Leonardo Fibonacci, La pratica di geometria. Volgarizzata da Cristofano di Gherardo [PDF]

Zitiervorschau

a cura DELLA DOMUS GALILAEA:>A DI PISA

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DELL' ISTITUTO E :lIUSEO DI STORIA DELLA SCIE:>ZA DI FIRENZE E DELL' ISTITUTO DI STORIA DELLA :lIEDICINA DELL' UNIVERSITÀ DI MILANO

1

LA PRATICA DI GEOMETRIA

Direttori LL:IGI BELLO:>I -

Istituto di Storia della Medicina dell'[;niversità di Milano Istituto e Museo di Storia della Scienza di Firenze Domus Galilaeana di Pisa

:.'>IARIA LUISA BO:>ELLI TTJLLIO DERE:>rZINI -

Volgarizzata da Crùtofano di Gherardo di Dino cittadino pisan;; ~

3

Dal Codice 2186 della Biblioteca Riccardiana di Firenze

a cura e con introduzione di

GINO ARRIGHI

PISA DOMUS

GALILEfu~A

PISA DOMUS GALILlEANA

1966 ~

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1966

#4A4.§!

INTRODUZIONE

Leonardo Fibonacci (dall'opera I benefaltorz dell'umanità; voI. VI, Firenze, Ducci, 18 50 )

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Il manoscritto n. 2186 (R. III. 25) della Biblioteca Riccardiana di Firenze, recante il titolo di Aritmetica e geometria sul costalo della rilegatura moderna, consta di 132 carte in bambacina (cm. 22 x 30 circa): la prima è segnata con a le altre recano progressivamente i numeri da I a 131. Per essere questo il codice donde ho tratto l'Opera che ora presento alle stampe, per fornire, il tutto, un complesso assai organico di matematica e il doversi esso integralmente, si tratti di redazione ovvero di volgarizzazione, ad un medesimo Autore reputo opportuno il presentarne subito la sua composizione. La c. a r. è in bianco e il suo verso contiene un indice che procedendo dall'inizio si arresta ben presto. A c. I r. si trova una sorta di sommario disteso sino alla metà di c. 2 r. e che comincia cosi

Questo è la forma e 'l modo a insegniare l'anbaco al modo di Pisa cioè lo principio, mezo et fine come apresso diremo, c. « Prima, quando lo garzone viene a schuola, si l'insegnia a fare le fighure, cioè 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. «Poj l'insegnia lo ponere alle mano, cioè alla mano mancha l'unità et ala mano rieta le dicine, centonaia et migliaia, c. (l Poy lo rilevare in taula le fighure, cioè le due leetere quello che rilevano e così le tre leetere e così le quactro, altra di mano tucte le lectere; di poy lo ponere e 'l tenere, c. « Poy li fa' lo libbreeto in taula dell'uno via uno per infine a IO via IO, 100, lo quale li fa' inparare a mente e fa' che lo sappia bene alla spartita. Et nota che lo dieta libbreeto è in questo a c. « Poy li fa' le case dello II via II seghuendo infine In 99 via 99 e ancora gliele fa' fare alle mano. « Poy si li fa' lo II via 22 et lo II via 42 et lo II via 62 et così discorrendo per fine a 99; II via 72, II via 82, II via 92; poj 23 via 3 2 , 37 via 4 1 , 46 via 58, 67 via 79, 89 via 98 e ciaschuna di que-

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G. ARRICm

INTRODUZIONE

ste mute si fa infine al 99. E faete queste mute, fanne fare alle mani alchuna ragione per modo che intenda bene lo ponere alla mano et anca lo multipricare, c. « Poy li fa' l'enposte del centonaio in taula, cioè: ciò dell'una lira ne viene 2 denari et 2/5; delle 2 lire, -1- denari et -1-!5 e seghuita via; e delli 8 soldi _~ denari ne viene I denaro come tu vedray in questo a c. le quale fa' inparare a mente alla spartita. (l Poy si fa: lo centonaio della lana vale» etc. Dalla fine di questo sommario sino a metà di c. 4 r. è trattata una prima raccolta di problemi intitolata: «Qui appresso scriveremo le minore che sono ragione I4 e sono ragione mercantile». A c. 5 r., essendo in bianco la c. -1- v., inizia la soluzione di un secondo gruppo intitolato: « Qui appresso scriveremo le ragione chiamato le tredicj che sono ragione 2-1- mercantile». Così fino in fondo a c. 8 v .. A c. 9 r. comincia un trattato che si apre con queste parole: «Al nome sia dello onnipotente Iddio et della gloriosissima sua Madre Vergine :\Iadonna Saneta ~Iaria e del grorioso confessoro messer Saneto Ghugliermo e del beato sancto Ranierj pisano e di tuctj sanetj e sancte della corte del paradiso e salvamento del· l'anima e del corpo, amen. lo Xpofano di Gherardo di Dino citadina pisano della cappella di saneto Bastiano in Chinsica quartierj di Pisa, oggi, questo dì primo di maggio I-1-42 col nome di Dio e di sarvamento, cominciaj a scrivere lo prezente Libbra d'anbaco nel quale saranno scrictj certj et diversj modj di fare ragione di mercantie d' arimetrica e geometria e le reghule della cosa e di molte altre belle ragione e reghule ordinarie et extraordinarie. Et prima si fa principio alle ragione e reghula delle tre cose; e così seghuiterà per ordine sighondo che si richiede all' arte dell'arismetrica, come il glorioso Iddio ci concederà gratia col suo aiuto nel principio, nel mezzo et fine. ». Dopo queste parole introduttive, prende subito inizio la trattazione dei singoli argomenti della materia la quale si spinge si· no alla metà di c. 78 r.. Dal verso di questa sino a c. 80 v. si trovano quelle tavole numeriche che solitamente accompagnano opere di tal genere. Mi limiterò a ricordare che in questo Libbra d'anbaco compaiono esercizi con datazioni attorno alla metà del XV secolo. La c. 8I r. è in bianco, nel verso è una scrittura che si apre con le parole: « Questj sono li giornj li qualj li autorj de' grecj

compreseno e viddenno essere infelicj e molto perichulosi». Nel reeta della carta successiva vi è un calendario perpetuo, con grafico ed un esempio relativo al I396, di cui altrove mi sono occupato I; una regola per il calcolo dell' etJ. della luna occupa il primo terzo del suo verso con una applicazione all'anno I44 2 . Le cc. 83-9I non sono scritte e al reeto di quella successiva ha inizio il trattato, oggetto del mio attuale interessamento, con la intitolazione: «Qui incomincia la Pratica della Geometria di J\p Lunardo Pisano)). Esso si conclude alla metà di c. I25 v. con la nota: «Explicit Pratiche geometrie». Subito dopo s'incontrano esercizi e problemi, in gran parte, precedentemente trattati e così fino alla metà di c. I29 r. dove comincia uno scritto di richiami intitolato « Reghule)) che giunge in fondo al verso della carta successiva. A c. I3I r. si trova una scrittura che si apre con le parole: « Questa si è la taula da trovare la paeta)). Vi è unito uno schema grafico per gli anni I398-I-1-I6. Il primo terzo del verso di quest'ultima carta è occupat~ da alcune note di memorie che qui di seguito riproduco integralmente:

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9

« Ricordo a me Xrofano come, al nome di Dio et della Vergine Maria, al dì I8 del mese di sectenbre I-1--1-[8J, una mezzedima maetina, Dino mio figliuolo si partj da Livorna per andare in Barsellana in sulla ghalea di Giovannj Bandinj citadino fiorentino; la qual galea fecie la volta di Barbaria. Li qualj Iddio mandi a sarvamento se di suo piacere è. « Richordo a noi tuti come, col nome di Dio, lo dito Dino vene da Barsellona a dì q di magio un giovedì matina. Gunse che era l'Asensione e vene per tera per insino a quj. Per la grasia di Dio viense a salvamento. ,( Ricordo a noi chome, a dì I6, Dino si partì da Pisa e andò a Ljvorno e, a dì I8 di d'ottobre [le parole « d'ottobre sono di altra mano e in sostituzione di « setenbre)) cancellato l domenicha sera, e' partisi la sera medesima. Dino nostro montò i~ sula ghalea di Fiorensa padronegiata per Francescho della Stufa merchatante fiorentino; che Idio Ii mandò a sarvamento per la su' pietà e mjserjcordia, che di tuta sia laudato senpre maj. )). l)

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C"lendari perpetui») in manoscritti medioevali della Biblioteca RiCC.lrin " Phvsis. Ri',ist:! internoziono!e di stori:! dello scienza ". VoI. VI, foc. r.

ARRIGHI (

dIana di Firen:::~

1064; pp. 65-70 .

l'ardo di Dino concittadino di Leonardo va incontro ai due desideri posti dalla società in rapido ed attivo sviluppo. Pertanto necessita adesso mostrare le parti dell'opera originaIe o, meglio, dell'opera così come ci è stata edita dal Boncompagni, che sono state abbandonate; ma il lettore abbia la accortezza di non attribuire una fedeltà assoluta a quelle parti che, invece, sono state conservate. Per un confronto di tal sorta che qui intraprendo in modo assai sommario dovrà altresì tenersi presente che all'attuale redattore del trattato sembrano essere interessati soltanto taluni problemi di carattere pratico e cioè: la misura delle terre, siano esse in piano o in declivio, e i vari modi per la loro divisione in parti fra « consorti ». La eliminazione di taluni argomenti, assai importanti, che compaiono nell'opera originale è, pertanto, da spiegarsi in tale prospettiva. Viene qui soppressa la lettera dedicatoria di cui ho parlato, ma non manca una distesa parte introduttiva. Vi si trova la «distintio» prima e non V' è traccia della seconda « de invenctione radicum », compaiono la terza e la quarta, mancano la quinta «de radicibus cubicis inveniendis» e la sesta « in dimensione corporum»; si trova poi la settima che è qui per ultima mancando l'ottava, ed ultima dell'opera completa, « de quibusdam subtilitatibus geometricis». In questo schema, torno a ripeterlo, si trovano variazioni di diversa entità che reputo inutile il doverle rimarcare o vagliare singolarmente.

La pratica della geometria, che abbiam visto occupare le cc. 9 2 r.- 125 v. del codice di cui abbiamo parlato, è ovviamente, ad un tempo, un volgarizzamento e, come vedremo, una riduzione della Practica Geometriae di Leonardo Fibonacci detto altresì Leonardo Pisano". Quest'opera in latino, che sappiamo essere contenuta in più codici, fu composta nel II20 o nel 1221 ed una sua pregevole edizione a stampa ci è stata fornita, or è più di un secolo, da Baldassarre Boncompagni 3. Fu dedicata a un tal Ma Domenico come resulta dalla lettera dedicatoria con cui si apre l'opera e che inizia con le parole: « Rogasti amice Dominice et reverende magister, ut tibi librum in pratica geometriae conscriberem; igitllr amicitia tua coactus, tuis precibus condescendens, opus iam dudum inceptum taliter tui gratia edidi, ut hi qui secundum demonstrationes geometricas: li etc .. Deve reputarsi esser questi quel Domenico che Leonardo dice di aver conosciuto in Pisa presso F ederigo II, come afferma nella lettera dedicatoria all'imperatore dell'altra sua opera intitolata Liber quadratorum 4: « Cum Magister Dominicus pedibus celsitudinis vestre, princeps gloriosissime domine .F., me Pisis duceret presentandum, occurrens Magister J ohannes panormitanus, questionem mihi proposuit infrascriptam, non minus ad geometriam quam ad numerum pertinentem; li etc .. Volgarizzamento, dissi, e riduzione, aggiunsi: in realtà, di sovente, dinnanzi alle esigenze poste dalla pratica quotidiana dagli affari, le due fondamentali opere di Leonardo, questa Practica Geometriae e il Liber Abaci 5, presentavano una duplice difficoltà: la lingua, chè a poco a poco il latino sarà sempre meno inteso, e l'ampiezza loro. Tentativi di ovviare a ciò non mancarono e la « edizione li, oserei chiamarla, presentataci da Cristofano di Ghe-

* * * Interessante ed assai fruttuosa è stata la ricerca di notizie attorno alla biografia sino ad ora ignorata del nostro matematico estensore del presente manoscritto, cioè a dire del Libbro d'anbaco e della volgarizzazione dell' opera leonardiana nella Pratica della geometria. Guida, capitale a tal fine, fra le carte del pisano Archivio di Stato si è presentata l'opera del suo Direttore dott. Bruno Casini intitolata Il catasto di Pisa del 1428-29' in cui si legge la posta n. 4 2 4 dedicata appunto alla famiglia di Cristofano di Gherardo di Dino della cappella di San Bastiano nel quartiere di Kinzica.

" Si veda: R\LD\SSHRE BONCOMPAGNi Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo. Roma, Tipografia delle Belle' Arti, 18 54' 3 La Practica Geometriae di LEO",,"DO PISA"O secondo la lezione de! Codice Vrbinate 'f, 292 della Biblioteca Vaticana. Volume II degli Scritti di LEONARDO PISA"'O matematico de! secolo decimoterzo pubblicati da BaId.lSsarre Boncompagni socio, etc. Roma, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, 1862. 4 Nel volume cito degli Scritti, p. 253. 5 Il Liber Abbaci di LEONARDO PrsA"'o pubblicato secondo la lezione del Codice Jfagliabechiano C. I, 2616, Badia Fiorentina, n. 73 da Baldassarre Boncompagni socio, etc. Volume I degii Scritti di LEO"ARDO PISANO, etc. Roma, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, 1857,

8 Tipografia Editrice Giardini. Pis~, 1964; vedi p. 99.

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Vi si trovano varie notizie sui componenti e, oltre ad alcuni cenni illustrativi essenziali, sono mostrati l'imponibile e la imposizione e le allibrazioni che mi sono state utilissime allo scopo di individuare immediatamente le antiche carte che si riferiscono a Cristofano di Gherardo: fra le quali si trovano quelle assai importanti scritte di suo pugno in un carattere minuto e preciso che, alcune note a parte, è poi quello stesso del codice matematico. Nella filza delle portate, sotto la data del 28 gennaio r428, si legge pur quella del Nostro che comincia così': « Dinansj da voj, venerabilj hominj officialj deputatj lo Magnifico comune di Fiorensa sopra 'l catasto overo stimo, lo Cristofano di Gherardo di Dino citadino pisano della cappella di San Lorenzo in Chinsica dato quj di socto per scripto tuct'j miej benj mobilj et immobilj come partitamente appare di socto». Segue la descrizione dei beni fra i quali si trova una casa nella cappella di San Lorenzo in Kinzica, « chiasso del pontonaio», «la qual casa è sempre stata a uso de' miej passati e di me, salvo che al presente chè io l'ò allogata per trista vicinansa che v' è ». Può dirsi esser questa la sua casa natale? A c. 60 r. si legge il seguente passo di sicuro interesse autobiografico: « Et più sono lo Cristofano d'annj vintinove et stato per famiglio al soldo più che annj quactordicj et riductomj accasa circha d'annj tre sansa sapere fare nessuno mestierj; sonomj ridueto) da uno anno in qua a boctegha di Nannj Boetij a ssuo piacimento dello stare e del provedermj e mandamj di fuora riscotendo. Et più òe la donna mia d'annj r8 della quale òe uno fanciullo di mesj cinque che lo tegnio a balia perchè la madre no' Ilo può notricare: gostamj libre cinque lo mese e stremomj lo boccone del pane a me et alla mia donna per suplire a la necesità del fanciullo. Et più òe uno mio nipote tristo che s'è fuggito da me forse mesj sej e va tristeggiando. Et più òe una mia donna vecchia d'anni sectanta la quale tegnio a cCieghulj e vestola e facciolj le spese per lo meglio ch'io posso. » Queste notizie, integrate da altre, si ritrovano in apertura della portata del giugno dell'anno successivo s; varrà che ancora per intero riferisca quel passo: Archivio di Stoto di Pisa. Ufficio dei Fiumi e Fossi, n. ]se, come nel presente caso, superiore ai 200 fiorini. 11 Si può vantaggiosamente consultare la citata opera del Casini nel luogo indicato in (6).

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La lapide nell' Archivio di Stato di Pisa

preparava negli anni estremi della sua vita. Fino dalla sua adolescenza la copiò da uno de' testi a penna della libreria magliabechiana di Firenze, ma solamente tardi si accinse a quella fatica. Conservano gli eredi la copia dell'opera di quell'antico, come gli studj dal di Poggio fatti per la meditata illustrazione. Vi si vedono i molti e laboriosi suoi calcoli, parecchi errori del Fibonacci in, 12 Vedere i suoi DOCllmt:nti militari, mt:ccanici t:d archiUttonici (Biblioteca Reale di Tonno, ms. Saluzzo 148, voI. I) nella parte che, a c. 27 v., comincia « Quanto dI'arte dela gieometria sia all'architettura necessaria. etc.". 13 Opt:rt: t:dite e inedite tomo XXII, Lucca, Dalb Tipografia Giusti, 1834; pp. 36-37.

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dicati o corretti; ma tutto è in tale stato, che niuno ora, lui morto, potrebbe farne uso. Pare che l'opera o tutta o in gran parte, fosse già scolpita nella sua mente, perchè si vedono già preparate 280 figure geometriche che alla medesima dovevano servire. Ma la vita non gli bastò, ed egli non potè ottener quella gloria che tanta fatica aveagli meritata. D. Le ricerche da me compiute, al fine di reperire tali importanti scritture, non hanno arrecato alcun resultato positivo. Quale esempio dell'autorità goduta dal Nostro, ricordo un passo di un manoscritto pure quattrocentesco appartenente alla Biblioteca Comunale degli Intronati di Siena 11; là, dove si tratta del trapezio isoscele, è detto: « E ancho ~lo Lionardo pisano el dichiara, guarda nel suo libro di gieometria a fa. 16. E chiama tale figura augualmente capo taglato D. E ben giustamente il Governo della Toscana, con Bettino Ricasoli presidente del Consiglio dei ministri e Cosimo Ridolfi .Ministro della pubblica istruzione, « considerando che in Toscana le arti belle furono sempre parte nobilissima della civiltà, e che un Governo ~azionale ha il dovere di proteggerle in quel solo modo che è degno di loro, chiamandole ad eternare i grandi fatti ed i grandi uomini», nel settembre del r859 decretava che fra le « opere d'arte D, che « a spese dello Stato D dovevano essere « allogate agli Scultori e Pittori Toscani o Italiani domiciliati in Firenze D, vi fosse pure li La statua di Leonardo Fibonacci, instauratore degli studi algebrici in Europa, da erigersi in Pisa. » 1;,. Infine, circa i criteri seguiti nella trascrizione del codice, dirò di aver seguito fedelmente la sua lezione introducendo, in parentesi quadra, alcune varianti e aggiunte al testo: limitatamente ad alcuni casi a guisa di esempio e purchè ciò non importasse un più esteso rifacimento del testo medesimo. Ho sciolto le abbreviazioni incontrate e, ancora al fine di agevolare la lettura, ho introdotto una punteggiatura secondo i criteri moderni, ho messo accenti ed apostrofi là dove occorrono e l'accento alle voci del verbo avere che richiedono la h in principio: cose, tutte queste, che mancano in quella scrittura.

Un criterio analogo ho mantenuto nella riproduzione delle illustrazioni: riproducendo le figure senza ritoccarne i difetti che ad un lettore poco men che accorto si palesano immediatamente. A complemento di queste note, fornisco una tavola di talune misure pisane di quei tempi.

Trattato di Geometria Pratica segnato: L. IV. 18; a c. Il v .. Il ~fonitore Toscano» n. 239 del 24 settembre 1859; parte ufficiale, notizie interne.

Questo lavoro è stato e.'egllito nell"lm!>ito ciel Gruppo di ricerca n.O 25 del C.N.R. (Comitato della Matematica)

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GINO ARRIGHI

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MISURE PISANE

Misure lineari. I I

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pertica = 6 piedi piede = 18 once oncia = 18 punti

Misure superficiali. pertica superficiale = pertica X pertica piede superficiale = piede X pertica denaro di misura = piede X piede I scala = 4 pertiche superficiali panoro = 5 r / 2 pertiche superficiali I staioro = 66 pertiche superficiali I moggioro = 24 staiora soldo di misura = 12 denari di misura

I

I

I staioro = 12 panora r staioro = r6 I 12 scale I pertica superficiale = 36 denari di misura I pertica superficiale = 3 soldi di misura I pertica superficiale = 6 piedi superficiali I piede superficiale = 6 denari di misura I scala = 12 soldi di misura I staioro = 198 soldi di misura

oncia X oncia = 1/18 1/18 di denaro di misura oncia X piede = 1/ r8 di dena ro di misu ra oncia X pertica = r /3 di denaro di misura

La statua delibEr"ta dal Governo delb ToscJna nel 18 59

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LA PRATICA DELLA GEOMETRIA

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Qualunqua persona volesse studiare l'arte della geometria, cioè di misurare terrenj o altre cose simile, gli è di necesità sapere che l'arte tracta sopra 5 cose. La prima si è punto et la seconda si è linea, et la tersa si è anghulo, la quarta è superfice, la quinta è corpo e cetera. Or diciamo: punto si è cosa che sta e che non si può partire, linea si è lunghessa sansa anpiessa e li terminj della linea sono puntj e la linea diricta si è quella che si traggie dirictamente da uno punto ad un altro. Angulo si è lo chinamento di 2 linee che fa l'una a l'antra, che si tocchano insieme e che non giaI ceno in diritto l'una a l'altra, sì come la linea del' .a.b. e del .b.c. che fanno uno angulo dal punto del .b .. Et viene altretanto a ddire anghulo come cantone, et linea tanto viene a ddire come lensa. Anghulj sono di tre ragione, cioè: dirictj, vel maggiorj di dirictj, vel minorj di dirictj. Quando una linea ricta sta sopra una linea ricta et fa intorno da sè 2 anghulj eghualj in tra lloro avicendata, mente, allora è diricto ciaschuno di quellj 2 anghulj, sì come tu 2 vedi la linea del' .a.b. che sta ricta sopra la linea del .c.d. ess' à intorno da sè 2 anghulj eghualj al punto del .b., questo è che l'anghulo del' .a.b.c. è eghuale a quello del' a.b.d.; et perciò ciaschuno di questj 2 anghulj è diricto e la linea del' .a. b. si chiama cateto, vel perpendiculare sopra la linea del .c.d .. Et, quando le 2 linee che fano l'anghulo sono piane, allora quello anghulo si chiama anghulo piano et, quando anburo le linee e' sono ricte, allora si chiama l'anghulo rectjlineo. Superfice si è cosa ched è lungha e anpia, e' terminj della superfice sono linee et quando le linee sono ricte allora la superfice è rectjlinea. Et sono superfice di molte ragione sigondo la diversità delle linee che terminano la superfice; et superfice piana è quand' ella giace in piano o che le linee ricte che sono menate sopra la superfice tocchano da lungha a lungha la superfice. Corpo si è cosa che è lungha e anpia e alta come sono le case, e' passi e Ile colonne e simile cose. Et, perchè noj in prima vogliamo tractare di misurare le superficie che sono in piano,

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LEONAROOll'

sì vogliamo mostrare le diversità delle superfice, delle quale la prima maniera si è cerchio, cioè canpo ritondo, lo quale si contiene soeto uno termine, cioè socto una linea ritonda la quale si chiama periferia, e dentro dal cerchio si à uno punto dal quale tucte le lineee riete che vanno alla periferia sono eghuale in tra lloro e quel punto si chiama centro del cerchio. Et dej intendere che ogni superfice e ogni corpo si chiama fighura. Diamitro del cerchio è una linea rieta ched è traeta dentro dal cerchio e passa per lo centro et è terminata, da anburo parte, della periferia; lo quale diamitro parte lo cerchio in 2 parte eghuale. 1Iezzocerchio si è fighura che si contiene socto a 2 terminj de' quali l'uno si è lo diamitro del cerchio e l'altro si è mezza la periferia del cerchio. Parte di cerchio si è fighura che si contiene soeto una linea rieta e soeto una parte della periferia, sia più '.leI meno di mezzocerchio. Seetare di cerchio si è una fighura la quale si contiene soeto 2 linee riete e uno arco, cioè una parte della periferia; le quale 2 linee riete si muoveno dal centro e sono terminate dalla periferia del cerchio et perciò ciaschuna di queste 2 linee è metà del diamitro del cerchio. Fighure reetelinee sono quelle che sono terminate di tre reete linee, si chiamano trianghulj rectilinej; de' qualj sono: trianghulj equilantj, et trianghulj equicurij et trianghulj diversilaterj. Trianghulj equilaterj sono quelli che ?lnno tuctj e tre le latora eghualj. Equicurij sono quellj che ?lnno pure le 2 ghanbe cioè le 2 latora eghuale. Diversilaterj sono quellj che ?lnno tuete e tre le latora non eghualj. Et, di questj trianghulj, che dictj sono, sono trianghulj che si chiamano ortogonij et d'altrj che si chiamano anpligonij et d'altri che si chiamano agutjanghuli. Trianghuli ortogoni sono quellj che ànno l'uno cantone rieto. Ampligonij sono quellj che ànno l'uno cantone anpio, cioè maggiore che cantone rieto. Agutianghuli sono quellj che ànno tllcti e tre li cantonj agutj, cioè minorj che cantonj rietj. Le fighure che sono terminate di quaetra linee si chiamano quadrilaterj et sono di quellj alquanti che si chiamano quadratj, et altrj che si chiamano una parte più lungha: et altrj che si chiamano ronbj, et altrj che si chiamano ronbiodj, et altrj che si chiamano trapesi. Li quadrilaterj che si chiamano quadratj, vel tatragonij, sono quellj che ànno tuete e quaetro le latora eghualj e tuetj e --I- li cantonj rietj, come è lo scacchierj da giocare a scacchj. Et quellj che si chiamano altra parte più lunga sono li quadrilaterj che sono più lunghj e anpij e ànno tuctj e quactro li cantonj rietj, come sono li taulierj da

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LEONAROO FIBONAqìl..

Fig.

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giocare a taule. Li ronbj sono quellj che ànno tuete e quaetra le latora eghualj e li cantonj non rietj ma oppositj, che li 2 sono aghutj e llj 2 anpij, et ànno forma di bricchaldello. Li ronbiodi sono quellj che sono più lunghj che anpij et ànno li cantonj oppositj li 2 streetj, cioè aghutj, e li 2 anpij. Tuctj gli antri quadrilantj, di qualunqua facta sono, si chiamano trapesi. Et tuete l'antre fighure che ànno più di -+ latora si chiamano moltilaterj. Et dej intendere ancora che 'l termine è fine della cosa, et che ognj tucto è più che parte, e che se alle cose che sono eghuale si giungeranno cose eghuale tucte seranno eghuale. Et se, delle cose eghuale, tu caveraj cose eghuale quelle cose che riamarrano si sono eghuale. Et se, sopra alle cose che non si sono eghuale, si sono giunte cose eghuale tucte quelle cose saranno non eghuale. Et se, delle cose non eghuale, caveraj cosa eghuale quelle che rimaranno saranno non eghuale. Et se, alle cose che non si sono eghuale, si sono agiunte cose non eghuale tuete quelle cose de' non essere eghuale. Et se, delle cose non eghuale, si [è] tolto cosa non eghuale quelle che rimarrano si sono tucte eghua~e. E quelle cose che si sono doppie d'una cosa sono in tra lloro ighuale cose. Del misurare della terra: dej sapere menare linea ricta da uno punto ad altro, et, possa quella linea, dej sapere menare dall'una parte e dall'antra rietamente in infinito e da ognia punto e se per ogni spatio dej sapere centeriare cierchio e che gli anghuli che sono al centro siano rietj. Et dej intendere che se, in tra 2 linee, cadrà una linea che faccia, dall'una parte dentro, 2 cantonj che siano minorj che cantonj dirietj cioè acutj: se da quella parte quelle linee si sono traete in infinito si si giungeranno insieme; sì come tu vedi la linea del' .a.b., che 3 c.ade sopra la linea del .c.d. e del' .e.f., che se traggemj fuora le lInee della parte del' .e.c. si si giungeranno insieme. Et poj c[h]' abbiamo dieta di queste cose, e sono ben sapute e intese, si vuole dire che in ognj luogho lo misurare della terra si fa per uno modo; ma lo accogliere cioè lo trovare della quantitade de' pessi delle terre si fa per diversi modi, chè chi l'accoglie a braccia, e cchj a passi, e cchj a pertiche e cchj a ccorda, e cchi fa carubbe, e cchi rinpennj, e chhj gumera, e cchi maggiora, e chi staiora.

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Traetato d'accogliere la mzsura delle terre.

Noi vogliamo mostrare l'accogliere della terra a misurare secondo lo costume pisano ave si misura la terra a pertiche. La quale pertica è piedi 6, e 'l piè è unce 18 e l'uncia è puntj 18 et li 2 puntj sono di grossesa di uno granello di grano. Et dej sapere che la pertica è overo lineale overo superfitiale. Pertica lineale si è lunghessa sensa larghessa et pertica superficiale si è lunghessa con altretanta larghessa cioè pertica quadra, anca meglio, che pertica una lungha sia, in testa, pertica una largha et quella è dieta pertica superfitiale. Et pertiche 66 superfitiale, che è pertica una in testa largha si sono pertiche 66 di lunghessa, si è uno staioro e Ile 24 staiora sono uno maggioro. E 110 staio si parte in 12 parte e ciaschuna di quelle parte si chiama panaro; lo panaro si è pertiche 5 1/2 superfitiale, cioè perticha una in testa largha e pertiche 5 1/2 lunghe. Et anca si parte lo staioro in parte 16 1/2 e ciaschuna di quelle parte si chiama scala. Et ogni scala è pertiche 4 superfitiale, cioè che è perticha una per larghessa e 4 per lunghessa. La pertica come dieta è di sopra si è piedi 6 in lungho et altretanto in testa. Et perciò se ctu faraj della perticha uno schacchierj che ciascheduno scaccho sia uno piede per ognj verso cioè quadro, si faraj di tucta la perticha schacchj 36 che nasceno del muItiplicamento di 6 via 6, et ciaschuno di questj schacchj si chiama denaio. Et così la pertica superfitiale si è denari 36 di misura, che è soldi 3· E '1 piede superfitiale si è denari 6, dunqua la scala si è soldi 12, e 'l panaro si è soldi 16 1/2 e tucto lo staioro si è soldi 198 di misura cioè lire IO meno soldi 2. Et dej anca sapere per inposta che soldi 16 1/2 sono uno panaro, e soldi 33 sono 2 panora, e soldi 49 1/2 sono 3 panora, e soldi 66 sono panora 4, e soldi 82 1/2 sono panora 5, e soldi 99 sono panora 6. Et anca dej sapere che soldi 12 sono una scala, e soldi 24 sono 2 scale, e soldi 36 sono 3 scale, e soldi 48 sono 4 scale, e soldi 60 sono 5 scale, e soldi 72 sono 6 scale, e soldi 84 sono 7 scale, e soldi 96 sono 8 scale. Et pojchè la pertica superfitiale è soldi 3 di misura, lo piede uno superfitiale si è di misura denari 6, et piedi 2 superfitialj sono denari 12. Et nota che piede I in testa e pertica una lungha s'intende piè superfitiale. Et però quando multiplichi piè va perticha si fa piè superfitiale cioè denari 6 di misura. Et quando multiplichi pieè va piè si fa I denaio. Et quando multiplichi piè va cotante pertiche

Fig.

Fig.

si fa cotantj mezzj soldi quante sono le pertiche in che multiplichj. Et quando muItiplichj 2 piè via cotante pertiche si fa cotantj soldi quante sono le pertiche. Et quando muItiplichi piedi 3 via pertiche si fano cotantj soldi e cotantj mezzi soldi quante sono le pertiche, et quando multiplichi.piedi 4 via pertiche si fanno 2 cotanti soldi quante sono le pertiche et quando muItiplichi piedi 5 via pertiche si fanno du' tanta soldi e metà d'altretantj soldi quante sono le pertiche. Et quando multiplichi una pertica via pertica si fa perticha superfitiale; della quale dej sapere che pertiche 5 1/2 sono 1 panaro, e pertiche II sono 2 panora, pertiche 16 1/2 sono 3 panora, e le pertiche 22 sono 4 panora, e Ile pertiche 27 I! 2 sono 5 panora, e Ile pertiche 33 sono 6 panora, e le pertiche 38 1/2 sono 7 panora et così discorrendo ognj panaro è pertiche 51! 2 come dicto è di sopra. Et più: le pertiche 100 sono panora 18 e pertica una diciamo soldi 3 desmo, e pe:tiche 200 sono panora 36 e soldi 6 desmo et così intende di tueta da inde innantj. Et quando multiplichi uncia via uncia si fa 1/18 di 1/18 di denaio, et quando muItiplichi uncia in piede si fa 1/18 di de'1aio, et quando multiplichi uncia via pertica si fa 1/3 di denaio. Et dej sapere che tuete le terre che ànno 4 latora e tuctj li cantonj rictj, che è quadrj come schacchierj o come taulierj, si si coglie del multiplicamento della testa in della lunghessa; et perchè questj multiplicamentj si sappino bene accogliere si porremo per esenpro alquantj pessi di terra disegniatj. Et pognamo in prima uno pesso di terra che sia pertiche 8 in testa 4 e 8 lungha per lo quale muItiplicheremo S per 8 e aremo pertiche 64 superfitiale, che ciascheduna pertica si è perticha 1 lungha e una perticha largha, che comunalmente è dicta pertica quadra; le quale pertiche 64 riduce a panora, el panaro è pertiche 5 1/2, sicchè parti pertiche 64 in 5 1/2, ne viene II 7/II le qualj sono panora II e quello 7/ II si vuole partire per quello numero che ctu l'àj multiplicato, cioè per 2, parte 7 per 2 ne viene 3 1/2, che sono pertiche. Adunqua pertiche 64 sono panora I I pertiche 3 1/2 che, per soldi 3, la perticha sono soldi IO 1/2 desmo. Et più pogniamo un altro pesso di terra che sia pertiche 2 in 5 testa e pertiche tre lungha, come lo quadrilanto .a.b.c.d. ched è per la testa del' .a.b. pertiche 2 e per quella del .c.d. pertiche 2 e per lo lato del .b.c. si è pertiche 3 e per quello del' .a.d. pertiche 3· Dico che questo quadrilanto è rectjangolo et è pertiche 6 superfitiale, la qual cosa si dimostra così. Parte lo lato del' .a.b. e quello del .c.d. in 2 parte eghuale e sia lo punto del' .e.f. e mena la

28

Fig.

Fig.

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t. LEONARDO FIBONACCI

linea del' .e.f.; et parte anca le latora del' .a.d. e del .b.c. in tre ~arte eghuale s~pra li puntj del .g. e del' .h. e sopra quellj del' .l.k. e mena le lmee del .g.i. e del' .h.k. et araj partito lo quadril~nto tucto d:l' .a:b.c.d. in 6 parti eghualj come 6 schacchierj e cIascheduno e pertIcha una per lungho e una per anpio cioè ogniuno è una pertica quadra et perciò ciaschuno scaccho è superfitiale. Ora adunqua tucto lo predicto canpo serà pertiche 6 superfitiale che le pertiche 5 1/2 sono uno panaro e la mezza perticha si è soldi I 1/2. Et più se un altro canpo quadrilanto è reetiangolo, che sia 6 pertiche 12 in testa e pertiche 20 per lungho, dej multiplicare la larghessa per la lunghessa, cioè pertiche 12 via pertiche 20 che fa pertiche L.j.O superfitiale per la quantità del canpo tucto; le qual j peryche 240 piglia per ogni staioro pertiche 66 che trovera j sarà stalOra 3 et avansatj pertiche 42 delle qualj fa' panora che è panora i et avansatj pertiche 3 1/2 che vagliano a misura soldi IO 1/2 desmo. Vel aliter parte 240 in n che ne viene 21 9/n, lo quale 9/n pone da parte et parte 21 che cti venne del primo partimento che ne viene 3 e rimantj 3 che sono 3/6. Ora per quello 3 che te ne viene sano s'intende essere staiora e per lo 3 che è sopra la vergha de' 6 s'intende essere doppie panora cioè che ogniuno vaglia 2, chè lo 3 monta 6, et àj staiora 3 panora 6 poj lo 9 che è. sopra la vergha s'intende essere pertiche che vale soldi 3 la pert!cha che sono soldi 27, e lo panaro vale soldi 16 e mezzo adunqua sono panora I e soldi IO 112 lo quale I panaro pone sopra panora 6; et araj staiora 3 panora 7 soldi IO 1/2 come dieta è di sopra. Et se vuoj fare questa ragione più soetilmente sighondo l'arte, prendraj dalla testa del canpo, che è pertiche 12, prendene II e multiplica per 20 e araj 2 via 20 panora, chè in quantunqua multiplichj pertiche n sì araj 2 cotante panora, et poi la pertica I che eti rimane in pertiche 16 I 2 et in 3 1/2 et, de' multiplicamento di perticha I in pertiche 16 1/2, ti verrà panora 3 et, del multiplicamento de I pertica in 3 1/2, ti verrà supertitiale che sono soldi IO 1/2; et così àj per lo piano di tucto il canpo panora 43 e soldi IO 1/2 le quale sono staiora 3 panora 7 e soldi IO 1/2 come dicto è di sopra. Et se vuoj vedere questa ragione in fighura apertamen7 te, pone lo quadrilanto .a.b.g.d. che sia pertiche 12 per ciaschuna testa e pertiche 20 per lungho et pigliane pertiche n sopra lo lato del' .a. b., e sia la linea del' .a.c., et altretanto ne prendi sopra la linea del .d.g., e sia la linea del .d.e., e mena la linea del .c.e.;

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LA PRATICA DI GEOMETRIA

et araj partito tucto lo quadrilanto del' .a.b.g.d. in 2 quadrilantj et l'uno quadrilanto si è terminato del' .a.c.e.d. et l'altro si è del .c.b.g.e.. Unde se etu multiplichi .a.c. via .a.d., che è n via ":>0 si ar~j 2 .vi~ 20 panora ~h: fa 40 pan~ra per l'aia del quadrila~t~ .~.~., et Po] per avere l ala del quadnlanto .c.g. ti conviene multIplIcare lo .c.b. in del .b.g., che è uno via 20, fa pertiche 20. Et a fiare sig~ondo. l'arte, prende sopra la linea del .c.e. pertiche 16 1/2, e SIa la h~ea d~l .c.f., et altretanto ne prende sopra la linea del .b.g., e SIa la lmea del .b.h., e rimarrà la linea del' .f.e. pe~tiche 3 1/2 e quella del .~.h. altretanto; et àj partito lo quadr~lanto del .c.g., m 2 ~u~dnlantj r:ctjangulj e l'uno si è lo quadnlanto .c.h. e l altro SI e lo quadnlanto .f.g., unde se ctu multi~li~hi lo .c.b. i~ del .b.h. hoc est I via 16 1/2 si araj panora 3 per l aI~ del quadnlan~o .c.h.; e se multiplichi .f.h. per .h.g. hoc est I VIa ~ 1/2 fa pertlChe superfitiale che è soldi IO 1/2 per l'aia del ~~adnlanto .f.g.. .r;:t così per l'aia di tucto lo quadrilanto .a.g. a] panora 43 e soldI IO 1/2 per misura. . .r;:t più .se VUO} cogliere la misura d'uno canpo rectjanghulo FIg. 8 che SIa anplO pertIche 13 e lungho pertiche 48 multiplica 13 via 48, c~e fa 624, lo quale parte in n ne viene 56 e rimanne 8/n che ~uest] 8 vale a mls~ra sono soldi 3 l'uno, che sono soldi 24 che e uno panaro e soldI 7 1/2. Ora poj parti quello partirnento, cioè 56, in.6 .che ne vi~ne 9 e rimantj 2 che sono ogniuno di quellj 2 che ct! nmane ognlUno 2 e' sono panora 4 e quello 9, che etj viene del partimento di sej, sono staiora. Sicchè adunqua araj staiora 9 panora 4 e per 8/ II à j soldi 24 che sono panora I soldi 7 1/2, lo quale pone sopra quello altro numero et araj staiora 9 panora 5 soldi i 1/2 a misura. Vel aliter, multiplica in prima 13 via 44 et poj 13 per 4; et per lo multiplicamento di 13 in 44 si araj 13 via 8 panora vel 2/3 di 13 staiora, cioè staiora 8 e panora 8, et per lo multiplicamento di 13 in 4 ti verrà pertiche 52 superfitiale che sono panora 9 e soldi i 1/2. E t così arai staiora 9 panora 5 soldi i 1/2 di misura cioè desmo. . Et ~e questo multiplicamento vuoj vedere per fighura pone FIg. 910 quadnlanto .a.b.c.d., che sia lo Iato cioè la testa del' .a.b. e del .c.d. pertiche 13 ognj testa e dell'altre 2 latora, cioè la lunghessa, pertiche 48 e prende sopra lo lato del' .a.d. pertiche 44 che sia la linea del' .a.e. et altretanto prende della linea del .b.c. e sia la linea del .b.f. è mena la linea del' .e.f. che si' pertiche 13 cioè che l' .f.e è eghuale alla linea .c.d. e alla linea .a.b .. Et prende 50-

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pra la linea del' .e.f. pertiche I I e sia la linea del' .e.g. et altretanto prende del .c.d. e sia la linea del .d.h. e copula la linea del .g.h.; et araj partito tucto lo quadrilanto .a.b.c.d. in 3 quadrilantj, cioè nel quadrilanto .a.e.f.b., che è lo maggiore, e nel quadrilanto .e.d.h.g. e nel quadrilanto .g.h.c.f.. Unde quanto tu multiplichj lo .a.b. per lo .a.e., che è 13 via 44, si àj lo multiplicamento come dire 13 via 8 panora che fa H)..j. panora per lo quadrilanto de!' .a.f.. Et quando tu multiplichj allora multiplichj lo .e.d. per .d.h. e araj panora 8 per lo quadrilanto .e.h .. E quando multiplichj 4 per 2 allora multiplichj .g.f. per .f.c. et àj pertiche 8 superfitiale per lo quadrilanto .g.c. per l'aia del quadrilanto .g.c .. Et così intende in tuctj gli antrj simigliantj accoglimentj. Et più esenpro, un altro pesso di terra che sia anpio pertiche IO 14 e piedi 2 et lungha pertiche 31 e piedi 3. Dej ponere pertiche socto pertiche e piedi socto piedi et dej multiplicare li piedi per li piedi, e si sono denari, et mezzi li piedi per le pertiche overo mezze le pertiche per li piedi, e si sono soldi. Cioè multiplicare in crocie et poj dej multiplicare le pertiche per le pertiche. Verbi gratia, del multiplicamento de' piedI 2 in piedi 3 vienne denai 6 e del multiplicamentC' della metà di 2 piedi in delle pertiche 31, vel della metà di pertiche 31 in piedi 2, vienne soldi 31; et della metà di piedi 3 in delle pertiche 14, vel della metà di pertiche 14 in piej 3, vienne soldi 21. Et così agiungie insieme soldi 21 soldi 31 e denai 6 et araj soldi 52 denai 6 che sono panora 3 e soldi 3. E del multiplicamento di pertiche q in pertiche 31, che è pertiche II in pertiche 31 et pertiche 3 in pertiche 22 e anca pertiche 3 in pertiche 9, viene panora 62 e panora 12 e panora 5 meno denari 18. Et così àj, per tucta l'aia del canpo, panora 82 e soldi I denai 6 che sono staiora 6 e panora IO e soldi I 1/2 di misura. Et più un altro canpo che sia per testa di larghessa pertiche I I 18 e piedi 3, lungho pertiche 83 e piedi 4. Multiplica piedi 3 per piedi 4 e araj denari 12 alla mano mancha e multiplica la metà di piedi 3 in pertiche 83 et araj soldi 124 1/2, giungie1j col multiplicamento de' piedi, cioè soldi I, et àj soldi 125 1/2 de' qualj fa' panora. Et araj panora 7 e rimaractj soldi IO a la mano mancha poj multiplica la metà di piedi 4 via pertiche 18 et araj soldi 36 che sono panora 2 e soldi 3, et così araj panora 9 soldi 13. Et multiplica pertiche 18 via pertiche 83, cioè pertiche 18 per pertiche 66 e pertiche 18 per pertiche 16 1/,2 e pertiche 18 per pertiche mezza et araj staiora 18 e panora 54 e pertiche 9 superfitiale che sono

Fig.

pan.ora .1 soldi IO 1/2. Giungie tucte le sopradicte Cose insieme et ara] stalOra 23 panora 5 e soldi 7 di misura. .Et più, u.no .canpo è ~ertiche 19 piedi 4 e uncie IO et è lungho 12 perhche 47 pIedI 5 e uncle II. Pone la stessa ragione le pertiche socto le pertiche e' piedi socto piedi e l'uncie socto l'uncie come tu vedraj disegniafo. Et cominceraj a multiplicare da l'uncie. ~'uncia :i ~ 1/18 di 1/18 di denaio et perciò se partj per 18 l'unCle ~1Ultlplicate. q.uello che te ne verrà saranno dicioctoesimj di denalO; e mulhphca l'uncia per li piedi in croce e veranne 1/18 di den~io. et pe~ciò partilj per 18 quello ne verrà saranno denarj; et multlplichera] lo terso de l'uncie per le pertiche e 'l terso de l'uncie, per l: pertic~e i,n cro:ie e i piedi per li piedi e verrano denarj, de qua~] ?e~ar~ fa soIclI. E multiplica come è dicto di sopra cioè e'. mez~l li pIed.1 ~er le pertiche e lle pertiche per le pertiche. VerbI, gratIa, n~ultlph~a uncie ~O per uncie II e parte per 18 e araj 1/ 18 ~8 dI den~lO,. ~ multIplica uncie IO via piedi 5 e uncie II per pI~dl 4 et ara] dIClOctesimj di denaio, cioè 50/18 e 44/18 colli 2/18 dI 18° e 6/18 che avestj di prima et araj 2/18 di 18° e 100/18 cioè 1/9 di 18° c 100/18 di denaio. Partelj per 18 et araj 1/9 10/18 e 5 ?enai. Et multiplica lo terso di uncie IO, che è uncie 3 1/3, per perhche 44 e 'l terso di pertiche 19, che è pertiche 6 1/3, per uncie II e Ili piedi 4 p~r li.piedi 5 e araj denari 156 e 1/3 e denai 69 2/3 e denan 20. E dI pnma avevj denari 5 10/18 1/9, vae giungendo insieme tuctavia quando multiplichj et araj in somma denari 25 1 IO; 18 1/9, fanne soldi et araj soldi 21 meno 8;9 1/18 di denaio. E I~ultipl~ca la metà de piedi 4 via pertiche 47 e la metà di piedi 5 VIa perhche 19 et araj in somma soldi 162 e denari 6 poco meno, de' quali soldi puoj fare panora o vuoj scale . .Ma noj usiamo pure panora perchè cade più in sane ragione e tu sa j che soldi 99 sono pa~ora ~ e li soldi 49 1/2 sona 3 panora e rimaractj soldi 14. Et C?SI ara~ panora 9 soldi 14 di misura. Et multiplica pertiche 19 VIa pertiche 47 che è 19 pertiche via pertiche 44 e per pertiche 3, e dal multiplicament0 di pertiche 19 in pertiche 44 araj 19 via 8 panora, che è 2/3 dI staiora 19 che sono staiora 12 panora 8; e del multipricamento di pertiche 19 in pertiche 3 viene pertiche 57 superfitiale che è panora IO e soldi 6, et così àj in soma staiora 14 panora 4 e soldi 3 denari 6 di misura meno 8/9 1/18 di denaio. Et se vuoj cogliere per lo modo delle scale, de' soldi 162 1/2 sopradictj faraj scale, cioè partirale per 12 e araj scale 13 a la mano diricta e soldi 6 alla mano manca e denari 6 a' piedi. Et multiplica

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anca pertiche 19 in pertiche 47 che è pertiche 19 per pertiche 44 e pertiche 3, e del multiplicamento di pertiche 19 in pertiche 44 verrano 19 via II scale che fa scale 209 e del multiplichamento di pertiche 19 in pertiche 3 veranno pertiche 57 superfitiale che sono scale 14 e soldi 3; et accoglie ogni cosa et araj in somma scale 236 soldi 9 1/2 di misura chè le scale 198 sono staiora 12 e rimarrano scale 38 chè le scale 33, che sono 3 volte II, si sono 3 volte 8 panora che è staiora 2 e le scale 5 e soldi 6, chè le scale 5 1/2 sono panora 4, e rimarrano soldi 3 1/2. Et così àj staiora Lj. e panora 4 e soldi 3 1/2 di misura come avestj di sopra. Et se coll'uncie che fusseno per lo lungho e per l'anpio del canpo avessi roetj sì farestj, quando a vessi facto tucto come dicto è di sopra, che multiplicherestj li roctj di sopra per le pertiche di soeto e' roctj di socto per le pertiche di sopra, cioè in crocie, e giungerestj insieme e quello che facesse si sarebbeno uncie in pertiche parterestj per 3 e arestj denarj, li qualj denari giungerestj alla somma trovata di sopra. Verbi gratia , pogniamo che la larghessa del canpo sia pertiche 19 piedi 4 e uncie IO 2/3 et lo lungho di dicto canpo sia pertiche 47 piedi 5 uncie II 3;-+, et che avessi multiplicato come dieta è di sopra, cioè le pertiche 19 piedi -+ uncie IO per le pertiche -+7 piedi 5 uncie II che aresti la somma di staiora 1-+ e panora -+ e soldi 3 1/::'; et ora volessi giungere lo multiplichamento de' roetj dell'uncie per l~ pertiche et perciò piglia li ::. /3 delle pertiche di soeta , che sono pertIche 48 poco facto meno, et araj uncie 32 poco meno, et poj piglieraj li 3/4 delle pertiche di sopra, cioè di pertiche 20 pogho meno, et avraj pogho meno di uncie 15: agiungele colle uncie 32 et araj intorno di uncie 46 1/2, partile per 3 et araj denari 15 1/2, giungelj con soldi 3 1/2 et àj soldi 4 denari 9 1/2 di misura, altra le staiora 14 panora 4· Et se volessj procedere più soctilmente potrestilo fare, cioè, in questo modo: mectere li roctj dell'uncie in ogni multipricamento che si fa per le uncie et così, per lo modo ch' io t' ò mostrato, si coglieno tuete le terre che sane quadre come lo schacchierj overo come taulierj. Et tucte l'altre terre che sono d'altra facta, ti conviene recare per 1'arte d queste simigliante quadrature: la qual cosa noj insegneremo perfectamente sighondo la diversità de' canpj cioè de' pessj delle terre. Et prima mostreremo a squadrare le tere che sono in forma di bricchaldellj o, vogliamo dire, ad amandula come vedi disegniato quj di contra. Fig. I3 Sia uno ronbo .a.b.c.d. che per ciaschuno lato sia pertiche IO. Queste cotale fighure no' si puonno squadrare sansa la sapu-

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ii

ta de' suoj 2 diamitrj, li qualj sono le linee della .a.C. e del. b.d le quale linee convegnano tagliarsi insieme l'una l'altra a can1 rictj al punto del' .e .. Et perciò pogniamo che '1. dia mitra, o v( dire la linea del' .a.c., sia pertiche 16 perciochè andrà per ragie ne sicome io 1'ò mostrato per inansi, e 'l diamitro overo linea .b.c sia pertiche 12. Ora àj a multipricare mezzo l'uno diamitro contr tueto l'autro, che è mezzo il 12 per tucto il 16, o vuoj mezzo il I per tueto il 12. Et quando tu multiprichj mezzo il 12 per lo 16, alle ra l'àj tu squadrato in uno pesso come taulierj che sia pertiche in testa e pertiche 16 lungho et quando tu multiprichj mezzo il I per tutto il 12 allora 1'àj squadrato come se fusse pertiche 8 in test e 12 lungho. E qualunqua di questj quadramentj faj, si ti vien pertiche 96 superfitiale che sono staioro I e panora 5 e soldi 7 1/ di misura per l'aia di tueta lo ronbo. Et se vuoj cognioscere la re gione di questj squadramentj, mena per li puntj del' .a. et del .c due linee equindestante al diamitro .b.d. e siano le linee .f.i. { .g.h., per li punti del .b. et del .d. mena 2 linee equindestante é diamitro .a.c. e sia:lO le linee .f.g. et j.h. et araj facto lo quadrat rectianghulo .f.g.h.i. ched è pertiche 12 in testa e pertiche I lungho. Et questo quadrilante contiene in sè 8 trianghuli eghua lj, de' qualjj li quactro fanno tucto lo ronbo e Ili altrj 4 cade no di fuora. Li 4 che fanno lo ronbo sono li trianghulj .a.e.b. e l'altro trianghulo si è .a.e.d., e l'altro si è .c.e.b., et l'altro ~ e' è .c.e.d .. Et li 4 trianghulj che cadena di fuora si sono li trian ghulj .Lb.a., e l'altro si è .b.g.c., et .c.h.d., et .dj.a.. E sane tuctj eghualj perchè le quaetra latora del ronbo sono eghuale tagliano per mezzo li quaetro quadrilantj che contenghono tucte lo quadrato .f.g.h.i.; li qualj quadrilantj sono li quadratj .Le et .e.h. et .e.g. et .ej .. Et perciò si mostra che quadrilanto .f.h et [anzi: è] doppio del ronbo .a.b.c.d., dunqua lo ronbo è me tà del quadrilanto; lo qual quadrilanto si coglie del multiprica mento del' i.f. in del' .f.g., cioè di 12 in 16. Et perciò la met~ del quadrilanto .Lh. si coglie in del multipricamento della met~ .f.i. in del' Lg., che è in 6 via 16. Overo, altramente, perchè i trianghulo .a.e.d. è eghuale al trianghulo .a.f.b., se ctu mectj in sieme li trianghuli .a.e.b. si è tueto lo quadrilanto .Le. eghuah del trianghulo .a.b.d., simigliantemente troveraj che 'l quadrilan· to e.g. è eghuale del trianghulo .c.b.d. et, perchè il trianghulc .e.c.d. è eghuale del trianghulo .e.b.c., dunqua tucto il quadri· lanto .f.g.c.a. è eghuale di tucto lo ronbo .a.b.c.d .. Et lo quadriI

II.tt.ìlBIDWtlilTililC'-A.'.. Sij'»L>o.tM• •'. .. W. .

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lanto si coglie nel multipricamento del' .a.f. in del' .f.g. :he è di 6 via 16. Simigliantemente troveraj che 'l ro~bo .a.b:c.d. : e~hua­ le del quadrilanto .b.g.h.d., lo quale quadnlan~o s~ coglIe m del multipricamento del .b.g. i.n. del .g.~., ~oc est dI 8 m,I2. . Et se vuoj, per la notisla del dlamltro .a.c: ~he e 16 per n:lsura trovare la misura del diamitro .b.d., de] mtendere che m ogni' trianghulo rectjanghulo lo quadrato cioè lo multipricamento del lato che soetende l'anghulo rieto è eghuale del quadrato dell'autre 2 latora che contiene l'anghulo rieto. Verbi gratia , in nel trianghulo .a.e.b., lo quad.rato del' a.b. che soctende l'anghulo rieto è eghuale de' quadrat] delle latora .a.;. et .e.b. c~e cont~n~ ghono l'anghulo rieto; che è lo quad~ato del .a.b. ~he~ e ~oo, CIO~ ch'è IO via IO, è eghuale de' quadrat] .a.e. et .e.b. clO[e] d164 et dI 36, chè la .a.e. si è 8 dunqua lo suo quadro si è 64, unde s~ etu cavj 64 di 100 si rimarrà 36 per lo quadrato del .?e. la chu] ~a­ dice si è 6 per lo lato del .b.e .. Ra~do?pialo ~ ara] I~ 1?er lo dla~ mitro .b.d.. Et se vuoj sapere lo dlamltro del .a.c. pIglIa la meta del .b.d. ched è 6 e multipricalo in se stesso, et araj 36, trallo del multipricamento del lato del' .a.b., cioè di roo, rimarrà 64 per lo quadrato del' .a.e.; e troveraj la radice che è 8 per lo lato .a.e., raddoppialo et araj 16 per tucto lo .a.c ..

Prohemio di 7 parte infrascripte. Et poychè queste cose sono ~in:ostrate, si vog~iam~ ,fare 7 partite di quello che ~nt~~di~mo. dI dIre per lo avemre ClOe: La prima parte SI SI e dI mIsurare le terre che sono facte come trianghulj. La seconda delle terre che ànno 4 faccie e non sono facte come schacchierj, nè come taulierj, nè come briccaldellj. La tersa sarà di misurare terre che ànno più che 4 latora. La quarta si è di misurare le t~rre ch: sono ritonde e parte di ritonde, cio[è] li cerchj et parte dI cerch]. La quinta si è di misurare le terre c.he sono nelli montj e nelle valle che le loro superficie non sono pIane. La sexta si è di partire le terre e Ile case trallj consortj. La seetima si è di misurare le torre cioè l'altessa e Ile lunghesse de' pianj con strumentj e soctig~iesse d'altre cose. Et così, se a Dio serà di piacere, aremo a termmare questa opra.

La prima parte di misurare i trianghulj.

Fig.

Sighondo che dicto abbiamo di sopra, li trianghulj sono secondo le diversiti -dellj anghul j; inperochè sono trianghulj di 3 facte. Et la prima facta si sono ortogonij, che è rectjanghulo, e ciò sono quellj che ànno l'uno cantone ricto; et la sigonda maniera sono quellj trianghulj acutj cioè quellj che ànno tuctj e 3 li anghulj acutj; et la tersa maniera sono trianghulj anpligonij che sono quellj che ànno l'uno anghulo anpio, che è maggiore che rido. Et dej sapere che ognj trianghulo à 3 cantonj, nè più nè meno, e che tuctj e 3 li cantonj sono eghualj di 2 cantonj ridj. Et noj incominceremo prima a misurare li trianghuli ortogonij, cioè rectjanghulo. Se vorrai misurare uno trianghulo rectjanghulo, come lo 14 trianghulo .a'-b.c. ched è dal lato del' .a.b. pertiche 16 e dal lato del .b.c. pertiche 12 e dal lato del' .a.c. pertiche 20; et è l'anghulo del' .a.b.c. anghulo ricto, la qual cosa si cognioscie così per lo quadrato del' .a.c. che è per lo multipricamento della linea che soctende l'anghulo ricto che è eghuale alli 2 quadratj delle 2 linee che contiene l'anghulo ricto, ciot~ al quadrato del' .a.b. et del .b.c .. Verbi gratia, lo multiplicamento del' .a.b. in se stesso, che è 16 via 16, si fa 256, e 'l quadrato del .b.c., cioè 12 via 12, si fa 144: ragiunto con 256 si fa 400. Et altretanto fa lo multipricamento del quadrato, cioè linea che soctende l'anghulo rido, che è 20 via 20 che fa 400. Et se vuoj misurare questo trianghulo, dej pigliare tuctj e due li latj che contenghono l'anghulo rido e multipricare la metà dell' uno per tucto l'altro, cioè la metà di 12 per tucto lo 16, che è 6 via 16 fa 96, o vuoj dire la metà di 16 per tudo lo 12, cioè 8 via 12 fa 96. Eccho che tucto riesce in uno medesmo numero, sicché multiprica come vuoj; ti verrà pertiche 96 superfitiale per la misura di tucto lo canpo, ched è staiora I panora 5 e soldi 7 1/2 di misura. Et dej anco sapere che l'uno delle latora che contiene l'anghulo ricto si chiama catheto, e l'autro base, e quello che soctende l'anghulo ricto si chiama ypotenuça. Et se vuoj vedere che questa cosa che io 1'ò dicto sia vera, traggie del punto del' .a. una linea equindestante eghuale a la linea del .b.c., la quale linea sia .a.d., et meneraj la linea del .c.d. che fi' eghuale et equindesta nte alla linea del' .a. b.: et araj facto uno quadrilanto facto como taulierj, ciò si' lo quadrilatero del' .a.b.c.d., lo quale

si coglie del multipricamento del' .a.b. in del .b.c.. E 'l trianghulo .a.b.c. si è la metà del quadrilanto .a.b.c.d .. Et perciò accogliere lo trianghulo .a.b.c., dcj multipricare la metà del lato del' .a.b. in tucto lo lato del .b.c., vcl la metà del .b.c. in tucto lo lato del' .a.b. come dicto è di sopra. Et se vuoj questa cosa altramente vedere, parte lo lato deFig. I5 l' .a.b. in 2 parte eghuale sopra lo punto del' .e. e mena la linea .e.f. equindestante la linea del .b.c. passando per lo punto del .g. e meneraj la linea del' .e.f. et araj facto lo quadrilanto .e.b.c.f. lo quale è eghuale del trianghulo .a.b.c.; la qual cosa si mostra perchè il trianghulo .a.e.g. è eghuale del trianghulo .g.f.c., et di questo quadrilanto lo lato del' .e.b. e del .b.c. è come il trianghulo .a.b.c. et però multiplica 8 per I2 e araj 96 per l'aia del quadri1anto .e.b.c.f.. Unde perchè il trianghulo .a.b.c. è ughuale del quadrilanto .e.c., dej multipricare mezzo lo lato del' .a.b. per lo lato del .b.c. come facemmo di sopra. E sse partissi lo lato del .b.c. e del' .d.C. per messo, sopra il Fig. I6 punto del .d. e del' .e., e menassi la linea del .d.e. e facessila passare altra fine al punto del' .h. et fusse la linea del' .h.d. eghuale della linea del' .a.b. e menassi la linea del' .a.h., sì come tu vedi in questa presente fighura, si s'areb~)e lo quadrilanto del' .a.b.d.h. eghuale del trianghulo .a.b.c. et perchè il trianghulo .a.e.h. è eghuale del trianghulo .e.d.c .. Et a ccogliere l'aia del quadrilanto a.b.d.h., ti conviene multipricare la .a.b. in del .b.d., cioè I6 per 6, et così facemmo di sopra per avere l'aia del trianghulo .a.b.c., ciò fu ouando multipricammo lo .a.b. per mezzo lo .b.c .. Et 'se la misura delle 2 htora d'alcun triangRulo ortogonio fusse saputa et volessi per quelle 2 sapute latora la misura del terso lato, se quelle 2 latora che sono sapute si sono le 2 latora che contiene l'anghulo rieto, giungeraj insieme li quadratj d'anburo latora, et alI;{ somma troveraj la radice, et araj la lunghessa del terso lato che soctende l'anghulo ricto. Verbi gratia, pogniamo Fig. I7 questo trianghulo che 'l lato del' a. b. sia pertiche I6 e 'l lato del .b.c. sia pertiche I2, e questo sono anburo le latora che contenghono l'anghulo ricto lo qnale anghul0 è al punto del .b .. Prenderaj lo quadrato del' .a.b. e del .b.c.; hoc est I6 via I6 et I2 via I2, l'uno fa 256 e l'altro I-1-4 che, agiunti insieme, fanno 400 e cotanto è lo quadrato del lato che soctende l'anghulo ricto, cioè del' .a.c .. Et però diraj che lo lato del' .a.c. ,~ per misura la radice di -1-00 e la radice di 400 si è 20. Dunqua lo lato del' .a.c. si è pertiche 20. Et

3~

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tiche I6 et vuoj '3apere lo lato del .b.c., tu saj per quello che dieta è che i quadratj del' .a.b. e del .b.c. sono eghualj al quadrato del' .a.c.; adunqua se ctu cavj del quadrato del' .a.c. lo quadrato' del' .a.b., cioè 256 di -1-00. si rimarrà I-1--1- per lo quadrato del .b.c. la cuj radice si è I2 per lo lato dpl .b.c .. Et se etu cavraj lo lato, cioè lo quadrato del .b.c. del quadrato del' .a.c., cioè I4-1- di 400 ti rimarrà 256 per lo quadrato del' .a.b .. Et così, come dicto abbiamo, faraj tuctj gli autrj ortogonij. r'" Se etu àj bene inteso quello che per fine a qui abbiamo dieta di scpra in ne' trianghnlj ortogonij. sì potraj solvere questa qui- I stione; cioè che una lancia sta acostata a uno muro rieta ed è lun- ! Fig. I8 ga, la lancia, palmj 20. Ac1imando scostando la lancia da piè del muro palmi I2 e la cima della lancia apoggiata al muro, adornando quantj palmj discenderà la cima d'essa lancia dalla somità del dicto muro. Pogniamo che 'l muro sia la linea .a.b. e la lunghessa della lancia sia .c.b. e pogniamo la linea del .b.d. che sia palmj I2 et che la lancia sia lo .e.d., et vogliamo sapere quanta è la linea del' .e.c .. Tu saj che 'l muro sta ricto sul piano, nel qual piano si è la linea del .b.d., unde l'anghulo del .b. si è rieto et i!1perciochè la linea del' .e.d. e 'l muro .e.b. e 'l piano .b.d. fanno uno trianghulo ortogonio del quale lo lato del' .e.d. soctende l'anghulo rieto. Dunqua lo multipricamento del' .e.d. iL' se stesso fa tanto quanto lo multipricamento del' .e.b. e giunto col multipricamento del .b.d .. Dunqua se ctu cavj lo multipricamento del .b.d. in se stesso, che è I-1--1-, del multipricamento del' .e.d., che è 400, rimarrà 256 per lo quadrato della linea .e.b .. Et però trova la radice di 256 che è I6 per lo numero della linea .e.b. e tu saj che Ila linea .b.c. è tanto quanto la lunghessa della lancia, ched è palmj 20; dunqua se etu cavj lo .e.b. del .b.c., cioè I6 di 20, resterà -1- per la linea .c.e .. E palmj -1- sarà l'ascendimento della lancia per lo scostamento da piè di palmj I2. Et se dicessi che 'l piè della lancia si discosta dal muro tanto che 'l capo della lancia ascende di sopra palmj 4, e etu volessj sapere quanto si discosta lo piè della lancia da piè del muro, piglia questo modo. Pone che la lancia sia, come dieta abbiamo di sopra, palmj 20 e sia la sua lunghessa .b.c. e, la lancia essendo scostata, lo discostamento sia lo .e.d. e 'l discendimento suo sia di sopra lo .c.e., che è palmj 4, e '1 piede della lancia si è lo .d. et è discostata dal muro quanto è lo spatio della linea .b.d., del quale

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Fig.

Fig.

spatio dimandiamo quanto è per misura. Tu saj che 'l .b.c. è palmj 20, cioè che è la lunghessa della lancia, et àj posto che 'l discendimento .c.e. sia palmj 4 et perciò cava 4 di 20, resta r6 per lo .b.e.; et araj facto uno trianghulo determinato del' .e.b.d., ed è trianghulo ortogonio lo cuj anghulo rieto si è lo .b. e la lancia, che è le .e.d., è la linea che soetende l'anghulo et perciò se etu traggj lo quadrato dello .e.b. del quadrato dello .e.d., cioè lo multipricamento di r6 via r6 di quello di 20 via 20 ciò sarà 256 di 400 sì cti rimarrà 144 per lo quadrato del .b.d., del quale troveraj la sua radice, che è 12, e cotanto è discostato lo piede della lancia dal piè del muro. Et se alchuno ti dicesse: in uno piano stanno ricete 2 lancie delle qualj l'una è lungha palmj 2-1. e l'autra palmj 30 et è di lunge, l'una da l'autra, palmj 7; adimando se Ila maggiore chinasse sopra alla minore tanto che la maggiore si posasse in sulla cima della minore, in che parte della maggiore sarà lo tochamento loro e quanta n'avanserà della lancia maggiore sopra della minore? Pone che la linea del' .a.b. sia la linea della lancia minore, che I9 è palmj 24. e pone che 'l .b.c. sia lo piano, ched è palmj 7, et pone che 'l .c.d. sia la lancia maggiore et fa' che la dieta lancia si chinj al punto del' .e. et vengha sopra la linea del' .a.b. al punto del' .a. così come viene la linea del .c.e. et così sarà la linea del .c.e. palmj 30; et noj vogliamo sapere pure quanto è lo .c.a .. Dej multipricare .a.b. in se stesso, cioè 24 via 24 fa 576, e 110 .b.c. in se stesso, fa 49. giunti insieme araj 625, la cuj radice troveraj che è 25 e tantj palmj è la linea del .c.a.; traggeraila di tueta la linea del .c.e., cioè di 30, resterà 5 per la linea del' .a.e .. Et pojchè abbiamo dicto assaj di ciò che apartiene a' trianghuli ortogonij, cioè a dire ai trianghulj che ànno l'uno cantone rieto, et vedemmo che spesse volte n'abbisognia di giungere linee, che siano equindestante in tra 11oro , da certj datj puntj et anca n'è mestierj di cognioscere quando 2 linee date sono equindestante tra 110ro, et perciò si vogliamo mostrare queste 2 cose in prima che noj diciamo altro. Ora, per mostrare questo, pognia20 ma che la linea .a.b. eghuale con quella del .c.d. et vogliamo sapere queste 2 linee sono equindestante in tra lloro. Prende ad aventura 2 puntj sopra queste 2 linee, li qualj siano .e.f., e mena quella linea .e.f. et prende anca 2 puntj sopra la linea del' .e.f., che siano eghualmente prese dal punto dell' .e. e del' .f., li qualj puntj siano .g.h. et sia tanto la linea .g.e. quanto quella del' .hJ.,

Fig.

2I

Fig.

22

et prenderaj anca uno punnto sopra la linea del .c.d. presso al' .f. di verso mano rieta tanto quanto è dal' J. a la .h., lo qual punto sia .i.; et prenderaj anca uno punto sopra la linea del' .a.b. di verso mano mancha, e sia lo punto .k., et abbia tanto dal .k. a l' .e. quanti dal' .e. ,al .g. e quanto dal' .f. a l' .i., et meneraj la linea del .k.g. e del' .i.h. e misureraile anburo e se le trovj che siano tanto l'una quanto l'autra si sapraj fermamente che la linea del' .a.b. e la linea del .c.d. sono equindestante in tra lloro, et se la linea del .g.k. non è eghuale a quella del' .i.h. sappj che le linee .a.b. e del .c.d. non sono equindestante in tra lloro. Et questo è provato sigondo la vera geometria. Et se dicessi che la linea del' .a.b. fusse molto di lungie da quella del .c.d., overo che in tra l'una e l'altra avesse piante d'alborj che non potessi menare la linea del' .e.f. per farsa di lense, sì ficcherestj 2 staggie l'una in sulla linea del' .a.b. e l'autra in su la linea del .c.d. a la ventura là dove tu potessj meglio vedere l'una con l'autra. Ora pogniamo che l'una sia al punto del' .e. e l'altra al punto del' .f., et far2.j stare anburo le staggie bene ride a pionbo et raguardratj dalla staggia del' .e. a quella del' .f. et faraj ficcare un'altra staggia in tra l'una e l'autra, sia il punto del' .1..' et ora prenderaj dal' .e. in verso .1. una pertica, et sia la linea del' .e.g., et così ne faraj ficchare un'altra in quello stesso filo che fa l'occhio, cioè dal' .e. al' J. in tra l' .1. e le J., e sia il punto del' .h., et ficcheraj un'altra staggia in sulla linea del' .f.d. che sia presso al' .i. a perticha una, la qual sia lo punto del' .i., et porrò anca un'altra staggia al punto del .k. et farò che tra l' .e. e 'l .k. sarà di spatio un'altra pertica, e tireraj un'altra lensa dal .g.k. e un'altra dal' .i.h. et se le troveraj anburo eghualj si si sono le lense .a.b. et .c.d. equindestante. Et se da uno dato punto voraj traggere linea equindestante ad alchun'altra data linea. come se volessi dal punto del' .a. menare una linea equindestante dela linea del. b.c., porestj una staggia in sul punto del' .a. e un'altra ne porestj in sulla linea del .b.c., la qual sia in sul punto del .d.. Et traghuarderestj dalla staggia del .d. a quello del' .a. et, per la linea che farebbe l'occhio, farestj ficchare una staggia che fusse una perticha lungie dal punto del .d., overo qualunqua altra misura volessj o maggiore o minore che perticha la qual sia in sul punto del' .e., et un' altra tal misura prenderestj sopra la linea del .d.c., la quale sia la linea del .d.f. e mena la linea del' .e.f. e cogliene la misura con

LA PRATICA DI GEOMETRIA

una canna e serbala. Et anca per la linea che fa l'occhio, dalla staggia del .d. a quella .a., pone un'altra staggia presso al' .a., e sia al punto del .g., e sia la linea del' a.g. eghuale della linea .e.d., et pone l'uno capo della canna che serbastj in sul punto del .g. e l'altro capo vengha verso la parte del' .a., et abbj un'altra canna la quale sia lungha quant'è la linea del .dJ. e pone l'uno capo in sul punto del' .a. e l'altro capo caggia ver l'altro capo dell'autra canna, et tiene ferme le capita delle canne che àj poste al punto del .g. e del' .a. e l'altre 2 capita mena tanto che le raggiunghj insieme sicchè facciano anghulo, et in el punto di quello anghulo ficcha un'altra staggia, e sia '1 punto .k., et melia la linea del' a. k. e si' equindestante della linea del .b.c. et se la vuoj crescere e farla maggiore si ti traghuarda dalla staggia del' .a. a quello del .k., et, per la linea che fa l'occhio, faraj ponere quante staggie tu vuoj et potraila menare in infinito. Et se dalla parte del' .a. la vuoj crescere si staraj a traghuardare dalla staggia del .k. et mireraj per su la staggia del' .a. et, per la linea che farà l'occhio faraj ficchare staggie quante voraj et così anderestj in infinito. Se vuoj cognioscere anghulo vel numero, abbj 2 canne delle qualj l'una sia palm j -t e l'altra sia palmj 3 et porraj anburo le capita delle dicte canne in sull'anghulo; et fa' venire anburo le canne su per le linee che contengono l'anghulo et in quello luogho dove le dicte canne terminano fa' ficchare a ciaschuna una staggia et mena la linea dal'una staggia al'autra, et misurala, et se la trovj palmj S l'anghulo fi' ricto, se la trovj più lsanghulo fi' anpio cioè maggiore che ricto et se la trovj minore di palmj 5 si si è aguto che è minore che ricto. Verbi gratia, pogniamo che ·ig. 23 noj vogliamo sapere dell'anghulo che è segniato di contra .a.b.g. se è diricto o non; et pogniamo la canna che è di palmj 4 in sulla linea del .b. a. et sia la linea del .b. c., et la canna de' 3 palm j pogniamo sopra la linea del .b.g. et sia la linea del .b.d., et meniamo la linea del c.d .. Et dico: se la linea del .c.d. è palmj S che l'anghulo del .b. è diricto et ciò è perchè '1 quadrato della linea del .c.d., che è svia 5, è tanto come lo quadrato del .c.b. e del b.d., che è 4 via -t e 3 via 3. Et se la linea del .c.d. fusse più di palmj 5 si sarebbe lo dieto anghulo anpio et se fusse meno si sarebbe strecto. 0, vuoj dire altramente: piglia lla pertica, overo la canna, et polla a traverso ad aventura sicchè tocchj la 'stremità di ciascuno lato, cioè di ciaschuna linea che contiene l'anghulo, et pone uno punto al mezzo della perticha et da quel punto al'an-

.12

ghulo mena una linea et misurala; et se la trovj meno che mezza la lunghessa della pertica l'anghulo fi' anpio et se la trovj più l'anghulo fi' strecto. Verbi gratia, pogniamo che la pertica sia Fig. 2+ la linea del' .a.b. et sia partita in 2 parte eghuale al punto del .c. c '1 .d.e.f. sia l'anghulo, et mena la linea del .c.e .. Et se la trovj eghuale della linea del' .a.~., ve1 del .c.b. che è mezza la pertica, l'anghulo del .d.e.f. è diricto, et se la linea del' .e.c. fusse meno di mezza perticha l'anghulo del .d.e.f. sarebbe anpio et se fusse più di mezza pertica si sarebbe aguto.

Ragione della sighonda spesie delli anghulj.

Fig,

Et poichè queste cose sono bene mostrate apertamente, si vogli'amo tornare a dimostrare quello che noj abbiamo incominciato del facto de' trianghulj. Et dicemmo in prima della misura de' trianghulj acutjanghulj de' qualj puoi traggere da ciaschuno anghulo un catheto che cade dentro dal trianghulo, come se ponessimo lo trianghulo .a.b.c. del quale il lato della a.b. è pertiche 13 e quello del .b.c. è pertiche 1-t e quello del .c.a. è pertiche I5, et dej traggere da qualunque anghulo tu vuoj uno cateto sopra la linea che soctende quello anghl1lo, et dej intendere che '1 catheto è la più corta linea che cade da quello anghulo sopra la linea che soctende l'anghulo. Et dej multipricare lo catheto per mezzo quel lato che soctende l'anghulo, cioè per mezzo la linea .b.c., vel mezzo lo catheto per tucta la linea .b. c. et ara j l'aia di tucto quello piano. Verhi gratia, in del prezente trianghulo .a.b.c. traggie lo 25 catheto dal'anghulo .a. sopra la linea del .b.c., et sia la linea del' a.d.; dico che dej multipricare tucto il catheto .a.d. per mezzo la base, che è per mezzo la linea .b. c., vel tucta la base per mezzo il catheto .a.d.; et che sia vero mostrerocte1o ad occhio. Se ctu dal punto del .b. e dal punto del .C., come tu vedi in questa fighura, traggeraj 2 linee eghuale equindestante al catheto .a.d., le qualj siano le linee .b.e. et .c.f., et meneraj la linea del' .e.f., sì si è lo quadrilatero .e.b.c.f. doppio del trianghulo .a.b.c. chè 'l quadrilatero .e.b.d.a. è doppio del trianghulo .a.b.d, e 'l quadrilatero .a.d.c.f. è doppio del trianghulo .a.d.c .. Dunqua tucto lo quadrilatero .e.b.c.f. è doppio di tucto lo trianghulo .a.b.c. sì come in questa fighura si pare che se ctu multiprichj tucto lo .e.b., hoc est tanto quanto lo .a.d., per lo .b.c. araj tucto lo quadrilan-

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41

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to .e.b.c.f.. Dunqua: se etu multiprichj tueto lo .a.d. per mezzo lo .b.c., 'leI tueto il .b.c. per mezzo lo .a.d., sì araj tueto lo trianghulo .a. b.c. conciosiacosach' ellj sia metà di tucto lo quadrilanto .e.b.c.f.. Et se sighondo l'arte tu vuoj trovare la lunghessa del catheFig. 26 to .a.d., convientj prima trovare lo caso, cioè lo punto u' cade il catheto sopra la linea del .b.c., cioè che cti viene sapere quant'è la linea del .b.d. et quant'è quella del .c.d. la quale sapraj così. Multipricheraj lo lato del' .a.b. e del .b.c. ciaschuno in se stesso, cioè 13 via 13 e 14 via LJ. che fanno 169 e 196, agiunti insieme fanno 365, traggeraine lo multipricamento del lato del' .a.c. in se stesso, che è 225, rimarrà 1..1-0 prendine la metà che è 70 lo quale pare lo base .b. c., cioè per 14, e veraetj 5 per lo caso del .b.d., traggelo di tucto 'l .b.c. rimarrà 9 per lo caso del .d.c.; 'leI dc' quadratj .a.c. et .b.c.; traggi el quadrato del' .a.b. rimarrana 252 pertiche, prende la metà, che è 126, partilo per 14, veractj 9 per lo caso del .d.c., 'leI aliter lo quadrato del' .a. b. traggie del quadrato del' .a.c., cioè 169 di 225, rimarrà 56, partelo per lo .b.c., cioè per 14, verrà 4, traggielj di 14 et giungelj con 14 et araj IO et 18, prendine la metà et araj 5 e 9, cioè 5 per lo caso .b.d. et 9 per lo caso .d.c .. Item giungie lo dato della .a. b. col lato del' .a.c., cioè 13 e 15, et araj 28, et dimezzalj et araj 14, multipricalj per la diferentia che è dal 13 al 14 'leI dal 14 al 15, che è uno, et araj 14, partelj per la metà del base, cioè per 7, verrà 2, traggelj di 7, rimarrà 5 per lo minore caso .b. d., giungeI j con 7 et araj 9 per lo maggiore caso .d.c.. Et pojchè etu àj trovato lo caso, cioè lo punto del .d., per alchuna delle tre prediete reghule, traggeraj lo quadrato del .b.d. del quadrato del' .a. b., 'leI lo quadrato del .d.c. del quadrato della .a.c. ;qualunqua faraj di queste 2 cose si eti rimarrà 144 per lo quadrato del catheto .a.d .. Verbi gratia, lo quadrato del .b.d. si è 25, lo quadrato del .a.b. si è 16g, cavane 25 rimane 144 per lo quadrato del' .a.d., et altretale ti verrà se ctu traj lo quadrato del .d.c. che è 81 del quadrato del' .a.c. che è 225, cavane 81 resta pure 144. Et perciò trova la radice di 144, che è 12, per lo catheto .a.d., multipricalo per mezo il .b.c., 'leI 1/210 .a.d. per tueto .b.c., cioè 12 per 7, 'leI q per 6, et araj pertiche 84 per lo trianghulo .a.b.c., che sono staioro I panora 3 e soldi 7 1/2 per misura. Et se 'l trianghulo fusse equicurio, cioè che avesse le 2 latora

fig.

eghualj in tra lloro, non ti farebbe bisognio la reghuIa di trovare lo caso u' cade lo catheto inperciochè discende in tra du' Iatora eghualj sopra l'altro lato, lo quale puole essere eghuaIe e maggiore e minore di ciascuna dell'antre 2 latora, perchè 'I caso cade senpre sopra alla metà di quel lato. Verbi gratia, pogniamo lo 27 trianghulo .b.c.d. cne sia pertiche IO ciaschuno de' due latj, cioè quello del .b.c. e quello del .b.d., e 'l lato del .c.d. sia anco pertiche IO. Parteremo lo lato del .c.d. in 2 partj eghuale al punto del' .a. et meneremo la linea del .b.a. la quale serà catheto sopra la linea del .c.d., et misureraj lo .b.a. e 'l .c.d. et multipricheraj la metà dell'uno per tucto l'autro. Et se vuoij trovare lo catheto .b.a. sensa misurare, traggie lo quadrato del .c.a. del quadrato del .b.c., cioè 25 di 100, rimarrà /5 per lo quadrato del .b.a.; adunque .b.a. è radice di /5, la quale radice troveraj così: prende la maggiore radice che ctu puoj da /5 in giù in numero sano e ciò è 8, et 8 via 8 fa 64, per fine in /5 resta I I cioè pertiche, fanne piedj sono piedi 66, li qualj parte per lo doppio della radice trovata, che la radice trovata è 8, raddoppia 8 fa 16, parte 66 in 16 ne viene 4 piedi e rimantj piedi 2 che sono denari 12, traggel j del multipricamento di piej 4 in piè 4, cioè di 16, menimatj denari 4, che sono uncie 12, p8.rtelj per doppio della radice trovata che è per l/ 1/3 et verrà 9/13 et così la radice di pertiche /5 si è pertiche 8 piedi 3 uncie 17 4/13 per lo catheto .b.a.. Multipricalo per mezzo 'l .c.d., cioè per lo .c.a. 'leI per lo .a.d., ched è pertiche 5 e araj pertiche 43 et più denari IO 1/2 di misura; 'leI multiprica lo quadrato del .c.a. per lo quadrato del .b.a., cioè 25 per 75, et araj 1875 et di' che l'aia del trianghulo .b.c.d. è radice di 1875 la quale radice troveraj che è pogho meno di pertiche 43 1/3. Vel multiprica l'uno delle latora in se stesso, cioè IO via IO, et araj 100, multiprica anca 100 via 100, et araj 10000 lo quale multiprica per 3 et partilo per 16 et torneractj pure 1875; prendine la radice et araj l'aia del trianghulo .b.c.d .. E sappj che questa reghula è diricta in ogni trianghulo equilanto et anca questa altra reghula è buona e poco più dela verità in de' trianghulj equilateri, cioè che multiprichj lo quadrato dell'uno lato per 13 e la somma parte per 30. Verbi gratia, lo quadrato dell'uno delle latora del dieta trianghulo .b.c.d. ched è 100, multipricalo per 13 e la somma parte per 30 e schizane quanto puoj et veraetj a multipricare 13 per IO e a partire per 3, di che araj pertiche 43 1/3 per l'aia del dieta trianghulo.

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45

Et se d'alchuno trianghulo equicurio lo terso lato fusse più o meno dell'uno dell'altre 2 latora, come di questo trianghulo .a.b.c. Fig. 28 che ponemmo lo lato della .ab. e del' .a.c. ciaschuno pertiche 20 e 'l lato del .b.c. pertiche.:q, parteremo lo lato del .b.c. in 2 eghuale parte al punto del .d. et misureremo a diricta linea lo .a.d. e multipricheremola per mezzo lo .b.c., 'leI tueto il .b.c. per mezzo lo .a.d .. Et se vuoj trovare lo catheto per reghula, cioè lo .a.d., tragge lo quadrato del .b.d. del quadrato del' .a.b., cioè 12 via 12 di 20 via 20, e rimaraitj 256 la chuj radice è 16 e tanto è per misura lo catete del prezente trianghulo .a.d .. Et piglia lo .a.d. e Ho .b.c. e multiprica mezzo l'uno per tucto l'altro et araj pertiche 192 superficiale, cioè staiora 2 panora IO e soldi 15 di misura per l'aia del dieto trianghulo .a.b.c .. Et se 'l trianghulo equicurio lo quadrato del terso lato fusse tanto quanto anburo li quadratj dell'antre 2 latora eghualj, allora lo trianghulo sarebbe orto gonio et perciò non 1'arebbe uopo di trovare catheto se non pure multipricare mezzo l'uno per tueto l'altro, cioè delle latora che contenghono l'anghulo rieto. Verbi Fig. 29 gratia, pogniamo lo trianghulo .a.b.g. che sia lo lato del' .a.b. e del' .a.g. pertiche 20 per ciaschuna linea et l'altro lato .b.g. sia radice di pertiche 800 la chuj radice è pertiche 28 2/7 pogho meno, multipricherestj mezzo lo .a.b. per tucto lo .a.g., cioè IO via 20 fa 200 pertiche superfitiale per l'aia del predieto trianghulo .a.b.g..

Fig'3!

Ragione della tersa dellj anpligonij.

Et se 'l trianghulo fusse anpligonio et equicurio, overo diversilaterj, et potessi traggere lo catheto dentro dal'anghulo sopra lo maggiore lato, cioè sopra 'l lato che soctende l'anghulo anpio, potrestilo trovare per ciascheduno di quellj modj ch'io 1'ò dicto di sopra in de' trianghulj aghutjanghulj; ma sse ctu volessj traggere lo catheto sopra l'altre 2 latora, si caderebbe di fuorj del trianghulo in della terra del vicino et perciò intendo mostrartj, a ete lectore, come tu dej fare. Pogniamo uno trianghulo anpligoFig. 30 nio determinato .a.b.c. che sia dal lato del' .a.b. pertiche 13 e 'l lato del' .a.c. sia pertiche 20 et quello del .c.b. sia pertiche II et l'anghulo del' .a.b.c. anpio inperciochè 'l quadrato del' .a.c. che soctende quello anghulo è più ch' è quadratj di quelle altre 2 latora, cioè che 13 via 13 e II via II; et pogniamo che noj vo-

LEONAROO FIBONAC.

J..

gliamo menare lo catheto dal punto del' .a. sopra 'l lato del .b.c .. Et perciò traggeraj lo lato del .b.c. in fuora tanto da lungha che ti possa cadere lo cateto dal punto del' .a. sopra la linea che etu araj menato et pogniamo che quella lensa sia .d.b., e 'l catheto che cade sopra qu.,ella linea .d.b. sia .a.e .. Et misura lo catheto .a.e. e 'l lato del .b.c. et multipricha l'uno per mezzo l'autro et araj l'aia del trianghulo .a.b.c .. Et se vuoj trovare per arte lo catheto .a.e. convientj prima trovare lo caso .b.e., lo quale troveraj se etu traggj del quadrato del' .a.c ..anburo li quadratj deH'autre 2 latora; cioè che traggj di 400 , che e lo quadrato del' .a.C., 169 et 121, che sono li quadratj del' :a.b. et del .b.c., et rimaraetj IlO; prendine la metà che è 55, partlla per lo lato .b.c., cioè per II, et araj 5 per lo caso .b.e., prendine lo quadrato, che è 25, traggelo del quadrato del' .a.b., cioè cava 25 di 169, et rimarraetj 1-+-+ del quale è la sua radice 12. Et cotanto è lo catheto .a.e., prendine la metà che è 6, multipricalo per lo .b.c., cioè per II, et araj pertiche 66 superfitiale, che sono uno staioro, per l'aia del trianghulo .a.b.c .. Et se avessi tracto lo quadrato del' .e.c. del quadrato del' .a.c., cioè 25 6 di 4° 0 , si sarebbe rimaso altressì L.j.4 per lo quadrato del catheto .a.e.. Et se ctu partissi lo 55, che trovastj di sopra, per lo lato del' .a.b., cioè per 13, si arestj 4 3/13 per lo caso .b.f. et è .f. lo punto u' cade lo catheto dal punto del .c .. Adunqua, se etu vuoj trovare lo catheto .c.f., traggeraj lo quadrato del .b.f. del quadrato del .b.c., cioè 9/13 II/13 17, di 121 e rimarraetj, per lo quadrato del catheto .c.f., 4/13 1/13 103 del quale troveraj la radice così. Multiprica 103 per 13 e giungevj susa I e multiprica per 13 e giuntovj susa 4 et araj per tuetj e 2 li multiprichj 1742 4. Trovalj la radice che è 132, partila per 13 et araj IO 2/13 per lo catheto .c.f.. Multiprica la metà per lo lato del .a.b., cioè per 13, et araj anca pertiche 66 superfitiale per 1'aia del dieta trianghulo .a.b.c.. Et se vuoj anca trovare lo catheto .c.f. multiprica .a.e. per .b.c., cioè II via 12, et parte la somma per .a.b., cioè per 13, et araj pertiche IO 2/3, come di sopra, per lo catheto .c.f.. Et se per uno de' catetj trovatj tu vuoj trovare lo catheto che cade dal punto del .b. dentro dal trianghulo sopra lo lato del' .a.c. lo quale cateto sia la linea del .b.h., multiprica lo catheto qual tu vuoj, sia .a.e. 'leI .c.f., per lo suo base, cioè .a.e. per .b.c. 'leI .c.f. per .a.b., e qualunqua faraj si ti verrà 132, partelo per .a.c.,

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cioè per 20, e verractj pertiche 6 3/5 per lo catheto .b.h. come in questa figura si pare apertamente. Et se i' nella misura de' trianghulj vogliamo studiare d'operare volgalmente studianne di traggcre senpre lo catheto sopra al maggiore lato, cioè quando lo trianghulo non è ortogonio né equilatero né equicurio ; ché quando lo trianghulo è ortogonio prenderaj la misura d' anburo le latora che contiene l'anghulo ricto et multipricheraj mezzo l'uno per tucto l'altro, et quando lo trianghulo è equilatero faraj come t'ò dieta di sopra, et quando lo trianghulo è equicurio cioè che abbia le 2 latora parj si cadrà sul mezzo dell'altro lato o sia maggiore o minore di quelle 2 latora eghuale. l' nelli altrj trianghuli diversilaterj, là dove siano acutjanghulj vel anpligonij, si faremo senpre venire lo catheto sopra lo magaiore lato. Et perciò ti voglio mostrare lo modo per questo trianghulo .a.b.c. del quale lo lato del .b.c. è maggiore lato che non è lo lato del' .a.b. e del' .a.c. e 'l lato del' .a.c. è maggiore che lo lato del' .a.b., et vogliamo traggere lo catheto dal punto del' .a. sopra la linea del .b.c .. Et perchè 'l catheto è la più corta linea che caggia dal punto del' .a. sopra la linea del .b.c. è inpossibile che standotj dentro dal trianghulo passi cognioscere là 've cade sopra lo lato del .b.c. la più corta linea che viene dal punto del' .a .. Et or porraj le staggie et traghuardraj et misureraila et or misureraj lo lato del .b.c. et multipricheraj mezzo l'uno per tueto l'altro, et, se etu quella linea non puoj ben vedere u' cade, piglia una lensa et distende la dal punto del' .a. sopra lo lato del .b.c. et va tanteggiando in verso lo .b. et in verso lo .c. infine a tanto che ctu trovj lo punto u' cade la più corta linea che viene dalla .a. in sulla linea del .b.c., et quella linea sarà lo catheto. Et se 'l canpo fusse sì grande che non avessj lensa sì grande, o se 'l canpo fusse pieno d'arborj o di vignie o d'altre cose che cti avesse a inpedire lo menare la lensa qua e là per trovare lo punto del catheto sicchè con lensa noI potessi trovare, misureraj lo lato del' .a.b. et quello del' .a.c. e quante pertiche troveraj la linea del' a.b. cotantj palmi troveraj la linea del .a.d .. Et quante Fig. 32 pertiche troveraj la linea del' .a.c. cotantj palmi fi' la linea del' .a.e .. Et mena la linea del .d.e., cioè pone alquante staggie dal .d. all' .e. et araj facto uno trianghulo picchulo terminato .a.d.e. nel quale potraj trovare lo cateto sopra la linea del .d.e. che vien~ dal punto del' .a. overo ad occhio o co' llensa. Et pogniamo che caggia al punto del' .f., et perciò porraj al punto de-

l' .f. una staggia e un'altra al punto del' .a. che stiano bene ricte a pionbo e or traghuardraj soctilmente di sulla staggia del' .a. per sula staggia del' .f. et colà 've l'occhio ti porta, in sulla linea del .b. c., fa' ficchare un' altra staggia et sia al punto del .g. per lo punto del caso u'. cade lo catheto. Et così àj trovato che 'l catheto è la linea del' .a.f.g.. Et però faraj come t'ò dicto di sopra, vel altramente misura la linea del' .a.f. a palmj e, quanti palmj la trovj, cotante pertiche sarà la linea del' .a.f.g.. Et nota che in tuetj li trianghulj rectjlinee puoi usare questa reghula della quale ponemmo uno trianghulo ortogonio che àe l'uno canto rieto e llj 2 oppositj cioè minorj che ricti, cioè aghutj et è terminato di 3 linee riete delle quale pogniamo la prima che sia pertiche 3, la seconda sia pertiche 4 e la tersa pogniamo sia pertiche S. Per la qual cosa dobbiamo prima giungere tuete e 3 le linee insieme, cioè 3, 4, S, et araj pertiche I2, pigliane la metà, che è 6, e sappi quanto à dalla prima linea che è 3 per fine al dieta 6, et troveraj che v' è 3, lo quale 3 multiprica per lo dicto 6 et araj I8; ora sappj quanto àe dalla sighonda linea che è 4 per fine al dieta 6, che v'è 2, lo quale multiprica per lo stesso I8, trovato del multipricamento del 3 che rimase del 6 traggendone la prima linea ched è 3 in del 6, et araj 36. Or traggie la tersa linea che è 5 del stesso 6 rimarrà I, multipricalo per lo dieta 36 et araj pur 36: per lo multipricamento di tucto lo rimanente de' numerj di tuete e 3 le linee della metà del raggiungimento di tuete e 3 in della dicta metà multipricatj cioè in 6. Lo quale 36 si è il quadrato dello spatio della superfitie del dieta trianghulo, la chuj radice è 6 et cotante pertiche superfitiale è l'aia del trianghulo, che sono panora I e denarj I8 desmo. Ora acciò che lo intendj meglio, si pogniamo un altro trianghulo lo quale è anpligonio determinato del .a. b.c., sì come tu vedj in questa prezente margine disegniato; et àe dal' .a. al .b. pertiche 5 e dal .b. al .c. pertiche 6 e dal .c. al' .a. pertiche 5. Per la qual cosa giunge questj numerj tuctj e tre insieme, cioè .'), 6, 5, fano I6, pigliane la metà, che è 8, del quale 8 cava lo primo numero che è 5, rimane 3, per lo quale 3 multiplica lo dieta 8 et araj 24; lo quale 24 multiprica per lo 3, che rimane dello altro 5 in del dieta 8, et araj 72; lo quale 72 multiprica per la diferentia che è dal 6 allo 8, cioè 2, et araj I44 per lo quadrato dello spatio del dieta trianghulo. Piglia la radice del dieta quadrato, che è I2, et araj l'aia della dieta superficie adimandata, che è panoIa 2 e soldi 3 desmo.

o vuoj

fare altramente, piglia una perticha sopra al lato del' .a.c., la quale sia .c.h., e dal punto del' .h. traggeraj uno catheto sopra la linea del .b.c., la quale sia .h.i., e intende che catheto .a.g. non sia tracto nè non sappj quante è nè quine u' cade sopra la linea del .b.c.. E in perciochè la linea del' .h.i. equindestante al callieto .a.g. si è la proportione del' .h.i. al' .a.g. et così come .a.c. al' .h.c. così e' è lo .g.c. al .c.i., et perciò misura soctilmente lo lato del' .a.c. et quello del' .h.i. et multiprica l'uno per l'autro et quello che ti viene parte per .h.c., cioè per uno, cioè che 'l catheto .a.g. fi' tanto quant'el multipricamento del' .h.i in del' a.c .. Et se vuoj trovare lo c.g., multiprica lo .c.i. per lo .C.a. et la somma partj per lo .h.c., cioè per uno, che ti verrà quello medesmo et araj lo .c.g..

Della sighonda parte della misura de' quadrilaterj.

Fig.

Et dachè abbiamo assaj dieta della misura de' trianghulj, conviensi che diciamo della misura de' quadranghuli. Et dej intendere ch' e' quadranghulj sono di 4 maniere: la prima maniera sono dieti quadrilantj che sono faetj come schacchierj vel come taulierj da taule, la singola maniera sono come ronbj vel come ronbiodi che ànno le latora eghuali et oppositj et anca che le latora apposite sono equindestante e non ànno li anghulj rictj, la tersa maniera de' quadrilaterj sono quellj che ànno le 2 latora solamente equindestante e di quelle 2 latora è l'uno maggiore che l'autro e chiamasi, ciaschuno di quellj, capo tagliato, della quarta maniera sono tuctj gli autrj quadrilaterj e chiamansi trapesi vel mensuale. ~oj si diciamo prima della sigonda faeta de' quadrilaterj inperciochè della prima abbiamo e suffitientia parlato. Et pogniamo questo ronbiodo .a.b.c.d. che àe in ciaschuna 33 delle latora .a.d. et .b.c. pertiche 30 et in del lato del' .a.b. et .c.d. è pertiche 15; et questo canpo non si può misurare sansa trovare uno catheto che caggia dalla linea del' .a.d. sopra la linea del .b.c. et muovasi lo cateto dal punto del' .a.; vel che misurj uno de' diamitrj, cioè quello del' .a.c. vel quello del .b.d., et si è partita la fighura in 2 trianghulj eghualj. Et noj pogniamo che abbiamo traeta lo catheto dal punto del' .a. et sia la linea del' .a.e., la quale pogniamo che sia pertiche 12; et dej multipricare lo catheto .a.e. per lo base .b.c. et araj pertiche 360 super-

5°

LEONAROO FlBONACici!I

ficiale per la superficie del ronbiodo .a.b.c.d .. Et se vuoj trovare, per lo catheto .a.e., lo diamitro .a.c., si traggeraj lo quadrato del' .a.e. del quadrato del' .a.b., cioè 144 di 225, e rimarractj 81 la chuj radice si è il caso .b.e. ch'è 9; cavalo di tucto lo .b.c. rimaractj 21 per lo .e.c., prendene lo quadrato, che è 441, giungelo col quadrato del' .à.e., che è 144, et araj 585 per lo quadrato del diamitro .ac .. Et se vuoj vedere la radice perchè dej multipricare lo catheto .a.e. per tucto lo base .b.c. per avere l'aia di tucto lo ronbiodo .a.b.c.d., pone mente come lo diamitro .a.c. parte lo quadrilatero .a. b.c.d. in due trianghulj eghualj, de' qualj l'uno è lo trianghulo .a.b.c. e l'altro si è lo trianghulo .a.c.d., et sono eghualj inperciochè 'l lato del' .a.d. è eghuale a quello del .b.c. e 'l lato del' .a.b. è eghuale al lato del .c.d. et lo lato del' .a.c. si è comune ad anburo li trianghulj. Et tu saj che ad avere l'aia del trianghulo .a.b.c. si coglierebbe del multipricamento del' .a.e. in della metà del .b.c., et, perchè 'l .b.c. è ighuale equindestante del' .a.d., però se ctu multiprichj lo .a.e. per tucto il b.c. si araj l'aia tucta di anburo li trianghulj, cioè di tucto lo ronbiodo .a. b.c.d. Et se ci fusse dato che 'l diametro .a.c. fusse la radice di 585 e Ile latora del ronbiodo fusseno come dieta abbiamo di sopra et volessj trovare lo catheto .a.e, farestj così come di sopra cioè farestj cosi. che troverestj prima lo caso .b.e. per una delle tre reghule che dicto ò di sopra in ne' trianghulj equicurij et anpligonij. Et se Ile Fig. 34 latora sopra diete del ronbiodo si sono note, cioè manifeste, et anca lo catheto .a.e. noto et tu voraj sapere lo diamitro .b.d., intendraj che sia giunto alla linea del b.c. la linea del .cJ. che sia lungha quanto la linea del .b.e .. Dunqua tucta la linea .bJ. si è pertiche 39 et se ctu traggj la linea del .dJ., perchè la linea del' .eJ. è eghuale e equindestante a quella del .a.d. et anca perchè la linea del .d.f. è equindestante a quella del' .a.e., dunqua lo .d.f. si è 12 et è lo trianghulo .b.dJ. ortogonio inperciochè 'l quadrato del .b.f. e quello del .dJ. giunti insieme sono eghualj al quadrato del diamitro .b.d .. Dunqua se etu multiprichj 39 via 39 e giungelo con 12 via 12 si araj 1665 per lo quadrato del diamitro .b.d., prendene la radice che è pogho meno o pogho più di 40 4/5 et araj lo diamitro .b.d, sopra 'l quale diamitro se etu traggij uno catheto dal punto del' .a., in nel trianghulo .a.b.d., lo quale catheto sia la linea del' .a.g., et multiprica lo .a.g. per tucto il .b.d. et araj l'aia di 2 trianghlllj cicè del trianghulo .a.b.d. et del trian-

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ghulo .b.c.d.id.e~t di tucto lo ronbiodo .a.b.c.d.. Et puoj anco intendere in questa fighura che 'l trianghulo .d.c.f., lo quale è in della terra del vicino dal lato cioè di fuori del ronbiodo .a.b.e.d., sia tanto quanto lo trianghulo del' .a.b.e .. Dunqua se ctu del ronbiodo .a.b.c.d. lassi lo trianghulo .a.b.e. et giungivj lo trianghulo .d.c.L si araj che 'l quadrilatanto .a.e.f.d. si è eghuale del ronbiodo .a.b.c.d.; ma lo quadrilanto del' .a.e.f.d. conciosiacosachè sia ortogonio si si coglie del multipricamento del' .a.e. in del' .a.d., cioè in 12 via 30 che fanno 360 pertiche superfitiale per l'aia del dicto ronbiodo .a.b.c.d ..

Della subdivione della tersa spetie divisa in 5 fighure.

Fig.

Fig.

Della tersa maniera de' quadrilaterj, cioè di quellj che ànno le 2 latora equindestante, si cadeno 5 fighure di quadrilantj. Et la prima si chiama mezzo capo tagliato, la segonda eghualmente capo tagliato, et la tersa si chiama diversamente capo tagliato, la quarta si chiama capo decrinante, et la quinta si chiama pescie. Et tucte queste fighure si eoglieno per uno modo, lo quale modo è giungere anburo le latora equindestante insieme et multipricare la metà in del catheto, cioè in della più corta linea che cade in tra anburo le linee equindestante et che faccia li anghulj rictj da anburo latora con quelle linee equindestante. Et pogniamo in prima lo quadrilanto .a.b.g.d., che si chia35 ma mezzo capo tagliato, che àe le latora .a.d. et .b.g. equindestante e l'anghulo del' .a. e del .b. sono dirictj perciò lo lato del .a.b. e' è catheto in fra le 2 linee cioè .a,d. e .b.g.. Et però se ctu giungj lo lato del' .a.d. con quello del .b.g. insieme e pigliane la metà la quale metà multiprica contra lo lato .a.b., che è la più corta linea che cade in tra la linea del' .a. d. et del .b. g. dal punto del' .a. al punto del .b., el dieto multipriea ti dà l'aia di tucto lo quadrilatero .a.b.g.d .. Verbi gratia, pogniamo lo dato del' .a.d pertiche 14 e quello del' .a.b. pertiche 16 e quello del .b.g. pertiche 26, dico che dej giungere lo lato del' .a.d. con quello del .b.g., cioè 14 con 26, et araj pertiche 40, la ehuj metà si è 20, lo quale 20 dej multipricare per lo lato del' .a.b., cioè per 16, et araj pertiche 320 superfitiale per l'aia del quadrilanto .a.b.g.d.. Et se vuoj vedere che questa cosa che io t'ò ditto sia vero, trag36 gie dal punto del .d. lo catheto del .d.c. che faccj 2 anghulj rictj

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al punto del .e. sopra la linea del .b.g., et si è lo catheto .d.c. eghuale et equindestante al eatheto .a.b.; e 'l lato del .b.e. sarà eghuale al lato del' .a.d. et adunqua lo .b.c. sarà pertiche 14 e 'l .d.c. si è pertiche 16. Et è lo quadrilanto .a.b.c.d. facto come taulierj, pcrciò l'aia sua si coglie del multipricamento del .d.c. in del .c.b. cioè di r6 "in Li. Et l'aia del trianghulo .d.c.g. si coglie del multiprichamento del .d.c. in della metà del .c.g., cioè in del .b.e .. Adunqua tucta l'aia del quadrilanto .a.b.g.d. si coglie del multipricamento del .d.c. in del .b.e., cioè del' .a.b. in del .b.e., vel del .d.c. in del .b.e .. E 'l .b.e. è metà delle latora .a.d. et .b.g. perchè lo .b.e. è tanto quanto lo .a.d. collo .e.g.; dunqua tucto lo .b.e. è tanto quanto lo .a.d. e giuntolj lo .e.g.. Et perciò lo .b.e. è mctà del' .a.d. e del .b.g. sicome è dicto di sopra. Et se vuoj sapere quanto è lo lato del .d.g., tragge l' .a.d., cioè lo .b.c., del .b.g. e riamactj .c.g. che è pertiche 12; prende 'l quadrato del .d.c. et del .c.g., cioè 256 e 144, et araj 400 per lo quadrato del .d.g. la chuj radice è 20; adunqua lo .d.g. è pertiche 20. Et se volessi sapere in quanto la linea del .b.a. s'agiun37 gerà colla linea del .g.d. traggiendole ciaschuna per la sua dirictura infine che tocchino l'una l'altra e quine faccino uno punto terminato.f. et voglj sapere quanto sarebbe la linea del' .a.f.. Inperciochè questj 2 trianghulj sono simiglianti si si è la proportione del .d.a. al' .a.f. come 'l .c.g. al .c.d.. Et perciò multipricheraj lo .c.d. in del .d.a., cioè 16 via 1..1-, et partelo per lo .c.g., cioè per 12, et araj 18 2/3 per la linea .a.f.. Et se vuoj sapere quant'è la linea del .dJ., si multiprica lo .g.d. per lo .d.a., cioè 20 via Li, fa 280 et parte per lo .C.g., cioè per 12, et araj 23 1/3 per la linea del .d.f.. Et anca puoj fare per un altro modo lo quale t'ò mostrato in qua dirieto: quando tu àj la lunghessa della linea .a.f., che è 18 2/3, et àj la lunghessa del .a.d., che è 14, multiprica 18 2/3 via 18 2/3 e L+ via 14 et araj 3484/9 e 196, giungelj insieme et araj 544 4/ C); trovalj la radice, che è 23 1/3, et cotanto è la linea del' J. d ..

Della sigonda divitiolle la quale si chiama eghualmente capo tagliato. :;

La siganda fighura ti pognio questo quadrilanto .a.b.c.d, si chiama eghualmente capo tagliato, del quale le latora del' .a.d. e del .b.c. sono equindestante in tra lloro; e sia preso

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un punto ad aventura in sul lato del' .a.d., e sia lo .a., e dal dieta punto del' .a. sia menato una linea la quale termini in sulla linea del .b.c. al punto del' .e. e sarà catheto .a.e., che è lo più corto catheto che cada in tralle linee equindestante .a.d. et .b.c .. Et dico che questo quadrilanto si coglie del multipricamento del' .a.e. in nella metà delle latora .a.d. et .b.c .. Verbi gratia , traggie anco lo catheto .d.f., che sarà eghuale et equindestante al catheto .a.e., et si è la linea del' .e.L eghuale a quella del' .a.d. et perchè le latora del' .a.b. et del .d.c. sono eghuale in tra lloro sì e' è eghuale lo .a.e. del .d.L e 'l .b.e. dell' .Lc .. E 'l trianghulo del' .a.b.e. si è eghuale del trianghulo .d.c.f.. Et perciò se ctu multipricheraj .a.e. in del .b.e. si araj l'aia d'anburo li tiranghulj .a.b.c. et .d.c.f., et se multiprichj .a.e. in .e.L si araj l'aia del quadrilanto .a.e.f.d .. Dunqua multiprica lo .a.e. per lo .b.L, vello .d.f. per lo .c.e., et qualunqua faraj di questj tre modi l'uno si araj l'aia di tucto lo quadrilanto .a.b.c.d .. Et e' è lo .b.f., vello .c.e., metà delle latora del' .a.d. et .b.c. agiunte insieme et perchè lo .e.L e' è eghuale del' .a.d. e 110 .b.e. e' è eghuale del .c.f. et così tucto 'l .b.f. è eghuale del' .a.d. e del' .Lc. agiunti insieme, cioè che l' .a.d. agiunto insieme col' .Lc. sono eghuali al .b.f. et così si prova che 'l .b.L è eghuale del' .a.d. agiunto col' .Lc. et ancora più si prova che 'l .b.f. è la metà d'anburo le latora equindestante .a.d. et .b.c .. Et se vuoj ponere numerj a questa fighura, pogniamo che 'l lato del' .a.d. sia 8 e 'l lato del .b.c. sia 22 e 'l lato del' .a.b. e del .c.d. sia 25 per ciaschuno; et se vuoj trovare lo catheto .a.e. vel .d.f. traggie lo .a.d. del .b.c., cioè 8 di 22, e rimarrà 14, partelo per mezzo et araj 7 per la linea .b.e., et altretanto per quella del' .Lc .. Et perciò se traggj lo quadrato del .b.e. del quadrato del' .a.b., cioè 49 di 625, rimarrà 576 per lo quadrato del catheto .a.e., vel Ld .. Dunqua lo catheto .a.e. si è 24 et perchè 24 è radice di 57 6 . Dunqua se etu multiprichj lo .a.e. per lo .b.f., cioè 24 per 15, si araj l'aia dcI predicto quadrilanto .a.b.c.d.. Et se le latora del .b.a. et del .c.d. volessj traggere in fuora ~ig. 39 in fine, cioè in su, ciaschuno per la sua dirictura per fine che s' aggiungesseno insieme al punto del .g., et volessj sapere la quantità del' .a.g. et del .d.g., traggeraj lo .a.d. del. b.c. cioè 8 di 22, rimarrà 14; ora diraj così: come 14 è al' 8, cioè come 4 è al 7 così lo .b.a., che è 25, è al' .a.g.. Cio[ è J diciamo: come 7 mi torna ...l., che mI torna 25? }Iultiprica 25 via 4, fa 100, parte per 7 ne

CA DI GEOMETRIA

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viene 14 2/7 per la linea .a.g., et altretanto è la linea del .d.g. et ciò è perchè la linea del .c.d. e' è eghuale di quella del .b.a .. Et se vuoj trovare lo diamitro .a.c., vel .d.b., perchè '1 trianghulo .a.e.c., vel lo trianghulo .d.f.b., è ortogonio e 'l diamitro .a.c., vel .d.b., sodende l'anghulo ricto, giungeraj lo quadrato del' .a.e. con quello del' .e.c., vel lo quadrato del .d.f. con quello del' .f.b., cioè 576 con 225 et araj 801 per lo quadrato del diamitra .a.c. et per quello del .d.b. inperochè 'l trianghulo .d.f.b. è eghuale al trianghulo .a.e.c .. Et se vuoj sapere in che parte si tagliano insieme anburo li diamitrj, al punto del' .h., dej intendere che 'l trianghulo .b.h.c. è simigliante al trianghulo .a.h.d . et perciò come è lo .b.c. allo .a.d. così lo .b.h. al' .h.d. e 110 .c.h . al' .h.a. et perciò si è tanto lo .b.c. giunto insieme collo .a.d., cioè 22 et 8 che fanno 30, et diremo così: 30 è a 8, così lo .b.d . è al' .h.d .. Et la proportione che à 30 a 8, quella à 15 a 4, così lo .b.d. è al' .h.d. et perciò si è come 15 via 15 a 4 via 4, cioè siccome 225 a 16, così lo quadrato del diamitro .b.d., cioè 801, è al quadrato della linea .h.d .. Et perciò di': 225 mi torna 16, che mi tornerà 80I? :Ylultiprica 16 via via 801 e parte in 225; li qualj numerj reca a numerj minorj; schizza 801 dàllj il 1'9 ne viene 89, da' il 1/9 a 225 ne viene 25. Ora multiprica 16 via 89 e partilo in 25 et araj 4/5 4/.'5 56 per lo quadrato della linea .h.d., vel per quella del' .h.a .. Et se vuoj sapere quant'è 'l quadrato della linea .h.b., caveraj 4 di 15 rimarractj I! et fi' la proportione del diamitro .b.d. al .b.h. come 15 a I!; et perciò fi' la proportione del quadrato del diamitro .b.d., che è 801, al quadrato del .b.h. sì come lo quadrato del 15 a quello del'I! cioè sì come 225 a 121 et così 801 al quadrato del .b.h.; et perciò multipricheraj 121 per 801, schizzato per 9 che rimane 8C), et partito per 225. schizato per nove che rimane 25. Sicchè multipricherj 121 via 89 et araj 4/53/5430 per lo qnadrato della linea .b.h .. Dunqua .b.h. è radice di 45 3/5 43 0 e l' .h.d. è radice di 4/5 4/5 56 et se ctu giungj insieme anburo queste radice si araj la radice di 801 per lo diamitro del .d.b., vel del' .a.c ..

Tersa suldivisione che si chiama in diversi modi capo tagliato. Et se cti bisogniasse misurare uno canpo della tersa fighura, che si chiama diversamente capo tagliato, sì come è questo qua,~~ 4.D drilantero .a.b.g.d. che à le 2 latora equindestante, cioè lo lato

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