Informe Técnico Cartas de Control Por Variables Ccvv-Sjr-Sog [PDF]

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Taller Cartas Control Por Variables

INFORME TÉCNICO.

TALLER CARTAS CONTROL POR VARIABLES

PRESENTADO POR: SANTIAGO JARAMILLO RAMÍREZ, CC 1004.7673.29 CRISTIAN CAMILO VARGAS VILLADA, CC 1004.6862.33 SEBASTIAN OROZCO GRANADA, CC 1007.2248.58

PRESENTADO A: Ing PEDRO DANIEL MEDINA VARELA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA CONTROL TOTAL DE LA CALIDAD

ABRIL 16, 2021

pág. 1

Taller Cartas Control Por Variables TABLA DE CONTENIDO 1

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 4

2

OBJETIVO GENERAL ...................................................................................................... 4

3

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.............................................................................................. 4

4

DESARROLLO DE LOS PROBLEMAS. ......................................................................... 5 4.1

Problema de las tarjetas de circuitos impresos ............................................................ 5

4.2

Problema de un producto blanqueador en polvo ....................................................... 15

4.2.1

Inciso a). ............................................................................................................ 16

4.2.2

Inciso b). ............................................................................................................ 20

4.2.3

Inciso c).............................................................................................................. 21

4.3

Problema dos procesos .............................................................................................. 22

4.3.1

Comenzando con el proceso A ......................................................................... 23

4.3.2

Calculando para el proceso B: ......................................................................... 25

4.3.3

Inciso 1). ............................................................................................................ 29

Inciso 1a). ......................................................................................................................... 31 Inciso 1b). ......................................................................................................................... 31 Inciso 1c). ......................................................................................................................... 31 5

CONCLUSIONES ............................................................................................................ 35 6.

RECOMENDACIONES ............................................................................................... 36

7.ANEXOS ............................................................................................................................... 37 7.1. ANEXO A, Tablas para cálculos ................................................................................... 37

pág. 2

Taller Cartas Control Por Variables LISTA DE FIGURAS Figura 1. Gráfica R para 25 datos, se evidencia un punto fuera de control, elaboración propia .................................................................................................................................................... 7 Figura 2. Gráfica R para 24 datos, sin condiciones en fuera de control, elaboración propia. ... 9 Figura 3. Gráfica X para 24 datos, se evidencian dos puntos fuera de control, elaboración propia .......................................................................................................................................... 9 Figura 4. Gráfica R para 22 datos, se evidencia un punto fuera de control, elaboración propia .................................................................................................................................................. 10 Figura 5. Gráfica X para 22 datos, sin condiciones en fuera de control, elaboración propia. 11 Figura 6. Gráfica R para 21 datos, se evidencia control del proceso. ..................................... 12 Figura 7. Gráfica X para 21 datos, se evidencia control del proceso. ..................................... 13 Figura 8. Distribución normal del proceso del espesor de las tarjetas .................................... 14 Figura 11. Distribución normal y centros de especificación para el proceso A. ..................... 24 Figura 12. Distribución normal y centros de especificación para el proceso B. ..................... 26 Figura 13. Nueva distribución normal y centros de especificación para el proceso A. .......... 27 Figura 14. Nueva distribución normal y centros de especificación para el proceso A. .......... 28 Figura 15. Distribución normal y centros de especificación para el proceso A. ..................... 31 LISTA DE TABLAS Tabla 1. Datos del espesor de las tarjetas en pulgadas para 25 muestras de tres tarjetas .......... 5 Tabla 2. Cálculo de los rangos de las muestras Ri y línea central Ř para la carta R, 25 muestras .................................................................................................................................................... 5 Tabla 3. Variables para el cálculo de los límites de control, Fuente (clase CTC) .................... 6 Tabla 4. Cálculo de los rangos de las muestras Ri,, línea central Ř, media de cada muestra Xi y gran media Ẋ para la carta R y X, 24 muestras ..................................................................... 7 Tabla 5. Datos calculados para la construcción de las cartas X-R .......................................... 11

3

Taller Cartas Control Por Variables 1

INTRODUCCIÓN

Dentro de un proceso industrial de producción se tienen diferentes procesos de producción, valga la redundancia, en los cuales se pueden presentar errores tanto de las máquinas, como del personal que controla dichas máquinas. Siempre en un proceso productivo se busca que este trabaje de la mejor manera, con la cantidad mínimo de errores, tratando de reducir el porcentaje de no-conformes, para reducir errores de deben tener en cuenta diferentes factores, los cuales nos ayudan a identificar posibles falencias de nuestro proceso productivo y en qué estado esta. Para la tarea de verificación y corrección de los procesos productivos se usan cartas de control, las cuales se usan en el presente informe, mediante el análisis de un ejercicio planteado por el docente del curso. Las cartas de control son herramientas necesarias y muy importantes en los procesos de producción, pues estas, nos ayudan a conocer si un proceso está o no fuera de control. Las cartas de control enfocan la atención hacia las causas especiales de variación cuando estas aparecen y reflejan la magnitud de la variación debida a las causas comunes (Las causas comunes o aleatorias se deben a la variación natural del proceso)[1]. Para los procesos es de interés conocer que tanta capacidad tiene el mismo, que se logra mediante un análisis, si se presenta un caso de incapacidad se tomarían medidas correctivas para corregir estos errores. Cuando se realiza un análisis de capacidad, se pueden encontrar resultados que nos dan la cantidad de no-conformes para una cantidad de producción, en base a los índices de capacidad real y teórica (cp, cpk y cpm). En este informe se mostrará explícitamente los cálculos para la solución del ejercicio planteado, mediante el análisis de la capacidad del proceso y la utilización de la carta de control.

2

OBJETIVO GENERAL

Usar las cartas de control y el análisis de estabilidad y capacidad para resolver los ejercicios planteados, identificando el estado de control del proceso y realizando interpretaciones en pro de mejorar los procesos. 3

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Conocer el estado del proceso a través de la implementación de las cartas de control. • Hacer las debidas correcciones al proceso si se presentan estados fuera de control. • Conocer la capacidad del proceso, mediante un análisis de capacidad de procesos. • Utilizar de manera adecuada las herramientas para analizar la variación en los procesos. 4

Taller Cartas Control Por Variables 4

DESARROLLO DE LOS PROBLEMAS.

Para comenzar con la elaboración de la solución de los apartados, se utilizará los recursos dados en clase como insumos primarios. Muy importante aclarar que todas las unidades de las tablas están en pulgadas (inches). 4.1

Problema de las tarjetas de circuitos impresos

El espesor de una tarjeta de circuitos impresos es un importante parámetro de la calidad en la industria electrónica. La tabla siguiente muestra los datos del espesor de las tarjetas en pulgadas para 25 muestras de tres tarjetas cada una. Tabla 1. Datos del espesor de las tarjetas en pulgadas para 25 muestras de tres tarjetas

a. Establecer las cartas de control X y R. ¿El proceso está bajo control? Para la solución se va a utilizar la carta Ẋ− R, utilizada para medias y rangos para campos de aplicación de control de características individuales, se tiene la siguiente tabla con algunos cálculos. Algunas ecuaciones importantes para los cálculos son: 𝑅𝑖 = 𝑋𝑖𝑚á𝑥 − 𝑋𝑖𝑚í𝑛

Para los rangos de cada muestra:

∑𝑚 𝑖=1 𝑅𝑖

Para la línea central del gráfico de rangos:

𝑚

=Ř

Tabla 2. Cálculo de los rangos de las muestras Ri y línea central Ř para la carta R, 25 muestras Numero de muestra (m)

x1

x2

x3

Ri 5

Taller Cartas Control Por Variables 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0,0629 0,0630 0,0628 0,0634 0,0619 0,0613 0,0630 0,0628 0,0623 0,0631 0,0635 0,0623 0,0635 0,0645 0,0619 0,0631 0,0616 0,0630 0,0636 0,0640 0,0628 0,0615 0,0630 0,0635 0,0623

0,0636 0,0631 0,0631 0,0630 0,0628 0,0629 0,0639 0,0627 0,0626 0,0631 0,0630 0,0630 0,0631 0,0640 0,0644 0,0627 0,0623 0,0630 0,0631 0,0635 0,0625 0,0625 0,0632 0,0629 0,0629

0,0640 0,0011 0,0622 0,0009 0,0633 0,0005 0,0631 0,0004 0,0630 0,0011 0,0634 0,0021 0,0625 0,0014 0,0622 0,0006 0,0630 0,0007 0,0633 0,0002 0,0638 0,0008 0,0630 0,0007 0,0630 0,0005 0,0631 0,0014 0,0632 0,0025 0,0630 0,0004 0,0631 0,0015 0,0626 0,0004 0,0629 0,0007 0,0629 0,0011 0,0616 0,0012 0,0619 0,0010 0,0630 0,0002 0,0635 0,0006 0,0630 0,0007 0,000908 Ř Para muestras con n = 3 se tienen las siguientes constantes (Tabla.3), ver Anexos: Tabla 3. Variables para el cálculo de los límites de control, Fuente (clase CTC) n D4 D3 A2 d2

3 2,574 0,000 1,023 1,693

Por lo tanto, los límites para la carta R a usar serán: 𝐿𝑆𝐶 = 𝐷4 ∙ Ř = 2,574 ∙ 0,000908 = 0,002337 𝐿𝐶 = Ř = 0,000908 𝐿𝐼𝐶 = 𝐷3 ∙ Ř = 0,000 ∙ 0,000908 = 0,00 De esta manera se obtiene la siguiente Gráfica R:

6

Taller Cartas Control Por Variables

Figura 1. Gráfica R para 25 datos, se evidencia un punto fuera de control, elaboración propia En la fig.1 se presenta la primera carta R obtenida para la muestra de 25 datos, es evidente que en ella se encuentra un punto fuera de control, al cual se le debe prestar atención y encontrar la causa asignable, de igual manera en la Tabla 2, se ve que el dato N°16 (resaltado de color rosa) corresponde al punto que está fuera de los límites de control, en este orden de ideas, se retira el punto (15). Como existe un punto fuera de control, no hacemos el Gráfico X, por ende se reduce N a N = 24 muestras, y a continuación se realizan las dos gráficas R y X para verificar que no existan más puntos fuera de control, así: Algunas ecuaciones importantes para calcular la media Xi de cada muestra y la gran media Ẋ, para la construcción de la carta X. 𝑋𝑖 =

∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 𝑛

∑𝑚 𝑖=1 𝑋𝑖 =Ẋ 𝑚 Tabla 4. Cálculo de los rangos de las muestras Ri,, línea central Ř, media de cada muestra Xi y gran media Ẋ para la carta R y X, 24 muestras Numero de muestra (m) 1 2 3 4 5

x1

x2

x3

Ri

0,0629 0,0630 0,0628 0,0634 0,0619

0,0636 0,0631 0,0631 0,0630 0,0628

0,0640 0,0622 0,0633 0,0631 0,0630

0,0011 0,0009 0,0005 0,0004 0,0011

Xi (promedio) 0,06350 0,06277 0,06307 0,06317 0,06257 7

Taller Cartas Control Por Variables 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0,0613 0,0630 0,0628 0,0623 0,0631 0,0635 0,0623 0,0635 0,0645 0,0631 0,0616 0,0630 0,0636 0,0640 0,0628 0,0615 0,0630 0,0635 0,0623

0,0629 0,0639 0,0627 0,0626 0,0631 0,0630 0,0630 0,0631 0,0640 0,0627 0,0623 0,0630 0,0631 0,0635 0,0625 0,0625 0,0632 0,0629 0,0629

0,0634 0,0625 0,0622 0,0630 0,0633 0,0638 0,0630 0,0630 0,0631 0,0630 0,0631 0,0626 0,0629 0,0629 0,0616 0,0619 0,0630 0,0635 0,0630

0,0021 0,0014 0,0006 0,0007 0,0002 0,0008 0,0007 0,0005 0,0014 0,0004 0,0015 0,0004 0,0007 0,0011 0,0012 0,0010 0,0002 0,0006 0,0007 0,00084 Ř

0,06253 0,06313 0,06257 0,06263 0,06317 0,06343 0,06277 0,06320 0,06387 0,06293 0,06233 0,06287 0,06320 0,06347 0,06230 0,06197 0,06307 0,06330 0,06273 0,0629 Ẋ

Los nuevos límites de la Carta R son: 𝐿𝑆𝐶 = 𝐷4 ∙ Ř = 2,574 ∙ 0,00084 = 0,002166 𝐿𝐶 = Ř = 0,00084 𝐿𝐼𝐶 = 𝐷3 ∙ Ř = 0,000 ∙ 0,00084 = 0,00 De esta manera se obtiene la siguiente gráfica R.

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Figura 2. Gráfica R para 24 datos, sin condiciones en fuera de control, elaboración propia. Ahora, para los límites de control de la carta X, se tiene: 𝐿𝑆𝐶 = Ẋ + A2 Ř = 0,0629 + 1,023 ∙ 0,00084 = 0,0638 𝐿𝐶 = Ẋ = 0,0629 𝐿𝐼𝐶 = Ẋ − A2 Ř = 0,0629 − 1,023 ∙ 0,00084 = 0,0621

Figura 3. Gráfica X para 24 datos, se evidencian dos puntos fuera de control, elaboración propia Como se observa en la fig.2 y fig.3, después de realizar la corrección en la gráfica R y recalcular el estado de control de dicha gráfica, se encuentra que este proceso se encuentra bajo control con respecto a la carta R. Por ende se procede a realizar la carta X, se encuentra que el proceso está fuera de control con respecto a esta carta, donde hay 2 puntos fuera de los límites de control (el 14 y el 21 ver Tabla.4 color rosa). Se encuentra la 9

Taller Cartas Control Por Variables causa asignable, se retiran los puntos que están fuera de control y se vuelve a hacer el proceso para la reconstrucción de las cartas X y R. NOTA: Con el fin de no alargar más el presente informe, en total se realizaron 4 iteraciones, hasta ahora se han presentado 2 de ellas, en la tercera iteración se realizan los mismos cálculos y al graficar los nuevos límites de control para ambas cartas (R y X), la gráfica R muestra un nuevo punto fuera de control, a continuación se anexan las cartas X-R para N=22 datos.

Figura 4. Gráfica R para 22 datos, se evidencia un punto fuera de control, elaboración propia La fig.4 y fig.5 corresponden al tercer cálculo de los límites de control para el controlar el espesor de las tarjetas, se evidencia en la fig.4, carta R, que existe un punto fuera de control, este es el punto 6, para este punto se encuentra la causa asignable y se retira este punto, quedando de esta manera un total de N=21 datos, se procede a hacer los mismos cálculos y gráficas y se obtiene las cartas en control.

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Figura 5. Gráfica X para 22 datos, sin condiciones en fuera de control, elaboración propia. Tabla 5. Datos calculados para la construcción de las cartas X-R Numero de muestra (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

x1

x2

x3

0,0629 0,0630 0,0628 0,0634 0,0619 0,0630 0,0628 0,0623 0,0631 0,0635 0,0623 0,0635 0,0631 0,0616 0,0630 0,0636 0,0640 0,0628 0,0630 0,0635 0,0623

0,0636 0,0631 0,0631 0,0630 0,0628 0,0639 0,0627 0,0626 0,0631 0,0630 0,0630 0,0631 0,0627 0,0623 0,0630 0,0631 0,0635 0,0625 0,0632 0,0629 0,0629

0,0640 0,0622 0,0633 0,0631 0,0630 0,0625 0,0622 0,0630 0,0633 0,0638 0,0630 0,0630 0,0630 0,0631 0,0626 0,0629 0,0629 0,0616 0,0630 0,0635 0,0630

Ri 0,0011 0,0009 0,0005 0,0004 0,0011 0,0014 0,0006 0,0007 0,0002 0,0008 0,0007 0,0005 0,0004 0,0015 0,0004 0,0007 0,0011 0,0012 0,0002 0,0006 0,0007 0,00075 Ř

Xi 0,06350 0,06277 0,06307 0,06317 0,06257 0,06313 0,06257 0,06263 0,06317 0,06343 0,06277 0,06320 0,06293 0,06233 0,06287 0,06320 0,06347 0,06230 0,06307 0,06330 0,06273 0,0630 Ẋ

Límites de la carta R: 11

Taller Cartas Control Por Variables 𝐿𝑆𝐶 = 𝐷4 ∙ Ř = 2,574 ∙ 0,00075 = 0,00192 𝐿𝐶 = Ř = 0,00075 𝐿𝐼𝐶 = 𝐷3 ∙ Ř = 0,000 ∙ 0,00075 = 0,00

Figura 6. Gráfica R para 21 datos, se evidencia control del proceso. Límites de la carta X: 𝐿𝑆𝐶 = Ẋ + A2 Ř = 0,0630 + 1,023 ∙ 0,00075 = 0,0637 𝐿𝐶 = Ẋ = 0,0630 𝐿𝐼𝐶 = Ẋ − A2 Ř = 0,0629 − 1,023 ∙ 0,00084 = 0,0622 En las fig.6 y fig.7 no se observa ninguna evidencia de una condición de fuera de control. Por lo tanto, dado que las gráficas X y R indican control, se concluye que el proceso está bajo control con los niveles establecidos. Ahora bien, después de hacer 4 veces el mismo procedimiento, se llegó a unos límites que permiten controlar el espesor de las tarjetas de circuitos.

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Figura 7. Gráfica X para 21 datos, se evidencia control del proceso. b. Estimar la desviación estándar del proceso. La desviación estándar del proceso se calculando haciendo uso de la siguiente fórmula: 𝜎=

Ř 0,00075 = = 0,000443 𝑑2 1,693

c. Si las especificaciones son 0.0630 pul ± 0.0015 pul. ¿Qué porcentaje de las tarjetas cumplen con las especificaciones? ¿Qué porcentaje no cumple con las especificaciones? Con estos valores, se puede resaltar que límite central LC, es el límite de especificación. 𝜎 = 0,000443 𝑖𝑛 µ = 0,0630 𝑖𝑛 𝐿𝑆𝐸 = 0,0645 𝑖𝑛 𝐿𝐼𝐸 = 0,0615 𝑖𝑛 𝑍=

𝑋−µ 𝜎

Remplazando se obtiene: 𝑍𝐿𝑆𝐸 = 𝑍𝐿𝐼𝐸 =

𝐿𝑆𝐸 − µ 0,0645 − 0,0630 = = 3,38 𝜎 0,000443

𝐿𝐼𝐸 − µ 0,0615 − 0,0630 = = −3,38 𝜎 0,000443 13

Taller Cartas Control Por Variables Gráficamente se observan la cantidad de conformes y no conformes en la distribución normal del caso.

Figura 8. Distribución normal del proceso del espesor de las tarjetas De esta manera el porcentaje de no conformes se determina a partir de lo obtenido: 𝑃(𝑍𝐿𝑆𝐸 ≥ 3,38) = 0,99931 𝑃(𝑍𝐿𝐼𝐸 ≤ −3,38) = 0,00069 (𝑍𝐿𝐼𝐸 < 𝑍 ≤ 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) = %𝐶 %𝐶𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑠 = 99,931 % %𝑁𝑜𝐶𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑠 = 0,069 % En este orden de ideas, para los límites ajustados mediante las 4 iteraciones, se tiene que el porcentaje de las tarjetas cumplen con las especificaciones es de 99,931 %, lo cual significa que con el ajuste de los límites de especificación el proceso mejoró notablemente. En su contraparte, el porcentaje de tarjetas que no cumplen con las especificaciones es de 0,069 %, que es un valor ligeramente pequeño, proceso en buenas condiciones. d. Si el costo de una tarjeta es de $1550/unidad, ¿Cuál sería el costo diario esperado de no conformidades si la tasa de producción alcanza 100.000 tarjetas/dìa? Teniendo en cuenta el bajo porcentaje de tarjetas que no cumplen las especificaciones, se procede a calcular el coste diario esperado de esto, mediante la siguiente operación: $𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑁𝑜𝐶𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑠 = 0,00069 × 100000 × $1550 = $ 𝟏𝟎𝟔𝟗𝟓𝟎 e. Analice resultados, genere conclusiones y recomendaciones. Partiendo de los datos obtenidos y los procesos efectuados para conocer el estado del proceso y ajustarlo a los requisitos exigidos, se procede a hacer el siguiente análisis: 14

Taller Cartas Control Por Variables ✓ Inicialmente analizando diferentes datos del espesor de una tarjeta de circuitos impresos mediante la gráfica R, se encontró que el proceso no se encontraba bajo control, gracias a las cartas de control, que son herramientas muy poderosas para analizar la variación de los procesos, se pudieron reducir los límites de control y obtener un proceso bajo control, lo cual se traduce en ganancias económicas y mayor aceptación en el mercado, en caso contrario de que no se ajusten los límites de control y no se eliminen puntos fuera de control, conllevaría a pérdidas económicas al incrementarse el porcentaje de productos no conformes. ✓ La elección de los límites de control se basa en el propósito de reducir o impedir los rechazos, los costos, el desperdicio, el reproceso, etc. En este sentido, es necesario realizar un control constantemente para verificar el estado del proceso, para mantenerlo en óptimas condiciones, obteniendo el mayor beneficio posible de ello. ✓ El porcentaje de productos no conformes después de realizar las debidas correcciones, relativamente tiene un valor lo suficientemente bajo para seguir con el proceso, sin embargo, este porcentaje se puede reducir aún más, si se usan otros criterios que pueden ser observados en la gráfica como las reglas de sensibilidad y se realiza su corrección, lo cual implica un costo aún mayor para el control que puede ser contraproducente con respecto al costo generado por productos no conformes. ✓ No se conoce más información para efectuar si es el caso, más criterios y correcciones en el proceso, ya que este se encuentra controlado, sin embargo, como al final el número de datos fue de 21, entonces mientras menor sea el número de subgrupos que tomemos, más ✓ Se recomienda realizar un estudio más detallado para revisar si al reducir de nuevo la cantidad de productos no conformes esto producente y/o benéfico, puesto que de 100.000 de tarjetas/día, existen 70 productos no conformes, lo que sería un valor adecuado a criterio. ✓ Para finalizar, se recomienda estar realizando un análisis continúo de la variación del proceso, con el objetivo de mantener el proceso con variación natural, en este orden de ideas reducir las causas especiales o atribuibles, por ejemplo: un mal ajuste de máquina, errores del operador, defectos en materias primas. 4.2

Problema de un producto blanqueador en polvo

15

Taller Cartas Control Por Variables El peso neto (en onzas) de un producto blanqueador en polvo va a monitorearse mediante la aplicación de cartas de control. Los datos de la siguiente tabla generan información sobre 20 muestras preliminares.

4.2.1

Inciso a).

Las cartas apropiadas para el análisis de los valores arrojados según el monitoreo realizado, se logra mediante la utilización de la carta de control X-S, la cual dentro de sus parámetros se tiene que debe manejar un tamaño de muestra n > 10 o para n variable. Como se puede apreciar los valores tomados de los productos blanqueadores los tamaños de muestras son superiores a 10 y dichas muestras son variables en cada toma, por lo que la aplicación de esta carta en este ejercicio es correcta. Para cada una de las muestras se debe calcular los estadísticos muestrales de desviación estándar y media. Para conocer los límites de control se hace uso obligatorio de la desviación estándar promedio ponderada y de la gran media ponderada, calculadas mediante las siguientes ecuaciones:

x̄ =

∑m i=0 ni x̄ i ∑m i=1 ni

Y

16

Taller Cartas Control Por Variables 𝑆=√

2 ∑𝑚 𝑖=0(𝑛𝑖 −) × 𝑆𝑖 ∑𝑚 𝑖=1 𝑛𝑖 − 𝑚

Dando como resultados 𝑥̄ = 16.26 𝑆 = 0.22 Siendo: 𝑥̄ : 𝐿í𝑛𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑋. 𝑆: 𝐿í𝑛𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑆. Luego de hallar estas líneas centrales de las cartas X y S, se procede al cálculo de los límites de control, para ello, se hace uso de variables las cuales se hallan según el tamaño de la muestra, estas variables son: 𝐴3 , 𝐵3 , 𝐵4. Con estas variables se lleva a cabo la realización de las gráficas, en las cuales se hace posible observar cómo se encuentra el proceso.

17

Taller Cartas Control Por Variables Para la carta X se tiene lo siguiente:

Carta x para tamaño de muestra variable 16,900 16,700

x

16,500 16,300 16,100 15,900

15,700 15,500 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

N° de muestra

Figura 9. Carta X con el estado de control para las tomas de datos de un producto blanqueador. Para la realización de esta gráfica se calcularon los valores promedio de muestra, teniendo en cuenta el tamaño de muestra en cada caso, pues como se sabe, estas no son contantes. 𝑛

𝑥̄ = ∑ 𝑗=1

𝑥𝑖𝑗 𝑛𝑖

se calcularon los límites de control, mediante la variable 𝐴3 . 𝐿𝑆𝐶(𝑥̄ ) = 𝑥̄ + 𝐴3 𝑆 𝐿𝐼𝐶(𝑥̄ ) = 𝑥̄ − 𝐴3 𝑆 Como se observa en la figura 9, los valores se encuentran dentro de los límites de control, por lo que este proceso no presenta inconvenientes en su producción.

18

Taller Cartas Control Por Variables Para la carta S se tiene lo siguiente:

Carta S para tamaño de muestra variable 0,800 0,700 0,600

Si

0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

N° de muestra

Figura 10. Carta S con el estado de control para las tomas de datos de un producto blanqueador Para esta carta S, se realizó el cálculo de la desviación estándar de la muestra, haciendo uso de la siguiente ecuación:

𝑆𝑖 = √

∑𝑛𝑗=1(𝑥𝑖𝑗 − 𝑥̄ 𝑖 )2 𝑛𝑖 − 1

Se calcularon los límites de control, mediante las variables 𝐵3 𝑦 𝐵4 . 𝐿𝑆𝐶(𝑠) = 𝐵4 𝑆 𝐿𝐼𝐶(𝑠) = 𝐵3 𝑆 Como se observa en la figura 10, los valores se encuentran dentro de los límites de control, por lo que este proceso no presenta inconvenientes en su producción.

Para las gráficas anteriores, se puede concluir que él está bajo control en el contexto de tamaño de muestra variable, ya que, los puntos de las muestras no están por fuera de los límites.

19

Taller Cartas Control Por Variables 4.2.2

Inciso b).

Se plantea, que si las especificaciones son 16.2 ± 0.5 onzas. ¿Cuál sería la fracción probable de las cajas producidas que posiblemente sean no conformes? Para conocer la fracción probable de no conformes se hace uso de las especificaciones dadas por el problema, dentro del cual se puede obtener la media, además de los límites de control superior e inferior, así: 𝜇 = 16,2 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠 𝐿𝑆𝐶 = 16.7 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠 𝐿𝐼𝐶 = 15.7 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠 Para continuar con el procedimiento se requiere de la desviación estándar del proceso, el cual se consigue con el valor de la muestra modal, mediante la siguiente ecuación: 𝜎=

𝑆𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝐶4

Siendo: 𝑆𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 = 0.215 𝐶4 = 0.940 Reemplazando: 𝜎=

0.215 = 0.22 0.94

Conocidos todos estos valores, ya se pueden conocer las áreas para los límites de control superior e inferior y con estas conocer el porcentaje de no conformes del proceso productivo.

Para el área del límite superior de control (LSC), se tiene:

𝑍1 =

𝐿𝑆𝐶 − 𝑥̄ 𝜎

Reemplazando 𝑍1 =

16.7 − 16.2 = 2.183 0.22

Con este valor de Z se busca en las tablas de valores de probabilidad acumulada, y haciendo las debidas interpolaciones, se obtiene: 20

Taller Cartas Control Por Variables 𝐷𝑖𝑠𝑡. 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑍1 = 0.985 Para el área del límite superior de control (LIC), se tiene: 𝑍1 =

𝐿𝐼𝐶 − 𝑥̄ 𝜎

Reemplazando: 𝑍1 =

15.7 − 16.2 = −2.183 0.22

Con este valor de Z se busca en las tablas de valores de probabilidad acumulada, y haciendo las debidas interpolaciones, se obtiene: 𝐷𝑖𝑠𝑡. 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑍2 = 0.015 Finalmente, con estos valores de las áreas se logra conocer el porcentaje de conformes y no-conformes dentro del proceso, así: 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑠 = (0.985 − 0.015) × 100% = 97,1% 𝑁𝑜 − 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑠 = 100% − 97.1% = 2.9% Los conformes corresponden al porcentaje de productos dentro del proceso que se encuentran dentro de las tolerancias especificadas, o sea, los límites de control. Los no-conformes corresponden a los elementos que se encuentran por fuera de las especificaciones de peso neto que corresponde al 2.9%.

4.2.3

Inciso c)

Para conocer la capacidad del proceso se realizará el cálculo de los diferentes índices los cuales nos indican la capacidad, estos índices son:

𝐶𝑝 : Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎. Este índice relaciona las especificaciones del producto con la variabilidad natural del proceso. 𝐶𝑝 =

𝐿𝑆𝐶 − 𝐿𝐼𝐶 = 0.727 6𝜎

𝐶𝑝𝑘 : Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑎𝑙. Estima la capacidad potencial del proceso para cumplir tolerancias. Este valor corresponde al menor valor entre 𝐶𝑝𝑢 𝑦 𝐶𝑝𝑙 . 21

Taller Cartas Control Por Variables Siendo: 𝐶𝑝𝑢 =

𝐿𝑆𝐶 − 𝑥̄ = 0.64 3𝜎

𝑦

𝐶𝑝𝑙 =

𝑥̄ − 𝐿𝐼𝐶 = 0.814 3𝜎

𝐶𝑝𝑘 = 𝑀𝐼𝑁(𝐶𝑝𝑢 , 𝐶𝑝𝑙 ) = 0.64 𝐶𝑝𝑢 𝑦 𝐶𝑝𝑙 : í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠. 𝐶𝑝𝑚 : Está orientado a disminuir con la variabilidad alrededor del valor nominal y no solo a cumplir con las especificaciones. 𝐶𝑝𝑚 =

𝐶𝑝 √1 + (𝜇 − 𝐶𝐸 )2 𝜎

= 0.703

Para los resultados obtenidos de los anteriores índices, se concluye que el proceso no está dentro de las especificaciones, pues los índices 𝐶𝑝𝑚 𝑦 𝐶𝑝 tienen un valor numérico por debajo de uno. Se pueden generar problemas porque el proceso o está centrado, es necesario llevar a cabo un análisis al proceso para realizar modificaciones y obtener unos buenos índices de calidad. Del análisis realizado al proceso se deduce que dicho proceso es estable, esto para un tiempo determinado no muy largo, esto, teniendo en cuenta, que el proceso no es capaz dado que la variabilidad es más grande que las tolerancias presentadas para el ejercicio, la verificación de esta afirmación se puede lograr mediante la observación de los porcentaje de no conforme que pertenece al 2.9% lo cual está por encima del rango normal que es de 0,27%, por tal motivo se recomienda hacer un monitoreo al proceso para detectar posibles falencias en el mismo, y mejorar los estándares de calidad. 4.3

Problema dos procesos Considere los dos procesos que se presentan a continuación (con tamaño de muestra=5). Proceso A

Proceso B

Xa= 100

Xb= 105

Ra= 20

Rb= 18

Las especificaciones son 100 ± 5. Calcule Cp, Cpk y Cpm e interpretar estos índices. ¿Qué proceso usaría?

22

Taller Cartas Control Por Variables 4.3.1

Comenzando con el proceso A

Para un tamaño de muestra de n=5 se tiene que 𝑑2 = 2,326.

𝐿𝑆𝐸 = 𝑥̄ + 3 ∙

𝑅 1 ∙ 𝑑2 √ 𝑛

Reemplazando los valores en la ecuación anterior.

20 1 ∙ = 111,536 2,326 √5

𝐿𝑆𝐸 = 100 + 3 ∙

Para este caso se tiene que CE = x̄. 𝐶𝐸 = 100

Para el límite inferior de especificación se tiene la siguiente ecuación.

𝐿𝐼𝐸 = 𝑥̄ − 3 ∙

𝑅 1 ∙ 𝑑2 √𝑛

Reemplazando los valores en la ecuación.

𝐿𝐼𝐸 = 100 − 3 ∙

20 1 ∙ = 88,4639 2,326 √5

A continuación, se procede a calcular la desviación.

𝑅

σ =𝑑

2

Reemplazando los valores en la ecuación.

σ =

8,5984 2,326

= 8,5984.

A continuación, se representa la distribución, con su media correspondiente y los límites de especificación. 23

Taller Cartas Control Por Variables

Figura 19. Distribución normal y centros de especificación para el proceso A.

Seguidamente se procederá a calcular los índices de capacidad del proceso A.

Cp =

𝐿𝑆𝐸−𝐿𝐼𝐸 6∙σ

111,536−88,4639

=

6∙8,5984

= 0,4472.

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙 ; 𝐶𝑝𝑢 )

Cpl =

Cpu =

µ−𝐿𝐼𝐸 3∙σ

𝐿𝑆𝐸−µ 3∙σ

=

=

100,5−88,4639 3∙8,5984

111,536−100,5 3∙8,5984

= 0,466

= 0,4278

Obteniendo así el CPk:

Cpk = 0,4278 Calculando el Cpm. Cpm =

111,536−88,4639 100,5−100 2 ) 8,5984

= 0,4256

6∙σ∙√1+(

24

Taller Cartas Control Por Variables

4.3.2

Calculando para el proceso B:

Para un tamaño de muestra de n=5 se tiene que 𝑑2 = 2,326.

𝐿𝑆𝐸 = 𝑥̄ + 3 ∙

𝑅 1 ∙ 𝑑2 √ 𝑛

Reemplazando los valores en la ecuación anterior.

18 1 ∙ = 115,3824 2,326 √5

𝐿𝑆𝐸 = 105 + 3 ∙

Para este caso se tiene que CE = x̄. 𝐶𝐸 = 105

Para el límite inferior de especificación se tiene la siguiente ecuación.

𝐿𝐼𝐸 = 𝑥̄ − 3 ∙

𝑅 1 ∙ 𝑑2 √𝑛

Reemplazando los valores en la ecuación.

𝐿𝐼𝐸 = 105 − 3 ∙

18 1 ∙ = 94,6176 2,326 √5

A continuación, se procede a calcular la desviación.

𝑅

σ =𝑑

2

Reemplazando los valores en la ecuación.

18

σ = 2,326 = 7,7386. 25

Taller Cartas Control Por Variables A continuación, se representa la distribución, con su media correspondiente y los límites de especificación.

Figura 110. Distribución normal y centros de especificación para el proceso B. Seguidamente se procederá a calcular los índices de capacidad del proceso B.

Cp =

𝐿𝑆𝐸−𝐿𝐼𝐸 6∙σ

115,3824−94,6176

=

6∙7,7386

= 0,4347.

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙 ; 𝐶𝑝𝑢 )

Cpl =

Cpu =

µ−𝐿𝐼𝐸 3∙σ

𝐿𝑆𝐸−µ 3∙σ

=

=

100,5−94,6276 3∙7,7388

= 0,2534

111,53824−100,5 3∙7,7388

= 0,641

Obteniendo así el CPk:

Cpk = 0,2534 Calculando el Cpm. Cpm =

111,53824−94,6276 100,5−100 2 ) 8,5984

= 0,3866

6∙σ∙√1+(

26

Taller Cartas Control Por Variables En los dos procesos, tanto para el proceso A, como para el proceso B, el índice Cp < 1 lo cual conlleva a un numero de no conformes alto, para tomar un proceso correctivo se es necesario tomar una desviación estándar σ

mas pequeña para los dos procesos como 2 .

Nuevamente se hacen los recálculos para ambos procesos con una desviación estándar más pequeña.

Figura 111. Nueva distribución normal y centros de especificación para el proceso A.

Seguidamente se procederá a calcular los índices de capacidad del proceso A.

Cp =

𝐿𝑆𝐸−𝐿𝐼𝐸 6∙σ

111,536−88,4639

=

6∙4,2992

= 0,8944.

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙 ; 𝐶𝑝𝑢 )

Cpl =

Cpu =

µ−𝐿𝐼𝐸 3∙σ

𝐿𝑆𝐸−µ 3∙σ

=

=

100,5−88,4639 3∙4,2992

111,536−100,5 3∙4,2992

= 0,9332

= 0,8556

Obteniendo así el CPk:

27

Taller Cartas Control Por Variables Cpk = 0,8556 Calculando el Cpm. Cpm =

111,536−88,4639

= 0,8012

100,5−100 2 ) 4,2992

6∙4,2992∙√1+(

Para el proceso B.

Figura 112. Nueva distribución normal y centros de especificación para el proceso A. Seguidamente se procederá a calcular los índices de capacidad del proceso B.

Cp =

𝐿𝑆𝐸−𝐿𝐼𝐸 6∙σ

115,3824−94,6176

=

6∙3,8693

= 0,48944.

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙 ; 𝐶𝑝𝑢 )

Cpl =

Cpu =

µ−𝐿𝐼𝐸 3∙σ

𝐿𝑆𝐸−µ 3∙σ

=

=

100,5−94,6276 3∙3,8693

= 0,5067

111,53824−100,5 3∙3,8693

= 1,2821

Obteniendo así el CPk:

Cpk = 0,5067 Calculando el Cpm. 28

Taller Cartas Control Por Variables Cpm =

111,53824−94,6276 100,5−100 2 ) 3,8693

= 0,5832

6∙3,8693∙√1+(

Una vez reduciendo la desviación estándar se puede concluir que es mas viable usar el proceso A, ya que los artículos no conformes serán menos.

4.3.3

Inciso 1).

un proceso está bajo control con X = 100, S = 10.5 y n = 5. Las especificaciones son 95 ± 10. La característica de calidad sigue una distribución normal.

El dato de la media es proporcionado y tiene un valor igual a 95.

A continuación, se tienen las siguientes ecuaciones.

𝑆= √

∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑥̄ ) 𝑛

𝑥̄ 100 𝑆=√ =√ = 4,4721 𝑛 5 Y la desviación estándar.

σ=√

∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑥̄ ) 𝑛−1

𝑥̄

100

σ = √𝑛−1 = √5−1 = 5

29

Taller Cartas Control Por Variables 𝐶2 =

𝑆 4,4721 = = 0,8944 σ 5

A continuación, se procede a calcular los límites de especificación.

El límite superior de especificación esta dado por la siguiente ecuación.

𝐿𝑆𝐸 = 𝑥̄ +

𝐿𝑆𝐸 = 100 +

3 1 ∙ ∙𝑆 𝑐2 √𝑛

3 1 ∙ ∙ 10,5 = 115,7505 0,8944 √5

𝐶𝐸 = 100

𝐿𝐼𝐸 = 𝑥̄ −

𝐿𝐼𝐸 = 100 −

3 1 ∙ ∙𝑆 𝑐2 √𝑛

3 1 ∙ ∙ 10,5 = 84,2495 0,8944 √5

Se procede a mostrar la distribución normal del proceso.

30

Taller Cartas Control Por Variables

Figura 113. Distribución normal y centros de especificación para el proceso A.

Para este punto se piden los siguientes incisos.

Inciso 1a). Estimar la capacidad real. Inciso 1b). Estimar la capacidad teórica. Inciso 1c). ¿Cuánto podría reducir la porción no conforme del proceso si este se corrigiera para operar en la especificación nominal? Solucionando el inciso a.

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙 ; 𝐶𝑝𝑢 )

Cpl =

Cpu =

µ−𝐿𝐼𝐸 3∙σ

𝐿𝑆𝐸−µ 3∙σ

=

=

95,1−84,2495 3∙5

= 0,7234

111,53824−95,1 3∙5

= 1,3767

Obteniendo así el CPk:

Cpk = 0,7234 Calculando el Cpm. Cpm =

111,57505−84,2495 95,1−100 2 ) 5

= 0,7499

6∙5∙√1+(

Solucionando el inciso b. 31

Taller Cartas Control Por Variables

Cp =

𝐿𝑆𝐸−𝐿𝐼𝐸 6∙σ

115,3824−84,2495

=

6∙5

= 1,05.

Solucionando el inciso c.

Partiendo que la media del proceso es 95,1.

Además, las siguientes expresiones.

𝑆= √

∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑥̄ ) 𝑛

𝑥̄ 100 𝑆=√ =√ = 4,4721 𝑛 5 Y la desviación estándar.

σ=√

∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑥̄ ) 𝑛−1

𝑥̄

100

σ = √𝑛−1 = √5−1 = 5

𝐶2 =

𝑆 4,4721 = = 0,8944 σ 5

A continuación, se procede a calcular los límites de especificación.

El límite superior de especificación esta dado por la siguiente ecuación. 32

Taller Cartas Control Por Variables

𝐿𝑆𝐸 = 𝑥̄ +

𝐿𝑆𝐸 = 95,1 +

3 1 ∙ ∙𝑆 𝑐2 √𝑛

3 1 ∙ ∙ 10,5 = 110,8505 0,8944 √5

𝐶𝐸 = 95,1

𝐿𝐼𝐸 = 𝑥̄ −

𝐿𝐼𝐸 = 95,1 −

3 1 ∙ ∙𝑆 𝑐2 √𝑛

3 1 ∙ ∙ 10,5 = 79,3495 0,8944 √5

Se calcula el índice de capacidad.

Cp =

𝐿𝑆𝐸−𝐿𝐼𝐸 6∙σ

110,8505−79,3495

=

6∙5

= 1,05003

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙 ; 𝐶𝑝𝑢 )

Cpl =

Cpu =

µ−𝐿𝐼𝐸 3∙σ

𝐿𝑆𝐸−µ 3∙σ

=

=

95,1−79,3495 3∙5

= 1,05003

110,8505−95,1 3∙5

= 1,05003

Obteniendo así el CPk:

Cpk = 1,05003 33

Taller Cartas Control Por Variables Calculando el Cpm. Cpm =

110,8505−79,3495 95,1−95,1 2 ) 5

= 1,05003

6∙5∙√1+(

Ahora se puede concluir lo siguiente. Se tiene que para el índice de capacidad

Cp =

1,05003−1,05003 1,05003

=0

En este valor de índice de capacidad no se notan cambios.

Para el Cpk .

Cpk =

1,05003−0,7234 1,05003

= 0,311 = 31,1%

Se puede apreciar que el porcentaje de no conformes se reduce un 31,1% operando en la especificación adecuada.

Y finalmente se procede a hallar el índice Cpm =

1,05003−0,7499 1,05003

= 0,302 = 30,2% también se puede

apreciar que e porcentaje de no conformes se reduce a un 30,2% operando en la especificación adecuada.

34

Taller Cartas Control Por Variables 5

CONCLUSIONES Es importante tener un adecuado uso en las cartas, como bien se sabe las cartas de control variable cartas X-R son diseñadas para controlar las variable cuantitativas a las cuales yo le puedo calcular un rango, en la realización del taller se aplicó el usa de estas cartas para verificar si el proceso se encuentra bajo control, un control adecuado, estable, en caso contrario como ocurrió en el análisis de las tarjeta de circuitos donde algunos puntos se encontraban por fuera de los límites de especificación había que buscar cual era la causa y tratar de eliminarla para que verificar nuevamente si el proceso se estabilizaría eliminado la posible causa, en este caso se procedió a eliminar varias causas asignables para poder estabilizar el proceso, mientras no se corrigieran las posibles causas que hacen que el proceso este fuera de control, entonces esos estimativos no podrían ser permanentes, en esos casos se proceden a retirar los puntos como se mencionó anteriormente, y volverlos a ajustarlos como estimativos, en este punto se tuvieron que eliminar varios puntos, pero finalmente se pudo establecer un control adecuado en el proceso.

Para las cartas de control por variables cartas X-S hay dos tipos, cuando el tamaño de muestra es constante y cuando este es variable, en el caso del producto blanqueador de polvo, era un caso donde el tamaño de muestra es variable, en este caso se tiene en cuenta de que las variables van a ser distintas para cada tamaño de muestra y límites de control variables, en este caso se debe tener más cuidado, ya que para establecer un control se debe observar bien donde está ubicado cada punto con respecto en su local, mas no con base en los límites de control, la ventaja de este tipo de cartas es que permiten establecer el estado real de un punto, se establece que punto está en control y no es necesario de aplicar las reglas de sensibilidad, para este inciso se pudo establecer de que todo estuvo bajo control.

Para el análisis de capacidad de proceso es importante tener en cuenta las condiciones de que la variable de análisis siga una distribución normal y un proceso bajo control, ya que no se tendría sentido plantear una analogía de un proceso que no esté bajo control, donde no sea el caso se debe normalizar y tomar muestreos mayores a 50 para tratar de garantizar un control, todos los índices de capacidad de proceso como lo son, el índice de capacidad teórica Cp, y los índices de capacidad real CPk, CPm, estos son muy importantes ya ellos son los que muestran la capacidad real del proceso, para el inciso tres se hizo mucho énfasis en estos, ya que hubieron varios valores donde se volvieron a calcular con l fin de que el proceso estuviera bajos control, reduciendo en gran medida el porcentaje de no conforme que es lo que no se desea. 35

Taller Cartas Control Por Variables 6. RECOMENDACIONES Para realizar un buen análisis con las cartas de control se debe tratar de realizar bien la toma de datos, esto con el fin de que las causas asignables por el proceso sean diferentes, ya que esta se puede evitar, durante la realización de cada uno de los incisos se pudo llegar a la conclusión de que en gran medida lo que más afecto a que los procesos no estuvieran bajo control desde un principio y el haber tenido que buscar las causas asignables, son la acción no correcta de tomar medidas apropiadas en los mismo, así saliendo algunos productos defectuoso y afectando en el mercado a varias personas, gracias a un adecuado uso de las cartas se lograron corregir algunas acciones correctivas para reducir el porcentaje de clientes no conformes y una estabilidad de los procesos.

Tener en cuenta cada uno de los porcentajes de clientes no conformes y verificar que las cartas se estén realizando de manera adecuada para mantener los procesos estables y garantizar estabilidad.

36

Taller Cartas Control Por Variables

7.ANEXOS 7.1. ANEXO A, Tablas para cálculos

Figura 16. Variables para el cálculo de los límites de control

Figura 17. Valores de probabilidad acumulada (f) para la Distribución Normal Estándar

37