Giuseppe Grioli-Lezioni Di Meccanica Razionale. 1-LIBRERIA CORTINA (1982) PDF [PDF]

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La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

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l\

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La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

Giuseppe Grioli Ordinario di Meccanica Razionale nell'Università di Padova

lezioni di

• meccanica razionale

EDIZIONI LIBRERIA CORTINA PADOVA 1981 La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

I PREMESSA

ra -

Chi si accinge per la prima volta allo studio della Meccanica

zionale si accorge p2°esto di quanto questa disciplina si avvalga di stri:!:_ menti matematici forniti dal l ' Algebra, dall ' Analisi Matematica , Geometria.

dalla

L'uso di tali str umenti matematici provenienti da teorie che

nascono e si sviluppano in modo autonomo e generalmente indipendente da fini applicativi , mostra la possibilità di dare significat o concreto a quelle teorie -

o,

per lo meno ,' a talune loro parti - senza peraltro to

gliere nulla ai pregi esteti ci del loro significato astratt o , semai vi vificandolo e ampliandone il significato . Parlando di significato concre to acquistato da teor ie matematiche pure si intende affer mare che esse costituiscono uno strumento indispe!!:_ sabile per lo studio dei problemi matematici che al di là della Matematica pura ,

presentano

interesse

nei quali oltre ai concetti abituali in

quelle teorie ne intervengono altri che traducono concet ti di natu2°a fi sica ,

quali quel li di tempo, massa ,

forza ,

ecc.

Cosi si giunge alla definizione di " Meccanica Razionale". si d i

una disciplina di tipo matematico la quale opera

ricchi di altre,

su

Tratta -

schemi

più

in quanto utilizza in più taluni concetti - quelli o -

ra richiamati -

e taluni postulati pe r i

modo intuitivo)

le loro proprietà peculiari e per la loro f ormulazi one

matematica ,

quali ,

nel fissare (a volte in

si deve tenere presente che essi sono i

corrisp ondenti

di

analo ghi concetti e principi del mondo fisico. Tale teoria matematica da un lato è fine a se stessa, settori della Matematica pura ,

com e i

vari

dall ' altro - appunto per la sua rispon -

d enza al mondo fisico che la ispira - costituisce una base indispensab ile e un apporto di preziosi contributi teorici per lo studio di

un ' i~

mensa quantità di problemi del mondo che ci circonda, in particola re del la Fisica ,

dell ' Astronomia, dell ' Ingegneria .

Non è privo di significato che proprio dopo Za vitt oria del

cape~

nicanesimo sulla teoria tolemaica e la nascita della Meccan ica di Cali lei ,

Newton abbia avuto inizio quel rapido progresso

logico che in pochi secoli ,

scientifico - tecn~

dopo una stasi durata millenni, portd l'Uo

mo sulla Luna . La Meccanica moderna -

e,

pertanto ,

la Fisica moderna - nasce

p rio nell ' epoca in cui vissero e operarono Uomini come Copernico,

pr~

Kep lf!_

ro , Galilei , Newton , cioè nell ' arco di tempo che comprèn de , grosso mo do ,

i

secoli XVI,

finisce

XVII ed è sulle sue basi che opera cid che oggi si d!!_

" Meccanica razionale ".

Per tale motivd ,

de nza alle leggi della Natura che non mutano , La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

per questa sua rispon -

un corso di Meccanica ra

II

zionale non può non avere inizio da premesse note da non può essere da esse disancorato , tematica che E ' vero ,

qualche

secolo e

a differenza di rami puri della Ma

s e si vuole - possono rinnovarsi nel modo più completo . mode ~

esist ono oggi e sono di estremo intere sse form e più

ne di Meccanica ,

quali ad es .,

la Relatività general e e la Meccanica qua!!:_

tistica ma la loro piena comprension e e il loro intimo significato

ri -

mangono dubbi se avulsi dalla conoscenza della Meccanica razionale clas sica da cui in realtà esse discendono in seguito a un'indagine su l

critica

suo significato e sui suoi limiti . Del rest o ,

si tenga p r esente che ancor oggi la massima

parte

dei

problemi che interessano il mondo della Fisica e dell ' Ingegneria si ri solvono sulla base della Meccanica classica . Naturalmente,

questa disci

plina - perchè sia intesa quale " Meccanica razionale "- va trattata con no rigore e con spi rito matematico ,

e in ciò essa si dif f erenzia

pi~

dalla

collocazione c he la Meccanica classica t rova nell ' ambito dell e discipli ne di tipo fisico ,

ove caratt eri peculiari sono gli aspetti fenomenolo -

gici e la verifica sperimental e . Naturalmente ,

le due form e di Meccani -

ca si integrano con reciproco vant aggio . Nel compilare questo corso di Lezioni si è cre duto opportuno la precedenza alla trattazione di argomenti di natura

da r e

geom e trico - cinem~

tica con lo scopo di fissare innanzitutto tal un e pro prietà f ondamentali dei corpi nat urali - visti nel loro schema matematico menti ,

e dei

loro movi

utili non solo per la trattazione dei successivi argomenti di

tica e Dinam ica ma anche come corre do indispensabile per

Chi

St ~

desidera

pro segu ire nello studio di problemi che si giovano de l la Meccanica . Pur p rendendo le mosse dai postulati di Galilei, canica classica , il che , gioso ,

si è voluto ,

come si è detto ,

Newton della Mec -

risulta particolarmente vantafl_

tuttavia , giungere sino a dare un cert o

numero

di

teoremi e informazioni fondamentali per lo studio di argomenti di inte resse pienamente attuale , onde di dis cont inui tà , ca teorica ,

quali ,

ad es .,

la teor i a della propagazione di

la Meccanica an alitica ,

fondamental e nella Fisi -

la Meccanica dei Continui - con qualche cenno ai Co ntinui di

Cosserat - particolarmente uti le quale premessa dell a Scienza delle Co struzioni ,

dell ' Idrodinamica e di rami della Fisica e della Cosm@logia,

con cenni sui suoi contatti con la Termodinamica ,

la Dinamica dei corpi

rigidi c he non solo è alla base di problemi di Meccanica applicata ma è oggi di viva attualità per lo studio di problemi posti dalla teoria dei missili e dei satelliti artificiali e non . Inoltre ,

con

lo

scopo di un

avvio v e rso forme più evolute e moderne di Meccanica razionale , luto dare qualche cenno di Relatività ristretta, il cui uso è mente utile per lo studio

si è vo

particola ~

di problemi fisici in cui intervengono velo -

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III

cità comparabili con quelle della luce . Non è stato inve c e p o s sibil e nep_ pure sfiorare questioni di Relatività generale che ric h ie d on o pr e messe assolutamente esorbitanti rispetto ai limiti di questo corso di Lezio ni . Si note rà che gli argomenti tratta t i sono par e cc hi e v a r i ma c he nessuno di essi ha avuto un ampio sviluppo e appr ofon d im e nt o . Non po trebbe essere diversamente : il corso di cui si parla è sv o l to a l secon do anno di università col presupposto matematico e fisico d ei s oli cor si del primo biennio di studi; inoltre esso non ha alle s p all e alt ri cor si di tipo fisico matematico ma , anzi , ne costituisce l ' avvio is tit uzi o nale , ponendo le premesse per studi ulteriori in corsi successivi diap_ profondimento per Chi desideri seguirli e dando un quadr o cul t ura le del la vasta problematica che la Meccanica razionale perme t t e di affronta ~ re che sia almeno a conoscenza di Chi indirizza i suoi stu d i u l t e ri o ri in altra direzione . E ' quasi superfluo avvertire che si è supposto eucli d eo tri d imen sionale lo spazio sede dei fenomeni fisici da cui d e riv a n o i p r obl emi che saranno trattati . Pertanto , tale è supposto anch e i l c or r isp on d en te ambiente matematico e lo si è riferito a coordinate carte sia ne gonali . Naturalmente , in Meccanica razi onale è spesso uti l e fare

ort~ rico~

so a particolari varietà rappresentative - genera l ment e no n e uclidee specialmente in Meccanica analitica , ma non è possibil e f a rn e cenno en tro i

limiti che ci siamo prefissi . Gi usep p e Grioli

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CAPITOLO

INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI VETTORI - VETTORE

Sia AB

un qualunque segmento orientato, cioè un segmento su cui

sia fissato un verso di percorrenza (Fig. 1). Esso indiv idua una direzione: quella comune a tutte le rette ad es so parallele, un v erso: quello che porta da A verso

B e una lunghezza: l a distanza tra

i punti

A, B.

Chiamasi vettore l'ente geo-

metrico caratterizzato appunto da una dire-

A

zione, un v erso e una grandezza. Diremo inFig.

vece orientamento l'insieme di una direzio-

ne e un verso. Un vettore si suole rappresentare segnando in una qualunque posizione dello spazio un segmento orientato. La lunghezza di tale segmento, misurata in una certa unità di misura, indiv idua

ciò

che si chiama intensità o modulo del vettore. Vettore nullo è il vettore di modulo nullo . Dicesi scalare un qualunque e n te caratterizzato da un numero con segno. Per distinguere, nella scrittura, un v ettore da uno scalare si usa esprimere il vettore me diante una letter a

in

grassetto o soprasegnata, o sottosegnata, o scriv endo una accanto al1' altra le lettere (maiuscole)

che indicano l'or i g i ne e l'estremo di

un qualunque segmento orientato che rappresenta il vettore. Così

si

usa scrivere: (1 )

V

intendendo che

~

AB,

sia il vettore individuato dal segmento orie n tato AB

(col verso da A verso

B).

Con la stessa lettera con cui si è

espre~

so il vettore, ma non in grassetto, nè soprasegnata nè sottosegnata, si denota il modulo del vettore. E', cioè: (2)

V

Due vettori diconsi paralleli se hanno in comune la direzione;due vettori paralleli si dicono concordi o discordi a seconda che abbiano lo stesso verso o versi opposti. I vettori dello spazio sono, evidentemente, m3 . Si chiama vettore

:Y applicato al punto A l'ente caratterizzato

da un vettore e da un punto. Esso è rappresentato dal s e gmento orienLa cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

2

tato

avente l'origine in

AB

li corrispondenti al vettore

A

e per direzione, verso e lunghezza quel

v.

Per indicare tale vettore applicato adopereremo la notazione Se

r ~)

(r,

~

è una qualunque retta parallela al vettore

(A,~).

, con la notazione

indicheremo uno qualunque dei vettori applicati appartenenti al

la retta

r.

La

r

applic~

si chiama retta di applicazione del vettore

to.

2 -

COMPONENTE DI UN VETTORE SECONDO UNA RETTA APPLICATA

Sia

r

una qualunque retta orientata, cioè una retta su cui si sia

fissato un verso di percorrenza, e

un qualunque vettore indiv iduato

~

dal segmento orientato Siano

A' e B'

AB

(Fig. 2).

le proiezioni orto-

gonali dei punti

A e B sulla retta

r. Si chiama componente del vettore v

secondo la retta orientata

si indica con

vr , lo scalare

r,

e

±I A' B' I ,

ove è da prendersi il segno + o - a seconda che il cammino che porta da Fig. 2

A' a B' to su

Si stabilisca su !;A ' e

le ascisse

!;B'

r

è concorde al ve rso stabili r

oppure discorde.

un sistema di ascisse

A' e B'.

di origine O e siano

!;

Ev identemente risulta:

(3)

Sia

r'

la semiretta uscente da

verso positivo di tata

r,

r.

A parallelamente a

Chiamasi angolo del vettore

quello dei due angoli formato da

AB

e r'

v

r

e avente il

con la retta orien

che non supera 180°.

Insieme alla (3) è evidente la doppia uguaglianza

..... (4)

IAB I

se con

~

si denota l'angolo di

cos ~ = v cos ~ ,

v e r.

Sia dalla definizione data come pure dalle

(3),

(4)

risulta chiaro

che la componente di un vettore non nullo secondo una retta orientata è nulla allora e allora soltanto che questa risulti ortogonale al v ettore. Se invece il vettore e la retta sono paralleli (cioè, hanno in comune la direzione)

la componente del vettore secondo la retta coincide

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3

con il modulo del vettore o ne differisce per il segno a seconda che i versi della retta e del vettore siano concordi od opposti. Da tutto quello che sin qui si è detto risulta chiaro che la componente di un vettore secondo una retta orientata non dipende dalla

p~

sizione di quest'ultima ma soltanto dalla sua direzione e dal suo verso.

' 3 ·-TERNE LEVOGIRE ·'

Sia Oxyz

l~

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI

terna cartesiana trirettangola di origine O ed

assi

x, y, z. Tale terna si dirà le v ogira se i versi che si presuppongono stabiliti sugli assi sono tali che l'asse re il semiasse positivo x

z personificato veda ruota-

in verso antiorario (contrario a quello del

le lancette dell'orologio) per sovrapporsi mediante una rotazione 900 al semiasse positivo

y.

di

Nel caso opposto . la terna si dirà destro-

gira'. Le terne levogire si sogliono chiamare anche destre quelle destro gire sinistre. E' evidente che le analoghe rotazioni che portano il se miasse positivo y quello positivo x da quello

y

sul semiasse positivo z o quello positivo z su sono viste dal semiasse positivo x personificato o

in verso antiorario od orario a seconda che la terna

sia

levogira o destrogira. Nel seguito,

yur~D~i d.el sistema . vix ' viy ' viz•

(i= 1, 2, ... , n), le com-

(i= 1, 2, ... , n), secondo gli assi di riferimento

e

Rx , Ry, Rz quelle del loro risultante, si ha: Il

( 18 )

Rx

E

i= 1

Il

Il

Vix•

E

Ry

i=1

v iy•

E

Rz

Viz

i= 1

da cui risulta chiaro che il risultante di un sistema di vettori non di pende dall'ordine in cui essi si considerano nel costruire le poligonale che lo determina. Così pure è chiaro che se n'




la componente, v 21 , di insieme alla (26) si ha

~l

X

mentre in base alla formula

~1 ~2

secondo secondo

~2

(9) che dà il coseno dell'angolo di due vet

tori, si ha pure (2 8 )

~l

X

~2

V1x 1 V1y 1 V1z1 Vz x, V2 y1 v 2 z, si denotano le componenti di ~l, La condizione di ortogonalità di due vettori, già espressa dalla

se con ~2 ·

(10), si identifica con

l 'a~si

del prodotto scalare .

E' evidente l'uguaglianza (29) mentre se

v2

V X V

u

è il versore di una qualunque retta orientata, r, e

la componente di

v

secondo

r, si ha

(30)

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V

X

u

vr

12

e quindi 3

(31.)

V

E s=1

Y.

x

Es ·Es ·

Per i versori fondamentali valgono le uguaglianze evidenti

r

(32)

E1

X

E1

Ez

X

Ez

E3

X

E3

X

Ez

Ez

X

E3

E3

X

E1

o

.

Così pure risultano valide le proprietà distributiv a e commutativa espresse da (33)

'Y_l

('Y_2

X

(34)

+

'Y_3)

'Y_l

X

'Y_2

e le uguaglianze (35)

( À'Y_l)

In base alle (33), ~d~~-S!-~E..~~-?-~ ~() n_~

Ji_~le

(34),

X

Y. 2

(35) riesce evidente che il prodotto

vettoriali

p~linomiali

-se~

si _esegue_ con le abitu_s_

dell 'A~9-~bra. \

9 - PRODOTTO VETTORIALE

Sia to

r

una retta orientata e (A, y_) un vettore applicato in un

A non appartenente ad

r,

sghembo con

r

pu~

(cioè appartenente ad una

retta non incidente nè parallela ad

--- -----, r

/

A

r) . Sia

ir

il piano di

qualunque punto 11). Il vettore

I I I I

-------J

r

e di

un

----- ---·---- -

B di

(A, v)

~licato

(Fig.

(A, y_)

si

dice levogiro rispetto ad r (e ri-------~-. spetto ad ogni vettore applicato su

----- -

r

e ad

r

concorde) _se la rotazio---- -

-- --- -- - - --- ~

ne che subisce ir quando B si spo-;~a a" --A -verso -T;- ~-~-tremo di (A, vl appar"e - antiorarla rispetto all' orien

Fig. 11 La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

tamento positivo -pérson-Ùicato di r.

13 ~ 11

Siano

~2

~1

due vettori qualsiasi. Si applichi lunque punto B

A e

di (A 1 2il

22

in un quanell'estremo

(Fig. 12).

Si chiama prodotto vettore o e sterno di

v

,------I

I

~2

per

il vettore p~

c he ha per modulo l ' area A del

rallelogramma c ostruito sui vettori

/

I

21

I

2 1 1 2 2 1 per direzione quella della no r ma le al piano di tale parallelo -

I

A

g ra mma e il ver so tale che

C/J

A.__--'-----~_,

Y1

(B 1

~

)

s ia levogiro ri spetto all ' orienta -

B

(36)

~).

(A 1

mento di

Fig. 12

Si suole scrivere

V

ed evidentemente risulta (37) insieme a (38) se

V