Guia Didáctica Matemáticas Santillana 6° 3° Trimestre [PDF]

Zitiervorschau

Edición anotada para el profesorado

PRIMARIA

6

Matemáticas El libro Matemáticas para el 6.o curso de Primaria es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: TEXTO Y EDICIÓN José Antonio Almodóvar Herráiz Jordi Bosch Argelich Ana de la Cruz Fayos (Libro anotado) Jesús Escudero Martín Pilar García Atance (Libro anotado) Silvia Marín García (Libro anotado) Magdalena Rodríguez Pecharromán Domingo Sánchez Figueroa Manuel Santiago Espejo ILUSTRACIÓN Agustín Comotto Carlos Díaz Herrera Eduardo Leal Uguina EDICIÓN EJECUTIVA José Antonio Almodóvar Herráiz DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa DIRECCIÓN Y COORDINACIÓN EDITORIAL DE PRIMARIA Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero

Cuadro de contenidos Unidades

Información y actividades

1. Números naturales. Potencias

• Números de hasta nueve cifras • Expresión polinómica de un número • Operaciones combinadas • Raíz cuadrada • Potencias • Números romanos Tratamiento de la información. Gráficos lineales

2. Divisibilidad

• Múltiplos y divisores • Criterios de divisibilidad • Cálculo de todos los divisores

3. Números enteros

• Números enteros • Suma y resta de enteros • Comparación de enteros • Coordenadas cartesianas Tratamiento de la información. Proyecto con gráficos lineales

4. Ángulos y circunferencia

• Tipos de ángulos • Simetría y traslación • Semejanza

5. Fracciones. Operaciones

• Números mixtos • Suma de fracciones • Fracciones equivalentes • Resta de fracciones • Reducción a común denominador • Multiplicación de fracciones • Comparación de fracciones • División de fracciones Tratamiento de la información. Histogramas

6. Números decimales. Operaciones

• Comparación y aproximación • Suma y resta de decimales

7. División de números decimales

• División de decimales • Problemas con decimales • Obtención de cifras en el cociente • Expresión decimal de una fracción Tratamiento de la información. Proyecto con histogramas

8. Medida

• Longitud, capacidad y masa • Superficie • Volumen con un cubo unidad • El metro cúbico. Submúltiplos

9. Proporcionalidad y porcentajes

• Proporcionalidad • Problemas de porcentajes • Porcentajes • Escalas: planos y mapas Tratamiento de la información. Análisis de gráficos de barras y lineales

10. Área de figuras planas

• Base y altura • Área de paralelogramos • Área del triángulo

11. Cuerpos geométricos. Volumen

• Poliedros • Volumen de prismas y pirámides • Cuerpos redondos • Volumen de cuerpos redondos Tratamiento de la información. Análisis de pictogramas e histogramas

12. Probabilidad y estadística

• Frecuencia absoluta y relativa • Media y moda

• Números primos y compuestos • M.c.m. y m.c.d. • Problemas de m.c.m. y m.c.d.

• La circunferencia. Longitud • El círculo y las figuras circulares • Posiciones relativas con rectas

• Multiplicación de decimales • Estimación de operaciones

• El metro cúbico. Múltiplos • Volumen y capacidad • Sistema sexagesimal

• Área de polígonos regulares • Área del círculo • Área de figuras planas

• Mediana y rango • Probabilidad

Solución de problemas

Cálculo mental

Saber hacer

Matemáticas manipulativas

• Pasos para resolver un problema

• Sumar 1.001, 2.001, 3.001... • Restar 1.001, 2.001, 3.001...

• Elegir un presupuesto

• Juega con las potencias

• Relacionar enunciado y resolución

• Sumar 999, 1.999, 2.999... • Restar 999, 1.999, 2.999...

• Organizar un campamento

• Juega con los múltiplos

• Sacar conclusiones de un enunciado

• Sumar por compensación (I) • Sumar por compensación (II)

• Interpretar datos geográficos

• Juega con los números enteros

• Elaborar tablas de informaciones

• Restar por compensación (I) • Restar por compensación (II)

• Realizar un diseño

• Juega con los ángulos

• Extraer datos de la resolución

• Multiplicar por decenas, centenas y millares • Dividir entre decenas, centenas y millares

• Estudiar la pureza de una joya

• Juega con las fracciones

• Cambiar los datos

• Multiplicar decimales por 10, 100... • Dividir decimales entre 10, 100...

• Analizar la Bolsa

• Juega con los decimales

• Explicar qué se ha calculado

• Multiplicar un número natural por 2 • Dividir un número natural entre 2

• Entender la etiqueta de un producto

• Juega con las divisiones

• Elegir preguntas que se pueden resolver

• Multiplicar un número natural por 5 • Dividir un número natural entre 5

• Analizar datos hidrológicos

• Juega con la medida

• Escribir la pregunta que se responde con unos cálculos

• Multiplicar un número natural por 11 • Multiplicar un número natural por 9

• Interpretar información científica

• Juega con los porcentajes

• Anticipar una solución aproximada

• Multiplicar un número natural por 4 • Dividir un número natural entre 4

• Diseñar envases

• Juega con las áreas

• Elegir la solución correcta

• Calcular el 10 % de un número • Calcular el 50 % de un número

• Trabajar con densidades

• Juega con cuerpos geométricos

• Determinar varias soluciones

• Calcular el 20 % de un número • Calcular el 25 % de un número

• Realizar un control de calidad

• Juega con la probabilidad

Antes de empezar

Material de aula Dominó de operaciones con decimales.

Cálculo mental

Pequeños problemas

Multiplica un número por 11

Calcula mentalmente

3 11

35

3 10

350

1 35

385

14 3 11

300 3 11

17 3 11

400 3 11

20 3 11

510 3 11

26 3 11

630 3 11

12 3 9

230 3 9

23 3 9

340 3 9

35 3 9

780 3 9

45 3 9

890 3 9

1. Mónica camina 15 km cada día. ¿Cuánto caminó del día 2 al día 12 de marzo? 2. Cada caja tiene 15 pinturas. Marta y sus ocho amigos han comprado una caja cada uno. ¿Cuántas pinturas han comprado en total?

Multiplica un número por 9 39

36

3 10

360

2 36

324

3. Este año Juana ha actualizado 11 veces los 45 ordenadores de su empresa. ¿Cuántas actualizaciones ha realizado?

SU GER E N CI A S

Extraiga una ficha del dominó y pida a los estudiantes que digan la fracción decimal asociada al número decimal que aparece en ella.

Varias multiplicaciones Escribe la multiplicación en la que: Uno de sus factores es 11 y su resultado es 495. Uno de sus factores es 9 y su resultado es 378.

 

¿Qué sabes ya? Fracciones decimales

Multiplicación de decimales

Una fracción decimal tiene como denominador la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000… Toda fracción decimal puede expresarse como número decimal, y viceversa.

Para multiplicar dos decimales se multiplican como si fueran naturales y en el resultado se separan, con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como tengan entre ambos.

27 5 0,27 100

LibroMedia Multiplicación de decimales.

3,8 5

2 ceros 2 cifras decimales 1

38 10

1 cifra decimal 1 cero

4, 2 3 ◀ 2 cifras decimales 3 2,4 ◀ 1 cifra decimal 16 92 84 6 1 0, 1 5 2 ◀ 3 cifras decimales

Expresa cada fracción decimal como un número decimal y, después, multiplica.

LibroMedia Fracción decimal y multiplicación.

9 3 4,7 10

14 39 100

714 39 1.000

42 3 0,74 10

175 33 100

64 3 2,8 1.000

5 3 11 100

27 3 11 1.000

3.042 3 5,42 1.000

164

Soluciones

ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 4

¿Qué sabes ya?

Varias multiplicaciones 11 3 45 5 495

28/02/2019 14:49:16

9 3 42 5 378

Pequeños problemas 1 15 3 11 5 165 km caminó. 2 15 3 9 5 135 pinturas han comprado. 3 11 3 45 5 495 actualizaciones ha hecho.

1

0,9 3 4,7 5 4,23

0,14 3 9 5 1,26

0,714 3 9 5 6,426

4,2 3 0,74 5 3,108

1,75 3 3 5 5,25

0,064 3 2,8 5 0,1792

0,05 3 11 5 0,55

0,027 3 11 5 0,297

3,042 3 5,42 5 16,48764

Material de aula Lámina de aula de Fracciones y decimales.

S U GER EN CIAS

 

9

Proporcionalidad y porcentajes

Tiempo para leer

Tiempo para hablar

Seguro que, si piensas en un animal del desierto, el primero que te viene a la mente es el camello o el dromedario. Estos animales ayudaban a los pueblos nómadas para realizar largos viajes debido a la capacidad que tienen para recorrer grandes distancias sin beber agua.

• El 30 % de una cantidad significa que dividimos esa cantidad en 100 partes iguales y tomamos 30 de ellas. ¿Qué otros porcentajes aparecen en el texto de la izquierda?

Mientras que una persona moriría por deshidratación si perdiera más de un 12 % de su peso, los camellos pueden llegar a perder el 25 % de su peso y sobrevivir. En la Antigüedad se pensaba que sus jorobas estaban llenas de agua y por eso resistían sin beber. En realidad, su contenido es grasa, que les sirve de reserva de energía.

Coloree en una cuadrícula de la lámina partes con distintos colores. Después, pida a los estudiantes que digan qué fracción decimal corresponde a cada color y que la enuncien como «de 100 cuadritos hay … coloreados de …».

• Imagina que una persona pesa 100 kg. Según el texto, ¿cuántos kilos puede perder esa persona como máximo antes de morir por deshidratación? • ¿Cuántos kilos podría perder un camello que pesara 100 kg como máximo? ¿Y si pesara 200 kg? ¿Y 500 kg?

LibroMedia El IVA.

• Escribe otros dos porcentajes y explica qué significan.

165 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 5

Tiempo para hablar 12 % y 25 % 12 % de 100 5 12 Puede perder 12 kg como máximo.

04/03/2019 10:55:45

25 % de 100 5 25 Podría perder 25 kg. 25 % de 200 5 50 Podría perder 50 kg. 25 % de 500 5 125 Podría perder 125 kg. R. L.

Proporcionalidad En la pastelería de Marisa, una tarta de manzana cuesta 3 €. ¿Cuánto costarán 5 tartas de manzana?

LibroMedia Proporcionalidad.

En la tabla aparece el número de tartas y su precio.

33

1

Precio (€)

3

2

3

4

5 :3

6

9

12

15

Observa que en la tabla podemos pasar de los números de una fila a los de la otra multiplicando o dividiendo entre 3.

SU GER E N CI A S

Es importante que los estudiantes comprendan que la relación entre las magnitudes debe ser matemática, no basta con que si una crece crezca la otra, sino que ese crecimiento debe venir dado por una relación matemática que se cumple en todo momento. Pídales que aporten ejemplos propios.

Número de tartas

Por eso, las series de números 1, 2, 3, 4, 5 y 3, 6, 9, 12, 15 son dos series de números proporcionales y la tabla es una tabla de proporcionalidad.

Esta mañana, Marisa ha vendido 8 tartas de manzana en una hora. ¿Podemos saber cuántas tartas venderá en 4 horas? No podemos saberlo, porque en cada hora no venderá siempre el mismo número de tartas. Por eso, el número de tartas que vende no es proporcional al número de horas.

1

Lee y contesta. Teresa camina todos los días 3 km. – ¿Puedes calcular cuántos kilómetros recorre en 5 días? ¿Podrías hallar los kilómetros que recorre en una semana? – ¿Son proporcionales el número de kilómetros y el número de días? Jorge mide 140 cm y pesa 36 kg. – ¿Puedes saber su peso cuando medía 70 cm? ¿Podrías saberlo cuando mida 150 cm?

LibroMedia Proporcionalidad.

– ¿Son proporcionales la altura y el peso? ¿Por qué? 2

Copia y completa en tu cuaderno las tablas de proporcionalidad. 1

34

4

LibroMedia Tabla de proporcionalidad.

3

5

7

8

9

12

:4

35

:…

3…

30

18

36

42

54

60

3

5

7

8

9 :5

15

5

3…

2

4 12

7 15

9 24

:…

30

166

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 6

3 3 5 5 15. Recorre 15 km. 3 3 7 5 21. Recorre 21 km. Son proporcionales porque todos los días recorre el mismo número de kilómetros. No podemos saberlo porque la altura y el peso no son proporcionales.

28/02/2019 14:49:18

2

1

3

5

7

8

9

34 4

12

20

28

32

36

5

3

6

7

9

10

36 30

18

36

42

54

60

:4

35

:6

33

2

3

5

7

8

9

10

15

25

35

40

45

4

5

7

8

9

10

12

15

21

24

27

30

:5

:3

9 3

Copia y completa en tu cuaderno cada tabla de proporcionalidad.

S U GER EN CIAS

Cuatro amigos han comido de menú y han pagado 48 €. ¿Cuánto costarán 5 menús? ¿Y 8 menús? N.º de menús

1

4

5

8

3 ...

: ...

48

Precio (€)

Calcula primero el precio de un menú.

En un restaurante han servido 6 cajas de helados para los postres. Han sido 108 helados en total. ¿Cuántos helados habrá en 4 cajas? ¿Y en 8 cajas? N.º de cajas

3 ...

1

6

4

8

N.º de helados

: ...

Para resolver los problemas muestre la utilidad de hallar, en primer lugar, el valor de la magnitud dependiente asociado a 1 unidad de la magnitud independiente (método de reducción a la unidad). Señale la importancia de comprobar que la solución obtenida tiene sentido.

Problemas 4

Resuelve.

RETO

Un grupo de 4 amigos va al cine y las entradas les han costado 24 €. ¿Cuánto pagaría en total un grupo de 7 amigos por sus entradas? Abel ha colocado 96 pasteles en bandejas iguales. En total ha utilizado 8 bandejas. ¿Cuántas bandejas necesita para colocar 108 pasteles? ¿Cuántos pasteles colocará en 7 bandejas?

Tres amigos pagaron 600 € por alojarse 4 noches en un hotel. ¿Cuál fue el precio por persona y noche? ¿Cuánto habrían pagado por 3 noches?

Lucía lleva en su furgoneta una carga de 900 kg en 45 cajas iguales. ¿Cuántas cajas tendrá que llevar para cargar 1.140 kg?

EM

OCIONES

Carmela compra 4 bollos iguales por 2,80 € y 6 zumos iguales por 7,20 €. ¿Cuánto tendrá que pagar si compra 6 bollos y 8 zumos?

Piensa y contesta. David y Míriam son hermanos. David tiene 120 € y Míriam 60 €. Quieren hacer a su madre un regalo que cuesta 30 €. ¿Cuánto crees que debería poner cada uno para el regalo? ¿Por qué piensas eso?

LibroMedia Proporcionalidad. Tortillas.

¿Coincide tu respuesta con la de otros compañeros o compañeras?

167 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 7

3

4

28/02/2019 14:49:20

2,80 : 4 5 0,70 €/bollo; 7,20 : 6 5 1,20 €/zumo 6 3 0,70 1 8 3 1,20 5 13,80 Tendrá que pagar 13,80 €.

1 menú F 12 €. Se multiplica por 12. 5 menús F 60 €. 8 menús F 96 € 108 : 6 5 18. Se multiplica por 18. 1 caja F 18 helados 6 cajas F 108 helados 4 cajas F 72 helados 8 cajas F 144 helados

RETO

24 : 4 5 6; 6 3 7 5 42. Pagarían 42 €.

50 3 3 3 3 5 450. Pagarán 450 € por las 3 noches entre los 3.

96 : 8 5 12; 108 : 12 5 9. Necesita 9 bandejas. 7 3 12 5 84. Colocará 84 pasteles.

EMOCIONES

900 : 45 5 20 kg/caja; 1.140 : 20 5 57. Tendrá 57 cajas.

600 : 3 5 200; 200 : 4 5 50. Cuesta 50 € por persona y noche.

R. L.

Porcentajes A una función de teatro han ido 200 personas.

Material de aula Dominó triangular de porcentajes.

De ellas, 35 de cada 100, es decir,

35 eran jóvenes. 100

Las fracciones que tienen como denominador 100 se llaman porcentajes o tantos por ciento. Fracción 35 100

SU GER E N CI A S

5

Porcentaje

Lectura

35 %

35 por ciento

Un porcentaje es una fracción que tiene como denominador 100.

Extraiga al azar una ficha del dominó de porcentajes y elija uno de los tres valores escritos en ella. Los estudiantes deberán expresarlo de todas las formas posibles asociadas a un porcentaje. También puede pedirles que lo representen en la lámina de fracciones y decimales.

1

2

Copia y completa la tabla. Porcentaje

10 %

29 %

Lectura

10 por ciento

Fracción

10 100

Número decimal

0,1

Significado

10 de cada 100

39 por ciento 47 100 0,7 6 de cada 100

Cuenta y escribe el porcentaje que hay de cada color. EJEMPLO

LibroMedia Porcentajes. Tabla.

▶

20 5 20 % 100

¿Cuánto suman todos los porcentajes? 3

Piensa si las siguientes interpretaciones de las oraciones son correctas y corrige las que no lo sean. El 40 % de los visitantes eran de Japón. Interpretación: hubo 100 visitantes y 40 eran de Japón. De cada 100 helados vendidos, 75 son de fresa. Interpretación: el 75 % de los helados vendidos son de fresa.

LibroMedia Porcentajes. Colores.

Fueron al viaje 100 personas, siendo 80 de ellas mujeres. Interpretación: el 40 % de los viajeros eran hombres. El 10 % de las aves eran loros, el 5 % águilas y el resto búhos. Interpretación: el 85 % de las aves eran búhos.

168

Soluciones 1

29 %

ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 8

39 %

47 %

70 %

28/02/2019 14:49:24

6%

29 por ciento 39 por ciento 47 por ciento 70 por ciento 6 por ciento

29 100

39 100

47 100

70 100

6 100

0,29

0,39

0,47

0,7

0,06

29 de cada 100

39 de cada 100

47 de cada 100

70 de cada 100

6 de cada 100

24 18 12 , amarillo: , azul: , 2 Verde: 100 100 100 17 9 100 naranja: , morado: , total: 51 100 100 100 3

De cada 100 visitantes, 40 eran de Japón. Correcta. Fueron al viaje 100 personas, 80 mujeres y 20 hombres: el 20 % eran hombres. Correcta.

9 4

Escribe para cada dibujo la fracción decimal, el porcentaje, el número decimal y la expresión en cuartos correspondiente.

RETO

Material de aula Lámina de aula de fracciones y decimales.

¿Cuál es mayor? Calcula y comprueba. El 40 % de 500. El 20 % del 20 % de 500. 5

Calcula.

HAZLO ASÍ Calcular un porcentaje de un número es lo mismo que hallar la fracción de ese número. 12 % de 500 5

S U GER EN CIAS

12 12 3 500 6.000 de 500 5 5 5 60 100 100 100

Realice actividades similares a la actividad 4 partiendo de dibujos en la lámina de aula. Trabaje porcentajes usuales como 10 %, 20 %, 40 %, 60 %, 80 %.

El 12 % de 500 es igual a 60. El 6 % de 50.

El 8 % de 150.

El 15 % de 860.

Problemas 6

Resuelve. El 15 % de las 800 personas de un pueblo juegan al ajedrez. ¿Cuántas personas del pueblo juegan al ajedrez? En un parque hay 600 árboles. El 30 % son pinos. ¿Cuántos árboles no son pinos? Aurora tiene 80 cómics y Martín tiene 90. El 30 % de los cómics de ambos son de superhéroes. ¿Cuántos cómics de superhéroes tiene cada uno?

LibroMedia Porcentajes. Dibujos.

En un estanque hay 850 peces de colores variados. Un 36 % son azules y un 50 % son verdes. ¿Cuántos peces hay de otros colores? ¿Qué porcentaje del total representan?

O

Piensa, calcula y contesta.

LibroMedia Porcentajes. Cálculo.

María tiene 300 fichas. Son rojas 240 fichas y, de ellas, 60 son triángulos. ¿Podemos decir que el 20 % de las fichas de María son triángulos rojos? ¿Es correcto decir que el 20 % de las fichas no son de color rojo?

EN

SAMIENT

El 20 % de las 900 socias de un gimnasio llegan en bicicleta. De ellas, un 50 % son jubiladas. ¿Cuántas jubiladas llegan al gimnasio en bicicleta?

P

169 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 9

4

28/02/2019 14:49:27

25 1 5 25 % 5 0,25 5 100 4 50 2 5 50 % 5 0,5 5 100 4 12

75 3 5 75 % 5 0,75 5 100 4 100 4 5 100 % 5 1 5 100 4

5

3

129

6

15 % de 800 5 120. Juegan al ajedrez 120 personas. 70 % de 600 5 420. No son pinos 420 árboles. 30 % de 80 5 24. Tiene 24 cómics. 30 % de 90 5 27. Tiene 27 cómics.

100 % 2 (36 % 1 50 %) 5 14 % 14 % de 850 5 119. Hay 119 peces de otros colores. 20 % de 900 5 180; 50 % de 180 5 90. Llegan 90 en bicicleta. RETO 40 % de 500 5 200 . 20 % de 20 % de 500 5 20 PENSAMIENTO 20 % de 300 5 60 F El 20 % son triángulos rojos. 80 % de 300 5 240 F El 20 % no son rojas.

Problemas de porcentajes Bernardo compra para su tienda de electrodomésticos un lote de televisores a 750 € cada uno. Quiere ganar en cada televisor un 16 % del precio de compra. ¿Cuál debe ser el precio de venta de cada televisor?

LibroMedia Problemas con porcentajes.

1.º Calcula el 16 % del precio de compra del televisor. 16 % de 750 5

16 3 750 12.000 5 5 120 100 100

2.º Suma el porcentaje obtenido al precio del televisor.

SU GER E N CI A S

750 1 120 5 870

Deje claro que en los problemas de porcentajes es muy importante considerar siempre sobre qué número estamos calculando el porcentaje, sobre todo en el caso de porcentajes sucesivos. Anímelos a comprobar siempre si la solución obtenida tiene sentido.

El precio de venta de cada televisor debe ser de 870 €.

1

Fíjate en los precios sin rebaja y completa la tabla en tu cuaderno. TODOS LOS ARTÍCULOS REBAJADOS UN 25 % 48 €

Precio sin rebaja

36 €

Euros que se rebajan

Precio final

Camisa Jersey

56 €

Zapatillas Pantalón

20 €

LibroMedia Problemas de porcentajes. Objetos.

Cazadora

52 €

2

LibroMedia Problemas de porcentajes. Datos académicos.

Resuelve. Un tren tenía 150 plazas y el billete costaba 40 €. El nuevo modelo tiene un 14 % más de plazas y el billete cuesta un 10 % menos. ¿Cuántas plazas hay en el nuevo modelo? ¿Cuánto cuesta cada billete?

En una exposición de pintura hay 450 cuadros. El 28 % de los cuadros son de paisajes, el 16 % de plantas y el resto de ciudades. ¿Cuántos cuadros de ciudades hay en la exposición?

Serafín quiere comprar una nevera que cuesta 500 € más el 21 % de IVA. Tiene ahorrados 600 €. ¿Puede comprarla? ¿Cuánto le falta o le sobra?

En un club de alpinismo hay inscritas 200 personas. El 40 % de ellas son hombres y, de los hombres, un 20 % son jubilados. ¿Cuántos hombres jubilados hay en el club?

170

Soluciones 1

Camisa Jersey Zapatillas Pantalón Cazadora

ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 10

28/02/2019 14:49:31

2

Precio sin rebaja 20 36 48 52 56

Euros que se rebajan 5 9 12 13 14

Precio final 15 27 36 39 42

14 % de 150 5 21; 21 1 150 5 171. Hay 171 plazas. 10 % de 40 5 4; 40 2 4 5 36. El billete cuesta 36 €. 21 % de 500 5 105; 105 1 500 5 605 No puede comprarla, le faltan 5 €. 100 % 2 (28 % 1 16 %) 5 56 % 56 % de 450 5 252. Son de ciudades 252 cuadros. 20 % de 40 % de 200 5 16. Hay 16 hombres jubilados.

9 3

Calcula cada porcentaje. RETO

HAZLO ASÍ

Halla el 30 % del 40 % de 500. El resultado que obtienes, ¿qué porcentaje es de 500?

Juan tiene 120 €. ¿Qué porcentaje del total son 24 €? Con los datos del problema construye y completa la tabla de proporcionalidad. Fíjate en que 120 : 24 5 5.

35

24

…

24

20

120

100

120

100

:5

S U GER EN CIAS

El cálculo del porcentaje que supone un número sobre un total puede plantear dificultades. Señale la importancia de calcular en primer lugar la razón de proporcionalidad y aplicarla después en sentido inverso para hallar el número que nos falta.

24 € son un 20 % del total del dinero de Juan. La sala de un museo alberga una exposición de insectos. En total hay 90 insectos y 45 de ellos son mariposas. ¿Qué porcentaje de los insectos son mariposas? Ernesto ha comprado un huerto con 65 árboles frutales. De todos los árboles, 13 son manzanos. ¿Qué porcentaje de los árboles son manzanos? Marina está leyendo un libro de 120 páginas. Tienen fotos 30 páginas. ¿Qué porcentaje de las páginas tienen fotos? Valentina ha recibido en su tienda un total de 140 teléfonos móviles. De ellos, 14 no tienen cámara. ¿Qué porcentaje de los teléfonos no tienen cámara?

LibroMedia Problemas de porcentajes. Encuesta.

O

Calcula y contesta. ¿Qué tarro de mermelada contiene más gramos de azúcar? ¿Y menos?

EN

SAMIENT

La compañía aérea A ha puesto en venta 240 billetes, y de ellos 24 tienen una oferta. La compañía B ha puesto en venta 140 billetes, 28 de ellos con oferta. ¿Qué compañía tiene más porcentaje de billetes con oferta?

P

Peso 500 g Peso 250 g

Azúcar 12 %

Azúcar 5%

Peso 720 g Azúcar 144 g

¿Qué tarro de mermelada tiene mayor porcentaje de azúcar?

LibroMedia Problemas de porcentajes. Botones.

¿Cuántos gramos de azúcar contiene un tarro de 1 kg de mermelada que tiene el mismo porcentaje de azúcar que el tarro morado?

171 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 11

3

28/02/2019 14:49:33

90 : 45 5 2; 100 : 2 5 50; 50 %

RETO

65 : 13 5 5; 100 : 5 5 20; 20 %

30 % de 40 % de 500 5 60

120 : 30 5 4; 100 : 4 5 25; 25 %

0,3 3 0,4 5 0,12 5 12 %

140 : 14 5 10; 100 : 10 5 10; 10 %

PENSAMIENTO

240 : 24 5 10; 100 : 10 5 10; 10 %

1.er tarro: 12,5 g

140 : 28 5 5; 100 : 5 5 20; 20 % Tiene más porcentaje de billetes en oferta la compañía B.

2.º tarro: 60 g

3.er tarro: 144 g

El tercer tarro tiene más gramos de azúcar y el primero menos. 144 El tercero tiene mayor porcentaje: 5 0,2 5 20 % 720 20 % de 1.000 g 5 200. Contiene 200 g.

Escalas: planos y mapas El ayuntamiento de una ciudad ha recibido el plano del nuevo parque infantil. El plano está hecho a escala 1:450. ¿Cuáles son las medidas reales de la zona verde?

LibroMedia Escalas: mapas y planos.

ZONA VERDE

La escala 1:450 indica que 1 cm del plano representa 450 cm en la realidad. Para calcular las medidas reales de la zona verde sigue estos pasos:

Material de aula Lámina de Geometría y Tratamiento de la información.

MERENDERO

1.º Mide en el plano el largo y el ancho de la zona verde en centímetros. Largo

7 cm

Ancho

ZONA DE CIRCUITO DE JUEGOS BICICLETAS

3,5 cm

2.º Calcula las medidas reales, sabiendo que está hecho a escala 1:450.

SU GER E N CI A S

Represente en la lámina de aula un plano de la clase a escala, obteniendo con los estudiantes las medidas de cada objeto. Pregúnteles después cómo cambiarán estas si variamos a una escala mayor o menor que la que hemos usado.

7 cm 3 450 5 3.150 cm 5 31,5 m 3,5 cm 3 450 5 1.575 cm 5 15,75 m

La zona verde mide 31,5 m de largo y 15,75 m de ancho. La escala de un plano o un mapa indica la relación que hay entre las medidas del plano o del mapa y las medidas reales.

1

Explica el significado de estas escalas. Escala 1:75

2

LibroMedia Escala.

Largo real Ancho real

3

Escala 1:250

Escala 1:2.000

Mide con una regla en el plano de arriba y calcula las siguientes medidas reales. El largo y el ancho del merendero.

El largo y el ancho del circuito.

El perímetro de la zona de juegos.

El perímetro de todo el parque.

Lee y escribe la escala a la que está dibujado cada plano. PRESTA ATENCIÓN

Expresa las dos medidas en la misma unidad.

LibroMedia Escala gráfica.

Escala 1:1.500

EJEMPLO

1 cm representa 4 m

Plano A

1 cm del plano son 75 cm en la realidad.

Plano B

1 cm del plano son 8 cm en la realidad.

Plano C

1 cm del plano son 23 m en la realidad.

Plano D

1 cm del plano son 5 km en la realidad.

1 cm representa 400 cm

Escala 1:400

172

Soluciones

ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 12

1 R. M. 1:75 F 1 cm en el mapa representa 75 cm en la realidad. 2

Largo: 3,5 3 450 5 1.575 cm 5 15,75 m Ancho: 2 3 450 5 900 cm 5 9 m Perímetro: 14 3 450 5 6.300 cm 5 63 m Largo: 5 3 450 5 2.250 cm 5 22,5 m Ancho: 1,5 3 450 5 675 cm 5 6,75 m Perímetro: 7 3 4 3 450 5 12.600 cm 5 126 m

28/02/2019 14:49:37

3 Plano A

Escala 1:75

Plano C: Escala 1:2.300

Plano B Escala 1:8

Plano D Escala 1:500.000

9 Problemas 4

Observa la escala y calcula el perímetro real.

Escala 1:200

Escala 1:80

5

LibroMedia Escala y perímetro.

Observa la escala del mapa y calcula la distancia real que recorre un avión en cada trayecto.

HAZLO ASÍ En los mapas, las escalas son gráficas. En la escala de este mapa cada barrita de 1 cm representa 175 km en la realidad.

S U GER EN CIAS

Pida a los estudiantes que elaboren problemas propios donde se usen las escalas. Después, resuelva algunos de ellos en común, aprovechando para resolver posibles dudas.

Para calcular la distancia real entre Madrid y Zaragoza: Distancia en el mapa: 1,6 cm. 1,6 3 175 5 280 Distancia real: 280 km.

6

Madrid - Barcelona

Badajoz - Sevilla - Madrid

Valencia - Bilbao

Zaragoza - Madrid - A Coruña

Piensa y resuelve. Dibuja una escala gráfica en la que 1 cm son 720 km. ¿A qué escala numérica equivaldría esa escala gráfica? ¿Cómo lo has averiguado?

O

Calcula y contesta. Tenemos un rectángulo de 4 cm de largo y 3 cm de alto en un plano a escala 1:100. Si fotocopiamos ese plano al 50 %, ¿cuál será la escala del nuevo plano que obtenemos?

EN

SAMIENT

¿Cuánto medirá en un plano una carretera de 4 km a escala 1:20.000? ¿Y en un plano a escala 1:200.000?

P

173 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 13

4 Triángulo: (3 1 4 1 5) 3 80 5 960 cm

Rectángulo: (2 3 2 1 4,5 3 2) 3 200 5 2.600 cm 5

Madrid-Barcelona: 2,9 3 175 5 507,5 km Valencia-Bilbao: 2,7 3 175 5 472,5 km Badajoz-Sevilla-Madrid: (1 1 2,3) 3 175 5 577,5 km Zaragoza-Madrid-A Coruña: (1,6 1 2,9) 3 175 5 787,5 km

6

0

720 1.040 2.160 kilómetros

28/02/2019 14:49:39

720 km 5 72.000.000 cm F 1:72.000.000 4 km 5 400.000 cm A escala 1:20.000 F 400.000 : 20.000 5 20 cm A escala 1:200.000 F 400.000 : 200.000 5 2 cm PENSAMIENTO 50 % de 1 5 0,5 Si antes 1 cm en el plano representaba 100 cm en la realidad, ahora 0,5 cm del plano representan 100 cm de la realidad. 0,5:100 o lo que es igual, 1:200.

COMPRUEBO MI PROGRESO 1

LibroMedia Compruebo mi progreso.

6

Piensa y contesta si son o no proporcionales y explica por qué. Los kilos de naranjas y su precio.

¿Qué es mayor: un 60 % de 800 o un 80 % de 600?

La longitud de un coche y su peso.

¿Qué es mayor: un 50 % de 400 o un 70 % de 200?

La altura de una persona y su edad. Los litros de agua que contiene una garrafa y el peso de esa agua.

Un 80 % de 500, ¿es lo mismo que el 50 % del 30 % de 500?

El tiempo de juego de un partido de fútbol y los goles metidos. 2

3

4

3

5

49

63

70

48

68

76

10

20

5

Mide con una regla y calcula la longitud de cada cinta en la realidad. Escala 1:200

5

14

4

7

Completa estas tablas de proporcionalidad en tu cuaderno.

SU GER E N CI A S

El trabajo cualitativo sobre la comprensión del concepto de porcentaje es muy importante. Realice actividades similares a la actividad 6, para profundizar en ese sentido. Señale que el porcentaje es equivalente a calcular la fracción de un número y que hay que tener siempre en cuenta sobre qué número estamos calculando esa fracción.

El 45 % de las 300 piezas de un juego son rojas. ¿Son rojas más o menos de la mitad de las piezas?

Explica, mediante un ejemplo, qué es una tabla de proporcionalidad.

2

Contesta. Después, calcula y comprueba tus respuestas.

8

Observa la escala a la que está hecho el plano y calcula el perímetro real de cada instalación. 0

Calcula estos porcentajes.

25

50

75

metros

5 % de 800

15 % de 40

8 % de 1.050

25 % de 640

Lee y elige en cada caso la mejor oferta.

ZONA DE JUEGOS

TE REGALAMOS 10 g del producto o el 10 % del peso de tu compra. ¡TÚ ELIGES!

ZONA VERDE

AUDITORIO

¿Qué zona tiene mayor perímetro? Indica el perímetro real de cada una. ¿Cuánto costará vallar la zona verde si el metro de valla cuesta 65 €? Alrededor de la zona de juegos se quieren poner, además de las farolas de las esquinas, farolas alrededor cada 5 metros. ¿Cuántas farolas se necesitan?

Si compras 500 g de castañas. Si compras 50 g de castañas. Si compras 100 g de castañas.

174 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 14

Soluciones 1

Sí

No

No

Sí

No

28/02/2019 14:49:42

4

40

5

510 g , 550 g F La 2.ª oferta.

6

160

60 g . 55 g F La 1.ª oferta.

2 R. L. 3

84

110 g 5 110 g F Da igual.

2

4

5

7

9

10

14

28

35

49

63

70

3

5

10

12

17

19

80 % de 500 5 400

12

20

40

48

68

76

45 % , 50 %. Son rojas menos de la mitad.

6

60 % de 800 5 80 % de 600 5 480 50 % de 400 5 200 . 70 % de 200 5 140 50 % de 30 % de 500 5 75

9 Problemas 9

10 Piensa y resuelve.

Resuelve. Una máquina fabrica 200 piezas en 1 hora y 40 minutos. ¿Cuántas piezas fabrica en 50 minutos? ¿Y en 10 minutos? ¿Cuánto tiempo tardará en fabricar 250 piezas? ¿Y 400 piezas? En un jardín se han plantado 25 claveles chinos, 50 petunias y el resto han sido pensamientos. En total se han plantado 250 flores. ¿Qué porcentaje de cada clase de flores se ha plantado?

Número de habitantes en 2016 Villares Robledal Sauceda

3.500 5.000 4.200

En 2017, la población de todos los pueblos creció un 10 %. ¿Cuántos habitantes había en cada uno? En 2018, la población se redujo con respecto a 2016 un 8 %, un 10 % y un 5 %, respectivamente. ¿Cuántos habitantes había en cada pueblo?

S U GER EN CIAS

Pida a los estudiantes que traigan las recetas de algunos platos que les gusten mucho, especificando la cantidad de cada ingrediente y el número de personas. Después, resuelva algunas actividades en común similares a la actividad 11 para trabajar los contenidos de la unidad.

11 Resuelve.

Hoy es el cumpleaños de Gustavo y quiere hacer una tarta de queso. En la receta que ha encontrado, aparecen los ingredientes para 4 personas. TARTA DE QUESO (4 personas) – 24 galletas – 100 g de mantequilla – 300 g de queso

– 250 cl de leche condensada – 200 cl de nata – 4 guindas

¿Qué cantidad de cada ingrediente necesita para preparar la tarta para 8 personas? ¿Y para 12 personas? ¿Y para 10 personas? De los 20 invitados, 10 van a clase con Gustavo y el 45 % son chicas. ¿Qué porcentaje de los invitados son compañeros de Gustavo? ¿Cuántas de las chicas son, como máximo, compañeras de clase de Gustavo?

¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno. ¿Sé resolver problemas con porcentajes? ¿Sé usar la proporcionalidad en la vida cotidiana? ¿Manejo las escalas en mapas y planos? Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.

175 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 15

7 Roja: 3 3 200 5 600 cm

Amarilla: 4 3 200 5 800 cm 8

9

Juegos: 10 3 25 5 250 m Auditorio: 12 3 25 5 300 m

28/02/2019 14:49:44

Azul: 3,5 3 200 5 700 cm Verde: 4,5 3 200 5 900 cm

10

Verde: 14 3 25 5 350 m

11

Villares: 3.850

Robledal: 5.500

Sauceda: 4.620

Villares: 3.220

Robledal: 4.500

Sauceda: 3.990

Ga

M

Q

L

N

Gu

350 3 65 5 22.750. Costará 22.750 €.

8 pers.

48

200 g

600 g

500 cl

400 cl

8

Alto: 75 m, ancho: 50 m Se necesitan 9 1 9 1 14 114 5 46 farolas más.

12 pers.

72

300 g

900 g

750 cl

600 cl

12

10 pers.

60

250 g

750 g

625 cl

500 cl

10

100 piezas en 50 min. 20 piezas en 10 min.

250 piezas en 125 min. 400 piezas en 200 min.

El 50 %. 45 % de 20 5 9 F Como máximo, 9 chicas.

SABER HACER Interpretar información científica LibroMedia Interpretar información científica.

Desde el espacio, al contemplar nuestro planeta, es fácil darse cuenta de que la mayor parte de su superficie está ocupada por agua, aproximadamente un 70 % del total. Se han realizado muchos estudios científicos sobre el agua y su distribución en la esfera terrestre. Para el ser humano, el agua es algo vital y necesario en el día a día. Ahora bien, la inmensa mayoría del agua de nuestro planeta no es dulce, sino salada, y está en los mares y océanos, constituyendo el 94 % del agua total del planeta.

Agua subterránea 71,2 % Agua superficial y atmosférica 0,5 % Hielo 28,3 % Agua atmosférica 3,3 %

SU GER E N CI A S

Comente en común las aportaciones de los estudiantes en la actividad 2. Analice la corrección científica en el uso de los porcentajes y los cálculos que hayan realizado. Indique que la suma de todos los porcentajes debe ser igual al total.

Lagos 96,2 %

En el gráfico puedes ver el reparto del resto de agua, el agua dulce. Fíjate en cómo un pequeñísimo porcentaje de ella está en la atmósfera y en la superficie y, dentro de esta, muy poca se encuentra en los ríos.

Ríos 0,5 % 1

Responde a estas preguntas. Explica qué quiere decir la frase: «Un 70 % de la superficie de la Tierra está ocupada por agua». ¿Es esa cantidad más o menos de la mitad? ¿Qué porcentaje de la superficie de nuestro planeta no está ocupada por agua? ¿Qué porcentaje del agua del planeta es agua dulce? De cada mil litros de agua, ¿cuántos son de agua salada? ¿Y de agua dulce? De cada mil litros de agua dulce, ¿cuántos son aguas subterráneas? ¿Cuántos están en forma de hielo? ¿Y en el agua superficial y atmosférica? Imagina que tienes un millón de litros de agua. Haz un reparto siguiendo los datos del texto y el gráfico, y calcula cuántos litros habría de agua dulce, agua salada y de cada tipo de agua dulce (subterránea, en forma de hielo, atmosférica, agua de lagos y ríos).

2

Investiga y expón. Busca información con tu compañero o compañera sobre el uso del agua para agricultura, industria y consumo humano en distintos países. Exponed los datos obtenidos utilizando porcentajes para expresar el reparto en los tres conceptos.

176

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 16

El 70 % es agua y el 30 % no. Es más de la mitad. 100 % 2 94 % 5 6 % es agua dulce. 940 litros de agua salada y 60 de agua dulce. 71,2 % de 1.000 5 712 litros son de aguas subterráneas. 28,3 % de 1.000 5 283 litros son hielo. 0,5 % de 1.000 5 5 litros son de aguas superficiales y atmosféricas.

28/02/2019 14:49:48

Salada: 940.000 ℓ

Dulce: 60.000 ℓ

Subterránea: 42.720 ℓ

Hielo: 16.980 ℓ

Atmosférica: 9,9 ℓ

Ríos: 1,5 ℓ

Lagos: 288,6 ℓ 2 R. L.

9

MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS

Juega con los porcentajes 5%

40 %

Número de jugadores: 4

1

Reglas del juego: Se ponen todas las fichas del dominó bocabajo en el centro de la mesa y se mueven hasta mezclarlas bien.

Material de aula Dominó triangular de porcentajes.

0,06

Material: Dominó triangular de porcentajes.

0,2

0,08

60 %

4% 1 2

2%

9%

0,05

80 %

Cada participante elige 3 fichas sin que los demás las vean. Las fichas que sobran se dejan en el centro de la mesa.

S U GER EN CIAS

Inicia el juego quien tenga el porcentaje más bajo: 1 %, 2 %, 3 %…, colocando la ficha de este porcentaje bocarriba sobre la mesa. Los siguientes participantes, por turnos, deben colocar una ficha pegada a uno de los lados de las fichas que hay sobre la mesa, de tal manera que los lados unidos tengan dos expresiones equivalentes. Si un jugador o jugadora no tiene ninguna ficha que pueda colocar, coge una ficha de las que han sobrado. En el caso de que no haya fichas sobrantes o no pueda colocar ninguna sobre la mesa, pasa su turno al siguiente participante. Ganador: El primer jugador o jugadora que se quede sin fichas.

1

¿Qué porcentaje debe tener la ficha que se puede colocar a la derecha de esta ficha? ¿Y a la izquierda? ¿Qué número decimal debe tener la ficha que puedes colocar encima?

5% 0,08 0,2

Puede ampliar el dominó pidiendo a los estudiantes que elaboren nuevas piezas. Señale que deben conectar de forma adecuada con alguna de las ya existentes y dígales que deben usar expresiones diferentes a las que tenga la pieza actual con la que contacten.

Retos matemáticos Canguro saltarín

El ganadero y el pienso

Los canguros recorren grandes distancias saltando, pudiendo alcanzar una velocidad de 40 km/h. ¿Cuántos minutos tardará un canguro en recorrer a esa velocidad una distancia de 5 km?

Un ganadero dispone de pienso para alimentar a una vaca durante 3 días o a una oveja durante 6 días. ¿Cuántos días durará el pienso si tiene que alimentar a la vez a la vaca y a la oveja?

177 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 17

Juega con los porcentajes 1 Derecha: 8 %

Retos matemáticos

28/02/2019 14:49:51

Canguro saltarín

Izquierda: 20 %

Tardará 7 minutos y medio.

Encima: 0,05

El ganadero y el pienso Un día de la vaca alimenta dos días a la oveja. Tiene para alimentar a la vaca 2 1 1 días. Alimentará a la vaca 2 días y a la oveja otros 2.

Solución de problemas Escribir la pregunta que se responde con unos cálculos LibroMedia Escribir la pregunta que se responde con unos cálculos.

Un tercio de los asistentes a la función de títeres eran adultos. De ellos, un 30 % eran hombres. Tenían más de 65 años 40 mujeres. A la función asistieron 210 personas. ¿Qué pregunta se responde con estos cálculos? 1.º 210 : 3 5 70

2.º 70 % de 70 5 49

3.º 49 2 40 5 9

Vamos a ver qué se obtiene con cada cálculo: 1.º Con esta división se halla cuántos adultos había. 2.º Con este cálculo se determina el número de mujeres adultas que había en la función. 3.º Con esta resta se obtiene cuántas mujeres tenían menos de 65 años. La pregunta es: ¿cuántas mujeres menores de 65 años había en la función de títeres?

SU GER E N CI A S

Muestre la importancia de leer el problema con cuidado y resolverlo mentalmente, pensando qué proceso hay que seguir. Eso los ayudará a darse cuenta, más tarde, de qué hallamos con cada cálculo.

Escribe la pregunta que se responde con cada grupo de cálculos. 1

Juan recogió 4.000 kg de nueces. Apartó un cuarto de ellas para envasarlas. Mientras las envasaba desechó un 5 % porque tenían algún defecto. 1.º

2

2.º 95 % de 1.000 5 950

3.º 4.000 2 950 5 3.050

En un tren viajaban 175 personas. Subieron 47 personas y bajaron 18 en la primera parada, y en la segunda parada subieron 59 y bajaron 32. 1.º

3

4.000 : 4 5 1.000

47 1 59 5 106

2.º 18 1 32 5 50

3.º 106 2 50 5 56

Tres quintos de los 300 animales de un parque natural son vertebrados. De ellos, un tercio son mamíferos.

1.º

3 de 300 5 180 5

2.º

1 de 180 5 60 3

3.º 180 2 60 5 120

178 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 18

Soluciones pág. 178

28/02/2019 14:49:52

Soluciones pág. 179

1 ¿Cuántas nueces quedaron sin envasar?

1

2 ¿Cuántas personas había al final del trayecto más que

2 A(2, 2), B(23, 3), C(22, 0), D(21, 23), E(3, 23)

al principio? 3 ¿Cuántos animales vertebrados no son mamíferos?

3 4

16

19

4 1 6 5 7 . 8 12 4,52 . 4,519 719 0,724 . 1.000

18

60

15 70 200 11 22 . 3 7 3,186 , 3,188

9

REPASO ACUMULATIVO 1

4

Calcula. 13 1 4 3 2 2 5

5 8

46 2 3 3 4 2 3 3 5 (12 2 4) 3 2 1 18 : 9

5

13

B

12

C 24 23 22 21

11 0 11 12 13 14 21 22

D

A

23

6

E

3,186

3,188

Calcula. 12,9 3 0,02

288 : 2,25

0,326 3 4,3

8,428 : 49

5,203 3 3,17

64,505 : 0,095

Completa en tu cuaderno. 3

0,7 m 5 ... cm 8º 12’ 5 ...”

Calcula.

22 7

719 1.000

4,3 m2 5 ... cm2

24

3

11 3

4,519

0,724

Escribe las coordenadas de cada punto. 14

7 12

4,52

25 1 21 : 7 1 (2 1 6) 3 4 2

Compara en tu cuaderno.

3

S U GER EN CIAS 3

19 dm 5 ... ml 715 ℓ 5 ... m3

m.c.d. (12 y 4)

m.c.m. (3 y 15)

m.c.d. (16 y 21)

m.c.m. (14 y 10)

5 % de 280

15 % de 2.500

m.c.d. (30 y 18)

m.c.m. (25 y 40)

9 % de 4.900

36 % de 6.800

7

Muestre la importancia del repaso como forma de afianzar los contenidos anteriores y poder así avanzar con seguridad. Indique que el aprendizaje de las matemáticas necesita siempre de los contenidos anteriores y es esencial tenerlos bien asentados.

500 s 5 ... min y ... s

Calcula estos porcentajes.

Problemas 8

9

Lucas compra 2 kg de naranjas a 1,30 € el kilo, 3 kg de patatas a 0,45 € el kilo y 2 kg de limones. En total paga 5,61 €. ¿Cuánto cuesta un kilo de limones?

11 Adela tiene en su granja un total de

200 animales. Tres quintos son patos, 20 son conejos y el resto gallinas. ¿Tiene más conejos o gallinas?

En una pastelería han hecho 40 kg de pastas. Las han envasado en cajas con un cuarto de kilo en cada una. ¿Cuántas cajas de pastas han obtenido? ¿Cuántos gramos pesan 12 cajas? ¿Cuántos hectogramos pesan 17 cajas? 12 Olga compra 125 g de pipas por 1,50 €

10 Un tren de largo recorrido sale de la estación

con un total de 320 pasajeros. En la primera parada baja un cuarto de los pasajeros, y en la segunda, un tercio de los que quedaban. ¿Cuántos pasajeros quedan en el tren? ¿En qué parada se han bajado más pasajeros?

y 400 g de cacahuetes por 2,40 €. ¿Cuánto pagará si compra un kilo de cada producto? 13 Emilio utiliza tres cuartos de litro de leche para

hacer dos bizcochos iguales. ¿Cuántos cm3 de leche usa para cada bizcocho?

179 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 19

5 6 7 8 9

0,258 16,49351 0,172 1,4018 128 679 2 43.000 cm 29.520’’ 19.000 ml 700.000 cm3 8 min 20 s 0,715 m3 14 441 375 2.448 5,61 2 2 3 1,3 2 3 3 0,45 5 1,66; 1,66 : 2 5 0,83 El kilo de limones cuesta 0,83 €. Obtienen 160 cajas. 12 cajas pesan 3.000 g. 17 cajas pesan 42,5 hg.

28/02/2019 14:49:54

10 Primero bajan 80 y quedan 240. Después, bajan

80 y quedan 160. Bajan los mismos pasajeros. 11 Tiene 120 patos, 20 conejos y 60 gallinas.

Tiene más gallinas. 12 12 €/ kg cuestan las pipas y 6 €/ kg los cacahuetes.

Pagará 18 €. 13

3 3 :25 5 0,375 4 8 Utiliza 375 cm3 para cada uno.

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Analizar gráficos de barras Material de aula Lámina de aula de Geometría y Tratamiento de la información.

En el gráfico está representado el número de personas que pidió cada tipo de primer plato en el restaurante Comecome en tres meses del año pasado. Ensalada

Pasta

100

200

Guiso

Mes

Agosto

Septiembre

Octubre 0

300

400

N.º de personas

SU GER E N CI A S

Fíjate en que en agosto más gente prefirió los platos frescos (ensaladas) a los platos más calientes.

Represente en la lámina distintos gráficos de barras para trabajar la interpretación. Señale que las barras de cada color nos permiten comparar la evolución de ese tipo de datos y que dentro de cada grupo de barras podemos comparar entre sí los tipos de datos.

1

Observa el gráfico anterior. Después, contesta. ¿Qué platos fueron los preferidos en septiembre y octubre? ¿Por qué crees que ocurrió así? Juan, el camarero, comentó que la gente que eligió pasta fue aumentando desde agosto hasta octubre. ¿Tenía razón según el gráfico? María, la dueña, creía que a partir de septiembre sería mejor no servir ensalada hasta la llegada del verano. ¿Crees que tenía razón? ¿Por qué?

2

Razona y contesta. En el restaurante tienen que hacer la compra este año para los meses de agosto, septiembre y octubre. Han anotado estas decisiones. Comprar la misma cantidad de verdura para ensalada los tres meses. Comprar la misma cantidad de pasta para agosto que para octubre. Ir aumentando la cantidad de ingredientes para guisos a medida que avance el otoño. Incluir gazpacho en el menú a partir de septiembre. ¿Crees que tienen razón a partir de la información del año pasado?

180

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 20

Guiso. R. M. Porque el tiempo era frío. No. De agosto a septiembre disminuye. R. M. No, porque siempre hay gente que la pide.

28/02/2019 14:49:56

2

No. Según el mes, varía el número de gente que toma ensalada. No. Hay gran variación en el número de clientes que toma pasta. Sí. Aumenta el número de personas que lo pide. No. Habría que incluirlo en verano, ya que aumenta el número de gente que pide platos frescos.

9 Analizar gráficos lineales Material de aula Lámina de aula de Geometría y Tratamiento de la información.

En el ayuntamiento están estudiando los datos de reciclaje en la ciudad. El gráfico muestra los kilos de vidrio reciclados en dos barrios durante varios meses. Valdeluz 4.000

3.500

Número de kilos

3.500

3.700

Solana 3.400

3.200

3.400

3.000 2.500 2.000

2.6 0 0

2.8 0 0

2.9 0 0

2.9 0 0

S

O Mes

N

2.7 0 0

1.500 1.000 500 0

A

D

S U GER EN CIAS

Represente en la lámina distintos gráficos lineales. Muestre su utilidad para representar tendencias en el tiempo y analizarlas rápidamente, tanto los valores de un tipo de datos como las series de datos entre sí.

Fíjate en que de agosto a septiembre aumentó el número de kilos de vidrio reciclados en los dos barrios.

1

Observa el gráfico anterior y contesta. ¿Qué ha ocurrido con el reciclaje de vidrio en Valdeluz en estos meses? ¿Y con el reciclaje en Solana? ¿En qué mes comenzó a reciclarse más en Solana que en Valdeluz? El ayuntamiento piensa llevar algunos contenedores de vidrio desde Solana a Valdeluz. ¿Crees que es una buena decisión? ¿Por qué? Fíjate en el gráfico, lee el texto y contesta. Dos amigos, Jon y César, se han propuesto ahorrar cada vez más en sus gastos. En el gráfico han representado el dinero que han ahorrado cada mes. ¿Quién ahorró más en mayo que en enero? ¿Jon ha ido ahorrando más de mes en mes? ¿Y César?

Jon Dinero ahorrado (€)

2

César

180 140 100 60 20

¿Quién crees que debe hacer un esfuerzo para cumplir su propósito?

E

F

M

A

My

Mes

181 ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 21

Soluciones 1

En Valdeluz aumentó de agosto a septiembre y disminuyó el resto de los meses. En Solana aumentó todos los meses. En noviembre. R. M. Sería bueno motivar a los vecinos de Valdeluz a reciclar, pero llevar más contenedores no es quizá lo mejor. Privar además a Solana de contenedores puede disminuir la progresión que está habiendo en el reciclaje.

28/02/2019 14:50:00

2

Los dos ahorraron más en mayo que en enero. Jon comenzó ahorrando más, pero en marzo bajó su ahorro y se mantuvo constante desde marzo hasta mayo. César empezó disminuyendo su ahorro en febrero, pero desde entonces hasta mayo lo fue aumentando. Jon.

Antes de empezar

Material de aula Lámina de aula de Medida.

Cálculo mental

Pequeños problemas

Multiplica un número natural por 4

Calcula mentalmente

34

23

32

46

92

32

31 3 4

43 3 4

42 3 4

25 3 4

51 3 4

36 3 4

62 3 4

57 3 4

1. El lunes Marta recogió 32 kg de patatas. El martes recogió el cuádruple. ¿Cuántos kilos recogió el martes? 2. Un cuarto de los 48 pacientes de una doctora eran personas mayores. ¿A cuántas personas mayores atendió la doctora?

Divide un número natural entre 4 :4

240

120

:2

60

:2

SU GER E N CI A S

Utilice la lámina de aula para realizar actividades de trabajo con las unidades de superficie, recordando el paso de unas a otras y el concepto de perímetro.

480 : 4

600 : 4

804 : 4

500 : 4

260 : 4

360 : 4

640 : 4

780 : 4

3. Luisa repartió 128 € entre sus 4 nietos. ¿Cuánto recibió cada nieto? 4. Cada entrada de un musical cuesta 53 €. ¿Cuánto pagarán Silvia y sus tres amigas por sus entradas?

Un número, varias operaciones Escribe usando 4 como uno de los términos: Una multiplicación con resultado 840. Una división con cociente 45.

¿Qué sabes ya? Unidades de superficie Utilizamos las unidades de superficie para expresar el área de figuras planas. Su unidad principal es el metro cuadrado. 1 m2 es el área de un cuadrado de 1 m de lado. Para pasar de una unidad a otra menor se multiplica 3100

LibroMedia Unidades de superficie.

3100

km2

hm2 : 100

3100 dam2

: 100

3100

3100 m2

3100

dm2

: 100

cm2 : 100

: 100

mm2 : 100

Para pasar de una unidad a otra mayor se divide

Perímetro El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. 1

2

Completa en tu cuaderno. 2

2

2

4,1 m 5 … cm

LibroMedia Perímetros.

2

750 dm 5 … m 2

1,38 dm 5 … mm 2

2

0,7 hm 5 … m

2

2

Calcula cada perímetro. Un cuadrado de lado 10 cm.

2

900 cm 5 … dm 2

8.000 dm 5 … dam

Un rectángulo de lados 8 cm y 6 cm. 2

Un hexágono regular de lado 5 cm.

182

Soluciones

ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 22

4 53 3 4 5 212. Pagarán 212 € por las entradas.

Un número, varias operaciones 210 3 4 5 840

28/02/2019 14:51:16

180 : 4 5 45

¿Qué sabes ya? 1

Pequeños problemas 1 32 3 4 5 128. El martes recogió 128 kg. 2 48 : 4 5 12. La doctora atendió a 12 personas mayores. 3 128 : 4 5 32. Cada nieto recibió 32 €.

2

4.100 cm2

7,5 m2

13.800 mm2

9 dm2

7.000 m2

0,8 dam2

P 5 4 3 10 5 40 cm P 5 2 3 (8 1 6) 5 28 cm P 5 6 3 5 5 30 cm

S U GER EN CIAS

10

Área de figuras planas

Tiempo para leer

Tiempo para hablar

Los envases llamados popularmente brik son una tecnología moderna para poder conservar durante más tiempo y distribuir fácilmente distintos productos.

• ¿Qué forma tienen las caras de los envases brik más habituales que se usan para la leche o el zumo?

Se obtienen plegando una figura plana, formada por la superposición de una fina lámina de aluminio, una capa de cartón y varias capas de plástico. Esa figura se pliega más tarde hasta formar el envase y se rellena con el producto elegido. Un envase brik de litro suele tener un área de 660 cm2 y pesa unos 30 gramos. En España se consumen al año cerca de 1.400.000 toneladas de envases domésticos (briks y otros), de los cuales se recicla un 77 %.

Pida a los estudiantes que aporten ejemplos de situaciones reales en las que tengan que calcular áreas. Pregúnteles qué áreas saben calcular ahora y comente que en esta unidad van a aprender a calcular el área de una figura plana cualquiera.

• Si tuvieras las medidas, ¿sabrías calcular el área de cada cara de esos envases?

LibroMedia Las áreas en la India.

• Si el brik tuviera una forma de cubo con caras cuyo lado midiera 8 cm, ¿qué área de cartón se usaría para construirlo? • ¿Cuántos briks usas en tu casa en una semana? ¿Cuántos reciclas? • ¿Cuántos kilos de envases domésticos se consumen al año en España? ¿Cuántos kilos se reciclan?

183 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 23

Tiempo para hablar Las caras de los briks son rectángulos. Sí, calculando el área de cada rectángulo. 6 caras cuadradas F Área 5 A 5 6 3 82 5 384 cm2 R. L.

28/02/2019 14:51:18

1.400.000 t 5 1.400.000.000 Se consumen 1.400.000.000 kg. 77 % de 1.400.000.000 5 1.078.000.000 Se reciclan 1.078.000.000 kg al año.

Base y altura de triángulos y paralelogramos Patricia ha repasado de naranja una base de cada polígono y ha trazado de rojo una altura correspondiente a esa base.

Material de aula Lámina de aula de Geometría y Tratamiento de la información.

C

C

A

B

C

A

B

A

B

El lado AB es una base del triángulo. También lo son los lados BC y AC. El segmento rojo es la altura correspondiente a la base AB. Es un segmento perpendicular a ella o a su prolongación, y uno de sus extremos es el vértice C.

SU GER E N CI A S

Trace en la lámina distintos triángulos y paralelogramos y pida a los estudiantes que salgan y marquen en ellos sus bases y alturas.

D

C

D

C

A

B

A

B

D

A

C

D

B

A

C

B

El lado AB es una base del paralelogramo. También lo son los lados BC, CD y AD. El segmento rojo es una altura correspondiente a la base AB. Es un segmento perpendicular a ella o a su prolongación, y uno de sus extremos es uno de los vértices opuestos C o D.

LibroMedia Base y altura de triángulos.

La base de un triángulo o de un paralelogramo es uno cualquiera de sus lados. La altura de un triángulo o de un paralelogramo es un segmento perpendicular a una base o a su prolongación, trazado desde un vértice opuesto.

LibroMedia Base y altura de paralelogramos.

1

Escribe en tu cuaderno cuántas bases tienen los triángulos y los paralelogramos.

2

Calca cada triángulo y traza, con una escuadra o un cartabón, la altura correspondiente a la base AB. C

C

¿En qué triángulo coincide la altura con uno de sus lados? Clasifícalo según sus ángulos.

C

¿En qué triángulo has prolongado la base para trazar la altura? Clasifícalo según sus ángulos.

LibroMedia Bases de triángulos y paralelogramos

A

A

B A

B

B

¿En qué triángulo has dibujado la altura en su interior? Clasifícalo según sus ángulos.

184 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 24

Soluciones

28/02/2019 14:51:21

En el triángulo amarillo. Es un triángulo rectángulo.

1 Los triángulos tienen 3 bases y los paralelogramos tienen 4.

C

2

A

B

C

A

C

B

A

B

En el triángulo naranja. Es un triángulo obtusángulo. En el triángulo rosa. Es un triángulo acutángulo.

10 3

Calca cada paralelogramo y traza, con una escuadra o un cartabón, la altura correspondiente a la base AB desde el vértice D. D D

C

D

D

C

C

C

S U GER EN CIAS A

A

B

A

B

A

B

Pida a los estudiantes que tracen distintos triángulos y/o paralelogramos que compartan una altura o una base. Es importante que tengan claros estos conceptos ya que los usarán más tarde en las fórmulas de cálculo de áreas.

B

¿En qué paralelogramos coincide la altura con uno de sus lados? ¿En cuál has prolongado la base para trazar la altura? ¿Desde qué otro vértice puedes trazar la altura a la base AB? Trázala. 4

Traza los siguientes triángulos y clasifícalos.

HAZLO ASÍ Para trazar un triángulo ABC cuyos lados miden 6 cm, 5 cm y 4 cm, sigue estos pasos: 1.º Dibuja con la regla un segmento AB de 6 cm. 2.º Abre el compás 5 cm, pincha en el punto A y traza un arco. 3.º Abre el compás 4 cm, pincha en el punto B y traza un arco que corte el anterior en el punto C. 4.º Une los puntos A y B con C para formar los lados del triángulo. Después, colorea el interior. 1.º

2.º

3.º

4.º

C

C

5 cm

6 cm

A

B

6 cm

A

B

A

6 cm

B

A

6 cm

4 cm

B

Un triángulo ABC cuyos lados midan 4 cm, 3 cm y 5 cm. ¿Cuánto miden las tres bases? Traza la altura de la base AB.

AT I V I D A

D

Un triángulo DEF cuyos lados midan 3 cm, 3 cm y 5 cm. ¿Cuánto miden las tres bases? Traza la altura de la base DE.

RE

Dibuja.

C

Haz un dibujo en el que aparezcan distintos triángulos, cuyos lados tengan medidas exactas en centímetros, y varios paralelogramos. Después, traza una altura de cada figura. Traza dos triángulos diferentes que compartan una base y cuyas alturas midan lo mismo.

185 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 25

3

D

D C D

D

C

C

28/02/2019 14:51:24

4

C

R. G. Las tres bases miden 4 cm, 3 cm y 5 cm respectivamente. R. G. Las tres bases miden 3 cm, 3 cm y 5 cm respectivamente.

A

A A B B En el cuadrado y en el rectángulo coinciden. La base se prolonga en los romboides.

B

A

Se puede trazar otra altura correspondiente a la base AB desde el vértice C.

B

CREATIVIDAD R. G.

Área del rectángulo y del cuadrado ¿Cuál es el área de este rectángulo?

SU GER E N CI A S

LibroMedia Área del rectángulo y del cuadrado.

LibroMedia Área de rectángulos y cuadrados.

h 5 2 cm

El largo del rectángulo es su base, b, y el ancho es su altura, h.

Enuncie un valor numérico y pida a los estudiantes que digan distintas figuras cuya área sea ese valor. Anótelas y pregúnteles si todas tendrán el mismo perímetro. Después, calcúlelos y señale que igual área no implica igual perímetro.

Área del rectángulo 5 largo 3 ancho 5 base 3 altura

b 5 4 cm

Área 5 b 3 h 5 4 cm 3 2 cm 5 8 cm2

¿Cuál es el área de este cuadrado? l 5 3 cm

El cuadrado es un tipo especial de rectángulo. Su base y su altura son iguales al lado, l. Área del cuadrado 5 lado 3 lado 5 lado2 Área 5 l 3 l 5 l 2 5 32 cm2 5 9 cm2

l 5 3 cm

El área del rectángulo es el producto de su base por su altura.

Área del rectángulo 5 b 3 h

El área de un cuadrado es su lado elevado al cuadrado.

Área del cuadrado 5 l 2

1

Mide y calcula el área en centímetros cuadrados de cada figura.

2

Haz un croquis y calcula el área en cada caso.

3

Un rectángulo de 30 cm de base y 20 cm de altura.

Una parcela rectangular de 12 m de largo, y de ancho, un tercio del largo.

Un cuadrado de 50 cm de lado.

Un marco de fotos cuadrado de 40 cm de perímetro.

Halla el área de cada cuadrado. Después, contesta. ¿Es el lado del cuadrado mayor el doble del lado del cuadrado menor?

LibroMedia Área del cuadrado.

¿Es el área del cuadrado mayor el doble del área del cuadrado menor? 1 cm

2 cm

186

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 26

3 Rojo F 1 5 1 cm

2

Verde F 22 5 4 cm2

A 5 3 3 4 5 12 cm2

Sí, el lado es el doble.

A 5 2 3 8 5 16 cm2

No, el área no es el doble.

A 5 4 3 4 5 16 cm2 2

28/02/2019 14:51:26

2

A 5 30 3 20 5 600 cm2

A 5 12 3 (12 : 3) 5 48 m2

A 5 502 5 2.500 cm2

A 5 (40 : 4)2 5 100 cm2

10

Área del rombo ¿Cuál es el área de este rombo?

LibroMedia Área del rombo.

Fíjate en que, si trazamos paralelas a cada diagonal del rombo por sus vértices, se forma un rectángulo, cuya base es igual a la diagonal mayor del rombo, D, y cuya altura es igual a la diagonal menor, d. d

d 5 2 cm

h 5 d 5 2 cm

D

D 5 5 cm

S U GER EN CIAS

b 5 D 5 5 cm

Es importante que los estudiantes comprendan la manera de obtener la fórmula para poder deducirla en caso de que se les olvide. Señale que el área del rombo es siempre la mitad del área del rectángulo cuya base y altura coinciden con las diagonales del rombo.

El área del rombo es la mitad del área de ese rectángulo. Área del rombo 5

Área del rectángulo diagonal mayor 3 diagonal menor 5 2 2

Área 5

D3d 5 cm 3 2 cm 5 5 5 cm2 2 2

El área del rombo es el producto de sus diagonales dividido entre 2.

1

Mide y calcula el área.

Área del rombo 5

2

D3d 2

Calcula el área de cada rombo. La diagonal mayor mide 12 cm y la diagonal menor 10 cm. La diagonal menor mide 8 cm y la diagonal mayor 15 cm. La diagonal mayor y la diagonal menor son iguales y las dos miden 30 cm.

O

EN

SAMIENT

La diagonal menor mide 6 cm y la diagonal mayor, el doble que ella.

Piensa y contesta. Después, da valores a las diagonales en centímetros y comprueba tus respuestas. Si multiplicas por 2 la longitud de una diagonal de un rombo, ¿el área del nuevo rombo es el doble que el área del rombo original?

LibroMedia Área del rombo.

P

¿Qué ocurrirá con las áreas si multiplicas por 2 la longitud de las dos diagonales?

187 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 27

Soluciones 1

2

432 5 4 cm2 2 5 3 2,4 A5 5 6 cm2 2 A5

12 3 10 A5 5 60 cm2 2 15 3 8 A5 5 60 cm2 2

28/02/2019 14:51:29

30 3 30 A5 5 450 cm2 2 12 3 6 A5 5 36 cm2 2 PENSAMIENTO Sí, el área del nuevo rombo es el doble. El área del nuevo rombo será el cuádruple que la original.

Área del romboide ¿Cuál es el área de este romboide? SU GER E N CI A S

Fíjate en que un romboide se puede transformar en un rectángulo. Basta con cortar por la altura h y trasladar el triángulo obtenido al otro lado.

El trabajo de troceado y composición de figuras que se utiliza para deducir el área del romboide es un comienzo de las descomposiciones usadas después para hallar el área de una figura cualquiera. Puede pedirles que lo hagan recortando la figura en una hoja de papel y viendo cómo las áreas coinciden. Señale que el área de cualquier romboide es la misma que la de un rectángulo de su misma base y altura.

h 5 2 cm

h 5 2 cm

h

b 5 3 cm

b 5 3 cm

El rectángulo obtenido tiene la misma base, b, y altura, h, que el romboide. Área del romboide 5 Área del rectángulo 5 base 3 altura Área 5 b 3 h 5 3 cm 3 2 cm 5 6 cm2

El área del romboide es el producto de su base por su altura.

Área del romboide 5 b 3 h

1

Mide y calcula el área de cada romboide en centímetros cuadrados. Traza su altura cuando sea necesario.

2

Calcula el área de cada romboide. Después, contesta.

LibroMedia Área del romboide.

A. Su base mide 8 cm y su altura 6 cm.

C. Su base mide 10 cm y su altura 4,8 cm.

B. Su altura mide 4 cm y su base 9 cm.

D. Su altura mide 12,4 cm y su base 5 cm.

¿Qué romboides de los anteriores tienen la misma área? Dos romboides con distintas bases y alturas, ¿pueden tener la misma área?

LibroMedia Área del romboide. Piensa.

3

Piensa y contesta. Después, calcula y comprueba. Martín tiene una parcela con forma de romboide cuya base mide 100 m y cuya altura es 60 m. También tiene un prado romboidal de base 100 m y con el doble de altura que la parcela. El área del prado, ¿es el doble del área de la parcela?

188 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 28

Soluciones 1

28/02/2019 14:51:31

Los romboides A y C tienen la misma área. Dos romboides con distintas bases y alturas sí pueden tener la misma área.

A 5 2 3 3 5 6 cm2 A 5 4 3 1,5 5 6 cm2

3 El área del prado es el doble que el área de la parcela.

2

A 5 3 3 2 5 6 cm

AParcela 5 b 3 h

A 5 2 3 2,5 5 5 cm2 2

2 A. 8 3 6 5 48 cm

B. 9 3 4 5 36 cm2

APrado 5 2 3 b 3 h C. 10 3 4,8 5 48 cm

2

D. 5 3 12,4 5 62 cm2

AParcela 5 100 3 60 5 6.000 m2 APrado 5 100 3 120 5 12.000 m2

10

Área del triángulo ¿Cuál es el área de este triángulo?

LibroMedia Área de un triángulo.

Fíjate en que si trazamos paralelas a dos lados del triángulo se forma un romboide con la misma base, b, y altura, h, que el triángulo de partida.

h 5 2 cm

h 5 2 cm

b 5 4 cm

b 5 4 cm

S U GER EN CIAS

El área del triángulo es la mitad del área de ese romboide. Área del triángulo 5

Puede realizar otra deducción del área del triángulo a partir del área de un rectángulo con igual base y altura que él.

Área del romboide base 3 altura 5 2 2

Área 5

b3h 4 cm 3 2 cm 5 5 4 cm2 2 2

El área del triángulo es el producto de su base por su altura dividido entre 2.

Área del triángulo 5

1

Mide y calcula el área de cada triángulo en cm2. Traza su altura cuando sea necesario.

2

Calcula el área en cada caso.

b3h 2

Un triángulo cuya base mide 15 cm y cuya altura mide 10 cm. Un triángulo cuya base mide 4 cm y cuya altura mide 12 cm más que la base.

LibroMedia Área del triángulo.

Una pieza de madera triangular cuya base mide 30 cm y cuya altura mide 15 cm.

O

P

¿Tienen los dos triángulos la misma área? ¿Por qué?

2 cm

¿Tienen los dos triángulos la misma base? ¿E igual altura?

2 cm

Observa y contesta.

EN

SAMIENT

Una parcela triangular cuya base mide 150 m y cuya altura mide 70 m.

189 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 29

28/02/2019 14:51:35

Soluciones

4 3 1,5 5 3 cm2 2 232 A5 5 2 cm2 2

1

A5

2

A5

15 3 10 5 75 cm2 2 4 3 16 A5 5 32 cm2 2

PENSAMIENTO 233 5 3 cm2 2 4 3 2,5 A5 5 5 cm2 2 A5

30 3 15 5 225 cm2 2 150 3 70 A5 5 5.250 m2 2 A5

Los dos triángulos tienen las mismas base y altura. Tienen igual área por tener iguales la base y la altura.

Área de polígonos regulares

Un polígono regular tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Al unir su centro con sus vértices, se puede descomponer en triángulos iguales. ap

La base de cada triángulo es un lado del polígono y la altura es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio del lado. Ese segmento se llama apotema, ap.

1,4 cm

¿Cuál es el área de este polígono regular?

LibroMedia Área de polígonos regulares.

b 5 2 cm

El área del polígono es la suma de las áreas de los triángulos. Fíjate en que, si colocamos los triángulos en fila, su área total es la mitad del área de un romboide cuya base es el perímetro del polígono, P, y cuya altura es la apotema, ap.

SU GER E N CI A S

El trabajo manipulativo recortando los triángulos que forman el polígono y formando más tarde el romboide puede ayudar a la interiorización de la fórmula. Señale que en algunos polígonos la apotema es menor que el lado pero que en otros es mayor.

ap 5 1,4 cm 2 cm

2 cm

2 cm

Área del polígono regular 5

2 cm

P 3 ap 10 cm 3 1,4 cm 5 5 7 cm2 2 2

Calcula el área de cada polígono regular, sabiendo que el área de cada triángulo marcado es 20 m2.

LibroMedia Área de un polígono regular I.

2

P 3 ap 2

Halla el área de cada polígono.

17,3 cm

1

Área del polígono regular 5

6,9 cm

Área 5

Área del romboide perímetro 3 apotema 5 2 2

El área de un polígono regular es el producto de su perímetro por su apotema dividido entre 2.

LibroMedia Área de polígonos regulares II.

2 cm

perímetro (P)

10 cm

20 cm

Un octógono regular cuyo lado mide 18 cm y cuya apotema mide 21,7 cm. Un decágono regular cuyo perímetro mide 150 cm y cuya apotema mide 23,1 cm.

190

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 30

28/02/2019 14:51:39

2

Cuadrado F A 5 4 3 20 5 80 m

2

Hexágono F A 5 6 3 20 5 120 m2 Octógono F A 5 8 3 20 5 160 m2

10 3 5 3 6,9 Pentágono F A 5 5 172,5 cm2 2 6 3 20 3 17,3 Hexágono F A 5 5 1.038 cm2 2 18 3 8 3 21,7 Octógono F A 5 5 1.562,4 cm2 2 150 3 23,1 Decágono F A 5 5 1.732,5 cm2 2

10

Área del círculo Fíjate en el dibujo.

LibroMedia Radio y área del círculo.

El círculo es similar a un polígono regular con muchísimos lados. Su perímetro sería la longitud de la circunferencia y su apotema, el radio.

¿Cuál es el área de este círculo? Área de un polígono regular 5 1 cm

perímetro 3 apotema 2

S U GER EN CIAS Área del círculo 5

23p3r3r longitud de la circunferencia 3 radio 5 p 3 r2 5 2 2

Área 5 p 3 r 2 5 3,14 3 12 cm2 5 3,14 cm2

El área del círculo es el producto del número p por su radio al cuadrado.

1

2

Calcula el área y contesta.

Calcula el área.

3

De un círculo de 5 cm de radio.

cm 12

De un círculo de 4 m de diámetro.

cm

De un cristal circular de 30 cm de radio.

¿Cuál es el radio del círculo mayor? ¿Es el doble que el radio del menor? El área del círculo mayor, ¿es el doble que el área del menor?

De una pizza de 14 cm de radio. De una plaza de 200 m de diámetro. De un cráter circular de 300 m de diámetro.

O

EN

SAMIENT

Usa 3,14 como valor de p.

Área del círculo 5 p 3 r 2

Deje claro el proceso de obtención de la fórmula del área a partir de la de un polígono regular. Indique que el número pi tiene infinitas cifras decimales pero que, para los cálculos normales, se toma como valor 3,14.

Piensa y contesta. Después, calcula algunos ejemplos. ¿Cómo puedes calcular el área de un semicírculo? ¿Por qué crees que no se estudia ninguna fórmula para calcularla?

5

cm

2 cm

P

¿Y el área de un cuarto de círculo?

LibroMedia Área del círculo.

2 cm

191 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 31

Soluciones

A 5 p 3 302 5 2.826 cm2 A 5 p 3 142 5 615,44 cm2

1 Rojo F A 5 p 3 32 5 28,26 cm2

Verde F A 5 p 3 6 5 113,04 cm 2

2

12 : 2 5 6 cm es el radio del círculo mayor. Es el doble que el radio del círculo menor. El área del círculo mayor no es el doble. 2

A 5 p 3 52 5 78,5 cm2 A 5 p 3 22 5 12,56 m2

28/02/2019 14:51:41

A 5 p 3 1002 5 31.400 m2 A 5 p 3 1502 5 70.650 m2 PENSAMIENTO Es el área del círculo completo dividido entre 2. R. L. Es el área del círculo completo dividido entre 4. (p 3 2,52) : 2 5 9,8125 cm2

(p 3 22) : 4 5 3,14 cm2

Área de figuras planas ¿Cuál es el área de la figura verde?

LibroMedia Área de figuras planas.

Para hallar el área, dividimos la figura en otras figuras conocidas cuya área seamos capaces de calcular. En este caso podemos dividir la figura verde en un semicírculo, un rectángulo y un triángulo.

100 m

100 m

Material de aula Lámina de aula de Geometría y Tratamiento de la información.

50 m

50 m

100 m

180 m

80 m 180 m

El área total de la figura es la suma de las áreas de las tres figuras en las que la hemos descompuesto: El semicírculo es la mitad de un círculo de 100 m de diámetro. El rectángulo tiene 50 m de altura y 100 m de base. El triángulo tiene 80 m de base (180 m 2 100 m) y 50 m de altura.

SU GER E N CI A S

Área del semicírculo 5

Trace en la lámina distintas figuras planas y pida a los estudiantes que las descompongan en figuras cuya área sepan calcular. Indique que el área de la figura no depende de la descomposición realizada.

Área del círculo p 3 r2 3,14 3 502 m2 5 5 5 3.925 m2 2 2 2

Área del rectángulo 5 b 3 h 5 100 m 3 50 m 5 5.000 m2 Área del triángulo 5

80 m 3 50 m b3h 5 2.000 m2 5 2 2

Área de la figura verde 5 3.925 m2 1 5.000 m2 1 2.000 m2 5 10.925 m2

Para calcular el área de una figura plana, hay que descomponerla primero en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular y sumar después las áreas de esas figuras.

1

Completa en tu cuaderno y calcula el área de la zona roja. El área de la zona roja es el área del … menos el área del …

10 m 10 m

12

El radio del círculo mide … m. Área del círculo 5 … m

El lado del cuadrado mide … m. Área del cuadrado 5 … Área de la zona roja 5 … 2 … 5 …

192

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 32

El área de la zona roja es el área del círculo menos el área del cuadrado. El radio del círculo mide 12 m. Área del círculo 5 p 3 122 5 452,16 m2 El lado del cuadrado mide 10 m. Área del cuadrado: 100 m2. Área de la zona roja 5 452,16 2 100 5 352,16 m2

28/02/2019 14:51:44

38 3 20 5 380 m2 2 Verde F A 5 38 3 20 2 2 p 3 102 20 3 23 Morada F A 5 1 5 387 m2 2 2 3 Rosa F A 5 p 3 22 2 2 3 1,5 5 9,56 cm2

Roja F A 5 2 3 4 1 p 3 12 5 11,14 cm2 Marrón F A 5

334 1 42 2 p 3 22 5 9,44 cm2 2

10 2

20 m

20 m

Calcula el área de cada figura.

LibroMedia Área de figuras planas II.

23 m

38 m 3

Mide y calcula el área de cada pieza de metal.

S U GER EN CIAS

O

Dibuja y contesta.

EN

SAMIENT

En el caso de las figuras con «huecos» indique que hay que restar el área de ese «hueco» a la figura completa. Pídales que reflexionen antes de ponerse a calcular si la descomposición que han hecho es la mejor o más sencilla.

Cada cuadrito de la cuadrícula mide 1 cm de lado. ¿Qué ocupa más, el pino o el fondo cuadriculado blanco?

P

193 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 33

1,5 3 4 Amarilla F A 5 2 3 1 3 3 4 5 18 cm2 2 p 3 12 Azul F A 5 1 42 1 22 5 21,57 cm2 2 433 Morada F A 5 1 4 3 2 5 14 cm2 2

28/02/2019 14:51:48

PENSAMIENTO 331 632 1 1 3 3 4,5 1 2 5 23 cuadritos 2 2 Cuadrícula F 7 3 8 5 56 cuadritos Pino F

Fondo blanco F 56 2 23 5 33 cuadritos Ocupa más el fondo blanco.

COMPRUEBO MI PROGRESO 1

LibroMedia Compruebo mi progreso.

2

Haz una ficha en la que aparezca un dibujo de cada tipo de figura plana y la fórmula para hallar su área.

4

Haz un croquis y halla el área de cada figura. Un romboide cuya base mide 15 cm y cuya altura es 30 cm. Un triángulo cuya base mide 12 cm y cuya altura es 8 cm.

Calcula el área de cada figura.

13 m

20 m

Un hexágono regular cuyo perímetro mide 60 cm y cuya apotema mide 8,7 cm.

8m

Un círculo de 40 cm de diámetro. Un cuadrado cuyo perímetro mide 36 cm.

14 m

Un rectángulo cuyo perímetro mide 20 cm y el lado mayor mide 6 cm. 5

24 cm

9 cm

8m

6 cm

26,5 m

Pida a los estudiantes que, en parejas, preparen figuras sencillas y las unan formando una figura compuesta. Después, la colocarán sobre una hoja de papel y trazarán su contorno. Reúna las hojas y repártalas. Cada pareja deberá calcular el área de la figura que ha recibido. Resuelva algunas en común, comprobando si la descomposición realizada se corresponde con la composición que había hecho la pareja inicial.

Calcula el área de cada jardín. Fíjate bien en qué figuras planas lo componen.

5,5 m

16 cm

SU GER E N CI A S

20 cm 12 m 3

Halla el área de cada figura midiendo las longitudes que sean necesarias.

12 m

20 m

8m

138 m 69 m

56 m

16 m

80 m

194

Soluciones

ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 34

3

1 R. L. 2

28/02/2019 14:51:51

A 5 260 m2

A 5 56 m2

A 5 384 cm2

A 5 110 m2

A 5 90 cm2

A 5 113,04 cm2

A 5 6,25 cm

2

A 5 4,5 cm

2

A 5 5 cm2

A 5 2,5 cm2

A 5 5,85 cm2

A 5 3,14 cm2

A 5 2,5 cm2

4 R. G.

Romboide F 450 cm2

Círculo F 1.256 cm2

Triángulo F 48 cm2

Cuadrado F 81 cm2

Hexágono F 261 cm2

Rectángulo F 24 cm2

10 Problemas 6

7

Traza las líneas oportunas, mide y halla el área de cada azulejo.

Resuelve. ¿Qué área de césped hay alrededor de la piscina? 5m 5m

S U GER EN CIAS

Pida a los estudiantes que traigan datos sobre monumentos, edificios, sus casas… y que propongan y resuelvan problemas que impliquen el cálculo de áreas. Comente algunos de ellos con toda la clase.

15 m 25 m

¿Cuántos árboles se pueden plantar en una parcela romboidal de 100 m de largo y 40 m de altura si cada árbol necesita un área de 8 m2 para poder crecer?

8

Observa las medidas y resuelve. Milagros quiere pintar ella misma el salón de su casa. Ha estado investigando y sabe que con 1 kilo de la pintura que más le gusta puede pintar un área de 8 m2. Calcula cuántos metros cuadrados tiene que pintar Milagros y cuántos botes de pintura debe comprar si en cada bote hay 5 kilos.

PAREDES 2 paredes, de 6 m de largo y 3 m de alto. 2 paredes, de 4 m de largo y 3 m de alto. TECHO 6 m de largo y 4 m de ancho. PUERTA 1 puerta, de 2 m de alto y 1,5 m de ancho. VENTANAS 2 ventanas, de 1,5 m de alto y 1 m de ancho.

¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno. ¿Sé reconocer bases y alturas? ¿Calculo áreas de polígonos y círculos? ¿Sé hallar el área de figuras planas? Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.

195 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 35

28/02/2019 14:51:54

5 Verde F A 5 865 m

2

7

Amarillo F A 5 24.288 m2 Naranja F A 5 50,24 m2

(100 3 40) : 8 5 500. Se pueden plantar 500 árboles. 8 2 3 6 3 3 1 2 3 4 3 3 1 6 3 4 2 3 2 3 5 78

6 Rosa F A 5 8 cm2

Amarillo F A 5 12,86 cm

2

Marrón F A 5 8,5 cm2

(25 1 10) 3 (15 1 10) 2 25 3 15 5 500 Hay 500 m2 de césped alrededor de la piscina.

Tiene que pintar 78 m2 en total. 78 : 8 5 9,75. Necesita 9,75 kg de pintura. Debe comprar 2 botes de pintura.

SABER HACER Diseñar envases LibroMedia Diseñar envases.

La empresa de Laura trabaja en el diseño de nuevos envases. Sus clientes les dan las dimensiones de los objetos que quieren envasar, o bien las condiciones que deben cumplir los envases, y su empresa les presenta distintas opciones para que elijan la que prefieran. Laura está ahora resolviendo varios encargos. Ayúdala con lo que has aprendido en la unidad.

SU GER E N CI A S

1

Piensa y resuelve. Laura debe presentar a Lácteos Martínez, una empresa que vende leche, distintos modelos de envases con la misma capacidad. Ha preparado estos: Envase modelo A

Envase modelo B

Envase modelo C

25 cm

20 cm

10 cm

10 cm

8 cm

Muestre la importancia del cálculo de áreas en procesos industriales como el presentado. Pídales que vuelvan a resolver la actividad 2 suponiendo que se quieren guardar 4 pelotas de petanca en lugar de 3 y que comparen los resultados con los obtenidos.

10 cm

5 cm

5 cm

Halla la cantidad de cartón que necesita cada envase. ¿Cuál es mejor para la empresa? 2

Calcula el área de cartón empleada en cada diseño y razona cuál es mejor. Una empresa de productos deportivos quiere diseños de envases para pelotas de petanca. El diámetro de cada una es 8 cm y cada envase contendrá tres pelotas.

196

Soluciones

ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 36

1 A F 2 3 8 3 5 1 2 3 5 3 25 1 2 3 8 3 25 5 730 cm2

B F 2 3 5 3 10 1 2 3 5 3 20 1 2 3 10 3 20 5 700 cm2 C F 6 3 102 5 600 cm2 Como los volúmenes de los envases son iguales, es mejor el envase que se construya con la menor cantidad de cartón, es decir, el envase C.

28/02/2019 14:51:58

2

2

A 5 2 3 p 3 4 1 24 3 2 3 p 3 4 5 703,36 cm

2

A 5 2 3 82 1 4 3 8 3 24 5 896 cm2 Es mejor el envase que se construya con la menor cantidad de material, es decir, el envase cilíndrico.

10

MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS

Juega con las áreas Material: Tangram, baraja de tarjetas numéricas, lápiz y papel.

Material de aula Tangram, baraja de tarjetas numéricas.

3

Número de jugadores: 5 Reglas del juego: En la baraja de tarjetas numéricas, se dejan solo las cartas correspondientes a los números comprendidos entre el 2 y el 9. Se da un tiempo razonable para que todos los participantes del juego puedan medir con una regla las dimensiones de las piezas del tangram y tomar notas en su papel. Por turnos, alguien toma el papel de controlador. Esta persona se encargará de extraer una carta de las tarjetas numéricas, elegir el número de piezas del tangram que le indique la tarjeta y componer una figura con ellas. Los otros cuatro jugadores o jugadoras tendrán un minuto para hacer una estimación del área de la figura compuesta. Las personas que hayan acertado, o quien más se aproxime, obtienen 1 punto. Ganador: Gana el jugador o la jugadora que primero consiga 5 puntos. 1

¿Cuál es el área de esta figura compuesta por piezas del tangram?

Retos matemáticos Para el jardinero

¿Cuál es el área de la zona de color morado de esta figura?

¿Cómo se pueden plantar 10 árboles en 5 filas de 4 árboles cada una?

Puede variar el juego pidiendo a un estudiante que forme una figura con el número de piezas que marque la carta sin que los demás vean cuántas son. Deberá marcar su contorno en una hoja y los demás tendrán que determinar las figuras que la componían y el área total de la figura formada.

4 cm

La zona sombreada

S U GER EN CIAS

4 cm

197 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 37

Juega con las áreas 1 Área 5 2,52 1

p 3 2,52 5 11,15625 cm2 4

Retos matemáticos La zona sombreada Área morada 5 42 2 3 3

432 5 4 cm2 2

Para el jardinero

28/02/2019 14:52:00

Solución de problemas Anticipar una solución aproximada Material de aula Tangram, baraja de tarjetas numéricas.

Ana y Marcos han ido a la papelería a comprar material escolar. Han comprado 3 cuadernos a 1,80 € cada uno, 4 bolígrafos a 1,25 € cada uno y 2 carpetas a 3,90 € cada una. ¿Cuánto han pagado en total? En situaciones de compra es muy útil hallar primero una solución aproximada del total que debemos pagar. Eso nos dará una idea bastante fiable del total exacto. Solución aproximada

SU GER E N CI A S

1.º Aproxima cada precio a las unidades.

Muestre la utilidad de las estimaciones para hacernos una idea del valor exacto que debemos obtener al resolver el problema. Indique que la diferencia entre el valor aproximado y el exacto dependerá del orden al que aproximemos.

Cuaderno: 1,80

2

Bolígrafo: 1,25

1

Carpeta: 3,90

4

2.º Calcula el precio aproximado. 3 3 2 1 4 3 1 1 2 3 4 5 6 1 4 1 8 5 18

Han pagado 18 € aproximadamente. Solución exacta 3 3 1,80 1 4 3 1,25 1 2 3 3,90 5 5,40 1 5 1 7,80 5 18,20

Han pagado 18,20 €. Las dos soluciones, la exacta y la aproximada, tienen valores muy cercanos.

Calcula una solución aproximada para cada problema. Después, halla la solución exacta y comprueba que obtienes valores cercanos. 1

Paqui compra una chaqueta por 12,90 €, unos pantalones por 29,80 € y unas deportivas por 19,60 €. ¿Cuánto paga Paqui?

2

Ramiro tenía en el monedero 29,65 €. Compró un libro por 12,85 € y una mochila por 14,25 €. ¿Cuánto dinero le sobró?

3

Juan compró una cámara de fotos a plazos. Primero pagó 180,90 € y después 3 plazos iguales de 44,90 € cada uno. ¿Cuánto pagó por la cámara de fotos?

4

Para preparar su fiesta de cumpleaños, Lorena compró 4 paquetes de servilletas a 0,95 € cada uno, 5 paquetes de vasos a 2,75 € cada uno y 3 paquetes de platos a 2,85 € cada uno. ¿Cuánto pagó Lorena en total?

5

Escribe un problema similar a los de esta página y pídele a tu compañero o compañera que lo resuelva hallando primero una solución aproximada.

198

Soluciones

ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 38

1 Aproximada F 13 1 30 1 20 5 63 €

Exacta F 12,90 1 29,80 1 19,60 5 62,30 € 2 Aproximada F 30 2 13 2 14 5 3 €

Exacta F 29,65 2 12,85 2 14,25 5 2,55 €

28/02/2019 14:52:01

3 Aproximada F 181 1 3 3 45 5 316 €

Exacta F 180,90 1 3 3 44,90 5 315,60 € 4 Aproximada F 4 3 1 1 5 3 3 1 3 3 3 5 28 €

Exacta F 4 3 0,95 1 5 3 2,75 1 3 3 2,85 5 26,10 € 5 R. L.

10

REPASO ACUMULATIVO 1

2

9.540.602

1.840,5

23.081.003

35,74

750.300.090

429,106

4

1.000

1.000.000

Calcula. 25

34

43

52

√ 16

√ 49

√ 81

√ 100

7

En m

0,3 km

7 dam y 96 mm

En ℓ

5.873 cl

0,86 kl y 2 dal

En kg

750 g

9ty4q

En m2

0,6 hm2

538 dm2

En m3

9,1 dam3

7.200 cm3

S U GER EN CIAS

Anime a los estudiantes a mantener vivos los aprendizajes que han hecho a lo largo del curso. Resuelva las posibles dudas que puedan surgir y pregúnteles cuáles les han parecido más útiles o interesantes.

Suma y resta cada pareja. 5 h 54 min 37 s

Calcula. 3 4 1 5 9

5 1 2 8 6

2 4 3 7 5

)

(

3 2 1 2 1 4 9 3 5

Expresa en la unidad indicada.

Expresa usando una potencia de 10. 100

3

6

Descompón cada número.

3 h 12 min 49 s

6 3 : 8 9

64º 40’ 40’’

5 1 2 1 3 6 4 3

45º 50’’ 8

Calcula. 2,74 1 85,3 1 0,9

63,2 2 8,195

3,6 3 9

8,5 3 4,2

7,4 3 5,08

47,2 : 8

381 : 5,6

29,35 : 3,7

Piensa y contesta. Si representas un parque de 500 m de largo por 200 m de ancho en un plano a escala 1 : 10.000, ¿qué dimensiones tendrá?

Problemas 9

12 En una fábrica hay 24.000 botellas de 200 cm3

En un museo hay expuestas 240 obras. Dos tercios son pinturas, un quinto son esculturas y el resto son maquetas. ¿Cuántas maquetas hay en el museo? ¿Qué fracción de las obras del museo no son maquetas?

cada una. Quieren llenarlas con el aceite de un depósito de 5 kl que está lleno. ¿Les sobrará o les faltará aceite? ¿Cuánto? 13 Mónica ha recorrido en bicicleta 39 km

en 3 horas. Si fuera siempre al mismo ritmo, ¿cuántos kilómetros recorrería en 5 horas? ¿Cuánto tardaría en recorrer 104 km?

10 Una bicicleta costaba 232 €. El mes pasado

la rebajaron 15 € y este mes la han rebajado un 20 % de su precio. ¿Cuánto cuesta ahora la bicicleta? 11 Alberto tenía 26,84 €. Esta mañana su abuelo

le ha dado 20 €. Ha dejado 13 € en su hucha y el resto del dinero lo ha repartido en partes iguales entre sus 3 hermanos. ¿Cuánto dinero ha dado Alberto a cada hermano?

199 ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 39

28/02/2019 14:52:04

Soluciones 1 R. M.

7

o

109 41’ 30”

9.000.000 1 500.000 1 40.000 1 600 1 2

2 h 41 min 48 s 19o 39’ 50”

8 Tendrá unas dimensiones de 5 cm 3 2 cm.

2

102

3

32

4

47/45

11/24

5

88,94

55,005

32,4

35,7

11 (26,84 1 20 2 13) : 3 5 11,28 € da a cada hermano.

37,592

c 5 5,9

c 5 68, r 5 0,2

c 5 7,9, r 5 0,12

12 5.000 2 4.800 5 200 litros de aceite les sobrarán.

6 R. M.:

103

9 h 7 min 26 s

81

106 64

300 m

25 8/35

70,096 m

4 9/4

7

9 7/36

10 1

9 Hay 32 maquetas y 13/15 no son maquetas. 10 (232 2 15) 3 80 : 100 5 173,60 € cuesta la bici.

13 (39 : 3) 3 5 5 65 km

104 : (39 : 3) 5 8 h

Antes de empezar

Material de aula Lámina de aula de Geometría y Tratamiento de la información.

Cálculo mental

Pequeños problemas

Calcula el 10 % de un número o multiplica por 0,1

Calcula mentalmente

10 % de 40 0,1 3 40

40 : 10 5 4

10 % de 6

10 % de 30

10 % de 9

0,1 3 67

0,1 3 5

10 % de 420

0,1 3 7

0,1 3 3.000

Calcula el 50 % de un número o multiplica por 0,5 50 % de 80 0,5 3 80

SU GER E N CI A S

Dibuje en la lámina de aula distintos cuerpos geométricos para que los estudiantes los clasifiquen. Pídales que cuenten sus elementos y que caractericen cada tipo de cuerpo mostrando sus diferencias con los demás.

80 : 2 5 40

50 % de 6

50 % de 60

50 % de 8

0,5 3 46

0,5 3 4

50 % de 6.000

0,5 3 12

0,5 3 2.600

Un porcentaje, varios números Escribe un número: Cuyo 10 % sea 35.

Cuyo 50 % sea 20.

Cuyo 10 % sea 126.

Cuyo 50 % sea 230.

Cuyo 10 % sea 5,6.

Cuyo 50 % sea 6,4.

1. El precio de un billete de autobús sin IVA es de 4,50 €. ¿Cuánto cuesta en total el billete si hay que añadirle un 10 % de IVA? 2. Míriam va a comprar un teléfono móvil que cuesta 280 €. Por estar de rebajas, le descuentan un 10 %. ¿Cuánto pagará? 3. De los 180 socios de un gimnasio, el 50 % hace dos actividades. ¿Cuántos socios hacen dos actividades?

¿Qué sabes ya? Prismas

Pirámides

Cuerpos redondos Cilindro

Cono

Esfera

Este prisma se llama cubo. 1

Clasifica cada cuerpo geométrico.

LibroMedia Cuerpos geométricos.

200 ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 40

Soluciones

28/02/2019 14:49:19

3 50 % de 180 5 90. Hacen dos actividades 90 socios.

¿Qué sabes ya?

Un porcentaje, varios números 350

56

460

1.260

40

12,8

Pequeños problemas 1 4,50 1 0,45 5 4,95. Cuesta 4,95 €. 2 280 2 28 5 252. Pagará 252 €.

1 Prisma

Cuerpo redondo (cilindro) Pirámide Cuerpo redondo (cono) Cuerpo redondo (esfera) Pirámide

S U GER EN CIAS

11

Cuerpos geométricos. Volumen

Tiempo para leer

Tiempo para hablar

Al sur de China, en la población de Tian-Xing, se encuentra la cueva de Miao-Keng. Es una cueva tan gigantesca que el volumen del hueco tallado en la roca por las aguas no había podido ser medido de forma precisa hasta hace muy poco tiempo.

• ¿Por qué crees que era difícil medir el volumen de la cueva? ¿Cómo hallarías tú el volumen de una caja de zapatos?

Una expedición organizada por la National Geographic Society, utilizando una tecnología muy moderna a base de láseres, ha determinado que su volumen es de aproximadamente 11 millones de metros cúbicos.

• En una piscina olímpica caben 2.500 metros cúbicos de agua. ¿Cuántas piscinas olímpicas serían necesarias para llenar la cueva del texto?

Para que te hagas una idea, ese volumen es equivalente a cuatro veces el volumen que tiene la mayor de las pirámides de Egipto, una de las construcciones más grandes del mundo, o a unas 100.000 veces el volumen de tu aula.

Señale que en esta unidad van a trabajar los cuerpos geométricos y el cálculo de la magnitud relacionada con ellos: el volumen. Para afianzar la visión espacial puede ser interesante la construcción de distintos cuerpos geométricos a partir de los desarrollos planos por parte de los estudiantes.

• ¿Qué es un cubo? Descríbelo. ¿Qué volumen tiene un cubo cuya arista mide 1 metro? Explica tu respuesta.

• Imagina dos cubos de 1 metro de arista, uno de madera y otro de piedra. ¿Tienen el mismo volumen? ¿Y peso? ¿Por qué?

LibroMedia Poliedros en el fútbol.

201 ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 41

Tiempo para hablar Por ser demasiado grande y no ser un espacio regular. Para medir el volumen de una caja de zapatos se toman medidas de su alto, ancho y largo, y se multiplican. Un cubo es un prisma cuadrangular y sus 6 caras son cuadrados iguales. Su volumen es de 1 m3.

28/02/2019 14:49:20

11.000.000 : 2.500 5 4.400 Serían necesarias 4.400 piscinas olímpicas. Tienen el mismo volumen pero no el mismo peso ya que son sustancias diferentes.

Poliedros. Poliedros regulares Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos.

LibroMedia Poliedros. Poliedros regulares.

Los prismas y las pirámides son poliedros. Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases, y el resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base, y el resto de caras son triángulos. Se nombran según el polígono que forma sus bases. Sus elementos son: Prisma hexagonal

Pirámide hexagonal vértice o cúspide

base altura arista lateral

SU GER E N CI A S

cara lateral

altura

vértice

arista lateral

cara lateral vértice base arista básica

arista básica

Indique que solo existen cinco poliedros regulares. En cada vértice los ángulos de las caras coincidentes deben ser todos iguales y sumar menos de 360º, además las caras deben ser polígonos regulares.

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares iguales y coincide el mismo número de ellas en cada vértice. Existen solo cinco poliedros regulares.

1

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

4 caras que son triángulos regulares.

8 caras que son triángulos regulares.

20 caras que son triángulos regulares.

Cubo

Dodecaedro

6 caras que son cuadrados.

12 caras que son pentágonos regulares.

Escribe cuáles de estos cuerpos son poliedros. A

B

F

C

D

G

E

H I

2

LibroMedia Poliedros.

Cuenta las caras, vértices y aristas de cada poliedro.

¿Qué poliedros de los anteriores son prismas? ¿Cuál es una pirámide?

202

Soluciones 1 Poliedros: A, C, D, I.

ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 42

28/02/2019 14:49:23

2

Verde

Azul

Marrón Amarillo Morado

Caras

5

7

6

8

11

Vértices

6

7

8

12

13

Aristas

9

12

12

18

22

Es un prisma el marrón y una pirámide el azul.

11 3

Escribe el nombre del prisma o pirámide que se puede construir. ¿Qué dos desarrollos pertenecen a poliedros regulares?

S U GER EN CIAS

RETO

La altura de un prisma, ¿con qué otro elemento coincide en longitud?

4

En caso de dificultades a la hora de contar los elementos de los poliedros regulares puede pedir a los estudiantes que los construyan a partir de sus desarrollos. Para identificar a qué poliedro da lugar un desarrollo muestre la importancia de identificar las bases y las caras laterales.

Calcula el número de aristas y vértices y completa.

HAZLO ASÍ Tetraedro

Tiene 4 caras, con 3 lados cada una. Cada arista pertenece a 2 caras.

▶

En total hay

433 5 6 aristas. 2

Tiene 4 caras, con 3 vértices cada una. Cada vértice pertenece a 3 caras.

▶

En total hay

433 5 4 vértices. 3

Poliedro regular

Número de caras

Número de aristas

Número de vértices

Tetraedro Octaedro Icosaedro Cubo

Modela y explica.

C

RE

AT I V I D A

D

Dodecaedro

LibroMedia Poliedros regulares. Clasificación.

Utilizando plastilina, crea distintos poliedros y forma con ellos una figura, una ciudad o cualquier cosa que te sugieran. Después, escribe en tu cuaderno qué poliedros has usado.

203 ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 43

3 Verde: Tetraedro

28/02/2019 14:49:25

4

Poliedro

N.º aristas

N.º vértices

4

6

4

8

12

6

Icosaedro

20

30

12

Cubo

6

12

8

Dodecaedro

12

30

20

Morado: Pirámide pentagonal

Tetraedro

Naranja: Prisma hexagonal

Octaedro

Azul: Prisma triangular Amarillo: Cubo Son poliedros regulares el tetraedro y el cubo.

N.º caras

RETO. Con la arista lateral. CREATIVIDAD. R. L.

Cuerpos redondos Hay cuerpos geométricos que no son poliedros. Los cuerpos redondos son cuerpos con superficies curvas.

LibroMedia Cuerpos redondos.

Sus elementos son: Cono

Cilindro base altura superficie lateral curva radio

SU GER E N CI A S

Pregunte las semejanzas y diferencias entre los poliedros y los cuerpos redondos. Pida a algunos estudiantes que dibujen en la pizarra cuerpos redondos a partir de una descripción dada por usted.

Esfera vértice

superficie curva

superficie lateral curva altura

base

radio

radio

El cilindro tiene dos bases iguales y circulares y una superficie curva. El cono tiene una base circular, un vértice y una superficie curva. La esfera tiene una superficie curva.

1

Clasifica cada cuerpo redondo y mide su radio.

2

Clasifica cada cuerpo y explica las semejanzas y diferencias en cada pareja.

3

Descompón cada figura en cuerpos redondos e indica cuáles son.

LibroMedia Clasificación de cuerpos redondos.

204

Soluciones

ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 44

28/02/2019 14:49:25

2

1 Rosa 1: Cilindro de radio 1,5 cm.

Cono: una base circular y una superficie curva. Pirámide: base triangular y 3 caras laterales. Los dos tienen vértice.

Azul: Cono de radio 0,5 cm. Verde: Esfera de radio 2 cm. Amarillo: Cilindro de radio 1 cm.

Prisma: 2 bases cuadrangulares y 4 caras laterales. Cilindro: 2 bases circulares y una superficie curva.

Rosa 2: Esfera de radio 0,5 cm. Marrón: Cono de radio 1,5 cm.

Cilindro: dos bases. Cono: una base. Los dos tienen una superficie curva.

3

Dos conos.

Una esfera, un cilindro y un cono.

11 4

Razona cuáles de estos desarrollos corresponden a un cuerpo redondo e indica a cuál.

RETO

LibroMedia Desarrollos de cuerpos redondos.

La esfera no tiene desarrollo plano. ¿Por qué crees que sucede esto? Averigua cómo afecta a los mapas.

Material de aula Memory de cuerpos geométricos.

5

Fíjate en cada pareja de desarrollos, mide y contesta.

S U GER EN CIAS

Muestre al azar una tarjeta del memory y pregunte a los estudiantes qué tipo de cuerpo es, cuáles son sus elementos, cuántos son…

¿Qué cilindro tiene mayor altura? ¿Qué cilindro tiene mayor radio?

Fíjate en la figura que gira; dibuja y contesta.

C

RE

AT I V I D A

D

¿Qué cono tiene mayor radio? ¿Y altura?

Dibuja el cuerpo geométrico que se obtiene cuando esta figura gira. ¿En qué dos cuerpos redondos puedes descomponer ese cuerpo?

LibroMedia Desarrollos de cuerpos redondos II.

Dibuja otras figuras que al girar produzcan cuerpos formados por cuerpos redondos.

205 ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 45

4 Rosa: Cilindro

Naranja: Cono 5

El cilindro azul tiene mayor altura. El verde tiene mayor radio. El cono naranja tiene mayor radio. El rosa tiene mayor altura.

28/02/2019 14:49:28

RETO LOS mapas de la esfera terrestre son representaciones aproximadas, pero no son exactas. CREATIVIDAD Se puede descomponer en un cilindro y un cono. R. L.

Volumen de prismas y pirámides El volumen de un prisma es el producto del área de una de sus bases por su altura.

SU GER E N CI A S

Señale que en las pirámides su volumen es igual a un tercio del volumen de un prisma que tenga su misma área de la base y su misma altura. Pueden comprobarlo manipulativamente construyendo algunos cuerpos con sus desarrollos y luego rellenándolos.

V 5 ABASE 3 h 5 cm 3 cm

ABASE 5 12 cm 3 3 cm 5 36 cm2 V 5 36 cm2 3 5 cm 5 180 cm3

12 cm

El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de su base por su altura. La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vértice. V5

18 cm 8,7 cm

10 cm

1

ABASE 5

ABASE 3 h 3 P 3 ap 6 3 10 cm 3 8,7 cm 5 5 261 cm2 2 2

261 cm2 3 18 cm 5 1.566 cm3 3

V5

Fíjate en el prisma verde de la explicación de arriba, calcula y contesta. Si consideras como base uno de los rectángulos de dimensiones 5 cm y 3 cm, ¿cuánto mide la altura de ese prisma? Calcula su volumen.

LibroMedia Prismas y pirámides. Volumen.

Haz lo mismo tomando como base uno de los rectángulos de dimensiones 12 cm y 5 cm. El volumen de ese prisma, ¿depende de la base escogida? 2

Calcula el volumen de cada cuerpo. 8 cm 8 cm

9 cm 5,2 cm 8 cm 8 cm 3

LibroMedia Volumen de prismas y pirámides.

5 cm 6 cm

10 cm

Calcula el volumen de cada cuerpo. Haz un dibujo aproximado. Un prisma de base triangular y altura 10 cm. Su base es un triángulo de 7 cm de base y 5 cm de altura. Una pirámide cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado y cuya altura es de 12 cm.

206

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 46

La altura mide 12 cm. V 5 5 3 3 3 12 5 180 cm3 La altura mide 3 cm. V 5 12 3 5 3 3 5 180 cm3 El volumen no depende de la base escogida.

2 VCubo 5 83 5 512 cm3

VPirámide 5

10 3 5 3 8 5 133,3 cm3 3

28/02/2019 14:49:29

6 3 6 3 5,2 VPrisma 5 3 9 5 842,4 cm3 2 3 R. G.

VPrisma 5

735 3 10 5 175 cm3 2

VPirámide 5

102 3 12 5 400 cm3 3

11 4

Observa los desarrollos y halla los volúmenes de los prismas a los que corresponden.

RETO

3 cm

10 cm

7 cm

LibroMedia Desarrollos de prismas.

Calcula el volumen de este cuerpo geométrico. 6 cm

12 cm

3 cm

5

6 cm

2 cm

6 cm

2 cm

6 cm 2 cm

Calcula el volumen de cada cuerpo. Fíjate en los cuerpos que lo forman o descomponlo en algunos que conozcas.

6,9 cm

20 cm

12 cm 60 cm

S U GER EN CIAS

Señale que al igual que ocurría con las figuras planas, también podemos descomponer cualquier cuerpo geométrico en otros cuerpos más sencillos, cuyo volumen sepamos calcular y obtener su volumen como suma de los volúmenes de sus partes.

10 cm

10 cm

10 cm

5 cm 5 cm

O

LibroMedia Volumen de cuerpos geométricos.

Piensa y contesta. ¿Qué crees que ocurrirá con el volumen de un cubo si multiplicamos la longitud de su arista por 2? ¿Será el doble del volumen del cubo original?

EN

SAMIENT

30 cm

P

207 ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 47

3

28/02/2019 14:49:31

3

4 Amarillo: V 5 10 5 1.000 cm

Azul: V 5 3 3 6 3 2 5 36 cm3 Rosa: V 5 3 3 7 3 12 5 252 cm3 10 3 5 3 6,9 5 172,5 cm3 5 Azul: ABase 5 2 172,5 3 12 V523 5 1.380 cm3 3 Rosa: V 5 603 1 3 3 203 5 240.000 cm3 Verde: V 5 5 3 5 3 30 1 5 3 5 3 10 5 1.000 cm3

RETO V 5 63 2 2 3 2 3 6 5 192 cm3 PENSAMIENTO NO. El volumen será 8 veces el del cubo original.

Volumen de cuerpos redondos El volumen de un cilindro y de un cono se calculan de forma similar al de un prisma y una pirámide, respectivamente. El de la esfera se halla de forma diferente.

LibroMedia Volúmenes de cuerpos redondos.

En todas las fórmulas se usa la longitud del radio (r) del cuerpo. En el caso del cilindro y el cono se usa también la de su altura (h). Volumen del cono

Volumen del cilindro

Volumen de la esfera

2 cm 3 cm

4 cm 5 cm 3 cm

SU GER E N CI A S

La elaboración de un mural de aula con las fórmulas de los volúmenes puede ser útil al comienzo. Señale que entre cilindros y conos hay la misma relación que ya conocían para prismas y pirámides (un tercio del volumen del cilindro de igual base y altura).

V 5 ABASE 3 h

V5

ABASE 3 h 3

V 5 p 3 r2 3 h

V5

p 3 r2 3 h 3

V 5 p 3 (2 cm)2 3 4 cm 5 3,14 3 4 cm2 3 4 cm 5 50,24 cm3

p 3 (3 cm)2 3 5 cm 3 3,14 3 9 cm2 3 5 cm 5 3

V5

5 47,1 cm3

1

4 3 p 3 r3 3

V5

4 3 p 3 (3 cm)3 3 4 3 3,14 3 27 cm3 5 3 5 113,04 cm3

V5

Calcula el volumen de cada cuerpo. 5 cm

LibroMedia Volumen de cuerpos redondos. 2

8 cm

10 cm

6 cm

Halla el volumen de cada cuerpo. Fíjate bien en los datos.

12 cm

3

20 cm

10 cm 8 cm

10 cm

LibroMedia Volumen de cuerpos redondos. Capacidad.

6 cm

Halla el volumen de cada cuerpo redondo. Un bote de conservas cilíndrico de radio 10 cm y altura 15 cm. Un cono de plástico de radio 12 cm y altura 16 cm. Una bola de vidrio de radio 4 cm.

208

Soluciones

ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 48

1 Cilindro: 3,14 3 52 3 10 5 785 cm3

3,14 3 62 3 8 Cono: V 5 5 301,44 cm3 3 4 3 3,14 3 63 Esfera: 5 904,32 cm3 3 2 Cilindro: 3,14 3 52 3 12 5 942 cm3

Cono: V 5

3,14 3 42 3 10 5 167,47 cm3 3

4 3 3,14 3 103 Esfera: 5 4.186,7 cm3 3 3

V 5 3,14 3 102 3 15 5 4.710 cm3 3,14 3 122 3 16 5 2.411,52 cm3 3 4 3 3,14 3 43 V5 5 267,95 cm3 3 V5

04/03/2019 10:45:15

11 4

Agrupa las figuras para formar los desarrollos de dos cilindros y calcula su volumen. 8 cm

25

cm

Calcula el volumen de este cuerpo geométrico.

m 40 c

62,

RETO

cm

4 cm

,6 c m

12

cm

10 c m

20

125

20 cm

5

8 cm

10 cm

S U GER EN CIAS

Señale que dos cuerpos con igual área no tienen por qué tener el mismo volumen y viceversa. Pídales que dibujen composiciones de cuerpos redondos, rotulando sus dimensiones, y calcule el volumen de alguna de ellas en común.

32 cm

Calcula el volumen de cada cuerpo. Fíjate en los cuerpos que lo forman y descomponlo en otros más sencillos.

30 cm

18 cm

20 cm

40 cm

16 cm

LibroMedia Volumen de cuerpos geométricos compuestos.

24 cm

40 cm

40 cm

O

Piensa y contesta.

EN

SAMIENT

40 cm

María sabe que el volumen de un cilindro es de 90 cm3. ¿Cuál es el volumen de un cono que tiene la misma base y altura que ese cilindro?

P

Si dividimos entre 2 la longitud del radio de una esfera, ¿qué ocurre con su volumen? ¿Es la mitad del volumen de la esfera inicial? Da valores y comprueba tu respuesta.

209 ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 49

04/03/2019 10:45:16

Cono y semiesfera:

4 Rectángulo amarillo con círculos verde y naranja.

V 5 3,14 3 102 3 25 5 7.850 cm3

V5

Rectángulo morado con círculos rosa y azul. V 5 3,14 3 202 3 10 5 12.560 cm3

RETO

2

3,14 3 16 3 30 5 16.076,8 cm3 3 4 3 3,14 3 203 Cubo y esfera: V 5 403 1 5 97.493,3 cm3 3 4 3 93 Cilindro y esfera: V 5 3,14 3 92 3 20 1 5 8.138,88 cm3 3

5 Dos conos: V 5 2 3

1

3,14 3 82 3 24 1 4 3 3,14 3 83 1 3 5 2.679,47 cm3 3 3 2

2

V5

1 3 (3,14 3 42 3 12) 5 301,44 cm3 2

PENSAMIENTO 90 : 3 5 30 cm3 El volumen se divide entre 8.

COMPRUEBO MI PROGRESO 1

LibroMedia Compruebo mi progreso. 2

Define cada uno de estos términos. Poliedro.

Cuerpo redondo.

Prisma.

Cilindro.

Pirámide.

Cono.

Poliedro regular.

Esfera.

6

Escribe a qué poliedro regular corresponde cada desarrollo.

7

Calcula el volumen de estos cuerpos. Fíjate bien en las medidas.

Clasifica cada cuerpo.

SU GER E N CI A S

4 cm

Trabaje el cálculo de volúmenes a partir de dibujos, de desarrollos y de descripciones por escrito como en la actividad 9. Señale que todas ellas son formas de expresar un mismo cuerpo geométrico.

4 cm

8 cm

8 dm

3m

5 dm

8

Identifica cada cuerpo y halla su volumen.

¿Es un poliedro? ¿Por qué? ¿Es un prisma? ¿Por qué?

12 cm

Cuenta y escribe para cada poliedro de la actividad 3: Número de caras

5

Número de vértices

9 cm

12 cm

¿Es una pirámide? ¿Por qué? 4

12 cm

Observa cada cuerpo y contesta.

8 cm

3

9

Halla el volumen de cada cuerpo.

Número de aristas

Un prisma de base rectangular con dimensiones 3 dm y 19 cm y una altura de 2 dm. Un cono cuyo radio de la base mide 2 dm y su altura mide el doble.

Cuenta y comprueba. Cuenta en distintos poliedros de esta unidad las caras (C), vértices (V) y aristas (A) y comprueba que se cumple la relación de Euler: C 1 V 5 A 1 2.

Una esfera de diámetro 24 cm. Una pirámide de altura 10 cm y base un hexágono regular cuyo lado mide 8 cm y cuya apotema mide 6,93 cm.

210

Soluciones

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1 R. L. 2 Tetraedro, cono, prisma triangular, esfera, pirámide pentagonal,

octaedro, ortoedro, cubo, cilindro. 3

Los dos lo son porque sus caras son polígonos. El primero no porque sus bases no son iguales. El segundo sí. Ninguno lo es porque sus caras no son triángulos.

28/02/2019 14:49:34

4 5 caras, 6 vértices, 9 aristas.

6 caras, 8 vértices, 12 aristas. 5 R. L. 6 Tetraedro

Icosaedro

7 Prisma: 128 cm3

Cilindro: 628 dm3

Esfera: 113,04 m3 8 Pirámide: 384 cm3

Cono: 1.017,36 cm3

11 Problemas 10 Piensa y dibuja.

11 Resuelve.

Sara quiere hacer una caja cúbica y ha dibujado varios desarrollos. Identifica los que pueden formar un cubo y dibuja tú otros posibles.

La gran pirámide de Keops tiene una base cuadrada de 230 m de lado y una altura de 136 m. ¿Cuál es el volumen de la pirámide? ¿A cuántos kilolitros equivale? Imagina un enorme cono con dimensiones muy similares a las de la gran pirámide: radio de 115 m y altura de 136 m. ¿Cuál sería su volumen? ¿Es mayor o menor que el volumen de la pirámide? En un cubo de 20 cm de arista se han metido 8 esferas de 5 cm de radio. ¿Qué volumen del cubo queda vacío?

S U GER EN CIAS

El cálculo de actividades con volúmenes de edificios conocidos por los estudiantes (monumentos, su propia casa…) les resulta motivador y permite interesarlos y profundizar en los aprendizajes.

12 Piensa y resuelve.

En la fábrica de batidos tienen un gran depósito cilíndrico y están pensando en construir otro de forma diferente. El depósito cilíndrico está lleno de batido de chocolate. Tiene 10 m de altura y el radio de su base es la mitad. ¿Cuántos litros hay en el depósito? El contenido del depósito se usará para rellenar briks cuyas dimensiones son 6 cm, 4 cm y 10 cm. ¿Cuántos llenarán? En la fábrica dudan entre construir un depósito cúbico con 15 m de arista o uno esférico con 15 m de diámetro. ¿Cuál de los dos tiene mayor volumen? ¿Cuántos litros puede contener el mayor más que el menor?

¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno. ¿Sé reconocer poliedros, prismas y pirámides? ¿Reconozco los cuerpos redondos y sus elementos? ¿Calculo volúmenes de cuerpos geométricos? Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.

211 ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 51

9

28/02/2019 14:49:38

Prisma:11.400 cm 3

Cono: 16,75 dm

3

3

Esfera: 7.234,56 cm Pirámide: 554,4 cm

3

10 Forman un cubo las figuras roja y amarilla. 11

2302 3 136 5 2.398.133 m3 5 2.398.133 kl 3 3,14 3 1152 3 136 V5 5 1.882.534 m3. Es menor. 3 4 3 3,14 3 53 V 5 203 2 8 3 5 3.813,33 cm3 3 V5

12

2

V 5 3,14 3 5 3 10 5 785 m3 5 785.000 ℓ V 5 6 3 4 3 10 5 240 cm3 5 0,24 ℓ 785.000 : 0,24 5 3.270.833 Llenarán 3.270.833 briks. VCubo 5 153 5 3.375 m3 5 3.375.000 ℓ 4 3 3,14 3 7,53 5 1.766,25 m3 5 1.766.250 ℓ 3 3.375.000 2 1.766.250 5 1.608.750 Caben 1.608.750 ℓ más en el cubo. VEsfera 5

SABER HACER Trabajar con densidades LibroMedia Trabajar con densidades.

¿Por qué el aceite flota sobre el agua? ¿Pesa lo mismo 1 cm3 de mercurio que 14 cm3 de agua? Para responder estas preguntas hay que conocer el concepto de densidad. La densidad se obtiene dividiendo la masa entre el volumen. La densidad es una propiedad característica de la materia. Cada tipo de materia tiene un valor propio para la densidad que la distingue de las demás.

SU GER E N CI A S

Una vez explicado el concepto de densidad, trabaje con la clase cómo obtener una de as magni udes a a i de las otras dos para que engan c a c m ea i a las actividades.

La densidad de las sustancias se suele expresar en kilogramos por metro cúbico (kg/m3) o en gramos por centímetro cúbico (g/cm3). Así, el agua tiene una densidad de 1 g/cm3, el aceite 0,9 g/cm3, el mercurio 13,6 g/cm3... 1

Piensa y contesta. Un cuerpo pesa 3 dag y 6 g y su volumen es de 4 cm3. ¿Cuál es el valor de su densidad en gramos por centímetro cúbico? Una sustancia tiene una densidad de 7.800 kilogramos por metro cúbico. ¿Cuánto pesa 1 centímetro cúbico de esa sustancia? ¿Cuál es su densidad en gramos por centímetro cúbico? Calcula el volumen de cada cubo y el valor de su densidad. Fíjate en su peso.

56 g 2 cm

2

24,3 t 3m

Piensa y contesta. ¿Cuánto pesará el mercurio contenido en la probeta de la izquierda si la densidad del mercurio es de 13,6 g/cm3? Si en esa probeta añadimos 10 cm3 más de mercurio, ¿cuál será el nuevo volumen? ¿Y la densidad? ¿Cómo hallarías el peso total del mercurio? ¿Cuál sería el volumen y la densidad si quitas 20 cm3 de la probeta? ¿Cuánto pesaría el mercurio que queda?

3

Busca y resuelve. Junto con tu compañero o compañera, busca información sobre densidades de distintas sustancias y plantea problemas similares a los de esta página. Intercambiadlos con otras parejas y resolvedlos.

212

Soluciones 1

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28/02/2019 14:49:40

2

36 g d5 5 9 g/cm3 4 cm3 7.800 : 1.000.000 5 0,0078 kg 5 7,8 g d 5 7,8 g/cm3 Morado: V 5 8 cm3

d 5 7 g/cm3

Verde: V 5 27 m3

d 5 900 kg/m3

50 3 13,6 5 680 g 50 1 10 5 60 cm3 La densidad no varía. 60 3 13,6 5 816 g V 5 50 2 20 5 30 cm3 La densidad no varía. 30 3 13,6 5408 g

3 R. L.

MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS

11

Juega con cuerpos geométricos

Material de aula Memory de cuerpos geométricos.

Material: Cartas de cuerpos geométricos. Número de jugadores: 4 Reglas del juego: Se barajan las cartas y se dejan bocabajo sobre la mesa organizadas en 3 filas y 6 columnas. Por turnos, cada participante levanta dos cartas y se las muestra al resto. – Si una de ellas es un cuerpo geométrico y la otra su desarrollo, debe explicar a los demás cómo se calcula el volumen de dicho cuerpo geométrico. Si todos los jugadores están de acuerdo, se las guarda y vuelve a coger dos cartas. – Si las dos cartas no son un cuerpo geométrico y su desarrollo, o si no se explica correctamente cómo calcular el volumen, las deja sobre la mesa bocabajo y en el lugar en el que estaban. Quien haya conseguido formar el mayor número de parejas cuando ya no queden cartas sobre la mesa obtiene 1 punto. Ganador: Gana quien primero consiga 4 puntos. 1

Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de este cuerpo geométrico.

S U GER EN CIAS

Puede pedir a los estudiantes que amplíen la baraja realizando nuevas cartas con más cuerpos geométricos y desarrollos. Señale que deben realizar ambos para que la baraja siga siendo válida para el juego.

Retos matemáticos La cara inferior

La naranja

Tres dados están colocados formando una torre. La cara inferior de cada dado marca los mismos puntos que la superior del dado que está debajo. Si en la cara de arriba hay un 6, ¿cuánto marca la cara de más abajo?

Hemos marcado tres puntos en una naranja. ¿Podemos cortar la naranja por la mitad de tal manera que los tres puntos queden en una de sus partes?

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Juega con los cuerpos geométricos 1

Retos matemáticos La cara inferior Marca un 1. La naranja Siempre se puede. Consideramos la naranja como una esfera y tomamos el centro de la esfera y el círculo que determinarían los tres puntos que hemos marcado:

28/02/2019 14:49:45

Si el centro no pertenece al círculo, se puede cortar la naranja en dos mitades, dejando los puntos en una parte. Si el centro pertenece al círculo, hay que cortar la naranja justamente por esos puntos. Los puntos también quedan en una parte de la esfera.

Solución de problemas Elegir la solución correcta entre varias En la fábrica han envasado 1.000 litros de zumo de piña en briks de 200 cm3 cada uno. ¿Cuántos briks han obtenido? Calcula mentalmente y elige la solución correcta. A. Han obtenido 5 briks. B. Han obtenido 50.000 briks. C. Han obtenido 500.000 briks. D. Han obtenido 5.000 briks. Sabes que 1 cm3 5 1 ml, luego cada brik contiene 200 ml. Con 1 litro de zumo (1.000 ml) se obtendrán 1.000 : 200 5 5 briks. En total serán 5 3 1.000 5 5.000 briks. La respuesta correcta es la D.

Elige la solución correcta calculando mentalmente. Después, comprueba tu respuesta. 1

SU GER E N CI A S

Muestre a los estudiantes la importancia de analizar siempre si la solución que obtenemos tiene sentido en la situación trabajada.

2

En una almazara tenían un gran depósito de 4 kl lleno de aceite. Envasaron todo en garrafas de 0,5 dal cada una. ¿Cuántas garrafas obtuvieron? A. Obtuvieron 8 garrafas.

C. Obtuvieron 800 garrafas.

B. Obtuvieron 8.000 garrafas.

D. Obtuvieron 80.000 garrafas.

Un camión puede transportar 3 t y 5 q de carga. Va cargado con 6 paquetes de 500 kg cada uno. ¿Cuántos kilos más puede llevar? A. Puede llevar 50 kg más. B. No puede llevar más peso. C. Puede llevar 5.000 kg más. D. Puede llevar 500 kg más.

3

Sonia tiene que colocar placas de madera en el suelo de una pista de 2 dam2. Va a utilizar placas cuadradas de 2 dm de lado. ¿Cuántas placas utilizará? A. Utilizará 5.000 placas. B. Utilizará 1.000 placas. C. Utilizará 500 placas. D. Utilizará 2.000 placas.

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Soluciones pág. 214

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Soluciones pág. 215

1 C. 4.000 : 5 5 800

1 R. M. Treinta millones cuarenta y cinco mil doscientos tres.

2 D. 3.500 2 6 3 500 5 500

2

2

3 A. 20.000 : 2 5 5.000 3 4

Div(24) 5 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} m.c.m. (8, 10 y 16) 5 80

m.c.d. (4, 12 y 14) 5 2

11 18 2,139 , , , 2,4 5 8 5.000 dm; 601,5 dm

37 15 , 7,488 , 7,49 , 5 2 9 h; 12 h

520 cl; 4.300 cl

700 m2; 500,08 m2

11

REPASO ACUMULATIVO 1

5

Escribe cómo se lee cada número. 30.045.203

27,803

402.800.920

134,99

Completa en tu cuaderno. 0,004 hm3 5 … m3 45.000 m3 5 … dam3

2

Calcula.

2.800 dam3 5 … hm3

Todos los divisores de 24.

3

m.c.m. (8, 10 y 16)

1,5 dm3 5 … ℓ

m.c.d. (4, 12 y 14)

80 cm3 5 … cl

11 5 15 2 4

4.000 ℓ 5 … m

Ordena cada grupo de menor a mayor. 18 8

2,4

7,49

6

2,139

Piensa y contesta. Un mueble de 2 m de longitud mide en un plano 4 cm. ¿A qué escala está hecho ese plano?

37 5

7,488

S U GER EN CIAS 3

Expresa en la unidad indicada.

7

En dm: 0,5 km; 6 dam y 150 mm

Calcula el área de cada figura. Un cuadrado de lado 3,5 cm.

En cl: 5.200 ml; 0,03 hl y 4 dal En hg: 0,007 t; 3,2 kg y 2.900 cg

Un romboide de base 10 cm y altura el doble de la base.

En h: 540 min; 43.200 s

Un círculo de diámetro 14 cm.

En m2: 0,07 hm2; 5 dam2 y 800 cm2

Un triángulo de base 40 cm y altura un 30 % de la base.

En hl: 2,3 kl; 4 dal y 53 dl.

Pida a los estudiantes que escriban en una hoja una actividad de los contenidos vistos hasta ahora en el curso que les hayan parecido más interesantes o importantes. Después, reúnalas y resuelva alguna de ellas en común.

Problemas 8

Silvia contestó ayer 400 correos. Un quinto eran de compañeros suyos, el 60 % de clientes y el resto de su directora. ¿Cuántos correos de su directora contestó ayer?

10 Lidia pagó 120 € por 4 cajas de manzanas

de 15 kg cada una. Si el precio del kilo es el mismo, ¿cuánto habría pagado por 7 cajas de 20 kg cada una? 11 Concha ha hecho un viaje de 540 km.

Sabe que, cada 100 km, gasta 7,1 ℓ de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina ha gastado? 12 En un depósito hay 5 kl y 4 hl de un líquido.

En total pesan 4,86 t. ¿Cuántos kg pesarán 7 hl de ese líquido? 13 Si una parcela de 5 ha se divide en 8 trozos 9

iguales, ¿cuántos dam2 tiene cada trozo?

Martín tenía un depósito de 5 hm3. Lo amplió y el volumen actual es un 20 % mayor. ¿Cuántos litros caben en el nuevo depósito?

14 En la piscina de Leo caben 12 m3 de agua.

Ahora hay 4.000 ℓ. ¿Cuántos dm3 más caben?

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28/02/2019 14:49:51

70 hg; 32,29 hg

23 hl; 0,453 hl

5 4.000 m3; 45 dam3; 2,8 hm3; 1,5 ℓ; 8 cl; 4 m3

Habría pagado 280 €.

6 Está hecho a escala 1:50. 7

12,25 cm2

200 cm2

11 540 : 100 3 7,1 5 38,34. Ha gastado 38,34 ℓ.

153,86 cm2

240 cm2

8 400 2 80 2 240 5 80

12 4.860 : 54 3 7 5 630. Pesarán 630 kg. 13 500 : 8 5 62,5. Cada trozo tiene 62,5 dam2.

Contestó 80 correos de su directora. 3

10 120 : (4 3 15) 5 2 €/kg; 2 3 7 3 20 5 280

3

3

9 5 hm 1 20 % de 5 hm 5 6 hm 5 6.000.000.000 ℓ

Caben seis mil millones de litros.

14 12.000 2 4.000 5 8.000. Caben 8.000 dm3 más.

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Analizar pictogramas Material de aula Lámina de aula de Geometría y Tratamiento de la información.

En el pictograma se han representado los envíos repartidos por una empresa de mensajería durante los últimos años. 1.000 envíos

2015

2016

500 envíos

2017

2018

Año

Fíjate en que en 2015 repartieron 2.500 envíos, y en 2016 repartieron 1.000 envíos más.

1

Observa el pictograma de arriba y contesta. ¿Cuántos envíos repartieron en 2017 y 2018?

SU GER E N CI A S

El número de envíos, ¿creció o disminuyó entre esos años?

Dibuje en la lámina de aula distintos pictogramas con varios símbolos y trabaje con los estudiantes la interpretación. Muestre que una mayor altura de la columna no implica que el número total de datos sea mayor ya que intervienen varios símbolos para calcular el valor total.

En la empresa de mensajería han decidido comprar más furgonetas para repartir. ¿Por qué piensas que lo han hecho? 2

Grandes

Fíjate en el pictograma, lee el texto y contesta.

Pequeñas

En el gráfico tienes las empanadas vendidas usualmente cada día de la semana según su tamaño (grandes, 8 personas; pequeñas, 4 personas). Al verlo, en la tienda han tomado estas decisiones. Indica si te parecen correctas o no y por qué. Los miércoles y jueves harán las mismas empanadas de cada tipo. El día que más empanadas grandes harán será el sábado.

X

J

V

S

Día

Harán siempre 3 empanadas pequeñas. Ningún día harán menos de 2 empanadas grandes. Harán siempre 3 empanadas grandes.

216

Soluciones 1

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En 2017 se repartieron 5.000 y en 2018, 5.500. El número de envíos creció cada año. R. M. Porque piensan que el número de envíos seguirá aumentando.

2

Incorrecto, porque el número de empanadas vendidas de cada tipo es diferente. Correcto, porque es el día que más venden.

28/02/2019 14:49:53

Incorrecto, porque los jueves solo venden 2 normalmente. Correcto, porque todos los días venden 2 o más. Incorrecto, porque los miércoles no venden tantas, y los viernes y sábados venden más.

11 Analizar histogramas Material de aula Lámina de aula de Geometría y Tratamiento de la información.

El histograma muestra los envíos entregados ayer por la mensajería clasificados según sus pesos.

Número de envíos

21 18 15 12 9 6 3 0 Menos De 100 De 200 De 500 Más de de 100 a 200 a 500 a 1.000 1.000 Peso en gramos

Fíjate en que solo 12 envíos pesaron 500 o más gramos. El grupo más numeroso fue el de los envíos que pesaban menos de 100 gramos.

S U GER EN CIAS 1

Dibuje en la lámina de aula distintos histogramas con varios símbolos y trabaje su interpretación. Señale que en los histogramas se agrupan los datos en intervalos numéricos y que no podemos conocer el valor concreto de dichos datos, sino entre qué valores están comprendidos.

Observa el histograma anterior y contesta. En la empresa usan cajas para los envíos que pesen entre 100 g y 500 g. ¿Cuántas cajas de ese tipo utilizaron ayer? El encargado dice que hubo más envíos mayores de 200 g que envíos de peso menor. ¿Tiene razón? El peso total de los envíos menores de 200 g, ¿pudo ser mayor de 6 kg? ¿Por qué? Observa el histograma, razona y contesta. Una científica ha elaborado un histograma con el número de frutos en un tipo de planta. Razona si cada frase es cierta o no. Lo más común es que la planta tenga entre 5 y 8 frutos.

280 Número de plantas

2

240 200 160 120

Lo menos común es que tenga menos de 5 frutos. Hay más plantas con menos de 8 frutos que con 8 o más frutos.

80 40 0 De 1 a5

De 5 a8

De 8 a 10

De 10 Más de a 15 15

Número de frutos

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Soluciones 1

18 1 15 5 33. Utilizaron 33 cajas. 39 . 27. No es verdad. Suponiendo que los paquetes tuvieran el peso máximo del intervalo: 21 3 100 1 18 3 200 5 5.700 No pudo ser mayor de 5.700 g.

28/02/2019 14:49:55

2

Verdadero. Es el intervalo con mayor número de plantas. Falso. Lo menos común es que tenga más de 15 frutos. 320 , 360 Falso. Hay más plantas con 8 o más frutos.

Antes de empezar

Material de aula Fichas de colores.

Cálculo mental

Pequeños problemas

Calcula el 20 % o multiplica por 0,2

Calcula mentalmente

20 % de 45 0,2 3 45

45 : 5 5 9

20 % de 5

20 % de 500

20 % de 10

20 % de 450

0,2 3 35

0,2 3 300

1. De los 30 estudiantes de una clase, el 20 % tiene alguna alergia. ¿Cuántos estudiantes tienen alergia? 2. El año pasado llovieron 240 litros en total en Villares. Este año ha llovido un 25 % más. ¿Cuánto ha llovido este año?

Calcula el 25 % o multiplica por 0,25 25 % de 32 0,25 3 32

32 : 4 5 8

SU GER E N CI A S

Prepare un grupo de fichas de distintos colores, plantee que va a extraer una al azar y pida a los estudiantes que enuncien frases que sean ciertas con las expresiones de probabilidad trabajadas en esta página.

25 % de 4

25 % de 800

25 % de 12

25 % de 120

0,25 3 40

0,25 3 320

3. El 20 % de los 75 km de un sendero están en un bosque. ¿Cuántos kilómetros del sendero están en el bosque?

Un porcentaje, varios números Escribe un número: Cuyo 20 % sea 30.

Cuyo 25 % sea 20.

Cuyo 20 % sea 100.

Cuyo 25 % sea 150.

¿Qué sabes ya? Agrupación de datos en una tabla

Más probable, menos probable

Si tenemos muchos datos, es conveniente hacer un recuento y expresar el resultado en una tabla.

Si se saca una bola al azar:

Los puntos en 18 tiradas de dados son: 6, 2, 4, 3, 1, 5, 3, 1, 3, 4, 4, 3, 1, 3, 4, 6, 3, 4

LibroMedia Agrupación de datos en una tabla.

Recuento:

Puntuación

N.º de veces

1

3

2

1

3

6

1

3 veces

2

1 vez

3

6 veces

4

5 veces

4

5

5

1 vez

5

1

2 veces

6

2

6 1

LibroMedia Conjunto de datos.

– Sacar bola verde es más probable que sacar bola roja. – Sacar bola azul es menos probable que sacar bola roja. – El color más probable es el verde, el menos probable es el azul. 2

Haz el recuento y agrupa cada conjunto de datos en una tabla.

Fíjate en el dibujo y escribe frases con más probable que, menos probable que, el más probable y el menos probable.

6, 8, 9, 7, 8, 6, 7, 9, 7, 9, 7, 7 3, 5, 3, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 4

218

Soluciones

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28/02/2019 14:48:27

Han llovido 300 litros.

Un porcentaje, varios números 150

80

500

600

Pequeños problemas 1 20 % de 30 5 6. Tienen alergia 6 estudiantes. 2 25 % de 240 5 60; 240 1 60 5 300

3 20 % de 75 5 15

Están en el bosque 15 km.

¿Qué sabes ya? 1

N.º

6

7

8

9

N.º

3

4

5

N.º veces

2

5

2

3

N.º veces

5

3

4

2 R. M. El color más probable es el rojo; y el menos probable, el azul.

S U GER EN CIAS

12

Pregunte a los estudiantes sobre el concepto de media para explorar sus ideas previas. Pídales que digan ejemplos propios de situaciones donde se utilicen: notas de una asignatura, puntos en una competición, piezas de fruta comidas al día…

Probabilidad y estadística

Tiempo para leer

Tiempo para hablar

A lo largo de la historia, la estatura media del ser humano ha cambiado debido a factores como la alimentación y las condiciones sanitarias.

• ¿Qué quiere decir estatura media? ¿Significa que todas las personas miden lo mismo?

En el Imperio romano, los hombres más altos eran reclutados para la guardia del emperador y su estatura media no superaba 1,76 m. La estatura media usual era de 1,65 m.

• Explica cómo calcularías la estatura media de tu grupo de amigos y la de los habitantes de tu comunidad autónoma. ¿Puede hacerse de la misma forma?

Durante los siguientes siglos, las condiciones provocaron un descenso de la estatura. Las armaduras de la Edad Media muestran que la estatura media era de 1,60 m, y en el siglo XVIII no llegaba a 1,60 m.

• Si a una clase de 6.º llegan varias personas nuevas más altas que todas las que hay ahora, ¿qué ocurrirá con la estatura media?

Desde finales del siglo XIX hasta hoy las condiciones sanitarias y las mejoras alimentarias han hecho crecer mucho la estatura media.

LibroMedia Los censos.

• ¿Puedes calcular la media de cualquier característica? Di ejemplos de algunas en las que sí sea posible y de otras en las que no se pueda hallar.

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Tiempo para hablar La estatura media indica cuál es el valor promedio del total de todas las estaturas. No indica que todas las personas midan lo mismo. Grupo de amigos: se suman las estaturas de todos y se divide entre el total de amigos.

28/02/2019 14:48:29

Habitantes de la comunidad autónoma: no puede hacerse de la misma forma, porque son demasiados datos. Se toma una muestra representativa de los habitantes y se calcula la media como en el caso del grupo de amigos. La estatura media aumentará. Se puede calcular la media de datos numéricos: pesos, tiempos, etc. No se puede calcular la media de datos cualitativos: color de pelo, país de origen, etc.

Variables estadísticas Paco trabaja en una agencia de viajes y quiere tener más información sobre los gustos y costumbres de los clientes. Por eso, ha hecho una encuesta a varias personas sobre su último viaje. Como las preguntas son variadas, ha obtenido datos de distintos tipos.

SU GER E N CI A S

Pregunte a los estudiantes si sería posible convertir una variable cuantitativa en cualitativa y cómo podrían hacerlo (por ejemplo, agrupando los valores en intervalos y poniendo un nombre a cada intervalo). Comente en común las aportaciones.

La estadística se encarga de recoger y extraer información de los datos. El lugar visitado, la duración del viaje, el precio, el medio de transporte utilizado… son variables estadísticas. Hay de dos tipos: Pregunta: ¿cuántos días duró el viaje? Todas las respuestas son números. Respuestas: 5, 20, 7, 14… La duración de un viaje es una variable cuantitativa. Pregunta: ¿qué medio de transporte utilizó en el viaje? Las respuestas no son números. Respuestas: avión, coche, tren… El medio de transporte utilizado es una variable cualitativa.

La estadística recoge datos para extraer información de ellos. Las variables estadísticas pueden ser cuantitativas (tienen valores numéricos) o cualitativas (tienen valores no numéricos).

1

Escribe qué pregunta harías para obtener información sobre cada variable y di si la variable es cuantitativa o cualitativa.

RECUERDA Piensa si las respuestas son numéricas o no.

La edad.

El peso.

La nacionalidad.

La estatura.

La comida favorita.

El color de los ojos.

EJEMPLO La edad: ¿cuántos años tienes? Es una variable cuantitativa.

2

Escribe tres variables cuantitativas y tres variables cualitativas.

3

Observa cada grupo de respuestas y escribe cuál puede ser la variable estadística y de qué tipo es. 8, 5, 7, 9, 5 fútbol, baloncesto, fútbol, tenis, kárate rojo, azul, verde, rosa, azul

LibroMedia Variables estadísticas.

EJEMPLO 8, 5, 7, 9, 5

1, 2, 0, 1, 1

Variable estadística: notas de un examen. Tipo de variable: cuantitativa.

sandía, melón, ciruela, pera, piña 65, 32, 40, 89, 23

220

Soluciones

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1 R. M. ¿Cuántos kilogramos pesas?

Cuantitativas: edad, peso y estatura. Cualitativas: nacionalidad, comida favorita y color de ojos. 2 R. L.

28/02/2019 14:48:35

3 R. M.

Notas de un examen. Deporte más practicado. Color favorito. N.º de hijos. Tipo de fruta que ha comido hoy. Fotocopias realizadas.

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa Isabel ha preguntado a 10 compañeros y compañeras qué número de calzado usan y ha anotado sus respuestas.

34 35

La frecuencia absoluta de 34 es 3.

En total hay 10 datos.

La frecuencia relativa de 34 es

35 36

37 35

34 36

35 34

3 . 10

Isabel cuenta las veces que aparece cada dato y construye la tabla de frecuencias. 34

Número de calzado

35

36

37

S U GER EN CIAS

Frecuencia absoluta

3

4

2

1

Suma: 10 (número total de datos)

Frecuencia relativa

3 10

4 10

2 10

1 10

Suma:

Introduzca las fichas de colores en una bolsa y extraiga unas cuantas al azar. Los estudiantes irán anotando los colores extraídos y después elaborarán la tabla de frecuencias absolutas y relativas. Pregúnteles si la tabla sería la misma si volvieran a realizar otra vez todas las extracciones.

10 51 10

La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que aparece. La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre el número de veces que aparece dicho dato y el número total de datos.

1

Material de aula Fichas de colores.

Número de calzado

Observa el dato 34: Aparece 3 veces.

12

Completa en tu cuaderno la tabla de frecuencias. Después, contesta. Iván ha anotado la mascota favorita de sus doce amigos:

Mascota

perro

gato

perro

conejo

Frecuencia absoluta

perro

perro

gato

perro

Frecuencia relativa

gato

perro

perro

gato

perro

LibroMedia Tabla de frecuencias. Color preferido.

¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿Con qué coincide? ¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas? Tira un dado 10 veces y construye la tabla de frecuencias de los resultados. Lanza una moneda 12 veces y construye también la tabla de frecuencias.

AT I V I D A

D

2

RE

Piensa y experimenta.

LibroMedia Frecuencia absoluta y relativa.

C

Haz una encuesta en la clase o a tu familia con tres preguntas, anota los resultados y, después, haz la tabla de frecuencias de cada pregunta. ¿Tienen que coincidir las sumas de las frecuencias absolutas de todas las preguntas?

221 ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 61

28/02/2019 14:48:38

Soluciones 1

La suma de las frecuencias relativas es 1. 2 R. L.

Mascota

Perro

Gato

Conejo

F. absoluta

7

4

1

F. relativa

7 12

4 12

1 12

La suma de las frecuencias absolutas es 12. Coincide con el total de amigos.

CREATIVIDAD R. L. La suma de las frecuencias absolutas tiene que coincidir en todas las preguntas porque siempre se pregunta al mismo número de personas.

Media y moda El entrenador ha anotado el peso de los 12 jugadores del equipo. Como algunos se repiten, agrupa los datos en la siguiente tabla:

SU GER E N CI A S

Pida a los estudiantes que realicen experimentos aleatorios sencillos y que calculen la media y la moda de los resultados; por ejemplo, lanzar un dado 20 veces. Señale que la media no es necesariamente uno de los datos.

Peso en kilos

62

63

64

65

Frecuencia absoluta

2

1

4

5

¿Cuál es el peso medio? Calcula la media de los datos: 1.º Multiplica cada dato por su frecuencia absoluta y suma los productos. 62 3 2 1 63 3 1 1 64 3 4 1 65 3 5 5 5 124 1 63 1 256 1 325 5 768

2.º Divide la suma entre el número de datos. N.º de datos: 2 1 1 1 4 1 5 5 12 768 : 12 5 64

El peso medio es 64 kg. ¿Cuál es el peso que más se repite? El dato que más se repite es 65, porque es el que tiene mayor frecuencia absoluta (5). Este dato se llama moda.

La moda de los pesos es 65 kg.

LibroMedia Media y moda.

La media de un grupo de datos se obtiene al dividir la suma de los productos de cada dato por su frecuencia absoluta entre el número total de datos. La moda es el dato (o datos) con mayor frecuencia absoluta.

1

Calcula la media y la moda. Después, contesta. Rocío ha anotado en la tabla el número de canastas que metió cada jugadora de su equipo en un partido.

LibroMedia Media y moda. Canastas.

Número de canastas

0

1

2

3

4

Frecuencia absoluta

1

2

4

2

1

¿Coinciden la media y la moda de los datos? ¿Deben coincidir siempre estos dos valores? 2

Calcula la media y la moda de los siguientes grupos de números. PRESTA ATENCIÓN

LibroMedia Media y moda.

3, 10, 7, 7, 4, 5

Si hay datos repetidos, agrúpalos en una tabla.

1, 5, 2, 4, 2, 3, 5, 2 10, 5, 15, 10, 20, 5, 10, 10, 5, 10

222

Soluciones

ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 62

25 personas La mayor frecuencia absoluta es 7. Corresponden al xilófono y la flauta, que son las dos modas. No se puede calcular la media porque los datos son cualitativos. 4 R. M. 5, 6, 7 y 14. 7, 8, 9, 9 y 17. 4, 5, 5, 4, 6, 4. 1, 2, 3, 8, 8, 9 y 9. 3

1 Media 5 20 : 10 5 2 canastas

Moda 5 2 La media y la moda coinciden. La media y la moda no tienen por qué coincidir. 2

28/02/2019 14:48:40

Media 5 6

Moda 5 7

Media 5 3

Moda 5 2

Media 5 10

Moda 5 10

12 3

Observa la tabla de frecuencias absolutas y contesta. En clase de Música han anotado el número de personas que tocan cada instrumento.

Instrumento

Frecuencia

Pandero

5

Xilófono

7

Platillos

3

Flauta

7

Claves

3

LibroMedia Media y moda. Taller de manualidades.

RETO

La media de cuatro números es 8. Si añadimos un 3, ¿cuál es la media de los cinco números?

¿Cuántas personas hay en la clase de Música? ¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta? ¿Qué datos la tienen? ¿Cuáles son las modas? ¿Cuántas hay? ¿Puedes calcular la media de los datos? ¿Por qué? 4

Piensa y escribe. Cuatro números cuya media sea 8.

S U GER EN CIAS

Cinco números cuya media sea 10.

La invención de conjuntos de datos que cumplan ciertas condiciones permite a los estudiantes afianzar los conceptos trabajados. Pídales que comprueben siempre que el grupo que han inventado cumple todas las condiciones.

Seis números cuya moda sea 4. Siete números que tengan dos modas.

Problemas 5

Resuelve. Mila ha comprado varios libros de estos precios (en €): 10

12

26

12

16

12

20

16

20

¿Cuál es el precio medio de los libros? ¿Cuál es la moda de los precios? Elisa ha hecho esta semana varios recorridos en bicicleta. Las distancias en kilómetros han sido: 3,2

5,4

1,6

4,5

2,8

O

Piensa y contesta.

EN

SAMIENT

¿Cuál es la distancia media de los recorridos?

David lanza un dado 10 veces y anota los resultados. ¿Qué valores pueden tener los datos?

P

¿Cuál es el menor valor que puede tener la media? ¿Y el mayor?

LibroMedia Media y moda. Gasolinera.

¿Puede ser la media un número que no le haya salido ninguna vez? ¿Puede ser un número decimal?

223 ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 63

5

Precio medio 5 144 : 9 5 16 € Moda 5 12 € Distancia media 5 17,5 : 5 5 3,5 km

RETO 83413 35 5 57 5 5 La media de los 5 números es 7.

28/02/2019 14:48:43

PENSAMIENTO 1, 2, 3, 4, 5 y 6 El menor valor es 1; y el mayor, 6. La media puede ser un número que no haya salido nunca. Por ejemplo: 1, 2, 5, 4, 6, 6, 1, 1, 2, 2 F Media 5 3 También puede ser un número decimal. Por ejemplo: 5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 1, 1, 1 F Media 5 2,9

Mediana Patricia ha cortado tiras de papel para adornar un farolillo: 3 tiras azules de 25 cm, 15 cm y 20 cm, respectivamente, y 4 tiras rojas de 12 cm, 18 cm, 14 cm y 16 cm. ¿Cuál es la mediana de las longitudes de las tiras azules? ¿Y de las tiras rojas?

LibroMedia Mediana.

SU GER E N CI A S

Organice a los estudiantes en pequeños grupos y pídales que se midan y calculen la mediana de sus alturas en centímetros. Haga grupos con números pares e impares de personas. Después, compruebe algunos de los cálculos que han hecho y calcule en común la mediana de las medianas obtenidas por los grupos.

Para calcular la mediana de las 3 tiras azules:

Para calcular la mediana de las 4 tiras rojas:

1.º Ordena los datos.

1.º Ordena los datos.

2.º Busca el dato que ocupa el lugar central.

2.º Busca los dos datos centrales y calcula su media.

15

20

25

12

14

16

18

Dato central

Datos centrales

La mediana es 20 cm.

La mediana es 15 cm.

14 1 16 5 15 2

La mediana de un grupo con un número impar de datos es, una vez ordenados, el dato que ocupa el lugar central. La mediana de un grupo con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales.

1

Calcula la mediana de cada grupo de números. PRESTA ATENCIÓN

Al ordenar los datos, escribe todos los números aunque se repitan.

LibroMedia Mediana.

2

5, 8, 6

10, 14, 7, 15

2, 9, 18, 2, 15

20, 30, 60, 20, 50, 60

7, 3, 4, 2, 3, 4, 9

8, 5, 6, 10, 12, 5, 10, 11

Piensa y escribe. Cinco números cuya mediana sea 10. Seis números cuya mediana sea 8.

3

Resuelve. Begoña ha comprado 5 camisetas para sus sobrinos, de las tallas 3, 4, 5, 8 y 10 años. ¿Cuál es la media de estas tallas? ¿Y la mediana?

LibroMedia Mediana. Libros.

Carlos tiene en el jardín 4 cubos llenos de agua, de 25 ℓ, 16 ℓ, 32 ℓ y 27 ℓ de capacidad. ¿Cuál es la media de estas capacidades? ¿Y la mediana?

224

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 64

3

6

12

9

40

4

9

2 R. M.

8, 9, 10, 11, 12 6, 7, 8, 8, 9, 10

28/02/2019 14:48:46

Media F 30 : 5 5 6

Mediana 5 5

Media F 100 : 4 5 25

Mediana 5 26

12

Rango Daniel está estudiando cómo varía la temperatura a lo largo del día en dos pueblos.

LibroMedia Rango.

Calcula la temperatura media de cada pueblo. Marazul

11 1 13 1 14 1 15 1 13 1 12 5 13 6

Campol

8 1 11 1 17 1 18 1 14 1 10 5 13 6

Temperaturas (en ºC) Marazul

11 13 14 15 13 12

Campol

8 11 17 18 14 10

La temperatura media es igual en los dos pueblos.

S U GER EN CIAS

Después, calcula el rango de los datos de cada pueblo. El rango es la diferencia del dato mayor y el menor. Marazul

Campol

El dato mayor es 15 y el menor es 11. 15 2 11 5 4

Con los datos de las alturas obtenidos para los grupos de estudiantes en la página anterior, pídales ahora que calculen los rangos dentro de cada grupo de alturas. Después, halle en común el rango de todas las alturas. Señale que el rango solo depende de dos valores: el mayor y el menor, el resto de valores no intervienen en su cálculo.

El dato mayor es 18 y el menor es 8. 18 2 8 5 10

El rango es 4.

Las temperaturas no varían mucho: los datos están próximos a la media.

El rango es 10.

Las temperaturas varían bastante: algunos datos están lejos de la media.

El rango da idea de la proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

1

12, 20, 5, 7

8, 10, 7, 8, 7

7, 9, 5, 9, 7, 11

15, 9, 16, 24

7, 5, 13, 5, 5

12, 9, 20, 14, 20, 15

Resuelve.

Minutos de espera

Alicia ha anotado los minutos que tardan en llegar los autobuses de dos líneas para ver cuál de las dos funciona mejor.

Línea A

Línea B

5

3

¿Cuál ha sido el tiempo medio de espera en cada línea? ¿Y el rango de los tiempos de espera?

8

4

6

14

¿En qué línea ha variado más el tiempo de espera de unos autobuses a otros? ¿En cuál el rango es mayor?

6

7

5

2

LibroMedia Rango.

Piensa y escribe dos conjuntos de datos diferentes.

C

RE

AT I V I D A

D

2

Calcula la media y el rango de cada grupo de datos.

LibroMedia Rango. Salto de longitud.

Con la misma media y rango. Con la misma moda y rango. Con el mismo rango y mediana.

225 ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 65

28/02/2019 14:48:48

Soluciones 1 2

CREATIVIDAD

11 y 15

8y3

8y6

16 y 15

7y8

15 y 11

R. M.

A

1

2

2

4

Media 5 2,25

B

0

3

3

3

Rango 5 3

Tiempo medio en ambas líneas 5 6 min Rango línea A 5 3 min. Rango línea B 5 12 min.

A

1

2

2

2

Moda 5 2

B

2

2

2

3

Rango 5 1

Ha variado más el tiempo en la línea B. El rango es mayor en la línea B.

A

2

3

4

5

6

Mediana 5 4

B

1

2

4

4

5

Rango 5 4

Probabilidad Estrella tiene un dado y lo lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea menor que 5?

Material de aula Fichas de colores.

El resultado al lanzar un dado depende del azar. No podemos saber qué resultado concreto saldrá, pero sí saber, para cada resultado, la probabilidad de que ocurra. La probabilidad es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Casos favorables: 1, 2, 3, 4

SU GER E N CI A S

Introduzca fichas de colores en una bolsa y muéstrelas a los estudiantes. Pídales que calculen la probabilidad de extraer una ficha de cada color. Pregúnteles si esa probabilidad cambia si la ficha se vuelve a meter en la bolsa en cada extracción o no.

Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Probabilidad de sacar un número menor que 5

La probabilidad de sacar un número menor que 5 es

1

Casos menores que 5 Casos posibles

4 6

4 . 6

Calcula y escribe para cada caso la probabilidad correspondiente. Después, contesta. Manuel saca una fruta al azar de la bolsa. Sacar una manzana roja. Sacar una naranja. Sacar una pera. Sacar una manzana. Sacar una fruta de color verde. ¿Qué fruta es más probable obtener: manzana, naranja o pera? ¿Cuál es la menos probable?

LibroMedia Probabilidad.

2

Calca en tu cuaderno y colorea para que todas las oraciones sean ciertas. Hay bolas verdes, azules y rojas.

Hay bolas verdes, azules y rojas.

La probabilidad de sacar bola verde y azul es la misma.

La probabilidad de sacar bola roja es mayor que un medio.

Sacar bola roja es lo menos probable.

Sacar bola verde es el doble de probable que sacar bola azul.

LibroMedia Probabilidad. Lacasitos.

226

Soluciones

ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 66

4

3 2 2 7 6 1 11 11 11 11 11 Es más probable obtener manzana; y menos probable pera o naranja. 2

3

8 40

3 40

28/02/2019 14:48:50

12 40

6 40

9 40

6 No es un juego justo: la probabilidad de que gane Pedro 20 5 es mayor que la de que gane Bruno . 20 1 La probabilidad de que ganen los dos es . 20 10 1 La probabilidad de que no gane ninguno es 5 . 20 2

1 2

1 2

12 3

Calcula cada probabilidad al sacar al azar una carta de una baraja española.

RETO

Un rey o un as.

LibroMedia Probabilidad. Dominó.

Un dado tiene 4 caras con 2 puntos, 1 cara con 1 punto y 1 cara con 3 puntos.

Un caballo que no sea de bastos. Un 3, un 4 o un 5. Un as, un tres o un rey que sean de oros o copas.

Halla la probabilidad de que al lanzarlo salga:

Una figura que no sea de espadas. EJEMPLO Un rey o un as Casos favorables: 4 reyes y 4 ases, 8 en total Casos posibles: 40 (n.º de cartas) 8 Probabilidad de un rey o un as: 40

– Un 2. – Un número par. – Un 1 o un 2.

Material de aula Lámina de Geometría y Tratamiento de la información.

Problemas 4

Resuelve. Pedro y Bruno tienen una bolsa con tarjetas numeradas del 1 al 20. Sacan un número al azar. Gana Pedro si sale un divisor de 20 y gana Bruno si sale un número par mayor que 10. – ¿Es un juego justo? ¿Por qué? – ¿Qué probabilidad hay de que ganen los dos? ¿Y de que no gane ninguno?

S U GER EN CIAS 70 niños 65 niñas 20 chicos jóvenes 15 chicas jóvenes 30 mujeres adultas 15 hombres adultos

En un espectáculo de magia hay 215 espectadores. Si se elige un espectador al azar, halla la probabilidad de que: – Sea niño o niña. – No sea un hombre. – Sea adulto.

Dibuje en la lámina figuras planas con rellenos diferentes. Trabaje el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos: probabilidad de más de 3 lados, de relleno blanco o rayado, de más de 4 lados y relleno no blanco...

ESPECTADORES

– Sea de sexo femenino. – No sea chico o chica joven. – No sea hombre adulto ni joven.

O

Piensa y contesta.

EN

SAMIENT

Maite lanza 3 monedas diferentes. ¿Qué es más probable: sacar al menos una cara o sacar dos cruces?

En un grupo de 16 personas que tienen mascota, la probabilidad de elegir a una persona que tenga 10 un perro es y la probabilidad de elegir una 16 8 que tenga un gato es . ¿Cómo es eso posible? 16

LibroMedia Probabilidad. Bingo.

P

227 ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 67

28/02/2019 14:48:52

135 215

110 215

200 215

180 215

Probabilidad de sacar número par 5

45 215

165 215

Probabilidad de sacar 1 o 2 5

RETO Probabilidad de sacar 2 5

Es más probable sacar al menos una cara.

4 6 4 6

5 6

PENSAMIENTO Es posible porque dos personas tienen perro y gato.

COMPRUEBO MI PROGRESO 1

LibroMedia Compruebo mi progreso.

5

Clasifica cada variable estadística en cuantitativa o cualitativa.

Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de estos grupos de números.

Número de cromos de una colección.

6, 9, 7, 4, 9

Edad.

10, 12, 20, 16, 12, 20

Sexo.

13, 10, 15, 10, 15, 13, 15

Localidad donde se vive.

12, 8, 10, 12, 10, 8, 12, 8

Número de alumnos de una clase.

5, 9, 6, 5, 4, 9, 4, 10, 2

Helados vendidos en un puesto un día. Mes de cumpleaños.

6

Observa la tabla y calcula. En una clase de Infantil hay varios puzles de distinto número de piezas.

Altura en centímetros. 2

Completa la tabla de frecuencias en tu cuaderno y contesta. Julio ha preguntado a sus amigos cuál es su color preferido y han contestado: 6 el rojo, 5 el azul, 3 el verde, 4 el negro, 4 el rosa y 1 el naranja.

7

¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿A cuántos amigos preguntó Julio?

10

8

6

12

14

6

14

8

12

10

12

8

12

12

10

8

6

Media

5

Moda

7

10

2

¿Puede tener un grupo de cinco números tres modas? ¿Y dos modas? 8

Calcula cada probabilidad. Se elige al azar un número del 1 al 30. Es un número par.

Explica cómo se halla cada medida estadística y calcúlalas con este grupo de números. 8

1

En un grupo de tres números, ¿tiene que ser la mediana uno de ellos? ¿Y en un grupo de cuatro números?

Ester ha anotado la talla de las camisetas que ha vendido hoy en su tienda:

7

Frecuencia absoluta

¿Puede ser la media de un grupo de números un número distinto a todos?

Haz un recuento y construye la tabla de frecuencias.

5

12

Piensa y contesta.

¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas?

4

9

¿Cuántos puzles hay con menos piezas que la media? ¿Y con más piezas?

Frecuencia relativa

3

6

¿Cuál es la media del número de piezas de los puzles? ¿Y la moda?

Frecuencia absoluta

Agrupe a los estudiantes por parejas y pídales que diseñen un experimento aleatorio propio y que calculen distintas probabilidades asociadas al mismo. Pueden hacer tarjetas, figuras, usar objetos… Haga una puesta en común con algunos de ellos y compruebe que las probabilidades están bien calculadas.

4

¿Cuántos puzles hay en la clase?

Color

SU GER E N CI A S

N.º de piezas del puzle

6

10

12

Mediana

5

Tiene dos cifras. Es impar o mayor que 25.

6

Tiene dos cifras que suman 5.

Rango

No es par ni múltiplo de 3.

228 ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 68

Soluciones

28/02/2019 14:48:55

La suma de las frecuencias relativas es 1.

1 Cuantitativas: número de cromos, edad, número de estudiantes,

3

helados y altura. Cualitativas: Sexo, localidad y mes. 2

Rojo

Azul

Verde

Negro

Rosa

Naranja

6

5

3

4

4

1

6/23

5/23

3/23

4/23

4/23

1/23

La suma es 23. Preguntó a 23 amigos.

Talla

6

8

10

12

14

Fr. abs

2

4

3

5

2

Fr. rel

2/16

4/16

3/16

5/16

2/16

4 Media 5 7

Moda 5 5 y 6

Mediana 5 6

Rango 5 7 Rango 5 5

5

R. M. Media 5 Mediana 5 7

Moda 5 9

6

20 puzles

Moda 5 9

Media 5 8

8 y 12 puzles, respectivamente.

12 Problemas 9

Piensa y contesta.

10 Resuelve.

Los pesos en kilos de las mochilas que llevan un grupo de personas son: 4

Peso en kilos Frecuencia absoluta

1

5 3

6 2

En una floristería venden 10 macetas con flores a estos precios en euros:

7

15

18

20

15

14

1

18

15

12

18

15

– ¿Cuál es el rango de los pesos? – ¿Cuántas mochilas llevan? Escribe los pesos ordenados de mayor a menor. ¿Cuál es la mediana? La edad de cinco primos es 8, 9, 3, 4 y 6 años. ¿Cuál es la edad media? ¿Cuál será la edad media de los 5 primos dentro de dos años? ¿Qué relación hay entre las dos medias?

Halla la media, la moda, la mediana y el rango de los precios. En una bolsa hay 10 tarjetas verdes y 5 tarjetas rojas. Se van sacando tarjetas al azar y no se devuelven. Calcula la probabilidad de que: – La primera tarjeta sea verde. – Si la primera ha sido roja, la segunda también lo sea.

S U GER EN CIAS

Pida a los estudiantes que busquen datos de su deporte o actividad favorita y que calculen medidas estadísticas asociadas a ellos. También pueden proponer situaciones de probabilidad que puedan darse en ese contexto.

11 Piensa y resuelve.

Elsa está participando en un torneo de seis partidos de tenis. Ha jugado ya cinco partidos, con las siguientes duraciones: 1.er partido

46 minutos

2.º partido

58 minutos

3.er partido

1 hora y 5 minutos

4.º partido

42 minutos

5.º partido

1 hora y 14 minutos

¿Cuál es la media de las duraciones en minutos de los cinco partidos jugados? ¿Es más o menos de 1 hora? ¿Cuáles son la mediana y el rango de dichas duraciones? ¿Cuántos minutos debe durar el sexto partido? – Para que la media sea 1 hora.

– Para que la mediana sea 59 minutos.

– Para que la moda sea 46 minutos.

– Para que el rango sea 38.

¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno. ¿Sé construir e interpretar tablas de frecuencias? ¿Sé calcular la media, la moda, la mediana y el rango? ¿Calculo probabilidades de distintos sucesos? Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.

229 ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 69

7

8 9

Sí.

28/02/2019 14:48:57

En un grupo de 3 números, sí; en uno de 4, no.

Media 5 16 Mediana 5 15

No puede tener 3 modas, pero sí 2.

Verde:

15 21 18 2 10 30 30 30 30 30 Rango 5 3 kg. Llevan 7 mochilas. Mediana 5 5 kg. Media 5 6 años. Media en 2 años 5 8 años. Media actual 1 2 5 Media dentro de 2 años.

10

11

Moda 5 15 Rango 5 8

10 4 ; roja: 15 14

Media 5 57 min , 1 hora. Mediana 5 58 min Rango 5 32 min 75 min 46 min

60 min 80 min o 36 min

SABER HACER Realizar un control de calidad LibroMedia Realizar un control de calidad.

Los procesos de fabricación industrial están sometidos a un control de calidad. El control de calidad consiste en analizar, durante todas las etapas de la fabricación, distintos datos que informen de si todo está funcionando como debe. En muchos casos se toman varios ejemplares de los objetos fabricados y se mide su longitud, peso, tamaño… Si se detecta algún error considerable, se retira ese lote y se revisa el proceso.

SU GER E N CI A S

Muestre la utilidad de la estadística en muchas situaciones cotidianas, como la fabricación de productos. Pídales que escriban varios conjuntos de datos que cumplan y que no cumplan cada uno de los criterios de calidad trabajados en esta página.

1

Calcula y resuelve. En una fábrica de quesos la temperatura de la leche debe estar en torno a 39 ºC. Toman la temperatura de los depósitos cinco veces. Si la media de las temperaturas se aparta más de medio grado de los 39 ºC, la leche del depósito se desecha. Analiza si estos depósitos deben ser desechados: Depósito 1

38º 39º 39º 40º 39º

Depósito 2

Depósito 3

38,5º 39,5º 39º 39,5º 38,5º

40º 39º 40º 40º 40º

En la planta de envasado de manzanas se analiza el rango de sus diámetros. Si en un lote el rango es mayor que 2 cm, se reclasifican las manzanas de nuevo. Estudia, a partir de las medidas en cm, qué lotes deben reclasificarse: Lote 1: 7, 6, 7, 5, 9, 7, 6 Lote 2: 8, 6, 7, 7, 8, 8, 6 Lote 3: 8, 7, 5, 7, 8, 6, 8 2

Piensa y prepara. Elige con tu compañero o compañera un producto industrial y proponed un criterio de control de calidad basado en medidas estadísticas. Exponedlo a la clase con ejemplos de lotes aceptados y rechazados.

230

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 70

Depósito 1 F Media 5 39o F No se desecha. Depósito 2 F Media 5 39,8o F Sí se desecha. Depósito 3 F Media 5 39o F No se desecha. Lote 1 F Rango 5 4 cm F Debe reclasificarse. Lote 2 F Rango 5 2 cm F No debe reclasificarse. Lote 3 F Rango 5 3 cm F Debe reclasificarse.

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2 R. L.

12

MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS

Juega con la probabilidad Material: Baraja de tarjetas numéricas, dos fichas del mismo color para cada jugador, lápiz y papel.

Fracción 2

3

4

5

6

Gana 12 puntos Gana 12 puntos Gana 12 puntos

De las tarjetas numéricas, se eliminan las del 0, 7, 8 1 y 9 y todas las de . 6

1 2

1 4

Gana 6 puntos

Gana 4 puntos

Número par

Gana 4 puntos

Se dibuja en una hoja de papel un tablero como este.

1

Gana 12 puntos Gana 12 puntos Gana 12 puntos

Número impar

Gana 2 puntos

Número de jugadores: 4 Reglas del juego:

Material de aula Baraja de tarjetas numéricas, fichas de colores.

Gana 3 puntos

Número natural

Gana 2 puntos

Cada participante coloca sus fichas en las casillas que crea convenientes.

—1 2

Por turnos, cada participante levanta una tarjeta. Quienes tengan fichas en las casillas ganadoras reciben los puntos que figuran en el tablero. Ganador: Gana quien consiga primero 36 puntos.

1

Lidia ha colocado sus fichas en las casillas 5 y Número impar. Ha salido la tarjeta 3. ¿Cuántos puntos recibe?

S U GER EN CIAS

Puede variar el tablero y adaptarlo a otros conjuntos de valores como la suma de los resultados de dos o más dados, o bien al producto de los resultados… Pida a los estudiantes que diseñen juegos similares y comente algunos de ellos en común.

Retos matemáticos Paquetes y regalos Tenía 3 paquetes con distintos regalos para mis amigas. En cada paquete había puesto sus direcciones y me faltaba meter los regalos. Me puse a recordar lo que había vivido con cada una de ellas y... me equivoqué al meter los regalos en los paquetes. ¿Cuántos regalos como máximo he podido meter correctamente?

231 ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 71

Juega con la probabilidad 1 Lidia recibe 4 puntos.

Retos matemáticos

28/02/2019 14:49:04

Paquetes y regalos He podido meter correctamente solo 1 regalo.

Solución de problemas Determinar varias soluciones a un problema LibroMedia Determinar varias soluciones a un problema.

En un banco de alimentos han recogido 2.500 kg de comida. Un porcentaje lo han aportado supermercados. ¿Qué porcentaje ha aportado la ciudadanía? ¿Cuántos kilos de comida han aportado los supermercados? El problema tiene muchas soluciones posibles. Puedes dar un valor al porcentaje aportado por la ciudadanía. Supongamos que es mayor que el porcentaje aportado por los supermercados, es decir, debe ser mayor del 50 %. Con ese valor halla después la solución. Porcentaje aportado por la ciudadanía: 80 %.

SU GER E N CI A S

80 % de 2.500 5 2.000

Comente en clase algunas de las soluciones generadas por los estudiantes a los problemas propuestos. Verifique su corrección y muestre cómo el valor de la solución varía según el valor que se haya dado al dato que no conocíamos.

2.500 2 2.000 5 500 Solución: Los supermercados han aportado 500 kg. Da tú otro valor al porcentaje de la ciudadanía y halla la nueva solución.

Halla dos soluciones para cada problema. 1

En una ruta de senderismo hubo 120 personas. Un quinto eran personas mayores, y del resto había más adultos que jóvenes. ¿Cuántos adultos más que jóvenes hubo?

2

Miguel tenía 250 €. Gastó un 60 % en comprar una cafetera y una batidora, y el resto lo usó para comprar una bicicleta. ¿Cuánto gastó en la cafetera menos que en la bicicleta?

3

Laura es mayor que su hermano Raúl. Dentro de 5 años, las edades de los dos sumarán 37 años. ¿Cuántos años es mayor Laura que Raúl?

4

Los dos tercios de las fotos hechas por Marisa eran de animales y el resto de plantas. De las fotos de animales, la mayoría eran fotos de aves y el resto de anfibios. Si Marisa hizo 120 fotos, ¿cuántas fotos de aves más que de plantas hizo?

5

Una página web tuvo 5.000 visitas. Menos de la mitad fueron de Europa, 1.000 personas más fueron de América y el resto de Asia. ¿Cuántas visitas tuvo de América más que de Asia?

232

Soluciones

ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 72

1 3 120 5 24 personas mayores 5 Supongamos que el número de adultos es 60: 120 2 24 2 60 5 36 jóvenes. 60 2 36 5 24 adultos más que jóvenes hubo.

1 R. M.

2 R. M. 60 % de 250 5 150; 250 2 150 5 100

Supongamos que la cafetera costó 70 €: 100 2 70 5 30 € menos costó la cafetera que la bicicleta.

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3 R. M. Supongamos que Laura tiene 22 años:

22 2 5 5 17. Laura es 17 años mayor. 2 3 120 5 80 de animales 40 de plantas 3 Supongamos que hizo 75 fotos de aves: 75 2 40 5 35 fotos de aves más que de plantas hizo.

4 R. M.

5 R. M.: Supongamos que a Europa fueron 1.500 personas:

A América fueron 2.500 personas y a Asia, 1.000. Fueron 1.500 personas más a América que a Asia.

12

REPASO ACUMULATIVO 1

2

4

8,54 3 26

9,12 : 8

216.083.920

73 3 9,06

345 : 4,6

34.502.006

604.700.041

35,7 3 8,5

61,36 : 5,9

Calcula.

7

35

104

√ 49

Calcula.

√81

3,5 3 (25,7 2 8,46) 21,95 1 9,01 : 5,3

Calcula. m.c.m. (5 y 7)

m.c.d. (8 y 10)

m.c.m. (10 y 12)

m.c.d. (15 y 20)

702 : 6,5 2 14,93 3 0,8 8

Escribe con cifras. Cinco octavos.

Siete décimas.

Doce veinteavos.

Nueve milésimas.

Seis unidades y quince centésimas. 9

Diez unidades y ciento dos milésimas. 5

Calcula.

7.890.054

27 3

6

Descompón cada número y escribe cómo se lee.

Completa en tu cuaderno las siguientes igualdades. 0,6 dam2 5 … m2

9,23 m3 5 … dm3

5 dm2 5 … mm2

48 dm3 5 … cm3

2.470 cm2 5 … m2

150 dm3 5 … m3

S U GER EN CIAS

Calcula. El área de un círculo de 20 cm de diámetro.

Calcula. 7 4 1 12 15

8 5 2 9 18

3 6 3 4 7

El volumen de un cilindro de radio 10 cm y altura 20 cm.

9 2 : 10 6

Problemas 10 En una piscina de bolas hay diez mil bolas.

12 Un televisor que costaba 400 € incrementó

Cada una tiene 8 cm de diámetro. ¿Qué volumen tienen en total? ¿Es mayor o menor que el de una bola de 5 m de diámetro?

Resuelva en común las actividades en las que los estudiantes hayan tenido mayores dificultades. Comente todos los contenidos que han aprendido en este curso y en la Educación Primaria.

su precio un 10 %. Después, el nuevo precio se redujo en un 10 %. ¿Cuánto costaba el televisor al final? ¿Es cierto que el precio final era un 99 % del inicial? 13 En un laboratorio han recibido 4 bolsas

de 2 hg y 5 dag de un compuesto. Necesitan 0,7 kg y 20 g para un experimento. ¿Cuántos miligramos les sobrarán tras el experimento? 14 En un mapa la distancia entre dos

ciudades es 8,5 cm. La escala del mapa es 1 : 400.000. ¿Qué distancia las separa en la realidad? Dos ciudades separadas por 16 km, ¿a qué distancia estarán en el mapa?

11 Jaime pagó en una tienda 7,65 €

por 4,5 kg de patatas y 10,72 € por 8 kg de cebollas. ¿Cuánto habría pagado en total por 10 kg de patatas y 9 kg de cebollas?

233 ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 73

28/02/2019 14:49:09

Soluciones

7

1

R. M. 7.000.000 1 800.000 1 90.000 1 50 1 4 Siete millones ochocientos noventa mil cincuenta y cuatro.

2

128

3

35

4

5/8

5

17/20

6

222,04

243

10.000

60 12/20

2 0,7

11/18 661,38

7

9

303,45

11

6,15

9/14

10,102

27/10 1,14

9 10

5 0,009

75

12 13

10,4

60,34

23,65 96,056 50.000 mm2 0,247 m2 3 3 9.230 dm 48.000 cm 0,15 m3 314 cm2 6.280 cm3 3 VTotal bolas5 2,68 m , VBola grande 5 65,42 m3 Habría pagado 29,06 € en total. Costaba 396 €, que es el 99 % del precio inicial. Les sobrarán 280 miligramos. Las separan 34 km. Estarán a 4 cm.

8 60 m2

14

COOPERAMOS

Decoramos nuestra habitación

Parada de tres minutos

1. Organizad la clase en equipos de cinco personas. 2. En equipo, leed el texto, observad la ilustración y fijaos en los datos que encontraréis en ella.

Hemos decidido redecorar nuestra habitación, y para ello necesitamos tener en cuenta algunas medidas. Así que preparamos nuestra cinta métrica, hacemos una fotografía de la estancia y anotamos los datos más importantes.

Muestre la importancia del trabajo en común para poder determinar las dudas que existen y resolverlas adecuadamente. Anime siempre a los estudiantes a aportar lo mejor de sí mismos en el trabajo en común.

2m

SU GER E N CI A S

60 cm

90 cm

50 cm

80 cm

0

20

cm

3. Después, leed conjuntamente las instrucciones que tenéis que seguir. • Leed el primer ejercicio y, durante tres minutos, concentraos en anotar todas las dudas que el enunciado os sugiera. Pensad cómo deberíais proceder para resolverlo, sin empezar. • A la indicación del profesor o la profesora, designad un portavoz para expresar en voz alta las dudas del equipo. Los demás, si es necesario, os ayudarán a resolverlas. Finalmente, comentad la estrategia que seguiríais para realizar el ejercicio. • Repetid estas pautas para cada uno de los ejercicios, eligiendo a un compañero o compañera diferente como portavoz de cada ejercicio.

234

Soluciones 1 VHabitación 5 20 m3

ES0000000093924 929039_U13_cooPyRepaso234_239_81410.indd 74

28/02/2019 14:48:35

4 P(vacaciones) 5 4/18

VMuebles 5 1,86 m3

1,86 : 20 3 100 5 9,3. Está ocupado un 9,3 %. 2 Cada caja debería tener, como máximo estas dimensiones:

0,4 m 3 0,3 m 3 0,5 m

VCaja 5 0,06 m3

3 7 3 0,2 3 0,3 1 6 3 0,3 3 0,4 1 5 3 0,22 1

1 3,14 3 0,152 1 0,8 3 2 5 3,01065 m2 3,2 3 2,5 2 3,01065 5 4,98935 m2 quedarán libres.

P(familiares) 5 5/18

P(pequeños) 5 6/18 P(deportes) 5 3/18

5 (7 3 20 3 30 1 6 3 30 3 40) : 10 3 0,02 5 22,8 €

21 % de 22,8 5 4,79; 22,8 1 4,79 5 27,59 € (5 3 202) : 10 3 0,02 5 4 € 15 % de 4 5 0,60 €; 4 2 0,6 5 3,40 € 21 % de 3,4 5 0,71 €; 0,71 1 3,40 5 4,11 € 27,59 1 4,11 5 31,7. Todas las fotografías cuestan 31,70 €.

EJERCICIOS 1

La habitación mide 3,2 m de ancho, 2,5 m de alto y 2,5 m de fondo. ¿Qué proporción del volumen de la habitación, expresada en un porcentaje, está ocupado por muebles?

2

Si queréis poner dos cajas iguales para guardar ropa de fuera de temporada encima del armario, ¿qué medidas debería tener como máximo cada una y cuál sería su volumen?

3

Decoraremos la pared del fondo con 18 fotografías, siendo siete de 20 cm 3 30 cm, seis de 30 cm 3 40 cm y cinco de 20 cm 3 20 cm. Además, hay un espejo redondo de 30 cm de diámetro. Teniendo en cuenta que el armario se apoya sobre esa pared, ¿qué superficie de la pared quedará libre?

4

Entre las fotografías que habéis mandado a revelar hay 4 de las vacaciones, 6 de cuando erais pequeños, 5 de familiares y 3 de los deportes que practicáis. En el laboratorio os han avisado de que hay un archivo dañado y que, si no se soluciona el problema, no se podrá imprimir la foto de ese archivo. ¿Qué probabilidad hay de que sea una foto de las vacaciones? ¿Y de los demás temas?

5

Al final se soluciona el problema y recogéis las 18 fotografías. Al ir a pagar, el encargado os recuerda que cada 10 cm2 de impresión en color cuesta 2 céntimos, sin incluir el IVA. Hay una oferta especial, esta semana, para fotos cuadradas: un descuento del 15 %, antes de aplicar el IVA. ¿Cuánto cuestan todas las fotografías si el IVA que se aplica es del 21 %?

4. Al terminar, resolved cada ejercicio en una hoja, en equipo, recordando los aspectos que se han comentado. 5. TIEMPO PARA HABLAR. Por último, elegid cada equipo uno de los ejercicios y mostrad la resolución al resto de equipos, explicándoles las estrategias que habéis utilizado.

¿CÓMO LO HEMOS HECHO? Responde en tu cuaderno. ¿Nos hemos puesto de acuerdo en las dudas que debíamos consultar? ¿Hemos anotado las dudas en el tiempo previsto? ¿Hemos resuelto los ejercicios en común teniendo en cuenta las aportaciones de los demás y del profesor o la profesora? Pon una nota a tu trabajo en equipo.

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28/02/2019 14:48:36

REPASO FINAL 1

Escribe con cifras.

15 • 4 6 • 12

• 5.099.204 • 28.902.113

3

2

Escribe cómo se lee.

• Treinta y dos millones doce mil. • Cuatrocientos millones ochocientos mil uno. • Dieciséis doceavos.

• 675.000.870

• 24,016

• 903.070.015

• 305,607

• Ocho veinteavos. • Tres unidades y doce milésimas.

Aproxima cada número al orden indicado. • A las centenas de millar: 387.915; 4.678.113. • A los millones: 6.600.129; 13.299.999. • A las unidades: 4,76; 13,292; 309,714.

SU GER E N CI A S

Trabaje en común las actividades en las que los estudiantes tengan mayores dificultades. Pídales que las verbalicen y que traten de buscar ellos mismos las respuestas acudiendo a las páginas del libro en las que se trabajaba ese contenido. Ayúdelos con pequeñas pistas para que sean ellos los que realicen la mayor parte de la búsqueda y resolución.

• A las décimas: 9,28; 37,386; 426,098. 4

Compara en tu cuaderno. Coloca el signo adecuado. • 35.090.126

35.100.032

• 176.234.892 5

176.240.625

•

5 4

6 5

• 1,86

•

4 5

5 8

• 2,134

1,9 2,134

• 23

29

• 24

11

Dibuja unos ejes cartesianos y representa estos puntos. • A (23, 12)

• C (11, 13)

• E (23, 0)

• B (25, 24)

• D (1 2, 25)

• F (0, 15)

¿Podías saber, antes de representarlos, qué puntos estaban sobre los ejes? Explica cómo es posible. 6

Ordena cada grupo de números de menor a mayor. 14 8

7

8

1,8

12 5

2

3,4 3

2 5

16 5

33 10

4,52

451 100

4,6

4.508 1.000

Calcula. • 78.999 1 16.741

• 1.235 3 349

• 65.117 : 704

• 84.006 2 9.878

• 6.127 3 890

• 86.450 : 934

• 9 3 (5 2 4)

• 20 : 5 2 (8 2 4)

• 12 : 6 1 3 3 5

• 18 2 9 : 3

• (9 1 6) 3 2 2 13

• 20 2 2 3 (8 : 2)

Halla estas potencias y raíces. • 74 • 8

5

• 107 • 9

3

• √ 16 • √ 25

• 19 • 5

6

• √ 100 • √ 49

• √ 81 • √ 36

236

Soluciones

ES0000000093924 929039_U13_cooPyRepaso234_239_81410.indd 76

1 R. M. Cinco millones noventa y nueve mil doscientos cuatro.

7

2 R. M. 32.012.000 3 4

400.000 4.700.000 7.000.000 13.000.000

5 13 310 9,3 37,4 426,1

, . . . , 5 . , 5 R. G. Los puntos que tienen alguna coordenada igual a 0. 14/8 , 1,8 , 2 , 12/5 16/5 , 33/10 , 3,4 5 3 2/5 6

8

4.508/1.000 , 451/100 , 4,52 , 4,6 95.740 431.015 74.128 5.453.030 9 0 15 17 2.401 10.000.000 1 32.768 729 15.625

9 R. M.

18, 27 y 36 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24

40 1

21/03/2019 14:52:23

c 5 92, r 5 349 c 5 92, r 5 522 17 12 4 10 9 5 7 6 30 4

9

Halla. • Tres múltiplos de 9.

• m.c.m. (8 y 20)

• m.c.m. (6, 10 y 5)

• Todos los divisores de 24.

• m.c.d. (10 y 9)

• m.c.d. (20, 12 y 16)

10 Opera con fracciones.

•

4 2 1 7 9

•

15 8 2 4 6

•

5 3 3 2 7

•

11 : 4 3 6

•

21 5 : 2 2 2 4 3

•

6 12 11

•

30 23 8

•

9 32 5

•

21 : 2 5

•

20 3 : 2 2 4 3 3 8 5

(

)

11 Calcula.

• 3,099 1 2,76

• 28,2 : 3

• 3,8 3 1,9 2 2 : 0,4 1 2

• 7,8 2 2,195

• 185 : 2,5

• 1,8 : (8,468 2 3,2 3 2,64)

• 4,76 3 2,94

• 10,927: 4,9

• 8,9 3 1,023 2 11,78 : 6,2

12 Divide, obteniendo en el cociente las cifras decimales indicadas.

2 cifras • 27,13 : 9,2

• 85,4 : 17,6

3 cifras • 3,45 : 0,127

• 19,4 : 2,6

13 Completa en tu cuaderno cada cambio de unidad.

0,091 km 5 … dm

0,12 dal 5 … ml

0,075 t 5 … kg

135.000 cm 5 … hm

250.000 cl 5 … kl

37.000 mg 5 … dag

9.700 dm 5 … dam

1,32 kl 5 … dl

241.000 dg 5 … kg

7.200 s 5 … min 5 … h

45.000 cm2 5 … m2

30.000 dm3 5 … m3

4 h y 5 min 5 … s

0,08 dam2 5 … cm2

0,07 m3 5 … kl

30.000’’ 5 …º, …’ y …’’

3,7 ha 5 … m

2

4.000.000 cm3 5 … ℓ

14 Ordena cada grupo de medidas de mayor a menor.

• 9.084 cm

0,0087 km

9m

910 dm

• 2,6 dal

0,27 hl

256 ℓ

2.600 dl

• 890.000 mg

88 kg

871 hg

91 dag

• 30.000 s

4 h y 7 min

210 min

2

• 0,09 ha

1.100 m

• 475 ℓ

480 dm3

1.300.000 cm 479.000 cm3

25.800 cl

4 h y 500 s 2

12 dam2 481.000 ml

237 ES0000000093924 929039_U13_cooPyRepaso234_239_81410.indd 77

10 11

12 13

50/63 28/11 5,859 5,605 13,9944 2,94 910 dm 13,5 hm 97 dam

29/12 3/4 9,4 74 2,23 4,85

15/14 18/5 4,22 90 7,2047 27,165 1.200 ml 2,5 kl 13.200 dl

11/2 21/10

7,461 75 kg 3,7 dag 24,1 kg

69/8 1.591/240

28/02/2019 14:48:37

120 min 5 2 h 4,5 m2 30 m3 14.700 s 80.000 cm2 0,07 kl o 2 8 20’ 0’’ 37.000 m 4.000 ℓ 14 R. M. 910 dm . 9.084 cm . 9 m . 0,0087 km 2.600 dl . 25.800 cl . 256 ℓ . 0,27 hl . 2,6 dal 88 kg . 871 hg . 91 dag . 890.000 mg 30.000 s . 4 h y 500 s . 4 h y 7 min . 210 min 12 dam2 . 1.100 m2 . 0,09 ha . 1.300.000 cm2 481.000 ml . 480 dm3 . 479.000 cm3 . 475 ℓ

REPASO FINAL 15 Completa la tabla de proporcionalidad. 3

3…

21

7 14

9 35

16 Calcula.

:…

28

• 30 % de 900

• 5 % de 1.400

• 28 % de 450

• 12 % de 2.500

17 Observa cada escala y contesta.

• ¿Cuántos centímetros en la realidad representa 1 cm en el plano?

Mapa

Plano Escala 1 : 600

0

5

10

15

kilómetros

• ¿Cuántos kilómetros en la realidad representa 1 cm en el mapa? • ¿Qué distancia real representan 5 cm en el plano y en el mapa?

18 Halla el área de estas figuras planas.

• Un rectángulo de base 3 cm y altura 2,5 cm.

• Un círculo de diámetro 24 cm.

• Un romboide de base 8 cm y altura 4 cm.

• Un cuadrado de lado 6 cm.

• Un triángulo de base 15 cm y altura 10 cm.

• Un círculo de radio 7 cm.

• Un hexágono regular de lado 9 cm y apotema 7,8 cm.

• Un cuadrado de altura 12 cm.

19 Clasifica cada cuerpo geométrico.

20

cm

20 Calcula el volumen de cada cuerpo geométrico.

9 cm

15 cm

18 cm

9 cm 18 cm

9 cm

21 Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de cada grupo de números.

• 18, 12, 22, 14, 22, 14

• 17, 19, 17, 19, 14, 19, 14

• 13, 15, 13, 15, 11, 11, 15, 11

• 4, 3, 4, 8, 5, 9, 1, 8, 3

22 Halla cada probabilidad al elegir al azar un número del 1 al 30.

• Que sea impar.

• Que sea mayor de 20 o divisor de 10.

• Que sea par y múltiplo de 6.

• Que no sea par ni múltiplo de 3.

238 ES0000000093924 929039_U13_cooPyRepaso234_239_81410.indd 78

15

37

3

2

7

5

9

4

21

14

49

35

63

28

:7

16

270

126

70

300

17

600 cm

5 km

Plano: 30 m

Mapa: 25 km

18

7,5 cm2

75 cm2

452,16 cm2

153,86 cm2

32 cm2

210,6 cm2

36 cm2

144 cm2

19 Prisma, octaedro, poliedro, cilindro, pirámide, cono y esfera.

20

729 cm3

21

17 - 16 - 14 y 22 - 10

17 - 17 - 19 - 5

13 - 13 - 11 y 15 - 4

5 - 4 - 3, 4 y 8 - 8

22

15/30

1.620 cm3

5/30

33.493,33 cm3

14/30

10/30

28/02/2019 14:48:38

Problemas 23 Resuelve.

• En el parque hay 800 árboles. Dos quintos son chopos, un 30 % pinos y el resto fresnos. ¿Cuántos fresnos hay?

S U GER EN CIAS

• El año pasado cortarse el pelo costaba 20 €. Este año ha bajado un 3 %. ¿Cuánto cuesta cortarse el pelo este año? • Un lote de 7 cámaras fotográficas iguales cuesta 527,45 €. ¿Cuánto costarán 14 cámaras? ¿Y 9 cámaras? • Marta necesita preparar 40 círculos iguales de 10 cm de diámetro cada uno.

Pida a los estudiantes que inventen problemas propios con los contenidos del curso que más les hayan interesado. Resuelva algunos de ellos en común.

– ¿Cuánto papel necesita para cada uno? – ¿Cuánto papel necesita en total? – Para recortar los círculos, utiliza un trozo de cartulina de 50 dm2. ¿Cuánta cartulina le sobra? • En el mapa de Leonor, 5 cm representan 15 km en la realidad. ¿Qué dimensiones tiene en él una parcela de 3 km de largo y 24 km de ancho? • Sonia compró 12,5 kg de manzanas por 17 € y Pablo compró 10 kg por 14 €. ¿Cuál obtuvo un mejor precio por kilo? • El sueldo de Alejandro en 2016 era 1.700 € al mes. En 2017 aumentó un 2 % y en 2018 aumentó un 1 %. ¿Cuánto cobraba al mes en 2018? ¿Cobraba un 3 % más que en 2016? • Un examen constaba de dos partes. En la primera, Tania tardó 1 h y 28 min, y en la segunda tardó 39 min y 40 s menos que en la primera. ¿Cuánto tardó en la segunda parte? ¿Y en total? • En una parcela de 90.000 m2 se reservarán 2 parcelas rectangulares de 3 hm de largo y 40 m de ancho para zonas verdes. ¿Qué área quedará para otros usos? • Un depósito esférico de 6 m de diámetro está lleno por la mitad de zumo. Se va a envasar el zumo en envases de 200 ml cada uno. ¿Cuántos envases se podrán llenar? • Marisa tiene anotado el número de clientes que visitó un restaurante las dos pasadas semanas. Hubo 30 visitantes en 5 días, 28 visitantes en 2 días, 24 visitantes en 2 días y 22 visitantes en 5 días. ¿Cuál fue la media de clientes por día? ¿Y la mediana? ¿Y el rango?

239 ES0000000093924 929039_U13_cooPyRepaso234_239_81410.indd 79

23

28/02/2019 14:48:40

Cobraba 1.751,34 € en 2018, que no es un 3 % más que en 2016.

Hay 240 fresnos.

Este año cuesta 19,40 €. Costarán 1.054,90 € y 678,15 €, respectivamente.

En la segunda parte tardó 48 min 20 s y, en total, 2 h 16 min 20 s.

ACírculo 5 78,5 cm2 ACartulina sobrante 5 1.860 cm2

Se podrán llenar 282.600 envases de zumo.

ATotal 5 3.140 cm2

Mide 1 cm de largo y 8 cm de ancho. Obtuvo mejor precio Sonia (1,36 €/kg).

Quedarán para otros usos 66.000 m2. Media 5 26 clientes Rango 5 8 clientes

Mediana 5 26 clientes

Saber más Unidades de información Polígonos cóncavos y convexos Mediatriz de un segmento Bisectriz de un ángulo Áreas de prismas y pirámides Áreas de cuerpos redondos

Unidades de información La capacidad de almacenamiento de la información en los dispositivos electrónicos (teléfonos móviles, ordenadores, tarjetas de memoria…) se mide utilizando las unidades de información. Estas unidades nos indican la cantidad de información que se puede almacenar o que hay en un cierto momento en ese dispositivo. La unidad más pequeña es el bit, aunque la más utilizada es el byte, que son 8 bits. En esta tabla tienes las unidades de información más comunes, sus símbolos y equivalencias.

SU GER E N CI A S

Pida a los estudiantes que inventen problemas propios usando las especificaciones de dispositivos que tengan en sus casas o en el colegio.

1

Unidad

Valor

Byte

8 bits

Kilobyte (kB)

103 bytes

Megabyte (MB)

106 bytes

Gigabyte (GB)

109 bytes

Terabyte (TB)

1012 bytes

Piensa y calcula. ¿A cuántos bits equivale un kilobyte? ¿Y un megabyte? ¿A cuántos megabytes equivale un gigabyte? ¿Y kilobytes? ¿A cuántos gigabytes y megabytes equivale un terabyte?

2

Ordena las siguientes capacidades de almacenamiento de menor a mayor. 12.000 kB

3,5 GB 200 MB

3

0,00004 TB 0,002 GB

25.000.000 kB 8.000 MB

Resuelve. Las fotos que hace un teléfono móvil ocupan 8 MB cada una. Sara tiene en su teléfono una tarjeta de memoria de 64 GB. ¿Cuántas fotos podrá almacenar en la tarjeta? Míriam compone música y ha comprado un disco duro de 2 TB de capacidad para guardar todas sus canciones. Si cada una ocupa 5 MB, ¿cuántas canciones podrá guardar? Mónica descarga un archivo a una velocidad de 4 MB cada segundo. Si el archivo ocupa 10 GB, ¿cuántos segundos tardará en descargarlo por completo?

242

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_PagsFinales_240_248_81334.indd 82

103 3 8 5 8.000 6

28/02/2019 14:49:46

3

1 kB 5 8.000 bits

10 3 8 5 8.000.000

1 MB 5 8.000.000 bits

1 GB 5 1.000 MB

1 GB 5 1.000.000 kB

1 TB 5 1.000 GB

1 TB 5 1.000.000 MB

2 0,002 GB , 12.000 kB , 0,00004 TB ,

, 200 MB , 3,5 GB , 8.000 MB , 25.000.000 kB

64.000 : 8 5 8.000 Podrá almacenar 8.000 fotos. 2.000.000 : 5 5 400.000 Podrá guardar 400.000 canciones. 10.000 : 4 5 2.500 Tardará 2.500 segundos.

Polígonos cóncavos y convexos Los ángulos, interiores al polígono, que se forman al cortarse dos lados de un polígono se llaman ángulos interiores. Un polígono que tiene todos sus ángulos interiores menores de 180° se llama polígono convexo. Si alguno de sus ángulos es mayor de 180°, se llama polígono cóncavo.

Polígono convexo

Polígono cóncavo

Ángulos menores de 180º.

Algún ángulo mayor de 180º.

Lado Ángulo interior Lado

S U GER EN CIAS 1

Clasifica cada polígono en cóncavo o convexo.

2

Piensa y dibuja en tu cuaderno.

Pida a los estudiantes que hagan composiciones artísticas en las que usen polígonos de los dos tipos. Comente algunas de ellas en común, aprovechando para trabajar el reconocimiento.

Un cuadrilátero cóncavo y otro convexo. Un polígono cóncavo con dos ángulos mayores de 180º. Dos hexágonos convexos diferentes. Un polígono cóncavo que tenga dos ejes de simetría. 3

Escribe verdadero o falso y justifica tu respuesta. Es posible dividir un polígono cóncavo en polígonos convexos. Un polígono regular puede ser cóncavo. Es posible dibujar un triángulo cóncavo.

4

Construye en tu cuaderno los siguientes polígonos, utilizando las figuras de la cuadrícula. Un cuadrilátero convexo con dos triángulos. Un cuadrilátero cóncavo con dos triángulos. Un hexágono cóncavo con dos cuadriláteros.

243 ES0000000093924 929039_PagsFinales_240_248_81334.indd 83

Soluciones

1 Son cóncavos el naranja y el morado. El resto son convexos. 2 R. M.

28/02/2019 14:49:48

3

Verdadero. Falso, porque todos sus ángulos tienen que ser iguales y no todos pueden ser mayores de 180o. Falso, porque la suma de los ángulos de un triángulo es 180o.

4 R. G.

Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a ese segmento que pasa por su punto medio. La mediatriz divide el segmento en dos partes iguales. Cualquier punto de la mediatriz está a la misma distancia de los dos extremos del segmento.

P

A

punto medio

Para dibujar la mediatriz sigue estos pasos: 1.º Abre el compás con una abertura mayor que la mitad del segmento AB y traza un arco con centro en A.

SU GER E N CI A S

Señale que todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de los extremos pero que esa distancia depende del punto. Pídales que apliquen el trazado de la mediatriz al trazado de distintos triángulos isósceles conociendo el lado desigual.

mediatriz

2.º Con la misma abertura, traza un arco con centro en B. Los dos arcos se cortan en los puntos C y D.

B

3.º Traza con la regla la recta que pasa por los puntos C y D. Esta recta es la mediatriz del segmento AB.

C

A

B

A

B

A

B

D

1

Dibuja un segmento de 8 cm, traza su mediatriz y comprueba que cada punto de ella está a la misma distancia de los dos extremos.

2

Calca estas figuras y traza las mediatrices de sus lados.

¿Qué observas? 3

Dibuja y contesta. 1.º Traza un segmento y su mediatriz. 2.º Pincha el compás en un punto de la mediatriz y, con radio la distancia de ese punto a uno de los extremos, traza una circunferencia. 3.º Elige otro punto de la mediatriz distinto, que puede estar al otro lado del segmento, y repite el proceso, trazando otra circunferencia. ¿Qué tienen en común estas circunferencias? ¿Puedes dibujar más? ¿Cuántas circunferencias pasan por dos puntos cualesquiera?

244 ES0000000093924 929039_PagsFinales_240_248_81334.indd 84

Soluciones 1 R. G. 2

28/02/2019 14:49:50

3

Estas circunferencias pasan por los extremos del segmento. Se pueden dibujar infinitas circunferencias que pasen por los extremos. Infinitas.

Las mediatrices se cortan en un único punto.

Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por su vértice y lo divide en dos ángulos iguales.

riz

bisect

Para dibujar la bisectriz sigue estos pasos: 1.º Traza con el compás un arco con centro en el vértice del ángulo, A. Llama P y Q a los puntos de corte del arco con los lados del ángulo.

2.º Abre el compás y traza un arco con centro en el punto P.

P A

A

Q

3.º Sin mover la abertura del compás, pincha en Q y traza otro arco. Este arco se corta con el arco del paso 2.º en el punto R.

P

S U GER EN CIAS

P Q

4.º Traza con la regla la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo, A, y por el punto R. Esta semirrecta es la bisectriz del ángulo.

Señale que la bisectriz no depende de los arcos tomados y que es única. Pídales que dibujen un polígono cualquiera y que tracen las bisectrices de sus ángulos.

R

R A

A

Q

1

Dibuja un ángulo de 80º, traza su bisectriz y mide los dos ángulos que resultan. Comprueba que son iguales.

2

Piensa y contesta. Después, dibuja y comprueba. La bisectriz de un ángulo, ¿depende de los arcos trazados en los pasos 1.º y 2.º?

3

Calca estas figuras y traza las bisectrices de sus ángulos.

¿Qué observas en cada figura?

245 ES0000000093924 929039_PagsFinales_240_248_81334.indd 85

Soluciones

28/02/2019 14:49:53

3

1

40° 40° 2 La bisectriz de un ángulo no depende de los arcos trazados

en los pasos 1.º y 2.º.

Las bisectrices se cortan en un único punto.

Áreas de prismas y pirámides El área de un cuerpo geométrico se obtiene sumando las áreas de todas las superficies que lo delimitan. El área de un prisma es la suma de las áreas de las dos bases (polígonos iguales) más las áreas de las caras laterales (paralelogramos). A 5 ABASES 1 ACARAS LATERALES 5 cm

SU GER E N CI A S

Deje claro que el área de un cuerpo geométrico es igual a la suma de las áreas de las caras o superficies que lo delimitan.

3 cm 8 cm

ABASES 5 2 3 8 cm 3 3 cm 5 48 cm2 AC. LATERALES 5 2 3 3 cm 3 5 cm 1 2 3 8 cm 3 5 cm 5 5 30 cm2 1 80 cm2 5 110 cm2 A 5 48 cm2 1 110 cm2 5 158 cm2

El área de una pirámide es la suma del área de su base más las áreas de las caras laterales (triángulos). A 5 ABASE 1 ACARAS LATERALES 14 cm

13,7 cm

ABASE 5 10 cm 3 8 cm 5 80 cm2 10 cm 3 13,7 cm 8 cm 3 14 cm 123 5 2 2 2 2 2 5 137 cm 1 112 cm 5 249 cm

AC. LATERALES 5 2 3 8 cm 10 cm

1

A 5 80 cm2 1 249 cm2 5 329 cm2

Calcula el área de cada cuerpo geométrico. Fíjate en su desarrollo. 8 cm 7 cm 5 cm

2 cm

5 cm

4 cm 2

Calcula el área de estos cuerpos geométricos. 12 cm

9 cm

10 cm

6,9 cm

10 cm 10 cm

4 cm 11 cm

8 cm

246

Soluciones 1

ES0000000093924 929039_PagsFinales_240_248_81334.indd 86

A 5 2 3 (7 3 2 1 4 3 7 1 4 3 2) 5 100 cm2 A 5 52 1 4 3 (5 3 8) : 2 5 105 cm2

2

A 5 6 3 102 5 600 cm2 A 5 2 3 (11 3 4) : 2 1 9 3 11 1 2 3 9 3 9,5 5 314 cm2 A 5 (8 3 6 3 6,9) : 2 1 6 3 (8 3 12) : 2 5 453,6 cm2

28/02/2019 14:49:54

Áreas de cuerpos redondos El área de un cuerpo redondo se obtiene sumando las áreas de las superficies, planas y/o curvas, que lo delimitan. En todas las fórmulas se usa la longitud del radio (r) del cuerpo. En el caso del cilindro se usa también la de su altura (h), y en el del cono, la de su generatriz (g). Área del cilindro

Área del cono

Área de la esfera

S U GER EN CIAS

r g

h

r r

1

A 5 ABASES 1 ASUP. CURVA

A 5 ABASE 1 ASUP. CURVA

A 5 ASUP. CURVA

A 5 2 3 p 3 r2 1 2 3 p 3 r 3 h

A 5 p 3 r2 1 p 3 r 3 g

A 5 4 3 p 3 r2

Las fórmulas de las áreas de los cuerpos redondos son más complejas de recordar que otras. Puede elaborar un mural de aula junto con los estudiantes para que las usen en los primeros momentos.

Calcula el área de cada cuerpo redondo. Fíjate en su desarrollo. 3 cm 7 cm

10 cm

2

5 cm

Piensa y calcula el área de estos cuerpos redondos. Un bote de conservas cilíndrico de radio 8 cm y altura 12 cm. Un cono de plástico de radio 10 cm y generatriz 20 cm. Una bola de madera de radio 40 cm. Una vela con forma de media esfera, de radio 6 cm. Halla el área de cada figura.

12 8 cm

cm

20 cm

cm

20 cm

18

16 cm

3

13 cm

247 ES0000000093924 929039_PagsFinales_240_248_81334.indd 87

Soluciones 1

A 5 2 3 p 3 32 1 2 3 p 3 3 3 7 5 188,4 cm2 A 5 p 3 52 1 p 3 5 3 10 5 235,5 cm2

2

A 5 2 3 p 3 82 1 2 3 p 3 8 3 12 5 1.004,8 cm2 A 5 p 3 102 1 p 3 10 3 20 5 942 cm2 A 5 4 3 p 3 402 5 20.096 cm2 A 5 (4 3 p 3 62) : 2 5 226,08 cm2

21/03/2019 14:52:34

3

2

A 5 (4 3 p 3 10 ) : 2 1 p 3 10 3 18 5 1.193,2 cm2 A 5 4 3 p 3 42 1 2 3 p 3 82 1 2 3 p 3 8 3 13 5 1.256 cm2 A 5 2 3 p 3 10 3 12 5 753,6 cm2