Le Formulaire MPSI - MP - PSI [PDF]

Zitiervorschau

MPSI - MP - PSI FORMULAIRE

Daniel Fredon lionel Porcheron Magali décombe Vasset DiDier magloire

Le Formulaire MPSI - MP - PSI

Conception et création de couverture : Atelier 3+ Collaboration technique : Thomas Fredon, ingénieur Télécom Bretagne

© Dunod, 2017 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-076978-0

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

Table des mati` eres

Avant-propos

11

Math´ ematiques

12

1. Analyse

12

1.1 Les nombres r´eels 1.2 Continuit´e 1.3 D´erivation 1.4 Suites num´eriques 1.5 Int´egration 1.6 D´eveloppements limit´es ´ 1.7 Equations diff´erentielles 1.8 Espaces vectoriels norm´es 1.9 S´eries num´eriques 1.10 Suites et s´eries de fonctions 1.11 Calcul diff´erentiel

12 12 13 15 16 20 22 26 29 32 36

2. Alg` ebre g´ en´ erale

38

2.1 Ensembles et applications 2.2 Relations 2.3 Calculs alg´ebriques 2.4 Nombres complexes 2.5 Structures alg´ebriques 2.6 Arithm´etique 2.7 Polynˆomes

38 39 40 41 42 46 49

3. Alg` ebre lin´ eaire et multilin´ eaire

52

3.1 Espaces vectoriels 3.2 Applications lin´eaires 3.3 Matrices, d´eterminants 3.4 R´eduction des endomorphismes 3.5 Espaces vectoriels euclidiens

52 56 58 61 63

6

Table des mati` eres

4. Calcul des probabilit´ es

68

´ enements et probabilit´es 4.1 Ev´ 4.2 Variables al´eatoires

68 71

Informatique

77

1. Environnement informatique

77

2. Algorithmique

78

3. Programmation en Python 3.1 G´en´eralit´es 3.2 M´ethodes num´eriques 3.3 Algorithmique avanc´ee

79 79 82 83

4. Bases de donn´ ees

85

Physique

89

´ 1. Etude du signal

89 89 90 93

1.1 Oscillateur harmonique non amorti (ressort horizontal) 1.2 Propagation du signal 1.3 Circuits e´ lectriques

´ 2. Electronique 2.1 Stabilit´e des syst`emes lin´eaires (PSI) 2.2 L’amplificateur lin´eaire int´egr´e et la r´etroaction (PSI) 2.3 L’A.L.I. et la r´eaction positive (PSI) 2.4 Les oscillateurs (PSI) 2.5 L’´echantillonnage 2.6 Filtrage num´erique du signal 2.7 Introduction a` la transmission des signaux

3. Optique 3.1 Optique g´eom´etrique 3.2 Mod`ele scalaire des ondes lumineuses (MP) 3.3 D´ephasage et chemin optique (MP) 3.4 Les sources lumineuses (MP) 3.5 Les d´etecteurs de lumi`ere (MP) 3.6 Superpositions d’ondes lumineuses (MP) 3.7 Interf´erences(MP)

102 102 103 106 109 111 113 114 116 116 118 120 122 123 125 126

Table des mati` eres 4. M´ ecanique 4.1 Cin´ematique d’un point 4.2 Cin´ematique d’un solide 4.3 Dynamique du point - e´ tude e´ nerg´etique 4.4 Dynamique de particules charg´ees 4.5 Dynamique du solide - e´ tude e´ nerg´etique 4.6 Mouvement dans un champ de force centrale conservative 4.7 R´ef´erentiels non galil´eens - cin´ematique (MP) 4.8 R´ef´erentiels non galil´eens - dynamique (MP) 4.9 Lois de Coulomb du frottement solide (MP)

5. M´ ecanique des fluides (PSI) 5.1 Fluides en e´ coulement ´ 5.2 Ecoulement incompressible et homog`ene 5.3 Bilans macroscopiques

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6. Thermodynamique

7

128 128 131 132 136 137 140 143 145 147 148 148 149 151

6.1 Description d’un syst`eme a` l’´equilibre 6.2 Changement d’´etat d’un corps pur 6.3 Travail, transfert thermique et transformations 6.4 Premier et second principes 6.5 Machines thermiques 6.6 Syst`emes ouverts

153 153 154 155 157 159 160

7. Statique des fluides

162

´ 8. Electromagn´ etisme

164 164 166 168 169 172 174 174 177 179 180 183 186 188

8.1 Action d’un champ magn´etique 8.2 Induction, auto-induction et couplage 8.3 Conversion de puissance e´ lectrom´ecanique 8.4 Conservation de la charge e´ lectrique 8.5 Distributions de charge et champ e´ lectrostatique ´ 8.6 Equations de Maxwell dans le vide 8.7 Propri´et´es du champ e´ lectrostatique 8.8 Champs e´ lectrostatiques de distributions particuli`eres 8.9 Analogie pour le champ de gravitation 8.10 Dipˆoles e´ lectriques (MP) 8.11 Champs magn´etostatiques 8.12 Dipˆoles magn´etiques 8.13 L’approximation des r´egimes quasi stationnaires

8

Table des mati` eres

9. Milieux ferromagn´ etiques (PSI) 9.1 Description 9.2 Circuits magn´etiques

10. Ondes ´ electromagn´ etiques 10.1 Les e´ quations de propagation des champs ´ 10.2 Energie du champ e´ lectromagn´etique 10.3 Le champ e´ lectromagn´etique dans le vide sans charges ni courants e´ lectriques 10.4 Propagation du champ e´ lectromagn´etique dans un plasma 10.5 Champ e´ lectromagn´etique dans le plasma 10.6 Propagation du champ e´ lectromagn´etique en pr´esence d’un milieu conducteur ohmique

11. Ondes m´ ecaniques (PSI)

190 190 192 194 194 195 196 197 199 200

11.1 Ondes sur une corde 11.2 Ondes acoustiques

203 203 204

12. M´ ecanique quantique (MP)

207

´ ements de physique statistique (MP) 13. El´

212 212 214 215

13.1 Le facteur de Boltzmann 13.2 Statistique sur le syst`eme ´ 13.3 Equipartition de l’´energie

14. Conversions de puissances (PSI) 14.1 Conversion statique 14.2 Conversion e´ lectro-m´ecanique

217 217 219

Chimie

225

1. Thermodynamique

225

´ 1.1 Etats de la mati`ere 1.2 Description d’un syst`eme physico-chimique ´ 1.3 Etude thermodynamique d’une transformation 1.4 Diagrammes binaires (PSI) 1.5 Application du premier principe a` la transformation chimique 1.6 Application du second principe a` la transformation chimique

225 227 229 231 233 234

2. Cin´ etique

238

2.1 Cin´etique formelle 2.2 M´ecanismes r´eactionnels

238 241

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Table des mati` eres

9

3. Architecture de la mati` ere

242

3.1 Classification p´eriodique des e´ l´ements ´ 3.2 Edifices chimiques

242 245

´ 4. Etat solide

248

4.1 Mod`ele du cristal parfait 4.2 Types de cristaux

248 250

5. Solutions aqueuses

251

5.1 R´eaction d’oxydo-r´eduction 5.2 R´eaction acido-basique 5.3 R´eaction de complexion 5.4 R´eaction de pr´ecipitation 5.5 Diagrammes potentiel-pH et potentiel-pL

251 254 255 257 257

´ 6. Electrochimie

258

6.1 Courbes intensit´e - potentiel 6.2 Corrosion 6.3 Conversion et stockage d’´energie

258 260 261

Annexe A : Formulaire de trigonom´ etrie

262

1. Angles associ´es 2. Formules d’addition 3. Formules de duplication 4. Formules de lin´earisation 5. Transformation de sommes en produits a 6. Expressions en fonction de tan 2 ´ 7. Equations trigonom´etriques

262 262 262 263 263 263 263

Annexe B : Champs scalaires - champs vectoriels

265

1. Coordonn´ees cart´esiennes 2. Propri´et´es 3. Coordonn´ees cylindriques 4. Coordonn´ees sph´eriques

265 265 266 267

10

Annexe C : Unit´ es et constantes fondamentales

268

1. Unit´es du syst`eme international 2. Constantes fondamentales 3. Ordres de grandeur

268 269 270

Annexe D : S´ eries de Fourier des signaux classiques

271

1. Signal 1 : rampe 2. Signal 2 : triangle 3. Signal 3 : sinus redress´e (double alternance) 4. Signal 4 : sinus redress´e (monoalternance) 5. Signal 5 : porte 6. Signal 6 : impulsion

271 271 271 271 272 272

Annexe E : Classification p´ eriodique

273

Annexe F : Constantes chimiques

276

1. Constantes acido-basiques 2. Potentiels standards redox 3. Zone de virage des principaux indicateurs color´es

276 277 278

Index des math´ ematiques

279

Index de la physique

282

Index de la chimie

287

11

Avant-propos

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

Ce nouveau formulaire reprend la pr´esentation et les objectifs des anciens formulaires conc¸us par Lionel Porcheron. Mais il a e´ t´e enti`erement r´ee´ crit pour s’adapter aux nouveaux programmes, avec des auteurs nouveaux, et donc des choix nouveaux. Cet ouvrage s’adresse aux e´ tudiants de MPSI, puis de MP ou PSI. Pour chaque item, vous trouverez : − la mention ¶ ou · qui indique si c’est une notion de premi`ere ann´ee ou de deuxi`eme ann´ee ; − parfois la mention MP ou PSI pour indiquer une notion r´eserv´ee a` une seule section. Le livre est scind´e en quatre parties : math´ematiques, informatique, physique, chimie. Dans chaque partie, vous trouverez l’essentiel du cours, les principaux r´esultats e´ tant mis en valeur par un support tram´e. ` la fin, un index tr`es d´etaill´e vous permettra d’acc´eder tr`es vite a` la notion que A vous voulez r´eviser. Des annexes font le bilan d’informations essentielles et parfois dispers´ees dans votre cours. Ne vous trompez pas dans l’offre Dunod. Vous trouverez des livres de cours et d’exercices pour renforcer votre travail de classe. Pour des r´evisions structur´ees, les Tout-en-fiches par classes (MPSI, MP, PSI) de la collection  J’assure  comportent l’essentiel du cours et quelques exercices d’entraˆınement. Ce livre est un outil p´edagogique adapt´e aux r´evisions rapides avant un devoir. C’est aussi un puissant rem`ede contre l’anxi´et´e du trou de m´emoire. C’est en quelque sorte un anxiolytique sans risque sanitaire. Mais vous risquez l’accoutumance : quand vous aurez commenc´e a` vous servir de ce livre, vous ne pourrez plus vous en passer, surtout a` l’approche des concours (qui portent sur les deux ann´ees de pr´epa n’oubliez pas). Un grand merci a` Thomas Fredon et Roger Faure pour leur soutien technique indispensable et a` Matthieu Daniel, puis a` Jean-Luc Blanc et Brice Martin, pour la r´ealisation finale. Pour cette sixi`eme e´ dition, nous avons e´ limin´e les quelques erreurs de  copier` la demande de lecteurs, nous coller  qui avaient e´ chapp´e a` notre attention. A avons aussi rajout´e deux annexes : formulaire de trigonom´etrie et s´eries de Fourier des signaux classiques. Ce qui montre que vos commentaires et suggestions sont les bienvenus. Daniel FREDON

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Math´ ematiques 1. Analyse 1.1 Les nombres r´ eels

¶

Parties denses dans R

Une partie A est dense dans R si elle rencontre tout intervalle ouvert non vide.

¶

Une partie A est dense dans R si tout r´eel est limite d’une suite d’´el´ements de A.

Borne sup´ erieure

La borne sup´erieure de A est le plus petit e´ l´ement (s’il existe) de l’ensemble des majorants de A.

M = sup A si : ∀x ∈ A

x 6 M,

∀ε > 0 ∃x ∈ A

M − ε < x.

1.2 Continuit´ e

¶

Continuit´ e : d´ efinition

f est continue en a si elle est d´efinie en a et si lim f (x) = f (a). x→a

¶

Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires

Si f est continue, pour tout y tel que f (a) < y < f (b), il existe c tel que y = f (c).

¶

En particulier, si une fonction f est continue sur [a, b], et si f (a) et f (b) sont de signes contraires, l’´equation f (x) = 0 admet au moins une solution dans [a; b].

Continuit´ e sur un segment

Toute fonction continue sur un segment est born´ee et atteint ses bornes. L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

1. Analyse

13

1.3 D´ erivation

¶

D´ eriv´ ee en un point

Soit f une fonction d´efinie sur D et x0 un e´ l´ement de D tel que f soit d´efinie au voisinage de x0 . On appelle d´eriv´ee de f au point x0 le nombre (lorsqu’il existe) : f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) lim = f 0 (x0 ). = lim x→x0 h→0 x − x0 h

¶

D´ eriv´ ees usuelles f (x)

f 0 (x)

f (x)

f 0 (x)

xn (n , 0)

nxn−1

1 x

−

cos x

− sin x

sin x

cos x

tan x

ln x

1 x

ex

ex

cot x

arcsin x

√

arccos x

−√

1

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

1−

¶

x2

√

1 x2

1 1 − x2

x

arctan x

f 0 (x) 1 √

2 x 1 cos2 x 1 sin2 x 1 1 + x2

−

D´ eriv´ ee d’une fonction r´ eciproque

La fonction r´eciproque f −1 est d´erivable en f (x0 ) et 1 · ( f −1 )0 ( f (x0 )) = 0 f (x0 )

¶

f (x)

f est strictement monotone sur I, d´erivable en f (x0 ) et f 0 (x0 ) , 0.

Th´ eor` eme de Rolle

Soit f une fonction continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[, et telle que f (a) = f (b). Alors il existe au moins un point c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0.

14

[1] Math´ ematiques ´ Egalit´ e des accroissements finis

¶

Si f est continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[, il existe au moins un point c ∈]a, b[ tel que : f (b) − f (a) = (b − a) f 0 (c).

¶

Ce th´eor`eme ne se prolonge pas aux fonctions de R dans C.

In´ egalit´ e des accroissements finis

Soit f une fonction continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[. Si m 6 f 0 6 M, alors : m (b − a) 6 f (b) − f (a) 6 M (b − a).

¶

En particulier, si | f 0 | 6 K, alors, pour tous x et x0 de ]a, b[, | f (x) − f (x0 )| 6 K |x − x0 |.

Limite de la d´ eriv´ ee

Si f est continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[, et si f 0 a une limite finie l en a, alors f est d´erivable a` droite en a et fd0 (a) = l.

· MP

Fonction convexe

f est convexe sur I : f

Attention, il s’agit d’une condition suffisante de d´erivabilit´e, mais elle n’est pas n´ecessaire. Il peut arriver que fd0 (a) existe sans que f 0 ait une limite en a.

n X i=1



λi xi 6

n X

x1 , . . . , xn ∈ I λi f (xi ) .

λ1 , . . . , λn ∈ R+ avec

n X

λi = 1

i=1

i=1

Le graphique de toute fonction convexe est au-dessous de chacune de ses cordes.

· MP

Fonction convexe d´ erivable

Si f est deux fois d´erivable sur I : f convexe ⇐⇒ f 00 > 0

Le graphique de toute fonction convexe d´erivable est au-dessus de chacune de ses tangentes.

1. Analyse

· MP

15

In´ egalit´ es dues ` a la convexit´ e

a1 , . . ., an , b1 , . . ., bn ∈ R+

p > 0, q > 0 avec

1 1 + = 1. p q

In´egalit´e de H¨older n X

ai bi 6

i=1

n X

aip

i=1

n  1p  X

bqi

 q1

i=1

Si p = q = 2, il s’agit de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. In´egalit´e de Minkowski n n n hX i 1p h X i 1p h X i 1p (ai + bi ) p 6 aip + bip i=1

i=1

i=1

1.4 Suites num´ eriques

¶

Suite convergente

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

La suite (un ) est convergente vers l si : ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀n > n0 |un − l| 6 ε.

¶

Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente. Lorsqu’elle existe, la limite d’une suite est unique.

Th´ eor` eme d’encadrement

Si, a` partir d’un certain rang, un 6 xn 6 vn et si (un ) et (vn ) convergent vers la mˆeme limite l, alors la suite (xn ) est convergente vers l.

¶

Suite extraite

La suite (vn ) est extraite de la suite (un ) s’il existe une application ϕ de N dans N, strictement croissante, telle que vn = uϕ(n) .

On dit aussi que (vn ) est une soussuite de (un ). Si une suite poss`ede une limite (finie ou infinie), toute sous-suite poss`ede la mˆeme limite.

16

[1] Math´ ematiques

¶

Th´ eor` eme de la limite monotone

Toute suite de r´eels croissante et major´ee est convergente. Toute suite de r´eels d´ecroissante et minor´ee est convergente. Si une suite est croissante et non major´ee, elle diverge vers +∞. Si une suite est d´ecroissante et non minor´ee, elle diverge vers −∞.

¶

Suites adjacentes

(un ) et (vn ) sont adjacentes si : (un ) est croissante ; (vn ) est d´ecroissante ; lim (vn − un ) = 0.

Variante Si (un ) croissante, (vn ) d´ecroissante et un 6 vn pour tout n, alors elles convergent vers l1 et l2 . Il reste a` montrer que l1 = l2 pour qu’elles soient adjacentes.

n→+∞

Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la mˆeme limite.

1.5 Int´ egration

¶

Valeur absolue Z b Z b f (x) dx | f (x)| dx. 6 a a

¶

Int´ egrales et ordre

• Si a < b, et si f 6 g sur [a, b], alors :

Z

b

Z f (x) dx 6

a

b

g(x) dx. a

• Si f est continue et positive sur [a, b], on a : Z b f (x) dx = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ [a, b]

f (x) = 0.

a

¶

In´ egalit´ e de la moyenne Z

a

b

Z f (x)g(x) dx 6 sup | f (x)| × x∈[a,b]

a

b

|g(x)| dx.

1. Analyse

¶

Sommes de Riemann

Si f est continue sur [a; b], a` valeurs dans R, on a : Z 1 n−1 1 X k
lim = f (x) dx. f n→∞ n n 0 k=0

¶ Z

b

u0 (t) v(t) dt   = u(t) v(t) ba −

¶

b

Z

u(t) v0 (t) dt.

u et v sont deux fonctions de classe C1 sur un intervalle I, et a et b des r´eels de I.

a

Int´ egration par changement de variable β

α


f u(t) u0 (t) dt =

Z

u(β)

f (x) dx. u(α)

¶

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Les sommes de Riemann, dont on consid`ere la limite, sont des sommes d’aires de rectangles.

Int´ egration par parties

a

Z

17

u de classe C1 de [α, β] dans [a, b], et f continue sur [a, b].

Formule de Taylor avec reste int´ egral

Soit f une fonction de classe Cn+1 sur I, x0 et x des points de I. On a : Z x (x − t)n (n+1) f (x) = Pn (x) + f (t) dt , n! x0 o`u Pn (x) = f (x0 ) +

(x − x0 ) 0 (x − x0 )n (n) f (x0 ) + · · · + f (x0 ) 1! n!

est l’approximation de Taylor a` l’ordre n ; Z x (x − t)n (n+1) et Rn (x) = f (t) dt est le reste int´egral d’ordre n. n! x0

·

Fonction int´ egrable Z

lim

x→+∞

x

+∞

Z f (t) dt existe

a

f (t) dt converge a

[1] Math´ ematiques

18 Z

+∞

f int´egrable sur [a, +∞[

| f (t)| dt converge a

Z

b

f int´egrable sur [a, b]

| f (t)| dt converge a

·

R` egles d’int´ egrabilit´ e (fonctions positives)

• Comparaison Supposons 0 6 f 6 g sur [a, +∞[. − Si g est int´egrable sur [a, +∞[, alors f est int´egrable sur [a, +∞[. − Si f n’est pas int´egrable sur [a, +∞[, alors g n’est pas int´egrable sur [a, +∞[. • Domination
Si f (x) = O g(x) , l’int´egrabilit´e de g sur [a, +∞[ implique celle de f . +∞

´ • Equivalence Si f (x) ∼ g(x), l’int´egrabilit´e de g sur [a, +∞[ e´ quivaut a` celle de f . +∞

·

Situations de r´ ef´ erence

1 int´egrable sur [a, +∞[ ⇐⇒ α > 1. xα • Pour α > 0, e−αx int´egrable sur [0, +∞[.

• Pour a > 0,

1 int´egrable sur ]0, a] ⇐⇒ α < 1. xα • ln x int´egrable sur ]0, 1]. •

·

Th´ eor` eme de convergence domin´ ee

Les fonctions fn , a` valeurs dans R ou C, sont continues par morceaux sur I ; la suite ( fn ) converge simplement sur I vers f continue par morceaux sur I ; il existe une fonction g continue par morceaux sur I, positive et int´egrable sur I, telle que, pour tout entier n, on ait | fn | 6 g (hypoth`ese de domination), =⇒ les fonctions fn et f sont int´egrables sur I et Z Z f = lim fn . I

n→+∞

I

1. Analyse

·

19

Th´ eor` eme de sommation L1

Soit ( fn ) une suite de fonctions a` valeurs r´eelles ou Xcomplexes, continues par morceaux et int´egrables sur I, telle que la s´erie fn converge simplement XZ vers f continue par morceaux sur I et telle que la s´erie | fn | converge. I

=⇒ f est int´egrable sur I et Z X ∞

fn =

I n=0

∞ Z X n=0

fn . I

· Int´egrales `a param`etre (existence et continuit´e) On consid`ere A une partie d’un espace norm´e de dimension finie, I un intervalle de R, f une fonction d´efinie sur A × I a` valeurs dans K. On suppose que f est continue par rapport a` la premi`ere variable, continue par morceaux par rapport a` la seconde. On suppose e´ galement qu’il existe une fonction ϕ, int´egrable sur I, a` valeurs dans R+ , telle que, pour tout x de A, on ait | f (x, .)| 6 ϕ, c’est-`a-dire : ∀x ∈ A

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Alors la fonction x 7→ g(x) =

∀t ∈ I

f (x, t)| 6 ϕ(t).

Z f (x, t) dt est d´efinie et continue sur A. I

·

Int´ egrales ` a param` etre (d´ erivabilit´ e)

Soit I et J deux intervalles de R et f une fonction d´efinie sur J × I. On suppose : − f est continue par morceaux par rapport a` la seconde variable, − pour tout x de J, t 7→ f (x, t) est int´egrable sur I, ∂f − est d´efinie sur J × I, continue par rapport a` la premi`ere variable, continue ∂x par morceaux par rapport a` la seconde, + − il existe une fonction ϕ int´egrable sur I, a` valeurs dans R telle que, pour ∂ f tout x de J, (x, .) 6 ϕ. ∂x

20

[1] Math´ ematiques

Alors la fonction g est de classe C1 sur J et v´erifie : Z ∂f ∀x ∈ J g0 (x) = (x, t) dt. I ∂x

·

Transformation de Laplace L[ f ](p) =

Z

+∞

e−pt f (t) dt

0

pour Re (p) > a

·

f fonction causale, soit f (t) = 0 pour t < 0 a abscisse d’int´egrabilit´e de f

Propri´ et´ es de la transformation de Laplace

Lin´earit´e L[λ1 f1 + λ2 f2 ](p) = λ1 L[ f1 ](p) + λ2 L[ f2 ](p).

Changement d’´echelle  p 1 L[ f (kt)](p) = L[ f (t)] k k avec k > 0.

Retard sur la fonction L[ f (t − t0 )](p) = e−t0 p L[ f ](p).

Retard sur la transform´ee h i L[ f ](p − p0 ) = L e p0 t f (t) (p)

Th´eor`eme de la valeur initiale lim xL[ f ](x) = f (0+ ).

Th´eor`eme de la valeur finale lim+ xL[ f ](x) = l.

x→+∞

x→0

1.6 D´ eveloppements limit´ es

¶

Formule de Taylor-Young

Soit f une fonction d´erivable sur I jusqu’`a l’ordre n. Alors la fonction ε d´efinie au voisinage de 0 par : f (x0 + h) = f (x0 ) + h f 0 (x0 ) + · · · + est telle que lim ε(h) = 0. h→0

hn (n) f (x0 ) + hn ε(h) n!

1. Analyse

¶

xn x + · · · + α(α − 1) . . . (α − n + 1) + o(xn ) 1! n! avec les cas particuliers : √ 1 1 1 1 3 α= 1 + x = 1 + x − x2 + x + o(x3 ) 2 2 8 16 1 α = −1 = 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + o(xn ) 1+x 1 1 3 5 3 1 = 1 − x + x2 − x + o(x3 ) α=− √ 2 2 8 16 1+x xn x + ··· + + o(xn ) ex = 1 + 1! n! x2 x2p cos x = 1 − + · · · + (−1) p + o(x2p+1 ) 2! (2p)! x2 x2p ch x = 1 + + ··· + + o(x2p+1 ) 2! (2p)! x3 x2p−1 sin x = x − + · · · + (−1) p−1 + o(x2p ) 3! (2p − 1)! x3 x2p−1 sh x = x + + ··· + + o(x2p ) 3! (2p − 1)! 1 2 5 x + o(x6 ) tan x = x + x3 + 3 15 1 2 5 th x = x − x3 + x + o(x6 ) 3 15 x2 x3 xn+1 ln (1 + x) = x − + + · · · + (−1)n + o(xn+1 ) 2 3 n+1 x3 x5 (−1) p 2p+1 + + ··· + x + o(x2p+2 ) arctan x = x − 3 5 2p + 1 1 3 5 arcsin x = x + x3 + x + o(x6 ) 6 40 π 1 3 5 arccos x = − x − x3 − x + o(x6 ) 2 6 40 (1 + x)α = 1 + α

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D´ eveloppements limit´ es usuels

21

22

[1] Math´ ematiques

´ 1.7 Equations diff´ erentielles ´ ¶ Equations diff´ erentielles lin´ eaires du premier ordre De la forme : y0 + a(x) y = b(x)

Solution g´en´erale de (1) = Solution g´en´erale yS de (2) + Solution particuli`ere de (1)

(1)

´ Equation homog`ene associ´ee : y0 + a(x) y = 0

¶

(2)

R´ esolution de l’´ equation homog` ene (2)

Les solutions de l’´equation (2) sont du type : Z x yS (x) = K e−A(x) o`u A(x) = a(u) du est une primitive de a(x) t0

avec K constante arbitraire et x0 e´ l´ement quelconque de I.

¶

Recherche d’une solution particuli` ere de (1)

y1 e´ tant une solution non nulle de (2), on introduit une fonction auxiliaire inconnue K(x) telle que y(x) = K(x) y1 (x) soit solution de (1). Ceci conduit a` K 0 (x) =

b(x) et permet de calculer K(x) puis y(x). y1 (x)

Cette m´ethode s’appelle aussi m´ethode de variation de la constante.

´ ¶ Equations du second ordre ` a coefficients constants De la forme : y00 + ay0 + by = f (x)

(1)

´ Equation homog`ene associ´ee : y00 + ay0 + by = 0

(2)

Solution g´en´erale de (1) = Solution g´en´erale yS de (2) + Solution particuli`ere de (1)

1. Analyse

¶

R´ esolution de l’´ equation homog` ene (2)

• ∆ > 0 deux racines r1 et r2 . yS (x) = K1 e

r1 x

+ K2 e

r2 x

Cas a, b, c r´eels. ´ Equation caract´eristique : r2 + ar + b = 0.

• ∆ = 0 une racine double r0 . yS (x) = (K1 x + K2 ) er0 x • ∆ < 0 deux racines α ± iβ. yS (x) = eαx (K1 cos βx + K2 sin βx)

¶

23

∆ = a2 − 4b. K1 et K2 sont des constantes r´eelles quelconques.

Recherche d’une solution particuli` ere de (1)

• Cas ou` f (x) est un polynˆome P(x) de degr´e n Il existe une solution particuli`ere de (1) sous la forme d’un polynˆome de degr´e : n si b , 0 ; n + 1 si b = 0 et a , 0 ; n + 2 si a = b = 0.

La recherche de cette solution se fait par identification.

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• Cas ou` f (x) = ekx P(x) avec P polynˆome et k constante On effectue le changement de fonction inconnue y(x) = ekx z(x) o`u z est une nouvelle fonction inconnue.

En reportant y, y0 et y00 dans (1), on est conduit a` une e´ quation en z du type pr´ec´edent.

• Cas ou` f (x) = eαx cos βx P(x) ou f (x) = eαx sin βx P(x) avec α et β r´eels, et P polynˆome a` coefficients r´eels On cherche une solution particuli`ere (`a valeurs complexes) obtenue pour l’´equation de second membre e(α+iβ) x P(x).

Une solution particuli`ere est la partie r´eelle, ou la partie imaginaire, de la solution ainsi obtenue.

24

[1] Math´ ematiques ´ Equation diff´ erentielle lin´ eaire

· MP

x0 (t) = a(t) x(t) + b(t) x0 (t) = a(t) x(t)

(1)

(2)

a est une application continue de I dans L(E) et b une application continue de I dans E. ´ Equation homog`ene associ´ee

´ Equation diff´ erentielle lin´ eaire

· PSI

y(n) + an−1 (t) y(n−1) + · · · + a1 (t)y0 + a0 (t)y = b(t) y

·

(n)

+ an−1 (t) y

(n−1)

+ · · · + a1 (t)y + a0 (t)y = 0 0

(1). (2).

Syst` eme diff´ erentiel d’ordre n  0  x1 (t)      (S )       x0p (t)

= .. .

a11 x1 (t) + · · · + a1p x p (t) + b1 (t)

= a p1 x1 (t) + · · · + a pp x p (t) + b p (t)

X 0 (t) = A(t) X(t) + B(t) X (t) = A(t) X(t) 0

(1).

(2).

· Solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire La solution g´en´erale de (1) est la somme de la solution g´en´erale de (2) et d’une solution particuli`ere de (1).

· MP

Variation de la constante

Si x1 est une solution de (2), ne s’annulant pas sur I, on peut chercher les solutions de (1) sous la forme : x(t) = u(t) x1 (t) o`u u est une fonction inconnue qui v´erifie l’´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre en u0 obtenue en reportant dans (1).

1. Analyse

· MP

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Syst` eme fondamental de solutions (n=2)

Si x1 et x2 sont deux solutions lin´eairement ind´ependantes de (2), on peut chercher la solution de (1) sous la forme : x(t) = u(t) x1 (t) + v(t) x2 (t) o`u u et v sont des fonctions inconnues soumises a` la condition : u0 (t) x1 (t) + v0 (t) x2 (t) = 0 . Les fonctions u et v sont obtenues en r´esolvant le syst`eme : ( 0 u x1 + v0 x2 = 0 u0 x10 + v0 x20 = f dont le d´eterminant x (t) x2 (t) w(t) = 10 x1 (t) x20 (t) appel´e wronskien de x1 et x2 , ne s’annule pas sur I lorsque x1 et x2 sont lin´eairement ind´ependantes. On obtient : u0 (t) = −

· MP

Exponentielle d’une matrice eA =

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x2 (t) f (t) x1 (t) f (t) et v0 (t) = · w(t) w(t)

+∞ X 1 k A. k! k=0

convergence normale sur tout compact de Mn (K)

Propri´et´es alg´ebriques
e0 = In ; eαA eβA = e(α+β)A ; eA e−A = In ; det eA = etrA . Si AB = BA

−1

eA eB = eA+B ; Si P inversible, ePAP = P eA P−1 .

D´erivabilit´e L’application t 7→ etA est d´erivable et a pour d´eriv´ee AetA . Utilisation En multipliant par e−At les deux membres de X 0 (t) = AX(t) + B(t), on se ram`ene i d h −At a` : e X(t) = e−At B(t). dt