Limite de Functii - Foarte Bun [PDF]

Zitiervorschau

Centrul de excelență al elevilor capabili de performanță Timișoara 24.XI.2012 Clasa a XI-a , M2,3 Profesor: Rezmive Daniela-Florina

Limite de funcții Partea I: Breviar Teoretic Fie
:  → ℝ o funcție reală și x0 un punct de acumulare pentru D. Pentru a calcula limita funcției f în punctul x0 ( lim f ( x) ) procedăm astfel: x→ x0

; 1. Înlocuim pe x cu x0 , obținând o succesiune de operații pe ℝ  au sens, rezultatul final este limita funcției ( lim f ( x ) = f (x0 ) ). 2. Dacă toate operațiile obținute în ℝ x → x0

0 ∞  , ∞ − ∞, , 0 ⋅ ∞ , 1∞  , aplicăm diverse metode pentru 0 ∞ 

3. Dacă prin înlocuirea directă se obține o nedeterminare 

eliminarea nedeterminării : • Limite speciale: 1) Dacă , ∶ ℝ → ℝ , P( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 , Q( x) = bm x m + bm −1x m −1 + ... + b1 x + b0

sunt funcții polinomiale unde ai , b j ∈ℝ, i ∈ {0,1,..., n} , j ∈ {0,1,.., m}, n, m ∈ ℕ∗ și grad ( P ) = n, grad (Q ) = m

atunci :

lim P( x) = lim an x n

-

x →∞

0, dacă grad ( P) < grad (Q)  P( x)  an lim =  , dacă grad ( P ) = grad (Q ) x → ∞ Q ( x )  bm ± ∞, dacă grad ( P ) > grad (Q )

-

2)

x →∞

∞ , dacă a > 1 1 , dacă a = 1  lim a x =  x →∞ 0 , dacă a ∈ (− 1,1) nu există dacă a ≤ −1

3) lim

P( x)

x →∞

ax

P ( x) ln x ax = ±∞ , lim =0. = ±∞, a > 0, a ≠ 1. 4) lim x → ∞ P ( x) x →∞ ln x x → ∞ P ( x)

= 0 , lim

5) Criteriul ”Cleștelui” : Fie funcțiile
,
,
 ∶  → ℝ, x0 un punct de acumulare pentru D și  ∈  astfel încât f1 ( x) ≤ f ( x) ≤ f 2 ( x), ∀x ∈ V ∩ (D − {x0 }) . Dacă lim f1 ( x ) = lim f 2 ( x ) = ℓ atunci lim f ( x ) = ℓ. x → x0

•

x → x0

Limite remarcabile 1 x

1) lim (1 + x ) = e x →0

lim (1 + f ( x) )

x → x0

1 f ( x)

= e, cu lim f ( x) = 0

ln(1 + x) 2) lim =1 x x →0

ln (1 + f ( x) ) lim = 1, f ( x) x → x0

a −1 = ln a x →0 x sin x 4) lim =1 x →0 x arcsin x 5) lim =1 x x→0 tgx 6) lim =1 x →0 x

−1 = ln a, f ( x ) x → x0 sin( f ( x) ) lim = 1, f ( x) x → x0 arcsin( f ( x) ) lim = 1, f ( x) x → x0 tg ( f ( x ) ) lim = 1, x→ x0 f ( x )

x

3) lim

7) lim

x →0

arctgx =1 x

lim

lim

x → x0

a

f ( x)

arctg ( f ( x ) ) = 1, f ( x)

x → x0

cu lim f ( x) = 0 x → x0

cu lim f ( x) = 0, a > 0 x → x0

cu lim f ( x) = 0 x → x0

cu lim f ( x) = 0 x → x0

cu lim f ( x ) = 0 x → x0

cu lim f ( x ) = 0 x → x0

x → x0

Recomandări la eliminarea nedeterminărilor : 1. La limitele cu radicali în cazurile

0 , ∞ − ∞ se amplifică cu conjugata expresiei ce conţine radicali 0

0 se poate recurge și la simplificări sau formule speciale 0 ∞ 3. În cazul se dă factor comun forţat și la numărător și la numitor termenul de putere maximă și apoi se face o ∞

2. În cazul

simplificare. 4. În cazul ∞ − ∞ se recurge la una din următoarele variante : - se aduce la același numitor dacă limita conține diferențe de funcții raționale - se dă factor comun forţat termenul cu exponent maxim al săderii. a b

- se aplică ln a − ln b = ln , a, b > 0 sau ln a + ln b = ln ab dacă limita conține sume sau diferențe de logaritmi 5.În cazul 0 ⋅ ∞ se foloseste formula f ⋅ g =

0 ∞ f g sau f ⋅ g = obţinând astfel cazul sau . 1 1 0 ∞ g f

6. În cazul 1∞ se foloseste limita remarcabilă 1 astfel : se adună și se scade 1 la bază și se forţează la exponent expresia dorită. Partea II: Aplicații : Cazul de nedeterminare

0 0

1) Calculați următoarele limite : x2 − 9

a) lim

x →3 x 2

2 x 2 − 3x − 2

b) lim

− 4x + 3

c) lim

x3 − 8

x→2

x9 − 1

x →1 x 8

−1

d) lim

x3 − 5x 2 + 8x − 4

x →1 x 3

− 3x 2 + 3x − 1

2) Calculați următoarele limite cu radicali : x2 + x + 3 − x2 + 5

a) lim

b) lim

x2 − 2x

x→2

x →5

x+4 −3 x 2 − 25

x + 3 + 2x − 1 − 3

c) lim

x2 − 1

x →1

x 2 − px + p − 1 ,  ∈ ℕ∗ px − p

d) lim

x →1

2x2 + x + 1 − x2 + x + 2

e) lim

2x + 7 − x + 8

x →1

3) Calculați următoarele limite folosind limite remarcabile : sin( x 2 − 100) 2 x + 3x + 4 x + 5x − 4 b) lim 2 x − 20 x x →10 x →0

a) lim

 x  ln 1 + x +1  f) lim  e  x x→0

k) lim

x →0

g) lim

x →∞

2x2 + 3

(

1+ x −1

) (

ln 1 + x + x 2 + ln 1 − x + x 2 x

)

2

(

)

ln e x + e 2 x − 1 ; x x →0

4) a) Calculați lim

locală, Sibiu, 2012)

ln(1 + 2012x)

x →0

x + 9x 2

x −1

d) lim

x →1 arcsin

(x − 1) 2

e) lim

x →2

(

) arctg (x − 4)

tg x 2 − 3x + 2 2

1

e x − e x +1

sin x + sin 2 x + ... + sin 2012x

x →0

l) lim

1

c) lim

h) lim

x →0

3x − 4 x 1  x2 x2  3 − 4   x

ln(1 + sin 2 x) x → 0 ln(1 + tgx )

i) lim

j) lim

e2x − e x

x → 0 e3 x

− ex

(Etapa județeană 2010, enunț modificat) (Etapa locală , Timiș 2005)

(

)

ln e x + e 2 x + ... + e nx − n + 1 = 15 (Etapa x x →0

b) Determinați  ∈ ℕ∗ pentru care lim

∞ ∞

Cazul de nedeterminare

5) Calculați următoarele limite: a) lim

3x3 − 6 x 2 + 4 x + 7 6x3 + 1

x →∞

b) lim

x a − 6x2 + 4x + 7 6x3 + 1

x →∞

,∈ℕ

6) Calculați următoarele limite ce conțin radicali: x2 + 1 + x 4 x 2 + 3x + 2 + x 2 + x + 1 b) lim x+7 x →∞ x →∞ x 2 + 2 + x

a) lim

Cazul de nedeterminare ∞ − ∞ 7) Calculați următoarele limite:  2  2 a) lim  x + 3x + 1 − x − x + 2  b) lim x → −∞



x→∞

(

x + 1 + x + 2 + x + 3 + ... + x + n − n x

)

,  ∈ ℕ∗

((

)

(

c) lim  3 x 3 + x 2 + 2 x + 1 − x  d) lim  9 x 2 + 15 x + 7 − 9 x 2 + 3 x − 5  e) lim ln 2 x 4 − x 2 + 1 − 2 ln x 2 + 2 x → ∞



x → ∞



x →∞

f) Să se determine constantele reale a şi b pentru care lim  4 x 2 + 3x + 2 − ax − b  = x → ∞



))

11 4

 4 x 2 + 10 x + 7  − ax − b  = 10  x+5 x → ∞  

g) Să se determine constantele reale a şi b pentru care lim 

Cazul de nedeterminare 1∞ 8) Calculați următoarele limite: 

a) lim 1 + x →∞ 

2x − 1   x2 + 1 

2 x +1

x +5

x  x 2 + 5 x − 6  x −1  1   b) lim  2 c) lim 1 + x  x →1 2 x + 3 x − 5  x → ∞ 2   

Cazul de nedeterminare 0 ⋅ ∞ 9) Calculați limitele: 1

x ⋅ sin a) xlim x →∞

x 2 arcsin b) xlim →∞

1 3x + 4 2

Criteriul Cleștelui :  1  x2  2  10) Calculați limitele: L1 = xlim →0 x 

 x2 + 2x  9  2  unde [x] = partea întreagă a lui x 3 x → −2  x − x − 6

L2 = lim

11) Fie
: ℝ → ℝ,   ă f ( x) − x ≤ x 2 , ∀x ∈ ℝ . Să se calculeze lim f ( x) . x→ 0

Existența limitei unei funcții într-un punct :

12) Fie numerele reale pozitive a , b şi funcţia

− x 2 +5   2011 x − 2   2 x 2 − 8 f : ℝ \ {2} → ℝ , f ( x) =  2  x − 7 x + 10  x2 +1  − ax − b  x + 1

,

,

x 0  13) Se dă funcţia f : ℝ∗ → ℝ , f ( x) =  sin x 3 2 şi a un parametru real.  ln(1 + x ) dacă x < 0  3 x 3 + x 4 x x x , lim , lim . a) Scrieţi rezultatul următoarelor limite speciale lim x x → 0 e − 1 x → 0 sin x x → 0 ln(1 + x )

b) Calculaţi limitele laterale ale funcţiei f în punctul x0 = 0 .

c) Determinaţi parametrul real a astfel încât f admite limită în x0 = 0 . 14) Să se determine a ∈ ℝ − {1}

 x +1 − 3 x2 +1  ,x < 0  x astfel încât funcţia f : ℝ → ℝ , f (x ) =  să aibă limită în x=0. 1+ ax − e1+ x  e ,x > 0  x