Les neuf chapitres : le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires 9782100077786, 2100077783 [PDF]

Zitiervorschau

Unités de mesure Dans notre traduction des Neuf chapitres} nous n}avons} par souci d}homogénéit~ traduit aucune unité de mesure. Il / agissait pour nous de ne pas distinguer artificiellement les unités qui auraient une contrepartie en français} des autres} voire de crée~ par la traduction} l'impression de systèmes hétérogènes. UNITÉS DE LONGUEUR 1 zhang = 10 chi = 10 2 cun = 10 3 fin = 104 li = 10 5 hao = 106 miao = 10 7 hu toise pied pouce part ·Les Neuf chapitres à proprement parler ne recourent qu'aux trois premières unités. La suite de l'échelle est introduite par Liu Hui, dans son commentaire faisant suite au problème 1.32 par exemple. Le système officiel d'unités de longueur décrit par l'Histoire des Han (.2001a].

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Les Neuf chapitres

mathématiques de la Chine ancienne, plus âgé que les plus anciens manuscrits repérés jusqu'alors de quelque mille ans 1 . Elle nous livrait également le premier livre connu, strictement consacré aux mathématiques, dont la rédaction avait devancé d'au moins plusieurs décennies la composition des Neufchapitres. La publication de son texte et des premières analyses suggère qu'il s'agit d'un ouvrage vraisemblablement lié à l'exercice de responsabilités de gestion administrative à l'échelle d'une sous-préfecture, sous la dynastie Qin et au début des Han2 . Nous aurions ainsi une idée relativement précise de la nature des connaissances mathématiques requises pour des fonctions de la sorte. Or, l'ouvrage présente effectivement un certain nombre de thèmes communs avec Les Neuf chapitres. On peut donc être tenté d'y voir la partie des mathématiques du Classique qui l'attache plus spécifiquement à ces aspects des activités administratives. Sur ces thèmes, on relève également des différences de traitement significatives entre les deux ouvrages. Nous pouvons donc nous demander en quoi elles tiennent au projet spécifique qui a présidé à la composition des Neuf chapitres. Par ailleurs, un écrit touchant aux mathématiques de la topographie, de l'astronomie et du calendrier, également composé aux temps de la dynastie Han, nous est, lui aussi, parvenu par le biais de la tradition écrite: le Classique mathématique du Gnomon des Zhou (Zhoubi suanjing), ou Gnomon des Zhou (Zhoubi)3. Sans doute cette survie fut-elle favorisée par le fait que l'ouvrage était appelé à devenir, comme Les Neuf chapitres, un « Classique ». Tous deux furent effectivement sélectionnés pour figurer, sous la dynastie Tang, dans l'ensemble des Dix Classiques de mathématiques et servir de manuels de mathématiques dans les institutions d'enseignement de l'Etat4. Le Gnomon des Zhou indique, pour sa part, celles des connaissances mathématiques que mobilisaient les activités d'astronomie et de topographie. Confronter Les Neuf chapitres à ces deux témoins suggère comment sa composition a pu puiser à des savoirs, ou s'inspirer de questions, élaborés dans des contextes différents. Il n'en reste pas moins - ce sera la thèse que nous défendrons ici - que le Classique fond l'ensemble de ces connaissances en un tout théorique. Et nous nous attacherons à son étude, dans la mesure où elle donne de nombreuses clefs pour appréhender le développement ultérieur des mathématiques en Chine et, partant, dans le monde. En contrepoint, un autre ordre de questions restera à l'horizon de nos préoccupations au long de ce livre. Les Neuf chapitres, nous l'avons dit, se sont vu dotés du statut singulier de « Classique ». Le témoignage le plus ancien qui le désigne comme «jing» se trouve être le texte que le commentateur Liu Hui rédige en préface 5 à son exégèse, achevée en 263. Nous nous demanderons ce que signifie, pour Les Neuf chapitres, le fait d'avoir été consacré comme « Classique ». Quelles attitudes envers le texte, quelles hypothèses sur sa nature ou sur la manière dont il faisait sens, ce statut a-t-il induit chez les commentateurs ? Garder ces interrogations présentes à l'esprit peut nous prémunir contre des modes de lecture hâtives ou trop sommaires, qui verraient en cet 'ouvrage un avatar d'un quelconque manuel d'école. Nous chercherons à nous donner les moyens de l'appréhender en tant que «Classique» et à formuler des hypothèses sur ce que visent les commentateurs à travers l'exégèse. L'enjeu en est, à tout le moins, de tenter de saisir l'ouvrage comme il l'a été par ceux qui y sont constamment revenus et y ont cherché l'inspiration. 1. Sur les manuscrits mathématiques de Dunhuang, voir [Li Yan .6.. 1944/54a}, pp. 33-56. 2. On y relève des problèmes liés à la mesure des terres et à la collecte des impôts, à la gestion des greniers et des travaux publics. Voir [Peng Hao .6..2000a} & [Peng Hao .6..2001a}, pp. 6-10. 3. Voir [Cullen 1996}. Ce dernier avance l'hypothèse que l'ouvrage aurait été composé par accrétions de textes antérieurs, au temps de l'interrègne de Wang Mang (chapitre 3). C'est à l'occasion de son inclusion dans la collection des Dix Classiqtles, que le titre original de Gnomon des Zhou (Zhoubi) fut transformé en Classique mathématique du gnomon des Zhou (Zhoubi suanjing) ([Cullen 1996}, p. 164). Nous utiliserons indifféremment l'un ou l'autre titre. 4. Tous ces points sont développés au chapitre B. 5. Sa traduction et l'édition de son texte figurent pp. 125-129.

Présentation générale

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U ne fois explicitées les questions générales qui orientent notre analyse du Classique et de ses commentaires, nous proposerons, dans ce chapitre d'ouverture, une première approche de l'ouvrage. A titre de préambule, nous fournirons tout d'abord, un aperçu des sujets mathématiques abordés dans Les Neuf chapitres. Puis nous examinerons tour à tour les divers éléments qui entrent dans la composition du Classique et de ses commentaires. Le Classique articule pour l'essentiel des problèmes et des algorithmes, dont l'exécution requiert d'effectuer des opérations sur une surface à calculer. Nous rassemblerons donc, dans un second temps, les témoignages disponibles sur ces divers aspects de l'activité mathématique (problème, calcul, algorithme), dans l'intention de préciser, autant qu'il est possible, les pratiques mathématiques concrètes dont ces éléments ont fait l'objet en Chine ancienne. Ce préliminaire doit nous donner une idée plus précise de l'activité mathématique que reflète le texte des Neuf chapitres. Nous nous tournerons ensuite, dans le même ordre d'idées, vers les commentateurs. Liu Hui et Li Chunfeng s'intéressent systématiquement à établir la correction des algorithmes énoncés par Les Neuf chapitres. Ce sont eux qui, en relation avec cette derp.ière activité, introduisent différents types d'auxiliaires visuels, lesquels restent totalement absents du Classique. Notre troisième partie cherchera à donner au lecteur un aperçu synthétique et concret des pratiques que les commentateurs mettent en œuvre aux fins de l'exégèse, et tout particulièrement des objectifs et des modalités de leurs démonstrations mathématiques. L'ensemble de ces divers développements donnera à voir comment, dans des contextes historiques distincts, se sont élaborées des pratiques et des approches de fait différentes des mathématiques. A titre de contraste, nous conclurons ce chapitre introductif par l'ébauche d'un panorama visant à saisir la place qu'occupent Les Neuf chapitres et leurs commentaires dans le paysage des mathématiques mondiales. Même à l'état d'esquisse, ces quelques éléments laissent percevoir combien l'étude de ces textes devrait bénéficier à notre compréhension des circulations de connaissances qui ont constitué les mathématiques comme des savoirs et des pratiques internationaux.

1.

SURVOL MATHÉMATIQUE DES NEUF CHAPITRES

Tout en nous proposant de donner ici une idée des thèmes mathématiques abordés dans Les Neuf chapitres, nous poursuivons un objectif, qui organisera notre présentation. Nous souhaitons mettre en évidence que le contenu du Classique se laisse, pour l'essentiel, dissocier en deux composantes qui peuvent être plus spécifiquement corrélées, l'une, avec le Livre de procédures mathématiques, et l'autre avec le Gnomon des Zhou. Or nous avons vu qu'ils étaient attachés, l'un, aux milieux de la gestion administrative, l'autre à ceux de l'astronomie et de la topographie. Notons tout d'abord que tous ces ouvrages présupposent les mêmes rudiments, sur lesquels aucun ne revient. Tout comme le Livre de procédures mathématiques et le Gnomon des Zhou, Les Neuf chapitres tiennent pour acquise la connaissance d'algorithmes qui permettent d'effectuer les opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, multiplication, division) sur des entiers ou sur des quantités exprimées en fonction d'une suite d'unités de mesure de plus en plus fities 1 . Nous n'avons donc de certitude ni pour ce qui est de la manière dont les auteurs des Neuf chapitres représentaient les nombres, ni au sujet des algorithmes qu'ils utilisaient pour les opérations arithmétiques. Les quelques indices qu'on peut toutefois relever, aussi bien dans l'ouvrage que dans d'autres sources de la même époque, incitent à penser que ces opérations s'effectuaient sans doute sur la surface sur laquelle les calculs étaient plus généralement exécutés, nous y reviendrons ci-dessous (section II.2). De plus, nous avons des raisons de croire que la représentation des nombres entiers contemporaine 1. Il convient d'introduire ici une nuance: le Livre de procédures mathématiques présente nombre de tables qui, tout à l'instar d'une table de multiplication d'aujourd'hui, articule des multiplications élémentaires entre unités, fractions, fractions d'unités et puissances de dix. En les examinant de près, on pourra sans doute en déduire des informations intéressantes sur les algorithmes employés pour multiplier des nombres impliquant diverses unités et fractions.

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Les Neuf chapitres

de la rédaction du Classique était positionnelle et décimale, et qu'elle avait déjà pris la forme attestée ultérieurement 1 . En revanche, Les Neuf chapitres décrivent systématiquement des algorithmes pour effectuer les opérations arithmétiques sur des fractions 2 , conçues comme formées d'un numérateur ainsi que d'un dénominateur et toujours inférieures à 1. Le Gnomon des Zhou met ces connaissances en œuvre, sans qu'on puisse déceler de différence avec ce que Les Neuf chapitres prescrivent. Mais elles n'y font pas l'objet d'un traitement particulier. Au contraire, ce sujet est abondamment détaillé dans le Livre de procédures mathématiques. Il en va de même pour la « règle de trois» : évoquée dans le Gnomon des Zhou 3, elle est développée, prolongée, dans Les Neuf chapitres aussi bien que dans le Livre de procédures mathématiques. Au nombre des thèmes que Les Neuf chapitres ont en commun avec ce dernier ouvrage, et que le Gnomon des Zhou n'effleure pas, on relève: des calculs d'aires planes4 ; des algorithmes pour réaliser des partages inégaux5 ; des calculs de volumes 6 . Il est significatif que les thématiques des problèmes, dans les chapitres où ils sont traités, se laissent régulièrement corréler avec les questions que posait la gestion des ressources, matérielles comme humaines, de l'Etat. Les deux ouvrages ont pour autre sujet commun la règle qu'en Occident on appelle de « fausse position double» et que le Classique, pour sa part, nomme la « Procédure de l'excédent et du déficit». Cette règle permet de résoudre des problèmes linéaires de manière systématique à!'aide de suppositions faites sur les valeurs des inconnues. Elle devait jouir d'un destin exceptionnel avant de tomber en désuétude du fait, sans doute, de l'avènement de l'algèbre moderne7 . Sur ces sujets, nous pouvons, cependant, relever quelques différences entre le Classique et le Livre de procédures mathématiques. Les surfaces et les solides pris en considération dans Les Neuf chapitres sont plus variés. En particulier, on y trouve les formes que les commentateurs désignent comme fondamentales, dans la mesure où elles leur permettront d'établir la correction des algorithmes évaluant les volumes les plus divers 8 . De plus, Les Neuf chapitres rassemblent, en particulier au chapitre 6, des problèmes dont la résolution combine les algorithmes précédents, ou en étend l'usage à d'autres objets mathématiques comme les suites. Ce type de procédure obtenue par combinaison et ces extensions restent pour l'essentiel absentes du Livre de procédures mathématiques9. Plus généralement, le Classique donne de ces sujets un traitement qui révèle, par rapport à ce dernier ouvrage, un gain en généralité ou en abstraction, nous y reviendrons. Un autre ensemble des thèmes mathématiques abordés dans Les Neuf chapitres font plutôt écho aux connaissances mobilisées par le Gnomon des Zhou, mais n'ont pas laissé de trace apparente dans le Livre de procédures mathématiques 1o. Le plus important d'entre eux - sans doute, celui qui articule les

1. Les indices par lesquels Les Neuf chapitres trahissent ces propriétés de la représentation des nombres sur la surface à calculer se trouvent pour l'essentiel dans les algorithmes d'extraction de racine qui, par leur description itérative, autorisent cette conclusion. Voir l'introduction au chapitre 4, et également ci-dessous, section II.2. 2. Voir les chapitres 1 et 4, ainsi que les introductions correspondantes. 3. La référence passe par le biais d'un recours au terme lü (Zhoubi suanjing, édition [Qian Baocong L:>..1963], pp. 26-28), qui en constitue le concept clef dans Les Neuf chapitres. Voir le chapitre 2 et l'introduction correspondante. En particulier, la section 1.2 discute un autre type de parallèle avec le Livre de procédures,mathématiques. 4. Voir le chapitre 1 et l'introduction correspondante. 5. Voir le chapitre 3 et l'introduction correspondante. 6. Voir le chapitre 5 et l'introduction correspondante. 7. Voir le chapitre 7 et l'introduction correspondante, ainsi que la section (IV) ci-dessous. 8. Sur le qiandu, le yangma et le bienao, voir le chapitre 5 et l'introduction correspondante. Voir également la section IlIA ci-dessous. 9. Voir le chapitre 6 et l'introduction correspondante, qui précise cette dernière affirmation. 10. [Cullen 1996], pp. 75-92, donne un aperçu des items mathématiques rencontrés dans le Gnomon des Zhou ou dans ses commentaires.

Présentation générale

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autres - correspond audit « théorème de Pythagore », que le Classique nomme, conformément à l'énoncé qu'il en donne, la « Procédure de la base (gou) et de la hauteur (gu) »1. Le Gnomon des Zhou en décrit les fondements, alors que Les Neuf chapitres parcourent, eux, plus systématiquement les divers types de problèmes qui en relèvent. Ceux-ci requièrent l'extraction de racine carrée et parfois même la résolution d'équations quadratiques. Les deux sujets sont également abordés dans Les Neuf chapitres. L'extraction de racine carrée, qu'on trouve mise en œuvre dans le Gnomon des Zhou, fait l'objet, au chapitre 4 du Classique mathématique, d'un traitement systématique ainsi que de diverses extensions, propres à cet ouvrage, à l'extraction des racines dites circulaire, cubique et sphérique 2 . Quant aux équations quadratiques, introduites en relation avec un problème relatif au triangle rectangle (9.19) dans Les Neuf chapitres, leur résolution y renvoie, selon une manière de faire spécifique de la Chine ancienne, à l'algorithme d'extraction de racine carrée3. Le Gnomon des Zhou ne les mentionne pas à proprement parler, mais le commentaire que Zhao Shuang en rédige au Ille siècle, tout comme celui de Liu Hui, en considère plusieurs, toujours dans le cadre de questions liées au triangle rectangle. Le thème de l'extraction de racine ouvre dans Les Neuf chapitres sur un autre objet mathématique, lui absent du Gnomon des Zhou: les irrationnels quadratiques4 . Le Classique les introduit, sans décrire d'algorithmes qui permettent d'opérer sur eux. Seuls les commentaires nous donnent à voir, à l'occasion d'une discussion sur la sphère, comment ces quantités furent impliquées dans des calculs 5 . Il est cependant intéressant de relever que ces développements renvoient, eux aussi, à des questions visiblement liées à l'astronomié. Or ce second ensemble de thèmes est traité dans le contexte de problèmes dont aucun énoncé ne me paraît présenter de lien direct avec l'administration des biens et des personnes. Il est, par contraste, d'autant plus significatif que ceux des chapitres qui traitent de sujets communs avec le Livre de procédures mathématiques soient ceux-là mêmes dont les énoncés de problèmes évoquent le secteur de l'administration auquel ce dernier ouvrage adhère. Enfin, Les Neuf chapitres abordent, de surcroît, un sujet qui ne figure dans aucun des ouvrages antérieurs connus: la résolution des systèmes de n équations linéaires à n, voire n + 1, inconnues, à 1. Voir le chapitre 9 et l'introduction correspondante. Notons que quelques lattes du Livre de procédures mathématiques,

2.

3. 4. 5. 6.

portant sur les carrés inscrit et circonscrit à un cercle, pourraient être l'écho d'une application du théorème de Pythagore ([Peng Hao L:".2001a], lattes 153-155, pp. 110-113). Cependant, d'une part, leur texte est défectueux. C. Cullen prépare une édition critique et une traduction du Livre de procédures mathématiques qu'il a eu l'amabilité de me communiquer en son état actuel, et il y propose une excellente piste pour le reconstituer. D'autre part, les procédures ne trahissent en rien l'algorithme utilisé sur ce point précis. Il est cependant' particulièrement intéressant de noter leur affinité avec les calculs développés autour du vase de bronze de Wang Mang (voir la note 134 à la traduction du chapitre 1 et l'introduction au chapitre 2, section 1. Lb). Voir le chapitre 4 et l'introduction correspondante. Il est intéressant de noter que Les Netif chapitres ne recourent qu'une seule fois à une extraction de racine en dehors des chapitres 4 et 9, pour le problème 5.28 qui porte sur la contenance d'un grenier à grain, un sujet typique de l'administration des finances (voir l'introduction au chapitre 2, p. 201). Or le Livre de procédures mathématiques décrit un algorithme singulier d'extraction de racine carrée, par une méthode d'interpolation mettant justement en œuvre la règle de « fausse position double ». Nous ne lui connaissons pas de descendance mathématique en Chine et il pourrait renvoyer à une tradition propre au milieu auquel l'ouvrage est attaché. Voir les chapitres 4 et 9 et les introductions correspondantes (pour le chap. 4 : section 11.1 et, pour le chap. 9 : sections 1.2 et II. 3). Voir le chapitre 4, p. 365, et l'introduction correspondante, pp. 330-335. Voir le chapitre 4, pp. 381-383, et l'introduction correspondante, p. 332. La sphère y apparaît traitée en relation avec des préoccupations de cosmographie, voire de cosmologie. Remarquons, à ce sujet, que la figure du cercle est commune aux deux ouvrages que nous comparons aux Neufchapitres. Cependant, c'est par son aire, et les volumes à section circulaire, qu'elle figure dans le Livre de procédures mathématiques et plutôt par sa circonférence, dans ses rapports avec le diamètre, dans le Gnomon des Zhou.

Les Neuf chapitres

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l'aide d'un algorithme équivalent à celui qu'on qualifie aujourd'hui de « pivot de Gauss ». Et, pour lui assurer une généralité plus grande, coefficients positifs, négatifs ou nuls sont introduits l . Au terme de ce survol, nous constatons donc que Les Neuf chapitres composent divers types de connaissances mathématiques. Certaines constituent un socle commun au Livre de procédures mathématiques et au Gnomon des Zhou. D'autres n'apparaissent que dans l'un ou dans l'autre ouvrage. Enfin, le Classique comporte des chapitres qui ne figurent dans aucun de ces deux livres. Sur un autre plan, par contraste avec les ouvrages auxquels nous l'avons comparé, Les Neuf chapitres paraissent en général plus systématiques. Abstraction et généralité y sont maniées de façon différente. De plus, les différents sujets évoqués y sont fondus en un tout à caractère théorique. L'enjeu qui se présente à nous maintenant, c'est de comprendre comment ces divers thèmes mathématiques ont été traités et organisés en ce qui devait devenir le système mathématique de référence de la Chine ancienne. Un dernier contraste mérite d'être relevé: le mode de présentation des connaissances mathématiques oppose Les Neuf chapitres et le Livre de procédures mathématiques au Gnomon des Zhou. Contrairement, en effet, à ce dernier qui procède par un texte continu, dans lequel s'enchâssent les énoncés de procédures, les deux premiers ouvrages articulent problèmes et algorithmes, décrivant le plus souvent ceux-là dans le contexte de ceux-ci. Voilà qui nous ramène, en préalable à toute analyse, à une description plus concrète du texte du Classique, laquelle nous incitera d'ailleurs à nuancer la manière dont il convient de décrypter les différents sujets mobilisés par ses énoncés. Qu'est-ce qu'un problème dans Les Neuf chapitres? Telle est la question vers laquelle nous nous tournerons maintenant.

II.

LES COMPOSANTES DES NEUF CHAPITRES

1. Les problèmes du Classique 2 Décrivons, dans un premier temps, les traits principaux des textes des énoncés des Neuf chapitres. Les mêmes premiers mots en signalent systématiquement le début: Jin you «SUPPOSONS QU'ON AIT ... », ou parfois you you « SUPPOSONS QU'ON AIT A NOUVEAU ... », lorsqu'il s'agit d'un problème résolu, comme le précédent, par une même procédure qui leur fait suite 3 . Et l'énoncé s'achève toujours en formulant la « DEMANDE (WEN) » de déterminer des inconnues, à l'aide de l'interrogation normalisée: « COMBIEN VIHE) ? ». De manière générale, les problèmes du Classique sont particuliers à deux titres: ils décrivent une situation singulière, et ils proposent des valeurs numériques pour les données. Citons-en un exemple typique : (9.9) « SUPPOSONS QU'ON AIT UN RONDIN DE BOIS DE SECTION CIRCULAIRE ENFONCÉ DANS UN MUR ET A L'AIDE D'UNE SCIE, ON LE SCIE, A UNE PROFONDEUR DE 1 CUN, LE TRAJET DE LA SCIE A 1 CHI DE LONGUEUR. ON DEMANDE COMBIEN VAUT LE DIAMÈTRE. »

DONT ON NE CONNAîT PAS LES DIMENSIONS. SI,

«

L'énoncé paraît renvoyer ici à une situation concrète. Dans d'autres cas, le qualificatif de récréatif» vient plus volontiers à l'esprit, comme pour ce problème:

1. Voir le chapitre 8 et les notes correspondantes. 2. Cette section s'appuie sur [Chemla 1997c & 2000a], où le lecteur trouvera un traitement plus détaillé de ces questions. Le Livre de procédures mathématiques requerrait une analyse comparable des problèmes et de leurs rapports avec les algorithmes. Nous verrons qu'elle doit mettre en œuvre des moyens autres que ceux dont nous disposons pour traiter des Neuf chapitres. Ce développement dépasse le cadre de cet ouvrage. 3. Voir Jin you. Pour mieux distinguer le texte du Classique de celui de ses commentaires, dans ce qui suit comme dans la traduction, nous employons, pour le premier, de petites capitales.

Présentation générale

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(6.14) « SUPPOSONS QU'UN LAPIN COURE D'ABORD 100 BU, MANQUE DE LE RATTRAPER DE

30 BU ET S'ARRÊTE.

BU ET QU'UN CHIEN, LE POURSUIVANT SUR

250

ON DEMANDE, SI LE CHIEN NE S'ÉTAIT PAS ARRÊTÉ,

COMBIEN DE BU IL AURAIT ENCORE PARCOURU AVANT DE LE RATTRAPER. »

Cependant quelques problèmes ne répondent pas à cette description, dans la mesure où, s'ils donnent toujours des valeurs particulières aux données, la situation dans le contexte de laquelle ils sont posés est, elle, abstraite. En voici un exemple, toujours relatif au triangle rectangle: (9.1)

« SUPPOSONS QUE LA BASE (GOU) SOIT DE

3

CHI ET LA HAUTEUR (GU) DE

4

CHI. ON DEMANDE

COMBIEN FAIT L'HYPOTÉNUSE. »1

Les Neuf chapitres mêlent donc des énoncés qui nous apparaissent tour à tour concrets, récréatifs ou abstraits. Une première remarque nous avertit de ce qu'il ne faut pas accorder trop d'importance à ces oppositions. Les problèmes qui conduisent à formuler les algorithmes calculant les volumes de différents solides, au chapitre 5, sont posés relativement à des formes le plus souvent apparemment empruntées à l'architecture. Le commentateur y insiste, qui discute régulièrement le sens premier des termes à l'aide desquels le Classique désigne ces divers corps. Cependant, force est de reconnaître que, lorsque Liu Hui découpe un « pavillon à base carrée lfang ting) » de quelques dizaines de centimètres - de fait une « pyramide tronquée à base carrée» - , en un cube, désigné abstraitement, des pyramides dites yangma, dont le nom, selon lui, renvoie à un « coin d'un toit à quatre gouttières », et des demi-parallélépipèdes dits qiandu, un terme dont il discute le sens sans parvenir à l'élucider pleinement, on gagne la ferme impression que les praticiens, tout en étant conscients que les désignations ont pu avoir des significations concrètes, les manipulent comme des index des formes 2 . N'en allait-il pas de même de la sphaira grecque? Que penserions-nous de traductions qui rendraient le terme comme « balle », voire « gantelet rond pour le pugilat» ou « oursin »3 ? Pour revenir à la Chine ancienne, le même phénomène se reproduit dans un autre contexte qui permet de l'analyser plus avant. Considérons en effet le cas de cet autre problème des Neuf chapitres: (8.1) «SUPPOSONS QUE 3 BING DE MILLET DE QUALITÉ SUPÉRIEURE, 2 BING DE MILLET DE QUALITÉ 1 BING DE MILLET DE QUALITÉ INFÉRIEURE PRODUISENT (SHI) 39 DOU ; QUE 2 BING DE MILLET

MOYENNE,

DE QUALITÉ SUPÉRIEURE,

3 BING DE MILLET DE QUALITÉ MOYENNE, 1 BING DE MILLET DE QUALITÉ INFÉ34 DOU ; QUE 1 BING DE MILLET DE QUALITÉ SUPÉRIEURE, 2 BING DE MILLET DE

RIEURE, PRODUISENT (SHI)

1. Cet exemple invite à relativiser l'importance des données numériques: puisque le problème appartient à une série de trois énoncés (9.1-9.3), dont chacun fournit la valeur des inconnues que les deux autres demandent de déterminer, c'est que l'obtention concrète des résultats numériques est un enjeu de peu de poids. Plus largement, les pratiques dont les données faisaient l'objet, tout particulièrement le travail qu'ont requis leur production et leur traitement, appellent une recherche systématique qui, à ma connaissance, n'a pas encore été menée. On peut montrer que les lecteurs de la Chine ancienne s'attendaient à ce qu'on puisse librement leur substituer d'autres valeurs (voir plus loin). Mais on peut également montrer qu'elles étaient, en tant que telles, le support et la motivation d'activités mathématiques. Ainsi, parfois, les données numériques fournissent des informations qui complètent l'énoncé: c'est le cas pour le champ annulaire (1.38) dont le commentateur comprend, grâce à ses dimensions, qu'il n'est pas fermé. De même, l'examen des valeurs utilisées pour énoncer des problèmes au chapitre 9 révèle des propriétés liées à des procédures présentées dans Les Neuf chapitres (voir l'introduction audit chapitre, en particulier section II.2). Enfin les valeurs numériques sont, en tant que telles, impliquées dans le travail de démonstration (voir ci-dessous, section IlIA). Autant de faits qui donnent à penser que la pratique de ces entités ne peut être considérée comme allant de soi, mais mérite au contraire d'être décrite. 2. La pyramide tronquée à base carrée est traitée au problème 5.10, p. 423, le yangma au problème 5.15, p. 431, et le qiandtt, au problème 5.14, p. 429. Nous revenons sur ce cas ci-dessous. La remarque tient pour bon nombre d'opérations que les commentateurs effectuent au cours du chapitre 5 et qui trahissent le fait que les noms renvoient à des formes, plus qu'à des objets concrets. Voir également l'introduction au chapitre 5 et le chapitre D, où nous discutons des principes de traduction adoptés pour ces termes. 3. Voir la discussion par Pierre Cartier du procédé abstrait-figuratif dans le choix de termes en mathématiques in Pierre Cartier & K. Chemla, « La création des noms mathématiques: l'exemple de Bourbaki », '99. Sciences et humanités, 1, 1999 : La dénomination, pp. 153-170, en particulier p. 161.

Les Neuf chapitres

10 QUALITÉ MOYENNE,

3 BING DE MILLET DE QUALITÉ INFÉRIEURE,

PRODUISENT (SHI)

26 DOU

; ON DEMANDE

COMBIEN PRODUISENT (SHI) RESPECTIVEMENT UN BING DE MILLET DE QUALITÉ SUPÉRIEURE, DE QUALITÉ MOYENNE, DE QUALITÉ INFÉRIEURE. »

A première vue, l'énoncé qui, pour nous, pose un système d'équations linéaires paraît mettre en œuvre une situation concrète. Un œil plus exercé repère que le terme désignant la production des divers millets a également le sens technique de « dividende ». Or, on peut montrer qu'il est effectivement actif dans ce contexte. Par ailleurs, les qualités de millet sont identifiées par des termes (haut/milieu/bas) qui renvoient aux positions concrètes des valeurs associées sur la surface à calculer1 . Ces observations indiquent que l'énoncé requiert une lecture sur deux plans distincts et révèlent l'ambiguïté de son statut. Pour ce dernier cas, un témoignage nous permet d'aller plus loin et nous fera voir tout le parti que nous pouvons tirer d'un texte comme celui des Neuf chapitres. En effet, à la suite de l'énoncé du problème 8.1, Liu Hui insère une observation qui s'y rapporte: « Cette procédure est universelle (dou shu), mais elle est difficile à faire comprendre avec des expressions abstraites (kong yan) ; c'est pourquoi à dessein, on la relie au (cas) de millets pour en éliminer l'obstacle. »

Le commentateur du me siècle semble précisément répondre ici à la question de savoir pourquoi la procédure, quoique universelle, est présentée en relation avec des « millets», c'est-à-dire dans le cadre d'un problème concret. Déplions ce que son observation nous apprend sur la manière dont Liu Hui saisit les problèmes des Neuf chapitres. Elle révèle que, pour lui, le contexte d'un problème n'a rien de nécessaire pour la description d'un algorithme tel que celui-ci, mais qu'au contraire, son emploi requiert une justification. De plus, son affirmation oppose la formulation en relation avec un problème à des « expressions abstraites», que le lecteur paraît en droit d'attendre pour une « procédure universelle ». A ses yeux, il s'agit là d'un choix qu'effectue le Classique, et d'un choix qu'en pareil cas, un exégète se doit de légitimer. La consultation des Neuf chapitres le confirme effectivement: certains algorithmes sont énoncés sans référence à un problème. Parmi eux, il n'en est qu'un que les commentateurs qualifient également de « procédure universelle » : la règle de trois ou, selon les termes du Classique, la « Procédure du "supposons" ». Or, son énoncé paraît bien répondre à l'attente que Liu Hui prête au lecteur du Classique en pareil cas: formulée en dehors du contexte de tout problème, elle est coulée en des termes abstraits 2 . Si choix il y a, pourquoi le Classique recourt-il ici, pour l'algorithmefangcheng de résolution des systèmes d'équations linéaires qui présente le même caractère d'« universalité», à un problème? C'est précisément la question que pose Liu Hui. Et la justification que le commentateur avance pour en rendre compte peut surprendre. Il lit en effet dans cette option une tentative délibérée de « faire comprendre» la procédure 3 . Si c'est seulement dans la section III.3 ci-dessous que nous serons en mesure d'interpréter pleinement sa remarque, notons dès à présent qu'elle' paraît manifester une attente, vis-à-vis des problèmes, différente de ce qu'un lecteur du XXIe siècle escompterait. Loin de se réduire à avancer un énoncé qu'il faudrait résoudre, le problème renvoie à l'exégèse de l'algorithme. Cette observation de Liu Hui met en évidence un écart entre l'approche spontanée que nous pourrions avoir des problèmes des Neuf chapitres et le déchiffrage qu'en opère un commentateur chinois du me siècle. Elle nous met donc en garde contre les contresens que provoquerait une lecture naïve du Classique et nous incite à nous en protéger, en élaborant une stratégie d'approche de son texte en général, et de ses problèmes en particulier. En l'état du corpus mathématique de la Chine ancienne actuellement disponible, une seule méthode s'offre à nous. Composés comme ils le sont d'une mosaïque de problèmes et d'algorithmes, Les Neuf chapitres, ou même le Livre de procédures 1. Je ne développe pas l'argumentation ici, renvoyant aux notes correspondantes de la traduction. 2. Voir le chapitre 2 et l'introduction correspondante. 3. Liu Hui avance une justification analogue au cours de son commentaire à la « Procédure du positif et du négatif» (8.3).

Présentation générale

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mathématiques, ne nous donnent pas de prise pour justifier telle ou telle interprétation. En revanche, les commentateurs s'expriment en un style plus libre, et nous pouvons glaner dans leurs écrits nombre de remarques et d'attitudes qui nous informent, en l'occurrence, sur leur lecture et leurs pratiques des problèmes ainsi que sur leurs attentes. Certes, plusieurs siècles les séparent de la rédaction des Neufchapitres. Ils n'en restent pas moins les lecteurs les plus anciens et les plus proches du Classique que nous puissions observer et sur les modes de lecture desquels nous puissions nous appuyer pour élaborer une approche moins anachronique de son texte. Faut-il nous inquiéter de ce qu'ils soient des commentateurs et de ce que, par exercice, leur activité mathématique s'oppose à celles qui ont présidé à la rédaction du Classique? Faut-il nous préoccuper des libertés qu'ils pourraient se permettre par définition même de leur fonction et qui pourraient nous induire gravement en erreur? Ces questions appellent des remarques d'ordres différents. Tout d'abord, si force est de reconnaître que le texte des Neuf chapitres et les écrits des commentaires de Liu Hui et de Li Chunfeng reflètent des activités mathématiques distinctes, il ne faut pas pour autant perdre de vue, comme c'est trop souvent le cas, tout ce qui les rapproche. Souvent, l'analyse de développements menés par les commentateurs conduit à prêter attention à des indices, dans le Classique, qui témoignent de préoccupations semblables. Souvent également, des propriétés récurrentes, dans Les Neuf chapitres, laissent transparaître une direction de recherche dont on retrouve l'écho dans des objectifs explicitement poursuivis par les commentateurs 1 . Par-delà des différences d'apparence, de véritables continuités d'intérêts et de pratiques se manifestent. Elles sont extrêmement précieuses pour nous, car elles nous permettent de bénéficier, sur une longue durée, d'un double éclairage sur les mêmes objets d'étude. Nous aurions tort de nous étonner outre mesure de pareilles continuités. Après tout, nous pouvons faire l'hypothèse que, si des exégètes comme Liu Hui commentent Les Neuf chapitres, c'est qu'ils ont pu appartenir à des traditions de recherche qui remontent au Classique. La manière dont ils font sens des indices que donne à lire le texte des Neuf chapitres peut donc être des mieux informées. De plus, s'il est des raisons de penser que les pratiques mathématiques des commentateurs se sont déjà transformées par rapport à ce qui avait cours du temps de la composition du Classique -les différences entre les textes en sont de fait la première illustration - , on peut cependant postuler que ces changements se sont produits dans une certaine forme de continuité avec le passé. A tout le moins, nous avons l'espoir de cerner, du plus près qu'il nous est possible, les lectures et les usages que des mathématiciens de la Chine ancienne du lUe ou du Vue siècle ont pu faire de ces problèmes. Autrement dit, s'appuyer sur les commentateurs pour éclairer les pratiques contemporaines de la rédaction des Neuf chapitres reste une méthode, sinon idéale, du moins praticable avec une fiabilité relative. De plus, il n'est pas question pour nous de mettre en œuvre cette méthode aveuglément. Nous pouvons confronter systématiquement les modes de lecture du Classique que les commentateurs nous inspirent aux indices qu'il est loisible de prélever dans le texte de ce dernier, voire à d'autres témoignages contemporains. Le cas de la lecture des problèmes s'avère en ce sens particulièrement intéressant, car il nous permettra, nous le verrons, de conjuguer ainsi plusieurs types de sources. Tel est donc, en quelques mots, le dispositif par lequel nous nous proposons de nous prémunir contre une approche naïve du Classique. On comprend aisément en quoi Les Neuf chapitres offrent, avec leur appareil de commentaires, un texte particulièrement propice au développement d'interprétations documentées. C'est donc maintenant en nous appuyant systématiquement sur la manière dont les commentateurs lisent ou utilisent les problèmes des Neuf chapitres, les modifient, voire en introduisent de nouveaux, que nous tenterons de reconstruire des éléments de la pratique des problèmes en Chine ancienne. 1. Voir [Chemla 1991a). Nous reviendrons sur ces échos dans le corps de l'ouvrage également, et tout particulièrement dans la suite de ce chapitre.

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Les Neuf chapitres

Nous avons déjà relevé, plus haut, que le fait de présenter un algorithme en relation avec un problème n'allait pas de soi pour le commentateur, mais pouvait requérir une justification. Par ailleurs, Liu Hui semblait ne pas lire un problème comme un énoncé à résoudre, mais comme l'introduction d'une situation concrète relativement à laquelle Les Neuf chapitres pouvaient espérer « faire comprendre» une procédure. Cependant, cette dernière interprétation de sa déclaration appelle quelques nuances. Car le commentateur du me siècle paraît également ne pas accorder d'importance en soi au concret de la situation relativement à laquelle un problème est posé. Nous en trouvons un indice dans le commentaire qui fait suite au problème 1.36. Soulignant l'imprécision, en général, de la procédure décrite par le Classique pour déterminer l'aire d'un segment de cercle à l'aide de sa flèche et de sa corde, Liu Hui s'applique à en produire une nouvelle. A cette fin, il lui faut déterminer, sur la base des données, le diamètre du cercle sur lequel le segment de cercle a été prélevé. Reconnaissant là la situation mathématique du problème 9.9, cité plus haut, il le met en œuvre comme suit: « Il convient alors de s'appuyer sur la procédure du [problème} où l'on scie un rondin circulaire du (chapitre) "base (gou) et hauteur (gu)" et de chercher le diamètre [du cercle} correspondant en prenant la corde du segment circulaire comme longueur du trajet de la scie, et la flèche comme profondeur de la partie sciée. »

Liu Hui utilise donc ici directement la procédure proposée pour résoudre 9.9, par le biais d'une identification terme à terme des éléments des deux situations. Soulignons qu'il ne manifeste pas le besoin de procéder par abstraction et de définir un troisième terme qui, détaché de 9.9, pourrait s'appliquer à 1.36. Ainsi, dans la situation et les valeurs particulières de l'énoncé de 9.9, le commentateur lit une structure mathématique plus générale. Le problème tient lieu d'une classe de problèmes: le particulier dit le général, d'une manière qu'il nous faudra examiner plus avant. Nous retrouvons le même phénomène, des siècles plus tard, dans un tout autre contexte, à propos d'un problème semblable à 6.14, que nous avons également cité plus haut. Le premier problème au Classique mathématique qui fait suite aux anciens (jigu suanjing) de Wang Xiaotong (VIle siècle) traite d'une question d'astronomie. Un commentaire, probablement de l'auteur lui-même, affirme: « Le rouleau « Paiement de l'impôt de façon égalitaire» des Neuf chapitres comporte une procédure d'un chien poursuivant un lapin, qui est semblable à cette procédure». Et le commentateur de citer le problème dans la formulation attribuée au Classique et de filer une comparaison directe entre les deux algorithmes l . De cela, deux conclusions s'ensuivent. Tout d'abord, les modalités de lecture et d'usage des problèmes que Liu Hui atteste à propos de 9.9 perdurent plusieurs siècles après lui. Ce témoignage de continuité dans les pratiques nous est précieux. Par ailleurs, nous découvrons, grâce au détour par le Classique mathématique qui fait suite aux anciens, que le problème 6.14 a une pertinence pour l'astronomie. C'est dire la méfiance que doit nous inspirer l'apparence des problèmes: derrière le concret, se loge le général; derrière le récréatif, peut se trouver l'Jltile. Ces observations doivent tempérer l'enthousiasme à ne lire dans certains énoncés que les difficultés pratiques rencontrées par les fonctionnaires de l'administration. Que les problèmes fassent écho ou non à certaines situations concrètes où ils ont pu être mis en œuvre, Les Neuf chapitres, en les retenant, les prenaient comme paradigmes plutôt que comme une fin en eux-mêmes 2 • C'est en relation avec un faisceau de contraintes de natures diverses qu'ils ont pris forme et ont été sélectionnés, et le lecteur moderne doit se garder de simplification excessive à leur égard. 1. Le problème des Neufchapitres est en fait différent de celui que cite ici le commentateur. Sur ce point et sur la comparaison entre les procédures, voir [Bréard 1999], pp. 333-336. On pourrait s'étonner de ne pas trouver de trace dans le Classique de l'autre domaine intimement lié en Chine ancienne au calendrier: l' harmonique. Il est en fait des raisons de penser que les grains du chapitre 2, et plus particulièrement les divers vases étalons qui les mesurent, présentent un lien avec les notes de la gamme. Sur ces vases, voir l'introduction au chapitre 2, section I.1.b. 2. [Chemla 2003a] développe ce point, en s'appuyant sur une analyse détaillée du commentaire au problème 6.18 évoqué plus loin.

Présentation générale

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La raison avancée par Liu Hui pour chercher une autre procédure relative à l'aire d'un segment circulaire nous met sur la piste d'une autre dimension de la lecture d'un problème qui confirme ces premières conclusions. Au terme de son analyse de la correction de la procédure proposée par le Classique, il constate: « Ici, (la procédure) n'est vérifiée (yan) que pour le segment circulaire qui vaut la moitié du cercle. Si (le segment circulaire) ne remplit pas le demi-cercle, cela augmente d'autant plus l'imprécision. »1 Autrement dit, l'algorithme fourni s'applique mal à l'ensemble des cas dont les problèmes tiennent lieu. On peut trouver, avec le problème 6.18, un exemple nettement plus significatif sous ce rapport 2 • La démonstration à laquelle le commentateur se livre de la correction de la procédure fournie par Les Neuf chapitres met en évidence qu'elle exploite de fait deux particularités numériques du problème dans le contexte duquel elle est formulée. Si, aux yeux de Liu Hui, un problème ne tenait lieu que de lui-même et si l'algorithme qui lui faisait suite n'était soumis qu'à la seule contrainte de le résoudre, cette situation n'appellerait aucun commentaire. Mais Liu Hui poursuit son exégèse d'une façon révélatrice, en formulant un autre énoncé, lui aussi particulier, identique à celui du Classique, aux valeurs numériques près. Ces nouvelles données ont deux propriétés. Tout d'abord, elles mettent en défaut la procédure du Classique aux deux points sur lesquels sa généralité posait problème. De plus, la résolution que propose Liu Hui du nouveau problème indique, pour une part, comment restaurer, là où c'est possible, la généralité de la procédure du Classique. Et, pour une autre part, elle forme, avec cette dernière dûment modifiée, un couple qui couvre désormais l'ensemble des cas possibles, représentés les uns par le problème du Classique, les autres par celui de Liu Hui. Mais le commentateur ne s'arrête pas là et poursuit plus loin encore son travail sur la généralité. Reprenant à nouveau l'énoncé initial, particulier au plus haut point, comme nous l'avons vu, il s'inspire du problème suivant 3 pour formuler un algorithme cette fois tout à fait différent, mais bien plus général, puisqu'il résout à lui seul l'ensemble des problèmes semblables à celui des Neuf chapitres. Ce passage éclaire les attentes que Liu Hui nourrit vis-à-vis de la relation entre problème et procédure dans le Classique. Le problème, quelles que soient les singularités de la situation qui fournit le prétexte à son énoncé ou de ses valeurs numériques, doit être paradigme et tenir lieu d'une classe la plus large possible de problèmes semblables. La procédure, pour sa part, apparaît comme ce sur la base de quoi l'extension du champ qu'il couvre se définit. C'est à elle qu'incombe le fait de définir la valeur de généralité d'une situation donnée. C'est donc par un travail sur l'algorithme de résolution faisant suite à un énoncé donné que le lecteur peut déterminer ce à quoi leur ensemble renvoie. On peut lire le commentaire de Li Chunfeng à la « Procédure de la moyenne des parts » comme une illustration de ce type de travail. On y voit le commentateur justifier la formulation de l'algorithme du Classique par l'argument qu'il garantit ainsi la plus grande généralité4. Ailleurs, c'est la position d'un problème dans le Classique que Liu Hui interprète comme signalant l'extension particulièrement large de sa validité. Il explique le fait que le problème 9.1 et ses pairs soient promus en tête du chapitre « Base (gou) et hauteur (gu) » par le fait que leurs procédures de résolution constituent 1'« origine» de toutes celles qui suivent. C'est dire qu'il est des algorithmes de généralité variable et que, d'après le commentateur, le Classique distingue les plus remarquables sous ce rapport. Le positionnement d'un problème n'est donc pas neutre, si l'on en croit les exégètes. Soulignons que ce n'est pas le caractère abstrait de l'énoncé, mais bien sa position dans le chapitre, que Liu Hui interprète comme une expression de sa supériorité en matière de généralité. 1. La section IlIA discute le sens qu'il convient d'attribuer à ce terme de yan. 2. Nous renvoyons le lecteur aux notes correspondantes pour les détails, nous cantonnant ici à indiquer l'idée générale. 3. Relevons au passage que le sujet en est tout à fait différent. Nous avons donc un cas supplémentaire de circulation directe d'un algorithme d'un contexte à un autre, sans formulation d'un tiers terme abstrait. 4. Voir le commentaire qui fait suite au problème 1.16, p. 165.

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Les Neuf chapitres

Si c'est sur la base des commentaires aux Neuf chapitres que nous avançons ces conclusions sur la manière dont il convient de lire les problèmes du Classique, en relation avec les algorithmes qui leur font suite, il faut ajouter qu'elles concordent parfaitement avec les remarques à portée philosophique que le Gnomon des Zhou développe dans ses premières pages 1 . Cet ouvrage, composé également du temps de la dynastie Han et appelé à devenir, rappelons-le, un Classique comme Les Neuf chapitres, se distingue de son homologue par le fait de proposer quelques réflexions sur les mathématiques elles-mêmes et la pratique qu'elles requièrent. C'est à l'occasion d'un dialogue entre le maître Chen Zi et Rong Fang, qui attend de lui de comprendre les procédures mathématiques relatives au cosmos, qu'à titre de première leçon, le disciple se voit expliquer l'essence de l'activité mathématique. Or la pratique qu'on lui propose de mettre en œuvre rejoint le mode de lecture que Liu Hui paraît appliquer aux problèmes des Neuf chapitres. De plus, le concept clef qui organise la description, celui de « classe », ou « catégorie (lei) », joue également un rôle primordial dans les commentaires: des continuités de divers ordres se manifestent donc entre les Classiques du temps des Han et les commentateurs sur ce qui constitue les objectifs premiers de l'activité mathématique 2 . Chen Zi assigne à Rong Fang pour idéal de viser celles des procédures (shu) « dont l'expression est simplifiée, mais dont l'usage est vaste », lesquelles, dit-il, « sont les plus éclairantes pour connaître les catégories». Il poursuit: « Poser un problème (wen) relatif à une catégorie et, par ce biais, comprendre dix mille situations, c'est ce qu'on appelle "connaître la Voie" ». Nous retrouvons donc l'idée que c'est par un travail sur les « procédures» qu'on détermine les classes de situations. Dans cette optique, toutes ne se valent pas, et la perfection se définit en termes de simplicité et de généralité 3 . De plus, l'enjeu consiste bien, à partir d'une question, à saisir l'ensemble des situations qui relèvent du même traitement. Il se manifeste ainsi une réelle adéquation entre les déclarations du Gnomon des Zhou et la lecture que les problèmes des Neuf chapitres requièrent. Il est remarquable que le discours de Chen Zi place le travail sur les procédures mathématiques dans le contexte beaucoup plus large des modes d'appréhension de « la Voie », qui relèvent des mêmes principes. Les pratiques intellectuelles prescrites en ce domaine sont donc, du moins aux yeux des praticiens, en continuité avec les idéaux de connaissance les plus élevés. Le commentateur Zhao Shuang y voit également la mise en œuvre, dans ce contexte particulier, des qualités que Confucius, dans ses Entretiens, déclare exiger de ceux auxquels il réserve son enseignement: « Si je lui présente un coin (d'un carré) et qu'il ne répond pas avec les trois autres, alors je n'y reviens pas ». Or la même association vient à l'esprit de Liu Hui pour renvoyer au travail qu'il attend d'un lecteur auquel il donne un paradigmé. C'est dire que, pour eux, ce mode d'appréhension de problèmes comme ceux qui composent Les Neuf chapitres n'a rien que de très ordinaire. Au terme de ce développement, nous pourrions être tentés par la conclusion qu'un problème n'est qu'un simple paradigme au sens où nous le concevons, que les situations et les valeurs numériques choisies pour les poser sont équivalentes, pour peu qu'elles permettent d'exposer l'algorithme qui traite la question mathématique. Or, une fois de plus, il nous faudra nuancer, et, là, nous 1. Zhottbi suanjing, édition (Qian Baocong .6.1963], pp. 23-24. (Cullen 1996], p. 175-177, en donne une analyse et une traduction et, pp. 174-175, commente ce passage. 2. Voir lei. La préface de Liu Hui met clairement en évidence ce fait, les notes à sa traduction signalent les parallèles avec le Zhoubi et son commentateur du me siècle, Zhao Shuang. Nous y renvoyons le lecteur. Nous savons aujourd'hui que la continuité est même plus forte que nous ne le pensions: alors que le terme de lei ne figure pas dans le texte des Neuf chapitres même, on le trouve dans le Livre de procédures mathématiques, pour désigner des fractions de même dénominateur, par conséquent dans un usage conforme à l'un de ceux du commentateur Liu Hui. 3. Notons qu'au XIXe siècle, le géomètre Michel Chasles articule, lui aussi, ces deux valeurs, dont il exalte l'importance pour les mathématiques. Voir son Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie,particttlièrement de celles qui se rapportent à la géométrie moderne, suivi d'tin mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science : la dualité et l'homographie, Bruxelles: M. Hayez, 1837. 4. Voir la préface, p. 129 ; la « Procédure du "supposons" », au chapitre 2, p. 223 ; et le commentaire au problème 8.18, p. 651, ainsi que les notes correspondantes.

Présentation générale

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rencontrerons les véritables spécificités de la pratique des problèmes en Chine ancienne. Nous avons vu les commentateurs s'appuyer sur les procédures et même sur les démonstrations de leur correction pour travailler les classes dont un problème tient lieu. Nous devons, dans un premier temps, décrire ces autres éléments de texte et les pratiques auxquelles ils donnent lieu, avant de pouvoir approfondir notre compréhension de l'usage des problèmes.

2. La surface à calculer 1 Penchons-nous à présent sur un autre aspect de l'activité mathématique que reflètent Les Neuf chapitres : la pratique concrète des calculs. Il est d'autant plus important qu'apparemment, par-delà des différences matérielles secondaires, les traits essentiels en sont communs à la Chine et à l'Inde anciennes ainsi qu'au Monde arabe. Sa mise en œuvre dans la pratique mathématique de la Chine ancienne semble cependant avoir connu un régime spécifique, et nous verrons qu'il s'agit là d'un élément central auquel on peut rapporter bien des caractéristiques de ses mathématiques. La présence d'un instrument de calcul à côté du texte est manifeste dans les ouvrages mathématiques chinois les plus anciens, même si ce n'est que par le biais de traces. Ainsi, les algorithmes du Livre de procédures mathématiques recourent déjà à une opération que nous rencontrons régulièrement dans Les Neuf chapitres: la prescription de « placer (zhi) » les nombres sur lesquels le flot de calculs à venir portera. Mais les deux ouvrages, nous l'avons déjà relevé, ne disent rien ni de la surface sur laquelle les valeurs sont disposées, ni des modes de représentation qu'y revêtent les nombres. Il est pourtant clair que référence est faite à un instrument, dont nous pouvons tenter de reconstituer certains traits. Un aperçu sur l'histoire des textes mathématiques chinois sous ce rapport nous sera utile pour argumenter la thèse, usuelle, que les ouvrages datant des Han renvoient tous deux à l'usage, mieux attesté quelques siècles plus tard, de baguettes à calculer qu'on disposait sur une surface quelconque et à l'aide desquelles on représentait les nombres 2 • Si les livres les plus anciens sont avares de détails sur la menée des calculs, les ouvrages ultérieurs abondent en précisions de plus en plus nombreuses au fur et à mesure que les siècles passent3 . Le Classique mathématique de Sunzi, qu'on date d'environ 400, est le premier texte connu à expliciter le mode de représentation des nombres à l'aide de baguettes, et à évoquer le système de numération positionnel et décimal dans lequel il s'insère. On y trouve également les premières descriptions attestées d'algorithmes pour effectuer multiplications et divisions. Le même ouvrage donne par ailleurs un luxe beaucoup plus grand de détails sur les manières de disposer des nombres sur la surface pour exécuter divers algorithmes. Il partage ce mode de rédaction, qui l'oppose aux ouvrages des Han, avec plusieurs écrits composés dans les quelques siècles qui suivent, depuis le Classique mathématique de Zhang Qiujian, dont les détails des méthodes, attribués à Liu Xiaosun, datent du VIe siècle, jusqu'au Classique mathématique de Xiahou Yang (vm e siècle). Tous ces livres décrivent précisément les mises en page élaborées pour divers calculs et en général structurées, de manière rigide, le long d'horizontales et de verticales aménagées sur une surface. 1.. [Guo Shuchun ~ 1991b], pp. 26-27, & [Guo Shuchun ~ 1992a], pp. 92-94, présentent l'ensemble de ce système.

Cette section s'appuie sur [Chemla 1996a], auquel nous renvoyons le lecteur pour des développements et une bibliographie plus détaillés. 2. A ma connaissance, [Martzloff 1987], p. 194, est le premier à avoir relevé cette remarque de [Wang Ling, Needham 1955], p. 365, selon laquelle rien n'indique qu'il ait existé une table ou un support particulier sur lequel effectuer les calculs avec des baguettes. [Volkov 2001] examine de manière critique l'ensemble des témoignages que les historiens ont mis à contribution pour dater l'usage de baguettes à des fins mathématiques. Il conclut que le système que nous décrivons dans ce qui suit était sans doute en place au plus tard au me siècle avant notre ère. Nous renvoyons le lecteur intéressé par des précisions sur la représentation des chiffres à l'aide de baguettes à ces publications. Dans les reconstitutions des calculs sur la surface à calculer que nous proposons dans l'ouvrage, nous reproduirons le côté positionnel et décimal du système de numération de la Chine ancienne, mais nous emploierons les chiffres usuels. 3. Le lecteur trouvera au chapitre B des informations qui situent plus précisément ces ouvrages dans les traditions mathématiques de la Chine ancienne. Nous ne nous y arrêtons pas ici.

16

Les Neuf chapitres

Une mutation des textes mathématiques qui se produit entre les dynasties Tang et Song apporte un éclairage de nature tout à fait différente sur les représentations des nombres et les pratiques de calcul. En effet, sans doute en raison des conditions nouvelles faites à l'insertion d'illustrations dans les ouvrages, on voit soudain apparaître, sur les pages des livres mathématiques, des représentations autrefois réservées à la surface à calculer. Non seulement les écrits figurent désormais la manière dont composer les nombres avec des baguettes. Mais les dispositions élaborées sur la surface à calculer pour exécuter les algorithmes sont également reproduites. L'illustration A.1 montre l'exemple d'une page des Ecrits sur les mathématiques en neuf chapitres (Shushu jiuzhang, 1247) de Qin ]iushao. Les colonnes de texte y alternent avec des espaces verticaux de taille variable, réservés à la représentation d'un état provisoire de la surface au cours des opérations, voire d'une de ses parties. L'auteur insère, plus généralement dans son ouvrage, à titre d'illustrations, une grande variété de configurations de la surface à calculer 1 . Or ces différentes perspectives, qui datent d'époques très différentes, sur le système de numération ainsi que sur la gestion de la surface au cours des calculs apportent des témoignages où l'on ne relève pas de discordance. Il semble bien que l'ensemble de ce dispositif se soit transmis, sans mutation majeure pour ce qui est de ses principes, au moins entre les dynasties Han et Yuan2 . En particulier, les indices que recèlent Les Neuf chapitres sur la représentation des nombres et l'usage de la surface à calculer ne manifestent aucune contradiction avec ces témoins ultérieurs. Nous pouvons donc faire l'hypothèse que les traits principaux de cette pratique, tels que ces sources les donnent à voir, étaient déjà formés à l'époque de la rédaction du Classique, et même probablement antérieurement. Pour préciser cette assertion, nous nous proposons ici de décrire la manière dont le Classique mathématique de Sunzi prescrit de pratiquer une division sur la surface à calculer3 . Cela nous permettra de relever par la suite ceux des aspects du calcul qui figurent déjà à l'état de trace dans Les Neuf chapitres et d'examiner de manière critique ce postulat de continuité dans les pratiques. Supposons donc que nous ayons à diviser 1311 par 23, et suivons le déroulement de l'opération, en nous conformant à la description du Classique mathématique de Sunzi. L'algorithme prescrit de disposer le nombre à diviser dans la zone médiane de la surface à calculer, et le diviseur, dans un premier temps, au-dessous de lui, dans la zone inférieure : Quotient 1

3

1

1

Dividende

2

3

Diviseur

Le premier geste consiste à faire progresser 23 du plus grand nombre possible de positions vers la gauche tout en restant sous le dividende. Comme 13 est inférieur à 23, on rétrograde aussitôt 23 d'une colonne vers la droite avant d'entamer les transformations proprement dites: Quotient 1

3

1

2

3

1

Dividende Diviseur

1. Ces illustrations attendent encore, à ma connaissance, une édition critique et une étude approfondie, qui nous permettent d'en exploiter les informations de manière plus systématique. 2. Soulignons que nous parlons ici d'une continuité au niveau des principes du système, et non pas d'ttne identité des procédures de calcul sur plus de dix siècles. Il est des algorithmes qui ont, selon nous, bénéficié d'une grande stabilité, pour des raisons qui nécessitent d'être comprises. L'hypothèse requiert en tout cas d'être justifiée. Mais il est également des procédures qui ont évolué (voir (Chemla 1994c), tout en restant apparemment dans le cadre d'une même pratique de la surface à calculer. 3. Sunzi suanjing, édition (Qian Baocong L:::,.1963), volume 2, pp. 282-283.

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Illustration A.l. Une page de l'ouvrage de Qin]iushao, Ecrits sur les mathématiques en neufchapitres (Shushu jiuzhang) dans l'édition de la Grande encyclopédie de la période de règne Yongle (Yongle dadian, 1403-1408), rouleau n° 16343, pp. 17b-18a.

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Les Neuf chapitres

18

La division de 131 par 23 produit le chiffre 5, que l'algorithme invite à déposer comme quotient, dans la zone supérieure de la surface: 5 1

3

1

2

3

Quotient 1

Dividende Diviseur

avant de multiplier par 5 successivement 2, puis 3, et de retirer chacun des résultats partiels de la position du milieu, respectivement au-dessus du chiffre multiplié. Nous obtenons, dans notre cas, successivement : Quotient

5 1

Dividende

3

1

2

3

Diviseur

Quotient

1

5 6

2

3

puis

1

Dividende Diviseur

A la suite de cette première routine, l'on rétrograde le diviseur 23, à nouveau, d'un cran vers la droite:

1

Quotient

5 6

1

Dividende

2

3

Diviseur

Et la routine reprend, identique à elle-même: le chiffre suivant du quotient, 7, se trouve déposé dans la ligne supérieure de la surface, après le chiffre précédent:

1

5 6

7

Quotient

1

Dividende

2

3

Diviseur

On multiplie par 7 le diviseur, c'est-à-dire successivement 2, puis 3, et on élimine chacun des résultats partiels du dividende dans la zone médiane, respectivement au-dessus du chiffre multiplié. Ce qui donne : 7

Quotient

2

1

Dividende

2

3

Diviseur

5

7

5

puis

Quotient Dividende

2

3

Diviseur

19

Présentation générale

La fin de l'opération est signalée, dans ce cas, par le vide laissé dans la ligne centrale. Elle le serait également par le fait d'obtenir, au centre, un nombre inférieur au diviseur. Ainsi si nous avions divisé 1312 par 23, la surface présenterait à ce point des calculs la figure suivante: Quotient

5

7 1

Dividende

2

3

Diviseur

Dans le premier cas, le résultat est à prélever dans la ligne du dessus, tandis que dans le second, la configuration finale serait lue comme produisant le résultat 57 + 1/23. Cet algorithme met en œuvre un certain nombre de manières de faire dont on trouve l'écho dans Les Neufchapitres. Les représentations des nombres sont placées dans des positions (wei), lesquelles, ici, occupent des lignes, tandis que leur ensemble forme une colonne. Chacun de ces éléments figure dans le Classique, par le biais des références que permettent des termes techniques 1 . Les positions y sont organisées, plus généralement, non seulement en colonnes, mais également en lignes, et forment ainsi des tableaux que la description des algorithmes met à profit. La résolution des systèmes d'équations linéaires, au chapitre 8, en fournit l'illustration la plus aboutie. La rigidité de ces configurations de positions apparaît ainsi comme une condition sine qua non de l'emploi de l'algorithme. Ce fait explique certainement pour partie la permanence sur la longue durée de ces mises en page. L'algorithme de division décrit s'appuie également sur le fait que les nombres sont représentés à l'aide de baguettes. En effet, c'est de là que découle la possibilité pour les valeurs rangées dans des positions d'être modifiées au cours du calcul, voire d'être déplacées. Référence est également faite, au cours de certains algorithmes des Neuf chapitres, à des mouvements de progression ou de rétrogradation 2 • Ils impliquent que la représentation des nombres contemporaine du Classique permettait ces transformations. Tout porte donc à croire qu'elle était conforme à la connotation du terme suan par lequel la « mathématique» est désignée dans son titre. Suan renvoie en effet à cette discipline par le biais des baguettes à calculer qu'on désigne du même mot et qui en fonde la pratique. C'est bien ainsi que les nomme la description la plus ancienne disponible de cet outil de calcul, donnée dans l'Histoire des Han 3 : «La norme pour les baguettes à calculer (suan) consiste à utiliser du bambou de 1 fen (environ 0,23 cm) de diamètre et de 6 cun (environ 13,8 cm) de longueur, ce avec quoi 271 tiges engendrent un (cylindre dont la section est un) hexagone et forment une poignée. » Baguettes disposées de manière déterminée et codifiée sur une surface, ces quelques mots qui saisissent la pratique de calcul décrite par le Classique mathématique de Sunzi semblent donc bien pouvoir se rapporter également aux Neuf chapitres. Il est une dernière caractéristique que l'algorithme de division donné en exemple ci-dessus atteste et qui s'avérera fondamentale pour la lecture du Classique. Sa description recourt aux termes de « dividende », « diviseur» et « quotient» tout au long du processus. Or ces mots renvoient, à des moments différents du calcul, à des nombres différents: ceux-là mêmes qui se trouvent dans la position ainsi nommée au moment où le flot des calculs la sollicite. Les véritables composantes entrant dans la description de la procédure sont donc moins les nombres que les positions, qui font ainsi figure des variables dans l'écriture contemporaine des algorithmes. La physique du calcul, en permettant que leur contenu évolue au cours de l'opération, offre à la description des algorithmes de nouvelles possibilités, nous le verrons. Voir wei « position », zhi « placer », lie « disposer; rangée, ligne », hang « rangée, colonne », deng « colonne ». Sur la gestion concrète des horizontales et des verticales, et l'évolution des sens de certains de ces termes, voir [Chemla 1996a]. 2. Voir bu « faire progresser », zhe « rétrograder », tui « rétrograder ». 3. «Mémoire sur la gamme et le calendrier (Lülizhi) », Hanshtt, volume 1 des Mémoires, p. 956. Voir également suan. Relevons que le titre du Livre de procédures mathématiques, Suanshushu, emploie également ce terme. 1.

20

Les Neuf chapitres

Or ces positions sont l'objet en Chine ancienne de pratiques singulières. Elles fournissent un support à une comparaison dynamique entre algorithmes, fondée sur leur déroulement sur la surface à calculer. Ainsi, les algorithmes d'extractions de racine carrée et cubique figurant au chapitre 4 sont décrits de manière telle que le processus de leur calcul donne à voir une corrélation avec le flot des opérations que requiert une division. Cette mise en relation est d'ailleurs fondamentale pour argumenter leur interprétation. Inversement, c'est cette corrélation qui permet de justifier que l'algorithme de division contemporain de la rédaction des Neuf chapitres est conforme à la description du Classique mathématique de Sunzi. Plus généralement, si la pratique des algorithmes sur la surface à calculer a fait l'objet, sur la longue durée, d'un travail du type de celui que nous décrivons, on comprend que les mises en pages des opérations aient présenté une relative stabilité. Le point crucial ici, c'est que le maniement des positions joue un rôle essentiel pour manifester cette corrélation 1. Les Neuf chapitres mettent en œuvre quatre types de lignes dans les extractions de racine, qu'ils nomment respectivement « quotient», « dividende», « diviseur» et « auxiliaire». Or la reprise des noms des positions de la division va de pair avec le fait que les lignes en question sont soumises, au cours de l'opération, à des événements semblables à ceux qui affectent la position de même nom dans une division. Inversement, les suites d'événements portant sur les lignes qui ne reçoivent pas de nom, sinon de la fonction d'auxiliaire qui est la leur, ne se laissent pas corréler à un schéma de comportement qu'on pourrait prélever sur la division. Si l'on considère ce dispositif du point de vue de la surface à calculer, on voit comment la gestion dynamique des positions permet d'établir ainsi que d'exprimer des relations entre opérations. Mais on peut également regarder la situation du point de vue de la description. Les noms apparaissent en ce cas renvoyer à des objets dynamiques et prennent sens par référence à l'algorithme de base qu'est la division. Affecter un nom à une position consiste alors à conceptualiser d'une certaine façon la suite d'événements auxquels elle est soumise au cours du processus de calcul. D'un point de vue comme de l'autre, la division occupe une fonction essentielle au sein des opérations 2 . En conclusion, l'algorithme apparaît appréhendé de manière dynamique, comme flot de transformations advenant sur la surface à calculer. Cette hypothèse permet de rendre compte de la manière spécifique dont certains objets mathématiques ont été introduits, conçus, et dont ils se sont développés en Chine ancienne. Prenons-en l'exemple du dispositif d'introduction de l'équation linéaire générale au chapitre 8. L'algorithme de résolution des systèmes d'équations linéaires est tout d'abord décrit, dans le cadre du problème 8.1, où tous les coefficients sont de simples nombres. Le problème 8.3 exige par la suite, pour que s'achève la résolution en ce cas, que soient ajoutées des « marques» positives et négatives sur les nombres, et que l'algorithme soit aménagé en conséquence. Il apparaît ainsi, dans un premier temps de manière temporaire sur la'surface à calculer, pour mener à bien les calculs en pareil cas, des équations à coefficients positifs et négatifs. Or elles sont prélevées, dans un second temps, sur le flot des opérations et introduites comme nouveaux objets à part entière, ce grâce à quoi le même algorithme permet de résoudre un ensemble élargi de problèmes 3 . Le même processus peut également rendre compte de la manière dont l'équation quadratique fut conceptualisée en Chine ancienné. 1. Nous renvoyons le lecteur au chapitre 4, et tout particulièrement à l'introduction, pour un traitement plus détaillé de ces questions. 2. Pour être plus précis, c'est le couple d'opérations opposées mais complémentaires que sont la multiplication et la division qui s'avèrent fondamentales pour le travail sur les algorithmes en tant que flots de calcul. Voir [Chemla 1996b & 2004a}. 3. Voir le chapitre 8 et les notes correspondantes. 4. Le lecteur peut se reporter aux introductions des chapitres 4 et 9, déjà évoqués à ce sujet. Voir également le chapitre D, section 1.2, pour un examen de la question du point de vue des noms.

Présentation générale

3.

21

Les algorithmes comme listes cl' opérations

Aux flots d'opérations sur la surface à calculer, que nous ne connaissons que par reconstitution, comme nous venons de le voir, répondent, dans le texte même des Neuf chapitres, les listes de prescriptions qui constituent la description des algorithmes. Or elles présentent un certain nombre de propriétés intéressantes, qui invitent à penser que les textes de procédures, en tant que tels, ont également fourni un support au travail mathématique et ont fait l'objet d'opérations spécifiques. C'est, dans cette section, sur l'algorithme en tant que liste d'opérations, tel qu'on le trouve décrit dans Les Neuf chapitres, que nous nous concentrerons. Il revient à Donald Knuth, dont les contributions à la théorie des algorithmes au xxe siècle sont majeures, d'avoir porté un regard neuf sur les sources mathématiques anciennes en y lisant ce qu'elles donnaient pour la plupart à voir: des listes d'opérations 1. Rompu aux ressources auxquelles l'écriture de tels textes peut recourir, il proposa un relevé de celles d'entre elles qu'il trouva mises en œuvre dans un corpus de tablettes babyloniennes. Sans pouvoir développer de manière approfondie la comparaison, sous ce rapport, entre les différentes traditions qui ont coulé leurs mathématiques sous la forme d'algorithmes - un programme de recherche pourtant plein de promesses - , nous nous limiterons ici à un inventaire des savoir-faire et des objectifs dont Les Neufchapitres témoignent en la matière. Précisons tout d'abord ce qu'en nous appuyant sur Knuth, nous entendons par le terme d'« algorithme» - nous disons également dans ce livre, indifféremment, « procédure ». Il s'agit d'une suite finie d'opérations dénuées d'ambiguïté, à exécuter dans l'ordre dans lequel elles se présentent, parfois interrompues par des décisions à prendre, laquelle part de valeurs données et produit des valeurs cherchées. Or telle est bien la forme principale sous laquelle Les Neuf chapitres délivrent les connaissances mathématiques 2 . S'il s'agissait d'une expression indifférente au travail intellectuel sous-jacent, point ne serait besoin d'adopter cet angle spécifique d'attaque pour l'analyse. Mais nous verrons qu'il n'en est rien et qu'au contraire, ce point de vue est essentiel tant pour éviter les erreurs d'interprétation que pour saisir certains enjeux des Neuf chapitres. Un premier survol du Classique nous montre que les modes de description des algorithmes y varient grandement d'un problème à l'autre. Certaines procédures reprennent des éléments de situation aussi bien que des valeurs numériques à l'énoncé auquel elles font suite. C'est le cas pour la procédure de résolution du problème 9.9 que nous avons déjà cité: « PROCÉDURE: LA MOITIÉ DU TRAJET DE LA SCIE ÉTANT MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME, ON DIVISE PAR LA

PROFONDEUR DE 1 CUN, ET ON AUGMENTE CECI DE LA PROFONDEUR DE 1 CUN, CE QUI DONNE LE DIAMÈTRE DU RONDIN. »

Nous avons vu que Liu Hui y lit une procédure générale qu'il réemploie, sans changer de termes, dans un contexte tout à fait distinct. D'autres procédures ne mentionnent aucune valeur numérique, mais reprennent les noms des données du problème. Ainsi, pour calculer l'aire du cercle, Les Neuf chapitres prescrivent: (1.32)

« PROCÉDURE: LA MOITIÉ DE LA CIRCONFÉRENCE ET LA MOITIÉ DU DIAMÈTRE ÉTANT MULTIPLIÉES

L'UNE PAR L'AUTRE, ON OBTIENT LES BU DU PRODUIT (JI). »

Les descriptions de certains autres algorithmes sont totalement abstraites, c'est par exemple le cas des algorithmes d'extraction de racine que le lecteur peut consulter au chapitre 4. Mais c'est 1. Nous nous appuierons ici sur le chapitre 1 «Basic concepts» de [Knuth 1973}. [Knuth 1972-76] proposait une nouvelle lecture des tablettes babyloniennes. Je dois à Wu Wenjun d'avoir, dès 1981, attiré mon attention sur ce travail et d'avoir frayé la voie à une lecture des textes mathématiques chinois selon les mêmes principes. 2. Même les énoncés de problèmes peuvent impliquer des algorithmes, comme le montre l'exemple de 7.9.

22

Les Neuf chapitres

également en particulier le cas de la règle de trois dont l'énoncé, comme nous l'avons déjà évoqué, est même fourni hors du cadre de tout problème : « PROCÉDURE DU "SUPPOSONS" : ON MULTIPLIE, PAR LA QUANTITÉ (SHU) DE CE QUE L'ON A, LE LÜ DE CE

QU'ON CHERCHE, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ON PREND LE LÜ DE CE QU'ON A COMME DIVISEUR. »1

Rappelons que c'est probablement cet énoncé en lequel Liu Hui reconnaît une formulation à l'aide d'« expressions abstraites (kong yan) », par contraste, sans aucun doute, avec des procédures comme les précédentes. Quoi qu'il en soit, nous avons établi plus haut que les commentateurs, tout comme le Chen Zi du Gnomon des Zhou, attendent d'une procédure qu'elle soit générale et puisse traiter les problèmes de même catégorie que celui en relation avec lequel elle est formulée. Quels moyens pouvons-nous identifier que Les Neuf chapitres ont mis en œuvre pour satisfaire à cette exigence de généralité? La marque la plus manifeste de l'intérêt du Classique pour des algorithmes généraux, ce sont les procédures qui articulent les différents cas possibles. Ainsi, la « Procédure de partage des parts »2 permet de ramener la division entre quantités mêlant entiers et fractions à une division entre entiers dans tous les cas. Plusieurs cas sont envisagés successivement. Le plus simple et le plus fondamental nous confronte à des entiers et se résout par simple division. Le second cas considère la situation où il n'apparaît que des fractions de même dénominateur. Une sous-procédure le ramène au premier, ce après quoi le problème peut être résolu comme précédemment. Le dernier cas envisage la possibilité que figurent toutes sortes de fractions distinctes. A nouveau, la même technique est mise en œuvre: une autre sous-procédure nous ramène au second cas, ce qui permet d'achever la résolution comme précédemment. L'articulation parfaite de l'ensemble des cas doit être notée. Elle est typique des Neuf chapitres et de leurs commentaires. Liu Hui propose, par exemple, pour le même ensemble de problèmes, un algorithme alternatif, qui découpe les cas de façon différente, mais les articule les uns aux autres avec la même précision. Par ailleurs, nous trouvons, sous le pinceau de Li Chunfeng, un témoignage sur cette pratique, significatif à deux titres. D'une part, il atteste explicitement cet intérêt pour pareil regroupement de procédures, que nous reconstituions via la forme de l'algorithme. D'autre part, il lit, dans le nom de la procédure à propos de laquelle il formule ce commentaire, « Procédure du champ en toute généralité» (problème 1.24), une indication, fournie par le Classique lui-même, de cette propriété de l'algorithme. Voici ce qu'il écrit à propos de cette procédure qui permet de multiplier entre elles des quantités qui mêlent entiers et fractions: « En ce qui concerne le champ en toute généralité: dans la procédure du début (. 2000). 5. [Guo Shuchun L:>.2001c).

Les Neuf chapitres

54

forte en faveur de la thèse avancée par Liu Hui sur le processus de compilation du canon mathématique, laquelle veut que les contributions principales des Neuf chapitres aient vu le jour au cours de la période antérieure à la dynastie Qin 1.

4. La mise en ordre des Neuf chapitres sur les procédures mathématiques par Zhang Cang et Geng Shouchang Après avoir examiné les matériaux ayant trait aux Neuf chapitres, Liu Hui déclare à propos de l'ouvrage: « Quand on examine ses sections, par endroits elles diffèrent des anciennes, et ce qui y est discuté l'est pour beaucoup en termes modernes. » (Voir p. 127.) Cette assertion témoigne de ce que la rédaction des sections des Neuf chapitres présentaient des différences avec les items des « neuf parties des mathématiques» que le commentateur pouvait avoir sous les yeux. L'ouvrage, luimême, se présente alors comme un texte écrit en langue moderne des Han et sa mise en ordre est l'œuvre de Zhang Cang ainsi que de Geng Shouchang. La dynastie Han est la seconde dynastie féodale à avoir régné sur la Chine unifiée. Elle abolit la tyrannie de la dynastie Qin et procura une détente pour le bien-être du peuple. Les forces de production sociales se développèrent plus avant et les mathématiques connurent également des progrès considérables. Zhang Cang est un astronome et mathématicien chinois des débuts de cette dynastie. «Du temps des Qin, il était censeur impérial (yushi) et traitait, sous les colonnes du Palais, des documents reçus de toutes les localités.» «Il dominait parfaitement les registres comportant les données administratives du pays entier. » Par la suite, il se soumit aux Han. En la sixième année de règne de Gaozu (202 avant notre ère), il reçut pour ses mérites le titre de marquis de Bei Ping. Comme il excellait en mathématiques, en gamme et en calendrier, « on le muta au poste de ministre des finances (jixiang). De plus, en tant que marquis en titre, il fit office de contrôleur fiscal (zhuji) pour quatre ans. » Il avait la responsabilité de vérifier les registres de comptabilité de toutes les unités territoriales administratives. « Zhang aimait réellement les livres. Il les regardait et les comprenait tous sans exception. » « Sous la dynastie Han, si quelqu'un parlait de gamme et de calendrier, il s'appuyait sur Zhang Cang. » Dans la se année de la période de règne de l'impératrice Lü (ISO avant notre ère), il devint Censeur en chef (yushi dafu) et, en la 4 e année du règne de l'empereur Wen (176 avant notre ère), Chancelier (chengxiang). Il mourut en la cinquième année de règne de l'empereur Jing, soit en 152 avant notre ère, âgé de plus de cent ans 2 . Après l'unification, par Liu Bang, de la Chine par les armes, exceptionnels furent ceux des généraux, des ducs, des ministres, des chambellans, qui, à l'image d'érudits comme Zhang Cang, officiers de l'armée à l'origine, reçurent un poste de grand conseiller (xiang). Sima Qian en conçoit la plus grande estime pour lui. Son érudition, son expérience, sa position dans l'appareil bureaucratique lui permirent de réunir les conditions pour rassembler les fragments de textes pré-Qin concernant calendrier et mathématiques. Le Secrétaire adjoint du Palais au Chambellan du Trésor National sous l'empereur Xuan des Han, Geng Shouchang, était également un grand érudit. Il « excellait en mathématiques, et avait la capacité d'évaluer l'intérêt (qu'il y avait à tirer) des travaux », ce qui lui permit d'obtenir les faveurs de l'empereur. Il « était très expérimenté dans les questions requérant d'évaluer les travaux ainsi que lesfen et les zhu (de contenance) ». Au cours de la période de règne Wufeng (57 à 54 avant notre ère), il proposa « d'acheter le grain de la région de Sanfu (trois commanderies proches de la capitale) ainsi que des commanderies Hongnong, Hedong, Shangdang et Taiyuan, en quantité suffisante pour fournir la capitale, ce qui permettrait d'économiser plus de la moitié des soldats et du transport par 1. [Guo Shuchun ~2000a}. 2. Shiji (Mémoires historiques), «

« Biographie du Conseiller-en-chef Zhang Biographie de Zhang Cang », pp. 2093-2100.

»,

pp. 2675-2689 ; Hanshtt (Histoire des Han),

Histoire du texte

55

canaux depuis les régions à l'est des passes (Hanguguan et Tongguan) ». L'empereur Xuan suivit son conseil et en tira des bénéfices sociaux appréciables. De plus, Geng Shouchang « fit construire dans les commanderies frontalières des greniers. Grâce à eux, quand le grain était bon marché, il en' faisait monter le prix en l'achetant, de sorte à en faire profiter les paysans. Lorsque le grain était cher, il en diminuait le prix en vendant. C'est ce qu'on appelle les "greniers pour maintenir l'uniformité du prix des grains", et ce système fut bénéfique au peuple. »1 En outre, Geng Shouchang était versé en astronomie et en calendrier. Dans la seconde année de la période de règne Ganlu (52 avant notre ère), il raconta à l'empereur qu'il « avait utilisé figures et gnomons (ou un autre instrument astronomique, yi) pour mesurer les parcours du soleil et de la lune, et vérifier les mouvements célestes, les parcours du soleil et de la lune sur l'équateur »2. Il est également donné pour avoir composé le Yuexing botu (Cartes sur soie du parcours de la lune), en 232 rouleaux, et le Yuexing du (Mesures du parcours de la lune), en deux rouleaux 3 . Geng Shouchang était un mathématicien qui se préoccupait de l'économie nationale et du bien-être du peuple. Qu'au poste de Secrétaire adjoint du Palais au Chambellan du Trésor National, il rassemble et synthétise les apports mathématiques de ses prédécesseurs et de ses collègues, qu'il les développe et parachève ainsi Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques, l'idée en est parfaitement crédible. C'est bien ce que Li Xueqin souligne lorsqu'il affirme: «La thèse selon laquelle Zhang Cang, Geng Shouchang et autres, des Han, se seraient servis de fragments ayant survécu de textes anciens pour effectuer un travail d'élagages et de complétions est la plus conforme aux principes qui président aux processus de mise en forme des livres anciens. Cette théorie de Liu Hui prend certainement sa source dans ce qui a été transmis de professeur à disciple. Elle représente la synthèse de théories admises depuis les Qin et les Han. »4 Le travail de mise en ordre des Neufchapitres par Zhang Cang et GengShouchang recouvre pour l'essentielles opérations suivantes S : - Il leur fallait, tout d'abord, recueillir les fragments des Neufchapitres sur les procédures mathématiques qui avaient survécu aux feux des Qin. - Ils devaient ensuite réélaborer les textes préservés de la période d'avant les Qin, ce qui impliquait d'en classer le contenu, de retravailler leur style pour en actualiser la langue. - Le travail requérait de plus une troisième tâche: intégrer, pour compléter Les Neuf chapitres, des connaissances mathématiques disponibles dès avant la dynastie Qin, mais qui n'avaient pas été insérées dans les prototypes des Neuf chapitres, ou des sujets développés sous les Han antérieurs, en relation avec des problèmes que posaient la production, la vie et les diverses activités sociales de l'époque. Dans certains cas, cette dernière opération s'est traduite par le fait d'ajouter, pour des méthodes déjà retenues, des problèmes nouveaux. Par exemple, un des problèmes dépendant de la procédure des « Parts pondérées en fonction des degrés», dans le chapitre 3, et portant sur le nombre d'hommes corvéables de trois cantons date clairement de l'époque Han. On peut lire dans l'Histoire des Han (Hanshu) , au chapitre « Gaodi ji », (Annales de l'empereur Gaozu), 4 e année de règne de Gaozu (203 avant notre ère), l'information suivante: « Au huitième mois, on commence à prélever les impôts en fonction des suan (unités pour l'impôt). » Ru Chun affirme à ce sujet: « Selon le Hanyizhu (Commentaire aux Rites des Han), les gens dont l'âge varie entre 15 ans et 56 ans, payent des impôts en pièces - pour une personne, 120 pièces font un suan - , afin de gérer les greniers, l'armée, les voitures, les chevaux. »6 Et nombreux sont les cas comparables. 1. Hanshu (Histoire des Han), « Shihttozhi (Monographie sur les vivres et la monnaie) », p. 1141. 2. Hou Han shtt (Histoire des Han postérieurs), « Li/li zhi (Monographie sur la gamme et sur le calendrier) 3. Hanshu (Histoire des Han), « Yiwenzhi (Monographie bibliographique) », p. 1766.

»,

p. 3029.

4. [Li Xueqin L:>.1990a}, p. 545. 5. [Guo Shuchun L:>.1992a}, (édition de Shandong kexue jishu chubanshe), pp. 104-105 ; (édition de Mingwen shuju), pp. 101-103. 6. Hanshu,« Gaodi ji (Annales de l'Empereur Gaozu) », p. 46.

56

Les Neuf chapitres

- Plus important encore, Zhang Cang et Geng Shouchang intégrèrent au chapitre 3, « Partage selon le rang» (cifen) , des problèmes particulièrement simples concernant le commerce des fils de soie et du tissu de chanvre, la production des champs en petit mil, l'embauche de main-d'œuvre, l'emprunt d'argent, tous problèmes que l'on peut directement résoudre par la «Procédure du "supposons" » ; et ils transformèrent le titre de « Partage selon le rang» (cifen) en « Parts pondérées en fonction des degrés» (cuifen). De plus, des problèmes arithmétiques assez complexes furent intégrés dans le chapitre 6, « Paiement de l'impôt de manière égalitaire en fonction du transport» :ils portent, respectivement sur la distribution du petit mil des greniers publics, le passage de douane avec une somme d'argent ou du grain, le port de corbeille, la transmission par relais de poste, les transformations entre types de soie, entre types de grains, ainsi que la fabrication de tuiles, le labour réalisé selon les règles, la location de champ, le redressage de flèches, le bambou à neuf entrenœuds, le tronc en forme de bambou en or, la course après un hôte avec le vêtement qu'il a oublié. Enfin, les connaissances relatives au triangle rectangle, pour l'essentiel la résolution de tels triangles, furent incorporées au chapitre 9, le chapitre pangyao, dont le nom fut changé en «Base et hauteur (gougu) ». En fait, les problèmes qui, dans Les Neuf chapitres, trahissent la marque d'une époque se réduisent pour la plupart à ceux que nous venons de mentionner. Les spécificités de présentation des ajouts de Zhang Cang et de Geng Shouchang, d'une part, et de la partie principale, d'autre part, reflètent également bien les caractéristiques d'époques de composition différentes. Aux cours des périodes des Printemps et Automnes, des Royaumes Combattants, les sciences étaient en plein essor. Cent écoles rivalisaient et, qu'elles soient confucéennes, mohistes, taoïstes, nominalistes ou légistes, toutes étaient engagées dans des débats opposant les unes aux autres; elles exercèrent ainsi des influences les unes sur les autres, s'imprégnèrent les unes des autres. L'aptitude des cercles académiques aux explorations théoriques, à la pensée abstraite, fut à cette époque particulièrement prononcée, et il devint pratique courante de s'adonner à ces activités. Par voie de conséquence, la plupart des méthodes mathématiques forgées à cette époque se distinguent par leur haut degré d'abstraction, et il se constitua alors une forme de présentation des connaissances où les procédures prirent le pas sur les problèmes particuliers. Sous les Han, en revanche, et en particulier lorsque l'empereur Wu honora la seule doctrine confucéenne, la pensée abstraite tomba, dans les cercles académiques, bien en-deça du niveau qui avait été le sien sous les Royaumes Combattants, tandis que le penchant à l'utilitarisme s'affirmait 1 . C'est pourquoi les parties de texte que Zhang Cang et Geng Shouchang ajoutèrent aux Neuf chapitres sont toutes constituées de problèmes auxquels répondent leurs procédures. L'abstraction des procédures déclina, et la présentation adopta corrélativement une forme du type du recueil de problèmes pratiques. Qian Baocong a avancé la thèse que Les Neuf chapitres avaient été composés sous l'influence confucéenne de l'école de Xunzi 2 . Ce point de vue nous paraît fondé, ce d'autant plus que, comme le montrent des recherches textuelles, Zhang Cang était un élève de Xunzi 3 . Pour nous résumer, Les Neuf chapitres représentent le fruit d'un processus de développement des « neuf parties des mathématiques». Ces dernières subirent des dommages du fait de la destruction des livres par le feu que perpétra l'empereur Qinshihuang. Les deux érudits de la dynastie Han, Zhang Cang et Geng Shoucheng, rassemblèrent successivement les fragments des textes Qin, les mirent en ordre, les retravaillèrent, y firent des ajouts, et c'est ainsi que fut élaboré le livre sous la forme qui s'est transmise jusqu'à nous. La mise au point finale a dû en être effectuée au milieu du 1er siècle avant notre ère. 1. Voir Feng Youlan, Zhonggtto zhextteshi jianbian. 2. [Qian Baocong .6. 1983b), pp. 600-603,688-692. 3. Chtmqitt zttozhuan zhengyi (Sens correct du commentaire de Maître Ztto attx Annales de Printemps et d'Automnes), Shisanjing zhushtt, p. 1703 ; Lu Deming,]ingdian shiwen. Xttltt, p. 52 ; Xtmzi jijie. Kaozheng xia, pp. 21, 39,46,47 ; [Knoblock 1988].

Histoire du texte

II.

57

LE COMMENTAIRE PAR LIU HUI AUX NEUF CHAPITRES

En raison de la profondeur et de l'étendue de leur contenu, Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques, à peine la version définitive mise au point, se virent conférer l'autorité d'un Classique et devinrent le livre de base pour la fabrication des poids et mesures étalons dans le pays. Ainsi, les inscriptions du hu et des poids réalisés par le Chambellan du Trésor National (Dasinong) de la période de règne Guanghe (179) des Han orientaux déclarent: « On s'est basé sur la gamme et le calendrier avec le huangzhong (la note de base de la gamme), sur Les Nezifchapitres sur les procédures mathématiques, pour unifier les longueurs, les poids, les tailles, pour ajuster le soleil, la lune et les cinq planètes, par suite de quoi tout ce qui est à l'intérieur des mers se trouve en harmonie. » 1 Corrélativement, comme Les Neuf chapitres ne comportaient que des procédures et des problèmes, et donc ni raisonnement, ni démonstration, l'ouvrage suscita l'intérêt de nombreux commentateurs au fil des générations suivantes, et la rédaction de commentaires portant sur ces aspects devint une forme importante de recherche chez les mathématiciens chinois. Liu Hui, Zu Chongzhi et son fils, Li Chunfeng, Jia Xian et Yang Hui font figure des plus importants. C'est en l'an 4 de la période de règne Jingyuan des Wei (263) que Liu Hui composa son commentaire des Neufchapitres sur les procédures mathématiques2 • A l'origine, cette exégèse était constituée de dix rouleaux. Les neuf premiers comportaient le commentaire aux Neuf chapitres à proprement parler. Par ailleurs, s'étant confronté à la question de la distance de la terre au soleil, Liu Hui avait constaté que « dans les procédures des NeufChapitres où l'on érige quatre gnomons pour observer au loin et où l'on utilise un arbre pour observer une montagne, dans tous les cas, des extrémités ou des côtés se font apparaître réciproquement, mais il n'yen a pas de la catégorie (lei) qui dépasse ainsi ce qui est loin» (Préface, p. 129). Or il découvre qu'une des « neuf parties des mathématiques» s'intitule « double différence» et que son analyse met sur la piste d'un traitement de ce nouveau problème. Il poursuit dans sa préface: «J'ai donc à dessein rédigé [un rouleau intitulé] "double différence", j'en ai fait des commentaires pour approfondir ce que voulaient dire (yi) les personnes du passé, et j'ai adjoint ceci après le (chapitre) "Base (gou) et hauteur (gu)". » C'est cet ajout qui constituait, à l'origine, le dixième rouleau3 . Par la suite, il devint un volume séparé. Et comme son premier problème consiste à mesurer à distance la hauteur et l'éloignement d'une île sur la mer, il fut intitulé le Classique mathématique de Fîle maritime (Haidao suanjing). Le livre tel qu'il s'est transmis jusqu'à nous comporte en tout neuf problèmes, lesquels sont tous des problèmes complexes de mesure à distance qui ne peuvent être résolus qu'en recourant à deux, trois, voire quatre mesures. Malheureusement les gloses que Liu Hui lui-même en a rédigées sont perdues. En revanche, son commentaire aux neuf premiers rouleaux est à l'heure actuelle la plus ancienne des exégèses des Neuf chapitres à avoir été transmise, celle, également, dont les contributions sont les plus importantes et, de surcroît, la conservation, la plus complète. Ce commentaire fait entrer l'histoire des mathématiques en Chine dans une ère nouvelle. Liu Hui raconte lui-même son itinéraire: « Enfant, j'ai étudié Les Neuf chapitres; adulte, je l'ai examiné à nouveau en détail. J'y ai observé le partage du Yin et du Yang, et j'ai synthétisé la source des procédures mathématiques. Dans un moment de loisir au cours duquel j'en explorais les profondeurs, je suis parvenu à en comprendre la signification (yi). C'est la raison pour laquelle j'ose mettre en œuvre la totalité de mes faibles ressources intellectuelles, et rassembler (les matériaux) que j'ai vus pour en 1. Voir Zhongguo gttdai dttlianghengtttji (Collection d'illustrations de poids et mesures de la Chine ancienne), figure 147 (pp. 96-

97) et légende p. 23. 2. Histoire des Jin (jinshu) , « Monographie sur la gamme et le calendrier ( Li/li zhi) (Suishu) , « Monographie sur la gamme et le calendrier ( Liili zhi) », pp. 388,409. 3. Voirla préface de Liu Hui, p. 129.

»,

pp. 491-492; Histoire des Sui

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Les Neuf chapitres

faire un commentaire. » (Voir p. 127.) Ce témoignage montre à l'évidence que le commentaire de Liu Hui comprend deux parties: l'une rassemble les matériaux qu'il a pu consulter, et, dans l'autre, il rapporte ses résultats personnels en matière d'interprétation du sens du Classique. Il est aujourd'hui impossible de se pencher en détail sur l'état des recherches sur Les Neufchapitres avant Liu Hui. Les sources anciennes mentionnent, pour la période qui s'étend des Han occidentaux aux Trois royaumes, les travaux suivants sur le Classique: - Xu Shang et Du Zhong, qui vécurent au temps des Han occidentaux, ont composé, respectivement, Les Procédures mathématiques de Xu Shang, en 26 rouleaux, et Les procédures mathématiques de Du Zhong, en 16 volumes l . Le dictionnaire de rimes Guangyun (Rimes générales) des Song avance qu'il s'agit là de procédures des Neuf chapitres 2 . Xu Shang, de nom personnel public Changbo, était originaire de Chang'an. Au début du 1er siècle avant notre ère, il occupa les positionsdejiangzuo dajiang (Architecte de la Cour), de Hedi duwei (Commandant en chef des fleuves et des digues) et de Dasinong (Chambellan du Trésor National), etc. On rapporte qu'« il excellait en mathématiques, et était en mesure de mesurer l'utilité des travaux », ou encore « d'évaluer l'intérêt (qu'il y avait à tirer) des travaux »3. On ne sait, en revanche, rien de la biographie de Du Zhong. - On rencontre la mention de plusieurs personnes susceptibles d'avoir mené des recherches sur Les Neuf chapitres au cours de la dynastie des Han orientaux. Ma Xu, originaire de Fufeng (aujourd'hui province du Shaanxi), était le frère aîné du spécialiste des Classiques confucéens, Ma Rong (79-166). Il excellait dans Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques4 et collabora avec l'historienne Ban Zhao (environ 49-120) pour achever la rédaction de la « Monographie sur l'astronomie » (Tianwenzhi) de l'Histoire des Han (Hanshu). Il se distingua également, à de multiples reprises, comme général, par des faits d'armes. L'astronome et homme de lettres Zhang Heng (78-139) était de Nanyang (aujourd'hui province du Henan). Liu Hui cite son travail sur l'extraction de la racine sphérique 5 . Parmi ses écrits, on mentionne un Suanwanglun 6 , dont on ignore s'il s'agit ou non d'u même ouvrage que le Zhang Heng suan (Livre de mathématiques de Zhang Heng) auquel Liu Hui renvoie. Zheng Xuan (127-200), originaire de Gaomi (Beihai, aujourd'hui dans la province du Shandong), était un grand spécialiste des Classiques confucéens qui synthétisa les courants jinwen (textes modernes) et guwen (textes anciens). On rapporte qu'« enfant, il étudia calligraphie et mathématiques» 7 . Il comprenait le Santong li (calendrier Santong) et Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques8 . Sur la fin de sa vie, il étudia avec Liu Hong le Qianxiang li (calendrier Qianxiang). Dans son commentaire au Zhouli (Rites des Zhou), il met en œuvre un certain nombre de connaissances mathématiques. La théorie des « neuf parties des mathématiques » qu'il emprunte à Zheng Zhong a depuis lors été considérée comme canonique. Le traitement des étalons de mesures que donne Liu Hui dans son commentaire cite des extraits de son commentaire au Zhouli. Liu Hong (environ 135-210), de Mengyin (Taishan), « avait, rapporte-t-on, du talent pour les mathématiques et confectionna le Qianxiang li (calendrier Qianxiang) »9. Ce calendrier comportait une procédure pour les nombres positifs et négatifs, identique pour l'essentiel à ce qu'on trouve 1. Hamhtt,« Yiwenzhi », p. 1766. Guangytm, p. 384. 3. Hanshtt,« Gottxuzhi (Monographie sur les fossés et les canaux)

2.

Hott Han shu,

5. 6. 7. 8. 9.

Voir le commentaire de Liu Hui au chapitre 4, p. 383. Voir Hott Han shtt, « Zhang Heng zhuan (Biographie de Zhang Heng) », p. 1897-1951. Voir Shishtto xinyu (Nottveau recueil de propos mondains), pp. 113-114. Voir Hott Han shu, « Zheng Xttan zhttan (Biographie de Zheng Xttan) », pp. 1207-1216. Voir Hott Han shu, « Liili zhi », pp. 3043,3082.

«

Ma Yuan zhuan (Biographie de Ma Yuan)

», pp. 1688-1689. p. 682.

4.

»,

Histoire du texte

59

dans Les Neuf chapitres. On attribue à Liu Hong un ouvrage intitulé Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques l , lequel comprenait sans doute une partie des fruits de sa recherche. Xu Yue, de nom personnel public Gonghe, était originaire de Donglai. Selon son propre témoignage, il avait reçu sa formation de Liu Hong. Il « étudiait depuis toujours Les Neufchapitres, et avait une aptitude certaine à élaborer des stratagèmes »2. Des sources anciennes consignent cinq Commentaires aux Neuf chapitres sur les procédures mathématiques de sa main, qui comportent des nombres de chapitres différents 3 . L'ouvrage que la tradition écrite nous a conservé sous le titre de Mémoire sur les procédures de dénombrement (Shushu jiyi) porte une inscription qui en attribue la rédaction à Xu Yue. Qian Baocong aussi bien que Dai Zhen pensaient qu'il s'agissait d'un faux4 , mais nombre d'historiens des mathématiques en Chine aujourd'hui ne partagent pas cette thèse 5 . Wang Can, originaire de Gaoping, homme de lettres, est l'un des sept maîtres de l'ère de règne Jian'an. « Il était par nature excellent en mathématiques. »6 Le Guangyun des Song avance l'interprétation qu'il excellait dans les procédures des Neuf chapitres7 . - Pour ce qui est de l'époque des Trois Royaumes, voici les noms d'érudits ayant eu une activité mathématique à nous être parvenus : Kan Ze ( ?-243), qui vécut dans le royaume de Wu, de nom personnel public Derun, originaire de Shanyin (Guiji), était président du grand secrétariat impérial (zhong shu ling) de ce Royaume. Et, dans son Chuxueji, XuJian, de la dynastie des Tang, cite un ouvrage de lui intitulé Neuf chapitres: il s'agit probablement d'un commentaire de sa mains. Par ailleurs, il avait, dans le passé, étudié le Qianxiang li avec Xu Yue. Zhao Shuang, qui porte également le prénom Ying, et le nom honorifique de Junqing, est l'auteur d'un commentaire au Zhoubi suanjing (Classique mathématique du gnomon des Zhou)9. Ses figures et sa théorie « de la base (gou) et de la hauteur (gu), du carré et du cercle» présentent de fortes similarités avec celles du commentaire de Liu Hui au chapitre 9. Il était plus ou moins contemporain de Liu Hui ou un peu antérieur à lui. Wang Fan (228-266), qui servait au Royaume de Wu, était, lui, contemporain de Liu Hui. Il proposa une « nouvelle» valeur pour le Iii de la circonférence du cercle lo , mais elle manquait de précision. Ceux des matériaux que, selon ses propres termes, Liu Hui a rassemblés sont signalés, chemin faisant, par des expressions qui émaillent son commentaire, comme, par exemple: «une théorie », ou « parmi les procédures, il en est une ... », « quelqu'un a dit », « le ancienne dit que ». Liu Hui évoque même « ceux qui s'occupent de mathématiques », etc. commentaire dit Mis à part ces indices, une analyse de la structure du commentaire de Liu Hui nous permet d'établir qu'il convient de faire remonter également aux matériaux qu'il a rassemblés les éléments suivants 1. Voir Yao Zhenzong, Hott Han Yiwenzhi, p. 2402. 2. Wang Lang, « Saishi », in Ya Kejuh, Qttan shanggtt sandai Qin Han Littchao wen, Volume 22, p. 1175. 3. Voir le Suishtt (Histoire des Stti), «Jingji zhi (Monographie bibliographique) », p. 1025 et le Xin Tangshu (Nouvelle histoire des Tang), « Yiwen zhi (Monographie bibliographique) », p. 1545. 4. Edition critique, in [Qian Baocong L:o..1963}, Jiaodian Sunajing shishu, pp. 531-532, p. 403 ; repris dans [Guo Shuchun (éd.) L:o..1993}, tome 1, p. 343-344. Voir également le « sommaire» (tiyao) de Dai Zhen pour le Shushu jiyi. 5. [Feng Lisheng L:o..1989a}, pp. 58-60 ; [Li Zhaohua L:o..1995a}, p. 94, [Li Di L:o..1997a}, pp. 153-154, [Li Di L:o..1998b}, p. 15, [Guo Shuchun L:o..2000b}, pp. 23-24. 6. Voir San Guo zhi (Histoire des trois royaumes). Weishtt (Histoire de la dynastie Wei). « Wang Can zhttan (Biographie de Wang Can) », p. 599. 7. Voir Guangyun, p. 384. 8. Voir Chuxueji, p. 636. 9. Voir les diverses éditions du Zhoubi suanjing : Songke suanjing littzhong ; [Guo Shuchun (éd.) L:o..1993}, tome 1, pp. 1-78. Voir la préface de Zhao Shuang, la présentation postfacée de Bao Huanzhi, [Qian Baocong L:o..1963},Jiaodian Suanjing shishu. 10. Voir le Chottrenzhuan (Biographie des astronomes et mathématiciens), « Wang Fan », premier chapitre, p. 68.

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Les Neuf chapitres

de son commentaire : la méthode de « ce qui entre et ce qui sort se compensent », la méthode de vérification par les blocs, les traitements qui reposent sur un rapport de 1 à 3 entre le diamètre et la circonférence, la méthode qui consiste à comparer les aires des bases pour déduire du volume d'un corps à base carrée le volume du corps à base circulaire qui lui correspond, etc.!. Mais chez qui les a-til prélevés? dans quel ouvrage? dans la majeure partie des cas, il est difficile de le déterminer avec précision. Dans l'ensemble, avant Liu Hui, les mathématiciens faisaient des efforts louables dans leurs recherches sur Les Neufchapitres, mais leur niveau théorique n'était pas très élevé; beaucoup de leurs commentaires n'étaient pas des démonstrations, mais se cantonnaient au stade de la vérification. Liu Hui, partant de la base qu'ils lui offraient, donna à la recherche mathématique une grande impulsion. Il élabora le concept de lü que contenaient déjà Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques ainsi que le principe d'homogénéisation et d'égalisation. Il les développa au point qu'ils embrassent la plupart des procédures et environ deux cents des problèmes des Neuf chapitres. Il en fit ainsi les « points clefs des mathématiques» (voir p. 159). Il hérita du principe traditionnel selon lequel « ce qui entre et ce qui sort se compensent », qu'il développa. De plus, il introduisit dans les démonstrations mathématiques la méthode de découpe en parties infiniment petites et une conception des limites, ce à l'aide de quoi il démontra la formule de l'aire du cercle, et les formules donnant les volumes du yangma et du bienao. Il créa une méthode rigoureuse de recherche du lü de la circonférence du cercle (n). Par ailleurs, il releva et corrigea un certain nombre d'erreurs ou d'imprécisions dans Les Neuf chapitres. Dans les démonstrations par lesquelles Liu Hui établit systématiquement la correction des méthodes de résolution, des formules, des Neuf chapitres, il recourt le plus souvent à la logique déductive. Il dépeint les mathématiques comme un grand arbre dans la mesure où, même si elles se divisent en branches, elles ne proviennent que d'un seul principe et partagent le même tronc. Partant, il les constitue en un grand système. Par beaucoup de ses résultats et de ses conceptions, ce commentateur se trouvait déjà près du seuil des mathématiques contemporaines. 2 Sur la biographie de Liu Hui, nous ne disposons d'aucun autre document que les passages de sa main, mentionnés ci-dessus. En l'an 3 de la période de règne Daguan des Song du Nord, on lui conféra le titre de « baron de Zixiang (Zixiang nan) » et, corrélativement, on lui offrit un sacrifice au temple de Confucius 3 . En raison du fait qu'en général, à l'époque, le titre assigné renvoyait au lieu de naissance, nous estimons que Liu Hui est donc originaire de Zixiang4 . Et nous conjecturons, sur la base des mentions relatives à Zixiang et aux princes de Zixiang contenues dans le « Tableau des principautés (Wangziho 1dbiao)5 » et la « Monographie sur les configurations terrestres (Dili zhi) 6» de l'Histoire des Han, ainsi que dans le Yuanfeng jiuyu zhi de Wang Cun des Song7 et dans le ]inshi (Histoire des ]in)8, que Zixiang est le district de Zouping dans la province d,:! Shandong. Liu Hui serait donc un descendant d'un prince de Zixiang des Han. La région de Qi et de Lu dans laquelle se trouve Zouping a été florissante sur le plan académique depuis la période des Printemps et Automnes, et ce jusqu'à la période Wei-Jin. De nombreux penseurs, de prestigieuses institutions y ont vu le jour, parmi lesquels on relève Confucius, Mozi, l'académie Jixia, Zheng Xuan, Xu Gan, etc. De la fin des Han à la dynastie Wei, nombre de mathématiciens y naquirent également, parmi 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Voir [Guo Shuchun .61992a}, pp. 129-139; pp. 125-135. Voir [Guo Shuchun .61990c}, [Li]imin .61991a} et [Guo Shuchun .61992a}. Voir Song shi, «Li zhi (Monographie sur les rites) », pp. 2551-2552. Voir [Guo Shuchun .61992a}, pp. 346-353, pp. 349-355, et [Guo Shuchun .61992b}, pp. 60-63. Voir Hanshtt, p. 503. Voir Hanshtt, p. 1570. Voirp.15. Voir]inshi,« Dilizhi (Monographie sur l'organisation de l'espace terrestre) », p. 612.

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lesquels Zheng Xmtn, Liu Hong, Xu Yue. On peut donc, sans risque d'exagération, parler même, à l'époque, de la formation, autour du Taishan (le mont Tai), d'un centre de mathématiques. Pareilles conditions ne pouvaient que favoriser le fait que Liu Hui devienne un mathématicien remarquable. La Chine de l'époque, et ce depuis la fin des Han, se trouvait en proie à de grandes transformations sociales. Les rapports économiques s'y caractérisaient essentiellement par le servage, qui s'exerçait dans de vastes domaines. Les grandes familles et la caste des lettrés occupaient le centre de la scène. Dans le domaine de la pensée et de la culture, les études contournées des Classiques confucéens ainsi que les superstitions des apocryphes, qui avaient fleuri au cours des deux périodes Han, avaient, elles, quitté la scène historique. La position des Confucéens se dégrada notablement tandis que la pratique d'argumentations, débattant en premier lieu des trois mystères (San xuan) (le Yijing, le Laozi, le Zhuangzi), gagna en importance. On vit ainsi renaître ce climat fiévreux qui avait disparu depuis le temps des rivalités entre les cent écoles de l'époque des Royaumes Combattants l . Les diverses écoles réprimées des siècles durant, après que l'empereur Qinshihuang eut fait brûler les livres canoniques et enterrer vivants les lettrés, que l'empereur Wu des Han « eut pratiqué le culte exclusif du confucianisme en discréditant les autres écoles », les Taoïstes, les Nominalistes, les Légistes et les Mohistes, relevèrent à nouveau la tête et firent l'objet d'un intérêt certain. L'époque abonda, elle aussi, en hommes de talent. Mentionnons pour mémoire les politiciens et stratèges comme Cao Cao, Zhuge Liang, Zhou Yu, les penseurs comme Zheng Xuan, Ji Kang, He Yan, Wang Bi, l'astronome Liu Hong, les mathématiciens Liu Hui, Zhao Shuang, le spécialiste en mécanique Ma Jun, le cartographe Pei Xiu, les médecins Hua Tuo, Wang Shuhe, les hommes de lettres Cao Zhi, Cao Pi, les sept sages de l'ère de règne Jian'an au nombre desquels Wang Can qui, tous, virent le jour au cours de cette période. La plupart d'entre eux, particulièrement précoces, réalisèrent leurs œuvres immortelles entre vingt et trente ans. Liu Hui explicite dans sa préface l'objectif principal de son commentaire aux Neuf chapitres: « On recourt à des énoncés pour analyser les constitutions internes (li) ; on se sert de figures pour disséquer des corps. » Or l'expression d'« analyser les constitutions internes (li) » désigne précisément le sujet principal de la pratique des argumentations. Lorsque Liu Hui les analyse, qu'il recherche la clarté dans les concepts mathématiques, la justesse dans les raisonnements, la rigueur dans les démonstrations, etc., il est en affinité avec la direction prise par la pratique des argumentations dans le monde intellectuel de l'époque, et son style s'accorde parfaitement à elle. Simultanément, quand il analyse les raisons, il insiste sur l'importance de la simplicité, dénonçant ce qui est inutilement compliqué. Il préconise ainsi, lorsqu'on « se voit présenter un coin [d'}en conclure par analogie pour les trois autres» (voir p. 223), de procéder « en se familiarisant avec [une chose d'une} catégorie de sorte à en étendre [la connaissance aux choses de même catégorie} » (voir sa préface, p. 129), et met l'accent sur la pensée rationnelle, etc. En tout cela, il est en parfait accord avec le monde intellectuel de son époque 2 , allant également jusqu'à reprendre un grand nombre de termes, de structures phrastiques, à He Yan, Ji Kang, et Wang Bi. Ces remarques permettent d'avancer des conclusions sur sa biographie: nous pouvons en déduire que Liu Hui a dû naître dans les dernières années de la seconde décennie du Ille siècle ou un peu après, et qu'il a commenté Les Neuf chapitres quand il avait environ trente ans. 3 Par ailleurs, Liu Hui avait une bonne connaissance des différentes écoles de pensée de l'époque pré-Qin. Il excellait à puiser idées et matériaux dans leurs textes fondamentaux ainsi que dans les livres des deux dynasties Han,. Dans son commentaire, mis à part les matériaux cités de sources qu'il

1. Voir [Hou Wailu L'".1957a}, pp. 26-262. 2. Voir [Guo Shuchun L'".1984d}, pp. 57-62. 3. Voir [Guo Shuchun L'".1992a}, p. 363.

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Les Neuf chapitres

explicite lui-même -le Mozi, le Mémoire sur l'examen des travaux artisanaux (Kao gong ji), le Commentaire de Maître Zuo (aux Annales de Printemps et Automnes) (Zuoshi zhuan), il utilise aussi abondamment idées et formulations du Zhouyi (ou Yijing, Classique du. changement), du Guanzi, du Lunyu (Entretiens de Confucius), du Laozi, du Zhuangzi, du Zhouli (Les Rites des Zhou) ainsi que du Huainanzi, du Shiji (Mémoires historiques), du Lttnheng (Discours pesés), et autres livres. Il s'en saisit sans effort, les mettant à profit pour ses propres créations mathématiques, sans laisser de trace de la couture 1. Par exemple, son affirmation, lors d'une découpe en parties infiniment petites, du fait qu'il arrive un moment où on ne peut pas couper vient tout droit de la conception de l'insécable chez Mozi 2 . L'idée qu'il formule en affirmant: « l'extrême du fin, on le dit infime; infime, il n'a donc pas de forme» vient clairement du passage où Zhuangzi écrit que «l'extrême du subtil, on le dit infime», « l'infime n'a pas de forme »3. Et lorsque Liu Hui réfute la procédure de l'extraction de la racine sphérique, dans Les Neuf chapitres, son style est tout à fait le même que celui de Wang Chong lorsque, dans son Lunheng, il réfute le saint qui sait mille choses anciennes et connaît dix mille générations 4 . Liu Hui met l'accent sur la discipline de l'esprit qui consiste à rechercher la vérité en se basant sur les faits tels qu'ils sont. Dans l'intégralité de son commentaire, il ne parle que s'il a des preuves, et ne dit tien qui soit dénué de sens. On en a un exemple clair lorsque, rapportant que des sources affirment que « Lishou créa les mathématiques », Liu Hui ajoute: « on n'a rien entendu dire de plus précis à ce sujet ». (Voir p. 127.) Ce fait témoigne d'un autre trait: Liu Hui n'a pas le culte des anciens, et il enjoint au contraire à ne pas leur « emboîter le pas» (voir p. 179). Les Neuf chapitres furent très tôt considérés comme un Classique, et Liu Hui en rédigea un commentaire. Mais si ce dernier manifeste la plus grande estime pour l'ouvrage, il est aussi le premier mathématicien à en critiquer les erreurs, et c'est lui qui en mettra le plus grand nombre en évidence. Il condamne également les mathématiciens des générations passées qui ont suivi Les Neuf chapitres jusque dans leurs erreurs, sans tenter de l'améliorer, comme en témoigne l'affirmation suivante: « Depuis des générations, on a transmis cette méthode [à savoir le rapport de 3 à 1 po~r celui de la circonférence au diamètre] ; c'est que personne n'a voulu la vérifier avec minutie. Les érudits ont emboîté le pas des anciens, et ils ont copié leurs erreurs. » (voir p. 179) Ainsi, Liu Hui ne craint pas de faire œuvre de créateur, de proposer des idées nouvelles, des méthodes nouvelles, des formules nouvelles. Il s'oppose, en revanche, fermement au mysticisme des nombres. Sous les deux dynasties Han, les superstitions des livres apocryphes connurent une grande vogue, et le mysticisme numérique fit à cette époque son apparition. Zhang Heng, qui est un astronome et un homme de lettres remarquable du temps des Han orientaux, s'y enlise lorsqu'il traite du volume de la sphère, ce en quoi Liu Hui le critique: Il veut « s'accorder avec la théorie du pair et de l'impair, du Yin et du Yang, et il ne prend pas en considération la précision. Quoique [sa théorie] comporte des phrases éléga~tes, rendre ainsi chaotique la méthode (dao) et détériorer le sens, c'est vicié. » (voir p. 383) On ne peut déceler aucune trace de mysticisme numérique dans l'intégralité du commentaire de Liu Hui. Il se représente l'humanité comme développant et faisant progresser sans cesse les connaissances mathématiques. Et lorsque lui-même est confronté à un problème que, temporairement, il n'arrive pas à résoudre, il consigne un message d'espoir à l'intention des générations ultérieures. C'est ainsi qu'au moment même où il met en évidence l'erreur qui affecte la procédure pour l'extraction de la racine sphérique dans Les Neuf chapitres, il introduit le corps qui a la forme de dais carrés qui s'emboîtent exactement (mou he fang gai). Il suffirait de trouver le. volume de ce corps, et la résolution du problème du volume de la sphère s'ensuivrait aussitôt. Mais Liu Hui n'est pas en mesure d'établir lui-même 1. [Guo Shuchun 61992a], pp. 330-345, pp. 332-346, [Guo Shuchun 61993e], pp. 3-10. 2. Voir Mozi, p. 257. 3. Zhtlangzi,« Qitlshui (La crue dJautomne) », [Guo Qingfan 61961], p. 572. 4. Voir[Guo Shuchun 61993e], pp. 3-10 et [Guo Shuchun 61992a], pp. 341-345, pp. 342-346.

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comment déterminer ce volume. Il l'écrit sans détour: «Je voudrais, avec mes maigres [ressources}, m'appliquer (à ce problème), mais je crains de manquer du principe exact. Je n'oserai pas à la légère discuter ce point, mais attendrai quelqu'un capable d'en parler. » (Voir p. 381.) Cette déclaration témoigne de la qualité de son sens moral ainsi que de la largesse d'esprit d'un scientifique qui ne se figure pas qu'il sait, lorsqu'il ne sait pas, et qui ne cherche pas à jouir d'une réputation usurpée. C'est précisément en suivant la direction indiquée par Liu Hui que, deux cents ans plus tard, Zu Gengzhi résoudra avec succès ce problème. Liu Hui préconise souplesse et diversité, et déplore que certains, maladroits à en saisir les principes subtils, se contentent de s'appuyer sur les procédures d'origine (voir p. 651). Par conséquent, pour un même problème, il proposera des modes de résolution et des idées différents. Ce style de recherche qui le conduit à étudier le vrai en se basant sur les faits eux-mêmes, cette ouverture d'esprit, cette hardiesse dans la création, ces capacités exceptionnelles, telles sont les conditions subjectives qui lui ont permis, dans des circonstances objectives données, au cours d'une époque marquée par de profondes transformations, de provoquer une mutation d'envergure dans les mathématiques de la Chine ancienne.

III.

LES RECHERCHES DE Zu CHONGZHI ET DE SON FILS SUR LES NEUF CHAPITRES

Zu Chongzhi (429-500), qui a réalisé la prouesse de porter la précision du lü de la circonférence du cercle jusqu'à huit chiffres significatifs, est, en Chine, connu de tous et bien plus renommé que Liu Hui. Pourtant rares sont ceux de ses apports mathématiques pour lesquels nous disposons aujourd'hui de témoignages. La raison en est que son ouvrage Zhuishu (shu : procédure) s'est perdu depuis les Tang. Les ascendants de Zu Chongzhi, de nom personnel public Wenyuan, étaient originaires du district de Qiu dans la préfecture de Fanyang (aujourd'hui le district de Laishui dans la province du Hebei) ; par la suite ils se déplacèrent vers le sud. Zu possédait un vaste savoir, et il était doué de multiples talents. Il apporta des contributions dans des domaines aussi variés que les mathématiques, le calendrier et la construction mécanique. Il était de surcroît homme de lettres. Zu Chongzhi établit le Daming li (le calendrier Daming), où, le premier, il réfléchit au calcul de la précession des équinoxes. Les temps de révolution du soleil et de la lune y sont également plus précis que dans les calendriers de l'époque. Quand il soumet un mémoire à la cour pour proposer d'améliorer le calendrier, il rencontre l'opposition de ministres influents. C'est dans ces circonstances qu'il rédige son Boyi (Réfutation), dans lequel il fait montre d'un esprit noble, qui persiste dans la vérité scientifique, ne manifeste pas de crainte devant les puissants, et se refuse à vénérer les auteurs. anciens sans raison. Zu Chongzhi fabriqua, par ailleurs, le bateau de mille li et le moulin à eau pour décortiquer le riz. Il améliora le chariot qui pointe vers le sud, le « bœuf de bois-cheval mécanique» (mécanique pour transporter les vivres), etc. Dans un autre domaine, il rédigea un ouvrage intitulé Anbianlun (Sur le maintien des défenses aux frontières), de même qu'il étudia le Zhouyi (Classique du changement), le Laozi, le Zhuangzi, le Lunyu (Les Entretiens de Confucius), leXiaojing (Le Canon de la piétéfiliale), etc., tous sujets sur lesquels il commit des écrits. En outre, il commenta Les Neuf chapitres, et rédigea un ouvrage intitulé Zhuishu (shu: exposé), lequel ouvrage comportait plusieurs dizaines de parties l . Zhuishu (shu : procédure) et Zhuishu (shu : exposé) sont-ils le même ouvrage ou des livres différents? L'auteur en est-il Zu Chongzhi ou son fils Zu Gengzhi (ou Zu Geng) ? Quels sont les rapports de ces textes avec le commentaire de Zu Chongzhi aux Neuf chapitres? Autant de questions auxquelles il est difficile d'apporter des réponses satisfaisantes. Selon Li Chunfeng, Zu Chongzhi a rédigé le Zhuishu (shu : procédure). « Sa préoccupation essentielle, écrit-il, était la précision et c'était le meilleur des 1. Nan Qi shu,

«

Zu Chongzhi zhttan (Biographie de Zu Chongzhi)

»,

pp. 903-906.

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Les Neuf chapitres

mathématiciens. »1 Wang Xiaotong 2 et Shen Kuo (aussi appelé Shen Gua)3 donnent, tous deux, l'auteur du Zhuishu (shu: procédure) pour être Zu Gengzhi. Quant à Qian Baocong, il avance la thèse que le titre de Zhuishu (shu : exposé) recouvrirait le commentaire de Zu Chongzhi aux Neuf chapitres, tandis que le Zhuishu (shu : procédure) serait, lui, une œuvre que Zu Gengzhi achève en y mettant à profit l'enseignement prodigué par son pèré. Quoi qu'il en soit, comme, selon des sources anciennes, « aucun des fonctionnaires professeurs de mathématiques n'était en mesure de pénétrer totalement ses obscurités »5, l'ouvrage se perdit. Zu Chongzhi proposa d'autres valeurs pour la circonférence du cercle et son diamètre : les lü précis de 355 et de 113, ainsi que les lü simplifiés de 22 et de 7 respectivement. Il élabora aussi les procédures « kaichali » (.1990], Huijiaojiuzhangsuanshu, p. 509. 2. Voir Xiangjie jittzhàtig suan/a xu (Préfateaù}C Explicdtionsdétaillées des Neuf chapitres sur les méthodes mathématiques), [Guo Shuèhun (éd.) L:.1993], tome 1, p. 951, p. 1450 ; [Guo Shuchun ..6.1990], Huijiaoben, p. 493. 3. Voir [Guo Shuchun ..6. 1988d], pp. 328-334. 4. Shen Kuo, Mengxi bitan, [Hu Daojing ..6.1987], pp. 574-584. 5. Voir Xiangjie jittzhang manfa zttanlei, [Guo Shuchun (éd.) ..6.1993], tome 1, pp. 1004-1025. 6. Voir Chengchtt tongbian bemno, [Guo Shuchun (éd.) ..6.1993], tome 1, pp. 1048-1049. 7. Voir[Yan Dunjie ..6. 1966a], pp. 159-160.

70

Les Neuf chapitres

Un grand nombre des ouvrages mathématiques des Song et des Yuan se présentent comme des développements appuyés sur l'un des Neuf chapitres, voire sur un de leurs problèmes. Ainsi le Yigu genyuan (Discussion sur la source des mathématiques anciennes) de Liu Yi (XIIe siècle), évoqué ci-dessous, s'inscrit dans la continuité du chapitre « Champ rectangulaire» des Neuf chapitres. Liu Yi y introduit des équations du second degré avec coefficients négatifs et décrit des méthodes de résolution correspondantes. Et c'est cet ouvrage dont Yang Hui poursuit l'effort dans son Tianmu bilei chengchu jiefa (Méthodes rapides de multiplication et de division pour le calcul de taire des champs et des problèmes analogues). Le Dongyuan jiurong (1275) (Les Neuffigures inscrites de Dong Yuan) constitue un point d'aboutissement d'une lignée de recherche basée sur le problème du cercle inscrit à un triangle rectangle dans le chapitre « Base (gou) et hauteur (gu) ». Le Ceyuan haijing (Reflets des mesures du cercle sur la mer) publié en 1248 par Li Ye des Yuan en est à son tour une extension. Ce dernier y recourt à la « procédure de l'inconnue céleste (tianyuanshu) », qui désigne une méthode consistant, en vue de résoudre un problème, à se donner une inconnue et à établir une équation pour la déterminer. La combinaison entre la méthode de la procédure de l'inconnue céleste et la procédure fangcheng des Neuf chapitres engendrera la « procédure à quatre inconnues (siyuanshu) », laquelle recouvre une méthode de résolution de systèmes d'équations simultanées de degré élevé. On la trouve, pour la première fois, dans l'ouvrage de Zhu Shijie, de la dynastie Yuan, intitulé Siyuan yujian (Le Miroir de jade des quatre inconnues, 1303). Quant à Qin ]iushao, qui vécut sous la dynastie des Song du Sud, il est manifeste qu'il composa son remarquable Shushu jiuzhang (Ecrits mathématiques en Neuf chapitres, 1247), en neuf chapitres, sous l'influence des Neuf chapitres. Alors même qu'au cours de la dynastie Ming et jusqu'au milieu de la dynastie Qing, les mathématiques traditionnelles déclinaient, que Les Neuf chapitres paraissaient perdus, les titres de nombreux ouvrages continuent de reprendre l'expression de «Neuf chapitres» : on peut en mentionner l'exemple, du livre de Wu]ing,]iuzhang suanshu bilei daquan (Somme des Neuf chapitres sur les méthodes mathématiques et des problèmes analogues, 1450). L'influence des Neuf chapitres se manifeste également par un'autre biais: si les titres d'autres ouvrages ne reprennent pas cette mention, leur composition reflète encore la classification du Classique. C'est le cas de la partie principale de l'ouvrage de Cheng Dawei, Suanfa tongzong (Traité systématique sur les méthodes mathématiques). Et même après l'introduction de savoirs d'Occident, beaucoup de lettrés rangent ces nouvelles connaissances dans les rubriques des Neuf chapitres. Le]iushu tongkao (Examen général des Neufparties des mathématiques, 1773) de Qu Zengfa classe ainsi les calculs occidentaux selon les neuf parties des mathématiques. On l'aura constaté: Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques auront donc exercé une influence particulièrement prégnante tout au long de l'histoire des mathématiques en Chine. Traduit par I.1997a} a fait l'objet d'une traduction en anglais [Shen, Crossley & Lun 1999]. La traduction présentée dans ce livre, fondée sur notre édition critique et le glossaire, était achevée en 1997. Il n'a pu être question de signaler et de discuter, dans les notes, toutes les divergences d'interprétation dont témoignent ces différentes publications. Seules les traductions qui ont paru proposer des alternatives recevables ont été mentionnées. Si le lecteur souhaite consulter un échantillon des différences entre la traduction proposée ici et celle récemment parue en anglais [Shen, Crossley & Lun 1999}, il peut se reporter à l'appendice de [Chemla 2003a].

PRÉFACE DE LIU HUI AUX NEUF CHAPITRES SUR LES PROCÉDURES MATHÉMATIQUES 1

昔在包犧氏始畫八卦一，以通神明之德，以類萬物之情，作九

九之術二，以合六交之變。暨於蓋章神而化之，引而伸之三，於是 建曆紀四，協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。 記稱隸首作數，其詳末之聞也。按:周公制禮而有九數，九

數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後， 還北平侯張蓋、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蓋等因舊文之 遺殘，各稱捌補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。 邀幼習《九章»，長再詳覽，觀陰陽之割裂，總算術之根源，

探頤之暇，遂悟其意，是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事 類相推，各有攸歸 p

故枝條雖分而同本幹知引發其一端而已。又

所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能用，通而不贖，覽之者思過

半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子;雖日九數，其 能窮纖入微，探測無方;至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，

包，戴震輯錄本作“店"。此依楊輝本，兩通。

二術，戴震輯錄本作“數"。此依楊輝本，李籍所引同。 三伸，楊輝本作“申"。此依戴震輯錄本，兩通。 四曆，戴震輯錄本避弘曆(乾隆)諱而改作“歷"。此依楊輝本。 五各本於“知"上衍“者"字，依涯校本校捌。此“知"訪II “者"，

“者"字係後人注

“知"義而輾轉闖入正文。按:古籍中“者"與“之"互訪II ，用作指事之詞;而“知" 作為語河，與“之"通，故“知"、

“者"義向。

Préface de Litt Hui

127

Jadis il Yeut Baoxi 2, qui, tout d'abord, traça les huit trigrammes pour se mettre en communication avec les capacités de clairvoyance et d'illumination 3 , pour classer (lei) les situations (qing) de tous les existants 4 , puis créa la procédure de la table de multiplication pour qu'elle soit en concordance avec les mutations des six lignes (des hexagrammes) 5. Cela arriva jusqu'à Huangdi, qui les métamorphosa [en œuvrant au niveau} de l'insondable 6 , en agrandit [l'extension} en les allongeant 7, et qui, alors, instaura la structure du calendrier 8, accorda les tubes musicaux 9, et en fit usage pour étudier la source de la voie (dao) 10. Par la suite, les qi subtils et infimes des deux yi et des quatre xiang purent être pris comme modèles 11. Des écrits racontent que Lishou créa les mathématiques (shu) ; on n'a rien entendu dire de plus précis à ce sujet 12. Commentaire: c'est seulement quand le duc de Zhou établit les rites que [l'on sait que} les neuf parties des mathématiques (shu) existaient; c'est le développement de ces neuf parties des mathématiques (shu) qui donna Les Neuf chapitres 13. Autrefois, le cruel Qin (shi huangdi) brûla les livres. Les procédures du Classique furent dispersées et endommagées 14. Après cette période, le Marquis de Bei Ping, Zhang Cang, et le Secrétaire adjoint du Palais au Chambellan du Trésor National (Dasinong), Geng Shouchang, de la (dynastie) Han acquirent tous deux une réputation universelle pour leur excellence en mathématiques (suan) 15. Sur la base de fragments de vieux textes qui avaient survécu, Zhang Cang et d'autres effectuèrent respectivement (un travail) d'élagages et de complétions 16. C'est pourquoi, quand on examine ses sections, par endroits elles diffèrent des anciennes, et ce qui y est discuté l'est pour beaucoup en termes modernes. Enfant, j'ai étudié Les Neuf chapitres 17 ; adulte, je l'ai examiné à nouveau en détail. J'y ai observé le partage du Yin et du Yang, et j'ai synthétisé la source des procédures mathématiques 18. Dans un moment de loisir au cours duquel j'en explorais les profondeurs 19, je suis parvenu à en comprendre la signification (yi). C'est la raison pour laquelle j'ose mettre en œuvre la totalité de mes faibles ressources intellectuelles, et rassembler (les matériaux) que j'ai vus pour en faire un commentaire. Les réalisations et leurs catégories (lei) s'élaborent les unes à partir des autres, mais elles ont chacune ce à quoi elles reviennent 20. C'est pourquoi si, malgré le fait qu'elles se divisent en branches, elles ont le même tronc, c'est qu'elles ne proviennent que d'un seul principe 21. En outre, si on recourt à des énoncés pour analyser les constitutions internes (li), si on se sert de figures (tu) pour disséquer des corps 22, on peut presque le (le contenu de l'ouvrage) rendre simple mais précis, ouvert à la communication mais pas touffu 23, et ceux qui le lisent en comprendront donc plus de la moitié 24. De plus, les mathématiques (suan) font partie des six arts 25 ; les anciens les utilisaient pour sélectionner les personnes de talent 26, pour instruire les enfants de hauts dignitaires. Quoiqu'elles soient appelées « les neuf parties des mathématiques (shu) », elles donnent la capacité d'épuiser le subtil et de pénétrer l'infime, d'explorer sans limites 27. En ce qui concerne la transmission des méthodes, on peut certainement en faire des connaissances communes, à l'instar de l'équerre, du compas, des nombres et des mesures; il n'y a rien là qui soit particulièrement difficile 28. Aujourd'hui, ceux qui aiment le sujet sont rares, c'est pourquoi malgré le fait que nombreuses au monde sont les personnes qui ont une culture vaste et approfondie, il n'est pas certain qu'elles soient capables d'en embrasser les différents points de vue et d'y pénétrer à fond 29.

非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於

此耳。 《周官@大司徒》職，夏至日中立八尺之表。其宗尺有五寸，

謂之地中。說云，南戴日下萬五千里。夫云爾者，以術推之。按: 《九章》立四表望遠及閃木望山之術，皆端旁互見，無有超邀若

斯之類。然則蓋等為術猶未足以博盡星數也。徽尋九數有重差之

名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者 必用軍差、旬股，則必以重差為率，故日重差也。立兩表於邊區之 城，令高八尺，南北各盡平地。同日度其正中之景六。以景差為法，

表高乘表間為賞，實如法而一九所得加表高，即日去地也。以南 表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以

南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之 筒南望日~日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為句率，

日去人之數為大肢，大股之句即日徑也。雖夫國穹之象猶日可 度九，又況盡山之高與江海之廣哉。堡以為今之史籍且略舉天地之

物，考論厥數，載之於志，以闖世術之美，輒造《軍差»，并為注 解，以究古人之意，綴於《句股》之下。度高者重表，測深者累

矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭 伏，靡所不入。博物君子，詳而覽焉。

六景，楊輝本、戴震輯錄本訛作“時"，此依錢校本校正。

七戴震輯錄本脫一“寶"字。此依楊輝本。 八筒，楊輝本作“筒"，亦迪。此依戴震輯錄本。 九夫，孔刻本訛作“天"。涯校本依楊輝本、戴震輯錄本恢復原文。

Préface de Liu Hui

129

Le (chapitre) «Grand m1n1stre de l'éducation (Dasitu)>> des Fonctionnaires des Zhou consigne qu'au solstice d'été à midi, on érigeait des gnomons de 8 chi. L'endroit où l'ombre est de 1 chi 5 cun, on l'appelait le centre de la terre 30. Le commentaire dit que le pied de la verticale sous le soleil en est alors à 15 000 li au sud. Pareille affirmation se déduit à l'aide d'une procédure 31. Commentaire: dans les procédures des Neuf chapitres où l'on érige quatre gnomons pour observer au loin et où l'on utilise un arbre pour observer une montagne, dans tous les cas, des extrémités ou des côtés se font apparaître réciproquement, mais il n'yen a pas de la catégorie (lei) qui dépasse ainsi ce qui est loin 32. S'il en est ainsi, c'est que les procédures confectionnées par Zhang Cang et les autres ne suffisent pas encore à épuiser complètement toutes les mathématiques (shu) 33. J'ai découvert que parmi les neuf parties des mathématiques (shu) il en est une qui porte le nom de « double différence» ; j'ai cherché l'origine de ses points essentiels de sorte à pouvoir ensuite la mettre en œuvre pour ce (problème) 34. Chaque fois que l'on observe quelque chose d'extrêmement haut, qu'on mesure quelque chose de très profond, et que dans les deux cas, on veut savoir à quelle distance ils sont, il faut utiliser une double différence 35. Si étant (dans le cadre) d'un triangle rectangle (gougu) on doit utiliser une double différence comme lü, alors on appelle cela « double différence» 36. Erigeons dans la ville de Luoyang deux gnomons, que l'on prend de 8 chi de hauteur; au nord comme au sud, on rend le sol le plus plat possible 37. Le même jour, on mesure l'ombre (au moment) où elle est juste au milieu 38 ; on prend la différence entre les ombres comme diviseur; la multiplication de la hauteur des gnomons par leur distance fait le dividende (shi), et on effectue la division du dividende par le diviseur. Ce qu'on obtient est ajouté à la hauteur des gnomons, ce qui donne la distance du soleil à la terre. Si on multiplie par l'ombre du gnomon au sud la distance entre les gnomons pour faire le dividende, et qu'on effectue la division du dividende par le diviseur, cela donne la distance depuis le gnomon sud jusqu'au pied de la verticale sous le soleil au sud. Et quand l'on prend la distance du gnomon sud au pied de la verticale sous le soleil au sud et la distance du soleil à la terre comme base (gou) et hauteur (gu), et qu'on cherche l'hypoténuse qui leur correspond, cela donne la distance entre le soleil et soi 39. Observons au sud le soleil avec un tube d'un cun de diamètre: lorsqu'il emplit l'orifice du tube, alors la longueur du tube que cela détermine est prise comme lü de la hauteur (gu), le diamètre du tube comme lü de la base (gou), la valeur (shu) de la distance entre le soleil et soi comme grande hauteur (gu), et la base (gou) correspondant à cette grande hauteur (gu) donne le diamètre du soleil 4o. Quoique ce soient les configurations (xiang) relatives à la voûte céleste, on peut tout de même dire qu'elles sont mesurables, c'est donc à plus forte raison le cas également de la hauteur du mont Tai (Tai shan) ainsi que de la largeur des fleuves et des mers. Je pense que les livres historiques d'aujourd'hui [devraient}, même sommairement, mentionner les choses (wu) relatives au ciel et à la terre, étudier les valeurs (shu) qui leur sont attachées et enregistrer ceci dans des monographies pour rendre manifeste l'excellence des procédures d'ici-bas. J'ai donc à dessein rédigé [un rouleau intitulé} « double différence », j'en ai fait des commentaires pour approfondir ce que voulaient dire (yi) les personnes du passé, et j'ai adjoint ceci après le (chapitre) « Base (gou) et hauteur (gu) »41 . Pour mesurer une hauteur, (on utilise) deux gnomons, pour mesurer une profondeur, on superpose des équerres 42 ; pour une entité séparée isolée, (on utilise) trois observations 43 , pour une telle entité séparée et lorsque l'on cherche plus de grandeurs, quatre observations 44 . Si l'on procède en se familiarisant avec [une chose d'une} catégorie (lei) de sorte à en étendre [la connaissance aux choses de même catégorie}45 , alors, que les choses soient obscures et éloignées, étranges et dissimulées, il n'yen a pas que l'on ne puisse pénétrer. Que les érudits le lisent avec minutie.

PRÉSENTATION DU CHAPITRE PREMIER «

Champ rectangulaire

»

par

Guo Shuchun

Le chapitre « Champ rectangulaire» délivre, au total, vingt et une procédures. Leur énoncé étant précédé en général de deux ou trois problèmes spécifiques, le rouleau comporte, également, trentehuit problèmes. Le traitement du champ circulaire s'avère constituer un cas particulier, puisque Les Neuf chapitres fournissent, pour évaluer son aire, des procédures additionnelles que n'accompagne aucun problème spécifique. Pour ce qui concerne les problèmes proprement dits, ils se composent chacun d'un énoncé et des réponses correspondantes: leur texte, qui ne donne pas de procédure de calcul, suit des règles de présentation extrêmement régulières. Certains historiens rapportent ces vingt et une procédures aux problèmes qui les précèdent: c'est en réalité inverser les rapports de subordination entre ces deux types d'éléments. Le contenu du chapitre « Champ rectangulaire» se laisse scinder en deux parties, portant, l'une, sur les formules permettant de calculer l'aire de champs, l'autre, sur les procédures effectuant les quatre opérations sur les fractions. C'est la première qui forme le thème principal du chapitre luimême. La seconde, en revanche, fournit les bases pour les calculs de tout l'ouvrage et non pas seulement pour ceux relatifs à l'aire des champs. Lorsqu'il commente ces deux parties, Liu Hui fait montre d'aptitudes mathématiques exceptionnelles. C'est dans ce contexte qu'il présente la définition des lü et le concept de « lü mis en relation les uns avec les autres» (xiangyu lü). C'est encore ici qu'il met en évidence les trois transformations d'égale importance des lü. Il ihtroduit, de surcroît, au cours de sa démonstration de la procédure du champ circulaire, une idée de limite et une méthode de découpe en parties infiniment petites. C'est à lui, enfin, qu'il revient d'avoir été le créateur, en Chine, d'une méthode correcte de recherche du lü de la circonférence du cercle (n).

I. LES QUATRE OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS Les Neuf chapitres ne constituent pas un ouvrage pour débutant; en particulier, ils n'exposent pas les règles pour l'addition, la soustraction ou la multiplication des nombres entiers. En commentaire à la première procédure du calcul fractionnaire, Liu Hui remarque qu'« [ ... } il n'est pas possible que les mesures des quantités (shu) des choses soient toutes des nombres entiers, qu'il faut donc recourir à des parts pour les exprimer» (voir p. 157). Et, poursuit-il, au cours de la division des nombres entiers, « diviseur et dividende se déduisant l'un de l'autre, ils sont souvent de tailles différentes; c'est pourquoi celui qui confectionne des procédures s'occupe d'abord de toutes celles qui concernent les parts» (voir p. 157). Ces remarques préliminaires du commentaire rendent .compte ainsi des raisons pour lesquelles les auteurs des Neuf chapitres ont incorporé, dans le premier chapitre, les règles pour les quatre opérations arithmétiques sur les fractions. Les procédures qu'on y trouve à cette fin sont au nombre de sept: une « Procédure de la simplification des parts », une « Procédure de la réunion des parts », une « Procédure de la soustraction des parts», une « Procédure de la comparaison des parts », une « Procédure de la moyenne de parts», une « Procédure du partage des parts» et une « Procédure de la multiplication des parts ». La « Procédure de la simplification des parts» fournit une méthode pour simplifier les fractions: en retranchant, le plus petit du plus grand, successivement, numérateur et dénominateur, puis les restes qu'ils laissent, on obtient leur « nombre égal», qui n'est autre que leur plus grand commun diviseur. Il est alors possible

132

Les Neuf chapitres

de diviser les deux termes de la fraction, numérateur et dénominateur, par cette valeur. Liu Hui met en évidence, dans son commentaire, que ces termes constituent tous deux des superpositions du « nombre égal», et c'est, à ses yeux, la raison pour laquelle le fait de simplifier par cette quantité ne modifie pas la valeur de la fraction. De même, on n'en change pas non plus la valeur, en multipliant numérateur et dénominateur par un même nombre. De la première opération, il dira qu'elle « simplifie pour les réunir », tandis que, de la seconde, il affirmera qu'elle « multiplie pour les désagréger» (voir p. 159). La « Procédure de la réunion des parts» et la « Procédure de la soustraction des parts» offrent, quant à elles, des méthodes d'addition et de soustraction des fractions: les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur correspondent pas; on les additionne les uns aux autres ou on les soustrait les uns des autres pour faire le dividende. Les dénominateurs sont de plus multipliés les uns par les autres pour faire le diviseur, et, par division, on obtient le résultat. Considérons deux fractions que nous noterons respectivement b/a et die. Ces procédures se laissent alors représenter par la formule suivante: (b/a) ± (die) = (bc ± ad)/ac. On notera que ces opérations n'emploient pas le plus petit commun multiple des dénominateurs. C'est lorsqu'il montre leur correction que Liu Hui introduit le principe de « l'homogénéisation et l'égalisation ». De fait, il n'est sans doute pas le premier à avoir avancé ce principe: Zhao Shuang, qui fut à peu de choses près son contemporain, ou qui vécut peut-être légèrement avant lui, mentionne à plusieurs reprises, dans son commentaire au Zhoubi suanjing (Classique mathématique du Gnomon des Zhou), l'homogénéisation et l'égalisation 1. Liu Hui souligne que, si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont simultanément dilatés (ou contractés) par le même facteur, «les réalités (shi) auxquelles elles correspondent sont les mêmes» (voir p. 159). Par suite, lorsque diverses fractions sont mêlées les unes aux autres, sauf à les raffiner, il ne se présente aucun moyen de les combiner. Ce n'est qu'en multipliant respectivement le numérateur et le dénominateur de chacune de ces fractions par un même nombre, adéquatement choisi, en les désagrégeant donc, en les faisant communiquer ainsi les unes avec les autres, qu'on peut les ajouter ou les retrancher. C'est ce procédé qui constitue l'homogénéisation et l'égalisation. Plus précisément, Liu Hui nomme « homogénéiser» l'opération qui consiste à multiplier, par les dénominateurs, ceux des numérateurs qui ne leur correspondent pas; et il appelle corrélativement « égaliser» l'opération de multiplier l'ensemble des dénominateurs les uns par les autres. « Egaliser », poursuit-il, c'est faire en sorte que les fractions communiquent les unes avec les autres, qu'elles aient un unique dénominateur commun. « Homogénéiser» garantit alors que leurs numérateurs soient, respectivement, homogènes avec le dénominateur qui leur correspond. La situation, conclut-il, ne peut avoir perdu les nombres d'origine. Il s'agit là de l'exposé du principe d'homogénéisation et d'égalisation le plus complet que les sources attestent au jour d'aujourd'hui. La « Procédure de la comparaison des parts» permet, comme son nom l'indique, de comparer les valeurs de fractions. Elle est, pour l'essentiel, identique à la « Procédure de la soustraction des parts », tout en présentant de légères différences. La « Procédure de la moyenne des parts » ne vise pas seulement à déterminer la valeur moyenne de plusieurs fractions, mais elle calcule également ce qu'il faut retrancher et ajouter à chaque fraction pour obtenir cette valeur moyenne. Supposons que nous cherchions la valeur moyenne des trois fractions b/a 1 , b2 /a 2 , b3 /a3' Les Neufchapitres prescrivent d'effectuer la multiplication des dénominateurs par les numérateurs qui ne leur correspondent pas, ce qui donne b1a2a3 , b2a 1a3 , b3a 1a2 . Il est ensuite indiqué de sommer ces valeurs, pour former le « dividende de la moyenne ». Le produit des dénominateurs, a 1a2 a3 , multiplié par le nombre de fractions, donne le diviseur. La valeur moyenne prend donc la forme suivante:

b1 a 2 a 3 + b2 a 1a 3 + b3 a 1a 2 3a 1 a 2 a 3 1. Voir le Classiqtte mathématique dtt Gnomon des Zhott (Zhottbi Sttanjing, dernier chapitre, Edition Song, p. 9, p. 16 ; ]ttzhenban, reproduit dans [Guo Shuchun (éd.) ..6.1993J, Zhonggtto kextte jishtt dianji tonghtti. Shttxttejttan, tome 1, p. 50, p. 56; [Qian Baocong ..6. 1963J, p. 61, p. 68).

Présentation du Chapitre Premier -

133

«Champ rectangulaire»

De plus, !(b 1a2a3 + b2a 1a 3 + b3a 1a2 ) - 3b 1a2a 3 /3 a 1a2a3 détermine ce qui doit être ajouté à - ou retranché de - la première fraction. On obtient de la même manière les valeurs de ce qui doit être ajouté à - ou retranché de -la seconde et la troisième fractions. La « Procédure de la multiplication des parts» fournit une méthode pour multiplier les fractions qui est identique au procédé employé aujourd'hui: le produit des dénominateurs les uns par les autres établit le diviseur, tandis que le produit des numérateurs les uns par les autres détermine le dividende, et l'on conclut l'algorithme en divisant l'un par l'autre. Cette procédure peut se traduire en termes modernes comme suit: b/a . die = bd/ac. C'est l'appellation de « Procédure du partage des parts» que Les Neuf chapitres retiennent pour la division des fractions. Elle prescrit de réduire dans un premier temps les deux fractions au même dénominateur, puis d'effectuer la division des numérateurs. Par exemple, voici comment les deux cas suivants sont traités: 1

b

-+c a

b a

ac a

b ac

~ + ri. = bc + ad = bc + ad = bc a c ac ac ad C'est au cours de son commentaire sur cet algorithme que Liu Hui introduit la méthode alternative de multiplication par la fraction inverse: b d b c = bc - .... a c a d ad Les exemples numériques que proposent Les Neuf chapitres dans les problèmes correspondant aux opérations sur les fractions impliquent tous soit de vraies fractions, soit des nombres accompagnés de fractions - que nous désignerons par le terme de « fractions mixtes ». Mais, de fait, au cours des calculs, et tout particulièrement pour les multiplications ou les divisions de fractions, il est constamment nécessaire de recourir à des fractions « impropres » : c'est seulement lorsque les fractions mixtes ont été transformées en fractions impropres, supérieures à 1, que l'on peut calculer. Les problèmes relatifs à la multiplication des parts portent sur des champs rectangulaires dont les côtés ont pour longueurs de vraies fractions. Par contraste, la « Procédure du champ en toute généralité» fournit un algorithme pour «multiplier des parts» dans les cas où les problèmes impliquent des fractions mixtes. Prenons l'exemple du troisième problème (1.24): la largeur du champ vaut

18~ bu, 7

sa

longueur 23 ~ bu. L'aire du champ fait alors 18~ . 23 ~ = 131 . 259 = 33 929 = 440~. 11 7 11 7 11 77 11 Les problèmes liés à la « Procédure du partage des parts» requièrent soit de diviser une fraction mixte par un entier, soit de diviser, l'une par l'autre, des fractions mixtes. Illustrons l'algorithme par les calculs qui s'en déduisent pour le second problème (1.18) :

=

c:

+

~J+ 13°

.2-J

76 + + 10 ( 12 12 3 = 85+ 10 12 3 255 . 120

36 -.- 36 255 = 211.120 120

2! 8

134

Les Neuf chapitres

Pour les cas où la « Procédure du champ en toute généralité» porte sur des fractions mixtes, on ne peut exclure l'interprétation selon laquelle le processus calcule séparément numérateur et dénominateur, diviseur et dividende, et que le résultat de la transformation en fractions impropres n'apparaît pas, en tant que tel, de façon évidente - on peut rapporter ce fait à l'objectif de proposer des algorithmes de calcul commodes, dans des circonstances où l'on représente les nombres avec des baguettes. En revanche, la conclusion selon laquelle, au cours des calculs que propose la « Procédure du partage des parts », il apparaît des fractions impropres, s'impose. La« Procédure des lüplus précis» pour le champ en forme d'anneau (voir p. 197) détaille explicitement pareils calculs, dans son traitement des circonférences intérieure et extérieure: «ET (AVEC [i.e. : LES DÉNOMINATEURS}), ON FAIT COMMUNIQUER LES NOMBRES ENTIERS DE BU, CE (LES NOMBRES ENTIERS DE BU MIS EN COMMUNICATION) QU'ON INCORPORE AUX NUMÉRATEURS ». De même, pour le diamètre, cette procédure précise: «ON FAIT ÉGALEMENT COMMUNIQUER LES PARTS ET ON INCORPORE AU NUMÉRATEUR ». La visée consiste, de manière encore plus manifeste, à faire d'abord apparaître les fractions impropres, puis à effectuer, dans un second temps, l'addition, la soustraction ou la multiplication des fractions. Liu Hui réserve, par ailleurs, pour la méthode qui consiste à transformer les fractions mixtes en fractions impropres, l'expression technique suivante: « multiplier la partie entière et incorporer au numérateur» (cheng quan na zi). Le dernier pas des procédures de la « réunion des parts », de la « soustraction des parts », de la « comparaison des parts », du « partage des parts », de la « multiplication des parts », du « champ en toute généralité », consiste à chaque fois à effectuer un calcul qui s'énonce littéralement ainsi: « si le dividende est comme le diviseur, on obtient 1 ». L'expression, renvoie, en termes modernes, à une division entre entiers. Elle tire son origine, semble-t-il, d'une phase embryonnaire de l'évolution de l'opération de division: s'il se trouve, dans le dividende, une partie égale au diviseur, alors on obtient 1 ; s'il se trouve tant de diviseurs, on obtient tant. L'expression s'imposa par la suite comme terme technique des mathématiques anciennes. Par ailleurs, elle est modulée de façon différente en fonction des contextes. De manière générale, les procédures abstraites utilisent l'expression telle quelle: « si le dividende est comme le diviseur, on obtient 1 ». Il en va ainsi de toutes les procédures des chapitres 1 et 2, de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» du chapitre 3, de la « Procédure de l'excédent et du déficit» du chapitre 7 ainsi que d'une partie des procédures des chapitres 6 et 9. Mais les procédures proposant des opérations dans un cadre concret - on peut penser aux algorithmes liés aux problèmes particuliers qui font suite aux procédures des « Parts pondérées en fonction des degrés » et de 1'« Inversion des coefficients de la pondération», ou à ceux qui se trouvent décrits dans la plupart des problèmes du chapitre 6 - utilisent, elles, constamment l'expression modifiée comme suit: « si le dividende est comme le diviseur, on obtient 1 pièce» (ou toute autre unité). « 1 pièce» représente ici l'expression abrégée pour « une pièce par personne» ou « par personne une pièce ». Les procédures, données au chapitre 9, pour déterminer le côté du carré ou le diamètre du cercle inscrits à un triangle rectangle utilisent, ainsi, l'expression sous la forme primitive: « si le dividende est comme le diviseur, on obtient pour le côté du carré 1 bu », « on obtient pour le diamètre 1 bu ». Les mathématiques en Chine ancienne étaient liées de manière étroite à la pratique. Les entités partagées étaient toujours des choses réelles comme des grains, des soies, de l'argent, etc. Ce trait peut expliquer pourquoi la quantité à diviser y fut nommée « réalité» (shi). Ce par quoi on partage, en revanche, était en fait conçu comme une espèce de norme. C'est ce qui rend compte du nom retenu pour le nombre par lequel on divise: fa « diviseur» prend le sens de « norme». Dans le chapitre « Qi fa (Sept normes) » du Guanzi, on lit: « On appelle normes chi et cun (mesures de longueur), cordeau de charpentier (shengmo) , compas et équerre, heng et dan (mesures de poids), dou et hu (mesures de contenance), mesures (jiaoliang). 1 » Etant donné, cependant, que le dividende n'est pas toujours un multiple entier du diviseur, il faut introduire les fractions. 1. Voir Gttanzi, p. 98.

Présentation du Chapitre Premier - «Champ rectangulaire»

135

II. LÜ Le concept de lü est important aussi bien pour Les Neuf chapitres que pour le commentaire de Liu Hui. Pourtant ce n'est que dans les dernières dizaines d'années que les chercheurs se sont penchés spécifiquement sur lui. Le terme a pour sens premier ceux de « norme», de « loi». Le chapitre «Jinxin shang (Cultiver l'intelligence. Première partie) » du Mengzi affirme ainsi: «Un maître charpentier ne change ni ne laisse de côté son cordeau pour un apprenti maladroit. l (Yi, n.d.t.) ne changeait pas sa manière de tirer à lui la corde de l'arc (qi gou lü, n.d.t.) pour un archer malhabile. 1 » Le gou lü, la « manière de tirer l'arc» est défini relativement à la corde de l'arc. En vertu d'une norme déterminée, ce gou lü et le « lü de la corde» sont des constantes. Ici, donc, à partir d'un sens premier de « norme », de « loi », le mot en vient à désigner, par extension, la mesure d'une norme. On voit pointer le sens que prendra lü dans le contexte des mathématiques. Dans le chapitre « Bei chengmen (Garder la porte de la ville) » du Mozi, on relève la notation suivante: «Les soldats des bâtiments sous les remparts sont en proportion de (ont pour lü) 1 homme pour 1 bu, de 20 hommes pour 20 bu. On calcule la dimension du rempart en fonction de ces lü. 2 » Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou (Zhoubi suanjing) déclare, pour sa part, : « En lü, pour 80 cun, on obtient un diamètre de 1 cun . .. Si on les calcule à l'aide de ces lü, pour 80 li, on obtient un diamètre de 1 li. 3 » Ces occurrences de lü possèdent déjà un sens mathématique et, dans ses usages comme verbe, le terme signifie: « calculer à l'aide des lü ». Les Neuf chapitres recourent à plusieurs reprises à des lü, entre autres aux chapitres 2 et 9. Si cet ouvrage se distingue de tous les ouvrages antérieurs par sa généralité et sa profondeur, c'est cependant à Liu Hui qu'il revient d'avoir, au cours de son commentaire à la « Procédure du partage des parts», et donc dans ce premier chapitre, défini les lü : « Chaque fois que des quantités (shu) sont données en relation les unes avec les autres (xiangyu), on les appelle des lü. » (Voir p. 167.)

Ici le terme de shu désigne en fait des « quantités», tandis que xiangyu renvoie aux relations que celles-ci ont entre elles. Lü reflète très exactement une propriété essentielle des relations qu'entretiennent les unes avec les autres les quantités de choses. Les proportions constituent l'exemple le plus immédiat et le plus fréquent des relations entre lü. Mais nous verrons, par la suite, que le concept de lü est beaucoup plus profond, plus général que ce que nous rencontrons dans le cadre des proportions. Dans le problème relatif à la soie grège au chapitre 3, « Parts pondérées en fonction des degrés », Liu Hui revient à nouveau sur la nature des lü : « Chaque fois que l'on obtient des lü, c'est que, quand ils sont petits, ils le sont tous ensemble, quand ils sont grands, ils le sont tous ensemble, que les deux quantités (shu) se transforment l'une en relation avec l'autre, et c'est tout. » (3.17, voir p. 307)

Liu Hui s'appuie sur cette propriété des lü pour introduire, toujours dans son commentaire à la « Procédure du partage des parts» dans le chapitre « Champ rectangulaire», le concept de « lü mis en relation les uns avec les autres » : « Les lü, étant par nature donnés les uns en relation avec les autres, communiquent. S'il y a des parts, on peut désagréger; si les parts sont des superpositions réitérées, on simplifie. Diviseur et dividende, divisés par le nombre égal, sont des lü mis en relation l'un avec l'autre (xiangyu lü). » (Voir p. 167.)

Ainsi introduite, l'expression de xiangyu lü renvoie clairement à des relations de lü qu'entretiennent des quantités dont le plus grand commun diviseur vaut 1. Si, parmi des quantités qui présentent des rapports de lü, il se trouve des fractions, il est possible de les transformer en nombres entiers par désagrégation des parts. Et si ces quantités ont entre elles un plus grand commun diviseur 1. Voir Mengzi, p. 2770 ; [Couvreur 1972}, p. 628. 2. Voir Mozi, p. 272. 3. Voir Zhoubi suanjing, premier chapitre, édition Song, p. 14 ;juzhenban, reproduit dàns [Guo Shuchun (éd.) 1993}, Zhongguo kexuejishtt dianji tonghui. Shuxttejuan, tome 1, pp. 20-21 ; [Qian Baocong L>.1963}, pp. 26-27.

136

Les Neuf chapitres

(un « nombre égal») différent de 1, on peut les simplifier par ce nombre. Dans tous ces cas, ces opérations les transforment en « lü mis en relation les uns avec les autres» (xiangyu lü). Comme nous l'avons déjà indiqué plus haut, Liu Hui considère que les fractions sont produites par la division, l'un par l'autre, d'un dividende et d'un diviseur. Il ajoute ici qu'en divisant diviseur et dividende par le « nombre égal », on obtient des « Iii mis en relation les uns avec les autres ». C'est donc à l'occasion de son commentaire au calcul sur les fractions, que Liu Hui précise les définitions de lü et de « lü mis en relation les uns avec les autres », ainsi que les méthodes permettant de déterminer les « Iii mis en relation les uns avec les autres». Il est manifeste que Liu Hui considère les numérateur et dénominateur d'une fraction comme formant un ensemble de nombres unis par des relations de lü. La conception mathématique classique propose de définir les fractions comme le rapport entre deux quantités: le numérateur exprime le multiple de la mesure commune contenue dans la première, tandis que le dénominateur indique le multiple correspondant pour la seconde. Nous constatons donc que Liu Hui atteste une conception étonnamment proche. Par ce biais, les transformations d'égale importance que sont, au sein des calculs fractionnaires, la simplification des parts, la désagrégation des parts et l'homogénéisation-égalisation peuvent toutes être transplantées dans les calculs sur les lü. De fait, Liu Hui les applique à de multiples reprises aux lü dans son commentaire à l'ensemble des Neuf chapitres. Il déclare: « Multiplier pour les désagréger, simplifier pour les réunir, homogénéiser, égaliser pour les faire communiquer, comment ne serait-ce pas les points-clefs des mathématiques? » (Voir p. 159.)

On constate donc que Liu Hui considère les lii comme les points-clefs de ses calculs. Il utilise ce concept pour gloser la majeure partie des procédures, et environ deux cents problèmes des Neufchapitres. Les utilisations concrètes qu'il en fait seront discutées à l'occasion de chacun des chapitres pertinents.

III.

LES AIRES

Retournons à présent au sujet principal du premier chapitre que sont les problèmes d'aires. Les Neuf chapitres fournissent des formules pour déterminer les aires de plusieurs figures, parmi lesquelles le champ rectangulaire, le champ triangulaire, le « champ oblique », le champ trapézoïdal, le champ circulaire, le champ en forme de calotte sphérique, le champ en forme de segment circulaire, et le champ en forme d'anneau.

1.

Les figures rectilinéaires, l'aire (mi), le principe et ce qui sort se compensent »

«

ce qui entre

Le champ rectangulaire, le champ triangulaire, le « champ oblique », le champ trapézoïdal constituent tous des figures rectilinéaires. Le «champ rectangulaire (jangtian) ». a, comme son nom l'indique, la forme d'un rectangle. Si, conformément à la figure 1.1, l'on pose que sa largeur (guang) est a, et sa longueur (zong) b, son aire S vaut alors: b

S = ab

(1.1)

Que des interprètes aient glosé guang et zong comme « largeur » et « longueur», la chose est parfaitement recevable d'un point de vue a mathématique. Cependant, guang et zong sont, en fait, une manière de désigner des longueurs qui se rapporte à leur orientation: guang (horizontal) désigne la direction est-ouest, tandis que zong (vertical) désigne la direction nord-sud. De manière générale, zong est plus Figure 1.1 - Rectangle. grand que guang, mais il n'en est pas toujours ainsi. Par exemple, dans le troisième problème associé à la « Procédure de la multiplication des parts», guang vaut 4/5 bu et zong 5/9 bu : guang est donc plus longue que zong. Cet accent particulier mis sur les directions cardinales est l'une des caractéristiques de la culture chinoise.

137

Présentation du Chapitre Premier - «Champ rectangulaire»

Le champ gui - dans le passé, un terrain que toutes les catégories de fonctionnaires utilisaient pour offrir des sacrifices - a la forme d'un triangle. Si, conformément à la figure 1.2, on nomme sa base (guang) a, et sa « longueur droite» (zheng zong), c'est-à-dire sa hauteur, h, son aire S est donnée par la formule : a

S = !ah 2

Figure 1.2 - Triangle.

(1.2)

Les champs « oblique» et Ji (instrument pour séparer le grain de sa poussière) sont tous deux de forme trapézoïdale. Liu Hui précise la relation entre les deux: « Si l'on coupe en son milieu le champ Ji, alors cela fait deux champs obliques. » (Voir p. 177.) Cette affirmation permet d'établir que le champ Ji a la forme d'un trapèze général, comme sur la figure lA, tandis que le champ oblique a, lui, la forme d'un trapèze à angle droit, conforme à ce que montre la figure 1.3. Si l'on nomme les deux guang de ce dernier (les bases supérieure et inférieure) respectivement al et a 2 , et h sa « longueur droite» zheng zong - à savoir: la hauteur - , alors l'aire en vaut S

= (al +2 a 2 ) h

h -(al 2

+ a2 )

al

(1.3) al

h

h

Figure 1.3 Champ oblique.

Figure 1.4 - Trapèze. a2

a2

La formule de l'aire du champ trapézoïdal lui est strictement identique. Voici dont les quelques formules qui se rapportent à des figures rectilignes. Liu Hui ne tente pas de démontrer la formule (1.1). Il semble qu'à ses yeux, elle aille de soi sans démonstration. Liu Hui se contente d'énoncer la définition de l'aire: «

Chaque fois que largeur et longueur sont multipliées l'une par l'autre, on appelle cela aire (mi).

»

Mi désigne ici l'aire. Cette définition de Liu Hui, qui relève de la catégorie des définitions génétiques, est parfaitement rigoureuse. Mis à part dans le chapitre « Champ rectangulaire», le concept est largement employé dans les chapitres « Petite largeur », « Discuter des travaux» et « Base (gou) et hauteur (gu) ». En fait Liu Hui n'est pas le premier à utiliser le terme de mi pour désigner les aires. Liu Xin ( ?-23) de la fin des Han occidentaux emploie les expressions: « l'aire (mi) est de 162 cun », « l'aire (mi) est de 1 chi 6 cun 2fen », etc., sur le hu de bronze qu'il exécute pour Wang Mang, afin de désigner l'aire de la base des mesures étalons de contenance du hu, du dou, etc. Liu Hui fut, cependant, le premier à fournir pour mi une définition claire. Li Chunfeng critiquera abondamment cette définition, sans cependant paraître avoir réellement compris le commentaire de Liu Hui. D'une part, il ne saisit pas la différence entre mi et Ji (produit) et déclare: « A examiner la signification (yi) de ce commentaire, "produit" (Ji) et "aire" (mi) auraient le même sens (yi'). » (Voir p. 153.) D'autre part, il ne comprend pas non plus que mi (aire) constitue une espèce de Ji (produit) et que ces deux concepts ont des points communs, puisqu'il affirme également: « En s'en remettant aux noms pour s'enquérir sur les réalités, les deux sont complètement différentes. » Il critique le commentaire de Liu Hui, qui commettrait, selon lui, « un contresens total sur le sens (yi) originel des "bu du produit" (Ji) ». Tout ceci met en évidence les faiblesses logiques et mathématiques du travail de Li Chunfeng. Se donner comme objectif, dans de telles conditions, de « conserve[r} ce qui est bon et [de} supprime[r} les erreurs, [d'}effectue[r} quelque peu une sélection critique, qu'il donne en présent aux érudits des générations ultérieures», c'est tout au contraire induire les disciples en

Les Neuf chapitres

138

erreur. L'érudit de la dynastie Qing ]iao Xun, après avoir étudié les commentaires de Liu Hui et de Li Chunfeng, conclut: «Monsieur Liu n'a jamais glosé ji en mi. Li l'en blâme, ce en quoi il se trompe. » On ne peut que souscrire à ce jugement de ]iao Xun. Si nous revenons aux formules (1.2) et (1.3), Liu Hui les démontre avec le principe traditionnel : « ce qui entre et ce qui sort se compensent». Ce dernier prend, dans ces contextes, la forme suivante: «avec ce qui est en excédent, on comble ce qui est vide» (yi ying bu xu). Liu Hui commente comme suit: « Si "l'on prend la moitié de la largeur", c'est qu'avec ce qui est en excédent, on comble ce qui est vide, pour faire un champ rectangulaire. On peut aussi prendre la moitié de la hauteur et en multiplier la largeur. Commentaire: si la moitié de la largeur multiplie la hauteur, c'est pour prendre la valeur (shu) moyenne et, par conséquent, "la largeur et la longueur étant multipliées l'une par l'autre", cela fait "les bu du produit (ji)". » (Voir p. 175.)

En effet, si l'on déplace respectivement les parties 1 et II, sur les figures 1.5 et 1.6, en l' et II', l'aire du champ triangulaire emplit précisément l'aire d'un champ rectangulaire. C'est pourquoi la formule (1.2) est correcte. On peut démontrer, de la même manière, la formule pour l'aire du champ oblique (1.3), comme le montrent les figures 1.7 et 1.8.

Figure 1.6 - Autre démonstration, selon le même principe.

Figure 1.5 - Démonstration de l'algorithme donnant l'aire du triangle: yi ying bu xu.

1

Figure 1.7 - Démonstration de l'algorithme donnant l'aire du champ oblique: yi ying bu xu.

---'-

~

l' L-

Figure 1.8 - Autre démonstration, selon le même principe.

2. Les figures à côtés curvilignes Les Neuf chapitres mentionnent trois types de figures planes à côtés curvilignes: le champ circulaire, le champ en forme de segment circulaire et le champ en forme d'anneau. La forme du « champ circulaire» est, comme son nom l'indique, un cercle. Le Mojing (Canon mohiste) en propose une définition: «Le cercle, c'est avoir les mêmes distances à un centre 1. » Les Neufchapitres fournissent quatre formules pour 1. Mozi,« jingshang », p. 256.

Présentation du Chapitre Premier -

«

Champ rectangulaire»

139

l'aire du cercle. Si, conformément à la figure 1.9, nous nommons lIa longueur de la circonférence du cercle, r le rayon et d le diamètre, ces formules donnent pour valeur de l'aire, respectivement: 1 s = 2-Ir

(1.4)

= 4lld

(1.5)

2d 2

(1.6)

.l12

(1.7)

S S S

Figure 1.9 - Cercle.

4

12

D'un point de vue théorique, les formules (1.4) et (1.5) sont exactes. Mais, en raison du fait que les problèmes particuliers qui y correspondent donnent les valeurs numériques de la longueur de la circonférence et du diamètre en s'appuyant sur un rapport de 3 à 1, leurs réponses présentent des erreurs assez importantes. Les coefficients des deux formules (1.6) et (1.7) reposent, en revanche, sur un rapport de la circonférence au diamètre de 3 à 1, et elles ne sont donc qu'approchées. Les Neuf chapitres ne fournissent pas de problèmes spécifiques auxquels appliquer ces deux formules. Avant Liu Hui, on démontrait de manière approximative ces quelques formules à l'aide du principe selon lequel « ce qui entre et ce qui sort se compensent». Liu Hui affirme pour sa part: « Commentaire: La moitié de la circonférence fait la longueur et la moitié du diamètre la largeur. Par conséquent, la largeur et la longueur étant multipliées l'une par l'autre, cela fait les bu du produit (Ji). Supposons que le diamètre du cercle soit de 2 chi. Les valeurs (shu) d'un côté de l'hexagone inscrit dans le cercle et du demi-diamètre du cercle sont égales. Cela correspond au fait que, lorsque le lü du diamètre vaut 1, par suite le lü de la circonférence correspondant aux segments circulaires vaut 3. » (Voir p. 177.)

En fait, avant Liu Hui, on considérait le périmètre de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle comme tenant lieu de la circonférence du cercle, et l'aire du dodécagone régulier inscrit dans le cercle comme tenant lieu, lui, de l'aire du cercle; conformément à la figure 1.10, on découpait le dodécagone inscrit dans le cercle en les morceaux l, II, III, IV, V et 1, 2, 3,4,5,6,7,8, 9, la, Il, soit en tout 16 morceaux. On laissait en place les morceaux 1 et 1, tandis qu'on déplaçait les morceaux II, III, IV, V et les morceaux de 2 à Il pour les amener, respectivement, aux 8' positions II', III', IV', V' et aux emplacements de 2' à Il'. Comme, en les assemblant, on obteFigure 1.10 - Transformation nait un rectangle qui avait, pour hauteur, le de l'aire du dodécagone rayon du cercle et, pour longueur, le périmètre en rectangle. de l'hexagone régulier inscrit au cercle, on en concluait que la formule (1.4) était juste. Les coefficients de la formule (1.6) renvoient au fait que le cercle occupe les 3/4 du carré à l'intérieur duquel il est inscrit: telle était la connaissance élémentaire des rapports entre cercle et carré circonscrit dont les Chinois disposaient avant Liu Hui. Elle revient encore à prendre l'aire du dodécagone régulier inscrit dans le cercle comme tenant lieu de l'aire du cercle, mais la façon de réassembler les pièces n'est pas explicitée par Liu Hui. La figure 1.11 ne propose que l'une des manières possibles de procéder: on déplace les morceaux l, II, III aux positions l', II', III', et de

Les Netif chapitres

140

même on translate les morceaux IV et V vers les emplacements IV' et V'. L'aire du dodécagone régulier inscrit dans le cercle remplit alors les 3/4 du carré circonscrit. Si l'on examine à présent le coefficient de la formule (1.7), il donne à voir que le cercle occupe 1112 d'un carré qui a pour côté la circonférence du cercle. Il s'agit encore là d'un élément de connaissance élémentaire que les Chinois avaient à leur disposition avant l'époque de Liu Hui. Construisons un grand carré de côté égal au périmètre de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle: il comprend neuf carrés qui ont un côté égal au diamètre du cercle. Si, conformément à la figure 1.12, de l'aire d'un

Figure 1.11 - Les rapports entre le dodécagone et le carré.

6 _____ 2 ____ 7 4 _____ 1 _____5

~i~I ~i 8 _ _ 3 ____ 9

VIII

(1)

Figure 1.12 Démonstration de la formule 1.7.

(2)

IX

Présentation du Chapitre Premier - «Champ rectangulaire»

141

dodécagone régulier, on prend les morceaux l', II', III', IV', V', VI', VII', VIII', IX' et 1', 2', 3', 4', 5',6',7',8',9', et qu'on les déplace respectivement en l, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX et 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cela le transforme précisément en les 3/4 d'un carré [c'est une autre manière de démontrer la formule (1.6)}. Par conséquent douze de ces dodécagones peuvent remplir l'aire de ces neuf carrés, et l'un d'entre eux fait 1/12 de l'aire du grand carré. Ces démonstrations reposent à l'évidence toutes sur les lü de 3 pour la circonférence et de 1 pour le diamètre : c'est la raison pour laquelle Liu Hui souligne qu'elles ne sont pas exactes. Le champ en forme d'« arc» correspond à que nous appelons aujourd'hui un segment de cercle. Si nous supposons, comme sur la figure 1.13, que c et v sont respectivement sa corde et sa flèche, alors Les Neuf chapitres donnent son aire pour valoir: c

Figure 1.13 - Segment circulaire.

c

v 2

(1.8)

v 2

Figure 1.14 - Démonstration de la formule 1.8. M~ _ _~_:::::::=:::::::='7T'A~::::::::::::-

---,Q

]

D

Figure 1.15 - La démonstration pour le segment demi-cercle.

Liu Hui n'explicite pas comment cette formule est démontrée. On peut supposer (voir la figure 1.14) que l'on a déplacé les morceaux l et II, respectivement, en l' et II', qui leur sont à peu près égaux en aire. Liu Hui souligne que la formule (1.8) n'est pas exacte. Il prend, pour le mettre en évidence, l'exemple d'un champ en forme de segment circulaire qui serait un demi-cercle. La corde du demi-cercle est alors le diamètre du cercle, et sa flèche le rayon. Conformément à ce qu'illustre la figure 1.15, il considère à nouveau la moitié du dodécagone régulier inscrit au cercle, DCBALK}, et le découpe en l'aire jaune AD] et deux aires bleu-vert ADCB et A]KL. En disséquant l'aire bleu-vert A]KL en l, II, III que l'on déplace en l', II' et III' dans AMDCB, à l'extérieur de l'aire bleuvert ADCB, l'ensemble forme en tout AMD. Ainsi, la moitié du résultat de la multiplication, l'une par l'autre, de la corde et de la flèche

!cv = r2 , fournit l'aire jaune AD], et la moitié du 2

résultat de la multiplication de la flèche par elle-même,

!V2 2

=

!r 2donne les deux aires bleu-vert. Ce 2

raisonnement met en évidence que l'aire calculée sur la base de la formule (1.8) ne correspond pas au champ en forme de segment circulaire, mais à la moitié du dodécagone régulier inscrit dans le cercle. Il ne s'agit cependant là, poursuit Liu Hui, que de la situation du demi-cercle: si le segment de cercle est plus petit qu'un demi-cercle, affirme-t-il, l'imprécision augmente d'autant. Conformément à son nom, le champ en forme d'anneau correspond à ce que nous appelons, aujourd'hui, un anneau circulaire. Si, comme sur la figure 1.16, on nomme la longueur de sa circonférence intérieure Il' la longueur de sa circonférence extérieure 12 , et son diamètre - à savoir : la différence entre les rayons correspondant aux deux circonférences - d, alors son aire est calculée comme suit:

o

Figure 1.16-Lechamp en forme d'anneau.

(1.9)

Les Neuf chapitres

142

Les Neufchapitres donnent, de plus, pour le champ en forme d'anneau, la« Procédure des li/plus précis». Si, pour ce qui est des formules à proprement parler, cette procédure correspond en tous points à (1.9), elle s'applique dans les cas où les longueurs des circonférences intérieure et extérieure, ainsi que le diamètre, comportent des fractions. Le commentaire de Liu Hui interprète la procédure proposée pour l'aire de l'anneau en avançant que la circonférence moyenne produite par la découpe du champ est prise comme longueur, que le diamètre est pris comme largeur, ce à la suite de quoi on le transforme en rectangle. L'expression (l1 + 12 )/2 qui intervient dans la formule (1.9) est glosée comme correspondant à l'opération d' « avec ce qui est en excédent, combler ce qui est vide » pour obtenir la circonférence moyenne (voir la figure 1.17). Si le diamètre et les circonférences du second problème relatif au champ en forme d'anneau comportent tous des fractions, Liu Hui signale en outre qu'il « est en forme d'anneau, mais ne fait pas un tour complet» (voir p. 195). En d'autres termes, il a une forme d'anneau déficient, comparable à celui qu'illustre la figure 1.18. Un examen des données montre que son extension se mesure par un angle au centre de plus de 240 On constate donc que les auteurs des Neufchapitres ont pris un anneau déficient de 240 comme problème modèle. 0

•

0

Circonférence extérieure

,.,.,..-----

Circonférence intérieure

----_/ Figure 1.17 - Structuration du champ en forme d'anneau.

Figure 1.18 - Champ en forme d'anneau non fermé.

Liu Hui propose, par ailleurs, une nouvelle formule pour le champ en forme d'anneau. Si, conformément à la figure 1.19, on nomme r1 le rayon du cercle de la circonférence intérieure, r 2 le rayon du cercle de la circonférence extérieure, alors l'aire fait:

Figure 1.19 - Le champ en forme d'anneau.

3. Les aires courbes Les Neuf chapitres ne discutent de l'aire que d'une unique surface courbe: le champ en forme de calotte sphérique, qui présente une surface courbe saillante en hauteur au centre. Dans le Sunzi suanjing (Classique mathématique de Sunzi), dans le Wucao suanjing (Classique mathématique des cinq bureaux), ce champ est nommé qiutian (champ en forme de monticule) ; l'apocryphe Xiahou Yang suanjing (Classique mathématique de Xiahou Yang) retient, pour sa part, l'appellation de wantian (champ en forme de boule). On rencontre également des champs wantian et watian (champ en creux) dans le Siyuan yujian (Miroir de jade des quatre inconnues) de Zhu Shijie. Le premier présente la forme de calotte sphérique tandis que le second est une surface courbe creuse en son centre.

Présentation du Chapitre Premier - «Champ rectangulaire»

143

On considère en général que le champ wantian a la forme d'une calotte sphérique. S'il en est ainsi, les deux problèmes qui en relèvent doivent nécessairement concerner des calottes sphériques plus grandes que l'hémisphère. Or il est peu probable qu'on puisse ----------/' cultiver un champ de pareille forme. C'est la raison qui a incité un chercheur à avancer l'hypothèse que la forme du wantian était non pas celle d'~ne calotte sphérique, mais celle d'un secteur circulaire 1 d'angle au centre obtus 1. En fait, si Les Neuf chapitres ont pour visée les applications, ils n'imitent pas aveuglément les problèmes Figure 1.20 - Calotte de la vie réelle. C'est ce que montre la réponse à un problème sphérique. demandant de déterminer le diamètre d'une sphère avec la « Procédure de l'extraction de la racine sphérique », au chapitre « Petite largeur» (voir le problème 4.24) : la sphère aurait un diamètre de 14 300 chi, ce qui donne, en unités contemporaines, 3 289 mètres. Il est clair que pareille sphère n'existait pas à l'époque. En prenant en considération les autres Classiques mathématiques aussi bien que le sens primitif du caractère wan lui-même, ce champ paraît tout de même bien avoir une forme de type calotte sphérique. Si, conformément à la figure 1.20, op nomme lIa circonférence inférieure du champ en forme de calotte sphérique et d son « diamètre », mesuré sur la surface, alors son aire vaut, selon la procédure des Neuf chapitres: d

/.-'-

S = lld

4

(1.10)

La formule est donc proche de la formule (1.5) proposée pour, le calcul de l'aire du cercle. Liu Hui met en évidence que « cette procédure ne se vérifie pas» (voir p. 189). Cependant, il ne semble pas que la postérité ait accordé la moindre importance à son verdict, dans la mesure où les ouvrages ultérieurs reprennent toujours la formule (1.10). Il faut noter que la manière dont Liu Hui réfute la formule en question pose problème : il met en œuvre 1 le fait que la surface d'un cône circulaire de même hauteur et de même base que la calotte sphérique est obtenue par une procédure Figure 1.21 - Inscripde forme identique à la formule (1.10), et en conclut qu'avec cette tion d'un cône dans «l'on se trompe sur l'aire (mi) par défaut ». Or, les formule, la calotte sphérique. raisons qu'il avance ne sont pas suffisantes. Si, comme sur la figure 1.21, on suppose que la somme de deux génératrices du cône circulaire vaut D, en raison du fait que d> D, on aura clairement que 114 Id > 114 ID. Il n'y a donc pas moyen de démontrer que 114 Id est plus petite que la valeur réelle. Liu Hui paraît commettre ici l'erreur, fait rare dans son commentaire, d'avoir confondu les concepts au cours de sa réfutation. Notons qu'au cours de cette réfutation, Liu Hui fournit une indication sur la manière de trouver la formule de la surface du cône circulaire à partir du cône à base carrée qui lui est circonscrit: d

« Si l'on inscrit un cône à base circulaire en son milieu (i.e. d'un cône àbase carrée), les lü de l'aire (mi) apparente du cône à base circulaire et de l'aire (mi) apparente du cône à base carrée sont comme l'aire (mi) du carré est à l'aire (mi) du cercle. »

On peut traduire ce commentaire en la formule suivante: S cône à base circulaire =

1t

:4

Scône à base carrée

La détermination de l'aire de la surface d'un cône à base carrée revient à un simple problème de calcul d'aire de triangles. En fait, la formule (1.10) en fournit également une expression exacte.

1. [Xiao Zuozheng .61988a},

144

Les Neuf chapitres

IV.

LA CONCEPTION DES LIMITES CHEZ LIU HUI POUR LES PROBLÈMES D'AIRES

1.

La démonstration par Liu Hui de la formule donnant l'aire du cercle

Selon l'analyse de Liu Hui, la méthode consistant, pour démontrer la formule (1.4), à utiliser le principe que « ce qui sort et ce qui entre se compensent» s'appuie sur les valeurs de 3 et 1 pour les lü de la circonférence et du diamètre du cercle. Elle n'est par conséquent pas exacte. Le commentateur élabore donc une nouvelle méthode de démonstration : Conformément à la figure 1.22, il coupe tout d'abord le cercle, à partir de l'hexagone régulier inscrit, et obtient donc un dodécagone régulier, dont l'aire vaut : SI = 3 lor. Il coupe ensuite à nouveau ce dernier, ce qui lui donne un 24-gone dont l'aire vaut S2 = 611f. Plus on coupe fin et plus la différence, S - Sn' entre l'aire du cercle S et l'aire du 6 . 2n-gone régulier qui y est inscrit est petite - avec Sn = 6 . 2 n- 1 . ln _ 1 . f, où ln -1 (n = 1,2, ... ) est la longueur de chaque côté du 6 . 2n-1_ gone. On coupe et on recoupe, jusqu'au point où l'on ne peut plus couper: le polygone régulier inscrit dans le cercle obtenu ne fait qu'un avec la circonférence du cercle et son aire n'est plus inférieure à l'aire du cercle. Nous avons ici à l'évidence un Figure 1.22 - Démonstration processus de passage à la limite, et si nous voulions utiliser les par Liu Hui de la procédure pour l'exprimer, cela donnerait: symboles modernes pour l'aire du cercle. n (1.11) lim 6 . 2 ln = 1 Il --7 et, simultanément, (1.12) lim Sil = S Il --7 Dans un second temps, Liu Hui précise qu'entre chaque côté ln du 6 . 2 n-gone régulier inscrit dans le cercle et la circonférence du cercle, il y a un « diamètre de reste», f n. Conformément à la figure 1.23, si l'on multiplie toutes les longueurs de ces côtés par le diamètre de reste, c'est-à-dire si l'on ajoute 6 . 2 n . ln . f n à Sil' alors la somme sera supérieure à l'aire du cercle: 00

00

a

Sn + 6 . 2 11 • ln . f n = Sn + 2(Sn + l-S,) > S Cependant, à ce point précis où la formule (1.11) est établie, pour le dire en termes modernes : lim Il --7

111

= 0

00

Figure 1.23 - La majoration de l'aire du cercle.

et par conséquent

lim fil = 0 Il --7 Et, à ce moment, Sn + 2(SIl+ 1 -Sil) n'est plus supérieure à l'aire du cercle S, ou encore, toujours pour le traduire en termes modernes: 00

lim SIl+2(SIl+l-S,J = S n --7

(1.13)

00

Si nous récapitulons, les expressions (1.12) et (1.13) signifient que l'aire du cercle S est la limite de la suite inférieure {Sn} et de la suite supérieure {Sil + 2(Sn + 1 - Sn)}' Liu Hui réfléchit, dans un dernier temps, à nouveau sur le polygone régulier qui ne fait qu'un avec la circonférence du cercle. Soit 1* la longueur de chacun de ses côtés, leur somme est la longueur 00

de la circonférence du cercle, en termes modernes: 1 = Ll*. Pour ce qui est de ce polygone, Liu Hui 1

145

Présentation du Chapitre Premier - «Champ rectangulaire»

en « tranche les côtés» (voir p. 179) : il le coupe donc en petits triangles isocèles en nombre infini, lesquels ont comme base chacun des côtés du polygone régulier et comme sommet le centre du cercle. Il est manifeste que la somme de leurs aires A fait l'aire du cercle - nous écririons: S

= LA 1

(1.14)

Comme le produit de la base 1* par le rayon r est égal au double de l'aire des petits triangles A : I*r = 2A ou: 1 A = -I*r 2 Par suite, en raison de l'égalité (1.14), on obtient:

r 1 S = LA = -LI*r = -Ir 00

1

21

2

Ainsi s'achève la démonstration de la formule (1.4). Liu Hui recourt clairement et à plusieurs reprises, au cours de cette démonstration, à ce qu'on peut interpréter comme un processus de passage à la limite. De plus, il emploie, pour déterminer la somme de parties découpées infiniment petites, une méthode qui ne manque pas de présenter des similarités avec la méthode des éléments d'aire utilisée avant l'invention du calcul intégral. Pourtant, jusqu'à la fin des années 1970, l'on n'avait pas véritablement compris cette démonstration.

2. Le lü de la ci.rconférence du cercle Liu Hui précise un point clef: la circonférence et le diamètre qu'implique la formule (1.4) pour le calcul de l'aire du cercle « désigne[nt] les quantités (shu) exactes à l'extrême, ce que ne sont pas les lü de 3 pour la circonférence et 1 pour le diamètre» (voir p. 179). Il y eut déjà, avant Liu Hui, des mathématiciens qui dépensèrent beaucoup d'efforts pour obtenir la vraie valeur du lü de la circonférence du cercle. On peut mentionner l'exemple de Liu Xin, de la fin des Han occidentaux, qui, lorsqu'il réalisa le hu de bronze pour Wang Mang, utilisa en fait des valeurs correspondant à 1t = 3,154 7. Le savant Zhang Heng, qui vécut au temps des Han postérieurs, proposa, pour sa part, la valeur 1t = jf6, et Wang Fan, le contemporain de Liu Hui dans le royaume de Wu, avança, lui, l'approximation 1t = 142/45. Mais leurs méthodes de recherche n'étaient pas rigoureuses, et la valeur qui resta la plus courante en fait repose sur un rapport entre la circonférence et le diamètre de 3 à 1. Dans son commentaire, Liu Hui dénonce les fautes des mathématiciens qui ont, pendant longtemps, marché dans les traces des anciens, copié leurs erreurs et ont manqué à vérifier les méthodes avec minutie. C'est à lui qu'il revient, en Chine, d'avoir créé une méthode rigoureuse pour calculer une valeur approchée du lü de la circonférence du cercle. En voici les principaux traits: A Liu Hui prend un cercle dont le diamètre vaut 2 chi. ~-------::::"'" La longueur du côté de l'hexagone régulier qui y est inscrit mesure 1 chi. Pour trouver la longueur du côté 11 du dodécagone régulier en lequel il le coupe, il emploie la méthode suivante. Notons, comme sur la figure 1.24, AA 1 , la longueur du côté de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle et GA 2 , la perpendiculaire à AA 1 passant par le centre du cercle G. Elle coupe AA 1 en Pl et la circonférence en A 2 . Ainsi AA 2 est un côté du dodécagone régulier inscrit dans le cercle. Dans le triangle rectangle AGP l' GA, qui vaut 1 chi, Figure 1.24 - Le rapport du diamètre à la circonférence.

fait l'hypoténuse; API =

! AA 1 = 5 cun, 2

constitue la base;

146

Les Neuf chapitres

2

et donc OP I = JOA _Ap

2

= J10

2 -

52 cun = 866

025~ 5

hu, mesure la distance du côté au

centre. Le diamètre de reste est P IA 2 = OA 2 - OP I = 133 974 2 hu. Il représente la petite base dans 5 le triangle rectangle AP IA 2, tandis que API en constitue la petite hauteur, d'où l'hypoténuse , s'obtient par la procédure suivante: AA 2 = Jp 1 A~ + AP~ = J267 949 193 445 hu

Sur la base du même algorithme, Liu Hui calcule la distance du centre au côté du dodécagone régulier inscrit dans le cercle, le diamètre de reste pour ce polygone, la longueur du côté du 48-gone, la distance du centre à ses côtés, son diamètre de reste, ainsi que l'aire et la longueur du côté du 92-gone, l'aire du 192-gone. Le tableau suivant rassemble les valeurs qu'il détermine:

6

1 000000

8 660

025~ 5

12

J267 949 193 445

965 925 ~ 5

24

J68 148 349466

991

48

130806

96

65438

444~

133

974~

5

34074! 5

5

8555! 5

997 858210

2 1411.10 313

584 625

314 64 625

192

Liu Hui calcule ensuite la différence des aires. 64 584 56-55 = 314- -313- = 105/625 cun 2 , et 2(5 6 -5 5) donne donc l'aire globale des 625 625 produits de la longueur de chaque côté du 96-gone par le diamètre de reste, c'est pourquoi: 169 55 + 2(5 6 - 55) = 314 cun 2 > 5. 625 Par conséquent, Liu Hui prend la partie entière 314 cun 2 de 56 et de 55 + 2(56 - 55) comme valeur approchée de l'aire du cercle. Or, avec la formule (1.4), on détermine la valeur: 5 = !lr = 314 cun 2 2

donc: 2

2'314cun - - - - = 6 Ch'2 t cun 8ften 10 cun

147

Présentation du Chapitre Premier - «Champ rectangulaire»

Si l'on simplifie simultanément la longueur de la circonférence 6 chi 2 cun 8 fin et le diamètre 2 chi 1, la circonférence donne 157 et le diamètre 50, qui sont donc les « lü mis en relation l'un avec l'autre» de la longueur de la circonférence et du diamètre. En notations modernes, nous écrirons:

= ~ = 157 (1.15) d 50 La procédure par laquelle Liu Hui cherche le lü de la circonférence du cercle manifeste à l'évidence de puissantes propriétés d'algorithmicité. On peut par ailleurs constater que le commentateur n'y recourt pas aux limites. Liu Hui s'appuiera enfin sur (1.15) pour réviser les formules (1.6) et (1.7) qui permettent le calcul de l'aire du cercle. La formule (1.6) est transformée en 1t

(1.6') et la formule (1.7) devient:

s

= 25 12 314

(1. 7')

Liu Hui affirme que les «lü mis en relation l'un avec l'autre» de la circonférence et du diamètre exprimés par la formule (1.15) sont, pour ce qui est du lü de la circonférence, encore un peu trop petits. Il s'applique donc à trouver une valeur qui soit encore plus exacte. Alors qu'il s'efforçait d'établir une formule du type de (1.15), Liu Hui avait tout d'abord obtenu S6 = 314 64 cun 2 . Il 625 ajoute alors à cette valeur 36/625 cun 2 , et prend comme valeur approchée de l'aire du cercle: 64 625

S::::; 314-cun

2

36 2 4 2 + -cun = 314-cun 625

25

S'appuyant sur la formule (1.4), on obtient comme longueur de la circonférence du cercle 1 = 2S

=

r

6 chi 2 cun 8 ~ fin 25

En simplifiant, l'une avec l'autre, cette valeur de la longueur de la circonférence et la valeur de 2 chi pour le diamètre, on obtient 3 927 pour la circonférence et 1 250 pour le diamètre, ce qui constitue des « lü mis en relation l'un avec l'autre» pour la circonférence et le diamètre encore plus précis. Ils correspondent également à : 1t

3 927 = --1 250

(1.16)

Liu Hui paraît trouver cette valeur assez précise, et il la revérifie en la calculant par un autre biais, déterminant la longueur du côté du 1 536-gone, puis SlO' qui donne l'aire du 3 072-gone. La question se pose donc de savoir comment Liu Hui a obtenu la valeur de 36/625 qu'il ajoute. Il ne s'en explique pas. A l'heure actuelle, les hypothèses à ce sujet sont multiples et il est difficile de trancher le débat. Les « lü mis en relation l'un avec l'autre » correspondant aux aires du cercle et des carrés qui lui sont inscrit et circonscrit fournissent également des constantes très importantes. Elles sont souvent 1. De nombreux ouvrages avancent l'opinion que Liu Hui, après avoir trouvé la valeur S = 314 cun 2 , aurait utilisé S = nF, 314 = n10 2 pour trouver n = 3,14. Ce n'est pas en conformité avec le texte de son commentaire. Par ailleurs, si tel était le cas, Liu Hui se trouverait en position d'avoir commis une erreur de circularité logique. En fait, Liu Hui utilise le lü de.la circonférence du cercle qu'il a trouvé, pour réviser la formule (1.6), équivalente à S = nr 2 •

Les Neuf chapitres

148

utilisées non pas seulement dans les problèmes d'aires, mais aussi dans les problèmes de volume. En relation avec la formule (1.15), Liu Hui trouve: S carré circonscrit: S : S carré inscrit

= 200 : 157 : 100

Et en relation avec la formule (1.16), Liu Hui trouve:

= 5000 : 3927 : 2500 Entre leurs périmètres, on a également les mêmes « Iii mis en relation les uns avec les autres». Scarré circonscrit: S : Scarré inscrit

3. Le calcul de l'aire du segment de cercle

A

~-~-----'.;---+::::"---f----..3B

o Figure 1.25 - Le pavage du segment de cercle par des triangles.

Après avoir démontré que la formule (1.8) donnée par Les Neuf chapitres pour le champ en forme de segment circulaire n'est pas exacte, Liu Hui propose une méthode alternative pour trouver des lü précis pour ce champ. Exposons-en les lignes principales, sur la base de la figure 1.25. Soit AA 1B le champ en forme de segment de cercle. Liu Hui utilise tout d'abord la méthode du rondin de bois circulaire scié et du triangle rectangle, du chapitre « Base (gou) et hauteur (gu) », pour évaluer le diamètre du cercle sur lequel le segment se trouve :

C)2 2 ( "2 +v d=

v

Après avoir partagé en deux parties égales, AA 1 et A 1B, l'arc de cercle AB, on cherche les valeurs des cordes, AA 1 = A 1B = Cl' et des flèches, A 2D 1 = A 2 'D 1' = v1 , des petits champs en forme de segments de cercle AA 2A 1 et A 1A 2 'B. En s'appuyant sur le triangle rectangle AA 1D, on a:

CI=~ Le triangle rectangle AOD 1 donne: aD, =

ffl

Par conséquent : V,

= r-aD = r- J2 _(~)2 j

En coupant en leur milieu à nouveau AA 1 et A 1B, on produit quatre nouveaux petits champs en forme de segment circulaire. On peut répéter l'algorithme de calcul détaillé ci-dessus pour trouver leurs cordes et leurs flèches. Si l'on continue ainsi à couper successivement le segment de cercle en 1/2, 114, 118, ... , 112 n , on obtient 2, 4, 8, ... , 2 11 petits champs en forme de segment de cercle. Et en utilisant de manière répétée le théorème du triangle rectangle, on trouve successivement les cordes et les flèches de ces champs, Cl' v 1 , C2 , v2 ' C3 ' v3 ' '" On peut sur cette base calculer les aires 1 1 2 1 des triangles qui ont la corde pour base et la flèche pour hauteur: - cv, 2 . - c1V 1 ' 2 . - c2V 2 ' ... , 2 2 2

Présentation du Chapitre Premier - «Champ rectangulaire»

149

La somme des aires après n découpes donne Il

~

Sil = k.J 2 k

k1

'2CkVk

=0

où Co = Cet va = v. Clairement, plus n est grand, plus Sn s'approche de l'aire S du champ segment nous écririons : Il

S = lim Sil = lim Il~OO

Il~OO

L22 k

!CkVk

k=o Cependant, il n'est pas possible, en pratique, de réaliser au cours d'un calcul ce processus de passage à la limite. Il s'agit seulement, nous dit Liu Hui, de « coupe[r} ceux-ci (les segments) et [de} les recoupe[r} de sorte à atteindre l'extrêmement fin » (voir p. 193). Quand on s'arrête à un certain pas, « alors on s'approche nécessairement de lü plus précis».

Traduit par Karine

CHEMLA

九

算術-春第一

魏劉徽注二

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉

臣李淳風等奉粉注釋

一九章算街，南宋本、《永樂大典》本作《九章算經»，今依東漢光和大司農斜銘文及戴

震校本。下同 二魏，戴震輯錄本作“晉"，下同。此依南宋本。

LES NEUF CHAPITRES SUR LES PROCÉDURES MATHÉMATIQUESl PREMIER ROULEAU

Commentaire de Liu Hui des Wei 2

Commentaire sur ordre impérial de votre serviteur Li Chunfeng, nommé grand maître, occupant les fonctions de directeur du service astrologique, grand directeur général des chars de guerre, de la dynastie Tang, et de ses associés 3

方回以御自疇界域三 今有田廣十五步，從十六步。間為田幾何。 苓曰四:一款。

又有田廣十二步，從十四步。間為田幾何。 苓曰:一百六十八步。圖:從十間，廣十二五。

方回術曰:廣從步數相乘得積步 O 此積謂田 幕六。凡廣從相乘謂之幕。

臣連昆等謹按:經云廣從相乘得積步，注

云廣從相乘謂之幕。觀斯注意，積幕義同。以理推之，岡當不爾。何則?

幕是方面單布之名七，積乃眾數聚居之稱。循名責實，三者全殊。雖欲 同之，竊恐不可。今以凡吉幕者據廣從之一方;

其言積者舉眾步之都

數。經云相乘得積步，即是都數之明文。注云謂之為幕，全乖積步之本

意。此注前云積為回幕人，於理得通。復云謂之為幕，繁而不當。今者

注釋，存善去非，略為料簡九，遺諸後學。以古久法二百四十 二卷題題解， «永樂大典》卷 16344 及楊輝本盈不足卷均與經文同號字，戴震輯錄本亦 作經文，今依南宋本。下同。

四苔， «永樂大典》卷 16343 、 16344 及戴震輯錄本作“答"。今依南宋本、楊輝本。

下同。 五戴震輯錄本脫此劉注。

六謂，戴震輯錄本訛作“為"，今依南宋本。 七方面，戴震輯錄本訛作“四方"，今依南宋本。李籍《音義》向南宋本。

入南宋本於“此"下衍“經"字，今依戴震輯錄本。 九料簡，南宋本、大典本訛作“科簡"。今依錢校本校正。

CHAMP RECTANGULAIRE4 pour traiter les territoires des terres cultivées 5

(1.1) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP 6 DE

15

BU DE LARGEUR ET DE

16

BU DE LONGUEUR. ON

DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

1 MU.

(1.2) SUPPOSONS

A

NOUVEAU QU'ON AIT UN CHAMP DE

12

BU DE LARGEUR ET DE

14

BU DE

LONGUEUR. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

168

BU.

Sur la figure 7, la longueur vaut 14, la largeur 12. PROCÉDURE DU CHAMP RECTANGULAIRE 8 : LES QUANTITÉS (SHU) DE BU DE LA LARGEUR ET DE LA LONGUEUR ÉTANT MULTIPLIÉES L'UNE PAR L'AUTRE, ON OBTIENT LES BU DU PRODUIT 9 (JI).

Ce produit (Ji) est appelé aire (mi) du champ 10. Chaque fois que largeur et longueur sont multipliées l'une par l'autre, on appelle cela aire (mi) ll.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement 12 : Alors que le Classique dit: « la largeur et la longueur étant multipliées l'une par l'autre, on obtient les bu du produit (Ji) », le commentaire dit: « largeur et longueur étant multipliées l'une par l'autre, on appelle cela aire (mi) ». A examiner la signification (yi) de ce commentaire, « produit» (Ji) et « aire» (mi) auraient le même sens (yi'). Si l'on raisonne sur la base de leur constitution interne (li) 13, à proprement parler ce ne devrait pas être ainsi. Pourquoi cela? «Aire» (mi), c'est le nom d'un déploiement en un seul tenant, de surface rectangulaire; «produit» (Ji), quant à lui, c'est l'appellation de multiples quantités (shu) réunies les unes avec les autres. En s'en remettant aux noms pour s'enquérir sur les réalités (shi) 14, les deux sont complètement différentes. Même si l'on voulait les rendre identiques l'une à l'autre, en toute humilité, je crains que cela ne soit pas possible. Maintenant, chaque fois qu'on parle d'aire (mi), cela en saisit le rectangle en un seul morceau qui aurait une longueur et une largeur, et si l'on parle de produit (Ji), cela renvoie à la quantité (shu) globale d'une multiplicité de bu. Le Classique dit: « étant multipliées l'une par l'autre, on obtient les bu du produit (Ji) », ce qui exprime clairement une quantité (shu) globale. Le commentaire dit de l'appeler « aire» (mi), c'est un contresens total sur le sens (yi) originel des « bu du produit» (Ji). Que le commentaire dise d'abord: « le produit (Ji) est pris comme l'aire (mi) du champ », cela peut se comprendre pour ce qui est de leur constitution interne (li) 15. Qu'il ajoute: «on l'appelle aire (mi) », cela embrouille [les choses} et ce n'est pas correct. Le commentaire présent conserve ce qui est bon et supprime les erreurs, effectue quelque peu une sélection critique, qu'il donne en présent aux érudits des générations ultérieures 16.

步除之，即告久數。百欽為一頃。距盟等謹按: 此為篇端，故特舉頃、散二法。餘術不復育者 -0 ，從此可知。按:一 敵之田一一，廣十五步，從而疏之，令為十五行，即每行廣一步而從十

六步一二。又橫而截之，令為十六行，即每行廣一步而從十五步十二。此 即從疏橫截之步，各自為方。凡有二百四十步，為一敵之地一九步數

正同。以此言之，即十二廣從相乘得積步一四，驗矣一五。二百四十步者， 敵法也;百敵者，頃法也。故以除之，即得。

今有田廣一里?從一里。間為田幾何一六。 苓曰:三頃七十五故。

又有田廣二里?從三里。間為田幾付。 答曰:二十二項五十故。

里回術曰:廣從里數相乘得積里。以三百

七十五乘之?即欽數。按:此術廣從里數相乘得積盟。 方皇之中有三頃七十五敵一七，故以乘之，即得高久數也。

一o 銜，戴震輯錄本訛作“數"。今依南宋本。 一一南宋本無“之"字，此依戴震輯錄本。兩通。

一二三“即"字，戴震輯錄本作“則"。此依南宋本。兩道。 一二戴震輯錄本無“為"字。今依南宋本。兩通。唯依戴震輯錄本，上文需“方"下旬

逗， “步"下旬絕。 一回南宋本脫“步"字。此依戴震輯錄本。 一五矣，戴震輯錄本訛作“以"。此依南宋本。 一六戴震輯錄本脫“間"字。此依南宋本。

155

Champ rectangulaire

DIVISER CECI PAR LE DIVISEUR DES MU, FONT

240

BU, DONNE LA QUANTITÉ (SHU) DE MU.

100

MU

1 QING 17.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: C'est le début du chapitre, c'est pourquoi l'on mentionne tout spécialement les deux diviseurs des mu et des qing. La raison pour laquelle les autres procédures ne les répètent pas, c'est qu'on peut les connaître d'après celle-ci 18. Commentaire : si l'on découpe un champ d'un mu dont la largeur est de 15 bu longitudinalement, cela donne 15 rangées; alors chaque rangée a une largeur de 1 bu, et sa longueur est 16 bu. Si on le coupe autrement, transversalement, cela donne 16 rangées; alors chaque rangée a une largeur de 1 bu, et sa longueur est 15 bu 19 . Ceci montre que, que l'on découpe les bu longitudinalement ou transversalement, dans chaque cas, cela fait un rectangle. Si l'on a en tout 240 bu, cela fait un terrain de 1 mu, la quantité (shu) de bu est exactement la même 2ü . De ce point de 'vue, le fait que « la largeur et la longueur étant multipliées l'une par l'autre, on obtienne les bu du produit (Ji) » est vérifié 21. 240 bu, c'est le diviseur des mu ; 100 mu, c'est le diviseur des qing. C'est pourquoi en diviser ceci (le produit) donne le résultat. (1.3) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP DE

1 LI DE LARGEUR ET DE 1 LI DE LONGUEUR.

ON DEMANDE

COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

3 QING 75

MU.

(1.4) SUPPOSONS

A NOUVEAU

QU'ON AIT UN CHAMP DE

2 LI

DE LARGEUR ET DE

3 LI

DE LONGUEUR.

ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

22

QING

50

MU.

PROCÉDURE DU CHAMP EN LI 22 : LES QUANTITÉS (SHU) DE LI DE LA LARGEUR ET DE LA LONGUEUR ÉTANT MULTIPLIÉES L'UNE PAR L'AUTRE, ON OBTIENT LES LI DU PRODUIT (JI). MULTIPLIER CECI PAR

375

DONNE LA QUANTITÉ

(SHU) DE MU.

Commentaire: dans cette procédure, « les quantités (shu) de li de la largeur et de la longueur étant multipliées l'une par l'autre, on obtient les li du produit (Ji) ». Dans un li carré 23, il Y a 3 qing 75 mu, c'est pourquoi en multiplier ceci (le produit) donne comme résultat la quantité (shu) de mu.

今有十八分之十二?問約之得幾何。 苓曰:三分之二。

又有九十一分之四十九 9

問約之得幾何。

答曰:十三分之七 O 約分按:約分者，物之數量，不可糙，必以分吉之;

分之為數，

繁則難用。設有四分之二者，繁而吉之，亦可為八分之四;約而言之，

則二分之一也。雖則異辭，至於為數，亦同歸爾。法實相推，動有參差，

故為術者先治諸分。街曰:可半者半之;不可半

者，副置分母、子之數?以少滅多?更相

減損 9 求其等也。以等數約之。等數約之，即除 也。其所以相滅者，皆等數之重疊，故以等數約之。

今有三分之一，五分之二?問合之得幾何。

苓曰:十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五，問合 之得幾何 O

苓曰:得一、六十三分之五十 O

157

Champ rectangulaire

SUPPOSONS QU'ON AIT RÉPONSE :

12/18.

ON DEMANDE COMBIEN L'ON OBTIENT SION LE SIMPLIFIE.

2/3.

(1.6) SUPPOSONS A NOUVEAU QU'ON AIT

49/91.

ON DEMANDE COMBIEN L'ON OBTIENT SION LE

SIMPLIFIE. RÉPONSE:

7/13.

PROCÉDURE DE LA SIMPLIFICATION DES PARTS:

Commentaire: La raison pour laquelle on simplifie les parts, c'est qu'il n'est pas possible que les mesures des quantités (shu) des choses soient toutes des nombres entiers, qu'il faut donc recourir à des parts pour les exprimer. Or, quand des parts font la quantité (shu), si elles sont trop complexes, elles sont difficiles à utiliser 25 . Supposons que l'on ait le cas de 2/4 (deux de quatre parts) ; si on le dit en le compliquant, on peut aussi en faire 4/8 (quatre de huit parts), et si on le dit en le simplifiant, 112 (une de deux parts). Quoique, donc, leurs expressions diffèrent, pour ce qui est d'elles (les parts) en tant qu'elles font une quantité (shu), cela revient au même 26 . Diviseur et dividende se déduisant l'un de l'autre, ils sont souvent de tailles différentes. C'est pourquoi celui qui confectionne des procédures s'occupe d'abord de toutes celles qui concernent les parts 27. SI L'ON PEUT DIVISER PAR DEUX, ON DIVISE PAR DEUX. SI L'ON NE PEUT PAS DIVISER PAR DEUX, ON PLACE EN AUXILIAIRE LES VALEURS DU NUMÉRATEUR ET DU DÉNOMINATEUR DES PARTS 28 ; ON SOUSTRAIT LE PLUS PETIT DU PLUS GRAND, ON LES DIMINUE EN LES SOUSTRAYANT TOUR A TOUR L'UN DE L'AUTRE JusQu'A TROUVER QU'ILS SOIENT ÉGAUX 29 ET ON LES (NUMÉRATEUR ET DÉNOMINATEUR) SIMPLIFIE PAR LE NOMBRE ÉGAL. « Le nombre égal les simplifie », c'est-à-dire les divise. La raison pour laquelle on soustrait l'un de l'autre, c'est que tous sont des superpositions réitérées du nombre égal, c'est pourquoi « on les simplifie par le nombre égal »30.

(1.7) SUPPOSONS QU'ON AIT RÉPONSE:

113, 2/5.

ON DEMANDE COMBIEN L'ON OBTIENT SION LES RÉUNIT.

11115.

(1.8) SUPPOSONS A NOUVEAU QU'ON AIT LES RÉUNIT. RÉPONSE: ON OBTIENT

1 50/63.

2/3, 417, 5/9.

ON DEMANDE COMBIEN L'ON OBTIENT SION

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分 之四，問合之得幾付。

苓曰:得二、六十分之四十三。 合分臣盟等謹按:合分知一八，數非一端，分無定準，諸分子雜互， 華母參差;麓細既殊，理難從一，故齊其眾分，同其翠母，令可相并一九，

故日合分。術曰:母互乘子?并以為實。母相 乘為法。母互乘子;約而吉之者，其分麓;繁而言之者，其分細。 雖則麓細有殊，然其實一也。眾分錯雜二0 ，非細不會。乘而散之，所 以通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊，臺母相乘謂之同。同者，

相與通同，共一母也;齊者，子與母齊，勢不可失本數也。方以類聚， 物以盡分。數同類者無遠;數異類者無近。遠而通體知一八，雖異位而 相從也;近而殊形知一八，雖同列而相遠也。然則齊向之術要矣，錯綜

度數，動之斯諧，其猶佩鱗解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，

齊向以適之，此其算之綱紀乎。其一術者，可令母除為率，率乘子為齊。

實如法而一 O 不滿法者，以法命之。今欲求 其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約之，即得知一一。

所謂同法為母，實餘為子，皆從此例。其母同者，主相從 一)\.此十六個“知"，首II “者"，戴震在屈刻本、孔刻本中改作“者"，無必要。按: 根據李學勤的意見，古籍中“者"與“之"互訪II ，用為指事之詞。如《孟子﹒盡心》“堯

舜性者也"與“堯舜性之也" 利而不利者之利也"，

, «筍子﹒富國》中“不如利而後利之之利也"與“不如

“不如愛而後用之之功也"與“不如愛而不用者之功也"，

“者 畢沉云:

“知，一本作之。"

之媒也。"所以，

«戰國策.楚策四)) :

“莫知媒兮。"

«苟子﹒賦)) :

“莫

“知"也可用作指事之詞，與“者"義同。

一九并，戴震輯錄本作“併"，兩通。此依南宋本。下同。 二0 分，聚珍版訛作“雖"，四庫文淵聞本訛作“非"。此依南宋本。雜，南宋本訛作 “難"。此依戴震輯錄本。 一一戴震在屈刻本、孔刻本中捌“知"字，無必要。灌校本恢復。

Champ rectangulaire

159

(1.9) SUPPOSONS

A NOUVEAU QU'ON AIT 112, 2/3,3/4,4/5.

ON DEMANDE COMBIEN L'ON OBTIENT SI

ON LES RÉUNIT. RÉPONSE: ON OBTIENT

2 43/60.

PROCÉDURE DE LA RÉUNION DES PARTS 31

:

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Quand on réunit des parts, il n'y a pas qu'une sorte de quantité (shu), les parts n'ont pas de norme déterminée; les numérateurs, hétérogènes, sont mélangés, et l'ensemble des dénominateurs ont des tailles différentes 32. Puisque les degrés de finesse diffèrent, du point de vue de leurs constitutions internes (li), il est difficile qu'elles se rejoignent en un même tout. Par conséquent, on homogénéise leurs multiples parts, on égalise l'ensemble de leurs dénominateurs 33, ce qui fait que l'on peut les sommer les unes aux autres, c'est pourquoi l'on dit « réunion des parts». LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIENT LES NUMÉRATEURS QUI NE LEUR CORRESPONDENT PAS; ON SOMME ET ON PREND CECI COMME DIVIDENDE. LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIÉS LES UNS PAR LES AUTRES FONT LE DIVISEUR 34. « Les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur correspondent pas» 35 : les quantités que l'on dit en les simplifiant, leurs parts sont plus grossières; les quantités que l'on dit en les compliquant, leurs parts sont plus fines 36. Quoique, donc, les degrés de finesse diffèrent, pourtant les réalités (shi) auxquelles elles correspondent sont les mêmes 37. Quand de nombreuses parts disparates sont mêlées, si on ne les raffine pas, elles ne se rencontrent pas 38. Les désagréger en multipliant, c'est ainsi qu'on les fait communiquer. Quand on les a fait communiquer, on peut sommer. Chaque fois que « des dénominateurs multiplient un numérateur qui ne leur correspond pas », on appelle cela homogénéiser. Que l'ensemble des «dénominateurs soient multipliés les uns par les autres », on appelle cela égaliser 39. Egaliser, c'est faire que [les parts}, comme elles sont mises en relation les unes avec les autres, communiquent, et ainsi elles partagent le même dénominateur 40. Homogénéiser, c'est faire que les numérateurs et les dénominateurs soient homogènes, et ainsi la situation (shi') ne peut avoir perdu les quantités (shu) de départ. « On réunit les méthodes selon leur catégorie, on distingue les existants selon leur groupe. »41 Si les quantités (shu) sont de même catégorie, elles ne sont pas éloignées; si les quantités (shu) sont de catégorie différente, elles ne sont pas proches 42. Si elles sont éloignées mais que l'on fait communiquer leurs corps (ti), alors, même si elles sont à des positions différentes, elles se rejoignent les unes les autres; si elles sont proches, mais différentes de formes, alors, même si elles sont disposées au même endroit, elles sont incompatibles les unes avec les autres 43. S'il en est ainsi, la procédure d'homogénéisation-égalisation est capitale. Mesures et quantités (shu), quelque disparates et entremêlées qu'elles soient, par une telle transformation, en viennent à s'harmoniser 44 . C'est comme utiliser un poinçon pour délier un nœud, rien ne se présente qui ne soit pas réglé (li) par cela. Multiplier pour les désagréger, simplifier pour les réunir, homogénéiser, égaliser pour les faire communiquer, comment ne serait-ce pas les points-clefs des mathématiques 45 ? Pour ce qui est d'une autre procédure, on peut faire que les dénominateurs divisent [l'égalisé} pour faire les Iii et que les Iii multiplient les numérateurs pour faire les homogénéisés 46.

之-0

今有九分之八 9 減其五分之一。問餘幾付。 苓曰:四十五分之三十一。

又有四分之三?減其三分之一。問餘幾付。 答曰:十二分之五。

減分臣盟等謹按:諸分子、母數各不同，以少滅多二二，欲知餘幾，

減餘為實，故曰減分。術曰:母互乘子，以少減多? 徐為實。母相乘為法。實如法而一。母互乘 子知二三，以齊其子也。以少滅多知二四，齊故可相滅也。母相乘為1去者， 同其母也二五。母同子齊，故如母而一，即得。

今有八分之五 9 二十五分之十六 9

問孰多?

多幾何。

二三戴震輯錄本脫“以少滅多"四字。此依南宋本。 二三此“知"首II “者"，參見校記一八。南宋本、大典本於

“知"上衍“者"字，錢校

本捌“知"字。今依灌校本校酬。

二四此“知"亦訪II “者"，南宋本、大典本於“知"上衍“者"字，戴震在屈、孔二本 中捌“知"字，錢校本改“知"作“子"，連下讀。今依涯校本校刷。 二五南宋本無“也"字。此依戴震輯錄本。

Champ rectangulaire

161

ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR. LA QUANTITÉ QUI NE REMPLIT PAS LE DIVISEUR EST NOMMÉE AU MOYEN DU DIVISEUR 47.

Maintenant on veut trouver sa valeur réelle (shi) ; c'est pourquoi on homogénéise ces numérateurs, que, de plus, on égalise ces dénominateurs, et qu'on effectue la division par le dénominateur48 . En simplifiant le reste de ceci par le nombre égal, l'on obtient le résultat. Les (cas) où il est dit que le diviseur commun est pris comme dénominateur et que le reste du dividende est pris comme numérateur sont tous conformes à cet exemple. SI LES DÉNOMINATEURS SONT ÉGAUX, ON LES (LES NUMÉRATEURS) FAIT SE REJOINDRE DIRECTEMENT LES UNS LES AUTRES 49.

(1.10) SUPPOSONS QU'ON AIT RÉPONSE:

8/9, ET QU'ON EN SOUSTRAIE 115.

ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE RESTE.

31145.

(1.11) SUPPOSONS

A NOUVEAU

QU'ON AIT

3/4,

ET QU'ON EN SOUSTRAIE

113.

ON DEMANDE COMBIEN

FAIT LE RESTE. RÉPONSE:

5/12.

PROCÉDURE DE LA SOUSTRACTION DES PARTS:

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Les valeurs de tous les numérateurs et de tous les dénominateurs des parts sont respectivement différentes et, « en soustrayant le plus petit du plus grand», on veut savoir combien fait le reste. Le reste de la soustraction fait le dividende. C'est pourquoi l'on dit « soustraction des parts ». LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIENT LES NUMÉRATEURS QUI NE LEUR CORRESPONDENT PAS; ON SOUSTRAIT LE PLUS PETIT DU PLUS GRAND; LE RESTE FAIT LE DIVIDENDE. LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIÉS LES UNS PAR LES AUTRES FONT LE DIVISEUR. ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR 50.

La raison pour laquelle « les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur correspondent pas », c'est pour homogénéiser ces numérateurs. La raison pour laquelle « on soustrait le plus petit du plus grand », c'est que puisqu'ils sont homogénéisés, on peut les soustraire l'un de l'autre. La raison pour laquelle « les dénominateurs multipliés les uns par les autres font le diviseur», c'est que l'on égalise ces dénominateurs. Les dénominateurs sont égalisés, les numérateurs sont homogénéisés, donc diviser par le dénominateur donne le résultat.

苓曰:二十五分之十六多，多二百分之 -0

又有九分之八?七分之六，問孰多，多幾何。 苓曰:九分之八多，多六十三分之二。

又有二十一分之八?五十分之十七，問孰多， 多幾何。

苓曰:二十一分之八多，多一千五十分 之四十三O

課分臣盟等謹按:分各異名，理不齊一，校其相多之數二六，故曰

課分也。街曰:母互乘子，以少滅多，徐為實。 母相乘為法。實如法而一，即相多也。臣連 風等謹按:此術母互乘子。以少分滅多分二七，與滅分義同。唯相多之 數，意與滅分有異二A: 滅分知，求其餘數有幾二九;課分知，以其餘數

相多也二0 。

二六校，戴震輯錄本作“較"，亦通:多，戴震輯錄本訛作“近"。此均依南宋本。 二七南宋本於此處有“按此術多"四字，亦通。此依戴震輯錄本。 二)\.與，南宋本作“共"，亦通。此依戴震輯錄本。 二九戴震輯錄本脫“求"字，此依南宋本。 三0 戴震輯錄本脫“以"字，此依南宋本。

Champ rectangulaire

163

(1.12) SUPPOSONS QU'ON AIT

5/8

ET

16/25.

ON DEMANDE LEQUEL EST LE PLUS GRAND ET DE COMBIEN

IL EST LE PLUS GRAND. RÉPONSE:

16/25

EST LE PLUS GRAND; IL EST LE PLUS GRAND DE

3/200.

(1.13) SUPPOSONS

A NOUVEAU QU'ON AIT 8/9 ET 617.

ON DEMANDE LEQUEL EST LE PLUS GRAND ET DE

COMBIEN IL EST LE PLUS GRAND. RÉPONSE:

8/9 EST LE

PLUS GRAND; IL EST LE PLUS GRAND DE

2/63.

(1.14) SUPPOSONS

A NOUVEAU QU'ON AIT 8/21

ET

17/50.

ON DEMANDE LEQUEL EST LE PLUS GRAND ET

DE COMBIEN IL EST LE PLUS GRAND. RÉPONSE:

8/21

EST LE PLUS GRAND; IL EST LE PLUS GRAND DE

43/1 050.

PROCÉDURE DE LA COMPARAISON DES PARTS:

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Les parts ont chacune des noms différents; du point de vue de leur constitution interne (li), elles ne sont pas homogénéisées en une même part; et on examine la quantité (shu) qui est le « surplus de l'une (des quantités) sur l'autre» ; c'est pourquoi l'on dit « comparaison des parts ». LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIENT LES NUMÉRATEURS QUI NE LEUR CORRESPONDENT PAS; ON SOUSTRAIT LE PLUS PETIT DU PLUS GRAND; LE RESTE FAIT LE DIVIDENDE. LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIÉS LES UNS PAR LES AUTRES FONT LE DIVISEUR. EFFECTUER LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR DONNE LE SURPLUS DE L'UN SUR L'AUTRE.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Que, dans cette procédure, « les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur correspondent pas», et qu'on soustraie les parts du plus petit des parts du plus grand, le sens (yi') est le même que dans «la soustraction des parts» 51. Seule l'intention (yi) dans la recherche de la quantité (shu) surplus de l'une sur l'autre présente des différences avec (celle de l'opération) de la soustraction des parts 52 : soustraire des parts, c'est chercher combien vaut la quantité (shu) qui reste; comparer des parts, c'est prendre la quantité (shu) qui reste comme surplus de l'une sur l'autre.

今有三分之一，三分之二?四分之三 9

問減

多益少，各幾何而平。 苓曰:減四分之三者二，三分之二者 -9 升，以益三分之-9 而各平於十

二分之七 O

又有二分之一，三分之二 9 四分之三?問減 多益少，各幾何而平。 答曰:減三分之二者 -9

四分之三者

四?并?以益二分之一 9 而各平於三

十六分之二十三。 平分臣盟等謹按:平分知一入，諸分參差，欲令捕。滅彼之多，

增此之少，故日平分也。術曰:母互乘子，齊其子也。 副升為平實。臣盟等謹按:母互乘子，副并為平實知一八， 定此平實主限，眾子所當損益失叭限為平三一。母相乘為法。

二一此十六字不誤。戴震輯錄校勘本改作“定此平實立限，如限為平"，在屈、孔二刻 本中復改作“定此平實立限，眾子所當損益，如限為平"。今依涯校本恢復南宋本、大

典本原文。

165

Champ rectangulaire

(1.15) SUPPOSONS QU'ON AIT

113, 2/3

ET

3/4.

ON DEMANDE COMBIEN, RESPECTIVEMENT, L'ON SOUS-

TRAIT DES PLUS GRANDES POUR AUGMENTER LA PLUS PETITE 53, AFIN D'AVOIR LA MOYENNE. RÉPONSE 54 : CHACUNE EST MOYENNÉE EN AUGMENTANT DE LEUR SOMME

A 7/12,

EN EN SOUSTRAYANT DES

3/4, 2,

DES

2/3,1,

ET

113.

(1.16) SUPPOSONS

A NOUVEAU

QU'ON AIT

112, 2/3

ET

3/4.

ON DEMANDE COMBIEN, RESPECTIVEMENT,

L'ON SOUSTRAIT DES PLUS GRANDES POUR AUGMENTER LA PLUS PETITE, AFIN D'AVOIR LA MOYENNE. RÉPONSE 55 : CHACUNE EST MOYENNÉE EN AUGMENTANT DE LEUR SOMME

A 23/36,

EN EN SOUSTRAYANT DE

2/3, 1,

DE

3/4,4,

ET

112.

PROCÉDURE DE LA MOYENNE DES PARTS:

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Quand on moyenne des parts, toutes les parts ayant des tailles différentes, on veut les rendre égales 56. On soustrait le surplus des unes pour l'ajouter à celle qui est plus petite, c'est pourquoi l'on dit « moyenne des parts». LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIENT LES NUMÉRATEURS QUI NE LEUR CORRESPONDENT PAS;

c'est homogénéiser ces numérateurs EN AUXILIAIRE 57 ON SOMME [LES RÉSULTATS}, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE DE LA MOYENNE.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement : La raison pour laquelle « les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur correspondent pas, et qu'en auxiliaire on somme [les résultats}, ce qui fait le dividende de la moyenne », c'est qu'en déterminant ce dividende de la moyenne, on établit une limite. Ce dont les multiples numérateurs devront être diminués pour augmenter 58 , ce sera avec cette limite comme moyenne.

LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIÉS LES UNS PAR LES AUTRES FONT LE DIVISEUR.

La raison pour laquelle « les dénominateurs multipliés les uns par les autres font le diviseur», c'est que, comme on a homogénéisé ces numérateurs, on égalise de plus ces dénominateurs. ON MULTIPLIE PAR LE NOMBRE (SHU) DE (QUANTITÉS) DISPOSÉES LES QUANTITÉS QUE L'ON AVAIT AVANT QU'ELLES NE SOIENT SOMMÉES 59; CHACUNE FAIT RESPECTIVEMENT UN DIVIDENDE DISPOSÉ. ON MULTIPLIE AUSSI LE DIVISEUR PAR LE NOMBRE (SHU) DE (QUANTITÉS) DISPOSÉES.

Ici, il faudrait placer en auxiliaire le nombre (shu) de (quantités) disposées pour en diviser le dividende de la moyenne. Si l'on procédait ainsi, alors on aurait répétitivement des parts 60 ; c'est pourquoi, au contraire, on multiplie par le nombre (shu) de (quantités) disposées l'égalisé et les homogénéisés.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le nombre de parts que le problème dit de moyenner n'est pas déterminé, - c'est parfois 3, parfois 2 - , le [nombre de} places où on les dispose n'est pas constant. Si l'on en moyenne 3, on dispose sur 3 places. Si l'on en moyenne 2, on dispose sur 2 places 61 . Dans tout exemple de la sorte, il n'est bien sûr pas possible de déterminer à l'avance combien de parts on moyenne 62 , c'est pourquoi l'on dit seulement « le nombre (shu) de (quantités) disposées », et c'est tout.

母相乘為法知一入，亦齊其子，又同其母。以列數乘未并者 各自為列實。亦以列數乘法。此當副置列數除平 實二一，若然則重有分，故反以列數乘同齊。

臣連巫等謹按三二:問云

所平之分多少不定，或三或二，列位無常。平三知一八，置位三重;平 二知一八，置位二重。凡此之例，一準平分不可預定多少三凹，故宜云列

數而已。以平實減列實，徐 9 約之為所滅。并 所減以益於少、以法命平實?各得其平。

今有七人9 分八錢三分錢之一O 問人得幾何。 答曰:人得一錢二十一分錢之四。

又有三人三分人之一，分六錢三分錢之一、 四分錢之三。問人得幾付。 答曰:人得二錢八分錢之一 O 經分時間謹按:經分者，白的已下，皆與諸分相齊，此乃宜

求一人之分。以人數分所分，故日經分也。術曰: 以人數為 法，錢數為實，實如法而一。有分者通之; 二二副置列數除平實，南宋本、大典本訛作“副并列數為平賞"。此依李演校正。 二二南宋本於“按"上有“又"字。此依戴震輯錄本。

三四預，戴震輯錄本作“豫"，亦通。此依南宋本。

167

Champ rectangulaire

ON SOUSTRAIT, DES DIVIDENDES DISPOSÉS, LE DIVIDENDE DE LA MOYENNE; CE QUI RESTE, ON LE SIMPLIFIE POUR FAIRE LES QUANTITÉS QUE L'ON SOUSTRAIT. ON SOMME LES QUANTITÉS QUE L'ON SOUSTRAIT POUR EN AUGMENTER LA PLUS PETITE, OU ON NOMME,

A L'AIDE

DU DIVISEUR, LE

DIVIDENDE DE LA MOYENNE: DANS CHAQUE CAS, ON OBTIENT LEUR MOYENNE 63.

(1.17)64 SUPPOSONS QUE

7

PERSONNES PARTAGENT

8

SAPÈQUES ET

113

DE SAPÈQUE. ON DEMANDE

COMBIEN UNE PERSONNE OBTIENT. RÉPONSE: UNE PERSONNE OBTIENT

1 SAPÈQUE 4/21

DE SAPÈQUE.

(1.18) SUPPOSONS SAPÈQUE ET

A NOUVEAU QUE 3 PERSONNES ET 113 DE PERSONNE PARTAGENT 6 SAPÈQUES, 113 DE 3/4 DE SAPÈQUE. ON DEMANDE COMBIEN UNE PERSONNE OBTIENT.

RÉPONSE: UNE PERSONNE OBTIENT

2

SAPÈQUES

1/8

DE SAPÈQUE.

PROCÉDURE DU PARTAGE DES PARTS 65 :

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Quand on partage des parts: à la suite de « la réunion des parts», les procédures faisaient toutes en sorte que les parts soient homogénéisées les unes avec les autres 66, mais ici, on cherche directement la part d'une personne. On partage ce qui est partagé à l'aide de la quantité (shu) de personnes, c'est pourquoi l'on dit « le partage des parts» 67. ON PREND LA QUANTITÉ (SHU) DE PERSONNES COMME DIVISEUR, LA QUANTITÉ (SHU) DE SAPÈQUES COMME DIVIDENDE. ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR. S'IL y A UN TYPE DE PART, ON LES FAIT COMMUNIQUER 68.

Si « les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur correspondent pas », c'est pour homogénéiser ces numérateurs. Si « les dénominateurs sont multipliés les uns par les autres », c'est pour égaliser ces dénominateurs. A l'aide du dénominateur, « les faire communiquer», c'est multiplier par le dénominateur les parties entières, et incorporer ceux-ci (les résultats) aux numérateurs. En multipliant, on désagrège les parties entières, cela fait alors les parts des produits (jifen) ; les parts des produits (jifen) et les numérateurs communiquent alors les unes avec les autres, c'est pourquoi on peut les faire se rejoindre les unes les autres 69. Chaque fois que des quantités (shu) sont données en relation les unes avec les autres, on les appelle des lü. Les lü, étant par nature donnés les uns en relation avec les autres, communiquent 70. S'il Ya des parts, on peut désagréger; si les parts sont des superpositions réitérées, on simplifie 71. Diviseur et dividende, divisés par le nombre égal, sont des lü mis en relation l'un avec l'autre. Par conséquent, si on désagrège les parts, c'est qu'on fait nécessairement en sorte que les deux dénominateurs multiplient l'un et l'autre diviseur et dividende.

母五乘子知一入，齊其子。母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全 內子。乘三玉，散全則為積分，積分則與分子相通三六，故可令相從。凡 數相與者謂之率。率知一八，自相與通。有分則可散，分重疊則約也。

等除法實，相與率也。故散分者，必令兩分母相乘法實也三七。重有

分者同而通之。又以法分母乘賞，實分母乘法。此謂法、實 俱有分，故令分母各乘全分內子三八，又令分母互乘上下。

今有田廣七分步之四，從五分步之三，間為 回幾何。

答曰:三十五分步之十二。

又有田廣九分步之七?從十一分步之九?間 為回幾付。 答曰:十一分步之七 O

又有田廣五分步之四，從九分步之五，間為 田幾付。 三五戴震輯錄本脫“乘"字。此依南宋本。 二六戴震輯錄本脫“分子"之“分"。此依南宋本。南宋本於“通"下有“之"字。此依 戴震輯錄本。 三七法實，戴震輯錄本訛作“為法"。此依南宋本。 三八李演捌“全分"之“分"字，無必要。此依涯校本恢復南宋本、大典本原文。

169

Champ rectangulaire

S'IL y A PLUSIEURS TYPES DE PARTS, ON LES ÉGALISE PUIS ON FAIT COMMUNIQUER.

Autrement, on multiplie par le dénominateur du diviseur le dividende, et on multiplie par le dénominateur du dividende le diviseur. Ceci signifie que si diviseur et dividende ont tous deux des parts, par conséquent on fait en sorte que les dénominateurs multiplient respectivement les parties entières et qu'on incorpore ceci au numérateur, puis on fait en sorte que les dénominateurs multiplient celle [des quantités} du haut et du bas qui ne leur correspond pas 72. (1.19) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP DE

4/7 DE

BU DE LARGEUR, ET DE

3/5

DE BU DE LONGUEUR.

ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP.

12/35

RÉPONSE:

DE BU.

(1.20) SUPPOSONS

A NOUVEAU QU'ON AIT UN CHAMP DE 719 DE BU DE LARGEUR,

ET DE

9/11

DE BU DE

5/9

DE BU DE

LONGUEUR. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP.

7/11

RÉPONSE:

DE BU.

(1.21) SUPPOSONS

A NOUVEAU

QU'ON AIT UN CHAMP DE

4/5

DE BU DE LARGEUR, ET DE

LONGUEUR. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

4/9

DE BU.

PROCÉDURE DE LA MULTIPLICATION DES PARTS 73 :

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Quand on multiplie des parts, « les dénominateurs multipliés les uns par les autres font le diviseur; les numérateurs multipliés les uns par les autres font le dividende», c'est pourquoi l'on dit « multiplication des parts».

苓曰:九分步之四。

乘分臣盟等謹按:乘分者，分母相乘為法，子相乘為實，故日乘

分。術曰:母相乘為法?子相乘為實?實如 法而一。凡實不滿法者而有母、子之名三九。若有分，以乘其實而 長之，則亦滿法，乃為全耳。又以子有所乘，故母當報除。報除者，實 如法而一也。今子相乘則母各當報餘，因令分母相乘而連除也。此田有 廣從，難以廣諭。設有問者日，馬二十匹，直金十二斤。今買馬二十匹，

三十五人分之，人得幾何。答曰:三十五分斤之十二。其為之也，當如

經分術，以十二斤金為賞，三十五人為法。設更言馬五匹，宜金三斤。

今賣四匹配，七人分之，人得幾何。苔曰:人得三十五分斤之十二。 其為之也，當齊其金、人之數，皆合初問入於經分矣。然則分子相乘為

實者，猶齊其金也;母相乘為法者，猶齊其人也。同其母為二十，為無 事於間，但欲求齊而已。又，馬五匹，宜金三斤，完全之率;分而育之，

則為一匹宜金五分斤之三。七人賣四烏囚一，一人賣七分馬之四。金與 人交互相生四二。所從言之異，而計數則三術同歸也。

今有田廣三步三分步之-9 從五步五分步之

一，間為回幾付。 苓曰:十八步。

三九戴震在屈、孔二刻本中改“而"作“乃"，無必要。依錢校本恢復南宋本、大典本 原文。

四。 “賣"下，戴震輯錄本有“馬"字，亦通。此依南宋本。 囚一 “四"下，戴震輯錄木衍“匹"字。此依南宋本。 四二金，南宋本、大典本訛作“分子"。今依涯校本校正。

171

Champ rectangulaire

LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIÉS L'UN PAR L'AUTRE FONT LE DIVISEUR; LES NUMÉRATEURS MULTIPLIÉS L'UN PAR L'AUTRE FONT LE DIVIDENDE. ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR 74.

Dans chacun des cas où un dividende ne remplit pas un diviseur, alors ils ont les noms de dénominateur et de numérateur 75. S'il Ya des parts, on dilate le dividende correspondant par multiplication, alors, au cas où il remplit le diviseur, par suite (la division) ne fait plus qu'un entier. Si, de plus, on multiplie quelque chose par le numérateur, le dénominateur doit en conséquence diviser (le produit) en retour 76. Diviser en retour, c'est « effectuer la division du dividende par le diviseur». A présent, « les numérateurs sont multipliés l'un par l'autre», donc les dénominateurs doivent chacun diviser en retour. D'où l'on fait se multiplier l'un par l'autre les dénominateurs et on divise d'un coup (par leur produit) 77. Si, ici, l'on utilise la formulation d'un champ ayant longueur et largeur, il est difficile de faire comprendre [la procédure} dans toute sa généralité 78. Supposons que l'on demande: 20 chevaux valant 12 Jin d'or, si l'on)vend les 20 chevaux, et que 35 personnes se partagent [le gain}, combien une personne obtient-elle? Réponse: 12/35 de Jin. Si, pour le résoudre, il faut suivre la procédure du partage des parts, on prend 12 Jin d'or comme dividende, et 35 personnes comme diviseur. Supposons qu'en modifiant (le problème), on dise: 5 chevaux valent 3 Jin d'or. Si on vend 4 chevaux et que 7 personnes partagent [le gain}, combien une personne obtient-elle ? Réponse : chacune obtient 12/35 de jin. Pour le résoudre, il faut homogénéiser ces quantités (shu) de personnes et d'or, et c'est alors en tous points conforme au premier problème et relève du partage des parts 79. S'il en est ainsi, le fait de « multiplier l'un par l'autre les numérateurs pour faire le dividende », c'est comme homogénéiser cette (quantité) d'or; le fait de « multiplier l'un par l'autre les dénominateurs pour faire le diviseur », c'est comme homogénéiser cette (quantité) de personnes. Si on égalise leurs dénominateurs, cela fait 20 ; mais que les chevaux soient égalisés, cela ne joue aucun rôle 80 : on veut seulement trouver les homogénéisés, c'est tout. De plus, que 5 chevaux valent 3 jind'or, ce sont les lü en nombres entiers. Si on les exprime en parts, alors cela fait qu'un cheval vaut 3/5 de Jin d'or. Que 7 personnes vendent 4 chevaux, c'est qu'une personne vend 417 de cheval. (Les quantités) d'or et de personnes par croisement s'engendrent respectivement l'une l'autre 81. Si l'on s'en tient à l'expression, c'est différent, mais pour ce qui est des quantités (shu) calculées, les trois procédures reviennent au même 82. (1.22) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP DE

3

BU

1/3

DE BU DE LARGEUR, ET DE

LONGUEUR. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

18

BU.

5

BU

2/5

DE BU DE

又有田廣七步四分步之三 9 從十五步九分步

之五，間為田幾付。 苓曰:一百二十步九分步之五。

又有田廣十八步七分步之五?從二十三步十

一分步之六，間為田幾何。 苓曰:一欽二百步十一分步之七 O 大廣田臣淳風等謹按:大廣眩目一八，初術直有全步而無餘分，次 術空有餘分而無全步，此術先見全步，復有餘分，可以廣兼三術，故日

大廣。術曰:分母各乘其全，分子從之，分母

各乘其全，分子從之者，通全步內分子。如此則母、子皆為實矣。相

乘為實。分母相乘為法。猶乘分也。實如法而 一呵 O

今為術廣從俱有分，當各自通其分。命母入者，還須出之四三，

故令分母相乘為法而連除之。

今有圭田廣十二步，正從二十一步?間為回

幾付。

四三還須，戴震輯錄本誤倒。此依南宋本。

173

Champ rectangulaire

(1.23) 7

SUPPOSONS À NOUVEAU QU'ON AIT UN CHAMP DE

5/9

BU

3/4

DE BU DE LARGEUR, ET DE

15

BU

23

BU

DE BU DE LONGUEUR. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP.

RÉPONSE:

120 BU 5/9

DE BU.

(1.24) SUPPOSONS À NOUVEAU QU'ON AIT UN CHAMP DE

6/11

18

BU

5/7

DE BU DE LARGEUR, ET DE

DE BU DE LONGUEUR. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP.

RÉPONSE:

1 MU 200

BU

7/11

DE BU.

PROCÉDURE DU CHAMP EN TOUTE GÉNÉRALITÉ 83 :

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: En ce qui concerne le champ en toute généralité: dans la procédure du début, il y avait seulement un nombre entier de bu, et pas de parts de reste; dans la procédure suivante, il y avait seulement des parts de reste, mais pas de partie entière de bu 84 ; dans cette procédure, il apparaît d'abord un nombre entier de bu, puis on a des parts de reste; on peut unir en toute généralité les trois procédures. C'est pourquoi l'on dit « en toute généralité ». LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIENT RESPECTIVEMENT LES PARTIES ENTIÈRES QUI LEUR CORRESPONDENT, LES NUMÉRATEURS REJOIGNENT CEUX-Cr.

Si « les dénominateurs multiplient respectivement les parties entières qui leur correspondent, et que les numérateurs rejoignent ceux-ci », c'est qu'on fait communiquer les nombres entiers de bu [avec les numérateurs qui leur correspondent} 85, puis qu'on y incorpore le numérateur. Ainsi numérateurs et dénominateurs contribuent tous à faire le dividende. [LES RÉSULTATS} MULTIPLIÉS L'UN PAR L'AUTRE FONT LE DIVIDENDE. LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIÉS L'UN PAR L'AUTRE FONT LE DIVISEUR.

C'est comme la multiplication des parts. ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR.

Ici, pour confectionner la procédure, largeur et longueur ayant toutes deux des parts, il faut que, pour chacune d'elles, on fasse respectivement communiquer ses parts. Comme on a fait en sorte que le dénominateur entre, il faut par compensation le faire sortir 86 ; c'est pourquoi on effectue « la multiplication l'un par l'autre des dénominateurs pour faire le diviseur» et on divise d'un coup par cela. (1.25) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP TRIANGULAIRE 87 DE

12

BU DE LARGEUR ET DE

HAUTEUR (LONGUEUR DROITE). ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

126 BU.

21

BU DE

苓曰:一百二十六步。

又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步 之二 9

間為田幾何。

苓曰:二十三步六分步之五。 術曰:半廣以乘正從。半廣知一八，以盈補虛為胡也。 亦可半正從以乘廣。按:半廣乘從四四，以取中平之數，故廣從相乘為

積步。敵法除之，即得也。

今有邪回?一頭廣三十步?一頭廣四十二

步，正從六十四步，間為田幾付。 苓曰:九飲一百四十四步。

又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步?

一畔從七十二步，間為田幾付。 答曰:二十三欽七十步。 術曰:并兩邪而半之?以乘正從若廣。又

的四半，南宋本訛作“平"。此依戴震輯錄本。

175

Champ rectangulaire

(1.26) A NOUVEAU

SUPPOSONS DE

8 BU 2/3

RÉPONSE:

QU'ON AIT UN CHAMP TRIANGULAIRE DE

5 BU 112

BU DE LARGEUR ET

DE BU DE HAUTEUR (LONGUEUR) 88. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP.

23

BU

5/6

DE BU.

PROCÉDURE: ON PREND LA MOITIÉ DE LA LARGEUR ET ON EN MULTIPLIE LA HAUTEUR.

Si « l'on prend la moitié de la largeur», c'est qu'avec ce qui est en excédent, on comble ce qui est vide, pour faire un champ rectangulaire 89. On peut aussi prendre la moitié de la hauteur et en multiplier la largeur. Commentaire: si la moitié de la largeur multiplie la hauteur, c'est pour prendre la valeur (shu) moyenne 90 et, par conséquent, « la largeur et la longueur étant multipliées l'une par l'autre», cela fait « les bu du produit (Ji) ». Le diviseur des mu divise ceci, ce qui donne le résultat. (1.27) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP OBLIQUE 91 DE

42

BU DE LARGEUR

A L'AUTRE

EXTRÉMITÉ, ET DE

30

BU DE LARGEUR

64 BU DE

A UNE

EXTRÉMITÉ, DE

HAUTEUR (LONGUEUR DROITE). ON

DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

9 MU 144 BU.

(1.28)

A NOUVEAU QU'ON AIT UN CHAMP OBLIQUE DE 65 BU DE HAUTEUR (LARGEUR DE 100 BU DE LONGUEUR D'UN C6TÉ, ET DE 72 BU DE LONGUEUR DE L'AUTRE C6TÉ.

SUPPOSONS DROITE),

ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

23

MU

70 BU.

PROCÉDURE: ON SOMME LES DEUX INÉGAUX/OBLIQUES 92, ON PREND LA MOITIÉ DE CECI, ET ON EN MULTIPLIE LA LONGUEUR OU LA LARGEUR DROITE. AUTREMENT, ON PEUT PRENDRE LA MOITIÉ DE LA LONGUEUR OU DE LA LARGEUR DROITE, ET EN MULTIPLIER LA SOMME. ON DIVISE PAR LE DIVISEUR DES MU.

Si « l'on somme» et que « l'on prend la moitié de ceci », c'est qu'avec ce qui est en excédent, on comble ce qui est vide 93. (1.29) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP TRAPÉZOÏDAL 94 DONT LA LANGUE VAUT

5

LE TALON

BU DE LARGEUR, ET LA HAUTEUR (LONGUEUR DROITE)

30

20

BU DE LARGEUR,

BU. ON DEMANDE

COMBIEN FAIT LE CHAMP.

1 MU 135

RÉPONSE:

BU.

(1.30) SUPPOSONS

A NOUVEAU QU'ON AIT UN CHAMP TRAPÉzoïDAL DONT LA LANGUE VAUT Il 7 BU DE 50 BU DE LARGEUR, ET LA HAUTEUR (LONGUEUR DROITE) 135 BU. ON

LARGEUR, LE TALON

DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

46 MU 232

BU ET DEMI.

可半正從若廣?以乘并。古久法而一。并而半 之者，以盈補虛也。

今有其田，舌廣二十步?鍾廣五步四九正從

三十步四九間為田幾何。

苓曰:一飲一百三十五步。

又有其回?舌廣一百一十七步?鐘廣五十

步?正從一百三十五步。間為田幾付。 答曰:四十六款二百三十二步半。

術曰:并鐘、舌而半之?以乘正從。欽法 而一。中分糞田則為兩邪田，故其術相似。又可并腫、舌，半正從， 以乘之。

今有圓回?周三十步?徑十步。臣盟等謹按:術 意以周三徑一為率，周三十步，合徑十步。今依密率，合徑九步十一分步

之六。間為田幾付。

四五廣，戴震輯錄本訛作“闊"此依南宋本。

四六三，南宋本訛作“五"。此依戴震輯錄本。

Champ rectangulaire

177

PROCÉDURE: ON SOMME TALON ET LANGUE, ON PREND LA MOITIÉ DE CECI ET ON EN MULTIPLIE LA LONGUEUR DROITE. ON DIVISE PAR LE DIVISEUR DES lVIU.

Si l'on coupe en son milieu le champ trapézoïdal, alors cela fait deux champs obliques, c'est pourquoi leurs procédures sont semblables l'une à l'autre 95. Autrement, on peut sommer talon et langue, prendre la moitié de la longueur droite et en multiplier ceci. (1.31) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP CIRCULAIRE DE

30

BU DE CIRCONFÉRENCE ET DE

10

BU DE.

DIAMÈTRE 96.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: L'idée (yi) de la procédure 97 est de prendre, comme lü, 3 pour la circonférence et 1 pour le diamètre: une circonférence de 30 bu correspond à un diamètre 10 bu. Si maintenant on s'appuie sur les lü plus précis, cela correspond à un diamètre de 9 bu 6/11 de bu 98 . ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

75

BU.

Avec ma procédure 99, ceci devrait faire un champ de 71 bu 103/157 de bu. Li Chunfeng et ses associés respectueusement 100: s'appuient sur les lü plus précis: cela fait un champ de 71 bu 13/22 de bu.

(1.32)

A NOUVEAU 101 QU'ON AIT UN CHAMP CIRCULAIRE DE 181 113 DE BU DE DIAMÈTRE.

SUPPOSONS DE

60

BU

BU DE CIRCONFÉRENCE ET

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Si, lorsque la circonférence vaut 3, le diamètre vaut 1, lorsque la circonférence vaut 181 bu, le diamètre vaut 60 bu 113 de bu. En s'appuyant sur les lü plus précis, le diamètre vaut 57 bu 13/22 de bu. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

Il

MU

90

BU

1112

DE BU.

Avec ma procédure, ceci devrait faire un champ de 10 mu 208 bu 113/314 de bu. Li Chunfeng et ses associés respectueusement: s'appuient sur les lü plus précis: cela fait 102 un champ de 10 mu 205 bu 87/88 de bu. PROCÉDURE: LA MOITIÉ DE LA CIRCONFÉRENCE ET LA MOITIÉ DU DIAMÈTRE ÉTANT MULTIPLIÉES L'UNE PAR L'AUTRE, ON OBTIENT LES BU DU PRODUIT (JI) 103.

Commentaire: La moitié de la circonférence fait la longueur et la moitié du diamètre la largeur. Par conséquent, la largeur et la longueur étant multipliées l'une par l'autre, cela fait les bu du produit (Ji) 104. Supposons que le diamètre du cercle soit de 2 chi. Les valeurs (shu) d'un côté de l'hexagone inscrit dans le cercle et du demi-diamètre du cercle sont égales 105. Cela correspond au fait que, lorsque le lü du diamètre vaut 1, par suite le lü de la circonférence correspondant aux segments circulaires 106 vaut 3.

苓曰: 七十五步。此於邀術，當為田七十一步一百五 十七分步之一百三四七。臣淳風等謹依密率，為田七十一步二十 二分步之一十三。

又有圓田凹八?周一百八十一步?徑六十步三

分步之一。臣盟等謹按:周三徑一，周一百八十一步，徑六十步

三分步之一。依密率徑五十七步三十二分步之十三。間為田幾何。 苓曰:十一欽九十步十二分步之一。此於 堂皇術，當為田十敵二百八步三百一十四分步之一百一十三。

且

連Jl等謹依密率，為田十敵二百五步八十八分步之八十七四九。

術曰:半周半徑相乘得積步。按:半周為從，半 徑為廣，故廣從相乘為積步也。假令圓徑二尺，閩中容六飢之一面五0 ， 與圓徑之半，其數均等。合徑率一而弧周率三也王一。

又按:為圖五二。

以六佩之一面乘一弧半徑王三，因而三之五凹，得十二佩之幕。若又割之，

次以十二創之一面乘一弧之半徑五五，因而六之五六，則得二十四佩之幕。 割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所

失矣五七。航面之外，猶有餘徑五}\。以面乘餘徑五九，則幕出弧表六0 。若 四七七十一，戴震輯錄本訛作“七十"。此依南宋本。 四 J\. 此二“又"字，戴震輯錄本作“今"此依南宋本。 四九戴震輯錄本於“為"字上有“當"字，亦通。此依南宋本。

五O 鯽，南宋本、大典本訛作“弧"。依戴震校正。本書作“的K" 者，除再出校記外， 均同此。

五一合，南宋本訛作“令"。此依戴震輯錄本。又，

“弧"，戴震輯錄本作“外"，亦

通。此依南宋本。

五二圖，戴震輯錄本訛作“圓"。此依南宋本。

王三戴震輯錄校勘本捌“一弧"二字，無必要。依灌校本恢復南宋本、大典本原文。 五四南宋本、大典本於“囡"字上衍“二"字，今依李演校捌。戴震捌“二因而"三字。 五五戴震輯錄校勘本捌“一弧之"三字，無必要。依涯校本恢復。南宋本、大典本原文 五六南宋本、大典本於“因"上衍“四"字，今依李演校捌。戴震捌“四因而"三字。 五七錢校本捌“周"字。依灌校本恢復南宋本、大典本原文。

Champ rectangulaire

179

Commentaire additionnel: Faisons une figure. Si l'on multiplie par un côté de l'hexagone le demi-diamètre du cercle correspondant au segment circulaire, et que l'on multiplie ceci par 3, on obtient l'aire (mi) du dodécagone 107. Si, à nouveau, on coupe celui-ci 108, puis que l'on multiplie par un côté du dodécagone le demi-diamètre pour un segment circulaire, et qu'on multiplie ceci par 6, alors on obtient l'aire (mi) du 24-gone. Plus l'on coupe fin, plus ce qui est perdu est petit 109. On coupe ceux-ci (les polygones) et on les recoupe jusqu'à atteindre ce que l'on ne peut pas couper. Alors le corps en coïncide avec la circonférence du cercle 110 et il n'y a rien qui soit perdu. A l'extérieur des côtés du polygone, il y a encore du diamètre de reste. Si on multiplie par les côtés le diamètre de reste, alors l'aire (mi) déborde à l'extérieur des segments circulaires 111. Pour ce qui est du polygone dont le degré de finesse est tel que son corps coïncide avec le cercle, à l'extérieur [de ses côtés}, il n'y a, par suite, pas de diamètre de reste 112. Si, à l'extérieur, il n'y a pas de diamètre de reste, alors l'aire (mi) ne déborde pas au-dehors. Multiplier par un côté le demi-diamètre, cela revient à trancher un quartier du polygone et chaque morceau est dans tous les cas obtenu deux fois 113. C'est pourquoi, quand on multiplie la moitié du diamè.tre par la moitié de la circonférence, alors cela fait l'aire (mi) du cercle. Ici [dans la procédure}, par circonférence et diamètre, on désigne les quantités (shu) exactes à!'extrême 114, ce que ne sont pas les lü de 3 pour la circonférence et 1 pour le diamètre. Donner pour la circonférence 3, c'est se conformer au pourtour de l'hexagone qui lui correspond, et c'est tout. Pour en déduire combien fait sa différence avec le cercle, eh bien, c'est celle de l'arc et de la corde. Pourtant, depuis des générations, on a transmis cette méthode; c'est que personne n'a voulu la vérifier avec minutie. Les érudits ont emboîté le pas des anciens, et ils ont copié leurs erreurs. Sans avoir de preuves claires, il était difficile de discuter cela 115. En général, les figures des catégories des choses sont soit le cercle, soit le carré 116. Si les lü du carré et du cercle sont de fait manifestes dans le domaine de ce qui est près, alors, même s'ils sont loin, on pçut les connaître; de ce point de vue, ils sont utilisables largement. Un examen respectueux de la figure à l'appui 117, j'ai élaboré de nouveaux lü plus précis. Mais je craignais que si cette méthode était exposée abstraitement, les quantités (shu) n'en soient obscures et difficiles à saisir 118. C'est pourquoi je l'ai mise sous une forme réglée 119 et j'ai respectueusement rédigé ici, de manière détaillée, un commentaire à son sujet. Procédure qui consiste à couper l'hexagone pour en faire un dodécagone 120 : Plaçons le diamètre du cercle, 2 chi. Si l'on en prend la moitié, cela fait 1 chi et donne les côtés de l'hexagone inscrit dans le cercle. On prend le demi-diamètre, 1 chi, comme hypoténuse, la moitié du côté, 5 cun, comme base (gou), et l'on cherche la hauteur (gu) qui leur correspond. Le carré (mi) de la base (gou), 25 cun, étant soustrait du carré (mi) de l'hypoténuse, il reste 75 cun. On divise ceci par extraction de la racine carrée, en continuant jusqu'aux miao, aux hu. Et l'on rétrograde encore une fois le diviseur, pour trouver un chiffre de la partie décimale (weishu) (de la racine)121. Le chiffre de la partie décimale qui n'a pas de nom [d'unité}, on le prend comme numérateur, et on prend 10 comme dénominateur. Cela fait, en simplifiant, 2/5 de hu. Par conséquent on obtient, comme hauteur (gu), 8 cun 6 fin 6li 2 miao 5 hu 2/5 de hu. Si l'on soustrait ceci du demi-diamètre, il reste 1 cun 3 fin 3 li 9 hao 7 miao 4 hu 3/5 de hu, que l'on appelle petite base (gou). La moitié du côté du polygone, on l'appelle en outre petite hauteur (gU)122. Et l'on cherche l'hypoténuse qui leur correspond; son carré (mi) fait 267 949 193 445 hu et on abandonne les parts restantes 123. Si on divise ceci par extraction de la racine carrée, cela donne un côté du dodécagone.

夫佩之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，則幕不外出矣。以一 面乘半徑，起JIl而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓幕。此以周、

徑六一，謂至然之數，非周三徑一之率也。周三者，從其六佩之環耳。

以推圓規多少之覺六二，乃弓之與弦也。然世傳此法，莫肯精竅;學者 腫古，習其謬失。不有明據，辯之斯難。凡物類形象，不圓則方。方圓

之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之，其用博矣。謹按圖驗六二， 更造密率。恐空設法，數昧而難譬，故置諸檢括，謹詳其記注焉。

害。

六角JIl以為十二的1術曰:置圓徑二尺，半之為一尺，即圓裹起瓜之面也六四。 令半徑一尺為弦六五，半面五寸為旬，為之求股。以句幕二十五寸滅弦 幕，餘七十五寸。開方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微數。微數

無名知以為分于一八，以十為分母六六，約作五分忽之二。故得股八寸六

分六釐二秒五忽五分忽之二六七。以減半徑，餘一寸三分三釐九毫七秒 四忽五分忽之三，謂之小句六J\.。佩之半面而又謂之小股六九。為之求弦。 其幕二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽，餘分棄

之七0 。開方除之，即十二佩之一面也。

割十二概以為二十四飢術曰:

亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。罩上小弦幕七一，四而一，得六 百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，餘分棄之，即句幕

也。以減弦幕，其餘，開方除之，得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分 忽之四。以減半徑，餘三分四釐七秒四忽五分忽之一，謂之小句。慨之 半面又謂之小股。為之求小弦。其幕六百八十一億四千八百三十四萬九

千四百六十六忽，餘分棄之。開方除之，即二十四佩之一面也。

割二

十四紙以為四十八飢術曰:亦令半徑為弦，半面為旬，為之求肢。置上

小弦幕七一，四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽， 五八猶，戴震輯錄本作“又"，亦通。此依南宋本。 五九南宋本、大典本脫“餘"字。依錢校本補。

六0 弧，戴震改作“航"。依錢校本恢復南宋本、大典本原文。 六一以，戴震輯錄本訛作“一 "o 此依南宋本。 六二覺，與“較"通假，戴震改作“較"，無必要。依灌校本恢復南宋本、大典本原文。 六三園，南宋本、大典本訛作“園"。依錢校本校正。 六四鯽，南宋本訛作“弧"，大典本訛作“弦"。依戴震校正。 六五二“弦"字，大典本訛作“弧"。此依南宋本。

六六十，南宋本、大典本訛作“下"。依錢校本校正。 六七秒，南宋本、大典本訛作“絲"。依戴震校正。 六八此處，南宋本、大典本衍“小句知半面五寸之句"九字。戴震校側。 六九戴震輯錄本無“而"字，亦通，此依南宋本。

七。餘分棄之，南宋本、大典本訛作“全分井之"。依戴震校正。 七一二“小"字，戴震輯錄本訛作“下"。此依南宋本。

Champ rectangulaire

181

Procédure qui consiste à couper le dodécagone pour en faire un 24-gone : A nouveau, on prend le demi-diamètre comme hypoténuse, la moitié du côté comme base (gou) , et l'on cherche la hauteur (gu) qui leur correspond. Plaçons le carré (mi) de la petite hypoténuse précédente, divisons ceci par 4, d'où l'on obtient 66 987 298 361 hu, et on abandonne les parts restantes; cela donne le carré (mi) de la base (gou). Ceci étant soustrait du carré (mi) de l'hypoténuse, on divise le reste par extraction de la racine carrée, d'où l'on obtient, pour la hauteur (gu), 9 cun 6 fin 5 li 9 hao 2 miao 5 hu 4/5 de hu. Si l'on soustrait ceci du demidiamètre, il reste 3 fin 4li 7 miao 4 hu 115 de hu, que l'on appelle petite base (gou). La moitié du côté du polygone, on l'appelle en outre petite hauteur (gu). Et l'on cherche la petite hypoténuse qui leur correspond; son carré (mi) fait 68 148 349466 hu et on abandonne les parts restantes. Si on divise ceci par extraction de la racine carrée, cela donne un côté du 24-gone 124 . Procédure qui consiste à couper le 24-gone pour en faire un 48-gone : A nouveau, on prend le demi-diamètre comme hypoténuse, la moitié du côté comme base (gou) , et l'on cherche la hauteur (gu) qui leur correspond. Plaçons le carré (mi) de la petite hypoténuse précédente 125, divisons ceci par 4, d'où l'on obtient 17 037 087 366 hu et on abandonne les parts restantes; cela donne le carré (mi) de la base (gou). Ceci étant soustrait du carré (mi) de l'hypoténuse, on divise le reste par extraction de la racine carrée, d'où l'on obtient, pour la hauteur (gu), 9 cun 9 fin 1 li 4 hao 4 miao 4 hu 4/5 de hu. Si l'on soustrait ceci du demidiamètre, il reste 8li 5 hao 5 miao 5 hu 1/5 de hu, que l'on appelle petite base (gou). La moitié du côté du polygone, on l'appelle en outre petite hauteur (gu). Et l'on cherche la petite hypoténuse qui leur correspond; son carré (mi) fait 17 110 278 813 hu et on abandonne les parts restantes. Si on divise ceci par extraction de la racine carrée, l'on obtient, pour la petite hypoténuse, 1 cun 31en 8 hao 6 hu, et on abandonne les parts restantes, ce qui donne un côté du 48gone. En multipliant ceci par le demi-diamètre, 1 chi, puis en multipliant ceci par 24, on obtient, comme aire (mi), 3 139 344 000 000 hu. En divisant ceci par la 000 000 000, on obtient, comme aire (mi), 313 cun 584/625 de cun, ce qui donne l'aire (mi) du 96-gone. Procédure qui consiste à couper le 48-gone pour en faire un 96-gone : A nouveau, on prend le demi-diamètre comme hypoténuse, la moitié du côté comme base (gou), et l'on cherche la hauteur (gu) qui leur correspond. Plaçons à nouveau le carré (mi) de la petite hypoténuse précédente, divisons ceci par 4, d'où l'on obtient 4277 569703 hu, et on abandonne les parts restantes; cela donne le carré (mi) de la base (gou). Ceci étant soustrait du carré (mi) de l'hypoténuse, on divise le reste par extraction de la racine carrée, d'où l'on obtient, pour la hauteur (gu), 9 cun 91en 7 li 8 hao 5 miao 8 hu 9/10 de hu. Si l'on soustrait ceci du demi-diamètre, il reste 2 li 1 hao 4 miao 1 hu 1110 de hu, que l'on appelle petite base (gou). La moitié du côté du polygone, on l'appelle en outre petite hauteur (gu). Et l'on cherche la petite hypoténuse qui leur correspond; son carré (mi) fait 4282 154 012 hu, et on abandonne les parts restantes. Si on divise ceci par extraction de la racine carrée, on obtient, pour la petite hypoténuse, 6 fin 5 li 4 hao 3 miao 8 hu, et on abandonne les parts restantes, ce qui donne un côté du 96-gone. En multipliant ceci par le demi-diamètre, 1 chi, puis en multipliant ceci par 48, on obtient, comme aire (mi), 3 141 024 000 000 hu. En divisant ceci par la 000 000 000, on obtient, comme aire (mi), 314 cun 64/625 de cun, ce qui donne l'aire (mi) du 192-gone 126 . L'aire (mi) du 96-gone étant soustraite de ceci, il reste 105/625 de cun, que l'on appelle l'aire (mi) de la différence. On la double, ce qui fait 210 de ces parts de cun, et ce qui donne des champs polygonaux extérieurs au 96-gone au nombre de 96, c'est-à-dire l'aire (mi) globale de la multiplication des flèches par les cordes 127. Si l'on ajoute cette aire (mi) à l'aire (mi) du 96-gone, on obtient 314 cun 169/625 de cttn, qui déborde alors à l'extérieur du cercle. Par conséquent, on est ramené à la partie entière de l'aire (mi) du 192-gone, 314 cun, que l'on prend donc pour lü déterminé de l'aire (mi) du cercle, en abandonnant les parts restantes 128 .

餘分棄之，即句幕也。以減弦幕，其餘，開方除之，得股九寸九分一釐

四毫四秒四忽、五分忽之間。以減半徑，餘八釐五毫五秒五忽五分忽之 一，謂之小句。佩之半面又謂之小股。為之求小弦。其幕一百七十一億

一千二十七萬八千八百一十三忽七二，餘分棄之。開方除之，得小弦一 寸三分八毫六忽，餘分棄之，即四十八飢之一面。以半徑一尺乘之，又 以二十四乘之，得幕三萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除 之，得幕三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六佩之幕

也。

割四十八概以為九十六飢術曰:亦令半徑為弦，半面為旬，為之

求股。置坎上弦幕，四而一，得四十二億七千七百五十六萬九千七百三

忽，餘分棄之，則句幕也七三。以減弦幕，其餘，開方除之，得股九寸 九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九。以減半徑，餘二釐一毫四秒一忽十 分忽之一，謂之小句。佩之半面又謂之小股。為之求小弦。其幕四十二

億八千二百一十五萬四千一十二忽，餘分棄之。開方除之，得小弦六分 五釐四毫三秒八忽，餘分棄之，即九十六佩之一面。以半徑一尺乘之， 又以四十八乘之，得幕三萬一千四百一十億二千四百萬忽。以百億除

之，得幕三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二佩之幕 也。

以九十六佩之幕滅之，餘六百二十五分寸之一百五，謂之差幕。

倍之，為分寸之二百一十，即九十六航之外商III 田九十六七四，所謂以弦 乘矢之凡幕也。加此幕於九十六佩之幕，得三百一十四寸六百二十五分

寸之一百六十九，則出於圓之表矣七五。故還就一百九十二佩之全幕三 百一十四寸以為圓幕之定率，而棄其餘分。

以半徑一尺除圓幕，倍

之七六，得六尺二寸八分，即周數。令徑自乘為方幕四百寸，與圓幕相 折，圓幕得一百五十七為率，方幕得二百為率。方幕二百，其中容圓幕

一百五十七也。圓率猶為微少。按:弧田圖令方中容圓七七，園中容方， 內方合外方之半。然則圓幕一百五十七，其中容方幕一百也七八。又令 徑二尺與周六尺三寸八分相約七七，周得一百五十七，徑得五十，則其 相與之率也。周率猶為微少也。

置武庫中還時主蓋作銅餅，其銘曰:

律嘉量餅，內方尺而圓其外，庇旁九釐五毫，幕一百六十二寸，深一尺，

七二一百七十一，戴震輯錄本訛作“七百七十一"。此依南宋本。 七三則，戴震輯錄本作“即"，亦遇。此依南宋本。 七四鯽，南宋本、大典本訛作“弧"。依李繼閔校正。 七五戴震輯錄本無“於"字，亦通。此依南宋本。 七六二“之"宇，南宋本作“所"，亦通，唯“所得"需連讀。此依戴震輯錄本。 七七二“令"字，南宋本訛作“合"。此依戴震輯錄本。 七八一，南宋本、大典本訛作“二"。依戴震校正。

Champ rectangulaire

183

On divise par le demi-diamètre, 1 chi, l'aire (mi) du cercle; en doublant ceci, on obtient 6 chi 2 cun 8/en, ce qui donne la valeur (shu) de la circonférence 129 . En effectuant la multiplication du diamètre par lui-même, on fait l'aire (mi) du carré (qui a pour côté ce diamètre), 400 cun ; en réduisant ceci mutuellement avec l'aire (mi) du cercle, on obtient, pour l'aire (mi) du cercle, 157, que l'on prend comme lü, et, pour l'aire du carré, 200, que l'on prend comme lü 130 . Si l'aire du carré vaut 200, l'aire du cercle inscrit en son milieu vaut 157. Le lü du cercle est encore légèrement trop petit. Commentaire: Si, sur la figure du champ en forme de segment circulaire 131, l'on inscrit un cercle dans le carré et un carré dans ce cercle, le carré intérieur correspond à la moitié du carré extérieur. Puisqu'il en est ainsi, alors, si l'aire (mi) du cercle vaut 157, l'aire (mi) du carré inscrit en son milieu vaut 100. A nouveau, si l'on effectue la simplification, mutuellement, d'un diamètre de 2 chi et d'une circonférence de 6 chi 2 cun 8/en, on obtient, pour la circonférence, 157 et, pour le diamètre, 50 ; ce sont alors les lü mis en relation l'un avec l'autre correspondants 132. Le lü de la circonférence est encore légèrement trop petit. La réserve des armes Jin contient un hu de bronze fabriqué par Wang Mang, du temps de la dynastie Han 133. Son inscription énonce: «La mesure étalon de capacité fixée par la loi pour le hu (lüjialianghu) comporte un carré [fictif} de côté 1 chi en son intérieur, et un cercle lui est circonscrit 134. L'écart entre intérieur et extérieur (aux coins) est de 9li 5 hao, l'aire (mi) de 162 cun, la profondeur de 1 chi, le volume (Ji) de 1 620 cun, la contenance de 10 dou. » En la cherchant avec cette procédure, on obtient, comme aire (mi), 161 cun et des poussières: ces valeurs (shu) sont assez proches l'une de l'autre. Par cette procédure, elle est légèrement plus petite 135. Or l'aire (mi) de la différence entre les polygones est de 105/625 de cun. Si l'on se sert de l'aire (mi) du 192-gone pour faire varier les lü, il faut prendre 36 de ces parts de cun pour l'ajouter à l'aire (mi) du 192-gone 136 et considérer ceci comme l'aire (mi) du cercle, à savoir : 314 cun 4/25 de cun. Plaçons l'aire (mi) du carré que fait le diamètre multiplié par lui-même, 400 cun ; faisons-le communiquer et se simplifier mutuellement avec l'aire (mi) du cercle; l'aire (mi) du cercle donnant 3 927, on obtient, pour l'aire (mi) du carré, 5 000, ce qui fait juste des lü 137. Si l'aire (mi) du carré vaut 5 000, l'aire (mi) du cercle inscrit en son milieu vaut 3 927 et, si l'aire (mi) du cercle vaut 3 927, l'aire (mi) du carré inscrit en son milieu vaut 2 500. On divise par le demi-diamètre, 1 chi, l'aire du cercle 314 cun 4/25 de cun ; en doublant ceci, on obtient 138 6 chi 2 cun 8/en 8/25 de /en, ce qui donne la valeur (shu) de la circonférence. Si on fait communiquer, puis se simplifier mutuellement, le diamètre dans son entier, qui vaut 2 chi, avec la valeur (shu) de la circonférence, on obtient, pour le diamètre, 1 250 et, pour la circonférence, 3 927, ce qui donne les lü mis en relation les uns avec les autres correspondants. De la sorte, on épuisera peut-être les (parts) infimes correspondantes. Si on la propose à l'utilisation, la méthode précédente n'est cependant qu'approximative 139. Il faut chercher un côté du 1 536-gone pour obtenir l'aire (mi) du 3 072-gone, puis couper les parts décimales, afin que les valeurs (shu) (obtenues) soient encore conformes à celles-ci; cela en redonne alors une vérification 140.

積一干六百二十寸，容十斗。以此術求之，得幕一百六十一寸有奇，其

數相近矣。此術微少。

而自JR差幕六百二十五分寸之一百五七九。以一

百九十二佩之幕為率消息 jk0 ，當取此分寸之三十六，以增於一百九十 二佩之幕，以為圓幕，三百一十四寸二十五分寸之四。置徑自乘之方幕

四百寸，令與圓幕通相約，圓幕三千九百二十七，方幕得五干，是為率。 方幕五千中容圓幕三千九百二十七;圓幕三千九百二十七中容方幕二千

五百也。以半徑一尺除圓幕三百一十四寸二十五分寸之四，倍之七六，

得六尺二寸八分二十五分分之八八一，即周數也。全徑二尺與周數通相 約，徑得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相與之率。若此者，

蓋盡其纖微矣。舉而用之，上法為約耳八二。當求一千五百三十六飢之 一面，得三千七十二佩之幕，而裁其微分，數亦宜然，重其驗耳。

臣

達旦i等謹按:舊術求圓，皆以周三徑一為率。若用之求圓周之數，則周

少徑多。用之求其六飢之田，乃與此率合會耳。何則。假令六佩之田，

竟JR 間各一尺為面，自然從角至角，其徑二尺可知八九此則周六徑二， 與周三徑一巳合。恐此猶為難曉八四，今更引物為喻。設令刻物作圭形

者六枚，枚則三面，皆長一尺。攬此六物，悉使銳頭向里，則成六慨之 周，角徑亦皆一尺。更從飢角外畔，圍繞為規，則六佩之徑盡達規矣。 當面徑短，不至外規。若以徑盲之，則為規六尺，徑二尺，面徑皆一

尺八五。面徑股不至外畔，定無二尺可知。故周三徑一之率於圓周乃是 徑多周少。徑一周三，理非精密。蓋術從簡要，舉大綱，略而言之。望ti

徽特以為陳八六，遂乃改張其率八七。但周、徑相乘，數難契合。徽雖出

斯二法J\..入，終不能究其纖毫也。祖沖之以其不精，就中更推其數。今

者修撰，據掠諸家八九，考其是非，沖之為密。故顯之於徽術之下，冀 七九鯽，南宋本、大典本訛作“餅"。依涯校本校正。 )\.0 南宋本、大典本脫“一百九"三字。依李演校正。又，為，南宋本作“以"，亦通。 “以"首II “馬"。此依戴震輯錄本。

八一分分，南宋本、大典本訛作“分寸"。依錢校本校正。 八二為，戴震輯錄本作“仍"，亦遇。此依南宋本。 入三二，南宋本、大典本訛作“一"。依戴震校正。 )\.四為，南宋本作“以"，亦通。此依戴震輯錄本。

八五二，大典本訛作“三"，此依南宋本。此十八字，戴震改作“若以六期J[言之，則為 周六尺，徑二尺，面皆一尺"，無必要。按:

與“角徑"，

“當田徑"之半是“面徑股"，而“面徑"

“外規"與“外畔"是同義諦，不誤。依准校本恢復南宋本、大典本原文。

人六特，南宋本作“將"，亦通。按: “將"首II “則"。此依戴震輯錄本。 八七戴震輯錄本脫“乃"宇。此依南宋本。 八八二，戴震輯錄本訛作“一"。此依南宋本。 八九據，南宋本訛作“據"，戴震輯錄本訛作“ "。戴震在屈、孔二刻本中改正。

Champ rectangulaire

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Les anciennes procédures, pour chercher (l'aire du) cercle, prenaient toutes, comme lü, 3 pour la circonférence et 1 pour le diamètre. Si l'on utilise ceci pour chercher la valeur (shu) de' la circonférence du cercle, alors la circonférence est trop petite, ou le diamètre est trop grand. Mais si l'on utilise ceci pour chercher les valeurs correspondantes pour le champ hexagonal, alors cela s'accorde parfaitement avec ces lü. Pourquoi cela? Supposons que l'on ait un champ hexagonal, et qu'entre ses sommets, les côtés soient respectivement pris comme valant 1 chi. D'un coin au coin opposé, on peut évidemment voir que le diamètre est de 2 chi. S'il en est ainsi, alors le périmètre vaut 6 si le diamètre vaut 2, ce qui correspond aux (valeurs) de 3 pour le périmètre et de 1 pour le diamètre. Comme je crains que ceci ne reste difficile à saisir, j'introduirai en plus, maintenant, afin de le faire comprendre, un objet [de cette forme}. Supposons qu'en incisant l'objet, on en produise six aux formes triangulaires ; sur chacun, on distingue 3 côtés qui ont tous pour longueur 1 chi. Si l'on rassemble ces six objets de sorte qu'on leur fasse tous pointer un coin pointu vers le centre, alors ils engendrent le pourtour d'un hexagone, dont les côtés transverses de coin à coin font aussi tous 1 chi. En outre, si, à partir d'un sommet du polygone, sur la frontière extérieure, l'on tourne de sorte à décrire une circonférence, alors les diagonales de l'hexagone arrivent jusqu'à la circonférence. Mais les diamètres transversaux aux côtés [de l'hexagone}, étant trop courts, n'arrivent pas à la circonférence extérieure. Si on exprime ceci (la situation, les valeurs) à l'aide du diamètre, cela fait une circonférence de 6 chi, un diamètre de 2 chi et des côtés tous égaux à 1 chi. Mais comme la hauteur (gu) sur un diamètre transversal à des côtés n'arrive pas à la frontière extérieure, on peut savoir qu'elle n'a certainement pas 2 chi. Par conséquent les lü de 3 pour la circonférence et 1 pour le diamètre sont, en ce qui concerne la circonférence du cercle, trop grand pour le diamètre, ou trop petit pour la circonférence 141. Diamètre 1, circonférence 3, la constitution interne (li) n'est pas précise 142. C'est parce que la procédure, se conformant à (la norme) d'aller au simple et à l'essentiel, fait voir le principal de la trame sous forme d'esquisse 143. Liu Hui l'a sans doute trouvée trop grossière 144, en conséquence de quoi il a modifié et développé ces lü. Mais la valeur (shu) correspondant à la multiplication l'une par l'autre de la circonférence et du diamètre est difficile à épouser 145. Quoique Liu Hui ait produit ces deux méthodes 146, en fin de compte, il n'a pas été en mesure d'épuiser les (parts) infimes correspondantes. Zu Chongzhi, trouvant que tout cela n'était pas assez précis, en a exploré plus avant les valeurs (shu), en suivant la (même) méthode. Aujourd'hui, nous avons mis en forme, sélectionné (des écrits, des calculs, des valeurs) de toutes les écoles 147, et avons évalué leur correction: Chongzhi a élaboré [des valeurs} plus précises [que Liu Hui}148. Par conséquent, nous les avons fait apparaître à la suite de la procédure de [Liu} Hui 149, en espérant que les érudits l'apprécieront.

185

學者之所裁焉九0 。

又術曰:周、徑相乘?四而一。此周與上弧悶耳。 周、徑相乘，各當以半九一。而今周、徑兩全九二，故兩母相乘為囚，以 報除之。於邀術，以五十乘周，一百五十七而一，即徑也。以一百五十

七乘徑，五十而一，即周也。新術徑率猶當微少。據周以求徑九三，則 失之長;據徑以求周，則失之短。諸據見徑以求幕者，皆失之於微少;

據周以求幕者，皆失之於微多。

臣淳風等按:依密率，以七乘周，

二十二而一，即徑;以二十二乘徑，七而一，即周。依術求之，即得。

又術曰:徑自相乘?三之，四而一。按:圓 徑自乘為外方九四。

“三之，四而一"者，是為圓店外方四分之三分也。

若令六佩之一面乘半徑，其幕即外方四分之一也。因而三之，即亦居外

方四分之三也。是為圓裹十二慨之幕耳九五。取以為圓，失之於微少。 於邀新術，當徑自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。

且連)l等

謹按:密率，令徑自乘，以十一乘之，十四而一，即圓幕也。

又術曰:周白相乘九九十二而一。六慨之周， 其於圓徑，三與一也。故六慨之周自相乘為幕，若圓徑自乘者九方。九 方凡為十二航者十有二，故日十二而一，即十二佩之幕也。今此令周自

乘，非但若為圓徑自乘者九方而已九七。然則十二而一，所得又非十二 飢之類也九八。若欲以為圓幕，失之於多矣。以六佩之周，十二而一可 也。於盤新術，直令圓周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得

圓幕。其率:二十五者，圓幕也九九三百一十四者，周自乘之幕也。 置周數六尺二寸八分，令自乘，得幕三十九萬四千三百八十四分。又置

的之，戴震輯錄本作“知"，亦通。此依南宋本。 九一弧，戴震輯錄校勘本改作“航"，未允。今依譯注本恢復南宋本、大典本原文。以， 戴震輯錄本作“一"，亦通。此此依南宋本。

九二兩，南宋本、大典本訛作“田" 。依戴震校正。 九三南宋本於“據"前有“則"字， “則"，猶“若夫"，亦通。此依戴震輯錄本。 九四南宋本於“圓"上衍“方"字。此依戴震輯錄本。 九五為，南宋本訛作“謂"。此依戴震輯錄本。 九六戴震輯錄本脫“相"字。此依南宋本。 九七戴震輯錄本脫“若"字。此依南宋本。 九八類，戴震輯錄本作“幕"，亦通。此依南宋本。 九九南宋本、大典本脫“二十五者，圓幕也"七字。依李演校補。

Champ rectangulaire

187

AUTRE PROCÉDURE: LE DIAMÈTRE ET LA CIRCONFÉRENCE ÉTANT MULTIPLIÉS L'UN PAR L'AUTRE, ON DIVISE PAR

4.

Ici, la circonférence est identique à celle du segment de cercle précédent 150. Quand « le diamètre et la circonférence sont multipliés l'un par l'autre», chacun devrait être pris à moitié 151 ; or ici le diamètre et la circonférence sont tous deux pris entiers. C'est pourquoi on multiplie les deux dénominateurs l'un par l'autre, ce qui fait 4, pour en diviser en retour 152. Avec ma procédure 153, on multiplie la circonference par 50, et on divise par 157, pour donner le diamètre. On multiplie le diamètre par 157, et on divise par 50, pour donner la circonférence. Dans la nouvelle procédure, le lü du diamètre devrait être encore légèrement plus petit. Si on s'appuie sur la circonférence pour chercher le diamètre, on se trompe sur lui par excès. Si on s'appuie sur le diamètre pour chercher la circonférence, on se trompe sur elle par défaut. Dans tous les (cas) où l'on s'appuie sur le diamètre réel pour trouver l'aire (mi), on se trompe sur elle légèrement par défaut. Dans tous les (cas) où l'on s'appuie sur la circonférence pour trouver l'aire (mi), on se trompe sur elle légèrement par excès 154. Li Chunfeng et ses associés commentent: En s'appuyant sur les lü plus précis, on multiplie la circonférence par 7 et l'on divise par 22, pour donner le diamètre. On multiplie le diamètre par 22 et l'on divise par 7, pour donner la circonférence. On s'appuie sur la procédure pour la (l'aire) chercher, ce qui donne le résultat 155. AUTRE PROCÉDURE: LE

DIAMÈ~RE ÉTANT MULTIPLIÉ PAR LUI-MÊME 156, ON MULTIPLIE CECI PAR

3 ET ON DIVISE PAR 4. Commentaire 157 : Quand le diamètre du cercle est multiplié par lui-même, cela fait le carré extérieur. Si « on multiplie ceci par 3 et qu'on divise par 4 », cela correspond au fait que le cercle occupe les 3/4 de ce carré extérieur. Mais, si l'on effectue la multiplication d'un côté de l'hexagone par le demi-diamètre, l'aire (mi) correspondante donne 114 de ce carré extérieur; et si on multiplie ceci par 3, cela occupe alors aussi 3/4 du carré extérieur. Or ceci correspond à l'aire (mi) du dodécagone à l'intérieur du cercle. En le prenant à la place du cercle, on se trompe sur elle (l'aire) légèrement par défaut. Avec ma nouvelle procédure 158, il faut multiplier le diamètre par lui-même, puis multiplier ceci par 157 et diviser par 200. Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Avec les lü plus précis, on effectue la multiplication du diamètre par lui-même, on multiplie ceci par 11 et on divise par 14, ce qui donne l'aire (mi) du cercle. AUTRE PROCÉDURE 159: LA CIRCONFÉRENCE ÉTANT MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME, ON DIVISE PAR

12.

La circonférence de l'hexagone est au diamètre du cercle comme 3 est à 1 ; c'est pourquoi la multiplication par elle-même de la circonférence de l'hexagone fait une aire (mi) qui est comme 9 carrés d'aire le produit par lui-même du diamètre du cercle. Ces 9 carrés font en tout 12 dodécagones, c'est pourquoi on dit qu'« en divisant par 12 », cela donne l'aire (mi) du dodécagone 160. Si, ici, l'on effectue la multiplication de la circonférence par elle-même, cela ne fait pas seulement comme 9 carrés d'aire le produit par lui-même du diamètre du cercle. S'il en est ainsi, alors, « en divisant par 12 », ce qu'on obtient n'est pas non plus de la catégorie du dodécagone 161. Si l'on veut prendre ceci comme l'aire (mi) du cercle, on se trompe sur elle par excès.

圓幕三萬一千四百分。皆以一千二百五十六約之，得此率。

臣塗凰i

等謹按:方面自乘即得其積。圓周求其幕，假率乃通一00 。但此術所求 用三、一為率。圓田正法，半周及半徑以相乘。今乃用全周自乘-0一， 故須以十二為母。何者。據全周而求半周，則須以二為法。就全周而求

半徑，復假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之數。依密率，以七乘

之，八十八而一。

今有宛田一0二，下周三十步?徑十六步。間為 回幾付。

苓曰:一百二十步。

又有宛回四八?下周九十九步，徑五十一步 O 間為田幾何。

答曰:五欽六十二步四分步之一。 術曰:

以徑乘周，四而一。此術不驗。故推方錐以

見其形。假令方錐下方六尺，高四尺。四尺為股，下方之半三尺為句。

正面邪為弦，弦五尺也。令句、弦相乘一0三，四因之，得六十尺，即方 錐凹面見者之幕。若令其中容圓錐，圓錐見幕與方錐見幕 i 其率猶方暮

之與圓幕也一0 四。按:方錐下六尺，則方周二十四尺。以五尺乘而半之， 則亦方錐之見幕。故求圓錐之數，折徑以乘下周之半，即圓錐之幕也。

-00 假，南宋本、大典本訛作“股"。依戴震校正。 一0一今，南宋本訛作“令"。此依戴震輯錄本。 一0二宛，戴震輯錄本作“ 聚珍版訛作“

"。李籍《音義》云:

"。此依南宋本。

一0三弦，南宋本、大典本訛作“股"。依戴震校正。 -0 四圓幕，大典本訛作“圓錐"。此依南宋本。

“

，當作 6 宛'，字之誤也。"

Champ rectangulaire

189

Utiliser la circonférence de l'hexagone, puis la division par 12, c'est possible. Avec ma nouvelle procédure 162, on effectue directement la multiplication de la circonférence du cercle par elle-même, puis on multiplie ceci par 25, on le divise par 314, et on obtient l'aire (mi) du cercle. Les lü correspondants: 25, c'est l'aire (mi) du cercle, et 314, c'est l'aire (mi) de la multiplication de la circonférence par elle-même 163. Plaçons, comme valeur (shu) de la circonférence, 6 chi 2 cun 8 fen, effectuons-en la multiplication par elle-même, on obtient comme aire (mi) 394 384fen. Plaçons ensuite, pour l'aire (mi) du cercle, 31 400 fen. Si on les simplifie tous deux par 1 256, on obtient ces lü.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Quand le côté d'un carré est multiplié par lui-même, cela donne comme résultat le produit (Ji) correspondant. Si l'on cherche, à l'aide de la circonférence du cercle, son aire (mi), ils communiquent par le biais des lu· 164 . Mais, pour ce qui est cherché dans cette procédure, on utilise, comme lü, 3 et 1. La méthode correcte pour le champ circulaire, c'est de prendre la demi-circonférence et le demi-diamètre pour les multiplier l'un par l'autre. Ici, cependant, comme on utilise la circonférence dans son entier pour la multiplier par ellemême, alors il faut prendre 12 comme dénominateur. Pourquoi cela? Si l'on s'appuie sur la circonférence entière pour chercher la demi-circonférence, alors il faut prendre 2 comme diviseur; si l'on se sert de la circonférence entière pour chercher le demidiamètre, à nouveau on utilise 6 pour diviser. Par suite, 2 et 6, multipliés l'un par l'autre, divisent la valeur (shu) que donne la multiplication par elle-même de la circonférence. En s'appuyant sur les lü plus précis 165, on multiplie ceci par 7 et on divise par 88. (1.33) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP EN FORME DE CAlOTTE SPHÉRIQUE 166 DONT LA CIRCONFÉRENCE INFÉRIEURE VAUT

30

BU, ET LE DIAMÈTRE TRANSVERSE

16 BU.

ON DEMANDE COMBIEN FAIT

LE CHAMP. RÉPONSE:

120 BU.

(1.34) SUPPOSONS

A NOUVEAU 167

QU'ON AIT UN CHAMP EN FORME DE CALOTTE SPHÉRIQUE DONT LA

CIRCONFÉRENCE INFÉRIEURE VAUT

99

BU ET LE DIAMÈTRE TRANSVERSE

51

BU. ON DEMANDE

COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

5 MU 62 BU 114 DE BU.

PROCÉDURE 168 : ON MULTIPLIE LA CIRCONFÉRENCE PAR LE DIAMÈTRE ET ON DIVISE PAR

4.

Cette procédure ne se vérifie pas. On raisonne à dessein sur le cône à base carrée pour faire apparaître cette forme 169. Supposons que l'on ait un cône à base carrée dont le carré de base ait 6 chi de côté et la hauteur 4 chi. 4 chi font la hauteur (gu) ; la moitié du côté du carré inférieur, 3 chi, font la base (gou)170. La hauteur en oblique 171 faisant l'hypoténuse, l'hypoténuse vaut 5 chi.

今宛田上徑圓穹，而與圓錐同術，則幕失之於少矣。然其術難用，故略 舉大較，施之大廣田也。求圓錐之幕，猶求關田之幕也。今用兩全相乘，

故以四為法-0玉，除之，亦如圓田矣。開立圓術說圓方諸率甚備，可以 驗此。

今有弧回?弦三十步?矢十五步。間為田幾 何-o

答曰:一欽九十七步半。

又有弧回?弦七十八步二分步之-p 矢十三

步九分步之七 O 間為田幾何。 苓曰:二飲一百五十五步八十一分步之

五十六。 術曰:以弦乘矢?矢又自乘?并之?二而 一祖國 O

方中之圓，圓裹十二飢之幕，合外方之幕四分之三也。中方合

外方之半-0六，則朱青合外方四分之一也一0七。弧田，半圓之幕也。故 依半圓之體而為之術。以弦乘矢而半之則為黃幕六五，矢自乘而半之為 二青幕一 OJ\.. 。育、黃相連為弧體，弧體法當應規一0九。今為)[面不至外

一0五南宋本、大典本脫“四"字。依戴震校補。 一0六中方，南宋本、大典本誤倒作“方中" 。依李演校正。 一0七青，戴震輯錄本訛作“寶"。此依南宋本。 -OJ\. 戴震輯錄本於“之"下有“則"字，亦迪。此依南宋本。 一0九戴震輯錄本脫一“弧體"。此依南宋本。

Champ rectangulaire

191

En effectuant la multiplication l'une par l'autre de la base (gou) et de l'hypoténuse, et en multipliant ceci par 4, on obtient 60 chi, ce qui donne l'aire (mi) des quatre faces apparentes sur le cône à base carrée. Si l'on inscrit un cône à base circulaire en son milieu, les lü de l'aire (mi) apparente du cône à base circulaire et de l'aire (mi) apparente du cône à base carrée sont comme l'aire (mi) du carré est à l'aire (mi) du cercle 172. Commentaire : comme le cône à base carrée a, en bas, 6 chi de côté, le périmètre du carré vaut 24 chi; si on multiplie par 5 chi et que l'on prend la moitié de ceci, cela donne également l'aire (mi) apparente du cône à base carrée. Donc pour trouver la valeur (shu) [de l'aire} du cône à base circulaire, on réduit [de moitié} le diamètre (jing) pour le multiplier par la moitié de la circonférence inférieure, ce qui donne l'aire (mi) du cône à base circulaire. Ici le diamètre est, sur le dessus d'un champ en forme de calotte sphérique, une voûte circulaire; or il (ce champ) partage la même procédure avec le cône circulaire : c'est donc que l'on se trompe sur l'aire (mi) par défaut 173. Cependant cette procédure est difficile à traiter 174 ; c'est pourquoi on en a donné, de manière sommaire, les grandes lignes, que l'on peut appliquer aux grands champs. Chercher l'aire (mi) du cône circulaire, c'est comme chercher l'aire (mi) du champ circulaire. Ici on utilise les deux (circonférence et diamètre) dans leur entier pour les multiplier l'une par l'autre, c'est pourquoi on prend 4 comme diviseur et l'on divise ceci : c'est aussi comme le champ circulaire. Comme j'ai expliqué de manière exhaustive tous les lü pour le rectiligne et le circulaire dans la procédure d'extraction de la racine sphérique, on peut les utiliser pour vérifier ceci 175. (1.35) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP EN FORME DE SEGMENT CIRCULAIRE 176 DONT LA CORDE VAUT

30 BU ET LA FLÈCHE 15 1 MU 97

RÉPONSE:

BU. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP.

BU ET DEMI.

(1.36) SUPPOSONS

A NOUVEAU

CORDE VAUT

78

BU ET

QU'ON AIT UN CHAMP EN FORME DE SEGMENT CIRCULAIRE DONT LA

1/2

BU, LA FLÈCHE

13

BU ET

7/9 DE

BU. ON DEMANDE COMBIEN FAIT

LE CHAMP. RÉPONSE:

2

MU

155

BU

56/81 DE BU.

PROCÉDURE: ON MULTIPLIE LA FLÈCHE PAR LA CORDE. LA FLÈCHE EST EN OUTRE MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME. ON SOMME CEUX-CI (LES RÉSULTATS) ET ON DIVISE PAR

2.

L'aire (mi) du dodécagone inscrit dans le cercle lequel est lui-même inscrit dans le carré correspond aux 3/4 de l'aire (mi) du carré extérieur. Comme le carré central correspond à la moitié du carré extérieur, alors vermillon et bleu-vert correspondent à 114 du carré extérieur 177. Le champ en forme de segment circulaire a la moitié du cercle pour aire (mi) ; c'est pourquoi 178 on s'appuie sur le corps du demi-cercle pour faire cette procédure. En « multipliant la flèche par la corde» et en prenant la moitié de ceci, cela fait alors l'aire (mi) jaune; en « multipliant la flèche par elle-même» et en prenant la moitié de ceci, cela fait les 2 aires (mi) bleu-vert. Si, en accolant, les unes à l'autre, les bleu-vert et la jaune, cela fait le corps du segment circulaire, le corps du segment circulaire doit, de par la règle, correspondre à celui du cercle 179. Mais comme ici les côtés du polygone n'atteignent pas au pourtour extérieur, on se trompe sur elle (l'aire) par défaut. Il en va de même quand l'ancienne procédure pour le champ circulaire prend pour lü 3 pour la circonférence et 1 pour le diamètre : obtenant en tout l'aire du dodécagone, on se trompe également sur elle par défaut 180.

畔一一0 ，失之於少矣。圓田舊術以周三徑一為率一一一，俱得十二佩之 幕一一一，亦失之於少也，與此相似。指驗半圓之弧耳一一二。若不滿半圓

者，益復踩闊。宜依旬股鋸圓材之術一一凹，以弧弦為鋸道長，以矢為 鋸深一一五，而求其徑。既知圓徑，則弧可割分也。割之者，半弧田之弦

以為股，其矢為旬，為之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦為旬，半

圓徑為弦，為之求股。以減半徑，其餘即小弦之矢也一一六。割之又割。 使至極細。但舉弦、矢相乘之數，則必近密率矣。然於算數差繁，必欲

有所尋究也一一七。若但度田，取其大數一一入，舊術為約耳。

今有環田，中周九十二步?外周一百二十二

步，徑五步。此欲令與周三徑一之率相應，故吉徑五步也。據中、 外周，以邀術言之，當徑四步一百五十七分步之一百二十二也。

臣達Jl

等謹按:依密率，合徑四步二十二分步之十七。間為田幾付。 答曰:二故五十五步。於邀術，當為田二敵三十一 步一百五十七分步之三十三。

臣追Jl等依密率，為田二敵三

十步二十二分步之十五。

又有環田一九中周六十二步四分步之三，外

一一。今輒面，南宋本、大典本訛作“令弧而"，依戴震校正。 一一一戴震輯錄本脫“田"字。此依南宋本。 一一一幕，大典本訛作“弧"。此依南宋本。

一一二弧，戴震輯錄本作“軍"，亦迪。此依南宋本。

一一回戴震輯錄本脫“依"字。此依南宋本。 一一五鋸，南宋本、大典本訛作“句"。依李演校正。

一一六弦，李演改作“弧"，似無必要。依涯校本恢復南宋本、大典本原文。 一一七戴震輯錄本脫“所"字。此依南宋本。 一一人戴震輯錄本脫“數"字。此依南宋本。 一一九戴震輯錄本置此間於在術文之劉邀注“餘則環實也"之下。此依南宋本。

Champ rectangulaire

193

Ici, (la procédure) n'est vérifiée que pour le segment circulaire qui vaut la moitié du cercle 181. S'il (le segment circulaire) ne remplit pas le demi-cercle, cela augmente d'autant plus l'imprécision. Il convient alors de s'appuyer sur la procédure du [problème} où l'on scie un rondin circulaire du (chapitre) « base (gou) et hauteur (gu) » et de chercher le diamètre [du cercle} correspondant en prenant la corde du segment circulaire comme longueur du trajet de la scie, et la flèche comme profondeur de la partie sciée 182. Une fois que l'on connaît le diamètre du cercle, alors on peut couper le segment circulaire en parties. Si on le coupe, la moitié de la corde du champ en forme de segment circulaire est prise comme hauteur (gu) ; la flèche correspondante est prise comme base (gou) ; et l'on cherche l'hypoténuse qui leur correspond, ce qui donne l'hypoténuse/corde (xian) du petit segment circulaire. On prend la moitié de la corde du petit segment circulaire comme base (gou), la moitié du diamètre du cercle comme hypoténuse et on cherche la hauteur (gu) qui leur correspond. On la soustrait du demidiamètre; le reste donne la flèche correspondant à la petite hypoténuse/corde 183. On coupe ceux-ci (les segments) et on les recoupe de sorte à atteindre l'extrêmement fin 184. Il suffit d'utiliser les valeurs (shu) données par les multiplications les unes par les autres des cordes et des flèches, et alors on s'approche nécessairement de lü plus précis 185. Quoique, pour ce qui est des quantités (shu) calculées, elles sont de plus en plus complexes 186, il y a certainement quelque chose qu'on doit chercher jusqu'au bout. Si l'on mesure seulement un champ, que l'on en prend les dimensions (shu) en gros, l'ancienne procédure donne [un résultat} approximatif, et cela suffit 187.

(1.37) SUPPOSONS QU'ON AIT UN CHAMP EN FORME D'ANNEAU 188 DONT LA CIRCONFÉRENCE INTÉRIEURE VAUT

92

BU, LA CIRCONFÉRENCE EXTÉRIEURE

122

BU, ET LE DIAMÈTRE TRANSVERSE

5 BU. Ici, on veut faire en sorte que cela (les données) corresponde aux lü de 3 pour la circonférence, et de 1 pour le diamètre; c'est pourquoi l'on dit que « le diamètre transverse vaut 5 bu ». Si on l'exprimait en s'appuyant sur ces [valeurs des} circonférences intérieure et extérieure, et avec ma procédure 189, cela devrait être un diamètre transverse de 4 bu 1221157 de bu.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: En s'appuyant sur les lü plus précis, cela devrait être un diamètre transverse de 4 bu 17/22 de bu. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE: 2 MU

55

BU.

Avec ma procédure, cela devrait faire un champ de 2 mu 31 bu 231157 de bu. Li Chunfeng et ses associés s'appuient sur les lü plus précis: cela fait un champ de 2 mu 30 bu 15/22 de bu.

周一百一十三步二分步之-9 徑十二步三分 步之二。此田環而不通臣，故徑十二步三分步之二。若據上周求徑者， 此徑失之於多，過周三徑一之率，蓋為辣矣。於徽術，當徑八步六百二十 八分步之五十一。

臣淳風等謹按:依周三徑一考之，合徑八步二十四分

步之一十一。依密率，合徑八步一百七十六分步之一十三 O 間為田 幾何 O

答曰:四飲一百五十六步四分步之一。 於徽術，當為田二敵二百三十二步五千二十四分步之七百八十 七也。依周三徑一，為田三敵二十五步六十四分步之二十五

一二0

臣達1直等謹按:密率，為田二敵二百三十一步一千四

百八分步之七百一十七也。

術曰:并中、外周而半之?以徑乘之?為 積步。 此田截而中之周則為長一二一。并而半之知一入，亦以盈補虛 也。此可令中、外周各自為圓田，以中圓滅外圓，餘則環實也。

密率術曰一二二:置中、外周步數 9 分母、子

各居其下一二三。母互乘子?通仝步?內分 子一二四 O

以中周減外周 9 徐半之?以益中

一二0 後一“二十五"，戴震輯錄本訛作“三十五"。此依南宋本。 一二一南宋本、大典本原文不誤。戴震將以上八字改作“截齊中外之周，周則為長"， 錢校本改作“截齊中外之周為長"，無必要。今依涯校本恢復南宋本、大典本原文。 一二二戴震輯錄本無“密率"二字。此依南宋本。

一二三南宋本、大典本脫“母"字。依戴震補。 一二四南宋本、大典本以上十字不誤，戴震改作“分母相乘，通全步，內分子，并而半 之"，無必要。依錢校本恢復南宋本、大典本原文。

Champ rectangulaire

195

(1.38)

A NOUVEAU 190 QU'ON AIT UN CHAMP EN FORME D'ANNEAU DONT LA CIRCONFÉRENCE INTÉRIEURE VAUT 62 BU 3/4 DE BU, LA CIRCONFÉRENCE EXTÉRIEURE 113 BU ET 1/2 BU, ET LE DIAMÈTRE TRANSVERSE 12 BU 2/3 DE BU. SUPPOSONS

Ce champ est en forme d'anneau, mais il ne fait pas un tour complet, c'est pourquoi le diamètre transverse vaut 12 bu 2/3 de bu 191. En effet, si l'on s'appuie sur les circonférences précédentes pour chercher le diamètre transverse, l'erreur par excès sur ce diamètre transverse dépasse le fait de prendre les lü de 3 pour la circonférence et de 1 pour le diamètre, ce qui serait très imprécis. Avec ma procédure, cela devrait être un diamètre transverse de 8 bu 51/628 de bu.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Si l'on examine la situation en s'appuyant sur [les valeurs de} 3 pour la circonférence et de 1 pour le diamètre, cela devrait être un diamètre transverse de 8 bu 11/24 de bu. En s'appuyant sur les lü plus précis, cela devrait être un diamètre transverse de 8 bu 13/176 de bu. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP. RÉPONSE:

4

MU

156 BU 1/4 DE BU.

Avec ma procédure, cela devrait faire un champ de 2 mu 232 bu 787/5 024 de bu. Si l'on s'appuie sur [les valeurs de} 3 pour la circonférence et de 1 pour le diamètre, cela fait un champ de 3 mu 25 bu 25/64 de bu.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Avec les lü plus précis, cela fait un champ de 2 mu 231 bu 717/1 408 de bu. PROCÉDURE: ON SOMME CIRCONFÉRENCES INTÉRIEURE ET EXTÉRIEURE, ET ON PREND LA MOITIÉ DE CECI. ON MULTIPLIE CECI PAR LE DIAMÈTRE TRANSVERSE, CE QUI FAIT LES BU DU PRODUIT (JI).

La circonférence centrale que produit la découpe du champ est prise comme longueur 192. La raison pour laquelle « on somme» puis qu'« on prend la moitié de ceci», c'est qu'également, avec ce qui est en excédent, on comble ce qui est vide. Ici, on peut faire en sorte que les circonférences intérieure et extérieure fassent chacune un champ circulaire, puis soustraire le disque intérieur du disque extérieur; le reste fait alors une aire (shi) en forme d'anneau 193.

周一二五。徑亦通分內子，以乘周為密實一二六 0

分母相乘為法。除之為積步，餘，積步之 分。以欽法除之，即欽數也。按:帥一二七，并中、 外周步數於上一二八，分母、子於下一二九，母互乘子者一三0 ，為中、外周 俱有分一二一，故以互乘齊其子，母相乘同其母。子齊母同，故通全步，

內分子。半之知一八，以盈補虛，得中平之周。周則為從，徑則為廣， 故廣從相乘而得其積。既合分母，還須分母出之。故令周、徑分母相乘

而連除之，即得積步。不蠱，以等數除之而命分。以高久法除積步，得敵

數也。

一二五南宋本、大典本脫“以益中周"四字。戴震補此四字，又在“以中周"上補“又 可"二字。今依錢校本校捌“又可"二字。

一二六戴震輯錄本無“密"字。此依南宋本。

一二七此條劉注，南宋本接上條劉注“餘則環實也"之下。此依戴震輯錄本。 一二人戴震在屈、孔二刻本中改“并"作“置"，無必要。今依涯校本恢復南宋本、大 典本原文。 一二九戴震輯錄本於“分"上衍“以"字， “子"下有“置"字。此依南宋本。 一三O 南宋本脫“互"字。此依戴震輯錄本。 一二一戴震輯錄本“分"字前有“餘"字，亦通。此依南宋本。

Champ rectangulaire

197

PROCÉDURE DES LÜ PLUS PRÉCIS 194 : ON PLACE LES QUANTITÉS (SHU) DE BU DES CIRCONFÉRENCES INTÉRIEURE ET EXTÉRIEURE 195 ; LES NUMÉRATEURS ET LES DÉNOMINATEURS SONT CHACUN RESPECTIVEMENT PLACÉS SOUS CELLE QUI LEUR CORRESPOND. LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIENT LES NUMÉRATEURS QUI NE LEUR CORRESPONDENT PAS ET (AVEC), ON FAIT COMMUNIQUER LES NOMBRES ENTIERS DE BU 196, CE (LES NOMBRES ENTIERS DE BU MIS EN COMMUNICATION) QU'ON INCORPORE AUX NUMÉRATEURS. ON SOUSTRAIT LA CIRCONFÉRENCE INTÉRIEURE DE LA CIRCONFÉRENCE EXTÉRIEURE, ON PREND LA MOITIÉ DU RESTE, ET ON EN AUGMENTE LA CIRCONFÉRENCE INTÉRIEURE 197. POUR LE DIAMÈTRE TRANSVERSE, ON FAIT ÉGALEMENT COMMUNIQUER LES PARTS ET ON INCORPORE AU NUMÉRATEUR; ON MULTIPLIE PAR CECI LA CIRCONFÉRENCE 198, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE PRÉCIS. LES DÉNOMINATEURS MULTIPLIÉS LES UNS PAR LES AUTRES FONT LE DIVISEUR. DIVISER (LE DIVIDENDE) PAR CECI FAIT LES BU DU PRODUIT (JI) ET CE QUI RESTE, CE SONT LES PARTS DE BU DU PRODUIT (JI)199. DIVISER CECI (LA PARTIE ENTIÈRE DU RÉSULTAT) PAR LE DIVISEUR DES MU DONNE LA QUANTITÉ (SHU) DE MU.

Commentaire 200 : Dans cette procédure, on somme les quantités (shu) de bu des circonférences intérieure et extérieure en haut, et (on place) les dénominateurs et les numérateurs en bas 201. La raison pour laquelle « les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur correspondent pas », c'est parce que les circonférences extérieure et intérieure ont toutes deux des parts 202 ; donc en les multipliant par ce qui ne leur correspond pas, on homogénéise les numérateurs et « en multipliant l'un par l'autre les dénominateurs », on égalise les dénominateurs. Les numérateurs sont homogénéisés, les dénominateurs égalisés, donc « on fait communiquer le nombre entier de bu et l'on incorpore les numérateurs ». La raison pour laquelle on « prend la moitié », c'est qu'avec ce qui est en excédent, on comble ce qui est vide 203, d'où l'on obtient la circonférence moyenne. La circonférence fait alors la longueur, le diamètre transverse la largeur, c'est pourquoi « largeur et longueur étant multipliées l'une par l'autre », par suite l'on obtient le produit (Ji) correspondant 204. Etant donné qu'il comporte les dénominateurs, il faut à l'inverse en faire sortir ces dénominateurs ; c'est pourquoi on effectue la multiplication des dénominateurs des circonférences et du diamètre, et on divise d'un coup 205, d'où l'on obtient les bu du produit (Ji). Ce qui n'est pas épuisé, on le divise par le nombre égal et on nomme les parts 206. Si on divise les bu du produit par le diviseur des mu, on obtient la quantité (shu) de mu.

PRÉSENTATION DU CHAPITRE «

2

Petit mil et grains décortiqués»

par Karine

CHEMLA

pour mon frère aîné Zhengzhong, en souvenir

Le chapitre « Petit mil et grains décortiqués» s'ouvre sur un algorithme qui s'avère, à plus d'un titre, fondamental pour la lecture du Classique: la règle de trois ou, dans les termes des Neuf chapitres, la « Procédure du "supposons" ». C'est donc à lui que nous con,sacrerons l'essentiel de cette introduction. Toutefois, dans une première partie, à côté de la règle de trois, nous discuterons également des autres principales procédures du chapitre 2, car elles n'ont pas manqué de poser, dans le passé, quelques problèmes d'interprétation. Notre seconde partie se concentrera, en revanche, sur la « Procédure du "supposons" », telle que nous pouvons l'appréhender par le biais des commentaires. Nous y évoquerons tout d'abord la démonstration que donne Liu Hui de la correction de cet algorithme, dans la mesure où elle présente des traits intéressants et caractéristiques. Puis nous étudierons plus largement le rôle dévolu à la procédure elle-même dans les démonstrations de la correction d'autres algorithmes du Classique. Ce panorama nous mettra en position de discuter, en conclusion, du caractère fondamental que les commentateurs attribuent à la règle de trois.

1.

LES PROCÉDURES DU CHAPITRE « PETIT MIL ET GRAINS DÉCORTIQUÉS »

1.

La« Procédure du "supposons"

»

et ses grains

Le deuxième, tout comme le troisième et le quatrième, des Neuf chapitres débutent sur un format de présentation qui paraît les distinguer de tous les autres. Par contraste avec l'usuelle séquence problème-réponse-procédure, qui caractérise les ouvertures des autres sections du Classique, ils promeuvent, en tête de chapitre, l'énoncé d'un algorithme, hors du contexte de tout problème. Y fait suite, en revanche, une longue suite de problèmes dont les procédures de résolution paraissent se cantonner à une application de l'algorithme général. C'est du moins ce que les commentateurs mettent en évidence, lorsqu'ils prenner-t la peine d'établir leur correction. Dans ce contexte, l'introduction du chapitre 2 présente une légère variation, puisqu'avant même l'énoncé de la « Procédure du "supposons" », il fournit, sous la forme d'une liste, une table générale de noms de grains, accompagnés, chacun, d'une valeur numérique. Ces dernières précisent l'équivalence officielle entre les différents types de grains, renvoyant ainsi sans doute au contexte administratif du prélèvement de l'impôt et de la rétribution des fonctionnaires en nature, nous y reviendrons cidessous. Retenons dès à présent que c'est l'échange de grain qui fournit le thème privilégié en relation avec lequel Les Neuf chapitres traitent la règle de trois. Les deux premiers caractères de l'intitulé de la table d'équivalences constituent d'ailleurs le titre du chapitre.

a) La règle de trois Le terme de lü, qui apparaît dès le début de la table pour en qualifier les valeurs numériques, sera immédiatement repris dans l'énoncé de la « Procédure du "supposons" ». Il désigne la propriété des nombres donnés de n'être signifiants que les uns relativement aux autres. On peut en conséquence,

200

Les Neuf chapitres

dès que l'on prélève dans la liste un couple de grains, diviser ou multiplier les valeurs correspondantes par une quantité quelconque sans affecter leur signification, relative. C'est ce que feront nombre de problèmes des Neuf chapitres dont la procédure de solution puise dans cet ensemble de données et simplifie en fonction du couple ou du triplet retenu. En particulier les trente et un premiers problèmes du chapitre 2, qui proposent, sur un même modèle, de calculer l'équivalent d'une quantité de grain d'une certaine sorte dans une autre sorte, s'appuient systématiquement sur ces nombres. Telle qu'elles se trouvent dans la table générale, cependant, les valeurs ont dans leur ensemble la propriété de pouvoir être transformées de concert sans que la signification de leur tout ne change, ce que le commentateur Liu Hui souligne d'entrée de jeu. Il est intéressant, sous ce rapport, de constater que si le manuscrit sur lattes de bambou des Han occidentaux récemment excavé, le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu), présente également la règle de trois en relation avec l'échange de grain et si nombre de valeurs qui y régulent les équivalences entre grains particuliers sont conformes à celles des Neuf chapitres, on n'y relève en revanche aucune table générale qui régisse ainsi de manière globale toutes les opérations de transformation 1, pas plus qu'on y trouve d'énoncé abstrait de la procédure. Le regroupement des équivalences entre grains sous la forme d'un ensemble - pour l'essentiel - d'entiers, dépourvus d'unités de mesure, fait donc pendant à la formulation d'une procédure abstraite qui commande à l'ensemble des échanges. Nous avons déjà rencontré 2 1e concept de lü dans les commentaires au chapitre 1. Mais c'est ici seulement que le Classique lui-même l'introduit et l'articule avec l'algorithme fondamental qui lui est associé: la « Procédure du "supposons" 3 ». Citons-en l'énoncé pour en esquisser une analyse: « PROCÉDURE DU "SUPPOSONS" :

ON MULTIPLIE, PAR LA QUANTITÉ DE CE QUE L'ON A, LE LÜ DE CE QU'ON CHERCHE, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ON PREND LE LÜ DE CE QU'ON A COMME DIVISEUR. ET ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR. »

On le constate: l'énoncé, qui prescrit une multiplication suivie d'une division, est abstrait et général, ne faisant référence ni à des valeurs, ni à des circonstances particulières. Il repose sur une terminologie à quatre termes (en gras dans la traduction), structurée selon deux axes: elle oppose les quantités aux lü, d'une part, « ce que l'on a » à « ce que l'on cherche », d'autre part. Nous verrons plus loin comment ces termes sont mis en œuvre lorsqu'un commentaire mobilise la règle de trois au cours d'une démonstration. Pour ce qui est de la procédure, « ce que l'on a » qualifie les valeurs relatives à la grandeur qui nous est donnée à convertir, tandis que « ce que l'on cherche » accompagne les valeurs se rapportant à la grandeur en laquelle on la transforme. Le terme de « quantité », lui, désigne les valeurs réelles: celle dont on dispose au départ, et celle qu'on obtiendra par transformation. En revanche, le substantif lü renvoie aux deux nombres qui énoncent l'équivalence entre les deux grandeurs concernées et qui régulent ainsi les transformations de l'une en l'autre. Typiquement, pour les grains, ces valeurs sont à prélever dans la table générale. La règle de trois s'appuie donc, selon la terminologie des Neuf chapitres, sur le couple du « lü de ce que l'on a » et du « lü de ce que l'on cherche», ainsi que sur la « quantité de ce que l'on a », pour Voir [Peng Bao .6.2001a), par exemple, lattes de bambou lattes 88 à 90 et 109-110, pp. 80,88-89. Soulignons que les équivalences entre grains y sont données, à la différence des Neuf chapitres, sous forme de nombres à unités. En revanche, lorsqu'ils entrent dans les règles de trois, ils deviennent entiers dénués d'unité de mesure. Peng Bao compare les valeurs standard d'échange des grains utilisées dans le Livre de procédures mathématiques avec les textes officiels plus ou moins contemporains, d'une part, et Les Neufchapitres, de l'aurre, relevant nombre de similarités, mais également des différences. 2. Voir l'introduction au chapitre 1, ainsi que l'entrée lü du glossaire. 3. Cette affirmation suppose que nous tenions ne serait-ce que le nom de la dernière procédure du chapitre 1 pour une interpolation (voir les notes correspondantes). 1.

Présentation du Chapitre 2 -

«

Petit mil et grains décortiqués»

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déterminer la « quantité de ce que l'on cherche ». On note par conséquent une dissymétrie factuelle entre les « quantités» et les « lü» : les lü sont des valeurs fondamentales auxquelles on revient dès lors que l'on effectue un échange entre les grandeurs qu'ils représentent; les quantités renvoient, elles, à des circonstances particulières. Par ailleurs, les lü sont des valeurs de nature spécifique, puisqu'à la différence des quantités, on peut les simplifier ou les multiplier ensemble par un même nombre sans affecter leur signification: le nouveau couple de valeurs régulera à l'identique les échanges entre les grandeurs correspondantes. La « Procédure du "supposons" » est essentiellement liée au concept de lü qu'elle met en œuvre, et dont la signification lui est intimement attachée. C'est pour prendre acte de son caractère éminemment général et abstrait que nous avons opté pour la traduction la plus littérale de son nom: l'expression de « supposons», Jin you, constitue la formule classique par laquelle Les Neuf chapitres débutent l'énoncé d'un problème. Peut-être est-ce au choix de cette appellation, pour le moins étonnante pour une procédure, que le commentateur répond, lorsqu'il débute son commentaire par les mots: « Ceci est une procédure universelle (dou shu).l » Il n'est cependant pas exclu que le nom de l'algorithme renvoie également à l'idée de « supposition », au sens où le « lü de ce qu'on cherche» représenterait une hypothèse relative à la quantité cherchée, correspondant à la valeur du « lü de ce que l'on a », et que l'algorithme s'appuierait sur cette équivalence pour déduire, de la valeur réelle de ce que l'on a, la quantité requise. Ainsi, la règle de trois reposerait sur une supposition simple par opposition à la « Procédure de l'excédent et du déficit», qui met en œuvre une supposition double 2 . Il est significatif que, parmi les documents mathématiques de la Chine ancienne à avoir survécu, seuls Les Neuf chapitres et leurs commentateurs retiennent cette appellation, qu'on ne trouve ni dans le Livre de procédures mathématiques, ni dans les autres des Dix Classiques de mathématiques réunis sous la dynastie des Tang 3, ni dans les ouvrages de la période Song-Yuan 4 . Relativement à un problème donné, la distribution, sur les différentes grandeurs en jeu, des qualificatifs « ce que l'on a » et « ce que l'on cherche» précise le rôle qu'y joue chaque valeur. Les noms une fois distribués, la fonction des valeurs dans l'algorithme se trouve assignée. Le mode de description de la « Procédure du "supposons" » en permet un usage clair et uniforme. Les commentateurs rendent compte des procédures de résolution des trente et un problèmes qui font suite à l'énoncé de la règle de trois, en mettant en évidence qu'elles n'en sont que des instanciations. Pour cela, ils distribuent de manière adéquate, entre les données des problèmes, les trois noms des fonctions qui entrent dans la « Procédure du "supposons" ». Il s'ensuit immédiatement une interprétation de ces procédures de résolution comme règle de trois. Pour expliquer l'énoncé de la « Procédure du "supposons" », nous avons recouru à l'exemple de la conversion entre grandeurs: ce n'était que reprendre le type de situation en relation avec lequel elle est introduite. C'est d'ailleurs, comme nous le verrons, ce que fait Liu Hui lorsque, dans son commentaire à l'algorithme général, il cherche à rendre compte de sa correction.

b) Mesures de grains: une clef historique Cette remarque nous ramène aux grains dont la table générale précède, dans le Classique, l'énoncé de la « Procédure du "supposons" ». Cette liste offre une vue d'ensemble sur les valeurs qui définissent les relations d'équivalence entre eux. Penchons-nous brièvement sur les indices que Les Neuf chapitres fournissent sur la nature de ces relations et sur les pratiques matérielles qui y sont associées. Ils nous permettront d'évoquer le contexte historique et social dont le Classique se fait ici l'écho. 1. [Wang Ling 1956a}, p. 172-173. Voir Jin you. 2. Voir le chapitre 7 des Neuf chapitres. C'est une hypothèse qu'avance [Ma Li 1993}, p. 1. 3. [Schrimpf 1963}, p. 164, relève la liste de problèmes résolus par application directe d'une règle de trois dans l'ensemble de ces ouvrages. 4. [Bai Shangshu L:::,.1982d} décrit le rôle que différents commentateurs ultérieurs ont conféré à la procédure et relève les divers noms qui lui ont été donnés au cours de l'histoire (pp. 253-254).

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Les Neuf chapitres

Rappelons, à titre de préambule, que les grains se mesuraient, en Chine ancienne, à l'aide d'unités de capacité 1. Sous les Han antérieurs, les unités supérieures des échelles de mesure de poids et de contenance étaient désignées par le même caractère: le dan 2 • Ce terme était appelé à se pérenniser pour le système des poids, et on le retrouve à ce titre aussi bien dans Les Neuf chapitres que dans la « Monographie de la gamme et du calendrier (Lü!i zhi) » de l'Histoire des Han (Hanshu) 3. En revanche, au plus tard au cours de l'interrègne de Wang Mang (9-25), sans qu'à ma connaissance on puisse aujourd'hui dater avec certitude l'avènement de cette transformation, un nouveau nom, le hu, voit le jour et supplante le dan comme la plus grande unité du système de capacité 4 . Cette première observation met en évidence le caractère crucial d'une différence entre le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu) et Les Neufchapitres: les mesures de contenance du premier ne recourent qu'au dan, tandis que le texte reçu du Classique n'utilise, lui, que le hu. Il y a là un indice capital pour la datation des Neuf chapitres. On peut espérer que les documents et artefacts excavés permettent bientôt de déterminer plus précisément la date de cette réforme et, partant, un terminus a quo pour la compilation du Classique. Si nous revenons aux grains rassemblés au début du chapitre « Petit mils et grains décortiqués », l'examen de leur liste dévoile la diversité des opérations concrètes qui permettent de passer des uns aux autres: décorticage, cuisson, fermentation, délayage, échange. Mais à quoi exactement renvoient les valeurs numériques qui apparaissent dans la table générale? Un premier type d'indices incite à en interpréter certaines comme fournissant les relations entre les volumes de grains obtenus l'un à partir l'autre par une opération technique. En effet, comme le problème 6.5 en témoigne, c'est l'opération de décorticage elle-même qui rend compte des rapports de 50 à 30, 27 et 24 entre une unité de petit mil non décortiqué et les grains grossièrement, passablement ou finement décortiqués correspondants 5. Un second groupe d'indices met, en revanche, en évidence le caractère officiel et normatif de ces valeurs. C'est au problème 5.25 que nous relevons le plus important d'entre eux : trois unités de capacité hu de volumes différents y sont définies, selon que l'on considère le petit mil, le grain décortiqué, ou encore le soja, le haricot mungo, le grain de chanvre et le blé 6, et leurs valeurs y sont présentées comme déterminées par règlement. Or les rapports entre elles correspondent exactement à ceux que donne notre table. L'interprétation de ce passage conditionne donc l'élucidation de la nature des valeurs numériques réunies au début du chapitre 2. Le problème 6.6 complète ces données, en nous fournissant des indications aussi précieuses qu'elles paraissent difficiles à concilier avec celles-ci : il y est question d'une gratification en petit mil qu'une pénurie des greniers de l'Etat amène à devoir convertir en soja et en grain décortiqué. Or la quantité de soja, déterminée par règle de trois, s'énonce à l'aide d'une unité hu identique à celle qui mesurait le petit mil. La confrontation avec le problème 5.25 impose donc de ne pas interpréter le caractère hu de la même manière dans les deux cas. A l'analyse, il apparaît que Les Neuf chapitres attestent deux usages distincts de l'unité du hu. L'un renvoie à une unité générale de capacité. Elle peut mesurer la laque (2)4), le sel (6.8), la contenance de récipients (7.13), aussi bien que les grains. Mais lorsqu'elle se rapporte aux grains, elle se caractérise par deux propriétés: d'une part, elle semble évaluer indifféremment les divers grains 1. Sur la mesure des grains et leur rôle dans la vie économique des Han, on peut se reporter à [Loewe 1961], qui examine également les unités de contenance liées à la mesure des grains dans Les Neufchapitres. 2. Nous avons choisi de transcrire cette unité « dan », dans la mesure où, en chinois moderne, c'est ainsi que se lit le caractère lorsqu'il désigne une unité de mesure. Cependant, on prendra garde au fait que, s'il se prononçait sans doute ainsi dès les Han quand il renvoyait aux poids, il se lisait shi en relation avec les contenances ([Loewe 1961], p. 76). 3. Hanshu,« Lüli zhi », p. 969. 4. [Loewe 1961], surtout pp. 73-74, suggère que le remplacement s'est produit à l'époque de Wang Mang, très précisément en l'an 9, voire un peu avant, sans que cela ne se soit accompagné d'une modification des valeurs des unités elles-mêmes. [Qiu Guangming, Qiu Long et Yang Ping .6..2001a], pp. 212-237, donne un panorama des vases étalons récemment trouvés lors des fouilles archéologiques qui paraît confirmer cette thèse. 5. Le problème 7.9 confirme ce point. 6. On se rappelle que les quatre derniers items sont associés à la même valeur dans la table.

Présentation du Chapitre 2 -

«

Petit mil et grains décortiqués»

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(petit mil, grains décortiqués, soja), entre lesquels on passe par des règles de trois fondées sur la table générale de valeurs; d'autre part, dans les situations où elle s'emploie, le petit mil est systématiquement présent - nous verrons la signification possible de ce détail ci-dessous. Le second usage du hu est très précisément localisé à la fin du chapitre 5 (problèmes 5.23 à 5.25,5.27 et 5.28) et se distingue par deux traits. D'une part, l'unité du hu, rapportée à différents grains selon les problèmes - et uniquement à des grains - , y est liée à une évaluation directe - sans règle de trois - de montants. D'autre part, le volume correspondant à ces hu et, partant, la nature de l'unité, diffèrent selon les grains mesurés. Selon toute vraisemblance, à ce dernier usage répond le fait que, dans ce passage, le terme de hu prend également un second sens, qui se profile lorsqu'après le problème 5.25, Les Neuf chapitres affirment: « LE HU DE RÈGLE POUR LE PETIT MIL A POUR VOLUME (JI) 2 CHI 7 CUN. DANS LE CAS OÙ C'EST UN HU DE GRAIN DÉCORTIQUÉ, IL A POUR VOLUME (JI) 1 CHI 6 CUN 1/5 DE CUN. ET DANS LES CAS OÙ C'EST UN HU DE SOJA, DE HARICOT MUNGO, DE GRAIN DE CHANVRE OU DE BLÉ, C'EST A CHAQUE FOIS 2 CHI 4 CUN 3/10 DE CUN. » Tout porte en effet à croire qu'ici, le Classique emploie hu dans son sens plus ancien d'« instrument standard de mesure de capacité» et qu'il renvoie donc à des vases étalons, dont les volumes diffèrent selon les grains mesurés. C'est tout d'abord clairement ainsi que Liu Hui l'interprète, puisqu'il lit ces hu, non pas comme des unités de mesure, mais comme différents instruments standard de capacité 1. C'est ensuite de la même façon que Li Chunfeng le comprend dans les pages relatives à l'histoire de tels vases qu'il insère dans la « Monographie sur la gamme et le calendrier» de l'Histoire des Sui. En témoigne le fait qu'après avoir cité ces lignes des Neuf chapitres, il poursuit: « Pour ce qui est des volumes de ces vases, c'est le hu du grain décortiqué qui est correct, par suite il est le même que dans la "Monographie (sur la gamme et le calendrier)" de l'Histoire des Han 2. » Or si l'on poursuit la lecture du commentaire au problème 5.25 des Neuf chapitres, on y trouve également la mention de cette monographie, en relation avec celle d'un autre vase pour le hu, lui parfaitement attesté et réalisé au temps de Wang Mang, déjà cité. Et nous pouvons relever, au sujet de ce dernier, un autre faisceau d'indices confirmant la lecture du caractère hu que nous proposons ici. Les commentaires au Classique discutent en effet à trois reprises de ce vase de Wang Mang. Si l'on met de côté le traitement lié au calcul de TC (1.32)3, les deux autres mentions sont précisément placées après les problèmes 5.25 et 5.28. En d'autres termes, ce vase fait l'objet d'une analyse précisément dans les passages où nous proposons de lire le texte des Neufchapitres comme renvoyant à des instruments standard de capacité destinés à mesurer les grains. De plus, l'un de ces instruments - celui correspondant au grain décortiqué - a le même volume de 1620 unités que ce vase de Wang Mang, selon l'inscription que ce dernier porte et que les commentateurs citent. De tout cela, que conclure? Plusieurs conséquences capitales se dégagent. Tout d'abord, Les Neuf chapitres témoigneraient de l'existence de vases standard officiels différents selon les grains, mais de volumes harmonisés pour définir des équivalences quantitatives 4. Ce point apporte une réponse à la question que nous posions sur la nature des valeurs numériques placées au début du chapitre 2 : en fournissant précisément les rapports entre ces volumes 5, la table 1. Son commentaire à ce passage parle explicitement de trois instruments de type vase, dont « aucun ne correspond au hu d'aujourd'hui» (je souligne). 2. Voir« Monographie sur la gamme et le calendrier (Lülizhi) », Suishtt, pp. 408-409. J'interprète ce passage différemment de [Loewe 1961J, p. 86. 3. N'oublions pas pour autant que la précision relative à la valeur de 1t se traduit directement, par l'intermédiaire des vases étalons, sur les émoluements des fonctionnaires et les prélèvements d'impôt! 4. Que tel soit l'enjeu, l'Histoire des Sui l'atteste également (p. 409). 5. [Song Jie L:>..1994J, p. 16, arrive à une conclusion semblable. Il est utile de préciser un point par comparaison avec le Livre de procédures mathématiques : si les listes d'équivalences entre grains qu'il délivre ne concernent pas un ensemble aussi varié que Les Neufchapitres et si les rapports formés ne sont que partiellement les mêmes, c'est également « par règlement» qu'ils sont édictés. Rien cependant, dans ce dernier ouvrage, ne paraît indiquer l'existence de mesures physiques incarnant ces valeurs.

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Les Neuf chapitres

générale définirait donc les taux officiels d'équivalence entre grains, tels qu'ils s'incarnent dans les instruments standard de mesure qui leur sont attachés. Ceci concorde tant avec le titre de la table: « Normes du petit mil et des grains décortiqués », qu'avec la qualification de « réglementaire» qui accompagne le terme de hu au problème 5.25. De cela par ailleurs, l'Histoire des Sui paraît témoigner, qui cite la table générale au sein de son histoire des vases étalons, pour en confronter une valeur avec un volume déterminé par Zheng Xuan (p. 408). Cette interprétation des Neuf chapitres entraîne deux autres conséquences. D'une part, le fait que nous y trouvions la mention d'instruments de mesure standard révèle une continuité d'intérêt entre le Classique et les commentaires, puisque la question des mesures officielles de capacité, de leur forme et du calcul de leur volume est un thème qu'abordent de façon récurrente tant Liu Hui que Li Chunfeng. D'autre part, cette interprétation rapproche Les Neuf chapitres de l'administration des finances, dont l'une des attributions consistait à édicter les mesures standard de contenance 1. Ce n'est pas le seul indice d'une telle contiguïté: nous nous rappelons que la première mention historique du Classique se trouve dans les inscriptions que portent des étalons produits en 179 par cette institution 2 . Le Chambellan du Trésor National (Dasinong) - pour reprendre le titre conféré à partir de 104 avant notre ère à celui qui la dirigeait - avait, entre autres responsabilités, celle d'administrer les greniers de l'Etat où l'impôt prélevé en grain était conservé ainsi que de gérer la rémunération, en nature ou en monnaie, des fonctionnaires et de l'armée, toutes opérations pour lesquelles instruments et unités de mesure officiels sont essentiels 3. Ce sont précisément là des situations qui fournissent leur objet à différents problèmes des Neufchapitres impliquant des grains. Nous laisserons pour l'heure la question des relations entre mathématiques et administration des finances, pour la reprendre dans l'introduction au chapitre 6, qui contient de nouveaux éléments significatifs à ce sujet. Sur un autre plan, au terme de cette analyse, nous constatons que Les Neuf chapitres témoignent de deux pratiques pour la mesure des grains. L'une d'entre elles s'appuie sur un ensemble d'instruments différents selon les grains. En opérant avec eux, les mêmes quantités de hu de deux types de grains sont équivalentes, à condition d'utiliser, dans chaque cas, les vases distincts adaptés 4 . C'est cette pratique qui sous-tend la dernière partie du chapitre 5. L'autre procédure de mesure du grain 1. Sur cette administration, je m'appuie sur [Bielenstein 1980], pp. 43 sq. 2. Voir chapitre B, p. 57. 3. Sur les salaires des fonctionnaires en grains, voir [Bielenstein 1980], chapitre 5, pp. 125 sq. Voir également [Yang Lien-sheng 1952], chapitre 1. 4. Cette pratique évoque le débat relatif à l'interprétation de deux unités de mesure mentionnées dans des sources Han: le « petit dan (shi) » et le « grand dan (shi) ». [Loewe 1961], pp. 78 sq., présente les positions de différents protagonistes. Il rapporte, en particulier, la thèse de Utsunomiya, K, dans son Kandai shakai keizai shi kenkyu, Tokyo, 1955, qui voit là la trace de l'existence et de l'usage de deux mesures de contenance, en fonction des grains traités. Toujours selon [Loewe 1961], p. 86, cet auteur appuie sa conclusion sur une interprétation des problèmes 5.23 à 5.28 des Neuf chapitres qui se trouve en parfaite conformité avec ce que je propose ici. Cependant, M. Loewe choisit de se ranger à une autre interprétation, proposée par Yang Lien-sheng, de ces deux noms d'unités. [Yang Lien-sheng 1961], p. 81, discute de cette question, dans le contexte d'un survol plus général de types de circonstances, au long de l'histoire chinoise, dans lesquelles un même nom de mesure a recouvert des réalités en fait différentes. Il interprète la présence du « petit dan (shi) » et du « grand dan (shi) » dans les sources d'époque Han en relation avec l'usage d'une unique unité - peut-être, ajouterais-je, d'un unique étalon - pour mesurer différents types de grain. Le qualificatif de « petit» ou de « grand» renverrait au grain mesuré (respectivement le grain non décortiqué et le grain décortiqué) et indiquerait que la même unité n'a pas, selon les grains, la même valeur. Si tel est le cas, on peut noter une différence avec ce qu'atteste la fin du chapitre 5 : ici, à des nombres de hu et à des valeurs identiques correspondraient, pour divers grains, des volumes différents, tandis que là, à des volumes et des nombres de dan identiques correspondraient des valeurs distinctes selon les grains. Insistons sur le fait que, dans tous les cas, le rapport du petit mil au grain non décortiqué garde sa valeur de 5 à 3. [Guo Zhengzhong ..é::,.1993], pp. 330 sq., esquisse l'état actuel de ce débat. Les découvertes archéologiques joueront un rôle clefpour trancher la question. Notons dès maintenant que Qiu Guangming et al., op. cit., mentionnent bien la mise au jour de vases étalon de volumes distincts, pour lesquels les archéologues paraissent ne pas avoir avancé d'hypothèse. Or les volumes de certains de ces vases présentent précisément le rapport de 9 à 10 qui lie le petit mil et le soja (voir les vases 8 et 9 des Han postérieurs, pp. 231 et 234).

Présentation dt! Chapitre 2 -

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Petit mil et grains décortiqués»

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nous ramène à la règle de trois. Elle repose, pour toute évaluation, sur une unique unité du hu, sans doute celle attachée au petit mil l . Elle mobilise par ailleurs la « Procédure du "supposons" » et peut s'appuyer sur la table générale des équivalences pour suppléer à la multiplicité des instruments de mesure et réunir sous une unique procédure mathématique la variété des opérations concrètes. A cela répond l'uniformité des énoncés des problèmes 2.1 à 2.31 qui renvoient, par le même verbe « faire» (wei), à la diversité des transformations qui y sont évoquées. L'énoncé de la « Procédure du "supposons" » est, lui-même, bien plus général, ce à quoi fait écho la variété de situations mathématiques dans lesquelles les commentateurs y recourront. En effet, si le Classique, lui, ne revient plus sur cette procédure, les commentaires, nous le verrons, l'utiliseront régulièrement pour travailler les relations entre différents types de grandeurs aussi bien qu'entre procédures. De ce fait, les rapports se trouveront appréhendés sous les auspices de la conversion.

2.

Les deux

«

Procédures du partage des lü

»

Les deux algorithmes qui font suite, respectivement, aux problèmes 2.33 et 2.37 présentent un certain nombre de singularités qui leur confèrent un intérêt indéniable, mais qui ont amené les différents éditeurs à en manipuler abondamment le texte jusqu'à aujourd'hui 2. L'objectif de ce paragraphe n'est pas d'en discuter le détail, mais de dégager des aspects, à mes yeux, importants. J'invite le lecteur à prendre connaissance du texte original avant de s'y engager. Tout d'abord, phénomène unique dans Les Neuf chapitres, à une même opération, le « Partage des lü », correspondent ici deux procédures, légèrement différentes. La première permet de déterminer le prix en sapèques d'un objet, connaissant le prix total de plusieurs exemplaires. La seconde prescrit comment évaluer le prix d'une unité de mesure donnée d'une marchandise qui se débite de manière continue, connaissant le montant versé pour une quantité exprimée en fonction d'une suite décroissante d'unités. Le lecteur peut être d'autant plus surpris de se voir donner deux algorithmes pour résoudre ces problèmes que la procédure, suivante, des « lü de diverses sortes (qilii) » traite des deux cas simultanément. Par ailleurs, dans un cas, une simple division pourrait régler le problème. Dans l'autre, la division doit simplement tenir compte des questions d'unités. Mais Les Neuf chapitres optent pour un autre mode de description des procédures: aussi bien le nom de l'opération que la formulation des algorithmes impliquent le terme de lü. C'est sans doute ce qui a incité les commentateurs à chercher à dégager leur lien au sujet principal du chapitre 2 : la « Procédure du "supposons" ». Mais leur nom évoque également la « Procédure du partage des parts », décrite à la suite du problème 1.18. Il est donc intéressant d'observer comment les commentateurs ont abordé l'exégèse de l'ensemble de ce dispositif. Un premier point retient l'attention: ils interprètent la première « Procédure du partage des lü» en les termes de la « Procédure du "supposons" » de manière telle qu'ils mettent au jour son affinité avec le second algorithme, dans la description qu'en donnent Les Neuf chapitres. Or le lien 1. J'en prends pour indice le fait que le petit mil est systématiquement présent dans les problèmes de grains où figure le hu dans Les Neuf chapitres. Dans ce contexte, il est significatif que le Livre de procédures mathématiques présente un problème analogue à 5.23, dans l'énoncé duquel est prescrite une traduction entre contenance et volume. L'enjeu peut en être, comme dans les problèmes 5.23 à 5.28, d'évaluer les volumes de grain à engranger en fonction de leur contenance et de leur nature. Or, d'une part, cette conversion concerne le petit mil, d'autre part, la valeur correspondante est identique à ce qu'on trouve dans le Classique. Les énoncés introduisant ces valeurs ont des syntaxes différentes: là où, dans le Livre de procédures mathématiques, il s'agit clairement de conversion, la formulation des Neuf chapitres paraît bien, par contraste, fournir le volume d'un contenant. 2. Nous en proposons dans ce qui suit un texte et une traduction (pp. 247-251) qui tentent de s'approcher autant qu'il est possible de la formulation des Neuf chapitres et des commentaires, tels qu'ils nous ont été transmis par les différentes éditions anciennes.

Les Neuf chapitres

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qu'ils établissent ainsi entre les deux algorithmes est celui-là même qui permet leur fusion dans la « Procédure des lü de diverses sortes (qilü) ». De plus, les commentaires à la seconde procédure du « Partage des lü » présentent deux particularités remarquables. D'une part, ils développent le lien de la procédure à celle du « Partage des parts », élaborant ainsi une relation entre division et règle de trois conformément à ce que le nom de l'algorithme semble évoquer. Ils introduisent, de ce fait, l'opération de division qui jouera un rôle central dans les procédures suivantes. D'autre part, si l'on s'en tient aux opérations de l'algorithme, et non pas à leur description, deux interprétations de la procédure en termes de règles de trois sont possibles. De fait, la formulation des Neufchapitres oriente vers l'une d'entre elles, conforme à celle que le commentaire à la première procédure développe et qui est surprenante. Or la manière dont Li Chunfeng interprète ici l'algorithme comme règle de trois va au rebours de la description de la seconde « Procédure du partage des lü» dans Les Neuf chapitres pour se laisser guider par le sens même des termes de la « Procédure du "supposons" » : « quantité de ce que l'on a», « lü de ce que l'on a» et « lü de ce que l'on cherche 1 ». Cet ensemble donne un' exemple typique de la manière dont démonstration de la correction des algorithmes et exégèse s'articulent dans les commentaires. La publication récente du Livre de procédures mathématiques (Suanshushu) a révélé que ce manuscrit comportait un algorithme semblable à la seconde « Procédure du partage des lü» des Neuf chapitres 2. La comparaison entre les deux montre des similarités et des différences significative~. Le Suanshushu décrit, sous le nom de « Calculer le prix standard sur la base (de l'unité de mesure) du dan (danlü) », une procédure en dehors du contexte de tout problème. L'ensemble des calculs prescrits présente la même structure que l'algorithme des Neuf chapitres. Toutefois, les termes de la « Procédure du "supposons" » en sont absents. Par ailleurs, le calcul de la division est détaillé de manière intéressante pour nous : la potentielle partie fractionnaire du diviseur ainsi que les mesures sur l'échelle des diverses unités y sont traitées de façon identique, et les calculs reprennent dans son principe un algorithme de division des fractions énoncé dans l'ouvrage 3. Or cet écho est celui-là même que souligne le nom de la procédure des Neuf chapitres, à la différence de son appellation dans le Suanshushu. Ainsi, le commentaire que suscite le nom de la procédure dans le Classique chez Liu Hui comme Li Chunfeng se révèle en continuité avec les procédures rencontrées dans les sources fournies aujourd'hui par l'archéologie. Dans l'intervalle, la rédaction des Neuf chapitres témoigne, par contraste, d'une reformulation à caractère théorique des algorithmes anciens.

3.

Les procédures « Lü de diverses sortes (qilü) » et « Inversion des lü de diverses sortes lfanqilü) »

a) La procédure des « Lü de diverses sortes (qilü) »4 Les problèmes 2.38 à 2.43 sont conclus par un même algorithme, intitulé « Procédure des lü de diverses sortes (qilüshu) ». Malgré leurs différences, sur lesquelles nous reviendrons, ils partagent en effet la même structure: une certaine quantité de marchandises, de même nature mais de deux qualités distinctes, donc associées à deux prix différents, a été globalement achetée pour une certaine somme. On peut comprendre de deux manières la demande du problème: il s'agit de déterminer, pour chaque qualité, soit la quantité de marchandises acquise, soit le prix unitaire. Toujours est-il 1. [Guo Shirong .L:>.1993b, p. 371, souligne que c'est Li Chunfeng qui fait entrer ces procédures dans l'orbite de la règle de trois. 2. Voir [Peng Hao .L:>.200la], lattes de bambou 74 et 75, pp. 73-74. Les lattes de bambou 46 et 47 ([Peng Hao .L:>.2001a], pp. 60-61) sont également apparentées. 3. Sur la comparaison entre les divers algorithmes de divisions des fractions, voir l'introduction au chapitre 4. 4. Uuschkewitsch (Youschkevitch) 1964], pp. 39-41, analyse ce type de problèmes, mais sous le titre inexact, comme nous le verrons, de « lineare unbestimmte Gleichungen ». [Li Jimin .L:>.1985a] est consacré à leur examen et fait l'histoire de leur lecture en termes d'analyse indéterminée avant d'établir qu'elle est dénuée de fondement.

Présentation du Chapitre 2 -

«

Petit mil et grains décortiquéL»

207

que, la quantité globale de marchandises et le montant total étant donnés, les réponses aux problèmes posés fournissent, pour chaque qualité, le volume acquis ainsi que le prix à l'unité. En termes modernes, Les Neuf chapitres nous confrontent ici à un problème a priori indéterminé. Si l'on note A le montant global de sapèques, B la quantité totale de marchandises, x la quantité dans la qualité la moins onéreuse, y la quantité de la plus coûteuse, p et (p + a) les deux prix, on devrait résoudre le système suivant :

x+y=B

px + (p

(2.1)

+ a)y = A

On reconnaît là des problèmes du type de ceux auxquels le chapitre 3, qui fait suite à celui-ci, est consacré 1, et que l'on retrouvera dans les chapitres 7 et 8. En fait, les prix sont ici supposés entiers 2, et corrélativement A est donc supérieur à B -la procédure suivante aborde un autre cas de figure. A y regarder de plus près, ces problèmes apparaissent, par-delà leur similarité de structure, comme étant de deux sortes, en fonction de la nature de leurs données: on peut être confronté à des entités discrètes (problème 2.38) ou à des grandeurs de type continu (problèmes 2.39 à 2.43). Dans ce dernier cas, les données seront en réalité toujours un nombre entier de l'unité la plus fine, mais nous verrons pourquoi elles appellent un traitement différent. Or, la résolution de ces deux types de problèmes est ramenée à un unique algorithme. De fait, si une procédure commune est fournie pour les résoudre, le cas discret doit être adapté pour se conformer au cas continu, et nous examinerons les modalités de cet ajustement. La manière dont Les Neuf chapitres apportent une solution à ces problèmes montre qu'en réa~ité, ils ne sont pas traités comme indéterminés. Une hypothèse implicite est lue dans l'énoncé, selon laquelle les prix des deux types de marchandises diffèrent d'une unité. Pour ce qui est du cas discret, ce qu'il faut entendre par là va de soi. Pour les cas continus, l'énoncé précise toujours l'unité de mesure sur la base de laquelle il faudra calculer les deux prix distincts, et ce sont donc ces deux prix qui seront considérés comme différant de 1. C'est sur ce point qu'une distinction s'établit entre les deux classes de problèmes. Leur énoncé peut donc maintenant se formuler plus précisément en termes modernes comme suit :

x+y=B

px + (p

(2.2)

+ 1)y = A

où x, y, B sont par nature des nombres entiers ou dotés d'une suite d'unités de mesure tandis que p et A sont des entiers. La solution qui est apportée ici à ce type de problèmes est d'inspiration différente de celles que proposent les autres chapitres. Nous relèverons que la division y intervient de manière originale et très particulière. Le point clef qui rend compte de la spécificité de ces algorithmes renvoie au rôle qui est ici dévolu aux nombres entiers dans la résolution. C'est la remarque par laquelle Liu Hui ouvre son commentaire. Analysons dans un premier temps le problème pour le cas discret: si l'on divise l'argent global A par le nombre d'objets B, l'on obtient, en division euclidienne, c'est-à-dire en nombres entiers: A = Bq + r

(2.3)

1. Liu Hui, dans ses premiers mots de commentaire au chapitre 3, annonce effectivement qu'on y « traite du cher et du bon marché ... ». Or c'est en ces mêmes termes que Zhu Shijie reprend ces problèmes 2.38 et suivants des Neufchapitres dans une section qu'il intitule « Inversion des Iii pour le cher et le bon marché (guijian fanlii men) », de son Introduction à l'étude des mathématiques (Suanxtte qimeng, 1299, édition de Luo Shilin, 1839, reproduite dans le Zhonggtto kexue jishu dianji tonghui. Shuxuejttan, tome 1, pp. 1166 sq.). [Lam Lay-Yong 1979J, pp. 20-22, ainsi que [Li Jimin .6. 1985aJ, p. 20, mentionnent cette continuité. 2. Ailleurs, pourtant, dans les problèmes 2.32 à 2.37 par exemple, en continuité avec lesquel ces problèmes se trouvent, on rencontre des fractions de sapèque.

208

Les Neuf chapitres

En moyenne, on paie q sapèques pour chaque objet. Les pièces qui restent, au nombre de r, sont lues comme le nombre d'objets pour lesquels on paie une sapèque supplémentaire, ce qui nous permet de réécrire ainsi la division : A = (B - r)q + r(q + 1)

(2.4)

Par identification avec la seconde équation de (2.2), on obtient que, pour (B - r) objets, le prix est q, tandis que pour r objets, il est de (q + 1). Telle est la solution fournie en nombres entiers. Dans Les Neuf chapitres, la procédure prescrit d'effectuer une division, ce après quoi elle recommande, au cas où la division ne tombe pas juste - on pourra noter la finesse de la rédaction algorithmique, qui envisage tous les cas - , de retrancher le dividende du diviseur. La phrase est à lire dans un contexte où, une fois la division effectuée, le reste, occupant la place du dividende, est désigné du nom de dividende 1. Ainsi l'opération prescrite est bien celle qui amène à calculer B -r. Et l'on comprend dès lors que ce qui tient désormais lieu de « diviseur », puisqu'en place de diviseur, (B - r), soit associé aux objets les moins chers, tandis que le « dividende» (r) est, lui, associé aux objets les plus chers. Cette manière de rendre compte de la procédure des Neuf chapitres fournit de fait la quintessence de la première partie du commentaire de Liu Hui, lequel se penche tout d'abord sur le seul exemple de la série de problèmes liés à cet algorithme qui implique des quantités entières. Pourtant la procédure que donnent Les Neuf chapitres est, elle, exprimée tout entière par référence aux problèmes mettant en jeu des grandeurs de type continu. On peut appliquer à ce cas la même idée de résolution, en suivant le schéma suivant : argent

=

quantité achetée dans l'unité choisie' prix de l'unité + reste

et donc argent = (quantité achetée dans l'unité choisie - reste) . prix de l'unité + reste· (prix de l'unité + 1) L'égalité, dans laquelle le montant d'argent aussi bien que les prix des unités sont entiers tandis que les quantités acquises ne comportent pas de fraction de l'unité la plus fine, se prêterait à la même lecture que précédemment. La détermination du prix de l'unité choisie, dans la qualité la moins bonne, pourrait provenir de l'évaluation de la partie entière du quotient: prix de l'unité la moins chère E(argent . unité choisie exprimée en fonction de l'unité la plus fine) quantité achetée exprimée en l'unité la plus fine

Les Neuf chapitres le déterminent par la division euclidienne suivante, en nombres entiers: =

quantité d'unités les plus fines contenues dans l'unité choi~ie . argent (2.5) quantité achetée exprimée en l'unité la plus fine· prix de l'unité choisie la moins chère + r

C'est par ce biais que la division euclidienne peut conserver son rôle central dans la gestion des deux classes de problèmes. Car, si leurs formes sont ici identiques, la présence de nombres impliquant plusieurs unités de mesure dans le second cas ne permet pas de recourir directement au même schéma de division euclidienne. Par cet aménagement, qui fait jouer un rôle primordial à la plus petite unité, à savoir, dans le cas concret des problèmes 2.39 à 2.43, aux zhu, l'idée générale ne varie pas. C'est ce que prescrit la procédure, quand elle propose de multiplier la quantité de sapèques par ce qui détermine la valeur d'échange, à savoir par la quantité de zhu correspondant à l'unité choisie comme centrale dans le problème. Pour le cas des problèmes impliquant des entités discrètes, cela 1.

Voir la description de la pratique de la division sur la surface à calculer dans le chapitre A, section II.2. Les nombres occupant les positions de dividende et de diviseur au moment où on y fait référence se voient désignés par les noms de ces places. Sur l'assignation de variables dans la description des algorithmes en Chine ancienne, voir le chapitre D, section 1.3.b.

Présentation du Chapitre 2 -

«

Petit mil et grains décortiqués»

209

revient à une multiplication par 1. On retrouve ici la relation entre les deux procédures du « Partage des lü (jinglü) », données, l'une, pour les entités discrètes et, l'autre, pour les grandeurs de type continu. Le second cas s'y distinguait du premier par la présence de la multiplication par l'unité avec laquelle on détermine la valeur d'échange. Corrélativement, pour rendre compte du sens de la procédure, le commentaire de Li Chunfeng explicitait la multiplication par 1, sous-jacente au premier énoncé. Pour la procédure qui nous concerne ici, une fois le prix de l'unité retenue la moins chère ainsi déterminé par une division entre entiers, on peut se ramener au schéma suivant: nombre de zhu dans l'unité choisie' argent

(2.6)

(quantité de zhu de ce qui est acheté - r) . prix de l'unité la moins chère + r zhu· (prix de l'unité la moins chère + 1) La conclusion de la procédure mérite également quelques remarques. Les Neuf chapitres auraient pu achever les calculs en proposant de diviser les deux quantités déterminées en fonction de l'unité la plus fine par la quantité de semblables unités contenue dans l'unité choisie pour chaque problème. Les résultats auraient ainsi été obtenus, ne serait-ce que dans un premier temps, en fonction de l'unité de référence du problème. Au lieu de cela, les montants sont directement saisis dans leur expression en fonction de l'unité la plus fine, tels qu'on les trouve dans les positions de la surface à calculer. Et l'algorithme prescrit de les diviser successivement par la valeur, en fonction de l'unité la plus fine, des diverses unités de mesure. Dans le cas concret des problèmes 2.39 à 2.43, cela implique de diviser les deux quantités qui apparaissent au dividende et au diviseur, successivement par le nombre de zhu que contiennent la suite des unités, dan, jun, Jin, liang, pour obtenir les deux quantités exprimées en nombres mesurés. Les résultats sont ainsi directement obtenus dans leur expression en fonction de la suite des unités, et ce au moyen d'un algorithme qui est le même, quelle que soit l'unité choisie pour référence dans un problème donné. Liu Hui commente la procédure relativement au premier genre de problème, sur les entités discrètes, et donc pour ce qui est des nombres entiers. En conclusion, il se tourne vers les grandeurs de type continu, et n'ajoute qu'un commentaire relatif au mode de transformation des résultats en fonction d'une suite d'unités. Il est clair que la transformation opérée par la procédure des Neuf chapitres ramène les quantités mesurées aux quantités entières, mais c'est dans ce cas plus général que l'ouvrage décrit la résolution qu'il donne comme commune aux deux types de problèmes. Nous retrouvons là une manifestation de l'intérêt pour la généralité des algorithmes qui empreint le Classique. Notons que la procédure ne fournit ici que les quantités vendues aux deux prix, et non pas les prix eux-mêmes, dont le calcul est pourtant effectué pour l'énoncé de la réponse. Pour conclure, par opposition à l'ensemble des Neuf chapitres, dans lesquels le résultat d'une division est le plus souvent énoncé comme un entier augmenté d'une fraction, on peut relever ici deux usages différents de la division euclidienne, en nombres entiers. L'un fournit son sens à la procédure. L'autre est investi dans la suite des divisions qui transforment une quantité exprimée en zhu en une quantité exprimée en fonction de la suite des unités de poids disponible 1. Une fois l'analyse précédente effectuée, nous sommes en mesure de revenir sur le caractère indéterminé de ces énoncés. Que le problème soit posé en termes discrets ou continus, nous avons vu qu'il revient à un système du type suivant:

px

x+y=B + (p + l)y = A,

où A, B,p, x et y sont des entiers naturels (avec A supérieur à 13). 1. Relevons que ce n'est toutefois pas le seul endroit des Neuf chapitres où une procédure particulière est mise en œuvre pour produire des résultats entiers: on peut par exemple se reporter aux conclusions des algorithmes décrits à la suite des problèmes 6.1 et 6.2 et aux notes de la traduction correspondantes.

Les Neuf chapitres

210

A priori, même si la différence entre les prix est supposée connue, le problème reste indéterminé puisque nous avons deux équations pour déterminer trois inconnues. Il est cependant élémentaire de démontrer que ce problème n'admet qu'un seul triplet solution dans les entiers naturels. On a en effet: x+y=B px + (p + l)y = A ceci implique donc :

py + [A - (p + l)y} = pB, soit:

y = A - pB ; x = B - y. Or, y est inférieur à B. De là il s'ensuit que la seule solution entière possible pour p est le quotient dans la division euclidienne de A par B ;Y en est alors le reste. Ce calcul nous redonne bien la solution que nous avions trouvée plus haut comme la seule possible. Les problèmes, sous des dehors indéterminés, sont donc parfaitement déterminés.

b) La procédure de l' « Inversion des lü de diverses sortes (janqilü) » La séquence suivante de problèmes (2.44 à 2.46), qui se conclut par la « Procédure de l'inversion des lü de diverses sortes ifanqilü) », commence par un cas où les quantités sont des nombres exprimés à l'aide d'une suite d'unités de mesure, pour se poursuivre par des cas où elles sont toutes entières. En fait, le problème 2.44 est le dernier d'une série de cinq problèmes qui commence avec le problème 2.40 : le même poids de soie est acheté pour le même prix, mais l'unité sur laquelle se fait la détermination des valeurs d'échange, pour les soies chère et bon marché, varie de la plus importante à la plus petite, du problème 2.40 au problème 2.44. Avec cette variation continue de l'énoncé, la nature du problème posé change puisque, pour le problème 2.44, la quantité de sapèques globalement versées est inférieure au nombre d'unités achetées. Il ne peut donc plus être question de division en entiers à!'image de celles qui étaient pratiquées plus haut, et c'est ce phénomène, lequel se reproduit dans les deux problèmes suivants, qui justifie le fait qu'une autre procédure devienne nécessaire. Contrairement au cas précédent, la procédure est, cette fois-ci, rédigée tout entière par référence au problème en quantités discrètes. Il faut dire que, s'agissant de l'unité de poids la plus petite, le seul problème qui pourrait paraître traiter de grandeurs de type continu est ici en fait un problème portant sur des entités discrètes. Dans le nouveau cas pris en considération, au lieu que plusieurs sapèques soient nécessaires pour acheter un objet, à l'inverse une sapèque suffit à acquérir plusieurs objets. La division doit alors être effectuée dans le sens inverse. En effet si l'on écrit: nombre d'objets = nombre de sapèques· nombre d'objets par sapèques + r B = Aq + r q est le nombre moyen d'objets qu'on peut acheter avec une sapèque, et r peut être interprété comme le nombre de fois où une sapèque, au lieu d'acheter q objets, en a acheté (q + 1). En réécrivant la division, on obtient: B = (A - r) . q + r . (q + 1)

Il vient donc que A - r sapèques achètent q objets par pièce, tandis que r sapèques achètent (q + 1) objets par pièce. On note que l'hypothèse implicite ajoutée ici à l'énoncé indéterminé des

Neuf chapitres, et qui en fait un problème déterminé, a changé. Dans cette interprétation, r, qui à l'origihe est un nombre d'objets, se voit repris comme un nombre de sapèques. C'est un point que Li Chunfeng souligne dans son commentaire. Le diviseur est, au début, la quantité globale d'argent. En lui retranchant ce qui fait maintenant office de dividende, r, on trouve les quantités A - r et r de

Présentation du Chapitre 2 -

«

211

Petit mil et grains décortiqués»

sapèques cherchées. Et en les multipliant par les nombres plus ou moins grands d'objets achetés, on obtient (A - r)q et r(q + 1), soit les nombres d'objets de chaque genre acquis. Tels sont les calculs prescrits par la procédure des Neuf chapitres. On remarquera que, contrairement au cas précédent, cette procédure détaille comment on obtient toutes les réponses effectivement fournies aux problèmes. Comme nous l'avons déjà souligné, Les Neuf chapitres ne donnent ici de problèmes que pour le cas discret, et la procédure n'explicite les opérations que dans ce seul cas. Il faut dire qu'en l'occurrence, l'extension aux grandeurs continues est beaucoup moins naturelle. A supposer que l'on ait à résoudre le même problème, en ramenant les nombres à l'unité la plus petite, pour les transformer en entiers, on trouverait: nombre de zhu de la quantité achetée

=

nombre de sapèques' nombre de zhu de l'unité· q + r

r devrait alors être interprété comme le nombre de sapèques qui achète un nombre de zhu égal à (nombre de zhu de l'unité· q+ 1) ; d'où l'on aurait nombre de zhu de la quantité achetée (nombre de sapèques - r) . nombre de zhu de l'unité· q + r· (nombre de zhu de l'unité· q + 1) Si, lorsqu'on travaille en zhu, la relation entre ce qu'achètent deux sapèques est conforme à ce qui a été décrit précédemment, dans une autre unité, des fractions s'introduisent. Il semble donc que ce ne soit pas par hasard qu'aucun problème n'implique de véritables quantités de type continu dans ce contexte et que la procédure des Neuf chapitres n'évoque, elle aussi, que le cas des entités discrètes. Certes elle est particulière, mais elle ne pourrait pas être généralisée dans le cadre du même type d'hypothèse.

II.

LES COMMENTAIRES ET LA « PROCÉDURE DU "SUPPOSONS" »

Le chapitre « Petit mil et grains décortiqués », tel qu'il nous est transmis par la tradition écrite, comporte des commentaires attribués, pour une part, à Liu Hui et, pour une autre part, à l'équipe opérant sous la direction de Li Chunfeng. Il se distingue cependant, sous ce rapport, des autres chapitres par le fait que le volume du texte attribué à Liu Hui est relativement réduit, tandis que, par contraste, le nom de Li Chunfeng se voit attaché à un nombre important de commentaires.

1.

La démonstration de la correction de la

«

Procédure du "supposons"

»

A la suite de l'énoncé de la règle de trois, un commentaire attribué à Liu Hui en établit la correction. Son texte présente une singularité qui, tout à la fois, paraît rendre cette attribution indubitable et jette une lumière sur la manière dont Li Chunfeng a dirigé le travail d'édition. La fin de ce développement semble en effet corrompue. C'est ce que signale la glose finale de Li Chunfeng. Or ce dernier transmet le texte tel qu'il l'a reçu, en avançant une hypothèse sur la cause de sa détérioration et en réservant à une note le soin de proposer une restitution possible de la formulation originale. On peut ainsi saisir sur le vif sa fidélité aux documents qu'il a sous les yeux 1. Nous nous intéresserons ici à la manière dont Liu Hui démontre la correction de la « Procédure du "supposons" »2. L'algorithme, rappelons-le, est présenté hors du contexte de tout problème. Or, pour en établir la correction, Liu Hui renvoie, d'entrée de jeu, à l'échange de grains sur lequel porte le premier problème du chapitre 2. Il recourra aux noms des produits aussi bien qu'aux valeurs numériques 1. Le commentaire attribué à Li Chunfeng à la suite de la procédure pour l'extraction de la racine circulaire (problème 4.18) fournit un témoignage complémentaire. 2. Pour ce qui est du lien que ce développement présente avec les déclarations théoriques qui l'introduisent, ainsi que pour la seconde démonstration de la correction que Liu Hui propose, voir les notes à la traduction correspondantes.

212

Les Neuf chapitres

simplifiées qui en régulent la conversion pour interpréter l'effet des calculs prescrits par la procédure. Nous rencontrons là l'un des éléments constitutifs de la démonstration d'algorithme telle que les commentateurs la pratiquent: le recours au contexte d'un problème pour donner sens aux résultats successifs des différentes étapes de la procédure. Dans le cas de la règle de trois, le caractère essentiel de cette opération apparaît clairement. Alors que l'algorithme est énoncé indépendamment de tout problème, c'est la menée de la démonstration qui requiert d'en introduire un. Les commentaires abondent en situations comparables. Tantôt, un problème est introduit pour établir la correction d'une procédure formulée indépendamment de tout énoncé. Tantôt, le problème en relation avec lequel un algorithme est prescrit se voit modifié en vue de la démonstration. Toutefois, le caractère concret des problèmes introduits ne doit pas nous abuser: de même que, on peut le montrer, les commentateurs lisent un problème comme tenant lieu d'une classe d'énoncés, dont la résolution relève du même algorithme, de même ici, la situation mobilisée en vue de la démonstration semble devoir être lue comme paradigmatique 1. Prenant appui sur le problème 2.1, Liu Hui peut ici donner sens à la succession de la division et de la multiplication prescrites par le Classique. Diviser par le « lü de ce que l'on a », montre-t-il sur l'exemple, revient à le prendre pour unité. On détermine ainsi le nombre de telles unités présentes dans la « quantité de ce que l'on a ». Multiplier par le « lü de ce que l'on cherche» transforme une unité obtenue de cette façon en quantité équivalente de la grandeur cherchée, et donc le nombre d'unités de la « quantité de ce que l'on a » en « quantité de ce que l'on cherche ». Liu Hui a ainsi montré comment la division suivie de la multiplication réalise la transformation requise, et l'on voit que le changement d'unité joue un rôle clef dans ce processus. Cependant, ce faisant, Liu Hui a produit un algorithme remplissant le programme escompté, mais différent, par l'ordre de ses opérations, de la « Procédure du "supposons" ». La fin de son commentaire porte sur ce point, et il est significatif de leur pratique de la démonstration que les commentateurs s'appliquent régulièrement à justifier un tel écart. Que l'on puisse intervertir l'ordre des opérations est garanti par le fait que la division fournit toujours, dans ce contexte, des résultats exacts 2. Cette transformation de l'algorithme, relevons-le, porte sur la liste d'opérations établie comme correcte et produit la procédure dont la correction est à montrer. Ce type de transformation est typique de la partie de la démonstration d'algorithme que nous avons appelé « démonstration algébrique dans un contexte algorithmique »3. Nous en retrouverons des exemples dans les introductions aux chapitres 3 et 6. Soulignons qu'ici, Liu Hui suggère les motivations qu'ont pu avoir les auteurs de la « Procédure du "supposons" » pour énoncer les opérations dans un ordre contraire à celui des raisons. Nous avons donc là un point de rencontre entre exégèse d'un Classique et démonstration de la correction de ses algorithmes.

2.

La« Procédure du "supposons" » dans les démonstrations

Il nous faut à présent nous pencher sur la manière dont les commentateurs mettent en œuvre la « Procédure du "supposons" » pour établir la correction d'autres algorithmes prescrits par Les Neuf chapitres. A titre de premier exemple, nous examinerons le problème 6.12, consacré à un problème de poursuite. En voici l'énoncé: «SUPPOSONS QU'UN BON MARCHEUR MARCHE

60

100

BU TANDIS QU'UN MAUVAIS MARCHEUR MARCHE

BU. SI MAINTENANT LE MAUVAIS MARCHEUR A D'ABORD MARCHÉ

100 BU, QUAND LE BON MARCHEUR

[SE MET A] LE POURSUIVRE, ON DEMANDE EN COMBIEN DE BU IL LE RATTRAPE. »

1. (Chemla 1997c} relève ce que les commentateurs nous apprennent sur leur lecture des problèmes ou sur l'usage qu'ils en font au cours des démonstrations. (Chemla 2003a} établit le caractère paradigmatique d'un problème et examine les opérations par le biais desquelles les exégètes travaillaient à en déterminer la classe. Voir le chapitre A. 2. Voir l'introduction au chapitre 4, section 11.2. 3. Voir chapitre A, section III.5.

Présentation du Chapitre 2 -

«

213

Petit mil et grains décortiqués»

Les Neuf chapitres proposent la procédure suivante, dans laquelle je marque à nouveau en lettres grasses les valeurs et les expressions qui seront reprises par le commentaire : « PROCÉDURE: ON PLACE LES MARCHEUR; IL RESTE MARCHEUR, LES

100

40

100

BU DU BON MARCHEUR, ET ON EN SOUSTRAIT LES

60

BU, CE QUI EST PRIS COMME DIVISEUR. ON MULTIPLIE, PAR LES

BU DU MAUVAIS

100

BU DU BON

BU QUE LE MAUVAIS MARCHEUR A D'ABORD MARCHÉS, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE.

EFFECTUER LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR DONNE LE RÉSULTAT EN BU. »

~ Distance marchée par le mauv~s marChe:r

Distance marchée par le bon marcheur

l

Figure 2.1 La résolution proposée consiste donc, comme plus haut les procédures du « Partage des lü », en une multiplication et une division. Dans les quelques lignes qui suivent son énoncé, le commentateur se préoccupe d'établir la correction de cet algorithme, tout à la fois, comme nous le verrons, en éclairant le sens de ses opérations et en mettant en évidence qu'il revient à une règle de trois : nous retrouvons aipsi une constante de sa manière de procéder 1. Examinons-la à l'œuvre sur cet exemple. Le premier énoncé de son commentaire semble nous éloigner de la correction, or c'est bien lui qui y mène : « Commentaire: Dans cette procédure, quand on soustrait les 60 bu des 100 bu, il reste 40 bu, ce qui donne le lü de ce que le mauvais marcheur a d'abord marché ; les 100 bu que marche le bon marcheur, c'est le lü de la poursuite et du rattrapage. »

Ainsi, le commentaire attribué à Liu Hui confère, tout d'abord, des noms à deux valeurs que la procédure de résolution met en œuvre. La seconde d'entre elles, la distance que le bon marcheur parcourt tandis que le mauvais marcheur décrit 60 bu, constitue avec cette dernière valeur un couple de lü, même si l'énoncé des Neuf chapitres ne le précise pas. Or, relativement à ces 100 bu, dont il explicite la nature de lü, Liu Hui interprète, non pas les 60 bu, mais leur différence, 40 bu - la première valeur que la procédure détermine - , comme constituant également un lü. Il s'agit désormais de comprendre ce dont ces 40 bu sont le lü. C'est en analysant les distances qui qualifient les deux occurrences du terme lü que l'on déplie le raisonnement que Liu Hui indique par la simple donnée de ces noms: tandis qu'à l'allure qui est la sienne, le bon marcheur parcourt la distance qui lui permet de rattraper les 100 bu de retard et de rejoindre l'autre, quelqu'un qui irait à l'allure correspondante de 40 bu parcourrait les 100 bu « que le mauvais marcheur a d'abord marchés ». Autrement dit, dans le même temps, on parcourt la différence des distances avec une allure que mesure la différence des vitesses. La distribution de noms équivaut donc à l'énoncé d'un rapport. Elle fournit une interprétation des différentes valeurs mobilisées par la procédure dans les termes de la situation décrite par l'énoncé du problème. Et c'est cette interprétation qui permet d'expliciter les relations qu'entretiennent les valeurs. Par ce biais, elle éclaire le sens de la procédure des Neuf chapitres: Liu Hui n'a plus désormais qu'à conclure au fait que nous avons là simplement l'application de la règle de trois. En effet, la distance de la poursuite et du rattrapage est « ce que l'on cherche », tandis que « ce que le mauvais marcheur a d'abord marché» est « ce que l'on a ». Or l'interprétation a mis en évidence que l'on dispose de leurs lü. C'est ce second recodage qu'effectue, dans un deuxième temps, le commentaire de Liu Hui. Mais la manière dont il procède est à nouveau riche d'enseignements. Lisons la suite de son commentaire : 1. Voir plus haut, le paragraphe sur les procédures du « Partage des lü », ainsi que le chapitre A, section 111.2.

Les Neuf chapitres

214

« Si on les simplifie, on obtient, pour le lü de la poursuite et du rattrapage, 5 et, pour le lü de ce qui est d'abord marché, 2. Avec la procédure du "supposons", les 100 bu que le mauvais marcheur a d'abord marchés font la quantité de ce que l'on a, 5 fait le lü de ce que l'on cherche, 2 fait le lü de ce que l'on a, et en [appliquant} à ceci [l'opération} du "supposons", on obtient les bu de la poursuite et du rattrapage. »

Liu Hui a donc éclairé le sens, en contexte, de la procédure des Neuf chapitres d'une manière qui lui permet d'y reconnaître une règle de trois. C'est par une identification terme à terme des valeurs interprétées et des fonctions qui entrent dans la « Procédure du "supposons" » que le commentateur met en évidence cet algorithme général sous la procédure initiale de résolution. Cependant, dès que son raisonnement l'amène à identifier deux valeurs entrant dans cette procédure comme lü, il ouvre sur la possibilité de la simplifier de manière générale: la qualité de 100 et 40 d'être des lü, que la démonstration met au jour, permet de les réduire de concert, et la démonstration débouche donc sur la possibilité de proposer une autre résolution. En établissant la correction de la procédure, Liu Hui la transforme. De cet exemple, nous retiendrons quelques faits saillants. Tout d'abord, c'est en interprétant les valeurs qui apparaissent dans les calculs, en explicitant ce que nous avons appelé la « sémantique matérielle» des opérations 1, que Liu Hui, tout à la fois, établit la correction et peut identifier l'algorithme général qui sous-tend la procédure. Cet algorithme-là, qui exprime en quelque sorte la forme de la stratégie suivie par la résolution pour produire le résultat, constitue ce que nous avons alors désigné comme la « sémantique formelle» de la procédure 2. C'est, selon nous, à elle que renvoient les déclarations récurrentes où Li Chunfeng affirme : « Ceci a le sens (yi') de [mettre en œuvre l'opération} du "supposons" ». Que ces deux types d'interprétation se mènent de manière indissociablement liée, c'est une des caractéristiques fondamentales de la démonstration de la correction d'algorithmes dont témoignent les écrits de la Chine ancienne. Nous avons relevé, par ailleurs, comment le fait d'établir la correction d'une procédure pouvait déboucher sur la production d'un autre mode de résolution du problème. Notons, enfin, qu'alors qu'il interprète une procédure qui se donne comme la suite d'une multiplication et d'une division, Liu Hui cherche une exégèse directe en termes de règle de trois, là où d'autres raisonnements auraient pu établir la correction par d'autres biais. Ce dernier trait est également caractéristique du mode de lecture que les commentateurs pratiquent des Neuf chapitres. L'examen du problème suivant, 6.13, met en évidence, à propos de la « Procédure du "supposons" », la régularité du commentateur dans ses manières d'opérer, de même qu'il éclaire un autre aspect de cette pratique de la démonstration. L'énoncé, dont le sujet trahit un lien avec le problème précédent, propose à la résolution la question suivante: « SUPPOSONS QU'UN MAUVAIS MARCHEUR MARCHE D'ABORD

VANT SUR

100

10 LI ET QU'UN BON MARCHEUR LE POURSUI20 LI. ON DEMANDE EN

LI, SON AVANCE SUR LE MAUVAIS MARCHEUR ATTEIGNE ALORS

COMBIEN DE LI LE BON MARCHEUR L'AVAIT RATTRAPÉ. »

Distance marchée par le mauvais marcheur

100 li marchés par le bon marcheur

Figure 2.2 1. Voir chapitre A, p. 29. 2. Voir chapitre A, p. 29.

Présentation du Chapitre 2 -

«

215

Petit mil et grains décortiqués»

La procédure partage avec la précédente le fait de se structurer autour de la succession d'une multiplication et d'une division, et le commentateur réagit de la même manière: il propose, via la donnée de noms adéquats, une interprétation directe des termes de la multiplication et de la division, qui l'amène à établir la correction de l'algorithme et à y identifier l'application d'une règle de trois. Lisons la procédure et son commentaire : la LI QUE LE MAUVAIS MARCHEUR A D'ABORD MARCHÉS ET ON AUGMENTE 20 LI PRISE PAR LE BON MARCHEUR, CE QU'ON PREND COMME DIVISEUR. ON MULTIPLIE, PAR LES la LI QUE LE MAUVAIS MARCHEUR A D'ABORD MARCHÉS, LES 100 LI DU BON MARCHEUR, CE « PROCÉDURE : ON PLACE LES

CECI DE L'AVANCE DE

QUI FAIT LE DIVIDENDE. EFFECTUER LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR DONNE LE RÉSULTAT EN LI.

Commentaire: Dans cette procédure, le mauvais marcheur ~a déjà d'abord marché la li et, après, il a été dépassé de 20 li ; en sommant celles-ci (ces données), on obtient 30 li, ce qu'on appelle le lü de ce qui est d'abord marché; les 100 li du bon marcheur font le lü de la poursuite et du rattrapage. Si on les simplifie, pour le lü de ce qui est d'abord marché, on obtient 3 ; 3 fait le lü de ce que l'on a, et l'on [applique] à ceci [l'opération] du "supposons", ce qui donne le résultat. »

Il est remarquable que, malgré la différence entre les situations de ce problème et du précédent, le commentaire attribué à Liu Hui distribue à deux des valeurs mobilisées par la procédure les mêmes noms que ci-dessus: « lü de ce qui est d'abord marché» et « lü de la poursuite et du rattrapage ». Ce fait souligne ce que le commentateur met en évidence: le même raisonnement que précédemment rend compte ici de la correction de l'algorithme proposé. En effet, on peut toujours appréhender la situation sous le même angle: le bon marcheur parcourt 100 li dans le même temps qu'on parcourrait la différence des longueurs décrites, avec une allure mesurée par la différence des vitesses du bon et du mauvais promeneurs. Or c'est ici la somme de ce que «le mauvais marcheur a déjà d'abord marché» et de ce dont « il a été dépassé» 'qui donne la mesure de cette dernière allure. Ces deux valeurs, 30 li et 100 li, lü au regard l'une de l'autre, correspondent donc aux données qui entrent dans un raisonnement identique à celui que le commentateur indiquait pour le problème précédent. De même, la donnée du retard pris par le bon marcheur sur le mauvais, ainsi que la demande de trouver la distance qu'il a parcourue pour rattraper celui qui l'avait précédé, nous ramènent toutes deux à une situation identique au problème 6.12. Ainsi, alors que tant les procédures que les problèmes paraissaient différents, la démonstration de la correction des procédures éclaire les liens qui les unissent les unes comme les autres. L'analogie de structure entre les deux procédures apparaît de ce fait renvoyer à une similarité plus profonde: le raisonnement développé pour établir l'algorithme de résolution de 6.13 montre comment ce problème est ramené au précédent, et les stratégies mises en œuvre, tant au niveau des situations qu'à celui des opérations, pour résoudre les deux problèmes se révèlent identiques. C'est d'ailleurs ce que le commentateur souligne en concluant cette fois-ci son interprétation de la procédure par la formule : « Son intention (yi) est comme à la procédure précédente. 1

»

Il est ici significatif que la démonstration de la correction de l'algorithme constitue ce par quoi les problèmes sont articulés, et les procédures mises en relation. Le phénomène se reproduit à l'identique avec le troisième et dernier problème de la série, 6.14. La démonstration éclaire ici aussi le sens des opérations ainsi que le lien avec les algorithmes précédents. En particulier, elle met en évidence que les trois situations sont réglées d'un même geste, tant pour ce qui est de l'intention que pour ce qui est de la forme. Cet usage de la « Procédure du "supposons" », dans le contexte de la démonstration, comme forme et sens des algorithmes dont la correction est à établir, se rencontre de fait bien plus largement dans les commentaires. Cette opération est ainsi mobilisée dans la démonstration d'un autre algorithme général et abstrait qui permet d'effectuer des partages en parts inégales: la « Procédure des parts 1. Le terme utilisé ici par Liu Hui (Voir yi « intention ») désigne ce sens de l'opération que nous avons appelé «maté-

riel

»,

à savoir : l'explicitation de la visée de l'opération dans le contexte dans lequel elle est employée.

Les Neuf chapitres

216

pondérées en fonction des degrés », laquelle se trouve par ce biais interprétée comme articulant un ensemble de règles de trois 1. On rencontre aussi la « Procédure du "suppo~ons" » de manière centrale dans les commentaires au chapitre 2 6, tout comme en géométrie, par exemple au cours du chapitre 9, consacré au triangle rectangle. Evoquons, pour illustrer ses emplois dans ce contexte, la démonstration de la correction de l'algorithme fournissant le côté du carré inscrit dans un triangle rectangle (problème 9.14, figure 2.3).

D

jaune bleu-vert

b

B

vermillon

Figure 2.3

c

D a

E

Si a et b forment respectivement la base (CE) et la hauteur (AC) du triangle, Les Neuf chapitres donnent le côté du carré inscrit comme le résultat de l'opération: ab (2.7) a+b Liu Hui établit sa correction de deux façons. Seule la seconde nous concerne ici, qui identifie, à nouveau, dans la succession d'une multiplication et d'une division, la mise en œuvre d'une règle de trois. Plus précisément, ici comme plus haut dans le cadre de la seconde procédure du « Partage des lü », les deux manières de lire l'algorithme comme règle de trois sont dégagées en deux démonstrations symétriques l'une de l'autre. L'inconnue cherchée, le côté du carré, apparaît de deux façons comme côté d'un triangle rectangle sur la figure: c'est la base du triangle bleu-vert, ABF, aussi bien que la hauteur du triangle vermillon, FDE. Reconnaître la règle de trois à l'œuvre dans la procédure implique de faire fond sur deux propriétés de la situation, que le commentateur explicite. D'une part, Liu Hui signale la similarité entre ces deux triangles ABF et FDE, distingués sur la figure, et le triangle ACE. D'autre part, il dégage une manière de calculer les deux rapports de similitude en fonction des données du problème qui donne à lire l'algorithme des Neuf chapitres comme une simple écriture de ces relations. En effet, la somme de la base et de la hauteu~ du triangle ABF n'est autre que b, tandis que, symétriquement, la même somme pour le triangle FDE donne a. C'est par un simple glissement dans la manière d'énoncer la valeur de ce qu'il appelle le lü du côté du carré inscrit que Liu Hui formule ces propriétés. Les diverses sommes de la base et de la hauteur fournissent donc le moyen de convertir toute grandeur relative au triangle ACE en la grandeur correspondante pour les triangles ABF ou FDE : b ou a, respectivement, d'une part, a + b, de l'autre en fournissent des lü. C'est ce qui rend compte du fait que Liu Hui lise - de deux manières - deux termes de la formule (2.7) comme lü en vue de produire le côté du carré inscrit. De là, l'algorithme s'ensuit par deux biais comme application de la « Procédure du "supposons" »3. 1. Voir l'introduction au chapitre 3. 2. Voir l'introduction à ce chapitre. 3. Voir l'introduction au chapitre 3 pour la démonstration de l'algorithme comparable, donné à la suite du problème 9.15. Pour une description plus approfondie de l'usage de la « Procédure du "supposons" » en relation avec le triangle rectangle, voir également l'introduction au chapitre 9.

Présentation du Chapitre 2 -

«

217

Petit mil et grains décortiqués»

On retrouve ici encore les principales caractéristiques de l'identification, à l'œuvre dans un algorithme, de la règle de trois: la démonstration de la correction fournit une interprétation des calculs en les termes de la situation, tout en exhibant une même stratégie formelle, commune à de multiples algorithmes par-delà les limites qu'on pourrait être tenté d'impartir aux différents domaines des mathématiques. Soulignons, en particulier, qu'ici, c'est la similitude qui est mobilisée sous les traits de la « Procédure du "supposons" ». Avant de conclure sur ce point, nous examinerons un dernier exemple de cette utilisation de la règle de trois aux fins d'établir la correction d'une procédure. Il illustre, en effet, comment, par ce biais, les commentateurs mettent en évidence un type de pratique qui rend compte de manière récurrente d'algorithmes des Neuf chapitres. Esquissons-en la description sur l'exemple du problème 6.6, que nous avons évoqué plus haut et dont nous reproduisons ici le texte: « SUPPOSONS QU'UNE PERSONNE DOIVE ÊTRE GRATIFIÉE DE 2 HU DE PETIT MIL. COMME DANS LES GRENIERS D'ETAT IL N'Y A PAS DE PETIT MIL, ON VEUT LUI DONNER DU GRAIN DÉCORTIQUÉ ET DU SOJA DANS UNE PROPORTION DE 1 A 2 DE SORTE A CE QUE CELA ÉQUIVAILLE AU PETIT MIL DONT ELLE ÉTAIT GRATIFIÉE. ON DEMANDE COMBIEN DE CHACUN (ON LUI DONNE). » « PROCÉDURE: ON PLACE

1 POUR LE GRAIN DÉCORTIQUÉ, 2 POUR LE SOJA, ET L'ON CHERCHE LES QUAN-

TITÉS DE PETIT MIL QUE CELA FAIT. EN SOMMANT CELLES-CI, ON OBTIENT

3

ET

8/9,

QUE L'ON PREND

COMME DIVISEUR. ON PLACE A NOUVEAU 1 POUR LE GRAIN DÉCORTIQUÉ, 2 POUR LE SOJA, ET ON LES MULTIPLIE PAR LES 2 HU DE PETIT MIL, CE QUI FAIT RESPECTIVEMENT LES DIVIDENDES. EFFECTUER LES DIVISIONS DES DIVIDENDES PAR LE DIVISEUR DONNE LES RÉSULTATS EN HU. »

La manière dont Li Chunfeng établit la correction de cette procédure est particulièrement intéressante. Nous ne retiendrons ici qu'un aspect de son commentaire. Extrayant les valeurs permettant de calculer les équivalences entre petit mil, soja et grain décortiqué dans la table générale qui ouvre le chapitre 2, Li Chunfeng rend compte du début de l'algorithme des Neuf chapitres en recourant, une première fois, à des « Procédures du "supposons" » pour produire la quantité de petit mil correspondant à l'ensemble de 1 de grain décortiqué et de 2 de soja. La règle de trois lui sert ici à élaborer, à échelle réduite, une situation semblable à la situation réelle. Dans ce « microcosme », à des quantités de grain décortiqué et de soja respectivement égales aux 1 et 2 qui expriment la proportion cherchée, correspond une quantité de petit mil de 3 + 8/9 : il s'agit là de valeurs qui sont autant de lü des grandeurs requises. De la situation en dimensions réelles - le «macrocosme» - , l'énoncé ne donne que la quantité du petit mil. Une seconde application de la règle de trois permet à Li Chunfeng de s'appuyer sur cette unique valeur « réelle» et sur les lü du microcosme pour restituer l'ensemble des quantités de la situation en grandeur nature et, donc, déterminer les inconnues demandées. Il fournit, ce faisant, une interprétation pas à pas de l'ensemble de la procédure des Neuf chapitres. Nous retiendrons de cette exégèse deux points. La règle de trois permet à Li Chunfeng d'articuler des lü et de déterminer un ensemble de dimensions dans le microcosme. Transversalement, elle lui donne le moyen de prendre appui sur une grandeur du macrocosme pour traduire les dimensions du microcosme en leurs correspondants dans le réel l . 1. Nous reprendrons cet exemple sous un autre angle, au cours de l'introduction au chapitre 3. Par ailleurs, comme l'introduction au chapitre 6 en avance l'idée, ce problème pourrait être caractéristique de ceux qui composent le chapitre« Paiement de l'impôt de manière égalitaire en fonction du transport», du fait que, comme la démonstration le met au jour, la procédure de résolution articule plusieurs règles de trois. A la suite de [Graham 1986c}, pp. 16 sq., et relativement à un passage du Gnomon des Zhou dans lequel figure le terme de Iii, C. Cullen propose de recourir à l'opposition paradigme/syntagme pour appréhender les microcosme et macrocosme mis en relation par les lü (en l'occurrence, le diamètre et la longueur d'un tube, d'une part, le diamètre et la distance du soleil, de l'autre). les différentes valeurs qu'il est loisible de retenir pour une grandeur seraient des paradigmes, tandis que les syntagmes correspondraient à l'une des situations qui les articulent. Il est vrai que la formulation apparemment ancienne du Gnomon des Zhou en matière de lü révèle une conception de domaines de grandeurs articulés les uns aux autres par multiplication en parfaite adéquation avec cette description (voir [Cullen 1996}, pp. 78-80). le lien qui se trouve ainsi établi entre les divers éléments en lesquels nous reconnaissons des paradigmes est significatif. Par ailleurs, la relation, suggérée par ce biais, entre l'usage de lü et une pensée qui procède par corrélations, qu'A. Graham analyse, mérite d'être creusée plus avant.

Les Neuf chapitres

218

Il s'agit là d'une forme d'algèbre, spécifique aux problèmes de type linéaire. Nous retrouverons ce type de raisonnement régulièrement, en rendant compte des procédures des Neuf chapitres 1, voire lorsque les commentateurs développent leurs propres calculs 2. L'ensemble de ces éléments nous met en position d'amorcer, en conclusion, l'analyse des raisons qui incitent les exégètes des Neuf chapitres à souligner le caractère fondamental de la règle de trois. Dans tous les cas examinés, le raisonnement par lequel un commentateur identifie une « Procédure du "supposons" » à l'œuvre dans un algorithme, en en établissant la correction, s'exprime de manière standardisée: Liu Hui comme Li Chunfeng affectent de nouveaux noms à des données pour mettre en évidence des relations entre elles qui font apparaître la procédure comme une instanciation de la règle de trois. Ce type de démonstration intervient dans les contextes les plus variés (conversions de grains aussi bien que géométrie du triangle rectangle ou autres domaines des mathématiques), et porte sur des procédures elles-mêmes diversifiées, concrètes aussi bien qu'abstraites. Elle , met au jour, sous les relations les plus disparates, la même figure de la règle de trois. C'est dire que les algorithmes, malgré la diversité qu'ils affichent, exploitent des situations de la même manière et, partant, partagent la même forme: à l'instar des relations établies, nous l'avons vu plus haut, entre les procédures faisant suite aux problèmes 6.12 et 6.13, les raisonnements jettent ainsi, transversalement, des ponts entre des procédures au premier abord étrangères les unes aux autres. En d'autres termes, ces algorithmes sont tous passibles d'être regroupés sous un seul et même énoncé: la « Procédure du "supposons" ». Cette manière de mettre en œuvre la règle de trois dans les démonstrations est en tous points conforme à ce que nous avons décrit, au chapitre A, du fonctionnement, dans les commentaires, de « l'égalisation» et de « l'homogénéisation». Or, nous nous rappelons que ces dernières occupent une place essentielle dans une déclaration que Liu Hui formule dès l'introduction de ces opérations, alors qu'il vient d'établir la correction de la procédure pour additionner les fractions (après le problème 1.9) : « Multiplier pour les désagréger, simplifier pour les réunir, homogénéiser, égaliser pour les faire communiquer, comment ne serait-ce pas les points clefs des math.ématiques (suan) ? »

Il est dès lors particulièrement frappant que l'on rencontre sous la plume de l'autre exégète, Li Chunfeng, une déclaration pour beaucoup comparable à la précédente, mais qui s'en démarque sur un point crucial pour notre sujet. En effet, non pas dans son commentaire, mais dans la « Monographie sur la gamme et le calendrier» de l'Histoire dynastique des Sui dont il assume la responsabilité, Li Chunfeng déclare : « Quant à ce qu'on appelle lü, il y a neuf (parties des mathématiques) qui en découlent ... (suit la liste des titres des Neuf chapitres) ... Dans tous ces cas, on multiplie pour les désagréger, on divise pour les réunir, on homogénéise et on égalise pour les faire communiquer, on {met en œuvre t opération} du ((supposons!! pour les articuler, d'où les méthodes des procédures mathématiques (suanshu) se réduisent à cela. 3 »

Nous constatons donc que Li Chunfeng reprend à son compte la liste d'opérations fondamentales identifiées par Liu Hui et qu'il lui ajoute précisément la règle de trois. Le dernier problème que nous avons examiné ci-dessus (6.6) offre, de plus, quelques pistes pour interpréter les effets que ce commentateur prête ici à la «Procédure du "supposons" ». En effet, Li Chunfeng y montre comment la règle de trois effectue une articulation entre valeurs de deux manières. D'une part, c'est par cette procédure que les grandeurs du microcosme esquissé dans les données sont déterminées. 1. Le problème 9.13 en fournit un exemple particulièrement élaboré. 2. Le commentaire qui fait suite au problème 4.24 en fournit des exemples. 3, Ge souligne.) Voir « Monographie sur la gamme et le calendrier (Lüli zhi)

p.387.

»

de l'Histoire dynastique des Sui (Suishu) ,

Présentation du Chapitre 2 -

«

Petit mil et grains décortiqués»

219

D'autre part, c'est encore par son intermédiaire que macrocosme et microcosme - chacun constituant, en fait, un ensemble de lü représentant la situation - sont articulés 1. De l'inclusion de l'opération dans l'énumération de Li Chunfeng, plusieurs conclusions s'ensuivent. Si, comme nous l'avons relevé, la « Procédure du "supposons" » joue, dans les démonstrations de la correction des divers algorithmes des Neuf chapitres, le même rôle que l'homogénéisation et l'égalisation, il semble. bien que ce soit la raison qui motive son inclusion dans la liste. C'est dire, inversement, que les commentateurs visent, à travers leurs démonstrations, à identifier des opérations fondamentales en ce sens, et que les listes qu'ils dégagent livrent la quintessence de leur exégèse. La pratique singulière de la démonstration que nous rencontrons dans les commentaires pourrait donc trouver l'une de ses motivations dans cet objectif que les commentateurs s'assignent: ils chercheraient, à travers elle, à déterminer les stratégies formelles, en un nombre le plus ·petit possible, qui rendent compte de l'ensemble des procédures du Classique 2. Notons, enfin, que, si l'on en croit le témoignage que nous fournissent ces déclarations, cette recherche apparaît se poursuivre sur plusieurs siècles et selon les mêmes modalités. La déclaration de Li Chunfeng se démarque de celle de Liu Hui sur un autre plan, essentiel pour nous ici, en promouvant le concept de Iii à la base de la structure que forment les procédures mathématiques. C'est de là, nous dit-il, que dérivent, par l'intermédiaire des opérations fondamentales, l'ensemble des procédures mathématiques. Les Neuf chapitres introduisent le concept de lü au chapitre 2. Les commentateurs l'avaient déjà mis en œuvre au chapitre précédent. Il sera l'objet de développements ultérieurs dans la suite des commentaires. Nous reviendrons donc sur cet aspect fondamental de la déclaration dans notre introduction au chapitre 6, dans la mesure où les lü s'y verront plus systématiquement articulés sur les opérations d'homogénéisation et d'égalisation. Relevons, cependant, dès à présent que ces conclusions ne manquent pas de soulever quelques problèmes. Le commentaire, attribué à Liu Hui, qui fait suite au titre de la « Procédure du "supposons" » affirme d'entrée de jeu le caractère universel de la procédure 3. De surcroît, le concept de lü s'y voit également conféré un rôle fondamental, comparable à celui que lui assigne Li Chunfeng dans sa déclaration. Enfin, nombreux sont les passages du commentaire attribué à Liu Hui mobilisant la« Procédure du "supposons" » de la même manière qu'ailleurs, Liu Hui mettait en jeu« égalisation» et « homogénéisation». Est-ce à dire que l'attribution des divers passages de commentaires aux exégètes pose problème? Cette question mérite bien plus largement d'être posée, nous y reviendrons dans l'introduction au chapitre 6.

1. Nous reviendrons sur ce point dans l'introduction du chapitre 6. 2. [Chemla 2003b et à paraître-a]. 3. On retrouve la même expression sous le pinceau de Li Chunfengdès les premiers mots du commentaire au problème 2.1 ainsi qu'au problème 2.20.

九章算術卷第二

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉

臣李淳風等奉粉注釋

LES NEUF CHAPITRES ~

~

SUR LES PROCEDURES MATHEMATIQUES DEUXIÈME ROULEAU

Commentaire de Liu Hui des Wei

Commentaire sur ordre impérial de votre serviteur Li Chunfeng, grand maître, occupant les fonctions de directeur du service astrologique, grand directeur général des chars de guerre, de la dynastie Tang, et de ses associés

果米以間變易 果米之法一凡此輔相與大通，其特相求二，各女日本率。可約者約 之。別術然也。

果率五十

橋米三十

粹米二十七

業米二十四

御米二十一

小麥商十三半

大搞五十四

精飯七十五

粹飯五十四

業告反四十/\

御飯四十二

毅、苓、麻、麥各四十 五

稻六十

鼓六十三

夕食九十

熟款一百三半

棄一百七十五

今有此都術也。凡九數以為篇名，可以廣施諸率，所謂告往而知來， 舉一隅而三隅反者也。誠能分詭數之紛雜，通彼此之否塞，因物成率，

一戴震輯錄本脫“栗米之法"四字。此依南宋本。

一特，戴震輯錄本作“時"，首1/“若"、

“當"，亦遍。此依南宋本。

PETIT MIL ET GRAINS DÉCORTIQUÉS 1 pour traiter les échanges et les transformations 2

NORMES DU PETIT MIL ET DES GRAINS DÉCORTIQUÉS 3 :

Dans chacun des (cas) où ces lü sont tous mis en relation les uns avec les autres, alors ils communiquent globalement 4. Si l'on recherche en particulier l'un à partir d'un autre 5, cela se fait à chaque fois en se conformant aux lü fondamentaux 6. Quand on peut les simplifier, on les simplifie 7. C'est ainsi que font les autres procédures 8, LE LÜ POUR LE PETIT MIL 9 VAUT

50 30 27

POUR LE GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ POUR LE GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ POUR LE GRAIN FINEMENT DÉCORTIQUÉ

24

POUR LE GRAIN SUPRÊMEMENT DÉCORTIQUÉ POUR LE PETIT GRUAU DE BLÉ POUR LE GROS GRUAU DE BLÉ

13 54

21

ET DEMI

75 54

POUR LE GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ CUIT POUR LE GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ CUIT POUR LE GRAIN FINEMENT DÉCORTIQUÉ CUIT

48

POUR LE GRAIN SUPRÊMEMENT DÉCORTIQUÉ CUIT

42

POUR LE SOJA, LE HARICOT MUNGO, LE GRAIN DE CHANVRE, LE BLÉ POUR LE PADDY

45

60

POUR LE GRAIN DE SOJA FERMENTÉ

63

POUR LE RIZ CUIT DÉLAYÉ AVEC DE L'EAU POUR LE SOJA CUIT

103

90

ET DEMI

POUR LE GRAIN FERMENTÉ

175

PROCÉDURE DU « SUPPOSONS » 10 :

Ceci est une procédure universelle 11, A l'ensemble des neuf parties des mathématiques (shu) qui donnent leur titre aux chapitres, on peut appliquer de manière générale les lü 12, ce que l'on appelle « être informé du passé et en savoir l'avenir» 13, ou « se voir présenter un coin et en conclure par analogie pour les trois autres » 14, Si l'on est en mesure d'opérer des distinctions dans un fouillis de quantités (shu) différentes 15, de les faire communiquer quand elles sont fermées les unes aux autres 16, en s'appuyant sur les choses, de faire advenir leurs lü 17 , de distinguer minutieusement leurs positions et leurs relations les unes avec les autres 18, d'aplanir les disparités entre elles et d'homogénéiser les différences de taille entre elles 19, alors, en fin de compte, il n'est rien qui ne revienne à cette procédure 20,

審辨名分，平其偏頗，齊其參差，則終無不歸於此術也。才村曰:

以所有數乘所求率為實。以所有率為法。 少者多之始，一者數之母，故為率者必等之於一。據某率五、精率三， 是束五而為一，本厲米三而為一也。欲化栗為米者三，栗當先本是一四。 者，謂以五約之，令五而為一也。話，乃以三乘之，令一而為三。如是，

則率至於一五，以五為三矣。然先除後乘，或有餘分，故術反之。又完 言之知六，束五升為蠣米三升;分言之知七，栗一斗為 1厲米五分斗之三，

以五為母，三扇子。以栗求蠣米者，以子乘八，其母報除也。然則所求 之率常為母也。

在連Jl等謹按:宜云“所求之率常扇子，所有之率常

為母"。今乃云“所求之率常為母"知，脫錯也。實如法而 O

今有菜一斗?欲為精米。悶得幾付。 苓曰:為精米六升。 術曰:以采求精米九，三之，五而一。臣盟 等謹按:都術，以所求率乘所有數，以所有率為法。此術以栗求米，故

菜為所有數。三是米率，故三為所求率。五為栗率，故五為所有率一0 。 栗率五十，米率三十，退位求之，故唯云三、五也。 三“米"上，錢校本補“精"字，無必要。

“米"係糖米之省稱。涯校本恢復南宋本、

大典本原文。 四束，南宋本、大典本訛作“精"，依戴震校正。

五至，戴震改作“等"，無必要。南宋本、大典本原文不誤。涯校本恢復南宋本、大典 本原文。 六完，戴震輯錄本訛作“究"。此依南宋本。 七戴震輯錄本於“分"字上有“以"，亦通。此依南宋本。

八南宋本、大典本脫“以子"二字，依戴震校補。 九此三“求"字，南宋本訛作“米"。此依戴震輯錄本。 一o 扇，戴震在屈、孔二刻本中改作“是"，無必要。涯校本恢復南宋本、大典本原文。

Petit mil et grains décortiqués

225

ON MULTIPLIE, PAR LA QUANTITÉ (SHU) DE CE QUE L'ON A, LE LÜ DE CE QU'ON CHERCHE, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ON PREND LE LÜ DE CE QU'ON A COMME DIVISEUR 21.

Le peu est le commencement du beaucoup 22 ; 1 est la source des quantités (shu) 23. La raison en est que ce qui est pris comme lü, il faut l'égaler à 1. En s'appuyant sur le fait que le lü du petit mil 24 est 5 et que le lü du grain grossièrement décortiqué est 3, alors de 5 de petit mil, on fait 1, et de 3 de grain grossièrement décortiqué, on fait 1. En effet, si l'on veut transformer du petit mil pour en faire du grain décortiqué 25, le petit mil doit d'abord prendre pour base cette unité. Qu'il prenne cette unité, c'est ce que signifie le fait qu'on le simplifie par 5 : on fait que 5 devienne 26 1. Lorsque c'est terminé, alors en multipliant ceci par 3, on fait que 1 devienne 3. S'il en est ainsi, alors, quand les lü atteignent à l'unité 27, on prend 5 pour 3. Mais si on divise d'abord, puis que l'on multiplie, on aura peut-être des parts de reste. C'est pourquoi la procédure inverse les opérations. De plus, au cas où on exprime ceci avec des entiers 28, 5 sheng de petit mil font 3 sheng de grain grossièrement décortiqué; au cas où on l'exprime avec des parts 29, 1 dou de petit mil fait 3/5 de dou de grain grossièrement décortiqué: on prend 5 comme dénominateur et 3 comme numérateur 30. Lorsque, ayant du petit mil, on cherche du grain grossièrement décortiqué, on multiplie par le numérateur, et le dénominateur correspondant, en retour, divise 31. S'il en est ainsi, alors le lü de ce qu'on cherche fait constamment le dénominateur 32. Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Il conviendrait de dire que « le lü de ce qu'on cherche fait constamment le numérateur, le lü de ce qu'on a fait constamment le dénominateur ». Mais ici il est dit que « le lü de ce qu'on cherche fait constamment le dénominateur» : c'est une erreur par omission. ET ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR.

(2.1) SUPPOSONS QU'ON AIT

1

DOU DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN GROSSIÈREMENT

DÉCORTIQUÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT 33. RÉPONSE: CELA FAIT

6 SHENG

DE GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ 34, ON MULTIPLIE CECI PAR

3,

ET ON DIVISE PAR

5.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Dans la procédure universelle, on multiplie par le lü de ce qu'on cherche la quantité (shu) de ce que l'on a, et « on prend le lü de ce que l'on a comme diviseur» 35. Dans cette procédure, « ayant du petit mil, on cherche du grain décortiqué», donc le petit mil fait la « quantité (shu) de ce que l'on a ». 3, c'est le lü du grain décortiqué, donc 3 fait le « lü de ce que l'on cherche ». 5 fait le lü du petit mil, donc 5 fait le « lü de ce que l'on a» 36. Comme le lü du petit mil est 50, le lü du grain grossièrement décortiqué est 30, on les (les valeurs présentes) trouve en rétrogradant d'une position 37, c'est la raison pour laquelle on dit simplement 3 et 5.

今有栗二斗一升，欲為粹米。悶得幾何。 答曰:為將米一斗一升五十分升之十

七O 術曰:以栗求粹米九，二十七之，五十而一。 臣連昆等謹按:粹米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。

今有栗四斗五升，欲為業米。悶得幾何。

苓曰:為業米二斗一升五分升之三。 術曰:以栗求業米九，十二之，二十五而一。 臣達旦i等謹按:繫米之率二十有四，以為率太繁，故因而半之一一，故半

所求之率一二，以乘所有之數。所求之率既減半，所有之率亦減半。是故

十二乘之，二十五而一也。

今有栗七斗九升，欲為御米。悶得幾付。 苓曰:為御米三斗三升五十分升之九 O

衍曰:以采求御米，二十一之，五十而一。

今有呆一斗，欲為小貓。悶得幾付。 一錢校本捌“故"字，無必要。涯校本恢復南宋本、大典本原文。 一二戴震輯錄本無“故"字，亦通。此依南宋本。

Petit mil et grains décortiqués

227

(2.2) SUPPOSONS QU'ON AIT

2 DOU 1 SHENG DE PETIT MIL.

SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN PASSABLEMENT

DÉCORTIQUÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

1 DOU 1 SHENG 17/50

DE SHENG DE GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

27,

ET ON DIVISE PAR

50.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Le lü du grain passablement décortiqué vaut 27, c'est pourquoi, directement 38, « on multiplie ceci par 27 et on divise par 50 ».

(2.3) SUPPOSONS QU'ON AIT

4 DOU 5 SHENG DE PETIT MIL.

SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN FINEMENT

DÉCORTIQUÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

2

DOU

1 SHENG 3/5

DE SHENG DE GRAIN FINEMENT DÉCORTIQUÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN FINEMENT DÉCORTIQUÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

12,

ET ON DIVISE PAR

25.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le lü du grain finement décortiqué vaut 24, le prendre pour lü, c'est trop complexe 39. Partant, on prend la moitié de ceci; donc on prend la moitié du lü de ce qu'on cherche pour en multiplier la quantité (shu) de ce que l'on a. Puisque le lü de ce que l'on cherche est diminué de moitié, le lü de ce que l'on a est aussi diminué de moitié; c'est pour cela que l'on multiplie ceci par 12 et qu'on divise par 25. (2.4) SUPPOSONS QU'ON AIT

7 DOU 9 SHENG DE PETIT MIL.

SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN SUPRÊMEMENT

DÉCORTIQUÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

3 DOU 3 SHENG 9/50

DE SHENG DE GRAIN SUPRÊMEMENT DÉCORTIQUÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN SUPRÊMEMENT DÉCORTIQUÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

21,

ET ON DIVISE PAR

50.

答曰:為小麥商二升一十分升之七 O

術曰:以采求小楠，二十七之?百而一。 臣連風等謹按:小輔之率十三有半。半者二為母，以二適之，得二十七， 為所求率。又以母二通其栗率，得一百，為所有率。凡本率有分者，須 即乘除也。他皆放此一二。

今有栗九斗八升，欲為大桶。悶得幾付。 答曰:為大搞一十斗五升二十五分升之 二十一 O

術曰:以采求大搞?二十七之，二十五而 一O

臣車:)1等謹按:大辦之率五十有囚。其可半一四，故二十七之，

亦如栗求繫米，半其二率。

今有栗二斗三升，欲為精飯。悶得幾何。 苓曰:為精飯三斗四升半。

術曰:以采求精飯，三之，二而一。臣盟 等謹按:糖飯之率七十有五一五。栗求精飯，合以此數乘之。今以等數二 十有五約其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。

一三放，戴震輯錄本作“做"，兩通。

一凹

“其"上，戴震輯錄本有“因"字，亦迪。此依南宋本。

一五戴震輯錄本脫“糖"字。此依南宋本。

229

Petit mil et grains décortiqués

(2.5) SUPPOSONS QU'ON AIT

1 DOU

DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU PETIT GRUAU DE BLÉ, ON

DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

2

SHENG

7/10 DE

SHENG DE PETIT GRUAU DE BLÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU PETIT GRUAU DE BLÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

27, ET ON DIVISE PAR 100.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Le lü du petit gruau de blé vaut 13 et demi. Comme un demi, cela a 2 pour dénominateur, à l'aide de 2, on la (la valeur) fait communiquer 40, d'où l'on obtient 27 comme lü de ce que l'on cherche. De plus, à l'aide du dénominateur 2, on fait communiquer le lü de petit mil qui lui correspond, d'où l'on obtient 100 comme lü de ce que l'on a. Chaque fois que les lü fondamentaux ont des parts 41, il faut, en fonction de cela, multiplier et diviser. Les autres (cas) se calquent tous sur celui-ci.

(2.6) SUPPOSONS QU'ON AIT

9

DOU

8

SHENG DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU GROS GRUAU DE

BLÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

10 DOU 5

SHENG

21125 DE

SHENG DE GROS GRUAU DE BLÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GROS GRUAU DE BLÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

27, ET ON DIVISE PAR 25.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Le lü du gros gruau de blé vaut 54. Puisque, comme on peut le diminuer de moitié, par conséquent « on multiplie ceci par 27 », c'est comme lorsqu' « ayant du petit mil on cherchait du grain finement décortiqué» : on a également diminué de moitié leurs deux lü 42 .

(2.7) SUPPOSONS QU'ON AIT 2 DOU

3 SHENG

DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN GROSSIÈ-

REMENT DÉCORTIQUÉ CUIT, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

3 DOU 4 SHENG

ET DEMI DE GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ CUIT.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ CUIT, ON MULTIPLIE CECI PAR

3,

ET ON DIVISE PAR

2.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Le lü du grain grossièrement décortiqué cuit vaut 75. Si, « ayant du petit mil, on cherche du grain grossièrement décortiqué cuit», il faudrait multiplier ceci (la quantité de petit mil) par cette valeur (shu) 43. Mais, ici, on simplifie ces deux lü par le nombre égal 44, 25 : pour le lü de ce que l'on cherche, on obtient 3 et, pour le lü de ce que l'on a, on obtient 2. C'est pourquoi on multiplie par 3 et on divise par 2.

今有栗三斗六升，欲為粹飯。悶得幾付。 答曰:為粹飯三斗八升二十五分升之二 十二 O

術曰:以栗求粹飯，二十七之?二十五而 -4O

臣達Jl等謹按:此術與大蒲多同。

今有栗八斗六升?欲為業飯。悶得幾付。 苓曰:為業飯八斗二升二十五分升之一 十四 O

術曰:以采求業飯，二十四之，二十五而 一司 O

臣達1直等謹按:繫飯率四十八。此亦半二率而乘除。

今有栗九斗八升，欲為御飯。悶得幾何。 答曰:為御飯八斗二升二十五分升之 /\、。

術曰:以栗求御飯?二十一之，二十五而 -4O

臣遵風等謹按:此術半率，亦與繫飯多同。

231

Petit mil et grains décortiqués

(2.8) SUPPOSONS QU'ON AIT

3 DOU 6 SHENG DE PETIT MIL.

SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN PASSABLEMENT

DÉCORTIQUÉ CUIT, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

3

8

DOU

SHENG

22/25

DE SHENG DE GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ

CUIT. PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ CUIT, ON MULTIPLIE CECI PAR

27,

ET ON DIVISE PAR

25.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Cette procédure est pour l'essentiel identique à celle pour le gros gruau de blé 45 .

(2.9) 8

SUPPOSONS QU'ON AIT

DOU

6 SHENG DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN FINEMENT

DÉCORTIQUÉ CUIT, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

8

DOU

2 SHENG 14/25

DE SHENG DE GRAIN FINEMENT DÉCORTIQUÉ CUIT.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN FINEMENT DÉCORTIQUÉ CUIT, ON MULTIPLIE CECI PAR

24,

ET ON DIVISE PAR

25.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement : Le Iii du grain finement décortiqué cuit vaut 48. Ici on diminue aussi les deux Iii de moitié, puis on multiplie et divise 46. (2.10) SUPPOSONS QU'ON AIT

9 DOU 8 SHENG DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN SUPRÊMEMENT

DÉCORTIQUÉ CUIT, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

8

DOU

2

SHENG

8/25

DE SHENG DE GRAIN SUPRÊMEMENT DÉCORTIQUÉ

CUIT. PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN SUPRÊMEMENT DÉCORTIQUÉ CUIT, ON MULTIPLIE CECI PAR

21,

ET ON DIVISE PAR

25.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme, dans cette procédure, on diminue les Iii de moitié, elle est aussi pour l'essentiel identique à celle pour le grain finement décortiqué cuit 47.

今有栗三斗少半升，欲為款。悶得幾何。

苓曰:為款二斗七升一十分升之三。

今有栗四斗一升太半升，欲為苓。悶得幾付。

苓曰:為苓三斗七升半。

今有束五斗太半升，欲為麻。悶得幾何。 答曰:為麻四斗五升五分升之三。

今有呆一十斗八升五分升之二，欲為麥。悶 得幾何 O

苓曰:為麥九斗七升二十五分升之一十 四O

術曰:以采求款、苓、麻、麥，皆九之， 十而一。臣盟等議按:四術率並四十五弋皆是為栗所求，俱 合以此率乘其本栗。術欲從省，先以等數五約之，所求之率得九，所有

之率得十。故九乘十除，義由於此。

一六並，大典本訛作“并"此依南宋本。

233

Petit mil et grains décortiqués

(2.11)48 3 DOU

SUPPOSONS QU'ON AIT

UN TIERS DE SHENG DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU SOJA,

ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

2 DOU 7

SHENG

3/10 DE SHENG

DE SOJA.

(2.12) SUPPOSONS QU'ON AIT

4 DOU 1 SHENG DEUX TIERS DE SHENG DE PETIT MIL.

SION VEUT EN FAIRE

DU HARICOT MUNGO, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

3 DOU 7 SHENG

ET DEMI DE HARICOT MUNGO.

(2.13) SUPPOSONS QU'ON AIT

5

DOU DEUX TIERS DE SHENG DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU

GRAIN DE CHANVRE, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

4

DOU

5 SHENG 3/5

DE SHENG DE GRAIN DE CHANVRE.

(2.14) SUPPOSONS QU'ON AIT

10

DOU

8

SHENG

2/5

DE SHENG DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU

BLÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

9 DOU 7 SHENG 14/25

DE SHENG DE BLÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU SOJA, DU HARICOT MUNGO, DU GRAIN DE CHANVRE, OU DU BLÉ, DANS TOUS LES CAS ON MULTIPLIE CECI PAR

9, ET ON DIVISE PAR 10.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme les lü des quatre procédures 49 valent tous 45, et que, dans toutes, ceci est ce qui est cherché en guise de petit mil, il faudrait, dans tous ces cas, qu'on multiplie, par ce lü, le petit mil d'origine qui lui correspond. Mais, comme on veut que la procédure soit conforme à (une norme) d'économie, on les (les deux lü) simplifie d'abord par le nombre égal, 5 : on obtient 9 pour les lü de ce qui est cherché, et 10 pour le lü de ce que l'on a. C'est pourquoi on multiplie par 9, et on divise par 10, le sens (yi') vient de là 50.

今有栗七斗五升七分升之四 9 欲為稻。悶得 幾何 O 答曰:為稻九斗三十五分升之二十四九

術曰:以采求稻，六之，五而一。臣盟等謹 按:稻率六十，亦約二率而乘除。

今有栗七斗八升，欲為鼓。悶得幾付。 答曰:為鼓九斗八升二十五分升之七 O

術曰:以東求鼓一八，六十三之?五十而一。

今有栗五斗五升，欲為繪。悶得幾付。 苓曰:為繪九斗九升。

術曰:以栗求夕食，九之，五而一。臣盟等謹 按:夕食率九十，退位，與求稻多同，

今有栗四斗，欲為熟款。悶得幾付。

苓曰:為熟寂八斗二升五分升之四。 一七升，戴震輯錄本訛作“斗"。此依南宋本。 一八戴震輯錄本脫“以"字。此依南宋本。

235

Petit mil et grains décortiqués

(2.15) SUPPOSONS QU'ON AIT

7

DOU

5

SHENG

4/7

DE SHENG DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU

PADDY, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

9 DOU 24/35

DE SHENG DE PADDY,

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU PADDY, ON MULTIPLIE CECI PAR ON DIVISE PAR

6,

ET

5.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le lü du paddy vaut 60, on simplifie aussi les deux lü, puis l'on multiplie et divise. (2.16) SUPPOSONS QU'ON AIT

7

DOU

8

SHENG DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN DE SOJA

FERMENTÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

9 DOU 8 SHENG 7/25

DE SHENG DE GRAIN DE SOJA FERMENTÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN DE SOJA FERMENTÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

63,

ET ON DIVISE PAR

50.

(2.17) SUPPOSONS QU'ON AIT

5 DOU 5 SHENG

DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU RIZ CUIT DÉLAYÉ

AVEC DE L'EAU, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

9 DOU 9 SHENG DE RIZ CUIT DÉLAYÉ AVEC DE L'EAU,

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU RIZ CUIT DÉLAYÉ AVEC DE L'EAU, ON MULTIPLIE CECI PAR

9,

ET ON DIVISE PAR

5,

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le lü du riz cuit délayé avec de l'eau vaut 90, on rétrograde d'une position; c'est pour l'essentiel identique à la recherche du paddy 51, (2.18) SUPPOSONS QU'ON AIT

4

DOU DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU SOJA CUIT, ON DEMANDE

COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT 8 DOU 2 SHENG

4/5

DE SHENG DE SOJA CUIT.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU SOJA CUIT, ON MULTIPLIE CECI PAR ET ON DIVISE PAR

207,

100,

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Le lü du soja cuit vaut 103 et demi. Un demi, cela a 2 pour dénominateur; c'est pourquoi, à l'aide du dénominateur 2, on la (la valeur) fait communiquer 52. Puisque le lü de ce que l'on cherche est multiplié par 2, le lü de ce que l'on a, l'accompagnant, est du même coup dilaté 53, C'est pourquoi « on multiplie ceci par 207, et on divise par 100 ».

街曰:以栗求熟寂，二百七之，百而一。 臣達凰等謹按:熟寂之率一百三半。半者，其母二，故以母二通之。所 求之率既被二乘，所有之率隨而俱長，故以二百七之，百而一。

今有栗二斗，欲為襲。悶得幾何。 答曰:為葉七斗。

術曰:以采求葉，七之，二而一。臣盟等謹 按:葉率一百七十有五，合以此數乘其本栗。術欲從省，先以等數二十

五約之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。

今有橋米十五斗五升五分升之二，欲為栗。

悶得幾付。 苓曰:為果二十五斗九升。

街曰:以精米求菜，五之，三而一。臣盟 等謹按:上街以栗求米，故菜為所有數，三為所求率，五為所有率。今

此以米求栗，故米為所有數，五為所求率，三為所有率。準都術求之一九， 各合其數。以下所有反求多間，皆準此一九。

今有粹米二斗，欲為栗。悶得幾付。

苓曰:為栗三斗七升二十七分升之一。 一九此二“準"字，南宋本作“准"，亦通，此依戴震輯錄本。

237

Petit mil et grains décortiqués

(2.19) SUPPOSONS QU'ON AIT 2 DOU DE PETIT MIL. SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN FERMENTÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

7

DOU DE GRAIN FERMENTÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PETIT MIL, ON CHERCHE DU GRAIN FERMENTÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

7,

ET ON DIVISE PAR

2.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme ce lü du grain fermenté vaut 175, il faudrait qu'on multiplie par cette valeur (shu) le petit mil d'origine qui lui correspond. Mais, comme on veut que la procédure soit conforme à (une norme) d'économie 54, on les (ces deux lü) simplifie d'abord par le nombre égal, 25 : on obtient 7 pour le lü de ce qui est cherché, et 2 pour le lü de ce que l'on a. C'est pourquoi on multiplie par 7 et on divise par 2. (2.20) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

15

DOU

5

2/5

SHENG

DE SHENG DE GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCOR-

TIQUÉ. SION VEUT EN FAIRE DU PETIT MIL, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

25

DOU

9 SHENG DE PETIT MIL.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ, ON CHERCHE DU PETIT MIL, ON MULTIPLIE CECI PAR

5,

ET ON DIVISE PAR

3.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Dans une procédure précédente, ayant du petit mil, on cherchait du grain décortiqué, c'est pourquoi « le petit mil faisait la quantité (shu) de ce que l'on avait », « 3 le lü de ce que l'on cherchait» et « 5 le lü de ce que l'on avait» 55. Maintenant, dans ce problème, « ayant du grain grossièrement décortiqué, on cherche du petit mil », c'est pourquoi le grain décortiqué fait la quantité (shu) de ce que l'on a, 5 le lü de ce que l'on cherche et 3 le lü de ce que l'on a. On la (la quantité de petit mil) cherche conformément à la procédure universelle, en prenant respectivement de manière convenable les quantités (shu) correspondantes. Les (problèmes) suivants, où l'on a une telle recherche inverse, sont pour l'essentiel identiques 56 ; ils sont tous conformes à celui-ci. (2.21) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

2

DOU DE GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ. SION VEUT EN FAIRE

DU PETIT MIL, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

3 DOU 7 SHENG 1/27

DE SHENG DE PETIT MIL.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ, ON CHERCHE DU PETIT MIL, ON MULTIPLIE CECI PAR

50 ET ON DIVISE

PAR

27.

街曰:以粹米求菜，五十之?二十七而一。

今有業米三斗少半升，欲為栗。悶得幾何。

苓曰:為栗六斗三升三十六分升之七九 術曰:以業米求果?二十五之，十二而

-一“一一 O 今有御米十四斗?欲為栗。悶得幾何。 苓曰:為栗三十三斗三升少半升。

術曰:以御米求菜，五十之，二十一而 --司(→

O

今有稻一十二斗六升一十五分升之一十 四，欲為栗。悶得幾何。

苓曰:為菜一十斗五升九分升之七 O

術曰:以稻求菜，五之?六而一。 三0 六斗，戴震輯錄本訛作“二斗"。此依南宋本。

二一十二，孔刻本訛作“十三"。涯校本恢復南宋本、大典本原文。 二二二十一，大典本訛作二十二。此依南宋本。

Petit mil et grains décortiqués

239

(2.22) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

3 Dau

UN TIERS DE SHENG DE GRAIN FINEMENT DÉCORTIQUÉ. SION

VEUT EN FAIRE DU PETIT MIL, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

6 Dau 3 SHENG 7/36 DE SHENG DE PETIT MIL.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU GRAIN FINEMENT DÉCORTIQUÉ, ON CHERCHE DU PETIT MIL, ON MULTIPLIE CECI PAR

25

ET ON DIVISE PAR

12.

(2.23) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

14 Dau

DE GRAIN SUPR~MEMENT DÉCORTIQUÉ. SION VEUT EN FAIRE

DU PETIT MIL, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

33

Dau

3 SHENG

UN TIERS DE SHENG DE PETIT MIL.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU GRAIN SUPR~MEMENT DÉCORTIQUÉ, ON CHERCHE DU PETIT MIL, ON MULTIPLIE CECI PAR

50,

ET ON DIVISE PAR

21.

(2.24) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

12 Dau 6 SHENG 14/15

DE PADDY. SION VEUT EN FAIRE DU PETIT MIL,

ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

10 Dau 5 SHENG 7/9 DE SHENG DE PETIT MIL.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU PADDY, ON CHERCHE DU PETIT MIL, ON MULTIPLIE CECI PAR DIVISE PAR

6.

5 ET ON

今有精米一十九斗二升七分升之-9 欲為粹

米。悶得幾何。 苓曰:為粹米一十七斗二升一十四分升 之一十三 O 術曰:以橋米求將米，九之?十而一。臣塗 風等謹按:粹率二十七二三，合以此數乘糖米。術欲從省三間，先以等數三 約之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。

今有橋米六斗四升五分升之三 9 欲為精飯。 問得幾付。

苓曰:為精飯一十六斗一升半。 術曰:以橋米求精飯，五之?二而一。臣遵 風等謹按:糖飯之率七十有五，宜以本精米乘此率數二五。術欲從省，先 以等數十五約之，所求之率得五，所有之率得二。故五乘二除，義由於

今有精飯七斗六升七分升之四?欲為夕食。問 得幾何 O 二三

“粹"下戴震輯錄本有“米"字，亦迪。此依南宋本。

二四省，南宋木訛作“者"。此依戴震輯錄本。

二五米，南宋本、大典本訛作“飯"，依戴震校正。又，此，戴震輯錄本地作“以"。 此依南宋本。

Petit mil et grains décortiqués

241

(2.25) SUPPOSONS QUE L'ON AIT 19 DOU 2 SHENG

117

DE GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ. SION

VEUT EN FAIRE DU GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT 57. RÉPONSE: CELA FAIT

17

DOU

2 SHENG 13/14 DE SHENG

DE GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ, ON CHERCHE DU GRAIN PASSABLEMENT DÉCORTIQUÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

9, ET ON DIVISE

PAR

10.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le lü du grain passablement décortiqué vaut 27, il faudrait multiplier par cette valeur (shu) le grain grossièrement décortiqué. Mais, comme on veut que la procédure soit conforme à (une norme) d'économie 58, on les (ces deux lü) simplifie d'abord par le nombre égal, 3 : pour le lü de ce que l'on cherche, on obtient 9 et, pour le lü de ce que l'on a, 10. ~ C'est pourquoi on multiplie par 9 puis qu'on divise par 10. (2.26) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

6 DOU 4 SHENG 3/5

DE SHENG DE GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ.

SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ CUIT, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

16 DOU 1 SHENG

ET DEMI DE GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ CUIT.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ, ON CHERCHE DU GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ CUIT, ON MULTIPLIE CECI PAR

5, ET ON DIVISE

PAR

2.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le lü du grain grossièrement décortiqué cuit vaut 75, il conviendrait de multiplier par le grain grossièrement décortiqué d'origine 59 la valeur (shu) de ce lü. Mais, comme on veut que la procédure soit conforme à (une norme) d'économie 60, on les (ces deux lü) simplifie d'abord par le nombre égal, 15 : pour le lü de ce que l'on cherche, on obtient 5, et pour le lü de ce que l'on a, 2. C'est pourquoi on multiplie par 5 et on divise par 2, le sens (yi') provient de là.

苓曰:為繪九斗一升三十五分升之三十 O

術曰:以精飯求夕食，六之，五而一。臣盟 等謹按:婚率九十，為糖皈所求，宜以精飯乘此率二六。術欲從省，先以

等數十五約之，所求之率得六，所有之率得五。以此，故六乘五除也二七。

今有款一斗 9 欲為熟款。悶得幾何。 苓曰:為熟款二斗三升。

術曰:以寂求熟款，二十三之，十而一。 臣塗凰等謹按:熟寂之率一百三半二人。因其有半，各以母二適之，宜以

寂數乘此率二九。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得一十一半，所 有之率得五也。

今有款二斗，欲為鼓。悶得幾何。 答曰:為鼓二斗八升 O

術曰:以寂求鼓?七之，五而一。臣盟等謹 按:鼓率六十三，為寂所求，宜以寂乘此率三0 。術欲從省，先以等數九 約之，所求之率得七，而所有之率得五也。

二六糖飯，南宋本、大典本訛作“儉"。依戴震校正。

二七乘，南宋本訛作“除"。此依戴震輯錄本。 二人率，大典本訛作“栗"。此依南宋本。

二九

“款"上，南宋本、大典本衍“熟"字。依戴震校捌。

三0 寂，南宋本、大典本訛作“鼓"。依戴震校正。

243

Petit mi! et grains décortiqués

(2.27) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

7

DOU

6 SHENG 417

DE SHENG DE GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ

CUIT. SION VEUT EN FAIRE DU RIZ CUIT DÉLAYÉ AVEC DE L'EAU, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

9 DOU 1 SHENG 31/35

DE SHENG DE RIZ CUIT DÉLAYÉ AVEC DE L'EAU.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU GRAIN GROSSIÈREMENT DÉCORTIQUÉ CUIT, ON CHERCHE DU RIZ CUIT DÉLAYÉ AVEC DE L'EAU, ON MULTIPLIE CECI PAR

6,

ET ON DIVISE PAR

5.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le lü du riz cuit délayé avec de l'eau vaut 90 et que c'est ce qui est cherché à la place du grain grossièrement décortiqué cuit, il conviendrait de multiplier ce lü par le grain grossièrement décortiqué cuit 61. Mais, comme on veut que la procédure soit conforme à (une norme) d'économie, on les (ces deux lü) simplifie d'abord par le nombre égal, 15 : pour le lü de ce que l'on cherche, on obtient 6 et, pour le lü de ce que l'on a, 5. A cause de cela, on multiplie donc par 6 et on divise par 5. (2.28) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

1

DOU DE SOJA. SION VEUT EN FAIRE DU SOJA CUIT, ON DEMANDE

COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

2 DOU 3 SHENG

DE SOJA CUIT.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU SOJA, ON CHERCHE DU SOJA CUIT, ON MULTIPLIE CECI PAR DIVISE PAR

23, ET ON

10.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Le lü du soja cuit vaut 103 et demi. Si, en s'appuyant sur le fait qu'il comporte un demi, on les (les lü) faisait respectivement communiquer à l'aide du dénominateur 2, il conviendrait de multiplier ce lü par la quantité (shu) de soja 62. Mais, comme on veut que la procédure soit conforme à (une norme) d'économie, on les (ces deux lü) simplifie d'abord par le nombre égal, 9 : pour le lü de ce que l'on cherche, on obtient Il et demi, et, pour le lü de ce que l'on a, 5. (2.29) SUPPOSONS QUE L'ON AIT 2 DOU DE SOJA. SION VEUT EN FAIRE DU GRAIN DE SOJA FERMENTÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT 2 DOU 8 SHENG DE GRAIN DE SOJA FERMENTÉ. PROCÉDURE: SI, AYANT DU SOJA, ON CHERCHE DU GRAIN DE SOJA FERMENTÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

7, ET ON DIVISE PAR 5.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le lü du grain de soja fermenté vaut 63 et que c'est ce qui est cherché à la place du soja, il conviendrait de multiplier ce lü par le soja 63. Mais, comme on veut que la procédure soit conforme à (une norme) d'économie, on les (ces deux lü) simplifie d'abord par le nombre égal, 9 : pour le lü de ce que l'on cherche, on obtient 7 et, par suite, pour le lü de ce que l'on a, on obtient 5.

今有麥八斗六升七分升之三，欲為小貓。悶

得幾付。 答曰:為小摘二斗五升一十四分升之一

十三。 術曰:以麥求小摘，三之，十而一。臣國 等謹按:小麥商之率十三半，宜以母二通之，以乘本麥之數。術欲從省，

先以等數九約之，所求之率得三，所有之率得十也。

今有麥一斗。欲為大禍。悶得幾何。 答曰:為大多高一斗二升。

術曰:以麥求大楠，六之，五而一。臣盟 等謹按:大輔之率五十有凹，合以麥數乘此率二一。術欲從省，先以等數

九約之，所求之率得六，所有之率得五也二一。

今有出錢一百六十，買氣使十八枚。領瞥，觀也。 問非文幾何。

苓曰:一枚，八錢九分錢之八。

三一麥，南宋本、大典本訛作“大貓"。依戴震校正。 三二所，南宋本訛作“術"。此依戴震輯錄本。

Petit mil et grains décortiqués

245

(2.30) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

8

DOU

6 SHENG 3/7

DE SHENG DE BLÉ. SION VEüT EN FAIRE DU PETIT

GRUAU DE BLÉ, ON DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

2 DOU 5 SHENG 13/14 DE SHENG

DE PETIT GRUAU DE BLÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU BLÉ, ON CHERCHE DU PETIT GRUAU DE BLÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR

3,

ET ON DIVISE PAR

10.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le lü du petit gruau de blé vaut 13 et demi, il conviendrait de la (la valeur) faire communiquer à l'aide du dénominateur 2 pour en multiplier la quantité (shu) de blé d'origine. Mais comme on veut que la procédure soit conforme à (une norme) d'économie 64, on les (ces deux lü) simplifie d'abord par le nombre égal, 9 : pour le lü de ce que l'on cherche, on obtient 3 et, pour le lü de ce que l'on a, 10. (2.31) SUPPOSONS QUE L'ON AIT

1

DOU DE BLÉ. SION VEUT EN FAIRE DU GROS GRUAU DE BLÉ, ON

DEMANDE COMBIEN ON EN OBTIENT. RÉPONSE: CELA FAIT

1 DOU 2

SHENG DE GROS GRUAU DE BLÉ.

PROCÉDURE: SI, AYANT DU BLÉ, ON CHERCHE DU GROS GRUAU DE BLÉ, ON MULTIPLIE PAR ON DIVISE PAR

6, ET

5.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Comme le lü du gros gruau de blé vaut 54, il faudrait multiplier ce lü par la quantité (shu) de blé 65. Mais, comme on veut que la procédure soit conforme à (une norme) d'économie, on les (ces deux lü) simplifie d'abord par le nombre égal, 9 : pour le lü de ce que l'on cherche, on obtient 6, et pour le lü de ce que l'on a, 5. (2.32) 66 SUPPOSONS QUE L'ON PAIE

160 SAPÈQUES

POUR ACHETER

18

Lingpi, ce sont des briques. ON DEMANDE COMBIEN VAUT CHACUNE. RÉPONSE : UNE LINGPI VAUT

8 SAPÈQUES 8/9 DE SAPÈQUES.

LINGPI.

今有出錢一萬三千五百，買竹二千三百五十 筒O

問筒幾何。

苓曰:一筒，五錢四十七分錢之三十五。 經率臣盟等謹按三三:今有之義，以所求率乘所有數叫合以惜 一枚乘錢一百六十為實三五。但以一乘不長，故不復乘，是以徑將所買之

率與所出之錢為法、實也。

又按:此今有之義卦，出錢為所有數，一

枚為所求率，所買為所有率，而今有之，即得所求數三七。一乘不長三八， 故不復乘。是以徑將所買之率為法，以所出之錢為實。故貴如法得一枚

錢三九。不盡者，等數而命分。術曰:

以所買率為法，

所出錢數為實?實如法得一錢悶。。

今有出錢五千七百八十五 9 買漆一斜六斗七 升太半升。欲斗率之，問斗幾付。 苓曰:一斗，三百四十五錢五百三分錢

三三自此旬至“等數約命分"，戴震輯錄本在經文“實如法得一錢"及劉注“此術猶經

分"之下。 三四求，南宋本訛作“有"

;

“有數"，南宋本訛作“求"，俱依戴震輯錄本。

三五南宋本、大典本脫“乘"字。依戴震校補。 三六南宋本“此"在“又按"之上，亦通。此依戴震輯錄本。李演認為此條係劉注，衍

“又"字。

三七數，南宋本、大典本訛作“率"。依戴震校正。 三A 南宋本脫“乘"字。此依戴震輯錄本。 三九戴震輯錄本無“故"字，亦遍。此依南宋本。 四0 戴震輯錄本脫“錢"字，此下有劉徽注“此術猶經分"五字。此依南宋本。

Petit mil et grains décortiqués

247

(2.33) SUPPOSONS QUE L'ON PAIE

13 500

SAPÈQUES POUR ACHETER

2 350

BAMBOUS. ON DEMANDE

COMBIEN VAUT CHACUN. RÉPONSE: UN BAMBOU VAUT

5 SAPÈQUES 35/47

DE SAPÈQUES.

PROCÉDURE DU PARTAGE DES LÜ 67 :

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Ceci a le sens (yi') de [mettre en œuvre l'opération} du « supposons» : si l'on multipliait par le lü de ce que l'on cherche, la quantité (shu) de ce que l'on a, il faudrait multiplier par une brique les 160 sapèques, pour faire le dividende 68. Mais une multiplication par 1 ne dilate pas, c'est pourquoi on ne répète pas la multiplication. C'est la raison pour laquelle on prend directement le lü de ce qui est acheté et les sapèques qui sont payées comme diviseur et dividende 69. Commentaire additionnel 70 : Ceci a le sens (yi') de [mettre en œuvre l'opération} du « supposons» : si les pièces payées font la quantité (shu) de ce que l'on a, une brique fait le lü de ce que l'on cherche, ce qui est acheté fait le lü de ce que l'on a, et qu'on leur [applique l'opération} du « supposons», alors on obtient la quantité (shu) de ce que l'on cherche. Multiplier par 1 ne dilate pas, c'est pourquoi on ne répète pas la multiplication. C'est la raison pour laquelle on prend directement le lü de ce qui est acheté comme diviseur et les sapèques qui sont payées comme dividende. Par conséquent, effectuer la division du dividende par le diviseur donne comme résultat le prix d'une brique en sapèques. Si le dividende n'est pas épuisé, on (simplifie) par le nombre égal et l'on nomme les parts 71. ON PREND LE LÜ DE CE QUI EST ACHETÉ COMME DIVISEUR, LA QUANTITÉ (SHU) DE SAPÈQUES QUI SONT PAYÉES COMME DIVIDENDE, ET ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR, CE QUI DONNE LE RÉSULTAT EN SAPÈQUES 72.

(2.34) SUPPOSONS QUE L'ON PAIE

5 785

SAPÈQUES POUR ACHETER

1 HU 6 DOU 7 SHENG

DEUX TIERS DE

SHENG DE LAQUE. SION VEUT EN CALCULER LE PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU DOU, ON DEMANDE COMBIEN VAUT UN DOU 73. RÉPONSE:

1 DOU VAUT 345

SAPÈQUES

15/503

DE SAPÈQUE.

五

十

之

今有出錢七百二十，買練一匹二丈一尺。欲 丈率之，問丈幾何。 答曰:一丈，一百一十八錢六十一分錢 之二 O

今有出錢二千三百七十，買布九匹二丈七 尺。欲匹率之，問匹幾付。 苓曰:一匹，二百四十四錢一百二十九 分錢之一百二十四 O

今有出錢一萬三千六百七十，買絲一石二鈞 一十七斤 O 欲石率之，問石幾付。 答曰:一石，八千三百二十六錢一百九 十七分錢之百七十八四二。 問一三分，戴震輯錄本訛作“二分"。此依南宋本。

因二屈、孔二刻本於“之"下添“一"字，無必要。

Petit mil et grains décortiqués

249

(2.35) SUPPOSONS QUE L'ON PAIE

720

SAPÈQUES POUR ACHETER

1

PI

2

ZHANG

1

CHI DE SOIE FINE

JAUNE. SION VEUT EN CALCULER LE PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU ZHANG, ON DEMANDE COMBIEN VAUT UN ZHANG 74 . RÉPONSE:

1 ZHANG

118

VAUT

SAPÈQUES

2/61

DE SAPÈQUE.

(2.36) SUPPOSONS QUE L'ON PAIE

2 370

SAPÈQUES POUR ACHETER

9

PI

2

ZHANG

7

CHI DE TISSU DE

CHANVRE. SION VEUT EN CALCULER LE PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU PI, ON DEMANDE COMBIEN VAUT UN PI. RÉPONSE:

1 PI VAUT 244 SAPÈQUES 124/129 DE SAPÈQUE.

(2.37) SUPPOSONS QUE L'ON PAIE

13 670 SAPÈQUES POUR ACHETER 1 DAN 2 JUN 17 JIN DE FILS DE SOIE.

SION VEUT EN CALCULER LE PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU DAN, ON DEMANDE COMBIEN VAUT UN DAN. RÉPONSE:

1 DAN VAUT 8326 SAPÈQUES 178/197

DE SAPÈQUE.

經率四三此術猶經分酬。

臣盟等謹按阻:今有之義:錢為所求率，

物為所有數個六，故以乘錢四七，又以分母乘之為實，有分者通之。所買過 分內子為所有率，故以為法閏八。實如法而一四九，得錢數。不盡而命分者，

因法為母，實餘為子。實見不滿，故以命之。術曰:

以所求

率乘錢數為實，以所買率為法，實如法得 O

今有出錢五百七十六，買什七十八筒 O 欲其 大小率之 9

問各幾付。

苓曰:

其四十八筒，筒七錢; 其三十筒 9

筒八錢。

間三戴震輯錄本脫“經率"二字，此依南宋本。又，庚寅年翻刻孔刻本將“率"訛作

“術"。 四四戴震輯錄本此處無此五字。此依南宋本。

四五此條李注，戴震輯錄本在經文“實如法得一錢"之下。此依南宋本。 四六此二句不符今有術。戴震改作“一斗為所求率，出錢為所有數"，錢校本對易戴校 二旬，涯校本恢復原文之“物"字。李繼閔使用原文。

四七戴震將此五字改作“故以一斗乘錢數"，無必要。錢校本恢復原文。錢校本將下文

“有分者通之"移此，亦無必要。 四八南宋本、大典本以上十九宇不誤。戴震將“有分者通之"移“又以"前，錢校本將 此十九字改作“所買馬所有率，有分者通之，通分內子以為法"，均未允。 1匿校本恢復

原文。 四九此五宇南宋本、大典本錯簡於“有分"前，依戴震校正。

Petit mil et grains décortiqués

251

PROCÉDURE DU PARTAGE DES LÜ 75 :

Cette procédure est comme le partage des parts 76. Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Cela a le sens (yi') de {mettre en œuvre l'opération} du « supposons » : les pièces font le lü de ce que l'on cherche; la chose fait la quantité (shu) de ce que l'on a, c'est pourquoi on en multiplie les pièces 77. Si, de plus, on multiplie ceci par le dénominateur pour faire le dividende, c'est que « s'il y a un type de parts, on les (les quantités) fait communiquer» 78. Ce qui est acheté, on en fait communiquer les parts et on incorpore au numérateur pour faire le lü de ce que l'on a, c'est pourquoi on prend ceci comme diviseur. En effectuant la division du dividende par le diviseur, on obtient la quantité (shu) de sapèques. Au cas où [le dividende} n'est pas épuisé et que l'on nomme les parts 79, on prend le diviseur comme dénominateur et le reste du dividende comme numérateur. Il apparaît que le dividende ne remplit pas [le diviseur}, c'est pourquoi on le nomme au moyen {du diviseur}. ON MULTIPLIE PAR LE LÜ DE CE QU'ON CHERCHE LA QUANTITÉ (SHU) DE SAPÈQUES, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ON PREND LE LÜ DE CE QUI EST ACHETÉ COMME DIVISEUR. ET ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR.

(2.38) SUPPOSONS QUE L'ON PAYE

576 SAPÈQUES POUR ACHETER 78 BAMBOUS.

SION VEUT, EN FONCTION

DU FAIT QU'ILS SONT GRANDS OU PETITS, EN CALCULER LES PRIX STANDARD (LÜ), ON DEMANDE COMBIEN COÛTE CHAQUE SORTE 80. RÉPONSE:

48

BAMBOUS D'UNE SORTE VALENT CHACUN

30 DE L'AUTRE

SORTE VALENT CHACUN

8

7

SAPÈQUES;

SAPÈQUES.

Petit mil et grains décortiqués

253

(2.39) SUPPOSONS QUE L'ON PAYE

1 120 SAPÈQUES POUR ACHETER 1 DAN 2JUN 18 JIN DE FILS DE SOIE.

SION VEUT, EN FONCTION DU FAIT QU'ON EN A DES CHERS ET DES BON MARCHÉ, EN CALCULER LES PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU JIN, ON DEMANDE COMBIEN COÛTE CHAQUE SORTE. RÉPONSE:

2 JUN 8 JIN D'UNE SORTE DE CES FILS DE SOIE VALENT 5 SAPÈQUES LE JIN;

1 DAN 10 JIN DE L'AUTRE SORTE, 6

SAPÈQUES LE JIN.

(2.40) SUPPOSONS QUE L'ON PAYE

13 970 SAPÈQUES POUR ACHETER 1 DAN 2JUN 28 JIN 3 LIANG 5 ZHU

DE FILS DE SOIE 81. SION VEUT, EN FONCTION DU FAIT QU'ON EN A DES CHERS ET DES BON MARCHÉ, EN CALCULER LES PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU DAN, ON DEMANDE COMBIEN COÛTE CHAQUE SORTE. RÉPONSE:

1 JUN 9 LIANG 12 ZHU D'UNE SORTE DE CES FILS DE SOIE VALENT 8 051 1 DAN 1 JUN 27 JIN 9

LIANG

17

ZHU DE L'AUTRE SORTE,

8 052

SAPÈQUES LE DAN;

SAPÈQUES LE DAN.

(2.41) SUPPOSONS QUE L'ON PAYE

13 970 SAPÈQUES POUR ACHETER 1 DAN 2JUN 28 JIN 3 LIANG 5 ZHU

DE FILS DE SOIE. SION VEUT, EN FONCTION DU FAIT QU'ON EN A DES CHERS ET DES BON MARCHÉ, EN CALCULER LES PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU JUN, ON DEMANDE COMBIEN COÛTE CHAQUE SORTE. RÉPONSE:

7 JIN 10 LIANG 9 ZHU D'UNE SORTE DE CES FILS DE SOIE VALENT 2 012 SAPÈQUES LEJUN ; 1 DAN 2JUN 20 JIN 8

LIANG

20 ZHU

DE L'AUTRE SORTE,

2 013

SAPÈQUES LE JUN.

幾何五OO 答曰:

其七斤一十兩九妹?鈞二千一十二錢;

其一石二鈞二十斤八兩二十誅，鈞二千 一十三錢 O

今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞 二十八斤三兩五妹。欲其貴賤斤率之，問各 幾何。 苓曰:

其一石二鈞七斤十兩四誅，斤六十七 孟之;

其二十斤九兩一誅，斤六十八錢。

今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞 二十八斤三兩五妹。欲其貴賤兩率之，問各

五0 間，南宋本訛作“閱"。此依戴震輯錄本。

Petit mil et grains décortiqués

255

(2.42) SUPPOSONS QUE L'ON PAYE

13 970 SAPÈQUES POUR ACHETER 1 DAN 2JUN 28 JIN 3 LIANG 5 ZHU

DE FILS DE SOIE. SION VEUT, EN FONCTION DU FAIT QU'ON EN A DES CHERS ET DES BON MARCHÉ, EN CALCULER LES PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU JIN, ON DEMANDE COMBIEN COÛTE CHAQUE SORTE. RÉPONSE:

1

DAN

67

2 JUN 7 JIN 10

LIANG

4

ZHU D'UNE SORTE DE CES FILS DE SOIE VALENT

SAPÈQUES LE JIN ;

20 JIN 9 LIANG 1 ZHU

DE L'AUTRE SORTE,

68

SAPÈQUES LE JIN.

(2.43) SUPPOSONS QUE L'ON PAYE

13 970 SAPÈQUES POUR ACHETER 1 DAN 2JUN 28 JIN 3 LIANG 5 ZHU

DE FILS DE SOIE. SION VEUT, EN FONCTION DU FAIT QU'ON EN A DES CHERS ET DES BON MARCHÉ, EN CALCULER LES PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU LIANG, ON DEMANDE COMBIEN COÛTE CHAQUE SORTE. RÉPONSE:

1

DAN

1 JUN 17 JIN 14

LIANG

1

ZHU D'UNE SORTE DE CES FILS DE SOIE VALENT

4 SAPÈQUES LE LIANG; 1 JUN" 10 JIN 5 LIANG 4

ZHU DE L'AUTRE SORTE,

5 SAPÈQUES LE

LIANG.

幾何。 答曰:

其一石一鈞一十七斤一十四兩一妹?兩 四錢;

其一鈞一十斤五兩四妹?兩五錢。 其率其率知五一，欲令無分五二。術曰:各置所買石、

鈞、斤、兩以為法?以所率乘錢數為實實 實如法而 -9 不滿法者?反以實減法。法

賤實貴。其求石、鈞、斤、兩?以積妹各 除法、實?各得其積數 9 徐各為妹凡按叫 出錢五百七十六，買竹七十八筒，以除錢，得七，實餘三十，是為三十 笛復可增一錢。然則實餘之數則是賞者之數日，故曰:

“寶貴"也。本

以七十八筒為法，今以貴者滅之，則其餘悉是賤者之數。故曰“法賤" 也。其求石、鈞、斤、兩，以積金朱各除法、賞，各得其積數，餘各為錄

者五六，謂石、鈞、斤、兩積錄除實，又以石、鈞、斤、兩積錄除法此， 餘各為餘，即合所間。

五一知，首II “者"，南宋本、大典本訛作“如"，依灌校本校正。此條劉徽注，戴震輯

-錄本在經文“餘各為錄"之下。此依南宋本。 五二無，戴震輯錄本訛作“差"。此依南宋本。 五三南宋本脫以上 22 字。此依戴震輯錄本

五四此條劉徽注，南宋本在經文“術曰"之前，與上條劉徽注合為一條。此依戴震輯錄

本。 五五則，戴震輯錄本作“ ep" ，亦通。此依南宋本。

五六者，南宋本作“知"，亦通。此依戴震輯錄本。

五七南宋本無“又"字，亦通。此依戴震輯錄本。

Petit mi! et grains décortiqués

257

PROCÉDURE DES LÜ DE DIVERSES SORTES:

Pour ce qui concerne les lü de diverses sortes, on veut faire en sorte qu'il n'y ait pas de parts 82. ON PLACE RESPECTIVEMENT LES DAN, JUN, JIN ET LIANG DE CE QUI EST ACHETÉ 83 ET ON LES PREND COMME DIVISEUR. ON MULTIPLIE PAR CE AVEC QUOI ON CALCULE LE PRIX STANDARD (LÜ) LA QUANTITÉ (SHU) DE SAPÈQUES, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ET ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE

PAR LE

DIVISEUR,

SI CELA NE

REMPLIT

PAS LE

DIVISEUR,

EN INVERSANT

L'OPÉRATION 84, ON SOUSTRAIT LE DIVIDENDE DU DIVISEUR. LE DIVISEUR, C'EST LA (QUANTITÉ DE CE QUI EST) BON MARCHÉ, LE DIVIDENDE, C'EST LA (QUANTITÉ DE CE QUI EST) CHER 85. SI L'ON CHERCHE [LE RÉSULTAT} EN DAN, EN JUN, EN JIN ET EN LIANG, ON DIVISE RESPECTIVEMENT DIVISEUR ET DIVIDENDE [SUCCESSIVEMENT} PAR LES ZHU QUI EN SONT LES PRODUITS (JI) 86 ; POUR CHACUN ON OBTIENT LA VALEUR DU PRODUIT (JI) QUI LUI CORRESPOND, ET CE QUI RESTE FAIT RESPECTIVEMENT DES ZHU,

Commentaire: en payant 576 sapèques, on achète 78 bambous; donc, puisqu'en divisant par ceci les sapèques, on obtient 7, et que le reste du dividende est 30, ceci correspond au fait que, pour 30 bambous, on peut à nouveau augmenter [leur prix} d'une sapèque 87, S'il en est ainsi, alors la valeur (shu) du reste du dividende donne par conséquent la quantité (shu) de ceux qui sont chers; c'est pourquoi l'on dit: « le dividende, c'est la (quantité de ce qui est) cher », A l'origine on avait pris les 78 bambous comme diviseur; comme maintenant on soustrait de ceux-ci ceux qui sont chers, le reste donne par conséquent intégralement la quantité (shu) de ceux qui sont bon marché; c'est pourquoi on dit: « le diviseur, c'est la (quantité de ce qui est) bon marché ». Si, « cherchant [le résultat} en dan, en jun, en Jin et en liang, on divise respectivement diviseur et dividende [successivement} par les zhu qui en sont les produits (Ji), pour obtenir pour chacun les valeurs du produit (Ji) qui lui correspond, et que ce qui reste fait respectivement des zhu», cela signifie que les zhu qui sont les produits (Ji) des dan, des jun, des Jin et des liang divisant le dividende, et les zhu qui sont les produits (Ji) des dan, des jun, des Jin et des liang divisant de plus le diviseur, les restes font respectivement les zhu, ce qui donne ce qui est conforme à ce qui était demandé 88.

今有出錢一萬三千九百七十 9 買絲一石二鈞 二十八斤三兩五妹。欲其貴賤妹率之?問各

幾付。 苓曰:

其一鈞二十斤六兩十一誅，五抹一錢;

其一石一鈞七斤一十二兩一十八誅，六 抹一錢。

今有出錢六百二十，買羽二千一百碟。獄，羽 本也欺騙阱，猶數草木稱其根株五八。欲其貴賤率之，問 各幾何。 答曰:

其一千一百四十羽紀三撒一錢;

其九百六十雄?四綠一錢。

今有出錢九百八十，買矢辛辛五千八百二十

五八木，南宋本訛作“本"。此依戴震輯錄本。

259

Petit mil et grains décortiqués

(2.44) SUPPOSONS QUE L'ON PAYE

13 970 SAPÈQUES POUR ACHETER 1 DAN 2JUN 28 JIN 3 LIANG 5 ZHU

DE FILS DE SOIE. SION VEUT, EN FONCTION DU FAIT QU'ON EN A DES CHERS ET DES BON MARCHÉ, EN CALCULER LES PRIX STANDARD (LÜ) SUR LA BASE DU ZHU, ON DEMANDE COMBIEN COÛTE CHAQUE SORTE 89.

1 JUN 20 JIN 6 LIANG 11 1 SAPÈQUE;

ZHU D'UNE SORTE DE CES FILS DE SOIE,

1 DAN 1 JUN 7 1 SAPÈQUE.

LIANG

RÉPONSE: POUR

POUR

JIN

12

18

ZHU DE L'AUTRE SORTE,

5 ZHU VALENT

6

ZHU VALENT

(2.45) SUPPOSONS QUE L'ON PAYE

620

SAPÈQUES POUR ACHETER

2 100 HOU

DE PLUMES.

Hou, c'est le tuyau de la plume. Pour compter (shu) les plumes, on les appelle par leur tuyau, de même que pour compter (shu) herbes et arbres, on les appelle par leur tige ou leur tronc. SION VEUT, EN FONCTION DU FAIT QU'ELLES SONT CHÈRES OU BON MARCHÉ, EN CALCULER LES PRIX STANDARD (LÜ), ON DEMANDE COMBIEN COÛTE CHAQUE SORTE. RÉPONSE: POUR POUR

1 140 D'UNE 960

SORTE DE CES HOU, ON A

DE L'AUTRE SORTE, ON A

4

3

HOU POUR

HOU POUR

1 SAPÈQUE;

1 SAPÈQUE.

枚五九。欲其貴賤率之?問各幾何。 答曰:

其三百枚?五枚一錢;

其五千五百二十枚，六枚一錢。 反其率臣盟等謹按六o 其率者，錢多物少。反其率妒，錢少 物多。多少相反，故日反其率也六二。才村曰: 以孟之妻丈為法，

所率為實?實如法而一。不滿法者，反以

實減法。法少實多 O 二物各以所得多少之 數乘法實? 即物數。按:其率六三，出錢六百二十，則 二千一百撒六四。反之，當二百四十錢，一錢囚撒;其三百八十錢，一錢 三撤。是錢有二價，物有貴賤。故以羽乘錢，反其率也六五。

臣淳風等

謹按:其率者，以物數為法，錢數為實六六。反之者，以錢數為法，物數 為實六六。不滿法者，實餘也。當以餘物化為錢矣。法為凡錢，而今以化

錢滅之，故日反以實減法也。法少者的，經分之所得，故日法少;實多 者六七，餘分之所益，故日實多。乘實宜以多，乘法宜以少六J\..。故日各以

所得多少之數乘法、實六九，即物數也。 五九瞥，李籍所引及戴震輯錄本作“幹"，亦通。此依南宋本。

六。此條李注，戴震輯錄本在下條劉徽注之下。此依南宋本。 六一知，首II “者"，屈、孔二本改作“者"，無必要。 六二此下南宋本、大典本衍一 106 字，與下條李注重複，依錢校本捌。 六三南宋本“按"字在“其率"之下，亦通。此依戴震輯錄本。 六四二千一百，戴震輯錄本訛作“一千二百"。此依南宋本。 六五其，南宋本、大典本訛作“二"，依錢校本校正。 六袱六

“錢數為實

六拙七

“法少者

文宇改。

六八“乘實宜以多，乘法宜以少"，南宋本、大典本訛作“宜以多乘法，少乘寶"，李 淇改作“宜以多乘實，少乘法"。此依上捌重複文字校改。 六于1.

-=!=r-l-7-J戶

-I- rth -J戶，fur.

“ --'-T"

q

.L[; 1+. L. llt1ll 辛辛辛7.品千r 仁7 -}.，1有

261

Petit mil et grains décortiqués

(2.46) SUPPOSONS QUE L'ON PAYE

980

SAPÈQUES POUR ACHETER

5 820

BOIS DE FLÈCHE. SION VEUT,

EN FONCTION DU FAIT QU'ILS SONT CHERS OU BON MARCHÉ, EN CALCULER LES PRIX STANDARD

(LÜ), ON DEMANDE COMBIEN COÛTE CHAQUE SORTE. RÉPONSE: POUR POUR

300

D'UNE SORTE DE CES BOIS DE FLÈCHE, ON A

5 520

DE L'AUTRE SORTE, ON A

6 BOIS

5 BOIS POUR UNE SAPÈQUE;

DE FLÈCHES POUR UNE SAPÈQUE.

PROCÉDURE DE L'INVERSION DES LÜ DE DIVERSES SORTES:

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: [i' opération} des « lü de diverses sortes» concerne les (cas) où les sapèques sont en nombre supérieur aux choses; [l'opération} de 1'« inversion des lü de diverses sortes », les (cas) où les sapèques sont en nombre inférieur aux choses. Ce qui est en nombre supérieur et ce qui est en nombre inférieur sont donc inversés l'un avec l'autre (dans ces problèmes), c'est pourquoi on dit 1'« inversion des lü de diverses sortes» 90. ON PREND LA QUANTITÉ (SHU) DE SAPÈQUES COMME DIVISEUR, CE DONT ON CALCULE LE PRIX STANDARD (LÜ) COMME DIVIDENDE, ET ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR. SI CELA NE REMPLIT PAS LE DIVISEUR, EN INVERSANT L'OPÉRATION, ON SOUSTRAIT LE DIVIDENDE DU DIVISEUR. LE DIVISEUR [EST ASSOCIÉ} SAPÈQUE}, LE DIVIDENDE

A LA PLUS GRANDE.

A LA

PLUS PETITE [QUANTITÉ DE CHOSES PAR

LES QUANTITÉS (SHU) PLUS OU MOINS GRANDES QUI

SONT OBTENUES DES DEUX CHOSES, RESPECTIVEMENT MULTIPLIÉES PAR LE DIVISEUR OU LE DIVIDENDE, DONNENT LES QUANTITÉS (SHU) DE CHOSES 91.

Commentaire: Les lü correspondants sont 620 pour les sapèques payées et 2 100 pour les plumes achetées 92. En « ayant inversé l'opération », cela fait que, pour 240 sapèques, chaque sapèque correspond à 4 plumes et que, pour 380 des sapèques, chaque sapèque correspond à 3 plumes. Cela revient à ce qu'en sapèques il y ait deux prix et à ce que, parmi les choses, il y en ait des chères et des bon marché. C'est pourquoi quand on multiplie les sapèques par les plumes, on inverse les lü de diverses sortes 93. Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusemetlt : Pour les « lü de diverses sortes », on prenait la quantité (shu) de choses comme diviseur et la quantité (shu) de sapèques comme dividende. Si l'on inverse ceci, c'est qu'« on prend la quantité (shu) de sapèques comme diviseur» et la quantité (shu) de choses comme dividende. « Ce qui ne remplit pas le diviseur» 94, c'est le reste du dividende. Il faut transformer les choses qui restent en sapèques 95. Le diviseur est pris comme la totalité des sapèques, et maintenant on soustrait de celle-ci les sapèques qui résultent de la transformation, c'est pourquoi l'on dit qu'« en inversant l'opération, on soustrait le dividende du diviseur». Si le « diviseur [est associé} à la plus petite» [quantité de choses par sapèque}, c'est que c'est ce que l'on obtient par le partage des parts 96 ; c'est pourquoi l'on dit: « le diviseur [est associé} à la plus petite [quantité de choses par sapèque} ». Si « le dividende [est associé} à la plus grande» [quantité de choses par sapèque}, c'est qu'il représente ce qui est augmenté des parts restantes 97 ; c'est pourquoi l'on dit: « le dividende [est associé} à la plus grande quantité ». Quand l'on multiplie le dividende, il convient que ce soit par la plus grande [quantité de choses par sapèque}. Et quand l'on multiplie le diviseur, il convient que ce soit par la plus petite [quantité de choses par sapèque}. C'est pourquoi l'on dit qu'on multiplie respectivement, par les quantités (shu) plus ou moins grandes d'entre elles qui sont obtenues, le diviseur ou le dividende, ce qui donne les quantités de choses.

PRÉSENTATION DU CHAPITRE «

Parts pondérées en fonction des degrés

3 »

par Karine

CHEMLA

La « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » présente de nombreux points communs avec la « Procédure du "supposons" », qui constituait le thème central du chapitre précédent. Promue en tête du chapitre 3 qui porte son nom, elle est énoncée hors du contexte de tout problème et en des termes aussi abstraits que généraux. Nombre d'algorithmes des Neuf chapitres reprendront sa charpente ainsi que les expressions qui caractérisent sa formulation, ce à quoi les commentateurs réagiront systématiquement en cherchant à expliciter comment ces algorithmes peuvent s'interpréter comme partage inégal et en montrant que la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » rend compte de leur correction. Dans ce qui suit, nous analyserons les procédures fondamentales que le chapitre 3 expose en vue d'effectuer des partages inégaux, et nous discuterons des singularités de leur description. Ce premier développement nous sera l'occasion d'une confrontation rapide avec les algorithmes comparables que contient le manuscrit copié avant la fin du second siècle avant notre ère et récemment excavé: le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu). Nous nous tournerons, dans un second temps, vers les démonstrations que les commentateurs proposent de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » aussi bien que des algorithmes qui la mobilisent. Cet examen mettra en évidence que cette procédure joue, dans les commentaires, un rôle comparable à celui qui fut, selon l'analyse développée dans l'introduction au chapitre 2, dévolu à la « Procédure du "supposons" ». Nous serons de ce fait amenés à comparer ces deux opérations que les démonstrations font apparaître comme capitales, et nous établirons que, si la règle de trois reste la plus fondamentale, les deux procédures dégagent, chacune, des aspects différents des algorithmes dont elles contribuent à établir la correction. Dans un dernier temps, enfin, nous examinerons les objets mathématiques pour la conceptualisation desquels Les Neuf chapitres et leurs commentateurs recourent aux notions centrales mises en œuvre par le partage en parts inégales.

1.

LES PROCÉDURES FONDAMENTALES DU CHAPITRE

3

Le chapitre 3 met en valeur deux algorithmes, au sens où, parmi les nombreuses procédures qu'il comporte, ce sont les seules auxquelles un nom est conféré: il s'agit de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » et de la « Procédure de l'inversion des coefficients de la pondération ». Ces appellations, qui désignent les opérations fondamentales dont ces procédures permettent l'exécution, seront d'ailleurs reprises par les commentateurs 1. Corrélativement, ces deux algorithmes se distinguent par le fait d'être décrits de manière abstraite et d'être introduits en dehors du contexte de tout problème. Leurs énoncés sont toutefois immédiatement suivis de problèmes dont les procédures de résolution mettent plus ou moins explicitement en œuvre ces algorithmes fondamentaux. 1. Voir cui « coefficient de la pondération en fonction des degrés », cuifen « parts pondérées en fonction des degrés», fan cui (shu) « Inversion des coefficients de la pondération (procédure de 1'), coefficients de la pondération inverse en fonction des degrés ».

264

Les Neuf chapitres

La « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » offre les moyens de réaliser un partage en parts inégales, de poids respectifs donnés. La « Procédure de l'inversion des coefficients de la pondération» vise, elle, à permettre, la découpe d'un tout en des parts inversement proportionnelles à des facteurs proposés. De fait, elle opère une transformation des poids qui ramène le partage visé à procéder d'une simple application de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés ». En ce sens, l'opération qui donne son nom au chapitre en constitue la clef de voûte.

1.

La« Procédure des parts pondérées en fonction des degrés»

Le nom de « Parts pondérées en fonction des degrés» (cuifen) reprend le terme de « part» (fin), qui entre dans la composition des appellations de tous les algorithmes permettant d'effectuer les opérations arithmétiques élémentaires sur les fractions. C'est la raison pour laquelle nous avons opté pour une traduction qui marque ce parallèle. Par opposition avec l'addition des fractions, qui requiert de fondre des parts aux tailles disparates en un même ensemble, l'opération des « Parts pondérées en fonction des degrés» permet de dissocier un tout en des parts inégales, dont les poids sont déterminés. Les comparaisons que les commentateurs développent régulièrement, nous le verrons, entre les procédures réalisant ces partages inégaux et les algorithmes par le biais desquels opérer sur les fractions trahissent l'affinité que les deux domaines présentent à leurs yeux. Le terme de cui, quant à lui, renvoie à des différences qui s'ordonnent en fonction de degrés, de grades, et évoque la situation paradigmatique en relation avec laquelle le partage inégal est conçu: les distinctions de rang dans la hiérarchie bureaucratique, et les différences qu'elles entraînent en matière de rétribution ou de pénalité. Notre traduction cherche à restituer autant le sens général mathématique de « poids» sur la base desquels définir la taille de parts, que la référence à la situation de « hiérarchie» par l'entremise de laquelle le problème mathématique est approché. Les différences entre rangs sociaux fournissent leur objet au premier problème du chapitre ainsi qu'au problème 3.8, qui fait immédiatement suite à l'énoncé de la « Procédure de l'inversion des coefficients de la pondération» 1. Plus précisément, le choix particulier qui y est opéré, pour ce qui est des titres de noblesse des cinq personnes entre lesquelles le partage doit être effectué, se traduit par le fait que les nombres définissant les rangs, et partant les tailles des lots, forment la suite des cinq premiers entiers naturels. Nous verrons que c'est sur cette base que la procédure sera reprise pour aborder les séries arithmétiques. Reproduisons ici, avant d'en expliciter le sens mathématique, la formulation de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés », pour signaler, en gras, ceux de ses éléments qui en constitueront de fait des marques distinctives: « PROCÉDURE DES PARTS PONDÉRÉES EN FONCTION DES DEGRÉS :

ON PLACE RESPECTIVEMENT LA RANGÉE DES COEFFICIENTS DE LA PONDÉRATION EN FONCTION DES DEGRÉS

(liecui),

ET ON SOMME EN AUXILIAIRE, CE QUI FAIT LE DIVISEUR.

ON MULTIPLIE, PAR CE QU'ON PARTAGE, LES COEFFICIENTS QUE L'ON AVAIT AVANT QU'ILS NE SOIENT sOMMÉs, CE QUI FAIT RESPECTIVEMENT LES DIVIDENDES. ET ON EFFECTUE LES DIVISIONS DES DIVIDENDES PAR LE DIVISEUR. LES (QUANTITÉS) QUI NE REMPLISSENT PAS LE DIVISEUR SONT NOMMÉES

A

L'AIDE DU DIVISEUR. »

1. [Schrimpf 1963], pp. 183-184, examine les différentes hiérarchies sociales mobilisées dans les divers problèmes des Dix Classiques de mathématiques pour discuter de questions de partages en parts inégales. Le nom que Les Neuf chapitres donnent à la procédure n'y est repris par aucun autre de ces ouvrages. Le Classique des Han pose, dans ce chapitre, tant des problèmes typiques des partages inégaux que la bureaucratie devait gérer (répartition de la corvée en fonction des unités administratives par exemple) que des problèmes à allure récréative. Nous reviendrons sur les premiers dans l'introduction au chapitre 6. Il est intéressant que certains problèmes dans le contexte desquels le Livre de procédures mathématiques (Suanshttshu) expose ces procédures présentent des échos avec les seconds.

Présentation du Chapitre 3 -

«

Parts pondérées en fonction des degrés»

265

En parcourant les algorithmes de résolution qui font suite aux dix premiers problèmes du chapitre 3, le lecteur constatera que leur formulation reprend tout à la fois les termes, mais également la syntaxe et la structure générale de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés». Il en va de même d'un certain nombre d'autres algorithmes, tout particulièrement au chapitre 6, nous y reviendrons. La description de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» s'appuie de façon précise sur la manière dont les opérations sont disposées et menées sur la surface sur laquelle les calculs s'exécutaient. Les coefficients (aï> sur la base desquels les parts seront déterminées sont, dans un premier temps, rangés dans des positions de la surface à calculer dont l'ensemble forme une colonne 1. Les calculs de l'algorithme les impliqueront tous de manière strictement identique. Lorsqu'une opération porte sur la valeur rangée dans une position de la surface, le plus souvent, le contenu d'origine en disparaît pour se voir remplacer par le résultat, qui dès lors prend à son tour le nom de la position 2. C'est sans doute pour cette raison que l'algorithme prescrit de sommer les coefficients «en auxiliaire» lfu): en produisant leur somme, l'opération ne détruit alors pas les contenus des positions de la colonne, qui peuvent immédiatement être réutilisés dans le calcul suivant. Relevons, par ailleurs, que la formulation de l'algorithme désigne les quantités qui y entrent par les rôles qu'elles jouent, ou par référence aux opérations qui leur sont appliquées, établissant de ce fait des relations entre leurs termes. Si nous appelons A la quantité à partager, l'algorithme donne donc, au terme de cette description abstraite, les diverses parts comme égales à : ai

A

Le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu) comporte quelques problèmes de ce type 3. En dépit de variations, la récurrence d'une formulation plus ou moins standardisée autorise à y voir l'application d'une même procédure, mathématiquement semblable à la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés». Cependant, la description en est d'un type radicalement différent. Autant le caractère abstrait et structuré de la formulation que la nature de la référence à la surface à calculer caractérisent le texte du Classique, par opposition aux procédures que le Livre de procédures mathématiques présente systématiquement dans le contexte de problèmes. Ce contraste paraît révéler, entre l'un et l'autre des états, un travail, qui se traduit dans la lettre de la description et qui trahit une reconceptualisation de l'algorithme. Il s'agit là d'une piste de recherche qu'il faudra explorer systématiquement à l'avenir afin de saisir l'une des dimensions de l'activité mathématique qui a présidé à la compilation des Neuf chapitres. Avant de revenir sur le commentaire au cours duquel Liu Hui établit la correction aussi bien que le sens de cet algorithme, observons la manière dont la « Procédure de l'inversion des coefficients de la pondération» ramène à celui-ci le problème d'un partage en parts inversement proportionnelles à des quantités données. [Chemla 1996a] montre comment, de manière générale, les ouvrages postérieurs aux Neuf chapitres fournissent des informations nettement plus détaillées sur la disposition des calculs sur la surface. En l'occurrence, le problème 24 du chapitre 2 du Classique mathématique de Sunzi (Sunzi suanjing, [Qian Baocong L:::,., 1963], pp. 304-305) décrit l'agencement de positions dans le cadre duquel les opérations prescrites par la « procédure des parts pondérées en fonction des degrés » sont effectuées, sans toutefois en mentionner le nom. Les indications concordent avec ce que laisse entrevoir le problème 6.18, et l'on peut donc faire l'hypothèse d'une continuité des pratiques en la matière ([Chemla 1996a], pp. 121-122). 2. Voir le chapitre D, p. 110. 3. [Peng Hao L:::,.,2001a], pp. 50-51 (lattes 32-33), pp. 52-53 (lattes 34-35), pp. 53-54 (lattes 36-37), pp. 56-57 (lattes 40 à 42). 1.

266

Les Neuf chapitres

2.

La« Procédure de l'inversion des coefficients de la pondération»

La visée de cette procédure consiste à déterminer les coefficients qui doivent entrer dans la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés », si l'on veut réaliser une division en lots de tailles inversement proportionnelles à des quantités ai' La description en est à nouveau abstraite et attachée, de façon singulière au regard de l'ensemble du Classique, à la manière dont les calculs se pratiquent sur la surface à calculer. Son caractère insolite en rend la traduction aussi bien que l'interprétation précise hypothétiques. Le résultat du calcul ne fait pas de doute. Tous les exégètes s'accordent sur le fait que l'algorithme met en œuvre les quantités ai' i = 1, ... , n, pour produire, par multiplication, les coefficients

bi =

II a

j

i:j:.i

en fonction desquels le partage peut s'opérer de façon proportionnelle. Il reste néanmoins à élucider la manière dont l'algorithme s'appuie, pour produire ce résultat, sur les « coefficients de la pondération en fonction des degrés », ai' après les avoir, lui aussi, disposés tout d'abord en colonne. C'est en effet ainsi, relevons-le, que Les Neuf chapitres nomment encore, au début du calcul, les coefficients ai du partage en parts qui leur sont inversement proportionnelles. Le même terme désignera, en fin de parcours, les bi . L'interprétation que notre traduction propose lit, dans le texte des Neuf chapitres, une référence concrète aux mouvements des nombres sur la surface à calculer. Relativement à tout poids ai' le calcul du bi correspondant suppose, dans chaque cas, de déplacer vers la position i, pour les multiplier les uns aux autres, l'ensemble des coefficients ai' pour j"* i. Ce serait donc relativement à ces mouvements que le texte prescrirait d'exécuter la multiplication de sorte que ceux qui bougent (pour chaque i, ai' j"* i) entrent dans la composition des coefficients proportionnellement auxquels la part relative à la position de celui qui reste immobile (a) est calculée. Le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu) contient un problème de ce type, intitulé « Paiement d'un droit de douane avec un ensemble de grains», et la procédure proposée pour sa résolution est conforme à cette manière d'opérer 1 - nous verrons ci-dessous que Liu Hui décrit également un procédé alternatif pour déterminer les coefficients, ce qui donne à ce rapprochement un caractère moins naturel qu'il ne pourrait paraître à première vue. Néanmoins, tout comme dans le cas précédent, l'algorithme ne se voit pas conférer, dans le Livre de procédures mathématiques, de nom général - seul le problème dans lequel il est mis en œuvre reçoit un titre. Par ailleurs, sa description n'y fait aucune référence aux mouvements sur la surface à calculer. Elle ne permet pas d'élucider plus avant le sens précis de l'algorithme tel qu'on le trouve formulé dans Les Neuf chapitres. Le commentaire à 1'« Inversion des coefficients de la pondération» attdbué à Liu Hui reconnaît, dans ce calcul, une sous-procédure mobilisée ailleurs, dans le contexte de l'algorithme pour additionner des fractions, ou « Procédure de la réunion des parts », qui fait suite au problème 1.9. A supposer, en effet, que l'on veuille sommer des fractions comme les liai' Les Neuf chapitres prescrivent de multiplier le numérateur de chacune d'entre elles par les dénominateurs des autres fractions. Là encore, les dénominateurs que le calcul déplace entrent dans la composition du nouveau numérateur de la fraction vers laquelle on les bouge. Le numérateur de la fraction liai est donc multiplié par

II a

j .

A partir de ce rapprochement entre manières d'opérer sur la surface à calculer, le commentateur

j:j:.i

déduit, d'une part, une interprétation de cet algorithme dans le cadre des partages en parts de tailles inversement proportionnelles aux ai - nous y reviendrons - et, d'autre part, une procédure autre pour déterminer, dans ce cas, les coefficients relativement auxquels effectuer le partage. 1. [Peng Haa .6.2001a}, pp. 58-59 (lattes 43 à 45).

Présentation du Chapitre 3 -

«

267

Parts pondérées en fonction des degrés»

Le nouvel algorithme s'inspire en effet du procédé alternatif que Liu Hui avait proposé pour additionner les fractions, dans son commentaire à la « Procédure de la réunion des parts» 1, et il suggère donc de produire les bi =

IT

a}

par le calcul:

}:t-i 11

bi =

ITa} }= i

--a;-

En nous penchant, maintenant, sur l'interprétation que Liu Hui donne de la procédure des Neuf chapitres, par le biais de son rapprochement avec l'addition des fractions, nous aborderons la dimension démonstrative des commentaires du chapitre, dans ses relations avec le côté algorithmique de l'activité mathématique 2. Il nous sera utile cependant d'examiner dans un premier temps la manière dont Liu Hui établit la correction de la « Procédure des parts pondérées selon le degré».

II.

LES COMMENTAIRES ET LA« PROCÉDURE DES PARTS PONDÉRÉES EN FONCTION DES DEGRÉS »

1. La démonstration de la correction de la pondérées en fonction des degrés »

«

Procédure des parts

Le commentaire que Liu Hui insère entre les opérations de la procédure décrite par le Classique offre, en fait, deux points de vue à partir desquels appréhender la correction de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés ». Le premier point de vue interprète les successions de multiplications et de divisions qui charpentent la description de l'algorithme comme autant de règles de trois. A cette fin, Liu Hui introduit une propriété des poids en fonction desquels le partage s'effectue qui s'avérera capitale autant pour rendre compte de sa correction que pour justifier les modalités de sa mise en œuvre. En effet, le commentateur qualifie les « coefficients de la pondération en fonction des degrés» du terme de lü 3 . C'est din; qu'on peut multiplier et diviser l'ensemble de leurs valeurs sans modifier la nature du partage qui s'appuiera sur eux. Il est donc loisible de les simplifier, si possible, comme Liu Hui le suggère. Mais cette propriété des coefficients a également pour conséquence qu'on peut en éliminer les fractions, ou articuler des lü en collections plus larges: Li Chunfeng met en évidence que la résolution du problème 3.2, par exemple, recourt à ces potentialités 4 . L'ensemble de ces possibilités permet de disposer en rangée, non pas les poids tels que l'énoncé les délivre, mais des « lü qui sont mis en relation les uns avec les autres», à savoir: des entiers premiers entre eux 5. Relevons ici comment le déploiement de la démonstration ouvre sur de possibles modalités de mise en œuvre de la procédure: dans le même temps qu'il affirme cette qualité des poids d'être des « lü mis en relation les uns avec les autres », Liu Hui enjoint, dans tout emploi de l'algorithme, de transformer les coefficients en un ensemble de nombres premiers entre eux. Il introduit, ce faisant, les éléments qui permettront à leur tour de rendre compte des détails des procédures suivantes des Neuf chapitres. Lü, les coefficients le sont, en tant que quantités, les uns vis-à-vis des autres. Mais ils le sont également sous un autre angle: en tant que termes d'une règle de trois à laquelle revient, comme 1. 2. 3. 4.

Le commentaire qui fait suite au problème 6.3 explicite ce rapprochement. Voir le chapitre A, p. 32. Sur ce terme, se reporter au glossaire. Le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu) contient un problème comparable ([Peng Hao ~2001aJ, pp. 52-53, lattes 34-35). 5. Voir xiangyu lü « lü mis en relation les uns avec les autres».

268

Les Neuf chapitres

Liu Hui s'apprête à le développer, la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés ». Le commentateur affirmera en effet qu'ils rèprésentent les lü des diverses parts « que l'on cherche », relativement à leur somme qui fournit le « lü de ce que l'on a » : le tout à partager 1. Telle est l'idée clef de sa démonstration. On constate donc que les commentateurs mettent en œuvre la « Procédure du "supposons" » pour établir autant la correction de procédures générales et abstraites que celle d'algorithmes résolvant des problèmes concrets, comme nous l'avons vu au chapitre 2. Afin de développer cette démonstration, Liu Hui s'attache, dans un premier temps, à établir que les parts produites par la procédure conservent, même si elles le dissocient, l'intégralité du tout dont on disposait à l'origine. Son argument mérite ici une remarque. C'est en considérant, dans leur ensemble, les produits de ce qui est à partager et des divers coefficients que Liu Hui peut souligner comment on multiplie, globalement, par la quantité même par laquelle on divise ensuite. La conservation du tout est donc ici garantie par la propriété fondamentale que les effets d'une multiplication suivie par une division opposée s'annulent. Une fois de plus, le fait que la division produise systématiquement des résultats exacts s'avère essentiel pour garantir l'annulation de la multiplication et, partant, la conservation. Liu Hui insiste précisément sur ce point au cours de son commentaire à l'extraction de la racine carrée au chapitre 4, nous y reviendrons dans l'introduction que nous lui consacrons. Au cours de sa démonstration, le commentateur complète donc l'ensemble des lü déjà formés d'un lü constitué de leur somme. Dans les cas où Liu Hui identifie la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» à!'œuvre dans un algorithme, en vue d'établir sa correction, nous retrouverons, comme nous le verrons, systématiquement cette structure: il dégagera, dans la situation examinée, des quantités qui assument le rôle de lü représentant les tailles respectives de parts, et, en leur sein, l'une s'avérera pouvoir être interprétée comme la somme des autres. Examinons cependant, avant de nous tourner vers de tels cas, la manière dont Liu Hui élabore un second point de vue pour rendre compte de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » . Nous y trouverons des points communs avec sa démonstration de la correction de la « Procédure du "supposons" »2. Tout d'abord, alors que la procédure était décrite hors du contexte de tout problème et que sa première démonstration interprétait le sens des opérations de manière abstraite, le commentateur introduit à présent un énoncé pour développer sa seconde justification, comme il le fait ailleurs régulièrement lorsqu'il veut expliciter la visée des opérations prescrites 3. Reproduisons-le ici : « Supposons que la famille]ia comporte 3 personnes, la famille Yi, 2 personnes, la famille Bing 1 personne, ce qui fait en tout 6 personnes, et qu'elles partagent ensemble 12. » On le constate: contrairement à d'autres cas, le paradigme proposé ici n'est pas prélevé parmi les problèmes des Neuf chapitres, mais composé pour les besoins du commentaire. Il a la particularité d'offrir la transparence la plus grande qui puisse être sur l'effet des opérations de l'algorithme. Par ailleurs, si Liu Hui somme bien les différents poids en fonction desquels un tout donné doit être fractionné en autant de parties, c'est de la division de ce tout par la somme de ces poids, suivie de la multiplication du résultat par les coefficients respectifs, qu'il peut fournir une interprétation, en les termes de la situation décrite par le problème. Le lecteur peut se reporter à la lettre du texte, nous l'évoquons rapidement ici : les parts inégales sont données comme les lots d'un tout A que reçoivent des familles comportant ai individus, sous l'hypothèse que chaque individu obtient une 1. Sur la règle de trois et les termes de son application, voir l'introduction au chapitre 2. 2. Voir l'introduction au chapitre 2 et, plus généralement, voir le chapitre A, section III.3. Le cas qui est examiné dans ce développement-ci, le commentaire à la « Procédure de la multiplication des parts », présente de nombreux points communs avec le passage que nous analysons ici. Deux démonstrations de la correction de l'algorithme y sont données: la première, abstraite, est suivie par une seconde, pour les besoins de laquelle un nouveau problème est introduit, distinct de celui dans le cadre duquel le Classique présente la procédure. 3. Nous avons rencontré cette pratique dans l'introduction au chapitre 2, p. 211 ; nous la retrouverons ci-dessous.

Présentation du Chapitre 3 -

«

269

Parts pondérées en fonction des degrés»

portion identique. A/I;ai est alors interprété comme la taille de la part reçue par chaque individu, et ai . A/I;ai produit p~r suite le lot alloué à la famille i. C'est pour cet algorithme, donc, formé de la suite d'u~e division et d'une multiplication, que Liu Hui montre comment il produit les résultats escomptés. Nous retrouvons ainsi un cas où la procédure que le commentateur établit pour remplir la tâche assignée par un problème diffère de l'algorithme tel qu'il est donné par le Classique, celuilà même dont la correction doit être montrée. La relation que l'une et l'autre entretiennent est ici identique à celle que le commentaire affronte dans le cas de la règle de trois : l'ordre des opérations de la procédure dont la correction est avérée est inverse de celui de l'algorithme des Neuf chapitres. Or la transformation qui intervertit les opérations de multiplication et de division est valide du fait que les résultats de la division sont exacts, pour les mêmes raisons, donc, que l'était plus haut l'annulation des effets d'une multiplication suivie par la division opposée. Et il est intéressant qu'ici aussi bien qu'au chapitre 2, la conclusion du commentaire, quoique plus concise, insiste également sur ce point 1. C'est dire la précision avec laquelle le commentateur cherche à rendre compte des procédures du Classique. Relevons, par ailleurs, que cette démonstration met en lumière la relation de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » avec la « Procédure du partage des parts» (1.18), élaborant de ce fait le lien entre le thème central du chapitre 3 et les fractions. Nous verrons que c'est sur cette base que la démonstration de la procédure fondamentale suivante du chapitre est appréhendée.

2.

La démonstration de la correction dela des coefficients de la pondération»

«

Procédure de l'inversion

Nous sommes désormais en mesure de revenir au commentaire à la « Procédure de l'inversion des coefficients de la pondération », dont l'interprétation est également délicate. Pour rendre compte de la correction de cet algorithme, Liu Hui introduit à nouveau le contexte d'un problème, non plus seulement pour expliciter la visée des opérations prescrites, comme ci-dessus, mais aussi, dans ce cas, pour préciser les relations avec la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés». Il emprunte, pour ce faire, la situation des problèmes qui font suite à l'énoncé des deux procédures: cinq dignitaires d'ordres différents dans la hiérarchie doivent, soit obtenir (de) des parts de tailles conformes à leur degré de noblesse (problème 3.1), soit effectuer un paiement (chu) en raison inversement proportionnelle à leur rang (problème 3.8). Dans le cas d'un partage proportionnel aux valeurs ai qui définissent les degrés - les cinq premiers entiers - , Liu Hui introduit une interprétation des poids en termes de fractions : le nombre de personnes, 1 pour chaque lot, donne le dénominateur, et le nombre de parts que chaque dignitaire reçoit, le numérateur. Les dénominateurs étant les mêmes, relève le commentateur, les numérateurs peuvent être pris comme coefficients du partage. Les termes par lesquels Liu Hui appréhende à nouveaux frais cette situation sont hautement intéressants pour nous. D'une part, il lit l'ensemble de la situation mathématique à l'aide du concept de « parts », faisant ainsi écho à la référence que le titre du chapitre instaure avec les fractions. Le lot inégal que reçoit chacun est analysé comme composé d'un nombre de parts: le nombre dépend de son rang et la taille de ces parts est la même pour tous. D'autre part, Liu Hui décrit les cinq premiers entiers comme des fractions dont les numérateurs sont homogénéisés (qi) , puisque leurs dénominateurs, 1, sont égalisés (tang). Il introduit, ce faisant, les termes d'homogénéisation et d'égalisation à l'aide desquels il récrivait une réduction au même dénominateur, lorsqu'il rendait compte de la correction de la « Procédure de la réunion des parts ». Dans le contexte présent, ces termes renvoient à un état dans lequel se trouvent les fractions, et non pas à une procédure à leur appliquer. Cet état garantit que soient identiques les tailles des parts qui composeront chaque lot, pour autant qu'on le détermine en fonction des numérateurs. 1. Sur ces questions, voir le chapitre A, section 111.5.

Les Neuf chapitres

270

Mais, en introduisant le dénominateur, le commentateur fait apparaître le problème comme cas particulier d'une situation plus générale où ce terme peut prendre d'autres valeurs. Le cas du partage en parts de tailles inversement proportionnelles à des coefficients ai s'avérera constituer, dans l'analyse de Liu Hui, le cas polaire du premier, puisque tous les dénominateurs diffèrent tandis que les numérateurs valent tous 11. L'interprétation de la procédure et la démonstration de sa correction soulignent que les deux types de problèmes ne sont, formellement, que des cas particuliers d'une unique situation mathématique. Le commentateur aborde ces tâches, en reformulant à nouveau la situation du partage en lots inversement proportionnels à des poids donnés, en termes de « parts», mais, nous le verrons, de manière en fait différente. Il reprend pour cela le raisonnement mis en œuvre pour la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés». On se rappelle que Liu Hui introduisait la division du tout à partager par la somme des ai pour l'interpréter comme déterminant la part de taille unique par multiplication de laquelle les lots inégaux cherchés pouvaient être obtenus :

A -11--

La}

ai

} = 1

Pour ce qui concerne la « Procédure de l'inversion des coefficients de la pondération », le commentaire attribué à Liu Hui considère symétriquement la « part d'une personne» comme ce qui, par division par ai' fournit, respectivement, la taille du i e lot cherché. Sa valeur s'obtient donc en calculant, par l'opération miroir 2 :

A 11

1

L-

i = 1 ai

Le commentateur interprète ce montant comme la somme assemblée par ai personnes du ie rang payant ensemble la quantité due par les gens de leur classe. Les coefficients ai' qui définissaient les degrés de noblesse, sont donc désormais relus comme nombre d'individus de rang i. Cependant, Liu Hui ne détermine pas la valeur de cette « part d'une personne », mais se contente d'en introduire le concept. Son raisonnement se borne à considérer le fait, formel, qu'en divisant cette part par ai' interprété comme un nombre de personnes du ie rang, on obtient le montant à verser par le dignitaire du même rang. Appelons P cette «part d'une personne ». On a donc: 11

1

L,-P

=

A

. ai 1

Ainsi, en égalisant le nombre de personnes, aux dénominateurs, on homogénéise la quantité de parts P aux numérateurs

(IJ. a

j) -

nous obtenons bien une interprétation de la lettre du commen-

Jrl

taire - , ce qui donne :

1. C'est précisément en ces termes que le commentaire faisant suite à la procédure de résolution du problème 6.5 inter-

prète l'application, à des lü, de l'opération d' « Inversion des coefficients de la pondération». 2. L'application du même raisonnement que celui développé dans la seconde partie du commentaire à la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» permet sans doute de rendre compte du fait que Liu Hui y fait référence non pas à une simple division, mais à la « Procédure du partage des parts».

Présentation du Chapitre 3 -

«

Parts pondérées en fonction des degrés»

271

C'est là que le commentaire ouvre tout à la fois sur la correction de la procédure et l'explicitation de la procédure du Classique. Du point de vue de la démonstration, cette analyse montre donc comment les homogénéisés

(Ilaj) définissent des poids qui peuvent entrer dans la " Procédure des parts pondérées en foncJ

-r- t

tion des degrés» pour déterminer les lots inégaux qui partagent A selon la modalité voulue. De même que plus haut, les dénominateurs étant égalisés, les numérateurs peuvent être pris comme coefficients du partage. Pour ce qui est de la procédure, par ailleurs, la relation formelle que la démonstration met au jour avec la « Procédure de la réunion des parts» conduit le commentateur à, purement et simplement, prescrire ici l'opération qu'il avait glosée comme homogénéisation dans ce dernier algorithme du Classique. Il en reprend donc, à titre d'interprétation de la procédure singulière que Les Neuf chapitres décrivent ici, la formulation du texte même du Classique: « les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur correspondent pas ». Relevons qu'à la différence de ce que nous avons vu plus haut, «homogénéisation» et «égalisation» sont ici non pas les descriptions de l'état des valeurs en jeu, mais des opérations à appliquer pour que les quantités rejoignent ces états. Notons également que l'égalisation intervient pour permettre de mettre en évidence le sens d'homogénéisation de l'algorithme, mais qu'elle n'est pas à proprement parler à l'œuvre dans les calculs mêmes 1. Ces remarques ouvrent sur la troisième opération à l'œuvre dans ce commentaire : la comparaison entre la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » et la « Procédure de l'inversion des coefficients de la pondération». On aura relevé comment l'interprétation en termes de « parts reçues par une personne », alors même que le sens du terme varie entre les deux situations, ainsi que la relecture à l'aide de fractions comme d'homogénéisation et d'égalisation, mettent en lumière la similarité entre des procédures que la formulation des Neuf chapitres pouvait donner à penser comme différentes. Une fois encore, et selon une modalité particulière ici, la démonstration établit des ponts entre des algorithmes a priori distincts. Soulignons, toutefois, que c'est la seconde démonstration développée par le commentaire pour la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» qui fournit la base de la comparaison. Or c'est, au contraire, la première démonstration qui sera régulièrement reprise par les commentateurs, comme nous le verrons ci-dessous. En particulier, ils établiront en général la correction de procédures dont la formulation et la charpente s'appuient sur la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés », en répétant les grandes lignes de cette démonstration. Ce passage du commentaire appelle une dernière remarque. La procédure que Liu Hui lit dans la description de 1'« Inversion des coefficients de la pondération» par Les Neuf chapitres est en fait conforme à ce que nous pouvons aujourd'hui trouver dans le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu), comme nous l'avons évoqué plus haut. Peng Hao 2 en tire la conclusion que le commentateur du me siècle avait probablement à sa disposition des documents mathématiques, aujourd'hui disparus, qui comportaient des problèmes et procédures analogues à ce que le Livre de procédures mathématiques développe dans le cadre du problème du « Paiement d'un droit de douane avec un ensemble de grains ». Nous retrouvons là un résultat analogue, pour ce qui est du commentaire attribué à Liu Hui, à ce que nous concluions précédemment de la manière dont Li Chunfeng commentait la « Procédure du partage des lü » 3. 1. Cette situation se reproduit régulièrement, voir le commentaire à la « Procédure de l'excédent et du déficit », à l'algorithmefangcheng (chapitre 8), ou à la « Procédure de la multiplication des parts (1.21). On peut se reporter au chapitre A, section III. 3. 2. [Peng Bao L:::,. 2002a} relève certains des points de contraste entre les deux textes mentionnés plus haut. Je remercie Léon Vandermeersch d'avoir attiré mon attention sur cet article. 3. Voir l'introduction au chapitre 2, p. 206.

272

3.

Les Neuf chapitres

La« Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» dans les démonstrations

Comme nous l'avons vu, la procédure proposée pour réaliser un partage inégal est relue par Liu Hui comme sous-tendue par un ensemble de règles de trois, qui en donnent le sens tout en en mettant en évidence la stratégie formelle. La « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» est, de fait, mobilisée de la même manière et dans les contextes les plus variés, au cours de démonstrations par lesquelles Liu Hui établit la correction d'autres algorithmes donnés par le Classique. Donnons-en un premier exemple, choisi dans le domaine de la géométrie, en considérant le problème 9.15, qui traite du diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle (voir figure 3.1). Ce cas a pour nous ceci de remarquable qu'il est, pour l'essentiel, parallèle au problème 9.14, consacré, lui, au côté du carré inscrit dans le triangle, que nous avons examiné dans l'introduction au chapitre 2, et que la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » est mise en œuvre ici comme l'était là-bas la « Procédure du "supposons" ». Les données du problème 9.15 fournissent la base (a) et la hauteur (b) d'un triangle rectangle. La procédure prescrit de déterminer dans un premier temps l'hypoténuse (c), puis donne le diamètre du cercle inscrit au triangle comme égal à :

2ab a+b+c Liu Hui détermine, comme au problème 9.14, la correction de cet algorithme de deux façons, et c'est la seconde qui nous intéresse ici. Elle repose sur le fait d'introduire le segment DE, parallèle à l'hypoténuse AB du triangle rectangle et passant par le centre du cercle, ainsi que le carré GFHC qu'utilisait déjà la première démonstration. A

D

Figure 3.1

b G/----~

c a

De ce fait apparaissent les triangles rectangles DFG et EFH qui seront au centre du dispositif de démonstration. Comme pour le problème 9.14, Liu Hui appuie son raisonnement sur trois faits géométriques. Le rayon du cercle, à savoir la moitié du diamètre, est la base du triangle DFG aussi bien que la hauteur du triangle EFH. De plus, la somme des trois côtés du triangle DFG (respectivement EFH) donne la hauteur b (respectivement la base a) du triangle ABC 1. Enfin, tant DFG que EFH sont semblables à ABC. De là, deux points clefs s'ensuivent. Tout d'abord, les côtés du triangle DFG (respectivement EFH) s'obtiennent comme résultats d'un partage en parts inégales de la somme de leurs trois côtés: la hauteur b (respectivement la base a) du triangle ABC. Voici donc comment la « Procédure des 1.

En traçant la perpendiculaire à l'hypoténuse AB issue de D, on fait apparaître un triangle ADD', semblable à DGF, et donc égal à lui puisque leurs bases ont même longueur. D'où AD = DF. Le même raisonnement peut se mener à partir de E et établit la seconde assertion.

Présentation du Chapitre 3 -

«

Parts pondérées en fonction des degrés»

273

parts pondérées en fonction des degrés» s'introduit. Par ailleurs, puisque DFG (respectivement EFH) est semblable à ABC, c'est que les coefficients qui doivent pondérer le partage peuvent être pris comme a, b, c, les trois côtés du triangle ABC. Par conséquent, le rayon du cercle inscrit s'obtient de deux manières symétriques. GF est la part, correspondant au poids a, dans la découpe en parts inégales de la somme b. Ainsi l'on obtient par la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés » : GF =

a b a+b+c

De même, FH est la part, correspondant au poids b, dans la découpe en parts inégales de la somme a. Ainsi l'on obtient par la même procédure : FH=

b a a+b+c

Ici aussi, les deux manières de lire l'algorithme comme instanciation d'un partage inégal sont explicitées. Voici donc un exemple de mise en œuvre de la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» au cours d'une démonstration: elle permet tout à la fois de montrer la correction d'une procédure, en mettant au jour le sens de ses opérations, et d'exhiber comment cette dernière recourt en fait à une stratégie formelle qui la rapproche d'algorithmes apparemment différents. Nous retrouvons à ce point les mêmes conclusions que celles que nous avions établies au chapitre 2, relativement à la règle de trois. En fait, Liu Hui souligne, au cours de son commentaire à 9.14, sans le développer, que dans les deux cas, tant la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» que la « Procédure du "supposons" » pourraient rendre compte des algorithmes de résolution. S'il est vrai que toutes deux produisent formellement la correction des mêmes procédures, il est intéressant de constater qu'elles en mettent chacune en évidence des sens différents. Le second exemple que nous considérerons nous ramène à un problème (6.6) que nous avons examiné dans l'introduction au chapitre 2. Son intérêt réside justement dans le fait que Li Chunfeng établit la correction de la procédure de résolution de ces deux façons 1. Nous avions observé, au chapitre 2, comment ce commentateur mettait en œuvre la « Procédure du "supposons" ». Nous examinerons maintenant la manière dont il démontre la correction à nouveaux frais, en dégageant le fait que la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» peut également rendre compte de la résolution. Et nous nous concentrerons sur la question de saisir ce qu'apporte ce second développement, alors même que Liu Hui a déjà montré comment la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» revient de fait à des règles de trois. Rappelonsles grandes lignes de la question: devant l'impossibilité de donner 2 hu de petit mil à une personne, le problème demande combien de grain décortiqué et de soja lui offrir, dans une proportion de 1 à 2, pour lui procurer une gratification équivalente. L'énoncé s'appuie, comme à l'accoutumée, sur les lü de 50, 30 et 45 que la table en ouverture du chapitre 2 procure pour le petit mil, le grain décortiqué et le soja respectivement. Il nous sera utile de répéter ici la procédure que Les Neuf chapitres proposent pour le résoudre: 1 POUR LE GRAIN DÉCORTIQUÉ, 2 POUR LE SOJA, ET L'ON CHERCHE LES QUAN3 ET 8/9, QUE L'ON PREND COMME DIVISEUR. ON PLACE ÉGALEMENT 1 POUR LE GRAIN DÉCORTIQUÉ, 2 POUR LE SOJA, ET ON LES « PROCÉDURE: ON PLACE

TITÉS DE PETIT MIL QUE CELA FAIT. EN SOMMANT CELLES-CI, ON OBTIENT

1. On trouve au problème 6.9 un autre cas où c'est cette fois le commentaire attribué à Liu Hui qui mobilise successivement les deux procédures.

Les Neuf chapitres

274

MULTIPLIE PAR LES 2 HU DE PETIT MIL, CE QUI FAIT RESPECTIVEMENT LES DIVIDENDES. EFFECTUER LES DIVISIONS DES DIVIDENDES PAR LE DIVISEUR DONNE LES RÉSULTATS EN HU. »

On se rappelle qu'une des démonstrations de Li Chunfeng consiste à mettre en évidence que 3 + 8/9 provient de l'application de règles de trois, respectivement, aux coefficients 1 et 2, pour déterminer le montant global de petit mil qui leur correspond. Puis le commentateur applique à nouveau deux règles de trois pour transformer les coefficients en les montants, respectivement, de grain décortiqué et de soja correspondant à la quantité manquante de petit mil. Nous la présenterons de manière formelle pour la comparer au raisonnement suivant. Appelons a o, bo et Co les lü du

a

a

petit mil, du grain décortiqué et du soja. La procédure calcule dans un premier temps 1--2 et 2--2 bo Co a a pour évaluer comme 1--2 + 2 --2 la quantité de petit mil correspondant à 1 de grain décortiqué et 2 bo Co de soja. Si l'on appelle A la quantité de petit mil initiale, les quantités réelles cherchées en ces deux sortes de grain sont ensuite déterminées comme

l·A a

2 ·A

et

a

o 1-+2--2 bo Co

La seconde démonstration est nettement plus contournée, et son lien à la procédure des Neuf chapitres n'est pas direct. Elle va toutefois de pair avec l'énoncé d'un algorithme qui produit des valeurs que la procédure du Classique laissait indéterminées. Présentons-la également de manière formelle. Son point de départ est le même: elle interprète la transformation des coefficients 1 et 2 en quantités de petit mil comme l'application de la « Procédure du "supposons" ». a C'est à ce point qu'elle diverge par rapport à la précédente, puisque la sommation de 1--2 et de bo a 2 --2 est interprétée comme le premier pas de l'application d'une « Procédure des parts pondérées en Co fonction des degrés ». Au lieu de multiplier A par les coefficients 1 et 2, la démonstration poursuit a a la procédure et le multiplie par les poids correspondants: 1-o et 2 - o . Li Chunfeng obtient bo Co alors la quantité de petit mil équivalente à la quantité de grain décortiqué cherchée comme a a 1--2A 2--2A b ~ - - -o - - et la quantité de petit mil équivalente à la quantité de soja cherchée comme - - - 1 ao + 2 ao 1ao + 2 ao Co bo Co bo La transformation de ces valeurs en le grain décortiqué et le soja cherchés implique, respectivement, une règle de trois, qui, de fait, annule dans chaque cas les opérations supplémentaires introduites pour exhiber la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés». Leurs quantités sont en effet obtenues respectivement par les algorithmes que résument les formules suivantes:

2 et

ao

A

Co

Co

1 a o + 2 ao a o

bo

Co

La multiplication par a o est annulée par la division par a o, la division par bo (respectivement co) l'est par la multiplication inverse, du fait, à nouveau, que les résultats des divisions sont toujours donnés de manière exacte - quoique ici le commentateur passe l'ensemble de ces étapes sous silence. On retrouve donc bien la procédure des Neuf chapitres. Quel gain y a-t-il pour Li Chunfeng

Présentation du Chapitre 3 -

«

Parts pondérées en fonction des degrés»

275

à développer cette seconde démonstration de la correction? Si l'on omet le fait qu'elle détermine des valeurs que le Classique n'évaluait pas, on peut penser que chacune des démonstrations met au jour le sens de la procédure de manière différente, et que ces variations intéressent l'exégète. La première justification donnait le sens de la procédure pas à pas, à l'aide de la « Procédure du "supposons" ». Elle mettait donc en évidence une forme dans le calcul tel que décrit par Les Neuf chapitres, qui s'avère ainsi transparent sur les objectifs de chaque étape. La seconde démonstration souligne toutefois un aspect de la forme de la procédure que laissait échapper la première, à savoir: le fait que l'un des lü qui entraient dans le second ensemble de règles de trois était obtenu comme la somme de deux valeurs, elles-mêmes signifiantes. Ce point rend également compte de l'opposition entre les deux démonstrations en 9.14 et 9.15. Si la seconde démonstration est moins générale, au sens où elle met en œuvre une procédure qui s'interprète elle-même en termes de règles de trois, elle exploite la structure de l'ensemble des lü, dont elle rend compte, et épouse donc peut-être avec plus de précision cette dimension de la forme des calculs. On notera que mettre en évidence, à partir de cet indice, la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» à l'œuvre dans l'algorithme de résolution de 6.6 nécessite d'introduire des opérations nécessaires à la démonstration, mais qui disparaissent de la forme finale de l'algorithme. Le rôle que joue l'opposition entre multiplication et division est crucial pour permettre de donner à voir de la sorte, dans les calculs, une forme qui, cette fois, est enfouie dans la procédure de résolution. De ce développement, nous retiendrons deux conclusions. D'une part, les déclarations au cours desquelles les commentateurs font la liste des algorithmes les plus fondamentaux et que nous avons discutées au cours de l'introduction au chapitre 2 incluent parfois la règle de trois, jamais la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés». C'est sans doute que, conformément à l'interprétation que nous en avons donnée, l'une, rendant compte de l'autre, est plus fondamentale. Néanmoins les commentateurs persistent à mobiliser, dans leurs démonstrations, l'algorithme général qui réalise le partage inégal, y compris à titre d'alternative vis-à-vis de la « Procédure du "supposons" ». Et il est vrai qu'ils donnent ainsi à voir le sens (yi') des calculs des Neuf chapitres sous un autre jour. Dans le même temps, ils font apparaître, dans la liste des opérations, une stratégie formelle qui remplit des fonctions analogues à celles que s'est vu assigner, selon notre interprétation, la règle de trois: montrant à l'œuvre, dans les algorithmes les plus divers, la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés », les commentateurs établissent des liens entre eux et les subsument sous la même opération générale, qui consiste en une manière systématique et récurrente de mobiliser la « Procédure du "supposons" ». D'autre part, le problème 6.6 donne l'exemple d'une procédure que Li Chunfeng analyse comme coordonnant une succession de règles de trois et de partages inégaux. Ce trait s'avérera caractéristique du chapitre 6, comme nous l'argumenterons plus systématiquement au cours de l'introduction que nous lui consacrons. Pour l'heure, nous discuterons plutôt de l'usage que Les Neufchapitres font de cette forme spécifique et systématique d'articulation entre un ensemble de règles de trois que constitue la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» pour conceptualiser des objets mathématiques.

III. LA

« PROCÉDURE DES PARTS PONDÉRÉES EN FONCTION DES DEGRÉS » COMME OUTIL DE CONCEPTUALISATION

Les concepts qu'introduit la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés », et, tout particulièrement, celui de « coefficient de la pondération en fonction des degrés (cui) », sont repris dans un certain nombre de passages des Neuf chapitres ou de leurs commentaires, pour appréhender des situations mathématiques variées. Nous examinerons ici les manières de conceptualiser d'autres objets mathématiques que le réemploi de ces termes permet, à moins qu'il ne le révèle.

276

Les Neuf chapitres

Ainsi, le chapitre 6 regroupe un ensemble de problèmes (6.17 à 6.19) où nous reconnaissons un même thème: les suites arithmétiques 1. Le problème 6.17 demande de trouver les termes d'une telle suite, lorsque l'on en connaît le premier, le dernier ainsi que le nombre d'éléments. Le problème 6.18 fournit, lui, la somme d'une suite arithmétique décroissante d'un nombre n de termes donné ; il donne les sommes partielles des p premiers termes et des n - p suivants pour égales (2p < n), et requiert de déterminer l'ensemble des termes. Enfin, en 6.19, sur la base des sommes des p premiers et des q derniers de n termes .2001a}, lattes de bambou 23-24, pp. 45-47. Le problème demande de calculer (7 + 113 + 1/2)/5. La procédure recourt ici à une variante puisque, après avoir déterminé le dénominateur commun, 6, avoir prescrit de « prendre 1 comme 6 », elle invite à multiplier directement dividende et diviseur, entiers comme fractions, globalement par cette valeur. Signalons toutefois que le Livre de procédures mathématiques prescrit également une autre manière d'additionner les fractions, qui pourrait s'apparenter à l'algorithme que contient la « Procédure de la petite largeur ». 2. Voir [Peng Hao L:>.2001a}, lattes de bambou 26-27, pp. 48-49. 3. Voir [Peng Hao L:>.2001a}, lattes de bambou 74 et 75, pp. 73-74, et également l'introduction au chapitre 2. 4. Voir cong « rejoindre». 5. Peut-être doit-elle être interprétée, dans la syntaxe de la phrase où elle apparaît, comme « accumuler les parts », soit: « faire le produit de tous les dénominateurs introduits successivement pour fractionner l'unité ». Quels dénominateurs retenir dans cette accumulation? la procédure ne le précise pas. L'algorithme désigne le produit du dividende et du dénominateur commun par l'expression de « bu du produit (jibu) », qui paraît refléter le fait que la valeur résulte précisément d'une multiplication, par le jifen. Les affinités qu'elle présente avec cette autre expression de jizhtt que nous avons déjà rencontrée n'en sont que plus intéressantes; sur ce point, Voir jifen.

Les Neuf chapitres

322

au demeurant laconiques en la matière. Il faudra cependant attendre la découverte de nouveaux éléments pour le confirmer 1. Notons qu'en revanche, les termes de « communiquer» et d'« égaliser» n'appartiennent pas au registre de la description d'algorithmes dans le Livre de procédures mathématiques 2, qui utilise ici systématiquement l'expression de « prendre 1 comme autant». Il se pourrait donc bien que cette dernière formulation caractérise un état de texte plus ancien, par opposition à de nouveaux modes de description, apparus avec ~es Neufchapitres et mobilisant des termes plus abstraits et généraux. Nous retrouvons ici le même contraste entre les deux textes que ceux que nous décrivions dans les introductions aux chapitres 2 et 3. Il est intéressant de constater, cependant, que, dans un cas où dividende et diviseur sont de pures fractions, le Livre de procédures mathématiques propose un second type d'algorithme qui est strictement identique à ce que le commentaire attribué à Liu Hui décrit, nous l'avons rappelé plus haut, à la suite du « Partage des parts» 3. Dans le contexte de la recherche de la longueur d'un champ rectangulaire, connaissant l'aire et la largeur, on y lit :« le numérateur de la largeur multiplie le dénominateur de l'aire pour faire le diviseur; le numérateur de l'aire multiplie le dénominateur de la largeur pour faire le dividende ». Le commentateur du Ille siècle semble donc compléter le Classique sur la base de matériaux aujourd'hui disparus, mais sans doute proches des documents que l'archéologie met au jour 4. L'hypothèse est d'autant plus vraisemblable ici que, selon les critères proposés plus haut, la formulation de l'algorithme alternatif que suggère le commentateur est apparentée à toutes celles du texte ancien que nous avons examinées, et qu'elle se démarque donc de ce que l'on trouve dans Les Neuf chapitres. Avant de laisser ce sujet, relevons une autre particularité du Suanshushu qui s'avérera particulièrement importante dans ce qui suit. Régulièrement, et en particulier dans les procédures examinées, un algorithme de division est suivi par la procédure inverse, laquelle est introduite par les termes: « restaurons-le lfu zhi) »5. L'enjeu semble en être de mettre en évidence que l'application, au résultat d'une division, de l'opération inverse redonne le nombre dont on était parti. Or nous retrouverons plus loin cette préoccupation à un point clef du commentaire au chapitre « Petite largeur».

II.

EXTRACTION DE RACINE CARRÉE ET CUBIQUE

1.

La description des algorithmes et la démonstration de leur correction

La formulation de la « Procédure de la petite largeur» manifeste une propriété que nous n'avons pas encore commentée. Revenons-y ici un instant, à titre d'introduction. Si nous suivons, par exemple, le terme «numérateur» au fil des calculs, nous constatons qu'au début de l'algorithme, il désigne les nombres rangés dans la colonne centrale de la zone inférieure de la surface à calculer, selon notre reconstitution de la mise en page (tableau 4.1). Puis, lorsqu'on pratique la première série de divisions, le même nom renvoie aux nouveaux nombres rangés dans les mêmes positions (tableau.4.2). Plus loin encore, ce sont les restes, toujours aux mêmes places, qui répondent à cette appellation (tableau 4.3). Ainsi, un même terme renvoie à des positions sur la surface à calculer, et prend pour valeur les nombres qui s'y 1. Le manuscrit de Fuyang mentionné plus haut étaie aujourd'hui cette hypothèse. 2. Le terme tong qui dans Les Neuf chapitres prend le sens d'« égaliser» y apparaît, mais pour désigner une addition. 3. Voir [Peng Hao L':.2001a], lattes de bambou 162 et 163, pp. 114-116. Relevons que l'on ne trouve apparemment pas, dans le Suanshushu, la généralisation que Liu Hui propose aux cas de quantités comportant des fractions. Le nom qu'y revêt la procédure est, par ailleurs, hautement intéressant: « Ouverture de la longueur (qizong) ». Le caractère qi est un synonyme de kai, à l'aide duquel Les Neuf chapitres forment le nom de tous les algorithmes d'extraction. Voir kai « extraire la racine ». Cette terminologie éclaire comment les praticiens des mathématiques de la Chine ancienne concevaient l'unité du chapitre 4. 4. C'est également la conclusion de [Peng Hao .6.2002a]. Voir l'introduction au chapitre 3, p. 271. Plus haut, c'est l'interprétation du Classique qui rejoint le Stta12Shttshu, comme c'était le cas avec Li Chunfeng (voir l'introduction au chapitre 2). Ici ce sont les ajouts du commentateur. 5. Voir [Peng Hao .6.2001a], pp. 114-115, pp. 116, sq., lattes de bambou 160 et 161, 163, 165 et 166. Voir fu « redonner ».

Présentation du Chapitre 4 -

«

323

Petite largeur»

trouvent au point précis du calcul où il est mobilisé, au cas où ceux-ci varient au cours de l'algorithme. Il en va de même d'autres termes qui entrent en jeu dans le texte 1. La description de l'algorithme recourt donc à cette ressource, déjà mentionnée, que l'on nomme «assignation des variables ». Il est en fait nécessaire de la mettre en œuvre pour rédiger une itération: nous en avons un premier exemple ici. La description des extractions de racine de nombres entiers que donnent Les Neuf chapitres témoigne d'une subtilité extrême dans le maniement de ces ressources pour la rédaction d'algorithmes. Ce sont sur ces points que notre commentaire se concentrera ici. Il nous sera, à cette fin, utile, dans un premier temps, d'expliciter, comme ci-dessus,la manière dont, selon nous, les opérations se menaient sur la surface à calculer, en paraphrasant le texte, et en donnant, sur deux colonnes, les traductions symboliques et numériques (sur un exemple) des effets des opérations. Nous ne détaillerons que le cas de la racine carrée, pour lequelle lecteur pourra suivre les calculs en s'aidant de la figure 4.1, que Liu Hui introduit afin de discuter de la correction de la procédure 2. En explicitant les visées des différentes opérations, nous mettrons nos pas dans les siens. En fait, l'algorithme d'extraction de la racine cubique est rédigé de manière strictement parallèle à celui qui détermine les racines carrées. Par voie de conséquence, tout ce que nous dirons de l'un tient pour l'autre, même si les calculs diffèrent légèrement et si, en matière de démonstration de la correction, pour la racine cubique, c'est avec des blocs, et non plus des figures, que le commentateur travaille 3.

,,

,1//

D jaune

bleu-vert

,/'

vermillon l l

Figure 4.1 - Carré d'aire A.

Figure 4.2 - Cube de volume A.

Cube

,

" '

::,/

,

//-p~~~Œéïépip~-d~-:-carré

( a·I0 11

1. Voir les notes correspondantes de la traduction, pp. 798 sq. 2. Voir également les notes correspondantes de la traduction de la « Procédure pour l'extraction de la racine carrée» et du commentaire, pp. 801 sq. Il est essentiel pour suivre l'algorithme de se reporter à la manière dont la division se pratique, voir chapitre A, pp. 16 sq. Cette interprétation a fait l'objet de [Chemla 1987a et b}. Voir aussi [Chemla, Pahaut 1984}. 3. Nous renvoyons, pour notre part, le lecteur à la figure 4.2 (ci-dessus). Voir les notes correspondantes de la traduction de la « Procédure pour l'extraction de la racine cubique », pp. 804 sq. Soulignons, en particulier, la formulation « multiplier une fois» dans la description de la racine carrée, qui ne peut s'expliquer que par la volonté de marquer le parallèle avec l'opération correspondante de la racine cubique: « multiplier deux fois» (voir p. 363 et p. 373). Par ailleurs, Voir tu « figure », qi « bloc ». Enfin, nous n'examinons ici que les portions des algorithmes relatives à l'extraction de racine de nombres entiers. Le lecteur se reportera au texte et aux notes pour y trouver comment le cas des quantités fractionnaires y est ramené.

324

Les Neuf chapitres

Supposons donc que nous voulions résoudre le problème 4.12 et extraire la racine carrée de 55 225 (A). L'algorithme que décrivent Les Neuf chapitres s'appuie sur une représentation décimale positionnelle des nombres sur la surface à calculer, et détermine la racine chiffre à chiffre, par ordre de grandeur décroissant. Dans un premier temps, le texte prescrit de placer le nombre dont on cherche la racine comme « dividende », et, pour nous conformer à l'algorithme de division, nous le disposons donc dans la zone centrale de la surface à calculer. L'algorithme introduit ensuite ce qu'il nomme une « baguette empruntée», qui servira, de manière récurrente, à marquer divers ordres de grandeur. Etant donné qu'elle donne rapidement naissance à une valeur dénommée « diviseur », nous en concluons qu'elle se trouvait placée à la position de même nom dans le contexte d'une division. C'est dire que, dès le début de l'algorithme, un parallèle s'élabore avec la division, et nous verrons qu'il est crucial pour interpréter les opérations et appréhender l'extraction de racine en Chine ancienne. On comprendra de mieux en mieux, au fur et à mesure que nous avancerons, pourquoi la prescription de l'opération se dit le plus souvent: « diviser par extraction de racine carrée» (kai fang chu). A ce stade de l'algorithme, nous avons donc sur la surface à calculer la configuration initiale suivante:

Tableau 4.9

5

5

2

2

5

A

Dividende

1

1

Baguette empruntée

Au cours de la première étape, la « baguette empruntée» est déplacée de la position des unités, où elle était posée, vers la gauche, de 10 2 en 10 2 , jusqu'à arriver le plus loin qu'il est possible sous le dividende, soit en 10 2n si l'ordre de grandeur du premier chiffre de la racine est Ion. La configuration devient donc la suivante :

Tableau 4.10

5

5

2

2

5

A

Dividende

10 211

1

De ces n sauts, on déduit que le premier chiffre trouvé de la racine, dite « quotient », doit se placer dans la (n + l)e colonne à compter de la droite. Il sera en fait disposé; tel un quotient, dans la ligne supérieure de la surface à calculer. Appelons a sa valeur. La manière, parfaitement artificielle, de décrire le calcul suivant est révélatrice de la volonté, qui anime les auteurs des Neuf chapitres, de couler l'algorithme d'extraction de racine dans le moule de la division. En effet, pour retrancher de A la valeur (al0 n)2, correspondant au carré du premier chiffre déterminé et à l'aireJia jaune, ils proposent de placer a en quotient (à la position de Ion), de multiplier 10 2n par a pour former le « diviseur », et d'appliquer l'opération centrale de la division: multiplier le chiffre du quotient par le diviseur, en place, pour « éliminer» le produit du dividende, ce qui donne:

Tableau 4.11 a10 11

2

1

2

5

2

2

Quotient

Dividende

5 a 10 211

Diviseur

Présentation du Chapitre 4 -

«

Petite largeur»

325

Si second chiffre de la racine b, à l'ordre Ion -1, il Ya, l'algorithme doit donc tendre à retrancher ensuite de l'aire restante A - a 2 10 2n la valeur (2a10 n + b10 n- 1) . b 10n- 1. Comme plus haut, ce calcul est mis en scène comme l'opération centrale de la division: b est placé en quotient (à la position de 10n- 1), et une suite d'étapes visent à produire au diviseur la valeur (2a10 n + b10 n- 1)lon-1. Le premier objectif en est de transformer le « diviseur» al 02n en 2a 102n - 1 et de produire ainsi, selon l'interprétation de Liu Hui, la somme des longueurs des deux rectangles vermillon 1. Ceci requiert deux opérations : doubler le diviseur et le rétrograder d'un cran vers la droite. C'est curieusement entre ces deux opérations que l'algorithme insère la question de savoir si l'on doit poursuivre l'extraction plus avant ou pas. Il prescrit tout d'abord de doubler le diviseur, ce qui produit la configuration:

Tableau 4.12 a10/1

2 1

5

2

2

5

A - a2 10 2 /1 2a10 2 /1

4

La seconde transformation est décrite après la condition: «si l'on divise à nouveau, ... ». Notons, par ailleurs, que, comme plus haut, c'est la valeur qui se trouve à ce moment du calcul dans la position de « diviseur» que ce terme désigne maintenant. Nous reviendrons ci-dessous sur les propriétés de ce mode de rédaction. Le second objectif, dans la préparation du « diviseur», consiste à déterminer b10 2(n -1), de sorte à éliminer l'aire Yi jaune, comme l'interprète Liu Hui. Pour ce faire, l'algorithme recourt à nouveau à la « baguette empruntée» qui, placée comme au début dans la colonne des unités, saute de droite à gauche, de 10 2 en 10 2 , sous le diviseur 2 .

Tableau 4.13 2 1

5

2

2

5

4

a10/1

Quotient

A - a2 10 2 /1

Dividende

2a 10/1 . 10/1 - 1

Diviseur

102 (/1-1)

1

U ne fois stabilisée à la position 102(n - 1), son produit par b est rangé « en auxiliaire » - nous reviendrons sur ce point également - et ajouté à la ligne du dessus; le diviseur requis est formé:

Tableau 4.14 2 1

a 10/1 + b 10/1 - 1

3

A

10 2 /1

Quotient

5

2

4

3

(2a 10/1 + b 10/1 - 1)l 0/1 - 1

Diviseur

3

b10 2 (/1-1)

En auxiliaire

2

5

_a 2

Dividende

1. Du moins, à!' ordre de grandeur près. Liu Hui discute également du positionnement de cette valeur, dans le contexte des racines carrée aussi bien que cubique. 2. Ici le cas de la racine cubique est légèrement différent, puisque l'algorithme doit maintenant constituet deux lignes auxiliaires,-et l'une d'entre elles ne reprend pas purement et simplement la première phase du calcul, voir les notes correspondantes. Soulignons que, sur ce point, la procédure introduit donc une nouveauté par rapport à la racine carrée. Mais ces deux lignes auxiliaires relèvent des mêmes remarques que la ligne correspondante de l'extraction de racine carrée (voir ci-dessous). Liu Hui, qui ne peut plus seulement renvoyer à ce qui précède pour justifier cette nouvelle étape, explicite sa signification et discute précisément le positionnement des valeurs.

Les N eu! chapitres

326

L'élimination, conformément à l'opération de même nom au sein d'une division, produit la configuration suivante :

Tableau 4.15 a 10 11 + b 10 '1 - 1

2

3

2

3

2

4

3

(2a 1011 + b 1011 - 1)l011 - 1

3

b 10 2(11-1)

5

A -(a10 11 + b10 11 -

1 )2

A ce point du calcul, si chiffre suivant c de la racine il y a, à l'ordre 1011 - 2, la poursuite du calcul requiert de se préparer à soustraire de l'aire restante la quantité [2(a10 1l + b101l - 1) + c10 1l - 2) . c10 1l - 2. Comme plus haut, Les Neuf chapitres effectuent cette opération comme une « élimination» et visent à produire au « diviseur» la valeur [2(a 1 0 11 + b10 11 - 1) + cl 0 11 - 2) 10 11 - 2. Cet objectif est atteint en deux temps, de la même manière que ci-dessus. Le premier prépare 2(a10 1l + b10 1l - 1 )l01l-2, cette fois, selon l'interprétation de Liu Hui, la somme des longueurs des ?eux rectangles bleu-vert. Et là, nous retrouvons la singularité de rédaction que nous relevions plus haut: la quantité b 10 2(11 - 1) « rejoint» tout d'abord le « diviseur», vidant ainsi la position « auxiliaire», avant que la question ne soit posée de savoir si on poursuit le calcul.

Tableau 4.16

2

4

2

3

3

2

5

a 1ail + b 10 11 - 1

Quotient

A - (a 10 11 + b10 11 - 1 )2

Dividende

2(a10 11

6

+ b10 11 - 1)l01l-1

Diviseur

C'est seulement alors que la question est soulevée et que, en cas de réponse positive, la seconde opération, celle qui rétrograde le diviseur, est prescrite, produisant la configuration:

Tableau 4.17

2

2

3

3

2

4

6

a 10 11 + b 1011 - 1

5

A - (a 1011 + b 1011 - 1)2 2(a10 11 + b10 11 - 1)l01l-2

Pourquoi effectuer une partie du travail qui prépare la suite de l'algorithme avant de se demander si on le poursuit? Le problème se pose à deux reprises, et même, en réalité, à quatre reprises si nous tenons compte de ce que les mêmes remarques valent pour l'extraction de la racine cubique. Nous verrons que c'est un des points où se manifeste la subtilité avec laquelle les auteurs des Neuf chapitres ont rédigé certains algorithmes. Concluons auparavant la lecture du texte. Le tableau 4.17 nous ramène à une situation comparable à celle que nous avions en amont du tableau 4.13, et l'algorithme renvoie le lecteur, en arrière, précisément à ce point du flot des opérations, prescrivant de reprendre là la liste des calculs. Cette itération, au sens précis que le terme prend pour décrire une ressource disponible pour l'écriture d'un algorithme, doit être empruntée autant de fois qu'il reste de chiffres dans la partie entière de la racine. Ce mode de rédaction s'appuie sur une autre particularité de la description que nous avons déjà relevée: le fait que des termes comme « diviseur», « dividende» ou « quotient» renvoient à ce

Présentation du Chapitre 4 -

«

Petite largeur»

327

que contiennent les positions correspondantes au point du calcul où on les implique. Le recours à cette ressource qu'est 1'« assignation de variable» a ici deux fonctions. D'une part, elle permet qu'on puisse reprendre la même liste d'opérations de manière itérative, tout en faisant varier les calculs concrets effectués, puisque, de fait, les contenus des positions évoluent de telle sorte que les mêmes opérations traitent désormais le chiffre suivant. C'est en ce sens que l'assignation de variable fonde l'itération. D'autre part, cette ressource permet de modeler de manière dynamique l'extraction de racine comme division. C'est en ajustant progressivement les valeurs de ce qui fait office de « diviseur» que le récit de l'extraction peut se couler dans la description d'une division. Comme nous l'avons vu, les trois positions supérieures reprennent les noms des termes de cette dernière, et ce parallèle va de pair avec le fait que ces positions entrent dans le flot des calculs de la même manière que dans une division 1. Dans le premier cas, c'est la gestion des positions qui joue un rôle clef. Dans le second, ce sont les noms qui leur sont affectés (> (figure 9.14.4). « D'une source commune », conclut Liu Figure 9.14.4 - Le cas où base Hui, pour le cas où base et hauteur se distinguent, « des (gou) et hauteur (gu) sont égales. différences découlent» : il faut sans doute entendre que, d'une même figure et d'une même transformation, émergent des engendrements désormais différents du carré de l'hypoténuse, d'un côté à partir des carrés de la base et de la hauteur, de l'autre à partir des moitiés des carrés de leurs somme et différence, respectivement 1. De cette longue discussion de quelques lignes difficiles du commentaire de Liu Hui, plusieurs remarques s'ensuivent. On voit, tout d'abord, l'usage auquel est soumise la figure fondamentale: elle sert de support pour interpréter les valeurs calculées, et les zones coloriées y dégagent des éléments essentiels à la menée efficace de cette opération. Une fois interprétée, 1'« aire» - le «dividende (shi)>> calculée est éclatée en pièces qui sont réarrangées pour exhiber les raisons de la correction de différents algorithmes. Il s'agit là d'un mode fondamental de démonstration, qu'on rencontre à plusieurs reprises dans ce chapitre 9 2. Par ailleurs, si nous lisons maintenant le commentaire de Liu Hui à la « Procédure de la base (gou) et de la hauteur (gu) », sur la toile de fond que constituent la figure 9.14.1 et la transformation unique d'où les différences émergent - comme, nous l'avons vu, le texte du commentaire à 9.11

)

1. Il est possible que cette discussion soit motivée par le fait, souligné immédiatement après par Liu Hui, que l'un des côtés d'un triangle rectangle isocèle est nécessairement irrationnel, alors que les côtés peuvent être tous rationnels dès lors que base (gou) et hauteur (gu) se différencient. Cela permettrait de rendre compte de l'agencement de cette partie du commentaire au problème 9.11. 2. Le lecteur peut se reporter aux commentaires qui font suite aux problèmes 9.14 et 9.15 et dont la première partie met en œuvre des raisonnements comparables. Contrairement aux figures rencontrées jusqu'ici, celles auxquelles ils renvoient sont absentes du commentaire de Zhao Shuang. Ceci peut être corrélé avec le fait que les figures restent en ce cas attachées aux contextes où elles apparaissent et ne manifestent pas le caractère fondamental propres aux précédentes. En revanche, elles feront l'objet d'un développement et d'un enrichissement qui aboutiront à de nouvelles figures fondamentales, comme celle sur laquelle porte l'ouvrage de Li Ye déjà cité.

680

Les Neuf chapitres

nous y invite - , nous obtenons une interprétation argumentée de l'algorithme clef du chapitre. Le commentateur y prescrit de constituer les carrés de la base et de la hauteur, respectivement en vermillon et en bleu-vert. Si nous les disposons sur la figure fondamentale, conformément à la figure 9.14.5, nous recouvrons exactement l'aire qu'occupaient les surfaces vermillon et jaune sur la figure 9.14.3. La même transformation, mise au jour par Liu Hui comme fondement commun aux deux algorithmes, convertit ces carrés en le carré de côté l'hypoténuse, au centre de la figure (voir figure 9.14.6)1. C'est la raison principale qui m'incite à reconnaître en elle la première figure fondamentale. a

a

a

b

b

a

a

b

a

b

b

a a

vermillon

Figures 9.14.5 et 9.14.6Reconstitutions de la figure à la base de la démonstration de la « Procédure de la base et de la hauteur ». Première figure fondamentale.

b

bleu-vert

Conformément à son usage, le commentateur renvoie à cette transformation dans les termes les plus généraux: « l'on fait en sorte que ce qui sort et ce qui entre se compensent l'un l'autre, que chacun se conforme à sa catégorie». Il énonce donc, non pas une transformation précise, mais plutôt un principe susceptible d'être mis en œuvre ici de multiples manières, pour convertir les deux carrés de la base et de la hauteur en celui de l'hypoténuse. Toute autre découpe des premiers qui vise à reconstituer le dernier par recombinaison des pièces, en garantissant donc la conservation des aires, relève également du même principe 2. Les commentaires aux algorithmes calculant l'aire du triangle (1.32) ou le volume du prisme trapézoïdal (5.1) procèdent de la même manière, en renvoyant à ce principe par diverses expressions 3. Le mode d'opération qu'il désigne ne recouvre donc pas seulement 1. On voit comment ces deux passages difficiles du commentaire (9.3 et 9.11) s'éclairent mutuellement, de sorte qu'ils nous permettent d'argumenter une interprétation. Je retrouve ici une reconstitution comparable à celle que proposent, indépendamment l'un de l'autre, [Ch'en Liang-Tso (Chen Liangzuo) L::,.1982a], p. 18, (voir aussi [Ch'en LiangTso (Chen Liangzuo) L::,.1993a]) et [Li Jimin L::,.1990a], pp. 358-361, mais au terme d'une argumentation différente. Dans la dernière version de sa reconstitution, [Ch'en Liang-Tso L::,.1993a] s'accorde avec [Li Jimin L::,.1990a] pour penser que la transformation de Liu Hui se fait sur fond de la première figure fondamentale. [Chen Cheng-Yih (Cheng Zhenyi) 1987], pp. 42-43, propose une traduction selon moi défectueuse de ce commentaire de Liu Hui, tout en adoptant, comme une des possibilités, la même suite de figures, mais sans ce fond. La reconstitution que propose [Wagner 1985] ne me semble étayée par aucun indice textuel. 2. [Martzloff 198711997], pp. 296-297, insiste sur ce point. Il présente une autre transformation concrète relevant de ce même principe, identique à celle pour laquelle opte [Lam et Shen 1984], et dont la plus ancienne occurrence remonte à l'essai de Li Rui (1806) sur le triangle rectangle. C'est ce qu'établit Liu Dun, dans sa présentation de ce texte (voir Guo Shuchun (éd.), Zhonggtto kextte jishtt dianji tonghtti. Shuxttejttan, tome 5, p. 68 et p. 74. Je remercie Tian Miao d'avoir attiré mon attention sur cet essai). [Ch'en Liang-Tso (Chen Liangzuo) L::,.1993a] souligne que le même principe est au fondement du texte par lequel Le Gnomon des Zhou rend compte de la « Procédure de la base (gOtt) et de la hauteur (gu) ». Le point clef serait ici que nous aurions donc un texte datant de la dynastie Han et attestant l'utilisation de ce principe en géométrie (voir aussi [Chemla 1997a]). 3. Voir les introductions à ces chapitres, ainsi que, pour ce qui est des liens entre démonstration et principe généraux de transformations, le chapitre A. Voir également yi ying btt Xtt « avec qui est en excédent, on comble ce qui est vide», lei « catégorie ». [Wu Wenjun L::,.1978a] constitue la première étude systématique consacrée à ce principe. Dans son commentaire au Gnomon des Zhou, Zhao Shuang renvoie à une opération du même type (Zholtbi suanjing, [Qian Baocong L::,.1963], p. 14).

Présentation du Chapitre 9 -

«

Base (gou) et hauteur (gu)

»

681

un ensemble de démonstrations dans ce contexte du triangle rectangle, mais une forme générale d'action, efficace dans de multiples contextes, qui se trouvent de ce fait mis en relation 1. Nous sommes ainsi en mesure de proposer une hypothèse pour rendre compte du caractère elliptique du commentaire de Liu Hui à la « Procédure de la base (gou) et de la hauteur (gu) ». Sa rédaction suppose qu'il soit lu par référence à la première figure fondamentale. Comme à l'accoutumée, de surcroît, Liu Hui décrit les transformations rendant compte de la correction d'une procédure par une formulation saisissant ce qu'elles ont de plus général. Dernière remarque, le commentaire fournit ici des indices précieux sur la manière dont est appréhendée l'émergence de différences à partir de situations indifférenciées - un thème pour lequel l'intérêt des exégètes affleure régulièrement. Les analyses que nous venons de développer mettent en évidence que la même surface sert de point de départ, pour établir la « Procédure de la base (gou) et de la hauteur (gu) » aussi bien que pour déterminer la valeur de l'hypoténuse sur la base 2 de (a + b) et (b - a). Elle présente cependant à l'origine des structurations internes différentes, selon les algorithmes considérés, à l'exception du cas précis où a = b et où ces découpes s'identifient: les rectangles d'aire ab et les carrés d'aire a 2 et b2 se confondent, tandis que le carré jaune s'évanouit. Dans ce dernier cas, c'est la même transformation qui fonde les deux procédures. Dans le cas général, c'est en restructurant la surface de 9.14.5, selon les lignes de 9.14.3, que la même transformation rend compte de deux algorithmes distincts 3. Avant de conclure sur cette première figure fondamentale, il est intéressant d'évoquer les traces qui sont parvenues jusqu'à nous d'arguments antérieurs liés à la « Procédure de la base (gou) et de la hauteur (gu) », voire les indices que nous pouvons avoir d'états plus anciens de leurs supports graphiques. Ces questions nous conduisent à l'unique témoignage aujourd'hui disponible : Le Gnomon des Zhou. Cet autre Classique de la dynastie Han ouvre sur un texte notoirement difficile dans lequel, si tous les exégètes s'accordent à reconnaître un énoncé de ladite procédure, la question de savoir si un argument l'accompagne reste objet de controverses, selon l'interprétation que l'on donne 4 . Sans pouvoir ici entrer dans les détails d'une argumentation, je pense que la position la plus crédible sur ce passage introductif du Gnomon des Zhou est aujourd'hui l'interprétation de [Li ]imin .6.1993c]. Ce dernier y lit non pas seulement l'énoncé d'une procédure, mais également l'évocation d'une justification dont il reconstitue les principales étapes par la suite de figures 9.14.7.

1. Voir [Volkov 1994a), [Chemla 1997a). 2. Elle correspond également à l'algorithme alternatif proposé par Zhao Shuang évoqué ci-dessus. 3. Remarquons que la figure sous-tend ainsi différentes manières d'engendrer le carré de l'hypoténuse en tant qu'il se structure comme un carré jaune central et quatre triangles vermillon. Une fois établi le fait que l'aire en est la somme des carrés de la base et de la hauteur, la seconde figure fondamentale incarne des manières géométriques alternatives de la structurer, comme carré et gnomon. 4. On trouve une édition critique de ce texte dans Zhottbi sttanjing, [Qian Baocong .6.1963), p. 14. [Li Jimin .6. 1993c), pp. 35-39, en propose une nouvelle édition ainsi qu'une interprétation. [Qu Anjing 1997) reprend des éléments de cette interprétation, mais s'en démarque sur certains points, obtenant ainsi une nouvelle glose du passage en question qui mobilise des figures et des transformations tout autres, comparables à celles de [Chen Cheng-Yih (Cheng Zhenyi) 1987), pp. 36-37 (voir aussi [Chen Cheng-Yih .6. 1993a), pp. 477-482) et de [Ch'en Liang-Ts'o (Chen Liangzuo) .6. 1982a et .6. 1993a). Ce dernier propose, en revanche, une lecture du commentaire de Zhao Shuang à ce passage qui donne, dans les grandes lignes, les mêmes figures et les mêmes transformations que celles que [Li Jimin 1993c) attribue au Gnomon des Zhott. Relevons une remarque intéressante ([Ch'en LiangTso .6. 1993a), p. 6) : la concision du Zhottbi n'a d'égal, sur le même sujet, que le laconisme remarquable de Liu Hui. Le texte a été l'objet de multiples autres commentaires, citons pour mémoire [Needham 1954), pp. 22-23, [Cullen 1996), pp. 82-87. Leur traduction et leur interprétation me paraissent sujettes à caution. Je m'expliquerai dans une publication ultérieure sur les raisons pour lesquelles je reprends ici à mon compte les grandes lignes de l'interprétation de [Li Jimin .6.1993c).

682

Les Neuf chapitres

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Sur cette base, on constate que la configuration initiale des carrés de la base et de la hauteur ainsi que la transformation clef de l'assemblage sont identiques à l'interprétation que nous avons adoptée pour Liu Hui (cf. figures 9.14.5 et 9.14.6). Or le texte du Gnomon des Zhou contient une référence claire à l'opération de faire pivoter les demi-rectangles qui est à la base de la transformation 1. Cependant, le graphique tel que Li]imin propose de le reconstituer y est propre à la situation, et il ne semble pas encore avoir émergé, au temps de la compilation de cet autre Classique, de figure à caractère fondamental, point nodal où plusieurs algorithmes convergeraient. Cette évolution, qui se traduit par l'émergence de figures d'un nouveau type, pourrait donc avoir eu lieu entre le temps de la composition des Classiques et la rédaction par Liu Hui et Zhao Shuang de leurs commentaires. C'est la seule hypothèse aujourd'hui recevable pour rendre compte des fortes similarités entre leurs écrits sur ce point, comme nous le montrons ci -après 2.

Figure 9.14.7 -Reconstitution de l'argument du Gnomon des Zhou [Li Jimin L 1993c].

1. C'est ainsi que Li Jimin interprète le terme huan du texte. Notons qu'aussi elliptique qu'il soit, le commentaire de Liu Hui oppose, aux pièces qui font l'objet du principe « ce qui entre et ce qui sort se compensent l'un l'autre », les autres parties de la figure qu'il « garde [ ... J sans les bouger ». 2. Il convient d'insérer ici quelques remarques à caractère comparatif. Dans une lettre adressée à un ami qui lui demandait une démonstration du théorème de Pythagore généralisant l'argument développé dans le Ménon, Thabit ibn Qurra, le grand érudit arabe du IXe siècle féru de textes grecs, introduit une méthode de démonstration qu'il appelle « par réduction et composition ». L'usage qu'elle fait de manipulations de parties de figures cadre mal avec ce que nous savons des préoccupations de ce mathématicien, suivant ailleurs strictement l'élimination, édictée en Grèce ancienne, de tout mouvement en géométrie. Or il est frappant de constater que, pour réaliser la généralisation requise, cette démonstration donne des figures et des transformations identiques à ce que Li Jimin lit dans Le Gnomon des Zhou, identiques donc à ce que nous avons reconstitué de la démonstration de Liu Hui (voir [Sayili 1960}). On retrouve ce même ensemble de figures et de transformations dans le Yuktibhasa, un texte indien dans la tradition de l'Aryabhatiya ([Sarasvati Amma, T.A. 1979}, p. 135), postérieur au XVIe siècle. Il est intéressant de constater leur affinité avec les constructions décrites par les Sulbasutras ([Datta 61932J, p. 77). Pour revenir à Thabit et à Liu Hui, non seulement recourent-ils au même argument, mais, de plus, ils le perçoivent, tous deux, comme une généralisation de la même opération, qui transforme deux carrés égaux en le carré construit sur leur hypoténuse. Soulignons qu'on ne rencontre pas chez Thabit la première figure fondamentale en tant que telle, alors qu'elle se présente dans plusieurs autres textes indiens aussi bien qu'arabes. Je pense ici au commentaire que Bhaskara l achève en 629 sur l'Aryabhatiya (voir [Keller 2000}, vol. 2, p. 30, commentaire au sutra 2.3). Ce n'est pas le seul point commun entre les deux textes : le commentaire au sutra 2.17 comporte des problèmes comparables à ceux qu'on trouve dans Les Netifchapitres, aux données près. Le problème 9.12 du bambou cassé y est énoncé et résolu dans le cadre du triplet (6, 8, 10) ([Keller 2000}, pp. 250-251). Le problème 9.6, où une fleur de lotus remplace le roseau, y revient à deux reprises, une première fois dans le cadre du triplet 8 x (3, 4,5) ([Keller 2000}, pp. 252-253). Enfin la « Procédure de la double différence» décrite par Liu Hui dans sa préface s'y trouve également consignée [Vogel 1986].

Présentation du Chapitre 9 -

«

Base (gou) et hauteur (gu)

»

683

Au terme de ce long développement, nous obtenons la conclusion annoncée: les deux figures décrites sont fondamentales à la première partie du chapitre 9 (problèmes 9.1 à 9.12 et 9.24), et ce en deux sens. D'une part, elles servent de base à la mise en évidence, par le commentateur, du sens (yi) des opérations et, partant, de la correction de l'ensemble de ses algorithmes. D'autre part, de ce fait, elles réalisent la cohésion de cette partie, en l'opposant sous ce rapport à la seconde partie. Cette conclusion, double, est étayée par la confrontation du chapitre « Base (gou) et hauteur Gnomon des Zhou, Zhao Shuang situe après des figures structurellement identiques, nous l'avons montré. En effet, à l'analyse, il apparaît que ce dernier texte réunit un ensemble d'algorithmes équivalent, pour l'essentiel, à ce que proposent Les Neuf chapitres et Liu Hui dans cette première partie 1. Plus précisément, aux procédures de cette section du neuvième chapitre, énoncées de manière abstraite, Zhao Shuang ajoute des algorithmes de trois types. En premier lieu, il complète leur ensemble par la symétrie qui échange base et hauteur. Par ailleurs, tout comme Liu Hui dans son commentaire au problème 9.11, Zhao Shuang enrichit l'ensemble avec des algorithmes qui permettent, connaissant deux des trois grandeurs, c, b + a et b - a, de déterminer l'autre - une préoccupation clairement liée à la première figure fondamentale. Enfin, le commentateur décrit trois algorithmes impliquant des équations quadratiques. L'un se retrouve sans ambiguïté chez Liu Hui. Les deux autres - les développements marqués en annexe par (*) et (**) - seraient les seuls algorithmes mentionnés par Zhao Shuang à ne pas avoir de contrepartie dans Les Neuf chapitres ou leurs commentaires. Or ils présentent justement des corrélations troublantes avec le dernier passage de Liu Hui dont l'interprétation pose problème: la fin du commentaire au problème 9.11. La remarque doit être prise en compte pour affronter cette difficulté. Nous y reviendrons ci-dessous en discutant du lien du triangle rectangle à l'équation quadratique.

(gu)

» avec le développement que, dans son commentaire au

Dès à présent, cependant, notre conclusion peut se reformuler comme suit: nous aurions, avec cet ensemble constitué d'algorithmes et des deux figures qui en donnent le sens, un sous-chapitre du domaine relatif au triangle rectangle qui a dû prendre corps et autonomie suffisamment tôt pour être présent dans deux textes du me siècle de facture très différente 2. C'est dire, en l'absence de preuves que Zhao Shuang ou Liu Hui aient connu l'un le texte de l'autre 3 ,que cette composition est sans doute plus ancienne. Une première explication se profile: Zhao Shuang cite un ouvrage intitulé Les Neuf chapitres 4, dans lequel il est loisible de reconnaître notre Classique. Cependant, ceci ne suffit pas à expliquer que seule une partie du chapitre 9 soit ici citée, ni à rendre compte des points communs aux deux commentaires. L'hypothèse à laquelle nous pouvons aujourd'hui souscrire, c'est que tant Zhao Shuang que Liu Hui ont dû hériter, avec Les Neuf chapitres, de traditions communes anciennes de commentaires. 1. Les notes à la traduction dans l'annexe détaillent plus avant cette comparaison. 2. Incidemment, cette conclusion incite à croire, contrairement à la thèse qui attribue à Zhen Luan la paternité des figures de gauche et de droite, qu'elles sont bien contemporaines de la formation de ce sous-chapitre et donc incluses dans le commentaire par Zhao Shuang lui-même. 3. [Shen Kangshen .6. 1982c] et [Cullen 1996], pp. 158-162, discutent des liens entre ces érudits et leurs textes. [Shen .6.1982c] réunit l'ensemble des faits montrant la similarité, voire la complémentarité, des textes que nous avons considérés. Sur la base d'arguments internes, C. Cullen avance des arguments en faveur de l'hypothèse que Zhao aurait pu connaître le commentaire de Liu Hui. Il s'inscrit en faux, ce faisant, contre la conclusion inverse, émise par Dai Zhen et reprise par de nombreux auteurs comme Li Yan et Du Shiran ([Li Yan et Du Shiran 1987], p. 65. Cependant l'hypothèse que des commentaires anciens aient pu constituer une source commune aux deux auteurs, qu'il semble exclure ([Cullen 1996], p. 161), serait également susceptible de rendre compte des faits qu'il relève. C'est également la conclusion à laquelle arrive [Li Jimin .6.1990a], chap. 5, p. 357, avec d'autres arguments. [Qian Baocong .6. 1964a], p.62, affirme pour sa part que Liu Hui a eu connaissance du commentaire de Zhao Shuang, qui inspire ses développements faisant suite problèmes 9.5 et 9.11. 4. Zhoubi stlanjing, [Qian Baocong .6.1963, p. 22]. Et quelques colonnes plus loin (p. 23), Zhao Shuang cite les quatre procédures proposées par Les Neuf chapitres pour déterminer l'aire du cercle.

684

Les Neuf chapitres

Cependant, les similarités entre les contenus de ces deux écrits ne doivent pas masquer leurs différences. Il en est une qui s'impose: alors que le texte de Zhao Shuang est abstrait, uniquement composé d'algorithmes qui puisent leur sens (yi) dans les figures placées en ouverture, Les Neuf chapitres organisent la présentation sous la forme de problèmes particuliers. C'est dire que les valeurs numériques y jouent des rôles différents, et c'est vers elles que nous nous tournons maintenant, en abordant la seconde partie du chapitre, placée sous le signe du lü.

2.

Les lü et le triangle rectangle

C'est en faisant appel à des arguments internes, inspirés par le commentaire de Liu Hui, aussi bien que par comparaison avec le développement de Zhao Shuang, que nous avons identifié, dans le chapitre 9, un premier ensemble cohérent de problèmes. De fait, il se détache également par l'effet d'un contraste avec les autres problèmes du chapitre (9.13 à 9.23), que Liu Hui fait apparaître 1. Son commentaire à tous ces autres problèmes, et à eux seuls dans le chapitre, met en effet en œuvre la règle de trois ou « Procédure du "supposons" »2. En un sens, ce phénomène fait écho à l'apparition du terme de lü dans l'énoncé du premier problème de cette seconde partie. Il est intéressant de noter que l'extension des problèmes pour lesquels Liu Hui montre l'efficacité de ce concept déborde l'ensemble où nous étions tentés de le mettre en œuvre ci-dessus, pour rendre compte des procédures. Ces problèmes coïncident, en revanche, avec ceux dont les énoncés renvoient, nous l'avons noté, à des configurations agençant des formes fondamentales. Dans la modalité dominante de recours à la « Procédure du "supposons" », Liu Hui oppose un triangle rectangle dont les côtés sont qualifiés de « réels» et auquel l'inconnue est attachée, à un autre triangle dont les côtés, parfois connus, parfois liés à l'inconnue, fournissent les lü des précédents 3. C'est dire que ces derniers présentent entre eux les mêmes rapports que les segments « réels» correspondants : telle est la forme que prend l'énoncé de la similitude entre triangles dans ce contexte 4 . Et c'est l'application systématique de cette propriété et, partant, de la procédure à laquelle elle donne prise, que le commentateur montre à l'œuvre dans toutes les procédures de cette seconde partie du chapitre 5 . 1. On se rappelle que la position du problème ici placé à la fin du chapitre 9 (9.24) n'est pas sans soulever des difficultés. 2. Sur cette procédure, voir l'introduction au chapitre 2, où est également discutée sa mise en œuvre pour le problème 9.14. Il est un cas (9.15) où c'est la « Procédure des parts pondérées en fonction des degrés» qui est mobilisée. L'introduction au chapitre 3 la présente et discute la manière dont Liu Hui y voit la coordination d'un ensemble de règles de trois. Le lecteur y trouvera également, analysée, la manière dont le commentateur y recourt dans le cadre du problème 9.15. Pour ces deux problèmes, Liu Hui rend compte de la correction de la procédure de deux façons. Avant de se tourner vers des règles de trois, sous les deux visages qu'elles peuvent prendre, il propose des démonstrations fondées sur le même principe général de compensation des aires que la première' partie requérait et impliquait des transformations appuyées sur les catégories (Voir lei) des pièces: il constitue des aires, qu'il propose de colorier, puis de découper et de réarranger afin d'« engendrer la surface d'un rectangle» et, partant, d'établir le bien-fondé de l'algorithme. La matérialité de l'opération évoque le texte par lequel s'ouvre Le Gnomon des Zhott. Voir le texte de la traduction et les notes correspondantes. 3. N'oublions pas qu'un triangle rectangle est introduit par le fait de désigner ses côtés par les termes de « base (gOtt) », « hauteur (gtt) » ou « hypoténuse (xian) ». Il convient d'insister sur le fait que, lorsqu'ils renvoient à un dispositif matériel, ces termes indiquent bien toujours les côtés d'un même triangle, et non pas des lignes qui formeraient un triangle en quantité. Le fait est patent dans le commentaire de Liu Hui aux problèmes 9.16 ou 9.19 (voir ci-dessous). Les commentaires aux problèmes 9.5, 9.14 et 9.15 font référence à un « engendrement» graphique de triangles, Voir gOtt « base ». 4. Zhao Shuang mobilise la règle de trois selon la même syntaxe pour rendre compte d'un calcul du Gnomon des Zhott, dans la description duquel entre également le terme de Iii (Zhottbi Sttanjing, [Qian Baocong .6.1963], p. 28). 5. On y rencontre, corrélativement, des phénomènes qui se présentent régulièrement dès lors que le concept de Iii entre en jeu. On se rappelle par exemple que les données du problème 9.22 sont exprimées à l'aide d'unités différentes. Ce n'est qu'une manifestation d'un phénomène plus général relatif aux Iii: s'ils se caractérisent par le fait de varier de concert, rien n'empêche qu'ils relèvent d'unités différentes, Voir Iii.
.1982a}, pp. 57-59, discute de ces différences de parité des données selon les problèmes et de leurs conséquences. 3. Nous l'avons dit, les termes des triplets pythagoriciens entiers sous-jacents (a, b, c) apparaissent comme constitués de produits de quantités associées à un triplet générateur (a o, bo, co), Cette propriété évoque de façon inattendue le problème 9.5 et les enjeux qu'on devine dans le texte particulièrement corrompu du commentaire qui y fait suite (voir les notes correspondantes). En effet, le dispositif de l'énoncé paraît viser à étudier, sur la base d'un triplet (a o, bo, co), les triangles rectangles de côtés (ma o' nbo, c). Corrélativement, le commentaire met en évidence comment ce dernier triplet s'analyse comme la composition de triangles élémentaires. Ces thèmes font donc écho à l'engendrement de triplets sur la base d'autres triplets dont nous avons montré le caractère central dans le chapitre.

Présentation du Chapitre 9 -

«

Base (gou) et hauteur (gu)

»

689

En conclusion, de cette seconde partie du chapitre 9 que caractérise l'empreinte de la règle de trois, nous retiendrons que le concept de lü y intervient de deux manières. D'une part, il qualifie des éléments qui entreront dans la « Procédure du "supposons" », laquelle donne son expression à la similitude entre triangles. D'autre part, il y joue un rôle clef en tant que concept numérique, désignant des valeurs susceptibles d'être « mises en communication» et « simplifiées ». Par ce dernier biais, un lien se trouve établi entre les deux parties du chapitre 9, dans la mesure où les valeurs numériques rationnelles de l'ensemble du chapitre sont éclairées par l'analyse qui se greffe sur les problèmes 9.13 et 9.20. Si cet ordre de préoccupations paraît absent du Gnomon des Zhou et du commentaire de Zhao Shuang, on trouve chez Brahmagupta (VIle siècle) des modes comparables d'engendrement des triplets pythagoriciens 1. Cette remarque vient enrichir un ensemble déjà fourni de points communs entre ceux des résultats mathématiques de la Chine et de l'Inde anciennes qui adhèrent à la sphère de l'astronomie 2. Il se confirme donc qu'il y a là un dossier, encore trop peu exploité, pour des travaux comparatifs à venir 3.

3.

Gnomon et équation quadratique

La seconde partie du chapitre 9 introduit également, nous l'avons vu, un nouvel objet: l'équation quadratique, dont nous avons évoqué ci-dessus quelques spécificités. Le commentaire de Liu Hui permet d'en préciser certains traits, qui s'avéreront importants pour rendre compte de l'évolution ultérieure de ce qui deviendra un domaine à part entière dans cette tradition mathématique. Nous pouvons les saisir dès le commentaire au problème 9.19, résolu par recours à une équation quadratique. Là où nous renvoyons le lecteur à une figure (figure 9.10.1), Liu Hui interprète les quantités et les opérations par référence à la situation sur le terrain, à l'aide des directions cardinales. Le commentateur y désigne tout d'abord deux triangles, en leur assignant des fonctions relativement à la « Procédure du "supposons" » : 0 constitue la « hauteur (gu) », par rapport au segment qui s'étend de la porte nord au coin ouest de la ville, de longueur x/2, qui forme le « lü de la hauteur (gu) ». Corrélativement, n est pris comme « lü de la base (gou) », tandis qu'un trajet menant de l'arbre à l'extrémité sud du segment s, de longueur x+n+s, correspond à la base (gou). Par contraste avec les autres problèmes, où cette distribution de rôles conduit à mettre en œuvre la règle de trois 1. [Sarasvati Amma, T.A. 1979], p. 137-138. La « Procédure de la double différence» est également décrite par cet auteur (voir la préface de Liu Hui, en particulier note 38). Précisons ici un point: si on rencontre le terme de !il dans Le Gnomon des Zhou et si le commentateur Zhao Shuang interprète son occurrence comme renvoyant à l'application d'une règle de trois (Zhottbi, [Qian Baocong .6..1963], p. 27 ; voir l'introduction au chapitre 1, section II), ces textes paraissent dépourvus de préoccupations plus proprement arithmétiques semblables à ce que nous venons de décrire en relation avec Les Nett/ chapitres et leurs commentaires. 2. Voir chapitre A, section IV. 3. [Ang Tian Se 1978] touche la comparaison entre problèmes chinois et indiens, et évoque la descendance en Chine des problèmes relatifs au triangle rectangle, en particulier dans le Classique mathématique de Zhang Qittjian. De façon plus générale, on retrouve des problèmes liés au triangle rectangle dans quatre autres Classiques parmi ceux retenus par Li Chunfeng pour composer les Dix Classiques de mathématiques ([Schrimpf 1963], pp. 235-242 ; voir également le chapitre B) : le Classique mathématique de l'île maritime de Liu Hui; le Classique mathématique de Sunzi (problème 25 du chapitre 3, Sunzi suanjing, [Qian Baocong .6..1963], p. 317), le Classique mathématiqtte de Zhang Qittjian (problèmes 12, 14, 15, dans le chapitre 1, 7 à 10 du chapitre 2, et problème 2 du chapitre 3), le Classique mathématiqtte qui fait suite aux anciens de Wang Xiaotong. Ce dernier ouvrage se distingue par une mise en œuvre massive des procédures liées au triangle rectangle, ainsi que par l'emploi des termes techniques désignant les côtés du triangle rectangle. Les quelques problèmes présents dans les autres Classiques sont pour l'essentiel résolus par des procédures qui s'interprètent en termes de règles de trois, appuyées sur l'exploitation de similitudes entre triangles. Les descriptions ne le font cependant pas apparaître, pas plus que les commentaires de Li Chunfeng, lorsqu'ils nous sont parvenus, à l'exception du commentaire au problème 9 du chapitre 2 du Classique mathématiqtte de Zhang Qiujian. Par contraste, seuls le problème 19 du chapitre 1 ainsi que les problèmes 2 et 3 du chapitre 3 de ce dernier livre mettent en œuvre la « Procédure de la base et de la hauteur», le problème 9.2 en l'articulant à la procédure de résolution du problème 6.12 des Nett/chapitres.

690

Les Neuf chapitres

pour déterminer une longueur en fonction de trois autres, Liu Hui convertit ici cette procédure en l'assertion d'une égalité entre aires, qu'on peut représenter comme suit: x no=-(x+n+s) 2

Plus précisément, le produit des deux données no constitue l'aire d'un rectangle correspondant, sur la figure 9.10.2, à BCEF. Son double donne donc l'aire du rectangle ACDF, auquel Liu Hui renvoie en termes topographiques précis 1. Ainsi, le dividende que calcule la procédure est interprété comme formant l'aire d'un rectangle 2. Pour rendre compte de l'opération suivante, le commentateur introduit un second point de vue sur cette E F D aire, qui la structure en y distinguant, d'un côté, un carré Figure 9.10.2 - Démonstration de côté x 2 et, de l'autre, deux rectangles d'aires respectivede la correction de l'algorithme ment nx et sx. Le calcul de n + s est ainsi interprété résolvant le problème 9.19. comme correspondant à la restructuration interne qui réunit ces derniers et oppose leur ensemble à x 2 • On obtient ici une figure géométrique de l'équation, qui s'avérera fondamentale. Elle consiste en un rectangle d'aire connue, à l'intérieur duquel on distingue un carré d'aire x 2 et un second rectangle dont l'une des dimensions est également connue. La constitution de ce premier rectangle équivaut, en termes modernes, à la formation de l'équation: 2no = x 2 + (n + s)x. En désignant cette dernière pièce d'« aire à!'extérieur du coin», Liu Hui fait une référence capitale à son commentaire à la procédure d'extraction de racine carrée 3. En effet, pour rendre compte des étapes de cet algorithme faisant suite à l'ablation, au sein du carré d'aire A, d'un carré d'aire a 2 10 21l , Liu Hui structure le gnomon restant, en y opposant le carré en coin, dont le côté vaut le reste x du nombre cherché, et les deux rectangles égaux de dimensions, respectivement, x et a10 1l • La figure de l'équation quadratique présente un carré qui est donc mis en relation avec le carré en coin de l'extraction de racine, et les rectangles excédentaires se correspondent de part et d'autre. Dans les deux cas, l'aire de l'ensemble étant connu, il s'agit de déterminer le côté du carré en coin. Nous avons déjà indiqué comment l'équation quadratique, en tant qu'opération numérique, dépendait de l'extraction de racine carrée. Ses deux termes prennent sens par référence à la manière dont l'extraction se déroule sur la surface à calculer. L'algorithme qui la résout est une sous-procédure de l'extraction. A ceci s'ajoute maintenant le lien que Liu Hui établit ici entre un diagramme rendant compte de l'algorithme d'extraction de racine et la figure fondamentale associée à l'équation. Que nous ayons un gnomon, dans un cas, un rectangle dans l'autre est de peu d'importance: il est intéressant de constater que le terme ju qui les désigne renvoie indifféremment à ces deux formes 4. Cette adjonction, explicitée par le commentateur, d'une figure géométrique à l'objet équation est cruciale dans la mesure où c'est par elle que sont mis au jour les liens intimes qu'entretient cet objet avec le triangle rectangle. De fait, Liu Hui introduit également le thème des équations quadratiques dans son commentaire à la première partie du chapitre, établissant ainsi un autre pont entre les deux A

B

c

1. Il est intéressant de rappeler ici que les deux dimensions fondamentales d'un rectangle sont, par nature, orientées relativement aux directions cardinales: sa longueur est disposée sur l'axe nord-sud, et sa largeur d'est en ouest. Voir guang « largeur », mao « longueur ». Le commentaire au problème 9.18 présente des traits similaires, tous deux témoignant, dans ce chapitre 9, d'un autre type de travail sur les aires. 2. Liu Hui joue sur le double sens de shi « dividende, aire ». 3. Voir la procédure et le commentaire qui font suite au problème 4.16, ainsi que l'introduction au chapitre 4. 4. Voir ju «gnomon, rectangle ». [Shen Kangshen .6. 1982c], pp. 88-89, relève ce point. Il y voit de plus la transformation du problème en celui de déterminer les dimensions d'un rectangle dont on connaîtrait l'aire et la différence des dimensions. Je ne trouve pas de trace de cette reformulation dans le texte.

Présentation du Chapitre 9 -

«

Base (gou) et hauteur (gu)

691

»

sections qui le composent. Il rejoint, de ce fait, à nouveau le texte de Zhao Shuang traduit dans l'annexe. Examinons à présent comment la figure attachée à l'équation quadratique que constitue le gnomon rend compte de ces développements. Cette question nous ramène, une ultime fois, à la dernière partie du commentaire au problème 9.11 ainsi qu'aux relations entre les traitements du triangle rectangle que nous trouvons chez les deux commentateurs. Considérons tout d'abord le dernier énoncé du b a commentaire au problème 9.11. Liu Hui y décrit une équation quadratique, permettant de déterminer la base a (a), lorsque l'on connaît c et b - a, et donc de résoudre b 9.11. Or, si l'on se reporte à la première figure fondamentale, relativement à laquelle, comme nous l'avons vu, tout ce commentaire doit se lire, on constate que cette équation consiste simplement en la lecture de la figure d'un gnomon b qui s'en détache (voir figure 9.14.8). L'aire calculée corresa pond au quart du carré extérieur duquel on enlève le quart du carré intérieur 1. Elle forme donc un gnomon dont nous a b noterons l'aire A et qui correspond à l'équation formulée :

A = x 2 + (b - a)x

jaune

Figure 9.14.8 - Gnomon et équation quadratique (1).

b

a

a

b

---

b

a

a

[J

b

jaune

Figure 9.14.9 - Gnomon et équation quadratique (II). U ne hypothèse.

On comprend ici l'importance de la figure du gnomon pour saisir l'articulation entre le triangle rectangle et l'équation quadratique. Par ailleurs, cette équation se retrouve à l'identique chez Zhao Shuang 2. Le passage immédiatement précédent du commentaire à 9.11 énonce la dernière équation quadratique formulée par Liu Hui. Son texte, corrompu, pose problème. La restitution que propose ici l'édition critique et qui reste au plus près du texte transmis y voit à nouveau la lecture d'un gnomon (voir figure 9.14.9) comme suit:

b2 - a2 = x 2 + 2ax

------------f----........I-----~

où x est la base (gou)

où x vaut b - a

Mais, pouvons-nous nous en satisfaire? Au fait que l'équation serait mathématiquement insignifiante, s'ajoute le problème que cette lecture exigerait d'interpréter l'expression de ju gou « gnomon base » de façon que n'atteste aucune autre source. Or, cette même expression de ju gou se rencontre dans le texte de Zhao Shuang, alors justement que ce commentateur énonce les seules autres équations quadratiques de son développement - voir la marque (*) dans la traduction de son texte. Et ces dernières sont essentielles pour montrer le lien entre équation quadratique et triangle rectangle que noue la figure du gnomon. Elles expriment en effet les équations quadratiques correspondant aux gnomons

1. Voir [Chemla 1994d). [Li Jimin .6. 1990a}, pp. 365-366, avance une interprétation alternative, en proposant que ce soit la figure d'un rectangle, apparu par transformation sur la base de la première figure fondamentale, qui est lue comme équation. 2. Voir l'annexe, où elle intervient dans la première partie du développement de Zhao Shuang, clairement liée à la première figure fondamentale. Nous retrouvons par ce biais une confirmation que l'ensemble du commentaire à 9.11 doit se lire relativement à cette figure.

692

Les Neuf chapitres

que laissent le carré de la base (gou) ou le carré de la hauteur (gu) dans le carré de l'hypoténuse -la seconde figure fondamentale attachée au triangle rectangle (figures 9.15.1 et 9.15.2) : c2 - b2 = x 2 + 2bx c2 - a 2 = x 2 + 2ax

où x vaut c - b où x vaut c - a

y a-t-il des raisons de suivre Qian Baocong 1 et de penser que Liu Hui énonçait là en fait, comme Zhao Shuang, la première de ces deux équations? Accepter cette option aurait plusieurs conséquences. Tout d'abord, cela impliquerait que, sur l'un des deux points (*) où, nous l'avons vu, le commentaire de Liu Hui à la première partie du chapitre 9 s'écarte du texte de Zhao Shuang, nous verrions une erreur due à un problème de transmission. En conséquence, nous réduirions d'un élément les deux seules différences entre ces parties de leurs textes. Par ailleurs, Liu Hui se tournerait donc, à ce point de son exégèse vers la seconde figure fondamentale, pour exploiter totalement la manière dont la figure du gnomon permet d'introduire des équations quadratiques dans le champ lié au triangle rectangle. La réponse à la question me paraît en fait liée à l'interprétation de l'énoncé immédiatement précédent dans le commentaire de Liu Hui au problème 9.11. Si, en effet, on suit la leçon de l'édition de Yang Hui (note 65 de l'édition critique), et que, toujours comme Qian Baocong (note 66), on admet que là encore b - a est une corruption de c - b, on obtient, pour le dernier énoncé problématique, le texte suivant: «Si, partant de cette même figure (n.d.t. : la première figure fondamentale), l'on prend le double de l'hypoténuse comme somme de la longueur et de la largeur et si la base comme gnomon (ju gou) est alors prise comme aire (mi) 2, on obtient une largeur égale à la différence entre hypoténuse et hauteur (gu). » Or ces éléments se corrèlent parfaitement avec le dernier morceau du texte de Zhao Shuang qui semblait s'écarter du commentaire de Liu Hui (voir le passage noté (**) dans la traduction de l'annexe), réduisant ainsi intégralement l'écart entre les deux textes. Et opter pour cette restitution du passage de Liu Hui en question permet, par confrontation avec Zhao Shuang, d'en deviner un sens possible 3. En conclusion, les deux énoncés problématiques du commentaire de Liu Hui paraissent correspondre précisément aux algorithmes de Zhao Shuang qui distinguaient à première vue nos deux auteurs. Il paraît tentant - suivant partiellement Qian Baocong - d'adopter ici une restitution du texte de Liu Hui qui révèle sa conformité extrême au développement de Zhao Shuang. Cette option s'accorde avec la conclusion que nous tirions plus haut sur l'étroitesse de leurs liens, qu'un autre fait capital confirme, rappelons-le: au cours de sa préface, Liu Hui présente une procédure pour mesurer la hauteur du soleil; or c'est chez Zhao Shuang qu'on trouve une figure et un raisonnement qui l'établissent 4 . 1. Voir les notes 66 et 67 de l'édition critique. Relevons que, selon cette hypothèse, Liu Hui introduirait ainsi les moyens de résoudre un nouveau type de problème: ceux qui fourniraient a et b pour demander de déterminer directement les différences entre hypoténuse et côtés de l'angle droit. 2. Il s'agit sans doute de prendre le gnomon d'aire a2 en rectangle. 3. [Li Jimin L>.1990a}, pp. 367-368, y voit une allusion à la résolution, à l'aide du triangle rectangle, du problème qui demande de déterminer longueur et largeur d'un rectangle, quand on connaît son aire et la somme de ses deux dimensions. L'intérêt de cette interprétation est qu'elle s'accorde avec la lecture par Li Jimin de l'énoncé examiné cidessus et fait apparaître une continuité de questionnement dans le passage. Cependant, elle ne me paraît pas permettre de rendre compte du changement de terminologie de l'un à l'autre. Je préfère pour ma part une interprétation qui soulignerait le lien avec la partie (**) du texte de Zhao Shuang : cet énoncé de Liu Hui a le même début et la même fin que (**). On peut donc penser qu'il emploie de la même façon une combinaison des deux figures fondamentales pour résoudre le même problème, ce après quoi il lit du point de vue du gnomon la seconde, puis la première figure fondamentale. Selon la traduction de [Li Jimin L>.1998a}, p. 701, il serait uniquement question dans ces deux énoncés, de la seconde figure fondamentale. 4. Voir la note 38 à la traduction de la préface.

Présentation du Chapitre 9 -

«

Base (gou) et hauteur (gu)

»

693

Cette solution corrélée aux deux problèmes soulevés présente l'avantage de proposer une unique interprétation de l'expression ju gou dans ce passage du commentaire, interprétation de surcroît conforme à ce que l'on trouve ailleurs 1. De plus, une unité thématique apparaîtrait ainsi entre les deux énoncés problématiques qui se suivent: tous deux traiteraient, de façon différente, du gnomonrectangle (ju) qui a pour aire le carré de la base. Si nous optons en faveur de cette solution, la conclusion que nous pouvons tirer en matière d'équation quadratique s'en trouve renforcée: le commentaire de Liu Hui mettrait donc à profit l'ensemble des gnomons qui se présentent dans les figures liées au triangle rectangle pour dégager la relation entre ces deux sujets. Nous retrouvons ici, par un dernier biais, ce qui constituait le caractère fondamental des figures décrites plus haut. Le commentateur continue d'y lire, selon la nouvelle grille que représente la figuration géométrique des équations, de nouveaux résultats 2.

[Li Jimin L 1990a}, pp. 366-367, suit la restitution que propose Qian Baocong, et, même si nous divergeons sur les détails de l'interprétation, pour ce qui est du texte lui-même, cette position m'apparaît également raisonnable. Il est intéressant que nos deux interprétations convergent vers la conclusion qu'il faut voir dans ce passage un développement relativement aux deux figures fondamentales, qui se trouvent relues d'un nouveau point de vue. 2. Cette figuration géométrique de l'équation joue un rôle central chez l'un des principaux protagonistes du développement de la théorie des équations, Liu Yi (voir chapitre B). Sur ce point, voir [Horiuchi 2000}. On peut comprendre pourquoi, dans sa reclassification des sujets mathématiques, l'érudit du XIIIe siècle Yang Hui fait désormais figurer l'extraction de racine dans le chapitre du triangle rectangle. 1.

ANNEXE «

Figures de la base (gou) et de la hauteur (gu), du carré et du cercle» 1

Figure 9.A - « Figure de l'hypoténuse Edition de Bao Huanzhi, 1213.

».

1. Pour ce texte et les figures correspondantes, je m'appuie, sauf mention expresse, sur l'édition critique Zhottbi Jtta1tji1tg, [Qian Baocong 6.1963], pp. 15-18. Pour ce qui est de la reconstitution des figures corrompues, la proposition de Li Jimin [6. 1990a, p. 373] s'impose. [Gillon 1977] et [Cullen 1996], pp. 208-217, proposent des traductions en anglais de ce texte.

696

Les Neuf chapitres

Figure 9.B.l- « Figure de gauche Edition de Bao Huanzhi, 1213.

».

Annexe -

«

697

Figures de la base (gou) et de la hauteur (gu)J du carré et du cercle»

Figure 9.B.2 - « Figure de droite Edition de Bao Huanzhi, 1213.

».

[Figure 9.C.1] et [Figure 9.C.2] - Reconstitution des figures de droite et de gauche.

698 «

Les Neuf chapitres

Figures de la base (gou) et de la hauteur (gu), du carré et du cercle»

« Base (gou) et hauteur (gu) étant chacune multipliée par elle-même, sommer 1 » ceux-ci (les résultats) fait le carré (shi) de l'hypoténuse. « On divise ceci par extraction de la racine carrée, ce qui donne l'hypoténuse. » Sur la base de la figure de l'hypoténuse, on peut en outre considérer la multiplication l'une par l'autre de la base (gou) et de la hauteur (gu) comme 2 exemplaires d'aire vermillon. En doublant ceci, cela fait 4 exemplaires d'aire vermillon. On prend la multiplication par elle-même de la différence entre base (gou) et hauteur (gu) comme l'aire jaune centrale. En ajoutant (au résultat précédent) un exemplaire du carré de la différence, on engendre également le carré de l'hypoténuse 2 . Si l'on soustrait le carré de la différence du carré de l'hypoténuse et qu'on prend la moitié de son reste 3, qu'on prend la différence comme « diviseur rejoint (congfa) » et qu'on divise par extraction de la racine carrée, on obtient à nouveau lfu) la base (gou)4. En ajoutant la différence à la base (gou), cela donne la hauteur (gu). Chaque fois que l'on somme les carrés/aires (shi) de la base (gou) et de la hauteur (gu), alors ils engendrent le carré de l'hypoténuse. Soit elles (les aires a 2 et b2) forment un carré à l'intérieur, soit elles forment un gnomon à l'extérieur 5 : les formes en sont différentes, mais les mesures (liang) sont égales, les corps sont distincts, mais les valeurs identiques (qi).

Le gnomon du carré de la base (goushi zhi ju) a pour largeur la différence entre l'hypoténuse et la hauteur (gu) et pour longueur la somme entre l'hypoténuse et la hauteur (gu), et le carré (shi) de la hauteur (gu) forme un carré en son intérieur. Si l'on soustrait l'aire/le carré (shi) de la base (gou) comme gnomon (ju gou zhi shi) 6 du carré de l'hypoténuse, en extrayant la racine de son reste, cela donne la hauteur (gu). 1. Je marque par des guillemets les formulations que l'on retrouve à l'identique dans le texte des Neuf chapitres. Zhao Shuang renvoie explicitement à un ouvrage intitulé Les Neufchapitres (jiuzhang, voir Zhoubi suanjing, [Qian Baocong .61963}, p. 22), où il est loisible de reconnaître notre ouvrage, même s'il ne mentionne jamais Liu Hui. 2. On retrouve cet « également» dont nous avons relevé, dans la section 11.1, qu'on le rencontre aussi dans le commentaire de Liu Hui au problème 9.11 pour introduire une procédure alternative engendrant le carré de l'hypoténuse. Ici rehaussé par un « en outre », il renvoie également à un algorithme alternatif, lui aussi fondé sur la « figure de l'hypoténuse ». Si l'algorithme diffère de la procédure alternative de Liu Hui, l'interprétation géométrique qu'en donne Zhao Shuang produit la même aire, structurée de la même façon que ce que propose notre interprétation du texte de Liu Hui. [Chen Cheng-Yih 1987}, pp. 38-40, et [Qu Anjing 1997}, pp. 200-202, relèvent ces deux adverbes et argumentent que Zhao Shuang introduirait ici une démonstration alternative de la « Procédure de la base (gou) et de la hauteur (gu) ». C'est une thèse répandue ([Ch'en Liang-Ts'o (Chen Liangzuo) L::>.1993a}) qui me paraît méconnaître le caractère algorithmique du texte. Sur les liens entre algorithme et démonstration, voir le chapitre A. 3. Le contexte amène à comprendre que cette valeur constitue le « dividende», i.e. : le termé constant de l'équation quadratique dont l'opération suivante constitue le terme en x - nommé « diviseur rejoint» dans la terminologie de l'époque. 4. L'énoncé décrit l'équation !(c2 - (b - a)2) = (b - a)x + x 2. Elle permet, connaissant l'hypoténuse et la différence 2 entre base (gou) et hauteur (gu) - à savoir: les données du problème 9.11 - de déterminer les dimensions du triangle rectangle. La base a en est solution, ce que Zhao Shuang décrit comme une « restitution» (ju) (Voir fu « redonner»). En se reportant à la figure 9.14.8, l'aire du gnomon relatif à l'équation correspond au carré qui occupe un quart du carré global, dont on a ôté le quart de carré jaune central. Jusqu'ici, le passage s'interprète donc relativement à la première figure fondamentale. C'est à ce point du texte qu'il se tourne vers la seconde. Notons que cette procédure ne se trouve pas dans Les Neuf chapitres, mais correspond à la chute du commentaire de Liu Hui au problème 9.11. 5. La formulation est proche du commentaire de Liu Hui qui fait suite au problème 9.5 et au cours duquel l'exégète introduit la seconde figure fondamentale. Voir ju « gnomon, rectangle». 6. Cette expression renvoie clairement, elle aussi, au gnomon d'aire a 2 • Elle évoque la formulation que sur la « figure de gauche» (voir figures 9.B.2 et 9.C.2), Zhao Shuang donne pour identique à « gnomon du carré de la base (goushi zhi ju) » : le « coin de la base comme gnomon (ju gou zhi jiao) ». On peut penser que la première expression insiste sur la figure du gnomon en elle-même tandis que la seconde l'envisage relativement à la seconde figure fondamentale.

Annexe -

«

Figures de la base (gou) et de la hauteur (gu») du carré et du cercle»

699

(*) On double la hauteur (gu), qui se trouve des deux côtés, ce qui fait le « diviseur rejoint 1 ». En extrayant la racine du « coin de la base (gou) comme gnomon », cela donne la différence entre hypoténuse et hauteur (gu) 2. En ajoutant la hauteur (gu), cela donne l'hypoténuse. En divisant le carré de la base (gou) par la différence, on obtient la somme de la hauteur (gu) et de l'hypoténuse. En divisant le carré de la base (gou) par la somme, on obtient également la différence de la hauteur (gu) et de l'hypoténuse 3. En effectuant la multiplication de la somme (de la hauteur (gu) et de l'hypoténuse) par ellemême, avec le carré (shi) de la base (gou), cela fait un dividende (shi), et si l'on prend le double de la somme comme diviseur, ce qu'on obtient est également l'hypoténuse 4 . En soustrayant le carré (shi) de la base (gou) de la multiplication de la somme (de la hauteur (gu) et de l'hypoténuse) par elle-même, et en divisant par le diviseur, cela fait la hauteur (gu).

Le gnomon du carré de la hauteur (gushi zhi ju) 5 a pour largeur la différence entre l'hypoténuse et la base (gou) et pour longueur la somme entre l'hypoténuse et la base (gou), et le carré (shi) de la base (gou) forme un carré en son intérieur. Si l'on soustrait l'aire/le carré de la hauteur comme gnomon Vu gu zhi shi) du carré de l'hypoténuse, en extrayant la racine de son reste, cela donne la base (gou). On double la base (gou) , qui se trouve des deux côtés, ce qui fait le "diviseur rejoint". En extrayant la racine du « coin de la hauteur (gu) comme gnomon», cela donne la différence entre hypoténuse et base (gou). En ajoutant la base (gou), cela donne l'hypoténuse. En divisant le carré de la hauteur (gu) par la différence, on obtient la somme de la base (gou) et de l'hypoténuse. En divisant le carré de la hauteur (gu) par la somme, on obtient également la différence de la base (gou) et de l'hypoténuse. En effectuant la multiplication de la somme (de la base (gou) et de l'hypoténuse) par elle-même, avec le carré de la hauteur (gu), cela fait un dividende, et si l'on prend le double de la somme comme diviseur, ce qu'on obtient est également l'hypoténuse. En soustrayant le carré de la hauteur (gu) de la multiplication de la somme (de la base (gou) et de l'hypoténuse) par elle-même, et en divisant par le diviseur, cela fait la base (gou). En multipliant l'une par l'autre les deux différences 6, en doublant et en extrayant la racine de ceci, ce qu'on obtient, en l'augmentant de la différence entre l'hypoténuse et la hauteur (gu), cela fait la base (gou) ; en l'augmentant de la différence entre l'hypoténuse et la base (gou) , cela fait la hauteur (gu), et en l'augmentant des deux différences, cela fait l'hypoténuse. 1. Ce terme signale que le gnomon qui a pour aire le carré de la base sert ici de support à la lecture d'une nouvelle équation quadratique. J insère dans le texte la marque (*) pour les besoins de la discussion. 2. Le carré en coin du gnomon a pour côté la différence entre hypoténuse et hauteur (gu). Il constitue l'inconnue qui sera racine de l'équation quadratique. Le coefficient de x est le double de la seconde dimension des rectangles qui, avec le carré de coin, composent le gnomon, soit ici : 2b. Ainsi, le gnomon d'aire a 2 se décompose en deux rectangles d'aire globale 2bx et un carré d'aire x 2 • L'agencement des algorithmes et les figures fondamentales permettent de comprendre pourquoi les algorithmes sont corrects. La détermination directe de quantités composées attachées à un triangle rectangle (ici c - b) à partir des dimensions du triangle (ici b et a) ne fait pas l'objet de problèmes dans Les Nett/ chapitres et, à première vue, le commentaire de Liu Hui ne comporte pas non plus d'algorithme correspondant (voir la section 11.3 de l'introduction au chapitre 9). L'opération suivante en déduit l'hypoténuse. 3. Dans Les Neuf chapitres, ces procédures sont au fondement des résolutions des problèmes 9.7 à 9.10 et 9.12, comme le commentateur Liu Hui le montre. 4. L'algorithme évoque celui du problème 9.6 et celui que Liu Hui fournit comme alternative pour la résolution du problème 9.12. Ce dernier fait d'ailleurs l'objet de la procédure immédiatement suivante. Tous deux évoquent également les algorithmes développés par Liu Hui en commentaire au problème 9.13. 5. Ici commence un passage en tous points symétrique au précédent. Ni Les Nett/ chapitres, ni Liu Hui ne développent les algorithmes, symétriques par l'échange entre base et hauteur, des procédures données. 6. A savoir: la différence entre hypoténuse et hauteur (gu) , d'un côté, entre hypoténuse et base (gou) , de l'autre. On retrouve ici les procédures de résolution du problème 9.24.

700

Les Neuf chapitres

Si, en doublant le carré de l'hypoténuse et en en soustrayant 1 le carré de la différence entre la hauteur (gu) et la base (gou), il apparaît le carré de la somme 2, c'est que, en examinant ceci à l'aide de la figure, le double du carré de l'hypoténuse remplit le grand carré extérieur 3 et il y a en trop l'aire jaune. Cette aire (shi) jaune qui est en trop, c'est le carré (shi) de la différence entre base (gou) et hauteur (gu). Si donc on soustrait de ceci le carré de la différence et qu'on extrait la racine de son reste, on obtient le côté du grand carré extérieur. Le côté du grand carré, c'est la somme de la base (gou) et de la hauteur (gu). Si on effectue la multiplication de la somme par elle-même 4 et qu'on la soustrait alors du double du carré de l'hypoténuse, qu'on extrait la racine de son reste, on obtient le côté du carré jaune central. Le côté du carré jaune, c'est la différence entre la base (gou) et de la hauteur (gu). En soustrayant la différence de la somme et en prenant la moitié de ceci, cela fait la base (gou). En ajoutant la différence à la somme et en prenant la moitié de ceci, cela fait la hauteur (gu). (**) Si le double de l'hypoténuse est pris comme réunion de la largeur et de la longueur 5 et si l'on fait en sorte que celle de la base (gou) ou de la hauteur (gu) qui apparaît (xian) soit multipliée par

1. J'adopte ici la modification du texte suggérée par l'édition du Gnomon des Zhou, in Zhottbi sttanjing, [Guo Shuchun et Liu Dun L:>.1998], note 23, p. 35. Le commentaire se tourne de nouveau vers la première figure fondamentale. 2. C'est l'algorithme par lequel Liu Hui entame son commentaire au problème 9.11. Et Zhao Shuang fait suivre son énoncé d'un renvoi à la figure qui montre pas à pas le sens des opérations. 3. Il s'agit du carré de côté a + b dans la « figure de l'hypoténuse ». 4. Zhao Shuang entame ici l'énoncé de l'algorithme qui fait pendant au précédent, et qui ouvre la dernière partie du commentaire de Liu Hui au problème 9.11. 5. De même que plus haut, j'insère dans le texte la marque (**) pour les a=C-B ou besoins de la discussion. Le texte propose ici une toute nouvelle a=C-A lecture de la première figure fondamentale, qui y retrouve, sous un angle différent, les liens essentiels entre base, hauteur et hypoténuse, en les articulant aux relations entre c, b+a, b-a. Cette nouvelle lecture procède de la greffe de la seconde figure fondamentale sur la première. La trame du texte consiste en la résolution du problème clef de déterminer un côté de l'angle droit, lorsqu'on connaît l'hypo2C ténuse et l'autre côté. Deux éléments cruciaux commandent cette interprétation différente de la figure (voir figure 9.D ci-contre). D'une part, Zhao Shuang introduit une lecture du côté du carré extérieur comme le double de l'hypoténuse (notons-le 2C). D'autre part, il décompose l'aire de ce carré en quatre rectangles et un carré. De là, deux strates de termes s'introduisent. D'un côté, il désigne par « longueur» et « largeur» (pour nous b et a) les côtés du rectangle. Figure 9.D - Relecture de la figure De l'autre, en relation avec son interprétation du côté extérieur, il lit fondamentale comme formée de dans ce rectangle un gnomon attaché à un triangle rectangle de 4 gnomons d'aire A 2 (respectivement dimensions A, B, C, tel que b = C + B (respectivement b = C + A) et B2) et d'un carré central a = C - B (respectivement a = C - A). L'aire du gnomon vaut en d'aire (2B)Z (respectivement (2A)Z). conséquence ab = A 2 (respectivement B2). Retrancher de l'aire du carré extérieur l'aire des quatre rectangles donne l'aire du carré central comme (b - a)2, sur la base de la lecture de la première figure fondamentale. De là, on déduit facilement la valeur de a, et partant, à suivre le texte, par l'opération C - a, on détermine B (respectivement A). Notons que l'aire du gnomon n'est pas interprétée comme A2 (respectivement B2). Autrement, on obtiendrait immédiatement 4 B2 (respectivement 4 A2) comme interprétation de l'aire centrale, et donc B (respectivement A). Ce passage présente une corrélation forte avec la fin du commentaire de Liu Hui au problème 9.11 (voir section 11.3). [Shen Kangshen L:>.1982c], p. 86, avance l'idée que ces textes seraient motivés par la volonté d'utiliser la figure du triangle rectangle et les relations qui lui sont attachées pour résoudre un problème relatif au rectangle: connaissant l'aire ab d'un rectangle et la somme de la longueur b et de la largeur a, déterminer les deux dimensions. L'aire du rectangle est interprétée comme A 2 (respectivement B2), soit celle d'un gnomon correspondant à un autre triangle rectangle de dimensions A, B, C. Sa longueur est donc prise comme C + B (respectivement C + A), et sa largeur comme C - B (respectivement C - A). La somme correspond donc à 2C. En retranchant de son aire (a + b)2 - soit 4C2 -les quatre rectangles d'aire ab, [soit A 2 (respectivement B2)], il reste le carré central de côté (b - a) [soit: 2B (respectivement 2A)]. Mais, il semble bien ici que la visée du texte soit de déterminer A et B, plutôt que a et b.

Annexe -

«

Figures de la base (gou) et de la hauteur (gu)J du carré et du cercle»

701

elle-même pour faire l'aire correspondante (au rectangle que font longueur et largeur), si quatre exemplaires de l'aire sont soustraits de ceci (i.e. : l'aire du carré de côté le double de l'hypoténuse), en extrayant la racine de son reste, ce qu'on obtient fait la différence (de la largeur et de la longueur). En soustrayant la différence de la somme et en prenant la moitié de son reste, cela fait la largeur. En soustrayant la largeur de l'hypoténuse, cela donne ce qu'on cherchait 1. On observe comment, par alternance l'un avec l'autre du compas (cercle) et de l'équerre (rectangle) 2 , (ces procédures) sont dans leur ensemble réciproques (l'une de l'autre) 3 , comment, en s'échangeant les pièces en communication, dans chaque cas, on parvient au résultat. S'il en est ainsi, alors elles présentent de façon synthétique une foule de principes, elles charpentent largement la constitution interne (li) de nombreuses (procédures), percent l'obscur et pénètrent l'infime (wei), « sondent le plus profond et atteignent le plus lointain», c'est pourquoi l'on dit: « permettre de régler les dix mille existants, seules elles le font 4 ».

1. Le commentaire de Li Chunfeng (Zhoubi

Sttanjing, [Qian Baocong """ 1963J, pp. 21-22) à ce passage est conforme à l'interprétation proposée, et il la développe sur l'exemple du triplet pythagoricien (3, 4,5). Cela l'amène à considérer une figure fondamentale de côté 2C, soit 10. Il est intéressant de noter, une fois de plus, le travail récurrent consistant à tirer de la figure fondamentale de nouvelles lectures. 2. On peut faire l'hypothèse que ces deux termes tiennent lieu ici du pair et de l'impair, de la base et de la hauteur. 3. Voir fanfit « réciproque, opposé» 4. Les dernières lignes citent le « Grand commentaire» (Xici zhuan) du Classique du changement (Yijing) ainsi que Le Gnomon des Zhou.

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LES NEUF CHAPITRES /

/

SUR LES PROCEDURES MATHEMATIQUES NEUVIÈME ROULEAU

Commentaire de Liu Hui des Wei

Commentaire sur ordre impérial de votre serviteur Li Chunfeng, grand maître, occupant les fonctions de directeur du service astrologique, grand directeur général des chars de guerre, de la dynastie Tang, et de ses associés

句股以御高深廣遠 今有句三尺，股四尺，間為弦幾付。 苓曰:五尺。

今有弦五尺?句三尺?間為股幾付。 答曰:四尺。

今有股四尺?弦五尺，間為句幾付。 苓曰:三尺。 句月艾短面曰旬，長面日股，相與結角日弦。句短其股，股短其弦。 將以施於諸率，故先具此術以見其原也一。術曰:

句、 股各

自乘?弄，而開方除之?即弦。句自乘為朱方， 股自乘馬青方，令出入相補一，各從其類，因就其餘不移動也，合成弦

方之幕。開方除之，即弦也二。

又 9 月艾白乘，以減弦白采，其徐?開方除 一此二“原"字，戴震輯錄本作“源"，兩通。此依楊輝本。

一此二“令"字，楊輝本作“今"，亦通。此依戴震輯錄本。 二此條劉注，楊輝本誤植於下術文“即句"之後、李注之前。此依戴震輯錄本。

BASE (GOU) ET HAUTEUR (GU)l pour traiter le haut et le profond, le large et le lointain 2

(9.1) SUPPOSONS QUE LA BASE (Gau) SOIT DE

3 CHI

ET LA HAUTEUR (GU) DE

4 CHI.

ON DEMANDE

COMBIEN FAIT L'HYPOTÉNUSE 3. RÉPONSE:

5 CHI.

(9.2) SUPPOSONS QUE L'HYPOTÉNUSE SOIT DE

5

CHI ET LA BASE (Gau) DE

3

CHI. ON DEMANDE

COMBIEN FAIT LA HAUTEUR (GU). RÉPONSE :

4 CHI.

(9.3) SUPPOSONS QUE LA HAUTEUR (GU) SOIT DE

4

CHI ET L'HYPOTÉNUSE DE

5 CHI.

ON DEMANDE

COMBIEN FAIT LA BASE (Gau). RÉPONSE:

3 CHI.

PROCÉDURE DE LA BASE (Gau) ET DE LA HAUTEUR (GU) 4 :

Le côté le plus court est appelé « base (gou) » ; le côté plus long est appelé « hauteur (gu) » ; ce qui lie les coins l'un à l'autre est appelé « hypoténuse» 5. La base (gou) est plus courte que la hauteur (gu) qui lui correspond, la hauteur (gu) est plus courte que l'hypoténuse qui lui correspond. On s'apprête à les utiliser pour les appliquer à toutes les procédures (!ü), c'est pourquoi on expose d'entrée de jeu cette procédure pour en faire apparaître l'origine 6. BASE (Gau) ET HAUTEUR (GU) ÉTANT CHACUNE MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME, ON SOMME (LES RÉSULTATS) ET ON DIVISE CECI PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE, CE QUI DONNE L'HYPOTÉNUSE.

La base (gou) multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur (gu) multipliée par elle-même un carré bleu-vert, et l'on fait en sorte que ce qui sort et ce qui entre se compensent l'un l'autre 7, que chacun se conforme à sa catégorie 8 ; alors, sur la base du fait que l'on garde ceux (les parties, les morceaux) qui restent sans les bouger, on engendre par réunion l'aire (mi) du carré de côté l'hypoténuse. « En divisant ceci par extraction de la racine carrée, cela donne l'hypoténuse. »

之?

即句 O 臣盟等謹按:此術以句、股幕合成弦幕。句方於

內，則句短於股囚。令股自乘，以減弦自乘，餘者即句幕也。故開方除 之，即句也。

又 9 句白乘，以減弦白乘五?其餘，開方除 之?

即股。 旬，股幕合以成弦幕，令去其一，則餘在者皆可得

而知之六。

今有圓材，徑二尺五寸。欲為方版?令厚七 寸?問廣幾何。

答曰:二尺四寸。

術曰:令徑二尺五寸白乘 9

之。其餘，

開方除之?

以七寸白乘滅

即廣 O 此以圓徑二尺五寸

為弦，版厚七寸為旬，所求廣為股也。

今有木長二丈 9 圍之三尺。葛生其下?纏木 七周 9 上與木齊。問葛長幾付。 答曰:二丈九尺。

四則，楊輝本作“即"，亦遍。此依戴震輯錄本。 五乘， «宜草草堂叢書》本訛作“成"。此依戴震輯錄本。

六楊輝本無“在"字，亦通。此依戴震輯錄本。

Base (gou) et hauteur (gu)

707

AUTREMENT, LA HAUTEUR (GU) ÉTANT MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME, ON SOUSTRAIT CECI DE L'HYPOTÉNUSE MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME. ON DIVISE CE QUI RESTE PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE, CE QUI DONNE LA BASE (GOU).

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Dans cette procédure, à l'aide des aires (mi) de la base (gou) et de la hauteur (gu), on engendre par réunion l'aire (mi) de l'hypoténuse. Le carré de côté la base (gou) est à l'intérieur [du carré de côté la hauteur (gu)}, de fait la base (gou) est plus courte que la hauteur (gu)9. Si l'on fait en sorte que « la hauteur (gu) étant multipliée par elle-même, on soustrait ceci de l'hypoténuse multipliée par elle-même », ce qui reste donne le carré (mi) de la base (gou). C'est pourquoi «en divisant ceci par extraction de la racine carrée, cela donne la base (gou) ». AUTREMENT, LA BASE (GOU) ÉTANT MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME, ON SOUSTRAIT CECI DE L'HYPOTÉNUSE MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME. ON DIVISE CE QUI RESTE PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE, CE QUI DONNE LA HAUTEUR (GU).

Puisqu'en réunissant les aires (mi) de la base (gou) et de la hauteur (gu), on engendre l'aire (mi) de l'hypoténuse, à supposer qu'on en élimine l'une d'entre elles, alors on peut savoir, dans tous les cas, ce en quoi consiste le reste 10. (9.4) SUPPOSONS QU'ON AIT UN RONDIN DE BOIS DE SECTION CIRCULAIRE DE

2

CHI

5

CUN DE

DIAMÈTRE ET QU'ON VEUILLE EN FAIRE UNE PLANCHE DE SECTION RECTANGULAIRE 11, DE SORTE QU'ELLE AIT

7

CUN D'ÉPAISSEUR. ON DEMANDE COMBIEN VAUT SA LARGEUR.

RÉPONSE: 2 CHI

4 CUN.

PROCÉDURE: ON EFFECTUE LA MULTIPLICATION DU DIAMÈTRE, 2 CHI ON EN SOUSTRAIT

7 CUN MULTIPLIÉS PAR EUX-MÊMES.

5 CUN,

PAR LUI-MÊME ET

ON DIVISE CE QUI RESTE PAR EXTRACTION

DE LA RACINE CARRÉE, CE QUI DONNE LA LARGEUR 12.

Ici, on prend le diamètre du cercle, 2 chi 5 cun, comme hypoténuse, l'épaisseur de la planche, 7 cun, comme base (gou), et la largeur que l'on cherche comme hauteur (gu).

術曰:以七周乘園為股七，木長為句，為之

求弦。弦者， 葛之長。據圍廣，求從為木長者其形葛卷 里里)\。以筆管青線宛轉，有似葛之纏木。解而觀之，則每周之間自有

相間成句股弦。則其間葛長，弦九。七周乘圍 -0 ，并合眾旬以為一句: 木長而脫短一一，術云木長謂之股，言之倒一一。句與股求弦，亦無園一九

弦之自乘客出上第一圖一四。句、股幕合為弦幕，明矣。然二暮之數謂 倒在於弦暮之中而已一五。可更相表裹一六，居里者則成方幕一七，其居表

者則成長巨幕。二表里形訛而數均-)\。又按:此圓句暮之矩青，卷白表一九， 是其幕以股弦差為廣，股弦并為里，而股幕方其里。股暮之矩青，卷白

表二0 ，是其幕以句弦差為廣，旬弦并為里，而旬幕方其里。是故差之

與并用除之，短、長互相乘也。

七此二處，大典本、楊輝本於“園"字上衍“三"字。依李演校酬。李演另一意見是將 “三園"校作“三尺"。

人戴震將此十二字改作“木長求葛之長"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 九長，大典本、楊輝本訛作“青"，於“弦"上誤植“七"字。依灌校本校正。此五字， 戴震改作“則其間木長為肢，圍之為旬，葛長為弦"十五字。

-0 七，大典本、楊輝本誤植於上文“弦"字之上，依涯校本校正。此諸字，戴震改作 “弦七周乘三圍是"七字。 一一此五字，戴震改成“則旬長而股短"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

一二此十字，戴震改成“故術以木長謂之旬，圍之謂之股，言之倒互"十七字。涯校本 恢復大典本、楊輝本原文。 一二大典本、楊輝本於“句"下衍“五"字。依戴震校酬。

“亦無園"，戴震改作“亦

如前圖"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

一四大典本、楊輝本於“弦"字上衍“二十五青"四字。依涯校本校刷。圖，大典本、 楊輝本訛作“園"，依戴震校正。此旬，戴震改作“旬三自乘為朱幕，股四自乘馬青幕， 合朱、青得二十五，為弦五自乘為幕，出上第一圖"三十二字。

一玉在，李演改作“互"。錢校本恢復大典本、楊輝本原文。叉，錢校本捌“己"字。 涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

一六大典本、楊輝本脫“表"字，依李橫校補。 一七大典本、楊輝本脫“居襄"二字，依李淇校補。 一}\.錢校本於“二"下補“幕"字，將“訛"故作“詭"。灌校本恢復大典本、楊輝本 原文。 一九此上八字，李演改作“旬暮之矩朱卷居表" ~匿校本恢復大典本、楊輝本原文。 二0 白，李演改作“居"。灌校本恢復大典本、楊輝本原文。 0

709

Base (gou) et hauteur (gu)

(9.5) SUPPOSONS QU'ON AIT UN ARBRE DE

2

ZHANG DE HAUTEUR ET DONT LE POURTOUR SOIT DE

3 CHI. UNE PUÉRAIRE QUI POUSSE A SA BASE FAIT LE TOUR DE L'ARBRE 7 FOIS AVANT D'ARRIVER A HAUTEUR DE SON SOMMET. ON DEMANDE COMBIEN VAUT LA LONGUEUR DE LA PUÉRAIRE. RÉPONSE :

2

ZHANG

9 CHI.

PROCÉDURE: ON MULTIPLIE PAR

7

TOURS LE POURTOUR 13, CE QUI FAIT LA HAUTEUR (GU) ; LA

HAUTEUR DE L'ARBRE FAIT LA BASE (GOU), ET L'ON CHERCHE L'HYPOTÉNUSE QUI LEUR CORRESPOND. CETTE HYPOTÉNUSE, C'EST LA LONGUEUR DE LA PUÉRAIRE.

Sur la base de la largeur (guang) qu'est un pourtour, on cherche la longueur (mao) de la puéraire qui correspond à une longueur (zong) faisant la hauteur de l'arbre et dont la forme s'enroule autour de l'arbre 14. On utilise une ficelle bleu-vert qui s'enroule autour du corps d'un pinceau, ce qui présente des ressemblances avec la puéraire faisant le tour de l'arbre 15. Si on analyse [la situation, le problème} en le décomposant, alors on peut par nature dissocier les uns des autres les intervalles qui correspondent à chaque tour, chacun engendrant une base (gou), une hauteur (gu) et une hypoténuse 16. Par suite, dans ces intervalles, la longueur de la puéraire est l'hypoténuse 17. Si on multiplie 7 tours par le pourtour, cela réunit ensemble toutes les bases (gou) , ce qui est pris comme une base (gou) unique. Comme la hauteur de l'arbre qui est alors faite hauteur (gu) est plus courte [qu'elle}, si la procédure disait qu'on appelle la hauteur de l'arbre hauteur (gu), elle les dirait à l'envers 18. Si, ayant une base (gou) et une hauteur (gu), on cherche l'hypoténuse, c'est comme quand il n'y a pas de tour, le carré (mi) que fait la multiplication'par elle-même de l'hypoténuse provient de la première figure ci-dessus 19. Que les carrés (mi) de la base (gou) et de la hauteur (gu), réunis, fassent le carré (mi) de l'hypoténuse, c'est clair. Ainsi les valeurs (shu) des deux aires (mi) se trouvent en tête-bêche dans le carré (mi) de l'hypoténuse, et c'est tout 20. On peut échanger celle qui est à l'intérieur et celle qui est à l'extérieur 21 : celle qui se trouve à l'intérieur engendre alors l'aire (mi) d'un carré, celle qui se trouve à l'extérieur l'aire (mi) d'un gnomon. Les deux formes, à l'intérieur et à l'extérieur, sont différentes, mais les mesures (shu) sont égales 22. Commentaire additionnel: Dans cette figure, le gnomon correspondant au carré (mi) de la base (gou), en bleu-vert, s'enroule à l'extérieur du blanc; par suite, pour son aire (mi), on prend la différence entre la hauteur (gu) et l'hypoténuse comme largeur et la somme de la hauteur (gu) et de l'hypoténuse comme longueur, tandis que le carré (mi) de la hauteur (gu) forme un carré en son intérieur. Le gnomon correspondant au carré (mi) de la hauteur (gu), en bleu-vert, s'enroule à l'extérieur du blanc; par suite, pour son aire (mi), on prend la différence entre la base (gou) et l'hypoténuse comme largeur et la somme de la base (gou) et de l'hypoténuse comme longueur, tandis que le carré (mi) de la base (gou) forme un carré en son intérieur 23. C'est pourquoi la relation entre les différences et les sommes, c'est qu'on utilise les unes pour diviser les produits croisés, l'une par l'autre, de la plus longue par la plus courte, [afin de trouver les autres} 24.

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺 O 引 葭赴岸，通與岸齊。問水深、葭長各幾付。 苓曰:

水深一丈二尺，

葭長一丈三尺。 術曰:半池方自乘，此以池方半之，得五尺為旬，水深 為股，葭長為弦。以句、弦見股一九故令句自乘一一，先見矩幕也 O

以出水一尺白乘 9 滅之。出水者，股弦差。滅此差幕 於矩幕則除之二三。徐 9 倍出水除之，即得水深。差 為矩暮之廣二四，水深是股。令此幕得出水一尺為長，故為矩而得葭長

也二五。加出水數?得葭長。臣盟等謹按:此葭本出水 一尺，既見水深，故加出水尺數而得葭長也。

一一此五字，戴震改作“以旬及股弦差求股、弦"九字。涯校本恢復大典本、楊輝本原

文。

二二大典本、楊輝本脫“句"字。依戴震校補。 一二此三字，戴震改作“餘為倍股弦差乘股長之矩幕"十二字。錢校本恢復大典本、楊

輝本原文。 二四戴震於“差"上補“倍"字，錢校本恢復大典本、楊輝本原文。 二五戴震於“令"字上添加“欲先見葭長者，出水一尺自乘，以加於半池方自乘尺數， 倍出水除之，即得"凡二十九字，又改“為長"作“馬里"。錢校本將此二句改作“令 此幕得倍出水二尺為廣，故為矩而得水深也"，校捌戴補二十七字。涯校本恢復大典本、

楊輝本原文。

Base (gou) et hauteur (gu)

711

(9.6) SUPPOSONS QUE L'ON AIT UN ÉTANG CARRÉ DE UN ROSEAU QUI DÉPASSE DE

1

1 ZHANG DE C6TÉ, AU CENTRE DUQUEL POUSSE

CHI [LE NIVEAU} DE L'EAU. QUAND ON TIRE LE ROSEAU VERS LA

RIVE, IL ARRIVE JUSTE AU BORD. ON DEMANDE COMBIEN VALENT RESPECTNEMENT LA PROFONDEUR DE L'EAU ET LA LONGUEUR DU ROSEAU. RÉPONSE : LA PROFONDEUR DE L'EAU VAUT LA LONGUEUR DU ROSEAU

1 ZHANG 2

CHI;

1 ZHANG 3 CHI.

PROCÉDURE: LA MOITIÉ DU C6TÉ DE L'ÉTANG CARRÉ ÉTANT MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME,

Ici, si on prend le côté de l'étang carré et qu'on le divise par 2, on obtient 5 chi, ce qui fait la base (gou) ; la profondeur de l'eau fait la hauteur (gu), et la longueur du roseau l'hypoténuse. A l'aide de la base (gou) et de l'hypoténuse, on fait apparaître la hauteur (gu), par conséquent, en effectuant la multiplication de la base (gou) par elle-même, on fait d'abord apparaître l'aire (mi) du gnomon 25 . ON EN SOUSTRAIT CE QUI DÉPASSE DE L'EAU,

1 CHI,

MULTIPLIÉ PAR LUI-MÊME 26.

Ce qui dépasse de l'eau, c'est la différence entre la hauteur (gu) et l'hypoténuse. L'on soustrait le carré (mi) de cette différence de l'aire (mi) du gnomon et, seulement alors, on divise. ON DIVISE LE RESTE PAR LE DOUBLE DE CE QUI DÉPASSE DE L'EAU, CE QUI DONNE COMME RÉSULTAT LA PROFONDEUR DE L'EAU.

La différence fait la largeur de l'aire (mi) du gnomon; la profondeur de l'eau, c'est la hauteur (gu). On fait en sorte qu'à cette aire (mi) soit ajouté ce qui dépasse de l'eau, 1 chi, pour faire la longueur 27 ; par conséquent en la transformant en gnomon, on obtient la longueur du roseau 28 . EN AJOUTANT LA QUANTITÉ (SHU) QUI DÉPASSE DE L'EAU, ON OBTIENT LA LONGUEUR DU ROSEAU.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: Ici, à l'origine, le roseau dépassait de l'eau de 1 chi. Puisqu'on a fait apparaître la profondeur de l'eau, on l'ajoute par conséquent à la quantité (shu) de chi qui dépasse de l'eau, et l'on obtient la longueur du roseau.

今有立木 9 繫索其末二六，委地三尺。引索卻 行，去本八尺而索盡。問索長幾何。 答曰:一丈二尺六分尺之一。

術曰:

以去本自乘，此以去本八尺為旬，所求索者，弦

也。引而崇盡、開門去閩者，句及股弦差同一術二七。去本自乘者，先

張矩幕。令如委數而一O 委地者，股弦差也。以除矩幕二八，

即是股弦并也二九。所得，加委地數而半之?即索 長。 子不可半者，倍其母。加差者并三0 ，則成兩長三一，故又半之。 其滅差者并，而半之，得木長也二一。

今有垣高一丈。倚木於垣?上與垣齊。引木 卻行一尺?其木至地。問木長幾何三三。 答曰:五丈五寸 O

二六繫，楊輝本作“係"，亦通。此依戴震輯錄本。 二七戴震於“聞"上添“與"字， “差"下添“求股弦"三字。涯校本恢復大典本、楊 輝本原文。 二八矩，楊輝本作“此"，亦通。此依戴震輯錄本。 二九此“即"字，楊輝本作“則"，亦遇。此依戴震輯錄本。 三0 此二“者"字，戴震改作“於"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 二一戴震於“兩"下補“索"字，無必要。

三二大典本、楊輝本脫“得木長"三字。依戴震校補。 二二

文。

《宜據堂叢書》本、屈、孔二刻本及錢校本脫“長"字。涯校本恢復戴震輯錄本原

Base (gou) et hauteur (gu)

713

(9.7) SUPPOSONS QU'ON ÉRIGE UN BÂTON LAQUELLE

3 CHI TRAÎNENT SUR LE

A

L'EXTRÉMITÉ DUQUEL ON ATTACHE UNE CORDE DE

SOL. SION RECULE EN TIRANT LA CORDE,

A UNE DISTANCE DE

8 CHI DE LA BASE DU BÂTON, ON ARRIVE AU BOUT DE LA CORDE. ON DEMANDE COMBIEN VAUT LA LONGUEUR DE LA CORDE. RÉPONSE:

1 ZHANG 2

CHI

PROCÉDURE: LA DISTANCE

1/6 DE

CHI.

A LA BASE ÉTANT MULTIPLIÉE

PAR ELLE-MÊME,

Ici, si on prend la distance à la base, 8 chi, comme base (gou), la corde qui est cherchée, c'est l'hypoténuse. Les (problèmes) «En tirant, on arrive au bout de la corde» et «la porte ouverte à une distance du seuil», [ayant pour données] la base (gou) et la différence entre hauteur (gu) et hypoténuse, partagent la même procédure 29. Si « on multiplie la distance à la base par elle-même », c'est qu'on veut d'abord développer l'aire (mi) du gnomon. ON EN EFFECTUE LA DIVISION PAR LA QUANTITÉ (SHU) DONT CELA TRAÎNE.

Ce qui traîne sur le sol, c'est la différence entre hauteur (gu) et hypoténuse. Si on en divise l'aire (mi) du gnomon, cela donne la somme de cette hauteur (gu) et de cette hypoténuse 30. ON AJOUTE CE QU'ON OBTIENT

A LA

QUANTITÉ (SHU) DONT CELA TRAÎNE SUR LE SOL, ET ON

PREND LA MOITIÉ DE CECI, CE QUI DONNE LA LONGUEUR DE LA CORDE.

Dans les cas où le numérateur ne peut être divisé par 2, on double le dénominateur qui lui correspond. Si l'on ajoute la différence à la somme, cela donne 2 10ngueurs 31 , c'est pourquoi on prend encore la moitié de ceci. Si on soustrait la différence à la somme, et qu'on prend la moitié de ceci, on obtient la longueur du bâton.

術曰:以垣高一十尺白乘三四，如卻行尺數

而一。所得?以力口卻行尺數而半之，即木 長霎史。此以垣高一丈為旬，所求倚木者為目玄，引卻行一尺為股弦差。 為術之意與繫索問同也三五。

今有圓材埋在壁中，不知大小 O 以緩線之， 深一寸，鍊道長一尺。問徑幾付。 答曰:材徑二尺六寸。

術曰:半鎳道自乘，馴服道一尺為旬，材徑為弦， 鍍深一寸為股弦差之一半，繞道長是半也二六。

臣達1直等謹按:下鍍

深得一寸為半股弦差三七。注云為股弦差者，據道也三J\。如深寸而

一，

以深寸增之， 即材徑。亦以半增之。如上術，

本當半之，今此皆同半，故不復半也三九。

今有閉門去閩一尺?不合二寸。問門廣幾付。

三四此十處，孔刻本脫“十"上“一"字。灌校本恢復大典本、楊輝本原文。 三五孔刻本於“瑪"上衍“其"宇。 1匿校本恢復大典本、楊輝本原文。 三六戴震輯錄本脫“道"字。此依楊輝本。戴震將此五字改成“故據長亦半之也"。 三七李演謂“深"下脫“亦"字。 三)\.戴震、李潰、錢寶琮皆謂此十字并誤不通。

三九

“本當半之"上衍“去"字，依譯注本校捌。故，大典本、楊輝本訛作“差"。灌

校本改“差"作“故"。

Base (gou) et hauteur (gu)

715

(9.8) SUPPOSONS QU'ON AIT UN MURET DE

1

ZHANG DE HAUTEUR. ON APPUIE UN BÂTON SUR LE

MURET, DE SORTE QUE SA PARTIE SUPÉRIEURE ARRIVE JUSTE {EN HAUT} DU MURET. SI L'ON TIRE LE BÂTON EN LE RECULANT DE

1 CHI, IL TOMBE A TERRE. ON DEMANDE COMBIEN VAUT LA

LONGUEUR DU BÂTON. RÉPONSE:

5 ZHANG 5 CUN.

PROCÉDURE: LA HAUTEUR DU MURET,

10

CHI, ÉTANT MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME, ON DIVISE

PAR LA QUANTITÉ (SHU) DE CHI DONT ON LE RECULE. ON AJOUTE CE QU'ON OBTIENT

A LA QUAN-

TITÉ (SHU) DE CHI DONT ON LE RECULE, ET ON PREND LA MOITIÉ DE CECI, CE QUI DONNE LA VALEUR (SHU) DE LA LONGUEUR DU BÂTON.

Ici, si on prend la hauteur du muret, 1 zhang, comme base (gou), le bâton appuyé qui est cherché fait l'hypoténuse, et ce dont on recule en tirant, 1 chi, fait la différence entre hauteur (gu) et hypoténuse. L'intention (yi) qui préside à la confection de la procédure est la même que pour le problème de la corde attachée 32.

(9.9) SUPPOSONS QU'ON AIT UN RONDIN DE BOIS DE SECTION CIRCULAIRE ENFONCÉ DANS UN MUR ET DONT ON NE CONNAÎT PAS LES DIMENSIONS 33. SI, PROFONDEUR DE

1 CUN, LE TRAJET DE LA SCIE A 1

A L'AIDE

D'UNE SCIE, ON LE SCIE,

A UNE

CHI DE LONGUEUR. ON DEMANDE COMBIEN

VAUT LE DIAMÈTRE. RÉPONSE: LE DIAMÈTRE DU RONDIN VAUT 2 CHI

6 CUN.

PROCÉDURE: LA MOITIÉ DU TRAJET DE LA SCIE ÉTANT MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME,

Dans cette procédure, si on prend le trajet de la scie, 1 chi, comme base (gou), le diamètre du rondin comme hypoténuse, la profondeur de la (partie) sciée, 1 cun, fait une moitié de la différence entre hauteur (gu) et hypoténuse 34 ; la longueur du trajet de la scie est donc divisée par 2.

Li Chunfeng et ses associés commentent respectueusement: En sciant, on obtient une profondeur de 1 cun, ce qui fait la moitié de la différence entre hauteur (gu) et hypoténuse. Le commentaire dit de prendre le trajet de la scie pour la différence entre hauteur (gu) et hypoténuse 35. ON DIVISE PAR LA PROFONDEUR DE

1 CUN, ET ON AUGMENTE CECI DE LA PROFONDEUR DE 1 CUN,

CE QUI DONNE LE DIAMÈTRE DU RONDIN.

On augmente ceci également de la moitié. Si c'était comme dans la procédure précédente, en fait, on devrait en prendre la moitié 36 ; mais ici ce sont tous uniformément des moitiés, par conséquent on ne prend pas à nouveau la moitié.

答曰:一丈一寸四0 。

術曰:以去闆一尺白乘?所得?以不合二

寸半之而一。所得，增不合之半?即得門

廣。 此去閱一尺為旬，半門廣為弦囚一，不合二寸以半之，得一寸為 股弦差。求弦，故當半之。今次以兩弦為廣數四二，故不復半之也。

今有戶高多於廣六尺八寸，兩隅相去通一 丈。問戶高、廣各幾何。 答曰:

廣二尺八寸， 高九尺六寸。

術曰:令一丈自乘為實。半相多，令自乘 9 倍之9 減實?半其徐?以開方除之。所得? 減相多之半 9 即戶廣;加相多之半，即戶 向 O

令戶廣為旬，高為股，兩隅相去一丈為弦，高多於廣六尺八寸

為句股差。按圖為位，弦幕適滿萬寸。倍之，滅句股差幕，開方除之。

四 0 丈，戴震輯錄本訛作“尺"。此依楊輝本。 四一大典本、楊輝本脫“半"字， “弦"訛作“股"。依李演校補。 四二坎，戴震改作“ ep" 。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

717

Base (gou) et hauteur (gu)

(9.10) 37 SUPPOSONS QU'EN OUVRANT LES BATTANTS D'UNE PORTE, JusQu'A UNE DISTANCE DE

1 CHI

DU

SEUIL DE LA PORTE, ON LAISSE UNE OUVERTURE DE 2 CUN. ON DEMANDE COMBIEN VAUT LA LARGEUR DE LA PORTE. RÉPONSE:

1 ZHANG 1 CUN.

PROCÉDURE: ON MULTIPLIE LA DISTANCE AU SEUIL DE LA PORTE,

1

CHI, PAR ELLE-MÊME. ON

DIVISE CE QU'ON OBTIENT PAR L'OUVERTURE LAISSÉE, 2 CUN, DONT ON A PRIS LA MOITIÉ. ON AUGMENTE CE QU'ON OBTIENT DE LA MOITIÉ DE L'OUVERTURE LAISSÉE 38, CE QUI DONNE COMME RÉSULTAT LA LARGEUR DE LA PORTE.

Ici, la distance au seuil, 1 chi, fait la base (gou), la moitié de la largeur de la porte l'hypoténuse; en prenant la moitié de l'ouverture laissée, 2 cun, on obtient 1 cun, qui est pris comme différence entre hauteur (gu) et hypoténuse 39 . Si on cherchait l'hypoténuse, il faudrait, par conséquent, en prendre la moitié. Mais comme maintenant on prendrait deux hypoténuses comme valeur (shu) de la largeur, par conséquent, on n'en prend pas à nouveau la moitié. (9.11) SUPPOSONS QU'ON AIT UNE PORTE A UN BATTANT DONT LA HAUTEUR DÉPASSE LA LARGEUR DE

6 CHI 8

CUN ET DONT DEUX COINS (OPPOSÉS} SONT A UNE DISTANCE D'EXACTEMENT

1

ZHANG

L'UN DE L'AUTRE. ON DEMANDE COMBIEN VALENT RESPECTIVEMENT LA HAUTEUR ET LA LARGEUR DE LA PORTE. RÉPONSE: LA LARGEUR VAUT 2 CHI 8 CUN; LA HAUTEUR

9 CHI 6 CUN.

其所得即高廣并數四三。以差滅并而半之，即戶廣;加相多之數，即戶 高也。

今此術先求其半。一丈自乘為朱幕四、黃幕一。半差白乘，又

倍之，為黃幕四分之二。滅實凹，半其餘，有朱幕二、黃幕四分之一四五。

其於大方者四分之一四六。故開方除之，得高廣并數半四七。半并數減差 半四 jk ，得廣;加，得戶高。

又按:此圓幕四九:旬股相并幕而力日;其差

幕五月亦滅弦幕，為積五一，蓋先見其弦，然後知其句與股王三。今適等， 自乘，亦各為方五三，合為弦幕五四。令半相多而自乘，倍之，又半并自

乘，倍之，亦合為弦幕五五。而差數無者，此各自乘之，而與相乘數， 各為門實五六。及股長句短，同原而分流焉一。假令句、股各五，弦幕五 十，開方除之，得七尺，有餘一，不蠢。假令弦十，其幕有百，半之為

句、股二幕，各得五十五七，當亦不可閱。故曰:圓三、徑一，方五、 斜七，雖不正得盡理，亦可言相近耳。其旬股合而自相乘之幕者五八，

四三即，楊輝本作“則"，亦通。此依戴震輯錄本。 四四賀，大典本、楊輝本訛作“朱"，脫“四分之二滅賞"六字。依戴震校補。

四五四分之一，大典本、楊輝本訛作“半一丈"。依戴震校正。 四六者，大典本、楊輝本訛作“棄"，今校正。戴震於“棄"下補“四分之三，適得" 六字。錢校本將“棄"改作“得"。

四七大典本、楊輝本脫“半"字。今校補。 四人 “半并數"係大典本、楊輝本原文，不誤。戴震改作“之半"，連上讀，涯校本從， 不妥。

“差半"，錢校本改作“半差"，無必要。灌校本恢復大典本、楊輝本原文。

因九此四“圓"字，大典本、楊輝本訛作“圓"。依戴震校正。 去。大典本、楊輝本脫“而"上“幕"字。准校本校補。此十字，戴震改作“句股并自 乘加差幕為兩弦幕"十二字。

五一此六字，戴震改作“半之，開方得弦，今倍弦幕，減差幕，求旬股并"十七字。涯 校本恢復大典本、楊輝本原文。

五二戴震於“股"下補“也"字。 1區校本恢復大典本、楊輝本原文。 五三大典本、楊輝本於此下衍“先見其弦然而後知其旬與股適等者令自乘亦"十九字， 准校本校捌。戴震將此十九字連同此上九字、此下四字凡三十二字改作“旬股適等者， 并而自乘，即為兩弦幕皆各為方，先見其弦，然後知其句與股者，倍弦幕即為旬股適等

者并而自乘之審"凡四十六字。

五四合，大典本、楊輝本訛作“令"。灌校本校正。 五五大典本、楊輝本脫“又半并自乘，倍之"及“合"八字， ~匿校本參考戴震校補。戴 震將大典本此上十三字改作“半相多，自乘，倍之，又半句股并自乘，亦倍之，合為

弦審"二十一字。

五六無者，大典本、楊輝本訛作“復先"

0

~匿校本校正。此上十九宇戴震改作“其無差

數者，句股各自乘，并之為實，與句股相乘，倍之為實，皆開方得弦，弦幕半之為賞， 開方即得句股"四十字。

五七二，大典本、楊輝本訛作“弦三"。戴震校正。 五J\

«宜據堂叢書》本脫“者"字。戴震捌“相"、“者"二字。灌校本恢復大典本原文。

719

Base (gou) et hauteur (gu)

PROCÉDURE: ON EFFECTUE LA MULTIPLICATION DE

1

ZHANG PAR LUI-MÊME, CE QUI FAIT LE

DIVIDENDE. ON PREND LA MOITIÉ DE CE DONT L'UNE DÉPASSE L'AUTRE, ON EN EFFECTUE LA MULTIPLICATION PAR ELLE-MÊME, ON DOUBLE CECI, ET ON SOUSTRAIT DU DIVIDENDE; ON PREND LA MOITIÉ DE CE RESTE, ET ON DIVISE CECI PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE 40 . ON SOUSTRAIT DE CE QU'ON OBTIENT LA MOITIÉ DE CE DONT L'UNE DÉPASSE L'AUTRE, CE QUI DONNE LA LARGEUR DE LA PORTE; ON Y AJOUTE LA MOITIÉ DE CE DONT L'UNE DÉPASSE L'AUTRE, CE QUI DONNE LA HAUTEUR DE LA PORTE 41,

Faisons en sorte que la largeur de la porte fasse la base (gou) , sa hauteur la hauteur (gu), la distance entre les deux coins, 1 zhang, l'hypoténuse, ce dont la hauteur dépasse la largeur, 6 chi 8 cun, fait alors la différence entre base (gou) et hauteur (gu). On établit leurs positions sur la base de la figure 42. Le carré (mi) de l'hypoténuse remplit juste 10 000 cun. Quand on le double, qu'on en soustrait le carré (mi) de la différence entre base (gou) et hauteur (gu), qu'on divise ceci par extraction de la racine carrée, ce que l'on obtient donne la valeur (shu) de la somme de la hauteur et de la largeur 43, Si la différence est soustraite de la somme et qu'on prend la moitié de ceci, cela donne la largeur de la porte. Si on ajoute à ceci la valeur (shu) de ce dont l'une dépasse l'autre, cela donne la hauteur de la porte. Or ici, dans cette procédure, l'on cherche d'abord leurs moitiés 44. «La multiplication de 1 zhang par lui-même» fait 4 surfaces (mi) vermillon et une surface (mi) jaune. Si on multiplie la moitié de la différence par elle-même, que, de plus, on double ceci, cela fait 2/4 de surface (mi) jaune. « En soustrayant du dividende, et en prenant la moitié de ce reste », on a 2 surfaces (mi) vermillon et 114 de surface (mi) jaune. Du grand carré 45, elles font 114. Par conséquent, quand on « divise ceci par extraction de la racine carrée», on obtient la moitié de la valeur (shu) de la somme de la hauteur et de la largeur. Si on soustrait, de la moitié de la valeur (shu) de la somme, la moitié de la différence, on obtient la largeur; si on ajoute, on obtient la hauteur de la porte. Commentaire additionnel: L'aire (mi) de cette figure, c'est le carré (mi) de la somme, l'une avec l'autre, de la base (gou) et de la h~uteur (gu), et si on y ajoute le carré (mi) de leur différence, et qu'on en soustrait également le carré (mi) de l'hypoténuse, cela fait une aire (Ji), et alors on fait apparaître d'abord l'hypoténuse qui leur correspond, en suite de quoi on connaît la base (gou) et la hauteur (gu) correspondantes 46 . Supposons que celles-ci soient juste égales. Multipliée par elle-même, chacune fait également un carré (fang) et, réunis, ils font le carré (mi) de l'hypoténuse. Si l'on prend la moitié de ce dont l'une dépasse l'autre et qu'on multiplie celle-ci par elle-même, qu'on double ceci, qu'on multiplie de plus par elle-même la moitié de la somme, qu'on double ceci, cela fait également par réunion le carré de l'hypoténuse. Quand la valeur (shu) de la différence est nulle 47 , que celles-ci soient chacune multipliée par elle-même, ou qu'elles soient multipliées l'une par l'autre, la valeur (shu), dans chaque cas, fait l'aire (shi) de la porte 48 . Si l'on compare au (cas) où la hauteur (gu) est plus longue et la base (gou) plus courte, d'une source commune, des différences en découlent 49 . A supposer que la base (gou) et la hauteur (gu) fassent chacune 5, le carré (mi) de l'hypoténuse fait 50. Si l'on divise ceci par extraction de la racine carrée, on obtient 7 chi, mais comme il reste 1, on ne peut l'épuiser 50. A supposer que l'hypoténuse soit 10, son carré (mi) vaut 100, et si on en prend la moitié, cela fait, pour les deux carrés (mi) de la base (gou) et de la hauteur (gu), que l'on obtient respectivement 50. Alors, nécessairement, là non plus, on ne peut extraire de racine 51. C'est pourquoi on dit que le cercle vaut 3 quand le diamètre vaut 1, ou que le côté du carré vaut 5 quand sa diagonale vaut 7 : quoiqu'on ne puisse exactement en épuiser la constitution interne (li), on peut pourtant en exprimer une approximation, mais c'est tout 52.

令弦自乘五九，倍之，為兩弦幕六月以滅之。其餘，開方除之六一，為旬

股差。加於合而半六二，為股;滅差於合而半之，為句。句、股、弦即 高、廣、表六三。其出此圖也，其倍弦為表六四。

令矩句即為幕六五，得

廣即句股差六六。其矩旬之幕，倍句為從法六七，開之亦旬股差六六。以旬

股差幕滅弦幕六八，半其餘，差為從法，開方除之，即旬也。

今有竹高一丈?末才斤祇地?去本三尺?問折 者高幾付。 苓曰:四尺二十分尺之一十一三四。

術曰:以去本自乘?此去本三尺為句六九，折之餘高為股， 以先令句自乘之幕七0 。令如高而一 O 凡為高一丈為股弦并

之七一，以除此幕得差。所得?

以減竹高而半餘七、

五九大典本、楊輝本脫“弦"字。依戴震校補。 六。大典本、楊輝本脫“倍之"，將“兩弦"訛作“四"。依戴震校補。 六一大典本、楊輝本將“其餘"誤植於“開方除之"之下。依戴震校正。 六二此五字，戴震改作“加差於合而半之"七字。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 六三大典本、楊輝本脫“句"字， “里"訛作“棄"。依李演校正。 六四大典本、楊輝本於“棄"上衍“廣"字。今校側。錢校本將“表"改作“衷"，下 “令"字作“合"，與此連讀。

六五令，文淵閱本訛作“今"

0

«宜祿堂叢書》本作“合"。此依武英殿聚珍版。錢校本

將此五宇改作“句自乘為幕"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

六六此二“旬股差"，錢校本改作“股弦差"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 六七大典本、楊輝本脫“句"字。涯校本校補。錢校本補作“股"字。 六八大典本於“以"上衍“其餘"二字，脫“差"、 “弦幕"三字。依錢校本補。李演 將此旬改作“其實以旬股差幕滅"。

六九大典本、楊輝本脫“本"字。依屈、孔二刻本校補。 七。大典本、楊輝本脫“句"字。涯校本參考戴震校補。戴震將此旬改為“末折抵地為 弦，以旬及股弦并求股，故先令句自乘見矩幕"二十三字。

七一大典本、楊輝本原文不誤，

“之"係語氣詞，涯校本刪去“之"字，未允。戴震將

此旬改作“竹高一丈為股弦并"。

七二屈、孔二刻本於半下添“其"字。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

Base (gou) et hauteur (gu)

721

Pour ce qui est de l'aire (mi) que fait la multiplication par elle-même de la réunion de la base (gou) et la hauteur (gu), on effectue la multiplication de l'hypoténuse par elle-même, on double ceci, ce qui fait deux fois le carré (mi) de l'hypoténuse, pour l'en soustraire. Si on divise le reste par extraction de la racine carrée, cela fait la différence entre la base (gou) et la hauteur (gu). Ajouter à la réunion et prendre la moitié fait la hauteur (gu). Soustraire la différence de la réunion et prendre la moitié fait la base (gou) 53. Hauteur (gu), base (gou) et hypoténuse sont prises comme hauteur, largeur et oblique. Ici il apparaît cette figure, dont le double de l'hypoténuse fait la longueur 54. Si l'on fait en sorte que le gnomon base (gou) fasse une aire (mi), la largeur obtenue donne la différence entre base (gou) et hauteur (gu). Le double de la base (gou) étant pris comme diviseur rejoint, si l'on extrait la racine de l'aire (mi) du gnomon base (gou), cela fait également la différence entre base (gou) et hauteur (gu). On soustrait le carré (mi) de la différence entre base (gou) et hauteur (gu) du carré (mi) de l'hypoténuse, on en prend la moitié, la différence étant prise comme diviseur rejoint, on divise ceci par extraction de la racine carrée, ce qui donne la base (gou). (9.12) SUPPOSONS QU'ON AIT UN BAMBOU DE QU'IL EST BRISÉ, TOUCHE LE SOL

A UNE

1

ZHANG DE HAUTEUR ET QUE SON EXTRÉMITÉ, ALORS

DISTANCE DE

3 CHI

DE SA BASE. ON DEMANDE

A QUELLE

HAUTEUR IL A ÉTÉ BRISÉ. RÉPONSE:

4 CHI 11/20 DE CHI.

PROCÉDURE: LA DISTANCE

A LA BASE ÉTANT MULTIPLIÉE

PAR ELLE-MÊME,

Ici, la distance à la base, 3 chi, fait la base (gou), la hauteur qui reste, une fois qu'il a été brisé, la hauteur (gu)55, et l'on constitue donc, dans un premier temps, l'aire (mi) que fait la base (gou) multipliée par elle-même. ON EN EFFECTUE LA DIVISION PAR LA HAUTEUR.

Comme ce qui, en tout, fait la hauteur, 1 zhang, fait la somme de la hauteur (gu) et de l'hypoténuse, si on en divise cette aire (mi), on obtient la différence. ON SOUSTRAIT CE QU'ON OBTIENT DE LA HAUTEUR DU BAMBOU ET ON PREND LA MOITIÉ DU RESTE, CE QUI DONNE LA HAUTEUR

A LAQUELLE

IL A ÉTÉ BRISÉ.

Cette procédure et celle pour la catégorie du (problème) de la corde attachée se transforment l'une en l'autre 56. On peut également, comme dans une procédure précédente, effectuer la multiplication de la hauteur par elle-même, ce qui fait le carré (mi) de la somme de la hauteur (gu) et de l'hypoténuse, la multiplication de la distance à la base par elle-même, ce qui fait l'aire (mi) du gnomon, et l'en soustraire 57 . Si ce qui reste est pris comme dividende, le double de la hauteur comme diviseur, alors on obtient la valeur (shu) de la hauteur à laquelle il a été brisé 58.

即折者之高也。此術與繫索之類更相反覆也七三。

亦可如

上術，令高自乘為股弦并幕七固，去本自乘為矩幕，滅之，餘為實。倍 高為法，則得折之高數也。

今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙 束行。甲南行十步而邪東北與乙會。問甲、 乙行各幾何 O

苓曰:

乙束行一十步半 9 甲邪行一十四步半及之。 術曰:令七白乘，三亦白乘，并而半之?

以為甲邪行率。邪行率減於七白乘 9 餘為

南行率。以三乘七為乙束行率。此以南行為旬， 東行為股，邪行為弦。并旬弦率七七五。欲引者，當以股率自乘為幕七六，

如并而一，所得為句弦差率七七。加并，之半為弦率七八，以差率滅七丸，

七三銜，楊輝本作“率"，兩通。此依戴震輯錄本。 七四大典本脫“高"字。此依楊輝本。 七五大典本無“弦"字，亦通。此依楊輝本。 七六大典本、楊輝本脫“股率自乘"四字。戴震補作“股自乘"

“欲引者"，戴震改

作“欲知弦者"，錢校本改作“欲知弦率者"，灌校本恢復大典本、楊輝本原文。

七七大典本、楊輝本脫“率"字。涯校本校補。 七人大典本、楊輝本脫“弦"字。涯校本校補。此二旬，戴震改作“加差於并而半之為 弦"。

七九大典本、楊輝本脫“差"字。、涯校本校補。此旬，戴震改作“以弦滅差"。

723

Base (gou) et hauteur (gu)

(9.13) SUPPOSONS QUE DEUX PERSONNES SOIENT DEBOUT AU MÊME ENDROIT. SI LE LÜ DE CE QUE MARCHE MARCHE

lIA 59 VAUT 7, LE

10

COMBIEN MARCHENT RESPECTIVEMENT lIA ET RÉPONSE:

YI.

YI MARCHE VERS L'EST 10 BU ET DEMI; lIA MARCHE EN OBLIQUE 14 BU ET DEMI ET LE REJOINT.

PROCÉDURE: ON EFFECTUE LA MULTIPLICATION DE TION DE

YI VAUT 3. YI MARCHE VERS L'EST. lIA YI. ON DEMANDE

LÜ DE CE QUE MARCHE

BU VERS LE SUD, PUIS OBLIQUE VERS LE NORD-EST ET REJOINT

3 PAR LUI-MÊME,

7

PAR LUI-MÊME, ET AUSSI LA MULTIPLICA-

ON SOMME ET ON PREND LA MOITIÉ DE CECI, CE QUI EST PRIS COMME

LÜ DE CE QUE lIA MARCHE EN OBLIQUE 60. LE LÜ DE LA MARCHE EN OBLIQUE ÉTANT SOUSTRAIT

DE LA MULTIPLICATION DE SUD. ON MULTIPLIE

7

3 PAR 7,

PAR LUI-MÊME, LE RESTE FAIT LE LÜ DE CE QUI EST MARCHÉ VERS LE CE QUI FAIT LE LÜ DE CE QUE

YI MARCHE VERS L'EST.

Ici, on prend ce qui est marché vers le sud comme base (gou) , ce qui est marché vers l'est comme hauteur (gu) et ce qui est marché en oblique comme hypoténuse. Le lü de la somme de la base (gou) et de l'hypoténuse 61 est 7. Si on veut en déduire [les autres valeurs}, il faut multiplier le lü de la hauteur (gu) par lui-même pour le prendre comme aire (mi), et diviser par la somme 62. Ce qu'on obtient alors fait le lü de la différence entre la base (gou) et l'hypoténuse. Si on y ajoute la somme, la moitié de ceci fait le lü de l'hypoténuse; si l'on soustrait [de ceci} le lü de la différence, le reste fait le lü de la base (gou) 63.

餘為句率 )\.O 。如是或有分，當通而約之乃定}\一。術以同使無分母八九 故令句弦并自乘為朱、黃相連之方。股自乘為青暮之他以句弦并為里，

差為廣}\三。今有相引之直八凹，加損同上八五。其園大體，以兩弦為里，

旬弦并為廣八六。引橫斷其半為弦率八七，列用率七自乘者八八，句弦并之 率八九，故弦滅之，餘為句率。同立處是中停也。皆句弦并為率，故亦

以股率同其表也九0 。置南行十步?以甲邪行率乘

之;副置十步?以乙東行率乘之?各自為

實。實如南行率而一?各得行數。南行十步者， 所有見句求見弦、股九九故以弦、股率乘九二，如句率而一。

今有句五步 9 月支十二步九九問句中容方幾何。

答曰:方三步一十七分步之九九四。 )\.0 戴震捌“率"字。灌校本恢復大典本、楊輝本原文。 )\.一乃，大典本訛作“及"。此依楊輝本。 八二同，大典本、楊輝本訛作“可" ;無，訛作“馬"，今校正。戴震改作“術以句弦 并為分母差為分子"。錢校本改作“術以句弦并率為分母"。 八三屈、孔二刻本將此九字移下文“加損向上"之下。涯校本恢復大典本、楊輝本原順

序。

八四此六字，屈、孔二刻本改作“令其矩引之宜"。灌校本恢復大典本、楊輝本原文。 八五戴震將“上"改作“之"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 八六弦并，大典本、楊輝本訛作“股"。依戴震校正。 八七橫，戴震輯錄本訛作“黃"。李潰、錢校本恢復大典本、楊輝本原文。 )U\. 戴震將“列用率"移下文“皆旬股并為率"上。涯校本恢復大典本楊輝本原順序。 八九并之，楊輝本作“之并"，兩通。此依戴震輯錄本。

九0 股率，大典本、楊輝本訛作“旬率"，依戴震校正。以上十五字，戴震改作“皆句 弦并為里，弦與句各為之廣，故亦以股率同其表也"二十二字。涯校本恢復大典本、楊

輝本原文。前六字，譯注本恢復大典本、楊輝本原文，後九字，譯注本從戴震校。

九一大典本、楊輝本原文不誤。錢校本刪去“求"下之“見"字。 九二大典本、楊輝本脫“乘"字。戴震校補。錢校本捌“故"字。 1區校本恢復大典本、 楊輝本原文。

九三楊輝本於“十"上有“一"字。此依戴震輯錄本。 九四孔刻本脫“十"上“一"字。聚珍版於“一"處空格。文淵閣本“一十"誤倒。此

Base (gou) et hauteur (gu)

725

Si l'on suit cette (procédure), il peut y avoir des parts; il faut donc les faire communiquer et simplifier, c'est seulement alors que c'est déterminé 64 . La procédure utilise le dénominateur commun pour faire eh sorte qu'il n'y ait pas de dénominateur 65 , c'est pourquoi elle effectue la multiplication par elle-même de la somme de la base (gou) et de l'hypoténuse pour faire le carré qui unit l'un à l'autre le vermillon et le jaune. Le gnomon d'aire bleu-vert que fait la multiplication de la hauteur (gu) par elle-même a la somme de la base (gou) et de l'hypoténuse comme longueur, et leur différence comme largeur. Supposons qu'on l'étire pour en faire un rectangle, après l'avoir ajouté, en avoir diminué, (les longueurs et largeurs correspondantes) sont identiques à (ce qui a été dit) plus haut 66. Le corps principal de la figure 67 a 2 hypoténuses comme longueur, la somme de la base (gou) et de l'hypoténuse comme largeur. On tire une horizontale et on la (la figure) coupe à la moitié 68, ce qui fait le lü de l'hypoténuse. La raison pour laquelle le lü donné pour être utilisé en commun 69, 7, est multiplié par luimême, c'est pour faire le lü de la somme de la base (gou) et de l'hypoténuse; par conséquent si l'hypoténuse est soustraite de ceci, le reste donne le lü de la base (gou) 70. L'endroit où ils sont debout ensemble, c'est la position centrale 71. Dans tous les cas la somme de la base (gou) et de l'hypoténuse constitue les lü, c'est pourquoi il faut aussi faire que le lü de la hauteur (gu) partage cette longueur 72. ON PLACE CE QUI EST MARCHÉ VERS LE SUD,

10 BU, ET ON LE MULTIPLIE PAR LE LÜ DE CE QUEJIA 10 BU, ET ON LE MULTIPLIE PAR LE LÜ DE CE

MARCHE EN OBLIQUE. ON PLACE EN AUXILIAIRE 73 QUE

YI MARCHE VERS L'EST. CHACUN FAIT RESPECTIVEMENT UN DIVIDENDE. SI L'ON EFFECTUE

LES DIVISIONS DES DIVIDENDES PAR LE LÜ DE CE QUI EST MARCHÉ VERS LE SUD, L'ON OBTIENT RESPECTIVEMENT LES QUANTITÉS (SHU) MARCHÉES.

Ce qui est marché vers le sud, 10 bu, c'est la base (gou) réelle et que l'on a, et l'on cherche l'hypoténuse et la hauteur (gu) réelles 74 ; c'est pourquoi on multiplie par les lü de l'hypoténuse et de la hauteur (gu), et l'on divise par le lü de la base (gou).

術曰:并句、股為法?句、股相乘為實。 實如法而 -9 得方一步。句、股相乘為朱、青、黃幕 各二。令黃幕裹於隅中九五，朱、青各以其類九六，令從其兩徑，共成(有

之幕九七:中方黃為廣九八，并句、股為寰。故并句、般為法。幕闢:方 在句中，則方之兩廉各自成小句股九九，而其相與之勢不失本率也。旬 面之小句、股，股面之小句、股各并為中方率一ooo 令般為中方率一。一，

并句、股為率，據見旬五步而今有之，得中方也。復令句為中方率-0二， 以并句、股為率-0三，據見股十二步而今有之一0 固，則中方又可知 -0五。

此則雖不效而法，實有法由生矣 -0六。下容圓率而似今有、衰分吉

之一0七，可以見之也。

今有句八步，股一十五步三四 O

問句中容圓徑

幾何。 依楊輝本。

九五里於隅中，戴震改作“連於下隅"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 九六其類，戴震改作“類合"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 九七戴震捌“令從其兩徑"及“之"字。 j匪校本恢復大典本、楊輝本原文。 九八中方，戴震輯錄本訛作“方中" 。此依大典本、楊輝本。大典本、楊輝本脫“為廣" 二字。依戴震校補。

九九大典本脫“句"字。此依楊輝本。大典本、楊輝本於“股"下衍“棄"字。依戴震 校捌。

一00 大典本、楊輝本將“旬面"訛作“句中"，脫“句"、

“小句股各"五字。依灌

校本校補。大典本、楊輝本又脫“方"字。今校補。戴震將此旬改成“旬面之小股股面 之小句從橫相連合而成中方" ;錢校本改作“股面小旬股并為股"。

一。一大典本、楊輝本“為"下脫“率"字。依錢校本校補。戴震補作“廣率"。 一0二大典本、楊輝本脫“方"字。今依戴震校補。 一0三大典本、楊輝本脫“并"字。依戴震校補。戴震於“率"上添“棄"字。錢校本 恢復大典本、楊輝本原文。 一0四大典本、楊輝本脫“見"字，今校補。 一0五可知，大典本、楊輝本訛作“何如"。依戴震校正。 一0六李演捌“有"下之“法"字。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 -0七下，大典本、楊輝本訛作“不"。依戴震校正。戴震又改“似"作“以"，捌“雨" 字。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

Base (gou) et hauteur (gu)

727

(9.14) SUPPOSONS QUE LA BASE (GOU) VAILLE

5 BU ET LA HAUTEUR (GU) 12 BU.

ON DEMANDE COMBIEN

VAUT LE CÔTÉ DU CARRÉ INSCRIT À L'INTÉRIEUR DE LA BASE (GOU) 75. RÉPONSE: LE CÔTÉ DU CARRÉ VAUT

3 BU 9/17

DE BU.

PROCÉDURE: ON SOMME LA BASE (GOU) ET LA HAUTEUR (GU), CE QUI FAIT LE DIVISEUR. BASE (GOU) ET HAUTEUR (GU) SONT MULTIPLIÉES L'UNE PAR L'AUTRE, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ET

EN EFFECTUANT LA DNISION DU DNIDENDE PAR LE DNISEUR, ON OBTIENT LE CÔTÉ DU CARRÉ EN BU.

Quand « base (gou) et hauteur (gu) sont multipliées l'une par l'autre », cela fait des surfaces (mi) vermillon, bleu-vert et jaunes, chacune en 2 exemplaires. Si l'on fait en sorte que les longueurs des surfaces (mi) jaunes forment la longueur aux extrémités 76, que celles (les surfaces) qui sont vermillon et bleu-vert, chacune selon les catégories qui leur correspondent, se conforment aux deux transverses qui leur correspondent 77, en tout, cela engendre la surface (mi) d'un rectangle. Le côté du carré inscrit, jaune, en fait la largeur; la somme de la base (gou) et de la hauteur (gu) en fait la longueur. C'est pourquoi « sommer base (gou) et hauteur (gu) fait le diviseur». Dans la figure de l'aire (mi), si le carré est situé à l'intérieur de la base (gou) , alors de chacun des deux côtés du carré, sont respectivement engendrées une petite base (gou) et une petite hauteur (gu), et la situation (shi') de leur relation l'une avec l'autre n'a pas perdu les lü d'origine 78. Les petites base (gou) et hauteur (gu) du côté de la base (gou), les petites base (gou) et hauteur (gu) du côté de la hauteur (gu), ont respectivement pour somme le lü du côté du carré inscrit 79. Si l'on fait en sorte que la hauteur (gu) fasse le lü du côté du carré inscrit, que la somme de la base (gou) et de la hauteur (gu) fasse le lü, et si, étant donné que la base (gou) réelle vaut 5 bu, on [applique} à ceux-ci [l'opération} du « supposons», on obtient le côté du carré inscrit. Si, à nouveau, l'on fait en sorte que la base (gou) fasse le lü du côté du carré inscrit, si l'on prend la somme de la base (gou) et de la hauteur (gu) comme lü, et si, étant donné que la hauteur (gu) réelle vaut 12 bu, on [applique} à ceux-ci [l'opération} du« supposons », on peut encore une fois connaître le côté du carré inscrit. Par suite, quoiqu'ici on n'imite pas cette méthode (la précédente), dividende et diviseur proviennent de là 80. Ci-dessous, lorsqu'on exprime les lü de la (procédure) du cercle inscrit 8 ! en utilisant (les opérations) du « supposons» et des « parts pondérées en fonction des degrés », on peut à nouveau constater ce point.

苓曰:六步。 術曰:八步為句?十五步為股?為之求弦。 三位并之為法。以句乘股 9 倍之為實。實 如法得徑一步。句、股相乘為圖本體四九、一ojL ，朱、青、黃 幕各二，倍之一0九，則為各囚一-0 。可用畫於小紙，分裁邪正之會，令 顛倒相補，各以類合，成(有幕:困徑為廣，并句、股、弦為寰。故并句、 股、弦以為法。

又以圓大體育之一一一，股中青必令立規於橫廣，旬、

股又邪三徑均一一一。而復連規，從橫量度旬股，必合而成小方矣。又畫

中弦以觀除會一一九則句、股之面中央小旬股弦一一四。旬之小股、股之 小句皆小方之面一一五，皆圓徑之半。其數故可衰一一六。以句、股、弦為

列衰，副并為法。以旬乘未并者一一七，各自為賞。實如法而一，得句面 之小股一一八，可知也。以股乘列衰為實，則得股面之小句可知一一九。吉

雖異矣，及其所以成法之賞一二0 ，則同歸矣。則圓徑又可以表之差、 并一一一:句弦差滅股為圓徑一一一;叉，弦滅句股并，餘為圓徑一一九以

一OJ\. 戴震於“本"上添“之"字。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 一0九大典本、楊輝本脫“倍"字。依戴震校正。戴震將“倍之"移下“則"字之後， 錢校本恢復大典本、楊輝本原文。

一-0 大典本、楊輝本於“則"下衍“田"字。依戴震校酬。 一一一圈，戴震改作“圖"，錢校本恢復大典本楊輝本原文。戴震又於“圓"下加“之"

字，灌校本恢復大典本、楊輝本原文。 一一一又，李演改作“及"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 一一二觀除會，大典本作“規除會"，亦迪。此依楊輝本。戴震將“除"改作“其"。

一一四戴震將此句改成“則句股之中成小句股弦者四"。錢校本僅在原文“中央"下補 “各有"二字。今依李繼閔恢復大典本、楊輝本原文。

一一五股之，大典本、楊輝本訛作“面面"。依涯校本校正。戴震將此旬改成“旬面之 小股股面之小句"。

一一六楊輝本於“衰"下有“之"字，亦通。此依戴震輯錄本。 一一七大典本、楊輝本於“以"下衍“小"字。依李演校刷。 一一八得，錢校本改作“則"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 一一九 《宜祿堂叢書》本於“股"上衍“句"字。此依戴震輯錄本。錢校本刪“得"字。 涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

一二。李演捌“之"字。今恢復大典本、楊輝本原文。 一一一表，大典本、楊輝本訛作“旬乘"。灌校本校正。戴震將此句改作“則又可以股

弦差滅句為圓徑"。李橫又捌戴震之“為圓徑"。

729

Base (gou) et hauteur (gu)

(9.15) SUPPOSONS QUE LA BASE (GOU) VAILLE

8 BU ET LA HAUTEUR (GU) 15 BU. ON DEMANDE COMBIEN A L'INTÉRIEUR DE LA BASE (GOU) 82.

VAUT LE DIAMÈTRE DU CERCLE INSCRIT RÉPONSE:

6 BU.

PROCÉDURE: LES

8

BU FONT LA BASE (GOU), LES

15

BU LA HAUTEUR (GU), ET L'ON CHERCHE

L'HYPOTÉNUSE QUI LEUR CORRESPOND. LA SOMME DES TROIS POSITIONS FAIT LE DIVISEUR 83. ON MULTIPLIE LA BASE (GOU) PAR LA HAUTEUR (GU), ET ON DOUBLE CECI, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. EN EFFECTUANT LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR, ON OBTIENT LE DIAMÈTRE EN BU.

Si la multiplication de la base (gou) et de la hauteur (gu) l'une par l'autre fait le corps fondamental de la figure, il comporte des surfaces (mi) vermillon, bleu-vert, jaunes, chacune en 2 exemplaires 84 ; en le doublant, cela fait donc 4 exemplaires de chaque 85. Si l'on peut dessiner ceci sur un petit papier, découper [à partir} des points de rencontre des lignes droites [horizontales et verticales} et des obliques 86, faire que les (morceaux) inverses se complètent l'un l'autre 87, de manière à ce qu'ils soient tous réunis (les uns aux autres) en fonction de leur catégorie 88, cela engendre la surface (mi) d'un rectangle. Le diamètre du cercle en fait la largeur, la somme de la base (gou), de la hauteur (gu) et de l'hypoténuse en fait la longueur. C'est pourquoi la somme de la base (gou), de la hauteur (gu) et de l'hypoténuse est prise comme diviseur. Si, par ailleurs, l'on exprime ceci sur (la base) du corps principal du cercle 89, pour faire le bleu-vert sur la hauteur (gu), il faut faire en sorte de tenir le compas sur une horizontale, en un point tel que les trois transverses que sont la base (gou), la hauteur (gu) et l'oblique soient égales. Ainsi, si à nouveau on trace le cercle et qu'on mesure, longitudinalement et transversalement, la base (gou) et la hauteur (gu), elles doivent se réunir pour engendrer un petit carré. Autrement, si l'on trace une hypoténuse au centre pour observer les situations qu'occasionnent ses points de rencontre 90, alors, au centre de chacun des côtés base (gou) et hauteur (gu), se trouvent des petites base (gou), hauteur (gu) et hypoténuse. La petite hauteur (gu) sur la base (gou), et la petite base (gou) sur la hauteur (gu) sont, toutes deux, des côtés du petit carré et, toutes deux, des demi-diamètres du cercle. On peut par conséquent pondérer en fonction des degrés ces quantités (shu) 91. On prend base (gou) , hauteur (gu) et hypoténuse comme rangée des coefficients de la pondération en fonction des degrés 92, et on somme en auxiliaire, ce qui fait le diviseur. Si on multiplie par la base (gou) les coefficients que l'on avait avant qu'ils ne soient sommés, cela fait respectivement les dividendes. En effectuant les divisions des dividendes par le diviseur, le résultat permet de connaître la petite hauteur (gu) du côté de la base (gou). Si on multiplie par la hauteur (gu) la rangée des coefficients de la pondération en fonction des degrés pour faire les dividendes, alors le résultat permet de connaître la petite base (gou) du côté de la hauteur (gu). Quoique les manières d'exprimer diffèrent, pour ce qui concerne le dividende et le diviseur qu'elles engendrent ainsi, cela revient au même 93 . Maintenant 94, pour ce qui est du diamètre du cercle, on peut par ailleurs l'exprimer avec des sommes ou des différences 95. La différence entre base (gou) et hypoténuse soustraite de la hauteur (gu) fait le diamètre du cercle. Autrement, l'hypoténuse étant soustraite de la somme de la base (gou) et de la hauteur (gu), le reste fait le diamètre du cercle. Si l'on multiplie, par la différence entre base (gou) et hypoténuse, la différence entre hauteur (gu) et hypoténuse, qu'on double ceci, et qu'on divise ceci par extraction de la racine carrée, on a également le diamètre du cercle 96.

句弦差乘股弦差而倍之，開方除之，亦圓徑也一二四。

今有色方二百步?各中閉門 O

出東門一十五

步有木三四。問出南門幾何步而見木。

答曰:六百六十六步太半步一二五。

術曰:出東門步數為法?以句率為法也。半已方 自乘為實。實如法得一步 O 此以出東門十五步為句 率一一六，東門南至隅一百步為股率，南門東至隅一百步為見句步。欲以 見句求股，以為出南門數。正合半巴方自乘者，股率當乘見旬，此二者

數同也。

今有色?東西七里?南北九里，各中閉門 O 出東門一十五里有木三四。

問出南門幾何步而

見木 O 答曰:三百一十五步。 術曰:東門南至隅步數?以乘南門東至隅

步數為實。以木去門步數為法。實如法而 一一一此下戴震又補“句弦差股弦差井之以減弦餘為圓徑"。 一一二此下李演補“并旬弦差股弦差滅弦餘為圓徑"。

一二四圓，楊輝本作“為"，兩通。此依戴震輯錄本。 一二五太，楊輝本、聚珍版作“大"，亦通。此依文淵閻本。 一二六戴震輯錄本脫“東"字。此依楊輝本。

Base (gou) et hauteur (gu)

731

(9.16)

200 BU DE CÔTÉ, AU CENTRE DE CHAQUE CÔTÉ DE A L'EXTÉRIEUR DE LA PORTE EST, IL Y A UN ARBRE. ON

SUPPOSONS QU'ON AIT UNE VILLE CARRÉE DE LAQUELLE S'OUVRE UNE PORTE. DEMANDE

A 15

BU

A COMBIEN DE BU A L'EXTÉRIEUR DE LA PORTE SUD IL FAUT ALLER POUR VOIR CET ARBRE.

RÉPONSE :

666

BU DEUX TIERS DE BU.

PROCÉDURE: LA QUANTITÉ (SHU) DE BU

A L'EXTÉRIEUR DE LA PORTE

EST FAIT LE DIVISEUR.

On prend le lü de la base (gou) comme diviseur.

LA MOITIÉ DU CÔTÉ DE LA VILLE CARRÉE MULTIPUÉE PAR ELLE-MÊME FAIT LE DNIDENDE. EFFECTUER LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR DONNE LE RÉSULTAT EN BU.

Ici on prend les 15 bu à l'extérieur de la porte est comme lü de la base (gou), les 100 bu qui vont de la porte est vers le sud jusqu'au coin comme le lü de la hauteur (gu), les 100 bu qui vont de la porte sud vers l'est jusqu'au coin comme les bu de la base (gou) réelle 97, et l'on veut, à l'aide de la base (gou) réelle, chercher la hauteur (gu) (correspondante), laquelle est prise comme la quantité (shu) (de bu) à l'extérieur de la porte sud. La raison pour laquelle on doit justement « multiplier la moitié du côté de la ville carrée par elle-même», c'est que le lü de la hauteur (gu) doit multiplier la base (gou) réelle et que ces deux (grandeurs) ont des valeurs (shu) égales 98. (9.17)

7 LI, DU NORD AU SUD, 9 LI, ET AU A 15 LI A L'EXTÉRIEUR DE LA BU A L'EXTÉRIEUR DE LA PORTE SUD

SUPPOSONS QU'ON AIT UNE VILLE QUI, D'EST EN OUEST, FAIT

CENTRE DE CHAQUE CÔTÉ DE LAQUELLE S'OUVRE UNE PORTE. PORTE EST, IL Y A UN ARBRE. ON DEMANDE

A COMBIEN DE

IL FAUT ALLER POUR VOIR L'ARBRE. RÉPONSE:

315

BU.

PROCÉDURE: LA QUANTITÉ (SHU) DE BU DE LA PORTE EST VERS LE SUD JUSQU'AU COIN MULTIPUÉE PAR LA QUANTITÉ (SHU) DE BU DE LA PORTE SUD VERS L'EST JUSQU'AU COIN FAIT LE DIVIDENDE. ON PREND LA QUANTITÉ (SHU) DE BU DE LA DISTANCE DE L'ARBRE

A LA

PORTE COMME

DIVISEUR. EFFECTUER LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR.

Ici on prend les 4 li et demi qui vont de la porte est vers le sud jusqu'au coin comme le lü de la base (gou), les 15 li à l'extérieur de la porte est comme lü de la hauteur (gu), les 3 li et demi qui vont de la porte sud vers l'est jusqu'au coin comme la hauteur (gu) réelle. Et la [distance} à l'extérieur de la porte sud qui est demandée donne la base (gou) correspondant à la hauteur (gu) réelle. L'intention (yi) qui préside à la confection de la procédure est identique à celle qui précède 99.

一冉一二七 O

此以東門南至隅四里半為句率，出東門一十五里為股率，

南門東至隅三里半為見股。所間出南門即見股之句。為術之意，與上同

也。

今有色方不知大小?各中閉門 O

出北門三十

步有木?出西門七百五十步見木。間已方幾 何。 答曰:一里。

術曰:令兩出門步數相乘 9

因而四之?為

實。開方除之?即得已方一二八。按:半帥，令半 方自乘，出門除之，即步一二九令二出門相乘一三q 故為半方皂白乘一三一， 居一隅之積分。因而四之，即得四隅之積分。故為實一二一，開方除一二二，

即巴方也。

今有色方不知大小?各中閉門 O

步有木?

出南門一十四步三四 9

出北門二十

折而西行一千

一二七術文“以木去門步數為法。實如法而一"楊輝本在劉徽注之下。 一二八術文“開方除之即得巴方"楊輝本在劉徽、注之下。 一二九此上十四字，戴震改作“前術半昆方自乘，出東門步數除之，即出南門步數"二 十字。 1匪校本恢復大典本、楊輝本原文。

一三0 大典本、楊輝本“二"訛作“之"，涯校本校正。大典本脫“門"字，此依楊輝 本。 一二一屈、孔二刻本脫“故"字。 1匿校本恢復大典本、楊輝本原文。

一二一屈、孔二刻本於“故"下加“以"字。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

一二二屈、孔二刻本於“除"下加“之"字。權校本恢復大典本、楊輝本原文。

Base (gou) et hauteur (gu)

733

(9.18) SUPPOSONS QU'ON AIT UNE VILLE CARRÉE DONT ON NE CONNAÎT PAS LA LONGUEUR DU CÔTÉ ET AU CENTRE DE CHAQUE CÔTÉ DE LAQUELLE S'OUVRE UNE PORTE. PORTE NORD, IL Y A UN ARBRE ET, EN FAISANT

750

BU

A 30

BU

A L'EXTÉRIEUR

DE LA

A L'EXTÉRIEUR DE LA PORTE OUEST, ON

VOIT CET ARBRE. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CÔTÉ DE LA VILLE CARRÉE 100. RÉPONSE :

1 LI.

PROCÉDURE: ON EFFECTUE LA MULTIPLICATION L'UNE PAR L'AUTRE DES DEUX QUANTITÉS (SHU) DE BU

A L'EXTÉRIEUR DES

PORTES, ET ON MULTIPLIE CECI PAR

4,

CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ON

DIVISE CECI PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE, CE QUI DONNE COMME RÉSULTAT LE CÔTÉ DE LA VILLE CARRÉE.

Commentaire: Prendre la moitié du côté de la ville carrée, effectuer la multiplication de la moitié du côté par elle-même, diviser par [la distance} à l'extérieur d'une porte, donne les bu 101. Si on effectue la multiplication l'une par l'autre des deux [distances} à l'extérieur des portes, cela fait par conséquent la moitié du côté de la ville carrée multipliée par elle-même, ce qui occupe les parts de l'aire (jifen) correspondant à un coin 102. En « multipliant ceci par 4 », cela donne comme résultat les parts de l'aire (jifen) des quatre coins. Par conséquent cela fait le dividende et on divise par extraction de racine 103, ce qui donne le côté de la ville carrée.

七百七十五步見木。間已方幾何。 苓曰:二百五十步。

術曰:以出北門步數乘西行步數，倍之? 為實。此以折而西行為肢，自木至芭南一十四步為句一三四，以出北 門二十步為旬率一三五，北門至西隅為股率，半廣數一三六。故以出北門乘 折西行股一三七，以股率乘旬之幕一三J\..。然此幕居半以西行一三九，故又倍

之，合束，盡之也一四0 。弄出南、北門步數-h 為 從法。開方除之?即已方。此術之幕，東西如芭方一四二， 南北自木盡巴南十四步一四三。之暮各南、北步為廣，芭方為裹一棚，故 連兩廣為從法，并一四五，以為隅外之幕也。

一三個大典本、楊輝本脫“南"字。依戴震校補。

一三五旬，大典本、楊輝本訛作“弦"，依戴震校正。 一二六股率，大典本、楊輝本訛作“單望"，依戴震校正。戴震又於此下補“即"字， 無必要。譯注本刪去。

一三七折西，大典本、楊輝本訛作“至南"。依涯校本校正。此句戴震改為“故以出北 門句率乘商行股"。

一三J\..股，大典本楊輝本訛作“半"。今校正。此旬戴震改為“得半廣股率乘旬之軍"。 灌校本改作“以半股率乘旬之審"。

一三九此，大典本、楊輝本訛作“北"，

依戴震校正。戴震又捌“西"下“行"字，無

必要。錢校本將此句改作“然此幕居西半"。

一四。此五字，戴震改作“合半以東也" ;錢校本改作“合東半以盡之也"。海校本恢 復大典本、楊輝本原文。 一四一大典本無“北"字，亦通。此依楊輝本。 一四二大典本、楊輝本脫“如旦方"三字。依戴震校補。戴震在屈、孔二刻本中將此旬 改作“東西廣如巴方"，涯校本恢復戴震在聚珍版、四庫本中的校勘。

一四三大典本、楊輝本於“北"下衍“巴"字，依戴震校捌。十四，大典本訛作“四十"， 此依楊輝本。在屈、孔二刻本中戴震將此句又改作“南北自木盡芭南十四步為表"，涯

校本恢復戴震在聚珍版、四庫本中的校勘。

一四四戴震捌“之審"二宇;在屈、孔二刻本又將此句改成“合南北步數為廣裹差"。 涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

一四五從法，大典本、楊輝本誤倒。依戴震校正。戴震又將“并"字移“連"字下:在 屈、孔二刻本中復將“廣"改為“步數"。海校本恢復大典本、楊輝本原文。

Base (gou) et hauteur (gu)

735

(9.19) SUPPOSONS QU'ON AIT UNE VILLE CARRÉE DONT ON NE CONNAÎT PAS LA LONGUEUR DU CÔTÉ ET

A 20 BU A L'EXTÉRIEUR DE LA 14 BU A L'EXTÉRIEUR DE LA PORTE SUD,

AU CENTRE DE CHAQUE CÔTÉ DE LAQUELLE S'OUVRE UNE PORTE. PORTE NORD, IL Y A UN ARBRE, ET SI, APRÈS AVOIR FAIT ON TOURNE ET QU'ON MARCHE

1 775

BU VERS L'OUEST, ON VOIT CET ARBRE. ON DEMANDE

COMBIEN FAIT LE CÔTÉ DE LA VILLE CARRÉE. RÉPONSE:

250

BU.

PROCÉDURE: ON MULTIPLIE, PAR LA QUANTITÉ (SHU) DE BU

A L'EXTÉRIEUR DE LA PORTE NORD,

LA QUANTITÉ (SHU) DE BU MARCHÉS VERS L'OUEST, ET ON DOUBLE CECI, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE.

Ici, on prend ce qui est marché vers l'ouest après qu'on a tourné comme hauteur (gu), ce qui va de l'arbre jusqu'à 14 bu au sud de la ville comme base (gou). On prend les 20 bu à l'extérieur de la porte nord comme lü de la base (gou), et ce qui va de la porte nord au coin ouest comme lü de la hauteur (gu), ce qui donne la quantité (shu) moitié de la largeur. Par conséquent, si l'on multiplie, par ce qu'on a à l'extérieur de la porte nord, la hauteur (gu) que fait la marche vers l'ouest, après qu'on a tourné, cela fait l'aire (mi) correspondant à la multiplication du lü de la hauteur (gu) par la base (gou) 104. Mais cette surface occupe la moitié à l'ouest, par conséquent, si, en outre, on la double, on y adjoint l'est, ce qui l'épuise tout entière 105. ON SOMME LES QUANTITÉS (SHU) DE BU

A L'EXTÉRIEUR DE LA PORTE SUD ET DE LA PORTE NORD,

CE QUI FAIT LE DIVISEUR REJOINT 106. ET ON DIVISE PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE, CE QUI DONNE LE CÔTÉ DE LA VILLE CARRÉE.

L'aire (mi) de cette procédure, c'est l'aire (mi) qui, d'est en ouest, est comme le côté de la ville carrée, et, du nord au sud, va de l'arbre jusqu'au bout des 14 bu au sud de la ville. Chacune des [quantités} de bu au nord et au sud font une largeur, le côté de la ville carrée fait la longueur, c'est pourquoi on joint les deux largeurs pour constituer le diviseur rejoint, la somme [de leurs aires} est prise pour l'aire (mi) à l'extérieur du coin.

今有色方一十里三四?各中閥門 O 甲、乙俱從

色中央而出:乙東出;甲南出?出門不知步 數 9 邪向東北 -h 磨色隅一片通與乙舍。率:

甲行五?乙行三。問甲、乙行各幾付。 答曰:

甲出南門八百步?邪東北行四千八百八

十七步半?及乙 9 乙東行四千三百一十二步半 O 術曰:令五白乘 9 三亦白乘 9 并而半之?

為邪行率。邪行率減於五白乘者?徐為南

行率。以三乘五為乙束行率。求三率之意與上甲 乙同。直色方?半之?以南行率乘之?如東 行率而 -9

即得出南門步數。今半方，南門東至

隅五里一四}\。半芭者，謂為小股也一四九。求以為出南門步數一五0 。故置

一四六北，戴震輯錄本訛作“門"。此依楊輝本。 一回七戴震輯錄本脫“隅"字。此依楊輝本。 一四八大典本脫“東"字。此依楊輝本。戴震將“今"改作“臣"，將“至"補於“東" 之上。

一凹九此八字，戴震改為“以為小股"。灌校本恢復大典本、楊輝本原文。 一玉。此八字，戴震改為“求出南門步數為小股之旬，以東行為股率，南行為句率" ; 錢校本捌後十一字。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

737

Base (gou) et hauteur (gu)

(9.20) SUPPOSONS QU'ON AIT UNE VILLE CARRÉE DE

10

LI DE CÔTÉ, AU CENTRE DE CHAQUE CÔTÉ DE

LAQUELLE S'OUVRE UNE PORTE, ET QUEJIA ET YI, PARTANT TOUS DEUX DU CENTRE DE LA VILLE, EN SORTENT: YI SORT PAR L'EST ;JIA SORT PAR LE SUD, MARCHE

A L'EXTÉRIEUR

ON NE SAIT

QUELLE QUANTITÉ (SHV) DE BV, PUIS OBLIQUANT VERS LE NORD-EST, EFFLEURE LE COIN DE LA VILLE ET TOMBE JUSTE SUR YI. LES LÜ SONT DE

5 POUR CE

QUE MARCHEJIA CONTRE

3 POUR CE

QUE MARCHE YI. ON DEMANDE COMBIENJIA ET YI MARCHENT RESPECTIVEMENT 107. RÉPONSE: JIA SORT DE LA PORTE SUD, FAIT MARCHE

4887

800

YI MARCHE VERS L'EST

4 312 BV

ET DEMI.

PROCÉDURE: ON EFFECTUE LA MULTIPLICATION DE DE

3 PAR LUI-MÊME,

BV, PUIS OBLIQUANT VERS LE NORD-EST

BV ET DEMI, ET REJOINT YI;

5 PAR LUI-MÊME,

ET AUSSI LA MULTIPLICATION

ON SOMME ET ON PREND LA MOITIÉ DE CECI, CE QUI FAIT LE LÜ DE CE QUI

EST MARCHÉ EN OBLIQUE. LE LÜ DE CE QUI EST MARCHÉ EN OBLIQUE ÉTANT SOUSTRAIT DE

5

MULTIPLIÉ PAR LUI-MÊME, LE RESTE FAIT LE LÜ DE CE QUI EST MARCHÉ VERS LE SUD. ON MULTIPLIE

3 PAR 5,

CE QUI FAIT LE LÜ DE CE QUE YI MARCHE VERS L'EST.

L'intention (yi) qui préside à la recherche de ces trois lü est la même que celle (que l'on trouve réalisée) dans le (problème) précédent avecJia et Yi 108. ON PLACE LE CÔTÉ DE LA VILLE CARRÉE, ON EN PREND LA MOITIÉ, ON MULTIPLIE CECI PAR LE LÜ DE CE QUI EST MARCHÉ VERS LE SUD, ON DIVISE PAR LE LÜ DE CE QUI EST MARCHÉ VERS L'EST, CE QUI DONNE COMME RÉSULTAT LA QUANTITÉ (SHV) DE BV

A L'EXTÉRIEUR DE LA PORTE

SUD.

Maintenant la moitié du côté du carré, ce sont les 5 li qui vont de la porte sud vers l'est jusqu'au coin 109. La moitié du [côté} de la ville, on l'appelle petite hauteur (gu). Et l'on cherche la quantité (shu) de bu à l'extérieur de la porte sud qu'elle forme 110. C'est pourquoi « on place le côté de la ville carrée, on en prend la moitié », on le multiplie par ce qui est marché vers le sud -le lü de la base (gou) - , et l'on divise par le lü de la hauteur (gu).

巴方，半之，以南行旬率乘之，如股率而一。以增色方半，

即南行。半芭者，謂從且心中停也。置南行步，求弦

者，以邪行率乘之;求束行者一五-9 以東行 率乘之?各自為實。實如法一五九南行率?

得一步。此術與上甲乙同。

今有木去人不知遠近一五三。立四表 9 相去各一

丈 9 令左兩表與所望參相宜。從從右表望 之，入前右表三寸。問木去人幾何。 苓曰:三十三丈三尺三寸少半寸。

術曰:令一丈白乘為實?以三寸為法?實 如法而一一五四。此以入前右表三寸為句率，右兩表相去一丈為 股率，左右兩表相去一丈為見旬，所問木去人者，見旬之股一五五。股率

當乘見旬，此二率俱一丈，故曰自乘之一五六。以三寸為法。實如法得一 寸一五七

一五一戴震輯錄本脫“行"字。此依楊輝本。 一五二戴震捌“法"字。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

一五三此二間，屈、孔二刻本脫“今"字。 1區校本恢復大典本、楊輝本原文。 一五四術文“以三寸為法，實如法而一"，楊輝本在劉徽注之後。 一五五大典本、楊輝本於此處衍“於右行"三宇。依戴震校棚。 一五六屈、孔二刻本捌“之"字。 j監校本恢復大典本、楊輝本原文。 一五七戴震輯錄本脫“寸"字。此依楊輝本。

Base (gou) et hauteur (gu)

739

ON L'AUGMENTE DE LA MOITIÉ DU C6TÉ DE LA VILLE CARRÉE, CE QUI DONNE CE QUI EST MARCHÉ VERS LE SUD.

Si l'on a la moitié {du côté} de la ville 111, c'est parce qu'ils partaient de la position du centre de la ville. ON PLACE LES BU DE CE QUI EST MARCHÉ VERS LE SUD. SI L'ON CHERCHE L'HYPOTÉNUSE, ON MULTIPLIE PAR LE LÜ DE CE QUI EST MARCHÉ EN OBLIQUE; SI L'ON CHERCHE CE QUI EST MARCHÉ VERS L'EST, ON MULTIPLIE PAR LE LÜ DE CE QUI EST MARCHÉ VERS L'EST, CE QUI FAIT RESPECTIVEMENT LES DIVIDENDES 112. EFFECTUER LES DIVISIONS DES DIVIDENDES PAR LE DIVISEUR -

LE LÜ

DE CE QUI EST MARCHÉ VERS LE SUD - , DONNE LES RÉSULTATS EN BU.

Cette procédure est la même que pour le (problème) précédent avecJia et Yi 113. (9.21) SUPPOSONS QU'ON AIT UN ARBRE À UNE DISTANCE INCONNUE D'UNE PERSONNE, ET QU'ELLE ÉRIGE QUATRE GNOMONS RESPECTIVEMENT DISTANTS L'UN DE L'AUTRE DE

1 ZHANG 114.

SUPPO-

SONS QUE LES DEUX GNOMONS DE GAUCHE ET CE QU'ELLE VISE SOIENT TOUS TROIS ALIGNÉS. SI ELLE LE (L'ARBRE) VISE À PARTIR DU GNOMON ARRIÈRE DROIT, IL PÉNÈTRE (L'ESPACE ENTRE LES DEUX GNOMONS AVANT) À

3 CUN DU GNOMON AVANT DROIT.

ON DEMANDE COMBIEN VAUT LA

DISTANCE DE L'ARBRE À LA PERSONNE. RÉPONSE:

33

ZHANG

3 CHI 3 CUN UN TIERS DE

CUN.

PROCÉDURE: ON EFFECTUE LA MULTIPLICATION DE DIVIDENDE. ON PREND

3

1 ZHANG PAR LUI-MÊME, CE QUI FAIT LE

CUN COMME DIVISEUR, ET ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE

PAR LE DIVISEUR.

Ici on prend (la distance) de « 3 cun au gnomon avant droit dont il pénètre (l'espace entre les deux gnomons avant) » comme lü de la base (gou) , la distance entre les deux gnomons à droite, 1 zhang, comme le lü de la hauteur (gu), la distance entre les deux gnomons de droite et de gauche, 1 zhang, comme la base (gou) réelle, et la distance de l'arbre à la personne qui est demandée est la hauteur (gu) qui correspond à cette base (gou) réelle 115. Le lü de la hauteur (gu) doit multiplier la base (gou) réelle, or ces deux lü valent tous deux 1 zhang 116, c'est pourquoi on dit de le « multiplier par lui-même ». Par suite on « prend 3 cun comme diviseur, et on effectue la division du dividende par le diviseur », ce qui donne le résultat en cun.

今有山居木西一口，不知其高 O

山去木五十三

里?木高九丈五尺一五八。人立木東三里?望木 末通與山率斜平。人目高七尺。問山高幾何。 苓曰:一百六十四丈九尺六寸太半寸。 術曰:置木高，減人目高七尺?此以木高滅人目 高七尺一五九，餘有八丈八尺，為句率;去人目三里為股率一六月山去木

五十三里為見股，以求句一六一。加木之高一六二，故為山高也。我合?

以乘五十三里為實。以人去木三里為法。 實如法而一。所得，加木高，即山高。此術 句股之義。

今有井?徑五尺?不知其深。立五尺木於井 上?從木末望 7位岸，入徑四寸。問井深幾何。 苓曰:五丈七尺五寸 O

術曰:置井徑五尺，以入徑四寸滅之，餘， 一五八九丈五尺，大典本訛作“九尺五寸"。此依楊輝本。 一五九屈、孔二刻本捌“此"字。將此條劉注移下“此術句股之義"之下。涯校本恢復 大典本、楊輝本原文。

一六。此八字，李演改作“人去木三里為股率"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 一六一大典本、楊輝本於“以"下衍“木高為見股"五字。依涯校本校別。此三字，戴 震增改為“以旬率乘見股，如股率而一，得句"十三字。

一六二木，大典本、楊輝本訛作“人目"。依戴震校改。

741

Base (gou) et hauteur (gu)

(9.22) SUPPOSONS QU'ON AIT,

A L'OUEST D'UN ARBRE, UNE MONTAGNE, DONT ON NE CONNAÎT PAS LA A UNE DISTANCE DE 53 LI DE L'ARBRE, QUE L'ARBRE AIT UNE 5 CHI ET QUE SI UNE PERSONNE SE TIENT A 3 LI A L'EST DE L'ARBRE, ELLE

HAUTEUR, QUE LA MONTAGNE SOIT HAUTEUR DE

9 ZHANG

VOIE L'EXTRÉMITÉ DE L'ARBRE ET LE SOMMET DE LA MONTAGNE JUSTE SUR UNE MÊME OBliQUE. SI L'ŒIL DE LA PERSONNE EST

A UNE

HAUTEUR DE

7 CHI,

ON DEMANDE COMBIEN VAUT LA HAUTEUR

DE LA MONTAGNE. RÉPONSE:

164 ZHANG 9 CHI 6 CUN DEUX TIERS DE

CUN.

PROCÉDURE: ON PLACE LA HAUTEUR DE L'ARBRE, ET ON EN SOUSTRAIT LA HAUTEUR DE L'ŒIL DE LA PERSONNE,

7

CHI.

Ici on prend « la hauteur de l'arbre, et on en soustrait la hauteur de l'œil de la personne, 7 chi », ce qui fait un reste de 8 zhang 8 chi, comme lü de la base (gou) ; sa distance à l'œil de la personne,3 li, est pris comme lü de la hauteur (gu), la distance de la montagne à l'arbre, 53 li, comme la hauteur (gu) réelle, ce avec quoi on cherche la base (gou) 117. Si on y ajoute la hauteur de l'arbre, cela fait par conséquent la hauteur de la montagne. LE RESTE, ON EN MULTIPliE LES PERSONNE

A L'ARBRE, 3 LI,

53

LI, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ON PREND LA DISTANCE DE LA

COMME DIVISEUR. ET ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR

LE DIVISEUR. CE QU'ON OBTIENT EST AJOUTÉ

A LA

HAUTEUR DE L'ARBRE, CE QUI DONNE LA

HAUTEUR DE LA MONTAGNE.

Cette procédure a le sens (yi') de « [mettre en œuvre l'opération de} la base (gou) et de la hauteur (gu) » 118.

以乘立木五尺為實。以入徑四寸為法。實 如法得一寸 O 此以入徑四寸為句率，立木五尺為股率，井徑 之餘四尺六寸為見句一六三。問井深者，見旬之股也。

今有戶不知高、廣一六四?竿不知長短。橫之不

出四尺?從之不出二尺?邪之適出。問戶高、 廣、表各幾何一六五。

苓曰: 廣六尺，

高八尺， 衷一丈一六六。

術曰:從、橫不出相乘，倍 9 而開方除之。 所得?加從不出，

即戶廣;此以戶廣為旬，戶高為

股，戶里為弦一六五。凡旬之在股一六七，或矩於表，或方於里。連之者舉 表矩而端之一六八。又從旬方裹令為青矩之表，未滿黃方。滿此方則兩端

一六三大典本、楊輝本脫“之餘"二字。依涯校本校補。李演補“滅入徑四寸餘有"七

字。

一六四孔刻本將此問移“竹高折地"問之前。准校本恢復大典本、楊輝本原順序。 一六五此三“里"字，大典本、楊輝本訛作“表"。依李演校正。 一六六里，戴震輯錄本作“里"。此依楊輝本。 一六七此五字，戴震改作“凡并旬股之幕即為弦審" ;錢校本改作“凡句股暮之在弦 幕"。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。

一六八端，戴震在屈、孔二刻本中改作“方" ;錢校本改作“連"。涯校本恢復大典本、

Base (gou) et hauteur (gu)

743

(9.23) SUPPOSONS QU'ON AIT UN PUITS DE

5 CHI DE DIAMÈTRE, DONT ON NE CONNAÎT PAS LA PROFON-

DEUR ET QU'ON ÉRIGE UN BÂTON DE

5

CHI AU-DESSUS (DU BORD) DU PUITS. SI L'ON VISE,

PARTIR DE L'EXTRÉMITÉ DU BÂTON, LE BORD DE L'EAU, IL PÉNÈTRE DE

A

4 CUN A L'INTÉRIEUR DU

DIAMÈTRE. ON DEMANDE COMBIEN VAUT LA PROFONDEUR DU PUITS. RÉPONSE:

5 ZHANG 7 CHI 5 CUN.

PROCÉDURE: ON PLACE LE DIAMÈTRE DU PUITS 119,5 CHI, ET ON EN SOUSTRAIT CE DONT IL (LE BORD DE L'EAU) PÉNÈTRE BÂTON ÉRIGÉ,

5 CHI,

DU DIAMÈTRE,

4 CUN,

A L'INTÉRIEUR

DU DIAMÈTRE,

4

CUN ; LE RESTE, ON EN MULTIPLIE LE

CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ON PREND CE DONT IL PÉNÈTRE

A L'INTÉRIEUR

COMME DIVISEUR. EFFECTUER LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR

DONNE LE RÉSULTAT EN CUN.

Ici, on prend « ce dont il (le bord de l'eau) pénètre à l'intérieur du diamètre, 4 cun, » comme Iii de la base (gou), « le bâton érigé, 5 chi », comme Iii de la hauteur (gu), le reste du diamètre du puits, 4 chi 6 cun, comme la base (gou) réelle. La profondeur du puits qu'on demande, c'est la hauteur (gu).correspondant à la base (gou) réelle 120. (9.24) 121 SUPPOSONS QU'ON AIT UNE PORTE DONT ON NE CONNAÎT NI LA HAUTEUR NI LA LARGEUR, ET UNE PERCHE DONT ON NE CONNAÎT PAS LA LONGUEUR. TRANSVERSALEMENT, IL S'EN FAUT DE

4

CHI POUR QUE (LA PERCHE) NE PUISSE SORTIR (PAR LA PORTE), LONGITUDINALEMENT IL S'EN

FAUT DE 2 CHI, ET, EN OBLIQUE, ELLE SORT JUSTE. ON DEMANDE COMBIEN VALENT RESPECTIVEMENT LA HAUTEUR, LA LARGEUR ET L'OBLIQUE DE LA PORTE.

6 CHI; LA HAUTEUR VAUT 8 CHI; L'OBLIQUE 1 ZHANG.

RÉPONSE : LA LARGEUR VAUT

之邪軍於隅中一六九，各以股弦差為廣，句弦差為裹一七0 。故兩端差相

乘一七一，又倍之，則成黃方之幕。開方除之，得黃方之面。其外之青

知一七二，亦以股弦差為廣。故以股弦差加一七三，則為句也。加橫不

出?即戶高;兩不出加之?得戶衷一六五。

楊輝本原文。

一六九邪，戴震改作“廉" ;錢校本改作“矩"。灌校本恢復大典本、楊輝本原文。 一七0 句弦差，大典本、楊輝本訛作“句弦并"。依戴震校正。 一七一錢校本捌“端"字。涯校本恢復大典本、楊輝本原文。 一七二知，李演改作“矩"。權校本恢復大典本、楊輝本原文。 一七三屈、孔二刻本於“加"下添“之"字。灌校本恢復大典本、楊輝本原文。

Base (gou) et hauteur (gu)

745

PROCÉDURE: (LES LONGUEURS EN RAISON DESQUELLES) ELLE NE PEUT SORTIR LONGITUDINALEMENT ET TRANSVERSALEMENT SONT MULTIPLIÉES L'UNE PAR L'AUTRE, ON DOUBLE ET ON DIVISE CECI PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE. CE QU'ON OBTIENT EST AJOUTÉ

A (LA LONGUEUR

EN RAISON DE LAQUELLE) ELLE NE PEUT SORTIR LONGITUDINALEMENT, CE QUI DONNE LA LARGEUR DE LA PORTE,

Ici, on prend la largeur de la porte comme base (gou), la hauteur de la porte comme hauteur (gu) et l'oblique de la porte comme hypoténuse. En général, pour ce qui est de la (position du carré) de la base (gou), relativement au (carré) de la hauteur (gu), il peut être gnomon en son extérieur ou carré en son intérieur 122. Si on les met ensemble 123, on dispose les gnomons à l'extérieur et on considère leurs morceaux 124. Si, de plus, le carré de la base (gou) à l'intérieur est transformé en le gnomon bleu-vert à l'extérieur, il ne remplit pas un carré jaune 125. Ce qui remplit ce carré, ce sont alors les deux morceaux (du gnomon) laissés (à l'extérieur du carré de la base), qui sont superposés dans les coins, chacun ayant la différence entre la hauteur (gu) et l'hypoténuse comme largeur et la différence entre la base (gou) et l'hypoténuse comme longueur 126. Par conséquent en multipliant l'une par l'autre les deux différences associées à ces morceaux, en doublant encore ceci, on engendre alors la surface (mi) du carré jaune. En divisant ceci par extraction de la racine carrée, on obtient le côté du carré jaune. Le bleu-vert qui se trouve à l'extérieur de ce (carré) 127 a également la différence entre la hauteur (gu) et l'hypoténuse comme largeur. Par conséquent si on ajoute (à ce que l'on a obtenu) la différence entre la hauteur (gu) et l'hypoténuse, alors cela fait la base (gou). ET 128 EST AJOUTÉ

A (LA LONGUEUR EN RAISON DE LAQUELLE) ELLE NE PEUT SORTIR TRANSVERSA-

LEMENT, CE QUI DONNE LA HAUTEUR DE LA PORTE. SI' LES DEUX (LONGUEURS EN RAISON DESQUELLES) ELLE NE PEUT SORTIR LUI (A CE QU'ON OBTIENT) SONT AJOUTÉES, ON OBTIENT L'OBLIQUE DE LA PORTE.

N OTES

À LA TRADUCTION par Karine

CHEMLA

NOTES DE LA PRÉFACE

(1) Cette préface, attribuée ici au commentateur du

me siècle Liu Hui, ne se trouve pas dans la partie de l'édition Song qui est parvenue jusqu'à nous. Dans l'édition de Yang Hui qui en contient le texte, elle ne comporte pas de titre et ne se voit donc pas associer de nom d'auteur. En revanche, la compilation de textes réalisée au XIXe siècle, sans doute sur la base de la Grande encyclopédie de la période de règne Yongle, et intitulée Méthodes mathématiques et retranscriptions de préfaces de toutes les écoles (Zhujia suanfa ji xuji), en reproduit le texte précédé de la mention suivante: « Préface du Classique des neuf chapitres sur les procédures mathématiques », (voir Guo Shuchun [éd.], Zhongguo kextte jishu dianji tonghui. Shttxuejuan, tome 1, pp. 1429 et 1449). Ce titre est conforme au nom que la Grande encyclopédie de la période de règne Yongle retient pour Les Neuf chapitres. La « Présentation postposée au Classique des neuf chapitres sur les procédures mathématiques » que Bao Huanzhi rédige en 1200 pour l'édition des Dix classiques de mathématiques qu'il réalise en 1213 cite des extraits de cette préface, en l'attribuant explicitement à Liu Hui (voir Guo Shuchun [éd.], Zhongguo kexue jishu dianji tonghui. Shuxuejuan, tome 1, pp. 951 et 1450). Il est intéressant de noter qu'il en va autrement pour la même édition Song de l'autre Classique astronomico-mathématique datant de la dynastie des Han qui sera inclus, sous la dynastie des Tang, dans la collection des Dix Classiques de mathématiques: le Classique mathématique du gnomon des Zhou (Zhoubi suanjing), puisque la préface du commentateur du Ille siècle, Zhao Shuang, y figure. (2) Il s'agit de l'un des trois Augustes - que l'on désipar lesquels débutent gne également du nom de Fuxi les récits légendaires de l'histoire de la Chine. Voir [Granet 1929], pp. 19-21, [Granet 1934], pp. 152 sq., [Mathieu 1989], p. 71. Le nom de Baoxi est suivi, à la différence de celui de Huangdi ci-dessous, du caractère shi qui peut accompagner les noms de personnages ou de pays des

légendes archaïques. Des figurations datant des Han représentent Fuxi l'équerre ju à la main, tandis que Nüwa, dont le demi-corps de serpent enlace le sien, tient le compas (gui) voir [Li Yan L 1938a], pp. 2-5, J. Needham, Science and civilisation in China, volume 1, 1954, p. 164 ; ces deux instruments sont mentionnés ci-dessous. Le début de cette préface cite, en le transformant, le paragraphe 2 du second chapitre du « Grand commentaire» du Classique du changement (Yijing, Xici zhuan, p. 86). Voici une traduction de ce passage, inspirée de [Graham 1989], p. 362 (voir également [Wilhelm, Baynes 1950], p. 328 sq.), et, afin de faciliter l'examen de la réécriture à laquelle se livre ici Liu Hui, je signale en lettres grasses les éléments du texte cité qu'il conserve pour les combiner avec d'autres propositions: « Dans les temps anciens, alors que Baoxi régnait sur le monde, regardant vers le haut, il observa les configurations (Voir xiang, Graham traduit par "models") dans le Ciel; regardant vers le bas, il observa les normes (les règles, Voir fa) sur la Terre; il observa les marques faites (wen) par les oiseaux et les quadrupèdes, ainsi que les manières dont les choses s'accordent les unes aux autres sur la Terre; il prit les comparaisons, pour ce qui concerne ce qui est près, en lui-même et, pour ce qui est de ce qui est loin, en d'autres choses. Puis il inventa les huit trigrammes, pour sonder la puissance du spirituel (daimonic) et du clairvoyant, pour classer les aspects essentiels de tous les existants (c'est ici, à peu de choses près, l'interprétation de [Graham 1989], voir la discussion des deux dernières propositions ci-dessous, dans les notes 3 et 4 respectivement). Il créa les cordes nouées, et en fit des filets avec lesquels pêcher et chasser, par une comparaison qu'il prit probablement à (l'hexagramme 30 - ou au trigramme) li. Quand Baoxi mourut, Shennong entra en activité (. ..suivent l'invention des instruments agraires et de leur usage, par comparaison avec l'hexagramme 42,

748 yi; l'établissement des marchés, des échanges de marchandises, par comparaison avec l'hexagramme 21 shihe). Quand Shennong mourut, Huangdi, Yao et Shun entrèrent en activité. Ils continuèrent (Voir tong) leurs mutations (Voir bian) pour faire en sorte que le peuple ne soit pas épuisé, les métamorphosèrent (hua) {en œuvrant au niveau de} l'insondable (voir la discussion de cette proposition ci-dessous, notes 6 et 7), pour faire en sorte que le peuple les utilise de manière appropriée. Pour ce qui est du Yijing, quand (un processus, ou peut-être le recours à un hexagramme) est épuisé, alors advient une mutation (bian) ; quand il advient une mutation, alors cela continue (tong) , et comme cela continue, alors (le processus, le cours du réel, ou l'utilité, la validité, du Yijing) dure. » Le texte se poursuit par une description de la manière dont divers processus s'ensuivent, toujours « prenant comparaison sur» des hexagrammes : mise en ordre du monde, création du bateau et de la rame qui donnent des moyens de communication, domestication des bœufs et des chevaux, introduction des portes et des veilleurs, du pilon et du mortier, de l'arc et de la flèche. Les Sages élaboreront maisons, cercueils, écrits pour gérer la société. La citation précédente du « Grand commentaire» (Xici zhuan) mêle récit de la création du Classique dtt changement (Yijing) et compte rendu historique de l'avènement de la civilisation. A l'Auguste Baoxi, il revient d'avoir créé ces superpositions de trois lignes pleines ou brisées qui figurent les huit trigrammes. Par la suite, le dernier Auguste, Shennong, peut s'appuyer sur les hexagrammes pour introduire agriculture et marché: c'est donc que les superpositions de deux trigrammes quelconques qui forment les figures des 64 hexagrammes -la colonne vertébrale autour de laquelle s'organise le Yijing - sont déjà disponibles (cette remarque ne s'applique pas nécessairement dès la référence à li, dont Baoxi est dit s'être servi pour introduire le filet, puisque le nom en renvoie autant à un hexagramme qu'à un trigramme). Ainsi, le passage ne se contente pas de juxtaposer les récits de l'élaboration du Yijing et de l'avènement de la civilisation: c'est par comparaison avec les hexagrammes que les Augustes, puis les premiers Empereurs peuvent introduire différents artefacts (sur la nature de ce travail, voir l'interprétation présentée dans [Wilhelm, Baynes 1950}, pp. 328 sq., [Graham 1989}, pp. 368-369). Liu Hui insère la formation de la table de multiplication assez tôt dans cette histoire de la culture, et donne cette procédure pour « coïncider» (Voir he) avec les mutations (Voir bian, voir ci-dessous note 5) des six lignes qui constituent un hexagramme. Puis il date de l'époque de Huangdi l'usage approprié qui permet d'établir calendrier et gamme musicale, nous y reviendrons aux notes 8 et 9. Notons que Rong Qi, dans sa préface à la réédition des Neuf chapitres (1148), reprend ce motif. Le Classique mathématique du gnomon des Zhou (Zhoubi suanjing) mentionne également Baoxi en ouverture (in Suanjing shishtt, [Qian Baocong L 1963}, p. 13 ; [Cullen 1996}, p. 174). Et le commentateur du me siècle Zhao Shuang réagit à ce fait, en citant, quoiqu'autrement, le

Les Neuf chapitres même passage du « Grand commentaire» (Xici zhttan) que Liu Hui. Le caractère massif des citations de cet écrit, dans les commentaires tant de Liu Hui que de Zhao Shuang, paraît corrélé à l'importance que prennent les concepts de catégories (Voir lei) et de « mise en communication » (Voir tong) dans leurs textes, et en particulier dans cette préface. Dans le cas de Zhao Shuang, le commentateur fait clairement écho au Zhottbi suanjing lui-même. Les similarités que présentent les commentaires de Liu Hui et de Zhao Shuang, respectivement, aux deux Classiques datant des Han, tant sur les plans philosophiques, terminologiques que mathématiques, sont l'objet de {Shen Kangshen L 1982c}. Nous aurons de multiples d'occasions d'y revenir. C'est encore ce même passage du « Grand commentaire» (Xici zhuan) du Classiqtte du changement (Yijing) que démarquent, en ouverture, la « Monographie sur la gamme et le calendrier (Liilizhi) » de l'Histoire des Han (Hanshtt, p. 955), les chapitres «Configurations célestes (Tianwen)>>, rédigés par Li Chunfeng, de l'Histoire de la dynastie Jin (Jinshtt, p. 277 ; {Ho Peng Yoke 1966}, p. 43), ou la préface de Qin Jiushao à son Shttshtt jiuzhang (1247). (3) Ce membre de phrase (> (Ma Feibai, Guanzi qingzhong pian xinqttan, Zhonghua shuju, vol. 2, p. 687, et note 4, p. 688). L'expression « neuf neuf» est interprétée par le commentateur de la dynastie des Tang, Yan Shigu, cité en cela par Li Ji, comme renvoyant à un ouvrage du genre des Nettf chapitres, et pourrait donc en désigner un prototype. Par synecdoque, le nom d'une procédure qui se trouve elle-même à la base des deux opérations fondamentales pour l'édifice mathématique pourrait renvoyer à l'ensemble des mathématiques (voir [Chemla 1996b}).

750 La procédure est donnée ici pour coïncider avec les mutations de pleine en brisée, et inversement, que peuvent connaître les lignes des hexagrammes (Voir bian ; on lit dans le «Grand commentaire» du Yijing (Xici zhuan, dernier chapitre, paragraphe 3) : «Les lignes (des hexagrammes), c'est ce qui imite les mouvements (Voir dong) du monde (tianxia) »). Il faut donc comprendre que Liu Hui souscrit au point de vue selon lequel Baoxi crée les redoublements des trigrammes que sont les hexagrammes, un point sur lequel le passage cité du Xici zhuan ne se prononce pas explicitement. Relevons le fait que, comme son nom l'indique, la table de multiplication croise des chiffres pour produire de nouveaux nombres, et que « 9 » renvoie, dans le Yijing, à la valeur yang (pleine) pour une ligne. Les mathématiques sont introduites au début du récit de l'avènement du Yijing et de la culture, par le biais d'une de leurs procédures; elles ne sont par ailleurs pas données pour être créées en prenant comparaison avec un hexagramme, à l'instar des artefacts culturels successifs dont le « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhuan) décrit l'invention, mais pour faire miroir à leur fonctionnement. Soulignons la force de cette première déclaration, suivie d'autres ci-dessous, qui révèle la place primordiale assignée par le commentateur à une procédure, et partant aux mathématiques. (6) Des trois personnages qui interviennent à ce point du texte original du « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhuan), Liu Hui ne fait figurer ici que Huangdi; l'Empereur Jaune. Sur ce premier des cinq empereurs qui succédèrent aux Augustes, ainsi que le Shiji en rend compte, voir [Granet 1929}, pp. 19 sq., [Mathieu 1989}, pp. 77-79. Sur shen, cf. note 3 plus haut: le terme pourrait renvoyer autant à la nature des transformations apportées, au niveau où elles opèrent, qu'à une capacité mise en œuvre par Huangdi pour les réaliser. Gao Heng, op. cit., p. 562, comprend: «[ ...} y apportèrent des modifications mystérieuses ». Il est d'autres interprétations de la structure de cet énoncé ([Peterson 1982}, p. 112): «Being themselves numinous and transforming [the Change} » (i.e. : le Yijing). Peterson retient l'hypothèse qu'il serait ici fait référence à la formation des hexagrammes par redoublement des trigrammes. Le rapprochement qu'opère la préface avec la citation suivante du « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhuan) semble étayer ici cette ligne d'interprétation. Voir hua « métamorphoser », et sur l'usage de ce terme, se reporter à [Chemla 1997a}. Du fait du parallèle établi plus haut, entre les mutations des hexagrammes et la table de multiplication, la métamorphose opérée par Huangdi pourrait se répercuter, ou, aussi bien, avoir directement porté, sur cette dernière procédure. (7) A la citation précédente vient ici se juxtaposer une autre citation du « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhttan), prélevée au paragraphe 9 du premier chapitre (voir [Wilhelm, Baynes 1950}, pp. 308-313 ; Gao Heng, op. cit., pp. 524-531, qui en présente diverses interprétations traditionnelles). Quoique ces interprétations divergent, elles s'accordent toutes à lire l'ensemble du

Les Neuf chapitres paragraphe comme une procédure de divination, dont le déroulement renvoie au passage du temps tel que le structure le calendrier. L'enjeu en est de produire l'hexagramme sur la base duquel l'acte de divination pourra s'effectuer. Faut-il comprendre que les transformations des six traits produisent les 64 hexagrammes tout comme la table de multiplication est à la base des Neufchapitres? Faut-il en inférer que l'usage approprié du Yijing, d'une part, et des Neuf chapitres, de l'autre - deux édifices complets chacun à leur manière - consiste, ensuite, à déterminer auquel des hexagrammes, pour l'un, à laquelle des procédures mathématiques, pour l'autre, renvoie une situation donnée? La composition de la préface invite à lire ce dernier énoncé relativement aux hexagrammes aussi bien qu'aux mathématiques. Trois transformations (bian) sont nécessaires pour produire un trait, poursuit le Xici zhuan, ce à la suite de quoi on lit dans ce même paragraphe 9 (comme ci-dessus, je signale en lettres grasses les énoncés que la préface cite) : « Dix-huit transformations (bian) font un hexagramme. Les trigrammes constituent un accomplissement de moindre envergure. Si on en agrandit [l'extension} en les allongeant, si l'on procède en se familiarisant avec une catégorie (let) de sorte à en accroître l'extension, l'ensemble des événements possibles du monde s'y trouvent tous englobés. » L'allongement est traditionnellement compris comme renvoyant, dans ce contexte, au passage d'un trigramme à un hexagramme (voir le commentaire de Han Kangbo, Wang Bi ji jiao shi, p. 549). Il est intéressant de relever que l'énoncé en revient en fin du commentaire au problème 5.18, pour désigner une transformation géométrique. Par ailleurs, alors que cet énoncé du paragraphe 9 du premier chapitre du Xici zhuan est cité ici, l'énoncé qui le suit dans le Classique du changement se trouve clore la préface de Liu Hui (voir ci-dessous, note 45). Ce dispositif semble insister sur l'étroitesse des relations qui unissent le Yijing et les mathématiques telles qu'elles se présentent dans Les Neuf chapitres. Plus précisément, il met en valeur l'importance cardinale du travail sur les catégories dans cette discipline comme dans les autres sphères du réel (Voir lei). Le reste de la préface approfondit ce point. De fait, en écho au passage du Classique mathématique du gnomon des Zhou qui traite également de cette question ([Cullen 1996}, pp. 74-75 et p. 177), Zhao Shuang cite abondamment le « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhuan), et tout particulièrement la totalité de l'extrait de ce même paragraphe 9 traduit ci-dessus (Zhoubi suanjing, [Qian L::,..1963}, pp. 23-24). Or la pratique des mathématiques par le biais des catégories est l'objet, plus loin, de développements par Liu Hui très proches de ceux que l'on peut lire dans ce passage du Zhottbi suanjing et de son commentaire. En particulier, elle ouvre, dans ce Classique astronomico-mathématique des Han ainsi que dans les gloses de son commentateur, sur la question des méthodes de transmission du savoir, comme cela sera le cas ci-dessous pour Liu Hui; et Zhao Shuang conclut cette partie de son commentaire par une

Notes de la Préface transformation de l'énoncé des Entretiens de Confucius relatif aux disciples (Ltmytt, «Shu'er », 7.8, p. 2482) : « Si je lui présente un coin (d'un carré) et qu'il ne répond pas avec les trois autres, alors je n'y reviens pas. » Il est intéressant que Liu Hui opère une déformation analogue de cette citation des Entretiens (voir son commentaire à 2.0 et les notes correspondantes; on peut également se reporter à [Chemla 1997c]) : les références théoriques et les concepts clefs de ces auteurs présentent bel et bien de fortes similarités. Soulignons que se trouve ainsi constitué un pont entre le Yijing et le Lttnytt, qui, lui, ne recourt pas au concept de « catégorie ». De plus, il s'agit là, dans le Zhottbi sttanjing, du passage qui traite de la mesure de la distance du soleil à un observateur terrestre. C'est tout juste le thème que Liu Hui traite avec quelque détail dans la dernière partie de sa préface, et les procédures mathématiques qu'il expose présentent des similarités troublantes avec celles du Zhottbi sttanjing, mais surtout avec celles que Zhao Shuang propose pour compléter ou réécrire le Classique (sur tous ces points, voir ci-dessous, mais voir également l'introduction au chapitre 9). (8) L'expression pourrait renvoyer à l'année, au soleil, à la lune, aux corps célestes et aux nombres que donne le calendrier, si l'on se rapporte à la définition du chapitre « Hong/an» du Shujing. A moins que ji ne renvoie à un cycle d'années, dont la valeur dépend du calendrier. Il est probable que référence est faite ici au cycle ancien de douze années. Mais l'on peut également comprendre qu'il s'agit de la découpe de l'année en douze mois, laquelle fut traditionnellement mise en correspondance avec le cycle des douze notes de musique en Chine (voir ci-dessous). [Bai Shangshu L 1990a] interprète le binôme, en parallèle avec l'expression qui suit (voir la note suivante), comme une conjonction de deux termes: « le calendrier et l'époque ». Le Zhoubi Sttanjing donne un autre compte-rendu de la création du calendrier, dont il attribue l'établissement à Baoxi et à Shennong (voir [Qian Baocong L 1963], p. 79, [Cullen 1996], p. 204). (9) Le cycle de douze notes sur lequel était prélevée la trame de chaque gamme était émis par des tubes, dont la longueur déterminait la hauteur des notes. Ils se séparaient en deux séries, six tubes yin et six yang (respectivement lii4 et lü3, deux caractères qui, accolés, forment l'expression liilü qui renvoie ici aux tubes musicaux). Les longueurs en étaient calculées de sorte à mettre en correspondance notes et mois de l'année, et leurs progressions en rapport avec des hexagrammes du Yijing. Les problèmes mathématiques de déterminer les hauteurs des douze notes qui découpent l'octave ou les durées des douze mois qui remplissent l'année sont de même nature, et sont ici mis en parallèle. Il est possible que soit ainsi figurée la multiplicité des formes que peuvent revêtir les mêmes principes. Voir [Fung Yu-Ian 1952-3], vol. 2, pp. 118-123 et [Granet 1934], pp. 174 sq. (10) On lit, au paragraphe 5 du premier chapitre du « Grand commentaire» (Xici zhttan) du Yijing: «Une fois yin, une fois yang, c'est ce qu'on appelle la voie. »

751 Voir dao. La composition du texte ici n'exclut pas que ce soit à l'aide de la table de multiplication, voire de ses extensions, que Huangdi peut mener à bien cette étude. (11) On lit au paragraphe 11 du premier chapitre du « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhttan) : « C'est pourquoi, dans le Yi[jing], il yale pôle suprême, qui engendre les deux yi (ligne pleine et ligne brisée; [Graham 1989], p. 360, traduit: "exemplar", le prototype de toute paire). Les deux yi engendrent les quatre xiang ("configuration", Voir xiang; [Graham 1989], p. 360, traduit: "model", les modèles de tout quadruplet d'entités. Il s'agit des quatre possibles figures que produit la superposition de deux lignes, dont chacune peut être brisée ou pleine). Les quatre xiang engendrent les huit trigrammes [ ... ] » Cette génération logique des figures complète la génération historique que nous avons rencontrée précédemment. On lit par ailleurs, au paragraphe 4 du premier chapitre du « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhttan) : « Des qi subtils constituent les existants. » Les occurrences, dans le Yijing, de qi, sorte de «fluide énergétique », universel, ([Graham 1989], pp. 101-105, pp. 328-330) conduisent à interpréter ici l'expression comme renvoyant aux formes d'énergie spécifiques d'instances qui composent des ensembles structurés d'après les modèles formels précédemment mentionnés, à commencer par le couple yin et yang. C'est ainsi que Kong Yingda, le commentateur de la dynastie Tang, le glose (Yijing, p. 77), et c'est pourquoi nous retenons la traduction donnée, par opposition à la structuration concurrente possible de «les deux yi, les quatre xiang, le(s) qi subtil(s) et infime(s) [. .. ] ». Notons cependant que Zhu Shijie nomme les quatre problèmes clefs de son Siyttan yttjian (Le miroir de jade des qttatre inconnttes, 1303), qui présentent respectivement les polynômes en une, deux trois, puis quatre indéterminées, à l'aide des expressions: «l'origine confuse (chaotique) du qi unique », « les origines de la transformation que sont les deux yi », « les origines de l'animation que sont les trois puissances (i.e. : Ciel, Terre, Homme) », «les origines assemblées que sont les quatre xiang » (voir [Hoe 1977], pp. 96-98). Sur l'histoire des concepts de qi, yin, yang, et des cinq phases, le lecteur peut se reporter à [Graham 1986c], pp. 70-92, et à [Sivin 1995]. Soulignons, à ce sujet, que, si l'on rencontre dans la préface un certain nombre de ces concepts, ni Les Netif chapitres, ni leurs commentateurs, pas plus que le «Grand commentaire» du Yijing, ne paraissent faire usage des cinq phases. Cet énoncé de la préface pourrait renvoyer à la manière dont les artefacts culturels, en particulier les développements des éléments premiers des mathématiques, prennent modèle sur les énergies fondamentales et leurs modalités spécifiques d'action (voir [Chemla 1996b]). A moins que l'on ne traduise, en s'inspirant des occurrences de xiao « imiter» dans le Yijing: « les qi subtils et infimes des deux yi et des quatre xiang purent prendre modèles sur eux (à savoir: sur le Ciel et sur la Terre, sur la génération du calendrier et de la gamme, ou encore, plus

752 généralement sur les modalités d'extension de la table de multiplication) ». (12) Dans }ittzhang Sttanjing yinyi (Prononciation et sens du Classique des neuf chapitres de mathématiques), Li Ji cite le Shiben pour dire: «A l'époque de Huangdi, Lishou créa les mathématiques.» Voir shtt. [Li Yan .6. 1955a], p. 11, esquisse les aléas de la transmission de cet ouvrage d'histoire, aujourd'hui perdu, et rassemble les diverses versions que prennent les citations de ce même énoncé. La forme qu'en donnent Liu Hui et Li Ji semble conforme à l'original. Plusieurs sources plus tardives précisent que ce ministre de Huangdi excellait en mathématiques. Jusqu'à ce point de la préface, l'avènement des mathématiques, renvoyé à des temps mythiques, était inscrit dans une genèse de la culture; leur différenciation en neuf parties nous fait maintenant entrer dans le temps de l'histoire, celui de la dynastie Zhou fondée au XIe siècle avant notre ère. (13) Li Ji, op. cit., commente: «Les "neuf parties des mathématiques", ce sont les neuf chapitres. Quand on en parlait du point de vue des procédures de calcul (sttan), on disait "les neuf parties des mathématiques" (ou: procédures, Voir shtt), et quand on en parlait du point de vue des tablettes (soit: de la forme matérielle du livre), on disait "les neuf chapitres". » Li Ji cite ensuite le chapitre « Baoshi » de la partie « Diguansittt » des Fonctionnaires des Zhou (Zhougttan, ou, selon le titre que Wang Mang conféra à cet ouvrage: Zhouli, Rites des Zhou), sous une forme différente des éditions actuelles. On lit dans le Zhottli, p. 731 : «[ ... ] On enseignait [aux enfants des hauts dignitaires] six arts: 1. les cinq rites; 2. les six formes de musique rituelle; 3. les cinq (types de) tirs à l'arc; 4. les cinq (manières de) conduites de chars à chevaux; 5. les six modes de formation des caractères; 6. les neuf parties des mathématiques (shu) [. .. ]. » Ce à la suite de quoi Li Ji rapporte le commentaire de l'érudit des Han, Zheng Xuan, au dernier item de la liste, ainsi que le passage correspondant de la «Monographie sur la gamme et sur le calendrier» de l'Histoire des Sui. Sur la biographie de Zheng Xuan et l'histoire du Zhottli, on peut se reporter à [Cheng, Anne 1985], pp. 76-77 et 139 sq., et pour le commentaire en question ainsi que le problème des rapports historiques entre « les neuf parties des mathématiques» et Les Neufchapitres, au chapitre B du présent ouvrage. Le terme de litt que la traduction rend comme « développement» peut également se comprendre comme «transformation, évolution, partie ». Liu Hui souscrit ici à la thèse, soutenue par le courant des « textes anciens» sous les Han: le Zhottguan, selon le titre qu'il retient ailleurs, renverrait à l'époque (environ 1000 avant notre ère) du duc de Zhou, fils du roi Wen -lequel a contribué à fonder la dynastie des Zhou et sous l'emblème duquel se place Confucius - , et décrirait l'organisation administrative et rituelle qu'il instaura. Liu Hui reviendra ci-dessous sur ces « six arts », et plus généralement à cet ouvrage, qu'il cite à plusieurs reprises au cours de son commentaire (outre la préface, voir problèmes 4.24,5.25, [Guo Shuchun .6. 1992a], pp. 335-336.

Les Neuf chapitres La référence est également présente dans le Zhoubi suanjing, voir par exemple [Cullen 1996], p. 172). Retenons que la mention d'une organisation interne des mathématiques renvoie à un contexte de transmission du savoir. (14) La première évocation de temps historiques rendait compte de l'organisation du Classique en neuf chapitres. La mention du premier Empereur, unificateur de l'Empire et fondateur de la dynastie Qin en 221 avant notre ère, Qin shi huangdi, rappelle l'incendie des livres qu'il ordonna (voir [Gernet 1972], plus particulièrement p. 104) et concerne l'histoire du livre en tant que tel. Notons que la préface renvoie ici aux Nett/ chapitres comme à un Classique, Voir jing. C'est du moins la conclusion qui s'impose si l'on interprète jingshtt comme « les procédures du Classique », c'est-à-dire comme renvoyant précisément à l'ouvrage dont la préface décrit ici la genèse. Ma. traduction retient ici cette option. On pourrait également concevoir que l'expression désigne ici plus largement « la connaissance des Classiques confucéens » dont Qin shi huangdi cherchait à faire place nette. Si tel était le cas, le texte, me semble-t-il, perdrait en cohérence. (15) Pour les biographies de ces deux érudits de la dynastie des Han antérieurs auxquels Liu Hui attribue une participation au travail de compilation qui produisit le Classique, voir le chapitre B dans le présent ouvrage. En ce qui concerne Zhang Cang, ajoutons qu'il fut un disciple du philosophe Xunzi ([Knoblock 1988-1994], vol. 1, pp. 38-39, [Chemla 1993b]). Pour ce qui est de Geng Shouchang, voir également l'introduction au chapitre 6, « Paiement de l'impôt de façon égalitaire en fonction du transport» (cette mesure économique fut édictée par l'administration à laquelle Geng est ici rattaché de par son titre). Voir man « mathématiques ». (16) On peut également comprendre cet énoncé, qui renvoie aux modalités concrètes de production des Netif chapitres, ainsi: « Sur la base de fragments du texte de jadis qui s'étaient transmis, Zhang Cang et d'autres soupesèrent, pour chacun, ce qui était à élaguer (shan) et ce qui était à compléter (pour restituer Les Netif chapitres dans leur intégralité). » Le terme d'« élaguer» peut surprendre, il est cependant particulièrement intéressant. La description que donne ici Liu Hui du travail éditorial réalisé par Zhang Cang et autres implique que, selon le commentateur, les documents anciens dont ils disposaient avaient subi, au regard du texte des Netifchapitres, deux types de dégâts: ils avaient fait l'objet d'ajouts et avaient été victimes d'omissions. L'éditeur devait donc, entre autres opérations, détecter les additions pour rendre le texte à sa simplicité originale. Or il est significatif que shan « élaguer» désigne l'acte éditorial de Confucius par excellence, celui par lequel le texte des Classiques hérités des Sages peut être séparé des ajouts non authentiques que les époques intermédiaires ont glissés à profusion et qui défigurent les versions transmises (voir [Henderson 1991], pp. 27 sq.). Pour n'en citer qu'un exemple, shan constitue précisément le terme par lequel Liu Xie saisit l'acte éditorial de Confucius, dans le chapitre de son Wenxin diaolong où il décrit la formation des Classiques

Notes de la Préface ([Owen 1992], pp. 195-196). Liu Hui conçoit donc le processus historique de constitution du texte concret des Neuf chapitres en des termes similaires. Dans la préface de sonJigu Sttanjing (Classiqtte mathématique qui fait sttite attx anciens, VIle siècle, [Qian Baocong .61963], p.493), Wang Xiaotong insère un énoncé analogue, sans mentionner Geng Shouchang : « Zhang Cang, au temps des Han, élagua et compléta les manques, et à l'examen, les éléments textuels qui le composent présentent souvent des différences avec les procédures anciennes. » Le terme de mtt que nous rendons par la suite par « section» pourrait également se comprendre comme «titres, thèmes, appellations», Liu Hui renvoie sans doute ici à la liste des titres des chapitres du Classique, et donc des branches des mathématiques, qui présente effectivement quelques différences avec les énumérations données dans des sources plus anciennes (voir le chapitre B et voir la note 13). Plus loin, Liu Hui fera explicitement mention d'une des parties des mathématiques dont le titre a disparu des Nett/ chapitres tels qu'il les lit: la « double différence » (voir note 34). (17) Une fois l'histoire du livre retracée jusqu'aux Han, Liu Hui se tourne vers la genèse biographique et intellectuelle de son commentaire. (18) Liu Hui détaillera par la suite la conception des mathématiques au sein de laquelle cette activité prend sens, ainsi que les moyens qu'il s'est donnés pour la poursuivre, On peut également traduire l'énoncé comme suit: « Y ayant observé le partage du Yin et du Yang, j'ai synthétisé la source des procédures mathématiques. » (19) Le binôme tanze qui est ici rendu par « explorer les profondeurs » nous ramène au paragraphe Il du premier chapitre du « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhttan), déjà mentionné plus haut (voir la note Il). Souvent évoqué dans les préfaces des ouvrages mathématiques, le mouvement d'aller tant en profondeur qu'en extension dans l'appréhension du réel, qui y est donné comme idéal, fait écho au développement de Liu Hui ici. Notons que l'exploration des profondeurs du Classique est alors mise en regard de celle des mystères du réel. On peut également comprendre la seconde partie de l'énoncé ainsi: « j'en ai soudain globalement saisi la signification (yi) ». Il n'est, par ailleurs, pas impossible que l'expression qi yi renvoie aux « significations des procédures », et soit donc à comprendre comme un pluriel (.1964a], pp. 62-65, propose une interprétation de cette déclaration de Liu Hui. Pareille recherche n'est pas sans évoquer le philosophe du me siècle Wang Bi dans son Zhouyi liieli (voir ci-dessous). (22) Le commentaire explicite donc ici les moyens de l'activité mathématique à la disposition de l'exégète. On peut également comprendre: « Si, quand il se présente des constitutions internes (li) à disséquer, on recourt à des énoncés, quand il se présente des corps (ti) à analyser, on se sert de figures (tu), [ ... ). » Les deux termes rendus ici par « analyser» et de « disséquer» renvoient autant à l'acte concret de dissection qu'à une analyse. Voir li (qui évoque encore le problème 8.18 et l'anecdote du cuisinier Ding du Zhuangzi qui y est rapportée), ti « corps », ttt « figure ». Le terme de tu semble tenir lieu de l'ensemble des auxiliaires visuels dont Liu Hui peut se servir, comme les blocs (voir les notes sur leur introduction, au commentaire au problème 4.18). [Guo Shuchun L:>.1984d] souligne que, si l'on trouve l'expression de xi wanwtt zhi li (analyser les constitutions internes de tous les existants), au chapitre « tianxia» du Zhuangzi (Guo Qingfan (éd.), Zhuangzi jishi, volume 4, p.1069), elle n'y a pas le sens méthodologique que le binôme xi li ne prendra que plus tard. A l'époque Wei-Jin, celle-là même à laquelle vit Liu Hui, il désigne une condition importante de l'argumentation, dont la pratique débute entre 240 et 248 environ, et en vient parfois à désigner l'argumentation elle-même. On la trouve chez Xi Kang, Mingdanlttn (Essai sur la sagesse et le courage) : «Votre analyse des principes accorde de la

Les Neuf chapitres valeur à la simplicité (d'expression) et pourtant épuise l'essentiel. » ([Henricks 1983], p. 128). Son contemporain Liu Shao, dans son Renwttzhi (Etude des types de personnalite), affirme: « Dans l'argumentation, il y a la victoire par le li et la victoire rhétorique (par le ci). » Les philosophes de l'époque ont particulièrement valorisé la première et en ont discuté les procédés. [Guo Shuchun L:>.1984d] discute la forme que cette recherche prend dans le commentaire de Liu Hui. (23) Les impératifs de simplifier et de mettre en communication (Voir ytte, tong) sont à plus d'un titre centraux dans le commentaire de Liu Hui. En les explicitant ici comme visées, il précise les contraintes qui pèsent sur la mise en œuvre de ces valeurs. On peut également comprendre globalement l'énoncé comme suit: «Si, quand il se présente des constitutions internes (li) à disséquer, on recourt à des énoncés, quand il se présente des corps (ti) à analyser, on se sert de figures (tu), (on voit que Les Neuf chapitres tels qu'édités par les érudits des Han), pour l'essentiel certainement, sont rendus. simples tout en ayant la capacité d'embrasser (les mathématiques), qu'ils mettent (les procédures, les objets mathématiques) en communication sans négliger (quelque chose d'important; ou: qu'ils font comprendre sans obscurcir). » Cette interprétation lit, dans l'énoncé, une explicitation des attentes du commentateur envers le Classique, en particulier l'expression de sa certitude que Les Neuf chapitres devraient couvrir l'ensemble des mathématiques. Par ailleurs, Liu Hui introduirait ici une nuance, sous ce rapport, vis-à-vis du texte tel qu'il fut restauré par les éditeurs des Han [Chemla à paraître-a). Cette nuance sera amplement développée dans la suite de la préface. [Guo L:>.1984d], p. 59, met la double exigence de simplification et de généralité qui s'exprime ici en parallèle avec un principe énoncé dans le Zhoubi sttanjing (.1963], p. 24, [Cullen 1996], p. 177). IlIa rapproche également des valeurs mises en avant par des philosophes, ayant vécu peu avant Liu Hui, tel Xi Kang (voir ci-dessus, note 22) ou Wang Bi (on lit dans son Zhouyi liieli, chapitre «Ming yuan» (Expliquer le « jugement», i.e. : le jugement qui fait suite à chaque hexagramme dans le Yijing), op. cit., vol. 2, p. 592 : « Complexe, mais ne souffrant pas de désordre, se transformant (bian) mais ne souffrant pas d'égarement, simplifié pour subsister dans une vaste [étendue], simple pour traverser une multitude [de faits], tel est, seul, le "jugement" ! ») (24) Ou « [ ...] et ceux qui l'examinent en comprendront donc plus de la moitié». La fin de la phrase est une citation d'un paragraphe du «Grand commentaire» du Yijing consacré à la structure et à l'interprétation d'un hexagramme (Xici zhuan, dernier chapitre, paragraphe 9, [Wilhelm, Baynes 1950], pp. 349 sq.) : « Ceux qui savent

Notes de la Préface observent les énoncés de ses jugements (l'une des formules attachées à chaque hexagramme), et par suite ils en comprennent plus de la moitié.» Ce paragraphe est également cité par Wang Bi au chapitre « Ming yttan », précédemment évoqué. (25) Ou: « les mathématiques faisaient partie des six arts », sur cette seconde référence à ce passage du Zhottli, voir cidessus, note 13. Notons que les mathématiques n'y sont plus désignées par le biais de leur composition en neuf parties, mais par leur ingrédient central qu'est le calcul, en particulier le calcul à l'aide de baguettes (Voir sttan). Il en va de même dans la mention aux érudits des Han et dans le titre même du Classique. Liu Hui envisage, dans ce paragraphe, les vertus de cette pratique des mathématiques(élaborer les énoncés les plus simples et les plus généraux possibles, regrouper autour de procédures fondamentales, soit: dégager le tronc dont procèdent les branches) depuis les deux exigences - qui pourraient apparaître comme contradictoires - de faciliter la transmission du savoir et de permettre la résolution de tout problème. (26) L'expression renvoie au traitement rituel que recevaient les élus, comme hôtes de marque, une fois la sélection effectuée, selon les Rites des Zhott (>- est peu claire. Dans le premier cas (problème 9.21), le dispositif de quatre gnomons construit une distance de 1 zhang qui appartient autant au microcosme de la situation artificielle constituée par les mesures qu'au macrocosme de la situation réelle, dans lequel on cherche à déterminer la distance à l'arbre. Dans le second cas (problème 9.22), l'éloignement de la montagne est déterminé : une valeur connue dans le macrocosme permettra de trouver les autres, en prenant appui sur un microcosme de mesures, élaboré à l'aide de l'arbre qui fait office de gnomon. Dans l'expression en question, « extrémité» renvoie peut-être à la cime de l'arbre dans un cas, au sommet de la montagne dans l'autre; ou encore aux extrémités à partir desquelles l'on vise. «Côté» désigne-t-il, ici, l'arbre-gnomon, là, l'espace entre deux gnomons où l'on repère le point via lequel l'arbre apparaît? Le terme renvoie-t-il à cette grandeur du macrocosme que l'on cherche à évaluer, ou encore à la grandeur sur base de laquelle les autres pourront être déterminées, tandis que duan désignerait le microcosme ? Il est difficile de le préciser. Toujours est-il que le nouveau cas considéré par la préface se démarque de ces deux situations du fait que, par nature, aucune grandeur du macrocosme - ni la distance au soleil, ni la distance du soleil à la terre - ne sont données: elles sont hors d'atteinte et devront être

Les Neuf chapitres déterminées sur la seule base de l'élaboration d'un microcosme de mesures. Par opposition, on est donc amené à poser l'hypothèse que la proposition peu claire renverrait, d'une manière ou d'une autre, au fait que, dans les situations précédentes, le microcosme et le macrocosme dont il constitue une réplique sont à même de s'éclairer l'un l'autre, de se « faire apparaître» (Voir xian) de façon plus symétrique. Cela suggère une traduction alternative pour cette proposition: «l'ébauche de la situation (ou: ses indices, ses tenants, son "commencement", duan) et la situation (qui reste) proche (pang, i.e. : la situation à grande échelle) se font apparaître mutuellement ». C'est pour les autres cas, non encore résolus, que la procédure de « la double différence» fournira une résolution d'un nouveau type. Notons qu'en ce sens, le problème diffère intrinsèquement de celui que considère le Zhoubi suanjing puisque ce Classique fournit, avec les mesures d'ombre aux solstices et la règle de variation de l'ombre du gnomon de 1 ettn quand on se déplace de 1 000 li sur le méridien, une valeur de la distance du lieu d'observation au pied de la verticale à l'aplomb du soleil aux solstices (op.cit., p. 26 et [Cullen 1996], pp. 104 & 111 sq.). Zhao Shuang, lui, donnera la même procédure que Liu Hui, se dispensant ainsi de recourir à une hypothèse sur la variation de l'ombre en fonction du déplacement du gnomon. Partant, il transforme également la nature du problème. (33) Ou: «S'il en est ainsi, c'est que les procédures confectionnées par Zhang Cang et les autres ne suffisent pas encore à épuiser de manière générale toutes les mathématiques (shtt). » Bo « de manière générale, large» fait souvent pendant à yue « simplifié» : la simplification de procédures peut leur permettre d'être plus générales, d'être efficaces pour résoudre un nombre plus grand de cas. On trouve une occurrence de ce couple d'exigences dans le passage en question du Zhottbi Sttanjing (voir plus haut, note 23). L'attente relative aux procédures fondamentales est ici explicite. Voir Jin « épuiser ». (34) Ou: « j'ai exploré (ou: recherché) celle, parmi les neuf parties des mathématiques, qui porte le nom de "double différence" ; j'ai recherché ses points essentiels de sorte à pouvoir ensuite les étendre (ou: les rendre efficaces (Voir shi» à ceci ». Le 'nom attribué à ces procédures renvoie au fait qu'elles recourent à deux différences c'est du moins ainsi que Liu Hui paraît l'interpréter cidessous (voir note 36). Zhao Shuang expose des procédures analogues, ainsi que les raisons de leur correction, mais ne leur attribue pas de nom. On retrouve, chez lui, le même intérêt pour les «points essentiels» (zhiqtt) en relation avec la classification des « réalisations» (voir ci-dessus, note 20). Ainsi, on lit dans son commentaire, en écho au Gnomon des Zhou (Zhoubi suanjing, [Qian Baocong .61963], p. 25) : « Les réalisations (shi) dont les catégories (lei) sont les mêmes manifestent les catégories de leurs points essentiels. » Liu Hui établit ici un lien entre la recherche des « points-clefs », de l'origine de la procédure, et l'extension de ses applications (Voir shi « appliquer, étendre»). Les deux dimensions sont également présentes ensemble dans son commentaire à la suite du

Notes de la Préface problème 9.3. Il est difficile de déterminer avec certitude où Liu Hui a effectivement trouvé les procédures associées au nom de la « double différence » et sous quelle forme. On se rappelle que le commentaire de Zheng Xuan réagit à la mention, par le Zholtli, des neuf parties des mathématiques en en explicitant la liste et qu'il y donne l'une d'entre elles pour s'intituler précisément « double différence» (chongcha, voir plus haut, note 13, et voir le chapitre B de ce livre). Or le même Zheng Xuan évoque, dans le contexte d'une autre partie de son commentaire, l'hypothèse sur la variation de l'ombre du gnomon le long du méridien courante sous les Han (voir plus haut, note 31). De plus, nombre de commentateurs anciens ([Li Yan L::,.1926a]) mentionnent que le Zholtbi SItanjing recourt à des « doubles différences (chongcha) » dans le cadre de triangles rectangles. Or ce Classique, tel qu'il nous est parvenu, ne comporte pas à première vue de procédure analogue à celles présentées ici par Liu Hui. Ces commentateurs désignent-ils, par cette appellation, la manière dont le Gnomon des Zhott met en œuvre, pour calculer la distance de l'observateur à l'aplomb du soleil, la règle gérant les modifications de la longueur de l'ombre du gnomon de 8 chi lorsqu'on parcourt le méridien? Prenant acte du fait que la longueur de l'ombre diminue de 1 clm lorsqu'on parcourt ainsi 1 000 li, le Gnomon des Zhott tire de la mesure de l'ombre de 1 chi 6 ctm au solstice d'été qu'il faut ajouter 1 000 li par clm pour déterminer la distance de l'observateur à l'endroit où, étant sous le soleil, le gnomon n'a plus d'ombre. Il est intéressant de noter que ce faisant, si l'on appelle « différence » la valeur de 1 ctm - ou celle de 1 000 li - le calcul de la distance se fait par « réitération de la différence ». Ce pourrait être le sens original de l'expression chongcha. L'hypothèse paraît confirmé~ par le fait que le Gnomon des Zhott réserve le terme de cha pour renvoyer précisément à cette valeur de 1 ctm ; Voir cha « différence ». [Li Jimin 1990a], p. 417, propose une autre hypothèse: 1 ctm représenterait le lii de la différence des ombres, tandis que 1 000 li fournirait le lii de la différence sur la terre. De là viendrait selon lui l'appellation de « double différence », nous y revenons ci-dessous. Les deux interprétations réconcilient le contenu du Gnomon des Zhott tel qu'il est parvenu jusqu'à nous et ce que les commentateurs anciens y lisaient. On retrouve ce même procédé pour déduire, de ladite règle, la distance de l'observateur au point de la terre à l'aplomb du soleil dans le texte qui clôt le chapitre 3 de l'ouvrage des débuts de l'Empire: le Livre dtt maître dtt Httainan (Httainanzi, chapitre « Tianwen »; [Cullen 1976], pp. 286-287; [Graham 1978], pp. 370-371 - rappelons que C. Cullen avance des raisons pour penser que ce texte, quoiqu'ancien, ne figurait pas dans l'ouvrage à l'origine et que A. Graham y voit une possible émanation de milieux mohistes). Le texte mentionne cette fois-ci une double mesure d'ombre réalisée simultanément sur deux gnomons distants, dans la direction nord-sud, de 1 000 li, - une double mesure produite, donc, dans le cadre d'un dispositif identique à celui que décrit Liu Hui ci-dessous: c'est dire que la seconde mesure n'est utilisée que par la différence qu'elle

757 présente avec la première. Les procédures visant à déterminer les dimensions cosmiques (distance d'un observateur à l'aplomb du soleil et hauteur de l'astre solaire) sont dans leur ensemble proches de celles que délivre le texte reçu du Gnomon des Zhott, tandis qu'elles se distinguent de ce que propose, sous le même nom, le commentateur des Nettf chapitres. On peut y lire cependant une préhistoire des méthodes de Liu Hui ([Li Jimin L::,.1990a], pp. 416-417, [Guo L::,.1992a], p. 339). Ce dernier recourt, comme elles, au dispositif de deux gnomons et à deux mesures simultanées d'ombre. A ceci, dans le cadre de l'interprétation de Li Jimin évoquée ci-dessus, on peut ajouter d'autres indices: Li Jimin lit en effet ces potentielles formes antérieures comme recourant elles aussi à une double différence et il dégage, par ce biais, une continuité formelle entre elles et les algorithmes fournis par Liu Hui. Le commentateur des Nettf chapitres s'en démarque sur un point crucial toutefois, en ne faisant pas intervenir, à la différence du Zhottbi sttanjing, du Httaùzanzi et autres sources, de connaissance a priori sur la variation de l'ombre. En conclusion, divers arguments convergent vers l'hypothèse que les mentions, datant des Han, de la « double différence » renvoient à de tels procédés, et que la méthode dont Liu Hui cherche les « points essentiels », qu'il étend et transforme, est basée sur la procédure du Gnomon des Zhott rappelée ci-dessus. (35) L'expression renvoie soit à la procédure, soit à l'élément qui lui donne son nom. On peut également comprendre: « [ ... ] et que l'on veut également savoir [ ... ] » (36) Voir lil. Dans deux procédures qui suivent, les deux mêmes différences sont prises comme Iii, et elles permettent de déterminer deux grandeurs du macrocosme, sans qu'aucune de ses dimensions ne soit connue a priori. Chongcha « Différence double» peut s'interpréter également comme « différence réitérée», en parallèle avec l'expression «(procédure du) supposons réitérée (chong jin yott) », Voir chong « réitéré ». S'il y a « double différence », c'est qu'il y a eu une application réitérée de la « procédure de la base et de la hauteur», au sens du commentaire au problème 9.22. [Fu Daiwie L::,.1988a], p. 9, note 21, et [Li Jimin L::,.1998a], p. 226, note 34, proposent des interprétations qui vont dans le même sens. Sur la signification potentielle de ce détail, voir l'introduction au chapitre 6, section 1.5. (37) Il semble difficile de comprendre, comme le fait [Bai Shangshu L::,.1990a], p. 3, qu'il est ici question de placer observateurs et gnomons, du nord au sud, sur un même plan horizontal. Cette interprétation pourrait être induite par les élaborations ultérieures qui ont amené Li Chunfeng à transformer les méthodes pour prendre en compte le fait que ce plan pouvait ne pas être horizontal. Voir [Fu Daiwie L::,.1988a}. (38) Soit: à midi. La procédure qui suit se comprend très simplement sur la base du dessin auquel le commentaire de Zhao Shuang fait référence (voir la figure 0.1, qui reprend la figure reconstruite par [Qian L::,.1963], p. 32, et la traduction du commentaire de Zhao Shuang [Cullen

758

Les Neuf chapitres

Soleil S ~-----------

A

[--01 r-ol T ~

v

1

0: ombre du gnomon au sud au solstice d'été

0': ombre du gnomon au nord au solstice d'été d: distance entre les deux gnomons

FF': gnomon au sud GG': gnomon au nord

1996}, p. 219): dans le rectangle SATV, formé sur la base du gnomon le plus au nord et de l'ombre qu'il projette à midi, la somme des aires des rectangles bleuvert Ji et jaune Yi est égale à la somme des aires des rectangles bleu-vert Bing et jauneJia. Il suffit de déplacer le rectangle Ji bleu-vert, au-dessus du gnomon au sud et de l'ombre qui lui correspond, pour en déduire par le même raisonnement que les aires bleu-vert sont égales. Par conséquent les aires jaunes le sont également (c'est la première égalité d'aires que donne Zhao Shuang, Voir shi « dividende»), et la première procédure ne fait que l'appliquer. La seconde s'obtient en écrivant que les aires des rectangles bleu-vert sont égales (c'est la seconde égalité d'aires que donne Zhao Shuang), tout en tenant compte de l'algorithme énoncé précédemment. C'est ainsi que des mesures locales peuvent produire les dimensions du macrocosme. Sur ce type de travail sur les figures, voir les notes aux problèmes 9.14 et suivants, ainsi que l'introduction du chapitre 9 et le chapitre A. [LiJimin L::o..1990a}, pp. 411 sq., discute diverses hypothèses en présence, quant aux raisonnements qui ont permis d'établir ces méthodes. (9) Le raisonnement procédural reprend alors l'algorithme du Zhottbi Sttanjing (pp. 27-28), sur la base de termes produits autrement. Voir [Cullen 1996}, pp. 78-80, pour une traduction et une analyse du passage en question. (40) Le Zhottbi Sttanjing effectuait le même raisonnement. Zhao Shuang le réécrit en termes de lü et de triangles rectangles, et son commentaire (p. 28) comporte donc la même procédure, énoncée en les mêmes termes que Liu Hui ici.

(41) On peut également interpréter l'ensemble de ce passage avec des nuances légèrement différentes comme suit: «Je pense que les enregistrements des annalistes (shi) [devraient}, même sommairement, mentionner les choses (wu) relatives au Ciel et à la Terre, explorer et discuter les valeurs (shu) qui leur sont attachées, et enregistrer ceci dans des monographies, pour rendre manifeste l'excellence des procédures d'ici-bas (dans l'étude du Ciel et de la Terre). J'ai donc sans délai élaboré la "double différence", j'en ai fait des commentaires pour explorer à fond la signification (yi) (que lui ont donnée) les personnes du passé, et j'ai adjoint ceci après le (chapitre) "Base (gou) et hauteur (gu)". » (42) « Superposer des équerres », ou, comme l'on peut également comprendre, «utiliser deux équerres», consiste à prendre des mesures à l'aide d'une équerre depuis des hauteurs différentes d'une même verticale. Le Zhottbi sttanjing, et à sa suite Zhao Shuang, mentionnent également des classifications de problèmes de cette espèce, reposant sur l'usage des instruments. Zhao Shuang renvoie aux Neuf chapitres en écho à la liste donnée par le Classique (Zhoubi Sttanjing, p. 22, [Cullen 1996), p. 174), et, plus proche dans sa propre énumération de Liu Hui, s'arrête sur ce second item (p. 24). La liste que donne ici Liu Hui renvoie au Haidao suanjing (Classique mathématique de Nie maritime). [Li Jimin L::o..1990a}, pp. 422-431, confronte l'une à l'autre pour établir les liens qui les unissent. Sur cet ouvrage, qui formait à l'origine le chapitre supplémentaire du Classique que Liu Hui vient de mentionner, voir le chapitre B dans le présent ouvrage ; voir également [Li Yan L::o..1926a}, [Qian Baocong L::o..1963}, pp. 261-272, [Wu Wenjun L::o..1982a&c}, [Bai Shangshu L::o..1982a}, [Shen Kangshen L::o..1982c&d, [Mei Rongzhao L::o..1984b}, [Ang & Swetz 1986}, [Lam & Shen 1986}, [VogeI1986}, [Fu Daiwie L::o..1988a}, [Swetz 1992]. (43) Quatre problèmes du Haidao suanjing impliquent trois observations: le problème 2 demande de déterminer la hauteur d'un arbre au sommet d'une montagne et l'éloignement de la montagne, à l'aide de deux gnomons; le problème 5 propose d'évaluer, depuis le sommet d'une montagne, la hauteur d'un bâtiment, et recourt à deux équerres ainsi qu'à un gnomon; le problème 6 cherche à déterminer la largeur de l'embouchure d'un cours d'eau, orientée dans la direction nord-sud, à l'aide d'une corde tendue entre deux gnomons, également érigés selon une direction parallèle nord-sud, mais en décalage vers le nord par rapport à la rivière; le problème 8, enfin, demande de trouver la largeur d'une rivière par des mesures effectuées à flanc de colline, à deux hauteurs différentes, avec une équerre. Dans tous ces cas, «la longueur» à mesurer se trouve au sein d'un espace inaccessible, et la position des instruments de mesure relativement à elle est indéterminée. C'est sans doute à cette situation que renvoie l'expression de « ce qui se trouve éloigné et isolé» par laquelle Liu Hui désigne l'ensemble de ces problèmes. (44) On peut également traduire: « pour une telle entité éloignée et que l'on cherche de surcroît (à déterminer en

Notes de la Préface observant) latéralement [ ... J ». Deux problèmes du Haidao suanjing impliquent quatre observations: le problème 7 demande de déterminer la profondeur d'un cours d'eau encaissé, en étant placé au-dessus d'une de ses rives, et en visant, à l'aide d'une équerre, l'autre rive et une pierre située dans son lit ; le problème 9 propose de déterminer la longueur et la largeur d'une ville depuis une montagne située au nord, à l'aide de deux équerres. La description de cette montée systématique vers la complexité n'est pas sans évoquer le principe sur la base duquel les commentateurs nous paraissent lire une structure dans Les Neuf chapitres (voir la section 1.5 de l'introduction au chapitre 6). (45) C'est ici que se clôt la citation du paragraphe 9 du premier chapitre du « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhuan, voir ci-dessus, note 7). On peut également comprendre que l'extension concerne les catégories. Liu Hui, nous l'avons vu, a souligné dans la préface le fait que la recherche des points clefs d'une procédure lui permet de l'étendre à la résolution d'un problème qu'à l'origine le Classique ne permettait pas d'appréhender. Le mouvement de la préface de Liu Hui donne à penser qu'il commente ici la nature de l'extension qu'il vient d'esquisser. Et le même énoncé serait alors susceptible d'être traduit comme suit: « si l'on procède en se familiarisant avec une catégorie (lei) de sorte à en accroître l'extension (i.e. : à accroître le champ de situations qu'elle recouvre) ». C'est en commentaire au dernier énoncé du Zhottbi Sttanjing cité en épigraphe de ce volume (.1984d). L'extrait suivant de son \\7tt ming ltm nous est connu par une citation qu'en fait Zhang Zhan dans son commentaire du Liezi (Voir Yang Bojun [éd.), Liezi jishi, Zhonghua shuju, 1979, p. 121 ; je cite ici sur la base de la proposition d'amendement suggérée par [Xu Hangsheng & al. L:>.1989), p. 65) : « Il n'est pas de (réalités) partageant la même catégorie qui, bien qu'elles soient loin l'une de l'autre, ne se répondent pas l'une à l'autre; il n'est pas de (réalités) de catégories différentes qui, bien qu'elles soient proches l'une de l'autre, ne se repoussent pas l'une l'autre.» La ressemblance entre les passages montre qu'ici, Liu Hui met en valeur, sur les quantités, la réalisation d'un schéma général dont la validité, souligne [Guo L:>.1984d), dépasse le simple cadre des mathématiques. Cette proximité semble indiquer l'appartenance de Liu Hui et de He Yan à des groupes de réflexion proches l'un de l'autre, voire identiques. Elle témoigne enfin de la reprise et l'élaboration, au contact de réalités de natures diverses, de schémas généraux.

Les Neuf chapitres (43) L'énoncé précédent insistait sur les répercussions, pour des quantités, ou plus généralement des réalités, du fait de relever de la même catégorie. Liu Hui insiste ici sur le fait que ces catégories sont elles-mêmes susceptibles de variations : il est des transformations qui peuvent amener des réalités de catégories distinctes à partager la même, et partant, conformément au principe précédent, leur permettre de s'unir. Considérons-les en relation avec les quantités fractionnaires, même si le texte paraît vouloir les envisager plus généralement. Des fractions d'ordres de grandeur différents (Voir wei « position») pourront être ajoutées (Voir cong « se rejoindre »), pour peu qu'on les réduise au même dénominateur, soit: qu'on transforme les rectangles qui leur correspondent afin qu'ils aient la même largeur (Voir tong « mettre en communication », ti « corps»). En revanche, la proximité des ordres de grandeur (Voir lie « disposer») ne permet pas à des quantités qui restent de formes (Voir xing) différentes de s'associer. Faut-il penser à des quantités qui n'auraient pas été soumises à pareille transformation, dont l'intérêt est alors mieux mis en valeur? ou à des quantités comme 3 et 11: (Voir shtt) ? La remarque soulignerait alors la nécessité d'opérer sur des catégories au sein d'un ensemble homogène, tel que celui que constituent des rectangles. La suite du texte incite à opter pour la première hypothèse. Dans pareil contexte, la procédure d'égalisation et d'homogénéisation conduit justement des réalités de catégories à l'origine distinctes à partager la même : une fois déclinée l'importance, en toute généralité, des catégories, le caractère crucial de cette procédure s'ensuit. C'est ce qu'affirme l'énoncé suivant. On peut le comprendre comme renvoyant aux seuls contextes spécifiquement mathématiques. Mais puisque la valeur de la procédure est déduite de principes généraux relativement auxquels elle fait sens, on peut plus généralement penser qu'il renvoie à l'ensemble des domaines où les termes de ce schéma formel trouvent à s'appliquer. (44) Cttozong dttshtt évoque également une citation du « Grand commentaire» du Yijing (Xici zhttan, premier chapitre, paragraphe 10, p. 81), où l'on lit : cttozong qishtt. (45) Il semble que ce soit le caractère général des opérations de désagrégation, de réunion et de mise en communication qui, sur la base de la discussion précédente, incite à poser les opérations qui les réalisent en mathématiques comme fondamentales. L'importance de la multiplication et de la division - donnée sous les espèces de la simplification - est sans doute à entendre plus largement que comme renvoyant aux seules fractions. Il suffit de penser aux autres domaines où homogénéisation et égalisation sont efficaces. De même, on peut comprendre l'énoncé comme renvoyant aux procédures de calcul, ou plus généralement aux mathématiques, et donc aussi bien aux quantités qu'aux procédures (Voir sttan). Les principes fondamentaux invoqués dans ce passage, la généralité de ses affirmations, nous font opter pour la seconde interprétation. Notons que cette liste d'opérations continue à faire l'objet d'une élaboration au cours des siècles ultérieurs [Chemla à paraître-a), puisque, dans la « Monographie

Notes du Chapitre 1 sur la gamme et le calendrier (Lülizhi)>> de l'Histoire dynastiqtte des Sui (St!isht!, p. 387), Li Chunfeng en publie une autre version : « Quant à ce qu'on appelle fii, il Y a neuf (parties des mathématiques) qui en découlent [ ... ] (suit la liste des titres des Neuf chapitres) [ ... ] Dans tous ces cas, on multiplie pour les désagréger, on divise (chu) pour les réunir, on homogénéise et on égalise pour les faire communiquer, on {met en œuvre l'opération} dt! ((supposons" (Voir Jin you) pour les articuler, d'où les méthodes des procédures mathématiques (st!ansht! zhi fang) se réduisent à cela. » Pour une analyse de ce point, voir l'introduction au chapitre 2, section II.2. (46) Cette méthode alternative, qui produit le facteur par lequel multiplier un numérateur en divisant le dénominateur commun par le dénominateur correspondant, fera l'objet de comparaison avec d'autres procédures (voir le commentaire à 6.3). Voir Iii. [Bai Shangshu L':o.I983a], p. 19, remarque l'intérêt de cette procédure lorsqu'on recourt au p.p.c.m. comme dénominateur. (47) Voir bt! man « ne pas remplir », ming « nommer ». Notons que l'expression recouvre ici deux cas. Soit le résultat de l'addition s'obtient au moyen d'une division (cas des problèmes 1.8 et 1.9). Soit la somme des numérateurs reste inférieure au produit des dénominateurs, et le résultat s'obtient simplement par le fait de nommer l'un à l'aide de l'autre (problème 1.7). (48) On peut également interpréter cet énoncé comme une reformulation de l'algorithme en termes d'homogénéisation et d'égalisation: «Si maintenant on veut chercher son dividende (shi), on homogénéise ces numérateurs ; en outre, on égalise ces dénominateurs et on effectue [. ..]» C'est ainsi que [Li Jimin L':o.I993], }it!zhang st!anshu jiaozheng, p. 138, ponctue. (49) Au cas où les fractions à sommer partagent le même dénominateur, on peut laisser de côté les deux étapes d'égalisation et d'homogénéisation de l'algorithme et réduire la préparation du dividende et du diviseur à la simple somme des numérateurs. On peut également interpréter ce dernier énoncé comme suit: « SI LES DÉNO'MINATEURS SONT ÉGAUX, ON FAIT SEULEMENT SE REJOINDRE CEUX-CI (LES NUMÉRATEURS) LES UNS LES AUTRES. » Relevons que la syntaxe de cet énoncé n'est pas usuelle. La procédure propose donc deux listes d'opérations en fonction des cas. Elles partagent la même conclusion, dans la mesure où le premier cas est ramené au second. (50) La procédure est semblable à celle pour l'addition des fractions, et le commentaire en reprend les principaux concepts. Voir les notes précédentes. Le parallèle va jusqu'au point de prescrire une division alors qu'elle n'est pas nécessaire: on soustrait l'une de l'autre des fractions par nature inférieures à 1. (51) Sur le fait que l'expression «les parts» peut renvoyer au numérateur, Voir fin. Nous traduisons ici la leçon de la Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle. La leçon de l'édition Song est également compréhensible: «Dans cette procédure, "les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur

765 correspondent pas", et on soustrait les parts du petit des parts du grand. Commentaire: cette procédure a pour beaucoup le même sens (yi') que la soustraction des parts. » Cette procédure reprend la structure de la précédente, pour la soustraction des fractions - voir les notes précédentes. Le commentaire les oppose (Voir yi, yi'). (52) On peut aussi comprendre: « Seule la quantité (shu) surplus de l'une sur l'autre a une signification différente de celle qu'elle a dans la "soustraction des parts". » (53) Ou: «ON DEMANDE, RESPECTIVEMENT, COMBIEN L'ON SOUSTRAIT DES PLUS GRANDES, DE COMBIEN ON AUGMENTE LA PLUS PETITE, POUR AVOIR LA MOYENNE. » La procédure semble indiquer que le problème général visé ici concerne le cas où une seule des fractions est inférieure à la moyenne, tandis que toutes les autres lui sont supérieures. Voir la discussion de la fin de la procédure. (54) Il faut entendre que l'on soustrait 2/12 des 3/4 et 1/12 des 2/3, et que l'on augmente 1/3 de la somme des quantités soustraites. Nous verrons que ces valeurs ne sont pas conformes à la procédure. (55) Il faut entendre à nouveau que l'on soustrait 1/36 des 2/3 et 4/36 des 3/4, et que l'on augmente 1/2 de la somme des quantités soustraites. Nous verrons que ces valeurs ne sont pas plus conformes à la procédure. (56) Il semble que « les parts» renvoient autant aux parts constitutives qu'aux diverses quantités qu'elles forment. Voir fin. (57) Il semble que l'addition pratiquée sur la surface à calculer détruisait les nombres sur lesquels on opérait. Le fait de sommer « en auxiliaire» (Voir fu) permet de disposer, après le calcul, des « quantités que l'on avait avant qu'elles ne soient sommées », qui réinterviennent dans la suite de l'algorithme. Par ailleurs, relevons que le «dividende de la moyenne (ou: dividende moyen) » désigne une variable dont la valeur évoluera au cours de l'algorithme; sur ce type de phénomène, voir chapitre D, section I.3.b. (58) En fonction de l'interprétation que l'on donne de la fin de la procédure, l'on peut comprendre ici que tous les numérateurs sont diminués de certaines quantités, à l'exception d'un d'entre eux qui se voit augmenté des mêmes. Ou bien, l'on peut traduire: « Ce dont les multiples numérateurs sont diminués ou augmentés [. .. ] » Voir la discussion de la fin de la procédure. Voir sun « diminuer», yi « augmenter». (59) Chaque couple d'un numérateur et d'un dénominateur renvoie à une quantité disposée (Voir lie). Le nombre de celles-ci indique donc celui des fractions à moyenner, et les valeurs produites ici pourraient aussi se comprendre, chacune, comme: «LE DIVIDENDE D'UNE QUANTITÉ DISPOSÉE ». [Schrimpf 1963], p. 106, avance l'idée qu'il pourrait s'agir du nombre de rangées. (60) Voir chong you fin. Liu Hui, cherchant à rendre compte de la forme prise par la procédure du Classique, y identifie l'intention suivante: au lieu de diviser le dividende de la moyenne par deux diviseurs consécutivement, on

766 multiplie le premier diviseur qui lui correspond, ainsi que tous les autres dividendes auxquels ce dernier à son tour correspond, par le second diviseur. Relevons l'organisation de l'algorithme. [Bai Shangshu .6.1983], pp. 21-24, remarque que la question se pose pour le second problème, et non pour le premier, où le nombre de fractions divise sans reste le dividende de la moyenne. L'algorithme donné est donc général. Le début de ce commentaire pose un problème d'édition. On serait tenté de reconstituer l'énoncé comme suit: « Ici il faudrait diviser ce qui a été sommé en auxiliaire par le nombre (shu) de (quantités) disposées pour faire le dividende moyen. » C'est ce à quoi correspond la proposition de restitution du texte de l'original avancée par [Li ]imin .6.1993], ]ittzhang suanshtt jiaozheng, note 24, p. 162 : il suggère que l'énoncé tel que nous le transmettent les documents anciens a été victime, lors d'une copie, d'une omission des deux caractères chuzhi, et il restitue donc l'original ainsi: ci dang

fubing [chuzhi] lieshu wei pingshi. (61) Le choix, dans la traduction, du terme «place» au lieu de celui de « position» (Voir wei) renvoie à la proximité du verbe « disposer» (Voir lie). Notons que chaque fraction renvoie à une unique position, où est probablement rangé son numérateur (Voir fin), puis les nombres en lesquels il est transformé. Li Chunfeng justifie la formulation du Classique en lui prêtant une intention de généralité. (62) On peut ponctuer autrement: «Tous les exemples de la sorte suivent une unique règle; mais on ne peut déterminer à l'avance combien de parts on moyenne, c'est pourquoi l'on dit seulement "le nombre (shu) de (quantités) disposées", et c'est tout. » (63) La fin de cette procédure pose des problèmes d'interprétation. Il semble prescrit de soustraire le dividende de la moyenne de tous les dividendes « disposés », lesquels correspondent aux numérateurs des diverses fractions d'origine, désormais réduites au même dénominateur. L'opération n'est donc pas restreinte aux seules fractions qui sont supérieures à la moyenne (Voir la syntaxe de jian « soustraire»). De plus, il est ensuite prescrit de simplifier les fractions restantes : leurs valeurs étant toutes inférieures à 1, les écarts à la moyenne s'obtiennent par simple conjonction de leur numérateur et de leur dénominateur, et la simplification implique qu'on en détermine, à ce point du calcul, la valeur. Or, première difficulté, le résultat énoncé ne semble concerner que les quantités à soustraire des fractions trop grandes pour obtenir la moyenne. En outre, la simplification soulève deux autres difficultés: 1) aucun des problèmes donnés ne produit ces fractions sous forme simplifiée; 2) pourquoi calculer les valeurs des écarts, pourquoi simplifier, si l'on s'apprête à augmenter, à l'aide des excédents, la quantité la plus petite, et, donc, à opérer sur leurs numérateurs? Une ponctuation alternative du passage permet une autre interprétation, qui offre peut-être des solutions: « ON SOUSTRAIT, DES DIVIDENDES DISPOSÉS, LE DIVIDENDE DE LA MOYENNE (ndt : dans chaque cas, on soustrait le plus petit du plus grand) ; CE QUI RESTE, ON LE SIMPLIFIE POUR FAIRE LES QUANTITÉS QUE L'ON SOUSTRAIT OU QUE L'ON SOMME.

Les Neuf chapitres QU'ON AUGMENTE LA PLUS PETITE À L'AIDE DES QUANTITÉS QUE L'ON SOUSTRAIT, OU QU'ON NOMME, À L'AIDE DU DIVISEUR, LE DIVIDENDE DE LA MOYENNE, DANS CHAQUE CAS, ON OBTIENT LEUR MOYENNE. » La première série d'opérations produirait de manière identique tous les écarts à la moyenne, et on peut les simplifier dans la mesure où ils n'interviendront plus dans les calculs. Le fait d'augmenter la plus petite fraction des surplus des plus grandes (sans en calculer la somme auparavant) pour produire la moyenne pourrait n'être mentionné ici que comme alternative, mais ne renverrait pas à aucune opération effective, le calcul de la moyenne se faisant en réalité directement: sa valeur étant par définition inférieure à 1, elle résulte de la simple conjonction du numérateur (le « dividende de la moyenne ») et du dénominateur (le «diviseur », Voir ming « nommer»). On peut ainsi rendre compte du ge « dans chaque cas». La procédure ouvrirait alors sur le traitement de problèmes plus généraux. Cette solution n'est toutefois pas sans présenter de difficultés. Elle ne correspond pas non plus à l'énoncé des résultats tels qu'on les trouve dans le Classique. De plus, elle suppose un parallèle entre jian « soustraire» et bing « sommer». Or jian a plutôt pour opposé des termes comme jia « additionner» (Voir jia), alors que bing est en général contrasté avec cha « différence ». Cependant, ces oppositions pourraient s'être, à strictement parler, mises en place après la rédaction du Classique. En effet, d'une part, Les Netif chapitres n'utilisent pas cha en ce sens (Voir cha) et, d'autre part, on y rencontre bing avec des syntaxes qui seront, dans les textes ultérieurs, plutôt réservées à jia (Voir bing). Quoi qu'il en soit, notons que pareille rédaction finale sous forme d'opérations alternatives pour produire le résultat, laquelle n'a pas été aperçue par les exégètes antérieurs, reste rare dans le texte (voir chapitre 7 également). (64) Les problèmes s'inscrivent ici dans le cadre d'un champ sémantique concret, celui-là même auquel le commentateur recourra (1.21) pour comparer multiplication et division des fractions et mettre en évidence le lien entre la procédure de « multiplication des parts» et la « procédure d'homogénéisation et d'égalisation». Les fractions d'homme incitent cependant à ne pas y voir des valeurs réalistes. Les données ne sont plus des fractions pures, mais des entiers augmentés d'une ou même - chose rare dans le texte - de deux fractions. Le cas se présente à nouveau pour une autre série de problèmes proposant également de diviser des fractions (4.1 à 4.11). Voir l'introduction au chapitre 4, paragraphe 1.2, pour une comparaison entre les deux algorithmes. (65) Ou : « délimitation des parts ». Nous retenons pour

jing le sens de « délimiter, définir des frontières, découper ». Le terme, qui s'écarte des désignations usuelles de la division, est repris pour former le nom de procédures toutes deux appelées «partage des Iii» au chapitre 2 (voir l'introduction à ce chapitre 2 pour une discussion de la manière dont les commentateurs lisent ce parallèle). Or c'est ici même Liu Hui discute le concept de Iii. La procédure est citée à plusieurs reprises dans les commentaires

767

Notes du Chapitre 1 (1.21, 2.33, 2.37, 2.46, 3.0), et l'on retrouve un algorithme portant un nom apparenté dans le Livre de procédt/res mathématiques (Suanshushu, voir [Du Shiran L::>.1988a], p.202, [Peng Hao L::>.2001a], pp. 48-50, lattes de bambou 26-27). En fait, le caractère jing que nous rendons par «partage» y est remplacé par le caractère jing « directement ». Ce fait révèle que la glose de Li Chunfeng sur le titre semble bien s'appuyer sur une tradition d'interprétation. Les introductions aux chapitres 2 et 4 mettent en évidence d'autres liens historiques entre les analyses des commentateurs et ce témoignage , archéologique. (66) « Parts » est probablement à nouveau à comprendre comme « numérateurs» (Voir fin). Li Chunfeng fait sans doute allusion à la différence de style entre les procédures précédentes et celle-ci, qui intègre tous les cas possibles: le problème est présenté comme résolu par division, puis des opérations sont greffées en amont de la division, pour tenir compte de la nature variable des données. Cependant l'algorithme ne précise pas les manipulations concrètes des numérateurs ou dénominateurs. (67) Li Chunfeng cherche à rendre compte du nom de la procédure. Interprète-t-ille caractère jing que nous rendons par « partage » comme signifiant ici « directement » ? Ou le prend-il pour un synonyme de fin «partager », quand il tire la justification du nom de la phrase: « on partage ce qui est partagé » ? Son commentaire à la première « Procédure du partage des Iii », après le problème 2.33, incite à opter pour la première hypothèse. Le témoignage, cité ci-dessus, du Livre de procédures mathématiques, semble également l'étayer. Notons que st/ofin semble pouvoir désigner aussi bien la somme à partager que la quantité qui comporte des parts. (68) La procédure envisage trois cas, emboîtés l'un dans l'autre. Si les données sont entières -le cas fondamental - , la solution est apportée par une simple division. Si elles comportent un seul type de parts, à savoir s'il apparaît une fraction, ou s'il se présente deux fractions, mais de même dénominateur, on se ramène au cas précédent en «faisant communiquer» (Voir tong, Liu Hui en précise la signification dans son commentaire). Ainsi

(a + blc)/(d + elc)

=

(ac + b)/(dc + e)

Si les données comportent maintenant plusieurs types de parts, on se ramène au cas précédent - et donc au premier - , de la sorte:

(a + blc)/(d + elf+ glh)

=

(a + bfhlcfh)l[d + (ech + gcf)lcfh]

C'est ce que Les Neuf chapitres désignent par le fait d'« égaliser (Voir tong), puis de faire communiquer». Liu Hui, quant à lui, ouvre son commentaire en redéployant l'ensemble des cas logiquement, depuis le dernier jusqu'au premier. Sur l'argumentation de cette interprétation, voir [Chemla 1992a]. (69) Liu Hui détaille cette opération de mise en communication (Voir tong), qui n'a pas encore fait l'objet de commentaires. Voir ji/en, cong « rejoindre ».

(70) Pour justifier ces opérations pratiquées sur les dividende et diviseur, Liu Hui remonte au type d'entité qu'ils sont: des Iii, et il choisit cette opportunité pour introduire ce concept général (voir l'introduction au chapitre 1, Voir lü, xiangyu « donner en relation l'un avec l'autre», tong « communiquer»). (71) De par leurs propriétés générales, si des lü - par exemple, un dividende et un diviseur - comportent des fractions, en les multipliant tous par les dénominateurs, on peut désagréger chaque unité en de multiples parts, de sorte qu'il ne reste que des nombres entiers de telles parts. La seconde occurrence de l'expression « les parts» semble alors renvoyer aux « nombres de ces parts», soit aux « numérateurs », aux entiers formés (Voir fin). Voir chongdie « superpositions réitérées». La dernière opération, pratiquée sur un dividende et un diviseur, permet ensuite d'introduire une autre notion générale: les « lü mis en relation l'un avec l'autre» (Voir xiangyu lü, dengshtt « nombre égal»). La première permettait de justifier l'algorithme, la seconde le simplifie, de manière générale, sur la base de l'analyse que produit la démonstration. Notons que les opérations de désagrégation et de simplification, données au commentaire à 1.9 comme fondamentales, sont reprises ici sur les lü. (72) Liu Hui propose, par la suite, une autre procédure. La constitution des ensembles de cas, leur articulation, diffèrent de celles du Classique. Le cas de base est celui de deux fractions pures divisées l'une par l'autre. Lorsque dividende et diviseur comportent deux entiers augmentés de fractions, par « mise en communication», on se ramène à ce premier cas (il faut entendre que « chaque dénominateur multiplie l'entier qui lui correspond»). (73) Le Livre de procédures mathématiques (Sttanshushu) énonce à deux reprises une procédure pour multiplier des fractions ou multiplier par des fractions (lattes de bambou 6 et 7) et comporte des tables de telles multiplications. Ce sujet est traité en parallèle avec les multiplications d'unités et les produits des ordres de grandeurs les uns avec les autres, et il paraît particulièrement important puisqu'il occupe les lattes de bambou 1 à 12, sur un total de 190 (voir [Du Shiran L::>.1988a], p. 202 ; [Peng Hao L::>.2001a], pp. 37-42). (74) Multipliant des fractions par nature inférieures à 1, pourquoi la procédure s'achève-t-elle par l'énoncé d'une division ? Les problèmes reprennent la sémantique de l'aire de champs, et l'algorithme suivant produira une synthèse entre cette procédure-ci et les premiers algorithmes du Classique: est-ce en vue de cette extension? La procédure pourrait être traduite comme si elle visait à traiter un nombre indéterminé de fractions. Nous optons pour le singulier, qui correspond mieux au cadre du calcul d'aires. (75) Voir bttman « ne pas remplir », ming' « nom ». Le terme de « dividende » désigne dans ce passage, comme à l'accoutumée, les dividendes à proprement parler, avant que la division ne commence, aussi bien que leurs différentes valeurs au long de l'opération, et ce jusqu'au reste, dont il est ici d'abord question. Lorsque l'opération est

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Les Neuf chapitres

achevée, le reste du dividende, que le texte chinois appelle toujours «dividende» (voir chapitre D, section 1.3.b), est pris comme numérateur, tandis que le diviseur est pris comme dénominateur (voir la procédure et le commentaire faisant suite au problème 1.9).

Par ailleurs, pour ce cas-ci, la désignation trouvée pour le même algorithme dans le Sttamhttshtt se prête mieux encore à la même interprétation. Il y a donc des raisons d'accorder foi à son interprétation du nom de la procédure ici. Voir le chapitre A, section 11.3.

(76) Voir qttan « entier», baochtt « diviser en retour». Si l'on applique l'énoncé général au cas d'une fraction, la division a : b produit, si a est inférieur à b, la fraction a/b. Si le dividende a est dilaté par b, la suite d'opérations: b . a : b produit a. Multiplier quelque chose, appelons-le x, par a équivaut à effectuer la suite d'opérations (b . a: b) . x. Et donc multiplier par a au lieu de a/b implique que l'on a multiplié en amont par b et qu'il faut diviser en aval par b «en retour». La validité de ces transformations des listes d'opérations suppose que les résultats des divisions sont exacts (sur ces points, voir le chapitre A, section III. 5). Le premier énoncé peut également s'interpréter comme suit: « S'il y a des parts, et si, en dilatant le dividende correspondant par multiplication, par suite, corrélativement, il remplit le diviseur, alors (la division) ne fait plus qu'un entier. »

(84) Voir yttfen « parts de reste », qttan « nombre entier ».

(77) Voir lianchtt « diviser d'un coup». (78) Afin d'analyser les rapports entre cette procédure pour la multiplication des parts, la procédure pour le partage des parts (1.18) et la procédure d'homogénéisation et égalisation (1.9), le commentaire annonce un changement de sémantique qui lui fait quitter le domaine des aires pour reprendre celui des achats. Sur le rôle des problèmes dans la pratique mathématique en Chine ancienne, voir [Chemla 1997c) ou le chapitre A, section II1.3 dans le présent volume. (79) Voir ftt « suivre », wen « problème », qi « homogénéiser », ftt « relever de », et, plus loin, tong « égaliser ».

(85) Voir tong qttan na zi « faire communiquer l'entier et incorporer au numérateur ». (86) Ou: « il faut, à l'inverse, le faire sortir ». On retrouve la figure que le commentaire à la procédure de multiplication des parts (1.21) exprimait par « diviser en retour » (baochtt). Voir httan « à l'inverse », l'tt « entrer », chtt « sortir», puis lianchtt « diviser d'un coup». (87) Voir la figure 1.2, Voir tian « champ », gtuttan «champ triangulaire». Voir également zhengcong «longueur droite». Notons que tous les triangles correspondant à cette largeur et cette longueur droite relèvent des mêmes algorithmes. (88) La modification de terminologie (.1982b], pp. 41-44, qui résume ces arguments; (Li Jimin L::>.1990a], pp. 272-274 ; (Guo Shuchun L::>.1992a], pp. 250-251). Par contraste, d'autres historiens prennent la mention de la dynastie Jin telle qu'on la trouve ici comme la marque d'un commentateur postérieur à Liu Hui. C'est le cas, par exemple de Li Di, de Don Wagner, de Ch'en Liang-Ts'o et de Guo Shirong (voir (Wagner L::>.1978b], (Ch'en Liang-Ts'o L::>.1987a], (Guo Shirong L::>.1993b] et (Li Di L::>.1982b], pp. 36-41, qui rapporte les arguments de plusieurs tenants de cette position, dont les siens propres). Soulignons que, selon la thèse que l'on adopte, il conviendra de traduire l'énoncé au passé ou au présent. Sur ce point précis de déterminer quel auteur est susceptible de renyoyer ainsi à la dynastie Jin, de nouveaux arguments viennent renforcer le caractère peu probable de l'attribution de cette référence à Liu Hui. Un seul des trois passages des commentaires aux Neuf chapitres concernant le vase étalon confectionné au temps de Wang Mang signalés

775 (1.32, 5.25, 5.28) peut être attribué sans doute aucun à Liu Hui: c'est celui qui fait suite au problème 5.25. En effet, Li Chunfeng le cite dans la « Monographie de la gamme et du calendrier» de l'Histoire des Sui (Suishu, p. 409-410), en donnant Liu Hui comme son auteur. Or, d'une part, dans ce passage, Liu Hui renvoie à la dynastie sous laquelle il vit non par un nom, mais par des expressions du genre «le hu actuellement édicté par ( ... ] », « en chi d'aujourd'hui », « en hu dJaujourdJhui ». D'autre part, immédiatement après avoir cité cet extrait du commentaire de Liu Hui dans l'Histoire des Stti, Li Chunfeng interprète ces termes comme désignant la dynastie Wei, celle-là même sous le règne de laquelle Liu Hui travaillait en 263. Et il en tire argument pour déterminer le volume du htt des Wei relativement à celui de Wang Mang. Le même phénomène se reproduit quelques pages plus haut pour l'unité de longueur qu'est le chi, pour laquelle il contraste l'unité évoquée par Liu Hui à celle qu'instaurera, en 274, Xun Xu, en revenant à l'étalon de longueur lié au vase de Wang Mang (Suishtt, p. 404). Donc, il ne fait pas de doute, aux yeux de Li Chunfeng, qu'il convient d'interpréter ainsi ces expressions de Liu Hui: ce fait confirme la foi qu'il accorde à la date de 263. Et, surtout, ce point précis met en évidence que, pour lui, Liu Hui a vu le vase, et l'a même mesuré du temps de la dynastie Wei, et non pas sous la dynastie Jin. Plus encore, Li Chunfeng date donc bel et bien ces réflexions de Liu Hui sur le hu de Wang Mang de cette période. Ce faisceau d'indices rend très peu probable que Li Chunfeng compile, dans le commentaire des Neuf chapitres, la mention de la dynastie Jin que nous examinons, en considérant Liu Hui comme son auteur. (134) On peut également comprendre qu'il s'agit d'un cylindre, toujours fictif, à base carrée - ou d'un cube d'un chi de côté auquel un cylindre à base circulaire est circonscrit (voir figure 1.29).

Tiaopang « écart entre intérieur et extérieur »

Figure 1.29 - Vue de dessus de la partie relative au hu du vase de Wang Mang. Au centre le carré fictif de 1 chi de côté. Un cylindre lui est circonscrit, dont la distance à la paroi intérieure du vase est mesurée par le tiaopang.

776

Les Nettf chapitres

La contenance réelle de ce vase d'intérieur cylindrique étant de 10 dott, son volume de 1620 Clin, le diamètre qui lui correspond présente un écart, relativement au cylindre circonscrit au cube fictif intérieur, que mesure le tiaopang - 1'« écart entre intérieur et extérieur», la distance entre les coins du cube et la paroi intérieure du vase; selon les gloses des commentateurs à l'Histoire des Han, (Hamhtt, p. 968, note 4), l'expression est sans doute à comprendre littéralement comme « ce qui dépasse à côté (du cylindre intérieur) », voir également la note 142, dans le contexte du problème 5.25. Il était nécessaire de mettre en œuvre des valeurs exprimant les rapports entre cercle et carré pour rédiger cette inscription. Le commentateur compare l'aire de la section du cylindre intérieur, qu'annonce l'inscription, avec celle qu'il obtiendrait en recourant aux valeurs qui ont été établies ci-dessus: calculant le diamètre en augmentant une valeur approchée de la diagonale du carré par le double de 1'« écart entre intérieur et extérieur », il trouve une aire de 161 Clin augmentés d'une fraction qu'il n'énonce pas. Voir les problèmes 5.25 et 5.28. (135) Ou : « les (valeurs produites/coefficients utilisés par) cette procédure sont légèrement trop petites». Le commentateur compare la valeur fournie par l'inscription et celle que la procédure établie produit: comme cette dernière donne des résultats approchés par défaut, le résultat selon lequel la valeur qu'il trouve (161 Clin et des poussières) est plus petite que ce qu'annonce l'inscription (162 Clin) n'est pas significatif. C'est ce que le commentateur semble noter lorsque, constatant qu'il obtient des valeurs trop faibles, il ajoute: «par cette procédure, elle (l'aire) est légèrement plus petite (que l'aire réelle) ». Estce la raison pour laquelle il se lance dans l'établissement d'une meilleure approximation? Toujours est-il que la nouvelle valeur de 314 + 4/25 qu'il produit renvoie cette fois-ci à une erreur sur 'Tt par excès, et que le calcul de l'aire effectué à l'aide de cette approximation donne encore une aire de 161 ctm augmentée d'une fraction, même si l'on recourt à une valeur par excès pour Il en irait à vrai dire de même si l'on utilisait la valeur par excès de 22/7. Cette constatation met en évidence que l'auteur de l'inscription, Liu Xin, a dû utiliser pour 'Tt une approximation encore moins bonne. Par la suite, le commentateur établit à nouveau les rapports entre carrés et cercle, circonférence et diamètre que l'on peut former sur cette nouvelle base que constitue la valeur de 3 927/1 250. Deux points méritent ici d'être relevés. Le premier, de loin le plus important, c'est que l'auteur de ces lignes, lorsqu'il renvoie à la procédure pour calculer l'aire du cercle élaborée sur la base de la valeur 157/50, que vient d'établir Liu Hui, écrit: « En la cherchant avec cette procédure, on obtient comme aire [ ... J » (Je souligne.) Or, dans tottS les cas où Liu Hui lui-même fait référence à la mise en œuvre de sa procédure dans son commentaire (y compris au cours du passage faisant suite au problème 5.25 où il discute du vase de bronze de Wang Mang), il utilise l'expression: « Avec ma procédure, [ ... J », ou, mot à mot, «avec la procédure de Hui», voire « avec la nouvelle procédure», ou encore « avec ma nouvelle procédure». Ce fait, seul,

fi.

suffirait à exclure que ces quelques lignes soient de sa main. Dans ce même ordre d'idées, la mise en évidence par [Ch'en Liang-Ts'o (Chen Liangzuo) L:>.1987aJ, pp. 207209, d'une différence de style entre la fin du commentaire attribué à Liu Hui et sa première partie incite à penser que ces deux passages sont d'auteurs différents. Mais il est un autre point qui mérite d'être relevé: la valeur de 3927/1250 apparaît ici dans le contexte de l'évaluation de l'inscription du htt de Wang Mang. Or l'unique autre passage d'une source ancienne où cette valeur a été identifiée comme étant mise en œuvre se trouve dans la « Monographie sur la gamme et le calendrier» de l' Histoire des Stti (Sttishtt, pp. 408-409, et dans le passage identique du chapitre de même nom de l'Histoire desJin). Le point a été relevé par Li Huang, et les calculs sont analysés dans [Guo Shuchun L:>.1992aJ, pp. 250 et 255 sur la base de la version duJùlshtt ainsi que dans [Volkov 1994bJ, pp. 99100. Le fait est capital à deux titres. D'une part, il s'agit encore d'analyser un vase étalon ancien, et donc d'un usage proche de celui que l'on rencontre ici. A. Volkov montre qu'aucune autre valeur associée au nom de Zu Chongzhi n'a pu être utilisée pour obtenir ce résultat. D'autre part, le texte, tel qu'on le lit dans le Sttishtt, est explicite: «Zu Chongzhi a vérifié ceci avec la procédure de calcul [ ... J » (Li Ji, dans son Jiuzhang suanjing yinyi (Prononciation et sem dtt Classique des neuf chapitres de mathématiques), cite ce passage à l'identique, voir [Guo Shuchun L:>.1990J, Httijiaoben, pp. 463-464). Autrement dit, l'unique autre trace que nous avons d'un emploi de la valeur de 3927/1250 y est liée au même usage que dans ce commentaire des Neufchapitres et est explicitement associée au nom de Zu Chongzhi. Un peu plus loin, la« Monographie de la gamme et du calendrier» cite, cette fois, l'évaluation du vase de Wang Mang, celui-là même qui est l'objet de notre discussion ici, toujours par Zu Chongzhi (Sttishtt, p. 409). Nous disposons donc de témoignages anciens attestant du fait que Zu Chongzhi a bel et bien traité ce sujet (voir également [Wagner 1978bJ, pp. 211-212). Or, le Sttishtt, après avoir cité l'inscription du bronze en question, affirme: « Zu Chongzhi l'a vérifié avec les lit' du cercle et (il a obtenu le résultat) que ce hlt devrait avoir un diamètre de 1 chi 4 Ctin 3 fen 6 li 1 hao 9 llliao 2 htt et un "écart entre intérieur et extérieur" de 1 fen 9 hao [ ... J » Il est alors intéressant de constater qu'en reprenant le diamètre de 1,436 192 chi donné par Zu Chongzhi, on obtient, selon les différentes valeurs de 'Tt, les aires A de la section du cylindre suivantes: avec 'Tt = 22/7, A = 162,065 15 Clin ; avec 'Tt = 355/113, A = 161,999 966 ctm ; et avec 'Tt =3927/1250, A = 162,00033 Clin. Ce dernier résultat paraît donc assez proche de la valeur que délivre l'inscription. Pour une seconde fois, Zu Chongzhi, travaillant sur les inscriptions portées par un vase étalon, pourrait donc bien avoir calculé avec une valeur de 'Tt égale à 3,141 6. Il semble que, si cette valeur n'apparaît pas au nombre de celles que Li Chunfeng associe au nom de Zu Chongzhi, il ait pu néanmoins l'utiliser, pour des raisons à mieux ' comprendre, en relation avec ses analyses des vases étalons anciens. On notera, enfin, que, toujours selon le Sttishtt, pp. 402-403, Zu Chongzhi transmet un étalon de

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Notes dit Chapitre 1 longueur pour le chi qui porte une inscription relative à la réforme des mesures entreprises sous les Jin, en 274, par Xun Xu et dont la longueur est la même que celle qu'incarne le bronze de Wang Mang. Ces indices paraissent donc bien aller dans le sens de l'hypothèse avancée par Li Huang et inciter à conclure que Zu Chongzhi pourrait bel et bien être l'auteur dudit passage. Si cette attribution précise garde un caractère hypothétique, il paraît cependant plus certain que Liu Hui n'est bel et bien pas l'auteur de ces lignes. (136) Sur l'origine des 36/625 que le commentateur ajoute à l'aire du 192-gone et sur les nouveaux lil déduits, plusieurs hypothèses s'affrontent. Voir (Mikami 1932-5}, dont l'opinion est reprise et présentée par (Bai Shangshu ..6. 1990a}, pp. 62-63, (Guo Shuchun ..6. 1984a}, pp. 40-41, (Li Jimin ..6. 1990a}, pp. 263-270, (Volkov 1994b}, pp. 144-145. De ce point, dépendent les opinions relatives à ce passage. (Li Jimin ..6. 1993}, ]ittzhallg suallshlt jiaozheng, note 57, p. 168, considère que les éditions anciennes ne sont pas corrompues pour ce qui est du polygone mentionné et avance la proposition que l'on peut traduire: « Si l'on prend l'aire (mi) du 12-gone comme lil et qu'on fait varier (les valeurs) à l'aide des Iii, ( ... } » Il comprend cette dernière expression comme le nom d'une autre méthode d'évaluation des rapports entre cercle et carré: le commentateur prendrait le rapport entre la différence des aires entre 24-gone et dodécagone et l'aire des segments de cercle laissés pour compte par le 24gone comme constant, soit comme égal au rapport entre la différence des aires entre 192-gone et 96-gone et l'aire des segments de cercle laissés pour compte par le 192gone (voir le détail des calculs dans (Li Jimin ..6.1990a}, p. 268). Voir xiaoxi « faire varier ». (137) On peut également ponctuer: «l'aire (mi) du cercle donne 3 927, et on obtient pour l'aire (mi) du carré 5 000, ce qui fait comme Iii: pour l'aire (mi) du cercle inscrit dans un carré d'aire (mi) 5 000, 3927, et pour l'aire (mi) du carré inscrit dans un cercle d'aire (mi) 3 927, 2500 ». (138) De même que plus haut, au même endroit de ce qui apparaît comme une unité cohérente de calculs, la leçon de l'édition Song donne: «en doublant ce qu'on obtient, cela fait ( ... } ». (139) Voir jill « épuiser », fa « méthode », Ylte « rendre simple, simplifier, approximatif ». Nous avons choisi de rendre ce dernier terme par « approximatif». Il convient de noter qu'il s'agit d'une approximation au sens où ce qui est donné est simplifié par rapport à la réalité. C'est souvent ainsi que les commentateurs approchent le lien des valeurs données à n. La formulation est à opposer à un autre mode d'expression plus proche de l'idée d'approximation: Voir jill «approcher». Nous traduisons la leçon de l'édition Song. La Compilatioll de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie YOllgle donne un texte également compréhensible: « la méthode précédente n'est toujours qu'approximative ». Le commentateur signale ensuite la possibilité de retrouver ces valeurs pour les

rapports entre cercle et carré en poussant plus loin la méthode initiale. Il pense donc que pareille méthode est à même de produire une valeur de l'aire approchée par excès (voir note 135). La remarque donne sans doute un élément pour affiner notre analyse des manières de gérer les approximations au cours des opérations (voir note 123). (140) Ou: «cela ne fait qu'en redonner une vérification ». Voir weifell «parts décimales », yall «vérification ». (Guo Shirong ..6. 1993b}, pp. 366-367, tire argument de l'expression singulière utilisée ici afin d'enjoindre de négliger les chiffres à partir d'un certain rang (.1982d), p. 237, suggérait de suivre ici l'édition des Song du Sud. (29) Voirfen «part ». Relevons la variation des unités de mesure. S'appuyant sur une autre mise en forme des Iii, le commentateur propose une seconde interprétation de la règle de trois. Le rôle de l'unité y rappelle les commentaires aux problèmes 6.27 et 6.28. (30) L'énoncé suit ici l'ordre des opérations tel qu'il se présente plus haut. Par la suite, cette autre interprétation amène à rendre compte de la procédure directement, telle qu'énoncée par le Classique, sans qu'il soit nécessaire d'intervertir multiplication et division. Une transformation dans la manière d'énoncer les nombres se répercute en une modification dans la justification de la procédure. (31) Voir baochu «diviser en retour ». La justification évoque le commentaire de Liu Hui à la « Procédure de la multiplication des parts» (1.21). (32) Comme le souligne le commentaire de l'équipe travaillant sous la direction de Li Chunfeng, le texte attribué à Liu Hui présente ici une omission. De tels passages révèlent la manière dont ces exégètes du VIle siècle ont traité le texte qui leur a été transmis. (33) Les énoncés des trente et un premiers problèmes, qui nous feront parcourir un cycle de transformations techniques et économiques à partir du grain non décortiqué, puis les transformations inverses en grain décortiqué, avant que ne soient considérées des transformations entre

(35) La reprise, lacunaire, modifié, de l'énoncé de la « procédure universelle» - une qualification empruntée au début du commentaire ci-dessus - appelle à une comparaison terme à terme avec cette procédure-ci. (36) Le commentaire met en évidence que l'algorithme peut être interprété comme une application de la procédure générale du « supposons ». En conséquence, les simplifications dont 50 et 30, tous deux des lû', sont l'objet se trouvent justifiées. On notera que le même nom de lii s'applique, successivement, à des couples de valeurs différentes, mais qui présentent le même rapport. Par contraste avec les procédures qui transforment les nombres, les transformations de nombres changent ici la procédure. Cette manière d'identifier, terme à terme, opération à opération, les deux procédures de sorte que l'une donne le sens de l'autre se retrouvera à l'identique dans nombre de démonstrations. (37) Voir titi « rétrograder », wei « position ». Les représentations, à l'aide de baguettes, de 3 et de 5, d'une part, 30 et 50, de l'autre, sur la surface à calculer diffèrent donc. (38) La facture de l'énoncé incite à le lire en opposition avec le commentaire précédent. (39) Voir fan « complexe». Le terme, introduit au chapitre 1 relativement aux fractions, qualifie ici un couple de nombres. Leur simplification simultanée conduit à simplifier, par conséquent, la procédure. (40) Voir tong« faire communiquer ». En quelqueslignes, l'on rencontre deux usages de l'opération : elle est ici d'abord appliquée à l'entier 13 pour transformer le lü global en un entier, puis à l'autre Iii pour préserver la communication entre eux. (41) Selon l'interprétation que l'on donne de «part» (Voir fen), il est plus ou moins facile d'interpréter que soient ensuite prescrites une multiplication et/ou une division. Voir benlii « lii fondamentaux». (42) On peut ponctuer autrement: «Le lü du gros gruau de blé valant 54, on peut le diminuer de moitié, c'est pourquoi "on multiplie ceci par 27". C'est comme lorsqu"'ayant du petit mil, on cherchait du grain finement décortiqué" : on a également diminué de moitié leurs deux Iii. » C'est ici la leçon de l'édition Song. La Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle comporte une autre leçon, également compréhensible: « Le lii du gros gruau de blé vaut 54. En s'appuyant sur le fait qu'on peut le diminuer de moitié, alors "on multiplie ceci par 27". C'est comme lorsqu'''ayant du petit mil, on cherchait du grain finement décortiqué" : on a également diminué de moitié leurs deux Iii. » La comparaison entre problèmes repose sur les opérations que l'on applique dans chacun des contextes.

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Notes du Chapitre 2 (43) On peut ponctuer autrement: «Comme le Iii du grain grossièrement décortiqué cuit vaut 75, si, "ayant du petit mil, on cherche du grain grossièrement décortiqué cuit", il faudrait multiplier ceci (sa quantité) par cette valeur (shu). » (44) Le calcul de cette variante du plus grand commun diviseur qu'est le «nombre égal» (Voir dengshu), la simplification, sont importés du domaine des fractions à celui des Iii. Notons que jusqu'à présent, la simplification par 10 - qui se soldait par une rétrogradation des deux valeurs sur la surface à calculer - ou par 2 n'impliquait pas, du moins au niveau des commentaires, de mentionner ce « nombre égal». Les choix de valeurs pour les Iii permettent, tout en suivant un ordre parallèle à celui de la production technique des grains, de présenter les divers cas de transformation des Iii selon une progression mathématique raisonnée. Notons que la procédure est ensuite réécrite - cela se reproduira - comme l'alternance d'une multiplication (cheng) et d'une division (chtt). (45) Le commentateur indique l'identité (Voir tong) des procédures pour le problème 2.6 et celui-ci. (46) On peut également ponctuer: «Comme le Iii du grain finement décortiqué cuit est 48, ici on diminue aussi les deux Iii de moitié, puis on multiplie (cheng) et divise (chu). » (47) L'identité entre algorithmes relevée ne renvoie pas, comme plus haut entre 2.6 et 2.8, à une identité absolue, mais au fait que la même procédure permet, ici comme en 2.9, de passer de l'algorithme potentiel à l'algorithme simplifié que proposent Les Neuf chapitres. (48) Le Classique adopte ici une présentation nouvelle puisque, pour les quatre grains auxquels est associé un même Iii, il propose à la suite des quatre énoncés une unique procédure. (49) Relevons que, pour le commentateur, il se trouve autant de procédures que de problèmes, mais qu'elles ont été réunies du fait de leur identité. Par ailleurs, la procédure ne mentionne pas de traitement particulier du fait que la quantité de petit mil, par opposition aux Iii, entiers, implique des unités diverses ainsi que des fractions. (50) Voir sheng « économique », ytte « simplifier », dengshtt « nombre égal », yi' « sens ». Notons qu'ici, le sens yi' de la procédure combine simplification et règle de trois. (51) Le commentateur compare avec le problème 2.15, plutôt qu'avec le problème 2.1, lorsque la situation se présente ici pour la première fois. Le rapprochement se fait à nouveau sur la base des procédures de simplification des algorithmes plutôt que relativement aux algorithmes eux-mêmes. (52) Voir tong «faire communiquer ». Le phrasé du raisonnement évoque 2.5. (53) Voir zhang « dilater ». (54) Le commentaire évoque celui au problème 2.14.

(55) Ce problème entame une série de questions inverses des précédentes, pour lesquelles les procédures inverses sont mises en œuvre. Le commentaire se concentre ici sur le fait que le Classique applique la même procédure universelle (dottshtt, l'expression par laquelle le commentaire débute en 2.0) pour une recherche inverse (Voir fan « inverse», qitt « recherche»). Là, la règle de trois, au lieu de suivre l'opération technique, permet de remonter dans le temps. (56) Notons cette troisième forme d'identité (Voir tong) des procédures, qui semble ici renvoyer, non pas à une identité pure et simple, pas non plus à une même simplification, mais à la même manière d'utiliser la règle de trois. (57) Après avoir envisagé les transformations de petit mil en chacun des grains de la liste initiale, puis les transformations inverses, Les Netif chapitres se tournent ici vers la prise en considération de transformations de n'importe quel grain en un autre: décorticage, cuisson, etc. Les procédures, s'appuyant toujours sur les Iii, sont encore autant d'applications de la procédure générale (58) Le commentaire évoque à nouveau celui au problème 2.14. (59) Il se présente ici une erreur mathématique, puisque le commentaire prescrit de multiplier le grain grossièrement décortiqué mit d'origine. Les divers éditeurs l'ont considérée comme une corruption du texte. Il faut cependant noter que la même erreur se reproduit dans les commentaires aux problèmes 2.27, 2.28, 2.29, 2.31, que par conséquent, des problèmes de la série 2.25 à 2.31, seuls les commentaires à 2.25 et 2.30 sont justes, et que les corruptions que cela impliquerait seraient de natures très différentes. (60) Le commentaire évoque encore une fois celui au problème 2.14. (61) Voir les notes au problème 2.26. (62) Voir les notes au problème 2.26. Ici, l'on n'a pas, comme on pourrait s'y attendre, la mise en communication (Voir tong), suivie d'une simplification. Au contraire, la simplification vient avant la mise en communication, ce qui a pour conséquence que le « nombre égal» (Voir dengshu) est déterminé pour des valeurs non entières, et que la simplification produit des valeurs fractionnaires. Les deux opérations se trouvent donc combinées, mais d'une manière inattendue, à la différence de ce que l'on trouve pour le problème analogue 2.30. [Li Jimin .6. 1993}, ]iuzhang sttanshtt jiaozheng, notes 18, 19, p. 204, considère que cela est dû à une corruption du texte. (63) Voir les notes au problème 2.26. (64) Par contraste avec le cas du problème 2.28, la simplification fait ici suite à la mise en communication. (65) Voir les notes au problème 2.26. (66) Ici à nouveau, plusieurs problèmes sont suivis par la procédure commune qui les résout. Le commentaire de la procédure se placera toutefois dans le cadre de ce problème-ci.

790 (67) Le nom que cette procédure a en commun avec la suivante évoque la procédure du « partage des parts» (1.18) à laquelle Liu Hui, puis plus loin Li Chunfeng, la comparent. Le rapprochement se révèle fondamental, et invite à considérer les relations entre de multiples concepts, d'une part, et des opérations de l'autre. Les problèmes que cette procédure résout portent ici sur des quantités discrètes, par opposition aux suivants qui concernent des grandeurs de type continu, ce qui induit la différence entre les deux formulations de la procédure. Li Chunfeng met au jour leur relation en montrant leur rapport au sujet du chapitre: la procédure du « supposons ». Avec ce type de problèmes, l'on revient à la question de l'unité, dont le commentaire, en 2.0, a souligné le rôle fondamental en rapport avec la règle de trois et les lü. Vu dans la perspective du début du chapitre, l'enjeu en serait de déterminer des lü, en montrant comment ils dépendent, pour ce qui est des quantités renvoyant à des grandeurs de type continu, des unités en fonction desquelles on les calcule. Au lieu que ces Iii servent, comme précédemment, à gérer les échanges entre deux types de grandeurs, leur valeur sera exprimée en termes de monnaie, laquelle s'introduit alors au centre des tractations. Cependant nous verrons que les commentateurs privilégient, à la suite du Classique, une autre lecture. (68) Voir yi' « sens », Jin you « [mettre en œuvre l'opération] du "supposons" », dont les termes techniques sont ici repris. Notons que, dans le cadre de cette interprétation, le commentateur semble exhiber la règle de trois suivante comme correspondant à la formulation de la procédure: le diviseur, 18 briques, est lu, en conformité avec le nom que lui attribuent Les Neuf chapitres, comme le « Iii de ce que l'on a », et les rôles de 160 sapèques et de 1 brique sont respectivement distribués en la « quantité de ce que l'on a » et le « Iii de ce que l'on cherche ». C'est également l'identification à laquelle procède la suite du commentaire. Pourtant une application directe de la règle de trois au problème, guidée par la signification des termes, inciterait plutôt à prendre 1 brique comme quantité de ce que l'on a, et 160 sapèques comme lü de ce que l'on cherche. Mais la lecture « transversale» de Li Chunfeng présente l'avantage d'être en adéquation avec la distribution de noms, par le Classique, pour la procédure suivante. Les Iii, gérant les transformations entre diverses unités pour une même entité maintenant, apparaissent alors comme ce qui détermine les variations des prix en fonction des unités. Cette nouvelle application ouvre une autre perspective d'où élaborer les relations entre Iii et unités de mesure, entre division, changement d'unité et règle de trois: en divisant le lü d'une unité par le lü d'une autre, on obtient ce par quoi multiplier le prix de l'autre pour obtenir le prix de la première. Les mêmes opérations peuvent prendre des significations différentes. Nous traduisons ici la leçon de la Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle. En restituant cheng « multiplier» (note 35), la leçon de l'édition Song fait également sens : « Ceci a le sens (yi') de [mettre en œuvre l'opération] du "supposons". Si l'on multiplie, par le Iii de ce que l'on a, ce que l'on cherche, cela correspond

Les Neuf chapitres (Voir he) au fait de multiplier, par une brique, les 160 sapèques, ce qui fait le dividende. » On retrouve, en 9.19, un énoncé comparable de l'équivalence entre produits que permet d'établir la règle de trois. (69) Voir zhang « dilater ». En 1.18, Li Chunfeng glosait également le jing que nous interprétons par « partage » par son homophone jing « directement ». Nous savons aujourd'hui que cette interprétation est en affinité avec le fait que le Livre de procédures mathématiques (Suanshttshu) utilise bien l'homophone dans sa graphie de jingfenshtt (voir la note correspondante à la suite du problème 1.18). (70) Li Huang a avancé l'hypothèse que la suite du commentaire était due à Liu Hui. Il est vrai qu'elle répète ce qui précède, quoiqu'en l'organisant différemment. Remarquons que pareil phénomène ne se reproduit pas ci-dessous, pour le commentaire de l'autre procédure de même nom. L'édition Song comporte ici: «Ici, commentaire additionnel: [. .. ] » (71) Voir bu Jin « ne pas être épuisé », dengshu « nombre égal », mingfen «nommer les parts ». Le terme yue, « simplifier», pourrait avoir été victime d'une omission, c'est ce que suggère [Li Jimin L::>.1993],jiuzhang suanshtt jiaozheng, note 29, p. 206. (72) Dans la Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle, l'on trouve ici un commentaire de Liu Hui (.1993],jittzhang sttanshu jiaozheng, notes 25 et 30, pp. 205-206, à considérer le texte du commentaire à la procédure précédente comme corrompu. Pourtant, l'identification que pratique ici le commentaire

Notes du Chapitre 2

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ne rend pas compte des noms distribués par le Classique dans l'énoncé de la procédure. [Li Jimin 6. 1993J, ]ittzhang sttanshtt jiaozheng, note 33, avance l'idée que le texte du Classique est également corrompu sur ce point. Au contraire, [Qian Baocong 6.1963J, note 1, p. 125, considère ce commentaire-ci comme corrompu, et en restitue le texte original conformément à 2.33, et à la procédure telle que prescrite par le Classique. Soulignons que le commentaire précédent mettait en évidence une relation entre division et règle de trois. Ici, l'accent porte plutôt sur la relation avec la procédure du « partage des parts ». En particulier, l'opération que le Classique décrit ci-dessous comme une multiplication par le « lit de ce qui est cherché» se trouve ici scindée par le commentateur en deux étapes: tout d'abord une multiplication par la « chose» (Voir Wtt), qui vaut 1, puis une multiplication par le dénominateur, afin de « faire communiquer». De ce fait, l'opération de division se voit attribuer une procédure générale pour les cas où ses termes comportent multiples unités et fractions. La justification de cette procédure prolonge celle donnée pour le « partage des parts », laquelle se trouve en conséquence réinterprétée comme une règle de trois.

(82) Voirfen« part ». [Li Jimin 6. 1993J,]ittzhang sttanshtt jiaozheng, note 40, p. 208, pense que le texte tel que nous

(78) Il s'agit d'une citation d'une partie de la procédure du « partage des parts» (1.18), alors que la « mise en communication» (Voir tong) porte ici sur des quantités à l'origine énoncées en fonction de diverses unités, et non pas seulement sur des nombres comportant des fractions. Le fait que ce soit cette étape de la procédure qui soit citée, ainsi que la nature de la procédure qui suit, indiquent que la quantité par laquelle on divise, la seule à comporter des unités différentes, s'est trouvée reformulée : elle doit être exprimée en fonction de l'unité choisie, comme somme d'un nombre entier et d'une fraction dont le dénominateur consiste en la valeur de ladite unité relativement à l'unité la plus petite.

(86) Cet emploi de ji « produit» présente des affinités avec l'un des sens que ce terme prend dans l'expression « les parts du produit» (Voir jifen, ji « produit»). [Li Jimin 6. 1990aJ, p. 159, en donne la même interprétation. Il s'agit ici d'obtenir l'expression de la quantité résultat, qui se présente tout d'abord en zhu, en fonction de la suite des unités de poids. Les divisions successives par les valeurs en zhu de ces unités identifient la partie de ce produit qui en relève, le reste donnant des zhu.

(79) Voir bu Jin « ne pas être épuisé », ming fen « nommer les parts ». (80) La série qui débute ici mélange, à la différence de ce qui précède, problèmes portant sur des entités discrètes et problèmes portant sur des quantités relatives à des grandeurs de type continu, tandis qu'une unique procédure, rédigée en référence au cas continu, est donnée pour traiter des deux sortes de problèmes. Une hypothèse implicite est mise en œuvre dans la résolution: les prix des deux types de choses distingués sont entiers et leur différence vaut 1. La demande que formule le problème est ambiguë. Elle se traduit mot à mot ainsi: « chacun, combien? » Il est donc difficile de déterminer si ce sont les quantités ou les prix qui sont demandés. La réponse les fournit tous deux, la procédure semble plutôt orientée vers la production des quantités, mais la confrontation avec les problèmes précédents et suivants incite à préférer l'autre branche de l'alternative. Pour une discussion de l'interprétation mathématique de ces problèmes, le lecteur peut se reporter à l'introduction au chapitre 2. La forme du problème ne manque pas d'évoquer les chapitres 3 - voir la mention

introductrice de Liu Hui - et 8 - dans la mesure où l'on a une forme de division par un diviseur mixte. (81) On notera que les valeurs numériques données pour les problèmes qui suivent restent constantes, tandis que seule varie l'unité en fonction de laquelle on calcule les prix standard. La série sera traitée par la même procédure, à l'exception de son dernier élément, dont la résolution doit mettre en œuvre la procédure inverse: cela constitue l'une des raisons pour interpréter cette variation d'un problème à l'autre comme bian « transformation».

le donne l'édition Song n'est pas corrompu et l'interprète comme suit: « dans [1' opérationJ des lit de diverses sortes, c'est comme lorsqu'on veut faire en sorte que (les prix unitaires) n'aient pas de parts ». (83) L'unité en laquelle on les place n'est pas précisée, mais il doit s'agir des zhu.

(84) Voir/an « inverser ». Plus généralement, se reporter pour l'interprétation de la procédure à l'introduction à ce chapitre. (85) Relevons l'assignation des variables « dividende» et « diviseur », dont le commentaire rend compte en expliquant cet usage singulier de la division.

(87) Le commentateur discute tout d'abord de la procédure dans le cadre du premier problème de la série, dans le cadre discret donc, puis se tourne vers la question des quantités exprimant la mesure de grandeurs de type continu. Mais là, son commentaire tel que les éditions anciennes nous le transmettent n'aborde pas les difficultés propres à ce second cas. (88) La nature de l'explication n'est pas des plus satisfaisantes, si le texte n'est pas corrompu. Or, dans l'édition Song, ce même énoncé revient dans la première occurrence, redondante, du commentaire de Li Chunfeng à la procédure suivante, alors qu'il ne semble pouvoir alors avoir aucun sens et n'est pas repris dans la répétition du passage (voir [Guo Shuchun 6. 1990J, Huijiao ]ittzhangsttanshu, pp. 227-228). Ici, cette explication fait écho à la seconde partie de la procédure, elle-même omise dans l'édition Song. Le caractère you « de plus» y est également ici omis. Notons qu'à la différence de la procédure suivante, aucune partie du commentaire n'est ici attribuée à Li Chunfeng. (89) Ce problème qui conclut la série débutée avec 2.40 relève de la procédure suivante, uniquement valide pour les quantités discrètes. Il ne traite en fait d'entités de

792 type continu qu'en apparence. La nature de l'hypothèse implicite des problèmes a changé par comparaison avec ce qui précède: ce sont maintenant les nombres distincts d'objets qu'une sapèque permet d'acquérir qui diffèrent d'une unité. (90) Le commentaire avance ici des justifications mathématiques pour rendre compte des relations entre les noms des deux procédures. Voir fan « inverser».

(91) La procédure décrit ici comment obtenir toutes les réponses effectivement données à la suite des problèmes, mais ne traite que du cas discret. On y retrouve un usage de l'assignation de variables identique à celui de la procédure précédente. (92) Il s'agit ici de la leçon de la Compilation de Dai Zhen

à partir de la Grande encyclopédie Yongle. L'édition Song comporte également une leçon qui fait sens: « Sur les" lii de diverses sortes", commentaire: les sapèques payées sont (au nombre) de 620, les plumes achetées (au nombre) de 2 100. » (93) Le texte tel que nous le transmettent les diverses éditions anciennes comporte: « on inverse les deux lii ». Il pourrait renvoyer aux deux lii par lesquels le commentateur débute son explication, une interprétation que

Les Neuf chapitres semble soutenir le début du commentaire de Li Chunfeng ci-après. Ici, par contraste avec la procédure précédente, le commentaire attribué à Liu Hui est particulièrement succinct tandis que le texte de l'équipe de Li Chunfeng est répété dans l'édition Song. Il y a pu avoir confusion entre les deux gloses au cours de la transmission. (94) Voir btt man «ne pas remplir ». Le commentaire propose une interprétation pas à pas de la procédure du Classique. (95) Voir hua « transformer ». (96) Voir jing fin « partage des parts ». Il s'agit du nom de la procédure donnée à la suite du problème 1.18 pour

diviser entre nombres comportant ou non des fractions, une procédure que le commentaire compare également à celle dite du «partage des lii» énoncée après 2.37. Ici la division produit le quotient q, tandis que le reste du dividende sera associé à q + 1. (97) Voir ytifen « les parts restantes». Le contexte induit ici à interpréter l'expression comme renvoyant à rq, ce pourquoi le reste r de la division correspond au nombre de sapèques qui permettent d'acheter une unité supplémentaire. Voir l'introduction au chapitre 2.

N OTES DU CHAPITRE 3

(1) Ce titre, par lequel le chapitre est désigné au cours du commentaire au problème 6.7, reprend son nom à la première procédure, qui permet d'effectuer des partages de touts donnés en des parts inégales présentant des rapports mutuels également donnés. Cui «degré» peut aussi se comprendre comme une «diminution progressive, par degrés ». L'accent semble mis, quoi qu'il en soit, sur le fait que les « parts» (Voir fen) sont ici de tailles différentes. (2) « Le cher et le bon marché» font écho à la fin du chapitre 2. « Distributions de grains et impôts» présentent une connotation administrative, dans un chapitre où l'exemple par excellence consiste en les parts distinctes que reçoivent ou paient des fonctionnaires en fonction de leur position dans la hiérarchie bureaucratique. On notera la conjonction de ces deux couples d'opposés. (3) La procédure, à l'instar des premiers algorithmes des

chapitres 2 et 4, est présentée hors du contexte d'un problème. De même que pour la procédure du « supposons» (2.0), le commentaire en introduit un pour les besoins de sa démonstration. (4) Ci renvoie aux « rangs» dans l'échelle bureaucratique en tant qu'ils déterminent les rétributions que reçoivent les divers fonctionnaires. [Li Jimin .61993], }iuzhang Jtlanshu jiaozheng, note 1, p. 232, souligne la parenté de ces expressions cttifen et cifen avec les noms des procédures opérant sur les fractions : hefen « réunion des parts », pingfen «moyenne des parts», jingfen «partage des parts». L'algorithme qui donne ici son nom au chapitre est opposé à celui que propose Liu Hui pour additionner les fractions (1.9 - voir également le commentaire à 6.3), et crée des parts de tailles distinctes là où la procédure de la «moyenne des parts» constitue au contraire une moyenne. Sa relation à la division des fractions est mise en évidence dans le commentaire qui suit. (5) Voir lieetli, lie « disposer ». Ces coefficients déterminent la manière d'effectuer le partage: ils entretiennent entre eux des rapports qui définissent les rapports entre les tailles des différentes parts. Les règles générales de la disposition des nombres sur la surface à calculer incite à comprendre qu'il s'agit ici de placer leurs valeurs en colonne (voir [Chemla 1996a]). On pourrait comprendre l'expression récurrente de liectti comme désignant les « coefficients de la pondération en fonction des degrés qui sont disposés ».

Mais des énoncés comme celui-ci font préférer l'interprétation retenue. (6) Voir xiangytl fil. L'identification de la nature des coefficients justifie les transformations, telle la simplification, dont ils peuvent être l'objet. De plus, elle amorce une interprétation de la procédure en les termes de deux algorithmes généraux, la règle de trois et la division des fractions, au sein desquels les lil jouent un rôle crucial. (7) Voir ehongdie « superposition réitérée», yue « simplifier ». (8) Voirfil « en auxiliaire ». Les expressions de « somme en auxiliaire », de « coefficients que l'on avait avant qu'ils ne soient sommés» seront régulièrement reprises dans des contextes où la procédure de résolution peut s'interpréter comme une application de cet algorithme général. (9) La même quantité qui constitue un tout au diviseur se présente sous une forme morcelée avec les coefficients : on retrouve l'opposition générale entre réunion et désagrégation qui se manifeste également en 1.9. L'argument contribue à rendre compte du fait que la procédure effectue le partage selon les proportions voulues, sans perdre pour autant la grandeur initiale. (10) La somme des coefficients semble avoir été placée dans la zone inférieure de la surface à calculer, et se trouve donc située en position de diviseur relativement aux produits, qui sont disposés au-dessus, en lieu et place des coefficients d'origine, et qui font office de dividende. (11) Voir xiao « retrancher, annuler ». Mettant en évidence que l'on multiplie par la quantité à l'état désagrégé et qu'on divise par la même valeur sous la forme d'un tout, le commentateur rend compte de la conservation de la grandeur d'origine. L'opposition entre multiplication et division joue un rôle clefdans la démonstration, quoiqu'elle y prenne une forme spécifique. (12) Contrairement au commentaire faisant suite à la règle de trois (2.0), où Liu Hui indiquait comment les .lil permettent de métamorphoser une entité en une autre, le commentateur souligne maintenant comment la transformation que gèrent les Iii ici conserve l'entité, mais la morcelle. Les coefficients qui forment des Iii définissent les rapports entre elles des parts produites, comme le

794 montre l'interprétation suivante de la procédure sous les espèces d'une règle de trois. (13) Voir jin you shtt « procédure du "supposons" », dont tous les termes techniques sont ici repris pour mettre en évidence en quoi la procédure des « parts pondérées en fonction des degrés» constitue un ensemble de règles de trois, ce qui en achève la démonstration. (14) Voir jingfen shu « procédure du partage des parts ». Le commentateur introduit ici le contexte d'un problème pour établir une procédure effectuant le partage souhaité, avant de mettre en évidence que l'algorithme des Neuf chapitres s'obtient, par simple réécriture, à partir de celle-ci. La signification de l'algorithme qui se trouve ainsi dégagée est distincte de celle que produit sa réécriture comme un ensemble de règles de trois. (15) C'est ici l'interversion d'une multiplication et d'une division qui joue le rôle clef: elle est justifiée, tout comme l'annulation de ces deux opérations lorsqu'elles se suivent et sont opposées l'une à l'autre, en raison du fait que la division produit toujours des résultats exacts, sous la forme d'entiers augmentés de fractions. (16) Voir bu man « ne pas remplir », ming« nommer ». On notera la prescription, en un énoncé, de calculs parallèles. (17) Sur ces titres au temps de la dynastie Han, le lecteur peut se reporter à [Hucker 1985} : da-fit, notice 5939, p.465 ;ptt-keng, notice 4786, p. 392 ; tsan-niao, notice 6856, p. 516; shang-tsao, notice 5067, p. 413; kung-shih, notice 3472, p. 295. On trouve dans l'Histoire des Han (Hamhu, « Baiguan gong/iao biao », vol. 3, p. 739), mentions des rangs associés à ces titres de noblesse, lesquels coïncident avec l'évaluation qu'en explicite le commentateur par la suite.

Les Neuf chapitres (23) L'énoncé du problème donne deux couples de nombres qui, constitués de lii (Voir lü), sont dans un premier temps transformés en couples d'entiers. Les deux couples sont ensuite articulés l'un à l'autre pour former un triplet, par l'effet de l'opération « mettre en communication les lü correspondants» (Voir tong qi lii). Sa validité provient ici du fait que les coefficients de pondération ainsi constitués ont été identifiés comme Iii par le commentaire à 3.0 (Voir lii). Notons cependant que l'on passe ici, par interversion, de « lü qui donnent l'équivalence de l'un avec l'autre» (Voir xiang dang zhi lü) à des « lü mis en relation l'un avec l'autre» (Voir xiangyu lü). C'est ainsi que l'on peut créer le triplet de coefficients décrits par le Classique: la procédure se trouve de ce fait explicitée et justifiée. (24) On retrouve des problèmes comparables de passage d'octroi en 6.15, 6.27 et 6.28. La procédure et le commentaire reprennent tous deux le passage en 3.0 aux notes duquel on peut se reporter. (25) On retrouve un problème analogue dans le Classiqtte mathématique de Sunzi, problème 2.27 (Stmzi suanjing, [Qian Baocong .6. 1963}, p. 306) ainsi qu'un problème d'apparence semblable dans le Classiqtte mathématique de Zhang Qittjian, problème 1.22 (Zhang Qiujian suanjing, [Qian Baocong .6. 1963}, p. 347). Il s'agit ici de déterminer les termes d'une série géométrique, alors que l'on en connaît la somme et le nombre de termes. Au lieu de recourir à une inconnue en fonction de laquelle exprimer les grandeurs cherchées, la procédure construit au départ une série homologue de premier terme 1 - la situation réelle en microcosme - et met en œuvre la « procédure des parts pondérées en fonction des degrés ». (26) Voir suan « unités pour l'impôt ». Les premiers problèmes du chapitre 6 évoquent celui-ci. (27) On relèvera les fractions d'homme.

(18) La mention implique que le commentateur a donc accès à ce texte, unique dans la littérature de l'Antiquité pour ses développements logiques, qu'est le Mozi [Graham 1978} esquisse une histoire de la transmission de l'ouvrage. On notera que cette seule référence explicite qu'y fait le commentaire est motivée par des préoccupations autres que logiques, de nature plutôt historique. L'énoncé en question ne se trouve pas dans le texte du Mozi tel qu'il est parvenu jusqu'à nous. Voir [Guo Shuchun .6. 1992a}, p. 231. (19) Tant le commentaire que la procédure reprennent ce qui précède, on pourra donc se reporter aux notes de 3.0. (20) Voir jin you zhi « [appliquer l'opération} du "supposons" ». (21) La forme de la procédure reprend l'algorithme général des «parts pondérées en fonction des degrés », aux notes duquel on peut se reporter (3.0). Le commentaire se concentre sur l'explicitation de l'origine des coefficients de pondération retenus. (22) Voir yi « intention », wen « problème ». L'on rencontre une expression comparable en 7.12, mais il s'y présente un problème d'édition critique.

(28) Le fait de prendre ces montants comme coefficients du partage permet, dans ce contexte, d'en utiliser des valeurs simplifiées. 8758 = 2.29.151 ; 7 236 = 4.27.67 ; 8 356 = 4.2089, ce dernier nombre n'étant divisible ni par 3, ni par 29, ni par 151, ni par 67. (29) Voir yi' « sens», jin you « [mettre en œuvre l'opération} du "supposons" ». (30) Un rapide calcul montre que les quantités de petit mil reçues correspondent ici exactement aux grades associés aux titres de noblesse. Liu Hui le met en évidence au début de son commentaire, et rend ainsi compte de cet « également» que comporte le texte du Classique. (31) Ce résultat n'étant pas simplifié, la suite arithmétique que forment les réponses apparaît d'autant plus clairement. De manière générale, la «procédure des parts pondérées en fonction des degrés » permet de travailler sur les suites: ici, elle donne les moyens de transformer une suite arithmétique en une autre. (32) On peut également comprendre: « -

LES GRADES

ASSOCIÉS AUX TITRES DE NOBLESSE LEUR SONT ÉGAUX -

[ ... } » Voir jtm « égal, uniforme ». La procédure renverrait alors au cas particulier que constitue le problème,

Notes du Chapitre 3 tandis que, selon la première interprétation, elle serait générale. Notons que la présence de l'unité de hu incite à préférer cette interprétation-ci. De manière générale, les quantités de petit mil distribuées peuvent tenir lieu de coefficients de pondération à la place des grades associés aux titres de noblesse - Liu Hui l'explicite par la suite - , mais c'est ici d'autant plus le cas que les deux ensembles de nombres sont les mêmes. La procédure de même que la fin du commentaire prennent modèle sur le début du chapitre (voir les notes à 3.0). (33) Après la construction de la situation sous la forme de microcosme, par les coefficients, la « procédure des parts pondérées en fonction des degrés » peut être mise en œuvre pour en déduire la situation réelle. Nous retrouvons des problèmes semblables au chapitre 6, où les parts en lesquelles un tout est divisé forment une progression arithmétique (6.17 et sq.). (34) La procédure est, à l'instar de celle qui donne son nom au chapitre, située avant les problèmes qui la mettent en œuvre. L'énoncé qu'en proposent Les Neuf chapitres est elliptique et peut paraître incomplet dans la mesure où, une fois les coefficients inversés, il ne prescrit pas explicitement la reprise de la « procédure des parts pondérées en fonction des degrés ». Après avoir éclairé les raisons qui motivent son nom et donné deux procédures concrètes qui permettent de réaliser les prescriptions des Neuf chapitres, le commentateur complète l'algorithme en injectant les coefficients ainsi calculés dans la première procédure du chapitre, dont il reprend le phrasé. Soulignons que la « procédure de l'inversion des coefficients de la pondération» n'est pas à proprement parler inverse de celle des « parts pondérées en fonction des degrés ». Elle permet de mettre en œuvre les coefficients de pondération de manière inverse dans le même algorithme de partage en parts inégales. (35) Voir fin « part ». (36) Voir fang « égaliser», qi «homogénéiser», cui « coefficients de la pondération en fonction des degrés », fin « part ». En rappelant le cas-type qui se trouvera par la suite inversé, le commentaire introduit de fait une situation plus générale que celle traitée au problème 3.1. La transformation des situations initiales en termes de fractions, que Liu Hui opère, fournit un cadre commun à l'ensemble des problèmes ici considérés et met en valeur les relations entre leurs procédures de résolution: si les significations des fractions les opposent les unes aux autres, les calculs restent les mêmes. (37) La propriété de ces coefficients de constituer un ensemble de lü est ici mise en œuvre sans être mentionnée. (38) Voir lie« rangée ». (39) L'inversion s'accompagne de la transformation de ce que l'on « obtient» (Voir de) en ce que l'on « paie» (Voir chu), du «plus» en «moins », tandis que l'on retrouve ici une figure récurrente du regroupement : « payer ensemble». Pour discuter de la procédure, le commentaire introduit une situation analogue à celle dans le

795 cadre de laquelle il rapproche, en 3.0, l'algorithme qui donne son nom au chapitre de celui du «partage des parts ». Voir l'introduction au chapitre 3. (40) Une fois ces visées assignées à la suite des calculs, le commentaire reprend successivement les deux procédures qui sont proposées pour les réaliser, à l'endroit de l'introduction des opérations d'« égalisation» et d'« homogénéisation », à la suite de la procédure de « réunion des parts », en 1.9. Les relations entre toutes ces procédures sont explicitées plus clairement au cours du commentaire à 6.3. Comme souvent, l'opération d'égalisation n'est ici mentionnée, dans le premier cas, que pour l'intelligence des raisons qui sous-tendent la procédure, mais son exécution n'est pas ici nécessaire pour la menée des calculs. (41) Ainsi la prescription du Classique, par laquelle le commentaire se conclut ici, se voit associer une manière d'exécution et une justification. Voir dang « bouger ». Ce n'est que cette première manière de faire qui fournit une interprétation du phrasé des Nett/ chapitres ici : les dénominateurs qui bougent sur la surface à calculer, pour multiplier les numérateurs qui ne leur correspondent pas (Voir hu cheng), forment, respectivement, celui des coefficients relatif à la seule fraction dont le dénominateur n'a pas bougé au cours de sa constitution. Par contraste, la procédure qui suit, si elle produit les résultats voulus, ne recourt pas à des mouvements sur la surface à calculer qui rendent compte de la description du Classique. (42) Voir la seconde procédure proposée par le commentateur en 1.9. (43) Une fois ces coefficients constitués, comme le commentateur l'indique par la suite, l'on peut reprendre la procédure des « parts pondérées en fonction des degrés» (3.0). (44) Le commentateur propose ci-dessus une interprétation procédurale de cette prescription. Notons l'assignation des variables « coefficients de la pondération en fonction des degrés », qui désignent des valeurs distinctes lors de leurs diverses mentions. (45) Le premier problème reprend une situation comparable à 3.1, dont le commentaire explicite les valeurs en question. Et la procédure suit l'algorithme des «parts pondérées en fonction des degrés». Voir fan cui « Inversion des coefficients de la pondération» . (46) Les lü (Voir lü) qui règlent les correspondances entre ces différents types de grain sont prélevés dans le tableau donné au début du chapitre 2. Les grains, après avoir été mélangés, seront redistribués en des quantités qui attribuent à chacun un lot de grain équivalent à ce qu'il avait à l'origine. On retrouve, dans l'énoncé de ce problème, les figures de la réunion (Voir he) et de la dispersion. (47) Il n'est pas explicitement prescrit de simplifier ces valeurs, dont le traitement est identique à celui réservé aux données du problème précédent. Relevons ici, pour ce qui est de ce chapitre, la première occurrence de lü dans le texte même du Classique. (48) Voir benlii «lii fondamental ». L'opposé de cu « grossier » n'est pas ici xi « fin », mais jing « raffiné ».

796 La qualité que désigne le binôme semble renvoyer de fait à la teneur plus ou moins élevée en grain. (49) Noter qu'ici comme ci-dessus, les noms de grain

sont génériques et non pas particuliers. (50) Après une discussion portant spécifiquement sur les coefficients, le commentaire reprend la même conclusion qu'à l'ordinaire pour ce type de problèmes. (51) Le Classique considère à partir d'ici des problèmes typiques du chapitre 2, comme le met en évidence le commentateur. Le chapitre « Petit mil et grains décortiqués » comporte d'ailleurs une série de problèmes relatifs à des tissus à laquelle on pourra se reporter. On relèvera dans ce qui suit le travail relatif aux diverses unités. L'énoncé peut être interprété différemment : « SUPPOSONS QUE 1 JIN DE FILS DE SOIE VAILLE UN PRIX DE 240 SAPÈQUES. SI MAINTENANT ON A 1 328 SAPÈQUES, ON DEMANDE COMBIEN DE FILS DE SOIE ON OBTIENT. » Une interprétation comparable se présente également pour la plupart des problèmes dont l'énoncé partage la même structure ci-dessous. Cependant, pour certains, la première interprétation semble préférable, et nous l'avons en conséquence privilégiée pour l'ensemble. Elle souligne le rôle mathématique dévolu à la supposition. (52) Dans le cadre de l'autre interprétation, il faudrait ici traduire: «[ ... ] DE SAPÈQUES QU'ON A MAINTENANT [ ... ] ».

(53) Les éditions anciennes comportent ici : « Commentaire: cette procédure [ ... ] » La note éditoriale 12 avance l'hypothèse que l'attribution de ce commentaire à Liu Hui est erronée et modifie le texte tel que les sources s'accordent à le donner. (54) Voir yi' « sens», Jin YOII « [mettre en œuvre l'opération] du "supposons" », dont tous les termes techniques sont ici repris. Le commentaire propose donc une interprétation commune pour des procédures que leurs significations ne rapprochent pas. A cette mise en évidence d'un algorithme sous-jacent identique répond le fait que les structures de leurs descriptions par le Classique sont analogues. (55) Dans le cadre de l'autre interprétation, il faudrait ici traduire: « [ ... ] les sapèques qu'on a maintenant [ ... ] ». Nous ne redonnons pas ci-dessous ces alternatives de traduction. (56) Les éditions anciennes comportent ici : « Commentaire: Cette procédure [. ..] » La note éditoriale 12 avance l'hypothèse que l'attribution de ce commentaire à Liu Hui est erronée et modifie le texte tel que les sources s'accordent à le donner. (57) Voir yi' « sens »,jin you « [mettre en œuvre l'opération] du "supposons" », dont tous les termes techniques sont ici repris pour l'interprétation d'une recherche inverse de la précédente. (58) Voir yi' « sens », Jin you « [mettre en œuvre l'opération] du "supposons" », dont tous les termes techniques sont ici repris comme ci-dessus.

Les Neuf chapitres (59) Les éditions anciennes comportent ici : « Commentaire: cette procédure [ ... ] » La note éditoriale 12 avance l'hypothèse que l'attribution de ce commentaire à Liu Hui est erronée et modifie le texte tel que les sources s'accordent à le donner. (60) Voir yi' « sens », Jin you « [mettre en œuvre l'opération] du « supposons" », dont tous les termes techniques sont ici repris comme ci-dessus. (61) Les éditions anciennes comportent ici : « Commentaire: cette procédure [ ... ] » La note éditoriale 12 avance l'hypothèse que l'attribution de ce commentaire à Liu Hui est erronée et modifie le texte tel que les sources s'accordent à le donner. (62) C'est ici la leçon de l'édition Song. La leçon de l'encyclopédie Yong!e fait également sens: « [ ] la quantité (shu) de chi contenue dans les zhang comme { ] » Voir yi' « sens », Jin YOII « [mettre en œuvre l'opération] du "supposons" », dont tous les termes techniques sont ici repris comme ci-dessus. (63) Les éditions anciennes comportent ici: « Cette procédure [. .. ] » La note éditoriale 12 avance l'hypothèse que l'attribution de ce commentaire à Liu Hui est erronée et modifie le texte tel que les sources s'accordent à le donner. (64) Voir yi' « sens »,jin you « [mettre en œuvre l'opération] du "supposons" », dont tous les termes techniques sont ici repris comme ci-dessus. (65) La perte semble renvoyer à une déperdition au cours d'une opération technique, comme c'est le cas pour le problème suivant. (66) Voir zhan

«

développer

».

(67) Les éditions anciennes comportent ici : « Commentaire: cette procédure [ ... ] » La note éditoriale 12 avance l'hypothèse que l'attribution de ce commentaire à Liu Hui est erronée et modifie le texte tel que les sources s'accordent à le donner. (68) Voir yi' « sens », Jin you « [mettre en œuvre l'opération] du "supposons" », dont tous les termes techniques sont ici repris comme ci-dessus. (69) Ce problème entretient avec le précédent le même rapport que le problème 3.11 avec 3.10. La procédure de résolution en gère cependant les unités de manière différente, question sur laquelle les commentaires se concentrent. (70) Voir chu

«

retrancher ».

(71) Voir !ü. La première opération détermine la quantité de soie séchée correspondant aux 30 Jin de soie grège. U ne application directe de la règle de trois prendrait pour iii ces quantités de soie séchée et de soie grège qui se correspondent, toutes deux exprimées en liang. Le commentateur interprète la procédure comme une règle de trois qui emploie, par contraste, des !ü en deux unités distinctes, l'un en !iang, l'autre enjin. Incidemment, les !ü se voient munir d'unités. La discussion met par la suite en évidence que ce fait n'altère pas leur qualité de !ü, laquelle renvoie à

Notes du Chapitre 3

797

leur propriété de devoir être transformés simultanément et de la même manière. En revanche, la « quantité de ce que l'on a» est, elle, par conséquent, prise en liang.

Cependant la reprise de cette figure ailleurs incite à opter pour la première interprétation. Voir htt « mélangé », gui « revenir à ».

(72) Dai Zhen, suivi en cela par Qian Baocong et Li Jimin, pensait que le caractère de « obtenir» provenait d'une corruption du caractère original wei « appeler». Il restituait ainsi le texte original, conformément à la citation qu'en fait Li Chunfeng ci-après: « Chaque fois que l'on appelle des (grandeurs) lü [ ...} »

(78) Voir lei « catégorie », shi' « situation ».

(73) L'opposition que la traduction rend par « grand/petit» s'exprime en fait par cu/xi « grossier/fin ». La multiplication (resp. la division) des Iii par un même nombre, soit leur accroissement (resp. leur diminution), peut être interprétée comme un raffinement (resp. un grossissement) simultané des unités en lesquelles ils sont exprimés. Le texte peut dans cette veine se comprendre également ainsi: « Chaque fois que l'on obtient des Iii, quand on raffine (les unités en lesquelles ils sont exprimés), on les raffine toutes, quand on les grossit, on les grossit routes. » Il fait ainsi écho à la possibilité, exprimée ci-dessous, de retenir des unités variées pour déterminer les lü. Un lien est par là établi entre parts - fractions - et Iii. (74)[Guo Shuchun L:>.1990}, Huijiaoben, note 69, p. 249, fait remarquer que le texte tel que les éditions anciennes s'accordent à le donner peut se comprendre. [Li Jimin L:>.1993},jittzhang sttanshtt jiaozheng, note 10, pp. 233-234, ajoute de nouveaux matériaux pour étayer cette position. Il fait toutefois remarquer que l'expression xiang ttti « se déduisent l'une de l'autre» serait en l'occurrence plus conforme aux modes d'expression usuels de Liu Hui, et ne rejette pas cette proposition de modification du texte avancée par Dai Zhen. (75) L'expression de pin wu que nous rendons par « les diverses choses», et que l'on retrouve à trois reprises dans le Yijing, en particulier dans le « jugement» relatif au premier hexagramme, Qian, semble ici renvoyer aux différentes catégories d'unités correspondant aux Iii. Voir pin « catégorie », wu « chose », tong « égaliser», bi « comparer, mettre en rapport», xiangyu lû' « Iii en relation l'un avec l'autre ». La situation est donnée pour être intrinsèquement analogue à celle d'un problème précédent, vraisemblablement 3.15. (76) Voir tong « communiquer ». A la différence des lil qu'utilise la procédure, on pourrait additionner ceux-ci l'un à l'autre. Les Iii auxquels il est fait appel permettent néanmoins de mettre en œuvre la règle de trois. Une distinction pourrait s'introduire ici entre le fait d'être « mis en relation l'un avec l'autre» et le fait de « communiquer ». (77) L'échange d'unités entre les deux termes du produit semble être appréhendé sous l'angle du «mélange». L'on pourrait également interpréter cttohu ici, non pas comme «mélangés», mais comme «intervertis» .

(79) Li Chunfeng explicite le mode d'application de la règle de trois (Voir Jin you shu « procédure du "supposons" », dont les termes techniques sont ici repris). (80) Li Chunfeng reprend ici le texte du commentaire précédent, se reporter aux notes ci-dessus. (81) Voir Wtt « chose ». (82) Les éditions anciennes comportent ici : « Commentaire: Cette procédure [. .. } » La note éditoriale 12 avance l'hypothèse que l'attribution de ce commentaire à Liu Hui est erronée et modifie le texte tel que les sources s'accordent à le donner. (83) Voir yi' « sens »,jin you « [mettre en œuvre l'opération} du "supposons" », dont tous les termes techniques sont ici repris comme dans la plupart des commentaires de Li Chunfeng aux problèmes de la seconde partie du chapitre. (84) L'année comporte 6 mois de 29 jours et 6 mois de 30 jours. (85) Les éditions anciennes comportent ici: « Commentaire: Cette procédure [ ... } » La note éditoriale 12 avance l'hypothèse que l'attribution de ce commentaire à Liu Hui est erronée et modifie le texte tel que les sources s'accordent à le donner. Le contenu de l'explication est analogue à ce que l'on trouve de manière récurrente dans cette seconde partie du chapitre. (86) Ce problème est cité au cours du commentaire de Liu Hui à 6.7. Il amorce le traitement de situations où se présente une double règle de trois, typique du chapitre 6. Le commentateur interprète la procédure comme une simple règle de trois dont les Iii sont composés, mis en relation par le fait de renvoyer à la même unité d'un jour. (87) La première partie du commentaire réécrit la procédure en les termes techniques de la règle de trois (Voir Jin you shu « procédure du "supposons" »). Liu Hui modifie l'ordre des opérations et les regroupe pour les besoins de sa démonstration. Interprétation de calculs dans les termes de la situation et réécriture formelle en constituent les deux ingrédients. (88) 10 fin font une sapèque. (89) Ce thème fait écho au commentaire à la « procédure du "supposons" » (2.0) et renvoie ici sans doute aux deux manières possibles de transformer les données pour les ramener à des intérêts relatifs à un jour, et, partant, aux deux façons d'interpréter la procédure.

N OTES

DU CHAPITRE

(1) Le commentaire qui fait suite au problème 1.34 confirme et précise cette mention : « Comme j'ai expliqué de manière exhaustive tous les Iii pour le rectiligne et le circulaire dans la procédure d'extraction de la racine sphérique [ ... ] » (voir la note 175 à ra traduction du chapitre 1) Notons que c'est ce chapitre, et non pas le premier, que Liu Hui donne pour traiter du carré et du cercle. Il faut sans doute comprendre ici que fang renvoie autant au carré qu'au cube, et yuan autant au cercle qu'à la sphère. De même, ji « nombre-produit» aussi bien que mi « aire» peuvent de fait être associés à une aire ou à un volume. Notons le parallèle entre jimi ici et jishi dans la mention correspondante pour le chapitre 5. (2) Li Chunfeng interprète donc le nom de la procédure, laquelle donne son titre au chapitre, en relation avec les problèmes qui lui font suite et qu'elle permet de résoudre. La description qu'il en fait évoque le principe « avec ce qui est en excédent, on comble ce qui est vide» (Voir yi ying bu xu). Est-ce la volonté de mettre en évidence ce schéma général qui rend la phrase elliptique au point d'être inexacte? Il faut ici comprendre que l'on transforme le premier rectangle en un second de même aire, de longueur plus courte et de largeur par conséquent plus importante. Le Livre de procédures mathématiques (Suanshushtt) comporte une procédure de même nom ainsi qu'une série identique de neuf problèmes, voir à ce sujet l'introduction au chapitre 4. (3) Les allusions que Les Neuf chapitres font ensuite à la disposition des valeurs sur la surface à calculer semblent concorder avec les mises en page telles que les décrit le Classique mathématique de Zhang Qittjian, en particulier dans un problème similaire de division entre nombres comportant des fractions (Zhang Qittjian suanjing, problème 6 du chapitre 1, [Qian Baocong .61963], pp. 333-334, voir [Chemla 1996a]). La partie entière du diviseur, 1 dans tous les problèmes qui suivent, est disposée tout d'abord - sans doute dans la partie supérieure de la zone inférieure de la surface sur laquelle se pratiquent les calculs. Puis les fractions sont placées à raison d'une par ligne, les unes sous les autres par ordre d'énonciation, le numérateur à gauche et le dénominateur à droite. C'est ainsi que le « dénominateur le plus bas » désigne le dernier à être énoncé, partant, le dernier posé, et probablement en conséquence le plus grand, comme les problèmes qui

4

suivent le confirment. L'expression de « nombres entiers de bu » peut être comprise, ici comme dans la phrase suivante, au singulier ou au pluriel. Au singulier (.2001a), pp. 107-109, lattes de bambou 149-150) et l'algorithme, quoiqu'énoncé de façon différente, est le même.

Figure 5.36.2 - Cône à base circulaire. (52) Il se présente ici le même problème qu'en 5.11, à la différence de 5.9. (53) C'est la leçon de l'édition Song et de l'édition de Yang Hui. La Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle comporte: « Si l'on effectue "la multiplication du [ ... ]"» L'énoncé précédent du commentaire semble indiquer que Liu Hui lit dans le phrasé de la procédure une situation géométrique. Mais l'on peut ponctuer autrement: « Commentaire sur cette procédure : Si l'on prend la circonférence du cercle inférieur du cône à base circulaire comme côté du carré inférieur d'un cône à base carrée et que l'on effectue "la multiplication du côté du carré inférieur de ce cône à base carrée par luimême, qu'on multiplie ceci par la hauteur", et qu'on effectue la "division par 3", on obtient le volume (Ji) de ce grand cône à base carrée. » (54) Li Huang propose de voir ici la même interversion de caractères qu'immédiatement au-dessus (voir la note éditoriale 39) ; [Li ]imin L::>.1993),jùtzhang sttanshtt jiaozheng, note 26, p. 311, argumente en faveur de cette modification, en faisant valoir qu'ici comme pour le commentaire à la pyramide circulaire (5.11), ji semble plutôt renvoyer au volume. Il suggère alors que yttan (cercle) soit lu comme une abréviation de yttanzhtti « cône», ce qui serait unique à ce contexte (Voir yuan « cercle»). Il est vrai que cela

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Les Neuf chapitres

relèverait d'une tendance assez systématique de la terminologie. Leur proposition se traduirait: « Le volume (Ji) de ce grand cône à base carrée correspond à celui de 12 cônes à base circulaire. Comme maintenant on cherche un seul cône à base circulaire [ ...] » (55) C'est la leçon de la Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle. L'édition Song et l'édition de Yang Hui comportent: « Si l'on prescrit [ ...] » Les deux « aussi» de ce passage font écho au renvoi, en fin de commentaire, au cas de la pyramide tronquée à base circulaire (5.11) : les noms, les corps, les procédures et les explications présentent les mêmes relations au cas carré correspondant. Voir shtto « explication ». Notons que les commentaires de Li Chunfeng sont identiques. Le cas du cône à base circulaire est repris de manière plus détaillée à la suite du problème 5.25, et le commentaire en suit alors très fidèlement le texte relatif à la pyramide tronquée à base circulaire. (56) Voir la figure 5.5.

h

Figure 5.5 - Qiandu ou demi-parallélépipède rectangle.

rempart (5.2). Certes le qiandtt est une forme dégénérée de tel prisme droit à base trapézoïdale: sa base est triangulaire. Mais, pour le considérer sous cet angle, ses dimensions devraient se présenter de manière différente que dans l'énoncé 5.14 : outre une longueur, on devrait donner sa hauteur et sa largeur inférieure (respectivement une demi- et une diagonale d'une section du parallélépipède rectangle), tandis que sa largeur supérieure serait nulle. Cela fournit un autre algorithme pour le calcul de son volume, non explicité, même si l'on peut lire la fin du commentaire comme une allusion à ce fait. Mais cela suggère également une autre forme de démonstration [Chemla 1992 b&d]. On peut comprendre l'ensemble autrement: le bloc voulu, visé, pourrait cette fois désigner le rempart; la comparaison avec le qiandtt montre alors que, d'une part, ce dernier n'a pas de largeur supérieure et que, d'autre part, disposé comme le suggère l'énoncé 5.14, sa forme, quoique comparable, est différente de celle du rempart (en particulier, sa section est triangulaire). Pourtant les procédures sont les mêmes, d'où une autre manière de rendre compte de l'algorithme attaché au qiandtt. Que l'on soit dans le cadre de l'une ou de l'autre interprétation, la manière alternative de rendre compte de la correction de la procédure attachée au qiandu met en œuvre l'opération de « avec ce qui est en excédent, on comble ce qui est vide», par exemple selon la figure 5.39 (l'opération géométrique prend des allures différentes selon la manière dont le qiandu est disposé). Voir yi ying btt xtt, shi «volume», shtto « explication», xing « forme ».

(57) L'extension au parallélépipède rectangle est ici explicite. Ttto fang désigne un cube étroit et allongé. (58) Cette opération de découpe du parallélépipède rectangle produit le qiandtt muni d'une longueur, d'une largeur et d'une hauteur conforme à la description de l'énoncé, à la différence de ce qui suit. Voir lifang « cube, parallélépipède rectangle ». Gui « voulu, visé» a pu être compris de diverses manières: « coupé» ([Bai Shangshu L',., 1990a], p. 210), «standard» ([Li Jimin L',.,1990a], pp. 314-315). Ce dernier comprend la norme comme renvoyant aux dimensions. On peut également penser qu'elle renvoie à la forme arrêtée des solides portant un nom. (59) Bai Shangshu et Li Jimin, ibid., comprennent l'énoncé autrement: le qiandtt pourrait être conçu comme formé d'un empilement de qian «douves », soit de prismes droits à base trapézoïdale. Cela paraît difficile, même s'il est clair qu'ils tentent de rendre le sens de die « superposer, cumuler ». Gai « de fait» peut aussi se comprendre comme « probablement ». (60) Le nom de qiandu reprend celui de qian « douve », ce à quoi le commentaire semble faire écho. C'est peutêtre l'indication du problème, selon lequel la forme se développe en hauteur plutôt qu'en profondeur, qui incite Liu Hui à imaginer un rapport à une douve tel que « posé au-dessus» - ce en quoi le corps devient effectivement comparable dans sa fonction à un rempart. Liu Hui reprend la comparaison sous l'angle de ce dernier solide, de même forme que la douve (problème 5.6), mais qui présente, lui, une hauteur plutôt qu'une profondeur: le

Figure 5.39 - Démonstration alternative pour le qiandu : « avec ce qui est en excédent, on comble ce qui est vide. (61) Voir la figure 5.6. Pour une interprétation du commentaire particulièrement important qui fait suite à ce problème, le lecteur est invité à se reporter à l'introduction au chapitre 5.

Figure 5.6 - Yangma ou pyramide quadrangulaire à angle droit.

(62) La forme est rapportée à celle d'un autre solide (problème 5.12 et figure 5.14) ainsi qu'à un objet architectural (voir l'introduction). L'ouvrage relatif à l'architecture de la dynastie Song, les Normes de constmction (Yingzao fashi) de Li Jie, comporte une section sur le yangma (Voir

821

Notes du Chapitre 5 Lang Sicheng, Yùzgzao fashi zhttshi, Zhongguo jianzhu gongye chubanshe, 1983, p. 159).

(63) Voir bienao, figure 5.7, et voir la coupe en question sur la figure 5.40. Ce premier bienao a une forme identique à celui du problème 5.16, à la différence d'autres corps qui, s'ils reçoivent aussi ce nom, s'en distinguent (voir la figure 5.21). Voir les discussions ci-dessous et l'introduction au chapitre 5. L'affirmation suivante du commentateur énonce le rapport entre volumes du yangma et du bienao

Figure 5.7 - Bienao ou tétraèdre (dans Les Neuf chapitres).

dans le qiandtt. Le commentaire visera ensuite à établir ce point, plutôt qu'à démontrer de façon directe la procédure même : la correction de cette dernière en découlera comme une conséquence. La validité de l'affirmation en question est envisagée, dans un premier temps, dans le cas de dimensions toutes égales, puis, comme l'argument alors mis en œuvre ne peut se généraliser, dans le cas quelconque. Voir ju « occuper », /il.

hypothèse verrait, dans l'énoncé, une allusion à un argument du type d'un principe de Cavaliéri - une comparaison des sections de même hauteur pour établir que le yangma est effectivement coupé en 2 parties de même volume (voir l'introduction au chapitre 4). Pareil argument se retrouve au commentaire à 5.17 (voir ci-dessous les notes correspondantes et voir l'introduction au chapitre 5). Soulignons cependant ici que, d'une part, les bienao que produit cette découpe du yangma diffèrent du corps ainsi nommé par Les Neuf chapitres et que, d'autre part, le yangma est susceptible d'être ainsi coupé de deux manières, produisant chacune des solides de formes différentes, mais relevant des mêmes arguments (voir 5.17). Telle que nous traduisons ici la phrase, elle renvoie au fait de mettre en évidence la validité du rapport de 2 à 1 pour les deux corps découpés dans le qiandu au cas où toutes les dimensions valent 1 chi, et elle contrasterait le caractère aisé de l'opération ici avec l'impossibilité, soulignée par le commentateur immédiatement après, de généraliser cet argument à d'autres cas et la difficulté de traiter le cas quelconque. On peut aussi interpréter: « Que les situations (shi') des corps communiquent l'une avec l'autre, c'est en fait aisé à comprendre. »

Figure 5.15 Trois yangma donnent un cube.

Figure 5.40 - La coupe en oblique du qiandu donne un yangma et un bienao.

(64) Voir les figures 5.15 et 5.16. Le terme de fin «morceau» désigne également la « part », Voir fin. Ce sens pourrait être aussi actif, dans un contexte où l'on évalue les parts que certains corps occupent dans d'autres. Si les situations que sont les shi' renvoient à la surface, à l'aire, des sections des corps qui sont parallèles à leur base (Voir shi'), la « communication» (tong) pourrait désigner deux aspects de la géométrie de l'ensemble: pour les deux bienao qui forment un yangma, les sections correspondantes sont égales et placées en tête-bêche - ce à quoi pourrait renvoyer hu tong - ; de plus, elles sont accolées l'une à l'autre le long de leur hypoténuse - c'est le sens que semble prendre tong, rapporté à un corps (ti) dans le commentaire à 1.9. Voir tong « communiquer ». La première

Figure 5.16Six bienao donnent un cube.

(65) Liu Hui délaisse le cas où le raisonnement peut s'appuyer sur le fait que les dimensions sont égales pour se tourner vers le cas plus général, où le cube sur lequel on pratique les découpes devient parallélépipède rectangle, Voir lifang « cube, parallélépipède rectangle ». Il énonce les mêmes conclusions, et rejette les raisons antérieurement invoquées, avant de s'engager dans un nouveau raisonnement. (66) Voir xing « forme », si « similaire », xian « apparaître », shtt « coefficient», ji shi « volume». [Wagner 1979] comprend la fin ainsi: «les volumes (Ji) sont en fait (shi) égaux». (67) Voir xing « forme », ti « corps ». On peut également comprendre chtmhe comme le fait de pouvoir réunir (Voir he), accoler, l'un à l'autre, des yangma identiques (chtm renverrait à l'absence de mélange) : dans ce nouveau cas que Liu Hui considère, les yangma que produit la coupe sont tels qu'aucun ne peut être accolé à une autre copie de lui-même. Ou, pour le dire autrement, ceux d'entre eux qui sont accolés sont distincts. D'où l'impossibilité de reproduire le raisonnement antérieur. On peut ainsi traduire: « Et s'ils ne s'unissent pas entre identiques

822 [pour faire un parallélépipède rectangle], c'est difficile de l'étudier (la situation). » Pourquoi les mêmes conclusions peuvent-elles pourtant être avancées ? (68) On peut également comprendre: « (On coupe) une fois longitudinalement, une fois transversalement. » Le passage est délicat à interpréter. On peut risquer l'hypothèse suivante: en coupant obliquement un cube en 2 - dans tout ce passage les corps aux dimensions égales entre elles tiennent lieu de corps aux dimensions quelconques, et donc ce cube tient probablement lieu de parallélépipède rectangle - , on produit en son sein deux qiandu. En coupant à nouveau le même cube en 2, transversalement cette fois, on produit dans chacun des qiandu un yangma et un bienao (comme cela est clair sur la figure 5.41.c, par exemple). Le raisonnement amorcé ici pourrait faire valoir que, considéré relativement aux 2 qiandtt auquel il appartient, le yangma est complété, pour former une moitié du cube, par un bienao de forme distincte dans chaque cas. Ces deux bienao, malgré leur différence, doivent donc avoir le même volume. En variant les plans de coupe, on peut établir plusieurs égalités. C'est l'hypothèse retenue par [Wagner 1979], pp. 177-178. Ce premier raisonnement pourrait constituer un prélude à celui qui le suit. Mais l'on peut aussi faire l'hypothèse que deux coupes verticales, longitudinales et transversales, complètent les deux coupes précédentes, et que l'ensemble de ce passage n'est qu'une préparation, une introduction, aux découpes qui permettent les descriptions par blocs vers lesquelles Liu Hui se tourne maintenant. On peut enfin penser, c'est l'hypothèse que je retiendrai, que le commentateur décrit ici la découpe du cube sur lequel se concentrera l'itération à venir (voir [Li Jimin 6. 1990a], p. 301, figure 4.29, [Chemla 1992b], p. 129, et voir les figures 5.41.a et 5.41.b) : après une première coupe en oblique qui fait apparaître deux qiandu, la seconde découpe en oblique prescrite doit être effectuée dans une direction pour l'un de ces qiandtt, dans la direction transverse pour le second. Telle est la découpe clef, qui apparaîtra au cours de l'itération à venir, dans un cube qui constitue un quart du parallélépipède formé (voir ci-dessous et figure 5.41.b), celle dont le traitement permet la résolution du problème. On pourrait alors ponctuer ainsi l'ensemble de ce passage : «Si l'on coupe en oblique les qiandu, pour faire des yangma, cela doit aussi être équivalent à prendre la moitié comme part. Il suffit d'(en couper) un longitudinalement, l'autre transversalement, et si l'on suppose que l'on prenne les yangma comme à l'intérieur, les bienao à l'extérieur, alors il suffit d'utiliser cette (configuration) pour montrer que, malgré les variations de longueur ou de largeur des blocs, ils présentent toujours des lii invariables par ce partage, que ces formes dissemblables, ces corps différents sont néanmoins égaux. » Notons que, dans le cadre de cette hypothèse, il se présente une interprétation de l'énoncé central (.1990}, Httijiaoben, reprend l'ordre des éditions les plus anciennes. (59) Si ce problème évoque le chapitre 8 dans la mesure où nous y lisons deux énoncés d'équations linéaires, sa structure en deux phrases débutant par des suppositions fait écho à nombre d'énoncés des chapitres 3 et 6 (Voir jin you «supposons»). Soulignons par ailleurs que le rapprochement avec le chapitre 8 est de nature différente ici et pour les premiers problèmes du chapitre 7, tant pour ce qui est des énoncés que pour les procédures de résolution.

(54) Comme le montrent la procédure et le commentaire, il faut entendre que la croissance se fait à vitesse constante au long d'un jour. Les courbes donnant les longueurs en fonction du temps sont linéaires par morceaux ([Ma Li 1993}, p. 51). [Ma Li 1993}, p. 7, remarque à juste titre qu'en pareil cas, le choix des valeurs des suppositions est important.

(60) Afin de marquer la double supposition que Liu Hui souligne ici (voir ci-dessous), nous retenons cette hypothèse de traduction plutôt que: « SUPPOSONS QUE CE SOIT 5 SHENG DE VIN DE BONNE QUALITÉ, CE SERAIT 1 DOU 5 SHENG DE VIN DE MAUVAISE QUALITÉ, ET IL Y AURAIT 10 DE RESTE. » En effet, cette seconde lecture tendrait à donner une supposition pour principale, et les autres valeurs comme en découlant.

(55) La procédure reprend systématiquement les mêmes termes de buztt « déficit» et de YOttytt « il y a un reste» pour désigner les écarts à la valeur réelle. S'ils ne sont pas les plus adéquats en ce cas, ce pourquoi Liu Hui éprouve le besoin de les justifier, leur reprise souligne les relations entre résolutions de problèmes. Notons les valeurs comportant plusieurs unités et une fraction de l'excédent et du déficit.

(61) Notons que les termes « de reste »/« déficit» renvoient ici à une opposition plutôt qu'à des significations concrètes dans la situation. Voir ke « confronter ». La relation entre les quantités de vin est utilisée pour accorder les suppositions faites sur l'une et l'autre; l'énoncé du problème est transformé en deux règles de trois suivies d'une addition qui, appliquées aux suppositions, fournissent la grandeur résultant pour le prix, à confronter à 30 sapèques.

(56) Relevons ce renvoi à la procédure générale comme constituée d'une alternance de multiplication et de division (voir [Chemla 1996b}). On pourrait comprendre autrement: « Avec l'excédent et le déficit, on les (les suppositions) multiplie et les divise. » (Voir ying bttztt shtt « Procédure de l'excédent et du déficit»). L'application de la « Procédure de l'excédent et du déficit» fournit le temps au bout duquel les longueurs sont égales. Le calcul des longueurs au bout de 2 et de 3 jours est nécessaire pour trouver ce résultat, mais inversement, une fois obtenu, il permet de calculer la longueur que le Classique explicite. L'ensemble des réponses fournies par le Classique dépend de la seule que l'énoncé demande en fait de calcu1er: le temps.

(62) Il s'agit ici de la leçon de la Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle. La leçon de l'édition de Yang Hui est également compréhensible: « on le fait avec [l'opération} de l'excédent et du déficit ». Un phénomène analogue se produit en 7.16. (63) Voir she « supposition », yi « intention », qi « homogénéiser », tong « égaliser ». Chaque inconnue est l'objet de deux suppositions - c'est bien ce que montre la procédure particulière à ce problème énoncée par Les Neuf chapitres; et la procédure générale, appliquée à ces suppositions ainsi qu'à l'excédent et au déficit, produit successivement chacune des deux inconnues - c'est ce que Liu Hui désigne de l'expression de « double supposition ». Ce cas est à distinguer des précédents pour lesquels les

Notes dt! Chapitre 7 inconnues dépendent toutes de l'une d'entre elles, la seule pour laquelle la « Procédure de l'excédent et du déficit» est mise en œuvre. Ceci dit, ce dernier énoncé du commentaire de Liu Hui soulève, en l'état, des difficultés - il s'agit de la leçon de la Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle. En quoi le problème, soit: la demande formulée de déterminer les inconnues, pourrait-il avoir pour intention d'égaliser et d'homogénéiser ? Peut-être la leçon de l'édition de Yang Hui dont disposait Song ]ingchang et dans laquelle ne figurent pas les caractères qi « qui se correspondent » et yi « intention», apporte-t-elle ici des éléments pour dépasser cette difficulté. On peut en traduire le texte ainsi: « Ce problème comporte déjà une double supposition, et avec (excédent et déficit), on les égalise et les homogénéise. » La mention renverrait à la « Procédure de l'excédent et du déficit» d'une manière différente de 7.11, en s'inspirant de la démonstration. (64) La structure de l'énoncé évoque le chapitre S. (65) Notre choix de traduction fait écho, ici comme au problème précédent, au commentaire de Liu Hui, dont la structure est différente selon les cas : la supposition sur les petits récipients apparaît ici comme dépendante de celle sur les grands, et non symétrique à elle. (66) Ou: «font, réunis (Voir he) [ ... } » La réunion des contenances fait écho aux autres modalités de rassemblement. Idem ci-dessous. (67) A nouveau, comme en 7 .11, la procédure générale est désignée par l'alternance de multiplication et de division qui en font la trame. Et de même qu'en 7.11, l'on peut également comprendre: « Avec [l'opération de} l'excédent et du déficit, on les (les suppositions ainsi qu'excédent et déficit) multiplie en croix et on divise. » (6S) La distribution des qualificatifs d'excédent et de déficit, marquant l'opposition entre les deux résultats, est justifiée par Liu Hui. (69) Si tel est le sens, soulignons que l'addition des résultats, à effectuer pour produire le dividende, serait sous-entendue. L'énoncé fait pendant aux deux propositions analogues en 7.11 et 7.13, et est susceptible de la même lecture alternative: «Avec [l'opération} de l'excédent et du déficit, on les multiplie en croix pour faire le dividende [ ... } » Une fois suppositions, excédent et déficit déterminés, on en appelle à la procédure générale, dans les détails de laquelle Liu Hui entre ici plus avant. (70) La laque prélevée est l'inconnue sur laquelle portent les suppositions. La détermination de leurs conséquences amène à expliciter les liens algorithmiques qui l'unissent aux autres quantités cherchées, et ces procédures sont remises en œuvre en fin de résolution. Voir jin you shu « procédure du "supposons" ». Notons que les deux applications de la règle de trois, renvoyant l'une à un échange, l'autre à un mélange, sont à effectuer l'une à la suite de l'autre, et non pas en parallèle l'une avec l'autre. La leçon de l'édition de Yang Hui donne: « "[ ... } en effectuant la division du

857 dividende par le diviseur", on obtient la quantité (shtt) de sheng de laque ». (71) A savoir: quels sont les poids respectifs du jade et de la pierre qui composent ce cube? (72) Les cttn désignent ici des unités de volume, contrairement à ce qui précède. Notons que les réponses concernent les volumes aussi bien que les poids. (73) Si l'on représente le problème sous la forme: x + y = 27 etin, 7x + 6y = 176liang, la première supposition x = 27 revient à prendre y = 0, tandis que la seconde x = 0 implique de donner à y la valeur 27. Au lieu de renvoyer à la « Procédure de l'excédent et du déficit », qui conduirait au résultat très rapidement étant donné les simplifications, le Classique affirme à ce point le résultat, et Liu Hui explicite le raisonnement direct qui en rend compte. Débutant tous deux comme pour un problème ordinaire de ce chapitre, Classique et commentaire optent ensuite pour un raccourci que la sémantique de la situation suggère. (74) Il s'agit ici de la leçon de la Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle. La leçon de l'édition de Yang Hui est également compréhensible: « on le fait avec la procédure de l'excédent et du déficit ». Un phénomène analogue se produit en 7.12. (75) Ce problème est cité à la fin du commentaire faisant suite au problème S.S. (76) A savoir: le côté de l'or, les huit tiges d'or auxquelles s'ajoute une tige d'argent. (77) Déficit et surplus sont donnés à un facteur Il près, comme le soulignera Liu Hui: l'on peut effectivement multiplier excédent et déficit par un même nombre sans affecter la solution donnée aux problèmes de cette catégorie, voir les notes 7 et 23 de ce chapitre, qui discutent du traitement des fractions dans la procédure générale. Soulignons le fait qu'au problème précédent, excédent et déficit présentent également des fractions, mais ne font pourtant pas l'objet de la même opération. (7S) Le contexte incite à comprendre que les valeurs de la forme entier + fraction (a + bic) que revêtent les suppositions relatives aux tiges d'argent sont transformées en ac + b. Cette multiplication par les dénominateurs, tous deux égaux à Il, sera compensée par la multiplication du diviseur par Il en fin de procédure. (79) Le Classique reprend pour les suppositions, soulignons-le, l'expression par laquelle elles sont désignées au cours de la procédure générale de l'excédent et du déficit, qui est énoncée dans le contexte des premiers problèmes du chapitre: « les lii de ce qui est payé». En fait, cette expression semble renvoyer ici aux deux couples de suppositions, le premier portant sur l'or, le second sur l'argent, et la procédure paraît opérer sur les deux simultanément. (SO) L'un des dividendes correspond à l'or, l'autre à l'argent. Si la supposition portait sur le poids de 9 tiges d'or et de 11 tiges d'argent, les deux branches du calcul seraient

858 unifiées et divergeraient de par la nature de la division finale, par 9 pour l'un, par 11 pour l'autre. (81) Il s'agit ici du dividende correspondant à l'or. (82) La division porte ici sur le dividende correspondant à l'argent. Il semble bien que ce calcul en parallèle soit préféré au fait de prendre les 9111 du résultat précédent. C'est également ainsi que Liu Hui paraît comprendre le texte. (83) L'hypothèse conjointe donne naissance à deux suppositions qui correspondent à l'énoncé de la procédure du Classique. (84) Comme ci-dessus, l'or désigne ici les 8 tiges d'or auxquelles on ajoute 1 tige d'argent. Notons que, malgré le fait que sa valeur dépasse 16 liang, soit 1 Jin, le résultat est donné en liang et non en Jin, comme le produiraient directement les valeurs et comme c'est le cas plus bas. Il s'agit probablement de préparer la confrontation avec les 13 liang de l'énoncé. En réalité, outre le fait d'être donnés à un facteur multiplicatif Il près, excédent et déficit sont exprimés en liang, tandis que les suppositions le sont en Jin. De cette seconde manière s'exprime à nouveau la possibilité de multiplier excédent et déficit par un même nombre sans changer le résultat de la procédure. Voir jitt « sur la base de ». (85) Voir tong fin na zi « faire communiquer les parts et incorporer au numérateur », yan « exprimer ». (86) Le surplus en légèreté est donné comme déficit. (87) La traduction de cette dernière phrase suit la proposition de [Li ]imin L:::.1993), ]ittzhang sttamhtt jiaozheng, p. 401 et note 40, p. 412, de restituer le texte tel que le donnent les éditions anciennes, Voir rtt « suivre », fa « diviseur, méthode». On pourrait également interpréter: « Si on le fait avec [l'opération) de l'excédent et du déficit, en effectuant la division du dividende par le diviseur on obtient le poids (d'une tige) d'or », en suggérant que le terme de « dividende» est omis. Cependant, [Li ]imin L:::.1998a), pp. 610-611, revient en arrière sur ce point, et réintroduit, sans mention d'ailleurs, le terme de « dividende » dans l'édition critique. Il interprète donc le texte plutôt comme nous le faisons en note. Relevons qu'en ce cas, tout comme le Classique, le commentaire ne distingue pas les dividendes pour l'or et pour l'argent. (88) [Li ]imin .6. 1993),}ittzhang sttamhtt jiaozheng, note 41, pp. 412-413, propose ici une ponctuation différente. On peut également comprendre l'ensemble de cette phrase: « Si "le dénominateur multiplie le diviseur, puis qu'on divise par (le résultat)", c'est parce que cela représente le dénominateur des liang de l'argent, par conséquent on les (ce dénominateur et celui du diviseur) égalise: il faut faire communiquer le diviseur et ce n'est qu'ensuite qu'en divisant, on obtient le poids (d'une tige) d'argent. » Le remplacement, au début de la procédure, des suppositions sur les tiges d'argent de la forme a + bic par ac + b se compense ici : le diviseur est également multiplié par c (Voir tong« faire communiquer », tong« égaliser »). Cependant la raison pour laquelle Liu Hui désignerait c par

Les Neuf chapitres l'expression de « dénominateur des liang de l'argent » n'est pas claire. En s'inspirant de la modification de ponctuation proposée par Li ]imin, on peut également comprendre : « Si "le dénominateur multiplie le diviseur, puis qu'on divise par (le résultat)", c'est parce que les dénominateurs des liang (à savoir: des excédent et déficit - voir ci-dessus) et (des poids) de l'argent (à savoir: des suppositions) sont à l'origine identiques (Voir tong « identique»). Il faut donc faire communiquer (Voir tong« faire communiquer ») le diviseur et ce n'est qu'ensuite qu'en divisant, on obtient le poids (d'une tige) d'argent. » (89) Voir ytle « simplifier », sheng « économique ». (90) Voir ban « demi ». De même qu'en 7.11, le contexte indique que les chemins sont parcourus à vitesse constante au long d'une journée. Comme [Ma Li 1993) le souligne (p. 57), les distances parcourues sont des fonctions linéaires par morceaux du temps. La suite des parcours aux jours entiers n est donnée par les sommes des n premiers termes d'une suite arithmétique. (91) Contrairement au problème précédent, le déficit est, comme plus haut, donné avec une valeur fractionnaire. (92) [Ma Li 1993) souligne à juste titre que si, dans les cas comme celui du problème 7.11, les faibles valeurs des suppositions permettaient éventuellement de se dispenser d'un algorithme de sommation, c'est, dans ce contexte, plus difficile. Les procédures données ci-dessous pour évaluer la somme de séries arithmétiques et leurs n-ièmes termes permettent tout à la fois de calculer excédent et déficit ici, et par la suite, une fois le temps déterminé, les distances effectivement parcourues. C'est un des arguments en faveur de l'hypothèse selon laquelle ces procédures faisaient à l'origine partie du Classique, même si Les Nettf chapitres - tout comme en 7.11 - ne demandent pas explicitement de déterminer ces parcours. (93) Voir jialing «supposons, suppositions», weicheng « multiplier en croix». La procédure reprend la procédure générale de l'excédent et du déficit. (94) Voir btt jin « ne pas épuiser», dengshtt « nombre égal», mingfen « nommer les parts». La partie du texte qui prescrit d'appliquer, aux valeurs des suppositions et des excédent/ déficit, la procédure générale s'est trouvée, par erreur pensons-nous, insérée dans le commentaire au cours de la transmission. Il serait en effet étonnant que le commentaire débute par l'énoncé de la suite de la procédure, sans se pencher sur l'origine des valeurs des excédent et déficit. L'insistance ici sur la simplification du résultat prend d'autant plus de sens que l'on s'apprête à le reprendre dans le calcul des parcours. Cet argument plaide en faveur de l'appartenance également de la suite de la procédure au texte du Classique. Le commentaire commencerait ainsi par an « commentaire », ce qui en constituerait un début ordinaire, et reprendrait, point par point et dans le même ordre, les éléments de la procédure des Nettf chapitres. Notons cependant que la structure du commentaire au problème 7.20 ferait pencher en faveur de l'hypothèse inverse.

Notes du Chapitre 7

859

(95) Cet algorithme pour la sommation de la série arithmétique, de raison positive (ce dont le train - journalier s'entend - augmente), diffère, dans son énoncé, de la procédure telle que le commentaire la justifiera ci-dessous. La description privilégie la concision des calculs à leur transparence quant aux raisonnements qui les justifient. (96) Soulignons le fait que le calcul du n-ième terme fait suite à la sommation des n premiers termes. La détermination de la somme précède l'application de la « Procédure de l'excédent et du déficit», le n-ième terme est utile pour préciser la longueur du parcours effectué au cours du dernier jour. Ce calcul met en œuvre l'hypothèse d'une vitesse constante au long du jour. La remarque de (Ma Li 1993], relative au problème 7.11, selon laquelle le choix des suppositions initiales est ici déterminant, garde toute sa valeur. (97) Sur une quantité donnée sous la forme a + bic, le terme de numérateur (jenzi) renvoie à b. (9S) « Précédent» peut renvoyer tant à la temporalité du calcul qu'à celle des parcours. Relevons l'expression suivante (Ji de « d'où le résultat ») qui relève plus de la démonstration d'un algorithme que de sa conclusion. La structuration des calculs, opposant la détermination du parcours global à celle du dernier tronçon, fait voir globalement les raisons de leur organisation. (99) Le parallélisme entre les procédures relatives aux deux chevaux permet de mettre en valeur les relations entre les algorithmes sommant des séries arithmétiques de raisons positive et négative. Soulignons que ce parallélisme est mis en scène justement au cours du chapitre 7. On se reportera aux notes du paragraphe précédent. (100) Voir ding « déterminé ». (101) Selon une hypothèse de (Ma Li 1993], pp. 55 sq., le trajet parcouru par le mauvais cheval en 15 jours, de la forme « entier+ 112 », étant ajouté à une fraction du type

m+!

~

2 , sa partie . fjractlOnnalte . , est trans formee c ' en -. 2 P ar -n n suite, l'addition des numérateurs -le diviseur moitié nl2 et les parts restantes - produit le numérateur entier d'une fraction de dénominateur n. Les termes utilisés dans cet énoncé ne sont pas typiques du Classique. Voir ji « partie fractionnaire ». (Eberhard 1997], p. 14, note 45, signale une autre occurrence de can (que l'on rencontre ici dans l'expression canfen traduite par « parts restantes») au sein du commentaire de Zhao Shuang au Classique mathématique du gnomon des Zhou (Zhoubi sZlanjing, (Qian Baocong 61963], p. 52) dans l'expression canbzl. Le contexte permet également de la comprendre comme: « bu incomplets », par référence au partage du bu qui ouvre sur l'expression d'une de ses fractions. Peut-être, par analogie, canfen pourrait ici s'interpréter comme « les parts incomplètes ». Soulignons que l'expression « les parts » semble renvoyer ici aussi au numérateur (Voir fen).

(102) Le fait que soient ici présentes des valeurs numériques et des remarques qui renvoient au cas particulier du problème soulève la question de savoir si ce dernier énoncé

se rapporte au cas général que ce problème illustre ou au cas particulier qu'il représente. En ce dernier cas, il faudrait alors traduire: « comme cela n'est pas épuisé ( ...] » (103) Voir chu « éliminer », ding « déterminer ». (104) Voir ying bZlzzl « (mettre en œuvre l'opération] de l'excédent et du déficit », Voir she cha « différence entre les quantités testées». (105) La présence ici dans l'édition de Yang Hui, entre autres variantes, de la particule zhe, typique des citations d'un énoncé précédent que l'on s'apprête à justifier, constitue un indice intéressant pour discuter de la restitution du texte original en amont. (106) Le commentaire se tourne maintenant vers les algorithmes de sommation de séries arithmétiques, second point de la procédure. En en démontrant la correction, Liu Hui regroupe en un unique texte la sommation des séries de raisons positive ou négative, contrairement à la description précédente que nous attribuons au Classique. L'organisation de la description diffère ici de ce qui précède sur un autre plan : au détriment de la concision, le détail des calculs laisse maintenant voir, par transparence, la raison de leur correction. La procédure est ainsi démontrée par réécriture en une procédure qui donne à voir, dans sa structure, les grandes lignes de sa démonstration. Liu Hui oppose, dans les séries, la partie constante (ce qui est parcouru à allure égale, Voir ping « plat») à la partie qui varie au fil des jours, avant de les sommer pour obtenir le résultat visé. Le calcul des termes correspondant à la variation du train met en évidence, à son tour, la série arithmétique de base, de terme général n, dànt il suffira, en fin de procédure, de multiplier la somme par la variation constante du train. Ainsi l'organisation des calculs laisse voir le jeu des facteurs qui composent la variation des parcours au long des jours. (107) Le terme d'« accumulation (Voir Ji) de valeurs moyennes (Voir zhongping) » qui désigne le résultat pointe vers le sens des calculs ainsi effectués et, partant, indique la raison de leur correction. Soulignons qu'apparaissent ici deux figures de la moyenne: d'une part, le parcours à allure égale sur lequel se greffent les variations qu'entraînent l'accélération ou le ralentissement du train; d'autre part, le calcul de ces dernières par leur transformation en empilements de valeurs moyennes. Notons par ailleurs comment la simple forme de l'énoncé « en sommant 1 et 14 » pointe, derrière le particulier et le prescriptif, vers un énoncé plus général et vers sa signification tout à la fois. (lOS) Voir jian « soustraire », yi « augmenter », zhongping

« moyenne». Le nom met en évidence la production de ce terme comme valeur moyenne. (109) Ici à nouveau, indice à prendre en considération, contrairement à la Compilation de Dai Zhen à partir de la Grande encyclopédie Yongle, l'édition de Yang Hui comporte un zhe, marque usuelle de la citation d'une étape dans un algorithme, que la suite de la phrase va justifier, dont elle donnera la signification.

Les Neuf chapitres

860 (110) Le calcul est identique en tous points à celui qui clôt le commentaire à 7.11, à ceci près que l'on a ici deux calculs parallèles aboutissant à deux résultats distincts. Le lecteur pourra se reporter aux notes correspondantes. Soulignons que le commentaire, contrairement au texte que nous attribuons au Classique, ne revient pas sur le calcul du n-ième terme de la série. Le qualificatif de « déterminé» (Voir ding) s'explique mal ici; la leçon de l'édition de Yang Hui dont Song ]ingchang dispose ne le comporte ni ici, ni ci-dessus (voir [Guo Shuchun ~ 1990], Httijiaoben, p. 383, notes 142 et 143), et peut se comprendre comme suit: « Si l'on cherche les quantités (shtt) de li parcourus au cours du seizième et dernier jour, qu'on en multiplie le numérateur des parts de jour, et qu'on divise par le dénominateur des parts de jour, c'est qu'on obtient respectivement les quantités (shtt) de li parcourus au cours de la fraction (Voir fenzi) de jour ». L'on retrouve d'ailleurs une leçon analogue à la fin du commentaire au problème 7 .20 (voir la note éditoriale 90). (111) Le commentaire reprend ici la partie finale du texte que nous attribuons au Classique, voir les notes ci-dessus. La partie fractionnaire renvoie sans doute au 1/2 de la valeur, en ce cas, de la distance parcourue en 15 jours par le mauvais cheval. Si l'on garde le diviseur des jours, c, comme dénominateur, déterminant la taille des parts (Voir fen «part»), un li entier (Voir qttan « entier ») correspond également à un nombre de telles parts égal au numérateur c. Exprimer, en parts de cette

taille, le demi-li, ce qui implique de le morceler, donne

c/2 parts. (112) Voir ben « à l'origine, capital ». (113) Notons les valeurs, l'une comportant une fraction, l'autre deux unités, des excédent et déficit. (114) Le commentaire attribué à Liu Hui s'écarte sur plusieurs plans ici de l'organisation systématique qu'il revêt en général dans ce chapitre. (115) Ce premier algorithme, comme les précédents, applique la procédure que contient l'énoncé à deux suppositions, avant de recourir à la procédure générale de l'excédent et du déficit. Liu Hui y ajoute une seconde manière de faire (.1963}, p. 299, p. 431) et dans le Classique mathématique de Xiahou Yang (Xiahou Yang suanjing, ibid., p. 569) ainsi que dans le commentaire de Zhao Shuang au Gnomon des Zhou (Zhoubi, ibid. p. 40), où il désigne le reste d'une division ou d'une extraction de racine. Dans le cas des divisions que présentent le premier et le second ouvrages, ji renvoie aux unités restantes, lorsque, par division, on convertit une quantité en unités supérieures. Dans le cas de la racine carrée que décrit le troisième, le reste que désigne Ji, associé à un dénominateur approprié, fournit la partie fractionnaire du résultat.

Ji

Le sixième de la série des troncs célestes, à laquelle on recourt en guise d'ordinaux. Ils jouent également le rôle des lettres de l'alphabet dans leur emploi de marqueurs pour l'énumération.

Jl

Combien Ce terme est employé dans la formulation de tous les énoncés de problèmes des Neuf chapitres, parfois également pour ceux qu'insèrent les commentateurs aux fins de l'exégèse - 1.21 : « combien une personne obtient-elle? » -

jihe Champ trapézoïdal Voir l'introduction au chapitre 1, section III. 1.

936

Les Neuf chapitres

Ajouter Ainsi que c'est encore le cas chez des auteurs du XIIIe siècle comme Li Ye, ce caractère qui désigne l'addition est en général placé entre les termes dont il prescrit la somme, par contraste avec les usages les plus usuels de bing, « sommer». pa Parfois le premier terme est introduit par yi (avec), à moins que jia ne soit lui-même développé en yi jia (9.8) ou en jia yi (6.3, selon la leçon des éditions anciennes, voir note 17 de l'édition critique du chapitre 6). Ce premier terme reprend souvent le résultat de l'opération immédiatement précédente, qu'il soit désigné par l'expression « ce qu'on obtient» - 9.22 : « CE QU'ON OBTIENT (c..- suode) EST AJOUTÉ A LA HAUTEUR DE L'ARBRE» - ou qu'il soit omis - 7.18 : « ON AJOUTE LA QUANTITÉ (SHU) DE LI QUE PARCOURT LE BON CHEVAL LE PREMIER JOUR» - Mais il est des cas où c'est le second terme qui reprend le résultat de l'opération immédiatement précédente, par le biais de l'anaphore zhi - 6.17 : « Si on ajoute à ceci le li! du poids de la différence, cela fait [ ... ] » Chacun de ces termes est susceptible d'être lui-même composé - 4.22 : « on a ajouté ce qui est au milieu deux fois, ce qui est au-dessous trois fois au diviseur déterminé» - On trouve également jia seul: en parallèle avec « soustraire» (c..- jian), il renvoie systématiquement à Fopération d'addition, par contraste avec bing qui, employé seul, renvoie à l'opération ou à son résultat: la somme - 9.11 : « si on ajoute, on obtient la hauteur de la porte» - L'expression suojia « ce qui est ajouté» (8.2) désigne en toute généralité le terme avec lequel on opère. D'autres syntaxes d'utilisation, où jia est situé avant les termes à additionner, se rencontrent également, quoique plus rarement: jia x yu y « ajouter x à y » (1.32) ou jia x y ge z « on ajoute à x et à y respectivement z » (6.1). (..- ge « respectivement ». En outre, diverses modalités d'effectuation des additions sont disponibles, comme jun jia « ajouter de manière uniforme », qui consiste à ajouter à un ensemble de nombres une même quantité - 6.18 : « ON AJOUTE 3, DE MANIÈRE UNIFORME (c..- jun), A CEUX-CI [ ... ] » -

c..- bing « sommer, somme », cong « rejoindre », de « ajouter », he « réunir », yi « augmenter », zeng «

ajouter, augmenter ».

A supposer, supposition Contrairement aux Neuf chapitres, dont les problèmes commencent tous par la formule « Supposons» (c..- Jin you), les textes composés de problèmes d'époques ultérieures recourent régujialing lièrement à d'autres formules, et certains privilégient la formulejialing en ouverture (par exemple le Classique mathématique qui fait suite aux anciens de Wang Xiaotong). Tout comme Jin you, on rencontre cependant la formule jialing dans les procédures des Neuf chapitres, ainsi que dans les commentaires. Les algorithmes de la seconde partie du chapitre 7 introduisent des suppositions sur les données par la formule jialing.Jialing y désigne, dans les commentaires à la première partie, autant la valeur de la supposition que le fait de la supposition - 7.4 : « et les "lû' de ce qui est payé", on les appelle les "suppositions" », « si l'on "somme excédent et déficit pour faire le diviseur", c'est que ce qui, homogénéisé, vaut 32, ce sont 4 suppositions, et il y a un excédent de 12 [ ... ] » - La même formule introduit régulièrement, dans les commentaires, la suggestion de prendre en considération des objets différents de ceux proposés dans l'énoncé du problème. Il peut s'agir d'objets de dimensions différentes, comme cela se répète dans le chapitre 5 - 5.10 : « A supposer que l'on ait une pyramide tronquée à base carrée, dont le côté du carré supérieur vaille 1 chi, le côté du carré inférieur 3 chi, et la hauteur 1 chi, [. .. ] » ; voir également 1.32 et 4.24 - ; ou d'objets radicalement différents, par la considération desquels commencer le raisonnement - 1.34 : « Supposons que l'on ait un cône

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à base carrée dont le carré de base ait 6 chi de côté et la hauteur 4 chi» - En outre jialing précède l'énoncé d'éventualités pouvant se produire dans la menée des calculs, en vue de rendre compte de la forme générale d'une procédure - 5.11 : «Dans l'hypothèse où, en simplifiant par 3 les circonférences des cercles supérieur et inférieur, aucune des deux n'est épuisée [ ... J » ; (",.. bu Jin « ne pas épuiser» - Mais jialing sert également à introduire des problèmes que le commentaire se donne à des fins de raisonnement - 3.0 : « Supposons que la famille]ia comporte 3 personnes, la famille Yi, 2 personnes, la famille Bing 1 personne, ce qui fait en tout 6 personnes, et qu'elles partagent ensemble 12 [ ... J » - Sur l'usage, dans les chapitres dialectiques du corpus mohiste, du terme technique de jia, voir [Graham 1964J, pp. 14-16.

(",.. Jin you « supposons») ling « supposer», she « supposer, quantité testée», shi « supposer».

fia Le premier de la série des troncs célestes, à laquelle on recourt en guise d'ordinaux. Ils jouent également le rôle des lettres de l'alphabet dans leur emploi de marqueurs pour l'énumération.

pa Soustraire Comme c'est encore le cas chez des auteurs du XIIIe siècle tel Li Ye, ce caractère qui désigne l'opération de soustraction est en général, par contraste avec les emplois de cha, « différence», placé entre les termes dont il prescrit qu'ils soient retranchés l'un de l'autre. Il arrive cependant que, précédé de xiang (l'un l'autre ; (",.. xiangjian), il soit placé après les deux termes sur lesquels opérer, en syntaxe polonaise inverse donc (8.1). De plus, tout comme le substantif « soustraction », en français, renvoie à l'opération sans pouvoir en désigner le résultat, jian ne peut pas signifier ce résultat, auquel il est souvent fait référence par le mot yu, « reste». Parfois le premier terme est introduit par yi (avec), à moins que jian lui-même ne soit développé en 9.20 : « LE LÜ DE CE QUI EST MARCHÉ EN OBLIQUE ÉTANT SOUSTRAIT DE 5 MULTIPLIÉ PAR LUI-MÊME [ ... J » - Si l'on excepte cette dernière expression, pour laquelle je n'ai trouvé aucun contre-exemple, dans aucun autre de ces cas il ne semble que la syntaxe permette d'affirmer quel est le terme qui est retranché de l'autre. Ainsi, si l'expression yi xjian y signifie en général que x est soustrait de y - comme c'est flagrant dans l'expression réCurrente (1.6 par exemple) : « ON SOUSTRAIT LE PLUS PETIT DU PLUS GRAND» - , on rencontre également des cas où elle signifie que y est soustrait de x - 9.22 : « Ici on prend "la hauteur de l'arbre, et on en soustrait la hauteur de l'œil de la personne, 7 chi" [ ... J » - De même, si le terme qui suitjian peut être celui qui est retranché de celui qui le précède, lequel peut tout simplement être le résultat de l'opération effectuée immédiatement avant la soustraction - 5.26 : «SION EN (i.e. de la somme des deux largeurs, n.d.t.) SOUSTRAIT LA LARGEUR SUPÉRIEURE, LE RESTE DONNE LA LARGEUR INFÉRIEURE» - , il est également de nombreux cas où c'est l'inverse: jian x signifie « soustraire de x» - 6.15 : « Soustrait de 2 Jin, le reste donne [ ... J » - Il est intéressant de relever qu'il en va de même chez Zhao Shuang pour ce qui est de l'ambiguïté des énoncés de soustraction (Zhoubi suanjing, [Qian Baocong .6.1963J, p. 18). En revanche, un auteur du XIIIe siècle comme Li Ye témoigne, sous ce rapport, d'une évolution de la langue mathématique: différentes syntaxes permettent de distinguer entre les différents cas ([Chemla 1982J, chap. 2).

yi jian, ou encore enjian yu -

Il se présente également, dans les commentaires, des expressions comme «x buzujian y », qui renvoie au fait que y n'est pas assez grand pour qu'on puisse, comme on devrait le faire, lui soustraire x - 6.18 : « Cela donne plus pour les inférieurs et moins pour les supérieurs, il n'y a donc pas

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assez pour que les (coefficients) des inférieurs soient soustraits des (coefficients) des supérieurs», voir la note 179 correspondante)On ne peut pas non plus affirmer quel est le terme qui doit être retranché de l'autre lorsque jian est développé en yi jian : x yi jian y peut signifier que y doit être retranché de x - 7.19 : « On somme les sapèques [prises} aux cinq retours pour en soustraire ceci (le capital), ce qui donne les profits» - , mais également que x doit être retranché de y - 6.19 : « ON EN PREND RESPECTIVEMENT LA MOITIÉ ET ON (LES) SOUSTRAIT DES

9 ENTRE-NŒUDS [ ... }

»-

Les exemples précédents montrent de plus que le premier terme reprend souvent le résultat de l'opération immédiatement précédente (et il peut être à ce titre omis), mais qu'il est des cas où c'est le second terme qui reprend le résultat de l'opération immédiatement précédente, par le biais de l'anaphore zhi « ceci ». Chacun de ces termes est susceptible d'être lui-même composé - 9.15 : « La différence entre base (gou) et hypoténuse soustraite de la hauteur (gu) fait le diamètre du cercle» - Quant àjian seul, il renvoie à l'opération - 7.18 : « [ ...} cela fait respectivement les li de la valeur moyenne que l'on soustrait ou dont on augmente» D'autres syntaxes d'utilisation, où jian est situé avant les termes à soustraire, se rencontrent également, quoique plus rarement: jian x yu y, « soustraire x de y » - 9.6 : « L'on soustrait le carré (mi) de cette différence de l'aire (mi) du gnomon [ ... } » En outre, diverses modalités d'effectuation des soustractions sont disponibles, comme jun jian « soustraire de manière uniforme », qui consiste à soustraire à un ensemble de nombres une même quantité - 6.18 : « Par suite l'on doit prendre la différence disposée entre les groupes des supérieurs et des inférieurs, puis la soustraire uniformément (cer jun) [ ...} » - , ou zhijian « soustraire entre nombres qui se font face », qui implique de soustraire, l'une de l'autre, deux colonnes de nombres, en soustrayant deux à deux, l'un de l'autre, les termes qui se correspondent. cer cha «différence », xiangjian «soustraire l'un de l'autre », xiao «retrancher, annuler », qu

« éliminer », sun « diminuer », xiao « retrancher, annuler », yi shao jian duo « soustraire le plus petit du plus grand », zhijian « soustraire entre nombres qui se font face ». Soustraction des parts (procédure de la) C'est-àdire: soustraction des fractions (1.11). Contrairement à l'expression retenue pour l'addition des fractions (cer hefen « réunion des parts»), qui ne reprend pas un jianfen (shu) des termes usuels pour désigner l'opération, c'est une désignation courante de la « soustraction» (cer jian) qui entre dans le nom de cette procédure.

(M~)

Simple C'est l'un des termes retenus pour qualifier cet idéal de «simplicité» qui devrait empreindre les procédures. On le trouve réaffirmé à plusieurs reprises chez Liu Hui ou Li Chunfeng, pour justifier qu'un algorithme des Neuf chapitres s'écarte d'une .. procédure qui pourrait présenter d'autres propriétés intéressantes (8.1) ou pour introduire pan une proposition de nouvel algorithme (8.18). Jian se rencontre en binôme avec yao « essentiel» - 1.32, commentaire de Li Chunfeng : « C'est parce que la procédure, se conformant à (la norme) d'aller au simple et à l'essentiel [. ..} » - , mais plus souvent avec yi « aisé» - 6.3 : « [ ... } on ne fera que se conformer ainsi (aux normes) de simplicité et d'aisance qui y sont attachées» - Cette dernière paire joue un rôle important dans le « Grand commentaire» (Xici zhuan) du Classique du changement (Yijing). On l'y rencontre dès le premier paragraphe du premier chapitre: « aisé, il est donc aisé de le connaître, simple, il est donc aisé de s'y conformer» ; yi « aisé» y est associé à qian, l'hexagramme

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du pur yang, tandis que jian « simple» l'est à kun, l'hexagramme du pur yin. Ici la simplicité renvoie à la facilité, à la commodité. Les commentaires mentionnent également une autre forme de simplicité, renvoyant elle à la concision ({.. sheng« économique»). Dans son Zhouyi life/i, Wang Bi met en parallèle simplification (yue) et simplicité: la simplification est ce qui permet à une entité d'être retrouvée dans une extension la plus grande possible, sa propriété de « simplicité» lui donnant cette capacité à la circulation - « [ ...] simplifié (c.. yue) pour subsister dans une vaste [étendue], simple pour traverser une multitude [de faits] [ ... ] », cité par [Guo Shuchun .6. 1984d], p. 59Coin, angle, sommet - 5.23 : «SUPPOSONS QU'ON AIT, APPUYÉ SUR L'ANGLE INTÉRIEUR D'UN MURET, DU GRAIN DÉCORTIQUÉ» ; 4.16 : « On veut éliminer la surface (mi) Yi jaune qui est en coin des surfaces (mi) vermillon» ; 5.10 : « [ ...] elle utilise comme blocs: au centre 1 cube; sur les quatre flancs, 4 qiandu ; et, aux quatre coins, }tao 4 yangma » - Le terme est donné par les commentateurs du Ille siècle comme équivalent à yu « coin» - 5.25 : « L'angle, c'est un coin (yu) » - On lit aussi dans le commentaire de Zhao Shuang au Classique mathématique du gnomon des Zhou (Zhoubi suanjing, [Qian Baocong .6.1963], p. 14) : « Le coin, c'est un angle. » Par extension,jiao désigne le sommet d'un polygone - 1.32, commentaire de Li Chunfeng : « D'un coin au coin opposé, on peut évidemment voir que le diamètre est de 2 chi [ ... ] En outre, si, à partir d'un sommet du polygone [ ... ] » - Jiao peut également renvoyer, pour un parcours, au fait d'aller « de coin à coin », « en diagonale» - 1.32, commentaire de Li Chunfeng : « les côtés transverses de coin à coin font aussi tous 1 chi» ; 5.17 : « Dans ce carré, peu importe que l'on coupe [le long d'une ligne qui va] de côté à côté ou en diagonale, on peut savoir que l'un et l'autre donnent la moitié» Emprunter On rencontre ce terme dans les chapitres 4 et 8. Au cours des descriptions d'algorithmes pour l'extraction de racine, il est exclusivement utilisé, par le Classique comme par les commentaires, dans l'expression « baguette empruntée», jie désignant une baguette à calculer que l'on introduit dans une ligne inférieure et que l'on soumet à des opérations. Les textes postérieurs comme le Classique mathématique de Sunzi et le Classique mathématique de Zhang Qiujian reprennent cet accessoire de calcul, ainsi que son nom, mais modifient les calculs qui portent sur lui [Chemla 1989]. Les occurrences de ce terme dans le chapitre 8 sont d'ordre concret pour ce qui concerne le Classique (8.12). Mais les commentaires le reprennent de manière plus abstraite pour désigner un mode de constitution d'une équation: il peut s'agit du fait qu'une inconnue « principale» (la i-ème inconnue, pour l'équation i) s'y voit adjoindre d'autres inconnues, « principales» pour d'autres énoncés, mais que l'équation en question lèur 5.< emprunte» pour venir ici compléter l'égalité - 8.3 : « Tous les (cas) où des colonnes s'empruntent les unes aux autres les types de choses qui sont prises s'appuient sur cet exemple» ; c. . qu« prendre» ; voir également 8.12 Sans doute par extension,jie peut également renvoyer au rapport d'« emprunt mutuel» qu'entretiennent les termes (coefficients associés à une inconnue), l'un positif, l'autre négatif, d'une équation n'en ayant que deux - 8.18 : « il faut chercher à avoir, dans une même colonne, (les valeurs) pour 2 types de choses avec un (nombre) positif et un négatif qui s'empruntent l'un l'autre» Epuiser Utilisé en général dans des énoncé négatifs: c. . bu Jin « ne pas épuiser». [Graham 1964], en particulier pp. 11-14, analyse des discussions mohistes relatives à ce terme.

}tn

{. . qiong « aller jusqu'au bout ».

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pn

Approcher Ce terme revient régulièrement lorsqu'il est question d'approximation - 1.36 : « [ ...} et alors on s'approche nécessairement de lü plus précis» ; (..- lü [Libbrecht 1973}, p. 477, signale que, dans les Ecrits sur les mathématiques en neuf chapitres de Qin Jiushao, il prend le sens d'« arrondir ».

(..- xiangjin « proche l'un de l'autre, approximation ».

Supposons ... ou supposons qu'on ait... Cette locution, qui peut se comprendre également comme « Maintenant on a .. , », marque le début de la majeure partie des problèmes du Classique. Les seuls qui échappent à cette règle font suite à d'autres problèmes d'un même groupe et commenpn you cent donc pour cette raison par la locution « Supposons à nouveau ... » (you you). Malgré le fait que la traduction par « Maintenant on a .,. » pouvait assumer une nuance de « supposition », nous avons choisi une traduction qui rende en général plus franchement l'idée de supposition. En effet, d'une part, ce second aspect du sens nous a paru le principal. D'autre part, la marque de temporalité devait au contraire être éliminée dans certains cas: les énoncés d'un grand nombre de problèmes (essentiellement aux chapitres 3 et 6) fournissent deux telles suppositions avant de conclure en demandant de déterminer des inconnues. Or leurs présentations commencent, en pareille circonstance, toutes deux par la locution Jin you (3.20), éventuellement la seconde par le seul terme Jin « supposé» (6.7), qu'il était difficile de rendre dans ses deux occurrences par « Maintenant on a ... ». Ce choix de retenir comme traduction « supposons» est justifié par un argument d'une autre nature: lorsque l'énoncé du problème 7.17 est cité par le commentaire au problème 8.8, Jin you est réécrit enjialing « à supposer ». Cependant nous avons recouru à cette seconde traduction dans certains cas particuliers pour des raisons particulières (voir par exemple 6.10). Soulignons que seuls quelques problèmes sont introduits par cette expression dans le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu, [Peng Bao L2001a}, latte de bambou 113, p. 89). [Mettre en œuvre l'opération du} « supposons ... », [appliquer l'opération du} « supposons ... » Dans les commentaires, le nom de l'opération que la « procédure du "supposons" » Jin you shu) permet d'exécuter, à savoir: "supposons", se voit, tout comme un certain nombre d'autres opérations, utilisé dans un emploi verbal, selon le schéma suivant: nom-de-l'opération-anaphore zhi « ceci, ceuxci », qui signifierait « appliquer à ceux-ci l'opération». On pourrait rendre le phénomène par des constructions artificielles du genre « on les "supposons"-ise », mais nous avons préféré traduire par une périphrase. A la réflexion, pareille manière d'inviter à recourir à la procédure disponible pour exécuter l'opération n'a rien que de parfaitement ordinaire: c'est selon la même modalité que, proposant, par exemple, de « soustraire ceci », on suggère, si calcul il doit y avoir, d'employer la procédure disponible pour ce faire. Il est significatif, je pense, du travail mathématique de la Chine ancienne que cette identification des opérations fondamentales se poursuive au-delà des seules opérations élémentaires et se marque de façon systématique par le même phénomène syntaxique. C'est ce sens de Jin you que je pense mobilisé par les expressions récurrentes, comme en 2.33, commentaire de Li Chunfeng : « Ceci a le sens (yi ') de [mettre en œuvre l'opération} du "supposons". »

«..-

(..- cuifen « parts pondérées en fonction des degrés », fanctli zhi « [appliquer} l'inversion des coefficients de la pondération à ceux-ci »,jin you shu «procédllre du "supposons" »,jin youzhi « [appliquer l'opération du} "supposons" à ceux-ci », jialing « à supposer », ling « supposer », she « supposer, quantité testée», shi « supposer», ying buzu « excédent et déficit».

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Procédure du « supposons ... » (2.0) Nous avons retenu cette traduction, pour la procédure qui correspond en réalité à ce que 't l'on désigne usuellement du nom de « règle de trois », afin de Jin you shu marquer le fait que son nom, dans le Classique, reprend la locution qui marque le début de la majeure partie des problèmes des Neuf chapitres. Il est en effet intéressant de constater que cette procédure est, corrélativement, qualifiée d'universelle «.... dou shu « procédure universelle») par le commentaire attribué à Liu Hui, et fait l'objet d'un développement de sa part qui en commente le rapport avec l'ensemble des Neuf chapitres ([Wang Ling 1956a], pp. 172-173). Notons que Zhu Shijie recourra également plus tard à des noms de facture semblable pour désigner des formules ([Hoe 1977], p. 134-135). La procédure permet d'exécuter l'opérationjin you « supposons » - 2.37, commentaire de Li Chunfeng : « Cela a le sens (yi ') de [mettre en œuvre l'opération] du "supposons" » ; c.... jin you zhi « [appliquer l'opération du] "supposons" à ceux-ci» - Yang Hui retient un autre nom pour cette opération dans Explications détaillées des Neufchapitres sur les méthodes mathématiques (Xiangjie jiuzhang suanfa), et il en explicite le sens dans sa préface: huhuan « échanger par (multiplication) croisée» (c.... hu « mêlé»). Zhu Shijie, dans son Introduction à Fétude des mathématiques, y renvoie par l'expression « multiplier par le différent et diviser par le même (yicheng tongchu, [Bai Shangshu 61982d], pp. 253-254). La «procédure du "supposons" » est le pendant algorithmique nécessaire du concept de lü : elle le rend, en particulier, efficace en donnant les moyens de transformer un microcosme de lü en le macrocosme dont les inconnues cherchées par un problème relèvent.

'.:f

(.... jin you « supposons», lü, suoqiu lü « lü de ce que l'on cherche», suoqiu shu « quantité de ce que l'on cherche», suoyou lü « lü de ce que l'on a », suoyou shu « quantité de ce que l'on a ».

{Appliquer l'opération du} «supposons ... » à ceux-ci, {mettre en œuvre} sur ceux-ci [l'opération} du « supposons ... » - 2.33, commentaire de Li Chunfeng : « [ ... ] et Jin you zhi on leur [applique l'opération] du "supposons" [ ... ] » ; 7.14 : « [ ... ] et on [met en œuvre] sur ceux-ci [l'opération] du "supposons" [ ... ] » - Des prescriptions comparables d'opérations de niveau supérieur se rencontrent pour ce qui est de cuifen « parts pondérées en fonction des degrés», de fancui « inversion des coefficients de la pondération à ceux-ci», et de ying buzu « excédent et déficit».

(.... jin you « supposons »,jin you shu «procédure du "supposons" ».

Diamètre d'un cercle (jing ou yuan (cercle) jing) (1.32) Diamètre d'une sphère (jing, yuan (cercle, sphère?) jing, wan (boule) jing ou liyuan (sphère) jing) (4.24) (.... liyuan« sphère ».

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Diamètre transverse, transverse Jing désigne de manière générale une ligne droite, voire une géodésique, qui traverse de part en part une surface. On rencontre ce terme pour ce qui est des champs en forme d'anneau, (1.38) ou en forme de calotte sphérique (1.34), [ ... ] : nous l'avons rendu par « diamètre transverse ». Il s'agit, dans le premier cas, de l'épaisseur de l'anneau, dans le second, de la longueur de la portion de grand cercle passant par le sommet et limitée par le bord de la calotte. Relevons que, dans ce dernier contexte, jing est étendu au cône à base circulaire, pour désigner l'ensemble de deux génératrices symétriques par rapport à l'axe du cône. Pour ce qui est du cercle (respectivement du carré) inscrit à un triangle rectangle, jing en désigne le diamètre

942

Les N eu! chapitres

(respectivement les transverses, à savoir: ceux des côtés du carré inscrit qui traversent le triangle). Notons que, dans ces derniers cas, le terme de jing se présente dans le Classique pour le cercle, mais qu'il est introduit par le commentaire pour le carré. Dans son commentaire au Gnomon des Zhou (Zhoubi Suanjing, {Qian Baocong 61963], p. 14), Zhao Shuang glose: «jing, c'est droit (zhi) ». Il parle également, par analogie avec le cercle, de fang jing « transverse du carré» : «Quand le diamètre (jing) du cercle vaut 1, sa circonférence vaut 3 ; quand la transverse (jing; qui traverse le carré d'un côté au côté opposé) du carré vaut 1, son pourtour vaut 4 » (ibid., p. 13). Quand le cercle est inscrit dans un carré, deux de ses diamètres font également des « transverses» du carré. Directement - 6.5 : « Si (l'on veut) trouver directement la quantité égale de grain décortiqué que l'on fait {... ] » -

Le Classique (Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques) - 1.2, commentaire de Li Chunfeng : « Alors que le Classique dit: "la largeur et la longueur étant multipliées l'une par l'autre, on obtient les bu du produit (ji)", le commentaire dit: {... ] » ; préface attribuée à Liu Hui: «Les procédures du Classique furent dispersées et jing endommagées » - Notons que Zhao Shuang parle également à propos du Gnomon des Zhou de jing « Classique» (voir sa préface, Zhoubi suanjing, {Qian Baocong 61963], p. 11, {Cullen 1996], p. 171 ; il en va de même de Zhen Luan, {Qian 61963], p. 39). Partager Cette interprétation est sujette à caution, voir les notes 65 et 67 à la traduction du chapitre 1. (. . jingfen shu « procédure du partage des parts », jinglü shu « procédure du partage des lü ».

Procédure du partage des parts (1.18) La procédure indique comment diviser l'une par l'autre des quantités composées d'une //lI('f partie entière et de fractions. Elle s'oppose à une autre procédure jingfen shu donnée aux mêmes fins en 4.0, la procédure de la « petite largeur» (c.. shaoguang). Le Livre de procédures mathématiques comporte une procédure au nom apparenté (jing s'y écrit « directement»), qui réalise également une division entre nombres comportant des fractions (Suanshushu, {Peng Hao 62001a], lattes 26-27, p. 48 ; voir la note 65 à la traduction du chapitre 1 et l'introduction au chapitre 4, section 1).

~ill 2

.~~~

~'~

Procédure du partage des lü Sur le sens des deux procédures qui portent ce même nom, se reporter au chapitre 2 et à"l'introduction correspondante, section 1.2, (2.33, 2.37).

jinglü shu

)tu

S'appuyer sur, se servir de Jiu est, en ce sens, synonyme de ju « s'appuyer sur» - 1.32, commentaire de Li Chunfeng: «Si l'on s'appuie (ju) sur la circonférence entière pour chercher la demi-circonférence, alors il faut prendre 2 comme diviseur; si l'on se sert (jiu) de la circonférence entière pour chercher le demi-diamètre, à nouveau on utilise 6 pour diviser» -

Suivre Dans cette acception, ce caractère paraît synonyme de cong « suivre, rejoindre» - 5.17 : « Si on découpe en suivant les côtés des carrés centraux {... ] », voir la note 80 à la traduction du chapitre 5 -

Glossaire des expressions techniques

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Déplacer (un nombre sur la surface à calculer) vers, approcher d'(un nombre un autre sur la surface à calculer) Ce terme désigne des mouvements des représentations des nombres sur la surface à calculer, orientés par des directions ou par le fait qu'on leur fasse rejoindre une autre valeur et donc s'ajouter à elle - 6.1 : « Les parts de Ding sont à nouveau plus petites, il convient aussi de les approcher de Bing, et la division tombe juste» ; 4.16 : « C'est pourquoi on fait du mouvement (ou de l'approche) vers les positions supérieures une diminution par rétrogradation», voir la note 35 de la traduction du chapitre 4 - Il se présente également, avec le même sens, dans le Classique mathématique de Sunzi (Sunzi suanjing, [Qian Baocong ~ 1963], p. 282). [Libbrecht 1973], p. 477, signale plusieurs usages techniques de ce terme dans les Ecrits sur les mathématiques en neufchapitres de Qin Jiushao.

Equerre en couple avec «compas» (Cllllt'" gui). Un des instruments de base que l'Histoire des Han introduit (.1963}, p. 18), ainsi d'ailleurs que dans le commentaire qu'en rédige Zhen Luan (ibid.,

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Les Neuf chapitres

p. 30). En particulier, pour désigner le carré construit sur une grandeur, Zhao Shuang postfixe le terme de shi au nom de la grandeur: xian shi s'interprète comme « carré de/sur l'hypoténuse» (ibid., p. 18). Pour cet usage, le commentaire attribué à Liu Hui fait systématiquement usage de ?J'ti « carré» en lieu et place de shi. Volume Shi semble désigner le volume en tant qu'il est un nombre, mais aussi en tant qu'il est extension - 5.16 : « Si les dimensions (shu) sont égales, le volume (shi) en occupe la moitié, [ ... } » ; (..- ji shi « volume», lishi « volume d'un solide» - En ce sens, il évoque mi « aire, surface». Il se rencontre à plusieurs reprises en opposition avec xing, la« forme» - 5.14 : « cette forme (xing) en est différente de celle du bloc voulu, mais le volume (shi) est le même» - Le fait que shi puisse désigner tant une aire qu'un volume renvoie au fait que nombre de termes partagent ce trait d'être commun au plan et à l'espace (en particulier, (..- ji « produit, aire »,jang « carré, cube », mi « aire, volume »). Par ailleurs les sens de dividende, d'une part, d'aire et de volume, d'autre part, pourraient être réconciliés par le fait de considérer que shi est une entité à laquelle il faut donner forme: le diviseur lui donne forme dans la division, comme il reçoit forme dans le plan ou dans l'espace. Réalité, valeur réelle Il s'agit de la réalité d'un objet, par opposition à la diversité des présentations que l'on peut en donner - 1.9 : « Quoique, donc, les degrés de finesse diffèrent, pourtant les réalités (shi) auxquelles elles correspondent sont les mêmes» - ou par rapport aux approximations que l'on peut en exprimer - 4.24 : « Mais il accroît trop la circonférence, cela dépasse sa valeur réelle (shi) » - En particulier, shi prend ce sens de « réalité» en association avec ming', le « nom», à deux reprises dans le commentaire de Li Chunfeng - 1.2 : « En s'en remettant aux noms «(..- ming') pour s'enquérir sur les réalités (shi), les deux sont complètement différentes» - L'une de ces occurrences souligne que la réalité que désigne shi peut renvoyer à la nature du comportement au cours d'un algorithme - 4.16 : « en vain aurait-elle le titre «(..- ming') de la place où elle est disposée alors qu'elle n'a pas la réalité (shi) de ce qui divise le nombre-produit », voir [Chemla 1993b} Contenu - 8.3 : « Les contenus (shi) de ces clauses se correspondent totalement, en conséquence de quoi on tient ces 2 clauses, opposées l'une à l'autre, comme une seule procédure» En fait tombe» -

(..- chashi

«

5.17 : « Le yanchu de cette procédure est en fait (shi) un passage souterrain menant à une dividende de la différence ».

En effectuant la division du dividende par o 0 0 le diviseur, on obtient [...}, effectuer la division du dividende par le diviseur shi ru fa de ( ... ) donne comme résultat [...} Sur cet ensemble d'expressions constituant une des modalités de prescription de la division, voir l'introduction au chapitre 1 ; (..- ru « comme », bu man « ne pas remplir ».

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shi ru fa de yi ... (unité)

o g

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Effectuer la division du dividende par le diviseur, ce qui donne le résultat en [...} (unité) - 2.33 : «ET ON EFFECTUE LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR, CE QUI DONNE LE RÉSULTAT EN SAPÈQUES» -

Glossaire des expressions techniques

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Effectuer la division du dividende par le ·l~ ~ diviseur Ces trois dernières expressions se , /' "'li rencontrent dans des algorithmes dont la shi ru fa er yi description se structure autour des termes de la division. Après avoir détaillé comment déterminer chacun des termes de l'opération, l'algorithme se conclut par la prescription d'une ou de plusieurs divisions (1.9, 3.0).

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shi (shi')

Situation, procédure/situation, dispositif, configuration Ce terme, dont F. ]ullien [l992} a montré l'importance pour l'histoire de la pensée en Chine, désigne de manière générale un dispositif doué d'effet, une disposition efficace. Tentons, en nous appuyant sur ses multiples occurrences, de préciser le sens qu'il prend, dans les commentaires mathématiques, sachant qu'il semble s'agir là, à première vue, d'un concept spécifique aux exégètes et absent des Classiques.

Un premier groupe d'occurrences dans des contextes géométriques présentent une relative homogénéité. Le terme de shi' y intervient dans des comparaisons, lorsqu'il s'agit justement de noter l'identité que présentent les « situations» de certaines entités géométriques. C'est le cas, par exemple, des diverses sections horizontales du corps constitué de l'assemblage de 4 blocs, considéré en 4.24 (voir figure 4.5.3). Li Chunfeng note, à leur sujet: « C... } la multiplication par lui-même du reste de la hauteur donne l'aire (mi) découpée en haut sur les trois blocs extérieurs. Quelle que soit la hauteur, la situation/procédure (shi') est toujours telle ». L'identité de situation de ces sections renvoie ici précisément au fait qu'une même procédure rende compte des relations entre la hauteur de la section et l'aire découpée sur trois des blocs dans cette section. C'est dans la mesure où la confrontation entre différentes de ses occurrences suggère que shi' saisit ensemble ce couple de dimensions que nous avons choisi d'adjoindre à la traduction de « situation », pour la préciser, le mot de « procédure». Pareil constat d'une identité suppose ici que la surface de la section se soit vue structurée par une procédure qui y inscrive les aires de quatre zones et fasse émerger l'ensemble des grandeurs géométriques permettant de saisir les points-clefs de la « situation» : hauteur de la section et aire découpée sur trois des quatre blocs. Que la « situation» renvoie à une section, aux grandeurs clefs qui la définissent et à une procédure, c'est ce qui ressort également de l'autre occurrence de shi' dans le même passage - 4.24, commentaire de Li Chunfeng : « Comme ces blocs superposés engendrent le volume (Ji), en raison du fait que les procédures/situations (shi') des aires (mi) sont toutes identiques, alors les volumes (Ji) ne souffrent aucune différence », voir la note 142 correspondante à la traduction - La comparaison porte ici sur les sections de même hauteur découpées sur l'assemblage des trois blocs précédents, d'une part, et sur une pyramide, d'autre part. Et l'identité des situations renvoie de nouveau au fait que les aires de ces sections se calculent à l'aide de la même procédure, laquelle n'est fonction que de la hauteur de la section. Dans le premier cas, ce sont diverses sections horizontales d'un même solide qui sont comparées sous le rapport de leur shi' ; dans le second, les sections horizontales correspondantes de deux solides. Une fois les surfaces des sections à confronter structurées, une fois les grandeurs pertinentes dégagées, les procédures mettent en évidence ce en quoi elles sont efficaces à la résolution du problème. Ces occurrences amènent à une première interprétation qui permet de proposer une hypothèse dans deux cas moins clairs. Lorsque nous lisons en 5.17, au sujet d'un cône à base carrée et d'un yangma (voir figures 5.34 et 5.29) : « En poursuivant ceci jusqu'à rejoindre le sommet, il n'y a pas de niveau qui ne soit carré; en conséquence, un cône à base carrée et un yangma ont le même

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Les Neuf chapîtres

volume (shi). Et ce qu'on coupe selon la diagonale présente une situation (shi') où l'un et l'autre [des morceaux} donne la moitié», on peut en effet comprendre ainsi: le cône à base carrée et le yangma de mêmes dimensions présentent des sections identiques à chaque hauteur, même si les formes de ces solides sont différentes, d'où l'identité des procédures pour le calcul de leurs volumes; de même, si le yangma est coupé par le plan qui contient le sommet et une diagonale de sa base, les sections des pièces découpées sont à chaque hauteur identiques, et, partant, les aires étant, l'une et l'autre, moitié du tout pour chaque section (tel est le shi'), les corps qu'elles forment ont eux-mêmes un volume moitié du corps ainsi découpé. Les deux diagonales de la base peuvent être envisagées tour à tour. Cela produit dans chaque cas des bienao d'un nouveau genre. Or c'est dans des circonstances géométriques comparables que l'on rencontre la seconde occurrence relativement obscure de shi', en 5.15 : « Examinons les morceaux (qui résultent) de la coupe: les situations (shi') des corps communiquent «(1IIr" tong) l'une avec l'autre, alors c'est aisé à comprendre! » (voir la note 64 correspondante à la traduction). La comparaison entre des bienao formant un yangma qui se conclut ainsi pourrait impliquer une constatation de ce que leurs sections à même hauteur sont identiques, et amener ainsi à la conclusion de l'identité de leurs volumes, malgré leur différence de forme. Là encore shi' pourrait donc renvoyer à la réalité géométrique de chaque section ainsi qu'à la procédure qui calcule son aire, à la nuance près que, dans ces cas, non seulement les aires sont identiques, mais les surfaces sont également superposables, et les solides accolables. Récapitulons-nous à ce point: les situations shi' que nous avons rencontrées sont celles d'objets (aire ou solide) ; elles supposent que, sur ces objets, aient été prélevées un ensemble de grandeurs clefs sur lesquelles s'appuie une procédure (le calcul de l'aire par exemple), et le tout (grandeurs clefs et procédure) peut être soumis à des comparaisons qui concluent, selon les cas, à l'identité ou à un autre type de relation (.1992a], p. 276.

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(.- shi

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appliquer, étendre ».

Rétrograder Ce terme, comme ceux de zhe « rétrograder» ou de zhexia « diminuer en rétrogradant», désigne un mouvement que l'on imprime, sur la surface à calculer, à un nombre représenté par des baguettes (suan) : il s'agit d'un déplacement d'une place tui décimale, de la gauche vers la droite, et il s'oppose à la « progression» qui désigne, elle, le mouvement de la droite vers la gauche bu). Il s'agit de l'une des opérations auxquelles peut recourir un algorithme, comme l'extraction de racine - 1.32 : « Et l'on rétrograde encore une fois le diviseur, pour trouver un chiffre de la partie décimale (c.- weishu) (de la racine) » - La division par 10 est également décrite par Li Chunfeng comme « rétrogradation» - 2.2, commentaire de Li Chunfeng : « Comme le lü du petit mil est 50, le lii du grain grossièrement décortiqué est 30, on les (les valeurs présentes) trouve en rétrogradant d'une position wei), c'est la raison pour laquelle on dit simplement 3 et 5 » - Les Neuf chapitres recourent plus souvent aux termes de zhe « rétrograder» ou zhexia « diminuer en rétrogradant ». Liu Hui, quant à lui, s'il utilise ces derniers termes, emploie également celui de tui, plus souvent repris par les auteurs postérieurs (voir le Classique mathématique de Sunzi et le Classique mathématique de Zhang Qiujian (Sunzi suanjing, Zhang Qiujian suanjing, [Qian Baocong L:::>.1963], pp. 282-283, pp. 301-302, pp. 369-370, p. 398) ; le manuscrit de Dunhuang Pelliot 2667, in [Li Yan L:::>.1944/54], p. 34). La mutation des termes de zhe « rétrograder» et bu « faire progresser» en tui et Jin se signale à notre attention du fait que cette réécriture substitue à des termes spécifiques un couple d'opérations opposées fondamental du Classique du changement (Yijing), lequel se présente en particulier dans les commentaires. Les deux opérations mathématiques de déplacement horizontal sur

«(.-

«(.-

1002

Les Neuf chapitres

la surface à calculer pourraient être de ce fait identifiées comme les manifestations dans ce cadre de deux opérations plus générales à l'œuvre dans le réel.

(..- zhe

«

rétrograder».

tuofang

Parallélépipède rectangle (5.14) Le même préfixe tua (voir la note éditoriale 43), accolé à fangzhui « cône à base carrée», forme une appellation du cône à base rectangulaire - 5.1 7 : « ces grands bienao proviennent tous deux d'un cône à base rectangulaire» -

c..- fang « cube », lifang « cube »,fang baodao « cylindre à base carrée ». Entier Par opposition à « part» (c..- fen) - 2.0 : « au cas où on exprime ceci avec des entiers, [ ...} » - On trouve également le terme wanquan - 1.21 : « De plus, que 5 chevaux valent 3 Jin d'or, ce sont les lü en nombres entiers » -

wan

c..- quan « entier ». Faire, représenter, être pris comme y, prendre x comme y (généralement précédé, en ce cas, de yi, selon la syntaxe yi x wei y) Ce terme joue un rôle important dans la description d'algorithme ou le développement de raisonnement.

wei

Il relie l'énoncé d'une opération à son résultat, que celui-ci soit un nombre - 1.32 : « Si l'on en prend la moitié, cela fait 1 chi et donne les côtés de l'hexagone inscrit dans le cercle» - , un élément géométrique - 1.36 : « En "multipliant la flèche par la corde" et en prenant la moitié de ceci, cela fait alors l'aire (mi) jaune; en "multipliant la flèche par elle-même" et en prenant la moitié de ceci, cela fait les 2 aires (mi) bleu-vert» ; .1990a}, pp. 265 sq., défend l'idée qu'il s'agit d'une procédure précise, inspirée de l'astronomie et qu'il présente. Les Mémoires historiques (Shiji) associe, en plusieurs endroits, l'expression à Zou Yan, le théoricien du me siècle avant notre ère qu'il donne pour le fondateur de 1'« Ecole du Yin et du Yang» (voir [Graham 1986c}, en particulier pp. 11 sq. ; voir Shiji, volume 7, p. 2344, où l'on parle, à son sujet, de l'observation des xiaoxi du yin et du yang; voir aussi volume 4, p. 1259 ; les deux passages sont cités dans [Peterson 1990}, p. 204). On rencontre également, à deux reprises, l'expression, dans le Classique du changement (Yijing, dans les jugements pour l'hexagramme 23, bo, et l'hexagramme 55,jeng), systématiquement en corrélation avec le couple ying/xu (.1963}, p. 13» ou désigner la diagonale d'une figure - 4.24 : « Cette grande hypoténuse, c'est la grande diagonale du cube inscrit; et cette diagonale, c'est le diamètre de la boule » -

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xietian

Champ oblique (1.27) Cette figure du plan est l'objet d'interprétations différentes (voir l'introduction au chapitre 1, section II!. 1 et la note 91 à la traduction du chapitre 1), nous le comprenons ici comme renvoyant à un quadrilatère dont deux angles adjacents sont droits. Son nom évoque un opposé : zhitian « champ rectangulaire ».

Forme Renvoie à la forme générique d'un objet géométrique, laquelle peut s'actualiser dans des corps différents. Par exemple, les yangma sont tous des pyramides de base rectangulaire et dont le sommet se trouve à la verticale d'un des sommets du rectangle xzng de base, mais les corps qu'ils sont peuvent être différents, à l'exception du cas où leurs trois dimensions, longueur, largeur, hauteur, sont égales - 5.15 : « Les bienao ont des formes dissemblables et les yangma sont des corps (c"'" ti) différents » - Cependant cet exemple montre également que le même terme de bienao peut renvoyer non seulement à des corps différents, mais à des formes différentes: il n'y a donc pas relation univoque entre appellation d'entité géométrique et forme (c"'" bienao). En ce cas, les algorithmes qui calculent les volumes de ces formes différentes de même nom sont cependant les mêmes et, partant, les volumes égaux lorsque les dimensions sont égales - 5.15 : « Même si leurs formes ne sont pas toutes similaires les unes aux autres, pourtant les coefficients (c"'" shu) qui apparaissent (c"'" xian) sont les mêmes, et les volumes

Glossaire des expressions techniques

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(c.r ji shi) sont égaux» - Les formes sont l'objet de comparaisons; ainsi les formes géométriques sont rapportées aux formes d'objets concrets - 4.24 : « alors la forme correspondante présente des ressemblances avec des dais carrés qui s'emboîteraient exactement» ; (.- si « semblable, similaire» ou à d'autres formes géométriques - 5.17 : « Si le (volume) de terre creusée est plat au-dessus, en pente en dessous, s'il ressemble à deux bienao flanquant un qiandu, cela donne la forme d'un yanchu » Ces formes sont susceptibles d'être transformées les unes en les autres par opération géométrique - 5.18 : « Si l'on coupe droit deux côtés de la pyramide tronquée à base carrée, et qu'on les réunit, cela donne la forme d'un chumeng » - ou par déformation - 1.34 : « On raisonne à dessein sur le cône à base carrée pour faire apparaître cette forme », voir la note 169 correspondante - Avoir une forme implique, semble-t-il, de donner prise à la mesure et, partant, d'avoir une étendue, c'est ce qu'on peut induire de l'affirmation de Liu Hui - 5.15 : « L'extrême du fin, on le dit infime; infime, il n'a donc pas de forme. Considéré de ce point de vue, comment obtiendrait-on un reste? » ; (.r xi « fin », wei « infime » -

Longueur Ce terme se rencontre pour désigner la longueur d'un rectangle par opposition à sa « largeur» «.r guang) dans le Gnomon des Zhou (Zhoubi suanjing, [Qian Baocong .6.1963], p. 14). On le trouve à deux reprises dans les commentaires aux Neuf chapitres au sein de l'expression xiumi (9.14, 9.15 ; c.r mi) qui semble signifier XtU « l'aire d'un rectangle ». Le couple guangxiu apparaît dans les Canons mohistes (B 4, [Graham 1978], pp. 170-176 et pp. 355-356) comme exemple d'entités inséparables et pourtant distinctes. L'explication les rapporte au couple du blanc et du dur.

~J~

Vérifier, démontrer U ne analyse des occurrences de ce terme permet de préciser ce qu'il en est de cette pratique de la vérification dont le nom ne se rencontre que dans les commentaires et qui ne semble pas avoir fait l'objet d'une élaboration de la yan part des Mohistes. Il s'agit tout d'abord de vérifier la correction d'une procédure du Classique - 1.2, commentaire de Li Chunfeng : « De ce point de vue, le fait que "la largeur et la longueur étant multipliées l'une par l'autre, on obtienne les bu du produit (Ji)" est vérifié» - , et ce mode de vérification qu'est yan ne se rencontre que dans le contexte de la géométrie (chapitres 1, 4 et 5), que ce soit dans le plan ou dans l'espace - 5.10 : « [ ... ] Si on les réarrange, alors on engendre des pyramides tronquées à base carrée au nombre de 3. C'est donc vérifié », voir la note 37 correspondante - La vérification peut également cependant porter sur la validité de valeurs approchées avancées pour des entités géométriques - 1.32 : « Il faut chercher un côté du 1536-gone pour obtenir l'aire (mi) du 3072-gone, puis couper les parts décimales, afin que les 'valeurs (shu) (obtenues) soient encore conformes à celles-ci; cela en redonne alors une vérification. » Sur la continuité entre nombres et procédures: c.r shu « quantité », shu «procédure» - On constate' ici qu'une vérification peut se rééditer par des biais différents. Far ailleurs, elle peut également viser des affirmations avancées par le commentaire. Quelques usages négatifs de yan permettent de cerner plus précisément la nature de cette vérification. En effet, après avoir évoqué la vérification physique de lü par le biais de pesées et dans des circonstances de réalisation minutieusement décrites, Liu Hui conclut (4.24) : «Les lü proviennent de là, mais ils n'ont pas encore été démontrés (yan). » On peut en inférer que seul un raisonnement produisant des preuves visuelles peut être qualifié de vérification de type yan. En effet, on ne rencontre ce terme qu'en relation avec une référence à une figure ou à des blocs. Plus précisément, yan implique l'instrument de visualisation dans le plan - 1.32: «M'appuyant méticuleusement sur la figure

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Les Neuf chapitres

((ar tu) pour vérifier, j'ai élaboré de nouveaux lü plus précis », voir la note 117 correspondante - ou l'instrument de visualisation dans l'espace - 5.15 : «Cela (la procédure) se vérifie avec des blocs (ar qi) » - , voire à des formes ({ar xing). Cette hypothèse paraît confirmée par l'usage que fait Yang Hui du terme de yan dans ses Explications détaillées des Neuf chapitres sur les méthodes mathématiques (Xiangjie jiuzhang suanfa, édition Yijiatang congshu, p. 45 ; à propos des modes de raisonnements sur la base de ces auxiliaires visuels, voir [Chemla 1997c} et chapitre A, section IlIA). Sous un autre angle, ce fait révèle que jusqu'au XIIIe siècle, le terme de yan renvoie au même. type de raisonnement sur la base d'auxiliaires visuels. Cette vérification par preuve tangible évoque la pratique de même nom adjointe par Han Fei à sa théorie des noms et des réalités (voir [Wang Hsiao-po & Chang, Leo 1986}, pp. 69 sq.)

D'autres manières de conclure un raisonnement implique le terme yan de façon révélatrice. La conclusion peut être que la procédure dont on cherche, par le biais d'un yan, à établir la correction « ne se vérifie pas », car elle est fausse - 1.34: « Cette procédure ne se vérifie pas. [ ... } Ici le diamètre est, sur le dessus d'un champ en forme de calotte sphérique, une voûte circulaire; or il (ce champ) partage la même procédure avec le cône circulaire : c'est donc que l'on se trompe sur l'aire (n'fi) par défaut» - En ce cas, le commentaire fournit la forme géométrique pour laquelle la procédure se vérifie et met en évidence sa différence avec la forme visée, différence sur laquelle il s'appuie pour en conclure au caractère inapproprié de l'algorithme donné. Une configuration identique se reproduit en 4.24 et montre comment le commentateur se propose de mobiliser un yan pour mettre en évidence la fausseté d'un raisonnement - 4.24 : « Mais ce raisonnement (yi) est faux. Avec quoi le montrer (yan) ? [ ... } si la figure des dais emboîtés a le lü du carré, la boule inscrite en son centre a par conséquent le lü du cercle. D'où l'on déduit: dire que ce cylindre circulaire est représenté par le lü du carré, comment cela pourrait-il ne pas être faux? » - Il est encore des cas où l'argument mis en œuvre par la vérification ne vaut que pour un sous-ensemble des cas auxquels la procédure est susceptible d'être appliquée - 1.36 : «Ici, (la procédure) n'est vérifiée que pour le segment circulaire qui vaut la moitié du cercle» -

Parler de, parole - 1.2, commentaire de Li Chunfeng : « Maintenant, chaque fois qu'on parle d'aire (mi), cela en saisit le rectangle en un seul morceau qui aurait une longueur et une largeur, et si l'on parle de produit (ji), cela renvoie à la quantité (shu) globale d'une multiplicité de bu » - Justifiant l'introduction de ces auxiliaires de yan visualisation dans l'espace que sont les «blocs» (ar qi), Liu Hui affirme (4.22) : « Comme la parole n'épuise pas le sens (yi), pour expliquer ceci, il faut en général utiliser des blocs, c'est alors seulement que l'on arrive à comprendre» (voir la note 83 correspondante; (ar yi (yi) « sens, intention»). Exprimer, dire, énoncer Yan introduit parfois des déclarations, comme, par exemple, celles que l'on rapporte - 4.24 : « Zhang Heng dit également que le zhi correspond au côté de 64, tandis que le hun correspond au côté de 25 » Mais yan renvoie aussi à l'expression de quantités à l'aide de nombres de nature déterminée - 1.6 : « [ ... } il n'est pas possible que les mesures des quantités (shu) des choses soient toutes des nombres entiers, qu'il faut donc recourir à des parts pour les exprimer ». 6.9 : « Exprimons ceci en nombres entiers [ ... } » - ou d'une certaine manière - 1.6 : « Supposons que l'on ait le cas de 2/4 ; si on le dit en le compliquant, on peut aussi en faire 4/8, et si on le dit en le simplifiant, 1/2 » ; 7.17 : « Quand on l'exprime en faisant communiquer les parts et en incorporant au numérateur, cela correspond au fait d'avoir un déficit de 49 » - De façon générale, yan désigne l'expression d'entités mathématiques en fonction d'autres entités: l'expression d'une grandeur relativement à une autre

Glossaire des expressions techniques

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grandeur - 4.24 : « Si l'on exprime à nouveau le hun relativement au zhi, alors cela signifie que le hun occupe 5/8 du zhi » - , l'expression d'un solide en fonction d'autres solides - 5.17 : « Décrivons-en (yan zhi) les constituants: au centre, le qiandu a une largeur de 6 chi, une hauteur de 3 chi et une longueur de 7 chi» - , l'expression par un « dividende» de manière globale d'un ensemble de choses - 8.1 : « pour chaque type, dans une ligne, on a des quantités (shu), et on exprime leur dividende (shi) de manière globale » -

Yan renvoie également à l'expression d'une situation dans les termes d'une opération fondamentale - 4.24, commentaire de Li Chunfeng : « Exprimons ceci en termes de base (gou) et de hauteur (gu) [ ...} », voir la note 136 à la traduction du chapitre 4 - ou la traduction d'une procédure dans les termes et la démarche d'une autre opération - 3.0 : « Exprimons, par ailleurs, ceci en termes de "partage des parts" [ ... } » Là, la diversité des expressions possibles peut être opposée au fait qu'en fin de compte, ce que les différentes procédures calculent revient au même - 1.21 : « Si l'on s'en tient à l'expression, c'est différent, mais pour ce qui est des quantités (shu) calculées, les trois procédures reviennent au même» - De même, le choix, attribué par le commentaire au Classique, d'exprimer une procédure d'une manière plutôt que d'une autre peut être explicité et justifié - 8.1 : « Quoique, se conformant aux (normes) de simplicité et d'aisance, on ne l'exprime pas en termes d'homogénéisation et d'égalisation, si on la (la procédure) considère du point de vue d'une intention (yi) d'homogénéiser et d'égaliser, son sens (yi ') est bien tel » -

(",. kong « abstrait». Signifier Yan introduit par ailleurs l'explicitation de la signification d'un énoncé, par exemple l'interprétation qu'un commentateur donne d'une phrase du Classique. Cette signification peut s'exprimer en termes de corrélat pratique - 6.3 : « "Le coefficient deJia dans la pondération en fonction des degrés vaut 1026, celui de Yi 684, celui de Bing 399, celui de Ding 494, et celui de Wu 270". Cela signifie que, si l'on fait payer à 20 foyers deJia ensemble 1 hu, alors 18 foyers de Yi ou de Bing paieront ensemble 1 hu » - , prendre l'allure d'une justification - 8.2 : « "Ce dont on diminue est dit augmenter", cela signifie que puisque, quand on diminue d'un dou, le reste doit être 10 dou, si maintenant on veut avoir le dividende/production (shi) correspondant dans son entier, on doit ajouter ce dont on a diminué» - ou d'une reformulation - 8.4: «Cela signifie que la production (shi) des 5 bing du millet de qualité supérieure présente un surplus, et que si on lui soustrait 1 dou 1 sheng, le reste est justement la quantité (shu) qui est équivalente à 7 bing du millet de qualité inférieure» -

(",. wei « dire, appeler, signifier, désigner».

Yanchu Pentaèdre à base trapézoïdale, dont une face est perpendiculaire au plan de base et contient une arête parallèle au plan de base. Il est traité au problème 5.17, voir figure 5.28 ; voir l'introduction au chapitre 5 et les notes 78 sq. correspondantes.

yanchu

yangma

Yangma Pyramide à base rectangulaire, dont le sommet se trouve à la verticale d'un des sommets du rectangle de base. Les Neuf chapitres introduisent cette forme au problème 5.15 et les commentaires en font un des blocs de base de ce chapitre (5.10, voir figure 5.6 ; voir l'introduction au chapitre 5 et les notes 61 sq. correspondantes).

1018

Les Neuf chapitres

Capital, essentiel, point-clef Par ce qualificatif, les commentateurs expriment leur appréciation du caractère fondamental de certaines procédures - 1.9 : « S'il en est ainsi, la procédure d'homogénéisation-égalisation est capitale» - ou du caractère décisif d'un point - 8.3 : « Si, de la procédure, on retient essentiellement le pointyao clef [ ...} » - Mais le terme renvoie également à un idéal d'aller à l'essentiel en écartant des détails. Il se range en ce cas aux côtés d'autres valeurs qui se traduisent en autant de normes du travail mathématique, comme celle de « simplicité (Jian) » - 1.32, commentaire de Li Chunfeng : « C'est parce que la procédure, se conformant à (la norme) d'aller au simple et à l'essentiel, fait voir le principal de la trame sous forme d'esquisse» - ou d'impératifs comme celui de « rendre simple (yue) » - 8.18 : « En ce qui concerne cette manière de faire, il est possible qu'elle mène par hasard à la réussite, mais il arrive qu'elle soit mise en échec, et elle ne peut dire ce qui est l'essentiel et le plus simple » -

~

Intention, visée, sens, signification, raisonnement, idée Ce terme de yi appartient strictement au vocabulaire des commentaires. Il s'emploie le plus souvent relativement à une procédure et se présente, dans ce contexte, lorsque les exégètes cherchent à rendre compte de la correction d'un algorithme. Mentionnons tout d'abord un yi (yi) passage qui met en évidence l'enjeu qu'il y a à élucider le sens précis de ce terme. Alors qu'il introduit une procédure élaborée par Zu Gengzhi, Li Chunfeng pose une question révélatrice (4.24, commentaire de Li Chunfeng) : « Procédure pour l'extraction de la racine sphérique de Zu Gengzhi : On multiplie le volume (Ji) par 2, et on divise ceci (le résultat) par extraction de la racine cubique, ce qui donne le diamètre de la sphère. Quelle en est la signification (yi) ? » Or, en réponse à cette question rhétorique, Li Chunfeng développe le raisonnement qui établit le bienfondé de cet algorithme. Ce passage incite en conséquence à établir un lien entre l'objet de la question, précisément le yi d'une procédure, et la réponse qui y est faite, la démonstration de la correction. Nous sommes donc, avec yi, au plus près d'un terme renvoyant à l'exercice de démonstration auquel les commentateurs se livrent systématiquement à la suite des procédures du Classique. On notera que nous sommes là également au lieu même où l'exégèse en général s'articule à la forme particulière qu'elle revêt dans le contexte des mathématiques. Nous y revenons ci-dessous. Présentons d'abord de façon schématique, et avant de l'expliciter de façon plus détaillée, comment le complexe d'usages du terme yi dans les commentaires s'articule autour de l'activité de démonstration. Yi désigne, en premier lieu, la visée, le « sens» de ce qui est calculé par une opération ou par une sous-procédure. Il s'agit là, sans doute, de son sens fondamental, celui dont tous les autres ici découlent, et il y aura donc lieu d'examiner les dispositifs élaborés pour y parvenir. La manière dont ces significations se combinent au long d'une procédure (ses yi) incarne le raisonnement qui permet de la produire. C'est probablement ce qui explique pourquoi yi en vient à désigner ce raisonnement lui-même ou l'idée centrale qui l'anime. De manière générale, le commentateur se trouve devant des situations de deux types. Dans une première famille de cas, il peut déterminer directement, en suivant l'algorithme du Classique, comment les significations s'articulent de proche en proche pour aboutir au résultat visé. Ce faisant, il ne fait qu'expliciter les intentions des opérations, dans l'ordre où elles sont énoncées. Dans une seconde famille de cas, il élabore lui-même une procédure en éclairant pas à pas le sens de ses opérations et, partant, de son résultat. C'est seulement ensuite qu'il établit un lien entre cette procédure et l'algorithme dont il cherche à montrer la correction (une étape qui peut également relever du yi), et qu'il est, par ce biais, en mesure de déterminer la signification de ce que ce dernier produit. Quoi qu'il en soit et de façon générale, c'est donc en mettant au jour le sens de résultats intermédiaires d'une procédure et en éclairant leur agencement que le commentateur

Glossaire des expressions techniques

1019

élabore la signification du résultat final et montre donc que la valeur fournie par l'algorithme à prouver coïncide avec ce qui est cherché (sur tous ces points, voir également le chapitre A, section III). On comprend donc comment les sens de « visée», d'« intention», de « signification» et de « raisonnement» sont ici noués. Abordons à présent ces divers aspects de façon plus argumentée. Le terme de yi se présente lorsque, pour établir un algorithme, le commentateur explicite ce que visent à réaliser ses opérations ou ses sous-procédures dans la situation dans laquelle elles se trouvent appliquées - 5.11 : «L'intention (yi) qui préside à la confection de la procédure, c'est que l'on construit d'abord une pyramide tronquée à base carrée, pour laquelle on divise par 3. Alors si c'est sur la base des diamètres des cercles supérieur et inférieur qu'on le fait, il faut de plus multiplier ceci par 157 et diviser par 600. Maintenant si c'est sur la base des circonférences qu'on le fait, de la même manière que pour le cylindre à base circulaire, on multiplie de plus ceci par 25 et on divise par 314, alors on obtient d'abord 3 pyramides tronquées à base circulaire » - Le yi renvoie ici aussi bien au raisonnement prêté aux auteurs du Classique, lorsqu'ils ont produit la procédure examinée, qu'au plan suivi par le commentateur lui-même pour fournir une procédure alternative. Tous deux prennent la forme d'assigner des visées à des sous-procédures, dont l'agencement produira l'algorithme cherché. Ces intentions peuvent être formulées en précisant la signification des résultats des opérations dans les termes de la situation en relation avec laquelle la procédure est énoncée - 7.4 : « La signification (yi) de cette procédure réside en ce qu"'excédent et déficit" font la différence (entre les quantités payées) par l'ensemble des personnes [ ...} » - Il arrive que cette signification s'exprime en mettant à profit les termes ou les opérations d'un schéma opératoire formel - 6.20 : « Par conséquent, si l'on somme les nombres de jours pour faire le diviseur, c'est dans l'intention (yi) de sommer les homogénéisés (qi) » - Mais ces intentions peuvent également être saisies en introduisant un nouveau plan sémantique et en interprétant les opérations relativement à lui. C'est le cas lorsque Liu Hui glose en termes géométriques les opérations dont la suite effectue une extraction de racine - 4.16 : « On veut éliminer la surface (mi) Yi jaune qui est en coin des surfaces (mi) vermillon, l'intention (yi) en est donc identique à celle pour le (nombre) qui est obtenu au début» - Le commentateur paraît également lier l'introduction de la situation concrète d'un problème à la nécessité de se doter de moyens pour mettre en évidence le yi d'une procédure: ainsi, par rapport à la « procédure du positif et du négatif », qui opère sur des tableaux de nombres, il écrit (8.3) : « L'on a donc composé ces 2 clauses; et on les a reliées à dessein au (cas) de millets pour élaborer la signification (yi) de ces 2 clauses. » Ce peut enfin être par comparaison que Liu Hui peut donner son sens à une opération - 6.3 : « "Les multiplier", c'est multiplier le numérateur qui leur correspond et diviser ceci en retour par le dénominateur. En considérant ceci de ce point de vue, alors le fait de simplifier les quantités (shu) de foyers par les dépenses pour un hu a une intention (yi) qui n'est certes pas différente» - L'enchaînement des visées qui aboutissent, aux yeux du commentateur, à l'élaboration d'une procédure peut aussi bien, plus largement, se donner par référence à une autre procédure. Il arrive ainsi à Liu Hui de renvoyer, pour un solide, au raisonnement mis en œuvre pour une figure plane - 5.18 : «L'idée (yi) (mise en œuvre) pour chercher les longueurs est celle du champ en forme d'anneau» - , ou, pour un algorithme, à la démarche mise au jour comme rendant compte d'une procédure différente - 6.11 : «L'intention (yi) qui préside à la confection de la procédure est semblable à (celle pour le problème de) la soie torse» L'« intention» peut cependant saisir non pas seulement ce que visent les opérations d'une procédure, mais également les principes généraux qui guident le choix d'une procédure parmi d'autres - 4.11, commentaire de Li Chunfeng : « La visée (yi), chaque fois que l'on confectionne une procédure, c'est qu'il est mieux qu'elle soit économique» - Là encore, elle rend compte de la forme prise par un

1020

Les Neuf chapitres

algorithme donné par le Classique aussi bien qu'elle motive le fait, pour les commentateurs, de développer des procédures alternatives. Que le yi renvoie aux visées d'opérations ou de sous-procédures d'un algorithme, aux principes mis en œuvre pour l'élaborer et, en fin de compte, à la signification du résultat produit, cela se révèle en affinité avec les sens de « raisonnement », d'« idée» qu'il peut également prendre. Ce second pan des significations que le terme est susceptible de revêtir est manifeste dans des contextes où, une fois le raisonnement sous-tendant une procédure explicité, les commentateurs le déclarent incorrect. Cela se produit dans un cas où ce raisonnement est de type géométrique - 4.24 : « Mais ce raisonnement (yi) est faux» - aussi bien que dans un cas où il est de type procédural- 6.8, commentaire de Li Chunfeng : « C'est pourquoi si, en outre, il se sert de ces lü pour en multiplier dividende et diviseur, cela a le sens (yi') de [mettre en œuvre l'opération] du "supposons" de façon réitérée. Mais ce raisonnement (yi) est faux» - Il est significatif que, dans le contexte de 4.24, les commentateurs exhibent alors les raisons pour lesquelles le résultat de la procédure a une signification différente de la grandeur visée. Encore au XIIIe siècle, Bao Huanzhi paraît désigner par le même terme de yi le raisonnement qui sous-tend une procédure donnée ([Chemla 2003b], p. 75). Par ailleurs, un aspect clef du yi se révèle ici dans les commentaires aux Nett/ chapitres. Tout se passe comme si les commentateurs rendaient compte du raisonnement qu'ils lisaient dans la procédure même fournie par le Classique, avant de le rejeter. Si tel est bien le cas, c'est que, d'une part, ils prêtent aux algorithmes des Neuf chapitres la capacité de donner à lire, à même la liste d'opérations, leur yi et que, d'autre part, ils attribuent aux auteurs du Classique d'avoir développé ces yi. Si on lit, depuis le point de vue que nous élaborons ici, la préface de Liu Hui, on y relève des déclarations en parfaite adéquation avec ces conclusions - Préface de Liu Hui: « Dans un moment de loisir au cours duquel j'en explorais les profondeurs, je suis parvenu à en comprendre la (les ?) signification(s) (yi) », « j'ai donc sans délai élaboré la "double différence", j'en ai fait des commentaires pour explorer à fond la signification (yi) (que lui ont donnée) les personnes du passé, et j'ai adjoint ceci après le (chapitre) "Base (gou) et hauteur (gu)" », voir la note 41 à la traduction - Le texte du Classique aurait un sens qui se présente sous la forme du yi. C'est lui qui oriente le travail d'exégèse du commentateur et lui encore qu'il vise à mettre au jour dans son commentaire, même si c'est pour en dénoncer ensuite les erreurs (sur ces points, voir [Chemla à paraître-a». Il est une opération clef à laquelle les commentateurs se livrent sur la base des yi : la comparaison. Si, en effet, les procédures peuvent être comparées au niveau de leurs opérations, elles peuvent l'être également au niveau des intentions qui sous-tendent ces opérations. Ce qui semblait différent peut alors s'avérer être le même - 4.0 : « Comme, ici, on multiplie par les dénominateurs les nombres entiers de bu et les numérateurs, qu'on divise les numérateurs par les dénominateurs, afin de les sommer tous à la partie entière du diviseur, alors diviseur et dividende sont dilatés du même pas, et par suite l'intention (yi) reste la même» - Il peut cependant y avoir, en pareil cas, des raisons de conserver les deux procédures - 6.2 : « Cette procédure semble différente, mais si on l'examine, l'intention (yi) en est la même. On l'a cependant conservée pour développer une méthode nouvelle» - Des différences peuvent subsister au niveau des intentions, même lorsque celles-ci sont comparables - 6.10 : « L'intention (yi) qui préside à la confection des lü (ci-dessus) est semblable à ceci, on n'a simplement pas simplifié d'abord tous les lü» - Il reste que même s'il se présente, pour un problème donné, des procédures différentes, qui relèvent d'intentions différentes, il arrive aux commentateurs d'insister sur le fait qu'elles reviennent malgré tout au même - 5.21 : « Si l'on compare cette procédure et celle du "supposons" l'une et l'autre de manière répétée, en fait elles diffèrent dans l'ordre de la multiplication et de la division, elles ont chacune leur signification (yi) propre, mais cela revient au même », voir la note Il 7 correspondante - Ce travail de comparaison basé sur les yi paraît articulé à la recherche qui

Glossaire des expressions techniques

1021

se mène à travers la démonstration de la correction de procédures et qu'exprime le second « sens » que leur attachent les commentateurs, celui que saisit le yi' «(..- yi (yi') « sens»). La « signification » que prennent les procédures en relation avec leurs visées est à opposer aux opérations fondamentales effectivement mises en œuvre pour accomplir la tâche escomptée et que désigne cet autre terme de yi (yi ') « sens ». Le commentaire à la « comparaison des parts » confronte ces deux types de « sens» d'une manière qui éclaire au mieux le contraste (1.14) : « Que, dans cette procédure, "les dénominateurs multiplient les numérateurs qui ne leur correspondent pas", et qu'on soustraie les parts du plus petit des parts du plus grand, le sens (yi ') est le même que dans "la soustraction des parts". Seule l'intention (yi) dans la recherche de la quantité (shu) surplus de l'une sur l'autre présente des différences avec (celle de l'opération) de la soustraction des parts: soustraire des parts, c'est chercher combien vaut la quantité (shu) qui reste; comparer des parts, c'est prendre la quantité (shu) qui reste comme surplus de l'une sur l'autre» (je souligne; (..- yi (yi') « sens»). Comme le montre cette confrontation, yi' saisit, des opérations pratiquées par les procédures, ce qu'elles ont de commun, tandis que yi renvoie à la signification propre au résultat, qui diffère selon la procédure considérée. Cependant ces termes peuvent se recouvrir partiellement lorsque l'intention reconnue à une opération est au moins pour partie de nature formelle - 8.1 : « L'intention (yi) qui préside à la confection de la procédure, c'est qu'en faisant en sorte que la colonne la plus petite soit soustraite de la colonne la plus grande et qu'elles soient soustraites l'une de l'autre de manière répétée, alors la position de tête doit être épuisée en premier lieu », « Que l'on effectue d'abord la multiplication de la colonne centrale par le millet de qualité supérieure de la colonne de droite, cela a pour intention (yi) de réaliser une homogénéisation-égalisation» - Là, le commentaire met en évidence, dans les intentions, un couple d'opérations (-.........

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圓周率一一一的作者究竟是誰?它是怎樣得來的? LI.

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千古絕技“割圓術"

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頁;第 27 卷第 3 期第 275"'280 頁。 [王能超 2000aJ [王青建 1991aJ

千古絕技“割圓術"

華中理工大學出版社，第 1"'186 頁。

«九章算術》與劉徽注中數的定義與記法

《北京師範大學學報))

(自)

第 27 卷增刊 3 第 79"'83 頁。 [王榮彬 1991aJ

«九章算術》方田章第三十八問初探

向上，第 105"'109 頁。

[王榮彬 1991bJ

«九章算術》商功章邏輯順序及造術初探

《數學史研究文集》第二輯

第 35"'39 頁。 [王榮彬 1993aJ

對中算家弧田公式的研究

《劉徽研究》第 193"'204 頁。

Les Neuf chapit:的

1062 [王榮彬 1995 叫

“日高圖說"的復原研究

[王守義 1962aJ

祖沖之的綴術求 z 的我見

[主憲昌 1991aJ

《數學史研究文集》第六輯第 22"'27 頁。

《甘肅師範大學學報)) (自)第 46"'61 頁。

«九章算術》研究中的文化觀

《北京師範大學學報)) (自)第 27 卷增

刊 3 第 23"'28 頁。 [王渝生 1990aJ

中華古算，光耀千秋一一評郭書春《九章算術》匯校本

《自然辯證法

通訊》第 12 卷第 1 期第 75"'77 頁。 [王子今 1994aJ

«九章算術》漢代交通史料研究

[魏詩其 1959aJ

祖啦原理及其應用

[魏詩其 1959bJ

我國古代的幾個面積公式

[吳任哲 2002aJ

《南都學壇)) (哲)第 2 期第 1"'8 頁。

《上海師範學院學報》第 2 期第 71"'90 頁。 同上，第 3 期第 68"'81 頁。

«張家山漢簡〈算數書)注釋》讀後有感

«HPM 通訊)) (臺灣師範大學)

第 5 卷第 2 、 3 期合刊第 27"'28 版。 [吳文俊 1975aJ

中國古代數學對世界文化的偉大貢獻

《數學學報》第 18 卷第 1 期第

18"'23 頁。《吳文俊文集》第 2"'11 頁。《吳文俊論數學機械化》第 73"'82 頁。 [吳文俊 1978aJ

出入相補原理

《中國古代科技成就》第 80"'100 頁;修訂本，

1995 年，

第 79"'97 頁。