrica se ne mijenja: ⎡ ⎤   1 0 −1 1 2 ⎣ 0 1 0⎦ , itd. 2 4 −1 0 1

Simetriˇcne matrice. Matrica A je simetriˇcna ako je A = A , tj. aij = aji , ∀i, j . Simetriˇcna matrica nuˇzno je kvadratna. Zrcaljenjem s obzirom na dijagonalu matrica se ne mijenja: ⎡ ⎤   1 0 −1 1 2 ⎣ 0 1 0⎦ , itd. 2 4 −1 0 1

Matrica je antisimetriˇcna ako vrijedi A = −A , tj. aij = −aji , ∀i, j . Antisimetriˇcna matrica nuˇzno je kvadratna i ima nule na dijagonali; aii = −aii daje aii = 0 . Evo primjera: ⎡ ⎤   0 2 −1 0 −3 ⎣ −2 0 0 ⎦ , itd. 3 0 1 0 0

Matrica je antisimetriˇcna ako vrijedi A = −A , tj. aij = −aji , ∀i, j . Antisimetriˇcna matrica nuˇzno je kvadratna i ima nule na dijagonali; aii = −aii daje aii = 0 . Evo primjera: ⎡ ⎤   0 2 −1 0 −3 ⎣ −2 0 0 ⎦ , itd. 3 0 1 0 0

Vektor kao matrica. Matrice koje imaju samo jedan redak ili samo jedan stupac nazivamo vektorima. Tako govorimo o vektor-retku ili pak o vektor-stupcu. Evo primjera vektor-stupaca: ⎡ ⎤ b1 ⎡ ⎤   0 ⎢ b2 ⎥ 1 ⎢ . ⎥. ⎣ 0 ⎦, . . . , , ⎣ .. ⎦ 2 1 bn Za prvog kaˇzemo da je dimenzije 2, drugi je dimenzije 3, a posljednji dimenzije n . Vektore obiˇcno oznaˇcavamo masnim malim slovima latiniˇcke abecede, iako c´emo ponekad koristiti i velika slova, jer vektor je i matrica tipa (n, 1) ili pak (1, n) . Ako je b

Vektor kao matrica. Matrice koje imaju samo jedan redak ili samo jedan stupac nazivamo vektorima. Tako govorimo o vektor-retku ili pak o vektor-stupcu. Evo primjera vektor-stupaca: ⎡ ⎤ b1 ⎡ ⎤   0 ⎢ b2 ⎥ 1 ⎢ . ⎥. ⎣ 0 ⎦, . . . , , ⎣ .. ⎦ 2 1 bn Za prvog kaˇzemo da je dimenzije 2, drugi je dimenzije 3, a posljednji dimenzije n . Vektore obiˇcno oznaˇcavamo masnim malim slovima latiniˇcke abecede, iako c´emo ponekad koristiti i velika slova, jer vektor je i matrica tipa (n, 1) ili pak (1, n) . Ako je b

Zagrade koje okruˇzuju matricu mogu biti i drugoga oblika. zapisi 1 ‚a 0a ‚ 11 a12 11 a12 . . . a1n ‚ B a21 a22 . . . a2n C ‚ a21 a22 ‚ C B A=@ . A = ‚ .. ... .. ‚ . ‚ am1 am2 . . . amn am1 am2

Zagrade koje okruˇzuju matricu mogu biti i drugoga oblika. zapisi 1 ‚a 0a ‚ 11 a12 11 a12 . . . a1n ‚ B a21 a22 . . . a2n C ‚ a21 a22 ‚ C B A=@ . A = ‚ .. ... .. ‚ . ‚ am1 am2 . . . amn am1 am2

U literaturi se susre´cu i sljede´ci . . . a1n . . . a2n ... . . . amn

‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚

Za matrice maloga reda obiˇcno ne koristimo zapis s indeksima; piˇsemo radije A =

»

a b c d

– i sliˇcno.

U literaturi se susre´cu i sljede´ci . . . a1n . . . a2n ... . . . amn

‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚

Za matrice maloga reda obiˇcno ne koristimo zapis s indeksima; piˇsemo radije A =

»

a b c d

– i sliˇcno.

6

1. MATRICE

6

1. MATRICE

vektor-stupac, tad je njemu transponirani vektor b vektor-redak ⎡ ⎤ b1 ⎢ b2 ⎥ ⎢ . ⎥ = [ b1 b2 . . . bn ], ⎣ .. ⎦

vektor-stupac, tad je njemu transponirani vektor b vektor-redak ⎡ ⎤ b1 ⎢ b2 ⎥ ⎢ . ⎥ = [ b1 b2 . . . bn ], ⎣ .. ⎦

bn i obratno, transponiranjem vektor-retka dobiva se vektor-stupac. Govorimo li samo vektor, onda mislimo na vektor-stupac. S druge strane, u retcima knjige lakˇse je zapisati vektor-redak. Stoga se vektori cˇesto zapisuju s pomo´cu znaka transponiranja. Tako je npr. vektor [ 0 1 3 ] zapisan u ovome retku zapravo vektor-stupac, tipa (3, 1) .

bn i obratno, transponiranjem vektor-retka dobiva se vektor-stupac. Govorimo li samo vektor, onda mislimo na vektor-stupac. S druge strane, u retcima knjige lakˇse je zapisati vektor-redak. Stoga se vektori cˇesto zapisuju s pomo´cu znaka transponiranja. Tako je npr. vektor [ 0 1 3 ] zapisan u ovome retku zapravo vektor-stupac, tipa (3, 1) .

Matrica je skup vektora. Stupce (i retke) matrice moˇzemo u mislima shvatiti kao vektore. Tako je matrica ⎡ ⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A=⎢ .. . . ⎣ ... ⎦ . .

Matrica je skup vektora. Stupce (i retke) matrice moˇzemo u mislima shvatiti kao vektore. Tako je matrica ⎡ ⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A=⎢ .. . . ⎣ ... ⎦ . .

am1 am2 . . . amn sastavljena od sljede´cih vektor-redaka ⎡ ⎤ a1 = [ a11 a12 . . . a1n ], a1 a2 = [ a21 a22 . . . a2n ], ⎢ a2 ⎥ ⎥ A=⎢ .. ⎣ ... ⎦, . am am = [ am1 am2 . . . amn ], ili pak od sljede´cih vektor-stupaca ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ a11 a12 a1n ⎢ a21 ⎥ 2 ⎢ a22 ⎥ ⎢a ⎥ 1 2 n ⎥, a = ⎢ . ⎥, . . . , an = ⎢ 2n ⎥ a1 = ⎢ . ⎣ .. ⎦ ⎣ .. ⎦ ⎣ ... ⎦, A = [ a a . . . a ]. am1

am2

am1 am2 . . . amn sastavljena od sljede´cih vektor-redaka ⎡ ⎤ a1 = [ a11 a12 . . . a1n ], a1 a2 = [ a21 a22 . . . a2n ], ⎢ a2 ⎥ ⎥ A=⎢ .. ⎣ ... ⎦, . am am = [ am1 am2 . . . amn ], ili pak od sljede´cih vektor-stupaca ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ a11 a12 a1n ⎢ a21 ⎥ 2 ⎢ a22 ⎥ ⎢ a2n ⎥ n 1 2 n ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ a1 = ⎢ ⎣ ... ⎦, a = ⎣ ... ⎦, . . . , a = ⎣ ... ⎦, A = [ a a . . . a ].

amn

am1

am2

amn

1.2. Operacije s matricama

1.2. Operacije s matricama

Skup svih matrica istog tipa (m, n) oznaˇcavamo sa Mmn . Na tom su skupu definirane dvije operacije • zbrajanje matrica, • mnoˇzenje skalara i matrice. Zbrajanje matrica definirano je na naˇcin

Skup svih matrica istog tipa (m, n) oznaˇcavamo sa Mmn . Na tom su skupu definirane dvije operacije • zbrajanje matrica, • mnoˇzenje skalara i matrice. Zbrajanje matrica definirano je na naˇcin

(A + B)ij := (A)ij + (B)ij .

(A + B)ij := (A)ij + (B)ij .

(1.1)

Da bi zbroj matrica bio definiran, matrice A i B moraju biti istoga tipa. Rezultat zbrajanja je opet matrica, istoga tipa (m, n) . Element matrice A + B na mjestu (i, j) jednak je zbroju elemenata matrica A i B na istom tom mjestu.

(1.1)

Da bi zbroj matrica bio definiran, matrice A i B moraju biti istoga tipa. Rezultat zbrajanja je opet matrica, istoga tipa (m, n) . Element matrice A + B na mjestu (i, j) jednak je zbroju elemenata matrica A i B na istom tom mjestu.

1. MATRICE

7

Tako vrijedi, na primjer       2 −1 −1 0 1 −1 + = , 3 2 3 2 6 4 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ b11 . . . b1n a11 +b11 . . . a1n +b1n a11 . . . a1n .. ... ⎦ + ⎣ ... . . . ⎦ =⎣ ⎦. ⎣ ... . . . . am1 . . . amn bm1 . . . bmn am1 +bm1 . . . amn +bmn Bit c´e korisno da se priviknemo na zapis matrice u kome se redak zapisuje u obliku vektora. Tako zbrajanje matrica moˇzemo predoˇciti formulom ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ b1 a1 +b1 a1 ⎢ a2 ⎥ ⎢ b2 ⎥ ⎢ a2 +b2 ⎥ ⎢ . ⎥+⎢ . ⎥=⎢ ⎥. .. ⎣ .. ⎦ ⎣ .. ⎦ ⎣ ⎦ . am

bm

1. MATRICE

7

Tako vrijedi, na primjer       2 −1 −1 0 1 −1 + = , 3 2 3 2 6 4 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ b11 . . . b1n a11 +b11 . . . a1n +b1n a11 . . . a1n .. ... ⎦ + ⎣ ... . . . ⎦ =⎣ ⎦. ⎣ ... . . . . am1 . . . amn bm1 . . . bmn am1 +bm1 . . . amn +bmn Bit c´e korisno da se priviknemo na zapis matrice u kome se redak zapisuje u obliku vektora. Tako zbrajanje matrica moˇzemo predoˇciti formulom ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ b1 a1 +b1 a1 ⎢ a2 ⎥ ⎢ b2 ⎥ ⎢ a2 +b2 ⎥ ⎢ . ⎥+⎢ . ⎥=⎢ ⎥. .. ⎣ .. ⎦ ⎣ .. ⎦ ⎣ ⎦ .

am +bm

am

Tu je dakako

bm

am +bm

Tu je dakako a1 + b1 = [a11 + b11 , a12 + b12 , . . . , a1n + b1n ]

a1 + b1 = [a11 + b11 , a12 + b12 , . . . , a1n + b1n ]

i sliˇcno za preostale retke. Mnoˇzenje matrice skalarom. Neka je λ ∈ R bilo koji skalar, te A ∈ Mmn . Umnoˇzak matrice A skalarom λ je matrica λ A definirana na naˇcin

i sliˇcno za preostale retke. Mnoˇzenje matrice skalarom. Neka je λ ∈ R bilo koji skalar, te A ∈ Mmn . Umnoˇzak matrice A skalarom λ je matrica λ A definirana na naˇcin

(λ A)ij := λ (A)ij .

(1.2)

∗

(λ A)ij := λ (A)ij .

(1.2)

∗

Dakle, matrica se mnoˇzi skalarom tako da se svaki njezin element mnoˇzi tim skalarom:     1 2 2 4 2 = , 0 −3 0 −6 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ λ a11 . . . λ a1n a11 . . . a1n . ⎦ = ⎣ ... . . . ⎦. λ ⎣ .. . . . λ am1 . . . λ amn am1 . . . amn

Dakle, matrica se mnoˇzi skalarom tako da se svaki njezin element mnoˇzi tim skalarom:     1 2 2 4 2 = , 0 −3 0 −6 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ λ a11 . . . λ a1n a11 . . . a1n . ⎦ = ⎣ ... . . . ⎦. λ ⎣ .. . . . λ am1 . . . λ amn am1 . . . amn

Matricu (−1)A oznaˇcavamo s −A . Razlika dviju matrica svodi se na ve´c uvedene operacije: A − B := A + (−1)B .

Matricu (−1)A oznaˇcavamo s −A . Razlika dviju matrica svodi se na ve´c uvedene operacije: A − B := A + (−1)B .

Skup matrica cˇ ini vektorski prostor. Izdvojimo sljede´ca svojstva ovih dviju operacija 1) (∀A, B, C ∈ Mmn ) A + (B + C) = (A + B) + C . 2) (∃0 ∈ Mmn )(∀A ∈ Mmn ) A + 0 = 0 + A = A . 3) (∀A ∈ Mmn )(∃A ∈ Mmn ) A + A = A + A = 0 . 4) (∀A, B ∈ Mmn ) A + B = B + A . 5) (∀α , β ∈ R)(∀A ∈ Mmn ) α (β A) = (αβ )A 6) (∀α ∈ R)(∀A, B ∈ Mmn ) α (A + B) = α A + α B . 7) (∀α , β ∈ R)(∀A ∈ Mmn ) (α + β )A = α A + β A .

Skup matrica cˇ ini vektorski prostor. Izdvojimo sljede´ca svojstva ovih dviju operacija 1) (∀A, B, C ∈ Mmn ) A + (B + C) = (A + B) + C . 2) (∃0 ∈ Mmn )(∀A ∈ Mmn ) A + 0 = 0 + A = A . 3) (∀A ∈ Mmn )(∃A ∈ Mmn ) A + A = A + A = 0 . 4) (∀A, B ∈ Mmn ) A + B = B + A . 5) (∀α , β ∈ R)(∀A ∈ Mmn ) α (β A) = (αβ )A 6) (∀α ∈ R)(∀A, B ∈ Mmn ) α (A + B) = α A + α B . 7) (∀α , β ∈ R)(∀A ∈ Mmn ) (α + β )A = α A + β A .

∗ Skalar je drugi naziv za realan broj. Korisno ga je rabiti u ovakvim situacijama, zato sˇ to po potrebi skalarom nazivamo i kompleksne brojeve. Mnoˇzenje matrice s kompleksnim brojem definira se na potpuno istovjetan naˇcin, stoga ova definicija vrijedi i kad skalare zamiˇsljamo kao kompleksne brojeve.

∗ Skalar je drugi naziv za realan broj. Korisno ga je rabiti u ovakvim situacijama, zato sˇ to po potrebi skalarom nazivamo i kompleksne brojeve. Mnoˇzenje matrice s kompleksnim brojem definira se na potpuno istovjetan naˇcin, stoga ova definicija vrijedi i kad skalare zamiˇsljamo kao kompleksne brojeve.

8

1. MATRICE

8

1. MATRICE

8) 1 · A = A Kaˇzemo da skup svih matrica Mmn uz operacije zbrajanja matrica i mnoˇzenja skalara i matrice cˇini vektorski prostor.

8) 1 · A = A Kaˇzemo da skup svih matrica Mmn uz operacije zbrajanja matrica i mnoˇzenja skalara i matrice cˇini vektorski prostor.

1.3. Algebra matrica

1.3. Algebra matrica

Mnoˇzenje matrica znatno je sloˇzenija operacija od zbrajanja. Prije no sˇ to navedemo definiciju, upozorit c´emo na sljede´ce: • Umnoˇzak nije definiran za bilo kakve dvije matrice, pa cˇak niti za matrice istoga tipa (m, n) , ukoliko je m = n . • I kad je umnoˇzak definiran, on ovisi o poretku matrica. Krenimo od pojma umnoˇska vektora. Umnoˇzak vektor-retka i vektor-stupca. Neka je a vektor-redak i b vektorstupac iste duljine: ⎡ ⎤ b1 ⎢ b2 ⎥ ⎥ b=⎢ a = [ a1 a2 . . . an ], ⎣ ... ⎦

Mnoˇzenje matrica znatno je sloˇzenija operacija od zbrajanja. Prije no sˇ to navedemo definiciju, upozorit c´emo na sljede´ce: • Umnoˇzak nije definiran za bilo kakve dvije matrice, pa cˇak niti za matrice istoga tipa (m, n) , ukoliko je m = n . • I kad je umnoˇzak definiran, on ovisi o poretku matrica. Krenimo od pojma umnoˇska vektora. Umnoˇzak vektor-retka i vektor-stupca. Neka je a vektor-redak i b vektorstupac iste duljine: ⎡ ⎤ b1 ⎢ b2 ⎥ ⎥ b=⎢ a = [ a1 a2 . . . an ], ⎣ ... ⎦

bn Njihov se umnoˇzak definira na naˇcin: ⎡ ⎤ b1 ⎢ b2 ⎥ ⎥ [ a1 a2 . . . an ]⎢ ⎣ ... ⎦ := a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn .

bn

(1.3)

Njihov se umnoˇzak definira na naˇcin: ⎡ ⎤ b1 ⎢ b2 ⎥ ⎥ [ a1 a2 . . . an ]⎢ ⎣ ... ⎦ := a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn .

(1.3)

bn Rezultat je ovog mnoˇzenja skalar. Evo primjera: ⎤ ⎡ 3 [ 2 −1 3 ]⎣ −2 ⎦ := 2 · 3 + (−1) · (−2) + 3 · 5 = 23. 5

bn Rezultat je ovog mnoˇzenja skalar. Evo primjera: ⎤ ⎡ 3 [ 2 −1 3 ]⎣ −2 ⎦ := 2 · 3 + (−1) · (−2) + 3 · 5 = 23. 5

Mnoˇzenje matrica. Da bi postojao umnoˇzak dviju matrica, one moraju biti ulancˇane: broj stupaca prve mora biti jednak broju redaka druge matrice. (Odnosno, ‘duljina’ retka prve mora biti jednaka ‘duljini’ stupca druge matrice.) Tako, ako je A tipa (m, n) da bi umnoˇzak AB postojao, matrica B mora biti tipa (n, p) . Pri tom m i p mogu biti bilo kakvi. Rezultat mnoˇzenja bit c´e ponovno matrica, tipa (m, p) . Kako mnoˇzimo matrice? Neka je A = (aij ) tipa (m, n) , B = (bij ) tipa (n, p) . Op´ci element umnoˇska AB dan je formulom

Mnoˇzenje matrica. Da bi postojao umnoˇzak dviju matrica, one moraju biti ulancˇane: broj stupaca prve mora biti jednak broju redaka druge matrice. (Odnosno, ‘duljina’ retka prve mora biti jednaka ‘duljini’ stupca druge matrice.) Tako, ako je A tipa (m, n) da bi umnoˇzak AB postojao, matrica B mora biti tipa (n, p) . Pri tom m i p mogu biti bilo kakvi. Rezultat mnoˇzenja bit c´e ponovno matrica, tipa (m, p) . Kako mnoˇzimo matrice? Neka je A = (aij ) tipa (m, n) , B = (bij ) tipa (n, p) . Op´ci element umnoˇska AB dan je formulom

(AB)ij := ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj n

= aik bkj .

(AB)ij := ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj n

= aik bkj .

k=1

(1.4)

k=1

(1.4)

1. MATRICE

9

Ovaj umnoˇzak prepoznajemo kao umnoˇzak i -toga retka matrice A i j -tog stupca matrice B : ⎡b ⎤ 1j ⎢ b2j ⎥ ⎥ (AB)ij = [ ai1 ai2 . . . ain ]⎢ ⎣ .. ⎦. .

1. MATRICE

9

Ovaj umnoˇzak prepoznajemo kao umnoˇzak i -toga retka matrice A i j -tog stupca matrice B : ⎡b ⎤ 1j ⎢ b2j ⎥ ⎥ (AB)ij = [ ai1 ai2 . . . ain ]⎢ ⎣ .. ⎦. .

bnj

Sl. 1.2. Dvije matrice mogu se mnoˇziti samo ako su ulanˇcane. Rezultat je matrica koja ima jednak broj redaka kao prva i jednak broj stupaca kao i druga matrica. Element unmoˇska na mjestu (i, j) jednak je skalarnom umnoˇsku i -toga retka prve i j -toga stupca druge matrice

Primjer 1.2.Evo nekoliko    primjera umnoˇzaka matrica    2 1 −1 3 2 × (−1)+1 × 2 2 × 3+1 × 4 0 10 a) = = , −1 3 2 4 (−1) × (−1)+3 × 2 (−1) × 3+3 × 4 7 9 ⎡ ⎤     3 −1 2 3 −1 ⎣ 13 −3 ⎦ 2 0 = b) , 0 1 2 0 2 −1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤  6 8 −5 3 −1  2 3 −1 = ⎣ 4 6 −2 ⎦, c) ⎣ 2 0 ⎦ 0 1 2 −2 −2 3 −1 1      2 −1 −1 3 −1 −4 4 −3 d) = , 0 1 2 2 1 2 2 1      −1 1 2 3 0 0 e) = , 3 −3 2 3 0 0         1 0 2 −3 2 −3 1 0 2 −3 f) = = . 0 1 1 4 1 4 0 1 1 4 ∗*∗ - sljede´ca neuobiˇcajena svojstva Ovi primjeri potvrduju • ako je umnoˇzak AB definiran, BA to ne mora biti (primjer d), ˇ i onda ako • ako postoje AB i BA , tad je op´cenito AB = BA (primjer c). Cak su matrice AB i BA istoga tipa, op´cenito je AB = BA (matrice u primjeru a i e),

bnj

Sl. 1.2. Dvije matrice mogu se mnoˇziti samo ako su ulanˇcane. Rezultat je matrica koja ima jednak broj redaka kao prva i jednak broj stupaca kao i druga matrica. Element unmoˇska na mjestu (i, j) jednak je skalarnom umnoˇsku i -toga retka prve i j -toga stupca druge matrice

Primjer 1.2.Evo nekoliko    primjera umnoˇzaka matrica    2 1 −1 3 2 × (−1)+1 × 2 2 × 3+1 × 4 0 10 a) = = , −1 3 2 4 (−1) × (−1)+3 × 2 (−1) × 3+3 × 4 7 9 ⎡ ⎤     3 −1 2 3 −1 ⎣ 13 −3 ⎦ 2 0 = b) , 0 1 2 0 2 −1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤  6 8 −5 3 −1  2 3 −1 = ⎣ 4 6 −2 ⎦, c) ⎣ 2 0 ⎦ 0 1 2 −2 −2 3 −1 1      2 −1 −1 3 −1 −4 4 −3 d) = , 0 1 2 2 1 2 2 1      −1 1 2 3 0 0 e) = , 3 −3 2 3 0 0         1 0 2 −3 2 −3 1 0 2 −3 f) = = . 0 1 1 4 1 4 0 1 1 4 ∗*∗ - sljede´ca neuobiˇcajena svojstva Ovi primjeri potvrduju • ako je umnoˇzak AB definiran, BA to ne mora biti (primjer d), ˇ i onda ako • ako postoje AB i BA , tad je op´cenito AB = BA (primjer c). Cak su matrice AB i BA istoga tipa, op´cenito je AB = BA (matrice u primjeru a i e),

10

1. MATRICE

• Ako je AB = 0 (nul-matrica), tad ne mora biti A = 0 niti B = 0 .

10

1. MATRICE

• Ako je AB = 0 (nul-matrica), tad ne mora biti A = 0 niti B = 0 .

∗*∗

∗*∗

Matriˇcni umnoˇzak vektora. Neka su a i b vektor-stupci istoga tipa. Shvatimo li ih kao matrice, onda su definirana oba umnoˇska, a b i ab . Pri tome • a b je matrica tipa (1, 1) s elementom ⎡ ⎤ b1 ⎢ b 2⎥ ⎥ a b = [ a1 a2 . . . an ]⎢ ⎣ ... ⎦ = [ a1 b1 +a2 b2 + . . . +an bn ].

Matriˇcni umnoˇzak vektora. Neka su a i b vektor-stupci istoga tipa. Shvatimo li ih kao matrice, onda su definirana oba umnoˇska, a b i ab . Pri tome • a b je matrica tipa (1, 1) s elementom ⎡ ⎤ b1 ⎢ b 2⎥ ⎥ a b = [ a1 a2 . . . an ]⎢ . ⎣ .. ⎦ = [ a1 b1 +a2 b2 + . . . +an bn ].

bn

bn

Ovakvu matricu, s jednim elementom, poistovje´cujemo sa skalarom i rezultat pisˇ emo bez zagrada. Zato je, u ovom sluˇcaju, matriˇcni umnoˇzak vektora jednak gore opisanom umnoˇsku vektor retka s vektor stupcem. • ab je matrica tipa (n, n) ! Zaista, ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a1 a1 b1 a1 b2 . . . a1 bn ⎢ a2 ⎥ ⎢ a2 b1 a2 b2 . . . a2 bn ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ab = ⎢ .. . . ⎣ ... ⎦[ b1 b2 . . . bn ] = ⎣ ... ⎦ . . an an b1 an b2 . . . an bn Primjer 1.3.

⎡

Ovakvu matricu, s jednim elementom, poistovje´cujemo sa skalarom i rezultat pisˇ emo bez zagrada. Zato je, u ovom sluˇcaju, matriˇcni umnoˇzak vektora jednak gore opisanom umnoˇsku vektor retka s vektor stupcem. • ab je matrica tipa (n, n) ! Zaista, ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a1 a1 b1 a1 b2 . . . a1 bn ⎢ a2 ⎥ ⎢ a b a b . . . a2 bn ⎥ ⎥[ b1 b2 . . . bn ] = ⎢ 2. 1 2. 2 ⎥ ab = ⎢ . ⎣ .. ⎦ ⎣ .. ⎦ .. . . . an Primjer 1.3.

⎤

an b1 an b2 . . . an bn

3 [ 2 1 −3 ]⎣ −1 ⎦ = 2 × 3 + 1 × (−1) + (−3) × 2 = −1, 2 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ 6 −2 4 2 ⎣ 1 ⎦[ 3 −1 2 ] = ⎣ 3 −1 2 ⎦. −9 3 −6 −3

⎤ 3 [ 2 1 −3 ]⎣ −1 ⎦ = 2 × 3 + 1 × (−1) + (−3) × 2 = −1, 2 ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 6 −2 4 2 ⎣ 1 ⎦[ 3 −1 2 ] = ⎣ 3 −1 2 ⎦. −9 3 −6 −3

Ovaj je primjer vrlo znaˇcajan. Jer, matriˇcno mnoˇzenje moˇzemo opisati na potpuno identiˇcan naˇcin, shvatimo li retke odnosno stupce matrica kao zasebne vektore. Evo kako: ⎡ ⎤⎡ b b . . . b ⎤ a11 a12 . . . a1n 11 12 1p ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥⎢ b21 b22 . . . b2p ⎥ ⎥⎢ . . ⎥ AB = ⎢ .. . . ⎣ ... ⎦⎣ . . . . . ⎦ . . . . am1 am2 . . . amn bn1 bn2 . . . bnp ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ a1 b1 a1 b2 . . . a1 bp a1 1 2 p ⎢ a b a2 b . . . a2 b ⎥ ⎢ a2 ⎥ 1 2 ⎥[ b b . . . bp ] = ⎢ 2. ⎥ =⎢ . .. . . ⎣ .. ⎣ .. ⎦ ⎦ . .

Ovaj je primjer vrlo znaˇcajan. Jer, matriˇcno mnoˇzenje moˇzemo opisati na potpuno identiˇcan naˇcin, shvatimo li retke odnosno stupce matrica kao zasebne vektore. Evo kako: ⎡ ⎤⎡ b b . . . b ⎤ a11 a12 . . . a1n 11 12 1p ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥⎢ b21 b22 . . . b2p ⎥ ⎥⎢ . . ⎥ AB = ⎢ .. . . ⎣ ... ⎦⎣ . . . . . ⎦ . . . . am1 am2 . . . amn bn1 bn2 . . . bnp ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ a1 b1 a1 b2 . . . a1 bp a1 ⎢ a b1 a2 b2 . . . a2 bp ⎥ ⎢ a2 ⎥ 1 2 ⎥[ b b . . . bp ] = ⎢ 2. ⎥ =⎢ . .. . . ⎣ .. ⎣ .. ⎦ ⎦ . .

am

am b1 am b2 . . . am bp

⎡

am

am b1 am b2 . . . am bp

1. MATRICE

11

Vidimo da je op´ci element matrice AB upravo

1. MATRICE

11

Vidimo da je op´ci element matrice AB upravo ⎡b

1j

⎡b

⎤

1j

⎤

n ⎢ b2j ⎥

⎥= (AB)ij = ai bj = [ ai1 ai2 . . . ain ]⎢ aik bkj . . ⎣ . ⎦ . k=1 bnj

n ⎢ b2j ⎥

⎥= (AB)ij = ai bj = [ ai1 ai2 . . . ain ]⎢ aik bkj . . ⎣ . ⎦ . k=1 bnj

∗*∗

∗*∗

Zapis linearnog sustava. U nastavku c´emo u nekoliko navrata spomenuti da je problem rjeˇsavanja linearnih sustava najvaˇzniji problem linearne algebre. Dobar dio motivacija za prouˇcavanje matrica upravo proizlazi iz njihove veze s linearnim sustavima. Sustav od m linearnih jednadˇzbi s n nepoznanica danas uobiˇcajeno zapisujemo u obliku a11 x1 + a12 x2 + . . . a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + . . . a2n xn = b2 , . (1.5) .. .

Zapis linearnog sustava. U nastavku c´emo u nekoliko navrata spomenuti da je problem rjeˇsavanja linearnih sustava najvaˇzniji problem linearne algebre. Dobar dio motivacija za prouˇcavanje matrica upravo proizlazi iz njihove veze s linearnim sustavima. Sustav od m linearnih jednadˇzbi s n nepoznanica danas uobiˇcajeno zapisujemo u obliku a11 x1 + a12 x2 + . . . a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + . . . a2n xn = b2 , . (1.5) .. .

am1 x1 + am2 x2 + . . . amn xn = bm

am1 x1 + am2 x2 + . . . amn xn = bm

Ovdje su nam poznate vrijednosti koeficijenata aij te bi , a trebamo odrediti nepoznanice x1 . . . , xn . ˇ Citatelj c´e primijetiti da se sustav (1.5) moˇze napisati u obliku matriˇcne jednadˇzbe

Ovdje su nam poznate vrijednosti koeficijenata aij te bi , a trebamo odrediti nepoznanice x1 . . . , xn . ˇ Citatelj c´e primijetiti da se sustav (1.5) moˇze napisati u obliku matriˇcne jednadˇzbe

Ax = b,

Ax = b,

gdje smo oznaˇcili ⎡

⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥, A=⎢ ⎣ ... ⎦ am1 am2 . . . amn

(1.6) ⎡

⎤ x1 ⎢ x2 ⎥ ⎥ x=⎢ ⎣ ... ⎦, xn

⎡

⎤ b1 ⎢ b2 ⎥ ⎥ i b=⎢ ⎣ ... ⎦. bm

gdje smo oznaˇcili ⎡

⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥, A=⎢ ⎣ ... ⎦ am1 am2 . . . amn

(1.6) ⎡

⎤ x1 ⎢ x2 ⎥ ⎥ x=⎢ ⎣ ... ⎦, xn

⎡

⎤ b1 ⎢ b2 ⎥ ⎥ i b=⎢ ⎣ ... ⎦. bm

Matrica A naziva se matrica koeficijenata sustava, x je vektor nepoznanica, b desna strana sustava. Pokazat c´emo u cˇetvrtom poglavlju da se postupak rjeˇsavanja ovoga sustava svodi - problem egzistencije i na operacije s elementima matrice A i vektora b . Takoder, jedinstvenosti rjeˇsenja ovisi uglavnom o svojstvima matrice koeficijenata.

Matrica A naziva se matrica koeficijenata sustava, x je vektor nepoznanica, b desna strana sustava. Pokazat c´emo u cˇetvrtom poglavlju da se postupak rjeˇsavanja ovoga sustava svodi - problem egzistencije i na operacije s elementima matrice A i vektora b . Takoder, jedinstvenosti rjeˇsenja ovisi uglavnom o svojstvima matrice koeficijenata.

Primjer 1.4. Za strujni krug na slici po Kirchhoffovim zakonima moˇzemo postaviti sljede´ce jednadˇzbe

Primjer 1.4. Za strujni krug na slici po Kirchhoffovim zakonima moˇzemo postaviti sljede´ce jednadˇzbe

12

1. MATRICE

12

1. MATRICE

i4 i3

R2 i

i4 R4

i2

i

R3

i3

R2 i

i1

R4

i2

i

R3 i1

R5

R1

R5

R1

i5

i5

Sl. 1.3.

i1 +

i2 i2 − i3 − i4 + i3 − i5 i1 R1 i1 − R2 i2 − R3 i3 R3 i3 − R4 i4 + R5 i5

Sl. 1.3.

= i, = 0, 0, = 0, = 0.

U matriˇcnom zapisu: ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ i1 i 1 1 0 0 0 1 −1 −1 0 ⎥⎢ i2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 −1 ⎥⎢ i3 ⎥ = ⎢ 0 ⎥. ⎢ 1 ⎦ ⎣ R −R −R 0 0 ⎦⎣ i4 ⎦ ⎣ 0 1 2 3 0 i5 0 0 R3 −R4 R5

i1 +

i2 i2 − i3 − i4 + i3 − i5 i1 R1 i1 − R2 i2 − R3 i3 R3 i3 − R4 i4 + R5 i5

= i, = 0, 0, = 0, = 0.

U matriˇcnom zapisu: ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ i1 i 1 1 0 0 0 1 −1 −1 0 ⎥⎢ i2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 −1 ⎥⎢ i3 ⎥ = ⎢ 0 ⎥. ⎢ 1 ⎦ ⎣ R −R −R 0 0 ⎦⎣ i4 ⎦ ⎣ 0 1 2 3 0 i5 0 0 R3 −R4 R5

Svojstva matriˇcnoga mnoˇzenja. Izdvojimo neka svojstva matriˇcnoga mnoˇzenja. Ona pokazuju da unatoˇc ‘neobiˇcnoj’ definiciji, to mnoˇzenje ipak posjeduje neka oˇcekivana dobra svojstva. • Asocijativnost. Vrijedi

Svojstva matriˇcnoga mnoˇzenja. Izdvojimo neka svojstva matriˇcnoga mnoˇzenja. Ona pokazuju da unatoˇc ‘neobiˇcnoj’ definiciji, to mnoˇzenje ipak posjeduje neka oˇcekivana dobra svojstva. • Asocijativnost. Vrijedi

(AB)C = A(BC)

(AB)C = A(BC)

kad god je umnoˇzak (s bilo koje strane) definiran. Dokaz ovoga svojstva moˇze cˇitatelj u prvome cˇitanju preskoˇciti. Neˇsto kasnije, ovo c´e svojstvo proiza´ci iz veze matrica s linearnim operatorima i svest c´e se na svojstvo asocijativnosti za kompoziciju funkcija. Ovdje ga navodimo radi vjeˇzbe zapisivanja operatora sumiranja te zapisivanja indeksa matriˇcnih elemenata. Obratite osobito pozornost na zamjenu poretka sumacije. Dakle, ako je

kad god je umnoˇzak (s bilo koje strane) definiran. Dokaz ovoga svojstva moˇze cˇitatelj u prvome cˇitanju preskoˇciti. Neˇsto kasnije, ovo c´e svojstvo proiza´ci iz veze matrica s linearnim operatorima i svest c´e se na svojstvo asocijativnosti za kompoziciju funkcija. Ovdje ga navodimo radi vjeˇzbe zapisivanja operatora sumiranja te zapisivanja indeksa matriˇcnih elemenata. Obratite osobito pozornost na zamjenu poretka sumacije. Dakle, ako je

A = (aij ), B = (bjk ), C = (ckl ),

tipa (m, n), tipa (n, p), tipa (p, r),

A = (aij ), B = (bjk ), C = (ckl ),

tipa (m, n), tipa (n, p), tipa (p, r),

1. MATRICE

13

tad imamo (AB)ik = (BC)jl =

n

j=1 p

1. MATRICE

13

tad imamo aij bjk ,

(AB)ik =

bjk ckl ,

(BC)jl =

k=1

te je

p

[(AB)C]il =

k=1 p

= =

n



k=1

n



aij bjk ckl =

k=1 j=1 n

j=1

n

aij

te je



[(AB)C]il =

aij bjk ckl



p

j=1

bjk ckl

=

k=1

aij (BC)jl = [A(BC)]il

p

(AB)ik ckl =

k=1 p



j=1

aij bjk , bjk ckl ,

=

p  n



k=1

n



aij bjk ckl =

k=1 j=1 n

j=1

n

aij

aij bjk ckl



p

j=1

bjk ckl

k=1

aij (BC)jl = [A(BC)]il

j=1

Matriˇcni polinom. Ako je A kvadratna matrica (i samo u tom sluˇcaju!), definirana je potencija A2 := AA . Induktivno definiramo potenciju: Ap := AA · · · A .

Matriˇcni polinom. Ako je A kvadratna matrica (i samo u tom sluˇcaju!), definirana je potencija A2 := AA . Induktivno definiramo potenciju: Ap := AA · · · A .

p faktora

p faktora

Oˇcevidno je (zbog asocijativnosti mnoˇzenja) da za ove potencije vrijede jednakosti Ap Aq = Aq Ap = Ap+q , (Ap )q = Apq , za sve prirodne brojeve p i q . Po definiciji, stavljamo A0 = I . Tako moˇzemo definirati matriˇcni polinom: ako je f (x) = αp xp + . . . + α1 x + α0 bilo koji polinom stupnja p , tad definiramo f (A) := αp Ap + . . . + α1 A + α0 I.   2 1 Primjer 1.5. Neka je A = i f (x) = x3 − x + 3 , g(x) = x2 − 4x + 7 . −3 2 Tad vrijedi   −9 8 3 . f (A) = A − A + 3I = −24 −9   0 0 . g(A) = A2 − 4A + 7I = 0 0 • Distributivnost Vrijedi (A + B)C = AC + BC . Zaista, n n



(A + B)ij cjk = (aij + bij )cjk [(A + B)C]ik = =

j=1 p

k=1

p

(AB)ik ckl =

n

j=1 n

j=1

Oˇcevidno je (zbog asocijativnosti mnoˇzenja) da za ove potencije vrijede jednakosti Ap Aq = Aq Ap = Ap+q , (Ap )q = Apq , za sve prirodne brojeve p i q . Po definiciji, stavljamo A0 = I . Tako moˇzemo definirati matriˇcni polinom: ako je f (x) = αp xp + . . . + α1 x + α0 bilo koji polinom stupnja p , tad definiramo f (A) := αp Ap + . . . + α1 A + α0 I.   2 1 Primjer 1.5. Neka je A = i f (x) = x3 − x + 3 , g(x) = x2 − 4x + 7 . −3 2 Tad vrijedi   −9 8 3 . f (A) = A − A + 3I = −24 −9   0 0 . g(A) = A2 − 4A + 7I = 0 0 • Distributivnost Vrijedi (A + B)C = AC + BC . Zaista, n n



(A + B)ij cjk = (aij + bij )cjk [(A + B)C]ik =

j=1

aij cjk +

n

bij cjk

j=1

= (AC)ik + (BC)ik = [AC + BC]ik

=

j=1 n

j=1

j=1

aij cjk +

n

bij cjk

j=1

= (AC)ik + (BC)ik = [AC + BC]ik

14

1. MATRICE

14

1. MATRICE

• Umnoˇzak s jediniˇcnom matricom. Ako je I jediniˇcna matrica reda n , tad za svaku kvadratnu matricu A istoga reda vrijedi

• Umnoˇzak s jediniˇcnom matricom. Ako je I jediniˇcna matrica reda n , tad za svaku kvadratnu matricu A istoga reda vrijedi

A · I = I · A = A.

A · I = I · A = A.

Uvjeri se u to na primjerima matrica reda 2 i reda 3! U op´cem sluˇcaju, element umnoˇska A · I na mjestu (i, j) iznosi

Uvjeri se u to na primjerima matrica reda 2 i reda 3! U op´cem sluˇcaju, element umnoˇska A · I na mjestu (i, j) iznosi

(AI)ij =

n

aik δkj = ai1 δ1j + . . . + aij δjj + . . . + ain δnj = aij = (A)ij .

k=1

(AI)ij =

n

aik δkj = ai1 δ1j + . . . + aij δjj + . . . + ain δnj = aij = (A)ij .

k=1

(Od svih pribrojnika u gornjoj sumi preostaje samo jedan, kod kojega je k = j .) Sliˇcno vrijedi i za umnoˇzak IA . • Transponiranje. Odnos mnoˇzenja matrica prema transponiranju je sljede´ci:

(Od svih pribrojnika u gornjoj sumi preostaje samo jedan, kod kojega je k = j .) Sliˇcno vrijedi i za umnoˇzak IA . • Transponiranje. Odnos mnoˇzenja matrica prema transponiranju je sljede´ci:

(AB) = B A .

(AB) = B A .

Provjerimo najprije ulanˇcanost! Matrica B je tipa p × n , A tipa n × m te B A postoji i ima tip p × m , baˇs kao i matrica (AB) . Sad piˇsemo:

Provjerimo najprije ulanˇcanost! Matrica B je tipa p × n , A tipa n × m te B A postoji i ima tip p × m , baˇs kao i matrica (AB) . Sad piˇsemo:

[(AB) ]ik = (AB)ki =

n

akj bji

[(AB) ]ik = (AB)ki =

j=1

=

n

n

akj bji

j=1

(B )ij (A )jk = (B A )ik .

=

j=1

n

(B )ij (A )jk = (B A )ik .

j=1

Primjer 1.6. Umnoˇzak vektor-retka i vektor-stupca ne ovisi o njihovu poretku. Zaista, kako je a b skalar, vrijedi

Primjer 1.6. Umnoˇzak vektor-retka i vektor-stupca ne ovisi o njihovu poretku. Zaista, kako je a b skalar, vrijedi

(a b) = a b.

(a b) = a b.

S druge strane, po pravilu transponiranja je 



 

(a b) = b a

S druge strane, po pravilu transponiranja je 

= b a.

Tako smo dobili a b = b a .

(a b) = b a = b a. Tako smo dobili a b = b a .

1.4. Matriˇcna jednadˇzba i inverzna matrica

1.4. Matriˇcna jednadˇzba i inverzna matrica

U ovoj c´emo toˇcki promatrati samo kvadratne matrice istoga reda n . Sa Mn oznaˇcavamo skup svih takvih matrica. Promatramo samo kvadratne matrice radi toga sˇ to su samo u tom sluˇcaju na istome skupu definirane sve tri prije uvedene operacije: zbrajanje matrica, mnoˇzenje skalara i matrice te mnoˇzenje matrica.

U ovoj c´emo toˇcki promatrati samo kvadratne matrice istoga reda n . Sa Mn oznaˇcavamo skup svih takvih matrica. Promatramo samo kvadratne matrice radi toga sˇ to su samo u tom sluˇcaju na istome skupu definirane sve tri prije uvedene operacije: zbrajanje matrica, mnoˇzenje skalara i matrice te mnoˇzenje matrica.

1. MATRICE

15

1. MATRICE

15

Matriˇcna jednadˇzba. Neka su A i B dvije zadane matrice iz Mn . Matriˇcna jednadˇzba je jednadˇzba oblika AX = B (1.7) gdje je X ∈ Mn nepoznata matrica. Postavlja se pitanje: • Kad c´e jednadˇzba (1.7) imati jedinstveno rjeˇsenje X ? Vidjet c´emo da odgovor na ovo pitanje ovisi samo o matrici A . Ideja se sastoji u tome da se promotri pomo´cna jednadˇzba YA = I. (1.8)   Pretpostavimo da ona ima rjeˇsenje A , dakle, A A = I . Mnoˇze´ci jednadˇzbu (1.7) s A (s lijeve strane!) dobivamo A (AX) = A B. kako je A (AX) = (A A)X = IX = X , odavde slijedi da je traˇzeno rjeˇsenje jednadˇzbe (1.7) matrica A B . Interesantno je primijetiti da provjera, tj. uvrˇstavanje X = A B u (1.7) daje A(A B) = B sˇ to sugerira da vrijedi AA = I . Pokazat c´ emo poslije da je to zaista istina.

Matriˇcna jednadˇzba. Neka su A i B dvije zadane matrice iz Mn . Matriˇcna jednadˇzba je jednadˇzba oblika AX = B (1.7) gdje je X ∈ Mn nepoznata matrica. Postavlja se pitanje: • Kad c´e jednadˇzba (1.7) imati jedinstveno rjeˇsenje X ? Vidjet c´emo da odgovor na ovo pitanje ovisi samo o matrici A . Ideja se sastoji u tome da se promotri pomo´cna jednadˇzba YA = I. (1.8)   Pretpostavimo da ona ima rjeˇsenje A , dakle, A A = I . Mnoˇze´ci jednadˇzbu (1.7) s A (s lijeve strane!) dobivamo A (AX) = A B. kako je A (AX) = (A A)X = IX = X , odavde slijedi da je traˇzeno rjeˇsenje jednadˇzbe (1.7) matrica A B . Interesantno je primijetiti da provjera, tj. uvrˇstavanje X = A B u (1.7) daje A(A B) = B sˇ to sugerira da vrijedi AA = I . Pokazat c´ emo poslije da je to zaista istina.

Primjer 1.7. Rijeˇsimo jednadˇzbu     3 1 −1 2 X= . 5 2 3 1   a b Stavimo X = . Mnoˇzenjem matrica s lijeve strane i izjednaˇcavanjem s c d matricom na desnoj strani dolazimo do jednadˇzbi 3a + c = −1, 3b + d = 2, 5a + 2c = 3, 5b + 2d = 1,   −5 3 odakle lagano slijedi a = −5 , c = 14 , b = 3 , d = −7 , tj. X = . 14 −7 Zadatak moˇzemo rijeˇsiti i tako da najprije rijeˇsimo pomo´cnu jednadˇzbu A A = I :      e f 3 1 1 0 = g h 5 2 0 1 odakle imamo 3e + 5f = 1, 3g + 5h = 0, e + 2f = 0, g + 2h = 1.   2 −1 . Sad je Odavde A = −5 3      2 −1 −1 2 −5 3  = . X=AB= −5 3 3 1 14 −7

Primjer 1.7. Rijeˇsimo jednadˇzbu     3 1 −1 2 X= . 5 2 3 1   a b Stavimo X = . Mnoˇzenjem matrica s lijeve strane i izjednaˇcavanjem s c d matricom na desnoj strani dolazimo do jednadˇzbi 3a + c = −1, 3b + d = 2, 5a + 2c = 3, 5b + 2d = 1,   −5 3 odakle lagano slijedi a = −5 , c = 14 , b = 3 , d = −7 , tj. X = . 14 −7 Zadatak moˇzemo rijeˇsiti i tako da najprije rijeˇsimo pomo´cnu jednadˇzbu A A = I :      e f 3 1 1 0 = g h 5 2 0 1 odakle imamo 3e + 5f = 1, 3g + 5h = 0, e + 2f = 0, g + 2h = 1.   2 −1 . Sad je Odavde A = −5 3      2 −1 −1 2 −5 3  = . X=AB= −5 3 3 1 14 −7

Nije uobiˇcajeno u matematici isticati svojstva koja ne vrijede. Ovdje c´emo uˇciniti iznimku poˇsto sljede´ca ‘nevaˇze´ca svojstva’ razlikuju matriˇcnu algebru od uobiˇcajenih algebri brojeva: (i) Op´cenito je AB = BA . (ii) Jednakost AB = AC ne povlaˇci nuˇzno B = C , cˇak niti u sluˇcaju A = 0 . (iii) Ako je AB = 0 , tad nije nuˇzno A = 0 niti mora biti B = 0 .

Nije uobiˇcajeno u matematici isticati svojstva koja ne vrijede. Ovdje c´emo uˇciniti iznimku poˇsto sljede´ca ‘nevaˇze´ca svojstva’ razlikuju matriˇcnu algebru od uobiˇcajenih algebri brojeva: (i) Op´cenito je AB = BA . (ii) Jednakost AB = AC ne povlaˇci nuˇzno B = C , cˇak niti u sluˇcaju A = 0 . (iii) Ako je AB = 0 , tad nije nuˇzno A = 0 niti mora biti B = 0 .

16

1. MATRICE

16

1. MATRICE

Korist od ovoga pristupa sastoji se u tome da znaju´ci matricu A moˇzemo odrediti rjeˇsenje jednadˇzbe (1.7) za bilo kakvu matricu B . - da matrica A zadovoljava i jednadˇzbu AA = I : Uvjerite se takoder      3 1 2 −1 1 0 = . 5 2 −5 3 0 1

Korist od ovoga pristupa sastoji se u tome da znaju´ci matricu A moˇzemo odrediti rjeˇsenje jednadˇzbe (1.7) za bilo kakvu matricu B . - da matrica A zadovoljava i jednadˇzbu AA = I : Uvjerite se takoder      3 1 2 −1 1 0 = . 5 2 −5 3 0 1

∗*∗

∗*∗

Inverzna matrica. Neka je A ∈ Mn zadana matrica. Matrica A za koju vrijedi A A = AA = I

(1.9)

Inverzna matrica. Neka je A ∈ Mn zadana matrica. Matrica A za koju vrijedi A A = AA = I

(1.9)

naziva se inverzna matrica matrice A . Provjerimo najprije da je inverzna matrica (ako postoji!) jedinstvena. Pretpostavimo da postoje dvije matrice, A i A koje zadovoljavaju (1.9). Tad iz A A = I , mnoˇze´ci ‘s desna’ s matricom A dobivamo (A A)A = IA = A . Kako je po pretpostavci (A A)A = A (AA ) = A I = A , odavde slijedi tvrdnja. Inverznu matricu obiˇcno oznaˇcavamo s A−1 . Za matricu A kaˇzemo da je regularna ukoliko postoji njezina inverzna matrica A−1 .

naziva se inverzna matrica matrice A . Provjerimo najprije da je inverzna matrica (ako postoji!) jedinstvena. Pretpostavimo da postoje dvije matrice, A i A koje zadovoljavaju (1.9). Tad iz A A = I , mnoˇze´ci ‘s desna’ s matricom A dobivamo (A A)A = IA = A . Kako je po pretpostavci (A A)A = A (AA ) = A I = A , odavde slijedi tvrdnja. Inverznu matricu obiˇcno oznaˇcavamo s A−1 . Za matricu A kaˇzemo da je regularna ukoliko postoji njezina inverzna matrica A−1 .

∗*∗

∗*∗ 

ˇ Citatelj c´e se moˇzda zapitati: postoji li kvadratna matrica A koja zadovoljava samo jednu od relacija u (1.9), a drugu ne? Na primjer, za koju vrijedi AA = I ali A A = I ? Odgovor je ne!, jedna jednakost u (1.9) povlaˇci drugu. Dokaz ove tvrdnje dat c´emo u narednom poglavlju. Do tad je korisno znati da je dovoljno provjeriti samo jednu jednakost u relaciji (1.9).

ˇ Citatelj c´e se moˇzda zapitati: postoji li kvadratna matrica A koja zadovoljava samo jednu od relacija u (1.9), a drugu ne? Na primjer, za koju vrijedi AA = I ali A A = I ? Odgovor je ne!, jedna jednakost u (1.9) povlaˇci drugu. Dokaz ove tvrdnje dat c´emo u narednom poglavlju. Do tad je korisno znati da je dovoljno provjeriti samo jednu jednakost u relaciji (1.9).

∗*∗ Takoder, vrlo je vaˇzno spomenuti da inverz ne mora uvijek postojati. Pri tom ne mislimo  samo  na nul matricu, za koju je takva tvrdnja oˇcevidna. Tako npr. matrica 0 1 A= nema inverza. Zaista, iz uvjeta AA = I dobivamo 0 0          0 1 a b 1 0 c d 1 0 = =⇒ = 0 0 c d 0 1 0 0 0 1 sˇ to je nemogu´ce. Uˇcini li vam se da je razlog  tome sˇ to i ova matrica ima previˇse nula, pokuˇsajte 21 39 prona´ci inverz matrice . 49 91

∗*∗ - vrlo je vaˇzno spomenuti da inverz ne mora uvijek postojati. Pri tom ne Takoder, mislimo  samo  na nul matricu, za koju je takva tvrdnja oˇcevidna. Tako npr. matrica 0 1 A= nema inverza. Zaista, iz uvjeta AA = I dobivamo 0 0          0 1 a b 1 0 c d 1 0 = =⇒ = 0 0 c d 0 1 0 0 0 1 sˇ to je nemogu´ce. Uˇcini li vam se da je razlog  tome sˇ to i ova matrica ima previˇse nula, pokuˇsajte 21 39 prona´ci inverz matrice . 49 91

∗*∗

∗*∗

Svojstva inverzne matrice. Iskaˇzimo sljede´ci

Svojstva inverzne matrice. Iskaˇzimo sljede´ci

Teorem 1.1. Ako su A i B regularne matrice, tad je i AB regularna i vrijedi

Teorem 1.1. Ako su A i B regularne matrice, tad je i AB regularna i vrijedi

(AB)

−1

=B

−1

−1

A

.

(1.10)

(AB)−1 = B−1 A−1 .

(1.10)

1. MATRICE

17

Dokaz. Matrica B−1 A−1 postoji po pretpostavci. Direktna provjera sad daje (AB)(B Sliˇcno se dobiva i

−1

−1

A

) = ABB

−1

−1

A

−1

= AIA

−1

= AA

= I.

1. MATRICE

17

Dokaz. Matrica B−1 A−1 postoji po pretpostavci. Direktna provjera sad daje (AB)(B−1A−1 ) = ABB−1 A−1 = AIA−1 = AA−1 = I. Sliˇcno se dobiva i

(B−1 A−1 )(AB) = B−1 A−1 AB = I.

(B−1 A−1 )(AB) = B−1 A−1 AB = I.

Zato postoji inverz od AB i on je jednak B−1 A−1 . Formula (1.10) vrijedi i za umnoˇzak n regularnih matrica: ako su A1 , . . . , An regularne, tad je i matrica A1 · · · An regularna i vrijedi

Zato postoji inverz od AB i on je jednak B−1 A−1 . Formula (1.10) vrijedi i za umnoˇzak n regularnih matrica: ako su A1 , . . . , An regularne, tad je i matrica A1 · · · An regularna i vrijedi

(A1 · · · An )−1 = An−1 · · · A1−1 .

(A1 · · · An )−1 = An−1 · · · A1−1 .

U to se moˇzemo uvjeriti direktnim mnoˇzenjem.

U to se moˇzemo uvjeriti direktnim mnoˇzenjem.

∗*∗

∗*∗

U nastavku c´emo pokuˇsati odgovoriti na sljede´ca vaˇzna pitanja • Kad je matrica A regularna? • Ako je A regularna, kako se raˇcuna njezin inverz? Jedan od mogu´cih odgovora na ova pitanja daje teorija determinanti.

U nastavku c´emo pokuˇsati odgovoriti na sljede´ca vaˇzna pitanja • Kad je matrica A regularna? • Ako je A regularna, kako se raˇcuna njezin inverz? Jedan od mogu´cih odgovora na ova pitanja daje teorija determinanti.

1.5. Algebarske strukture ∗

1.5. Algebarske strukture ∗

Pri prouˇcavanju skupa matrica, ali i mnogih drugih struktura, pojavljuju se izvjesne zakonitosti i zajedniˇcka svojstva. Stoga je korisno uoˇciti ih i izdvojeno promatrati. Na taj se naˇcin stjeˇce mnogo bolji uvid u zajedniˇcka svojstva nekih na prvi pogled posve razliˇcitih matematiˇckih struktura. Jedan od osnovnih pojmova algebre koji c´emo ovdje ukratko spomenuti, jest pojam grupe.

Pri prouˇcavanju skupa matrica, ali i mnogih drugih struktura, pojavljuju se izvjesne zakonitosti i zajedniˇcka svojstva. Stoga je korisno uoˇciti ih i izdvojeno promatrati. Na taj se naˇcin stjeˇce mnogo bolji uvid u zajedniˇcka svojstva nekih na prvi pogled posve razliˇcitih matematiˇckih struktura. Jedan od osnovnih pojmova algebre koji c´emo ovdje ukratko spomenuti, jest pojam grupe.

Grupe. Grupa je matematiˇcka struktura koja se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije ◦ : G×G → G . To znaˇ ci da je za svaka dva elementa x, y ∈ G definiran njihov umnoˇzak x ◦ y ∈ G . Pri tome zahtjevamo da vrijede sljede´ca svojstva 1) Asocijativnost. Za sve x, y, z ∈ G vrijedi

Grupe. Grupa je matematiˇcka struktura koja se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije ◦ : G×G → G . To znaˇ ci da je za svaka dva elementa x, y ∈ G definiran njihov umnoˇzak x ◦ y ∈ G . Pri tome zahtjevamo da vrijede sljede´ca svojstva 1) Asocijativnost. Za sve x, y, z ∈ G vrijedi

(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).

(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).

2) Postojanje neutralnog elementa. Postoji element e ∈ G takav da za svaki x ∈ G vrijedi e ◦ x = x ◦ e = x.

2) Postojanje neutralnog elementa. Postoji element e ∈ G takav da za svaki x ∈ G vrijedi e ◦ x = x ◦ e = x.

−1

3) Postojanje inverznog elementa. Za svaki x ∈ G postoji element x

∈ G takav da je

3) Postojanje inverznog elementa. Za svaki x ∈ G postoji element x−1 ∈ G takav da je

x ◦ x−1 = x−1 ◦ x = e.

x ◦ x−1 = x−1 ◦ x = e.

Ako je k tome za svaka dva elementa x, y ∈ G ispunjeno x ◦ y = y ◦ x , onda za G kaˇzemo da je komutativna ili Abelova grupa.

Ako je k tome za svaka dva elementa x, y ∈ G ispunjeno x ◦ y = y ◦ x , onda za G kaˇzemo da je komutativna ili Abelova grupa.

Terminologija. U najjednostavnijim i najvaˇznijim primjerima, G je obiˇcno neki skup brojeva, a operacija ◦ bilo zbrajanje, bilo mnoˇzenje. Ako je operacija ◦ nalik na zbrajanje, tad grupu nazivamo aditivnom, neutralni element nulom, a inverzni element zovemo suprotnim elementom. Ako pak operacija ◦ nalikuje na mnoˇzenje, grupu nazivamo multiplikativnom, neutralni element jedinicom, a inverzni element reciproˇcnim. Evo primjera.

Terminologija. U najjednostavnijim i najvaˇznijim primjerima, G je obiˇcno neki skup brojeva, a operacija ◦ bilo zbrajanje, bilo mnoˇzenje. Ako je operacija ◦ nalik na zbrajanje, tad grupu nazivamo aditivnom, neutralni element nulom, a inverzni element zovemo suprotnim elementom. Ako pak operacija ◦ nalikuje na mnoˇzenje, grupu nazivamo multiplikativnom, neutralni element jedinicom, a inverzni element reciproˇcnim. Evo primjera.

18

1. MATRICE

18

1. MATRICE

1. Aditivna grupa realnih brojeva (R, +) , s operacijom zbrajanja kao grupovnom operacijom. Neutralni element je 0 (nula), a suprotni element broja x je broj −x . Sliˇcno, aditivne grupe su grupe cijelih brojeva (Z, +) , racionalnih (Q, +) , kompleksnih (C, +) . Prirodni brojevi (N, +) ne cˇine grupu: ne postoji niti neutralni, niti suprotni element niti jednoga prirodnoga broja.

1. Aditivna grupa realnih brojeva (R, +) , s operacijom zbrajanja kao grupovnom operacijom. Neutralni element je 0 (nula), a suprotni element broja x je broj −x . Sliˇcno, aditivne grupe su grupe cijelih brojeva (Z, +) , racionalnih (Q, +) , kompleksnih (C, +) . Prirodni brojevi (N, +) ne cˇine grupu: ne postoji niti neutralni, niti suprotni element niti jednoga prirodnoga broja.

2. Multiplikativna grupa (R∗ , ·) , gdje je R∗ = R \ {0} , a · operacija mnoˇzenja. Jedinica (neutralni element) je 1, inverzni element od x je 1/x . Sliˇcno su grupe i (R+ , ·) , (Q∗ , ·) , (Q+ , ·) , (C∗ , ·) . Medutim, (Z∗ , ·) ne cˇini grupu: ne postoji inverzni element niti jednoga cijeloga broja koji je ve´ci od 1.

2. Multiplikativna grupa (R∗ , ·) , gdje je R∗ = R \ {0} , a · operacija mnoˇzenja. Jedinica (neutralni element) je 1, inverzni element od x je 1/x . Sliˇcno su grupe i (R+ , ·) , (Q∗ , ·) , (Q+ , ·) , (C∗ , ·) . Medutim, (Z∗ , ·) ne cˇini grupu: ne postoji inverzni element niti jednoga cijeloga broja koji je ve´ci od 1.

3. Neka je n prirodan broj i (Zn , +) grupa ‘ostataka modulo n ’. Tu je skup Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} , operacija + dvama elementima iz Zn pridruˇzuje ostatak pri dijeljenju njihova zbroja brojem n . Provjeri da je (Zn , +) grupa za sluˇcaj n = 2, 3, 4, 5, 6 . Ispiˇsi ‘tablicu zbrajanja’, poput ove za n=5 + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

3. Neka je n prirodan broj i (Zn , +) grupa ‘ostataka modulo n ’. Tu je skup Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} , operacija + dvama elementima iz Zn pridruˇzuje ostatak pri dijeljenju njihova zbroja brojem n . Provjeri da je (Zn , +) grupa za sluˇcaj n = 2, 3, 4, 5, 6 . Ispiˇsi ‘tablicu zbrajanja’, poput ove za n=5 + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

4. Ako je p prost broj, Z∗p = {1, 2, . . . , p − 1} i operacija · definirana kao operacija mnoˇzenja modulo p koja paru brojeva pridruˇzuje ostatak pri dijeljenju njihova umnoˇska brojem p , tad je (Z∗p , ·) grupa. Tablica mnoˇzenja za p = 5 glasi

4. Ako je p prost broj, Z∗p = {1, 2, . . . , p − 1} i operacija · definirana kao operacija mnoˇzenja modulo p koja paru brojeva pridruˇzuje ostatak pri dijeljenju njihova umnoˇska brojem p , tad je (Z∗p , ·) grupa. Tablica mnoˇzenja za p = 5 glasi

· 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

· 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Iz ove tablice cˇitamo: 2 · 2 = 4 , 2 · 3 = 1 , 3 · 4 = 2 , 4−1 = 4 , 2−1 = 3 itd. Provjeri direktno da je (Z∗p , ·) grupa za p = 2, 3, 7 . Ako p nije prost, onda (Z∗p , ·) nije grupa. Npr. za p = 6 umnoˇzak 2 · 3 jednak je 0 i ne pripada grupi.

Iz ove tablice cˇitamo: 2 · 2 = 4 , 2 · 3 = 1 , 3 · 4 = 2 , 4−1 = 4 , 2−1 = 3 itd. Provjeri direktno da je (Z∗p , ·) grupa za p = 2, 3, 7 . Ako p nije prost, onda (Z∗p , ·) nije grupa. Npr. za p = 6 umnoˇzak 2 · 3 jednak je 0 i ne pripada grupi.

5. Uredeni par (F, +) je grupa, gdje su F sve funkcije sa skupa S u R (ili u C ), a + ˇ je suprotni operacija zbrajanja funkcija. Neutralni element je funkcija identiˇcki jednaka nuli. Sto element? Ova je grupa Abelova.

5. Uredeni par (F, +) je grupa, gdje su F sve funkcije sa skupa S u R (ili u C ), a + ˇ je suprotni operacija zbrajanja funkcija. Neutralni element je funkcija identiˇcki jednaka nuli. Sto element? Ova je grupa Abelova.

- par (B, ◦ ) svih bijekcija sa skupa S u S je grupa. ◦ je kompozicija funkcija, e 6. Uredeni identiteta, a x−1 inverzna funkcija. Grupa nije Abelova. Primjeri grupa su mnogobrojni. Tijekom ovoga kursa, kao i u kursu matematiˇcke analize, srest c´emo se s velikim brojem sliˇcnih primjera.

- par (B, ◦ ) svih bijekcija sa skupa S u S je grupa. ◦ je kompozicija funkcija, e 6. Uredeni identiteta, a x−1 inverzna funkcija. Grupa nije Abelova. Primjeri grupa su mnogobrojni. Tijekom ovoga kursa, kao i u kursu matematiˇcke analize, srest c´emo se s velikim brojem sliˇcnih primjera.

Osnovna svojstva grupe. Navedimo neka najjednostavnija svojstva svake grupe. • Neutralni element je jedinstven. Zaista, ako postoje dva elementa, e i e recimo, za koje vrijedi 2), tad bi bilo e ◦ e = e

Osnovna svojstva grupe. Navedimo neka najjednostavnija svojstva svake grupe. • Neutralni element je jedinstven. Zaista, ako postoje dva elementa, e i e recimo, za koje vrijedi 2), tad bi bilo e ◦ e = e

1. MATRICE

19

jer je e neutralni element, ali i

1. MATRICE

19

jer je e neutralni element, ali i

e ◦ e = e

jer je e neutralan. Stoga je nuˇzno e = e . • Inverzni element je jedinstven. Zaista, ako x ima dva inverza, x i x recimo, tad bi bilo

jer je e neutralan. Stoga je nuˇzno e = e . • Inverzni element je jedinstven. Zaista, ako x ima dva inverza, x i x recimo, tad bi bilo

x ◦ x = e

x ◦ x = e





pa mnoˇzenje s x (slijeva) daje

pa mnoˇzenje s x (slijeva) daje 

x Zbog asocijativnosti je tad

e ◦ e = e



◦ (x ◦ x



)=x

◦e



x ◦ (x ◦ x ) = x ◦ e = x .

=x . Zbog asocijativnosti je tad

(x ◦ x) ◦ x = x

te konaˇcno dobivamo

(x ◦ x) ◦ x = x

te konaˇcno dobivamo e ◦ x = x , 

e ◦ x = x ,



x =x .

x = x .

• U svakoj grupi jednadˇzba a ◦ x = b ima jedinstveno rjeˇsenje. Zaista, mnoˇzenjem s a−1 dobivamo a−1 ◦ (a ◦ x) = a−1 ◦ b ⇐⇒ e ◦ x = a−1 ◦ b

• U svakoj grupi jednadˇzba a ◦ x = b ima jedinstveno rjeˇsenje. Zaista, mnoˇzenjem s a−1 dobivamo a−1 ◦ (a ◦ x) = a−1 ◦ b ⇐⇒ e ◦ x = a−1 ◦ b

te je x = a−1 ◦ b . Rjeˇsenje je jedinstveno, jer, kad bi postojala dva — recimo x1 i x2 — tad bi iz a ◦ x1 = b i a ◦ x2 = b slijedilo a ◦ x1 = a ◦ x2 te, mnoˇzenjem s a−1 , dobili bi x1 = x2 . Sliˇcno, jednadˇzba y ◦ a = b ima jedinstveno rjeˇsenje y = b ◦ a−1 .

te je x = a−1 ◦ b . Rjeˇsenje je jedinstveno, jer, kad bi postojala dva — recimo x1 i x2 — tad bi iz a ◦ x1 = b i a ◦ x2 = b slijedilo a ◦ x1 = a ◦ x2 te, mnoˇzenjem s a−1 , dobili bi x1 = x2 . Sliˇcno, jednadˇzba y ◦ a = b ima jedinstveno rjeˇsenje y = b ◦ a−1 .

Polje. Sljede´ca vaˇzna matematiˇcka struktura jest polje. Polje cˇini neprazni skup X na kojemu su definirane dvije operacije i koje zadovoljavaju svojstva koja c´emo navesti u nastavku. Operacije c´emo oznaˇciti s + i s · iako to ne moraju biti klasiˇcne operacije zbrajanja i mnoˇzenja. Zahtijevamo da bude ispunjeno sljede´ce: 1) (X, +) je (aditivna) Abelova grupa, 2) (X ∗ , ·) je (multiplikativna) Abelova grupa, pri cˇemu je X ∗ = X \ {0} , 3) vrijede zakoni distribucije, za sve x, y, z ∈ X

Polje. Sljede´ca vaˇzna matematiˇcka struktura jest polje. Polje cˇini neprazni skup X na kojemu su definirane dvije operacije i koje zadovoljavaju svojstva koja c´emo navesti u nastavku. Operacije c´emo oznaˇciti s + i s · iako to ne moraju biti klasiˇcne operacije zbrajanja i mnoˇzenja. Zahtijevamo da bude ispunjeno sljede´ce: 1) (X, +) je (aditivna) Abelova grupa, 2) (X ∗ , ·) je (multiplikativna) Abelova grupa, pri cˇemu je X ∗ = X \ {0} , 3) vrijede zakoni distribucije, za sve x, y, z ∈ X

(x + y) · z = x · z + y · z

(x + y) · z = x · z + y · z

x · (y + z) = x · y + x · z

x · (y + z) = x · y + x · z

Standardni primjeri polja su polja brojeva (Q, +, ·) , (R, +, ·) , (C, +, ·) . Polje cˇini takoder i skup (Zp , +, ·) za prost broj p , pri cˇemu su obje operacije definirane kao ostatak modulo p .

Standardni primjeri polja su polja brojeva (Q, +, ·) , (R, +, ·) , (C, +, ·) . Polje cˇini takoder i skup (Zp , +, ·) za prost broj p , pri cˇemu su obje operacije definirane kao ostatak modulo p .

Matrice. Neka je K bilo koje polje. Matrica je svaka funkcija A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → K . Za nju kaˇzemo da je matrica nad poljem K . Uobiˇcajeno je oznaˇciti s aij vrijednost A(i, j) . Takoder, uobiˇcajeno je cjelokupnu matricu pisati u obliku tablice 2a a ... a 3

Matrice. Neka je K bilo koje polje. Matrica je svaka funkcija A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → K . Za nju kaˇzemo da je matrica nad poljem K . Uobiˇcajeno je oznaˇciti s aij vrijednost A(i, j) . Takoder, uobiˇcajeno je cjelokupnu matricu pisati u obliku tablice 2a a ... a 3

Ako matricu interpretiramo kao funkciju, tad skup (Mmn , +) svih matrica tipa (m, n) cˇini grupu, pri cˇemu je + operacija matriˇcnog zbrajanja. Asocijativnost zbrajanja vrijedi jer vrijedi za funkcije, neutralni element (nula) je matrica identiˇcki jednaka nuli — dakle, nul matrica 0 za koju je 0(i, j) = 0 za sve i, j . Suprotni element je matrica −A za koju je (−A)(i, j) := −A(i, j) itd.

Ako matricu interpretiramo kao funkciju, tad skup (Mmn , +) svih matrica tipa (m, n) cˇini grupu, pri cˇemu je + operacija matriˇcnog zbrajanja. Asocijativnost zbrajanja vrijedi jer vrijedi za funkcije, neutralni element (nula) je matrica identiˇcki jednaka nuli — dakle, nul matrica 0 za koju je 0(i, j) = 0 za sve i, j . Suprotni element je matrica −A za koju je (−A)(i, j) := −A(i, j) itd.

11

12

1n

6 a21 a22 . . . a2n 7 7. A=6 4 .. 5 ... . am1 am2 . . . amn

11

12

1n

6 a21 a22 . . . a2n 7 7. A=6 4 .. 5 ... . am1 am2 . . . amn

20

1. MATRICE

20

1. MATRICE

Matrice nad poljem C . Zbog svojstava polja C kompleksnih brojeva korisno je, a ponekad i neophodno, promatrati matrice cˇiji su elementi kompleksni brojevi. Ovakve matrice imaju sve osobine skupa matrica nad poljem realnih brojeva; dodatni oprez treba uˇciniti pri definiciji transponiranja. Ovdje je korisni¯ matricu s je definirati umjesto transponirane tzv. adjungiranu matricu. Oznaˇcimo najprije s A kompleksno-konjugiranim elementima: – – » » 2−i 1 2+i 1 ¯ =⇒ A = A= 1+i 3−2i 1−i 3+2i

Matrice nad poljem C . Zbog svojstava polja C kompleksnih brojeva korisno je, a ponekad i neophodno, promatrati matrice cˇiji su elementi kompleksni brojevi. Ovakve matrice imaju sve osobine skupa matrica nad poljem realnih brojeva; dodatni oprez treba uˇciniti pri definiciji transponiranja. Ovdje je korisni¯ matricu s je definirati umjesto transponirane tzv. adjungiranu matricu. Oznaˇcimo najprije s A kompleksno-konjugiranim elementima: – – » » 2+i 1 ¯ = 2−i 1 =⇒ A A= 1+i 3−2i 1−i 3+2i

Sad definiramo adjungiranu matricu A∗ formulom

Sad definiramo adjungiranu matricu A∗ formulom

¯ , A∗ = (A) u gornjem primjeru ∗

A =

»

– 2−i 1+i . 1 3−2i

¯ , A∗ = (A) u gornjem primjeru A∗ =

»

– 2−i 1+i . 1 3−2i

Primijetimo, ako je A realna, tad je A∗ = A . Matrica A∗ imat c´e ulogu matrice A u mnogim teoremima u kojima se, u sluˇcaju realnih matrica, javlja transponirana matrica A . Matrica je hermitska ako vrijedi A = A∗ .

Primijetimo, ako je A realna, tad je A∗ = A . Matrica A∗ imat c´e ulogu matrice A u mnogim teoremima u kojima se, u sluˇcaju realnih matrica, javlja transponirana matrica A . Matrica je hermitska ako vrijedi A = A∗ .

Vektorski prostor (X, +, ·) . Skup X na kojemu su definirane operacije zbrajanja te mnoˇzenja sa skalarom je vektorski prostor ukoliko te dvije operacije zadovoljavaju sljede´ca svojstva: 1) (∀x, y, z ∈ X) x + (y + z) = (x + y) + z . 2) (∃0 ∈ X)(∀x ∈ X) x + 0 = 0 + x = x . 3) (∀x ∈ X)(∃x ∈ X) x + x = x + x = 0 . 4) (∀x, y ∈ X) x + y = y + x . 5) (∀α , β ∈ R)(∀x ∈ X) α (β x) = (αβ )x 6) (∀α ∈ R)(∀x, y ∈ X) α (x + y) = α x + α y . 7) (∀α , β ∈ R)(∀x ∈ X) (α + β )x = α x + β x . 8) 1 · x = x Svako od ovih svojstava ima svoj naziv: 1) asocijativnost zbrajanja, 2) postojanje nul elementa, 3) postojanje suprotnog elementa, 4) komutativnost zbrajanja, 5) kompatibilnost mnoˇzenja, 6) distributivnost mnoˇzenja prema zbrajanju u X , 7) distributivnost mnoˇzenja prema zbrajanju u R , 8) netrivijalnost mnoˇzenja. Iako i u definiciji vektorskoga prostora sudjeluju dvije operacije + i · , njih ne smijemo brkati s takvim operacijama koje su definirale polje. Kod polja se operacija mnoˇzenja vrˇsila nad dva elementa iz toga polja, dok se u vektorskome prostoru mnoˇzi skalar i element vektorskoga prostora. Primijetimo da pri tome skalari cˇine polje! Zato joˇs govorim o vektorskom prostoru nad poljem R , ili pak o vektorskom prostoru nad poljem C , ukoliko su skalari kompleksni brojevi itd.

Vektorski prostor (X, +, ·) . Skup X na kojemu su definirane operacije zbrajanja te mnoˇzenja sa skalarom je vektorski prostor ukoliko te dvije operacije zadovoljavaju sljede´ca svojstva: 1) (∀x, y, z ∈ X) x + (y + z) = (x + y) + z . 2) (∃0 ∈ X)(∀x ∈ X) x + 0 = 0 + x = x . 3) (∀x ∈ X)(∃x ∈ X) x + x = x + x = 0 . 4) (∀x, y ∈ X) x + y = y + x . 5) (∀α , β ∈ R)(∀x ∈ X) α (β x) = (αβ )x 6) (∀α ∈ R)(∀x, y ∈ X) α (x + y) = α x + α y . 7) (∀α , β ∈ R)(∀x ∈ X) (α + β )x = α x + β x . 8) 1 · x = x Svako od ovih svojstava ima svoj naziv: 1) asocijativnost zbrajanja, 2) postojanje nul elementa, 3) postojanje suprotnog elementa, 4) komutativnost zbrajanja, 5) kompatibilnost mnoˇzenja, 6) distributivnost mnoˇzenja prema zbrajanju u X , 7) distributivnost mnoˇzenja prema zbrajanju u R , 8) netrivijalnost mnoˇzenja. Iako i u definiciji vektorskoga prostora sudjeluju dvije operacije + i · , njih ne smijemo brkati s takvim operacijama koje su definirale polje. Kod polja se operacija mnoˇzenja vrˇsila nad dva elementa iz toga polja, dok se u vektorskome prostoru mnoˇzi skalar i element vektorskoga prostora. Primijetimo da pri tome skalari cˇine polje! Zato joˇs govorim o vektorskom prostoru nad poljem R , ili pak o vektorskom prostoru nad poljem C , ukoliko su skalari kompleksni brojevi itd.

20

l.

MATRICE

(30 E X)(Vx E X) x+0==0+x==x. (Vx E X)(3x' E X) x+x'==x'+x=O. (Vx, y E X) X+Y =y +X. (Va, f3 E R)(Vx E X) a(fjx) =(af3)x (Va E R)(Vx, y E X) a(x+y) =ax+ay. 7) (Va,/3 E R)(Vx E X) (a+f3)x=ax+fjx. 8) l· X=X

2) 3) 4) 5) 6)

Svako od ovih svojstava ima svoj naziv:

l) asocijativnost zbrajanja, 2) postojanje nul elementa, 3) postojanje suprotnog elementa, 4) komutativnost zbrajanja, 5) kompatibilnost množenja, 6) distributivnost množenja prema zbrajanju u X, 7) distributivnost množenja prema zbrajanju u R,

8) netrivijalnost množenja

lako i u definiciji vektorskoga prostora sudjeluju dvije operacije + i

· ,

njih ne smijemo brkati s

takvim operacijama koje su definirale polje. Kod polja se operacija množenja vršila nad dva elementa iz toga polja, dok se u vektorskome prostoru množi skalar i element vektorskoga prostora

R,

Primijetimo da pri tome skalari čine polje! Zato još govorim o vektorskom prostoru nad poljem

ili pak o vektorskom prostoru nad poljem C , ukoliko su skalari kompleksni brojevi itd.

Kazali smo na početku da elementi matrica mogu biti i same matrice! Takve matrice nazivamo

blok matricama. Pri tome ćemo vidjeti da su i na ovakvim matricama definirane sve operacije kao i za matrice čiji su elementi skalari; čak se čuvaju i njihova svojstva Blok matrica je svaka matrica oblika

(Aij)

,

pri čemu su

Aij

matrice sa skalarnim elementima

Dvije tllkve matrice možemo zbrajati i množiti:

n

(Aij)(Bjk)

==

(�= AijBjk) j=l

Da bi ove operacije bile definirane, mora biti definiran svaki element u matricama s desne strane. Najlakše je to vidjeti na primerima. Matrice četvrtoga reda

[io -lo j 1] -

A==

2

3

,

možemo napisati u obliku blok matrica na način:

B==

[

o o]

2 -2 -3 l O O 2 -1 4 3 l 2 -1 l

l. MATRICE

ll

Ovdje pojedini elementi blok matrice (koje nazivamo blokovi) iznose:

Au = Bu =

[ 2l -l3J [ 2 -2lJ

A12 =

'

-3

B12 =

'

[ 2l -l J [o oJ

4 ' A21 = B21 =

O O '

Sad možemo računati zbroj matrica

A

i

B

[� � J , [2l -2l J '

kao i njihov umnožak računajući s blokovima.

,

Napomenimo da pri tom oko pojedinih blokova ne stavljamo matrične zagrade, iako zbog lakšega snalaženja često te blokove omedujemo crticama:

[

l ll =!-�-+_3 J 2 l l 2 l

[

Au+Bu A12+B12 A + B= = A21+B21 A22+B22

l

3

-l

l

3

-1

4

__ _

4 4

l

Korist od računa s blok matricama je u tome što se one rabe u situacijama kad su mnogi od blo­ kova specijalnoga oblika (obično nul-matrice). Tad se pojednostavljuje naročito operacija množenja. (U gornjem primjeru samo je po jedan blok svake matrice jednak nuli, matrica dobivamo na način:

AB

[ [

AuBu+A12B21 A21B,, +A22B21 AuB11+A12B21 = A22B21

=

AuB12+A12B22 A21B12+A22B22 A12B22 A22�2

J

Izračunajmo pojedine blokove:

AuBu + A12B21 =

]

=

812 =O.)

] [ l2 -l] [ 2l -l] [ [ 2l -1 J [ -32 2l+ [ 2l -l J [ -l l J [5 10l J [ -1 3l J [2l -l2 J [ -17 3 J [-21 3l] [-l l3] [- 55 -29] . -2 5 02 5 1 3

-

4

A12B22 =

4

A22B21 =

3

4

[

[

-1

l

4 :

7

l

}

4

l

+-�-! .

3

___

t5

=

l

AB= -�

-6 -2

Umnožak

= 4

l

-6

=

2

4

=

2

A22B22 = Tako je

A21

-5 -2 5 9

Blokovi matrica ne moraju biti kvadratni, niti jednakoga oblika. Pri rastavu matrice na.\llokpve

imamo potpunu slobodu.

Jedini je uvjet da blokovi moraju biti načinjeni tako da su operacije ·

[�--�+;��-:] t-��-:-�i1 l [�o-::�+i��]o 2 o

kanimo učiniti s njima definirane. Evo dvaju tipičnih primjera.

2 -1 o o o o o1o 1 2 l

3

l

-2 l

=

0 0!3

8

...:.3

l

4

011

l

koje

l. MATRICE

.22 U drugom primjeru, matrice reda

n

su podijeljene u blokove tako dasu izdvojeni kao posebni

elementi prvi redak i prvi stupac matrice. Prvi blok čine skalari na poziciji (l, l) drugi blok vektor­ duljine n- 1, a četvrti matrice i retci duljine n- l, treći blok vektor-stupci i i

a1 bt l B1 reda n

-

.

a 2 b2

,

Tad zbroj i umnožak matrica izgleda ovako:

[_!._�-��J [-���-�-a���� J ] L��-� + [a2 At bz Bt az+bz At+Bt [-��-�J [_!._�-��J [-��!����_L������.! ] a2 At bz Bt tlaz+Atbt azbt+AtBt 1

1

Prirnijeti daje umnožak

a1b2

1

1

skalar,dok je

1

a2b1

i

ma trica reda n-l.

At

2.

Determinante

l. Definicija determinante .... . ... ... . . ... ....23 2. Svojstva determinanti . ....... ....... ......28 3. Detenninante i inverzna matrica ..... . ..... ...35 4. S loženost algoritma . ....... ... . .. .. . .....39 S. Opravdanje definicije determinante ............ 40

[:� :�� :�:l

Svakoj jes kvadratnoj skalar-njezina Taj broj označavamo detA ili pakmatrici s IAI pridružen . Pri računanju determinantideterminanta koristit ćemo i zapise det . : : : Kakoelementima je ovaj zapisdeterminante, sličan onomenjezinom kod matrica, govorit ćemoiako-baš kao(kadi sekodizračuna) matrica -o retku ili stupcu, je ona tek jedan broj. Koji? Determinante ćemo definirati induktivno. Krenut ćemo od matrica malogare�da. l i matricu A= [ ] definiramo2 detA= l l ani am2

Za n=

· • •

ann

1

a l l a12 a21 a22

ani an2

.

a1 n

• • •

a2n

· · ·

ann

al l

a l l =a l l.

engl. determinant, njem Determinante, fr. determinant, rus. onpe.n;emnenb od lat. determinare Oznaku l l uveo je 1841.Cayley. 2 Ovdje l a ni označava detenninantu, ne apsolutnu vrijednost. To nas ne treba brinuti, jer baš nigdje poslije nećemo pisati determinantu matrice prvoga reda. Također, zapis determinante IAI ne treba dovoditi u vezu s 'apsolutnom vrijednošću matrice' jer ta nije niti će ikad biti definirana. 1

odrediti. .

24

2. DETERMINANTE

definiraDeterminanta ovako: matrice drugoga reda. Za matrice drugoga reda determinanta se (2.1) Na primjer l ; : l = 2e - 3n, l -2X xll = x + 2, (x E R). Motivacija - veza s linearnim sustavima. Što je motiviralo ovakvu definiciju determinante? pojamdeterminante povijesno prethodio a javio se je jeprispomenuti rješavanjudaje sustava linearnih jednadfhi. pojmu matrice,Interesantno Napišimo najjednostavniji sustav linearnih jednadžbi: 2

ax

+ by = e, cx + dy = J.

Njegabudućih možemoizlaganja lako riješiti bilo suprotnih kojom odkoeficijenata': elementarnih metoda. Moždaprvujejednadžbu najviše u duhu 'metoda pomnožimo brojem d , drugu brojem -b i zbrojimo rezultate. Dobit ćemo ekvivalentnu jednadžbu: (ad - bc)x = ed - bJ

==>

x=

ed - bJ . ad - bc

(ad- bc)y = af- ce

==>

y=

aj - ce . ad_ bc

Slično, za drugu nepoznanicu vrijedi

Primjećujemo da su i brojnik i nazivnik u ovim izrazima upravo determinante! Zaista y

_l� il -�� ��-

(2.2)

i determinanti važnijau četvrtom pošto analogne muleOva vrijedevezai zalinearnih sustavesustava višega reda. O tome ćejebitiutoliko više riječi poglavlju.for­ Determinanta matrica trećega reda.

Za matrice reda 3 , definicija glasi (2.3)

25

2. DETERMINANTE

Dakako da se račun može nastaviti računajući determinante reda 2: = au ( a22a33 - a23a32) - a12 ( a21 a33 - a23 a31 ) + a13 ( a21 a32 - a22a31 ) = au a22a33 - au a23a32 + a12 a23 a31 - a12a21 a33 + a13a21 a32 - a13a22 a31

Na primjer 3-12 -12l -353 = 2·1· (-3) - 2·2·5+(-1)·5·(-1) - ( -1)·3· ( -3) + 3·3·2 - 3·1·( l) = -9. Ovaj nam rastav sugerira kako treba postupiti u općem slučaju. Označimo s M11A:determinantu matrice koju dobijemo brisanjem prvoga retkaMinore. i prvoga stupca matrice -

Mll

·-l .-

a22 a23 a32 a33

1

.

Takvu su determinantu nazivamo minora, preciznije, minora elementa a11 Slično, neka •

minorematričnih elemenataelemenata, a 12 odnosno a 13 Pomoću minora definiramo algebarske komple­ pridružujući predznake + ili - po sljedećem pravilu: A12 := -M12, Au := +Mu , Uz ove oznake, definicija determinante trećega reda glasi: (2.4) detA = auAu + a12A12 + a13A13. Ista formula, zapisana preko minora, glasi (2.5) detA= a11Mu - a12M12 + a13M13. Kako ova definicija služi i za računanje determinante, kažemo još da smo determinantu razvili po elementima prvoga retka. Izračunajmo kao primjer gore spomenutu determinantu: 23 -1l 35 = 2 1 5 1 - (-1) 3 5 +3 1 3 l l 1 -1 -3 1 -1 2 -3 -1 2 -3 = 2.1 2( -13) + ( -4) + 3. (7) = -9. mente

.

2. DETERMINANTE

26

Pokušajmo sad poopćiti ovaj zapis. Neka je Mij minora elementa aif početne ma­ trice: determinanta koju dobijemo brisanjem i -tog retka i j -tog stupca. Odgovarajući algebarski komplement iznosi - (- 1)1+iM A"lj lj' ·

Tvrdimo da vrijedi formula analogna (2.1) za razvoj po svakom retku: 3 3 (2.6) detA= L aiJAij = L(-Iy+ia11Mij j=:l ]= L:) (razvoj po j-tom stupcu) Primjer 2.1. Izračuna jmo determinantu 23 32 3 5l 11 o o 3 n

n

iiAii

i=l

=

=

i=l

l

-l)i+iaiiMii

(2.9)

o

-1 o o 2

Razvojem po trećem retku i zatim po drugom stupcu dobivamo: 2 3 ( 2l =i ;1+31 i D 6 ( 1) + 9 5 5 1 11=3 =i2 �; - � Možda neće bitizavršavamo suvišno spomenuti dakonačnoj uzastopnim razvijanjem sve namanjih i ma­ njih minora uvijek na istoj formuli, bez obzira redoslijed odabranih razvoja. od kojihkaoještosvaki smobiokodoblika determinante trećega reda završili nadetermi­ zbroju odnante šestn-toga umnožaka tako i pri rastavu kaoindeksi rezultat zbroj od n! umnožaka. Svaki umnožak je oblika2, ... ,n} . reda(Tihdobivamo pri čemu čine neku permutaciju skupa permudeterminante: tacija ima točno n!.) Stoga se u nekim knjigama može vidjeti i sljedeća definicija (210) Predznak + ima ili -podjednako ovisi o permutaciji, + dolazio permutacijama uz parne, a - iuzovakvoj neparnedefiniciji permu­ tacije, kojih mnogo. Detalje determinante čitatelj može potražiti u literaturi. l

=

-

= -

·

-

·

=

.

Baš

a1ita2ha3h,

{l,

atita2h ···ani.,

(}t, h, ... ,jn)

Je li računanje determinante jednostavan posao ili nije? Eksplicitna fommla (2. 1 0) da daje jednostavan algoritam, ako ne za ručno a ono barelll strojno raču­ izgleda nanje. Međutim, takva je pomisao daleko ododistine. Dabrojbismo odredilin-determinantu formulom (2.10) potrebno je učiniti, za svaki n! pri nika, točno množenje na koncu n! - zbrajanje, što ukupno dajen ·n! operaciju. Tt\i je broj strahovito štovelikje pošto recimofaktorijele 1on ). rastu iznimno brzo (čak brže od eksponencijalnih funkcija kao Računajući determinante primjenom definicije, pomoćuponaša rekurzivnih formula, do­Uz bitpretpostavku ćemo tek daneznatnu uštedu, potreban broj operacija se kao n!. 106 operacija u jednoj dobitbroj ćemon :sljedeća vremena koja su računalo potrebna zaučiniizračun determinanti, uz nesekundi, baš preveliki Zi'

l

i

l

-l

e

·

2. DETERMINANTE

28

n broj operacija

vrijeme 324 3.2 I0-49.8 sekunda 10255 9864099 sekunda . 8 4. 2 1025 1. 3 101 100 2.5 . 10158 8 · 10150 godina godina Matrice reda 100determinante i računanjenenjihovih determinanti česte su u praksi što mora značiti da se velike računaju primjenom gornjih formula. Dakako, postojedaje različite formule-a neke među njimasvođenjem efikasnijenasutrokutastu od drugih.formuMožepotrebno se po­ kazati za izračun determinanti njihovim učiniti -za determinantu reda n -približno 2n3 /3 operacija. Za matricu reda 25 potrebno vrijeme, računajući nau vremenu. taj način, iznosi 0.01 sekundu, što je prema gornjih 1018 Dagodina poprilična ušteda bismo došli do takva algoritma, potrebno je izučiti svojstva determinanti. ·

·

Navestpomoću ćemo kojega nekolikose najvažnijih svojstava. Pri tom ćemo zapravo ukazati na algoritam determinante mogu jednostavno računati. S obzirom da je naša definicija determinanti bila u neku ruku induktivna determinanta je definirana pomoću determinanti nižegadeterminanti. reda-metoda će matematičke indukcije biti temeljna pri dokazivanju svojstava Sljedeće za retkezamijenimo determinanti. Napomenimo da potpuno identične tvrdnjetvrdnje vrijedebit ćei akoiskazane riječ redak sa stupac. Svojstvo l. Ako matrica A ima redak sastavljen od samih nula, onda je detA= O. Dokaz. Razvojem po tom retku tvrdnja neposredno slijedi. Primijetimo da deter­ minantu možemo razviti i po nekom drugom retku (ili stupcu!) i primijeniti indukciju! -

Svojstvo 2. Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata na dijagonali. Dokaz_

Za

l

matrice reda 2 tvrdnja vrijedi:

1 1

· 1 Pokažimo u općem slučaju tvrdnju za determinentu gornje trokutaste matrice.

Ona ima oblik

a u a12 - a u O _ a a O a22 a21 a22 - u 22· -

a u a 12 a13 . . . a22 a23 . . . a33

o o IAI = o ooo

a 1n a2n a3n

. . . ann

2. DETERMINANTE

29

Razvojem po prvome stupcu dobivamo: IAI= au

azz a23 O a33 O

O

.

. . a,.n

i možemo nastaviti razvijajući manju determinantu IA'I (i sve ostale nakon nje) po­ novo po prvome stupcu. Dobit ćemo u konačnom rezultatu umnožak dijagonalnih elemenata. Druga je mogućnost da već nakon prvoga koraka primjenimo indukciju: dobivena matrica A' je reda n - l i za nju vrijedi induktivna pretpostavka: njezina determinanta jednaka je umnošku dijagonalnih elemenata: A' = a22 ·ann, čime je tvrdnja dokazana. • •

Primjer 2.2. 2 -3 4 o o -3 3 o o 1t 3 o o o -2

3

=

12n,

o 2 -3 5 2 -3

-l

o o 4 2

o o o l

=

24.

Svojstvo 3. Ako matrica A ima dva jednaka retka, onda je Dokaz. Indukcijom. Za n = A=

2

detA= O.

imamo

l: : l

= ab - ab = O.

i tvrdnja vrijedi. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve determinante reda n . Neka je A reda n + l s dva jednaka retka. Neka su to i -ti i j -ti redak. Razvijmo determinantu po bilo kojem od preostalih redaka, recimo, k-tom, k =P i, k =P j, (ili po bilo kojem stupcu!) "

detA=

Mkl

�:)-l)k+1ak1Mkl· l= l

Ovdje je determinanta matrice reda n čija su dva retka jednaka, a takva je po pretpostavci indukcije jednaka nuli. Zato je i detA= O.

Svojstvo 4. Transponiranjem matrice vrijednost determinante se ne mijenja: detA= detAT.

Dokaz. Indukcijom, poput prethodnoga. Za matrice drugoga reda imamo

Umjesto da ispisujemo korak indukcije prelazeći s matrica reda n na matrice reda n + l, dovoljno će biti opisati prijelaz na matrice reda . Opći slučaj nimalo se

3

2. DETERMINANTE

30

ne razlikuje od ovog (osim što mu je zapis složeniji). Neka je A matrica reda Determinantu transponirane matrice razvijamo po prvome retku: detAT=

:�� :�� :��

= au

a13 a23 a33

l

l ,

1 ,

l

a a a a a22 a32 - a2, ,2 32 + a3, 12 22 · a23 a33 a13 a23 a 13 a33

Na ovome mjestu koristimo pretpostavku indukcije: u minorama reda zamijeniti retke i stupce. detAT = au

l

3.

1 l

1 l

1

au al2 a!3 a, 2 a 3 a22 a23 - a21 a a + a31 a a! = a21 a32 a33 32 33 22 23 a31

2

možemo

al2 a! 3 a22 a23 . a32 a33

Posljednja jednakost vrijedi jer je to upravo rastav determinante po prvome stupcu!

Svojstvo 5. Determinanta se množi skalarom tako da se jedan (bilo koji) njezin redak množi tim skalarom.

A detA'= L(Aa1j)A1j =A l:a1jA!j= A detA. j=! =l

Dokaz. Neka je A početna matrica, A' matrica u kojoj je jedan - recimo, prvi - redak pomnožen skalarom . Tad vrijedi n

n

j

da

Ovo svojstvo koristi se obično tako se zajednički faktor nekoga retka ili stupca izluči ispred determinante! Tako na primjer imamo

35 208 -15-2 5 3l 48 -3-2 20 3l 2l -3-2 3 l -1 3 4 -1 3 4 5 4 =

=

-1

U prvom koraku izlučen je broj determinante.

iz drugoga retka, u drugom broj

iz drugoga stupca

Svojstvo 6. Rastave li se svi elementi nekoga retka matrice na zbroj dvaju eleme­ nata, onda je determinanta jednaka zbroju dviju odgovarajućih determinanti. Primjer 2.3.

x+22 3x-3o x+4l x2 3xo -xl 4 3 l 43 l 32 x+3-2 33 32 -23 33 -2 3 -2 3 -

=

(prvi redak smo rastavili na sumu dvaju), ili

7

=

(drugi stupac smo rastavili na sumu dvaju).

7

+x

22 -3o 4l 4 3l 32 ol 33 -2 o 3

+

31

2. DETERMINANTE

Dokaz. Moramo pojasniti što se želi kazati ovim svojstvom. Pri tom ćemo kori­ stiti zapis u kojem redak matrice (determinante) prikazujemo u obliku vektora. Neka je baš prvi redak onaj o kojem priča ovo svojstvo. Tad moramo pokazati da vrijedi a�+a� az

a'l az

+

a"l az

Ovdje je svaki element prvog retka prikazan u obliku sume dvaju elemenata. Rastavom determinante po tom retku dobivamo n

detA=

� )a�j + a��)Alj j=l

=

n

n

j= l

j=l

I >�� �j+ I >vA lj =detA'+ detA".

Svojstvo 7. Ako zamijenimo dva retka matrice, determinanta mijenja predznak.

Dokaz. Pretpostavimo želimo zamijeniti i -ti i j -ti redak matrice A, dok svi ostali ostaju nepromijenjeni. Da dokažemo svojstvo, krenut ćemo od matrice koja ima sve retke jednake onima od matrice A, osim što su i -ti i j -ti redak međusobno jednaki i odgovaraju zbroju tih redaka matrice A. Dakako je odgovarajuća determinanta jednaka nuli. Koristeći svojstvo imamo sljedeći račun

da

da

3,

O=

+

+

+

Prva i posljednja determinanta ponovo su jednake nuli jer imaju dva jednaka retka. Tako dobivamo:

što je i trebalo pokazati.

Svojstvo 8. Ako nekom retku matrice dodamo neki drugi redak pomnožen skala­ rom, vrijednost determinante neće se promijeniti.

32

2. DETERMINANTE

Dokaz.

Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da se priča odnosi na

prvi i na drugi redak matrice. Po prethodnim svojstvima, opravdan je sljedeći račun:

i time je ovo svojstvo dokazano.

Svojstvo 2.13 osnovno je svojstvo koje koristimo pri izračunu determinante. Na­ ime, uzastopnom primjenom tog svojstva moguće je postići da determinanta matrice poprimi trokutasti oblik.

Primjer 2.4.

Izračunajmo sljedeću determinantu

-6ol 33 -9l -6-l5 8 5 3 -8 l 6, -8. l 3 -9 5 = oo 203 -53 -629 l . 203 -53 -629 3l -19-6 o -19 75 -48 -19 75 -48 -19 75 -48 -3 19 -1951 -64 51 64 . 409-51 . 493 1033. ool -64 493 -409 1 493 -409 1 l:!. =

2

2

Elementarnim transformacijama možemo postići da se svi elementi u prvom stupcu (osim stožernoga elementa

u prvome retku) ponište. Da bismo to postigli, trebamo

dodati drugome retku prvi redak pomnožen s s

te četvrtom retku prvi redak pomnožen

Vrijednost determinante pri tom se neće promijeniti:

11

Pri

22

=

2

2

2

posljednjoj transformaciji dodali smo prvom retku treći, da bismo dobili jednos­

tavniji stožerni element s kojim ćemo nastaviti račun. Pomnožimo prvi redak s dodajmo ga drugom. Nakon toga, pomnožimo ga s

i

i dodajmo trećem:

22

l:!.=

=

=

=

Ovaj primjer pokazuje

•

d a računanje determinanti može biti -čak i za determinante malenoga reda­

•

da je 'ručno' računanje determinanti umjetnost sama po sebi: različite osobe često

mukotrpan posao; će različitim pristupom doći do (istoga!) konačnog rezultata. Osnovna ideja sastoji se u tome da se determinanta svodi na determinantu traku­ taste matrice, međutim izbor transformacija ostaje pri tome poprilično slobodan.

Pri

ručnome računanju nastojimo izbjeći račun s razlomcima koliko je god to moguće. S druge strane, algoritam prilagođen strojnom računu jednoznačno je određen i ne uzima si toliko sloboda pri izboru transformacija.

Mi ćemo taj

opisati pri Iješavanju sustava linearnih jednadžbi.

(Gaussov) algoritam detaljno

2. DETERMINANTE

33

Primjer 2.5. (Vandermondeova determinanta.) Provjerimo sljedeći rezultat: l l l

XI

x2 . . . Xn

XIn-I xn2- I

. . .

x� -I

= IT(xi - xi ) · i

lj.

Zaključujući na sličan način, doboli bi da je opći član u razvoju . +k+l (-l )'+J aktaijMkliJ•

Hl (-l)'++ 'l

-

l

aklatjM k:lij>

j< l, j> l.

(2.18) oblika

41

2. DETERMINANTE

Primijetimo da je Mijkl = Mklij pošto su obje determinante dobivene tako da su u početnoj

determinanti izbačeni i -ti i

k -ti redak te j -ti i

l-ti stupac. Uspoređujući dva dobivena izraza pri­

mijećujemo da se oni u potpunosti podudaraju. Stoga, razvoji po i -tom i po

k -tom retku daju isti

rezultat.

***

Na sličan način možemo pokazati da se podudaraju i razvoji po bilo koja dva stupca. Pri tom će se dobiti opći član razvoja koji je potpuno identičan gomjima. Time se zapravo pokazuje da su ne samo svaka dva takva razvoja jednaka, već da se podudaraju i s razvojima po retcima determinante.

3.

Rang i inverz matrice

&BMIB.RIIlB!II!PF

l. 2. 3. 4. 5.

L RF

.....

·�·

Elementarne transformacije i reducirani oblik matrice 42 Elementarne matrice. Ekvivalentne matrice . . . . .. . 45 Rang i inverz matrice . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 48 Linearna nezavisnost vektora i rang matrice . . . . . ..52 Dodatni teoremi o rangu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 .

.

U ovom ćemo poglavlju opisati Gaussov algoritam za računanje inverzne matrice. On se osniva na sljedećim jednostavnim transformacijama nad retcima matrice koje ćemo nazivati elementarnim transformacijama: l) Zamjena dvaju redaka. 2) Množenje nekoga retka skalarom različitim od nule. 3) Dodavanje nekoga retka (pomnoženog skalarom) nekom drugom retku. Ove transformacije javljaju se pri Jješavanju nekoliko različitih problema matrične algebre: • Pri Jješavanju linearnih sustava (vidi sljedeće poglavlje). • Pri računanju determinanti. • Pri određivanju ranga matrice. • Pri nalaženju inverzne matrice. Koja je ideja zajednička pri Jješavanju ovih problema? Cilj nam je matricu svesti na što jednostavniji oblik, ali tako da jednadžba u kojoj figurira transformirana ma­ trica bude (na način koji u svakom gornjem problemu treba razjasniti) ekvivalentna početnoj.

3. RANG I INVERZ MATRICE

43

Reducirani oblik matrice. Na početku ovoga poglavlja opisat ćemo koji oblik matrice mi uzimamo kao najprihvatljiviji. Taj ćemo oblik nazivati reducirani oblik

matrice.

m x n.

Neka je A matrica (ne nužno kvadratna) tipa matricu i opišimo na njoj učinjene transformacije.

[-� -� -� -�l

A=

2

-1

-8

Izaberimo jednu takvu

5

Algoritam. Algoritam svođenja na reducirani oblik je sljedeći:

Korak l. Izaberimo u prvom stupcu neki element različit od nule. Primjenjujući prvu elementarnu transformaciju, možemo ga dovesti na poziciju stožernog elementa a 1 1 (ako je au različit od nule, prvi je korak nepotreban). Kod zadane matrice A možemo zamijeniti npr. prvi i treći redak: A1

=

[-; -� =! -�l o -1

3

o

Ako su svi elementi prvog stupca jednaki nuli, tad prelazimo na sljedeći stupac i ponavljamo postupak.

l.

Korak 2. Podijelimo elemente prvoga retka s au (druga elementarna transforma­ cija). Time stožerni element postaje jednak

[ l -4-4 il _

A2

=

-2

l

�

o -1

3

-�

o

Korak 3. Pomoću stožernog elementa možemo poništiti sve preostale elemente u prvome stupcu, primjenjujući treću elementarnu transformaciju. Tako npr. množenjem prvoga retka s -a21 i dodavanjem drugome retku dobivamo nulu na poziciji (2, . Isti postupak ponovimo sa svim preostalim retcima. U zadanom primjeru, prvi redak množimo s 2 i dodajemo drugom

l)

A3

=

[l -4 il l, l[ -4 il O

_l

l

o -1

-12

O

3 o

Nakon toga postupak nastavljamo s korakom tražeći među elementima drugoga stupca ne-nul element. Smijemo birati samo u preostalim retcima (dakle, ne uzimamo u obzir prvi redak). U našem primjeru, stožer postaje element a22 koji ima vrijednost Sljedeća transformacija je množenje drugoga retka s -! :

4.

_

A4

=

O

l

l

o -1

-3

O

3 o

3. RANG I INVERZ MATRICE

44

[ l ol o -1 [ ol ol

]

Nakon ovoga, elemente drugoga retka množimo s poništiti element

a12 :

_

A5 = O

l! 1

� b

-

3

o

�

i dodajemo prvom. želeći

] o oo oo

Istu operaciju ponavljamo i s preostalim elementom u drugom stupcu. Dodajemo drugi redak trećem. Slučajno, time se poništava cijeli treći redak: _

AR =

l! 1

z z

-3

Dobiven je reducirani oblik matrice.

U općemu slučaju, reducirani oblik ili fonna matrice opisan je sljedećim uvje­ tima: •

•

•

Prvi ne-nul element (stožer) svakoga retka iznosi stupcu tog stožernog elementa jednaki su nuli.

l.

Svi preostali elementi u

Svi retci koji sadrže samo nul elemente (ako takvih ima) nalaze se iza onih redaka koji sadrže bar jedan ne-nul element. Svaki naredni stožer (gledajući po retcima) nalazi se desno (u retku s većim indeksom) od prethodnog stožera.. Strogo zapisano, ako stožer u retku

u stupcu h , a stožer u retku

iz, iz > i1

leži u stupcu h, tad je h >h

] [1o o ol oo ] , [1100 0010 o o o l o o o l -1 [1o ol o ol -1o ] , [ ol 1o 1 oo] ,

Evo nekoliko primjera reduciranog oblika matrice:

2

2

3 ,

[1o ol oo ]

ool [1o oo oo ] . ool

i1 .

leži

Evo nekih matrica koje nisu svedene na reducirani oblik:

2

2

oo l l 2

Svaka od njih narušava neko

od

oool

gore navedenih pravila.

U

prvoj, element

2

u pr­

vome retku nije poništen, u drugoj stožeri nisu ispravno poredani, u trećoj se nul redak nalazi previsoko. Međutim, lako je primijetiti da se nastavljanjem elementarnih transformacija i ove matrice mogu svesti na reducirani oblik.

45

3. RANG I INVERZ MATRICE

Elementarne transformacije mogu se opisati pomoću množenja s tri tipa matrica koje se neznatno razlikuju od jedinične. Tako npr., želimo li zamijeniti prvi i treći ra­ dak kao u gornjem primjeru, matricu A moramo pomnožiti s matricom E 1 sljedećega oblika:

[Oo ol O1] . loo [Oo ol O1] [ -2o -15 -5o ] [ -22 -15 -8 -55 ] l o o 2 -1 -8 5 o -1 oA A [.!.010. o o] ool [.!.0ol Oo ] [ -22 -15 -8 -55 ] [ -2l ] o o l o -1 o o -1 o 2 1o o ] [210. ool [2l ol Oo l [ -2l -.!. ] [lO -12 ] o o l o -1 o o -1 o liO] [100] [100] [ 010. oto, o 10, 001 001 011 E1 =

Ta je matrica dobivena iz jedinične istom transformacijom kao i matrica A : zamijenjeni su joj prvi i treći redak. Zaista, vrijedi

E1A =

3

=

-4

A1

iz matrice

= A1 .

-4 3

Drugu elementarnu transformaciju: množenje retka skalarom opisuje matrica koja na dijagonali u odgovarajućem retku umjesto jedinice ima taj skalar . U gornjem primjeru,

Ez =

Množenjem s matricom

EzA1 =

A1

dobivamo

=

-4

_

3

.!.

�

-4 -4 3

2.

-� = A2 •

Treća je elementarna matrica nešto složenija, no i nju dobivamo iz jedinične iden­ tičnom elementarnom transformacijom: element jednog retka pomnožen brojem dodajemo drugom retku. Tako npr. ako prvi redak pomnožen s dodajemo drugom retku, tad odgovarajuća elementarna transformacija glasi

E3 =

Uvjerimo se množenjem da vrijedi

E3 A2 =

�

-4 -4 3

2.

-� =

_

.!.

i

-4 3

2.

O = A3 .

Postupak u gornjem primjeru nastavljamo pomoću sljedećih matrica:

E4 =

Es =

E6 =

A

46

3. RANG I INVERZ MATRICE

Zbog opisanog postupka, završna se matrica može dobiti iz početne množenjem s matricama E1 :

(3.1 )

Elementarne matrice.

Opišimo sad oblik elementarnih matrica za svaku od tri

A tipa m x n, tad m . Naglasimo još jednom da elementarnoj

elementarne transformacije, u općenitom slučaju. Ako je matrica su elementarne matrice kvadratne reda transformaciji nad retcima matrice

A

odgovara u elementarnoj matrici identična takva

transformacija nad retcima jedinične matrice. •

Prva elementarna matrica: i -ti redak zamijenimo s j-tim, o

l

l

o

t--

i

t--

j

en = O, e1i = eii = l . ) Druga elementarna matrica: i -ti redak množimo skalarom A različitim od

(Matrica ima sve elemente kao i jedinična, osim eii = •

nule,

l E;(A) =

l (Svi ostali nenapisani elementi jednaki su onima u jediničnoj matrici.) • Treća elementarna matrica: i -ti redak pomnožen skalarom A dodajemo j -tom retku.

l

1

ili

l

l

t--

j

t--

i

Dva oblika matrice odgovaraju dvjema mogućnostima: i < j ili i > j. Matrica je istovjetna jediničnoj, osim što vrijedi

e,;

=

A.

Postupak elementarnih transfonnacija prevodi matricu oblik. Pri tom moramo postaviti pitanje: postoje

A

na sve jednostavniji

li neka svojstva zajednička svim tim

3. RANG I INVERZ MATRICE matricama? Pretpostavimo transformacija:

47

da

je matrica B dobivena iz matrice A nizom elementarnih

Tad ćemo za matrice A i B reći su po retcima ekvivalentne ili pak, jednostavnije, ekvivalentne. Pisat ćemo pri tom A "' B .

da

Da je ova definicija jezično i matematički usklađena osigurat će nam sljedeći

Teorem 3.1. Relacija "' je relacija ekvivalencije. Izdvojit ćemo jednu tvrdnju koja nam je potrebna u dokazu ovoga teorema u zasebnu lemu:

Lema 3.2. Elementarne matrice su regularne. Inverz elementarne transformacije opet je elementarna transformacija.

l -l

Dokaz. Determinanta prve elementarne transformacije jednaka je (zamjena redaka mijenja predznak), druge (dijagonalna matrica) a treće (gornja ili donja tro­ kutasta matrica). Stoga su matrice elementarnih transformacija regularne i posjeduju inverz. Inverz prve glasi

A

E; (A -1E;j(AE; (l jA Eij( -A).

Za matricu drugoga tipa je pak ) = ). Za matricu treće transformacije vrijedi )-1 = Lako se možemo uvjeriti (matričnim množenjem ili naprosto opisom djelovanja) u istinitost ovih formula. Dokažimo sad teorem. Prisjetimo se definicije relacije ekvivalencije. Ovaj teorem tvrdi vrijedi: • A "' A (matrica je ekvivalentna sama sebi) - simetričnost. • Ako je A "' B , tad je B "' A - refleksivnost. • Ako je A "' B i B "' e , tad je A "' e tranzitivnost.

da

-

Dokaz. Simetričnost. Matrica A ekvivalentna je sama sebi, pošto je jedinična matrica na popisu elementarnih (množenje prvoga retka brojem Refleksivnost. Ovo je najvažnije svojstvo. Da bismo ga dokazali, dovoljno je primijetiti za svaku elementarnu transformaciju možemno naći njezinu inverznu, koja poništava djelovanje prve. Tu inverznu transformaciju možemo lako opisati riječima. Š toviše, matrica ko­ ja odgovara inverznoj transformaciji upravo je inverzna matrica početne elementarne matrice. Iskoristimo to u sva tri moguća slučaja. • Ako je matrica B dobivena iz matrice A zamjenom i -toga i j -toga retka, tad je inverzna transformacija istoga oblika, = Zato, iz relacije B = EijA slijedi (množenjem s matricom slijeva) A= EijB .

l! ).

da

E;j

Eij1 E;j .

3. RANG I INVERZ MATRICE

48 •

A. :p Ei(A. )-1 B= E;( l/A.). Ei( l/A.)B. A. -A. B O,

Ako je matrica

ričnom zapisu •

A B = E;(A. )A A

dobivena iz matrice

množenjem

i -toga retka skalarom

A = 1/EiA.(A. )-1 B =

tad je inverzna transformacija množenje istoga retka skalarom

Ako je matrica

larom

Zato iz

dobivena iz matrice

slijedi

tako da se

.

U

mat­

i -ti redak pomnoži ska­

i doda j -tom, inverzna transformacija je opisana postupkom: pomnoži

redak skalarom

i -ti

i dodaj ga j -tom. Očito će se djelovanje ovih dviju transformacija

poništiti.

Time smo pokazali kako se poništava pojedina elementarna transformacija. Da

dokažemo tvrdnju, dovoljno je primijetiti da relacija iz

A

nizom elementarnih transformacija:

A ,..., B

znači da je

B

dobivena

B = E,·· · E1 A. A = (E,··· EJ)-1 B = Ei1• · · E;:-1 B. E;-1 B ,..., A.A A ,..., B B B ,..., BA A ,..., A AR

Obrnuta veza glasi

Svaka o d matrica

Tranzitivnost.

opisuje ponovo elementarnu transformaciju. Zato je

Ovo j e svojstvo očigledno.

znači da se

dobiva iz

e , tad se e dobiva iz drugim) nizom elementarnih transformacija. Očigledno se i e dobiva iz elementarnih transformacija te je e. nizom elementarnih transformacija. Ako je

Pouka ovoga teorema je: matrica

i njezina reducirana forma

(nekim nizom

ekvivalentne

su matrice, jedna se može rekonstruirati iz druge.

U dosadašnjemu razmatranju nismo

odgovorili na važno pitanje: je li reducirana

forma matrice jedinstvena? Odgovor je: da! Izbor elementarnih transformacija nije jednoznačan, no rezultat ne ovisi o izabranome poretku. Dokaz ovoga svojstva, korištenjem metoda koje smo do sad usvojili, zahtijevao bi previše opisivanja. Student ga može sam obrazložiti, imajući u vidu gore dokazani te­ orem: svake dvije (moguće različite !) završne forme međusobno su ekvivalentne. To znači da se jedna iz druge mogu dobiti elementarnim transformacijama. Međutim, ako se one razlikuju u bilo kojem od svojstava reducirane matrice, tad se može uvidjeti da je nemoguće prevesti jednu matricu u drugu korištenjem elementarnih transformacija. Prema tome, smatrat ćemo da je reducirana matrica stvena. Tako ima smisla sljedeća definicija.

AR

zadane matrice

Rang matrice jest broj ne-nul redaka u reduciranom obliku matrice.

ga simbolom

r(A).

A

jedin­

Označavamo

3. RANG I INVERZ MATRICE

49

U literaturi se mog u pronaći još barem dvije različite definicije ranga matrice.

Prva, koja

definira rang preko broja linearno nezavisnih redaka matrice. Druga, koja kaža da je rang matrice jednak redu najveće minore koja je različita od nule. Mi smo se opredijelili za ovu definiciju jer je

najjednostavnija. Dru g e će dvije proizići u obliku teorema.

Pojam ranga vrlo je važan pojam koji će nas pratiti u daljnjim izlaganjima. Da bismo utvrdili rang, potrebno je matricu svesti na reducirani oblik. Istina, ako je samo rang u pitanju, dovoljno se je zaustaviti na obliku u kojem prepoznajemo stožerne elemente ispod kojih se nalaze nule (a ne nužno i iznad kojih). Međutim, određivanje ranga obično je povezano s drugim zadacima poput nalaženja inverzne matrice ili pak rješavanja linearnih sustava za što nam je potreban upravo reducirani oblik matrice. Iz definicije ranga slijedi da r(A ) nije veći od broja redaka matrice A , r(A ) :s; m . Iz definicije reducirane forme slijedi da rang nije veći niti od broja stupaca matrice A , r(A ) :s; n , jer je najviše toliko mjesta za mogući raspored stožernih elemenata po stupcima reducirane matrice. Zbog jednoznačnosti i definicije reducirane forme možemo smatrati da je doka­ zana sljedeća lema

Lema 3.3. Kvadratna matrica A reda n ima rang jednak n ako i samo ako je

AR= l.

Ipak, ispišimo i obrazloženje.

Dokaz. Jedan smjer je očigledan, ako je A R I , tad je (po definiciji) r(A ) = n . Dokažimo obrat. Neka je r(A ) n . Tad A R nema nul-redaka. Broj stožera iznosi n , svaki od njih jednak je jedinici i nalazi se u svome retku. Svi drugi u od­

=

=

govarajućim stupcima jednaki su nuli. Nadalje, stožeri moraju padati po dijagonali matrice: to je jedini njihov mogući razmještaj. Dakle, A R = I .

Lema 3.4. Ako je kvadratna matrica A regularna i je i matrica regularna.

B

Dokaz. Kako je

B

B

ekvivalentna s njom, tad

po retcima ekvivalentna matrici A , to možemo napisati

B = E, · ··E1A. B. B

-'E!1 E;:- 1 ,

Svaka od elementarnih matrica je regularna. Zato postoji umnožak A no to je upravo izraz za inverz matrice Tu tvrdnju možemo izvesti iz samoga oblika matrice : ona je produkt regularnih matrica pa je i sama regularna matrica. • • •

Na osnovu ovih razmatranja sad možemo izvesti nekoliko dalekosežnih posljedica koje se tiču inverza matrice. Pretpostavljat ćemo nadalje da je A kvadratna matrica reda n . Pretpostavimo da je ona punoga ranga, tj. r(A ) n . Tad je, po gornjoj lemi A R l . To znači da se

=

=

3. RANG I INVERZ MATRICE

50

jedinična matrica može dobiti nizom elementarnih transformacija iz matrice A . Stoga možemo napisati: I = (E, · · El )A. ·

Zaključujemo da je A regularna matrica. Štoviše, njezina inverznamatrica jednaka je umnošku elementarnih matrica koje su sudjelovale u transformacijama: A - 1 = E, · · · Et .

Time smo dokazali jedan (za nas važniji) smjer u ovome teoremu Teorem 3.5. Kvadratna matrica A je regularna ako i samo ako ima puni rang.

Dokažimo sad i drugi smjer. Dokaz. Neka je matrica A regularna. Svedimo i nju na reducirani oblik AR . Dvije su mogućnosti: AR nema niti jedan nul redak. 2) AR ima barem jedan nul redak. U drugom slučaju matrica AR nije regularna, jer je njezina determinanta jednaka nuli Zato, po lemi 3.4, niti A nije regularna jer je ekvivalentna matrici AR . Prema tome, preostaje prvi slučaj. Matrica AR nema niti jedan nul redak, dakle ima n stožernih elemenata. Zato je njezin rang n , čime je dokaz završen.

l)

Neka je A kvadratna matrica punoga ranga. Iskažimo sad algoritam za nalaženje inverzne matrice. Taj se algoritam zasniva na gore navedenoj formuli: Inverzna ma­ trica jednaka je produktu elementarnih matrica upotrebljenih da se matrica A svede na reduciranu formu AR = I . Međutim, želimo ukazati na to da pri računu inverzne matrice nije potrebno ispisivati eksplicitno matrice Ei i računati njihove umnoške. Dovoljno se je prisjetiti da se elementarne matrice dobivaju iz jedinične matrice istim transformacijama koje su učinjene na matrici A . Također, uzastopna primjena dvi­ ju transformacija odgovara umnošku elementarnih matrica. Stoga možemo koristiti sljedeći algoritam:

[

Algoritam za računanje inverzne matrice. Korak l. n x 2n

Napišimo matricu tipa matrica I :

]

u kojoj je s desna matrice A napisana jedinična

au an . . . a1n : O . . . O a21 a22 a2n l O .. O .

:

ani Un2

• • •

l l

ll .

:

ann : O O

.

l

•

Shematski, ovu proširenu matricu možemo zapisati u obliku [A : I] . Korak 2. Primjenimo elementarne transformacije na matrici A . Sve transformacije pritom vršimo i na desnoj strani proširene matrice. Rezultat je matrica oblika ·

[AR : B] .

3. RANG I INVERZ MATRICE

51

Korak 3. Ako je AR = I, tad je matrica regularna i s njezine desne strane nalazi se inverzna matrica ! Ako je pak AR =f. I , matrica nije regularna i ne postoji njoj inverzna matrica.

Zašto ovaj algoritam funkcionira? Pratimo jednu po jednu transformaciju. U početku imamo matricu oblika

[A l lj.

Nakon prve transformacije (primijenjene n a obje matrice!) imamo

[E1 A l E I ]. Nastavimo s transformacijama. Svaka transformacija odgovara množenju s elemen­ tarnom matricom kako lijeve, tako i desne strane. Na koncu postupka ćemo imati, u slučaju regularne matrice Kako je

[I : B] = [AR i B] = [E, . . · E1A l E, · · · E l ]. B = E, · · · E 1 i I = E, · · · E1A , zaključujemo da je upravo B = A - l .

[i � � ] · ] (j�;: r ) [ O -� O l [ l Ž f ) [ -7 : ] ) � ) [ � � =� i -� � �l [ -7 ] ; p [ _ .!. 1... l ) [ ]

Primjer 3.1. Odredimo inverz matrice A =

4

-

o

-

2

Ispišimo učinjene elementarne transformacije nad proširenom matricom:

[

2 -1 3 l i o o [A \ I] = l O -2 \ O l O 4 o 2: oo 1 rv

rv

rv

o

"'

o

2

rv

(dodajmo J. r. x(-1) drugom r. dodajmo J. r. x( -4) trećem r.

(pomnožimo 2. r. s 2

rv

I -l 1 l 4 o 2 I -l

rv

0

I 2

2 1 -! ! O l -l o 2 -4 : -2

(doda�mo 2. r. X prvom � dodajmo 2. r. x (-2) trecem r.

o �\

l 1 oo l l O : oo 1 1 : 1 o o 1 0 -4 : -2 o l OO 2O o l _

2

l 1

_

2

rv

O O lO : O _4 l 1 o -2 o 1 o (pomnožimo 3. r. s -rt; ) O l -l o o l o - 10 10 I o o : o k to ,...., (dodaJ'mo 3. r. x2 prvom r. . O l O - 1 10 10 = [I B] dodajmo 2. x7 drugom r. o o l : o --to to Zaključujemo da je A regularna te da njezina inverzna matrica iznosi o to k A-' = - 1 o 10 10 rv

rv

r.

rv

=1 f .

l 1

11

•

3. RANG I INVERZ MATRICE

52

Primjer 3.2. Odredimo inverz matrice Postupimo kao u prošlome primjeru.

[A l lJ =

[-3l l ol o] ool 1 -1 : 1 O lO -2 2 2

[ -i � - � ] · [ -t t l o � �l ol o]o [l o ] ol l l 3o l ) [l o l ol 3 oo] . l A=

-2 2 2

po o o O "' (l. mn �;: ) r. s

1 1 -2

rv

3

2 2l 00 1 _! � l - t "' (dodajmo l. r. x(-l) drugom r. ) "" 0 l3 j : t dodajmo l. r. x2 trećem r. .i " 3 � l -t O O i . -�� "' (pomnožimo ) O 2 O l 2· r. 3 l l

""

.�

[l o

4 8

3 3

l l

2 -3

1 O l 2 O O O -2 -4 Dobili smo s lijeve strane reducirani oblik AR matrice A koji nije jednak jediničnoj matrici I . Stoga matrica A nije regularna i nema inverza.

(

.

l

"" dooo�mo 2. r. x J p7om r. dodđ]mo 2. J trećem r.

Teorem 3.6.

Svaka

r. x -

,.....,

regularna matrica može se napisati u obliku produkta ele­

mentarnih matrica. Dokaz. Neka je A regularna. Elementarnim transformacijama svodimo ju na jediničnu matricu, pošto je AR = I . Iz jednakosti E, E 1 A = I slijedi ·

A = (E, · · · Et)-1 = E11

•

• •

·

·

E;1•

Kako j e inverz elementarne matrice ponovo elementarna matrica, t o j e teorem doka­ zan.

Neka su a1 , a2 , n.

•

•

.

, St bilo koji vektori iz prostora

V"

svih vektor-stupaca duljine

Linearna kombinacija vektora ah . . . , st je vektor oblika Atal + A2a2 + . . . + Atak. pri čemu su A1, , At po volji odabrani skalari. Skup svih ovakvih linearnih kombi­ nacija nazivamo prostorom razapetim vektorima at, . . . , St i označavamo s •

•

•

L(at, . . . , ak) = {x : x = A1a1 + . . . + Atak?

A; E R} .

3. RANG I INVERZ MATRICE

53

[ �J . L(ai ) = {x = Aa�, ). E R} = { [ � J , ). E R } . �

Primjer 3.3. Izaberimo u prostoru y2 ektor a 1 = vektorom je

Prostor razapet s ovim

Geometrijski, to je pravac kroz ishodište, određen vektorom

[ �] L(a�, az) = { ;., [n + Az [ �],

Primjer 3.4. Uz vektor a 1 =

uzmimo još

az =

a1

[�]

.

. Tad vrijedi

}

;.�, Az E R ·

T vrdimo da je ovaj prostor jednak vz . To znači da se svaki vektor iz y2 može napisati u obliku linearne kombinacije vektora a 1 i az . Da se uvjerimo u to, uzet ćemo bilo z koji vektor x E v . Jednadžbu

x = )., a, + Azaz �

[��J = AJ U J + Az [ � J

(3.2)

možemo napisati u obliku linearnog sustava

;. , +Az = x 1 = Xz ;. , Odavde je At = Xz , Az = x 1 - xz . Dakle, za svaki vektor x odgovarajuće koeficijente ). 1 i Az za koje će vrijediti (3.2).

možemo pronaći

Ovaj primjer ukazuje da je pojam linearne kombinacije usko povezan s proble­ mima tješavanja linearnih sustava. Ako se zadani vektor može rastaviti na izabrane an , tad se koeficijenti u takvome rastavu određuju tješavanjem komponente a 1 linearnih sustava. O tome će biti više riječi u narednome poglavlju. • . .

Primjer 3.5. Izaberimo u prostoru V3 vektore a , = [1, l, o] T ' az = [1, o, OJ T .

Uvjeri se da je

L(a�, az)

prostor vektora u

xOy

ravini.

Primjer 3.6. Neka je sad a 1 = [1, l, O] T , az = [1, O, l] T . Prostor L(a" az)

sadrži sve radij vektore koji leže u ravnini određenoj s a 1 i az . Izaberimo a3 = [0, l, - l] T . Za ovakav vektor vrijedi pak L(a�, az , a3) = L(at. az) zato što se a3 nalazi u tom prostoru ! Zaista, vrijedi a3 = a1 - az i stoga je a3 linearna kombinacija prvih dvaju vektora. Izaberimo a4 = [0, O, l J T . Uvjeri se da je L(a�, az, a4 ) = R3 . Ovi primjeri nameću potrebu za prolaženjem algoritma pomoću kojeg ćemo moći točno utvrditi kako izgleda prostor razapet izabranim skupom vektora. Mi takav algoritam već poznajemo: to je svođenje matrice na reducirani oblik! Da bismo objasnili tu vezu, potrebne su nam najprije sljedeće važne definicije.

3. RANG I INVERZ MATRICE

54

Linearna nezavisnost.

Kažemo da su vektori

a1 ,

• • •

iz jednakosti

slijedi da svi skalari moraju biti jednaki nuli:

,

ak linearno nezavisni ako

A. 1 = . . . = A.k = O .

Drugim riječima, vektori su linearno nezavisni ako njihova linearna kombinacija

iščezava samo na trivijalni način . Vektori

a" . . . , ak

su

linearno zavisni ako nisu linearno nezavisni.

S obzirom na važnost ovoga pojma, ispišimo i tu definiciju eksplicitno:

su linearno zavisni ako postoje skalari

A. 1,

. . •

nuli takvi da vrijedi

Kažemo još da linearna kombinacija vektora

to !

Primjer 3.7.

vektori ••

=

Ul

i .,

=

, Ak

[�l

Provjeri također (po definiciji!) da je trojka

Primjer 3.8.

• • •

, ak

iščezava na netrivijalan način.

zavisna.

iz prostora V" :

a1 ,

od kojih barem jedan nije jednak

3.6

Hnearno su nezavisni. Uvjeri se u

a" a2 , a3

iz primjera

linearno

Ovaj je primjer jednostavan, no važan. Izdvojimo sljedeće vektore

e, =

lil· ll · m e, �

e, =

Oni su linearno nezavisni. Zaista, linearna kombinacija ovih vektora iznosi

A, e. + . . . + A_e, �

[1:J

=

A. 1 = . . . = An O . Primijeti da se svaki vektor x = [x 1 , x2, xn]T može prikazati u obliku linearne kombinacije vektora e1, . . . en . Ta linearna kombinacija glasi x = x 1 e1 + . . . + xnen . i ona je jednaka nuli ako i samo ako je

• • •

Primjer 3.9.

,

[1o 0o -102031 22 -2]l o o 000 o

Neka je zadana reducirana forma neke

A=

O l

O

4

matrice,

recimo

3. RANG I INVERZ MATRICE

55

Primijeti da su njezini ne-nul retci linearno nezavisni vektori. Zaista, linearna kombi­ nacija tih vektora glasi

l

A.,

o o 2

3 -2

+ ).2

o o

l -l 2 l

A., ).2 2A.1 -A2 + ).3 l = AJ 2 3A., +2A.2 +2A.3 4 - 2).1 +A.2 +4A3

ooo

i ako je ona jednaka nuli, tad iz prvog, drugog i četvrtog retka zaključujemo da svi skalari A.�, ).2 , A3 moraju biti jednaki nuli. Primijetimo nadalje da se svi stupci matrice mogu prikazati u obliku linearne kombinacije prvoga, drugoga i četvrtoga stupca (pošto ti nalikuju vektorima e; iz prošloga primjera. Ovaj primjer je tipičan za svaku matricu. Sličan zaključak očevidno vrijedi za reducirani oblik bilo koje matrice.

Cilj nam je u nastavku povezati pojmove linearne zavisnosti redaka odnosno stupaca matrice s pojmom njezinoga ranga. Za zadane vektore a" . . . , ak uvijek je jednoznačno određen broj linearno ne­ zavisnih vektora u skupu {a�, . . . , at} . Taj broj nazivamo dimenzijom prostora

L(a� , . . . , at) .

Teorem 3.7. Elementarnim transformacijama ne mijenja se broj linearno neza­ visnih redaka matrice. Dokaz. Opišimo što čini svaka od elementarnih transformacija na skupu a1, , am redaka matrice A . Označimo sa a�, . . . , a� retke matrice dobivene nakon pojedine elementarne transformacije. • Zamjena redaka. Tu skup {a�, . . . , am } prelazi u isti takav skup kojemu su zamijenjen poredak dvaju vektora. Očito je L( a�, . . . , am ) = L(a� , . . . , a�) pa se ni broj nezavisnih vektora ne mijenja. • Množenje retka skalarom ). =/= O . Neka je, zbog jednostavnosti zapisa, a� = Aa1 • Onda je • . •

L(a�, . . . , a�) = {A1Aa1 + A2a2 + . . . + Am am : A; E R} = L(a� , . . . , am ) · Pretpostavimo sad da je a; = a2 + A.a1 • Svaka linearna kombinacija skupa {a�, . . . , a�} ujedno je i linearna kombinacija početnoga skupa: A1a� + A2a; + . . . + Am a� = A., a, + A2 (a2 + Aa1 ) + . . . + Am a� = (A., + AA2 )a1 + A2a2 + . . . + Ama�. •

Zato broj linearno nezavisnih vektora novoga skupa nije veći od broja linearno neza­ visnih vektora početnoga skupa. Dakle, trećom elementarnom transformacijom broj linearno nezavisnih vektora ne može se povećati.

3.

56

RANG I INVERZ MATRICE

Ne može se niti smanjiti ! Naime, istovjetnom (inverznom) transformacijom mo­ žemo iz redaka

{a�, ... , a�}

dobiti retke

{ah ... , a".}

te vrijedi i obratan zaključak.

Prema tome, i trećom elementarnom transformacijom broj linearno nezavisnih redaka matrice ostaje nepromijenjen. Time je teorem dokazan. Bit je ovoga teorema u tome što po završetku postupka svođenja matrice na redu­ cirani oblik mi možemo pročitati broj njezinih linearno nezavisnih redaka: svi ne-nul retci međusobno su linearno nezavisni. Tako je dokazan

Teorem 3.8. Rang matrice jednakje broju njezinih linearno nezavisnih redaka. Korolar 3.9. Neka je Dokaz.

A

A

regularna matrica. Onda je

r( AB)

=

r(B) .

Svaka se regularna matrica može napisati kao produkt elementarnih.

= E,·· · E1

Iz

i teorema 3.7 slijedi tvrdnja.

Posve je netrivij alan - i donekle zbunjujući - rezultat da ista tvrdnja vrijedi i za stupce matrice. Bez obzira kakvoga ona bila tipa i bez obzira kako izgledali njezini elementi, broj linearno nezavisnih redaka jednak je broju linearno nezavisnih stupaca! Dakako, taj broj upravo je rang matrice. Pokažimo to.

Teorem 3.10. Broj linearno nezavisnih redaka bilo koje matrice jednakje broju njezinih linearno nezavisnih stupaca. Dokaz.

Označimo s

ah .. . a".

broj linearno nezavisnih redaka, a

s

retke, a s

a1 , , an . • •

stupce matrice A . Neka je

r

broj linearno nezavisnih stupaca.

Pretpostavimo (samo zbog jednostavnijeg zapisa) da je prvih

r

redaka matrice A

linearno nezavisno. To znači da se svi preostali mogu napisati u obliku linearne kom­ binacije vektora A:

ah ... , a,.

Preciznije, vrijede sljedeće jednakosti za retke matrice

a,a, =A. a + . .. +A.r+J,,anan + ,+1,1 1 l

3. RANG I INVERZ MATRICI; Izdvojimo

57

j -tu komponentu

u svakoj

od

ovih

m

vektorskih jednadžbi. Dobit ćemo

sljedeću jednakost:

l

o + . . . + a,i

1

l

/1-r+l,r

Am,r

ami Drukčije Qednostavnije) zapisano:

�

Ova relacija govori da se svaki

a ,JW I + . . . + a,JWr ·

=

od stupaca matrice

A

može zapisati kao linearna kom­

binacija nekih vektora w" . . . , w, . Zato je broj linearno nezavisnih stupaca manji ili

jednak od

r.

Time smo dokazali da vrijedi

s � r.

Obrnutu nejednakost ćemo dobiti ako još jednom prođemo kroz dosadašnji dokaz i u svakoj prilici zamijenimo riječ

'redak'

sa 'stupac' i obratno. Istim postupkom,

zaključit ćemo da vrijedi i suprotna nejednakost,

r � s.

Time je teorem dokazan.

Netom dokazani teoremi imat će dalekosežne posljedice. Kao ilustraciju, dokažimo jedan rezultat koji će nas uvesti u sljedeće poglavlje.

x= A Ax

Teorem 3.11. Neka je kvadratna matrica reda n. Jednadžba jedinstveno rješenje O alw i samo alw je regularna matrica. Dokaz.

Umnožak

matrice !

Ax = A Ako je

O

= x...==Xn =

Obratno, ako je

O

n , svi O.

su njezini stupci linearno nezavisni.

O ima

n

Zato iz

jedino tješenje sustava, tad ova linearna kombinacija može

iščezavati samo na trivijalan način pa su stupci matrice

da je njezin rang jednak

Ax =

možemo napisati u obliku linearne kombinacije stupaca

regularna, tj. ranga

slijedi x1

A

pa je matrica regularna.

A

linearno nezavisni. To znači

3. RANG I INVERZ MATRICE

58

Rang produkta matrica. Pokazali smo (u korolaru 3. 9) da za regularnu matricu A vrijedi r(AB) = r(B) . Iskažimo sad neke teoreme koji detaljnije opisuju vezu između ranga matrica i ranga njihova umnoška. Pokažimo najprije obrat rezultata o umnošku regularnih matrica ( teorem 1.1 ). Teorem 3.12. (l) Akn je AB regularna matrica, tad su i A i B regularne. (2) Akn je A singularna, tad su singularne i matrice AB i BA .

Dokaz prve tvrdnje je, primjenom Binet-Cauchyjeva teorema trivijalan: det(AB) = det A · det B i ako je lijeva strana različita od nule, to moraju biti oba faktora zdesna Međutim, ovaj rezultat ka­ nimo upotrijebiti u alternativnom dokazu samoga Binet-Cauchyjeva teorema i stoga moramo dati drukčiji dokaz. Nadalje, primijetimo da su obje tvrdnje ekvivalentne. Da iz ( l) slijedi (2), očevidno je dokazom po kontrapoziciji. Neka se čitatelj uvjeri da (2) također povlači (l ) . Dokažimo drugu tvrdnju. Neka je A singularna. Tad jednadžba Ax = O ima netrivijalno rje­ šenje x -:fi O (teorem 3.11). Množeći s matricom B dobivamo BAx = O i po istom teoremu slijedi da BA nije regularna. Time je dokazan drugi dio druge tvrdnje. Što se prvoga tiče, primijetimo da je A T također singularna Qer su njezini retci stupci matrice A , broj nezavisnih redaka od A jednak je broju nezavisnih stupaca od A tj. rangu matrice koji je manji od n . Po dokazanom prvom dijelu, i matrica BT A je singularna. Kako vrijedi B A T = (AB) T , matrica AB je isto tako singularna.

T

T

T

Alternativna definicija ranga. U većini knjiga rang matrice definira se pomoću njezinih minora. Ta će definicija kod nas biti teorem: Teorem 3.13. Rang matrice jednak je redu najveće minore različite od nule.

Tako na primjer, rang sljedećih matrica jednak je 2: A=

[ 2l -1-l 33] '

B=

[

]

2 -1 3 1 -1 3 . 3 -2 6

Obje one imaju minoru različitu od nule, to je (na primjer) minora

M

=

l i =� l ·

matrice A jednak 2. Rang matrice B nije veći od 2 stoga što je jedini minor reda 3 cijele matrice -jednaka nuli.

-

Zato je rang determinanta

Dokaz teorema. Označimo r = r(A) , rang matrice A , k = red najveće minore različite o nule. Trebamo pokazati da je r = k . Pokažimo najprije da vrijedi r :::;; k . Po teoremu 3.8broj linearno nezavisnih redaka i stupaca matrice A iznosi r . Izdvojimo r linearno nezavisnih redaka u matricu A' . Po teoremu 3 l O, broj linearno nezavisnih stupaca matrice A' je također r Izdvojimo sad r linearno nezavisnih stupaca u matricu A" . Dobili smo kvadratnu matricu reda r čiji su stupci, pa zato i retci linearno nezavisni. Njen je rang zato r i matrica je regularna; zato joj je i determinanta različita od nule. No, njezina je determinanta ujedno i minora reda r početne matrice. Dakle, pronašli smo jednu ne-nul minoru matrice A reda r i zato je r :::;; k . Pokažimo da vrijedi i obratna nejednakost. Neka postoji minora reda k različita od nule. Retci te minore su linearno nezavisni, jer je ona punoga ranga. No, tad su sigurno linearno nezavisni i (veći!) retci početne matrice koji ih sadrže. Zato je r ;:: k . Time je teorem dokazan. .

.

3. RANG I INVERZ MATRICE

59 * * *

Gore navedeni primjeri za ovakvu definiciju ranga mogu sugerirati da je računanje ranga po­ moću minora jednostavan posao.

Ta je tvrdnja istinita (kao i kod drugih metoda koje uključuju

determinante) u teorijskim razmatranjima, matricama specijalnoga oblika, a općenito samo za matri­ ce maloga reda Za matrica reda većeg od rang matrice reda

4,

3,

ova je metoda uglavnom neefikasna: da bismo odredili

moramo izračunati (najprije) determinantu matrice, zatim (ako je ona jednaka

nuli) determinante možda svih

a ako su svi jednaki nuli tad. . .

16 minora trećega reda (dok ne nađemo neki koji je različit od nule), *

* * *

Alternativni dokaz Binet-Cauchyjeva teorema.

U ovom smo poglavlju pokazali da se svaka

regularna matrica može napisati kao produkt elementarnih (teorem

3.6).

Iskoristit ćemo taj rezultat

da dokažemo B inet-Cauchyjev teorem: determinanta produkta jednaka je produktu determinanti, čiji smo nepotpuni dokaz dali u drugom poglavlju. Dakle, trebamo dokazati formulu

(3.3)

det(AB) = det A · det B. Neka je E bilo koja elementarna matrica. Pokažimo da u tom slučaju formula det(EB) = det E · det B.

(3.3) vrijedi: (3.4)

Tri su mogućnosti.

(l)

E = Eij .

Množenjem s ovom elementarnom matricom odgovara prvoj elemenatmoj

transformaciji: zamjeni redaka matrice B .

Zato je det Eij =

-l ,

det(EijB) = - det B i

(3.4)

vrijedi.

(2)

E = E;(A.) sad je det E;(A.) = A. . Matrica E;(A.)B dobiva se množenjem i -tog retka

brojem )., te je det(E;(A. )B) = )., det B i

(3 )

(3.4) ponovo vrijedi.

E = E;j(A ) . Sad je det Eij(A) =

l.

Kako množenje s ovom matricom odgovara trećoj

elementarnoj transformaciji, determinanta matrice B ostaje nepromijenjena: det(E;j(A )B) = det B i

(3.4) ponovo vrijedi. Time smo dokazali pomoćnu formulu

(3.4) .

Dokažimo sad opći slučaj. Pogledajmo najprije

što se događa ako neka od matrica A i/ili B nije regularna. Njena je determinata u tom slučaju jednaka nuli. Umnožak AB , po teoremu 3. 12, također nije regularna matrica i stogaje det(AB) = O i jednakost u

(3.3) vrijedi.

Pretpostavimo zato da je A regularna matrica. U tom se slučaju, po teoremu

3.6

ona može

prikazati u obliku umnoška elementarnih matrica: A = E1E2 · · · E, . Sad imamo, primijenjujući uzastopno pomoćnu formulu

(3.4) :

det(AB) = det(E1Ez · · · E,B) = det(E1 ) det(Ez · · · E,B) = det(E1 ) det(Ez) · · · det(Er) det(B)

Sad istu pomoćnu formulu

( 3.4) primjenjujemo na produkt determinanti elementarnih matrica:

det(El ) det(Ez) · · · det(Er) = det(E J ) det(Ez) · · · det(Er- lEr)

= det(E1 ) det(Ez · · · Er ) = det(E1 · · · Er) = det(A). Time je teorem dokazan. *

Usprkos tome, mogu se pronaći knjige gdje se rang računa na ovaj način, čak i za rnalrice reda 5. Nemojte ih u kontejner za stari papir.

ih zapaliti, ubacite

3.

60

Transformacije nad stupcima matrice. stupcima matrice.

RANG I INVERZ MATRICE

Elementarne transformacije možemo vršiti i nad

Svakoj transformaciji odgovara množenje matrice s odgovarajućom matricom

elementarnih transformacija s desne strane. Te matrice istoga su oblika kao i kod transformacija nad retcima. Za transformacije nad stupcima vrijede sva svojstva kao i za transformacije nad retcima matrice. Pojam po

retcima ekvivalentne ima svoj analogon po stupcima ekvivalentne: matrice stupcima ekvivalentne ako postoje elementarne matrice E , , . . . , E, takve da vrijedi

B = AE 1 Ako je matrica A tipa

(m, n)

i ranga

A i

B

su po

· · · E, .

r , onda ju elementarnim transformacijama stupaca ­

potpuno analogno kako je prije rađeno s retcima matrice - možemo prevesti na oblik u kojem će posljednjih nekoliko stupaca biti nul-vektori: '

A pri čemu su vektori

a�, . . . , a�

= [a� , . . . , a�, O, . . . , OJ

linearno nezavisni . Ovdje je

r

rang matrice.

Elementarne transformacije nad stupcima nisu pogodne u Iješavanju linearnih sustava Medu­ tim, gornji oblik matrice predstavlja dokaz važnog teorema koji opisuje skup svih rješenja linearnog sustava i bit će dokazan (drugim metodama) u poglavlju

7.

Iskažimo ga.

Teorem 3.14. Omačimo li s k broj nul-stupaca u gornjoj reduciranoj formi (tzv. defekt mat­ rice), tad je zbroj ranga i defekta jednak ukupnom broju stupaca:

r + k = n.

4.

Linearni sustavi

l. 2. 3. 4.

J

lili

Gaussova metoda eliminacije . . . . . . . .

.

. . . . .

,._ .

. 61

Homogeni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Nehomogeni sustavi . . . . . .

..

. .

.

. . . . . . . . . . . 67

Cramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi najvažniji je problem linearne algebre.

Kazali smo već u prvome poglavlju da je opći oblik linearnog sustava m jednadžbi s n nepoznanica

bh hz ,

a ux 1 a2 1 x 1

+

UJ 2X2 azzxz

+

+

+

+

+

OJnXn a2nxn

Om J Xi

+

UmzXz

+

+

OmnXn = bm.

• • •

Rješenje ovoga sustava je svaka n -torka tički zadovoljava sve jednadžbe.

(xh . . . , xn)

(4. 1)

2

koja uvrštena u (4. 1) iden­

Sustav može imati jedinstveno tješenje, može biti bez ijednoga tješenja, ali može

imati i beskonačno mnogo tješenja. llustrirajmo to na primjerima sustava tipa 2 x (Tu je uobičajeno imena nepoznanica označavati s

x i y .)

Primjer 4.1. a)

{ -x2x

+ +

3y = 4 y = 3 '

b)

{ 2x

3y = 6y = (x, y) =

+

4x +

Sustav (a) ima jedinstveno tješenje

4 7 ' ( - 1 , 2) .

e)

{ 2x

+

4x +

3y = 6y =

4

8·

Sustav (b) nema tješe­

nja, dok sustav (e) ima beskonačno mnogo tješenja. Jednu nepoznanicu, recimo možemo odrediti po volji dok se druga računa zatim iz veze

.

x = 2 - �y .

y,

4.

62

LINEARNI SUSTAVI

Sustav (4. 1 ) može se napisati u obliku matrične jednadžbe (4.2)

Ax = b,

:: l '

gdje smo označili

:�� am2 Matrica A naziva se

::: o

amn

o o

matrica koeficijenata sustava, vektor x

je vektor nepoznanica,

a b desna strana sustava.

Opišimo Gaussovu metodu. * Ona se sastoji u tome da se sustav (4. 1 ) elemen­ tarnim transformacijama svede na ekvivalentan, iz kojega ćemo moći odrediti njegovo tješenje. Dva sustava nazivamo

ekvivalentnim ukoliko imaju isti skup tješenja.

Pri svođenju sustava na ekvivalentan koristit ćemo se istim elementarnim trans­ formacijama kao i pri određivanj u reducirane forme matrice.

Prisj etimo se, to su

operacije •

zamjena dvaju redaka,

•

množenje retka skalarom različitim od nule,

•

dodavanjem nekom retku drugoga retka pomnoženog skalarom različitim od nule.

Ako je

(x 1 , . . . , xn)

,

tješenje sustava (4. 1 ) tad je očito ta

n -torka tješenje i

su­

stava dobivenog bilo kojom od ovih transformacija (i obratno ! ). Dakako da ćemo transformacije primjenjivati ne samo na lijevoj strani sustava (4. 1), već istovremeno i na desnoj strani. Pritom se pokazuje da je nepotrebno ispisivati jednadžbe u obliku (4. 1 ) ,

dovoljno je ispisati samo matrične koeficijente, pošto položaj

tih koeficijenata

određuje i imena nepoznanica koje dolaze uz odgovarajući koeficijent.

Primjer 4.2.

Riješi sustav x1

-X l 2x 1

3x2 2x2 X2

+++ ++

X3 3x3 X3

= =

-4,

5,

6.

Preciznije, riječ je o inačici originalne Gaussove motode, koja se u literaturi spominje pod imenom Gauss­ Jordanova metoda. *

4.

LINEARNI SUSTAVI

63

[ -ll 23 -l3 -45 ] ( ) l l 6 [l 3 -l -4] ( � ) O l o -5 3 : 14 !! : ll ] - ) [� � ( o o 5 : 15 ll !! ] l o [ ( ) Ol oo l: 3 [ 2 ( -. ) O� O� �l 13] .

Napišemo

A[ l 3 -l : -4 ] oO -55 32 14l

proširenu matricu sustava i svedimo matricu dodajemo prvi r. drugom r. dodajemo prvi r. x ( -2) trećem r.

rv

2

rv

rv

mno imo drug1 r. s

!

5

rv

.!

5

_

dodajemo drugi r. X ( 3 ) prvom r. dodojemo drugi r. x5 trećem r. _

rv

:

l l

1

rv

množimo treći r. s !

5 1: 2 l

_

5 2

5

rv

5

rv

rv

na reducirani oblik:

_

l

l

1 l

:

5

l 5

5 1

5

dodajemo treći r. X Jf prvom r. dodajemo treći r. x � drugom r.

_

rv

Ovim je postupak transformacija završen i treba još očitati rješenje. Dobiveni su­

stav ekvivalentan je početnome, uz matrične koeficijente leže odgovarajuće varijable.

Matrica slijeva svedena je na jediničnu. Tako gornji matrični zapis daje ove jednadžbe:

Xt X2 X3

== 2,-1, = 3,

iz kojih zapravo očitavamo traženo rješenje.

Pri rješavanju linearnih sustava prirodno se postavljaju sljedeća dva pitanja • •

Kada sustav

(4. 1 )

ima rješenje?

Ako rješenje postoji, je li ono jedinstveno?

Da bismo pojednostavnili odgovor na ova pitanja, promotrit ćemo najprije spe­

ima ++ . . . ++ + +

cijalni oblik linearnoga sustava koji uvijek

rješenje. To je tzv.

homogeni sustav

linearnih jednadžbi, okarakteriziran time da mu je desna strana jednaka nuli:

UuXt a21 x 1 UmtX! Sustav

Ax= O

++ +

U1 2X2 a22X2 Um2X2

· ·

·

UtnXn a2nXn UmnXn

= 0O =0

(4.3 )

uvijek ima rješenje ! Naime, nul vektor zadovoljava sve njegove

jednadžbe. Pokazali smo u prošlom poglavlju da je to i jedino rješenje, u slučaju kad je

A

regularna matrica.

4. LINEARNI SUSTAVI

64 Preostaje nam proučiti situaciju kad matrica.

Sustav

Ax = O AR

nije regularna (ili pak nije kvadratna)

: [loo: ooo ool o:o:l: ooool o o o: o

zapisujemo u matričnom obliku na način

transformacijama svodimo ga na oblik Ako je

A

[AR O ] .

:

[A O ]

i elementarnim

jedinična matrica, ili pak ako je oblika jedinične matrice koja je na­

stavljena s nekoliko nul redaka, tad sustav ima jedinstveno tješenje takve matrice je, recimo

x = O.

Primjer

O vom je slučaju rang matrice jednak broju njezinih stupaca. Š to se događa ako je rang matrica manji od broja stupaca? Tad će u reduciranom

[oo� -oo� �oo -ioo o�lo

obliku matrice postojati neki stupci koji neće sadržavati stožerni element. takve matrice je

Primjer

Ovdje samo prvi i treći stupac sadrže stožerne elemente. Primjeti da je rang ove matrice

2.

Prema tome ćemo razlikovati dvije vrste stupaca: •

stupci sa stožernim elementom. Oni sadrže jednu jedinicu i sve ostale ele­ mente jednake nuli. Nazivamo ih

vezanim nepoznanicama.

•

vezanim stupcima i pripadne nepoznanice

slobodnim stupcima a pri­ slobodnim nepoznanicama.

stupci bez stožernoga elementa. Njih nazivamo padne nepoznanice

Uprije navedenoj matrici, prvi i treći stupac je vezan, a drugi i četvrti slobodan.

Primjer 4.3.

Utvrdimo na primjeru uvedenu terminologiju i promotrimo kako

ćemo postupiti u nastavku rješavanja. Neka je zadan homogeni sustav

:

3x2 ++ Sx3 2x3 == O,O. 3xlxr -- 2x2

o : o ) "' [ l -31 o] ) [l : ] 1 :

-3)) "' [1 -3 -12 : 0 ]

Napišimo odgovarajuću proširenu matricu i svedimo je na reducirani oblik.

[ 31 -3-2 25 : OO J "' ""'

(dodajmo l. redak x ( drugom retku

(podijelimo drugi r. sa 7

2: -t : O

O

"' (dodajmo 2. redak x 3 prvom retku

""'

0

O

Jf

7

O

_t 0

= [AR : o ] .

4.

LINEARNI SUSTAVI

65

Matrica je svedena na reducirani oblik. Prva i druga nepoznanica (kao i stupci) su vezane, treća nepoznimica je slobodna. U sljedećem koraku trebamo iskazati vezane nepoznanice preko slobodnih. To je jednostavno, veza slijedi iz svakoga retka matrice. Iz prvoga retka dobivamo x1 lfx3 = O , odakle je x, = - lfx3 •

+

a [ ] [ -11aa ] - a [ -1 ] a

je xz = tX3 Treća nepoznanica x3 je slobodna. To znači da njezinu vrijednost možemo odab­ rati po volji. Da to naglasimo, stavimo x3 = Tad za vezane nepoznanice slijedi x, = xz = Tako rješenje sustava možemo napisati u vektorskom obliku

Iz drugoga retka dobivamo xz - tx3

-!fa, ta.

=

O,

te

.

.

x' x2 X3

7

l

.

aw, a

Vidimo da ovaj sustav ima beskonačno mnogo rješenja. [-If , t, l] T svako se rješenje sustava može dobiti u obliku koji broj. ,

Označimo li w = gdje je E R bilo

++ 4x2xzz ++ 3x3X3 ++ 2x43x4 ++ 7xs3xs O,O, + 4xz + X3 + 5x4 + 5xs O. [ 21 24 31 23 73 oo ] , 24l55 o

Primjer 4.4. Promotrimo još jedan sustav:

=

x, 2x, 2x,

=

=

Proširena matrica glasi

[ o1 o2 o -13 2 oo] . ooo oo o a, /3 2a-3/3y 2y. - f3 -2a-;f3 -2y {J-y{J = a 0O + /3 y 0 [ y l [-ilO [-�lO [-�l

a njegova reducirana forma irna oblik

l

l

Odavde čitamo da su vezane nepoznanice x1 i njih biramo po volji . Stavimo x2 = x4 =

x,

=

-2xz - 3x4 - 2xs

=

x3 , a slobodne x2 , x4 i x5 • Svaku od x5 = . Iz prve jednakosti čitamo

,

Iz druge jednakosti čitamo

X3

=

X4 - Xs

=

Sad možemo zapisati rješenje sustava u obliku

[� l X3 X4 xs

Y·

l + l

-l . l

4. LINEARNI SUSTAVI

66 Vidimo da se u rješenju pojavljuju tri nezavisna parametra sustava može se napisati u obliku gornjem prikazu.

aw1 + fJw2 + yw3 ,

Skup svih rješenja sustava je prostor L( mijetimo da je njegova dimenzija

3.

wb w2, w3)

a,

gdje su

y . Opće rješenje wb w2, w3 vektori u

{J i

razapet s tim vektorima. Pri­

Prirnijetimo nadalje da ta dimenzija odgovara

broju slobodnih nepoznanica. Kako je taj broj jednak razlici između broja stupaca matrice

A i broja nezavisnih redaka u njezinom reduciranom obliku, to (barem za ovaj

primjer) vrijedi

dimenzija prostora rješenja

= n - r.

Dakako da ova formula vrijedi i u općenitom slučaju. Za to ne treba nikakva posebna dokaza. Gornji primjer točno ilustrira i općenitu situaciju. Nakon svođenja

na reducirani oblik, broj slobodnih varijabli jednak je broju stupaca n umanjenom za broj vezanih varijabli. Taj je pak broj jednak broj u stožernih elemenata, dakle rangu matrice

A.

r

Navedimo još jednom koje korake trebamo primjeniti pri rješavanju homogenoga sustava.

Algoritam za rješavanje homogenoga sustava. Korak l. Sustav Ax = O napišemo u matričnom obliku [A l O ] . Korak 2. Elementarnim transformacijama svodimo sustav na njemu ekvivalentan [AR / O ] . Nepoznanice u retku sa stožernim elementom nazovemo vezanima,

Korak 3. Korak 4.

ostale su slobodne.

Vrijednost slobodnih nepoznanica određujemo po volji, jednu nezavisnu od druge. Vezane nepoznanice određujemo preko slobodnih, iz redaka reduci­ rane matrice.

Rješenje zapisujemo u vektorskom obliku, kao linearnu kombinaciju n -

r

vektora.

U općem slučaju rješenje će imati sljedeći oblik. Pretpostavimo da su (zbog jedno­

stavnosti zapisa !) nepoznanice x � ,

Xr+ l = a1 , . . . Xn = �-r . Xt * Xr Xr+ l Xr+2 Xn

*

. . . , Xr

vezane, a

*

slobodne. Stavimo

*

*

*

= at l

+ a2 o

+ . . . + �-r o

o

o

l

o

Xr+ b . . . , Xn

Tad opće rješenje ima oblik

l

o

= a1W1 + a2W2 + . . . + �-rWn-r·

Tu se na mjestu zvjezdica nalaze koeficijenti pročitani iz reduciranog oblika matrice.

4. LINEARNI SUSTAVI

67

Promotrimo sad sustav A x= b . Prva (dramatična) promjena prema homoge­ nome sustavu je u tome što ovaj sustav uopće ne mora imati tješenja! Zaista, već spomenuti primjer 3y = 6y = 7 '

{2x4x ++

4

daje jedan jednostavni sustav koji nema tješenja. Što Gaussov algoritam daje u ovom slučaju?

[24 63 :: 4]7 [1 1 : 2] [ l l : 2] O O : -1 4 6 :7 Iz drugoga retka reducirane matrice čitamo jednadžbu Ox1 + Ox2 = -l, rv

rv

•

koja dakako nema tješenja. Stoga nema tješenja niti početni sustav. Korisno je navesti još jednu interpretaciju ovoga slučaja. Gornji sustav A x= b ekvivalentan je s ovim zapisom

Odrediti njegovo tješenje isto je što i odrediti koeficijente x i y tako da vektor b bu­ de linearna kombinacija vektor-stupaca matrice A ! Kako su ti stupci proporcionalni = ( linearno zavisni !), to je svaka linearna kombinacija oblika

za neki skalar A a vektor b nije takvoga oblika. Zato sustav nema tješenja. Ovaj nam primjer daje naslutiti zbog čega (i kada!) sustav nema tješenja. Prob­ lemi mogu nastati samo u jednoj situaciji, koju možemo opisati na sljedeće načine: • nakon dovođenja na reducirani oblik, matrica A R ima redak ispunjen nulama ali takav da se s desne strane jednakosti ne nalazi nula, ili vektor b desne strane ne može se napisati u obliku linearne kombinacije • vektor-stupaca a 1 , an matrice A . U protivnom će sustav imati tješenje. Kako je broj linearno nezavisnih redaka jed­ nak broju linearno nezavisnih stupaca matrice, taj protivni slučaj opisuje ovaj teorem (koji smo ovom pričom objasnili). ,

,. . •

Teorem 4.1. Sustav A x= b ima rješenje onda i samo onda kad je rang matrice A jednak rangu proširene matrice [A : b ] . Koji je oblik toga tješenja? Mogli bismo analizirati postupak tješavanja kao i u slučaju homogenoga sustava, no brže ćemo do odgovora doći ukoliko naprosto iskoristimo taj rezultat. Evo teorema.

4.

68

LINEARNI SUSTAVI

Teorem 4.2. Opće rješenje sustava Ax = b ima oblik x = xh + xP

gdjeje � opće rješenje pripadnoga homogenoga sustava Ax = O, a Xp jedno rješenje nehomogenoga sustava. Dokaz. Dokažimo oba smjera. Dokazi su jednostavni i skoro trivijalni, međutim poruka ovoga teorema je dalekosežna i valja je upamtiti. Pretpostavimo da je x tješenje nehomogenoga sustava i neka je Xp jedno (ne­ ko konkretno, fiksirano, čvrsto) tješenje početnog sustava. Takvo tješenje nazivamo partikularnim, odatle i oznaka xP . Onda je x - Xp tješenje homogenoga sustava. Zaista A (x - xP ) = Ax - Axp = b - b = O .

Stavimo xh : = x - Xp . Vidimo da x zaista ima oblik x = xh + Xp . Obratno, neka je x toga oblika. Onda vrijedi

Ax = A (xh + xp ) = Axh + Axp = O + b = b

i tvrdnja je dokazana.

Napišimo sad algoritam za nalaženje tješenja nehomogenoga sustava.

Algoritam za rješavanje nehomogenoga sustava. Korak l. Sustav Ax = b napišimo u matričnom obliku: [A : b ] . Korak 2. Matricu A svedimo na reducirani oblik AR . Time dobivamo ekvivalent­ ni sustav [AR : b' ] . Ako je r(A ) < r(A : b ) , zaustavimo se: sustav nema

tješenja. Inače označimo slobodne i vezane varijable. Korak 3. Odredimo vrijednosti slobodnih varijabli po volji i pročitajmo iz redaka proširene matrice vrijednosti vezanih varijabli. Korak 4. Napišimo tješenje sustava u vektorskom oblik u . T o ć e tješenje imati sljedeći oblik. Pretpostavimo li (zbog jednostavnosti zapisa, zaboga !) da su prvih r nepoznanica vezane, a preostale n - r slobodne, tad tješenje glasi

Xt

Xr Xr+2 Xn

/3i =

13: + at

o o

*

*

l + . . . + an-r

o

*

*

o l

= b' + at Wt + azWz + . . . + an-rWn-r ·

Tu je b' vektor desne strane u reduciranoj matrici, a na mjestu zvjezdica se ispisuju elementi pročitani iz reducirane matrice, uz odgovarajuće slobodne nepoznanice.

4. LINEARNI SUSTAVI

69

U posljednjoj točki ovoga poglavlja dat ćemo alternativnu metodu za rješavanje linearnih sustava n jednadžbi s n nepoznanica.

Teorem 4.3. Nekaje A kvadratna matrica. Za po volji odabran vektor b sustav Ax = b imat će jedinstveno rješenje onda i samo onda kadje A regularna matrica. Ovaj je teorem do sad već skoro dokazan. No njegova je važnost tolika da je korisno taj dokaz upotpuniti.

Dokaz. Neka je A regularna. Njezin je rang n , dakle jednak rangu proširene matrice, pa sustav Ax = b ima rješenje. Opće rješenje tog sustava može se dobiti u obliku x = xh Xp . Partikularno rješenje čitamo iz reducirane forme proširene matrice, ono je jednako desnoj strani proširene matrice. Homogeno rješenje može biti samo nul vektor, kako je pokazano u teoremu Zato je rješenje jedinstveno. Pretpostavimo sad da sustav ima jedinstveno rješenje. To znači da homogeni sus­ tav Ax = O ima također jedinstveno rješenje x = O . Po istom teoremu zaključujemo da je A regularna matrica.

+

3 .ll.

Rješenje nehomogenog sustava može se eksplicitno napisati. Matrica A je regu­ larna. To znači da postoji njezina inverzna matrica A -l i ona je jedinstvena. Jednako tako je jedinstveno rješenje sustava linearnih jednadžbi Ax = b . Množenjem s inver­ znom matricom dobivamo X=

A- 1 b .

Ovo rješenje možemo prikazati u eksplicitnom obliku, koristeći prikaz pomoću determinanti. Pokazali smo da za elemente inverzne matrice vrijedi

,

(A- I ) ij = a;j =

Aj;

·

det A Iz formule ( 4.4) možemo napisati i -tu komponentu vektora x na način

�

xi = LJ

j= I

a;jbj

� ( :�)

= LJ

j=I

A

de

b1

=

l:n

J Ajibj

�:t A

.

Izraz u brojniku nalikuje Laplaceovom razvoju determinante (po i -tom stupcu). Zaista, da su na mjestu broja bj matrični elementi aji , tad bi suma l:j A1;aji pred­ stavljala rastav determinante po i -tom stupcu i bila bi jednaka determinanti matrice A . Sad zaključujemo da ta suma i sama predstavlja neku determinantu, međutim, ne determinantu matrice A već matrice u kojoj je i -ti stupac zamijenjen vektorom b . Na taj način dobivamo teorem, poznat u literaturi kao Cramerovo pravilo * . * Gabriel Cramer (1704-1752), švicarski matematičar.

4. LINEARNI SUSTAVI

70

Teorem 4.4. Svaka komponenta x; rješenja sustava Ax = b s regularnom matri­ com A može se napisati u obliku razlomka kojemuje u nazivniku determinanta matrice A, a u brojniku determinanta matrice u kojoj je i -ti stupac zamijenjen s vektorom b. D; deter­ i -ti stupac s vektorom

Cramerovo pravilo obično zapisujemo u sljedećem obliku. Označimo s minantu matricu koju dobijemo tako da se u matrici

b, a s D

determinantu matrice

zamijeni

A: a 11 . . . b 1 . . . a1n a21 . . . bz . . . a2n

D; = Onda za

A

ani . . . bn . . . ann i -tu komponentu rješenja vrijedi D;

X; = - .

(4.4)

D

Primjer 4.5.

Rješenje sustava reda 2 možemo zapamtiti. Ako je ax

+ by = e, ex + dy = J,

i ako je

ad - bc =/=

O,

x_

Primjer 4.6.

J� � J� l � � �

po Cramerovom pravilu imamo

l; :l � � ��

-

d hf - < ad - bc '

_

y

af - ce ad - bc

Riješimo sustav

X3 x1 + 3x2 -x1 + 2xz + 3x3 2x1 + X 2 + X3

= =

-4, 6. 5,

Potrebno je najprije izračunati determinantu. Ako je ona jednaka nuli, Cramerovo je

� [-i � �l [�:l n l

pravilo neprimjenjivo. Sustav napisan u matričnom obliku glasi

-4 -1 6l l

Determinanta iznosi 25 . Zato je

3

5 2

XJ

i slično

=

x3

=

25

3.

-1 -46 -1 l

3

5

=

50 25

= 2

'

xz =

2

25

3

l

=

-25 25

=

-1

Cramerovo pravilo numerički je efikasno za matrice reda 2 i (ponekad) za mat­ rice reda

3.

Za sustave većega reda svakako ga treba izbjegavati. Međutim, njegova

važnost ostaje u tome što daje eksplicitni izraz za rješenja sustava.

5.

Vektori

l.

2.

3.

4. 5. 6. 7. 8. 9.

Operacije s vektorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 V3 je vektorski prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Koordinatni sustavi i kanonska baza . . . . . . . . . . . . 77 Skalami umnožak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Vektorski umnožak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Mješoviti umnožak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Rastav vektora po bazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Dvostruki umnožak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Dodatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 .

.

U realnom fizikalnom svijetu lako ćemo prepoznati mnoge veličine kojima se vrijednost izražava brojem. To su na primjer dulj ina, površina, volumen, temperatura, tlak, masa, kinetička energija, specifična gustoća . . . Njih nazivamo skalarnim veliči­ nama. Međutim, neke se veličine ne mogu opisati samo brojem. Tako vjetar opisujemo

njegovom jačinom, ali i smjerom. I uopće,

brzina je fizikalna veličina koja - uz svoj

iznos - mora imati definiran i smjer. Isto će vrijediti i za ubrzanje, silu, moment sila, električno ili magnetsko polje itd. Skalarne su veličine presiromašne da bi same mogle opisati dvo ili tro-dimenzionalan svijet - za to nam je potreban vektorski aparat. Definirat ćemo operacije s vektorima: zbrajat ćemo ih, množiti sa skalarima, množiti međusobno na dva različita načina, rastavljati vektor u komponente po nekim istaknutim smjerovima, itd.

5. VEKTORI

72

Definicija vektora.

Pretpostavljat ćemo da nam je intuitivno jasan pojam trodi­

menzionalnoga euklidskog prostora

E3

•

Točke toga prostora označavat ćemo velikim

. . , T, . . . Dužinu s krajevima A, B označavamo s AB . Udaljenost dviju točaka A , B označavamo s lAB l ili s d(A, B) . To je ujedno i duljina dužine AB . --+ Usmjerena dužina AB je dužina za koju se zna početna točka A i završna točka A, B, .

slovima

B.

.

. , M, N, P,

.

Dvije usmjerene dužine

.

--+

AB

i

-+

A1B1

su ekvivalentne, ako postoji translacija koja

prevodi jednu u drugu, tj . ako je četverokut

ABB1A1

paralelogram.

Sve međusobno ekvivalentne dužine nazivamo klasom međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina. Pojedinu dužinu iz te klase nazivamo reprezentantom (predstav­

nikom),

pošto znajući jednu znamo odrediti i svaku drugu dužinu iz te klase. Klasu

međusobno ekvivalentnh dužina nazivamo vektorom

1

i označavamo simbolom

To je dakako klasa čiji je reprezentant usmjerena dužina

--+

--+

[ AB ] .

AB .

U prikazu vektora možemo koristiti bilo koju od usmjerenih dužina iz njegove klase. Kažemo da hvatište vektora možemo izabrati po volji.

Zapis vektora.

veličinom, ali i smjerom. U trodi­ menzionalnom prostoru prikazujemo ga stoga u obliku strjelice, čija duljina određuje Vektor je određen svojom

veličinu, a položaj određuje smjer vektora. Stoga se i sam vektor najčešće označava slovom iznad kojeg je postavljena strjelica: ii . U novije doba je, pogotovo u knjigama,

uobičajeno vektore pisati masnim slovima, ovako: i

mi

a, b,

koristiti.

x i slično, pa ćemo taj zapis

Geometrijski, vektor u ravnini ili prostoru, opisan je ukoliko se znaju sljedeća tri podatka: •

nosač: pravac na kojemu se vektor nalazi, orijentacija na tom pravcu, te

•

duljina l AB l , B.

•

--+

koja se definira kao udaljenost

d(A, B)

krajnjih točaka

A

i

Prema tome, usmjerene dužine koje leže na paralelnim (moguće istovjetnom) pravcima, imaju istu orijentaciju i jednaku duljinu definiraju isti vektor.

D

c( � '7 /'\

A

1

engl.

vector,

njem.

Vektor,

fran. vecteur,

rus.

Sl. 5. 1. Vektor je klasa usmjere­ nih dužina. Dvije usmjerene du­ žine koje se translacijom dovode jedrul na drugu definiraju isti vek­ tor

BeKTop od Jat. vector - nositelj.

5. VEKTORI

73

Ponekad je pogodnije govoriti o

smjeru

vektora.

Smjer objedinjuje pojmove

nosača i orijentacije. Tako kažemo da je vektor određen smjerom i iznosom. Često se i sam vektor poistovjećuje s nekom usmjerenom dužinom iz njegove klase. Tako pišemo (neprecizno)

-+

a = AB

umjesto strogog zapisa

-+

a = [ AB] , no to u

principu neće izazivati zabunu.

Nul vektor. Tako je

-+

Nul vektor se definira kao vektor dulj ine

O = [ AA ] , za bilo koju točku A .

Radij-vektor. V2

Označavamo ga s

Skup svih vektora označavat ćemo slovom će predstavljati sve vektore ravnine, a

V3

Istaknimo jednu točku u prostoru i označimo ju slovom

V.

Ukoliko bude pot­

vektore u prostoru.

O.

Moguće je za svaki

vektor izabrati njegova reprezentanta tako da mu početna točka bude baš ta točka Vektor

--+

OT

nazivat ćemo tad radij

O.

Jedino kod nul vektora nema smisla govoriti

niti o nosaču, niti o smjeru. rebno pojasniti,

O.

vektor točke T

O.

u prostoru.

Duljina vektora. Duljinu vektora a označavamo s l al . Taj broj zovemo još -+ norma vektora. Ako je AB neki njegov reprezentant, tad je lal = d(A, B) .

i

-+

Zbrajanje vektora. Neka su a , b bilo kakvi vektori, AB bilo koji predstavnik --t vektora a te BC predstavnik vektora b s početkom u točki B . Tad je zbroj vektora --t a + b određen predstavnikom AC . Dakle, -+

--t

--t

[AB ] + [BC] = [AC ] . e

Sl. 5.2. Zbrajanje dvaju vektora. Vektore wrgja­ mo tako da početak drugog izaberemo u zavrsnoj točki prvoga vektora

(5. 1 )

A

Ova operacij a ima svojstva

VP1 VP2 VP3 VP4 Svojstvo

(a + b) + c = a + (b + c), a + O = O + a = a, (Va E V) ( 3a' E V) a + a' = a' + a = O, a + b = b + a. VP1 kaže daje zbrajanje asocijativno: nebitno je kojim se redom zbra­

jaju tri vektora. Dakako da identičan zaključak (koristeći princip indukcije) vrijedi i za

5.3).

zbroj više od tri vektora (sl. Svojstvo VP2 ukazuje daje nul vektor O neutralni element za zbrajanje vektora. VP3 kaže da za svaki vektor iz V možemo pronaći njemu suprotan vektor a' koji u zbroju s a daje nul vektor. Zaista, ako je a prikazan usmjerenom dužinom AR , tad je njemu suprotan definiran sa a' = BA , pošto je po ,

74

5 . VEKTORI

definiciji zbrajanja

a' =: -a .

AB + BA

Svojstvo

VP4

M

= = O . Suprotan vektor označavamo još i na način pokazuje da je zbrajanje vektora komutativno: Svejedno je

zbrajamo li prvi vektar s drugim i1i drugi s prvim. Na tom se svojstvu zasniva definicija zbraj anja pomoću pravila paralelograma. Vidi sl.

5.3.

a

Sl. 5.3. Zbrajanje vektoraje komutativno (lijevo). Stoga se dva vektora mogu zbrajati (ako imje hvatište zajedničko) pom O . Vektor .Aa ima isti smjer kao i vektor a . Zato i (A a) x b ima isti smjer kao i a x b , a ovaj vektor ima isti smjer kao i A (a x b) . Za njihove module vrijedi ! (.Aa) x b l = !.A a l i b i sin q> = .A ! a l i b i sin q> = A l a x b l = l .A (a x b)l.

Time je !Vrdnja dokazana Ako je A < O, tad se mijenjaju orijentacije i vektora .Aa i vektora .A (a x b) i ponovo vrijedi isti zaključak.

5. VEKTORI

93

Sl. 5.18. Distributivnost vektorslwg umnoška Treće ćemo svojstvo poldazati pozivajući se na geometrijsku interpretaciju vektorskog umnoš­

2), dovoljno dokazati za vektor e e = J..e, gdje je e jedinični vektor, imamo

ka Primijetimo najprije da je tvrdnju, zbog dokazanog svojstva

jedinične duljine. Naime, stavljajući J..

(a + b)

X

e = (a + b)

X

= lei

i

(J..e) = J.. [(a + b)

X CJ

= J.. [a X e + b x CJ = a X e + b

X

e.

e jedinične duljine. Izaberimo čvrstu točku O te točke A , B i C takve da je a , AB reprezntant vektora b a OC reprezentant vektora e . Tadje oB reprezentant vektora a + b Kroz točku O postavimo ravninu n okomitu na vektor OC . Proji­

OA

Neka je dakle

reprezentant vektora

cirajmo točke

AiB

.

na

tu ravninu. Dobiveni trokut

u smjeru kazaljke na satu. Dobivamo trokut

OA2B2 .

OA1B1

zarotirajmo u toj ravnini za pravi kut,

Pri tome je - po geometrijskoj interpretaciji

vektorskoga umnoška (iz koje smo isključili korak 4 kao nepotreban) -

e , AzBz reprezentant vektora b x e pri tom (a + b) x e = a x e + b x e . a

x

i

OB;

reprezentant vektora

DA;

reprezentant vektora

(a + b)

x

e.

Očigledno je

6. Točka, pravac i ravnina

l . Točka . . .

.

3. Pravac

.

.

.

.

.

.. .

.

.

.

.

.

.

. .

.

. .. . .

.

.

2. Ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

4. MeđUsobni polouj pravaca i ravnina

.

. .. .

.

.

. 94

. . . . . . . . . 97

.

.

.

.

•

.

.

.

103

.

. . .

.

.

. . .

.

107

.

.

Neka je (O; i, j, k) kartezijev koordinatni sustav. Kazali smo da je položaj točke T u prostoru jednoznačno određen njezinim koordinatama (x, y, z) koje su ujedno i --t komponente radij vektora OT : T = T(x, y, z)

{:::::::;>

'

OT = xi + yj + zk.

' ' '

y Sl. 6. J. Koordinate točke odgovaraju lwm­ ponentama radij-vektora

Udaljenost dviju točaka. Neka su Tt (xl > Yb zi)

i T2(x2, Y2, z2) --;.

dvije zadane

točke. Njihova udaljenost jednaka je duljini vektora T1 T2 Taj vektor ima komponente --;. T1 T2 = (x2 - x 1 )i + CY2 y i )j + Cz2 - z ! )k . •

6. TOČKA, PRAVAC I RAVNINA

95

Zato je udaljenost zadanih točaka

d( Tr, Tz) = J(xz - x 1 ) 2 + (Yz - Yt F + (zz - z t F . Dijeljenje dužine u zadanom omjeru. Podijeliti dužinu AB u danom omjeru

A : l znači odrediti točku P unutar te dužine takvu da vrijedi IAPI : IPBI = A : l .

(6. 1 )

o

Sl. 6.2. Dijeljenje dužine u danom omjeru

Odgovorit ćemo na sljedeće pitanje: Ako su zadane koordinate točaka A i B , koje su koordinate točke P ? Jednadžba (6. l ) daje sljedeću jednakost

XP = A PE . Napisana s pomoću radij-vektora, ona glasi

OP - 8A = A ( OB - OP ).

Sređivanjem, odavde dobivamo izraz za radij-vektor točke P : l

-+

OP = l + A

�

OA

A

+

l +A

-:::-:t

Oli .

(6.2)

Stoga su koordinate tražene točke jednake

YA + A YB YP = l + A '

XA + AxB Xp = l + A '

ZA + A ZB Zp = l + A .

Polovište dužine. Polovište P dužine AB dijeli tu dužinu u omjeru l : l . Zato je A = l i njegove su koordinate

(

+ + x +x P A B YA YB ZA ZB

ili,

u vektorskom zapisu,

2

'

2

'

2

)

,

OP = i OA + i oB .

Konveksna kombinacija. Konveksna kombinacija dvaju vektora je vektor oblika (6.3) pri čemu za skalare vrijedi

At � O ,

6. TOČKA, PRAVAC I RAVNINA

96

A

Sl. 6.3. Konveksnoj lwmbinaciji dvaju radij­ vektora odgovara toc"ka sa spojnice zavr­ šetaka tih radijvektora

Ako su a1 i a2 predstavljeni svojim radij-vektorima oA i oB , tad konveksnoj kombinaciji odgovara radij-vektor točke P koja se nalazi na spojnici AB . Zaista,

l l+A

jednadžba (6.2) može se napisati u obliku (6.3) gdje smo označili ).1 = --, ,

). A.2 = l + A. '

Pokažimo da slična tvrdnja vrijedi i za tri točke. Neka su A , B , C bilo koje tri točke u prostoru. Neka je T točka unutar trokuta ABC . Neka pravac CT siječe --t ;. --+ , OA stranicu AB u točki P . Tad točka P ima radij-vektor OP = m +m OB za neku vrijednost koeficijenta A , ). > O . Sad se radij-vektor točke T može napisati u obliku

-

l --t J.l --t OC + -- OP l + J.l l + J.l J.l J.l A. 1 1 = __ · -- oA +-- · __ oB + -- 0C l + J.l 1 + ). l + J.l l + A. l + J.l

OT =

--

-

--+

0JJ + A3 0C. = ;., OA + A.2 � Koeficijenti A. 1 , ).2 , ).3 su pozitivni i zadovoljavaju uvjet J.l J.lA l ;., + ;.2 + ).3 = ( 1 + J.l ) (l + ) + (l + J.l ) ( l + A. ) + l + J.l = l . ;.

Dakle, radij-vektor svake točke unutar trokuta konveksna je kombinacija radij-vektora njegovih vrhova. Primjer 6.1. Težište trokuta je ona točka T za koju vrijedi , �

::;-;t.

� 01 = 3, OA . + 3 OJJ + 3, OC -

Zaista, polovište P stranice AB

ima

l radij-vektor 2( OA + OB ) . Težište je točka

na težišnici CP koja ju dijeli u omjeru 2 Uvrštavanjem dobivamo gornju formulu.

-

:

-

l ; ona ima radij vektor % ac + t OP .

Primjer 6.2. Istovjetna tvrdnja gornjoj vrijedi i za tetraedar. Neka su A, B, C, D četiri nekomplaname točke. Tad se radij-vektor svake točke unutar tetraedra ABCD

6. TOČKA, PRAVAC I RAVNINA

97

može napisati u obliku konveksne kombinacije

l.

oT = At GA + Az OB + A3 ac + A4 OD pri čemu za skalare vrijedi

A; � O , At + Az + A3 + A4 =

Poznato nam je da je ravnina n u prostoru određena s

tri

točke, ili s pravcem i

jednom točkom ili s dva pravca koji leže u toj ravnini. No, najjednostavnije je ravninu opisati pomoću jedne točke i jednog vektom koji je ga

normala mvnine.

okomit na tu ravninu.

Nazivamo

z

y

X

Sl. 6.4. Ravnina je određena jednom točkom i vektorom normale Neka je

T1

zadana točka i

koji leži u ravnini n . Neka je li vektor

---t

n

vektor normale. Taj je vektor okomit na svaki drugi

T bilo koja točka u ravnini. �

Tad je

n .l

T;T

.

Napišemo

T1 T kao razliku radij-vektora, Tt T = r - r1 , dobit ćemo jednadžbu ravnine vektorskom obliku:

zapisanu u

n · (r - r l ) = O

(6.4)

Izvedimo odavde jednadžbu ravnine u algebarskom obliku.

Ai + Bj +

Ck vektor normale i

ka. Uvrštavanjem u

( 6.4)

Tt (xt , Y h Z t ) , T(x, y, z)

n =

dobivamo

A(x - x t ) + B(y - y i ) + C(z - z i ) = O .

Kanonska jednadžba ravnine. nadžbu oblika

Neka su

koordinate zadanih toča­

Pomnožimo li izraze u

Ax + By + Cz - Ax t - By t - Cz t = O

(6.5)

(6.5), dobiti ćemo jed­

6. TOČKA, PRAVAC I RAVNINA

98 odnosno

Ax + By + Cz + D =

O.

(6.6)

Ova se jednadžba naziva opća jednadžba ravnine. Iz nje čitamo vektor normale: to je vektor s komponentama

A , B, C.

Znajući ovu jednadžbu, možemo odrediti i po volji

mnogo točaka te ravnine. Dovoljno je uvrstiti dvije koordinate po volji i iz jednadžbe odrediti treću.

Parametarskajednadžba ravnine.

Neka su

leže u ravnini n . Radij-vektor neke točke

T

--t

--t

Kako vrijedi

--t

T1 T

a , b dva nekolinearna vektora koja

te ravnine može se napisati u obliku

-;:::;:1. Or = OT1 + T1 T .

leži u ravnini n , taj se vektor može rastaviti u spoj vektora

OT

=

a i b.

OT; + A.a + JLb .

Zato

(6 .7 )

Napisana preko koordinata vektora, jednadžba glasi

Ova se jednadžba naziva parametarska jednadžba

{

ravnine.

Izdvojimo li pojedine

komponente, dobit ćemo sljedeći zapis:

+ A ax + Jl bx, y = Y 1 + A. ay + Jl by, Z = ZI + A az + JLbz.

X = Xl

z

y

X

Sl. 6.5. Parametarska jednadžba ravnine

Primjer 6.3. primjeru ravnine

Kako se određuje parametarskajednadžba ravnine? Pogledajmo na x-

2y +

3z

-

5 = O.

Iz ove jednadžbe vidljiva je jednadžba normale ravnine:

n

=

i

-

2j +

3k,

ali ne i

vektori koji leže u ravnini. Shvatit ćemo gornju jednadžbu kao linearni sustav i odrediti

6. TOČKA, PRAVAC I RAVNINA

99

njegovo rješenje. Nepoznanica x je vezana, a y i z su slobodne. Izaberimo y = A. , z = Ji . Dobivamo X = 5 +2.1.. -3J,l, ?.. ,

y = z =

Ji,

odnosno

Dakako da izbor vektora a i b , pa time niti ovaj prikaz, nije jedinstven.

Jednadžba ravnine zadane s tri toc"ke. Neka su T1 (x� , y � , z i ) , T2 (x2 , y 2 , z2 ) , T3 (x3 , y 3 , z3 ) tri zadane nekolineame točke. Kako glasi jednadžba ravnine koja ih sadrži? Označimo ponovo s T(x, y, z) po volji odabranu točku ravnine. Sad je dovoljno primijetiti da vektori T1 T , T1 T2 , T1 T3 leže u ravnini. Stoga je njihov mješoviti umnožakjednak nuli: [ T1 T, T1 T2 , T1 T3 J = O . Uvrstimo li komponente ovih vektora, ---t

--t

--t

---t

--t

--t

dobivamo jednadžbu napisanu u obliku

x-x 1 y -y l z-z1 X2-Xl Y2 -Y 1 Z2 - Z1 = o . XJ -Xl Y3 -Y 1 Z3-Zl Segmentni oblik ravnine. želimo li skicirati položaj ravnine u prostoru, to ćemo najlakše učiniti izdvojimo li točke na koordinatnim osima koje pripadaju toj ravnini. Neka je Ax + By + Cz + D = O jednadžba ravnine tr . Ukoliko je D = O , ravnina prolazi ishodištem. Ako je pak D =j:. O , tad dijeljenjem s -D možemo jednadžbu svesti na oblik X- + Y- + -Z (6.8) = 1. p q r z

X

y

Sl. 6.6. Segmentni oblik ravnine

Očigledno je da točke P(p, O, O) , Q(O, q, O) i R(O, O, r) s koordinatnih osiju le­ že u ravnini. Brojeve p, q, r predstavljaju duljine odrezaka na koordinatnim osima; nazivamo ih segmentima, a oblik (6.8) segmentni oblik ravnine.

6. TOČKA, PRAVAC I RAVNINA

100 Poluprostor i orijentacija normale.

Svaka ravnina dijeli prostor na dva dijela zadana nejed­

nadžbama

Ax + By + Cz + D > O Njih nazivamo

Ax + By + Cz + D

otvorenim poluprostorima određenim ravninom

n

đeni su jednadžbama

Ax + By + Cz + D � O