İktisatçılar İçin Matematik [PDF]

Zitiervorschau

ANKARA

ÜNİVERSİTESİ SİYASAL BİLGİLER FAKÜLTESİ Y A Y I N L A R I N O :

ATATÜRK'ÜN

100. DOĞUM YILINA

461

ARMAĞAN No. 4

HASAN ERSEL

İktisatçılar için Matematik

ANKARA

ÜNIVERSITESI

ATATÜRK'ÜN

SIYASAL

BILGILER

FAKÜLTESI

100. DOĞUM YILINA

YAYıNLAR

NO:

461

ARMAĞAN No. 4

HASAN ERSEL

iktisatçılar için Matematik

ZEYNEP'e

A N K A R A

Ü N İ V E R S İ T E S İ

B A S I M E V İ

—

A N K A R A

"

19 8 1

ÖNSÖZ \

Bu kitap iktisatçılar için yazılmıştır. Amaç, okuyucuyu bir yandan iktisatta gerekli bazı matematiksel yöntemlerle tanıştırmak, öte yandan da matematiksel düşünmeye alıştırarak doğrudan matematik kitaplarından yararlanabilir duruma gelmesine yardım etmektir. Kitap, okuyucunun lise matematiği ve giriş düzeyinde iktisat bildiği varsayımı üzerine kurulmuştur. Basit ve matematiksel düşünmeyi öğretici olduğu ölçüde teoremlerin kanıtlarına yer verilmiştir. Ele alınan konularda derinleşmek isteyen okuyucular için her bölüm sonunda çeşitli düzeylerde kaynaklar verilmiştir. Son olarak, kitabın iktisatçılar için düşünülmüş olması nedeniyle bir yandan iktisat ile ilgili alıştırmalar ve uygulamalara hemen her bölümde yer verilmiş, öte yandan da 16., 20. ve 24. bölümlerde dduğu gibi matematiksel iktisadın bazı yöntem sorunlarının ana çizgileri ile ele alınması yoluna gidilmiştir. Kitap 1974'den bu yana Siyasal Bilgiler Fakültesinde vermiş olduğum matematik derslerinden kaynaklanmaktadır. Bu süre içinde kitabın bazı bölümleri sınırlı sayıda çoğaltılmıştı. Bunlara ilişkin olarak öğrencilerimden, arkadaşlarım Cem Somel (SBF) ve Doç. Dr. Nuri Yıldırım''dan (SBFj bazı eleştiriler aldım. Dr. Haluk Erlat (ODTÜ) 21. Bölüm üzerinde eleştirilerde bulundu. Doç. Dr. Yılmaz Akyüz (SBF) ile kitabın tüm yapısını defalarca tartışmak fırsatını elde ettim. Ayrıca kendisi kitabın basımı boyu her aşamasında bana yardım etti. Kitabın bir kısmının düzeltmelerini Esin Yalçın yaptı. Başta sayın Faruk Çınar ve sayın Ali Tekbaş olmak üzere Ankara Üniversitesi Basımevi çalışanları basım süresince büyük emek harcadılar, olağanüstü sabır ve hoşgörü gösterdiler. Kendilerine teşekkürlerimi sunmayı bir borç biliyorum. Kitapta kalan tüm hatalardan sadece ve sadece ben sorumluyum. Umudum, okuyucuların bunları düzeltmemde bana yardımcı olmalarıdır. Eylül 1980 SBF, Ankara III

Kitapta Çok Kullanılan Bazı Mantıksal Simgeler ve Karşılıkları => ise o

Ancak ve ancak (a.v.a.)

V

Tüm

3

Vardır

-3-

Öyle ki

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖNSÖZ

111

:'.'.

1. GİRİŞ: İKTİSATTA MATEMATİĞİN ROLÜ

1

2. MANTIKSAL TEMELLER

5

2.1. Bazı Temel Mantıksal Kavramlar

5

2.2. Çıkarım ve Mantıksal İçerme 2.3. Matematiksel Kanıtlama Yöntemleri Alıştırmalar Kaynaklar

15 17 21 22

3. KÜME KURAMI 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Cantor'un Küme Kuramı Küme İşlemleri Venn Çizgeleri Küme Cebiri Alıştırmalar Kaynaklar

4. BAĞINTI VE İŞLEV

23

,....

23 26 27 27 30 32 33

4.1. Sıralanmış İkililer 4.2. Bağıntılar ve özellikleri

33 34

4.3. Bağıntı Türleri 4.4. İşlev Alıştırmalar Kaynaklar

36 37 38 41 VII

Sayfa 5. İŞLEMLER VE MATEMATİKSEL YAPILAR 5.1. İkili İşlemler , 5.2. Matematiksel Yapılar Alıştırmalar Kaynaklar 6. DOĞRUSAL CEBİR

42 42 44 49 50 51

6.1. İktisatta Doğrusal Bağıntılar

51

6.2. Yöneyler ye Yöney İşlemleri

54

6.3. Yöney Uzayları 6.4. Doğrusal Bağıntılar ve Taban Alıştırmalar Kaynaklar

60 63 66 67

7. DOĞRUSAL DÖNÜŞTÜRMELER YE DİZEYLER

68

7.1. Doğrusal Dönüştürmeler ye özellikleri 7.2. Doğrusal Dönüştürmelerin Dizey Gösterimi

68 72

7.3. Dizey İşlemleri 7.4. Bazı Dizeyler

73 79

7.5.

Dizeylerin Bölüntülenmesi Alıştırmalar

83 86

Kaynaklar

88

8. BELİRTEN VE İZ 8.1. Belirtenin Hesaplanması

89

8.2.

Belirtenlere İlişkin Bazı özellikler

93

8.3.

İz

97

Alıştırmalar

97

Kaynaklar

98

9. BASİT İŞLEMLER, AŞAMA VE EVRİK DİZEY

VIII

89

99

9.1. Basit İşlemler 9.2. Aşama

99 103

9.3. Evrik Dizey Alıştırmalar Kaynaklar

108 110 110

10. DOĞRUSAL DENKLEM DİZGELERİ YE ÇÖZÜMLERİ

....

111

10.1. Doğrusal Denklem Dizgeleri 10.2. Doğrusal Denklem Dizgelerinin Çözümü

111 112

10.3. Doğrusal Denklem Dizgelerinin Çözömü İçin Yöntem . . . . 10.4. Cramer Kuralı Alıştırmalar Kaynaklar

121 125 126 128

11. ÖZGÜL DEĞERLER, ÖZGÜL YÖNEYLER, KÖŞEGENLEŞTİRME YE KARESEL BİÇİMLER 11.1. özgül Değerler ve özgül Yöneyler 11.2. Benzerlik Dönüştürmeleri ve Köşegenleştirme 11.3. Karesel Biçimler

129 129 136 141

11.4. Doğrusal Kısıtlar Altında Karesel Biçimler

146

11.5. Kesin ve Yarıkesin Dizeylerin Bazı özellikleri Alıştırmalar Kaynaklar

148 149 150

12. EKSİ OLMAYAN KARE DİZEYLER 12.1. Leontief'in Girdi-Çıktı Modeli 12.2. Eksi Olmayan Kare Dizeyler

152 152 154

12.3 Perron-Frobenius Teoremleri 12.4. Leontief Modelinin Çözümü Alıştırmalar

159 161 169

Kaynaklar 13. DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER VE DIŞ BÜKEY KÜMELER . . .

171 172

13.1. Doğrusal Eşitsizlikler 13.2. R" İçindeki Kümelere İlişkin Bazı özellikler

172 175

13.3. Dışbükey Kümeler 13.4. Çok Yüzeyli Kümeler ve Uç Noktalar Kaynaklar

177 183 185

14. EREY VE SÜREKLİLİK 14.1. Erey 14.2. Süreklilik Alıştırmalar Kaynaklar

187 187 194 198 199 IX

Sayfa 15. TÜREV

200

15.1. Bir Eğrinin Eğimi, Türev ve Türevlenebilirlik 15.2. Tek Değişkenli İşlevlerde Türev Alma Kuralları 15.3. Çok Değişkenli İşlevlerde Türev 15.4. Türevsel, Toplam Türevsel ve Toplam Türev

200 206 •....

212 221

15.5. Yöney Değerli İşlevler, Jacobi Dizeyi ve İşlevsel Bağımsızlık .. 15.6. örtük İşlevler, örtük İşlev Teoremi ve Evrik İşlev Teoremi .. .

226 231

Alıştırmalar Kaynaklar

240 244

15. BÖLÜME EK: Dizeylerin Türevlenmesine İlişkin Bazı Kurallar . .

245

16. İKTİSATTA KARŞILAŞTIRMALI DURAĞAN YÖNTEM . . . .

248

16.1. İktisatta Durağan Yöntem ya da Denge Çözümlemesi . . . .

248

16.2. İktisatta Karşılaştırmalı Durağan Yöntem

252

16.3. Nitel Hesap ve İktisatta Karşılaştırmalı Durağan Yöntem . . . . 16.4. Karşılaştırmalı Durağan Bilginin Kaynakları Alıştırmalar Kaynaklar ...i

262 268 269 270

17. ENİYİLEME SORUNU I: KISITSIZ ENİYİLEME 17.1. Uç Değer Kavramı ve Türleri

271

17.2

277

Seriler, Üs Serileri ve Taylor Teoremi

17.3. Tek Bağımsız Değişkenli Türevlenebilir İşlevlerde Yerel İç Uç Noktanın Bulunması Sorunu 17.4. n-Bağımsız Değişkenli Türevlenebilir İşlevlerde Yerel İç Uç Noktanın Bulunması Sorunu 17.5. Tümel Uçların Bulunması: Dışbükey ve İçbükey İşlevler . . . .

285 293 299

Alıştırmalar

303

Kaynaklar

304

18. ENİYİLEME SORUNU II: EŞİTLİK KISITLARI ALTINDA ENİYİLEME

X

271

305

18.1. Eşitlik Kısıtları Altında Eniyileme Sorunu 18.2. Bir Eşitlik Kısıtı Altında Eniyileme

305 309

18.3. Birden Çok Eşitlik Kısıtı Altında Eniyileme Alıştırmalar Kaynaklar

317 324 325

Sayfa 19. ENYİLEME SORUNU III: EKSİ OLMAMA VE EŞİTSİZLİK KISITLARI ALTINDA ENİYİLEME

326

19.1. Eksi Olmama Kısıtlarının Varlığı Halinde Eniyileme

326

19.2. Eşitsizlik Kısıtlarının Varlığı Halinde Eniyileme

331

19.3. Kuhn-Tucker Gerekli Koşulları

336

19.4. Lagrange'gil Eğer Noktaları, Yeterli Koşullar

346

19.5. Türevlenebilirlik

Koşulunun

Kaldırılması:

Matematiksel

Programlama

349

Alıştırmalar

350

Kaynaklar

351

20. İKTİSATTA ENİYİLEME SORUNLARI VE KARŞILAŞTIRMALI DURAĞAN YÖNTEM

352

20.1. Eniyileme Sprunlarına Karşılaştırmalı Durağan Yöntemin Uygulanması

352

20.2.

Eniyileme Sorununa Karşılaştırmalı Durağan Yöntemin Uygulanmasına Örnek: Maliyet Enazlaması 20.3. Zarf Teoremi ve Karşılaştırmalı Durağan Yöntem

357 359

20.4.

ZarfTeoreminin Uygulanmasına Örnek: Viner-Wong Teoremi.

361

Alıştırmalar

363

Kaynaklar

364

21. TÜMLEV

366

21.1. Alan Kavramı 21.2. Tümlev Kavramı

366 370

21.3. Tümlev ile Türev Arasındaki Bağıntı 21.4. Tümlevlenebilirlik ve Tümlevleme Kuralları

376 377

21.5. Bazı Tümlev Alma Yöntemleri 21.6. Düzensiz Tümlev

381 386

21.7. Katlı Tümlev 21.8. Tümlevde Değişken Değiştirme

389 390

21.9. Tümlevin İktisatta Kullanılışına Örnekler Alıştırmalar Kaynaklar

392 393 395 XI

Sayfa 22. TÜREVSEL DENKLEMLER

396

22.1. Türevsel Denklem Kavramı ve Türleri 22.2. Birinci Sıra Türevsel Denklemler

396 398

22.3. 22.4.

410

İkinci Sıra Türevsel Denklemler Sabit Katsayılı Birinci Sıra Doğrusal Türevsel Denklem Dizgeleri

420

Alıştırmalar

431

Kaynaklar

433

23. FARK DENKLEMLERİ

435

23.1. Kesikli Zaman ve Fark Kavramları, İşlemleyiciler

435

23.2.

438

Doğrusal Fark Denklemleri

23.3. Birinci Sıra Sabit Katsayılı Doğrusal Fark Denklemleri 23.4. n-inci Sıra Sabit Katsayılı Doğrusal Fark Denklemleri 23.5.

441 ...

446

Birinci Sıra Sabit Katsayılı Doğrusal Fark Denklemi Dizgeleri.

454

Alıştırmalar

459

Kaynaklar

461

24. KARARLILIK

463

24.1. Lyapunov'un Kararlılık Kuramı

464

24.2. Doğrusal Türevsel Denklem Dizgelerinde Kararlılık

472

24.3.

475

Doğrusal Fark Denklemi Dizgelerinde Kararlılık

24.4. İktisatta Karşılaştırmalı Durağan Çözümlemede Kararhlığın Görevi: Samuelson'un Karşdama İlkesi Alıştırmalar Kaynaklar

478 484 485

İNGİLİZCE BAZI TERİMLER VE TÜRKÇE KARŞILIKLARI . . .

487

DİZİN

492

XII

1.

Bölüm

GİRİŞ, İKTİSATTA MATEMATİĞİN ROLÜ Son 30 yıllık dönemin iktisat yazınına bir göz atacak olursak gittikçe yaygınlaşan ve yoğunlaşan bir matematik kullanma eğilimini kolayca saptayabiliriz. Bu eğilim kendisini artık o denli güçlü kabul ettirmiştir ki hemen hemen hiç bir çağdaş iktisatçı, matematikten yararlanmaksızın, iktisat kuramında ya da uygulamalı iktisatta bir şeyler yapmayı aklından geçirmemektedir. Üstelik bu eğilim çeşitli iktisat okullarını da sarmış durumdadır. Zon zamanlarda bu eğilim açısından Neoklasik, Marx'çı ve Keynes'çi iktisatçılar arasında bu açıdan bir fark kalmamış gibidir. Farklı tür ve düzeyde olsa da tüm iktisat okulları bugün matematik yöntemleri kullanmaktadır. İktisatta matematik kullanımı bir taraftan yaygınlaşırken öte yandan da hızla yoğunlaşmaktadır. Yani iktisat için gerekli olan matematik giderek matematiğin derinliklerine uzanmağa başlamış ve hatta matematiğin sınırlarım zorlamağa başlamıştır. Bu da iktisadın gerektirdiği matematiğin de üretilmesine yol açan bir süreci başlatmıştır. Nitekim, 1974 yıbndan bu yana çıkmakta olan "Journal of Matematical Economics" adlı dergi, temelde bu işlevi üstlenmiş bir yayın organı niteliğindedir. İktisatta matematikten yararlanılması yeni bir olay değildir. 1711'de bir İtalyan papazı olan Giovanni Ceva para üzerine yazdığı bir yazıda, cebirsel ifadeler kullanmış ve böylece iktisatta matematik kullanan ilk kişi unvanını kazanmıştır. Ceva'nın yazısından sonra D. Bernoulli'nin (1738) faydanın incelenmesine türevsel hesabı sokması, H. Lyold adlı bir İngiliz subayının para üzerine yaptığı deneme (1771), ünlü Alman iktisatçısı J.H. von Thünen'in (1826) kuruluş yeri kuramlarına öncülük eden yapıtı W. Whelwell'in "Siyasal İktisadın Bazı Doktrinlerinin Matematiksel Sunumu" (1829) başlığını taşıyan yazıları gibi, yer yer matematik kullanan çalışmalar ortaya çıkmıştır. Bu dönem için matematiksel iktisadın "emekleme çağı" deyiminin kullanılması doğru olabilir. Matematiksel iktisadın ortaya çıkışı ise A. Cournot ile olmuştur. Onun, "Reserches sur les Principles Mathematiques de la Theorie des Richessea" 1

(1838) adlı yapıtında değer, istem, sunum, fiyat, tekel, rekabet, oligopol ve vergi gibi konular matematiksel modeller kurularak incelenmişti. Bu nedenle de A. Cournot "matematiksel iktisadın babası" olarak kabul edilmiştir. Aslında bu kitap 1870 yılına kadar pekilgi uyandırmıştır. Bu tarihte bir yandan S. Jevons öte yandan L. Walras kitabı keşfetmişler ve önemini ısrarla vurgulamışlardır. Bu kişilerin öncülük ettiği neoklasik okul (marjinalistler) türevsel hesabı iktisatta yoğun bir biçimde uygulamağa başlamıştır. XX. yüzyılda matematiğin iktisatta kullanımını etkileyen bir ikinci boyut daha ortaya çıkmıştır. Bu da bilgisayarların ve ona bağlı olarak hesaplama yöntemlerinin geliştirilmesidir. Bu gelişmelerin sonucunda iktisatta gözlenebilen nicel büyüklükler ile hesap yapma ve istatistiksel yöntemlerden yararlanarak öngörmeye yönelik çalışmalar giderek yaygınlaşmağa başlamıştır. Bu çalışmalar Ekonometri adını alan bir dalın doğmasına yol açmıştır. Diğer taraftan XX. yüzyılda iktisat kuramında matematik kullanılması süreci de hızla gelişmiştir. Özellikle K.J. Arrow, G. Debreu ve L. McKenzie gibi iktisatçıların genel denge kuramı1 üzerindeki çalışmaları, türevsel ve tümlevsel hesabın dışında birçok yeni matematik dalın iktisada kazanılmasına yol açmıştır. Matematik, iktisada neler kazandırmıştır? Bunun yanı sıra iktisatta matematik kullanırken hangi noktalara dikkat etmelidir? Bu sorunlar özellikle 1950'lerde yoğun olarak tartışılmıştır.2 Matematik de gelişen ve kendi temellerini araştıran bir disiplin olduğuna göre, iktisatta matematik kullanıldığı sürece, yani sonsuza dek, bu tartışmalar büyük bir olasılıkla sürüp gidecektir. Ancak bu tartışmaların özü hiç bir zaman "iktisatta matematik kullanılsın mı kullanılmasın mı?" biçiminde anlaşılmamalıdır. Özellikle son zamanlarda iktisatta matematik kullanma eğiliminin geri dönülmezliği iyice belirginleştikten sonra, bu tür tartışmalar, sadece bir yöntem olarak matematikten nasıl iyi yararlanılabileceği sorusu ile sınırlı olarak anlam taşımaktadır. Matematiğin, iktisatta kullanılmasının en önemli katkısı, kendi biçimsel yapışmdan kaynaklanmaktadır. Matematikte akd yürütmeyi sağlayabilmek için tüm varsayımların belirtik (explicit) olarak ortaya konması gerekir. Oysa, sözcüklerle yapılan tartışmalarda bazı varsayımlar atanabilmektedir. Nitekim iktisatta birçok anlaşmazlık bu noktadan, yani bazı örtük (implicit) varsayımların varlığından, kaynaklanmıştır. Matemağin bir ikinci katkısı da varsayımlardan sonuca gidişte mantık hatası yapılmamasını sağlamasıdır. Matematiksel çıkarımların izlenmesi ve dolayısı ile hataların saptan1 Genel denge kuramı ve bu konunun matematiği için Tuncer BULUTAY: Genel Denge S B F Yayım, No. 434, Ankara, 1980 başvurulabilir. 2 Bu konuda Tuncer B U L U T A Y : "İktisatta Matematik" SBF DERGİSİ Sayı 3-4, s.1-10 ve orada verilen kaynaklara başvurulabilir.

2

Kuramı,

Cilt X I X , Yıl 1965-

ması sözcüklerle yapılan akıl yürütmelere oranla daha kolaydır. Bu da matematiğin iktisatta doğru düşünmeyi kolaylaştırma katkısı olarak nitelendirilebilir. Son olarak insan beyninin bir özelliği de matematik gibi bir yardımcıyı gerekli kılmaktadır. İnsan beyni aynı anda çok sayıda değişkeni ele alıp bunlar arasındaki bağıntıları inceleyebilecek kadar güçlü değildir. Oysa, matematikten yararlanıldığında bu olanaklıdır. Matematiğin bu gücü, özellikle iktisat gibi çok sayıda değişkene sık sık başvurmak durumunda kalan bir bilim alanı için önemli bir katkı olmaktadır. Matematiğin bu yararlarının yanı sıra dikkatli kullanılmaması durumunda bazı sakıncaları da söz konusu olabilir. Bunlardan ilki, matematiği yeterince bilmemek ve anlamamaktan kaynaklanan bir yanlıştır. Bu da matematiksel açıdan kanıtlanan bir sonucun doğruluğunu kabul etme eğilimidir. Matematik bir akıl yürütme yöntemidir. Bir sonucun matematiksel yöntemle doğruluğunun kanıtlanması, başta yapılan varsayımlarla tutarlılığının gösterilmesi anlamına gelir. Bilim alanında önem taşıyan "ele alman olayı açıklayabilme" bağlamında "doğru" ya da "doğru kabul edilen" sonuçtur. Yukarıdaki açıklamalardan da çıkarılabileceği üzere matematiksel kanıtlama bize bunu vermez. Bu ikisinin karıştırılması nedeniyle çoğu kez "matematiksel olarak kanıtlandığı üzere" biçiminde bir nitelendirmeyle matematiksel doğruluk bilimsel doğruluk yerine geçirilmektedir. Ancak iktisatçılar matematik öğrendikçe bu yönde yanlışlara düşmekten uzaklaşmışlardır. İktisatta matematik kullanırken unutulmaması gereken bir özellik, iktisadin toplumsal bir bilim olduğu, bu nedenle iktisadi çözümlemede kullanılan değişkenlerin içi boş, basit simgeler olmayıp, ele alman soruna ilişkin soyutlamalar sonunda ortaya çıkan kavramları gösterdikleridir. Böyle olunca da bu değişkenlerin karmaşık, yer yer bulanık ve ölçülemeyen şeyleri ifade etmekte olduklarına dikkat etmek gerekir. Bunları matematiksel simge ve bağıntılar biçiminde ifade ettiğimizde, zorunlu olarak, değişkenleri kandi içlerinde dondurmak ve sanki iyi tanımlanmış, değişmez şeylermiş gibi düşünmek gerekmektedir. Böylece değişkenlerin nitel özelliklerinin değişmez olduğunun varsayılması durumu oraya çıkmaktadır. Bu varsayım ise, toplumsal bir bilim olan iktisat açısından önem taşıyan bir boyutun ihmal edilmesi anlamına gelmektedir. Bazan iktisatta yukarıda değinilen, ve bir anlamda kaçınılmaz olan, simgeleştirme ve nitol değişmelerden arıtma sürecinin de ötesine gidilmekte ve matematiksel uygunluk ayracı iktisadi geçerliğin önüne geçebilmektedir. Bu durumda matematiksel açıdan güzel, tutarlı sonuçlar alınabilmekte, fakat bunun fiyatı iktisadi açıdan anlamlı varsayımlardan vazgeçilmesi olduğun3

dan, yapılan çaba bir matematiksel alıştırma yapmanın öte&ine geçememektedir. Çağımızın iktisatçısı için açık olan yol ise, burada çok kaba çizgilerle değinilen yöntem sorunlarına dikkat etmek koşulu altında matematik öğrenmek gibi görünmektedir. Bu kitabın amacı ise böyle bir çabaya giriş yapmaktır.

4

2. Bölüm

MANTIKSAL TEMELLER Herhangi bir iktisadi olayı açıklamak istediğimizi düşünelim. Bunun için, bizce, önemli olan değişkenleri seçmemiz ve bunlar arasında bazı bağlantılar varsaymamız gerekmektedir. Bu model kurma aşamasından sonra, varsayımlarımızın mantıksal sonuçlarını bulmak için akıl yürütmemiz gerekecektir. İşte burada önemli olan, akıl yürütme sürecinin hatasız, yani mantıksal açıdan tutarlı olmasının sağlanmasıdır. Matematik bize, büyük ölçüde bu noktada yardımcı olmaktadır. Bu bölümde mantıksal tutarlılık konusunun kavranmasına yardımcı olmak üzere bazı mantıksal kavramları ele alıyor, ve bu yolla matematiğin, iktisatta bu yöndeki işlevinin daha iyi anlaşılmasını sağlamağa çalışıyoruz. 2.1. Bazı Temel Mantıksal Kavramlar

Bir konuyu anlatabilmek için tümcelere başvururuz. Tümce türlerinden birisi de haber ileten tümcelerdir. Bunlara Haber Tümcesi denir. Örneğin "Matematik dersini beraber yapacağız" gibi. Bazı haber tümceleri ya doğru ya da yanlış olarak nitelendirilebilirler. Bunlara önerme (Proposition) denir. Biz, bir önermeyi, p, q, r gibi küçük harflerle göstereceğiz. Açıktır ki günlük dilde, pek çok önerme "belli bir yorum yapılmadıkça" kendiliğinden doğru ya da yanlış olarak nitelenemez. Bu nedenle bir önerme denildiğinde, belli bir yorumlama halinde belli bir doğruluk taşıyan tümce anlaşılmalıdır1. ÖRNEKLER: (1) Türkiye'de 1950 seçimlerini Demokrat Parti kazanmıştır. (Tarihsel bir olgu, yorumlamaya gerek yok). (2) Türkiye ekonomisi son günlerde kötüye gidiyor, (Doğruluğu ve yanlışlığı, Türkiye ekonomisinin durumunun ve kötünün ne olduğunun yorumlanmasına bağlıdır.) Yukarıda değinilen "Doğru" ya da "Yanlış" nitelemelerine Doğruluk Değeri (Truth Value) denilir. Doğruluk değerlerini biz sırasıyla D ve Y simgeleriyle göstereceğiz. Bazı kaynaklarda yine sırasıyla 1 ve 0 da kullanılmaktadır. 1 Bu nokta için G R U N B E R G -ONART-BATUHAN (1976, s. 9) başvurulabilir.

5

ÖRNEKLER : 1) İstanbul 1979 da Türkiye'nin en kalabalık şehiri idi (D) 2) Türkiye 1970'de dünyada adam başına geliri en düşük olan ülke idi. (Y) 3) Siyasal Bilgiler Fakültesi Ankara'dadır. (D) Bir önerme verildiğinde, bunun yanlış olduğunu ileri süren bir başka önerme düşünebiliriz. Bu önermeye ilkinin Değili (Negation) denir ve bu türde önerme elde etmeğe de Değilleme adı verilir, p bir önerme olduğunda bunun değili '—'p ile gösterilir. ÖRNEK: p = Yarın okula gideceğim q önermesinin sözcüklerle nasıl ifade edilebileceğine bakalım, p => q önermesi aşağıdaki almaşık, eşlenik, biçimlerde ifade edilebilir: i) p ise q dır. ii) p ancak eğer q ise iii) p, q yı içerir. iv) p, q için yeterli koşuldur. v) q, p için gerekli koşuldur. Biz burada bu beş ifadenin son ikisi üzerinde durmaya çalışalım, p ise q dır biçiminde bir önermenin anlamı, eğer p => q doğru ise, p doğru olduğunda q mutlaka doğrudur anlamına gelir ..Ancak bu durumda q, p doğru olmasa da doğru olabilir. Bu nedenle p, q için bir Yeterli Koşuldur (Sufficient Condition) denir. Buna karşılık q, p için bir Gerekli Koşuldur (Necessery Condition). Çünkü p => q doğru olduğunda, p doğru kabul edilir ise q doğru kabul edilmek zorundadır. ÖRNEK: "Devlet harcamalarının yer aldığı basit Keynes'çi modelde yatırımlar artarsa gelir artar" önermesinde p = yatırımlar artar ve q = gelir artar olsun. Bu p => q biçiminde bir önermedir. Sözkonusu Keynes'çi modelde bu önermenin doğru olduğunu biliyoruz. Yani bu tür bir modelde p doğru olduğunda q doğrudur. Ya da başka bir deyişle q, p için gereklidir. Buna karşılık, aynı modelde kamu harcamalarındaki bir artış da geliri artıracağından p yanlış olduğunda bile q doğru olabilir. Dolayısı ile p, q için bir yeterli koşuldur. Nitekim Y gelir, C tüketim, I yatırım ve G kamu harcamalarını gösterdiğinde basit Keynes'çi modeli 12

Y = C + I + G C = cY I

O< c < 1

!

G = Ğ biçiminde yazabiliriz. Burada I ve G yatırımların ve kamu harcamalarının dışsal (exegenous), yani modelin dışında belirlenmiş değişkenler olduğunu simgelemektedir. Modelin son üç denklemini birincide yerine koyarsak Y = cY + 1 + Ğ olacağından, denge geliri Y" = - j ^ (î + Ğ) olacaktır. Şimdi yatırımın A I kadar arttığını kabul edelim. (A I > O). Bu durumda yeni denge geliri Y*

Y ^ - î ^ d

+AI+Ğ) =

+Ğ)

+ T ^ A I

Y* = Y e + - i - A l 1—c Ya da Y* — Y e = —i— A l > 0 1—c olacak, yani denge gelir düzeyi artacaktır. O halde yatırım, arttığında gelir, bu model çerçevesinde mutlaka artacaktır. Buna karşılık, kamu harcamalalarmda da AG kadar bir artış olduğunda yine denge gelirinin Y e — Y e = - J - AG > 0 1—c biçiminde artacağını gösterebiliriz. O halde gelirin artması için yatırımların artması yeterli fakat gerekli olmayan bir koşuldur. Şimdi yeni bir tanım verelim: TANIM 2.1.6: p q önermesi verilsin. Bu durumda q => p önermesine bunun Karşıtı (Converse), ~ p => ~ q önermesine Evriği (Inverse) ve -— q => >—' p önermesine de Ters Karşıtı (Contra Positive) denir. Tanım 2.1.6'da verilen kavramların doğruluk değerleri aşağıdaki çizelgede verilmektedir: 13

p D D Y Y

q D Y D Y

p=>q

q=>p

D Y D D

D D Y D

~

p=>

D D Y D

q

=> ı—p D Y D D

Çizelgeden de kolaylıkla görülebileceği üzere aşağıdaki teorem doğrudur. TEOREM 2.1.3: Bir koşullu önerme ile bunun ters karşıtı mantıksal denktir. Bu teorem bize ileride kanıtlamaya ilişkin kuralları tartışırken yararlı olacaktır. Gerek iktisatta (ve diğer bilimlerde) ve gerekse matematikte bazan "ancak ve ancak p ise q dır biçiminde önermeler yer almaktadır. TANIM 2.1.7: Ancak iki ana bileşeninin birden aynı doğruluk değerini taşıması durumunda doğru olan bileşik önermeye Karşılıklı Koşullu Önerme (Biconditional Proposition) denir ve p o q biçiminde gösterilir. Bu önermenin doğruluk çizelgesi ise P D D Y Y

q D Y D Y

p q D Y Y D

biçimindedir, Bu tür önermeler koşullu önermelere oranla çok daha güçlü bir nitelik taşımaktadır. Nitekim burada, p, q için hem gerekli ve hem de yeterlidir. (Necessary and SufficientJ. Yani q nm doğru olması ancak p doğru olduğunda söz konusudur. q, p doğru olmadığında doğru olamaz. q doğru ise p mutlaka doğrudur. ÖRNEK: "Basit miktar kuramında ancak ve ancak para sunumu arttığında fiyatlar artar". Bu önermenin anlamı para sunumundaki artışın fiyat artışına yol açtığı ve başka hiç bir koşulun fiyat artışına yol açmayacağıdır. Basit miktar kuramında MV = PY M = Ms Y = Y V = olduğundan 14

V

Miktar denklemi Para miktarı = para sunumu Ulusal gelir düzeyi, sabit. Paranın devir hızı, sabit.

M' s = M1 = M" + AM biçiminde para sunumu arttığında, miktar denkleminin sağlanabilmesi için sağ tarafta da birşeylerin artması gerekmektedir. Oysa ulusal gelir düzeyi sabit kabul edildiğinden, bu durumda tek artabilecek olan fiyat düzeyi, P, olmaktadır. Yani (M° + AM) V = (P° + AP) Y olacaktır. Böylelikle para sunumunda bir artış olduğunda fiyatlar genel düzeyinde de bir artış olacağını göstermiş oluyoruz. Diğer taraftan aynı bağıntıları kullanarak, fiyatlar genel düzeyinde bir artış olmuşsa, V nin sabit olması nedeniyle, para sunumunun artmış olduğu da gösterilebilir. Böylece basit miktar kuramı çerçevesinde, para sunumundaki artış, fiyatlar genel düzeyinin yükselmesi için gerekli ve yeterli koşul olmaktadır. 2.2. Çıkarım ve Mantıksal

İçerme

Önce Çıkarım (Argument) kavramını tanımlayalım: TANIM 2.2.1: Öncüller adı verilen bir Pj, P 2 , . . . , P n önermeler derleminden sonuç (hüküm, coııclusion) adı verilen bir diğer önermenin elde edilmesine Çıkarım denir ve bu P„ P 2 . . . , P n I- Q biçiminde gösterilir. Bir çıkarım ancak ve ancak tüm öncüller doğru olduğunda sonuç doğru ise doğrudur. Bu tanımlamadan anlaşılacağı üzere çıkarım bir önermedir ve dolayısı ile doğruluk değeri vardır. Doğru olan bir çıkarıma Geçerli (Valid), yanlış olan bir çıkarıma ise Geçersiz (Fallacy) denir. ÖRNEK 1:

P, = P Pj = p => q

Q = q şimdi bu çıkarımın geçerli olup olmadığını saptayalım. Bunun için bu çıkarımın doğruluk çizelgesini kuralım: p D D Y Y

p => q D Y D D

q D Y D Y

Dikkat edilirse bu çıkarımda tüm öncüller sadece birinci satırda doğrudur. Bu durumda sonuç da doğru olduğundan, bu geçerli bir çıkarımdır. 15

ÖRNEK 2: P, = p => q

P2 = q Q = p olduğunda acaba P,, P 2 — I Q çıkarımı geçerli midir ? Yine bu çıkarımın doğruluk çizelgesini çıkaralım: p => q

q

D Y D D

D Y D Y

P D D Y Y

Dikkat edilirse bu çıkarımda birinci ve üçüncü satırlarda tüm öncüller doğrudur. Oysa üçüncü satırda sonuç yanlıştır. Bir çıkarımın geçerli olabilmesi için tüm öncüller doğru olduğunda sonucun doğru olması gerektiğine göre, bu çıkarım geçerli değildir. Bu açıklamalar ve örneklerden de görülebileceği üzere bir çıkarımda tüm öncüllerin (P,, P 2 ,. . ., P n ) doğru olması demek Pj /\ P 2 .. .. P„ önermesinin doğru olması anlamına gelir. O halde geçerli çıkarımı saptayabilmek için bir başka yol daha ileri sürülebilir. TEOREM 2.2.1: P, A P 2 A P„ => Q b i r doğrusal geçerli önerme ise P 1 5 P 2 , . . . ., P n H Y çıkarımı geçerlidir. ÖRNEK 1: Pı = P p

2 = p => q Q = q

16

P D

q

p => q

D

D

D

D

D

Y

Y

Y

D

Y

D

D

Y

D

Y

Y

D

Y

D

p A (p => q) [P A (p => q)] => q

ÖRNEK 2: p

ı = p => q

P 2 = q => r Q = p => r p

q

r

(p=>q)

(q=>r)

(p=>r)

D D D D Y Y Y Y

D D Y Y D D Y Y

D Y D Y D Y D Y

D D Y Y D D D D

D Y D D D Y D D

D Y D Y D D D D

(p=>q) A [(P=>q) A (q=»r) ] (q=>r) => (PAr) D Y Y Y D Y D D

D D D D D D D D

2.3. Matematiksel Kanıtlama Yöntemleri

Matematikte kanıtlama yapmak, verilen öncüllerden belli bir sonucun mantıksal olarak türetilebileceğini göstermek demektir. Bu yaklaşıma matematiği bir araç olarak kullanan bilim dallarında da başvurulmaktadır. İktisatta, özellikle XX. yüzyılın ikinci yarısından bu yana matematik yöntemi çok yoğun olarak kullanılmaktadır. Bunun doğal sonucu olarak da İktisat yazını bir sürü "kanıt" ile doluşmuş durumdadır. Bu kanıtların ne anlama geldiğini doğru değerlendirebilmek için, bunların matematiksel kanıtlar olduğu noktasını gözden uzak tutmamak gerekir. Yani bu kanıtlar, sadece ele alınan modelin çerçevesi içinde tutarlılığı ortaya koyabilirler. Bunun ötesinde, bu tür kanıtlara dayanılarak elde olunan sonuçların "doğruluğu" ya da "geçerliği" ileri sürülemez. Matematik ve matematikten yararlanan bilim dallarında teoremler ya koşullu önerme ya da karşılıklı koşullu önerme biçiminde ortaya konulmaktadır. Her iki tür teorem de aynı temel kanıtlama yöntemlerinden yararlanılarak kanıtlanmaktadır. Bu nedenle, biz, önce koşullu önerme biçiminde oluşturulan teoremlerin temel kanıtlama yöntemlerini ele alalım. Sonra da karşılıklı koşullu önerme biçiminde ortaya konulan teoremlerde ortaya çıkan özel durumu belirterek, bu bölümü bitirelim: TANIM 2.3.1: p => q biçiminde bir önermeyi kanıtlamak için, p doğru kabul edilir ve q'nun doğruluğu gösterilir. Bu yönteme Doğrudan Kanıtlama denir. ÖRNEK: Y gelir, C tüketim, I yatırım ve (c) marjinal tüketim eğilimini göstersin. Aşağıdaki üç denklemlerden oluşan modele 17

basit Keynes'çi model diyelim. Y = C + I

Y > ,0, C > 0, I > 0

C = cY

0 < c < I

I = î Şimdi şu aşağıdaki önermeyi kanıtlayalım. "Basit Keynes'çi modelde yatırımlar artınca denge gelir düzeyi artar". Dikkat edilirse p = "yatırımlar artar'" q = "denge gelir düzeyi artar", biçiminde gösterilirse, bu önerme p => q biçimindedir, şimdi bunun doğru olduğunu görmek için, I* = î + A l , Al > O diyelim ve yatırım I ve I* olduğunda denge gelir düzeylerini bulalım. Denge gelir düzeyi her üç denklemi de sağlayan gelir düzeyidir. Bu nedenle modelin ikinci ve üçüncü denklemlerini birincide yerine koyalım. Y = c Y + î elde ederiz. Bu durumda aradığımız denge gelir düzeyi 1 I 1-c biçiminde elde edilir. Şimdi yatırımların I* düzeyine arttığını düşünelim. Bu durumda yeni denge geliri Y*

^

T*

1-c olacaktır. Bu ise Y

*=

T=T

1

+ T = T

a 1

Al 1—c

ya da Y* e -

Yc =

t

-L-

Al

biçiminde yazılabilir. Varsayımlarımız gereği 0 < c < 1 ve A l > 0 olduğundan Al > 0 1—c dir. Bu nedenle de Y% - Y e > 0 ya da 18

Y* > Yx 1 -

e ^

e

yazılabilir. (i.K.y TANIM 2.3.2: p ile ~ q den bir çelişki elde edilerek p => q önermesi kanıtlanabilir. Bu yönteme Dolaylı Kanıtlama ya da "saçmaya indirgeme" anlamına gelen "reductio ad absürdüm" yöntemi denir. ÖRNEK: Yine basit Keynes'çi gelir modelini ele alalım ve "Basit Keynes'çi modelde yatırımlar artınca denge gelir düzeyi artar" teoremini kanıtlayalım. Burada q = "denge gelir düzeyi artar" önermesinin değili >—' q = "denge gelir düzeyi artmazadır. Bu ise Y = —!— Al < 0 1—c olması demektir. A l > 0 olduğuna göre bu ancak ve ancak c > 1 ise olabilir. Oysa bu, modelin 0 < c < 1 varsayımı ile çelişir. O halde p ve ~ q bize bir çelişki vermektedir. O halde p => q kanıtlanmıştır. Burada izlediğimiz yöntemin adımlarını şöyle özetleyebiliriz. i) Ulaşılmak istenen sonucun değili yeni bir önerme olarak ele alınır. ii) Yerilen önermeler ile bu yeni önerme birarada ele alınarak bir çelişki elde edilmeğe çalışılır. iii) İstenen sonuç başlangıçtaki öncüllerden elde edilmiş bir mantıksal sonuç olarak ortaya konur. TANIM 2.3.3: (TEOREM: 2.1.3) ü kullanarak bir koşullu önermeyi kanıtlamak için bunun ters karşıtı kanıtlanabilir. Bu Olmayana Ergi Yöntemi adını alır. ÖRNEK: Yine basit Keynes'çi gelir modelimizi ele alalım. Basit "Keynes'çi modelde yatırımlar artınca denge gelir düzeyi artar" önermesini kanıtlayalım. Bu önermenin ters karşıtı ~ q ~ p = "Basit Keynes'çi modelde denge gelir düzeyi artmazsa yatırımlar artmaz" biçimindedir. Y = —î— A I olduğundan 0 < c < 1 varsayımı altında AY ^ 0 ise A l ^ 0 dır. 1 (Î.K.) İşte kanıtlandı ifadesinin kısaltılmış gösterimidir. Kanıtlamanın bittiğini göstermek için kullanılmaktadır. Latinceden alman "Quand Erat Demonstrandum" (ki kanıtlanacak olandı) ifadesinin baş harflerine (Q.E.D.) ingilizce, Fransızca kaynaklarda bu amaçla başvurulmaktadır. Burada Teo Grunberg'i izleyerek, bu ifadenin Türkçesinı kullanmak yoluna gidilmiştir.

19

Bu yönteme p => q önermesini doğrudan kanıtlamanın zor olması halinde başvurulur. TANIM 2.3.4: p => q önermesinin, doğru olması halinde doğru kabul edilen bir sonuçla çelişme olduğu gösterilerek, p => q nın doğru olamayacağının kanıtlanması yöntemine Çelişki Bulma denir. Dikkat edilirse bu yöntem bundan öncekilerden farklı olarak olumsuz bir yöntemdir. Yani birşeyin olamayacağını göstermeğe yarar. ÖRNEK: Yine basit Keynes'çi gelir modelini ele alalım ve aşağıdaki önermeyi düşünelim. "Basit Keynes'çi modelde yatırımlar azaldığında denge gelir düzeyi artar".

olduğuna göre A l < 0 olduğunda AY > 0 olabilmesi ancak ve ancak 1—c < 0 ya da c > 1 olması halinde söz konusudur, ki bu marjinal tüketim eğiliminin sıfır ile bir arasında olacağı varsayımı ile çelişir. (I.K.) Bazı özel mantıksal yapılar sözkonusu olduğunda başvurulan başka kanıtlama yöntemleri de vardır. (Karşı örnek göstermek, varlık çözümü gibi). Ancak bunları özellikleri nedeniyle burada incelemek ycluna gitmiyoruz. Karşılıklı koşullu önerme biçimindeki teoremler için ise hem p => q ve hem de q => p önermelerinin kanıtlanması gerekir. ÖRNEK: "Basit Keynes'çi modelde ancak ve ancak yatırım artarsa, denge gelir düzeyi artar'". Dikkat edilirse bu önerme p q biçimindedir. Kanıtlama yöntemi şudur: (1) p => q: "Basit Keynes'çi modelde yatırım artarsa denge gelir düzeyi artar" AY olduğundan A l > 0 ise 1 —c > 0 olduğundan AY > 0 olur. (2) q => p "Basit Keynes'çi modelde denge düzeyi gelir artarsa yatırım artar" Y\ -

Ye

Y* c — Y e > 0 ise — rımlar artar. 20

1

> 0 olduğundan I»

ALIŞTIRMALAR: A.2.1: p = "Ücretler artıyor" ve q = "Fiyatlar artıyor" olsun. Aşağıdaki simgesel ifadelerin karşılıklarını yazın. i) ~ p

ü) (P

A

q)

iii) (q V ~ p) iv)

p

a

~ q)

v) ( ~ ~ q) vi)

q A P)

vii)

q ,V ~ p)

A.2.2: Aşağıdaki önermelerin doğruluk değeri çizelgelerini kurun. i)

~ p

A

q

ii) ~ (p V ~ q) iii) (p V

r)

A (q V ~ r)

iv) ~ (p V ~ q) A

P V r)

A.2.3: p V ~ (p A q) önermesi bir doğrusal geçerli önerme midir? A.2.4: (p A i) A ~ (p V q) önermesinin bir çelişki olduğunu gösterin. A.2.5: Aşağıdaki önerme çiftleri mantıksal denk midir? A q) A ii) ~ (p A q)

İ) (p

A (q A R ) ~ P V ~ q

r ve p v e

iii) ~ ( p v q) V

P A q) ve ~ p

A.2.6: önermeler cebiri kurallarından yararlanarak aşağıdaki ifadeleri basitleştirin.

(P V q) ~ p ü) p v (P A q) iii) ~ ( P V q) V İ)

p A

q)

iv) Tüm SBF öğrencilerinin tembel olmadığı veya derslere devam ettikleri doğru değildir. v) Ancak ve ancak matematik dersine çok çakşılırsa işletme iktisadından sınıf geçileceği doğru değildir. 21

A.2.7: Aşağıdaki mantıksal denklikleri gösterin. i) p =*• (q A r ) = (p q) A (P => r ) ü) (p => q) A (q => p) = p «> q iii) p = t . q = ~ - p V q A.2.8: Aşağıdaki çıkarımlar geçerli midir?

i) p

~ q: r => q; r h p

ii) Ücretler artarsa, fiyatlar artacaktır. Ücretler artmadı. Fiyatlar artmadı iii) Ekonominin büyüme hızı artarsa dış açık artar. Dış açık artmadı. Ekonominin büyüme hızı artmadı. A.2.9: Aşağıdaki önermelerin karşıt, evrik ve ters karşıtlarını yazın. i) Tüketicilerin geliri artarsa, tüketiciler her maldan daha çok alırlar. ii) Üretici kârını ençoklamak (maximize) istiyorsa, marjinal hasılatını marjinal maliyetine eşitler. A.2.10: p o q önermesinin p => q önermesini mantıksal içerdiğini gösterin. KAYNAKLAR C.B. A L L E N D O E R F E R - C.O. OAKLEY (1963): Principles

of Mathematics,

2 and Ed. Mc Graw Hill

N e w York, (s.1-47). H. B A T U H A N - T. G R U N B E R G : (1970) Modern

Mantık, O.D.T.Ü. Fen ve Edebiyat Fakültesi Ya-

yım No: 17, Ankara. T. G R U N B E R G (1970): Symbolic Logic Fol I, (2 nd Printing) 1972, Fol II O.D.T.Ü. Fen ve Edebiyat Fakültesi Yayını No. 16 Ankara. T. GRUNBERG - A. ONART - H. B A T U H A N (1976): Modern

Mantık

ve

Uygulamaları,

M.E.B

Devlet Kitapları, İstanbul, (Özellikle s. 1-125). P. SUPPES - S. HILL (1964): First Course In Mathematical Logic, Blaisdell, Mass., (Özellikle, s. 110-179). C. YILDIRIM: (1976) 100 Soruda Mantık El Kitabı,

22

Gerçek Yayınevi, istanbul, (özellikle, s. 147-192).

3. Bölüm

KÜME KURAMI Bu bölümde modern matematiğin temelini oluşturan küme kuramına bir giriş yapmağa çalışacağız. Küme "iyi tanımlanmış birşeyler topluluğu" olarak tanımlanabilir. Küme kavramı eskiden beri matematikçilerce biliniyor ve hatta küme kuramının bazı kavramları örtük olarak kullanılıyordu. Ancak XIX. yüzyılda Georg Cantor (1845-1918) kümeyi matematik kuramının bir parçası haline getirmeyi başardı, ve tüm matematiği bu kavram üzerine kuran çalışmaları başlattı. Bu kadar basit bir kavramın modern matematiği nasıl olup da temellendirdiği, bizim buradaki amacımızı aşan, başlı başına ilginç bir konudur. 3.1. Cantor'un Küme Kuramı

Cantor'a göre, "Küme, sezgimize ya da bilgimize dayanarak bir bütün olarak anlayabileceğimiz belirli, ayırdedilebilir herhangi bir nesneler topluluğudur" (STOLL, 1963, s. 2). Bu tanımın üzerinde biraz duralım. Görüldüğü gibi bu tanımda herhangi bir şeyler topluluğu (masanın üzerindeki kağıtlar, Türkiye'deki tüketiciler, evredeki yıldızlar, x2 -f~ y2 — 9 denklemini sağlayan gerçel sayılar v.s.) küme olarak düşünülebilmektedir. Ayrıca Cantor'un bu tanımına göre, bir kümenin öğelerinin açık bir biçimde gösterilmesi de gerekmemektedir. Böyle bir topluluğun düşünülebilir olması yeterlidir. Bu nedenle, söz konusu tanım, uzaydaki tüm yıldızlar ya da ~'~x2 y2 — 9 denklemini sağlayan tüm gerçel sayılar" gibi sonsuz öğesi olan kümeleri de kapsayabilmektedir. Bu tanımın kümeden istediği bir özellik de küme öğelerinin birbirlerinden ayırd edilebilir olmasıdır. Bu nedenle bir küme içinde birbirilerinden ayırd edilemeyen öğeler olamaz. Bu durumda {2,2} kümesi {2} kümesiyle aynıdır. Çünkü 2 sayısının kendisinden ayırd etme olanağı yoktur. Cantor'un tanımının son özelliği bir nesnenin bir küme içinde olup olmadığının belirlenebilir olması gerekmektedir. Yani bu tanıma göre bir nesne ya bir küme içindedir, ya da değildir.

23

Küme bu biçimde tanımlandığında, herhangi bir kümeyi göstermenin iki yolu söz konusu olmaktadır. Bunlardan ilki kümenin öğelerini ikincisi ise kümenin içindeki öğelerin ortak ayırd edici özelliklerini belirtmekdir. ÖRNEK: Fenerbahçe futbol takımının oyuncuları kümesini (FB) göstermek ıstiyelım. İlk yol saymaktır. FB = {İvançeviç,

, Cemil}

İkinci yol ise ortak ayırd edici özelliği belirtmekdir: FB =

x Fenerbahçe Futbol takımı oyuncusudur}

Bir kümeyi öğelerinin ortak ayırd edici özelliklerine dayanarak tanımlamanın yararı, öğe sayısı sayılabilse bile çok büyük olan kümeler ve öğeleri sayılamayan kümeler söz konusu olduğunda ortaya çıkmaktadır, örneğin Türkiye ekonomisindeki tüketiciler kümesinin öğeleri sayılabilir, hatta, sonlu sayıda olmasına karşılık, sayma işlemi pratik olarak anlamsız olacağı için bu kümeyi ortak ayırd edici özelliği ile tanımlamak anlam kazanmaktadır. Buna karşılık x2 J2 — 9 denklemini sağlayan gerçel sayılar kümesinin sonsuz öğesi vardır. Bu nedenle söz konusu kümeleri, öğelerini saymak yerine aşağıdaki biçimde göstermek yoluna gidilir: A = \x: x Türkiye ekonomisi içinde yer alan bir tüketicidir}. B = [x, y: x2

y1 = 9; x, y- gerçel sayıdır}

Görüldüğü gibi küme kavramının ilk karşımıza çıkan özelliği bir nesnenin bir kümenin içinde olması, onun bir öğesi olması bağıntısıdır. Bu bağıntı e simgesi ile gösterilir, a e A yazıldığında bu a, A kümesinin bir öğesidir anlamına gelir, a £ A ise a, A kümesinin bir öğesi değildir, demektir, örneğin Cemil e FB, fakat Yasin $ FB dir. Bir kümenin öğesi olma bağıntısı tanımlandığında, kümenin tüm öğeleri sayılarak kümenin kendisi de tanımlanabilir. Bunun dayanağı Cantor un Kaplamsallık Beliti (Axiom of Extension) olmaktadır. Bu belit şöyle ifade edilebilir. Kaplamsallık Beliti: İki küme ancak ve ancak aynı öğelere sahiplerse eşittirler. İki kümenin eşit olması A = B, olmaması ise A=/= B biçiminde gösterilir. Eğer bir kümenin tüm öğeleri diğer bir kümenin de öğeleri ise, ilk küme ikincisinin Alt Kümesidir (Subset) denir. Eğer ikinci kümenin en az bir öğesi birinci kümenin öğesi değilse, ilk küme ikincinin Öz Alt Kümesidir (Proper Subset) denir. Alt küme olma S simgesiyle gösterilir A, B nin alt 24

kümesidir denildiğinde bu A £ B biçiminde ifade edilir. Öz alt küme olma bağıtısı da c: simgesiyle gösterilir. ÖRNEK 1: A= {1,2,3,4,5}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ise A (Mehmet; Ahmet) £ (3 TANIM: 4.2.5: A herhangi bir küme ve p, A üzerinde tanımlanmış bir bağıntı olsun. Eğer (a, b) e A olduğunda, [(o, b) e p =*> {b, o) e [3 ]«-» a=b ise p Ters Bakışımlı (Anti Symmetric) bir bağıntıdır. ÖRNEK: p, alt küme olma bağıntısı olsun. 3. Bölümden anımsanacağı üzere i ç B v e B ç A ise A—B dir. Bunun dışında da alt küme olma bağıntısı iki yönlü olarak geçerli değildir. TANIM: 4.2.6: A herhangi bir küme ve p, A üzerinde tanımlanmış bir bağıntı olsun. Eğer a, b, c e A olduğunda, (a, b) e p ve (b, c) e p => (o, c) e p ise P Geçişli (Transitive) bir bağıntıdır. ÖRNEK: N + sayma sayıları kümesi olsun. Bunun üzerinde tanımlanan büyük olma, bağıntısı geçişlidir. TANIM: 4.2.7: A bir küme ve p, A üzerinde tanımlanmış bir bağmtı olsun. Eğer a, b, c e A olduğunda (a, b) e p ve (b, c) e p => (o, c) £ p ise p Geçişsiz (Intransitive) bir bağıntıdır. ÖRNEK: İnsanlar kümesi üzerinde tanımlanan "baba olma" bağıntısı geçişsizdir. Çünkü Ahmet Mehmet'in babası ve Mehmet de Ali'nin babası ise Ahmet Ali'nin babası değil dedesi olur. TANIM: 4.2.8: A herhangi bir küme p, A üzerinde tanımlanmış bir bağıntı olsun. Eğer, V (o, b) e A için a # b olduğunda ya (a,b) e p veya (b,a) e p ise Bağlaşık (Connected) birbağntıdır denir.(Bu bağıntıya bazen, Tam "complete" de denilmektedir. Eğer a b koşulu kaldırılırsa, bu takdirde ulaşılan bağıntıya da Güçlü Bağlaşık (Strongly Connected) Bağıntı denilmektedir). ÖRNEK: N + , sayma sayıları kümesi üzerinde "büyük olma" bağıntısı bağlaşık, "eşit ya da büyük olma" ise güçlü bağlaşık bir bağıntıdır. 4.3. Bağıntı Türleri Yukarıda verilen örneklerden de anlaşılabileceği gibi, bir bağıntının tüm özellikleri birden sağlaması gerekmez. Bunların bir kısmını sağlayan bir kısmını sağlamayan bağıntılar söz konusudur. Bağıntıları özelliklere göre adlandırmak bu konunun incelenmesinde kolaylık sağlayan bir yol olmaktadır. TANIM 4.3.1: A kümesi üzerinde tanımlanan bir p bağıntısı yansıtıcı, bakışımlı ve geçişli ise buna Denklik Bağıntısı (Equivalence Relation) denir. 36

ÖRNEK: N + üzerinde " = " (eşitlik) bir denklik bağıntısıdır. Çünkü V a eN+ için a—a dır (yansıma), a, b e N + için a=b => b=a dır. (bakışımiıbk) Nihayet V a, b, c e N+ için a=b ve 6=c => a=c dir (geçişlilik). Diğer bağıntı türlerine geçmeden önce denklik bağmtısıyla yakından ilgili bir başka kavrama kısaca değinmekte yarar vardır. TANIM 4.3.2: D,A üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Her bir x e A öğesi için, Ak = {y: y e A ve (ac, y) e D} kümesini tanımlayalım. Ax kümesine x öğesinin D ye göre Denklik Sınıfı (Equivalence Class) denir. A kümesinin, D denklik bağıntısı altında tüm denklik sınıflarından oluşan E kümesi, A kümesinin bir bölüntülemesidir. ÖRNEK: Bir tüketicinin tüketebileceği tüm mal bileşimlerinden oluşan kümeye tüketim kümesi diyelim. Bu mal bileşimleri arasında eş fayda sağlayan bileşimler bir denklik bağıntısıyla ilışkilendirilmişlerdir. Bu bağıntı bize farksızlık eğrilerini verir. Tüm farksızlık eğrileri tüketicinin tüketim kümesi üzerinde tanımlanmış "eş fayda sağlama" denklik bağıntısına göre denklik sınıflarıdır. Yukarıda verilen tanımın son tümcesi (ki aslında bir teoremdir) gereği, bunlar tüketim kümesinin bir bölün!ülemesini oluştururlar, yani kesişmezler. İkinci bir tür bağıntı da sıralama bağıntısıdır. Burada bir küme içinde yer alan öğelerin birbirlerine göre durumları karşılaştırılmaktadır. TANIM 4.3.3: Yansımalı, ters bakışımlı ve geçişli bir bağmtıya Sıralama (Ordering) bağıntısı denir. ÖRNEK: N + üzerinde ( b=c koşullarını sağlıyorsa, buna, İşlev (Function) denir. Burada A kümesine, f nin Önalanı (Domain) denir. ÖRNEK: A = {p: Patates fiyatı, TL} ve B= {q: Patates istem miktarı, kg} olsun. Bu durumda patates istem miktarları ile patates fiyatları arasında "her fiyata karşılık olan patates istem miktarı" biçiminde bir işlev oluşturabiliriz. İktisat derslerinden de ammsanabileceği üzere buna İşlem İşlevi 37

(Demand Function) denilmektedir. Bu işlev bize herhangi bir patates fiyatına karşıhk gelen birtek patates istem miktarını vermektedir. TANIM 4.4.2: / : A->B bir işlev olsun. f(a) = {6: 6 e S ve b=f(a); a e A} kümesine, anın / altında Görüntüsü (Image) ve B* = U f(a) — f (A) kümeaeA sine de f nin Ar dalanı (Range) denir. TANIM 4.4.3: Eğer/: A-+B işlevinde f(A) c= B ise / İçine (Into, înjeetive) işlev admı alır. TANIM 4.4.4: Eğer / : A-+B için f(A) bir işlevdir.

= B ise, / örten (Onto, Surjective)

TANIM 4.4.5: Eğer / : A->-B işlevinde Va,6 e A ve a ^ b olduğunda f(a) ^ f(b) ise, Bire bir (one-to-one) işlevdir denir. TANIM 4.4.6: / : A->-B hem bire bir ve hem de örten ise buna 1-1 örten (one to one onto) bir işlev denir. TANIM 4.4.7: / : A^B ve g: B-+C işlevleri verilsin. Va e A için (go/) («) = g O f(a) biçiminde verilen g o / : A->C işlevine Bileşke İşlev denir. TANIM 4.4.8: / : A->A bir işlev olsun. Eğer V a e A için /(a) = a ise buna Birim İşlev (Unit Function) denir ve IA ile gösterilir. TANIM 4.4.9:/: A-+B işlevi 1-1 ve örten ise, / - l O f= IA v e / O / - 1 = IA özel liklerini sağlayan bir f-1: B-+A işlevi vardır. Buna / nin Evrik İşlevi (Inverse Function) denir.

ÖRNEK: /:

x + 1 X = {*:- 0, eğer 0 < k < 1 ise firma kullandığı girdi miktarlarını azaltmakta, fe> 1 ise artırmaktadır.) Bu durumda: a (fcK) + b (fcL)

= feoK + kbL = fc(oK + bL) = kQ

olacaktır. Görüldüğü gibi üretim de k defa artmıştır. Bunu sağlayan da doğrusal tektürellik özelliğidir. İktisatta Eşanlılık (Simultaneity) olgusu incelenilirken doğrusal cebir önemli bir alet olarak ortaya çıkmaktadır. Eşanklık değişkenlerin birbirlerini karşılıklı olarak etkilemesi demektir. Bu nedenle de eşanlılık olgusunun varlığı bir değişme sonunda bir değişkenin hangi yöne ve ne kadar değişeceğinin saptanabilmesi için tüm değişkenler arasındaki karşılıklı bağıntıların bilinmesini gerektirir. ÖRNEK: Aşağıda basit bir makroiktisat modeli verilmekledir. i ) Y = C + J + G ii) C = aY + bW

Ulusal Gelir Eşitliği Tüketim işlevi 0 < o < l ; 6 > 0

iii) 1 = dr + eY

Yatırım işlevi d< 0; e > 0

Burada Y ulusal geliri, C tüketim i, I yatırımı, G devlet harcamalarmı W serveti ve r ise faiz haddini göstermektedir. Modelde G, W ve r dışarıdan 53

verilmektedir. Model bu değişkenler dışarıdan verildiğinde (yani değerleri önceden saptandığında) Y, C ve I değişkenlerinin hangi değerleri alacağını bize göstermektedir. Ancak dikkat edilirse, bu değişkenler birbirlerini de etkilemektedir. Y hem ii) ve hem de iii) de yer almakta, buna karşılık I de C de i) de yer alarak Y yi etkilemektedir. îşte bu eşanlılık olgusudur. 6.2. Yöneyler ve Yöney İşlemleri Yöney (vector) kavramı çözümlemesel geometri ve mekanikte çok önemli yer tutar. Zaten bu kavramın matematiğe girişi de bu nedenle olmuştur1. Beşinci bölümde yöney uzaylarında söz ettik ve yöneyi bu matematiksel yapının bir öpesi olarak tanımladık. Bu anlamda yöney bir sıralanmış n-lidr ve sıra biçiminde gösterildiğinde (6.2.1) x = (*„ . . . . , xn) yazılır, buna satır (row) yöney denir. Bir yöney sütun (column) biçiminde x, (6.2.2)

x =

gösterilir. Bir yöneyde yer alan öğe sayısı o yöneyin boyutunu verir. Örneğin x = (3. 2, 8) yönevinin boyutu 3 dür. Tüm n- boyutlu yöneylerden oluşan derleme (ya da kümeye) re-lilerden oluşan uzay ya da kısaca Yöney Uzayı (Vector Space) denir. Yöneylere ilişkin bu temel bilgileri verdikten sonra, yöneyler üzerinde tanımlanan bazı işlemleri ele alalım: x, »-İi bir sütun yöney olsun. x'in öğelerini bir satır biçiminde yazılmasıyla ulaşılan yöneye x in devriği (transpose) denir ve x' ile gösterilir. ÖRNEK: 1 x =

3

olsun. Bu durumda x' = (1,3,4) olur.

4 1 Lagrange, 1788 de "Mechanique Analytique" adlı yapıtım yayınladı. Bu yapıt, mekanikte çözümlemesel yöntemlerin büyük katkılar yapabileceğini gösteren ilk kaynakdır. Daha sonra W.R. Hamilton (1805-1865) "Theory of Quaternions" adlı yapıtında cebir ve fiziği anlamayı kolaylaştıran yeni bir yöntem önerdi. J.W. Gibbs ve O. Heaviside adlı matematikçiler ise bu yöntemi yöney cebiri biçiminde geliştirdiler.

54

x ve y n- boyutlu iki yöney olsun. Ancak ve ancak bu iki yöneyın tüm öğeleri karşılıklı olarak eşit ise bu iki yöney birbirine eşittir. Yöney eşitliği x = y biçiminde gösterilir. ÖRNEK: '

y, yı

- ~3 _

_ Jî

olsun. Yukarıdaki tanıma göre (6.2.3) x = y o (*, = y,) ve (x2 = y2) ve {x3 = y 3 ) demektir. Burada önemli olan nokta, iki yöneyin eşitliğinden söz edebilmek için, hem yöneylerin her ikisinin de satır ya da sütun olması ve hem de boyutlarının aynı olması gereğidir. Bu koşulları sağlamayan yöneylerin eşitliğinden söz edilemez. İki yöneyin toplanması, yine aynı boyutlu yöneyler için söz konusu olan bir işlemdir. Bu işlem yöneylerin karşılık olan öğelerinin toplanması yoluyla başarılır.1

(6.2.4)*' +y'= (*„*2, • • • ,*„) +(yj,y2,.. ,y„) = (*a +y2,x,

+y2,.. ,xn +y„)

ÖRNEK,: - 3 ~ X

=

4

" 6 " 7 =

_7

1

_9 _

~3 ~ ise x +

y=

4 7

- 6 ~

+

-1

9

-

=

-

9

3 16

ÖRNEK 2: (iktisat) Bir ekonomide iki tüketici (1, 2) ve iki mal (peynir, ekmek) olsun. Birinci tüketicinin aldığı peynir miktarını x„ ekmek miktarını x2 ile gösterelim. Ayııı şeyleri ikinci tüketici için sırasıyla y1 ve y 3 ile gösterelim. Bu durumda tüketicinin satın aldıkları mal demektlerini sırasıyla x ' = {x^x2) ve y ' = (y I5 y 2 ) yöneyleriyle göstrelim. Bu durumda tüm ekonomide satın alman peynir ve ekmek miktarlarını x' + y ' = + y„ x2-\-y2) yöneyini hesapbyarak buluruz. Bir yöneyin bir sayı ile çarpılması o yöneyin tüm öğelerinin sözkonusu sayıyla çarpılması demektir. Buna sayıl ile çarpım denir, a bir sayıl ve x' bir satır yöney olduğunda (6.2.5) ax' = (ax1, ax2, ..., axn) dir. 1 Yöney işlemlerini gösterirken, yerden artırım sağlayabilmek için, işlemleri satır yöneyler ile gösteriyoruz. Ancak bunlar, sütun yöneyler ile de yapılabilir. Nitekim bazı örneklerde bu yola gidilmektedir.

55

ÖRNEK 1: Bir tüketici geçen yıl 2500 TL, kira ve 5000 TL, gıda harcaması yapmıştır. Geçen seneden bu yana tüm mallarını fiyatları iki kat artmışsa bu tüketicinin kira ve gıda harcamaları da 2x = 2(2500,5000) = (5000, 10000) biçiminde bir yön ey verecektir. Yöney toplamı ve bir yöneyin bir sayıl ile çarpımına ilişkin verdiğimiz bu bilgilere dayanarak yöney farkını da x-f- (-1) y=x-y biçiminde tanımlıyabiliriz. Tanımdan da anlaşılacağı üzere iki yöneyin farkı yöneylerin karşıbkb olan öğelerinin farklarının alınmasıyla bulunur. İki yöneyin farkının bulunması için gerekli koşullar iki yöneyin toplamı için aranan koşulların aynısıdır. ÖRNEK 2: x ' = (1,1,1) ve y' =(1,3,2) olsun bu durumda x'-y'=x'+(-l)y' = (1,1,1)+(-1) (1,3,2) = (1,1,1)+ (-l,-4,-2)=(0,-2,-l) biçiminde elde edilir. Görüldüğü gibi yöney farkı işlemi, yöneylerin karşı gelen öğelerinin farkının hesaplanmasıyla bulunmaktadır. Bu noktada yöney toplamı ve yöneyin sayı ile çarpımı işlemlerinin gösterdiği özellikleri topluca görmekte yarar var: Bunun için 0 n ' = (0,...,0) yöneyini tanımhyalım ve buna sıfır yöney adını verelim, a, b sayı ve x,y ve z ise n boyutlu yöneyler olsun: 1) x + y = y + x 2) (x + y) + z = x + (y+z) 3) x + 0„ = 0„ + y = x 4) x + (-x) = 0„ (6.2.6) 5) a (x + y) = ax + ay 6) (a + b) x • — ax + 6x 7) a (bx) = (ab) x 8) ix = x Kanıtlamaksızın sıraladığımız bu özellikler ile yöney uzayı kavramı arasındaki bağıntıyı ileride kuracağız. Şimdi ise, yukarıda tanımladığımız işlemlerin geometrik olarak ne anlama geldiklerini iki boyutlu bir uzayda (yani düzlem üzerinde) görmeğe çalışalım. Eğer istenirse, bu kavramların üç boyutlu uzayda da ele alınıp bazı yararlı geometrik gösterimler elde edilebileceği açıktır. Biz şimdilik konuyu iki boyutta sınırlamayı yeğliyoruz. Geometrik olarak yöney, adının da anıştıracağı gibi, başlangıç noktasından başlayıp, üzerinde tanımlandığı uzay içindeki bir noktaya, giden yönlendirilmiş bir doğru parçası olarak tanımlanır. Böyle olunca, bir yöneyi gittiği noktayla ilişkilendirip tanımlayabiliriz, örneğin x = (3, 4) yöneyi 56

biçiminde gösterilir. Burada yöneyin yönünü göstermek üzere bir ok konulmuştur. Bir yöneyin diğer bir yöney ile toplanması geometrik açıdan bu iki yöneyin kenarlarını oluşturdukları koşutken arın (paraleogram) köşegeninin bulunması demektir. Bu köşegen iki yöneyin toplamını verir.

Bir yöneyin bir artı sayı ile çarpılması halinde yöneyin yönü aynı kalır fakat boyu değişir. Eğer yöney 0 ile 1 arasında bir sayı ile çarpılmış ise boyu kısalır, 1 den büyük bir sayı ile çarpılmışsa boyu uzar. Yöneylerin eksi bir sayıyla çarpılması halinde bu söylenenler yine doğru olmakla beraber, yönü de değişmektedir. 57

Bu konuda bir örnek olmak üzere R 2 üzerinde tanımlanmış x = (2,3) yöneyini sırasıyla 2, 0.5, -2 ve -0.5 ile çarpalım. Sonuçlar aşağıdaki (Şekil 6.2.3) de gösterilmektedir.

(Şekil 6.2.3)

58

İki yöney arasında tanımlanabilecek bir başka işlem de yöneylerin sayıl çarpımı, (scalar product) ya da içsel çarpımıdır (inner product). Bu çarpma işlemi aynı sayıda öğesi olan, yani boyutları aynı olan, bir satır ve bir sütun yöney arasında tanımlanmıştır. Burada dikkat edilmesi gereken nokta çarpma işleminde önce genel yöneyin satır, sonrakinin sütun yöney olmaları gereğidir. Bu durumda x ve y yöneylerinin sayıl çarpımı (6.2.7) x'.y =

S

xt yt=

y, + * 2 y2 + . . . + *„ y„

i=ı

biçiminde tanımlanır.1 İki yöneyin (sayıl) çarpımı bir sayıldır. ÖRNEK 1:

I

x = (1, 2, 3) ve y

x'y = (1, 2, 3)

r 3 4

olsun.

1x1 + 2x3 + 3x4 = 1 + 6 + 1 2 = 19

ÖRNEK 2: p' = (p n p 2 , . . . , p„) bir tüketicinin tükettiği malların fiyatlarını gösteren yöney x = (x,, x 2 ,. . . ,xn) ise tüketicinin tüketim sepeti, yani her maldan ne kadar tükettiğini gösteren yöney olsun. Eğer tüketicinin geliri Y ise, tüketicinin en çok geliri kadar harcama yapabileceğini varsayarasak tüketicinin tüketim sepetini kayıtlayan bütçe sınırını p'x ^ Y biçiminde ifade edebiliriz. x, y, z re-boyutlu üç yöney, a bir sayıl (scalar) olsun. Bu durumda sayıl çarpım işlemi aşağıdaki özellikleri gösterir. i) x'y = y'x (yer değiştiricilik) ii) x'(y+z) = x'y + x'z (dağıtıcılık) (6.2.8.)

iii) o (x'y) = (ax') y = x'ay (tektürellik) iv) x' x > 0,

x ^ 0„ ise

v) x'x = 0,

x = 0 n ise

2

vi) (x'y) = (x'x) (y'y) Cauchy-Bunyakovskii-Schwartz eşitsizliği Bir yöneyi, bittiği nokta ile ifade ettiğimizi belirtmiştik. Bittiği yerin başlangıç noktasına olan uzaklığı ise yöneyin Boyunu (Length) verir. Bu uzaklık, yani yöneyin boyu ise, 1

- y ifadesinde çarpma işlemini gösteren noktaya gerek duyulmaksızın x' y yazılabilir.

59

(6.2.9) ||x|| ==

=

=

J

İ

x2£

biçiminde gösterilir. Bir yöneyin boyu aşağıdaki özellikleri sağlar, i) ||x II > 0

^ 0„ ise

X

ii) ||x || = 0

x = 0„ ise

iii) ||cx | = |c|. |x |

c

bir sayıl ise

(6.2.10) iv) ||x'.y|| = |x |. ||y |j (Cauchy-Bunyakovskii-Scbwartz eşitsizliği) v) ||x + y|| =

||x||. + ||y||

vi) ||x - y |

(Üçgen eşitsizliği)

(İki yöney arasındaki uzaklık)

Yöneyin boyu kavramı yerine özellikle daha ileri düzeydeki matematik kaynaklarda yöneyin Düzgüsii (Norm) denilmektedir. ÖRNEK: x = (1, 3, 4) verilsin, Bu, yöneyin boyunu (düzgüsünü) bulalım. = (x'.x)1/2 = [(1, 3, 4)

= ( 1 + 9 + 16) 1/2 = (26) 1/2 = 5.1

Eğer x ve y yöneylerinin sayıl çarpımı sıfır, yani x'y=0, ise x ve y yöneyleri birbirlerine Dikeydir (Orthogonal) denir. Diğer taraftan y # 0 n olduğunda, (6.2.11)

t = (x'.y)/(y'.y)

büyüklüğünü tanımlıyalım. Bu durumda ty yöneyine x'in y üzerindeki İzdüşümü (Projection) denir. x, y ^ 0 n ise x ile y arasındaki açı (16.2.12)

6 = arc cos x'.y/ ||x||. ||y ||

ya da (6.2.13)

cosd = (x.'.y)/||x||. \\y\\

biçiminde tanımlanır. 6.3. Yöney Uzayları Yöney işlemlerine ilişkin bir önceki alt bölümde geliştirdiğimiz konuların ışığında yine yöney uzayı kavramında dönelim ve buradan türetebileceğimiz bazı önemli konuları ele alalım. Hatırlanacağı üzere yöney uzayı dediğimiz yöneylerden oluşan ve üzerinde toplama ve bir sayıl ile çarpma işlemlerinin tanımlandığı bir küme anlaşılıyordu. Yine hatırlamak amacıyla yöney uzayına ilişkin temel belitleri şöyle ifade edebiliriz: 60

Vn bir yöney uzayı, x, y, z e Vn ve a,b e R olsun. 1.x+y = y + x 2. (x + y) + z — x + (y + z) ortaklaştırıcıhk 3.

30„

e V„ a-

0„ +

x = x +

0„

= x

4. X 6 Vn İçin 3-xeF„ a- x -f (-x) = (-x) + x = 0„ 5. (a +6) x = ax

bx

6. o(x+y) = ox -f ay 7. abx = a.(bx) 8. lx = x Bu koşulları sağlıyan yöney uzayına Gerçel Yöney Uzayı (Real Vector Space) denir. Burada gerçelliği sağlayan a, b e R olmasıdır. Eğer a, b e C yani karmaşık sayı olsalardı, söz konusu matematiksel yapıya Karmaşık N Yöney Uzayı denilirdi. ÖRNEK: (R n , + ,.) bir yöney uzayıdır. Yöney uzaylarının sağladığı bazı temel özellikler şöyle özetlenebilir: 1. x, y e Vn ise 3* u e V„ 3- x + y = u 1 2. x e Vn, a e R olsun i) a. 0„ = 0„ ii) 0.x = 0„ iii) o.x = 0„ => (a=0) veya (x = 0„) 3. x e Vn ise (-1) x = -x e Vn Yöney uzaylarına ilişkin bir önemli kavram da Alt Uzaydır (Sub Space) V bir yöney uzayı ve H £ V olsun. H eğer aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa H, V yöney uzayının bir alt uzayıdır. i) x, y e H ise x -f y e H ii) x e H ve a e R ise ax e, H ÖRNEK: Daha önce de belirtildiği üzere (R3, -f-, .) bir yöney uzayıdır. Bu uzayı aşağıdaki Şekil 6.3.1 de (s. 62) gösterelim. ı Burada xy düzleminde olan yöneylerin oluşturduğu küme bir alt uzaydır. Herhangi bir yöney uzayının en az iki alt uzayı vardır. Bunlardan birisi sıfır alt uzay olup sadece sıfır yöneylerden oluşur. Diğeri ise söz konusu yöney uzayındaki tüm öğeleri içeren alt uzaydır. Bunların dışındaki alt uzaylara 1 Burada 3* "birtek vardır" karşılığında kullanılmaktadır.

61

öz altuzay denir. Alt uzaylara ilişkin şu önemli sonuçları belirtelim. H, V nin bir alt uzayı ise 1. 0„ e H 2. x e H

(-1) x = -x e H

3. H, V üzerinde tanımlanmış toplama ve sayıl ile çarpma işlemleri altında bir yöney uzayıdır. Eğer bir yöney uzayı içindeki herhangi bir y yöneyi aynı olan uzayda yer alan belli bir yöney kümesinin, diyelim ki x,, . . .,x„, öğeleri cinsinden y = A, X J + . . . + «„ x „ biçiminde yazılabiliyorsa, y, X „ . . . x„ yöneylerinin Doğrusal Bileşimidir (Linear Combination) denir. ÖRNEK: y = (3, 5, 10), x,= (1, 0, 0), x 2 = (0, 1, 0) ve x 3 = (0, 0, 1) olsun y = 3x„ + 5 x 2 + 10x3 dir. Doğrusal bileşim kavramını kullanarak alt uzaylar başka bir yoldan şöyle tanımlanabilir: V bir yöney uzayı, H 2v, b r )

biçiminde yazılabilir. Dikkat edilirse bu yöneylerin öğe sayıları eşit olup, n dir. Bu durumda yukarıdaki çarpım işlemi almışık olarak, " a'B a2B

(7.3.12) C=

amB

a'bı...

a'b,

ambı...

a m b.

= (Ab„...,Ab r ) =

biçiminde yazılabilir. Görüldüğü üzere bu durumda C dizeyinin ayırtkan öğesi (7.3.13)

tk

a ; b"

jS au

B

JK

biçiminde ortaya çıkar. Buraya kadar yapılan açıklamaların ışığı altında iki dizeyin çarpılabilmesi için aşağıdaki koşulun sağlanabilmesi gerekir. Çarpma için uyumluluk koşulu: A ve B dizeylerinin A. B biçiminde çarpılabilmesi (A nin B yi önden, ya da aynı anlama gelmek üzere B nin A'yı arddan çarpması) için A ve B dizeylerinin Uyumlu Olması (Conformable) gerekir. Bunun anlamı ise, A'nın sütun sayısının B'nin satır sayısına eşit olmasıdır. TANIM 7.3.3: A m x ı i ve B m x r dizeyleri uyumluluk koşulunu sağlasınlar. Bu iki dizeyin çarpımı olan diğer C m x r olup, bu dizey satır sayısını öndeki dizeyden sütun sayısını ise arkadaki dizeyden alır. Bu dizeyin ayırtkan öğesi ise ;

ik = 2

a

ij

bJk

i = 1, . . . , m ve fc= 1,.

olacaktır. ÖRNEK: İki dizeyi çarparken ne yapılması gerektiğini düşünmenin en basit yolu aşağıdaki şekillerle özetlenmeğe çabşılan yöntemdir. (Bunu, SCWARTZ, 1961, s. 30-31 den alıyoruz) A ve B dizeyleri verilsin. Bunların A.B çarpımını bulalım. Bu iki dizeyin A. B çarpımı için uyumlu olduklarını varsayalım. Bu iki dizeyi aşağıdaki şekilde olduğu gibi yerleştirelim. Çarpımın sonucunu verecek olan C dizeyini de A'nın sağına ve B nin altma gelecek biçimde yerleştirelim. 76

[

A

[ [

]

B t

] ]

Şimdi de C dizeyinin öğelerinin nasıl bulunacağını görelim. Hatırlanacağı üzere c f j , A'nın i'inci satırı ile B'nin j'inci sütunun çarpılmasıyla elde ediliyordu. Yani, şekil üzerinde

j B

Burada yapılan A'nın i'inci satırının öğelerini B'nin j'inci sütununun öğeleri ile çarpımından elde edeceğimiz terimleri toplamak ve bu toplamı C'nin i'inci fatırıyla j-inci sütununun kesiştiği noktadaki (i, j)'inci öğe olarak yazmaktır. Bu işlemi tüm i ve j 1er için yinelediğimizde, A.B hesaplanmış olur. ÖRNEK: 2 0 0

3 1 0

B=

4 1 1

i) A nın sütun sayısı, 3, B nin satır sayısına, 3, eşit olduğu için, bu iki dizey A.B biçiminde çarpma işlemi için uyumludur. . ii) i= 1, 2; k= 1,2,3; j= 1,2,3,4 olsun. C = A.B dersek C = olup bunun 8 tane öğesi vardır. Bunları sırasıyla hesaplıyalım. =

S a'lfc

kl

= («11, «12, «lî) 21 _ K

=

= (2, 1, 3)

*11 b

{cu)2x4

6+ 1+ + 0

_

=7

3

S "l k—ı

k

b

k2

=

-

(«11» «12» «n) _

b

23

(2, 1, 3)

_

77

2 Cn =

(2, 1, 3)

S alk bk} = (on, o12, a13) (c-ı

0

"33 _ =

0

4+0+0 = 4 4

c 14 =

S a u f»M = (a u , o 12 , a13J fc=ı

(2, 1, 3)

1 1

L &34 _ 8 + 1 + 3 = 12

3 c 21 =

S a2k bki = (o 21 , a 2 2 , a 23 ) k—ı 3 + 3 + 0

= (1, 3, 1) _ K _

1 0 t

= 6 1

c 22 =

S a2k bk2 = (a 21 , o 22 , a 23 )

= (1, 3, 1) _

=

1 + 6 + 1

2

1

b

23

= 8 2

C

23 =

2 k-ı «2fc

=

= («21, «22, »23)

32

(1, 3, 1)

O' 0

2 + 0 + 0 4 S

a b fc=l 2k k* —

=

4 + 3 + 1

(«21'

«22'

= (1, 3, 1)

«23)

_ K,

1 1

= 8

Bu durumda 7 6

7 8

5

12

2

8

bulunur. İki dizeyin birbirleriyle çarpılmasında dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta, genellikle A.B A.B olmasıdır. Bu özelliği iki örnek yardımıyla açıkkyalım. 78

ÖRNEK 1: B = (3, 2)

A =

İki yöney (ya da sırasıyla 2x1 ve 1x2 dizeyler) olsun. (3, 2)

=

A.B -

3

2

9

6

= 3 + 6 = 9

B.A = (3, 2)

Görüldüğü gibi A.B ve B.A çarpımları çok farkh sonuçlar vermektedir. ÖRNEK 2: A

A.B

1

=

3 B

3

2

2

1

4 "" 3 ~

" 10 ~

~ 6 + 4~

=

_ 9 + 8_ _4_ _ 1? _ olduğu halde, B.A uyumsuz olduğu için çarpma işlemi tanımlanamaz. Görüldüğü gibi dizeylerin çarpımında yer değiştirme özelliği yoktur. Oysa, dizey çarpımı dağılma ve ortaklaştırıcılık özelliklerini sağlar. Yani uyumlu A, B ve C dizeyleri için, A. (B+C) = A.B + A.C A. (B.C) = (A.B) .C = A.B.C dir.

Son olarak, A.B = 0 m x n ise bu zorunlu olarak A = O m x k veya B—O kxn olması anlamına gelmez. ÖRNEK: ~3

0~

~0

0 ~

~0

0~

_4

0

_2

1 _

_0

0 _

7.4. Bazı Dizeyler

Bazı dizeyler sağladıkları özel koşullar nedeniyle ayırd edici isimler alır. TANIM 7.4.1: Bir dizeyin sıra sayısı sütun sayısına eşit ise buna Kare Dizey (Square Matrix) denir. Bir kere dizeyin satır sayısına bu dizeyin Sırası (Order) denir. 79

ÖRNEK:

A=

3

2

1

1

3

4

1 6 1 ise, A kare bir dizeydir ve 3. sıradandır. TANIM 7.4.2: Ana köşegeninde yer alan tüm öğeleri bir olup bunun dışındaki öğeleri sıfır olan kare dizeye Birim Dizey (Unit Matrix) denir, n-inci sıradan bir birim dizey (Sü)

Su =

1

i=i

o

ı*j

biçiminde ifade edilir. Bu dizey, dizey cebirinde birim öğe rolünü oynamaktadır. Yani, A n x n bir dizey olduğunda A.I = I.A = A dır. Diğer taraftan I„ = (eı,...,e„) biçiminde birim sütun yöneyler cinsinden gösterilebilir. ÖRNEK: ~ 1 = 0 0 TANIM 7.4.3:

—

0 - 1- 1 0 1 0 0 1 0 1 - 0 - 0 Herhangi bir X sayısı için =

- 0 0 - 1-

— (ei» e 2' e3)

= (X sfJ) = X ı„ biçiminde bir kare dizeye Sayıl Dizey (Scalar Matrix) denir.

s

ÖRNEK: 2

0 0

0 2

o o

-

0

0 1 o

= 2

2

= 2.1,

TANIM 7.4.4: D = (XiSjJ) biçimindeki bir kare dizeye Köşegen Dizeye (Diagonal Matrix) denir. Dikkat edilirse köşegen dizeyin sayıl dizeyden farkı, burada \ nin i ile, yani satır sayısı değiştikçe, değişebilmesidir. ÖRNEK: D =

80

0 2 0

0 0 7

Xı = 3,

X2 = 2,

—7

TANIM 7.4.5: Bir A dizeyinin i- inci satırının i-'inci sütun olması biçiminde satır ve sütunlarının yer değiştirmesiyle elde edilen dizeye A'ıım Devriği (Transpose) denir. Eğer A = ( a i j ) m x n ise A'nın devriği A'(aİJ)nxm biçiminde ifade edilir. ÖRNEK : 4

2 A =

A'-

4

9 7

Devrik dizey aşağıdaki özellikleri gösterir: 1. C = A + B ise C = A' + B' dir. 2. D = AB ise D' = (A.B)' = B'.A 3. ( A r A 2 . . . .A n )' = A ' n . . . . A ' j . A\ (2'nin

genelleştirilmesi)

4. (A')' = A 5. I' == I TANIM 7.4.6: A = A' ise A Bakışımlı (Symmetric) bir dizeydir. ÖRNEK: A =

2 1

1 4

3 6

3

6

1

dizeyi bakışımlıdır.

TANIM 7.4.7: A=-A' ise A Çarpık Bakışımlı (Skew Symmetric) bir dizeydir. ÖRNEK: A =

~0

-3

-2 "

3

0

-4

2

4

0

dizeyi çarpık bakışımlıdır.

SONUÇ 7.4.1: Her hangi bir kare dizey, bir bakışımlı ve bir de çarpık bakışımlı dizeyin toplamı olarak gösterilebilir. KANIT : A bir kare dizey olsun. A = A + (1 / 2) A' -(1 / 2) A' yazılabilir. Diğer taraftan A = (1 / 2) A + (1 / 2) A olarak ifade edilebileceğinden A = (1/2) A + (1/2) A' + (1/2) A - (1/2) A' = (1/2) (A+A') + (1/2) (A-A') yazılabilir. 81

A b = (1/2) (A+A') ve A, = (1/2) (A-A') diyelim. A = A b + A t dir. Oysa A b , bakışımlıdır. Çünkü, A' b = (1/2) (A + A')' = 1 / 2 (A' + A) = A b diğer taraftan, A, de çarpık bakışımlıdır. Çünkü, (A,)' = (1/2) (A-A')' = (1/2 (A' - A) = - (1/2) (A-A') = A, (l.K.) ÖRNEK: " 2 A = 3

-4 1

8

6

7 "" 9 olsun. 9 ~

-

(A+A') =

4 -1 15

-^-(A-A')=

2

3 _ 8

-4 1 6

2

15 15

15

18

-1

2 3 8

4-

-4 •1 6

' 2 + -4 7

7 9 9

2 i 7 i

-

7 " 9 9

—

J7_ 2 2

Ab+At:

-1

2

4 82

- i ı 7 i - 2 -4 7

8

3 1 9

6

9

7 l ? £ 9 3 1 9

= Ah 8~ 6 9

= A, _3_ '2

+

0 —

— 0

2 3 8

-4 1 6

6 9 9

= A

TANIM 7.4.8: A = {au)nxn dizeyinin öğeleri eğer i > j olduğunda atj = 0 ise, bu dizeye Üst Üçgen (Upper Triangular) dizey; i < j olduğunda atJ — 0 ise bu dizeye do Alt Üçgen (Lower Triangular) dizey denir. ÖRNEK: A

B

~ 3 0 0 _0 - 6 = 3 2 1 -

2 4 0 0 0 4 1 3

1 2 1 0 0 0 4 4

4 " 1 4 2 __ 0~ 0 0 5

Üst üçgen dizey

Alt üçgen dizey

7.5. Dizeylerin Bölüntülenmesi

Bazı koşullarda bir dizeyin öğelerinin tümü değil ve fakat bir alt kümesi ilgi konusu olabilir. Ayrıca bu tip alt kümelendirme yoluyla bazı işlemlerin yapılması daha kolaylaşabilir. Bu kolaylaştırma kendisini aşağıdaki biçimlerde gösterir. a) Satır ve sütun sayısı çok fazla olan dizeylerin daha kolay ifade edilmesini sağlar. b) Ele alınan ana dizeyin ilgilenilen yapısını ortaya koymayı kolaylaştırır. c) Hesaplamaların yapılmasında kolaylık sağlanır TANIM 7.5.1: A m x n bir dizey olsun. Bu dizeyin sadece k m) satırı ve s(^n) sütundan oluşan A p x s dizeye, Anın Alt Dizeyi (Sub Matrix) denir. ÖRNEK:

_ 31 33 olsun. A'nın son iki sütunu ve son satırın atılmasıyla ulaşılan A 1 ^,. dizeyi, A nın bir altdizeyi olup, 22 _ dir. Dizeylerin bölüntülenmesi yöntemi ile bir dizeyi alt dizeyleri cinsinden ifade etmek olanaklı hale gelir. 83

ÖRNEK: A =

*2l 22 "23 24 flit ûll öl» öl _ a 21 _ "31 "32 "33 "34 Bölüntülemenin işlem yapmayı kolaylaştırdığını görebilmek için, toplama ve dizey çarpımı işlemlerinin bölüntülenmiş dizeylerde nasıl yapılabileceğini görelim: i) TOPLAMA B,

®ıı

A — ^mzn

D

_

mxn _B21 B, *-22 _ bölüntülenmiş iki dizey olsun. Eğer bunların alt dizeyleri toplama işlemi için uyumlu ise, A + B == A 12 + Bj A„ + B u _

A2î

A 22 + B 2

A 21 + B 21 yazılır. ii) ÇARPMA A m x „ ve B„ xr dizeyleri A =.

B,

B,

B,

B,

B

biçiminde bölüntülenmiş olsun. Eğer bu dizeylerin alt dizeyleri de çarpma işlemi açısından uyumlu ise, bu çarpım,

C=A.B=

A n B u + A 12 B?ı

A n b12

- A 21 B„ + A 22 B2ı

A b 12 21

ÖRNEK " 3 1 A4X5 — 0 _2

1 2 1 1

2 0 0 0

2 4 1 0 0

1 1

3~ 6 0 4 1

Bc

84

1 1

4 1 4 1

5 2 1 0

22 22 22 _

dizeyleri verilsin. C= A.B dizeyini bulalım. Görüldüğü gibi biz bu dizeyleri bir aşamada çarpmağa kalksak, bu çok zor olacaktır. Çünkü dizeylerin satır ve sülün sayısı çoktur. Bu nedenle bu dizeyleri uygun bir biçimde bölüntülemok daha anlamlı olacaktır. A dizeyini aşağıdaki biçimde bölüntüleyelim. 2

3 A

ıı

A 21 =

A 12 —

4

5

1

2

1

0

0

o

4

1

2

o

1

0

B dizeyini ise, 2

B,

3

4

B 12 =

6 0

1 B 21 =

0

B22 =

0

biçiminde bölüntüleyelim. Dikkat edilirse bu bölüntülemenin yapılmasında, bölüntülenmiş dizeylerin çarpımı formülünde yer alan alt dizey çarpımlarının tanımlanabilir olmasının sağlanması yoluna gidilmiştir. Eğer buna dikkat edilmezse alt dizeylerin çarpımı tanımlanamaz. Bu da bölüntüleme işlemini anlamsız kılar. Bu durumda, 12

C = A.B = _C21 düzeyinde Cn

" u B u + A 2 2 B 21 3

1

2

1

2

0

12

17

10

6

J

2 4 1

1 ~ 1 2

+

~ 4

5

~ 0

1~

_ 1

2

_ o

ı _

c „ = ^11 ®12 + ^-12 ®22 3 1

1 2

2

"3 " 6 + _ 0_

4

" 4~

1

_ 1_ 85

~ 15 ~ _ 15 _ C2, = Ajj B n + \

+ 2

=

6 _

1

O

2

1

O 1

8

3

_ 21 _

B 21

O

4

- 36 ~

~ 21 "

2 4 1

+

1 1 2

+

4

1

0

1

0

0

O

5

4

6

o

1

8

4

" 3 6 _ 0

4

1

4

1

0

1

C 22 — A 21 B 12 + A 2 2 B 2 1 ~ 0

1

0

_ 2

1

0

-

=

"

6 "

=

_ 12 _ olacağından

+

~ 12 10 4 8

-

• 17 4

-

_

17 6 6 4

+

23 ~

_ 16 _ 36 ~ 21 23 16

ALIŞTIRMALAR: A.

7.1:

i) A =

ii) A =

iii) A =

86

4

7

5

-9

5 1 -6 7

-3 " 2 4 11 2 1 1

4 -5 6 2

-8

1

4 x =

1 4 8

2 1 3 4 1

Ax, hesaplanabildiği hallerde, hesaplayın. A.7.2: A=

~ an

an

3

_ a2l

9

an

6

1

o21 7

6„

3

B= ve A = B ise, bunıın ne anlama geldiğini açıklayın. A.7.3: A=

3

1

2

2

1

4

2

4

B

3 1 9

1 1

6

-8

1 1 4 1

3 2 C=

1

1

2

1

2

4

2

D

1 6

3

2

3 1 2

i) A + B, A+C, A+D, B+C, B+D, C+D toplamlarından, yapılabilir olanları yapın. iı) AB, AC, AD, BC, BD, CD, BA, CA, DA, CB, DB, DC çarpımlarından yapılabilir olanları yapın. A. 7.4: Bir şirketin beş fabrikası vardır. Bu fabrikalarda kullanılan girdi miktarlarının eksi, çıktı mikl arlarının artı işaretli gösterilmesi yoluyla ulaşılan girdi çıktı dizeyi aşağıda verilmiştir. FABRİKALAR 1 1 MAL

2 - 2

0

3

-1/2

1

3

4

5

0

1

1

-1/2

1 -2

- 2

-1

Bu malların fiyatları ise, birinci mal 3 TL. ikinci mal 4 TL. ve üçüncü mal ise 6 TL. biçiminde tam rekabetçi bir piyasada belirlenmektedir. a) Dizey işlemlerinden yararlanarak, bu firmanın toplam kârını bulun. b) Şirket acaba, fabrikalarından bir kısmını kapatarak kârını artırabilir mi? Bunun nedenini açıklayınız. 87

KAYNAKLAR T.M. APOSTOL (1969): Calculus, Vol 2, 2nd Editıon, Xerox, Mass., özellikle s. 31-48. S. A Y D I N - A. DEMIRALP (1975): Analize Giriş: Cilt 2, Başarı Yayınlan, istanbul, s. 261-312. T. B U L U T A Y (1965): Doğrusal Programlama - Giriş, S.B.F. Yayını, Ankara, özellikle, s. 4-17. ö . H Ü S E Y İ N - E. SEZER (1977): Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, Ankara, s. 1-17. S. LANG (1971): Linear Algebra, Second Edition, Addison Wesley, Mass. s. 83-130. M. O'NAN (1971): Linear Algebra, Harcourt Brace Jovanovich, New York, s. 21-66 ve s. 193-225. J.T. SCHWARTZ (1961): Introduction to Matrices and Vectors, McGraw Hill, New York s. 1-55.

88

8. Bölüm

BELİRTEN VE İZ Bu bölümde dizeylere ilişkin iki sayıl işlev kavramını ele alıyoruz. 8.1. Belirtenin Hesaplanması

A n x n bir kare dizey olduğunda, A'nın öğelerinin işlevi olan bir ]A| sayısı vardır ve buna Belirten (Determinant) denir. (Burada, |. | simgesini belirten için kullanıyoruz, düzgü ya da salt değer anlamına gelmemektedir. Ancak biz genellikle Bel (A) ifadesini, A'nın belirteni anlamına kullanacağız. Bazı kaynaklarda da Def(A) kullanılmaktadır.) TANIM 8.1.1: re- inci sıradan bir A = (atJ) dizeyinin i-inci satır ve j-inci sütununun dışarıda bırakılmasıyla ulaşılan (re-1) x (re-I) dizeye AtJ diyelim. Bu dizeyin belirtenine, A dizeyinin au öğesinin Alt Belirteni (Minör) denir ve Bel (A tJ ) biçiminde gösterilir. ÖRNEK: 3 Bel (A)=

8

23"

6 Bel (A 2 j)=

8

TANIM 8.1.2: Bir A dizeyinin a t j öğesinin Eşçarpanı (Cofactor) (_l)i+i Bel (Aıj) biçiminde tanımlanır. Eşçarpan işaretlendirilmiş alt belirten demektir. ÖRNEK: Bel (A) =

3

7

8

6

8

7

olsun. ai2 nin eşçarpanı (~1)2+2. Buna karşılık a 2 2 nin eşçarpanı ise 89

(-1) 2 + 2

1

7

7

9

6

6

TANIM 8.1.3: (LAPLACE AÇINIMI) n-inci sıradan bir A = (atJ) yinin belirteni i-inci satırdan açıldığında

dize-

Bel (A) = 2 o u (-l)'+ J Bel (Au) olarak elde edilir. Eğer açılma j- inci sütundan yapılırsa, belirten Bel (A) = £ al} (-1)

Bel (Au)

olarak elde odilir. Hangi satır ya da sütunun seçileceğine karar verebilmek için, içinde en çok sıfır bulunan satır ya da sütunun en büyük kolaylık sağlayan olacağına dikkat etmek gerekir. Eğer dizeyin satır ya da sütunları bu açıdan anlamlı bir farkklık göslermiyorlarsa, yine kolaylık açısından, birinci satırın seçilmesi yoluna gidilebilir. ÖRNEK: Bu örnekte 2 inci ve 3 üncü sıradan dizeylerin belirtenlerini yukarıda verilen yönteme uygun olarak hesaplama yoluna gideceğiz. Bu hesaplamalar sonucunda ortaya çıkacak olan formüller bu boyutlardaki dizeylerin kolay hesaplama yolları olarak kullanılabilir. i) 2x2 bir dizeyin belirteninin hesaplanması «11

«12

«21

«22 _

olsun. Birinci sıradan bu dizeyi açalım. A u = a22 , A 12 = a2l

olduğundan

Bel (A)— (-1)1+' (o n ) (o22) + (-1)»+» (a12) (o21) «12 «21 = o,, a, ii) 3x3 bir dizeyin belirteninin hesaplanması

13 «23 «33

olsun. 90

Birinci sıradan Bel (A u ) = 23

Bel (Ai2) =

31

Bel (A13) =

"23

22 "31

Bel (A) = (-1)'+' an (a22 a33- a23 a32) -f (-1) , + 2 a12 (a2l a33-a31 a23) + H )

1 + 3

«13

(«21

«32 -

«22

«3li

Bel (A)= an a22 a33 - au a23 a32 - a12 a2l a33+ a12 a3t ai3 + ol3 o2l o32 - al3 a22 a 3 1 NOT: 3x3 Dizeylerin belirtenini bulabilmek için kolay bir yol daha vardır. "SARRUS KURALI" adını alan bu yol şöyle özetlenebilir: i) Belirteni bulunacak dizeyi yazın «11

«12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

ii) Sözkonusu dizeyin ilk iki satırını tekrar, dizeyin en altına yazın. «11

»12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

«11

«12

«13

«21

«22

«23

iii) Böylece ulaşılan genişletilmiş dizeyin sol üst köşesindeki an öğesinden aşağıya sağ alta doğru, o 33 e giden köşegeni çizin. Aynı işlemi o 21 den a 1 3 'e ve o 3I den a23 e tekrarlayın. Bundan sonra sağ üst köşeye geçin ve a13 -a3l, «23 ~«ıı v e «33 -«2i köşegenlerini çizin. Bu durumda aşağıdaki şekli elde ederiz.

91

iv) Şimdi sol üst köşeden başlayarak köşegenin birleştirdiği öğelerin çarpımlarını yazabm.

21

. a32

13

. a, Aynı işlemi sağ üst köşeden başlıyarak yineliyelim.

a33 a12 a'21 v) Soldan sağ alta giden köşegenler ile birleştirilen öğelerin çarpımlarından oluşan terimleri toplayalım, ve sağ üstten sol alt giden köşegenlerin birleştirdiği öğelerin çarpımlarından oluşan terimlerin toplamını bundan çıkarakm. Bu bize Bel (A) yı verecektir. Çünkü bu ifade ( « 1 1 «12

«33 + ° 2 1

«32

«13 + « 3 1

«12

« 2 3 ) "(«13 «22 «31 + « 2 3

«32

«11

+

«33 «12

= Bel (A) dir. ÖRNEK: A=

1

2

0

1

1

.1

dizeyinin belirtenini bulalım.

Bel (A) = 1 0 1 1 0 iii)

92

2

1 4 2

1

3 2 1 3 2

1

3

0

2

1

1

bulmamız gerekiyor

«2l)

iv)

1x1x1 = 1 0x4x3 = 0 1x2x2 = 4

+

(-1) x

t 1 x 1 x 1 = -3 2 x l x l = - 2 (1x2x0 = 0 '

+

-5 Bel (A) = 5 - 5 = 0 8.2. Belirtenlere İlişkin Bazı özellikler

Bu bölümde bilertenlerin bazı temel özellikleri kamtlanmaksızm verilecektir. ÖZELLİK 8.2.1: Bir dizeyin belirteni sözkonusu dizeyin devriğinin belirtenine eşittir. Yani Bel (A) = Bel (A') "" 2.

3~

A =

" 2

1 ~

_3

4 _

ise A'= _ 1

4 _

olur

Bel (A) = 2.4 - 3.1 = 8 - 3 = 5 Bel (A') = 2.4

3.1 = 8 - 3

ÖZELLİK 8.2.2: Bir dizeyin iki satırının (ya da iki sütununun) yeri değiştirilirse, bu dizeyin belirtenin salt değeri aynı kalır, fakat işareti değişir. 3 2 0

2 1 1

Şimdi bir B dizeyi tanımlıyalım. Bunun A dan tek farkı A'nın birinci ve ikinci sütunlarının yer değiştirmesiyle elde edilmiş olması, olsun. Bu durumda B dizeyi B

Bel (A) = 1 (2-0) - 3(1-1) + 2(0-2) = 2-4 = - 2

J

Bel (B) = 3(1-1) - 1(2-0) + 2(2-0) = - 2 + 4 = 2 ÖZELLİK 8.2.3: Bir kare dizeyde iki satır ya da iki sütun birbirinin aynı ise, bu dizeyin belirteninin değeri sıfırdır. 93

ÖRNEK: A = Dikkat edilirse A dizeyinin birinci ve üçüncü sıraları birbirinin aynıdır. Şimdi Bel (A) hesaplıyalım. Bel (A) = 2(2-3) - 3(3-2) + 1 (9-4) = - 2 - 3 + 5 = 0 ÖZELLİK 8.2.4: Bir belirtenin herhangi bir satırı (ya da sütunu) bir sayı ile çarpılırsa, elde edilen sonuç, belirtenin değerinin o sayı ile çarpılmasına eşittir. ÖRNEK: A =

0 4 1

2 3 4

2

6 4

B

1 2 4

0 8 1

dikkat edilirse, A ve B dizeyleri arasındaki tek fark ikinci satırlarının farklı olmasından ibarettir. Bu da B nin ikinci satırındaki öğelerin onlara karşılık gelen A daki öğelerin iki katı olmaları biçimindedir. Bu durumda Bel (A)= 2(1-8) -1(3-16) + 0(6-4)

= - 14 + 13 = - 1

Bel (B)= 2(2-16) - 1 (6-32) + 0(12-8) = - 28+26 = - 2 ÖZELLİK 8.2.5: Bir belirtenin açınımında başka bir sütun ya da satırın eşçarpanları kullanılırsa sonuç sıfır çıkar. ÖRNEK: 2 4 1 A dizeyinin belirtenini birinci satırından açalım. Fakat, bunu yaparken, ikinci satırın öğelerinin eşçarpanlarmı kullanalım. (1) x (-l) 2 +ı

x

(2-1) = -1(2-1) = - 1

2 2

(2) x (-1) + x (1-2) = 2 3

2(1-2) = -2

(1) x (-1) + x (1-4) = -(1-4) =

3

(-1) + (-2) + 3 = 0 ÖZELLİK 8.2.6: Bir belirtende bir satırın (ya da sütunun) öğelerine başka bir satırın (ya da sütunun) karşılık gelen öğelerinin katları eklenir, ya da çıkarılırsa, belirtenin değeri değişmez. 94

ÖRNEK: 3 1 2

2

1 3

A =

1 1 O

olsun. B dizeyini de şöyle oluşturalım. A dizeyinin ikinci sütununun tüm öğelerini 2 ile, üçüncü satırın tüm öğelerini 3 ile çarpıp birinci satıra ekliyelim. Bu yani B dizeyinin birinci satırını versin. Bu dizeyin ikinci ve üçüncü saiıları ise A dizeyininkilerin aynı olsun. Bu durumda yeni B dizeyi 2 + (2x1) + (3x3)

3 + (2x1) + (3x2)

1 + (2x1) + (3x0)

B =

1 0 13 1 3

B =

11 1

3 1 0

2

olacaktır. Bu durumda Bel (A) =

2 (0-2) -

3 (0-3) + 1(2-3) = - 4 + 9 - 1 = 4

Bel (B) = 13 (0-2) -11(0-3) + 3(2-3) = -26 + 33-3 = 4 bulunur. ÖZELLİK 8.2.7: Herhangi bir belirtende bir satırın (ya da bir sütunun) her bir öğesi " m sayıda" terimin toplamından (farkmdan) oluşmuş ise, bu belirten her bir öğesi tek bir terimden oluşan "m" sayıda belirtenin toplamına (farkına) eşittir. ÖRNEK: X

1

A =

X

2

~

2*, + İx2 + 4*3

X

3

x, - 4*2 +

3

2

1

1

1

0

olsun. Bel (A) = (x, + x2+

x3) (0-1) - (2 *, + 3x2 + 4 *,) (0-1)

- 4 * 2 + x3) (3-2)

= -(*! + *2 ~

+ (2*1 + 3*! + 3*2 + 4*,) + [xl - 4X2 +*3)

= (-*, + 2*, + *,) + [x2 + 3*2 - 4*2) + (4*3 + * 3 + * 3 ) Bel (A) = 2*, - 2*2 + 6*3 bulunur. 95

Yukarıda verilen sonuca göre Bel (A) = Bel (A,) + Bel (A2) + Bel (A3J biçiminde yazılabilmelidir. Burada *ı

2xt

*,

3

2

1

1

1

0

*2

3*2

3

2.

1

1

1

1

4*3

Bel (A,) =

Bel (A2) =

Bel (A,) =

-4X2

3

2

*3 1

1

1

0

olmaktadır. Bel (Aı) = *, (0-1) - 2*ı (0-1) - *, (3-2) = -

XY

+ 2*.! + xl • =

2XL

Bel (A2) = * 2 (0-1) - (3*2 (0-1) - 4* 2 - (3-2) = -x2 + 3*2 - 4X2 - = -2X2 Bel (A,) = —Xj (0-1) - 4*3 (0-1) + * 3 (3-2) = * 3 + 4*3 + X3 = 6*3 olduğundan Bel (A) = 2xl - 2 * 2 + 6 * 3 bulunur. ÖZELLİK 8.2.8: Aynı boyutlu iki kare dizeyin çarpımının belirteni, belirtenlerinin çarpımlarına eşittir. Yani, A ve B nxn dizeyler olduklarında Bel (A.B) = Bel (A). Bel (B) dir. ÖRNEK: A =

2

3

1

1

Bel (A) = 2 - 3 = - 1 Bel (A). Bel (B) = - 2 96

4

2

1

1

B Bel (B) = 4 - 2 = 2

2

3~

~ 4

2"

1

1_

_ 1

1_

"11

7

5

3

A.B = Bel (A.B) = 33 - 35 = - 2 8.3. İz Bir kare dizeyin İzi (Traee) denildiğinde ana köşegeninde yer alan öğelerinin toplamı anlaşılır. TANIM 8.3.1: A = (a,j) nxn bir kare dizey olsun. A'nın izi İz (A) =

S aH İ= 1

dir. TEOREM 8.3.1: A = = İz (A) + İz (B)

(au)nsn

ve B =

(btJ)mn

olsun. İz (A+B)

İz (A.B) = İz (B.A) dir. KANIT: DHRYMES (1978, s. 24). ALIŞTIRMALAR A.8.1 : Aşağıdaki dizeylerin belirtenlerinin değerini bulun. 1 A = A.8.2: A =

A.8.3:

2

1 4

3

2

0 1 2

B

3 4 11

c =

0 0 0

7 3 1

Aşağıdaki dizeyin belirteninin değerini bulun. 3 4 1 0

1 1 2 2

1 3 3 4

2 2

4 0

Aşağıdaki dizeyler verilsin. 2 4 6

B

4 3 2

1 0 4

2

3 4

İz (A), İz (B), İz (A.B), İz (BA), İz (A+B) İz (B-A) bulun. 97

KAYNAKLAR S. A Y D I N - A. D E M l R A L P (1975): Analize Giriş, Cüt 2, Başarı Yayınları, İstanbul, s. 313-332. H.G. CAMPBELL (1965): An Introduction To Matrices,

Vectors and Linear

Programming,

Appleton-

Century-Crofts, New York, 76-92. P.J. DHRYMES (1978): Mathemalics

For Econometrics, Sprınger Verlag, New York, s. 25-31.

A. E S İ N - E. AĞLI (1978): Genel Matematik, ö . H Ü S E Y İ N - E. SEZER (1977): Matrisler

98

AÎTÎA Yayını, s. 285-336. ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, Ankara, s. 19-38.

9.

Bölüm

/

BASİT İŞLEMLER, AŞAMA VE EVRİK DİZEY Bu bölümde sırasında basit işlemler, aşama ve bir kare dizeyin evriğini bulma üzerinde duracağız. 9.1. Basit İşlemler Dizeylerin sıraları üzerinde yapılan bazı işlemler, bu dizeylerin bazı özelliklerini değiştirmeyip, bunları korurlar. Bu tip işlemler, bu nedenle, ele alman dizeylerin yapılarını basitleştirerek bazı bilgilerin daha kolay elde edilmesine olanak sağlamaktadır. TANIM 9.1.1: Bir dizey üzerinde Basit Satır işlemleri (Elementary Row Operationr) denildiğinde, i) İki satırın yer değiştirmesi ii) Bir satırın sıfır dışı bir payıyla çarpılması iii) i -inci satırın yerine i-inci satır ile j(j i) inci satırın k katının toplamının konulması işlemleri anlaşılır. Herhangi bir A dizeyini de bu işlemlerin yapılması, sözkonusu dizeyin "uygun" bir başka dizey ile önçarpılması yoluyla sağlanır. NOT: Yukarıda tanımlanan basit sıra işlemleri, sütunlar üzerinde de yapılabilir. Bu işlemlere Basit Sütün İşlemleri denir. Basit sütün işlemleri de ele alman dizeyin "uygun" bir dizey ile ardçarpımı ile elde edilir. Biz, bu kitapta sıra işlemlerine dayanarak konuları anlatacağız. Ancak tüm anlatılanların uygun değiştirmelerle sütun işlemleri biçiminde de yapılabileceğini unutmamak gerekir. ÖRNEK 1: A

" 3

6

7~

8

1

2

2

1

1 99

dizeyinde 3 üncü ve 2 inci satırların yerlerini değiştirelim. Bunun için A'yı aşağıdaki dizey ile çarpmak uygun olur. Et = ~ 1

0

0 -

0

0

1

1

0_ 0 -

3

6

0

0 0

1

8

1

7 2

_ 0

1

0 _

2

1

1

_ 0 \

- 1 E1A =

=

- 3 2

6 1

7 ~ 1

8

1

2

ÖRNEK 2: - 3 A "'=

1 -

6

4

7

8 _

dizeyinin ikinci satırını 4 ile çarpalım. Bunun için aşağıdaki dizey ile A'nm önçarpılması uygun olur. ~ 1

0

0~

0

4

0

_0

0

1 _

- 1

0

0 -

0

4

0

6

4

_ 0

0

1 _

7

8

- 3

1

2 -

2

1

8

_ 1

4

6 _

E! =

EıA =

~3

1 ~

- 3 —

24

1 16

7

8

ÖRNEK 3: A =

dizeyinin 2 inci satırının 3 katmı birinci satıra ekleyelim. Bunun içia aşağıdaki dizey ile A'nın önçarpılması uygun olur. ~ 1 0 Eı =

3 1

0 0

_0 - 1

0

1 _

2

0 -

0

1

0

0

E.A ==

100

- 3

1

2

0

2

1

8

1

1

4

6

6

4

25

2

1

8

6 4 1 Herbirisi birer sıra işlemini veren Ej, E 2 , E 3 , gibi dizeylere, Basit Dizeyler (Elementary Matrices) denir. TANIM 9.1.2: Eğer bir A dizeyine bir dizi basit satır işlemi uygulandığında bir B dizeyi elde ediliyorsa A dizeyi B ye Satır Denktir (RowEquivalent) denir ve A ~ B biçiminde gösterilir. Bu (9.1.1.) B = P.A

P = E S E S _, . . . . Eı

biçiminde gösterilen bir işlemdir. Satır denkliği bir denklik bağıntısıdır. ÖRNEK: 4

2

3

1

4

2

olsun. Bu dizey üzerinde aşağıdaki basit satır işlemleri dizisini tanımlıyalım. i) İkinci satırın üç katının birinci satırdan çıkarılması ii) Yeni ulaşılan birinci satırın 3 üncü satıra eklenmesi ~ 1 ir EjA = 0

-3 1

0 0

3

4

2

2

3

1

_0

0

1

1

4

2

~-3

-5

-1

.2

3

1

1

4

2

ii) E2(EjA)

E 2 EjA

1 0

0 1

0 0

_

~ -3 2

-5 3

1

0

1 _

1

4

-3

-5

1

2

3

1

1

1

- 2

-1 1

-

2_

_

TANIM 9.1.2: Aşağıdaki yapıyı taşıyan dizeylere Satır Basamak Dizeyi (Row Echelon Matrix) denir. 101

i) k > O için ilk k satırda bir ya da birden çok sıfır dışı öğe vardır. ii) Böyle bir satır için, soldan itibaren ilk sıfır dışı öğe bire eşittir. iii) Dizeyin satırları öyle düzenlenmiştir ki, her satırın ilk sıfır dışı öğesi, daima daha üslteki satırın ilk sıfır dışı öğesinin sağındaki bir sütuntadır. iv) İlk k satırdan sonra gelen satırların tüm öğeleri sıfırdır. ÖRNEK: Aşağıdaki dizeyler, satır basamak dizeyidirler.

A =

- 1 0

2 0

•2 1

0 0

0 0

0 0

1 3 1 0

~0 0

0 0

1 0

2 1

4 4

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

B =

Bu noktada çok işimize yarayabilecek bir teoremi yazalım. TEOREM 9.1.1: Herhangi bir A dizeyi için, A dizeyini bir satır basmak dizeyine dönüştüren bir basit satır işlemleri dizisi bulunabilir. KANIT: Örneğin MILLS (1970, s. 87) Bu teoremin dikkat edilmesi gereken özelliği, böyle bir satır işlemler dizisinin bulunabileceğini söylemesine karşılık bunun bir tek olduğunu söylememesidir. Nitekim bu sonucu veren bir çok satır işlemler dizisi bulunabilir. ÖRNEK: 2

3 1 2

2 0

dizeyini satır basamak dizeyine dönüştürelim. 1. Üçüncü satırdan birinci satırı çıkaralım. 1 EjA = 0 _ -1 -

0 1 0

0~ 0 1 _

" 3 1 _2

2 1 1

2 " 2 0

=

~ 3 1 _ -1

2 1 -1

2~ 2 -2 _

2. Yeni ulaşılan dizeyin üçüncü satırına ikinci satırını ekleyelim. -

E2(E,A) -

102

1 0 0

0 1 1

0~ 0 1 _

" 3 1 _2

2 1 1

2~ 2 0 _

=

~ 3 1 0

2 1 0

2 1 0_

3. Yeni ulaşılan dizeyin birinci satırını J ile çarpakm. - 1 0 E3(E2E1A re ise yine a(A) = re olduğunda birtek, «(A) < re olduğunda ise sonsuz çözüm olacaktır. Diğer taraftan bir doğrusal denklemler dizgesi tutarsız ise, bunun anlamı, söz konusu dizgedeki tüm denklemleri eşanlı sağlayan hiç bir x çözümün bulunamayacağıdır. Ancak bu durumda da farklı özellikler ortaya çıkmaktadır. Bunları da şöyle özetleyebiliriz. Eğer «(A) ^ a(A : b) ve i) m— re ise, a(A) = 1 olduğunda çözüm yoktur. Buna karşılık 1 < a(A) < n ise, doğrusal denklem dizgesindeki m-a (A) sayıda denklem dışarıda birakılarak geri kalan denklemlerden oluşan tutarlı bir dizge elde edilebilir. Bu durumda, n-a (A) = m-a(A) değişkenin değeri dışarıdan belirlenerek, geri kalan değişkenler için çözüm elde edilebilir. ii) m < re ise yine (i) de belirtilen durumlar ortaya çıkar. 1 Eğer bu durumda o (A) —m (denklem sayısı) ise, A'nın herhangi bir mxm, tekil olmayan alt dizeyi seçilebilir. Bu alt dizeyin sütunlarına karşılık gelmeyen n-m değişkenin değerleri sıfıra eşitlenir ve geri kalan doğrusal denklemler dizgesinin çözümü bulunursa, buna Temel Çözüm (Basic Solution) denir. Bu yolla değeri sıfırdan farklı olarak bulunan değişkenlere Temel Değişkenler (Basic Variables) denir. Bu çözümün önemi, söz konusu mx.m alt dizeyin sütunlarının R denklendi ve n bilinmeyenli bir doğrusal denklemler dizgesinin N = olanaklı

120

temel

çözümü

vardır.

LJ m ! (n-m) !

m

için bir taban oluşturmasıdır, m

iii) m > n ise a(A) = n olması olanağı vardır. Bu durumda, yine m-n kadar denklem atılarak tutarlı bir doğrusal denklemler dizgesine ulaşılabilir. Ancak bu kez çözüm birtekdir. Oysa (i) ve (ii) de birtek çözüm bulümak olanaksızdır. 10.3. Doğrusal Denklem Dizgelerinin Çözümü için Yöntem Yukarıda anlatılanlarnı ışığında bir doğrusal denklem dizgesinin çözümünü bulabilmek için ne yapılabileceği aşağıdaki gibi sıraya sokulabilir: 1. Önce denklem dizgesinin tutarlı olup olmadığı incelenir. Bunun için de aşama koşulunun sağlanıp sağlanmadığına bakılır. Yani, a(A) = a(A : b) olup olmadığı araştırdır. Bunun için A ve A b dizeylerinin aşamalarının bulunması gerekir. Bunun için de daha önce de gördüğümüz üzere basit işlemlerden yararanabiliriz. 2. Bir doğrusal denklem dizgesinin tutarlı olduğu saptandığında, bu, sözkonusu dizgenin en az bir gözümü olduğu anlamına gelecektir. Burada ortaya çıkan ikinci sorun çözümün birtek mi yoksa sonsuz mu olduğunun saptanmasıdır. Eğer bir A m x n x = b dizgesinde, A dizeyinin aşaması, k ise, bunun anlamı sözkonusu dizgedeki denklemlerin k tanesinin doğrusal bağımsız olmasıdır. Kolaylık olması için ilk k denklemin doğrusal bağımsız olduğunu varsayalım. A dizeyinde de bu doğrusal bağımsız denklemlerin katsayılarından oluşan alt dizeyi A* ile gösterelim. Bu durumda diğer denklemler, A dizeyinin ilk k sırasının doğrusal bileşimleri olmaktadır. Bunlarm katsayılarından oluşan alt dizeyi de Ad* ile gösterelim. O halde A* A = AA

d *

biçiminde yazılabilir. Buna koşut olarak b yöneyini de alt yöneylere bölüntüleyelim. b=

burada b*, kxl ve h d *, (n-fc)xl

yöneylerdir. O halde ele aldığımız bu doğrusal denklemler dizgesini: (10.3.1)

X

A *

—

A

d

=

_

V

ya da 121

(10.3.2) A* x = b* (10.3.3) Ad* x = b d * biçiminde yazabiliriz. Tanım gereği (İ0.3.2)'nin herhangi bir çözümü (10.3.3)'ü de sağlayacağından, sorun (10.3.2)'nin çözümünü bulmak biçimine dönüşmektedir. Şimdi A* in aşaması fc olduğuna göre, bu dizey içinde k sütun doğrusal bağımsızdır. Bunları ilk k sütun kabul edelim. Bu durumda (10.3.4) A* = [A!

V ] yazabiliriz. Burada Aı* = (atJ)kxk ve Bel (Aı*) ^ 0 olur. A 2 ise kx(n-k) dır. x yöneyini de bu bölüntülemeyle uyumlu olarak Xl

(10.3.5) x =

biçiminde yazalım.

Burada x 15 kul ve x 2 ise (n-k) xl yöneylerdir. O halde, (10.3.6) [Aı

A2*]

Xı

_ -»-2 _

yazılabilir Buradan

(10.3.7) A,* x, + A2* X2 = b* elde edilir, a (Aı*) = k olduğundan Aı* - 1 vardır. O halde, = A * - 1 b* - A,*-1 A 2 *x 2

(10.3.8) (10.3.9)

-

Xl

_

X

2

_

-

A l

X

* _ l

b

*

_

A ı

* _ !

A

_ *

X 2

-

2

yazılır. Demek ki, x 2 verildiğinde Xı bulunabilir. Her x 2 için bir Xı yöneyi bulunabileceğinden, dizgenin sonsuz çözümü vardır. Burada özel bir hale dikkat etmek gerekir. Eğer k=n, yani A* nm aşaması bilinmeyen sayısına eşit ise, (10.3.10) A* x = b olacağından (10.3.11) x = A*"'b biçiminde bir tek çözüm bulunur.1 1 Açıktır ki A m x „

olduğunda a ( A ) ŞS e. a. (m, n) olduğundan a ( A ) = n olabilmesi

için

m > n olmalıdır, m = n ise A bir kare dizeyidir ve Bel ( A ) ^

0 dır. m > n ise, dizgede bilin-

meyen sayısından

bağımlı

fazla

denklem

edilerek birtek çözüm bulunabilir.

122

vardır ve bunların doğrusal

olan m-n tanesi ihmal

Görüldüğü gibi bu yöntem ile bir doğrusal denklem dizgesinin çözümünün var olup olmadığı ve varsa ne olduğu bulunabilir. Şimdi de 9. Bölümde gördüğümüz, satır en basit biçimini bulma yönteminden yararlanarak bir doğrusal denklemler dizgesinin çözümünün nasıl bulunacağını bir örnek yardımıyla görelim. Bu örnekte sözü edilen aşamalar 9.2 de verilen yaklaşımı izlemektedir. ÖRNEK: 2 x2 + x}

3

3 xt + 4 z 2 + 2*j

2

xt + 3 x2 + x3

4

Bu dizgeyi. 0 3 1

2

"

4 3

x ı X

2 - *3 _

=

~ 3~ 2 4

biçiminde yazabiliriz. Genişletilmiş dizey (A i b)=

0 3 1

2

4 3

olup, 9.2 de örnek olarak verilen ve en basit biçiminin bulunması istenen dizeydir. Anımsanacağı üzere en basit biçim 0 1 0

1 1 0

0 0 1

4/3 7/3 -5/3 _

çıkmıştı. Bu dizeyin verdiği benzer doğrusal denklemler dizgesi ise x, = -4/3 x2 =

7/3

x 3 - -5/3 olacağmdan istenilen çözüm bulunur. ÖRNEK 2: 3%,

x2

+

= 2

2xt + x2

-[" 3x3 = 6

5*! 4-

4- 7*3 = 8

2X2

dizgesini çözelim. Genişletilmiş dizey 123

3 (A :b)=

2~ 6

4 3 7

2

5

8

olacak. AŞAMA 1. Gereksiz j\ = 1 ve atJ

^ o

AŞAMA 2. i = 2 için R 1 yerine -a21 Rj + au R 3 = -2 (3, 1, 4, 2) + 3 (2, 1, 3, 6) = (-6, -2, -8, -4) + (6, 3, 9, 18) = (0, 1, 1, 14) i = 3 için R 3 yerine -o 3 ı Rı + o» R 3 = -5 (3, 1, 4, 2) + 3 (5, 2, 7, 8) = (-15, -5, -20, -10) + (15, 6, 21, 24) = (o, 1, 1, 14) 3 0 0

4 1 1

2

14 14

AŞAMA 3. Birinci satırı atarsak geri kalan dizeyde jı = 2 dir. Burada R 3 yerine - ai2 R 2 + a22 R 3 = - 1(0, 1, 1, 14) + 1 (0, 1, 1, 14) =

(0, 0, 0, 0)

yazalım. O halde dizeyimiz. 1 1 0

4 1 0

2

14 0

biçimini aldı. (Aşama 3b ye gerek yok) AŞAMA 4. k = 1 için önce i = 2 alabm. - a12 R 2 + a 2 2 Rj = - 1 (0, 1, 1 14) + 1 (3, 1, 4, 2) = 124

(0, -1, -1, -14) + (3, 1,4, 2)

(3, O, 3, -12) yeni dizey ~ 3 O _ O

0 1 O

3 1 O

-12 14 O

Dikkat edilirse R 3 = (O, O, O, 0) olduğundan bundan sonraki hesaplamalara gerek yok, AŞAMA 5. Birinci satırı 3 e bölelim. ~1 o o

0 1 o

1 1 o

-4 14 0

Yeni doğrusal denklem dizgesi Xl

+

= -4

x2 -j- x} = 14 olur. X\ = a dersek (1 de diyebi'irdik) Xı = 14-a x\ -j- 14 - a = -4 xı = -13 + a bulunur. Yani çözüm yöneyi (-18 + a, a, 14-a) dır. 10.4. Cramer Kuralı Ax = b bir doğrusal denklem dizgesi ve A n x n olsun. Eğer a(A) = n ise bu dizgenin bir tek çözümü olduğunu biliyoruz. Bu çözüme x* = («ı*, .. . xk*, ... xn*) diyelim. Bazı hallerde biz bu çözüm yöneyinin tümünü değil, fakat bir öğesinin değerini, diyelim ki xkVyı, bulmak isteyebiliriz. İşte bu halde tüm yöneyi hesaplamaksızın, sadece ilgilenilen bu değişkenin çözüm değerini bulmak için Cramer kuralı denilen aşağıdaki yöntemden yararlanılır. TEOREM 10.4.1: (CRAMER KURALI) A x = b, A = (au)n%„ ve Bel (A) 0 olsun. Bu durumda bu doğrusal denklem dizgesinin çözüm yöneyinin fe-mcı öğesi

125

«11 • «21 •

a

n l

«1,*_1

. . .

* t = «11

•

•

K K

«n,fc—1

• «ı,fc-ı

«21 "

a

2,k-l

nl biçiminde elde edilir.

a

ı,k+ı

• •

• •

«1n

«2,fc+l

••

• •

«1n

K

a

« 1k

«ı,fc+ı

' •

• •

«2 k

«2,fc+l

• ••

• • «2«

n>k—l

nk

• •

n,k+l

«mı

«İn

l

n,k+1

KANIT: HÜSEYÎN -SEZER (1977, s. 35-36) Cramer kuralını sözle ifade edelim. x*k,jı bulmak için A dizeyinin Ze-ıncı sütunu yerine b yöneyi konularak elde edilen dizeyin belirteni, A'nın belirtenine bölünür. ÖRNEK: 3 xl + 2 x2 + x}

=4

6 xx -f 8 x2 -f- 4*3 = 1

x ^ —3 x>2

—• 5

"

doğrusal denklem dizgesinin çözüm yöneyin deki **2 bulalım. A=

- 3 6 _ 1

2 8 3

1 ~ 4 ve b = 0_

~ 4~ 1 _ 5_

olduğundan 4 1 5

_5_ 6

elde edilir. ALIŞTIRMALAR A.10.1 : Aşağıdaki doğrusal denklem dizgelerini çözün. i) 3*j -f 2*2 + 4*3 126

ii) 3*j + 6*2 - * 3

=4

6*.

4X2

-)- 8*3 =

2*j + 6X2 + *3

4

— x2 + 3*3 = 4

= -1

—r *j | 3*3 = 8

iii) 4*t + 6*2 4- 7*3 = *ı -

*2

9

İv) *J

+ 3x 3 = -3

- *3 = O

*j + 2*2 - 3*3 = O 5*!

7 2*t 4- 3*2 4- — * 3 = -3

- 5*3 = O

8

v) 6 *, 4- 3 *, 4- 2*3 - 4*4 3 *J + 8 * 2 4" 2*3 - * 4

5 11

vi)

xx — 3*2 — 6*3 = 1 - * x 4" 3*2 4" 4*4 = 4 5*! + 4*2 + 8 * 3 = 1 #2

xj

4

—

5

Aşağıdaki doğrusal denklem dizgesi verilsin. Cramer kuralından yararlanarak * 2 yi bulun.

A.10.2:

3 *j 4- 4*2

3*3 = 1

2 *j + * 2 4" 6*3 = 4 *, -

* 2 4- 4*3 = 3

A. 10.3: Bir ekonomide üç mal olsun. Bu malların istem işlevleri q/ = 60 - ZPa qbd

+

Pc

= 40 - 2p a - 3p b 4- 2p c

* = 35 -

q

2 p„

- pb - 2

Pa

P c

ve sunum işlevleri ie qa° =20+4 s

qb

pa

= 4 + 5 pb = 8 + 4 pc

biçiminde verilsin. Burada qad, qbd, qcd sırasıyla a, b ve c mallarının istem miktarlarını, qbs qbs ve qcs de sırasıyla a, b ve c mallarının sunum miktarlarını; pa, pb ve pc ise bu malların fiyatlarını göstermektedir. i) Bu mallar arasında "ikame edicilik" ve "tamamlayıcılık" bağıntılarından hangisi söz konusudur? Niçin? 127

ii) Bu ekonomide dengede, mal fiyatlarının ne olaeağmı bulun. A. 10.4: Aşağıdaki ulusal gelir belirlenmesi modeli verilmiş olsun. Y = c+ I+ G+(XE) c = 100 + 0.8 (Y-T) I

=0,2 7 - 2 1

T

= ıo +o.ı y = 15 + 0.3 y

E

G = T

X = 30 Md = 0.45 y — 1.2 i AF = 40 M" = M5 Burada Y ulusal geliri, I yatırımı, G kamu harcamalarını, X dışsal olarak verilmiş kabul edilen dışsatımı, E dış alımı, T vergiyi, i faiz oranını, Md para istemini, Ms para sunumunu simgelemektedir. i) Bu modelde verilen deklemleri yorumlayın. ii) Bu modeldeki değişkenlerin denge değerlerini hesaplayın. KAYNAKLAR S. A Y D I N - A. DEMİRALP (1975): Analize Giriş, Cilt 2, Baş a n Yayınlan, İstanbul s. 333-354. N.V. EFIMOV - E.R. MIR Publishers,

ROZENDORN (1975): Linear Moscow,

s.

Algebra and

Multi - Dimensional

Geometry,

70-107.

G. H A D L E Y (1961): Linear Algebra, Addison Wesley, Mass, s. 162-187. Ö. H Ü S E Y İ N - E. SEZER (1977): Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, Ankara, s. 59-69. H. KASNAKOĞLU (1979): Linear Algebra, ESA Working Paper No.7, ODTÜ, Ankara, (I.Bölüm), B. NOBLE (1969): Applied

128

Linear Algebra, Prentice Hail, Englewood Clıffs, N.J. s. 62-94.

11. Bölüm

ÖZGÜL DEĞERLER, ÖZGÜL YÖNEYLER, KÖŞEGENLEŞTİRME VE KARESEL BİÇİMLER Bu bölümde şu soruyu yanıtlamağa çalışacağız. T: R"-»-R" bir doğrusal dönüştürme olsun. Acaba, R" içinde bu doğrusal dönüştürmeyi bir köşegen dizey ile ifade edebilecek bir B tabanı bulabilir miyiz P Bu soruyu başka bir biçimde de ifade edebiliriz. Her doğrusal dönüştürme bir dizey ile ifade edilebildiğine göre, yukarıdaki sorunun anlamı "T doğrusal dönüştürmesini ifade eden A dizeyine benzer bir köşegen dizey bulabilir miyiz?" olmaktadır. Bu soruyu yanıtlamak için önce, bu konuda ve ilerideki iktisat uygulamalarımızda çok yararlanacağımız özgül değer ve kökleri ele alacağız. Bundan sonra köşegenleştirme konusunu inceliyeeeğiz. 11.1. Özgül Değerler ve Özgül Yöneyler TANIM 11.1.1: Vn bir yöney uzayı ve F bir alan olsun. I: Vn-*Vn, Falanı üzerinde Vn yöney uzayında bir doğrusal işlemleyici (operatör) (yani Vn den kendi içine bir doğrusal dönüştürme) olduğunda T (v) = Âv koşulunu sağlayan X e F sayılına, T'nin Özgül "Değeri ve v e Vn, v # 0„ yöneyine ise T'nin özgül Yöneyi denir.1 T'nin tüm özgül yöneylerinden oluşan kümeye de T'nin İzgesi (Spectrum; denir. TEOREM 11.1.1: T: Vn-*Vn bir doğrusal işlemleyici ve X, T'nin bir özgül değeri olsun. X ile ilişkili T'nin tüm özgül yöneylerinden oluşan küme F'niıı bir alt uzayını oluşur. Buna, X'nın Özgül Uzayı (Eigenspace) denir. KANIT: (KLEIN (1973, s. 280), x, y e Vx olsun. Tanım gereği T(x) = X x ve T(y) = X y dir. O halde a, b e F için T(ax + by) =aT(x) + 1 Burada özgül yöney (değer) İngilizcedeki Characteristic vector (value) deyiminin karşılığı olarak kullanılmıştır. İngilizcede ayrıca proper vector, latent vector, eigen vector ile proper value, latent value, latent root, latent number, characteristic number, eigen value deyimlerine de rastlanmaktadır. GANTMACHER (1959, s. 69).

129

bT(y) = aXx -f 6Xy = X (ax + 6y) dir. O halde ax + by e dir. a=b ise 0 n x + 0 n y e F^ olduğunda, bir yöney uzayıdır. (İK.) Bu temel teoremlere dayanarak, biz, her doğrusal eşlemenin bir dizey, ve doğrusal işlemleyicinin ise bir kare dizey ile gösterileceğini hatırlayarak aşağıdaki tanımı verip bundan sonraki çözümlememizi tamamen dizeyler üzerinde sürdürebiliriz. TANIM 11.1.2: A = (a İ J ) n x n , olduğunda Ax = Xx denklemini sağlayan bir x (x 0„) yöneyi ve bir X sayılı varsa bunlara sırasıyla A'nın Özgül Yöneyi ve özgül Değeri denir. A'nın tüm özgül yöneylerinden oluşan kümeye, A'nın Izgesi denir. Dikkat edilirse yukarıdaki tanıma uygun bir sonuç bulabilmek için yapılan işlem (11.1.1) Ax - Xx = (A- X I) x = 0„ tektürel dizgesinin çözümünü bulmaktadır. 10. Bölümden hatırlanacağı üzere a(A- XI) = n ise bu dizgenin birtek çözümü vardır o da x = 0„ dir. O halde sıfır dışı bir çözüm bulmanın yolu a(A - X I) < n olmasıdır. Bu halde de (11.1.2) Bel (A- XI) =

12 a 22 -X

= 0

olacaktır. Bu belirtenin açınımı X cinsinden re-inci dereceden bir çok terimli (polynom) verir. Bunu (11.1.3) Bel (A-XI) = (-1)" X" + 6, X""1 + . . . + &„_! X + bn = 0 biçiminde ifade ederiz. Burada 6ı, bn, A'nın asal alt dizeylerinin belirtenlerinin toplamlarıdır. TANIM 11.1.3: A n-inci sıradan bir dizey olsun. Bel (A- X I), A'nın Özgül Çok Terimlisi ve Bel (A-X I) = 0 ise A'nın Özgül Denklemi adını alır. A'nın özgül denkleminin çözümü, X„.. .,Xn biçiminde, birbirinden farklı olması zorunlu olmayan, n kök verecektir. Bunlar A dizeyinin özgül değerleridir. A'nın özgül köklerinin hepsi farklı ise bunlara Yalın (Distinct) denir, fcğer bir kök h kere tekrarlıyorsa buna da Çarpımı h (Multiplicty h) denir. Özgül değerlere ilişkin bazı sonuçlar: SONUÇ 11.1.1: A ve A' nin özgül değerleri aynıdır. SONUÇ 11.1.2: A = (aİJ)nx>h

a(A)= k < n ise A'nın n-k özgül değeri sıfırdır.

SONUÇ 11.1.3: Üçgen ya da köşegen dizeylerin özgül değerleri, bunlarm ana köşegenlerinde yer alan öğelerdir. 130

 dizeyinin özgül değerlerini bulduktan sonra bunlara karşılık olan özgül yöneyler de şöyle bulunur. Xt, A'nın bir özgül değeri olsun. Bunu (11.1.4.) (A- X,I ) x = 0„ denkleminde yerine koyalım. Bel (A- XtI) = 0„ olduğundan, bunu sağlayan x 0„, yöney sayısı sonsuzdur. Eğer a(A- X,I) = k ise, n-k bilinmeyenin değerini biz sabit alır ve dizeyi kalan k değişken için çözebiliriz. Böylece, X,'e karşılık gelen X1 özgül yöneyini buluruz. Dikat edilirse, X1, (A- X, I) x = 0„ dizgesinin çözümü ise, a bir sayıl olduğunda ax' de bir çözümdür. O halde bir özgül değere karşılık gelen sonsuz sayıda, fakat doğrusal bağımlı, özgül yöney vardır. NOT: Eğer, bir özgül değere sonsuz sayıda özgül yöneyin karşılık gelmesi karışıklık yaratıyorsa "Normalleştirilmiş özgül yöney" tanımlamak yoluna gideriz. Burada x, A'nın herhangi bir özgül yöneyi olduğunda a = — , . x İr II seçersek (|x ||, x yöneyinin boyu) (11.1.5)»,= elde ederiz. ||x, || = 1 olduğundan bu normalleştirilmiş özgül yöneydir. Bütün sorunumuzu buna dayanarak çözebiliriz. A ile A'nın özgül değerleri aynı olmasına karşılık özgül yöneyleri aynı değildir. A'nın özgül yöneylerini (11.1.6) (A' - X I) y" = 0„ denkleminden elde ederiz. Bu denklemi dizey konusundaki bilgilerinize dayanarak (11.1.7) y (A - X I) = 0', biçiminde yazabiliriz. 11.1.4 ü sağlayan x yöneyine A'nın Sağ Taraf Özgül Yöneyi ve 11.1.7'yi sağlayan y yöneyine de A'nın Sol Taraf Özgül Yöneyi denir. Dikkat edilirse x bir sütun yöney, y ise bir satır yöneydir. TEOREM 11.1.2: A = (au)„xn dizeyinin n özgül değeri, X,, . . . , X„ yalın olsun. O halde A dizeyinin, n tane doğrusal bağımsız özgül yöneyi vardır. KANİT: HEAL - HUGHES-TARLING (1974, s. 93), PASINETTI (1977, s. 259-60) bakılabilir. Teorem 11.1.2 nin koşullarının sağlandığı bir dizeyde sağ taraf özgül yöneyleri ile sol taraf özgül yöneyleri arasında aşağıda özetlenen ilişki vardır. 131

SONUÇ 11.1.3: A = (ajj)„xn v e A'nın özgül yöneyleri bağımsız olsun, A'nın satır özgül yöneyi herhangi bir başka sütun özgül yöneyine dikeydir (yani sayıl çarpımları sıfıra eşit). KANIT: Xk, k=l,

. .., n, A'nın özgül değerleri olsun.

(11.1.8) Axk = lkxk

k= 1, ...,

n

ifadelerinin tümünü (11.1.9) AX=X A biçiminde ifade edebiliriz. Burada X = (x\ .. .,x*, . . . , x n ); yani k ıncı sütü nu xfc olan dizey ve

0

0.

-1 X , ., x" doğrusal bağımsızsa a(X) = n olduğundan X vardır. 11.1.9 un -1 her iki tarafını X ile çarparsak 1

(11.1.10) A = X - 1 AX buluruz. Diğer taraftan y 1 , . . ., y", A'nın sol taraf özgül yöneyleri olduğunda (11.1.11) yk A— \ yk,

k= 1, ... 1

k

yazılabileceğinden Y = (y , . .., y , ...,

n

y") denirse

(11.1.12) YA =• AY yazılabilir. Yine a(Y) = n olduğundan Y- 1 vardır ve (11.1.13) A = Y AY"1 yazılabilir. Şimdi (11.1.10) ile (11.1.13) karşılaştırırsak (11.1.14) Y= X" 1 ve buradan da (11.1.15) YX = I sonucunu elde ederiz. Bunu açık olarak yazarsak , X»)

- 10 0 1

0~ 0

Ö 6 . . .i olacağından yl . xJ' = 0 1

J

y' . x' = 1 elde edilir. 132

i * İ i = j

(I.K.)

Şimdi özgül değer ve köklere ilişkin bazı temel sonuçları bir teorem biçiminde, kanıtlamaksızm sunalım. TEOREM 11.1.3: A = (a l 7 ) n x n olsun. X,; i= 1, ..., değerleri olsun. i) Bel (A) = ii) A

1

n de bu dizeyin özgül

n"_ Xf

varsa, özgül değerleri

-,

i = 1

" dir. "i iii) x, A'nın Xk özgül değerine karşılık gelen özgül yöney olsun. O halde, x, aynı zamanda A" (n bir sayı) dizeyinin özgül değeri olan X"k ya karşılık gelen özgül yöneydir. iv) A'nın özgül çok terimlisi Bel (A- XI) = (-1)" X" + bx X"-1 + . . . + *>„_, X + bn = 0 ise (_!)« A» + b, A»-1 + , .. + bn_, A + bn = O nx „ dir. Buna CAYLEY-HAMILTON TEOREMİ denir. ÖRNEK: [Özgül değer ve yöneylerin bulunması] 1

4

1-X

4 3-X Bel (A-XI) = (1- X) (3- X) - 8 = X2 -4 X -5 = (X-5) (X + 1) A- XI =

2

0 halde iki özgül değer var. \ = 5 ve - 1 = Xr == 5 (A- XI) da yerine koyabm ve denklemimizi yazalım. 4 -2 _

~ -4 2

(A- 51) =

_

-4

4 "

- 0 -

(A-5I) x = _ 2

-2 _

= -

_

_ o_

-4 xt + 4 x2 = 0 2 x1 — 2 x2 = 0

-4

4

2

-2

8-8 = 0 olduğundan

Bel a Jl)

= (2y, + 2y2; 4y, + 4y2) = (0, 0)

2jı + 2y2 = 0 4

J ı + 4y2 = 0

yx = 1 alırsak 2 + 2y2 = 0 4 + 4yt =; 0 olacağından y2 — - 1 bulunur. Böyle olunca X2 = - 1 'e karşıbk gelen özgül yöney y 2 = (1, -1) dir. Dikkat edilirse y l x 2 = (i, 2) y2

1

' = 1 +

2

( - 4 - ) = 1-1 = 0

_ -1/2 _ ~ 1 X1

=

(1,

=1-1=0

-1)

1 1

4

2

3

Bel (A) =

= 3-8 = - 5

X[ = 5„ X2 = -1 olduğuna göre X r X2 = -5 görüldüğü gibi Bel (A) = Xj . X2 3 A - 1 = -5 A"1 =

-4 "

-2

1

- -3/4

4/5 ~

_ 2 /5

-1/5 _ 3

-

X

_4_

5

(A--XI) = -

X

135

Bel (A- XI) = ( - A - - x) ( -

4 - - x ) -

3 , ~2T ^

25

3 X 5

1 ^ ~5~

A

t

5 ~

+

x

8

25 = O

= O

A 5

2

4(- 4-4) — ; 0 halde di v = T- (- 4 + 4) ~ 4 V- 4- 'Eğer ele aldığımız A dizeyi bakışımlı ise, bunun özgül değer ve yöneyleri bazı özellikler gösterir. TEOREM 11.1.4: A = (a 1J )„ In gerçel bakışımlı bir dizey ise bunun özgül değerleri gerçeldir. KANIT: HEAL-HUGHES -TARLING (1974, s. 99) veya KLEIN (1973, s. 290). TEOREM 11.1.5: A = (a i ; )„ x n gerçel bakışımlı bir dizey olsun. A'nın farkb özgül değerlerine karşılık gelen özgül yöneyleri dikeydir. KANIT: HEAL-HUGHES-TARLING (1974, s. 100) veya KLEIN (1973, s. 290). 11.2. Benzerlik Dönüştürmeleri ve Köşegenleştirme TANIM 11.2.1: Eğer A ve B dizeyleri arasında P 1 AP=B biçiminde bir bağıntının kurulmasını sağlayan bir P tekil olmayan dizeyi varsa, A, B'ye Benzerdir (Similar) denir ve A ~ B biçiminde gösterilir. 136

TEOREM 11.2.1: i) Benzer dizeylerin özgül denklemleri ve özgül değerleri aynıdır. ii) P" 1 AP = B ve x, A'nın bir özgül yöneyi ise P - 1 x de B'nin bir özgül yöneyidir. KANIT: NOBLE, (1969, s. 345) den alınmıştır. i) Bel P 1 Bel P = Bel (P"1 P) = Bel (I) = 1 olduğuna göre Bel(B- X I) = Bel. (P^1 AP - XI) = Bel (P - 1 AP- XP"1 P) = Bel P

1

(A- XI) P

= Bel P

1

Bel (A- XI). Bel P

= Bel (A-XI). Bel P 1 . Bel P = Bel (A- XI) ii) Ax == Xx olsun. Biz bunu A.I.x= Xx ve I = P.P""1 biçiminde yazarsak, A.P.P -1 x = Xx bulunuz. Her iki tarafı da P - 1 ile çarpalım. P - 1 AP. P~> x = P" 1 Xx ya da (P _ 1 AP) (P _ 1 x) = X (P _1 x) P _ 1 AP = P olduğuna göre B(P _I x) = X (P~'x) dir. P 'x ^ 0„ olduğuna göre bu bir özgül yöneydir. (x ^ 0„ idi çünkü, A'nm özgül yöneyidir. P - 1 tekil olmayan bir dizey dir.) TEOREM 11.2.2: A = ( a u ) n x n dizeyininretane doğrusal bağımsız özgül yöneyi varsa A A dir. Burada A = (Xi)nx„ yani ana köşegeninde A'nm özgül değerleri olan bir köşegen dizeydir. KANIT: Bu teoremin anlamı verilen koşullarda P ' A P = A yazılabileceğidir. Diyelim ki xı, x n A'nın re doğrusal bağımsız özgül yöneyi olsun. P = [xı, . . . , x„] diyelim. (1) AP = [Axı, . . . , Ax„] = [Xı x„ . . . , X„ x„] = PA Burada ~ Xt

0

A = Köşg. (X,) _ 0 Xn P'nin sütunları doğrusal bağımsız olduğu için P çarparsak P 1 AP = A buluruz.

1

varaır. (AP) i P - 1 ile ard (Î.K.) 137

O halde bu teoremden şu temel sonuçları çıkarabiliriz. i) Eğer n boyutlu bir kare dizeyin, A, doğrusal bağımsız özgül yöney sayısı n ise, bu dizey köşegenleştirilebilir ii) Ulaşılan köşegen dizeyin, ana köşegeninde A'nın özgül değerleri, köşegenleştiren P dizeyinde ise, A'nın özgül yöneyleri yer alır. Bu noktada, akla şu soru gelebilir. Acaba bir dizeyin özgül yöneyleri ne zaman doğrusal bağımsızdır? Aşağıdaki teorem bunu yanıtlamaktadır. TEOREM 11.2.3: A = (au)nKn

dizeyinde;

i) Yalın özgül değerlere karşılık gelen, özgül yöneyler doğrusal bağımsızdır. ii) A'nın n yalın özgül değeri varsa, bunların herbiriyle ilişkili bir tane olmak üzere tam n tane doğrusal bağımsız özgül yöneyi vardır. KANIT: (NOBLE 1969, s. 281-2 den) alınmıştır. i) A'nın özgül değerleri Xı, . . . , Xs ve bunlara karşılık gelen özgül yöneyler ise sırasıyla Xı, . . . , x s olsun. x£'ler doğrusal bağımlı olsun ve bunun doğru olduğu en küçük sayı s olsun o halde + + as x = 0 yazabiliriz, s, doğrusal bağımlılığın geçerli olduğu en küçük sayı olduğuna göre, Vi için oc£ ^ 0 dır. Şimdi bu denklemi A ile çarpalım. «ı

sı

+

aı

Xı

s

n

aı Axı + a 2 Ax 2 + . . . . + a s Axs = 0„ Axj = X; Xj olduğunu hatırlarsak aı Xı xı + aı Xı xı +

+ a s Xs x s = 0„

Eğer herhangi bir X£ = 0 ise, bu takdirde, bu denklemden s-1 özgül yöney arasında doğrusal bağımlılık olduğunu söyleyebiliriz. Oysa s bu bağıntının geçeli olduğu en küçük sayı olarak kabul edildiği için, bu olamaz. O halde V i için Xj ^ 0 dır. Bu durumda birinci denklemi Xj ile çarpıp ikinciden çıkaralım. aı (Xı - Xı) xı +

+ a s (Xs - Xı) x s = 0„

buluruz, i = 2, ..., s için X£ - Xı i=- 0 olduğuna göre, (Xj'leri yalın kabul etmiştik). Bunun anlamı, s-1 özgül yöneyin doğrusal bağımlı olması denktir ki, bu varsayıma ters düşmektedir. Yani yine bir çelişki vardır. O halde Xj'ler doğrusal bağımsızdır. ii) Xı, . . . , X„'e karşdık gelen n tane xı, . . . , x n özgül yöneyi vardır. Diyelim ki X; ye karşıhk gelen bir başka özgül yöney var. Buna u diyelim, x., — ., x n doğrusal bağımsız olduğuna göre (i) den n x 1 sütun yöneyler için bir uzayı yayarlar. Dolayısı ile 138

(•) » = Pl »1 + P2 «2 + • • • • + P„ X„ yazabiliriz. Her iki tarafı A ile çarpalım Au = Şı Axı + P2 Axı -f-

-f p„ Ax„

olur. Axj - Xx( ve Au = X; u olduğu hatırlanırsa + P„ X„ x„ elde ederiz. (*)'i X( (* *) Xu = p„ X, X j + jî2 X2 x + ile çarpıp (* *) den çıkarırsak, 2

0„ = p. (Xı - Xf) x, + . . . . + P„ (X„ - Xj) x„ elde ederiz. X;'ler doğrusal bağımsız olduğuna göre, i -inci hariç tüm 1er sıfırdır, (i-inci terim (X; - Xt) olduğu için bu P ( + 0 iken de sıfırdır,) O halde u = p, x t olup, x ; 'ye doğrusal bağımhdır.

(I.K.)

İktisatta zaman zaman önemli rol oynayan gerçel bakışımlı dizeylere ilişkin sonuçları bir teorem biçiminde özetleyerek bu konuyu bitirelim. TEOREM 11.2.4: A = ( a u ) n x n bir gerçel bakışımlı dizey olsun. i) Bu dizeyin özgül değerleri gerçeldir. ii) A'nın farklı özgül değerlerine karşıbk gelen özgül yöneyleri dikeydir. iii) Bu dizey daima köşegenleştirilebilir. ÖRNEK: (Köşegenleştirme) A =

~4

1

2

0

2

1

_ 0

0

1

dizeyi verilsin. Bunun özgül değerlerini bulalım. ~ 4-X A- XI =

0 _ 0

1

2

2-X

1

0

1-X

olduğundan Bel (A- XI) = (4- X) (2- X) (1 - X) elde edilecektir. Bu nedenle bu dizeyin özgül değerleri Xı = 4, X2 = 2 X3 = 1 dir. Şimdi bu özgül değerlere karşılık gelen özgül yöneyleri bulalım. Xı = 4 için 139

- 0 (A-4I)x = 0

1 -2

2

_0

0

-3

- 0 -

1

*2

0

=

_ 0_

_*3_

olduğundan *2 "I" 2*3 == 0 2*2 + *3 == 0 -

3*3 = O

elde edilir. x1 = 1 dersek aradığımız özgül yöney r ı ~ o o olacaktır. X2 = 2 için ~2

1

2

*ı '

0

1

1

*2

0

0

-1

(A- 21) x = olduğundan 2*1 + * 3 + * 3

=

- 0 0 _0

*3 _

=0

*3 = 0 -*3 = 0 elde edilir. *ı = 1 dersek aradığımız özgül yöney 1 -2 0 X3 = 2 için (A-3I) x =

~ 3

1

2~

0

1

1

_0

0

0 _

olduğundan 3 *x + * 2 + * 3 *2 + *3 =

0 0

elde edilir. x3 — 1 dersek 140

- 0

" *1 ~ *2

_ *3 _

=

0 _0

elde edilir. Görüldüğü üzere verilen A dizeyi 3x3 dür ve 3 yalın özgül değeri vardır. O halde Teorem 11.2.3 gereği bunun 3 doğrusal bağımsız özgül yöneyi vardır. Ayrıca Teorem 11.2.2 den A dizeyinin köşegenleştirilebilir olduğu sonucunu da çıkarıyoruz. A'nın özgül yöneylerini kullanarak 1 0 o

P

0

0 -1 1

-2

1

dizeyini yazalım. Bunun evriği P- 1 =

1 0 0

o -1

0 1 -1

2

olup P

1

AP =

- 4 0 o

o 0 1

elde edilir. 11.3. Karesel Biçimler Doğrusal cebir bazan doğrusal olmayan matematik sorunların çözümünde de önemli bir rol oynar. Karesel biçimler bu konuda önemli bir örnektir. x e R n olsun.

TANIM 11.3.1: A = (a0)nxn, Q (x, x) = x' Ax

işlevine Karesel Biçim (Quadratic Form) denir. Dikkat edilirse Q (x, x) işlevini açık bir biçimde yazarsak bu Q(x, x) = an x\ + al2 x, *2 + a l 3 x, x 3 + .. . -f aln xt xn + «21 X2 Xl

sonucunu verir.

+

a

m

x

n

+

U

22

x2

2

+ fl23 *2*3 +• • • + a2n

*ı + Xn2 xn X2 + «r,3 xn x i

+

+ am

X X

2 n

x\

ÖRNEK: Q(x,x) = (*,

x3)

3 2 1

1 1 3

4~ 6 7

x i X

2 - X3

olsun. 141

Q (x,x) = 3x21 + Sj x2 -f 4x1 x} +

2x2

x,

+

X22

+

6X2

X3

+ *3 xl 4- 3*3 x 2 4- 7* 2 3 = 3*2j 4- * 2 2 + 7* 2 3 4- 3*j x2 • 4- 5*j * 3 4- 9x 2 x} bulunur. Dikkat edilirse bir karesel biçimde her ij + aji biçiminddier. Bu nedenle

x} teriminin kat sayısı

a

b

U = bJi =

(«ü + aJi)

f

*J

b

a = an biçiminde yeniden katsayıları tanımlayarak, aynı karesel biçim bir bakışımlı dizeyle ilişkilendirilebilir. ÖRNEK: Yukarıdaki örneği alalım. Q(*j x2) = 3 x\ 4- x 2 2 4- 7 x2i + 3 xlxl

+ 5*j x, + 9 x2 x3

3 = a12 4- a 2 1 olduğuna gare bi2 =

(o 12 4- o 21 ) = 1.5

5

(o 13 4- a3l) = 2,5

= «13 + «3i olduğuna göre b13 =

9

= «23 + «32 olduğuna göre 6 23 = (a23 4- a32) = 4.5 3 1.5 2.5 1.5 1 4.5 B = 2.5 1.5 7 yazılabilir. Karesel biçimlerde ilgilendiğimiz önemli bir konu, bunların hangi işareti taşıdıklarıdır. İşte bunu belirlemede özgül değerlerden yararlanabiliriz. TANIM 11.3.2: i) V x ^ 0„ için Q (x, x) > 0 ise Q (x,x) Kesin Artıdır. (Positive Definite) ii) V x ^ 0„ için Q (x,x) < 0 ise Q (x,x) Kesin Eksidir. (Negative Definite) iiij Vx için Q(x,x) ^ 0 ise Q (x,x) Yarı Kesin Artıdır. (Positive Semi Definite) 142

iv) V x için Q (x,x) şS O ise Q (x,x) Yarı Kesin Eksidir. (Negative Semi Definite) TEOREM 11.3.1: A = (aij)nxn gerçel, bakışımlı bir dizey, Q (x,x) = x'Ax, x e R n ve Xı, . . . , Xn, A'nın özgül değerleri olsun. i) A.v.a. A'nın özgül değerleri artı ise Q(x,x) kesin artıdır. ii) A.v.a. A'nın tüm özgül değerleri eksi ise Q (x,x) kesin eksidir. iii) A.v.a A'nın tüm özgül değerleri eksi değilse Q(x,x) yarı kesin artıdır. iv) A.v.a. A'nın tüm özgül değerleri artı değilse, Q(x,x) yarı kesin eksidir. KANIT: Teorem 11.1.5 den, gerçel bakışımlı bir dizeyin farklı özgül yöneyIerinin dikey olduklarını ve Teorem 11.2.4 den, böyle bir dizeyin köşegenleştirilebileceğini biliyoruz. Yani A gerçel bakışımlı bir dizey ise öyle bir dikey (yani sütunlarının sayıl çarpımı sıfır olan ve dolayısı ile devriği evriğine eşit olan) bir C dizeyi vardır ki C 1 AC = C'AC W D D = Köşg (Xf)

i=l,

... , n.

Diğer taraftan, C tekil olmadığına göre, x ^ 0 için x'Ax > 0 ifadesi x=Cy alınırsa y ^ 0 için y'C'AC y >0 ifadesine denktir. Ancak C'AC = D olduğuna göre, bu da y'Dy =

£ X2j y 2 f i=ı

ifadesine eşit olacağından, her dört önermenin de doğruluğu ortaya çıkar. Bu teoremden de görüldüğü üzere bir Q ^x,x) karesel biçiminin işareti ile bu karesel biçimi belirleyen A dizeyinin özellikleri arasında yakın bir bağıntı vardır. Nitekim karesel biçimleri betimlemek için kullanılan, kesin artı (eksi) vs. gibi deyimler A dizeyi için de kullanılır. Şimdi bir karesel biçimin ya da onu belirleyen A dizeyinin kesinlik özelliklerinin basıl saptanabileceğini görelim. Bunun için önce sık sık başvuracağımız bazı kavramları tanımlıyalım. TANIM 11.3.3: A = (au)nsn ve a r = {i„.. .,i r }, 1 £ i, £ . . â S i, ^ n koşulunu sağlayan, r farklı tamsayı olsun. Bu durumda B

=

(Km)

=

(

a İ

k

İm)

ile tanımlanan dizeye, A'nın r-ıncı sıradan Asal Alt Dizeyi (Principal Submatrix) ve bu dizeyin belirtenine de Asal Alt Belirten (Principal Minör) denir. Başka bir deyişle, bir alt dizeyin satır dizinleri, sütun dizinlerine eşit ise, buna asal alt dizey denilmektedir. 143

ÖRNEK 1: A =

hi »33 »43

22

olsun. {»„ . . . . , ,»,} =

24

{2, 4} diyelim.

B = (bkm) = («i* i j dediğimizde ik = 2,4 ve im = 2,4 olacağından 24

B = -K olacaktır. ÖRNEK 2: U

13 »32 33 _ _ "31 32 dizeyinin birinci sıra asal alt dizeyleri a u , an ve a 1 3 dır. İkinsi sıra asal alt dizeyleri ise A =

ve

dır

»33 _ TANIM 11.3.3: A = (a t J ) n x n ve ffr = {1,2 . . . , r} olsun. Bu durumda, Tanım 11.3.3: deki yöntemle belirlenen alt dizeye A'nın r-mcı sıradan öncü Asıl Alt Dizeyi (Leading Principal Matrix) denir. Bu dizeyin belirtenine de A'nın r-ıncı sıradan öncü Asal Alt Belirten (Leading Principal Minör) denir. ÖRNEK: A =

23 _ «31 "32 "33olsun. A'nın birinci sıra öncü asal alt dizeyi (a n ), ikinci sıra öncü asal alt dizeyi dir. TEOREM 11.3.2: A = (au)nxn bir gerçel, bakışımlı dizey olsun. Ancak ve ancak A dizeyinin tüm öncü asal alt belirtenleri artı, yani 144

>0,

o„>0,

>0

23

"22

*33

_

ise A, bir Kesin Artı (Positive Definite) dizeydir. KANIT: HÜSEYİN -SEZER (1977, s. 101-102) bakılabilir. NOT: Bu teoremi, birçok kitap (örneğin MURATA (1977, s. 57) asal alt belirtenler cinsinden vermektedir. Bu tür bir teorem özellikle yarı kesin artı olma durumuyla karşılaştırma için daha elverişli olmasına karşın, yukarıdaki sonuç uygulama açısından daha kolaylıkla sınanabilir niteliktedir. TEOREM 11.3.3: A= (a l V ) n ) [ n bir gerçel bakışımlı dizey olsun. Ancak ve ancak «u

«12

«1! 0, «2!

«22

....,(-i)n

f

:"

an

«12

«13

«2.

«22

«23

°31

«32

«33

< o,

>o

ise, A bir Kesin Eksi (Negative Definite) dizeydir. TEOREM 11.3.4: A = { 0 ise A, Bx = 0, x'x = 1 kısıtı altında kesin eksidir denir. iii) Eğer Bx = 0, x'x = 1 koşulları altında x'Ax Bx = O, x'x = 1 kısıtı altında yarı kesin artıdır denir.

0 ise A,

iv) Eğer Bx = 0, x'x = 1 koşulları altında x'Ax ^ 0 ise A, Bx = 0, x'x = 1 kısıtı altında yarı kesin eksidir, denir. TEOREM 11.4.1: A = (a„) n x B bakışımlı bir dizey ve B = (bu)mxnise m < n olan bir dizey olsun. 146

a(B) = m,

i) Ancak ve ancak Ar -

B',

(-l) m Bel T> -

> O, r = m + İ , . . . , n

0„

mxr

ise Bx = O x'x = 1 koşulu altında x'Ax>0 dır. ii) Ancak ve ancak B„

A r = (-l) r Bel

< 0, r = m -\-l, ..., 1» —

0„ '«ıra

n

—

mxr

ise Bx = 0, x'x = 1 koşulu altında x'Ax < 0 dır. KANIT: DEBREU (1952 s. 297-298), MC FADDEN (1978, s. 371-3) Özel bir durum olarak m= 1 yani B dizeyi bir lxn yöney (b) ise, Teorem 11.4.1 den şu sonucu çıkarabiliriz. SONUÇ 11.4.1/1 A = (a 0 ) n x n bakışımlı bir dizey ve b' = (bj)lxn bir yöney olsun. i) Ancak ve ancak Ar -

Bel

< 0 l»rM 0 b'x = 0 ve x'x = 1 koşulu altında x'Ax > 0 dır.

2, ...,

n

ii) Ancak ve ancak Ar = (~l)r Bel

> 0 _brxl

0

t

=

2, ...,

n

ise b'x = 0 ve x'x = 1 koşulu altında x'Ax < 0 dir. ÖRNEK: - 1 A = 0

0 1

0 0

0

0

1

b' -

(1, 2, 3)

olsun A 2 = Bel

0

1

1

2

2

0

= - 5 < 0

147

A , = Bel

0 1 O 2

1 2

= - 14 < O

3 O

olduğundan A r < 0, Ar = 2, 3 yazılabilir. O halde b'x 0, x'x = 1 koşulu altında x'Ax > 0 dır. 11.5. Kesin ve Yarıkesin Dizeylerin Bazı özellikleri Bir dizeyin işaretinin kesin ya da yarı kesin olarak belirleyebilirsek, bu bilgi bize sözkonusu dizeyin diğer bazı özelliklerini de saptayabilme olanağı verir. Bu özellikleri iki teorem biçiminde özetleyelim. TEOREM 11.5.1. A = ( a u ) n x n bir gerçel bakışımlı dizey olsun. Eğer A kesin artı ise i) A dizeyinin tüm gerçel özgül değerleri artıdır. ii) o(A) = n dir. iii) Bel (A) > 0 ve İz (A) > 0 dır. KANIT: DHRYMES (1978, s. 68-71) SONUÇ 11.5.1/1. A = (a İ J ) n x n gerçel bakışımlı dizeyi kesin eksi ise i) A dizeyinin tüm gerçel özgül değerleri eksidir. ii) a(A) = n dir. iii) Bel (A) < 0 ve /z (A) < 0 dır. TEOREM 11.5.2: A = (a^) nx „ bir gerçel bakışımlı dizey olsun. Eğer A yarı kesin artı ise i) A dizeyinin tüm gerçel özgül değerleri eksi değildir. ii) a(A) < n iii) Bel (A) = 0 ve İz (A) ^ 0 dır. KANIT: DHRYMES (1978, s. 68-71). SONUÇ 11.5.2/1: A= {a u ) nx „ gerçel bakışımlı dizeyi yarı kesin eksi ise i) A dizeyinin tüm gerçel özgül değeri artı değildir. ii) a(A) < n iii) Bel (A) = 0 ve İz (A) ^ 0 dır. 148

ÖRNEK: -1

A =

1

1

- 2

olsun. . Ü„ = - 1 ve Bel (A) = 2-1 = 1 olduğu için A kesin eksi bir dizeydir. _

- 1 -X

1

i) (A- XI) =

-2-X

_ 1 olduğundan (1 + X) (2 + X) - 1 = 0 yazdabilir. Buradan da X

2

+3X+1 = 0

elde edileceğinden -3 + V5~ Aı = S X3 =

^ =

-3- V 5

- 3 + 2.236 -3 - 2.236

- 0.382 =

-2.618

bulunur. Yani her iki özgül değer de eksidir. _

~ 1

0

_ 0

1_

ii) A dizeyinin en basit biçimi

olduğu açıktır. O balde

bu dizeyin aşaması ikidir. Yani boyutuna eşittir, iii) Bel (A) = 2- 1 = 1 > 0 İs (A) = (-1) + (-2) = 2 < 0 dır. ALIŞTIRMALAR: A. 11.1 : Aşağıdaki dizeylerin özgül değerleri ile sağ ve sol özgül yöneylerini bulun. ~2

ı -

i) A =

" 3 0 _ 0 1 ~ - 1 1 iv) D = 0 2 0 ii) B =

_ i 1 iii) C = 2 2 _

4 _ 4 1 8

0 4 0 2 2 0

0 ~ 0 0 _ 1 3 1 149

A. 11.2 : Yukarıdaki A. 11.1 de verilen dizeylerin özgül değerlerine dayanarak belirtenlerini, evriklerinin özgül değerlerini bulun. A. 11.3: Aşağıdaki gerçel bakışımlı dizey verilsin 1 3

A -

2

Bu dizeyi köşegenleştirin. A. 11.4: Aşağıdaki karesel biçimleri dizey gösterimi biçiminde yazın. i) Ql

X

ii) Q 2 (xt, iii) Q 3

l) = *1 *2 -

X

= x\ + 3

X2)

\

+ *2 - *22

x2, *3) = x\ + *22 + 3x23 - x1 x2 - 8 x1 x3

iv) Q 4 (xv x2, X}, X4) = x\ - X32 + 6X24 + 3*, x2 - 2x2 x} + x2x} - 4*ı x,

A. 11.5: Aşağıdaki dizeylerin işaret açısından özelliklerini belirleyin. i) 1 5 1

ü)

2

1 4 1 ~

iii)

iv)

-4 0

2

1

1 O

2

1 0 1

A. 11.6: Q (xl,x2) — 3x} x2 -f 2x 2 2 + 4x2x3 -f 4x3 karesel biçimi üzerinde 2xt + x2 + 3 x} = 1 kısıtı konulduğunu düşünelim. Bu durumda sözkonusu karesel biçimin işaret kesinliğini belirleyin. A. 11.7: A. 11.5 de verilen dizeylerin özgül değerleri, aşamaları, belirtenleri ve izleri baklanda besap yapmadan ne söyleyebilirsiniz? KAYNAKLAR G. D E B R E U (1952): "Definite and Semidefinite Quadratic Forms" Econometrica, P.J. DHRYMES (1978): Mathematics

For Econometrics,

F.R. GANTMACHER (1959): The Theory of Matrices,

Vol I, Chelsea Publishing Co., New York.

G. HEAL, G. HUGHES, R. TARLING (1974): Linear Algebra And Linear Economics, don s. 90-109.

150

20, s. 295-300.

Springer Verlag, N e w York, s. 68-71.

MacMillan, Lon-

ö . H Ü S E Y İ N , E. SEZER (1977): Matrisler ve Türevsel Denklemler, ODTÜ Yayını, Ankara, E. K L E İ N (1973): Mathematical

Methods In Theoretical Economics,

s.

70-91.

Academic Press, New York, s.

279-300. D. Mc F A D D E N (1978): "Definite Quadratic Fonns Subject to Constraints" M. F U S S ve D . Mc FADDEN'in derlediği Production

Economics: A Dual Approach

To Theory And Applications,

Vol I,

North Holland, Amsterdam, adlı kitap içinde, s. 365-382. Y . MURATA (1977): Mathematics Press, New York, s.

For Stability

And

Optimization

Of Economic

Systems,

Academic

13-20.

B. N O B L E (1969): Applied Linear Algabra, Prentice Hail, Englewood Cliffs, N.J., s. 274-311. L.L. PASINETTI (1977): Lectures On The Theory Of Production,

MacMillan, London s. 226-277.

151

12.

Bölüm

EKSİ OLMAYAN KARE DİZEYLER Bu bölümde matematiksel iktisatta çok başvurulan bir dizey türü olan eksi olmayan kare dizeyleri ele alacağız. Konunun önemini göstermek üzere, önce, Leontif'in girdi-çıktı modelini kısaca görerek, bundan sonra da söz konusu dizeylerin matematiksel özelliklerini ve bu bağlamda büyük önem taşıyan Perron-Frobenius teoremlerini ele alacağız. 12.1. Leontief'in Girdi Çıktı Modeli Bir ekonomide n tane mal olsun. Her mal bir üretim kesimince ve yalnız o kesimce üretiliyor olsun. Üretilen malların ise iki biçimde kullanılabildiğini düşünelim. Bir mal ya herhangi bir mahn (kendisi dahil) üretiminde girdi olarak kullanılsın, ya da tüketime ayrılsın. Bunları sırasıyla "endüstriler arası istem" ve "sonul istem" olarak isimlendirelim. x, i- malından toplam üretilen miktar, xtJ i-malındaıı j malının üretimi için kuİlandan miktar, yt i-malından tüketime ayrılan mik+ar ve p[ i-malının fiyatını göstersin. Bu varsayımlar altında dengede bir maldan üretilen miktar endüstrilerarası kullanım ile sonul istemin toplamına eşit olacaktır. Yani (*ıı + «w + (12.1.1) (* 21 + * 2 2 +

+ xın) + Jı = *ı + x2n) +y2 = x

(*„1 + xm + yazılabilecektir.

+ xnn) + Jn = *„

Leontief modelinde yapılan bir varsayım da, birim çıktı başına kullanılan her girdinin sabit bir büyüklük olduğudur. Bu varsayımı (12.1.2)

au = -^L

i,j = 1, ....,

n

XJ

biçiminde ifade edebiliriz. Bu durum da (12.1.1) yerine 152

a, (12.1.3)

+ «12 12 *2 ~2 + a,, "*22 Xx22 +

«ı» xn + J- = *ı + «2n *„ + J2 = X2

+

yn

= Xn Dikkat edilirse bu varsayımlar altında alj katsayıları eksi olamaz. Eğer i malı bir girdi olarak j malının üretiminae kullanıyorsa bunu ifade eden atJ katsayısı artı, kullanılmıyorsa sıfırdır. O halde (12.1.3) de verilen doğrusal denklemler dizgesi «»1 * ı

(12.1.4)

+

« «

*2

+

atJ > 0 ,

• • • •

+

«„„

+

j = 1, . . . n

koşullarını sağlayan bir (12.1.5) A = ( « « ) „ dizeyi (12.1.6)

y =

*

_ yn _ sonul istem sütun yöneyi ve x (12.1.7) x = ' üretim miktarları sütun yöneyi tanımlandığında (12.1.8) Ax + y = x biçiminde ifade edilebilir. Bu denklemlere Leontief modelinin "Miktar Dizgesi" denir. Diğer taraftan A dizeyinin j-inci sütununu a' ile gösterelim. (12.1.9) aJ =

'U hi

Bu sütun bir birim j malı üretebilmek için gerekli girdi miktarlarını vermektedir. Bu durumda bir birim j malı üretebilmek için gerekli girdilerin maliyeti (12.1.10) Cj = P l o,j + p2 a2j + .... + pn anj = p'a J biçiminde ifade edilebilir. Burada (12.1.11) p' = ( p p . . . . , P n ) Mal fiyatları satır yöneyidir. Şimdi de (12.1.12) vj = P j - C j tanımhyalım vj bir birim j— malı üretildiğinde ortaya çıkan "katma değeri" göstermektedir. Bu büyüklük ilkesel girdiler (emek, sermaye ve toprak) arasında bölüşülecek miktarı vermektedir. Bu durumda 153

(12.1.13) P j = p' a' + vj biçiminde yazılabilir. Eğer

j= 1, .

n

(12.1.14) v' = ( ,vn) dersek, tüm dizgeyi (12.1.15) p' = p' A + v' biçiminde yazabiliriz. Bu denklemlere de Leontief modelinin "Fiyat DizgesiV denir. Görüldüğü üzere bu modelde denge üretim miktarlarının bulunması için (12.1.8) den ve denge fiyatlarının bulunması için ise (12.1.15) den yararlanmak gerekmektedir. Her iki sorunun çözülebilmesi ise A dizeyinin taşıdığı özelliklere bağbdır. Şu anda A dizeyinin tüm öğelerinin eksi olmayan gerçel sayılar olduğunu biliyoruz. Acaba bu bilgi bize çözüme ulaşmada bir yarar sağlar mı? Şimdi bunu görelim. 12.2. Eksi Olmayan Kare Dizeyler TANIM 12.2.1: A = (au)nxn bir dizey olsun. i) Eğer atJ 0, i, j= 1, ..., n ise A bir Eksi Olmayan (Nonnegative) kare dizeydir. Böyle bir dizeyi A Şî O n x n biçiminde göstereceğiz. ii) Eğer, A dizeyinin her bir sütun ve satırında en az bir öğesi artı ve diğer öğeler eksi değil ise, bu bir Yarı Artı (Semi Positive) kare dizeydir.1 Böyle bir dizeyi A ^ O n x n biçiminde göstereceğiz. iii) Eğer, A dizeyinin tüm öğeleri artı ise, bu bir Artı (Positive) kare dizeydir. Böyle bir dizeyi A > O n x n göstereceğiz. ÖRNEK: - 1 i) A = 0

0 0

0~ 0

0 0 _ _ 0 bir eksi olmayan kare dizeydir. " 2 0 0~ ii) A =

0

1

_0 1 Bir yarı artı kare dizeydir. - 1 3 iii) A = 4 2 1 4 ise artı kare dizeydir.

0 0 _ 1 7 4

1 Bu tanım H E A L - H U G H E S - TARLING (1974, s. 110) dan alınmıştır.

154

TANIM 12.2.2: A

= (atj)nxn Ve J = {1, re} olsun. Eğer J'nin 1 = {/„ I2} biçiminde ve i e Iv j e I2 olduğunda atj = 0 sonucunu veren biç bir bölüntülemesi yoksa, A bir Ayrıştırılamaz (Indecomposable) [ya da İndirgenemez (Irreducible) ] dizeydir denir. Eğer böyle bir bölüntüleme varsa A bir Ayrıştırılabilir (Decomposable) [ya da İndirgenebilir (Reducible)] dizeydir. Eğer, ayrıştırılabilir bir dizeyde j e I2 ve i e II olduğunda, a]i — 0 ise, bu Tamamen Ayrıştırılabilir (Completely Decomposable) bir dizeydir. ÖRNEK 1: 1 4

3 1

8

6

4

3

4 7

2

2

3 1

0

2

dikkat edilirse A'yı nasd bölüntülersek bölüntülüyelim verilen koşulu sağlayamayız. O halde A ayrıştırılamaz bir dizeydir. ÖRNEK 2: 1 3 0 0

4

6 3 1 1

2

0 0

1 = {1, 2, 3, 4} ve I, = {3, 4} I 2 = {1, 2} alalım, i e I t ve j e I 2 alırsak bu bize o3 °42 öğelerini verecektir. Dikkat edilirse bunların hepsi sıfır olduğu için, A ayrıştırılabilir bir dizeydir. ÖRNEK 3: A =

1 9 0 0

2

4 0 0

1 = {1, 2, 3, 4}

0 o

8 6

I, = {3, 4}

0 0 1 3 h = {1, 2}

alalım. Dikkat edilirse a, '3i — °4i = °32 — a 4 2 = 0 olduğundan bu dizey ayrıştırılabilirdir. Ayrıca a l 3 = a 1 4 = o 23 = o 24 = 0 olduğundan, tamamen ayrıştırılabilir bir dizeydir. Bu örneklerden de görüleceği üzere ayrıştırılabilir bir dizey (12.2.1) A = O, 155

biçiminde ifade edilebilir. Burada A n ve A 22 kare dizeylerdir. (Aynı boyutta olmaları gerekli değildir). 0 2 1 ise dikdörtgen bir sıfır dizeydir. Tümüyle ayrıştırılabilir bir dizey ise ~ An

0, 2

(12.2.2) A = - ^21 ya da daha genel olara A„ Ou (12.2.3) A = _ fcl

^2 2 A A Ok 2

biçiminde gösterilebilir.

olk 02* A

A

kk -

Şimdi aşağıda verilen dizeye bakalım. 7 8 3 0 2 6 1 4 0 1 4 0 Bu dizey ilk bakışta ayrıştırılabilir dizey görünümünde değildir. Oysa bu dizeyin 2. ve 3 sütunlar ile 2. ve 3. satırlarını yer değiştirirsek, 1 0

(12.2.4) A =

3

6

_

1 8 3 7 2 4 1 6 0 0 6 3 0 0 4 1 dizeyini elde ederiz ki bu ayrıştırılabilir bir dizeydir. O halde sorumuzu biraz değişik ifade edersek, amacımız daha iyi ortaya çıkar. Acaba ele aldığımız herhangi bir dizeyin hem sütun ve hem de satırlarını değiştirerek (12.1.1) ya da (12.1.2) biçimine dönüştürebilir miyiz? Bu başarılabiliyorsa A sırasıyla ayrıştırılabilir ya da tamamen ayrıştırılabilir bir dizeydir. Aksi halde ayrıştırdamazdır. (12.2.5) A =

Şimdi bu kavramların ve yapılan dönüştürme işleminin ne olduğunu daha iyi anlayabilmek için bir doğrusal denklemler dizgesini, A x = b, alalım ve A dizeyinin ayrıştırdabilir olduğunu kabul edelim. x ve b yöneylerini de A'nın bölüntülemesine uygun bir biçimde bölüntüleyelim. Örneğin A = (o İ J ) n x n ise, burada x A A " 1»! " ı " A 11 12 _ Ou A 22 _ _ X2 _ Au = ( a ıj) m x m ı•^22 — (°ij) (n-m> x {n—m) Xj = mxl, x 2 = (n-nı) xl bj = mxi; b 2 = (n m) xl

(12.2.6)

olacaktır. Bu dizgeyi: 156

x

(12.2.7) A

X

ı =

b

ı

b

22 1 = 2 biçiminde yazabiliriz. Dikkat edilirse bu yazış biçiminin bize gösterdiği, bu dizeydeki değişkenlerin bir kısmının (x2 alt yöneyi içinde olanlar) çözüm değerlerinin, geri kalanlardan (xt alt yöneyi içinde olanlar) bağımsız olduğu fakat bu geri kalanların çözüm değerlerinin, öncekilere bağlı olduğudur. Yani bu dizgede x 2 yöneyi içinde olanlar x5 yöneyi içinde olanlardan bağımsızdır. Oysa x i içinde olan değişkenler ise x 2 içinde olanlara bağlıdır. A, Tamamen ayrıştırılabilir bir dizey olsa idi, bu dizeyi A

~

(12.2.8)

x

Ol, -

n

_ou A„ _ biçiminde yazabileceğimiz için (12.2.9)

An

Xl

A

x

ı

" bı "

_ X2 -

- b2 _

= b, — h

22 — 12 bulacaktı. Bu halde ise x 1 ve x 2 birbirlerinden bağımsız olacaklardı. Nihayet A ayrıştırılamaz olsaydı, dizgedeki her değişken diğerlerini doğrudan ya da dolaylı olarak etkiliyor olacaktı. Şimdi A dizeyimiz (12.2.4) deki gibi olsun. Yapılan dönüştürme sonucunda ulaşılan dizeyi, aslında bir doğrusal denklem dizgesi söz konusu olduğunda, bu dizgedeki denklemlerin ve değişkenlerin yerlerinin değiştirilmesinden ibarettir. Yani dizgenin niteliği değişmemektedir. A'yı (12.2.4) de verilen dizey ve b' = (3, 6, 7, 1) alırsak Ax = b dizgesini xt + 3 * 2 + 8

+ 7 x4 = 3

6 x2

-f- 3 x. = 6

2 xt +

x 2 -f 4 x3 + 6 x4 = 7 4 *2 +

x4 = 1

biçiminde yazabiliriz. A da (12.2.5) de belirtilen dönüştürmeyi yaptığımızda (b yöneyinde de uygun değişikliği beraberinde yaparsak) ulaşacağımız dizge: + 8 2 xt + 4 x3

+ 3 x2 + 7

= 3

+

= 7

-f 6 6 x2

x4 = 6

4 x, 4 x4 biçiminde olacaktır. Bu ise, görüldüğü gibi aynı dizgenin farklı bir sırayla yazılmasından ibarettir. 157

TANIM 12.2.3: Her sütun ya da satırında bir adet bir sayısı olup diğer bütün öğeleri sıfır olan dizeye Yerdeğiştirme Dizeyi (Permutation Matrix) denir. SONUÇ 12.2.1: P bir yerdeğiştirme dizeyi ise P - 1 = P' dir. Yani P dikeydir. ÖRNEK: P =

0 1 0

1 o o

0 0 1

bir yerdeğiştirme dizeyidir. 0 1 0

P'

1 0 1

0 0 1

olup

I dir. PP' SONUÇ 12.2.2: Herhangi bir A dizeyini, bir yerdeğiştirme dizeyi ile önçarparsak bu işlem, A'nın satırlarda yer değiştirmeye yol açar. Eğer bir A dizeyini bir yerdeğiştirme dizeyi ile ardçarparsak bu işlem söz konusu A dizeyinin sütunlarında yer değiştirmeye yol açar. PP

ÖRNEK 1: A =

3 1 4

1

2

2

3

0

6

A'nın 3 üncü ve 2. satırlarının yerini değiştirelim. P. =

P,A

1 0 o

0 0 1

0 1 o

3 4 0

1 0 1

2 6

0

Şimdi A'nın 1 ve 2 ci sütunlarının yerini değiştirelim. =

0 1 0

1 o o

0 0 1

1 AP,=

2

3 3 4

2 2 6

A-ı

0

SONUÇ 12.2.3: Yukarıdaki örneklerden de anlaşılacağı üzere yer değiştirme dizeyi birim dizey üzerinde,- yapılmak istenen yerdeğiştirmeler yapılarak elde edilir. 158

Şimdi tanımımızı, yer değiştirme dizeyini kullanarak yineliyelim. TANIM 12.2.4: A = (atJ)nlin ~ A

PAP

/»•U

_ o21

olsun. Eğer

A

A22 _

sonucunu veren bir P yerdeğiştirme dizeyi varsa, A bir ayrıştırdabilir (indirgenebilir) dizeydir. Eğer PAP

An

01

- ®21 ^22 sonucunu veren (1) bir P yerdeğiştirme dizeyi varsa A bir tamamen ayrıştırılabilir dizeydir. Eğer böyle bir P, yerdeğiştirme dizeyi tanımlanamıyorsa, A bir ayrıştırılamaz (indirgenemez) dizeydir. SONUÇ 12.2.4: Bir artı dizey tanımı gereği ayrıştırılamaz dizeydir. Eksi olmayan ayrıştırılamaz bir dizey ise ya artıdır ya da yarı artıdır. 12.3. Perron-Frobenius Teoremleri I Bu alt bölümde eksi olmayan kare dizeylerin özgül değer ve yöneylerine ilişkin bazı temel sonuçları veren ve Perron-Frobenius teoremleri üzerinde kısaca duracağız. Matematiksel iktisatta çok kullanılan bu teoremleri kanıtlamaksızın vermekle yetineceğiz. TEOREM 12.3.1: A = ( a u ) n x n bir eksi olmayan ayrıştırılamaz dizey olsun. Bu durumda, A dizeyinin aşağıdaki özellikleri gösteren ve bu dizeyin Perron-Frobenius Kökü adını alan bir özgül değeri, X P F (A), vardır. i) X P F (A) > 0 dır ve yalındır. Ayrıca j= 1, için XPF(A) > ajj dir. Eşitlik ancak n=l ise geçerlidir. ii) XpF(A) ya karşılık gelen sağ ya da sol özgül yöney artıdır ve bir sayıl çarpım dışında bir tekdir. A'nın hiçbir başka özgül değeriyle ilişkili bir yarıartı özgül yöney yoktur. iii) X, A dizeyinin herhangibir özgül değeri olsun. O halde X gŞ XPF(A) dır. Ayrıca X ^ apf (A) ve herhangi bir k, k e {1, , n] için akk > 0 ise X < }, pf (A) dır. iv) A'nın herhangibir öğesi artarsa XPF(A) artar. v) Eğer (i.> Xpf(A) ise ([il- A) -1 > Onx„ dir. vi) A;, A um herhangibir asal alt dizeyi olsun. O halde XPjr(A) > X PF (A £ ) dir. 159

KANIT: Bu teoremin kanıtı için KEMP-KIMURA (1978, s. 82-3); MUBATA (1977, s. 111-115) ya da TAKAYAMA (1974, s. 373-375) bakılabilir. Şimdi de A dizeyinin ayrıştırılamaz olması koşulunu kaldıralım. Bu durumda Teorem 12.3.1 de ulaşılan bazı sonuçlar değişecektir. TEOREM 12.3.2. A = (a ; j )„ x n bir eksi olmayan dizey olsun. Bu durum A dizeyinin aşağıdaki özellikleri gösteren ve bu dizeyin Perron Frobenius Kökü adını alan bir özgül değeri, h P F (A), vardır.

i) XPF(A) ^ o

iii) X, A dizeyinin herhangibir özgül değeri ise X PF (A) > |X| dır. iv) A'nın herhangibir öğesi arttığında }, p F (A) azalmaz. v) X | > X PF (A) ise ([J.I-A)-1 > 0 B X „ dır. vi) A;, A'nın herhangibir asal alt dizeyi olsun. O halde XPJ,,(A) ^X P j r (A j ) dir. KANIT: (Teorem 12.3.1) de verilen kaynaklara bakılabilir. Teorem 12.3.1 ile Teorem 12.3.2 arasındaki farklar aşağıdaki dört noktada toplanabilir. A eksi olmayan bir dizey olduğu halde ayrıştırılamaz değilse, i)

X

P F

(A)

sıfır olabilir.1

ii) X PF (A) ya karşılık gelen özgül yöneylerin bazı (tümü değil) öğeleri sıfır olabilir. iii) X PF (A) ya karşıhk gelen özgül yöneyler doğrusal bağımsız olabilir. iv)

X

P F

(A)

nın yalın kök olması gekmez.

v) A'nın X P F (A) dışındaki özgül değerleriyle ilişkili yarı artı özgül yöneyler olabilir. SONUÇ 12.3.2/1 : A = (« ;j ), lx „ eksi olmayan bir dizey olsun. O halde i) X

P F

(A)

=

X

P F

(A')

ii) a e R + olduğunda (12.3.1) X PF (aA) = ocXpf(A)

iii) m bir artı tamsayı olduğunda (12.3.2) X PF (A m ) = XpF(A)'" Bu konuyu son bir teorem daha vererek bitirelim: TEOREM 12.3.3. A = ( a t J ) n x n bir eksi olmayan dizey olsun. a j , A'nın j— inci sütun yöneyi ve a ; ise i-inci satır yöneyini göstersin. 1 B X 1 ile sütun toplama yöneyini gösterelim. O halde 1 Böyle bir olasılık olmasına rağmen, özellikle iktisatta karşılaşılan sorunlar açısından bu üzerinde durmağa değer bir sonuç değildir. Çünkü, KEMP-KIMURA (1978, s. 85) tarafından gösterildiği üzere, bu ancak ve ancak An O n x n ise geçerlidir.

160

(12.3.3) e.a. (a f l) ^ Xpr(A) 5Ş e.ç (atl) ve (12.3.4)

e.a. (l'a j ) l^jŞÎn

^ XPF(A) ^ e.ç. (l'a j ) lŞijŞa»

dir.

KANIT: NIKAIDO (1968, s. 108), NIKAIDO (1970, s. 138-9) veya PASINETTI (1977, s. 274). 12.4. Leontief Modelinin Çözümü Altbölüm 12.1 de Leontief modelinin miktar dizgesini (12.4.1) x = Ax + y ve fiyat dizgesini de (12.4.2) p' = p'A + v' biçiminde elde etmiştik. Bu denklemlerin çözümü denildiğinde y > 0 dışarıdan verildiğinde (12.4.1) i sağlayan bir x*, rexl yöneyinin bulunması ve v' > 0 dışarıdan verildiğinde (12.4.2) yi sağlayan bir p*', lan yöneyinin bulunması anlaşılmaktadır. Bu sorunun anlamlı çözümü olup olmadığını araştırırken, doğal ki, ilk sınaması gereken, çözümün birtekliğidir. (12.4.1) i (12.4.3) ,(I-A) x = y biçiminde yazabiliriz. 10. Bölümdeki tartışmalardan anımsanacağı üzere, y dışarıdan verildiğinde böyle bir dizgenin çözümünün olabilmesi için (12.4.4) a(I-A) = a (I-A i y) ve çözümün bir tek olabilmesi için ise (12.4.5) a(I-A) = n koşullarının sağlanması gerekir. Önce (12.4.4) ele alalım. (I-A; dizeyin aşaması, tanım gereği

y) bir nx(ra+l) dizeydir. O halde bu

(12.4.6) a(I-A: y) ^ e.a. (w,n+l) = n dir. Diğer taraftan a(I-A), I-A dizeyindeki doğrusal bağımsız yöney sayısmı verir. Bu modelde, her sütun yöney, farklı bir malın girdi gereklerini gösterdiğine göre, bu yöneylerin birbirlerinden farklı olacakları, aralarında bir doğrusal bağıntı olmayacağı varsayılabilir. Bu ise o(I-A) = n olması demektir. Bu iki koşul sağlandığında (12.4.1) in birtek çözümü vardır. O da 161

(12.4.7) x* = (I-A)- 1 y ile gösterilir. Aynı mantıklama ile (12.4.2) nin de bir tek çözümü olduğu ve ve bunun (12.4.8) p*' = v' (I-A)- 1 olduğu gösterilebilir. Ancak bu sonuçlar bir iktisatçı için tümüyle rahatlatıcı nitelikte değildir. Çünkü gerek (12.4.7) ve gerekse (12.4.8), y ve v' yöneyleri yarı artı olsalar bile x* ve p*' yöneylerinin eksi olmayacaklarını söylememektedir. Oysa eksi üretim miktarı ya da eksi fiyatın iktisat açısından anlamı olmadığı açıktır. O halde, Leontief modelinin çözümü dediğimizde x* ^ 0 ve p*' Şî 0 koşullarının da sağlanmasını istiyoruz. Acaba A'nm eksi olmayan bir kare dizey ve y ile v' eksi olmayan yöneyler olmasına dayanarak bu sonuçlara ulaşma olanağı var mıdır? (12.4.3) ü denklemleri için açıp yazarsak n

(12.4.9) xt - S atj Xj = y, j=ı

i=1,

, n

elde ederiz. Dikkat edilirse, bu, k bir sayı olduğunda n

(12.4.10) kxt - S atJ x} = y f

i=1,

, n

biçiminde yazılabilen daha genel bir doğrusal denklemler dizgesinin, k=l için özel halidir. (12.4.10) da verilen dizgeyi (12.4.11)

jtdİJXj

= yi

i

,n

biçiminde yazabiliriz. Burada (12.4.12) du = k Su - au olup (1 i = İ (12.4.13) Sjj- = f 0 i ^ j biçiminde ifade edilen Kronecker Deltasıdır. Dikkat edilirse a ;j - Sî 0 olduğu için, bu modelde i j için dtj 0 dır. Şimdi aşağıdaki teoremi ele alalım. TEOREM 12.4.1: (HAWKINS-SIMON KOŞULU) D = (dtj)nxn, anlama gelir: 162

dtJ ^ 0, i # j olsun. O halde aşağıdaki dört ifade aynı

i) Herhangi bir veri b > O yöneyi için öyle bir x > O yöneyi vardır ki Dx = b dır. Buna eşlenik olmak üzere, Dx > O eşitsizliğinin bir artı çözümü varaır. ii) d n > 0 ,

>0,

dn

> O,. d, dn Bel (D; > O iii) Herhangibir b > O için Dx = b doğrusal denklemler dizgesinin eksi olmayan bir çözümü vardır. iv) D < > O n!!n dir. KANIT: NIKAIDO (1968, s. 90-93), TAKAYAMA (1974. s. 383-384), MURATA (1977, s. 52-53) de Hawkins-Simon Koşulunun çeşitli kanıtları yer alıyor. Burada aktarıldığı biçimdeki ifadenin kanıtı da KEMP-KIMURA (1978, s. 9) da verilmektedir. SONUÇ 12.4.1/1: TEOREM 12.4.1 de D dizeyinin ayrıştırılamaz olduğu da varsayılırsa iii) ve iv) de verilen ifadeler şöyle güçlendirilebilir. iii') Herhangibir b > 0 için Dx = b doğrusal denklemler dizegesinin artı bir çözümü vardır. iv') D 1 > 0„x„ dir. SONUÇ 12.4.1/2: Hawkins-Simon koşulları sağlandığında, D dizeyinin tüm alt belirtenleri artıdır. NIKAIDO (1968, s. 90-92). NOT: Genellikle, Hawkins-Simon koşulu denildiğinde Teorem 12.4.1 deki i) ve ii) arasındaki bağıntı anlaşılır. Şimdi Leontief modeline dönelim. Leontief modelinde k = 1 olduğuna göre Hawkins Simon koşulu (12.4.14) 1 - an > 0 ya da a u < 1 1

(12.4.15)

- «ıı

- «n =

(l-«ll)

(1

«2?)

«12«21

>

0

1 - a, (12.4.16) Bel (I-A) > 0 olması anlamına gelecektir. Şimdi iki mallı bir Leontief modelini ele alıp Hawkins-Simon koşulunun ne anlama geldiğini, daha yakından görmeğe çalışalım. Bunun için (12.4.14) ve (12.4.15) i birarada ele alalım. (12.4.14) den an < 1 olduğuna göre bu bilgi (12.4.15) de yerine konursa a22 < 1 elde edilecektir. O halde HaVkins-Simon koşulunun sağlanması için önce her iki maldan kendilerinin bir birim üretil163

meleri için gereken miktarın bir birimden az olması gerekmektedir. Bunun anlamı, bir ton kömür elde etmek için kömür kullanılacaksa, bunun bir tondan az olması demektir. Ancak bu koşulun sağlanması, Hawkins-Simon koşulunun sağlanması için gerekli olmasına rağmen yeterli değildir. Dikkat edilirse birinci maldan bir birim üretildiğinde bunun an kadarı birinci malın kendi üretiminde a12 kadarı da ikinci maldan üretiminde kullanılmaktadır. Eğer geriye hiç birinci mal kalmıyorsa bu (12.4.17) an + a12 = 1 ya da

/

(12.4.18) o 1 2 = 1 - o n olması demektir. Bu sonucu ikinci mal için de yazarsak (12.4.19) a 2 1 + a22 = 1 ya da (12.4.20) o 2 1 = 1 - a22 elde ederiz. (12.4.18) ve (12.4.20) yi (12.4.15) de yerine koyarsa (12.4.21) (l-an)

(l-o 22 ) - ( l - o n ) (l-o 2 2 ) = 0

elde ederiz. O halde ya (12.4.22) « u + a 1 2 0 olması için Hawkins-Simon koşulunun 164

P j

sağlanması gerekir. Dikkat edilirse burada S aijpi

birim üretim başına

i_ı

girdi maliyeti, vj birim üretim başına katma değer olduğu için (12.4.25) birim başına net kazancın katma değere eşit olduğunu vermektedir. Bu durumda fiyat dizgesinin eksi olmayan fiyatlar cinsinden çözümünün bulunması, kârlılığın sağlanması demektir. Bu nedenle, bu koşullara Leontief modelinin Kârlılık (Profitability) koşulları denir. Şimdi iki mallı bir ekonomide Hawkins-Simon koşulunun ne anlama geldiğini geometrik olarak görmeye çalışalım. İki kesimli bir modelde (12.4.26)

A =

ise l-an

(12.4.27) I-A = _

«2!

-«12 1 «22 _

olacaktır. (12.4.28) a 1 =

- l-an -

ve a 2 =

- l-a12

- -°21 _ _ 1 «22 diyelim. Açıktır ki a 1 (i= 1,2) i-inci endüstrisinin bir birim i-malı üretebilmesi için gerekli girdi-çıktı ilişkisini göstermektedir. Şekil 12.4.1 (s. 166) de A ve B noktaları sırasıyla aj ve a 2 yöneylerini göstersin. C noktası da sonul istem yöneyini, y, versin. Bu durumda (I-A) x = y = a1 + a 2 x2 yazılabilecektir. A' = a 1 xx ve B' = a 2 x2 ise, koşut kenar kuralı ile C noktası bulunabilir. Şimdi 6 açısına bakalım. Bu açı OA ve OB ışınları arasmdaki açıdır. Bu açı 180 dereceden az oldukça ikisi aynı anda sıfıra eşit olmayan öyle xl >0 ve x2 > 0 büyüklükleri bulabiliriz ki 0

(2)

(3)

0.7841 -0.0173 (0.7841) (0.9966)-(0.0173) (0.0003) -0.0003 0.9966 = 0.7814 - 0.0000 = 0.7814 > 0 0.7814 -0.0003 -0.0462 = (0.7814)

-0.0173 0.9966 -0.1737

-0.1365 -0.0300 0.7287

[(0.9966) (0.7287) -

(0.0300) (0.1737)]

+ (0.0173) [-(0.0003) (0.7287) -

(0.0300) (0.0462)]

-

(0.1365) [(0.003) (0.1737) + (0.9966) (0.0462)]

= (0.7814) (0.7262 -

0.0052) + (0.0173) (-0.0002 - 0.0014)

(0.1365) (0.0001 + 0.0460)

= (0.7814) (0.7210) — (0.0173) (0.0016) - (0.1365) (0.0461) = 0.5634 -

0.0000 - 0.0063

= 0. 5571 > 0. 0.7841 - 0.0003 - 0.0462 - 0.0438

- 0.0173 0.9966 - 0.1737 - 0.1035

- 0.1365 - 0.0300 0.7287 - 0.1258

= 0.7841

0.9966 - 0.1737 - 0.1035

- 0.0300 0.7287 - 0.1258

- 0.0075 - 0.1348 0.8983

+ 0.0173

- 0.0003 - 0.0462 - 0.0438

- 0.0300 0.7287 - 0.1258

- 0.0075 - 0.1348 0.8983

— 0.1365

- 0.0003 - 0.0462 - 0.0438

- 0.9966 - 0.1737 - 0.1035

- 0.0075 - 0.1348 0.8983

+ 0.0049

- 0.0003 - 0.0462 - 0.0438

0.9966 - 0.1737 - 0.1035

- 0.0300 0.7287 - 0.1258

(4)

0.0049 0.0075 0.1348 0.8983

167

=

(0.7841) (0.6421) + (0.0173) (-0.0474) -(0.1365) (-0.0472) + (0.0049) (0.0376)

=

0.5035 - 0.0008 + 0.0064 + 0.0002

=

0.5081 > 0

O halde Hawkins Simon koşulu sağlanıyor. Yani bu katsayıların belirlediği ekonomi, üretim aracı olarak kullandığının ötesinde çıktı elde edebilir. îşleyebilirlik ve kârlılık için daha basit bir göstergeyi aşağıdaki teoremden çıkarabiliriz. TEOREM 12.4.2: (BRAUER-SOLOW KOŞULU) A = ( a u ) n x n Leontief modelindeki girdi katsayıları dizeyi olsun. Bu dizeyin j— inci sütunundaki öğelerin toplamını (12.4.3.1)

l'a J = £ «,, i =cl

ile i-inci satırdaki öğelerin toplamını ise (12.4.32)

a. 1 =

2

au

ile gösterelim. Eğer (12.4.33)

1' a j < 1

;=J,

,n

veya (12.4.34) ajl < 1 i=l, ,n ise Leontief modeli çalışabilirlik ve kârlılık koşullarını sağlar. KANIT: SOLOW (1952) veya NIKAIDO (1968, s. 94) ÖRNEK: Türkiye'nin 1968 yılı girdi çıktı çizelgesinden elde edilen katsayılardan a x l = 0.3746

l'a 1 = 0.3062

a 2 l = 0.0412

l'a 2 = 0.02979

a 3 l = 0.6260

l'a 3 = 0.5636

a 4 l = 0.3748

l'a 4 = 0.2489

elde edilir. Görüldüğü üzere bu sonuç Brauer-Solow koşulunu sağlamaktadır. Yani 1968 yılında Türkiye ekonomisini, bu giıdi-çıktı modeli ile ifade ettiğimizi varsayarsak, ekonominin çalışabilirlik ve kârhlık özelliklerini taşıdığını söyleyebiliriz. 168

Son olarak da Leontief modelinin sonuçlarının iktisadi anlamlılığı için Perron-Frobenius köküne ilişkin özellikleri ortaya koymağa çalışalım. Çalışabilirlik ve kârklık koşullarını sağlayan bir girdi çıktı katsayıları dizeyi, Brauer-Solow koşulunu sağlayacaktır. Bu bilgi Teorem 11.3.3 ile birleştirildiğinde (12.4.35)

0 < XPİ,(A) < 1

yazabiliriz. Bunu yazabilmemizin nedeni A eksi olmayan bir kare dizey olduğu için hiçbir satır ya da sütun toplamının eksi olamayacağı özelliği ile Brauer-Solow koşulunun sağlandığı varsayımlarıdır. Şimdi eğer A ayrıştırılamaz bir dizey varsayılırsa, Teorem 12.3.1 / v den, apf(A) < 1 olduğu için (12.4.36) (I-A) - 1 > O,n x n yazabiliriz. Bu durumda y > 0 için, (12.4.37) x = (I-A)' 1 y > 0 ve aynı yolla, v' > 0 için (12.4.38) p' — v' (I-A) - 1 > 0 elde edilir. Eğer A ayrıştırılabilir bir dizey ise, bu defa Teorem 12.3.2/ v den, X P F (A) < 1 olduğu için, (12.4.39) (I-A)" 1 â O, yazabiliriz. Yine y > 0 olduğunda (12.4.40) x = (I - A)?1 y > 0 ve aynı yolla v' > 0 için (12.4.41) p' = v' (I - A) - 1 > 0' elde edilir. ALIŞTIRMALAR A.12.1 : Bir ekonomiyi üç kesime bütüncülleştirdiğimizi ve bu çerçeve içinde aşağıdaki girdi-çıktı katsayıları dizeyine ulaştığımızı varsayalım. A =

- 0.3 0.1 0.2

0.2 0.6 0.1

0.3 0.4 0.2 169

i) Bu ekonomi yapılabilirlik ve kârlılık özellikleri göstermekte midir? ii) Bir birim birinci mal üretmek için 0.3 birim, bir birim ikinci mal üretmek için 0.2 birim ve bir birim üçüncü mal üretmek için 0.2 birim emek gerektiğini varsayalım. Ekonomideki tüm emek sunumu 50 birim olsun. Bu durum da y' = (40, 50, 30) biçimindeki bir sonul istemi karşılamak olanaklı mıdır? iii) Bu ekonomide her üç kesimde aynı anda elde edilebilecek ençok eşdenli kâr oranını bulun. A. 12.2: Aşağıdaki eksi olmayan kare dizeylerin Perron Frobenius köklerini bulun i)

- 1 _0

ii)

- 3 _2

iii)

" 2 _1

0 1 1 0 0 3

iv)

~ 1 4

2~ 1

_ ~ _ _

A. 12.3 : Yukarıda (A.12.2) de verilen dizeylerin Perron Frobenius köküne karşılık gelen sağ ve sol özgül yöneyleri bulun. A. 12.4: Bir ekonominin üretim teknolojisi aşağıdaki girdi katsayıları dizeyi ile verilsin 0.2 0.1 A = 0.2 0.3 Bu ekonomide fiyatların p' = p' A (ı + r) + w a 0 denklemine göre belirlendiği varsayalım Burada p' = (p^ p2) fiyat yöneyinı, r kâr oranını, w ise ücreti göstermektedir. a Q = (0.2, 0.1) emek katsayıları yöneyidir. i) Bu ekonomide gerçekleştirilebilecek en çok eşdenli kâr oranını bulun ii) İşçilerin ücretinin geçimlik düzeyde olduğunu varsayalım. Geçimlik ücret sepeti ise 1 birim birinci mal ve 0,5 birim ikinci maldan oluşsun. Mallardan birisinin fiyatını bire eşitleyerek, malların göreli fiyatını ve kâr oranını bulun. iii) Bu ekonomide teknolojik gelişme olduğunu ve bunun sonunda, ikinci malın üretiminde kullanılan birinci mal miktarınm 0.1 olduğunu, diğer kat170

sayıların değişmediğini varsayalım. Bu ekonomide sağlanabilecek en çok eşdenli kâr oranı bü durumda değişir mi ? Değişir ise artar mı azalır mı, niçin ? (i ve iii şıklar, SBF 1980-0cak, lisans dönem sonu sorusu) KAYNAKLAR D. H A W K I N S - H.A. SIMON (1949): "Note Some Conditions of Macroeconomic Stability" Econometrica,

17,

s.

245-248.

G. H E A L , G. H U G H E S , R. TARLING (1974): Linear Algebra and Linear Economics, Macmillan, London, s. 110-32. M.C. KEMP - Y . KIMURA (1978): Inlroduction to Mathematical Economics, Springer Verlag, New York, s. 74-85. Y . K E P E N E K (1977): Türkiye U. KORUM (1963): Input-Output

İmalat Sanayiinin Analizi,

Üretim Yapısı,

Y . MURATA (1977): Mathematics for Stability and Optimization New York, s.

ODTÜ Yayını, Ankara.

S B F Yayını, Ankara. of Economic Systems, Academic Press,

105-114.

H. NIKAIDO (1968): Convex Structures and Economic Theory, Academic Press, New York. H. NIKAIDO (1970): Introduction to Sets and Mappings

In Modern Economics,

North Holland, Ams-

terdam. E. Ö N E Y (1977): İktisadi

Planlama,

S B F Yayını, Ankara.

L.L. PASINETTI (1977): Lectures on the Theory of Production, Macmillan, London, s. 54-70. E. SENETA (1973): Non Negative Matrices, George Ailen and Unwin, London, Bölüm I. R. S 0 L O W (1952): "On the Structnre of Linear Models", Econometrica, A. TAKAYAMA (1974): Mathematical

Economics,

20, s. 29-46.

Dryden Press, Hinsdale, Illinois, s. 359-396.

171

13. Bölüm

DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER VE DIŞ BÜKEY KÜMELER * Doğrusal eşitsizlikler ve dışbükey kümeler modern matematiksel iktisatta çok başvurulan kavramlardır. Bu bölümün amacı bu kavramları tanımlamak ve bazı çok temel özellikleri ortaya koymaktan ibarettir. 13.1. Doğrusal Eşitsizlikler TANIM 13.1.1: Aşağıda verilen türde bir ifadeye Doğrusal Eşitsizlik (Linear Inequality) denir. (13.1.1) a'x = o ( x, + "2 x 2 +

+ a„ x„ ^ /».

m doğrusal eşitsizlikten oluşan n bilinmeyenli bir dizeygeye, Doğrusal Eşitsizlik Dizgesi denir ve «ıı

x

ı

+

x

«tı ı +

+ a l n x„ x

+ «İn r ^

g b

!

(13.1.2) x

amn x„ ^ bm biçiminde ya da dizey terimleriyle «mı

(13.1.3) A x

ı

+

+

b

biçiminde gösterilir. Burada A = ( a u ) m K n , x = (*j)„xl ve b = (b t ) m x l dir. Bu bölümde (13.1.3) ide verilen doğrusal eşitsizlik dizgeleri üzerinde duracağız, iki temel sorunu çözmeğe çalışacağız. Bunlardan ilki bu dizgenin bir çözümünün var olması koşullarının saptanmasıdır, ikinci sorun ise, bu dizgenin eksi olmayan bir çözümünün varlığı koşullarının saptanmasıdır. Bu konuya yaklaşabilmek için doğrusal denklem dizgelerine dönelim ve aşağıdaki önemli teoremi görelim. TEOREM 13.1.1: (GALE) A = (a 0 .) mx „, b = (6 i ) m x l , x = (*,)„ xı , y' = ( y i ) l x m olsun. Aşağıdaki iki doğrusal denklem dizgesini ele alalım: * Bu bölüm kitabın bütünlüğü bozulmaksızın

172

atlanabilir.

1. Az = b 2. y'A = o l x „ y'b = 1 Bu durumda ya (1) in bir çözümü vardır ya da (2) nin, ancak her ikisinin birden çözümü olamaz. KANIT: GALE (1960, s.41) Bu teorem bize bir doğrusal denklem dizgesinin çözümü olmasının hangi koşula bağlı olduğunu göstermektedir. Şimdi de bir doğrusal denklem dizgesinin eksi olmayan çözümü olması koşulunu inceleyelim. TEOREM 13.1.2: (FARKAS-MINKOWSKI) A = ( a u ) m x n , b = (ft ; ) mxl , x = (Xj) nxl olsun. Bu durumda Ax = b (b # 0 m ) dizgesinin bir eksi olmayan çözümü, x > 0,„ olması ancak ve ancak y'A > 0„ doğrusal eşitsizlik dizgesinin herhangibir çözümünün y'b > 0 koşulunu sağlaması halinde olanaklıdır. KANIT: GALE (1960, s. 44-46) ve KEMP-KIMURA (1978, s. 3). Bu koşulun sezgisel anlamını görebilmek için A = ( a 0 ) 2 x 3 alalım. A'nın sütunlarını a j , j— 1,2,3 ile gösterelim. Bu durumda (13.1.4) y'A = y'(a\ a 2 , a 3 ) ^ (0, 0, 0) olacağından bu (13.1.5) y'ai ^ 0 j=

1, 2, 3

olması demektir. Diğer taraftan 6. Bölümden anımsanacağı üzere, (6.2.13); sıfır olmayan iki yöney arasındaki açının cosinüsü (13.1.6)

cos 0 =

X y

x • IH denklemi ile bulunuyordu. Tanım gereği ||x j|, ||y || > 0 olduğuna göre cos 0'reın. işareti x'y sayıl çarpımına bağlıdır. Diğer taraftan trigonometri bilgilerimizden anımsayacağımız üzere bir açı 90° den büyük ise bunun cosinüsü eksi (yani x'y < 0), 90° den küçük ise bunun cosinüsü artı (yani x'y >0) ve son olarak 90° ise cos 0 = 0, (yani x'y = 0) olur. (13.1.5) den y' ile a J arasındaki açının 90° den büyük olmadığını (ve -90° az olmadığını) görüyoruz. Şimdi aşağıdaki Şekil 13.1.1 e bakahm. c 1 ve c 3 , sırasıyla a 1 ve a 3 yöneylerine dik açı yapacak biçimde çizilmiştir. Bu durumda c 1 O c 3 konisi1 y'a 3 > 0 tüm j 1er için sağlayan y' yöneylerinin yer 1 Koniyi bu bölümde biraz ileride tanımlaycağız.

173

alacağı bölgeyi vermektedir. Bu bölgedeki herhangi bir y' yöneyi için y'b > O olabilmesi için b yöneyinin a, O a1 konisi içinde yer alması gereklidir.

Şekil 13.1.1

Şimdi de bu teoremlerin doğrusal eşitsizlik dizgelerindeki karşılıklarını saptayalım. Önce bir doğrusal eşitsizlik dizgesinin çözümünün varlığı koşulunu verelim. TEOREM 13.1.3: A = ( a u ) m x n , b = (6 ; ) m x l , x = (xj) n x l olsun. Bu durumda ya Ax > b doğrusal eşitsizlik dizgesinin bir çözümü vardır, ya da

y'A = olxm y' b = ı doğrusal denklemler dizgesinin bir eksi olmayan çözümü vardır. KANIT: GALE (1960, s. 47) ve MURATA (1977, s. 284) Şimdi de bir doğrusal denklem dizgesinin eksi olmayan çözümünün varlığı koşuluna bakalım. TEOREM 13.1.4: A = ( a u ) m x „ , b = mm da ya 174

(6 i ) m x l , x = (*J-)„X1 olsun. Bu du-

Ax ^ b dizgesinin bir eksi olmayan çözümü vardır, ya da

y' a ^ o lxm y b < 0 doğrusal eşitsizlik dizgesinin bir eksi olmayan çözümü vardır. KANIT: GALE (1960, s. 47-48, MURATA (1977, s. 284) 13.2. R" İçindeki Kümelere İlişkin Bazı Özellikler Bu alt bölümde n- boyutlu gerçel sayılar uzayının alt kümelerine ilişkin bazı özellikler üzerinde duracağız. R", gerçel sayıları ifade eden R kümesinin n- kez kendisiyle Kartes'gil çarpımıyla elde edilmektedir. Geometrik olarak R gerçel doğruyu, R 2 gerçel düzlemi verir. R" içindeki herhangi bir öğe gerçel sayılardan oluşan re-boyutlu bir yöneydir. Şimdi x°sR" noktasını alalım ve bunun çok yakında yer alan diğer noktaları betimlemeğe çalışalım. TANIM 13.2.1: x° £ R n ve s > 0 olsun. O halde (13.2.1) N(x°, £ ) = {x[ || x-x° || < e } kümesine x° noktasının z-yöresi (e- neighborhood) denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki ŞEKİL 13.2.1. de görüldüğü üzere x° noktasının e-yöresi,

Şekil 13.2.1

175

TANIM 13.2.2: A 0 için bir x° s A noktasında (13.2.2) N(x°, e) 0„}

S = {x| Ax >

b, x > 0„}

gibi durumları da içermektedir. Şimdi bir de Uç Nokta (Extreme Point ) kavramını tanımlayalım: TANIM 13.4.2: i c R» ( i ^ 0) bir dışbükey küme ve a e A olsun. Eğer Va,, a, e A ve (0,1) için (13.4.3) a =

Xa, + (1- X) a 2 => a = a, =

a2

ise a bir uç noktadır.

ÖRNEK: Aşağıdaki Şekil 13.4.1 de üç dışbükey küme ve bunların uç noktaları gösterilmektedir. Şimdi, uç noktalara ilişkin önemli bir. genel teoremi verebiliriz. TEOREM 13.4.1: A c: R" kapalı, dışbükey ve alttan sınırlı bir küme ve D (p,x), ^'nın a° noktasında bir destekliyici çoklu düzlemi olsıın. O halde D(p,x) bir uç noktayı içerir. KANIT: KLEIN (1973, s. 331) 184

IA)

CB) UÇ NOKTALARta.b.cl

UÇ NOKTALAR La.b.c.d.el

CO UÇ NOKTALAR (Tüm Çember)

Şekil 13.4.1

Şimdi bir çok yüzeyli kümenin uç noktalarını nasıl niteliyeb ileceğim izi görelim. TEOREM 13.4.2: S = .{x|Ax = b m , x > 0, x e R*}, A = (au)mxn, o(A) = m, b = ( 6 ; ) m x l , bir çok yüzeyli küme olsun. Ancak ve ancak A dizeyi x

ı

-

x -

X

2

-

AR'b -

0

. Ar1 b > o„

sağlayacak biçimde (Aj,A2) biçiminde bölüntülenebiliyorsa, x, S'nin bir uç noktasıdır. KANIT: BAZARAA-SHETTY (1979, s. 56-57) SONUÇ 13.4.2.1: Bir çok yüzeyli kümenin uç noktaları sonlu sayıdadır. Şimdi de herhangi bir boş olmayan çok yüzlü kümenin en az bir uç noktası olacağını görelim. TEOREM 13.4.3: S = {x| Ax = b, x > 0 n } A = (« İ J ) m x n , a(A) = b = (bı)mxl olsun. S kümesinin en az bir uç noktası vardır. KANİT: BAZARAA-SHETTY (1979, s. 58)

m,

Bu sonuçlarm doğrusal programlama sorunun çözümünü bulmada başvurulan simplex yönteminin temelinde yatmaktadır. KAYNAKLAR M.S. BAZARAA - C.M. SHETTY (1979): Nonlinear

Programming,

Addison Wesley, Reading, Massac-

husetts. T. B U L Ü T A Y (1979): Genel Denge Kuramı,

A.Ü.-SBF Yayınları No: 434, Ankara (Bu kaynakta, bir

taraftan dışbükey kümeler ve ilgili kavramlar Matematikte Ek'de, (s. 338-342, 350-356 arasında) incelenmekte diğer taraftan genel denge kuramında bunlardan nasıl yararlanıldığı esas metinde gösterilmektedir). D . GALE (1960): The Theory of Linear Economic Models, Mc Graw Hill, New York.

185

S. K A R L I N (1959): Mathematical Pergamon

Press,

Methods and Theory in Games, Programming

and Economics,

E. K L E I N (1973): Mathematical

Methods of Theoretical Economics, Academic Press, New York.

M. MARCUS - H. MlNC (1964): A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Boston,

(özellikle,

s.

Allyn and Bacon,

93-120)

Y . MURATA (1977): Mathematics for Stability and Optimization New

Vol I,

London.

of Economics Systems, Academic Press,

York.

A.W. ROBERTS - D.E. V A R B E R G (1973): Convex Functions, Academic Press, New York (özellikle 3 ncü v e 6 mcı bölümler). A. TAKAYAMA (1974): Mathematical Economics, Dryden Press, Hinsdale, Illinois. J.E. WOODS (1978): Mathematical

186

Economics,

Longman, London (özellikle s. 222-228).

14. Bölüm

EREY VE SÜREKLİLİK Bu bölümde' türevsel hesabın temelinde yatan iki önemli kavram olan erey (limit) ve süreklilik (continuity) üzerinde duracağız. 14.1 Erey Erey kavramını görebilmek için önce Diziyi (Sequence) tanımlayalım. TANIM: 14.1.1: xn e R olduğunda (14.1.1.)

x2,

xn,

biçiminde gerçel sayıların ardışık biçimde sıralanmasına bir Sonsuz Dizi (Infinite Sequence) denir ve bu (14.1.2) {*X=ı =

x

n

. *„,••••

biçiminde gösterilir. (14.1.2) de yer alan xn sayılarına, dizinin öğeleri denir. Bir diziyi oluşturmak için izlenen yol dizinin n- inci öğesini betimleyen bir kural vermektir.

ÖRNEK 1: xn = — olsun.

ÖRNEK 2: x = -Ü-L n 1 n _ ı i "-1 r - 1 o a > n 2 3 \ L r ' ' ' " ' " i Ancak her diziyi böyle basit bir kural ile ifade edemeyebiliriz. Nitekim aşağıdaki örneklerde sadece n- inci öğüsinin betimlenmesiyle oluştu rulamayan diziler verilmektedir.

187

ÖRNEK 3: {*X« 1 = .{1. 2' 3» 5 ' s ' 1 3 > 21» 3 4 ' ••••} dizisini aşağıdaki kural ile oluşturabiliriz. =

= 1 1 — x n + *„_ı

W >2

Bu yolla ulaşılan sayı dizisine Fibanocci Sayıları denir.

ÖRNEK 4:

dizisini aşağıdaki kural ile oluşturabiliriz. xn = n

nn tek tek sayı sayı ise ise

xn =

rın çift çift sayı sayı ise ise

Dizileri, işlev kavramından da yararlanarak almaşık bir biçimde de tanımlayabiliriz: TANIM 14.1.2: önalanı sayma sayıları (sıfır dışındaki doğal sayılar) olan bir işlev tanımlayalım. Bu işlevi (14.1.3) xu = f(n) n e N - {0} biçiminde yazabiliriz. Bu durumda bir sonsuz dizi (14.1.4) {*„} = {/„} n e {!,....,c0} ve bir sonlu dizi de (14.1.5) {*„} = ,/„} n e {1, N} biçiminde gösterilebilir. Bir dizinin öğeleri gerçel ya da karmaşık sayılar olabilir. TANIM 14.1.3: {x n }~ 1 dizisinde Vra e {1 00} için \xn\ ^ M, M < 00 ise, bu dizi Sınırlıdır (Bounded) denir. Bu tanımın anlamı, verilen bir dizinin tüm öğelerinin boyu 2M olan bir aralıkta yer alacaklarıdır. Aşağıdaki Şekil 14.1,1de bir smırlıdiziverilmektedir.

ÖRNEK 1:

olsun. Bu dizici açarsak 188

«xr

2m< -1—

Şekil 14.1.1

_3_

x„ =

T

5 '

elde edilir. Bu durumda M = 1 alalım. H)-'

( + r ) | s ı

olduğundan bu dizi sınırlıdır. x

n

=

W"=ı

dizisi ise smırsızdır. Çünkü bu dizinin tüm öğelerinin salt değerlerini aşan sonlu bir sayı yoktur. TANIM 14.1.4: {x n } bir dizi ve s > 0 olsun. Eğer Vn > N için (14.1.6) \xn - L |

R olsun.

x e X ve y0=f(x0) olsun./, noktasında veg, y 0 noktasında sürekli olsunlar. O halde, gOf, xa noktasında süreklidir. Yani sürekli işlevlerin bileşkesi süreklidir. KANIT: LANG (1968, s, 52). TEOREM 14.2.3: (BOLZANO TEOREMİ),

f(x),

[a,b] kapalı aralığmdaki her

noktada sürekli ve/(a) ile/(6) nin işaretleri ters olsun. (Yani birisi artı ise ötekisi eksi olsun). O halde (a,b) açık aralığında en az bir tane öyle c noktası vardır ki, bu noktada/(c) = 0 dır. KANIT:

APOSTOL (1967, Vol I, s. 143-4)

Bu teoremi şeki üzerinde gösterebiliriz. Aşağıdaki şekilde c noktasının bir tane olması hali gösterilmiştir.

Görüldüğü gibi f(x) sürekli olduğu için en az bir kere, yatay ekseni kesmek zorundadır. TEOREM 14.2.4: (UÇ DEĞER TEOREMİ) f(xj, [a,b] kapalı aralığı üzerinde sürekli olsun. O halde öyle bir c e [a,6] noktası vardır ki bu noktada f(c) Sş f(x) V.Y e [a,6] dir. Yani bu bir ençok (maximum) noktasıdır. Yine öyle bir de [o, b] noktası vardır ki bu noktada f(x) 7> f(d) V x e [a, b] dir. Bu da enaz (minimum) noktasıdır. KANIT:

196

LANG (1968, s. 52)

TEOREM 14.2.5: (ARA DEĞER TEOREMİ) f(x), [0,6] kapalı aralığı üzerinde sürekli bir işlev, A = /(a), B = f(b) ve C £ (A,B) olsun. O halde 3 c e (a,b) e- f(c). = C. KANIT: LANG, (1968, s, 53). ÖRNEK: Sürekliliğe ilişkin bu teoremleri kullanarak, özellikle ileri iktisat kurammda çok başvurulan bir teoremin özel bir halini kanıtlayalım. TEOREM: /(*), [0, 1] aralığı üzerinde sürekli ve V * e [0,1] için f(x)e [0,1] olsun. O halde en az öyle bir c £ [0,1] noktası vardır ki,/(c) = c dir. Önce teoremin ne anlama geldiğini anlayabilmek için aşağıdaki şekilde bakalım.

Şekil 14.2.2

j

Bu şekilde bir kare görülüyor. Gerek eni ve gerekse boyu 1 ahnmış, x e [0,1] olduğunda teoremin varsayımı gereği f (x) e [0,1] oluyor. Şekilde sol alt köşeden sağ üst köşeye giden köşegen yatay (ve dikey) eksen ile 45° açı yapmaktadır. Dolayısı ile bu eksen üzerinde x = f(x) dir. Teoremin önermesi, tüm [0,1 ] arahğı üzerinde tanımlanmış sürekli bir işlevin bu ekseni en az bir kez keseceğidir. Bunu kanıthyabilmek için 8 (*) = /(*) " * diyelim ve g(x1) ile g(x2) gibi işaretleri garklı iki nokta seçelim. Bu durumda Bolzano Teoremini (Teorem 14.2.3) kullanarak 3 c e (xt, x2) s-g(c) =f(c) - c = 0 olacağı sonucunu elde ederiz. O halde bu c noktasında (noktalarında) /(c) = c dir.

197

Kanıtladığımız bu teoremin genel hali B R O U W E R TEOREMİ adını alır. Bu teorem özellikle bir denklem dizgesinin çözümünün varlığını kanıtlamada çok önem taşır. İktisatta da genel dengenin varlığının kanıtlanmasında kullanılmaktadır. ALIŞTIRMALAR:

A. 14.1 : Aşağıdaki işlevlerin ereylerini bulun.

i) Erey 6x X~*2

ii) Erey (3x - 1) .... Erey x2 - 6x m) X->4

X —

iv) Erey (*3 + 3 x2 - 2x - 17) A.14.2. Erey f(x)

i) Erey f(x) ii) Erey I&Lx

= 20 ve Erey g(x) = 4

g (x) nedir? nedir?

s( )

A.14.3. y= î(xv xn) = /(x) çok değişkenli bir işlev, İV, (L, e), L noktasının bir e yarı çaplı yöresi N2 (x 0 , 8) ise x Q noktasının S yarı çaplı yöresi olsun. | | x - x 0 f < S =>[/(*)-L|


gx +

%

(x

{ x

\

A x )

A x )

İ A x 3*2+ +

3* A*

£ r e j ( 8 * + 4 A* +3*2 + 3*A*

1 1 3o*,2 + 0n = 8* +' 3*2 ÖRNEK 2: Bir firmanın maliyet işlevini düşünelim. Bu işlevi C = f(Q) biçiminde yazalım. Burada C toplam maliyeti, Q ise üretilen miktarı göstersin. Şimdi üretilen miktarda küçük bir artışın maliyetleri ne kadar artırdığı soru-

*

0 +

dC sunu soralım. Yukarıdaki kavramsal geliştirmenin ışığında bunun • ^ ile ifade edilen büyüklük olduğunu kolayca görürüz. Diğer taraftan iktisat kuramından da biz bunun marjinal maliyet olduğunu biliyoruz. O halde bize bir toplam maliyet işlevi verildiğinde marjinal maliyeti bulabilmek için söz konusu işlevin türevini bulmamız gerekmektedir. NOT: Aynı açıklamanın marjinal hasılat, marjinal fayda için de geçerli olduğu açıktır. 202

Türevlenebilirlik ile süreklilik arasında bir bağıntı vardır. Bu çok önemli bağıntıyı bir teorem olarak ifade edelim. TEOREM 15.1.1: y = f(x) işlevi xa noktasında türevlenebiliyorsa süreklidir. Buna karşılık /(*)'in x 0 noktasında sürekli olması türevlenebilir olması için yeterli değildir. KANIT: Bu teoremin ilk kısmının tam bir kanıtı için örneğin R. G. BARTLE (1964, s. 229)'a bakılabilir. Biz burada daba sezgisel fakat anlaşılması kolay bir kanıt vermekle yetiniyoruz. y = f(x) işlevinin xQ noktasındaki türevi tanım gereği

f'(x0)

= Erey Ax->0

= Erey

A*

~ ^

X~*Xq

X —

x0

biçiminde yazılabilir. Diğer taraftan herbangi bir sayının sıfır olmayan bir sayı ile çarpılıp bölünmesi halinde işareti değişmeyeceğinden

r y

/(*) - /(*o) =

-

yazabiliriz. Şimdi bu son ifadenin ereyini bulalım.

Erey [/(*)

- /(*„)]

/ (

= Erey f~

j ~

f (x ]

°

(x - *0)~|

Burada *„'ın bir sabit olduğu gözönüne alınırsa

Erey [/(*)

- /(*„)]

= Erey [/(*)

x~x0

- /(*„)]

x->xa

olacağından

Erey [ü>tzJM _ x->x0 L x — x0( x

Xo)l

J=

Erey (fW~f(*A Erey (x - xa) x->x0 \ x — Xa /

= /'(«o) [Erey (x - *„)] x-xa =

/'(*o)

(*o

-

*o)

=

0

buluruz. O halde, bu bulgumuzu yerine koyarsak

Erey f(x)

- f(xa)

= 0

x->xa

Yani

Erey f(x)

= f(x0)

x->xa

buluruz. Bu da f (*)Jin xQ noktasında sürekli olması demektir. 203

Teoremin ikinci kısmı ise bir karşı örnek verilerek kanıtlanabilir. Nitekim ünlü Alman matematikçisi Kari Weierstrass (1815-1897), Berlin Bilimler Akademisinde, 18 Temmuz 1872'de okuduğu notta, önalanmda, alabileceği her değer için sürekli olduğu halde hiçbir noktasında türevlenemeyen F(*) = nS 6" cos (a" n x) 0 < b < 1 "° a tek sayı işlevini sunarak, bu özelliği göstermiş ve matematik dünyasını da şaşkınlığa boğmuştu.1 Burada biz yine basit bir karşı örnek vererek teoremin doğruluğunu göstermek yoluna gideceğiz. Aşağıdaki işlevi ele alalım. y = [« — 61 + 4 * e R Bu işlevin çizgesi aşağıda gösterildiği gibi olup A = (6, 4) noktası dışındaki noktalarda, bu işlevin hem sürekli ve hem de türevlenebilir olduğu açıktır. Ancak A noktasında durum o kadar açık değildir.

y

A

Aİ6.4J

Şekil 15.1.2

Nitekim biraz dikkatle incelersek, A noktasında /(*) in sürekli fakat türevlenebilir olmadığını görürüz. A noktası/(*) in önalanı içindedir. Diğer taraftan 1 E D V A R D GOURSAT: A Course in Mathematical Analysis: Vol I, Applications to Geometry, Expansion in Series Definite Integrals, Derivatives and Differentials, İngilizeeye çeviren E.R. Hedrick, 1905 (Dover Baskısı, 1959), s. 423-425.

204

Erey \x — 61 + 4

= 4

— 6| + 4

= 4

ve Erey

olduğundan bu noktada ereyi vardır ve bu Erey \x — 6| + 4

= 4

X-*6

sonucunu verir. Diğer taraftan /(6) =

16 - 61 + 4 = 4

olduğundan Erey f(x)

= f (6) /

X-+6

yazabiliriz. O halde f{x), x0 = 6 noktasında süreklidir. Şimdi xa — 6 n o k t a s ı n d a i n türevlenebilir olup olmadığına bakalım. Hatırlanacağı üzere x0 = 6 noktasında f (x) in türevlenebilir olması demek EreyM^fB X->6

= Erey

x — O

l«-6|+4-4

x->6

X — O

l«-6 |

=

x->6

X —6

ereyinin bu noktada tanımlanabilmesi demektir. Bu ise xB = 6 noktasında _ ^ ifadesinin sağ ve sol taraf ereylerinin birbirlerine eşit olması halinde olanaklıdır. Şimdi bu ereyleri bulalım. Sağ taraf ereyi I* — 61 Erey -1 — x~6+ x —b

olup, bu durumda x > 6 olduğundan | x — 6 | — x — 6 olacağından

-^F-Şr = - F ı r = 1 X-+6+

X

—

O

X

—

O

elde edilir. Sol taraf ereyine gelince I* - 61 Erey

X -*6—

J-

X

JO

biçiminde tanımlandığı ve x < 6 olduğundan \x — 61 = 6 — x — — (x—6) olup Erey

'* ~

* —6

=

~

6 )

* —6

=

-1

205

elde edilir. O halde xa noktasında, bu sağ ve sol taraf ereyler eşit olmadığından, f(x) türevlenemez. (Î.K.) Demek ki süreklilik, türevlenebilirlik için gerek fakat yeterli olmayan bir koşuldur. 15.2. Tek Değişkenli işlevlerde Türev Alma Kuralları Bu bölümde kanıtlamaksızın bazı temel türev alma kurallarını vermekle yetinecek ve bazı örnekler yapacağız:1 TEOREM 15.2.1: y = f(x) türevlenebilir bir işlev olsun. (1) f(x)

= k, k bir sabit ise f'(x)

(2) f(x)

= x ise

f'(x)

(3) f(x)

= x", n bir sayı ise f'(x)

(4) f(x)

= k x" ise

(5) f(x)

= e* ise

= 0 dır. = 1 dir.

= nxn~l dir.

f'(x) = kn xn_1 dir. f'(x) = ex dir.

Burada e, özel bir sayıdır, e sayısı şöyle tanımlanır.

e

= (6) f(x)

n

4 ) = 2 '71828 = enx, n bir sayı ise f'(x)

= nenx

(7) f(x) = kx, k bir sabit ise, f'(x) — kx Ln x Burada Ln x = Loge x, olup *'in e tabanına göre logaritması, ya da doğal logaritmasıdır.

(8) f(x) =x Loga x ise f'(x) = Loga e Burada Loga e, e'in a tabanına göre logaritmasıdır. Burada a herhangi bir sayıdır. Bilindiği gibi genellikle a = 10 alınmaktadır. (9) f(x) = Ln x ise f'(x) = ar 1 (10) f(x)

(11) f(x) (12) f(x)

= Sin x ise = Cos x ise = Tan x ise

Burada Sec x = —— Cos

f'(x) = Cos x f'(x) = —Sin x f'(x) = Sec2x dir.

x

1 Bizim bu kitapta başvurmadığımız bazı başka ifadelerin türevlerinin neye eşit olduğu konusunda örneğin The Chemical Rubber Company: Standard Mathematical

Tables, X I X . Baskı, 1971, s. 386-9

bakılabilir. Türev sonuçlarının kanıtlanması için de örneğin G.B. THOMAS (1968), s. 66-105 bakılabilir.

206

(13) f(x)

= Cot x ise

Burada Csc x — —j— (14) f(x)

(15) f(x)

f'(x)

= Csc2 x

f'(x) f'(x)

= Tan x. Sec x = —Cot x. Csc x

dir.

Sın x = Sec x ise = Csc x ise

Şimdi de aynı x değişkeninin türevlenebilir işlevleri olan farklı işlevleri ele alıp bunların toplamı, çarpımı ve bölümünün türevlerinin nasıl bulunacağını görelim. TEOREM 15.2.2:

i) f(x) ve g(*), -t'in iki ayrı türevlenebilir işlevi olsun.

[/(*) ii) /,(*),

-A

T «(*)] = /'(*)

T g'(*)

, fn (x) n tane türevlenebilir işlev olsun. [fı(x) T

....

T

/„(*)]

= f\(X) +

T fn (*)

iii) /(x) ve g(x) x'in türevlenebilir iki işlevi olsun.

[/(*)•«(*)] =/'

olacağından dy

dx

- 9

+ 12 * -

4

bulunur. O halde buradan bir çok terimlinin türevinin, her bir teriminin türevinin toplam (ya da farkına) eşit olacağı sonucuna varabiliriz.

= (3x2 + 6x - 1) (2x - 1) olsun.

ÖRNEK 2: f(x)

g(x) = 3x2 + 6x — 1 ve h(x) = 2x — 1 dersek f(x)

= g(x). h(x) olur ve g'(x) = 6x + 6, h'(x) = 2

olduğundan

2

= (6x+ 6) (2x—1) + 2(3* + 6*—1) = 18 *

dx

ÖRNEK 3: f(x) Jy

'

2

+ 18 * - 8

2

=

3

3* + 6* - 3

6 * —3 *

2

+

4*—1

2

g(x) = 3 x + 6x - 3 h(x) = 6x3 — 3x2 + 4x — 1 dersek M

=

g'(x) . [M*)] h(x) 2 - h'(x) g(x)

olacağından sağın

3

(6 * + 6) (6* - 3*

/'(*) =

2

2

(6x3 —18 *

4

3

2

+ 4* - 1 ) - (18 * - 6 * + 4 ) ( 3 * + 6 * - 3 ) 3 x2 + 4*-l)

2

2

- 7 23 * + 284 * — 24*2 + 6 (6 * - 3 * + * - l)

Şimdi türevlere ilişkin bir dizi önemli teoremi görelim. TEOREM 15.2.3: (ROLLE TEOREMİ) y = / (*) işlevi [a, ft] kapalı aralığının her noktasında sürekli ve (a, b) açık aralığının her noktasında türevlenebilir olsun. Ayrıca/(a) = f(b) olsun. O halde (a,b) açık aralığı içinde en az bir noktada, c noktası, f'(c) = 0 dır. KANIT: APOSTOL, (1967, Vol I, s. 184). Aşağıdaki şekilde c noktasında /'(c) = 0 dır. Bu teoremin daha genel bir hali ise "ortalama değer teoremi" adını alır. TEOREM 15.2.4: (ORTALAMA DEĞER TEOREMİ) y = f(x) işlevi [a, b] kapalı aralığının her noktasında sürekli ve (a, b) açık aralığının her noktasında türevlenebilir olsun. Bu durumda 208

f(b)

- f(a)

= f'(c)

(b - a)

koşulunu sağlayan en az bir c 6 (a, b) noktası vardır. KANIT: APOSTOL, (1967, Yol I, s. 185) Şimdi vereceğimiz teoremde ise bir işlev türü tanımlıyoruz. TEOREM 15.2.5: y = f (x) işlevi [a, b ] kapalı aralığının her noktasında türevlenebilir olsun. Bu durumda i) V x e (a, b) içinf'(x) reasing) bir işlevdir. ii) V x e (o, b) için f'(x)

> 0 ise,/, [a, b] üzerinde Kesin Artan (Strictly Inc< 0 ise, /, [a, 6] üzerinde Kesin Azalan (Strictly

Decreasing) bir işlevdir. iii) V x e (o, b) için f'(x) dir.

= 0 ise,/, [a, 6] üzerinde Sabit (Constant) bir işlev-

KANIT: i) x0 < xx ve a < x„ < x, olsun. [ xQ, teoremini uygularsak

kapalı aralığı için ortalama değer

/(*,) - f(*o)

^O < C