Grundthema der Algebra: Lie Algebren (Wintersemester 2012) [30 October 2012 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN KARIN BAUR Zusammenfassung. Grundthema Algebra: Lie-Algebren, 3 st¨ undige Vorlesung, Wintersemester 2012, KFU Graz. Di 10.15 bis 11.40, SR 11.32, Do 10.15 - 11.00, SR 11.32

Inhaltsverzeichnis Teil 1. Grundlagen 1. 1.1. Definition, erste Beispiele 1.2. (Lie-)Unteralgebren, Ideale 1.3. Homomorphismen, Darstellungen 1.4. Aufl¨osbare und nilpotente Lie-Algebren 1.5. Einschub: Klassische Lie-Algebren 1.6. Lie-Algebren von kleiner Dimension 1.7. Zur¨ uck zu aufl¨osbaren und nilpotenten Lie-Algebren 1.8. Satz von Engel, Satz von Lie ¨ Ubungen 2. Killingform 3. Vollst¨andige Reduzibilit¨at und sl2 -Darstellungen 3.1. Vollst¨andige Reduzibilit¨at 3.2. Konstruktion von L-Moduln 3.3. Das Casimirelement einer Darstellung 3.4. Theorem von Weyl 3.5. Bemerkungen zur Jordanzerlegung 3.6. sl2 -Darstellungen 3.7. Klassifikation von irreduziblen sl2 -Moduln

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Teil 2. Strukturtheorie 4. Wurzelraum 4.1. Cartanunteralgebren 4.2. Wurzelraumzerlegung 4.3. Der Zentralisator von H 4.4. Orthogonalit¨atseigenschaften 4.5. Ganzzahligkeitseigenschaften

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4.6. Rationalit¨atseigenschaften. Zusammenfassung von 4. ¨ 4.7. Ubungen 5. Wurzelsysteme 5.1. Paare von Wurzeln 6. Einfache Wurzeln, Weylgruppe 6.1. Basen und Weylkammern 6.2. Irreduzible Wurzelsysteme 7. Klassifikation von einfachen Lie-Algebren 7.1. Die Cartanmatrix von Φ 7.2. Dynkin Diagramme 7.3. Beschreibung von Aut Φ 8. Halbeinfache Lie-Algebren; Existenz- und Isomorphiefragen, Klassifikation 8.1. Eine Menge von Erzeugenden 8.2. Erzeugende und Relationen Teil 3. Darstellungstheorie 9. Darstellungstheorie von halbeinfachen Lie-Algebren 9.1. Gewichte und maximale Vektoren 9.2. Universelle einh¨ ullende Algebra 9.3. H¨ochstgewichtsmoduln 9.4. Existenz und Eindeutigkeit 9.5. Endlich-dimensionale Moduln 10. Endlich-dimensionale Darstellungen von sl3 (C) 10.1. Gewichtsgitter 10.2. Zu sl3 = sl3 (C) ¨ Ubung Literatur

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Teil 1. Grundlagen 1 Woher kommen Lie-Algeben? Eine der wichtigsten Begriffe in vielen Gebieten der Mathematik und der theoretischen Physik. Spielen z.B. auch in Differentialgeometrie und Analysis eine wichtige Rolle. Lietheorie wurde vom norwegischen Mathematiker Sophus Lie beg¨ undet, er untersuchte gewisse Transformationsgruppen, die heutzutage Liegruppen heissen. So wie Tangentialr¨aume die lineare Approximation an Mannigfaltigkeiten sind, sind Lie-Algebren die lineare Approximation an die Liegruppen (und es ist viel schwieriger, mit Liegruppen zu rechnen!) Viele Probleme in der Theorie der Lie-Gruppen k¨onnen auf Probleme in der Theorie der Lie-Algebren reduziert werden. Es ist einfacher, mit diesen zu arbeiten. Oft ist es danach m¨oglich, die erhaltenen Resultate zur¨ uck in die Lie-Gruppen zu u ¨bersetzen. Zu Beginn ein Beispiel, das aus der Schule bekannt ist: Im Vektorraum R3 be→ → → → trachtet man das Vektorprodukt a × b . Es gilt a × a= 0 f¨ ur jedes a ∈ R3 → → → → → → → → → und ( a × b )× c +( b × c )× a +( c × a)× b = 0 f¨ ur beliebige drei Elemente a, b, c ∈ R3 . Damit ist R3 mit dem Vektorprodukt × eine Lie-Algebra. 1.1. Definition, erste Beispiele. Definition. Eine Lie-Algebra L is ein Vektorraum u ¨ber k (k ein K¨orper) zusammen mit einer bilinearen Abbildung [ , ] : L × L → L (die Lieklammer) mit den folgenden Eigenschaften: (L1) ∀ x ∈ L : [x, x] = 0 (alternierend) (L2) ∀ x, y, z ∈ L : [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 (Jacobi-Identit¨ at). Bemerkung. Die Lieklammer [x, y] heisst oft der Kommutator von x und y. Aus der Bilinearit¨at der Lieklammer und (L1) folgt 0 = [x + y, x + y] = [x, x] + [x, y] + [y, x] + [y, y] = [x, y] + [y, x] Also ist die Lieklammer antikommutativ, wir haben (L1’) [x, y] = −[y, x] ∀ x, y ∈ L. Falls die Charakteristik von k nicht 2 ist, so folgt (L1) aus (L1’) (setze y = x in (L1’)). Falls nicht ausdr¨ ucklich anders erw¨ahnt, werden wir immer mit endlich dimensionalen Lie-Algebren zu tun haben. (Wir werden einen k-Vektorraum V meistens einfach einen Vektorraum nennen). Beispiel. (1) F¨ ur einen beliebigen Vektorraum V setze [x, y] := 0 f¨ ur alle x, y ∈ V (die triviale oder abelsche Lie-Algebra). (Bem.: (i) interessant ist es, f¨ ur eine L.A. triviale Unteralgebren zu finden.

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(ii) Der K¨orper k kann als 1-dimensionale abelsche Lie-Algebra aufgefasst werden). (2) F¨ ur einen Vektorraum V ist End(V ) (die Menge aller linearen Abbildungen V → V ) auch ein Vektorraum. Wir definieren als Lieklammer: [x, y] := x ◦ y − y ◦ x (◦ ist die Verkn¨ upfung von Abbildungen). Damit ist End(V ) auch eine Lie-Algebra, die mit gl(V ) bezeichnet wird (“general linear algebra”). ¨ Ubung: u ufe die Jacobi-Identit¨at dieser Klammer. ¨ berpr¨ (2’) (Die Matrizenversion von (2)). Sei dim V = n (endlich-dimensionaler VR). Dann sind End(V ) einfach die n × nMatrizen mit Eintr¨agen in k, i.e. Mn (k). Wir bezeichnen die Lie-Algebra mit gln = gln (k). Die Lieklammer ist dann einfach [x, y] = xy − yx (wobei xy das u ¨ bliche Matrizenprodukt von x und y ist). Als Vektorraum besitzt gln die Basis Eij , 1 ≤ i, j ≤ n, der Einheitsmatrizen (mit ¨ Eintrag 1 an der Stelle (i, j) und Nullen sonst). Ubung: u ufe die Identit¨at ¨berpr¨ [Eij , Ekl ] = δjk Eil − δil Ekj wobei δij das Kroneckerdelta ist (δij = 1 f¨ ur i = j und 0 sonst). 1.2. (Lie-)Unteralgebren, Ideale. Definition. Sei L eine Lie-Algebra mit Klammer [ , ]. Ein Untervektorraum K ⊂ L, der abgeschlossen ist unter [ , ] (i.e. f¨ ur alle x, y ∈ K ist auch deren Klammer [x, y] in K), heisst eine (Lie-)Unteralgebra (von L). Insbesondere ist dann K selbst eine Lie-Algebra mit der geerbten Struktur. Bemerkung. Bei assoziativen unit¨aren Algebren ist die Konvention meistens, dass eine Unteralgebra die Eins der grossen Algebra enthalten muss (d.h. dass sie unit¨ar ist). Hier ist das i.A. nicht der Fall. Weitere Beispiele: (Lie Unteralgebren) (3) Sei sln = sln (k) ⊂ gln der Untervektorraum der n × n Matrizen mit Spur 0 (Spur, tr: Summe der Eintr¨age auf der Diagonalen). F¨ ur beliebige n × n Matrizen ist tr(xy) = tr(yx), i.e. [x, y] hat Spur 0. Die Lieklammer definiert also auch eine Lie-Algebrenstruktur auf sln , die sogenannte “special linear algebra”. Als Vektorraum besitzt sln die Basis Eij , i 6= j, zusammen mit den Eii − Ei+1,i+1 (1 ≤ i < n). (4) Sei bn = bn (k) die Menge der oberen Dreiecksmatrizen in gln . Sie bilden eine Lie-Algebra mit derselben Klammer wie f¨ ur gln . Basis: Eij mit i ≤ j.

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Sei nn = nn (k) die Menge der strikt oberen Dreiecksmatrizen in gln (i.e. xij = 0 f¨ ur i ≥ j) ist eine Lie-Algebra mit derselben Klammer wie f¨ ur gln . Basis: Eij , i < j. (6) Lie-Algebren sind oft auch Derivationen einer Algebra: Sei A eine assoziative Algebra u ¨ber k. Sei   D(a + b) = D(a) + D(b), D(ab) = aD(b) + bD(a), Derk (A) := D : A → A | D(s) = 0 ∀ a, b ∈ A, s ∈ k die Menge der k-Derivationen von A. Derk (A) ist ein Untervektorraum von End(A). ¨ (a) Uberlege, dass D1 · D2 ∈ / Derk (A), (b) Zeige, dass [D1 , D2 ] := D1 ◦ D2 − D2 ◦ D1 ∈ Derk (A). (Das Produkt kann also nicht als Lieklammer gew¨ahlt werden, der Kommutator jedoch schon.) (c) Damit ist Derk (A) eine Unteralgebra von gl(A). Da eine Lie-Algebra L auch eine k-Algebra ist, ist also Derk (L) definiert. Ein sehr wichtiges Beispiel einer Derivation ist ad x : y 7→ [x, y] (f¨ ur eine LieAlgebra L und f¨ ur x ∈ L). (d) Konkretes Beispiel (unendlich-dimensional): Sei A := C[x, x−1 ] der Raum der Laurentpolynome und setze d Di := xi+1 dx A → A, f 7→ xi+1 f ′ ∈ Derk (A). Es ist [Di , Dj ] = (j − i)Di+j (nachpr¨ ufen). Definition. Sei L eine Lie-Algebra. Ein Untervektorraum I ⊂ L heisst Ideal von L falls f¨ ur alle x ∈ L, y ∈ I gilt: [x, y] ∈ I. Bemerkung. (1) Da [x, y] = −[y, x], cf. (L1’), sind Ideale Rechtsideale und Linksideale. (2) sln ist ein Ideal von gln und nn ist ein Ideal von bn . (3) Ideale sind auch Unteralgebren, aber Unteralgebren m¨ ussen nicht Ideale sein. So ist z.B. bn eine Unteralgebra von gln . F¨ ur n ≥ 2 ist bn jedoch kein Ideal: es ist E11 ∈ bn und E21 ∈ gln , aber [E11 , E21 ] ∈ / bn . Bemerkung. Die beiden Extrembeispiele von Idealen einer Lie-Algebra L sind L selbst und {0}. Sie heissen die trivialen Ideale von L. Ein wichtiges Beispiel eines Ideals ist das Zentrum von L, Z(L) = {x ∈ L | [x, y] = 0 ∀y ∈ L} Es gilt L = Z(L) ⇐⇒ ist L abelsch. Definition. Eine Lie-Algebra L heisst einfach, falls 0 und L ihre einzigen Ideale sind. Bemerkung.

(1) Ein wichtiger Begriff ist die derivierte Lie-Algebra: [L, L] := h{[x, y] | x, y ∈ L}i

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(i.e. die Menge aller Linearkombinationen von Elementen [x, y]). Klar: [L, L] ist ein Ideal von L) Es gilt: L abelsch ⇐⇒ [L, L] = 0. (2) Sind I, J Ideale einer Lie-Algebra L, so sind auch I + J := {x P+ y | x ∈ I, y ∈ J} und [I, J] := { [xi yi ] | xi ∈ I, yi ∈ J} (man pr¨ ufe nach, dass dies wirklich die richtige Definition ist: warum kann man die Skalare weglassen?) Ideale von L (die derivierte Lie-Algebra ist ein Spezialfall von letzerem). (3) Ist I ein Ideal einer LA L, so k¨onnen wir den Quotienten bilden: L/I ist auch eine Lie-Algebra. Dabei ist L/I = {z+I | z ∈ L} und die Lieklammer wird definiert als [w + I, z + I] := [w, z] + I

f¨ ur w, z ∈ L

wobei die Klammer auf der rechten Seite die Klammer von L ist. (¨uberpr¨ufe, dass dies eine Lieklammer auf dem Quotienten definiert!) Noch zwei Beispiele:   ∗ 0 (7) Die Diagonalmatrizen, dn =  . . .  = hEii | 1 ≤ i ≤ nik sind eine Un0 ∗ teralgebra von gln mit dem Kommutator [x, y] = xy − yx. (8) Sei L eine nicht-abelsche dreidimensionale Lie-Algebra. Dh. L′ := [L, L] 6= 0. Nehmen wir an, dass dim L′ = 1 ist und dass L′ ⊂ Z(L), dann ist L eindeutig bestimmt: L hat Basis f, g, z, wobei [f, g] = z und z ∈ Z(L). Ein solche L.A. heisst Heisenbergsche Algebra. Sind f, g ∈ L beliebige Elemente mit [f, g] 6= 0, dann muss (da L′ nach Voraussetzung eindimensional ist) der Kommutator [f, g] gerade L′ aufspannen. Da zudem L′ ⊂ Z(L) gilt, muss [f, g] mit allen Elementen von L kommutieren. Setze z := [f, g]. Dann kann man zeigen, dass f, g, z eine Basis von L bilden (pr¨ ufe nach!). Alle Lieklammern sind damit bereits festgelegt. Man kann L realisieren als die Menge n3 der strikt oberen Dreiecksmatrizen, mit der Basis {E12 , E23 , E13 }. (Frage: was ist dann z?) Ausserdem gilt: Z(L) = L′ . Eigenschaften. F¨ ur die Unteralgebren bn , nn und dn von gln gilt: • [dn , dn ] = 0, d.h. dn ist abelsch. • [dn , nn ] = nn (es ist [Eii , Eij ] = Eij f¨ ur i < j; [Ekk , Eij ] = 0 f¨ ur k 6= i, j, i < j) • [bn , nn ] = nn (also ist nn ⊂ bn ein Ideal). • [bn , bn ] = nn (bn ist offensichtlich nicht abelsch).

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Wir werden sp¨ater untersuchen, was passiert, wenn wir weiter klammern, z.B. was ist [bn , [bn , bn ]]? 1.3. Homomorphismen, Darstellungen. Definition. Seien Li , [ , ]i , i = 1, 2 zwei Lie-Algebren. Ein Homomorphismus ϕ : L1 → L2 heisst Lie-Algebrenhomomorphismus, falls gilt: (i) ϕ ist linear (ii) ϕ([x, y]1 ) = [ϕ(x), ϕ(y)]2 ϕ heisst Isomorphismus, falls ϕ auch bijektiv ist. ([ , ]i ist die Lieklammer auf Li ). Definition. Eine Abbildung ϕ : L → gl(V ) heisst eine Darstellung von L auf gl(V ), falls ϕ ein Lie-Algebrenhomomorphismus ist. Bemerkung. Sei ϕ : L → gl(V ) eine Darstellung. Dann ist ker(ϕ) ein Ideal von L. (Ideale spielen in der LA-Theorie die Rolle der normalen Untergruppen in der Gruppentheorie bzw. der zweiseitigen Ideale in der Ringtheorie: sie entstehen als Kerne von Homomorphismen). Ein sehr wichtiger Homomorphismus ist der adjungierte Homomorphismus: Ist L eine Lie-Algebra, so definieren wir die Abbildung ad : L → gl(L),

(ad x)(y) := [x, y] ∀x, y ∈ L

Es ist klar, dass ad eine lineare Abbildung ist. Wir zeigen, dass ϕ die Lieklammer respektiert (Punkt (ii) in der Definition von LA-Homom.): z.z. ad([x, y]) = [ad x, ad y]. ad([x, y])(z) = [[xy], z] = −[z, [xy]] [ad x, ad y](z) = ad x ad y(z) − ad y ad x(z) = [x, [yz]] − [y, [xz]] = [x, [yz]] + [y, [zx]] = −[z, [xy]] (Jacobi-Identit¨at in L) Bemerkung: wir haben fr¨ uher schon erw¨ahnt, dass ad eine Derivation von L ist: mit (L1’) kann man die Jacobi-Identit¨at folgendermassen hinschreiben: [x, [yz]] = [[xy], z] + [y[xz]]. Man kann zeigen, dass jede Lie-Algebra als Unteralgebra von gl(V ) aufgefasst werden kann (f¨ ur einen Vektorraum V ): Theorem (Ado’s Theorem). Jede endlich-dimensionale Lie-Algebra L besitzt eine treue Darstellung ϕ : L ֒→ gl(V ) Mit andern Worten: f¨ur jede Lie-Algebra L existiert ein Vektorraum V und ein injektiver Lie-Algebrenhomomorphismus ϕ : L ֒→ gl(V ).

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Anders formuliert sagt das Theorem: Jede endlich-dimensionale Lie-Algebra kann als eine Lie-Algebra von quadratischen Matrizen (mit der KommutatorenKlammer) aufgefasst werden. Dies war zuerst von Ado 1935 bewiesen worden im Fall der Charakteristik 0. Iwasawa (1948) und Harish-Chandra (1949) haben sp¨ater den allgemeinen Fall bewiesen. 1.4. Aufl¨ osbare und nilpotente Lie-Algebren. Wir haben gesehen, dass dn abelsch ist, bn ist es nicht. Wir werden nun einen allgemeineren Begriff als abelsch einf¨ uhren. Definition. Die abgeleitete Reihe, (L(m) )m≥0 , und die zentrale Reihe (lower central series), (Lm )m≥0 , einer Lie-Algebra L werden definiert als absteigende Folge von Idealen in L: (¨uberlege selbst, warum die Folgen absteigend sind, und warum L(m) , Lm Ideale sind - z.B. ist L(m) ein Produkt von Idealen, und daher ein Ideal in L) L(0) := L0 := L,

L(m+1) = [L(m) , L(m) ],

Lm+1 = [L, Lm ]

L heisst aufl¨ osbar, falls L(m) = 0 f¨ ur ein m ≥ 1. L heisst nilpotent, falls Lm = 0 f¨ ur ein m ≥ 1. Beachte, dass L(1) = L1 = L′ . Triviales Beispiel: L abelsch ⇒ L nilpotent (⇒ [L, L] nilpotent ⇒) L aufl¨osbar. Bemerkung. (i) Es gilt L(m) ⊂ Lm , und daraus folgt: L nilpotent (⇒ jede Unteralgebra von L ist nilpotent, insbesonder [L, L]) ⇒ L aufl¨osbar. (ii) Die Implikation [L, L] nilpotent ⇒ L aufl¨osbar folgt, wenn wir zeigen, dass (m) L ⊂ [L, L]m−1 (und da letzteres = 0 ist f¨ ur m gen¨ ugend gross): Wir zeigen die Behauptung mit Induktion: m = 1: es ist L(1) = [L, L] = [L, L]0 , also ist L(1) ⊂ [L, L]0 . Die Inklusion stimme also f¨ ur m. Dann ist L(m+1) = [L(m) , L(m) ] ⊂ [[L, L]m−1 , [L, L]m−1 ] (Induktionsvoraussetzung) und ausserdem [[L, L]m−1 , [L, L]m−1 ] ⊂ [[L, L]m−1 , [L, L]] = [L, L]m . Beispiel. • Die Unteralgebra bn ist nicht nilpotent und nn ist nilpotent (somit ist bn aufl¨osbar). • Die Heisenbergsche Algebra ist aufl¨osbar. Jede 2-dimensionale Lie-Algebra ist aufl¨osbar (folgt aus deren Klassifikation, cf. Abschnitt 1.6 und [EW], Kapitel 3). • L := sl2 ist nicht aufl¨osbar: man kann zeigen, dass L′ = L, also L(m) = L f¨ ur alle m ≥ 1.

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1.5. Einschub: Klassische Lie-Algebren. Die folgenden vier Familien von Beispielen werden die klassischen Lie-Algebren genannt. Al Sei V = k l+1 . Dann ist Al die Lie-Algebra sl(V ) = sll+1 = sll+1 (k) (die Menge der Endomorphismen von V mit Spur 0), die spezielle lineare Algebra. Wir haben gesehen, dass dim sll+1 = (l + 1)2 − 1. Cl Sei V = k 2l . Dann ist Cl die Menge der Endomorphismen x : V → V , f¨ ur die gilt f (x(v), w) = −f (v, x(w)), wobei f die nicht ausgeartete  schiefsymmetri 0 Il sche Bilinearform auf V sei, die durch die Matrix s = definiert −Il 0 ist (Il ist die l × l-Einheitsmatrix). Sie wird auch mit sp(V ) oder sp2l oder sp2l (k) bezeichnet und heisst die symplektische Lie-Algebra. Die Bedingung, symplektisch zu sein, heisst f¨ ur die x, dass sx = −xt s.  Elemente  m n Schreiben wir x in Blockform als x = , so heisst das einfach p q mt = −q, n = nt , p = pt . Insbesondere ist tr x = 0. Folgende Elemente bilden eine Basis f¨ ur sp2l : (1) Eii − Ei+l,i+l (1 ≤ i ≤ l) (l St¨ uck); (2) Eij − El+j,l+i (1 ≤ i 6= j ≤ l) (l2 − l St¨ uck); (3) (Block n) Ei,l+i (1 ≤ i ≤ l) mit Ei,l+j + Ej,l+i (1 ≤ i < j ≤ l) (also uck); l + 12 l(l − 1) St¨ (4) (Block p) El+i,i (1 ≤ i ≤ l) (l St¨ uck) mit El+i,j + El+j,i (1 ≤ i < j ≤ l) uck). (also l + 21 l(l − 1) St¨ Insgesamt gibt das dim sp2l = 2l2 + l. Bl Sei V = k 2l+1 . Dann ist Bl die Menge der Endomorphismen x : V → V , f¨ ur die gilt f (x(v), w) = −f (v, x(w)), wobei f die nicht ausgeartete symmetrische Bili  1 0 0 nearform auf V sei, die durch die Matrix s = 0 0 Il  definiert ist. Sie 0 Il 0 wird auch mit o(V ) oder o2l+1 oder 02l+1 (k) bezeichnet und heisst die (ungrade) orthogonale Lie-Algebra. Die Bedingung, orthogonal zu sein, t i.e. dass xs = −x f¨ ur die Elemente x, in Blockform analog zu s,  s, heisst  a b1 b2 sagen wir x = c1 m n , dass a = 0, c1 = −bt2 , c2 = −bt1 , q = −mt , c2 p q t t n = −n und p = −p. Wiederum folgt tr x = 0. Folgende Elemente bilden eine Basis f¨ ur o2l+1 : (1) Eii − Ei+l,i+l (2 ≤ i ≤ l + 1) (l St¨ uck);

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(2) E1,l+i+1 − Ei+1,1 und E1,i+1 − El+i+1,1 (1 ≤ i ≤ l) (2l St¨ uck); t 2 (3) (Da q = −m ) Ei+1,j+1 − El+j+1,l+i+1 (1 ≤ i 6= j ≤ l) (l − l St¨ uck); uck); (4) (f¨ ur p) Ei+l+1,j+1 − Ej+l+1,i+1 (1 ≤ i < j ≤ l) ( 12 (l2 − l) St¨ uck). (5) (f¨ ur n) Ei+1,l+j+1 − Ej+1,l+i+1 (1≤ i < j ≤ l) ( 21 (l2 − l) St¨ 2 Insgesamt gibt das dim o2l+1 = 2l + l. Dl Analog zu Bl nur mit V = k 2l , und die Matrix,  die die symmetrische 0 Il Bilinearform definiert, ist nun einfach s = . Diese Lie-Algebra wird Il 0 geschrieben als o2l und heisst die (gerade) orthogonale Lie-Algebra. Wir haben dim o2l = 2l2 − l. ¨ Ubung: Konstruiere eine Basis von o2l . 1.6. Lie-Algebren von kleiner Dimension. Hier betrachten wir Lie-Algebren der Dimension 1,2 und 3. Wir werden sehen: Wichtige Informationen u ¨ber solche Lie-Algebren liefern die Dimension von L, die Dimension von der derivierten L′ und das Zentrum von L, Z(L), ein Ideal von L. Referenz f¨ ur diesen Abschnitt ist das Kapitel 3 in [EW], wo auch die fehlenden Beweise zu finden sind. Insbesondere wollen wir nicht-abelsche Lie-Algebren anschauen. (1) dim L = 1: da gibt es keine nicht-abelschen Lie-Algebren. (2) dim L = 2. Theorem. Bis auf Isomorphie gibt es genau eine 2-dimensionale nichtabelsche Lie-Algebra L. Sie besitzt eine Basis {x, y} mit [x, y] = x. Es ist Z(L) = 0. Beweis. Da L nicht abelsch sein soll, ist dim L′ = 1 (die Dimension von L′ kann h¨ochstens 1 sein: ist {u, v} eine Basis von L, so betrachte man [au + bv, cu + dv] = ac[u, u] + (ad − bc)[u, v] + bc[v, v] = (ad − bc)[u, v] L′ wird also von [u, v] aufgespannt. Sei x ∈ L′ , x 6= 0. Erg¨anzt man x zu einer Basis von L, etwa {x, y˜}, so ist [x, y˜] 6= 0 (sonst w¨are L abelsch), also [x, y˜] = αx f¨ ur ein α ∈ k \ {0}. Durch y := α−1 y˜ erreicht man [x, y] = x . (Lie-Algebren Axiome selber nachpr¨ ufen).



(3) Falls dim L = 3 ist, so kann L′ die Dimension 1, 2 oder 3 haben. Das Zentrum Z(L) ist ein echtes Ideal von L. (a) Ist L′ eindimensional und L′ ⊂ Z(L), dann kann man zeigen, dass L eine Heisenberg Lie-Algebra ist. In dem Fall ist L′ = Z(L), aufgespannt von E1,3 (siehe weiter oben).

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(b) Ist dim L′ = 1 und L′ ( Z(L), so kann man zeigen (Theorem 3.2 in [EW]), dass L die folgende Form hat: L = L1 ⊕ L2 wobei L1 die 2-dimensionale nicht-abelsche Lie-Algebra von weiter oben ist (Punkt (2)) und L2 eine 1-dimensionale Lie-Algebra. Es gilt (allgemein): (L1 ⊕ L2 )′ = L′1 ⊕ L′2 Z(L1 ⊕ L2 ) = Z(L1 ) ⊕ Z(L2 ) In diesem Beispiel konkret: L′ = L′1 , eindimensional, und Z(L) = Z(L2 ) = L2 . Also ist Z(L) ) L′ . (c) Es gibt u ¨ber C unendlich viele nicht isomorphe Lie-Algebren L der Dimension 3 mit dim L′ = 2 (Abschnitt 3.2.3 in [EW]). Insbesondere ist L′ abelsch. (d) Bis auf Isomorphie ist sl2 die einzige 3-dimensionale Lie-Algebra mit L = L′ . 1.7. Zuru osbaren und nilpotenten Lie-Algebren. ¨ ck zu aufl¨ Lemma. (i) Unteralgebren und Quotienten1 von aufl¨osbaren bzw. nilpotenten Liealgebren sind auch aufl¨osbar bzw. nilpotent. (ii) Die Summe von aufl¨osbaren bzw. nilpotenten Idealen ist wieder aufl¨osbar bzw. nilpotent. (iii) Sei 0 → L1 → L → L2 → 0 eine exakte Sequenz von Lie-Algebren. Dann gilt: L1 und L2 aufl¨osbar ⇐⇒ L aufl¨osbar. Bemerkung: (iii) ⇒ (ii) f¨ ur aufl¨osbar. Achtung: (iii) ist falsch mit “nilpotent”. Proof. Zum Teil (i), Aufl¨osbarkeit: Ist K ⊂ L eine Unteralgebra, so gilt K (i) ⊂ L(i) f¨ ur alle i. Analog f¨ ur die Nilpotenz, K i ⊂ Li . F¨ ur die Quotienten (Bilder von surjektiven Homomorphismen): Sei ϕ : L → M subjektiv. Dann zeigt man mittels Induktion u ¨ber i: (i) (i) ϕ(L ) = M (i = 0 ist klar). Analog f¨ ur die Nilpotenz. Zum Teil (iii): (Die Richtung ⇐ folgt aus (i)). (m) =⇒: ist L2 aufl¨osbar, so existiert ein m, so dass L2 = 0. Seien f : L1 → L und g : L → L2 die Abbildungen in der kurzen exakten Folge. Das Bild g(L(m) ) (m) liegt in L2 , ist also = 0. Damit haben wir L(m) ⊂ ker g = im f , also L(m) ⊂ L1 . (n) Da L1 = 0 f¨ ur ein n und weil man allgemein (L(i) )(j) = L(i+j) hat, folgt dann L(n+m) = 0.  1Bilder

von surjektiven Homomorphismen

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Bemerkung. Wegen (ii) folgt die Existenz und Eindeutigkeit eines maximalen2 aufl¨osbaren Ideals von L. (Eindeutigkeit: nehme an, es existiert ein maximales aufl. Ideal m und zweites, sagen wir m2 . Dann ist auch m + m2 aufl¨osbar, also m2 ⊂ m etc.) Definition. Das maximale aufl¨osbare Ideal von L heisst das Radikal von L, Rad L. Definition. Eine Lie-Algebra L heisst halbeinfach, falls L keine aufl¨osbaren Ideale 6= 0 hat, oder, equivalent dazu, falls RadL = 0. Beispiel. Jede einfache Lie-Algebra ist halbeinfach, da L keine Ideale ausser 0 und L hat und L selbst nicht aufl¨osbar ist. 1.8. Satz von Engel, Satz von Lie. Man kann zeigen, dass der Quotient L/RadL halbeinfach ist. Nach Definition ist das Radikal auf¨osbar. Um endlich-dimensionale Liealgebren zu verstehen, reicht es also, die folgenden Lie-Algebren zu kennen: (i) beliebige aufl¨osbare Lie-Algebren (ii) beliebige halbeinfache Lie-Algebren. Bem.: (i) wurde von Lie (f¨ ur k = C) gel¨ost: Satz von Lie - jede aufl¨osbare LieAlgebra l¨asst sich in die oberen Dreiecksmatritzen einbetten. Wenn L eine nilpotente Lie-Algebra ist, dann sind alle Elemente von L “adnilpotent”, wobei ein Element x ∈ L ad-nilpotent heisst, wenn der Endomorphismus ad x nilpotent ist. Nun sagt der Satz von Engel, dass auch die Umkehrung gilt: Sind alle Elemente von L ad-nilpotent, so ist L nilpotent. Der Satz von Engel ist leicht allgemeiner, dazu zuerst ein Lemma: Lemma (A). Ist x ∈ gl(V ) ein nilpotenter Endomorphismus, so ist auch ad x nilpotent. Beweis. x sei ein nilpotenter Endomorphismus. Dann sind die folgenden Endomorphismen von End(V ) (links-, rechtsmultiplizieren) λx (y) := xy ρx (y) := yx nilpotente Endomorphismen, die kommutieren (selber u ¨ berlegen). Nun sind auch λx ± ρx nilpotent. Also ist ad x = λx − ρx nilpotent.  Mit dem Lemma kann man den Satz von Engel f¨ ur nilpotente Endomorphismen formulieren: 2d.h.

in keinem echt gr¨ osseren aufl¨osbaren Ideal enthaltenen

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Theorem (Satz von Engel). Sei L ⊂ gl(V ) eine Unteralgebra, dim V = n < ∞, V 6= 0. L bestehe aus nilpotenten Endomorphismen von V . Dann gilt: (1) Es existiert ein v 6= 0: L.v = 0 (2) Es existiert eine Basis von V mit L ⊂ nn ⊂ gln . Es folgt, dass L nilpotent ist. Der erste Teil sagt, dass L einen gemeinsamen Eigenvektor hat zum Eigenwert 0. Bemerkung. Aus L ⊂ gl(V ) nilpotent folgt nicht, dass L aus nilpotenten Endomorphismen besteht (betrachte das Beispiel dn )! Korollar. Sei L eine endlich-dimensionale L.A. Dann gilt: ad L ⊂ gl(L) besteht aus nilpotenten Endomorphismen ⇐⇒ L ist nilpotent. Beweis. “ ⇐=′′ folgt aus der Definition. “ =⇒′′ : nach dem Satz von Engel ist ad L nilpotent, ad L ∼ = L/ ker ad = L/Z(L) Damit ist (L/Z(L))m = 0 f¨ ur ein m, d.h. Lm ⊂ Z(L). Dann ist Lm+1 = [L, Lm ] ⊂ [L, Z(L)] = 0 ⇒ L ist nilpotent.  Beweis Satz von Engel. Induktion u ¨ ber die Dimension von L. F¨ ur dim L ≤ 1 ist die Aussage klar (Fall dim L = 1: L wird durch eine einzige nilpotente Transformation aufgespannt, sagen wir durch z. Es gibt einen Vektor v 6= 0 in V mit zv = 0, und jedes Element von L ist ein Vielfaches von z, also wird v durch jedes Element von L annuliert). Zum Teil (1): Sei dim L > 1. Sei K eine maximale Lieunteralgebra von L, K ( L. Behauptung: K ist ein Ideal von L und dim K = dim L − 1. Wir betrachten den Quotienten(vektor-)raum L/K. Nach Lemma (A) operiert K (mittels ad) auf dem Vektorraum L. Und damit auch auf dem Quotientenraum L/K. K −→ gl(L/K) x 7−→ (y + K 7→ (ad x)(y + K) = [x, y + K]) Da dim K < dim L, existiert nach Induktionsannahme ein Vektor x + K 6= K im Quotientenraum L/K, der durch das Bild von K in gl(L/K) annuliert wird. Mit anderen Worten: [y, x] ∈ K f¨ ur alle y ∈ K, w¨ahrend x ∈ / K. Daher ist K echt enthalten im Normalisator NL (K) von K in L NL (K) := {x ∈ L | [x, K] ⊂ K} Wegen der Maximalit¨at von K folgt, dass NL (K) = L ist, also ist K ein Ideal von L = NL (K). Nun noch die Dimension von K: W¨are dim L/K > 1, so w¨are das Urbild von einer eindimensionalen Unteralgebra von L/K (einer Unteralgebra der Form kx0 + K, x0 ∈ L) eine echte Unteralgebra

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von L, die K echt enth¨alt. Das widerspricht der Maximalit¨at von K. Also hat K Kodimension 1 in L, wir k¨onnen L schreiben als L = K + kz f¨ ur ein z ∈ L \ K. Nach Induktionsannahme ist nun der Raum der Eigenvektoren unter K (zu 0), W = {v ∈ V | K · v = 0} = 6 0 Da K ein Ideal ist, ist W stabil unter L, das heisst f¨ ur x ∈ L, y ∈ K, w ∈ W ist yx.w = xy.w − [x, y].w = 0. W¨ahlen wir ein z ∈ L \ K wie oben, dann hat der nilpotente Endomorphismus - operierend auf dem Untervektorraum W - auch einen Eigenvektor, i.e. es existiert ein Vektor w ∈ W , w 6= 0, so dass z.w = 0. Damit ist aber L.w = 0 (da ganz K alle Vektoren aus W annuliert). Zum Teil (2) Wir zeigen, dass es eine Fahne (Folge) von Vektorr¨ aumen 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn , dim Vn = n mit dim Vi = i und die stabil ist unter L (das heisst es gilt x.Vi ⊂ Vi−1 f¨ ur alle x ∈ L, ∀ i). Das heisst nichts anderes, als dass es eine Basis gibt von V , bez¨ uglich derer alle Matritzen von L in strikt oberer Dreiecksform sind. Nach Teil (1) existiert ein v ∈ V , v 6= 0, das von ganz L annuliert wird. Setzen wir V1 := kv und W := V /V1 , dann ist die induzierte Operation von L auf W ebenfalls durch nilpotente Endomorphismen gegeben. Nun k¨onnen wir Induktion u ¨ber die Dimension von V verwenden (dim V = 1 ist klar), also hat nach Induktion der Vektorraum W eine solche Fahne von Vektorr¨aumen. Deren Urbilder in V bilden eine Fahne in V wie gew¨ unscht.  Der Satz von Engel zeigt die Existenz eines gemeinsamen Eigenvektors f¨ ur Liealgebren, die aus nilpotenten Endomorphismen bestehen. Ein analoges Resultat f¨ ur aufl¨osbare Lie-Algebren ist der Satz von Lie. Da brauchen wir jedoch die Voraussetzung k algebraisch abgeschlossen (um alle Eigenwerte zu haben) und chark = 0. Dass letzteres notwendig ist, zeigt das folgende Beispiel:  0 1 Beispiel. Sei k ein K¨orper der Charakteristik p > 0, seien x := 

1

0

..

.

 und

1 0

y :=diag(0, 1, . . . , p−1). Dann ist [x, y] = x (nachrechnen). Damit ist die von x und y aufgespannte Lie-Algebra L eine zweidimensionale Lie-Algebra, deren derivierte L′ nilpotent ist, also ist L aufl¨osbar. Man kann (und soll) jedoch u ufen, dass ¨ berpr¨ der Vektorraum k p keinen gemeinsamen Eigenvektor (6= 0) von L besitzt.

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Theorem (Satz von Lie). Sei k = k und char k = 0, sei L ⊂ gl(V ), L aufl¨osbar. Dann gilt: (i) Es existiert ein gemeinsamer Eigenvektor 0 6= v ∈ V mit x · v = λ(x)v, λ : L → k linear, f¨ur alle x ∈ L. (ii) Es existiert eine Basis von V , so dass L ⊂ bn ⊂ gln . ¨ Beweis. Ahnlich wie der Beweis des Satzes von Engel. Wir schreiben hier nur die vier Schritte auf. Induktion u ¨ber die Dimension von L, der Fall dim L = 0 ist trivial. (1) Man finde ein Ideal K der Kodimension 1 in L. (2) Man zeigt durch Induktion, dass ein gemeinsamer Eigenvektor (n 6= 0) f¨ ur K existiert. (3) Man u uft, dass L einen Unterraum stabilisiert, der aus solchen Eigen¨berpr¨ vektoren besteht. (4) In diesem Unterraum findet man einen Eigenvektor unter einem z ∈ L, f¨ ur das gilt L = K + kz.  Korollar. L eine endlich dimensionale L.A. L aufl¨osbar ⇐⇒ [L, L] nilpotent. Beweis. (“ ⇐=′′ hatten wir schon)

  ∗ ∗ S.v. Lie “ =⇒′′ : gl(L) ⊃ L aufl¨osbar =⇒ ad L ⊂ { . . . } = bn . 0 ∗ ad[L, L] = [ad L, ad L] ⊂ nn . Mit dem Korollar zum Satz von Engel folgt: [L, L] ist nilpotent.  Theorem (Aufl¨osbarkeitskriterium von Cartan). Sei k = k und char k = 0, sei L ⊂ gl(V ). F¨ur alle x ∈ [L, L], y ∈ L gelte tr(xy) = 0. Dann ist L aufl¨osbar. Korollar. Sei L eine L.A. Dann gilt: f¨ur alle x ∈ [L, L], y ∈ L ist tr(ad x ad y) = 0 ⇐⇒ L aufl¨osbar Beweis. “ ⇐=′′ (Aus L aufl¨osbar folgt, dass ad L aufl¨osbar ist)   ∗ ∗ ad L ⊂ { . . . } = bn 0 ∗ ad[LL] = [ad L, ad L] ⊂ nn , also ist tr(ad x ad y) = 0 f¨ ur alle x ∈ [LL], y ∈ L. “ =⇒′′ Das Kriterium von Cartan, angewandt auf ad L liefert: ad L ist aufl¨osbar. Da ker ad = Z(L) ein aufl¨osbares Ideal von L ist folgt mit Lemma (iii) in §1.7, dass L aufl¨osbar ist. 

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Beweis Kriterium von Cartan. Wir wissen, dass L aufl¨osbar ist, wenn [L, L] nilpotent ist. Es gen¨ ugt damit, zu zeigen, dass [LL] ⊂ gl(V ) aus nilpotenten Endomorphismen besteht. Dazu brauchen wir ein Kriterium, das sagt, wann eine Matrix nilpotent ist: Lemma. Seien A, B ⊂ gl(V ) Unterr¨aume, sei M := {z ∈ gl(V ) | [z, B] ⊂ A}. Ist w ∈ M eine Matrix mit tr zw = 0 f¨ ur alle z ∈ M, dann ist w nilpotent. Beweis Lemma: Lemma §4.3 in [Hu].

Sei also V ein endlich dimensionaler VR, L ⊂ gl(V ). W¨ahlen nun A = [LL], B = L f¨ ur das obige Lemma, also M = {x ∈ gl(V ) | [x, L] ⊂ [L, L]}. Es ist L ⊂ M, i.e. A ⊂ B ⊂ M. Nach Voraussetzung ist tr(xy) = 0 f¨ ur alle x ∈ [LL], y ∈ L. Um das Lemma anzuwenden und zu sehen, dass jedes x ∈ [LL] nilpotent ist, brauchen wir etwas mehr, n¨amlich tr(xy) = 0 f¨ ur alle x ∈ [LL], y ∈ M. An dieser Stelle benutzen wir die Identit¨at tr([xy]z) = tr(x[yz]) f¨ ur beliebige Endomorphismen x, y, z eines endlich dimensionalen Vektorraums (einfach ausschreiben...). Die gibt uns f¨ ur [xy] ∈ [LL] und z ∈ M beliebig: tr([xy]z) = tr(x[yz])

tr ist kommut.

=

tr([yz], x).

Nach Definition von M ist [yz] ∈ [LL], also ist nach Voraussetzung tr([yz], x) = 0 und die Behauptung folgt mit dem Lemma.  ¨ Ubungen. ¨ (1) Sei L = R3 der dreidimensionale reelle Vektorraum. Uberpr¨ ufe, dass das Kreuzprodukt (x, y) 7→ x ∧ y eine Lie-Algebrenstruktur auf L definiert. Bemerkung: 2 y3 − x  DasProdukt  ist x ∧y = (x 3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ). 0 1 1 0 0 0 (2) Seien x = ,h= ,y= eine Basis von sl2 . Berechne 0 0 0 −1 1 0 die Matrizen von ad x, ad h und ad y bez¨ uglich dieser Basis.

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2. Killingform Erinnerung: L heisst halbeinfach, falls f¨ ur das maximale aufl¨osbare Ideal von L gilt RadL = 0. Definition. Sei L eine Lie-Algebra. Dann ist κ(x, y) := tr(ad x ad y) eine symmetrische Bilinearform, die Killingform von L. Zur Erinnerung: Das Radikal einer Bilinearform β : L×L → L ist der Unterraum S := {x ∈ L | β(x, y) = 0 ∀ y ∈ L} von L. Bemerkung. κ ist assoziativ: κ([xy], z) = κ(x, [yz]) Also ist das Radikal von κ nicht nur ein Unterraum, sondern auch ein Ideal von L. Definition. Eine Bilinearform β auf L × L heisst nicht ausgeartet, falls f¨ ur das Radikal S von β gilt: S = 0. Ab hier Selbststudium f¨ur 30.10.2012, bis Ende 2. Kapitel Bemerkung. Ein einfacher Weg zu sehen, ob κ nicht ausgeartet ist, ist folgender: Ist L eine L.A. mit Basis x1 , . . . , xn , so gilt β nicht ausgeartet ⇐⇒ det(M(i, j)ij ) 6= 0 mit M(i, j) := κ(xi , xj ) Beispiel. Wir berechnen die Killingform von sl2 , mit der Standardbasis {x, h, y} ¨ ¨ aus der Ubung (2). Nach Ubung (2) haben die adjungierten Matrizen die Form       0 −2 0 2 0  , ad y = −1 0  0 1 , ad h =  0 ad x =  0 −2 0 2 0   0 0 4 Dann ist 0 8 0 die Matrix von κ, sie hat Determinante −128, i.e. κ ist nicht 4 0 0 ausgeartet (auch f¨ ur alle andern K¨orper k mit char k 6= 2). Satz. Sei L eine Lie-Algebra. L halbeinfach ⇐⇒ κ ist nicht ausgeartet. Beweis. =⇒: Nehme an, dass Rad(L) = 0 ist. Sei S das Radikal von κ. Zu zeigen ist, dass S = 0 ist. Nach Definition von S ist tr(ad x ad y) = 0 f¨ ur alle x ∈ S, y ∈ L, insbesondere ∀ y ∈ [S, S]. Nach dem Kriterium von Cartan ist dann adL S aufl¨osbar. Und damit ist S auch aufl¨osbar. Da S ein Ideal in L ist, folgt also S ⊂ Rad(L) = 0. ugt es, z.z., dass jedes ⇐=: Sei S = 0. Um zu zeigen, dass L halbeinfach ist, gen¨ abelsche Ideal I von L in S enthalten ist. Sei I ein abelsches Ideal, x ∈ I, y ∈ L. Dann ist ad x ad y eine Abbildung L → L → I und daher (ad x ad y)2 : L → [II] = 0 (I ist abelsch). Also ist ad x ad y

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nilpotent, und somit ist 0 = tr(ad x ad y) = κ(x, y), also muss I in S = 0 enthalten sein. (Dies gilt in beliebiger Charasteristik).  Definition. Eine Lie-Algebra L heisst direkte Summe von Idealen I1 , I2 , . . . , It , falls X L = I1 + · · · + It und Ii ∩ Ij = 0. j6=i

Wir schreiben dann L = I1 ⊕ I2 ⊕ · · · ⊕ It . Satz. Sei L halbeinfach. Dann existieren L1 , . . . , Lt Ideale von L, wobei jedes Li einfach ist (als Lie-Algebra), so dass L = L1 ⊕ · · · ⊕ Lt . Zus¨atzlich gilt: • jedes einfache Ideal von L ist eines dieser Li • Die Killingform von Li ist die Einschr¨ankung von κ auf Li × Li . Beweis. Sei I ⊂ L ein beliebiges Ideal. Dann ist I ⊥ := {x ∈ L | κ(x, y) = 0 ∀ y ∈ I} auch ein Ideal (κ ist assoziativ). Mit dem Cartan Kriterium (auf die LA I angewendet) folgt, dass das Ideal I ∩ I ⊥ aufl¨osbar ist, also ist I ∩ I ⊥ = 0. Da dim L = dim I + dim I ⊥ folgt dann L = I ⊕ I ⊥ . Zerlegung in einfache Ideale: (Induktion u ¨ ber dim L). Hat L keine echten einfachen Ideale, so sind wir fertig, L ist selber einfach. Andernfalls sei L1 ein minimales Ideal, L1 6= 0. Nach dem obigen ist L = L1 ⊕ L⊥ 1. Insbesondere ist jedes Ideal von L1 auch ein Ideal von L und L1 ist halbeinfach. Da L1 minimal ist, ist L1 einfach. Nun ist L⊥ 1 halbeinfach (aus demselben Grund), ⊥ nach Induktionsannahme ist L1 zerlegbar in eine direkte Summe von einfachen Idealen, die alle auch Ideale von L sind. Damit haben wir eine Zerlegung von L in eine direkte Summe von einfachen Idealen. Eindeutigkeit: Sei I ein einfaches Ideal von L. Dann ist [IL] ⊂ L ein Ideal. Es ist nicht Null, da Z(L) = 0. Damit ist [IL] = I. Andrerseits k¨onnen wir [IL] zerlegen, [IL] = [IL1 ] ⊕ · · · ⊕ [ILt ], wobei nun alle Summanden bis auf einen Null sein m¨ ussen. Sei z.B. [ILi ] = I sein, und I ⊂ Li . Dann ist aber I = Li (Li ist einfach). Einschr¨ankung der Killingform: Cf. Lemma 5.1 in Humphreys.  Korollar. Ist L halbeinfach, dann ist L = [LL] und alle Ideale und homomorphen Bilder von L sind halbeinfach. Weiter gilt: jedes Ideal von L ist Summe von bestimmten einfachen Idealen von L. Erinnerung: Eine Derivation von A (A eine Lie-Algebra) ist eine Abbildung δ : A → A mit δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b f¨ ur alle a, b ∈ A. Definition. Sei A eine Algebra mit einer Klammer, die die Jacobi-Identit¨at erf¨ ullt (z.B. eine Lie-Algebra L mit [ , ]). Dann heissen die Derivationen der Form ad x : y → [xy] die inneren Derivationen von A (ad x ist ein Element von DerL ⊂ End(L)). Es ist ad x([yz]) = [x[yz]] = [[xy]z] + [y[xz]] = [y ad x(z)] + [ad x(y)z].

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN

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Satz. Ist L eine halbeinfache L.A., so gilt: ad L = Der L ⊂ End(L). D.h. ist L halbeinfach, so sind alle Derivationen innere Derivationen. Beweis. Siehe Humphreys, 5.3



Satz. Die klassischen Lie-Algebren sind alle halbeinfach. ¨ Ubungen: ¨ (4) Uberlege, dass man die folgenden Eigenschaften hat: A1 = B1 = C1 B2 = C2 A3 = D3 A2 = D1 ⊕ D1 D1 ist abelsch. (5) Sei L = sl2 . Man berechne die zu L duale Basis - bez¨ uglich der Killingform κ der Standardbasis von L. Die Standardbasis von sl2 ist die Basis {x, h, y} aus der ¨ Ubung (2). (6) Bez¨ uglich der Standardbasis von sl3 berechne man die Determinante der Killingform κ. Welche Primzahlen teilen sie? Die Standardbasis von sl3 ist {h1 , h2 , Eij (i 6= j)}, f¨ ur hi := Eii − Ei+1,i+1 .

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3. Vollst¨ andige Reduzibilit¨ at und sl2 -Darstellungen 3.1. Vollst¨ andige Reduzibilit¨ at. Sei L eine LA. Ein Vektorraum V mit einer Abbildung L × V → V , (x, v) 7→ x.v heisst L-Modul, wenn gilt: (M1) (ax + by).v = a(x.v) + b(y.v) (M2) x.(av + bw) = a(x.v) + b(x.w) (M3) [x, y].v = x.y.v − y.x.v ∀ x, y ∈ L, ∀ a, b ∈ k, ∀ v, w ∈ V (dabei geben (M1) und (M2) die Bilinearit¨at: (M1) die Linearit¨at im ersten Argument, (M2) die Linearit¨at im 2. Argument. (M3) zeigt die Vertr¨aglichkeit der Operation von L mit der Lieklammer auf L). Beispiel. Sind V und W zwei L-Moduln, dann ist die direkte Summe V ⊕ W ein L-Modul zusammen mit x.(v, w) := (x.v, x.w) ((M1)-(M3) u ufen). ¨berpr¨ Korrespondenz L-Moduln ←→ Darstellungen Sei ϕ : L → gl(V ) eine Darstellung. Dann ist V ein L-Modul mit x.v := ϕ(x)(v). Umgekehrt: Ist V ein L-Modul, so definiert ϕ(x)(v) := x.v eine Darstellung ϕ : L → gl(V ). Sei V ein L-Modul. Ein L-Untermodule von V ist ein Unterraum U ⊂ V , so dass U invariant unter der Operation von L ist, d.h. x.u ∈ U ∀ x ∈ L, ∀ u ∈ U. Wir werden of einfach sagen: U ⊂ V ist ein Untermodul von V . Ist V ein L-Modul und U ein Untermodul von V , dann ist der Quotientenvektorraum V /U ein L-Modul mit x.(v + U) := (x.v) + U (∀ x ∈ L, ∀ v ∈ V ) und wird Quotientenmodul oder Faktormodul genannt. (Zu pr¨ufen, dass die Operation von L auf V /U wohldefiniert ist und (M1)-(M3) gelten.) Definition. Sei L eine LA und V , W zwei L-Moduln. Eine lineare Abbildung (i.e. ein Vektorraumhomomorphismus) ϕ : V → W heisst L-Modul Homomorphismus, falls gilt: ϕ(x.v) = x.ϕ(v) ∀x ∈ L, v ∈ V. (∗) (d.h. falls die Abbildung mit der L-Struktur vertr¨aglich ist.) In der Sprache der Darstellungen l¨asst sich (*) wie folgt schreiben: ϕ ◦ ϕV (x) = ϕW (x) ◦ ϕ ∀ x ∈ L. Bemerkung. Wir haben die Standardisomorphies¨atze, z.B.: • ker ϕ ist ein L-Untermodul von V und im ϕ ist ein L-Untermodul von W , und V / ker ϕ ∼ = im ϕ • Sind U1 ⊂ U2 ⊂ V L-Untermoduln, so ist U2 /U1 ein L-Untermodul von V /U1 und es gilt (V /U1 )/(U2 /U1 ) ∼ = V /U2 .

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Definition. Sei L eine LA und V , W zwei L-Moduln. Ein Vektorraumisomorphismus ϕ : V → W heisst L-Modul Isomorphismus, falls gilt: ϕ(x.v) = x.ϕ(v) ∀x ∈ L, v ∈ V. (i.e. falls die Abbildung mit der L-Struktur vertr¨aglich ist). Die induzierten Darstellungen L → gl(V ) und L → gl(W ) heissen dann ¨ aquivalent. Definition. Sei V ein L-Modul. • V heisst irreduzibel, falls V 6= 0 und V keine nicht-trivialen Untermoduln besitzt. (V hat also genau zwei U-Moduln: 0 und sich selbst). • V heisst vollst¨ andig reduzibel, falls V direkte Summe von irreduziblen Untermoduln ist. (⇐⇒ jeder Untermodul W von V hat ein Komplement W ′ .) Bemerkung. Insbesondere ist V = 0 nicht irreduzibel). Falls dim V = 1 ist, dann ist V irreduzibel. (Alles bisherige in Abschnitt 3.1 gilt auch f¨ ur unendlich-dimensionale L-Moduln). Ab jetzt sei dim V = n < ∞. Seien V und W zwei irreduzible L-Moduln und sei ϕ : V → W ein L-Modul Homomorphismus, der nicht Null ist. Was k¨onnen wir u ¨ ber ϕ sagen? • Es ist im ϕ ein Untermodul von W verschieden von 0 und da W irreduzibel ist, muss ϕ surjektiv sein. • Weiter ist ker ϕ ein echter Untermodul von V und da V auch irreduzibel ist, muss ϕ injektiv sein. Somit gibt es zwischen nicht isomorphen irreduziblen L-Moduln nur den Nullhomomorphismus. Das n¨achste Lemma betrachten nun L-Homomorphismen eines irreduziblen LModuls in sich selbst: Lemma (Lemma von Schur). (k = k). Sei ϕ : L → gl(V ) eine (endlich dimensionale) irreduzible Darstellung von L. Dann sind die einzigen Endomorphismen von V , die mit allen ϕ(x) (x ∈ L) vertauscht, die Skalare. Beweis. V ist mit x.v := ϕ(x)(v) ein irreduzibler L-Modul. Sei ψ ∈ End(V ) mit ψ ◦ ϕ(x) = ϕ(x) ◦ ψ (∀ x ∈ L), (d.h. ψ ist ein L-Modul Homomorphismus). O.E. ist ψ nicht identisch Null. W¨ahle einen Eigenwert λ 6= 0 von ψ (da k alg. abgeschlossen ist, ist λ ∈ k). Sei ψ1 := ψ − λ · Id. Dann gilt ψ1 ◦ ϕ(x) = ψ ◦ ϕ(x) − λ · Id ◦ ϕ(x) = ϕ(x) ◦ ψ − ϕ(x) ◦ λ · Id = ϕ(x) ◦ ψ1

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also ist auch ψ1 ein L-Modul Homomorphismus. Weiter muss ein Eigenvektor von λ 6= 0 f¨ ur ψ im Kern von ϕ1 enthlaten sein, d.h. ker ψ1 6= 0. Somit ist ker ψ1 ein von 0 verschiedener Untermodul von V und da V irreduzibel ist, folgt V = ker ψ1 = ker (ψ − λ · idV ) ⇒ ψ = λ · idV .  3.2. Konstruktion von L-Moduln. Wir beschreiben ein paar Beispiele von LModuln - und wie man L-Moduln aus bekannten L-Moduln erhalten kann. (1) L ist selbst ein L-Modul mit der adjungierten Darstellung: x.y := [x, y] (= ad x(y)). Die Untermoduln von L sind die Ideale von L, damit folgt: Ist L einfach (resp. halbeinfach), so ist L ein irreduzibler (resp. vollst¨andig reduzibler) L-Modul. (2) Sei V ein L-Modul. Der Dualraum V ∗ := Hom(V, k) ist mit (x.f )(v) := −f (x.v) (f ∈ V ∗ , x ∈ L, v ∈ V ) ein L-Modul, die duale oder kontragrediente Darstellung. Die Axiome (M1), (M2) sind klar, (M3): ([xy].f )(v) = −f ([xy].v) = −f (x.y.v − y.x.v) = (x.f )(y.v) − (y.f )(x.v) = −(y.(x.f ))(v) + (x.(y.f ))(v) = (x.y.f − y.x.f )(v) (3) Seien V , W zwei L-Moduln mit Basen (v1 , . . . , vm ), (w1 , . . . , wn ). Dann ist V ⊗ W auch ein Vektorraum, mit Basis (vi ⊗ wj )1≤i≤m,1≤j≤n . Man setzt x.(v ⊗ w) := x.v ⊗ w − v ⊗ x.w. Hier ist auch (M3) das Axiom, das am schwierigsten zu u ufen ist. ¨ berpr¨ ¨ Ubung! (4) Ist V ein Vektorraum, dann gibt es einen n¨ utzlichen Isomorphismus π : ∗ V ⊗ V → End(V ), durch (f ⊗ v) 7→ (w 7→ f (w)v). (Benutzt man duale Basen, so kann man zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist, und da die Dimension auf beiden Seiten n2 ist, ist die Abbildung ein Isomorphismus). Ist V nun ein L-Modul, so ist nach (2) auch V ∗ ein L-Modul, und mit (3) ist dann auch V ∗ ⊗ V ein L-Modul. Da π ein Isomorphismus, ist daher auch End(V ) ein L-Modul. Die Operation von L auf End(V ) kann direkt beschrieben werden: (x.f )(v) = x.(f (v)) − f (x.v). (5) Sind V , W zwei L-Moduln, so ist Hom(V, W ) ein L-Modul (das folgt aus (4) mit der Beobachtung Hom(V, W ) ∼ = V ∗ ⊗ W ). 3.3. Das Casimirelement einer Darstellung. Erinnerung. Ist L eine halbeinfache Lie algebra, d.h RadL = 0, dann ist die Killingform von L nicht ausgeartet.

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Wir verallgemeinern nun dieses Resultat: Sei ϕ : L ֒→ gl(V ) eine treue (d.h. injektive) Darstellung einer halbeinfachen Lie algebra L. Dann ist β(x, y) := tr(ϕ(x)ϕ(y)) eine symmetrische, assoziative und nicht ausgeartete Bilinearform und wird Spurform genannt. Bemerkung. Ist ϕ = ad, so ist β = κ, die Killingform. Sei L eine halbeinfache Lie-Algebra, β eine beliebige nicht ausgeartete, symmetrische assoziative Bilinearform. Ist (x1 , . . . , xn ) eine Basis von L, so existiert eine eindeutig festgelegte, dazu duale Basis (y1 , . . . , yn ) von L mit β(xi , yj ) = δij . Ist nun ϕ : L → gl(V ) eine beliebige Darstellung von L, so definieren wir die Abbildung cϕ (β) : V → V , cϕ (β) :=

n X

ϕ(xi )ϕ(yi )

i=1

Es ist einfach, zu zeigen, dass [cϕ (β), ϕ(x)] = 0 ∀ x ∈ L (siehe Kapitel 6.2 von Humphreys). M.a.W.: cϕ (β) ist ein Endomorphismus von V , der mit ganz ϕ(L) kommutiert. Ist ϕ : L ֒→ gl(V ) eine treue Darstellung mit nicht ausgearteter Spurform β(x, y) = tr(ϕ(x)ϕ(y)) und (x1 , . . . , xn ) eine fixierte Basis von L (damit ist die bez¨ uglich β duale Basis auch festgelegt), so schreiben wir einfach cϕ f¨ ur cϕ (β) und nennen dies das Casimirelement von ϕ. (In der Modulsprache operiert das P Casimirelement einfach als v 7→ ni=1 xi .yi .v) Die Spur von cϕ ist X X tr(ϕ(xi )ϕ(yi )) = β(xi , yi ) = dim L i

i

Ist zudem ϕ eine irreduzible Darstellung, so folgt mit dem Lemma von Schur, dass cϕ ein Skalar ist, da es mit ganz ϕ(L) vertauscht. • Nach Obigem ist cφ = dim L/ dim V . • In diesem Fall ist cϕ also unabh¨angig von der gew¨ahlten Basis von L. Beispiel. Sei L = sl2 , V = k 2 und ϕ : L → gl(V ) die Identit¨at, (x, h, y) die Standardbasis von L. Man findet, dass die duale Basisbzgl. der Spurform (y, h/2, x)  3/2 0 ist. Somit ist cϕ = xy + (1/2)h2 + yx = . Insbesondere operiert cϕ als 0 3/2 Multiplikation mit 3/2 (und dim L/ dim V = 3/2). Bemerkung. (1) Ist ϕ keine treue Darstellung, so kann das Casimirelement leicht modifiziert definiert werden: ker ϕ ist ein Ideal in L, also eine Summe von einfachen Idealen. Bezeichnet man mit L′ die Summe der u ¨brigen Ideale, so wird dann das Casimirelement u ¨ber duale Basen von L′ definiert.

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(2) Ist L eine einfache LA, so ist der eindimensionale Modul (auf dem L trivial operiert) der einzige irreduzible Modul, auf dem L nicht treu operiert. 3.4. Theorem von Weyl. Theorem (Weyl). Jede endlich-dimensionale Darstellung einer halbeinfachen LieAlgebra ist vollst¨andig reduzibel. Beweis. Siehe Humphreys, Abschnitt 6.3 Die Beweisidee ist die folgende: Sei V eine Darstellung von L. Ist W ein Untermodul von V , 0 6= W 6= V , so ist zu zeigen, dass ein Untermodul U existiert mit V = W ⊕ U. Zuerst wird das im Fall eines Untermodules W der Kodimension 1 in V betrachtet. Also hat man eine kurze exakte Folge 0 → W → V → K → 0. Man arbeitet dann mit Induktion u ¨ber die Dimension von W . Danach nimmt man einen beliebigen Untermodul W , also eine kurze exakte Folge 0 → W → V → V /W → 0. f → Ve → K → 0 reduzieren. Dies kann man auf den Fall 0 → W



3.5. Bemerkungen zur Jordanzerlegung. Sei x ∈ End(V ).

Proposition (Jordanzerlegung). Sei x ∈ End(V ). (a) Es existieren eindeutige xs , xn ∈ End(V ) mit folgenden Eigenschaften: x = xs + xn : xs halbeinfach (=diagonalisierbar) xn nilpotent [xs , xn ] = 0. (b) Es existieren p, q ∈ k[T ]: p(0) = q(0) = 0 und xs = p(x), xn = q(x). Bemerkung. (i) Was ist die Jordanzerlegung von ad x (f¨ ur x ∈ L ⊂ End(V ), x = xs + xn ∈ End(V ))? Es ist ad x = (ad x)s + (ad x)n = ad xs + ad xn P (ii) Ist x = diag(a1 , . . . , an ), dann ist (ad x)eij = [ ak ekk , eij ] = (ai − aj )eij .

Teil (i) sagt, dass die abstrakte Jordanzerlegung (von x ∈ L) und die u ¨ bliche Jordanzerlegung (von Elementen von End(V )) u bereinstimen. ¨

3.6. sl2 -Darstellungen. Wir betrachten nun (endlich-dimensionale) Darstellungen V von sl2 und verwenden die Standardbasis von L:       0 1 1 0 0 0 x= , h= , y= 0 0 0 −1 1 0 Zur Erinnerung: [hx] = 2x, [hy] = −2y, [xy] = h. Das Element h ist halbeinfach, h operiert diagonal auf V .

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN

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(ein Element x ∈ L heisst halbeinfach, wenn ad x halbeinfach ist. Analog dazu heisst x ∈ L nilpotent, falls ad x nilpotent ist). Da k = k ist, liegen alle Eigenwerte in k. Daraus erhalten wir eine Zerlegung von V in die direkte Summe der Eigenr¨aume (mit Eigenwerten in k): setze Vλ := {v ∈ V | h.v = λv} (ist λ kein Eigenwert, so setzt man Vλ = 0): M V = Vλ λ∈k

Ist Vλ 6= 0, so sagen wir, dass λ ein Gewicht von h in V ist und dass Vλ ein Gewichtsraum ist. Die Eigenwerte liegen also in k - wir werden sehen, dass sie sogar ganze Zahlen sind. Ein erster Schritt dazu ist: Lemma. Ist v ∈ Vλ , so gilt x.v ∈ Vλ+2 und y.v ∈ Vλ−2 . Beweis. h.(x.v) = [h, x].v + x.h.v = 2x.v + λx.v = (λ + 2)x.v Der zweite Teil folgt analog.



Aus dem Lemma folgt, dass x, y durch nilpotente Endomorphismen von V dargestellt werden. (Das folgte auch schon aus der Bemerkung (i) zur Jordanzerlegung). Da dim V < ∞ ist, und die Summe V = ⊕Vλ direkt ist, folgt, dass ein Gewichtsraum Vλ 6= 0 existiert, f¨ ur den Vλ+2 = 0 ist. (Wegen dem Lemma ist dann x.v = 0 f¨ ur alle v ∈ Vλ ). F¨ ur ein solches λ heisst jeder Vektor v 6= 0 in Vλ ein maximaler Vektor vom Gewicht λ. 3.7. Klassifikation von irreduziblen sl2 -Moduln. Sei V ein irreduzibler LModul (L = sl2 ), sei v0 ∈ Vλ ein maximaler Vektor, setze v−1 := 0 und vi := ( i!1 )y i .v0 (i ≥ 0). Lemma. (a) h.vi = (λ − 2i)vi (b) y.vi = (i + 1)vi+1 (c) x.vi = (λ − i + 1)vi−1 (i ≥ 0) (∗)

Beweis. (a) h.vi = i!1 h.y i .v0 = (λ − 2i) i!1 y i .v0 = (λ − 2i)vi . (∗) wende i-mal obiges Lemma an (b) nach Definition

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(c) Induktion u ¨ber i. Der Fall i = 0 ist klar (da v−1 = 0) . Nehmen also an, (c) gelte f¨ ur i − 1. (def )

ix.vi

=

= =

1 i x.y i .v0 = x.y.y i−1v0 = [x, y].vi−1 + y.x.vi−1 i! (i − 1)! (a),IndAnn h.vi−1 + y.x.vi−1 = (λ − 2(i − 1))vi−1 + (λ − i + 2)y.vi−2 (λ − 2i + 2)vi−1 + (i − 1)(λ − i + 2)vi−1 = i(λ − i + 1)vi−1 

Wir betrachten nochmals die obige Situation: x

x

*

Vi+1

Vi

k

+ k

y y

(i + 1)vi+1

vi+1

✤

o ✤ x

Vi−1

y

/

x

✤

vi

/

(λ − i + 1)vi−1

(λ − i)vi y

ivi

o ✤

vi−1

Insbesondere ist [x, y].vi = x.y.vi − y.x.vi = x.(i + i)vi+1 − y.(λ − i + 1).vi−1 = (λ − i)(i + 1)vi − (λ − i + 1)ivi = (λi + λ − i2 − λi + i2 − i)vi = (λ − 2i)vi was gleich h.vi ist, wie es sein sollte. Wegen (a) sind alle vi , die nicht 0 sind, linear unabh¨angig. Nun ist dim V < ∞. Wir finden m ∈ N minimal, so dass vm 6= 0 und vm+1 = 0 (und damit gilt auch vm+i = 0 ∀i > 0). Aus (a), (b), (c) folgt dann: Der Untermodul V0 von V mit der Basis (v0 , v1 , . . . , vm ) ist ein L-Untermodul, V0 6= 0. Da V nach Voraussetzung irreduzibel ist, so ist V0 = V . P Bzgl. der Zerlegung V = m i=0 kvi von V (kvi = Vλ−2i ) kann man die Matrizen f¨ ur die zu x, y, h zugeh¨origen Endomorphismen angeben (wie x.v = ϕ(x)(v)):       0

  x= 

λ 0

λ−1 .. .

0 1

..

.

..

.

    y =    

1 0

λ

0

2

..

.

..

.

..

. λ

    h =    

0

λ−2

..

.

..

. λ − 2m

(h eine Diagonalmatrix, x und y eine obere bzw. untere nilpotente Matrix).

   

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN

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Setzen wir in (c) i = m+ 1 ein, so steht links 0 w¨ahrend rechts (λ −m) · vm steht. Da vm 6= 0 ist, muss also λ = m sein! D.h. das Gewicht eines maximalen Vektors ist eine ganze Zahl ≥ 0, das H¨ochstgewicht von V genannt, wobei λ = dim V − 1. Ausserdem tritt jedes Gewicht von V mit Vielfachheit 1 auf (nach (a)). Da V das H¨ochstgewicht λ eindeutig bestimmt (λ = dim V − 1), ist der maximale Vektor v0 der einzig m¨ogliche in V (bis auf Skalarmultiplikation). Zusammengefasst haben wir das untenstehende Theorem: (Und dann hat h also die Form diag(m, m − 2, . . . , −m + 2, −m)). Satz. Sei V ein irreduzibler L-Modul (L = sl2 ). (a) Bzgl. h ist V die direkte Summe der Gewichtsr¨aume Vµ mit µ = m, m − 2, . . . , −m + 2, −m, wobei m = dim V − 1. (b) V hat (bis auf Skalarmult) einen eindeutig bestimmten maximalen Vektor. Dessen Gewicht (das H¨ochstgewicht von V ) ist = m. (c) Die Operation von L auf V ist mit den Formeln aus dem Lemma eindeutig bestimmt (mit der beschriebenen Basis). Insbesondere gibt es (bis auf Isomorphie) h¨ochstens einen irreduziblen L-Modul f¨ur jede Dimension m + 1 (m ≥ 0). Korollar. Ist V ein beliebiger (endl. dim.) L-Modul (L = sl2 ), so gilt: Die Eigenwerte von h auf V sind alle ganzzahlig, jeder tritt gemeinsam mit seinem negativen auf (gleich oft). Jede Zerlegung von V als direkte Summe von irreduziblen Untermodul hat genau dim V0 + dim V1 Summanden Beweis. Falls dim V = 0, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls benutzen wir Weyls Theorem, um V als direkte Summe von irreduziblen Untermoduln zu schreiben. Da diese durch das obige Theorem beschrieben werden, folgt der erste Teil. Zum zweiten Teil: in jedem irreduzible L-Modul tritt entweder das Gewicht 0 oder 1 genau einmal auf (und das andere nicht).  Beispiel. (1) dim V = 1: V = k (triviale Darstellung) (2) dim V = 2: Die nat¨ urliche Darstellung. (3) dim V = m + 1: V = C[x, y]m die bin¨aren Formen vom Grad m. Basis von V : {xm , xm−1 y, xm−2 y 2 , . . . , xy m−1 , y m}. Operation der drei Basiselemente ∂ ∂ X, Y, H von L = sl2 auf V : X operiert als x ∂y , Y als y ∂x und H als ∂ ∂ ¨ was X, Y , H auf den Basiselementen bewirken. x ∂x − y ∂y . Uberlege, Teil 2. Strukturtheorie 4. Wurzelraum Im folgenden sei L eine halbeinfache Lie-Algebra. Wir untersuchen hier die Zerlegung von L in Gewichtsr¨aume und benutzen dabei die sl2 -Theorie.

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4.1. Cartanunteralgebren. Definition. Eine Unteralgebra T von L, die nur aus halbeinfachen Elementen besteht, heisst toral. Lemma. Eine torale Unteralgebra T von L ist abelsch. Beweisidee. Es ist zu zeigen: adT x = 0 f¨ ur alle x ∈ T . Nach Voraussetzung ist ad x diagonalisierbar, also muss man zeigen: adT x hat keine Eigenwerte 6= 0. Nimmt man an, es gebe ein y 6= 0 mit [xy] = ay, f¨ ur a 6= 0, so findet man einen Widerspruch.  Definition. Eine torale Unteralgebra heisst maximal, falls sie in keiner andern toralen Unteralgebra enthalten ist. Beispiel: Ist L = sln , so bilden die Diagonalmatrizen (mit Spur 0) eine maximale torale Unteralgebra. Notation: wir benutzen H f¨ ur maximale torale UAlgebren. Maximale torale Unteralgebren werden auch Cartanunteralgebren genannt. Manchmal wird auch h anstatt H geschrieben. 4.2. Wurzelraumzerlegung. Da nach Lemma in 4.1 H abelsch ist, besteht adH L aus einer Familie von kommutierenden halbeinfachen Endomorphismen von L. adL H ist simultan diagonalisierbar (lineare Algebra), i.e. wir haben die Zerlegung L = ⊕α∈H ∗ Lα

Lα := {x ∈ L | [hx] = α(h)x ∀h ∈ H}, wobei α ∈ H ∗

ist. Nun ist L0 = CL (H) der Zentralisator von H. Nach dem Lemma in 4.1 ist H ⊂ CL (H). Wir nennen die α ∈ H ∗ mit Lα 6= 0 die Wurzeln von L bzgl. H (es sind endl. viele), die Menge all dieser Wurzeln wird mit Φ bezeichnet. Die Zerlegung M L = CL (H) ⊕α∈Φ Lα heisst dann die Wurzelraumzerlegung (oder Cartan-Zerlegung) von L. Man vergleiche dies mit der Standardbasis von sln .

Das Ziel im Folgenden ist, zu zeigen, dass H = CL (H) gilt, i.e. dass H gleich seinem Zentralisator in L ist. Sp¨ater werden wir die Wurzeln, Φ, genauer anschauen und dann sehen, dass Φ die Lie Algebra L vollst¨andig beschreibt. Proposition. (a) Seien α, β ∈ H ∗ , dann ist [Lα , Lβ ] ⊂ Lα+β ; (b) x ∈ Lα , x 6= 0 ⇒ ad x nilpotent; (c) α, β ∈ H ∗ mit α + β 6= 0, dann ist Lα ⊥ Lβ bzgl. der Killingform von L. Beweis. (a) folgt mit der Jacobi-Identit¨at, (b) folgt aus (a). (c): Sei h ∈ H mit (α+ β)(h) 6= 0. Seien x ∈ Lα , y ∈ Lβ . Da κ assoziativ ist, ist κ([hx], y) = −κ([xh], y) = −κ(x, [hy]), also α(h)κ(x, y) = −β(h)κ(x, y), d.h. (α + β)(h)κ(x, y) = 0 und damit κ(x, y) = 0. 

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN

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Korollar. Die Killingform eingeschr¨ankt auf CL (H) ist nicht ausgeartet. Proof. Wir wissen, dass κ nicht ausgeartet ist (auf L). Nach Teil (c) der obigen Proposition gilt L0 ⊥ Lα f¨ ur alle α ∈ Φ. Falls ein z ∈ L0 exisitert, das orthogonal zu L0 ist, so gilt M κ(z, L) = κ(z, L0 ⊕ Lα ) = 0. α∈Φ

Da aber κ auf L nicht ausgeartet ist, muss damit z = 0 gelten.



4.3. Der Zentralisator von H. Lemma. Seien x, y ∈ L mit [x, y] = 0 und ad x nilpotent. Dann ist κ(x, y) = 0. (Ohne Beweis, lineare Algebra) Proposition. Sei H eine maximale torale U-Algebra von L. Dann ist H = CL (H). Beweis. In 7 Schritten: (1) CL (H) enth¨alt den halbeinfachen und den nilpotenten Teil aller seiner Elemente: x ∈ CL (H) bedeutet, dass adx den Unterraum H von L in den Nullraum abbildet. Wegen der Jordanzerlegung (Abschnitt 3.5) haben dann (ad x)s und (ad x)n diese Eigenschaft auch und wegen (ad x)x = ad xs , (ad x)n = ad xn folgt die Behauptung. (2) Alle halbeinfachen Elemente von CL (H) liegen in H: Ist x halbeinfach und ein Element von CL (H). Dann ist H + kx toral (die Summe von halbeinfachen Elementen ist auch halbeinfach). Da H maximal war, muss also H + kx = H sein, d.h. x ∈ H. (3) κ |H×H ist nicht ausgeartet: Sei κ(h, H) = 0 f¨ ur ein h ∈ H. Wir m¨ ussen zeigen, dass h = 0 ist. Ist x ∈ CL (H) nilpotent, so sind wir wegen [x, H] = 0 in der Situation des obigen Lemmas und es gilt also: Tr(ad x ad y) = 0 f¨ ur jedes y ∈ H, d.h. κ(x, H) = 0. Damit ist κ(h, CL (H)) = 0: κ(h, CL (H)) = κ(h, H ∪ CL (H) \ H) = 0 + κ(h, CL (H) \ H), wobei wegen (1), (2) und κ(x, H) = 0 f¨ ur nilpotente x ∈ CL (H) der zweite Term auch Null ist. Damit muss h = 0 sein (κ ist nicht ausgeartet auf CL (H), Korollar in Abschnitt 4.2). (4) CL (H) ist nilpotent: (Wir benutzen den Satz von Engel: sind alle Elemente von CL (H) adnilpotent, so ist CL (H) nilpotent) Ist x ∈ CL (H) halbeinfach, so folgt x ∈ H (2), und adC x(= 0) ist sicher nilpotent. Ist x ∈ CL (H) nilpotent, dann ist adCL (H) x sowieso nilpotent. F¨ ur beliebige x ∈ CL (H) ist x = xs +xn (halbeinfacher, nilpotenter Teil). Damit ist adCL (H) x die Summe von kommutierenden nilpotenten Elementen, also nilpotent. Die Behauptung folgt mit dem S.v. Engel.

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(5) H ∩ [CL (H), CL (H)] = 0: κ ist assoziativ, es gilt [H, CL (H)] = 0, damit κ(H, [CL (H), CL (H)]) = 0 und mit (3) folgt die Behauptung. (6) CL (H) ist abelsch: Falls nicht, so gilt [CL (H), CL (H)] 6= 0. CL (H) ist nilpotent (4), also ist dann Z(CL (H)) ∩ [CL (H), CL (H)] 6= 0 (Lemma 3.3 in [Hu]). Ist z ein Element von Z(CL (H)) ∩ [CL (H), CL (H)], so kann z nach (2) und (5) nicht halbeinfach sein. Dann ist sein nilpotenter Teil, sagen wir n, nach (1) nicht 0 und liegt in CL (H), also in Z(C) (Jordanzerlegung, Abschnitt 3.5). Mit dem Lemma oben gilt dann κ(n, CL (H)) = 0, im Widerspruch zum Korollar aus Abschnitt 4.2. (7) CL (H) = H: Falls nicht, so w¨ urde CL (H) ein nilpotentes Element x 6= 0 enthalten (nach (1) und (2)). Aus dem obigen Lemma und (6) w¨ urde daraus folgen, dass κ(x, y) = Tr(ad x ad y) = 0 ist f¨ ur alle y ∈ CL (H), im Widerspruch um Korollar aus Abschnitt 4.2.  Aus dem Beweis des Satzes (und dem Korollar aus Abschnitt 4.2) folgt insbesondere: Korollar. κ |H×H ist nicht ausgeartet. Das Korollar erlaubt, H mit H ∗ zu identifizieren: Bemerkung. Zu ϕ ∈ H ∗ existiert genau ein tϕ ∈ H mit ϕ(h) = κ(tϕ , h) ∀ h. Insbesondere existiert eine Bijektion Φ ←→ {tα|α∈Φ } ⊂ H. 4.4. Orthogonalit¨ atseigenschaften. Proposition. (a) Φ spannt H ∗ auf; (b) α ∈ Φ =⇒ −α ∈ Φ; (c) α ∈ Φ, x ∈ Lα , y ∈ L−α =⇒ [xy] = κ(x, y)tα (tα wie in 4.3); (d) α ∈ Φ =⇒ [Lα , L−α ] ist eindimensional mit Basis tα ; (e) α(tα ) = κ(tα , tα ) 6= 0 ∀ α ∈ Φ; (f) α ∈ Φ, 0 6= xα ∈ Lα =⇒ ∃ yα ∈ L−α mit xα , yα und hα := [xα , yα ] spannen eine dreidimensionale einfache U-Algebra von L auf, die isomorph ist zu sl2 mittels der Abbildung xα 7→ x, yα 7→ y und hα 7→ h; (g) Es ist hα = κ(t2tαα,tα ) , hα = −h−α und α(hα ) = 2. Proof.

(a) Falls Φ den Raum H ∗ nicht aufspannt, dann existiert (via Dualit¨at) ein h ∈ H, h 6= 0, mit α(h) = 0 f¨ ur alle α ∈ Φ. Das bedeutet, dass [h, Lα ] = 0 ist f¨ ur alle α ∈ Φ. Da [h, H] = 0 ist, erh¨alt man [h, L] = 0, ein Widerspruch.

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(b) Sei α ∈ Φ. W¨are L−α = 0 (i.e. −α ∈ / Φ), dann folgt mit(c) aus der Proposition von Abschnitt 4.2, dass κ(Lα , Lβ ) = 0 ist f¨ ur alle β ∈ H ∗ , also κ(Lα , L) = 0, was ein Widerspruch zu “κ nicht ausgeartet” ist. (c) Sei α ∈ Φ, x ∈ Lα , y ∈ L−α . Sei h ∈ H beliebig. Die Assoziativit¨at von κ liefert: Bijektion in 4.3 x∈L κ(h, [x, y]) = κ([h, x], y) = α α(h)κ(x, y) = κ(tα , h)κ(x, y) = κ(κ(x, y)(tα , h)) = κ(h, κ(x, y)tα ). Das bedeutet, dass ganz H orthogonal ist zu [xy] − κ(x, y)tα , womit [xy] = κ(x, y)tα sein muss (Korollar aus Abschnitt 4.3). (d) Nach (c) spannt tα [Lα , L−α ] auf, falls [Lα , L−α ] nicht Null ist. Sei 0 6= x ∈ Lα . Ist κ(x, L−α ) = 0, so ist κ(x, L) = 0 (wie im Beweis von (b)), was nicht sein kann (κ ist nicht ausgeartet). Also finden wir 0 6= y ∈ L−α mit κ(x, y) 6= 0. Nach (c) ist daher [x, y] 6= 0. (e) W¨are α(tα ) = 0, so w¨ urde folgen [tα , x] = 0 = [tα , y] f¨ ur alle x ∈ Lα , y ∈ L−α . Wie in (d) k¨onnen wir x, y finden mit κ(x, y) 6= 0, bis auf Skalarmultiplikation k¨onnen wir annehmen, dass κ(x, y) = 1 ist, also [x, y] = tα nach (c). Daher ist der Unterraum S von L, der durch x, y und tα aufgespannt ist, eine 3-dimensionale aufl¨osbare Algebra, S ∼ = adL S ⊂ gl(L). Insbesondere ist adL s nilpotent f¨ ur jedes s ∈ [S, S] (Korollar zum Satz von Lie, Abschnitt 1.8). Also ist adL tα sowohl halbeinfach als auch nilpotent, d.h. adL tα = 0. Damit ist tα ∈ Z(L) = 0, im Widerspruch zur Wahl von tα . (f) Ist 0 6= xα ∈ Lα , so w¨ahlen wir ein yα ∈ L−α mit κ(xα , yα) = κ(tα2,tα ) . Dies ist m¨oglich wegen (e) und wegen der Tatsache, dass κ(xα , L−α ) 6= 0 ist. Wir setzen hα := κ(t2tαα,tα ) . Dann gilt [xα , yα ] = hα nach (c). Ausserdem ist [hα , xα ] =

2 2α(tα )xα [tα , xα ] = = 2xα α(tα ) α(tα )

und analog sieht man [hα , yα ] = −2yα . Damit spannen xα , yα und hα eine 3-dimensionale Unteralgebra auf mit der gleichen Multiplikationstafel wie sl2 . (g) tα ist definiert durch κ(tα , h) = α(h) (f¨ ur h ∈ H). Das zeigt, dass tα = −t−α gilt, und mit der Definition von hα folgt die Behauptung.  4.5. Ganzzahligkeitseigenschaften. Sei α ∈ Φ fest. Zu dem Paar α, −α von Wurzeln sei Sα ∼ = sl2 eine Unteralgebra von L, die wie in (f) von 4.4 konstruiert ist. Proposition. (a) α ∈ Φ =⇒ dim Lα = 1. Insbesondere gilt: Sα = Lα + L−α + Hα (mit Hα := [Lα , L−α ]). F¨ur jedes 0 6= xα ∈ Lα existiert genau ein yα ∈ L−α mit [xα , yα ] = hα ; (b) α ∈ Φ =⇒ die einzigen Vielfachen von α, die Wurzeln sind, sind ±α;

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(c) α, β ∈ Φ =⇒ β(hα ) ∈ Z. Zudem gilt: β − β(hα )α ∈ Φ (die Zahlen β(hα ) heissen Cartan-Zahlen); (d) α, β und α + β ∈ Φ =⇒ [Lα , Lβ ] = Lα+β ; (e) α, β ∈ Φ, β 6= ±α. Seien r, q die gr¨ossten Zahlen, f¨ur die β − rα und β + qα Wurzeln sind (r, q ≥ 0). Dann sind alle β + iα ∈ Φ (−r ≤ i ≤ q) und β(hα ) = r − q. (f) L wird als LA durch die Wurzelr¨aume Lα erzeugt. Beweisidee: Teil (f) ist klar, wir wissen: f¨ ur jedes α ∈ Φ ist [Lα , L−α ] ein eindimensionaler Unterraum von H. ¨ Uberlegungen zu den andern Behauptungen: Dank dem Theorem von Weyl ist jede endl-dim. Darstellung von Sα vollst¨andig reduzibel. Nach dem Theorem in 3.7 haben wir eine vollst¨andige Beschreibung aller (endl. dim.) Sα -Moduln. F¨ ur ein festes α ∈ Φ betrachten wir den Unterraum M := H ⊕⊕cα∈Φ Lcα (c ∈ k ∗ ) von L. Er ist ein Sα -Untermodul von L, dank der Proposition in 4.2, a). Wir betrachten die Gewichte von M unter Sα . Zu Sα sei hα wie in (f) in der Proposition in Abschnitt 4.4. Die Gewichte von hα auf M sind die ganzen Zahlen 0 und 2c = cα(hα ) (mit (g) aus der Proposition in 4.4). Insbesondere m¨ ussen also alle c, die hier auftreten, von der 1 Form 2 l sein mit l ∈ Z. Beachte: ker α ist ein Unterraum von M der Kodimension 1 in H, komplement¨ar zu khα . Die Unteralgebra Sα operiert auf ker α trivial. Wir schreiben nochmals M als Summe: X Lcα M = ker α ⊕ khα ⊕ kxα ⊕ kyα + {z } | Sα

Gewichte von hα auf ker α: 0 und auf Sα : 0, ±2. Und nur in ker α und Sα kommt das Gewicht 0 vor. Dann sind die einzigen geraden Gewichte von M 0, ±2. Insbesondere kann damit 2α kein Gewicht sein, genauer: das Doppelte einer Wurzel ist nie eine 1 Wurzel. Also kann insbesondere auch P 2 α keine Wurzel sein. Dann kann aber auch 1 kein Gewicht sein, und der Term Lcα f¨allt weg. Und aus der Zerlegung von M folgt dim Lα = 1. Damit folgen (b) und (a). P Betrachte nun die Operation von Sα auf Lβ , β 6= ±α. Sei K := i∈Z Lβ+iα . Nach obigem ist jeder Wurzelraum eindimensional und es ist kein β + iα = 0. Dann ist K also ein Sα -UModul von L mit eindim. Gewichtsr¨aumen und ganzzahligen Gewichten β(hα ) ± 2i (alle verschieden) mit i ∈ Z, so dass β + iα ∈ Φ. Dann k¨onnen jedoch nicht 0 und 1 beide gleichzeitig vorkommen. Also ist K nach dem Korollar aus 3.7 ein irreduzibler Sα -Modul. Das h¨ochste (tiefste) Gewicht muss β(hα ) + 2q (bzw. β(hα ) − 2r) sein falls q (bzw. r) die gr¨osste Zahl ist, f¨ ur die β + qα (β − rα) eine Wurzel ist. Ausserdem wissen wir, dass die Wurzeln eine Reihe bilden mit Differenz 2 (Theorem in 3.7), die

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Wurzeln bilden daher einen Faden, den sogenannten α-Faden durch β aus den Wurzeln β − rα, . . . , β, . . . , β + qα. Ausserdem gilt (β − rα)(hα ) = (β + qα)(hα ), also β(hα ) = r − q. Somit haben wir (c), (e) Schliesslich gilt, falls α, β und α + β alle in Φ sind, dass ad Lα den Raum Lβ surjektiv auf Lα+β abbildet (Lemma in 3.7), damit haben wir auch (d). Beispiel. Wir betrachten die Lie Algebra L = sl3 genauer. L ist 8-dimensional. Die diagonalen Matrizen in PL bilden eine 2-dimensionale Cartanunteralgebra H = {diag(h11 , h22 , h33 ) | hii = 0}. Unter der Operation von H auf L erhalten wir M L=H⊕ Lα α∈Φ

mit Lα = {x ∈ L | [h, x] = α(h)x ∀ h ∈ H}. Wir betrachten den Unterraum kE12 von L, wir w¨ahlen den Erzeuger xα = E12 von diesem Unterraum. Sei h =diag(h11 , h22 , h33 ) ein beliebiges Element von H. Dann ist [h, xα ] = h11 E12 − h22 E12 = (h11 − h22 )xα . Damit ist α ∈ H ∗ die Abbildung α(h) = h11 −h22 und Lα wird von xα aufgespannt. Analog findet man f¨ ur xβ := E23 dann [h, xβ ] = (h22 − h33 )xβ . β ∈ H ∗ ist also die Abbildung h 7→ h22 − h33 . Und wenn man noch x := E13 betrachtet: [h, x] = (h11 − h33 )x. Die entsprechende Abbildung schickt h ∈ H auf h11 − h33 . β α+β

¨ Uberlege, wie die α-F¨aden im Fall von sl3 aussehen:

α

4.6. Rationalit¨ atseigenschaften. Zusammenfassung von 4. Sei L eine halbeinfache LA (¨ uber k alg. abg., char k = 0), sei H eine maximale torale UAlgebra, Φ ⊂ H ∗ die Wurzeln von L bzgl. H, L = H ⊕ ⊕α∈Φ Lα die Wurzelraumzerlegung. Nach dem Korollar aus 4.3 ist die Einschr¨ankung der Killingform auf H nicht ausgeartet, also k¨onnen wir eine entsprechende Form auf H ∗ definieren mittels (γ, δ) := κ(tγ , tδ ) (f¨ ur alle γ, δ ∈ H ∗ ). Φ spannt H ∗ auf (Satz in 4.4), also k¨onnen wir eine Basis α1 , . . . , αl von H ∗ w¨ahlen, die aus Wurzeln besteht. Ist β ∈P Φ eine beliebige Wurzel, so gibt es daher eindeutig bestimmte ci ∈ k, so dass β = ci αi . Behauptung: ci ∈ Q. Beweis: siehe Humphreys, 8.5. Sei nun EQ ⊂ H ∗ der Unterraum, der von allen Wurzeln aufgespannt wird. Dann haben wir also, dass EQ die Q-Dimension l := dimk H ∗ hat. F¨ ur beliebige λ, µ ∈ H ∗ ist X X (α, λ)(α, µ) (λ, µ) = κ(tλ , tµ ) = α(tλ )α(tµ ) = α∈Φ

α

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KARIN BAUR

P Insbesondere ist f¨ ur β ∈ Φ also (β, β = α (α, β)2. Teilen wir das durch (β, β)2, so erhalten wir P (α, β)2 1 = (β, β) (β, β)2 was in Q liegt: nach Proposition 4.5 (c) sind die 2(α, β)/(β, β) ganzzahlig. Also sind (β, β) und (α, β) ∈ Q. Daher sind alle inneren Produkte von Vektoren aus EQ rational, die Form ( , ) ist also eine nicht ausgeartete Bilinearform auf EQ . Schliesslich ist f¨ ur λ ∈ H ∗ analog wie oben X (λ, λ) = (α, λ)2, α∈Φ

eine Summe von Quadraten von rationalen Zahlen. F¨ ur λ 6= 0 ist damit (λ, λ) > 0, d.h. die Form ( , ) ist positiv definit. Sei nun E := R ⊗Q EQ der R-Spann von Φ. Die Form kann kanonisch auf ganz E erweitert werden, ist auch positiv definit auf E, damit ist E ein euklidischer Raum. Φ enth¨alt eine Basis von E und dimR = l. Die Eigenschaften von Φ sind im folgenden zusammengefasst: Satz. Seien L, H, Φ und E wie bisher. Dann gilt: (a) Φ spannt E auf und 0 geh¨ort nicht zu Φ; (b) α ∈ Φ =⇒ −α ∈ Φ, aber kein anderes Vielfaches von α ist eine Wurzel; (c) α, β ∈ Φ =⇒ β − 2(β,α) α ∈ Φ; (α,α) (d) α, β ∈ Φ =⇒

2(β,α) (α,α)

∈ Z.

Man sagt, dass Φ ein Wurzelsystem im euklidischen Raum E ist. Wir haben hier eine Korrespondenz (L, H) −→ (Φ, E) hergestellt. Wir werden sp¨ater alle Paare (Φ, E) klassifizieren. Ausserdem werden wir sehen, dass diese Korrespondenz eine Bijektion ist und dass die offensichtliche Abh¨angigkeit von Φ von der Wahl von H nicht essentiell ist. ¨ 4.7. Ubungen. (a) Zeige, dass f¨ ur die klassischen Lie-Algebren vom Typ Al , Bl , Cl und Dl die Menge aller Diagonalmatritzen eine maximale torale Unteralgebra bilden. (b) Zeige: Ist (α, β) > 0, dann ist α − β ∈ Φ. Gilt die Umkehrung? 5. Wurzelsysteme E euklidischer Raum, i.e. ein endlich-dimensionaler R-VR mit einer symmetrischen, positiv definiten Bilinearform ( , ) (das innere Produkt). Spiegelungen in E fixieren punktweise eine Hyperebene (einen Raum von Kodimension Eins) und schicken jeden zu dieser Hyperebene orthogonalen Vektor auf sein Negatives. Spiegelungen sind orthogonal, i.e. erhalten das innere Produkt auf E. Jedes 0 6= α ∈ E definiert eine Spiegelung σα mit reflektierender Hyperebene

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN −α

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α

Abbildung 1. Wurzelsystem vom Rank 1 Pα = {β ∈ E | (α, β) = 0}. (Jedes Vielfache (6= 0) von α definiert die gleiche Spiegelung). Konkret: σα (β) = β − 2(β,α) α. Zur Abk¨ urzung wird hα, βi := 2(β,α) geschrieben. (α,α) (α,α) Achtung, hα, βi ist nur in der ersten Variable linear, also keine Bilinearform! Definition. Eine Teilmenge Φ von E heisst Wurzelsystem (WS), falls Φ folgende Eigenschaften hat: (R1) Φ ist endlich, spannt E auf, 0 ∈ /Φ (R2) α ∈ Φ ⇒ ±α sind die einzigen Vielfachen von α in Φ (R3) α ∈ Φ ⇒ σα l¨asst Φ invariant (R4) α, β ∈ Φ ⇒ hα, βi ∈ Z. Definition. Ein WS Φ heisst irreduzibel, falls Φ nicht in zwei echte Teilmengen unterteilt werden kann, s.d. jede Wurzel in einer Menge orthogonal zu jeder anderen Wurzel in der anderen Menge ist. Definition. Sei Φ ein WS von E. Die Untergruppe W von GL(E), die durch die Spiegelungen σα (α ∈ Φ) erzeugt wird, heisst die Weylgruppe von Φ. Nach (R3) permutiert W die Menge Φ, die nach (R1) endlich ist und E aufspannt. Daher k¨onnen wir W mit einer U-Gruppe der symmetrischen Gruppe auf Φ identifizieren. (Haben eine Abbildung von W in die Permutationen von Φ). W ist also endlich. Definition. Ist dim E = l, so sagen wir, dass das Wurzelsystem Φ den Rang l hat. Beispiele. Wir betrachten Wurzelsysteme mit kleinem Rang - wir k¨onnen sie zeichnen. dim E = 1 Nach (R2) gibt es nur einen Fall. Es ist klar, dass dies ein Wurzelsystem ist (und W hat zwei Elemente). Die einzige Spiegelung ist σα = −id. Siehe Abbildung 1. dim E = 2 Bei Rang 2 gibt es mehrere M¨oglichkeiten. Hier sind vier (es sind die einzigen vier). Nachpr¨ ufen: sind die Axiome erf¨ ullt? Was ist W ? (Die Bilder sind in Abbildung 2). (a) A1 × A1 (W hat Ordnung vier); (b) A2 (W hat Ordnung sechs); (c) B2 (W hat Ordnung acht); (d) G2 (W hat Ordnung 12). dim E = 3 Das Beispiel A3 (i.e. sl4 ) erh¨alt man, indem man einen W¨ urfel nimmt mit Mittelpunkt 0 und als Wurzeln alle Verbindungsvektoren zu den Kantenmittelpunkten.

36

KARIN BAUR

α2

α1

α1

α2

α1 α2

α2 α1

(a) A1 × A1

(b) A2

(c) B2

(d) G2

Abbildung 2. Wurzelsysteme vom Rang 2 5.1. Paare von Wurzeln. Wegen (R4) sind nur wenige Winkel zwischen zwei kβk Wurzeln α 6= ±β m¨oglich: man hat hα, βi = 2 kαk cos θ und hα, βihβ, αi = 4 cos2 θ. Daher haben 1.) hα, βi und hβ, αi dieselben Vorzeichen und 2.) folgt wegen 0 ≤ cos2 (θ) ≤ 1, dass 4 cos2 θ ∈ {0, 1, 2, 3} (cos2 θ = 1 ist ausgeschlossen, falls α 6= ±β). Man erh¨alt eine Tabelle (mit β 6= ±α und kβk ≥ kαk): θ kβk2/kαk2 hα, βi hβ, αi 0 0 π/2 unbestimmt 1 1 π/3 1 −1 −1 2π/3 1 2 π/4 2 1 −1 −2 3π/4 2 1 3 π/6 3 −1 −3 5π/6 3 Lemma. Seien α, β ∈ Φ nicht proportional. Sei (α, β) > 0 (bzw. (α, β) < 0) dann ist α − β (bzw. α + β) auch eine Wurzel. Beweis. Benutzt, dass (α, β) > 0 ⇐⇒ hα, βi > 0 und die obige Tabelle f¨ ur den ersten Fall. Der zweite Fall folgt aus dem ersten mit −β statt β.  Anwendung: betrachtet man den α-Faden durch β (wobei α, β nicht proportional sind), so kann man zeigen, dass dieser ungebrochen ist. Und insbesondere, dass jeder solche h¨ochstens L¨ange vier hat. (Der α-Faden durch β ist von der Form β − rα, β − (r − 1)α, . . . , β + (q − 1)α, β + qα. Die Spiegelung σα dreht den Faden einfach um. Also erh¨alt man σα (β + qα) = β − rα, wobei die linke Seite gerade β − hβ, αiα − qα ist, also r − q = hβ, αi und das ist ≤ 3.

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN

37

6. Einfache Wurzeln, Weylgruppe Sei Φ ein Wurzelsystem vom Rang l in einem euklidischen Raum E, mit Weylgruppe W . 6.1. Basen und Weylkammern. Definition. Eine Teilmenge ∆ von Φ heisst Basis von Φ, wenn folgendes gilt: (B1) ∆ ist eine Basis von E; P (B2) Jede Wurzel β kann geschrieben werden als β = kα α (α ∈ ∆) mit ganzzahligen kα , die alle ≥ 0 sind oder alle ≤ 0 sind. Die Wurzeln von ∆ heissen einfach. Wegen (B1) gibt es l einfache Wurzeln und P der Ausdruck f¨ ur β in (B2) ist eindeutig bestimmt. Dann ist kα die H¨ Pohe von β. β heisst positiv, geschrieben β ≻ 0, (negativ, geschrieben β ≺ 0), falls kα > 0 P + ( kα < 0). Die positiven Wurzeln werden mit Φ bezeichnet, die negativen Wurzeln mit Φ− (es ist −Φ− = Φ+ ). Eine gew¨ahlte Basis ∆ definiert eine partielle Ordnung auf E, kompatibel mit ≺: man definiert µ ≺ λ, falls λ − µ eine Summe von positiven Wurzeln (oder: eine Summe von einfachen Wurzeln) ist oder falls µ = λ ist. Die Definition einer Basis garantiert nicht die Existenz. In den Beispielen mit Rang 2 bilden α1 und α2 eine Basis. Der Winkel zwischen den zwei Wurzeln ist dort immer stumpf - nicht zuf¨allig: Lemma. Sei ∆ eine Basis von Φ. Dann ist (α, β) ≤ 0 f¨ur α 6= β in ∆, und α − β ist keine Wurzel. Beweis. W¨are (α, β) > 0, so (da α 6= ±β) w¨are α − β eine Wurzel (Lemma in 5.1), was aber (B2) widerspricht.  Ziel ist die folgende Aussage: Φ hat eine Basis. Man kann konkret eine Basis konstruieren - wir geben im Folgenden die Idee dazu an. Sei Φ+ (γ) := {α ∈ Φ | (γ, α) > 0} die Menge der Wurzeln, die auf der “positiven” Seite der Hyperebene liegen, die orthogonal ist zu γ. Tatsache aus der euklidischen Geometrie: die endliche Vereinigung ∪α∈Φ Pα von Hyperebenen kann nicht ganz E sein. Damit: Definition. γ ∈ E heisst regul¨ar, falls γ ∈ E \ ∪α∈Φ Pα liegt. Andernfalls heisst γ singul¨ar. Die Zusammenhangskomponenten von E \ ∪α∈Φ Pα heissen die (offenen) Weylkammern von E. Ist γ regul¨ar, so ist Φ = Φ+ (γ) ∪ −Φ+ (γ). Von nun an sei γ regul¨ar. Dann definieren wir:

38

KARIN BAUR

Definition. α ∈ Φ+ (γ) heisst zerlegbar ⇐⇒ α = β1 + β2 f¨ ur β1 , β2 ∈ Φ+ (γ). Sonst heisst α unzerlegbar. Die Existenz einer Basis folgt aus: Satz. Sei γ ∈ E regul¨ar. Dann ist die Menge ∆(γ) der unzerlegbaren Wurzeln in Φ+ (γ) eine Basis von Φ und jede andere Basis erh¨alt man auf dieselbe Weise. Beweisidee. Der Beweis hat f¨ unf Schritte (siehe [Hu, Theorem’], Abschnitt 10.1): (1) Jede Wurzel in Φ+ (γ) ist eine nicht-negative Z-lineare Kombination von Wurzeln aus ∆(γ). (2) Sind α und β in ∆(γ), dann ist (α, β) ≤ 0 (ausser α = β). (3) Die Wurzeln in ∆(γ) bilden eine linear unabh¨angige Menge. (4) ∆(γ) ist eine Basis von Φ. (5) Jede Basis ∆ von Φ ist von der Form ∆(γ) f¨ ur ein regul¨ares γ ∈ E.  Jedes regul¨are γ liegt in genau einer Weylkammer. Dass zwei Wurzeln γ und γ ′ in derselben Weylkammer liegen bedeutet, dass γ und γ ′ bzgl. jeder Hyperebene Pα (α ∈ Φ) auf der gleichen Seite liegen. Damit gibt es eine Bijektion zwischen Weylkammern und Basen. Ist ∆ = ∆(γ), so sagen wir, dass die entsprechende Weylkammer die fundamentale Weylkammer bzgl. ∆ ist. Zum Beispiel: die fundamentale Weylkammern f¨ ur A2 mit der Basis ∆ = {α1 , α2 }:

α2

α1

¨ Ubung: zeichne die fundamentalen Weylkammern f¨ ur B2 und f¨ ur G2 mit der jeweiligen Basis {α1 , α2 }. Satz. Sei ∆ eine Basis von Φ. (a) Sei γ regul¨ar. Dann existiert ein σ ∈ W , so dass (σ(γ), α) > 0 f¨ur alle α ∈ ∆ (i.e. W operiert transitiv auf den Weylkammern); (b) Sei ∆′ eine andere Basis von Φ, dann ist σ(∆′ ) = ∆ f¨ur ein σ ∈ W ; (c) F¨ur jede Wurzel α existiert ein σ ∈ W , so dass σ(α) ∈ ∆; (d) W wird erzeugt durch die σα (α ∈ ∆); (e) Sei σ(∆) = ∆, σ ∈ W , dann ist σ = 1 (i.e. W operiert einfach transitiv auf Basen). Beweis. Siehe Humphreys, 10.3.



GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN

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Ein Begriff zu (d): Ist σ ∈ W , geschrieben als Produkt von σα mit α ∈ ∆. i.e. ur σ ist σ = σα1 · · · σαt mit t minimal und αi ∈ ∆, so sagen wir, der Ausdruck f¨ reduziert und nennen l(σ) := t die L¨ange von σ. Dabei ist l(id) = 0 nach Definition. 6.2. Irreduzible Wurzelsysteme. Lemma. Sei Φ irreduzibel. Dann operiert W irreduzibel auf E. Insbesondere gilt: die W -Bahn einer Wurzel α spannt E auf. Beweis. Da der Spann einer W -Bahn einer Wurzel ein W -invarianter Unterraum von E ist, folgt der zweite Teil aus dem ersten. Beweis des ersten Teils: sei E ′ ein Unterraum von E, E ′ 6= 0, der W -invariant ist. Dann ist das orthogonale Komplement E ′′ zu E ′ in E ebenfalls W -invariant, E = E ′ ⊕ E ′′ . ¨ Ubung: Ist E ′ ein Unterraum von E mit σα (E ′ ) = E ′ , dann ist α ∈ E ′ oder ′ E ⊂ Pα . ¨ Mit der Ubung folgt, falls eine Wurzel α nicht in E ′ liegt, dass α in E ′′ liegt. Wir erhalten also eine Aufteilung von Φ in orthogonale Teilmengen. Da Φ irreduzibel ist, muss die eine leer sein. Da Φ der Raum E aufspannt, folgt also E ′ = E.  Lemma. Sei Φ irreduzibel. Dann kommen h¨ochstens zwei L¨angen von Wurzeln in Φ vor und alle Wurzeln einer gegebenen L¨ange sind konjugiert unter W . Beweis. Sind α, β beliebige Wurzeln, dann k¨onnen nicht alle σ(α), σ ∈ W , orthogonal zu β sein, da die σ(α) nach obigem Lemma E aufspannen. Ist (α, β) 6= 0, so ist nach der Tabelle aus Abschnitt 5.1 kαk2/kβk2 eines aus 3, 2, 1, 1/2, 1/3. G¨abe es eine dritte L¨ange von Wurzeln, so w¨ urden wir auch 3/2 erhalten. Zweite Aussage: seien nun α und β Wurzeln der gleichen L¨ange. Wir k¨onnen annehmen - nach Anwenden eines Elementes aus W auf eines der beiden - dass α und β nicht orthogonal zueinander sind, und dass sie verschieden sind (sonst w¨aren wir schon fertig). Wir haben, nach der Tabelle aus Abschnitt 5.1, dass hα, βi = hβ, αi = ±1. Falls der Wert −1 ist, ersetzen wir β durch σβ (β) = −β und k¨onnen also annehmen, dass hα, βi = 1 ist. Dann ist aber (σα σβ σα )(β) = σα σβ (β − α) = σα (−β − α + β) = α.  Definition. Ist Φ ein irreduzibles Wurzelsystem mit zwei verschiedenen Wurzell¨angen, so nennen wir die Wurzeln lang und kurz. Sind alle Wurzeln gleich lang, so sagt man u ¨blicherweise, dass sie lang sind. 7. Klassifikation von einfachen Lie-Algebren 7.1. Die Cartanmatrix von Φ. Φ ein Wurzelsystem, W die Weylgruppe von Φ und ∆ eine Basis von Φ mit |∆| = l. Definition. (Φ, E) und (Φ′ , E ′ ) heissen isomorph, falls es einen Vektorraumisomorphismus ψ : E → E ′ gibt mit ψ(Φ) = Φ′ und hψ(α), ψ(β)i = hα, βi f¨ ur alle α, β aus Φ.

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KARIN BAUR

Definition. Seien α1 , . . . , αl einfache Wurzeln. Die Matrix (hαi , αj i)ij heisst die Cartanmatrix von Φ. Die Eintr¨age der Cartanmatrix heissen die Cartanzahlen von Φ. Beispiel. Die Cartanmatrizen der Wurzelsysteme vom Rang 2 (mit den gew¨ahlten Basen aus Abbildung 2, Kapitel 5) sind:         2 0 2 −1 2 −2 2 −1 A1 × A1 : A2 : B2 : G2 : 0 2 −1 2 −1 2 −3 2 Die Cartanmatrix h¨angt von der gew¨ahlten Ordnung (der einfachen Wurzeln) ab. Das ist jedoch kein Problem. Wichtig ist, dass die Cartanmatrix unabh¨angig ist von der Wahl von ∆, da dank (b) aus dem Satz in 6.1 die Weylgruppe transitiv auf der Menge der Basen operiert. Es kann gezeigt werden, dass die Cartanmatrix nicht singul¨ar ist, da ∆ eine Basis ist von E. Die Cartanmatrix bestimmt Φ eindeutig, wie wir nun sehen werden. Lemma. Ist Φ′ ⊂ E ′ ein Wurzelsystem mit Basis {α1′ , . . . , αl′ } mit hαi , αj i = hαi′ , αj′ i f¨ur alle i, j. Sei ϕ die bijektive Abbildung, die αi nach αi′ schickt. Dann kann ϕ zu einem Isomorphismus E → E ′ mit ϕ(Φ) = Φ′ ausgedehnt werden, und es gilt hϕ(α), ϕ(β)i = hα, βi f¨ur alle α, β ∈ Φ. Beweis. Siehe Humphreys, Abschnitt 11.1



Damit folgt: Proposition. Die Cartan-Matrix ist unabh¨angig von der gew¨ahlten Basis von Φ. Φ ist bis auf Isomorphie durch die Cartan-Zahlen bestimmt. Die Aussage ist, dass es prinzipiell m¨oglich ist, das Wurzelsystem Φ aus den Cartan Zahlen zu rekonstruieren. Man kann dazu einen Algorithmus entwickeln, wie man alle Wurzeln finden kann (oder die positiven). (Cf. Humphreys, Abschnitt 11.1). 7.2. Dynkin Diagramme. F¨ ur zwei verschiedene positive Wurzeln α und β ist hα, βi · hβ, αi = 0, 1, 2, 3 (Tabelle in 5.1). Wir k¨onnen nun einen Graph definieren: Definition. Seien αi die einfachen Wurzeln von Φ. Der Coxeter-Graph von Φ hat l Eckpunkte, und der i-te und j-te Eckpunkt sind mit hαi , αj ihαj , αi i Kanten verbunden. Beispiel. Coxeter-Graphen der Wurzelsysteme vom Rang 2:

A1 ✕ A1

B2

A2

G2

(zB ist hα, βihβ, αi = 0 bei A1 × A1 ).

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN

41

Definition. Ein Coxeter-Graph, der mit Pfeilen versehen ist, die von der l¨angeren zur k¨ urzeren von zwei Wurzeln zeigen, heisst Dynkin-Diagramm. Aus dem Dynkin-Diagramm ist die Cartan-Matrix ablesbar! 1

Beispiel.

2

3

4

 2 −1 0 0 −1 2 −2 0   Die zugeh¨orige Cartanmatrix ist   0 −1 2 −1 (Wurzelsystem vom Typ 0 0 −1 2 F4 ). 

Bemerkung. Φ ist irreduzibel ⇐⇒ Der Coxeter-Graph von Φ ist zusammenh¨angend. Ein irreduzibles Wurzelsystem entspricht einer Zusammenhangskomponente eines Dynkindiagramms, d.h. es gen¨ ugt, die zusammenh¨angenden Dynkindiagramme zu klassifizieren. Satz. Sei Φ ein irreduzibles Wurzelsystem vom Rang l. Dann ist sein DynkinDiagramm eines der hier abgebildeten (mit l Eckpunkten). 2

Al

(l>0)

1

2

3

l−1

l

1

3

4

(l>1)

1

2

l−2

l−1

l

1

3

4

5

6

5

6

7

E7

5

6

7

8

E6

2

Bl

2

Cl

(l>2)

1

2

l−2

l−1

l

1

Dl

(l>3)

1

2

l−3

l−2

l−1

1

3

4

2

3

4

E8

F4

l 1

2

G2

(Die Einschr¨ankungen bei den klassischen Typen sind da, um Doppelspurigkeiten zu vermeiden.) Ausser bei den Typen Bl , Cl erh¨alt man das Dynkindiagramm direkt vom Coxetergraph. Bl und Cl haben den gleichen Coxetergraph, der Unterschied besteht in der Anzahl kurzer/langer Wurzeln. Beweis. Die Idee ist, zuerst die m¨oglichen Coxetergraphen zu beschreiben (und die L¨ange der Wurzeln vorerst zu ignorieren) und dann zu u ¨berlegen, welche Dynkindiagramme daraus entstehen k¨onnen. Man ben¨otigt v.a. elementare euklidische Geometrie (endliche Menge von Vektoren, die Winkel zwischen ihnen werden durch den Coxetergraph beschrieben). Die Beweisschritte werden in Humphreys, 11.4, er¨ kl¨art, hier nur kurz eine Ubersicht dazu, sei Φ ein irreduzibles Wurzelsystem und Γ sein zusammenh¨angender Coxetergraph. (1) Man zeigt, dass der Graph Γ keinen Zykel enthalten kann.

42

KARIN BAUR

(2) An jedem Punkt h¨angen h¨ochstens drei Kanten (das heisst, in einem Graph kann kein Stern mit vier Armen und k¨onnen keine drei Punkte i, j, k mit je zwei Kanten von i nach j und von j nach k vorkommen). (3) Falls Γ eine dreifache Kante hat, so ist es der Graph zu dem DynkinDiagramm G2 . (4) Γ hat keine Teilgraphen der folgenden Gestalt:

(5) Γ muss daher aus dieser Liste stammen:

(6) Darunter sind beim Graph mit einer doppelten Kante nur diejenigen m¨oglich, die zu den Dynkin-Diagrammen von Bl , Cl oder F4 geh¨oren. (7) Bei den B¨aumen mit drei Zweigen (die verzweigten Graphen der Liste) sind nur die m¨oglich, die zu den Dynkin-Diagrammen vom Typ Dl oder En (n = 6, 7, 8) geh¨oren.  Der obige Satz sagt, wie die m¨oglichen Dynkindiagramme aussehen. Man kann zeigen, dass es zu jedem dieser Dynkindiagramme ein Wurzelsystem gibt: Satz. Zu jedem dieser Dynkin-Diagramme existiert ein irreduzibles Wurzelsystem. Zum Beweis: wir konstruieren das Wurzelsystem zum Diagramm vom Typ Al . Die Wurzelsysteme Bl , Cl , Dl werden a¨hnlich konstruiert. Man kann zeigen, dass E6 und E7 mit Untersystemen von E8 identifiziert werden k¨onnen und muss dann E8 konstruieren. Die Konstruktionen von E8 , F4 und G2 sind in Kapitel 12.1 von Humphreys. Beispiel. Betrachte den VR Rl+1 mit l+1 Basisvektoren εi . Sei E der l-dimensionale P Unterraum von Rl+1 , der senkrecht ist zu ε1 + . . . εl+1 (i.e. α ∈ E ⇐ α = ai εi P l+1 mit ai = 0. Definiere das Gitter I ⊂ R als den Z-Spann der εi und setze I ′ := I ∩ E. Dann sei Φ := {α ∈ I ′ | (α, α) = 2} Behauptung 1: Φ = {εi − εj | i 6= j} Behauptung 2: Seien αi := εi − εi+1 (1 ≤ i ≤ l). Diese αi sind linear unabh¨angig und jedes β = εi −εj l¨asst sich eindeutig als als Linearkombination der αi darstellen (man u ¨ berlege, wie!) Behauptung 3: Φ ist ein Wurzelsystem mit Diagramm Al (die positiven Wurzeln sind die εi − εj mit i < j, die negativen entsprechend mit i > j).

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN

43

7.3. Beschreibung von Aut Φ. In der Vorlesung nicht besprochen, hier nur zur Vollst¨andigkeit. Die Automorphismengruppe Aut Φ eines Wurzelsystems Φ gibt uns weitere Informationen u ¨ber das Wurzelsystem. Sie l¨asst sich als Produkt von W mit der folgenden Untergruppe von Aut Φ beschreiben: Sei Γ := {σ ∈ Aut Φ | σ(∆) = ∆} die Gruppe der Automorphismen von Φ, die eine festgelegte Basis ∆ festhalten. Γ ist eine UGruppe von Aut Φ. F¨ ur jedes Element τ ∈ Aut Φ ist τ (∆) wieder eine Basis von Φ, also existiert σ ∈ W , so dass στ (∆) = ∆, also ist τ ∈ ΓW . Ausserdem gilt: ist τ ∈ Γ ∩ W , so ist τ = 1 (W operiert einfach transitiv auf Basen von Φ). Damit ist dann die Automorphismengruppe das semi-direkte Produkt von Γ und W . Satz. (i) Aut Φ ist das semidirekte Produkt von Γ und W . (ii) Γ kann mit der Gruppe der “Dynkin-Diagramm-Automorphismen” identifiziert werden. Zu (ii): τ ∈ Γ definiert einen Automorphismus des Dynkindiagramms von Φ, und jeder Automorphismus des Dynkindiagramms bestimmt einen Automorphismus von Φ, der ∆ invariant l¨asst. Daher wird Γ die Gruppe der Diagrammautomorphismen genannt. Die untenstehende Tabelle gibt weitere Informationen u ¨ber das WS Φ und beschreibt die Weylgruppe W und Γ. Typ Al Bl , Cl Dl Dl E6 E7 E8 F4 G2

Anzahl pos. Wurzeln Ordnung von W Struktur von W Γ


l+1 2 2

l l2 − l

(l + 1)! 2l l! 2l−1 l!

36 63 120 24 6

27 34 5 210 34 57 214 35 52 7 27 32 22 3

Sl+1 Z/2Zl ⋊ Sl Z/2Zl−1 ⋊ Sl

Z/2Z (l ≥ 2) 1 S3 (l ≤ 4) Z/2Z (l > 4) Z/2Z 1 1 1 1

Man kann sehen, dass Γ nur dann nicht die triviale Gruppe ist, wenn das Wurzelsystem nur eine Wurzell¨ange hat - also durch den Coxetergraphen bestimmt ist. Daher kann man auch sagen, dass Γ die Gruppe der Graphautomorphismen ist. Die Abbildung 3 beschreibt das Element, dass die Gruppe Γ erzeugt in den F¨allen, wo Γ nicht-trivial ist (Al , D4 , Dl , E6 ).

44

KARIN BAUR 2

Al

1 1

2

l−1

3

4

5

6

E6

l 3

D4

1

2 4

Dl

1

l−1 2

l−3

l−2

(l>4)

l

Abbildung 3. Erzeugender der Untergruppe Γ 8. Halbeinfache Lie-Algebren; Existenz- und Isomorphiefragen, Klassifikation Im letzten Kapitel haben wir die irreduziblen Wurzelsysteme klassifiziert mit Hilfe der entsprechenden Dynkindiagramme. In diesem Kapitel werden wir nun die halbeinfachen Lie-Algebren klassifizieren. Man zeigt, dass zu einfachen LA irreduzible Wurzelsysteme geh¨oren. Ziel ist dann, zu zeigen, dass zwei halbeinfache LA, die dasselbe WS haben, isomorph sind. Dank dem zweiten Teil der untenstehenden Proposition reicht es, dies f¨ ur einfache LA zu zeigen. Schliesslich definiert man ausgehend von einem Wurzelsystem Φ eine Lie-Algebra L mit Erzeugenden und Relationen (Satz von Serre), und zeigt, dass diese Lie-Algebra gerade Φ als WS hat und dass diese LA L eindeutig bestimmt ist (bis auf Isomorphie). L sei also eine halbeinfache Lie-Algebra u ¨ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨orper k der Charakteristik 0. H eine Cartanunteralgebra (maximale torale UAlgebra) von L, Φ das zugeh¨orige Wurzelsystem mit Basis ∆ = {α1 , . . . , αl }. Proposition. Seien L, H, Φ wie oben. • Ist L einfach, dann ist Φ irreduzibel. • Ist L = L1 ⊕· · ·⊕Lt die Zerlegung in einfache Ideale, so ist Φ = Φ1 ∪· · ·∪Φt , wobei Φi das (irreduzible!) Wurzelsystem von Li bzgl. Hi := H ∩ Li ist. Beweis erster Teil. Nehmen an, dass Φ = Φ1 ∪ Φ2 , wobei die Φi orthogonal sind. Ist α ∈ Φ1 , β ∈ Φ2 , dann ist (α + β, α) 6= 0 und (α + β, β) 6= 0, also kann α + β keine Wurzel sein und [Lα , Lβ ] = 0. Damit ist jedes Lβ (β ∈ Φ2 ) im Zentralisator der UAlgebra K, die durch die Lα , α ∈ Φ1 erzeugt wird. Da jedoch Z(L) = 0 ist, muss also K eine echte UAlgebra sein. Zudem wird K durch alle Lα (α ∈ Φ1 ) normalisiert, also durch alle Lα (α ∈ Φ), i.e. durch ganz L (da die Lα die LA L erzeugen, Proposition in 4.5). Dann ist aber K ein echtes Ideal von L, K 6= 0, was der Einfachheit von L widerspricht.  Zum zweiten Teil: Humphreys, Abschnitt 14.1. Der zweite Teil zeigt, dass das Problem, halbeinfache LA durch ihre Wurzelsysteme zu charakterisieren, reduziert werden kann auf die Beschreibung einfacher LA mittels ihrer (irreduziblen) Wurzelsysteme.

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8.1. Eine Menge von Erzeugenden. Die n¨achste Proposition gibt eine (kleine) Menge von Erzeugenden von L an. Proposition. Seien L, H, Φ wie oben. ∆ eine Basis von Φ. Dann gilt: ¨ L wird als Lie Algebra von den Lα , L−α (α ∈ ∆) erzeugt. Aquivalent dazu: L wird von beliebigen Wurzelvektoren xα ∈ Lα , yα ∈ L−α , alle 6= 0 erzeugt (α ∈ ∆). Beweis. Sei β eine beliebige positive Wurzel (bzgl. ∆). Behauptung: jedes β ∈ Φ+ kann geschrieben werden als α1 + · · ·+ αk mit αi ∈ ∆, nicht notwendig alle verschieden, so dass jede Teilsumme α1 + · · · + αi eine Wurzel ist. Beweis Behauptung: Induktion u ¨ ber die H¨ohe von β. Hat β H¨ohe 1 (i.e. β ∈ ∆), so ist nichts zu zeigen. Nehme an, die Aussage stimmt f¨ ur Wurzeln der H¨ohe n. Hat β H¨ohe n + 1, dann ist β positiv, aber nicht einfach. Dann gibt es eine Wurzel α ∈ ∆, so dass γ := β − α eine Wurzel ist (Lemma A in 10.2 von Humphreys). Nun hat γ H¨ohe n, ist also von der gew¨ unschten Form und β damit auch. Wir k¨onnen also β als α1 + · · · + αs schreiben (nicht alle αi verschieden), so dass jede Teilsumme in Φ ist. Wir wissen (Proposition (d) in Kapitel 4.5), dass [Lγ , Lδ ] = Lγ+δ wenn δ, γ und γ + δ Wurzeln sind. Mit Induktion u ¨ber s sieht man, dass Lβ in der UAlgebra von L liegt, die erzeugt wird durch alle Lα (α ∈ ∆). Analog liegt f¨ ur negative β der Wurzelraum LβSin der UAlgebra von P L, die durch alle L−α (α ∈ ∆) erzeugt wird. Da L = H + α∈Φ Lα und H = α∈Φ [Lα , L−α ] folgt die Proposition.  Sind xα ∈ Lα , yα ∈ L−α , xα 6= 0, yα 6= 0 (α ∈ ∆) mit [xα , yα ] = hα , so heisst {xα , yα , hα } ein Standardset von Erzeugenden von L. (Dabei ist hα ∈ [Lα , L−α ] das einzige Element mit α(hα ) = 2). Beispiel. Ist L = sl2 , so ist die u ¨ bliche Basis {x, y, h} (x = E12 die Einheitsmatrix mit einer Eins an der Stelle (1, 2), y = E21 und h = E11 − E22 ) ein Standardset von Erzeugenden. (Hier ist α = ε1 − ε2 , also α(h) = 1 − (−1) = 2). 8.2. Erzeugende und Relationen. L eine halbeinfache Lie-Algebra u ¨ber dem K¨orper k, k algebraisch abgeschlossen, char k = 0. Wir werden hier L mittels Erzeugender und Relationen darstellen, nur in Abh¨angigkeit des Wurzelsystems Φ. Dadurch wird die Existenz und die Eindeutigkeit einer halbeinfachen LA gezeigt, deren Wurzelsystem Φ ist. In diesem Abschnitt erlauben wir dim L = ∞. Notation: L halbeinfache LA, H ⊂ L eine Cartanunteralgebra (max. torale UAlgebra), Φ das zugeh¨orige WS, ∆ = {α1 , . . . , αl } eine Basis von Φ. Zur Erinnerung: Seien xi ∈ Lαi , yi ∈ L−αi , hi = [xi , yi ] mit αi (hi ) = 2, 1 ≤ i ≤ l und cij := hαi , αj i = αi (hj ) die Cartanzahlen. Dann gilt

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Proposition (Serre-Relationen). L wird durch die {xi , yi , hi | 1 ≤ i ≤ l} erzeugt und diese Erzeugenden erf¨ullen die folgenden Relationen (S1) (S2) (S3) (Sij+ ) (Sij− )

[hi , hj ] = 0 1 ≤ i, j ≤ l [xi , yj ] = δij hi [hi , xj ] = cji xj und [hi , yj ] = −cji yj (ad xi )−cji +1 (xj ) = 0 i 6= j −cji +1 (ad yi ) (yj ) = 0 i 6= j

Beweis. Dass L bereits erzeugt wird durch die xi und yi wurde in Abschnitt 8.1 gezeigt. Die beiden Relationen (S1) und (S2) sind klar (f¨ ur (S2) benutze αi −αj ∈ /Φ falls i 6= j). (S3) ist klar. Betrachten also (Sij+ ) (die letzte Relation folgt aus Symmetriegr¨ unden analog). Da i 6= j ist αj − αi keine Wurzel und der αi -Faden durch αj ist die Menge {αj , αj + αi , . . . , αj − cji αi }. Nun bildet die Abbildung ad xi das Element xj sukkessive in die Wurzelr¨aume von αj + αi , αj + 2αi , . . . ab, und damit folgt (Sij+ ).  Die Relationen in der Proposition benutzen Konstanten, die nur vom WS abh¨angen. Serre hat entdeckt, dass diese ein vollst¨andiges Set von definierenden Relationen f¨ ur L bilden: Satz (Serre). Sei Φ ein WS mit Basis und Cartanzahlen wie oben. k ein alg. abg. K¨orper der Charakteristik 0. Sei L die von den Elementen {xi , yi , hi | 1 ≤ i ≤ l} mit den Relationen (S1), (S2), (S3), (Sij+ ) und (Sij− ) erzeugte Lie-Algebra u ¨ber k. Dann ist L eine endlich-dimensionale halbeinfache LA mit CSA H = ⊕khi und zugeh¨origem WS Φ. Damit haben wir also: Zu jedem Wurzelsystem Φ gibt es eine halbeinfache Lie-Algebra L mit CSA H, so dass Φ das zugeh¨orige WS ist.

Teil 3. Darstellungstheorie 9. Darstellungstheorie von halbeinfachen Lie-Algebren L halbeinfache Lie-Algebra (¨ uber k = k, char k = 0), H eine CSA (Cartan subalgebra, i.e. maximale torale Unteralgebra), Φ das zugeh¨orige Wurzelsystem, ∆ eine Basis von Φ, ∆ = {α1 , . . . , αl }. Hauptobjekt in diesem Kapitel: endlich-dim. L-Moduln. Im ersten Teil tauchen auch noch unendlich-dimensionale L-Modulen auf. Dank Weyls Theorem (Abschnitt 3.4: ist L halbeinfach und ϕ : L → gl(V ) eine Darstellung, dim V < ∞, dann ist ϕ vollst¨andig reduzibel) u ¨ber vollst. Reduzibilit¨at sind die irreduziblen LModuln im endlich-dim Fall die entscheidenden.

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9.1. Gewichte und maximale Vektoren. Sei V ein L-Modul. Dann sei f¨ ur ∗ λ ∈ H Vλ := {v ∈ V | h.v = λ(h)v ∀ h ∈ H} (wie bereits im Kapitel 3 f¨ ur L = sl2 definiert). Definition. Sei V ein bel. L-Modul, λ ∈ H ∗ . Ist Vλ 6= 0, so heisst Vλ Gewichtsraum und λ ein Gewicht von (H auf ) V adj

Beispiel. (1) Sei L −→ gl(L) die adjungierte Darstellung. Dann sind die Gewichte gerade die Wurzeln α ∈ Φ (mit Gewichtsraum Lα der Dimension 1, Lα = {x ∈ L | h.x = α(h)x ∀ h ∈ H}) zusammen mit 0 (mit Gewichtsraum H, dim H = l). (2) L = sl2 , mit Standardbasis x, y, h. Eine lineare Funktion λ (auf H) ∈ H ∗ ist vollst¨andig bestimmt durch ihren Wert im Basisvektor h. Ist dim V < ∞, so folgt mit Weyls Theorem, dass V = ⊕λ∈H ∗ Vλ direkte Summe seiner Gewichtsr¨aume ist. Ist dim V = ∞, so hat man keine Zusicherung, dass die Summe der Gewichtsr¨aume direkt ist. P Lemma. Sei V ein beliebiger L-Modul. Sei V ′ := λ∈H ∗ Vλ die Summe der Gewichtsr¨aume von V . Dann gilt ∗ (a) Lα . Vλ ⊂ Vα+λ P∀ λ ∈ H , α ∈ Φ; (b) Die Summe λ∈H ∗ Vλ ist direkt und V ′ ist ein L-Untermodul von V . Beweis. (a) Sei x ∈ Lα , v ∈ Vλ , h ∈ H. Dann ist zu zeigen, dass x.v ∈ Vα+λ . h.x.v

(M 3)

= x.h.v + [hx].v = (λ(h) + α(h))x.v =⇒ x.v ∈ Vα+λ

P (b) Sei w = vi ∈ V ′ mit vi ∈ Vµi , µi alles verschiedene Gewichte. Zu zeigen ist, alle vi liegen in V ′ . Benutzen Induktion u ¨ber die Anzahl Summanden von w. ′ Ist w = v1 , so folgt v1 ∈ V . Sei nun n > 1, und ein Element in V ′ , das sich mit n − 1 Summanden schreiben l¨asst, habe also die Eigenschaft, dass alle Summanden in V ′ liegen. Sei w = v1 + · · · + vn und es sei h ∈ H mit µ1 (h) 6= µi (h) f¨ ur i = 2, . . . , n. Dann ist P ′ ′ • V ∋ h.w = h.vi = µi (h)vi ∈ V • V ′ ∋ h.w − µ1 (h)w = (µ2 (h) − µ1 (h))v2 + · · · + (µn (h) − µ1 (h))vn 6= 0. | | {z } {z } 6=0

6=0 ′

Damit sind aber nach Induktionsvoraussetzung v2 , . . . , vn ∈ V , und wegen v1 = w − (v2 + · · · + vn ) ist v1 ∈ V ′ . | {z } ∈V ′ ′

Wegen (a) ist V ein L-U-Modul von V .



9.2. Universelle einhu ¨ llende Algebra. Einschub. In diesem Unterkapitel sei L eine beliebige LAlgebra u ¨ber einem beliebigen K¨orper k. Zu L kann man eine assoziative Algebra u ¨ ber k definieren, die unendlich dimensional ist (ausser L = 0):

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Definition. Sei L eine endlich-dimensionale Lie-Algebra mit Basis {x1 , . . . , xn }. Die Strukturkonstanten von L (bzgl. dieser Basis) sind die am ij , die durch [xi , xj ] = P m a x bestimmt sind. m ij k Dann ist die universelle einh¨ullende Algebra von L, U(L), die assoziative Algebra mit Eins, die durch X1 , . . . , Xn erzeugt wird, und die Relationen Xi Xj − Xj Xi =

n X

am ij Xm

1 ≤ i, j ≤ l

m=1

erf¨ ullt. Man kann zeigen, dass die Algebra U(L) unabh¨angig ist von der gew¨ahlten Basis. Mit andern Worten: f¨ uhrt man die Konstruktion f¨ ur zwei verschiedene Basen durch, so sind die erhaltenen Algebren isomorph. Lemma. Sei L = sl2 (C) mit der u ¨blichen Basis {x, h, y}. Dann hat die universelle einh¨ullende Algebra U(L) eine Vektorraumbasis {y a hb xc | a, b, c ≥ 0}. Hier sieht man gut, dass dim U(L) = ∞. Beachte: in der Basis spielt die Reihenfolge der Elemente eine Rolle (Ausdruck in y zuerst, dann in h, dann in x). Beweisidee - in der Vorlesung ausgelassen. Zu zeigen ist: (i) diese Elemente spannen die universelle einh¨ ullende Algebra auf und (ii) sie sind linear unabh¨angig. Zu (i): es reicht, zu zeigen, dass jedes Monom in den Erzeugenden geschrieben ¨ werden kann als Linearkombination der Monome, die hier auftreten. Als Ubung: man schreibe hxy als Linearkombination mit Elementen aus obiger Menge. Dann versteht man die Strategie gen¨ ugend. Zu (ii): die lineare Unabh¨angigkeit ist schwieriger zu zeigen. Sie wird zum Bsp im Kapitel 17 von Humphreys gezeigt. Es ist nicht mal klar, dass die Elemente x und y in U(L) linear unabh¨angig sind.  Im Allgemeinen hat f¨ ur eine LA L mit Basis {x1 , . . . , xn } die universelle einh¨ ullende Algebra U(L) die Basis {X1a1 X2a2 · · · Xnan | a1 , . . . , an ≥ 0} Dies ist die sogenannte PBW-Basis oder Poincar´e-Birkhoff-Witt-Basis von U(L). (Und das obige Lemma ist der Spezialfall L = sl2 (C) mit X1 = y, X2 = h und X3 = x. Wir h¨atten auch eine andere Reihenfolge der Basiselemente nehmen k¨onnen.) Das sogennante PBW-Theorem (cf. Humphreys Kapitel 17) sagt, dass diese Elemente eine Basis von U(L) bilden. Eine wichtige Konsequenz davon ist, dass die Elemente X1 , . . . , Xn linear unabh¨angig sind. Somit ist L selber ein Unterraum von U(L).

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9.3. H¨ ochstgewichtsmoduln. Definition. Ein Vektor 0 6= v + ∈ Vλ heisst maximal (vom Gewicht λ), falls Lα .v + = 0 ist f¨ ur alle α ≻ 0. Ist V ein L-Modul mit V = U(L).v + f¨ ur einen maximalen Vektor, so heisst V H¨ochstgewichtsmodul, HGM, (vom Gewicht λ), geschrieben als V (λ), und λ heisst das h¨ochste Gewicht von V = V (λ). Beispiele. Wir kennen bereits Beispiele von H¨ochstgewichtsmoduln. Speziell bei diesen Beispielen ist: es sind endlich-dimensionale, irreduzible L-Moduln (das ist nicht immer der Fall bei H¨ochstgewichtsmoduln). 1) L = sl3 als L-Modul ist selber ein H¨ochstgewichtsmodul, mit H¨ochstgewicht α1 + α2 ∈ (Φ ⊂)H ∗ . 2) Die irreduziblen sl2 -Moduln V = C[x, y]m aus Kapitel 3.7 sind ebenfalls H¨ochstgewichtsmoduln (zum Gewicht m ∈ Z>0 ). Satz. Sei V = V (λ) ein HGM mit v + ∈ Vλ maximal, sei Φ+ = {β1 , . . . , βm }. Dann gilt: (a) V wird durch die Vektoren yβi11 . . . yβimm .v + (ij ∈ Z≥0 ) aufgespannt. Insbesondere ist V direkte Summe seiner Gewichtsr¨aume,PV = ⊕λ Vλ . (b) Die Gewichte von V sind von der Form µ = λ − li=1 ki αi (ki ∈ Z≥0 ), d.h. µ ≺ λ f¨ur jedes Gewicht µ von V . (c) dim Vµ < ∞ f¨ur jedes µ ∈ H ∗ und dim Vλ = 1. (d) V ist ein unzerlegbarer L-Modul mit einem einzigen (maximalen) echten Untermodul W und entsprechend einem einzigen irreduziblen Quotienten V /W . Beweis. Teil (a) Es ist L = N − ⊕ B, wobei N − := ⊕α≺0 Lα und B = B(∆) = H ⊕ (⊕α≻0 Lα ) die sogenannte Borel-Unteralgebra ist. Eine Konsequenz des PBWTheorems ist, dass U(L) = U(N − )U(B), also U(L).v + = U(N − )U(B).v + = U(N − ).kv + (letzteres, da v + ein gemeinsamer Eigenvektor f¨ ur B ist). Da U(N − ) eine Basis hat aus Monomen yβi11 · · · yβimm folgt die Behauptung. P Teil (b) Ein Vektor (∗) yβi11 · · · yβimm .v + hat Gewicht λ − ij βj . Schreibe jedes β als nichtnegative P Z-Linearkombination von einfachen Wurzeln. Damit folgt (b). ki αi fest (mit ki ≥ 0). Es gibt nur endliche viele Vektoren der Form Teil (c) Sei P P (∗) mit P ij βj = ki αi . Wegen (a) spannen diese den Gewichtsraum Vµ f¨ ur µ = λ − ki αi auf. Also ist Vµ endlich-dimensional. Ist µ = λ, so ist der einzige Vektor der Form (∗) zu diesem Gewichtsraum v + selbst. Also haben wir (c). Teil (d) Man ¨berlegt sich, dass jeder Untermodul von V die Summe seiner GeP wichtsr¨aume ist. Sei W := aller echten Untermoduln. Dann ist W auch ein echter U-Modul (der Gewichtsraum Vλ liegt in keinem der echten Untermoduln wegen (c)). V hat also einen einzigen maximalen echten Untermodul W und damit einen einzigen echten irreduziblen Quotienten.

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V unzerlegbar: w¨are V die Summe zweier echter Untermoduln W1 ⊕ W2 , dann w¨aren beide Wi ⊂ W , und nach Definition von W w¨are W1 ⊕ W2 ⊂ W ( V .  Korollar. Sei V wie oben, zus¨atzlich sei V irreduzibel. Dann ist der maximale Vektor eindeutig bis auf Skalarmultiplikation. Beweis. Man nimmt an, V = U(L).v + = U(L).w + f¨ ur v + und w + maximale Vektoren, v + zum Gewicht λ, w + zum Gewicht µ. Dann findet man, dass λ ≻ µ und dass µ ≻ λ ist, also sind sie gleich. Wegen (c) im obigen Satz muss dann w + ein Vielfaches von v + sein.  9.4. Existenz und Eindeutigkeit. Ziel: zu jedem λ ∈ H ∗ existiert genau ein irreduzibler H¨ochstgewichtsmodul (bis auf Isomorphie) zum H¨ochstgewicht λ. Dieser kann unendlich-dimensional sein. Satz (Eindeutigkeit). Seien W , V irreduzible HGM zu λ. Dann sind W und V isomorph. Beweis. Sei X := V ⊕ W (ein L-Modul), v + ∈ V und w + ∈ W maximale Vektoren vom Gewicht λ. Sei x+ := (v + , w + ). Dann ist x+ ein maximaler Vektor vom Gewicht λ. Sei Y ⊂ X der Untermodul, der durch x+ erzeugt wird (durch die yβi11 . . . yβimm .x+ ), seien p : Y → V , q : Y → W die durch die Projektionen von X induzierten Abbildungen. (p, q sind L-Modulhomomorphismen). Es ist p(x+ ) = v + , q(x+ ) = w + , also gilt f¨ ur die Bilder Imp = V , Imq = W . Damit sind V und W Quotienten vom HGM Y , beide irreduzibel, also folgt mit (d) vom Satz aus 9.3, dass V ∼  = W. Zur Existenz: unabh¨angig von der Frage der Irreduzibilit¨at: wie kann man HGM ¨uberhaupt konstruieren? Es gibt zwei Wege, dies zu tun, sie f¨uhren beide zum selben Resultat Eine M¨oglichkeit, dies zu tun, ist die sogenannte “induced module construction”. Bemerkung: ein HGM enth¨alt (als B-Modul betrachtet - B = B(∆) wie weiter oben) einen eindimensionalen Untermodul, der durch den maximalen Vektor aufgespannt wird. Dies motiviert die erste Konstruktion. Sei λ ∈ H ∗ fest. Starte mit einem eindimensinalen VR Dλ , der v + als Basis hat. Definiere die Operation von B auf Dλ durch X (h + xα ).v + := h.v + = λ(h)v +

Damit ist Dλ ein B-Modul. Er ist nat¨ urlich auch ein U(B)-Modul, wir k¨onnen also das Tensorprodukt bilden (“induzieren”): V (λ) := U(L) ⊗U (B) Dλ

und erhalten einen U(L)-Modul (mit der nat¨ urlichen Linksoperation von U(L)). Dieser V (λ) ist der gesuchte Modul vom H¨ochstgewicht λ, und zwar gilt

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• 1 ⊗ v + erzeugt V (λ) • 1 ⊗v + 6= 0 (eine Konsequenz des PBW-Theorems: U(L) ist ein freier U(B)Modul mit Basis aus 1 zusammen mit den Monomen yβi11 . . . yβimm ). Daher ist 1 ⊗ v + ein maximaler Vektor vom Gewicht λ. Diese Konstruktion zeigt auch, dass, f¨ ur N − = ⊕α≺0 Lα , der Modul V (λ) als − U(N )-Modul betrachtet isomorph ist zu U(N − ). Genauer: U(L) ∼ = U(N − )⊗U(B) (PBW-Theorem), also V (λ) ∼ = U(N − ) ⊗ k (als links - U(N − )-Moduln betrachtet). Satz (Existenz). Zu jedem λ ∈ H ∗ existiert ein irreduzibler HGM Z(λ). Beweis. Sei V (λ) der oben konstruierte HGM zu λ. V (λ) hat einen einzigen maximalen Untermodul Y (λ) (Satz (d) aus 9.3) und damit ist Z(λ) := V (λ)/Y (λ) irreduzibler HGM zu λ.  9.5. Endlich-dimensionale Moduln. Im Kapitel 9.5 schreiben wir jeweils V (λ) f¨ ur einen irreduziblen HGM zum Gewicht λ. Zwei Fragen stellen sich nun, nachdem man die Existenz- und Eindeutigkeit von irreduziblen HGM hat: • Welche der V (λ) sind endlich-dimensional? • dim V (λ) < ∞: welche Gewichte treten auf, mit welcher H¨aufigkeit? Ist V ein L-Modul, so schreiben wir Π(V ) f¨ ur die Menge seiner Gewichte. Erinnerung: F¨ ur die einfachen Wurzel αi ∈ ∆ sei Si := Sαi die entsprechende Kopie von sl2 (wie in (f) von Abschnitt 4.4). Satz (Notwendige Bedingung). Sei V (λ) ein endlich-dimensionaler irreduzibler HGM zum Gewicht λ. Dann folgt λ(hi ) ∈ Z≥0 (1 ≤ i ≤ l). Beweis. In der Vorlesung ausgelassen Die Begr¨ undung dazu ist die folgende: ist V einendlich-dimensional, irreduzibler L-Modul, so existiert mindestens ein maximaler Vektor v + (mit einem eindeutig bestimmten Gewicht, da V = ⊕Vλ die direkte Summe seiner Gewichtsr¨aume ist), v + ∈ Vλ , es ist dann V = V (λ) nach den S¨atzen vom letzten Abschnitt (9.4). Nun ist V (λ) auch ein (endlich-dimensionaler) Si -Modul, maximale Vektoren f¨ ur L sind auch maximal f¨ ur Si , es gibt also einen maximalen Vektor f¨ ur Si . Das Gewicht bzgl. der CSA (Cartan Unteralgebra, maximale torale UAlgebra) Hi von Si wird eindeutig bestimmt durch den Wert λ(hi ) (mit hi = hαi ). Dann muss aber λ(hi ) ∈ Z≥0 sein wegen der sl2 -Theorie (Satz in 3.7).  Beispiele. Zur Illustration hier nochmals zum Beispiel sl3 : F¨ ur i ≤ 3 ist εi ∈ ∗ H die Abbildungen A = (Aij )ij ) 7→ Aii . Man u uft, dass gilt: εi erf¨ ullt die ¨berpr¨ notwendige Bedingung aus dem Satz genau dann, wenn i = 1 ist. Und ε1 + ε2

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erf¨ ullt sie auch, sowie ε1 − ε3 = α1 + α2 . Alle andern Kombinationen εi ± εj (mit i 6= j) erf¨ ullen sie nicht (insbesondere nicht: α1 , α2 !). Die Umkehrung gilt auch: Satz (Hinreichende Bedingung). Sei λ ∈ H ∗ ein Gewicht mit λ(hi ) ∈ Z≥0 f¨ ur 1 ≤ i ≤ l. Dann ist der irreduzible L-Modul V = V (λ) endlich-dimensional und die Menge Π(λ) := Π(V (λ)) seiner Gewichte wird durch die Weylgruppe W permutiert; es ist dim V (λ)µ = dim V (λ)σµ f¨ur alle σ ∈ W . Ist λ ein solches Gewicht (wie im obigen Satz), so sagen wir, λ sei dominant integral (dominant f¨ ur λ(hi ) ≥ 0, integral f¨ ur λ(hi ) ∈ Z). Die Menge der dominanten integralen Gewichte (f¨ ur L, H), d.h. der dominanten ganzzahligen linearen Funktionen auf H, bezeichnet man mit Λ+ . Korollar. Die Abbildung λ 7→ V (λ) induziert eine Bijektion zwischen Λ+ und den Isomorphieklassen von endlich-dimensionalen irreduziblen L-Moduln. Beweis. Die Aussage folgt aus dem zweiten Satz in diesem Abschnitt mit dem ersten Satz und den beiden S¨atzen aus 9.4.  Beweis Satz - in der Vorlesung ausgelassen. Idee: zu zeigen, dass die Menge Π(V ) der Gewichte von V durch W permutiert wird und daher endlich ist. Wir schreiben die Darstellung von L auf V als ϕ : L → gl(V ). Sei v + ∈ Vλ maximal, sei mi := λ(hi ) f¨ ur 1 ≤ i ≤ l (die mi sind in Z≥0 nach Voraussetzung). Hier sind die Schritte des Beweises, die Details sind in Humphreys, 21.2 zu finden. (1) Es ist yimi +1 .v + = 0. (2) F¨ ur 1 ≤ i ≤ l enth¨alt V einen endlich-dimensionalen Si -Untermodul. (3) V ist die Summe von endlich-dimensionalen Si -Untermoduln. (4) F¨ ur 1 ≤ i ≤ l sind die ϕ(xi ), ϕ(yi ) nilpotente Endomorphismen von V . (5) si = exp ϕ(xi ) exp ϕ(−yi ) exp ϕ(xi ) ist ein wohldefinierter Automorphismus von V . (6) Ist µ ein Gewicht von V , so ist si (Vµ ) = Vσi µ (mit σi die Spiegelung bzgl. αi ). (7) Die Gewichte Π(λ) sind stabil unter W und dim Vµ = dim Vσµ (µ ∈ Φ(λ), σ ∈ W ). (8) Π(λ) ist endlich. (9) dim V ist endlich.  10. Endlich-dimensionale Darstellungen von sl3 (C) 10.1. Gewichtsgitter. Man kann die Gewichte abstrakt f¨ ur Φ und E definieren. Und zwar sei Λ die Menge aller λ ∈ E, f¨ ur die hλ, αi ∈ Z (∀ α ∈ Φ). Die Elemente von Λ heissen die Gewichte. Nun ist Λ eine Untergruppe von E, die Φ enth¨alt.

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Φ spannt ein Gitter in Λ auf, das das Wurzelgitter genannt wird, geschrieben Λr . Ein Gewicht heisst dann dominant (strikt dominant) bzgl. der gew¨ahlten Basis ∆, falls alle Zahlen hλ, αi (α ∈ ∆) nicht-negativ (echt positiv) sind. Die dominanten Gewichte in diesem Sinne sind gerade die Menge Λ+ der dominanten ganzzahligen Gewichte aus dem Kapitel 9.5. Unter der Menge Λ+ gibt es l spezielle, die sogenannten fundamentalen (dominanten) Gewichte (bzgl. ∆). Man findet sie wie folgt: ist ∆ = {α1 , . . . , αl }, so bilden auch die 2 (αiα,αi i ) eine Basis von E. Sei ω1 , . . . , ωl die dazu duale Basis bzgl. 2(ω ,α )

( , ), i.e. (αji,αjj) = δij . Man kann zeigen, dass Λ ein Gitter ist mit Basis ω1 , . . . , ωl , genannt das Gewichtsgitter von L (f¨ ur L die Lie-Algebra, zu der Φ das Wurzelsystem ist). Eine Tabelle der Fundamentalgewichte f¨ ur jede einfache Liealgebra ist in Humphreys, (13.2) zu finden. 10.2. Zu sl3 = sl3 (C). F¨ ur H ⊂ L = sl3 sei die Basis h1 = E11 − E22 , h2 = E22 −E33 gew¨ahlt. Die fundamentalen Gewichte von sl3 sind ω1 = 13 (2α1 +α2 ), ω2 = 1 (α1 + 2α2 ). Eine gute Referenz f¨ur die Darstellungen von sl3 ist das Buch [FH] 3 von Fulton und Harris! Ist V (λ) eine irreduzible, endlich-dimensionale Darstellung von sl3 , so ist nach ¨ den obigen Uberlegungen (Abschnitt 10.1) λ = aω1 + bω2 mit a, b ∈ N0 . Den Fall a = b = 0 sollte man sich anschauen: da ist 0 das einzige Gewicht, die Darstellung ist ein-dimensional, also isomorph zum K¨orper, V (0) = k. Folgende Aussagen sind wichtig, wenn man die Gewichte Π(λ) einer endlichdimensionalen Darstellung V = V (λ) (von sl3 oder auch allgemeiner) finden will: (i) Nach (a) aus Satz von Abschnitt 9.3, und (a) Lemma von Abschnitt 9.1 erh¨alt man die anderen Gewichte, indem man positive Wurzeln abzieht. (ii) Nach der hinreichenden Bedingung, zweiter Satz aus 9.5 sind die Gewichte symmetrisch um den Nullpunkt (die Weylgruppe W permutiert sie). Man f¨angt mit dem h¨ochsten Gewicht an. Am besten schaut man sich parallel ¨ dazu das Beispiel λ = 3ω1 + 2ω2 an, siehe Figur 4. Uberlegen Sie sich vorher, was die dominanten Gewichte sind! Sie liegen in dem Kegel, der von ω1 und ω2 aufgespannt wird. Nach (ii): Da die Weylgruppe die Gewichte von V permutiert, muss Π(λ) in der konvexen H¨ ulle der Bahn W λ liegen. Das gibt bereits eine erste Ann¨aherung an Π(λ). Nach (i) (und (ii)): Von λ zieht man nun soweit m¨oglich die einfachen Wurzeln ab. So lange, bis man ein Bild von λ unter einer Spiegelung hat (also bei einem σλ angelangt ist). Dann

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wechselt man die Richtung, zieht eine andere (positive, nicht mehr unbedingt einfache) Wurzel ab, in Richtung senkrecht zur n¨achstgelegenen Hyperebene. Betrachtet man z.B. zuerst λ, λ − α1 , . . . , λ − rα1 = σα1 (λ), so f¨ahrt man fort und zieht nun α1 + α2 ab. So lange, bis man wieder auf ein Bild von λ unter der Weylgruppe st¨osst. Dann erg¨anzt man dies zu einem Sechseck oder Dreieck um die Null (indem man benutzt, dass die Weylgruppe die Gewichte der Darstellung permutiert). Dieses Sechseck (oder Dreieck) bildet die ¨aussere Begrenzung von Π(λ) (der Menge der Gewichte von λ). Liegt λ im Innern von Λ+ (i.e. liegt nicht auf einer der Hyperebenen), so f¨angt man dann wieder bei λ an und zieht eine positive Wurzel ab, die nicht einfach ist. Also die Wurzel α1 +α2 im Falle von sl3 . Das gibt das Gewicht µ := λ−α1 −α2 . Mit diesem verf¨ahrt man jetzt genau wie vorher mit λ, um alle Gewichte im Sechseck (oder Dreieck, falls µ auf einer der Hyperebenen liegt) durch µ zu finden. Zu den Multiplizit¨aten der Gewichtsr¨aume: Auf dem ¨aussersten Sechseck (Dreieck) haben alle Gewichte Multiplizit¨at eins (i.e. dim V (λ)µ = dim V (λ)λ = 1 f¨ ur alle µ auf der ¨ausseren Begrenzung von Π(λ)). Ist λ = kωi f¨ ur i = 1 oder i = 2, so ist diese ¨ausserste Begrenzung ein Dreieck. In diesem Fall haben alle Gewichtsr¨aume Multiplizit¨at Eins. Andernfalls ist µ1 := λ−α1 −α2 ebenfalls in Λ+ . Es gibt zwei M¨oglichkeiten, von λ auf µ1 zu kommen: µ1 = (λ − α1 ) − α2 und µ1 = (λ − α2 ) − α1 . D.h. wir kriegen zwei Vektoren y1 y2 .v + und y2 y1 .v + , die linear unabh¨anging sind, es kann also nicht sein, dass einer ein skalares Vielfaches vom andern ist. Diese beiden Vektoren liegen im Gewichtsraum V (λ)µ1 , damit ist dim V (λ)µ1 = 2 und alle andern Gewichte auf diesem Sechseck oder Dreieck mit den Eckpunkten W µ1 haben auch Vielfachheit 2. Ist µ1 ebenfalls im Innern von Λ+ (also bilden auch die Gewichte durch µ1 ein Sechseck), so ist µ2 := µ − (α1 + α2 ) = λ − 2(α1 + α2 ) ebenfalls in Λ+ . Dann steigt die Multiplizit¨at weiter an: dim V (λ)µ2 = 3. Dies geht so weiter, bis man µk findet (f¨ ur ein k), das auf einer der Hyperebenen Pαi (senkrecht zu α1 oder zu α2 ) liegt. Es ist dim V (λ)µk = k + 1, und alle Gewichtsr¨aume der Gewichts auf diesem Dreieck und der Gewicht im Innern des Dreiecks durch µk haben auch Multiplitizit¨at k + 1. In den Zeichnungen zeigt man diese Multiplizit¨aten an, indem man mehrere Ringe zeichnet, siehe Figure 4.

GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN

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λ − 3α1

Pα1

3w1 + 2w2 α2 ω2

Pα2

ω1 α1

λ − 2α2

Abbildung 4. Gewichtsgitter von V (3ω1 + 2ω2 ) Die Vorlesung hat hier geendet, die n¨achsten Seiten sind zur Illustration im Skript drin. Beispiele. Als n¨achtes kann man sich die nat¨ urliche und die adjungierte Darstellung ansehen, sowie die duale Darstellung. Das wird im folgenden Beispiel erkl¨art. ¨ Zur Ubung kann man die entsprechenden Gewichtsmengen in den Abbildungen einzeichnen. (1) Adjungierte Darstellung. Die Gewichte sind im Gewichtsgitter in (a) von Abbildung 5 einzuzeichnen. Das h¨ochste Gewicht ist α1 +α2 . Die adjungierte Darstellung hat bekanntlich Dimension acht (3 × 3-Matrizen mit Spur 0). Man sollte also acht Gitterpunkte finden (mit Vielfachheiten gez¨ahlt). (2) Standarddarstellung (nat¨ urliche Darstellung) von sl3 auf V = C3 . Die Gewichte sind im Gewichtsgitter in (b) von Abbildung 5 einzuzeichnen. Das h¨ochste Gewicht ist hier ω1 . Etwas ausf¨ uhrlicher: Seien e1 = (1, 0, 0), e2 und e3 die Standardbasisvektoren von V . Schreiben wir εi : H → C f¨ ur die Abbildung, die einer Diagonalmatrix ihr i-tes Diagonalelement zuordnet, εi (h) = hii , so ist h.ei = εi (h)ei f¨ ur i = 1, 2, 3 (man pr¨ ufe das nach f¨ ur h = h1 und h = h2 ). Damit sind die ei gerade die Eigenvektoren f¨ ur h ∈ H. Und die Gewichte von V sind also die εi .

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(a) sl3

(b) C3

Abbildung 5. Gewichtsgitter. Adjungierte und nat¨ urliche Darstellung

(a) Π(λ1 )

(b) Π(λ2 )

Abbildung 6. Gewichte von V (λi ) (3) Die duale Darstellung V ∗ von V = C3 : die Gewichte sind −εi (i = 1, 2, 3). (Die Eigenwerte der dualen Darstellung, cf. Abschnitt 3.2, einer Darstellung einer Lie-Algebra sind gerade die negativen der Eigenwerte vom Original). Zwei eigene Beispiele k¨onnen in Abbildung 6 eingezeichnet werden - f¨ ur zwei H¨ochstgewichte λ1 , λ2 , λi = ai ω1 + bi ω2 . Zum Beispiel kann man λ1 = ω1 + 2ω2 und λ2 = 4ω1 ausprobieren. ¨ Ubung. Hier geht es darum, an Beispielen zu studieren, wie sich Tensorprodukte von zwei irreduziblen Darstellungen zerlegen. (Benutze Abbildung 7). (1) Man zeichne das Gewichtsgitter von dem Tensorprodukt C3 ⊗ (C3 )∗ . Dabei u ¨berlegt man sich zuerst: die Basis eines Tensorprodukts V ⊗ W besteht

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(a) zu (1)

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(b) zu (3)

¨ Abbildung 7. Ubung (1) und (3) aus allen v ⊗ w mit v ∈ V und w ∈ W Basisvektoren. Damit sind die Gewichte von V ⊗ W gerade alle m¨oglichen Summen λ + µ mit λ in Π(V ), µ ∈ Π(W ). (2) Hat man die Gewichte von C3 ⊗ (C3 )∗ gefunden, so u ¨berlege man sich, wie dieses Tensorprodukt zerf¨allt: Im allgemeinen ist V ⊗ W keine irreduzible Darstellung (auch wenn V und W irreduzibel sind, i.e. V = V (λ1 ) und W = V (λ2 )). Anhand der Gewichte Π(C3 ⊗ (C3 )∗ ) kann man sehen, in welche zwei Summanden dieses Tensorprodukt zerf¨allt. (3) Man zeichne die Gewichte von C3 ⊗ V (2ω1 + ω1 ). Wie zerlegt sich das Tensorprodukt (in irreduzible Darstellungen)? Es sind drei Summanden, der “gr¨osste” hat als h¨ochstes Gewicht die Summe der H¨ochstgewichte von C3 und von V (2ω1 + ω1 ). Literatur [EW] [FH] [Hu] [Sa]

K. Erdmann, M. Wildon, Introduction to Lie-Algebras. W. Fulton, J. Harris, Representation Theory. A first course. J. Humphreys, Introduction to Lie-Algebras and Representation Theory. H. Samelson, Notes on Lie-Algebras, 1990.