Introduccion Modelado [PDF]

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Introducci´on al Modelado Matem´atico de Sistemas M. en C. Rub´en Vel´azquez Cuevas ESIME - IPN

M´ exico

13 de febrero de 2008

Contenido

1

Importancia

2

Definiciones

3

Introducci´on

4

Clasificaci´on de sistemas

5

Diferentes representaciones matem´aticas

Importancia Definiciones Introducci´ on Clasificaci´ on de sistemas Diferentes representaciones matem´ aticas

Importancia

El modelado matem´atico de sistemas es un medio imprescindible para la soluci´ on de gran variedad de problemas (cient´ıficos, econ´omicos, biol´ ogicos, etc.) Su estudio esta motivado por los avances en procesadores de c´alculo, nuevas teor´ıas matem´aticas y el an´alisis de sistemas. Permite simular procesos para su estudio y el dise˜ no de sistemas de control. Su objetivo principal es describir el comportamiento din´amico de un sistema.

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Importancia Definiciones Introducci´ on Clasificaci´ on de sistemas Diferentes representaciones matem´ aticas

Importancia (Continuaci´on) Gracias al modelado matem´atico es posible: Armar y poner en orbita un sat´elite, Construir y emplear en forma eficiente un equipo de tomograf´ıa, Construir una computadora, Detectar fallas en estructuras, Dise˜ nar y construir nuevos materiales, Estudiar la poluci´ on del aire, el agua y la tierra, Reducir vibraciones y ruidos en los veh´ıculos, Producir y ahorrar energa, Dise˜ nar plantas hidroel´ectricas, etc. M. en C. Rub´ en Vel´ azquez Cuevas

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Importancia Definiciones Introducci´ on Clasificaci´ on de sistemas Diferentes representaciones matem´ aticas

Sistema, modelo y modelo matem´ atico Proceso, planta y variable Variable manipulada y controlada, medici´ on y control Sistema de control (lazo abierto y cerrado)

Definiciones Sistema: Combinaci´on de componentes que act´ uan juntos y realizan un objetivo com´ un determinado. Conjunto de elmentos que interaccionan entre si con el exterior. Al sistema que no interacciona con el exterior se le conoce como sistema aut´onomo Modelo: Representaci´on abstracta de un sistema real. Modelo Matem´atico: Conjunto de relaciones matem´aticas que determinan el comportamiento de un sistema. Modelo basado en la l´ogica matem´atica, cuyos elementos son escencialmente variables y funciones relacionadas mediante expresiones matem´aticas. M. en C. Rub´ en Vel´ azquez Cuevas

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Importancia Definiciones Introducci´ on Clasificaci´ on de sistemas Diferentes representaciones matem´ aticas

Sistema, modelo y modelo matem´ atico Proceso, planta y variable Variable manipulada y controlada, medici´ on y control Sistema de control (lazo abierto y cerrado)

Definiciones (continuacion I) Proceso: Operaci´on progresiva marcada por una serie de cambios graduales controlados que conducen a un resultado o prop´osito determinado. Planta: Es el Sistema o Proceso a controlar. Variable: Es una caracter´ıstica del proceso o planta que puede tomar diferentes valores. Estos valores pueden ser cuantitativos (num´ericos) o cualitativos (ling¨ u´ısticos) y com´ unmente estan asociados a unidades de ingenier´ıa.

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Importancia Definiciones Introducci´ on Clasificaci´ on de sistemas Diferentes representaciones matem´ aticas

Sistema, modelo y modelo matem´ atico Proceso, planta y variable Variable manipulada y controlada, medici´ on y control Sistema de control (lazo abierto y cerrado)

Definiciones (continuacion II) Variable Manipulada: Es la caracter´ıstica o se˜ nal de entrada en una planta o proceso. Variable Controlada: Es la caracter´ıstica o se˜ nal de salida en una planta o proceso. Medici´on: Es la etapa en que se caracteriza o asigna un valor a la variable controlada. Control: Es la etapa en que se caracteriza o asigna un valor a la variable manipulada, en funci´ on de la variable controlada.

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Sistema, modelo y modelo matem´ atico Proceso, planta y variable Variable manipulada y controlada, medici´ on y control Sistema de control (lazo abierto y cerrado)

Definiciones (continuacion III) Sistema de control: Es la conjunci´on de las etapas de proceso, medici´on y control que interact´ uan en forma ordenada con un prop´osito espec´ıfico. Sistema de control en lazo abierto: En este sistema, la entrada se elige con base a la experiencia que se tiene con dichos sistemas para producir el valor de salida requerido. Sistema de control en lazo cerrado: En este sistema se tiene una se˜ nal de realimentaci´on hacia la entrada desde la salida, la cual se utiliza para modificar la entrada de modo que la salida se mantenga constante a pesar de los cambios en las condiciones de operaci´ on. M. en C. Rub´ en Vel´ azquez Cuevas

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Incertidumbre Simplicidad vs Presici´ on

Introducci´on Es importante distinguir la diferencia entre: Sistema Real. Modelo Ideal. Modelo Matem´atico Ideal. Modelo Matem´atico Reducido. Entendiendose por SISTEMA REAL como el objeto de estudio; o bien, la planta o proceso a modelar.

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Incertidumbre Simplicidad vs Presici´ on

Introducci´on (continuacion) Modelo Ideal: Obtenido mediante la esquematizaci´ on del sistema real en bloques ideales. (resistores, capacitores, masas, vigas, fluidos newtonianos, etc.) Modelo Matem´ atico Ideal: Se obtiene mediante las leyes naturales del modelado f´ısico ideal. (ecuaciones diferenciales, parciales, ordinarias, no lineales, etc.) Modelo Matem´ atico Reducido: Se obtiene del modelo matem´atico ideal, utilizando m´etodos de s´ıntesis (linealizaci´ on, superposici´ on, etc.)

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Incertidumbre Simplicidad vs Presici´ on

Incertidumbre

Ning´ un sistema matem´ atico es capaz de modelar con exactitud un sistema real. La incertidumbre SIEMPRE esta presente. Esto implica que no es posible predecir con exactitud la salida de un sistema real a pesar de conocer la entrada. La incertidumbre se origina principalmente por dos fuentes: Entradas desconocidas o impredecibles. Din´amica no modelada o par´ametros desconocidos.

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Incertidumbre Simplicidad vs Presici´ on

Un modelo adecuado deber´ıa ser capaz de: Predecir con exactitud la respuesta Entrada - Salida. Ser utilizado para el dise˜ no de un sistema de control. Tener la seguridad de que el dise˜ no resultante funciona adecuadamente en el sistema real. Desafortunadamente, esto no siempre es posible. Sin embargo, se puede obtener un modelo aproximado aceptable mediante el an´alisis y t´ecnicas de dise˜ no adecuadas.

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Incertidumbre Simplicidad vs Presici´ on

Simplicidad VS Presici´on

La presici´on de un modelo matem´atico mejora conforme aumenta su complejidad. Por otro lado, la simplicidad de un modelo facilita su an´alisis. Por lo tanto, es de suma importacia establecer un equilibrio entre Simplicidad y Presici´ on.

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Diagrama de clasificaci´ on de sistemas Sistemas SISO y MIMO

Clasificaci´on de sistemas

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Diagrama de clasificaci´ on de sistemas Sistemas SISO y MIMO

Sistemas SISO y MIMO Por sus siglas en ingl´es, SISO (single input - single output) significa sistema de una entrada - una salida. Por sus siglas en ingl´es, MIMO (multiple input - multiple output) significa sistema de multiples entradas - multiples salidas. En general es posible que este tipo de sistemas entren dentro de la clasificaci´on anterior, aunque pueden darse otras combinaciones: SIMO: Una entrada - multiples salidas, MISO: Multiples entradas - una salida, Sistema sin entradas: Sistema Autonomo, Sistema sin salidas: Sistema no Medible. M. en C. Rub´ en Vel´ azquez Cuevas

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Ecuaciones diferenciales, de estado y F. de Transferencia Diagrama de bloques Diagrama de flujo de se˜ nales Diagrama de simulaci´ on anal´ ogica

Diferentes representaciones matem´aticas de los modelos Ecuaciones diferenciales: J1 θ¨1 + f1 θ˙1 + 2ρ(r1 θ1 − r2 θ2 )r1 = τ Variables de estado:   f1  − J1 0 x˙ 1 f2  x˙ 2  =  0 −  J2 x˙ 3 r1 −r2

   1  1 −2 ρr x1 J1 J1  2 2 ρr  x2  +  0  τ J2 x3 0 0

(1)

(2)

Funci´on de transferencia: F (s) =

Y (s) 455000 = 4 3 U(s) s + 197s + 7378s 2 + 3771s

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(3)

Importancia Definiciones Introducci´ on Clasificaci´ on de sistemas Diferentes representaciones matem´ aticas

Ecuaciones diferenciales, de estado y F. de Transferencia Diagrama de bloques Diagrama de flujo de se˜ nales Diagrama de simulaci´ on anal´ ogica

Diagramas de Bloques:

´ Figura: Herramienta: Algebra de Bloques

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Ecuaciones diferenciales, de estado y F. de Transferencia Diagrama de bloques Diagrama de flujo de se˜ nales Diagrama de simulaci´ on anal´ ogica

Digramas de flujo de se˜ nales:

Figura: Herramienta: F´ ormula de ganancias de Mason

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Ecuaciones diferenciales, de estado y F. de Transferencia Diagrama de bloques Diagrama de flujo de se˜ nales Diagrama de simulaci´ on anal´ ogica

Diagramas de Bloques:

Figura: Herramienta: Amplificadores Operacionales

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Ecuaciones diferenciales, de estado y F. de Transferencia Diagrama de bloques Diagrama de flujo de se˜ nales Diagrama de simulaci´ on anal´ ogica

Bibliograf´ıa 1

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Ogata, Katsuhiko; Ingenier´ıa de Control Moderna, Ed. Prentice Hall, 2002, Cuarta Edici´ on; M´exico, 995 p´aginas. Dorf, Richard; Sistemas de Control Moderno, Ed. Pearson, 2005, D´ecima Edici´ on; M´exico, 928 p´aginas. DiStefano, J.J.; Retroalimentacin Y Sistemas de Control, Ed. Mc Graw Hill, 1998, Serie Shaums Tercera Edici´on; 372 p´aginas. Bolton, Wiliam; Ingenier´ıa de Control, Ed. Alfaomega, 2005, Segunda Edici´on; 397 p´aginas. Kuo, Benjamin; Sistemas de Control Autom´atico, Ed. Prentice Hall, 1996, S´eptima Edici´ on; M´exico, 897 p´aginas. Ogata, Katsuhiko; Problemas Ingenier´ıa de Control utilizando Matlab, un enfoque pr´actico, Ed. Prentice Hall, 1999, 396 p´aginas. M. en C. Rub´ en Vel´ azquez Cuevas

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