La matematica nell'Età di Mezzo: scritti scelti 8846710436 [PDF]

Zitiervorschau

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Accademia N azionale di Scienze Lettere e Arti di Modena

Centro Studi della Matematica Medioevale Università di Siena

Gino Arrighi

LA MATEMATICA DELL'ETÀ DI MEZZO Scritti scelti A cura di Francesco Barbieri - Raffaella Franci - Laura Toti Rigatelli

In copertina: Prima carta del ms Collo L.IV.18 (sec. XV) della Biblioteca degli Intronati di Siena, contenente un trattato di Geometria Pratica.

Edizioni ETS Pisa 2004

PRESENTAZIONE

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Distribuzione PDE, Via Tevere 54, 1-50019 Sesto Fiorentino [Firenze] ISBI\ 88A67-1043-6

Una decina di anni orsono, precisamente nel 1991, l'Accademia Nazionale d Scienze, Lettere e Arti di Modena partecipò con il Dipartimento di Matematic dell'Università di Modena alla organizzazione di una giornata di studio in onore d Gino Arrighi. Fu un riconoscimento ad uno dei massimi esperti di storia della ma tematica medievale. Lo stesso Arrighi intervenne con due relazioni nelle quali illu strò ad un pubblico attento i risultati di alcune sue ricerche: solo due frammenti, ap partenenti ad un campo di interessi che ha spaziato nella storia della scienza, in lar ga parte nella storia della matematica. Alla impostazione propria della laurea in Ma tematica unì l'impronta culturale che gli derivò dalle attività espletate all'interno d Istituti culturali della Toscana. Su quelle che chiamò "arti", l'aritmetica e la music si cimentò in due note date alle stampe. Nella nostra Accademia ha lasciato tracce significative del suo lavoro. Fu chia mato quale Socio onorario nel 1996 e sugli Atti e Memorie pubblicò nel 2001 un delle ultime note sulla matematica medievale, pochi mesi prima della scomparsa Sugli Atti e Memorie aveva iniziato a pubblicare fin dal 1985 e scritti in onore d Gino Arrighi fanno parte della Collana di Studi della nostra A.ccademia. Non pote varna perciò non accogliere con entusiasmo la proposta dei curatori di questo volu me di associare l'Accademia al Centro Studi della Matematica Medioeval dell'Università di Siena per portare alla luce insieme quest'opera. Nell'introduzione si fa cenno che fu impresa ardua e tenace quella di Arrighi pe richiamare l'attenzione degli studiosi sulla necessità di esplorare le fonti della ma tematica medievale e, per alcuni decenni, il suo lavoro proseguì in un intenso m parimenti solitario sforzo. La Scuola italiana di studi sulla storia della matematic ha ampiamente esplorato il periodo ellenico e greco e da Arrighi sono venuti i con tributi più significativi sulla Storia della matematica medievale. La nascita del Cen tro Studi della Matematica Medioevale fu il primo significativo riconosciment all'importanza degli studi che aveva più volte segnalato. Questo volume, che contiene una nutrita selezione degli scritti di Arrighi, ha i pregio di seguire un ordine logico che pur raccogliendo lavori già pubblicati rappre senta nel suo insieme una inedita storia della matematica medievale. La sapiente re gia dei curatori, Francesco Barbieri, Raffaella Franci e Laura Toti Rigatelli ha rag giunto questo apprezzabile risultato e questa opera si prepara ad essere una pietr miliare per gli studi dell' evoluzione del pensiero matematico nel tempo, un risultat che si rivolge anche agli appassionati della cultura scientifica, ahimè non molti, m ai quali vogliamo rivolgerci con opere come questa, con l'attività dei Centri di Stu dio e con l'attività delle Accademie.

INTRODUZIONE

Nella prefazione alla ben nota Storia della Matematica del Boyer, segnala Lucio Lombardo Radice che uno dei più importanti progressi nella cultura italiana dell'ultimo quarto del secolo scorso è stato il superamento della linea di demarcazione fra scienze umane e scienze naturali ed è sempre più avvertita l'esigenza di introdurre negli ordinamenti didattici di scuole medie superiori e università corsi di storia della scienza. Si trova oggi negli ordinamenti didattici che un corso di Storia della Matematica è valido sia per gli studenti di Matematica quanto per quelli di Lettere e Filosofia: finalmente! e ci si chiede, perché non prima? Manca tuttavia la pratica della ricostruzione di un linguaggio comune che è andato via via cancellandosi a causa delle eccessive specializzazioni che hanno caratterizzato gli studi degli ultimi decenni, spesso invocando l'inutilità ai fini pratici di una cultura ampia e composita senza avvertire che si andava producendo un impoverimento nella capacità di comprensione del mondo che ci circonda. Oggi un nuovo compito è richiesto agli studiosi, ai ricercatori e ai divulgatori: che educando se stessi siano capaci di trasmettere quegli strumenti adatti a superare il tecnicismo nel quale in ogni disciplina si sono chiusi gli addetti ai lavori. Già Arrighi con il suo metodo di affrontare gli approfondimenti nel suo campo di interesse e di farli conoscere può considerarsi fautore di un tentativo pionieristico finalizzato a colmare questa lacuna. Ritengo che questi aspetti costituiscano una interessante chiave di lettura di questo volume.

Il Presidente dell 'Accademia Ferdinando Taddei

Gino Arrighi, nato a Lucca il 16 luglio 1906, laureato in Matematica a Pisa nel 1928 e in Ingegneria navale e meccanica a Napoli nel 1931, conseguì la libera docenza in Meccanica razionale nel 1934. Le ricerche in Storia della scienza affiancarono fin dall'inizio quelle relative alla Meccanica e in pochi anni le 's9.ppiantarono completamente. Alla Matematica medioevale arrivò solo negli anni cinquanta. L'occasione gli fu fornita, come lui stesso ricorda in un' intervista, I dal bibliotecario della Biblioteca dell'Arcivescovado di Lucca che attirò la sua attenzione su un codice scritto dal vescovo lucchese Guglielmo (XII sec.), contenente anche un trattato di aritmetica. 2 Arrighi lesse con molto interesse l'antico manoscritto e nel tentativo di porlo nel contesto della matematica dell' epoca, si accorse che le conoscenze su quel periodo erano scarse e lacunose e che doveva pertanto approfondirle personalmente. Iniziò così quel viaggio attraverso la matematica medioevale che durò tutta la vita. L'ultima nota sull 'argomento comparve, infatti, negli Atti e Memorie dell' Accademia di Modena pochi mesi dopo la sua morte avvenuta, a Lucca, il 25 maggio 200 l. 3 Per soddisfare questa sua curiosità Arrighi cominciò a setacciare biblioteche italiane e straniere alla ricerca di documenti e trattati inediti. Si rese conto ben presto che le fonti ancora inesplorate erano molte ed interessanti, e che in primo luogo era necessario censirle e catalogarle sistematicamente. Di questa esigenza Arrighi si fece interprete all'Ottavo congresso internazionale di Storia della scienza che si tenne a Firenze dal 3 al 9 settembre 1956, con un intervento dal quale emergono già in modo chiaro quelle che saranno le linee della sua futura ricerca in questo campo;4 vale a dire la necessità di esplorare a fondo le fonti manoscritte. Per conseguire questo scopo egli suggeriva la formazione di un catalogo dei codici matematici medievali e parallelamente di un catalogo dei maestri medioevali di matematica, da ottenersi, con la collaborazione di tutti gli studiosi interessati, mediante la compilazione di schede di formato standardizzato e la loro pubblicazione su ben determinate riviste specializzate. Le sue proposte caddero evidentemente nel vuoto se, dopo dieci anni, egli fu costretto a ripresentarle tali e quali al Primo convegno internazionale di ricognizione delle fonti per la Storia della scienza italiana dei secoli XIV-XVII, tel Intervista a Gino Arrighi (a cura di Paolo Pagli e Laura Toti Rigatelli). Lettera matematica, 26 (1997), 22-26, 2 Il trattato fu pubblicato qualche anno dopo: MQ Guglielmo, De Arithmetica compendiose tractata (dal codice 614 (sec XII) della Biblioteca Capitolare Feliniana di Lucca). A eura e eon introduzione di Gino Arrighi, Domus Gali]~ana, Pisa, 1964, ) Per una breve commerazione vedi: F, Barbieri, Gino Arrighi (/906-2001). Atti e Memorie Acc. Naz. Sci. Lett. Arti Modena, Ser.VIIl, 4 (2002), LXXI-LXXtI. 4 Vedi L 1.

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nutosi a Pisa dal 14 al 16 settembre 1966. 5 E ancora alcuni anni dopo aveva in mente di portarle al XIII congresso internazionale di Storia della scienza a Mosca. 6 Anche se la comunità degli studiosi restava sorda rispetto alle richieste di un lavoro collettivo e organizzato,? Arrighi tuttavia proseguiva, da solo e con estrema determinazione, sulla via da lui indicata, come dimostrano le circa 160 pubblicazioni da lui dedicata alla storia della matematica medioevale. 8 Nonostante la quantità e la qualità dei risultati conseguiti, la sua opera ebbe scarsi riconoscimenti nel mondo accademico italiano ed egli si sentiva isolato e . 9 mcompreso. Agli inizi degli anni ottanta due dei curatori di questa raccolta che avevano appena mosso i primi passi nella storia della matematica medioevale, si rivolsero a Gino Arrighi che, ben lieto di trovare in Italia qualcuno che condividesse i suoi interessi, offrì non solo consigli e incoraggiamenti, ma anche affettuosa e salda amicizia. Fu proprio grazie al suo incitamento e al suo grande entusiasmo che nacque, presso l'Università di Siena, il Centro studi della matematica medioevale del quale egli fu presidente fino alla sua scomparsa. Nel maggio 1982 uscì la prima pubblicazione, cioè il primo dei Quaderni del Centro. lO Grande fu la gioia di Arrighi che scrisse l'introduzione nella quale precisava le finalità del Centro, quelle stesse che egli aveva più volte inutilmente proposto alla comunità degli studiosi alcuni decenni prima. Arrighi fu uno studioso appassionato, curioso e pronto a cogliere l'importanza dei documenti che incontrava nella sua continua e infaticabile perlustrazione di archivi e biblioteche. La sua attenzione era rivolta non solo alla storia della matematica e più in generale della scienza e della tecnica, ma anche alla storia locale e a quella del costume. In quest'ultimo ambito il suo impegno fu indirizzato principalmente alle vicende di Lucca sua amatissima città. Così nei settanta anni della sua attività scientifica Arrighi ha pubblicato molte centinaia di note, memorie, monografie, recensioni. Sono quasi seicento solo , Vedi I. 2 " Vedi: G. Arrighi. Perla storia della matematica medioevale, Physis, 13 (1971), 425-426. 7 Nel 1980 fu pubblicata un'opera che rispondeva parzialmente alle richieste di Arrighi, fatta da un singolo sludioso: W. Van Egmond, Practicalmatllematics in tlle ltalian Renais.IQnce: a catalog o! ltalian abbacus /llanl/.lcripts and printed book.\' to 1600, Firenze, Istituto e Museo di Storia della scienza, 1980. 8 Vedi: Gillo Arriglli storico della matematica medioevale: una bibliografia. A cura di M. Pancanti e D. Santini, Siena, Ccntro studi della matematica medioevale, 1983. Per i lavori successivi al 1983 vedi C. Simonetti: Catalogo degli scritti di Gino Arriglli .Iulla storia della sciellza, in AA.VV. Contributi alla storia delle mate/lwticlle: scritti ill ollore di Gillo Arriglli, Accademia Naz. Sci. Lett. Arti Modena, Modena, Mucchi, 1992, 99-156. '1 Ecco comc ricorda questa circostanza nell'intervista sopra menzionata: «L'aspetto più malinconico nella ricerca era il senso di isolamento e quasi totale incomprensione, che non era soltanto un'impressione: mancava davvero qualunque interesse da parte del mondo matematico». Intervista, cito p. 26 . . IO Vedi: Tommaso della Gazzaia. Praticlla di geometria e tutte mi.lllre di terre (dal 111.1'. C. III. 23 della BiblIOteca Coml/Ilale di Siella). Trascrizione di Cinzia Nanni. Introduzione di Gino Arrighi. Quaderni del Centro studi della matematica medioevale l, Siena, 1982.

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quelle elencate nelle due bibliografie, una relativa agli scritti di storia della scienza e l'altra agli scritti di storia lucchese curate da Carla Simonetti, Il che sono ben lontane dall'esaurire l'elenco delle sue pubblicazioni. Per quanto riguarda la storia delle matematiche Arrighi indirizzò la sua attenzione anche ai secoli XVII e xvm, tuttavia il suo interesse principale fu per la matematica medioevale, come è dimostrato anche dalla circostanza che dei 330 titoli dedicati alla storia della scienza ben 160 sono relativi a quella della matematica medioevale, ed è proprio in questo settore che egli ha dato i suoi contributi scientifici più rilevanti. Arrighi stesso in una memoria dedicata ad un altro illustre storico della matematica medioevale, Baldassarre Boncompagni,12 afferma: Agli scritti pertinenti all'età di mezzo ho attribuito maggiore importanza forse anche perché i miei studi pur situati in un ambito temporale assai più esteso, sono in gran numero e maggiore consistenza dedicati a quella stagione.

Il suo contributo :1lla ricostruzione della storia della matematica italiana nel periodo che va dal XII al XV secolo, si riallaccia idealmente all 'attività svolta in questo campo da Baldassarre Boncompagni (1821-1894), che ebbe, tra l'altro, il grande merito di riscoprire e pubblicare gli scritti di Leonardo Pisano, l'autore che, con le sue opere, segnò l'avvio di una nuova era di studi matematici nel mondo occidentale. Boncompagni aveva pubblicato, infatti, due lunghe memorie Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo e Intorno a un trattato di aritmetica stampato nel 1478, nelle quali forniva una ricca documentazione su autori che si rifanno all' opera di Leonardo e le cui opere giacevano manoscritte e ignorate dagli studiosi in numerose biblioteche italiane. Questi studi che pure indicavano la via per numerose ulteriori ricerche nel campo della individuazione e dello studio di trattati matematici medioevali non ebbero però alcun seguito. Gino Arrighi che, come lui stesso afferma,13 non ebbe maestri per la sua attività di ricerca in storia della matematica, nel corso dei suoi studi incontrò ben presto gli scritti di Boncompagni, spesso citati nei suoi lavori, e ne divenne idealmente un discepolo,14 proseguendone l'opera di pubblicazione di scritti medioevali inediti e di individuazione di nuove fonti. In questo settore l'attività di Arrighi si è rivolta prevalentemente alla cosiddetta matematica dell' abaco, quella cioè collegata allo studio e diffusione delle Il Per la prima vedi nota 8, per la seconda vedi: C. Simonetti, Scritti di Gino Arrighi, in }, Siena, Centro studi sulla matematica medioevale, 1996,375-425. 12 Vedi I. 5. I] Vedi Intervista, l'il., p. 16. 14 All'attività di Boncompagni come storico della matematica medioevale Arrighi ha dedicato un lavoro, vedi I. 5.

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opere di Leonardo Pisano. Egli però non trascurò altri importanti argomenti quali le versioni latine degli Elementi di Euclide e la diffusione degli Algorismi. Il suo contributo fondamentale è senza dubbio quello della pubblicazione di . ben diciotto trattati dal XII al XV secolo, di cui riportiamo l'elenco in appendice. Solo chi si è cimentato in questo campo può rendersi pienamente conto dell 'impegno che comporta la sola trascrizione dei testi. Ma Arrighi non si è limitato a questo: ogni opera è inquadrata nella sua epoca, vengono fomite notizie sull' autore, e si segnalano i contributi più originali contenuti in essa. Molto numerose sono altresì le trascrizioni che Arrighi ci ha fornito di lunghe parti di trattati, la cui mole o il cui interesse sconsigliavano l'edizione integrale. Queste trascrizioni riguardano numerosi temi tra i quali ricordiamo l'algebra, la geometria pratica, i calendari, le operazioni aritmetiche, l'aritmetica speculativa, i giochi matematici. 15 Altrettanto preziosa per gli studiosi è l'opera di segnalazione fatta da Arrighi dei più importanti manoscritti incontrati nelle sue numerose ricognizioni in biblioteche italiane,e straniere. La presentazione di questi testi è quasi sempre corredata di indici dai quali risulta in modo assai chiaro il contenuto, ed è spesso accompagnata dalla trascrizione di alcuni passi ritenuti particolarmente importanti. Purtroppo i lavori di Arrighi, strumehto prezioso ed indispensabile per ogni studioso della matematica medioevale, sono per la maggior parte difficilmente reperibili in quanto spesso stampati in atti di convegni o di accademie. La pubblicazione di questa selezione ha quindi il duplice scopo di onorare l'autore, del quale siamo stati amici e continuiamo ad essere grandi estimatori, e di rendere un servizio alla comunità deglI storici della matematica. La scelta dei saggi che costituiscono la raccolta è stata guidata dal criterio di rappresentare in modo esauriente tutti i principali settori nei quali Arrighi ha fornito il suo contributo e che sono rispecchiati nelle cinque sezioni: I. Storiografia, II. Presentaziune di Trattati d'abaco, III. La matematica medioevale, IV. Spigolature di aritmetica medioevale, V. Gli artisti e la matematica. All'interno di ogni settore, tranne il primo, i lavori non vengono presentati secondo l'ordine cronologico di pubblicazione bensì seguono quello degli argomenti trattati. Le note scelte per la sezione Storiografìa sono gli interventi a convegni di storia della scienza sopra ricordati, ai quali abbiamo aggiunto quello intitolato Manoscritti matematici medioevali: scelte e modalità di edizione, nel quale Arrighi ha consegnato agli studiosi in modo sempre chiaro e preciso, tutta l'esperienza metodologica derivategli da quarant'anni di attività. E quello intitolato Baldassarre Boncompagni e la matematica medioevale nel quale traspare tutta la considerazione di Arrighi per questo suo illustre predecessore. 15

Alcune di esse compaiono nella sezione Il.

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La seconda sezione Presentazione di trattati d'abaco è la più ricca di contributi, proprio perché quella di segnalare e descrivere magistralmente trattati inediti e spesso del tutto sconosciuti agli studiosi è stata una delle attività più importanti di Arrighi. La lettura dei dieci saggi ci permette di ripercorrere la più interessante trattatistica sull 'abaco dalla fine del XIII secolo alla fine del XIV. Nella terza sezione La matematica medioevale sono raccolti sei saggi che a partire da Leonardo Pisano ripercorrono la storia della matematica medioevale in tutte le sue manifestazioni, ivi compresa la diffusione degli Elementi di Euclide, argomento al quale Arrighi ha dedicato molti studi che sono elencati nella bibliografia dell 'articolo da noi proposto. La quarta sezione Spigolature di matematica medioevale, il cui titolo trae ispirazione da quello di uno dei lavori presentati, raccoglie sei lavori nei quali l'autore illustra alcuni dei principali temi della matematica medioevale proponendoli quasi sempre con le parole di autori dell' epoca. Gli artisti e la matematica è il titolo della quinta sezione dedicata a uno degli argomenti preferiti da Arrighi, il quale, come abbiamo sopra ricordato, aveva interessi culturali a"sai ampi. I saggi scelti sono dedicati ad artisti assai noti: Piero della Francesca, Francesco di Giorgio Martini, Leon Battista Alberti: la loro lettura sarà sicuramente di grande interesse per coloro che non hanno dimestichezza con questa parte della storia della matematica. Rileggendo di seguito tutti i contributi così ordinati ci siamo resi conto che essi vengono a costituire quella storia della matematica medioevale che Arrighi non ha mai scritto nonostante le nostre frequenti sollecitazioni, alle quali rispondeva sorridendo: «L'Arrighi quando lavora si vuole divertire». Per lui il divertimento era la ricognizione del nuovo, quella prima fase di ricerca dei testi e di analisi per scoprirvi le novità contenute e i collegamenti con altri testi. Era un pioniere entusiasta attirato dai manoscritti dimenticati da riscoprire piuttosto che dal «lavoro successivo di stesura e di riordino». 16

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Vedi Intervista, cit., p. 26.

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APPENDICE Elenco dei trattati trascritti da Gino Arrighi

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Gino Arrighi

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1. MQ Guglielmo Vescovo di Lucca. De Arithmetica compendiose tractata. Dal codice 614 (sec. Xll) della Biblioteca Capitolare Feliniana di Lucca. Pisa, Domus Galilreana, 1964 2. Paolo dell'Abaco. Trattato d'Aritmetica. Secondo la lezione del codice Magliabechiano Xl, 86 della Biblioteca Nazionale di Firenze. Pisa, Domus Galilreana, 1964 3. Leonardo Fibonacci. La pratica di geometria. Volgarizzata da Cristofano di Gherardo di Dmo cittadino pisano. Dal codice 2186 della Biblioteca Riccardiana di Firenze. Pisa, Domus Galilreana, 1966 4. Paolo dell'Abaco. "Regoluzze". Secondo la lezione del codice 2511 della Biblioteca Riccardiana di Firenze. Prato, Azienda autonoma di turismo di Prato, 1986 5. Antonio de' Mazzinghi. "Trattato di Fioretti ". Nella trascelta a cura di MQ Benedetto. Secondo la lezione del codice L.1V21 (sec. XV) della Biblioteca degl'Intronati d:' Siena. Pisa, Domus Galilreana, 1967 6. Filippo Calandri. Aritmetica. Secondo la lezione del codice 2669 (sec.xV) della Biblioteca Riccardiana di Firenze. 2 volI., Firenze, Cassa di Risparmio di Firenze, 1969 7. Francesco di Giorgio Martini. La praticha di gieometria. Dal codice Ashburnham 361 della Biblioteca Medicea Laurenziana di Firenze, Firenze, Giunti, 1970 8. Piero della Francesca. Trattato d ·abaco. Dal codice Ashburniwm 280 della Biblioteca Mediceo Laurenziana di Firenze. Pisa, Domus Galilreana, 1970 9. Scuola Lucchese. Libro d'abaco. Dal codice 1754 (sec. XIV) della Biblioteca Statale di Lucca, Lucca, Cassa di Risparmio di Lucca, 1973 lO. Pier Maria Calandri. Tractato d'abbacho. Dal codice Acq. e doni 154 (sec. XV) della Biblioteca Mediceo Laurenziana di Firenze, Pisa, Domus Galilreana, 1974 Il. L 'Arithmetica di fra' Leonardo da Pistoia op. (secc. XIll-XIV). Dal codice 1169 della Biblioteca Riccardiana di Firenze. Firenze, Fondazione Giorgio Ronchi, 46, 1977 12. Paolo Gherardi. Opera Mathematica: Libro di ragioni - Liber habaci. Codici Magliabechiani Cl. Xl. nn. 87 e 88 (sec. XIV) della Biblioteca Nazionale di Firenze. Lucca, Pacini Fazzi, 1987 13. Maestro Umbro (sec. XIII). Livero de l'abbecho. Codice 2404 della Biblioteca Riccardiana di Firenze. Bollettino della Deputazione di Storia Patria per l'Umbria, 86,1989,5-140 14. Giovanni de' Danti. Tractato de l'Algorismo. Dal cod. Plut. 30. 26 (sec. XIV) della Biblioteca Medic..eo Laurenziana di Firenze. Atti e Memorie della Accademia Petrarca di Lettere, Arti e Scienze, n.s. 47 (1985), 3-91 15. L'Astronomia di Giovanni de Danti (sec. XIV), Atti e Memorie della Accademia Petrarca di Lettere, Arti e Scienze, n.s. 49 (1987), 314-348 16. Maestro Umbro. Amaestramento de l'arte de la Geometria. Cod. 2404 della Biblioteca Riccardiana di Firenze. Bollettino della Deputazione di Storia Patria per l'Umbria, 38 (1991), 5-31

13

17. Anonimo. Libro ditto fior de' fiori. Ms. Urb. Lat. 291 della Biblioteca Apostolica Vaticana. Accademia Lucchese di Scienze, Lettere e Arti, Studi e Testi 34, 1993 18. Anonimo. Algorismus. Dal Cod. AD. XII. 53 della Biblioteca Nazionale Braidense di Milano. A cura e con introduzione di Gino Arrighi. Quaderni del Centro studi della matematica medioevale 24, Siena, 1999.

II. 5

La matematica in Pisa nel Quattrocento. Il Cod. L. VI. 46 della Biblioteca degl 'Intronati di Siena. Bollettino storico pisano, 40-41 (1971-72), 127-140

II. 6

Il trattato d'abaco di MO Benedetto da Firenze del Codice 5570 (sec. XV) della Biblioteca Marciana di Venezia. Bollettino della Unione Matematica Ìtaliana, s. IV, l (1968), 146-151

Elenco dei lavori presenti nella raccolta

II. 7

Il Codice L. IV. 21 della Biblioteca degl 'Intronati di Siena e la "Bottega del! 'abaco a Santa Trinita" in Firenze. Physis, 7 (1965), 369-400

II. 8

Nuovi contributi per la 'storia della matematica in Firenze nell 'età di mezzo. (Il Codice Palatino 573.del!a Biblioteca Nazionale di Firenze.) Istituto Lombardo. Accademia di sciènze e lettere. Rendiconti, Classe di scienze (A), HH El 967), 395- 437 ' " r

II. 9

Il trattato di geometria e la volgarizzazione del "Liber quadratorum" di Leonardo Pisano del Codice Palatino 577 (sec. XV) della Biblioteca Nazionale di Firenze. Atti della Fondazione Giorgio Ronchi, 22 (1967), 760-778

I. Storiografia L l

Per un "Catalogo dei codici medioevali di matematica" e un "Catalogo dei maestri medioevali di matematica" In "Actes du VIlle congrès international d'histoire des sciences. Firenze 3-9 settembre 1956", Paris, 1958, v.l, 103-104

L 2 Le matematiche. In "Atti del primo convegno internazionale di ricognizione delle

fonti per la storia della scienza Italiana: i secoli XIV-XV. Pisa, 14-16 settembre 1966", Firenze, 1967. Pubblicazioni di Storia della scienza della Domus Galilreana, Sez. V, v.l, 106-122 I. 3 Per la storia della matematica Medioevale. Physis, 13 (1971), 425-426

Il. lO La matematica a Firenze nel Rinascimento. Il codice Ottoboniano latino 3307

del!a Biblioteca Apostolica Vaticana. Physis, IO (1968), 70-82

l. 4 Manoscritti matematici medievali. Scelta e modalità per l'edizione. In "Edizioni

critiche e storia della matematica. Atti del convegno CIRM, Trento 2-6 settembre 1985". Pisa, ETS, 1986,3-14

III. La matematica medioevale

L 5 Baldassarre Boncompagni e la matematica medioevale,

III. l

II. Presentazione di trattati d'abaco

111. 2 La "Practica Geometriae" di Leonardo Fibonacci e i tempi suoi. In "Celebra-

In "Atti del convegno "Pietro Riccardi (1828-1898) e la storiografia delle matematiche in Italia, Modena, 16-18 marzo 1987". Modena, 1989,23-45

II. l

II. 2

II. 3

II. 4

14

Un "Libro d'abaco" umbro: il primo in volgare italiano. Codice 2404 (sec. XII!) della Biblioteca Riccardiana di Firenze. Bollettino della Deputazione di Storia Patria per l'Umbria, 83 (1986), p.161 Il primo abaco in volgare italiano (1307). Il Cod. 2236 della Biblioteca Riccardiana di Firenze. Archivio storico italiano, 143 (1985), n.525, disp. III, 429435 Due trattati di Paolo Gherardi matematico fiorentino. I codici Magliabechiani Cl. XI, nn. 87 e 813 (prima metà del Trecento) della Biblioteca Nazionale di Firenze, Accademia delle scienze di Torino, Atti, Classe di scienze morali storiche e filologiche, 101 (1966-67),61-82 + 4 tavv. Una importante lezione dell'opera di MO Paolo dell'Abaco. ( Il Cod. 2511 della Biblioteca Riccardiana di Firenze). Atti della fondazione Giorgio Ronchi, 35 (1980), 858-877

La fortuna di Leonardo pisano alla corte di Federico JJ. In "Dante e la cultura sveva. Atti del convegno di studi tenuto a Melfi. 2-5 novembre 1969". Firenze, 1970, 17-31.

zioni archimedee del secolo XX. Simposio di didattica della matematica", 1964, Gubbio, 1965, 175-179 III. 3 La matematica in Italia durante il Medioevo. Rendiconti seminario matematico di Messina, 9 (1964-65), 77-81 III. 4 Le matematiche nel secolo di Tommaso d'Aquino. In "Atti del congresso internazionale Tommaso d'Aquino nel suo settimo centenario. 9. Il Cosmo e la scienza". Roma-Napoli, 1974,87-91.

III. 5

Libri, maestri e botteghe d'abaco in Toscana nel Medioevo. In "Scuola media statale G. Carducci. Quarant' almi". Lucca, 1986,25- 42.

III. 6 La fortuna di Euclide ovvero la geometria in Occidente durante il Medioevo. Atti e Memorie della Accademia Nazionale di Scienze, Lettere e Arti di Modena. S.7, 6 (1988-89), 69-76.

15

IV Spigolature di matematica medioevale IV. I Metodi di calcolo in un codice lucchese del Trecento. Regola del "chatuino" e problemi di secondo grado. Bollettino della Unione Matematica Italiana, s. III, 18 (1963), 433-436 IV. 2 Di alcuni "Calendari perpetui" in codici medioevali. Istituto Lombardo. Accademia di scienze e lettere. Rendiconti, Classe di scienze (A), 98 (1964), 125132 IV.3 Regole d'abaco nei primi secoli dei numeri in "figure degli Indi". Bollettino della Unione Matematica Italiana, s.III, 19 (1964), 490-50 l IV. 4 Spigolature di aritmetica medievale. ("Fighure degl'Indi ", "Conputo per segni delle dita ", "Infilçare e' rotti ", "Partire per ripiego" e "Radici prossimane ")' Physis, 8 (1966), 307-316 IV. 5 La tenuta delle botti e il calcolo degli scemi. In un 'opera del senese Tommaso della Gazzaia. (Dal Codice C. IJJ. 23 della Biblioteca degl'lntronati di Siena). Rivista di Storia dell'Agricoltura, 7 (1967), 271-292. IV. 6

"Chasi dilettevoli" di MO Benedetto da Firenze (Dal Cod. Magi. Xl. 76 della Biblioteca Nazionale di Firenze). Atti dell' accademia lucchese di scienze, lettere ed arti, n.s. II, 20-21 (1987), 97

V Gli artisti e la matematica V. I

Artisti matematici del Rinascimento: Piero della Francesca e Francesco di Giorgio Martini. In "XII e congrès international d'histoire des sciences. Actes ". Paris, 1965, 5-9

V. 2

Arte e matematica in Piero della Francesca. Commentari, n.s., 22 (1976), 24825 l.

V.3

Note di algebra in Piero della Francesca. Physis, 9 (1967), 421-424.

V.4

Leon Battista Alberti e le scienze esatte. In" Atti del convegno internazionale indetto nel V centenario di Leon Battista Alberti. Roma, Mantova, Firenze 2529 aprile", 1972. Roma, Accademia Nazionale dei Lincei, quad. n.209, 155211

V. 5

La cultura scientifica e tecnica di un architetto del Rinascimento. Miscellanea storica della' .aldelsa, 85 (1981), 9-22.

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I STORIOGRAFIA

[L 1]

PER UN "CATALOGO DEI CODICI MEDIOEVALI DI MATEMATICA" E UN "CATALOGO DEI MAESTRI MEDIOEVALI DI MATEMATICA" fActes du VIII" congrès intemational d'histoirc des sciences (Firenze 3-9 settembre 1956).Paris, 1958, v.1, pp. 103-104.]

Nella attuale esposlZlone motivata della duplice proposta a questo «VIII Congresso Internazionale di Storia delle Scienze», reputo che le considerazioni, che in appresso avrò a svolgere, resultino, per esperienza, talmente evidenti da non dovermi imporre di corredarle di una serie di esemplificazioni. Il meraviglioso sviluppo scientifico che apre il suo muovere nel Rinascimento ha una componente, pur essa determinante, nella cultura che lo ha preceduto e nell' opera di elaborazione o rielaborazione di tanti Maestri medioevali operanti nelle nostre città e non solo in quelle che erano sedi di Università. Corrispondentemente al nuovo corso della ricerca scientifica, quasi frattura fra un mondo vecchio ed un mondo nuovo, si può dire di incontrare, e non si è lontani dal vero, una certa frattura nella conoscenza delle Opere e dei Maestri, conoscenza comunque sommariamente sporadica e insufficiente. Quando si passi a ricercare le cause di tale stato di cose, relativamente ai tempi che hanno preceduto la scoperta della stampa, si rileva immediatamente la causa prima inerente alle fortissime difficoltà paleografiche. Difficoltà di lettura, per modi di scrivere ed uso largo di abbreviazioni, sono certamente forti impedimenti preliminari che occorre vincere in tali ricerche e che vengono a mancare quando si abbiano a studiare opere a stampa o manoscritti dell' età moderna. A parte le opere intraprese da alti specialisti confortati da dottrina paleografica, conosciamo qual è, in generale, la situazione dei cataloghi, quando esistono, dei manoscritti giacenti nelle nostre Biblioteche ed Archivi sia pubblici che privati, cataloghi che sono, solitamente, opera di studiosi non edotti nel campo delle scienze. Chi ha compiuto particolari ricerche di storia medioevale ha incontrato Codici di argomento scientifico e reperito notizie attorno a Maestri delle varie discipline. Ebbene, questo materiale di enorme interesse per la storia delle scienze dell' età di mezzo, allo stato attuale delle cose, può dirsi estesamente sconosciuto e, come fonte storica specifica, privo di indicazioni opportune adatte alla ricerca. Ponendo qui dei limiti di tempo e di dottrina per pure ragioni di convenienza, giacché non vi è impedimento alcuno alla estensione di tale programma, vengo

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a fare la duplice proposta di considerare la opportunità della compilazione, medIante «Schede», di un «Catalogo dei Codici medioevali di matematica» e di altro «Catalogo dei Maestri medioevali di matematica». Conseguentemente proporrei la opportunità di addivenire alla costituzione di una Commissione di studio per le norme relative alla redazione dei due «Cataloghi» sopracitati. Avendo considerato da tempo l'opera proposta, mi permetto qui di seguito suggerire alcuni consigli. Le «Schede» dovrebbero essere pubblicate in un prescelto e convenuto numero di periodici scientifici specializzati a larga diffusione internazionale e compilate in lingue determinate. Un sistema di annotazioni e simboli, susseguentisi in ordine prefissato nelle «Schede» tendente a rendere tanto più uniforme la compilazione di queste, dovrebbe esser studiato al fine di rendere più agevole la consultazione. Le «Schede» relative ai Codici, oltre le annotazioni di uso (fondo di appartenenza, titolo, autore, formato, indicazione di «membranaceo» o «cartaceo», specificazione delle carte, etc.) dovrebbero contenere un succinto sommario dell 'argomento e gli eventuali riferimenti bibliografici. Le «Schede» relative ai Maestri dovrebbero contenere le date e gli uffici ricoperti, le loro opere eventualmente note e le indicazioni di documentazione archivistica. Tutte le «Schede», per le quali consiglierei seguire una prestabilita numerazione decimale distintiva altresì per la materia, potrebbero esser successivamente completate da «Aggiunte alle Schede».

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[I. 2]

LE MATEMATICHE [Atti del primo convegno internazionale di ricognizione delle fonti per la storia della scienza italiana: i secoli XIV-XVI (Pisa, 14-16 settembre 1966). - Firenze, 1967. Pubblicazioni di storia della scienza della Domus Galilaeana. Sez. V, v. I, pp. 106-1191

Iniziando questa relazione debbo avvertire che quando avrò a parlare di matematica, in ordine al progredire di tale scienza nei secoli presi in esame, intendo avvalermi di un significato ristretto di tale parola, e, pertanto, limitare il ragionamento all'aritmetica, alla geometria e all'algebra: riserbando ad altri il trattare dell' astronomia e della musica, che nel quadrivio, assieme alla seconda delle precedenti, vengono associate alla prima in posizione subalterna; e così pure per quanto riguarda la meccanica, che considero quale parte integrale della fisica, e ogni disciplina che, nell' ambito più generale delle scienze matematiche, viene attualmente compresa. Tuttavia, questo procedere non verrà ad escludere che, in ordine ai tempi considerati, tal une osservazioni che avrò a formulare non abbiano a valere altresì per quelle scie:1ze matematiche in senso largo più sopra ricordate, attorno alle quali non mi intratterrò, e, financo, per altre dottrine addirittura. Analogamente, alcune delle proposte che giungerò ad esprimere potranno conservare la loro validità anche quando si passi a trattare di altre scienze. Una prima osservazione che mi par giusto fare è che i secoli considerati nel presente Convegno, per quanto riguarda la matematica, presentano particolari caratteri di relazione reciproca: ad esempio, sebbene nel Quattrocento e persino nella seconda metà del Trecento, come ho di recente mostrato, vi siano forti elementi anticipatori della fiorita algebrica del Cinquecento, quei due secoli sono più particolarmente connessi col Duecento. In altre parole: il salto qualitativo nello sviluppo della matematica è senza dubbio meno intenso nel passare dal XIlI al XIV secolo che dal XV al successivo. Fu già ritenuto giusto e, sebbene si abbia la mirabile serie dei venti tomi del Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicato da Baldassarre Boncompagni, fino ai nostri giorni ha avuto credito un giudizio espresso da Rafael Bombelli nella premessa «A gli Lettori» della sua ALgebra; ricordato che Leonardo Pisano ebbe a scrivere di matematica «in idioma latino» aggiunge: «né doppo lui alcuno ci è stato che cosa buona habbia detto sino a Frate Luca». In realtà tale apprezzamento è il resultato della mancanza di conoscenza presso che totale delle opere composte in quei secoli di presunta inattività produttiva: si tratta di opere manoscritte il cui studio presenta altre difficoltà. Per giustizia devo ricordare l'esistenza di alcuni eruditi che, nel trattare delle storie letterarie delle patrie loro, forniscono alcuni, pochi nomi di matema-

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tici e accennano all'esistenza di loro opere a penna in qualche biblioteca. Col Pacioli le cose vanno diversamente giacché i suoi scritti possono leggersi agevolmente alle stampe: osservo, di passaggio, che un'approfondita conoscenza dei codici cui ho fatto cenno più sopra imporrà un ridimensionamento della sua importanza. E' ovvio che con queste considerazioni siamo giunti ad uno dei problemi di fondo della storia della matematica: quali sono i passi compiuti da questa scienza negli ultimi secoli dell' età di mezzo posteriormente all' opera del Fibonacci? Reputo di aver portato un contributo di notevole interesse a tale quesito che, in precedenza, poteva dirsi, quasi, senza possibilità di risposta; ma ancora, e molto, rimane da indagare, dico indagare nel senso di esaminare sempre nuovi codici relativi a tale periodo, sebbene le ricerche, e numerose, che ancora restan da fare non lascino neppur presagire qual messe di novità potranno arrecarci. L'esperienza fatta mi mostra che, nei secoli XIV e xv, l'arco più luminoso sia quello che, rifacendosi al Fibonacci, si svolge in Firenze tanto che questa città in tale periodo, oltre che per le arti, può dirsi luminosissima anche nel campo della matematica, e non soltanto in quello di tale scienza. Successivamente la stella brillante si porta nel cielo di Bologna sia per i bolognesi che per quelli che vi gravitano. Da Leonardo Pisano, dunque, non può non partire un qualsiasi ragionamento di storia della matematica che voglia investire gli ultimi secoli dell' età di mezzo e affacciarsi all' età moderna. Del 1202 è datato il suo Liber abaci col quale introduce da noi le novem figure indorum e il segno O quod arabice zephirum appellatur, e fornisce uno svolgimento dell' aritmetica e dell' algebra sulla cui portata non è il caso di intrattenerci in un convegno di specialisti. Anche la geometria avrà a subire per suo merito un rifacimento capitale con l'opera intitolata Practica geometriae. Questi che sono di amplissimo respiro, unitamente agli altri scritti di minore ampiezza, costituiscono un vero corpus del sapere matematico del tempo quale nelaborazione della dottrina raccolta nei centri della cultura araba nel Mediterraneo. Questa aritmetica, che diremo pratica, trovava un contemporaneo fioriTe di interessi per un'aritmetica teorica che, in termini moderni. sebbene ne vedesse altri aspetti, potremo chiamare :'t::I''':>: c~··:·

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Fig. 4. - Cod. XI, 87, c. 48 v. H.osa dci venti. ~Iag!.

Fig. 3. - Cnel. :\Iagl. XI, 87, c. 46 \'. Illustra, zione di un problerna.

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Fig. S, - Cod. "ag!. XI, 87, c. S' r. Cso del quadrante.

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[II. 4] UNA IMPORTANTE LEZIONE DELL'OPERA DI M. PAOLO DELL'ABACO IL COD. 2511 DELLA BIBLIOTECA RICCARDIANA DI FIRENZE

["Atti della Fondazione Giorgio Ronchi". - (Firenze), a. 35 (1980), n. 6, pp, 858-874.]

Il Codice 2511 della Biblioteca Riccardiana di Firenze, allo stato attuale delle mie ricerche attorno a Paolo dell' Abaco, costituisce una notevole ed estesa raccolta dell' opera scientifica del matematico pratese; già ebbe a dame una sommaria descrizione Baldassarre Boncompagni l e non pochi attinsero alle righe di questi. Da quel codice estrassi la mia edizione delle Regoluzze,2 la più estesa di ogni 3 altra, e già due anni prima avevo pubblicato il Trattato d'aritmetica di Paolo secondo la lezione del Codice Magliabechiano XI, 86 della Biblioteca Nazionale di FIrenze. Al fine di giustificare la importanza or ora attribuita al Riccardiano, reputo indispensabile condurre l'analisi che segue. In testa alla p. l, ma di mano assai più tarda di quella trecentesca che ha steso il manoscritte, si legge la nota: «Questo libbra fu scritto da Paolo Geometra l'anno 1329 come apparisce a car. 69. vedi a car. 134 e 143. Di costui fa menzione il Bocc. nella Geneologia degl'Iddei a carte 263.6». Poi ha inizio la introduzione (pp. 1-2) che segue. Al nome ed a onore ed a riverenza della somma potenza d'Iddio e della sua santissima madre vergine Maria e della santa Trinitade e del beato Giovanni Batista e di tutta la corte celestiale e ad onore e mantenimento del nostro santissimo padre papa [spazio in bianco], che Iddio gli dia lungha e buona vita e che 'l presti lunghamente al suo po-

Fig. 6. -

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Cod. MagI. XI, 88, c.

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r. Inizio del trattato.

I Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimo terzo. Notizie raccolte da Baldassarre Boncompagni socio ordinario etc. Roma, Tipografia delle Belle Arti, 1854, pp. 386-389. 2 Paolo Dell 'A Maco Regoluzze. Secondo la lezione del Codice 2511 della Biblioteca Riccardiana di Firenze. A cura e con introduzione di Gino Arrighi. Azienda Autonoma Turismo, Prato, 1966. ) Paolo Dell' Abbaco Trattato d'aritmetica. Secondo la lezione del Codice Magliabechiano XI. 86 della Biblioteca Nazionale di Firenze. A cura e con introduzione di Gino Arrighi Pisa, Domus Galilaeana, 1964. In questa opera e in quelle indicate nelle due precedenti note si trova una esauriente bibliografia su MO Paolo; potrei aggiungere ql!esti altri miei scritti: L'Aritmetica di Paolo dell'AMaco e i tempi suoi in «Cultura e scuola», n. Il, luglio-settembre 1964, p. 273.11 Codice L. IV. 21 della Biblioteca deg/'Intronati di Siena e la «Bottega dell'abaco a Santa Trinita» in Firenze. in «Physis», voI. VII (1965), p. 369, La matematica del Rinascimento in Firenze. L'eredità di Leonardo Pisano e le «botteghe d'abaco» in «Cultura e scuola», n. 18, aprile-giugno 1966, p, 287 La tomba di Paolo dell 'Abbaco in «Prato-Storia e arte», n. 25, anno X (1969), p. 41. Alcuni anni dopo potei realizzare il proposito esposto in quest'ultimo scritto con la collocazione in Santa Trinita di Firenze della copia della iscrizione che già fu sulla tomba di MO Paolo e nella cappella dove questa sorgeva.

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polo cristiano siccome e' medesimo fae addomandare. Al chominciamento del nostro trattato saràe scritta e provata tutta l'arte dell'abbaco di ciò che dire gieneralmente se ne puote sicchome multipricare, partire, aggiustare, sottrarre, partire per reghola e partire a danda e tutte maniere di numeri rotti o vero spezzati e ogn 'altra cosa che intorno di ciò si puote dire. Seghuono tutte ragioni di chanbiora e di tutte ragioni necessarie a un chanbiatore sicchome di vedere quale peso e quale moneta mette meglio a portare inn altra parte e tutte altre ragioni che a uno chanbiatore fanno bisongnio. Seghuono tutte maniere di cose che ssi pesanno cioè che ffae mestiere a sapere siccome è libbra grossa e libbra sottile e quintale e charcha e marcho e peso grosso tornare al peso sottile e reghole propie che di ciò dichiariscono e di fondere oro ed argento e biglione insieme e sapere a che legha torneràe l'oro per sé e ll'argento e biglione e simili. Seghuono tutte ragioni di conpagnie per tutt 'i modi ch 'essere possono di ghuadagnare e d'altro se fosse e tale mette la persona e gli altri mettano danari e ogni altra cosa e ragione simigliante delle conpagnie. Seghuesi tutte ragioni di barattare che ssono di sette maniere e molti alleghamenti e fondimenti d'oro e d'argento e tutte simili ragioni per ditto modo. Seghuesi tutte ragioni di tenpi e di reghole di tenpi e di fare sconti e di mettere tenpi innanzi e trarre adrieto e conpensare tenpi senza dare merito. Seghuesi tutte ragioni di saldare e di rechare a termine secondo la costuma de' merchatanti e mettere tenpi innanzi e addrieto secondo che ssi conviene. Seghuesi tutta praticha di giometria e di misurare tutt 'i terreni per qualunche verso fussono e rocche e vallari e piani e torri e palagi ed albori e tutte altre misure le quali a praticha di giometria appartenghono. Seghuesi alleghamenti d'oro e d'argento e mostransi per diferenzie disegnate e per iscritta si dichiarischono. Anchora sono molte altre ragioni sottili di numeri e di radici e di simiglianti ragioni le quali non sono scritte quie ma di queste scritte disopra e di quelle scriviamo qui avanti ciascuna a suo capitolo.

Segue (pp. 3-6) un indice che pur con le sue certe manchevolezze può agevolare la conoscenza del manoscritto; pertanto ne propongo la lettura avvertendo che esso è purtroppo mancante delle indicazioni di numero di carta e che non tutti gli oggetti indicati sono veramente svolti. Questi sono e' chapitoli del nostro trattato. Al chominciamento del nostro trattato si è il primo amaestramento che dicie: tanti danari sono cotanti soldi e simiglantemente tanti danari sono cotante lire. - Tutt'i rilevamenti di quantunche figure fussono. - Gli libretti minori e gli loro disponimenti. - Gli libretti maggiori e gli loro disponimenti. - Sottraimenti di numeri e simiglantemente sottraimenti di lire e di soldi e di danari. - Tutte maniere di multiprichazioni di numeri interi per qualunche modo si fanno o possono fare. - Partimenti di numeri interi da 2 insino in 20 sicome possiamo innanzi vedere. - Partire per reghola solamente numeri e poi lire e soldi e danari. - Partire a danda solamente numeri e le pruove. - Partire a danda lire e soldi e danari e simili. - Tutte maniere di numeri rotti o vero numeri spez-

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zati cioè multipricare, partire, agiustare o vero sommare, abbattere l'uno dell'altro, sapere quant 'è più l'uno che l'altro. - Diminuire o vero menomare di numeri rotti o vero numeri spezzati che ssono meno in appariscienza e altrettanto in quantitade siccome possiamo di quae vedere. - Partire in 100 per due reghole cioè dell'una lira viene 2 danari e 2/5 e delli 8 soldi e 4 danari ne viene uno danaro e finite con tutt'i loro disponimenti. - Chariche di 300 libre e loro ragioni e il marcho di Corte chome torna con quello di Vignone. - Tutti averi di peso come si portano a trargli d'una terra e portargli in un 'altra per propia reghola. - Uno signore spende tando il dè quanto viene l'anno e se spende cotanto l'anno quanto viene il dè. - Fondore oro er argento e sapere come torna e simili. - Chome si conpera e vende argento e biglione e oro a tutt'i pesi in tutte terre ed a tutte maniere per reghola. - Chome i maestri della moneta lavorano argenti o biglioni. - Fondere oro e come sifae e di tutt 'i maesteri che se ne fae. -In cotante lire e soldi e danari quanti fiorini o altra moneta d'oro entrano per reghola e simili cose. Chonpagnie di tutte ragioni e di tutte loro maniere. - Uno signore fe' suo testamento e molte altre cose. - Baratti di tutte maniere per quanti modi si possono fare. - Reghole delle tre cose e molte altre reghole a ciascuno dato lo suo assenpro. - Termini di tutte ragioni per tutt 'i modi e maniere. - Schonti e tutte simiglanti cose. - Conpensamenti di moneta sostenuto senza merito, tornagli addrieto e mettergli innanzi. - Saldare e rechare a termine e di fare sconti di tenpi per ragione e conpensare un paghamento con un altro a meno di dare merito e tornare addrieto e mettere innanzi siccome ragione comanda. - Numeri perfetti di tutt 'i modi e come si truovano e molte altre ragioni di numeri sottili e simiglianti cose. - La figura del Sole e la figura della Luna per numeri. Raddoppiamento dello schachiere tutto fatto per reghola. Quante maniere di numeri sono e come si chiamano. - Conperare e vendere oro ed argento ,1 biglione e ongni altro simigliante canbio e vasellamento per ordine e per ragione. - Quanti fiorini o altra moneta d'oro enterranno in tante lire maestramente. - Uno che pagha passaggio di cierta mercatantia. Una tavola che mostra a sapere la pasqua per tutto tenpo e chonpiuta tutta la tavola si fae rivoluzione. - Multiprichare e partire secondo la gran ghuisa di M[.) icieri. - Come si porta di misura Roma con Ghostantinopoli, che Roma è quadrata e Ghostantinopoli è a modo di schudo. - Due huomini l'uno è a Monpolieri e vuole andare a Parigi, l'altro è a Parigi e vuole andare a Monpolieri; dove si troveranno. Uno pescie di tre parti, quanto pesa tutto. - Una donna che manda a cogliere melerancie a uno giardino che à tre porte e altre simiglanti. - Uno chappellano chiama un suo cherico a sonare mattutino e ànno contasto dell'ore di notte. - Uno quadro quant 'à dall'uno canto all 'altro squadrando per traverso. - Una nave che va in viaggio con due vele. - Una coppa di tre metalli partita. - Uno serpente che monta in su un albero. Una torre con grandi fossi intorno e molti simili. - Come si misura una torre o vero un albero o qualunche alteza fosse per la spera del Sole e pesare cotante libre cotante prietre. - Rechare tutt 'i torchoni a quadri e simiglanti. - Misure di terre d'ogni qualità le quali sono recate a quadro e tutte sono provate per giometria. - Due amici che l'uno prestòe all 'altro terreno di cotanta misura, chome gliele rende. - Rechare a quadro una aghugli di torre. - Misurare gieneralmente tutte maniere di terre e recarle a quadro per qualunche modo e dove fossono poste e mostransi per forma e misura di giometria. Come si mostra per lo diamitro sapere la ruota quanto gira dintorno e per la ruota mostra a sapere lo diamitro della ruota. - Rechare lo tondo a quadro per ragione diritta. Uno tondo a conpasso quanto sarà lo quadro d'altrettanto per possione quanto per fac-

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Fig. l - «Due merchadanti chanbiano insieme, l'uno àe fiorini e mette lo fiorIno 17 soldi e 7 danari e Il'altro merchatante schudati e mette lo scudato 20 soldi e 3 danari e così d'acchordo insieme e fermo lo merchato. El merchatante degli scudati vuole canbiare 400 scudati, dimmi per 400 scudati quanti fiorini avràe al pregio e la mercato fatto disopra» [p. 82].

ciao - Una ruota gira cotanto dintorno e noi ne tagliamo cotanto, quanto rimarra quadrata. - Una sala o vero chiesa, quanti lastroni v 'enterranno a jiJrla tutta conpiuta appunto. - Uno muro o vero parete ch 'àe cotanto di lungho e tanto di largho e tanto grosso, sapere quante priete v'enterranno così fatte. - Un alhero è alto cotanto ed è fìtto in terra e ogni dìe china cotanto, in quanti dì saràe la cima in terra. - Una torre è tanto alta, quanto sarà empio il fosso ch 'è a piè della torre. - Mettere uno tondo in uno quadro per ragione. - Recare a quadro lo triangolo e disquadrare un terreno per più ma ' e disciemare d'un tondo. - Uno drappo di tanta anpiezza e lunghezza, quanto costerà un altro drappo. - Lo pentagono di cinque faccie iguali per faccia. - Come si mostra uno allegamento solamente di due argenti o higlioni senza nullo agiugnimento e loro diferenze per dimostragione e per reghola. - Come mostriamo dell 'argento, così mostriamo di due ori a meno d'agiugnimento. - La differenza come s'allegha di due biglioni ed argenti. - Luna nuova come si truova secondo la costuma de' marinai. - La patta e 'l nascimento della Luna come si truova se fosse perduta del tutto. -- Della sopradetta reghola della Luna. - Come si truova la Lune! nuova secondo il vero movimento cioè lo dìe e Il 'ora e 'l punto. - Del diponimento della sopradetta reghola. - El Sole, si mostra quando entra in ciascuno de' 12 sengnali per tutto l'anno e per tutto tenpo. - La Luna in quale segnale è per senpre ed a quanti gradi di quello segniale e perfettamente bene per più reghole ordinate. - Quale sengniale è asciendente in oriente sopra l'orizzonte e la sua propietade. - Li sette pianeti con tutte le loro propietadi e le loro vertù bene e perfettamente secondo l'arte de' filosafi bene corretta.

Se pure alquanto sommaria apparirà la informazione sul contenuto dell' opera, onde invito lo studioso alla sua lettura, non svolgerò per brevità l'esame detta102

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Fig. 2 - «Sono tre merchatanti che fanno conpangnia insieme per andare a ghuadagnare; lo primo mercatante mise nella conpagnia 300 lire e Ilo secondo conpagnlO mlsse nella conpagma 600 lire e Ilo terzo conpagnio misse nella conpagnia 700 lire e àanno ghuadagniato 400 lire comunemente Dimmi quanto ne viene per sua parte a ciaschuno di detti conpagni di detto ghuadagmo dI 400 lire restando a ciaschuno lo suo capitale» [p. 86].

gliato del testo che procede assai ordinatamente con la sola mterruzione relativa ali 'inserimento della lezione delle Regoluzze (pp. 143-48) da me pubbhcata. La scrittura è corredata da figure geometriche che avrebbero dovuto essere in maggior numero come testimoniano gli spazi in bianco lasciati per una futura loro realizzazione non avvenuta; troviamo altresì due simpatici disegnI (pp. 82 e 86) che riproducono e che, come di sovente accadeva, affiancano la narrativa delle relative «ragioni»; due disegni pertinenti alla impostazione degli oroscopi si trovano verso la fine (pp. 182 e 186). Ma, attesa la singolarità della sua presenza, riprodurrò qui di seguito una pagina che nell'opera è dedicata all'aritmetica teorica (p. 122). Numeri perfetti. Numero perfetto è tanto a dire: quanto uno numero sia partito per tutte le sue regole e quello che ne viene da quelli partimenti siena giunti insieme rifacciano quello medesimo numero e sia né più né meno. Verbi grazia, 6 si è numero perfetto perche diremo: 6 si à 3 regole cioè 2 e 3 e 6, Diciamo, il 1/2 cioè 2 di 6 si è 3 e il 1/3 cioè. 3 ~i 6 ~i è 2 e l sono 6, Dunque vegiamo che tutte le parti delle regole di 6 fifanno 6 ne plU ne m.,eno,. se fosse più o meno di 6 non sarebbe numero pe/fetto e questo numero perfetto cwe 6 SI è numero pe/fetto dell 'unitadi cioè da uno infino in 9 e altro numero perfetto non SI truova nelle unitadi salvo 6. E un altro numero perfetto àe nelle dicine da lO infino in 100 lo qual 'è 28 e altro numero perfetto nonn àe da lO insino in 100. E un altro numero perfetto àe nelle centinaia cioè da 100 infino in 1000 cioè 496. Del primo avemo di-

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chiarato cioè di 6 come numero perfetto ora dichiareremo di 28 e di 496 e primamente diremo di 28. Parti 28 per 2 ne viene 14 e per 4 ne vene 7 e avemo 21 e per 7 ne viene 4 e avemo 25 e per 4 ne viene 2 e avemo 27 e simiglantemente parti 28 per 28 ne viene l e avemo 28 siccome lo numero perfetto cioè 28. Ancora 496 si è numero perfetto e le sue regole sono mezzo, parti 496 per 2 ne viene 248 e parti finalmente 496 per 4 ne viene 124 e questo nota e ancora lo parti per 8 ne viene 62 e ancora lo parti per 16 ne viene 31 e ancora lo parti per 248 ne viene 2 e ancora lo parti per 124 ne viene 4 e ancora lo parti per 62 ne viene 8 e ancora lo parti per 31 ne viene 16 e ancora lo parti per 496 ne viene l. Ora giunti tutti questi numeri insieme sono 496, dunque 496 è bene numero pe/fetto che rifà tutte le parti. Se vuoli sapere come si truova il numero peifetto fa ' cosìe. Parliamo del numero eh 'è ne!le unitadi ch 'è meno di dieci, doppia uno numero quale che vuoli disotto a lO e sempre ne trai uno e lo resto multipricha per lo numero che raddoppiasti e poi assaggia 05 'egli è quel/o numero che dimandi, se nonn è sì seghui innanzi e troverralo. Verbi grazia, dirai: 2 e 2 sono 4. abbatti uno di 4 resta 3, multipricha 2 via 3 fanno 6 e quest 'è il IIl1mero pe/fetto dc!l'unitadi. In questo modo 6 si à 3 regole cioè mezzo e terzo e sesto, lo mezzo di 6 si è 3 e '1 terzo si è 2 ed ài 5 e !lo sesto si è uno ed ài 6. Dunque 6 è bene nllmero perfetto che per le sue regole si rifà se medesimo e non àe più numeri perfetti nelle IInitadi salvo 6. E nel cientinaio si à un altro numero perfetto lo qual 'è 28 e truovasi soaìe. 4 e 4 sono 8, tralle I resta 7, multipricha 4 via 7 fanno 28 e pruovasi nel sopradetto modo. E lo terzo numero perfetto del migliaio si è 496 e non ve n 'àe più e prua vasi così 16 e 16 fanllo 32, tranne 1 resta 31, multipricha 16 via 31 fanno 496 e questo è lo terzo numero perf'ctto e n/assi per le sue regole sicchome è stato di quae addrieto o vero qui disopra iII questa medesima faccia qui da cchapo onde dichiara di tutto conpiutamente.

L'opera si conclude con un ampio squarcio destinato all'astronomia ed alla astrologia: il non ritrovarsi negli scritti di MQ Paolo già comparsi alle stampe mi suggerisce la opportunità di presentarlo (pp. 173-187). Al nome ed a onore d'Iddio e de!la santa Trinitade qui appresso mosterremo sichome si trllova la Luna nuova secondo lo verace movimento che fue fata in Gierusalem; ma primamente mosteremo sichome e!la si truova secondo lo corso de' marinai, ch 'è grossa materia che non diremo se non solamente lo dìe ch 'è nuova. Chominciamo chosìe che nel 1339 correa lo nascimento 20 né più né meno, alcuno dicie patta, non è vero ma chiamasi nascimento de!la Luna. Se nnoi non sapessimo perché nel 1339 sì nne daremo reghola per tutto tenpo e diremo così. Parti gli anni Domini per 19 e sopracciò che tti rimane giugni uno solamente e multipricha per Il e parti per 30 e cioè che tti rimaràe tanto corre lo nascimento que!lo anno e gli anni Domini chominciano senpre a marzo. Onde diremo: parti gli anni Domini per 19, cioè 1339, e restavi 9, giugni uno sopra 9 sono lO, multipricha Il via lO fanno IlDe parti 110 per 30, restavi 20 sichome dimandamo; ond'è cierto l'anno 1339 corre 20. Se volemo sapere quanto correrà nel 1340, giugni Il sopra 20 sono 31, gettane 30 resta l, dunque l'anno 1340 correrà uno; se 'I proverrai per lo nascimento troverrai solamente uno. E nel 1341 correrà 12 e nel 1342 correrà 23 e nel 1343 correrà 4 e nel 1344 correrà 15 e così dura senpre; giugni senpre Il e parti per 30 e il resto sarà

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lo nascimento tutto quello anno infinno a marzo. Se ttu vorrai sapere ciaschuno dì dell'anno quanti dì à la Luna o vero quando sarà nuova la Luna, farai chosì. Primamente prendi quanto corre quell'anno il nascimento e prendi quanti dì s'è in fra il mese e prendi tutti i lunari quanti sono da marzo infino al mese dove tu se' o vero tutti e' mesi e tutto agiusta insieme e fa' somma e questa soma parti per 30 e tanto quanto ti resterà tanti dì avrà la Luna quello dì dove tu sse '. Verbi gratia, lo giorno che noi scriviamo questa reghola si era venerdì a dì 30 di luglio 1339 e però volemo sapere quanti dì à la Luna, fa ' chosì. Dìe: quest 'anno corre il nascimento 20 e noi siamo a 30 dì del mese ed avemo 50 e da marzo infino a luglio àe 4 mesi et avemo 54, gientane 30 o vero parti per 30, resta 24 e tanti dìe à la Luna a dì 30 di luglio anno 1339, cioè à 24 dì. E nota che marzo non si chonta però che chominciano a marzo. Verbi gratia, da mezzo marzo infino a mezzo aprile sono uno mese, dunque se contassimo marzo sarebbono 2. Anchora diremo: noi sappiamo secondo la grande reghola del veracie movimento che Ila Luna sarà nuova a dì 6 d'aghosto nel 1339, or veggiamo s'egli è così. Secondo questa reghola prendi primamente 20 del nascimento e prendi 6 d'aghosto, e. d ài 26 e prendi da marzo ad aghosto 5 ed ài 31, gettane 30 resta l; dunque quello di e nuova la Luna ed è entrata in uro dì. Però che questa reghola dicie solamente il dì del mese ma non dicie l'ora né 'I punto; ma il veracie movimento dicie il dì e li 'ora e il punto sichome diremo in altro chapitolo conpiuto questo mezzo movimento. Noi volemo sapere quanti dì à la Luna il primo dì di settembre anno 1339, dovemo dire: nel 1339 corre il nascimento 20 e per lo mese di settembre sono un dì e sono 21 e da marzo a settembre si à 6 e sono 27. E diremo che nel 1339 il primo dì di settembre la Luna avràe 27 dì secondo la sopradetta reghola e chosì possiamo fare ciaschuno dì del! 'anno. Questa è una reghola la quale mostra tutto tenpo quale sengniale è asciendente e, se noi sapemo l'asciendente, sì sapemo per lo detto asciendente qual 'è l'apposito e quali sono gli angholi del cielo e quali sono le chase forti e quali fieboli e quali comunali secondo le loro dignitadi. Primamente dovemo sapere che quando la Luna rinnuova, in qualunque sengniale è il Sole, in quello medesimo segniale rinuova la Luna e tanti gradi di que!lo segniale. E simigliantemente in qualunche sengniale è il Sole, quello medesimo s~gniale è ciaschuna mattina al Sole levante asciendente e dura tanto quanto il Sole sta 111 quello senglllale e quest'è per tutto tenpo e 'I detto segniale ch 'è asciendente dura due ore e Il 'altro che segue dura simigliantemente dua ore e così ciascuno degli altri segniali durano due ore. Però che ssono 12 sengnali e 24 ore, passato un dì naturale, quello medesimo segniale torna nel suo luogo ed è asciendente. E però diremo qui appresso: a quanti dì di ciaschuno mese entra il Sole in ciascheduno sengnali e quando n 'escie e quando vi sta e però chominciamo al chapo di Aries ch 'è fondamento e principio di tutti gli altri segniali e diremo così: il Sole entra inn Aries a dì 14 di marzo a mezzogiorno. il Sole entra in Taurus a dì 14 di aprile a mezo giorno. E tanto quant 'à dall'uno tenpo all'altro, tanto sta il Sole in quello sengniale e senpre entra il Sole nel sengniale a mezogiorno. ilSole entra in Giemini a dì 15 di maggio. il Sole entra in Chancer a dì 15 di giugnio. il Sole entra in Leo a dì 17 di luglio. il Sole entra in Virgho a dì 17 di aghosto.

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Il Sole entra in Libra a dì 16 di settenbre. Il Sole entra in Scorpio a dì 17 di ottobre. Il Sole entra in Sagittario a dì 15 di novenbre. Il Sole entra in Chapricornio a dì 15 di dicienbre. Il Sole entra in Aquario a dì 13 di giennaio. Il Sole entra in Pescie a dì 12 di febbraio. VerbI gratia, noi siamo a dì 25 d'aghosto nel 1330 e volemo sapere quale sengniale è asciendente e quale è apposito dell 'asciendente e quali sono gli angholi del cielo e come si regghono tutte le chase de' sengniali e come si righuardano coli 'asciendente. Dovemo dire: noi siamo a dì 25 d'aghosto che 'l Sole è in Virgine, dunque quella mattina file Virgho asciendente e chominciava a montare sopra lo 'mispero dell 'orazonte d'oriente e durava due ore in quelle due ore era apposito dell 'asciendente Pescie però che .l'SI ghuardano insieme diamitralmente per oposito e discendea del 'mispero e Gemini e Leo erano nelli angholi del cielo et nota che .l'sono 4 angholi. Lo primo si è la prima casa, el secondo si è l'apposito cioè la settima casa, el terzo si è la diecima casa, el quarto si è la quarta casa e così seghuitano la forteza delli angholi e nota che inn isterlogia la prima casa sinificha il paziente e Ila settima casa la malattia e Ila decima casa il medico e Ila quarta casa le medicine che .l'si fanno. E questo patema recare a ssimiglianza di molte altre cose siccome la prima casa il merchatante e Ila setima queglz che la vuole conperare e Ila decima la merchatantia e Ila quarta quegli che fa il merchato e queste si recano a molte simiglianze. E se vuogli sapere ciaschuna ora del gi,orno quale sengniale è ascendente, ghuarda qual' ora è del giorno e a ogni segnale da due ore e conta quante ore sono e nota che si fà 12 ore il dì e 12 la notte e queste sono ore arteficiali. Verbi gratia, Taurus montava l'asciendente, a mezogiorno era in mezzo del cielo, erano passate 6 ore cioè 3 sengniali, però Leo fue asciendente a mezzogiorno. Le chase di Saturno sono Chapricornio e Aquario. Le chase di Giuppiter sono Sagittarius e Pescie. Le chase di Mars sono Aries e Schorpio. La chasa del Sole si è Leo. Le chase di Venus sono Taurus e Libra. Le chase di Mercurio sono Giemini e Virgho. La chasa della Luna si è Chancer. Trepicitadi delfuocho sono Aries e Leo e Sagittario. Trepicitadi dell 'aria sono Giemini e Libra e Aquarius. Trepicitadi dell'acqua sono Chancer, Schorpio e Piscies. Trepicitadi della terra sono Taurus, Virgho e Chapricornius. Al nome d'Iddio, amen. Queste sono ricordanze notabili de' giudici di sterlogia mettendo dinanzi la somma e vera potenzia d'Iddio e diremo così. Quando ài levato l'asciendente metti i pianeti per le case sicchome si conviene per li loro gradi e poi righuarda quattro cose principali cioè li angoli, la prima e la quarta e la settima e Ila decima casa. Primamente di questa ghuarda quale pianeta è signiore dell 'asciendente e poi ghuarda dove è il signiore della casa dela Luna cioè la casa della Luna, si è Chancer e questo è il signiore della casa della Luna. E poi ghuarda quale è il signiore della casa del Sole nel sopradetto modo, cioè Leo e però ghuarda quale pianeta sarà in Leo e quello sarà il signiore della casa del Sole. E poi ghuarda quale pianeta è signiore

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dell'ora cioè ghuarda in quella ora che fai la quistione quale pianeta signioreggia quando lievi il Sole e quello pianeta sarà signiore dell'ora. E poi giudicha secondo le forze e lle dignitadi della costellazione siccome diremo q~i ap!!re~so in q~esto trattato. E nota che ancora ti conviene ghuardare quattro cose clOe Il slgnlOre dell asaltazlOne e della tripicitade e de' termini e delle faccie. Jl signore dell'asaltazione si è quando uno pianeta àe sua assaltazione in cotale sengniale dove e' truova quello cotale segniale nella quistione e ghuarda quale pianeta sarà in quello cotale sengmale e quello pzaneto sarà il signiore dell'asaltazione e così determini e delle faccie e delle tripicitadi. E nota che 'l signiore dell'asciendente se sarà nell'asciendente medesimo sì sarà più forte e più degnio che nullo altro pianeta che .l'sia nella quistione e quasi i' llui sarà tutto il giudicamento. E se 'l signiore dell'asciendente fusse nell'asciendente medesimo e anche fosse nell'asciendente il singniore dell 'asaltazione, tutto il giudicio chadrebbe !Il loro due cioè nella casa dell'asciendente. E dovemo sapere che ciaschuno sengniale dura due ore asciendente e sotto quelle due ore patema giudichare per lo singniore della casa di quello sengniale ch 'allora fosse asciendente. Verbi gratia, pogniamo che Tauro fosse asciendente, dunque il signiore di Tauro si è Venus, dunque patema per Taurus giudichare per due ore intere; ma se lla Luna fosse signore dell'ascendente patema giudicare per un{) dì naturale cioè per 24 ore ché 24 ore è !la sua forza. e 'l suo podere E ghuarda il signiore cioè il significatore della quistione da quale pzaneto .l'l parte e lla natura di quello cotale pianeta donde si parte si sarà la 'ntenzione della cosa onde .l' 'è dimandato. E poi ghuarda il significatore medesimo della quistione quale , pianeta giugnie e quello sarà la fine della chosa. Pianeta pellegrino .l' 'intende quando nella casa àe solamente uno pianeta e ancora e più veracie pellegrino quando uno pianeta sia inn una casa e non sia sua c~sa né nelle case ch 'è confìnato con essa nonn àe nullo pianeta. Verbi graZIa, Saturno e nella terza casa e non à~ nullo pianeta più nella detta terza casa e nella seconda né nella quarta nonn à nullo pianeta, allora è Saturno pellegrino. E così delli altri pianeti e intendesi che 'l pianeta sia pellegrino quando nonn è in sua casa né in sua tripicitade né in una l'accia e non sia retrogato ma vada avanti; quando uno pianeta sarà nella casa d'un al'tro pianeta e quello altro pianeta sarà nella casa dell'altro cioè ed è converso allora l'anno congiunzione siccome fossono inn una casa. Verbi grazia, sicchome Venus fosse 'nella casa della Luna ch 'è Chancer e lla Luna fosse in Libra ch 'è lla chasa di Venus, dunque l'uno possiede la chasa dell'altro e però è chongiunzione. ,Nota che quando la Luna è con pianeta femminino singnificha madre e quando zl Sole e con pzane:o femmInino singnifica padre e quando fosse ed è converso significa comune. Chom!llczatl ad Aries e conta cinque sengniali ed avrai la tripicitade cioè Leo e l'apposito si sono sette sengniali. . ., Noi dovemo sapere che quando il Sole è presso a 12 gradi a meno di 12 gradI a nullo altro pianeta .l' 'intende che quello pianeta cremato per lo calore del Sole e quello pianeta significha male ed à forza di fare male ancora quando due pianeti so~o inn una CQ5:~ presso l'uno dell 'altro si fanno congiunzione che .l'siena presso 51 gradI o meno ma plU di 15 gradi non s'intende congiunzione. Ancora diremo che ll'asciendente dura asciendente 12 gradi, diciamo 5 gradi sopra l'orezonte e 7 gradi sotto l'orezonte in questo modo. Pogniamo che Taurus sia tutto montato sopra l'orezonte cioè l '~ltimo grado montato sì .1'.1' 'intende che 5 gradi di Tauro sia montato e 7 di Giemini e COSI dI tuttI altri pianeti. . . Quando tu vuoli partire d'un porto per andare per mare ghuarda che .l'la asczendente

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sengniale di vento e spezialmente Libra eh 'è segnl'ale l . d' l l movevo e e ventoso e quand a ve a per p~rtirti di porto ghuarda che ssia ora di Giuppiter o di Venus. E se llo una . os~e In. segma.le onentale si è buono a chamminare verso oriente e muoversi o,:a dI GlUpplter o dI Venus e sia asciendente Chancer se puoi e non sia Luna l' d' n slOne. n Isen-

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d Quando vai per offendere altrui personalmente dèi andare inn ora di M Anes e. Sch~rp'io si~ a~ciendente e Mars non abia contradi e per questo ma;;oq~~~n~ tuttI gli altn pIGnetl, e buoni per fare bene, e' maligni per fare male; sen re vuole essere aSClendente la suo casa siccome la casa di Mars Aries e Scho' p h d li d ' , r p l O e senpre g uara a e s0p'ra ette case che l pianeta non sia retroghado né in male luogho. Se v;oll parla.re per dlmondare grazie a ssingniore vae inn ora di Giuppiter e che sia aSCle\ ente SagIttario e Pisc~s, Ferò che ssono le case di Giuppiter, e Giuppiter non sia retrog ado e lla Luna non sIa In dlsensione e quando la Luna fiosse l'n L . . eo ancora sabb . l' re e mlg. IOre tutto . inSIeme ma inn ora di Sole non è buono . E se VUO l'I par lare per ava m~~e L 1n1l ora d, Venus e ssi~ asciendente Taurus e Libra e Venus non sia retroghado ' ne a una In d,senslOne e COSI degli altri pianeti. ~e ~uoli ritrov,are il furto g~uarda l'apposito dell 'asciendente cioè la settima casa e se pIGneto dell aSClendente e nella settima casa ed è converso e lla Luna nella prima

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casa troverrai il furto; esse Saturno o Mars o coda Dragonis sarà nella seconda casa non si troverrà. Esse vuoli sapere la fighura del ladrone ghuarda il pianeta che sarà nella settima casa e il ladrone arà la fighura di quello pianeta e sse nullo pianeta non fusse in quella casa ghuarda la prima casa ch 'è ssuo senbiante illadrone e se nullo segnio non truovi ne' detti luoghi ghuarda la seconda casa e giudicha secondo le sue dignitadi. E se vuoli sapere che cosa è il furto vedi in quale casa è la Luna e quale pianeta è con essa, se truovi Sa turno con essa si è ferro e pionbo o cosa nera pesante, se truovi Giuppiter si sono vestimenta bianche o cose d'argiento o simili cose ornate, se truovi Sole si è oro o cosa simile di valuta d'oro o più: è così per la simiglianza de' pianeti la loro natura. E se Ila Luna truovi sola saranno cavalli o serventi o schiavi o simili cose sottoposte al! 'uomo e se Mercurio è colla Luna saranno libri o cose intagliate o dipinte o simili cose. Se vuoli sapere ciascun 'ora del dì e della notte in quale parte del cielo sono tutt 'i pianeti. cioè inn oriente od inn occidente od in meridie od in settentrione, fa' così. Ghuarda quel dì e quell 'ora e quel punto che vuoli sapere in quale casa sono tutti e sette pianeti e questo ighuala e ghuarda per l'almanaccha e poi ghuarda quale segniale è asciendente a quello punto e saprai dove saranno tutti e J2 segniali e poi vedi in quali segniali sono i pianeti, ciascuno per sé, e in quello luogo, dove troverrai il segniale dov'è il pianeta, colà sarà il pianeta. Verbi grazia, Mars era inn Iscorpio a J5 dìe d'ottobre onde, se vuoi sapere dov'è Mars, ghuarda quel dì e quello punto dov'è Iscorpio e in quel!o luogo sarà Mars e così di tutti gli altri pianeti. Tutt 'i pianeti che saranno nell 'ascendente con altro pianeta si è appellato congiunzione tanto quanto avrà minore l'alte::::a sarà detta maggiore congiunzione ed è converso e aggiustamento conpiuto s 'intende quando due pianeti sono inn uno grado d'uno sengniale. Quando uno pianeta righuarda per aspetto un altro pianeta SI ss 'intende che 'l pianeto che va avanti sia righuardato da quel pianeta che 'l seghue cioè il pianeta che viene didrieto. Righuarda quello che Ili va avanti e quello che va avanti non righuarda quel!o che Ili viene didietro. E dovemo immaginare ch 'e' pianeti che vanno per la ruota e contrada de' segnali, cioè i pianeti corono da occidente in oriente e' segnali da oriente vers 'occidente per contrario. Questi sono i nomi degli angholi: galatrin angholo Saturni, fittonicus angholo dI Giuppiter, torniger angholo Mars, titoras angholo Solis, aballixtran angholo Venus, yparon angholo Mercurii, charmelon angholo Lune, ortaritan anghulo chapitis Dra ghonis. Noi mostriamo qui come le case dell 'asterlogia come si riguardano per aspett coll'asciendente diremo così che sono quattro aspetti, cioè: aspetto apposito, aspett trio cioè terzo aspetto e aspetto quarto e aspetto sesto. Onde siccome paterno veder sono J2 segni cioè J2 casa e ciaschuna casa si è 30 gradi dunque tutta la ruota de' sen gni si è 360 gradi. Onde quando vuoli sapere il sesto aspetto conta 60 gradi che sono due case disopr e due disotto però che 60 gradi si è il sesto di 360 cioè due case sopra l'asciendente troverrai che la terza casa e simigliantemente l'undecima si righuardano per sesto a spetto coli 'asciendente e ll'asciendente non si conta nulla e però sono due aspett al! 'asciendente, l'uno sopra l'asciendente e li 'altro disotto. Quando vorrai sapere i quarto aspetto fae in simile modo, conta 90 gradi disopra ali 'asciendente e 90 disott però che 90 si è il quarto di 360 e troverai che Ila decima casa e Ila quarta sono i

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quarto aspetto e sono due angholi. Per lo terzo aspetto conta 120 gradi, ch 'è 'l terzo di 360, e troverrai che Ila nona casa e Ila quinta sono il terzo aspetto. L 'opposito aspetto sono 180 gradi cioè la metà di 360 ed ài la settima casa si è opposito aspetto cioè metade di 360 gradi. Nota che ssono 12 casa in isteologia, la prima casa significa il cuore e Ila vita e simili di quello che fa la dimanda. La slconda casa significha la sua ricchezza e 'l suo podere. La terza casa significha li suoi fratelli e parenti e mutamento d'uno luogho inn altro e d'una casa inn altra. La quarta casa significha suo padre e ssuo retaggio e carriere e simili. La quinta casa significha messaggierie e sovra rede. La sesta casa significha servi e serve e giente chattiva e coloro che debbono venire in vecchiezza e significha infermitade. La settima casa significha compangnio e contradio di lui o ccose opposite alla sua dimanda o venture insino in 50 anni. L'ottava casa significha paura e morte e retaggi di sue rede appresso la sua morte. La nona casa significha lungho chammino e disolvimento di usioni. La decima casa significha re e signiorie e Ilevamento aventure e scienzie molte. L 'undecima casa significha discordie e allegrezze disideranze. La duodecima casa significha sopra uno camino e sopra bestie maggiori, e quest 'è la somma delle 12 chase. il Sole corre ciaschuno dì naturale 59 minuti e 8 secondi e 9 terze e 21 quarta. La Luna corre ciaschuno dì naturale 13 gradi e lO minuti e 35 terze. Chorpo Dragonis core ciaschun dì naturale 3 minuti e lO secondi e 46 terze e 41 quarte. L 'arghomento corre ciaschun dì naturale 13 gradi e 3 minuti e 54 seconde. Se vuoli sapere dominus anno ghuarda quando el Sole entra nel primo grado d'Ariete o vero nella prima minuta e in quello punto lieva l 'asciendente e ghuarda quale pianeto è signiore dell 'asciendente, cioè la casa dell 'asciendente, e poi ghuarda quale segnio è i' medioceli e qual 'è il suo signiore e questo nota in simile modo e ghuarda quale à più dignitadi e quello pianeto sarà dominus anno. E se 'l signiore dell'asciendente e 'l signiore di mediocelifossono d'una natura e qualitade e simili sì vincierebbe l 'asciendente però ch 'è più forte e ghuarda gl 'aspetti buoni e rei e giudicha secondo loro natura e loro fortezza. Queste sono l'esaltazioni de' pianeti: Sole si è asaltato e forte a 19 gradi d'A ries e 'l cadimento si è la sua oposizione cioè 19 gradi di Libra, Venus si è asaltato eforte a 28 gradi di Pescie e chade nell 'apposito, Mercurio è la sua assaltazione a 15 gradi di Virgho e chade neli 'apposito, la Lune è la assaltazione a 3 gradi di Taurus e chade nell 'apposito, Saturno a 21 gradi di Libra e chade neli 'apposito, Giuppiter a 15 gradi di Chancer e chade nell'apposito, Mars a 28 gradi di Chapricornio e chade nell 'apposito cioè a 29 gradi da Chancer e chosì delli altri pianeti. Queste sono le faccie de' pianeti, dovemo sapere che ciaschuno pianeta si à 3 faccie. La prima faccia si sono li primi lO gradi e Ila seconda faccia li 20 gradi e Ila terza faccia sono da 20 infino in 30 gradi e così ciaschuno pianeta à 3 faccie del sengniale. E diremo di Aries sono li primo lO gradi del Sole e da lO infino in 20 di Venus e di Taurus sono li primi lO gradi di Mercurio infino in 20 sono di Luna e da 20 infino in 30 so-

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no di Merchurio. Giemini sono li primi lO gradi di Giuppiter e da. infino i~ ~O sono gradi di Venus di Mercurio e da 20 infino in 30 sono del Sole, Chancer sono ~i pnml e lli secondi di Merchurio e 'l terzi di Luna, Leo sono li p~un.1 gradi di Saturno e di Giuppite! li secondi e di Mars li terzi, Sole Ven~~ Merchuno In ~Iml!e .modo. . Taurus e Leo e Sco l'pio e Aquario sono le plU forti case pero che In m:zo czaschuno di questi 4 sengni cioè delle 4 tripicitadi, cioè che lla prima tnplcltade SI e Anes e Leo e Sagittario e così dell 'altre tripicitadi. . . ' D 'asterlogia giudicamento, quando t'è fatta la dimanda !leva Incontanente l. ora del dì o sengnia il Sole e poi lascia passare un dì naturale e torna a pU,nto a quell ora ~he trovasti dinanzi e allora lieva l'asciendente e mettz10 nella casa dell asclendente clOe In rima casa. E sappi che la prima casa cioè l 'asciendente e lla quarta e lla settima e lla ~iecima sono li quattro angoli del cielo e l'altre case sono susclendenU e chadentl Slchome parla nel trattato della giemenzia e come mosterremo innanzI. NOI trovzamo Vlrgho asciendente. misi Virgho nella ca~a dell'asciendente epol miSI Libra e g~1 altri lO segniali siccome si conviene. Poi che ai assettati I sengnzahper lle c.ase e tu e ghuarda. per la manca in quale segniale sono tutti i pianeti e in quelli segnza!l e In quelle case g!l

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metti e poi guarda la loro significazione e Ile tripicitadi e Ile loro forze e gli aspetti che ssi ghuardano coll'asciendente e, secondo eh 'alchuno filosafo dicie, in quella ora che

la persona viene a tte in quella ora dèiformare la quistione e llevare l'asciendente e, se Ila quistione è per te in quella ora che tti muove il pensiero, in quell'ora dèi levare l'asciendente e formare la questione e Tolommeo dicie: quando ti viene lo 'maginamento della cosa onde vuoli fare la quistione allora è 'l punto di trovare l'asciendente però che forza e natura di costellazione ti muove alla natura e Ila forza è in quella ora dell'asciendente il pianeto il qual 'è signiore in quella ora. Verbi grazia, la 'maginazione ti viene d'una cosa la quale tu vorai sapere, vattene al maestro che tti fermi la quistione, dicho che quando sarai a llui il signiore dell'ora sarà passato e Il'asciendente ancora sarà passato. Dunque la cost.

Potrà il Verini essere imputato di eccessivo amore verso la patria sua? La risposta sarà decisamente negativa quando si consideri ciò che in appresso avrò a richiamare e si ricordi che maestri fiorentini si rItrovano anche in altre contrade: ricordo che «Antonio Boninj Bellictj de Florentia» e Francesco Bartolomei, o Checco da Firenze, compaiono nei rotuli medioevali dello Studio bolognese quali lettori per le discipline matematiche. 9 8

Op. e tomo citati; p.112. Nella pagina dinanzi si trova la traduzione: «Nelle Carte Arimmetiche Fiorenza Il Nilo vinse un tempo; ed ai Toscani 1?abilonia, che fu d'Assiria Capo, A già ceduto dall'estremo Gange

Allor la Pittagorica Famiglia Venne a fare in Firenze la sua sede; E quindi l'Arte ai teneri fanciulli Fin dall'ora insegnata, s'ebbe a dire Che fosse un pregio infuso ai nostri e innato». 9 Ettore BORTOLOTTI, La storia della matematica nell'Università di Bologna, Nicola Zanichelli, Bologna, 1947; pp. 22-23.

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Una prima direttrice per lo studio della attività matematica fiorentina potrà trovarsi nel considerare la scuola che si rifà a MQ Paolo dell' Abbaco, il pratese Paolo Dagomari. Attorno a questo eccellente autore non spenderò qui alcuna parola intendendo di rimandare lo studioso alla introduzione ch'io posi alla edi, ' zione da me curata del suo Trattato d'aritmetica IO e nella qual e' SI trova, al tresl, un ricco corredo di note bio-bibliografiche: aggiungerò soltanto che è in cors? di stampa una nuova edizione, che io ho curato, delle sue Regoluzze la quale rIsponde a migliori criteri. . . Q . Il modo in cui conforme le norme testamentarIe di M Paolo, a questI subentra MQ Antonio de' Mazzinghi da Peretola che ne fu scolaro, è narrato ampiamente in Appendice nella introduzione al terzo capitolo del q~indicesimo ~:bro. Osservato che il solito Verini, pur parlando di certi nobilI Mazzmghl, non ricorda il nostro, passo ad esporre certe mie considerazioni attorno a taluni pareri espressi dal Boncompagni. Questi identifica con il nostro AntOnIO l' «arismetra e strologo, dello stesso nome che figura fra I corrispondentI di Franco Sacchetti l2 e col «Maestro Antonio arismetra e astrologo» che scambia epistole latine e sonelti con un tal «Flanco».13 In realtà, come del resto il Boncompagni riteneva probabile, questi ultimi due maestri di nome Antomo sono la medesima persona giacché le epistole, con relativi sonetti, sono le medeSime e Il «Fianco» è poi Franco, Franco Sacchetti. 14 E mi chiedo: l'AntonIo corrispondente del Sacchetti è poi il nostro Antonio? Così lo riteneva pure anche GIOvanni Bottari, citato dal Boncompagni; ma io nutro seri dubbi in propOSIto pensan~ do che potrebbe invece trattarsi del MQ Antonio da Ferrara al quale Il Sacchetti dedica la 121 a novella e che ricorda nella 229 a citandone altresì un suo verso: 15 questa, del resto, è pure la opinione dell' estensore delle note alle lettere del Sacchetti. 16 Reputo piuttosto probabile, atteso che MQ Benedetto lo dice anche astrologo, che al nostro MO Antonio debba attribuirsi una «Regola che è buono fare m CIaschedun giorno della Luna» che, in duplice copia con alcune varianti, trovo nel quattrocentesco Codice Magliabechiano Cl. XI. 85 (ex Gaddl 149) della BiblIoteca Nazionale di Firenze. A c. 140 v. una SCrIttura SI apre con le parole: «Maestro Antonio si dice mittete scripto perché lo primo dì che Adamo vidde la Luna si Ila chiamò prima ed erano già 3 dì ch'ella era creata, e ciaschuna volta che Ila Luna sarà prima per la sanità e desia sarà buona ciascheduna cosa fare etc.»; la IO Paolo DELL'ABBACO, Trattato d'aritmetica Secondo la lezione del Codice Mag/iabechiano XI, 86 della Biblioteca Nazionale di Firenze. A cura e con introduzione di Gino ARRIGHI, PIsa, Domus Galtlaeana, 1964. " Op. cit., tomo Il; pp. 48-49. 12 Op cit., p. 153 13 Op. cit., pp.157 e sego Il B. trascrive dal Cod. MagI. Cl. VIl. 852.. . .. .. . nier l' Franco SACCHETTI, I sermoni evangeilci. le lettere ed altri scnttl mediti o ran, FIrenze, Feltce Le Mon ,

l857;pp.250-252. . Franco SACCHETTI, Le novelle, (due volumi) Firenze, Fehce Le Monnlcr, 1860 e 1861. La novella 121 è a pp. 289-291 del voI. I e la citazione nella novella 229 è a 280 del voI. Il. 16 Op. cit., nota a piè di p. 250. 15

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stesura che inizia a c. 173 r. comincia così' «Maestro Anton' d' h Il . d' h d' . ' lO Ice c e o pnmo 1 c e A amo vidde la Luna SI lla chiamò prima ed eran già tre dì ch' elI'era creata e ciaschuna volta che lla Luna sarà prima per la sanità e desia si sarà buona cascheduna chosa fare etc.». seguirà l'allievo suo MQ Giovanni dI' Bartolo dI' c U1. SI. d'anno A . MQ Antonio .. . . ampIe notlZ1e nella .mtr,?duzlOne al secondo capitolo del quindicesimo libro del presente Trattato dI M Benedetto. Per la sua biografia, però, è indispensabile conoscere 117a su~ portata al catasto fiorentino del 1427; già fu edita dal Boncompagm, ma mtendo qui riferirla come l'ho letta nell'originale.18 AI nome di Dio, amen. «Questi sono i benj del Maestro Giovannj di Bartolo delI'Abacho d I Q rt' d' S t S " G