Lineamenti di matematica 2 978-88-268-9049-4 [PDF]

Zitiervorschau

MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI

algebra algebra e e geometria geometria 22 ISBN 978-88-268-9049-4 Edizione 1 2 2011

3 4 2012

5 6 2013

7 8 2014

9 10 2015

Direzione Editoriale: Roberto Invernici Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scalvini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atlas Copertina: Vavassori & Vavassori Fotocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Stampa: Grafica Veneta - Trebaseleghe (PD) L'editore si impegna a mantenere invariato il contenuto di questo volume, secondo le norme vigenti. Il materiale illustrativo proviene dall'archivio iconografico Atlas. L'editore eÁ a disposizione degli aventi diritto non potuti reperire. Il presente volume eÁ conforme alle disposizioni ministeriali in merito alle caratteristiche tecniche e tecnologiche dei libri di testo. Con la collaborazione della Redazione e dei Consulenti dell'I.I.E.A.

Ogni riproduzione del presente volume eÁ vietata. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall'art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le riproduzioni effettuate per finalitaÁ di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org Q 2011 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 24123 Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Tel. (035) 249711 - Fax (035) 216047 - www.edatlas.it

Presentazione Premessa Un testo di Matematica deve avere alcune caratteristiche didattiche indispensabili: l

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deve stimolare la lettura e per questo deve essere scritto in un linguaggio chiaro, semplice, accattivante e soprattutto comprensibile per uno studente di 14-15 anni; deve far capire perche gli strumenti della matematica sono indispensabili nell'affrontare e risolvere problemi; deve essere ricco di esempi, dai piuÁ semplici che servono per imparare ad usare formule o comprendere concetti, a quelli meno immediati nei quali le formule e i concetti "si applicano"; deve essere ricco di esercizi, opportunamente graduati e non banali, che stimolino il ragionamento e la riflessione; deve utilizzare tutti gli strumenti che la tecnologia moderna mette a disposizione per apprendere; deve mettere in grado lo studente di autovalutare la propria preparazione, in modo da renderlo consapevole delle proprie abilitaÁ e competenze.

Struttura: un'opera mista L'opera LINEAMENTI DI MATEMATICA eÁ dedicata al Primo Biennio e si compone di due volumi cosõÁ articolati: l

Volume 1: Algebra, Geometria, Statistica

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Volume 2: Algebra, Geometria, ProbabilitaÁ

In piena aderenza con le disposizioni ministeriali l'opera Lineamenti di Matematica eÁ un'opera mista in quanto propone partendo dal sito www.edatlas.it molti materiali on line ad integrazione e completamento dei volumi a stampa. In particolare, per ogni capitolo, sono disponibili in rete: l l

ulteriori esercizi di Algebra; il laboratorio di informatica, con esercitazioni con Excel, Derive, Wiris, Cabri e GeoGebra, che completano la trattazione teorica degli argomenti;

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le schede storiche e di approfondimento sui temi fondamentali trattati nel Primo Biennio;

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esercizi tratti dalle Gare di Matematica di diverse competizioni;

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la rubrica Matematica e realtaÁ, con problemi collegati all'esperienza quotidiana dello studente, che presentano situazioni concrete che i ragazzi di questa etaÁ possono trovarsi a dover affrontare; questi problemi si rifanno anche al progetto PISA per la valutazione delle competenze in ambito matematico degli studenti di 15 anni; le attivitaÁ per il recupero con relativa scheda di autovalutazione, organizzate per aree tematiche; la rubrica Math in English con esercizi di matematica in lingua inglese.

Oltre a questi materiali, in modo particolare per la parte Geometria, sono proposte le immagini in .jpeg di tutto il volume, da utilizzare con la Lavagna Interattiva Multimediale (LIM).

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PRESENTAZIONE

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Impostazione didattica Nella stesura di questo testo si eÁ cercato di rispondere a tutte le esigenze indicate nella premessa; si eÁ quindi volutamente usato un linguaggio semplice, che tuttavia ha i requisiti del rigore imposto dalla disciplina e che tiene conto della progressiva maturazione matematica dello studente. Nella presentazione di ogni tema nulla eÁ dato per scontato; ogni domanda, ogni problema, ogni richiesta, ha una risposta motivata e le diverse aree tematiche si intersecano per contribuire a formare una conoscenza globale della disciplina. Nella trattazione teorica si evidenzia la presenza di numerosi esempi svolti ed esercizi di verifica della comprensione per l'accertamento delle conoscenze man mano acquisite. Significativi sono i riferimenti agli errori piuÁ comuni, che spesso i ragazzi commettono nello svolgimento degli esercizi, e l'aggancio della Matematica alla realtaÁ, nel quale gli studenti ritrovano i concetti appresi applicati a situazioni di vita reale. Importante eÁ anche la scheda riassuntiva che si trova al termine di ogni capitolo e che ha il duplice scopo di fissare i contenuti piuÁ importanti e di servire come ripasso rapido.

Esercizi In ogni volume sono presenti diverse tipologie di esercizi: l

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di comprensione, spesso in forma di test a risposta multipla, per verificare le conoscenze teoriche senza le quali ogni applicazione eÁ impossibile; di applicazione, sotto forma di esercizi e problemi da svolgere, per sviluppare capacitaÁ logicodeduttive, acquisire nuove abilitaÁ di calcolo, sviluppare abilitaÁ nella scelta delle procedure piuÁ adatte a risolvere un problema; di approfondimento e di sintesi per gli studenti piuÁ capaci che vogliono mettersi alla prova con esercizi piuÁ complessi.

Ogni capitolo di esercizi si conclude con la proposta di una scheda di autovalutazione per l'accertamento delle abilitaÁ, che possono essere usate dallo studente per testare il proprio livello di apprendimento e per la preparazione alle verifiche sommative, dal docente come verifiche formative.

Per lo studente Allo studente che si accinge ad "usare" questo testo vogliamo dare un consiglio: i testi di Matematica sono uno strumento per apprendere e per costruire la propria formazione, non si usano solo per la parte che riguarda gli esercizi. Per questo motivo devi leggere con attenzione la parte teorica, provare a svolgere da solo gli esempi dopo averli letti almeno una volta, e quando incontrerai quella che abbiamo chiamato verifica di comprensione, non saltarla, ma rispondi alle domande, fai gli esercizi che ti vengono proposti e se le tue risposte non sono corrette, domandati perche hai sbagliato. Risolvi sempre gli esercizi della scheda di autovalutazione, attribuisciti il punteggio con onestaÁ e verifica il tuo livello di apprendimento; incontrerai cosõÁ meno difficoltaÁ quando affronterai le verifiche in classe. Le autrici

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PRESENTAZIONE

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IL PROGETTO P.I.S.A. L'Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico (OCSE) ha promosso, a partire dal 1995, un'indagine internazionale denominata PISA (Programme for International Student Assessment) con lo scopo di valutare le conoscenze e le abilitaÁ dei ragazzi di quindici anni. L'indagine vuole verificare in che misura questi ragazzi, che sono prossimi all'uscita dal ciclo obbligatorio di studi, abbiano acquisito alcune competenze giudicate essenziali per svolgere un ruolo consapevole e attivo nella societaÁ di oggi. PISA non vuole quindi verificare se gli studenti abbiano padronanza di parti del curricolo scolastico, ma se abbiano acquisito le capacitaÁ di utilizzare cioÁ che a scuola hanno imparato per affrontare problemi analoghi a quelli che si possono incontrare nella vita reale. I principali obiettivi di questo progetto sono i seguenti: l

mettere a punto indicatori relativi al rendimento scolastico degli studenti di etaÁ intorno ai quindici anni, in funzione della comparazione dei sistemi scolastici dei paesi membri dell'organizzazione;

l

individuare le caratteristiche dei sistemi scolastici dei paesi che hanno ottenuto i risultati migliori, in termini di livello medio delle prestazioni e di dispersione dei punteggi, in modo da trarre indicazioni relative all'efficacia delle politiche scolastiche nazionali;

l

fornire dati sui risultati dei sistemi di istruzione in modo regolare, cosõÁ da consentire il loro monitoraggio e la costruzione di serie storiche di dati utilizzabili per orientare eventuali provvedimenti innovativi e di riforma.

La valutazione riguarda tre aree particolari: quella della lettura, quella della matematica e quella delle scienze. L'indagine si eÁ svolta in tre cicli, in ciascuno dei quali si eÁ approfondita una delle aree: nel primo ciclo (PISA 2000) l'area principale di indagine eÁ stata quella della lettura, nel secondo (PISA 2003) quella della matematica, nel terzo (PISA 2006) quella delle scienze. Nel 2009 si eÁ svolta una quarta fase i cui risultati verranno resi noti a partire dal 2010 a livello internazionale e dal 2011 per ogni Paese partecipante. PISA definisce la competenza matematica come: la capacitaÁdi un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell'individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione. Le prove a cui gli studenti sono stati sottoposti erano costituite da domande a scelta multipla, da domande aperte a risposta univoca, da domande aperte a risposta articolata. I risultati di questa indagine, almeno fino all'edizione del 2006, non sono lusinghieri per il nostro Paese, in quanto la maggior parte degli studenti italiani si colloca al di sotto della media OCSE. Nell'ambito della Matematica eÁ risultato che solo l'1,5% dei ragazzi raggiunge il livello piuÁ alto della scala di valutazione (livello 6) contro una media OCSE del 4%, solo il 5,5% raggiunge il livello 5 contro una media OCSE del 10,6%. Le distanze dai Paesi che hanno avuto i risultati migliori (Corea, Finlandia e Paesi Bassi) sono ancora maggiori; in questi paesi piuÁ del 6,5% ha raggiunto il livello 6, il 16% ha raggiunto il livello 5. Nei livelli piuÁ bassi, quasi uno studente su tre (31,9%) non riesce a superare il livello 1 della scala (media OCSE 21,4%, Finlandia: 6,8%). Anche il Governatore della Banca d'Italia, Mario Draghi, in un suo intervento all'universitaÁ La Sapienza di Roma ha sottolineato come: ... il sistema di istruzione contribuisce a innalzare le prospettive di crescita dell'intera economia. L'istruzione allenta i vincoli economici e culturali che legano gli individui al proprio ambiente di origine. Aumenta le probabilitaÁ che i piuÁcapaci e meritevoli accedano a funzioni di governo nell'organizzazione dei fattori produttivi. Anche per questa via influisce positivamente sulla crescita economica: una buona istruzione incide sulla efficienza delle imprese, pone le condizioni affinche il processo di selezione concorrenziale degli imprenditori piuÁ innovativi, piuÁ adatti a sospingere lo sviluppo economico, si dispieghi senza i freni esercitati da diritti di casta e da posizioni di rendita. Possedere un elevato livello di istruzione costituisce inoltre il migliore strumento per ridurre i rischi insiti in percorsi di carriera frammentari e quelli connessi con la perdita dell'occupazione, oggi piuÁelevati che in passato a causa del crescente ricorso a rapporti di lavoro a tempo determinato. Possedere un'istruzione dinamica, capace di trasferire le conoscenze ai problemi concreti, eÁ oggi di fondamentale importanza. Per questo motivo, abbiamo pensato a una rubrica di esercizi come quella di Matematica e realtaÁ, che puoi trovare on line dal sito www.edatlas.it, per mettere alla prova le tue conoscenze, abilitaÁ e competenze nella vita di tutti i giorni. Per misurarti con i problemi del progetto PISA puoi anche digitare "progetto PISA" in un motore di ricerca di Internet e scaricare i files con i testi delle prove.

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PRESENTAZIONE

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Tema

Tema

CAPITOLO 1: I sistemi lineari Matematica e realtaÁ 1. Sistemi e principi di equivalenza 1.1 Il sistema e le sue caratteristiche 1.2 I principi di equivalenza 2. Come si risolvono i sistemi lineari 2.1 Il metodo di sostituzione 2.2 Il metodo di riduzione 2.3 Il metodo del confronto 3. Il metodo di Cramer e le matrici Approfondimenti Relazioni tra coefficienti e soluzioni 4. I sistemi frazionari 5. I sistemi letterali 6. I sistemi lineari con piuÁ di due equazioni Approfondimenti Il metodo di Cramer per i sistemi con tre incognite e le matrici di ordine tre 7. Problemi che si risolvono con i sistemi I concetti e le regole ESERCIZI Test finale

CAPITOLO 2: I radicali 10 11 11 13 15 15 17 20 22

25 27 28 30

32 35 38 305 341

Matematica e realtaÁ 1. Potenze e radici 1.1 Dal numero alla potenza e viceversa 1.2 I radicali in R0‡ 2. La proprietaÁ invariantiva e la semplificazione di un radicale 2.1 La proprietaÁ invariantiva 2.2 La semplificazione 2.3 La semplificazione e il valore assoluto 3. I radicali quadratici e le operazioni fondamentali 3.1 La moltiplicazione, la divisione e la potenza 3.2 Il trasporto dentro e fuori il simbolo di radice 3.3 Addizione e sottrazione 4. I radicali cubici 5. Estensione ai radicali di indice n qualsiasi 5.1 Le operazioni fondamentali 5.2 La radice di un radicale 6. I radicali quadratici doppi 7. La razionalizzazione 8. Potenze ad esponente razionale I concetti e le regole ESERCIZI Test finale

Online Sul sito www.edatlas.it trovi...

CAPITOLO 1: Il piano cartesiano e la retta 40 41 41 42 43 43 44 45 47 47 49 54 56 59 59 61 62 64 68 72

Matematica e realtaÁ 1. Il piano cartesiano 1.1 Il sistema di riferimento sulla retta 1.2 Il sistema di riferimento nel piano 2. Isometrie evidenti nel piano cartesiano 3. La retta e la sua equazione 3.1 L'equazione di una retta 3.2 Il grafico di una retta 3.3 Il coefficiente angolare 4. Condizioni per determinare l'equazione di una retta 5. Rette parallele e rette perpendicolari 6. Rette e sistemi lineari Approfondimenti L'interpretazione grafica di una disequazione lineare 7. La distanza di un punto da una retta 8. Problemi sulla retta 9. I fasci di rette I concetti e le regole ESERCIZI Test finale

75 76 76 77 82 85 85 89 90 93 95 98

100 101 102 105 109 384 423

343 382

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Il laboratorio di informatica

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Il laboratorio di informatica

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Il laboratorio di informatica

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Esercizi dalle Gare di matematica

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La scheda storica La geometria analitica

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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

La scheda storica La scuola pitagorica e il problema dell'incommensurabilitaÁ

l l

Esercizi dalle Gare di matematica

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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

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Esercizi dalle Gare di matematica

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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

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AttivitaÁ di recupero tema 1 Math in English

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INDICE

5

Tema

Tema

CAPITOLO 2: Luoghi di punti e funzioni

CAPITOLO 1: Le equazioni di secondo grado

CAPITOLO 2: Le disequazioni di secondo grado Matematica e realtaÁ 167 1. Il metodo di risoluzione 168 2. Disequazioni frazionarie e di grado superiore al secondo 172 2.1 Disequazioni frazionarie 172 2.2 Disequazioni di grado superiore al secondo 173 Approfondimenti Consigli per risolvere in modo rapido 175 alcune disequazioni 3. Sistemi di disequazioni 176 Approfondimenti Le equazioni e le disequazioni 177 con i moduli I concetti e le regole 180

129

Matematica e realtaÁ 1. La forma dell'equazione 2. Le equazioni incomplete 3. Le equazioni complete 4. Le equazioni frazionarie 5. Le equazioni letterali 6. I legami fra coefficienti e soluzioni Approfondimenti I problemi sulle equazioni parametriche 7. L'interpretazione grafica di una equazione di secondo grado 8. Problemi di secondo grado Approfondimenti I problemi dal mondo reale I concetti e le regole

130 135

ESERCIZI Test finale

Matematica e realtaÁ 1. I luoghi di punti e il piano cartesiano 2. La parabola e la sua equazione 3. Le funzioni di proporzionalitaÁ 3.1 La proporzionalitaÁ diretta 3.2 La proporzionalitaÁ inversa Approfondimenti Le applicazioni alla risoluzione dei problemi 4. Le funzioni circolari 4.1 Come si misurano gli angoli 4.2 Le funzioni goniometriche fondamentali Approfondimenti Le relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche 5. I grafici delle funzioni goniometriche I concetti e le regole

111

ESERCIZI Test finale

425 436

112 114 117 117 119

122 122 123 125

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138 138 139 142 146 148 153

156 158 159 163 166

ESERCIZI Test finale

488 512

438 486

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Online Sul sito www.edatlas.it trovi...

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Il laboratorio di informatica

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Il laboratorio di informatica

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Il laboratorio di informatica

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Esercizi dalle Gare di matematica

l

l

Esercizi dalle Gare di matematica

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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

La scheda storica Lo sviluppo dell'algebra e le equazioni di secondo grado

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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

l

AttivitaÁ di recupero tema 3 Math in English

l l

6

AttivitaÁ di recupero tema 2 Math in English

INDICE

l

Esercizi dalle Gare di matematica

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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

l

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Tema

Tema

CAPITOLO 1: Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali Matematica e realtaÁ 1. Equazioni che si risolvono per scomposizione 1.1 Il caso generale 1.2 Il caso particolare delle equazioni reciproche Approfondimenti Le equazioni reciproche di quarto grado complete 2. Equazioni binomie e trinomie 3. Le equazioni irrazionali 3.1 Le equazioni irrazionali e l'equivalenza 3.2 Le equazioni con un solo radicale 3.3 Le equazioni con due o piuÁ radicali 3.4 Equazioni con i radicali al denominatore 4. Problemi I concetti e le regole

182

ESERCIZI Test finale

514 541

182 182

CAPITOLO 2: Sistemi non lineari

CAPITOLO 1: La probabilitaÁ

Matematica e realtaÁ 1. Sistemi di grado superiore al primo 2. Sistemi simmetrici 3. Sistemi e problemi I concetti e le regole

203 208 211 215

ESERCIZI Test finale

543 565

203

184

186 188 191 191 192 196

Matematica e realtaÁ 1. Il concetto di probabilitaÁ 2. La definizione classica 3. I teoremi sulla probabilitaÁ 3.1 Il teorema della probabilitaÁ contraria 3.2 Unione e intersezione di eventi 3.3 Il teorema della probabilitaÁ totale 3.4 La probabilitaÁ condizionata Approfondimenti La probabilitaÁ e il calcolo combinatorio 4. Le altre definizioni di probabilitaÁ I concetti e le regole

217 218 220 222

ESERCIZI Test finale

567 586

222 223 224 226

230 232 238

198 199 202

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l

Il laboratorio di informatica

l

Il laboratorio di informatica

l

Il laboratorio di informatica

l

La scheda storica Le equazioni di terzo grado

l

Esercizi dalle Gare di matematica

l

l

Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

La scheda storica La nascita del calcolo delle probabilitaÁ

l

Esercizi dalle Gare di matematica

l

Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

l

AttivitaÁ di recupero tema 5 Math in English

l

Esercizi dalle Gare di matematica

l

Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

l l

AttivitaÁ di recupero tema 4 Math in English l

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

INDICE

7

Tema

Tema

CAPITOLO 1: L'equivalenza dei poligoni e il calcolo delle aree

CAPITOLO 2: Omotetie e similitudini

Matematica e realtaÁ 1. Il concetto di equivalenza 1.1 Estensione e area 1.2 Figure equicomposte 2. I criteri di equivalenza per i poligoni 3. I teoremi di Pitagora e di Euclide 4. Il problema di misurare 5. Grandezze proporzionali e teorema di Talete 6. Le aree dei poligoni 7. La lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio 7.1 La lunghezza della circonferenza 7.2 L'area del cerchio 7.3 Archi e settori circolari I concetti e le regole

241 243 243 244

ESERCIZI Test finale

588 607

245 248 250 253 257 261

CAPITOLO 1: La geometria nello spazio

Matematica e realtaÁ 1. L'omotetia e le sue proprietaÁ 2. La similitudine 3. I criteri di similitudine 3.1 I criteri di similitudine dei triangoli 3.2 Le proprietaÁ dei triangoli simili 4. Le applicazioni Approfondimenti La sezione aurea I concetti e le regole

268 269 272 274

ESERCIZI Test finale

610 622

274 275 277 278 280

261 263 264 265

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Matematica e realtaÁ 283 1. Rette e piani nello spazio 284 1.1 I primi elementi 284 1.2 PerpendicolaritaÁ fra rette e piani 285 1.3 Il parallelismo nello spazio 287 2. Diedri, perpendicolaritaÁ nello spazio e angoloidi 291 3. Poliedri e solidi di rotazione 293 3.1 I poliedri 293 3.2 Poliedri regolari 293 3.3 Altri poliedri 294 3.4 I solidi di rotazione 296 4. Misure di superfici e di volumi 299 4.1 La misura delle superfici 299 4.2 I volumi 300 I concetti e le regole 303 ESERCIZI Test finale

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624 632

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Il laboratorio di informatica

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Il laboratorio di informatica

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Il laboratorio di informatica

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Le schede di approfondimento Le diverse dimostrazioni del teorema di Pitagora e Il valore di 

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La scheda di approfondimento I frattali

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Esercizi dalle Gare di matematica

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Esercizi dalle Gare di matematica

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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

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AttivitaÁ di recupero tema 6 Math in English

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Esercizi dalle Gare di matematica

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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)

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INDICE

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema Modelli lineari e radicali

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

CAPITOLO

I sistemi lineari

Obiettivi l

comprendere il significato di sistema

l

risolvere sistemi lineari

l

risolvere problemi mediante l'utilizzo di sistemi lineari

MATEMATICA E REALTAÁ Piero e Antonio sono davanti a un'auto sportiva al Motor Show di Bologna. Tanto per scherzare un po', Piero dice a Antonio: "Se mi presti la metaÁ di quello che hai sul tuo conto in Banca, con quello che ho io, mi compro 1 di quello che hai quest'auto da favola". Antonio ribatte: "Se mi dai tu 3 sul tuo conto, l'auto la compro io". Se il costo dell'auto eÁ di E 80000, qual eÁ la somma depositata sui conti correnti dei due amici? Visto che non conosciamo le due somme, diciamo che Piero possiede x Euro e Antonio ne possiede y. Vediamo il problema dal punto di vista di Piero: l

l

se Antonio gli daÁ la metaÁ di quello che ha, Piero possiede una somma pari 1 a: x ‡ y 2 questa somma eÁ esattamente quello che gli serve per comperare l'auto, 1 quindi: x ‡ y ˆ 80000 2

Vediamo adesso il problema dal punto di vista di Antonio: 1 l se Piero gli da Á di quello che ha, Antonio possiede una somma pari a: 3 1 y‡ x 3 l

10

questa somma eÁ esattamente quello che gli serve per comperare l'auto, 1 quindi: y ‡ x ˆ 80000 3 Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Siamo giunti a scrivere due equazioni in due incognite e, per risolvere il problema, dobbiamo trovare quella particolare coppia …x, y † che le rende vere entrambe. Di molti problemi si puoÁ costruire un modello di questo tipo, in cui ci sono piuÁ incognite legate una all'altra da diverse equazioni; scopo di questo capitolo eÁ imparare dei metodi per determinare, se esistono, quei valori delle incognite che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni. Quando lo avrai studiato sarai in grado di dire quanto hanno sul conto corrente Piero e Antonio; in ogni caso la risposta si trova al termine del capitolo.

1. SISTEMI E PRINCIPI DI EQUIVALENZA

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 305

1.1 Il sistema e le sue caratteristiche Un'equazione del tipo 3x

y ˆ6

ha come soluzioni tutte le coppie …x, y † che la soddisfano. Per esempio sono soluzioni le seguenti coppie: l

l

l

…0,

6†

infatti

3
0

… 6† ˆ 6

…1,

3†

infatti

3
1

… 3† ˆ 6

infatti

3
… 2†

… 2,

12†

… 12† ˆ 6

Non eÁ difficile intuire che le coppie soluzione sono infinite; se infatti riscriviamo l'equazione nella forma y ˆ 3x 6, basta assegnare a x un valore reale qualsiasi e a y il triplo di questo valore diminuito di 6 per avere una coppia soluzione.

Le equazioni in piuÁ incognite, avendo infinite soluzioni, sono sempre indeterminate.

Se peroÁ consideriamo anche l'equazione x

y ‡2ˆ0

fra le infinite soluzioni della prima e le infinite soluzioni di quest'ultima, potrebbe darsi che ce ne sia qualcuna in comune. In effetti, la coppia …4, 6† le soddisfa entrambe: I equazione:

3x

II equazione:

x

yˆ6 y ‡2ˆ0

3
4

! !

4

6ˆ6

!

6‡2ˆ0

6ˆ6 !

0ˆ0

Per indicare che di due o piuÁ equazioni nelle stesse incognite si vogliono trovare le soluzioni comuni si eÁ soliti scrivere tali equazioni all'interno di una parentesi graffa aperta e di esse si dice che formano un sistema. L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni eÁ rappresentato dall'intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione. Riferendoci al precedente esempio, il sistema delle due equazioni si rappresenta cosõÁ:  3x y ˆ 6 x y ‡2ˆ0 e una soluzione eÁ data dalla coppia ordinata …4, 6†. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

11

Il grado di un sistema Grado di un sistema eÁ il prodotto dei gradi delle singole equazioni. Per esempio: l

il sistema



x 2 ‡ 3x 4y 2 ˆ 2 x 3 4y ˆ 0

eÁ di grado 6 perche la prima equazione ha grado 2 e la seconda ha grado 3

l

il sistema

8 < x 3y ‡ z ˆ 0 x 2 y ‡ 2z ˆ 3 : x y ‡ z2 ˆ 1

eÁ di grado 4 perche la prima equazione ha grado 1, la seconda e la terza hanno grado 2 l

il sistema



Un sistema di primo grado ha tutte le equazioni che sono di grado 1.

x 2y ˆ 3 3x y ‡ 1 ˆ 0

eÁ di grado 1 perche entrambe le equazioni sono di primo grado.

Sistemi interi e frazionari Un sistema eÁ: n intero se tutte le equazioni sono intere; per esempio: 8 1 2 > > 

3x 2y ˆ 0 > :x ‡ 3 y ˆ 2

3 xy ˆ 1 4

Un'equazione eÁ intera se nessuna incognita eÁ al denominatore; eÁ frazionaria in caso contrario.

1 3

n frazionario se almeno una delle equazioni eÁ frazionaria; per esempio: 8 1 2 8 > x ‡ y 1 >
: 1 ‡y 1ˆ0 1ˆy ‡x x 2x

Per determinare il dominio di un sistema frazionario si devono porre le condizioni di esistenza dei denominatori:

l

nel primo sistema si deve porre:

x 6ˆ 0

^

x 6ˆ y

l

nel secondo sistema si deve porre:

x 6ˆ 2

^

x 6ˆ 0

^

y 6ˆ 3

Qualunque valore delle variabili che non soddisfa anche una sola di queste condizioni non puoÁ essere accettato come soluzione.

Sistemi determinati, indeterminati, impossibili Ci sono sistemi che hanno un numero limitato di soluzioni; un esempio eÁ il sistema presentato ad inizio paragrafo che, come avremo modo di vedere meglio piuÁ avanti, eÁ verificato solo dalla coppia …4, 6†.

12

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Un sistema come il seguente



x x

3y ˆ 1 3y ˆ 4

non ha invece nessuna soluzione perche se x 3y deve essere uguale a 1, non eÁ possibile che sia contemporaneamente uguale a 4. Il sistema



2x ‡ 5y ˆ 3 4x ‡ 10y 6 ˆ 0

ha invece infinite soluzioni perche le due equazioni sono uguali (se semplifichi la seconda equazione ottieni la prima), quindi tutte le infinite coppie che soddisfano la prima, soddisfano anche la seconda. Analogamente a quanto abbiamo fatto per le equazioni, diciamo allora che un sistema eÁ: n determinato se ha un numero finito di soluzioni n impossibile se non ha soluzioni n indeterminato se ha infinite soluzioni.

1.2 I principi di equivalenza Diciamo che: due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per risolvere un sistema si cerca di passare ad un altro ad esso equivalente ma di forma piuÁ semplice e per fare cioÁ ci vengono in aiuto due principi di equivalenza che illustriamo dapprima su alcuni esempi. La loro validitaÁ eÁ comunque generale e vale per qualunque tipo di sistema, con un numero qualunque di equazioni e di incognite, di qualsiasi grado esso sia. Consideriamo il sistema



x‡y ˆ1 2x ‡ 3y 5 ˆ 0

e ricaviamo l'espressione dell'incognita y dalla prima equazione: yˆ1

x

Questa scrittura significa che, al variare di x in R, il valore di y eÁ 1 x; ma la soluzione di un sistema eÁ la coppia …x, y † che soddisfa entrambe le equazioni, quindi 1 x deve anche essere il valore di y della seconda equazione. Possiamo allora sostituire questa espressione al posto di y ottenendo: 2x ‡ 3…1

x†

5ˆ0

Il sistema che si ottiene dalla prima equazione riscritta nella forma y ˆ 1 dalla seconda dopo la sostituzione eÁ: 

yˆ1 x 2x ‡ 3…1 x †

xe

5ˆ0

e, per il ragionamento che abbiamo fatto, possiamo dire che questo sistema eÁ equivalente a quello dato. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

13

Questo metodo per ottenere un sistema equivalente eÁ riassunto nel seguente primo principio di equivalenza. Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita la sua espressione ricavata da un'altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Consideriamo adesso il sistema



2x ‡ 3y 1 ˆ 0 x ‡ 5y ‡ 3 ˆ 0

( (

y ˆA y ‡x ˆ1 y ˆA A ‡x ˆ1

Se sommiamo membro a membro le due equazioni otteniamo: …2x ‡ 3y

1† ‡ … x ‡ 5y ‡ 3† ˆ 0

Associamo adesso all'equazione ottenuta una qualunque delle due del sistema, per esempio la prima:  …2x ‡ 3y 1† ‡ … x ‡ 5y ‡ 3† ˆ 0 2x ‡ 3y 1 ˆ 0 Quello che abbiamo ottenuto eÁ un altro sistema, diverso dal precedente, che peroÁ ha le stesse soluzioni. Infatti la coppia …x, y † che soddisfa il primo sistema, deve soddisfare entrambe le equazioni e quindi anche la loro somma; essa eÁ dunque una soluzione anche del secondo sistema. Viceversa, la soluzione del secondo sistema deve rendere nullo il primo membro della seconda equazione (cioeÁ 2x ‡ 3y 1); quindi, per soddisfare anche la prima equazione, deve rendere nulla l'espressione x ‡ 5y ‡ 3; essa eÁ quindi anche soluzione del primo sistema. Questo metodo per ottenere un sistema equivalente eÁ riassunto nel seguente secondo principio di equivalenza. Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (alcune o tutte) e si sostituisce ad una di esse l'equazione ottenuta, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

 

Aˆ0 Bˆ0

‡

A‡B ˆ0 Aˆ0

Questo principio vale anche se si sottraggono membro a membro le due equazioni; infatti questo equivale a cambiare i segni di una delle due equazioni e poi a sommare.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Del sistema a. b. c. d. e.

14

8 > < 3 x 2y ˆ xy 5 1 > :x yˆ1 2

puoi dire che:

eÁ di primo grado eÁ di secondo grado eÁ di terzo grado eÁ intero eÁ frazionario.

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

2. Il sistema



…a

2x

1†x 2 ‡ ax ‡ y ˆ 1 : ay 2 ‡ y ˆ 3

a. eÁ di primo grado: ¬ se a ˆ 1 ^ a ˆ 0

­ se a ˆ 1 _ a ˆ 0

® per nessun valore del parametro a

b. eÁ di secondo grado: ¬ se a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 0

­ se a ˆ 1 _ a ˆ 0

® per nessun valore del parametro a

3. Il sistema a.



c.





x‡y 4ˆ0 2x y ‡ 3 ˆ 0

eÁ equivalente a (sono possibili piuÁ risposte):

xˆ4 y 2…4 y † y ‡ 3 ˆ 0

per il primo principio

yˆ4 x 2… 4 x † y ‡ 3 ˆ 0

per il primo principio

b.



d.



3x 1 ˆ 0 x‡y 4ˆ0

per il secondo principio

x‡y 4ˆ0 x 2y ‡ 7 ˆ 0

2. COME SI RISOLVONO I SISTEMI LINEARI In questo paragrafo ci occupiamo della risoluzione dei sistemi di primo grado che si dicono anche lineari; tutte le equazioni di un sistema lineare sono quindi di primo grado. In particolare affrontiamo in questo paragrafo la risoluzione dei sistemi di due equazioni in due incognite. La forma tipica di un sistema di questo tipo, che si dice forma normale, eÁ la seguente:  ax ‡ by ˆ c dx ‡ ey ˆ f con a, b, c, d, e, f numeri reali non tutti contemporaneamente nulli. Un sistema lineare, se eÁ determinato, ammette sempre una sola soluzione. Trovarla significa individuare, se esiste, la coppia ordinata di numeri …x, y † che soddisfa il sistema; possiamo quindi ritenere di averlo risolto se, applicando i principi di equivalenza, riusciamo a trasformare le sue equazioni fino ad arrivare a scrivere  xˆk y ˆh

per il secondo principio

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 307

LA FORMA NORMALE 

x ‡ 2y ˆ 4 3x y ˆ 5

eÁ in forma normale Le equazioni possono anche essere scritte in ordine inverso:  3x y ˆ 5 x ‡ 2y ˆ 4

In questo caso diciamo che la coppia soluzione eÁ …k, h†. Osserviamo poi che l'ordine con cui vengono scritte le equazioni di un sistema non ha importanza al fine della sua risoluzione. Vediamo adesso i principali metodi di risoluzione.

2.1 Il metodo di sostituzione Questo metodo eÁ conseguenza diretta dell'applicazione del primo principio; vediamo come si deve procedere usando come esempio il sistema  2x 3y ˆ 1 x 4y 2 ˆ 0 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

15

Passo 1 Ricaviamo l'espressione di x oppure di y da una delle due equazioni. In questo caso conviene ricavare x dalla seconda equazione perche questa variabile ha coefficiente 1 e quindi la sua espressione non avraÁ coefficienti frazionari:  2x 3y ˆ 1 x ˆ 4y ‡ 2 Passo 2 Applichiamo il principio di sostituzione: 8 < 2…4y ‡ 2† 3y ˆ 1 :

x ˆ 4y ‡ 2

Il vantaggio che deriva dall'applicazione di questo principio eÁ evidente perche la prima equazione contiene adesso la sola incognita y e puoÁ essere risolta rispetto a questa variabile.

Passo 3 Svolgiamo i calcoli e risolviamo l'equazione in y :   5y ˆ 3 8y ‡ 4 3y ˆ 1 ! ! x ˆ 4y ‡ 2 x ˆ 4y ‡ 2 Passo 4 Applichiamo ancora il principio di sostituzione: 8 8 3 > > yˆ > > > > 5
> > 3 > :x ˆ > :x ˆ 4 ‡2 5

8

> 

2 x ˆx‡1 > :x ˆ 1 2   1 3 , L'insieme delle soluzioni eÁ quindi S ˆ . 2 2 Dopo il primo confronto che permette di eliminare una delle variabili eÁ di solito piuÁ conveniente risolvere l'equazione ottenuta e procedere per sostituzione. Riprendendo il precedente esempio, possiamo procedere cosõÁ:

CONFRONTO E SOSTITUZIONE

Passo 1 Ricaviamo l'espressione della variabile x come nel caso precedente ottenendo l'equazione 2 y ˆ y 1 Passo 2 Associamo all'equazione trovata una delle due del sistema, per esem pio la seconda: 2 yˆy 1 x y ‡1ˆ0 Passo 3 Risolviamo la prima equazione e sostituiamo il valore trovato nella seconda completando la risoluzione del sistema: 8 8 3 3 > > > >

> > :x ˆ 1 :x 3 ‡ 1 ˆ 0 2 2

20

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

ESEMPI 1. Risolviamo il sistema



3x ‡ 2y ˆ 5 5x 4y ˆ 1

Ricaviamo x da entrambe le equazioni e confrontiamo:

Ricaviamo y da entrambe le equazioni e confrontiamo: Il sistema dato eÁ equivalente a: 8 5 3x 5x 1 > >  ˆ < 2 10 4 ! > 25 1 ‡ 4y > 5 2y : ˆ 3 5 Quindi

6x ˆ 5x 1 10y ˆ 3 ‡ 12y

> > : y ˆ 5x 

!

!

!

1

5

2y 3

5

3x 2

ˆ

ˆ

1 ‡ 4y 5

5x

1 4

4

11x ˆ 11 22y ˆ 22

!



xˆ1 yˆ1



xˆ yˆ

S ˆ f…1, 1†g.

2. Risolviamo il sistema



5x 3x

yˆ 3 2y ˆ 1

Ricaviamo la variabile y da entrambe le equazioni:

Confrontiamo:

8 < y ˆ 5x ‡ 3 : y ˆ 3x 1 2 5x ‡ 3 ˆ

All'equazione ottenuta associamo la prima del sistema:

Risolviamo l'equazione nella sola incognita x : Sostituiamo nella seconda equazione e completiamo la risoluzione: Quindi

8 5 2y > >

1 ‡ 4y > :x ˆ 5 8 5 3x > >

> < 3 ‡ 4y ˆ 2 a. b. > x 3 1 2x > : ˆ 4 7

1. Dato il sistema

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indica in quale dei seguenti casi eÁ stato applicato correttamente il me-

8 > >

> :x

4y ˆ 3 4

ˆ

1 ‡ 7y 2 1

2x 7

8 1 7y > > < 3 ‡ 4y ˆ 2 c. > x ‡ 3 2x 1 > : ˆ 4 7

d.

8 > < x ˆ 3 ‡ 4y 1 > :y ˆ

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

2x

7

21

2. Senza eseguire calcoli e solo confrontando le espressioni della variabile x nel sistema puoÁ subito dedurre che il sistema eÁ: a. determinato

b. indeterminato



x ‡ 2y ˆ 3 x ‡ 2y ˆ 5

si

c. impossibile

3. IL METODO DI CRAMER E LE MATRICI

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 313

I metodi che abbiamo visto per la risoluzione di un sistema lineare si possono applicare per risolvere un sistema nel caso generale, cioeÁ quando si presenta nella forma  ax ‡ by ˆ c dx ‡ ey ˆ f dove i coefficienti a, b, c, d, e, f sono numeri reali qualsiasi non tutti contemporaneamente nulli. Se applichiamo il metodo di riduzione a questo sistema: l

per eliminare la variabile y, dobbiamo moltiplicare la prima equazione per e e la seconda per b:  aex ‡ bey ˆ ce supposto che sia e 6ˆ 0 ^ b 6ˆ 0 bdx ‡ bey ˆ bf Sottraendo (prima equazione …ae bd †x ˆ ce bf

l

seconda equazione) otteniamo:

per eliminare la variabile x, dobbiamo moltiplicare la prima equazione per d e la seconda per a:  adx ‡ bdy ˆ cd supposto che sia d 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 0 adx ‡ aey ˆ af Sottraendo (seconda equazione …ae bd †y ˆ af cd

prima equazione) otteniamo:

Otteniamo cosõÁ il sistema equivalente:



…ae …ae

Da queste due equazioni, nell'ipotesi in cui sia

ricaviamo che

ae bd 6ˆ 0 8 ce bf > >

> : y ˆ af cd ae bd

cioeÁ

bd †x ˆ ce bd †y ˆ af

bf cd

ae 6ˆ bd (A)

Queste formule possono essere ricordate mediante uno schema semplice ed efficace. Il metodo che deriva dall'applicazione di questo schema eÁ noto come metodo di Cramer. Per usare questo metodo, il sistema deve essere scritto nella sua forma normale giaÁ ricordata sopra; in questo caso, i coefficienti delle variabili possono essere raggruppati in una tabella bidimensionale in questo modo:   a b d e

22

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

Gabriel Cramer (1704-1752) era un matematico svizzero. A lui si deve la regola per la risoluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite.

MATRICI E DETERMINANTI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

dove nella prima colonna abbiamo messo i coefficienti della variabile x, nella seconda i coefficienti della variabile y. A una tabella di questo tipo si daÁ il nome di matrice e poiche essa possiede due righe e due colonne si parla di matrice quadrata di ordine due. In una matrice di questo tipo si individuano due diagonali: quella indicata con una linea rossa eÁ la diagonale principale, quella indicata con una linea blu eÁ la diagonale secondaria. Ad ogni matrice di forma quadrata come questa si puoÁ associare un numero che si chiama determinante e che si calcola in questo modo: prodotto dei termini sulla diagonale principale diagonale secondaria

prodotto dei termini sulla

La matrice che abbiamo costruito prendendo i coefficienti delle variabili del sistema si chiama matrice dei coefficienti e il suo determinante, che indichiamo con il simbolo
, eÁ uguale a: a b ˆ ae bd
ˆ d e Consideriamo adesso la matrice che otteniamo da quella dei coefficienti sostituendo la prima colonna, quella dei coefficienti di x, con la colonna dei termini noti delle equazioni del sistema:   c b f e Il suo determinante, che indichiamo con
x, eÁ dato da: c b ˆ ce bf
x ˆ f e

Da ultimo consideriamo la matrice che otteniamo da quella dei coefficienti sostituendo la colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti delle due equazioni del sistema:   a c d f Il suo determinante, che indichiamo con
y, eÁ dato da: a c ˆ af cd
y ˆ d f

2 6 4

a

b

d

e

3 7 5

Un determinante si indica mettendo fra due linee verticali gli elementi della matrice: a b d e

Per il calcolo di
x:

c f "

a

b

d

e

#

Per il calcolo di
y:

c f "

a

b

d

e

#

Confrontando i determinanti che abbiamo ottenuto con la soluzione generale del sistema scritta ad inizio paragrafo (riferimento (A)) scopriamo che: l


rappresenta il denominatore sia del valore di x che di quello di y

l


x rappresenta il numeratore dell'espressione di x

l


y rappresenta il numeratore dell'espressione di y.

Allora, se il sistema eÁ determinato, cioeÁ se
6ˆ 0, la sua soluzione eÁ data dalla Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

23


x , come secondo elemento coppia che ha come primo elemento il rapporto

y il rapporto :
8 8
x ce bf > > > > >x ˆ >
> >
y af cd > > :y ˆ :y ˆ
ae bd

In definitiva, tenendo presenti anche le considerazioni fatte nel precedente paragrafo sui sistemi determinati, indeterminati o impossibili, possiamo riassumere la regola di Cramer in questo modo: n se
6ˆ 0 il sistema eÁ determinato con soluzione n se
ˆ 0, il sistema non eÁ determinato ed eÁ: l

indeterminato se


x ˆ 0 ^
y ˆ 0

l

impossibile se


x 6ˆ 0 _
y 6ˆ 0.




x
y ,





Se
ˆ 0, il sistema eÁ: l

l

indeterminato se sia
x che
y sono entrambi nulli impossibile se anche uno solo fra
x e
y eÁ non nullo.

Il metodo di Cramer, proprio perche segue uno schema preciso, si presta bene alla costruzione di algoritmi per risolvere sistemi lineari in modo automatico; nell'esercitazione di informatica che trovi on line puoi vedere come utilizzarlo a questo scopo. Esso eÁ poi comodo per la discussione dei sistemi letterali che affronteremo in uno dei prossimi paragrafi.

ESEMPI 1.



3x ‡ 6y ˆ 4 x ‡ 4y ˆ 3

Calcoliamo i tre determinanti: l

l

l

24

determinante della matrice dei coefficienti: 3 6 ˆ 3
4 1
6 ˆ 12 6 ˆ 6
ˆ 1 4

poicheÂ
6ˆ 0, il sistema eÁ determinato.

determinante della matrice che si ottiene da quella dei coefficienti sostituendo la colonna dei coefficienti di x con quella dei termini noti: 4 6 ˆ 4
4 … 3†
6 ˆ 16 ‡ 18 ˆ 2
x ˆ 3 4 determinante della matrice che si ottiene da quella dei coefficienti sostituendo la colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti: 3 4 ˆ 3
… 3† 1
… 4† ˆ 9 ‡ 4 ˆ 5
y ˆ 1 3 Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Il sistema ha quindi soluzione

2.

3.



x 4y ˆ 5 2x 8y ˆ 7 1 4 ˆ
ˆ 2 8

8
x 2 1 > >

> : y ˆ
y ˆ 5
6

8‡8ˆ0

Questa volta
ˆ 0, quindi il sistema non eÁ determinato; per decidere se eÁ indeterminato o impossibile, calcoliamo
x: se troviamo che
x ˆ 0 dobbiamo calcolare anche
y, se troviamo che
x 6ˆ 0 possiamo subito concludere che il sistema eÁ impossibile: 5 4 ˆ 40 ‡ 28 ˆ 12.
x ˆ Il sistema eÁ quindi impossibile. 7 8 

2x 4x

yˆ1 2y ˆ 2 2 1 ˆ 2… 2†
ˆ 4 2

4… 1† ˆ

4‡4ˆ0

Il sistema non eÁ determinato; calcoliamo
x e se eÁ uguale a zero calcoliamo anche
y: 1 2 1 1 ˆ 1… 2† 2… 1† ˆ 2 ‡ 2 ˆ 0 ˆ4 4ˆ0
y ˆ
x ˆ 2 4 2 2 Essendo
ˆ 0 e
x ˆ
y ˆ 0 il sistema eÁ indeterminato.

APPROFONDIMENTI RELAZIONI TRA COEFFICIENTI E SOLUZIONI Riprendiamo l'analisi che abbiamo fatto in questo paragrafo per riconoscere se un sistema eÁ determinato, indeterminato, impossibile.  ax ‡ by ˆ c eÁ determinato se
ˆ ae bd 6ˆ 0. Il sistema dx ‡ ey ˆ f a b Possiamo riscrivere questa condizione in un altro modo: ae 6ˆ bd ! 6ˆ d e a b 6ˆ . Dunque il sistema eÁ determinato se d e Sappiamo poi che il sistema eÁ indeterminato se, essendo
ˆ 0, anche
x ˆ 0 ^
y ˆ 0, cioeÁ ce bf ˆ 0 ^ af cd ˆ 0. b c Riscriviamo queste due condizioni in altro modo: ce ˆ bf ! ˆ e f

Dunque il sistema eÁ indeterminato se Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

a b c ˆ ˆ . d e f

af ˆ cd

!

a c ˆ d f

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

25

Il sistema eÁ invece impossibile se, essendo
ˆ 0, si verifica che
x 6ˆ 0 _
y 6ˆ 0, cioeÁ ce bf 6ˆ 0 _ af cd 6ˆ 0. b c Riscriviamo in altro modo: ce 6ˆ bf ! 6 ˆ e f af 6ˆ cd

!

a b ˆ d e

Dunque il sistema eÁ impossibile se

a c 6ˆ d f

ma questi due rapporti sono diversi da

c . f

In definitiva, supposto che tutti i rapporti precedenti esistano, possiamo affermare che:  ax ‡ by ˆ c il sistema dx ‡ ey ˆ f l

eÁ determinato se

a b 6ˆ d e

rapporto fra i coefficienti di x diverso dal rapporto fra i coefficienti di y

l

eÁ indeterminato se

a b c ˆ ˆ d e f

rapporti fra i coefficienti dei termini corrispondenti tutti uguali tra loro

l

eÁ impossibile se

a b c ˆ 6ˆ d e f

uguali i rapporti tra i coefficienti di x e di y, ma diversi dal rapporto fra i termini noti

Consideriamo per esempio i seguenti sistemi:  4x y ˆ 3 a 4 b 1 l ! ˆ ˆ d 3 e 4 3x 4y ˆ 5 l



l



4x ‡ 2y ˆ 8 2x ‡ y ˆ 1

!

a 4 ˆ ˆ2 d 2

8x ‡ 4y ˆ 12 6x 3y ˆ 9

!

a 8 ˆ ˆ d 6

!

!

il sistema eÁ determinato

b 2 ˆ ˆ2 e 1 4 3

b 4 ˆ ˆ e 3

c 8 ˆ ˆ8 f 1 4 3

!

il sistema eÁ impossibile

c 12 ˆ ˆ f 9

4 3

!

il sistema eÁ indeterminato

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Risolvendo un sistema con il metodo di Cramer si trova che
ˆ 2,
x ˆ 6,
y ˆ 1; il sistema eÁ: a. determinato con soluzione c. determinato con soluzione







b. determinato con soluzione

2

d. indeterminato

1 ,3 2

1 , 3



 3,

1 2



2. Risolvendo un sistema con il metodo di Cramer si trova che
ˆ 0,
x ˆ 1,
y ˆ 0; si puoÁ dire che: a. il sistema eÁ determinato

b. il sistema eÁ impossibile c. il sistema eÁ indeterminato. 8 < 2x ‡ y ˆ 6 eÁ: 3. Senza risolverlo, puoi dire che il sistema : 3x ‡ 3 y ˆ 9 2 a. determinato b. indeterminato c. impossibile

26

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

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4. I SISTEMI FRAZIONARI

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 317

Un sistema eÁ frazionario se almeno una delle sue equazioni eÁ frazionaria; per risolverlo si procede in questo modo: Passo 1 Si pongono le condizioni di esistenza delle equazioni imponendo ai denominatori di essere diversi da zero. Passo 2 Si riduce ciascuna equazione in forma intera e il sistema in forma normale. Passo 3 Si procede alla risoluzione del sistema intero equivalente con il metodo che si ritiene piuÁ opportuno. Passo 4 Si confrontano le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza e si scartano quelle incompatibili. Vediamo alcuni esempi.

ESEMPI 8 < 5x 2y ˆ 1 1. 3 2 : ‡ ˆ0 x 1 y ‡1

¬ Affinche il sistema abbia significato deve essere: x 6ˆ 1 ^ y 6ˆ 1

­ Riduciamo il sistema in forma intera: 8 5x 2y ˆ 1 > < 3…y ‡ 1† ‡ 2…x 1† > ˆ0 : …x 1†…y ‡ 1†



!

5x 2y ˆ 1 2x ‡ 3y ˆ 1

® Scegliamo come metodo di risoluzione quello di Cramer: 5
ˆ 2

2 ˆ 19 3

1
x ˆ 1

8 1 > > < x ˆ 19 > 7 > :y ˆ 19

Dunque

2 ˆ1 3

5
y ˆ 2

1 ˆ 1

¯ La soluzione trovata non contrasta con le condizioni iniziali, quindi S ˆ 8

> > x ˆ > >  x ˆ < < …a 2† …a ‡ 1† x ˆa‡1
! cioeÁ > > yˆ a a…a 2† …a ‡ 1† > > > : y ˆ
y >y ˆ :
…a 2† …a ‡ 1†

n se a ˆ 2, allora
ˆ 0 e si ha che
x ˆ 0 e
y ˆ 0; il sistema eÁ dunque indeterminato; n se a ˆ 1, allora
ˆ 0 e si ha che
x ˆ 0 e
y ˆ 0, il sistema eÁ anche in questo caso indeterminato. Vediamo qualche altro esempio.

ESEMPI 1.



2x by ˆ b 2bx 9y ˆ 2b2

9

Applichiamo la regola di Cramer: 2 b 2 2 9† ˆ 2…b 3†…b ‡ 3†
ˆ ˆ 18 ‡ 2b ˆ 2…b 2b 9 b b 2 9† ˆ 2b…b2 9† ˆ 2b…b 3†…b ‡ 3†
x ˆ ˆ 9b ‡ b…2b 9 2b 2 9 2 b 2 9† 2b 2 ˆ 2…b 2 9† ˆ 2…b 3†…b ‡ 3†
y ˆ ˆ 2…2b 2b 2b 2 9 Dunque:

l

l

se

se

b 6ˆ 3 ^ b 6ˆ

3

bˆ3 _ bˆ

3

il sistema ha soluzione


x ˆ
y ˆ 0

8 2b…b 3†…b ‡ 3† > > > < x ˆ 2…b 3†…b ‡ 3† > 2…b > > :y ˆ 2…b

3†…b ‡ 3† 3†…b ‡ 3†

ed il sistema eÁ indeterminato.

!

8 >

:

yˆ1

8 > < …a ‡ 1†x y ˆ 1 2. a…x 2† > ˆ 1 : y

Il sistema eÁ letterale e frazionario e dobbiamo imporre che sia y 6ˆ 0.

Riducendo il sistema in forma intera si ottiene

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…a ‡ 1†x y ˆ 1 ax ‡ y ˆ 2a Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

29

a ‡ 1 1 Applichiamo il metodo Cramer:
ˆ ˆ 2a ‡ 1 a 1 a ‡ 1 1 1 1 ˆ 2a2 ‡ a ˆ a…2a ‡ 1† ˆ 2a ‡ 1
y ˆ
x ˆ a 2a 2a 1 8 2a ‡ 1 > > > < x ˆ 2a ‡ 1

Procediamo con la discussione:

l

l

se a 6ˆ

1 il sistema eÁ determinato con soluzione 2

se a ˆ

1 si ha che
x ˆ
y ˆ 0 ed il sistema eÁ indeterminato. 2

> > > : y ˆ a…2a ‡ 1† 2a ‡ 1

!



xˆ1 yˆa

Verifichiamo adesso l'accettabilitaÁ della soluzione; dovendo essere y 6ˆ 0 il parametro a deve soddisfare la condizione a 6ˆ 0. Riassumendo il sistema eÁ: 1 l determinato con soluzione …1, a† se a 6ˆ ^ a 6ˆ 0; 2 1 l indeterminato se a ˆ ; 2 l impossibile se a ˆ 0.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Se risolvendo un sistema letterale con il metodo di Cramer si trova che
ˆa a. b. c. d.

2


x ˆ 2

a


y ˆ a…2

sempre determinato impossibile se a ˆ 2 indeterminato se a ˆ 0 determinato se a 6ˆ 2 e indeterminato se a ˆ 2.

a†

puoi dire che il sistema eÁ:

6. I SISTEMI LINEARI CON PIUÁ DI DUE EQUAZIONI

V

F

V

F

V

F

V

F

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 325

Un sistema puoÁ anche essere formato da piuÁ di due equazioni. Ci occupiamo adesso di risolvere sistemi lineari che hanno tre equazioni e tre incognite, che indicheremo con x, y, z; in ogni caso le procedure di calcolo per sistemi con un numero di equazioni e di incognite superiore a tre sono analoghe a quelle che vedremo ora. 8 < x ‡ 2y z ˆ 2 2x y z ˆ 5 Consideriamo per esempio il sistema: : 4x ‡ y ‡ z ˆ 1

Per risolvere un sistema di questo tipo si usa di solito un metodo misto fra quello di sostituzione e di riduzione a seconda della convenienza; nel nostro caso sembra conveniente ricavare la variabile x dalla prima equazione e sostituire la sua espressione nelle altre equazioni: 8 8 < x ˆ 2y ‡ z 2 < x ˆ 2y ‡ z 2 2… 2y ‡ z 2† y z ˆ 5 5y ‡ z ˆ 9 ! : : 4… 2y ‡ z 2† ‡ y ‡ z ˆ 1 7y ‡ 5z ˆ 9

30

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Possiamo adesso proseguire sulle ultime due equazioni ricavando la variabile z dalla seconda equazione e sostituendo la sua espressione nella terza: 8 8 8 < x ˆ 2y ‡ z < x ˆ 2y ‡ z 2 < x ˆ 2y ‡ z 2 z ˆ 5y ‡ 9 z ˆ 5y ‡ 9 z ˆ 5y ‡ 9 ! ! : : : 7y ‡ 5…5y ‡ 9† ˆ 9 yˆ 2 18y ˆ 36

Procedendo adesso a ritroso nelle sostituzioni otteniamo: 8 8 >

: yˆ 2 yˆ 2  Quindi S ˆ …1, 2, 1† .

!

8

y ˆ z 4x y ˆ z 4x > y ˆ z 4x < < < < z ˆ 6 6x z ˆ 6 6x ! ! ! z ˆ 6 6x z ˆ 6 6x : : : > > :x ˆ 1 10x ‡ 4…6 6x† ˆ 7 10x ‡ 24 24x ˆ 7 34x ˆ 17 2 8 1 > 8 > y ˆz 4
> > y ˆ3 2ˆ1 > > 2 > > > >
2 > > 1 > > > :x ˆ > > 1 2 > :x ˆ 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

31

Nello scrivere l'insieme delle soluzioni prestiamo attenzione all'ordine in cui dobbiamo scrivere la terna   1 , 1, 3 . …x, y, z† : S ˆ 2 8 3 1 > > >x ‡ 2 y 2 z ˆ 0 > > > >

2 3 12 > > > > > > :2x y ˆ 1 3

Liberiamo innanzi tutto ogni equazione dai denominatori:

8 < 2x ‡ 3y z ˆ 0 6x ‡ 72y 4z ˆ 41 : 2x 3y ˆ 3

Nella terza equazione non compare la variabile z; cerchiamo allora di eliminarla da una delle prime due. Moltiplichiamo la prima equazione per 4 e sottraiamo dall'equazione ottenuta la seconda: 8 8 < 2x ‡ 3y z ˆ 0 < 2x ‡ 3y z ˆ 0 4…2x ‡ 3y z† …6x ‡ 72y 4z† ˆ 0 41 2x 60y ˆ 41 ! : : 2x 3y ˆ 3 2x 3y ˆ 3

Applichiamo ancora il principio di riduzione sottraendo membro a membro le ultime due equazioni in modo da eliminare la variabile x: 8 < 2x ‡ 3y z ˆ 0 2x 3y ˆ 3 : 57y ˆ 38 2 Dalla terza equazione ricaviamo che y ˆ e procedendo a ritroso nelle sostituzioni troviamo: 3 8 8 8 2 2 > > > 1 yˆ yˆ > > > > > > xˆ > > > 3 3 > > > > > > 2   > > > < < < 1 1 2 2 2 x ˆ ! Sˆ ! ! 2x 3
ˆ 3 , ,1 yˆ 2 > > > 2 3 3 > > > 3 > > >   > > > > > > > > > 1 : > > : 2x ‡ 3
2 z ˆ 0 > :2 ‡2 z ˆ0 zˆ1 2 3

APPROFONDIMENTI IL METODO DI CRAMER PER I SISTEMI CON TRE INCOGNITE E LE MATRICI DI ORDINE TRE Il metodo di Cramer puoÁ essere usato anche per questo tipo di sistemi e la procedura di calcolo eÁ analoga a quella imparata per i sistemi di due equazioni; vediamo come procedere considerando il sistema

32

8 y ‡x z 3ˆ0 > > > < 3 1 x yˆ > 2 2 > > : 2z y ‡ 3x 5 ˆ 0

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Scriviamolo innanzi tutto in forma normale mettendo prima le x, poi le y, da ultimo le z e trasportando i termini noti al secondo membro: 8

> xˆ > >
> > > > <
y cioeÁ yˆ >
> > > > > > > : z ˆ
z


‰3
… 3†
3 ‡ … 1†
1
1 ‡ 5
2
1Š ˆ

la soluzione del sistema eÁ 8 34 > > xˆ ˆ2 > > 17 > > > > < 17 quindi ˆ1 yˆ > 17 > > > > > > > :z ˆ 0 ˆ 0 17

18 ‡ 18 ˆ 0

S ˆ f…2, 1, 0†g.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 8 < 3x ‡ y 4z ˆ 0 1. x 5y ‡ 2z ˆ 1 : 6x ‡ y ˆ 3

Indica quali fra le seguenti indicazioni ritieni piuÁ utili per procedere alla risoluzione di questo sistema: a. ricavare y dalla terza equazione e sostituire l'espressione trovata nelle prime due b. sommare membro a membro le prime due equazioni c. ricavare x dalla prima equazione e contemporaneamente y dalla terza d. moltiplicare la seconda equazione per 2 e poi sommare membro a membro le prime due.

8 < x 2y ‡ z ˆ 1 2. Risolvi il seguente sistema completando i passaggi indicati: 2x ‡ y z ˆ 4 : x ‡ y ‡ 3z ˆ 5 Ricava l'espressione di x dalla prima equazione e sostituisci: 8 x ˆ :::::::::::::::::::::: 8 x ˆ :::::::::::::::::::::: < < 5y 3z ˆ 6 2…::::::::::::::::::::::† ‡ y z ˆ 4 ! : : 3y ‡ 2z ˆ 4 :::::::::::::::::::::: ‡ y ‡ 3z ˆ 5

Moltiplica la seconda equazione per 2 e la terza per 3 e poi riduci: 8 x ˆ :::::::::: 8 < < x ˆ :::::::::: 19y ˆ 0 ::::::::: ˆ 12 ! : : 3y ‡ 2z ˆ 4 ::::::::: ˆ 12

Dalla seconda equazione ricavi che y ˆ :::::::: quindi il sistema diventa: 8 8 x ˆ ::::::: < x ˆ :::: < y ˆ ::::::: y ˆ :::: da cui la soluzione : : 3y ‡ 2z ˆ 4 z ˆ ::::

34

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

7. PROBLEMI CHE SI RISOLVONO CON I SISTEMI Sappiamo che le equazioni servono, fra le altre cose, a risolvere problemi. Ci sono problemi che si possono risolvere con un'equazione perche abbiamo scelto di lavorare con una sola incognita, ma ci sono anche problemi nei quali eÁ necessario oppure conveniente usare due o piuÁ incognite; ne abbiamo visto un esempio in apertura del capitolo. La scelta di utilizzare una sola incognita o piuÁ di una dipende da diversi fattori: l

l

l

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 331

spesso i dati stessi del problema suggeriscono giaÁ quali elementi devono essere considerati come incognite; il tipo di ragionamento affrontato e il percorso risolutivo del problema possono essere diversi da soggetto a soggetto; qualche volta l'utilizzo di piuÁ incognite puoÁ ridurre la complessitaÁ delle equazioni.

In ogni caso qualunque sia il numero di incognite scelte, cioÁ che eÁ importante comprendere eÁ che il numero di equazioni da costruire deve essere pari al numero di incognite altrimenti il problema non eÁ, in genere, determinato. Queste equazioni, inoltre, essendo la trasposizione in forma matematica del problema, devono essere verificate dagli stessi valori delle variabili ed eÁ quindi lecito scriverle in sistema. Ricordiamo poi che valgono tutte le considerazioni fatte nel primo volume a proposito della risoluzione dei problemi e che quindi eÁ indispensabile: l

individuare con precisione l'obiettivo del problema

l

scrivere in modo completo i dati

l

individuare il campo di variabilitaÁ delle incognite e, una volta trovati i loro valori, stabilirne l'accettabilitaÁ.

Nella risoluzione dei problemi che seguono privilegeremo l'aspetto di formalizzazione rispetto al calcolo. I problema Un tappezziere deve ricoprire una parete rettangolare con della carta da parati che costa E 35 al metro quadrato; il committente, che eÁun tipo un po' bizzarro, gli comunica che un terzo di una dimensione eÁuguale a un mezzo dell'altra e che il perimetro della figura eÁlungo 20m. Qual eÁl'importo della spesa del materiale che il tappezziere deve inserire nel preventivo?

Figura 1

Con riferimento alla figura 1, possiamo scrivere i dati in questo modo: l

1 1 AB ˆ BC 3 2

l

2p …ABCD † ˆ 20m

Per calcolare il costo del materiale dobbiamo conoscere la misura dell'area del rettangolo e quindi dobbiamo determinare come prima cosa le lunghezze dei lati. con x>0ey>0 Poniamo allora: AB ˆ x e BC ˆ y La prima informazione ci dice che:

1 1 xˆ y 3 2

La seconda ci dice che:

2…x ‡ y † ˆ 20

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cioeÁ

x ‡ y ˆ 10 Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

35

Poiche siamo riusciti a scrivere due equazioni, pari al numero di incognite che abbiamo posto, possiamo formalizzare il problema con il sistema 8 < x ‡ y ˆ 10 1 1 : xˆ y 3 2

Risolvendolo troviamo che x ˆ 6 ^ y ˆ 4 e poiche questi valori soddisfano le limitazioni x > 0 e y > 0, possiamo dire che: AB ˆ 6m e BC ˆ 4m L'area della superficie eÁ quindi: area ˆ …6
4†m2 ˆ 24m2 Il costo C del materiale eÁ:

C ˆ 24
35 ˆ 840E

II problema Il Sig. Rossi ha due appezzamenti di terreno che complessivamente hanno una superficie di 45 000m 2 ; il Comune gli fa sapere che deve espropriare il 3,5% della superficie del primo terreno e il 3% della superficie del secondo per il passaggio di cavi elettrici ad alta tensione per un totale di 1515m 2 . Ci chiediamo quali sono le superfici di ciascuno dei due terreni rimaste di proprietaÁ. Riscriviamo i dati in modo organico: superficie complessiva dei due terreni: 45000m2 l parte espropriata del primo terreno: 3,5% l parte espropriata del secondo terreno: 3% l superficie totale espropriata: 1515m2 l

L'obiettivo del problema eÁ determinare le superfici rimaste al Sig. Rossi di ciascuno dei due appezzamenti; poiche non sappiamo qual eÁ la superficie iniziale dei due terreni e i dati sull'esproprio si riferiscono ad esse, conviene indicare con x e y tali superfici. Trattandosi di misure di aree, deve essere x, y 2 R ‡ ; inoltre, avendo introdotto due incognite dovremo trovare due equazioni in queste incognite da scrivere in un sistema. La prima informazione ci permette di scrivere la prima equazione: x ‡ y ˆ 45000

Per trovare la seconda equazione ragioniamo cosõÁ: la parte espropriata del primo terreno eÁ 0,035x, la parte espropriata del secondo eÁ 0,03y ed in totale sono stati espropriati 1515m2 , quindi la seconda equazione eÁ:

3% equivale a 0,03 3,5% equivale a 0,035

0,035x ‡ 0,03y ˆ 1515

che, moltiplicando per 1000 e semplificando poi per 5, possiamo scrivere nella forma 35x ‡ 30y ˆ 1515000

7x ‡ 6y ˆ 303000  x ‡ y ˆ 45000 Il sistema che eÁ modello del problema eÁ dunque il seguente: 7x ‡ 6y ˆ 303000 Risolvendolo (riportiamo solo i passaggi principali) si ottiene:    y ˆ 45000 x y ˆ 45000 x y ˆ 12000 ! ! … † 7x ‡ 6 45000 x ˆ 303000 x ˆ 33000 x ˆ 33000 !

Le superfici iniziali dei due terreni sono quindi 33000m2 e 12000m2 . Rispondiamo adesso alla domanda del problema: l

la parte rimasta del primo terreno eÁ il 100%

l

la parte rimasta del secondo terreno eÁ il 100%

36

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

3,5% ˆ 96,5%, 3% ˆ 97%,

cioeÁ 33000
0,965 ˆ 31845m2

cioeÁ 12000
0,97 ˆ 11640m2 .

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VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Per comprare 5 quaderni e 2 biro si spendono E 14,70; per il doppio dei quaderni e una sola biro si spendono E 24,60. Indicando con x il costo di un quaderno e con y il costo di una biro: a. deve essere:

¬ x, y 2 R

­ x, y 2 R‡

b. il modello del problema eÁ:  2x ‡ 5y ˆ 14,70 ¬ x ‡ 10y ˆ 24,60

® x, y 2 N ­



¯ x, y 2 Z

5x ‡ 2y ˆ 24,60 10x ‡ y ˆ 14,70

®



5x ‡ 2y ˆ 14,70 10x ‡ y ˆ 24,60

2. Un triangolo isoscele ha i lati congruenti che sono il doppio della base ed il perimetro di 30cm. Indicando con x la base e con y ciascun lato obliquo, il modello del problema eÁ il sistema:    x ˆ 2y y ˆ 2x y ˆ 2x c. b. a. x ‡ 2y ˆ 30 x ‡ y ˆ 30 x ‡ 2y ˆ 30

3. La somma di tre numeri eÁ 286; il primo numero supera il secondo di 3, il secondo numero eÁ uguale al doppio del terzo diminuito di 8. Indicando nell'ordine con x, y, z i tre numeri: a. deve essere:

¬ x, y, z 2 R

b. il modello del problema eÁ: 8 < x ‡ y ‡ z ˆ 286 ¬ x ˆy ‡3 : y 8 ˆ 2z

­ x, y, z 2 R‡

® x, y, z 2 N

¯ x, y, z 2 Z

8 < x ‡ y ‡ z ˆ 286 ® x‡3ˆy : y 8 ˆ 2z

8 < x ‡ y ‡ z ˆ 286 ­ x ˆy ‡3 : y ˆ 2z 8

Sul sito www.edatlas.it trovi... l

il laboratorio di informatica

l

gli esercizi dalle Gare di matematica

l

Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta

l

Á di recupero le attivita

Il sistema che risolve il problema eÁ

Ridotto in forma normale diventa

8 1 > < x ‡ y ˆ 80000 2 > : 1 x ‡ y ˆ 80000 3  2x ‡ y ˆ 160000 x ‡ 3y ˆ 240000

La risposta al quesito iniziale

Risolvendolo, per esempio con il metodo di sostituzione, si trova:    y ˆ 160000 2x y ˆ 64000 y ˆ 160000 2x x ‡ 3…160000 2x † ˆ 240000 x ˆ 48000 x ˆ 48000 Dunque Piero ha E 48000 e Antonio ha E 64000. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

37

I concetti e le regole I sistemi Un'equazione in due o piuÁ variabili, se non eÁ impossibile, ammette sempre infinite soluzioni; se di due o piuÁ equazioni in due o piuÁ incognite si vogliono trovare le soluzioni comuni si deve risolvere il sistema delle loro equazioni. Scrivere un sistema di equazioni significa quindi richiedere che tutte le equazioni siano verificate per gli stessi valori delle variabili. Il grado di un sistema eÁ il prodotto dei gradi delle sue equazioni; in particolare un sistema eÁ di primo grado se tutte le sue equazioni sono di primo grado. Un sistema puoÁ essere: l determinato se ha un numero finito di soluzioni l indeterminato se ha infinite soluzioni l impossibile se non ha soluzioni.

I principi di equivalenza Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Come nel caso delle equazioni, per risolvere un sistema, supponiamo di due equazioni in due incognite, si deve pas xˆk sare da una forma ad un'altra ad essa equivalente fino ad arrivare a una del tipo ; in questo caso la soluy ˆh zione del sistema eÁ la coppia ordinata …k, h†. I principi di equivalenza che valgono per un sistema di equazioni sono i seguenti. l

l

Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita la sua espressione ricavata da un'altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (tutte o alcune) e si sostituisce l'equazione ottenuta ad una di esse, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

I sistemi lineari Un sistema eÁ lineare se eÁ di primo grado. Se eÁ composto da due equazioni in due incognite x e y la sua forma normale eÁ la seguente  ax ‡ by ˆ c dx ‡ ey ˆ f I metodi per la risoluzione di un sistema si basano sui principi di equivalenza e sono i seguenti: il metodo di sostituzione, che consiste nel ricavare l'espressione di una variabile da una delle equazioni e sostituire tale espressione nelle altre l il metodo di riduzione, che consiste nel sostituire ad una delle equazioni quella che si ottiene sommando membro a membro l'equazione stessa con un'altra (dopo averle eventualmente moltiplicate per un opportuno fattore non nullo), in modo da eliminare una delle variabili l il metodo del confronto, che consiste nel ricavare l'espressione della stessa variabile da due equazioni e nel confrontare le espressioni ottenute. l

Le matrici e i determinanti  Una tabella di numeri della forma

a c

b d



si chiama matrice e poiche ha due righe e due colonne si dice che eÁ una

matrice quadrata di ordine due. Ad ogni matrice di questo tipo si puoÁ associare un numero, chiamato determinante, che si calcola in questo modo: a b ˆ ad bc c d

38

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Il metodo di Cramer Per risolvere un sistema lineare, oltre ai precedenti metodi, si puoÁ usare uno schema di risoluzione che prende il nome di metodo di Cramer. Relativamente ai sistemi lineari di due equazioni in due incognite scritti in forma normale, si devono calcolare i seguenti determinanti: a c c b a b ˆ af cd ˆ ce bf
y ˆ ˆ ae bd
x ˆ
ˆ d f f e d e

e si verifica che:

l

l

l

se
6ˆ 0 il sistema eÁ determinato con soluzione

se
ˆ 0 e
x ˆ
y ˆ 0

8
x > > >

> > : y ˆ
x


il sistema eÁ indeterminato

se
ˆ 0 e
x 6ˆ 0 oppure


y 6ˆ 0 il sistema eÁ impossibile.

Alle stesse conclusioni si puoÁ giungere anche analizzando i rapporti tra i coefficienti delle due equazioni; si verifica infatti che: a b l il sistema e Á determinato se 6ˆ e d l

il sistema eÁ indeterminato se

a b c ˆ ˆ e d f

l

il sistema eÁ impossibile se

a b c ˆ 6ˆ e d f

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Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

39

CAPITOLO

I radicali

Obiettivi l

comprendere le caratteristiche della funzione potenza e della funzione radice

l

operare con i radicali quadratici e cubici

l

operare con radicali di altri indici

l

eseguire operazioni di razionalizzazione

l

definire una potenza con esponente razionale

MATEMATICA E REALTAÁ Nelle produzioni industriali del settore meccanico, e non solo in quello, uno dei problemi piuÁ importanti eÁ quello delle tolleranze. Non eÁ infatti possibile produrre un oggetto meccanico con l'esatta dimensione voluta perche nel ciclo di produzione ci sono errori che si possono imputare a diversi fattori: le inevitabili imprecisioni delle macchine di produzione dovute per esempio all'usura degli utensili, le imprecisioni degli strumenti di misurazione che, proprio perche anch'essi "costruiti", sono affetti da errore, le attrezzature di montaggio che possono creare imprecisioni nella posizionatura dei pezzi, gli errori di tipo geometrico dovuti per esempio alle rugositaÁ delle superfici o alle deviazioni delle superfici reali da quelle nominali (per esempio, siamo sicuri che la superficie del tavolo su cui siamo appoggiati sia davvero un piano, o che la sferetta che permette alla tua biro di scrivere sia davvero una sfera?). La forma e le dimensioni di un oggetto disegnato (dimensioni nominali) rappresentano solo delle condizioni ideali che nessun processo di costruzione potraÁ mai rispettare. Per questo motivo nei disegni che rappresentano il progetto di un pezzo eÁ necessario indicare quali sono i limiti massimi di variabilitaÁ consentiti, le cosiddette tolleranze. Nei due disegni della figura 1 sono rappresentati rispettivamente: l

l

40

Figura 1

a.

un foro di diametro 28cm praticato in un oggetto pieno dove viene indicato che la dimensione massima consentita eÁ …28 ‡ 0,05†cm e quella minima eÁ …28 0,02†cm

una cavitaÁ angolare di ampiezza 118 la cui dimensione massima consentita eÁ 118 ‡ 15 0 e quella minima eÁ 118 15 0 . Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

b. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Molti pezzi meccanici sono poi costruiti in modo da potersi accoppiare: per esempio un pistone nel suo cilindro, un dado con un bullone. Per ottenere un accoppiamento corretto eÁ necessario che vengano fissati gli scostamenti dalla dimensione nominale affinche il gioco che naturalmente si viene a creare rispetti le tolleranze fissate. Un gioco troppo grande fra la punta di un trapano e il suo alloggiamento sicuramente creerebbe problemi nella foratura, un gioco troppo stretto in un pistone provocherebbe un surriscaldamento o addirittura un blocco del meccanismo. I parametri di tolleranza sono fissati dalle norme ISO (International Organization for Standardization) e il loro rispetto daÁ una serie di vantaggi che riguardano la facilitaÁ di montaggio dei pezzi, la loro intercambiabilitaÁ, la funzionalitaÁ e la durata. Nel valutare le dimensioni di un oggetto reale si ha spesso a che fare con la geometria, perche di un progetto fanno parte anche dei disegni e i disegni coinvolgono figure geometriche e calcoli riguardanti segmenti, angoli, superfici. I calcoli, come giaÁ sappiamo, amplificano gli errori e il rischio che si corre eÁ quello di compiere degli errori di valutazione che possono compromettere la valutazione di una tolleranza. Per esempio, quanto vale la superficie della figura 2, nella quale i due poligoni sono due quadrati che si intersecano? A seconda di come viene eseguito il calcolo si possono trovare valori leggermente diversi; il problema eÁ: queste diversitaÁ rientrano nelle tolleranze fissate? La risposta si trova al termine del capitolo.

1. POTENZE E RADICI

Figura 2

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 343

1.1 Dal numero alla potenza e viceversa In matematica tutte le volte che si esegue un'operazione ci si chiede sempre se si puoÁ tornare indietro, cioeÁ se un'operazione eÁ invertibile nell'insieme in cui eÁ definita: Domanda: Risposta: Domanda: Risposta: Domanda: Risposta:

se 5 ‡ 3 ˆ 8 come posso tornare a 5 avendo 3 e 8? eseguo la sottrazione 5 ˆ 8 3.

se 6
9 ˆ 54 come posso tornare a 6 avendo 54 e 9? eseguo la divisione 54 : 9 ˆ 6.

se 32 ˆ 9, come posso tornare a 3 avendo 9 e 2? calcolo la radice quadrata di 9.

Riguardo a quest'ultimo esempio, peroÁ, potrebbero nascere dei dubbi: anche 2 … 3† ˆ 9, ma se con una calcolatrice cerchi la radice quadrata di 9 ti viene restituito 3 e non 3. Il problema si puoÁ risolvere in modo molto semplice: basta considerare solo i numeri positivi e tutto va a posto. Se peroÁ con la calcolatrice cerchi la radice cubica di 8 il risultato che ti viene 3 restituito eÁ 2, ed eÁ corretto perche … 2† ˆ 8. Sembrerebbe che la calcolatrice si serva dei numeri positivi e di quelli negativi a seconda della convenienza, ma evidentemente non puoÁ essere cosõÁ, una macchina obbedisce a delle regole e non puoÁ scegliere che cosa fare. Occorre dunque mettere ordine e costruire dei criteri di comportamento che ci indichino che cosa fare in ogni situazione. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

41

1.2 I radicali in R ‡0 ‡ 0

Sia R l'insieme dei numeri reali positivi o nulli; fissato un numero n intero positivo:

Un numero reale eÁ un numero che si puoÁ esprimere: l

di ogni numero reale b si puoÁ calcolare la potenza n-esima b n ˆ a :  3 2 8 2 4 2 ˆ 16 3 ˆ9 ˆ 3 27

l

viceversa, ogni numero b puoÁ essere visto come quel valore che, elevato a potenza n daÁ come risultato a:

l

l

3 eÁ il numero che, elevato al quadrato, daÁ 9

in forma di frazione o nella corrispondente forma decimale finita oppure periodica e in tal caso il numero eÁ razionale in forma decimale illimitata non periodica e in tal caso il numero eÁ irrazionale.

2 eÁ il numero che, elevato alla quarta, daÁ 16 2 8 eÁ il numero che, elevato al cubo, daÁ . 3 27 In R0‡ esiste quindi corrispondenza biunivoca fra i numeri reali a, le potenze, e i numeri reali b, le basi delle potenze; questo significa che: la corrispondenza che ad ogni numero reale non negativo b associa la sua potenza n-esima a ˆ b n eÁ una funzione (figura 3a);

l

Se f eÁ una corrispondenza biunivoca, anche f 1 eÁ una funzione.

la corrispondenza inversa che ad ogni numero reale non negativo a associa il numero b che eÁ la base della potenza eÁ ancora una funzione (figura 3b).

l

Figura 3

a.

b.

La prima relazione eÁ la funzione potenza che giaÁ conosciamo, la seconda eÁ una nuova funzione che si chiama funzione radice n-esima assoluta. Diamo la seguente definizione. Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo n, esiste uno ed un solo numero reale non negativo b tale che b n ˆ a. Il numero b si dice radice n-esima assoluta di a ed in simboli si scrive p bˆ na

p Il simbolo n a prende il nome di radicale; inoltre, poiche a1 ˆ a qualunque sia a, ha senso parlare di radicali solo se n  2. Le varie parti di un radicale si indicano in questo modo: l

l

l

l

In R0‡ : pn  a ˆ b equivale a b n ˆ a

ed eÁ: l l

a  0, b  0

n intero positivo

il numero a eÁ l'argomento del radicale o radicando il numero n eÁ l'indice del radicale p il numero n a eÁ la radice n-esima di a

se il numero a si puoÁ esprimere come potenza, cioeÁ il radicale si puoÁ espri-

42

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

mere nella forma radicando.

p  n p m , il numero p m eÁ il radicando e m si dice esponente del

Alcuni casi particolari.

p
n n In base alla definizione si ha che n a ˆ a. p Infatti, n a eÁ proprio quel numero la cui potenza n-esima eÁ uguale ad a. Inoln p tre anche n a ˆa

percheÂ, sempre in base alla definizione, se eleviamo a alla potenza n-esima troviamo proprio an . p n Un radicale di indice 2 eÁ un radicale quadratico; il numero 2 a eÁ la radice quadrata di a e normalmente l'indice 2 viene sottointeso scrivendo piuÁ semp plicemente a. p n Un radicale di indice 3 eÁ un radicale cubico ed il numero 3 a si legge radice cubica di a.

p 7 eÁ un radicale quadratico p3  5 eÁ un radicale cubico

Non esistono invece nomi particolari per radicali con un indice maggiore di 3.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. La funzione potenza y ˆ x n , con n intero positivo, eÁ invertibile per qualsiasi valore di n se x eÁ: a. un numero reale

b. un numero intero

c. un numero reale positivo

d. un numero reale positivo o nullo

p

b. a3 ˆ 24

p

b. a ˆ

2. La scrittura 4 a3 ˆ 2 equivale a: a. a3 ˆ 2

c. a4 ˆ 23

3. La scrittura a ˆ 3, con a  0, equivale a: a. a ˆ 9

9

c. nessuna delle precedenti perche eÁ impossibile

2. LA PROPRIETAÁ INVARIANTIVA

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 345

E LA SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALE

2.1 La proprietaÁ invariantiva Le regole che permettono di operare con i radicali si basano sulla seguente proprietaÁ fondamentale. ProprietaÁ invariantiva. Il radicale che si ottiene moltiplicando l'indice della radice e l'esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo ha lo stesso valore del radicale dato; in simboli:  p p n am ˆ n
p am
p con p 2 Z ‡

Dimostrazione.

Consideriamo separatamente i due membri della relazione scritta ed eleviamoli a potenza n
p. Otteniamo: Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

43

p 
n
p h p 
n ip p n n m a ˆ ‰a m Š ˆ a m
p ˆ am p
n
p n
p a m
p ˆ a m
p

l

l

Poiche i risultati ottenuti sono uguali, per la proprietaÁ transitiva dell'uguaglianp p p
n
p p
n
p § za, n a m ˆ n
p a m
p e quindi n a m ˆ n
p a m
p . Per esempio: p  p p  3 3
2 6 l 72 ˆ 7 2
2 ˆ 7 4 p  p p  4 12 l 5 2
3 3 ˆ 4
3 …5 2
3 3 † 3 ˆ 5 6
3 9

l

l

p p  p 2
2 4 6ˆ 6 1
2 ˆ 6 2 p  p p  3 15 3 4
2 5 ˆ 3
5 …3 4
2 5 † 5 ˆ 3 20
2 25

2.2 La semplificazione La prima cosa che la proprietaÁ invariantiva ci permette di fare eÁ semplificare un radicale; basta infatti leggere questa proprietaÁ da destra verso sinistra, cioeÁ p p n
p am
p ˆ n am , per affermare che: se in un radicale l'indice della radice e l'esponente del radicando hanno un fattore comune, il radicale che si ottiene dividendoli per tale fattore ha lo stesso valore di quello dato.

Per esempio:  p  p 6 l 81 ˆ 6 34

l

l'indice 6 e l'esponente 4 hanno 2 come fattore comune: possiamo dividerli  p p  p 3 6 entrambi per 2 e dire che 34 ˆ 32 ˆ 3 9  p  q 4 2 4 6 2 … 23
3† 2
3 ˆ l'indice 4 e l'esponente 2 sono divisibili per 2, quindi: q p p 4 2 …23
3† ˆ 23
3 ˆ 24

Quando l'indice della radice e l'esponente del radicando non hanno fattori comuni, si dice che il radicale eÁ irriducibile; sono per esempio irriducibili i seguenti radicali:  p p  p p  8 6 4 15 25 33 6

RADICALI IRRIDUCIBILI

e quelli ottenuti dopo la semplificazione nei due esempi precedenti. Osserviamo poi che eÁ di solito conveniente dividere l'indice della radice e l'esponente del radicando per il piuÁ grande fattore comune, cioeÁ per il loro M:C:D:, e che, in questo caso, il radicale che si ottiene eÁ sempre irriducibile.

ESEMPI Semplifichiamo i seguenti radicali.

1. 2. 44

p  p  6 3 4
2 6 ˆ 6 …3 2
2 3 † 2

p  p 10 6 5
7 15 ˆ 10 …6
7 3 † 5

dividendo per 2 otteniamo dividendo per 5 otteniamo

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

p  3 32
23 p 6
73

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3.

4.

p  10 26
34
78

Spesso, per abbreviare il calcolo e quando nel radicando non compaiono operazioni di addizione e sottrazione, si effettua subito la divisione di ogni esponente dei fattori del radicando e dell'indice della radice per il loro M.C.D.; nel nostro caso, poiche M:C:D: …10, 6, 4, 8† ˆ 2, dividiamo per 2 ogni esponente ottenendo subito il radicale semplificato: p  5 23
32
74 p  8 2 8
3 12

Se dividiamo indice della radice ed esponenti del radicando per 4 otteniamo

n EÁ sbagliato scrivere EÁ corretto scrivere

2  p  p p p 4 52 ‡ 6 2 ˆ 4 52 ‡ 6 2 ˆ 5 ‡ 6 ˆ 11  p  p  p 4 4 52 ‡ 62 ˆ 4 25 ‡ 36 ˆ 61

p 22
33

Attenzione agli errori

In altre parole non si possono semplificare l'indice della radice e gli esponenti del radicando se questi si riferiscono ai termini di un'addizione o di una sottrazione. 2  p p  p 6 6 n EÁ sbagliato scrivere 2
33
59 ˆ 2
33
593 ˆ 2
3
53 Gli esponenti dei fattori del radicando devono tutti essere multipli del divisore comune. Questo radicale eÁ irriducibile.

2.3 La semplificazione e il valore assoluto Nel dare la definizione di radicale abbiamo specificato che il radicando deve essere positivo o nullo; se il radicando eÁ un numero, eÁ immediato controllarne la non negativitaÁ, ma se eÁ letterale occorre porre alcune condizioni. Per esempio: p l x 1 ha significato solo se x 1  0, cioeÁ per x  1 l

l

p  6 5 4x q 4 2 …2x ‡ 1†

ha significato solo se 5

4x  0, cioeÁ per x 

p In R0‡ il radicale n A…x† esiste solo se A…x†  0

5 4

ha significato 8x 2 R perche il radicando, essendo un quadrato, eÁ sempre positivo o nullo.

Quando si semplifica un radicale che ha un radicando letterale si corre il rischio di non ottenerne uno che eÁ definito per gli stessi valori delle variabili; non eÁ detto cioeÁ che un radicale e quello che si ottiene dalla sua semplificazione abbiano lo stesso dominio. Se riprendiamo l'ultimo degli esempi precedenti e scriviamo q p 4 2 …2x ‡ 1† ˆ 2x ‡ 1

Ricordiamo il significato del simbolo 8: 8x 2 R significa "per tutti i numeri x che sono reali".

ci accorgiamo subito che il radicale al primo membro di questa uguaglianza ha come insieme di esistenza l'insieme R, mentre quello al secondo membro esi1 . ste solo se eÁ x  2 Affinche l'uguaglianza sussista dobbiamo fare in modo che anche il radicando al secondo membro abbia lo stesso dominio di quello del primo, cioeÁ sia sempre positivo o nullo al variare di x in R. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

45

L'operatore che rende positiva un'espressione qualunque sia il suo valore eÁ il valore assoluto, quindi se dell'espressione 2x ‡ 1 che abbiamo ottenuto dopo la semplificazione consideriamo il valore assoluto, il dominio del radicale dato e di quello semplificato diventano uguali. Possiamo allora scrivere che: q p 4 2 …2x ‡ 1† ˆ j2x ‡ 1j 8x 2 R

Ragionamenti analoghi si devono fare tutte le volte che si eseguono delle operazioni sui radicali; la domanda che ci si deve porre per evitare di commettere errori eÁ sempre la stessa e la mettiamo bene in evidenza: l'espressione che si ottiene ha lo stesso insieme di esistenza di quella iniziale? Quando la risposta eÁ negativa, occorre valutare di quali fattori o termini dell'espressione ottenuta si deve considerare il modulo affinche il dominio di questa espressione coincida con quello dell'espressione data. Vediamo altri esempi.

Il valore assoluto di un numero a si definisce in questo modo: a se a  0 ja j ˆ a se a < 0 q 8 4 … 5† semplificando per 4 p l non e Á uguale a 5 p l ma e Á puguale a j 5j cioeÁ 5

ESEMPI Semplifichiamo i seguenti radicali. q 6 1. …4 x †3

Affinche questo radicale abbia significato deve essere 4 x  0, cioeÁ x  4; semplificando otteniamo q p 26 3 …4 x† ˆ 4 x

e anche l'insieme di esistenza di questo radicale eÁ x  4; non occorre dunque porre ulteriori condizioni e q p si puoÁ scrivere che 6 3 …4 x † ˆ 4 x p 2. 4 a2 b8 Il radicale ha significato per qualsiasi valore reale di a e di b perche eÁ il prodotto di due numeri che, essendo elevati a potenza pari, sono positivi o nulli. Semplificando otteniamo: p p p  4 a2 b 8 ˆ 2 4 a 2 b 84 ˆ ab 4 Chiediamoci adesso se anche questo radicale eÁ definito 8a, b 2 R : l

b4 eÁ sempre positivo o nullo perche eÁ una potenza con esponente pari

l

il fattore a invece puoÁ assumere qualsiasi valore reale, anche negativo.

Di conseguenza, affinche il dominio rimanga invariato, dopo la semplificazione dobbiamo considerare il modulo del fattore a e scriviamo quindi che:  p p 4 a2 b8 ˆ jajb 4 p p 3. 4 9a2 x 2 y 4 ˆ 4 32 a2 x 2 y 4 p2 p 24 Anche in questo caso il radicale eÁ definito 8a, x, y 2 R; semplifichiamo: 3 2 a 2 x 2 y 4 ˆ 3axy 2 Il ragionamento eÁ analogo a quello del caso precedente: l

a e x possono assumere qualsiasi valore reale ed il loro prodotto potrebbe anche essere negativo

l

y 2 non eÁ mai negativo nel dominio del radicale dato.

Allora dobbiamo considerare il modulo del prodotto ax e scrivere che:

46

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

p  p 4 9a2 x 2 y 4 ˆ 3jax jy 2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Attenzione: non eÁ necessario considerare il modulo di a e il modulo di x separatamente, perche quello che ci interessa eÁ che il loro prodotto sia positivo o nullo: a e x potrebbero anche essere entrambi negativi perche comunque il loro prodotto sarebbe positivo. Dagli esempi visti possiamo trarre la seguente regola pratica che ci aiuta a stabilire quali sono i fattori di cui dobbiamo considerare il modulo:

QUANDO METTERE IL MODULO A UN RADICALE

n in generale, si deve considerare il modulo di quei fattori che, elevati a potenza pari prima della semplificazione (il che garantisce sempre la non negativitaÁ) diventano elevati a potenza dispari dopo la semplificazione (che non garantisce la non negativitaÁ). p p  p 4 x 2 ˆ jxj Per esempio: x 2 ˆ jxj

n Non va mai messo il valore assoluto ai radicandi che, prima della semplificazione, hanno potenza dispari perche la condizione di esistenza impone giaÁ che essi siano positivi. p p   p 6 3 x3 ˆ x Per esempio: x3 ˆ x

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Indica quali dei seguenti radicali sono stati semplificati in modo corretto: a.

p  p 6 63
23 ˆ 12

b.

2. Il radicale a. b.

 p p 10 25
5 ˆ 2
1

 p 4 9a2 b4 , se a  0, si semplifica in: p  12 4a6 si semplifica in:

3. Il radicale a. x 

r x‡1 x

¬ ¬

c.

 p p 4 4
625 ˆ 2
25

p 9ab2

­

p  6 2a3

­

p 3ab2 p 4a

d.

® ®

p 9 ‡ 36 ˆ 3 ‡ 6 ˆ 9

p 3jajb2 p  6 2ja3 j

¯ ¯

p 9jajb2

p 4jaj

eÁ definito per i valori di x tali che:

1 _ x>0

b. x
0

c. x 

1 _ x0

3. I RADICALI QUADRATICI

d. x 6ˆ 0

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 350

E LE OPERAZIONI FONDAMENTALI

3.1 La moltiplicazione, la divisione e la potenza I radicali quadratici sono quelli che si incontrano con maggiore frequenza nelle applicazioni; come abbiamo evidenziato, un radicale quadratico ha sempre la forma p a

dove a eÁ un numero reale non negativo che puoÁ anche essere rappresentato da un'espressione algebrica. In quest'ultimo caso ricordiamo che, per l'esistenza del radicale, si deve richiedere che l'espressione sia positiva o nulla. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Un radicale quadratico si puoÁ calcolare solo di un numero positivo o nullo.

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

47

Per esempio: p l x 1 eÁ definito solo se x  1 p l ab eÁ definito solo se ab  0, cioeÁ se a e b sono numeri concordi oppure nulli. Il prodotto o il quoziente tra due radicali si puoÁ eseguire solo se i radicali hanno lo stesso indice; vale infatti il seguente teorema.

IL PRODOTTO E IL QUOZIENTE

Teorema. Il prodotto o il quoziente di due radicali quadratici eÁ un radicale quadratico che ha come radicando rispettivamente il prodotto e il quoziente dei radicandi: p r p p p a a p ˆ con a  0, b > 0 a
b ˆ ab con a, b  0 b b

Per esempio: p p p p l 7
8 ˆ 7
8 ˆ 56 p p p p l 3
12 ˆ 3
12 ˆ 36 ˆ 6 p r r 2 2 1 l p ˆ ˆ 6 3 6 r r r r r r 3 1 3 3 1 3 3 1 8 1 l
ˆ
: ˆ

ˆ : 4 6 8 4 6 8 4 6 3 3 p p p p l x
x ‡ 2 ˆ x …x ‡ 2† ˆ x 2 ‡ 2x se x  0

Sappiamo che la scrittura ak , con k numero naturale, indica il prodotto di k fattori tutti uguali ad a; se il numero a eÁ un radicale la definizione non cambia: p p
k p p a ˆ a
a
:::::
a |‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}

LA POTENZA

k volte

Eseguendo il prodotto otteniamo che: p
k p pk a ˆ |‚‚‚‚‚‚‚ a
a‚
{z‚‚‚‚‚‚‚ ::::
‚a} ˆ a k volte

Tutto cioÁ puoÁ essere riassunto nella seguente regola.

Per elevare a potenza n-esima un radicale quadratico, si eleva a quella potenza il radicando: p
k pk a ˆ a

Per esempio: p
4 p l 3 ˆ 34 ˆ 32 ˆ 9 p p
3 p l 2 ˆ 23 ˆ 8

ESEMPI 1. Eseguiamo le operazioni indicate. a.

48

p p p p p 3
6
8 ˆ 3
6
8 ˆ 144 ˆ 12 Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

r r r r 2 p 18 2 5 10
14
ˆ b.
14 : ˆ 7 5 7 18 9 r  r   r  r 2x 4y y 4y 2y 3 p

ˆ xy
ˆ c. xy : x y x 2x x

2. Eseguiamo le seguenti potenze:

r!3 s  3 r 3 3 27 ˆ ˆ a. 2 2 8 q  
p 4 2 4 b. ax 2 ˆ …ax 2 † ˆ …ax 2 † ˆ a2 x 4

Da questo secondo esempio possiamo dedurre che, quando l'esponente della potenza eÁ multiplo di 2, cioeÁ dell'indice della radice, si puoÁ omettere il passaggio intermedio ed eseguire subito la semplificazione del radicale: p
4 2 2 ax 2 ˆ …ax 2 †

3. Come caso particolare dell'elevamento a potenza osserva i seguenti esempi in cui si sono applicate anche le regole dei prodotti notevoli. p
2 p p p p
2 3 ‡2
2
3 ˆ 4 ‡ 3 ‡ 4 3 ˆ 7 ‡ 4 3 a. 2 ‡ 3 ˆ 4 ‡ p
2 p
2 p p p b. 1 5 ˆ1‡ 5 2
5ˆ1‡5 2 5ˆ6 2 5 p
p
p
2 3 ˆ 72 c. 7 ‡ 3 7 3 ˆ 49 3 ˆ 46
p
p p
2 2 …1† ˆ 32 1 ˆ 31 d. 4 2 ‡ 1 4 2 1 ˆ 4 2

VERIFICA DI COMPRENSIONE p p 20
15 1. Semplificando l'espressione p si ottiene: 60 p p a. 5 b. 5 c. 15 p

p 1 x y

d.

p 10


y e sapendo che eÁ x > 0 ^ y > 0 si ottiene: 2. Semplificando l'espressione xy
p 2 r y a. x

3. L'espressione a.

25

p
2 5

p b. xy

p
4 5 eÁ uguale a:

b. 25

r x c. y

s 1 d. xy

c. 20

d.

20

3.2 Il trasporto dentro e fuori il simbolo di radice Applicando la regola del prodotto e del quoziente eÁ anche possibile eseguire il prodotto di un numero reale (non espresso in forma radicale) per un radicale. Consideriamo per esempio l'espressione p 3
2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

IL TRASPORTO DENTRO IL SIMBOLO DI RADICE

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

49

p Se interpretiamo il fattore 3 come 32 , possiamo eseguire il prodotto indicato con la stessa regola: p p p p p 3
2 ˆ 32
2 ˆ 32
2 ˆ 18

Sostanzialmente abbiamo trasportato il fattore 3, esterno al radicale, al suo interno, semplicemente elevandolo a una potenza uguale all'indice della radice, nel nostro caso 2.

p p 3
2 ˆ 32
2

Analogamente: p p p l 5 3 ˆ 52
3 ˆ 75 s  2  r r p  3 3 9 9 l
2ˆ
2 ˆ 2ˆ 2 2 4 2 Se a eÁ un numero positivo, vale la seguente regola generale: p p a
b ˆ a2
b

p Consideriamo adesso il prodotto: 2
5 Per trasportare il fattore esterno sotto il simbolo di radice, dobbiamo lasciare il segno meno fuori dal radicale al fine di mantenere il segno negativo complessivo del numero: p p p 20 2
5ˆ 22
5 ˆ Sarebbe un errore grave trasportare il fattore esterno negativo sotto la radice perche si arriverebbe a scrivere un'uguaglianza assurda: q p p 2 … 2†
5 ˆ ˆ 20 2
5 |‚‚‚‚{z‚‚‚‚} |‚{z‚} numero negativo

numero positivo

In sostanza:

sotto al simbolo di radice si trasporta sempre e solo il valore assoluto del fattore esterno e si lascia il segno fuori dalla radice. Per i fattori numerici la regola risulta di semplice applicazione; quando il fattore esterno eÁ letterale, si deve invece prestare maggiore attenzione perche il segno non eÁ costante ma dipende dai valori assunti dalle lettere. Per esempio: p l …x ‡ 1 † x

l

Il radicale eÁ definito per x  0 e, per tali valori di x, il fattore esterno eÁ sempre positivo (un numero positivo o nullo al quale si aggiunge 1 eÁ sempre positivo); possiamo quindi scrivere: q p 2 … x ‡ 1† x ˆ x … x ‡ 1 † p x 2 In questo caso non eÁ noto il segno del fattore esterno; dobbiamo quindi distinguere due casi: p - se x  0 il radicale diventa: 2x 2 - se x < 0 eÁ necessario lasciare il segno negativo all'esterno; poiche vale l'uq p 2 guaglianza x ˆ … x †, possiamo scrivere: 2
… x† ˆ 2x 2

50

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

Se un numero x eÁ negativo, il numero x eÁ positivo, perche il segno meno davanti a x fa considerare il suo opposto. Scrivere x non vuol dire quindi che si sta trattando necessariamente con un numero negativo. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Riassumendo: per trasportare un fattore esterno a sotto il simbolo di radice quadrata ci si comporta cosõÁ: n se a  0 si eleva a al quadrato e si lascia un segno positivo all'esterno n se a < 0 si trasforma a in gno negativo all'esterno.

… a†, si eleva

a al quadrato e si lascia il se-

Se leggiamo la regola del prodotto e del quoziente da destra verso sinistra troviamo che, nel caso in cui a e b siano entrambi positivi: r p p p p a a ˆ p ab ˆ a
b b b a Ma il prodotto ab e il quoziente sono positivi anche quando sia a che b sono b p p negativi e in tale situazione le due espressioni a e b non hanno significato. Dobbiamo quindi modificare le precedenti relazioni considerando i valori assoluti dei due fattori a e b per garantire l'esistenza della seconda parte di entrambe le relazioni: r p p p p jaj a j j ˆ p ab ˆ jaj
b b jb j

Questa operazione consente, in determinate condizioni, di trasportare un fattore fuori dal simbolo di radice eseguendo, sostanzialmente, l'operazione inversa del trasporto sotto la radice. p Per esempio, consideriamo il radicale 12 e riscriviamolo scomponendo il radicando in fattori primi: p p 12 ˆ 22
3

Eseguiamo in senso inverso il procedimento precedente: p p p p 2 2
3 ˆ 22
3 ˆ 2
3

Analogamente: p p p p p l 50 ˆ 52
2 ˆ 52
2 ˆ 5 2 p p p p p p l 27 ˆ 33 ˆ 32
3 ˆ 32
3 ˆ 3 3 r r3 r p p 8 2 22
2 2 p 22
2 l p   ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 32 9 32 3 32

E' evidente che un fattore puoÁ essere portato fuori dal simbolo di radice se il suo esponente eÁ maggiore oppure uguale all'indice della radice, cioeÁ, nel caso di radicali quadratici, se eÁ maggiore oppure uguale a 2. Per esempio, dal radip cale 30 non eÁ possibile trasportare nulla fuori dal simbolo di radice perche p p 30 ˆ 2
3
5 e nessuno degli esponenti eÁ maggiore o uguale a 2. I passaggi per eseguire il trasporto di un fattore fuori dal simbolo di radice possono essere fatti in modo piuÁ veloce. p Consideriamo il radicale 23
34
5; se eseguiamo i passaggi degli esempi precedenti scriviamo p p p p p p p p 2 3
34
5 ˆ 2 2
2
3 2
3 2
5 ˆ 2
3
3
2
5 p p quindi, in definitiva 2 3
34
5 ˆ 2
3 2
2
5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

IL TRASPORTO FUORI DAL SIMBOLO DI RADICE

p p 22
3 ˆ 2
3

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

51

Osserviamo che se dividiamo l'esponente di ciascun fattore che eÁ trasportabile fuori dalla radice per l'indice della radice, che eÁ 2, il quoziente intero eÁ l'esponente del corrispondente fattore esterno, il resto della divisione eÁ l'esponente del fattore interno: 23

esponente 3

3 : 2 ˆ 1 con resto 1

34

esponente 4

4 : 2 ˆ 2 con resto 0

fattore esterno 21 fattore interno 21 fattore esterno 32 fattore interno 30

In pratica poi, poiche 30 ˆ 1, il fattore 3 non compare all'interno della radice. Se consideriamo che i fattori con esponente 0 sono uguali a 1 e percioÁ si possono omettere nella scrittura del prodotto, da questa regola otteniamo subito il risultato finale. Riassumendo: se indichiamo con: m l'esponente del radicando

l

q il quoziente intero della divisione di m per l'indice della radice (nel caso di radicali quadratici m : 2)

l

r il resto di tale divisione

l

allora, per ogni a  0, vale la relazione

p p am ˆ aq ar

Nell'operare un trasporto fuori dal simbolo di radice occorre poi prestare attenzione ai fattori letterali al fine di garantire sia l'esistenza dei radicali sia l'uguaglianza dal punto di vista del segno. Per esempio: p p p l x 3 ˆ x x perche la condizione di esistenza del radicale x 3 impone che sia x  0 p p l 8ax 2 ˆ 2jx j 2a perche del fattore x non eÁ noto il segno.

Osserva con attenzione gli esempi che seguono.

ESEMPI 1. Trasportiamo sotto il simbolo di radice i seguenti fattori esterni. p p p 3a ˆ 22
3a ˆ 12a p p p b. 2 2 ˆ 22
2 ˆ 8 s   r r  2 3 8 3 8 9 8 c.
ˆ ˆ
ˆ 4 3 4 3 16 3 r 1 d. a
3a2 b a. 2


r 3 2

Per l'esistenza del radicale deve essere a 6ˆ 0 e b > 0.

Non conosciamo quindi il segno di a e dobbiamo distinguere due casi: s r r 2 a2 1 … a† l se a > 0: l se a < 0: ˆ ˆ 3a2 b 3a2 b 3b

52

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

r 1 3b

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

2. Trasportiamo fuori dal simbolo di radice tutti i possibili fattori. a.

p 24
35
7

Il fattore 7 non si puoÁ portare fuori dal simbolo di radice perche il suo esponente 1 eÁ minore dell'indice 2 della radice; agli altri fattori invece si puoÁ applicare la regola precedente: 24

fattore esterno 22

fattore interno 20 cioeÁ 1

esponente 5 5 : 2 ˆ 2 con resto 1 fattore esterno 32 p p  p   In definitiva: 24
35
7 ˆ 22
32
1
3
7 ˆ 36 21

fattore interno 31 cioeÁ 3

esponente 4

35

4 : 2 ˆ 2 con resto 0

r 18 3 4 b. x y 25

Per quanto riguarda il dominio del radicale: l

l

la lettera x, che eÁ elevata a potenza dispari, puoÁ assumere solo valori positivi o nulli; deve quindi essere x  0;

la lettera y, che eÁ elevata a potenza pari, puoÁ assumere qualsiasi valore reale, sia positivo che negativo o nullo.

Scomponiamo i coefficienti numerici e trasportiamo i possibili fattori fuori dalla radice: r 2
32 3 4 3 2 p x y ˆ xy 2x 52 5

In base alla condizione posta, il fattore x eÁ un numero positivo o nullo, il fattore y 2 , essendo una potenza di esponente pari, eÁ anch'esso positivo o nullo, quindi l'espressione ottenuta eÁ un numero complessivamente positivo o nullo. Sussiste quindi l'uguaglianza r 18 3 4 3 2 p x y ˆ xy 2x 25 5 r 8a2 c. b5 La sola condizione da porre per l'esistenza del radicale eÁ che sia b > 0: r r 8a2 2a 2 Trasportiamo i possibili fattori fuori dal simbolo di radice: ˆ 2 b5 b b Osserviamo che del fattore a non conosciamo il segno, mentre possiamo dire che deve essere b > 0. Affinche sussista l'uguaglianza dobbiamo quindi considerare il modulo di a: r r 8a2 2j a j 2 ˆ b5 b2 b Si possono portare dentro e fuori dal simbolo di radice solo i fattori e non gli addendi. EÁ sbagliato scrivere: p p l 3 ‡ 5ˆ 9‡5 p l x2 ‡ 9 ˆ x ‡ 3

Attenzione agli errori

In tutti questi casi non si puoÁ eseguire alcuna operazione sulle espressioni date.

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Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

53

VERIFICA DI COMPRENSIONE p

1. Dato il radicale 5 2, trasportando il fattore esterno sotto il simbolo di radice, si ottiene: a.

p 10

p

b.

p 50

c.

p 27

d. nessuno dei precedenti

2. Dato il radicale 72, trasportando fuori dal simbolo di radice tutti i possibili fattori, si ottiene: p b. 2 18

p c. 36 2

p a. 3 2a2 x

p b. 3a 2x

p c. 3jaj 2x

a. 3 ‡ a

b. j3 ‡ aj

c.

p a. 3 2

p d. 6 2

p

3. Trasportando fuori dalla radice tutti i possibili fattori, il radicale 18a2 x eÁ uguale a: p

4. Il radicale 9 ‡ a2 eÁ uguale a:

p d. 3ax 2

p 9 ‡ a2 perche eÁ irriducibile

d. 3 ‡ jaj

3.3 Addizione e sottrazione Le proprietaÁ dei radicali che abbiamo usato finora ci hanno permesso di eseguire sostanzialmente solo moltiplicazioni e divisioni; non esistono teoremi che indichino proprietaÁ che riguardano la somma e la sottrazione. Come abbiamo giaÁ piuÁ volte evidenziato eÁ assolutamente sbagliato scrivere p p p p p p e anche a bˆ a b a‡ b ˆ a‡b

Basta un semplice controesempio per verificarlo: p p p p 25 ‡ 9 ˆ 5 ‡ 3 ˆ 8 mentre 25 ‡ 9 ˆ 34

Attenzione agli errori

p 34 6ˆ 8

e

Di conseguenza, quando si presenta un'operazione di questo tipo, per esempio p p 2 ‡ 7, non possiamo fare altro che lasciare indicata la somma o trovarne un valore approssimato. Se peroÁ i radicali da sommare o sottrarre soddisfano alcune caratteristiche, si puoÁ trovare il valore esatto della somma o della differenza; non eÁ difficile p p p per esempio intuire che 3 2 ‡ 5 2 eÁ uguale a 8 2 perche i due addendi hanno lo stesso fattore radicale; due radicali che hanno questa caratteristica si dicono simili. Per esempio: p p p 1 p l sono simili i radicali 3 e 4 3 5 2 e 2 4 perche hanno la stessa parte radicale l

p 1 p 3 e 2 2 perche non hanno la stessa parte radicale. non sono simili i radicali

p 3 5

e

p 3 6

Per eseguire la somma o la differenza fra radicali simili ci si comporta in sostanza come con i monomi simili e si applica la proprietaÁ di raccoglimento: l

con i monomi simili

l

con i radicali simili

54

3a ‡ 5a ˆ a…3 ‡ 5† ˆ 8a p p p p 3 2 ‡ 5 2 ˆ 2…3 ‡ 5† ˆ 8 2

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

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Vediamo alcuni esempi.

ESEMPI  1 p 1 p p 5‡ 5ˆ 5 4 2 3

p 1. 4 5 p

p 4 8

2. 2 3

1 1 ‡ 2 3

p 1 p 27 ‡ 3 32 2



ˆ

23 p 5 6

Trasportiamo fuori dal simbolo di radice i possibili fattori: p 1 p p p p 3 p p p p p p 1 p 2 3 4 8 27 ‡ 3 32 ˆ 2 3 4 23 3 ‡ 12 2 33 ‡ 3 25 ˆ 2 3 8 2 2 2 2   p  p  p  p  3 1 3 ‡ …12 8† 2 ˆ 3‡4 2 Sommiamo adesso i radicali simili: 2 2 2 p

3. 2a 7

p p 1 p 63 ˆ 2a 7 3a 28 ‡ 3

p p p 6a 7 ‡ 7 ˆ 7…2a

6a ‡ 1† ˆ

p 7…1

4a†

4. Il trasporto dentro e fuori dal simbolo di radice dei possibili fattori facilita anche la semplificazione di alcuni prodotti notevoli: p
3 p
1 2 ˆ 1 ‡ 3
12
2 ‡3
1


5.

p a 5b

p p 4a 3 b3 ‡ ab 5

p
2 2 ‡

p
3 2 ˆ1

p 3 2‡6

p 8ˆ7

p 3 2

p 2 2ˆ7

p 5 2

Trasportiamo fuori dal simbolo di radice i possibili fattori tenendo presente che il prodotto ab deve essere positivo per l'esistenza dei radicali: p p p p p p p p a 5b 4a 3 b 3 ‡ ab 5 ˆ a 2
ab 2ab
ab ‡ b2
ab ˆ ab …a 2 2ab ‡ b 2 † ˆ ab …a b† 2

6.

p p x 3 ‡ x 2 ‡ 4x 3 ‡ 4x 2

p 9x ‡ 9 p p Scomponiamo i radicandi: x 2 …x ‡ 1† ‡ 4x 2 …x ‡ 1†

p 9… x ‡ 1 †

Per l'esistenza dei radicali, essendo x 2 sempre positivo o nullo, dobbiamo imporre che sia x ‡ 1  0 cioeÁ x  1; in queste ipotesi trasportiamo fuori dal simbolo di radice i possibili fattori: p p p x
x ‡ 1 ‡ 2x
x ‡ 1 3 x ‡ 1 Dei fattori esterni x e 2x dobbiamo considerare il modulo percheÂ, in base alla condizione x  tore x potrebbe anche essere negativo; scriviamo quindi: p p p p jx j x ‡ 1 ‡ 2jx j x ‡ 1 3 x ‡ 1 ˆ …jx j ‡ 2jx j 3† x ‡ 1

1, il fat-

Il risultato dell'espressione dipende quindi dal valore di x ed eÁ: p p l se x  0 …x ‡ 2x 3† x ‡ 1 ˆ 3…x 1† x ‡ 1 p p l se … x 2x 3† x ‡ 1 ˆ 3…x ‡ 1† x ‡ 1 1x 0; scriviamo con una sola radice: sr    3 p 1 p 6 x x 4
ˆ x 3 semplificando il radicale otteniamo x

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Il prodotto a.

p  6 25

p  p 3 5
5 vale: b.

 p 6 55

2. Semplificando l'espressione p a. 4 ‡ 3 3

b. 4

p 
2 p 4 3 ‡ 3 p 3

c. 5 1


2

d. un valore diverso dai precedenti

si ottiene: p c. 3 ‡ 3 3

q p 3. L'espressione 2 2 eÁ uguale a: p p p a. 4 4 b. 2 c. 4 8 q p
2 p 4. Semplificando l'espressione 3 2 ‡ 2 8 18 si ottiene: p p p p p c. 3 4 18 b. 6 ‡ 4 4 18 a. 4 6 ‡ 2 4 18

d. 4 ‡

d. un valore diverso dai precedenti

p d. 5 4 18

6. I RADICALI QUADRATICI DOPPI Un radicale quadratico doppio ha una forma del tipo q q q p p p 4 7 1‡2 5 Per esempio: 2‡ 3

q p a  b.

Un radicale doppio (sottointendiamo d'ora in poi la parola quadratico) si puoÁ qualche volta trasformare in una forma che contenga solo radicali semplici e che quindi eÁ piuÁ comoda da usare. q p Consideriamo per esempio il radicale 7 ‡ 2 6 e scriviamolo in questo modo: q q q
2 p p p p 7‡2 6ˆ 6‡1‡2 6ˆ 6‡1 ˆ 6‡1

Questo tipo di trasformazione si puoÁ fare tutte le volte che si riesce a scrivere il radicando della radice piuÁ esterna sotto forma del quadrato di un binomio. Nel nostro caso abbiamo scritto il termine razionale (il numero 7) come somma di due numeri che rappresentino i due quadrati, ed il termine irrazionale (il nup mero 2 6) come loro doppio prodotto. Qualche altro esempio:

62

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

p 3

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 367

Ricordiamo che 2

a 2 ‡ b 2  2ab ˆ …a  b †

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

l

q p 5 2 6

p Si parte dal doppio prodotto 2 6 che si puoÁ vedere in modi diversi: p p p 2
6
1 oppure 2
3
2 " " " " a b a b p p Nel nostro caso a2 ‡ b2 deve essere uguale a 5, quindi a ˆ 3 e b ˆ 2. q   q q p p p p
2 p p 2 In definitiva: 5 2 6 ˆ 2 ‡ 3 2 6 ˆ 3 2 ˆ 3 l

L'ordine dei termini non p eÁpin- 2 differente perche 3 eÁ unpnumero positivo menp tre 2 3 eÁ negativo ed in questo secondo caso non puoÁ sussistere l'uguaglianza.

q p 7 ‡ 2 10

p p p Il doppio prodotto eÁ 2 10 che si puoÁ vedere come 2
5
2; allora scriviamo il numero 7 come 5 ‡ 2 ed otteniamo:  q q q p pp p p
2 p p 7 ‡ 2 10 ˆ 5 ‡ 2 ‡ 2 5 2 ˆ 5‡ 2 ˆ 5‡ 2

Quando non eÁ immediatamente riconoscibile il quadrato di un binomio si puoÁ usare la formula: s p s p q p a ‡ a2 b a a2 b a b ˆ  2 2

LA FORMULA

Infatti, se eleviamo al quadrato separatamente i suoi membri, otteniamo La formula si puoÁ applicare q2 solo se a 2 b  0 ed eÁ conp p I membro: a b ˆa b veniente applicarla solo se a 2 b eÁ un quadrato per0s s12 p p fetto percheÂ, in questo caa a2 b A @ a ‡ a2 b  ˆ II membro: so, il radicale doppio si tra2 2 sforma nella somma di due s p p p s p radicali semplici. a ‡ a2 b a a2 b a ‡ a2 b a a2 b ‡ 2
ˆ ˆ 2 2 2 2  r p p p a ‡ a2 b ‡ a a2 b a2 …a2 b† 2a 2 p 2 a2 a2 ‡ b ˆ a  b  ˆ ˆ 2 4 2 2 Avendo ottenuto risultati uguali, la relazione eÁ vera. Questa formula si puoÁ ovviamente usare per trasformare qualunque radicale doppio.

ESEMPI 1.

q p 4 7

Dunque avremo

2.

q p 12 ‡ 23 Dunque

Calcoliamo a2 b ˆ 16 7 ˆ 9 ˆ 32 s p s p r q p 4 ‡ 32 4 32 4‡3 ˆ 4 7ˆ 2 2 2

r r 4 3 7 ˆ 2 2

r 1 2

Calcoliamo a2 b ˆ 144 23 ˆ 121 ˆ 112 s p s p r r r r q p 12 ‡ 112 12 112 12 ‡ 11 12 11 23 1 ‡ ˆ ‡ 12 ‡ 23 ˆ ‡ ˆ 2 2 2 2 2 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

63

q p 3. 12 3 7

Prima di poter applicare la formula, dobbiamo riscrivere il radicale portando all'interno della radice il fattore 3. q p 12 63 Calcoliamo a2 b ˆ 144 63 ˆ 81 ˆ 92 s p s p r r r r q p 12 ‡ 92 12 92 12 ‡ 9 12 9 21 3 ˆ Dunque 12 3 7 ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2

4.

q p 7 5

Calcoliamo a2

b ˆ 49

5 ˆ 44

In questo caso 44 non eÁ un quadrato perfetto e applicando la formula si ottiene un'espressione piuÁ complessa di quella data: s p s p 7 ‡ 44 7 44 2 2 Non possiamo quindi trasformare il radicale doppio nella somma di radicali semplici.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. La formula di trasformazione di un radicale doppio nella somma di due radicali semplici si puoÁ applicare: a. solo se a2  b anche se non sempre eÁ utile c. solo se a > b Qual eÁ la risposta esatta?

b. solo se a2 d. sempre.

b eÁ un quadrato perfetto

q p 2. Il radicale doppio 2 3:

r r 3 1 ‡ 2 2 r r 3 1 b. applicando la formula si trasforma in 2 2 a. applicando la formula si trasforma in

c. non si puoÁ trasformare nella somma di due radicali semplici d. nessuna delle precedenti risposte eÁ corretta.

7. LA RAZIONALIZZAZIONE Quando una frazione ha per denominatore un radicale, puoÁ essere conveniente trasformarla in un'altra equivalente che abbia un denominatore razionale; per esempio, per eseguire una somma come la seguente: 1 3 p ‡ p p 2 2‡ 6 p p p si deve trovare il m:c:m: fra 2 e 2 ‡ 6, che eÁ sicuramente piuÁ laborioso che non trovare il m:c:m: fra due numeri interi. L'operazione che permette di rendere razionale il denominatore di una frazione si chiama razionalizzazione e, per eseguirla, ci si avvale della proprietaÁ invariantiva della divisione; in altre parole si moltiplica il numeratore e il deno-

64

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 369

ProprietaÁ invariantiva della divisione: a a
c ˆ b b
c Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

minatore della frazione per un opportuno fattore, detto fattore razionalizzante, in modo da rendere razionale il denominatore. 1 Per esempio, eÁ facile intuire che per razionalizzare la frazione p basta moltip 2 plicare numeratore e denominatore per 2 : p p p p 2 2 1
2 p p ˆ p ˆ il fattore razionalizzante eÁ 2 2 2 2
2 2

E' invece meno facile intuire quale sia il fattore razionalizzante nel caso della 3 frazione p p ; esaminiamo uno alla volta i casi che si possono presentare. 2‡ 6 Nel dare le regole generali conveniamo di porre sempre uguale a 1 il numeratore della frazione perche il suo valore non influisce sulle considerazioni che faremo. Supporremo inoltre che ogni radicale sia irriducibile e che si siano giaÁ portati fuori dal simbolo di radice eventuali fattori.

1 Razionalizzazione di frazioni del tipo p a

p E' il caso che abbiamo visto prima; poicheÁ a2 ˆ a, basta moltiplicare numep ratore e denominatore per a : p p p 1 1
a a a p ˆ p p ˆ p ˆ 2 a a a
a a Quindi: p a 1 p ˆ a a

ed il fattore razionalizzante eÁ

p a.

Per esempio: p 1 l p fattore razionalizzante 3 3 l

l

p p 3 1
3 p p ˆ 3 3
3 p p p p 10 10
5 10
5 p p p ˆ fattore razionalizzante 5 ˆ2 5 5 5 5
5 p p p p 4 4
2 4
2 2 2 p  p  p ˆ ˆ fattore razionalizzante 2 3
2 3 3
2
2 3 2 p Attenzione a quest'ultimo esempio: il fattore razionalizzante eÁ 2 e non p 3 2; eÁ inutile infatti moltiplicare anche per 3 che eÁ un numero razionale.

1  con k < 3 Razionalizzazione di frazioni del tipo p 3 ak

p  3 Il caso eÁ simile al precedente; poiche a3 ˆ a conviene moltiplicare per la radice cubica di a3 k ; si ha infatti che ak
a3 k ˆ a3 : p p p    p 3 3 3 1 1
3 a3 k a3 k a3 k a3 k  ˆ p  ˆ p  ˆ  p p  ˆ p 3 3 3 3 3 a a3 ak ak
a 3 k ak
a 3 k Quindi: 1  ˆ p 3 ak

p  3 a3 k a

ed il fattore razionalizzante eÁ

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

p  3 a3 k Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

65

Per esempio: p 1 l p l'esponente del radicando eÁ 1, il fattore razionalizzante eÁ 3 52 : 3 5

p p  p  3 3 25 25 1
3 52  ˆ p  ˆ p  p 3 3 3 3 2 5 5
5 5

p 6 6 p  ˆ p  l'esponente del radicando eÁ 2, il fattore razionalizzante eÁ 3 2 : 3 3 2 4 2 p p p  3  p 2 6 632 632 3  ˆ  ˆ p p 
p ˆ3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2

l

1 Razionalizzazione di frazioni del tipo p p a b

Per scoprire quale sia il fattore razionalizzante ragioniamo in questo modo: dobp p p p biamo fare in modo che a e b si trasformino rispettivamente in a2 e b2 . Allora, ricordando che …a ‡ b†…a b† ˆ a2 b 2 , possiamo dire che p p
p p
p
2 p
2 a‡ b a b ˆ a b ˆa b

Quindi per la frazione:

l

l

1 p p a‡ b p a

1

p b

p a

il fattore razionalizzante eÁ

p b

p p a‡ b

il fattore razionalizzante eÁ

Nei due casi si ottiene: p p
p p 1 1
a b a b p p ˆ p p
p p
ˆ a b a‡ b a‡ b a b p p
p p 1 1
a‡ b a‡ b p p ˆ p p
p p
ˆ a b a b a b a‡ b Per esempio: p p
2 2 3‡ 2 l p p ˆ p p
p p
ˆ 3 2 3 2 3‡ 2
p 4 4 1 3 4 1 l p ˆ p
p
ˆ 1 1‡ 3 1‡ 3 1 3
p p 2 2 3 1 2 3 l p
ˆ
p ˆ p 3 3‡1 3 1 3‡1

2

p p
p p
3‡ 2 ˆ2 3‡ 2 3 2

p
p
p 3 4 1 3 ˆ ˆ2 3 3 2 1 1




ˆ

p 3


1

1

1  Razionalizzazione di frazioni del tipo p p 3 3 a b

Il ragionamento eÁ simile a quello fatto nel caso precedente: dobbiamo fare in p p p p modo che 3 a e 3 b si trasformino rispettivamente in 3 a3 e 3 b 3 . Ricordando che …a ‡ b †…a2 ab ‡ b2 † ˆ a3 ‡ b 3 e che …a b †…a2 ‡ ab ‡ b2 † ˆ a3 b3 , possiamo dire che

66

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS


p p  p 3 a ‡ 3 b 3 a2

 p p 
3 ab ‡ 3 b2 ˆ a ‡ b

Quindi per la frazione: l

l

1   p p 3 a‡ 3b  p 3 a

1

 p 3 b

il fattore razionalizzante eÁ

il fattore razionalizzante eÁ

p 
p  p p
3 b 3 a2 ‡ 3 ab ‡ 3 b 2 ˆ a

 p 3 a

e che

b

 p p 
3 ab ‡ 3 b2

 p 3 a2

 p
 p p 3 a2 ‡ 3 ab ‡ 3 b2

Nei due casi si ottiene:  p  p 
 p p p  p 3 3 3 ab ‡ 3 b2 a2 ab ‡ 3 b2 1 1
3 a2  ˆ p p  p 
p p 
ˆ  p p 3 3 3 a‡b a‡ 3b ab ‡ 3 b2 a ‡ 3 b 3 a2
  p p p p  p   p   3 a2 ‡ 3 ab ‡ 3 b2 1 1
3 a2 ‡ 3 ab ‡ 3 b2  ˆ p p 
p p p
ˆ  p p 3 3 a b a 3b a 3 b 3 a2 ‡ 3 ab ‡ 3 b2

Per esempio: l

l

 p  p p  p p  p 3 3  p p 
 p 4‡ 36‡ 39 4‡ 36‡ 39 3 3 3  p p  ˆ p ˆ 4‡ 6‡ 9  p 
p  p 
ˆ  p 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 4‡ 6‡ 9
p p p p
 p p  3 3 1 32‡ 34 3 1 32‡ 34 3 3
ˆ
p  ˆ ˆ 1 2 ‡ 4 p p    p 3 1‡2 1‡ 2 1‡ 32 1 32‡ 34 1

ESEMPI p  p p 3 2 232 232 p  p  ˆ ˆ 5 5
2 5 4 5 2 5 3 22
3 2 p p
p p p p p p p
p p 3 6 3 6
3 3 3 18 3 3 3 2 3 3 2 2. p ˆ p p ˆ ˆ 3 2 ˆ ˆ 3 3 3 3 3
3 2

p

2

1. p3  ˆ p3 2 il fattore razionalizzante eÁ 3 2

x2

x

3. p3 ˆ x

p x…x 1† x 1 …x 1† x …x p ˆ p ˆ p p ˆ x x
x x
x

!

p 1† x x

p p

5 5

4. Osserva il seguente esempio: dobbiamo razionalizzare p : Poiche 5 ˆ 5
5, possiamo anche scrip p 5
5 p p ˆ 5 vere: 5 p p
…x y† x y …x x y 5. p p ˆ p p
p p
ˆ x‡ y x‡ y x y 5 p ˆ 5

y† x

p x y

p
y

ˆ

p x

p y

In questo particolare caso avremmo potuto procedere per altra via scomponendo il numeratore ed interpretandolo come una differenza di quadrati: p
2 p
2 p p
p p
p p y x x‡ y x y p p p p ˆ ˆ x y x‡ y x‡ y

6. p3 2 x

x

p3  p3  p3 
p
p
p p p p x4 ‡ x3 ‡ x2 x x
3 x ‡ x ‡ 3 x2 x x
3 x ‡ x ‡ 3 x2 x
3 x ‡ x ‡ 3 x2

ˆ ˆ ˆ ˆ p3  p3  p3  p3  p3  p3  x2 x x …x 1† x 1 x x x4 ‡ x3 ‡ x2 x2 x

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Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

67

In nessun caso per eseguire una razionalizzazione si deve elevare a potenza:   2 2 2 4 l p p ˆ non eÁ equivalente a 3 3 3 p p 3 2 2 3 p
p ˆ ma eÁ equivalente a 3 3 3 l

1 p 5 1

non eÁ equivalente a ma eÁ equivalente a

Attenzione agli errori

1
2 p 5 1 p p 5‡1 5‡1 1 p ˆ
p 4 5‡1 5 1

Attenzione poi alla scelta dei fattori razionalizzanti; i seguenti procedimenti sono inutili al fine della razionalizzazione: p  p  3 3 2‡1 2‡1 1 1 l   p p   perche si ottiene ˆp
p 3 3 3 3 4 1 2‡1 2 1 2 1 p p 2 2 2 2 2 l p p ˆ p
p perche si ottiene 2 3 2‡2 3‡ 2 3‡ 2 p  p 3 5 6 6 635 l   p p  ˆ p 
p perche si ottiene 3 3 3 25 5 5 35 In tutti questi casi non solo non si ottiene quello desiderato, ma a volte si peggiora la situazione.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 3 6

1. Razionalizzando p si ottiene 4

2. Razionalizzando p3  si ottiene 5 2

3. Razionalizzando

2 p si ottiene 1 5

a 3 p si ottiene a‡ 3 p p b. a 3

4. Razionalizzando p p p a. a ‡ 3

a.

1 2

b.

p 232 5 p 2 5 a. 4

p 234 5 p 2 5 b. 6

b.

a.

c.

…a

p 3

p 6 2 p 2 2 c. 5

d.

c.

c.

p p
3† a 3 a‡3

8. POTENZE AD ESPONENTE RAZIONALE Conosciamo il significato di potenza di un numero reale a quando il suo esponente n eÁ un numero intero. Ci si puoÁ domandare se eÁ possibile attribuire un significato alla scrittura a n anche quando il suo esponente eÁ un numero razio  13 1 3 3 4 2 nale, cioeÁ ad esempio a scritture come 4 , 5 , . 5

d.

p 4‡ 34 10 p 1‡ 5 d. 2 d.

p 1‡ 5 2

…a

p 6 12

p p
3† a ‡ 3 a‡3

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 378

Queste potenze infatti non possono piuÁ avere lo stesso significato che eÁ stato

68

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

attribuito alla potenza di un numero reale con esponente intero; non ha senso 1 1 dire, ad esempio, che 4 2 significa che si deve calcolare il prodotto di fattori 2 uguali a 4: la numerositaÁ dei fattori di un prodotto eÁ comunque un numero intero. L'introduzione della radice n - esima di un numero reale positivo o nullo e le proprietaÁ dei radicali ci consentono di dare significato anche a questo tipo di scritture. 2

Consideriamo, per esempio, la scrittura 5 3 ; se vogliamo attribuirle un significato di potenza, per essa devono valere tutte le proprietaÁ delle potenze, in particolare:  3 2 l applicando la potenza di potenza 5 3 ˆ 52 p Se adesso consideriamo il radicale 3 52 , sappiamo che: 
3 p 3 l per definizione di potenza 52 ˆ 5 2 Osserviamo adesso che:

l

l

se due espressioni danno luogo allo stesso valore numerico, esse devono es 3 2 p
3 sere uguali, quindi deve essere 5 3 ˆ 3 52

se due potenze con basi positive e con lo stesso esponente sono uguali, an2 p che le loro basi devono essere uguali, quindi deve essere 5 3 ˆ 3 52 .

E' allora lecito attribuire alla potenza ad esponente frazionario il significato di radicale, a condizione che la base della potenza sia un numero non negativo. E' invece possibile che l'esponente sia un numero negativo; per esempio:   23 s  2 2 3 1 1 ˆ 3 3 ˆ 3 3 Possiamo allora dire che: se a  0 e m e n sono due numeri interi positivi: s  m p   n 1 m m a n ˆ a n ˆ n am a Per esempio: p p 3 l 42 ˆ 43 ˆ 26 ˆ 23 ˆ 8 l

  32 p p 1 3 ˆ 5 2 ˆ 53 ˆ 5 5 5

l

l

 r   32 s 3 1 1 1 1 ˆ ˆ 2 2 2 2  1 4 2 non ha significato 5

Una volta attribuito alle potenze con esponente razionale il significato che abbiamo visto, ci rimane da verificare che anche le altre proprietaÁ delle potenze siano ugualmente valide, cioeÁ che: m

p q

m ‡ p q n

m

p q

m n

n an
a ˆ a n an : a ˆ a

p q

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

69

m

n an


pq

ˆa

mp nq

m n

m

m n

m

m

n …a
b † ˆ a n
b n

m

n …a : b † ˆ a n : b n

Dimostriamo soltanto la prima di queste relazioni, lasciando a te la dimostrazione delle altre. In base alla definizione posta e alle proprietaÁ dei radicali abbiamo che: p q

m

an
a ˆ

mq‡pn m ‡ p p p p   p nq q n n am
q ap ˆ nq a mq
a pn ˆ nq a mq‡pn ˆ a ˆa

Per esempio:   1 2 1 1 ‡ 2 5 3 l 3
3 : 32 ˆ 35 3 l

1 2

11

ˆ 3 30

"  3 # 29   1   1   1   1   1   1 1 ‡ 2 4 2 3 2 2 2 6 2 3 2 2 2 6 3 : ˆ
: ˆ
3 3 3 3 3 3 3

1 2

 0 2 ˆ1 ˆ 3

L'analogia stabilita fra le potenze ad esponente frazionario ed i radicali ci consente di passare da una modalitaÁ di scrittura all'altra a seconda della convenienza.

ESEMPI 1.

1 2 1 ‡ 2 3   p  p p p p  p 3 4 3 4 2
4 : 8 ˆ 2
2 2 : 23 ˆ 2 2
2 3 : 2 4 ˆ 2 2 3

3 4

5

ˆ 2 12 ˆ

p 25 12

  r  13  12    13  12 h i 1   12 q 1 3 1 2 3 3 p  p   3 4 2 2 2 ˆ a
a ˆ a
a ˆ a 2 ˆ a 4 ˆ a3 2. a a a ˆ a
a
a

3.



 12  2 2‡3 1 2

3

1 2

 32

 q q q p
p
3 p p
3 2‡ 3 2 3 ˆ ˆ 2‡ 3
2 3 ˆ

q  p
p
p
2 ˆ 2‡ 3 2 3 2 3 ˆ 2

  12  1 2 4. 3 ‡ 5
3 p 5. 3
3


5

1 2

 12

1


2 2 ˆ

p
p 3 4 3ˆ2

p 3

q q  q p p p p
p
p p p 3‡ 5
3 5
2ˆ 2 3‡ 5 3 5 ˆ 2…9 5† ˆ 8 ˆ 2 2

  13   13 q 1 1 1 5 1 5 7 p   p p 1‡ 1 ‡ 5 3 3 3 2 2 2 2 ˆ 3
3
3 2 ˆ 3
3 2
3 6 ˆ 3 2 6 ˆ 3 3 ˆ 37 ˆ 9 3 9 3ˆ3
3 3
3

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Scegli la risposta corretta fra quelle elencate: 4 3

a. 3 corrisponde a: b. 4

70

1 4

corrisponde a:

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

p ¬ 4 27

¬

p  4 4

r 4 ­ 3 r 1 ­ 2

p

® 333 ®

p 2

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2. Supposto a > 0, semplifica la seguente espressione completando i passaggi e scrivendo il risultato in forma radicale:  23   23   3  1 1 1 ‡::::: 5 a2
a
a 2
a::::: ˆ a:::::
a::::: ˆ a:::::‡::::: ˆ a 2 ˆ ::::::: ˆ a2

Sul sito www.edatlas.it trovi... l

il laboratorio di informatica

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la scheda storica La scuola pitagorica e il problema dell'incommensuraÁ bilita

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gli esercizi dalle Gare di matematica

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Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta

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Á di recupero le attivita

Posto uguale a 1 il lato del quadrato piuÁ piccolo, quello del quadrato piuÁ p grande eÁ 2; l'area della figura si trova sommando l'area del quadrato grande con quella del triangolo ABC (figura 4). Eseguendo il calcolo in modo esatto troviamo: p p l area quadrato grande: 2
2ˆ2 l

area triangolo:

0,5

l

area totale:

2 ‡ 0,5 ˆ 2,5

Eseguendo il calcolo usando valori approssimati di l

area quadrato grande:

l

1,41
1,41 ˆ 1,9881

area triangolo:

0,5

l

area totale:

1,9881 ‡ 0,5 ˆ 2,4881

La risposta al quesito iniziale Figura 4

p 2 troviamo:

Stabilita una tolleranza sull'area pari a 0,025, l'oggetto verraÁ accettato da un controllo di qualitaÁ se la sua area risulta compresa: l l

tra 2,5

0,025 e 2,5 ‡ 0,025 cioeÁ tra 2,475 e 2,525 nel primo caso

tra 2,4881 condo.

0,025 e 2,4881 ‡ 0,025 cioeÁ tra 2,4631 e 2,5131 nel se-

Supponiamo che i macchinari dell'azienda abbiano prodotto il pezzo in questione con il lato AB ˆ 1,01 e i lati AF ˆ FE ˆ EC ˆ 1,40. In questo caso l'area della superficie del pezzo risulta essere: l

area quadrato grande:

1,40
1,40 ˆ 1,96

l

area triangolo ABC:

1
1,01
1,01 ˆ 0,51005 2

l

area totale:

1,96 ‡ 0,51005 ˆ 2,47005

Il valore trovato non appartiene all'intervallo che va da 2,475 a 2,525 ma appartiene all'intervallo che va da 2,4631 a 2,5131. Un controllo di qualitaÁ dovrebbe quindi scartare il pezzo nel primo caso, accettarlo nel secondo.

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Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

71

I concetti e le regole La funzione radice e i radicali Nell'insieme R0‡ dei numeri reali positivi o nulli l'operazione di elevamento a potenza si puoÁ invertire e l'operazione inversa eÁ l'estrazione di radice. Dato un qualunque numero reale a  0, si dice radice n-esima di a il numero non negativo b per il quale bn ˆ a. p La radice n-esima di a si indica con il simbolo n a.

La proprietaÁ invariantiva

I radicali in R0‡ godono della fondamentale proprietaÁ invariantiva: l

se l'indice della radice e l'esponente del radicando vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero intero pop p sitivo, si ottiene un radicale che ha lo stesso valore di quello dato: n am ˆ np amp 8p 2 Z ‡

Grazie a questa proprietaÁ si possono eseguire le seguenti operazioni: l

semplificare un radicale dividendo indice della radice ed esponente del radicando per il loro M:C:D:

l

ridurre due o piuÁ radicali allo stesso indice che eÁ il m:c:m: fra gli indici delle radici

l

l

moltiplicare o dividere due radicali se questi hanno lo stesso indice:  p  p  p n n n a
b ˆ ab p  r n a n a p  ˆ n b b portar dentro o portar fuori dal simbolo di radice i possibili fattori.

Quando due radicali non hanno lo stesso indice, per trovare il loro prodotto o quoziente si devono prima ricondurre allo stesso indice.

Radicali e moduli Quando si eseguono delle operazioni sui radicali, si deve prestare attenzione a che: l

il dominio dell'espressione che si ottiene come risultato sia lo stesso di quello dell'espressione data

l

il segno dell'espressione che si ottiene come risultato sia lo stesso di quello dell'espressione data.

In caso contrario, si deve valutare di quali fattori eÁ necessario considerare il modulo al fine di mantenere lo stesso dominio e lo stesso segno.

Operazioni con i radicali l

Moltiplicazione e divisione: si possono eseguire solo tra radicali dello stesso indice.

l

Radicali quadratici p p p a
b ˆ ab p r a a p ˆ b b

l

Radicali quadratici p p p a‡3 aˆ4 a

72

Radicali cubici   p p  p 3 3 3 a
b ˆ ab p  r 3 a 3 a p  ˆ 3 b b

Addizione e sottrazione: si possono eseguire solo tra radicali simili. Radicali cubici p p p 23a‡ 3aˆ33a p
3 p3 Potenza: si eleva a potenza l'argomento del radicale: a ˆ a

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

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I radicali quadratici doppi

q p Un radicale quadratico doppio eÁ un radicale che ha la forma a  b . Se a2 b eÁ un quadrato perfetto, il radicale si puoÁ trasformare nella somma o differenza di due radicali semplici con la formula: s p s p q p a ‡ a2 b a a2 b a b ˆ  2 2

La razionalizzazione Razionalizzare una frazione che ha un denominatore che contiene dei radicali significa scriverla in modo che il denominatore diventi un'espressione razionale. Per fare questo si devono moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per un opportuno fattore razionalizzante che ha una forma diversa a seconda dei casi: l

se la frazione eÁ del tipo

l

se la frazione eÁ del tipo

l

se la frazione eÁ del tipo

l

se la frazione eÁ del tipo

1 p a

1 p  3 ak 1 p p a b

1  p  p 3 3 a b

il fattore razionalizzante eÁ il fattore razionalizzante eÁ il fattore razionalizzante eÁ il fattore razionalizzante eÁ

p a

p  3 a3 k

con k < 3

p p a b


 p  p p 3 3 3 a2  ab ‡ b 2

Le potenze ad esponente razionale Un radicale di argomento a  0 si puoÁ scrivere sotto forma di potenza ad esponente razionale con la seguente corrip m spondenza: n am ˆ a n .

Alle potenze ad esponente frazionario si possono applicare proprietaÁ analoghe a quelle delle potenze ad esponente intero.

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Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

73

Tema Funzioni e grafici

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CAPITOLO

Il piano cartesiano e la retta

Obiettivi l

fissare un sistema di riferimento nel piano

l

operare con punti e segmenti dal punto di vista analitico

l

riconoscere e saper scrivere l'equazione di una retta

l

Á e il parallelismo fra rette riconoscere la perpendicolarita

l

risolvere problemi relativi alla retta nel piano cartesiano

MATEMATICA E REALTAÁ L'algebra si occupa dei numeri e del far di conto, la geometria si occupa delle figure e delle loro caratteristiche; un'idea geniale potrebbe essere quella di unire le due cose e trattare le figure con i numeri. Visto poi che alla base dell'algebra c'eÁ il numero e alla base della geometria c'eÁ il punto, perche non associare in qualche modo ad ogni numero reale un punto e ad ogni punto un numero reale? Questa idea venne a Cartesio e da allora un mondo nuovo si eÁ aperto ai nostri occhi. Il piano cartesiano, cosõÁ lo hanno chiamato in suo onore i matematici, ce lo ritroviamo dappertutto: nei grafici statistici, nella rappresentazione grafica di molti fenomeni fisici, nei videogiochi, persino a volte nell'organizzazione di uno scavo archeologico o in un problema di costruzione di strade come il seguente. Nella verde pianura di Piano, la cittaÁ di Vattelapesca eÁ collegata alla cittaÁ di Pincopallino da una strada rettilinea che interseca l'autostrada a 10km da Vattelapesca e a 30km da Pincopallino; l'uscita dell'autostrada piuÁ vicina ai due centri eÁ il noto centro turistico di Sempronio, che peroÁ non ha strade comode che lo collegano a Vattelapesca e a Pincopallino dove si trovano un interessante castello medievale e un'abbazia. Il Comune di Sempronio ha quindi deciso di costruire una strada rettilinea che lo colleghi a uno dei due paesi e affida l'incarico di studiare la cosa al suo Ufficio Tecnico,

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Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

75

il quale si pone la domanda fondamentale: saraÁ meglio costruire la strada in modo da collegarsi con Vattelapesca oppure con Pincopallino? Subito vengono fatti i rilievi del caso e si misura che l'angolo che l'autostrada forma con la strada che passa per i due paesi eÁ di 45 , mentre l'angolo che la nuova strada farebbe con Vattelapesca eÁ di 60 . Quale saraÁ la soluzione che l'Ufficio Tecnico sottoporraÁ al Sindaco e alla Giunta comunale? La risposta, come al solito, eÁ in fondo al capitolo.

1. IL PIANO CARTESIANO

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 384

1.1 Il sistema di riferimento sulla retta Sappiamo che i punti di una retta orientata sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali, vale a dire che, fissato un segmento come unitaÁ di misura e scelto un punto O a cui far corrispondere il numero zero, ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta e, viceversa, ad ogni punto corrisponde un numero reale. Se a eÁ il numero associato al punto P, questa corrispondenza si evidenzia scrivendo P … a† e si dice che P ha ascissa a. Per esempio, assumendo un quadretto come unitaÁ di misura, in figura 1 abbia  9 … † . mo rappresentato i punti A 3 , B …‡2†, C ‡ 2

Figura 1

Nel seguito, per indicare le ascisse di punti diversi, useremo la lettera x munita di un indice numerico oppure corrispondente al nome del punto; per esempio scriveremo A…x1 † e B …x2 † oppure A…xA † e B …xB †. Un segmento sulla retta eÁ individuato dai suoi punti estremi; per esempio il seg  3 mento AB in figura 2 eÁ individuato dai punti A…‡6† e B ‡ . 2 Per trovare la misura di questo segmento possiamo ragionare cosõÁ: l

l

l

I SEGMENTI SULLA RETTA

Figura 2

dire che il punto A ha ascissa ‡6 significa che il segmento OA eÁ lungo 6 unitaÁ di misura (a destra di O) 3 3 dire che il punto B ha ascissa ‡ significa che il segmento OB eÁ lungo 2 2 unitaÁ di misura (a destra di O) 3 la misura del segmento AB, che eÁ uguale a OA OB, vale quindi 6 , 2 9 cioeÁ . 2

In pratica abbiamo calcolato la differenza fra le ascisse dei due punti A e B   3 3 9 …‡6† ˆ ˆ6 ‡ |‚{z‚} 2 2 2 |‚‚‚‚{z‚‚‚‚} ascissa di A ascissa di B

Questo ragionamento che abbiamo visto su un esempio vale in generale e consente di enunciare la seguente regola.

76

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

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La misura di un segmento AB si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positivitaÁ del risultato. Se A…xA † e B …xB †, la misura di AB eÁ data dalla relazione AB ˆ jxA

xB j ˆ j xB

xA j

Per esempio: l

l

l

se A…‡4† e B… 2†, allora AB ˆ 2 …‡4† ˆ ‡4 … 2† ˆ 6         5 1 5 1 1 5 se A ˆ ‡ eB ‡ , allora AB ˆ ‡ ˆ3 2 2 2 2 2 2 se A… 3† e B… 8†, allora AB ˆ 8 … 3† ˆ 3 … 8† ˆ 5

Osserviamo che l'ordine con cui si prendono i punti non ha nessuna importanza visto che del risultato si considera il valore assoluto. Se peroÁ si ha l'accortezza di scegliere come primo punto quello che ha l'ascissa maggiore (che corrisponde al punto che si trova piuÁ a destra), allora la differenza fra le ascisse eÁ sempre positiva e non eÁ necessario usare il modulo. Relativamente ai casi precedenti: l

l

l

il punto A ha ascissa maggiore del punto B, quindi AB ˆ xA

xB ˆ ‡4 ‡ 2 ˆ 6

il punto B ha ascissa maggiore del punto A, quindi AB ˆ xB

xA ˆ ‡

5 1 ‡ ˆ3 2 2

il punto A ha ascissa maggiore del punto B, quindi AB ˆ xA

xB ˆ

3‡8ˆ5

Il punto medio M di un segmento AB eÁ il punto per il quale si verifica che AM  MB. Se A…xA † e B…xB † si ha che (figura 3): AM ˆ xM

xA

e dunque deve essere xM

xA ˆ x B

MB ˆ xB

xM

cioeÁ risolvendo rispetto a xM

xM

IL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

Figura 3

xM ˆ

xA ‡ xB 2

L'ascissa del punto medio di un segmento AB eÁ data dalla semisomma delle ascisse dei suoi estremi. Per esempio: l

l

se A…‡2† e B… 7† se A



3 4



eB



‡2 7 5 ˆ 2 2 3 1 allora xM ˆ 4 2 ˆ 2

allora xM ˆ 1 2



5 8

Figura 4

1.2 Il sistema di riferimento nel piano Abbiamo giaÁ visto nel primo volume che i punti del piano sono in corrispondenza biunivoca con le coppie ordinate …x, y† di numeri reali. Ricordiamo brevemente come si costruisce questa corrispondenza. Consideriamo due rette orientate qualsiasi r e s, che siano incidenti, distinte e perpendicolari (figura 4). Fissiamo su ciascuna di esse un sistema di ascisse in Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

77

modo che il punto origine O sia il loro punto di intersezione e supponiamo, almeno inizialmente, che l'unitaÁ di misura sia la stessa su entrambe le rette. Da un punto qualunque P del piano tracciamo le parallele ad r e s che le incontrano rispettivamente nel punto P 0 associato al numero x e nel punto P 00 associato al numero y (figura 5). Viceversa, assegnati un punto P 0 di ascissa x sulla retta r ed un punto P 00 di ascissa y sulla retta s e tracciate da essi le parallele ad s e r, si viene ad individuare come loro intersezione un unico punto P. Si stabilisce cosõÁ una corrispondenza biunivoca tra le coppie ordinate …x, y† di numeri reali e i punti P del piano.

Figura 5

Figura 6

Se (x, y ) eÁ la coppia ordinata di numeri reali associata al punto P, si dice che P ha coordinate (x, y ) e si scrive P…x, y† Il primo numero della coppia (il numero x ), si dice ascissa del punto P, il secondo numero della coppia (il numero y ), si dice ordinata. Per questo motivo l'asse r, che di solito viene disegnato orizzontalmente ed orientato verso destra, si dice asse delle ascisse (o anche asse x ); l'asse s, che di conseguenza viene disegnato verticalmente ed orientato verso l'alto, si dice asse delle ordinate (o anche asse y ). Il sistema di riferimento nel piano che si viene in questo modo a determinare prende il nome di cartesiano, e, piuÁ specificatamente, si parla di sistema di riferimento cartesiano ortogonale di origine O per il fatto che i due assi sono perpendicolari fra loro e si intersecano in O (figura 6).

Figura 7

Alcune osservazioni. n Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale i punti che appartengono all'asse delle ascisse hanno ordinata nulla, quelli che appartengono all'asse delle ordinate hanno ascissa nulla. L'origine del sistema di riferimento ha coordinate …0, 0†.

Figura 8

n Tracciando gli assi cartesiani, dividiamo il piano in quattro regioni che chiamiamo quadranti; essi vengono indicati con un numero ordinale come appare in figura 7. n I punti che appartengono al primo quadrante hanno entrambe le coordinate positive; quelli che appartengono al secondo hanno l'ascissa negativa e l'ordinata positiva; quelli che appartengono al terzo hanno entrambe le coordinate negative; infine, quelli che appartengono al quarto hanno l'ascissa positiva e l'ordinata negativa (in figura 8 alcuni esempi). n I punti del piano sono individuati da coppie ordinate di numeri reali; questo significa che i due numeri devono essere dati in un ordine preciso: prima l'ascissa e poi l'ordinata. Scambiando fra loro tali valori si ottiene un punto diverso (in figura 9 alcuni esempi).

Figura 9

n Fino ad ora abbiamo usato la stessa unitaÁ di misura sui due assi cartesiani; si dice in questo caso che il sistema di riferimento eÁ monometrico. E' tuttavia possibile scegliere una unitaÁ per l'asse delle ascisse ed una diversa per l'asse delle ordinate; si parla allora di sistema di riferimento dimetrico. In genere, si sceglie la prima soluzione per relazioni di tipo matematico, mentre eÁ spesso piuÁ conveniente la seconda per problemi di tipo economi-

78

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

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co, fisico, chimico oppure quando sui due assi si devono rappresentare numeri di grandezze diverse (ad esempio numeri molto piccoli sull'asse delle ascisse e numeri molto grandi sull'asse delle ordinate o viceversa).

I segmenti nel piano Dati nel piano cartesiano due punti A…xA , yA † e B…xB , yB †, vogliamo esprimere la misura del segmento AB e le coordinate del suo punto medio in funzione delle coordinate dei suoi estremi. Si possono presentare i seguenti casi. n Il segmento AB eÁ parallelo all'asse delle ascisse Poiche AB  A 0 B 0 (figura 10a), la misura di AB eÁ uguale al valore assoluto della differenza fra l'ascissa del punto B e quella del punto A presi in ordine qualsiasi: AB ˆ jxB xA j

Figura 10

a.

Per esempio, dato il segmento di estremi A…3, 2† e B… 5, 2†, si ha che AB ˆ j

5

3j ˆ 8.

n Il segmento AB eÁ parallelo all'asse delle ordinate Analogamente la misura di AB eÁ uguale al valore assoluto della differenza fra l'ordinata del punto B e quella del punto A presi in ordine qualsiasi (figura 10b): AB ˆ jyB yA j Per esempio, dato il segmento di estremi A…3, AB ˆ j7 … 4†j ˆ 11.

4† e B…3, 7† si ha che

b.

Nelle due formule precedenti si puoÁ evitare di considerare il modulo se si valuta la differenza fra l'ascissa maggiore e quella minore (oppure fra l'ordinata maggiore e quella minore) perche in tal caso la differenza eÁ sicuramente positiva. n Il segmento AB non eÁ parallelo agli assi Tracciamo da A la parallela all'asse delle ascisse e da B la parallela all'asse delle ordinate e indichiamo con C il loro punto di intersezione (figura 10c); il punto C ha coordinate …xB , yA †. Se applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC cosõÁ ottenuto, troviamo che 2

2

AB ˆ AC ‡ CB

c.

2

Ma il segmento AC eÁ parallelo all'asse delle ascisse e quindi la sua misura eÁ jxB xA j; il segmento CB eÁ parallelo all'asse delle ordinate e quindi la sua misura eÁ jyB yA j. Si ha quindi che AB 2 ˆ …xB

da cui ricaviamo che

AB ˆ

2

xA † ‡ …yB

yA †

2

q 2 2 …xB xA † ‡ …yB yA †

Per esempio, la misura del segmento AB di estremi A… 2, 1† e B…3, 4† eÁ q q p p 2 2 2 AB ˆ ‰3 … 2†Š ‡ …4 1† ˆ …3 ‡ 2† ‡ 32 ˆ 25 ‡ 9 ˆ 34

Determiniamo adesso le coordinate del punto medio di un segmento. Sia AB un segmento di estremi A…xA , yA † e B…xB , yB † e sia M…xM , yM † il punto medio del segmento; vogliamo esprimere le coordinate di M in funzione di quelle dei punti A e B. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Teorema di Talete. Un fascio di rette parallele individua su due trasversali segmenti proporzionali. Quindi se su una trasversale si individuano due segmenti congruenti, anche i loro corrispondenti sull'altra trasversale sono congruenti.

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

79

Proiettiamo i punti A, B e M sugli assi cartesiani (figura 11); per il teorema di Talete, se M eÁ il punto medio di AB, M 0 eÁ il punto medio di A 0 B 0 e M 00 eÁ il punto medio di A 00 B 00 . Le coordinate di M sono quindi rispettivamente l'ascissa e l'ordinata dei punti medi dei segmenti A 0 B 0 e A 00 B 00 : xM ˆ

xA ‡ xB 2

Per esempio, se A…5, yM ˆ

e

yM ˆ

Figura 11

y A ‡ yB 2

1† e B…3, 5†, si ha che xM ˆ

1‡5 ˆ 2, quindi M…4, 2†. 2

5‡3 ˆ4 e 2

ESEMPI 1. Calcoliamo le misure dei segmenti che hanno per estremi le seguenti coppie di punti: a. A…0, 3†

B…0, 5†

b. C …1, 5†

c. P… 2, 3†

D …4, 5†

Q…1,

1†

a. I punti A e B hanno la stessa ascissa; il segmento AB eÁ quindi parallelo all'asse y, anzi, in questo caso, AB appartiene all'asse y; la sua misura eÁ quindi data dalla differenza in modulo delle ordinate degli estremi: AB ˆ j5 3j ˆ 2 b. I punti C e D hanno la stessa ordinata, quindi CD eÁ un segmento parallelo all'asse x; la sua misura eÁ data dalla differenza in modulo delle ascisse degli estremi: CD ˆ j4

1j ˆ 3

c. Il segmento PQ non eÁ parallelo agli assi cartesiani; applicando la formula generale si ha che: q q p 2 2 2 PQ ˆ ‰1 … 2†Š ‡ … 1 3† ˆ 32 ‡ … 4† ˆ 9 ‡ 16 ˆ 5

2. Considerato il triangolo di vertici A… 2,

3†, B …4, golo isoscele e calcoliamo il suo perimetro.

1†, C … 1, 4†, verifichiamo che si tratta di un trian-

Il triangolo eÁ quello disegnato in figura 12; per verificare che si tratta di un triangolo isoscele calcoliamo le lunghezze dei suoi lati; poiche nessun segmento eÁ parallelo agli assi, applichiamo la formula generale: q p p p 2 2 AB ˆ ‰4 … 2†Š ‡‰ 1 … 3†Š ˆ 36 ‡ 4 ˆ 40 ˆ 2 10

Figura 12

q p p p 2 2 BC ˆ … 1 4† ‡‰4 … 1†Š ˆ 25 ‡ 25 ˆ 50 ˆ 5 2 AC ˆ

q p p p 2 2 ‰ 1 … 2†Š ‡‰4 … 3†Š ˆ 1 ‡ 49 ˆ 50 ˆ 5 2

Poiche i lati AC e BC hanno la stessa lunghezza, il triangolo eÁ isoscele di base AB. Il suo perimetro, che si indica con 2p, si calcola sommando le lunghezze dei lati: p p p p p 2p ˆ 2 10 ‡ 5 2 ‡ 5 2 ˆ 2 10 ‡ 10 2

3. Verifichiamo che il quadrilatero ABCD di vertici A…4, 1†, B…5, 6†, C … 1, 3†, D … 2, gramma.

80

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

2† eÁ un parallelo-

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Per riconoscere se un quadrilatero eÁ un parallelogramma si puoÁ:

Figura 13

l

I modo: verificare che i lati opposti siano congruenti;

l

II modo: verificare che le diagonali abbiano lo stesso punto medio.

Naturalmente si puoÁ anche verificare che i lati opposti siano paralleli oppure che gli angoli opposti siano congruenti, ma con le conoscenze che abbiamo acquisito finora non eÁ possibile riconoscere il parallelismo fra rette o la congruenza fra angoli. Costruiamo allora la figura del problema (figura 13) e procediamo alla risoluzione. I modo. Calcoliamo le lunghezze dei lati: q p 2 2 AB ˆ …5 4† ‡…6 1† ˆ 26 q p 2 2 AD ˆ …4 ‡ 2† ‡…1 ‡ 2† ˆ 3 5

q p 2 2 … 2 ‡ 1† ‡… 2 3† ˆ 26 q p 2 2 BC ˆ …5 ‡ 1† ‡…6 3† ˆ 3 5 CD ˆ

Il quadrilatero eÁ un parallelogramma.

II modo. Troviamo il punto medio M della diagonale AC : xM ˆ

4

1 2

3 ˆ 2

1‡3 yM ˆ ˆ2 2









3 M ,2 2

!

!

AB ˆ CD

!

AD ˆ BC

Troviamo il punto medio N della diagonale BD : xN ˆ

5

2 2

3 ˆ 2

yN ˆ

6

2 2

ˆ2

!

3 N ,2 2

Le diagonali hanno lo stesso punto medio, quindi ABCD eÁ un parallelogramma.

4. Di un segmento AB si conoscono le coordinate dell'estremo A…1, calcoliamo le coordinate del punto B.

2† e quelle del punto medio M…3, 1†;

Sia B …xB , yB †; dalle relazioni che legano le coordinate degli estremi con quelle del punto medio possiamo scrivere che: l

xA ‡ xB ˆ xM 2

cioeÁ

l

yA ‡ yB ˆ yM 2

cioeÁ

1 ‡ xB ˆ3 2 2 ‡ yB ˆ1 2

Risolvendo le due equazioni otteniamo che deve essere

Se due punti hanno coordinate A… 4, l

3† e B…2,

xB ˆ 5

e

!

B …5, 4†.

1†:

per trovare la misura di AB si deve calcolare la differenza tra le ascisse e le ordinate e non la somma: q 2 2 eÁ sbagliato scrivere AB ˆ …2 4† ‡… 1 3† q 2 2 AB ˆ …2 ‡ 4† ‡… 1 ‡ 3† eÁ corretto scrivere

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

yB ˆ 4

Attenzione agli errori

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

81

per trovare il punto medio di AB si deve calcolare la semisomma delle ascisse e delle ordinate, non la semidifferenza: 4 2 3‡1 yM ˆ eÁ sbagliato scrivere xM ˆ 2 2

l

eÁ corretto scrivere

xM ˆ

4‡2 2

yM ˆ

3 1 2

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Di un triangolo sono noti i tre vertici A…0, 2†, B…1, a. il segmento AB misura:

3†, C …5, 3†. Possiamo dire che: p ¬ 2 ­ 2

b. il punto medio del lato BC ha coordinate:

¬ …0, 3†

c. la mediana relativa al lato BC misura:

¬ 3

d. il triangolo eÁ:

¬ isoscele

­ …3, 0† p ­ 5

Sappiamo che un'isometria eÁ una trasformazione geometrica che ad ogni segmento di un piano ne associa un altro congruente al primo. La caratteristica piuÁ importante di questa trasformazione eÁ che figure che si corrispondono sono sempre congruenti; mediante l'applicazione di un'isometria si possono quindi costruire figure con caratteristiche particolari. Per esempio, se consideriamo i simmetrici A 0 e B 0 di due punti A e B rispetto a un punto O, il quadrilatero ABA 0 B 0 che otteniamo unendo i quattro punti eÁ un parallelogramma (figura 14). Fra tutte le isometrie, quelle che ora ci interessano piuÁ da vicino sono le simmetrie e le traslazioni.

p 26

® …2, 3† ®

­ equilatero

2. ISOMETRIE EVIDENTI NEL PIANO CARTESIANO

®

p 13

® scaleno

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 392 Trasformazione geometrica eÁ una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano; essa eÁ definita mediante una legge che indica come associare le coppie di punti. Figura 14

Le simmetrie assiali Data una retta r, la simmetria assiale di asse r eÁ la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P 0 in modo che r sia l'asse del segmento PP 0 ; del punto P 0 si dice che eÁ il simmetrico di P. In pratica, per trovare il simmetrico di un punto P rispetto a r si traccia da P la perpendicolare a r che la incontra in H e si prende su di essa, da parte opposta rispetto a r, il punto P 0 in modo che sia PH  P 0 H (figura 15). Nel piano cartesiano sono significative le simmetrie rispetto agli assi cartesiani. Dato un punto P …x, y † :

Figura 15

n il suo simmetrico rispetto all'asse x eÁ il punto P 0 che ha la stessa ascissa di P ma ordinata opposta (figura 16a di pagina seguente): P …x, y †

!

P 0 …x,

y†

n il suo simmetrico rispetto all'asse y eÁ il punto P 00 che ha la stessa ordinata di P ma ascissa opposta (figura 16b): P …x, y †

!

P 00 … x, y †

Per esempio, i simmetrici del punto P … 1, 2† rispetto ai due assi sono: P 0 … 1, 2† rispetto all'asse x, P 00 …1, 2† rispetto all'asse y (figura 16c).

82

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Figura 16

a.

b.

c.

Le simmetrie centrali Dato un punto A, la simmetria centrale di centro A eÁ la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P 0 in modo che A sia il punto medio del segmento PP 0 . In pratica, per trovare il simmetrico di un punto P rispetto al centro A si traccia da P la semiretta PA e si prende su di essa, da parte opposta rispetto a A, il punto P 0 in modo che sia PA  P 0 A (figura 17). Particolarmente semplice nel piano cartesiano eÁ la simmetria rispetto all'origine O; dato un punto P…x, y†, il suo simmetrico rispetto ad O eÁ il punto P 0 che ha ascissa e ordinata opposte rispetto a P (figura 18a): P…x, y†

P 0 … x,

!

Figura 17

y†

EÁ facile anche calcolare il simmetrico di P…x, y† rispetto ad un punto qualsiasi A…a, b† se teniamo presente che A eÁ il punto medio di PP 0 ; se …x 0 , y 0 † sono le coordinate di P 0 si ha che (figura 18b): x ‡ x0 ˆa 2

!

x 0 ˆ 2a

Quindi

P…x, y†

Per esempio, dato il punto P …5, l l

y ‡ y0 ˆb 2

e

x !

4†:

P 0 …2a

!

x, 2b

y 0 ˆ 2b

y

y†

il suo simmetrico rispetto all'origine eÁ il punto P 0 … 5, 4† il suo simmetrico rispetto ad A… 1, 2† ha coordinate: x 0 ˆ 2… 1†

5ˆ

7

y0 ˆ 2
2

… 4† ˆ 8

!

P 0 … 7, 8†

Figura 18

a.

b.

La traslazione Dato un segmento orientato v~, la traslazione eÁ la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P 0 in modo che il segmento v~ abbia il primo estremo in P ed il secondo in P 0 (figura 19 di pagina seguente). Un segmento orientato del piano si chiama anche vettore; un vettore si individua facilmente mediante le sue componenti lungo gli assi cartesiani, che sono i segmenti orientati vx e vy che si ottengono proiettando il vettore v~ su tali assi o Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Un segmento orientato eÁ un segmento sul quale si eÁ fissato un verso di percorrenza.

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

83

su due rette ad essi parallele; se A…x1 , y1 † e B…x2 , y2 † sono rispettivamente il primo e il secondo estremo del vettore, si ha che (figura 20a): v x ˆ x2

x1

e

vy ˆ y2

y1

e si scrive

ƒ! Per esempio, il vettore v~ ˆ AB con A…3, ponenti vx ˆ

2

3ˆ

Figura 19

v~…vx , vy †.

1† e B… 2, 4† in figura 20b ha com5 e vy ˆ 4 ‡ 1 ˆ 5 e scriviamo v~… 5, 5†.

Figura 20

a.

b.

Dato dunque un vettore v~ di componenti …vx , vy † ed un punto P …x, y † del piano, le coordinate del punto P 0 ad esso corrispondente nella traslazione di vettore v~ si ottengono aggiungendo vx e vy rispettivamente alla sua ascissa e alla sua ordinata (figura 21):
P …x, y † ! P 0 x ‡ v x , y ‡ vy

Figura 21

Per esempio, considerando ancora il vettore v~… 5, 5†, il punto P 0 che corrisponde a P …1, 4† ha coordinate: ascissa: 1

5ˆ

4

ordinata:

P 0 … 4, 1†

4‡5ˆ1

ESEMPI 1. Dato il triangolo ABC di vertici A…2, 3†, B… 2, 0†, C…3,

1†, troviamo le coordinate dei vertici del triangolo A 0 B 0 C 0 corrispondente del triangolo ABC nella simmetria: a. rispetto all'asse x b. rispetto all'asse y c. rispetto all'origine degli assi a. I punti A 0 , B 0 , C 0 hanno la stessa ascissa dei punti A, B, C ma ordinate opposte; quindi (figura 22a) A 0 …2,

3†

B 0 … 2, 0†

C 0 …3, 1†.

Osserviamo che il punto B, che appartiene all'asse di simmetria, coincide con il punto B 0 .

b. I punti A 0 , B 0 , C 0 hanno la stessa ordinata dei punti A, B, C ma ascisse opposte; quindi (figura 22b) A 0 … 2, 3†

B 0 …2, 0†

C 0 … 3,

1†

c. I punti A 0 , B 0 , C 0 hanno ascisse e ordinate opposte a quelle di A, B, C; quindi (figura 22c) A 0 … 2,

3†

B 0 …2, 0†

C 0 … 3, 1†

Figura 22

a.

84

b.

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

c.

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

2. Dato il segmento di estremi A…2,

1† e B… 5, 3†, troviamo il suo corrispondente A 0 B 0 nella traslazione di

  3 ,1 . vettore v~ 2

Le coordinate dei punti A 0 e B 0 si ottengono da quelle di A e 3 B aggiungendo alle ascisse e 1 alle ordinate (figura 23). 2 Risolvendo i due sistemi: 8 8 < xA 0 ˆ 2 ‡ 3 ˆ 7 < xB 0 ˆ 5 ‡ 3 ˆ 7 2 2 2 2 : : yA 0 ˆ 1 ‡ 1 ˆ 0 yB 0 ˆ 3 ‡ 1 ˆ 4 si ottengono i punti:

A

0



7 ,0 2



e

B

0



7 ,4 2

Figura 23



VERIFICA DI COMPRENSIONE    1 1 1. I punti A , 3 e B , 2 2

3



a. rispetto all'asse x

si corrispondono nella simmetria: b. rispetto all'asse y

2. Il punto B…2, 2† eÁ il corrispondente del punto A…3, a. v~…3,

b. v~…1,

1†

3†

c. rispetto all'origine 1† nella traslazione di vettore: c. v~… 1, 3†

3. I punti A…2, 1† e C …0, 5† sono due dei tre vertici di un triangolo ABC isoscele di base AB. Osservato che di triangoli di questo tipo ce ne sono infiniti, quale fra le seguenti puoÁ essere una possibile posizione del punto B? a. eÁ simmetrico di A rispetto all'asse y ed ha coordinate … 2, 1† b. eÁ simmetrico di A rispetto all'asse x ed ha coordinate …2,

1†

c. eÁ simmetrico di C rispetto all'asse x ed ha coordinate … 5, 0†

4. Nella simmetria di centro P…3, 2†, il corrispondente del segmento AB di estremi A…2, 0

1† e B…0, 3† eÁ il

0

segmento A B di estremi: a. A 0 … 1, 0†; B 0 …3,

2†

c. A 0 …4, 3†; B 0 …6, 7†

b. A 0 …8, 3†; B 0 …6, 9† d. A 0 …4, 5†; B 0 …6, 1†.

3. LA RETTA E LA SUA EQUAZIONE

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 396

3.1 L'equazione di una retta Dopo aver imparato a lavorare con i segmenti, ci chiediamo come sia possibile trovare una relazione di tipo algebrico che esprima il legame esistente fra i punti di una retta. Cominciamo dalle rette piuÁ semplici che possiamo tracciare nel piano: gli assi cartesiani e le rette ad essi parallele. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

85

L'asse delle ascisse

Figura 24

I punti che appartengono all'asse x hanno la caratteristica di avere un'ascissa che varia a seconda della loro posizione (in figura 24a abbiamo rappresentato i punti di ascissa 5, 3, 2, 4), ma un'ordinata che vale sempre zero; questa caratteristica si puoÁ esprimere scrivendo che, per qualsiasi x eÁ y ˆ 0. L'asse x eÁ quindi rappresentato dall'equazione a.

y ˆ0

L'asse delle ordinate I punti che appartengono all'asse y hanno la caratteristica di avere un'ordinata che varia a seconda della loro posizione (in figura 24b abbiamo rappresentato i punti di ordinata 4, 1, 2), ma un'ascissa che vale sempre zero; in questo caso, quindi, la relazione che individua l'asse y si puoÁ esprimere mediante l'equazione xˆ0

b.

La retta parallela all'asse delle ascisse Consideriamo per esempio la retta parallela all'asse x che passa per il punto di coordinate …0, 3†; i punti di questa retta hanno un'ascissa variabile, ma un'ordinata costante sempre uguale a 3 (figura 24c). Possiamo quindi dire che la sua equazione eÁ y ˆ 3. In generale, se k eÁ il valore della costante che caratterizza l'ordinata di tutti i punti che appartengono a una retta parallela all'asse x, la sua equazione eÁ (figura 24d) yˆk

c.

La retta parallela all'asse delle ordinate Consideriamo per esempio la retta parallela all'asse y che passa per il punto di coordinate …2, 0†; i punti di questa retta hanno un'ordinata variabile, ma un'ascissa costante sempre uguale a 2 (figura 24e). Possiamo quindi dire che la sua equazione eÁ x ˆ 2. In generale, se h eÁ il valore della costante che caratterizza i punti che appartengono a una retta parallela all'asse y, la sua equazione eÁ (figura 24f )

d.

xˆh e.

La retta passante per l'origine Consideriamo una retta non parallela agli assi che passa per l'origine O del piano cartesiano, prendiamo su di essa alcuni punti distinti dall'origine e tracciamo da questi punti le parallele all'asse delle ordinate (figura 25 di pagina seguente). Quello che notiamo eÁ che i rapporti fra le ordinate e le ascisse di questi punti sono tutti uguali: A…2, 1† # yA 1 ˆ xA 2

86

B…6, 3† # yB 3 1 ˆ ˆ xB 6 2

C… 4, 2† # yC 2 1 ˆ ˆ xC 4 2

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

f.

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

e questo accade per qualunque punto P…x, y† che appartiene alla retta in quanto si vengono a formare triangoli rettangoli tutti simili tra loro. Relativamente ai punti di questa retta possiamo quindi dire che y 1 ˆ x 2

che possiamo anche scrivere nella forma

yˆ

Figura 25

1 x 2

PiuÁ in generale, i punti …x, y† distinti dall'origine che appartengono a una retta y che passa per O sono caratterizzati dall'avere un rapporto che eÁ costante. Se x indichiamo con m tale costante, deve essere y ˆm x

che possiamo anche scrivere nella forma

y ˆ mx

In questa seconda forma anche l'origine soddisfa questa equazione e possiamo concludere che una retta passante per l'origine ha equazione

y ˆ mx

Il numero m viene detto coefficiente angolare della retta.

La retta non passante per l'origine Da ultimo consideriamo il caso di una retta r non parallela agli assi che non passa per l'origine. Prendiamo anche in questo caso alcuni punti su r (figura 26): A… 4, 1†

B…2, 4†

C…6, 6†

Figura 26

D…8, 7†

Questa volta sono i rapporti fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti ad essere tutti uguali: yB xB

yA 4 1 1 ˆ ˆ xA 2‡4 2

yC xC

yB 6 ˆ xB 6

4 1 ˆ 2 2

yD xD

yC 7 ˆ xC 8

6 1 ˆ 6 2

PiuÁ in generale, fissato un punto A…x0 , y0 † della retta, tutti gli altri punti P…x, y† y y0 che le appartengono sono caratterizzati dall'avere un rapporto che eÁ x x0 costante. Indicando con m tale costante deve essere y x

y0 ˆm x0

cioeÁ

y

y0 ˆ m …x

x0 †

!

y ˆ mx

mx0 ‡ y0

Ma m, x0 , y0 sono numeri e quindi anche l'espressione mx0 ‡ y0 eÁ un numero che indichiamo con q; possiamo quindi concludere che: una retta non parallela agli assi e che non passa per l'origine ha equazione

Nell'equazione y ˆ mx ‡ q

m eÁ il coefficiente angolare q eÁ l'ordinata all'origine Figura 27

y ˆ mx ‡ q Il numero q si ottiene dall'equazione della retta per x ˆ 0 e rappresenta quindi l'ordinata del punto di intersezione con l'asse y; per questo motivo viene detto ordinata all'origine. Se q > 0 la retta interseca l'asse y in un punto di ordinata positiva, se q < 0 la retta interseca l'asse y in un punto di ordinata negativa (figura 27); eÁ poi evidente che se q ˆ 0 ritroviamo la retta per l'origine. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

87

L'equazione generale di una retta In tutti i casi che abbiamo analizzato abbiamo sempre trovato un'equazione di primo grado nelle variabili x e y; viceversa, si puoÁ dimostrare che una qualunque equazione di primo grado nelle stesse variabili rappresenta una retta. Possiamo quindi identificare le equazioni lineari in due variabili con le rette del piano cartesiano. Un'equazione di primo grado nelle variabili x e y assume sempre la forma ax ‡ by ‡ c ˆ 0 quindi l'equazione di una retta puoÁ sempre essere scritta in questo modo. Per esempio, la retta y ˆ

1 x 4

3 si puoÁ scrivere cosõÁ:

4y ˆ x Viceversa, la retta 2x ‡ 3y 3y ˆ

12

x

!

4y

12 ˆ 0

1 ˆ 0 si puoÁ scrivere cosõÁ: 2x ‡ 1

!

yˆ

2 1 x‡ 3 3

In generale quindi, con opportuni calcoli e sotto opportune condizioni, eÁ sempre possibile passare da una forma all'altra. n La forma ax ‡ by ‡ c ˆ 0 si dice forma implicita dell'equazione della retta. n La forma y ˆ mx ‡ q si dice forma esplicita. In particolare: a c x b b le relazioni che legano i coefficienti a, b, c della forma implicita ai coefficienti m e q della forma esplicita sono le seguenti:

n se

b 6ˆ 0

dall'equazione

mˆ

ax ‡ by ‡ c ˆ 0

a b

e

qˆ

si ricava

yˆ

c b

Se inoltre: l

l

a x e quindi, avendo un'ordinab a ; ta all'origine nulla, la retta passa per l'origine degli assi e ancora m ˆ b c c a ˆ 0, l'equazione assume la forma y ˆ e quindi, essendo una b b costante, la retta eÁ parallela all'asse x. Una retta parallela all'asse x ha quindi coefficiente angolare nullo.

n se

c ˆ 0, l'equazione assume la forma y ˆ

bˆ0

l'equazione diventa

ax ‡ c ˆ 0

!

xˆ

c a

che rappresenta l'equazione di una retta parallela all'asse y. a perche b ˆ 0, di una retta parallela all'asPoiche non esiste il rapporto b se y non si puoÁ definire il coefficiente angolare.

88

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3.2 Il grafico di una retta Il grafico di una retta, cosõÁ come quello di una qualsiasi curva, eÁ costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate ne soddisfano l'equazione. Uno dei primi assiomi della geometria ci assicura che per due punti passa una e una sola retta; di conseguenza, per tracciare il grafico di una retta eÁ sufficiente individuare due suoi punti. Di solito conviene scrivere l'equazione della retta in forma esplicita, attribuire alla variabile x due valori a scelta e calcolare poi l'ordinata sostituendo nell'equazione. Per esempio, per disegnare il grafico della retta 2x 3y ‡ 1 ˆ 0 procediamo cosõÁ: 2 1 l scriviamo l'equazione in forma esplicita y ˆ x‡ 3 3 l

l

troviamo il primo punto attribuendo il valore 1 alla variabile x : 2 1 y ˆ
1‡ ˆ1 ! il punto ha coordinate …1, 1† 3 3 troviamo il secondo punto attribuendo il valore 2 a x : 2 1 ! il punto ha coordinate … 2, y ˆ
… 2† ‡ ˆ 1 3 3

1†.

Ricordiamo che per determinare le coordinate di alcuni punti di una qualsiasi funzione y ˆ f …x† eÁ comodo servirsi di una tabella in cui, per ogni punto, indicare il valore di x scelto e quello corrispondente calcolato di y (la tabella si puoÁ sviluppare in orizzontale oppure in verticale). Relativamente ai due punti precedenti x

1

2

y

1

1

Per trovare le coordinate di due punti della retta, si puoÁ attribuire a x qualunque valore; eÁ peroÁ conveniente, se eÁ possibile, attribuire valori che determinano punti a coordinate intere, piuÁ facilmente rappresentabili nel piano cartesiano.

Figura 28

Il grafico eÁ in figura 28.

ESEMPI 1. L'equazione y ˆ 2x eÁ in forma esplicita e rappresenta una retta pas-

Figura 29

sante per l'origine degli assi di coefficiente angolare 2.

Per costruire il suo grafico eÁ sufficiente determinare le coordinate di un altro punto diverso da O; per esempio, si ha che se x ˆ 1, y ˆ 2. Il grafico eÁ in figura 29.

2. L'equazione y ‡ 2 ˆ 0 (forma implicita) puoÁ essere scritta nella forma

Figura 30

3. L'equazione x

Figura 31

y ˆ 2 e rappresenta percioÁ una retta parallela all'asse delle ascisse il cui grafico eÁ in figura 30. Il coefficiente angolare di questa retta eÁ zero.

3 ˆ 0 puoÁ essere scritta nella forma x ˆ 3 e rappresenta quindi una retta parallela all'asse delle ordinate il cui grafico eÁ in figura 31. Il coefficiente angolare di questa retta non esiste.

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Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

89

4. L'equazione x

y ‡ 4 ˆ 0 puoÁ essere scritta nella forma y ˆ x ‡ 4 e rappresenta percioÁ una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante per l'origine. Il coefficiente angolare della retta eÁ 1 e l'ordinata all'origine vale 4. Per tracciarne il grafico eÁ sufficiente individuare due suoi punti che troviamo costruendo la tabella di coordinate attribuendo a x due valori a nostra scelta, per esempio 0 e 4 (figura 32): x

0

y

4

Figura 32

4 0

3.3 Il coefficiente angolare Nell'equazione y ˆ mx ‡ q il coefficiente angolare m esprime il rapporto fra la differenza delle ordinate, che indichiamo con
y, e la differenza delle ascisse, che indichiamo con
x, di due punti qualsiasi della retta; dati cioeÁ due punti qualsiasi di coordinate …x1 , y1 † e …x2 , y2 †, il coefficiente angolare m della retta che passa per tali punti si ottiene con la formula mˆ


y y2 ˆ x2
x

y ˆ mx ‡ q

y1 x1

che eÁ indipendente dall'ordine con cui si considerano i punti. Per esempio, il coefficiente angolare della retta che passa per i punti di coordinate …3, 2† e …4, 1† ha valore: mˆ

1 4

… 2† ˆ3 3

oppure anche

Una retta di equazione

mˆ

2 1 ˆ3 3 4

non eÁ parallela all'asse y, quindi non puoÁ capitare che sia x1 ˆ x2 e che l'e
y spressione perda signifi
x cato.

L'importante eÁ che, una volta stabilito un ordine, questo venga rispettato sia nel calcolare la differenza fra le ordinate che nel calcolare la differenza fra le ascisse. Il coefficiente angolare di una retta per l'origine eÁ un caso particolare di questa formula se poniamo che il punto …x1 , y1 † sia l'origine; in questo caso si ottiene infatti y2 0 y2 mˆ ˆ x2 x2 0 cioeÁ m eÁ il rapporto fra l'ordinata e l'ascissa di un suo punto qualsiasi. Al variare di m si possono presentare i seguenti casi: n m>0 ed allora
y e
x devono essere concordi, cioeÁ essere entrambi positivi oppure entrambi negativi. Questo significa che ad incrementi positivi (o negativi) delle ascisse devono corrispondere incrementi positivi (o negativi) delle ordinate (figura 33a); di conseguenza, la retta deve formare un angolo acuto con la direzione positiva dell'asse x e diremo in questo caso che eÁ inclinata positivamente rispetto a tale asse.

Figura 33a

n m > xˆ >  < 7 x 2y ‡ 1 ˆ 0 ! > 3x ‡ y ‡ 2 ˆ 0 > 1 > :y ˆ 7   5 1 quindi P (figura 38a di pagina seguente) , 7 7 le rette di equazioni r : 5x ‡ 3y 2 ˆ 0 e s : 5x ‡ 3y 9 ˆ 0 sono paralle5 e sono distinte perche non hanno la stessa ordinale perche mr ˆ ms ˆ 3 ta all'origine; il sistema delle loro equazioni eÁ quindi impossibile come puoi facilmente verificare risolvendolo (figura 38b)

98

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

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l

le rette di equazioni r : x 2y ‡ 1 ˆ 0 e s : 4x 8y ‡ 4 ˆ 0 sono parallele 1 perche mr ˆ ms ˆ e sono coincidenti perche i coefficienti delle due 2 equazioni sono proporzionali; il sistema delle loro equazioni eÁ quindi indeterminato (figura 38c). Figura 38

a.

b.

c.

Come caso particolare di intersezione tra rette consideriamo adesso il sistema tra una retta qualsiasi non parallela all'asse x e l'asse x stesso:  y ˆ mx ‡ q yˆ0

GLI ZERI DI UNA FUNZIONE

Sostituendo 0 al posto di y nell'equazione della retta troviamo: mx ‡ q ˆ 0 che eÁ un'equazione lineare la cui soluzione eÁ: xˆ

q m

La retta interseca dunque l'asse delle ascisse nel punto di coordinate   q ,0 m L'ascissa del punto d'intersezione di una retta con l'asse x prende il nome di zero della funzione che la retta rappresenta (figura 39). Questa definizione puoÁ essere estesa a una funzione qualsiasi di equazione y ˆ f …x †.

Figura 39

Chiamiamo zeri di una funzione f …x † le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione stessa con l'asse x. Essi si determinano risolvendo l'equazione f …x † ˆ 0. Per esempio: l

lo zero della funzione y ˆ 3x 3x

l

4 si ottiene risolvendo l'equazione 4 4 ˆ 0 ed eÁ il punto di ascissa x ˆ 3

viceversa, possiamo interpretare graficamente la soluzione dell'equazione 1 come l'ascissa del punto di intersezione della ret2x ‡ 1 ˆ 0, cioeÁ x ˆ 2 ta y ˆ 2x ‡ 1 con l'asse x.

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Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

99

APPROFONDIMENTI L'INTERPRETAZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE LINEARE Anche una disequazione lineare si puoÁ interpretare dal punto di vista grafico associandole una retta. Consideriamo per esempio la disequazione

Figura 40

2x ‡ 3 > 0 e indichiamo con y il polinomio al primo membro, poniamo cioeÁ y ˆ 2x ‡ 3. La disequazione data eÁ quindi equivalente a

y > 0.

Interpretiamo graficamente quello che abbiamo ottenuto. L'equazione y ˆ 2x ‡ 3 eÁ quella di una retta e chiedersi quando y eÁ maggiore di zero significa chiedersi quando le ordinate dei punti di questa retta sono positive, in altre parole quando la retta si trova nel semipiano positivo delle ordinate che eÁ quello che comprende il primo ed il secondo quadrante. Se tracciamo il grafico (figura 40), ci accorgiamo che la parte di retta che soddisfa questa condizione eÁ la semiretta in colore rosso. Allora, individuata l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse x, che in 3 , i punti che appartengono alla semiretta in rosso sono questo caso eÁ 2 3 quelli che hanno l'ascissa maggiore di , dunque l'insieme delle so2 3 . luzioni della disequazione eÁ x > 2 Un altro esempio: risolviamo graficamente la disequazione 3x

Figura 41

4  0.

Disegniamo nel piano cartesiano la retta di equazione y ˆ 3x 4; essa 4 interseca l'asse x nel punto di ascissa . Poiche deve essere y  0, del 3 grafico ci interessa la parte i cui punti hanno ordinata negativa o nulla, 4 ovvero la semiretta in rosso compreso il punto di ascissa (figura 41). 3 4 L'intervallo delle soluzioni eÁ quindi x  . 3

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Le due rette di equazioni 2x 

5 1 , a. si intersecano in P 2 2 c. si intersecano in P



1 , 2



4y ‡ 3 ˆ 0 e x

3y ‡ 1 ˆ 0 :  b. si intersecano in P

5 2



5 , 2

1 2



d. non si intersecano

2. Servendoti del piano cartesiano a lato, rappresenta graficamente la soluzione dell'equazione 1

100

3x ˆ 0.

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

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7. LA DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA La distanza di un punto da una retta eÁ il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta (figura 42). Vediamo come eÁ possibile calcolarla attraverso un esempio. Consideriamo la retta r di equazione x ‡ 2y 6 ˆ 0 e il punto P …3, 5† (figura 43); per calcolare la misura del segmento PH che rappresenta la distanza di P da r dobbiamo: l

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 407

Figura 42

scrivere l'equazione della retta s passante per P e perpendicolare a r : 1 ms ˆ 2 mr ˆ 2 equazione della retta:

y

5 ˆ 2…x

3†

y ˆ 2x

!

1

intersecare r e s per trovare le coordinate del punto H : 8 8 >   > 

5 5 11 y ˆ 2x 1 > :y ˆ 5  s p 2 2  8 11 7 5 l calcolare PH : 3 ‡ 5 ˆ 5 5 5 p 7 5 . La distanza di P dalla retta r eÁ dunque uguale a 5 l

Figura 43

Questa procedura puoÁ essere ripetuta nel caso generale di una retta di equazione ax ‡ by ‡ c ˆ 0 e di un punto P …x0 , y0 †; indicando con d …P, r † la distanza del punto P dalla retta r, si arriva alla seguente formula: d …P, r † ˆ

jax0 ‡ by0 ‡ c j p a2 ‡ b 2

Per ricordarla facilmente e applicarla in modo corretto osserviamo che: l l

l

l'equazione della retta deve essere scritta in forma implicita il numeratore della frazione eÁ il modulo dell'espressione che si ottiene sostituendo alle variabili x e y le coordinate del punto P nel trinomio ax ‡ by ‡ c

il denominatore eÁ la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti di x e di y dell'equazione della retta (sempre nella forma implicita).

Calcoliamo con questa formula la misura del segmento PH dell'esempio introduttivo: l

equazione della retta in forma implicita:

l

punto da cui calcolare la distanza:

l

applicazione della formula: j3 ‡ 2
5 6j ˆ 7 ± al numeratore p p ± al denominatore 12 ‡ 22 ˆ 5 p 7 7 5 p ˆ ± distanza 5 5

x ‡ 2y

P …3, 5†

6ˆ0

si sostituisce 5 al posto di x e 1 al posto di y 1 eÁ il coefficiente di x, 2 eÁ quello di y

Il risultato ottenuto eÁ evidentemente lo stesso. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

101

ESEMPI 1. Calcoliamo la distanza del punto P …3,

2† dalla retta di equazione y ˆ

Scriviamo innanzi tutto l'equazione della retta in forma implicita: 3
3 4
… 2† 4 13 p Applichiamo la formula: ˆ 5 32 ‡ 42

2. Calcoliamo l'area del triangolo di vertici A…0, 4†, B… 1,

3x

2†, C …5, 0†.

3 x 4 4y

1. 4ˆ0

Figura 44

Rappresentiamo i tre punti nel piano cartesiano e costruiamo il triangolo (figura 44). Scegliamo un lato come base, per esempio BC, e troviamo l'altezza AH ad esso relativa che eÁ proprio la distanza del punto A dalla retta AB. Troviamo quindi dapprima l'equazione della retta BC : y ‡2 x‡1 ˆ 0‡2 5‡1

!

x

3y

Troviamo l'altezza AH :

Troviamo la misura della base BC :

Possiamo adesso calcolare l'area:

5ˆ0 3
4 5j 17 p ˆ p 2 2 1 ‡3 10 q p 2 2 BC ˆ …5 ‡ 1† ‡…0 ‡ 2† ˆ 2 10 AH ˆ

area ˆ

j0

1 p 17
2 10
p ˆ 17 2 10

8. PROBLEMI SULLA RETTA Quello che abbiamo imparato nei precedenti paragrafi ci permette di risolvere alcuni problemi geometrici riferendoci a un piano cartesiano. Tenendo presente che, a volte, uno stesso problema puoÁ essere affrontato da diversi punti di vista, di alcuni di essi presenteremo differenti percorsi risolutivi mettendo in evidenza per ognuno il ragionamento seguito.

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 409

I problema I lati di un triangolo appartengono alle rette di equazioni r : 3x 2y ‡ 5 ˆ 0, s : x 7y 11 ˆ 0 e t : 5x ‡ 3y 17 ˆ 0. Troviamo le coordinate dei vertici di questo triangolo e il suo perimetro.

Figura 45a

Tutte le volte che si affronta un problema eÁ bene costruirne il modello grafico disegnando, in questo caso, le tre rette come in figura 45a. Per trovare le coordinate dei punti A, B, e C dobbiamo intersecare le rette a due a due. Intersechiamo le rette r e s per trovare il punto A :   xˆ 3 3x 2y ‡ 5 ˆ 0 ! A… 3, 2† ! yˆ 2 x 7y 11 ˆ 0

102

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

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Intersechiamo le rette r e t per trovare il punto B :   3x 2y ‡ 5 ˆ 0 xˆ1 ! ! y ˆ4 5x ‡ 3y 17 ˆ 0

B …1, 4†

Intersechiamo infine le rette s e t per trovare il punto C :   xˆ4 x 7y 11 ˆ 0 ! ! yˆ 1 5x ‡ 3y 17 ˆ 0

C …4,

1†

Il modello grafico del problema ci daÁ anche modo di controllare se non abbiamo commesso errori nella risoluzione dei sistemi perche i punti trovati devono corrispondere a quelli sul grafico (figura 45b). Per trovare il perimetro del triangolo dobbiamo adesso calcolare le lunghezze dei tre lati: q p p 2 2 l AB ˆ …1 ‡ 3† ‡…4 ‡ 2† ˆ 52 ˆ 2 13 q p p 2 2 l AC ˆ …4 ‡ 3† ‡… 1 ‡ 2† ˆ 50 ˆ 5 2 q p 2 2 l BC ˆ …4 1† ‡… 1 4† ˆ 34

Figura 45b

p p p Il perimetro del triangolo eÁ quindi 2 13 ‡ 5 2 ‡ 34. II problema

Dati i punti A… 2, 2†, B …4, 1†, C …1, 5† troviamo le coordinate del punto D in modo che il quadrilatero ABCD sia un parallelogramma e calcoliamone poi l'area. Rappresentiamo i tre punti nel piano cartesiano; per trovare le coordinate del punto D possiamo anche in questo caso procedere in diversi modi; ne proponiamo due. Primo metodo. Una delle proprietaÁ dei parallelogrammi eÁ che le diagonali si intersecano nel loro punto medio; una diagonale eÁ il segmento AC, l'altra eÁ il segmento BD (figura 46a). Allora basta trovare le coordinate del punto medio del segmento AC, di cui sono noti gli estremi, e poi imporre che tale punto sia anche il punto medio del segmento BD (questo eÁ il metodo che hai probabilmente usato per risolvere i problemi relativi al paragrafo 1.2). l

l

Figura 46a

punto medio M di AC: xM ˆ

xA ‡ xC ˆ 2

2‡1 ˆ 2

1 2

yM ˆ

yA ‡ yC ˆ 2

2‡5 3 ˆ 2 2

quindi

M



1 3 , 2 2



M punto medio di BD: xM ˆ

xB ‡ xD 2

!

yM ˆ

yB ‡ yD 2

!

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1 4 ‡ xD ˆ 2 2 3 1 ‡ yD ˆ 2 2

! !

xD ˆ yD ˆ 2

5 quindi D … 5, 2†

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

103

Secondo metodo. Il punto D eÁ il punto d'intersezione della retta passante per C e parallela ad AB con la retta passante per A e parallela a BC (figura 46b): l

coefficiente angolare della retta AB:

1‡2 1 ˆ 4‡2 2

l

retta per C parallela ad AB: y

1 …x 2

l

coefficiente angolare della retta BC:

l

retta per A parallela a BC:

l

punto D:



5ˆ

5 1

1† 1 ˆ 4

2y ‡ 9 ˆ 0

4 3

4 … x ‡ 2† ! 3  xˆ 5 ! y ˆ2

y ‡2ˆ

x 2y ‡ 9 ˆ 0 4x ‡ 3y ‡ 14 ˆ 0

x

!

Figura 46b

4x ‡ 3y ‡ 14 ˆ 0 !

D … 5, 2†

Possiamo adesso calcolare l'area del parallelogrammo; scegliamo AB come base e troviamo l'altezza come distanza del punto C dalla retta AB : y ‡2 x‡2 ˆ 1‡2 4‡2

l

retta AB:

l

distanza del punto C da AB:

l

l

x

!

2y

2ˆ0

2
5 2j 11 p ˆ p 12 ‡ 22 5 q p 2 2 misura di AB: AB ˆ …4 ‡ 2† ‡…1 ‡ 2† ˆ 3 5 area:

j1

p 11 3 5
p ˆ 33 5

III problema 1 x ‡ 1, troviamo l'equazione: 2 a. di quella ad essa simmetrica rispetto all'asse x Data la retta r di equazione y ˆ

b. di quella ad essa simmetrica rispetto all'asse y c. di quella ad essa simmetrica rispetto all'origine d. di quella ad essa corrispondente nella traslazione di vettore v~…4, 3†. a. La retta r interseca l'asse delle ascisse nel punto A… 2, 0† e l'asse delle ordinate nel punto B…0, 1†; la sua simmetrica rispetto all'asse x deve passare ancora per il punto A e per il simmetrico di B che eÁ B 0 …0, 1† (figura 47a); possiamo quindi scrivere l'equazione della retta s che passa per A e B 0 : y 0 x‡2 ˆ 1 0 0‡2

!

s:yˆ

1 x 2

Figura 47a

1

Osserviamo che l'ordinata all'origine di questa retta, come eÁ prevedibile, eÁ l'opposto di quella della retta r, e che anche il coefficiente angolare eÁ opposto; in effetti, la pendenza di s eÁ la stessa di quella di r ma negativa. In generale: due rette simmetriche rispetto all'asse x hanno ordinate all'origine e coefficienti angolari opposti.

104

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

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b. La simmetrica di r rispetto all'asse y passa ancora per il punto B…0, 1† e per il punto A 0 …2, 0† simmetrico di A (figura 47b); scriviamo allora l'equazione della retta t per B e A 0 : y 1

0 x ˆ 0 0

2 2

t :yˆ

!

Figura 47

1 x‡1 2

Con considerazioni analoghe alle precedenti, possiamo generalizzare il risultato ottenuto e dire che: due rette simmetriche rispetto all'asse y hanno la stessa ordinata all'origine e coefficienti angolari opposti. c. La simmetrica di r rispetto all'origine passa per il simmetrico di A che eÁ A 0 …2, 0† e per il simmetrico di B che eÁ B 0 …0, 1† ed ha quindi equazione (figura 47c): y 0 x ˆ 1 0 0

2 2

p:yˆ

!

1 x 2

b.

1

Le rette r e p, come prevedibile dalla definizione di simmetria centrale, sono dunque parallele: due rette simmetriche rispetto all'origine hanno lo stesso coefficiente angolare e ordinate all'origine opposte. c.

d. Anche in questo caso scegliamo due punti su r (possiamo scegliere ancora i punti A… 2, 0† e B…0, 1†), troviamo i loro corrispondenti nella traslazione e poi scriviamo l'equazione della retta traslata (figura 47d): l

i corrispondenti di A e B nella traslazione sono i punti A 0 … 2 ‡ 4, 0 ‡ 3† ˆ …2, 3†

l

la retta per A 0 e B 0 ha equazione: cioeÁ y ˆ

1 x ‡ 2. 2

B 0 …0 ‡ 4, 1 ‡ 3† ˆ …4, 4†

e y 3

4 x ˆ 4 2

4 4 d.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Le rette di equazioni x a.



1 2 , 7 7



3y ‡ 1 ˆ 0 e 2x ‡ y ˆ 0 si intersecano nel punto di coordinate:   2 3 b. , c. …0, 0† d. …1, 2† 7 7

2. Nella traslazione di vettore v~…1, 0† la retta che corrisponde a quella di equazione y ˆ 2x a. y ˆ 2x

b. y ˆ 2x ‡ 1

c. y ˆ 2x

2

d. y ˆ 2x

9. I FASCI DI RETTE In geometria euclidea esistono due tipi di fasci di rette, quelli propri e quelli impropri.

1 eÁ:

3

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 418

n Un fascio proprio eÁ l'insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto P assegnato. Se P ha coordinate …x0 , y0 †, per scrivere l'equazione di tale Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

105

fascio possiamo usare la formula y di centro P…2, 3† ha equazione: y ‡ 3 ˆ m…x

2†

y0 ˆ m…x mx

!

x0 †. Per esempio, il fascio y

2m

3ˆ0

Al variare di m otteniamo tutte le rette del fascio tranne quella parallela all'asse y che non ha coefficiente angolare. n Un fascio improprio eÁ l'insieme di tutte e sole le rette parallele a una retta data; l'equazione di un fascio di questo tipo deve quindi avere un coefficiente angolare fisso e un'ordinata all'origine variabile. Per esempio, il fascio di rette parallele a quella di equazione 3x ‡ 5y 1 ˆ 0 ha equazione: 3x ‡ 5y ‡ k ˆ 0 Al variare di k otteniamo tutte le rette del fascio.

ESEMPI 1. Individuiamo la natura del fascio di rette di equazione 3x ‡ ky rette quella che passa per il punto A…0, 2†.

k ‡ 1 ˆ 0 e determiniamo poi fra tali

Per stabilire la natura del fascio, calcoliamo il suo coefficiente angolare: m ˆ

3 k

Avendo trovato un coefficiente angolare variabile, possiamo concludere che si tratta di un fascio proprio. Per trovare il centro, basta intersecare due rette qualsiasi che gli appartengono. Queste rette si possono determinare attribuendo a k due valori a nostra scelta. Per esempio: l

se

kˆ0

otteniamo la retta

3x ‡ 1 ˆ 0

l

se

kˆ1

otteniamo la retta

3x ‡ y ˆ 0

Intersechiamo le due rette: 8  0, la concavitaÁ deve essere verso l'alto.

b2

4ac ˆ 4a

Troviamo il vertice V : xV ˆ

b ˆ 2a

2 ˆ1 2

yV ˆ

4‡4 ˆ 4

2

!

V …1,

2†

Osserviamo poi che il vertice eÁ un punto della parabola e che quindi le sue coordinate ne devono sodQ ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

115

disfare l'equazione; una volta trovata l'ascissa con la formula sostituendo nell'equazione: yV ˆ 12

2
1

1ˆ

b , si puoÁ quindi trovare l'ordinata anche 2a

2

L'asse di simmetria della parabola eÁ la retta parallela all'asse y che passa per il vertice ed ha quindi equazione x ˆ 1.

Figura 9

Troviamo le coordinate di qualche punto (normalmente ne bastano due oltre il vertice); conviene scegliere valori di x che si trovano tutti a sinistra o tutti a destra rispetto all'asse della parabola e costruire poi i loro simmetrici: x

0

y

1

1 2

Il grafico che ne risulta eÁ in figura 9.

2. y ˆ x 2 ‡ 4 I coefficienti della parabola sono a ˆ 1, b ˆ 0, c ˆ 4 ed essendo a < 0, la concavitaÁ deve essere verso il basso. 0 ˆ0 yv ˆ 4 ! V …0, 4† Troviamo il vertice: xv ˆ 2 l'ordinata eÁ stata trovata per sostituzione. L'asse di simmetria eÁ proprio l'asse y; troviamo le coordinate di qualche punto e costruiamo anche i loro simmetrici: x

1

2

y

3

0

Figura 10

Il grafico di questa parabola eÁ in figura 10. 1 4

3. y ˆ x 2 1 I coefficienti della parabola sono a ˆ , b ˆ c ˆ 0 e la concavitaÁ eÁ verso 4 l'alto. In questo caso xV ˆ 0 yV ˆ 0 quindi il vertice eÁ proprio l'origine e l'asse di simmetria eÁ l'asse y. Coordinate di qualche punto: x

2

4

y

1

4

Figura 11

Il grafico eÁ in figura 11.

Nella determinazione dell'ascissa del vertice di una parabola, occorre fare attenzione al valore dei coefficienti a, b, c. n Nella parabola di equazione

116

y ˆ x 2 ‡ 3:

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

Attenzione agli errori

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3 2

 il vertice non ha ascissa

xV ˆ

 il valore corretto dell'ascissa eÁ

xV ˆ 0 perche b eÁ 0 e non 3. y ˆ x2

n Nella parabola di equazione  l'ascissa del vertice eÁ

xV ˆ

3x

3 2

b 2 ‡ 4ac : 4a

 l'ordinata, applicando la formula non eÁ uguale a

yV ˆ

9‡4 4

ma eÁ uguale a

yV ˆ

9‡4
0 4

perche c ˆ 0.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. La parabola di equazione y ˆ x 2 ‡ 1 : a. ha vertice nel punto: ¬ …0, 1† ­ …1, 0† ® …0, 1† Á b. ha concavita: ¬ verso l'alto ­ verso il basso c. ha per asse di simmetria: ¬ l'asse x ­ l'asse y ® la retta x ˆ 1

¯ …1, 1† ¯ la retta y ˆ 1

2. Il grafico della parabola di equazione y ˆ x 2 ‡ 2x eÁ: a.

b.

c.

3. LE FUNZIONI DI PROPORZIONALITAÁ Abbiamo giaÁ visto nel primo volume le caratteristiche fondamentali di queste funzioni; riprendiamo qui il discorso puntualizzando alcuni concetti e mettendo meglio in evidenza tali caratteristiche (puoi riferirti anche al capitolo 1 del tema 6 di geometria).

3.1 La proporzionalitaÁ diretta

Un esempio numerico.

Due insiemi di grandezze A e B sono direttamente proporzionali se si verificano le seguenti condizioni: l l

gli elementi dei due insiemi sono in corrispondenza biunivoca; il rapporto fra due qualsiasi grandezze del primo insieme eÁ uguale al rapporto fra le corrispondenti due del secondo insieme.

Per esempio, sono insiemi di grandezze direttamente proporzionali: l

il costo di una merce che viene venduta a peso ed il peso stesso;

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Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 427

A ˆ f3, 5, 8g # # # B ˆ f6, 10, 16g

A e B sono direttamente proporzionali perche 3 6 3 6 5 10 ˆ , ˆ , ˆ 5 10 8 16 8 16

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

117

l

gli archi di una circonferenza e gli angoli al centro corrispondenti;

l

le superfici e le basi di rettangoli che hanno la stessa altezza.

Quando due insiemi di grandezze A ˆ fa, b, c, d, ::::::g

e

B ˆ fa 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ::::::g

sono direttamente proporzionali eÁ conveniente andare a valutare i rapporti fra le misure degli elementi che si corrispondono (per non complicare la scrittura abbiamo indicato le misure con le stesse lettere degli elementi dei due insiemi): a a0 Osserviamo che: a a0 ˆ 0 essendo b b essendo essendo

b b0 ˆ 0 c c c c0 ˆ 0 d d

b b0

c c0

allora anche allora anche allora anche

d d0

Si valutano i rapporti tra le misure e non tra le grandezze dei due insiemi perche le grandezze di A e quelle di B potrebbere non essere omogenee.

:::::::::

a b ˆ 0 0 a b b c ˆ 0 b0 c c d ˆ 0 c0 d

e cosõÁ via.

Ne consegue che tutti i rapporti fra la misura di un elemento di A e quella del suo corrispondente in B sono uguali: a b c d ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ ::::::::::::::: 0 a b c d In altre parole: se due insiemi di grandezze A e B sono direttamente proporzionali, i rapporti fra le misure di grandezze corrispondenti sono costanti; il valore comune di tutti i rapporti prende il nome di costante di proporzionalitaÁ diretta. Se indichiamo con x e y le misure delle grandezze rispettivamente di A e di B e con m la costante di proporzionalitaÁ, possiamo esprimere la relazione di proporzionalitaÁ diretta con la relazione: y ˆm x In questa equazione, riscritta nella forma y ˆ mx, riconosciamo l'equazione di una retta passante per l'origine (tranne l'asse y).

Una relazione di proporzionalitaÁ diretta eÁ sempre rappresentata da una retta passante per l'origine degli assi cartesiani nella quale il coefficiente angolare rappresenta la costante di proporzionalitaÁ.

ESEMPI 1. Un certo libro di Matematica in libreria costa E 24; indicando con x il

Figura 12

numero di libri venduti e con y l'incasso del libraio, abbiamo che y ˆ 24x. Si tratta di una relazione di proporzionalitaÁ diretta che ha 24 come costante di proporzionalitaÁ; il suo grafico eÁ in figura 12. Osserviamo che il sistema di riferimento eÁ necessariamente dimetrico e che della retta y ˆ 24x abbiamo rappresentato solo la parte che appartiene al primo quadrante; per il significato che hanno le variabili x e y, non ha infatti senso considerare valori negativi.

118

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

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2. Quando si deve acquistare un'auto, uno degli aspetti che si valuta eÁ il

Figura 13

consumo di carburante. Normalmente nel depliant pubblicitario si trovano indicazioni di questo tipo: - consumo in cittaÁ: 12km con 1 litro. Questa informazione esprime il fatto che, con un normale utilizzo dell'auto, esiste proporzionalitaÁ diretta fra il numero y di chilometri percorsi ed il consumo x (in litri) di carburante, esprimibile con l'equazione y ˆ 12x

Ci si aspetta quindi ci consumare 2 litri di carburante per fare 24km, 5 litri per farne 60 e cosõÁ via. Il grafico di questa relazione eÁ in figura 13; anche in questo caso eÁ opportuno utilizzare un sistema dimetrico e considerare solo la semiretta che appartiene al primo quadrante.

3.2 La proporzionalitaÁ inversa Due insiemi di grandezze A e B sono inversamente proporzionali se si verificano le seguenti condizioni: l l

gli elementi dei due insiemi sono in corrispondenza biunivoca; il rapporto fra due qualsiasi grandezze del primo insieme eÁ uguale al rapporto inverso fra le corrispondenti due del secondo.

Per esempio, sono insiemi di grandezze inversamente proporzionali: l

l

le basi e le altezze di triangoli che hanno la stessa area (per esempio, se raddoppiamo la base dobbiamo dimezzare l'altezza affinche l'area rimanga costante);

Un esempio numerico. A ˆ f2, 6, 15g # # # B ˆ f30, 10, 4g

A e B sono inversamente proporzionali perche 2 10 2 4 6 4 ˆ , ˆ , ˆ 6 30 15 30 15 10

il numero di persone presenti in coda agli sportelli di un ufficio pubblico in un dato momento rispetto al numero degli sportelli aperti (se raddoppiamo il numero di sportelli, il numero delle persone in fila si dimezza).

Quando due insiemi di grandezze A e B sono inversamente proporzionali, eÁ conveniente andare a valutare i prodotti fra le misure degli elementi che si corrispondono (anche in questo caso abbiamo indicato le misure con le stesse lettere degli elementi dei due insiemi): a
a0

b
b0

Osserviamo adesso che: a b0 allora ˆ 0 essendo a b essendo

b c0 ˆ 0 b c

allora

c
c0

d
d0

:::::::::::

a
a0 ˆ b
b 0 b
b0 ˆ c
c0

Continuando in questo modo risulta che i prodotti fra le misure di elementi corrispondenti sono tutti uguali: a
a 0 ˆ b
b 0 ˆ c
c 0 ˆ d
d 0 ˆ ::::::::::: In altre parole: se due insiemi di grandezze A e B sono inversamente proporzionali, il prodotto fra le misure di due elementi che si corrispondono non cambia al variare della coppia scelta; il valore comune di tutti i prodotti prende il nome di costante di proporzionalitaÁ inversa. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

119

Se indichiamo con x e y le misure delle grandezze rispettivamente di A e di B e con k la costante di proporzionalitaÁ …k 6ˆ 0†, possiamo esprimere la relazione di proporzionalitaÁ inversa con l'equazione: xy ˆ k Dal punto di vista analitico, una proporzionalitaÁ inversa eÁ quindi il luogo dei punti per i quali rimane costante il prodotto fra l'ascissa e l'ordinata. Sappiamo giaÁ che la curva rappresentata da tale equazione prende il nome di iperbole equilatera. Per giustificare la forma del suo grafico, facciamo qualche considerazione preliminare. k n Per x 6ˆ 0, l'equazione si puoÁ riscrivere nella forma y ˆ che ci permette di x confermare che si tratta di una funzione.

La proporzionalitaÁ inversa eÁ sempre rappresentata da un'iperbole equilatera.

n D'altra parte, non eÁ possibile che sia x ˆ 0 (e nemmeno che sia y ˆ 0) perche il prodotto di due numeri, uno dei quali eÁ zero, non puoÁ essere uguale ad un numero k non nullo; questo significa che il grafico non puoÁ intersecare ne l'asse x, ne l'asse y. n Se k > 0, il prodotto xy deve essere positivo, e questo capita solo quando i due numeri x e y sono concordi, quindi entrambi positivi oppure entrambi negativi. In questo caso, il grafico appartiene interamente al primo e terzo quadrante, dove i punti di coordinate …x, y † soddisfano a questa condizione. n Se k < 0, il prodotto xy deve essere negativo, quindi i due numeri x e y devono essere discordi: quando x eÁ positivo, y deve essere negativo e viceversa. In questo caso i punti di coordinate …x, y † che formano il grafico appartengono tutti al secondo e quarto quadrante.

n Qualunque sia il valore di k, il grafico presenta una simmetria rispetto all'origine; infatti, se un punto di coordinate …a, b† soddisfa l'equazione, cioeÁ ab ˆ k, anche il suo simmetrico … a, b † la soddiFigura 14 sfa in quanto … a†
… b† ˆ ab ˆ k. Allora si puoÁ disegnare il grafico in un solo quadrante e costruire per simmetria la parte restante. Fatte queste osservazioni, vediamo qual eÁ la forma del grafico di un'iperbole equilatera riferendoci in particolare a quella di equa4 zione y ˆ che, essendo k > 0, appartiene interamente al primo x e al terzo quadrante. Attribuiamo a x alcuni valori positivi e troviamo i corrispondenti valori di y: x

1

2

4

8

1 2

1 3

1 4

y

4

2

1

1 2

8

12

16

a. b.

Disegnata la curva che passa per i punti trovati (figura 14a), costruiamo quella ad essa simmetrica rispetto all'origine; il grafico completo dell'iperbole xy ˆ 4 eÁ in figura 14b.

120

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Il grafico che ne risulta eÁ composto di due rami distinti; osserviamo poi che, quando x cresce e tende ad assumere valori molto grandi in valore assoluto, y decresce e tende ad assumere valori molti piccoli; reciprocamente, quando x assume valori molti piccoli in valore assoluto, y tende ad assumere valori molto grandi. Queste considerazioni valgono qualunque sia il valore della costante k e ci permettono di dire che il grafico della funzione xy ˆ k ha la forma indicata nella figura 15. Figura 15

ESEMPI 1. Un rettangolo ha area uguale a 20cm2 ; indicando con x e y le misure

Figura 16

dei suoi lati, la relazione che esprime l'area eÁ xy ˆ 20. Si tratta quindi di una proporzionalitaÁ inversa la cui rappresentazione grafica, tenendo conto che x e y devono essere positivi perche rappresentano misure di segmenti, eÁ il ramo di iperbole in figura 16.

2. Si deve percorrere uno spazio di 100km viaggiando a una certa velo-

Figura 17

citaÁ costante; indicando con t il tempo impiegato a percorrerli e con v la velocitaÁ, la legge che esprime il moto eÁ s ˆ vt,

cioeÁ

vt ˆ 100.

VelocitaÁ e tempo sono quindi grandezze inversamente proporzionali ed il grafico che esprime questa legge eÁ solo il ramo positivo dell'iperbole (figura 17).

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Dei seguenti insiemi di grandezze, stabilisci quali sono direttamente proporzionali (D), inversamente proporzionali (I) o quali non sono proporzionali (N): a. aree di base e altezze di un prisma di dato volume b. lati dei quadrati e le rispettive aree Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

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D

I

N

D

I

N

121

c. lati di triangoli equilateri e perimetri degli stessi triangoli d. volumi e pesi di una certa sostanza.

D

I

N

D

I

N

2. In un corso di sopravvivenza della durata di 10 giorni le scorte alimentari consistono in 200 scatolette di carne. La legge che regola il numero x di scatolette che possono essere distribuite ogni giorno ad ogni partecipante al variare del numero y di partecipanti eÁ rappresentata dall'equazione: a. y ˆ 20x

b. xy ˆ 20

c. xy ˆ 10

d. y ˆ 10x

APPROFONDIMENTI LE APPLICAZIONI ALLA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI Le curve che abbiamo imparato a conoscere in questo capitolo ci possono aiutare a risolvere problemi di natura piuÁ concreta e legati alla vita quotidiana. A tal proposito consideriamo il seguente esempio.

Figura 18

Un ricco signore ha decretato che alla sua morte i suoi beni, che ammontano a otto milioni di Euro, debbano essere divisi fra l'unico nipote ed un'associazione benefica. Egli eÁ peroÁ una persona che ama i giochi matematici; inoltre non ha molta fiducia nelle capacitaÁ del nipote di gestire il denaro. Stabilisce quindi che le cifre che i due eredi avranno dovranno essere tali da rendere minima, cioeÁ il piuÁ piccola possibile, la somma fra il quadrato della parte destinata al nipote ed il doppio di quella destinata all'associazione. Qual eÁ la somma destinata al nipote? Se indichiamo con x la parte in milioni di Euro che avraÁ il nipote, possiamo indicare con 8 x quella che avraÁ l'associazione; quindi la somma di cui cerchiamo il valore minimo eÁ x 2 ‡ 2…8

x†

cioeÁ svolgendo i calcoli

x2

2x ‡ 16

Se indichiamo con y tale espressione, il problema eÁ ricondotto al calcolo del valore di x in corrispondenza del quale eÁ minimo quello di y. Consideriamo allora la funzione  x0 2 2x ‡ 16 soggetta ai vincoli yˆx x8 il cui grafico corrisponde ad una parabola (figura 18) che ha la concavitaÁ rivolta verso l'alto. Il punto che, appartenendo ad essa e soddisfacendo i vincoli, ha l'ordinata minore di tutti gli altri punti della curva eÁ il vertice, cioeÁ il punto di ascissa 1. Quindi x ˆ 1 e 8 x ˆ 7. Il nipote avraÁ in ereditaÁ 1 milione di Euro, mentre l'associazione benefica ne avraÁ 7.

4. LE FUNZIONI CIRCOLARI

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 432

In funzioni come quelle che abbiamo visto finora, la variabile indipendente x, che eÁ un numero reale, eÁ legata alla variabile dipendente y da operazioni algebriche razionali: nell'espressione di queste funzioni, dato il valore di x, per trovare y si eseguono sostanzialmente solo le quattro operazioni fondamentali. Ci sono delle funzioni particolari in cui la variabile x rappresenta la misura di un angolo e, per trovare y, si devono introdurre altri concetti. Cominciamo a rivedere le nozioni fondamentali relative agli angoli.

122

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4.1 Come si misurano gli angoli Un angolo puoÁ essere definito in modi diversi a seconda di quello che si vuole mettere in evidenza; per esempio in geometria hai visto che angolo eÁ la parte di piano delimitata da due semirette aventi l'origine in comune. Nel nostro caso ci serviraÁ parlare di angoli orientati, per cui la definizione piuÁ conveniente eÁ la seguente (figura 19):

Figura 19

angolo eÁ la parte di piano descritta da una semiretta a che ruota attorno alla sua origine. Inoltre, poiche la rotazione puoÁ avvenire in due modi diversi conveniamo di considerare: l

l

angoli orientati positivamente se la rotazione avviene in verso antiorario (figura 20a) angoli orientati negativamente se la rotazione avviene in verso orario (figura 20b).

Vediamo in che modo possiamo misurare l'ampiezza di un angolo. Ricordiamo che misurare una grandezza significa confrontarla con un'altra ad essa omogenea che si assume come unitaÁ; nel caso degli angoli l'unitaÁ di misura eÁ il grado sessagesimale che viene definito come la novantesima parte dell'angolo retto, vale a dire che si prende un angolo retto, lo si divide in 90 parti congruenti e si chiama grado l'ampiezza di ciascuna di queste parti. Dire che l'ampiezza di un angolo  eÁ di 65 significa quindi dire che  eÁ ampio come quell'angolo che si ottiene dalla somma di 65 angoli di ampiezza un grado. Di conseguenza: l

Figura 20

un angolo retto misura 90

l

un angolo piatto misura 180

l

un angolo giro misura 360 .



In geometria siamo abituati a considerare angoli la cui ampiezza massima eÁ un angolo giro; pensando peroÁ alla definizione data di angolo, eÁ possibile considerare anche angoli la cui ampiezza supera l'angolo giro: basta continuare a far ruotare la semiretta oltre tale angolo. In figura 21, l'angolo  supera l'angolo giro dell'angolo . Di due angoli come  e che differiscono di un angolo giro o di multipli di un giro, diremo che sono equivalenti. Per esempio sono equivalenti un angolo di 760 e uno di 40 perche 760 ˆ 2
360 ‡ 40 . Angoli di questo tipo si incontrano, per esempio, tutte le volte che si fa girare una manovella o che si stringe o si allenta una vite. Per esempio se alla manovella facciamo compiere due giri e mezzo, l'angolo descritto ha ampiezza 2
360 ‡ 180 ˆ 900 .

a.

b.

Nel caso di angoli orientati, si conviene di associare misure positive ad angoli orientati positivamente, misure negative ad angoli orientati negativamente. Figura 21

Il grado non ha multipli, ma ha dei sottomultipli: 1 di grado n il primo, corrispondente a 60 1 1 n il secondo, corrispondente a di primo, cioeÁ a di grado. 60 3600 Due angoli si possono sommare o sottrarre, un angolo si puoÁ moltiplicare o dividere per un numero e negli esempi che seguono abbiamo ricordato come si eseguono queste operazioni. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

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123

ESEMPI 1. Esprimiamo in gradi, primi e secondi le misure dei seguenti angoli date in gradi sessagesimali in forma decimale, arrotondando il risultato, se necessario, a meno di un secondo. a. 23,46 Tenendo presente quanto ricordato, basta trasformare la parte decimale della misura data in primi e secondi: 23,46 ˆ 23 ‡ 0,46 ˆ 23 ‡ 0,46
60 0 ˆ 23 27,6 0 Trasformiamo adesso in secondi la parte decimale dei primi: 23 27,6 0 ˆ 23 ‡ 27 0 ‡ 0,6 0 ˆ 23 ‡ 27 0 ‡ 0,6
60 00 ˆ 23 27 0 36 00 b. 86,317 86,317 ˆ 86 ‡ 0,317
60 0 ˆ 86 ‡ 19,02 0 ˆ 86 ‡ 19 0 ‡ 0,02
60 00 ˆ 86 19 0 1,2 00  86 19 0 1 00

2. Esprimiamo in gradi sessagesimali nella forma decimale le misure dei seguenti angoli, approssimando il risultato al millesimo di grado:     1 1  0 00  ‡38
 25,261 a. 25 15 38 ˆ 25 ‡ 15
60 3600     1 1  0 00  ‡27
 97,208 b. 97 12 27 ˆ 97 ‡ 12
60 3600

3. Eseguiamo le seguenti operazioni: a. 32 25 0 48 00 ‡ 12 42 0 36 00

Sommiamo gradi con gradi, primi con primi e secondi con secondi: 32 ‡ 12 ˆ 44

25 0 ‡ 42 0 ˆ 67 0

48 00 ‡ 36 00 ˆ 84 00

Il valore ottenuto per i secondi supera 60, cioeÁ in esso eÁ contenuto un primo, quindi: 84 00 ˆ 60 00 ‡ 24 00 ˆ 1 0 ‡ 24 00

!

aggiungiamo 1 ai primi ottenendo

44 68 0 24 00

Anche il valore ottenuto per i primi supera 60, quindi in essi eÁ contenuto 1 grado: 68 0 ˆ 60 0 ‡ 8 0 ˆ 1 ‡ 8 0

!

aggiungiamo 1 ai gradi ottenendo

45 8 0 24 00 :

La somma dei due angoli, in forma normale, eÁ quindi 45 8 0 24 00 . b. 134 15 0 35 00

87 20 0 52 00

Non possiamo sottrarre gradi con gradi, primi con primi e secondi con secondi perche il numero dei primi e dei secondi del minuendo (il primo angolo) eÁ minore di quelli del sottraendo (il secondo angolo); dobbiamo quindi prima trasformare una unitaÁ dell'ordine superiore in una di ordine inferiore: 134 15 0 35 00 ˆ 133 75 0 35 00 ˆ 133 74 0 95 00 Possiamo adesso eseguire la sottrazione 133 74 0 95 00 95 00

52 00 ˆ 43 00

In definitiva

134 15 0 35 00

74 0

20 0 ˆ 54 0

87 20 0 52 00 :

133

87 20 0 52 00 ˆ 46 54 0 43 00 .

87 ˆ 46

c. 28 12 0 35 00
6

Moltiplichiamo separatamente ciascun gruppo per 6: 35 00
6 ˆ 210 00

124

12 0
6 ˆ 72 0

28
6 ˆ 168

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

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Trasformiamo il risultato in forma normale:

In definitiva

28 12 0 35 00
6 ˆ 169 15 0 30 00 .

210 00 ˆ 3
60 00 ‡ 30 00 ˆ 3 0 30 00 72 0 ‡ 3 0 ˆ 75 0 ˆ 1
60 0 ‡ 15 0 ˆ 1 15 0 168 ‡ 1 ˆ 169

d. 135 14 0 36 00 : 4 Dividiamo ciascun gruppo per 4 trasformando i resti parziali nell'unitaÁ di ordine inferiore: 135 : 4 ˆ 33 15 3

3 ˆ 3
60 0 ˆ 180 0

resto

14 0 ‡ 180 0 ˆ 194 0

194 0 : 4 ˆ 48 0 34 2

36 00 ‡ 120 00 ˆ 156 00

156 00 : 4 ˆ 39 00 36 0

In definitiva

resto

2 0 ˆ 2
60 00 ˆ 120 00

135 14 0 36 00 : 4 ˆ 33 48 0 39 00 .

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Se  ˆ 45 9 0 10 00 , la sua ampiezza espressa solo in gradi eÁ: a. …45 ‡ 9
60 ‡ 10
3600†   9 10 ‡ c. 45 ‡ 60 3600

  9 10 ‡ b. 45 ‡ 60 60



d. nessuna delle precedenti

2. Un angolo di 922 eÁ equivalente a un angolo di ampiezza: a. 202

b. 2,5

c. 22

d. 112

4.2 Le funzioni goniometriche fondamentali In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale consideriamo una circonferenza avente centro nell'origine O e raggio unitario che chiameremo circonferenza goniometrica. Una semiretta OP, a partire dal semiasse Ox e ruotando in senso antiorario, descrive un angolo positivo ; a seconda dell'ampiezza di , il punto P puoÁ appartenere: n al primo quadrante se 0 <  < 90 

(figura 22a di pagina seguente) 

n al secondo quadrante se 90 <  < 180

(figura 22b)

n al terzo quadrante se 180 <  < 270

(figura 22c)



n al quarto quadrante se 270 <  < 360



(figura 22d)

Diremo che l'angolo  appartiene al primo, al secondo, al terzo o al quarto quadrante in corrispondenza di dove si trova il punto P. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

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125

Figura 22

a.

b.

c.

I punti P degli angoli che sono maggiori di 360 si ottengono facendo compiere piuÁ "giri" alla semiretta OP, mentre quelli degli angoli che sono negativi si ottengono facendo compiere una rotazione oraria ad OP (figura 23); in ogni caso, possiamo dire che ad ogni angolo resta associato un solo punto P della circonferenza goniometrica. Questa corrispondenza non eÁ peroÁ biunivoca perche ad ogni punto P della circonferenza goniometrica corrispondono infiniti angoli; per esempio al punto che individua l'angolo di 120 , sono associati anche gli angoli di 480 , 840 , 240 (figura 24 ) e in generale tutti gli angoli di ampiezza 120 ‡ k360 , dove k eÁ un numero intero positivo o negativo che indica il numero di giri completi che deve compiere la semiretta OP per ritornare su se stessa. Stabilita questa convenzione, un angolo , a meno di multipli di 360 , eÁ completamente individuato se sono date le coordinate del punto P sulla circonferenza goniometrica. Introduciamo allora le seguenti definizioni (figura 25). Chiamiamo:

d. Figura 23

Figura 24

n seno dell'angolo , e scriviamo sin , l'ordinata del punto P: sin  ˆ yP n coseno dell'angolo , e scriviamo cos , l'ascissa del punto P: cos  ˆ xP

Figura 25

Consideriamo poi la retta t tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A di intersezione della circonferenza stessa con il semiasse positivo delle ascisse. Se l'angolo  eÁ del primo o del quarto quadrante la semiretta OP incontra t in un punto Q (figura 26a); se  eÁ del secondo o del terzo quadrante, per determinare il punto Q occorre prolungare la semiretta OP dalla parte di O fino ad incontrare la retta t (figura 26b). Figura 26

Figura 27

a.

b.

In ogni caso, ad ogni angolo  resta associato un solo punto Q sulla retta t e possiamo dare la seguente definizione (figura 27). Chiamiamo: n tangente dell'angolo , e scriviamo tan , l'ordinata del punto Q: tan  ˆ yQ

126

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Osserviamo che, per come sono stati definiti, il seno, il coseno e la tangente di un angolo sono numeri reali positivi, nulli o negativi a seconda di dove si trova il punto P; se, per esempio,  eÁ un angolo ottuso e quindi P si trova nel secondo quadrante (figura 28), allora sin  eÁ positivo, cos  eÁ negativo, tan  eÁ negativa. Inoltre, poiche il punto P ed il punto Q hanno coordinate che variano al variare dell'angolo , possiamo dire che sin , cos  e tan  sono funzioni di ; esse si indicano in generale con il termine di funzioni goniometriche. Vediamo di stabilire le caratteristiche piuÁ importanti di queste funzioni. Cominciamo innanzi tutto con l'osservare che angoli di ampiezza ,   360 ,   2
360 e in generale  ‡ k
360 (con k numero intero positivo o negativo) hanno lo stesso seno e lo stesso coseno perche la semiretta OP che li definisce eÁ la stessa (figura 29a). Si esprime questo fatto dicendo che la funzione seno e la funzione coseno sono periodiche di periodo 360 , cioeÁ sin … ‡ k360 † ˆ sin 

cos … ‡ k360 † ˆ cos 

k 2 Z.

Per quanto riguarda la tangente osserviamo che, visto che per tutti gli angoli compresi fra 90 e 270 la semiretta OP deve essere prolungata fino ad incontrare la retta della tangente, angoli di ampiezza di ,   180 ,   2
180 ,   3
180 e in generale  ‡ k180 (con k intero) hanno la stessa tangente (figura 29b). Si esprime questo fatto dicendo che la funzione tangente eÁ periodica di periodo 180 , cioeÁ tan … ‡ k180 † ˆ tan 

Figura 28

Le funzioni goniometriche si dicono anche circolari perche per definirle si usa una circonferenza. Il numero k rappresenta il numero di giri che la semiretta deve compiere, in senso orario …k < 0† oppure antiorario …k > 0†, per arrivare in P.

k 2 Z.

Figura 29

a.

b.

ESEMPI 1. Rappresentiamo graficamente il seno, il coseno e la tangente dei se-

Figura 30a

guenti angoli: a. 60

b. 140

c.

135

a. L'angolo ha misura positiva ed eÁ percioÁ orientato in senso antiorario (figura 30a). Poiche il punto P appartiene al primo quadrante, sia il coseno (in colore arancio) che il seno (in colore azzurro) dell'angolo sono positivi, cosõÁ come la tangente (in colore rosso).

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Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

127

b. Anche quest'angolo ha misura positiva ed eÁ quindi orientato in senso antiorario (figura 30b). Il punto P appartiene al secondo quadrante ed ha percioÁ ascissa negativa ed ordinata positiva; conseguentemente il seno dell'angolo considerato (nella figura in colore azzurro) eÁ positivo ed il coseno (nella figura in colore arancio) eÁ negativo. Per individuare il punto Q dobbiamo prolungare la semiretta OP; l'ordinata di Q (nella figura in colore rosso) eÁ negativa quindi anche tan  < 0. c. L'angolo ha misura negativa e percioÁ eÁ orientato in senso orario (figura 30c). Sia il seno che il coseno dell'angolo sono negativi, mentre la tangente eÁ positiva.

Figura 30

b.

2. Dati i seguenti valori del seno, del coseno o della tangente di un angolo , disegna  supponendo che sia 0    360 . a. sin  ˆ

1 2

b. cos  ˆ

2 3

c. tan  ˆ 2

a. Disegniamo la circonferenza goniometrica e, ricordando che il seno di un angolo eÁ l'ordinata del punto P, disegniamo sull'asse y un segc. 1 mento di lunghezza , individuando cosõÁ un punto A (figura 31a). 2 Se da A tracciamo una retta parallela all'asse delle ascisse, determiniamo sulla circonferenza goniometrica due punti P e P 0 . Le semirette OP e OP 0 individuano due angoli orientati,  e  0 , il cui seno 1 0 OR ˆ , abbiamo vale proprio . Tenendo presente che, per questioni di simmetria, anche l'angolo P d 2 che 0 ˆ 180 . b. Disegniamo la circonferenza goniometrica e, ricordando che il coseno di un angolo eÁ l'ascissa del 2 punto P, disegniamo sull'asse x un segmento di lunghezza , individuando cosõÁ un punto B (figura 3 31b). Se da B tracciamo una retta parallela all'asse delle ordinate, determiniamo sulla circonferenza goniometrica due punti P e P 0 . Le semirette OP e OP 0 individuano gli angoli  e  0 cercati. Inoltre, poiche 0 OS ˆ , abbiamo che 0 ˆ 360 . Pd

c. Disegniamo la circonferenza goniometrica e la retta su cui si individua la tangente. Su tale retta disegniamo il punto Q di ordinata 2 (figura 31c); la retta OQ interseca la circonferenza goniometrica nei punti P e P 0 definendo cosõÁ i due angoli  e  0 ˆ 180 ‡  cercati. Figura 31

a.

128

b.

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

c.

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APPROFONDIMENTI LE RELAZIONI FONDAMENTALI TRA LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Fra le funzioni goniometriche che abbiamo definito esistono delle relazioni; osserva infatti la figura 32 in cui eÁ rappresentato, sulla circonferenza goniometrica, un angolo . In tale figura il segmento orientato HP rappresenta sin , il segmento orientato OH rappresenta cos , OP eÁ il raggio unitario. Se applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPH possiamo scrivere 2

2

HP ‡ OH ˆ OP

2

2

cioe

Figura 32

2

(sin † ‡ …cos † ˆ 1

Per evitare l'uso delle parentesi, per indicare il quadrato del seno o del coseno di un angolo si usano le notazioni: sin2 

e

cos2 

Con queste convenzioni la relazione precedente diventa sin2  ‡ cos2  ˆ 1 e rappresenta la prima relazione fondamentale della goniometria. Osserviamo ora la figura 33: i triangoli rettangoli OPH e OQK, avendo l'angolo  in comune, sono simili e percioÁ vale la proporzione

Figura 33

HP : OH ˆ KQ : OK Tenendo presente il significato goniometrico dei segmenti coinvolti e supponendo che sia cos  6ˆ 0 possiamo scrivere sin  : cos  ˆ tan  : 1

cioeÁ

tan  ˆ

sin  cos 

Quest'ultima rappresenta la seconda relazione fondamentale della goniometria. Queste considerazioni valgono per qualunque angolo  e ci dicono che le funzioni goniometriche di uno stesso angolo non sono indipendenti una dall'altra e che, noto il valore di una di esse, eÁ possibile calcolare quello delle altre. 3 Per esempio, se sappiamo che sin  ˆ e che  eÁ un angolo ottuso (quindi cos  eÁ negativo) possiamo 4 calcolare cos  e tan  : l

l

dalla relazione sin2  ‡ cos2  ˆ 1 ricaviamo che:  2 3 9 ‡cos2  ˆ 1 da cui cos2  ˆ 1 ! 4 16 dalla relazione tan  ˆ tan  ˆ

3 4p ˆ 7 4

!

cos  ˆ

p 7 4

sin  ricaviamo che: cos 

3 p ˆ 7

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7 cos  ˆ 16 2

p 3 7 7

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

129

5. I GRAFICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE Abbiamo visto che il seno, il coseno e la tangente di un angolo  sono funzioni dell'angolo stesso; poiche in una funzione si eÁ soliti rappresentare la variabile indipendente con x e la variabile dipendente con y, scriviamo le equazioni delle funzioni goniometriche in questa forma: y ˆ sin x

y ˆ cos x

y ˆ tan x

Per costruire il loro grafico, non possiamo peroÁ procedere come al solito trovando le coordinate di qualche punto; la difficoltaÁ sta nel fatto che se assegniamo a x un valore, per esempio 20 , non sappiamo come calcolare sin 20 , cos 20 e tan 20 . Possiamo peroÁ determinare il valore y mediante un ragionamento di tipo grafico come abbiamo fatto negli esempi del precedente paragrafo; vediamo come procedere.

Il grafico di y ˆ sin x Come prima cosa osserviamo che sappiamo determinare il valore di sin x per particolari valori di x (segui la figura 34): l

l

l l l

se x ˆ 0 , il punto P si trova sull'asse x e ha coordinate …1, 0†; poiche il seno eÁ l'ordinata del punto P, si ha subito che sin 0 ˆ 0

Vista la periodicitaÁ della funzione seno, attribuiamo a x valori compresi tra 0 e 360

se x ˆ 90 , il punto P si trova sull'asse y e ha coordinate …0, 1†, quindi sin 90 ˆ 1 se x ˆ 180 , P ha coordinate … 1, 0†, quindi sin 180 ˆ 0 se x ˆ 270 , P ha coordinate …0, 

1†, quindi sin 270 ˆ

1

se infine x ˆ 360 , abbiamo la stessa situazione di quando x ˆ 0 , P ha coordinate …1, 0†, quindi sin 360 ˆ 0. Figura 34

x ˆ 0

x ˆ 90

x ˆ 180

x ˆ 270

x ˆ 360

Inoltre, poiche il segmento che rappresenta sin x eÁ sempre minore o uguale del raggio della circonferenza, possiamo dire che la funzione seno assume sempre valori che sono compresi tra 1 e 1. Cominciamo a rappresentare nel piano cartesiano i punti che corrispondono agli angoli che abbiamo considerato; sulFigura 35 l'asse x dobbiamo riportare i valori degli angoli (espressi in gradi e in forma decimale), sull'asse y i corrispondenti valori del seno (figura 35). Fissato un segmento a sull'asse x che facciamo corrispondere a 90 , gli angoli di 180 , 270 e 360 hanno come corrispondenti i punti rappresentati da due, tre, quattro segmenti uguali ad a; sull'asse y fissiamo un segmento che rappresenta l'unitaÁ. La funzione y ˆ sin x passa dunque per i punti …0 , 0†

130

…90 , 1†

…180 , 0†

…270 ,

1†

…360 , 0†

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Per trovare qualche altro punto, usiamo una costruzione particolare (segui la figura 36): l

l

l

a sinistra dell'asse y riportiamo la circonferenza goniometrica (il suo raggio eÁ il segmento che abbiamo usato come unitaÁ di misura sull'asse y) in modo che il suo asse y sia parallelo all'asse y del piano cartesiano e il suo asse x sia lo stesso del piano cartesiano dividiamo ciascun quadrante della circonferenza in un certo numero di parti uguali, per esempio tre per ciascuno degli angoli cosõÁ individuati rappresentiamo il segmento che corrisponde a sin x

Eseguiamo una procedura analoga sull'asse x : l

l

dividiamo ciascun segmento tra 0 e 90 , tra 90 e 180 e cosõÁ via in tre parti uguali; ciascuno dei punti individuati corrisponde all'ampiezza degli angoli sulla circonferenza goniometrica riportiamo nel piano cartesiano il valore del seno di ciascun angolo (il segmento misurato sull'asse y).

Il numero di punti ottenuto daÁ un'idea migliore rispetto alla precedente dell'andamento del grafico. Figura 36

Volendo essere ancora piuÁ precisi si puoÁ dividere ciascun quadrante e ciascun segmento corrispondente sull'asse x in un numero maggiore di parti uguali e infittire il numero dei punti del grafico. In questo modo, quello che si ottiene eÁ la linea in figura 37. Inoltre, poiche abbiamo detto che la funzione seno eÁ periodica di periodo 360 , il suo grafico si ripete identico ad ogni intervallo successivo o precedente di ampiezza 360 (figura 38).

Figura 37

Figura 38

Il grafico della funzione seno eÁ simmetrico rispetto all'origine sin … † ˆ sin  Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

131

Il grafico di y ˆ cos x

Figura 39

In modo del tutto analogo possiamo costruire il grafico della funzione coseno (figura 39); questa volta peroÁ il valore di cos x eÁ dato dall'ascissa dei punti P, quindi: l

l

l

l

l

se x ˆ 0

! P …1, 0†

! cos 0 ˆ 1

se x ˆ 90

! P …0, 1†

! cos 90 ˆ 0

se x ˆ 180

! P … 1, 0†

! cos 180 ˆ

se x ˆ 270

! P …0,

se x ˆ 360

! P …1, 0†

1

1† ! cos 270 ˆ 0 ! cos 360 ˆ 1

Anche la funzione coseno assume sempre valori compresi tra 1 e 1. Usiamo ancora la circonferenza goniometrica avendo peroÁ l'accortezza di ruotarla di 90 rispetto alla costruzione precedente perche il coseno di un angolo si misura sull'asse x (figura 40). Dividiamo ciascun quadrante in tre parti uguali, individuiamo il coseno di ciascun angolo e riportiamolo nel piano cartesiano. Figura 40

Il grafico che si ottiene eÁ in figura 41.

Figura 41

Anche la funzione coseno eÁ periodica di periodo 360 e possiamo ripetere il grafico ottenuto (figura 42). Figura 42

Il grafico della funzione coseno eÁ simmetrico rispetto all'asse y, quindi

Il grafico di y ˆ tan x

cos … † ˆ cos 

Individuiamo adesso le caratteristiche della funzione y ˆ tan x. Essendo la funzione periodica di periodo 180 , la studiamo per valori di x compresi fra 90 e ‡90 .

132

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

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Per ottenere il suo grafico ripetiamo nuovamente la costruzione fatta per disegnare le due funzioni goniometriche precedenti, osservando peroÁ che, quando x ˆ 90 oppure x ˆ 90 , la tangente non esiste percheÂ, essendo la semiretta OP parallela alla retta della tangente, non esiste nemmeno il punto Q (figura 43); inoltre, man mano che l'angolo x si avvicina a 90 oppure a 90 , il valore della tangente aumenta in valore assoluto e tende a diventare molto grande (si dice che tende all'infinito). Dal punto di vista grafico, questo significa che la curva della tangente si avvicina alle rette parallele all'asse y che passano per i punti in corrispondenza di 90 e ‡90 senza mai intersecarle; queste rette sono dette asintoti per la curva della tangente (figura 44). Dall'osservazione del grafico deduciamo che:

Figura 43

Figura 44

n la funzione tangente puoÁ assumere un qualunque valore reale; n angoli compresi fra 0 e 90 hanno una tangente positiva che cresce molto rapidamente al crescere di x; n angoli compresi fra 90 e 0 hanno una tangente negativa che diminuisce molto rapidamente quando x si avvicina a 90 ; n quando x ˆ 0, tan x assume valore 0; n quando x ˆ 90 oppure quando x ˆ

90 , tan x non esiste.

Ripetendo infinite volte lo stesso disegno, otteniamo poi il grafico completo della funzione tangente (figura 45) che prende il nome di tangentoide. Figura 45

Il grafico della funzione tangente eÁ simmetrico rispetto all'origine, quindi tan … † ˆ tan 

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. L'ampiezza di un angolo  eÁ compresa fra 90 e 180 ; quali fra le seguenti relazioni sono possibili? a. sin  ˆ d. sin  ˆ

3 4

b. cos  ˆ p 2 5

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e. cos  ˆ

1 6

c. tan  ˆ 2 2 5

f. tan  ˆ

8

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

133

2. In base alle definizioni date, si puoÁ dire che: a. b. c. d. e.

V la funzione seno assume valori compresi fra 1 e 1, estremi inclusi V la funzione tangente puoÁ assumere qualunque valore reale V sin  e cos  si possono definire per qualsiasi angolo  V Á tan  si puo definire per qualsiasi angolo    se 90 <  < 270 , per individuare tan  conviene tracciare la retta tangente alla circonferenza V goniometrica nel punto … 1, 0†.

F F F F

F

Sul sito www.edatlas.it trovi... l

la scheda di informatica

l

gli esercizi dalle Gare di matematica

l

Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta

l

Á di recupero le attivita

Per rispondere al quesito occorrono alcune conoscenze di Fisica sul moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato. Supponiamo che la biglia venga lanciata oltre il bordo del tavolo con velocitaÁ orizzontale v ˆ 1,5m/s e fissiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali con l'origine nel punto in cui la biglia lascia il tavolo, l'asse x orizzontale e l'asse y verticale rivolto verso il basso (figura 46). Poiche non ci sono forze che agiscono in orizzontale, il suo moto in questa direzione eÁ rettilineo uniforme e dunque lo spazio percorso x eÁ dato dalla formula x ˆ vt ! x ˆ 1,5t

La risposta al quesito iniziale Figura 46

In verticale agisce invece la forza di gravitaÁ che fa sõÁ che il moto sia uni2 formemente accelerato con accelerazione di g ˆ 10m/s ; in verticale, lo spazio percorso y eÁ dunque dato dalla relazione yˆ

1 2 gt 2

!

yˆ

1
10
t 2 2

cioeÁ

y ˆ 5t 2

Anche se abbiamo analizzato separatamente i due moti in orizzontale e in verticale, la biglia tuttavia si muove contemporaneamente in entrambe le direzioni, quindi possiamo scrivere le due equazioni in un sistema:  x ˆ 1,5t y ˆ 5t2

Figura 47

Se dalla prima equazione ricaviamo la variabile t e sostituiamo nella seconda otteniamo l'equazione   x 2 20 2 x cioeÁ yˆ y ˆ5
1,5 9 che eÁ proprio l'equazione di una parabola. La biglia percorre dunque la traiettoria descritta da questa equazione (figura 47).

134

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

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I concetti e le regole Luoghi di punti Luogo di punti eÁ l'insieme di tutti e soli i punti che godono di una medesima proprietaÁ P. Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali, un luogo di punti si puoÁ rappresentare mediante una relazione algebrica fra le coordinate …x, y † dei suoi punti.

La parabola l

l

La parabola eÁ il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. EÁ una curva simmetrica rispetto alla retta che passa per il fuoco ed eÁ perpendicolare alla direttrice. Il punto di intersezione di tale asse di simmetria con la parabola si chiama vertice. In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, una parabola che ha l'asse di simmetria parallelo all'asse y ha equazione y ˆ ax 2 ‡ bx ‡ c. Se a > 0, la parabola volge la concavitaÁ verso l'alto, se a < 0 la concavitaÁ eÁ verso il basso.   b
b 2 Posto
ˆ b 4ac, il vertice eÁ il punto V , , l'asse di simmetria ha equazione x ˆ . 2a 4a 2a

La proporzionalitaÁ Due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono: l direttamente proporzionali se il rapporto fra due qualsiasi elementi del primo insieme eÁ uguale al rapporto fra i corrispondenti due elementi del secondo insieme; in tal caso si verifica che eÁ costante il rapporto fra le misure di elementi che si corrispondono; tale costante prende il nome di costante di proporzionalitaÁ diretta l inversamente proporzionali se il rapporto fra due qualsiasi elementi del primo insieme eÁ uguale al rapporto inverso fra i corrispondenti due elementi del secondo insieme; in tal caso si verifica che eÁ costante il prodotto fra le misure di elementi che si corrispondono; tale costante prende il nome di costante di proporzionalitaÁ inversa.

proporzionalitaÁ diretta

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale: una relazione di proporzionalitaÁ diretta di costante m eÁ rappresentata dalla retta di equazione y ˆ mx l una relazione di proporzionalita Á inversa di costante k eÁ rappresentata dall'iperbole di equazione xy ˆ k. l

proporzionalitaÁ inversa

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Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

135

Le funzioni circolari Considerata la circonferenza goniometrica (avente centro nell'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio unitario) ed un angolo  avente vertice nell'origine e un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse che interseca la semicirconferenza in P, si definisce: l

sin 

l'ordinata del punto P

l

cos 

l'ascissa del punto P

Tracciata poi la retta tangente alla circonferenza nel suo punto di coordinate …1, 0† e indicato con Q il punto d'intersezione con la semiretta OP, si definisce: l

tan 

l'ordinata del punto Q

I grafici delle funzioni circolari sono i seguenti:

y ˆ sin x

y ˆ cos x y ˆ tan x

136

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

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Tema Modelli di secondo grado

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CAPITOLO

Le equazioni di secondo grado

Obiettivi l

risolvere equazioni di secondo grado e, se necessario, discuterle

l

conoscere le relazioni fra i coefficienti e le radici dell'equazione

l

risolvere problemi relativi ad equazioni parametriche

l

risolvere problemi di secondo grado

MATEMATICA E REALTAÁ EÁ il compleanno di Sofia, una ragazza che si eÁ inserita solo quest'anno nella seconda G; i compagni, per darle il benvenuto e farla sentire una di loro, decidono di farle un regalo e un gruppo si reca a fare l'acquisto spendendo E 81. «Secondo me avete proprio sbagliato tipo di regalo» dice un ragazzo. «A noi eÁ sembrato carino!» replica uno del gruppo di quelli che ha fatto l'acquisto. «E poi avete speso troppo» dice un altro. Dopo qualche battibecco arriva la conclusione sentenziata da una ragazza della classe: «Allora ditelo chiaro che non volete partecipare al regalo, cosõÁ facciamo prima!» La spesa deve quindi essere ripartita su due ragazzi in meno e chi ha fatto i conti dice: «Va bene, ciascuno di noi deve pagare 24 centesimi in piuÁ rispetto al previsto». Tenendo presente che, ovviamente, anche la nuova ragazza non contribuisce alla spesa, quanti sono i ragazzi quest'anno nella seconda G? Potrai dare la risposta dopo aver imparato i contenuti di questo capitolo; in ogni caso, ti rimandiamo alla fine del capitolo.

1. LA FORMA DELL'EQUAZIONE Un'equazione di secondo grado si puoÁ sempre ricondurre alla forma 2

ax ‡ bx ‡ c ˆ 0

LA FORMA DELL'EQUAZIONE COMPLETA

dove a, b, c sono numeri reali ed eÁ a 6ˆ 0 altrimenti l'equazione sarebbe di primo grado.

138

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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Il coefficiente c, che non eÁ legato all'incognita, si chiama anche termine noto. Se tutti i coefficienti sono diversi da zero si dice che l'equazione eÁ completa, se b oppure c sono nulli, si dice incompleta. LA FORMA DELL'EQUAZIONE

Un'equazione incompleta puoÁ quindi avere la forma:

INCOMPLETA

n ax 2 ‡ bx ˆ 0

se b 6ˆ 0 e c ˆ 0 e in questo caso si dice spuria

n ax 2 ‡ c ˆ 0

se b ˆ 0 e c 6ˆ 0 e in questo caso si dice pura

n ax 2 ˆ 0

se b ˆ 0 e c ˆ 0 e in questo caso si dice monomia.

Per esempio: l

4x 2

eÁ completa l'equazione

3x ‡ 1 ˆ 0

2

l

eÁ incompleta spuria l'equazione

3x

l

eÁ incompleta pura l'equazione

x2

l

eÁ monomia l'equazione

7x 2 ˆ 0

5x ˆ 0

6ˆ0

dove eÁ dove eÁ dove eÁ dove eÁ

a ˆ 4,

bˆ

a ˆ 7,

b ˆ 0,

a ˆ 1,

Le equazioni incomplete sono le piuÁ semplici da risolvere percheÂ, a meno che il binomio sia irriducibile, si puoÁ ricorrere alla scomposizione del polinomio al primo membro e all'applicazione successiva della legge di annullamento del prodotto. Vediamo dapprima alcuni esempi. x2

xˆ0

xˆ0

Quindi S ˆ f0, 6g. x2

cˆ1

5, c ˆ 0

b ˆ 0,

cˆ

6

cˆ0

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 438

6x ˆ 0

Scomponiamo il polinomio al primo membro e applichiamo la legge di annullamento del prodotto: x … x 6† ˆ 0 !

l

3,

a ˆ 3,

2. LE EQUAZIONI INCOMPLETE

l

bˆ

_

_

x

6ˆ0

xˆ6

Legge di annullamento del prodotto: a
b ˆ0

se e solo se

aˆ0 _ bˆ0

5ˆ0

x

p 5ˆ0 p xˆ 5

!

Scomponiamo il polinomio al primo membro e applichiamo la legge di annullamento del prodotto: p
p
x 5 x‡ 5 ˆ0 _

_

p 5ˆ0 p 5 xˆ x‡

In alternativa a questo metodo, possiamo riscrivere l'equazione in modo da lasciare x 2 al primo membro e il termine noto al secondo: x 2 ˆ 5 p Calcoliamo la radice quadrata delle espressioni nei due membri: jxj ˆ 5 p 5 da cui x ˆ p ‡ 5  p p In entrambi i casi troviamo che S ˆ 5, 5 .

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Ricordiamo che p x 2 ˆ jxj

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

139

l

x2 ‡ 9 ˆ 0

Il polinomio x 2 ‡ 9 eÁ irriducibile, quindi non possiamo applicare il metodo della scomposizione. Se ricorriamo alla definizione di radicale otteniamo x 2 ˆ 9 e sappiamo che la radice quadrata di un numero negativo non esiste in R. Dobbiamo quindi concludere che, non avendo soluzioni reali, l'equazione eÁ impossibile in tale insieme.

l

Qualunque equazione della forma ax n ˆ 0

4x 2 ˆ 0

Il prodotto di 4 per x 2 eÁ nullo solamente se x ˆ 0.

ha come sola soluzione

Da questi esempi possiamo trarre delle regole generali per la risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete. n Equazione della forma

x ˆ0

ax 2 ‡ bx ˆ 0

Si scompone il polinomio ax 2 ‡ bx mediante raccoglimento a fattor comune e si applica la legge di annullamento del prodotto: x …ax ‡ b † ˆ 0 ! xˆ0

_

ax ‡ b ˆ 0

xˆ0

_

xˆ

Le due soluzioni sono quindi x ˆ 0 _ x ˆ n Equazione della forma

b a b . a

ax 2 ‡ c ˆ 0

Primo metodo. Si scompone il polinomio, se eÁ possibile, e si applica la legge di annullamento del prodotto. Secondo metodo.

c Dopo aver scritto l'equazione nella forma x 2 ˆ , si calcola la radice a quadrata dei due membri r r c c c se ! xˆ 0 jxj ˆ c a a a ! x2 ˆ a c 0, quindi le soluzioni sono reali e distinte, determiniamole: 17

p 17  169 17  13 ˆ ˆ xˆ 12 12

2. 4x 2 ‡ 4x ‡ 1 ˆ 0

Calcoliamo il discriminante:
ˆ …‡4†

13 12

ˆ

4 1 ˆ 12 3

17 ‡ 13 30 5 ˆ ˆ 12 12 2 2

4
4
1 ˆ 16


ˆ 0, quindi le soluzioni sono reali e coincidenti:

!

16 ˆ 0 40 ˆ xˆ 2
4

Sˆ

1 2



 1 5 , . 3 2

!

Sˆ



 1 . 2

Questo risultato si poteva dedurre subito osservando l'equazione; infatti il polinomio al primo membro eÁ il quadrato di un binomio. L'equazione puoÁ quindi essere scritta nella forma: 2

…2x ‡ 1† ˆ 0 2x ‡ 1 ˆ 0

144

cioeÁ, tenendo conto che una potenza vale zero solo se eÁ zero la base, 1 . da cui xˆ 2

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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3. …3x

2

1† ‡

1 …x 2

1†

3

1 1 ˆ …x 2 2

1†…x 2 ‡ x ‡ 1† 9x 2 ‡ 1

6x ‡

1 3 …x 2

9x 2 ‡ 1

6x ‡

1 3 x 2

Riduciamo l'equazione in forma normale:

18x 2 ‡ 2

12x

3x 2 ‡ 3x

1ˆ0

Calcoliamo il discriminante:
ˆ 81

15x 2

! 60 ˆ 21


> 0, quindi le soluzioni sono reali e distinte:  p p  9 21 9 ‡ 21 . , Allora S ˆ 30 30

4.

x 2 ‡ 1 5x ˆ 15

1

3x 15

1 1 2

3x 2 ‡ 3x†

1 1 ˆ …x 3 2 2

1†

3 2 3 x ‡ x 2 2

1 1 ˆ x3 2 2

1 2

9x ‡ 1 ˆ 0

p 9  21 ˆ xˆ 30

p 21 30 p 9 ‡ 21 30 9

8 5

Calcoliamo il m.c.m. fra i denominatori, quindi scriviamo l'equazione nella sua forma normale. x2 ‡ 1

5x ˆ

1 ‡ 3x

24

!

Calcoliamo il discriminante:
ˆ 64

x2 104 ˆ

8x ‡ 26 ˆ 0 40 < 0, quindi non esistono soluzioni reali: S ˆ 1.

La formula ridotta Quando il coefficiente b dell'equazione ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ 0 eÁ un numero pari la formula risolutiva puoÁ essere usata in forma semplificata; infatti, posto b ˆ 2k, l'equazione diventa: ax 2 ‡ 2kx ‡ c ˆ 0 Applichiamo la formula:

xˆ

2k 

p 4k 2 4ac 2a

Raccogliamo il fattore 4 nel discriminante e portiamolo fuori dalla radice: p p 2k  4…k 2 ac † 2k  2 k 2 ac ˆ xˆ 2a 2a p
2 k  k 2 ac Raccogliamo il fattore 2 al numeratore e semplifichiamo: x ˆ ˆ 2a b , la formula risolutiva diventa 2 s   2 b b ac  2 2 a

k

p k 2 ac a

In definitiva, se teniamo presente che k ˆ

xˆ

Il discriminante di questa equazione, se sviluppiamo il calcolo, eÁ uguale a b2 4ac
e per questo motivo si indica con il simbolo . 4 4

LA FORMULA RIDOTTA

 2
b ˆ ac 4 2

Questa formula eÁ comoda perche rende i calcoli meno laboriosi e i risultati che si trovano sono spesso giaÁ semplificati. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

145

Risolviamo per esempio con la formula normale e con quella ridotta l'equazione 3x 2 ‡ 4x 1 ˆ 0. p p p 4  16 ‡ 12 4  28 42 7 2 ˆ ˆ ˆ n Con la formula normale: x ˆ 6 6 6

n Con la formula ridotta

l



 b ˆ2 : 2

xˆ

Se dobbiamo risolvere l'equazione - eÁ sbagliato scrivere

xˆ1

2

x…2x

_

2x

2

p 4‡3 ˆ 3

3 2‡ 3

2 63

p
7

2 3

ˆ

2‡ 3

p 7

p 7 p 7

p 7

1† ˆ 1

Attenzione agli errori

1ˆ1

- per risolvere correttamente l'equazione si devono sviluppare i calcoli, scrivere l'equazione in forma normale e applicare la formula risolutiva 1 p 1 1‡8 13 2 ˆ 2x 2 x 1 ˆ 0 xˆ 4 4 1 l

Se applichiamo la formula ridotta alla risoluzione dell'equazione x 2 6x ‡ 5 ˆ 0: p 3 9 5 - eÁ sbagliato scrivere xˆ il denominatore non eÁ 2a ma a 2 p - eÁ corretto scrivere x ˆ3 9 5 il denominatore eÁ 1

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Applicando la formula risolutiva a un'equazione di secondo grado intera si ottiene x ˆ In R, l'insieme delle soluzioni eÁ:     1 3 1 a. S ˆ b. S ˆ , 2 2 2

2. La formula risolutiva applicata all'equazione 4x 2 p 5  25 ‡ 24 a. 8

b.

p 5  25 ‡ 96 8

3. Applicando la formula ridotta all'equazione x 2 p 3 9 8 a. 2

b. 3 

p 9 8

c. S ˆ 5x



1 2



4. LE EQUAZIONI FRAZIONARIE Se l'equazione eÁ frazionaria occorre determinare per prima cosa il suo dominio D; ricondotta poi l'equazione alla forma intera, si applica la formula risolutiva se l'equazione eÁ completa, si usano gli algoritmi specifici se eÁ incompleta.

146

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

p 4 . 2

d. S ˆ 1

6 ˆ 0 ha espressione: p 5  25 ‡ 96 c. 8

6x ‡ 8 ˆ 0 si ottiene: p 3 9‡8 c. 2

1

d.

5

d. 3 

p 25 ‡ 96 4 p 9 32

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 449

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Una volta trovate le soluzioni di quest'ultima equazione, eÁ necessario confrontarle con il dominio per verificarne l'appartenenza.

ESEMPI 3 ‡x ˆ2 x

1.

Il dominio dell'equazione eÁ D ˆ R

f0g.

Scriviamo l'equazione in forma normale: 3 ‡ x 2 ˆ 2x p ! x ˆ1 1‡3ˆ12 ! xˆ 1 _ xˆ3

!

x2

2x

3ˆ0

!

Dunque, poiche entrambe le soluzioni appartengono a D, S ˆ f 1, 3g.

2.

2x x

1 3x ‡ 1 ‡ ˆ 2 1 x 3 x

2 4x ‡ 3

Sia per determinare il dominio che per calcolare il m:c:m: fra i denominatori, dobbiamo scomporre come prima cosa il denominatore della frazione al secondo membro: 2x x

1 3x ‡ 1 ‡ ˆ 1 x 3 …x

2 1†…x

3†

Deve essere x 6ˆ 1 ^ x 6ˆ 3 Allora D ˆ R normale …2x

1†…x 5x

!

2

f1, 3g e, per i valori di x che gli appartengono, possiamo scrivere l'equazione in forma 3† ‡ …3x ‡ 1†…x 9x ‡ 4 ˆ 0

1† ˆ

Calcoliamo il discriminante:
ˆ 81 xˆ

91 10

xˆ

!

2

!

2x 2

6x

x ‡ 3 ‡ 3x 2

3x ‡ x

1‡2ˆ0

!

80 ˆ 1 > 0; le soluzioni sono dunque reali e distinte:

4 _ xˆ1 5

Poiche 1 62 D, l'insieme delle soluzioni eÁ S ˆ

  4 . 5

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Se il dominio di un'equazione eÁ R delle soluzioni eÁ: a. S ˆ f0,

2g

2. L'equazione x zioni sono:

f 2, 0g e la sua forma equivalente intera eÁ x 2 ‡ 2x ˆ 0, l'insieme   1 b. S ˆ f2g c. S ˆ d. S ˆ 1 2

5 2x 3 ˆ ridotta in forma normale assume la forma x 2 x‡1 x‡1

a. 2, 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

b. 2,

1

c. 1

x

2 ˆ 0. Le sue solud. 2

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

147

5. LE EQUAZIONI LETTERALI Sappiamo che, quando un'equazione contiene dei parametri, cioeÁ altre lettere oltre l'incognita, eÁ necessario discutere che cosa accade all'insieme delle soluzioni al variare di tali parametri. Ricordiamo allora la procedura da seguire.

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 452

n Bisogna stabilire innanzi tutto qual eÁ il dominio dell'equazione, cioeÁ l'insieme dei valori che puoÁ assumere l'incognita: il dominio eÁ in genere R se l'equazione eÁ intera, eÁ R esclusi i valori che rendono nulli i denominatori se l'equazione eÁ frazionaria; per esempio x‡a ˆ 3a ha dominio R x2 2 x‡a x‡1 ˆ 1 poiche deve essere x 6ˆ 2 e x 6ˆ a, ha dominio R f2, ag x 2 x a n Se l'equazione ha dei denominatori letterali, eÁ necessario che questi non siano nulli; per esempio nell'equazione x2 2 a‡1

x‡1 ˆa a 2

1

si deve porre

a 6ˆ

1 ^ a 6ˆ 2

Attenzione a non confondere il dominio di un'equazione con le condizioni che devono essere imposte al parametro: l'equazione precedente eÁ intera e quindi il suo dominio eÁ R, le condizioni sul parametro sono poste affinche l'equazione non perda significato. Nel seguito supporremo che il parametro sia un numero reale. n Si devono applicare correttamente i principi di equivalenza delle equazioni; per esempio si deve essere certi che, quando si dividono entrambi i membri di un'equazione per una stessa espressione letterale, questa non sia nulla.

Il dominio di un'equazione si valuta sull'incognita, non sul parametro. Nell'equazione 1 x l l

n Quando si applica la formula risolutiva, si deve essere certi che il coefficiente a di x 2 non sia nullo percheÂ, in caso contrario, la formula non si puoÁ applicare.

2

‡

ax ˆ0 a 1

il dominio eÁ R

f2g

relativamente al parametro deve essere a 6ˆ 1

Vediamo allora un esempio di come procedere nella risoluzione di un'equazione letterale; risolviamo l'equazione: x…2p

p…1 ‡ x 2 †

x† ‡ 1 ˆ

di dominio R

Svolgiamo i calcoli trasportando tutti i termini al primo membro e scriviamo l'equazione in modo da avere prima i termini in x 2 , poi i termini in x e da ultimo i termini noti: 2px x 2 ‡ 1 ˆ p px 2 px 2

x 2 ‡ 2px ‡ p ‡ 1 ˆ 0

Effettuiamo adesso opportuni raccoglimenti in modo da evidenziare il coefficiente di x 2 , il coefficiente di x e il gruppo dei termini noti (forma normale dell'equazione): (A)

…p

Nella forma normale dell'equazione ci deve essere: l

un solo termine in x 2

l

un solo termine in x

l

il termine noto.

2

1†x ‡ 2px ‡ …p ‡ 1† ˆ 0

Si tratta di un'equazione completa in cui: p

l

2p

eÁ il coefficiente di x che corrisponde al valore b

p‡1

eÁ il termine noto che corrisponde al valore c.

l

148

1

eÁ il coefficiente di x 2 che corrisponde al valore a nella formula risolutiva

l

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Essendo poi 2p pari, possiamo usare la formula ridotta. Calcoliamo prima il discriminante:
ˆ p2 4

1†…p ‡ 1† ˆ p 2

…p

p2 ‡ 1 ˆ 1

Distinguiamo allora i seguenti casi: l

l

se p

1 6ˆ 0, cioeÁ p 6ˆ 1, applicando la formula risolutiva si ottiene: p 1 p‡1 ˆ p 1 1 p p1 ˆ xˆ p 1 p‡1 ˆ 1 p 1

dalla quale si ricava la sola soluzione

Riassumendo:

l

ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ 0

deve essere a 6ˆ 0.

se p 1 ˆ 0, cioeÁ p ˆ 1, l'equazione non eÁ piuÁ di secondo grado; sostituendo 1 al posto di p nell'equazione scritta nella forma normale (A) si ottiene l'equazione: 2x ‡ 2 ˆ 0

l

Per poter applicare la formula risolutiva all'equazione

se p 6ˆ 1 : S ˆ



p‡1 , 1 p

1

xˆ

1.



se p ˆ 1 : S ˆ f 1g

L'insieme dei ragionamenti che si fanno sul parametro per stabilire quante e quali sono le soluzioni di un'equazione rappresenta la discussione dell'equazione. Uno schema generale su come procedere eÁ il seguente.

LA DISCUSSIONE DELL'EQUAZIONE

n Caso dell'equazione intera Il dominio eÁ R, non ci sono condizioni sull'incognita; possono peroÁ esserci condizioni iniziali sul parametro. Arrivati alla forma normale: l

l

si pone il coefficiente di x 2 diverso da zero (questa operazione non eÁ necessaria se tale coefficiente eÁ numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l'equazione; si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente.

n Caso dell'equazione frazionaria Il dominio eÁ R ad esclusione dei valori dell'incognita che annullano i denominatori; possono anche esserci condizioni iniziali sul parametro. Arrivati alla forma normale: l

l

2

si pone il coefficiente di x diverso da zero (questa operazione non eÁ necessaria se tale coefficiente eÁ numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l'equazione; trovate le soluzioni si procede al confronto con le condizioni imposte dal dominio;

Quando, per risolvere un'equazione letterale, si applica la formula, il discriminante eÁ di solito letterale; se
non si puoÁ scrivere sotto forma di un quadrato, occorre porre la condizione che sia
 0. Per esempio x2

2x ‡ a ˆ 0 p x ˆ1 1 a

e deve essere 1

a0

si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente.

Osserva ora con attenzione gli esempi, nei quali abbiamo seguito lo schema proposto, ponendo particolare attenzione agli esercizi 4 e 5 nei quali l'equazione eÁ frazionaria. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

149

ESEMPI 1. 2ax 2

…1

4a 2 †x

2a ˆ 0

DˆR

L'equazione si presenta giaÁ in forma normale; possiamo subito calcolare il discriminante: 2

4a 2 † ‡ 16a2 ˆ 1 ‡ 16a4 ‡ 8a2 ˆ …1 ‡ 4a 2 †


ˆ …1

2

Il coefficiente di x 2 eÁ 2a; procediamo alla discussione: 1 l

l

se a 6ˆ 0:

xˆ

1

4a 2

1

4a 2

4a

4a 2  …1 ‡ 4a 2 † ˆ 4a

1

se a ˆ 0, l'equazione assume la forma

ˆ

8a 2 ˆ 4a

2a

4a 2 ‡ 1 ‡ 4a 2 2 1 ˆ ˆ 4a 4a 2a

xˆ0

che eÁ un'equazione di primo grado che ammette come soluzione soltanto il valore 0.

Riassumendo: se a 6ˆ 0: se a ˆ 0:

2. bx 2

1 ˆ 3x 2 ‡ 8

Sˆ



1 2a, 2a

S ˆ f0g



DˆR

Riscriviamo l'equazione in forma normale:

…b

3†x 2

9ˆ0

L'equazione eÁ incompleta e per risolverla ricaviamo l'espressione di x 2 : p 9 3 3 b 3 2 l se b 6ˆ 3 x ˆ ! x ˆ  p ˆ  b 3 b 3 b 3 Le soluzioni sono reali se b

3 > 0, cioeÁ se b > 3

se b ˆ 3 l'equazione diventa 0
x 2 9 ˆ 0 che eÁ impossibile.  p  3 b 3 Riassumendo: se b > 3: S ˆ  b 3 l

se b  3:

3.

3x 2 ‡ 4a ˆ 2x 3a ‡ 1

S ˆ 1 (se b < 3 l'equazione non ha soluzioni in R perche non esiste

p b 3)

DˆR

Condizioni iniziali sul parametro:

a 6ˆ

Scriviamo l'equazione in forma normale

1 3 3x 2

2…3a ‡ 1†x ‡ 4a ˆ 0

Calcoliamo il discriminante usando la formula ridotta:


2 ˆ …3a ‡ 1† 12a ˆ 9a2 4

6a ‡ 1 ˆ …3a

1†

2

Il coefficiente di x 2 eÁ numerico, troviamo subito le soluzioni: 3a ‡ 1 xˆ

150

…3a ‡ 1†  …3a 3

1†

ˆ

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

3

3a ‡ 1

3a ‡ 1 ‡ 3a 3

1

ˆ

2 3

ˆ 2a Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

1 : Sˆ 3

Riassumendo: se a 6ˆ

1 : 3

se a ˆ

4.



2 , 2a 3



l'equazione perde significato.

5…x ‡ 2† b b ‡ ‡ ˆ0 2 2 x L'equazione eÁ frazionaria e deve essere Scriviamola in forma normale: Calcoliamo il discriminante:

x 6ˆ 0

!

DˆR

5x…x ‡ 2† ‡ bx ‡ 2b ˆ 0
ˆ …10 ‡ b †

2

f0g. 5x 2 ‡ …10 ‡ b†x ‡ 2b ˆ 0

!

40b ˆ 100 ‡ b 2

2

20b ˆ …10

b†

Il coefficiente di x 2 eÁ numerico, troviamo subito le soluzioni:

xˆ

10

b  …10 10

b†

ˆ

20 ˆ 10

2

2b ˆ 10

b 5

Vediamo se le soluzioni trovate sono accettabili. l

la soluzione

2 appartiene sicuramente al dominio

l

dobbiamo invece confrontare la soluzione

b con 0: 5

b 6ˆ 0 5

se

b 6ˆ 0

b non eÁ accettabile e deve essere scartata. 5   b Sˆ 2, 5

Quindi se b ˆ 0 la soluzione Riassumendo: se b 6ˆ 0: se b ˆ 0:

5.

1 2x

b

4b 1 2b ˆ x‡b b

Condizioni sull'incognita:

S ˆ f 2g

1 x 6ˆ b ^ x 6ˆ 2

Condizioni iniziali sul parametro:

b

!

DˆR



1 b, 2

b



b 6ˆ 0.

Scriviamo l'equazione in forma normale: b…x ‡ b† 4b2 …2x b † …1 2b †…x ‡ b†…2x b† ˆ b…x ‡ b†…2x b† b…x ‡ b†…2x b†

!

4bx 2

2x 2

6b2 x ‡ 2b 3 ‡ 2b2 ˆ 0

Semplifichiamo per 2 e ordiniamo i termini in modo da avere un solo termine in x 2 e un solo termine in x: …2b Calcoliamo dapprima il discriminante: Il coefficiente di x 2 eÁ …2b Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

1†x 2

3b2 x ‡ b 3 ‡ b 2 ˆ 0


ˆ 9b 4

4…2b

1† … b 3 ‡ b 2 † ˆ b 2 … b

2

2† .

1†; procediamo alla discussione:

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

151

l

1 possiamo applicare la formula risolutiva ottenendo: 2 4b2 2b 2b …2b 1† ˆ ˆb 2…2b 1† 2…2b 1† 3b2  b …b 2† ˆ xˆ 2…2b 1† 2b 2 ‡ 2b 2b…b ‡ 1† b…b ‡ 1† ˆ ˆ 2…2b 1† 2…2b 1† 2b 1

se b 6ˆ

Vediamo se le soluzioni trovate sono accettabili. Per la prima soluzione deve essere: b 6ˆ

1 b 2

!

b 6ˆ 0

b 6ˆ

b

!

b 6ˆ 0

Per la seconda soluzione deve essere:

b …b ‡ 1 † 1 6ˆ b 2b 1 2

!

3b 6ˆ 0

!

b 6ˆ 0

b … b ‡ 1† 6ˆ 2b 1

!

3b 2 6ˆ 0

!

b 6ˆ 0

b

Entrambe le soluzioni sono quindi accettabili perche la condizione b 6ˆ 0 eÁ giaÁ stata posta inizialmente per l'esistenza dell'equazione. 1 non possiamo applicare la formula risolutiva e l'equazione diventa: 2 3 1 1 1 x‡ ‡ ˆ0 ! xˆ 4 8 4 2   1 b … b ‡ 1† ^ b 6ˆ 0: S ˆ b, Riassumendo: se b 6ˆ 2 2b 1   1 1 se b ˆ : S ˆ 2 2 l

se b ˆ

se b ˆ 0:

l'equazione perde significato.

Nella discussione di un'equazione letterale di secondo grado ridotta a forma normale, eÁ sempre e solo il coefficiente di x 2 che deve essere posto diverso da zero e tale condizione eÁ necessaria se non eÁ giaÁ stata evidenziata come condizione di esistenza dell'equazione. l

L'equazione

x2 a

1

‡

Attenzione agli errori

x 1 ˆ nella quale deve essere a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1, a a…a 1†

ridotta in forma intera eÁ ax 2 ‡ x…a

1†

1ˆ0

e non si deve piuÁ chiedere che sia a 6ˆ 0 perche ci si trova giaÁ in queste condizioni. l

l

Nell'equazione a…a 1†x 2 ‡ x condizioni a 6ˆ 1 e a 6ˆ 0.

a ˆ 0 si devono porre entrambe le

Nell'equazione 3x 2 ‡ ax ˆ 0 non si deve porre alcuna condizione sul parametro a e le soluzioni sono: a x…3x ‡ a† ˆ 0 ! x ˆ 0 _ x ˆ 3

152

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Prima di applicare la formula risolutiva all'equazione x…a a. a 6ˆ 3

b. a 6ˆ 1

2. L'equazione ax 2 1 a 1 b. a _ a a. a _

c. 0 d. 1

c. a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 0

3† 2 ‡ x 2 …a 1† ˆ ax 2 eÁ necessario porre: d. nessuna condizione

…a2 ‡ 1†x ‡ a ˆ 0 di dominio R ha soluzioni:

per ogni a

V

F

se a 6ˆ 0

V

F

se a ˆ 0

V

F

V

F

se a ˆ 1

3. Un'equazione di secondo grado di dominio R be accettabili se: a. a 6ˆ 0 b. a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1

f0, 1g ha soluzioni a e a

c. a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 2

6. I LEGAMI FRA COEFFICIENTI E SOLUZIONI Le soluzioni di un'equazione di secondo grado ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ 0 sono ovviamente funzioni dei suoi coefficienti. Ci si puoÁ allora domandare se esiste qualche relazione significativa fra a, b, c e le soluzioni dell'equazione che indichiamo con x1 e x2 . Scriviamo allora per esteso le due soluzioni: p p b b 2 4ac b ‡ b 2 4ac x2 ˆ x1 ˆ 2a 2a

1; le soluzioni sono entramd. per qualunque valore di a

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 462

Poiche le due espressioni differiscono solo per il segno fra i due addendi al numeratore: n se eseguiamo la loro somma i due radicali si elidono: p p b b 2 4ac b ‡ b 2 4ac b ‡ ˆ x 1 ‡ x2 ˆ 2a 2a

p p b 2 4ac b ‡ b 2 4ac 2b ˆ ˆ 2a 2a

b a

n il loro prodotto eÁ un prodotto notevole che daÁ origine ad una differenza di quadrati: p
p
b b 2 4ac
b ‡ b 2 4ac b 2 …b 2 4ac† 4ac c ˆ ˆ ˆ x 1
x2 ˆ 2 2 2 4a 4a a 4a Le relazioni che abbiamo trovato ci dicono che la somma e il prodotto delle soluzioni si possono trovare a partire dai coefficienti dell'equazione senza dover obbligatoriamente risolvere l'equazione: x1 ‡ x 2 ˆ

b a

x1
x 2 ˆ

SOMMA E

c a

PRODOTTO

DELLE SOLUZIONI

Per esempio: l

nell'equazione x 2 5x ‡ 6 ˆ 0, essendo a ˆ 1, b ˆ x1 ‡ x 2 ˆ 5 e x 1
x 2 ˆ 6

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5, c ˆ 6, si ha che

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

153

l

nell'equazione 2x 2 ‡ x 6 ˆ 0, essendo a ˆ 2, b ˆ 1, c ˆ 1 6 x1 ‡ x2 ˆ e x1
x 2 ˆ ˆ 3 2 2

6, si ha che

Queste relazioni si possono sfruttare per risolvere alcuni problemi. I problema Trovare le soluzioni di un'equazione senza applicare la formula risolutiva. Riprendiamo l'equazione x 2 5x ‡ 6 ˆ 0 dell'esempio precedente di cui sappiamo che x1 ‡ x2 ˆ 5 e x1
x2 ˆ 6. E' semplice in questo caso dire che le soluzioni dell'equazione sono 3 e 2 perche la somma di questi numeri eÁ 5 ed il loro prodotto eÁ 6. Analogamente: n x2

4x

allora n x 2 ‡ 5x allora

5ˆ0 x1 ˆ

1

x 1 ‡ x2 ˆ 4 e

24 ˆ 0 x1 ˆ

8

x2 ˆ 5 x1 ‡ x 2 ˆ

e

x2 ˆ 3

e

x1
x 2 ˆ

infatti 5

e

infatti

5

1‡5ˆ4 x1
x 2 ˆ 8‡3ˆ

e

1
5ˆ

5

24 5

e

8
3ˆ

24

Questo metodo non eÁ tuttavia consigliabile se non eÁ facile individuare da quali numeri provengono la somma e il prodotto; per esempio, per risolvere l'equazione 8x 2 2x 3 ˆ 0, conviene applicare la formula risolutiva perche non eÁ 1 3 . facile individuare due numeri la cui somma eÁ ed il cui prodotto eÁ 4 8 II problema Individuare due numeri conoscendo la loro somma e il loro prodotto. Indichiamo con s la somma dei due numeri e con p il loro prodotto; se pensiamo ai due numeri come alle soluzioni di un'equazione di secondo grado, questo problema diventa l'inverso del precedente; allora, per trovare tali numeri, basta risolvere l'equazione x 2 sx ‡ p ˆ 0 1 2 ed il cui prodotto p eÁ , Per esempio, i due numeri la cui somma s eÁ 15 15 sono le soluzioni dell'equazione p 1 2 1  1 ‡ 120 2 2 ˆ x ˆ0 cioeÁ 15x x 2ˆ0 xˆ x 30 15 15 I due numeri sono quindi

1 2 e . 3 5

1 3 2 5

III problema Scrivere l'equazione che ha per soluzioni due numeri assegnati. Indichiamo con x1 e x2 i due numeri; se s eÁ la loro somma e p eÁ il loro prodotto, l'equazione che li ha per soluzioni eÁ x2

sx ‡ p ˆ 0

Per esempio, scriviamo l'equazione che ha per soluzioni i numeri Calcoliamo la loro somma ed il loro prodotto: sˆ

154

1 7 19 ‡ ˆ 3 2 6

pˆ

1 7
ˆ 3 2

1 7 e . 3 2

7 6

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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19 7 x ˆ0 o anche 6x 2 19x 7 ˆ 0 6 6 Un altro modo di procedere per risolvere questo problema sfrutta la legge di annullamento del prodotto. Se x1 e x2 sono le due radici, significa che l'equazione che cerchiamo si puoÁ scrivere nella forma …x x1 †…x x2 † ˆ 0. Nel nostro caso otteniamo:    1 7 1 7 7 ˆ 0 ! x2 ‡ x x ˆ 0 ! 6x 2 19x 7 ˆ 0 x‡ x 3 2 3 2 6 x2

L'equazione ha quindi la forma

IV problema Scomporre un trinomio di secondo grado. Finora, per scomporre un trinomio di secondo grado, ci siamo serviti della regola del trinomio caratteristico oppure della regola di Ruffini. Tuttavia con questi metodi risulta praticamente impossibile scomporre il trinomio x 2 3x 1. Ancora una volta ci vengono in aiuto le relazioni fra i coefficienti e le soluzioni di un'equazione di secondo grado. Dato dunque il trinomio ax 2 ‡ bx ‡ c

e indicate con x1 e x2 le soluzioni dell'equazione ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ 0 associata al polinomio, supposto che sia
 0, possiamo scrivere che: 

b c ax ‡ bx ‡ c ˆ a x ‡ x ‡ a a 2

2





ˆa x



2

  b c x‡ ˆ a‰x 2 a a

…x1 ‡ x2 †x ‡ x1
x2 Š

Proseguendo nei calcoli e raccogliendo a fattor comune si ottiene: ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ a…x 2

x1 x

x2 x ‡ x1 x2 † ˆ a‰x…x

x1 †

x2 …x

x1 †Š ˆ a…x

x1 †…x

x2 †

In definitiva, se
 0 ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ a…x

x1 †…x

x2 †

Se invece
< 0 il trinomio eÁ irriducibile. Per esempio, scomponiamo il trinomio 3x 2 zione 3x 2 7x ‡ 2 ˆ 0 sono xˆ

Si ha quindi che:

l

3x 2

7

6x ‡ 13x

5ˆ0

 7x ‡ 2 ˆ 3 x

!

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1 3

p 49 24 ˆ 6

Per scomporre il trinomio 6x 2 ‡ 13x 2

7x ‡ 2. Le soluzioni dell'equa-

xˆ

2  1 …x 3

2† ˆ …3x

1†…x

5 si risolve l'equazione: 5 13  17 2 ˆ 12 1 3

2†

Attenzione agli errori

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

155

La scomposizione del polinomio non eÁ ma eÁ l

  5 x 6 x‡ 2

1 3



ˆ6


  5 x x‡ 2

1 3



2x ‡ 5 3x 1
ˆ …2x ‡ 5†…3x 2 3

1†

Per trovare due numeri la cui somma eÁ 8 e il cui prodotto eÁ 5 l'equazione da risolvere: non eÁ ma eÁ

x 2 ‡ 8x ‡ 5 ˆ 0 x2

8x ‡ 5 ˆ 0

Al valore della somma si deve cambiare il segno.

APPROFONDIMENTI I PROBLEMI SULLE EQUAZIONI PARAMETRICHE Le soluzioni di un'equazione letterale sono funzioni dei parametri che in essa compaiono e ci si puoÁ chiedere per quali valori di tali parametri un'equazione ha delle soluzioni che soddisfano particolari condizioni. Per esempio, data l'equazione x 2 ‡ …k 1†x 2k ˆ 0 ci interessa sapere per quali valori di k le soluzioni sono reali coincidenti. Si potrebbero trovare le soluzioni in funzione del parametro k e poi imporre che siano uguali, ma eÁ molto piuÁ semplice ragionare sul discriminante: un'equazione di secondo grado ammette soluzioni reali coincidenti se
ˆ 0. Calcoliamo allora il discriminante e poniamolo uguale a zero:
ˆ …k !

2

1† ‡8k ˆ k 2 ‡ 6k ‡ 1 kˆ

p 3 9 1ˆ

k 2 ‡ 6k ‡ 1 ˆ 0

!

3

p 3 8ˆ

p 2 2

p 3‡2 2

Otterremo quindi soluzioni coincidenti attribuendo a k i valori

!

3

p 2 2 oppure

p 3 ‡ 2 2.

I problemi che coinvolgono le relazioni fra i parametri di un'equazione letterale e le sue soluzioni, che indicheremo sempre con x1 e x2 , sono di diverso tipo; ce ne sono peroÁ alcuni che si possono risolvere facilmente applicando le relazioni fra i coefficienti dell'equazione e le sue soluzioni. Elenchiamo i piuÁ frequenti ciascuno con la rispettiva modalitaÁ di risoluzione; per semplificare le cose supporremo che l'incognita sia rappresentata dalla lettera x e il parametro dalla lettera k. n Soluzioni opposte Significa che deve essere Basta quindi risolvere l'equazione

x1 ˆ x2 cioeÁ x1 ‡ x2 ˆ 0. b ˆ 0 cioeÁ b ˆ 0. a

n Soluzioni coincidenti E' il caso dell'esempio precedente; basta quindi porre:

b2

4ac ˆ 0.

n Una radice uguale a un valore assegnato Si deve sostituire il valore dato al posto di x e risolvere l'equazione in k ottenuta.

156

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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n Soluzioni reciproche

1 x1

Significa che deve essere

x2 ˆ

Si deve quindi risolvere l'equazione

c ˆ 1. a

cioeÁ x1
x2 ˆ 1

n Somma dei quadrati delle radici uguale a un valore assegnato p x12 ‡ x22 ˆ p.

Deve essere

2 1

2

2 2

Tenendo presente che x ‡ x ˆ …x1 ‡ x2 †

2x1 x2 basta risolvere l'equazione:



b a

2

2


c ˆp a

n Somma dei reciproci delle soluzioni uguale a un valore assegnato p 1 1 ‡ ˆp x1 x2

x 2 ‡ x1 ˆ p. cioeÁ facendo il denominatore comune x1 x2 b b a ˆp cioeÁ Si deve quindi risolvere l'equazione c ˆp c a Deve essere

Vediamo un esempio. Data l'equazione parametrica x 2 …k 2†x ‡ k ‡ 1 ˆ 0 determiniamo i valori di k in modo che, essendo le soluzioni reali: a. una radice sia l'opposto dell'altra b. una radice sia uguale a 2 c. una radice sia inversa dell'altra d. il prodotto delle radici sia uguale a 6. La condizione che vale per tutti i casi eÁ che le radici siano reali; imponiamo dunque che sia
 0 e risolviamo la disequazione ottenuta: …k

2†

2

4…k ‡ 1†  0

!

k2

8k  0

k …k

!

8†  0

Costruiamo la tabella dei segni di ciascun fattore della disequazione: Le soluzioni sono quindi reali se

k  0 _ k  8.

Analizziamo adesso le varie richieste tenendo presente che eÁ a ˆ 1 a. Una radice eÁ l'opposto dell'altra se Ma x1 ‡ x2 ˆ

x1 ˆ

cioeÁ se

x2

b , basta quindi imporre che sia a

k

bˆ2

k

c ˆ k ‡ 1.

x1 ‡ x2 ˆ 0.

2ˆ0

kˆ2

!

Per questo valore di k, tuttavia, le soluzioni non sono reali e quindi il problema non ha soluzioni. b. Ricordiamo che soluzione di un'equazione eÁ quel valore che sostituito all'incognita rende l'equazione un'uguaglianza vera; basta allora sostituire 2 al posto di x e risolvere l'equazione in k cosõÁ ottenuta: 4

2…k

2† ‡ k ‡ 1 ˆ 0

kˆ9

!

Questa volta il valore trovato di k appartiene all'insieme definito dalla condizione di realtaÁ delle radici (9 > 8) ed eÁ quindi la soluzione del problema. c. Una radice eÁ inversa dell'altra se Ma x1
x2 ˆ

x1 ˆ

1 x2

c , basta quindi imporre che sia a

cioeÁ se k‡1ˆ1

x1
x2 ˆ 1 !

kˆ0

Per questo valore di k le soluzioni sono reali e sono anche coincidenti; ne consegue che esse devono essere entrambe uguali a 1. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

157

d. Deve essere

c ˆ a

6 cioeÁ k ‡ 1 ˆ

6

kˆ

!

7

Anche questo valore di k eÁ accettabile perche minore di 0.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. L'equazione che ha per soluzione i numeri 2 e 5 eÁ: a. x 2 ‡ 3x

10 ˆ 0

2. Il polinomio 6x 2 ‡ x   2 a. x ‡ x 3

1 2



3. L'equazione x 2 ‡ …k

b. x 2

3x ‡ 10 ˆ 0

c. x 2

3x

 c. x

2 3

d. x 2

10 ˆ 0

b. …3x ‡ 2†…2x 1† x ‡ k

1†

  1 x‡ 2

d. …3x

2†…2x ‡ 1†

3 ˆ 0 ammette soluzioni reali 8k 2 R; il valore di k per il quale: 4 3

a. una radice ha valore 3 eÁ:

¬ kˆ

b. il prodotto delle radici vale 4 eÁ:

¬ kˆ 1

­ kˆ

4 3

­ kˆ1

® kˆ

3 4

® kˆ7

GRAFICA DI UN'EQUAZIONE

DI SECONDO GRADO Le soluzioni di un'equazione di secondo grado ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ 0 si possono interpretare come le ascisse dei punti di intersezione della parabola y ˆ ax 2 ‡ bx ‡ c con l'asse x (figura 1); esse rappresentano quindi gli zeri della parabola. Per esempio:

l

3ˆ0

2 si scompone in:

7. L'INTERPRETAZIONE

l

10x

¯ kˆ

3 4

¯ kˆ3

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 472 Figura 1

la parabola y ˆ 2x 2 ‡ 5x ‡ 2, il cui grafico eÁ in figura 2, ha due zeri di va1 lore 2 e perche l'equazione 2x 2 ‡ 5x ‡ 2 ˆ 0 ha soluzioni 2 2 p 5  25 16 53 xˆ ˆ ˆ 1 4 4 2 La parabola y ˆ x 2 ‡ 3x ‡ 4 non ha invece zeri perche l'equazione x 2 ‡ 3x ‡ 4 ˆ 0

Figura 2

avendo un discriminante negativo (
ˆ 9 16 ˆ 7), non ha soluzioni reali; il suo grafico non interseca l'asse x ed eÁ interamente contenuto nel semipiano delle y positive (figura 3a di pagina seguente). l

La parabola y ˆ 4x 2 4x ‡ 1 ha due zeri coincidenti perche l'equazione ad essa associata ha un discriminante uguale a zero (figura 3b): p 2 4 4 1 4x 2 4x ‡ 1 ˆ 0 ! xˆ ! xˆ 4 2 Il suo grafico interseca l'asse x in un solo punto che corrisponde al vertice.

158

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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Figura 3

a.

b.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1 2 x 2

1. La parabola di equazione y ˆ 1 2

a. due zeri di ascisse 0 e

x ha: b. due zeri di ascisse 0 e 2

c. un solo zero di ascissa 0

d. non ha zeri

2. La parabola che ha due zeri nei punti x ˆ 2 e x ˆ 3 ha equazione: a. y ˆ x 2

b. y ˆ x 2 ‡ 5x

5x ‡ 6

c. y ˆ x 2

6

5x

8. PROBLEMI DI SECONDO GRADO Si chiamano cosõÁ tutti quei problemi che hanno come modello un'equazione di secondo grado. Per la risoluzione di questi problemi valgono le stesse considerazioni che avevamo fatto per i problemi lineari, quindi eÁ necessario: focalizzare le richieste del problema, porre attenzione alla scelta dell'incognita e alla determinazione del suo dominio in relazione al problema e cosõÁ via. Nei problemi che vediamo di seguito abbiamo sempre usato una sola incognita in modo da ottenere una sola equazione; questo perche usare piuÁ incognite comporta dover risolvere un sistema e non abbiamo ancora visto come si risolve un sistema non lineare. Per i problemi che coinvolgono figure geometriche occorre poi ricordare le proprietaÁ delle figure e i teoremi piuÁ importanti. In particolare si usano spesso i teoremi di Pitagora e di Euclide relativi ai triangoli rettangoli che ricordiamo di seguito (figura 4): n teorema di Pitagora:

2

2

AB ‡ AC ˆ BC

n primo teorema di Euclide:

2

2

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 473

DALLA GEOMETRIA Figura 4

2 2

AB ˆ BC
BH

n secondo teorema di Euclide:

d. y ˆ x 2 ‡ 5x ‡ 6

6

AC ˆ BC
CH

AH ˆ BH
HC

Figura 5a

Risultano poi particolarmente utili le seguenti relazioni fra i lati e gli angoli di poligoni particolari (per maggiori dettagli vai a pagina 260): n triangolo equilatero (figura 5a): posto BC ˆ `, si ha che: Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

1 HB ˆ ` 2

p 3 ` CH ˆ 2 Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

159

n quadrato (figura 5b): posto AB ˆ `, si ha che:

DB ˆ

p 2`

n triangolo rettangolo con gli angoli di 30 e 60 (figura 5c): p 3 1 ` posto BC ˆ ` ! ! AC ˆ ` AB ˆ 2 2 perche tale triangolo eÁ la metaÁ di un triangolo equilatero n triangolo rettangolo isoscele (angoli acuti di 45 ciascuno) (figura 5d ): p posto AB ˆ `, si ha che: BC ˆ 2` perche tale triangolo eÁ la metaÁ di un quadrato

Figura 5

b.

c.

d.

n triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio r (figura 6a): p 3 AB ˆ 3r AH ˆ r 2 n quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r (figura 6b): p AB ˆ 2r

n esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r (figura 6c): AB ˆ r Figura 6

a.

b.

c.

I problema. In una frazione il denominatore supera il numeratore di 3 unitaÁ; se 41 . si somma il doppio della frazione con la metaÁ della sua reciproca si ottiene 20 Qual eÁ la frazione?

160

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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Scriviamo i dati indicando con n il numeratore e con d il denominatore della frazione: n 1 d 41 l d ˆ n ‡ 3 l 2
‡
ˆ d 2‚{z‚n 20 |‚ ‚} |‚{z‚} la metaÁ della frazione reciproca

il doppio della frazione

Poiche il denominatore eÁ espresso in funzione del numeratore, sembra conveniente indicare con x il numeratore della frazione che, dovendo poi utilizzare la frazione reciproca, deve essere un numero intero non nullo: x 2 Z f0g.

Dalla prima informazione ricaviamo che il denominatore eÁ x ‡ 3. Dalla seconda ricaviamo che

2


x 1 x‡3 41 ‡
ˆ x‡3 2 x 20

Questa eÁ dunque l'equazione modello del problema; affinche essa abbia significato deve essere x 6ˆ 0, condizione giaÁ indicata dal problema, e x 6ˆ 3. Il dominio deve quindi essere modificato ed eÁ x 2 Z f 3, 0g. x2

Risolvendo l'equazione otteniamo:

7x ‡ 10 ˆ 0

!

xˆ

2 5

Entrambi i valori trovati appartengono al dominio del problema e sono quindi x accettabili. La frazione eÁ il rapporto , quindi abbiamo due possibili solux‡3 zioni: 2 l prima soluzione: per x ˆ 2 la frazione eÁ 5 l

seconda soluzione:

per x ˆ 5

la frazione eÁ

5 . 8

II problema. Di un rettangolo si sa che un lato supera di 13m l'altro e inoltre eÁ inferiore di 4m rispetto alla diagonale; vogliamo calcolare le misure dei lati del rettangolo. Disegniamo la figura (figura 7) e scriviamo i dati in relazione ad essa: l

l

Figura 7

AB ˆ BC ‡ 13 AB ˆ AC

4

Poiche entrambe queste relazioni coinvolgono il segmento AB, conviene porre AB ˆ x e riscrivere le precedenti relazioni in funzione di AB : l

l

BC ˆ AB

13

AC ˆ AB ‡ 4

!

BC ˆ x

13

!

AC ˆ x ‡ 4

L'insieme in cui x puoÁ variare eÁ quello dei numeri reali positivi maggiori di 13 perche altrimenti la misura di BC sarebbe negativa; deve quindi essere x > 13. Per scrivere l'equazione che ci permetteraÁ di trovare il valore di x dobbiamo sfruttare le proprietaÁ geometriche della figura; osserviamo allora che il triangolo ABC eÁ rettangolo e che per esso vale il teorema di Pitagora, quindi: 2

2

AB ‡ BC ˆ AC

2

cioeÁ

x 2 ‡ …x

2

13† ˆ …x ‡ 4†

2

Questa eÁ dunque l'equazione modello del problema; risolvendola si ottiene: Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

161

17 x2

34x ‡ 153 ˆ 0

!

xˆ

p 2 34  5,34

p 17 ‡ 2 34  28,66

La prima soluzione non appartiene al dominio del problema (deve essere x > 13†; la sola soluzione accettabile eÁ quindi la seconda. I lati del rettangolo misurano percioÁ: p p AB ˆ 17 ‡ 2 34 BC ˆ AB 13 ˆ 4 ‡ 2 34 III problema. Sia P un punto del lato AB di un triangolo equilatero ABC di lato ` e siano PH e PK le sue distanze dagli altri due lati. Determiniamo la lunghez23 2 2 2 2 `. za di AP in modo che sia verificata la relazione PH ‡ PK ‡ PC ˆ 20 Costruiamo la figura del problema facendo attenzione a non posizionare il punto P nel punto medio del lato AB (sarebbe un caso particolare) e studiamo dapprima le sue proprietaÁ (figura 8). Poiche in un triangolo equilatero gli angoli hanno ampiezza di 60 , i triangoli PAH e PBK sono due triangoli rettangoli che hanno gli angoli acuti di 30 e di 60 (i due triangoli non sono peroÁ congruenti). I triangoli rettangoli PCH e PCK non sono invece triangoli particolari. Visto che il problema chiede di determinare la lunghezza del segmento AP

Figura 8

conviene porre AP ˆ x e poiche P deve stare sul segmento AB deve essere 0 < x < `. Vediamo se possiamo accettare anche i casi x ˆ 0 e x ˆ ` : l

l

per x ˆ 0 il punto P coincide con A e abbiamo la situazione di figura 9a; poiche la relazione del problema ha significato possiamo accettare questo caso nel dominio del problema;

Figura 9

per x ˆ ` il punto P coincide con B ed abbiamo la situazione di figura 9b; anche in questo caso la relazione del problema ha significato.

In definitiva, il dominio del problema eÁ:

0  x  `.

a.

Conviene considerare come equazione la relazione indicata nel testo del pro23 2 2 2 2 blema e cioeÁ PH ‡ PK ‡ PC ˆ ` ; dobbiamo quindi trovare le misure dei 20 segmenti PH, PK e PC in funzione di x. l

Troviamo PH : per quanto osservato in precedenza, se

l

Troviamo PK : PB ˆ `

l

x

Troviamo PC :

p 3 …` PK ˆ 2

AP ˆ x

allora

p 3 x. PH ˆ 2

b.

x†

consideriamo il triangolo PCH e applichiamo il teorema di Pitagora:  2  p 2 3 1 1 1 2 2 2 x ˆ x2 x x ‡ AH ˆ x HC ˆ ` PC ˆ HC ‡ PH ˆ ` 2 2 2 2

`x ‡ `2

Possiamo adesso impostare l'equazione del problema:  p 2  p 2 3 3 23 2 x ‡ …` x † ‡x 2 `x ‡ `2 ˆ ` 2 2 20

162

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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Svolgendo i calcoli otteniamo: 25x 2

25`x ‡ 6`2 ˆ 0

3 ` 5

xˆ

!

2 ` 5 Entrambe le soluzioni sono accettabili perche positive e minori di `, quindi 3 2 AP ˆ ` _ AP ˆ ` 5 5 Osserviamo che queste due soluzioni corrispondono, come eÁ prevedibile, a posizioni simmetriche di P rispetto al punto medio di AB.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Le limitazioni a cui eÁ soggetta l'incognita x di un problema indicano che x deve essere compresa tra 0 e 1. Risolvendo l'equazione modello del problema si trova che x ˆ Si puoÁ dire che il problema ha: a. due soluzioni

b. una sola soluzione

1

p p 2 1‡ 2 _ xˆ . 2 2

c. nessuna soluzione.

2. Considera il seguente problema. Su un segmento AB lungo 10cm si vuole individuare un punto C in modo che il segmento AC sia medio proporzionale fra AB e BC. Posto AC ˆ x :

a. il dominio del problema eÁ:

¬ x < 10

b. l'equazione del problema eÁ:

¬ x 2 ˆ 10…x

­ 0 < x < 10 10†

­ x 2 ˆ 10…10

® x>0 x†

® x2 ˆ

x

10 10

APPROFONDIMENTI I PROBLEMI DAL MONDO REALE Saper risolvere equazioni di secondo grado ci daÁ modo di continuare l'analisi di problemi legati al mondo reale cosõÁ da poterne trovare le soluzioni. Vediamo qualche esempio. I esempio Un'impresa acquista e rivende della merce a peso. Il prezzo y d'acquisto in Euro dei beni dipende dalla quantitaÁ ordinata x, espressa in chilogrammi, secondo la legge: y ˆ 10x ‡

1 2 x 100

Il prezzo di vendita eÁ di E 25 al chilogrammo e tutto cioÁ che viene acquistato viene poi rivenduto. Altri costi dovuti alla gestione delle commesse e alla spedizione (deposito, trasporti, movimentazione, costo dei dipendenti, ecc.) si possono quantificare complessivamente in E 1400. Si vuole sapere: a. qual eÁ la funzione che determina il profitto dell'impresa; b. qual eÁ la quantitaÁ che si deve acquistare e vendere per avere il massimo profitto nel caso in cui l'impresa possa acquistare e vendere qualsiasi quantitaÁ di merce; c. qual eÁ la quantitaÁ che si deve acquistare e vendere per avere il massimo profitto nel caso in cui l'impresa possa acquistare e vendere al massimo 600kg. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

163

a. Il profitto dell'impresa eÁ dato dal ricavo meno i costi. Il ricavo eÁ dato dall'espressione: 25x I costi si calcolano sommando il costo della merce con le spese di gestione e sono quindi determinati dall'espressione: 1 2 x ‡ 1400 10x ‡ 100 Il profitto y eÁ dato da:   1 2 y ˆ 25x 10x ‡ x ‡ 1400 100

cioeÁ y ˆ

1 2 x ‡ 15x 100

Si tratta di una parabola che ha vertice in V …750, 4225† il cui grafico eÁ in figura 10; del grafico ci interessa solo la parte che appartiene al primo e quarto quadrante, che rappresenta quantitaÁ positive di merce acquistata e venduta. Osserviamo che il profitto dell'impresa, secondo questo modello, non eÁ sempre positivo. Troviamo gli zeri della funzione: 1 2 x ‡ 15x 100

1400 ˆ 0

1400 Figura 10

! 100

x2

1500x ‡ 140 000 ˆ 0

!

xˆ

1400

L'azienda ha un profitto positivo solo per ordini di valore compreso tra 100kg e 1400kg; per valori diversi i costi sono maggiori dei ricavi. Non vale la pena quindi accettare ordini inferiori ai 100kg o superiori ai 1400. b. Il profitto massimo eÁ rappresentato graficamente dal punto di ordinata piuÁ grande, cioeÁ dal vertice della parabola; l'impresa ha quindi massimo guadagno se acquista e rivende 750kg di merce e il guadagno corrispondente eÁ di E 4225. c. Se l'azienda non puoÁ gestire piuÁ di 600kg di merce, allora il suo profitto massimo si ha per x ˆ 600 che rappresenta il punto di ordinata piuÁ grande per x  600. Il valore di tale profitto si ottiene sostituendo 600 nell'equazione della parabola ed eÁ di E 4000. II esempio Per produrre un olio lubrificante si possono seguire due procedimenti diversi A e B il cui costo di produzione y (espresso in migliaia di Euro) dipende dalla quantitaÁ x di olio prodotto (espressa in ettolitri) secondo le due leggi: A:y ˆ

1 x‡1 8

B:yˆ

Figura 11

6 x

Stabiliamo quale processo produttivo eÁ piuÁ opportuno utilizzare al variare della quantitaÁ di olio da produrre, sapendo anche che la massima capacitaÁ produttiva giornaliera eÁ di 6 ettolitri. Rappresentiamo le due curve nel piano cartesiano ed evidenziamo con uno sfondo verde la zona che rappresenta la possibile produzione, cioeÁ l'insieme degli x che sono compresi tra 0 e 6 (figura 11). Dall'analisi del grafico appare evidente che conviene utilizzare il processo A fino al punto P, il processo B dopo P.

164

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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Per trovare l'ascissa del punto P uguagliamo le due espressioni di y e risolviamo l'equazione in x ottenuta: 1 6 x‡1ˆ 8 x

!

x 2 ‡ 8x

48 ˆ 0

Si tratta di un'equazione di secondo grado; applichiamo la formula risolutiva (ridotta): xˆ

4

p 16 ‡ 48 ˆ

12 48ˆ

4

La soluzione che ci interessa eÁ x ˆ 4, dunque l'ascissa del punto P eÁ 4. Possiamo allora concludere che per una produzione di olio: l

minore di 4 ettolitri eÁ piuÁ conveniente il processo A

l

compresa tra 4 e 6 ettolitri conviene di piuÁ il processo B.

Sul sito www.edatlas.it trovi... l

il laboratorio di informatica

l

la scheda storica Lo sviluppo dell'algebra e le equazioni di secondo grado

l

gli esercizi dalle Gare di matematica

l

Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta

l

Á di recupero le attivita

Se x eÁ il numero dei ragazzi della classe, tranne Sofia, la spesa preventi81 ; questa spesa deve essere aumentata di vata per ciascuno eÁ pari a E x E 0,24 per il ritiro di due compagni. La spesa compressiva, che eÁ di E 81, va calcolata su x 2 ragazzi, quindi si puoÁ impostare l'equazione   81 ‡ 0,24 …x 2† ˆ 81 x

La risposta al quesito iniziale

Risolvendola si trova che deve essere x ˆ 25 oppure x ˆ 27. Ovviamente la soluzione negativa va scartata e possiamo concludere che i ragazzi della classe, compresa Sofia, sono 28. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

165

I concetti e le regole Le equazioni di secondo grado Un'equazione di secondo grado si puoÁ sempre ricondurre alla sua forma normale ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ 0 nella quale deve essere a 6ˆ 0. Se i coefficienti b o c sono nulli l'equazione si dice incompleta e le sue soluzioni si trovano applicando la legge di annullamento del prodotto oppure la definizione di radicale: b l ax 2 ‡ bx ˆ 0 ! x …ax ‡ b † ˆ 0 ! xˆ0 _ xˆ a r c c l ax 2 ‡ c ˆ 0 ! xˆ >0 se a a l

ax 2 ˆ 0

!

xˆ0

Le soluzioni dell'equazione completa si trovano applicando la formula

xˆ

b

p b2 4ac 2a

nella quale l'espressione b 2

4ac si chiama discriminante e si indica con il simbolo
, s  2 b b ac  2 2 oppure la formula ridotta se b eÁ pari x ˆ a

In base al valore del discriminante l'equazione: ammette due soluzioni reali e distinte se
> 0 l ammette due soluzioni reali coincidenti se
ˆ 0 l non ha soluzioni reali se
< 0. l

Relazioni fra coefficienti e soluzioni Fra le soluzioni x1 e x2 di un'equazione di secondo grado ed i suoi coefficienti sussistono le seguenti relazioni: b c x1 ‡ x2 ˆ x1
x2 ˆ a a Mediante la loro applicazione eÁ possibile: l trovare due numeri conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p risolvendo l'equazione: x 2 sx ‡ p ˆ 0 l scomporre il trinomio ax 2 ‡ bx ‡ c con la formula: a…x x1 †…x x2 †.

L'interpretazione grafica Ad ogni equazione di secondo grado ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ 0 si puoÁ associare la parabola di equazione y ˆ ax 2 ‡ bx ‡ c. Le soluzioni dell'equazione, se esistono reali, rappresentano, dal punto di vista grafico, le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l'asse x, sono cioeÁ gli zeri della funzione.

166

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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CAPITOLO

Le disequazioni di secondo grado

Obiettivi l

risolvere disequazioni di secondo grado

l

risolvere sistemi di disequazioni

MATEMATICA E REALTAÁ Un insegnante di disegno, che eÁ un architetto, ha assegnato ai suoi studenti il progetto del piano superiore di una casa a pianta quadrata. «Il proprietario vi ha chiesto di studiare la distribuzione di tre camere da letto, ciascuna con il suo bagno e il suo terrazzino. Avete a disposizione 144m2 di superficie; i terrazzi non devono essere ne troppo grandi, ne troppo piccoli, diciamo che la superficie della parte interna non deve essere inferiore a tre volte quella dei terrazzi. Vi disegno alla lavagna la posizione della scala interna e il suo ingombro. Fate lavorare la fantasia e datemi le vostre soluzioni». Il disegno fatto dall'insegnante eÁ nella prima figura. La fantasia ai ragazzi non manca e tra i progetti che sono arrivati sul tavolo del docente il giorno dopo alcuni sono particolarmente carini; fra tutti spicca quello di Laura che ha trovato una soluzione moderna e funzionale. Il suo progetto eÁ nella seconda figura e, come vedi, un terrazzino eÁ rettangolare, un altro eÁ triangolare e il terzo ha la forma di un trapezio rettangolo. La ragazza si eÁ peroÁ dimenticata di quotare il disegno, cioeÁ di mettere le dimensioni delle varie parti; quello che sappiamo eÁ che i lati esterni dei terrazzi sono uguali a due a due e le dimensioni sono una il doppio dell'altra, mentre la base minore del trapezio eÁ un terzo di quella maggiore. Il professore ha detto peroÁ che, anche in presenza di un proget-

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Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

167

to buono dal punto di vista architettonico, se le consegne non sono state rispettate, il voto non saraÁ sufficiente. Laura ha cercato di rimediare commentando a voce il suo disegno: «Ho pensato che il terrazzino rettangolare dovesse essere largo 3 metri; il resto va di conseguenza». Che cosa succederaÁ a Laura? Come saraÁ il suo voto? La risposta la potrai dare dopo aver studiato gli argomenti di questo capitolo; in ogni caso, sai di poterla trovare alla fine. Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 488

1. IL METODO DI RISOLUZIONE

Figura 1

Fino ad ora l'unico modo che conosciamo per risolvere una disequazione di > 0 eÁ quello di scomporre il polinomio al primo secondo grado ax 2 ‡ bx ‡ c< membro, studiare il segno di ciascun fattore e dedurre l'insieme delle soluzioni dalla tabella dei segni. Ma il polinomio ax 2 ‡ bx ‡ c si puoÁ scomporre solo se il discriminante b2 4ac eÁ positivo o nullo, quindi questo metodo non si puoÁ applicare a tutte le disequazioni di secondo grado. Un modo per affrontare il problema si basa sulla considerazione che la funzione y ˆ ax 2 ‡ bx ‡ c rappresenta una parabola e che domandarsi quando ax 2 ‡ bx ‡ c eÁ maggiore oppure minore di zero significa chiedersi per quali valori di x il grafico della parabola corrispondente si trova rispettivamente nel semipiano delle ordinate positive (cioeÁ al di sopra dell'asse x) oppure in quello delle ordinate negative (cioeÁ al di sotto dell'asse x) (figura 1). Vediamo subito un esempio e risolviamo con l'aiuto di una parabola la disequazione x 2 ‡ 2x 3 > 0

Figura 2

Consideriamo la parabola y ˆ x 2 ‡ 2x 3 e rappresentiamola nel piano cartesiano (figura 2a). Essa interseca l'asse delle ascisse nei punti che sono le soluzioni dell'equazione x 2 ‡ 2x

3ˆ0

cioeÁ in

xˆ

3

e

xˆ1

Il suo grafico si trova (figura 2b): l

l

nella zona positiva, cioeÁ al di sopra dell'asse x, quando x assume valori piuÁ piccoli di 3 oppure piuÁ grandi di 1

a.

nella zona negativa, cioeÁ al di sotto dell'asse x, quando x assume valori compresi tra 3 e 1.

Di conseguenza, se ci chiediamo per quali valori di x si ha che x 2 ‡ 2x 3 > 0, significa che ci interessano le zone dell'asse x in cui la parabola assume valori positivi. La risposta eÁ quindi: x 2 ‡ 2x

3>0

se

x
1

Vediamo un secondo esempio: risolviamo la disequazione

x2

2x ‡ 3 > 0.

Consideriamo la parabola y ˆ x 2 2x ‡ 3, troviamo i suoi zeri e costruiamo il grafico: p p ! x ˆ1 1 3ˆ1 2 x 2 2x ‡ 3 ˆ 0

Poiche il discriminante eÁ negativo, la parabola non interseca l'asse delle ascis-

168

Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

b.

I punti x ˆ 3 e x ˆ 1 sono gli zeri della funzione rappresentata dalla parabola. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

se e il suo grafico si trova per intero nel semipiano delle ordinate positive (cioeÁ al di sopra dell'asse delle ascisse) (figura 3). Poiche ci chiediamo quando il trinomio x 2 2x ‡ 3 eÁ positivo, dobbiamo concludere che: x2

2x ‡ 3 > 0

Figura 3

per qualsiasi valore reale di x.

> 0: Osserviamo adesso che nella disequazione ax 2 ‡ bx ‡ c < l

l

poiche possiamo sempre fare in modo che il coefficiente a del trinomio ax 2 ‡ bx ‡ c sia positivo (se fosse negativo basta cambiare segni e verso alla disequazione), la parabola associata alla disequazione avraÁ sempre la concavitaÁ rivolta verso l'alto; inoltre la sola cosa che interessa della parabola eÁ la sua posizione relativamente all'asse x, quindi eÁ importante individuare, se esistono, quali sono i suoi zeri, ma non eÁ di nessun interesse conoscere la posizione esatta del vertice.

Le soluzioni delle precedenti due disequazioni, tenendo conto di queste considerazioni, si possono individuare con le seguenti rappresentazioni grafiche:

In base agli esempi e a tutte le considerazioni fatte, possiamo riassumere la procedura risolutiva di una disequazione di secondo grado nei seguenti passi. Data la disequazione con a > 0:

ax 2 ‡ bx ‡ c > 0

oppure

ax 2 ‡ bx ‡ c < 0

n consideriamo la parabola y ˆ ax 2 ‡ bx ‡ c associata al trinomio al primo membro n troviamo le sue intersezioni con l'asse x risolvendo l'equazione ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ 0; si possono presentare i seguenti casi a seconda del valore del discriminante (osserva la figura 4): 
>0:

ci sono due intersezioni x1 e x2 con l'asse x ed il trinomio eÁ:

Figura 4

a.

- positivo per x < x1 o x > x2 - negativo per x1 < x < x2


ˆ0:

c'eÁ una sola intersezione x1 con l'asse x ed il trinomio eÁ:


0 ricerchiamo gli intervalli di positivitaÁ

c.

- nella disequazione ax 2 ‡ bx ‡ c < 0 ricerchiamo gli intervalli di negativitaÁ. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

169

ESEMPI 1. x 2

3x ‡ 2 > 0

Calcoliamo il discriminante e, se eÁ positivo o nullo, troviamo le radici dell'equazione associata:
ˆ9

8ˆ1

!

xˆ

31 2

xˆ1_ ˆ2

!

Disegniamo la parabola corrispondente: Scegliamo l'intervallo delle soluzioni (stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio eÁ positivo): x2

2. x 2

4x ‡ 5 < 0

Calcoliamo il discriminante:


ˆ4 4

5ˆ

1

PoicheÂ
< 0, la parabola non interseca l'asse delle ascisse Il trinomio eÁ sempre positivo e quindi, poiche stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio eÁ negativo, la disequazione non eÁ mai verificata: S ˆ 1.

3. 30x

9x 2

25 < 0

Cambiamo i segni e il verso:

9x 2

Calcoliamo il discriminante:


ˆ 225 4

30x ‡ 25 > 0 225 ˆ 0

!

xˆ

5 3

La parabola interseca l'asse x in un solo punto (corrispondente al vertice) dove vale zero ed eÁ positiva in tutti gli altri punti. Poiche stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio eÁ positivo (abbiamo   5 cambiato segni e verso), la disequazione eÁ verificata 8x 2 R . 3

4.

x2 x 1 2x ‡ 5 ‡ < 4 2 6 Trasportiamo tutti i termini al primo membro e sviluppiamo il calcolo: x2 x 1 ‡ 4 2

2x ‡ 5 3

!

1

xˆ

eÁ corretto scrivere: l'equazione non ha soluzioni reali

la disequazione eÁ verificata n Per risolvere la disequazione l

l

eÁ sbagliato scrivere:

8x 2 R x…x

3† > 0

x>0 _ x>3

eÁ corretto scrivere: soluzioni dell'equazione x ˆ 0 _ x ˆ 3 soluzioni della disequazione x < 0 _ x > 3

n Per risolvere la disequazione l

l

eÁ sbagliato scrivere:

x

…x 5>0

2

5† > 0 !

eÁ corretto dire che eÁ verificata se x 2 R

x>5 f5g

perche un quadrato eÁ sempre positivo o nullo e non eÁ mai negativo.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Il grafico associato a un certo trinomio ax 2 ‡ bx ‡ c eÁ in figura; barra vero o falso: a. b. c. d. e.

il trinomio eÁ positivo per tutti gli x minori di 2 il trinomio eÁ positivo solo se x > 1 il trinomio eÁ negativo se 2 < x < 1 il trinomio eÁ positivo se x < 2 _ x > 1 il trinomio non eÁ mai positivo perche si annulla per due valori negativi.

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

2. Scegli fra quelle indicate le relazioni che individuano l'insieme delle soluzioni delle seguenti disequazioni: a. 4

x2 > 0 :

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

¬ x < 2_x >2

­

2 2 (figura 5b) Costruiamo la tabella dei segni:

L'insieme delle soluzioni eÁ quindi formato dagli intervalli:

2.

2x x

1



5x x2 1

x 2.

2 3

3x

Scomponiamo i denominatori e trasportiamo tutti i termini al primo membro:

172

Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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2x x

1

5x 2 ‡ 0 1† … x ‡ 1 † 3 … 1 x †

…x

Il dominio eÁ l'insieme D ˆ R nominatore: 2x x

1

5x 1† … x ‡ 1 †

…x

deve essere x 6ˆ

1 ^ x 6ˆ 1

f 1, 1g e conviene riscrivere la terza frazione cambiando segno al de2

3 …x

1†

0

Scriviamo la disequazione in forma normale: 6x …x ‡ 1† 3… x

15x 2…x ‡ 1† 0 1†…x ‡ 1†

!

6x 2 11x 2 0 3… x 1 † … x ‡ 1 †

6x 2

!

11x 1 x

2

2

0

Studiamo il segno dei fattori al numeratore e al denominatore: l

l

p 11  121 ‡ 48 ˆ 6x 2 11x 2  0 l'equazione associata ha soluzioni x ˆ 12 1 _ x  2 (figura 6a) La disequazione eÁ verificata se x  6 x2

1 > 0 l'equazione associata ha soluzioni x ˆ 1

La disequazione eÁ verificata se

x
1

1 6 2

Figura 6

(figura 6b)

a.

Tabella dei segni: b.

In definitiva:

x
0

Scomponiamo il polinomio al primo membro:

x 2 …x

3† ‡ …x

3† > 0

!

…x 2 ‡ 1†…x

3† > 0

Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: x2 ‡ 1 > 0 x

3>0

8x 2 R x>3

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Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

173

Costruiamo la tabella dei segni:

x>3

2. x 5

x4

9x 3 ‡ 9x 2  0

Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro, eseguendo prima un raccoglimento totale e poi uno parziale: x 2 …x 3

9x ‡ 9†  0

x2

x 2 ‰x 2 …x

!

1†

9…x

1†Š  0

!

x 2 …x 2

9†…x

1†  0

Studiamo il segno di ogni fattore x2  0

8x 2 R

l

x

x

l

x

l

2

90 10

(essendo un quadrato eÁ sempre positivo e si annulla in x ˆ 0)

3 _ x3

x1

Costruiamo la tabella dei segni:

3x1 _ x3 Quando si risolve una disequazione frazionaria, qualunque sia il verso della disequazione, si eÁ soliti studiare il segno di ogni fattore andando a vedere quando eÁ positivo. Questa eÁ peroÁ una convenzione e si possono anche cercare gli intervalli in cui eÁ negativo; bisogna peroÁ stare attenti a non commettere errori. Per esempio, per risolvere la disequazione x2 x

Attenzione agli errori

3x 0 x 2 8x  0

Risolviamo la prima disequazione:

x 2 ‡ 2x ‡ 1 > 0

Risolviamo la seconda disequazione:

x2

2

…x ‡ 1† > 0

8x  0

8x 2 R

0x8

Nella tabella delle soluzioni abbiamo indicato con un pallino vuoto il valore della prima disequazione:

Il sistema eÁ verificato se

f 1g

S1

S2 1 escluso dalle soluzioni

0  x  8.

8 2 0 : 2 3x 10

Osserviamo che la prima disequazione non eÁ mai verificata; eÁ quindi inutile risolvere le altre percheÂ, dovendo determinare l'intersezione fra gli insiemi soluzione, si ha che comunque: S ˆ 1.

3.

8 2 >

:

1 x

0

x2 ‡ 1 > 0

Osserviamo che la seconda disequazione eÁ sempre verificata, quindi l'insieme delle soluzioni del sistema coincide con quello della prima disequazione. Risolviamo dunque la disequazione: x2

1 x

176

0

di dominio

DˆR

f0g.

Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore: l

x2

l

x>0

10

x

1 _ x1

Tabella dei segni:

L'insieme S delle soluzioni del sistema eÁ costituito dagli intervalli

1  x < 0 _ x  1:

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Il sistema



x2 ‡ 4 < 0 x 1>0

ha per soluzione:

a. R

b. x > 1

2. Nel sistema



c. 1

d. 1 < x < 2

4x 2 ‡ 1 > 0 3x 2 x < 0

a. la prima disequazione eÁ superflua ed eÁ sufficiente risolvere la seconda a. la prima disequazione non eÁ superflua ed eÁ equivalente a 2x ‡ 1 > 0 c. l'insieme delle soluzioni eÁ l'intervallo 0 < x < 3 1 d. l'insieme delle soluzioni eÁ l'intervallo 0 < x < . 3

V

F

V

F

V

F

V

F

APPROFONDIMENTI LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON I MODULI Per risolvere un'equazione o una disequazione che ha dei moduli si deve valutare il segno dell'argomento di ciascun modulo; ricordiamo allora che: ( A… x † per tutti gli x che rendono positiva o nulla l'espressione A…x † A…x † ˆ A…x † per tutti gli x che la rendono negativa

Per esempio, poiche 2x 2 per x
3j ˆ

x

3 si annulla in x ˆ

3 ed eÁ negativo per 2

8 2 > > < 2x

x

3

> > : 2x 2 ‡ x ‡ 3

10


ˆ0


0 il trinomio e Á positivo per valori esterni all'intervallo delle radici, eÁ negativo per valori compresi l se
ˆ 0 il trinomio e Á positivo per ogni x 2 R escluso il punto in cui il trinomio si annulla e non eÁ mai negativo l se
< 0 il trinomio e Á sempre positivo.

Le disequazioni frazionarie e di grado superiore al secondo l

l

A…x† > --- 0 B…x† < si devono studiare i segni dei polinomi A…x† e B…x†, riportare le variazioni di segno in una tabella e da essa dedurre il segno della frazione. Per risolvere una disequazione frazionaria della forma

> Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E …x † < --- 0 si risolve scomponendo in fattori al piuÁ di secondo grado l'espressione E …x † e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E …x † non eÁ scomponibile, la disequazione non puoÁ essere risolta per via algebrica.

Le equazioni e le disequazioni con i moduli Per risolvere un'equazione o una disequazione con i moduli si deve studiare il segno di ciascuna espressione argomento di un modulo, costruire una tabella con la distribuzione dei segni, risolvere l'equazione o la disequazione che si ottiene in ciascuno degli intervalli individuati.

180

Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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Tema Modelli non lineari

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

CAPITOLO

Equazioni di grado superiore al secondo e irrazionali

Obiettivi l

l

l

risolvere equazioni razionali di grado superiore al secondo mediante scomposizione risolvere equazioni e disequazioni di tipo particolare: - reciproche - binomie - trinomie risolvere equazioni irrazionali

MATEMATICA E REALTAÁ In un gioco televisivo che permette di vincere un consistente premio in denaro viene proposto un quiz che dice cosõÁ: si ha a disposizione uno spago, carta, matita e un righello; si vuole calcolare l'area di un triangolo rettangolo che ha un cateto lungo 8cm e che puoÁessere completamente ed esattamente circondato dallo spago. Come puoÁ fare il concorrente a vincere il premio? Non serve fare prove, basta ragionare su un triangolo rettangolo, dopo aver studiato i contenuti di questo capitolo; ovviamente la lunghezza ` dello spago si deve considerare nota. Nella risoluzione del problema che trovi al termine del capitolo abbiamo supposto che sia ` ˆ 24cm.

1. EQUAZIONI CHE SI RISOLVONO PER SCOMPOSIZIONE

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 514

1.1 Il caso generale Qualunque equazione razionale, una volta sviluppati eventuali calcoli, si puoÁ sempre scrivere nella forma E …x † ˆ 0 dove E …x † eÁ un polinomio di grado n nella variabile x. Non esistono formule alla nostra portata che consentono di risolvere equazioni di grado superiore al secondo; l'unico modo che abbiamo, per ora, di risolvere equazioni di questo tipo eÁ quello che utilizza la legge di annullamento del pro-

182

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

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dotto piuÁ volte ricordata e utilizzata; solo se riusciamo a scomporre il polinomio E …x † nel prodotto di fattori di primo o al massimo di secondo grado, possiamo risolvere l'equazione E …x † ˆ 0. Vediamo alcuni esempi.

ESEMPI 1. x 3

8x ˆ 2x 2

16

Raccogliamo x al primo membro e 2 al secondo: x …x 2 8† ˆ 2…x 2 8† Trasportiamo tutti i termini al primo membro: x …x 2 8† 2…x 2 8† ˆ 0 Raccogliamo …x 2 8† a fattor comune: …x 2 8†…x 2† ˆ 0 Applichiamo la legge di annullamento del prodotto: x 2 p Risolvendo la prima equazione otteniamo: x ˆ  8

risolvendo la seconda otteniamo:

L'insieme delle soluzioni eÁ quindi:

2. x 2

2x ˆ 2x 3

x4

xˆ2

 S ˆ 2,

Raccogliamo x: x …x

2

2x ‡ x

x4

2† ˆ 0

2x 3 ‡ x 2

Raccogliamo parzialmente all'interno della parentesi: Raccogliamo totalmente:

2†…x 2 ‡ 1† ˆ 0

x …x

!

p p 2 2, 2 2 .

Trasportiamo tutti i termini al primo membro: 3

8ˆ0

2ˆ0 p x ˆ 2 2 _

x

2x ˆ 0

x ‰x 2 …x

2† ‡ … x

2† Š ˆ 0

Possiamo adesso applicare la legge di annullamento del prodotto: xˆ0

_

x

2ˆ0

_

x2 ‡ 1 ˆ 0

La seconda equazione ha soluzione 2, la terza eÁ impossibile in R, quindi

3. 3x 3 ‡ 2x 2

S ˆ f0, 2g.

7x ‡ 2 ˆ 0

Per scomporre il polinomio al primo membro dobbiamo usare la regola di Ruffini e trovare i divisori del tipo x a; ricordiamo che i valori di a sono da ricercarsi fra i divisori del termine noto e fra le frazioni m dove m eÁ un divisore del termine noto e n eÁ un divisore del coefficiente del termine di della forma n grado massimo. 1 2 Nel nostro caso i possibili valori di a sono: 1,  2,  ,  3 3 Cominciamo a valutare E …1† : E …1† ˆ 3 ‡ 2 7 ‡ 2 ˆ 0 Possiamo giaÁ concludere che 1, visto che soddisfa l'equazione, eÁ una delle sue radici. Per trovare le altre determiniamo il polinomio Q …x † quoziente della divisione di E …x † per …x 1† : 3 1 3

2

7

2

3

5

2

5

2

0

Q …x † ˆ 3x 2 ‡ 5x

2

Dobbiamo quindi risolvere l'equazione

p 25 ‡ 24 57 ˆ ˆ ! xˆ 3x ‡ 5x 2 ˆ 0 6 6   1 In definitiva, l'insieme delle soluzioni eÁ S ˆ 2, , 1 . 3 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5

2 1 3

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

183

1.2 Il caso particolare delle equazioni reciproche Un caso particolare riguarda alcune equazioni nelle quali, supponendo che il polinomio E…x† sia ordinato, i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi sono o tutti uguali a due a due oppure tutti opposti a due a due. Esempi di equazioni di questo tipo sono le seguenti: l

3x 3

13x 2 ‡ 13x

l

2x 3

3x 2

l

12x 4

3ˆ0

coefficienti opposti

3x ‡ 2 ˆ 0

25x 3 ‡ 25x

coefficienti uguali

12 ˆ 0

coefficienti opposti

Equazioni di questo tipo si dicono reciproche. L'equazione E …x † ˆ 0, dove E …x † eÁ un polinomio ordinato di grado n, si dice reciproca se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti uguali oppure opposti. La caratteristica di equazioni del tipo di quelle viste negli esempi eÁ che il polinomio E …x † si annulla per x ˆ 1 oppure per x ˆ 1 a seconda che i coefficienti equidistanti dagli estremi siano uguali oppure opposti. Se riprendiamo le precedenti equazioni possiamo dire che: l

nella prima, che eÁ di terzo grado, quando sostituiamo 1 al posto di x i coefficienti opposti si eliminano a vicenda, quindi l'equazione ha come soluzione x ˆ 1 : E …1 † ˆ 3

l

3ˆ0

nella seconda, che eÁ di terzo grado, quando sostituiamo 1 al posto di x i coefficienti uguali si eliminano a vicenda, quindi l'equazione ha come soluzione x ˆ 1 : E … 1† ˆ

l

13 ‡ 13

2

3‡3‡2ˆ0

nella terza, che eÁ di quarto grado, il polinomio E …x † si annulla sia quando sostituiamo 1, sia quando sostituiamo 1 al posto di x, quindi l'equazione ha come soluzione sia x ˆ 1 sia x ˆ 1 : E …1† ˆ 12

25 ‡ 25

E … 1† ˆ 12 ‡ 25

25

12 ˆ 0

12 ˆ 0

Queste considerazioni possono essere generalizzate nella seguente regola. n Un'equazione reciproca di terzo grado ammette: l

la soluzione 1 se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti opposti: ax 3 ‡ bx 2

l

la soluzione ti uguali:

bx

aˆ0

!

soluzione 1

1 se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficien-

ax 3 ‡ bx 2 ‡ bx ‡ a ˆ 0

184

IL METODO RISOLUTIVO

!

soluzione

1

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

n Un'equazione reciproca di quarto grado, nella quale il termine centrale di secondo grado eÁ nullo e nella quale i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti opposti, ammette sia la soluzione ‡1 che la soluzione 1: l

ax 4 ‡ bx 3

bx

aˆ0

!

soluzione

1 e ‡1

Le altre soluzioni si determinano calcolando il polinomio quoziente Q…x†, ottenuto dividendo per x ‡ 1 o per x 1 o per entrambi, e risolvendo l'equazione Q…x† ˆ 0 che si ottiene annullandolo.

ESEMPI 1. 3x 3

13x 2 ‡ 13x

3ˆ0

Sappiamo che E…1† ˆ 0; per determinare le altre soluzioni dividiamo il polinomio E…x† per …x regola di Ruffini e calcoliamo il polinomio quoziente. 3 1 3

13

13

3

3

10

3

10

3

0

Q…x† ˆ 3x 2

Dobbiamo risolvere l'equazione 3x 2 10x ‡ 3 ˆ 0:   1 L'insieme delle soluzioni eÁ S ˆ 1, 3, . 3

xˆ

5

10x ‡ 3

3x 2

2 1 2

Dobbiamo risolvere l'equazione:

3. 12x 4

3 1 . 3

3x ‡ 2 ˆ 0

Sappiamo giaÁ che E… 1† ˆ 0, quindi una soluzione eÁ regola di Ruffini:

Dunque S ˆ reciproci.

1 3

p 25 9 54 ˆ ˆ 3 3

Come puoi notare, oltre alla soluzione 1, abbiamo trovato i due valori reciproci 3 e

2. 2x 3

1† con la



3

3

2

2

5

2

5

2

0

2x 2

1; determiniamo il polinomio quoziente con la

5x ‡ 2 ˆ 0:

Q…x† ˆ 2x 2 xˆ

5

p 25 16 53 ˆ ˆ 4 4

 1 1, , 2 . Anche in questo caso, oltre alla soluzione 2

25x 3 ‡ 25x

5x ‡ 2 1 2 2

1, abbiamo trovato due valori

12 ˆ 0

Per la forma assunta dall'equazione, sappiamo che E…1† ˆ 0 ed anche che E… 1† ˆ 0. Determiniamo il quoziente della divisione di E…x† per …x Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

1† e …x ‡ 1†:

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

185

12 1 12 1 12

Risolviamo l'equazione

Dunque S ˆ ciproche



1,

3 4 e . 4 3

25

0

25

12

12

13

13

12

13

13

12

0

12

25

12

25

12

0

12x 2

25x ‡ 12 ˆ 0:

Q…x† ˆ 12x 2

25x ‡ 12

p 25  625 576 25  7 xˆ ˆ ˆ 24 24

3 4 4 3

 3 4 . Anche in questo caso puoi notare che a S appartengono le soluzioni re1, , 4 3

Rivediamo gli insiemi soluzione delle equazioni dei precedenti esempi; oltre alla soluzione 1 o 1, le altre sono una reciproca dell'altra: nel primo caso ab1 1 4 3 biamo ottenuto 3 e , nel secondo 2 e , nel terzo e . Questo vale in ge3 2 3 4 nerale; data cioeÁ un'equazione reciproca, oltre alle eventuali soluzioni 1 e 1, 1 se essa ammette la soluzione k, ammette anche la soluzione . Di qui il nome k di reciproche dato a questo tipo di equazioni.

APPROFONDIMENTI LE EQUAZIONI RECIPROCHE DI QUARTO GRADO COMPLETE Anche un'equazione di quarto grado della forma: ax 4 ‡ bx 3 ‡ cx 2 ‡ bx ‡ a ˆ 0 eÁ reciproca, ma il polinomio al primo membro non si annulla ne per x ˆ 1 ne per x ˆ 1 a causa della presenza del termine centrale cx 2 . Per risolvere questo tipo di equazioni occorre procedere effettuando una particolare sostituzione. Vediamo il metodo applicandolo all'equazione 12x 4

4x 3

41x 2

4x ‡ 12 ˆ 0

Eseguiamo le seguenti operazioni: l

l

dividiamo entrambi i membri per x 2 (l'operazione eÁ lecita perche 0 non eÁ soluzione dell'equazio4 12 ‡ 2 ˆ0 ne): 12x 2 4x 41 x x raccogliamo a fattor comune i termini che hanno lo stesso coefficiente:     1 1 2 4 x‡ 41 ˆ 0 12 x ‡ 2 x x

La sostituzione da operare eÁ suggerita dalla forma stessa dell'equazione ed eÁ:

186

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

x‡

1 ˆt x

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1 Per sapere che cosa sostituire al posto di x ‡ 2 osserviamo che x  2 1 1 1 2, cioeÁ x 2 ‡ 2 ˆ t 2 2. e che quindi x 2 ‡ 2 ˆ x ‡ x x x 2

 2 1 1 ˆ x2 ‡ 2 ‡ 2 x‡ x x

In definitiva le sostituzioni da operare sono: n t2 n t

2

al posto di

al posto di

x‡

x2 ‡

1 x2

1 x 12…t 2

Con cioÁ l'equazione diventa:

e ha soluzioni:

13 6

tˆ

2†

4t

41 ˆ 0

!

12t 2

4t

65 ˆ 0

5 2

Per tornare alla variabile x operiamo la sostituzione inversa e risolviamo le due equazioni 3 2 1 13 ! 6x 2 ‡ 13x ‡ 6 ˆ 0 ! xˆ x‡ ˆ x 6 2 3 x‡

1 5 ˆ x 2

2x 2

!

5x ‡ 2 ˆ 0

!

1 2

xˆ

In definitiva l'insieme delle soluzioni dell'equazione data eÁ S ˆ

2 

2 , 3

 3 1 , ,2 . 2 2

Generalizziamo la procedura. Per risolvere l'equazione reciproca di quarto grado completa ax 4 ‡ bx 3 ‡ cx 2 ‡ bx ‡ a ˆ 0 si deve: n dividere entrambi i membri per x 2 n raccogliere a fattor comune i termini che hanno coefficienti uguali 1 1 e x‡ ˆt n operare le sostituzioni: x 2 ‡ 2 ˆ t 2 2 x x n risolvere l'equazione di secondo grado in t ottenuta 1 1 n dette t1 e t2 le soluzioni, operare la sostituzione inversa x ‡ ˆ t1 e x ‡ ˆ t2 e risolvere le equax x zioni in x ottenute.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. L'equazione 3x …x 2 a.

p 1 ,  2 3

2†…x 2 ‡ 4† ˆ 0 ha soluzioni: p p 1 b. ,  2 c. 0,  2 3

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d. 0, 

p 2,  2

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

187

2. Per risolvere l'equazione x 2 …x 2 a. x

2

3ˆ0

2

b. x ˆ 0

3† ˆ x 2

3 bisogna risolvere le equazioni:

c. x 2

3 ˆ 0 _ x2 ˆ 0

3. Senza svolgere calcoli di alcun tipo si puoÁ dire che l'equazione 5x 3 sue soluzioni: a. 1

b.

1

c. 1 e

d. x 2

3 ˆ 0 _ x2

6x 2 ‡ 6x

1

1ˆ0

5 ˆ 0 ammette fra le

d. 5 e

1 5

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 520

2. EQUAZIONI BINOMIE E TRINOMIE Equazioni binomie Un'equazione si dice binomia se si puoÁ scrivere nella forma xn ˆ k dove n eÁ un intero positivo e k un numero reale. Anche se n puoÁ essere un valore intero positivo qualsiasi, i casi che ci interessano ora sono quelli in cui n > 2, in quanto per n ˆ 1 oppure n ˆ 2 ci troviamo a dover risolvere equazioni di primo o secondo grado. Anche un'equazione binomia si puoÁ risolvere mediante scomposizione, ma eÁ piuÁ immediato risolverla mediante l'uso dei radicali. A questo proposito ricordiamo che: l

l

la radice di indice dispari di un numero x esiste qualunque sia il valore di x p e ha lo stesso segno di x; in particolare n x n ˆ x :  p p  p  3 3 3 53 ˆ 5 73 ˆ 7 73 ˆ

Per esempio x 3 1 ˆ 0 si puoÁ risolvere cosõÁ: …x l

l

x

1†…x 2 ‡ x ‡ 1† ˆ 0 1ˆ0

!

x ˆ1

x2 ‡ x ‡ 1 ˆ 0 !
ˆ 3 non ci sono soluzioni reali.

la radice di indice pari di un numero x esiste solo se x  0; in particolare  p n x n ˆ jx j : p  p  4 4 34 non esiste 24 ˆ 2

Vediamo allora un esempio di risoluzione nei due casi n dispari e n pari. l

l

x3 ˆ

27

Se calcoliamo la radice cubica di entrambi i membri otteniamo:  p p p  3 vale a dire xˆ 3 cioeÁ x ˆ 3 27 x 3 ˆ 3 27 x 4 ˆ 16

Se calcoliamo la radice quarta di entrambi i membri dell'equazione otteniamo:  p p  4 x 4 ˆ 4 16 cioeÁ vale a dire x ˆ 2 jx j ˆ 2

In pratica, in questo secondo caso, si considera che esistono due valori opposti, ‡2 e 2, che, elevati a potenza 4 danno 16. Generalizziamo il procedimento. L'equazione x n ˆ k eÁ equivalente in R all'equazione

188

  p p n x n ˆ n k e si ha che:

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

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n se n eÁ pari l'equazione ammette: - due soluzioni opposte se k  0 : - nessuna soluzione se k < 0

p xˆnk

n se n eÁ dispari l'equazione ammette: - una sola soluzione per qualsiasi valore di k :

xˆ

p  n k

Equazioni trinomie Un'equazione si dice trinomia se si puoÁ scrivere nella forma ax 2n ‡ bx n ‡ c ˆ 0

con a 6ˆ 0

dove n eÁ un intero positivo e gli esponenti dell'incognita sono uno il doppio dell'altro. Per risolvere queste equazioni possiamo operare un cambio di variabile ponendo x n ˆ t, e quindi x 2n ˆ t 2 , trasformando in questo modo l'equazione data in una di secondo grado della quale sappiamo trovare le soluzioni. Per esempio, l'equazione x 6 4x 3 ‡ 1 ˆ 0, posto x 3 ˆ t e quindi x 6 ˆ t 2 , diventa p p che ha soluzioni t ˆ2 4 1ˆ2 3 t 2 4t ‡ 1 ˆ 0 p p 3 e anche x3 ˆ 2 ‡ 3 Tornando poi alla variabile x abbiamo che: x 3 ˆ 2 q q p p 3 3 _ x ˆ 2‡ 3 Da queste due equazioni binomie ricaviamo poi che x ˆ 2 3 Generalizziamo il procedimento.

Per risolvere l'equazione trinomia l

l

l

ax 2n ‡ bx n ‡ c ˆ 0

si opera la sostituzione di variabile x n ˆ t

si risolve l'equazione di secondo grado in t cosõÁ ottenuta at 2 ‡ bt ‡ c ˆ 0

Nel caso particolare in cui n ˆ 2, l'equazione assume la forma ax 4 ‡ bx 2 ‡ c ˆ 0 e si dice biquadratica.

indicate con t1 e t2 le due soluzioni, se esistono reali, si risolvono le due equazioni binomie x n ˆ t1 _ x n ˆ t2 .

ESEMPI Determiniamo le soluzioni reali delle seguenti equazioni binomie.

1. 6x 4

1ˆ0

Ricaviamo x 4 :

x4 ˆ

1 6

1 un numero positivo, ha due soluzioni reali opposte: 6 r r 4 1 4 1 xˆ‡ _ xˆ 6 6 (r r) 4 1 4 1 L'insieme delle soluzioni eÁ S ˆ . , 6 6 n eÁ pari, quindi l'equazione, essendo

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Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

189

2. 8x 3 ‡ 1 ˆ 0

x3 ˆ

1 8

n eÁ dispari, quindi l'equazione ammette una sola soluzione reale:   1 Allora S ˆ . 2

3. 4x 4 ‡ 9 ˆ 0 n eÁ pari, ma

4. 2x 4

x2

x4 ˆ

cioeÁ

xˆ

1 2

9 4

9 eÁ un numero negativo, quindi l'equazione non ha soluzioni reali: 4

S ˆ 1.

3ˆ0

Essendo n ˆ 2 l'equazione eÁ biquadratica.

Operando la sostituzione x 2 ˆ t otteniamo

2t 2

t

3ˆ0

Risolviamo ora l'equazione ottenuta nell'incognita t:

Operando poi la sostituzione inversa si ha:

3 x ˆ 2

1

p 1 ‡ 24 ˆ 4

da cui

1 3 2

r 3 xˆ 2

1

che non ha soluzioni reali r) 3 . 2

(r 3 Sˆ , 2

L'insieme delle soluzioni pertanto eÁ:

tˆ

2

x2 ˆ

5. 8x 6 ‡ 7x 3

r 1 3 xˆ 8

1ˆ0

Ponendo x 3 ˆ t otteniamo Risolviamo l'equazione in t:

8t 2 ‡ 7t

1ˆ0 7

tˆ

p 49 ‡ 32 ˆ 16

x3 ˆ

Operiamo la sostituzione inversa:

1

!

1 8   1 Sˆ 1, . 2 x3 ˆ

L'insieme delle soluzioni eÁ:

Per risolvere l'equazione 2

x4 2

5x 2

p  3 1 r 3 1 xˆ 8 xˆ

14 ˆ 0

si pone x ˆ t:

t

L'insieme delle soluzioni non eÁ

S ˆ f 2, 7g

tˆ

5t

!

79 ˆ 16

14 ˆ 0

2 _ t ˆ7

1 1 8 xˆ xˆ

1 1 2

Attenzione agli errori

perche l'incognita eÁ x e non t; si deve percioÁ operare la sostituzione inversa:

190

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

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x2 ˆ

2

2

x ˆ7

impossibile in R p xˆ 7

e l'insieme delle soluzioni eÁ dunque

 p Sˆ  7

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Stabilisci, senza risolverle, quali tra le seguenti equazioni binomie hanno soluzioni in R: a. x 5 ‡ 32 ˆ 0

2. L'equazione x 4 a. 6, 2

b. x 4 ‡ 81 ˆ 0

c. 8x 3

27 ˆ 0

d.

81x 4 ‡ 16 ˆ 0

8x 2 ‡ 12 ˆ 0 ha come radici: p p p p b. 6, 2 c.  6,  2

3. LE EQUAZIONI IRRAZIONALI

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 527

3.1 Le equazioni irrazionali e l'equivalenza Si dice irrazionale un'equazione che contiene radicali nei cui argomenti compare l'incognita. Per esempio: l

sono equazioni irrazionali

l

non sono equazioni irrazionali:

p 2x ‡ 1 ˆ 3x p 7x ˆ x ‡ 2

1

e e

 p 3 x ‡ 1 ˆ 2x p p x 2 ‡ 3 ˆ 2x

3

Per risolvere un'equazione irrazionale occorre in qualche modo passare ad un'equazione equivalente nella quale si eÁ riusciti ad eliminare qualsiasi simbolo di radice; ma il solo modo possibile di eliminare una radice di indice n eÁ quello di elevare a potenza n. Consideriamo, ad esempio, l'equazione p x 1ˆx 3 se eleviamo al quadrato i due membri otteniamo p
2 2 x 1 ˆ …x 3 † ! x 1 ˆ x2

6x ‡ 9

Il problema eÁ che i principi di equivalenza, validi per qualunque equazione, non consentono di fare questa operazione, o meglio, non garantiscono che elevando entrambi i membri di un'equazione a potenza n, l'equazione che si ottiene sia equivalente a quella data. In effetti, se risolviamo l'equazione x 1 ˆ x 2 6x ‡ 9, troviamo come soluzioni 2 e 5, ma di queste solo la seconda eÁ soluzione anche dell'equazione irrazionale; basta fare una verifica: p l per x ˆ 2 2 1ˆ2 3 ! 1ˆ 1 falso p l per x ˆ 5 5 1ˆ5 3 ! 2ˆ2 vero

Non esiste un principio di equivalenza che afferma che l'equazione A…x† ˆ B…x† eÁ equivalente all'equazione n

‰A…x†Š ˆ ‰B…x†Š

n

per qualsiasi valore di n.

L'equazione ottenuta dall'elevamento al quadrato non eÁ quindi equivalente a quella data. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

191

Tuttavia, se ripetiamo la stessa operazione sull'equazione vando entrambi i membri al cubo otteniamo: x 2 ‡ 6x ˆ 27

x 2 ‡ 6x

!

27 ˆ 0

 p 3 x 2 ‡ 6x ˆ 3, ele-

xˆ

!

9 _ xˆ3

ed entrambe le soluzioni trovate sono anche soluzioni dell'equazione irrazionale: p  3 l per x ˆ ! 3ˆ3 vero 9 81 54 ˆ 3 p  3 l per x ˆ 3 9 ‡ 18 ˆ 3 ! 3ˆ3 vero

In questo caso l'equazione ottenuta dopo l'elevamento a potenza eÁ equivalente all'equazione irrazionale. Sembrerebbe che l'equivalenza fra un'equazione e quella che si ottiene elevando alla stessa potenza n entrambi i suoi membri sia garantita in R solo se n eÁ dispari. In effetti, questo eÁ quello che accade quando pensiamo ad una qualunque equazione polinomiale:

l

l

2 l'equazione x ˆ 2 e l'equazione x 2 ˆ … 2† cioeÁ x 2 ˆ 4 non hanno le stesse soluzioni in R e quindi non sono equivalenti 3 l'equazione x ˆ 2 e l'equazione x 3 ˆ … 2† cioeÁ x 3 ˆ stesse soluzioni in R e quindi sono equivalenti.

8 hanno le

Questo capita percheÂ: n un elevamento a potenza pari daÁ origine ad un'espressione che eÁ sempre positiva qualunque sia il segno della base; il rischio che si corre eÁ quindi quello di introdurre soluzioni estranee all'equazione di partenza. Per esempio, se consideriamo l'elevamento a potenza 2: l'equazione

2

‰ A… x † Š ˆ ‰ B … x † Š

2

A…x † ˆ B …x †

non eÁ la stessa cosa di 2

2

‰A…x †Š ˆ ‰B …x †Š

si ottiene dalle due equazioni

A…x † ˆ B …x †

2

_

A…x † ˆ 2

B …x †

quindi non si puoÁ dire che ‰A…x †Š ˆ ‰B …x †Š eÁ equivalente a A…x † ˆ B …x † n un elevamento a potenza dispari, invece, mantiene sempre il segno della base e non si corre il rischio di introdurre nuove soluzioni. Per esempio, se consideriamo l'elevamento a potenza 3: 3

3

l'equazione ‰A…x †Š ˆ ‰B…x †Š si ottiene dalla sola equazione A…x † ˆ B …x † 3

quindi ‰A…x †Š ˆ ‰B…x †Š

3

eÁ equivalente a

A…x † ˆ B …x †

eÁ la stessa cosa di 3

3

‰A…x †Š ˆ ‰B …x †Š

A…x † ˆ B …x †.

In definitiva, in R: n un elevamento di entrambi i membri di un'equazione a potenza pari non conduce in generale a un'equazione equivalente a quella data n un elevamento di entrambi i membri di un'equazione a potenza dispari conduce sempre a un'equazione equivalente a quella data.

3.2 Le equazioni con un solo radicale Queste equazioni si possono tutte ricondurre alla forma

p  n A… x † ˆ B … x †

In base alle osservazioni fatte nel precedente paragrafo, dobbiamo comportarci in modo diverso a seconda del valore di n.

192

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

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Il caso n dispari E' il caso piuÁ semplice perche basta elevare a potenza n entrambi i membri e risolvere l'equazione equivalente ottenuta; le equazioni che si incontrano con piuÁ frequenza sono poi quelle con i radicali cubici per le quali vale la relazione: p  3 3 ! A… x † ˆ ‰ B … x † Š A… x † ˆ B … x † Per esempio, risolviamo l'equazione

1 x 3

Per risolvere l'equazione p  3 A…x † ˆ B …x †

basta elevare al cubo entrambi i membri: A…x † ˆ ‰B …x †Š

p  3 x‡2ˆ0

3

p  1 3 x‡2ˆ x 3 Eleviamo al cubo e risolviamo l'equazione polinomiale che si ottiene:

Riscriviamola in modo da isolare il radicale al primo membro

x‡2ˆ

1 3 x 27

!

x3

27x

54 ˆ 0

…x

!

2

6†…x ‡ 3† ˆ 0

!

xˆ6 _ xˆ

3

L'insieme delle soluzioni dell'equazione irrazionale eÁ quindi S ˆ f 3, 6g.

Il caso n pari Se n eÁ pari, e il caso piuÁ frequente eÁ quello in cui n ˆ 2, l'equazione ha la forma p A … x † ˆ B …x † e abbiamo visto che elevando a potenza n non si ottiene in generale un'equazione equivalente a quella data perche c'eÁ il rischio di introdurre delle soluzioni estranee. Si puoÁ allora procedere nei seguenti due modi.

n Risolvere l'equazione polinomiale ottenuta dopo l'elevamento a potenza ed effettuare una verifica delle soluzioni trovate.

Per risolvere puoÁ:

n Determinare le condizioni per cui l'equazione irrazionale eÁ equivalente a quella che si ottiene elevando al quadrato i due membri. Osserviamo allora che:

l

1. affinche il radicale abbia significato deve essere

In queste ipotesi, l'equazione

A… x † ˆ ‰ B … x † Š

2

eÁ equivalente a quella data.

Quest'ultima relazione ci dice peroÁ che, essendo B…x † un numero positivo o nullo (eÁ elevato al quadrato), anche A…x † deve necessariamente essere positivo o nullo; la condizione al punto 1. precedente, cioeÁ A…x †  0, diventa quindi superflua. In definitiva, possiamo affermare che: ( p B …x †  0 A…x † ˆ B …x † eÁ equivalente al sistema A…x † ˆ ‰B …x †Š2 Un esempio puoÁ chiarire i due percorsi; risolviamo in entrambi i modi l'equap zione x 2 ‡ 2x 4 ˆ 3x 4 I metodo

Eleviamo al quadrato: sviluppiamo i calcoli:

x 2 ‡ 2x

8x 2

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4 ˆ …3x

26x ‡ 20 ˆ 0

4†

2

risolvere l'equazione A…x † ˆ ‰B …x †Š

2

e procedere alla verifica delle soluzioni

A… x †  0

2. poiche il primo membro rappresenta un numero positivo o nullo, affinche l'equazione abbia senso, anche il secondo membro deve essere positivo o nullo: B …x †  0

p A…x† ˆ B…x† si

l

risolvere il sistema ( B …x †  0 2

A…x † ˆ ‰B …x †Š

La condizione B…x†  0 rappresenta la condizione di equivalenza delle equazioni p A…x† ˆ B…x† e 2 A…x† ˆ ‰B…x†Š

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

193

risolviamo l'equazione:

xˆ

13 

5 4

p 169 160 ˆ 8

2

Poiche eÁ possibile che siano state introdotte soluzioni estranee, effettuiamo la verifica: r 5 25 5 5 1 1 l ‡2
4ˆ3
4 ! ˆ falsa per x ˆ : 4 16 4 4 4 4

l

5 non eÁ soluzione dell'equazione irrazionale 4 p per x ˆ 2 : 4‡4 4ˆ3
2 4 ! 2 eÁ soluzione dell'equazione irrazionale

Quindi

2ˆ2

vera

S ˆ f2g.

II metodo Per la condizione di equivalenza deve essere

3x

40

!

x

4 3

e questo insieme rappresenta l'insieme di accettabilitaÁ delle soluzioni. L'equazione polinomiale che si ottiene elevando al quadrato eÁ la stessa di quel5 la ottenuta con il precedente metodo. Delle due soluzioni trovate, non ap4 4 partiene all'insieme di accettabilitaÁ perche non eÁ maggiore di ; la sola solu3 zione eÁ quindi x ˆ 2.

ESEMPI 1.

p 2x 1 ˆ 3

Il secondo membro dell'equazione eÁ positivo e quindi, essendoci concordanza di segno fra i due membri, elevando al quadrato otteniamo un'equazione equivalente: 2x p 2. x 2 4 ˆ

1ˆ9

!

xˆ5

quindi

S ˆ f5g

2

Il secondo membro dell'equazione eÁ negativo mentre il primo eÁ positivo o nullo; poiche non puoÁ sussistere l'uguaglianza fra un numero positivo o nullo ed un numero negativo, dobbiamo concludere che l'equazione eÁ impossibile: S ˆ 1

3.

p  3 x‡1ˆ

3

L'indice del radicale eÁ dispari ed il dominio dell'equazione eÁ R; possiamo elevare al cubo entrambi i membri essendo certi di ottenere un'equazione equivalente a quella data:

p 4. x ‡ 1

x‡1ˆ

27

xˆ

28

S ˆ f 28g

2x ‡ 1 ˆ 0

p Scriviamo innanzi tutto l'equazione nella forma A…x† ˆ B…x†; trasportiamo cioeÁ tutti i termini razionali al secondo membro isolando il radicale: p x ‡ 1 ˆ 2x 1 Risolviamo l'equazione nei due modi che abbiamo visto.

194

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

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I metodo: eleviamo al quadrato e procediamo poi alla verifica delle soluzioni. x ‡ 1 ˆ …2x

1†

2

x ‡ 1 ˆ 4x 2

!

Verifica delle soluzioni: l

per

xˆ0

otteniamo

l

per

xˆ

5 4

otteniamo

Quindi

4x ‡ 1

!

p 0‡1ˆ2
0 1 r 5 5 ‡1ˆ2
1 4 4

  5 Sˆ . 4

4x 2

1ˆ

5x ˆ 0

!

xˆ0

_

xˆ

5 4

l'equazione non eÁ verificata

1

3 3 ˆ 2 2

l'equazione eÁ verificata

II metodo: determiniamo l'insieme di accettabilitaÁ delle soluzioni. Condizione di equivalenza:

2x

L'insieme di accettabilitaÁ eÁ:

x

10

1 2

1 2

x

5 xˆ0 _ xˆ . 4   5 Sˆ . 4

Elevando al quadrato i due membri dell'equazione e risolvendola otteniamo: Poiche solo la seconda soluzione appartiene all'insieme di accettabilitaÁ,

n Per risolvere l'equazione eÁ sbagliato scrivere

p x2 x ˆ x

2

3

Attenzione agli errori

xˆ9

perche l'equazione eÁ impossibile; infatti un numero positivo quale eÁ il primo membro non puoÁ essere uguale a un numero negativo n Per risolvere l'equazione

p 2x 2 1 ‡ x ˆ 1

2x 2

1 ‡ x2 ˆ 1

l

eÁ sbagliato scrivere

l

perche il primo membro non eÁ lo sviluppo di p eÁ corretto scrivere 2x 2 1 ˆ 1 x 2 e, se x  1 2x 2 1 ˆ …1 x †

n Allo stesso modo, per risolvere l'equazione l

eÁ sbagliato scrivere

l

eÁ corretto scrivere

x 1‡9ˆ0 p x 1ˆ3 !


2 p 2x 2 1 ‡ x

p x 1 x

3ˆ0

1ˆ9

!

x ˆ 10

VERIFICA DI COMPRENSIONE p 1 ˆ x ‡ 2 eÁ equivalente all'equazione x

1. L'equazione 3 x a. se x >

2

b. se x 

p 16 ˆ x

2. L'equazione x 2 a. 8x 2 R

c. se x  1

3 eÁ equivalente a x 2

b. se x  3

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2

16 ˆ …x

c. se x  4

3

1 ˆ …x ‡ 2 † :

d. 8x 2 R

2

3† :

d. se x 

4 _ x4

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

195

3. Senza svolgere calcoli e solo osservando la forma, indica quali fra le seguenti equazioni sono possibili (P) e quali impossibili (I) in R : p a. 5x ˆ 3 p b. x 2 ‡ 9 ˆ 6 p c. x 4 ‡ 3 ˆ 0 p d. 3 5x 2 1 ˆ 1 p

4. L'equazione x 2 ‡ 8x

3ˆ0

a. eÁ sempre verificata in R

b. ha soluzione

c. non eÁ mai verificata in R

d. ha soluzione 1

P

I

P

I

P

I

P

I

9e1

3.3 Le equazioni con due o piuÁ radicali Quando un'equazione irrazionale ha piuÁ di un radicale in genere non basta un solo elevamento a potenza per giungere a un'equazione razionale ed eÁ necessario ripetere piuÁ volte questa operazione. p p Per esempio, considerata l'equazione x‡2ˆ2 x‡1 p - si eleva una prima volta al quadrato: x‡2ˆ4‡x‡1 4 x‡1 p - si svolgono i calcoli e si isola il radicale: 4 x‡1ˆ3

- si eleva una seconda volta al quadrato:

16…x ‡ 1† ˆ 9

- si puoÁ adesso trovare la soluzione:

xˆ

7 16

Mediante verifica, stabiliamo se quella trovata eÁ anche soluzione dell'equazione data: r r r r 7 7 25 9 5 5 ˆ2 ! ‡2ˆ2 ‡1 ! ˆ 16 16 16 16 4 4 Avendo trovato un'identitaÁ, possiamo dire che l'insieme delle soluzioni eÁ   7 . Sˆ 16 Anziche procedere alla verifica delle soluzioni, qualora questa risulti complicata, si puoÁ determinare l'insieme di esistenza dell'equazione e, ad ogni passaggio di elevamento a potenza, trovare le condizioni per le quali esiste l'equivalenza. Vediamo altri esempi.

ESEMPI 1.

p p x‡6‡ x 2ˆ4

Eseguiamo un primo elevamento a potenza: p p
2 ! x‡6‡x x ‡ 6 ‡ x 2 ˆ 16

196

p 2 ‡ 2 …x ‡ 6†…x 2† ˆ 16

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

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Isoliamo adesso il radicale, dividiamo per 2 i due membri dell'equazione ed eleviamo di nuovo al quadrato p p 2 …x ‡ 6†…x 2† ˆ 2x ‡ 12 ! …x ‡ 6†…x 2† ˆ x ‡ 6 …x ‡ 6†…x

2† ˆ …6

x† 2

16x ˆ 48

!

!

xˆ3

Verifichiamo se il valore trovato eÁ soluzione dell'equazione: p p 3‡6‡ 3 2ˆ4 ! 3‡1ˆ4 l'equazione eÁ verificata. Quindi

2.

p x‡1

S ˆ f3g.

p 3x 4 ˆ 1

Risolviamo l'equazione senza porci per il momento problemi di esistenza dei radicali e di equivalenza delle equazioni. Trasportiamo il secondo radicale al secondo membro in modo da semplificare il calcolo: p p x ‡ 1 ˆ 3x 4 ‡ 1

Eleviamo al quadrato x ‡ 1 ˆ 3x Eleviamo di nuovo al quadrato:

p p 4 ‡ 1 ‡ 2 3x 4 ! 2 3x 4 ˆ 4 2

2x !

2

4x ! x 7x ‡ 8 ˆ 0 4ˆ4‡x p p 7 17 7 ‡ 17 _ xˆ xˆ 2 2

3x

p 3x 4 ˆ 2

x

E' evidente che non conviene procedere alla verifica delle soluzioni. Per determinare l'insieme di accettabilitaÁ delle soluzioni conviene considerare l'equazione nella forma: p p x ‡ 1 ˆ 3x 4 ‡ 1

che ha giaÁ entrambi i membri positivi o nulli (il secondo poi non eÁ mai nullo); resta quindi da risolvere il sistema con le sole condizioni di realtaÁ dei radicali: 8  0 ! 0 < x < 20 20 x > 0 Eleviamo al quadrato: Risolviamo l'equazione:

x ˆ 400 ‡ x 2

x ˆ 25

_

40x x ˆ 16

!

x2

41x ‡ 400 ˆ 0

Solo la seconda delle soluzioni trovate appartiene all'insieme di accettabilitaÁ, quindi S ˆ f16g.

198

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

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II esempio Risolviamo l'equazione

p p 6 x ‡ 2 ‡ x ‡ 4 ˆ p x‡4

Imponiamo le condizioni di esistenza dei radicali  x‡20 cioeÁ x 2 x‡4>0 p Riduciamo l'equazione in forma intera: …x ‡ 2†…x ‡ 4† ‡ x ‡ 4 ˆ 6 p …x ‡ 2†…x ‡ 4† ˆ 2 x Isoliamo il radicale:  x 2 ! 2x2 Le soluzioni saranno accettabili se: 2 x0 Eleviamo al quadrato e risolviamo l'equazione: 2 5  La soluzione trovata appartiene all'insieme di accettabilitaÁ, quindi S ˆ …x ‡ 2†…x ‡ 4† ˆ …2

x† 2

!

10x ‡ 4 ˆ 0

!

xˆ

 2 . 5

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Senza svolgere calcoli, spiega perche le seguenti equazioni sono impossibili in R : a.

p p x ‡ 1 ‡ 2x 3 ‡ 4 ˆ 0

b.

p p x2 ‡ 1 ‡ x2 9 ˆ 0

p p 3 ‡ 1 ˆ x ‡ 3, una volta fatti gli opportuni elevamenti al quadrato, si giunge al37 l'equazione polinomiale 9x 2 46x ‡ 37 ˆ 0 che ha soluzioni x ˆ 1 _ x ˆ . Le soluzioni dell'equa9 zione irrazionale sono: 37 37 a. 1 e b. solo 1 c. solo 9 9

2. Dall'equazione 4x

4. PROBLEMI Nella risoluzione dei problemi, l'equazione che ne costituisce il modello puoÁ essere di vario tipo; nei capitoli precedenti ci siamo occupati di problemi di primo e di secondo grado e nulla cambia se il problema ha come modello un'equazione di grado superiore al secondo o irrazionale.

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 537

Proponiamo quindi un solo problema irrazionale con l'unico scopo di porre l'attenzione sulle condizioni di accettabilitaÁ delle soluzioni. Un artigiano ha progettato per una cliente un lampadario fatto in questo modo. Su una lamina di acciaio lucido a forma di triangolo rettangolo, ha appoggiato una lastra di rame opaco di forma circolare come in figura e tutto intorno a quest'ultima ha agganciato delle spirali rigide di diversa lunghezza ciascuna delle quali termina con una piccolissima ma potente lampadina (figura 2a). Per poterne costruire di simili anche per altri clienti, ha scritto queste annotazioni:

Figura 2a

 raggio cerchio in rame: 8cm

 cateto lungo del triangolo: 32cm Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

199

Consegnato e posizionato il lampadario, la signora lo chiama perche vorrebbe inserire delle altre spirali tutt'intorno alla lamina di acciaio in modo da aumentare la luminositaÁ e rendere piuÁ importante il lampadario. Visto che si puoÁ inserire una spirale ogni 4cm, come puoÁ l'artigiano sapere quante gliene occorrono per soddisfare la richiesta della cliente? E' evidente che eÁ necessario trovare le lunghezze dei lati della lamina triangolare. Cerchiamo allora di individuare le informazioni necessarie a risolvere il problema. Dal punto di vista geometrico si ha a che fare con un triangolo rettangolo nel quale eÁ inscritta una circonferenza di raggio 8cm, cioeÁ di diametro 16cm (figura 2b). Poiche il lato AB eÁ lungo 32cm, il segmento AM, dove con M abbiamo indicato il punto medio di AB, eÁ lungo 16cm, esattamente come il diametro della circonferenza. Allora, se indichiamo con N il punto medio di BC, avremo che il segmento MN eÁ sia tangente alla circonferenza, sia parallelo ad AC e congruente alla sua metaÁ. Indicando con x la misura, in cm, del segmento MN, avremo le seguenti relazioni: MN ˆ x

con

Figura 2b

Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo eÁ parallelo al terzo lato e congruente alla sua metaÁ.

x>0

AC ˆ 2x AM ˆ MB ˆ 2
8 ˆ 16 q p p 2 2 CN ˆ NB ˆ MN ‡ MB ˆ x 2 ‡ 16 2 ˆ x 2 ‡ 256

Osserviamo ora che il quadrilatero ACNM, essendo circoscritto ad una circon-

ferenza, eÁ tale che CN ‡ AM ˆ CA ‡ MN. Il modello algebrico di questo problema eÁ dunque dato dall'equazione p x 2 ‡ 256 ‡ 16 ˆ 2x ‡ x p che ridotta in forma normale diventa x 2 ‡ 256 ˆ 3x 16 La condizione di equivalenza:

3x

16  0

!

x

Se un quadrilatero eÁ circoscritto a una circonferenza, la somma di due lati opposti eÁ congruente alla somma degli altri due.

16 3

eÁ piuÁ restrittiva della condizione geometrica x > 0 imposta dal problema, quin16 . di la nuova limitazione per l'incognita eÁ proprio x  3 In tutti i problemi che hanno come modello un'equazione irrazionale, oltre alle condizioni imposte dal problema, che si riferiscono a particolari situazioni geometriche o di carattere diverso, bisogna sempre tener conto di quelle imposte dalle condizioni di equivalenza e considerare come limitazioni finali per l'incognita quelle piuÁ restrittive. Risolvendo l'equazione otteniamo: x 2 ‡ 256 ˆ …3x

16†

2

!

8x 2

96x ˆ 0

! 8x…x

12† ˆ 0

0 Per la legge dell'annullamento del prodotto x ˆ

200

12

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

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Delle soluzioni trovate solo 12 soddisfa la condizione x  NM ˆ 12 AC ˆ 24 p CN ˆ 144 ‡ 256 ˆ 20

16 pertanto 3

AB ˆ AM ‡ BM ˆ 32 CB ˆ 2
CN ˆ 40

Dunque, potendo mettere una spirale ogni 4cm, l'artigiano ne utilizzeraÁ (figura 3):

l

9 sul lato AB, la prima nel vertice A, l'ultima in B

l

10 sul lato BC (quella in B eÁ giaÁ stata contata)

l

5 sul lato AC (quelle in A e in C sono giaÁ state contate)

Figura 3

In totale gli serviranno altre 24 spirali.

Sul sito www.edatlas.it trovi... l

il laboratorio di informatica

l

la scheda storica Le equazioni di terzo grado

l

gli esercizi dalle Gare di matematica

l

Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta

l

Á di recupero le attivita

Misuriamo con il righello la lunghezza dello spago, supponiamo 24cm; questa lunghezza, visto che lo spago lo deve circondare, rappresenta il perimetro del triangolo. Si tratta quindi di determinare le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo di perimetro 24cm che ha un cateto di 8cm (figura 4). Indicata con x la misura dell'altro cateto, quella dell'ipotenusa si puoÁ calp colare applicando il teorema di Pitagora ed eÁ x 2 ‡ 64. Visto che del triangolo conosciamo il perimetro, per trovare il valore di x e poter quindi calcolare l'area, basta risolvere l'equazione p p x 2 ‡ 64 ‡ x 16 ˆ 0 cioeÁ x 2 ‡ 64 ‡ x ‡ 8 ˆ 24

La risposta al quesito iniziale Figura 4

con 0  x  24 visto che si tratta della misura di un segmento e che tale segmento non puoÁ superare il perimetro. L'equazione ottenuta eÁ irrazionale; per risolverla isoliamo il radicale p x 2 ‡ 64 ˆ 16 x Risolviamo il sistema  16 x  0 2 x 2 ‡ 64 ˆ …16 x †

!



x  16 32x 192 ˆ 0

!



x  16 xˆ6

Poiche 6 eÁ un valore accettabile, diciamo che: l l

l

un cateto del triangolo eÁ lungo 6cm l'altro cateto eÁ lungo 8cm 6
8 l'area del triangolo eÁ ˆ 24cm2 . 2

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Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

201

I concetti e le regole Le equazioni polinomiali di grado superiore al secondo Ogni equazione polinomiale del tipo E …x † ˆ 0 di grado n > 2 si puoÁ risolvere solo se il polinomio E …x † eÁ scomponibile in fattori al piuÁ di secondo grado; in tal caso, per trovare le soluzioni, si applica la legge di annullamento del prodotto.

Equazioni particolari Fra le equazioni di grado superiore al secondo ve ne sono alcune che si risolvono con metodi particolari. l

Le equazioni reciproche hanno la caratteristica di avere i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi che sono 1 uguali oppure opposti; di esse si puoÁ dire che, se ammettono la soluzione k, ammettono anche la soluzione . k Le equazioni di grado dispari e quelle di grado pari in cui manca il termine centrale ammettono sempre la soluzione 1 oppure 1. Le equazioni di quarto grado complete della forma ax 4 ‡ bx 3 ‡ cx 2 ‡ bx ‡ a ˆ 0 si risolvono in questo modo: - si dividono entrambi i membri per x 2 : ax 2 ‡ bx ‡ c ‡

b a ‡ 2 ˆ0 x x 

- si raccoglie a fattor comune fra i termini di uguale coefficiente: - si operano le sostituzioni:

x2 ‡

1 ˆ t2 x2

2 e x‡

1 a x ‡ 2 x 2

1 ˆt x





1 ‡b x‡ x



‡c ˆ0

- dopo aver risolto l'equazione in t si torna alla variabile x operando la sostituzione inversa. l

Le equazioni binomie sono riconducibili alla forma x n ˆ k p  n se n eÁ pari e k  0 xˆ k se n eÁ pari e k < 0 se n eÁ dispari

l

l'equazione eÁ impossibile p  n xˆ k

e per risolverle si applica la definizione di radicale:

Le equazioni trinomie sono riconducibili alla forma ax 2n ‡ bx n ‡ c ˆ 0 x n ˆ t. Nel caso in cui n ˆ 2 l'equazione si dice biquadratica.

e per risolverle si opera la sostituzione

Le equazioni irrazionali Un'equazione eÁ irrazionale se l'incognita fa parte dell'argomento di un radicale. q l Le equazioni della forma A…x † ˆ B…x † si possono risolvere in due modi:  2 e procedendo alla verifica delle soluzioni - risolvendo l'equazione A…x † ˆ B…x †  2 con la condizione B…x †  0. - risolvendo l'equazione A…x † ˆ B…x † q 3 3 l Le equazioni della forma sono sempre equivalenti all'equazione A…x † ˆ ‰B…x †Š . A…x † ˆ B…x †

202

Tema 4 - Cap. 1: EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI

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CAPITOLO

Sistemi non lineari

Obiettivi l

risolvere sistemi di secondo grado

l

risolvere sistemi di grado superiore al secondo

l

risolvere sistemi usando particolari algoritmi

l

risolvere problemi che hanno come modello un sistema

MATEMATICA E REALTAÁ Carlo e Alberto decidono di fare una gita in bicicletta verso Stresa, sul lago Maggiore che dista 108km dalla loro cittaÁ. Per percorrere questa distanza, Alberto, che eÁ il piuÁ veloce dei due, impiega mezz'ora meno di Carlo, viaggiando ad una velocitaÁ media di 3km/h superiore a quella dell'amico. Quali sono le velocitaÁ medie tenute dai due ragazzi e quanto tempo ha impiegato ciascuno a raggiungere Stresa? Puoi cercare di risolvere il problema dopo aver studiato i contenuti di questo capitolo. In ogni caso sai dove trovare la risposta.

1. SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO Ricordiamo che il grado di un sistema eÁ il prodotto dei gradi delle equazioni che lo formano; di conseguenza: l

l

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 543

un sistema di secondo grado deve avere tutte le equazioni di primo grado tranne una che eÁ di secondo (2 si puoÁ ottenere solo dal prodotto 2
1); un sistema di terzo grado deve avere tutte le equazioni di primo grado e una sola di terzo (3 si puoÁ ottenere solo dal prodotto 3
1)

e cosõÁ via per gli altri gradi. Per esempio:  3x 2y ˆ 1 x

2

2xy ‡ 4x ˆ 1

equazione di primo grado y

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equazione di secondo grado

grado del sistema: 1
2 ˆ 2

Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

203

Per risolvere questi sistemi si applicano ancora gli stessi principi di equivalenza che abbiamo studiato a proposito dei sistemi lineari e che ricordiamo di seguito. n Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita la sua espressione ricavata da un'altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. n Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (tutte o solo alcune) e si sostituisce l'equazione ottenuta ad una di esse, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

I sistemi di due equazioni Se nel sistema eÁ presente un'equazione di primo grado, conviene ricavare l'espressione di una delle incognite da tale equazione e sostituire poi nell'altra. Vediamo alcuni esempi.

ESEMPI 1.



y 2x ‡ 1 ˆ 0 x 2 ‡ y ˆ 4x 1

Conviene ricavare l'espressione di y dalla prima equazione e sostituire nella seconda:    y ˆ 2x 1 y ˆ 2x 1 y ˆ 2x 1 ! ! 2 2 x … x 2† ˆ 0 x ‡ 2x 1 ˆ 4x 1 x 2x ˆ 0 0 Risolvendo la seconda equazione si ottiene:

xˆ

Figura 1

2

Sostituiamo adesso questi valori nella prima equazione:   xˆ0 xˆ0 l sostituendo x ˆ 0 : ! yˆ 1 y ˆ2
0 1   xˆ2 xˆ2 l sostituendo x ˆ 2 : ! y ˆ2
2 1 y ˆ3 Il sistema ha quindi come soluzione le coppie ordinate …x, y † : …0,

1† _ …2, 3†.

Dal punto di vista grafico questo sistema rappresenta l'intersezione della parabola di equazione y ˆ x 2 ‡ 4x 1 con la retta di equazione y ˆ 2x 1; le soluzioni del sistema sono le coordinate dei punti di intersezione. Le due curve quindi si intersecano nei punti A…0, 1† e B …2, 3† (figura 1).

Figura 2

2. Troviamo i punti di intersezione delle due parabole di equazioni y ˆ x2

6x ‡ 7 e y ˆ

x 2 ‡ 8x

13.

Disegnando le due parabole troviamo che esse si intersecano in due punti (figura 2).

204

Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

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Per trovare le loro coordinate dobbiamo risolvere il sistema  y ˆ x 2 6x ‡ 7 che eÁ di quarto grado. y ˆ x 2 ‡ 8x 13 Confrontando le due espressioni di y otteniamo:  2  x x 2 ‡ 8x 13 ˆ x 2 6x ‡ 7 7x ‡ 10 ˆ 0 ! 2 y ˆ x 2 ‡ 8x 13 y ˆ x ‡ 8x 13 Risolvendo la prima equazione otteniamo:  xˆ2 Il sistema ha quindi soluzioni yˆ 1 e le due parabole si intersecano nei punti

3.



xˆ2 _ xˆ5  xˆ5 _ y ˆ2 A…2,

1† e B …5, 2†.

xy ˆ 4 x 4y ˆ 0

Ricaviamo x dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima:   2 4y
y ˆ 4 y ˆ1 ! x ˆ 4y x ˆ 4y 1 Dalla prima equazione ricaviamo che y ˆ 1 Sostituiamo nella seconda equazione:  yˆ 1 l sostituendo y ˆ 1: xˆ 4  y ˆ1 l sostituendo y ˆ 1 : xˆ4

Il sistema ha quindi come soluzione le coppie ordinate …x, y † :

Figura 3

… 4,

1† _ …4, 1†.

Dal punto di vista grafico questo sistema rappresenta l'intersezione dell'iperbole di equazione xy ˆ 4 con la retta di equazione x 4y ˆ 0; le coordinate dei punti di intersezione sono quindi A… 4, 1† e B…4, 1† (figura 3).

4.



y xˆ 7 4x 2 y 28x ‡ 9 ˆ 5x 2

Si tratta di un sistema di terzo grado. Ricaviamo, come al solito, una delle incognite dall'equazione di primo grado, ad esempio la y, e sostituiamo il valore ottenuto nell'altra.   y ˆx 7 yˆx 7 ! 2 2 4x …x 7† 28x ‡ 9 5x ˆ 0 4x 3 33x 2 28x ‡ 9 ˆ 0 Il polinomio di terzo grado al primo membro della seconda equazione puoÁ essere scomposto in fattori mediante la regola di Ruffini. L'equazione puoÁ essere dunque scritta cosõÁ: …4x 2 Le sue soluzioni sono

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1,

37x ‡ 9†…x ‡ 1† ˆ 0

1 , 9. 4 Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

205

Risostituendole nell'espressione di y otteniamo le tre coppie soluzioni del sistema 8 1 > >  

yˆ2 yˆ 8 > : y ˆ 27 4     1 27 Quindi S ˆ … 1, 8†; , ; …9, 2† . 4 4

Sistemi di piuÁ equazioni Il metodo di risoluzione di un sistema di secondo grado con piuÁ di due equazioni e due incognite dipende dalla forma stessa del sistema; in genere eÁ conveniente ricavare una delle incognite da un'equazione (il piuÁ delle volte da quelle di primo grado) e sostituire l'espressione ottenuta nelle altre, che contengono in questo modo un'incognita di meno. Ripetendo il procedimento si arriva ad esprimere una delle equazioni in funzione di una sola incognita; risolta questa equazione, si procede poi a ritroso nelle sostituzioni determinando in questo modo la soluzione del sistema. Osserva gli esempi.

ESEMPI 1. Risolviamo il sistema

8 < x…y x† ‡ z 5x ˆ 0 4x ‡ 3y 2z ˆ 1 : x ‡ 2y z ˆ 0

Ricaviamo l'espressione di z dalla terza equazione e sostituiamola nelle altre 8 8 2 4x ‡ 2y ˆ 0 > < x…y x† ‡ …x ‡ 2y† 5x ˆ 0 < xy x ! 4x ‡ 3y 2…x ‡ 2y† ˆ 1 2x y ˆ 1 : > : z ˆ x ‡ 2y z ˆ x ‡ 2y

Le prime due equazioni non contengono piuÁ la variabile z ; fissiamo la nostra attenzione su queste, lasciando invariata l'espressione giaÁ calcolata di z. Ricaviamo dunque l'espressione di y dalla seconda equazione e sostituiamola nella prima: 8 8 2 2 x 2ˆ0 4x ‡ 2…2x 1† ˆ 0 > >

> : : z ˆ x ‡ 2y z ˆ x ‡ 2y La prima equazione contiene soltanto la variabile x ; risolvendola otteniamo x ˆ 1 _ x ˆ 2. Sostituendo ora ad x i valori trovati, possiamo calcolare quelli corrispondenti di y, e successivamente quelli di z. 8 8 0 se B eÁ la somma di n grandezze uguali ad A (se n ˆ 1 allora B ˆ A) e scriviamo che B ˆ nA

Diciamo anche che A eÁ sottomultipla di B secondo n. Consideriamo i due segmenti AB e CD in figura 17; le suddivisioni segnate al loro interno fanno capire che AB eÁ formato da 5 segmentini tutti tra loro congruenti mentre CD eÁ formato da 3 degli stessi segmentini. Dunque AB e CD hanno un sottomultiplo comune. Due grandezze che hanno un sottomultiplo comune si dicono commensurabili. Ma non tutte le grandezze sono commensurabili; per esempio, abbiamo visto nel primo volume che se un quadrato ha lato 1 e quindi la sua diagonale mip p sura 2, il lato e la diagonale non hanno un sottomultiplo comune perche 2 non eÁ un numero razionale (figura 18).

GRANDEZZE COMMENSURABILI E INCOMMENSURABILI

Figura 17

Figura 18

Due grandezze che non hanno un sottomultiplo comune si dicono incommensurabili. Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono grandezze incommensurabili. Nell'introduzione a questo capitolo abbiamo sottolineato l'importanza che ha il poter misurare una grandezza; ma che cosa vuol dire misurare? Siamo abituati a sentire espressioni del tipo: l

la lunghezza del tavolo eÁ di 1,65 metri

l

mi dia 3 chili di arance

l

ci vediamo tra 2 ore.

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MISURA DI UNA GRANDEZZA

Tema 6 - Cap. 1: L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI E IL CALCOLO DELLE AREE

251

Se ci pensiamo bene, queste espressioni esprimono il fatto che la lunghezza del tavolo, la quantitaÁ di arance e l'intervallo di tempo che ci separa dall'appuntamento sono state confrontate con una grandezza omogenea a quella da misurare (un segmento, un peso, un tempo) e il risultato del confronto eÁ stato un numero. Misurare una grandezza significa confrontarla con un'altra ad essa omogenea che si assume come unitaÁ; il numero che rappresenta il risultato di tale confronto eÁ la misura della grandezza rispetto a quella prescelta. Le precedenti affermazioni significano quindi che, se si assume il metro come unitaÁ di misura delle lunghezze, il tavolo contiene 1 metro intero e 65 centesimi di metro, cioeÁ il metro eÁ stato diviso in 100 parti e, per ottenere la lunghezza del tavolo, eÁ stato necessario considerarne 165; analogamente negli altri casi. In generale, possiamo dire che la misura di una grandezza G rispetto ad una unitaÁ U ad essa omogenea eÁ sempre espressa mediante un numero reale positivo che eÁ: l

razionale se G eÁ commensurabile con U

l

irrazionale se G eÁ incommensurabile con U.

Il problema della misura fa nascere anche quello del confronto tra due grandezze omogenee qualsiasi. Per esempio, se una grandezza A misura 8 e una grandezza B ad essa omogenea misura 5 rispetto alla stessa unitaÁ, confrontare A e B significa trovare un numero che rappresenta la misura di A rispetto a B.

In particolari situazioni, la misura di una grandezza puoÁ anche assumere valori dotati di segno positivo o negativo. Si dice per esempio che una temperatura eÁ 10 C oppure ‡20 C; un titolo in Borsa puoÁ avere una variazione pari a 3,6% oppure a ‡1,8%. I RAPPORTI

Questo numero prende il nome di rapporto tra A e B e si indica con il simbolo A . Si dimostra che vale il seguente teorema. B Teorema. Il rapporto fra due grandezze omogenee A e B eÁ uguale al quoziente delle loro misure rispetto alla stessa unitaÁ. Questo teorema eÁ molto importante perche ci dice che ogni volta che abbiamo la necessitaÁ di confrontare grandezze omogenee, possiamo confrontare le loro misure ed eÁ sicuramente molto piuÁ semplice confrontare dei numeri che delle grandezze. Nei prossimi paragrafi vedremo come queste considerazioni portino alla risoluzione di molti problemi, incluso quello del calcolo delle aree delle superfici.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni: a. se due grandezze sono omogenee anche la loro somma eÁ una grandezza omogenea alle prime due

V

F

b. se una grandezza eÁ multipla di un'altra, la prima eÁ commensurabile con la seconda

V

F

c. due grandezze incommensurabili non si possono confrontare

V

F

d. se due grandezze sono incommensurabili non esiste una grandezza che sia un sottomultiplo comune ad entrambe.

V

F

252

Tema 6 - Cap. 1: L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI E IL CALCOLO DELLE AREE

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3 4

2. Rispetto ad una stessa unitaÁ di misura U, la misura di una grandezza A eÁ , la misura di una grandezza B eÁ a.

15 . La misura di A rispetto a B eÁ: 8 5 2

b.

2 5

c.

45 32

d.

32 45

5. GRANDEZZE PROPORZIONALI E TEOREMA DI TALETE Abbiamo giaÁ parlato di proporzionalitaÁ nel primo volume e anche nel tema 2 di questo; richiamiamo qui i concetti fondamentali. Diciamo che quattro grandezze A, B, C, D, omogenee tra loro le prime due e omogenee tra loro le seconde due, sono in proporzione se sono uguali i loro rapporti; in simboli si scrive: A C ˆ B D

oppure

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 595

A:BˆC :D

Quello che interessa maggiormente peroÁ eÁ stabilire se tra due insiemi di grandezze esiste una relazione di proporzionalitaÁ. Due insiemi di grandezze omogenee sono direttamente proporzionali o piuÁ semplicemente proporzionali se:

GRANDEZZE DIRETTAMENTE E INVERSAMENTE PROPORZIONALI

n sono in corrispondenza biunivoca n il rapporto fra due grandezze del primo insieme eÁ uguale al rapporto fra le corrispondenti grandezze del secondo insieme.

Due insiemi di grandezze omogenee sono inversamente proporzionali se: n sono in corrispondenza biunivoca n il rapporto fra due grandezze del primo insieme eÁ uguale al rapporto inverso fra le corrispondenti grandezze del secondo insieme. Per esempio: l

l

sono insiemi di grandezze direttamente proporzionali la quantitaÁ di merce acquistata e il prezzo pagato, il lato di un quadrato e il suo perimetro sono insiemi di grandezze inversamente proporzionali il tempo necessario a percorrere un certo tratto di strada e la velocitaÁ media, il tempo necessario a compiere un lavoro e il numero di persone impiegate.

Se dalle grandezze passiamo poi alle loro misure si verifica che: l

l

nel caso della proporzionalitaÁ diretta, eÁ costante il rapporto tra le misure delle grandezze che si corrispondono nel caso della proporzionalitaÁ inversa, eÁ costante il prodotto tra le misure delle grandezze che si corrispondono.

I due valori costanti prendono il nome di costante di proporzionalitaÁ diretta e costante di proporzionalitaÁ inversa. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

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253

Per esempio: l

l

se indichiamo con ` la misura del lato di un quadrato e con p il suo perimetro si ha che: p ˆ 4` e la costante di proporzionalitaÁ diretta eÁ 4 se indichiamo con t il tempo necessario a percorrere un tratto di strada di 8km e con v la velocitaÁ media di percorrenza si ha che: vt ˆ 8 e la costante di proporzionalitaÁ inversa eÁ 8.

Sappiamo che il grafico di una relazione di proporzionalitaÁ diretta eÁ una retta passante per l'origine del sistema di riferimento, mentre il grafico di una proporzionalitaÁ inversa eÁ un'iperbole equilatera (rivedi il capitolo 2 del tema 2); in figura 19 i grafici delle precedenti relazioni considerati solo per valori positivi. Figura 19

Nel caso della proporzionalitaÁ diretta esiste poi un criterio che permette di decidere se due insiemi di grandezze sono proporzionali o meno. Criterio generale di proporzionalitaÁ (diretta). Condizione necessaria e sufficiente affinche due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali eÁ che: a. a grandezze uguali del primo insieme corrispondano grandezze uguali del secondo b. alla somma di due o piuÁ grandezze del primo insieme corrisponda la somma delle corrispondenti grandezze del secondo.

CRITERIO DI PROPORZIONALITAÁ

Una corrispondenza di proporzionalitaÁ diretta conserva la congruenza e la somma.

ESEMPI 1. Consideriamo l'insieme degli angoli al centro di una circonferenza e l'insieme degli archi che li sottendono. Per stabilire se fra le due classi di grandezze esiste proporzionalitaÁ diretta applichiamo il criterio; dobbiamo vedere se: a. ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti

Figura 20

b. alla somma di due angoli al centro corrisponde la somma dei rispettivi archi. Sappiamo giaÁ che il punto a. eÁ verificato (figura 20a). Per quanto riguarda il punto b. osserviamo (figura d ‡ BOC d ˆ AOC d e che AB ‡ BC ˆ AC; 20b) che AOB

254

a.

Tema 6 - Cap. 1: L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI E IL CALCOLO DELLE AREE

b.

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d quindi anche questo punto eÁ verificato. Un analogo ma l'arco AC eÁ il corrispondente dell'angolo AOC, ragionamento puoÁ essere condotto per l'insieme dei settori circolari e l'insieme degli angoli al centro. Archi ed angoli al centro di una circonferenza sono dunque insiemi di grandezze proporzionali, cosõÁ come angoli al centro e settori circolari.

2. Consideriamo l'insieme degli archi di una circonfe-

renza e quello delle corrispondenti corde. EÁ vero che ad archi congruenti corrispondono corde congruenti (figura 21a), ma alla somma di due archi non corrisponde la somma delle due corde (figura 21b). Infatti la corda AC che corrisponde all'arco AC non eÁ congruente alla somma delle due corde AB e BC percheÁ, per le proprietaÁ dei triangoli AC < AB ‡ BC. Corde e archi di una circonferenza non sono quindi insiemi di grandezze proporzionali.

Figura 21

a.

b.

3. Siano R1 , R2 , R3 , .... rettangoli aventi tutti la stessa altezza h, indichiamo con b1 , b2 , b3 , ....le loro basi e consideriamo la corrispondenza che associa ad ogni rettangolo la propria base. Osserviamo che si tratta di una corrispondenza biunivoca che conserva la congruenza e la somma. Infatti (figura 22), se b1  b2 , i rettangoli R1 e R2 , avendo basi ed altezze ordinatamente congruenti sono congruenti; se il segmento b3 eÁ la somma di b1 con b2 , anche R3 eÁ la somma di R1 con R2 . Possiamo quindi concludere che rettangoli aventi la stessa altezza sono proporzionali alle rispettive basi. Figura 22

Il teorema di Talete Consideriamo un fascio di rette parallele e tagliamolo con due trasversali (figura 23); ad ogni segmento individuato su una trasversale si puoÁ associare quello individuato sull'altra dalle stesse rette parallele; cosõÁal segmento AB corrisponde il segmento A 0 B 0 , al segmento CE corrisponde il segmento C 0 E 0 e cosõÁvia. Si tratta quindi di una corrispondenza biunivoca fra i segmenti di una trasversale e quelli dell'altra che abbiamo giaÁ incontrato nel capitolo sui parallelogrammi del volume 1. Sappiamo che, in una tale situazione, se su una trasversale ci sono due segmenti congruenti, anche quelli corrispondenti sull'altra sono congruenti; inoltre se sommiamo per esempio AB e BC ottenendo AC, sommando i loro corrispondenti A 0 B 0 e B 0 C 0 sull'altra trasversale otteniamo A 0 C 0 che eÁ il corrispondente di AC; in altre parole alla somma di due segmenti su una trasversale corrisponde la somma dei corrispondenti segmenti sull'altra trasversale. Sono dunque rispettate le condizioni del criterio generale di proporzionalitaÁ e possiamo quindi concludere che i segmenti sulle due trasversali sono proporzionali; vale cioeÁ il seguente teorema. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Figura 23

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255

Teorema (di Talete). Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse due insiemi di segmenti direttamente proporzionali.

Figura 24

Di questo teorema vale anche l'inverso, vale a dire che n considerate due rette parallele a e b tagliate da due trasversali r e s e consiAB A 0B 0 ˆ 0 0, derata poi una ulteriore retta c che incontra tali trasversali, se BC BC allora la retta c eÁ parallela alle rette a e b (figura 24). Applicazioni immediate del teorema di Talete e del suo inverso sono le seguenti proprietaÁ relative ai triangoli (osserva la figura 25):

Figura 25

n una parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati in parti proporzionali, cioeÁ AD : DB ˆ AE : AC. n Viceversa, se una retta interseca due lati di un triangolo e li divide in parti proporzionali, essa eÁ parallela al terzo lato. n Una corda di un triangolo parallela a uno dei lati stacca un triangolo che ha i lati proporzionali al primo, cioeÁ i lati del triangolo ADE sono proporzionali a quelli del triangolo ABC .

Figura 26

Tracciando le bisettrici degli angoli interni ed esterni di un triangolo si puoÁ dimostrare che valgono le seguenti proprietaÁ. n Teorema (della bisettrice dell'angolo interno). La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. Con riferimento alla figura 26 si ha cioeÁ che: CD : AC ˆ DB : AB. n Teorema (della bisettrice dell'angolo esterno). La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo, se non eÁ parallela al lato opposto, incontra la retta di quest'ultimo in un punto che individua con quel lato segmenti proporzionali agli altri due lati. Con riferimento alla figura 27 : CP : AC ˆ BP : AB:

Figura 27

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. In base alla definizione, due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali se: a. eÁ costante il rapporto fra grandezze corrispondenti b. eÁ costante il prodotto fra le misure di grandezze corrispondenti c. esistono due grandezze nel primo insieme il cui rapporto eÁ uguale al rapporto inverso delle corrispondenti due del secondo insieme d. per ogni coppia di grandezze del primo insieme, il loro rapporto eÁ uguale al rapporto inverso fra le corrispondenti due del secondo insieme.

V

F

V

F

V

F

V

F

2. In base al criterio di proporzionalitaÁ, due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali se: a. il rapporto fra le misure di grandezze corrispondenti eÁ costante b. si conservano la congruenza e la somma c. si conserva la congruenza oppure la somma.

256

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3. Due lati di un triangolo sono lunghi rispettivamente 8a e 15a; una parallela al terzo lato divide il primo in parti proporzionali ai numeri 3 e 2. Le due parti in cui rimane diviso il secondo lato sono lunghe: a. 8a e 7a

b. 7,5a e 7,5a

c. 10a e 5a

6. LE AREE DEI POLIGONI

d. 9a e 6a

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 598

Abbiamo visto che la misura di una grandezza si esprime sempre mediante un numero reale che indica il rapporto fra quella grandezza e una ad essa omogenea che si assume come unitaÁ. In base a cioÁ, se dobbiamo misurare un segmento prendiamo un segmento come unitaÁ di misura, se dobbiamo misurare un angolo prendiamo un angolo e se dobbiamo misurare un'area dovremo considerare un'area come unitaÁ di misura. In generale, se si fissa un segmento U come unitaÁ di misura delle lunghezze, conviene fissare un quadrato Q di lato U come unitaÁ di misura delle aree. Per trovare poi delle formule che esprimono la misura delle aree dei principali poligoni ragioniamo in questo modo: troviamo un procedimento per calcolare l'area di un poligono particolare, il rettangolo, e poi, in base ai teoremi di equivalenza studiati nei precedenti paragrafi, costruiamo le formule per il calcolo delle aree degli altri poligoni. Enunciamo quindi il seguente teorema.

Teorema. La misura dell'area di un rettangolo eÁ uguale al prodotto della misura della sua base per quella della sua altezza.

AREA DEL RETTANGOLO

Dimostrazione. Consideriamo un rettangolo R di base A e altezza B (indichiamo con le lettere maiuscole i segmenti e con quelle minuscole corrispondenti le loro misure) e costruiamo un rettangolo ausiliario R 0 che abbia per base un segmento congruente all'unitaÁ di misura U scelta per le lunghezze e come altezza il segmento B; costruiamo poi anche il quadrato Q di lato congruente ad U (figura 28). I due rettangoli R e R 0 , avendo le altezze congruenti, sono proporzionali alle rispettive basi e possiamo quindi scrivere che

Figura 28

R : R0 ˆ A : U

R 0 e Q, avendo le stesse basi, sono invece proporzionali alle rispettive altezze e possiamo scrivere che R0 : Q ˆ B : U Sappiamo inoltre che se quattro grandezze sono in proporzione, lo sono anche le loro misure, quindi, se indichiamo con r, r 0 e 1 rispettivamente le aree di R, R 0 , e Q e con a, b e 1 le misure rispettivamente dei segmenti A, B e U, le precedenti proporzioni fra grandezze valgono anche fra le loro misure e quindi r : r0 ˆ a : 1

e

r0 : 1 ˆ b : 1

da cui, applicando la proprietaÁ fondamentale delle proporzioni numeriche, si ottiene r0
a ˆ r e r0 ˆ b

Confrontando queste ultime relazioni otteniamo poi che r ˆ b
a cioeÁ la misura dell'area del rettangolo R eÁ data dal prodotto della misura della sua base per quella della sua altezza. § Da questo teorema e da quelli di equivalenza discendono subito le seguenti formule per il calcolo delle aree dei poligoni. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

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257

Un quadrato eÁ un rettangolo che ha la base e l'altezza congruenti; se quindi indichiamo con ` la misura del lato del quadrato abbiamo che:

AREA DEL QUADRATO

area del quadrato ˆ `2 Un parallelogramma eÁ equivalente a un rettangolo che ha la base e l'altezza congruenti a quelli del parallelogramma (figura 29); se b eÁ la misura della base e h eÁ quella dell'altezza si ha quindi che:

AREA DEL PARALLELOGRAMMA

area del parallelogramma ˆ b
h Figura 29

Un triangolo eÁ equivalente a un parallelogramma che ha la stessa base e l'altezza pari alla metaÁ di quella del triangolo (figura 30); se b eÁ la misura della base e h eÁ quella dell'altezza si ha quindi che: area del triangolo ˆ

AREA DEL TRIANGOLO

1 b
h 2

Figura 30

Un'altra regola che ci limitiamo ad enunciare eÁ la formula di Erone che permette di esprimere l'area in funzione delle misure dei lati del triangolo; indicando con p il semiperimetro e con a, b, c le misure dei lati si ha che: area del triangolo ˆ

p p…p a†…p b†…p c†

Un trapezio eÁ equivalente a un triangolo che ha la base congruente alla somma delle basi del trapezio e l'altezza congruente a quella del trapezio (figura 31); se b1 e b2 sono le misure delle due basi e h eÁ quella dell'altezza si ha che area del trapezio ˆ

AREA DEL TRAPEZIO

1 …b1 ‡ b2 †
h 2

Figura 31

258

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Un rombo eÁ un particolare parallelogramma, quindi la sua area si puoÁ calcolare con la stessa formula vista per il parallelogramma; tuttavia, poiche un rombo eÁ anche equivalente alla metaÁ di un rettangolo che ha per dimensioni le diagonali del rombo (figura 32), se indichiamo con d1 e d2 le misure di tali diagonali, si ha anche che: area del rombo ˆ

AREA DEL ROMBO

1 d1
d2 2

Figura 32

Un poligono circoscritto a una circonferenza eÁ equivalente ad un triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza (che eÁ l'apotema del poligono) (figura 33); quindi, se 2p eÁ la misura del perimetro del poligono (quindi p eÁ quella del semiperimetro) e r eÁ quella del raggio, si ha che 1 area del poligono circoscritto ˆ
2p
r ˆ p
r 2

AREA DI UN POLIGONO CIRCOSCRITTO AD UNA CIRCONFERENZA

Figura 33

I teoremi di Pitagora e di Euclide dal punto di vista numerico Ora che sappiamo come calcolare la misura di un'area possiamo interpretare da un punto di vista metrico, cioeÁ prendendo in considerazione le misure, anche la relazione del teorema di Pitagora e quelle dei teoremi di Euclide. Questi teoremi risultano cosõÁ riformulati:

Figura 34

n teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle misure dei cateti eÁ uguale al quadrato della misura dell'ipotenusa (figura 34); in simboli: c 2 ˆ a2 ‡ b 2 n I teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura di un cateto eÁ uguale al prodotto della misura dell'ipotenusa per la misura della proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa (figura 35a di pagina seguente); in simboli: a2 ˆ c
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259

n II teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura dell'altezza relativa all'ipotenusa eÁ uguale al prodotto delle misure delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (figura 35b); in simboli:

Figura 36

h2 ˆ d
m Figura 35

Figura 37

a.

b.

Alcune conseguenze immediate di questi teoremi si possono riscontrare nelle formule che legano alcuni elementi di particolari poligoni. Evidenziamo le piuÁ importanti che ricorrono spesso nella risoluzione dei problemi. n Indicata con ` la misura del lato di un quadrato e con d quella della sua diagonale si ha che p d ˆ`
2

Figura 38

Basta infatti applicare il teorema di Pitagora al triangolo ABC (figura 36): p p p d ˆ ` 2 ‡ ` 2 ˆ 2` 2 ˆ ` 2

n Indicata con ` la misura del lato di un triangolo equilatero e con h quella della sua altezza si ha che p ` 3 hˆ 2 Basta infatti applicare il teorema di Pitagora al triangolo ABH (figura 37): r r p `2 3 2 ` 3 2 ˆ ` ˆ hˆ ` 4 2 4 n Analoghe relazioni valgono nei triangoli rettangoli che hanno gli angoli acuti di 45 oppure di 30 e 60 che sono rispettivamente la metaÁ di un quadrato e la metaÁ di un triangolo equilatero (osserva la figura 38).

Figura 39

n Indicata con r la misura del raggio di una circonferenza e con ` la misura del lato del quadrato inscritto si ha che p `ˆr 2

Infatti (figura 39) AB eÁ il lato di un quadrato che ha diagonale di misura 2r e p 2r quindi ` ˆ p ˆ r 2. 2

260

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n Indicata con r la misura del raggio di una circonferenza, con ` la misura del lato del triangolo equilatero inscritto e con h quella della sua altezza si ha: p `ˆr 3

hˆ

e

3 r 2

Infatti (figura 40), il triangolo OAH eÁ un triangolo rettangolo avente l'ipotenusa che misura r e gli angoli acuti di 30 e di 60 ; per esso valgono quindi le relazioni individuate in uno dei punti precedenti, cioeÂ: p p r 3 e quindi AH ˆ AB ˆ r 3 2 OH ˆ

1 r 2

e quindi

CH ˆ

Figura 40

Figura 41

3 r 2

n Inoltre il lato dell'esagono inscritto in una circonferenza di raggio r eÁ lungo r. Infatti (figura 41), congiungendo il centro con due vertici consecutivi dell'esagono si ottiene un triangolo equilatero.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Con riferimento al triangolo ABC rettangolo in C in figura, completa le seguenti relazioni: a. BD
AD ˆ :::::::::::::::::::::::::

b. AB
BD ˆ :::::::::::::::::::::::::

c. AD ˆ :::::::::::::::::::::::::

d. AB ˆ ::::::::::::::::::::::::

2

2. Nelle seguenti figure a rappresenta la misura del segmento indicato; trova le misure degli altri segmenti in funzione di a.

a.

b.

c.

7. LA LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA E L'AREA DEL CERCHIO

d.

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 602

7.1 La lunghezza della circonferenza Misurare la lunghezza di una linea curva non eÁ altrettanto semplice che misurare un segmento, sostanzialmente perche c'eÁ il problema della curvatura che non eÁ la stessa per tutte le linee e quindi non esiste un arco che si possa assumere come unitaÁ di misura. Una linea curva si puoÁ peroÁ approssimare con una poligonale come in figura 42 di pagina seguente: piuÁ grande eÁ il numero dei lati, migliore saraÁ l'approsQ ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

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261

Figura 42

Figura 43

a.

b.

simazione. Non solo, se idealmente potessimo considerare un numero infinito di lati, la lunghezza della linea sarebbe uguale a quella della poligonale. In particolare, la lunghezza di una circonferenza puoÁ essere approssimata da un poligono regolare in essa inscritto oppure ad essa circoscritto con un numero di lati molto grande (figura 43). Alla base di questo ragionamento sta la seguente proprietaÁ che assumiamo come assioma (figura 44): A11. Ogni arco di circonferenza eÁ maggiore della corda che lo sottende e minore della somma dei due segmenti di tangente condotti dagli estremi dell'arco fino al loro punto di intersezione:

AB < AB < AP ‡ PB. Figura 44

Conseguenza di cioÁ eÁ che: l

l

il perimetro di un qualsiasi poligono inscritto in una circonferenza eÁ minore della lunghezza della circonferenza stessa il perimetro di un qualsiasi poligono circoscritto alla circonferenza eÁ maggiore della lunghezza della circonferenza stessa.

La lunghezza della circonferenza eÁ quindi compresa tra il perimetro del poligono inscritto e il perimetro del poligono circoscritto e l'approssimazione migliora al crescere del numero dei lati. A tale lunghezza si puoÁ allora associare il segmento che si ottiene considerando il perimetro del poligono in essa inscritto o quello del poligono ad essa circoscritto con un numero infinito di lati; a tale segmento si da il nome di circonferenza rettificata. Si dimostra che: le circonferenze rettificate sono proporzionali ai rispettivi raggi. Questo significa che, indicando con C e C 0 le lunghezze di due circonferenze rettificate e con r e r 0 i loro raggi, vale la proporzione C : C0 ˆ r : r0

o anche, permutando i medi

C : r ˆ C0 : r0

In definitiva, il precedente teorema ci dice che il rapporto fra la lunghezza della circonferenza rettificata ed il suo raggio eÁ costante. Se eÁ costante il rapporto fra C ed il raggio, eÁ anche costante il rapporto fra C e il diametro. Quest'ultimo rapporto si indica con la lettera greca , si pone cioeÁ C ˆ 2r

da cui ricaviamo che

C ˆ 2r

Dunque, supposto di sapere qual eÁ il valore di , eÁ possibile determinare anche la lunghezza della circonferenza rettificata conoscendo la misura del suo raggio. Ma quanto vale ?

262

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Si puoÁ dimostrare che  eÁ un numero irrazionale e quindi non eÁ possibile indicare con esattezza il suo valore; inoltre non si sa ancora oggi se le cifre decimali di  si susseguono con una particolare regola (anche un numero irrazionale puoÁ esser costruito con una regola; per esempio 0,121122111222...). Quello che si puoÁ fare eÁ determinare i suoi valori approssimati (per difetto e per eccesso) con qualche algoritmo di calcolo. Un algoritmo concettualmente semplice eÁ quello che segue i ragionamenti sui poligoni inscritti e circoscritti che abbiamo fatto in questo paragrafo. Per esempio, se consideriamo l'esagono regolare inscritto e quello circoscritto, 2r i cui lati hanno lunghezza rispettivamente r e p , si ha che 3 2r 6r < 2r < 6
p 3

cioeÁ

Nel 1761 il matematico tedesco Johann Lambert dimostroÁ che  non eÁ un numero razionale.

3 <  < 3,464::::

Aumentando il numero dei lati dei poligoni inscritti e circoscritti e calcolando i loro perimetri, avremo valori sempre piuÁ precisi di ; giaÁ il valore dei perimetri dei poligoni regolari inscritto e circoscritto di 48 lati danno per  un valore compreso fra 3,1393 e 3,1461.

7.2 L'area del cerchio Per valutare l'area di un cerchio si pone un problema analogo a quello visto per il calcolo della lunghezza della circonferenza; se come unitaÁ di misura delle aree si assume un quadrato di lato unitario, si possono calcolare le aree dei poligoni, ma non le aree delle figure dai contorni curvilinei. Tuttavia, seguendo un ragionamento analogo a quello appena visto possiamo dire che: l

l

l'area di un qualsiasi poligono inscritto in una circonferenza eÁ minore dell'area del cerchio da essa delimitato l'area di un qualsiasi poligono circoscritto alla circonferenza eÁ maggiore dell'area del cerchio.

L'area di un cerchio eÁ quindi compresa tra l'area del poligono inscritto e quella del poligono circoscritto e l'approssimazione migliora al crescere del numero dei lati. Per valutare tale area ci viene in aiuto il seguente teorema. Teorema. Un cerchio ha la stessa area di un triangolo che ha per base la circonferenza rettificata e per altezza un segmento congruente al raggio della circonferenza (figura 45).

Figura 45

Da questo teorema e tenendo presente l'espressione che indica la lunghezza della circonferenza, troviamo subito che Sˆ

1 C
r 2 cioeÁ

!

Sˆ

1 …2r†r 2

S ˆ r 2

cioeÁ l'area del cerchio eÁ proporzionale al quadrato del raggio e la costante di proporzionalitaÁ eÁ . Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 6 - Cap. 1: L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI E IL CALCOLO DELLE AREE

263

7.3 Archi e settori circolari Ricordiamo che, in ogni circonferenza, gli archi e i settori circolari sono proporzionali ai rispettivi angoli al centro. Se allora indichiamo con ` la lunghezza di un arco, con  la misura in gradi del corrispondente angolo al centro e con C la lunghezza della circonferenza, possiamo scrivere che (figura 46): ` : C ˆ  : 360

da cui

`ˆC


Figura 46

 360

Analogamente, indicando con T l'area di un settore circolare e con S l'area del cerchio, possiamo scrivere la proporzione  T : S ˆ  : 360 da cui T ˆS
360 Per esempio, se in una circonferenza di raggio r eÁ dato un angolo al centro di 80 : 80 4 ˆ r 360 9

l

l'arco corrispondente eÁ lungo

l

il settore circolare corrispondente ha area

` ˆ 2r

T ˆ r 2

80 2 ˆ r 2 . 360 9

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. La lunghezza di una circonferenza eÁ 26a; il suo diametro eÁ lungo: a. 13

b. 13a

c. 26a

d. 26

c. 1156

d. 17

2. Il diametro di un cerchio eÁ 34cm; la sua area eÁ: a. 289

b. 289

3. Una circonferenza eÁ inscritta in un quadrato di lato 8a; la parte di quadrato che non eÁ occupata dal cerchio misura rispetto ad a2 : a. 64

16

b. a2 …64

16†

c. a2 …64

64†

d. 48a2

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le schede di approfondimento Le diverse dimostrazioni del teorema di Pitagora e Il valore di 

l

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l

Á di recupero le attivita

264

Tema 6 - Cap. 1: L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI E IL CALCOLO DELLE AREE

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I concetti e le regole Le figure equivalenti l

l

Due figure A e B si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione. La caratteristica comune a tutte le figure equivalenti si chiama area. Date due figure A e B aventi in comune solo una parte del contorno, si definisce loro somma la figura F ottenuta : dalla loro unione; viceversa se A ‡ B ˆ F, la figura A eÁ la differenza fra le figure F e B, la figura B eÁ la differenza fra F e A. Si verifica che somme o differenze di figure congruenti oppure equivalenti sono equivalenti.

I criteri di equivalenza dei poligoni Due figure che sono somme di figure congruenti si dicono equicomposte; due figure equicomposte sono anche equivalenti. L'equiscomponibilitaÁ permette di enunciare i seguenti criteri di equivalenza fra poligoni particolari:

¬ ­ ® ¯

due parallelogrammi sono equivalenti se hanno basi e altezze ordinatamente congruenti un parallelogramma e un triangolo sono equivalenti se hanno basi congruenti e se l'altezza del triangolo eÁ doppia di quella del parallelogramma (oppure se hanno altezze congruenti e se la base del triangolo eÁ doppia di quella del parallelogramma) un trapezio eÁ equivalente a un triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e l'altezza congruente a quella del trapezio un poligono circoscritto a una circonferenza eÁ equivalente a un triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza.

¬

­

®

¯

I teoremi di Pitagora e di Euclide In un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi: l

l

l

teorema di Pitagora: il quadrato costruito sull'ipotenusa eÁ equivalente alla : somma dei quadrati costruiti sui cateti: q…BC†ˆq…AB† ‡ q…AC†

primo teorema di Euclide: il quadrato costruito su un cateto eÁ equivalente al rettangolo che ha come lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenu: : sa: q…AB†ˆr…BC, BH† e q…AC†ˆr…BC, HC† secondo teorema di Euclide: il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa eÁ equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull'i: potenusa: q…AH†ˆr…BH, HC†.

Grandezze omogenee Un insieme G di elementi costituisce una classe di grandezze omogenee se: l due qualsiasi elementi di G sono sempre confrontabili l esiste in G un'operazione di addizione commutativa, associativa e dotata di elemento neutro.

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Tema 6 - Cap. 1: L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI E IL CALCOLO DELLE AREE

265

Due grandezze di una stessa classe si dicono commensurabili se hanno un sottomultiplo comune, incommensurabili in caso contrario. Fissata un'unitaÁ di misura omogenea con le grandezze di quella classe, a ciascun elemento di G si puoÁ associare una misura che eÁ sempre espressa da un numero reale che eÁ: l

razionale se le due grandezze sono commensurabili

l

irrazionale se le due grandezze sono incommensurabili.

Rapporto fra due grandezze omogenee A e B eÁ la misura di A quando B eÁ assunta come unitaÁ di misura; si verifica A poi che il rapporto eÁ anche uguale al quoziente fra le misure delle due grandezze rispetto ad una unitaÁ di misura B comune. Se il rapporto fra due grandezze eÁ uguale al rapporto fra altre due (omogenee fra loro le prime e omogenee fra loro le seconde), si dice che le quattro grandezze sono in proporzione.

ProporzionalitaÁ diretta e inversa Due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono: l

l

direttamente proporzionali se il rapporto fra due grandezze del primo insieme eÁ uguale al rapporto fra le corrispondenti due del secondo per ogni coppia di elementi considerati inversamente proporzionali se il rapporto fra due grandezze del primo insieme eÁ uguale al rapporto inverso fra le corrispondenti due del secondo per ogni coppia di elementi considerati.

Oltre che applicando la definizione, si puoÁ stabilire se due insiemi di grandezze sono direttamente proporzionali mediante un criterio generale di proporzionalitaÁ; A e B sono insiemi di grandezze proporzionali se e solo se: l

ad elementi uguali in A corrispondono elementi uguali in B e

l

alla somma di due elementi in A corrisponde la somma dei corrispondenti elementi in B.

Il teorema di Talete e le sue conseguenze Le proprietaÁ della proporzionalitaÁ diretta relativamente alle figure geometriche sono evidenziate da alcuni teoremi: l

l

l

teorema di Talete: un fascio di rette parallele intercetta su due trasversali segmenti direttamente proporzionali teorema della bisettrice dell'angolo interno: la bisettrice di un angolo di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati: BD : DC ˆ AB : AC

teorema della bisettrice dell'angolo esterno: se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra la retta del lato opposto in un punto P, il segmento PC ed il segmento PB stanno nello stesso rapporto degli altri due lati del triangolo: PC : PB ˆ AC : AB.

AB : A 0 B 0 ˆ BC : B 0 C 0 ˆ :::::::

266

Tema 6 - Cap. 1: L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI E IL CALCOLO DELLE AREE

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Le aree dei poligoni Le principali formule per il calcolo delle aree sono: l

rettangolo di dimensioni b e h

b
h

l

quadrato di lato `

`2

l

parallelogramma di base b e altezza h

b
h

l

triangolo di base b e altezza h

1 b
h 2 q p…p a†…p b†…p c†

oppure

l

trapezio di basi b e B e altezza h

1 …B ‡ b†
h 2

l

rombo di diagonali d1 e d2

1 d1
d2 2

poligono di semiperimetro p circoscritto a circonferenza di raggio r

p
r

l

p semiperimetro e a, b, c lati

I teoremi di Pitagora e di Euclide Qualunque relazione fra elementi omogenei di un poligono si puoÁ estendere alle misure di quelle grandezze; in particolare, con riferimento al triangolo della figura, rettangolo in A : 2

2

2

l

teorema di Pitagora:

AB ‡ AC ˆ BC

l

primo teorema di Euclide:

l

secondo teorema di Euclide:

AB ˆ BC
BH ^ AC ˆ BC
HC

2

2

2

AH ˆ BH
HC

La lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio La lunghezza di una linea curva puoÁ essere definita mediante una poligonale approssimante con un numero infinito di lati. In particolare la lunghezza di una circonferenza eÁ definita mediante i poligoni in essa inscritti e ad essa circoscritti. Le formule per il calcolo della lunghezza C della circonferenza rettificata e dell'area S del cerchio sono: l C ˆ 2r l S ˆ r 2 Dalla proporzionalitaÁ fra angoli al centro  (in gradi) e archi ` e fra angoli al centro e settori circolari T si deducono poi le seguenti relazioni:   l ` ˆ 2r
l T ˆ r 2
360 360

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Tema 6 - Cap. 1: L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI E IL CALCOLO DELLE AREE

267

CAPITOLO

Omotetie e similitudini

Obiettivi l

costruire e riconoscere figure omotetiche

l

Á dell'omotetia conoscere e saper applicare le proprieta

l

comporre omotetie

l

definire una similitudine

l

riconoscere figure simili con particolare riferimento ai triangoli

l

individuare segmenti proporzionali nei triangoli rettangoli e fra gli elementi di una circonferenza

MATEMATICA E REALTAÁ Ridurre e ingrandire sono due operazioni che si fanno quotidianamente. Si chiede a una fotocopiatrice di ridurre un'immagine o un testo, si ingrandisce il carattere di scrittura di un qualunque Wordprocessor con un semplice clic del mouse, si ingrandisce una foto per metterla in cornice o per crearne un poster da appendere, si proietta una slide di una presentazione ingrandendo l'immagine che c'eÁ sul video del computer. Esistono degli strumenti meccanici come il pantografo che servono per riprodurre disegni in scala ridotta o ingrandita (figura 1); oggi i moderni pantografi lavorano con il laser e probabilmente anche in casa tua ci sono oggetti, come portamonete e borse, che sono stati incisi con questa tecnica. Anche la natura riproduce se stessa in piccoli moduli del tutto simili agli originali; lo si vede bene nelle piante grasse, nelle foglie delle felci, nei cavolfiori, nelle conchiglie (figura 2 di pagina seguente). Ma se una cartina geografica o il poster di una fotografia possono essere descritti mediante un semplice ingrandimento o riduzione del soggetto originale, per descrivere lo sviluppo della conchiglia del Nautilus, quello di un cavolfiore o di un cristallo questo non basta perche gli oggetti che si replicano, ingranditi o ridotti, si trovano in posizioni particolari rispetto agli oggetti originali.

268

Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

Figura 1

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Figura 2

Ciascun modulo della conchiglia in figura 2 deve essere ingrandito e poi ruotato; ogni piccolo ciuffo del cavolfiore deve essere ingrandito, traslato e infine ruotato e cosõÁ accade anche per ciascun cristallo di un minerale. I recenti studi sulle figure frattali mettono bene in evidenza questa tendenza degli oggetti naturali a replicarsi. Quello che accomuna tutte queste descrizioni eÁ in ogni caso il mantenimento della forma originale; in questo capitolo ci occupiamo di dare una descrizione geometrica precisa delle caratteristsiche che abbiamo evidenziato.

1. L'OMOTETIA E LE SUE PROPRIETAÁ

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 610

La parola omotetia deriva dal greco Omos tithemi che significa porre in modo simile; si tratta di una trasformazione geometrica che descrive come ingrandire o ridurre una figura lasciandone invariata la forma. Vediamo come si costruisce la legge che la descrive. Fissato un punto O in un piano , consideriamo un punto P e la semiretta OP di origine O; scelto un numero k reale e positivo, esiste un solo punto P 0 sulla OP 0 ˆ k (figura 3). semiretta OP tale che sia OP OP 0 ˆ 4. Ad esempio se k ˆ 4, il punto P 0 deve essere tale che OP La corrispondenza cosõÁ stabilita fra i punti P ed i punti P 0 di  eÁ biunivoca e puoÁ quindi essere considerata come una trasformazione del piano  in seÁ. Chiameremo omotetia di centro O e rapporto k o omotetia diretta questa trasformazione. Essa verraÁ indicata, in notazione funzionale, con il simbolo !O ,k . Esiste peroÁ anche un altro punto di , che indicheremo con P 00 , che si trova OP 00 ˆ k (figura 4). Per indicare che sulla semiretta opposta ad OP tale che OP P 00 si trova da parte opposta di P rispetto ad O, assumeremo convenzionalmente come negativo tale rapporto e scriveremo percioÁ, se consideriamo k > 0 OP 00 ˆ OP

Ricorda: trasformazione geometrica eÁ una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano. Si esprime mediante una legge che indica il modo in cui i punti vengono associati. Figura 3

Figura 4

k

Anche la corrispondenza che associa i punti P ai punti P 00 eÁ biunivoca ed eÁ percioÁ una trasformazione che chiameremo omotetia di centro O e rapporto k o omotetia inversa. Essa verraÁ indicata con il simbolo !O , k . Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

269

Dati un punto O del piano  e un numero reale k 6ˆ 0, si dice omotetia di centro O e rapporto k la trasformazione del piano in se che associa ad ogni punto P di  il punto P 0 di  tale che: n O, P, P 0

DEFINIZIONE DI OMOTETIA

siano allineati

n OP 0  jkjOP

n P 0 appartenga alla semiretta OP se k > 0 (omotetia diretta) P 0 appartenga alla semiretta opposta ad OP se k < 0 (omotetia inversa).

Il punto P' corrispondente di P in !O ,k si dice anche omotetico di P. L'omotetia eÁ allora la trasformazione geometrica che mantiene costante il rapporto fra segmenti corrispondenti. In particolare: OP 0 ˆ 1, cioeÁ OP 0  OP e quindi P 0 coincide con P; n se k ˆ 1, il rapporto OP allora ogni punto P ha per trasformato se stesso e dunque l'omotetia di rapporto 1 coincide con l'identitaÁ (figura 5a); OP 0 ˆ 1, i segmenti OP 0 ed OP sono congruenti ma opposti OP rispetto ad O; allora ad ogni punto P viene associato nella !O , 1 il suo simmetrico rispetto ad O e quindi l'omotetia di rapporto 1 coincide con la simmetria centrale (figura 5b).

n se k ˆ

Figura 5

a.

1,

b.

ESEMPI 1. Dato un segmento AB ed un punto O troviamo il segmento A 0 B 0 omotetico di AB rispetto al centro O e di rapporto k ˆ 2.

Disegnato il segmento AB ed il punto O, tracciamo le semirette OA e OB (figura 6). Poiche un segmento eÁ univocamente individuato dai suoi estremi, eÁ sufficiente trovare i punti A 0 e B 0 corrispondenti di A e di B nell'omotetia. Per fare cioÁ scegliamo: OA 0 0 l sulla semiretta OA un punto A tale che ˆ2 OA l

sulla semiretta OB un punto B 0 tale che

Figura 6

OB 0 ˆ 2. OB

Il segmento A 0 B 0 cosõÁ ottenuto corrisponde ad AB nell'omotetia !O ,2 . 4

2. Dato un triangolo ABC costruiamo A 0 B 0 C 0 ˆ !O ,

1 2

4

…ABC †.

Poiche un poligono eÁ completamente individuato dai suoi vertici, saraÁ sufficiente trovare i punti corrispondenti di A, B, C. Osserviamo inoltre che il rapporto di omotetia eÁ negativo, quindi i punti omotetici dei vertici del triangolo si trovano sulle semirette opposte ad OA, OB, OC. Tracciamo dunque le rette OA, OB, OC e su queste, da parte opposta rispetto ad O, scegliamo i punti A 0 , B 0 , C 0 tali che OA 0 ˆ

1 OA, 2

OB 0 ˆ

1 OB, 2

OC 0 ˆ

1 OC 2

Figura 7

(figura 7).

Il triangolo A 0 B 0 C 0 cosõÁ ottenuto eÁ quello cercato.

270

Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

LE PROPRIETAÁ DELL'OMOTETIA

Un'omotetia di centro O e rapporto k gode delle seguenti proprietaÁ. n Un segmento AB viene trasformato in un segmento A 0 B 0 ad esso parallelo e tale che A 0 B 0  jkjAB. Per esempio, se AB ˆ 5 e k ˆ 2, allora A 0 B 0 k AB e A 0 B 0 ˆ 5
2 ˆ 10.

n Una retta viene trasformata in una retta ad essa parallela.

n Un angolo viene trasformato in un angolo ad esso congruente. Da queste proprietaÁ consegue che: n se due poligoni si corrispondono in un'omotetia, allora hanno i lati omologhi paralleli e di rapporto jkj e gli angoli omologhi congruenti (figura 8).

Figura 8

Inoltre: l

l l

se jkj > 1 si ottiene un ingrandimento della figura, se jkj < 1 si ottiene una riduzione. se k 6ˆ 1 il solo punto unito della trasformazione eÁ il centro O

ogni retta passante per il centro dell'omotetia eÁ una retta unita (ma non una retta di punti uniti).

Si dimostra poi che, se due poligoni si corrispondono in una omotetia di rapporto k, allora: l l

il rapporto fra i loro perimetri eÁ jk j il rapporto fra le loro aree eÁ k 2 .

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Un'omotetia di centro O e rapporto k 6ˆ 0 eÁ una trasformazione del piano che ad ogni punto P associa il punto P 0 tale che O, P, P 0 sono allineati e: a. OP ˆ jk jOP 0 b. OP 0 ˆ jk jOP

c. PP 0 ˆ jk jOP.

2. Assegnati nel piano due punti A e B e l'omotetia !O ,k ; si puoÁ dire che: V

F

0

0

0

0

V

F

0

0

0

0

V

F

a. se A 0 B 0 ˆ !O ,k …AB † allora eÁ A 0 B 0 k AB

b. se A B ˆ !O ,k …AB † allora eÁ A B  AB

c. se A B ˆ !O ,k …AB † allora eÁ A B  jkjAB

3. Nelle seguenti trasformazioni F 0 ˆ !O ,k …F †; associa a ciascuna il corrispondente valore di k scegliendolo fra quelli elencati:

a.

¬ kˆ 2

b.

­ kˆ

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1 3

® kˆ

c.

5 2

¯ kˆ

2 5

° kˆ3

± kˆ

Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

1 2

271

2. LA SIMILITUDINE

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 614

Consideriamo un punto O nel piano, disegniamo una figura F e troviamo la sua corrispondente F 0 nell'omotetia di centro O e rapporto k (figura 9a); troviamo poi la corrispondente di F 0 in una qualunque isometria, per esempio nella simmetria di asse r e chiamiamo F 00 la figura trasformata. Osserviamo adesso che, essendoci corrispondenza biunivoca fra i punti di F e quelli di F 0 e corrispondenza biunivoca fra i punti di F 0 e quelli di F 00 si puoÁ far corrispondere ad ogni punto di F uno ed un solo punto di F 00 ; per esempio, poiche A 0 corrisponde ad A e A 00 corrisponde ad A 0 , possiamo far corrispondere A 00 ad A. A ! A 0 ! A 00 Fra i punti di F e quelli di F 00 viene cosõÁ a stabilirsi una corrispondenza biunivoca. La stessa cosa accade se F 0 corrisponde a F in una isometria e F 00 corrisponde a F 0 in una omotetia (figura 9b). Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria, in qualunque ordine queste trasformazioni vengano applicate. Per indicare che due figure G e G 0 sono simili si scrive G  G 0 .

DEFINIZIONE DI SIMILITUDINE

Figura 9

a.

b.

Per scoprire le proprietaÁ di questa nuova trasformazione, riprendiamo i discorsi precedenti e osserviamo che l'isometria che trasforma F 0 in F 00 conserva la congruenza fra segmenti corrispondenti, quindi le relazioni che sussistono fra F 0 e F, sussistono anche fra F 00 e F; per esempio: visto che visto che

A 0B 0 ˆ jkj AB d  A 0d ABC B 0C 0

e

A 0 B 0  A 00 B 00

e

00 C 00 d A 0d B 0 C 0  A 00 B

anche anche

A 00 B 00 ˆ jkj AB 00 C 00 d  A 00 B d ABC

cioeÁ il rapporto fra segmenti corrispondenti si mantiene costante e gli angoli che si corrispondono sono congruenti. Inoltre, per la similitudine valgono tutte quelle proprietaÁ che valgono contemporaneamente per un'omotetia e per una isometria. In definitiva possiamo quindi enunciare le seguenti proprietaÁ. In una similitudine:

PROPRIETAÁ DELLA SIMILITUDINE

n il rapporto fra segmenti corrispondenti eÁ costante ed eÁ uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia; esso prende il nome di rapporto di similitudine e lo indicheremo con k

272

Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

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n angoli che si corrispondono sono congruenti n la figura simile a una retta eÁ una retta n se due rette sono parallele anche le loro corrispondenti lo sono e se due rette sono incidenti anche le loro corrispondenti sono incidenti allo stesso modo. EÁ poi evidente che: n due figure omotetiche sono anche simili n due figure congruenti sono anche simili.

Poligoni con la stessa forma In geometria i poligoni rivestono particolare importanza perche sono le figure piuÁ semplici da studiare e perche ad essi ci si puoÁ ricondurre in molte situazioni; nel seguito della nostra trattazione ci occuperemo quindi prevalentemente della similitudine dei poligoni e delle relazioni che da tali similitudini si possono dedurre. Cominciamo allora a chiederci: dati due poligoni, come facciamo a sapere se sono simili? Facciamo qualche prova. Costruiamo due poligoni che hanno i lati proporzionali; possiamo concludere che sono simili? Se riflettiamo sul fatto che un poligono non eÁ una struttura rigida e che puoÁ cambiare la sua forma pur mantenendo le lunghezze dei lati, dobbiamo concludere che

Figura 10

avere i lati proporzionali non eÁ sufficiente per poter concludere che due poligoni sono simili. Costruiamo due poligoni che hanno gli angoli a due a due congruenti; possiamo dire che sono simili? Abbiamo giaÁ dato una risposta a questa domanda nell'introduzione, ma basta osservare la figura 10 per rendersene conto meglio: i due esagoni hanno tutti gli angoli di ampiezza 120 ma non sono certo simili. Dunque: avere gli angoli ordinatamente congruenti non eÁ sufficiente per poter concludere che due poligoni sono simili. Ma se le due cose accadono contemporaneamente, allora possiamo essere sicuri che i due poligoni sono simili; vale a dire che: se due poligoni hanno i lati proporzionali e gli angoli ordinatamente congruenti, allora sono simili. Verificare la congruenza fra tutti gli angoli e la proporzionalitaÁ fra tutti i lati di due poligoni eÁ peroÁ laborioso e, come nel caso della congruenza, ci si puoÁ chiedere se sia possibile effettuare un numero minore di confronti; nei prossimi paragrafi daremo una risposta a questa domanda.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. In ogni similitudine: a. due rette che si corrispondono sono sempre parallele

V

F

b. se due rette sono parallele, anche le loro omologhe sono parallele

V

F

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Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

273

c. il rapporto tra un segmento e il suo corrispondente eÁ costante

V

F

d. ad un angolo corrisponde un angolo proporzionale al primo.

V

F

a. Due poligoni congruenti sono anche simili

V

F

b. Due poligoni simili sono anche congruenti

V

F

V

F

d. Due poligoni simili si corrispondono sempre in una omotetia

V

F

e. Due poligoni simili si corrispondono in una omotetia di centro O se l'isometria della trasformazione eÁ l'identitaÁ oppure una simmetria di centro O.

V

F

2. Barra vero o falso.

c. Due poligoni simili sono anche congruenti se il rapporto di similitudine eÁ 1 oppure

3. I CRITERI DI SIMILITUDINE

1

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 615

3.1 I criteri di similitudine dei triangoli I triangoli, a differenza dei poligoni sono figure rigide, indeformabili, quindi il fatto di avere i lati proporzionali oppure gli angoli a due a due congruenti potrebbe essere sufficiente per concludere che sono simili. Queste intuizioni sono avvalorate dai seguenti teoremi che rappresentano i criteri di similitudine dei triangoli.

Figura 11

I criterio di similitudine. Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti (figura 11).

II criterio di similitudine. Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l'angolo fra essi compreso congruente (figura 12). Figura 12

Figura 13

III criterio di similitudine. Due triangoli sono simili se hanno i tre lati proporzionali (figura 13). Dai teoremi enunciati si deducono immediatamente le seguenti proposizioni: n tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro; n due triangoli isosceli che hanno un angolo alla base oppure l'angolo al vertice ordinatamente congruenti sono simili; n due triangoli rettangoli che hanno una coppia di angoli acuti ordinatamente congruenti sono simili.

274

Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

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ESEMPI 1. Da un punto M del lato AB di un triangolo ABC tracciamo la parallela al lato BC che incontra in N il lato AC; dimostriamo che i triangoli ABC e AMN sono simili. Hp. MN k BC

4

4

Th. ABC  AMN

Figura 14

(figura 14)

Possiamo condurre la dimostrazione in diversi modi: possiamo dire che i due triangoli si corrispondono nell'omotetia di centro A e che quindi sono anche simili l possiamo dire che i due triangoli hanno l'angolo di vertice A in comune ed inoltre, per il teorema di Talete, AM : AB ˆ AN : AC; essi sono quindi simili per il secondo criterio l possiamo dire che, essendo MN k BC, i lati dei due triangoli sono proporzionali (conseguenza del teorema di Talete) e che essi sono quindi simili per il terzo criterio d  ACB d e l possiamo dire che i due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti: ANM d  ABC d perche corrispondenti e che essi sono quindi simili per il primo criterio. AMN l

2. Prolunghiamo il lato AD di un parallelogramma ABCD, dalla parte di D; prendiamo su tale prolungamen-

to un punto P e tracciamo il segmento PB che incontra in Q il lato CD. Dimostriamo che sono simili i triangoli PAB, PDQ e QCB. Hp. DC k AB ^ AD k BC

4

4

4

Th. PAB  PDQ  QCB

(figura 15)

Figura 15

Osserviamo che, poiche i lati opposti di un parallelogramma sono paralleli e gli angoli opposti sono congruenti, sussistono le seguenti congruenze fra angoli: d  PAB d  DCB d PDQ

d  PBA d  BQC d PQD

I tre triangoli sono quindi simili per il primo criterio.

3.2 Le proprietaÁ dei triangoli simili Se due triangoli si corrispondono in una similitudine, non solo i lati sono proporzionali, ma lo sono anche tutte le coppie di segmenti che si corrispondono; se allora tracciamo le altezze, le mediane o le bisettrici, oppure valutiamo i perimetri, anche fra questi elementi esiste proporzionalitaÁ. In particolare, con riferimento alla figura 16, possiamo enunciare le seguenti proprietaÁ. Se due triangoli sono simili con rapporto di similitudine uguale a k: n le altezze, le mediane e le bisettrici che si corrispondono sono proporzionali ad una coppia di lati omologhi, cioeÁ il loro rapporto eÁ uguale al rapporto di similitudine:

PROPRIETAÁ DEI TRIANGOLI SIMILI

CH CM CF ˆ 0 0 ˆ 0 0 ˆk 0 0 CH CM CF Figura 16

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Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

275

n i perimetri sono proporzionali ad una coppia di lati omologhi, cioeÁ il loro rapporto eÁ uguale al rapporto di similitudine: 2p ˆk 2p 0 n le aree sono proporzionali al quadrato di una coppia di lati omologhi, cioeÁ il loro rapporto eÁ uguale al quadrato del rapporto di similitudine: S ˆ k2 S0 Consideriamo adesso un triangolo rettangolo e tracciamo l'altezza relativa ald e HAC d sono congruenti l'ipotenusa (figura 17). Osserviamo che gli angoli ABH

Figura 17

d i triangoli ABH e AHC sono perche entrambi complementari dell'angolo BAH; quindi simili al triangolo ABC per il primo criterio di similitudine e si possono scrivere le seguenti proporzioni: l

confrontando i triangoli ABC e ABH :

BC : AB ˆ AB : BH

l

confrontando i triangoli ABC e ACH :

BC : AC ˆ AC : CH

l

confrontando i triangoli ABH e ACH :

BH : AH ˆ AH : HC

Le prime due relazioni ci dicono che: in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto eÁ medio proporzionale fra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa

CORRISPONDENZA CON I TEOREMI DI EUCLIDE

La terza relazione ci dice che: in ogni triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa eÁ media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. Ripensando alle equivalenze fra figure geometriche, possiamo ritenere che queste due ultime proprietaÁ siano equivalenti ai teoremi di Euclide. Infatti: l

l

la prima ci dice che il quadrato costruito su ciascun cateto eÁ equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa (primo teorema di Euclide); la seconda ci dice che il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa eÁ equivalente al rettangolo che ha per lati le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (secondo teorema di Euclide). Spesso si fa confusione nello stabilire l'esatto ordine in cui scrivere i termini di una proporzione relativa ai lati di due poligoni simili. Occorre percioÁ ricordare che si corrispondono in una similitudine i lati che sono opposti agli angoli congruenti dei due poligoni. Per scrivere le proporzioni dei due teoremi precedenti abbiamo tenuto conto del fatto che nei triangoli ABC ed ABH di figura 17, il lato BC del triangolo ABC eÁ il corrispondente del lato AB del triangolo ABH perche entrambi opposti all'angolo retto; il lato AB del triangolo ABC eÁ il corrispondente del lato BH del triangolo ABH perche d e BAH. d questi segmenti sono opposti ai due angoli congruenti ACB

276

Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

Attenzione agli errori

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VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. In base ai criteri di similitudine, due triangoli sono simili se hanno: a. b. c. d. e.

due angoli ordinatamente congruenti due lati proporzionali due lati proporzionali e l'angolo compreso congruente tre lati proporzionali due lati proporzionali e l'angolo opposto ad uno di essi congruente.

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

2. I triangoli in figura sono simili; completa le seguenti proporzioni inserendo i termini appropriati: a. BC : EF ˆ AH : ::::::

b. AM : ::::: ˆ ::::: : ED

c. AC : MC ˆ ::::: : :::::

d. 2p …ABC † : BC ˆ ::::: : :::::

e. ::::: : ::::: ˆ DR : DS

f. S…ABC† : S…DEF† ˆ :::::: : ::::::

4

4

4

4. LE APPLICAZIONI

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 619

Vediamo ora di evidenziare alcuni significativi rapporti di similitudine relativi ad elementi di una circonferenza, che ci saranno utili nella risoluzione di problemi. Consideriamo allora una circonferenza e tracciamo due corde che si intersecano in un punto P; vale il seguente teorema. Teorema. Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti dell'una sono i medi ed i segmenti dell'altra sono gli estremi di una proporzione. Dimostrazione.

TEOREMA DELLE CORDE

Figura 18

Dobbiamo dimostrare che vale la proporzione CP : BP ˆ AP : DP (figura 18). Consideriamo i triangoli CPA e BPD. In essi: d  CDB d CAB d  BPD d CPA

angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco CB angoli opposti al vertice

I due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine e dunque vale la proporzione (ricorda che i segmenti omologhi sono quelli opposti agli angoli § congruenti) CP : BP ˆ AP : DP. Valgono inoltre i seguenti teoremi che ci limitiamo ad enunciare. Teorema. Se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano due secanti, una secante e la sua parte esterna sono i medi, l'altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione.

TEOREMA DELLE SECANTI Figura 19

Con riferimento alla figura 19 questo teorema ci dice che: prima secante

PD : PB ˆ PA : PC seconda secante

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Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

277

Teorema. Se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una secante ed una tangente, il segmento di tangente eÁ medio proporzionale fra l'intera secante e la sua parte esterna.

TEOREMA DELLA SECANTE E DELLA TANGENTE

Figura 20

Con riferimento alla figura 20 questo teorema ci dice che: tangente

PB : PQ ˆ PQ : PA secante

APPROFONDIMENTI LA SEZIONE AUREA Figura 21 Dividere in sezione aurea un segmento significa dividerlo in due parti tali che una di esse risulti media proporzionale fra l'intero segmento e l'altra parte. Il segmento che eÁ il medio proporzionale eÁ la parte aurea del segmento stesso. Per costruirlo si puoÁ seguire questo procedimento che utilizza il teorema relativo alla tangente e alla secante di una circonferenza e le proprietaÁ delle proporzioni (segui la costruzione in figura 21). Disegniamo un segmento AB, tracciamo la perpendicolare in B ad 1 AB e prendiamo su di essa un punto C tale che CB  AB. 2 Tracciamo adesso la circonferenza di centro C e raggio CB che eÁ in questo modo tangente ad AB in B; tracciamo la semiretta AC e indichiamo con R e Q i suoi punti di intersezione con la circonferenza. Con centro in A e raggio AR, tracciamo un arco di circonferenza che incontra AB in D. Se ora applichiamo il teorema della secante e della tangente (AB eÁ la tangente, AQ eÁ la secante) troviamo che

AQ : AB ˆ AB : AR Applichiamo adesso la proprietaÁ dello scomporre …AQ

AB† : AB ˆ …AB

AR† : AR.

Tenendo presente che AB  RQ e che AR  AD, si ha che AQ

AB  AQ

La proporzione allora diventa

RQ  AR  AD

AD : AB ˆ DB : AD

e

AB

o anche

AR  AB

AD  DB

AB : AD ˆ AD : DB

cioeÁ AD eÁ medio proporzionale fra AB e DB. Dunque AD eÁ la parte aurea del segmento AB.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Con riferimento alla figura a lato individua fra le seguenti le proporzioni vere: a. BC : AC ˆ KC : BC c. AC : AB ˆ AB : KC e. AB : BK ˆ BK : BC

278

b. AC : AB ˆ AB : AK d. AK : BK ˆ KC : BK f. AK : BK ˆ BK : KC

Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

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2. Con riferimento alla figura a lato individua fra le seguenti le proporzioni vere: a. BP : DP ˆ PC : PA b. PB : PA ˆ PA : AB c. PD : PH ˆ PH : PC d. PB : PH ˆ PH : AB e. AK : KD ˆ CK : KB f. CK : AK ˆ KD : KB

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il laboratorio di informatica

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la scheda di approfondimento I frattali

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gli esercizi dalle Gare di matematica

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Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta

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Á di recupero le attivita

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Tema 6 - Cap. 2: OMOTETIE E SIMILITUDINI

279

I concetti e le regole L'omotetia Fissati in un piano un punto O e un numero reale k non nullo, si dice omotetia di centro O e rapporto k la trasformazione del piano in seÁ che ad ogni punto P associa il punto P 0 cosõÁ costruito: si traccia la retta OP e si prende su di essa il punto P 0 tale che sia OP 0  jk jOP con la convenzione che se k > 0 allora P 0 si trova dalla stessa parte di P rispetto ad O, se k < 0 allora P 0 si trova da parte opposta di P rispetto ad O. In particolare, se k ˆ 1 l'omotetia coincide con la trasformazione identica, se k ˆ 1 coincide con la simmetria di centro O.

Le proprietaÁ dell'omotetia

k>0

k HA , PC > PA

1.3 Il parallelismo nello spazio Mentre nel piano si puoÁ parlare soltanto di rette parallele, nello spazio dobbiamo considerare tre relazioni di parallelismo fra loro distinte: l

il parallelismo fra rette,

l

il parallelismo fra una retta ed un piano,

l

il parallelismo fra piani.

Figura 15

Anche se queste relazioni sono intuitivamente semplici, cercheremo di dare delle definizioni rigorose, enunciando poi le proprietaÁ del parallelismo.

Il parallelismo fra rette La definizione di rette parallele nello spazio non puoÁ essere la stessa di quella data per due rette nel piano; sappiamo infatti che anche due rette sghembe non hanno punti di intersezione. Diremo quindi che: due rette nello spazio si dicono parallele se sono coincidenti oppure se sono complanari e non hanno punti di intersezione. Ricordiamo poi l'assioma di unicitaÁ della parallela che vale anche nello spazio:

DEFINIZIONE DI PARALLELISMO FRA RETTE NELLO SPAZIO

Figura 16a

A9. data una retta r ed un punto P fuori di essa, esiste ed eÁ unica la parallela per P alla retta r. Vediamo quali sono le proprietaÁ delle rette parallele nello spazio. n Se due rette sono parallele, ogni piano che incontra una incontra anche l'altra (figura 16a). Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

287

n Due rette che sono perpendicolari ad uno stesso piano sono fra loro parallele e, viceversa, se due rette sono parallele, un piano che eÁ perpendicolare all'una eÁ perpendicolare anche all'altra (figura 16b).

Figura 16

n Date due rette parallele r e s e considerati un piano passante per r ed uno passante per s che si intersecano lungo una terza retta t, si ha che t eÁ parallela sia a r che a s (figura 16c). n La relazione di parallelismo fra rette eÁ l riflessiva: ogni retta e Á parallela a se stessa, l simmetrica: se una retta r e Á parallela ad una retta s, anche s eÁ parallela a r, l transitiva: se r e Á parallela a t e t eÁ parallela a s, anche r eÁ parallela a s ; attenzione peroÁ: r e t appartengono allo stesso piano, s e t appartengono allo stesso piano, ma non eÁ detto che tutte e tre le rette siano sullo stesso piano (rivedi a questo proposito la figura 16c). Anche nello spazio la relazione di parallelismo tra rette definisce la loro direzione.

b.

Il parallelismo fra rette e piani

c.

Consideriamo un piano , una retta r che giace sul piano ed un punto Q che non appartiene ad . Sappiamo che Q e la retta r individuano un piano la cui intersezione con  eÁ r (figura 17); sappiamo inoltre che, sul piano , esiste ed eÁ unica la parallela per Q alla retta r. Tale retta non ha quindi punti in comune con il piano  e si dice che eÁ parallela ad . Diamo allora la seguente definizione. DEFINIZIONE DI

Una retta si dice parallela ad un piano se non ha alcun punto in comune con esso oppure se appartiene interamente al piano.

RETTA PARALLELA A UN PIANO

La relazione di parallelismo fra rette e piani gode delle seguenti proprietaÁ:

Figura17

n se due rette sono parallele, ogni piano parallelo all'una eÁ parallelo anche all'altra; n se una retta r eÁ parallela a due piani che si intersecano lungo una retta s, allora r eÁ parallela a s (figura 18a); n se una retta r eÁ parallela ad un piano  e se a e b sono due rette parallele che intersecano r nei punti A e B ed  nei punti C e D, allora AC  BD e AB  CD (figura 18b);

n se una retta ed un piano sono paralleli allora tutti i punti della retta hanno la stessa distanza dal piano (figura 18c). Figura 18

a.

288

b.

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

c. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Quest'ultima proprietaÁ ci consente di dare la seguente definizione. Si dice distanza di una retta da un piano ad essa parallelo la distanza di uno qualsiasi dei suoi punti dal piano.

DEFINIZIONE DI DISTANZA

Il parallelismo fra piani Abbiamo giaÁ detto che due piani sono paralleli se non hanno punti di intersezione o se coincidono. L'esistenza di piani paralleli eÁ garantita dalle seguenti proprietaÁ: n due piani perpendicolari ad una stessa retta sono fra loro paralleli (figura 19a); n se per un punto P non appartenente ad un piano  si conducono due rette ad esso parallele, il piano da esse individuato eÁ parallelo ad  (figura 19b). Figura 19

a.

b.

Queste due proprietaÁ ci danno quindi un modo per costruire il piano passante per un punto P che sia parallelo ad un altro piano  assegnato. Si dimostra inoltre che: Dati un piano  ed un punto P fuori di esso esiste ed eÁ unico il piano ad esso parallelo passante per P. Enunciamo le proprietaÁ dei piani paralleli.

PROPRIETAÁ DEL

n La relazione di parallelismo fra piani eÁ riflessiva, simmetrica e transitiva. Di tutti i piani che sono tra loro paralleli si dice che hanno la stessa giacitura (la giacitura dei piani eÁ l'analogo della direzione delle rette parallele). Si dice poi fascio di piani paralleli o fascio improprio di piani l'insieme di tutti i piani aventi la stessa giacitura e si dice strato la parte di spazio compresa fra due piani paralleli.

PARALLELISMO TRA PIANI

n Se due piani sono paralleli, ogni retta che incontra uno incontra anche l'altro. n Se due piani sono paralleli, ogni retta perpendicolare all'uno eÁ perpendicolare anche all'altro. Quest'ultima proprietaÁ eÁ l'inversa della prima fra quelle enunciate e ci consente di dare la seguente definizione. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

289

Si dice distanza di due piani paralleli il segmento da essi individuato su una qualsiasi retta perpendicolare ai due piani (figura 20).

Figura 20

n Se un piano incontra due piani paralleli, le rette intersezione sono fra loro parallele (figura 21a). n Se due piani sono paralleli, ogni retta parallela al primo eÁ parallela anche al secondo. n Se due piani paralleli intersecano due rette parallele, i segmenti che si vengono a determinare sono congruenti (figura 21b). Figura 21

a.

b. AB  DC

Figura 22

Vale inoltre il seguente teorema. Teorema (di Talete nello spazio). Un fascio di piani paralleli individua su due rette trasversali insiemi di segmenti direttamente proporzionali. Vale cioeÁ la seguente catena di uguaglianze (figura 22): AB BC CD ˆ 0 0 ˆ 0 0 ˆ ::::::::: 0 0 AB BC CD

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni. a. b. c. d.

Se due piani hanno un punto in comune, hanno anche una retta in comune. Due piani che si intersecano non possono avere in comune tre punti non allineati. Una retta che non appartiene a un piano non puoÁ avere punti in comune con il piano. Intersecando una stella di rette con un piano si ottiene sempre un fascio di rette proprio.

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

2. Nello spazio sono dati un piano  e una retta r ad esso incidente in un punto P; si puoÁ dire che: a. se r eÁ perpendicolare in P a due rette di , allora eÁ perpendicolare ad  b. se r eÁ perpendicolare ad , allora eÁ perpendicolare a tutte le rette di  c. qualunque sia r, esiste almeno una retta di  che eÁ perpendicolare a r.

3. Una retta r e un piano  non hanno punti comuni; si puoÁ dire che: a. b. c. d.

290

tutte le rette di  sono parallele a r se  interseca un piano lungo una retta s, allora r e s sono parallele esiste un solo piano che contiene r e che eÁ parallelo ad  tutti i punti di r hanno la stessa distanza da . Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

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2. DIEDRI, PERPENDICOLARITAÁ NELLO SPAZIO E ANGOLOIDI

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 625

Angoli diedri Consideriamo due semipiani aventi la retta origine in comune; lo spazio viene in questo modo diviso in due regioni opposte (figura 23). Diamo allora la seguente definizione. Si dice angolo diedro o piuÁ semplicemente diedro ciascuna delle due parti in cui due semipiani aventi la stessa origine dividono lo spazio, inclusi i semipiani stessi. La retta origine dei due semipiani si dice spigolo del diedro, i due semipiani si dicono facce.

DEFINIZIONE DI DIEDRO

Figura 23

Diciamo poi che: n un diedro piatto eÁ un diedro le cui facce sono semipiani opposti; due diedri la cui somma eÁ un diedro piatto si dicono supplementari; n un diedro giro eÁ un diedro in cui le facce sono semipiani coincidenti e che contiene tutti i punti dello spazio; un diedro che, avendo le facce coincidenti, non contiene altri punti dello spazio oltre a quelli delle facce si dice diedro nullo. Due diedri la cui somma eÁ un diedro giro si dicono esplementari; n un diedro si dice convesso se i prolungamenti delle sue facce non gli appartengono, si dice concavo in caso contrario; un diedro che eÁ minore di un diedro piatto eÁ convesso, un diedro che eÁ maggiore di un diedro piatto eÁ concavo; nel seguito, dove non specificato, saraÁ sottinteso che ci riferiamo a diedri convessi; n due diedri si dicono consecutivi se hanno in comune una faccia e lo spigolo e se le altre due facce si trovano da parti opposte rispetto a quella comune; n due diedri si dicono adiacenti se sono consecutivi e le facce non comuni sono una il prolungamento dell'altra; n si dice semipiano bisettore il semipiano che, uscendo dallo spigolo del diedro, lo divide in due diedri congruenti; n ciascuna delle due parti in cui il semipiano bisettore divide un diedro piatto si dice diedro retto; due diedri la cui somma eÁ un diedro retto si dicono complementari;

Figura 24

n due piani che si intersecano definiscono quattro angoli diedri; i diedri le cui facce sono una il prolungamento dell'altra si dicono opposti allo spigolo. Si verifica che diedri opposti allo spigolo sono congruenti. Diamo ora la seguente definizione. a.

Si dice sezione di un diedro l'intersezione di quel diedro con un piano incidente al suo spigolo. Se il piano eÁ perpendicolare allo spigolo la sezione si dice normale (figura 24a), se il piano non eÁ perpendicolare allo spigolo la sezione si dice obliqua (figura 24b). Si puoÁ dimostrare che: n tutte le sezioni normali di un diedro sono congruenti. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

b.

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

291

Appare dunque naturale definire la misura di un diedro tramite quella delle sue sezioni normali.

DEFINIZIONE

Gli angoli diedri ci consentono di definire due piani perpendicolari (figura 25).

Figura 25

DI PIANI PERPENDICOLARI

Due piani si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro diedri congruenti (e quindi retti).

Gli angoloidi Consideriamo un poligono F ed un punto P che non appartiene al piano di F; immaginiamo ora di tracciare tutte le semirette che, uscendo da P, intersecano i lati del poligono. Esse descrivono una superficie, che si dice superficie piramidale, che divide lo spazio in due regioni distinte (figura 26). Si dice angoloide la parte di spazio delimitata dalla superficie piramidale che contiene il poligono F. Il punto P si dice vertice, le semirette che passano per i vertici del poligono si dicono spigoli e gli angoli formati da due spigoli consecutivi si dicono facce dell'angoloide. Se le facce di un angoloide sono angoli tutti congruenti fra loro, l'angoloide si dice regolare. Diremo poi che un angoloide eÁ convesso o concavo a seconda che il poligono F sia convesso o concavo. Un angoloide prende nomi diversi a seconda del numero di facce che possiede: se ha tre facce parleremo di triedro, se ha 4 facce di tetraedro, se ha 5 facce di pentaedro e cosõÁ via.

DEFINIZIONE DI ANGOLOIDE

Figura 26

I triedri godono di un'importante proprietaÁ che ci limitiamo ad enunciare: n in ogni triedro ciascuna faccia eÁ minore della somma delle altre due e maggiore della loro differenza (figura 27). In un triedro valgono cioeÁ le relazioni: c < ac c c ‡ bc n ab c c > ab n ac

c bc

c ‡ bc c c < ab ac c > ab c bc

c ac

c < ac c c ‡ ab bc c > ac c ab

Figura 27

c bc

La prima parte di questa proprietaÁ dei triedri puoÁ essere estesa ad ogni angoloide; si ha cioeÁ che: n in ogni angoloide ciascuna faccia eÁ minore della somma di tutte le altre. Inoltre si puoÁ dimostrare che: n la somma delle facce di un angoloide eÁ sempre minore di quattro angoli retti.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni. a. Due semipiani che hanno l'origine in comune individuano sempre un solo diedro. b. Due diedri sono consecutivi se hanno lo spigolo e una faccia in comune. c. Due diedri adiacenti individuano un semispazio.

292

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

V

F

V

F

V

F

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

d. L'ampiezza di un diedro si valuta mediante le sue sezioni normali. e. Se due piani sono perpendicolari e P eÁ un punto della retta intersezione, allora tutte le rette per P che appartengono al primo piano sono perpendicolari alle rette per P che appartengono al secondo piano. f. Se due piani  e sono perpendicolari e si intersecano lungo una retta r, ogni retta di  che eÁ perpendicolare a r eÁ perpendicolare anche a : g. La somma delle facce di un angoloide eÁ minore di un angolo giro.

3. POLIEDRI E SOLIDI DI ROTAZIONE

V

F

V

F

V

F

V

F

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 626

3.1 I poliedri Si dice superficie poliedrica la figura che si ottiene dall'unione di n poligoni (con n  4), appartenenti ciascuno a piani diversi, tali che ogni lato sia l'intersezione di due di essi. Si dice poliedro la parte di spazio delimitata da una superficie poliedrica (figura 28). I lati ed i vertici dei poligoni si dicono spigoli e vertici del poliedro, i poligoni stessi si dicono facce; i segmenti aventi per estremi due vertici non appartenenti alla medesima faccia si dicono diagonali. I vertici di un poliedro sono anche i vertici di altrettanti angoloidi, un poliedro puoÁ quindi essere considerato come l'intersezione di tali angoloidi che, per questo, si dicono angoloidi del poliedro; se gli angoloidi sono tutti convessi anche il poliedro lo eÁ. I diedri di questi angoloidi sono i diedri del poliedro. Un poliedro prende il nome dal numero delle sue facce: se ha quattro facce si dice tetraedro, se ne ha cinque si dice pentaedro, se ne ha sei esaedro e cosõÁvia.

DEFINIZIONE DI POLIEDRO

Figura 28

Fra il numero f delle facce, il numero v dei vertici ed il numero s degli spigoli di un poliedro esiste una relazione che prende il nome di relazione di Eulero, anche se la sua scoperta si deve a Cartesio f ‡v ˆs‡2 Ad esempio, un pentaedro ha 6 vertici, 5 facce, 9 spigoli ed eÁ 6 ‡ 5 ˆ 9 ‡ 2.

3.2 Poliedri regolari Un poliedro si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari congruenti ed i suoi angoloidi sono angoloidi congruenti. Mentre nel piano si possono costruire poligoni regolari con un qualsivoglia numero di lati, nello spazio i poliedri regolari sono solo cinque. Vediamo percheÂ. Ricordiamo che la somma delle facce di un angoloide eÁ sempre minore di un angolo giro ed inoltre nel vertice di un poliedro devono concorrere almeno tre facce. Osserviamo allora che, in virtuÁ di queste considerazioni, potremo avere poliedri regolari le cui facce sono triangoli equilateri (infatti 60
3 ˆ 180 < 360 †, Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

293

quadrati …90
3 ˆ 270 < 360 †, pentagoni …108
3 ˆ 324 < 360 †, ma non potremo avere poliedri regolari con facce esagonali …120
3 ˆ 360 che non eÁ minore di un angolo giro) e piuÁ in generale con un numero di lati maggiore di cinque. I poliedri regolari sono dunque i seguenti.

Figura 29

n Il tetraedro che si ottiene facendo concorrere in un vertice tre triangoli equilateri; esso ha 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli (figura 29a). n L'ottaedro che si ottiene facendo concorrere in un vertice quattro triangoli equilateri …60
4 ˆ 240 < 360 †; esso ha 8 facce, 6 vertici e 12 spigoli (figura 29b).

a.

n L'icosaedro che si ottiene facendo concorrere in un vertice cinque triangoli equilateri …60
5 ˆ 300 < 360 †; esso ha 20 facce, 12 vertici e 30 spigoli (figura 29c). n L'esaedro o cubo che si ottiene facendo concorrere in un vertice tre quadrati …90
3 ˆ 270 < 360 †; esso ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli (figura 29d).

b.

n Il dodecaedro che si ottiene facendo concorrere in un vertice tre pentagoni regolari …108
3 ˆ 324 < 360 †; esso ha 12 facce, 20 vertici e 30 spigoli (figura 29e).

Non eÁ possibile costruire poliedri facendo concorrere in un vertice piuÁ di cinque triangoli o piuÁ di tre quadrati o pentagoni. I cinque poliedri regolari sono anche detti solidi platonici a causa del significato simbolico ad essi attribuito dal filosofo greco Platone. Da ultimo accenniamo all'esistenza di numerosi poliedri le cui facce sono poligoni regolari anche se non tutti dello stesso tipo; questi poliedri sono detti semiregolari o archimedei. Un esempio di uso comune di poliedro semiregolare eÁ il pallone da calcio in cui si alternano pentagoni ed esagoni regolari (figura 30).

c.

3.3 Altri poliedri I prismi Consideriamo un poligono F e una direzione non appartenente alla giacitura del poligono. Si dice superficie prismatica indefinita l'insieme delle rette aventi la direzione fissata e che passano per i vertici e per i punti dei lati di F. La parte di spazio delimitata dalla superficie prismatica e contenente il poligono si dice prisma indefinito (figura 31a) e si verifica che:

d.

Le sezioni di un prisma indefinito con piani paralleli sono poligoni congruenti (figura 31b). e. Figura 31 Figura 30

a.

294

b.

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

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Possiamo ora dare la seguente definizione. Si dice prisma la parte di prisma indefinito delimitato da una coppia di piani paralleli.

DEFINIZIONE DI PRISMA

I poligoni individuati dai due piani paralleli si dicono basi del prisma, i parallelogrammi che lo delimitano si dicono facce laterali; altezza di un prisma eÁ la distanza fra i piani delle due basi (figura 32a). Se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi, il prisma si dice retto, in caso contrario si dice obliquo. Un prisma retto i cui poligoni di base sono poligoni regolari, si dice prisma regolare. I prismi si possono classificare in base al tipo di poligono che costituisce le basi: si parla, ad esempio, di prisma a base triangolare, a base quadrangolare e cosõÁ via. I prismi le cui basi sono dei parallelogrammi si dicono parallelepipedi. Se la base di un parallelepipedo eÁ un rettangolo e se il parallelepipedo eÁ retto, si parla poi di parallelepipedo rettangolo (figura 32b); sia le facce che le basi di un tale parallelepipedo sono quindi dei rettangoli. Un particolare parallelepipedo rettangolo eÁ il cubo che, come abbiamo visto, eÁ anche un poliedro regolare. Figura 32

Figura 33

a.

b.

I parallelepipedi hanno le seguenti proprietaÁ: n le diagonali di un parallelepipedo, che sono quattro (in figura 33 AF, BG, CH, DE ), passano per uno stesso punto che le dimezza scambievolmente; n in un parallelepipedo rettangolo le diagonali sono congruenti.

Le piramidi Consideriamo un angoloide di vertice V ed un piano  non passante per V e che incontra tutti i suoi spigoli. Si dice piramide l'intersezione del semispazio individuato da  che contiene V con l'angoloide (figura 34). Il punto V eÁ il vertice della piramide, gli spigoli dell'angoloide sono gli spigoli laterali della piramide, il poligono individuato dall'angoloide sul piano  si dice base della piramide, i triangoli delimitati sulle facce dell'angoloide dai lati della base sono le facce laterali; si dice poi altezza la distanza del vertice V dal piano della base.

DEFINIZIONE DI PIRAMIDE

Figura 34

Diremo poi che una piramide eÁ retta se la base eÁ un poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro eÁ il piede dell'altezza della piramide. Se una piramide eÁ retta e la sua base eÁ un poligono regolare, essa si dice regolare. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

295

Valgono le seguenti proprietaÁ.

Figura 35

n Le facce laterali di una piramide retta hanno tutte la stessa altezza che prende il nome di apotema della piramide (figura 35). n La sezione di una piramide con un piano parallelo alla base eÁ un poligono simile alla base (figura 36); i perimetri del poligono sezione e della base stanno fra loro come le distanze OH e OK del vertice dai loro piani, mentre le loro aree sono proporzionali ai quadrati di tali distanze. n Se una piramide eÁ regolare, le facce laterali e gli spigoli laterali sono tutti congruenti fra loro.

3.4 I solidi di rotazione

Figura 36

Consideriamo una retta r ed un semipiano  di origine r; sia poi ` una linea qualsiasi su ; se facciamo ruotare  attorno a r di un angolo giro, la linea ` genera una superficie che si dice superficie di rotazione (figura 37a). La linea ` si dice generatrice e la retta r asse di rotazione. Consideriamo ora una superficie qualsiasi F su ; la rotazione di  attorno a r di un angolo giro genera questa volta un solido che si dice solido di rotazione (figura 37b). Vogliamo ora descrivere alcune superfici o solidi di rotazione particolari e individuare le loro proprietaÁ; nella nostra trattazione considereremo solo rotazioni di un angolo giro, tale precisazione saraÁ quindi in seguito omessa. Figura 37

Figura 38

a.

b.

Il cilindro Si dice superficie cilindrica indefinita la superficie di rotazione che ha per generatrice una retta parallela all'asse di rotazione. Si dice cilindro indefinito il solido di rotazione che si ottiene facendo ruotare la striscia individuata dall'asse di rotazione e dalla generatrice attorno all'asse di rotazione stessa (figura 38).

DEFINIZIONE DI CILINDRO

Figura 39

Consideriamo ora un cilindro indefinito e due piani perpendicolari all'asse di rotazione; la parte di spazio delimitata dal cilindro indefinito e dai due piani si chiama cilindro circolare retto o, piuÁ semplicemente cilindro (figura 39). Un cilindro puoÁ essere quindi visto come il solido di rotazione che si ottiene facendo ruotare un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati di un angolo giro.

296

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

I cerchi individuati dai piani secanti sono le basi del cilindro, i segmenti di generatrice compresi fra i piani delle basi si dicono anche lati del cilindro; la distanza fra i piani delle basi si dice altezza. Diremo poi che un cilindro eÁ equilatero se la sua altezza eÁ congruente al diametro di base.

Figura 40

Un cilindro ha le seguenti proprietaÁ. n Ogni piano perpendicolare all'asse di rotazione che interseca il cilindro individua cerchi congruenti alle basi; il raggio di uno qualsiasi di tali cerchi eÁ il raggio del cilindro. n L'intersezione fra un piano passante per l'asse di rotazione con il cilindro eÁ un rettangolo (figura 40); in particolare, se il cilindro eÁ equilatero si ha un quadrato.

Il cono Si dice superficie conica indefinita la superficie di rotazione che ha per generatrice una semiretta avente origine in un punto V dell'asse di rotazione. Si dice cono indefinito il solido di rotazione che si ottiene facendo ruotare l'angolo individuato dall'asse di rotazione e dalla generatrice attorno all'asse di rotazione stesso (figura 41a). Il punto V si dice vertice del cono indefinito, l'angolo # formato da una generatrice con l'asse di rotazione rappresenta l'angolo di semiapertura del cono. Consideriamo ora un piano , perpendicolare all'asse di rotazione, che interseca le generatrici di un cono indefinito; la parte di spazio che contiene il vertice e che eÁ delimitata dal cono indefinito e dal piano  si chiama cono circolare retto o, piuÁ semplicemente cono (figura 41b). Un cono puoÁ quindi essere visto come il solido che si ottiene facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti di un angolo giro.

DEFINIZIONE DI CONO

Figura 41

a.

b.

Figura 42

Il cerchio sezione eÁ la base del cono, il segmento di generatrice compreso fra il vertice e la circonferenza di base si dice apotema del cono; il segmento individuato dal vertice e dal centro del cerchio di base rappresenta la distanza del vertice dalla base ed eÁ l'altezza del cono. Diremo poi che un cono eÁ equilatero se l'apotema eÁ congruente al diametro di base. Un cono ha le seguenti proprietaÁ. n I piani perpendicolari all'asse di rotazione che intersecano il cono individuano cerchi i cui raggi AH e BK sono proporzionali sia alle distanze dei rispettivi piani dal vertice (segmenti VH e VK), sia ai segmenti di apotema fra il vertice ed i piani (segmenti VA e VB) (figura 42a) cioeÁ BK : AH ˆ VK : VH ˆ VB : VA.

a.

b.

Figura 43

n L'intersezione di un piano passante per l'asse di rotazione con il cono eÁ un triangolo isoscele (figura 42b), in particolare se il cono eÁ equilatero, il triangolo eÁ equilatero.

La sfera Si dice superficie sferica la figura generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza attorno alla retta del diametro; si dice sfera il solido generato dalla analoga rotazione di un semicerchio (figura 43). Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

DEFINIZIONE DI SFERA

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

297

Il centro della semicirconferenza eÁ il centro della sfera; si dice raggio la distanza del centro da uno qualunque dei punti della superficie sferica, diametro il segmento passante per il centro che ha per estremi due punti della sfera. Individuiamo le proprietaÁ di questa figura. n Una retta ha in comune con una superficie sferica due punti, un solo punto o nessun punto a seconda che la sua distanza dal centro della superficie sia minore, uguale o maggiore del raggio (figura 44). Figura 44

n Un piano ha in comune con una superficie sferica (figura 45): l

l

l

una circonferenza se la sua distanza dal centro eÁ minore del raggio; si dice in questo caso che il piano eÁ secante rispetto alla sfera un punto se la sua distanza dal centro eÁ uguale al raggio; si dice in questo caso che il piano eÁ tangente rispetto alla sfera nessun punto se la sua distanza dal centro eÁ maggiore del raggio; si dice in questo caso che il piano eÁ esterno rispetto alla sfera.

Figura 45

n Ogni piano che passa per il centro si dice piano diametrale. n Ogni piano diametrale individua sulla superficie sferica una circonferenza che ha lo stesso centro e lo stesso raggio della superficie sferica stessa. n Ogni altro piano non diametrale individua circonferenze aventi raggi minori di quello diametrale.

VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Fra i poliedri regolari: a. il tetraedro ha come facce 4 triangoli equilateri

298

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

V

F

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

b. l'ottaedro ha come facce 8 quadrati

V

F

c. il dodecaedro ha come facce 12 triangoli equilateri

V

F

d. l'esaedro ha per facce 6 quadrati.

V

F

a. Un prisma eÁ retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi.

V

F

b. Un prisma eÁ regolare se lo sono i poligoni di base.

V

F

c. In un parallelepipedo le diagonali sono congruenti.

V

F

d. L'apotema di una piramide esiste solo se la piramide eÁ retta.

V

F

a. Un cilindro retto ha sempre come altezza il segmento che ha per estremi i centri delle circonferenze di base.

V

F

b. Sezionando un cilindro con un piano si ottiene sempre un rettangolo.

V

F

c. Se la sezione di un cilindro con un piano passante per l'asse di rotazione eÁ un quadrato, il cilindro eÁ equilatero.

V

F

d. L'apotema di un cono esiste solo se il cono eÁ retto.

V

F

e. Un cono eÁ equilatero se la sua sezione con un piano passante per il vertice e per l'asse di rotazione eÁ un triangolo isoscele.

V

F

2. Stabilisci il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni.

3. Stabilisci il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni.

4. MISURE DI SUPERFICI E DI VOLUMI 4.1 La misura delle superfici Sappiamo come calcolare le aree delle superfici di alcuni poligoni e di quella del cerchio; poiche le facce dei poliedri sono poligoni appartenenti ad un piano e le superfici di alcuni solidi di rotazione si possono assimilare a figure piane, non avremo difficoltaÁ a calcolare le aree delle superfici della maggior parte dei solidi che abbiamo studiato. Nel seguito, indicheremo con S` l'area della superficie laterale, con Sb quella di base, con St quella della superficie totale.

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 627 Figura 46

Il prisma La superficie laterale di un prisma retto eÁ costituita da tanti rettangoli aventi tutti la stessa altezza (in figura 46a abbiamo rappresentato lo sviluppo di un prisma retto a base pentagonale), la sua area si ottiene quindi moltiplicando la misura del perimetro di base, che indicheremo con 2p, per quella dell'altezza h; la superficie totale si ottiene poi sommando a quella laterale le aree delle due basi. S` ˆ 2p
h

a.

St ˆ S` ‡ 2Sb

Nel caso particolare del parallelepipedo rettangolo, indicando con a e b le misure delle dimensioni del rettangolo di base e con h quella dell'altezza, si ha che (figura 46b): S` ˆ 2h…a ‡ b† Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

St ˆ 2h…a ‡ b† ‡ 2ab

b.

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

299

Un'altra formula da ricordare relativamente al parallelepipedo rettangolo eÁ quella che esprime la misura della diagonale d in funzione delle dimensioni a, b e h (figura 46c): p d ˆ a2 ‡ b 2 ‡ h2

Figura 46c

La piramide

La superficie laterale di una piramide eÁ costituita da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono di base; se la piramide eÁ retta, sappiamo che le altezze di questi triangoli sono tutte congruenti e costituiscono l'apotema della piramide. In questo caso, la superficie laterale si ottiene moltiplicando il perimetro 2p del poligono di base per l'apotema e dividendo il prodotto per 2 (figura 47); per avere la superficie totale basta poi aggiungere l'area del poligono di base: S` ˆ

2p
a ˆp
a 2

Figura 47

St ˆ S` ‡ S b

Il cubo La superficie di un cubo eÁ costituita da sei quadrati che hanno per lato lo spigolo del cubo (figura 48). Se indichiamo con ` la misura di tale spigolo, la superficie del solido eÁ data dalla relazione: S ˆ 6` 2

Figura 48

Il cilindro Lo sviluppo piano della superficie laterale di un cilindro eÁ il rettangolo che ha per base la circonferenza di base del cilindro e per altezza l'altezza del cilindro (figura 49); la superficie laterale e quella totale sono quindi date dalle relazioni: S` ˆ 2r
h

St ˆ 2r
h ‡ 2r 2 ˆ 2r…h ‡ r†

Figura 49

Il cono Lo sviluppo piano di un cono eÁ il settore circolare del cerchio di raggio uguale all'apotema del cono che insiste su un arco pari alla lunghezza della circonferenza del cerchio di base; la superficie laterale e quella totale sono quindi date dalle relazioni (figura 50): S` ˆ r
a

St ˆ r
a ‡ r 2 ˆ r…a ‡ r†

La sfera Se si puoÁ pensare di "distendere" la superficie di un cilindro o di un cono su di un piano ottenendo figure geometriche note, la stessa cosa non si puoÁ fare per la sfera. Si dimostra tuttavia che l'area S di una superficie sferica di raggio r eÁ uguale a quattro volte l'area del cerchio massimo, si ha quindi che:

Figura 50

S ˆ 4r 2

4.2 I volumi Nel piano, per giungere alle formule del calcolo dell'area di un poligono, siamo passati attraverso il concetto di equivalenza. Possiamo seguire un analogo

300

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

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discorso nello spazio, intendendo come estensione di una figura solida la parte di spazio occupata. Diciamo allora che: nello spazio, due figure che hanno la stessa estensione sono equivalenti. Per indicare che due figure dello spazio sono equivalenti diciamo che hanno lo stesso volume; il volume di un solido eÁ quindi la caratteristica comune a tutti i solidi equivalenti. Il confronto fra figure nello spazio per vedere se hanno la stessa estensione, cioeÁ se sono equivalenti, utilizza un assioma che prende il nome di Principio di Cavalieri e che si basa sulle seguenti considerazioni. Prendiamo due solidi che abbiano la base sullo stesso piano  e consideriamo tutti i possibili piani paralleli ad  (in figura 51 ne abbiamo disegnato uno); le sezioni dei due solidi con tali piani possono essere poligoni diversi fra loro, ma se hanno la stessa area, cioeÁ se sono equivalenti a coppie, eÁ logico pensare che la loro sovrapposizione generi due solidi che hanno la stessa estensione. Enunciamo allora il seguente assioma.

DEFINIZIONE DI EQUIVALENZA NELLO SPAZIO

Figura 51

A13. (Principio di Cavalieri). Se due solidi si possono disporre in modo che siano equivalenti le sezioni con ogni piano parallelo ad un piano  fissato, essi sono equivalenti. Vediamo allora come si puoÁ calcolare il volume dei principali solidi. Cominciamo col dire che: n se nel piano abbiamo assunto come unitaÁ di misura delle superfici un quadrato di lato unitario, nello spazio assumiamo come unitaÁ di misura un cubo di lato unitario n se nel piano abbiamo dapprima calcolato l'area di un rettangolo e da quella formula abbiamo poi dedotto quella delle aree degli altri poligoni, nello spazio consideriamo dapprima un parallelepipedo rettangolo e deduciamo da esso le regole per il calcolo dei volumi degli altri solidi. Il volume di un parallelepipedo rettangolo eÁ uguale al prodotto delle misure delle sue dimensioni. Se a, b, h sono misure delle dimensioni del parallelepipedo (figura 52), si ha quindi che

Figura 52

V ˆ abh In base al principio di Cavalieri si puoÁ dimostrare che: n un prisma ed un parallelepipedo sono equivalenti se hanno le basi equivalenti e le altezze congruenti; il volume di un prisma si calcola quindi con la formula V ˆ Sb
h In particolare, il volume di un cubo di lato ` eÁ V ˆ `3 . n una piramide eÁ equivalente alla terza parte di un prisma che ha la stessa baQ ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

301

se e la stessa altezza della piramide; il volume di una piramide si calcola quindi con la formula Vˆ

Sb
h 3

n un cilindro ed un prisma sono equivalenti se hanno basi equivalenti ed altezze congruenti; il volume di un cilindro si calcola quindi con la formula V ˆ r 2
h n un cono eÁ equivalente alla terza parte di un cilindro avente la stessa base e la stessa altezza del cono; il volume di un cono si calcola quindi con la formula V ˆ

r 2 h 3

n una sfera eÁ equivalente al doppio della differenza fra un cilindro ed un cono aventi raggio di base ed altezza congruenti al raggio della sfera; il volume di una sfera si calcola quindi con la formula   1 3 4 3 3 r r : ˆ V ˆ 2 r 3 3

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gli esercizi dalle Gare di matematica

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Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta

302

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I concetti e le regole Rette e piani nello spazio l

l

l

l l

l

Due rette che non hanno punti di intersezione si dicono parallele se sono complanari, sghembe se appartengono a piani diversi due piani sono paralleli se non hanno punti di intersezione; esiste uno ed un solo piano passante per un punto A non appartenente ad un piano  e parallelo ad  due piani o sono paralleli o si intersecano lungo una retta; un fascio di piani paralleli individua su due rette trasversali segmenti proporzionali una retta che non ha punti in comune con un piano o che giace su di esso eÁ parallela al piano una retta incidente ad un piano in un punto P eÁ perpendicolare al piano se eÁ perpendicolare a due delle rette del piano che passano per P; in tal caso essa eÁ perpendicolare anche a tutte le altre rette del piano che passano per P se una retta r eÁ perpendicolare ad un piano  in un punto P e da P esce una retta s perpendicolare ad una terza retta t di , allora t eÁ perpendicolare al piano di r e s (teorema delle tre perpendicolari).

Diedri e angoloidi l

l

l l

l

Due semipiani che hanno l'origine in comune dividono lo spazio in due angoli diedri dei quali uno eÁ concavo e l'altro eÁ convesso ogni piano che interseca un diedro definisce un angolo che rappresenta la sezione del diedro; se il piano eÁ perpendicolare allo spigolo del diedro si parla di sezione normale; la misura di un diedro eÁ la misura della sua sezione normale due piani sono perpendicolari se sono incidenti e formano diedri retti tutte le semirette che, uscendo da un punto P, intersecano i lati di un poligono appartenente ad un piano che non contiene P definiscono una superficie piramidale, la parte di spazio delimitata da una superficie piramidale si chiama angoloide un angoloide che ha tre facce si chiama triedro ed ha la caratteristica che ciascuna faccia eÁ minore della somma delle altre due e maggiore della loro differenza.

Poliedri l

l

l

Esistono solo cinque poliedri regolari: il tetraedro, l'ottaedro e l'icosaedro (le cui facce sono triangoli equilateri), l'esaedro o cubo (le cui facce sono quadrati), il dodecaedro (le cui facce sono pentagoni regolari) tutte le rette fra loro parallele che intersecano i lati di un poligono definiscono una superficie prismatica; la parte di spazio delimitata da una superficie prismatica e da due piani paralleli che la intersecano si chiama prisma, i poligoni definiti dalla superficie prismatica sui piani paralleli sono le basi del prisma; un prisma si dice: ± retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi ± regolare se, oltre ad essere retto, ha le basi che sono poligoni regolari una piramide eÁ la parte di spazio delimitata da un angoloide e da un piano non passante per il vertice dell'angoloide; il poligono sezione eÁ la base della piramide; una piramide si dice: ± retta se il poligono di base si puoÁ circoscrivere ad una circonferenza e se la perpendicolare condotta dal vertice al piano di base cade nel centro della circonferenza; in questo caso le facce laterali hanno tutte la stessa altezza che costituisce l'apotema della piramide; ± regolare se, oltre ad essere retta, il poligono di base eÁ regolare; nelle piramidi regolari le facce laterali sono tutte congruenti.

Solidi di rotazione l

Superficie cilindrica eÁ la superficie che si ottiene facendo ruotare una retta (la generatrice) di una rotazione completa attorno ad un'altra ad essa parallela (l'asse di rotazione); cilindro eÁ la parte di spazio delimitata da una superficie cilindrica e da due piani paralleli che la secano; se i piani sono perpendicolari alle generatrici il cilindro si

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Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

303

l

l

dice retto; se sezionando un cilindro retto con un piano passante per l'asse di rotazione si ottiene un quadrato, il cilindro si dice equilatero superficie conica eÁ la superficie che si ottiene facendo ruotare un lato di un angolo attorno all'altro lato di una rotazione completa; si chiama cono la parte di spazio delimitata da una superficie conica e da un piano secante; se il piano eÁ perpendicolare all'asse di rotazione il cono eÁ retto; se sezionando un cono retto con un piano passante per l'asse di rotazione si ottiene un triangolo equilatero, il cono si dice equilatero superficie sferica eÁ la superficie che si ottiene facendo ruotare una semicirconferenza di una rotazione completa attorno al suo diametro; sfera eÁ la parte di spazio delimitata da una superficie sferica.

Il calcolo delle aree dei poliedri Per calcolare la misura della superficie di un poliedro basta sviluppare tale superficie in un piano e calcolare le aree dei poligoni cosõÁ ottenuti; in questo modo, indicando con Sb l'area della superficie di base, con S` l'area di quella laterale e con St l'area di quella totale, si ottengono le seguenti formule: l

l

l

prisma retto:

St ˆ 2Sb ‡ 2ph

piramide retta: St ˆ Sb ‡ pa St ˆ 6`2

cubo:

Il calcolo delle aree dei solidi di rotazione Gli sviluppi in un piano della superficie laterale di un cilindro e di un cono sono rispettivamente un rettangolo e un settore circolare. Indicando con r il raggio di base, con h l'altezza del cilindro e con a l'apotema del cono, si ottengono le seguenti formule: l l

cilindro:

S` ˆ 2rh

cono:

S` ˆ ra

Relativamente alla sfera si ha che:

Sb ˆ r 2 Sb ˆ r

2

St ˆ 4r 2

St ˆ 2r …h ‡ r †

St ˆ r …a ‡ r †

Il calcolo dei volumi Due solidi si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione. Il principio di Cavalieri enuncia un criterio per stabilire se due solidi sono equivalenti: ± se due solidi si possono disporre in modo che risultino equivalenti tutte le loro sezioni con piani paralleli al piano della base, allora essi sono equivalenti. In base a questo principio si ricavano le seguenti formule per il calcolo dei volumi: l

prisma:

V ˆ Sb h

l

piramide:

V ˆ

l

cilindro:

V ˆ r 2 h

l

cono:

V ˆ

1 2 r h 3

l

sfera:

V ˆ

4 3 r 3

304

1 Sb h 3

Tema 7 - Cap. 1: LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

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ESERCIZI CAPITOLO

I sistemi lineari

SISTEMI E PRINCIPI DI EQUIVALENZA

la teoria eÁ a pag. 11

RICORDA I principi di equivalenza affermano che si ottiene un sistema equivalente a uno dato se: l

l

si sostituisce al posto di una variabile la sua espressione ricavata da una delle altre equazioni (principio di sostituzione); ad una equazione si sostituisce quella che si ottiene sommando membro a membro l'equazione stessa con un'altra (principio di riduzione).

Comprensione 1 L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni si determina trovando: a. l'unione degli insiemi delle soluzioni di ciascuna equazione b. l'intersezione degli insiemi delle soluzioni di ciascuna equazione. 2 Il grado di un sistema di equazioni eÁ uguale: a. al grado dell'equazione che ha grado maggiore b. alla somma dei gradi delle singole equazioni c. al prodotto dei gradi delle singole equazioni d. al m.c.m. fra i gradi delle singole equazioni. 3 Completa le seguenti definizioni: a. un sistema eÁ lineare se ............................ b. un sistema eÁ intero se ............................. c. un sistema eÁ frazionario se ..................... d. due sistemi sono equivalenti se .............. 4 In base al principio di sostituzione, si passa da un sistema ad un altro equivalente se: a. si ricava l'espressione di una variabile da una delle equazioni e la si sostituisce nelle altre b. si sostituisce a una equazione la somma membro a membro di tutte le altre c. si dividono membro a membro due equazioni. 5 In base al principio di riduzione, da un sistema si passa ad un altro ad esso equivalente se: a. ad una delle equazioni si sostituisce quella che si ottiene dividendo membro a membro l'equazione stessa con una delle altre b. ad una delle equazioni si sostituisce quella che si ottiene sommando membro a membro tutte le altre c. ad una delle equazioni si sostituisce quella che si ottiene sommando membro a membro l'equazione stessa con un'altra.  x ‡ 2y ˆ 1 stabilisci se sono corretti i seguenti passaggi in base ai principi di 6 Dato il sistema 4x y ‡ 5 ˆ 0 equivalenza: Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

305

a. b. c. d.









x ˆ 1 2y y ˆ 4x ‡ 5

!

x ˆ 1 2y y ˆ 4x ‡ 5

!

4x ‡ 8y ˆ 4 4x y ‡ 5 ˆ 0

!

x ‡ 2y ˆ 1 8x 2y ‡ 10 ˆ 0

!





x ˆ 1 2y 1 2y ˆ 4x ‡ 5 x ˆ 1 2y y ˆ 4…1 2y † ‡ 5





7y ˆ 9 4x y ‡ 5 ˆ 0 9x ‡ 9 ˆ 0 x ‡ 2y ˆ 1

V

F

V

F

V

F

V

F

7 Quali delle seguenti operazioni effettuate su un sistema non ne fanno ottenere uno equivalente? a. Si cambia l'ordine con cui sono scritte le equazioni. b. Si moltiplica solo il primo membro di tutte le equazioni per una costante non nulla. c. Si sostituisce un'equazione con quella che si ottiene moltiplicando membro a membro l'equazione stessa con un'altra. d. Si sostituisce la prima equazione con quella che si ottiene sommandola membro e membro alla seconda.

Applicazione 8 Indica quali fra le seguenti coppie …x, y † sono soluzioni dell'equazione x 9y ‡ 7 ˆ 0:     1 1 a. …2, 0† b. …2, 1† c. 2, d. 4, 2 3

‰b:, d:Š

9 Indica quali fra le seguenti coppie …x, y † sono soluzione dell'equazione 3x 2y ˆ 1 :     1 1 ,0 d. …1, 1† c. a. …2, 3† b. 0, 2 3

‰b:, c:Š

10 Sostituisci al parametro reale k un valore che completi la coppia in modo che essa sia soluzione dell'equazione data. … 1, k † …k, 2† …0, k † a. x 3y ‡ 7 ˆ 0 b. 2x ‡ 5y c. 1 x 2

1ˆ0

2y ‡ 4 ˆ 0

… 2, k †

…k,

… 3, k †

…6, k †

3†

…1, k †

…k, 2† 

a: 2,

1, 7 ; b: 1, 8, 3

11 Determina il grado di ciascuno dei seguenti sistemi:   2  3 x‡y ˆ7 x ‡ y2 ˆ 1 x ‡ y2 ˆ 1 b. c. a. 2 x 2y ˆ 6 x‡y ˆ4 x ‡y ˆ4

d.



1 ; c: 5 , 7 , 0 5 4 2



x3 ‡ y 2 ˆ 0 x ‡ y ˆ 14

12 Determina, se esiste, il valore di n (con n 2 N) in modo che il sistema abbia il grado assegnato:   2 3x y ‡ 2 ˆ 0 x ‡ y2 ˆ 1 grado 1 grado 6 b. a. n xny ‡ x ‡ y ˆ 3 xy 3ˆ0 c.

306



2x 3 ‡ y 2 3x ˆ 0 xy n ‡ 1 ˆ 0

grado 5

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

d.



x ‡ 2y n ‡ 3 ˆ 0 5x ‡ 2y ‡ 1 ˆ 0

grado 3 ‰a: 2; b: 0; c: 6 9n; d: 3Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 Individua fra i seguenti sistemi quelli interi e quelli frazionari determinando anche il loro dominio: 8 8 8 y 7 > > > > x 5y ˆ7  x‡ ˆ 4 y ˆ0
> x yˆ0 :x 2 y ˆ 2 :x y ˆ2 > ˆ1 : 3y 3 3 14 Dato il sistema

a.

8

 

:y ˆ 4 6
1 yˆ1 2

25



26



x 3y ˆ 1 2x ‡ 5y ˆ 13 2x ‡ y ˆ 3 4x ‡ y ˆ 4

8 < 2…x ‡ y† ˆ 9 27 :1x y ˆ3 2

308

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI



6x ‡ 5y ˆ 1 3x ‡ y ˆ 2

8

> x 1 y > : ˆ 3 b b‡1

148

3

1†g;

‰ 8a 2 R : S ˆ f…2a

5a ‡ 8



2 : S ˆ f…a 2, 2†g; 2 : sistema indeterminato

‰8a 2 R : S ˆ f…a

2

144

147

  se a 6ˆ 0 : S ˆ …a, a 1† ; se a ˆ 0 : sistema indeterminato

8 x‡k > >

> : 2y 1

k ˆx k

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

1 ^ b 6ˆ

9:Sˆ



3…b ‡ 1† b‡9

4b , b‡9

1 : il sistema perde significato;

2



6 se k 6ˆ 2 ^ k 6ˆ 1 ^ k 6ˆ 3 ^ k 6ˆ 0 : S ˆ 6 k 6 6 se k ˆ 2 _ k ˆ 1 : il sistema perde significato; 6 6 6 se k ˆ 3 : S ˆ 1; 4 se k ˆ 0 : sistema indeterminato

k 3

,

k 3

 3 ;7 7 7 7 7 5

 3 ;7 7 k 7 7 7 7 7 5

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

149

150

8 x > >

> :

y

x a‡1

a

1

8 y x > >

> :

2

153

8 >
:

8 > > >
> > :x

1

1ˆ

 3 se m 6ˆ 1 ^ m 6ˆ 0 : S ˆ …2, 1† ; 7 6 4 se m ˆ 1 : il sistema perde significato; 5 se m ˆ 0 : sistema indeterminato 2

x†

y …b 2 † 2 …1 b †

"

y 1‡b ˆ b 1 b

155

2 > > :x ˆ a

y 3x ˆ 2 a a a‡1 a

a

#  se b 6ˆ 1 : S ˆ …1, b† ; se b ˆ 1 : il sistema perde significato

  3 1 1 se a ˆ 6 0 ^ a ˆ 6 1 : S ˆ , ;7 6 1 a a 1 7 6 7 6 7 6 5 4 se a ˆ 0 : il sistema perde significato; 2

8 1 x > > < a ˆy 154 > > : 1 ‡ y ˆ x ‡ 2y a 8 x > >

> : x ‡ y ˆ2 a 1 a‡1

Il sistema eÁ frazionario e letterale: l

determiniamo il dominio:

l

condizioni iniziali sul parametro:

x 6ˆ y ^ x 6ˆ

a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ

y 1

Liberando le equazioni dai denominatori e svolgendo i calcoli si ottiene il sistema equivalente:  x…a 1† ‡ y…a ‡ 1† ˆ 2…a2 ‡ 1† x…a ‡ 1† ‡ y…a 1† ˆ 2…a2 1† Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

323

Applicando la regola di Cramer si ottiene:
ˆ

4a


x ˆ

4a…a

1†


y ˆ

4a…a ‡ 1†

Affinche il sistema sia determinato deve essere
6ˆ 0, cioeÁ nel nostro caso a 6ˆ 0:  xˆa 1 l se ! S ˆ f…a 1, a ‡ 1†g a 6ˆ 0: y ˆa‡1 Confrontiamo la soluzione con i valori esclusi dal dominio x 6ˆ y

x 6ˆ

a

a

1 6ˆ a ‡ 1

y

1 6ˆ

a

1

a 6ˆ 0

8a

La soluzione trovata eÁ dunque sempre accettabile nell'ipotesi in cui a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1.

157

l

se

a ˆ 0,
x ˆ 0 ^
y ˆ 0,

il sistema eÁ quindi indeterminato

l

se

aˆ1 _ aˆ

il sistema non ha significato.

1,

ESERCIZIO GUIDA 8 a 1 > >

> :

a ˆ 1 3x ‡ a 5y

Il dominio del sistema eÁ ......... Non ci sono condizioni iniziali sul parametro a. Liberando le equazioni dai denominatori e svolgendo i calcoli si ottiene il sistema Completa adesso i vari passaggi: ˆ :::::::
ˆ

Procedi alla discussione: l

se a 6ˆ ::::

risolvendo il sistema si ottiene



x ˆ ::::::: y ˆ :::::::

e dal confronto con il dominio si deduce che ................. l

se a ˆ ::::

il sistema eÁ ...........

8 a…x 1† > a 1 > > < 2…x ‡ y† ˆ 2 158 > > x a > ˆ : 2x y 2a ‡ 1 159

324

8 2 > < …a

1 †x


y ˆ

ˆ :::::::


x ˆ





x ‡ ay ˆ 3a 3x 5ay ˆ a ˆ :::::::

se a 6ˆ 0 : S ˆ f… 2a, 1†g; se a ˆ 0 : sistema indeterminato



  3 1 ^ a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ a2 , a se a ˆ 6  ;7 6 2a 1 1 2a 2 7 6 7 6 7 6 1 : il sistema perde significato; 7 6 se a ˆ 7 6 2 5 4 se a ˆ 0 _ a ˆ 1 _ a ˆ 1 : S ˆ 1 2 2

2

…a ‡ 1† ˆ …1

> : x ‡ 2a ‡ 1 ˆ a ‡ 1 y a 1 y …a 1†

a†…1 ‡ a†y

Tema 1 - Cap. 1: I SISTEMI LINEARI

3 se a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 2 : S ˆ 1; 7 6 5 4 se a ˆ 1 : il sistema perde significato; se a ˆ 1 _ a ˆ 2 : sistema indeterminato 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

160

8 4 12 > > < ax ‡ y ˆ y ax

2

> 2 > : ax ‡ y 3 ˆ y ax ax y

8 x 1 y 1 5 > > < a ‡ 3 ‡ 2 a ˆ a2 ‡ a 6 161 > 2a ‡ 1 > : ˆ1 x‡y 8 1 a > > < x 2a ˆ a y 162 > > :y ˆ1 a 8 2 2 > …y ‡ a ‡ 1† ˆ x 2 < …x a 1† 163 y x ‡ 2a > : ˆ y a‡1 x‡a‡1

 se a ˆ 6 0 : S ˆ 6 4 se a ˆ 0 : S ˆ 1

 3 1,2 ; 7 a 5

3  1 6 se a 6ˆ 2 ^ a 6ˆ 2 ^ a 6ˆ 3 : S ˆ …a ‡ 3, a 2† ; 7 7 6 7 6 7 6 se a ˆ 2 _ a ˆ 3 : il sistema perde significato; 7 6 7 6 5 4 1 : sistema indeterminato se a ˆ 2 2

"

y2

se a 6ˆ 0 : S ˆ 1; se a ˆ 0 : il sistema perde significato 

#

  se a 6ˆ 1 : S ˆ … a, a† ; se a ˆ 1 : sistema indeterminato

I SISTEMI LINEARI CON PIUÁ DI DUE EQUAZIONI

la teoria eÁ a pag. 30

Comprensione 164 In un sistema di tre equazioni in tre incognite, sommando membro a membro le prime due si ottiene la terza. Del sistema si puoÁ dire che: a. eÁ indeterminato b. eÁ impossibile c. eÁ determinato d. non si puoÁ dire nulla senza continuare la risoluzione del sistema. 8 0. s   1 … 8†
93 Del radicale si puoÁ dire che: 2 a. non esiste in R0‡

b. eÁ uguale a 2

c. eÁ uguale a

d. eÁ la stessa cosa di

2

p 8


r 1 2

p 94 Per elevare a potenza m il radicale a k si deve: a. moltiplicare per m l'indice della radice b. moltiplicare per m l'esponente k del radicando c. moltiplicare per m sia l'indice della radice che l'esponente del radicando. Quale di queste affermazioni eÁ corretta?

350

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

95 L'espressione  p 3 a. ax 2

q 3 …ax 2 † eÁ uguale a: p  6 b. a3 x 6

c.

p  6 ax 2

d.

p a3 x 6

p
2 96 Sviluppando la potenza del seguente binomio 1 2 3 si ottiene: p p p a. 13 b. 13 4 3 c. 7 4 3 d. 13 2 3

Applicazione Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali. 97

ESERCIZIO GUIDA a.

p p p p 3
5 ˆ 3
5 ˆ 15

p p p p b. 2a
9b : 4ab ˆ 2a
9b : …4ab† ˆ 98 99 100 101 102 103 104 105

p p 5
7; p p 14
56; p p 8
2; p p 25 : 5; r r 10 15 : ; 7 14 p p3 p3 xy
x
y ; p p x3y : x2y ;

r r r 1
2
1 ; a a 2

p p 106 6xy : 2x ;

r r y x p 107 ;
y: x y

r r r 1 a6 b b ; 108
: 6 a 5 5a4 109

s r 2a
9b 9 ˆ 4a b 2 2

p p 50
2 p p 32
2 p p 5
125 p p 24 : 6 r r 12 6 : 5 25 p p p2 xy : y
xy r p 1 a2 : a r r r 3
1 x2
x 15 2

p  35; 10 ‰28; 8Š

‰4; 25Š p  5; 2 "r #  4 ; p 10 3  2 2  x y ; xy

p p x ; a3

"

1; a

r# x 10

" r# p 3y ; b a "r r# x2 ; 1 x y

r r a a2 : b2 b r! p p 1 2x

4x 8x 3

"

r r r 4
9 p 1 2 2 a
3b : ab 9 4 2

r# 6 a; ab 2

ESERCIZIO GUIDA r r r x2 2x 2 3x 2 : 18x ‡ 9
2 3x x 4x ‡ 4x ‡ 1 s r r …2x ‡ 1†…x 2† x2 x Scomponiamo i radicandi: : 2
… 3x 9 2x ‡ 1† …2x ‡ 1†

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

351

Scriviamo il prodotto e il quoziente in un'unica radice:

Eseguiamo il calcolo del radicando:

110 111

112

113 114 115

s …2x ‡ 1†…x 2† x2 x : 2
3x 9…2x ‡ 1† …2x ‡ 1†

s …2x ‡ 1†…x 2† 3 9 …2x ‡ 1† p x2
ˆ 3x 6 2
3x x …2x ‡ 1†

r r r 1‡a a2 ‡ 1 ‡ 2a 4
: 2 a 2 a2 r r a‡2 a2 5a ‡ 4
a 4 a‡2 r r r x 4 2x 3 y ‡ x 2 y 2 x 2 ‡ 2x ‡ 1 x

3 x‡1 x x 3 3x 2 y ‡ 3xy 2 y 3 r r! r a b a2 ‡ ab ‡ b 2 a2 b 2 : : 2 2 3 2 2 a ‡ 2ab ‡ b a ‡ a2 b ‡ ab2 a ‡ 2ab ‡ b p  x 3  p p p
x ‡ 2 : x2 9 2 x ‡ 4 ‡ 4x p 4a 4 1 p p 2 2a 1
2a2 ‡ 1

2s3 4

r r r x 1 x2 1 x 1 119 :
2 x ‡ 4x ‡ 3 x‡3 x‡3 r r a2 ‡ b 2 2ab a
120 a2 a b s s 4 2 …a5 ‡ b5 † …a5 ‡ b5 † : 121 8x 3 32x 5

r r x2 y2 x 2 2xy ‡ y 2 : 122 xy xy r r r a ‡ 2b a 2b a3 ‡ 2a2 b
123
2 2 4b a a ‡ 2b a r r r 2…x ‡ 1† 4x 3 x 3 ‡ 3x 2 ‡ 3x ‡ 1 :
124 x 2 ‡ 2x ‡ 1 x2 1 x3

352

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

p a 1

"r# x‡1 x y "r# a a‡b "r # 1 x 2 ‡ 5x ‡ 6

‰1Š "r# bx 3a

p p 3ax : 9ab 116 p p 8a2 x : 8ab2 x

r r s3 …x y† x 3 y 3 3x 2 y ‡ 3xy 2 x‡y
117 : x 2 ‡ y 2 ‡ 2xy x 2 ‡ xy x r r r x2 ‡ x 2 x‡1 x‡2 118

x‡1 x 1 x‡1

3

…a ‡ 1† 5 8

‰1Š 2s3 4

2

…x ‡ 2† 5 x‡1

"r# x 1 x‡3

"r# a b a

‰2x ja5 ‡ b5 j Š "r # x‡y x y p a

hpi 2…x 2 1† Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

125

r r! r x‡a x 2 ‡ 2ax ‡ a2 x‡a :
x a x x 2 …x a†

r r 2x 1 1 126
x‡2‡ : x‡1 x 127

p 4x 2 4x ‡ 1 :

p x

r! 2x 1 x2 ‡ x

  1 x

p p
p p
x 2 ‡ 2x ‡ 1
x ‡ 1 x 3 ‡ 3x 2 ‡ 3x ‡ 1
x 2 ‡ 2x ‡ 1 :

‰x ‡ 1Š

Calcola le potenze indicate. 128

ESERCIZIO GUIDA a.

p
2 p 7 ˆ 72 ˆ 7

p
2 3 ;  4 1 p 3 ; 130 2 129

131

132 133 134

p
3 2 2 ;

r!4 2 5 5 2

p
4 2x x ;

p
2 x‡y ;

p
3 q3 p 2x ˆ …2x † ˆ 8x 3

b. p
2 2 3 ;  2 3 p 2 ; 4  

1 p 2 2 1 p 2 2

2 5

;

;

 p2 y 3y 2 ;

p6 y2 1 ;

p
3 6  3 2 p 5 5 





1 3

1 p 3 3



 p 2 1 3

2

p
2 a ab

p
4 1 a

 p 3; 12; 216

 9 9 8 p 125 ; ; 16 8 125



  p 1 4 8 8; ; 2 3

4 1 p 1 32; ; 25 32 3



  16x 6 ; 3y 4 ; a3 b

 x ‡ y; …y 2

3

1† ; …1

2

a†



CORREGGI GLI ERRORI 135 137 139

 p p p 4 3
5 ˆ 15 p p x
y ˆ xy

p
2 2 3x ˆ 6x

p 5 1 136 p ˆ 3 15 r q r a a3 a2 ˆ 138 : 2 a 1 a‡1 a 1 r!3 a x a3  x 3 1 140 ˆ 3
ˆ x x 2a 2a 8

Trasporto dentro e fuori il simbolo di radice RICORDA Á essere portato sotto il simbolo di radice quadrata elevandolo al quadrato: n Un fattore esterno positivo puo p p a b ˆ a2b

Á negativo si trasporta all'interno il suo valore assoluto e si lascia il segno negativo all'esterno: Se il fattore e p p 3 xˆ 9x

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

353

Á essere portato fuori dal simbolo di radice solo se ha un esponente maggion Un fattore del radicando puo re o uguale a 2 (indice della radice); nel trasporto occorre tenere presente il segno del fattore: p p x 2 y ˆ jx j y

Comprensione p 141 Dato il radicale 3 2, trasportando il fattore esterno sotto il simbolo di radice si ottiene: p p p p a. 6 b. 18 c. 11 d. 5 1 p Á 142 Il radicale 12 e equivalente a: 6 143 Il radicale

p 450 eÁ uguale a:

p a. 2

p a. 10 45

p b. 3

r 1 d. 3

p c. 432

p b. 15 2

p d. 6 15

p c. 9 10

r 8a5 b3 , trasportando i possibili fattori fuori dal simbolo di radice si ottiene: 144 Dato il radicale 9x r r r 2 2 2ab 2ab 2 2 j j 2ab 2 a2 b p 2 a. a b 2ab b. 2a b d. c. a b 3 x 9x 3 x 3 x

Applicazione Trasporta sotto il simbolo di radice i fattori esterni supponendoli positivi se letterali. 145

ESERCIZIO GUIDA p p p a. 5 3 ˆ 52
3 ˆ 75

p 146 5 2; p 147 2 2;

r 1 2 ; 2 5 r 149 3a
1 ; 3 148



2‡

1 p 4x ; 150 4 151

1 p 6; 2

x ‡ 2y
152 x 2y 153

354

s 2y 2; …x ‡ 2y†

b.

1 p 8ˆ 6

r r r 1 8 2
8 ˆ ˆ 62 36 9

1 p 8; 2 r 1 6 ; 3  r 1 2 3 ; 6 17 p 3 6;

 r 1 1 1‡ 1‡ ; 3 2   4 p 6; 1 3 2…x

r 1 y†
4x 2 4y 2

p 1
3…a2 ‡ 4ab ‡ 4b2 † a ‡ 2b Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

c. 2a


r r x x p ˆ 4a 2
ˆ 4ax a a

2 p 6 3  r 4 1 5 5 2 r 1 5 5  r 1‡3 1 1 2 4 5 p 3 2

 2

3 2

r 1 1 3

2s 3 r 2y x y 4 5 2; x‡y …x 2y†

p 3

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

154 …4a2 ‡ 1 155



2s3

r 1 4a†
2a2 ‡ 3a 2

x y 1‡ ‡ x y

3

…2a 1† 5 a‡2

4

2s3 2 2 4 xy ‡ x ‡ y 5 x 2 y 2 …x y†

 r 1
x3 y 3

Trasporta sotto il simbolo di radice i fattori esterni letterali dei quali, non si conosce il segno. 156

ESERCIZIO GUIDA p a. x 4 x

Per l'esistenza del radicale deve essere x  0; il fattore esterno eÁ quindi positivo o nullo. Si ottiene p p percioÁ: 4 x 4
x ˆ 4 x 5 p b. a 3 a2 Il radicando eÁ sempre positivo o nullo per qualsiasi valore di a; distinguiamo quindi due casi:  p p  3 3 l se a  0 : a
a2 ˆ 3 a5 q p 3 3 l se a < 0 : … a†
a2 ˆ a5 p 1† x 1

157 …x 158 2x
159 a


r 5 ; 2x

161

r 1 a r 1 2x
2x 2

1 x

1

p 1 † a;

p xy
y

q 2 … x 1† ;

r b bx
x

p p a3 ; x > 0 : 2, x < 0 :

2

q 2 1 1 6 a  2 : a…2a 1† , 0  a < 2 : 4 p p x2y 3 x  0 : x2y 3, x < 0 :

h

b0:

 p 3 4 5 a b ,b 1 : 1, x < 1 :

r 1 2b
2b

p  3 162 ab
ab 2 ; 163

p p 10x ; a3

a2


p a;

160 …2a

q q 2 3 …x 1† ; a…a ‡ 1†

p …a ‡ 1† a

1;

 p 3 a4 b5 ; b 6ˆ 0 :

p b3 x pi 2b

ESERCIZIO GUIDA …x

p 1† x ‡ 2

Per l'esistenza del radicale deve essere

x

2.

In tale ipotesi il fattore esterno eÁ: l

l

positivo o nullo se x  1 e in quanto caso il radicale diventa: negativo se

2  x < 1 e in questo caso il radicale diventa:

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

q 2 …x 1† …x ‡ 2†

q 2 …x 1† …x ‡ 2†

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

355

2

r 3 b2 4

"

2

r 12 a2 a 2

"

r x‡2 x

"

164

b

165

a

166

1 x‡2

3

6

r b 2 ,b< b>2: 3…b ‡ 2† r a 2 ,a< a>2: 3…a ‡ 1† x

2:

2:

r# b 2 3…b ‡ 2†

1:

r# a 2 3…a ‡ 1†

r r# 1 1 ,x>0: x…x ‡ 2† x…x ‡ 2†

Trasporta fuori dal simbolo di radice tutti i possibili fattori. 167

ESERCIZIO GUIDA a.

b.

168 169 170 171 172 173 174 175 176

p 25
3

Possiamo portar fuori dalla radice il fattore 2 ma non il fattore 3 che ha esponente 1. p p p Fattore 25 ! 5 : 2 ˆ 2 con resto 1, quindi 25
3 ˆ 22 2
3 ˆ 4 6

p 162

p Scomponiamo in fattori il radicando: 2
34 Possiamo portar fuori dalla radice il fattore 3 ma non il fattore 2:

p 54
7; p 25
33 ; p 108; p 68; p 200; p 72; p 99; r 9; 8

p 5
27 ; p 55
33 ; p 7056; p 171; p 27; p 75; p 1250; r 135 ; 64

p 28
3 p 52
25 p 124 p 180 p 500 p 24 p 288 r 128 9

32


p p 2ˆ9 2 

p p p 25 7; 8 10; 16 3

 p p p 12 6; 75 15; 20 2  p p  6 3; 84; 2 31

 p p p  2 17; 3 19; 6 5

 p p p  10 2; 3 3; 10 5  p p p  6 2; 5 3; 2 6

 p p p  3 11; 25 2; 12 2 " r #  8 p 3 1 ; 3 p 15; 2 2 2 8 3

ESERCIZIO GUIDA r r 4 2 3 22 2 3 ax ax ˆ 5 5 Per l'esistenza del radicale deve essere x  0; il fattore a puoÁ invece assumere qualsiasi valore reale. r 1 x Trasportiamo fuori dal simbolo di radice il fattore numerico 2 e i fattori letterali a e x : 2ax
5 Del fattore a non conosciamo il segno e quindi, affincheÁ il radicale ottenuto sia uguale a quello dato dobbiamo considerarne il modulo; in definitiva: r r 4 a2 3 1x x ˆ 2jajx
5 5

356

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

177 178

p b5 ;

p 8a5 b2 c 7 ;

q 2 179 12…a b† ; r 2ab ; 180 9c 2 r 5 54 181 …x y† ; 8 182

q 3 80a3 …a ‡ 1† ;

p a7 ;

p 125a6 b7 c 11 ;

r 32x 5 ; y4 p 18…a2 ‡ b 2 ‡ 2ab†

p x3y 5

p a3 bc 5 r x2y 5 z8

h p p i p b2 b; a3 a; jxjy 2 xy

h p pi p 2a2 jbc 3 j 2ac ; 5ja3 jb3 c 5 5bc ; jajc 2 abc  2ja



1 p a5 b 8 ab r 20a3 b 2 a ‡ 1 2a

 p 4x 2 p jxjy 2 p y bj 3; 2 2x ; y z4  p 1 p 2ab; 3ja ‡ bj 2 3jcj

3 x … 2

y †2

 p p 3…x y†; ab 3 a

 p p 4a…a ‡ 1† 5a…a ‡ 1†; 2 a 5ab a 1

CORREGGI GLI ERRORI p p 5 ˆ 5x 2 p q 2 185 x ‡ 2 3 ˆ …x ‡ 2†
3 183 x 2


187 189

p p 3 3 ˆ 27

p p p p 2
5 ˆ … 2†… 5† ˆ 10

p p 184 3 2 ˆ 32
22

p p 186 …a ‡ b† 5 ˆ 5…a2 ‡ b 2 † p p 22
7 ˆ 4 7 p p 190 5a2 b4 ˆ ab2 5 188

Calcola le potenze indicate portando anche fuori dal simbolo di radice tutti i possibili fattori.  3  3   p 5 p 3 p 125 p 2; 27 2 191 2 ; 2 ; 4 4 2 2 ! "  6 r 3 r# 1 p 3 a 1 27 a b 2 192 7 ; b 1 ; b …a b† 343 8 b 7 2 b " # r!3 r!5 r p x 2y 1 …a b† 2 1 a b …a b† ; …x 2y† x 2y ; 2 193 4 2 2 4 r!3 h pi p p 5 a2 b 2 2 194 … x y † ; …x y† …x y†; …a b† a b …a ‡ b† 0s14   2 p
3 p …x y †4 @ …x y† A 3 2 195 2ab ; 2ajb j 2a; x2 x ! ! " 2 5 r r r# 2 2 196 2 3 3 : 2 3 3 0 1 2 "r# r!3 s2 x‡y @ …x ‡ y† A 2 : 197 x‡y 4 2 " r!3  p 2 r# 3a 1 3a 1 1 1 198 : p 3a 1 3a ‡ 1 9a2 1 3a ‡ 1

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

357

199

r!3 p p
2 8x 3 27 4x 2 9 : 4x 2 12x ‡ 9
4x 2 ‡ 6x ‡ 9

h pi …2x ‡ 3† …2x 3†

Addizione e sottrazione RICORDA n Due radicali quadratici sono simili se hanno lo stesso argomento e differiscono al piuÁ per un fattore esterno: p p l 3 2 e 4 2 sono simili p p l 4 5 e 3 10 non sono simili

Á un radicale simile a quelli dati che ha come coefficiente la somma dei n La somma di due radicali simili e loro coefficienti: p p p p l 6 3 2 3 ˆ …6 2† 3 ˆ 4 3

Comprensione p p p p p 200 Nell'espressione 2 2 2 3 ‡ 6 4 2 ‡ 4 6 sono simili i radicali: p p perche hanno lo stesso coefficiente numerico a. 2 2 e 2 3 p p perche i due fattori radicali sono uguali b. 6 e 4 6 p p perche i due fattori radicali sono uguali c. 2 2 e 4 2 p p p d. 2 2, 2 3 e 4 6 perche moltiplicando i primi due si ottiene il terzo. 201 Sommando i radicali simili dell'espressione p p a. 4 2 4 3 b. 0 202 Sviluppando i calcoli, l'espressione 2 b. 74

a. 0

b. 0

Applicazione

p p 3 3‡4 2 p c. 4 6

p 2

p
2 p
2 3 2 ‡ 3 eÁ uguale a

p p 203 Semplificando l'espressione 2 32 ‡ 2 18 a. 20

p 2

c. 49

p 2 50 si ottiene: p c. 4 2

p 3 si ottiene: p p d. 2 3

d. 1 p d. 2 2

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fra radicali. 204

ESERCIZIO GUIDA p 32

p p 4 18 ‡ 3 50

3 2

r 2 9

Trasportiamo fuori dal simbolo di radice i possibili fattori: p p p p p p 3 1 p
2 ˆ 4 2 12 2 ‡ 15 2 4 2 4
3 2‡3
5 2 2 3

1 p 2 2  p I radicali sono tutti simili, quindi possiamo eseguire la somma: 2 4

358

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

12 ‡ 15

1 2



ˆ

13 p 2 2

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p p p p 205 5 7 2 5 ‡ 3 7 3 5; p p p 206 2 5 3 125 ‡ 4 5†; p p p p 207 2 3 ‡ 4 5 5 ‡ 3; p p p 208 4 3 12 ‡ 27; p 209 4 20

p p 320 ‡ 3 125;

p p p p 210 7 ‡ 4 3 12 49 ‡ 75 p p p p 211 45 ‡ 8 245 ‡ 2 18 r  p p 2 ‡ 5p 32 7 2 212 8 6 9 p p p p 213 150 ‡ 48 384 2 12

p p p 3 2 ‡ 18 50 p p p 27 ‡ 2 3 75 p p p 2‡7 2 2 p p p p 4 2 32 ‡ 18 50 r r r 32 ‡ 8 50 27 27 48

p p p p 3 5 ‡ 24 ‡ 80 294 p p p p 215 250 ‡ 7 12 90 4 48

 p 8 7

p  9 5; 0 h p p
p i 3 3‡ 5 ; 7 2

p
2 2 5

p  p 1 p 50 ‡ 1 200 4 2 2 5 3 p p p p p 217 3 2 50 ‡ 3 8 ‡ 288 9 p p
p p
218 2 3 3 2 2 15 3 10 219 220 221 222 223 224 225 226 227

p p p 15 : 3 ‡ 20 : 2

p 5

p p
p p p
55 ‡ 2 77 : 11 2 7 3   p p
p p 3 6 ‡ 18 : 3 27 : p 2  p p p
p p
p p
27 ‡ 48 75 : 3 1 ‡ 3 3 2‡2 3 r p p p 1 x 3 x ‡ 4x 25x ‡ 81 p p p p 4 a 2 ab ‡ a 7 ab p p p 2a3 b ‡ 2b 2ab 8ab 3 con a, b  0 p 33

p p
p x ‡ y xy

p 2y x

p p x 2y ‡ 4x 8y

p x y

p 36x 72y

r p 1 p 45y 9 5y 1 228 20y 4 ‡ 2 4 p p p 229 a2 ‡ 1 ‡ 9a2 ‡ 9 ‡ 4a2 ‡ 4

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS



 p p  5 3; 2 2 " r# p 3 2 15 5; 4 3

 p  7 3  p p
 4 2 2 5

 p  13 2

p 5

214

216

p p 5 5; 2

 p 2 10 

20

 p 6 5 5



p 3 6

p  5 6

p
2 3 Š

 11 p 2 6  p  8 2 p
 2 6

p 5

 p 3 3

p 5

p 2 ‰ 4Š

 p 5 a

h

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI



1 p x 9



p  9 ab

 p  a 2ab 

p y x

pi 3 x 2y

hpi 5y 1

 p 6 a2 ‡ 1

359

230

p p 48a2 xy ‡ 8 3a2 xy

p 12a2 xy

h

con a  0

pi 10a 3xy

Ricordando anche le regole sui prodotti notevoli, calcola il valore delle seguenti espressioni. 231

ESERCIZIO GUIDA
2 p
2 p 2 2 ˆ 5 2
2
5 ‡ … 2† ˆ 5

p 5

a.

p
2 p
2 3 ˆ

p p
p 2 2‡ 3

b.

c. 1 ‡

2‡

233

1

234

a‡

235

3b

236

p 3a

240 241

p x 1

p
2 3 2 p p
p p
3 5 3‡ 5

p
2 b ;

244

h

1

p 2x  1x 2

p
p
p 3a ‡ 5b ; 5b

3



p x‡2 2


2

p
3 p
3 3 ‡ 1‡ 3

p x

p 3 2

p 2 5

nh 17


p
4 4‡3 2


p
2x ‡ y  p 2 3b

 3a2

i p
2 p : 3 2 3


2
p 1 ‡2 x ‡ 3

p 2 3

1

p 4 3;

p  6 2 2



p p
i a2 ‡ b ‡ 2a b; 2 2a ‡ b ‡ 2 2ab

p
p p
5 2 2 5‡5 2 p 5

 p 6 ‡ 4 2; 19  13

y

1

o2



9b2

5b2 ; 1 x 2 4 

a; 2x 2

y2

p 3 bx ‡ 3b 2

11 p ‡ 6; 4  1; 81

30



 

p 8 5

 18

p  14 2

 57

p  30 3

 p  4 x‡1


3



i p p p
p p p
p 2 5 5 3‡1 3‡ 5 3 1 :2 3 ih
i p p
2 p 2 p p
6 p
2 4 6‡3 2 ‡2 6 2 2‡2 3

p
p
3 3‡ 3 :

h

p p
2 2 a ‡ 2b

p
p
a 3b ‡ a ;

p
2 p 2 ‡ 2 2

h p 3 h p 243 3 242

1

1

 p 2 3 p ‡ 2 ; 237 2 h i p
p p
2 238 2 3 3 2 :6
5‡2 6 ; 1

3ˆ

p 4 5

p
3 p p p
2 p p
3 2 3 2 ˆ …1† ‡ 2 ‡3
…1†
2 ‡ 3
1
2 ˆ 1 ‡ 8 ‡ 3 2 ‡ 6 ˆ p p p ˆ7‡2 2‡3 2ˆ7‡5 2

p
2 2 ; p
2 2 3 ;

232

239

p
2 3 ˆ2

p 4 5‡4ˆ9

p
pi2 2 3 ‡ 3 :2

1


2

 p 3 5

20



‰42Š p  3‡2

Scomponi in fattori. 245

ESERCIZIO GUIDA a.

p 3

p p 6 ‡ 15

Raccogliamo il fattore comune

360

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

p p 3: 3 1

p p
2‡ 5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

p 15

p p 5‡2 3 2 p Raccogliamo 5 tra i primi due termini e 2 tra i secondi due:


p p p 5‡2 Raccogliamo adesso 3 1 : 3 1

b.

246

p p 5 ‡ 10

p 247 x 3 p 248 2 2 p 249 12 250

p 15;

p 2x 6;

p 3

p 6

p 6 ‡ 2; p 18 ‡ 3;

ESERCIZIO GUIDA

4‡ "

…2†

2

Quindi

5‡ " p
2 5

p 2 35;

p 255 a2 ‡ 4a ‡ 4a a; 256 x ‡ 4 257 3

a2 ;

258 3

x2;

259 2x 2 ‡ 3 260 x

hp
i p p
p p 5 1‡ 2 3 ; 3 2 2 3‡1 h p p p p p
p p p
i a 2 a 10 ‡ 2a 6 x 3 1 2 2 ;a 2 1 5‡2 3 h p p p p p
p
p p
p
i 5 3‡ 6 10 2 3 1‡ 2 ; 5 3 1 2 h p p p p p
p p
p p
p p
i 3 6 3 2 ; 2‡ 3 3‡ 5 6 ‡ 10 ‡ 15 ‡ 3

p 3 2

p 6 3‡3

p 2
2
5 p 4 ‡ 5 ‡ 4 5 ˆ :::::

p 1 ‡ 2 ‡ 2; 4 p 254 5 ‡ 1 2 5; 253


1

p 4 5 "

p 251 1 ‡ 8 ‡ 4 2; 252 7 ‡ 5


p 1 ‡2 3

p p 5 3

p 4 x;

p 2 6x;

p 2 xy ‡ y;

9‡2 4 ‡ 50 10 ‡ 3

p
2 i 2 h p p
p
2 i 2 7 5 ; 2 5 2 " # 2  p
2 1 p ; p 10 3 ‡ 2 2 h p
2
2 i p 5 1 ; 2 2‡1

p 6 2

p 20 2

p 2 30

p 8‡1‡4 2

1‡a 2x 2

1

20 ‡ a2 x2

5

6

5x 2

2a ‡ b

p 2 a

p 4 5a

p 2 2ab

h h p 3 h p 2x

h

p
2 1‡2 2 ; 3

h

p
2 a‡2 a ; 1

p
2 a

i


p
i
2 p p x 2 ; 2x 1 2x ‡ 1 h p
p

2 i p 3‡a 3 a ; 2 5 a x

p
p
i 5 x‡ 5 i p
p p
6 ‡ 5x 5x


p
3‡x ; x

p
2 p 3 ; 6 h

p x

p
2 p y ; 2a

p
2 i b

CORREGGI GLI ERRORI p p p 261 2 a ‡ 2a ˆ 4 a
2 p 263 3 1 ˆ3‡1ˆ4 265

p p p x ‡ 2x ˆ 3x

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

p p p p x5 ‡ x ˆ x3 x5 ‡ x x3
p
p 264 2 3 5 2 3 ‡ 5 ˆ 6 25 ˆ
2 p 266 x ‡ 4 ˆ x‡2 262

19

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

361

I RADICALI CUBICI

la teoria eÁ a pag. 56

RICORDA Con i radicali cubici si possono eseguire tutte le operazioni che si eseguono con i radicali quadratici applicando regole analoghe: p  r 3 p p p a 3 a  n Prodotto e quoziente di radicali cubici: 3 a
3 b ˆ 3 ab e p ˆ 3 b b  p 
n p 3 n Potenza di radicali cubici: a ˆ 3 an n Trasporto sotto al simbolo di radice: si eleva al cubo il valore assoluto del fattore esterno lasciando fuori il segno.

Á magn Trasporto fuori dal simbolo di radice: si possono trasportare all'esterno solo i fattori il cui esponente e Á l'esponente del radicando, q e Á il quoziente intero della divisione di m per 3 e r giore o uguale a 3; se m e p p Á il resto della divisione, allora 3 a m ˆ a q 3 a r e

n Addizione e sottrazione: si possono eseguire solo tra radicali simili.

Comprensione 267 Eseguendo il prodotto a. 2

 p p  3 4
3 4 si ottiene: p  b. 3 8

p c. 2 3 2

268 Barra Vero o Falso dando giustificazione alla tua risposta. p p p a. 3 2
3 3 ˆ 3 6 p
2 p b. 3 6 ˆ 3 36 q p 6 c. … 2†2 ˆ 3 2 s r  2 6 3 5 5 ˆ d. 2 2

p d. 2 3 4

269 Barra Vero o Falso: q p 3 …x 2†4 ˆ …x 2† 3 x 2 a. r 3 b. 4 1 ˆ 2 2 p   p p c. 3 16 ‡ 3 2 ˆ 3 18 p p p d. 3 3 ‡ 3 81 ˆ 4 3 3

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Applicazione Semplifica le seguenti espressioni contenenti prodotti e quozienti.  p p  p   p  p 3 3 3 3 384 : 3 16 270 24
12
6;  p p  p 
2 3 3 3 271 9 2
3 2 : 2 2 ;   p  p p  
2 3 3 3 1 272 7
14
2 28 ; 2

362

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

 p  p 
2 p 3 3 3 5: 5
25 r!2 p    p 3 9
33: 3 1 9



 p 12; 3 24    3 27 p ; 5 4

p 28 3 28;

p 933

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

r r  3 1 3 1 p
3 4; 274 2‡
1 2 5 275

276 277

278

279

 p p  p 3 ab4 : 3 ab 2
3 a2 ;

r 3 b2 ; 281 a
a3

1 2 x y
2

r a 282 b
3 6 ; b

r 1 x y
3 5 7; x y

2

283 …a ‡ b†


285

286

 p 2; 2 3 2 p  3 2 2 ab ;a

r r r x 3 8 ‡ x 3 3 x 2 ‡ 2x 3 2 ;

2‡x x 2 2x ‡ 4 4 x2 r r r 3 a3 1 3 a2 ‡ a ‡ 1 3 a ‡ 1 :
3 a ‡1 a2 a ‡ 1 a 1 r r! s2 r 3 …2a b† 3 4a2 ax b 2 3 2a ‡ b 3 :

4a2 4ab ‡ b 2 a a2 x r r! r r! 3 x 2y 3 x 2 4xy ‡ 4y 2 2x 4x 2 : : 3 : 3 x 2y 4x 2 x 2y 2x

Porta dentro il simbolo di radice. r r 3 1 3 1 x; 280 5 ; 2 5 2

284

" r # 3 40 ;3 3

r r p p 3 15 3 12

3 18 : 3 12 2 5 r r p
3 1 3 3 : 2 ‡ 1
3 15 3 2 r r 2 
2 3 a 1 3 a‡1 p :
3a 1 a a ! r 2 r 3 1 3 ‡x‡2 : x‡1 x x

p p p 273 3 150
3 12 : 3 135;

1 3x  x

1‡

3

r 16 3 ; x3y 2

2

r 3 1 a2 ‡ b 2 ‡ 2ab



1 3

4 3 …x



1

2y
xy

" r# 4x 2 3 x 2y

 r 3 1 2 5

r 3 3 ab 2

r 3 1 3y†
x2

" "

p  p  3 25; 3 4x ;

r# 3 25 27

r# 3 32 ab 9 2 s3 r 3 3 …x 4   p 3y† 5 43 a; 3 x ; 2 y x  p p  3 2 b ; 3 2x 3 y ;

h pi 3 a‡b

" r# 3 1 x‡1 2 s3 3 4 3 …1 ‡ y† 5 2 4…1 y†

r x5y 5 3 x 2 ‡ 4y 2 4xy

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS



 p 3 2a b

 r 3 1 y
y 4

Porta fuori dal simbolo di radice.  p p  3 3 287 54; 24;  p p  3 3 288 108; 200; r r 3 162 3 3 16 289 ; 5 ; 4 81 625

 x ‡ 1 p 3  x; p 3 x



‰1Š

r 3 27x 3 1 27x 2 ‡ 9x
1 x‡1 2y

1

h pi 3 x 2 y 2 …x 2y†

p  3 250  p 3 375 r 3 3 2 32



 p  p   p 3 3 3 3 2; 2 3; 5 2

  p p p 3 3 3 3 4; 2 25; 5 3 " r r r# 3 3 1 3 2; 3 3 6; 2 3 5 4

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

363

s   3 12 4
; 5 3

 p 3 290 648; 291 292

p  3 2 3 ab ;

p  3 8x 4 ;

p  3 4 x ‡ x3;

p  3 5 a 4a3 ; s 4 3 …x 2 1† ; 294 x‡1 q 3 3 295 x 4 …y x† ; 293

q 3 4 …a 1† ;

x

y

q 3 2 …x 2 ‡ y 2 2xy†

5 3

p 1† 3 a 1

 p  3 a a2 4; 1

…x

2

 x…y

 p  3 3 1p 27 ‡ 3 2

 2 3 3p 16 298 4 3 r 2 3 1029 299 7 8
3  p 3 300 3 1 301 302 303 304 305 306

 3 1p 24 2  p   3 3 1p 54 2 2   1 3 4p 375 5 5
3  p 3 2 3 ‡ 2 ‡3

  3p 3 250 5    p  3 3 3p 81 3 5  p p
3 7 3‡539

x



q 3 2† …y 2†2

p  3 1† x 1; 2…y

p p x† 3 x ; x 3 x y

Semplifica le seguenti espressioni. p   p p  3 3 3 296 24 ‡ 3 3 2 81 297

r# 3 5 6

  p  p p 3 b a2 ; 2x 3 x ; 2 y 3 2x 2 y 3



q 3 5 8… y 2 †


r 3 2 2; 5

p 6 3 3;

 p  x 3 x ‡ 1 ; …a

 p 3 1 3x ‡ 3x 2 x 3

x

"

r 3 250
5 81 4 r 3 16 2 4 x y 27

 p 3 3   3 2

p  3 24

 p 232





3 p p
3 p p  p 3 3 3 3 2 3 4 ‡9 2 2 1 2 1 p p p 23a‡ 3a 53a p  p   p 3 3 3 7 x 2 ‡ 27x 2 ‡ 64x 2 p   p 3 3 125x 4 ‡ x 4 r p   p 3 3a ‡ b 3 3 24a ‡ 8b ‡ 375a ‡ 125b 27 q p p 3 4 3 …x ‡ y† …x y† ‡ 2x
3 x ‡ y x 2
3 x ‡ y

ESTENSIONE AI RADICALI DI INDICE n QUALSIASI

 p 3 3 ‰ 20Š



 

2x

‰3Š

p  23a ‰0Š

h pi 6jxj 3 jxj

 3 10 p 3a ‡ b 3 y2


p  3 x‡y

la teoria eÁ a pag. 59

RICORDA Á necessario ricondurli a un indice n Per eseguire il prodotto o il quoziente di due radicali di indice diverso e Á invariantiva; l'indice comune e Á di solito il m:c:m: tra gli indici. comune applicando la proprieta q p  n p m Á una radice che ha per indice il prodotto degl indici: n La radice di una radice e a ˆ n
m a

364

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Comprensione p   p 4 x3y
8 x3y p a. eÁ uguale a 8 x 9 y 3

307 Il prodotto

b. eÁ uguale a

p 2 8 x 3y

c. eÁ uguale a

d. non si puoÁ calcolare perche i due radicali non hanno lo stesso indice.

p  4 x6y 2

r r2 y 3 y eÁ: : x3 x s s 6 6 y2 x6 y2 x9 3 c. 8x
2
4 d. 2x 3
2
6 x y x y

p 308 Il passaggio corretto da eseguire per semplificare l'espressione 2x
s 6 y 2 x9 a. 8x 3
2
6 x y

s 6 y 2 x3 b. 4x 2
2
2 x y

309 Barra Vero o Falso:  p p 6 a. a7 ˆ a 6 a p p b. 9y 2 …x ‡ 3† ˆ 3y x ‡ 3 q p 3 …x 2†4 ˆ jx 2j 3 jx 2j c.

V

F

V

F

V

F

 p p  4 4 V F d. a a3 ˆ a7 q  p 4 310 Il radicale 2 2 eÁ uguale a: p p p p b. 6 32 c. 8 32 d. 6 4 a. 8 4 q p 3 311 L'espressione a a a eÁ uguale a:  p p p 5 a. a9 c. 6 a7 d. nessuna delle precedenti espressioni b. a3 p  p  p  p  p  312 Nell'espressione 4 3 6 2 3 ‡ 4 6 2 3 6 5 3 sono simili i radicali: p p a. 4 3 6 e 4 6 perche i due radicali hanno lo stesso radicando p p   3 3 perche i due fattori radicali sono uguali b. 4 6 e 2 6 p p c. 2 3 e 5 3 perche i due fattori radicali sono uguali p p d. 2 3 e 4 6 perche gli indici delle due radici sono uguali.

Applicazione Riduci i seguenti radicali al minimo comune indice. 313

ESERCIZIO GUIDA a.

p 5;

 p 3 2

Il m.c.m. fra gli indici 2 e 3 eÁ 6, dobbiamo quindi applicare la proprietaÁ invariantiva moltiplicando l'indice della prima radice e l'esponente del radicando per 3, l'indice della seconda radice e l'esponente del radicando per 2:    p p p p 6 6 3 2 ˆ 22 5 ˆ 53 p   p 3 4 b. 9; 12 Vediamo prima se eÁ possibile semplificare i radicali per avere un indice comune di valore piuÁ piccolo:

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

365

 p p  p 4 4 9 ˆ 32 ˆ 3

  p p 3 3 12 ˆ 22
3

L'indice comune eÁ quindi 6 e si ha che: 314 315 316 317 318 319 320

p 3;

 p 3 2

 p 5 2;

p  3 3

 p 3 5;

 p  p p 6 6 3 ˆ 33 ˆ 27

p  4 2

p 6; p 4;

p  4 2 p  6 12;

p 5;

 p 3 6;

p  4 9;

p  3 4;

p x;

 p 4 y;

p 3

12

p 5

p 3

p 3x ;

325

r x2 ; y

326

p 2x…x 1†;

 p 3 8xy ;

p x‡y

324

r 8 x ‡y ; xy

Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni. r r s3 2 2 3 x 2 y ‡ xy 2 2xy 6 …x y† 4 x ‡y : 327
2 2 3 4x 3 4x x ‡ y ‡ 2xy r r y x y 6 x : x x y y r 328 xy 3 2 …x ‡ y† 329

r r! r 4 a2 ‡ b 2 ‡ 2ab a2 ‡ b 2 2ab a2 ‡ b 2 ‡ 2ab :
6 9 2 2 2 a b …a ‡ b ‡ 2ab† a2 b 3

2 3 r r s3 3 2 2 3 2 2 …x y† 6 3x y ‡ 3xy y 4 x y 3 x 5
: 330 3 x 2 ‡ xy x …x ‡ y† r " r r# 4 3a2 1 3a : 331
a‡1 a2 a 2 2a ‡ 2

366

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

p  p  6 3 6 3 ; 22

 15 p 15 p 23 ; 35

p  3 a; p  3 3abc ; p  3 2 x ;

 p 6 a; p 323 2ab2 ; 322

 p   p p 6 6 3 12 ˆ 122 ˆ 144

 12 p 12 p  54 ; 23

p xy p 15 10 a p  6 9a5 p  4 2x 3 s 2 4 …x y† x

321

il radicale eÁ irriducibile

p  p   4 2 4 6; 2

 12 p 12 p 12 p  3 122 ; 46 ;

p    p  p 6 6 3 6 3 ; 24 ; 53

p    p  p 6 6 6 3 5 ; 62 ; 33 h p i  p 4 2 p x ; 4 y ; 4 x2y 2  p p  p   6 6 6 a; a2 ; a4

p  p  p   6 6 6 8a3 b6 ; 9a2 b2 c 2 ; 9a5

 12 p 12 p 12 p  36 x 6 ; x8; 8x 9 2 s3 r r 4 8 4 8 x 8 x ‡ y 8 …x y† 5 ; ; 4 2 y x xy  q   q p 6 6 3 3 8x 3 …x 1† ; 6 64x 2 y 2 ; …x ‡ y†

2 s3 y2 46 5 4jx…x ‡ y†j " r# 3 x ‡y x y 2 s3 3 4 6 …a b†2 a 5 5 …a ‡ b† 2 s3 jxj 5 46 2 …x ‡ y†

2 s3 4 4 a2 …a ‡ 1†…a 4

2

2† 5

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Scrivi le seguenti espressioni in modo che vi compaia un solo simbolo di radice. 332

ESERCIZIO GUIDA s r 3 1 2
2 Trasportiamo il fattore 2 sotto la radice piuÁ interna p  6 2 moltiplichiamo gli indici delle due radici 2  p 3 semplifichiamo il radicale 2

q  4 p 3 5; 333 334

q  5 p 3 32;

q p 335 3 2; s r 5 6 1 ; 336 5 6 r q p 337 3 3 3; r 4 p ; 338 3 2 q p 339 x x2;

s r 3 1 ; 2 q  4 p 3 81;

q p 3 4 3; s r 8 1 5 ; 5 r q p 2 4 3; r p 4 3 3 ; 2 q p 3 y 2 y 8;

I RADICALI QUADRATICI DOPPI

"

q  3 p 5 2

q  3 p 3 27

q  p 3 2 3 s r 3 3 2 4 3 r q p 3 2 2 6 r p 5 3 27 9 q p 2a 3 a s r 3 8 4 x6 x2 4

s r 2x 2 6 x ; 3 9 0 14 r r!2 s r 3 2 2x: 2 27 A
@ 341 2 3 3x 3 4 0v12 u s s 2 Bu t 1 …a 1† C 1 @ A 342 2a
3 2 2 a …a 1† q q p 3 p …2x 1† 3 2x 1 : 2x 1 : …2x 343 s r 4 y x 340 ; x y

s r s r 3 1 3 1 ˆ 23
2
2 2

p 5;

12

# r p 6 1 15 ; 2 2

p  p  p  3 2; 3 3; 3 3

p  p  p  4 18; 6 48; 6 24

" r r# p 6 9 10 6 16 ; 5; 25 32

p  p p  12 8 7 29
3 3 ; 2 8 3; "

 p 6 32;

r r# 5 8 27 ; 1 4 3

 p  6 x; y 2 ; 8a4

" r r r# 12 64x 6 x 8 y ; ; 32 x 3 3 x

 p  x3 3 9  q 6

1†

8…a

2

1†

 q 12 5 …2x 1†

la teoria eÁ a pag. 62

RICORDA q p Á trasformare un radicale doppio Si dice radicale doppio un radicale che assume la forma a  b . Si puo Á un quadrato perfetto; per fare cio Á si puo Á: nella somma di due radicali semplici se a 2 b e

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

367

l

l

p riconoscere nell'espressione a  b il quadrato di un binomio s p s p q p a ‡ a2 b a a2 b usare la formula a  b ˆ  2 2

Comprensione 344 Indica quali fra i seguenti sono radicali doppi: q q p p p p a. 2 3 b. 5 2 c. 3 ‡ 2

q q p p 345 Semplificando l'espressione 5 ‡ 7
5 7 si ottiene: p p p
2 a. 2 18 b. 3 2 c. 5 ‡ 7

q p d. 5‡6 d. 5

p
2 7

346 A quali dei seguenti radicali doppi eÁ conveniente applicare la formula per ottenere radicali semplici? q q q q p p p p c. 9 4 2 d. 8 ‡ 11 b. 5‡2 6 a. 6 2 3

Applicazione 347

ESERCIZIO GUIDA q p 8 2 15

Possiamo procedere in due modi: p l riconoscendo in 8 2 15 il quadrato di un binomio: q p p p p
2 p p 8 2 15 ˆ 5 ‡ 3 2 5
3 ˆ 5 3 quindi 8 2 15 ˆ 5 l

applicando la formula

q p riscriviamo prima il radicale nella forma a  b: calcoliamo a2

60 ˆ 4 ˆ 22 q r p 8‡2 applichiamo la formula: 8 2 15 ˆ 2

348 349 350 351

q p 9 80; q p 4 2 3; q p 9 4 5; q p 27 10 2;

q p 352 7‡ 13;

368

b: 64

q p 7‡2 6 q p 3‡2 2 q p 4‡2 3 q p 6‡2 5

q p 14 27

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

p 3

q q p p 8 2 15 ˆ 8 60 r 8 2 p ˆ 5 2

p 3 p 5 p 3

p 5

 5

"r r 13 ‡ 1 ; 2 2

2; 1;

 p 6‡1  p 2‡1

2; 1 ‡

p  3

p p  2; 1 ‡ 5 r r# 27 1 2 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

q p 353 2‡ 3;

"r r r r# 3 ‡ 1 ; 47 ‡ 1 2 2 2 2

q p 24‡ 47

s r 7 3 ; ‡ 354 3 4 q p 355 20 5 7;

q p 356 19 ‡ 2 78; q p 357 24 ‡ 16 2;

"

r 9 p 14 2

3‡1 2 2

"r 35 2

q p 11 ‡ 6 2

q p 24 4 11 q p 12 2 35

r r 1; 7 3 2

1

# r 5 ; 3 ‡ p 2 2

p p p 13 ‡ 6; 22

 p p 4 ‡ 2 2; 7

LA RAZIONALIZZAZIONE

#

p  2 p  5

la teoria eÁ a pag. 64

RICORDA Razionalizzare una frazione significa scriverla in modo che il suo denominatore sia razionale, quindi privo di radicali; per eseguire questa operazione si devono moltiplicare numeratore e denominatore per un opportuno fattore razionalizzante che ha un'espressione diversa a seconda della frazione: l

l

l

l

1 p a

fattore razionalizzante:

1 p  3 ak

fattore razionalizzante:

1 p p a b

fattore razionalizzante:

1   p p 3 a 3b

fattore razionalizzante:

p a

 p 3 a3 k

con

k

p p : p 3x 2y ˆ 3 6 ‡ 2

376

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

(

p 5y ˆ 0 p p 4 2x y ˆ 4 10

x

1

( p p 3 3x ‡ 4 2y ˆ 10 p p 5 2y ‡ 6 3x 26 ˆ 0

 

Sˆ



 p   p
13 4 2 ;Sˆ 5, 1 , 9 9

 p  p p
2, 3 ; S ˆ 2 3,

p
 2

h   p p
21, S ˆ 0, 1 ‡ 2 ; S ˆ

p
i 7

Sˆ

8 p    p < 3x ˆ 1 2y  p
3‡1 p  S ˆ 0, 2 ; S ˆ 1, x 2 ‡ 3y ˆ 1 : p 3 1 ( p
p   p   p
2 5 x ‡ 5y ˆ 5 5 1 S ˆ 1, 3 ; S ˆ ,
p p 2 2 3x ‡ 5 ‡ 2 y ˆ 1 ‡ 2 5 (

p x 7ˆ 1 p 3y ˆ x

p
3 y

8 p y > >

> ˆ p : y 2 3 2

  p S ˆ 3 2,

 p
 p
2 ; S ˆ 2, 4 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

DISEQUAZIONI (LINEARI) A COEFFICIENTI IRRAZIONALI Risolvi le seguenti disequazioni. 473

ESERCIZIO GUIDA p 3

p 2


x >2

p p
2 x‡2 3

Svolgiamo i calcoli e trasportiamo i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo: p p p p p p p p p
p 6 3x > 2 2x 2 6 ! 2x 3x > 2 6 ! 2 3 x>2 6

Osserviamo che il coefficiente di x eÁ un numero negativo e che, dividendo entrambi i membri p padesso 
per 2 3 dobbiamo cambiare anche il verso della disequazione: p p p
p p 2 2 3 2 6 p p cioeÁ x < ! x< 2 x < p p 2 3 2 3

Nella risoluzione di disequazioni dove i coefficienti sono dei radicali, si deve prestare molta attenzione al segno del coefficiente di x perche non eÁ sempre evidente se si tratta di un numero positivo oppure negativo. p p 474 3x ‡ 75x > 16

p p p 2x ‡ 8  18 p 2… x 1 1 x† 476 p < 3 3 p 477 x 3 > px 6 2 4 2 475

4p < 1 ‡ 478 px 5 1 1‡ 5

 xp > 0 479 p x p ‡ p2 6 2 6‡ 2 p ‡x > 3x ‡ p 5 480 3p 2 2 2 481

482

483

484

485

p 1 ‡ p3 x > 0 3 2x

p 1p 4 2x

7



 p p p
8 3 x> ;x4 3 2 9   p x  1; x > 4 7 5

p
2


2 x


p p p 5 ‡ x ‡ 10  2…1

p p
7 5 ‡ 2x

x†

p   2x  0 p 2 ‡ 1 ‡ p 2 2 1

px‡ 1 3 1

2x 1  x p 3‡1

  2 1 ‡ x  px ‡ 2 3 5 5 p p 5 p 20x 0 5x

p p 5  15x p 0 3 ‡ 3x p p5x > 1 ‡ p 3 3 x 2 3 2x




p
5

 

x
21 2x ‡ 1 < 6 8 8 p p p 2 x x p 5 > > 2 1 x

>
p
p p p : p : p 2 x‡2 2 ‡ 3 2‡4 x 0 6x > 2 ‡ 3 8 p 8 p > x 3 > >  >1 < < 3x 2 > 0 x p  490 x< p 3x p 2 > > 0 > : : 2x ‡ 3x 1 < 4 3x 2 x

 x
2Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

b. riscrivila razionalizzando il denominatore f …3† e razionalizzalo. f …5† p 10 x ‡ 5 524 Data la funzione f …x † ˆ p p determina: x‡5 x 5 a. il dominio c. calcola il quoziente

 p p p f …x † ˆ …x ‡ 2 † x 2 ‡ x 3  p p  30 3 5 5 103

‰x  5Š p x ‡ 5 ‡ x 2 25  p p  p 3 5 ‡ 15 5 3 5 10 

b. riscrivila razionalizzando il denominatore c. valuta l'espressione

f …5† f …10† f …20†

525 Dopo aver stabilito qual eÁ il suo dominio D, semplifica l'espressione della funzione:   p 2  p 1 1 : …5x ‡ 1† 5x ‡ 1 g…x † ˆ 5x ‡ 1 ‡ p : 1 ‡ p 2 5x 1 25x 1 Stabilisci poi, nell'ambito del dominio D, per quali valori di x si verifica che:

a. ‰g…x †Š2 < 1 b. ‰g…x †Š2
2 ; c. x  3 D : x > 1 ; g…x † ˆ p 5 5 5 5x ‡ 1

1 4

Soluzioni esercizi di comprensione 1 a. F, b. V, c. V, d. F

2 c.

3 c.

34 b.

35 a. F, b. F, c. F, d. F, e. V, f. V

36 solo d.

37 d.

38 c.

92 d.

93 b.

94 b.

95 d.

96 b.

141 b.

142 d.

143 b.

144 c.

200 b., c.

201 a.

202 d.

203 c.

267 c.

268 a. V, b. V, c. F, d. V

269 a. V, b. F, c. F, d. V

307 a.

308 a.

309 a. V, b. F, c. V, d. V

310 c.

311 b.

312 b., c.

344 a., d.

345 b.

346 b., c.

358 b.

359 d.

360

491 a. V, b. V, c. F, d. V, e. V

492 c.

493 c.

¬ a., ­ b., ® c.

Sul sito www.edatlas.it trovi... l

esercizi tratti dalle gare di matematica

l

Á i problemi di Matematica e realta

l

il recupero relativo al Tema 1

l

la rubrica Math in English con alcuni esercizi in lingua inglese

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

381

Testfinale 1 Semplifica i seguenti radicali in R0‡ : q p  4 6 b. 0,04x 2 y 6 a. a4 b 2 …a2 ‡ b2 †

r 3 6 c. x‡1 x 1 x

r 2 4 x d. ‡ 92 2 9 x 0,25 punti per ogni esercizio

2 Semplifica le seguenti espressioni con i radicali quadratici e cubici: p p p p p 2 8 18 ‡ 4 50 4 3 3 p p 12
a. 7 3 2
2 p
2 p p p p
p b. 3 1 ‡4 3 2 2 ‡2 3 1 ‡ 8 2 4 3 c.

d.

h p 2x x

p p x 3 ‡ 2 4x 3
x


p 3 4

 p p  p   p 3 3 3 3 54 ‡ 2 16 ‡ 6 9

i p
x : 5x 2 p  3 4

p 
2 3 6

0,8 punti

0,8 punti

p p p 3 1 3x 1 ‡ 3x  f. p p ‡ x p9x 2x x 1 ‡ 3x ‡ 1 3x

3 Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni: p 6 b. p a. 1 ‡p5 c. p9 3 2 5 2 3 3 3

0,8 punti

0,8 punti

r r! 3 4x : 3 x x 2 x 2

r r 3 x 2
3 x5 e. : 2x x 2 4x ‡ 4

0,8 punti

0,8 punti

d. p 6 p 6 3

0,25 punti per ogni esercizio

4 Risolvi le seguenti equazioni: xp x p2 ˆ 1 1‡ 2 1 2  p
p 3 x‡ 5 p b. 1ˆ 5 1 5x

0,6 punti

a.

1 x



1 punto

5 Risolvi le seguenti disequazioni: a. p x p ‡ 2 > p x p 3 2 3‡ 2 p 2 p 2 > 1 b. p1 2 x 2

382

Tema 1 - Cap. 2: I RADICALI

0,6 punti 1 punto

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Soluzioni 1 a. eÁ irriducibile; 2 a.

q p b. 3 0,2xy 3 ; c. 3 jx ‡ 1j; d.

p p 2 21; b. 24; c. x

1;

p  3 d. 2 3

s  x2 9 3x

p  3 36;

p p p
p p 3 a. 5 ‡ 5 ; b. 2 3 9; c. 6 3 ‡ 9; d. 2 6 ‡ 3 10  p   p 2 ‡ 4 4 a. S ˆ ; b. S ˆ 5 5 4 5 a. x >

Esercizio

p 2 ; b. 2

p 3 2

1

4 0 la parabola rivolge la concavita

l

Á verso il basso. se a < 0 la parabola rivolge la concavita

n Il vertice della parabola ha coordinate

xV ˆ

b 2a

yV ˆ


4a

essendo


ˆ b2

4ac

Á anche essere troUna volta calcolata l'ascissa del vertice con la formula indicata, la sua ordinata puo vata per sostituzione nell'equazione della parabola. Á la retta di equazione n L'asse di simmetria e

xˆ

b . 2a

Comprensione 1 Un luogo di punti eÁ: a. un insieme di punti che hanno una determinata proprietaÁ b. l'insieme di tutti i punti che hanno una determinata proprietaÁ c. l'insieme di tutti e soli i punti che hanno una determinata proprietaÁ. 2 Sono luoghi di punti: a. una circonferenza b. l'asse di un segmento c. un arco di circonferenza d. un segmento perpendicolare a un altro segmento condotto per il suo punto medio. 3 Dati un punto F e una retta r e indicata con il simbolo d …P, r † la distanza di un punto P da r, la parabola eÁ il luogo dei punti P per i quali: a. PF ‡ d …P, r † ˆ 0

b. PF

d …P, r † ˆ 0

c. d …F, r † ˆ PF

d. d …P, r † ˆ d …F, r †

4 L'equazione y ˆ ax 2 ‡ bx ‡ c rappresenta una parabola: a. sempre b. solo se a 6ˆ 0 c. solo se a eÁ positivo d. solo se i coefficienti a, b, c sono tutti diversi da zero 5 Il vertice della parabola di equazione y ˆ x 2 a. …3, 9†

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

b. … 3, 9†

6x ha coordinate: c. … 3, 27†

d. …3,

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

9†

425

6 Completa le seguenti proposizioni in modo che risultino vere. Ogni parabola di equazione y ˆ ax 2 ha: a. come asse di simmetria ............. b. vertice in .................................... c. il vertice come punto di minima ordinata se ............. d. il vertice come punto di massima ordinata se ........... 7 La a. b. c. d.

parabola di equazione y ˆ x 2 3: ha il vertice sull'asse x ha il vertice sull'asse y passa per l'origine del sistema di riferimento ha concavitaÁ rivolta verso l'alto.

V

F

V

F

V

F

V

F

Applicazione Indica da che cosa sono rappresentati i luoghi descritti motivando le risposte. 8 Il luogo dei punti del piano che sono equidistanti da una retta data. 9 Il luogo dei punti del piano che sono equidistanti da due rette parallele. 10 Il luogo dei punti medi dei segmenti che hanno gli estremi su due rette parallele. 11 Il luogo dei punti simmetrici dei punti di una retta r rispetto a un punto P. 12 Il luogo dei vertici C di un triangolo di base fissa AB aventi tutti la medesima area. 13 Il luogo dei centri dei rettangoli che hanno base fissa e altezza variabile. 14 Il luogo dei centri dei parallelogrammi che hanno per base un segmento fisso AB e la stessa altezza.

Scrivi l'equazione dell'asse dei segmenti AB nei seguenti casi. 15 A… 1,

1†,

B…1, 3†

‰x ‡ 2y

2 ˆ 0Š

16 A…4, 3†,

B… 2, 1†

‰3x ‡ y

5 ˆ 0Š

17 A…0,

B…3, 1†

‰x ‡ y

1 ˆ 0Š

B…3,  B 1, 2  B 3,

‰x

1 ˆ 0Š

2†,

18 A… 1,2†,   1, 1 , 19 A 2   3 ,1 , 20 A 2

2†  5 2  3 2

y

‰8x ‡ 28y ‰3x

21 ˆ 0Š

5y

8 ˆ 0Š

Scrivi le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle seguenti coppie di rette. 21 x

2y ‡ 3 ˆ 0

e

2x ‡ y ˆ 0

‰x ‡ 3y

3 ˆ 0, 3x

y ‡ 3 ˆ 0Š

e

2x

‰x ‡ 3y

2 ˆ 0, 3x

y ‡ 1 ˆ 0Š

23 x ‡ y ‡ 1 ˆ 0

e

x

24 6x

e

x ‡ 2y

22 4x ‡ 2y

426

1ˆ0

3y ‡ 5 ˆ 0

4y ‡ 3 ˆ 0 y

3ˆ0 1ˆ0

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

‰x ˆ 1, y ˆ ‰3x

2Š

9y ‡ 8 ˆ 0, 9x ‡ 3y ‡ 2 ˆ 0Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

La parabola Delle seguenti parabole determina il vertice, l'asse di simmetria, la concavitaÁ e costruiscine il grafico. 25

ESERCIZIO GUIDA 3x 2 ‡ 6x

yˆ

4

I coefficienti della parabola sono: a ˆ 3 bˆ6 cˆ 4 Poiche a < 0 la concavitaÁ eÁ rivolta verso il basso; troviamo le coordinate del vertice: xV ˆ

6 ˆ1 2
… 3†

troviamo yV per sostituzione:

yV ˆ

3‡6

4ˆ

1

!

V …1,

1†

L'asse di simmetria eÁ la retta che passa per V ed eÁ parallela all'asse y; essa ha quindi equazione: x ˆ 1. Troviamo le coordinate di qualche punto alla sinistra del vertice (sarebbe lo stesso trovarli alla destra): x

0

y

4

1 2 7 4

Dopo aver rappresentato anche i simmetrici di questi punti possiamo costruire il grafico. 26 y ˆ 3x 2 ‡ 6x 2x 2

27 y ˆ x 28 y ˆ

1

1 2 x 2

29 y ˆ

yˆ

y ˆ x2 yˆ

1 2 1 1 x ‡ x‡ 3 6 48

1 x 3

2x 2 ‡ 10x

yˆ

31 y ˆ x 2

1

yˆ

LE FUNZIONI DI PROPORZIONALITAÁ

2 2 x 3

5

2x 2 ‡ 4

2x ‡ 1

4x ‡ 5

2x

yˆ

30 y ˆ x 2

32 y ˆ 2x 2

5x 2 ‡ 10x ‡ 2

yˆ

1 2 x 4

9 2

1 1 x‡ 2 2

3 2 x 2

la teoria eÁ a pag. 117

RICORDA n Due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali se il rapporto fra Á uguale al rapporto fra le corrispondenti due del secondo due qualsiasi grandezze del primo insieme e insieme. Quando due insiemi di grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto fra le misure di grandezze Á diretta. Á costante ed e Á la costante di proporzionalita corrispondenti e

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

427

n Due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali se il rapporto fra Á uguale al rapporto inverso delle corrispondenti due del sedue qualsiasi grandezze del primo insieme e condo insieme. Quando due insiemi di grandezze sono inversamente proporzionali, il prodotto fra le misure di grandezze Á inversa. Á costante ed e Á la costante di proporzionalita corrispondenti e Á , le relazioni di proporzionalita Á diretta e inversa sono delle n Indicando con k la costante di proporzionalita funzioni che si esprimono mediante le equazioni: y ˆ kx yˆ

Á diretta: retta passante per l'origine per la proporzionalita

k x

Á inversa: iperbole equilatera. per la proporzionalita

Comprensione 33 Le a. b. c. d.

seguenti proposizioni si riferiscono a due grandezze x e y; determina il loro valore di veritaÁ. Sono direttamente proporzionali se aumentando una aumenta anche l'altra. Se sono direttamente proporzionali quando la prima raddoppia, anche l'altra raddoppia. Sono inversamente proporzionali se quando la prima aumenta l'altra diminuisce. Se sono inversamente proporzionali quando la prima raddoppia, l'altra dimezza.

V

F

V

F

V

F

V

F

34 Se due grandezze sono inversamente proporzionali, il prodotto di due valori corrispondenti: a. eÁ sempre uguale a 1 b. cambia al variare della coppia c. eÁ sempre uguale a zero d. eÁ uguale al prodotto di altri due qualsiasi valori corrispondenti. 35 Una retta eÁ una funzione di proporzionalitaÁ diretta: a. sempre b. solo se non eÁ parallela agli assi c. solo se passa per l'origine ma non eÁ l'asse y d. solo se passa per l'origine e ha un coefficiente angolare positivo. 36 Indica quali fra le seguenti funzioni rappresentano una proporzionalitaÁ inversa e quali una proporzionalitaÁ diretta e quali nessuna delle due: 1 ˆ3 a. xy ˆ 2 b. x ‡ y ˆ 2 c. 4xy ˆ 1 d. xy 3 e. 2x y ˆ 0 f. y ˆ x 2 g. x y ˆ 0 h. y ˆ 2 x

Applicazione Completa le seguenti tabelle in modo che le due variabili x e y risultino direttamente proporzionali. 37

428

38

x

y

6

1

:::::

5

::::: 1 2

x

y

2 3 1 2

.....

.....

4 5

.....

1

5 6

.....

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

.....

3

3 4

.....

.....

1

1 2

.....

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

39

x ..... 5

40

y

x

6

y 1 6

:::::

:::::

4

:::::

2

3

4

5 2

:::::

:::::

3

1

1

3 4

:::::

:::::

Completa le seguenti tabelle in modo che le due variabili x e y risultino inversamente proporzionali. 41

x

y

8

1

4

:::::

3

42

x

y

.....

2

1

:::::

..... 8

.....

:::::

5 4

.....

43

x ::::: 2

6

44

y 10 9 :::::

:::::

1 2

6 5

x

y

1

:::::

4

4

3

10

6

.....

2 8 3

.....

1

.....

::::: ..... 1 2

Stabilisci quali fra le seguenti relazioni rappresentano una proporzionalitaÁdiretta o inversa, e in tali casi rappresentale graficamente. 45 y ˆ 3x

2y ˆ x

2x

yˆ1

46 3xy ˆ 1

1 ˆ x2 y

x

4y ˆ 0

47 xy

2ˆ0

4xy ‡ 6 ˆ 0

1ˆ1 x y

48 3x

2y ˆ 0

1 xy ‡ 1 ˆ 0 2

3ˆ 4 y x2

49 4

3 xy ˆ 0 4

3x

3xˆ 4

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xy ˆ 0

1y 2

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

429

Problemi nel mondo reale 50 Una sbarra d'acciaio lunga 20m eÁ incernierata a 12m da uno dei suoi estremi ai quali sono appoggiati due pesi x e y; la sbarra eÁ in equilibrio se il rapporto fra i pesi eÁ uguale al rapporto inverso fra le distanze dal punto di cerniera. Scrivi la relazione di equilibrio, riconoscine il tipo e rappresentala in un piano cartesiano. 51 Un rubinetto, se totalmente aperto, puoÁ riempire un serbatoio da 120 litri in 8 minuti; se x rappresenta la capacitaÁ di un serbatoio e y rappresenta il tempo che ci vuole a riempirlo, scrivi la relazione fra x e y, riconoscine il tipo e rappresentala in un piano cartesiano. 52 Il rapporto fra il peso P di un liquido misurato in Newton ed il suo volume V misurato in m3 eÁ una costante che caratterizza il fluido e che prende il nome di peso specifico. Supponendo di avere un fluido di 3 peso specifico uguale a 6,8N/m , scrivi la legge che lega le variabili P e V , riconoscine il tipo e rappresentala in un piano cartesiano. 53 Una banca paga un interesse dell'1,8% annuo sui depositi e fa pagare ai suoi clienti un interesse del 12,75% annuo sui prestiti. Se x rappresenta il capitale versato o prestato e y l'interesse percepito o pagato in un anno, scrivi la relazione fra x e y nei due casi, riconoscine il tipo e rappresentala in un piano cartesiano. 54 L'energia elettrica (misurata in Joule) consumata da una lampada eÁ espressa dalla formula E ˆ Pt, dove P indica in Watt la potenza della lampada e t il tempo di utilizzo in secondi. Traccia il grafico della relazione per una lampadina da 40Watt e rileva l'energia consumata dopo 10 minuti. 55 La molecola del sale da cucina (cloruro di sodio) eÁ formata da un atomo di sodio e da un atomo di cloro; la massa di un atomo di sodio, misurata rispetto a quella di un atomo di idrogeno preso come unitaÁ, eÁ 22,9898 mentre quella di un atomo di cloro eÁ 35,453. Scrivi la relazione che esprime il rapporto fra la quantitaÁ x di sodio e quella y di cloro presenti nell'unitaÁ di massa e, dopo averne riconosciuto il tipo, rappresentala in un piano cartesiano. In 1kg di sale da cucina quanti grammi di sodio e quanti di cloro ‰ 393,37;  606,63Š ci sono? 56 Un peso y fissato all'estremitaÁ di una molla la fa allungare di un tratto x secondo la relazione y ˆ kx, dove k (misurata in Newton/metro, abbreviato in N/m) eÁ una costante caratteristica della molla usata. Rappresenta graficamente questa legge per k ˆ 52, k ˆ 28, k ˆ 10. Di quanto si allunga una molla di ‰20cmŠ costante k ˆ 20N/m se si fissa un peso di 4N? 57 Un'auto percorre un tratto di strada in 3 ore viaggiando ad una media di 85km/h; un'altra auto percorre lo stesso tratto di strada in 2,5h. Dopo aver scritto la relazione che lega le variabili spazio, tempo e velocitaÁ, rappresentala graficamente individuandone il tipo e determina la velocitaÁ della seconda auto. ‰102km/hŠ

58 Una ruota di bicicletta di un certo diametro x compie y giri per fare un percorso di 12km; scrivi la relazione fra il diametro della ruota ed il numero di giri e rappresentala graficamente. Che diametro deve ‰ 133cmŠ avere la ruota per percorrere i 12km con 2865 giri?

APPROFONDIMENTI 59

Le applicazioni alla risoluzione dei problemi

ESERCIZIO GUIDA Un floricoltore ha piantato in un piccolo appezzamento di terreno 32 piante di rose che danno ciascuna circa 120 fiori nell'arco della stagione di fioritura. Decide di piantare un ulteriore numero x di rose nello stesso terreno; cosõÁ peroÁ ciascuna pianta, comprese quelle giaÁ piantate, daraÁ un numero in-

430

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

feriore di fiori, circa 120 3x a stagione. Quante rose deve piantare ancora per avere la massima produzione di fiori possibile? Il numero complessivo di rose eÁ 32 ‡ x Se ciascuna pianta produce 120 fiori prodotti eÁ pari a …32 ‡ x †…120

3x †

3x fiori, il numero complessivo di

cioeÁ

3x 2 ‡ 24x ‡ 3840

Se indichiamo tale numero con y otteniamo la parabola di equazione yˆ

3x 2 ‡ 24x ‡ 3840

il cui grafico eÁ in figura.

Il massimo numero di rose che si possono produrre eÁ il valore di y in corrispondenza del vertice V della parabola: xV ˆ

b ˆ 2a

24 ˆ 4 6

yV ˆ

3
16 ‡ 24
4 ‡ 3840 ˆ 3888

Il floricoltore deve piantare altre 4 piante ed avraÁ la massima produzione di 3888 rose a stagione. 60 Due numeri naturali hanno per somma 50; quali sono i due numeri se il loro prodotto deve essere il piuÁ ‰25, 25Š grande possibile? 61 Dividi il numero 20 in due parti, tali che la somma fra il quadrato della prima ed il doppio della seconda, ‰1, 19Š sia minima. 62 Alberto partecipa ad un gioco televisivo basato sull'abilitaÁ di calcolo dei concorrenti. Il conduttore gli offre di scegliere fra due possibilitaÁ: o accettare una busta con E 1000 oppure la somma che si ottiene 17 2 17x ‡ 580. Che cosa sceglieraÁ Alberto? x in corrispondenza del massimo della funzione y ˆ 20 ‰la primaŠ

63 Un'industria tessile produce x metri di spugna bianca con cui si confezionano asciugamani per comunitaÁ. Quanti metri di spugna si devono produrre per minimizzare il costo di ciascun asciugamano se que2 4 ‰x ˆ 9000mŠ x2 x ‡ 3000 ? sto eÁ dato, in millesimi di Euro, dall'espressione 81000 9 64 Una azienda produce x capi in pelle su ordinazione con i seguenti costi espressi in Euro:  E 30 di gestione dei macchinari 1 x per ogni capo prodotto  500 20  E 20 di spese pubblicitarie e di gestione delle vendite. 8 x. Il ricavo in Euro, per ogni unitaÁ prodotta e venduta, eÁ espresso dalla relazione 800 100 L'azienda non puoÁ produrre piuÁ di 9 000 capi all'anno. Quale deve essere la produzione per massimizzare i guadagni? ‰x ˆ 5000Š 65 Il costo totale relativo alla produzione di un certo bene si puoÁ esprimere mediante la funzione C ˆ 0,15q2 ‡ 210q ‡ 3000, dove q indica la quantitaÁ prodotta. Il prezzo unitario di vendita di tale bene dipende da q ed eÁ espresso dalla relazione p ˆ 660 0,3q. Determina la quantitaÁ da produrre per avere ‰500Š il massimo profitto. 12 dove il tempo t viene misurato t in ore. Il paziente dovrebbe assumere una dose del farmaco quando l'efficacia scende al di sotto del valore 1,5. Sul foglietto che accompagna il medicinale, quale deve essere il tempo consigliato tra una som[una dose ogni 8 ore] ministrazione e l'altra? Rappresenta graficamente la soluzione del problema.

66 L'efficacia di un farmaco diminuisce nel tempo secondo la legge y ˆ

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Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

431

LE FUNZIONI CIRCOLARI

la teoria eÁ a pag. 122

RICORDA Considerata la circonferenza goniometrica (centro nell'origine e raggio unitario) e un angolo  individuato da un punto P sulla circonferenza, si definisce: n seno dell'angolo  l'ordinata del punto P :

sin  ˆ yP

n coseno dell'angolo  l'ascissa del punto P :

cos  ˆ xP

Tracciata poi la retta tangente nel punto …1, 0† e indicato con Q il punto che la retta dell'angolo individua sulla tangente, si definisce: n tangente dell'angolo  l'ordinata del punto Q :

tan  ˆ yQ

Comprensione 67 Indica quali sono le misure in gradi di: a. un angolo piatto b. un angolo retto

c. un angolo giro

68 L'angolo minore di un angolo giro che corrisponde a un angolo di 752 ha ampiezza uguale a: a. 212 b. 392 c. 32 d. un valore diverso dai precedenti 69 Barra vero o falso. a. Il seno di un angolo eÁ un segmento orientato.

V

F

b. Il seno di un angolo eÁ la misura di un segmento orientato.

V

F

c. Il seno di un angolo dipende dall'ampiezza dell'angolo.

V

F

d. Qualunque sia l'ampiezza di un angolo , sin  esiste sempre.

V

F

V

F

V

F

c. non puoÁ assumere valori maggiori di 1

V

F

d. eÁ compreso fra 0 e 1 solo se  eÁ acuto.

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

c. quando 180 <  < 270 assume valori positivi

V

F

d. quando  eÁ ottuso assume valori negativi.

V

F

70 Il seno di un angolo  : a. ha significato per qualunque valore di  b. esiste solo se 0    360



71 Il coseno di un angolo  : a. eÁ negativo quando 180 < x < 360 b. eÁ positivo quando

90 <  < 90

c. non puoÁ assumere valore 7 8 d. non puoÁ assumere valore 6 . 5 72 La tangente di un angolo  : a. ha significato per qualunque valore di  b. non puoÁ assumere valore 2

432

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

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Applicazione Le misure degli angoli Riscrivi in forma decimale i seguenti angoli. 73

ESERCIZIO GUIDA     15 45 2981 37 15 45 ˆ 37 ‡ ˆ ˆ 37,2625 ‡ 60 3600 80 

0

00

74 a. 12 15 0

b. 65 23 0 46 00

c. 4 34 0 20 00

d. 45 5 0 21 00

75 a. 21 10 0 25 00

b. 13 23 0 17 00

c. 18 11 0 30 00

d. 12 24 0 32 00

Converti le misure dei seguenti angoli in gradi, primi e secondi. 76

ESERCIZIO GUIDA 23,42 I gradi sono 23; calcoliamo i primi:

…23,42

I primi sono 25; calcoliamo i secondi:

…25,2





0

23,42 ˆ 23 25 12

23†
60 ˆ 25,2 25†
60 ˆ 12

00

77 a. 34,76553

b. 65,43572

c. 24,56743

d. 76,84352

78 a. 31,24

b. 33,15

c. 22,18

d. 14,45

Esegui le seguenti operazioni con gli angoli. 79 25 12 0 36 00 ‡ 14 37 0 29 00

18 42 0 48 00 ‡ 87 16 0 52 00

80 173 28 0 32 00

83 12 0 5 00

85 32 0 27 00

46 30 0 20 00

81 16 22 0 51 00
5

36 28 0 10 00
8

82 144 17 0 32 00 : 4

96 4 0 48 00 : 8

Risolvi i seguenti problemi. 83 In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono ampi ciascuno 35 10 0 . Determina l'ampiezza dell'an‰109 40 0 Š golo al vertice. 84 In un triangolo isoscele l'angolo al vertice eÁ ampio 45 . Calcola l'ampiezza di ciascuno degli angoli alla ‰67 30 0 Š base. 5 b 85 Gli angoli Ab e Bb sono supplementari. Determina la loro ampiezza sapendo che Ab ˆ B. 7 86 Gli angoli Ab e Bb sono supplementari. Determina la loro ampiezza sapendo che 3Ab Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

‰105 75 0 Š

Bb ˆ 50 .

‰57 30 0 ; 122 30 0 Š

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

433

5 b 87 Gli angoli Ab e Bb sono complementari. Determina la loro ampiezza sapendo che Ab ˆ B. 7

‰52 30 0 ; 37 30 0 Š

88 Un quadrilatero ABCD eÁ inscritto in una circonferenza. Sapendo che gli angoli Ab e vamente 30 e 120 , calcola la misura degli altri due angoli.

Bb misurano rispetti

Cb ˆ 150 ; Db ˆ 60



89 Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O conduci le tangenti che la incontrano in A e in B. d ˆ 45 , calcola le misure degli angoli AOB, d PAB, d OBA. d Sapendo che APB

‰135 , 67 30 0 , 22 30 0 Š

90 Calcola la misura degli angoli interni e degli angoli esterni dei seguenti poligoni regolari: a. triangolo equilatero; b. quadrato; c. pentagono; d. esagono; e. ottagono; f. decagono; g. dodecagono. 91 In un triangolo ABC gli angoli Ab e Bb misurano rispettivamente 15 e 60 . Calcola la misura dell'angolo b esterno di vertice C. ‰75 Š

Le funzioni goniometriche Stabilisci in quale quadrante si trova il secondo lato dell'angolo  sapendo che: 92

ESERCIZIO GUIDA sin  < 0

e

cos  > 0

Osserviamo che sin  < 0 quando l'angolo appartiene al 3 o al 4 quadrante e che cos  > 0 quando  appartiene al 1 o al 4 quadrante. Pertanto, l'angolo che soddisfa entrambe le condizioni deve appartenere al 4 quadrante. 93 a. sin  < 0

e

tan  > 0

b. sin  > 0

94 a. cos  > 0

e

tan  < 0

b. tan  > 0

e

cos  < 0

95 a. sin  < 0

e

cos  < 0

b. sin  > 0

e

tan  < 0

96 a. cos  > 0

e

sin  < 0

b. tan  < 0

e

cos  < 0

e

cos  < 0

Dopo aver disegnato la circonferenza goniometrica, rappresenta graficamente: 97 il seno dei seguenti angoli:

45 , 135 ,

150 ,

98 il coseno dei seguenti angoli:

150 , 210 , 315 ,

99 la tangente dei seguenti angoli:

30 ,

120 45

60 , 120 , 135

Costruisci graficamente l'angolo che soddisfa alle seguenti condizioni: 100 sin  ˆ

1 2 3 4

101 cos  ˆ 102 tan  ˆ

434

2 3

con

90 <  < 180

con

180 <  < 270

con

180 <  < 270

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

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103 sin  ˆ

3 5

104 tan  ˆ 2 105 cos  ˆ

5 6

con

270 <  < 360

con

180 <  < 270

con

90 <  < 180

Determina graficamente tutti gli angoli  …con 0    180 †, per i quali: 106 a. sin  ˆ

1 2

b. sin  ˆ

2 3

c. sin  ˆ

3 5

107 a. cos  ˆ

1 3

b. cos  ˆ

1 2

c. cos  ˆ 0,75

108 a. tan  ˆ 2

b. tan  ˆ

3 2

c. tan ˆ 4 5

Soluzioni esercizi di comprensione 1 c.

2 a., b.

3 b.

4 b.

5 d.

7 a. F, b. V, c. F, d. V

33 a. F, b. V, c. F, d. V

34 d.

35 c.

36 proporzionalitaÁ diretta: e., g.; proporzionalitaÁ inversa: a., c., d. 67 a. 180 , b. 90 , c. 360

68 c.

69 a. F, b. V, c. V, d. V

70 a. V, b. F, c. V, d. F

71 a. F, b. V, c. F, d. V

72 a. F, b. F, c. V, d. V

Sul sito www.edatlas.it trovi... l

esercizi tratti dalle gare di matematica

l

Á i problemi di Matematica e realta

l

il recupero relativo al Tema 2

l

la rubrica Math in English con alcuni esercizi in lingua inglese

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Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

435

Testfinale 1 Due vertici opposti di un rombo sono fissi; qual eÁ il luogo degli altri due vertici? Fornisci una esauriente motivazione alla tua risposta. Se i due vertici fissi, in un sistema di assi cartesiani, hanno coordinate … 1, 2† e …4, 3†, qual eÁ l'equazione del luogo? 2 punti 2 Scrivi l'equazione della parabola che ha fuoco nel punto vertice, l'asse di simmetria e costruiscine il grafico.



1, 1 4



e per direttrice la retta y ˆ

1 , trovane il 4

2 punti 3 Un fascio di rette parallele eÁ tagliato da due trasversali come nella figura a lato e dei segmenti individuati si sa che AB ˆ 8 e A 0 B 0 ˆ 5. Scrivi la relazione che lega le misure dei segmenti su una trasversale e sull'altra e rappresentala graficamente in un piano cartesiano.

1 punto 4 Costruisci i grafici delle seguenti funzioni: a. y ˆ

x 2 ‡ 4x

b. y ˆ x 2 ‡ 1

c. xy ˆ 1 2

1,5 punti

5 Una ditta produce un bene con una spesa fissa settimanale di E 1800, un costo di produzione di E 6 al chilogrammo e spese di organizzazione della produzione, pari allo 0,05% del quadrato dei chilogrammi prodotti. Il prezzo di vendita eÁ di E 14 al chilogrammo e la capacitaÁ produttiva massima settimanale dell'azienda eÁ di 10000 kg. Determina: a. la funzione che esprime il costo settimanale sostenuto; b. la funzione che esprime il guadagno netto settimanale; c. qual eÁ la produzione che rende massimo il guadagno e il valore di tale guadagno; d. qual eÁ la produzione minima per non andare in perdita. 2,5 punti b e Bb sono complementari. Determina la loro ampiezza sapendo che A b ˆ 5B. b 6 Gli angoli A

0,5 punti

7 Barra Vero o Falso: a. il grafico della funzione seno passa per l'origine b. il grafico della funzione coseno passa per l'origine c. il grafico della funzione tangente passa per l'origine d. le tre funzioni seno, coseno, tangente sono tutte periodiche di periodo 360 .

V

F

V

F

V

F

V

F

0,5 punti

436

Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Soluzioni 1 Asse del segmento che unisce i due vertici opposti; equazione del luogo: 5x ‡ y 2 y ˆ x2

10 ˆ 0

2x ‡ 1; V …1, 0†; asse: x ˆ 1

3 EÁ il teorema di Talete: i segmenti su una trasversale sono direttamente proporzionali a quelli sull'altra. Indicando 5 con x e y le misure di tali segmenti, la relazione eÁ y ˆ x ed il suo grafico eÁ una retta per l'origine. 8

4 a.

b.

c.

5 Indicato con x il numero di chilogrammi prodotti e venduti: a. y ˆ

1 x 2 ‡ 6x ‡ 1800 2000

b. y ˆ

1 x 2 ‡ 8x 2000

1800

c. guadagno massimo per x ˆ 8000, guadagno E 30200 d.  228 kg 6 15 , 75 7 a. V, b. F, c. V, d. F

Esercizio

1

2

3

4

5

6

7

Punteggio Valutazione in decimi

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Tema 2 - Cap. 2: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI

437

ESERCIZI CAPITOLO

Le equazioni di secondo grado

LE EQUAZIONI INCOMPLETE

la teoria eÁ a pag. 139

RICORDA l

Per risolvere un'equazione di secondo grado della forma ax 2 ‡ bx ˆ 0 si esegue un raccoglimento a fattor comune e si applica la legge di annullamento del prodotto: ax 2 ‡ bx ˆ 0

l

!

x …ax ‡ b † ˆ 0

!

x ˆ0 _ x ˆ

b a

Per risolvere un'equazione di secondo grado della forma ax 2 ‡ c ˆ 0 si applica la definizione di radicale: r c c c ! x2 ˆ ! x ˆ 0 se ax 2 ‡ c ˆ 0 a a a Á scomponibile. oppure si applica la legge di annullamento del prodotto se ax 2 ‡ c e

Comprensione 1 Un'equazione di secondo grado della forma ax 2 ‡ bx ˆ 0 : a. ammette sempre come soluzione x ˆ 0 b. ha sempre due soluzioni reali c. non ha soluzioni reali se i coefficienti a e b sono concordi d. ha soluzione x ˆ 0 solo se a ˆ 0. 2 Un'equazione di secondo grado della forma ax 2 ‡ c ˆ 0 : a. non ha mai soluzione x ˆ 0 b. eÁ impossibile se a ˆ 0 ^ c 6ˆ 0 c. non ha soluzioni reali se i coefficienti a e c sono concordi d. se ha soluzioni reali, queste sono opposte. 3 Associa a ciascuna delle seguenti equazioni il proprio insieme soluzione: p p b. x 2 ‡ 3 3x ˆ 0 c. 5x ˆ 15x 2 a. 3x ˆ 2 3x 2  p     p 1 ¬ S ˆ 0, ­ S ˆ 0, 3 3 ® S ˆ 0, 3 3 3 p p
2 3 ha: 4 In R, l'equazione 1 ‡ 3 x ˆ 1 a. una soluzione

b. due soluzioni

a. x

438

4x ˆ 0

2

b. x ‡ 16 ˆ 0

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

p 3x ˆ 0  p  ¯ S ˆ 0, 3 2 d. 3x 2

c. nessuna soluzione

5 Indica quale fra le seguenti equazioni ha soluzioni 0 e 2

V

4:

c. x 2

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

16 ˆ 0

d. x 2 ‡ 4x ˆ 0 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Applicazione Risolvi le seguenti equazioni. 6

ESERCIZIO GUIDA 2x 2

5x ˆ 0

Scomponiamo raccogliendo x : x …2x

5† ˆ 0

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto:   5 Quindi S ˆ 0, . 2 7 5x 2 8

10 11

3x 2 ‡ 2x ˆ 0

7x

5x 2 ˆ 0

x2

p 2 5x ‡ 10x ˆ 0

3x

ESERCIZIO GUIDA

9x 2

5ˆ0

Ricaviamo x 2 :

x2 ˆ

p 2 6x ˆ 0

13 9x 2

4ˆ0

14 0,1x ˆ 0,01x 2 9x 2 ˆ 1 p 2 16 7 7x ˆ 0 p
17 3 2 2 x2 ˆ 0

2x 2 ˆ 0 p x2 ‡ 6 2 2 ˆ 0 p 2 1 ‡ x2 ˆ 0

15

p 18 6 2x 2 19

20 …4x

2

3†…x

22 x 3 2†

p
2 2 x ˆ2

4x 2 ‡

1† ‡ 5x ˆ 1

21 …x ‡ 2† ˆ 22 …x

2‡

2x ˆ 0 2

!

p 5 xˆ 3

…2x  2x 5‡ 8x 3 3 

p 8ˆ0

Sˆ



p p  5 5 . , 3 3

  S ˆ f3g; S ˆ 1      Sˆ 2 ;Sˆ 3 3 2 h  p i S ˆ f0, 10g; S ˆ 0, 5 

10

p 6x ˆ 0

p 2 3x

r 5 xˆ 9

5x 2 ‡ 5 ˆ 0   7 4 x2 ˆ2 4 p x 2 ‡ 5x ˆ 0

9ˆ0

5 2

‰S ˆ f0, 3g; S ˆ f0, 2gŠ     2 7 S ˆ 0, ; S ˆ 0, 3 4 h  p i S ˆ f0, 3g; S ˆ 0, 3   p   p 6 S ˆ 0, 2 5 ; S ˆ 0, 2

p 3x ˆ 0

5 9

xˆ

!



4x 2 ˆ 0

Applichiamo la definizione di radicale:

12 x 2

5ˆ0

13x 2 ‡ 26x ˆ 0

15x ˆ 0

9 15x

x ˆ 0 _ 2x

p 2

2†…x ‡ 1† ‡ 5 ˆ 7



Sˆ



 0,



 p  S ˆ 1; S ˆ  5

  p  Sˆ 47 ;Sˆ1

 p Sˆ  2


 ;Sˆ1

 p   p
3 ;Sˆ  2 1 6     p 2 3 ;Sˆ1 S ˆ 0, 3

   p  3 ;Sˆ  2 S ˆ 0, 16 ‰S ˆ 1Š

6ˆ0

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

1

‰S ˆ f0, 5gŠ

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

439

23 …10x

1†

2

3†…x ‡ 1†

…8x

20 ˆ …8x ‡ 3†

2



73x

Sˆ

2x ‡ …x

‰S ˆ f0gŠ



29

p
p
3 x ‡ 3 ˆ 5 …x 6

30 …2x

1† … 1 

x 31 …1 ‡ x † 3

2x † 2

x 2

1†…x ‡ 1†

…3

x †…3 ‡ x † ‡ 10 ˆ 0



4 ‡ 7x ˆ x 6

‡

2x 2 ‡ 1 3x 2 5 ˆ 3 4 6    1x 1 1 1 x 33 2 2 p 5

x

p  2 3 0, 3

‰S ˆ f1gŠ

7 6

‰S ˆ f2gŠ    S ˆ 0, 4 3   p  10 Sˆ  5    S ˆ 0, 9 8

32

34



  p  S ˆ 0, 2

2x

4 x 3

‰S ˆ f4, 0gŠ

Sˆ

p
2 1 2 1 2 ‡ …x 2† ˆ ‰x…x 4† ‡ 14Š 5 5    1 1 1 5 28 3 x ‡ x‡ ‡ …x 3†…x ‡ 3† ˆ …1 ‡ 3x† 2 3 3 6 27

p  5 7  14

3

1† ˆ x ‡ …x 1†…x 2 ‡ x ‡ 1†  2 x …8 x† x 2 25 1 ˆx 4‡ 2 2 p
2 2 26 x 3 ‡2…x 1† ˆ 5 4x 24



3 x ˆ …x 2

1†

   S ˆ 0, 2 5

2



p 5‡x ˆ7

  p  S ˆ 2 3

CORREGGI GLI ERRORI 35 5x 2

3x ˆ 0

x…5x

36 1

6x 2 ˆ 0

x2 ˆ 6

37 x 2

5ˆ0

x2 ˆ 5

38 x 2 ‡ 9 ˆ 0 39 3x

4x 2 ˆ 0

x2 ˆ x…3

3† ˆ 0

5x

9

xˆ

4x† ˆ 0

3ˆ0 p xˆ 6 p xˆ 5

xˆ

3 5

3

xˆ0 _ xˆ

LE EQUAZIONI COMPLETE

4 3

la teoria eÁ a pag. 142

RICORDA n Per trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado ax 2 ‡ bx ‡ c ˆ 0 si applica la formula: s  2 b b p ac  b  b 2 4ac 2 2 Á pari oppure, se b e 2a a

440

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

n L'espressione
ˆ b 2

4ac si chiama discriminante e si verifica che:

± se
> 0 l'equazione ha due soluzioni reali e distinte

± se
ˆ 0 l'equazione ha due soluzioni reali uguali

± se
< 0 l'equazione non ha soluzioni reali.

Comprensione 40 Considerata l'equazione 3x 2 p a. 49 24 b. 49

7x ‡ 2 ˆ 0, il discriminante eÁ l'espressione: p 24 c. 49 6 d. 49

6

41 Un'equazione di secondo grado, completa o incompleta: a. puoÁ avere una soluzione reale e l'altra non reale b. ha sempre due soluzioni in R c. puoÁ avere soluzioni non reali d. puoÁ avere soluzioni reali opposte.

V

F

V

F

V

F

V

F

42 Indica quali condizioni devono soddisfare i coefficienti a, b, c di un'equazione di secondo grado affinche essa: a. abbia una soluzione nulla e l'altra positiva b. abbia soluzioni reali opposte c. abbia soluzioni reali uguali d. non abbia soluzioni reali. 43 Nell'equazione 2x 2 ‡ 5x

3ˆ0:

a. il discriminante eÁ uguale a:

¬ 1 ¬

b. le soluzioni sono:

p 5  31 2

­ 49

® 31

­

® 3,

1, 6

¯ 19 1 2

¯

3,

1 2

44 Applicando la formula ridotta alla risoluzione dell'equazione x 2 8x 20 ˆ 0 si ottiene: p p p p 4  16 ‡ 20 b. 4  16 ‡ 20 c. 4  16 ‡ 80 d. 4  16 ‡ 5 a. 2 45 Le soluzioni dell'equazione x…4x a. x ˆ 1 _ 4x c. x…4x

3†

b. x ˆ 0 _ 4x

3ˆ1

d. x ˆ 4x

1ˆ0

46 Le soluzioni dell'equazione …x a. 4, 3

b. 4,

3† ˆ 1 si ottengono ponendo:

3†…2x

5 2

3

3ˆ1

5† ˆ 1 sono:

c. 3, 5 2

d. 2, 7 2

47 In R : a. l'equazione x 2 ‡ 2x ‡ 5 ˆ 0 ha soluzioni:

¬ 3

­ 3 _

b. l'equazione 4x 2

¬ 3

­ 2

12x ‡ 9 ˆ 0 ha soluzioni:

2

1

3

® 1

¯

® 1

¯ 3

1 2

48 A quali delle seguenti equazioni si puoÁ applicare la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado? A. x 2

3x ˆ 0

a. a tutte Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

B. 2

5x 2 ˆ 0

C. 1 ‡ 6x ‡ x 2 ˆ 0

b. a tutte tranne la E

D. 1

7x ˆ 0

c. a tutte tranne la D

E. 9x 2 ‡ 1 ˆ 0 d. solo alla C

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

441

Applicazione Risolvi in R le seguenti equazioni di secondo grado riconducendole, col metodo del quadrato, a due equazioni di primo grado. 49

ESERCIZIO GUIDA 4x 2 l

4x 2 eÁ il quadrato di 2x 18x deve essere il doppio prodotto, quindi

l

l

18x ‡ 8 ˆ 0

il secondo termine del quadrato deve essere

9 2

18x ˆ

2
…2x †


9 2

Dobbiamo quindi riscrivere l'equazione nella forma:  2  2  2 9 9 9 49 2 ‡8 ˆ 0 cioeÁ 2x ˆ 18x ‡ 4x 2 2 2 4 Deve quindi essere:

50 9x 2

6x

3ˆ0

2x

x2

9 7 ˆ 2 2

_

2x

xˆ4

_

xˆ

x

1 2 

4x

5ˆ0

2x 2 ‡ 3x

2ˆ0

52 3x 2

x

2ˆ0

2x 2

5ˆ0

6x ‡ 4 ˆ 0

7 2

  1 , 1 ; S ˆ f 2, 3g 3    S ˆ f 1, 5g; S ˆ 2, 1 2      1, 5 S ˆ 1, 2 ; S ˆ 3 2 h i  p S ˆ 3  5 ; S ˆ f 4, 2g

6ˆ0

51 x 2

53 x 2

9 ˆ 2

3x

x 2 ‡ 2x

8ˆ0

Sˆ



Senza risolverle determina la natura delle soluzioni delle seguenti equazioni. 54

ESERCIZIO GUIDA a. 3x 2

4x ‡ 5 ˆ 0

Calcoliamo il discriminante dell'equazione Nel nostro caso, essendo

aˆ3

bˆ

4


ˆ b2

cˆ5

PoicheÂ
< 0, le soluzioni non sono reali. b. x 2

6x

Essendo

3ˆ0

aˆ1

bˆ

6

cˆ

3

PoicheÂ
> 0, le soluzioni sono reali distinte. 55 x 2

5x ‡ 1 ˆ 0

3x 2 ‡ x

56 5x 2

3x ‡ 1 ˆ 0

x2 ‡ x

57 3x 2

5x ‡ 4 ˆ 0

3x 2

442

2ˆ0 2ˆ0

5x

4ˆ0


ˆ 36

4ac
ˆ 16

x‡3ˆ0

9x 2

6x ‡ 1 ˆ 0

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

60 ˆ

44

4
…1†… 3† ˆ 36 ‡ 12 ˆ 48

2x 2

1 x2 ‡x 2

4
3
5 ˆ 16

1ˆ0 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

58

3 x2 1 x ‡ 2 ˆ 0 ‡ 4 2

2 x2 3

x

x 2 ‡ 6x ˆ 0

2ˆ0

Risolvi le seguenti equazioni applicando la formula risolutiva. 59

ESERCIZIO GUIDA 2x 2 ‡ x

p 1  1 2 4
2
… 6† ˆ 2
2

xˆ Sˆ 60 x 2

6ˆ0



2,

p 1  1 ‡ 48 ˆ 4

17 ˆ 4

3 . 2

5x ‡ 6 ˆ 0

x 2 ‡ 7x ‡ 12 ˆ 0

x

2ˆ0

x

62 x 2

x

6ˆ0

x 2 ‡ 7x ‡ 10 ˆ 0

42 ˆ 0

3x 2

63 x 2 ‡ x 64 2x 2 65 x

2

2

3x

‰S ˆ f2, 3g; S ˆ f 4,

4ˆ0

2ˆ0

5x 2

7x 6

2 ˆ0 9

3 x2 2

‰S ˆ f 2, 3g; S ˆ f 5,

11x ‡ 2 ˆ 0 2x

3gŠ

‰S ˆ f 1, 2g; S ˆ f 1, 4gŠ

x‡5ˆ0

3x

2

1‡7 3 ˆ 4 2



2

61 x

1 7 ˆ 4

"

1ˆ0

2gŠ

‰S ˆ f 7, 6g; S ˆ 1Š    1,2 ;Sˆ 1,2 2 5   p # 2  10 1 4 , ;Sˆ 3 6 3

  Sˆ

Sˆ



Risolvi le seguenti equazioni applicando la formula ridotta. 66

ESERCIZIO GUIDA r  2 b ac 2 Il coefficiente b eÁ pari ed eÁ quindi conveniente applicare la formula ridotta : a  2 b , Per applicarla in modo semplice osserviamo che il primo termine all'interno della radice, cioeÁ 2 eÁ sempre il quadrato del termine esterno, cioeÁ b ; quindi, una volta calcolato il valore di b , basta 2 2  2 b b ˆ 3 quindi elevarlo al quadrato; nel nostro caso ˆ9 2 2 2x 2

xˆ

6x

3

8ˆ0

p 9 ‡ 16 35 ˆ ˆ 2 2

b  2

1 4

!

67 x 2 ‡ 6x ‡ 8 ˆ 0

x 2 ‡ 4x

68 x 2 ‡ 8x

33 ˆ 0

5x 2 ‡ 4x

1ˆ0

69 x 2

16 ˆ 0

x 2 ‡ 10x

25 ˆ 0

6x

70 x 2 ‡ 20x ‡ 36 ˆ 0 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

x 2 ‡ 4x

5ˆ0

12 ˆ 0

S ˆ f 1, 4g

2g; S ˆ f 5, 1gŠ   S ˆ f 11, 3g; S ˆ 1, 1 5 h  p i S ˆ f8, 2g; S ˆ 55 2 

‰S ˆ f 4,

‰S ˆ f 18,

2g; S ˆ f 6, 2gŠ

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

443

71 8x 2

2x

3ˆ0

15x 2 ‡ 4x

72 3x 2

8x

3ˆ0

4x 2

4x ‡ 1 ˆ 0

73 8x 2

2x

15 ˆ 0

3x 2

14x ‡ 8 ˆ 0

74 16x 2 ‡ 8x

3ˆ0

3ˆ0

9x 2 ‡ 4 ˆ 12x

75 x 2 ‡ 25 ‡ 10x ˆ 0

21x 2 ‡ 2x ˆ 3

76 5x 2 ‡ 8x ˆ 4

4 x2 ‡9ˆ 9

  Sˆ

   1, 3 ;Sˆ 3, 1 2 4 5 3      1,3 ;Sˆ 1 Sˆ 3 2      5 3 2 , ,4 ;Sˆ Sˆ 4 2 3 "    # 3 1 , ;Sˆ 2 Sˆ 4 4 3    3, 1 S ˆ f 5g; S ˆ 7 3      9 Sˆ 2, 2 ;Sˆ 5 2

4x

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti irrazionali. 77

ESERCIZIO GUIDA x2 ‡

p 2

p
2 3 x

p 2 6ˆ0

L'equazione si presenta giaÁ in forma normale, non eÁ quindi necessario sviluppare il prodotto dove c'eÁ la parentesi tonda e si puoÁ applicare subito la formula risolutiva. Tuttavia, poiche lo sviluppo del discriminante potrebbe comportare qualche calcolo in piuÁ per la presenza di radicali, conviene dapprima calcolare
: p
p p
2 p p p p p
2 4
2 6 ˆ 2 ‡ 12 4 6 ‡ 8 6 ˆ 2 ‡ 12 ‡ 4 6 ˆ
ˆ 2 2 3 2‡2 3

Osserviamo che non conviene eseguire la somma 2 ‡ 12 perche capita spesso in questo genere di calcoli che si ottenga il quadrato di un binomio molto simile a quello appena calcolato; in alternativa, p scrivendo 14 ‡ 4 6 si dovrebbe poi applicare la formula dei radicali doppi. p p p
p p
2 2 2 3  2‡2 3 Possiamo adesso trovare le soluzioni: x ˆ ˆ p 2 2 3

p 6 3x ‡ 27 ˆ 0 p
p x2 ‡ 1 2 x 2ˆ0 p  p  x2 ‡ x 3 x 3ˆ0
p  p  p x2 ‡ 3 2 x 6ˆ0
p  p  p  x2 5 ‡ 3 x ‡ 15 ˆ 0 p
p x2 1 2 2 x 2 2ˆ0

78 x 2 79 80 81 82 83 84

p 2 6x

3

p 85 x 2 ‡ 2 2 6 86 4x 2 ‡ 2

p 3

p 87 x 2 ‡ 4 2x

444

p
2 x

p
2 x


1 x

2x

p 3ˆ0

p 2x 12 ˆ 0 p p  p
3 5 x 15 ˆ 0 x2
p  p  x2 6‡2 x‡2 6ˆ0 p
p x2 ‡ 1 3 5 x ˆ 3 5 p 3x ˆ 18 x2 p x 2 2x ˆ 6…x 2† x2

p 16 3 ˆ 0

p 3ˆ0

p 8 2ˆ0

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

h

 p  p p i Sˆ 3 3 ;Sˆ 2 2, 3 2    p p  p Sˆ 1, 2 ; S ˆ 5, 3  p   p  Sˆ 3, 1 ; S ˆ 2, 6  p p   p  Sˆ 3, 2 ; S ˆ 1, 3 5 p p   p p  Sˆ 5, 3 ; S ˆ 2 3, 3 3   p   p Sˆ 2 2, 1 ; S ˆ 2, 6   p p  3 6 Sˆ , 3 2   p p  Sˆ 4 6, 2 2   p  3 1 Sˆ , 2 2   p  Sˆ 4 2, 2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

p 2 p 88 2x ‡ 10x 89 x 2 90

p 2 2x

p 2 3x

p 2 1



 p 3p 2 Sˆ 5, 2   p  Sˆ 1, 1 ‡ 2 2   p  p 6 Sˆ , 2 3

p 3 5ˆ0

3x

p
1‡2 2 ˆ0 p
3 x

2ˆ0



Risolvi le seguenti equazioni. 91

ESERCIZIO GUIDA …2x

1†…x ‡ 2† ˆ 4x …x

1† ‡ 3

Svolgiamo i calcoli e trasportiamo tutti i termini al primo membro: 2x 2

2 ˆ 4x 2

x ‡ 4x

4x ‡ 3

Applichiamo la formula risolutiva:

92 …x

2†…2x ‡ 1†

93 …x

3†…x ‡ 3† ‡ 3

9 ˆ 9…1

x†



x‡1 6



5x ˆ 0

x

1 2

 2

99

p
p
p 2 x‡2 2 ˆx 4 2

3† ‡ …x

1† ˆ 0

4x…x ‡ 1† ˆ 2…1

101 2…x

2†…x ‡ 3† ˆ …x ‡ 2†

102 …3x

1† ‡2…1

‡

x2

1 2

2

x

x…3x ‡ 1† ˆ …x




S ˆ f 4,

3 2x

8

…x 3

3†

2

4…x

4†…x ‡ 4† ‡ 3…x

2

1† ˆ 6…2

"

Sˆ

2

3†…1

x†



  S ˆ 1; S ˆ 0,





S ˆ f 6, 2g; S ˆ

1, 5 2





3, 1 2 12 11 36 23 4, 3 4









 # p p p 3 p 2 1 2, 2 ,2 2 ;Sˆ 3 2 2 

2†…2x ‡ 7† ˆ 20 S ˆ

1†…2x ‡ 3† ˆ 4…x ‡ 2†

…5x

3g; S ˆ

    Sˆ 1, 5 ;Sˆ 1, 2 2 2

2

p 6…x ‡ 1† ˆ 11 2x

3x†

3x † ˆ … 1†

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

1†

2 2† ‡ x…x ‡ 1† 3

2

Sˆ



‰S ˆ f 5, 2g; S ˆ f1gŠ    7 S ˆ f 1, 6g; S ˆ 0, 2   p  2 S ˆ f 9, 2g; S ˆ  2

x

ˆ



   1 , 1 ; S ˆ 3 , 21 3 2 2

6x

‰S ˆ f 2, 4g; S ˆ 1Š

4x† ‡ x…3x ‡ 7† ˆ 8

    Sˆ 2 ;Sˆ1 3

103 x 2 ‡ 2…3x ‡ 10† ˆ …x 2†…x 4† …x ‡ 1†…x 3† ‡ 4x
2 p p 2 5…7x ‡ 2† ˆ x…19x 2† ‡ 18 104 9 ‡ 2 5x ‡ 3 105 5x 2 ‡ …x

x…x ‡ 1†

7x ‡ 5 ˆ 0 !

1

2

1 ‡ 4…x

2

5 2

…2x ‡ 1† x2 1 ˆ 9 3 3    2 1 8 x 3 x x‡ ˆ 2 25 2

98 2x

2

1

2x 2

!

4†…2x ‡ 1† ˆ 0 x† ˆ 3…x 2 ‡ x

4

2

100 …x ‡ 1†

1†…x ‡ 3† ˆ 6x

3x…1

1ˆ

x

xˆ

5ˆ0

p 49 40 73 ˆ ˆ 4 4

4 ‡ …x

ˆ0

… x ‡ 6† 2  2  2x 1 97 ˆ2 x 2 96

7

…2x

94 x…x ‡ 11† ‡ 18 ˆ 0 95 x ‡ 2 ‡ x

2x 2 ‡ 7x

!



‰S ˆ f 3gŠ p  Sˆ 2, 2 5    5 Sˆ  3

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO



445



106 …x 1†…x ‡ 1† ‡ …x 1†…1 x † ‡ 3 ˆ x …2x ‡ 3†      2 1 1 1 …2x ‡ 1† ˆ 3 ‡x 107 x x‡ 2 2 4 1†

3

…x

109 …x ‡ 1†

2

3…x

1†…x ‡ 2† ‡ x 3 ˆ …x

110 5…x ‡ 1† ‡ …x

1† ‡ x …3 ‡ x † ˆ …x

108 …x

1†…x

2† … x ‡ 3 † ˆ x 2

1†

2

3

114 115 116 117 118 119 120

x

1

x2

2x

3

2

3x ‡

…x

3†…x ‡ 3† ‡

1†

124 …x ‡ 5† 125

x

3

2

4

… x ‡ 1† 48 ˆ

…x ‡ 1†

2



Sˆ



‰S ˆ 1Š 3, 1 3

‰S ˆ f 5,

1 …x 2

  S ˆ 0,

2



2†…x ‡ 5†

1ˆ

3gŠ 11 12



‰S ˆ f 2, 0gŠ

 5 …x 18

1† ‡ x



   S ˆ 1 , 33 3 8 ‰S ˆ f0, 1gŠ 

Sˆ



p  54 2 ‰S ˆ 1Š

1 x…x ‡ 3† ‡ 2x 6

‰S ˆ f3gŠ   Sˆ


3†…x 2 ‡ 3x ‡ 9 ‡ 1 …15x ‡ 91† 6  x…x 1† 2

 8,1 5

‰S ˆ f1,

6gŠ

3

…x 2…x

p
p
3 x‡ 3

1† … x

x2

1

 2 3 …2x ‡ 1† 1 x ‡x 2 2 2 p
2 p
2 10x 3 ˆ x‡ 3

3† x

"

1† ˆ

2

 p  p 
 2 2x 1 x‡1ˆ 2 3 1 p 2 x x x‡ 126 6 3 6 4 6 3 p
p
2 p
p
127 2 1 x ‡ 2 2 ˆ x 2 2 x‡ 2 x 2 2

446

  p  Sˆ 3 2

1 ‡ …x 1† 2 6

3 1†…x ‡ 2† ‡ 1 …x ‡ 2† ˆ 1 x 3 3  …x ‡ 2†…x 3† x2 ‡ 2 ‡ x ‡x 5 ˆ 122 4 2

123



‰S ˆ 1Š

1† … x ‡ 1 †

3 …x 4

121

1 3



‰S ˆ 1Š

1 …x ‡ 1† ‡ 5 3  3  2  3  x x 1 x 1 1 ‡1 ˆ 1 x ‡x
2 2 2 2  2   2 1 x 2 x…2x 1† ‡ x ‡ ˆ …2x 1† 3 3   x2 ‡ 1 x ˆ x ‡ 1 x ‡ 1 x 1 ‡ 5 6 2 6 2 2  2   x‡3 x‡3 ‡6 2 ‡ 5x ‡ 1 ˆ 0 2 2   x 1 ‡ x2 1 ‡ 5 x x 1 ‡ x…x ‡ 2† ˆ 4 12 6 2 3 4 1 …x 3

1, 1 2

2

‡6ˆ

x x2 ‡ 1 ˆ 10 15

2x ‡ 1 5

2†

2

2 111 …x 2 ‡ x 1† …x 2 1†…x 2 ‡ 1† ˆ 2x …x 2 2x ‡ 2†  2   2 1 1 …2x 1†2 … 7 112 3x 13x ˆ 2x ‡ 1† 2 2 4

113



  Sˆ 2,

x …x

x‡1

Sˆ

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

1

#

‰S ˆ f1gŠ

9 2

‰S ˆ 1Š ‰S ˆ f1, 9gŠ 

Sˆ



 Sˆ 2



p  3 2 1, 10

p p  2 2, 2 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS



2 x2 128 4 3

1x 5



‡ …x ‡ 1†

2

1 ˆ x2 ‡

3 5

  x…2x 3† 2 1 x ˆ ‡ 129 9 3 3 3 9         3 3 1 5 5 130 x x‡ ‡ 2x x ˆ x x‡ x2 2 2 2 2 2       x ‡ 2 2x 1 11 3x 5 x2 1 x ‡ 1 131 …x 1† ˆx 2 3 6 3 2 3 25 ‡ …x

x2

132 133

…x

2†

2†…x ‡ 2† 4

2

…x

2

2†

2

ˆ 2x

1

2 2x ˆ x ‡ x…x ‡ 3x 1‡1 1 1 1 1 1 2 4 4 16 2 4 2

x

  Sˆ 



2†…x 2

…x

140

…2x ‡ 3†…2x 2

141

1 …x 2

2†

1†

145

…x ‡ 1†…x 6

1† x …1

 142 …x ‡ 2† x

144

ˆ

1 3



2† 2

…2x ‡ 1† ˆ 3x † ˆ x …2x

‡

 x x

3 8



5 4

…3

2x †…x 4



   Sˆ 1, 1 5 2    Sˆ 5,6 2

2

… x ‡ 2† 16 ‡ 7 ‡ …x 3†…x ‡ 1† ˆ 2 3 2   1 1 x 7 1 …x 2† …2 x†…5x ˆ ‡ 4 3 4 12



Sˆ



3

p  15 3

  Sˆ

 3 ,2 2

  Sˆ

 5 ,1 2



2 1… 2x ‡ 1 10 17 x ‡ 3† ˆ ‡ ‡ x 3 2 3 6

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

2 3

   6 Sˆ ,1 7



2†

3†…x ‡ 5† …x 1†…x 3† x 2 5x ‡ 6 x…x 3† ˆ ‡ 3 4 6 2  2     2 1 1 3x‡1 1 …63x ‡ 20† 2x ‡ 1 x‡ ˆ ‡ 2x 2 3 3 2 18

2 1 … 1 ‡ 3x † 146 12

5, 4

‰S ˆ 1Š

…x

16x 2 ‡ 24x 16



   S ˆ 0, 3 5

2† 1 8

… x ‡ 2 † … x ‡ 1† ‡4 3   1 5 x x‡ 2 1†

p  51 3

‰S ˆ 1Š

x†…x ‡ 2† 24x ‡ 1 …3 ˆ ‡ 35 5

139

143

Sˆ

7‡x 4

x†…3 ‡ x† 7  2 2 … x 2† … x ‡ 1† 11 5 x 1 4 x
2x 3 ˆ ‡ 137 24 48 2 3 4 6 16   2 2 …x ‡ 2† …x 1 † 3 5 ˆ x 2 8x 138 …2x 1† ‡ 6 3 2 …1

6



‰S ˆ 1Š

…x ‡ 2†…x 1† …4 x †…x 3† 1 ‰ 3… x 2 134 3x † ‡ 4Š ‡ …3x 2 5x ‡ 6† ˆ 2 2 2    2  1 1 x 1 ‡ x ‡ 6 14x ˆ 5…1 x †…1 ‡ x † 31 x 135 2x ‡ 5 5 5 5 136

Sˆ



3, 3 4 10

1†

Sˆ Sˆ

 

5, 1 2 1, 9 8

 

   S ˆ 21 , 3 5   Sˆ

 1 ,1 3

  Sˆ

 2 ,1 7

  Sˆ

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

4, 4 5 3



447

     2 5x 2 ‡ 45 ‡ 30x ‡ x 5 1 26 ‡ 1 x 2 1 1 2x 147 ˆ 15 5 5 3 5 3 25 5     2 2 2 1 2 5 ‡ 2x 148 x ˆ 3 2 …5x 1† 2x ‡ x‡ ‡ x 3 3 3 9 149



150

…x 2

1 2x ‡ 5

2

  2 4… 29 4x ‡ 1† ‡ 1 ‡ ˆ 5 25

x ‡ 1† 3

…x

2

3†

2

‡

3 ˆ …2x 2

x4 3

p
p 8 ‡ x2 1 2 2p x  p ˆ 1‡ 2 2 2

155 0,3…x ‡ 1†…x 2 ‡ 1† ‡ …x 2 156

 5 ‡ x 12

157

…1

3 2

3 

2x†…1 ‡ 2x† 2

x‡

1 2

x

2†…x

2 

 x ‡1 3

x 2 p 2

2† ˆ

x ‡ 1† 6

2

‰S ˆ f4gŠ

5 x2 4

4x ‡



1 2

2 3

x

3 2 158 3,6…x ‡ 1† ‡0,3…x 3 ‡ 1† ˆ 48x ‡ …2x ‡ 1† …x

Sˆ

Sˆ





2, 1 3



 1 ,1 10

‰S ˆ f2, 5gŠ

Sˆ

 p 2, 4

p  2 2

   Sˆ 2, 14 13

1†…x 2 ‡ 2† 1 ‡ x …5x 2 ‡ 4† 6 2  81 ˆ0 8

 1 2x 3 3

 1 10x 2 6

0,2…x ‡ 1† ˆ





…x



‰S ˆ 1Š

x 3

x 2 ‡p4 154 1 2

13 5

   4 ,1 Sˆ 7

2

1 2x 1 ‡ 51x ‡ 1 2 ˆ x2 151 4 48 16 2 8    1    x‡1 x 2 2 1 ‡ 39x ˆ 3 x 1 x‡1 152 3 12 2 3 2 3 4 " #   2 x‡3 3 x ‡ 1 1 2x x ˆ 1‡3x 153 2x 2 2 3 6 2 4 x‡

1 2

2

…6x ‡ 1†

  Sˆ





Sˆ



 1 ,1 35

  Sˆ

3, 1 2 3



1 ,1 4



   Sˆ 7 ,1 19

3†

CORREGGI GLI ERRORI 3x 2

159 4x 160 2x…x

161 3x

162 x 2

448

2

1ˆ0

1† ˆ 4

!

8x ‡ 25 ˆ 0

x…x

!

4x ‡ 1 ˆ 0

!

!

xˆ

p 9 ‡ 16 35 ˆ ˆ 8 8

1† ˆ 2

xˆ

x ˆ4

3

2

!

xˆ2 _ x

p 4 3 21 ˆ ˆ 6 6

p 16 25

!

x ˆ4

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

1 1 4 1ˆ2 1 2 1 6

p 9ˆ43ˆ

Sˆ

!

S ˆ f2, 3g

! !



Sˆ



1 1 , 2 6



7 1

!

S ˆ f7, 1g

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

163 …3x

1†3…x ‡ 1† ˆ 23…x ‡ 1†

164 6…x

3†…x ‡ 2† ˆ 6

3x

!

!

1ˆ2

3†…x ‡ 2† ˆ 0

…x

3x ˆ 3

!

!

xˆ1

xˆ3 _ xˆ

!

LE EQUAZIONI FRAZIONARIE

S ˆ f1g

! 2

!

S f 2, 3g

la teoria eÁ a pag. 146

Comprensione 165 L'equazione a. in R

4x 2 2x 3 ˆ 1 e l'equazione 4x 2 x2 ‡ x b. in R

f0g

2x c. in R

3 ˆ x 2 ‡ x sono equivalenti: d. in R

f0, 1g

f0,

1g

166 Un'equazione frazionaria A ha dominio D ˆ R f1, 0g; ridotta in forma intera assume la forma B : x 2 x 2 ˆ 0. Si puoÁ dire che: a. le soluzioni di B sono anche soluzioni di A b. delle soluzioni di B una sola eÁ anche soluzione di A c. nessuna delle soluzioni di B eÁ anche soluzione di A. Quale delle precedenti affermazioni eÁ la sola vera?

Applicazione Risolvi le seguenti equazioni frazionarie dopo averne determinato il dominio. 167

ESERCIZIO GUIDA x‡3 4 ‡ 3 3



x‡5 x‡3

1



ˆ

5x ‡ 1 x‡3

Determiniamo il dominio imponendo le condizioni di esistenza: Allora

DˆR

f 3g

x ‡ 3 6ˆ 0

cioeÁ x 6ˆ

3.

Svolgiamo i calcoli e trasportiamo tutti i termini al primo membro: x‡3 4 x‡5 x ‡
3 3 x‡3

3

ˆ

5x ‡ 1 x‡3

!

x‡3 8 5x ‡ 1 ‡ ˆ 3 3…x ‡ 3† x‡3

!

2

3 …x ‡ 3†
x

2

…x ‡ 3† ‡ 8 3…5x ‡ 1† ˆ
3 …x ‡ 3† 3 …x ‡ 3† 3 …x ‡ 3†

9x ‡ 14 ˆ 0

!

xˆ

9

x 2 ‡ 6x ‡ 9 ‡ 8 ˆ 15x ‡ 3

p 81 56 95 ˆ ˆ 2 2

Le soluzioni trovate appartengono a D quindi: 168

!

!

2 7

S ˆ f2, 7g.

ESERCIZIO GUIDA 6x

… x 2 ‡ 5† ˆx x 1

1

Il dominio dell'equazione eÁ l'insieme D ˆ R Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

f1 g

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

449

L'equazione in forma intera assume la forma: 2

…x 2 ‡ 5 † ˆ …x

6x

1†

2x 2

!

8x ‡ 6 ˆ 0

Delle soluzioni trovate solo 3 appartiene al dominio, quindi:

170 171

4 3

1 ˆ2 x

2

ˆ 8 ‡ 5x 1 2x x‡1

13 ‡ 3x ˆ …3x ‡ 1† 6 3…3x ‡ 1†

3x

ˆ 4x ‡ 6x 4 x 2 x‡2

x2

2 172 82 ‡ 4 ˆ x 2x x 2x

173 174

x x2

4 9

3

x2

6 x

x x

2

1

1‡

x

ˆ0

2

ˆ

5 x‡1

3

179 180

4x …2x x 2x 2 x2

1† 3

2

x

3

x

2x ‡ 1 ˆ x 1 x‡3 4x ‡ 3

181 2x ‡ 3 x 2

2x 3 ‡ 6x 7 ˆ 0 1 x x 2 3x ‡ 2

182 2x 1 ‡ x ‡ 2 ˆ 27 ‡ 5x x‡2 1 2x 2x ‡ 3x 2 183

1 ‡ 2…x 2 3† 9x ‡ 2 ˆ 0 2 x‡1 … x ‡ 1†

2…3x 2 4x ‡ 2† 184 x 2 5x ‡ 8

450

5 ˆ1 x‡5

x

13

4 ˆ 2x

2x x

x 7

1 ˆ 1 4x 2 x 3

3 x

 p S ˆ 1  2 ; S ˆ f 22,

"

"

5 x

Sˆ



"

ˆ2 1 x

4 x‡4

h

"

x

x ‡

"

Sˆ

Sˆ 

1 2

 p i S ˆ 1; S ˆ 2 5 #

# 2 ,1 3

 p  3 ;Sˆ





  S ˆ f 10, 3g; S ˆ f3g

S ˆ f0, 1g; S ˆ

S ˆ f 6g; S ˆ



S ˆ f 1g; S ˆ













 1,1 2

p  1 5 4

5 

1 ‡ x ˆ x2 3 2,5 ;Sˆ Sˆ 3 3x x 1 x2 ‡ x      1 2 1 3 …x ‡ 1† ˆ x 2 Sˆ , ; 2 2 x x 1 x 1 "       x 1 x 5 1 ˆ 1‡ 2 Sˆ 1, 3 ;Sˆ 1 2 4 x ‡ 2x x 3 x

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

11 2

  S ˆ f 5, 6g; S ˆ f6g

1 ˆ3

3 ˆ x x2 ‡ x x2 1

 #  4 ;Sˆ 1,2 3 3

  0, 5 ; S ˆ 0, 4



18† ˆ x ‡ 6

x



  p   p Sˆ  2 ;Sˆ  2

1 ˆ2 x2

2

 #  7 29 31 0, , ;Sˆ 10 5 5

Sˆ

4

3ˆ0

i 8g

  # 1 17 5 , ;Sˆ  2 13 3



Sˆ

2 ‡ x ‡ 2 ˆ x ‡2 6x 5 1 x‡1 x 1

x‡1 x2 x2

3 h

x‡4 8

2x x 2

2 …x 2 ‡ 3x x

3 ˆ 1 x …x ‡ 3† 2x

x2

x

1‡ 2 x x2

x…x 2† ‡ 1 ˆ 31 x‡1 x‡1

1

S ˆ f3g.

x ‡ 1 ‡ 4 ‡ 4x ˆ 1 x ‡ 3 3…2 x †

…x ‡ 1† ˆ 1 176 2 x ‡ 2x ‡ 1 2x

1

1

2 x ˆ 3x

2

178

x ˆ 13 5 6

6 x‡1

… x 1† 1 ‡ 3x ˆ 0 175 2 x 1 …1 x †

177

3 ˆ x ‡ 10

7 x

25 2x

4x ‡ 3 ˆ 0

p x ˆ2 4 3ˆ21ˆ

Applicando la formula ridotta otteniamo:

169 x

x2

!

p  21 2 2, 5 7



 Sˆ1

# 8 ,1 3

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS



2…1 ‡ 2x† x2 7x ‡ 2 ‡ x3 ˆ 2 x 2 …x 2†…x ‡ 1† x 2 2 x x p p
p 2 3 x 2 x ‡ p 3 2xp 186 ˆ2 ‡ p
p
‡ 3 2 x x x 2 x 3  2 2 …x ‡ 1† 1 1 2 1 x‡3 ‡
2 187 ˆ0 4 3 x ‡ 4x ‡ 4 3 3 x ‡ 2 185

2

188

…x ‡ 1† 2x 3 ‡ x 2 8x

189

x 2 ‡ 8x ‡ 11 x 1 ˆ x 2 ‡ x 2 ‡ 5x ‡ 6 x‡3 x‡2

190 191

3 x

1

‡

4

‡

8x 4 ˆ 2 x 2 ‡ 10x ‡ 25 x ‡ 7x ‡ 10

194

x…3x 2† x 3

196

x x

x x‡1

1

x2

1ˆ



6

ˆ



1 x‡2

2x 2 ˆ 2 x 2x ‡ 1 1

Sˆ

203

2 1

p x p3  x‡ 3

2ˆ

3

2

x



x

1

1 x‡1

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

x2

p 6p3x 3x



1, 1 2



 9,0 2

p  7 2 4



 p  S ˆ 2 3



 p  S ˆ 2 7    S ˆ 95 18

1 2

x





Sˆ



p  4 2 2

‰S ˆ f0,

x x

p x ‡ 2p3  ˆ 3 x 2 3



p  11  2 19 9

9 4

‡



‰S ˆ f0, 4gŠ

1

2…x 2† x‡1 ‡ x 1 ˆ x 3 1 3x 3x 2 10x ‡ 3 x x

Sˆ

Sˆ

1 x‡1 ‡ 2 x 2 3x ‡ 2   12…x ‡ 1† 24 5 1 ‡ 3x 1 ‡ ˆ 201 x 1 x 3x x 1 p 1‡2 p 2  1 p 1 ‡ 202 ˆ0 ‡ 2 8 x 2 ‡ 8 4 2x x 2 2 x 200

26 5

p  2  10 3



5 x 1 2x 7 2x 2 9x ‡ 7    1 1 1 1 1‡ 1 ˆ 198 ‡ x 2 ‡ 5x 6 x 3 x 3 2 x ‡



  Sˆ

2x…3 x† ‡ 4 2 ‡ ˆ0 3x ‡ 2 x 3 2x 2 x ‡ 2

1

197

199

Sˆ

2 4† 3 2x 2 ‡ 1 ‡ x…x 2 x 2 5x ‡ 6 x

x2



‰S ˆ f 5gŠ

3 4 1 x 16

193

195



3

x 1 ‡ 1 ˆ 4x ‡ 1 4x 1 x3

1 2

  Sˆ

x‡1 ‡ 5 3x ˆ 0 ‡ 2x ‡ 5 4x 2 25 5 2x

1 192 4x

 0,

  p  Sˆ 3

1 ˆ0 4x ‡ 2

2x 10 ˆ 2 x‡3 x ‡ 2x

Sˆ

2gŠ

‰S ˆ 1Š   Sˆ

2 3



  p
 Sˆ 2 1‡ 2 , 0

6 Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

‰S ˆ 1Š

451

1 204 x

x x‡1 ˆ x 2

p
p
2 2 x‡2 2 x 2 2x

  p  Sˆ  3

LE EQUAZIONI LETTERALI

la teoria eÁ a pag. 148

RICORDA Per discutere un'equazione letterale devi: l

determinare il dominio D escludendo i valori di x che annullano i denominatori

l

escludere gli eventuali valori dei parametri che annullano i denominatori

l

svolgere i calcoli fino ad arrivare alla forma normale dell'equazione

l

imporre che il coefficiente di x 2 , se letterale, sia diverso da zero

l

applicare la formula risolutiva per trovare le soluzioni e imporre
 0 se ci sono dei parametri

l

confrontare le soluzioni con gli eventuali valori esclusi dal dominio

l

stabilire che cosa accade all'equazione per i valori del parametro che annullano il coefficiente di x 2 .

Comprensione 205 Per poter applicare la formula risolutiva all'equazione …a a. a 6ˆ 1

b. a 6ˆ 2

2†x 2

1†x ‡ a ‡ 2 ˆ 0 deve essere:

c. a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 2

206 Nell'equazione di secondo grado letterale …3a ‡ 1†x 2 3 _ 2 a. se a ˆ 1 le soluzioni sono 2 1 l'equazione eÁ impossibile b. se a ˆ 3 1 l'equazione ha soluzione 2 c. se a ˆ 3

2ax

8a

d. a 6ˆ 2

4ˆ0: V

F

V

F

V

F

d. se a ˆ 0 l'equazione eÁ indeterminata

V

F

e. se a ˆ

V

F

1 l'equazione ammette 0 fra le sue soluzioni. 2

207 Risolvendo un'equazione letterale di dominio R sieme delle soluzioni eÁ: a. fa, a ‡ 1g 8a 2 R

b. R

d. fa, a ‡ 1g se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1

1

208 Il dominio dell'equazione letterale a. R

f0g si ottengono le soluzioni x ˆ a ‡ 1 e x ˆ a; l'in-

b. fa, a ‡ 1g se a 6ˆ 0

c. fa, a ‡ 1g se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ

x2 ‡ x a

f0, 1g

1

x … x ‡ 1† x 1 eÁ: ˆ a 1 a c. R

f0g

209 L'equazione del precedente esercizio ha soluzioni x ˆ 0 _ x ˆ

452

…a

d. R a 1

2a

a. 8a 2 R

b. se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ

1 3

c. se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1

d. se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ

1 2

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

f1 g

; esse sono accettabili:

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

210 Il dominio di un'equazione letterale di parametro a eÁ l'insieme R f a, ag; non vi sono condizioni iniziali sul parametro che puoÁ assumere qualsiasi valore reale. Risolvendo l'equazione si ottiene x ˆ a ‡ 1 _ x ˆ 6a. Le soluzioni sono accettabili: a. 8a 2 R

b. se a 6ˆ 0

c. se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ

1 2

d. se a 6ˆ 6 ^ a 6ˆ 0

Applicazione Equazioni letterali intere Risolvi e discuti le seguenti equazioni. 211

ESERCIZIO GUIDA …a ‡ 1†x 2

2ax ‡ a

1ˆ0

L'equazione si presenta giaÁ in forma normale e possiamo procedere alla sua risoluzione. Discutiamo il coefficiente del termine di secondo grado: l

se

a ‡ 1 6ˆ 0

cioeÁ se

a‡1ˆ0

cioeÁ se

a 6ˆ

1

aˆ

1

possiamo applicare la formula risolutiva; visto poi che il coefficiente del termine di primo grado eÁ divisibile per 2, possiamo usare la formula ridotta. Calcoliamo dapprima il discriminante:
ˆ a2 …a ‡ 1†…a 1† ˆ a2 a2 ‡ 1 ˆ 1 4 a 1 a‡1 a1 ˆ Applichiamo la formula: x ˆ a‡1 a‡1 ˆ1 a‡1 l

se

non possiamo applicare la formula; sostituendo questo valore nell'equazione otteniamo: … 1 ‡ 1†x 2 ‡ 2x

1

1ˆ0

2x 2 ˆ 0 ! xˆ1   a 1 ; se a ˆ 1 : S ˆ f1g. 1 : S ˆ 1, a‡1

Riassumendo: se a 6ˆ 212 2ax 2 ‡ …a2 213 …b

2†x

1† ‡ …6a

215 x 2 ‡ x

2ax ˆ a

216 …a 217 2…x 218 …x 219 2x…a

  se a 6ˆ 0 : S ˆ

  a , 1 ; se a ˆ 0 : S ˆ f0g 2 a     se b 6ˆ 2 : S ˆ 2, 3b 4 ; se b ˆ 2 : S ˆ f2g 2 b "  #   1 1 2a 1 1 , ; se a ˆ : S ˆ se a 6ˆ : S ˆ 2 2 1 2a 2 2

aˆ0

2†x 2 ‡ bx ‡ 2…4

214 2x 2 …2a

!

3b† ˆ 0

1†x ‡ 2a ˆ 0 a2

2

x† ˆ 9 1†…x ‡ 1† ˆ 2a…x 2

a† ˆ … a 1†

1†

x †…a ‡ x † 2…a

2† ˆ

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

h 2 1 … x ‡ 1† ‡…x 2

1†

2

i

‰S ˆ fa, a

1gŠ

‰S ˆ fa ‡ 3, a

3gŠ

‰S ˆ f1, a

1gŠ

‰S ˆ f0, agŠ ‰S ˆ f1, 2a

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

3gŠ

453

220



x

a 9

2 

a 3

3x

2

221 x…3a ‡ x ‡ 1† ‡ …3a ‡ x

1†…6a ‡ x† ˆ 2‰1 ‡ 3a…3a ‡ 1†Š

222 …3a

x†…3a ‡ x† ‡ …x ‡ 3a†

223 a…x

2† ‡ x…x

2

2† ˆ 0

a†x 2 ‡ 2ax ˆ 0     a a x ‡x 2x 225 3 3

227 a 2 x 2

3†…x ‡ 3† ˆ 3x

1 ax ˆ 2

228 x 2 229 ax…x



1 ‡a 2

2† ˆ 1

230 …3x ‡ a†

2

233

a

ˆ …a

1 5†x 2 ‡ ax 3

9

x…a

 x

1a 2





 1 x2 ˆ ax 2

2

n

 a 1  p 10 3


oi

‰S ˆ f a, 2gŠ   2a ; se a ˆ 1 : S ˆ f0g a 1

se a ˆ 0 : S ˆ R; se a 6ˆ 0 : S ˆ f0, 1g

se k 6ˆ 0 : S ˆ

2† ‡ 2



2



3,

3…1

k† k



; se k ˆ 0 : S ˆ f3g





‰S ˆ f 2a, agŠ p  1:Sˆ 22 1‡a 2   3 1 6 se a < 0 : S ˆ 1; se a ˆ 1 : S ˆ 2 ; 7 7 6  7 6 p  5 4 a a se a  0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ a 1  se a 

a2 1… a 2

Sˆ

  3 1 1 se a ˆ 6 2 ^ a ˆ 6 2 : S ˆ , ; 6 a 2 a‡2 7 7 6   7 6 5 4 1 se a ˆ 2 _ a ˆ 2 : S ˆ 4    S ˆ a , 1 ‡ 2a 2 2    p p  a a se a > 0 : S ˆ 1 ‡ ,1 ; se a  0 : S ˆ 1 a a

a

231 …x ‡ 2† ˆ …a ‡ 2† 232

2

  se a 6ˆ 1 : S ˆ 0,

3x…2x ‡ a† ˆ 7a 2

2



1 a 3

x…a ‡ 2† ‡ 1 ˆ 4x 2

h

9…a 2 ‡ x 2 † ˆ 0

224 …1

226 k…x

   S ˆ 0, 2 a 9    S ˆ 1, …6a ‡ 1†

8 a2 81

ˆ

ax 2 †

ESERCIZIO GUIDA



x ‡ x2 6 ˆ 2 a a Condizioni sul parametro:

a 6ˆ 0

Riduciamo l'equazione in forma normale:

a2 x 2 ‡ ax

6ˆ0

Abbiamo giaÁ posto la condizione a 6ˆ 0 relativa al coefficiente di x 2 , possiamo quindi applicare la formula risolutiva: 3 p a a  a2 ‡ 24a2 a  5a ˆ ˆ xˆ 2a2 2a2 2 a   3, 2 Riassumendo: se a 6ˆ 0 : S ˆ a a se a ˆ 0 : l'equazione perde significato. 234 x

454

  a ‡ x 2 ˆ 9 a2 ‡ 2 a 9



se a 6ˆ 0 : S ˆ



3a,

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

  3a 2 ‡ 1 ; se a ˆ 0 : l'equazione perde significato a Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

x2 235 a2

236 237

p
2 x 2a

a 1 ‡ x2 ˆ 2





3x 2 2x ˆ 4 ‡ a a2 3a a 3

239

x2 ‡ a x2 a 5ax ‡ ˆ 2 a 1 a‡1 a 1

240 x…x ‡ a† ˆ

242

…x

b†…bx b 2



a,

…b ‡ 2†…bx b

 1 ; se a ˆ 2 " se a 6ˆ

se a 6ˆ



 1 : l'equazione perde significato; 2  # 2 2 1 : S ˆ …a ‡ 1† , …a 1† ; 1 : l'equazione perde significato

  2 ; se a ˆ 0 _ a ˆ 3 : l'equazione perde significato 3 3 2   1 7 6 se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ 2 , 2 ; 7 6 7 6 4 se a ˆ 1 _ a ˆ 1 : l'equazione perde significato; 5 se a ˆ 0 : S ˆ R   1 , a ; se a ˆ 2 : l'equazione perde significatoŠ 2:Sˆ a‡2

se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 3 : S ˆ



ˆ

1 :Sˆ 2

se a ˆ

a‡x a‡2 1†

se a 6ˆ

se a ˆ 0 : l'equazione perde significato

x2 2 …a ‡ 1†

2

1† ˆ

238

241

a

2…2x 2 ‡ a† ‡ 2x ˆ 0 2a ‡ 1 4ax 2 ‡ …a …a ‡ 1†

  3 p ap ; se a ˆ 6 0 ^ a ˆ 6  2 : S ˆ 0, 7 6 a‡ 2 7 6 p 7 6 7 6 se a ˆ 2 : S ˆ f0g; 7 6 p  7 6 7 6 se a ˆ 2 : S ˆ R; 5 4 2

2 , a

2



2

 4 ;

3

7 6 se b 6ˆ 0 ^ b 6ˆ 2 : S ˆ 1 , 2b 7 6 b b 5 4 se b ˆ 0 _ b ˆ 2 : l'equazione perde significato

1†

2



1

 a,a ;

3

7 6 se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ 2 5 4 se a ˆ 0 _ a ˆ 1 l'equazione perde significato

2

x‡a ‡ 4 ˆ x x ‡ 4a 2a a 1 a2 a

Equazioni letterali frazionarie Risolvi e discuti le seguenti equazioni. 243

ESERCIZIO GUIDA 2a x x‡1

a ˆ x

1 2

Dominio dell'equazione:

DˆR

f 1, 0g.

Non ci sono condizioni iniziali sul parametro. Riduciamo l'equazione in forma normale: 2x …2a

x†

2a…x ‡ 1† ‡ x …x ‡ 1† ˆ 0

!

x2

x …1 ‡ 2a† ‡ 2a ˆ 0

Possiamo subito applicare la formula risolutiva; calcoliamo prima di tutto il determinante: 2


ˆ …1 ‡ 2a† Applichiamo la formula:

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

xˆ

4a ‡ 1 ˆ …2a

8a ˆ 4a2

1 ‡ 2a  …2a 2

1†

1†

2

1 ˆ

2a

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

455

La prima soluzione eÁ accettabile; stabiliamo per quali valori di a lo eÁ la seconda: 1 2a 6ˆ 1 ! a 6ˆ 2 2a 6ˆ 0

!

Riassumendo:

244

245

x‡a x 1 a2 x



x x

1 2

1 x



a 6ˆ 0 se a 6ˆ

1 ^ a 6ˆ 0 : 2

S ˆ f1, 2ag

se a ˆ

1 _aˆ0: 2

S ˆ f1g. 

a ‡ 1‡a ‡1ˆ0 1 x ˆ

se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ

1 : S ˆ f ag; se a ˆ 0 _ a ˆ

1:Sˆ1

  3 2a 6 se a 6ˆ 2 ^ a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ  a 2 ; 7 7 6 7 6 5 4 se a ˆ 2 _ a ˆ 0 : S ˆ 1; se a ˆ 1 : S ˆ f2g 2

2…a 1† x‡2

2

6 se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 2 : S ˆ 6 6   6 1 ; 6 se a ˆ 2 : S ˆ 6 4 4

a…x ‡ 1† 1 246 …x ‡ 1†a ˆ a ‡ 2x ‡ 1 2



1 2a

a, 1

se a ˆ 0 : S ˆ 1

2…2a ‡ x† 4a ˆ 0 ‡ x‡a x a    1 ax 1‡x 248 x 2 ‡ ‡ x x‡1



247

249

a  ˆ …x x‡1



1†a ‡

3…x ‡ a† x‡1

se a 6ˆ 0 : S ˆ f0, "

 3 a ; 7 a 7 7 7 7 7 5

5ag; se a ˆ 0 : S ˆ 1



 p # se a > 1 ^ a 6ˆ 0 : S ˆ 1  a ‡ 1 ; se a ˆ 0 : S ˆ f2g

ESERCIZIO GUIDA a…x a

1† 1 ‡ ‡1ˆ 2 x ax 2

2‡a 2x 2a ‡ 4

Scomponiamo dapprima i denominatori: Il dominio dell'equazione eÁ l'insieme

a … x 1† ‡1ˆ a 2

DˆR

1 x

2

‡

…a

2‡a 2† … x

2†

f2g

Dobbiamo inoltre imporre la condizione sul parametro:

a 6ˆ 2

Svolgendo i calcoli si giunge alla forma normale dell'equazione: ax 2

2ax

2x ˆ 0

!

x …ax

2a

2† ˆ 0

Procediamo alla discussione: l

se a 6ˆ 0 :

xˆ0

_

xˆ

2…a ‡ 1† a

2…a ‡ 1† 6ˆ 2 a Poiche questa condizione eÁ sempre verificata anche questa soluzione eÁ sempre accettabile. La prima soluzione eÁ accettabile, la seconda lo eÁ se:

l

456

se a ˆ 0 l'equazione diventa:

2x ˆ 0

che ha soluzione x ˆ 0.

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

In definitiva:

se a ˆ 2 :

l'equazione perde significato   2 …a ‡ 1 † S ˆ 0, a f g Sˆ 0 .

se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 2 : se a ˆ 0 : 250

251



x ‡ x 3 ˆ 0 se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ 3 2 2a…3 x†

42 x2

x a x ˆ 2 x‡a a

a2

a x2

   1 ; se a ˆ 1 : S ˆ 1; se a ˆ 0 : l'equazione perde significato a 3 3 2 se a 6ˆ 3 ^ a 6ˆ 7 : S ˆ fa ‡ 7, a 6g; 7 6 2 7 6 7 6 7 6 se a ˆ 3 : S ˆ f10g; 7 6   7 6 5 4 7 19 :Sˆ se a ˆ 2 2 2

252

253

x2

1 2

256

2…6 2x

258

7a 2…x a† a

7a†

a

259 3



2 x

2a

1 ‡2 x‡1 a

1

x

‡

ˆ

2x 2

h

x a

ˆ

 b2 x2 … 2 x x 2 3b 2

12 12 ^ a 6ˆ ^ a 6ˆ 0 : S ˆ 5



6 se a 6ˆ 6 6 6 6 se a ˆ 0 : l'equazione perde significato; 6 4 se a ˆ 12 _ a ˆ 12 : S ˆ 1 5

n se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 6 : S ˆ 3,

se a 6ˆ 0 : S ˆ



2…6

a† a

#

 3 ;7 7 7 7 7 7 5

  4a, 27 a ; se a ˆ 0 : S ˆ 1 2

o i a ; se a ˆ 0 : S ˆ f3g; se a ˆ 6 : S ˆ f 3g 2

  3 4…5a ‡ 1† 2…5a ‡ 1† 1 :Sˆ , ;7 6 se a 6ˆ 7 6 5 5 5 7 6 5 4 1 se a ˆ : l'equazione perde significato 5 2

1

3  p
 7 6 se a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 0 : S ˆ a 1  5 ; 7 6 2 5 4 se a ˆ 1 _ a ˆ 0 : l'equazione perde significato 2

1

b 2 † ‡ b 2 ˆ 6b 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

2



1 a

 3 2 ; 7 7 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

se a 6ˆ 4 ^ a 6ˆ 0 : S ˆ f a, 2ag; se a ˆ 0 _ a ˆ 4 : l'equazione perde significato

5a 2 21ax ‡ 49a 2

4…5a ‡ 1† ˆ 5x

a2

 1

 a a,

6 se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 6 6 6 6 se a ˆ 0 : l'equazione perde significato; 6   6 3 6 se a ˆ 1 : S ˆ ; 6 2 6 6   6 4 2 :Sˆ 2 se a ˆ 3 3 "

3 ˆ1 x

5x 2…5a ‡ 1†

ax

ˆ

 x 3 ˆa 1 ‡ x‡3 ‡ x ‡ 3 a…x 3† 9 x‡3

36

255

257

2a

x …4 ‡ a† a ‡ 2a ˆ 4 a x

2x

254

a 2ax

x2 ‡ x

2 :Sˆ 3

3x 2



se b 6ˆ 0 : S ˆ





p  b 6 ; se b ˆ 0 : S ˆ R 2

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

f0g



457

a‡x a 260 2 ˆ x2 …x 2†

x‡5 5x ‡ 6



a …x

3†…x 2

Sˆ

4x ‡ 4†



p  5 5 2

CORREGGI GLI ERRORI 1†x 2 ˆ a2

261 …a

a a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 0 : x ˆ  p a 1 aˆ1:xˆ1

l

l

a ˆ 0 : equazione impossibile

l

262 ax 2

4x ˆ 0

a 6ˆ 0 : x ˆ 0 _ x ˆ 4a

l

aˆ0:xˆ4

l

263 …a ‡ 1†x 2 ‡ 2ax ‡ a

1ˆ0 a 6ˆ 1 : x ˆ

l

a ˆ 1 : 2x ˆ 0

l

264

a ‡ …a x 1†x 2

…a l

l

1†x ˆ 2a

se a ˆ 1

…2a

1†x

1 ‡ 4…x 1† x‡1 2a 2a ‡ 4…x 2 l

l

1†

a

1†

4a…a

1† ˆ 1

aˆ0

DˆR

2a 1  1 ˆ xˆ 2…a 1†

! xˆ

!

ˆ0

2a

a

4

4 Á e accettabile se:

a

4

4

6ˆ

4

4 6ˆ 0

a

1

f 1, 0g

l'equazione eÁ impossibile.

La soluzione x ˆ 1 eÁ sempre accettabile.

1

1

! 4x 2 ax ‡ a 4 ˆ 0 p a  a2 16…a 4† a  …a 8† ˆ ˆ xˆ 8 8

se a ˆ 0

a

a

a x ‡ 1† ˆ 0

se a 6ˆ 0

La soluzione

f0g a

2

Le soluzioni sono sempre accettabili. 265

1 a 2…a ‡ 1†

xˆ0

DˆR

4 ˆ …2a

se a 6ˆ 1

!

1

1†x ‡ a ˆ 0

…2a

1 2

p a  a2 …a 1†…a ‡ 1† a1 ˆ ˆ 2…a ‡ 1† 2…a ‡ 1†

1

cioeÁ se

a 6ˆ 0

cioeÁ se

a 6ˆ 4

1 a

4 4

ESERCIZI RIASSUNTIVI SULLE EQUAZIONI Risolvi in R le seguenti equazioni e discuti quelle letterali. 2 7xp  37 ˆ 1 266 2 3x 2

267

458

1

3x 2

1 ˆ p 2 2 2x 2

1

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO



 q p S ˆ  7‡2 3

  p
 S ˆ  2‡1

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

2x x‡1

2x 1 x ‡1 268 ‡ ˆ0 1‡ 1 1‡ 1 x 2 x 1 2x 269

x

2 2x 2

32

(

1

272

273

274

275

276

277



x b



x‡b x

x2 a2

p 2 2x p
2 x 2

x x2

x 8 3x 2 ‡ 2x x

a a

x x‡a x

x‡b ‡ x b b x x‡b

x2 2 ˆ 2 2 a a ‡a

a




p 2x ‡ 2 x

p 4 270 x ‡ 4 2 ˆ 271

x 2 16 x 2 ‡ 16

8

ˆ

2 x2

x

ˆ

ax ‡ 2a x 2 a2



‡

3x b

x

x3

2

a x

1

x ˆ0 a‡3

2 ˆx x‡a a



x‡4 x 4

x ‡ 5a ‡ x 280 1 ‡ a ‡ 5 x…a ‡ 5† 281

282

75 1 2 ‡ 15x ‡ 3 30x 2 ‡ 6x 2

ax a‡1

"

1



ˆ0

( r)# Sˆ  3 5

  Sˆ

 p  S ˆ 2 2

 se b 6ˆ 0 : S ˆ f2bg

se a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 0 : S ˆ



…a ‡ 4† 2

2,



p p  1‡ 2 p 2 , 1 2 2 

Sˆ

  2 3

  3   1 1 se a ˆ 2 : S ˆ , a ‡ 2 ;7 ; se a ˆ 6 2 ^ a ˆ 6 0 : S ˆ 6 2 2 5 4 se a ˆ 0 : l'equazione perde significato 2

2

 se a 6ˆ 2 ^ a 6ˆ 3 ^ a 6ˆ 4 : S ˆ 0, …a 6 6 se a ˆ 3 : S ˆ 1; 4 se a ˆ 2 _ a ˆ 4 : S ˆ f0g

3 2 3† ; 7 7 5

3 se a ˆ 1 _ a ˆ 1 : S ˆ f2ag; 7 6 5 4 se a ˆ 0 : S ˆ f1g; se a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 1 ^ a ˆ 6 0 : S ˆ f1, 2ag 2

3 3 f g se a ˆ 6 ^ a ˆ 6 1 : S ˆ 3 ; 7 6 4 7 6 5 4 3 se a ˆ :Sˆ1 4 2

3 2  16 x 2 ‡ 4x ‡ 16 4 : ˆ : 4‡ x 4 x 3 64 x‡4

   S ˆ 4 , 12 3

"

1 ˆ0 a‡5

se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 5 : S ˆ f 5, se a ˆ 0 : S ˆ f 5g

ag;

#

   Sˆ 9 25

5 ˆ0 3x

x …3a 2 1† 2a ‡ 1 ˆ0 ‡ a 1 a2 1

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

ˆ 5x

2a x

279

3 

64

2

…x 2 ‡ 1† p p 2x 2 2x ‡ 2 2

3…x ‡ 4a 2 † x 12a ‡ ˆ a ‡ 1 ax ‡ x 4a 2 4a x 4a x2 x‡4

)



278

x





3x ‡ 2 x2 9
2 2 x x 4 4x ‡ 3

2x ‡ 1 x

2

x 2 …x 2 ‡ 32† ‡ 16 16

x 8 ‡ 1 a3 a

x ‡ a ˆ 5x a x 2ax

3

‰S ˆ 1Š

2

6 se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ 4 se a ˆ 0 : S ˆ f 1g



 3 2a ‡ 1 , a ‡ 1 ; 7 a a 1 5

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

459

283

284

2

a x ‡aˆ x ‡ 2a x ‡ 2a a

287



a…x 2 ‡ 1† 1 x ˆ x x 2 ax

2x x

x‡1 285 a … x 1† 286

4… a 2 ˆ 2 x a…x ‡ 1†


2 p 6 x p 3 6 3

p1 x‡ 2‡1

1† 1

x 6 x ˆ p 6 1

p x ‡ p2  ‡ 1 x‡ 2 1

1ˆ

2



a 2a 289 x ˆ

x

13

0

1 2

1 a a

290

2x a ˆ a 1 ‡ a 2ax 2x ‡ a 2 4x 2 ‡ 2ax

291

1 16 x2 a2 x2
1 ‡ 16 ‡ 8 a2 x2 ax 1

292

294

‡x‡aˆ

1

1 x

x

3 p 1 ‡ 2 3 x

2

x 2x

2a 2 x 2 a2 x ˆ ‡ a ax ax

460

f0,

1g; se a 6ˆ

 1 : S ˆ f 1g

 3 se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ …2a 1† ; 7 6 5 4 se a ˆ 1 : S ˆ 1; se a ˆ 0 : l'equazione perde significato 2



Sˆ



  p p  S ˆ 4 6, 6

p 2, 

Sˆ

1 2 

p  2 2

3 2

p  5

3 1 : S ˆ f1 a, 1 ‡ 2ag; se a ˆ 6 0 ^ a ˆ 6 1 ^ a ˆ 6 7 6 2 7 6 7 6 se a ˆ 0 : l'equazione perde significato; 7 6 7 6 7 6 se a ˆ 1 : S ˆ f1 ag; 7 6 5 4 1 : S ˆ f1 ‡ 2ag se a ˆ 2 2

2

se a 6ˆ 3 : S ˆ 1;  6 4 se a ˆ 3 : R 0,

a 2x

16a

ˆ

8a x2

"

x2 16

p
p
2 " 2 3 2 3 ˆ x 3 12x x x2 1 ax

3

7 3 5 2

se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 2 : S ˆ f2a, 2g; se a ˆ 2 _ a ˆ 2 : S ˆ f2g

#

  3 1 a‡1 se a ˆ 6 1 ^ a ˆ 6 3 : S ˆ , ;7 6 2 2 7 6   7 6 5 4 1 se a ˆ 1 _ a ˆ 3 : S ˆ 2 2

4x ‡ 1 1 x

1 1 ‡ ‡ x 2 5x ‡ 6 x 2 7x ‡ 10 x 2 p 3 2x p 1  ˆ 296 2 2x ‡ 1 2x ‡ 3 295



x…3x ‡ 1† 8x 2 2

4x ‡ 4ax x 2 16

5x ‡ 3a 1 1 x

1:SˆR

1 p
2 1 x‡ 2



2

se a ˆ

4 a ax 2

1 x‡1 B 2C x Cˆ 1 288 @ ‡ x A
B @ A 2 1 1 x‡ x 2 2 0

293

p  3 a  a 13 ;7 6 se a 6ˆ 0 : S ˆ 5 4 2 se a ˆ 0 : S ˆ 1 2

2

x

1 p 2 3

con a 

1

2 5 ˆ x 2 8x ‡ 15

Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

x x "

p # p 6 3 2 3 :
p 2 x 2 2 3

  S ˆ 12

p  2 3

#  p se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ  a ‡ 1 ; se a ˆ 1 : S ˆ R f0g; se a ˆ 1 : S ˆ 1    S ˆ 29 5   p
 S ˆ  3‡1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Le equazioni con i moduli Risolvi in R le seguenti equazioni che contengono anche termini in modulo. 297

ESERCIZIO GUIDA 3x 2

j2x

1j ˆ 4

2x

Studiamo il segno dell'argomento del modulo:

L'equazione eÁ quindi equivalente a:

8 0 il trinomio eÁ positivo se ........................, eÁ negativo se ................... b. se
ˆ 0 il trinomio eÁ positivo se ........................, eÁ negativo se ................... c. se
< 0 il trinomio eÁ positivo se ........................, eÁ negativo se ...................

4 Barra vero o falso. a. La disequazione 3x 2 ‡ 7 > 0 eÁ verificata 8x 2 R

V

F

V

F

V

F

V

F

Di esse si puoÁ dire che: a. sono tutte impossibili perche per ognuna di esse
< 0

V

F

b. sono impossibili solo la ® e la ¯

V

F

c. hanno tutte come soluzione R

V

F

d. hanno soluzione R solo la ¬ e la ­.

V

F

b. La disequazione x 2 ‡ 1 < 0 non eÁ mai verificata in R 2 c. La disequazione …x 2 6† > 0 eÁ equivalente a x 2 6 > 0 d. La disequazione …3x

5 La a. c.

x

2 †3

< 0 eÁ equivalente a x

disequazione x 2 3x ‡ 8 > 0 : non eÁ mai soddisfatta in R eÁ soddisfatta solo se eÁ x > 0

2

3x > 0.

b. eÁ sempre soddisfatta in R d. eÁ soddisfatta per ogni x 6ˆ 0.

6 Sono date le seguenti disequazioni:

¬ 5x 2 ‡ 7 > 0

­

3x 2

®

10

4x 2 > 9

¯

7 Sono date le seguenti disequazioni:

¬ 5x 2 > 0

­ …x

2

® …2x ‡ 1†2 > 0

2† < 0

¯ …x

Una sola delle seguenti affermazioni eÁ vera; individuala motivando la scelta: a. hanno tutte come soluzione R b. hanno tutte come soluzione R tranne la ­ c. nessuna ha come soluzione l'insieme vuoto d. solo la ¯ ha come soluzione R.

2

1† ‡2 > 0

Applicazione Studia il segno dei seguenti polinomi di secondo grado al variare di x in R. 8

ESERCIZIO GUIDA 9x 2

1

Troviamo innanzi tutto gli zeri del polinomio, cioeÁ i valori di x per i quali il polinomio si anulla: 1 ! xˆ 9x 2 1 ˆ 0 3

Rappresentiamo la parabola y ˆ 9x 2

1

Possiamo concludere che il trinomio eÁ: l

positivo se x
1 3 3

l

negativo se

1 0

b. 5x 2 ‡ 6x ‡ 3 > 0

a. Riscriviamo la disequazione ordinando il polinomio e cambiamo i segni e il verso: 3x 2 ‡ 4x

40 x2  0 5x

6 0

42 1

44 x 2

80

45 5 ‡ 4x 2  0

47 25

x2  0

48

6x 2 < 0

50 …x

1†  0

51

8x 2  0

2

Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

3x 2  0

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

52 12x 2 55 x 2 58

10x ‡ 25  0

56 2x 2

6x ‡ 2 > 0

59 x 2

4 4 x‡ 0 3

62 7x

14x 2  0

63 x 2 ‡

2x ‡ 4 > 0

65 12

x2  0

66 x 2

1 0 85

86

82 x 2

p 4 20

87 3x 2 ‡ 4…3x ‡ 1† < 0 89 x 2

x†

2

90 x 2
0

2  2x …x ‡ 6† ‡ 2

2

96 …2x ‡ 1†

p 2 3x > 0

x † < 11

…4 ‡ 3x † > …2x 2

93 4…1 94 …x

88 x 2 ‡

5x‡3 0 4 4

91 3…2x 2 ‡ 1† ‡ 11…1 92 …5

p 15x

15 1† … x ‡ 2 †

1† > x 2 ‡

 9 2 … x ‡ 1†  2

11

9 8 1 2 x 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

57 5x 2 ‡ 4x  0 1 2 x 3

6x < 0 x 1 6 3 x 3 4 4

69 25x 2

5x < 6

72

3x 2  x

75

2…x

3†…x ‡ 4† > 0



 S ˆ 1; x   x 

10 p p 2 2 _ x 2

 p 3 _ x  1; S ˆ 1 p  p 6 S ˆ R; 6x 2   p p p 2 x 4 2 _ x ;0

 1 …x 2x ‡ 3

2x

5 2

‡

…x

 x2 1† < 4

2



‰0 < x < 3Š

x 2 2 ‡ x ‡ 6 ‡ 3x 15 > 15x 2 ‡ x 12 4 9 36 15x

1 _ x1 2 2

4

2

117

 2 _ x1 7   01

x

La disequazione eÁ equivalente ai seguenti due sistemi:  2  2 x ‡ 2x  0 x ‡ 2x < 0 _ x 2 ‡ 2x 3 > 1 x x 2 2x 3 > 1

x

Risolvendo il primo otteniamo: 

x x
1

S1 : x
1Š ‰k ˆ 3Š

b. intersechi l'asse delle ordinate nel punto P…0, 9† c. i punti della parabola abbiano tutti ordinata non inferiore a 1.

‰6 9k 2 RŠ

329 Data la funzione y ˆ x 2 ‡ 3x 4, determina per quali valori di x in R essa assume segno negativo. Determina poi per quali valori di x i punti della parabola hanno ordinata corrispondente maggiore di 1 e ‰ 4 < x < 1Š minore di 8. 330 Un insegnante, per saggiare la preparazione dei propri alunni, propone loro un test composto da 8 quesiti. Ciascun alunno puoÁ scegliere per la valutazione delle sue prove fra due possibilitaÁ alternative espresse dalle 1 2 9 funzioni y ˆ x ‡ x e y ˆ x ‡ 2 dove x rappresenta il numero di risposte esatte date ed y il pun8 4 teggio ottenuto. Stabilisci quale alternativa deve scegliere ogni studente, al variare del numero x di risposte esatte date, per poter avere il punteggio piuÁ alto. Risolvi il problema graficamente e poi controlla i risultati ‰x 2 N; x  2 : la seconda; 2  x  8 : la primaŠ ottenuti risolvendolo anche dal punto di vista algebrico. Determina per quali valori di x i seguenti radicali esistono in R. p p 331 x 2 1; x3 8 s r x2 1 332 2; 2 5x ‡6 x …x 2† r x 2 6x ‡ 9 333 ; x r 6 x 2 334 ; x‡2 r 9x 2 12x ‡ 4 ; 335 x3

r x 2 7x ‡ 12 x2 1 r 4 x 2 ‡ 3x x 1 r 3 x 1 x2 2

‰x  ‰R

‰x > 0; x < ‰x
3Š

1 _ 1 < x  3 _ x  4Š

2 _ x  2; x 

3 _

1 < x  0Š

h x > 0; R

 p i  2

Determina il dominio delle seguenti funzioni definite in R. 336

ESERCIZIO GUIDA yˆ

p p x2 1 ‡ x 3

La funzione eÁ data dalla somma di due radicali di indice pari; deve quindi essere x 2 temporaneamente x 3  0.  2 x 10 Il dominio della funzione eÁ quindi la soluzione del sistema x 30

510

Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

1  0 e con‰D : x  3Š

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

p x‡4 x2 ‡ 9 p p 338 y ˆ 3x 2 ‡ 2x 1 3 x 337 y ˆ

 D:x

p p x 2 ‡ 5x ‡ 6 ‡ x 2 6x ‡ 9  p p 3 ˆ x 2 ‡ 4x 10 ‡ x 1 p ˆ x 2 ‡ 5x ‡ x 2 ‡ 3x p p ˆ x 2 5x ‡ 6 ‡ 2x 2 5x ‡ 2 p p p x2 1 ˆ x2 ‡ x 3

339 y ˆ 340 y 341 y 342 y 343 y

‰D : x 

‰D ˆ R Š  1 _ x1 3 3 _ x

2Š

‰D ˆ 1Š 

‰D : x 

3 _ x  0Š  D:x 1 _ xˆ2 _ x3 2 ‰D : x  3Š

Soluzioni esercizi di comprensione 1 a. x1 < x < x2 ;

b. x ˆ x1 _ x ˆ x2 ;

3 a. se x < x1 _ x > x2 ;

x1 < x < x2 ;

c. x < x1 _ x > x2 b. se x 6ˆ x1 ;

mai;

c. sempre; mai

4 a. V, b. V, c. F, d. V

5 b.

6 a. F, b. V, c. F, d. V

140 c.

141 a. V, b. F, c. V, d. F

142

241 a.

242 c.

¬ c., ­ b., ® d., ¯ a.

7 d. 240 d.

Sul sito www.edatlas.it trovi... l

esercizi tratti dalle gare di matematica

l

Á i problemi di Matematica e realta

l

il recupero relativo al Tema 3

l

la rubrica Math in English con alcuni esercizi in lingua inglese

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

511

Testfinale 1 Studia il segno dei seguenti trinomi: b. 4x 2 x ‡ 1 a. 6x 5x 2 Risolvi le seguenti disequazioni.    2x ‡ 1 > 2 x 1‡ x 3 2 4 2

0,5 punti

7 8

0,5 punti

2 1 1 3 3x2 x ‡x

4 6x 3 ‡ 11x 2 ‡ x 5 x‡1 x 3 6

1 punto 4 x x 3 1 3x 2 ‡ 3x 1 2x ‡ x 2 1 x

1 punto

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. 8 < x 1 ‡ x2 > 7 2 16 7 : …x 1†…5x ‡ 3† < 13 8 4 x2 5 > > < x‡1 ‡ 4 >0 8 >1 > 2 1 :  x x‡1 6

9 Determina i valori del parametro k in modo che l'equazione kx 2 a. soluzioni reali la cui somma sia minore di 5 b. soluzioni reali il cui prodotto sia maggiore di 3.

512

Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

1 punto

2 punti

…3k

1†x ‡ 2k

1 ˆ 0 abbia: 2 punti

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Soluzioni 1 a. positivo per 0 < x < 6 , negativo per x < 0 _ x > 6 , nullo per x ˆ 0 _ x ˆ 6 5 5 5 b. positivo 8x 2 R 2 x 1 4 3

1 : 2x 3y ˆ 26 3

"

Sˆ

Sˆ

(

  7, 5 ; 7, 4 4 2

(

  )# 1, 8 ; 14 2, 3 3 9

1 2

)#

Risolvi i seguenti sistemi frazionari. 30

ESERCIZIO GUIDA 8

:

S ˆ f…0,

y ˆ0 y ‡1

x 1

8 x ‡ 2y ˆ 3 >
:

2

x

x ‡ ˆ1 2 2y ‡ 1

x‡y ˆ1

8 x2 > >

> : 3x ˆ x ‡ 4xy x‡4 8 x‡1 y ‡2 1 > > < 12 ‡ 3 ˆ 6 36 2 > > : x ‡y2 ˆ 9 2 2 8 x y x ‡ y 12 > ‡ ˆ < 4 2 37 > : 1 ‡ x ˆ 20 x‡y x2 y2 38

39

546

8 1 1 > >

> :

2

x

1

ˆ

3y

y

x

1

8 >

:

x2

y

‡

1 ˆ 3

y ˆ1 x‡y ˆ

y 3ˆ0

3 !



!

3

> > :x y

 S ˆ …2,

yˆ

1

yˆ1 xˆ 4

2†; … 1, 1† ; S ˆ "

Sˆ

"

8 2 y ‡ 10y ‡ 9 > > < x 2 ‡ 2x ‡ 1 ˆ 4

Sˆ

"

1 ˆ1 1



Sˆ



15 18 , 7 7

2…y ‡ 1† ˆ 0 Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI



;Sˆ

 p p  5 3 3 ,  ;Sˆ 3 3



4 , 3

 1 ; …3, 3



2† ; S ˆ

  S ˆ …3,



Sˆ



p 5 ‡ 2 7, 4

p
7 ;

2†;



2†;

5

  S ˆ …0,

5 2 , 2 5



#

5 5 , 3 3

#

9, 7 5 5



10 9



41 4



23 , 9



#

1 2

1, 2

   S ˆ …0, 2†;

17 4

7…x 2† 4 2y

   …3, 2†; 5 , 13 4 10



  S ˆ …1,

9 ˆ3 1‡y

2y ‡

5

8 > < 2y 2 ˆ 2 x 1 > : 2 x ‡ 2xy y 2 ˆ x ‡ 1

8 1 1 > > < x 3 ‡ 2y ˆ 0 > > :

1



8

: ‡ 3x ˆ 27 x y xy 8 > < x 2y ˆ 1 x‡y 2 33 > : 2 x ‡ y 2 xy ˆ 7 8 >
< > :

2 x

y

‡

…y 3†…y ‡ 3† 1 ˆ x2 y2 x‡y

x ‡ 2y ˆ 5 8 x‡1 > >

> :

y 13y ‡ 2 x ˆ ‡ x‡2 y 1 xy x ‡ 2y

  S ˆ … 1, 3†; …21, 

2

8 y ‡x 1 x > > < 2 ˆ1 2 42 > x x‡2 > : 1ˆ x‡3 3… x ‡ 1 †

  Sˆ

Sˆ



8†

7 1 , 5 5





p
p
 3, 1 ; 3, 1

CORREGGI GLI ERRORI I passaggi eseguiti nei seguenti esercizi sono algebricamente corretti, ma non servono a risolvere il sistema; spiega percheÂed esegui il passaggio necessario.   x ˆ x2 ‡ y 2 x y 2 ˆ x2 ! 43 3…x 2 ‡ y 2 † 4y ˆ 2 3x 4y ˆ 2  2  2 x ˆ 1 2y x ‡ 2y ˆ 1 ! 44 2 1 2y ‡ 3x 4 ˆ y x ‡ 3x 4 ˆ y   xˆy 1 x y ‡1ˆ0 ! 45 2 2 2 x …y 1 † …y x †2 ˆ 3 …y x † ˆ 3 Risolvi in R i seguenti sistemi letterali di secondo grado. 46

ESERCIZIO GUIDA 

y ˆ ax 4 a…x 2 ‡ 9† ‡ 2…3y

4x† ˆ 0

Sostituiamo nella seconda equazione al posto di y il valore ricavato dalla prima:   y ˆ ax 4 y ˆ ax 4 ! 2 … † a x ‡ 9 ‡ 2‰3…ax 4† 4xŠ ˆ 0 ax 2 ‡ 2x…3a 4† ‡ 9a 24 ˆ 0 l

l

Se a 6ˆ 0 possiamo applicare la formula risolutiva all'equazione di secondo grado ottenuta; si ha cosõÁ: 8 8   < x ˆ 8 3a < x ˆ 8 3a xˆ 3 xˆ 3 a a ! _ _ : : y ˆ ax 4 y ˆ 3a 4 y ˆ ax 4 y ˆ 4 3a Se a ˆ 0 il sistema diventa:

Dunque

se a 6ˆ 0 : S ˆ

 

8

se a ˆ 0 : S ˆ … 3, Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS



a

8x 24 ˆ 0 yˆ 4

3a , 4 4† .

 3a ; … 3,

!

3a



4†

xˆ yˆ

3 4



Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

547

8 > < y ‡ 1 ‡ a…2 a† ˆ x…2 ‡ y† 2 47 > : x y ˆ 3a ‡ 1 8 2 > y† < x 2 2 ˆ x …a a…a ‡ 1† 48 > : y ˆ 2a ‡ 1 49



50



51

8 < x2

52



94a 2 †; …8a,

4 , 3a

2a†



58a 2 †



 3 1 ; … 1, 1† 7 3 5

    3 1 2 ; 1 10 se a ˆ 6 0 : S ˆ , , 7 6 a a 3a 3a 5 4 se a ˆ 0 : il sistema perde significato 2

2ax ‡ ay ˆ 4 3y ˆ 2…a2



9†

  se a 6ˆ 3 : S ˆ …a 3, a ‡ 3† se a ˆ 3 : sistema indeterminato

2

6 se a 6ˆ 0 : S ˆ 4

a†…x ‡ a†

8 a2 > < xy ˆ 18 54 > : 3…x ‡ y† ˆ 3 a 2 ‡ 1 2 3  x‡y ˆa 55 ax 2 ‡ y ˆ a 

1†; …a ‡ 1,

a 6 se a 6ˆ 0 : S ˆ 4 se a ˆ 0 : S ˆ f… 1, 1†g

8 y a x > > >2 ˆ 3 <  2 53 > 1x‡y 1 > > 2ay ˆ …x : 3 9

56

  S ˆ … 10a,

2

1 a2

…a ‡ 3†x ‡ ay xy ˆ a2 9

a

(   ) 3 a‡1 2a 7 6 se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ , 2a ‡ 1 ; , 2a ‡ 1 7 6 a a‡1 5 4 se a ˆ 0 _ a ˆ 1 : il sistema perde significato

3xy ‡ x ˆ 4 ax ‡ y ‡ a 1 ˆ 0 xy ˆ

 S ˆ …2a,

2

2ax y ˆ 74a 2 x 2 ‡ y ˆ 6a 2

:







 3 7 1 a, a 7 8 12 5

se a ˆ 0 : sistema indeterminato



Sˆ



   1 , 1 a 2 ; 1 a 2, 1 9 2 2 9

   3 1 , a2 1 se a ˆ 6 0 : S ˆ …0, a†; 7 6 a a 5 4 se a ˆ 0 : S ˆ f…0, 0†g 2

y 2 4a…x 1 ‡ a† ˆ y x‡1ˆ0

4a 2

   S ˆ …1, 0†; …4a ‡ 1, 4a†

Determina, se esistono, i punti di intersezione delle seguenti parabole con le rette indicate. 57

ESERCIZIO GUIDA y ˆ x 2 ‡ 3x ‡ 4 Risolviamo il sistema

yˆ 

x‡1

y ˆ x 2 ‡ 3x ‡ 4 y ˆ x‡1

Sostituendo il valore di y ricavato dalla seconda equazione nella prima otteniamo:  2  x ‡ 1 ˆ x 2 ‡ 3x ‡ 4 x ‡ 4x ‡ 3 ˆ 0 ! y ˆ x‡1 y ˆ x‡1

548

Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

 

xˆ yˆ

3 x‡1

xˆ 3 y ˆ4

_



_



xˆ yˆ

1 x‡1

xˆ 1 yˆ2

Le due curve si intersecano nei punti di coordinate … 3, 4† e … 1, 2†.

58 y ˆ 2x 2 ‡ x 59 y ˆ

1 x2 2

2 60 y ˆ x 2 3 61 y ˆ 62 y ˆ 63 y ˆ

e

yˆ

3x‡6 4

e

2y ‡ 3x

e

p y ˆ 2 2x 3

e

y ˆ 2x

5

e

y ˆ 7x

8

2x 2 ‡ 3

e

y ˆ 5x ‡ 3

3x‡1 2

e

y‡1x 2

7ˆ0

e

4x

3y

3ˆ0

e

y

4x ˆ

e

yˆx

8 3

2x 2 ‡ 5x 5 x2 ‡ 3x 7 5x

64 y ˆ 2x 2

   … 2, 5†; 1 , 0 2

1

5 1

65 y ˆ x 2 ‡ 6x ‡ 8 66 y ˆ

4 ‡ x2

67 y ˆ

3 x 2 19 x ‡ 4 4

5

2x ‡ 1 1ˆ0

‰non esistono intersezioniŠ

3  …0,

 p 2 , 2  5†; 3 , 2

7 3



 2

‰non esistono intersezioniŠ



‰…0, 3†; … 5, …2, 6†;



22†Š

3 31 , 2 4



‰non esistono intersezioniŠ

8

‰…2, 0†Š

2

‰…4, 2†; …1,

1†Š

Risolvi in R i seguenti sistemi di secondo grado con piuÁdi due incognite. 68

ESERCIZIO GUIDA 8 < x ‡ y ‡ z ˆ 31 x y z ˆ 21 : xy x 2 ˆ 35

Sommiamo membro a membro le prime due equazioni ottenendo il sistema equivalente: 8 < 2x ˆ 10 x ‡ y ‡ z ˆ 31 : xy x 2 ˆ 35 Ricaviamo il valore di x 8

x 2 > > > : x‡y ‡z ˆ 3 8 2 zˆ1 > < xy x y ‡z ˆ 2 > : x‡y ˆz 1 8 2 xˆ0 >

: 3y 3x ‡ z ˆ 0 8 2 > z 2 ‡ y ˆ 15 < …x z† x‡y ‡z ˆ6 > : 2x ‡ y z ˆ 9

8 < 3x 2y ˆ 20 y ‡x ˆ5 74 : xy ‡ 1 ˆ z 75

76

77

78

8 < x y ‡ z ˆ 10 …x ‡ z† 2 ˆ 4 : 3z 2y ˆ 5 8 3x ‡ 2y 5z ˆ 0 > > < 3z y 1 ˆ x 2 2 > > : …z 1†…y x† ˆ y ‡ 9x 9 8 2x y ‡ z ˆ 3 > > < 1 1 y‡ zˆ2 2 3 > > : 2 y 2 ‡ z2 ˆ 9 4x 8 >

: x y 2 ‡2xy 2z 2 ˆ 2 … †

8

> < x‡z ˆ 1 80 > > x2 : z 2 ˆ 11 5

550

Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

‰S ˆ f… 10, 6, 13†; …1, 6, 2†gŠ



Sˆ



10, 1†;

…6,

  S ˆ … 1,

1,

1†;



3 , 7



65 29 , 14 14

1, 3

4, 3

2 3





‰indeterminatoŠ

   S ˆ …5, 0, 1†   S ˆ …6,   13 , Sˆ 3

12,





  19 ; 17 , 3 3

 S ˆ …2,

Sˆ

3, 0†;

1,



11 3



1 3 , 3, 2 2



8,



5†

   …1, 2, 3†; 3 , 12 , 12 2 5 5

  S ˆ …3,

1, 2†;



11 , 1 , 6 5 5 5



‰S ˆ 1Š

"

Sˆ

(

  5, 1 , 4 ; 5 , 2 2

7,

7 2

)#

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

8 9x 2z > > y ‡z ˆ > > 5 > > >

> > > 2 2 > > > : …6z 2x† ˆ …12 3y† 4 9



 S ˆ …3, 4, 1†gŠ

CORREGGI GLI ERRORI I passaggi eseguiti nei seguenti esercizi sono algebricamente corretti, ma non servono a risolvere il sistema; spiega percheÂed esegui il passaggio corretto. 8 8 < x ‡ 2y ˆ 1 z < x ˆ 1 2y z y ˆ x 2z 3 x y ˆ 3 ‡ 2z 82 : : 2 …1 2y z † ‡ …x 2z 3† ˆ z 2 1 x ‡ y 2 ˆ z2 1 8 8 2 2 2 2 >

>

: : y 3z ˆ x y 3z ˆ x

Sistemi di grado superiore al secondo Risolvi in R i seguenti sistemi di grado superiore al secondo. 85

ESERCIZIO GUIDA 

x ‡ 1 ˆ 3y
x2 9y 2 ‡ 1 ‡ y y 2


3 ˆ0

Ricaviamo la variabile x dalla prima equazione e sostituiamo il valore trovato nella seconda:   x ˆ 3y 1 x ˆ 3y 1 ! 2 …3y 1† 9y 2 1 ‡ y 3 3y ˆ 0 9y 2 ‡ 1 6y 9y 2 1 ‡ y 3 3y ˆ 0  x ˆ 3y 1 y 3 9y ˆ 0

!

Abbiamo ottenuto un'equazione di terzo grado nell'incognita y; risolvendola abbiamo:
da cui yˆ0 _ yˆ 3 _ y ˆ3 y y2 9 ˆ 0 Il sistema ammette quindi le soluzioni e pertanto

86

(

2x ˆ

S ˆ f… 1, 0†; … 10,

y 2

2…x ‡ 1† ‡

1 3 y ˆ4 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS



xˆ 1 yˆ0

_



xˆ yˆ

10 3

_



xˆ8 y ˆ3

3†; …8, 3†g.   S ˆ …1,

2†; … 1, 2†;

Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI



1 , 2

1



551

87



88

(

89



90



p 2 2xy 2x ˆ 0 2 y x ‡3ˆ0



91

92





p 2,

3†;

…0,

2xy ‡ 4…x x y ˆ2

5†

4y 3 ‡ x 2 23y x 2y ‡ 5 ˆ 0


 p 1 ; 3 2, 3 2 2

   S ˆ …1, 2†; … 1, 0†

x 2 …x 2 16† 5y ˆ 0 y 2x 2 ‡ 5 ˆ 0

x 3 y y 2 5…3x 2 y ˆ 2x 1



6ˆ



 S ˆ …1,

2† ˆ

5x

5ˆ0

3†; …5, 45†; … 1,

  S ˆ …1,

3…xy 7† x

8
< 9x 2 ‡ 1 y 2 x ‡ y ‡ 4 ˆ 11 xy 2 2 94 : 2 2x xy ‡ 1 ˆ 0  2 x …y ‡ 12† ˆ 64 95 y ˆ x2  2 yx ‡ xy 2 y 4 ˆ 0 96 3x y ˆ 1 97

Sˆ

   S ˆ …1, 1†; … 1, 1†

y 3 4xy ˆ 0 x y 1ˆ 2

(

93

x 2y ˆ 1 y 2x 2 ‡ 1 ˆ 0

   S ˆ …1, 1†; "

Sˆ

(

 7 , 3 ; … 3, 2 2

5†

 2 ; …3, 5†; … 3,

7†

1†;

1, 2



3†; … 5, 45†

 4, 1 ; … 13, 2







 )# 5 4†; 0, 2

  S ˆ … 1,

3†



   S ˆ …2, 4†; … 2, 4† 

  S ˆ …1, 2†

ESERCIZIO GUIDA 

x 2 ‡ y 2 ‡ 2x 2y 23 ˆ 0 x 2 ‡ y 2 6x ‡ 12y ˆ 35

Osserva che se sottrai membro a membro le due equazioni il sistema diventa di secondo grado, quindi piuÁ facilmente risolvibile:      8x 14y ‡ 12 ˆ 0 47 38 S ˆ … 5, 2†; , 13 13 x 2 ‡ y 2 6x ‡ 12y ˆ 35 98

99





100



101



552

x2 ‡ y 2 ‡ y ˆ 1 x2 ‡ y 2 ˆ 1 x 2 ‡ y 2 10x 10y ˆ 0 x 2 ‡ y 2 ‡ 6x ‡ 2y 40 ˆ 0 x 2 ‡ y 2 3x 4y ˆ 1 x2 ‡ y2 ‡ x ‡ y ˆ 2 x 2 ‡ y 2 ‡ x ‡ 2y ˆ 8 x 2 ‡ y 2 3x ‡ 2y ˆ 12 Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

   S ˆ …1, 0†; … 1, 0†   S ˆ …4,

2†; … 2, 6†

   S ˆ … 1, 1†; 44 , 41   S ˆ … 1,

27 41





4†; … 1, 2†



Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

SISTEMI SIMMETRICI

la teoria eÁ a pag. 208

RICORDA n Un sistema di due equazioni in due incognite si dice simmetrico se rimane invariato scambiando x con y; se un sistema simmetrico ammette come soluzione la coppia …a, b†, ammette anche la coppia …b, a†  x ‡y ˆs n Le soluzioni di un sistema simmetrico che assume la forma sono le radici t1 e t2 dell'equazioxy ˆ p ne di secondo grado t 2 st ‡ p ˆ 0 Á utile ricordare le seguenti relazioni: n Per risolvere un sistema simmetrico e l

l

x 2 ‡ y 2 ˆ …x ‡ y †

2

2xy

x 3 ‡ y 3 ˆ …x ‡ y †

3

3x 2 y

3xy 2 ˆ …x ‡ y †

3

3xy …x ‡ y †

Comprensione 102 Un sistema di due equazioni in due incognite eÁ simmetrico ed ammette come soluzione la coppia …3, 4†; indica quale fra le seguenti coppie eÁ anche soluzione:     1 1 1 1 , , b. …4, 3† c. … 3, 4† d. a. 3 4 4 3  x‡y ˆa si deve risolvere l'equazione: 103 Per risolvere il sistema simmetrico xy ˆ b a. t 2 ‡ at ‡ b ˆ 0

b. t 2 ‡ bt ‡ a ˆ 0

c. t 2

104 Indica a quale fra i seguenti eÁ equivalente il sistema a.



c.



…x ‡ y †2 ˆ 17 xy ˆ 4 x‡y ˆ3 xy ˆ 4

b.



d.



…x ‡ y † 2 ˆ xy ˆ 4 x‡y ˆ3 xy ˆ 4

9 

_



xy ˆ 7 x‡y ˆ

1

106 Il sistema simmetrico

a.

(

c.



p x ‡ y ˆ 29 x‡y ˆ3 x‡y ˆ3 xy ˆ 10

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

b.



…x ‡ y †3 3xy ˆ 20 x‡y ˆ 1



x 2 ‡ y 2 ˆ 29 x‡y ˆ3  x‡y ˆ3 b. xy ˆ 10 d.





d. t 2

x 2 ‡ y 2 ˆ 17 xy ˆ 4

bt ‡ a ˆ 0

:

x‡y ˆ 3 xy ˆ 4

105 Indica a quale fra i seguenti eÁ equivalente il sistema

a.

at ‡ b ˆ 0



x 3 ‡ y 3 ˆ 20 x‡y ˆ 1 c.



:

…x ‡ y †3 ˆ 20 x‡y ˆ 1

d.



xy ˆ 7 x‡y ˆ 1

eÁ equivalente a:

_



x‡y ˆ3 xy ˆ 10

x‡y ˆ3 xy ˆ 10 Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

553

Applicazione Risolvi i seguenti sistemi simmetrici. 107

ESERCIZIO GUIDA 

x‡y ˆ9 xy ˆ 8

Il sistema eÁ giaÁ scritto nella forma tipica. L'equazione di secondo grado ad esso associata eÁ t2 le cui soluzioni sono

108



x ‡ y ˆ 29 xy ˆ 120

109



x‡y ˆ5 xy ˆ 6

110

(

t 1 ˆ 1 _ t 2 ˆ 8. Dunque

x‡y ˆ 9 2 xy ˆ 2

8

4 : xy ˆ 3 8 2 < …3x ‡ y† ˆ 3…3x 2 ‡ 1† ‡ y 2 113 : x ‡ y ˆ 17 12 8 2 < …x 2y†…x ‡ 2y† …x ‡ 2y† ˆ 4 1 114 : x ‡ y ˆ 32 63 115

9t ‡ 8 ˆ 0





   S ˆ …3, 2†; …2, 3† ; S ˆ

   5 2 2 5 , , ; 7 5 5 7

  5 2 2 , , ; 9 5 5

5 9



         1, 3 ; 3, 1 Sˆ 4, 1 ; 1 , 4 ; S ˆ 2 2 2 2 2 2 

Sˆ "



Sˆ

21 , 4



       5, 1 ; 1, 5 4 ; 4, 21 ;Sˆ 4 4 2 2 4   2 , 2 ; 2, 3

2 3



  Sˆ

p
p
2y 1 ‡ 2y



Sˆ

 #   1 1 ,2 ;Sˆ 2, ; 2 2

2 , 3 

7, 9

  3 ; 4   9 ; 7

2 3



9, 7 7 9



3 , 4

ESERCIZIO GUIDA



xy ˆ 12 x 2 ‡ y 2 ˆ 40

Riscrivi il sistema in questa forma   xy ˆ 12 xy ˆ 12 ! 2 2 …x ‡ y† ‡ 24 ˆ 40 2xy ˆ 40 …x ‡ y† Risolvi adesso i due sistemi   xy ˆ 12 xy ˆ 12 _ x‡y ˆ 4 x‡y ˆ4

554

 S ˆ …24, 5†; …5, 24† ; S ˆ

Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

!



xy ˆ 12 2 …x ‡ y† ˆ 16

  S ˆ …6,

2†; … 6, 2†; …2,

6†; … 2, 6†



Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

116



x‡y ˆ 2 x 2 ‡ y 2 ˆ 20

117



118



2x ‡ 2y x‡y ˆ3

119



x ‡ y ˆ 26 xy ‡ 196 ˆ x 2 ‡ y 2

120

121

122

123 124

125

126

127

128

129

130

(

2x 2 ‡ 2y 2 ˆ 26 x‡y ˆ1 2

2

3xy ˆ 4

x‡y ˆ8

x 2 ‡ y 2 ˆ 48





x 2 ‡ y 2 ˆ 17 x‡y ˆ5

‰S ˆ f… 4, 2†; …2,

x‡y ˆ5 x 2 ‡ y 2 ˆ 13

8  2  y 2 xy x > ‡ ˆ 13 ‡ < 2 2 4 >x y 2 : ‡ ˆ 6 6 3  x‡y ˆ3 x 2 ‡ y 2 ˆ 3 ‡ xy

  S ˆ … 2, 3†; …3,

4†g; S ˆ f…1, 4†; …4, 1†gŠ   2† ; S ˆ …2, 3†; …3, 2†

  S ˆ …1, 2†; …2, 1† ; S ˆ f… 2, 6†; …6, 

2†g



   S ˆ …16, 10†; …10, 16† ; S ˆ …1, 2†; …2, 1†

h n p
Sˆ 2 2‡ 2 , 2 2

p
  2 ; 2 2

p
p
oi 2 , 2 2‡ 2

8 1 >   p p   p p 

:x ‡ y ˆ 1 2 8     p    p   p < …x ‡ y†2 ˆ 125 p p p p 5 5 p 5 5 4 Sˆ 2 5, ,2 5 ; , 2 5 ; 2 5, ; 2 2 2 2 : xy ˆ 5  2    x ‡ y 2 ˆ 34 S ˆ …5, 3†; …3, 5†; … 5, 3†; … 3, 5† xy ˆ 15  2   p p
p p
 x ‡ y 2 ˆ 11 p S ˆ  3,  2 2 ; 2 2,  3 xy ˆ 2 6 8 5 >     

: x 2 ‡ y 2 2x 2y ‡ 3 ˆ 0 4       …x 2y†…x ‡ 2y† ˆ 5x 2 41 Sˆ 2,  5 ;  5 ,  2 2 2 xy ˆ 5       3x ‡ 3y ˆ 4 1 1 , 1 ; Sˆ 1, 3 3 9…x 2 ‡ y 2 † ˆ 10 8 37 >     

:x ‡ y ˆ 1 3 8   p p   p p  < 1 ‡ 1 ˆ2 3‡ 3 3 3 3 3 3‡ 3 x 2 y 2 , , ; Sˆ 2 2 2 2 : x‡y ˆ3 8 2 …x ‡ y† > 2y 2x 9 > > ‡ ˆ ‡      < xy x 4 y 1 , 2 ; 2, 1 S ˆ   2 2 > > 3 > : 3…x ‡ y† …2x ‡ 1† ˆ 2 y ‡ 4

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

555

131

132

Risolvi i seguenti sistemi simmetrici letterali. ( x ‡ y ˆ 5a xy ˆ 4a 8 >

: xy ˆ

3 a 2

133

134



136

137

> : xy ˆ a 2









5 2 a 2

8 5a >

3b : x‡y ˆ 2 ( 3 3 …x ‡ y† ˆ 8…a ‡ 1† 139 2 xy ˆ 8…a ‡ 1† 8 2 2 9 > > < …x ‡ y† ˆ 4 …a 1† con a > 1 140 xy 1 > > ˆ : 2 2 …a 1† 141

   S ˆ …4a, a†; …a, 4a†

2

4

…x ‡ y† ˆ 625b2 xy ˆ 6b

con b  0



Sˆ

  S ˆ … 4a  

Sˆ



Sˆ

 …a

2b,

  1b ; 2

1 b, 2b 2

4, 2a ‡ 2†; …2a ‡ 2,

1†;  a

p p
p p
2 b, 3 b ; 3 b, 2 b ;



2

  1 ; a

p 2 b,

2

p
3 b ;

4a

1 ;  …a

p 3 b,



4†

1†





p
 2 b

CORREGGI GLI ERRORI 142



x‡y ˆ3 xy ˆ 4

tˆ

143

556



!

35 ˆ 2

x2 ‡ y2 ˆ 4 xy ˆ 3

t 2 ‡ 3t

4ˆ0

4

 S ˆ … 4, 1†; …1,

1 !



x‡y ˆ2 xy ˆ 3

Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

_



4†



x‡y ˆ xy ˆ 3

2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

 x‡y ˆ6 x‡y ˆ6 ! 144 xy ˆ 3 x2y 2 ˆ 9  p p
p Sˆ 3 6, 3 ‡ 6 ; 3 ‡ 6 , 3 

!

t2

6t ‡ 3 ˆ 0

t ˆ3

!

p
6

p 6

ESERCIZI RIASSUNTIVI SUI SISTEMI Risolvi i seguenti sistemi di vario genere.  2 y2 ˆ 0 2x p 145 2 y ˆ 4 3x  2 y ˆ 2x x 146 2 x 3x ‡ y ˆ 0  y ‡ x 2 ˆ 4x 1 147 xy ˆ 6  y ˆ 3…x 2 ‡ 16 8x † 148 x 2 ‡ y 2 ˆ 4x ‡ 2y  x y ˆ5 149 xy ˆ 6 ( 1 x yˆ 150 2 2xy ˆ 1  2x 3y 2 ˆ 3 151 x 2 ‡ 4y 2 4 ˆ 0 ( 2 …2x ‡ y† ˆ y…x ‡ y† 1 152 xy ‡ x 2 ˆ 1 8 < x 2 ‡ xy ‡ y 2 ˆ 1 2 153 : 2 …2x y† ˆ 3 ‡ 3x 2  x…y ‡ 1† ˆ x 154 2 …y ‡ x† ˆ 1 ‡ xy 155



x 2 ‡ y 2 13 ˆ 0 x y ‡1ˆ0

156

8 < 3x

157



158

: xy ˆ 

yˆ

1 2

7 2

1†…y ‡ 1† ˆ x…y 2x 2 ˆ 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

n p p p
S ˆ …0, 0†; 2 3, 2 6 ; 2 3,

p
oi 2 6

    5 5 S ˆ …0, 0†; , 2 4



 S ˆ … 1,

6†; …2, 3†; …3, 2†



   S ˆ …4, 0†; …3, 3†   S ˆ …3,

2†; …2,

    1 Sˆ ,1 ; 1, 2

  p Sˆ 2, 

Sˆ

 p 2 , 2

  S ˆ …0,

3† 1 2





1†; …0, 1†



   p 3 p 3 p 2 ; 2 2, 2 2 p   2 ; 2

p p  2 2 , 2 2

   S ˆ …1, 0†; …0,  1†   S ˆ …2, 3†; … 3,     1 Sˆ 1, ; 2

2†

1 ,3 6





    3 S ˆ …4, 2†; 5, 2

x ‡ 2y ˆ 8 y … x 1† ˆ 6

…y xy

h

2x†

‰S ˆ 1Š

Tema 4 - Cap. 2: SISTEMI NON LINEARI

557

159 160

161

162 163 164

165

166

167

168

169 170

171

172

173

174

558





x2 …x

2xy ˆ 27 2 y† ˆ 1 ‡ y 2

> > : x ‡ …y 8 > < …x

"

Sˆ

(

2

xy ˆ 2 x3 ‡ y3 ˆ

5,3 2



1†; …4, 8† 2†; … 2, 5†





   S ˆ …4, 1†; …1, 4†

5

  p p
Sˆ 2,  3 ; 

Sˆ



p p
 2,  3

  1 , 2 ; 2, 2

1 2



   S ˆ …4, 3†; … 2, 1†     2, 4 ; Sˆ 3 3

32 9

2, 3

    4 ; 16 , 10 ; 3 9 9   S ˆ … 2,

9

y2 x2 ˆ 3 xy ‡ x 2 ˆ 3

8 7 > < x 2 ‡ xy ‡ y 2 ˆ 4 > 3 :y2 x2 ˆ 4 8 2 < x ‡ y 2 4x 4y ˆ 0 :x ˆ 1 y2 y 4  2 x ‡ 2xy ‡ y 2 ˆ 36 x 3 ‡ y 3 ˆ 72 8 > < 4x 9y ˆ 28  2 2 3 > x y 3…x ‡ y† ˆ 365 : 3 2 18



  )# 1 , 2 ; 0, 5 3 3

  S ˆ …5,

4 9

5xy ˆ

2†;

  S ˆ …13,

5†…y ‡ 1† ˆ2 x

y† ˆ

> : 2x 2



  S ˆ …5,

2x ‡ 3y ˆ 4 …3y ‡ 1†x ˆ 25

8 < 3x ‡ 3y ˆ 5 : xy ‡ 2y ˆ 10 3  x ‡ y ˆ 12 …x 2†…y ‡ 3† ˆ 22  3 x ‡ y 3 ˆ 117 x‡y ˆ3  2 x ‡ y 2 ˆ 17 2 …x ‡ y† …13x 35† ˆ 13y  2 y2 ‡ 1 ˆ 0 x 2 x ‡ y2 ˆ 5 8 < 2x ‡ 2y ˆ 3 :3‡3 ˆ 9 x y 2 8 1 5 > >