Grundkurs Wirtschaftsmathematik : Prüfungsrelevantes Wissen - Praxisnahe Aufgaben - Komplette Lösungswege 9783834929327, 3834929328, 9783834969255, 3834969257 [PDF]

Zitiervorschau

Benjamin Auer / Franz Seitz Grundkurs Wirtschaftsmathematik

Benjamin Auer Franz Seitz

Grundkurs Wirtschaftsmathematik Prüfungsrelevantes Wissen – Praxisnahe Aufgaben – Komplette Lösungswege 3. Auflage

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Dr. Franz Seitz ist Professor für Volkswirtschaftslehre, insbesondere Geldpolitik und Finanzmärkte, sowie Wirtschaftsmathematik an der Hochschule für angewandte Wissenschaften Amberg-Weiden. Dipl.-Betriebsw. (FH) Benjamin Auer ist Doktorand an der wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Universität Leipzig sowie Buchautor in den Bereichen Mathematik, Statistik und Buchführung.

1. Auflage 2006 2. Auflage 2010 3. Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Irene Buttkus Gabler Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Ten Brink, Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in the Netherlands ISBN 978-3-8349-2932-7

Vorwort E^af^ac ida " 0dU[PVT :WSPS :SaS`W\\S\ c\R :SaS` eW` T`ScS\ c\a 7V\S\ VWS`[Wb RWS ! /cTZOUS d]\ Ÿ5`c\RYc`a EW`baQVOTba[ObVS [ObWY” ^`ÉaS\bWS`S\ hc Rº`TS\ /cTU`c\R hOVZ`SWQVS` @ºQY[SZRc\US\ Oca RS` :SaS` aQVOTb W\ RS\S\ PSb]\b eW`R ROaa RWS SW\TOQVS c\R dS`abÉ\RZWQVS 2O`abSZZc\U RSa BVS[S\USPWSbSa RS` EW`baQVOTba[ObVS[ObWY c\R RWS dWSZS\ 0SWa^WSZS c\R ÍPc\Ua OcTUOPS\ [Wb Y][^ZSbbS\ :rac\US\ W[ 0cQV c\R W[ =\ZW\SAS`dWQS eSaS\bZWQVS AbÉ`YS\ RSa 0cQVSa RO`abSZZS\ VOPS\ eW` PSW RS` T c\R :SW^hWU 8cZW 

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Vorwort

VII

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Inhaltsverzeichnis D]`e]`b  D 7\VOZbadS`hSWQV\Wa7F /PPWZRc\UadS`hSWQV\Wa FD Ag[P]ZdS`hSWQV\Wa  F7F 8 0[[VT\TX]T 6ad]S[PVT]   /caaOUS\Z]UWY  !  3W\TºV`c\U !  :]UWaQVS DS`Y\º^Tc\US\  " ! :]UWaQVS 4]ZUS`c\US\  #  ;S\US\ZSV`S  '  5`c\RZSUS\RSa  '  ;S\US\]^S`ObW]\S\  ! ;S\US\OZUSP`O! ! 5`c\RZOUS\ RS` /`WbV[SbWY# ! 5`c\R`SUSZ\ RSa @SQV\S\a# !

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Inhaltsverzeichnis

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Inhaltsverzeichnis

XI

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/\USP]ba c\R ]bS\h d]\ P abSVb SW\ ;W\cahSWQVS\ aSb hS\ [ºaaS\ Beispiel: 1.

(x + y)6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6

2.

(x + 2y)5 = x 5 + 5x 4 (2y) + 10x 3 (2y)2 + 10x 2 (2y)3 + 5x(2y)4 + (2y)5 = x 5 + 10x 4 y + 40x 3 y 2 + 80x 2 y 3 + 80xy 4 + 32y 5

3.

(2x − 3y)4 = (2x)4 − 4(2x)3 (3y) + 6(2x)2 (3y)2 − 4(2x)(3y)3 + (3y)4 = 16x 4 − 96x 3 y + 216x 2 y 2 − 216xy 3 + 81y 4

3.3 Ungleichungen und Absolutbeträge 7[ @OV[S\ RSa /PaQV\Wbba 7 !# VOPS\ eW` c\a [Wb RS` 5ZSWQVVSWb d]\ BS`[S\ PSTOaab EW` e]ZZS\ c\a \c\ [Wb C\UZSWQVVSWbaPShWSVc\US\ heWaQVS\ BS`[S\ PS TOaaS\ c\R OczS`RS[ RS\ 0SU`WTT RSa /Pa]ZcbPSb`OUSa SW\TºV`S\ RS\ eW` W[ 9]\ bSfb d]\ C\UZSWQVc\US\ \ÉVS` O\OZgaWS`S\

3.3.1

Ungleichungen

EW` a^`SQVS\ d]\ SW\S` D]V[TXRWd]V eS\\ SW\ BS`[ B c\UZSWQV SW\S[ BS`[ B Wab B ≠ B  B YO\\ ROPSW YZSW\S` OZa B

B < B

7$!

]RS` U`rzS` OZa B B , B  aSW\ 2O 7$! UZSWQVPSRScbS\R [Wb B , B Wab eS`RS\ eW` RWS @SQVS\`SUSZ\ Tº` C\UZSWQVc\US\ \c` Tº` ROa Ÿ*”HSWQVS\ O\USPS\ /cQV B ≤ B B YZSW\S` ]RS` UZSWQV B  Phe RO[Wb UZSWQVPSRScbS\R B ≥ B B U`rzS` ]RS` UZSWQV B Yr\\S\ eW` PSW RS` T]ZUS\RS\ 0Sb`OQVbc\U OczS` /QVb ZOaaS\ RO RWS OcT USTºV`bS\ @SUSZ\ OcQV Tº` RWSaS 4ÉZZS c\SW\USaQV`É\Yb UºZbWU aW\R Hc\ÉQVab aW\R C\UZSWQVc\US\ caP]bXcXe R V

B < B c\R B < B! → B < B! 

34

I Allgemeine Grundlagen

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B ⋅ B >  eS\\ B >  ∧ B >  ∨ B <  ∧ B < 



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B ⋅ B <  eS\\ B >  ∧ B <  ∨ B <  ∧ B >  7$# 0SW UZSWQVS\ D]`hSWQVS\ RS` 3W\hSZbS`[S Wab WV` >`]RcYb OZa] ^]aWbWd PSW c\bS` aQVWSRZWQVS\ D]`hSWQVS\ \SUObWd =V\S RWS /caaOUS SW\S` C\UZSWQVc\U hc dS`É\RS`\ Rº`TS\ eW` SW\S @SWVS d]\ D\U^a\d]VT] d]`\SV[S\ A] Wab Sa h 0 hcZÉaaWU OcT PSWRS\ ASWbS\ RS` C\UZSW QVc\U RS\aSZPS\ BS`[ hc ORRWS`S\ ]RS` hc acPb`OVWS`S\ B < B ↔ B ± B! < B ± B!



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Beispiele: 1.



−2 < 5

+1

−1 < 6

2.

−1 < 2 −3 < 0

−2



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B < B ↔ B ⋅ B! < B ⋅ B!



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B < B ↔ B ⋅ B! > B ⋅ B!



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B < B ↔



B B > B" B"

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Beispiele: 1.



−1 < 2 −2 < 4

⋅2

2.

2 −7

3.

21

: ( −2)



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B < B ↔

  > B B

Tº` B ⋅ B >  

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3. Grundlagen der Arithmetik

35

Beispiele: 1.

3 3 9

2. −3 < −2

↔ −

1 1 >− 3 2



2WS @SQVS\`SUSZ\ 7$" PWa 7$' aW\R PSa]\RS`a PSW[ :raS\ d]\ C\UZSWQVc\US\ `SZSdO\b EW` e]ZZS\ ROVS` W[ 4]ZUS\RS\ O\VO\R SW\WUS` 0SWa^WSZS dS`O\aQVOc ZWQVS\ eWS C\UZSWQVc\US\ USZrab eS`RS\

Beispiele: 1. Einfache Ungleichung: 5x − 4 < 7x + 8



−2x < 12

− 7x + 4 : ( −2)



x > −6 2. Sonderfall (Fallunterscheidung hinsichtlich Variable):



5x − 3 >3 1+ x

für x ≠ −1

⋅ (1 + x)

Bei dieser Rechenoperation muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, da nicht klar ist, ob der Term (1 + x) positiv oder negativ ist. Zudem darf er nicht den Wert Null annnehmen, so dass aus den Lösungen der Ungleichung der Wert x = –1 ausgeschlossen werden muss. 1. Fall: 1 + x > 0 ↔ x > −1 Der Term (1 + x) wird als positiv angenommen, sodass es durch die Multiplikation zu keiner Umkehrung des Ungleichheitszeichens kommt.

5x − 3 > 3 ⋅ (1 + x) 5x − 3 > 3 + 3x 2x > 6

− 3x + 3 :2



x>3 Für die Lösung der Ungleichung muss also in diesem Fall sowohl x > –1 als auch x > 3 gelten, was insgesamt zu x > 3 führt. 2. Fall: 1 + x < 0 ↔ x < −1 Der Term (1 + x) wird als negativ angenommen, wodurch es im Zuge der Umformung zu einer Umkehrung des Ungleichheitszeichens kommt.

5x − 3 < 3 ⋅ (1 + x) 5x − 3 < 3 + 3x 2x < 6

− 3x + 3 :2



x 0 ↔ − a > −3 ↔ a < 3 Unter der Bedingung a < 3 ist die Lösung des Gleichungssystems bei unverändertem Ungleichheitszeichen x≤

4 . 3−a

2. Fall: 3 − a < 0 ↔ − a < −3 ↔ a > 3 Unter der Bedingung a > 3 ist die Lösung des Gleichungssystems bei umgekehrtem Ungleichheitszeichen x≥

4 . 3−a

4. Sonderfall (Produktungleichung): (2 − x)(x + 1) < 0 Zur Lösung dieser Ungleichung greifen wir auf (I.65) zurück. Das Produkt zweier Terme kann nämlich nur dann negativ sein, wenn einer der beiden Terme negativ und der andere positiv ist. Für die Lösung gilt daher folgendes:

(2 − x) < 0 ∧ (x + 1) > 0 x > 2 ∧ x > −1 x>2



3.3.2

∨ ∨ ∨

(2 − x) > 0 ∧ (x + 1) < 0 x < 2 ∧ x < −1 x < −1

Absolutbeträge

C\bS` RS[ OPa]ZcbS\ 0Sb`OU SW\S` HOVZ O eW`R RS` \WQVb\SUObWdS ES`b RWSaS` HOVZ dS`abO\RS\ 3` eW`R Rc`QV aS\Y`SQVbS Ab`WQVS RWS RWS HOVZ SW\aQVZWSzS\ ag[P]ZW aWS`b a]ROaa T]`[OZ T]ZUS\RSa UWZb(

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3x 5 x5 3 = = 3x 5 − 2 = 3x 3 x2 x2

4.

a n +1 = a(n +1) −(n − 4) = a5 an − 4

2.

4xy 2 y2 = 4x ⋅ 2 = 4x ⋅ 1 = 4x 2 y y

5.

b k −1 1 1 = = bk + 3 b(k + 3) −(k −1) b4

3.

2a3b2 2 a3 b2 2 2 1 2a 2 = ⋅ ⋅ = ⋅a ⋅ 2 = 2 5ab4 5 a b 4 5 b 5b

6.

x 3 + 3x 2 − 5x x 3 3x 2 5x 5 = 2 + 2 − 2 = x+3− x2 x x x x



?^cT]iXTaT] eW` SW\S >]bS\h a] UWZb \ O\  [ = O ⋅ O\  ⋅  ⋅

O\ = O\ + \ ++ \ = O [⋅\ 



7&"

[ 4OYb]`S\

3a OZa] RWS 0OaWa PSWhcPSVOZbS\ c\R SW\ \ScS` 3f^]\S\b hc dS`eS\RS\ RS` aWQV Oca RS[ >`]RcYb RSa OZbS\ c\R RSa hcaÉbhZWQVS\ 3f^]\S\bS\ S`UWPb Beispiele: 1.

(x 2 )4 = x 2⋅ 4 = x 8

2.

(3y 3 )2 = (3)2 ⋅ (y 3 )2 = 9 ⋅ y 3⋅2 = 9y 6

3.

( − x y )2 = ( −1)2 ⋅ (x y )2 = 1⋅ x y ⋅2 = x 2y



3.4.2

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

2O eW` W\ /PaQV\Wbb 7 !" >]bS\hS\ \c` Tº` \Obº`ZWQVS 3f^]\S\bS\ RSTW\WS`b VObbS\ eO`S\ eW` UShec\US\ PSW RS` 2WdWaW]\ d]\ >]bS\hS\ [Wb UZSWQVS\ 0OaS\ c\R c\ bS`aQVWSRZWQVS\ 3f^]\S\bS\ RWS R`SW 4ÉZZS 7& PWa 7&! hc RSTW\WS`S\ 2c`QV SW\S 3`eSWbS`c\U RS` >]bS\hRSTW\WbW]\ OcT UO\hhOVZWUS 3f^]\S\bS\ \ ∈ ]  Yr\\S\ eW` S``SWQVS\ ROaa 7& W\ OZZS\ R`SW 4ÉZZS\ \ , [ \ + [ c\R \ * [ UWZb 2O[Wb 7& OcQV W[ 4OZZ \ + [ ROa `WQVbWUS 3`USP\Wa ZWSTS`b [caa ]TTS\aWQVbZWQV RWS 0ShWSVc\U

O = 

USZbS\ 2O[Wb 7& OcQV Tº` \ * [ ROa `WQVbWUS 3`USP\Wa ZWSTS`b [caa  O− \ = \ O

7&# 7&$

USZbS\ EW` VOPS\ RO[Wb OcQV >]bS\hS\ [Wb \SUObWdS\ 3f^]\S\bS\ RSTW\WS`b 2WS PSVO\RSZbS\ >]bS\h`SQVS\`SUSZ\ PSaWbhS\ Tº` RWSaS c\dS`É\RS`bS 5ºZbWUYSWb



42

I Allgemeine Grundlagen

Beispiele: 1.

x 4 ⋅ x −1 = x 4 + ( −1) = x 3

2.

x3 = x 3 −( −3) = x 6 x −3

3.

3y −3 x −3 = 3 ⋅ (xy)−3 = 3 ⋅

4.

(2ab)−4 1 (2ab)−4 1 1 1 1 1 = ⋅ = ⋅ (2ab)−4 − 2 = ⋅ (2ab)−6 = ⋅ = 2 2 2 6 c ⋅ (4a b ) c (2ab) c c c (2ab) c ⋅ (2ab)6

5.

ª § x −1 · 3 º ª § −1 1 · 3 º −1 −1 −1 −1+1 = ª¬(x −1−( −4) )3 º¼ − y 0 = ª¬(x 3 )3 º¼ − 1 « ¨ x ⋅ −4 ¸ » − y ⋅ y = « ¨ −4 ¸ » − y x x «¬© ¹ ¼» ¹ »¼ ¬«©

alternativ:

−1

= x 3⋅3⋅( −1) − 1 = x −9 − 1 = 6.

1 x3 3 −( −3) x x = = → = x3 ⋅ x 3 = x3 + 3 = x 6 x −3 x −3

1 3 = (xy)3 (xy)3

−1

1 1 x 9 1 − x9 − 1 = − = x9 x9 x9 x9

xb y a z 4 = xb −b ⋅ y a −1 ⋅ z 4 − 2 = x 0 ⋅ y a −1 ⋅ z 2 = y a −1z 2 yx b z 2



3.4.3

Potenzen mit gebrochenen Exponenten (Wurzeln)

2WS /cTZrac\U d]\ 5ZSWQVc\US\ RSa Bg^a O\ = P \OQV RS` C\PSYO\\bS\ O TºV`b hc[ 0SU`WTT RS` \bS\ Ec`hSZ RS` 5`rzS P 4º` P ≥  Wab RWS ]cT FdaiT[ d]\ P RS TW\WS`b OZa RWSXS\WUS ]XRWc]TVPcXeT IPW[ O RS`S\ \bS >]bS\h P S`UWPb 2WS /cTZrac\U d]\ O\ = P \OQV O ZWSTS`b OZa] P ≥  d]`OcaUSaSbhb RWS \WQVb\SUObWdS HOVZ O = \ P  4]`[OZ UWZb RO[Wb O\ = P ↔ O = \ P  7&% P PShSWQV\S\ eW` OZa APSXZP]c c\R \ OZa FdaiT[Tg_^]T]c /ca 7&% Yr\\S\ eW` Tº` XSRSa P ≥  OPZSWbS\ ROaa

( P) \



\

=P

7&&

UWZb 2Oa Ec`hSZhWSVS\ ]RS` @ORWhWS`S\ Wab OZa] SW\S C[YSV`c\U RSa >]bS\hWS`S\a \ \É[ZWQV RWS /cTZrac\U \OQV RS` 0OaWa 3W\S /cTZrac\U RS` 5ZSWQVc\U O + P \OQV RS[ 3f^]\S\bS\ \ VSWzb :]UO`WbV[WS`S\ 2WSa Wab BVS[O d]\ /PaQV\Wbb 7 !"" 3a Yr\\S\ OcTU`c\R RS` DS`PW\Rc\U hc` >]bS\hWS`c\U hc\ÉQVab T]ZUS\RS 3WUS\ aQVOTbS\ d]\ Ec`hSZ\ OcTUSTºV`b eS`RS\( \  =  RO \ =   \  =  RO \ =  c\R  P = P RO P = P  2WS a]U @dPSaPcfdaiT[ P eW`R OPUSYº`hb OZa P USaQV`WS PS\ 3a UWZb hcRS[ P = P  RO P OcQV PSW \SUObWdS[ P ^]aWbWd Wab /\OZ]U UWZb \ P \ = P 

Beispiele: 1.

9 =3 Wir beantworten mit der Berechnung des Wurzelwertes die Frage, welche nichtnegative Zahl quadriert 9 ergibt. Dies gilt für die Zahl 3. Der Term 9 = 3 ist also eindeutig 2 und stets positiv. Die Gleichung x = 9 hingegen besitzt die zwei Lösungen 3 und –3, 2 2 da sowohl 3 = 9 als auch (–3) = 9 gilt. Es ist also zwischen Wurzelwert und Gleichungslösung zu unterscheiden.

3. Grundlagen der Arithmetik 4

2.

43

−81

In diesem Fall existiert keine Lösung, da der Wert unter der Wurzel gemäß unserer vorhergehenden Definition nicht negativ sein darf.

7\ RS\ d]`VS`USVS\RS\ /PaQV\WbbS\ 7 !" c\R 7 !" ec`RS\ >]bS\hS\ [Wb UO\h hOVZWUS\ 3f^]\S\bS\ PSVO\RSZb 3W\S eSWbS`S 3`eSWbS`c\U OcT USP`]QVS\S 3f^] \S\bS\ [\ ∈ _ [Wb \ ≠  Wab hcZÉaaWU RO OcQV ROPSW OZZS PSVO\RSZbS\ @SQVS\`SUSZ\   ⋅\ Tº` >]bS\hS\ eSWbS`VW\ AW\\ S`USPS\ A] UWZb SbeO O \ \ = O \ = O = O  DS`UZSWQVS\  ≥  RS` /caR`cQY O \[ US`ORS eW` RWSaSa 0SWa^WSZ [Wb 7&& S`YS\\S\ eW` ROaa Tº` O  [ ⋅\ \ O c\R Tº` O *  RS` /caR`cQY O \ \WQVb RSTW\WS`b Wab /\OZ]U UWZb O \ \ = O \ = O [  [ \ [ R V O \ S\ba^`WQVb O  [

O \ = \ O [ a]TS`\ O ≥ 



7&'

 \

O = \ O a]TS`\ O ≥ 



7'

4º` \SUObWdS USP`]QVS\S 3f^]\S\bS\ UWZb

O



−

[ \

=

 \

a]TS`\ O ≥  

O[

7'

HcaO[[S\TOaaS\R Yr\\S\ eW` OZa] TSabVOZbS\ ROaa Ec`hSZ\ \WQVba O\RS`Sa OZa SW\S OZbS`\ObWdS AQV`SWPeSWaS Tº` >]bS\hS\ [Wb USP`]QVS\S\ 3f^]\S\bS\ RO`abSZZS\ /ca RWSaS[ 5`c\R aW\R RWS @SQVS\`SUSZ\ Tº` >]bS\hS\ OcQV OcT Ec`hSZ\ ºPS`b`OUPO`



Beispiele: 2

1.

x 3 = 3 x2

2.

3x

− 41

= 3⋅ 4

3.

1 x

=

3 4

4.

x

5

1

(x + y) = (x + y) 5 1

3

x

2

=x

− 23



5S\Oc US\][[S\ [ºaabS\ eW` RWS @SQVS\`SUSZ\ Tº` Ec`hSZ\ \WQVb aS^O`Ob OcTTºV `S\ RO XSRS Ec`hSZ W\ SW\S >]bS\hRO`abSZZc\U USP`OQVb c\R RO`OcT RWS PSVO\RSZbS\ >]bS\h`SUSZ\ O\USeS\RSb eS`RS\ Yr\\S\ 2S` D]ZZabÉ\RWUYSWb VOZPS` c\R c[ RWS W\ RS` :WbS`Obc` hc TW\RS\RS\ FdaiT[aTVT[] hc S`YZÉ`S\ e]ZZS\ eW` RWSaS W[ 4]Z US\RS\ RS\\]QV Yc`h PSVO\RSZ\ 2WS HcaO[[S\TOaac\U d]\ Rc`QV 0SSXcX^] d]S BdQcaPZcX^] dS`Y\º^TbS\ Ec` hSZ\ Wab \c` [rUZWQV eS\\ a]e]VZ @ORWYO\b OZa OcQV Ec`hSZSf^]\S\b ºPS`SW\ abW[[S\

Beispiel: 2



(x − 1)3 + 2 (x − 1)3 = 2 ⋅ 2 (x − 1)3

2WS `]RcYb c\R ?c]bWS\bS\UZSWQVc\US\ eWR[S\ eW` OczS`RS[ aS^O`ObS /PaQV\WbbS

3.5.1

Weitere äquivalente Umformungen

]bS\hS\ Ec`hSZ\ c\R :]UO`WbV[S\ eSWbS`S ;rU ZWQVYSWbS\ É_cWdOZbS\S` C[T]`[c\US\ O\USTºV`b eS`RS\ A] Rº`TS\ SbeO QTXST BTX cT] TX]Ta 6[TXRWd]V ida bT[QT] _^bXcXeT] 1PbXb O [Wb O ≠  _^cT]iXTac eS`RS\ C[ USYSV`b aW\R RO[Wb RWS 3f^]\S\bS\ heSWS` >]bS\hS\ [Wb UZSWQVS` ^]aWbWdS` 0OaWa O [Wb O ≠  WRS\bWaQV 4]`[OZ UWZb OZa]

B = B ↔ O B = O B



Tº` O >  O ≠ 

7 



Beispiele: 1. Auflösung einer einfachen Basisgleichung:

6− x + 5 − 64 −3 x = 0

+6 4 −3 x

6 − x + 5 = 6 4 − 3x Da (I.102) gilt, dürfen bei gleicher Basis beide Exponenten gleichgesetzt werden:

− x + 5 = 4 − 3x x = −0,5 2. Auflösung einer einfachen Logarithmusgleichung: ln x + 2 ⋅ ln 2 = 4 ln x + ln 22 = 4 e

ln x + ln 4

e

ln 4x

=e

e 4

= e4

4x = e 4

:4

x = 13,65 Wie aus dieser Gleichung ersichtlich ist, kann Regel (I.102) besonders gut zur Elimination von Logarithmen in Gleichungen eingesetzt werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass grundsätzlich die gesamte Gleichungsseite (vgl. Zeile 3 obiger Auflösung) als Exlnx ln4 4 ponent gesetzt werden muss und nicht etwa e + e = e geschrieben werden darf.



Es sei außerdem angemerkt, dass wir in diesem Abschnitt zunächst die mit Logarithmus- und Wurzelgleichungen verbundene Definitionsbereichsproblematik vernachlässigen. Wir widmen diesen speziellen Gleichungstypen die separaten Abschnitte I 3.5.3 und I 3.5.4.

48

I Allgemeine Grundlagen

]bS\hS\ DS`SW\TOQVS\ AWS U  W a] eSWb eWS [rUZWQV −

O O !

R

P fg #

S

Q g −"

T

!

f

f " f! O⋅#O

V

` a ` a ` a

W

!

PQ ⋅ OP ⋅

U

#

f \ + ⋅ f "\ + !

#

\

O

\ −! \

⋅ \ O% − \ O"

0dUVPQT 8 "

4º` eSZQVS f aW\R RWS T]ZUS\RS\ Ec`hSZ\ RSTW\WS`b- O

"

O −f

P

$

f − P

Q

O

Z\ f − 



4. Aufgaben

59

0dUVPQT 8 # :raS\ AWS T]ZUS\RS 5ZSWQVc\US\ \OQV f OcT O  f = #

f +



P " ⋅ ! f − ! + # =  Q f − − + f + − =  R S Z\ f − f = f S

 Z\ ! + ! Z\ f §  · ⋅S = SZ\ f + Z\ ! + Z\ ¨ ¸ f © f¹

T Z]U " !f −  = Z]U " f  U

f

= #⋅

f +#



V Z]U f # = − W

#f − " =  + !f + 

X

f+

− f−

=

f + f+



6W\eSWa( TZWQVb US[OQVb VOb Wab SW\S C\bS`aQVSWRc\U W\ S`W]RS





@ObS 



!







\





` ⋅  + W\





` ⋅  + W\ −



` ⋅  + W\ −



` ⋅  + W

DS`hW\ac\U \ >S`W]RS\





@ObS



DS`hW\ac\U \’ >S`W]RS\







@ObS !



DS`hW\ac\U \’  >S`W]RS\













/PPWZRc\U 77 "( 3\RYO^WbOZ PSW d]`aQVºaaWUS\ @ObS\dS`b`ÉUS\ EW` S`YS\\S\ ROaa RWS S`abS @ObS PWa hc[ 3\RS RSa /\ZOUSV]`Wh]\ba US\Oc \ >S`W ]RS\ dS`hW\ab eW`R 2WS heSWbS @ObS eW`R SW\S >S`W]RS eS\WUS` dS`hW\ab cae 2O[Wb S`UWPb aWQV OZa 3\RYO^WbOZ \OQV \ >S`W]RS\

9 \ = ` ⋅  + W\ + ` ⋅  + W\ − + ` ⋅  + W\ − +  + ` ⋅  + W = ` ⋅ _ \ + ` ⋅ _ \ − + ` ⋅ _\ − +  + ` ⋅ _ = ` ⋅ _ ⋅  + _ +  + _

\ −





2O RS` 9ZO[[S`OcaR`cQY \WQVba O\RS`Sa OZa ROa \bS 5ZWSR SW\S` US][Sb`WaQVS\ @SWVS Wab Yr\\S\ eW` WV\ Rc`QV  − _\ a\ = − _ S`aSbhS\ EW` S`VOZbS\ RO[Wb RS\ 3\ReS`b SW\S` @ObS\hOVZc\U [Wb Y]\abO\bS\ 3W\ hOVZc\US\ ` c\R DS`hW\ac\U ºPS` \ 8OV`S [Wb RS[ HW\aaObh W OZa

9\ = ` ⋅ _ ⋅

 − _\ − _

[Wb

_ ≡  + W ≠  

77



2WSaS 4]`[SZ VOPS\ eW` PS`SWba W\ /PaQV\Wbb 77  ! OZa /\eS\Rc\UaPSWa^WSZ Tº` RWS US][Sb`WaQVS @SWVS YS\\S\USZS`\b 4º` SW\ @SQVS\PSWa^WSZ dS`eSWaS\ eW` ROVS` OcT RWSaS\ /PaQV\Wbb 0Sb`OQVbS\ eW` abObbRSaaS\ SW\ 0SWa^WSZ Tº` SW\S eOQVaS\RS @ObS

2. Finanzmathematische Anwendung

79

Beispiel: Ein Sparvertrag mit einer Laufzeit von 3 Jahren und einem festen Zins von 3 % p. a. sieht jedes Jahr eine Verdopplung des Einzahlungsbetrages des Vorjahres vor. Die erste Einzahlung in Höhe von 2.000 Euro erfolgt am 01.01.2005. Wie hoch ist das Endkapital am Ende der Laufzeit? Mit r1 = 2.000, r2 = 4.000 und r3 = 8.000 erhalten wir K 3 = 2.000 ⋅ (1 + 0,03)3 + 4.000 ⋅ (1 + 0,03)2 + 8.000 ⋅ (1 + 0,03)1 3

= ¦ 8.000 ⋅ 0,5 t −1 ⋅ (1 + 0,03)t = 14.669,05 Euro.



t =1



8S \OQV 4`OUSabSZZc\U Yr\\S\ eW` 77  OcQV \OQV RS\ O\RS`S\ DO`WOPZS\ OcTZr aS\ A] S`VOZbS\ eW` Tº` RWS @ObS ` c\R RWS :OcThSWb \ 9 − _ 77 ! `= \ ⋅ _  − _\

§ _ −  ⋅ 9 \ · Z\ ¨  + ¸ ` ⋅_ ¹  \= © Z\ _



77 "

Beispiel: Wie hoch müsste der jährlich gleich bleibende Einzahlungsbetrag (jeweils zum 01.01. eines Jahres) bei einem Bausparvertrag sein, um bei einem Zinssatz von 2,5 % p. a. und einer Laufzeit von 20 Jahren ein Endkapital von genau 25.000 Euro zu erhalten? Mit q = 1 + 0,025 = 1,025 erhalten wir

r=

25.000 1 − 1,025 ⋅ = 954,81 Euro. 1,025 1 − 1,02520



C[ d][ 3\ReS`b RS` :OcThSWb c\R RS` @ObS OcT RWS DS`hW\ac\U hc aQVZWSzS\ [ºa aS\ RWS :rac\US\ RS` 5ZSWQVc\U \bS\ 5`ORSa

9\ + ` 9 77 # ⋅_ + \ =  ` ` PSabW[[b eS`RS\ 2WSa Wab XSR]QV \c` \ÉVS`c\UaeSWaS [Wb \c[S`WaQVS\ DS`TOV`S\ h 0 S`W]RS S`T]ZUS\ ;O\ a^`WQVb W\ RWSaS[ 4OZZ d]\ e^a bRW¶bbXVTa 4X]iPW[d]V ES`RS\ 3W\hOVZc\US\ S`ab O[ 3\RS SW\S` >S`W]RS d]`US \][[S\ a] ZWSUb SW\S a]U ]PRWbRW¶bbXVT 4X]iPW[d]V d]` 6WS`PSW Wab hc PSOQV bS\ ROaa RORc`QV h 0 d]\ SW\S` 0O\Y Tº` RWS >S`W]RS W\ RS` RWS 3W\hOVZc\U S` T]ZUb YSW\ HW\a PShOVZb eW`R RS\\ ROa 5SZR abSVb RS` 0O\Y XO \WQVb hc` DS`TºUc\U 0ShSWQV\S\ eW` RWS \OQVaQVºaaWUS @ObS [Wb `  a] Yr\\S\ eW` ROa 3\RYO^WbOZ PSW \OQVaQVºaaWUS` @ObS\hOVZc\U [WbbSZa /PPWZRc\U 77 # dS`O\aQVOcZWQVS\ EWS RScbZWQV hc S`YS\\S\ Wab eW`R RWS S`abS @ObS S`ab OP >S`W]RS  OZa] \c` \ ’  >S`W]RS\ dS` hW\ab /\OZ]USa UWZb OcQV Tº` RWS O\RS`S\ @ObS\hOVZc\US\ 7[ DS`UZSWQV hc` d]` aQVºaaWUS\ 3W\hOVZc\U eW`R OZa] XSRS @ObS SW\S >S`W]RS eS\WUS` dS`hW\ab 2WS ZSbhbS @ObS\hOVZc\U W\ >S`W]RS \ eW`R ROVS` \WQVb [SV` dS`hW\ab

80

II Finanzmathematik

>S`W]RS







@ObS 

!







\

` ⋅  + W\ −



DS`hW\ac\U \’ >S`W]RS\





@ObS



` ⋅  + W\ −



DS`hW\ac\U \’  >S`W]RS\







@ObS !

` ⋅  + W\ − !

 \’! 











` ⋅  + W\ − \



/PPWZRc\U 77 #( 3\RYO^WbOZ PSW \OQVaQVºaaWUS\ @ObS\dS`b`ÉUS\

4º` ROa 3\RYO^WbOZ 9 \ PSW \OQVaQVºaaWUS\ @ObS\dS`b`ÉUS\ S`VOZbS\ eW` RO[Wb

9 \ = ` ⋅  + W\ − + ` ⋅  + W\ − +  + ` ⋅  + W + `  e]`Oca aWQV \OQV DS`SW\TOQVc\U [WbbSZa RS` RO`W\ abSQYS\RS\ US][Sb`WaQVS\ @SWVS

9\ = ` ⋅

 − _\ − _

[Wb

_ ≡  + W ≠ 

77 $

S`UWPb 7[ 5SUS\aObh hc d]`aQVºaaWUS\ DS`b`ÉUS\ Phe 77  bOcQVb VWS` OZa] RS` hcaÉbhZWQVS 4OYb]` _ \WQVb [SV` OcT 2Oa 3\RYO^WbOZ SW\Sa \OQVaQVºaaWUS\ @ObS\dS` b`OUSa Wab OZa] OcTU`c\R d]\ 9 \ = 9 \ ⋅ _ W[[S` US`W\US` OZa ROa SW\Sa d]`aQVºa aWUS\ AbSZZS\ eW` 77 $ \OQV RS\ 5`rzS\ ` c\R \ c[ S`UWPb aWQV





` = 9\ ⋅

− _  − _\

_ −  ⋅ 9 \ · § Z\ ¨  + ¸ ` ¹  \ = © Z\ _

77 %

77 &

/cQV VWS` ZÉaab aWQV RS` HW\aaObh \c` Oca SW\S[ >]Zg\][ S`[WbbSZ\ 2WSaSa Wab \c\ OPS` \bS\ 5`ORSa c\R VOb RWS 4]`[

9\ 9 −` ⋅_ + \ =   ` ` 3a YO\\ eWSRS`c[ \c` \ÉVS`c\UaeSWaS USZrab eS`RS\



_\ −

77 '

Beispiel: Wie viele Jahre muss in einen Ratensparvertrag (Einzahlung von 500 Euro jeweils zum Jahresende) eingezahlt werden, um bei einem Zinssatz von 4 % p. a. ein Endkapital von 15.500 Euro zu erzielen?

§ ((1 + 0,04) − 1) ⋅ 15.500 · ln ¨ 1 + ¸ 500 ¹ = 20,56 Jahre n= © ln (1 + 0,04)

2. Finanzmathematische Anwendung

2.3.2

81

Renten

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82

II Finanzmathematik

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Beispiel: Wieviel kostet eine Rente von jährlich 10.000 Euro, die bei einer Verzinsung von 5 % p. a. über 15 Jahre nachschüssig ausgezahlt wird? Mit v = 1 / 1,05 erhalten wir 1 R0 = 10.000 ⋅ 1,05 ⋅

1 15 1 − ( 1,05 ) 1 1 − 1,05

= 103.796,58 Euro

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Beispiel: Ein Lottogewinn in Höhe von 200.000 Euro soll auf ein spezielles Anlagekonto eingezahlt und in Form einer nachschüssigen Rente über eine Laufzeit von 7 Jahren ausgezahlt werden. Das Kreditinstitut bietet einen Zins von 5 % p. a. Wie hoch ist die jährliche Rentenauszahlung (a) und wie hoch ist nach 4 Jahren der Restwert auf dem Anlagekonto (b)? a) r =

200.000 1 1,05

⋅

1 1 − 1,05 1 1 − ( 1,05 )

7

= 34.563,96 Euro

b) R 4 = 200.000 ⋅ 1,05 4 − 34.563,96 ⋅

1 − 1,05 4 = 94.126,26 Euro 1 − 1,05

2. Finanzmathematische Anwendung

83

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V0 = ¦ t =1

E(Dt ) (1 + i)t

gilt. E(Dt) ist dabei die in Periode t erwartete Dividende pro Aktie und i die risikoadäquate Diskontrate (von den Investoren „geforderte“ erwartete Verzinsung). Falls die Dividende im Zeitverlauf nicht wächst, d. h. E(D1) = E(D2) = … = D gilt, lässt sich zeigen, dass V0 = D / i gilt. Falls die Dividende periodisch mit einer konstanten Rate g (mit g < i) wächst, dann ermittelt sich der Wert der Aktie aus V0 = E(D1) / (i – g). Man spricht hier auch vom sog. Gordon-Aktienbewertungsmodell. Beiden Formeln liegt eine ewige Rente (Fall 1: g = 0, Fall 2: g ≠ 0) zugrunde, da ein ewiger Fortbestand der Aktiengesellschaft unterstellt wird. Nehmen wir an, eine Unternehmung kündigt für die nächste Dividendenzahlungsperiode eine Dividende pro Aktie von 5 Euro an. Unterstellen wir eine Diskontrate von 10 % und ein erwartetes Dividendenwachstum von 2 %, so liegt der faire Wert einer Aktie der Unternehmung nach dem Gordon-Modell bei V0 = 5 / (0,10 – 0,02) = 62,50 Euro.

D]\ RS\ PWaVS` PSa^`]QVS\S\ \OQVaQVºaaWUS\ @S\bS\ aW\R RWS e^abRW¶bbXVT] AT]cT] OPhcU`S\hS\ 0SW SW\S` d]`aQVºaaWUS\ @S\bS S`T]ZUb RWS 0dbiPW[d]V RSa @S\bS\PSb`OUSa XSeSWZa hc 1TVX]] TX]Ta ?TaX^ST 2WSa PSRScbSb ROaa RS` 0O\Y ROa O\USZSUbS 5SZR Tº` SW\S\ Yº`hS`S\ HSWb`Oc[ hc` DS`TºUc\U abSVb c\R a] OcQV RS` HW\a W[ DS`UZSWQV hc` \OQVaQVºaaWUS\ @S\bS US`W\US` OcaTÉZZb 2O SW\S d]`aQVºaaWUS @S\bS OZa] RS[ /\ZSUS` HW\aS\ Y]abSb Phe T`ºVS` OcaUShOVZb eW`R Wab SW\S e^a bRW¶bbXVT AT]cT bcTcb cTdaTa P[b TX]T ]PRWbRW¶bbXVT AT]cT R V Sa [caa VScbS [SV` O\USZSUb eS`RS\ c[ RWS UZSWQVS\ @S\bS\OcahOVZc\US\ hc S`ZO\US\ /PPWZRc\U 77 % dS`O\aQVOcZWQVb RWS 0O`eS`bPSabW[[c\U PSW d]`aQVºaaWUS\ @S\bS\ 2O PSW d]`aQVºaaWUS\ @S\bS\ RWS /cahOVZc\U XSeSWZa hc[ >S`W]RS\O\TO\U S`T]ZUb

84

II Finanzmathematik

eW`R RWS S`abS @S\bS c\[WbbSZPO` \OQV 3W\hOVZc\U RSa /\TO\UaeS`bSa eWSRS` OcaUS aQVºbbSb 2WS 0O\Y PShOVZb YSW\S\ HW\a Tº` RWSaS S`abS @S\bS 3a Wab a][Wb OcQV YSW \S /PhW\ac\U S`T]`RS`ZWQV 2WS heSWbS @S\bS\OcahOVZc\U ZWSUb RWS Y][^ZSbbS S`abS >S`W]RS OcT RS[ /\ZOUSY]\b] a]ROaa Tº` RWSaS SW\S >S`W]RS SW\ HW\a PShOVZb eW`R 2O RWS /cahOVZc\U PS`SWba hc 0SUW\\ RS` heSWbS\ >S`W]RS S`T]ZUb UWPb Sa Tº` RWSaS YSW\S HW\aS\ [SV` 3a Wab OZa] \c` SW\S /PhW\ac\U Tº` SW\S >S`W]RS d]`hc\SV[S\ /\OZ]USa UWZb Tº` RWS eSWbS`S\ >S`W]RS\

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1 15 1 − ( 1,05 ) 1 1 − 1,05

= 108.986, 41 Euro

anlegen. Diesen Betrag können wir natürlich auch über R0 = R0 ⋅ q bestimmen.

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77!&

2. Finanzmathematische Anwendung

85

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2S\ HW\aaObh S`VOZbS\ eW` ºPS` ROa >]Zg\][

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77"

Beispiel: Mit welchem Kontostand am Ende der Anlagezeit kann ein Anleger rechnen, wenn er sich 100.000 Euro in Form einer vorschüssigen Rente in Höhe von jährlich 10.000 Euro über einen Zeitraum von 10 Jahren bei einem Zins von 3 % p. a. auszahlen lässt?

1 − (1 + 0,03)10 1 − (1 + 0,03) = 134.391,64 − 118.077,96 = 16.313,68 Euro

R10 = 100.000 ⋅ (1 + 0,03)10 − 10.000 ⋅ (1 + 0,03) ⋅

Wenn also Renten und Anlagebetrag nicht aufeinander abgestimmt sind, verbleibt am Laufzeitende ein Restbetrag auf dem Anlagekonto. Andernfalls wird der Kontostand vollständig aufgezehrt.

2.3.3

Kombinationen aus Raten und Renten

7\ RS` @SUSZ eW`R RS` /\TO\UaeS`b 0O`eS`b SW\S` @S\bS \WQVb OZa 3W\[OZhOVZc\U OcT SW\ /\ZOUSY]\b] S`P`OQVb 7\ RS` >`OfWa Wab Sa PSW a]ZQVS\ DS`b`ÉUS\ SVS` RS` 4OZZ ROaa RS` 0O`eS`b RS` @S\bS ºPS` SW\S USeWaaS :OcThSWb Rc`QV @ObS\hOVZc\US\ O\USaO[[SZb c\R RO\\ OcaUShOVZb eW`R /cQV @cVS^VOaS\ heWaQVS\ @ObS\SW\ hOVZc\U c\R @S\bS\OcahOVZc\U aW\R RS\YPO` 3a YO\\ OczS`RS[ d]`Y][[S\ ROaa aWQV W\\S`VOZP RS` :OcThSWb RWS HW\aaÉbhS ]RS` RWS 4ÉZZWUYSWbS\ d]` \OQVaQVºaaWU É\RS`\ HcRS[ Wab SW\S Ò\RS`c\U RS` DS`bSWZc\U RSa @SabeS`bSa SW\S` @S\bS OP SW\S[ PSabW[[bS\ HSWb^c\Yb [rUZWQV /PPWZRc\U 77 & hSWUb SW\ bg^WaQVSa 9]\ab`cYb Beispiel 1: Bei einem Ratensparvertrag ergab sich nach einer Laufzeit von 20 Jahren ein Endwert von 45.550 Euro. Dieser Betrag soll nun zunächst für 3 Jahre (ab dem 01.01.) bei einem Zins von 3,5 % p. a. als Festgeld angelegt werden. Anschließend soll aus dem so entstehenden Kapital eine Rente über 10 Jahre bei einem Zins von 4 % p. a. finanziert werden. Wie hoch ist die jährliche Rente, wenn sie am Jahresende ausbezahlt wird? Der Barwert der durchzuführenden Zinseszinsrechnung ergibt sich aus dem Endwert des Ratensparvertrags und beläuft sich auf 45.550 Euro. Die Verzinsung dieses Kapitals über 3 Jahre bei 3,5 % ergibt einen Endwert von K 3 = 45.550 ⋅ (1 + 0,035)3 = 50.502,10 Euro. Diese 50.502,10 Euro sind nun wiederum Grundlage für die Berechnung der Rente. Konkret entspricht der Betrag dem Rentenbarwert. Mit v = 1 / 1,04 erhalten wir einen jährlichen Rentenbetrag von

86

II Finanzmathematik

r =

50.502,10 1 1,04

⋅

1 1 − 1,04 1 1 − ( 1,04 )

10

= 6.226,45 Euro.

Beispiel 2: Es wird eine vorschüssige Rente für 100.000 Euro gekauft, die bei einem Zins von 3 % p. a. vorschüssig 8.000 Euro jährlich auszahlt. Nach 8 Jahren sollen aus dem Restwert noch 4 gleich große vorschüssige Rentenzahlungen erfolgen. Wie hoch sind diese? Nach (II.38) erhalten wir für den Restwert der vorschüssigen Rente



R8 = 100.000 ⋅ 1,038 − 8.000 ⋅ 1,03 ⋅

1 − 1,038 = 53.404,16 Euro, 1 − 1,03

womit wir über (II.39) die vorschüssigen Rentenzahlungen



r = 53.404,16 ⋅

bestimmen können.

1 1 − 1,03 1 4 1 − ( 1,03 )

= 13.948,70 Euro







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3\ReS`b RS` @ObS\hOVZc\US\  9 \  + 0O`eS`b RS` HW\aSahW\aPS`SQV\c\U  9   DS`hW\ac\U W\ @cVS^VOaS



3\ReS`b RS` HW\aSahW\aPS`SQV\c\U  9 \  + 0O`eS`b RS` @S\bS\PS`SQV\c\U  @  



@S\bS\hOVZc\US\

3dS\bcSZZS DS`bSWZc\U SW\Sa @SabeS`bSa OcT SW\S\ PSabW[[bS\ HSWb`Oc[



/PPWZRc\U 77 &( 9][PW\ObW]\S\ Oca @ObS\ c\R @S\bS\

SdbZ Ò\RS`c\U RSa HW\aaObhSa

2. Finanzmathematische Anwendung

2.3.4

87

Unterjährige Raten und Renten

0WaVS` aW\R eW` PSW RS\ PSVO\RSZbS\ @ObS\ c\R @S\bS\ ROd]\ OcaUSUO\US\ ROaa SW\S XÉV`ZWQVS @ObS\ Phe @S\bS\hOVZc\U c\R SW\S XÉV`ZWQVS HW\aTSababSZZc\U c\R hOVZc\U ES`babSZZc\U S`T]ZUb 7\ RS` >`OfWa Y][[b Sa OPS` VÉcTWU hc []\ObZWQVS\ @ObS\ Phe @S\bS\hOVZc\US\ EW`R W\ SW\S[ a]ZQVS\ 4OZZ d]\ SW\S` \^]Pc[XRWT] IX]bUTbcbcT[[d]V [Wb PSYO\\bS[ ;]\ObahW\aaObh c\R d]`ZWSUS\RS` /\hOVZ O\ /\ ZOUS[]\ObS\ OcaUSUO\US\ Yr\\S\ RWS PWaVS`WUS\ 4]`[SZ\ Tº` @ObS\ c\R @S\bS\ eWS USe]V\b O\USeS\RSb eS`RS\ /\OZ]USa UWZb OcQV PSW _cO`bOZaeSWaS\ HOVZc\ US\ c\R _cO`bOZaeSWaS` HW\aTSababSZZc\U Beispiel: Christian verpflichet sich, in einen Bausparvertrag monatlich jeweils zum 1. des Monats 200 Euro einzuzahlen. Die Bank bietet ihm eine monatliche Verzinsung von 0,5 % p. m. Wie hoch ist das Bausparguthaben nach einem Jahr? K Ende 1.Jahr = 200 ⋅ 1,005 ⋅

1 − 1,00512 = 2.479,45 Euro 1 − 1,005

Liegt der Monatszinssatz (i = 0,005) und die dazugehörige Anzahl an Monaten (n = 12) vor, so kann das Endkapital also mit der bereits bekannten Formel für vorschüssige Raten berechnet werden. Angenommen bei monatlicher Zinsfeststellung liegt nur der Zinssatz p. a. vor, so müsste dieser im Zuge der Berechungen lediglich durch 12 dividiert werden.

0SW YÊWa[XRWTa IX]bUTbcbcT[[d]V OPS` c\bS`XÉV`WUS` HOVZeSWaS PSabSVS\ heSW ;rU ZWQVYSWbS\ RS\ 3\RYO^WbOZeS`b PSW @ObS\dS`b`ÉUS\ hc PSabW[[S\( 2WS S`abS aWSVb d]` RWS Ac[[S RS` ;]\ObahOVZc\US\ ?cO`bOZahOVZc\US\ c\bS` 0S`ºQYaWQVbWUc\U SW\TOQVS` DS`hW\ac\U W\ É_cWdOZS\bS 8OV`SahOVZc\US\ c[hc`SQV\S\ Tº` RWS RO\\ HW\aSahW\aS\ PS`SQV\Sb eS`RS\ Beispiel: Ein Zielsparvertrag setzt eine vorschüssige, quartalsweise Einzahlung von 200 Euro voraus. Die Bank bietet einen Zins von 5 % p. a. bei einer Laufzeit von 5 Jahren. Wie hoch ist das Kapital nach 5 Jahren? 1. Schritt: Berechnung von K1 bei einfacher Verzinsung Bei einfacher Verzinsung erhalten wir am Ende des ersten Jahres K1 = r ⋅ (1 + N i ) + r ⋅ (1 + 3 ⋅ 4i ) + r ⋅ (1 + 2 ⋅ 4i ) + r ⋅ (1 + 1⋅ 4i ) N N 

Jahreszins

= 4⋅r +

Zins anteilig f. 3 Quartale

Zins anteilig f. 2 Quartale

Zins anteilig f . 1 Quartal

r ⋅i r ⋅i 4⋅5 5⋅r ⋅i ⋅ (4 + 3 + 2 + 1) = 4 ⋅ r + ⋅ = 4 ⋅r + , 4 4 2 2

wobei die Klammer (4 + 3 + 2 + 1) das 4. Glied einer arithmetischen Reihe enthält und daher wie angeführt umgeformt werden kann. Konkret erhalten wir also für dieses Beispiel K1 = 4 ⋅ 200 +

5 ⋅ 200 ⋅ 0,05 = 825,00 Euro. 2

2. Schritt: Berücksichtigung des Zinseszinses über die gesamte Laufzeit Der Wert K1 wird am Jahresende gutgeschrieben, sodass nun von einer nachschüssigen Betrachtungsweise auszugehen ist. Da sich K1 in jeder Folgeperiode identisch ergibt, ist lediglich noch der Zinseszinseffekt zu berücksichtigen.

88

II Finanzmathematik

K 5 = K1 ⋅ q4 + K1 ⋅ q3 + K1 ⋅ q2 + K1 ⋅ q1 + K1

(

= K1 ⋅ 1 + q1 + q2 + q3 + q4

)

1− q 1− q

5

= K1 ⋅

Wir erhalten also für das Endkapital bei unterjähriger Zahlung hier K 5 = 825 ⋅

1 − 1,055 = 4.558,65 Euro. 1 − 1,05

3W\S heSWbS ;rUZWQVYSWb c\bS`XÉV`WUS @ObS\hOVZc\US\ PSW YÊWa[XRWTa IX]bUTbcbcT[[d]V hc PSVO\RSZ\ PSabSVb RO`W\ RS\ 8OV`SahW\aaObh W\ RS\ S\ba^`SQVS\RS\ ;]\ObahW\a ?cO`bOZahW\a c[hc`SQV\S\ RS` RO\\ PSW []\ObZWQVS` dWS`bSZXÉV`ZWQVS` HW\aYO^W bOZWaWS`c\U hc[ aSZPS\ 3`USP\Wa eWS PSW XÉV`ZWQVS` HW\aPS`SQV\c\U TºV`b 3fOYb Wab RWSa OZZS`RW\Ua \c` PSW PSYO\\bS[ 3\ReS`b [rUZWQV RO \c` W\ RWSaS[ 4OZZ SW\ US \OcS` c\bS`XÉV`WUS` HW\aTOYb]` PSabW[[b eS`RS\ YO\\ 0SW c\PSYO\\bS[ 3\ReS`b YO\\ SW\ `OfWa b`WTTb [O\ VÉcTWU OcT heSW /`bS\ d]\ BWZUc\US\ 2WS a]U 0QiPW[d]Vb cX[Vd]V hSWQV\Sb aWQV Rc`QV 0]]dXcÊcT] X] PQ]TW\T]STa 7»WT Oca RWS aWQV Oca SW\S[ UZSWQV PZSWPS\RS\ BWZUc\UaPSb`OU b c\R SW\S[ OP\SV[S\RS\ HW\a hcaO[ [S\aSbhS\ dUZ 0SWa^WSZ OcT RS` 4]ZUSaSWbS 7[ DS`UZSWQV ROhc eSWab RWS 0]]dXcÊ cT]cX[Vd]V dUZ \OQVT]ZUS\RS T]`[OZS /caTºV`c\US\ 0]]dXcÊcT] X] V[TXRW Q[TX QT]STa 7»WT OcT RWS aWQV Oca hc\SV[S\RS\ BWZUc\UaPSb`ÉUS\ bW c\R OP\SV[S\RS\ HW\aS\ hW hcaO[[S\aSbhS\ 2O Rc`QV RWS BWZUc\U RWS @SabaQVcZR c\R RO[Wb RWS HW\aPSZOabc\U OP\W[[b [ºaaS\ RWS BWZUc\Ua`ObS\ d]\ 8OV` hc 8OV` abSWUS\ RO[Wb RWS Ac[[S Oca HW\aS\ c\R BWZUc\U RWS UZSWQVS /\\cWbÉb S`UWPb 0SW BWZUc\Ua`SQV\c\US\ Wab Sa ]Tb d]\ D]`bSWZ c\R W\ RS` >`OfWa ºPZWQV SW\S\ a]U CX[Vd]Vb_[P] hc S`abSZZS\ 2WSaS` hSWUb ºPS`aWQVbZWQV RWS 3\beWQYZc\U RS` AQVcZR ºPS` RWS USaO[bS :OcThSWb c\R PSW\VOZbSb RWS 3\beWQYZc\U d]\ @SabaQVcZR 8OV`Sa O\TO\U 8/ c\R 8OV`SaS\RS 83 HW\aS\ BWZUc\U c\R /\\cWbÉb

90

II Finanzmathematik

Beispiel (Abzahlungstilgung): Anfangsschuld: 40.000 Euro, Laufzeit: 4 Jahre, Schuldzins: 9 % p. a. Jahr

Restschuld JA

Zinsen

Tilgung

Annuität

Restschuld JE

1

40.000,00

3.600,00

10.000,00

13.600,00

30.000

2

30.000,00

2.700,00

10.000,00

12.700,00

20.000

3

20.000,00

1.800,00

10.000,00

11.800,00

10.000 0

4

10.000,00

900,00

10.000,00

10.900,00

Σ

100.000,00

9.000,00

40.000,00

49.000,00

Wie wir erkennen, werden die Zinsen jeweils von der Restschuld am Jahresanfang berechnet. Die Annuität entsteht aus Zins und Tilgung, die Summe der Tilgungen entspricht der Anfangsschuld und die Restschuld am Jahresende ergibt sich jeweils aus Restschuld am Jahresanfang abzüglich Tilgung. Für die Restschuld am Jahresende gilt der Zusammenhang Sk = S0 – k ⋅ t. Der Tilgungsbetrag ergibt sich aufgrund von Sn = 0 durch Nullsetzen dieses Zusammenhangs und Auflösen nach t zu t = S0 / n. Aus einem derartigen Tilgungsplan kann leicht die Effektivverzinsung des Darlehens berechnet werden. Es gilt hier ieff =

¦ Zinsen

¦ Restschuld JA

=

9.000 = 0,09 = 9 %. 100.000

Bei jährlicher Zahlweise mit konstantem Zinssatz und ohne Gebühren und Ausgabeabschläge ergibt sich hier der Nominalzins.

EWS PS`SWba S`eÉV\b ZWSUS\ PSW RS` O\\cWbÉbWaQVS\ BWZUc\U abSba Y]\abO\bS /\\cWbÉ bS\ d]` 2WS 3\beWQYZc\U RS` @SabaQVcZR P\ 4]ST RSa YbS\ 8OV`Sa AY PSW RWSaS` BWZUc\UaO`b Yr\\S\ eW` [WbbSZa T]ZUS\RS` BOPSZZS dS`O\aQVOcZWQVS\(



A A = A ⋅  + W − O

= A ⋅ _ − O

A

A = A ⋅ _ − O

A! A! = A ⋅ _ − O

= A ⋅ _ − O ⋅ _ − O

= A ⋅ _ − O ⋅ _ − O ⋅ _ − O

= A ⋅ _ − O ⋅ _ − O

= A ⋅ _ ! − O ⋅ _ − O ⋅ _ − O

 



/ZZUS[SW\ Yr\\S\ eW` RO[Wb hc\ÉQVab TSabVOZbS\ ROaa Tº` RWS @SabaQVcZR A\ O[ :OcThSWbS\RS RSa 9`SRWba

A\ = A ⋅ _ \ − O ⋅ _ \ − − O ⋅ _ \ − −  − O

= A ⋅ _ \ − O ⋅ _\ − + _\ − +  +   

US][ @S WVS

Phe

A \ = A ⋅ _ \ − O ⋅

 − _\ −_

77"#

2. Finanzmathematische Anwendung

91

UWZb 2WSaS 4]`[SZ Wab c\a W\ SbeOa O\RS`S` S`W]RS OP 7ab RS` 0QbRWaTXQd]VbQTcaPV W[[S` SW\ UTbcTa 0]cTX[ X e^\ ATbcQdRWfTac a] S`UWPb aWQV T]ZUS\RS` OZZUS[SW\S /PaQV`SWPc\Ua^ZO\( 8OV`    Y

/PaQV`SWPc\U  ` = 9  ⋅ W

@SabeS`b O[ 3\RS RSa YbS\ 8OV`Sa 9  9 = 9  − 9  ⋅ W = 9  ⋅  − W

` = 9 ⋅ W

9 = 9 − 9 ⋅ W = 9 ⋅  − W = 9  ⋅  − W

 `Y = 9 Y − ⋅ W



9 Y = 9 Y − ⋅  − W = 9  ⋅  − WY

2S` /PaQV`SWPc\UaPSb`OU W[ YbS\ 8OV` S\ba^`WQVb OZa]

`Y = 9 Y − ⋅ W = 9 Y − ⋅  − W ⋅ W =  = 9  ⋅  − WY − ⋅ W



77#$

2O 9Y  9Y’ +  ’ W Y]\abO\b Wab VO\RSZb Sa aWQV PSW RS` @SabeS`bS\beWQYZc\U c[ RWS 5ZWSRS` SW\S` US][Sb`WaQVS\ 4]ZUS a]ROaa aWQV Tº` RS\ @SabeS`b O[ 3\RS RSa YbS\ 8OV`Sa

9 Y = 9  ⋅  − WY



77#%

S`UWPb /cTU`c\R RS` TOZZS\RS\ US][Sb`WaQVS\ 4]ZUS eW`R RWSaS /PaQV`SWPc\Ua T]`[ OcQV OZa VT^\TcaXbRW STVaTbbXeT 0QbRWaTXQd]V PShSWQV\Sb Beispiel: Eine Anlage mit 4 Jahren Nutzungsdauer und Anschaffungskosten von 10.000 Euro soll mit einem Abschreibungssatz von 20 % geometrisch degressiv über die Nutzungszeit abgeschrieben werden. Wir erhalten unter Nutzung von (II.56) und (II.57) folgenden Abschreibungsplan: Ende Nutzungsjahr 1 2 3 4 Σ

Abschreibungsbasis 10.000 8.000 6.400 5.120

Abschreibungsbetrag 2.000 1.600 1.280 1.024 5.904

Restbuchwert 8.000 6.400 5.120 4.096

2. Finanzmathematische Anwendung

95

Wir erkennen, dass wir hier anders als bei der linearen Abschreibung am Ende der Nutzungsdauer keinen Restbuchwert von 0 erreichen können. Um diesen Nachteil auszugleichen, kann im Verlauf der Nutzungsdauer zur linearen Abschreibung übergegangen werden. Für die Berechnung des linearen Abschreibungsbetrages für das Jahr des Übergangs und die folgenden Jahre (dieser Betrag ist ja konstant) sind der beim Übergang noch vorhandene Restbuchwert und die restliche Nutzungsdauer zugrunde zu legen. Optimal (aus steuerlichen Gesichtspunkten) ist der Übergang zu einem Zeitpunkt, zu dem erstmalig der dann berechnete lineare Abschreibungsbetrag den zugehörigen degressiven Abschreibungsbetrag übertrifft oder mit ihm übereinstimmt. Ist m das Jahr des Übergangs, gilt für den optimalen Übergang (vgl. Aufgabe II-27) 1 m ≥ n + 1− . i In unserem Beispiel würde der Sonderfall m ≥ (4 + 1 – 1 / 0,2 = 0) gelten. Dies bedeutet, dass kein Übergang während der Laufzeit erfolgt, sondern direkt mit der linearen Abschreibung begonnen werden sollte. Dies ist unmittelbar einleuchtend, da im ersten Jahr ein linearer Abschreibungsbetrag von 10.000 / 4 = 2.500 Euro dem niedrigeren degressiven Wert 2.000 Euro gegenüberstehen würde. Ergibt sich bei der Berechnung des optimalen m eine Dezimalzahl, so ist diese immer aufzurunden, um das Übergangsjahr zu bestimmen. Würden wir z. B. bei m ≥ 3,2 abrunden, würden wir beim Übergang einen Fehler machen, da bei m = 3 die lineare Abschreibung noch unter der degressiven liegt.



DS``W\US`\ aWQV RWS /PaQV`SWPc\UaPSb`ÉUS d]\ 8OV` hc 8OV` c[ SW\S\ UTbcT] 1TcaPV R UWZb OZa] OZZUS[SW\

`Y + = `Y − R 

a] S`VOZbS\ eW` W[ HSWbdS`ZOcT RWS 4]ZUS RS` /PaQV`SWPc\UaPSb`ÉUS

`  ` − R ` − R  

R V RWS /PaQV`SWPc\U W[ YbS\ 8OV` ZWSUb PSW

`Y = ` − Y −  ⋅ R

77#&

2S\ @SabeS`b \OQV Y 8OV`S\ S`VOZbS\ eW` ºPS`

9 Y = 9  − I` + ` − R + ` − R +  + ` − Y −  ⋅ RK 7\ RS` SQYWUS\ 9ZO[[S` abSVb ROPSW ROa YbS 5ZWSR RS` S\ba^`SQVS\RS\ O`WbV[SbW aQVS\ @SWVS 3a YO\\ ROVS` Y][^OYb

9Y = 9 − = 9 −

Y Y

⋅ I` + ` − Y −  ⋅ RK



77#'

⋅ I ` − Y −  ⋅ RK

T]`[cZWS`b eS`RS\ eOa aQVZWSzZWQV RS\ @SabeS`b \OQV Y 8OV`S\ /PaQV`SWPc\U [Wb ` OZa S`abS[ /PaQV`SWPc\UaPSb`OU c\R R OZa RS[ ;W\RS`c\UaPSb`OU RS` /PaQV`SWPc\U hc[ /caR`cQY P`W\Ub 2WS VWS` d]`ZWSUS\RS /PaQV`SWPc\UaO`b eW`R OcTU`c\R RS` OcTb`SbS\RS\ O`WbV[SbWaQVS\ @SWVS OcQV OZa PaXcW\TcXbRW STVaTbbXeT 0QbRWaTXQd]V PShSWQV\Sb

96

II Finanzmathematik

3a UWZb PSW 77#' ROaa RS` S`abS /PaQV`SWPc\UaPSb`OU PSW O`WbV[SbWaQV RSU`SaaWdS` /PaQV`SWPc\U [W\RSabS\a UZSWQV RS[ ZW\SO`S\ 0Sb`OU aSW\ [caa c\R VrQVabS\a UZSWQV RS[ R]^^SZbS\ ZW\SO`S\ 0Sb`OU aSW\ RO`T dUZ /cTUOPS 77 &

9 − 9\ 9 − 9\ ≤ ` ≤ ⋅  \ \



77$

Beispiel: Eine Anlage mit 4 Jahren Nutzungsdauer und Anschaffungskosten von 10.000 Euro soll mit r1 = 3.000 Euro und d = 500 Euro arithmetisch degressiv abgeschrieben werden. Wir erhalten damit unter Nutzung von (II.58) und (II.59) folgenden Abschreibungsplan: Ende Nutzungsjahr 1 2 3 4 Σ

Abschreibungsbasis 10.000 7.000 4.500 2.500

Abschreibungsbetrag 3.000 2.500 2.000 1.500 9.000

Restbuchwert 7.000 4.500 2.500 1.000

Das hier zulässige Intervall für r1 ist 2.500 ≤ r1 ≤ 5.000, sodass der verwendete Betrag von 3.000 Euro gerechtfertigt ist. Wir erkennen außerdem, dass auch bei der arithmetisch degressiven Abschreibung die Summe der Abschreibungen nicht gleich den Anschaffungskosten ist. Es verbleibt also am Ende der Nutzungsdauer ein Restwert.

3.

Aufgaben

4]ZUS\ @SWVS\ HW\aS\

0dUVPQT 88 4`Oc A eWZZ # 3c`] Tº` Tº\T 8OV`S O\ZSUS\ AWS S`VÉZb /\USP]bS 0O\Y / PWS bSb $#  HW\aS\ PSW XÉV`ZWQVS[ HW\abS`[W\ 0O\Y 0 hOVZb \OQV # 8OV`S\  3c`] Oca ESZQVSa /\USP]b Wab Uº\abWUS`- 0SU`º\RS\ AWS 7V`S /\be]`b ºPS` SW\S\ DS`UZSWQV O RS` 3\RYO^WbOZS

P RS` 0O`eS`bS

Q RS` HW\aaÉbhS

0dUVPQT 88! ESZQVSa 3\RYO^WbOZ S`VÉZb [O\ PSW XÉV`ZWQVS` DS`hW\ac\U Oca SW\S[ 9O^WbOZ d]\  3c`] \OQV # 8OV`S\ PSW SW\S[ HW\aaObh d]\ $  ^ O- EWS V]QV eÉ`S ROa 3\RYO^WbOZ PSW []\ObZWQVS` DS`hW\ac\U c\R HW\aTSababSZZc\U-G

0dUVPQT 88" 2Oa 0`cbb]W\ZO\Ra^`]RcYb 07> W\ ESabRScbaQVZO\R PSb`cU '$ ''' ;`R 2; '' # " ;`R 2; EWS V]QV eO` ROa Rc`QVaQV\WbbZWQVS XÉV`ZWQVS 07>EOQVabc[ ºPS` RWSaS\ HSWb`Oc[ d]\ ! 8OV`S\-

0dUVPQT 88#

3W\ 3\beWQYZc\UaZO\R VObbS 3\RS '' US\Oc ! ;W] 3W\e]V\S` 0Wa 3\RS  ecQVa RWS 0SdrZYS`c\U OcT " ;W] 3W\e]V\S` O\ O C[ eWS dWSZ >`]hS\b \OV[ RWS 3W\e]V\S`hOVZ W[ PSb`OQVbSbS\ HSWb`Oc[ Rc`QV aQV\WbbZWQV ^`] 8OV` hc- P EO\\ eW`R ROa :O\R # ;W] 3W\e]V\S` eO\\ $ ;W] 3W\e]V\S` VOPS\ eS\\ d]\ SW\S[ c\dS`É\RS`bS\ 0SdrZYS`c\UaeOQVabc[ OcaUSUO\US\ eW`R-

0dUVPQT 88$

3W\ C\bS`\SV[S` S`hWSZb W[ S`abS\ 8OV` aSW\S` BÉbWUYSWb SW\S\ 8OV`Sac[aObh d]\  ;W] 3c`] 7\ RS\ RO`OcT T]ZUS\RS\ 8OV`S\ abSWUb RS` C[aObh XSeSWZa c[ #  EWS V]QV Wab RS` Rc`QVaQV\WbbZWQVS 8OV`Sac[aObh PS`SQV\Sb ºPS`  8OV`S-

0dUVPQT 88%

3W\ ŸPSaQVSWRS\S`” AbcRS\b [rQVbS SW\ VOZPSa 8OV`  $ E]QVS\ O`PSWbS\ 3` PWSbSb aSW\S[ ^]bS\hWSZZS\ /`PSWbUSPS` O\ W\ RS` S`abS\ E]QVS Tº` SW\S\ 3c`]1S\b c\R W\ RS` heSWbS\ E]QVS Tº` 3c`]1S\b hc O`PSWbS\ 7\ RS\ T]ZUS\RS\ E]QVS\ a]ZZ aWQV eWSRS`c[ aSW\ 5SVOZb d]\ E]QVS hc E]QVS dS`R]^^SZ\ EWS dWSZ eº`RS RS` AbcRS\b \OQV RS[ VOZPS\ 8OV` W\aUSaO[b dS`RWS\b VOPS\- EWS V]QV eÉ`S aSW\ ZSbh bSa E]QVS\USVOZb- B. Auer, F. Seitz, Grundkurs Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-8349-6925-5_7, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

98

II Finanzmathematik

0dUVPQT 88&

3a aSWS\ heSW HOVZc\US\ H c\R H USUSPS\( H + % 3c`] TÉZZWU O[ !  !  " CV` a]eWS H +  3c`] TÉZZWU O[  %  CV` G O ESZQVS HOVZc\U VOb O[   RS\ VrVS`S\ ES`b-

 PSW ^ + &  ^ O

 PSW ^ +   ^ O

P 0SW eSZQVS[ HW\aaObh VOPS\ PSWRS HOVZc\US\ RS\aSZPS\ ES`b-

0dUVPQT 88' 3W\ 9O^WbOZ d]\ # 3c`] eW`R [Wb &  ^ O dS`hW\ab 2WS HW\aSahW\aS\ eS`RS\ XSR]QV dWS`bSZXÉV`ZWQV PS`SQV\Sb c\R YO^WbOZWaWS`bG O /cT eSZQVS\ 3\ReS`b Wab ROa 9O^WbOZ \OQV  8OV`S\ O\USeOQVaS\- P EWS V]QV Wab RWS STTSYbWdS 8OV`SadS`hW\ac\U- Q ESZQVS abSbWUS DS`hW\ac\U S\ba^`WQVb RS` 3TTSYbWddS`hW\ac\U d]\ P-

0dUVPQT 88( ESZQVSa 3\RYO^WbOZ S`hWSZb [O\ PSW dWS`[]\ObWUS` DS`hW\ac\U eS\\ [O\  3c`] Tº`  8OV`S O\ZSUb c\R SW\ HW\a d]\ $  ^ O USeÉV`b eW`R- G

0dUVPQT 88  6S`` ;OWS` S`eW`Pb SW\ TSabdS`hW\aZWQVSa ES`b^O^WS` hc[ 

777'P

ZW[ Z]U O f = −∞

Tº`

O > 

777'Q

f →+∞

g = Z\ f



f →

f

f → +

7[ 4OZZ  * O *  YSV`S\ aWQV RWS D]`hSWQVS\ W\ 777'O c\R 777'Q c[ 4º` O +  c\R O *  Wab RWS :]UO`WbV[caTc\YbW]\ \WQVb RSTW\WS`b



`]RcYbS c\R ?c]bWS\bS\(

ZW[ Tf ⋅ Uf = ZW[ Tf ⋅ ZW[ Uf = ϕ ⋅ ϕ′

777 O

Tf ϕ Tf fZW[ = →α = Uf ZW[ Uf ϕ′

777 P

f →α

ZW[

f →α

f →α

f →α

Tº` Uf ≠  c\R ϕ′ ≠ 

f →α

4S`\S` USZbS\ W[ HcaO[[S\VO\U [Wb 9]\abO\bS\ Y RWS T]ZUS\RS\ @SUSZ\(

ZW[ Tf = Y TOZZa Tf = Y



777

f →α



ZW[ Tf + Y = ZW[ Tf + Y = ϕ + Y

777 !

ZW[ Y ⋅ Tf = Y ⋅ ZW[ Tf = Y ⋅ ϕ

777 "

f →α

f →α

f →α

f →α

4º` >]bS\hS\ Ec`hSZ\ c\R :]UO`WbV[S\ UWZb(

(

ZW[ Tf\ = ZW[ Tf

f →α

f →α

)

\

= ϕ\ Phe ZW[

f →α

ZW[ T f 

ZW[ OT f   = O f →α

f →α

(

\

Tf =

\

ZW[ Tf = \ ϕ 777 #

f →α

= Oϕ

)

ZW[ Z]U O Tf = Z]U O ZW[ Tf = Z]UO ϕ [Wb O ϕ >  c\R O ≠ 

f →α

f →α

777 $ 777 %

A]ZO\US RWS 5`S\heS`bS ϕ c\R ϕSfWabWS`S\ YO\\ W\ 777  PWa 777 % ºPS`OZZ α Rc`QV ∞ ]RS` ’∞ S`aSbhb eS`RS\ 4º` c\SWUS\bZWQVS 5`S\heS`bS USZbS\ RWS 4]` [SZ\ 777  PWa 777 % W[ /ZZUS[SW\S\ \WQVb

Beispiele: 1.

2.

lim

x →+∞

3 + x −1 e− x − 1

=

lim (3 + x −1)

x →+∞

lim (e − x − 1)

x →+∞

=

1 x = 3 = −3 − lim 1 −1

lim 3 + lim

x →+∞

lim e − x

x →+∞

x →+∞

x →+∞

lim (10 ⋅ e −1,5x ) = §¨ lim 10 ¸· ⋅ §¨ lim e −1,5x ¸· = 10 ⋅ 0 = 0 © x →+∞ ¹ © x →+∞ ¹

x →+∞

3W\ >`]PZS[ PSW RS` 0SabW[[c\U d]\ 5`S\heS`bS\ `SacZbWS`b eS\\ aWQV a]U c\PS abW[[bS /caR`ºQYS eWS h 0 ∞∞ S`USPS\ RWS SW\S 5`S\heS`bO\UOPS S`aQVeS`S\ 2WSa b`Wbb d]` OZZS[ PSW VTQa^RWT] aPcX^]P[T] 5d]ZcX^]T] dUZ /PaQV\Wbb 777   OcT RO VWS` PSW C\bS`acQVc\U RSa DS`VOZbS\a W[ C\S\RZWQVS\ a]e]VZ HÉVZS` OZa OcQV ]Zg\][U`OR

 6rQVabS >]bS\h [Wb ^]aWbWdS[ 9]STTWhWS\bS\( "

f → ±∞ ) g → +∞



h 0 g = !f  g = f





 6rQVabS >]bS\h [Wb \SUObWdS[ 9]STTWhWS\bS\(

f → ±∞ ) g → −∞



"

h 0 g = −!f  g = −f



3W\ >]Zg\][ c\US`ORS\ 5`ORSa ab`SPb OZa] OcT SW\S` ASWbS W[[S` USUS\ ∞ c\R OcT RS` O\RS`S\ W[[S` USUS\ ’∞ XS \OQVRS[ eSZQVSa D]`hSWQVS\ RS` 9]STTWhWS\b RS` VrQVabS\ >]bS\h RS` DO`WOPZS\ PSaWbhb 3W\ >]Zg\][ US`O RS\ 5`ORSa ab`SPb OcT PSWRS\ ASWbS\ USUS\ ∞ Phe ’∞ XS \OQV d]`ZWSUS\ RS[ D]`hSWQVS\ RSa 9]STTWhWS\bS\ RS` VrQVabS\ >]bS\h RS` c\OPVÉ\UWUS\ DO`WOPZS\ EW` e]ZZS\ W[ 4]ZUS\RS\ SW\S @SWVS a^ShWSZZS` /ca^`ÉUc\US\ d]\ >]Zg\][S\ \ÉVS` PSb`OQVbS\ RWS eW` d O W[ HcaO[[S\VO\U [Wb rY]\][WaQVS\ 4c\YbW]\S\ W\ /PaQV\Wbb 777 ! \]QV PS\rbWUS\ eS`RS\

2. Elementare Funktionen

131

 ?^[h]^\T TabcT] 6aPSTb 3W\S 4c\YbW]\ RSa Bg^a

g = ^f = O + O ⋅ f



777!

eW`R OZa [X]TPaT 5d]ZcX^] ]RS` 6TaPST PShSWQV\Sb 2OPSW UWPb O RWS BcTXVd]V RS` 5S`ORS\ c\R O RS\ AQV\Wbb^c\Yb RS` 5S`ORS\ [Wb RS` g/QVaS O\ 8S \OQVRS[ eSZQVSa D]`hSWQVS\ O PSaWbhb abSWUb ]RS` TÉZZb RWS 5S`ORS /PPWZRc\U 777 % dS`O\ aQVOcZWQVb RWSa 0SaWbhb SW\S 5S`ORS RWS AbSWUc\U O +  c\R SW\S\ OPa]ZcbS\ 9]STTW hWS\b O ≠  a] Wab aWS SW\S ?PaP[[T[T ida g0RWbT [Wb g + O 4º` O + O +  S`UWPb aWQV RWS /PahWaaS [Wb g + 

g

g



O > 



O < 

>) O 



>) O 



f

f

g



O = 



>) O 



g = O



f

/PPWZRc\U 777 %( :W\SO`S 4c\YbW]\S\

2WS aTT[[T =d[[bcT[[T g +  SW\S` 5S`ORS\ S`UWPb aWQV PSW O ≠  abSba Oca

f=−

O  O

Beispiel: Die Nullstelle einer Geraden y = 2x – 1 liegt bei x=−



( −1) = 0,5 . 2

777! 

132

III Funktionen einer Variablen

:WSUS\ ifTX QT[XTQXVT ?d]ZcT >α β  c\R > α  β  SW\S` 5S`ORS\ d]` Yr\\S\ eW` RWS 6TaPST]bcTXVd]V ºPS` β − β O = 777!! α − α PSabW[[S\ /PPWZRc\U 777 & dS`O\aQVOcZWQVb RS\ 6W\bS`U`c\R d]\ 777!!



g



> α  β 

β



β



β − β

> α  β  α − α



α



α

f

/PPWZRc\U 777 &( 5S`ORS\abSWUc\U Oca heSW >c\YbS\

Beispiel: Die Punkte P1(1; 2) und P2(–3; 5) liegen auf einer Geraden. Wir können damit die Geradensteigung wie folgt ermitteln: 5−2 3 a1 = =− −3 − 1 4

7ab RWS AbSWUc\U O SW\S` 5S`ORS\ c\R SW\ OcT WV` ZWSUS\RS` >c\Yb >α β  PSYO\\b YO\\ RWS 5S`ORS\UZSWQVc\U Rc`QV 3W\aSbhS\ RS` d]`ZWSUS\RS\ ES`bS W\ RWS a]U ?d]ZcbcTXVd]VbU^a\ ]RS` >c\Yb`WQVbc\UaT]`[ OcTUSabSZZb eS`RS\ 2WSaS ZOcbSb g = O ⋅ f − α  + β  777!" Beispiel:

Von einer Geraden sind der Punkt P(1; –2) und die Steigung a1 = 2 bekannt. Als Gleichung der Geraden erhalten wir damit y = 2 ⋅ (x − 1) − 2 ↔ y = 2x − 4 .

AW\R heSW dS`aQVWSRS\S >c\YbS >α β  c\R > α  β  SW\S` 5S`ORS\ PSYO\\b YO\\ hc\ÉQVab RWS AbSWUc\U S``SQV\Sb c\R O\aQVZWSzS\R RWS >c\YbabSWUc\UaT]`[ hc` 3`[WbbZc\U RS` 5S`ORS\UZSWQVc\U VS`O\USh]US\ eS`RS\ 2WSaS D]`USVS\a eSWaS TºV`b hcaO[[S\USTOaab hc` a]U IfTX_d]ZcTU^a\ STa 6TaPST]V[TXRWd]V β − β β −g β − β =  ↔ g= ⋅ f − α  + β  777!# α − α α − f α − α RWS SW\S aQV\SZZS /cTabSZZc\U RS` 5S`ORS\UZSWQVc\U S`ZOcPb ESZQVS >c\YbS ROPSW OZa > Phe > [Wb > ≠ >  USeÉVZb eS`RS\ Wab Tº` ROa 3`USP\Wa PSRScbc\UaZ]a

2. Elementare Funktionen

133

Beispiel: Die Punkte P1(–1; 2) und P2(–3; –5) liegen auf einer Geraden, die durch die Gleichung

y=

−5 − 2 ⋅ (x − ( −1)) + 2 −3 − ( −1)

↔

y = 3,5x + 5,5

beschrieben wird.



! ?^[h]^\T ifTXcT] 6aPSTb 3W\S 4c\YbW]\ RSa Bg^a

g = ^f = O + O ⋅ f + O ⋅ f



777!$

eW`R OZa `dPSaPcXbRWT 5d]ZcX^] ]RS` ?PaPQT[ PShSWQV\Sb 7V` ;OfW[c[ Phe ;W\W [c[ VSWzb BRWTXcT[ EWSRS` VOb VWS` ROa D]`hSWQVS\ RSa 9]STTWhWS\bS\ d]` RS` VrQVabS\ >]bS\h S\baQVSWRS\RS /caeW`Yc\US\ OcT RS\ DS`ZOcT RSa 5`OTS\ 4º` ES`bS O ,  Wab RWS >O`OPSZ \OQV ]PS\ USrTT\Sb Tº` O *  \OQV c\bS\ USrTT\Sb dUZ /PPWZRc\U 777 '

g



g

O >

O ) O 

>) O 

f

f



AQVSWbSZ



/PPWZRc\U 777 '( O`OPSZ\

O`OPSZ 3a ZWSUb SW\S a]U =^a\P[_PaPQT[ d]` eS\\ O + ±  UWZb 4º` O ,  ∨ O * ’ Wab RWS >O`OPSZ W[ DS`UZSWQV \c` c\YbS\ RWS OcT RS` >O`OPSZ ZWSUS\ 2WSaS eS`RS\ W\ SW\ a]U 5ZSW QVc\UaagabS[ dUZ 9O^WbSZ D7 Tº` SW\S W\bS\aWdS 0SVO\RZc\U RS` :rac\U d]\ 5ZSW QVc\UaagabS[S\ ºPS`b`OUS\ eSZQVSa aQVZWSzZWQV USZrab eW`R Beispiel: Es soll die Gleichung der Parabel bestimmt werden, auf der die Punkte P1(–1; 0), P2(1; 0) und P3(2; 3) liegen. Dazu wird anhand der allgemeinen Parabelgleichung (III.36) durch Einsetzen der gegebenen Punkte das folgende Gleichungssystem (für jede gesuchte Größe a0, a1 und a2 eine Gleichung) aufgestellt:

I:

0 = a0

+ a1 ⋅ ( −1) + a2 ⋅ ( −1)2

II :

0 = a0

+ a1 ⋅ 1

+ a2 ⋅ 12

III :

3 = a0

+ a1 ⋅ 2

+ a 2 ⋅ 22

Subtrahieren wir Gleichung II von Gleichung I, erhalten wir −2 ⋅ a1 = 0

↔

a1 = 0 .

Gleichung III minus Gleichung II ergibt 3 = a1 + 3 ⋅ a2

↔

a2 = 1 − 31 ⋅ a1 .

Die Verbindung dieser beiden Ergebnisse führt zu a2 = 1 − 31 ⋅ 0 = 1 . a1 und a2 eingesetzt in Gleichung II liefert

0 = a0 + 0 ⋅ 1 + 1⋅ 12

↔

a0 = −1 ,

sodass sich für die gesuchte Gleichung Folgendes ergibt:



y = −1 + 0 ⋅ x + 1 ⋅ x 2

↔

y = x2 − 1

7ab SW\S` RS` d]`ZWSUS\RS\ >c\YbS RS` AQVSWbSZ A RS` >O`OPSZ a] `SWQVS\ >c\YbS  Aα A  βA  >α >  β>   Oca c[ RWS >O`OPSZUZSWQVc\U hc PSabW[[S\ EW` dS`eS\RS\ \É[ZWQV RO\\ RWS a]U BRWTXcT[U^a\ STa ?PaPQT[V[TXRWd]V

g = O ⋅ f − α A  + βA 



777!%

Beispiel: Aus dem Scheitel S(1; 2) und dem Punkt P(–3; –4) soll die Gleichung der dazugehörigen Parabel bestimmt werden. 1. Schritt:

Berechnung von a2 aus (III.37) durch Einsetzen der gegebenen Punkte

−4 = a2 ⋅ ( −3 − 1)2 + 2 2. Schritt:

↔ a2 = − 38

Aufstellen der Gleichung y = − 83 ⋅ (x − 1)2 + 2

↔

y = − 83 x 2 + 34 x + 13 8

0SW RS` 3`[WbbZc\U RS` =d[[bcT[[T] d]\ >O`OPSZ\ aW\R R`SW 4ÉZZS hc c\bS`aQVSWRS\ dUZ /PPWZRc\U 777  DS`ZÉcTb RWS >O`OPSZ d]ZZY][[S\ ]PS` ]RS` c\bS`VOZP RS` f/QVaS SfWabWS`b ZTX]T aTT[[T =d[[bcT[[T 0S`ºV`b RWS >O`OPSZ RWS f/QVaS a] ZWSUb TX]T S^__T[cT aTT[[T =d[[bcT[[T d]` AQV\SWRSb RWS >O`OPSZ RWS f/QVaS UWPb Sa W[[S` ifTX TX]UPRWT aTT[[T =d[[bcT[[T]

2. Elementare Funktionen



135

g

g



SW\S R]^^SZbS `SSZZS ]Zg\][a ^\f ROa Rc`QV /ca[cZbW^ZWhWS`S\ RS` 9ZO[[S`\ eWSRS` W\ RWS 4]`[ 777"O ºPS`TºV`b eS`RS\ YO\\ 4SVZb SW\[OZ SW\ 3f^]\S\b a] Wab RSTW\WbW]\aUS[Éz RS` hcUSVr`WUS 9]STTWhWS\b UZSWQV ]Zg\][S ^\f c\R _[f \S\\S\ eW` VTQa^RWT] aPcX^]P[T 5d]ZcX^] `f R V Sa UWZb \



g = `f =

\

^\ f O + O ⋅ f + O ⋅ f +  + O\ ⋅ f =  = _ [ f P + P ⋅ f + P ⋅ f +  + P [ ⋅ f [

¦O

W

W = [

⋅ fW

¦P ⋅f X

X=

 X

777"

2. Elementare Funktionen

139

EÉV`S\R RWS 4XVT]bRWPUcT] UO\h `ObW]\OZS` 4c\YbW]\S\ W\ SW\S[ Y][^OYbS\ ÍPS` PZWQY RO`USabSZZb eS`RS\ Y]\\bS\ PSRO`T Sa PSW USP`]QVS\ `ObW]\OZS\ 4c\YbW]\S\ hc` PSaaS`S\ DS`abÉ\RZWQVYSWb SW\S` RSbOWZZWS`bS`S\ 0Sb`OQVbc\U

 3TUX]XcX^]bQTaTXRW EÉV`S\R UO\h `ObW]\OZS 4c\YbW]\S\ Tº` UO\h \ RSTW\WS`b aW\R Wab RS` 3TUX]XcX^]bQT aTXRW SW\S` USP`]QVS\ `ObW]\OZS\ 4c\YbW]\ SW\USaQV`É\Yb RO ROa ]ZabSZZS c\abSbWU

" =d[[bcT[[T] 2WS =d[[bcT[[T] SW\S` USP`]QVS\ `ObW]\OZS\ 4c\YbW]\ aW\R RWS AbSZZS\ Tº` RWS ROa HÉVZS`^]Zg\][ XSR]QV \WQVb UZSWQVhSWbWU ROa ]ZabSZZS\ ºPS` 5`S\heS`bS OcThchSWUS\ 0Sb`OQVbS\ eW` ROhc /PPWZRc\U 777  2WS

140

III Funktionen einer Variablen

R]`b OPUSPWZRSbS\ >]Zg\][S ^\f c\R _[f S`TºZZS\ O\ RS` AbSZZS f + α RWS 0SRW\ Uc\US\ Oca 777"" R V ^\α ≠  c\R _[α +  f + α Wab SW\S >]ZabSZZS 2WS 5`O TWY ec`RS hcRS[ a] USabOZbSb ROaa ^\f ,  Tº` OZZS f UWZb ES\\ eW` c\a \c\ RS` c\Yb % PSRWS\S\ ]RS` c[ OcQV /caaOUS\ ºPS` RWS /\\ÉVS`c\Ua`WQVbc\U d]\ ]PS\ ]RS` d]\ c\bS\ [OQVS\ hc Yr\\S\ HÉVZS` Rc`QV ]Zg\][RWdWaW]\ c[ SW\S 4]`[

142

III Funktionen einer Variablen

`f =



^\ f ^ f = _\ − [ f + Y _ [ f _ [ f

Tº`

_ [ f ≠ 

777"#

hc S`VOZbS\ 2S` S`abS Ac[[O\R >]Zg\][ d][ 5`OR \ ’ [ Wab ROPSW RS` VP]i aP cX^]P[T 0]cTX[ d]\ `f c\R RS` heSWbS RS` VTQa^RWT] aPcX^]P[T ATbc d]\ `f /\ RS`a OcaUSR`ºQYb Wab _\ − [ f ROa 3`USP\Wa c\R ^ Y f RS` @SabbS`[ RS` PSW 2c`QVTºV`c\U RS` >]Zg\][RWdWaW]\ dS`PZSWPb dUZ \OQVT]ZUS\RS 0SWa^WSZS 0SW[ 5`S\hºPS`UO\U f → ±∞ ab`SPb RS` USP`]QVS\ `ObW]\OZS @Sab USUS\ 4 und x ≤ 0 erfüllt. Für den Definitionsbereich folgt damit insgesamt D(f ) = {x ∈ \ x ≤ 0 ∨ x > 4} . Es gibt die Nullstelle

5x = 0 ↔ 5x = 0 ↔ x = 0 und den Pol x – 4 = 0 ↔ x = 4. x−4

4c\YbW]\S\ RSa Bg^a Tf = \ f [Wb f ≥  C[YSV`Tc\YbW]\ hc` >]bS\hTc\YbW]\ \ Tf + f  VSWzS\ FdaiT[Ud]ZcX^]T] AWS dS`ZOcTS\ abSba Rc`QV RS\ >c\Yb >)  c\R PSaWbhS\ \c` W[ S`abS\ ?cOR`O\bS\ RSa 9]]`RW\ObS\agabS[a 4c\YbW]\aeS`bS HcRS[ eW`R PSW hc\SV[S\RS[ \ RS` 5`OT W[[S` TZOQVS` dUZ /PPWZRc\U 777 "



g



f



!



"





f f f





/PPWZRc\U 777 "( Ec`hSZTc\YbW]\S\

2.1.4

Transzendente Funktionen

EWS PS`SWba S`eÉV\b aW\R b`O\ahS\RS\bS 4c\YbW]\S\ XS\S 4c\YbW]\S\ RWS aWQV \WQVb [SV` Rc`QV >]Zg\][S c\R Ec`hSZ\ SW\RScbWU PSaQV`SWPS\ ZOaaS\ Bg^WaQVS DS`b`S bS` RWSaS` 9ZOaaS aW\R RWS 3f^]\S\hWOZ c\R :]UO`WbV[caTc\YbW]\

2.1.4.1

Exponenzialfunktion

3W\S 4c\YbW]\ RSa Bg^a

g = Tf = O f [Wb O >  

777"&

PSW RS` RWS d]PQWÊ]VXVT ETaÊ]STa[XRWT X\ 4g_^]T]cT] abSVb VSWzb 4g_^]T]iXP[ Ud]ZcX^] ida 1PbXb P 2O RWS 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\ \c` Tº` ^]aWbWdS 0OaS\ O ,  W[ 0S`SWQV f ∈ \ RSTW\WS`b Wab Wab RS` 4c\YbW]\aeS`b SPS\TOZZa abSba ^]aWbWd a]ROaa Tº` RS\ ES`bSPS`SWQV ET  = \ + UWZb

146

III Funktionen einer Variablen

3W\S\ PSRScbS\RS\ A]\RS`TOZZ d]\ 777"& abSZZb RWS 4g_^]T]iXP[Ud]ZcX^] ida 1PbXb f T 3cZS`'aQVS HOVZ ]RS` Yc`h T5d]ZcX^] R V Tf + S  RO` 3W\S\ /\eS\Rc\UaTOZZ RS`O`bWUS` 4c\YbW]\S\ VOPS\ eW` PS`SWba W[ /PaQV\Wbb 77  ! W\ 4]`[ RS` abSbWUS\ f DS`hW\ac\U YS\\S\USZS`\b ESUS\ 7'! YO\\ XSRS 4c\YbW]\ RSa Bg^a Tf + O OcQV Rc`QV SW\S S4c\YbW]\ RO`USabSZZb eS`RS\(

Tf = O f = Sf ⋅Z\ O 3a aSW OczS`RS[ S`eÉV\b ROaa eW` hc` DS`Y\º^Tc\U d]\ 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\S\ RWS W\ 9O^WbSZ 7 PSVO\RSZbS\ >]bS\h`SQVS\`SUSZ\ 7& 7& 7&" 7&$ c\R f 7&' R V O f ⋅ O g = O f + g  O f  O g = O f − g  O\⋅f = O f \  O− f =   O f c\R O \ = \ O f  O\eS\RS\ Yr\\S\ 2WS eWQVbWUabS\ 4XVT]bRWPUcT] d]\ 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\S\ e]ZZS\ eW` W[ 4]ZUS\ RS\ W[ 2SbOWZ PSb`OQVbS\( 2O SW\S 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\ Tf + O \c` Tº` O ,  RSTW\WS`b Wab UWPb Sa f U`c\RaÉbhZWQV YSW\ f Tº` ROa O RS\ ES`b c\Yb >) 

ƒ

/PPWZRc\U 777 # hSWUb ROa 4c\YbW]\adS`VOZbS\ Tº` dS`aQVWSRS\S ES`bS d]\ O(



f

O + (

2O Tf +  +  Tº` OZZS f UWZb ZWSUb SW\S >O`OZZSZS hc` f/QVaS d]`

O , (

2WS 9c`dS Wab bcaT]V \^]^c^] bcTXVT]S c\R eW`R abSWZS` XS U`rzS` O eW`R 2WSa Wab RS` c\bS` rY]\][WaQVS\ 5SaWQVba^c\YbS\ eWQV f bWUabS 4OZZ 2O`c\bS` TÉZZb OcQV g + S  4º` f → +∞ UWZb g → +∞  4º` f → −∞ UWZb g →  R V RWS 4c\YbW]\ \ÉVS`b aWQV RS` f /QVaS O\ RWS a][Wb /ag[^b]bS Wab

 * O * ( 2WS 9c`dS Wab bcaT]V \^]^c^] UP[[T]S c\R \ÉVS`b aWQV Tº` f → +∞ Oag[^b]bWaQV RS` f/QVaS  g →   4º` f → −∞ UWZb g → +∞ 



f

ƒ







g

  ∧ O ≠  c\R f > 

777"'

PShSWQV\Sb Wab OZa] \c` Tº` ^]aWbWdS c\R d]\ 3W\a dS`aQVWSRS\S 0OaS\ RSTW\WS`b c\R WV` 2STW\WbW]\aPS`SWQV Wab OcT RWS 6OZPOQVaS f ,  PSaQV`É\Yb S\ba^`WQVb RS[ ES` bSPS`SWQV RS` 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\ Hc` EWSRS`V]Zc\U aSW S`eÉV\b ROaa RS` :]UO `WbV[ca hc` 0OaWa S OZa \Obº`ZWQVS` :]UO`WbV[ca PShSWQV\Sb eW`R R V Tf + Z]US f + Z\ f UWZb c\R eW` c\bS` RS[ RSYORWaQVS\ :]UO`WbV[ca RS\ :]UO`WbV[ca hc` 0OaWa  R V Tf + Z]U f + Z]U f dS`abSVS\ 8SRS` OZZUS[SW\S :]UO`WbV[ca 777"' YO\\ OczS`RS[ W[[S` OcT RS\ \Obº`ZWQVS\ ]RS` RSYORWaQVS\ :]UO`WbV[ca hc`ºQYUSTºV`b eS`RS\ RO UWZb dUZ /PaQV\Wbb 7 !"" Z]U f Z\ f Tf = Z]U O f = =  Z]U O Z\ O HcRS[ Wab hc PSOQVbS\ ROaa Tº` RWS DS`Y\º^Tc\U [SV`S`S` :]UO`WbV[S\ RWS PS`SWba W\ 9O^WbSZ 7 OcTUSTºV`bS\ @SUSZ\ 7'% PWa 7'' R V Z]UO f ⋅ g + Z]UO f  Z]UO g \ Z]UO fg + Z]UO f ’ Z]UO g Z]UO f + \ ⋅ Z]UO f Z]UO f + ’ Z]UO f c\R Z]UO  \ f  + \ ⋅ Z]UO f USZbS\ 2O RWS :]UO`WbV[caTc\YbW]\ RWS D\ZTWaUd]ZcX^] hc` 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\ RO`abSZZb  g = O f ↔ f = Z]U O g  S`UWPb aWS aWQV U`OTWaQV Rc`QV A^WSUSZc\U RS` 3f^]\S\ hWOZTc\YbW]\ O\ RS` EW\YSZVOZPWS`S\RS\ RSa S`abS\ c\R R`WbbS\ ?cOR`O\bS\ RSa 9] ]`RW\ObS\agabS[a dUZ /PPWZRc\U 777 $ 2SaVOZP Wab RS` ES`bSPS`SWQV RS` 3f^] \S\hWOZTc\YbW]\ UZSWQV RS[ 2STW\WbW]\aPS`SWQV RS` :]UO`WbV[caTc\YbW]\ c\R c[US YSV`b 3a UWZb OZa](

Eg = O f  = {g g > }

2g = O  = {f f ∈ \} f

↔ ↔

2g = Z]U O f = {f f > }

Eg = Z]U O f = {g g ∈ \}



2O RWS C[YSV`Tc\YbW]\ RS` C[YSV`Tc\YbW]\ eWSRS` RWS /caUO\UaTc\YbW]\ Wab Wab RWS 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\ \Obº`ZWQV OcQV RWS C[YSV`Tc\YbW]\ RS` :]UO`WbV[caTc\Y bW]\  g = Z]U O f ↔ f = O g  3ZS[S\bO`S 4XVT]bRWPUcT] RS` :]UO`WbV[caTc\YbW]\ aW\R RWS 4]ZUS\RS\( ƒ 2WS 5ZSWQVc\U Tf + Z]UO f +  Wab Tº` PSZWSPWUS O ,  O ≠  OcTU`c\R d]\  O +  W[[S` O\ RS` AbSZZS f +  S`TºZZb /ZZS :]UO`WbV[caTc\YbW]\S\ PSaWbhS\ OZa] R]`b SW\S 

g



Tf = f



f Tf = O  < O < 





Tf = Z]U O f O > 



f





Tf = Z]U O f  < O < 

/PPWZRc\U 777 $( 3f^]\S\hWOZ c\R :]UO`WbV[caTc\YbW]\S\

2. Elementare Funktionen







149

g





O>

O→∞







f



O→



O`SWa/PaObh4c\YbW]\S\ `]RcYbW]\ SW\S` 3W\VSWb Y]abSb eS\\ US\Oc f 3W\VSWbS\ ^`]RchWS`b eS`RS\ ASbhS\ eW` 777$# W\ 777$$ SW\ a] S`YS\\S\ eW` ROaa aWQV RWS AbºQYY]abS\ Oca RS\ UXgT] Bc¶RZZ^bcT] /41 S\UZ /dS`OUS 4Wf 1]aba c\R RS\ ePaXPQ[T] Bc¶RZZ^bcT] /D1 S\UZ /dS`OUS DO`WOPZS 1]aba hcaO[[S\aSbhS\(

/1f =



1T 1d f + = /41f + /D1f f f

777$%

0SW /41f Wab RWS a]U 5XgZ^bcT]STVaTbbX^] hc PSOQVbS\ dUZ /PPWZRc\U 777 ! :SUS\ eW` RWS 4WfY]abS\ RWS W[[S` W\ 6rVS 1T O\TOZZS\ OcT RWS ^`]RchWS`bS ;S\US f c[ a] eS`RS\ aWS ^`] 3W\VSWb /41f W[[S` US`W\US` XS [SV` [O\ ^`]RchWS`b 3a UWZb OZa]

ZW[ /41f =  

f →+∞

ES\\ aSV` eS\WU ^`]RchWS`b eW`R eOQVaS\ RWS /41f OZZS`RW\Ua OcQV ºPS`^`] ^]`bW]\OZ O\( ZW[ /41f = +∞ f → +

2O 1T SW\S 9]\abO\bS Wab dS`VÉZb aWQV /41f _cOZWbObWd eWS RWS 4c\YbW]\ f e]PSW /41f XSR]QV \c` Tº` f ,  RSTW\WS`b Wab

/41



/41f



f



/PPWZRc\U 777 !( 4WfY]abS\RSU`SaaW]\

2. Elementare Funktionen

157

8S \OQVRS[ eWS 1 abSWUb eS\\ [SV` ^`]RchWS`b eW`R Yr\\S\ eW` dWS` 0acT] e^] :^bcT]Ud]ZcX^]T] c\bS`aQVSWRS\ ºPS` RWS RWS \OQVT]ZUS\RS BOPSZZS SW\S\ S`abS\ ÍPS`PZWQY UWPb 1f DS`ZOcT /D1f

[X]TPa _a^_^acX^]P[

ZW\SO`

Y]\abO\b

_a^VaTbbXe

Y]\dSf

eOQVaS\R

STVaTbbXe

Y]\YOd

TOZZS\R

TacaPVbVTbTci[XRW

aTr`[WU

TOZZS\ReOQVaS\R

7[ [X]TPaT] 5P[[ VOb RWS 9]abS\Tc\YbW]\ RS\ /cTPOc

1f = 1T +  /D1 ⋅ f   





1d  f 

e]PSW aWQV RWS dO`WOPZS\ 9]abS\ 1df Rc`QV ;cZbW^ZWYObW]\ RS` AbºQYhOVZ f [Wb RS\ Rc`QVaQV\WbbZWQVS\ dO`WOPZS\ 9]abS\ /D1 S`USPS\ 2WS 6TbP\cZ^bcT] eOQVaS\ OZa] _a^_^acX^]P[ [Wb RS` ^`]RchWS`bS\ ;S\US 2WSaS ZW\SO`S 5SaO[bY]abS\Tc\YbW]\ S` UWPb aWQV U`OTWaQV eWS XSRS O\RS`S 5SaO[bY]abS\Tc\YbW]\ OcQV Rc`QV ^O`OZZSZSa DS`aQVWSPS\ RS` 4c\YbW]\ 1df c[ 1T \OQV ]PS\ dUZ /PPWZRc\U 777 !  ZW\Ya 2WS ePaXPQ[T] Bc¶RZZ^bcT] aW\R Tº` SW\S ZW\SO`S 9]abS\Tc\YbW]\ W[[S` Z^]bcP]c c\R RWS AbºQYY]abS\Tc\YbW]\ /1f \ÉVS`b aWQV OcTU`c\R RSa 4WfY]abS\RSU`SaaW]\aSTTSY bSa RWSaS` 9]\abO\bS Oag[^b]bWaQV d]\ ]PS\ O\ dUZ /PPWZRc\U 777 !  `SQVba

/1

1 1f



/1f

1 d f



/D1f

1T



/41f



f

f



/PPWZRc\U 777 ! ( :W\SO`S 9]abS\Tc\YbW]\

Beispiel:

C(x) = 1,5x + 70

→

Cv (x) = 1,5x

Cf = 70

70 x

→

AVC(x) = 1,5

AFC(x) =

AC(x) = 1,5 +

70 x

ES\\ RWS 6TbP\cZ^bcT]Ud]ZcX^] _a^VaTbbXe eÉQVab Y]\dSf hSWUb aWS ROa W\ /P PWZRc\U 777 !! RO`USabSZZbS DS`ZOcTa[cabS` 2WS ePaXPQ[T] Bc¶RZZ^bcT] /D1f bcTXVT]

158

III Funktionen einer Variablen

W\ RWSaS[ 4OZZ e]PSW RWSaS` /\abWSU ^`]U`SaaWdS ZW\SO`S ]RS` OcQV RSU`SaaWdS 4]`[S\ O\\SV[S\ YO\\

1

/1

1f



1 d f



/1f



1T



/D1f /41f



f

f



/PPWZRc\U 777 !!( >`]U`SaaWdS 9]abS\Tc\YbW]\ Beispiel: C(x) = 0,1x 2 + 25

→

Cv (x) = 0,1x 2

Cf = 25

25 x

→

AVC(x) = 0,1x

AFC(x) =

AC(x) = 0,1x +

25 x

EÉQVab RWS 6TbP\cZ^bcT]Ud]ZcX^] 1f STVaTbbXe Y]\YOd UP[[T] RWS ePaXPQ[T] Bc¶RZZ^bcT] /D1f 2WS 4c\YbW]\S\ eSWaS\ RWS W\ /PPWZRc\U 777 !" RO`USabSZZbS\ DS`ZÉcTS OcT

1

/1

1f



/1f

1 d f



1T



/D1f



f

f



/PPWZRc\U 777 !"( 2SU`SaaWdS 9]abS\Tc\YbW]\ Beispiel:

C(x) = x0,7 + 55 AC(x) = x −0,3 +

55 x

→

Cv (x) = x 0,7

→

AVC(x) =

1 x

0,3

/41f

Cf = 55 AFC(x) =

55 x

2. Elementare Funktionen

159

3W\S TacaPVbVTbTci[XRWT 6TbP\cZ^bcT]Ud]ZcX^] eSWab SW\S\ bU»a\XVT] ETa[PdU OcT AWS PSaWbhb SW\S\ RSU`SaaWd abSWUS\RS\ /PaQV\Wbb RS` \OQV ÍPS`aQV`SWbS\ SW\Sa ES\RS^c\YbSa E W\ SW\S\ ^`]U`SaaWd abSWUS\RS\ /PaQV\Wbb ºPS`USVb 7[ ES\RS ^c\Yb ZWSUb SW\ ZW\SO`S` DS`ZOcT d]` 2WSaS` YO\\ aWQV W\ RS` >`OfWa OcQV ºPS` SW\S\ ZÉ\US`S\ /PaQV\Wbb S`ab`SQYS\ 2WS ePaXPQ[T] Bc¶RZZ^bcT] PSaWbhS\ b^f^W[ TX]T] bcTXVT]ST] P[b PdRW TX]T] UP[[T]ST] 1TaTXRW

1f

1



1 d f

E



/1

/1f



1T



/41f f

/D1f

f



/PPWZRc\U 777 !#( 3`b`OUaUSaSbhZWQVS 9]abS\Tc\YbW]\

Beispiel: C(x) =

1 x3 5

AC(x) =

− 3x 2 + 15x + 10

→

Cv (x) =

10 x

→

AVC(x) =

1 x2 5

− 3x + 15 +

1 x3 5

− 3x 2 + 15x

1 x2 5

− 3x + 15

Cf = 10 AFC(x) =

10 x



2O[Wb aW\R OZZS [rUZWQVS\ 9]abS\dS`ZÉcTS OPUSPWZRSb 6ÉcTWU b`WTTb [O\ OZZS`RW\Ua OcQV OcT d]bcTcXVT :^bcT]eTa[ÊdUT RWS [SWab Rc`QV 4WfY]abS\dS`É\RS`c\US\ PSW 3` `SWQVS\ PSabW[[bS` >`]RcYbW]\a[S\US\ US^`ÉUb aW\R Beispiel: 0 ≤ x ≤ 100 ­ x + 50 für ° C(x) = ® x + 70 für 100 < x ≤ 200 ° x + 100 für 200 < x ≤ 300 ¯ Hier ändert sich bei steigender Produktionsmenge der Fixkostenanteil der Kostenfunktion, da z. B. ein Ausbau der Produktionsanlagen erforderlich wird. Denkbar wäre auch eine Veränderung der variablen Stückkosten (hier konstant 1 Geldeinheit) aufgrund von z. B. Mengenrabatten beim Einkauf des Fertigungsmaterials.



2.3.4

Gewinnfunktion

2O 6TfX]] OZa D\bPci \X]db :^bcT] RSTW\WS`b Wab S`UWPb aWQV RWS 6TfX]]Ud]ZcX^] 5f OZa 2WTTS`S\h Oca C[aObhTc\YbW]\ @f c\R 9]abS\Tc\YbW]\ 1f( 5f = @f − 1f = ^f ⋅ f − 1f 777$& 2S` 0S`SWQV W\ RS[ RWS 5SeW\\Tc\YbW]\ ºPS`VOZP RS` f/QVaS ZWSUb 5f ,  eW`R OZa 6TfX]]i^]T PShSWQV\Sb 2S` >c\Yb O\ RS[ 5f +  UWZb VSWzb 6TfX]]

160

III Funktionen einer Variablen

bRWfT[[T ]RS` S\UZ 0`SOY3dS\>]W\b 03> 2WS 5SeW\\aQVeSZZS S`UWPb aWQV a] e]VZ OZa



1T



5f



5 [Of



9O^OhWbÉbaU`S\hS

f

−1 T



DS`Zcabh]\S 1f , @f



5SeW\\h]\S @f , 1f



/PPWZRc\U 777 !$( :W\SO`S 5SeW\\Tc\YbW]\ Beispiel: Nicht immer müssen Gewinnfunktionen einen linearen Verlauf wie in Abbildung III 36 aufweisen. Liegen etwa eine quadratische Umsatzfunktion R(x) = −0,2x 2 + 5x und Kostenfunktion C(x) = 0, 4x 2 + 10 vor, so ist die Gewinnfunktion ebenfalls quadratisch. G(x) = R(x) − C(x) = [ −0,2x 2 + 5x] − [0,4x 2 + 10] = −0,6x 2 + 5x − 10

2. Elementare Funktionen

161

Wird hier nicht produziert, resultiert ein Verlust in Höhe der Fixkosten der Produktion von Cf = 10. Die Gewinnzone können wir bestimmen, indem wir zunächst die Nullstellen der Gewinnfunktion bestimmen. Wir erhalten −0,6x 2 + 5x − 10 = 0

↔

x1 = 3,33; x 2 = 5 .

Die Gewinnbedingung lautet G(x) > 0. Dies beschreibt den Bereich, in dem die Gewinnfunktion (nach unten geöffnete Parabel) oberhalb der Abszisse verläuft. Mit Hilfe der ermittelten Nullstellen lässt sich die Gewinnzone als ]3,33; 5[ angeben. Da bei den meisten Gütern aber nur ganze Stück produziert werden können, ist die Gewinnzone besser als [4; 5[ zu formulieren, wobei aufzurunden ist, da sich für x = 3 ein Verlust ergeben würde. Skizzieren wir die Gewinnfunktion allgemein, erhalten wir folgendes Ergebnis: C, R, G

C(x)

R(x)

x2

x1

x

G(x)

Gewinnzone 2

Werden 4 Einheiten produziert, führt dies aufgrund Cv(4) = 0,4 ⋅ 4 = 6,4 und Cf = 10 zu 2 2 den Gesamtkosten C(4) = 0,4 ⋅ 4 + 10 = 16,4 und mit R(4) = –0,2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 = 16,8 zum 2 Gewinn G(4) = 16,8 – 16,4 = 0,4 oder G(4) = –0,6 ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 – 10 = 0,4. Für die Durchschnittskosten gilt AC(x) =

0, 4x 2 + 10 10 10 1,6 + N 2,5 = 4,1 . = 0, 4x + → AC(4) = 0, 4 ⋅ 4 + = N x x 4 AVC(4)

AFC(4)

2c`QV 2WdWaW]\ RS` 5SaO[bUSeW\\Tc\YbW]\ 5f Rc`QV RWS ^`]RchWS`bS ;S\US f S`VOZbS\ eW` RS\ Bc¶RZVTfX]]

Uf =



5f  f

777$'O

/ZbS`\ObWd YO\\ RS` AbºQYUSeW\\ OcQV OZa 2WTTS`S\h Oca >`SWa c\R AbºQYY]abS\ OZa] OZa

Uf = ^f − /1f 

S`[WbbSZb eS`RS\ RO

Uf = UWZb

5f @f − 1f ^f ⋅ f 1f = = − = ^f − /1f f f f f

777$'P

162

III Funktionen einer Variablen

ES`RS\ d]\ RS` 3`ZraTc\YbW]\ @f \c` RWS dO`WOPZS\ 9]abS\ 1df OPUSh]US\ S` VOZbS\ eW` RS\ a]U 3TRZd]VbQTXcaPV 2f 3` S\ba^`WQVb RS[ 0SWb`OU RS` >`]RcY bW]\ hc` 2SQYc\U RS` TWfS\ 9]abS\ 3`ab eS\\ RS` 2SQYc\UaPSWb`OU U`rzS` OZa RWS TWfS\ 9]abS\ Wab S\babSVb SW\ 5SeW\\

2f = @f − 1d f = 5f + 1T



777%

2WS 2SQYc\UaPSWb`OUaTc\YbW]\ S\babSVb a][Wb Rc`QV >O`OZZSZdS`aQVWSPc\U RS` 5S eW\\Tc\YbW]\ c[ RWS 4WfY]abS\ \OQV ]PS\ AWS UWPb RWS 5SeW\\h]\S W\ RS[ 0S `SWQV O\ W\ RS[ 2f ºPS` RS` 4WfY]abS\^O`OZZSZS hc` f/QVaS ZWSUb 2S` Bc¶RZSTRZd]VbQTXcaPV Rf S`UWPb aWQV OZa

Rf =



2f = ^f − /D1f  f

777%

e]PSW Rf ≥ Uf UWZb Beispiel: Für unser vorhergehendes Beispiel liegt der Stückgewinn bei g(4) = G(4) / 4 = 0,4 / 4 = 0,1. Der Deckungsbeitrag liegt bei D(4) = G(4) + 10 = 0,4 + 10 = 10,4. Dieses Ergebnis erhal2 ten wir auch durch Einsetzen von x = 4 in D(x) = –0,6x + 5x. Es wird also durch die Produktion von 4 Einheiten ein Beitrag von 10,4 zur Deckung der Fixkosten geliefert. Da dieser Beitrag die Fixkosten übersteigt, entsteht der berechnete Gewinn. Der Stückdeckungsbeitrag lag bei d(4) = D(4) / 4 = 10,4 / 4 = 2,6. Grafisch zeigt sich die Deckungsbeitragsfunktion wie folgt: C, R, G

C(x)

R(x) D(x)

x1



Gewinnzone

x2

G(x)

Cf x

3.

Differenzialrechnung

Die Differenzialrechnung wird überwiegend zur Analyse von Funktionseigenschaften (Extrema, Wendepunkte usw.) eingesetzt. Aufgrund ihrer enormen Bedeutung definieren wir daher im Folgenden nach einem kurzen allgemeinen Abschnitt zunächst den Begriff des Differenzialquotienten einer Funktion y = f(x), der auch als erste Ableitung von f(x) nach x bezeichnet wird. Da generell die Bestimmung des Differenzialquotienten ein aufwändiger Vorgang ist, stellen wir außerdem vereinfachte Techniken zur Differenzierung vor. Den Nutzen der Differenzialrechnung veranschaulichen wir schließlich im Rahmen allgemeiner Kurvendiskussionen, ökonomischer Funktionen, Elastizitäten, Wachstumsraten, dem Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung und der Regel von l'Hospital.

3.1 Einführung 7\ RS\ /PaQV\WbbS\ 777  c\R 777 VOPS\ eW` c\bS` O\RS`S[ 3WUS\aQVOTbS\ d]\ 4c\YbW]\S\ PSb`OQVbSb RWS Tº` SW\S\ TSabS\ 4c\YbW]\aeS`b f + α UOZbS\ Bg^WaQVS 0SWa^WSZS ROTº` eO`S\ c\YbS\ >α β  c\R > α  β  hSWUb 2WS 2WTTS`S\h RS` 7\bS`dOZZU`S\hS\ Wab RO`W\ [Wb Δf + α ’ α RWS RS` 4c\YbW]\aeS`bS [Wb Δg + β ’ β + Tα  ’ Tα + Tα  Δf ’ Tα PShSWQV\Sb g A

>

β = Tα + Δf   

Tf

α

β = T α 

Δg = Tα + Δf − Tα    

>

α

Δf = α − α



α

α = α + Δf

f

/PPWZRc\U 777 !%( 2WTTS`S\hS\_c]bWS\b

0SabW[[S\ eW` RWS Rc`QVaQV\WbbZWQVS DS`É\RS`c\U RS` 4c\YbW]\ W[ PSb`OQVbSbS\ 7\ bS`dOZZ R V RWS DS`É\RS`c\U d]\ g ^`] 3W\VSWb d]\ f a] S`UWPb aWQV

Δg β − β T α  − Tα  T α + Δf − Tα  = = =  Δf α − α α − α Δf 2WSa S\ba^`WQVb RS` AbSWUc\U RS` ASYO\bS A EW`R RS` Y]\Y`SbS ES`b α Rc`QV RWS DS`É\RS`ZWQVS f S`aSbhb a] S`UWPb aWQV RS` OZZUS[SW\S ?c]bWS\b

Δg Tf + Δf − Tf =  Δf Δf

777% 

RS` OZa 3XUUTaT]iT]`d^cXT]c RS` 4c\YbW]\ g + Tf O\ RS` AbSZZS f PShSWQV\Sb eW`R 7\\S`VOZP SW\Sa 7\bS`dOZZa Δf UWPb S` RWS Ò\RS`c\U RSa 4c\YbW]\aeS`bSa `SZObWd hc` Ò\RS`c\U RS` c\OPVÉ\UWUS\ DS`É\RS`ZWQVS\ O\ c\Yb > W[[S` [SV` RS[ >c\Yb > ab`SPS\ Δf c\R Δg USUS\ c\YbS\ > c\R > aQV[WSUb aWQV W[[S` S\US` O\ RWS 9c`dS g + Tf O\ c\R eW`R aQVZWSzZWQV hc` BO\US\bS W[ >c\Yb > dUZ /PPWZRc\U 777 !& 2WS AbSWUc\U RS` ASYO\bS eW`R a][Wb hc` BcTXVd]V STa CP]VT]cT 2WS BO\US\bS\abSWUc\U S`UWPb aWQV OZa] US`ORS OZa 5`S\heS`b RS` ASYO\bS\abSWUc\U Phe RSa 2WTTS`S\hS\_c]bWS\bS\ 777%  Tº` Δf →  2WSaS` 5`S\heS`b Wab RS` a]U 3XUUTaT]iXP[`d^cXT]c RS` 4c\YbW]\ g + Tf O\ RS` AbSZZS f(

3. Differenzialrechnung

165

Rg Δg Tf + Δf − Tf = ZW[ = ZW[ Δf Rf Δf → Δf Δf →



777%!

777%! UWPb OZa] RWS BcTXVd]V RS` 4c\YbW]\ Phe WV`S` BO\US\bS O\ RS` AbSZZS f O\ 2S` C\bS`aQVWSR heWaQVS\ RS\ Ag[P]ZS\ Δg Phe Δf c\R RS\ 0ShSWQV\c\US\ Rg Phe Rf PSabSVb RO`W\ ROaa Sa aWQV PSW Δg c\R Δf c[ S\RZWQV U`]zS /PabÉ\RS 2WT TS`S\hS\ c\R PSW Rg c\R Rf c[ W\TW\WbSaW[OZ YZSW\S c\S\RZWQV YZSW\S Ab`SQYS\ 2WTTS`S\hWOZS VO\RSZb



g



A

B

Tf + Δf



> Δg → 



Tf



>



Δf → 



f





f + Δf

f

/PPWZRc\U 777 !&( 6S`ZSWbc\U 2WTTS`S\hWOZ_c]bWS\b

2S` 3XUUTaT]iXP[`d^cXT]c eW`R VÉcTWU OZa RWS TabcT 0Q[TXcd]V STa 5d]ZcX^] h , Ug ]PRW STa d]PQWÊ]VXVT] EPaXPQ[T] g PShSWQV\Sb 4º` RWSaS UWPb Sa dS`aQVWSRS\S AQV`SWPeSWaS\ RWS OcQV W\ RS\ T]ZUS\RS\ /PaQV\WbbS\ DS`eS\Rc\U TW\RS\( Rg RT R Tf = g ′ = g ′f = = T ′ = T ′f = Rf Rf Rf EW` a^`SQVS\ ŸRg \OQV Rf” Ÿg Ab`WQV” Ÿg Ab`WQV d]\ f” ŸRT \OQV Rf” ŸT Ab`WQV” ŸT Ab`WQV d]\ f” Phe ŸR \OQV Rf d]\ Tf” 2S\ D]`UO\U RS` 0S`SQV\c\U RSa 2WTTS `S\hWOZ_c]bWS\bS\ Phe RS` /PZSWbc\U \S\\S\ eW` 3XUUTaT]iXTaT] 2OPSW USVb Sa abSba c[ RWS 0S`SQV\c\U RSa ]PWUS\ 5`S\heS`bSa



Beispiel: Zu berechnen sei der Differenzialquotient bzw. die erste Ableitung der stetigen Funktion 2 f(x) = 3x + 4x + 3.

ª3 ⋅ (x + Δx)2 + 4 ⋅ (x + Δx) + 3 º − ª3x 2 + 4x + 3 º f(x + Δx) − f(x) ¼ ¬ ¼ = lim ¬ Δx →0 Δx →0 Δx Δx

f ′(x) = lim

ª3 ⋅ (x 2 + 2 ⋅ x ⋅ Δx + ( Δx)2 ) + 4x + 4 ⋅ Δx + 3º − 3x 2 − 4x − 3 ¼ = lim ¬ Δx →0 Δx 3x 2 + 6x ⋅ Δx + 3 ⋅ ( Δx)2 + 4x + 4 ⋅ Δx + 3 − 3x 2 − 4x − 3 Δx →0 Δx

= lim

166

III Funktionen einer Variablen

6x ⋅ Δx + 3 ⋅ ( Δx)2 + 4 ⋅ Δx Δx ⋅ (6x + 3 ⋅ Δx + 4) = lim Δx →0 Δx → 0 Δx Δx = lim 6x + 3 ⋅ Δx + 4 = 6x + 4 = lim

Δx →0

Diese Funktion f'(x) = 6x + 4 gibt nun die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x an. Für den konkreten Wert x = 5 ergibt sich f ′(x) = 6x + 4 →

f ′(5) = 6 ⋅ 5 + 4 = 34 .

Die Gleichung der Tangente an der Stelle x = 5 wäre daher t(x) = a1 ⋅ (x − α ) + β = 34 ⋅ (x − 5) + f(5) = 34x − 170 + 3 ⋅ 52 + 4 ⋅ 5 + 3 = 34x − 72.

2WSaSa 0SWa^WSZ dS`RScbZWQVb \]QV[OZa ROaa RWS 0SabW[[c\U RSa 2WTTS`S\hWOZ_c] bWS\bS\ W[ ESaS\bZWQVS\ SW\S 5`S\heS`bPSabW[[c\U Wab EW` S`YS\\S\ OczS`RS[ ROaa RWS S`abS /PZSWbc\U SW\S` 4c\YbW]\ g + Tf WR@ aSZPab eWSRS` SW\S 4c\YbW]\ d]\ f Wab c\R Rc`QV 3W\aSbhS\ SW\Sa PSabW[[bS\ ES`bSa f + α RWS AbSWUc\U T ′ α  O\ RWSaS` AbSZZS PSabW[[b eS`RS\ YO\\ 4OZZa RS` 5`S\heS`b 777%! Tº` SW\S AbSZZS f + α SfWabWS`b c\R Tº` XSRS\ PSZWSPWUS\ 5`S\hºPS`UO\U Δf →  abSba SW\RScbWU Wab VSWzb SW\S 4c\YbW]\ g + Tf P] STa BcT[[T f + α RWTTS`S\hWS`PO` 3fWabWS`b RS` 5`S\heS`b Tº` XSRS AbSZZS f RSa 2STW\WbW]\aPS`SW QVSa c\R Wab S` hcRS[ SW\RScbWU a] Wab g + Tf W[ VTbP\cT] 3TUX]XcX^]bQTaTXRW SXU UTaT]iXTaQPa 2O RS` 2WTTS`S\hWOZ_c]bWS\b RWS AbSWUc\U RS` 4c\YbW]\ O\UWPb [caa SW\S 4c\YbW]\ RWS O\ SW\S` AbSZZS f RWTTS`S\hWS`PO` aSW\ a]ZZ R]`b OcQV abSbWU aSW\ /\RS`\TOZZa eÉ`S RS` 5`S\heS`b \WQVb SW\RScbWU 3a UWZb ROVS` ROaa YTST SXUUTaT]iXTaQPaT 5d]ZcX^] OcQV bcTcXV Wab 2WSa UWZb XSR]QV \WQVb c\PSRW\Ub OcQV c[USYSV`b eWS /PPWZRc\U 777 !' dS`RScbZWQVb 0SW RS\ VWS` RO`USabSZZbS\ 4c\YbW]\S\ RWS PSWRS abSbWU aW\R PS`SW bSb Sa \É[ZWQV AQVeWS`WUYSWbS\ O\ RS\ A^WbhS\ f + α SW\S SW\RScbWUS AbSWUc\U hc S`[WbbSZ\ Uf PSaWbhb PSW f + α YSW\S BO\US\bS a]ROaa eW` \WQVb [SV` d]\ AbSW Uc\U a^`SQVS\ Yr\\S\ Vf PSaWbhb PSW f + α VW\USUS\ heSW BO\US\bS\ EW` S`VOZ bS\ SW\S O\RS`S AbSWUc\U XS \OQVRS[ d]\ eSZQVS` ASWbS eW` c\a O\\ÉVS`\ HcaO[ [S\TOaaS\R Yr\\S\ eW` ROVS` TSabVOZbS\ ROaa \c` SW\S abSbWUS 4c\YbW]\ RWS YSW\S 3QYS\ A^WbhS\ ]RS` ÒV\ZWQVSa OcTeSWab RWTTS`S\hWS`PO` Wab



g

g

heSW BO\US\bS\

YSW\S BO\US\bS

B

Uf



Vf



B



α

f

α

/PPWZRc\U 777 !'( ]bS\hTc\YbW]\ eW`R OPUSZSWbSb W\RS[ RS` 3f^]\S\b c[ SW\a `SRchWS`b c\R RWS DO`WOPZS [Wb RS[ c`a^`º\UZWQVS\ 3f^]\S\bS\ [cZbW^ZWhWS`b eW`R

g = f \ → g ′ = \ ⋅ f \ −



777%"

Beispiele: 1.

y = x 4 → y′ = 4x3

2.

y=

1 1 = x −1 → y = − x −2 = − 2 x x

1

1 ⋅ x− 2 2

3.

y = x = x 2 → y′ =

4.

y = x 6 = x 5 → y′ =

5

6

1

6 5

1

=

⋅ x5 =

1 1 1 ⋅ = 2 x 2 x 6 ⋅5 5

x=

6⋅5 x 5



! =Pc¶a[XRWT ;^VPaXcW\dbUd]ZcX^] 2WS /PZSWbc\U RS` :]UO`WbV[caTc\YbW]\ hc` 0OaWa S S\ba^`WQVb RS[ 9SV`eS`b RS` c\OPVÉ\UWUS\ DS`É\RS`ZWQVS\  g = Z\ f → g ′ = 777%# f

" 4g_^]T]iXP[Ud]ZcX^] ida 1PbXb T 2WS /PZSWbc\U RS` 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\ hc` 0OaWa S ZWSTS`b eWSRS` RWS c`a^`º\UZWQVS 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\ g = Sf → g ′ = Sf 777%$

# :^]bcP]cT]aTVT[ 2WS /PZSWbc\U SW\S` Y]\abO\bS\ 4c\YbW]\ Wab UZSWQV O`OZZSZS hc` f/QVaS Wab RWS ºPS`OZZ RWS AbSWUc\U `]RcYb heSWS` RWTTS`S\hWS`PO`S` 4c\YbW]\S\ eW`R \OQV RS` @SUSZ

g = Tf ⋅ Uf → g ′ = T ′f ⋅ Uf + U ′f ⋅ Tf



777%'

OPUSZSWbSb e]PSW Sa eSUS\ RS` Ag[[Sb`WS RS` 4]`[SZ UZSWQVUºZbWU Wab eSZQVS\ 4OY b]` eW` OZa Tf c\R eSZQVS\ OZa Uf PShSWQV\S\ 3W\ >`]RcYb Oca [SV` OZa heSW RWTTS`S\hWS`PO`S\ 4c\YbW]\S\ Yr\\S\ eW` Rc`QV eWSRS`V]ZbS /\eS\Rc\U RS` >`] RcYb`SUSZ RWTTS`S\hWS`S\ 7[ 4OZZS R`SWS` 4OYb]`S\ Phe g = Tf ⋅ Uf ⋅ Vf S`UWPb aWQV RO[Wb RWS /PZSWbc\U h 0 hc

g ′ = T ′f ⋅ Uf ⋅ Vf + Tf ⋅ U′f ⋅ Vf + Tf ⋅ Uf ⋅ V′f  Beispiele: 1.

y = x 4 ⋅ e x → y′ = 4x 3 ⋅ e x + e x ⋅ x 4 = e x ⋅ (x 4 + 4x3 )

2.

y = x 2 ⋅ ln x → y′ = 2x ⋅ ln x +

3.

y = (4 − 2x) ⋅ (x − 1) → y′ = −2 ⋅ (x − 1) + 1⋅ (4 − 2x) = −2x + 2 + 4 − 2x = −4x + 6

4.

y = x ⋅ e x ⋅ ln x → y′ = 1⋅ e x ⋅ ln x + x ⋅ e x ⋅ ln x + x ⋅ e x ⋅

1 2 ⋅ x = x ⋅ (2ln x + 1) x 1 x

= e x ⋅ ln x + x ⋅ e x ⋅ ln x + e x = e x ⋅ (ln x ⋅ (1 + x) + 1)

3. Differenzialrechnung

169

& @d^cXT]cT]aTVT[ 7ab SW\S 4c\YbW]\ OZa ?c]bWS\b heSWS` RWTTS`S\hWS`PO`S` 4c\YbW]\S\ RO`abSZZPO` c\R Wab RWS  777'  4c\YbW]\ Y]\YOd USY`º[[b eS\\ T ′′f <  2S` IdbP\\T]WP]V ifXbRWT] BcTXVd]V d]S :a¶\\d]V SW\S` 4c\YbW]\ g + Tf YO\\ U`OTWaQV [WbbSZa /PPWZRc\U 777 "! dS`O\aQVOcZWQVb eS`RS\ 9]\dSfS 4c\Y bW]\S\ Phe 4c\YbW]\aPS`SWQVS aW\R RORc`QV USYS\\hSWQV\Sb ROaa [Wb hc\SV [S\RS[ f RWS AbSWUc\U RS` 4c\YbW]\ hc\W[[b O\USRScbSb Rc`QV RWS USab`WQVSZbS\ BO\US\bS\ R V RWS AbSWUc\UaÉ\RS`c\Ua`ObS OcaUSR`ºQYb Rc`QV RWS heSWbS /PZSW bc\U Wab ^]aWbWd 2WS AbSWUc\U Y]\YOdS` 4c\YbW]\S\ aW\Yb [Wb hc\SV[S\RS[ f 2WS AbSWUc\UaÉ\RS`c\Ua`ObS c\R RO[Wb RWS heSWbS /PZSWbc\U Wab OZa] \SUObWd



Beispiel: Für unsere Funktion f(x) = 61 x 5 − x 3 + 1 lautet die zweite Ableitung f ′′(x) = 10 x 3 − 6x . Ihr 3 Krümmungsverhalten können wir damit wie folgt charakterisieren: Die Funktion ist konkex gekrümmt für

( f ′′(x) =

10 3

)

x3 − 6x > 0 .

Wie bereits bei der Bestimmung der Steigungsbereiche, empfiehlt es sich auch hier, zunächst die Stellen zu ermitteln, an denen die Krümmung gleich Null ist. Wir erhalten damit !

f ′′(x) = 0

→

10 3

x 3 − 6x = x ⋅ ( 10 x 2 − 6) = 0 3

↔

x=0

∨

x = ±1,34 .

3. Differenzialrechnung

181

Die Funktion f(x) ist in dem Bereich konvex gekrümmt, in dem die zweite Ableitung überhalb der x-Achse verläuft. Dies gilt genau für die Intervalle ]–1,34; 0[ und ]1,34; +∞[. Die Funktion ist konkav gekrümmt für

( f ′′(x) =

10 3

)

x3 − 6x < 0 .

Entscheidend ist daher das Intervall, in dem die zweite Ableitung unterhalb der x-Achse liegt. Dies ist für ]–∞; –1,34[ und ]0; 1,34[ der Fall.



g



g

abSWUS\R ( T ′f >  Y]\dSf ( T ′′f > 



Y]\YOd ( T ′′f < 

Tf



abSWUS\R ( T ′f > 

Tf



f



g

f g

TOZZS\R ( T ′f <  Y]\dSf ( T ′′f > 

TOZZS\R ( T ′f <  Y]\YOd ( T ′′f < 



Tf

Tf f

f

/PPWZRc\U 777 "!( HcaO[[S\VO\U heWaQVS\ AbSWUc\U c\R 9`º[[c\U

# 4gcaT\P 0Sb`OQVbS\ eW` /PPWZRc\U 777 "" ZW\Ya S`YS\\S\ eW` SW\S 4c\YbW]\ [Wb `SZObWdS[ ;OfW[c[ f + α c\R `SZObWdS[ ;W\W[c[ f + α  EW` aSVS\ RScbZWQV ROaa RWS AbSWUc\U RS` BO\US\bS\ O\ RWSaS\ AbSZZS\ UZSWQV 

777'!

7[ 4OZZS T ′ α  =  ∧ T ′′α  =  Yr\\S\ eW` \WQVb a]T]`b OcT SW\S\ AObbSZ^c\Yb O\ RS` AbSZZS f + α aQVZWSzS\ 3W\S 9`º[[c\U d]\ `SWa ^ O\USUSPS\ eS`RS\ 2WSa [OQVb aQVZWSzZWQV eWSRS` SW\S C\bS`aQVSWRc\U heWaQVS\ 5`S\hUSeW\\ PShºUZWQV RS` ;S\US c\R PShºUZWQV RSa >`SWaSa S`T]`RS`ZWQV EW` e]ZZS\ c\a W[ 4]ZUS\RS\ XSR]QV OcT SW\S 2O`abSZZc\U eWS W\ 777  Y]\hS\b`WS `S\ /\OZ]U hc` 0WZRc\U RS` 5`S\hTc\YbW]\ W\ RS\ PS`SWba PSa^`]QVS\S\ 4ÉZZS\ Yr\\S\ eW` OcQV RS\ 5`S\habºQYUSeW\\ U ′f  RS\ 5`S\hRSQYc\UaPSWb`OU 2′f c\R RS\ 5`S\habºQYRSQYc\UaPSWb`OU R ′f PSabW[[S\ 0SW SW\S` 5SeW\\Tc\YbW]\ 5f ZWSUb O\ SW\S` AbSZZS f + α SW\ 6TfX]]\PgX\d\ d]` eS\\ RWS 0SRW\Uc\US\ 5′ α  =  ∧ 5′′α  <  S`TºZZb aW\R /ca RS` \]beS\RW US\ 0SRW\Uc\U S`UWPb aWQV

5′ α  = 

↔

@ ′α  − 1′ α  = 

↔

@′α  = 1′ α  

777!

7[ 5SeW\\[OfW[c[ aW\R OZa] 6aT]iTa[»b d]S Z^bcT] V[TXRW 2WS AbSZZS f + α eW`R OcQV OZa USeW\\[OfW[OZS >`]RcYbW]\a[S\US PShSWQV\Sb 0SW RS` 3`[WbbZc\U RSa 5SeW\\[OfW[c[a e]ZZS\ eW` RWS W[ HcaO[[S\VO\U [Wb RS` 3`ZraTc\YbW]\ PSaQV`WSPS\S\ ;O`YbaWbcObW]\S\ d]ZZabÉ\RWUS @f + ^ ⋅ f c\R c\d]ZZabÉ\RWUS 9]\Yc``S\h @f + ^f ⋅ f \ÉVS` O\OZgaWS`S\ 0SUW\\S\ eW` ROPSW hc\ÉQVab [Wb RS[ 4OZZ RS` e^[[bcÊ]SXVT] :^]ZdaaT]i( 2S` 5SeW\\ SW\Sa /\PWSbS`a OcT SW\S[ RS`O`bWUS\ ;O`Yb S``SQV\Sb aWQV \OQV

5f = @f − 1f = ^ ⋅ f − 1f  eOa hc SW\S[ 5`S\hUSeW\\ d]\

5′f = @ ′f − 1′f = ^ − 1′f TºV`b 2WS heSWbS /PZSWbc\U d]\ 5f S`VOZbS\ eW` RO`Oca hc 5′′f = @ ′′f − 1′′f = −1′′f  `SWa 5`S\hS`Zra UZSWQV RS\ 5`S\hY]abS\ 1′f aSbhS\ Yr\\S\ 2O[Wb SW\ ;OfW[c[ d]`ZWSUb [caa 5′′ α  <  Phe −1′′ α  <  Phe 1′′ α  >  USZbS\ 7[ 4OZZS e^[[bcÊ]SXVTa :^] ZdaaT]i `SacZbWS`b OZa](

^ = 1′α  ∧ 1′′α  > 

→

f = α Wab 5SeW\\[OfW[c[abSZZS 777"

HcaO[[S\TOaaS\R S``SWQVb OZa] SW\ /\PWSbS` PSW d]ZZabÉ\RWUS` 9]\Yc``S\h PSW RS` XS\WUS\ /\USP]ba[S\US f + α aSW\ 5SeW\\[OfW[c[ PSW RS` RWS 5`S\hY]abS\ 1′α  UZSWQV RS[ ;O`Yb^`SWa ^ aW\R c\R RWSaS /\USP]ba[S\US W[ Y]\dSfS\ 0S `SWQV RS` 9]abS\Tc\YbW]\ ZWSUb

192

III Funktionen einer Variablen

Hc[ USUSPS\S\ ;O`Yb^`SWa ^ eW`R RS` C\bS`\SV[S` OZa] US\Oc RWS ;S\US f + α O\PWSbS\ RWS RWS 5ZSWQVc\U ^ = 1′f S`TºZZb :raS\ eW` RWS 5ZSWQVc\U ^ = 1′f A \OQV f OcT S`VOZbS\ eW` RWS /\USP]baTc\YbW]\ f + T ^  RWS c\bS` RS` 0SRW\Uc\U RS` 5SeW\\[OfW[WS`c\U RWS hc XSRS[ >`SWa ^ O\USP]bS\S ;S\US O\UWPb AWS S\b a^`WQVb RS[ O\abSWUS\RS\ /ab RS` 5`S\hY]abS\Tc\YbW]\ RO 1′′f >  2WS /\US P]baTc\YbW]\ Wab ZO\UT`WabWU OZZS`RW\Ua \c` Tº` ^ ≥ /1[W\ RSTW\WS`b R V \c` Tº` >`SWaS RWS [W\RSabS\a RS` ZO\UT`WabWUS\ >`SWac\bS`U`S\hS S\ba^`SQVS\ :O\UT`WabWU [ºaaS\ \É[ZWQV a]e]VZ TWfS OZa OcQV dO`WOPZS 9]abS\ Rc`QV RS\ S`hWSZbS\ >`SWa USRSQYb aSW\ 3W\ /\USP]b c\bS` RS\ 2c`QVaQV\WbbaY]abS\ /1[W\ Wab OcT 2OcS` \WQVb RS\YPO`  ^ * /1f ↔ ^ ⋅ f * 1f 9c`hT`WabWU Wab aWS OcQV Tº` >`SWaS heWaQVS\ RS` Yc`h c\R ZO\UT`WabWUS\ >`SWac\bS`U`S\hS OZa] W\aUSaO[b Tº` ^ ≥ /D1[W\ RSTW\WS`b 9c`h T`WabWU YO\\ RS` >`SWa OZa] OcQV c\bS` RS\ 2c`QVaQV\WbbaY]abS\ ZWSUS\ 3a eS`RS\ RO\\ OZZS Rc`QV RWS >`]RcYbW]\ dS`c`aOQVbS\ dO`WOPZS\ 9]abS\ c\R OcQV SW\ BSWZ RS` 4WfY]abS\ USRSQYb 3W\ /\USP]b c\bS` RS\ Rc`QVaQV\WbbZWQVS\ dO`WOPZS\ 9]abS\ /D1[W\ Wab OcQV Yc`hT`WabWU \WQVb d]`abSZZPO` RO VWS` \WQVb SW\[OZ RWS Rc`QV RWS >`] RcYbW]\ dS`c`aOQVbS\ 9]abS\ USRSQYb aW\R 8SRS hcaÉbhZWQV ^`]RchWS`bS 3W\VSWb eº` RS ROa 0Sb`WSPaS`USP\Wa 5SeW\\ [W\RS`\ Phe DS`Zcab US\S`WS`S\ /`PSWbS\ eW` \WQVb RW`SYb [Wb RS` /\USP]baTc\YbW]\ f + T ^  a]\RS`\ [Wb ^ = 1′f aSZPab Yr\\S\ eW` ROa Yc`h c\R ZO\UT`WabWUS /\USP]b SW\Sa C\bS`\SV[S\a Oca RS` 0Sb`OQVbc\U d]\ /PPWZRc\U 777 "$ c\R 777 "% OPZSWbS\ RWS c\a W\ ÉV\ZWQVS` 4]`[ PS`SWba W[ HcaO[[S\VO\U [Wb RS` 2STW\WbW]\ RSa 0Sb`WSPa[W\W[c[a f + α; c\R RSa 0Sb`WSPa]^bW[c[a f + α= W\ /PaQV\Wbb 777 !% PSUSU\Sb Wab ;Wb RS[ ES`b ^ + /1[W\ USVb RWS AbSZZS f + α= RSa 0Sb`WSPa]^bW[c[a SW\VS` ;Wb U`rzS`S\ ^ aW\R fES`bS `SQVba d]\ f + α= dS`Pc\RS\ 2WS 5`S\hY]abS\ OP RS` AbSZZS RSa 0Sb`WSPa ]^bW[c[a abSZZS\ a][Wb RWS ZO\UT`WabWUS /\USP]baTc\YbW]\ SW\Sa USeW\\[OfW[WS`S\ RS\ /\PWSbS`a c\bS` d]ZZabÉ\RWUS` 9]\Yc``S\h RO` /\OZ]U abSZZS\ RWS 5`S\hY]abS\ OP RS` AbSZZS RSa 0Sb`WSPa[W\W[c\a RWS Yc`hT`WabWUS /\USP]baTc\YbW]\ RO` /ca PSW RS\ /\USP]baTc\YbW]\S\ Yr\\S\ eW` PSW USUSPS\S[ >`SWa ^ RW`SYb OcT RWS US A eW\\[OfW[OZS >`]RcYbW]\a Phe /\USP]ba[S\US f  ^  aQVZWSzS\ A





1′f

1— 

/1f

^



/D1f

/1[W\



ZO\UT`WabWUSa /\USP]b



α=

f A ^

/PPWZRc\U 777 "$( :O\UT`WabWUSa /\USP]b

f

3. Differenzialrechnung



193

1— 

1′f



/1f



/D1f



^

/D1[W\

Yc`hT`WabWUSa /\USP]b



α;

f

f A ^

/PPWZRc\U 777 "%( 9c`hT`WabWUSa /\USP]b

/PaQVZWSzS\R \]QV hc` Bc¶RZVTfX]]\PgX\XTad]V PSW d]ZZabÉ\RWUS` 9]\Yc``S\h( /cTU`c\R d]\ 5f + ^ ⋅ f ’ 1f Wab Uf + ^ ’ /1f c\R RO[Wb U ′f = − /1′f a]eWS U ′′f = − /1′′f  /\ SW\S` AbSZZS f + α ZWSUb a][Wb SW\ ;OfW[c[ d]` eS\\ RWS 0ShWSVc\US\ U ′α  =  Phe /1′α  =  c\R U ′′ α  <  Phe /1′′ α  >  USZ bS\ 2Oa ;OfW[c[ RSa AbºQYUSeW\\a Uf ZWSUb a][Wb US`ORS O\ RS` AbSZZS RSa ;W \W[c[a d]\ /1f R V O\ RS` AbSZZS α= RSa 0Sb`WSPa]^bW[c[a /\RS`a OcaUS R`ºQYb [OfW[WS`b OZa] SW\ C\bS`\SV[S\ PSW d]ZZabÉ\RWUS` 9]\Yc``S\h aSW\S\ AbºQY USeW\\ PSW RS` PSb`WSPa]^bW[OZS\ /caP`W\Uc\Ua[S\US f + α= Beispiel 1: Lineare Kostenfunktion Betrachten wir einen Anbieter bei vollständiger Konkurrenz mit der linearen Kostenfunktion C(x) = 4x + 350. Der Marktpreis betrage 18 Geldeinheiten je Mengeneinheit. Die Kapazitätsgrenze des Anbieters liege bei 90 Mengeneinheiten. Wir erhalten in dieser Situation die Gewinnfunktion G(x) = R(x) − C(x) = 18x − (4x + 350) = 14x − 350, die wie folgt skizziert werden kann: G, R, C

Kapazitätsgrenze

R(x) C(x) Gmax = 910

G(x) 25

90

x

194

III Funktionen einer Variablen Das Unternehmen tritt nach Überschreitung der Produktionsmenge x = 25, die wir durch Nullsetzen und Auflösen von G(x) bestimmen können, in die Gewinnzone ein und erreicht bei der Kapazitätsgrenze sein Gewinnmaximum von G(90) = 910 Geldeinheiten. Da die Gewinnfunktion linear ist, wird ihr Maximum durch den Rand ihres Definitionsbereiches bzw. die Kapazitätsgrenze bestimmt. Die Bedingung, dass von einem Unternehmen bei vollständiger Konkurrenz und linearer Kostenfunktion überhaupt ein Gewinn erzielt wird, ist, dass die Gewinnschwelle im Intervall zwischen Null und der Kapazitätsgrenze liegt. Wäre nämlich in unserem Beispiel der Preis bei unveränderten Kosten z. B. 5 Geldeinheiten je Mengeneinheit, so wäre G(x) = x – 350 und die Gewinnschwelle damit x = 350. Da die Produktionskapazität aber bei 90 Mengeneinheiten liegt, wäre das Unternehmen nicht in der Lage, die Gewinnzone zu erreichen. Vorausgesetzt, der Marktpreis ist hoch genug, d. h. die Gewinnschwelle liegt unterhalb der Kapazitätsgrenze, wird also ein Unternehmen bei vollständiger Konkurrenz mit linearer Kostenfunktion immer an der Kapazitätsgrenze produzieren. Bei konstantem Marktpreis ist der Stückgewinn die Differenz zwischen Marktpreis und Stückkosten, d. h. G(x) = p ⋅ x – C(x) → g(x) = p – AC(x). Im vorliegenden Fall gilt

g(x) = 14 −

350 x

→

g′(x) =

350

, x2 sodass g'(x) keine Nullstellen und damit g(x) kein Maximum besitzt. Ihr Maximum ist wie auch das der Gewinnfunktion durch die Kapazitätsgrenze bestimmt. Dort nehmen die unter dem Preis p liegenden Stückkosten ihr (Rand-)Minimum an (vgl. nachfolgende Skizze). g, p, AC

Kapazitätsgrenze

AC(x)

p

ACmin

g(x) 90

25

gmax x

Beispiel 2: Ertragsgesetzliche Kostenfunktion Betrachten wir nun den Fall vollständiger Konkurrenz mit ertragsgesetzlicher Kostenfunk3 2 tion C(x) = x – 12x + 54x + 248. Der Marktpreis liege bei 62 Geldeinheiten je Mengeneinheit, die Kapazitätsgrenze bei 14 Mengeneinheiten. Während wir im vorhergehenden Beispiel aufgrund der Linearität der Kostenfunktion nicht von der Bedingung p = C'(x) zur Bestimmung der gewinnmaximalen Menge Gebrauch machen konnten, können wir nun darauf zurückgreifen. !

p = C′(x)

→

62 = 3x 2 − 24x + 54

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung liefert zwei Lösungen, wovon jedoch nur der 2 positive Wert x = 8,32 ökonomisch sinnvoll ist. Da C'(x) = 3x – 24x + 54, C''(x) = 6x – 24 und damit C''(8,32) > 0 ist, liegt ein Gewinnmaximum bei x = 8,32 vor. Der Gewinn liegt an dieser Stelle bei G(8,32) = 73,30 Geldeinheiten.

3. Differenzialrechnung

195

Der Stückgewinn ist an der Stelle des Betriebsoptimums x = αO maximal. Es liegt in unserem Fall bei αO = 7,958 und ACmin = 53 (vgl. Beispiel in Abschnitt III 3.7.1). Daraus folgt für den maximalen Stückgewinn gmax = p – ACmin = 62 – 53 = 9. S

Bestimmen wir nun noch die langfristige Angebotsfunktion x = f( p ). p = C'(x) liefert dazu 2 2 p = 3x – 24x + 54 bzw. x – 8x + (18 – p /3) = 0, woraus sich nach Auflösung nach x

x1,2 =

(

p

−( −8) ± ( −8)2 − 4 ⋅ 1⋅ 18 − 3 2 ⋅1

)

ergibt. Da ökonomisch nur der Wert für „+“ in Frage kommt, gilt für die Angebotsfunktion

S

x =

(

p

8 + ( −8)2 − 4 ⋅ 1⋅ 18 − 3 2 ⋅1

) = 8+

−8 + 2

4p p 8 + 2⋅ −2 p 3 = 3 = 4+ −2 . 2 3

Diese gilt langfristig nur für p ≥ (ACmin = 53). Für die Kapazitätsgrenze x = 14 liefert p = 2 3x – 24x + 54 den Preis p = 306, sodass der Definitionsbereich der langfristigen Angebotsfunktion durch 53 ≤ p ≤ 306 gegeben ist.

0Sb`OQVbS\ eW` \c\ RWS 5SeW\\[OfW[WS`c\U SW\Sa C\bS`\SV[S\a PSW d]e^[[bcÊ] SXVTa :^]ZdaaT]i /cQV VWS` USZbS\ Tº` SW\ 5SeW\\[OfW[c[ f + α 777  c\R 777! R V

@ ′α  = 1′ α  ∧ 5′′ α  < 

→

f = α Wab ;OfW[c[abSZZS 

777#

/ZZS`RW\Ua Wab hc PS`ºQYaWQVbWUS\ ROaa

@ ′f = ^′f ⋅ f + ^f < ^f  2S` 5`S\hS`Zra S\ba^`WQVb OZa] O\RS`a OZa PSW d]ZZabÉ\RWUS` 9]\Yc``S\h \WQVb [SV` RS[ >`SWa RO \c\ SW\S >`SWa/PaObh4c\YbW]\ RS` 4]`[ ^f d]`ZWSUb 2S` >c\Yb 1 OcT RS` >`SWa/PaObh4c\YbW]\ ^f RSaaS\ /PahWaaS RS[ 5SeW\\ [OfW[c[ f + α S\ba^`WQVb eW`R OZa 2^da]^c?d]Zc 1α1 ^α1 PShSWQV\Sb α1 Wab ROPSW RWS 1]c`\]b;S\US c\R ^α1 RS` 1]c`\]b>`SWa ASbhb RS` C\bS`\SV[S` aSW\S\ >`SWa S\ba^`SQVS\R RS[ 1]c`\]b>`SWa S`hWSZb S` [OfW[OZS\ 5SeW\\ 2WS ROPSW \OQVUST`OUbS c\R OPUSaSbhbS ;S\US Wab RWS 1]c`\]b;S\US 7[ 4OZZS SW\S` ZW\SO`S\ 9]abS\Tc\YbW]\ c\R RO[Wb Y]\abO\bS\ 5`S\hY]abS\ YO\\ RS` >c\Yb 1 eWS W\ /PPWZRc\U 777 "& aYWhhWS`b eS`RS\ 2WS USeW\\[OfW[OZS ;S\US α1 S`UWPb aWQV OZa AQV\Wbb^c\Yb heWaQVS\ RS` 5`S\hY]abS\ c\R RS` 5`S\hS`ZraTc\Y bW]\ 2WS AbSWUc\U RS` 9]abS\Tc\YbW]\ S\ba^`WQVb VWS` RS` AbSWUc\U RS` 3`ZraTc\Y bW]\ B`OUS\ eW` RS\ aWQV S`USPS\RS\ /PahWaaS\eS`b OcT RS` 4c\YbW]\ ^f OP S` VOZbS\ eW` RS\ hcUSVr`WUS\ 1]c`\]b>`SWa ^α1 Phe RS\ 1]c`\]b>c\Yb 1 EWS hc S`YS\\S\ Wab Wab Tº` α1 RWS 2WTTS`S\h heWaQVS\ @f c\R 1f OZa] RS` 5SeW\\ [OfW[OZ 5[Of 4º` SW\S S`b`OUaUSaSbhZWQVS 9]abS\Tc\YbW]\ RS`S\ 5`S\hY]abS\ \WQVb Y]\abO\b aW\R W\ dWSZS\ 4ÉZZS\ `SOZWabWaQVS` Yr\\S\ eW` RWS O\USabSZZbS\ ÍPS`ZSUc\US\ ZSWQVb ºPS`b`OUS\ dUZ /PPWZRc\U 777 "' 0SW S`b`OUaUSaSbhZWQVS[ 9]abS\dS`ZOcT eOQVaS\ RWS 9]abS\ hc\ÉQVab c\bS`^`]^]`bW]\OZ R V RWS 5`S\hY]abS\ TOZZS\ D]\ SW\S` 0S abW[[bS\ ;S\US O\ eS\RSb aWQV RS` 9]abS\dS`ZOcT c\R RWS 5SaO[bY]abS\ abSWUS\ ºPS`^`]^]`bW]\OZ R V RWS 5`S\hY]abS\ abSWUS\ \OQV 2c`QVZOcTS\ SW\Sa ;W\W[c[a 2S` [OfW[OZS 5SeW\\ S`UWPb aWQV OcQV VWS` O\ RS` AbSZZS O\ RS` RWS AbSWUc\U

196

III Funktionen einer Variablen

@ ′f RS` 3`ZraTc\YbW]\ @f c\R RWS AbSWUc\U 1′f RS` 9]abS\Tc\YbW]\ 1f UZSWQV aW\R 2S` D]ZZabÉ\RWUYSWb VOZPS` aSW S`eÉV\b ROaa PSW d]`ZWSUS\RS[ 5`OT d]\ 5f ZSRWU ZWQV RS` /PahWaaS\eS`b RSa ;OfW[c[a OcT ^f OPhcb`OUS\ Wab c[ RS\ 1]c`\]b >`SWa Phe RS\ 1]c`\]b>c\Yb hc S`[WbbSZ\

1 1— @ @— ^

1f



5SeW\\h]\S



5[Of



^α 1 



1T

@f

1 ^f



1′f

@ ′f



f

α1





/PPWZRc\U 777 "&( 1]c`\]b>c\Yb PSW ZW\SO`S[ 9]abS\dS`ZOcT

1 1— @ @— ^

1f



5SeW\\h]\S



5[Of



^α 1 

1



@f

^f

1′f

@ ′f



α1



f



/PPWZRc\U 777 "'( 1]c`\]b>c\Yb PSW S`b`OUaUSaSbhZWQVS[ 9]abS\dS`ZOcT Beispiel 1: Ein Unternehmen sieht sich der Kostenfunktion C(x) = 440 + 3x und einer Preis-AbsatzFunktion p(x) = 100 − 0,2x gegenüber. Zudem kann es auch in nicht-ganzen Stückzahlen produzieren. Wie hoch ist der Gewinn, der maximal erzielt werden kann?

3. Differenzialrechnung

197

1. Benötigte Funktionen:

G(x) = R(x) − C(x) = p(x) ⋅ x − C(x) = (100 − 0,2x) ⋅ x − (440 + 3x) = −0,2x 2 + 97x − 440 G′(x) = −0, 4x + 97 G′′(x) = −0, 4 2. Extremwertbestimmung: !

G′(x) = 0

→

x = 242,5

G′′(242,5) = −0, 4 < 0

→

x = 242,5 ist Maximumstelle

Der maximale Gewinn liegt so bei G(242,5) = −0,2 ⋅ 242,52 + 97 ⋅ 242,5 − 440 = 11.321,25 Geldeinheiten. Der Preis der dazu auf dem Markt vorherrschen muss ist, p(242,5) = 51,5. Der Cournot-Punkt liegt damit bei C(242,5; 51,5).

Beispiel 2: Besitzt ein Unternehmer die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 100 – 1,5x und die bisher schon 3 2 mehrfach verwendete ertragsgesetzliche Kostenfunktion C(x) = x – 12x + 54x + 248, so können wir die gewinnmaximale Produktionsmenge wie folgt ermitteln: 1. Benötigte Funktionen: G(x) = (100 − 1,5x) ⋅ x − (x 3 − 12x 2 + 54x + 248) = − x3 + 10,5x 2 + 46x − 248



G′(x) = −3x 2 + 21x + 46 G′′(x) = −6x + 21 2. Extremwertbestimmung: !



G′(x) = 0

→

x1 = −1,75, x 2 = 8,75

G′′(8,75) = −31,5 < 0

→

Ökonomisch sinnvoll ist nur x = 8,75.

x = 8,75 ist Maximumstelle

Der maximale Gewinn liegt damit bei G(8,75) = 288,48. Der Cournot-Punkt liegt bei C(8,75; 86,88), da p(8,75) = 86,88 ist.

/PaQVZWSzS\R aSW S`eÉV\b ROaa eW` RS\ ;OfW[OZUSeW\\ 5[Of PSW d]`ZWSUS\RS` 1]c`\]b;S\US Phe USeW\\[OfW[OZS` ;S\US f + α1 OczS` OZa 5α1 OcQV ºPS` RS\ HcaO[[S\VO\U 5[Of + Uα1 ⋅ α1 + /@α1 ’ /1α1 ⋅ α1 PSabW[[S\ Yr\\S\ 2S` 5SeW\\ S`UWPb aWQV \É[ZWQV OZa AbºQYUSeW\\ [cZbW^ZWhWS`b [Wb RS` ^`]RchWS`bS\ ;S\US R V 5f + Uf ⋅ f c\R RS` AbºQYUSeW\\ Wab \WQVba O\RS`Sa OZa RWS 2WTTS `S\h Oca 2c`QVaQV\WbbaS`Zra c\R Y]abS\ R V Uf + /@f ’ /1f

3.7.4

Elastizitäten

0WaVS` VOPS\ eW` [WbbSZa RS` 5`S\hTc\YbW]\ T ′f RWS OPa]ZcbS Ò\RS`c\U SW\S` 4c\YbW]\ g + Tf PSW Ò\RS`c\U d]\ f c[ SW\S 3W\VSWb PSb`OQVbSb /Pa]ZcbS 5`rzS\ VOPS\ XSR]QV RS\ `SWaSZOabWhWbÉb RS` S`W]RS b’ 2WS >S`W]RS b’ eW`R ROPSW OZa 1PbXb_TaX^ST RWS >S`W]RS b OZa ETaV[TXRWb_TaX^ST PShSWQV\Sb

206

III Funktionen einer Variablen

Beispiel 1: Das Bruttoinlandsprodukt (BIP) einer Volkswirtschaft lag 2009 bei 200 Mrd. Geldeinheiten. 2008 war ein BIP von 210 Mrd. Geldeinheiten zu verzeichnen. Das diskrete BIP-Wachstum lag damit bei BIP2009 − BIP2008 210 − 200 d = = = 0,05 = 5 %. wBIP BIP2008 200

Beispiel 2: Der Ölpreis pro Barrel betrug Ende November 2006 46,70 Euro Ende November 2007 ist er auf 97 Euro angestiegen. Wie hoch war die diskrete Jahreswachstumsrate (bzw. die Inflationsrate)? p 97 d w Öl = 07 − 1 = − 1 = 1,0771 = 107,71 % p06 46,7

EW`R d]\ SW\S` Y]\abO\bS\ RWaY`SbS\ EOQVabc[a`ObS OcaUSUO\US\ Yr\\S\ RWS ES`bS d]\ g W\ hcYº\TbWUS\ >S`W]RS\ b +  !  \ eWS T]ZUb S`[WbbSZb eS`RS\(

g  = g  ⋅  + e Rg  g = g  ⋅  + e Rg  = g  ⋅  + e Rg  # g \ = g  ⋅  + e Rg \ 3a ZWSUb OZa] SW\S US][Sb`WaQVS 4]ZUS PSW Y]\abO\bS` EOQVabc[a`ObS e Rg d]` Beispiel: Typische Anwendung diskreter Wachstumsraten ist die Verzinsung von Sparguthaben bei Zinseszinsen (vgl. dazu auch Abschnitt II 2.2.2). Erhält man auf ein Sparguthaben in Höhe von K0 = 1.000 Euro pro Jahr 3,5 % Zins, so ergibt sich

K n = K 0 ⋅ (1 + w Kd )n = K 0 ⋅ (1 + i)n

→

K10 = 1.000 ⋅ (1 + 0,035)10 = 1.410,60 Euro.

ÒV\ZWQV eWS PSW abSbWUS\ EOQVabc[a`ObS\ YO\\ aWQV RWS 5`rzS g OcQV PSW RWaY`SbS\ EOQVabc[a`ObS\ Oca \TWaTaT] EPaXPQ[T] hcaO[[S\aSbhS\ 2WS ROPSW USZbS\RS\ @SQVS\`SUSZ\ e]ZZS\ eW` \c\ Yc`h Tº` heSW DO`WOPZS\ c c\R d RO`abSZZS\ EW` PS hSWQV\S\ ROPSW [Wb c c\R d RS\ ES`b W\ RS` 0OaWa c\R [Wb c c\R d RS\ ES`b W\ RS` DS`UZSWQVa^S`W]RS 4OZZ ( g = c ⋅ d

e Rg =

§ c − c · § d − d · c ⋅ d − c ⋅ d  c ⋅ d = −= ¨  + ¸ ⋅ ¨  + ¸ −  c ⋅ d  c ⋅ d  c d   © ¹ © ¹

= e Rc +  ⋅ e Rd +  − 

e Rg = e Rc + e Rd + e Rc ⋅ e Rd

777'

0SW RWaY`SbS\ EOQVabc[a`ObS\ [caa OZa] W[ C\bS`aQVWSR hc abSbWUS\ EOQVabc[a`O bS\ ROa >`]RcYb RS` DS`É\RS`c\Ua`ObS\ 9`Sch^`]RcYb hcaÉbhZWQV PS`ºQYaWQVbWUb eS`RS\ ES\\ RWS SW\hSZ\S\ EOQVabc[a`ObS\ YZSW\ aW\R 4Ocab`SUSZ( *   S`

3. Differenzialrechnung

207

UWPb aWQV OZZS`RW\Ua \c` SW\ US`W\US` C\bS`aQVWSR Phe Wab RS` 4SVZS` PSW DS`\OQVZÉa aWUc\U RSa 9`Sch^`]RcYbSa c\[S`YZWQV Beispiel: Betrachten wir das Beispiel zu (III.114) erneut bei Unterstellung diskreter Wachstumsraten, erhalten wir eine Umsatzänderung von

4OZZ (

d wR = 0,015 + ( −0,05) + 0,015 ⋅ ( −0,05) = −0,0358 = −3,58 % ( ≅ −3,5 %) .

c d c c − d d  c d R eg = =  ⋅  −= c c d d

g=

=

e Rg =

e Rc + 

e Rd + 

−=

e Rc − e Rd  + e Rd

e Rc

e Rd + 

+

c − c c + c c −= − d d − d  + d d 

e Rd + 

−=

e Rc

e Rd + 



+



§ e Rd +  · − ¨ ¸ e Rd +  ¨© e Rd +  ¸¹ 

777 

Beispiel: Angenommen die im Beispiel zu (III.115) angegeben Wachstumsraten sind diskret. Es gilt dann für die Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens 0,1 − 0,03 wPd = = 0,0680 = 6,80 % ( ≅ 7 %) . 1 + 0,03

/PaQVZWSzS\R e]ZZS\ eW` \]QV OcT R`SW W\ RS` >`OfWa aSV` PSRScbaO[S RWaY`SbS EOQVabc[a`ObS\ SW\USVS\ 2Ohc USVS\ eW` ROd]\ Oca ROaa `dPacP[bfTXbT 1T^ QPRWcd]VT] RS` 5`rzS g d]`ZWSUS\ 2c`QV RS\ DS`UZSWQV RSa ES`bSa d]\ g W[ OYbcSZZS\ ?cO`bOZ b [Wb RS[ S\ba^`S QVS\RS\ ?cO`bOZ b’" RSa D]`XOV`Sa S`VOZbS\ eW` RWS 9PWaTbfPRWbcd\baPcT

e Rg 8 =

gb −   g b−"

777 

DS`UZSWQVS\ eW` RS\ ES`b d]\ g W[ OYbcSZZS\ ?cO`bOZ b [Wb RS[ ES`b d]\ g W[ d]`VS`USVS\RS\ ?cO`bOZ b’ S`VOZbS\ eW` RWS @dPacP[bfPRWbcd\baPcT

e Rg? =

gb −   g b −

777



2WS P]]dP[XbXTacT FPRWbcd\baPcT S`UWPb aWQV c\bS` RS` /\\OV[S ROaa aWQV ROa EOQVabc[ \WQVb dS`É\RS`b Rc`QV C[`SQV\c\U d]\ e Rg? OcT SW\ 8OV`( "



§ g · e RgO = ¨ b ¸ −  © g b − ¹

777 !

208

III Funktionen einer Variablen

Beispiel: Für eine diskrete Größe y wurden in 2008 und 2009 folgende Ausprägungen festgestellt: Quartal 1 100 150

2008 2009

Quartal 2 130 165

Quartal 3 110 180

Quartal 4 140 200

Für das 2. Quartal 2009 ergibt sich daraus die Quartals- und die Jahreswachstumsrate 165 165 w dy,Q = − 1 = 0,1 = 10 % bzw. w dy,J = − 1 = 0,27 = 27 % . 150 130 Die annualisierte Wachstumsrate beläuft sich auf w dy,a = 1,14 − 1 = 0, 4641 = 46, 41 % .

2WS HcaO[[S\VÉ\US 777  PWa 777 ! Yr\\S\ eW` O\OZ]U OcQV OcT O\RS`S 4`WabWUYSWbS\ ºPS`b`OUS\ 0SW ;]\ObaRObS\ Wab W\ RS\ 4]`[SZ\ h 0 ZSRWUZWQV RWS " Rc`QV  hc S`aSbhS\

3.7.5.3

Zusammenhänge

HeWaQVS\ abSbWUS\ c\R RWaY`SbS\ EOQVabc[a`ObS\ PSabSVS\ RW`SYbS 0ShWSVc\US\ A] Yr\\S\ abSbWUS W\ RWaY`SbS c\R RWaY`SbS W\ abSbWUS EOQVabc[a`ObS\ c[US`SQV\Sb eS`RS\ ]V\S RWS /caUO\UaRObS\ hc YS\\S\ /ca RS\ HcaO[[S\VÉ\US\

e Rg = e ag

g b − g b − g = b − g b − g b −

§ g · R Z\ g = = Z\ g b − Z\ g b − = Z\ ¨ b ¸ Rb © g b − ¹

T]ZUb

e Rg = S

e ag

3a UWZb ROPSW abSba



e ag

= Z\ +

− e Rg 

↔

S

eag

g = b  g b −



777 " 

e Rg ≥ e ag 

777 # 777 $

Beispiele: 1.

w sy = 10 % →

w dy = e0,1 − 1 = 0,1052 = 10,52 %

2.

w dy = 20 % →

w sy = ln(1 + 0,2) = 0,1823 = 18,23 %

2WS 3XUUTaT]i ifXbRWT] SXbZaTcT] d]S bcTcXVT] FPRWbcd\baPcT] eW`R PSW OPa]Zcb PS b`OQVbSb abSWUS\RS[ e Rg W[[S` U`rzS` 2WSa hSWUb ROa \OQVT]ZUS\RS HOVZS\PSWa^WSZ c\R /PPWZRc\U 777 # 

e Rg = 

e ag = Z\ +  =  '#!

e Rg − e ag =  "%

e Rg − e ag =  #&



e Rg = 

e ag = Z\ +   = & ! 



e Rg =  '

e ag = Z\ +  ' =  $"'

e Rg − e ag =  %%

3. Differenzialrechnung

209 R

EW` S`YS\\S\ ROaa S`ab Tº` je j *   OcTU`c\R RSa `SZObWd US`W\US\ 4SVZS`a SW\S /^^`]fW[ObW]\ c\Yb >!) " OcT RS` 5S`ORS\ ^f + #f  !- P ESZQVS 5S`ORS [Wb AbSWUc\U " dS`ZÉcTb Rc`QV RS\ >c\Yb >) ’ - Q ESZQVS 5S`ORS USVb Rc`QV RWS >c\YbS >!) " c\R > ’ ) ’ - R ESZQVS 0SRW\Uc\U [ºaaS\ heSW 5S`ORS\ S`TºZZS\ RO[Wb aWS aWQV \WQVb aQV\SW RS\- S 5SPS\ AWS heSW 5S`ORS\ O\ RWS aWQV W[ >c\Yb >’)  aQV\SWRS\

0dUVPQT 888" 0SabW[[S\ AWS RWS 2STW\WbW]\aPS`SWQVS T]ZUS\RS` 4c\YbW]\S\ O Tf = !f + "

S Tf =

P Tf = − f − !f

T Tf =

Q Tf = R Tf =

f+" f−"  "f + "

f f − !f − " f "

f − $





­° f − " W Tf = ® °¯ f − X Tf =

Tº` jfj > Tº` jfj ≤

Sf Z\ f

U Tf = Z\ − f

V Tf = S!⋅

f +



B. Auer, F. Seitz, Grundkurs Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-8349-6925-5_11, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011



216

III Funktionen einer Variablen

0dUVPQT 888# 0SabW[[S\ AWS RWS `SWaSZOabWhWbÉb RS` c\Yb \WQVb SW\ RScbWU Wab 8S \OQVRS[ Oca eSZQVS` @WQVbc\U eW` RS\ >c\Yb PSb`OQVbS\ S`UWPb aWQV SW\S O\RS`S AbSWUc\U EW` Y]\\bS\ TSababSZZS\ ROaa RWS AbSWUc\U SW\S` 4ZÉQVS W\ SW\S` RSTW\WS`bS\ @WQVbc\U UZSWQV RS` AbSWUc\U RS` AQV\WbbYc`dS Wab RWS PSW SW\S[ AQV\Wbb W\ RS` PSb`STTS\RS\ @WQVbc\U S\babSVb EWS eW` Oca RS` QSbS`Wa^O`WPca 0Sb`OQVbc\U W\ /PaQV\Wbb 7D  eWaaS\ S\babSVS\ a]ZQVS AQV\WbbYc`dS\ RORc`QV ROaa OZZS PWa OcT SW\S c\OPVÉ\UWUS DS`É\RS`ZWQVS Y]\abO\b USVOZbS\ eS`RS\ AQV\WbbYc`dS\ aW\R OZa] 4c\YbW]\S\ RS` \]QV ºP`WU USPZWSPS\S\ c\OPVÉ\UWUS\ DO`WOPZS\ a]ROaa WV`S AbSWUc\U Rc`QV 2WTTS`S\bWObW]\ \OQV RS` dS`PZSWPS\RS\ DO`W OPZS\ PSabW[[b eS`RS\ YO\\ 2WS /\UOPS RS` @WQVbc\U S\ba^`WQVb OZa] T]`[OZ RS` /\UOPS \OQV eSZQVS` c\OPVÉ\UWUS\ DO`WOPZS\ OPUSZSWbSb eW`R Phe eSZQVS Y]\ abO\b USVOZbS\ eS`RS\ EW` USZO\US\ a] hc SW\S` aW\\d]ZZS\ 7\bS`^`SbObW]\ RS` 0Q [TXcd]V TX]Ta 5d]ZcX^] \Xc \TWaTaT] d]PQWÊ]VXVT] ETaÊ]STa[XRWT] ;O\ SXUUTaT] iXTac ]PRW TX]Ta d]PQWÊ]VXVT] ETaÊ]STa[XRWT] d]cTa :^]bcP]cWP[cd]V P[[Ta P]ST aT] 2WSaS /PZSWbc\U PShSWQV\Sb [O\ OZa _PacXT[[T] 3XUUTaT]iXP[`d^cXT]cT]

2.2 Partielle Ableitungen erster Ordnung 0Sb`OQVbS\ eW` \]QV SW\[OZ /PPWZRc\U 7D % Phe RWS 9c`dS g + Tf ϑ W\ RS` AQV\WbbSPS\S f + ϑ R V W\ @WQVbc\U RS` f/QVaS 2WS AbSWUc\U RWSaS` 9c`dS Wab Rc`QV RS\ 2WTTS`S\hWOZ_c]bWS\bS\

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240

IV Funktionen mehrerer Variablen

Rg R Tf   ϑ Tf  + Δf   ϑ − Tf  ϑ = = ZW[ Δf →  R f R f Δf  PSaQV`WSPS\ R V Rc`QV RWS /PZSWbc\U \OQV f c\bS` RS` 0SRW\Uc\U ROaa f + ϑ Phe f Y]\abO\b Wab EW` PShSWQV\S\ RWSaS\ /caR`cQY OZa RWS ^O`bWSZZS /PZSWbc\U S`abS` =`R\c\U \OQV RS` DO`WOPZS\ f ]RS` OZa S`abS ^O`bWSZZS /PZSWbc\U \OQV f Hc` 9S\\hSWQV\c\U RS` BObaOQVS ROaa \c` \OQV SW\S` DO`WOPZS\ c\bS` 9]\abO\bVOZbc\U OZZS` ºP`WUS\ RWTTS`S\hWS`b eW`R eS`RS\ W\ RS` :WbS`Obc` RWS 2WTTS`S\hWOZS USerV\ ZWQV [Wb ∂ USaQV`WSPS\ /cQV eW` e]ZZS\ c\a RWSaS` `]RcYb ?c]bWS\bS\ c\R 9SbbS\`SUSZ \c` RO\\ O\hceS\RS\ aW\R eS\\ RWS DO`WOPZS \OQV RS` RWTTS`S\hWS`b eW`R W\ PSWRS\ 4OYb]`S\ SW\Sa >`]RcYbSa W[ HÉVZS` c\R c\Yb α ϑ VS`O\USh]US\ eS`RS\ Yr\\S\ dS`O\aQVOc ZWQVb ROa \OQVT]ZUS\RS 0SWa^WSZ

242

IV Funktionen mehrerer Variablen

Beispiel: Gegeben sei die Funktion y = f(x1, x 2 ) = x1−2 − x1 ⋅ x 2 + ln x 2 . Bestimmen wir für diese den Wert der Steigung im Punkt (1;1) in Richtung der x1-Achse und in Richtung der x2-Achse.

fx′ 1 (x1, x 2 ) = −2 ⋅ x1−3 − x 2 =

−2 x13

fx′ 2 (x1, x 2 ) = − x1 +

− x2

1 x2

Durch Einsetzen des Punktes in die jeweilige Ableitung ergibt sich die Steigung in Richtung der x1-Achse als

fx′ 1 (1; 1) =

−2 13

− 1 = −3

und die Steigung in Richtung der x2-Achse als 1 fx′ 2 (1; 1) = −1 + = 0 . 1

3a UWZb OZZUS[SW\ ROaa SW\S 4c\YbW]\ g + Tf f   f\ [Wb ] d]PQWÊ]VXVT]

EPaXPQ[T] US\Oc ] _PacXT[[T 0Q[TXcd]VT] TabcTa >aS]d]V PSaWbhb 3a eW`R \OQV RS` WbS\ DO`WOPZS\ fW ^O`bWSZZ RWTTS`S\hWS`b W\RS[ \OQV fW c\bS` 9]\abO\bVOZbc\U OZZS` O\RS`S\ DO`WOPZS\ RWTTS`S\hWS`b eW`R(

∂g Tf   f W + Δf W   f \  − Tf   f W   f \  = g ′f W = ZW[ Δf W →  ∂ fW Δf W



7D 





Beispiel: y = 4x12 x 2 + x1x 2 x3 + x 2 − x 4

y′x1 = 8x1x 2 + x 2 x3

y′x3 = x1x 2

y′x2 = 4x12 + x1x3 + 1

y′x 4 = −1



2S\ AQVZcaa RWSaSa /PaQV\Wbba e]ZZS\ eW` \cbhS\ c[ \]QV SW\[OZ RScbZWQV RO`OcT VW\hceSWaS\ RO VÉcTWUS 4SVZS`_cSZZS ROaa PSW RS` ^O`bWSZZS\ /PZSWbc\U SW\S` 4c\YbW]\ g + Tf f   f\ \OQV f RWS ºP`WUS\ c\OPVÉ\UWUS\ DS`É\RS`ZWQVS\ heO` eWS 9]\abO\bS\ PSVO\RSZb eS`RS\ XSR]QV ZTX]T :^]bcP]cT] aW\R AWS aW\R \OQV eWS d]` dS`É\RS`ZWQVS 5`rzS\ 2WSa ZÉaab aWQV [WbbSZa /PPWZRc\U 7D % Tº` SW\S 4c\YbW]\ g + Tf f  dS`O\aQVOcZWQVS\ 2WS AbSWUc\U SW\S` 9c`dS g + Tf ϑ Yr\ \S\ eW` heO` \c` W\ SW\S[ >c\Yb hc f + α [SaaS\ ZOaaS\ eW` RS\ >c\Yb XSR]QV RS` 9c`dS S\bZO\UeO\RS`\ PSaQV`SWPb RWS S`abS ^O`bWSZZS /PZSWbc\U \OQV f RWS AbSW Uc\U W\ XSRS[ >c\Yb hc f 2WSa ec`RS PS`SWba W[ HcUS RS` PWaVS`WUS\ 0Sb`OQVbc\ US\ W\aPSa]\RS`S RS` AbSWUc\UaPSabW[[c\U RScbZWQV ÒV\ZWQV dS`VÉZb Sa aWQV Tº` RWS DO`WOPZS f  DO`WWS`S\ eW` f  a] S`VOZbS\ eW` ^O`OZZSZS AQV\WbbS [Wb XSeSWZa \ScS\ AQV\WbbYc`dS\ a]ROaa RWS DO`WOPZS f O\UWPb OcT eSZQVS` 9c`dS Oca RS` 9c`dS\ aQVO` eW` c\a PSTW\RS\ 2WS ^O`bWSZZS /PZSWbc\U 7D PSaQV`SWPb OZa] RWS AbSWUc\U RS` AQV\WbbYc`dS W[ >c\Yb f f  W\ @WQVbc\U RS` f/QVaS AWS Wab OZa] W\ XSRS[ >c\Yb f f  W\ RS[ RWS 4c\YbW]\ RWTTS`S\hWS`PO` Wab S`YZÉ`b c\R RO[Wb WR@ aSZPab SW\S 4c\YbW]\ RS` PSWRS\ c\OPVÉ\UWUS\ DS`É\RS`ZWQVS\ f c\R f 

2. Differenzialrechnung

243

2.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung EWS Tº` 4c\YbW]\S\ g + Tf Yr\\S\ OcQV Tº` 4c\YbW]\S\ [Wb [SV`S`S\ c\OPVÉ\UW US\ DS`É\RS`ZWQVS\ VrVS`S /PZSWbc\US\ USPWZRSb eS`RS\ :SWbS\ eW` RWS S`abS ^O`bWSZZS /PZSWbc\U g ′f SW\S` a]e]VZ \OQV f OZa OcQV \OQV f heSW[OZ RWTTS`S\hWS`PO`S\ 4c\YbW]\ g + Tf f  S`\Scb \OQV f OP S`VOZbS\ eW` RWS ifTXcT _PacXT[[T 0Q[TXcd]V ]PRW g c\R aQV`SWPS\ ROTº`

∂ g



∂ f

= g ′f ′f = g ′′ff 

7D!

EW`R RWS S`abS ^O`bWSZZS /PZSWbc\U g ′f RWSaS` 4c\YbW]\ g + Tf f  S`\Scb \OQV f OPUSZSWbSb S`UWPb aWQV RWS ifTXcT _PacXT[[T 0Q[TXcd]V ]PRW g! EW` aQV`SWPS\

∂ g



∂f

= g ′f ′f = g ′′f

f



7D"

HcRS[ PSabSVb \]QV RWS ;rUZWQVYSWb g ′f ^O`bWSZZ \OQV f c\R g ′f ^O`bWSZZ \OQV f OPhcZSWbS\ 2WSaS /PZSWbc\US\ eS`RS\ OZa VT\XbRWcT _PacXT[[T 0Q[TXcd]VT] ifTX cTa >aS]d]V PShSWQV\Sb EW` aQV`SWPS\

∂ g ∂ g = g ′f ′f = g ′′ff c\R = g ′f ′f = g ′′f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f

f



7D#

e]PSW RWS @SWVS\T]ZUS W\ RS` RWS DO`WOPZS\ US\O\\b eS`RS\ RWS 2WTTS`S\hWObW]\a `SWVS\T]ZUS O\UWPb 7ab g + Tf f  heSW[OZ ^O`bWSZZ RWTTS`S\hWS`PO` c\R aW\R RWS US[WaQVbS\ ^O`bWSZZS\ /PZSWbc\US\ abSbWU a] aW\R RWSaS UZSWQV(

∂ g ∂ g = ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f

RV

g ′′ff = g ′′f

f



7D$

2WS ATXWT]U^[VT STa 3XUUTaT]cXPcX^] a^WSZb OZa] Tº` RWS US[WaQVbS\ ^O`bWSZZS\ /PZSW bc\US\ ZTX]T A^[[T Beispiel: Gegeben sei die Funktion y = f(x1, x 2 ) = 2x13 + x12 x 2 − 4x1x 22 − e x1 + ln x 2 . Ihre ersten partiellen Ableitungen lauten: y′x1 = 6x12 + 2x1x 2 − 4x 22 − e x1

y′x2 = x12 − 8x1x 2 +

Die zweiten partiellen Ableitungen nach x1 und x2 lauten: y′x1x1 = 12x1 + 2x 2 − e x1

y′x2 x2 = −8x1 −

1 x 22

Die identischen gemischten partiellen Ableitungen lauten:

y′x1x2 = 2x1 − 8x 2

y′x2 x1 = 2x1 − 8x 2

1 x2



244

IV Funktionen mehrerer Variablen

9]\\bS\ eW` RWS S`abS ^O`bWSZZS /PZSWbc\U g ′f OZa AbSWUc\U RS` AQV\WbbYc`dS Tº` f + ϑ W\ @WQVbc\U RS` f/QVaS W\bS`^`SbWS`S\ a] Wab Sa Y]\aS_cS\b RWS heSWbS ^O` bWSZZS /PZSWbc\U g ′′ff OZa :a¶\\d]V RS`aSZPS\ 9c`dS hc RScbS\ 3a UWZb(

Tf′′f  α ϑ > 

→

AQV\WbbYc`dS W\ f @WQVbc\U W\  α ϑ Y]\dSf

Tf′′f  α ϑ < 

→

AQV\WbbYc`dS W\ f @WQVbc\U W\  α ϑ Y]\YOd



7D%



7D&

/\OZ]U UWZb Tº` RWS AQV\WbbYc`dS Tº` f + α(

Tf′′ f α ϑ > 

→

AQV\WbbYc`dS W\ f @WQVbc\U W\ α ϑ Y]\dSf

Tf′′ f α ϑ < 

→

AQV\WbbYc`dS W\ f @WQVbc\U W\ α ϑ Y]\YOd

0Sa]\RS`a PSW RS` 0SabW[[c\U RS` 3fb`S[O d]\ 4c\YbW]\S\ [Wb [SV`S`S\ DO`WOP ZS\ dUZ /PaQV\Wbb 7D $ eS`RS\ RWSaS HcaO[[S\VÉ\US \]QV d]\ aS]d]V 2WS _PacXT[[T] 0Q[TXcd]VT] SaXccTa >aS ]d]V SW\S` 4c\YbW]\ g + Tf f  aW\R

∂! g ∂ f!

= g ′′′fff c\R

∂! g ∂ f!

= g ′′′f f

f



a]eWS WV`S US[WaQVbS\ ^O`bWSZZS\ /PZSWbc\US\ R`WbbS` =`R\c\U

∂! g ∂ f ∂ f ∂! g ∂ f ∂ f

= g ′′′fff 

∂! g = g ′′′ff ∂ f ∂ f ∂ f 

= g ′′′f f

∂! g ∂! g = g ′′′f ff  = g ′′′ff ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f

f



f



∂! g ∂ f ∂ f

= g ′′′f ff  f



AbSbWUYSWb d]`OcaUSaSbhb Wab RWS @SWVS\T]ZUS RS` 2WTTS`S\hWObW]\ \c` cTX[fTXbT c\S` VSPZWQV R V Tº` RWS US[WaQVbS\ ^O`bWSZZS\ /PZSWbc\US\ R`WbbS` =`R\c\U UWZb

g ′′′fff = g ′′′ff

f

= g ′′′f ff c\R g ′′′f f

f

= g ′′′f ff = g ′′′ff

f



Beispiele: 1.

y = f(x1, x 2 ) = x13 x 32 y′x1 = 3x12 x32

y′′x1x1 = 6x1 x 23

y′′′x1x1x1 = 6x 32

y′x2 = 3x13 x 22

y′′x2 x2 = 6x13 x 2

y′′′x 2 x2 x2 = 6x13

y′′x1x2 = y′′x2 x1 = 9x12 x 22

y′′′x1x1x 2 = y′′′x1x2 x1 = y′′′x2 x1x1 = 18x1 x 22 y′′′x 2 x2 x1 = y′′′x2 x1x2 = y′′′x1x 2 x2 = 18x12 x 2

2.

y = f(x1, x 2 ) = 2x1 + x13 − 3x 2 − x1x 2 y′x1 = 2 + 3x12 − x 2

y′′x1x1 = 6x1

y′′′x1x1x1 = 6

y′x2 = −3 − x1

y′′x2 x2 = 0

y′′′x2 x2 x 2 = 0

y′′x1x2 = y′′x2 x1 = −1

y′′′x1x1x2 = y′′′x1x2 x1 = y′′′x2 x1x1 = 0 y′′′x2 x2 x1 = y′′′x 2 x1x2 = y′′′x1x2 x2 = 0



2. Differenzialrechnung

245

2.4 Partielles und totales Differenzial 7\ /PaQV\Wbb 777 !" VObbS\ eW` RS\ 0SU`WTT RSa 2WTTS`S\hWOZa Rg SW\S` 4c\YbW]\ [Wb SW\S` c\OPVÉ\UWUS\ DS`É\RS`ZWQVS\ g + Tf YS\\S\ USZS`\b 3a abO\R Tº` RWS EW` Yc\U Rg SW\S` W\TW\WbSaW[OZ YZSW\S\ Ò\RS`c\U RS` DO`WOPZS f c\R eO` RSTW\WS`b OZa Rg + T ′f ⋅ Rf 2S` 0SU`WTT RSa 2WTTS`S\hWOZa ZÉaab aWQV OcQV OcT 4c\YbW]\S\ [SV`S `S` c\OPVÉ\UWUS` DO`WOPZS\ ºPS`b`OUS\ 3a Wab VWS` OZZS`RW\Ua heWaQVS\ ^O`bWSZZS[ c\R b]bOZS[ 2WTTS`S\hWOZ hc c\bS`aQVSWRS\ 0Sb`OQVbS\ eW` hc` DS`O\aQVOcZWQVc\U SW\S 4c\YbW]\ g + Tf f  3`VrVS\ eW` RWS DO`WOPZS f PSW 9]\abO\bVOZbc\U d]\ f c[ RS\ 0Sb`OU Rf VOb RWSa OcT RS` AQV\WbbYc`dS W\ f@WQVbc\U SW\S 4c\YbW]\aÉ\RS`c\U Rg f = Tf′  ⋅ Rf  hc` 4]ZUS EW` PShSWQV\S\ RWSaS W\TW\WbSaW[OZS 5`rzS OZa ROa _PacXT[[T 3XUUTaT]iXP[ ]PRW STa EPaX PQ[T] g  /\OZ]U S`UWPb aWQV SW\ S\ba^`SQVS\RSa ^O`bWSZZSa 2WTTS`S\hWOZ \OQV RS` DO`WOPZS\ f hc Rg f = Tf′ ⋅ Rf  4º` SW\S OZZUS[SW\S 4c\YbW]\ [SV`S`S` DO`WOPZS\ g + Tf f   f\ Yr\\S\ eW` ROVS` ROa _PacXT[[T 3XUUTaT]iXP[ \OQV RS` DO`WOPZS\ fW eWS T]ZUb RSTW\WS`S\( ∂T R g fW = ⋅ R f W = Tf′ W ⋅ R f W 7D' ∂ fW 0SW V[TXRWiTXcXVTa Ó]STad]V RS` DO`WOPZS\ f c\R f PSW SW\S` 4c\YbW]\ g + Tf f  c[ RWS 0Sb`ÉUS Rf c\R Rf S`UWPb aWQV ROa a]U c^cP[T 3XUUTaT]iXP[ RS` 4c\YbW]\ g + Tf f  3a S\ba^`WQVb RS` Ac[[S RS` SW\hSZ\S\ ^O`bWSZZS\ 2WTTS`S\hWOZS OZa] SW\S` 5SaO[bÉ\RS`c\U Rg = Rg f + Rg f = Tf′  ⋅ Rf  + Tf′ ⋅ Rf RSa 4c\YbW]\aeS`bSa 4º` SW\S 4c\YbW]\ g + Tf f   f\ S`UWPb aWQV ROa c^cP[T 3XUUTaT]iXP[ SPS\a] OZa Ac[[S RS` ^O`bWSZZS\ 2WTTS`S\hWOZS(

Rg =



∂T ∂T ∂T ⋅ R f + ⋅ R f +  + ⋅ R f\ = ∂ f ∂f ∂ f\

\

¦ T′ W =

fW

⋅ R fW

7D 

Beispiel: Betrachten wir eine Produktionsfunktion x = f(r1,r2 ) = 2r10,2 ⋅ r20,8 , wobei r1 für den Arbeits-, r2 für den Kapitalinput und x für den Output stehen. Für die vorgegebene Faktorinputkombination r1 = 20 und r2 = 10 sollen die partiellen (a) sowie die totalen Outputänderungen (b) ermittelt werden, wenn die Inputs um dr1 bzw. dr2 Einheiten geändert werden. a) 1.

dxr1 =

∂f ⋅ dr1 = 0,4r1−0,8 ⋅ r20,8 ⋅ dr1 ∂ r1

r1 = 20 und r2 = 10 eingesetzt liefert 0,2297 ⋅ dr1. Wird der Arbeitsinput bei konstantem Kapitalinput um 0,3 Einheiten reduziert, d. h. Δr1 = –0,3, können wir die Veränderung des Outputs annähern über Δxr1 ≅ 0,2297 ⋅ Δr1 = 0,2297 ⋅ ( −0,3) = −0,0689. 2.

dxr2 =

∂f ⋅ dr2 = 1,6r10,2 ⋅ r2−0,2 ⋅ dr2 ∂ r2

r1 = 20 und r2 = 10 eingesetzt liefert 1,8379 ⋅ dr2. Liegt eine Erhöhung des Kapitalinputs um 0,1 Einheiten bei unverändertem Arbeitsinput vor, d. h. Δr2 = 0,1, so können wir die Veränderung des Outputs annähern über Δxr2 ≅ 1,8379 ⋅ Δr2 = 1,8379 ⋅ 0,1 = 0,1838.

246

IV Funktionen mehrerer Variablen b) dx = dxr1 + dxr2 =

∂f ∂f ⋅ dr1 + ⋅ dr2 = 0,2297 ⋅ dr1 + 1,8379 ⋅ dr2 ∂ r1 ∂ r2

Ersetzen wir nun dr1 und dr2 durch Δr1 = −0,3 und Δr2 = +0,1, d. h. wird der Arbeitsinput um 0,3 Einheiten vermindert und gleichzeitig der Kapitalinput um 0,1 Einheiten erhöht (bezogen auf das Ausgangsniveau r1 = 20 und r2 = 10), so können wir die Änderung des Funktionswerts annähern über Δx ≅ 0,2297 ⋅ Δr1 + 1,8379 ⋅ Δr2 bzw. konkret Δx ≅ 0,2297 ⋅ ( −0,3) + 1,8379 ⋅ 0,1 = 0,115. Dies bedeutet, dass der Output (näherungsweise) um 0,115 Einheiten steigt. Ein Vergleich mit dem exakten Änderungswert Δx = f(20 − 0,3; 10 + 0,1) − f(20; 10) = 2 ⋅ 19,70,2 ⋅ 10,10,8 − 2 ⋅ 200,2 ⋅ 100,8 = 0,114



zeigt, dass wir eine recht gute Näherung durch Heranziehen des totalen Differenzials erhalten.

2.5 Ökonomische Anwendungen Hc RS\ eWQVbWUabS\ rY]\][WaQVS\ /\eS\Rc\UaUSPWSbS\ ^O`bWSZZS` /PZSWbc\US\ hÉVZS\ ^O`bWSZZS 5`S\hTc\YbW]\S\ c\R ^O`bWSZZS 3ZOabWhWbÉbS\ ;Wb RWSaS\ e]ZZS\ eW` c\a W\ RWSaS[ /PaQV\Wbb W[ 2SbOWZ PSTOaaS\ EW` USVS\ OczS`RS[ \ÉVS` OcT ROa A^ShWOZbVS[O >`]RcYbW]\aTc\YbW]\S\ SW\

 ?PacXT[[T 6aT]iUd]ZcX^]T] 7ab g = Tf  f   f \  SW\S rY]\][WaQVS 4c\YbW]\ a] PShSWQV\S\ eW` RWS S`abS\ ^O`bWSZZS\ /PZSWbc\US\ Tf′ W OZa ^O`bWSZZS 5`S\hTc\YbW]\S\ d]\ g = Tf  f   f \   2S` ES`b SW\S` ^O`bWSZZS\ 5`S\hTc\YbW]\ Tf′ W O\ SW\S` PSabW[[bS\ AbSZZS UWPb ]ÊWT ad]VbfTXbT O\ eWS aWQV RWS 4c\YbW]\ Tf  f   f \  dS`É\RS`b eS\\ fW OcaUS VS\R d]\ RWSaS` AbSZZS d\ TX]T 4X]WTXc eÉQVab eÉV`S\R OZZS O\RS`S\ DO`WOPZS\ Y]\abO\b USVOZbS\ eS`RS\ EW` Yr\\S\ RWS 5`S\hTc\YbW]\ OZa] OZa ROa ^O`bWSZZS 2WT TS`S\hWOZ d]\ g = Tf  f   f \  Tº` RfW +  OcTTOaaS\ dUZ ROhc /PaQV\Wbb 7D " 4º` dS`aQVWSRS\S rY]\][WaQVS 4c\YbW]\S\ VOPS\ aWQV W\ RS` :WbS`Obc` a^ShWSZZS 0SU`WTTS Tº` RWS 5`S\hTc\YbW]\S\ SW\USPº`US`b A] PShSWQV\Sb [O\ h 0 RWS S`abS ^O`bWSZZS /PZSWbc\U SW\S` 9]abS\Tc\YbW]\ 1f f   f\ OZa ^O`bWSZZS 5`S\hY]abS\ Tc\YbW]\ 1′f W  RWS SW\S` 3`ZraTc\YbW]\ @f f   f\ OZa ^O`bWSZZS 5`S\hS`ZraTc\Y bW]\ @ ′f W c\R RWS SW\S` 5SeW\\Tc\YbW]\ 5f f   f\ OZa ^O`bWSZZS 5`S\hUS eW\\Tc\YbW]\ 5′f W  Beispiel: Die Funktion C(x1, x 2, x3 ) = 10x1 + 3x 22 + x3 + 100 wurde für ein Unternehmen als Kostenfunktion festgestellt, wobei die Variablen x1, x2 und x3 die Produktionsmengen der drei vom Unternehmen produzierten Güter angeben. Untersuchen wir, wie sich die Produktionskosten verändern, wenn x2 ausgehend von einem aktuellen Produktionsniveau von 500 Stück um eine Einheit erhöht wird. Die produzierten Stückzahlen der anderen Güter sollen dabei konstant bleiben.

C′x2 = 6x 2

→

C′x2 (500) = 6 ⋅ 500 = 3.000

Es ist also näherungsweise von einer Kostenerhöhung um 3.000 Euro auszugehen.

2. Differenzialrechnung

247

EWS OcQV PSW 5`S\hTc\YbW]\S\ d]\ 4c\YbW]\S\ SW\S` c\OPVÉ\UWUS\ DO`WOPZS\ Wab PSW 0S`SQV\c\US\ RWSaS` /`b RWS =ÊWTad]V ]da QaPdRWQPa eS\\ d]`OcaUSaSbhb eW`R ROaa TX]T 4X]WTXc d]\ fW dS`UZWQVS\ [Wb RS\ 5SaO[b[S\US\ [Wb RS\S\ [O\ O`PSWbSb Z[TX] Wab c\R RWS HcaO[[S\VÉ\US ]XRWc id bcPaZ ]XRWc]TPa aW\R

! ?PacXT[[T 4[PbcXiXcÊcT] 7ab g = Tf  f   f \  SW\S PSZWSPWUS 4c\YbW]\ a] aW\R WV`S ^O`bWSZZS\ 3ZOabWhWbÉbS\ RSTW\WS`b OZa ∂ g fW ε g f W = ⋅  7D  ∂ fW g 2WS ^O`bWSZZS 3ZOabWhWbÉb ε g f W UWPb ]ÊWTad]VbfTXbT O\ c[ eWS dWSZ >`]hS\b aWQV g É\RS`b eS\\ fW OcaUSVS\R d]\ SW\S[ PSabW[[bS\ `]RcYbW]\aTOYb]` ` dS`É\RS`\ c[ PSW SW\S` DO`WObW]\ RSa O\RS`S\ 4OYb]`a ` eWSRS` RS\ UZSWQVS\ =cb^cb hc S`hWSZS\- EW` a^`SQVS\ PSW 7D " OcQV d]\ RS` a]U 6aT]iaPcT STa cTRW]XbRWT] BdQbcXcdcX^] STb 5PZc^ab a! SdaRW ST] 5PZc^a a  AWS S\ba^`WQVb RS[ c[USYSV`bS\ DS`VÉZb\Wa RS` 5`S\h^`]RcYbS

2. Differenzialrechnung

249

Beispiel: Gegeben sei eine Produktionsfunktion x(r1,r2 ) = 2,5r10,6r20,4 . Bestimmen wir die Grenzrate der Substitution zum Output x = 10 und beantworten die Frage, wie man r2 verändern muss, wenn bei einem Einsatz von 5 Einheiten des Faktors r1 dessen Einsatz um eine Einheit steigt, der Output x = 10 aber konstant bleiben soll. Stellen wir x(r1,r2) bei x = 10 nach r2 um, so erhalten wir 10 = 2,5r10,6r20,4

r2−0,4 = 0,25r10,6

↔

↔

r2 = 32r1−1,5

und daraus dr2 = −48r1−2,5 , dr1 was an der Stelle r1 = 5 die konkrete Grenzrate der Substituition –0,86 liefert. Dieser Wert besagt, dass der Einsatz von r2 um 0,86 Einheiten sinken muss, um einen Output von x = 10 aufrechtzuerhalten. Für die partiellen Grenzprodukte gilt ∂x = 1,5r1−0,4r20,4 ∂ r1

und

∂x = r 0,6r −0,6 . ∂ r2 1 2

Somit folgt nach (IV.24) 1,5r1−0,4r20,4 dr2 = − 0,6 . dr1 r1 r2−0,6 Bei r1 = 5 und r2 = 32 ⋅ 5

–1,5

= 2,86 ergibt sich −

1,5 ⋅ 5 −0,4 ⋅ 2,860,4 5

0,6

⋅ 2,86

−0,6

=−

1,20 = −0,86 , 1, 40

was mit der bereits ermittelten Grenzrate der Substitution übereinstimmt.



2.6 Extremwertbestimmung 7\ /PaQV\Wbb 7D ! VOPS\ eW` PS`SWba SW\S\ S`abS\ 0ZWQY OcT 3fb`S[O d]\ 4c\Y bW]\S\ heSWS` c\OPVÉ\UWUS` DO`WOPZS\ USe]`TS\ 2WS R]`b OcTUSTºV`bS 2STW\WbW]\ Wab heO` SW\RScbWU c\R OcQV dS`OZZUS[SW\S`PO` XSR]QV hc` Y]\Y`SbS\ 0SabW[[c\U d]\ 3fb`S[eS`bS\ \WQVb heSQY[ÉzWU EWS PSW 4c\YbW]\S\ [Wb \c` SW\S` c\OPVÉ\UWUS\ DS`É\RS`ZWQVS\ PSRWS\S\ eW` c\a ROhc RS` 2WTTS`S\hWOZ`SQV\c\U Phe Y]\Y`Sb RS` ^O`bWSZZS\ /PZSWbc\US\ SW\S` hc c\bS`acQVS\RS\ 4c\YbW]\ 7\ RWSaS[ /PaQV\Wbb e]ZZS\ eW` hc\ÉQVab RWS D]`USVS\aeSWaS hc` 0SabW[[c\U d]\ 3fb`S[O PSW 4c\YbW]\S\ RSa Bg^a g + Tf f  RO`ZSUS\ 7[ /\aQVZcaa RO`O\ PS aQVÉTbWUS\ eW` c\a [Wb RS` a]U 4gcaT\fTacQTbcX\\d]V d]cTa =TQT]QTSX]Vd]VT] RO RWS [SWabS\ =^bW[WS`c\Ua^`]PZS[S W\ RS` >`OfWa Rc`QV @Sab`WYbW]\S\ SW\US aQV`É\Yb aW\R

250

IV Funktionen mehrerer Variablen

2.6.1

Extremwerte ohne Nebenbedingungen

ÒV\ZWQV eWS PSW 4c\YbW]\S\ [Wb SW\S` c\OPVÉ\UWUS\ DO`WOPZS\ aW\R OcQV PSW 4c\Y bW]\S\ [Wb [SV`S`S\ DS`É\RS`ZWQVS\ \]beS\RWUS c\R VW\`SWQVS\RS 0SRW\Uc\US\ hc RSTW\WS`S\ c[ RWS /`b c\R :OUS RS` 3fb`S[O PSabW[[S\ hc Yr\\S\

 =^cfT]SXVT 1TSX]Vd]VT] /PPWZRc\U 7D & hSWUb heSW 4ZÉQVS\ g + Tf f  [Wb SW\S[ ;OfW[c[ ZW\Ya c\R SW\S[ ;W\W[c[ `SQVba EWS eW` c\a ZSWQVb d]`abSZZS\ Yr\\S\ eW`R PSW SW\S[ 3fb`S[^c\Yb RWS 4c\YbW]\ g + Tf f  d]\ SW\S` BO\US\bWOZSPS\S RWS ^O`OZZSZ hc` ff 3PS\S ZWSUS\ [caa W\ SPS\ RWSaS[ >c\Yb PS`ºV`b 2WSa PSRScbSb ROaa XSRS 5S`ORS W\ RWSaS` BO\US\bWOZSPS\S V]`Wh]\bOZ dS`ZÉcTb c\R RWS AbSWUc\U c\Yb α ϑ RWS ]^cfT]SXVT 1TSX]Vd]V 7D # Tº` SW\ 3fb`S[c[ a^`SQVS\ eW` d]\ SW\S[ a]U ZaXcXbRWT] ?d]Zc C[ OZa] [rUZWQVS 3fb`S[eS`bS Phe Y`WbWaQVS >c\YbS SW\S` 4c\YbW]\ g + Tf f  WRS\bWTWhWS`S\ hc Yr\\S\ Wab RWS :rac\U SW\Sa 5ZSWQVc\UaagabS[a

2. Differenzialrechnung

251 

Tf′  f  f  = 







7D $

Tf′ f   f  =  S`T]`RS`ZWQV 7[ 4OZZS SW\S` 4c\YbW]\ g + Tf  f\ [Wb \ c\OPVÉ\UWUS\ DO`WOPZS\ S`USPS\ aWQV \Obº`ZWQV OcTU`c\R \ S`abS` ^O`bWSZZS` /PZSWbc\US\ \ \]beS\RWUS 0S RW\Uc\US\ Phe SW\ 5ZSWQVc\UaagabS[ [Wb \ 5ZSWQVc\US\ Beispiel: Bestimmen wir die kritischen Punkte der Funktion y = f(x1, x 2 ) = (4x1 − 1)2 − (x 2 − 1)2 , indem wir zunächst die ersten partiellen Ableitungen der Funktion bilden:

fx′ 1 = 2 ⋅ (4x1 − 1) ⋅ 4 = 8 ⋅ (4x1 − 1) fx′ 2 = −2 ⋅ (x 2 − 1) Anschließend werden diese Ableitungen gleich Null gesetzt und das resultierende Gleichungssystem gelöst: !

fx′ 1 = 0 !

fx′ 2 = 0

→ 8 ⋅ (4x1 − 1) = 0

↔ x1 = 0,25

→ −2 ⋅ (x 2 − 1) = 0

↔ x2 = 1

Wir erhalten den kritischen Punkt (0,25; 1).

! 7X]aTXRWT]ST 1TSX]Vd]VT] Ec`RS SW\ Y`WbWaQVS` >c\Yb S`[WbbSZb abSZZS\ eW` c\a RWS 4`OUS ]P O\ RWSaS` AbSZZS OcQV bObaÉQVZWQV SW\ 3fb`S[c[ d]`ZWSUb c\R eS\\ XO ]P Sa aWQV c[ SW\ ;OfW[c[ ]RS` SW\ ;W\W[c[ VO\RSZb /PPWZRc\U 7D ' hSWUb O\VO\R heSWS` 0SWa^WSZS ROaa Rc`QVOca 4ZÉQVS\^c\YbS SfWabWS`S\ Yr\\S\ W\ RS\S\ RWS S`abS\ ^O`bWSZZS\ /PZSW bc\US\ UZSWQV c\Yb



/PPWZRc\U 7D '( AObbSZ^c\Yb c\R ^O`OP]ZWaQVS` >c\Yb

252

IV Funktionen mehrerer Variablen

EWS eW` eWaaS\ S\baQVSWRSb PSW 4c\YbW]\S\ SW\S` c\OPVÉ\UWUS\ DO`WOPZS\ ROa D]`hSWQVS\ RS` heSWbS\ /PZSWbc\U ºPS` RWS 9`º[[c\U W\ SW\S[ >c\Yb c\R RO[Wb ºPS` RWS /`b RSa 3fb`S[c[a /ca ÉV\ZWQVS\ 5`º\RS\ UWPb PSW 4c\YbW]\S\ [SV`S`S` c\OPVÉ\UWUS` DS`É\RS`ZWQVS` ROa D]`hSWQVS\ RSa ifTXcT] c^cP[T] 3XUUTaT]iXP[b b]bOZSa 2WTTS`S\hWOZ heSWbS` =`R\c\U /caYc\Tb ºPS` RWS 9`º[[c\U 2WSaSa Yr\ \S\ eW` Rc`QV S`\ScbSa b]bOZSa 2WTTS`S\hWS`S\ RSa 2WTTS`S\hWOZa S`abS` =`R\c\U S` [WbbSZ\ 4º` SW\S 4c\YbW]\ g + Tf f  S`VOZbS\ eW` Oca Rg = Tf′  ⋅ Rf  + Tf′ ⋅ Rf ROa heSWbS b]bOZS 2WTTS`S\hWOZ hc

RRg = R g =

∂ Tf′  ⋅ Rf + Tf′ ⋅ Rf  ∂f

⋅ Rf  +

∂ Tf′  ⋅ Rf  + Tf′ ⋅ Rf  ∂f

⋅ Rf



= Tf′′f ⋅ Rf   + Tf′′f ⋅ Rf  ⋅ Rf + Tf′′ f ⋅ Rf   2WSaSa abSZZb W\ /PVÉ\UWUYSWb d]\ RS\ 2WTTS`S\hWOZS\ Rf c\R Rf SW\S _cOR`ObWaQVS 4]`[ RO` 0SaWbhb aWS c\OPVÉ\UWU d]\ Rf c\R Rf ROaaSZPS D]`hSWQVS\ VSWzb aWS RSTW\Wb EW` \S\\S\ aWS _^bXcXe STUX]Xc eS\\

2f   f  ≡ Tf′′f ⋅ Tf′′ f − Tf′′f  > 

c\R

Tf′′f > 

c\R

Tf′′f < 

UWZb c\R ]TVPcXe STUX]Xc eS\\

2f   f  ≡ Tf′′f ⋅ Tf′′ f − Tf′′f  <  UWZb e]PSW RS` /caR`cQY

2f   f  ≡ Tf′′f ⋅ Tf′′ f − Tf′′f 



7D %

c\bS` RS[ 0SU`WTT 7TbbT'bRWT 3TcTa\X]PcT heSWbS` =`R\c\U PSYO\\b Wab 7D % VWZTb c\a ºPS` RWS /`b SW\Sa 3fb`S[c[a hc S\baQVSWRS\ AW\R RWS S`abS\ ^O` bWSZZS\ /PZSWbc\US\ W\ SW\S[ >c\Yb α ϑ UZSWQV  ∧

Tf′′f α ϑ > 

→

`SZ ;W\W[c[ PSW α ϑ

2 α ϑ >  ∧

Tf′′f α ϑ < 

→

`SZ ;OfW[c[ PSW  α ϑ



7D &

3a Wab VWS` hc PS`ºQYaWQVbWUS\ ROaa PSW 2 α ϑ >  c\R USZbS\RS[ Tf′′f  α ϑ >  \Obº`ZWQV OcQV Tf′′ f α ϑ >  USZbS\ [caa 7ab 2 α ϑ >  c\R Tf′′f α ϑ <  UWZb Ocb][ObWaQV OcQV Tf′′ f α ϑ <   7[ @OV[S\ RS` Ÿ@SUSZ” 7D & Wab Sa ROVS` Oca `SWQVS\R \c` SW\S RS` PSWRS\ \WQVb US[WaQVbS\ heSWbS\ ^O`bWSZZS\ /PZSWbc\US\ W[ 6W\PZWQY OcT WV` D]`hSWQVS\ hc PSb`OQVbS\ O`bWSZZS /PZSWbc\US\ ^O`bWSZZS c\R b]bOZS 2WTTS`S\hWOZS

0dUVPQT 8E 0WZRS\ AWS RWS S`abS\ ^O`bWSZZS\ /PZSWbc\US\ RS` \OQVT]ZUS\RS\ 4c\YbW]\S\ O Tf  f  = S ff − f ⋅ Z\ f P Tf  f  = ff Q Tf  f  =

f

Q ⋅ f [Wb Q = Y]\abO\b

R Tf  f  = f ⋅ Z\ f ⋅ Sf ⋅f S Tf  f  = T Tf  f  = U Tf  f  =

f − f



f ⋅ f f −  Z\ f f

+

f − f

f −  f +

V Tf  f  = f − f  ⋅ Z\f  − f  W Tf  f  f !  = f f − f ! " + f ! f − f $ X Tf  f  f !  = f − f ⋅ f ! ⋅ Sf ⋅f Y Tf  f  f !  =

+ f!

f

+ Z\ f !

f ⋅ f ⋅ f ! f + f + f !

Z Tf  f  f !  =  ⋅ f # ⋅ f $ ⋅ f % ! [ Tf  f  f !  =

\

¦ f



+ OW f + PW f ! − QW  [Wb OW  PW  QW = Y]\abO\b

W =

\ Tf  f   f \  = S ] Tf  f   f \  =

−

\

¦ W = f W

\

¦W ⋅ f

! W



W =

B. Auer, F. Seitz, Grundkurs Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-8349-6925-5_14, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

260

IV Funktionen mehrerer Variablen

0dUVPQT 8E! 5SPS\ AWS \ÉVS`c\UaeSWaS O\ eWS aWQV RWS 4c\YbW]\ g + ff f! dS`É\RS`b eS\\ PSW f + f + f! +  O RWS DO`WOPZS f c[  OP\W[[b P OZZS DO`WOPZS\ c[  S`VrVb eS`RS\ DS`UZSWQVS\ AWS RWS O`bWSZZS 3ZOabWhWbÉbS\

0dUVPQT 8E" 0SabW[[S\ AWS RWS ES`bS RS` ^O`bWSZZS\ 3ZOabWhWbÉbS\ Tº` g = Tf  f  = f S O[ >c\Yb )  c\R W\bS`^`SbWS`S\ AWS RWS 3`USP\WaaS

 f − f 



0dUVPQT 8E# 5SUSPS\ aSW T]ZUS\RS >`]RcYbW]\aTc\YbW]\ d][ 1]PP2]cUZOaBg^(

G = O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅ 0−α−β 2OPSW aW\R G RS` =cb^cb : 9 c\R 0 RWS >`]RcYbW]\aTOYb]`S\ /`PSWb 9O^WbOZ c\R 0]RS\ c\R O α c\R β 9]\abO\bS\ 0S`SQV\S\ AWS RWS ^O`bWSZZS\ >`]RcYbW]\aSZOabWhWbÉbS\ RS` ! >`]RcYbW]\aTOYb]`S\

0dUVPQT 8E$

5SUSPS\ aSW T]ZUS\RS `SWaS RS` 5ºbS` f c\R h c\R g ROa 3W\Y][[S\ 2WS >O `O[SbS` O α β c\R δ abSZZS\ ^]aWbWdS 9]\abO\bS\ RO` 0S`SQV\S\ AWS RWS ^O`bWSZZS\ >`SWaSZOabWhWbÉbS\ RS` ZOQSP] Z]UWQO” RWS WV[ RWS PSYO\\bS /ab`]Z]UW\ 6cPS`bO AbcaaWS` S[^T]VZS\ VOb

3. Aufgaben

261

2S` HcaO[[S\VO\U YO\\ PSaQV`WSPS\ eS`RS\ Rc`QV RWS :S`\Tc\YbW]\ E[b

E[ b = $ +  [ + b − #[ −  #b

[Wb

[ b ≥ 

8SRS` :S`\bOU Y]abSb /Z]Wa  3c`] RS\\ a]dWSZ Yr\\bS S` O\RS`\TOZZa OZa /caVWZTa Y`OTb W[ 4Oab4]]R@SabOc`O\b ;Q2OU]PS`b dS`RWS\S\) RWS Ec\RS`R`]US Y]abSb ^`] 5`O[[ # 3c`] O EWS ZO\US a]ZZ /Z]Wa ZS`\S\ c\R eSZQVS 2]aWS`c\U RS` Ec\RS`R`]US a]ZZ S` eÉVZS\ RO[Wb aSW\ EWaaS\aabO\R W\ ;ObVS[ObWYAbObWabWY [OfW[OZ eW`R- P EWS a]ZZ /Z]Wa :S`\hSWb c\R Ec\RS`R`]US Y][PW\WS`S\ eS\\ S` W\aUSaO[b ! 3c`] OcTeS\RS\ eWZZ- Q ;O\ S`[WbbZS W\ O c\R P RWS 6rVS RSa [OfW[OZS\ EWaaS\aabO\RSa a]eWS RS\ ROTº` S`T]`RS`ZWQVS\ TW\O\hWSZZS\ /cTeO\R c\R Y][[S\bWS`S ROa 3`USP\Wa

0dUVPQT 8E& 2WS `SWaS RS` 5ºbS` f c\R h aSWS\ ^f +  3c`] c\R ^h +  3c`] 2Oa Tº` 9]\ac[ heSQYS hc` DS`TºUc\U abSVS\RS 3W\Y][[S\ g PSb`OUS  3c`] 0S`SQV\S\ AWS RWS \cbhS\[OfW[OZS\ `]RcYbSa heSWS` 4c\Y bW]\S\ Yr\\S\ eW` RWSaSa Rc`QV ^O`bWSZZS 7\bSU`ObW]\ PSabW[[S\ 2WS VW\bS` RS` ^O`bWSZZS\ 7\bSU`ObW]\ abSQYS\RS @SUSZ Yr\\S\ eW` OPZSWbS\ W\ RS[ eW` hc\ÉQVab RWS >`]RcYb`SUSZ RS` 2WTTS`S\hWObW]\

R Tf ⋅ Uf = T ′f ⋅ Uf + Tf ⋅ U′f Rf PSb`OQVbS\ 7\bSU`WS`S\ eW` PSWRS 5ZSWQVc\UaaSWbS\ S`VOZbS\ eW` \OQV C[T]`[c\U

³ Tf ⋅ U′f Rf = ³

R Tf ⋅ Uf Rf − T ′f ⋅ Uf Rf  Rf

³

0S`ºQYaWQVbWUS\ eW` RWS 7\bSU`ObW]\aY]\abO\bS RSa S`abS\ 7\bSU`OZa OcT RS` `SQVbS\ 5ZSWQVc\UaaSWbS W[ heSWbS\ 7\bSU`OZ RS` `SQVbS\ ASWbS S`VOZbS\ eW` RO`Oca RWS OZZ US[SW\S ATVT[ ida _PacXT[[T] 8]cTVaPcX^]

³ Tf ⋅ U′f Rf = Tf ⋅ Uf − ³ T ′f ⋅ Uf 



D#

RWS UWZb eS\\ Tf c\R Uf abSbWUS /PZSWbc\US\ PSaWbhS\ 2WSaS /PZSWbc\Ua`SUSZ aWSVb OcT RS\ S`abS\ 0ZWQY `SQVb Y][^ZWhWS`b Oca HcRS[ Wab W[ 3`USP\Wa eWSRS` SW\ 7\bSU`OZ S\bVOZbS\ eOa eS\WU AW\\ hc [OQVS\ aQVSW\b D]`bSWZ SW\S` a]ZQVS\ @SUSZ Wab Sa OPS` ROaa ROa \Sc S\babSVS\RS 7\bSU`OZ [O\QV[OZ SW\TOQVS` hc PSabW[[S\ Wab ºPS` 5`c\RW\bSU`OZS OZa ROa c`a^`º\UZWQVS 7\bSU`OZ Hc` C[aSbhc\U S[^TWSVZb Sa aWQV d]\ RS\ PSWRS\ d]`ZWSUS\RS\ 4c\YbW]\S\ RS`S\ >`]RcYb W\bSU`WS`b eS`RS\ a]ZZ RWSXS\WUS OZa U ′f hc eÉVZS\ RWS ZSWQVbS` W\bSU`WS`b eS`RS\ YO\\ Beispiel:

³x

4

⋅ ln x dx 4

Der erste Faktor x dieses Funktionsproduktes ist einfacher zu integrieren, sodass dieser als g'(x) gewählt wird. Nach dieser Wahl können wir folgende Berechnungen anstellen, wobei wir die Integrationskonstante c zunächst vernachlässigen können: f(x) = ln x

→

f ′(x) =

1 x

g′(x) = x 4

→

g(x) =

x5 5

270

V Integralrechnung Eingesetzt in (V.15) erhalten wir damit:

³

ln x ⋅ x 4 dx = ln x ⋅

x5 − 5

³

1 x5 x5 ⋅ dx = ln x ⋅ − x 5 5

³

1 4 x5 x5 ⋅ x dx = ln x ⋅ − +c 5 5 25

5WPb Sa YSW\S SW\RScbWUS\ 6W\eSWaS OcT SW\S PSabW[[bS EOVZ a]ZZbS hc\ÉQVab [Wb SW\S` DO`WO\bS US`SQV\Sb c\R aWQV Tº` RWS /ZbS`\ObWdS S\baQVWSRS\ eS`RS\ eS\\ [O\ PSW RS` S`abS\ DO`WO\bS \WQVb eSWbS`Y][[b 3W\ DO`WO\bS\eSQVaSZ S[^TWSVZb aWQV OcQV eS\\ RWS ŸSW\TOQVS`S” DO`WO\bS \WQVb hc` :rac\U TºV`b R V ROa \Sc S\b abSVS\RS 7\bSU`OZ OcT RS` `SQVbS\ ASWbS d]\ D# a]UO` \]QV Y][^ZWhWS`bS` eW`R OZa ROa c`a^`º\UZWQVS 7\bSU`OZ Beispiel:

³ x⋅2

x

dx

Variante 1:

f(x) = 2x

→

f ′(x) = 2x ⋅ ln 2

g′(x) = x

→

g(x) =

³2

x

⋅ x dx = 2x ⋅

1 2 x 2

1 2 1 1 ln 2 x − 2x ⋅ ln 2 ⋅ x 2 dx = 2x ⋅ x 2 − ⋅ 2x ⋅ x 2 dx 2 2 2 2

³

³

Durch die hier durchgeführte partielle Integration erhöht sich der Komplexitätsgrad. Wir sind daher zu einem Variantenwechsel gezwungen. Variante 2: f(x) = x

→

f ′(x) = 1

g′(x) = 2x

→

g(x) =

³x⋅2

x

dx = x ⋅ =

2x ln 2

2x 2x x ⋅ 2x 1 dx = − 1⋅ − ⋅ 2x dx ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

³

³

x ⋅ 2x 1 2x x ⋅ 2x 2x − ⋅ +c = − +c ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 (ln 2)2

3W\S >O`bWSZZS 7\bSU`ObW]\ YO\\ OcQV [SV`TOQV VW\bS`SW\O\RS` Rc`QVUSTºV`b eS`RS\ R V OcT ROa 7\bSU`OZ RS` `SQVbS\ ASWbS d]\ D# eWSRS`V]Zb O\USeS\RSb eS`RS\ PWa aWQV SW\ SW\TOQV hc W\bSU`WS`S\RS` /caR`cQY S`UWPb 7\ DO`WO\bS  RSa d]`VS`US VS\RS\ 0SWa^WSZa Yr\\S\ eW` RWSa \WQVb Rc`QVTºV`S\ RO aWQV RORc`QV RWS 9][^ZS fWbÉb RSa 7\bSU`OZa S`\Scb S`VrVS\ eº`RS c\R eW` \WS SW\S\ SW\TOQV hc W\bSU`WS`S\ RS\ /caR`cQY S`VOZbS\ Beispiel:

³

3

x 5 ⋅ e x ⋅ 3 x dx

Es empfiehlt sich stets bei Produkten, die scheinbar aus mehr als zwei Faktoren zu bestehen scheinen, eine Umformung auf nur zwei Faktoren zu versuchen. Wir erhalten hier:

1. Begriff und Integrationstechnik

³

3

x5 ⋅ e x ⋅ 3 x dx =

³x

5 3

1

⋅ x 3 ⋅ e x dx =

271

³x

2

⋅ e x dx

Eine erste partielle Integration dieses vereinfachten Ausdrucks liefert: f(x) = x 2

→

f ′(x) = 2x

g′(x) = e

→

g(x) = e x

³x

2

x

³

³

⋅ e x dx = x 2 ⋅ e x − 2x ⋅ e x dx = x 2 ⋅ e x − 2 ⋅ x ⋅ e x dx

Für das neu entstehende (einfachere) Integral können wir nun erneut eine partielle Integration vornehmen:

³ x⋅e

x

dx

f(x) = x

→

f ′(x) = 1

g′(x) = e x

→

g(x) = e x

³x⋅e

x

³

dx = x ⋅ e x − 1⋅ e x dx = x ⋅ e x − e x + c

Die Zusammenführung beider Ergebnisse liefert unter Zusammenfassung der auftretenden Integrationskonstanten:

³x

2

⋅ e x dx = x 2 ⋅ e x − 2 ⋅ (x ⋅ e x − e x ) + c = x 2 ⋅ e x − 2 ⋅ x ⋅ e x − 2 ⋅ e x + c = e x ⋅ (x 2 − 2x − 2) + c

7\ SW\WUS\ 4ÉZZS\ YO\\ Sa OcQV d]\ D]`bSWZ aSW\ ^O`bWSZZ hc W\bSU`WS`S\ eS\\ c` a^`º\UZWQV YSW\ >`]RcYb heSWS` 4c\YbW]\S\ d]`ZWSUb /Za heSWbS` 4OYb]` Y][[b \É[ZWQV W[[S` RWS ZSWQVb hc W\bSU`WS`S\RS 4c\YbW]\ g +  W\ 4`OUS Beispiel: Wir können Formel (V.8) wie folgt herleiten:

³ ln x dx = ³ 1⋅ ln x dx f(x) = ln x

→

g′(x) = 1

→

1 x g(x) = x f ′(x) =

1

³ ln x dx = x ⋅ ln x − ³ x ⋅ x dx = x ⋅ ln x − x + c

für x > 0



# 8]cTVaPcX^] SdaRW BdQbcXcdcX^] Hc` /PZSWbc\U SW\S` hcaO[[S\USaSbhbS\ 4c\YbW]\ eW`R W[ @OV[S\ RS` 9SbbS\`SUSZ RWS W\\S`S 4c\YbW]\ acPabWbcWS`b a]ROaa eW` Oca g + TUf [Wb h + Uf SW\S d]\ RS` Ab`cYbc` VS` dS`SW\TOQVbS 4c\YbW]\ [Wb RS` \ScS\ DS`É\RS`ZWQVS\ h S`VOZbS\ 2WS 7\bSU`ObW]\ Rc`QV AcPabWbcbW]\ eS\RSb US\Oc ROa UZSWQVS >`W\hW^ O\ 2c`QV DO`WOPZS\acPabWbcbW]\ eW`R VWS` dS`acQVb SW\S hcaO[[S\USaSbhbS 4c\YbW]\ a]eSWb hc dS`SW\TOQVS\ PWa aWS OcT PSYO\\bS 7\bSU`OZS hc`ºQYUSTºV`b Wab

272

V Integralrechnung

9]\Y`Sb eW`R PSW RS` 8]cTVaPcX^] SdaRW BdQbcXcdcX^] SW\ 7\bSU`OZ RSa Bg^a

³ TUf ⋅ U′f Rf

Rc`QV RWS AcPabWbcbW]\ h + Uf OcT ROa 7\bSU`OZ

³ Th Rh

hc`ºQYUSTºV`b RO ROa 2WTTS`S\hWOZ RS` \ScS\ DO`WOPZS Rh = U ′f Rf ZOcbSb Beispiel:

³

x 3 − 1 ⋅ 3x 2 dx

1. Schritt: Substitution

z = x3 − 1

³

→

z ⋅ 3x 2 dx

2. Schritt: Ermittlung von dx

z = x3 − 1

z′ =

→

dz 1 = 3x 2 ↔ dx = 2 ⋅ dz dx 3x

3. Schritt: Zusammenführung und Integration

³

z ⋅ 3x 2 ⋅

1 3x

2

dz =

³

z dz =

2 32 2 ⋅ z + c = ⋅ z3 + c 3 3

4. Schritt: Resubstitution

³

x3 − 1 ⋅ 3x 2 dx =

2 ⋅ (x 3 − 1)3 + c 3

7\ RWSaS[ S`abS\ 0SWa^WSZ S\ba^`OQV RS` 7\bSU`O\R US\Oc RS` W\ RS` @SUSZ RSTW\WS` bS\ 4]`[ R V SW\S` RS` 4OYb]`S\ RSa 7\bSU`O\RS\ eO` US\Oc RWS /PZSWbc\U RS` W\\S`S\ 4c\YbW]\ RSa O\RS`S\ 4OYb]`a 2Oa \OQVT]ZUS\RS 0SWa^WSZ hSWUb ROaa RWSaS 4]`[ XSR]QV \WQVb W[[S` SfOYb d]`ZWSUS\ [caa c[ RWS AcPabWbcbW]\a`SUSZ O\eS\ RS\ hc Yr\\S\ Beispiel:

³e

x2

⋅ x dx

1. Schritt: Substitution

z = x2

→

³e

z

⋅ x dx

2. Schritt: Ermittlung von dx z = x2

→

z′ =

dz = 2x dx

↔ dx =

1 ⋅ dz 2x

3. Schritt: Zusammenführung und Integration

³

ez ⋅ x ⋅

1 dz = 2x

³

ez 1 dz = ⋅ e z + c 2 2

1. Begriff und Integrationstechnik

273

4. Schritt: Resubstitution 2 2 1 e x ⋅ x dx = ⋅ e x + c 2

³



EWS RWS \OQVT]ZUS\RS\ 0SWa^WSZS hSWUS\ Yr\\S\ eW` [Wb 6WZTS RS` AcPabWbcbW]\a `SUSZ RWS 8]cTVaP[T fXRWcXVTa 5d]ZcX^]T] WTa[TXcT] EW` S`YS\\S\ PSW RWSaS\ 6S`ZSW bc\US\ OczS`RS[ ROaa Sa hc[ BSWZ \]beS\RWU Wab d]` SW\S` DO`WOPZS\acPabWbcbW]\ RWS 4c\YbW]\ USaQVWQYb c[hcT]`[S\ eOa dWSZ 3`TOV`c\U d]`OcaaSbhb Beispiele: 1. Herleitung von (V.7):

³a

x

³e

ln a x

dx =

dx =

³e

x ⋅ln a

dx

1. Schritt:

z = x ⋅ ln a

→

³e

2. Schritt:

z = x ⋅ ln a

→

z′ =

3. Schritt:

³e

4. Schritt:

³

z

⋅

z

dx dz = ln a dx

↔

dx =

1 ⋅ dz lna

1 1 dz = ⋅ ez + c ln a ln a

a x dx =

1 ax ⋅ e x⋅ln a + c = +c ln a ln a

2. Herleitung von (V.9):



³e

a⋅ x + b

dx

1. Schritt:

z = a⋅x +b

→

2. Schritt:

z = a⋅x +b

→

3. Schritt:

³e

z

4. Schritt:

³e

a⋅x + b

⋅

³e

z

dx

z′ =

dz =a dx

↔

dx =

1 ⋅ dz a

↔

dx =

1 ⋅ dz a

1 1 dz = ⋅ ez + c a a dx =

1 a⋅ x +b ⋅e +c a

3. Herleitung von (V.10):

³ (a ⋅ x + b)

n

dx

1. Schritt:

z = a⋅x +b

→

³z

2. Schritt:

z = a⋅x +b

→

z′ =

3. Schritt:

³z

4. Schritt:

³ (a ⋅ x + b)

n

⋅

n

dx dz =a dx

1 1 ⋅ zn+1 + c dz = a a ⋅ (n + 1) n

dx =

1 ⋅ (a ⋅ x + b)n +1 + c a ⋅ (n + 1)

274

V Integralrechnung 4. Herleitung von (V.11):



1

³ a ⋅ x + b dx 1

1. Schritt:

z = a⋅x +b

→

³ z dx

2. Schritt:

z = a⋅x +b

→

z′ =

3. Schritt:

³ z ⋅ a ⋅ dz = a ⋅ ln z + c

4. Schritt:

³ a ⋅ x + b dx = a ⋅ ln a ⋅ x + b + c

1 1

dz =a dx

↔

dx =

1 ⋅ dz a

1

1

1

2WS 4]`[SZ\ D' D c\R D aW\R a^ShWSZZS /ca^`ÉUc\US\ SW\S` OZZUS[SW \S\ 7\bSU`ObW]\a`SUSZ RWS aWQV Oca RS` 7\bSU`ObW]\ Rc`QV AcPabWbcbW]\ S`UWPb AWS PS aOUb ROaa W[ 4OZZS [X]TPaTa BdQbcXcdcX^] W[[S`



³ TO ⋅ f + P Rf = O ⋅ 4O ⋅ f + P + Q



D$

UWZb e]PSW O SW\S d]\ f ≤ F ≤ f  ROaa RWS HcTOZZadO`WOPZS F SW\S\ ES`b Oca RS[ 7\bS`dOZZ If f K O\\W[[b 2WSaS Wab \É[ZWQV US\Oc UZSWQV RS` 4ZÉQVS c\bS` RS` 2WQVbSTc\YbW]\ W[ S\ba^`SQVS\RS\ /PaQV\Wbb If f K R V Sa UWZb f



>f ≤ F ≤ f  =

³ φf Rf 

D! 

f

/PPWZRc\U D & dS`O\aQVOcZWQVb RWSa /ca D!  ZÉaab aWQV SW\S 0Sa]\RS`VSWb abSbWUS` HcTOZZadO`WOPZS\ OPZSWbS\ RWS PSaOUb ROaa RWS EOV`aQVSW\ZWQVYSWb ROaa F SW\ PS abW[[bSa f O\\W[[b W[[S` F = f = >f ≤ F ≤ f = φf Rf =  

D!!

f

HcRS[ UWZb ROaa RWS USaO[bS 4ZÉQVS c\bS` SW\S` 2WQVbSTc\YbW]\ UZSWQV 3W\a aSW\ [caa /\RS`\TOZZa Rº`TS\ eW` RWS 4c\YbW]\ \WQVb OZa 2WQVbSTc\YbW]\ PShSWQV\S\ +∞



³ φf Rf = 

−∞

D!"

290

V Integralrechnung



φ

f

>f ≤ F ≤ f  =



³ φf Rf

f



φf



f

f

f

/PPWZRc\U D &( 2WQVbSTc\YbW]\ 2WS a]U ETacTX[d]VbUd]ZcX^] Φf SW\S` abSbWUS\ HcTOZZadO`WOPZS\ F UWPb RWS EOV`aQVSW\ZWQVYSWb ROTº` O\ ROaa F SW\S\ ES`b YZSW\S` ]RS` UZSWQV f O\\W[[b c\R Wab RSTW\WS`b OZa ROa PSabW[[bS 7\bSU`OZ RS` 2WQVbSTc\YbW]\ d]\ ’∞ PWa hc` 5`S\hS f( f



³ φh Rh

Φ f =

D!#

−∞

3W\S W\ BVS]`WS c\R >`OfWa PSRScbS\RS 2WQVbSTc\YbW]\ Wab RWS RS` a]U BcP]SPaS ]^a\P[eTacTX[d]V AWS ZOcbSb −h  φh = ⋅ S  D!$ π e]PSW S RWS 3cZS`—aQVS HOVZ c\R π RWS 9`SWahOVZ Wab 2O[Wb S`VOZbS\ eW` RWS ETacTX [d]VbUd]ZcX^]

Φ f =

 π

f

⋅

³S

−h

Rh 

D!%

−∞

/PPWZRc\U D ' dS`O\aQVOcZWQVb RS\ DS`ZOcT PSWRS` 4c\YbW]\S\ C[ WV`S\ HcaO[ [S\VO\U OcThchSWUS\ Wab W\ RWS 5`OTWY RWS EOV`aQVSW\ZWQVYSWb ROTº` OcTUS\][[S\ ROaa SW\S abO\RO`R\]`[OZdS`bSWZbS HcTOZZadO`WOPZS SW\S\ ES`b YZSW\S` OZa α O\\W[[b 2WSaS Yr\\S\ eW` OZa 4ZÉQVS c\bS` RS` 2WQVbSTc\YbW]\ ]RS` Rc`QV 3W\aSbhS\ RSa ES`bSa W\ RWS DS`bSWZc\UaTc\YbW]\ PSabW[[S\ EWS /PPWZRc\U 7D ' OczS`RS[ hSWUb Wab RWS AbO\RO`R\]`[OZdS`bSWZc\U ag[[Sb`WaQV hc` =`RW\ObS 3a Wab ROVS` OcQV [rUZWQV RWS DS`bSWZc\UaTc\YbW]\ D!% Phe ROa W\ WV` abSQYS\RS 7\bSU`OZ \c` d]\  PWa f hc PS`SQV\S\ c\R c[ RS\ ES`b RS` DS`bSW Zc\UaTc\YbW]\ hc S`VOZbS\ # hc ORRWS`S\ C[ Y]\Y`SbS EOV`aQVSW\ZWQVYSWbS\ O\USPS\ hc Yr\\S\ UWZb Sa D!% hc PS`SQV \S\ 3a ZWSUb VWS` OPS` SW\ bg^WaQVS` DS`b`SbS` d]\ 4c\YbW]\S\ d]` RWS aWQV \WQVb W\ USaQVZ]aaS\S` 4]`[ W\bSU`WS`S\ ZOaaS\ EW` [ºaaS\ OZa] OcT \c[S`WaQVS ;SbV]RS\ hc`ºQYU`SWTS\ d]\ RS\S\ eW` W[ 4]ZUSOPaQV\Wbb RWS heSW PSYO\\bSabS\ d]`abSZZS\

2. Ökonomische Anwendungen

291

Hc` DS`O\aQVOcZWQVc\U RWSaS` DS`TOV`S\ eS`RS\ eW` XSeSWZa OcThSWUS\ eWS aWQV EOV`aQVSW\ZWQVYSWbS\ Tº` abO\RO`R\]`[OZdS`bSWZbS HcTOZZadO`WOPZS\ PS`SQV\S\ ZOa aS\ 7\ RS` >`OfWa [ºaaS\ eW` RWSaS XSR]QV \WQVb abSba OcTa 0 und x > 0 liefert die Integration bei Zusammenfassung der Integrationskonstanten die allgemeine Lösung ln(y − 1) = x + ln x + c

↔

y − 1 = e x +ln x + c = e x ⋅ eln x ⋅ ec = ec ⋅ x ⋅ e x

↔

y = ec ⋅ x ⋅ e x + 1.

Mit einer Anfangsbedingung von z. B. y(x = 1) = e + 1 erhalten wir c = 0 und damit als x spezielle Lösung y = x ⋅ e + 1. 2

2

3. Für (x + 1) ⋅ y' = 2x ⋅ y ergibt sich 1

³y

2

dy =

³x

2x 2

+1

dx,

woraus wir die allgemeine Lösung − y −1 = ln(x 2 + 1) + c

↔

−1

y=

2

ln(x + 1) + c

erhalten. Aus einer Anfangsbedingung von z. B. y(x = 0) = 0,5 erhalten wir c = –2 und somit die spezielle Lösung y=

1 2 − ln(x 2 + 1)

.

4. Für y' = y + x erhalten wir bei Berücksichtigung der Substitution z = y + x 1

³ z + 1 dz = ³ 1 dx, woraus sich für z + 1 > 0 die allgemeine Lösung ln(z + 1) = x + c

↔

z + 1 = e x +c

↔

z = ec ⋅ e x − 1

bzw. nach Resubstitution y = ec ⋅ e x − x − 1 ergibt. Für z. B. y(x = 0) = 4 erhalten wir c = ln 5 und damit die spezielle Lösung y = 5e x − x − 1.

298

V Integralrechnung

/cQV VTf»W][XRWT [X]TPaT 3XUUTaT]iXP[V[TXRWd]VT] W»WTaTa >aS]d]V Yr\\S\ eW` \ Rc`QV SW\TOQVS 7\bSU`ObW]\a^`]hSaaS ZraS\ eS\\ aWS d][ a^ShWSZZS\ Bg^ g + g [Wb g + Tf aW\R Beispiel: 2

Die lineare Differenzialgleichung 3. Ordnung y''' = 60x + 12 wird durch drei hintereinander geschaltete unbestimmte Integrationen gelöst, die jeweils eine neue Integrationskonstante erfordern. Wir erhalten sukzessive 3

y'' = 20x + 12x + c1 4

2

y' = 5x + 6x + c1x + c2 5

3

2

y = x + 2x + 0,5c1x + c2x + c3 . Die Anzahl der in der allgemeinen Lösung vorkommenden Integrationskonstanten stimmt also mit der Ordnung der Differenzialgleichung überein. Im vorliegenden Fall könnte eine spezielle Lösung durch Vorgabe dreier Anfangsbedingungen, die Informationen zu c1, c2 bzw. c3 liefern, gewonnen werden. Für die Werte y(0) = 7, y'(0) = 0, y''(0) = 1 bzw. durch Einsetzen in y, y' und y'' erhalten wir nacheinander c3 = 7, c2 = 0 und c1 = 1 und damit die 5 3 2 spezielle Lösung y = x + 2x + 0,5x + 7.

2.6.3

Ökonomische Anwendungen separabler Differenzialgleichungen

D]\ RS\ hOVZ`SWQVS\ /\eS\Rc\US\ aS^O`OPZS` 2WTTS`S\hWOZUZSWQVc\US\ PSVO\RSZ\ eW` W[ 4]ZUS\RS\ \c` ROa Sf^]\S\hWSZZS EOQVabc[ c\R 4c\YbW]\S\ [Wb d]`USUS PS\S` 3ZOabWhWbÉb 4º` eSWbS`S /\eS\Rc\US\ aSW OcT BWSbhS  & dS`eWSaS\

 4g_^]T]iXT[[Tb FPRWbcd\ 7\ rY]\][WaQVS\ /\eS\Rc\US\ b`SbS\ USerV\ZWQVS 2WTTS`S\hWOZUZSWQVc\US\ VÉc TWU RO\\ OcT eS\\ RWS HSWb b OZa c\OPVÉ\UWUS abSbWUS DO`WOPZS OcTb`Wbb R V g + Tb UWZb 7\ RWSaS[ 4OZZ abSZZb RWS S`abS /PZSWbc\U g ′ \ÉVS`c\UaeSWaS RWS Ò\RS`c\U d]\ g ^`] HSWbSW\VSWb RO` c\R XSRS 0ShWSVc\U heWaQVS\ RS\ 0SabO\RaeS`bS\ g c\R WV`S\ hSWbZWQVS\ Ò\RS`c\US\ g ′ YO\\ Rc`QV SW\S 2WTTS`S\hWOZUZSWQVc\U PSaQV`WSPS\ eS`RS\ `] ^]`bW]\OZWbÉbaTOYb]` ^ UWZb RWS 0ShWSVc\U

P′b = ^ ⋅ Pb [Wb



Pb > 

D""

3a VO\RSZb aWQV ROPSW c[ SW\S USerV\ZWQVS ZW\SO`S 2WTTS`S\hWOZUZSWQVc\U S`abS` =`R\c\U Tº` RWS USacQVbS hSWbOPVÉ\UWUS 0SdrZYS`c\UaPSabO\RaTc\YbW]\ Pb C[ RWSaS hc TW\RS\ eS\RS\ eW` D"! OcT D"" O\ EW` S`VOZbS\



³ Pb RPb = ^ ⋅ ³  Rb

Z\ Pb = ^ ⋅ b + Q

↔

2O`Oca S`UWPb aWQV RWS USacQVbS 0SabO\RaTc\YbW]\

Pb = Y ⋅ S^b

[Wb

Y = SQ > 

D"#

2. Ökonomische Anwendungen

299

2S` 0SabO\R É\RS`b aWQV OZa] Tg_^]T]iXT[[ [Wb RS` abSbWUS\ Ò\RS`c\Ua`ObS ^ ^`] HSWbSW\VSWb 2WS 7\bSU`ObW]\aY]\abO\bS Y YO\\ Rc`QV SW\S /\TO\UaPSRW\Uc\U PS abW[[b eS`RS\ 7ab SbeO RS` 0SabO\R hc[ HSWb^c\Yb b +  UZSWQV  R V  +  ^b P + Y ⋅ S + Y a] ZOcbSb RWS a^ShWSZZS 0SabO\RaTc\YbW]\ Pb +  ⋅ S  7ab ^ ^]aW bWd \SUObWd eÉQVab TÉZZb RS` 0SabO\R Pb W[ HSWbOPZOcT dUZ 3WUS\aQVOTbS\ RS` 3f^]\S\hWOZTc\YbW]\ W\ /PaQV\Wbb 777 " 4º` ^ +  PZSWPb RS` 0SabO\R c\dS` É\RS`b PSW Y Phe VWS` 

! 5d]ZcX^]T] \Xc e^aVTVTQT]T] 4[PbcXiXcÊcT] 2WS 2STW\WbW]\aUZSWQVc\U Tº` RWS 3ZOabWhWbÉb εgf SW\S` RWTTS`S\hWS`PO`S\ 4c\YbW]\ g + Tf S\a^`WQVb SW\S` 2WTTS`S\hWOZUZSWQVc\U Tº` RWS 4c\YbW]\ g + Tf( f ε gf = g ′ ⋅ g 7ab RWS 3ZOabWhWbÉbaTc\YbW]\ d]`USUSPS\ Yr\\S\ eW` dS`acQVS\ ºPS` RWS :rac\U RWSaS` 2WTTS`S\hWOZUZSWQVc\U RWSXS\WUS\ 4c\YbW]\S\ OcaTW\RWU hc [OQVS\ RWS ROa d]`USUSPS\S 3ZOabWhWbÉbadS`VOZbS\ PSaWbhS\ Beispiel 1: Lineare Elastizitätsfunktionen Gegeben sei die Elastizitätsfunktion εy,x = ax + b mit a, b = konstant und x, y > 0. Wir interessieren uns nun dafür, welche Funktionen dieses Elastizitätsverhalten aufweisen. Zu lösen ist dazu die Differenzialgleichung y′ ⋅ x = ax + b. y Anwendung von (V.43) führt zu

§

1

b·

³ y dy = ³ ¨© a + x ¸¹ dx

↔ ln y = ax + b ⋅ ln x + c

bzw. zu den gesuchten Funktionen y = eax +b⋅ln x + c = k ⋅ xb ⋅ eax

k = ec > 0, x > 0.

mit

b

Jede Funktion, die sich als Produkt aus einer Potenzfunktion x und einer Exponenzialax funktion e ergibt, besitzt also eine lineare Elastizitätsfunktion. Für den Sonderfall a = 0 ergibt sich εy,x = b, d. h. y ist eine elementare Potenzfunktion b ax y = k ⋅ x . Im Fall b = 0 erhalten wir εy,x = ax und die dazugehörigen Funktionen y = k ⋅ e . Die elementaren Exponenzialfunktionen sind also die einzigen Funktionen, deren Elastizitätsfunktionen Ursprungsgeraden sind.

Beispiel 2: Übereinstimmende Elastizitätsfunktionen Gegeben sei die Elastizitätsfunktion εy,x = f(x), d. h. jetzt sind die Funktionen gesucht, die mit ihren Elastizitätsfunktionen übereinstimmen. Dazu lösen wir die Differenzialgleichung y′ ⋅ x = y. y Wir erhalten 1

³y

2

dy =

1

³ x dx

↔

−

1 = ln x + c y

300

V Integralrechnung bzw. y=

−1 ln x + c

für

x > 0, x ≠ e −c .

Mit der Anfangsbedingung f(1) = 1 erhalten wir z. B. wegen 1 = –1/c bzw. c = –1 die spezielle Lösung y=

1 . 1 − ln x

Für diese Funktion stimmt an jeder Stelle x ∈ \ + \ {e} der Funktionswert y mit der Elastizität εy,x überein. An der Stelle x = e besitzt y einen Pol. Die nachfolgende Skizze zeigt, dass die Elastizität positiv ist, solange x < e gilt. Ist x > e, ist die Elastiziät negativ. y, ε y,x ε>0

x

e

ε`]RcYb WV`S` 6Oc^bRWOU]\OZSZS[S\bS Wab(

RSb > = ] ⋅ ] ⋅  ⋅ ] [[ =



[

∏]

WW



D7$"

W =

2WSaS ÍPS`ZSUc\US\ USZbS\ S\ba^`SQVS\R Tº` c\bS`S 2`SWSQYa[Ob`WhS\ D RS`S\ HSW ZS\S\beWQYZc\U hc[ aSZPS\ 3`USP\Wa TºV`b Beispiel:

§2 ¨ ¨0 O = ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©



9 0· ¸ 1 1¸ 0 3 2 0 ¸ → det O = ¸ 0 0 −1 2 ¸ 0 0 0 1¸¹ 5 7 1 2

2 5 7 0 1 2

9 0 1 1

0 0 3 2 0 = 2 ⋅ 1⋅ 3 ⋅ ( −1) ⋅ 1 = −6 0 0 0 −1 2 0 0 0

0

1

Hc[ /PaQVZcaa RWSaSa SW\TºV`S\RS\ /PaQV\Wbba e]ZZS\ eW` \]QV SW\WUS eWQVbWUS 4XVT]bRWPUcT] e^] 3TcTa\X]P]cT] OcTTºV`S\(

ƒ

DS`bOcaQVS\ eW` W\ SW\S` ;Ob`Wf heSW PS\OQVPO`bS HSWZS\ ]RS` A^OZbS\ É\RS`b aWQV ROa D]`hSWQVS\ WV`S` 2SbS`[W\O\bS

ƒ

;cZbW^ZWhWS`S\ eW` SW\S HSWZS ]RS` A^OZbS SW\S` ;Ob`Wf [Wb SW\S[ 4OYb]` λ É\RS`b aWQV OcQV WV`S 2SbS`[W\O\bS c[ RWSaS\ 4OYb]`

ƒ

ES`RS\ OZZS HSWZS\ A^OZbS\ SW\S` ;Ob`Wf [Wb RS[aSZPS\ 4OYb]` λ [cZbW^ZW [ hWS`b dS`É\RS`b aWQV RS` ES`b WV`S` 2SbS`[W\O\bS c[ ROa λ TOQVS 4º` SW\S [ × [;Ob`Wf 0 UWZb OZa] [

RSbλ ⋅ 0 + λ ⋅ RSb 0



D7$#

ƒ

4º` RWS 2SbS`[W\O\bS RSa >`]RcYba heSWS` ;Ob`WhS\ 0 c\R 1 UWZb

ƒ

RSb 0 ⋅ 1  = RSb 0 ⋅ RSb 1 D7$$ 2WS 2SbS`[W\O\bS\ SW\S` ;Ob`Wf c\R WV`S` B`O\a^]\WS`bS\ aW\R UZSWQV(



ƒ

RSb 0 = RSb 0 B D7$% ’ HeWaQVS\ RS\ 2SbS`[W\O\bS\ SW\S` ;Ob`Wf 0 c\R WV`S` 7\dS`aS\ 0 dUZ /PaQV\Wbb D7 "! PSabSVb RWS 0ShWSVc\U  D7$& RSb 0 − =  RSb 0

ƒ

0SW\VOZbSb SW\S ;Ob`Wf SW\S _cX\P[XcÊcbZaX cTaXd\( EW` eÉVZS\ SW\S A^OZbS W\ eSZQVS` RS` FTac STa IXT[Ud]ZcX^] ]TVPcXe Wab

370

VI Lineare Algebra

AW\R OZZS ES`bS RS` HWSZTc\YbW]\ahSWZS ^]aWbWd VOPS\ eW` ROa 3\RbOPZSOc S``SWQVb 2WS ]^bW[OZS :rac\U Wab RO\\ RWS RWSaS[ BOPZSOc S\ba^`SQVS\RS 0OaWaZrac\U Wd]ba^OZbS W\ RS` SW\ 3W\VSWbadSYb]` S`hScUb eS`RS\ a]ZZ Wab \]QV RWS >Wd]bhSWZS hc eÉVZS\ R V RWS HSWZS W\ RS` RWS  S\babSVS\ a]ZZ 2c`QV SW\S US SWU\SbS EOVZ RS` >Wd]bhSWZS Yr\\S\ eW` UO`O\bWS`S\ ROaa RWS S\babSVS\RS \ScS 0OaWaZrac\U hcZÉaaWU Wab 2WS 0SRW\Uc\U RWS RWSa USeÉV`ZSWabSb VSWzb 4]V_Pbb ZaXcTaXd\ c\R ZOcbSb eWS T]ZUb( :WSUb SW\ AW[^ZSfbOPZSOc d]` c\R a]ZZ W\ RS` XbS\ A^OZbS SW\ 3W\VSWbadSYb]` S`hScUb eS`RS\ eÉVZS\ eW` ROaXS\WUS OWX OZa >Wd]bSZS[S\b R V RWSXS\WUS HSWZS W OZa >Wd]bhSWZS Tº` RWS RS` XSeSWZWUS ?c]bWS\b PWOWX aSW\S\ Z[TX]bcT] _^bXcXeT] ES`b O\\W[[b HeSQY[ÉzWUS`eSWaS TºV`S\ eW` W[ BOPZSOc RSa VOZP \]QV SW\S A^OZbS Tº` RWS ?c]bWS\bS\ PWOWX SW\ 7\aUSaO[b Yr\\S\ eW` RWS D]`USVS\aeSWaS hc` :rac\U SW\Sa AbO\RO`R[OfW[WS `c\Ua^`]PZS[a [WbbSZa RSa AW[^ZSfdS`TOV`S\a Rc`QV /PPWZRc\U 7D % dS`O\aQVOc ZWQVS\ 2Oa \OQVT]ZUS\RS 0SWa^WSZ dS`RScbZWQVb aSW\S Y]\Y`SbS C[aSbhc\U

/cTabSZZS\ RSa [ObVS[ObWaQVS\ ;]RSZZa



3W\TºV`c\U d]\ AQVZc^TdO`WOPZS\



/cTabSZZS\ RSa /caUO\UabOPZSOca



5WPb Sa W\ RS` hHSWZS RSa BOPZSOca \SUObWdS 3ZS[S\bS-



\SW\

/PZSaS\ RS` 0OaWaZrac\U ZWSTS`b ]^bW[OZS :rac\U

XO



EOVZ RS` >Wd]ba^OZbS \OQV =^bW[OZWbÉbaY`WbS`Wc[



EOVZ RS` >Wd]bhSWZS \OQV 3\U^OaaY`WbS`Wc[



>Wd]baQV`Wbb /cTabSZZc\U SW\Sa \ScS\ BOPZSOca





/PPWZRc\U D7 %( /PZOcTaQVS[O RSa AW[^ZSfdS`TOV`S\a

Beispiel:

Für unser Produktionsprogrammbeispiel erhalten wir das folgende erweiterte Restriktionsgleichungssystem: x1 +3x 2 + y1 5x1 +7x 2 2x1

+ x2

− x1

−x2

= 24 +y2

= 64 + y3

= 22 +z = 0

5. Lineare Optimierung

371

Daraus erhalten wir das folgende Anfangstableau: x1 x 2

y1 y 2

y3

z

b

bi ai1

24

y1

1

3

1

0

0 0 24

y2

5

7

0

1

0 0 64 12,8

y3

2

1

0

0

1 0 22

z −1 −1

0

0

0

1

11

0

In diesem Tableau haben wir nach dem Optimalitätskriterium die erste Spalte als Pivotspalte gewählt, da hier der zugehörige Wert der z-Zeile mit –1 negativ ist. Alternativ hätten wir mit der gleichen Begründung auch die zweite Spalte wählen können. Von den Quotienten bi/ai1 bzw. b1/a11 = 24/1 = 24, b2/a21 = 64/5 = 18,2 und b3/a31 = 22/2 = 11 ist b3/a31 = 11 der kleinste positive, sodass die dritte Zeile nach dem Engpasskriterium die Pivotzeile und a31 = 2 das Pivotelement (im Tableau eingerahmt) sind. Die Berechnung des neuen Tableaus erfolgt nun nach der in Abschnitt VI 3.4 beschriebenen Vorgehensweise zur Durchführung eines Pivotschritts. Die Pivotzeile wird umgeformt, indem jedes Element der Zeile durch das Pivotelement dividiert wird. Die Umformung der Elemente einer von der Pivotzeile verschiedenen Zeile s (inklusive der z-Zeile) erfolgt folgendermaßen: aneu st = ast −

asj aij

= bs − bneu s

ait

asj aij

bi

Um das zweite Tableau nach dem ersten Pivotschritt zu erhalten, führen wir also folgende Berechnungen durch:

y1 y2 x1 z

x1 1 1− 2 ⋅ 2 5 − 52 ⋅ 2 2 2 ( −1) −1 − 2 ⋅ 2

x2 1 3 − 2 ⋅1 7 − 52 ⋅ 1 1 2 ( −1) −1 − 2 ⋅ 1

y1 1 1− 2 ⋅ 0 0 − 52 ⋅ 0 0 2 ( −1) 0 − 2 ⋅0

y2 1 0 − 2 ⋅0 1 − 52 ⋅ 0 0 2 ( −1) 0 − 2 ⋅0

y3 1 0 − 2 ⋅1 0 − 52 ⋅ 1 1 2 ( −1) 0 − 2 ⋅1

z

b

0 − 21 ⋅ 0 0 − 52 ⋅ 0 1 2 ( −1) 1− 2 ⋅ 0

24 − 21 ⋅ 22 64 − 52 ⋅ 22 22 2 ( −1) 0 − 2 ⋅ 22

Dies liefert das nachfolgende zweite Tableau. Für den nächsten Pivotschritt kommt als Pivotspalte nur noch die zweite Spalte in Frage, denn nur dort hat die Zielfunktionszeile ein negatives Element (Optimalitätskriterium). Berechnen wir nun die bi/ai2, so liefert die Engpassbedingung (b1/a12 = 13/(5/2) = 5,2; b2/a22 = 9/(9/2) = 2; b3/a32 = 11/(1/2) = 22) die zweite Zeile als Pivotzeile und damit a22 = 9/2 als das Pivotelement für den nächsten Schritt. Wir haben dieses bereits im zweiten Tableau markiert. x1

x2

y1

0

y2

0

5 2 9 2 1 2 − 21

x1

1

z

0

y1 y 2

y3

z

b

bi ai2

1

0 − 21 0 13 5,2

0

1 − 52 0

0

0

0

0

1 2 1 2

9

2

0 11

22

1 11

Es sei hier angemerkt, dass im zweiten Tableau nun in der Kopfspalte nicht länger y1, y2 und y3, sondern nun y1, y2 und x1 enthalten sind. y3 ist nach dem ersten Pivotschritt nämlich keine Basisvariable mehr, x1 nun jedoch schon. Die Variablen sind dabei so angeord-

372

VI Lineare Algebra net, dass als erste Basisvariable immer jene angegeben wird, die in ihrer Tabellenspalte die 1 als erstes Element aufweist. Diejenige Basisvariable mit der 1 an zweiter Stelle ist entsprechend die zweite Variable der Kopfspalte usw. Zum Erhalt des dritten Tableaus bzw. zur Durchführung des zweiten Pivotschritts stellen wir folgende Berechnungen an: x1

x2

5 2 9 2

y1

0 − ⋅0

x2

0

x1

1 − 29 ⋅ 0

5 2

− 29 ⋅ 92

⋅0 − −

( − 21 ) 9 ⋅2 9 2

2

z 0−

9 2

1

1 2 1 2

y3

5 2 9 2

5 2 9 2

z 5 2 9 2

b 5 2 9 2

1− ⋅ 0

0 − ⋅1

− 21 − ⋅ ( − 52 )

0 − ⋅0

13 − ⋅ 9

0

1

− 52

0

9

9 2

9 2

9 2

9 2

9 2

0 − 29 ⋅ 0

11 − 29 ⋅ 9

9 2 9 2

1

y2

5 2 9 2

− ⋅ 92

9 2

( − 21 )

y1

5 2 9 2

1

1

0 − 29 ⋅ 0

2

0−

0 − 29 ⋅ 1

2

2

( − 21 )

( − 21 )

9 2

⋅0 0 −

9 2

⋅1

1 2 1 2

−

1

− 92 ⋅ ( − 52 )

1

2

( − 21 ) 9 2

⋅ ( − 52 )

1−

1

2

2

( − 21 )

( − 21 )

9 2

⋅ 0 11 −

9 2

⋅9

Wir erhalten damit:

x1 x 2

y1

y2

y3

z

b

− 59 2 9 − 91 1 9

8 9 − 95 7 9 2 9

0

8

0

2

y1

0

0

1

x2

0

1

0

x1

1

0

0

z

0

0

0

0 10 1 12

In diesem Tableau enthält die Zielfunktionszeile keine negativen Werte mehr. Die Basislösung dieses Tableaus ist also die optimale Lösung. Setzen wir die Nichtbasisvariablen y2 und y3 gleich Null, erhalten wir x1 = 10 und x2 = 2 mit z = 12, was wir auch direkt aus dem Tableau ablesen können (vgl. Grauschattierung). Diese Lösung hatten wir bereits grafisch ermittelt. Den Wert y1 = 8 können wir wie folgt interpretieren: Werden beim optimalen Produktionsprogramm 10 Einheiten nach Verfahren 1 und 2 Einheiten nach Verfahren 2 hergestellt, werden die vorhandenen Ressourcen der Komponente K1 nicht voll ausgenutzt. Der Bedarf bleibt 8 Einheiten unter der Höchstgrenze.



6.

Aufgaben

/ZZUS[SW\S 0S`SQV\c\US\ [Wb DSYb]`S\ c\R ;Ob`WhS\

0dUVPQT E8 AW\R RWS T]ZUS\RS\ DSYb]`S\ P Q c\R R ZW\SO` c\OPVÉ\UWU-

§ · ¨ ¸ O P = ¨ − ¸ ¨ −! ¸ © ¹

§ · ¨ ¸ Q = ¨ −! ¸ ¨ ¸ © !¹

§ #· ¨ ¸ R = ¨¸ ¨ ¸ © !¹

§ · ¨ ¸ P P = ¨  ¸ ¨ ¸ © ¹

§ ¨ Q=¨ ¨− ©

§#· ¨ ¸ R=¨ ¸ ¨ ¸ © ¹

· ¸ ¸ ¸ ¹

0dUVPQT E8! DS`SW\TOQVS\ AWS [Wb 6WZTS RS` @SQVS\USaSbhS Tº` ;Ob`WhS\ RWS c\bS\ abSVS\RS\ /caR`ºQYS a]ROaa [rUZWQVab eS\WU ;Ob`WhS\[cZbW^ZWYObW]\S\ OcahcTºV`S\ aW\R O 1 B ⋅ 0 B ⋅ 2 +  3 B ⋅ 0 ⋅ 1 B +  2B ⋅ 0 ⋅ 1  B +  0 ⋅ 1  B ⋅ 3 

e]PSW 0 B

×!  1 !× B

2 B

×

c\R 3 B B

× B



P 0 ⋅ 1 ⋅ 2 +  2 ⋅ 1 ⋅ 3  − 5 ⋅ 4 ⋅ 2 

e]PSW 0

×!  1 ×

2

×"  3!×

 4

×

3W\VSWba[Ob`Wf c\R 5 ×! 

0dUVPQT E8"

5SUSPS\ aSWS\ T]ZUS\RS ;Ob`WhS\(

§ & $· ¨ ¸ 0 = ¨ & −" ¸ ¨$ "¸ © ¹

§ # −# ! · 1=¨ ¸ © %  −# ¹

§ ! !· ¨ ¸ 2 = ¨ " !¸ ¨ ! " ¸ © ¹

4ºV`S\ AWS eS\\ [rUZWQV RWS T]ZUS\RS\ ;Ob`WhS\]^S`ObW]\S\ Oca O 0 ⋅ 1

P 0 ⋅ 2

’

Q 1

’

R 2

0dUVPQT E8# 5SUSPS\ aSW RWS ;Ob`Wf

§O P · ¨ ¸ > = ¨  O P ¸ [Wb O P ∈ \  ¨  O ¸ © ¹

B. Auer, F. Seitz, Grundkurs Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-8349-6925-5_23, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

374

VI Lineare Algebra

0S`SQV\S\ AWS O RWS 2SbS`[W\O\bS RSb > d]\ > P RS\ @O\U `U> d]\ > ’

Q RWS 7\dS`aS > d]\ > 0dUVPQT E8$ 5SUSPS\ aSWS\ RWS ;Ob`WhS\

−! · § §  − # · ¨ ¸ ¨ ¸ 0 = ¨  ¸ c\R 1 = ¨ %  ¸  ¨ ¨ −$ −! " ¸  −# ¸¹ © © ¹ 0S`SQV\S\ AWS RWS T]ZUS\RS\ 2SbS`[W\O\bS\ c\R @É\US O RSb 0

R RSb 0 ⋅ 1

U

`U1

P RSb 1

S RSb " ⋅ 0

V

`U0 ⋅ 1

’

Q RSb 0

T `U0

0dUVPQT E8% 5SUSPS\ aSW RWS ;Ob`Wf

  § − O − P · ¨ ¸ 0=¨ O −O − P  ¸  ¨  O  − O − P ¸¹ © ’

0S`SQV\S\ AWS RWS W\dS`aS ;Ob`Wf 4’0 

0dUVPQT E8& 5SUSPS\ aSW RWS ;Ob`Wf

§ + O ¨ 0=¨  ¨  ©

− · ¸  ¸  O  ¸¹ ’

4º` eSZQVS ES`bS d]\ O Wab RWS ;Ob`Wf 0 W\dS`bWS`PO`- 0S`SQV\S\ AWS RWS 7\dS`aS 0 Tº` O + 

0dUVPQT E8' 4º` eSZQVS f ∈ \ UWZb

− · § −f ¨ ¸ RSb ¨ − !f f ¸ =  - ¨  −  ¸¹ ©

6. Aufgaben

375

0dUVPQT E8(

5SUSPS\ aSW RWS ;Ob`Wf

§ O · 0=¨ ¸ [Wb O P ∈ \  ©  P¹ 0SabW[[S\ AWS RWS >O`O[SbS` O c\R P a] ROaa RS` T]ZUS\RS HcaO[[S\VO\U UWZb

§ ! · 0 ⋅ 0B = ¨ ¸ © !  ¹



0dUVPQT E8 

0S`SQV\S\ AWS RWS T]ZUS\RS 2SbS`[W\O\bS

  RSb 0 =   

     !      " −    − −

:W\SO`S 5ZSWQVc\UaagabS[S

0dUVPQT E8 :raS\ AWS ROa T]ZUS\RS ZW\SO`S 5ZSWQVc\UaagabS[  O P Q ∈ \  f − Q + f! = 

f + Pf + Pf ! = Of



f + Of + Of ! = OQ − Pf !

0dUVPQT E8 ! 5SUSPS\ aSW RWS ;Ob`Wf

 · § ¨ ¸ 0 = ¨ −  ¸  ¨  − "¸ © ¹ 0S`SQV\S\ AWS RWS :rac\U RSa 5ZSWQVc\UaagabS[a 4’0 ⋅ g + Q [Wb Q PSZWSPWU



0dUVPQT E8 " 5SUSPS\ aSWS\ T]ZUS\RS 5ZSWQVc\UaagabS[S( O "f + !f − f ! = % P f + f − f ! = 

f + f = # !f + f ! = "

f  − !f + f ! =  f − f ! =

0SaWbhS\ RWS ]PWUS\ 5ZSWQVc\UaagabS[S SW\RScbWUS :rac\US\- 0SU`º\RS\ AWS 7V`S /caaOUS\ c\R PS`SQV\S\ AWS UUT RWS :rac\US\ RS` AgabS[S

376

VI Lineare Algebra

0dUVPQT E8 # 5SUSPS\ aSW ROa T]ZUS\RS ZW\SO`S 5ZSWQVc\UaagabS[  O ∈ \ (

f  + Of + f ! =  − f + " − Of + O − #f ! =  "f + !O − "f + f ! =  O 4º` eSZQVS ES`bS d]\ O Wab ROa 5ZSWQVc\UaagabS[ ZraPO`- P 0SabW[[S\ AWS RWS :rac\U Tº` O +  0dUVPQT E8 $ 2S` ZW\YS ]PS`S BSWZ RS` T]ZUS\RS\ BOPSZZS S\bVÉZb a]U ETaU[TRWcd]VbZ^TUUXiXT]cT] AWS USPS\ RS\ 7\^cb RSa W\ RS` 9]^ThSWZS PShSWQV\SbS\ EW`baQVOTbaheSWUSa O\ RS` hc` >`]RcYbW]\ SW\S` :SWabc\UaSW\VSWb :3 RSa W\ RS` S`abS\ A^OZbS US\O\\bS\ HeSWUSa PS\rbWUb eW`R A] eS`RS\ h 0 hc` 3`hScUc\U SW\S` :3 W\ RS` :O\ReW`b aQVOTb  :3 ZO\ReW`baQVOTbZWQVS >`]RcYbS ! :3 RSa W\Rcab`WSZZS\ ASYb]`a  c\R  :3 RSa W\Rcab`WSZZS\ ASYb]`a PS\rbWUb 2WS `W[É`OcTeO\Ra[Ob`Wf c\bS\ ZW\Ya aW\R RWS 2ObS\ ºPS` RWS /`PSWbahSWb W\ Abc\RS\ XS :3 c\R ºPS` :rV\S W\ EÉV`c\Ua SW\VSWbS\ XS :3 S\bVOZbS\ :O\R =cb^cb eW`baQVOTb 7\^cb :O\ReW`baQVOTb  7\Rcab`WSaSYb]`  ! 7\Rcab`WSaSYb]`  /`PSWbahSWb " :rV\S $

7\Rcab`WS aSYb]` 

7\Rcab`WS aSYb]`

& " "

 #  #



& "!

 %



`]hS\b OcaUS R`ºQYb "'# !&  # ⋅  + ''#  aSW\

0dUVPQT 88

/cTU`c\R RS` d]`aQVºaaWUS\ 3W\hOVZc\U eW`R RS` 0Sb`OU d]\ # 3c`] OcT 9]\b] / a]e]VZ O[ 3\RS RSa S`abS\ OZa OcQV O[ 3\RS RSa heSWbS\ /\ZOUSXOV`Sa dS`hW\ab 2Oa 3\RYO^WbOZ ZWSUb RO[Wb PSW 9 = # ⋅ _ [Wb _ +   W /cT 9]\b] 0 eW`R \c` RS` O[ 3\RS RSa S`abS\ 8OV`Sa \OQVaQVºaaWU SW\PShOVZbS 0Sb`OU d]\ & 3c`] Tº` SW\ 8OV` dS`hW\ab 2WS heSWbS HOVZc\U d]\ & 3c`] eW`R \WQVb [SV` dS`hW\ab EW` S`VOZbS\ RO[Wb OcT 9]\b] 0 9 = & ⋅ _ + &  A]ZZS\ RWS ES`bS WRS\bWaQV aSW\ [caa USZbS\( # ⋅ _ + & ⋅ _  & ↔ #_ ’ &_ ’ & + 

_ =

− − & ±  − & − " ⋅ # ⋅  − & ⋅ #

_ + ’# → rY]\][WaQV W``SZSdO\b _ + %' → _ +   W ↔ W + _ ’  + %' + %' 



0dUVPQT 88 !

O 8ÉV`ZWQVS DS`hW\ac\U( 9 \ = 9  ⋅ _ \  abSbWUS DS`hW\ac\U( 9 \ = 9  ⋅ SW ⋅\ 5ZSWQVaSbhS\ PSWRS` BS`[S ZWSTS`b(

9  ⋅ _ \ = 9  ⋅ S W ⋅\  % = SW⋅

Z\  % = W ⋅ 

Z\  % =  $%% = $ %%   \ P 8ÉV`ZWQVS DS`hW\ac\U( 9\ + 9 ⋅ _  dWS`bSZXÉV`Z DS`hW\ac\U( 9 \ = 9  ⋅  + "W \⋅" 5ZSWQVaSbhS\ PSWRS` BS`[S ZWSTS`b( W=

9  ⋅ _\ = 9  ⋅  + "W \⋅"  % =  + "W " W "

= "  % − 

W = " ⋅  % =  $& = $ & 



2. Finanzmathematik

395

0dUVPQT 88 "

3fOYbS :rac\U( 9O^WbOZ dS`ZWS`b RWS 6ÉZTbS aSW\Sa ES`bSa eS\\ aWQV ROa >`SWa\WdSOc dS`R]^^SZb \

>\ + > ⋅ _ [Wb >\ + > c\R _ +   W +    + 

\=

Z\ >\ − Z\ > Z\  ⋅ >  − Z\ > Z\ = = = $' $$ ;]\ObS ≅ # 8OV`S  ;]\ObS Z\ _ Z\   Z\  

]ZabSZZS\( f +  f + ! R]^^SZb 5`S\heS`bS O\ RS\ >]Z abSZZS\( ZW[ Tf = +∞

f →−

ZW[ Tf = −∞

f →+

ZW[ Tf = −∞

f →!−

ZW[ Tf = −∞

f →!+



ZW[ Tf = +∞

ZW[ Tf = −∞

f →−∞

−



"

f →+∞

f

3. Funktionen einer Variablen

Q

407

R

g



g



−





f

−



f



f

S

T

g



g







f



−



0dUVPQT 888

?^cT]iUd]ZcX^])

Rg f + Δf\ − f \ = ZW[ Rf Δf → Δf § \ · \ § \ · \ − § \ · \− §\· \ \ ¨ ¸ f + ¨ ¸ f Δf + ¨ ¸ f  Δf +  + ¨ ¸  Δf − f  ©¹ © ¹ ©\¹ = ZW[ © ¹ Δf →  Δf

§\· §\· 3a Wab ¨ ¸ f \ − f \ = f \ − f \ =  c\R ¨ ¸ = \   © ¹ © ¹

408

VII Lösungen

/ca RS[ /caR`cQY § \ · \− §\· \ ¨ ¸ f  Δf +  + ¨ ¸  Δf © ¹ ©\¹ ZÉaab aWQV Δf OcaYZO[[S`\ e]Rc`QV Δf ⋅ @ S\babSVb e]PSW @ SW\ @SabbS`[ Wab RSaaS\ US\OcS Ab`cYbc` Tº` RWS eSWbS`S 0Sb`OQVbc\U \WQVb [SV` `SZSdO\b Wab 3a S` UWPb aWQV RO[Wb

Rg \f \ −Δf +  Δf ⋅ @ = ZW[ = ZW[ \f \ − + Δf ⋅ @ = \f \ −  Δf →  Δf Rf Δf → 4g_^]T]iXP[Ud]ZcX^])

§ Rg Sf +Δf − Sf S f ⋅ S Δf − S f SΔf −  · = ZW[ = ZW[ = ZW[ ¨¨ Sf ⋅ ¸ Δf → Δf →  Δf Δf Δf ¸¹ Rf Δf → © 3`aSbhS\ eW` SΔ Rc`QV RS\ ^]aWbWdS\ BS`[ Y a] S`UWPb aWQV f

SΔf =  + Y ↔ Δf = Z\ + Y ;Wb Δf →  ab`SPb OcQV Y →  C\bS`  \OQV RS[ D]`hSWQVS\ RSa S`abS\ 4OYb]`a



4c\YbW]\ Y]\dSf( f − "f + > 

↔

f < #'



4c\YbW]\ Y]\YOd( f − "f + < 

↔

#' < f < ! "

∨

0dUVPQT 888 ' O T ′f = "f ! − $f ) T ′′f =  f −  f ) T ′′′f = "f − 

f > ! "

3. Funktionen einer Variablen 



"f ! − $f = 



T ′′# = ' >  T ′′ = 



T ′′′ = −

P T ′f =  f

↔

−

f "f − $ = 

f = # Wab ;W\W[c[

→

Y/



f =  Wab AObbSZ^c\Yb

⋅ S− f + S− f ⋅  − ⋅ f =   f −!

−



− f  ⋅ S− f

−

−  f  ⋅ S− f + S− f ⋅  − ⋅   f

−



− f  =  − " f

−!

−f

−



+ f  ⋅ S− f





− f  ⋅ S− f = 

S− f > 



→

f

−

Q T ′f = ⋅ Z\ f + 

⋅ Z\ f + = 





−f = ↔

T ′′# = − &$ < 



↔ f =  ∨ f = #

→

≠ →

−

T ′′f =  − " f  f

415

→

f



=f





↔



= f ⋅f



↔

f = #



f = # Wab ;OfW[c[

 ⋅ f = ⋅ Z\ f + ) T ′′f = f f ↔

Z\ f = −

↔ f = S−

→ T ′′S−  = # "" >  f = S− Wab ;W\W[c[ R T ′f = "f ! − !f −" ) T ′′f =  f +  f −#







"f ! − !f −" = 

↔ "f ! = !f −"

"f ! !f

−"

=

↔ f% =

! "

%

↔

↔

f =  %# =  '$

T ′′ '$ = # %& > 

→

f =  '$ Wab ;W\W[c[

S T ′f = !f − f + ) T ′′f = $f −  ) T ′′′f = $ 



$f −  = 



T ′′′  =$ ≠  !

T T ′f = S

−f

↔

S

−f

>

→

 !



f=

⋅  − f = − f ⋅ S

T ′′′f = f ⋅ S f −  ⋅ S

f=

−f

−f

+S

−f

−f

 !

Wab ES\RSabSZZS

) T ′′f = − ⋅ S

−f

+S

−f

⋅  − f ⋅ f −  =  − f ! +!f ⋅ S

⋅  − f ⋅  − f = f −  ⋅ S −f

−f







=

→

f −= 

↔

f = ±

T ′′′ =   ≠  → f =  Wab ES\RSabSZZS T ′′′ − = −  ≠  → f = − Wab ES\RSabSZZS U T ′f = −f + − ⋅ f T ′′f = I ⋅ f + −! ⋅ fK ⋅ f + ⋅ I −f + − K = ⋅ f + − ⋅ I"f ⋅ f + − − K

416

VII Lösungen



T ′′′f = I −" ⋅ f + −! ⋅ fK ⋅ I"f ⋅ f + − − K + I&f ⋅ f + − +  −f + − ⋅ f ⋅ "f K ⋅ ⋅ f + − 

⋅ f + − ⋅ "f ⋅ f + − −  = 



⋅ f + − > 



→ →





"f ⋅ f + − −  =  ↔ "f − f +  = 

( ) = ' ≠  T ′′′ ( − ) = −  ' ≠  T ′′′

 !

 !

→ f= →

 !

f=−

"f f +

−

f + f +

↔ !f = 

=

↔f=±

 !

Wab ES\RSabSZZS  !

Wab ES\RSabSZZS

0dUVPQT 888 ( O  2STW\WbW]\aPS`SWQV( Tf Wab Tº` OZZS `SSZZS\ HOVZS\ RSTW\WS`b  O`OPSZ c\bS`VOZP RS` f/QVaS ZWSUb Tf TÉZZb ROVS` W[ 7\bS`dOZZ K’#) #I # ES\RSabSZZS\ c\R 9`º[[c\UadS`VOZbS\( T ′′f = $f ) T ′′′f = $











f →+∞

f →−∞



" !

= ±#

T ′′ −# = −$ ' < 

→

f = −# Wab ;OfW[c[abSZZS

T ′′# = $ ' > 

→

f = # Wab ;W\W[c[abSZZS





$f =  ↔ f =  T ′′′ = $ ≠  →

f =  Wab ES\RSabSZZS



3. Funktionen einer Variablen

417



4c\YbW]\ Y]\dSf( $f >  Tf Wab W\ RS[ 0S`SWQV Y]\dSf USY`º[[b W\ RS[ RWS 5S`ORS g + $f ]PS` VOZP RS` f/QVaS ZWSUb R V Tº` f ,  4c\YbW]\ Y]\YOd( $f <  Tf Wab W\ RS[ 0S`SWQV Y]\YOd USY`º[[b W\ RS[ RWS 5S`ORS g + $f c\bS` VOZP RS` f/QVaS ZWSUb R V Tº` f *  $ AYWhhS(











T ′f



g

T ′′f





f



Tf

P  2STW\WbW]\aPS`SWQV( Tf Wab Tº` OZZS `SSZZS\ HOVZS\ RSTW\WS`b OczS` Tº` f + ’ c\R f +  R V RWS  →

↔

f = ""

f = "" Wab ;W\W[c[abSZZS

/1"" + # ⋅ "" ’ "" ⋅ ""  !" + !"$ 1′"" + # ⋅ "" ’ && ⋅ ""  !" + !"$ 3a UWZb OZa] 1′"" + /1"" + !"$ 0dUVPQT 888!# O 1′f =  f − f + $  1′′f = f −   1′′′f =  



1′′f = 



1′′′ =  ≠ 



f +  Wab RO[Wb AQVeSZZS RSa 3`b`OUaUSaSbhSa

→

f −  =  →

↔

f = 

f =  Wab ES\RSabSZZS

424

VII Lösungen



Δ1 ≅ 1′ ⋅  +  3c`]



Δ1 + 1 ’ 1 + !'$$$&! ’ !&$$$$% + $ 3c`]

P /D1f =

 $

f ! − #f + $f f

= $ f − #f + $



/D1′f = ! f − # ) /D1′′f =



/D1′f = 



/D1′′# =



f + # B]\\S\ Wab RWS AbSZZS RSa 0Sb`WSPa[W\W[c[a /D1# +  # 3c`] abSZZb RWS Yc`hT`WabWUS >`SWac\bS`U`S\hS RO`



Q /1f =

 $

 !

→  !

 !

f − # = 

> 

→



↔

f = #

f = # Wab ;W\W[c[abSZZS

f ! − #f + $f + #  f # 

"

#  f



/1′f = ! f − # −



/1′f =  →



`SWaSZOabWhWbÉb RS` O`OPSZ 3a S`UWPb aWQV a] RS` USeW\\[OfW[OZS >`SWa ^ ! + ! ’ " ⋅ ! + "& 3c`]

ε ^f =

R^ f f ! → ε ^ ! = − " ⋅ = − " ⋅ = − " ⋅ Rf ^ ! −  "f " &

0dUVPQT 888"

5f = @f − 1f = ^f ⋅ f − 1f = −f + "'$f −  ! f ! − &f + $f + !'$ = − ! f ! − f + &'$f − !'$

5′f = − f − "f + &'$ ) 5′′f = − f − " 

5′f =  f  =

→

− f − "f + &'$ = 

− −" ±  −" − " ⋅  − ⋅ &'$ ) f + ’! rY]\][WaQV W``SZSdO\b c\R f + & ⋅  −

5′′ & + ’ ⋅ & ’ " + ’$ *  → f + & Wab ;OfW[c[abSZZS ^ & + ’ ⋅ &  "'$ +  $ 3c`]

5 & = − ! ⋅ &! − ⋅ & + &'$ ⋅ & − !'$ =   " $% 3c`] 1T + !'$ 3c`]) 1d & + ! ⋅ &! − & ⋅ & + $ ⋅ & = %&"# !! 3c`]

ε ^f =



R^ f f & → ε ^ & = − ⋅ = − ! ⋅ = − ⋅ Rf ^ −f + "'$ − ⋅ & + "'$

2O ε ^f +  ε f^  S`VOZbS\ eW` RWS USacQVbS 3ZOabWhWbÉb εf $ + ’ ! + ’"!#

428

VII Lösungen

0dUVPQT 888" 1f ! O /1f = = f +  + f f ! $" /1′f = − ! ⋅ f − = − ) /1′′f =  −!  ⋅  −  ⋅ f −! = ! f f  ! =  ↔ f = ! ↔ f = ±" /1′f =  → − f

 → f = " Wab ;W\W[c[abSZZS

P 5SacQVb Wab VWS` RWS =cb^cbSZOabWhWbÉb RS` 5`S\hY]abS\ R V Sa Wab d]\ 7\bS`SaaS eWS aWQV RWS 5`S\hY]abS\ PSW SW\S` >`]RcYbW]\aÉ\RS`c\U dS`É\RS`\( R1′f f f f " ⋅ = 1′′f ⋅ = "⋅ → ε1′" = " ⋅ =  $ ε 1′f = Rf 1′f 1′f "f +  " ⋅ " +  2WS 3ZOabWhWbÉb PShWSVb aWQV OcT   R V RWS 5`S\hY]abS\ S`VrVS\ aWQV VWS` \ÉVS`c\UaeSWaS c[ $  eS\\ aWQV RS` =cb^cb c[   S`VrVb 2S` =cb^cb S`VrVb aWQV ZOcb /\UOPS OPS` c[ !  a]ROaa aWQV RWS USacQVbS 5`S\hY]abS\ É\RS`c\U hc $ ⋅ ! + &$  S`UWPb



0dUVPQT 888"!

R[ π π ⋅ = −α ⋅ S−α⋅π ⋅ −α⋅π = −α ⋅ π O ε [π = Rπ [ S P 7a]SZOabWaQVS ⋅`]RcYb c\R 9SbbS\`SUSZ ZWSTS`b(



Tf′ = Z\ f ⋅ Sf f + Sf f ⋅ f ⋅ f  ⋅ Z\ f = Z\ f ⋅ S f f ⋅  + f  ⋅ f 



Tf′ = f  ⋅

§  ·  f ⋅ f ⋅S + Sf ⋅f ⋅ f  f ⋅ f  ⋅ Z\ f = f  ⋅ Sf ⋅ f ⋅ ¨ + f  f ⋅ Z\ f ¸ f f © ¹ 

§f −f · =¨  S Tf   f  = ¸ ¨ ¸ f f © f f ¹ /\eS\Rc\U RS` 9SbbS\ c\R ?c]bWS\bS\`SUSZ ZWSTS`b( f − f



§ f − f Tf′ = ¨  ¨f f ©  §f −f =¨  ¨f f © 



− f  ⋅ f  f  − ª¬f  − f  ⋅ f º¼ · ¸ ⋅ ¸ f  f  ¹ −

· f  f − f  f + f # § f  − f =¨ ¸ ⋅ ¸ ¨ f f ¹ © f f

−

· f f −# + f # ¸ ⋅  ¸ f ¹



B. Auer, F. Seitz, Grundkurs Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-8349-6925-5, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

432

VII Lösungen −

§ f − f Tf′ = ¨  ¨f f © 

§f −f =¨  ¨f f © 

· − ⋅ f  f  − If  − f  ⋅ #f  f −# K ¸ ⋅ ¸ f  f  ¹ −

· − f  f − #f! f −# + #f f # ¸ ⋅ ¸ f f ¹



−

§f −f · =¨  ¸ ⋅ − #f − f −# −  #f  f −# ) ¨f f ¸ ( ©  ¹ f − = f  −  ⋅ Z\ f − T Tf   f  =  Z\ f

 Z\ f



Tf′ = Z\ f − =



Tf′ = f  −  ⋅  − ⋅ Z\ f − ⋅

U Tf  f  =

= =



+

f −  f +

/\eS\Rc\U RS` ?c]bWS\bS\`SUSZ \c` PSW Tf′ (

Tf′  =

f f − f

 − f    =  − f   ⋅ ⋅ = f Z\ f  f Z\ f  ⋅ f

#f −# ⋅ f − f − f ⋅ # ⋅ f − f −# ⋅  − f − f

+

 f +

f − f −# ⋅ ª¬ f−# ⋅ f − f  + f º¼  + f − f   f + f−# ⋅ f − f# + f

Tf′ = −

f − f   ⋅ f − f f f − f 

!

−

+



f   = + f + f − f # ⋅ f f + 

f −  f + 



V Tf  f  = f − f  ⋅ Z\f  − f 

/\eS\Rc\U RS` >`]RcYb c\R 9SbbS\`SUSZ ZWSTS`b(

Tf′  = f − f  ⋅ Z\f  − f  +

f f − f

ª f f − f  º = f − f  ⋅ « Z\f − f  +   » f − f »¼ «¬ Tf′ = f  − f  ⋅  − ⋅ Z\f − f  +



⋅ f − f 

− f − f

ª f −f º = − f − f  ⋅ « Z\f − f  +  » f − f »¼ ¬«



⋅ f − f 

4. Funktionen mehrerer Variablen

433

W Tf  f  f !  = f f − f ! " + f ! f − f $

Tf′ = f − f ! " + $f ! f  − f #



Tf′ = "f  f − f ! ! −  f ! f  − f #



Tf′! = −"f  f − f ! ! + f  − f $

X Tf   f  f !  = f  − f ⋅ f ! ⋅ Sf ⋅ f

+ f!

+ Z\ f f! = f  − f ⋅ f ! ⋅ Sf ⋅f

/\eS\Rc\U RS` >`]RcYb c\R 9SbbS\`SUSZ ZWSTS`b(



Tf′ = − ⋅ f ! ⋅ S f ⋅f



Tf′! =  − f ⋅ Sf ⋅f

Y Tf   f  f !  =



+ f!

+ f!

+ f ! ⋅ S f ⋅ f

 + S f ⋅ f

+ f!

f f f ! f + f + f !

+ f!

⋅ f  ⋅  − f  = − f ! ⋅ S f ⋅ f



/\eS\Rc\U RS` ?c]bWS\bS\`SUSZ ZWSTS`b( f f ! ⋅ f  + f + f !  − f  f f ! ⋅  f f ! ⋅ f + f !  Tf′ = = f  + f + f !  f  + f + f ! 

Tf′ =

f  f ! ⋅ f  + f + f !  − f  f f ! ⋅  f  f ! ⋅ f  + f !  = f  + f + f !  f  + f + f ! 



Tf′! =

f  f ⋅ f  + f + f !  − f  f f ! ⋅  f  f ⋅ f  + f  = f  + f + f !  f  + f + f ! 

Z Tf  f  f !  =  ⋅ f# ⋅ f $ ⋅ f !%

Tf′ =  # ⋅ f −# ⋅ f $ ⋅ f % !



Tf′ =  $ ⋅ f # ⋅ f −" ⋅ f % !



Tf′ =  % ⋅ f # ⋅ f $ ⋅ f −! !

[ Tf  f  f !  =

\

¦ f



+ O W f + P W f ! − QW 

W =



\

Tf′  =

¦ f

Tf′ =

¦ f



+ OW f + PW f ! − Q W  ⋅ O W

¦ f



+ OW f + PW f ! − Q W  ⋅ PW

Tf′ ! =



W = \

W = \

W =

+ f!

⋅  + f  ⋅ f 

⋅  ⋅  − f ⋅ f !  + Z\ f  = − f ⋅ Sf ⋅ f





+ f ! ⋅ Z\ f 

/\eS\Rc\U RS` 9SbbS\`SUSZ ZWSTS`b( f Tf′ =  − f ⋅ f ! ⋅ Sf ⋅f + f! + ! f





+ f!

+ OW f + PW f ! − Q W 

+ f!

⋅  + f !  + Z\ f 

434

VII Lösungen

\ Tf  f   f \  = S ] Tf  f   f \  =

−

\

\

¦ W = f W

\

¦W ⋅ f

! W



→

− f Tf′ W = − f W ⋅ S ¦ W = W

→

Tf′ W = ! ⋅ W ⋅ f W

W =



0dUVPQT 8E! O >O`bWSZZSa 2WTTS`S\hWOZ(

Rg f = Tf′  ⋅ Rf  = f f ! ⋅ Rf Δg f ≅ Tf′  ⋅ Δf =  ⋅  ⋅  −  = − 



Δg f = T '')) − T)) =  '' −  = − 



P B]bOZSa 2WTTS`S\hWOZ(

Rg = Tf′ ⋅ Rf  + Tf′ ⋅ Rf + Tf′! ⋅ Rf ! = f f ! ⋅ Rf  + f  f ! ⋅ Rf + f  f ⋅ Rf ! Δg ≅ Tf′ ⋅ Δf  + Tf′ ⋅ Δf + Tf′! ⋅ Δf ! =  ⋅  ⋅   +  ⋅  ⋅   +  ⋅  ⋅   =  ! Δg = T ) )  − T)) =  !! −  =  !!

0dUVPQT 8E"

ε gf =

∂g f  ⋅ =  f S ∂f  g

f − f 

+S

 f − f 

⋅ ⋅ f  ⋅

f f S

 f − f 

=  + f  

3a UWZb ε g =  +  = "  R V eÉQVab f PSW )  c[   PSW c\dS`É\RS`bS[ f  a] \W[[b g \ÉVS`c\UaeSWaS c[ "  hc

ε gf =

∂g f ⋅ = − fS ∂f g

 f − f 

⋅

f f S

 f − f 

=− f

3a UWZb ε g = − ⋅ = −"  R V eÉQVab f PSW )  c[   PSW c\dS`É\RS`bS[ f a] \W[[b g \ÉVS`c\UaeSWaS c[ "  OP

0dUVPQT 8E# 2WS VWS` USacQVbS\ 3ZOabWhWbÉbS\ USPS\ /caYc\Tb RO`ºPS` c[ eWS dWSZ >`]hS\b aWQV RS` =cb^cb G \ÉVS`c\UaeSWaS É\RS`b eS\\ RS` /`PSWba 9O^WbOZ Phe 0]RS\SW\ aObh QSbS`Wa ^O`WPca c[   eÉQVab

ε g: =

∂g : : O ⋅ α ⋅ :α− ⋅ 9β ⋅ 0−α−β  ⋅ : ⋅ = O ⋅ α ⋅ :α− ⋅ 9β ⋅ 0−α−β  ⋅ = ∂: g g O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅ 0−α−β

O ⋅ α ⋅ :α ⋅ 9β ⋅ 0−α−β = =α O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅ 0−α−β ε g9 =

∂g 9 9 O ⋅ :α ⋅ β ⋅ 9β− ⋅ 0−α−β  ⋅ 9 ⋅ = O ⋅ :α ⋅ β ⋅ 9β− ⋅ 0−α−β  ⋅ = ∂9 g g O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅ 0−α−β

O ⋅ :α ⋅ β ⋅ 9β ⋅ 0−α−β = =β O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅ 0−α−β





4. Funktionen mehrerer Variablen

ε g0 = =

435

∂g 0 0 ⋅ = O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅  − α − β  ⋅ 0−α−β  −  ⋅ ∂0 g g O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅  − α − β ⋅ 0−α−β  −  ⋅ 0 O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅  − α − β ⋅ 0−α−β = =−α −β O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅ 0−α−β O ⋅ :α ⋅ 9β ⋅ 0−α−β

/cT 0OaWa d]\ 7D ! VÉbbS\ eW` RWSa OcQV RW`SYb O\USPS\ Yr\\S\

0dUVPQT 8E$

ε f^f =

∂f ^ f O ⋅  −α  ⋅ ^ f−α− ⋅ ^βh ⋅ g δ  ⋅ ^ f ⋅ = =  = −α β δ ∂^ f f O ⋅ ^ −α f ⋅ ^h ⋅ g

ε f^h =

β−  ⋅ g δ  ⋅ ^h ∂f ^h O ⋅ ^−α f ⋅ β ⋅ ^h ⋅ = =  = β β δ O ⋅ ^−α ∂^h f f ⋅ ^h ⋅ g

ε fg =

∂f g O ⋅ ^ f−α ⋅ ^βh ⋅ δ ⋅ g δ−  ⋅ g ⋅ = =  = δ ∂g f O ⋅ ^ f−α ⋅ ^βh ⋅ g δ

/cT 0OaWa d]\ 7D ! VÉbbS\ eW` RWSa SPS\TOZZa OcQV RW`SYb O\USPS\ Yr\\S\

0dUVPQT 8E%

O 0S\rbWUbS ^O`bWSZZS /PZSWbc\US\(



∂E ∂E ′′ = E[[ =  − ⋅ #[ =  − [ = − ∂[ ∂[ ∂E ∂E Eb′ = Ebb′′ = =  − ⋅  #b =  − #b = −# ∂b ∂b 5ZSWQVc\UaagabS[ Oca \]beS\RWUS\ 0SRW\Uc\US\( E[′ =





E[′ =  − [ =  

Eb′ =  − #b = 

→

[=

→

b= 

′′ = E[b

∂E = ∂[∂b





6W\`SWQVS\RS 0SRW\Uc\US\(



′′ ⋅ Ebb′′ − E[b ′′  =  − ⋅  −# −  = # 2[ b = E[[



2 )  = # ′′  )  = − E[[



/Z]Wa a]ZZbS  :S`\bOUS OcTeS\RS\ c\R  5`O[[ RS` 2`]US Y]\ac[WS`S\

>




 5′′f f  $ !!) %" %# = −$ <  → ;OfW[c[ PSW  $ !!) %" %#



/Za USeW\\[OfW[OZS >`SWaS RS` >`]RcYbS S`USPS\ aWQV(



>`]RcYb ( ^ $ !! = ! − & ⋅ $ !! = %&' !$ 3c`]



>`]RcYb ( ^%" %# = "# −  ⋅ %" %# = !%# # 3c`]



/Za 5SaO[bUSeW\\ `SacZbWS`b 5 $ !!) %" %# = $&'" %" 3c`]

P 4OZZS\ RWS 4WfY]abS\ d]\ # 3c`] eSU abSWUb RS` 5SeW\\ c[ RWSaS\ 0Sb`OU 2WS USeW\\[OfW[OZS ;S\US PZSWPb c\dS`É\RS`b RO RWS 4WfY]abS\ OZa ORRWbWdS 9]\abO\bS PSW RS` 3fb`S[eS`bPSabW[[c\U eSUTOZZS\ c\R a] YSW\S\ 3W\TZcaa OcT RWS 0S`SQV\c\U VOPS\

5.

Integralrechnung



0dUVPQT E

§f · # §f − f + ·  f − O ³ ¨¨ ¸¸ Rf = ³ ¨¨  −  +  ¸¸ Rf = ³ f ! − f $ + f ! Rf ! ! ! ! f f f ¹ © ¹ ©f ! & $ % = f ! − f $ + !f ! + Q & %    $ % ! f Rf = ³ f !  Rf = ³ f $ Rf = f $ + Q P ³ %  · § $ − Q ³ ¨ f $ + ¸ Rf =  #f − f + Q f ¹ © 

)

(

R ³ f ⋅ Z\ f− Rf

7\bSU`ObW]\ Rc`QV AcPabWbcbW]\(



 AQV`Wbb( h = Z\ f →



³ f ⋅ h

−

Rf

Rh  = ↔ Rf = f ⋅ Rh Rf f   ! AQV`Wbb( ³ f ⋅ h− ⋅ f Rh = ³ ⋅ f ⋅ Rh = ³ Rh = Z\ h + Q f⋅h h  AQV`Wbb( h = Z\ f → h′ =

" AQV`Wbb(

³ f ⋅ Z\ f

−

Rf = Z\ Z\ f + Q

f + · § Rf = ³ Sf ⋅ ¨ f + ¸ Rf ! !¹ ©!  >O`bWSZZS 7\bSU`ObW]\(   → T ′f = f Tf = f + ! ! ! U ′f = Sf → Uf = Sf

S ³ Sf ⋅



³S

f

⋅

f + · § Rf = ¨ f + ¸ ⋅ Sf − ³ f ⋅ Sf Rf ! !¹ ! ©!

 >O`bWSZZS 7\bSU`ObW]\ Tº` ³ f ⋅ Sf Rf ( !

Tf =

f ! U ′f = Sf

³!f⋅S

f

→ →

Rf =

!

T ′f =

! Uf = Sf f ⋅ Sf − ³

!

⋅ S f Rf =

!

f ⋅ Sf −

!

⋅ Sf + Q

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442

VII Lösungen



HcaO[[S\TºV`c\U RS` 3`USP\WaaS(



f + § Rf = ¨ f ! ©!   § = Sf ⋅ ¨ f + − f + ! ! ©!

³S

f

⋅

· ª º + ¸ ⋅ Sf − « f ⋅ S f − ⋅ Sf » + Q !¹ ! ¬! ¼  · · f § ¸ + Q = S ⋅ ¨ f − f + ¸ + Q !¹ ! ©! ¹



f + Rf + f −# 7\bSU`ObW]\ Rc`QV AcPabWbcbW]\(



 AQV`Wbb( h = f + f − # →

T



³f

f+ Rf h Rh Rh  AQV`Wbb( h = f + f − # → h′ = = f +  ↔ Rf = Rf f + f +  Rh  ⋅ = Rh = Z\jhj +Q ! AQV`Wbb( ³ h f + ³h f + " AQV`Wbb( ³ Rf = Z\jf + f − #j +Q f + f −# 2WSaSa 3`USP\Wa VÉbbS\ eW` OcQV RW`SYb ºPS` D% S`VOZbS\ Yr\\S\

³



§ Z\ f ·  Z\ f Rf + ³ f − −! Rf + ¸ Rf = ³ f f − ! ¹ f 4º` PSWRS BSWZW\bSU`OZS Wab ROa AcPabWbcbW]\adS`TOV`S\ O\hceS\RS\ 0SW heSWbS[ Yr\\S\ eW` XSR]QV RW`SYb OcT D hc`ºQYU`SWTS\ BSWZW\bSU`OZ (



 AQV`Wbb( h = Z\ f

→

³f

Rf



 AQV`Wbb( h = Z\ f

→

h′ =

Rh  = Rf f

U



³ ¨©

! AQV`Wbb(

h

³ f ⋅ f Rh = ³ h

h

Rh =

Rf = f ⋅ Rh

 ! h +Q !

Z\ f  Rf = Z\ f! + Q f ! BSWZW\bSU`OZ (  −! − ³ f −  Rf = − f −  + Q " AQV`Wbb(

³



HcaO[[S\TºV`c\U PSWRS` 3`USP\WaaS(



³ ¨©

V

³S



↔

§ Z\ f ·    Rf = Z\ f! − + +Q ! ¸ f f −  ¹ ! ⋅ f −  −f !

 − S− f Rf

7\bSU`ObW]\ Rc`QV AcPabWbcbW]\(

5. Integralrechnung



443

³S

 AQV`Wbb( h =  − S− f →

−f !

h Rf

Rh = S− f ↔ Rf Rh ! " ! AQV`Wbb( ³ S− f ! h − f = ³ ! h Rh = h ! + Q S " " ! ! " AQV`Wbb( S− f  − S− f Rf =  − S− f  ! + Q "  AQV`Wbb( h =  − S− f

h′ =

→

Rf =

Rh S− f

³

Sf

W /\eS\Rc\U d]\ D% ZWSTS`b

³+ S

X /\eS\Rc\U d]\ D ZWSTS`b

³  − f = − Z\j − fj+ Q 

Y /\eS\Rc\U d]\ D ZWSTS`b

³

f

Rf = Z\j + S f j + Q 

Rf

Rf "f +



= # ⋅ "f +  + Q = # ⋅ "f +

+ Q 

³

Z /\eS\Rc\U d]\ D' ZWSTS`b S− f Rf = −S− f + Q 

0dUVPQT E!





O

ª $ ! º § "· " # ³− f − !f Rf = «¬ $ f − f »¼ − =  − ¨© − ! ¸¹ = ! 43 Z\ #

P

³S

Rf = ª¬S f º¼ = SZ\ # − S = # −  = " 43 

f

Rf



!

Z\ #

f

Q

³S



7\bSU`ObW]\ Rc`QV AcPabWbcbW]\(



 AQV`Wbb( h = f

→

³ S Rf



 AQV`Wbb( h = f

→

h′ =

!

h

Rh = Rf

↔

Rf =



⋅ Rh

! AQV`Wbb( h  = ⋅ = " h! = ⋅ ! = $ $

" AQV`Wbb(

h ³S ⋅ "

!

R

³ 



$

  ª º Rh = « Sh » = ⋅ S$ − ⋅ S" =  % − % ! = %" " 43 ¬ ¼"

!

f ⋅ f ! Rf = ³ f !# Rf = ª¬  

#

# §f f +# # · Rf = ³ ¨  +  ¸ Rf = S ³ f f ¹ ©f



= ª¬  " ⋅ f

#

#

!

⋅ f "# º¼ = ! &% −  = ! &% 43 

#

³ (f

#

+ #f −# ) Rf

+  ⋅ f # º¼ = "" % − $ " = & ! 43

444

VII Lösungen #

!

T ³ Z\ f ⋅ f # Rf = ³ Z\ f ⋅ f ! Rf 





>O`bWSZZS 7\bSU`ObW]\(

Tf = Z\ f

→

#

U ′f = f !

³ Z\ f ⋅

!





→

 f ! & Uf = f ! &

T ′f =

& ! &º  ! & ! ª f # Rf = « Z\ f ⋅ f ! » − ³ ⋅ f ! Rf =  $# − ³ ⋅ f − ⋅ f ! Rf & ¼  f & & ¬ 

! #! 'º ª! ! & º ª ⋅ f Rf =  $# − « ⋅ ⋅ f ! » =  $# − « &' − » & $" ¼ ¬& & ¼ ¬  =  $# −  %# =  ' 43 =  $# − ³ 

−f#

U

³f



7\bSU`ObW]\ Rc`QV AcPabWbcbW]\



 AQV`Wbb( h = f $ + 

→

−f# ³ h Rf −



 AQV`Wbb( h = f $ + 

→

h′ =

$

−

+



Rf



Rh = $f # Rf

↔



! AQV`Wbb( h − =  −$ +  =  h = $ +  = 



" AQV`Wbb(



³

Rf =

Rh $f #



− f # Rh      = − ⋅ ³ Rh = ⋅ ³ Rh = ⋅ [ Z\jhj] h $f # $ h $ h $

 ⋅  $' −  =  43 $ V 2S` 7\bSU`O\R Wab ZW\Ya d]\ aSW\S` SW\hWUS\ @ = ³ ¨ ^ − #^ + ¸ R^ = « ^! − ^ + ^ » = " "¹ " " ¼ ! ¬ © 9@ =



 & º ª ³ ( & −  &^ ) R^ = «¬ &^ − ! ^ »¼ #



!

= #

# !

0SW RS` UST]`RS`bS\ U`OTWaQVS\ 2O`abSZZc\U hc TW\RS\ PSW RS` :rac\U d]\ /cTUOPS D% Wab hc PSOQVbS\ ROaa W\ RWSaS[ PSa]\RS`S\ 4OZZ RWS /QVaS\PShSWQV\c\U d]\ RS` ºPZWQVS\ `]RchS\bS\`S\bS c\R RO[Wb OcQV RWS dS`eS\RSbS\ O\RS`S\ 0S`SQV\c\UaT]`[SZ\



6.

Lineare Algebra

0dUVPQT E8 O 2WS DSYb]`S\ aW\R ZW\SO` c\OPVÉ\UWU eS\\ λ λ c\R λ! W\ RS` T]ZUS\RS\ 0S hWSVc\U UZSWQV WbT 3) 3ZS[S\bO`S /ZUSP`O c\R 4c\YbW]\S\  3W\ 0`ºQYS\Yc`a hc[ 6]QVaQVcZ abcRWc[  /cTZOUS ;º\QVS\( DOVZS\  >WbT 3) ;ObVS[ObWY Tº` EW`baQVOTbaeWaaS\aQVOTbZS` 7( /\OZgaWa $ /cTZOUS ;º\ QVS\( DOVZS\ " >WbT 3) ;ObVS[ObWY Tº` EW`baQVOTbaeWaaS\aQVOTbZS` 77( :W\SO`S EW`baQVOTbaOZUSP`O # /cTZOUS ;º\QVS\( DOVZS\ # ?P_d[P ;) ;ObVS[ObWaQVS 4]`[SZaO[[Zc\U Tº` 7\US\WSc`S c\R c\Yb '# 2S ;]`UO\a 5SaSbh  ! " 2SQYc\UaPSWb`OU  $ 2STW\WbW]\aPS`SWQV  " # $ !' "# "% & 2SbS`[W\ObS !"' ’ 6SaaS'aQVS # 2WTTS`S\hS\_c]bWS\b $" 2WTTS`S\hWOZ %# "" ’ ^O`bWSZZSa "# ’ b]bOZSa  "# 2WTTS`S\hWOZUZSWQVc\U  '# ’ USerV\ZWQVS  '# ’ ZW\SO`S  '# ’ ^O`bWSZZS  '# ’ aS^O`OPZS '$ 2WTTS`S\hWOZ]^S`Ob]` $# 2WTTS`S\hWOZ_c]bWS\b $" !' ’ ^O`bWSZZS` !' 2WTTS`S\hWOZ`SQV\c\U $! !' 2WTTS`S\hWS`PO`YSWb $$ 2WTTS`S\hWS`S\  $# " 2W[S\aW]\  ! !# !' !#' 2WaXc\YbW]\  # 2WaY]\bTOYb]`  %# 2WaY]\bWS`c\U  % 2WaY`W[W\O\bS "' 2Wab`WPcbWdUSaSbh  ! " $ ! ! $ !! 2]^^SZac[[S & 2`SWSQYac\UZSWQVc\U !% 2c`QVaQV\WbbaS`Zra  &' 2c`QVaQV\WbbaY]abS\  &$ RgYORWaQVSa >`]RcYb  !! 3PS\S ! ! !" !#

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466 3QYS hcZÉaaWUS !$" 3TTSYbWdhW\a  %  ' 3W\hOVZc\U % ’ c\bS`XÉV`WUS %! 3ZOabWhWbÉb '& ’ 3W\Y][[S\a ! "% ’ 9`Sch^`SWa   "% ’ >`SWa  '' "% ’ >c\Yb '& ’ ^O`bWSZZS  "% 3\ReS`b  % 3\U^OaaY`WbS`Wc[  !% 3\baQVSWRc\Ua`Oc[  #" 3\beWQYZc\UaaObh d]\ :O^ZOQS !# 3`eSWbS`\   3f^]\S\b  !& 3fb`S[O"% "& & !$ # ’ OPa]ZcbS # ’ UZ]POZS  &! ’ `SZObWdS " 4OYcZbÉbahSWQVS\  ! 4WfY]abS\RSU`SaaW]\  #$ 4]ZUS  $! ’ O`WbV[SbWaQVS  $" ’ RWdS`US\bS  $" ’ S\RZWQVS  $! ’ US][Sb`WaQVS  $# ’ Y]\dS`US\bS $" ’ c\S\RZWQVS  $! 4c\RO[S\bOZaObh RS` /ZUSP`O  ! 4c\YbW]\  $ ’ OPaQV\WbbaeSWaS RSTW\WS`bS   ’ /Pa]Zcb "' ’ OZUSP`OWaQVS "" ’ /\USP]ba #! '  % ’ ÉczS`S  ' ’ 1]PP2]cUZOa  "% ’ RSU`SaaWdS 9]abS\ #& ’ 2WQVbS &' ’ RWaY`SbS  ’ SW\S` DO`WOPZS\ # % ’ SW\RScbWUS   ’ SW\SW\RScbWUS  ’ SZS[S\bO`S   ' ’ 3`Zra  ## &' ’ S`b`OUaUSaSbhZWQVS 9]abS\ #' &% '" '# '% ’ 3f^]\S\hWOZ ! "# $% % ’ UO\h `ObW]\OZS  !

Stichwortverzeichnis ’ USP`]QVS\ `ObW]\OZS  "  % !& ’ 5SeW\\ #' ' &$ ’ 5`S\h &# ’ 5`S\hS`Zra &' '  &# ’ 5`S\hUSeW\\  ' &$ ’ 5`S\hY]abS\ &# ' &# ’ 5`S\hc[aObh &' ’ W\\S`S  ' ’ 9]abS\ #$ &# % &# ’ :OU`O\US  #$ ’ ZW\SO`S! & ! ’ ZW\SO`S 9]abS\ #% '! '# '$ ’ Z]UO`WbV[WS`bS % ’ :]UO`WbV[ca  ! "% $% %! ’ ;OfW[c[  # ’ [SV`S`S` DO`WOPZS\  % ’ ;W\W[c[ # ’ `]RcYbW]\a  !# "& ’ ^`]U`SaaWdS 9]abS\  #% ’ _cOR`ObWaQVS !! ! ’ AbO[[  $$ ’ abSbWUS   ’ AbºQYRSQYc\UaPSWb`OUa  $ ’ b`O\ahS\RS\bS  "# ’ C[YSV`   "# "% #! % ’ C[aObh ## &'  &# ’ DS`bSWZc\Ua ' ’ D]`hSWQVS\ # ’ EOV`aQVSW\ZWQVYSWba  &' ’ Ec`hSZ "# ’ HWSZ  #" !$ ’ hcaO[[S\USaSbhbS  ' % 4c\YbW]\aUZSWQVc\U ’ Sf^ZWhWbS % ' ’ W[^ZWhWbS % ' 4c\YbW]\aU`OT  & ! 5Ocz—aQVS` :rac\UaOZU]`WbV[ca !" 5SUS\eO`baeS`b  % 5S`ORS  ! 5SeWQVbc\UaTOYb]` ! 5SeW\\[OfW[c[  ' 5SeW\\aQVeSZZS $ 5ZSWQVc\U  " ’ PW_cOR`ObWaQVS  # ’ ZW\SO`S "

Stichwortverzeichnis ’ :]UO`WbV[ca# ’ >`]RcYb #" ’ _cOR`ObWaQVS "' ’ ?c]bWS\bS\ #" ’ DSYb]` !!# ’ Ec`hSZ # 5ZSWQVc\UaagabS[ ’ PSabW[[bSa!!% ’ V][]US\Sa !!$ ’ W\V][]US\Sa!!$ ’ YO\]\WaQVSa!$% ’ ZW\SO`Sa!!# ’ @Sab`WYbW]\a!$% ’ ºPS`PSabW[[bSa !!% ’ c\bS`PSabW[[bSa!!% 5`S\hRSQYc\UaPSWb`OU ' 5`S\hS`b`OU ^O`bWSZZS`  "& 5`S\hY]abS\&$ 5`S\h^`]RcYbWdWbÉb ^O`bWSZZS  "& 5`S\h`ObS RS` AcPabWbcbW]\ "& 5`S\habºQYRSQYc\UaPSWb`OU ' 5`S\habºQYUSeW\\' 5`S\habºQYY]abS\ &# 5`S\heS`b ' $" !& ’ ZW\YaaSWbWUS`  ’ `SQVbaaSWbWUS`  ’ c\SWUS\bZWQVS`  5`S\heS`baÉbhS  ! 5`c\RW\bSU`OZS $% 6Oc^bRWOU]\OZS !  6Oc^b\S\\S`  6]`\S`AQVS[O !& 6g^S`SPS\S  !$ 7RS\bWbÉbaUSaSbh ! 7[^ZWYObW]\ # 7\RS[^]bS\hUSaSbh ! 7\RWTTS`S\hYc`dS  !# 7\bSU`OZ ’ PSabW[[bSa %# ’ c\PSabW[[bSa  $$ ’ c\SWUS\bZWQVSa  & 7\bSU`OZSf^]\S\hWSZZS ' 7\bSU`OZZ]UO`WbV[ca ' 7\bSU`OZ`SQV\c\U 6Oc^baObh RS` %$ 7\bSU`O\R  $$ 7\bSU`ObW]\  $# ’ Rc`QV AcPabWbcbW]\  % & ’ \c[S`WaQVS  ' ’ ^O`bWSZZS  $' &

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468 ;ObS`WOZdS`TZSQVbc\U  ! & ;Ob`Wf  !' ’ ORXc\UWS`bS  !#$ ’ 2WOU]\OZ  !  ’ 2`SWSQYa !  !#! ’ 3W\VSWba  !  !! ’ S`eSWbS`bS  !# ’ 9]STTWhWS\bS\  !!$ ’ \SUObWdS ! " ’ Wd]baQV`Wbb  !"$ !$' >Wd]ba^OZbS  !"$ >Wd]bhSWZS  !"$ >]ZabSZZS  % !' >]Zg\][ ! >]Zg\][RWdWaW]\  !$ >]bS\h !& " " >`SWa ’ 5ZSWQVUSeWQVba  #! ’ ;W\RSab #" ’ >`]VWPWbWd  #" >`SWac\bS`U`S\hS ’ Yc`hT`WabWUS  &% ' ’ ZO\UT`WabWUS && ' >`]RcYbhSWQVS\  ! >`]RchS\bS\`S\bS &% >c\YbabSWUc\UaT]`[  ! @ORWYO\b  " @O\U !!! !" !"# !## ’ A^OZbS\  !!! ’ HSWZS\  !!! @ObS ’ \OQVaQVºaaWUS %' ’ c\bS`XÉV`WUS &% ’ d]`aQVºaaWUS  %& @ObS\Y`SRWbdS`b`OU % @SQVbSQYaO^^`]fW[ObW]\  ' @SUSZ ’ /PZSWbc\Ua $% ’ /Pa]ZcbPSb`OUa !$

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469 AcPabWbcbW]\aUcb  Ac[[ObW]\aO\TO\U  $ Ac[[ObW]\aS\RS  $ Ac[[ObW]\aUZWSR $ Ac[[ObW]\aW\RSf  $ Ac[[S\hSWQVS\ $ Ag[[Sb`WS ' ’ >c\Yb & ’ A^WSUSZ  & BOPZSOc  !"$ !$' BO\US\bS $" & BS`[ ! BWZUc\U &' ’ /PhOVZc\Ua &' ’ /\\cWbÉbS\  &' ' BWZUc\Ua^ZO\ &' B`O\aWbWdWbÉb  !! B`O\a^]\WS`bS  !  ! $ !! !!" !#" !#% B`O^ShO^^`]fW[ObW]\  '! C[YSV`]^S`ObW]\ $# C\OPVÉ\UWUYSWb ZW\SO`S !! !$ !!% !" !## C\UZSWQVc\U  !! C\abSbWUYSWb   % C\bS`RSbS`[W\O\bS !# DO`WOPZS % ’ 0OaWa  !$% ’ 3\baQVSWRc\Ua  #" ’