Getal & Ruimte - J.H. Dijkhuis vwo B deel 3 Uitwerkingen [3, 11 ed.] 9789001842499 [PDF]

Zitiervorschau

Uitwerkingen vwo B deel 3 ELFDE EDITIE, 2015

J.H. Dijkhuis C.J. Admiraal J.A. Verbeek G. de Jong H.J. Houwing J.D. Kuis F. ten Klooster S.K.A. de Waal J. van Braak J.H.M. Liesting-Maas M. Wieringa M.L.M. van Maarseveen R.D. Hiele J.E. Romkes M. Haneveld S. Voets I. Cornelisse

Noordhoff Uitgevers Groningen

1

Inhoud 9

Exponentiële en logaritmische functies 4

10 Meetkunde met vectoren 11 Integraalrekening

73

12 Goniometrische formules K

35

106

Voortgezette integraalrekening 137 Wiskunde Olympiade 171 Gemengde opgaven 178 Voor sommige (computer)opgaven is geen uitwerking opgenomen. Deze zijn aangegeven met een *.

© Noordhoff Uitgevers bv

9 Exponentiële en logaritmische functies Voorkennis Exponenten Bladzijde 9

1

a y = (112 ) b

y = ( 35 )

x ௘translatie (0, 3)

x ௘translatie (1, 2)

x

f (x) = (112 ) í 3 ௘g(x) = ( 35 )x í1 + 2

y ƒ g y=2

O

x

y = –3

B f = 8í3, m 9 en Bg = 82, m 9. c De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x § 2,71. f࣠(x) • 0 geeft x • 2,71 d g(0) = ( 35 )í1 + 2 = 53 + 2 = 323 Voor x • 0 is 2 < g(x) ” 323 . e Intersect geeft x § 4,07. f௘(x) ” g(x) geeft x ” 4,07 f B f = 8í3, m 9, dus f௘(x) = p heeft geen oplossingen voor p ” í3. g AB = g(2) í f௘(2) = 2,6 í í0,75 = 3,35 h Voer in y3 = 5. Intersect met y1 en y2 geeft x = 5,128... Intersect met y1 en y3 geeft x = í1,150... CD = 5,128... í í1,150... § 6,28

9

2

a y = 4x translatie (1, 3)

f (x) = 4x í 1 + 3 De horizontale asymptoot is de lijn y = 3. x b y = ( 12 ) verm. x-as, 6 x

y = 6 Â ( 12 )

translatie (0, í1) x

g(x) = 6 Â ( 21 ) í 1 De horizontale asymptoot is de lijn y = í1. c y = 6x verm. x-as, 12 y = 12 6x translatie (í3, í2) y = 12 6 x + 3 í 2 verm. y-as, í1 y = 12 6 íx + 3 í 2 Dus g(x) = 12 63 í x

  Â

í 2. Â De horizontale asymptoot is de lijn y = í2.

4

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

3

a 2 + 3  22x í 1 = 98 3  22x í 1 = 96 22x í 1 = 32 22x í 1 = 25 2x í 1 = 5 2x = 6 x=3 1 冑3 1 b 34x í 1 = 27 4x í 1 í3 3 = 3  32 1 4x í 1 3 = 3í22 4x í 1 = í212 4x = í112 x = í 38 c 4  2x í 3 = 8x x 2 2  2 x í 3 = ( 2 3) 2x í 1 = 23x x í 1 = 3x í2x = 1 x = í 12 x 1 d 3  9x = 9  ( 13 ) x x 3í1  ( 32) = 32  ( 3í1) 3í1  32x = 32  3íx 32x í 1 = 32 í x 2x í 1 = 2 í x 3x = 3 x=1 e 2x + 1 + 2x í 1 = 80 2x  21 + 2x  2í1 = 80 2  2x + 12  2x = 80 212  2x = 80 2x = 32 2x = 25 x=5

f 2x + 1 í 2x í 1 = 96 2x  21 í 2x  2í1 = 96 2  2x í 12  2x = 96 112  2x = 96 2x = 64 2x = 26 x=6 2 2 g 4x + 22= 8x í 1 2 x + 2 ( 2 2) = ( 2 3) x í 1 2 2 22x + 4 = 23x í 3 2x2 + 4 = 3x2 í 3 íx2 = í7 x2 = 7 x = 冑7 – x = í冑7 h 25  5x í 1 = 5  0,2x x 52  5x í 1 = 5  ( 15 ) x

5x + 1 = 5 Â ( 5í1) 5x + 1 = 51 Â 5íx 5x + 1 = 51 í x x+1=1íx 2x = 0 x=0 i 32 Â 2x í 1 = 14 Â 8x x 25 Â 2x í 1 = 2í2 Â ( 23) 2x + 4 = 2í2 Â 23x 2x + 4 = 23x í 2 x + 4 = 3x í 2 í2x = í6 x=3

9

Bladzijde 10 4

a gdag = 1,3 gweek = 1,37 § 6,27 Het groeipercentage per week is 527%. b gdag = 1,3 1 guur = 1,324 § 1,011 Het groeipercentage per uur is 1,1%.

5

a gdag = 0,95 gweek = 0,957 § 0,698 De afname is 30,2% per week. b gjaar = 1,0475 g10 jaar = 1,047510 § 1,591 De toename per 10 jaar is 59,1%. c gweek = 2,4 1 gdag = 2,47 § 1,133 De toename per dag is 13,3%.

6

N = b  gt met g3 dagen =

1 600 = 1,2, dus gdag = 1,23 = 1,0626... 500

N = b  1,062...t r b  1,062...2 = 500 t = 2 en N = 500 500 b= § 443 1,062...2 Dus N = 443  1,063t.

© Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

5

7

N = b  gt met g7 dagen =

1000 2 = , dus gdag = 1500 3

(23)

1 7

= 0,943...

N = b  0,943...t r b  0,943...8 = 1500 t = 8 en N = 1500 1500 b= § 2384 0,943...8 Dus N = 2384  0,944t.

9.1 Logaritmen Bladzijde 11 1

2

a 23 = 8

c 22 = 冑2

1 e 3í3 = 27

b 2í2 = 14

d 32 = 9

5 f 35 = 冑 3

a 5log(125) = 5log(53) = 3 b 10log(0,1) = 10log(10í1) = í1 c 2log(4) = 2log(22) = 2

d 7log(49) = 7log(72) = 2 1 e 2log (冑2 ) = 2log (22 ) = 12 f 2log(0,5) = 2log(2í1) = í1

g 4log(0,25) = 4log(4í1) = í1 h 4log(4) = 4log(41) = 1 i 4log(1) = 4log(40) = 0

1

1

Bladzijde 12

3

a 2log ( 64冑2) = 2log ( 26 Â 22 ) = 2log ( 262 ) = 612 1

1

b 3log ( 19 冑3) = 3log ( 3í2 Â 32 ) = 3log ( 3í12 ) = í112 c 3log(321,5) = 21,5 1 ) = 5log(5í3) = í3 d 5log ( 125 1

e f g

1 3

1 ) = 3 log (( 13 ) log ( 27

3

1

1 4

)=

1 2

log ((

)=3

) )=2 2 3 2log ( 1 冑 2 2 í5 í4 32 Â 2) = log ( 2 Â 2 ) = log ( 2 ) = í43 1 2

log (

1

1 2 2

1 3

2 3

h 5log(1) = 5log(50) = 0 i

3log

( 81 Â 冑5 27) = 3log ( 34 Â 冑5 33) = 3log ( 34 Â 3 ) = 3log ( 34 ) = 435 3 5

3 5

4

a 2log(x) = 3 x = 23 x=8

b 3log(x) = í2 x = 3í2 x = 19

c 5log(x) = 12 1 x = 52 x = 冑5

5

a 3log(x + 2) = 2 x + 2 = 32 x+2=9 x=7 1 b 1 + 2 log(x) = 4 1 2 log(x) = 3 3 x = ( 12 ) x = 18

c 3log(2x + 1) = 4 2x + 1 = 34 2x + 1 = 81 2x = 80 x = 40 d 5 + 4log(x) = 3 4log(x) = í2 x = 4í2 1 x = 16

e

6

a 4 Â 3log(x) = 2 3log(x) = 1 2 1 x = 32 x = 冑3 b 3log(4x í 1) = í2 4x í 1 = 3í2 4x í 1 = 19 4x = 119 5 x = 18

c 3 + 2log(x) = í1 2log(x) = í4 x = 2í4 1 x = 16 5 d log(3x + 2) = 1 3x + 2 = 51 3x + 2 = 5 3x = 3 x=1

e 3log(0,4x í 5) = 2 0,4x í 5 = 32 0,4x í 5 = 9 0,4x = 14 x = 35 f 4 + 2 Â 2log(x) = 7 2 Â 2log(x) = 3 2log(x) = 11 2 1 x = 2 12 1 x = 21 Â 22 x = 2冑2

9

6

Hoofdstuk 9

1 2

log(x í 1) = 3 3 x í 1 = ( 12 ) 1 xí1=8 x = 118 f 2log(x2 í 4) = 5 x2 í 4 = 25 x2 í 4 = 32 x2 = 36 x = 6 – x = í6

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 13 7

a

x

í3

í2

í1

0

1

2

3

y = 2x

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

x

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

y = 2log(x)

í3

í2

í1

0

1

2

3

b

y

5 y = 2x

4

y=x

3

y = 2log(x)

2

1

–2

–1

O

1

2

3

4

x

5

–1

–2

c De gra¿ek van h(x) = 2log(x) ontstaat uit de gra¿ek van f௘(x) = 2x bij spiegelen in de lijn y = x. Bladzijde 14 8

a

x

1 9

f (x) í2

1 3

1

3

9

í1

0

1

2

9

y

b

ƒ

2

1

y = 12

1

O

1

2

3

4

3 3

6

7

8

9

x

–1

–2

c f (x) = 112 geeft 3log(x) = 112 1 x = 3 12 x = 3冑3 f (x) ” 112 geeft 0 < x ” 3冑3 d f (冑3 ) = 3log (冑3 ) = 12 f (27) = 3log(27) = 3 Voor 冑3 ” x ” 27 is 12 ” f (x) ” 3.

© Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

7

9

a

x

6

4

3

212

214

f௘(x)

í2

í1

0

1

2

b

y

2 ƒ 1

O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

–1

–2

–3

y = –3

x=2

c f ( ) = log (218 í 2) = 2 log ( 18 ) = 3 Voor x • 218 is f (x) ” 3. 1 d f (x) = í3 geeft 2 log(x í 2) = í3 x í 2 = ( 12 )í3 x í 2 = (2í1)í3 x í 2 = 23 xí2=8 x = 10 f (x) • í3 geeft 2 < x ” 10 218

1 2

1

2

10

a 2 log(8) = 23 = 8 3 3 log(9) = 32 = 9 1 2 2 log ( 2 ) = 2í1 = 12 b log(100) = 2 en log(1000) = 3 Bij deze toets hoort het grondtal 10 omdat 10log(100) = 2 en 10log(1000) = 3.

11

a b c d e

9

Bladzijde 15 3log(5)

§ 1,46 log(18) § í1,49 2log(20) í 2log(6) § 1,74 1 1 3 log(10) + log ( ) § í2,57 3 2 3 Â log(7) § 8,42 5 f 4 § 2,79 log(12) 1 7

Bladzijde 16 12

a f௘(2) = 2log(2) = 1, dus bestaat. g(2) = 2log(0) bestaat niet. h(2) = 2log(7) § 2,81, dus bestaat. k(2) = 2log(í1) bestaat niet. b Omdat het domein van f௘(x) = 2log(x) het interval 80, m 9 is, kun je alleen logaritmen nemen van positieve getallen. Dus g(2) = 2log(0) en k(2) = 2log(í1) bestaan niet.

8

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 17 13

a 5x í 8 > 0 geeft 5x > 8, dus x > 135 en D f = 135 , m ­. De verticale asymptoot is de lijn x = 135 . Voer in y1 = í3 + 2log(5x í 8). x

2

3

4

6

8

12

f௘(x)

í2

í0,2

0,6

1,5

2

2,7

y ƒ 2 x = 1 53 1

O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

–1

–2

b f (x) = 0 geeft í3 + 2log(5x í 8) = 0 2log(5x í 8) =3 5x í 8 = 8 5x = 16 x = 315 f (x) ” 0 geeft 135 < x ” 315 c f (8) = 2 Voor x ” 8 is f௘(x) ” 2. 14

a y = 3log(x) translatie (í2, í1)

9

f (x) = í1 + 3log(x + 2) y = 2log(x) translatie (4, 0)

g(x) = 2log(x í 4) b x + 2 > 0 geeft x > í2, dus de verticale asymptoot is de lijn x = í2 en Df = 8í2, m 9. x í 4 > 0 geeft x > 4, dus de verticale asymptoot is de lijn x = 4 en Dg = 4, m ­. x = –2

x=4

y

g ƒ O

x

c Voer in y1 = í1 + 3log(x + 2) en y2 = 2log(x í 4). Intersect geeft x § 5,83 en y § 0,87, dus het snijpunt is (5,83; 0,87). d f (x) • g(x) geeft 4 < x ” 5,83

© Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

9

15

1

a f௘(x) = 5 geeft 2 log(x + 3) = 5 x+3=

(12)5

1 x + 3 = 32

x = í231 32 b íx + 5 > 0 geeft íx > í5 ofwel x < 5, dus de verticale asymptoot is de lijn x = 5 en Dg =  k , 5 ­. x=5

y

2 g −4

x

O

g(í4) = 2 Voor x • í4 is g(x) ” 2. 1 c f௘(x) = 1 geeft 2 log(x + 3) = 1 x + 3 = 12 x = í212 x + 3 > 0 geeft x > í3, dus de verticale asymptoot is de lijn x = í3 en Df = í3, m ­. y

1 1

−2 2

x

O

ƒ

x = –3

f௘(x) • 1 geeft í3 < x ” í212 1 d Voer in y1 = 2 log(x + 3) = 5 en y2 = 3log(íx + 5). Intersect geeft x § í2,72 en x § 4,96. y

x=5

9 g −2,72

O

4,96

x

ƒ

x = −3

f௘(x) ” g(x) geeft í2,72 ” x ” 4,96 e Voer in y3 = 2,5. Intersect met y1 en y3 geeft x = í2,823... Intersect met y2 en y3 geeft x = í10,588... Dus AB = í2,823... í í10,588... § 7,77. 16

3x = 50 wil zeggen dat x de exponent is van het grondtal 3 die als uitkomst van de macht 50 geeft. Dus geldt volgens de de¿nitie van logaritme dat x = 3log(50).

17

a 2x í 1 = 15 x í 1 = 2log(15) x = 1 + 2log(15) b 1 + 2x = 15 2x = 14 x = 2log(14)

10

Hoofdstuk 9

Bladzijde 18

c 4 + 3x + 1 = 25 3x + 1 = 21 x + 1 = 3log(21) x = í1 + 3log(21) d 14 í 2x + 3 = 2 í2x + 3 = í12 2x + 3 = 12 x + 3 = 2log(12) x = í3 + 2log(12)

e 7 + 42x = 12 42x = 5 2x = 4log(5) x = 12 Â 4log(5) f 3 Â 52x + 1 = 60 52x + 1 = 20 2x + 1 = 5log(20) 2x = í1 + 5log(20) x = í 12 + 12 Â 5log(20) © Noordhoff Uitgevers bv

18

7 + p  3x í 1 = 57 3 r 7 + p  3 log(10) í1 = 57 x = 3log(10) 3log(10) pÂ3  3í1 = 50 p  10  13 = 50 p = 15

19

y = 3x í 1 geeft x í 1 = 3log(y) en hieruit volgt x = 1 + 3log(y).

20

a y = 2x í 4 2x í 4 = y x í 4 = 2log(y) x = 4 + 2log(y) b y = 8 Â 3x í 2 8 Â 3x í 2 = y 3x í 2 = 18 y x í 2 = 3log ( 18 y)

Bladzijde 19

x = 2 + 3log (18 y) c y = 45x í 1 45x í 1 = y 5x í 1 = 4log(y) 5x = 1 + 4log(y) x = 15 + 15 Â 4log(y)

21

d y = 10 Â 52x í 3 10 Â 52x í 3 = y 1 52x í 3 = 10 y 1 5 2x í 3 = log ( 10 y) 1 2x = 3 + 5log ( 10 y) 1 x = 112 + 12 Â 5log ( 10 y) 2x í 3 e y = 5 Â 10 5 Â 102x í 3 = y 102x í 3 = 15 y 2x í 3 = log ( 15 y)

2x = 3 + log ( 15 y) x = 112 + 12 Â log ( 15 y) f y = 100 + 20,25x í 1 100 + 20,25x í 1 = y 20,25x í 1 = y í 100 0,25x í 1 = 2log(y í 100) 0,25x = 1 + 2log(y í 100) x = 4 + 4 Â 2log(y í 100)

g y = 500 í 100,1x + 1,5 500 í 100,1x + 1,5 = y í100,1x + 1,5 = í500 + y 100,1x + 1,5 = 500 í y 0,1x + 1,5 = log(500 í y) 0,1x = í1,5 + log(500 í y) x = í15 + 10 Â log(500 í y) h y = 20 + 5 Â 100,2x í 0,6 20 + 5 Â 100,2x í 0,6 = y 5 Â 100,2x í 0,6 = y í 20 100,2x í 0,6 = 15 y í 4 0,2x í 0,6 = log ( 15 y í 4) 0,2x = 0,6 + log ( 15 y í 4) x = 3 + 5 Â log ( 15 y í 4)

a N = 50 Â 24t í 1 50 Â 24t í 1 = N 1 50 Â 22 ( 2t í 2) = N 1 50 Â 42t í 2 = N 1 1 42t í 2 = 50 N 1 1 2t í 2 = 4log ( 50 N)

9

1 2t = 12 + 4log ( 50 N) 1 t = 14 + 12 Â 4log ( 50 N)

b K = 60 + 40 Â 102F í 0,8 60 + 40 Â 102F í 0,8 = K 40 Â 102F í 0,8 = K í 60 102F í 0,8 = 0,025K í 1,5 2F í 0,8 = log(0,025K í 1,5) 2F = 0,8 + log(0,025K í 1,5) F = 0,4 + 0,5 Â log(0,025K í 1,5) c A = 500 í 50 Â 1,75B í 2,5 50 Â 1,75B í 2,5 = 500 í A 1,75B í 2,5 = 10 í 0,02A B í 2,5 = 1,75log(10 í 0,02A) B = 2,5 + 1,75log(10 í 0,02A)

© Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

11

9.2 Rekenregels en vergelijkingen Bladzijde 21 22

a

De formules van y2 en y3 komen op hetzelfde neer. b

c

De formules van y2 en y3 komen op hetzelfde neer.

De formules van y1 en y3 komen op hetzelfde neer. Bladzijde 22 23

a 2log(6) + 2log(10) = 2log(6 Â 10) = 2log(60) 3 b 3log(30) í 3log(6) = 3log (30 6 ) = log(5)

c 2 Â 5log(3) + 5log ( 12 ) = 5log(32) + 5log ( 12 ) = 5log (9 Â 12 ) = 5log (412 ) 5 2 d 2 log(15) í 4 Â 2 log(3) = 2 log(15) í 2 log(34) = 2 log ( 15 81 ) = log ( 27 ) 1

1

1

1

1

1

1 e í2 Â 4log(6) + 4log(12) = 4log(6í2) + 4log(12) = 4log ( 36 Â 12) = 4log ( 13 )

9

f log(50) í 2 Â log(5) = log(50) í log(52) = log ( 50 25 ) = log(2) 24

a 4 + 2log(3) = 2log(24) + 2log(3) = 2log(16 Â 3) = 2log(48) b 3 í 2 log(10) = 2 log (( 12 )3 ) í 2 log(10) = 2 log 1

1

1

1

( ) 1 8

1 ) = 2 log ( 80 1

10 c 2 í log(5) = log(102) í log(5) = log (100 5 ) = log(20)

2 d 2log(12) í 3log(9) = 2log(12) í 2 = 2log(12) í 2log(22) = 2log (12 4 ) = log(3)

e

1 3 2 log(16)

Â

4 ) + 2 log(8) = 3log (162 ) í 3 = 3log(4) í 3log(33) = 3log ( 27 1

1

500 ) = log (12) f log(500) í 5log(125) = log(500) í 3 = log(500) í log(103) = log (1000

25

a 3log(6) + 3log (112 ) = 3log ( 6 Â 112 ) = 3log(9) = 2 2 ) = 5log ( 251 ) = 5log ( 5í2) = í2 b 5log(2) í 5log(50) = 5log ( 50 c d

1 ) = 2log ( 27 Â 216 ) = 2log ( 18 ) = 2log(2í3) = í3 4 2 Â 4log(6) í 2 Â 4log(3) = 4log(62) í 4log(32) = 4log ( 36 9 ) = log(4) = 1 2log(27)

+ 3 Â 2log ( 16 ) = 2log(27) + 2log (( 16 )

3

()

g

26

a g

glog(a) í glog(b)

b gn  log(a) = ( g g

=

g log(a) a a a g . = g log ( b), dus glog(a) í glog(b) = glog glog(b) = g b b

glog(a)

)n = an = g log(a ), dus n  glog(a) = glog(an). g

n

27

a 3 + 2log(3) = 2log(23) + 2log(3) = 2log(8 Â 3) = 2log(24) b 2log(x + 1) = 3 + 2log(3) 2log(x + 1) = 2log(24) x + 1 = 24 x = 23

12

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 23 28

a 5log(x) = 3 Â 5log(2) í 2 Â 5log(3) 5log(x) = 5log(23) í 5log(32) 5log(x) = 5log ( 89 ) 8 x=9 vold. b 2log(x) = 4 í 2log(3) 2log(x) = 2log(24) í 2log(3) 2log(x) = 2log (16 3) 1 x = 53 vold.

c 2log(x + 3) = 3 + 2log(x) 2log(x + 3) = 2log(23) + 2log(x) 2log(x + 3) = 2log(8x) x + 3 = 8x í7x = í3 x = 37 vold. d 3log(2x) = 1 + 3log(x + 1) 3log(2x) = 3log(3) + 3log(x + 1) 3log(2x) = 3log(3x + 3) 2x = 3x + 3 íx = 3 x = í3 vold. niet

29

a 5 Â log(x) = 5 í log(3125) 5 Â log(x) = 5 í log(55) 5 Â log(x) = 5 í 5 Â log(5) log(x) = 1 í log(5) log(x) = log(10) í log(5) log(x) = log (10 5) x=2 vold. 1 1 b 2 log(2x í 1) = 2 + 2 log(x + 2)

c 3log(x + 2) = 1 í 3log(x) 3log(x + 2) = 3log(3) í 3log(x) 3 3log(x + 2) = 3log x 3 x+2= x x2 + 2x = 3 x2 + 2x í 3 = 0 (x í 1)(x + 3) = 0 x = 1 – x = í3 vold. vold. niet d 2  3log(x) + 1 = 3log(5x í 2) 3log(x2) + 3log(3) = 3log(5x í 2) 3log(3x2) = 3log(5x í 2) 3x2 = 5x í 2 3x2 í 5x + 2 = 0 D = (í5)2 í 4  3  2 = 1 5í1 2 5+1 x= =3 –x= =1 6 6 vold. vold.

1 2

log(2x í 1) = 2 log ((12 )

1 2

log(2x í 1) = log ( 14 (x + 2))

1

2

)+

1 2

log(x + 2)

1 2

log(2x í 1) = 2 log (14 x + 12 ) 2x í 1 = 14 x + 12 134 x = 112 x = 67 vold. 1 2

30

a

1

5log(x)

= 2 + 12 Â 5log(3) 1 = 5log(52) + 5log (32 )

5log(x)

= 5log(25) + 5log (冑3 )

5log(x)

= 5log (25冑3 ) x = 25冑3 vold. b 3log(x + 4) + 1 = 2  3log(x í 2) 3log(x + 4) + 3log(3) = 3log((x í 2)2) 3log(3(x + 4)) = 3log(x2 í 4x + 4) 3x + 12 = x2 í 4x + 4 x2 í 7x í 8 = 0 (x + 1)(x í 8) = 0 x = í1 – x = 8 vold. niet vold. 5log(x)

© Noordhoff Uitgevers bv

()

9

c 2log(2x) í 2log(x + 3) = 2log(x) í 2 2x 2log = 2log(x) í 2log(22) x+3 2x x 2log = 2log x+3 4 2x x = x+3 4 x2 + 3x = 8x x2 í 5x = 0 x(x í 5) = 0 x=0 – x=5 vold. niet vold. d 3log(x) = 2 í 3log(x í 1) 3log(x) = 3log(32) í 3log(x í 1) 9 3log(x) = 3log xí1 9 x= xí1 x2 í x = 9 x2 í x í 9 = 0 D = (í1)2 í 4  1  í9 = 37 1 í 冑37 1 + 冑37 x= – x= 2 2 x = 12 í 12 冑37 – x = 12 + 12 冑37 vold. niet vold.

( ) ( )

()

( )

Exponentiële en logaritmische functies

13

31

log(5) 3log(5) log(5) log(3) 2log(5) = = 3 = log(2) log(2) log(2) log(3)

32

a

33

a í2  2 log(x) = 2 + 2log(3 í x) 2  2log(x) = 2log(22) + 2log(3 í x) 2log(x2) = 2log(4(3 í x)) x2 = 12 í 4x x2 + 4x í 12 = 0 (x í 2)(x + 6) = 0 x = 2 – x = í6 vold. vold. niet b 9log(2x) = 3log(x í 4) 3log(2x) = 3log(x í 4) 3log(9)

Bladzijde 25

9

3log(3x

1

í 5) + 3 log(x í 1) = 0 3log(3x í 5) í 3log(x í 1) =0 3log(3x í 5) = 3log(x í 1) 3x í 5 = x í 1 2x = 4 x=2 vold. 1 b 5log(3x) + 2  5 log(x) = 0 1 5log(3x) + 5 log(x2) =0 5log(3x) í 5log(x2) =0 5log(3x) = 5log(x2) 3x = x2 x2 í 3x = 0 x(x í 3) = 0 x=0 – x=3 vold. niet vold.

1

3log(2x)

= 3log(x í 4) 2 3log(2x) = 2  3log(x í 4) 3log(2x) = 3log((x í 4)2) 2x = (x í 4)2 2x = x2 í 8x + 16 x2 í 10x + 16 = 0 (x í 2)(x í 8) = 0 x=2 – x=8 vold. niet vold. 34

35

14

1

1

c 2x  3 log(3x + 5) = 3 log(3x + 5) 1 3 log(3x + 5) = 0 – 2x = 1 3x + 5 = 1 – x = 12 3x = í4 – x = 12 x = í113 – x = 12 vold. vold. 2 4 d log(x) = log(x + 20) 2log(x + 20) 2log(x) = 2 log(4) 2log(x + 20) 2log(x) = 2 2 2  log(x) = 2log(x + 20) 2log(x2) = 2log(x + 20) x2 = x + 20 x2 í x í 20 = 0 (x + 4)(x í 5) = 0 x = í4 – x = 5 vold. niet vold. c 4x  4log(2x í 1) + 3  4log(2x í 1) = 0 (4x + 3)  4log(2x í 1) = 0 4x + 3 = 0 – 4log(2x í 1) = 0 4x = í3 – 2x í 1 = 1 x = í 34 – 2x = 2 x = í 34 – x = 1 vold. niet vold. 1 d x2  5log(2x + 1) + 9  5 log(2x + 1) = 0 x2  5log(2x + 1) í 9  5log(2x + 1) = 0 (x2 í 9)  5log(2x + 1) = 0 x2 í 9 = 0 – 5log(2x + 1) = 0 x2 = 9 – 2x + 1 = 1 x = 3 – x = í3 – 2x = 0 x = 3 – x = í3 – x = 0 vold. vold. niet vold.

a (2log(x))2 í 2  2log(x) í 8 = 0 Stel 2log(x) = u. u2 í 2u í 8 = 0 (u + 2)(u í 4) = 0 u = í2 – u = 4

b 2log(x) = í2 – 2log(x) = 4 x = 2í2 = 14 – x = 24 = 16 vold. vold.

a (2x)2 + 2  2x = 8 Stel 2x = u. u2 + 2u = 8 u2 + 2u í 8 = 0 (u í 2)(u + 4) = 0 u = 2– u = í4

b 2x = 2 – 2x = í4 x=1 geen oplossing

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 26 36

37

38

a 2log2(x) = 2  2log(x) + 3 Stel 2log(x) = u. u2 = 2u + 3 u2 í 2u í 3 = 0 (u + 1)(u í 3) = 0 u = í1– u = 3 2log(x) = í1 – 2log(x) = 3 1 x=2 –x=3 vold. vold. 1 1 b 2 log 2(x + 2) + 3  2 log(x + 2) = 0 1 Stel 2 log(x + 2) = u. u2 + 3u = 0 u(u + 3) = 0 u = 0 – u = í3 1 1 2 log(x + 2) = 0 – 2 log(x + 2) = í3 x + 2 = 1– x + 2 = 8 x = í1– x = 6 vold. vold. x

c 2  3log2(x) + 2 = 5  3log(x) Stel 3log(x) = u. 2u2 + 2 = 5u 2u2 í 5u + 2 = 0 D = (í5)2 í 4  2  2 = 9 5+3 5í3 1 u= =2–u= =2 4 4 3log(x) = 12 – 3log(x) = 2 x = 冑3 – x = 9 vold. vold. 1 d 5log 2(x) + 3  5 log(x) + 2 = 0 5log 2(x) í 3 5log(x) + 2 =0  Stel 5log(x) = u. u2 í 3u + 2 = 0 (u í 1)(u í 2) = 0 u = 1– u = 2 5log(x) = 1– 5log(x) = 2 x = 5 – x = 25 vold. vold.

a 3x í 2 = 8  ( 13 ) 1 3x í 2 = 8  x 3 Stel 3x = u. 1 u í 2 = 8 u u2 í 2u = 8 u2 í 2u í 8 = 0 (u + 2)(u í 4) = 0 u = í2 – u = 4 3x = í2 – 3x = 4 geen opl. x = 3log(4) x b 2x = 6 í 5  ( 12 ) 1 2x = 6 í 5  x 2 Stel 2x = u. 1 u = 6 í 5 u u2 = 6u í 5 u2 í 6u + 5 = 0 (u í 1)(u í 5) = 0 u = 1– u = 5 2x = 1– 2x = 5 x = 0 – x = 2log(5)

c 9x = 4 + 3x + 1 (32)x = 4 + 3x  3 (3x)2 = 4 + 3  3x Stel 3x = u. u2 = 4 + 3u u2 í 3u í 4 = 0 (u + 1)(u í 4) = 0 u = í1– u = 4 3x = í1 – 3x = 4 geen opl.– x = 3log(4) d 2x = 24 í 22x í 1 2x = 24 í 22x  2í1 2x = 24 í (2x)2  12 Stel 2x = u. u = 24 í 12 u2 1 2 2 u + u í 24 = 0 u2 + 2u í 48 = 0 (u í 6)(u + 8) = 0 u = 6– u = í8 2x = 6 – 2x = í8 x = 2log(6) geen opl.

a 32x í 1 = 10 2x í 1 = 3log(10) 2x = 1 + 3log(10) x = 12 + 12 Â 3log(10) § 1,55

b 5 Â 4x í 2 = 16 4x í 2 = 315 x í 2 = 4log (315 )

© Noordhoff Uitgevers bv

9

x = 2 + 4log (315 ) § 2,84

Exponentiële en logaritmische functies

15

c 9x = 2  3x + 6 x (32) = 2  3x + 6 2 (3x) = 2  3x + 6 Stel 3x = u. u2 = 2u + 6 u2 í 2u í 6 = 0 D = (í2)2 í 4  1  í6 = 28 2 + 冑28 2 í 冑28 u= –u= 2 2 u = 1 í 12 冑28 – u = 1 + 12 冑28 3x = 1 í 12 冑28 – 3x = 1 + 12 冑28 – x = 3log (1 + 12 冑28 ) § 1,18

geen opl.

d 2x + 2íx = 3 1 2x + x = 3 2 Stel 2x = u. 1 u+ =3 u u2 + 1 = 3u u2 í 3u + 1 = 0 D = (í3)2 í 4  1  1 = 5 3 í 冑5 3 + 冑5 u= –u= 2 2 u = 112 í 12 冑5 – u = 112 + 12 冑5 2x = 112 í 12 冑5 – 2x = 112 + 12 冑5 x = 2log (112 í 12 冑5 ) – x = 2log (112 + 12 冑5 ) x § í1,39 – x § 1,39

39

a 3x + 2 + 3x = 600 32 Â 3x + 3x = 600 9 Â 3x + 3x = 600 10 Â 3x = 600 3x = 60 x = 3log(60) b 3x + 5 Â (13 ) 3x + 5 Â (

xí2

= 18

) Â (13)x = 18

1 í2 3

1 = 18 3x Stel 3x = u. 45 u+ = 18 u u2 + 45 = 18u u2 í 18u + 45 = 0 (u í 3)(u í 15) = 0 u = 3 – u = 15 3x = 3 – 3x = 15 x = 1 – x = 3log(15) 3x + 5  9 Â

9

c 5x í 1 + 52x í 1 = 4 5í1  5x + 5í1  52x = 4 1 1 x x 2 5  5 + 5  (5 ) = 4 2 x x 5 + (5 ) = 20 Stel 5x = u. u + u2 = 20 u2 + u í 20 = 0 (u í 4)(u + 5) = 0 u = 4 – u = í5 5x = 4 – 5x = í5 x = 5log(4) geen opl. d 3x + 2  (13 ) 3x

+ 2Â (

xí2

=9 1 x 3

) Â( )

1 í2 3

=9 1 3x + 2  9  x = 9 3 Stel 3x = u. 18 u+ =9 u u2 + 18 = 9u u2 í 9u + 18 = 0 (u í 3)(u í 6) = 0 u=3–u=6 3x = 3 – 3x = 6 x = 1 – x = 3log(6)

9.3 Exponentiële en logaritmische formules Bladzijde 28 40

a 21,7 Â 1,026t = 43,4 1,026t = 2 t = 1,026log(2) = 27,00… Dus na 27 jaar is het aantal verdubbeld. b 19,6 Â 1,026t = 39,2 1,026t = 2 t = 1,026log(2) = 27,00… Dus na 27 jaar is het aantal verdubbeld.

41

a gjaar = 1,131 1,131T = 2 T = 1,131log(2) = 5,630... De verdubbelingstijd is 5 jaar en (0,630 Â 12 = 7,567.. §) 8 maanden.

Bladzijde 29

16

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

b gweek = 0,915 0,915T = 12 T = 0,915log ( 12 ) = 7,802... De halveringstijd is 7 weken en (0,802... Â 7 = 5,620... §) 6 dagen. 42

a gjaar = 1,011 1,011T = 2 T = 1,011log(2) = 63,359... De verdubbelingstijd is 63 jaar. b g10 jaar = 1,083 1,083T = 2 T = 1,083log(2) = 8,693... De verdubbelingstijd is 8,693... Â 10 jaar § 87 jaar.

43

a gdag = 0,917 0,917T = 12 T = 0,917log ( 12 ) = 7,999... De halveringstijd is 8 dagen. b 0,917T = 0, T = 0,917log(0,1) = 26,574... Na 27 dagen is nog 10% van de beginhoeveelheid over.

44

a gdag = 210 = 1,0717... Het groeipercentage per dag is 7,2. b g25 jaar = 2 1 gjaar = 225 = 1,0281... Het groeipercentage per jaar is 2,8. c g28 jaar = 12

1

1

gjaar = ( 12 ) 28 = 0,9755... De hoeveelheid radioactieve stof neemt met 2,4% per jaar af. 45

a gdag = 0,81 gweek = 0,817 = 0,2287... De afname per week is 77,1%. b gweek = 0,38 1 gdag = 0,387 = 0,8709... De afname per dag is 12,9%. c De groeifactor per dag is 0,845. Dus BZV = 300 Â 0,845t. d 0,845T = 12 T = 0,845log ( 12) = 4,1156... De halveringstijd is 4 dagen en (0,1156... Â 24 = 2,77... §) 3 uur. 300 Â 0,845t = 10 10 e 0,845t = = 1 300 30 1 ) = 20,1948... t = 0,845log (30 Dus na ruim 20 dagen is het BZV afgenomen tot 10 mg/Liter. f T = 10 geeft h = 7,6 Â 0,9610 = 5,0527... Bij 10 °C is de groeifactor per dag 0,8709... (zie vraag b). 0,8709...5,0527... = 0,4973... § 0,5, dus de formule klopt voor T = 10. T = 20 geeft h = 7,6 Â 0,9620 = 3,3592... Bij 20 °C is de groeifactor per dag 0,81 (zie vraag a). 0,813,3592... = 0,4926... § 0,5, dus de formule klopt voor T = 20.

© Noordhoff Uitgevers bv

9

Exponentiële en logaritmische functies

17

Bladzijde 30 46

a

ster

lichtkracht

Wolf 359 Ster van Barnard Lalande Epsilon Eridani Zon Sirius A Spica Polaris Betelgeuze Rigel A

logaritme van de lichtkracht

0,00002 0,0004 0,0016 0,28 1 23 830 4900 22 900 75 850

í4,7 í3,4 í2,8 í0,6 0 1,4 2,9 3,7 4,4 4,9

75 850 = 3297,82... 23 Dus de lichtkracht van Rigel A is ongeveer 3300 keer zo groot als die van Sirius A. 75 850 = 3,7925 Â 109 0,00002 Dus de lichtkracht van Rigel A is ongeveer 3,8 miljard keer zo groot als die van Wolf 359. 75 850 b = 7,585 Â 109 0,00001 Dus de getallenlijn moet dan ongeveer 7,6 miljard mm = 7600 km lang worden. 75 850 c = 75,85 1000 Dus de getallenlijn moet dan ongeveer 76 mm = 7,6 cm lang worden. Het bezwaar hiertegen is dat sterren met een lichtkracht van minder dan 1000 allemaal binnen 1 mm geplaatst worden en dus niet meer van elkaar zijn te onderscheiden.

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

Rigel A

Betelgeuze

Polaris

Spica

Sirius A

Zon

9

Lalande

Wolf 359

Ster van Barnard

a

Epsilon Eridani

Bladzijde 31 47

10 000

10í4,3

b log(L) = í4,3 geeft L = § 0,00005 Dus de lichtkracht van Proxima Centauri is ongeveer 0,00005. log(L) = 3,8 geeft L = 103,8 § 6310 Dus de lichtkracht van Bellatrix is ongeveer 6310. 48

planeet

omlooptijd

Mercurius Venus Aarde Mars Jupiter Saturnus Uranus Neptunus Pluto

88 dagen 225 dagen 365 dagen 687 dagen 11,86 jaar 29,46 jaar 84,08 jaar 164,8 jaar 248,4 jaar

10

Hoofdstuk 9

1,9 2,4 2,6 2,8 3,6 4,0 4,5 4,8 5,0 103

102

Me

18

logaritme van de omlooptijd

Ve

Aa

Ma

104

Ju

Sa

105

Ur

Ne

Pl

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 32 49

a

letter

y-waarde

A B C D E F

1,3 7,5 23 55 150 2400

c

letter

y-waarde

A B C D E F

1300 7500 23 000 55 000 150 000 2 400 000

b Wel bij 550, 210, 9,5 en 2,4. Niet bij 310, 49, 1,25 en 0. Bladzijde 33

a

0

2

4

6

8

y = 3x

1

9

81

729

6561

y

3

4

5

6 7 8 9 103

y=3

∙4 x

2

3

y=

4

4 ∙3 x

5

b

x

6 7 8 9 104

50

2

9

00 50

6 7 8 9 102

y= 0,

∙

1

2

3

4

5

6 7 8 9 101

2

3

y=

3x

4

5

x

6

0

2

4

6

8

x 10

De punten liggen op een rechte lijn. © Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

19

c

x

0

2

4

6

8

y = 4 Â 3x

4

36

324

2916

26 244

y = 3 Â 4x

3

48

768

12 288

196 608

5000

1800

648

233

84

y = 5000 Â

0,6x

Zie de gra¿eken bij b. d y = 4  3x geeft log(y) = log(4  3x) log(y) = log(4) + log(3x) log(y) = log(4) + x  log(3) log(y) = log(3)  x + log(4) e log(y) = log(3)  x + log(4) is een lineaire functie van x, dus de gra¿ek van log(y) als functie van x is een rechte lijn. Omdat op logaritmisch papier log(y) is uitgezet tegen x, is de gra¿ek van y = 4  3x op logaritmisch papier een rechte lijn. Bladzijde 34 51

a Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b  gt. 400 Lijn door (1, 30) en (7, 400), dus g6 dagen = . 30 1 400 6 gdag = = 1,539... 30

( )

N = b  1,539...t r b  1,539...1 = 30 voor t = 1 is N = 30 30 b= 1,539... b § 19 Dus N = 19  1,540t. b Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b  gt. 9 Lijn door (2, 100) en (8, 9), dus g6 dagen = = 0,09. 100 1

9

a

C

1

3

7

9

11

17

19

t uur

10– 1

2

3

4

5

6

7 8 9 100

2

3

4

5

6

52

7 8 9 101

gdag = 0,096 = 0,6694... N = b  0,6694...t r b  0,6694...2 = 100 voor t = 2 is N = 100 100 b= 0,6694...2 b § 223 Dus N = 223  0,669t.

20

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

b Rechte lijn op logaritmisch papier, dus C = b  gt. 0,5 Lijn door (1, 10) en (19; 0,5), dus g18 uur = = 0,05. 10 1 guur = 0,0518 = 0,8466... C = b  0,8466...t r b  0,8466...1 = 10 voor t = 1 is C = 10 10 b= 0,8466... b § 11,8 Dus C = 11,8  0,847t. c Bij x liter bloed is de concentratie op t = 0 gelijk aan Op t = 0 is C = 11,810... mg/L.

60 mg/L.s 60 x = 11,810... x 60 x= §5 11,810...

Dus de patiënt heeft ongeveer 5 liter bloed. Bladzijde 35 53

a y = 2x translatie (í3, 0)

f (x) = 2x + 3 b f (x) = 2x + 3 = 2x  23 = 8  2x Dus de gra¿ek van f ontstaat ook uit de gra¿ek van y = 2x door de vermenigvuldiging met 8 ten opzichte van de x-as. 54

a y = 2log(x) verm. x-as, 18 f (x) 2log(8x)

= b f (x) = 2log(8x) = 2log(8) + 2log(x) = 3 + 2log(x) Dus de gra¿ek van f ontstaat uit de gra¿ek van y = 2log(x) bij de translatie (0, 3). Bladzijde 36 55

a y = 2x translatie (5, 0)

y = 2x í 5 1 Er geldt 2x í 5 = 2x  2í5 = 32  2 x. 1 Dus de vermenigvuldiging met 32 ten opzichte van de x-as levert dezelfde beeld¿guur op. x b y=4

9

verm. x-as, 2

y = 2 Â 4x 1 1 Er geldt 2 Â 4x = 冑4 Â 4x = 42 Â 4x = 4x + 2 . 1 Dus de translatie ( í 2 , 0) levert dezelfde beeld¿guur op. c y = 2log(x) 1 verm. y-as, 32 2log(32x)

y= Er geldt 2log(32x) = 2log(32) + 2log(x) = 5 + 2log(x) = 2log(x) + 5. Dus de translatie (0, 5) levert dezelfde beeld¿guur op. d y = 4log(x) translatie (0, 12 )

y = 4log(x) + 12 1 Er geldt 4log(x) + 12 = 4log(x) + 4log (42 ) = 4log(x) + 4log(2) = 4log(2x). Dus de vermenigvuldiging met 12 ten opzichte van de y-as levert dezelfde beeld¿guur op. 56

a f (x) = 2log(x) translatie (3, 0)

g(x) = 2log(x í 3) b g(x) = 2log(x í 3) verm. y-as, 14 h(x) 2log(4x

í 3) = Er geldt h(x) = 2log(4x í 3) = 2log (4 ( x í 34 )) = 2log(4) + 2log ( x í 34 ) = 2 + 2log ( x í 34 ) . Dus p = í 34 en q = 2. © Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

21

9.4 Het grondtal e Bladzijde 38 57

a

b

c § 0,6931 c

Dus ook hier is

58

y2 constant en wel ongeveer 1,0986. y1

f (x + h) í f (x) 2x  (2h í 1) 2x + h í 2x 2x  2h í 2x 2h í 1 x = lim = lim = lim = lim Â2 h h h h h h m0 hm0 hm0 hm0 hm 0

a f'(x) = lim

2h í 1 0 2h í 1 Â 2 = lim h h h m0 h m0

b f'(0) = lim

2h í 1 x  2 = f '(0)  2x h h m0

c f'(x) = lim 9

Bladzijde 39 59

a

b Voor x = 0 bestaat de exponent c

x 0,01 0,001 0,0001 0,00001

1 niet. x

y1 2,7048 2,7169 2,7181 2,7183

d Voor het getal a § 2,718 geldt f (x) = ax geeft f'(x) = ax.

22

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 40 60

a 2e2 í e2 = e2 b 4冑e í 冑e = 3冑e c 5e2  3e3 = 15e5 12e6 d = 3e4 4e2 e e5x  ex = e6x f ex  e2 = ex + 2

5 ex í 3 ex = 2ex ex(e2 + 1) = ex + 2 + ex ex(ex + 1) = e2x + ex (ex + 1)2 = (ex)2 + 2  ex  1 + 1 = e2x + 2ex + 1 (e3x + 3)2 = (e3x)2 + 2  e3x  3 + 9 = e6x + 6e3x + 9 6 e2x í ex l = 6ex í 1 ex g h i j k

Bladzijde 41

61

a ( 2 + 3e2 x)2 = 4 + 2  2  3e2 x + (3e 2 x)2 = 4 + 12e2 x + 9ex b (ex + eíx)2 = (ex)2 + 2  ex  eíx + (eíx)2 = e2x + 2 + eí2x e2x í 4 (ex + 2)(ex í 2) c x = = ex + 2 e í2 ex í 2 1

1

1

1

62

a (2x + 4)ex = 0 2x + 4 = 0 2x = í4 x = í2 b x2 e x = 3x ex x2 = 3x x=0–x=3 c x2 e x = e x x2 = 1 x = 1 – x = í1

d e3x í ex = 0 e3x = ex 3x = x 2x = 0 x=0 e e4x í 1 = 0 e4x = 1 e4x = e0 4x = 0 x=0 f ex  ex = e6 e2x = e6 2x = 6 x=3

63

a e x + e x = 2e6 2ex = 2e6 e x = e6 x=6 e5x b x =e e e4x = e1 4x = 1 x = 14 c 2x ex + ex = 0 ex(2x + 1) = 0 2x + 1 = 0 2x = í1 x = í 12 d ex + 2 í 冑e = 0 ex + 2 = 冑e 1 ex + 2 = e2 x + 2 = 12 x = í112

e e2x + ex = 2 (e x)2 + ex = 2 Stel e x = u. u2 + u = 2 u2 + u í 2 = 0 (u í 1)(u + 2) = 0 u = 1 – u = í2 ex = 1 – e x = í2 x = 0 geen opl. f e6x + 1 = 2 e3x (e3x)2 + 1 = 2 e3x Stel e3x = u. u2 + 1 = 2u u2 í 2u + 1 = 0 (u í 1)2 = 0 u=1 e 3x = 1 3x = 0 x=0

64

9

a f௘(x) = x ex geeft f '(x) = 1  ex + x  ex = (x + 1)ex (x + 1)  ex í ex  1 ex xex b g(x) = geeft g'(x) = = x+1 (x + 1)2 (x + 1)2 c h(x) = e2x + 3 geeft h'(x) = e2x + 3  2 = 2e2x + 3

© Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

23

Bladzijde 44 65

a f (x) = ex + 2 geeft f '(x) = ex 1 1 b f (x) = 2 ex + = 2ex + xí1 geeft f '(x) = 2ex í xí2 = 2ex í 2 x x c f (x) = x ex + 4 geeft f '(x) = 1  ex + x  ex = (x + 1)ex d f (x) =

x ex  1 í x  ex (1 í x)ex 1 í x geeft f '(x) = = = x x e (ex)2 (ex)2 e

e f (x) =

(x í 1)  2ex í 2ex  1 2x ex í 2 ex í 2ex (2x í 4)ex 2ex geeft f '(x) = = = xí1 (x í 1)2 (x í 1)2 (x í 1)2

f f (x) = (2x í 4)ex geeft f '(x) = 2 Â ex + (2x í 4) Â ex = (2x í 2)ex 66

2

2

a f (x) = ex + x geeft f '(x) = (2x + 1)ex + x b g(x) = x2 + 2e3x geeft g '(x) = 2x + 2  3e3x = 2x + 6e3x 2 2 2 2 c h(x) = x ex geeft h '(x) = 1  ex + x  2x  ex = (2x2 + 1)ex d j(x) =

2eíx í 1 x2 Â 2 Â í eíx í 1 í 2eíx í 1 Â 2x í2x2 eíx í 1 í 4x e íx í 1 í2x(x + 2)eíx í 1 í2(x + 2)eíx í 1 geeft j '(x) = = = = x2 x4 x4 x4 x3

e k(x) = 3x e2x í 1 geeft k '(x) = 3  e2x í 1 + 3x  2e2x í 1 = (6x + 3)e2x í 1 f l(x) = 67

68

9

(e2x + 1)  2e2x í e2x  2e2x 2e4x + 2e2x í 2e4x 2e2x e2x geeft l '(x) = = = 2 2 e2x + 1 (e2x + 1) (e2x + 1) (e2x + 1)2

a e + 3 § 5,718 1 b í 2 § í0,135 e c e3 § 20,086

d

3e § 0,366 (e + 2)2

e 113 e 2 § 9,852 e2 f § í26,229 e í3

a f௘(x) = íx ex geeft f '(x) = í1  ex + íx  ex = (íx í 1)ex f '(x) = 0 geeft (íx í 1)ex = 0 íx í 1 = 0 íx = 1 x = í1 y

ƒ x

–1 O

1 e b f '(x) = (íx í 1)ex geeft f Ǝ(x) = í1 Â ex + (íx í 1) Â ex = (íx í 2)ex f Ǝ(x) = 0 geeft (íx í 2)ex = 0 íx í 2 = 0 íx = 2 x = í2 1 Stel k: y = ax + b met a = f '(í2) = (2 í 1) eí2 = 2 e max. is f (í1) = eí1 =

y

ƒ –2

24

Hoofdstuk 9

O

x

© Noordhoff Uitgevers bv

y=

1 x+b e2

2 f (í2) = 2eí2 = 2 e

Dus k: y = 69

t

1 2 Â í2 + b = 2 2 e e 2 í2 +b= 2 e2 e 4 b= 2 e

4 1 x + 2. e2 e

a f௘(x) = 0 geeft (x2 í 3) ex = 0 x2 í 3 = 0 x2 = 3 x = 冑3 – x = í冑3 De nulpunten zijn 冑3 en ௘í冑3. b f (x) = (x2 í 3)e x geeft f '(x) = 2x  ex + (x2 í 3)  e x = (x2 + 2x í 3)ex f '(x) = 0 geeft (x2 + 2x í 3)ex = 0 x2 + 2x í 3 = 0 (x í 1)(x + 3) = 0 x = 1 – x = í3 y ƒ

–3

O

x

1

6 e3 min. is f (1) = (1 í 3)e1 = í2e c f '(x) = (x2 + 2x í 3) ex geeft f Ǝ(x) = (2x + 2) Â ex + (x2 + 2x í 3) Â ex = (x2 + 4x í 1)ex f Ǝ(x) = 0 geeft (x2 + 4x í 1)ex = 0 x2 + 4x í 1 = 0 D = 42 í 4 Â 1 Â í1 = 20 max. is f (í3) = (9 í 3) e í3 =

9

í4 í 冑20 í4 + 冑20 –x= 2 2 í4 í 2冑5 í4 í 2冑5 x= –x= 2 2 x = í2 í 冑5 – x = í2 + 冑5 x=

y ƒ

–2 + 5 –2 – 5

O

x

De x-coördinaten van de buigpunten zijn í2 í 冑5 en 2 + 冑5. d Voor x < í3 geldt f ƍ(x) > 0, dus de gra¿ek van f is stijgend voor x < í3. Omdat f௘(x) > 0 voor x < í3 moet er een asymptoot zijn voor x m í `. f௘(í100) § 3,72  10í40, dus het ligt voor de hand dat de lijn y = 0 de asymptoot is. 6 e De vergelijking f௘(x) = p heeft precies twee oplossingen voor í2e < p ” 0 – p = 3 . e © Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

25

70

a f (x) = 12 e2x geeft f '(x) = 12 Â 2 Â e2x = e2x Stel k: y = ax + b met a = f '(í1) = eí2 y = eí2x + b r e í2 Â í1 + b = 12 eí2 f (í1) = 12 eí2, dus A (í1, 21 eí2) íeí2 + b = 12 eí2 b = 112 eí2 1 í2 í2 Dus k: y = e x + 12 e . 1 g(x) = x + 3 = eíx í 3 geeft g'(x) = íeíx í 3 e Stel l: y = ax + b met a = g'(í1) = íe1 í 3 = íeí2 y = íeí2x + b r íeí2 Â í1 + b = eí2 g (í1) = e1 í 3 = eí2, dus B(í1, eí2) í2 e + b = eí2 b=0 Dus l: y = íeí2x. k en l snijden geeft eí2x + 112 eí2 = íeí2x 2eí2x = í112 eí2 2x = í112 x = í 34 1 b h(x) = f (x) + g(x) = 12 e2x + x + 3 = 12 e2x + eíx í 3 geeft h'(x) = e2x í eíx í 3 e h'(x) = 0 geeft e2x í eíx í 3 = 0 e2x = eíx í 3 2x = íx í 3 3x = í3 x = í1 y

h

9 –1

min. is h(í1) = 12 e í2 +

O

x

3 1 2 1 + = = e 2 2e 2 2e 2 2e 2

Het bereik is dus B h = c

3 , m i. 2e 2

9.5 De natuurlijke logaritme Bladzijde 46

71

a 2 x = (e log(2)) = e log(2) Â x e e b c 2 x d ' = c e log(2) Â x d ' = elog(2) Â e log(2) Â x = elog(2) Â 2x e

x

e

Bladzijde 47 72

a ln(e) = 1 1 b ln(e 冑e ) = ln(e12) = 112 1 c ln = ln(e í1) = í1 e d ln(1) = 0 1 3 ) e 3 ln (e  冑 e = 3ln (e13 ) = 3  113 = 4

()

26

Hoofdstuk 9

f g h i j

ln2(e3) = 32 = 9 ln3(e2) = 23 = 8 2 eln(7) + e2ln(7) = 7 + eln(7 ) = 7 + 72 = 56 1 1 ( ) ln(5) ln 5 e2 =e = 52 = 冑5 eln(10) Â eln(3) = 10 Â 3 = 30 1 2

© Noordhoff Uitgevers bv

73

a e3x = 12 3x = ln(12) x = 13 ln(12) b 5e2x = 60 e2x = 12 2x = ln(12) x = 12 ln(12)

c 6 + e0,5x = 10 e0,5x = 4 0,5x = ln(4) x = 2 ln(4) 3 d 2x = 10 e 10 Â e2x = 3 3 e2x = 10 3 ) 2x = ln (10 3 ) x = 12 ln (10

2 ln(3) + ln(4) = ln(32) + ln(4) = ln(9 Â 4) = ln(36) 1 ln(20) í 3ln(2) = ln(20) í ln(23) = ln(20) í ln(8) = ln (20 8 ) = ln (22 ) 4 4 4 + ln(3) = ln(e ) + ln(3) = ln(3e ) 1 + ln(10) = ln(e) + ln(10) = ln(10e) 1 1 2 2 2 + 2 ln(6) = ln (e ) + ln(6 ) = ln (冑e ) + ln(36) = ln (36冑e ) e e + ln(2) = ln(e ) + ln(2) = ln(2ee)

74

a b c d e f

75

a ln(x) = í1 1 x = e í1 = e b 4 ln(x) = 2 ln(x) = 12 1 x = e 2 = 冑e c ln(3x) = 3 3x = e3 x = 13 e3

d ln(íx + 2) = í2 íx + 2 = eí2 1 íx = 2 í 2 e 1 x=í 2+2 e e ln 2(x) = 14 ln(x) = 12 – ln(x) = í 12 x = e 2 = 冑e – x = eí2 = 1

f ln(x) = 1 + ln(5) ln(x) = ln(e) + ln(5) ln(x) = ln(5e) x = 5e 76

a 4 e1 í 3x = 20 e1 í 3x = 5 1 í 3x = ln(5) í3x = í1 + ln(5) x = 13 í 13 ln(5) § í0,203

77

a 3x ln(x) = 2 ln(x) ln(x) = 0 – 3x = 2 x = 1 – x = 23 vold. vold. b ln2(x) í ln(x) = 0 ln(x)(ln(x) í 1) = 0 ln(x) = 0 – ln(x) = 1 x=1– x=e vold. vold. c x2 ln(x + 1) = 4 ln(x + 1) ln(x + 1) = 0 – x2 = 4 x + 1 = 1 – x = 2 – x = í2 x = 0 – x = 2 – x = í2 vold. vold. vold. niet

1

1 冑e

2

b e x = 100 x2 = ln(100) x = 冑ln(100) – x = í冑ln(100) x § 2,146 – x § í2,146

9

Bladzijde 48

© Noordhoff Uitgevers bv

d ln2(x) í 2 ln(x) í 3 = 0 Stel ln(x) = u. u2 í 2u í 3 = 0 (u + 1)(u í 3) = 0 u = í1 – u = 3 ln(x) = í1 – ln(x) = 3 1 x = eí1 = – x = e3 e vold. vold. e ln(x + 3) í ln(x í 1) = ln(2) x+3 ln = ln(2) xí1 x+3 =2 xí1 2x í 2 = x + 3 x=5 vold.

( )

Exponentiële en logaritmische functies

27

f 2 ln(x) = ln(2) + ln(x + 4) ln(x2) = ln(2(x + 4)) x2 = 2x + 8 x2 í 2x í 8 = 0 (x + 2)(x í 4) = 0 x = í2 – x = 4 vold. niet vold. 78

a f (x) = 34x í 2 geeft f '(x) = 34x í 2  ln(3)  4 = 4  34x í 2  ln(3) b g(x) = (2x í 1)  2x geeft g'(x) = 2  2x + (2x í 1)  2x  ln(2) = (2 + (2x í 1) ln(2))2x c h(x) =

79

(2x í 1)  2x  ln(2) í (2x + 1)  2x  ln(2) (2x í 1 í 2x í 1)  2x  ln(2) í2  2x  ln(2) 2x + 1 geeft h'(x) = = = 2x í 1 (2x í 1)2 (2x í 1)2 (2x í 1)2

a f (x) = 22x í 2x geeft f '(x) = 22x  ln(2)  2 í 2x  ln(2) = (22x  2 í 2x) ln(2) = (22x + 1 í 2x) ln(2) f '(x) = 0 geeft (22x + 1 í 2x)ln(2) = 0 22x + 1 í 2x = 0 22x + 1 = 2x 2x + 1 = x x = í1 y ƒ –1 x

O

min. is f (í1) = 2í2 í 2í1 = 14 í 12 = í 14 Dus B f = c í 14 , m 9. b lim f (x) = lim (22x í 2x) = lim ((2x)2 í 2x) = 02 í 0 = 0 x m í`

x m í`

x m í`

Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 0. y

y = ax y = ax

9

ƒ

O

x

y = ax y = ax

f (x) = ax heeft twee oplossingen als 0 < a < f'(0) – a > f '(0). f'(0) = (21 í 20 )ln(2) = (2 í 1)ln(2) = ln(2) Dus f (x) = ax heeft twee oplossingen als 0 < a < ln(2) – a > ln(2). Bladzijde 49 80

28

a eln(x) = x geeft [eln(x)]' = x' eln(x)  [ln(x)]' = 1 b e ln(x)  [ln(x)]' = 1 x  [ ln(x)]' = 1 1 [ln(x)]' = x ln(x) 1 1 1 1 c g(x) = 2log(x) = =  ln(x) geeft g'(x) =  = ln(2) ln(2) ln(2) x x ln(2)

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 50 81

1 1 Â6 = x 6x

a [ln(6x)]' =

b f (x) = ln(2x) geeft f '(x) =

1 x

g(x) = ln ( x冑2 ) geeft g'(x) =

1 x

h(x) = 2log(3x) geeft h'(x) =

1 x ln(2)

6x5 6 1 Â 6x5 = 6 = 6 x x x 2 d f (x) = ln(x2) geeft f '(x) = x 1 í3 g(x) = ln 3 = ln(xí3) geeft g'(x) = x x 1 í1 h(x) = ln = ln(xí1) geeft h'(x) = x x c [ln(x6)]' =

( ) ()

82

1 x  í í (1 í ln(x))  1 1 í ln(x) í1 í 1 + ln(x) ln(x) í 2 x geeft f '(x) = a f (x) = = = 2 x x x2 x2 1 b f௘(x) = x ln(x) geeft f '(x) = 1  ln(x) + x  = ln(x) + 1 x 1 4 c f࣠(x) = 2log(4x í 1) geeft f '(x) = Â4 = (4x í 1)ln(2) (4x í 1)ln(2) 1 x  í ln(3x)  1 1 í ln(3x) ln(3x) x d f (x) = geeft f '(x) = = 2 x x x2 3 e f௘(x) = x ln(x3) geeft f '(x) = 1  ln(x3) + x  = ln(x3) + 3 x 2x + 1 1 f f௘(x) = ln(x2 + x) geeft f '(x) = 2  (2x + 1) = 2 x +x x +x

83

a f௘(x) = ln(2x) = x ln(2) geeft f '(x) = ln(2) 2x 1 b f௘(x) = 2log(x2 + 1) geeft f '(x) = 2  2x = 2 (x + 1) ln(2) (x + 1) ln(2) 1 c f௘(x) = x ln2(x) geeft f '(x) = 1  ln 2(x) + x  2 ln(x)  = ln 2(x) + 2 ln(x) x x 1 d f௘(x) = x2  3log(4x) geeft f '(x) = 2x  3log(4x) + x2  = 2x  3log(4x) + x ln(3) ln(3) e f௘(x) = log2(4x) geeft f '(x) = 2  log(4x) Â

2 log(4x) 1 = x ln(10) x ln(10)

f f௘(x) = ln2(4x2 + 1) geeft f '(x) = 2ln(4x2 + 1) Â 84

9

16x ln(4x2 + 1) 1 Â 8x = +1 4x2 + 1

4x2

a xn = (eln(x)) = en ln(x) n

n 1 = e n ln(x)  x x n n xn c [ xn]' = [e n ln(x)]' = e n ln(x)  = xn  = n  = nx n í 1 x x x Er is geen gebruik gemaakt van enige beperking van n, dus de regel geldt ook voor elke nietgehele n uit \. b [e n ln(x)]' = e n ln(x)  n Â

© Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

29

85

x a f (x) = geeft f '(x) = ln(x)

1 ln(x)  1 í x  x

=

ln2(x)

Stel k: y = ax + b met a = f '

() () () 1 = e

1 í1 e

ln

1 e

ln 2

y = í2x + b 1 1 e e 1 1 1 1 f = = = í , dus A , í e e e e í1 1 ln e

()

( )

()

ln(x) í 1 ln2(x)

y

=

í1 í 1 = í2. (í1)2

1 1 +b=í e e 1 b= e í2 Â

1 Dus k: y = í2x + . e ln(x) í 1 b f '(x) = í6 geeft = í6 ln2(x) ln(x) í 1 = í6 ln2(x) Stel ln(x) = u. u í 1 = í6u2 6u2 + u í 1 = 0 D = 12 í 4  6  í1 = 25 í1 í 5 í1 + 5 1 u= = í 12 – u = =3 12 12 ln(x) = í 12 – ln(x) = 13 1

f (e í 2 ) 1

f (e 3 ) = 1

9

86

1

x = eí2 – x = e 3 vold. vold. 1 1 í í 2 2 1 1 1 e e = = 1 = í2eí2 , dus raakpunt (eí2 , í2eí2 ) = 1 í ln ( e 2 ) í 2 1

1

1 1 1 e3 e3 = 1 = 3e 3 , dus raakpunt ( e 3 , 3e 3 ) = 1 ln (e 3 ) 3

(冑

)

1 2 ,í . e 冑e

(冑3 e, 3 Â 冑3 e ) .

1 x  10  í 10 ln(x)  1 10 í 10 ln(x) 10 ln(x) x geeft f '(x) = f (x) = = 2 x x x2 10 í 10 ln(x) f '(x) = geeft x2 1 x2  í10  í (10 í 10 ln(x))  2x í10x í 20x + 20x ln(x) í30 + 20 ln(x) x f Ǝ(x) = = = x4 x4 x3 f Ǝ(x) = 0 geeft í30 + 20 ln(x) = 0 20 ln(x) = 30 ln(x) = 112 1 x = e 12 Stel k: y = ax + b met a = f ' (

1 e12

)=

10 í 10 ln (e12 ) 1

(e )2 112

=

10 í 10 Â 112 5 = í 3. 3 e e

5 x+b e3 15 5 11 1 10 ln (e12 ) 10  112 15  í e3  e 2 + b = 112 1 1 e f (e 2 ) = = 11 = 11 1 e12 e2 e2 5 15 í 11 + b = 11 2 e e2

y=í

b= Dus k: y = í

30

Hoofdstuk 9

20 20 1 = e12 e冑e

20 5 x+ . 3 e e冑e

© Noordhoff Uitgevers bv

Diagnostische toets Bladzijde 52

1

a 3log ( 3冑3) = 3log ( 31 Â 32 ) = 3log ( 312 ) = 112 1 1 1 b 2log ( 14 冑8 ) = 2log 2 Â 冑23 = 2log ( 2í2 Â 212 ) = 2log ( 2í2 ) = í 12 2 1 2 1 3 冑2) = 2log ( 2í4 Â 23 ) = 2log ( 2í33 ) = í323 c 2log ( 16 1

(

1

)

1

2

a 4log(2x í 3) = 2 2x í 3 = 42 2x í 3 = 16 2x = 19 x = 912

b 2 log(x í 3) = í4 x í 3 = ( 12 )í4 x í 3 = (2í1)í4 x í 3 = 24 x í 3 = 16 x = 19

c 5 + 3 Â 2log(x) = 20 3 Â 2log(x) = 15 2log(x) =5 x = 25 x = 32

3

a 7x í 3 = 20 x í 3 = 7log(20) x = 3 + 7log(20)

b 6 Â 2x + 5 = 23 6 Â 2x = 18 2x = 3 x = 2log(3)

c 10 Â ( 12 )

a K = 60 + 10 Â 22a + 1 60 + 10 Â 22a + 1 = K 10 Â 22a + 1 = K í 60 1 22a + 1 = 10 Kí6

b W = 40 í 2 Â 10q í 5 1 2 Â 10q í 5 = 40 í W 1 10q í 5 = 20 í 12 W q í 15 = log ( 20 í 12 W)

4

2a + 1 = 2log (

5

1 10 K

í 6)

= 600

() = 60 1 2x í 1 = 2 log(60) 1 2x = 1 + 2 log(60) 1 x = 12 + 12 Â 2 log(60) 1 2x í 1 2

1

q = + log ( 20 í 1 5

2x í 1

)

1 2W

c A = 5 + 212 Â ( 12 ) 5 + 212 Â ( 12 )

1 p +2 = 2 p +2 2 =5A

212 Â (

( ) 1 2

p +2

)

p+2

=A

Aí5 í2

1 2a = í1 + 2log ( 10 K í 6)

p + 2 = log ( 25 A í 2)

1 a = í 12 + 12 Â 2log ( 10 K í 6)

p = í2 + 2 log ( 25 A í 2)

1 2

1

a 3log(5) + 2 Â 3log(2) = 3log(5) + 3log(22) = 3log(5 Â 22) = 3log(20) b 3 í 2log(5) = 2log(23) í 2 log(5) = 2 log ( 85 ) = 2log (135 ) c

6

2 log(8000)

1 1 ) = 2log ( 8000 Â 125 ) = 2log(64) = 6 + 3 Â 2log ( 15 ) = 2log ( 8000) + 2log ( ( 15 )3 ) = 2 log ( 8000) + 2 log ( 125

a 2  2log(x í 1) = 1 + 2log(18) 2log(x í 1) 2 = 2log(2) + 2log(18) 2log(x í 1) 2 = 2log(2  18) 2 (x í 1) = 36 x í 1 = 6 – x í 1 = í6 x = 7 – x = í5 vold. vold. niet 1 b 3log(2x í 1) + 3 log(x + 2) = 0 3log(2x í 1) í 3log(x + 2) =0 3log(2x í 1) = 3log(x + 2) 2x í 1 = x + 2 x=3 vold.

© Noordhoff Uitgevers bv

9

c 2log(2x í 1) = 4log(x) 2log(2x

í 1) =

2log(2x

í 1) =

2log(x) 2log(4) 2log(x)

2 2  2log(2x í 1) = 2log(x) 2log(2x í 1) 2 = 2log(x) 2 4x í 4x + 1 = x 4x2 í 5x + 1 = 0 D = (í5)2 í 4  4  1 = 9 5í3 1 5+3 x= =4 – x= =1 8 8 vold. niet vold. d log 2(x) = log(x) + 2 Stel log(x) = u. u2 = u + 2 u2 í u í 2 = 0 (u + 1)(u í 2) = 0 u = í1 – u = 2 log(x) = í1 – log(x) = 2 1 x = 10 – x = 100 vold. vold.

e 2log(x) = 3 í 2log(x + 2) 2log(x) + 2log(x + 2) = 2log(23) 2log(x(x + 2)) 2log(8) = x2 + 2x = 8 x2 + 2x í 8 = 0 (x í 2)(x + 4) = 0 x = 2 – x = í4 vold. vold. niet 2 2 f log (x) + 12 = 7  2log(x) Stel 2log(x) = u. u2 + 12 = 7u u2 í 7u + 12 = 0 (u í 3)(u í 4) = 0 u=3 – u=4 2log(x) = 3 – 2log(x) = 4 x = 8 – x = 16 vold. vold.

Exponentiële en logaritmische functies

31

x

h 9x = 3x + 12 (32)x = 3x + 12 (3x)2 = 3x + 12 Stel 3x = u. u2 = u + 12 u2 í u í 12 = 0 (u + 3)(u í 4) = 0 u = í3 – u = 4 3x = í3 – 3x = 4 geen opl. x = 3log(4)

7

a gmaand = 1,002 1,002T = 2 T = 1,002log(2) = 346,92... 346,92... De verdubbelingstijd is § 29 jaar. 12

b gweek = 0,8 0,8T = 12 T = 0,8log ( 12 ) = 3,106... De halveringstijd is 3,106... Â 7 § 22 dagen.

8

a

N

7 8 9 105

2

3

4

5

6

7 8 9 106

g 3x + 6  ( 13 ) = 5 1 3x + 6  x = 5 3 Stel 3x = u. 1 u + 6 = 5 u u2 + 6 = 5u u2 í 5u + 6 = 0 (u í 2)(u í 3) = 0 u=2 – u=3 3x = 2 – 3x = 3 x = 3log(2) – x = 1

104

2

3

4

5

6

9

0

3

5

9

14

15

t

b Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b  gt. Lijn door (0, 15 000) en (15, 4300) dus 1 4300 g15jaar = = 0,286... en gjaar = 0,286...15 = 0,920... 15 000 N = b  0,920...t r b = 15 000 t = 0 en N = 15 000 Dus N = 15 000  0,920t.

32

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 53

3e3 í e3 2e3 = 2 = 2e e2 e e3x í ex b = e2x í 1 ex c (e3x í 5)2 = (e3x)2 í 2  e3x  5 + 25 = e6x í 10 e3x + 25

9

a

10

a 3x ex í ex = 0 (3x í 1) ex = 0 3x = 1 x = 13

11

a f (x) = 2 e x í 3x2 geeft f'(x) = 2 e x í 6x ex  2x í (x2 + 1)  ex (2x í x2 í 1) ex íx2 + 2x í 1 x2 + 1 b f (x) = geeft f '(x) = = = ex (ex)2 e2x ex c f (x) = (x2 + 1) ex geeft f '(x) = 2x  ex + (x2 + 1)  ex = (x2 + 2x + 1) ex d f (x) =

3 e2 b e2x í 1 í 冑 =0 2 2x í 1 e = e3 2x í 1 = 23 2x = 123 x = 56

c e2x + 2 ex = 3 (e x)2 + 2 ex í 3 = 0 Stel ex = u. u2 + 2u í 3 = 0 (u í 1)(u + 3) = 0 u = 1 – u = í3 e x = 1 – e x = í3 x=0 geen opl.

(x2 + 1)  ex í ex  2x (x2 í 2x + 1) ex ex geeft f '(x) = = x2 + 1 (x2 + 1)2 (x2 + 1)2

e f (x) = x2  e2x í 1 geeft f '(x) = 2x  e2x í 1 + x2  e2x í 1  2 = (2x2 + 2x) e2x í 1 2 2 2 f f (x) = ex + 9 geeft f '(x) = ex + 9  2x = 2x ex + 9 12

ex x  ex í ex  1 (x í 1) ex geeft f '(x) = = x x2 x2 f '(0) geeft (x í 1) ex = 0 xí1=0 x=1

a f (x) =

y

ƒ

O

1

9

x

e1 =e 1 b Stel l: y = ax + b. (2 í 1) e2 1 2 a = f '(2) = = 4e 22 1 2 y=4e x +b e2 ¶ 1 e2 Â 2 + b = 12 e2 f (2) = = 12 e2, dus A ( 2, 12 e 2) 4 2 1 2 1 2 2 e +b=2e b=0 Dus l: y = 14 e 2x. min. is f (1) =

13

a 4 + ln(3) = ln(e 4) + ln(3) = ln(3e 4) 5 b ln(10) í 4ln(2) = ln(10) í (ln 24) = ln(10) í ln(16) = ln ( 10 16 ) = ln ( 8 )

© Noordhoff Uitgevers bv

Exponentiële en logaritmische functies

33

14

15

a 2 e5x = 16 e5x = 8 5x = ln(8) x = 15 ln(8) b ln 2(5x) = 16 ln(5x) = 4 – ln(5x) = í4 5x = e4 – 5x = eí4 1 x = 15 e4 – x = 15 eí4 = 4 5e vold. vold.

c 2 ln 2(x) í ln(x) = 0 Stel ln(x) = u. 2u2 í u = 0 u(2u í 1) = 0 u = 0 – 2u = 1 u = 0 – u = 12 ln(x) = 0 – ln(x) = 12 x = e 0 = 1 – x = e 2 = 冑e vold. vold. d ln(9x + 1) í ln(x + 2) = ln(4) ln(9x + 1) = ln(x + 2) + ln(4) ln(9x + 1) = ln(4(x + 2)) ln(9x + 1) = ln(4x + 8) 9x + 1 = 4x + 8 5x = 7 x = 125 vold. 1

a f (x) = 23x í 4 geeft f '(x) = 23x í 4  ln(2)  3 = 3  23x í 4  ln(2) b f (x) = x  3x geeft f '(x) = 1  3x + x  3x  ln(3) = (1 + x ln(3)) 3x 3 x) c f (x) = ln ( x  冑 = ln ( x  x3 ) = ln ( x13 ) geeft f '(x) = 1

d f (x) = 2log(4x) geeft f '(x) =

1

1 x ln(2)

e f (x) = 3log(5x í 6) geeft f '(x) = f f (x) = ln(3x2 + 3) geeft f '(x) = 16

9

113 4 = x 3x

5 1 Â5 = (5x í 6) ln(3) (5x í 6) ln(3)

2x 6x 1 = Â 6x = 2 3x2 + 3 3x + 3 x2 + 1

f (x) = 3x í 1 + 3íx + 1 geeft f '(x) = 3x í 1 Â ln(3) + í1 Â 3íx + 1 Â ln(3) = 3x í 1 Â ln(3) í 3íx + 1 Â ln(3) f '(x) = 0 geeft 3x í 1 Â ln(3) í 3íx + 1 Â ln(3) = 0 3x í 1 Â ln(3) = 3íx + 1 Â ln(3) 3x í 1 = 3íx + 1 x í 1 = íx + 1 2x = 2 x=1 y

ƒ

O

1

x

f (1) = 30 + 30 = 1 + 1 = 2 Dus B f = [2, m 9. 17

a f (x) = 0 geeft ln(x) = 0 x = e0 = 1 Dus het snijpunt met de x-as is (1, 0). 1 x  í ln(x)  1 1 í ln(x) ln(x) x f (x) = geeft f ' (x) = = x x2 x2 Stel k: y = ax + b met a = f '(1) = y=x+b 1+b=0 door (1, 0) r b = í1 Dus k: y = x í 1.

34

Hoofdstuk 9

1 í ln(1) = 1. 1

b f '(x) = 0 geeft 1 í ln(x) = 0 ln(x) = 1 x=e y ƒ

O

f (e) =

e

x

ln(e) 1 = e e

1 Dus Bf = h k , R. e

© Noordhoff Uitgevers bv

10 Meetkunde met vectoren Voorkennis Lijnen en afstanden Bladzijde 56 1

a y = 0 geeft 3x = 24, dus x = 8. Het snijpunt met de x-as is (8, 0). x = 0 geeft 4y = 24, dus y = 6. Het snijpunt met de y-as is (0, 6). b 3x + 4y = 24 4y = í3x + 24 y = í 34 x + 6 Dus rc l = í 34 .

2

a

3

a m: 2x + 5y = c r c = 2 Â 3 + 5 Â 2 = 6 + 10 = 16 door (3, 2) Dus m: 2x + 5y = 16. b n is evenwijdig met l dus n is van de vorm n: 3x + 5y = c. n: 3x + 5y = c r c = 3 Â 0 + 5 Â 8 = 40 door (0, 8) 3x + 5y = 40 5y = í3x + 40 y = í 35 x + 8 Dus n: y = í 35 x + 8. c y = 0 geeft 3x = 12 ofwel x = 4, dus l snijdt de x-as in het punt (4, 0). rcp = rck, dus p: 2x + 5y = c. 2x + 5y = c r c = 2Â4 + 5Â0 = 8 door (4, 0) Dus p: 2x + 5y = 8.

4 í3 = , dus k en l zijn evenwijdig. 4 í3 b m is evenwijdig met k en l als a = 4 en b = í3. m: 4x í 3y = c r c = 4 Â 6 í 3 Â 5 = 24 í 15 = 9 door (6, 5)

10

Bladzijde 57 4

a

x = 3t + 1 7 7x = 21t + 7 2 2 geeft e y = 7t í 2 3 3y = 21t í 6 í 7x í 3y = 13 Dus k: 7x í 3y = 13.

e௘

b Substitutie van x = í2t + p en y = t + 4 in x + 2y = 5 geeft í2t + p + 2(t + 4) = 5 í2t + p + 2t + 8 = 5 p = í3 Dus p = í3. x = 3t + q 6t + 2q = 6 2 3t + q = 3 2 2 geeft e c Substitutie van (3, 4) in e geeft e y = í2t + 2q í2t + 2q = 4 3 í6t + 6q = 12 + 8q = 18 1 q = 24 Dus q = 214 . d Substitutie van x = t í 2 in 4x + 3y = c geeft 4(t í 2) + 3y = c 4t í 8 + 3y = c 3y = í4t + 8 + c y = í113 t + 223 + 13 c Dit moet gelijk zijn aan y = at + 1 dus a = í113 en 223 + 13 c = 1 8+c=3 c = í5 Dus a = í113 en c = í5. © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

35

Bladzijde 58

a5 a De lijn m gaat door A en staat loodrecht op k. m: x í 2y = c r c = 3 í 2 Â 5 = í7 A(3, 5) Dus m: x í 2y = í7. k snijden met m geeft het punt C. e

4x + 2y = 12 2x + y = 6 2 2 2 geeft e x + 2y = í7 1 x í 2y = í7 + 5x = 5 x=1 r 2Â1 + y = 6 2x + y = 6 2+y=6 y=4

Dus C(1, 4). d(A, k) = d(A, C) = 冑(1 í 3)2 + (4 í 5)2 = 冑4 + 1 = 冑5 b De lijn n gaat door B en staat loodrecht op l, dus rcn = í3. n: y = í3x + b r í3 Â 4 + b = í1 B(4, í1) í12 + b = í1 b = 11 Dus n: y = í3x + 11. l snijden met n geeft het punt D. 1 3 x + 1 = í3x + 11 313 x = 10 x=3 x = 3 geeft y = í3 Â 3 + 11 = 2 Dus D(3, 2). d(B, l) = d(B, D) = 冑(3 í 4)2 + (2 í í1)2 = 冑1 + 9 = 冑10 a6 De lijn m gaat door A en staat loodrecht op k. m: 2x í y = c r c = 2Â3 í 3 = 3 A(3, 3) Dus m: 2x í y = 3. k snijden met m geeft het punt B. x + 2y = 4 1 x + 2y = 4 2 2 geeft e 2x í y = 3 2 4x í 2y = 6 + 5x = 10 x=2 r 2 + 2y = 4 x + 2y = 4 2y = 2 y=1 Dus B(2, 1). d(A, k) = d(A, B) = 冑(2 í 3)2 + (1 í 3)2 = 冑1 + 4 = 冑5 b

10

De lijn n gaat door A en staat loodrecht op l. n: x + y = c r c=3+3=6 A(3, 3) Dus n: x + y = 6. l snijden met n geeft het punt C. ௘x í y = 3 ex+y =6 + 2x = 9 1 x = 42 r 1 4 +y=6 x+y=6 2 1 y = 12 Dus C ( 412 , 112 ) . d(A, l) = d(A, C) =

冑5 > 冑

412 ,

36

Hoofdstuk 10

冑 (4

1 2

冑

冑

í 3)2 + (112 í 3)2 = 214 + 214 = 412

dus A ligt niet dichter bij k dan bij l.

© Noordhoff Uitgevers bv

10.1 Vectoren en lijnen Bladzijde 59

a1 OA2 = 52 + 22 = 25 + 4 = 29 OA = 冑29 AB2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 AB = 5 Dus de lengte van de wandeling is 5 + 冑29. Bladzijde 62

a2 a

0 ma 0

= 2 0,2 Â

m

m

b 2b í 3c = 2

( ) Â ( ) Â冑 Â( ) Â( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 2 = 0,2 2 2 = 0,2 í9 í9 1 í3 5

122 + (í9)2 = 0,2 Â 冑144 + 81 = 0,2 Â 冑225 = 0,2 Â 15 = 3

2 2 6 í4 í = = 13 10 í1 í3

c

1

ƒ

12 e

e

g − 12 ƒ

a3 a

0 ma 0

=2

m

b

0

b 0 =2

c

0 mc 0

d

0

e

0 me 0

f

0

=2

m

d 0 =2

m

f

0

冑 冑 ( ) 冑 (冑冑 ) 冑 (冑 ) (冑 ) 冑 () 冑 冑 冑 冑 ( ) 冑 Â ( ) Â冑 Â冑 Â ( ) Â冑 Â冑

4 2 = 42 + (í1)2 = 16 + 1 = 17 í1 3 2 = 6

1 2 =2 3

=2 2

m

m

m

b d = a í 2b = m

m

m

m

m

© Noordhoff Uitgevers bv

36 + 64 = 0,6 Â 冑100 = 6

) () ( ) ( ) () ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) )) Â ( ) ( )

2 4 1 í1 í3 + 3Â + = = 3 4 6 12 18

2 í2 3

d f = 2Â(a + b) = 2

1 + 9 = 2冑10

62 + 82 = 0,6

() ( ( ) Â( ) Â( ) Â( Â (( ) (

c e = 4a í 3b = 4 m

12 + 32 = 2

6 2 = 0,6 8

= 0,6 2

m

= 3 + 6 = 冑9 = 3

í0,3 2 = (í0,3)2 + (0,4)2 = 0,09 + 0,16 = 冑0,25 = 0,5 0,4

a4 a c = 2 a + 3 b = 2 Â m

2

6

0 2 = 02 + 52 = 0 + 25 = 25 = 5 5

Bladzijde 63 m

3 2+

10

2 4 í1 í2 í = = 3 4 8 í5

2 í3 3

8 11 í1 í3 í = = 4 12 12 0

2 í1 + 3 4

=2

1 2 = 7 14

Meetkunde met vectoren

37

a5 a

b

c=a +b

a d=a−b b

a

b −b

c

2a

e = 2a − 21 b

a

b

− 21 b

d

a 1

12 b b

f = −3a + 1 21 b

−3a

10

a6 a

C AC BC

B AB A

m

m

m

m

m

m

m

m

b OP + PQ = OQ c DE + EF = DF m

d AK + KL = AL

38

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

7

a

u=a+b+c

a+b

b

c

a

b

b

c

a

v =a−b+c a−b –b

c

b

w = 2a − b + 1 12 c

2a

1

12c a

c

2a − b

10 b + 2c

−b

d

b

2c

a

c

x = a − ( b + 2c )

– ( b + 2c ) © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

39

a8

k A a

v 30°

30° 40°

O

m V

110°

b

B l

m

m

0b0 0a0 12 In +OBV geldt . = = sin(110°) sin(30°) sin(40°) m

Dus 0 a 0 =

m 12sin(40°) 12sin(30°) § 8,2 en 0 b 0 = § 6,4. sin(110°) sin(110°)

a9 FT

25° 25°

FN

FZ

De component langs de helling FT = 750 sin(25°) § 317N. De component loodrecht op de helling FN = 750 cos(25°) § 680N. Bladzijde 64 10

a

a+b

B M

b m

A a O

m

m

Met de parallellogramconstructie is de vector a + b getekend. m m In het parallellogram zijn de vector a + b en het lijnstuk AB de diagonalen. In een parallellogram delen de diagonalen elkaar middendoor. m

m

m

m

Dus de vector OM = m is de helft van de vector a + b . m

m

m

m

m

Dus voor m = OM geldt m = 12 ( a + b ).

10

B b−a

b

b b−a

A a O

−a

m

In de ¿guur is eerst de vector a getekend en daarna met de m

m

parallellogramconstructie de vector b í a . m

m

m

De vector b í a is vervolgens kop-staart gelegd met de vector a , en dat is m

precies de vector AB . m

m

m

Dus b í a = AB . alternatieve oplossing m

m

m

m

OA = a , dus ía = AO . m

m

m

Je weet dat AO + OB = AB m

m

m

í a + b = AB m

m

m

Dus b í a = AB.

40

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

11

a

E

D C A F

a

G

B b

H O

m

b De eindpunten van de in a getekende vectoren liggen op de lijn door het eindpunt van de vector a , m die evenwijdig is met de vector b . Bladzijde 66 12

m

a Je kunt ook q als steunvector nemen. x m m m l: = q + Ȝ( q í p ) y

() () () () () () () () () ( ) ( ) v

5 5 3 2 m m q= en q í p = í = 6 6 4 2

m

b

l:

x 5 2 +Ȝ = y 6 2

2 í1 í1 , dus is ook een richtingsvector van l.  2 í1 í1

( ) Â( ) ( ) ( ) () () ( )

Ȝ = í 12 geeft Dus l:

5 + í 12 6

2 4 4 , dus is een punt van l en dus ook een steunvector van l. = 2 5 5

x 4 í1 +Ȝ . = y 5 í1

c x = 6 geeft 3 + 2Ȝ = 6 2Ȝ = 3 Ȝ = 112 Ȝ = 112 geeft y = 4 + 112 Â 2 = 7

() () () () () () () ()

Dus het punt (6, 7) ligt op l: Verder geldt Dus p = 7. 13

() () () () () ()

a k:

x 3 2 +Ȝ . = y 4 2

2 1 x 6 1 , dus +Ȝ is een vectorvoorstelling van l. =  2 1 y 7 1 10

m x m m = a + Ȝ( b í a ) y

( ) () ( ) () () ( )

m 2 2 í4 í6 m m a= en b í a = í = 3 2 3 í1

b l:

m

m m x m = c + Ȝ( d í c ) y

c =

c m:

k:

x 2 í6 +Ȝ = y 3 í1

() () () () () ()

1 2 1 1 m en d í c = í = 0 3 0 3 m

v

v

l:

x 1 1 +Ȝ = y 0 3

m m x m = e + Ȝ( f í e ) y

( ) () ( ) () () () ()

m m 0 0 4 í4 í4 e = en f í e = í =  3 0 3 3 í3

m

© Noordhoff Uitgevers bv

v

m:

x 0 4 +Ȝ = y 3 3

Meetkunde met vectoren

41

14

x = 7 geeft í2 + 3Ȝ = 7 3Ȝ = 9 Ȝ=3 Ȝ = 3 geeft y = 5 í 4 Â 3 = 5 í 12 = í7 Dus A ligt op k. x = í13 geeft í2 + 3Ȝ = í13 3Ȝ = í11 Ȝ = í323 2 Ȝ = í33 geeft y = 5 í 4 Â í323 = 5 + 1423 = 1923 Dus B ligt niet op k. x = í312 geeft í2 + 3Ȝ = í312 3Ȝ = í112 Ȝ = í 12 1 Ȝ = í 2 geeft y = 5 í 4 Â í 12 = 5 + 2 = 7 Dus C ligt op k.

15

lijn k

y

Ȝ

0

1

punt

(1, 2)

(4, 3)

3 2

lijn l

l 1

ȝ

0

1

punt

(2, í1)

(4, 2)

–3

–2

–1

–2

Ȟ

0

1

punt

(0, 3)

(1, 1)

17

0

n

m

punt

(1, í2)

1 (2, í2) y

Ȝ

í1

1

punt

(í3, 1)

(1, 3)

1

3

punt

(0, 1)

(2, í3)

í1

0

punt

(í4, í3)

(í1, í1)

m x m m = a + Ȝ( b í c ) y

Hoofdstuk 10

1 –4

Ȟ

() ( )

3 2

ȝ

–3

–2

–1

O

1

2

–1 –2 –3

() ( ) () () ( ) ()

m 3 8 í1 í5 m m a= en b í c = í = 2 4 6 í2

42

x

3

–4

ȡ

a k:

2

–3

lijn n

10

1

O –1

lijn m

16

k

v

k:

x 8 í1 +Ȝ = y 2 6

© Noordhoff Uitgevers bv

x

m

m

m

b n = 12 ( a + c ) = 12 Â l:

() ()

(( ) ( )) Â ( ) ( ) í1 í5 + 2 í2

í6 í3 = 0 0

= 12

m m x m = b + Ȝ( b í n ) y

m

m

m

c p = 12 ( a + b ) = 12 m: m

l:

() ()

3 í1 + 2 4

= 12

x 3 6 +Ȝ = y 4 4

2 1 = 6 3

x m m m = p + Ȝ( a í c ) y

( ) ( ) ()

1 4 í1 í5 m m en a í c = í = 2 3 4 í2

p=

() () ()

() ( ) () Â (( ) ( )) Â ( ) ( ) v

m 3 3 6 í3 m en b í n = í b= = 0 4 4 4

m

v

m:

() () () x 1 4 +Ȝ = y 3 4

d Stel eerst een vectorvoorstelling op van de lijn door BC.

()

m m x m = b + Ȝ( c í b ) y

m

b=

()

( ) () ( )

m 3 3 í5 í8 m en c í b = í = 4 4 í2 í6

v

() () ( ) x 3 í8 +Ȝ = y 4 í6

Dus een vectorvoorstelling van het lijnstuk BC is

() () ( )

x 3 í8 +Ȝ œ 0 ” Ȝ ” 1. = y 4 í6

Bladzijde 67 18

a De lijn door de middens van AD en BC is evenwijdig met AB en CD en heeft dus dezelfde m

m

m

richting als AB en CD. Dus een richtingsvector van deze lijn is DC = c í d . m

m

m

m

De vector vanuit O naar het midden van BC is 12 ( b + c ). Dus 12 ( b + c ) is een steunvector van de m m x m m lijn door de middens van AD en BC. Dus = 12 ( b + c ) + Ȝ( c í d ) is een vectorvoorstelling van de lijn door de middens van AD en BC. y

()

b • k: • l:

() () ()

m m x m = a + Ȝ( b í d ) y

m m m x m = b + ȝ ( 12 ( c + d ) í b ) y

m x m m m = 12 ( a + c ) + Ȟ( c í b ) y c I gaat door B en is evenwijdig met AC. II gaat door het midden van AB en is evenwijdig met BD. III gaat door A en het midden van BC.

• m:

19

a

10

() ( ) ()

x 2 3 +Ȝ geeft x = 3Ȝ + 2 œ y = 4Ȝ í 1 = y 4 í1

Vervang je Ȝ door t dan krijg je x = 3t + 2 œ y = 4t í 1.

() ( ) () () () ( )

Dus

x 2 3 +Ȝ en x = 3t + 2 œ y = 4t í 1 komen op hetzelfde neer. = y 4 í1

x 4 2 +Ȝ geeft x = 4 + 2Ȝ œ y = 1 í 5Ȝ, ofwel k: x = 4 + 2t œ y = 1 í 5t. = y 1 í5 x 3 x 3 í1 í1 c l: x = ít + 3 œ y = 2t + 7 geeft +t ofwel l: +Ȝ . = = y 2 y 2 7 7 b k:

© Noordhoff Uitgevers bv

() () ( )

() () ( )

Meetkunde met vectoren

43

20

x = ít í 3 • y = 2 = qt í 8 geeft

( ) () () ( ) ( ) 2 í1 geeft q = í212 .  q 5

( ) ( ) í3 í1 +t q í8

í1 x í3 +t = 1 geeft í3 í t = 1 í2 y í8 2 ít = 4 t = í4 t = í4 geeft p = í8 í 4 Â í212 = í8 + 10 = 2 Dus p = 2 en q = í212 . (1, p) op

10.2 Afstanden bij lijnen en cirkels Bladzijde 69

21

c a k snijden met de x-as geeft ax = c ofwel x = . a c Dus A , 0 . a c k snijden met de y-as geeft by = c ofwel y = . b c Dus B 0, . b

( )

( )

De stelling van Pythagoras in +OAB geeft AB2 = OA2 + OB2 c 2 c 2 AB2 = + a b AB = Uit AB =

() ()

c Å a

2

+

c b

2

volgt AB =

() () () ()

c Å a

2

+

c b

2

b 2c 2 + a 2c 2 c2 c2 c2 c + 2= (b2 + a2) = = Â 冑a2 + b2. 2 2 2 Å a 2b 2 b Å ab ab Åa

b OS × AB = OA × OB c c c OS Â Â 冑a2 + b2 = Â a b ab c c ab 2 2 OS Â 冑a + b = Â Â a b c OS Â 冑a2 + b2 = c c OS = 2 冑a + b2 c l // k, dus l: ax + by = d r d = axP + byP door P(xP, yP) Dus l: ax + by = axP + byP. Net zoals de afstand van O tot de lijn k: ax + by = c gelijk is aan

10

is de afstand van O tot de lijn l: ax + by = axP + byP gelijk aan d d(P, k) = PQ = RS = OR í OS = d(O, l) í d(O, k) =

c

冑a2 + b2

,

axP + byP . 冑a2 + b2

axP + byP í c axP + byP c í 2 = 2 2 2 冑a + b 冑a + b 冑a2 + b2

Bladzijde 70 22 a

090 0 1 í 4 Â í1 + 4 0 9 = = = 9 冑17 2 2 冑1 + (í4) 冑17 冑17 17 0 2 í 4 Â 312 + 4 0 0 í8 0 8 d(B, k) = = = = 8 冑17 冑12 + (í4)2 冑17 冑17 17 0 6 í 4 Â 5 + 4 0 0 í10 0 10 10 d(C, k) = = = = 冑17 2 2 冑1 + (í4) 冑17 冑17 17

d(A, k) =

Het punt B ligt het dichtst bij de lijn k.

44

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

23 a

a d(A, k) =

0 3 Â 2 + 4 Â 5 í 10 0

冑 + 32

42

=

0 16 0

冑25

=

16 = 315 5

b l: y = í2x + 5 ofwel l: 2x + y í 5 = 0 geeft d(B, l) =

0 2 Â 4 + í1 í 5 0 0 2 0 2 2 = = = 冑5 冑22 + 12 冑5 冑5 5

c m: x = 5 + 4Ȝ • y = Ȝ Substitutie van y = Ȝ in x = 5 + 4Ȝ geeft x = 5 + 4y, dus m: x í 4y í 5 = 0. d(C, m) =

0 í1 í 4 Â 2 í 5 0 0 í14 0 14 14 = = = 冑17 冑12 + (í4)2 冑17 冑17 17

x = 2t + 2 2 3 2 3x = 6t + 6 geeft b y = 3t + 4 2 2y = 6t + 8 í 3x í 2y = í2 Dus n: 3x í 2y + 2 = 0. 0 3 Â í3 í 2 Â 1 + 2 0 0 í9 0 9 d(D, n) = = = = 9 冑13 冑32 + (í2)2 冑13 冑13 13

d b

Bladzijde 71 24 a

a P(x, y) op afstand 2 van k geeft d(P, k) = 2 0 3x + 4y í 12 0 =2 冑32 + 42 0 3x + 4y í 12 0 =2 冑25 0 3x + 4y í 12 0 = 10 3x + 4y í 12 = 10  3x + 4y í 12 = í10 3x + 4y = 22  3x + 4y = 2 Dus l: 3x + 4y = 22 en m: 3x + 4y = 2. b De punten P( p, 0) op afstand 3 van k geeft d(P, k) = 3 0 3p + 4  0 í 12 0

冑32 + 42

0 3p í 12 0 =3 冑25 0 3p í 12 0 = 15 3p í 12 = 15  3p í 12 = í15 3p = 27  3p = í3 p = 9  p = í1

Dus P1(9, 0) en P2(í1, 0). 25 a

=3

10

a Stel k: y = ax + b. k door het punt A(0, 4), dus k: y = ax + 4 ofwel k: ax í y + 4 = 0. d(B, k) = 5 geeft

0 512 a í 5 + 4 0 冑a2 + (í1)2

0 512 a í 1 0 冑a2 + 1

=5

=5

0 512 a í 1 0 = 5冑a2 + 1 3014 a2 í 11a + 1 = 25(a2 + 1) 3014 a2 í 11a + 1 = 25a2 + 25 514 a2 í 11a í 24 = 0 D = (í11)2 í 4 Â 514 Â í24 = 625 a=

11 + 25 11 í 25 = í113 = 337 – a = 1 102 1012

Dus k1: y = 337 x + 4 en k2: y = í113 x + 4.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

45

b Stel l: y = ax + b. (3, 0) op l geeft 3a + b = 0, dus b = í3a. l: y = ax í 3a ofwel l: ax í y í 3a = 0. 0 6a í 4 í 3a 0 d(D, l) = 冑5 geeft = 冑5 冑a2 + (í1)2 0 3a í 4 0 = 冑5 冑a2 + 1 0 3a í 4 0 = 冑5a2 + 5 9a2 í 24a + 16 = 5a2 + 5 4a2 í 24a + 11 = 0 D = (í24)2 í 4  4  11 = 400 24 + 20 24 í 20 1 a= = 512 – a = =2 8 8 Dus l1 : y = 512 x í 1612 en l2 : y = 12 x í 112 . 26 a

Stel k: y = 3x + b ofwel 3x í y + b = 0. 0 3Â2 í 6 + b 0 0 3Â5 í 1 + b 0 d(A, k) = d(B, k) geeft = 冑32 + (í1)2 冑32 + (í1)2 0 b 0 = 0 14 + b 0 b = 14 + b – b = í14 í b geen opl. 2b = í14 b = í7 Dus k: y = 3x í 7.

27 a

Stel een punt op de parabool is P(p, 2p2). d(P, k) = 冑5 geeft

0 p í 2 Â 2p2 í 2 0 冑12 + (í2)2

0 p í 4p2 í 2 0 冑5

= 冑5

= 冑5

0 í4p2 + p í 2 0 = 5 í4p2 + p í 2 = 5 – í4p2 + p í 2 = í5 2+pí7 í4p =0 – í4p2 + p + 3 = 0 2 D = 12 í 4  í4  3 = 49 D = 1 í 4  í4  í7 < 0 í1 + 7 í1 í 7 geen opl. p= = í 34 – p = =1 í8 í8 3 1 Dus de punten zijn (í 4 , 18 ) en (1, 2). 10

28 a

Stel k: ax + by = 1. d(A, k) = 冑2 œ d(B, k) = 2冑2 geeft

0 4a + 0 í 1 0 0 6a + 0 í 1 0 = 冑2 œ = 2冑2 2 2 冑a + b 冑a2 + b2 0 4a í 1 0 = 冑2  冑a2 + b2 œ 0 6a í 1 0 = 2冑2  冑a2 + b2

Substitutie van 冑2  冑a2 + b2 = 0 4a í 1 0 in 0 6a í 1 0 = 2冑2  冑a2 + b2 geeft 0 6a í 1 0 = 2  0 4a í 1 0 0 6a í 1 0 = 0 8a í 2 0 6a í 1 = 8a í 2  6a í 1 = í8a + 2 í2a = í1  14a = 3 3 a = 12  a = 14

46

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

Substitutie van a = 12 in 冑2 Â 冑a2 + b2 = 0 4a í 1 0 geeft 冑2 Â

冑

1 2

1 2

冑

1 4

+ b2 = 0 2 í 1 0

+ 2b2 = 1

+ 2b2 = 1

2b2 = 12 b2 = 14 b = 12 – b = í 12 3 Substitutie van a = 14 in 冑2  冑a2 + b2 = 0 4a í 1 0 geeft 冑2 Â

冑

9 98

9 98

冑

9 196

+ b2 =

0 67 í 1 0

+ 2b2 = 17

1 + 2b2 = 49

7 2b2 = í 98 7 b2 = í 196 geen opl. Dus k1 : 12 x + 12 y = 1 en k2 : 12 x í 12 y = 1 ofwel k1: x + y = 2 en k2: x í y = 2.

29 a

a De straal van de cirkel is 冑5 en heeft O als middelpunt, dus de afstand van O tot een raaklijn aan de cirkel is 冑5. b l: y = 3x + b ofwel l: 3x í y + b = 0. 0 3Â0 í 0 + b 0 d(O, l) = 冑5 geeft = 冑5 冑32 + (í1)2 0b0 = 冑5 冑10 0 b 0 = 冑50 0 b 0 = 5冑2 c b = 5冑2 geeft l1: y = 3x + 5冑2 en b = í5冑2 geeft l2: y = 3x í 5冑2. Bladzijde 73

30 a

a 1 De discriminantmethode Stel k: y = 34 x + b. Substitutie van y = 34 x + b in x2 + y2 í 4x í 6y í 12 = 0 geeft x2 +

( 34 x + b)2 í 4x í 6 ( 34 x + b) í 12 = 0

10

9 2 x2 + 16 x + 112 bx + b2 í 4x í 412 x í 6b í 12 = 0 9 2 116 x + (112 b í 812 ) x + b2 í 6b í 12 = 0

Raken, dus D = 0.

(112 b í 812 )2 í 4  1169  (b2 í 6b í 12) = 0 214 b2 í 2512 b + 7214 í 614 b2 + 3712 b + 75 = 0 í4b2 + 12b + 14714 = 0 D = 122 í 4  í4  14714 = 2500 í12 + 50 í12 í 50 b= = í434  b = = 734 í8 í8 Dus k1: y = 34 x í 434 en k2: y = 34 x + 734 . 2 Met lijn door M loodrecht op k x2 + y2 í 4x í 6y í 12 = 0 x2 í 4x + y2 í 6y í 12 = 0 (x í 2)2 í 4 + (y í 3)2 í 9 í 12 = 0 (x í 2)2 + (y í 3)2 = 25 Lijn m loodrecht op k heeft rc m = í 43 .

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

47

Stel m: y = í 43 x + b. y = í 43 x + b f í4 2 + b = 3 door M(2, 3) 3 Â í223 + b = 3 b = 523 Dus m: y = í113 x + 523 . 4 17 2 m snijden met c geeft x2 + (í 43 x + 17 3 ) í 4x í 6(í 3 x + 3 ) í 12 = 0 136 289 2 x2 + 16 9 x í 9 x + 9 í 4x + 8x í 34 í 12 = 0 25 2 9 x

125 í 100 9 xí 9 =0

x2 í 4x í 5 = 0 (x + 1)(x í 5) = 0 x = í1  x = 5 x = í1 substitueren in y = í113 x + 523 geeft y = 7. x = 5 substitueren in y = í113 x + 523 geeft y = í1. y = 34 x + b f door (í1, 7)

3 4

y = 34 x + b f door (5, í1)

3 4

 í1 + b = 7 í 34 + b = 7 b = 734  5 + b = í1 334 + b = í1 b = í434

Dus k1: y = 34 x + 734 en k2: y = 34 x í 434 . b Substitutie van y = ax + 2 í 9a in x2 + y2 í 4x í 6y í 12 = 0 geeft x2 + (ax + 2 í 9a)2 í 4x í 6(ax + 2 í 9a) í 12 = 0 Dit uitwerken is onaangenaam, maar zou nog kunnen. Je komt dan uit op de vergelijking (a2 + 1)x2 í (18a2 + 2a + 4)x + 81a2 + 18a í 20 = 0. Door D = 0 te stellen ontstaat vervolgens een vierdegraadsvergelijking die opgelost moet worden. 31 a

a c is de cirkel met middelpunt O en straal 冑10. Stel l: y = 3x + b ofwel l: 3x í y + b = 0. d(O, l) = 冑10 geeft

10

0 3Â0 í 0 + b 0 冑10

= 冑10

0 b 0 = 10 b = 10 – b = í10 Dus l1: y = 3x + 10 en l2: y = 3x í 10. b Stel m: y = ax + b. y = ax + b f 10a + b = 0 door A(10, 0) b = í10a Dus m: y = ax í 10a ofwel m: ax í y í 10a = 0. d(O, m) = 冑10 geeft

0 a  0 í 0 í 10a 0

= 冑10 冑a2 + 1 0 í10a 0 = 冑10a2 + 10 100a2 = 10a2 + 10 90a2 = 10 a2 = 19 a = 13 – a = í 13

Dus m1: y = 13 x í 313 en m2: y = í 13 x + 313 .

48

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

32 a

a Stel k: y = ax + b r í4a + b = í1 door A(í4, í1) b = 4a í 1 Dus k: y = ax + 4a í 1 ofwel k: ax í y + 4a í 1 = 0.

0 0 í 0 + 4a í 1 0

d(O, k) = 冑17 geeft

= 冑17 冑a2 + 1 0 4a í 1 0 = 冑17a2 + 17

16a2 í 8a + 1 = 17a2 + 17 a2 + 8a + 16 = 0 (a + 4)2 = 0 a = í4 Dus k: y = í4x + 4 Â í4 í 1 ofwel k: y = í4x í 17. b Loodrecht op l: 4x í y = 3, dus m: x + 4y = c. d(O, m) = 冑17 geeft

0 0 + 4Â0 í c 0

冑17

= 冑17

0 íc 0 = 17 íc = 17 – íc = í17 c = í17 – c = 17 Dus m1: x + 4y = í17 en m2: x + 4y = 17. c Door (0, 17), dus n: y = ax + 17 ofwel n: ax í y + 17 = 0. d(O, n) = 冑17 geeft

0 a  0 í 0 + 17 0

冑a2 + 1

= 冑17

17 = 冑17 冑a2 + 1 冑17a2 + 17 = 17

17a2 + 17 = 289 17a2 = 272 a2 = 16 a = 4 – a = í4 Dus n1: y = 4x + 17 en n2: y = í4x + 17. 33 a

a x2 + y2 í 10x í 4y + 19 = 0 x2 í 10x + y2 í 4y + 19 = 0 (x í 5)2 í 25 + (y í 2)2 í 4 + 19 = 0 (x í 5)2 + (y í 2)2 = 10 Dus M(5, 2) en r = 冑10. Stel k: y = ax + b r 4a + b = 5 door A(4, 5) b = 5 í 4a Dus k: y = ax + 5 í 4a ofwel k: ax í y + 5 í 4a = 0. d(M, k) = 冑10 geeft

10

0 5a í 2 + 5 í 4a 0

= 冑10 冑a2 + 1 0 a + 3 0 = 冑10a2 + 10

a2 + 6a + 9 = 10a2 + 10 9a2 í 6a + 1 = 0 (3a í 1)2 = 0 3a = 1 a = 13 1 Dus k: y = 3 x + 5 í 4 Â 13 ofwel k: y = 13 x + 323 .

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

49

b Stel l: y = 3x + b ofwel l: 3x í y + b = 0. d(M, l) = 冑10 geeft

0 3Â5 í 2 + b 0 冑10

= 冑10

0 13 + b 0 = 10 13 + b = 10  13 + b = í10 b = í3 – b = í23 l1: y = 3x í 3 en l2: y = 3x í 23. c Stel m: y = ax + b. y = ax + b 9a + b = 0 door B(9, 0) r b = í9a Dus m: y = ax í 9a ofwel m: ax í y í 9a = 0. d(M, m) = 冑10 geeft

0 5a í 2 í 9a 0 冑a2 + 1

= 冑10

0 í4a í 2 0 = 冑10a2 + 10 16a2 + 16a + 4 = 10a2 + 10 6a2 + 16a í 6 = 0 a2 + 223 a í 1 = 0 (a + 3) (a í 13 ) = 0 a = í3 – a = 13 Dus m1: y = í3x + 27 en m2: y = 13 x í 3. 34 a

a x2 + y2 í 2x í 4y í 12 = 0 x2 í 2x + y2 í 4y í 12 = 0 (x í 1)2 í 1 + (y í 2)2 í 4 í 12 = 0 (x í 1)2 + (y í 2)2 = 17 Dus M(1, 2) en r = 冑17. Stel k: y = ax + b r í3a + b = 1 door A(í3, 1) b = 1 + 3a Dus k: y = ax + 1 + 3a ofwel k: ax í y + 1 + 3a = 0. d(M, k) = 冑17 geeft

0 a í 2 + 1 + 3a 0

= 冑17 冑a2 + 1 0 4a í 1 0 = 冑17a2 + 17

16a2 í 8a + 1 = 17a2 + 17 a2 + 8a + 16 = 0 (a + 4)2 = 0 a = í4 Dus k: y = í4x + 1 + 3 Â í4 ofwel k: y = í4x í 11. b l staat loodrecht op m: 4x í y = 1, dus l: x + 4y = c.

10

d(M, l) = 冑17 geeft

0 1 + 4Â2 í c 0 冑17

= 冑17

09íc 0

= 17 9 í c = 17 – 9 í c = í17 íc = 8 – íc = í26 c = í8 – c = 26 Dus l1: x + 4y = í8 en l2: x + 4y = 26.

50

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

c Stel n: y = ax + b. y = ax + b r 6a + b = í1 door B(6, í1) b = í6a í 1 Dus n: y = ax í 6a í 1 ofwel ax í y í 6a í 1 = 0. d(M, n) = 冑17 geeft

0 a í 2 í 6a í 1 0 冑a2 + 1

= 冑17

0 í5a í 3 0 = 冑17a2 + 17

25a2 + 30a + 9 = 17a2 + 17 8a2 + 30a í 8 = 0 4a2 + 15a í 4 = 0 D = 152 í 4  4  í4 = 289 í15 + 17 1 í15 í 17 a= =4 –a= = í4 8 8 Dus n1: y = 14 x í 212 en n2: y = í4x + 23. 35 a

x y + = 1 ofwel k: 2x + ry = 4r. 2r 4 0 2  0 + r  0 í 4r 0 d(O, k) = r geeft =r 冑4 + r2

Stel k:

0 í4r 0

冑4 + r2

=r

0 í4r 0 = r冑4 + r2 16r2 = r2(4 + r2) 16 = 4 + r2 r2 = 12 r = 2冑3

10.3 Vectoren en hoeken Bladzijde 75 36 a

m

a De lengte van de vector a bereken je met de stelling van Pythagoras. m 2 Dit geeft 0 a 0 = ax2 + ay2.

A

a

ay

10 O

ax

m

De lengte van de vector b bereken je met de stelling van Pythagoras. m 2 Dit geeft 0 b 0 = bx2 + by2.

B

b

b Zie de schets hiernaast. De stelling van Pythagoras geeft AB2 = (ax í bx)2 + (by í ay)2 = ax2 í 2axbx + bx2 + by2 í 2ayby + ay2 = ax2 + ay2 + bx2 + by2 í 2axbx í 2ayby

© Noordhoff Uitgevers bv

O

by

bx B(bx, by)

by − ay

ax − bx

A(ax, ay)

Meetkunde met vectoren

51

Bladzijde 77 37 a

(冑冑 ) ( 冑冑 )

3 2 2  2 3 í1 3 m m b cos(“ ( c, d )) = í1 2 3 m m

a aÂb =

= 冑3 Â 2冑2 + 冑2 Â 冑3 = 2冑6 + 冑6 = 3冑6

( )Â( ) ( )Â( )

2 í1 í2 í 3 í5 = = = í 12 冑2 2 冑 10 Â 冑5 5冑2 2 2 2 í1

m m

Dus “( c, d ) = 135°.

c cos(“ (k, l)) =

=

( (

)( ) 冑 冑 ) ( )

2 3 í 冑3 Â 1 2 1 + 3冑3 í3 2 3í 3 2Â2 1 2 1+3 3 í3

=

0 3 í 冑3 í 3 í 9冑3 0 冑 ( 3 í 冑3 )2 + ( 1 + 3冑3 )2 Â 冑1 + 9

0 í10冑3 0

冑9 í 6冑3 + 3 + 1 + 6冑3 + 27 Â 冑10

=

10冑3 10冑3 10冑3 1 = 冑3 = = 冑40 Â 冑10 冑400 20 2

Dus “(k, l) = 30°. 38 a

m m

a aÂb = m

m

m

m

b cÂd = c eÂf = m m

d gÂh =

( )Â( ) ( )Â( ) ( )Â( ) 2 3

í1 = 2 Â í1 + 3 Â í6 = í2 í 18 = í20 í6

í1 0

2 = í1 Â 2 + 0 Â 4 = í2 + 0 = í2 4

2 í3

3 = 2 Â 3 + í3 Â 2 = 6 í 6 = 0 2

(冑冑 ) ( 冑冑 )

2 2 2 = 冑2 Â 2冑2 + 冑3 Â í冑3 = 4 í 3 = 1 Â 3 í 3

Bladzijde 78

10

( )Â( ) ()Â()

3 2 4 1 3Â2 + 4Â1 10 2 m m 39 a a cos(“( a , b )) = = = = 3 2 冑25  冑5 5冑5 冑5 2 2 2 2 4 1 m m Dus “ ( a , b ) § 26,6°. 4 í1  3 í1 4  í1 + í1  3 í7 m m b cos(“( c , d )) = = = 4 冑 冑 í1 17  冑10 170 2 2Â2 2 3 í1 m m Dus “ ( c , d ) § 122,5°. 0 2  m 3 5 0Â2 + 3Â5 15 5 m c cos(“( e , f )) = = = = 0 2 3  冑29 3冑29 冑29 2 2Â2 2 3 5

( )( ) ( ) ( ) ()() () ()

m m

Dus “ ( e , f ) § 21,8°. 2 5  2 í5 2  5 + í5  2 0 m m d cos(“( g , h )) = = = =0 2 5 冑29  冑29 29 2 2Â2 2 2 í5 m m Dus “ ( g , h ) = 90°.

( )() ( ) ()

52

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

( )Â( ) ()Â()

1 2 2 0 1Â2 + 2Â1 0 4 2 1 40 a a cos(“(k, l)) = = = 1 2 5 冑 5  冑5 2 2 2 2 2 1 Dus “ (k, l) § 36,9°. 3 í1 2 2  0 3  í1 + 1  2 0 1 2 1 b cos(“(m, n)) = = = 3 冑10  冑5 冑50 í1 2 2Â2 2 2 1 Dus “ (m, n) § 81,9°. 2 í1 2 2  0 í1  2 + 1  1 0 1 1 1 c cos(“(p, q)) = = = 2 冑2  冑5 冑10 í1 2 2Â2 2 1 1 Dus “ (p, q) § 71,6°. 2

()( ) () ( )

( )() ( ) ()

41 a

( )() ( ) ()

( )() ( ) ()

42 a

() () ( ) ( ) () ( ) ()

4 1 3 í . = 2 3 í1 m 3 4 1 í1 m Een richtingsvector van de lijn BC is c í b = í . =  2 4 í2 í4 3 1 2 2  0 3  1 + í1  4 0 4 í1 1 cos(“(AB, BC)) = = = 3 1 冑 冑 10  冑17 170 2 2Â2 2 4 í1 Dus “ (AB, BC) § 85,6°. 3 1 2 m m b Een richtingsvector van de lijn AC is c í a = í . = 3 í2 í5 1 Een richtingsvector van de lijn BC is . 4 2 1 2 2  0 2  1 + í5  4 0 18 4 í5 cos(“ (AC, BC)) = = = 2 1 冑29  冑17 冑493 2 2Â2 2 4 í5 Dus “ (AC, BC) § 35,8°. m

m

a Een richtingsvector van de lijn AB is b í a =

m

m

m

a BA = a í b =

()

( ) () ( )

() () ( ) () () ( ) ( )Â( ) ( )Â( ) 3 5 í2 í = 0 2 í2

10

4 5 í1 í = 5 2 3 í2 í1 m m 3 í2 í2  í1 + í2  3 í4 cos(“ (BA , BC )) = = = 冑 冑 í2 í1 8  冑10 80 2 2 2 2 3 í2 m m “(BA , BC ) § 116,6° Dus “B § 116,6°. m m m 2 3 í1 b AD = d í a = í = 6 0 6 m

m

m

BC = c í b =

() () ( ) () () ( ) ( )Â( ) ( )Â( )

0 5 í5 í = 3 2 1 í1 í5 2 2 0 í1  í5 + 6  1 0 11 m m 6 1 cos(“ (AD , BE )) = = = 冑 冑962 í1 í1 37  冑26 2 2 2 2 6 5 m m “(AD , BE ) § 69,2° Dus de hoek tussen de diagonalen AD en BE is 69,2°. m

m

m

BE = e í b =

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

53

43 a

m m

a aÂb =

( )Â( ) 4 3

3 = 4 Â 3 + 3 Â í4 = 12 í 12 = 0 í4

De hoek tussen de vectoren is 90°. Dus als het inproduct van twee vectoren nul is, dan staan die vectoren loodrecht op elkaar. b

( )

()

5 6 staat loodrecht op . 5 í6

Bladzijde 79 44 a

a Een richtingsvector gaat van het punt (0, 2) naar het punt (3, 0). Dit is de vector m

Dus r k =

( )

3 . í2

m

b De vector n k =

()

() () ( )

3 0 3 í . = 0 2 í2

()

( )

2 3 m staat loodrecht op r k = . 3 í2

2 staat loodrecht op de lijn k. 3 5 m c De vector nl = staat loodrecht op de lijn l. í4 m

Dus n k =

( )

Bladzijde 80 45 a

m

a rk =

()

( )

3 4 m , dus n k = . 4 í3

4x í 3y = c r c = 4 Â 2 í 3 Â í1 = 11 (2, í1) op k Dus k: 4x í 3y = 11. 4 7 m m b rl = , dus nl = . 4 í7

( )

()

7x + 4y = c r c=0 (0, 0) op l Dus l: 7x + 4y = 0. 46 a

10

( )

() ( ) () ( ) () () ( ) ()

1 2 m , dus rk = . 1 í2 í3 m . (í3, 0) op k, dus s k = 0 m

a nk =

Dus k:

x 2 í3 +Ȝ . = 1 y 0

4 1 m , dus r l = . 1 í4 0 m . (0, 0) op l, dus s l = 0 x 1 Dus l: . =ȝ y í4 m

b nl =

() ( )

Bladzijde 81 47 a

a Substitutie van x = 3Ȝ œ y = 2 + 2Ȝ in 2x í 5y = 6 geeft 2  3Ȝ í 5(2 + 2Ȝ) = 6 6Ȝ í 10 í 10Ȝ = 6 í4Ȝ = 16 Ȝ = í4 Ȝ = í4 geeft x = 3  í4 = í12 en y = 2 + 2  í4 = í6 Dus het snijpunt is (í12, í6). b Substitutie van x = 2 í Ȝ œ y = í5 + 3Ȝ in 3x + 4y = 10 geeft 3(2 í Ȝ) + 4(í5 + 3Ȝ) = 10 6 í 3Ȝ í 20 + 12Ȝ = 10 9Ȝ = 24 Ȝ = 223 2 2 2 2 Ȝ = 23 geeft x = 2 í 23 = í 3 en y = í5 + 3  23 = 3 Dus het snijpunt is (í 23 , 3) .

54

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

48 a

m

m

a r l = rk =

( )

()

2 5 m , dus n l = . 2 í5

l: 5x + 2y = c r c = 5 Â 4 + 2 Â 1 = 22 door (4, 1) Dus l: 5x + 2y = 22. 3 m m b n C m, dus nn = rm = . 2 n: 3x + 2y = c r c = 3 Â 5 + 2 Â í1 = 13 door (5, í1) Dus n: 3x + 2y = 13.

()

49 a

( )

() ()

2 3 m m , dus r l = r k = . 2 í3 5 m A(5, 2) op l, dus s l = . 2

m

a nk =

() () ()

x 5 3 +Ȝ . = y 2 2

Dus l:

m

m

b n C m, dus rn = nm = m

() ( )

B(1,í3) op n, dus s n = Dus n: 50 a

a b

4 . 5

1 . í3

() ( ) ()

x 1 4 +Ȝ . = y 5 í3

Ȝ í 3ȝ = í4 2 2 2 3 + Ȝ = í1 + 3ȝ 2Ȝ í 6ȝ = í8 geeft b geeft b 2Ȝ + 4ȝ = 2 1 2Ȝ + 4ȝ = 2 3 + 2Ȝ = 5 í 4ȝ í10ȝ = í10 ȝ=1

í

ȝ = 1 geeft x = í1 + 3  1 = 2 œ y = 5 í 4  1 = 1 Dus S(2, 1). 3 í í3 6 1 m b m door A(í3, 5) en B(3, í1), dus r m = . =  í1 í 5 í6 í1 í3 m m door A(í3, 5), dus sm = . 5 x 1 í3 Dus m: +Ȝ . = y 5 í1

( ) () ( ) ( )

(

) ( ) ( )

10

n staat loodrecht op p: íx + 5y = 4, dus n: 5x + y = c. 5x + y = c r c = 5  í4 + í2 = í22 door C(í4, í2) Dus n: 5x + y = í22. Substitutie van x = í3 + Ȝ œ y = 5 í Ȝ in 5x + y = í22 geeft 5(í3 + Ȝ) + 5 í Ȝ = í22 í15 + 5Ȝ + 5 í Ȝ = í22 4Ȝ = í12 Ȝ = í3 Ȝ = í3 geeft x = í3 + í3 = í6 œ y = 5 í í3 = 8 Dus T(í6, 8). m

c rq =

( )

()

4 1 m geeft n q = dus q: x + 4y = c. 4 í1

x + 4y = c r c = 5 + 4  3 = 17 door (5, 3) Dus q: x + 4y = 17. Substitutie van x = 2t í 4 œ y = t í 6 in x + 4y = 17 geeft 2t í 4 + 4(t í 6) = 17 2t í 4 + 4t í 24 = 17 6t = 45 t = 712 1 1 1 1 t = 72 geeft x = 2  72 í 4 = 11 œ y = 72 í 6 = 12 Dus het snijpunt is (11, 112 ) . © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

55

51 a

a Snijden van k met de x-as, dus y = 0 geeft 3 + Ȝ = 0 Ȝ = í3 Ȝ = í3 geeft x = í2 + í3 Â 5 = í17, dus A(í17, 0). m

m

l C k, dus n l = rk =

()

5 . 1

l: 5x + y = c r c = 5 Â í17 + 0 = í85 door (í17, 0) Dus l: 5x + y = í85. m 2 3 í1 í3 m m b rl = c í b = í . =  4 5 1 í1 m

( ) () ( ) () () m

m // l, dus rm = r l = Dus m: m

() ()

()

3 0 m en (0, 0) op m, dus sm = . 1 0

x 3 . =Ȝ y 1

m

m

c rOE = e í o = m

( ) () ( ) ( )

1 0 1 í . = 0 í4 í4 m

n C OE, dus n n = r OE =

1 . í4

n: x í 4y = c r c = í4 í 4 Â 7 = í32 door D(í4, 7) Dus n: x í 4y = í32. 52 a

( )

() ( )() ( ) ()

2 5 m , dus r = . l l 2 í5 í4 2  1 cos(“(k, l)) = í4 2 2Â2 1 Dus “ (k, l) § 35,8°. m

a n =

m

b nm =

( ) ()

5 2 0 í20 + 2 0 18 2 = = 5 冑17 Â 冑29 冑493 2 2

() ( ) ( )Â( ) ()Â( )

3 7 m , dus r m = . 3 í7

1 2 m , dus rn = . 2 í1 7 2 2 2 0 14 í 3 0 11 3 í1 cos(“(m, n)) = = = 7 2 冑 58  冑5 冑290 2 2 2 2 3 í1 Dus “ (m, n) § 49,8°. 1 í2 m m c p: y = 2x í 5 ofwel p: í2x + y = í5 geeft n p = , dus r p = . 1 2 m

nn =

10

( )

m

q: y = íx + 4 ofwel q: x + y = 4 geeft n q =

( )Â( ) ()Â( )

()

()

( )

1 1 m , dus rq = . 1 í1

1 1 2 01 í 2 0 1 2 í1 cos(“(p, q)) = = = 1 1 冑 5  冑2 冑10 2 2 2 2 2 í1 Dus “ (p, q) § 71,6°. 2

56

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

10.4 Vectoren en rotaties Bladzijde 83 53 a

( ) ( )

( )

2 í2 m en a L = . 3 í3 m q b bR = íp m

a aR =

Bladzijde 84 54 a

m

m

m

m

m

a d = m + MD = m + AM L = Dus D(í2, 5). m

m

m

b m = 12 ( a + c ) = 12 m

m

m

() ( ) ( ) 3 í5 í2 + = 2 5 3

(( ) ( )) ( p r + q s

=

m

m

1 2p 1 2q

+ 12 r + 12 s

)

b = m + MB = m + AM R m

m

( ) () ( ) ( ) ( ) (

m

1 2p 1 2q

AM = m í a =

1 2p 1 2q

m

Dit geeft b =

+ 12 r í 12 q + 12 s + = 1 1 + 12 s 2p í 2r

m

m

)

1 1 1 1 2p í 2q + 2r + 2s 1 1 1 1 2p + 2q í 2r + 2s

Dus B ( 12 (p í q + r + s), 12 (p + q í r + s)) . m

( )

m + 12 r p í 1 p + 12 r í 1 q + 12 s í , dus AM R = 12 . = 21 1 1 1 + 2s q í2 q + 2 s 2p í 2r

m

m

c d = m + MD = m + AM L =

( ) ( 1 2p 1 2q

) (

1 1 + 12 r q í 12 s p + 1q + 1r í 1s + 21 = 21 21 21 21 1 1 + 2s í2 p + 2 r í2 p + 2 q + 2 r + 2 s

)

Dus D ( 12 (p + q + r í s), 12 (íp + q + r + s)) . Bladzijde 85 55 a

m

m

m

m

n = a + AB + BN m m m 2 5 í3 AD = d í a = í = 6 2 4 m m 4 AB = AD R = 3 m m 5 4 9 m b = a + AB = + = 2 3 5 m

m

() () ( ) () () () () (( ) ( )) ( ) ( ) 9 2 í 5 6

m

m

MB = 12 DB = 12 ( b í d ) = 12 m

m

BN = MB L = m

() 1 2 312

m

m

m

n = a + AB + BN =

= 12

7 31 = 12 í1 í2

10

() () ( ) ( ) 1 5 4 91 + + 21 = 21 2 3 32 82

Dus N (912 , 812 ) . 56 a

m

m

m

m

m

p = a + AP = a + AC R m

m

m

m

m

AC = AD + DC = AD + AD R

() () ( ) () ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( m

m

m 0 a d ía í en AD R = = d 0 d a

m

AD = d í a = m

AC = m

m

m d a+d ía ía + d + en AC R = = a aíd d a+d m

p = a + AC R =

a a+d 2a + d + = 0 aíd aíd

2a + d a + 2d ía + d + = aíd a+d 2a Dus P(2a + d, a í d) en Q(a + 2d, 2a). m

m

m

m

m

q = p + PQ = p + AC =

© Noordhoff Uitgevers bv

) Meetkunde met vectoren

57

57 a

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

q = a + AB + BP + PQ = a + AB + 13 BC + 13 AB = a + 113 AB + 13 BC m

m

m

() () ( ) () () () ( ) ( ) () () ()()()() m

BC = AD = d í a = m

m

m

m

m

m m 0 3 4 í3 í en AB = AD R = = 4 0 4 3

3 4 3 + 513 í 1 713 í3 + 113 + 13 = 1 = 4 513 0 3 0 + 4 + 13

m

q = a + 113 AB + 13 BC = m

r = q + 13 BC =

713 71 61 í1 1 í3 = 31 + 1 = 32 1 +3 53 4 53 63 13

Dus Q (713 , 513 ) en R (613 , 623 ) . 58 a

m

m

m

m

m

m

m

m

m

f = a + AB + BE + EF = a + AD R + BE + BE L

( )

() () () ()

m 4 í3 , dus AD R = . 4 3 m m m m 3 4 7 m b = a + AB = a + AD R = + = 0 3 3 m

AD =

m

m

m

De lijn k door B en C heeft r k = BC = AD =

() () ( )

x 7 í3 Dus k: +Ȝ . = y 3 4

( )

()

7 í3 m en s k = . 4 3

E ligt op de x-as, dus y = 0 geeft 3 + 4Ȝ = 0 4Ȝ = í3 Ȝ = í 34 Ȝ = í 34 geeft x = 7 í 3 Â í 34 = 914 , dus E ( 914 , 0) . m

( ) () ( )

m

m

m

m

m

f = a + AD R + BE + BE L =

Dus F (

1214 , 214

( )

m 914 7 21 3 í = 4 , dus BE L = 1 . 24 0 3 í3

m

m

BE = e í b =

).

() () ( ) ( ) ( ) 3 4 21 3 1214 + + 4 + 1 = 214 0 3 24 í3

Bladzijde 86 59 a

m

m

m

m

m

m

m

t = b + BS + ST = b + AB R + SP R m

AB = 10

() () (

m

)

( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m b a c ía + b í , dus AB R = . = c 0 c aíb m

m

m

m

SP = BP í BS = b L í AB R = m

m

m

m

m

m

m

t = b + AB R + SP R =

u = t + SP =

(

(

)

m c íc í2c ía + 2b í , dus SP R = . = aíb b 2c ía + 2b

b c ía + 2b ía + 3b + c + + = c aíb 2c a í b + 3c

)

ía + 3b + c í2c ía + 3b í c + = a í b + 3c b + 3c ía + 2b

Dus T(ía + 3b + c, a í b + 3c) en U(ía + 3b í c, b + 3c). 60 a

m

a AD =

( )

m

m

m

AM = 12 (AB + AD ) = 12 m

() (( ) ( )) (

m m d ía en AB = AD R = d a

m

m

m = a + AM =

() (

d ía + d a

= 12

) (

a í 1 a + 12 d + 12 = 1 0 2a + 2d

1 2a 1 2a

) (

ía + d í 1 a + 12 d = 12 1 a+d 2a + 2d

+ 12 d + 12 d

)

)

De x-coördinaat is gelijk aan de y-coördinaat dus M ( 12 a + 12 d, 12 a + 12 d) ligt op de lijn y = x.

冑 ( a + d) + ( a + d) = 冑2 ( a + d) = 冑2 ( a + ad + = 冑 (a + 2ad + d ) = 冑 (a + d) = 冑 Â (a + d) = 冑2 Â (a + d) 1 2

b OM =

1 2

58

Hoofdstuk 10

1 2

2

2

1 2

2

2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

1 2

2

1 2 4

1 2

1 2 4d

)

1 2

© Noordhoff Uitgevers bv

alternatieve uitwerking m

OM = 61 a

m

(

)

1 2a 1 2a

+ 12 d = + 12 d

m

m

m

( 12 a + 12 d) Â

()

1 geeft OM = 1

0 12 a + 12 d 0 Â 冑12 + 12 = 12 冑2 Â (a + d).

m

n = m + MN = m + AB m m m 0 a 2a ía AD = í en AB = AD R = = 2a 0 2a a m m m 0 a 2a m 1 m m 1 1 m = 2 ( d + b ) = 2 ( d + a + AB ) = 2 + + 2a 0 a

( ) () ( )

m

m

m

n = m + AB =

( ) (( ) ( ) ( )) ( ) ( )

( )( )( )

= 12

3a 11 a = 21 3a 12 a

112 a 2a 312 a + = 112 a a 212 a

y = mx 31 am = 212 a door N ( 312 a, 212 a) r 2 5 m=7 Bladzijde 87 62 a

a Noem M hetmmidden van AB. m m m m m m m m m m m m p = m + MP met m = 12 ( a + b ) en MP = AM R = 12 AB R, dus p = 12 ( a + b ) + 12 AB R. m m m 5 8 7 í3 m AB = b í a = í en AB R = = 7 0 7 3 m m 8 5 13 7 20 10 m 1 m 1 1 1 7 p = 2 ( a + b ) + 2 AB R = 2 + +2 + 12 = 12 = 12 = 0 7 3 7 3 10 5 Dus P(10, 5). b Noem N het midden van OC. 2 1 1 í212 í112 m m m m m m r = n + n L en n = 12 c = 12 . = 1 , dus r = 1 + = 5 22 22 1 312 1 1 Dus R (í12 , 32 ) .

() () ( ) () (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( )

Bladzijde 88 63 a

m

m

m

AC = c í a = m

m

d = cL =

( ) íc b

() ( ) ( )

() () ( ) b a bía í = c 0 c

() ( ) () ( )

0 a m m m 0 íc íc BD = d í b = í = b a bía m

B(0, a) geeft b =

m

10

m

Uit AC en BD volgt dat AC = BD en AC C BD. 64 a

Bewijs dat MP = MQ en MP C MQ. M ( 12 a, 0) m m a bía c a+b+c m m p = a + 12 AB + 12 AB R = + 12 + 12 = 12 0 c aíb aíb+c m 1m 1m 1 b 1 íc 1 bíc q = 2 b + 2 bL = 2 +2 =2 c b b+c m

m

m

MP = p í m = 12 m

m

m

MQ = q í m = 12 m

() ( ) ( ) ( () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a+b+c í aíb+c bíc í b+c

1 2a

0

1 2a

0

= 12

= 12

)

b+c aíb+c

ía + b í c b+c

m

Uit MP en MQ volgt dat MP = MQ en MP C MQ. Dus +PQM is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

59

65 a

ĺ

ĺ

() ( ) ( ) ( () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

p = a + 12 AB + 12 AB R =

m

m

m

m

m

m

q = 12 b + 12 b L = 12

r = 12 a + 12 a R = 12 m

m

)

b bíc íc + 12 = 12 b c b+c a 0 a + 12 = 12 0 ía ía

a bíc aíb+c í 12 = 12 b+c ía ía í b í c

m

QR = r í q = 12 m

a bía c a+b+c + 12 + 12 = 12 c 0 aíb aíb+c

m

Uit OP en QR volgt OP C QR. m

m

m

m

m

m

( ) () ( ( ) ( ) (

AQ = q í a = 12

m

Uit AQ en PR volgt AQ C PR. m

m

m

m

m

m

PQ = q í p = 12 m

( ) () ( ( ) (

1 a b aíb í = 21 c ía í2 a í c

BR = r í b = 12

m

)

a a+b+c í 12 b í 12 c í 12 = aíb+c ía ía + 12 b í 12 c

PR = r í p = 12 m

bíc a ía + 12 b í 12 c í = 1 1 b+c 0 2b + 2c

)

) (

bíc a+b+c í1 a í c í 12 = 12 b+c aíb+c í2 a + b

)

)

Uit BR en PQ volgt BR C PQ. 66 a

m

m

m

m

m

m

() ( () ( () ( ) ( () ( ) ( ( ) ( ( ) (

a bía c a+b+c + 12 + 12 = 12 0 c aíb aíb+c

m

d bíd bíc+d+e íc + e + 12 + 12 = 12 bíd e cíe b+cíd+e

q = c + 12 CB + 12 CB L =

m

m

m

m

m

m

r = 12 c + 12 c L = 12

s = 12 a + 12 a R = 12 m

m

m

m

m

m

PR = r í p = 12 QS = s í q = 12

10

m

) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) ) ( )

m

p = a + 12 AB + 12 AB R =

d díe íe + 12 = 12 d e d+e a 0 a + 12 = 12 0 ía ía

díe a+b+c ía í b í c + d í e í 12 = 12 d+e aíb+c ía + b í c + d + e

a bíc+d+e aíb+cídíe í 12 = 12 b+cíd+e ía ía í b í c + d í e

m

Uit PR en QS volgt PR = QS en PR C QS.

10.5 Bewegingen met GeoGebra Bladzijde 90 67 a

a b c d e f g h i

* * * * * * * * *

60

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 91 68 a

a t = í2 b (0, 513 ) voor t = í2 en (8, í513 ) voor t = 2. c ( í1, 323 ) voor t = í1. d t § í1,77 e ( 8,í513 ) voor t = í4 en t = 2. f Is de hoek kleiner dan 90°, dan is de versnelling te ontbinden in een component loodrecht op de snelheid en een component in dezelfde richting als de snelheid, dus de versnelling zorgt dan voor een toename van de snelheid. Is de hoek groter dan 90°, dan is de versnelling te ontbinden in een component loodrecht op de snelheid en een component in tegengestelde richting aan de snelheid, dus de versnelling zorgt dan voor een afname van de snelheid. Dus voor t § í1,77 is de snelheid het kleinst. Het bijbehorende punt is (í1; 3,65).

69 a

a b

0 mv 0 min § 1,89 0 ma 0 min = 2

c 0° en 30° d 60° Bladzijde 92 70 a

a x(t) = 0 geeft t3 í 3t = 0 t(t2 í 3) = 0 t = 0 – t2 = 3 t = 0 – t = 冑3 – t = í冑3 y(0) = 4cos(0) = 4 y (冑3 ) = 4cos (2冑3 ) § í3,79 y (í冑3 ) = 4cos (í2冑3 ) § í3,79 Dus in (0, 4) en (0; í3,79). m m b In de buigpunten is de hoek tussen a en v 0° of 180°. c (í2, í123 ) en ( 2, í123 )

0 mv 0 71 a

§ 7,27

()

()

3 í 23 m en v = . 0 0 Op t = í2 ligt het punt P op de x-as en heeft het punt P een verticale snelheid van 0 en de versnelling is naar beneden gericht, dus de baan raakt de x-as. b (í0,02; í0,22), (0,66; í1,91) en (í0,47; í4,7). m In deze punten heeft 0 v 0 een lokaal minimum. c x = í6 Hoe dichter je t bij t = í3 kiest, hoe dichter de x-coördinaat nadert naar x = í6. m

a Voor t = í2 is p =

10

10.6 Snelheid en versnelling Bladzijde 93 72 a

a t = 0 geeft x = 0 í 0 = 0 en y = 0 í 6 = í6, dus op t = 0 is P in het punt (0, í6). b í2 í1 0 1 2 3 4 5 t

6

x

12

5

0

í3

í4

í3

0

5

12

y

í10

í8

í6

í4

í2

0

2

4

6

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

61

y

6

4

2

–4

–2

O

2

4

6

8

10

12

x

–2

–4

–6

–8

–10

c De verplaatsing van P op 32, 34 is

( ) ( ) ()

1 í3 í4 í . = 0 2 í2

Bladzijde 95 73 a

a Evenwijdig aan de y-as, dus x'(t) = 0 œ y'(t)  0 t2 í 4 = 0 œ 2t í 2  0 t2 = 4 œ 2t  2 (t = 2 – t = í2) œ t  1 t = 2 – t = í2 t = 2 geeft x = 13  23 í 4  2 = í513 en y = 22 í 2  2 = 0 t = í2 geeft x = 13  (í2)3 í 4  í2 = 513 en y = (í2)2 í 2  í2 = 8 Dus de punten (í513 , 0) en ( 513 , 8) . b Door de oorsprong, dus x(t) = 0 œ y(t) = 0 1 3 2 3 t í 4t = 0 œ t í 2t = 0

10

1 2 3 t(t

í 12) = 0 œ t(t í 2) = 0 (t = 0 – t2 = 12) œ (t = 0 – t = 2) t=0 Stel l: ax + by = 0. x'(0) 0í4 2 1 í4 m m , dus nl = . rl = = =  0í2 1 y'(0) í2 í2 Dus l: x í 2y = 0.

( ) ( ) ( ) ()

( )

Bladzijde 96 74 a

a Naar links bewegen betekent x'(t) < 0 en omhoog bewegen betekent y'(t) > 0, dus x'(t) < 0 œ y'(t) > 0 en dit geeft t2 í 4 < 0 œ 2t í 2 > 0. b t2 í 4 < 0 œ 2t í 2 > 0 t2 < 4 œ 2t > 2 í2 < t < 2 œ t > 1 1 0 œ 3t2 í 4 < 0 t > 0 œ 3t2 < 4 t > 0 œ t2 < 43 t>0œí

冑

4 3

0 œ í 23 冑3 < t < 23 冑3 0 < t < 23 冑3

t2

d x = 2 geeft

í2=2 t2 = 4 t = 2 – t = í2 t = í2 geeft y = (í2)3 í 4  í2 = 0 en t = 2 geeft y = 23 í 4  2 = 0. t = í2 geeft het punt (2, 0) en t = 2 geeft het punt (2, 0), dus de baan snijdt zichzelf in (2, 0).

( ) () () ( ) ( ) ( ) ( )Â( ) 0 0 ( ) Â ( ) 冑 Â冑 m

t = 2 geeft v (2) = m

x'(2) 4 1 =  y'(2) 8 2

t = í2 geeft v (í2) =

x'(í2) 1 í4 =  y'(í2) 8 í2

1 1 2 1í4 2 í2 cos(ij) = = =3 1 1 5 5 5 2 2 2 2 2 í2 Dus ij § 53,1°. 2

76 a

10

a x(t) = 0 geeft 2t í 16 t3 = 0 1 2 6 t(12 í t ) = 0 t = 0 – t2 = 12 t = 0 – t = 2冑3 – t = í2冑3 t = 0 geeft (0, 0), t = 2冑3 geeft y = 14  12 í 2  2冑3 = 3 í 4冑3, dus B ( 0, 3 í 4冑3 ) en t = í2冑3 geeft y = 14  12 í 2  í2冑3 = 3 + 4冑3, dus A ( 0, 3 + 4冑3 ) . d(A, B) = 3 + 4冑3 í (3 í 4冑3 ) = 8冑3 b x'(t) = 2 í 12 t2 en y'(t) = 12 t í 2 Raaklijn evenwijdig aan de x-as geeft y'(t) = 0 œ x'(t)  0 1 1 2 2t í 2 = 0 œ 2 í 2t  0 1 2t

= 2 œ 12 t2  2 t = 4 œ t2  4 t = 4 œ t  2 œ t  í2 t=4 t = 4 geeft x = 2  4 í 16  43 = í223 en y = 14  42 í 2  4 = í4, dus (í223 , í4) .

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

63

Raaklijn evenwijdig aan de y-as geeft x'(t) = 0 œ y'(t)  0 2 í 12 t2 = 0 œ 12 t í 2  0 (t = 2 – t = í2) œ t  4 t = 2 – t = í2 t = 2 geeft x = 2  2 í 16  23 = 223 en y = 14  22 í 2  2 = í3 en t = í2 geeft x = 2  í2 í 16  (í2)3 = í223 en y = 14  (í2)2 í 2  í2 = 5. Dus (223 , í3) en (í223 , 5) . c Bij de oorsprong hoort t = 0 (zie vraag a). v(0) = 冑(x'(0))2 + (y'(0))2 = 冑22 + (í2)2 = 冑8 = 2冑2 m d 0 v (t) 0 = 冑(x'(t))2 + (y'(t))2 = 冑 ( 2 í 12t2) 2 +

冑

( 12t í 2) 2

Voer in y1 = ( 2 í 12 x2) 2 + ( 12 x í 2) 2. De optie minimum geeft x z 2,11 en y z 0,97. Dus de minimale snelheid is 0,97. 77 a

v(t) v(t + h) v(t + h) − v(t)

P v(t + h)

Bladzijde 98

( )Â( )

2 2 3 v (1) Â a (1) í1 4í3 1 1 78 a ab(1) = = 2 = = = 冑5 m 2 冑2 + (í1) 冑5 冑5 5 0 v (1) 0 m

79 a

m

ab(t)

cos(ij) =

0 ma (t) 0 m

10

m

v (t) Â a (t)

cos(ij) =

80 a

ab(t)

 0 ma (t) 0

0 mv (t) 0 Â 0 ma (t) 0

m

=

0 mv (t) 0 Â 0 ma (t) 0

m

ab(t) =

m

v (t) Â a (t) m

v (t) Â a (t)

0 mv (t) 0

a Snijden met de x-as, dus y = 0 geeft t3 í 3t = 0 t(t2 í 3) = 0 t = 0 – t2 = 3 t = 0 – t = 冑3 – t = í冑3 De baan passeert D twee keer, dus op t = í冑3 en t = 冑3 en C op t = 0. Snijden met de y-as, dus x = 0 geeft t2 í 4 = 0 t2 = 4 t = 2 – t = í2 t = 2 geeft y = 23 í 3  2 = 2, dus de baan passeert A op t = 2 en B op t = í2. Dus de punten worden in de volgorde B, D, C, D, A doorlopen. t2 í 4 2t 2 m m m b r (t) = 3 geeft v (t) = en a (t) = 2 t í 3t 3t í 3 6t 2t 2  3t2 í 3 6t 4t + 18t3 í 18t 18t3 í 14t ab(t) = = = 2 2 4 2 冑(2t)2 + (3t2 í 3) 冑4t + 9t í 18t + 9 冑9t4 í 14t2 + 9

(

(

)

)( )

(

)

()

c 0 v (2) 0 = 冑(2t)2 + (3t í 3)2 = 冑(2 Â 2)2 + (3 Â 22 í 3)2 = 冑97 m

ab(2) =

64

Hoofdstuk 10

116 18 Â 23 í 14 Â 2 = 冑9 Â 24 í 14 Â 22 + 9 冑97

© Noordhoff Uitgevers bv

d ab(t) = 0 geeft 18t3 í 14t = 0 2t(9t2 í 7) = 0 t = 0 – t2 = 79 t=0 – t=

冑

7 9

– t=í

冑

7 9

t = 0 – t = 13 冑7 – t = í 13 冑7 vold. ௘vold. vold.

0 mv (0) 0 = 冑0 + 9 = 3 0 mv ( 13 冑7 ) 0 = 冑 (2 Â 13 冑7 )2 + (3 Â 79 í 3)2 = 冑329 = 冑169 Â 冑2 = 113 冑2 0 mv (í 13 冑7 ) 0 = 冑 (2 Â í 13 冑7 )2 + (3 Â 79 í 3)2 = 113 冑2

e 0m v (t) 0 = 冑(2t)2 + (3t2 í 3)2

Voer in y1 = 冑(2x)2 + (3x2 í 3)2. De optie minimum geeft y § 1,886 voor x § í0,882 en x § 0,882. Dus de minimale baansnelheid is 1,886. f t = 冑3 geeft x = (冑3 )2 í 4 = í1 en y = 0 t = í冑3 geeft x = (í冑3 )2 í 4 = í1 en y = 0 Dus de baan snijdt zichzelf in D(í1, 0). t = 冑3 geeft v

m

(冑3 ) =

(冑)

( )

2 3 í2冑3 m en t = í冑3 geeft v (í冑3 ) = . 6 6

( )Â( 冑 ) (冑)Â( 冑) 2 2冑3

í2 3 2 6 6 24 1 í12 + 36 cos(ij) = = = =2 2 48 冑 2 3 ( 12 + 36) 2 2 2 í2 3 2 6 6 Dus ij = 60°. Bladzijde 99 81 a

a Snijden met de x-as, dus y = 0 geeft 12 t2 í 2t = 0 1 2 t(t

í 4) = 0 t=0 – t=4 t = 0 geeft (í2, 0), dus A hoort bij t = 0 en B hoort bij t = 4. Dus de punten worden in de volgorde C, A, D, B doorlopen. m

b r (t) =

(

1 2 2t í 2 1 2 2 t í 2t

)

m

geeft v (t) =

( )()

( )

()

t 1 m en a (t) = tí2 1

10

t 1 Â tí2 1 t+tí2 2t í 2 ab(t) = 2 = = 冑t + (t í 2)2 冑t2 + t2 í 4t + 4 冑2t2 í 4t + 4 m

m

c v (t) C a (t) geeft ab(t) = 0 2t í 2 = 0 t=1 voldoet t = 1 geeft x = 12 í 2 = í112 en y = 12 í 2 = í112 , dus ( í112 , í112 ) . d

0 mv (t) 0 = 冑t2 + (t í 2)2 = 冑t2 + t2 í 4t + 4 = 冑2t2 í 4t + 4 í4 m ttop = í = 1 geeft 0 v (1) 0 = 冑2 í 4 + 4 = 冑2 2Â2 Dus de minimale baansnelheid is 冑2.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

65

e B hoort bij t = 4, dus 0 v (4) 0 = 冑42 + (4 í 2)2 = 冑20 = 2冑5. m

Snijden met de y-as, dus x = 0 geeft 12 t2 í 2 = 0 1 2 2t t2

=2 =4 t = 2 – t = í2

Bij C hoort dus t = í2 en dit geeft 0 v (í2) 0 = 冑(í2)2 + (í2 í 2)2 = 冑20 = 2冑5. Dus de baansnelheden in B en C zijn gelijk. m

f E (í112 , 212 ) invullen in

•

x(t) = 12 t2 í 2 geeft y(t) = 12 t2 í 2t

c

1 2 2t 1 2 2t

í 2 = í112 í 2t = 212

2t í 2 = í4 2t = í2 t = í1

í

Stel k: ax + by = c. 3 í1 m m m geeft n k = r k = v (í1) = í3 í1 3x í y = c c = 3 Â í112 í 212 = í7 door (í112 , 212 ) f

( )

( )

Dus k: 3x í y = í7. 82

m

a r (t) =

(

)

(

25t 25 m geeft v (t) = í5t + 15t + 3 í10t + 15 2

)

0 mv (0) 0 = 冑252 + 152 § 29,2 m/s

()

1 ĺ b De hoek met de horizon is de hoek met de x-as. Neem rx-as = . 0 25 1 2 2 Â 15 0 25 25 m v (0) = , dus cos(ij) = = 15 冑850 25 1 2 2Â2 2 15 0 Dus ij § 31,0°. 15 c y(t) is maximaal voor t = í = 112 geeft ymax = í5 Â (112 ) 2 + 15 Â 112 + 3 = 14,25 m 2 Â í5 d y(t) = 0 geeft í5t2 + 15t + 3 = 0 t2 í 3t í 35 = 0

( )() ( ) ()

( )

10

( t í 112 )2 í 214 í 35 = 0 ( t í 112 )2 = 217 20

冑 + 冑2

冑 í 冑2

1 17 t í 112 = 217 20 – t í 12 = í 220

112

t= voldoet t=

112

+

冑

217 20

17 20

(

geeft x = 25

– t= 112

112

17 20

voldoet niet

) ( )

冑

+ 217 20 = 79,704...

Dus de speer komt 76,7 m achter de afworplijn neer. 25 0 m m e v (t) = geeft a (t) = í10t + 15 í10 De snelheidsvector is de valversnelling van í10 m/s2.

(

)

Bladzijde 100 83

a Snijden met de x-as, dus y = 0 geeft t2 í 4 = 0 t2 = 4 t = 2 – t = í2 1 3 2í4 t í 4t t m m r (t) = 3 2 geeft v (t) = t í4 2t 0 0 m m t = 2 geeft v (2) = en t = í2 geeft v (í2) = 4 í4 De snelheidsvectoren in A en B zijn verticaal, dus de raaklijnen in A en B zijn verticaal.

(

66

Hoofdstuk 10

)

()

( )

( )

© Noordhoff Uitgevers bv

b y = 5 geeft t 2 í 4 = 5 t2 = 9 t = 3– t = í3 t = 3 geeft x = 13  33 í 4  3 = í3, dus t = 3 hoort bij C.

0 mv (3) 0 = 冑(32 í 4)2 + (2 Â 3)2 = 冑52 + 62 = 冑61

( )

() ()()

t2 í 4 2t m geeft a (t) = 2t 2 5 6 Â m m 6 2 v (3) Â a (3) 30 + 12 42 42 ab(3) = = = = = 冑61 m 冑61 冑61 冑61 61 0 v (3) 0 m

v (t) =

( )( )

t2 í 4 2t  2t 2 2t3 í 8t + 4t 2t3 í 4t c ab(t) = = 4 = 4 2 2 2 2 2 冑(t í 4) + (2t) 冑t í 8t + 16 + 4t 冑t í 4t2 + 16 Voer in y1 =

冑

2x3 í 4x . í 4x2 + 16

x4

Optie minimum geeft x § 0,851 en y § í0,588. Dus de baanversnelling heeft voor t § 0,851 een minimum van í0,588. d Snijden met de y-as, dus x = 0 geeft 13 t3 í 4t = 0 1 2 3 t(t í 12) = 0 t = 0 – t2 = 12 t = 0 – t = 2冑3 – t = í2冑3 t = 2冑3 geeft y = 12 í 4 = 8 en t = í2冑3 geeft y = 12 í 4 = 8. Dus de baan snijdt zichzelf in D(0, 8). 8 8 m m t = 2冑3 geeft v (2冑3 ) = en t = í2冑3 geeft v (í2冑3 ) = . 4冑3 í4冑3 8 8 2 2  4冑3 í4冑3 64 í 48 16 1 cos(ij) = = = = 2 112 7 (冑64 + 48) 8 8 2 2Â2 2 4冑3 í4冑3 Dus ij § 81,8°.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

Diagnostische toets 10

Bladzijde 102 1

m

m

m

0 mc 0

= 10

a c = a + 2b =

m

m

m

( ) Â( ) ( ) ( ) ( ) 4 +2 2

b d = 2a í 3b = 2Â

0

3 4 6 10 + = = 2 0 í1 í2

( ) Â( ) ( ) ( ) ( ) 4 í3 2

3 8 9 í1 í = = 4 7 í1 í3

m

d 0 = 冑72 + (í1)2 = 冑50

m

m

m

c e = í 12 a + b = í 12 Â

() ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 3 1 í2 + + = = 2 í1 í1 í1 í2

0 me 0 = 冑12 + (í2)2 = 冑5

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

67

y

2

A(0, 4)

y = −x

y=x

4

C

B

45° x

O

In +OAB is OA = 4 en “ O = 45°. 4 Dus OB = = 2冑2 冑2 Ook OC = 2冑2, dus de lengte van de componenten is 2冑2. 3

a k: ĺ

() ( )

m x m m = b + Ȝ( c í a ) y

1 6 5 í4 í5 m m en c í a = í =  5 8 12 í4 í12

b=

m

m

m

() ()

x m m m = a + Ȝ(m í a ) y

a=

6 m m en m í a = 8

() ( ) ( ) x 5 í4 +Ȝ = y 5 12

1 í4 + 5 í4

m

b M is het midden van BC, dus m = 12 ( b + c ) = 12 l:

k:

( ) () ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) v

( ) () ( ) () í112 1 2

í

6 = 8

í712 í712



1 1

v

l:

= 12

í3 í11 = 12 . 1 2

() () () x 6 1 +Ȝ = y 8 1

c Stel eerst een vectorvoorstelling op van de lijn door AC. n: m

() ()

x m m m = a + Ȝ( c í a ) y

a=

( )

6 í5 m m en c í a = 8 í12

v

n:

() () ( ) x 6 í5 +Ȝ = y 8 í12

Dus een vectorvoorstelling van het lijnstuk AC is

10 4

() () ( ) x 6 í5 +Ȝ = 8 y í12

œ 0 ” Ȝ ” 1.

x = í2 geeft 3 + 5Ȝ = í2 5Ȝ = í5 Ȝ = í1 Ȝ = í1 geeft y = í5 + 2 Â í1 = í5 í 2 = í7 Dus A ligt niet op k. x = 13 geeft 3 + 5Ȝ = 13 5Ȝ = 10 Ȝ=2 Ȝ = 2 geeft y = í5 + 2 Â 2 = í5 + 4 = í1 Dus B ligt niet op k. x = 23 geeft 3 + 5Ȝ = 23 5Ȝ = 20 Ȝ=4 Ȝ = 4 geeft y = í5 + 2 Â 4 = í5 + 8 = 3 Dus C ligt op k.

68

Hoofdstuk 10

© Noordhoff Uitgevers bv

5

x = 3 + 6Ȝ 2 1 2 x = 3 + 6Ȝ geeft b 6y = 24 í 6Ȝ y=4íȜ 6 + x + 6y = 27 Dus k: x + 6y í 27 = 0.

a b

d(A, k) =

2

4 + 6 Â 3 í 27 2

=

冑12 + 62

í5 2 5 = = 5 冑37 冑37 冑37 37 2

x = 3t + 2 2 1 2 x = 3t + 2 geeft b y=tí4 3 3y = 3t í 12 í x í 3y = 14 Dus l: x í 3y í 14 = 0.

b b

d(B, l) =

0 4 í 3 Â 1 í 14 0

=

冑12 + (í3)2

0 í13 0 冑10

=

13

冑10

3 冑10 = 110

c m: y = x + 3 ofwel m: x í y + 3 = 0 geeft d(C, m) = 6

05í4+3 0

冑 + 12

(í1)2

=

040

冑2

=

4 = 2冑2 冑2

Stel k: y = ax + b f aÂ3 + b = 2 Door A(3, 2) b = í3a + 2 Dus k: y = ax í 3a + 2 ofwel k: ax í y í 3a + 2 = 0. d(B, k) = 冑5 geeft

2

8a í 7 í 3a + 2 2

冑a2 + (í1)2

0 5a í 5 0

冑a2 + 1

= 冑5

= 冑5

0 5a í 5 0 = 冑5a2 + 5

25a2 í 50a + 25 = 5a2 + 5 20a2 í 50a + 20 = 0 a2 í 212 + 1 = 0

( a í 12 ) (a í 2) = 0

Dus k1: y = 7

1 2x

a = 12 – a = 2 í 3  12 + 2 ofwel k1: y = 12 x + 12 en k2: y = 2x í 3  2 + 2 ofwel k2: y = 2x í 4.

a x2 + y2 = 10, dus M(0, 0) en r = 冑10. Stel k: y = ax + b r ía + b = í3 door (í1, í3) b=aí3 Dus k: y = ax + a í 3 ofwel k: ax í y + a í 3 = 0. d(M, k) = 冑10 geeft

0aí3 0

冑a2 + 1

10

= 冑10

0 a í 3 0 = 冑10a2 + 10

a2 í 6a + 9 = 10a2 + 10 9a2 + 6a + 1 = 0 (3a + 1)2 = 0 3a = í1 a = í 13 Dus k: y = í 13 x í 13 í 3 ofwel k: y = í 13 x í 313 . b Stel l: y = 3x + b ofwel l: 3x í y + b = 0. d(M, l) = 冑10 geeft

0b0

冑10

= 冑10

0b0

= 10 b = 10 – b = í10 Dus l1: y = 3x + 10 en l2: y = 3x í 10.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met vectoren

69

c Stel m: y = ax + b. y = ax + b r 4a + b = 2 door (4, 2) b = 2 í 4a Dus m: y = ax + 2 í 4a ofwel m: ax í y + 2 í 4a = 0. d(M, m) = 冑10 geeft

0 2 í 4a 0

冑a2 + 1

= 冑10

0 í4a + 2 0 = 冑10a2 + 10

16a2 í 16a + 4 = 10a2 + 10 6a2 í 16a í 6 = 0 a2 í 223 a í 1 = 0

(a í 3) ( a + 13 ) = 0

a = 3 – a = í 13 Dus m1: y = 3x + 2 í 4  3 ofwel m1: y = 3x í 10 en m2: y = í 13 x + 2 í 4  í 13 ofwel m2: y = í 13 x + 313 . d n staat loodrecht op p: 3x + y í 5 = 0 ofwel p: 3x + y = 5, dus n: x í 3y = c. d(M, n) = 冑10 geeft

0 íc 0

冑1 + 9

= 冑10

0 íc 0 = 10 íc = 10 – íc = í10 c = í10 – c = 10 Dus l1: x í 3y = í10 en l2: x í 3y = 10. Bladzijde 103 8

m

m

m

a rAB = b í a =

() ( ) () ( ) () ( ) ( )Â( ) ()Â( ) 4 6 í2 í = 4 3 1

4 í3 í 4 í1 6 2 1 cos(“ (AB, BC)) = 6 2 2 1 Dus “ (AB, BC) § 26,1°. m

m

m

r BC = c í b =

()

=

í7 í5

í7 2 0 í42 í 5 0 í5 47 = = 冑37 Â 冑74 冑2738 í7 2 2 í5

( ) ( ) ( ) ()( ) () ( )

6 í3 í2 í1 m m m en rAC = c í a = í = 1 3 í1 í4 6 í1 2 2  0 í6 í 4 0 1 í4 10 cos(“ (AB, AC)) = = = 6 冑 í1 37  冑17 冑629 2 2Â2 2 1 í4 Dus “ (AB, AC) § 66,5°. m

b rAB = 10

9

m

m

a r k = rl =

( )

()

3 í5 m , dus nk = . 3 5

n: 3x + 5y = c r c = 3 Â 3 + 5 Â 4 = 29 door (3, 4) Dus n: 3x + 5y = 29. b

()

Dus m:

70

() ( ) () () ( )

1 1 m op m, dus s m = . 1 1 5 m m m C n, dus rm = nn = í1

Hoofdstuk 10

x 1 5 +Ȝ . = y 1 í1

© Noordhoff Uitgevers bv

c p C r, dus p: 4x í y = c r c = 4 Â í2 í 3 = í11 door (í2, 3) Dus p: 4x í y = í11. 10 a

Substitutie van x = í2 + 2Ȝ en y = 3 í Ȝ in l: 2x í 3y = 22 geeft 2(í2 + 2Ȝ) í 3(3 í Ȝ) = 22 í4 + 4Ȝ í 9 + 3Ȝ = 22 7Ȝ = 35 Ȝ=5 Ȝ = 5 geeft x = í2 + 2 Â 5 = 8 en y = 3 í 5 = í2, dus S(8, í2).

11 a

CM = m í c = 12 ( a + b ) í c = 12

m

m

m

m

m

m

AC = c í a = m

m

m

m

m

m

(( ) ( )) ( ) ( ) ( ) () () ( ) () () ( () ( ) ( ) ( () ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( m

m

a b + 0 0

m

í

c = d

1 2a

(

+ 12 b c í = 0 d

m m m c a cía c b cíb í en BC = c í b = í = = d 0 d 0 d d

m

m

m

a cía cíd íd + + = d 0 cía ía + c + d

m

m

m

m

b cíb d c+d + + = 0 bíc bíc+d d

h = b + BC + CH = b + BC + BC R =

c+d cíd 2d d í = =2 1 1 bíc+d a + b í 2c ía + c + d 2a + 2b í c Dus CM C DH en DH = 2 Â CM. m

m

m

12 a

+ 12 b í c íd

)

)

m

d = a + AC + CD = a + AC + AC L =

DH = h í d =

1 2a

)

)

)

a x'(t) = 4 í 2t en y'(t) = 2t2 í 2t x'(t) > 0 geeft 4 í 2t > 0 í2t > í4 t 3,5 is sa(t) = 10,5t + b r 10,5  3,5 + b = 24,5 door (3,5; 24,5) 36,75 + b = 24,5 b = í12,25 Dus sa(t) = 10,5t í 12,25 voor t • 3,5. Voor het paard geldt: voor t ” 6 is ap(t) = í 23 t + 4 vp(t) = í 13 t2 + 4t sp(t) = í 19 t3 + 2t2 sp(6) = 48 en vp(6) = 12 voor t • 6 is sp(t) = 12t + b r 12  6 + b = 48 door (6, 48) 72 + b = 48 b = í24 Dus sp(t) = 12t í 24 voor t • 6.

11

Voor 0 ” t ” 3,5: Voer in y1 = í 27 x3 + 3x2 í ( í 19 x3 + 2x2) . De optie maximum geeft x = 3,818… voldoet niet. Voor 3,5 < t ” 6: Voer in y1 = 10,5x í 12,25 í (í 19 x3 + 2x2) . De optie maximum geeft x = 3,878… en y = 4,871… voldoet. Dus de maximale voorsprong is 4,9 meter. b Voer in y1 = 10,5x í 12,25, y2 = 12x í 24 en y3 = 100. Intersect met y1 en y3 geeft x = 10,690... Intersect met y2 en y3 geeft x = 10,333... De wedstrijd wordt door het paard gewonnen met een voorsprong van 10,690... í 10,333... = 0,357... § 0,36 seconden.

© Noordhoff Uitgevers bv

Integraalrekening

95

Bladzijde 139 68

a a(t) = í4 eí0,1t v(t) = 40 eí0,1t + c r 40eí0,3 + c = 32 v(3) = 32 29,632... + c = 32 c = 2,367... v(t) = 40eí0,1t + 2,367... v(0) = 40 + 2,367... = 42,367... De snelheid is 42,4 m/s. b v(t) = 40eí0,1t + 2,367... s(t) = í400 eí0,1t + 2,367... Â t + c r í400 + 0 + c = 0 s(0) = 0 c = 400 Dus s(t) = í400 eí0,1t + 2,367... Â t + 400. Voer in y1 = í400 eí0,1x + 2,367... Â x + 400 en y2 = 800. Intersect geeft x = 168,970... v(168,970...) = 2,367... De snelheid waarmee de parachutist op de grond komt is 2,4 m/s.

69

a a(t) = 5 e0,012t geeft v(t) = 416,6... e0,012t + c r 416,6... + c = 0 v(0) = 0 c = í416,6... Dus v(t) = 416,6... e0,012t í 416,6... v(t) = 416,6... e0,012t í 416,6... geeft s(t) = 34 722,2... e0,012t í 416,6...t + c r 34 722,2... + c = 0 s(0) = 0 c = í34 722,2… Dus s(t) = 34 722,2... e0,012t í 416,6... t í 34722,2... v(170) = 416,6... e0,012 Â 170 í 416,6... = 2787,7... m/s § 10 036 km/uur s(170) = 34 722,2... e0,012 Â 170 í 416,6... Â 170 í 34 722,2... = 161479,4... m § 161 km Dus de snelheid na 170 seconden is 10 036 km/uur en de Apollo heeft dan 161 km afgelegd. b a(t) = 4 e0,0045(t í 170) geeft v(t) = 888,8... e0,0045(t í 170) + c r 888,8... + c = 2787,7... v(170) = 2787,7... c = 1898,8... Dus v(t) = 888,8... e0,0045(t í 170) + 1898,8... v(t) = 888,8... e0,0045(t í 170) + 1898,8... geeft s(t) = 197 530,8...e0,0045(t í 170) + 1898,8...t + c r 197 530,8... + 1898,8... Â 170 + c = 161 479,4... s(170) = 161 479,4... 520 337,9... + c = 161 479,4... c = í358 858,4... Dus s(t) = 197 530,8...e0,0045(t í 170) + 1898,8...t í 358 858,4... v(560) = 888,8...e0,0045(560 í 170) + 1898,8... = 7039,7... m/s § 25 343 km/uur s(560) = 197 530,8...e0,0045(560 í 170) + 1898,... Â 560 í 358 858,4... = 1 846 915,3... m § 1847 km Dus de snelheid na 560 seconden is 25 343 km/uur en de Apollo heeft dan 1847 km afgelegd.

70

a x2 + y2 = 9 y2 = 9 í x2 y = 冑9 í x2

11

3

O=

∫

3

y dx =

í3

∫ 冑9 í x2 dx í3

Je hebt dus de primitieve van f (x) = 冑9 í x2 nodig. 1 b Een primitieve van f (x) = 冑9 í x2 moet in ieder geval iets van de vorm G(x) = a(9 í x2)12 zijn. 1 1 G(x) = a(9 í x2)12 geeft G'(x) = 112 a(9 í x2)2 Â 2x = 3ax冑9 í x2. Er bestaat geen waarde van a waarvoor G'(x) = 冑9 í x2.

96

Hoofdstuk 11

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 140 71

4 í x2 en y2 = ln2(x). x2 + 1 Intersect geeft x = 0,138... en x = 1,702...

Voer in y1 =

1,702...

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft

( f (x) í g(x)) dx § 2,24.

0,138...

Dus O(V ) § 2,24. 72

∫

Voer in y1 = 10x2 ex en y2 = íx + 2. Intersect geeft x = í2,786..., í0,777... en x = 0,342... y

ƒ

V1

V2 g

x

O

í0,777...

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft

∫

( f (x) í g(x)) dx = 2,063... en

í2,786... 0,342...

∫

(g(x) í f (x)) dx = 1,425...

í0,777...

Dus O(beide vlakdelen) = 2,063... + 1,425... § 3,489. Bladzijde 141 73

Voer in y1 = sin(x) en y2 = 14 x. Intersect geeft x = 2,474... y 1

y = 14 x

ƒ

11 x

2,47 π

O

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft O(V ) =

ʌ

2,474...

0

0

1 ∫ sin(x)dx = 2 en ∫ (sin(x) í 4 x) dx = 1,020...

Dus de lijn y = 14 x verdeelt V niet in twee delen met gelijke oppervlakte. 74

Voer in y1 = 2 ln(x) í ln2(x). De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x = 1 en x = 7,389... y

O

1

V

ƒ 7,39

x

7,389...

De optie fnInt (TI) of œdx (Casio) geeft I(L) = ʌ © Noordhoff Uitgevers bv

∫ 1

( f (x))2 dx § 9,78. Integraalrekening

97

75

a Voer in y1 = 10 í x2 en y2 = 2x + 2. Intersect geeft x = í3,086... en x = 1,126... y g

V

–3,09

ƒ

x

1,13

O

1,126...

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft I(L) = ʌ

∫

(( f (x))2 í (g(x))2) dx § 682,59.

í 3,086...

b Pas de translatie (0, í10) toe op de gra¿eken van f en g en de lijn y = 10. y –3,09

1,13

x

O

y = –10

1,126...

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft I(M) = ʌ

∫

((g(x) í 10)2 í ( f (x) í 10)2) dx § 569,80.

í3,086...

Bladzijde 142 76

y ƒ

x=5

V

11

5

O

x

f (x) = 12 x2 geeft f '(x) = x 5

De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft booglengte = Dus de omtrek is 5 + 12 Â 52 + 13,903... § 31,40.

98

Hoofdstuk 11

∫ 冑1 + x2 dx = 13,903... 0

© Noordhoff Uitgevers bv

77

y ƒ

V x

O x=3

f (x) = 2x geeft f '(x) = 2x  ln(2) 3

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft booglengte =

∫ 冑1 + (2x  ln(2))2 dx = 7,792... 0

Dus de omtrek is 3 + 23 + 7,792... + 1 § 19,79. 78

f (x) = 5 geeft x3 í 3x2 + 5 = 5 x3 í 3x2 = 0 x2(x í 3) = 0 x=0–x=3 y ƒ y=5

V

O

3

x

f (x) = x3 í 3x2 + 5 geeft f '(x) = 3x2 í 6x 3

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft booglengte =

∫ 冑1 + (3x2 í 6x)2 dx = 8,814... 0

Dus de omtrek is 3 + 8,814... § 11,81. 79

De formule van de kabel is van de vorm y = ax2 + b. (0, 5) op de parabool geeft b = 5. y = ax2 + 5 r a  9952 + 5 = 200 door (995, 200) a  9952 = 195 195 a= = 39 9952 198005

dy y = 19839005 x2 + 5 geeft = 78 x dx 198 005 De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft

11

y

200

– 995

5 O

995

x

995

∫ 冑1 + ( 19878005 x)

2

dx = 2039,84...

í995

Dus de lengte van zo’n kabel is 2040 meter.

© Noordhoff Uitgevers bv

Integraalrekening

99

80

a x = 20 geeft y = 4(e1,24 + eí1,24) = 14,979... Dus de hoogte is 15,0 meter. dy b y = 4(e0,062x + eí0,062x) geeft = 4(0,062e0,062x í 0,062eí0,062x) = 0,248(e0,062x í eí0,062x) dx 20 De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft

∫ 冑1 + (0,248(e0,062x í eí0,062x))2 dx = 43,17...

í20

Dus de lengte van de kabel is 43,2 meter. 20

c De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft

∫ 4(e0,062x + eí0,062x)dx = 408,54...

í20

Dus de oppervlakte van het net is 409 m2.

81

h2 + ( f (x + h) í f (x))2 L(x + h) í L(x) 冑h2 + ( f (x + h) í f (x))2 ( f (x + h) í f (x))2 § = 1 + = = h h Å h2 h2 Å

Å

1+

(

f (x + h) í f (x) h

)

2

§ 冑1 + ( f '(x))2

Neem je in de berekening hierboven de limiet voor h naar 0, dan kun je de § -tekens vervangen door = -tekens. Dus L(x) is een primitieve van 冑1 + ( f '(x))2.

Diagnostische toets Bladzijde 144 1

b c d e f 2

6 2x + 6 1 = 2 Â + 6xí2 geeft F(x) = 2ln 0 x 0 í 6xí1 + c = 2ln 0 x 0 í + c 2 x x x 3 f (x) = 3 Â 2x geeft F(x) = Â 2x + c ln(2) f (x) = 6 ex + x2 geeft F(x) = 6ex + 13 x3 + c f (x) = ln(x5) = 5 ln(x) geeft F(x) = 5(x ln(x) í x) + c = 5x ln(x) í 5x + c 1 1 1 f (x) = 2log(4x) geeft F(x) = Â ( 4x ln (4x) í 4x) + c = Â (x ln(4x) í x) + c ln(2) 4 ln(2) f (x) = 3 sin(x) + 2 cos(x) geeft F(x) = í3cos(x) + 2 sin(x)

a f (x) =

a f (x) = 0 geeft 12x2 í 4x3 = 0 4x2(3 í x) = 0 x=0–x=3 y

ƒ

11

V O

x

3

3

O(V ) =

3

∫ (12x2 í 4x3) dx = 34x3 í x4 40 = 4 Â 27 í 81 = 27 0

100 Hoofdstuk 11

© Noordhoff Uitgevers bv

b

y

ƒ

V1 V2 x

3

O

x=p

p

∫ (12x2 í 4x3)d x = 2 Â 27 1

0

c

4x3 í x4

p d

0

= 1312

4p3 í p4 = 1312 Voer in y1 = 4x3 í x4 en y2 = 1312 . Intersect geeft x = 1,842… en x = 3,742… Dus voor p § 1,84. 3

a

y

ƒ

V x

O

x=e

2e

x = 2e

2e

∫ ln(2x) dx = 32 (2x ln(2x) í 2x)4 e 1

e

2e

= 3x ln(2x) í x 4 e = 2e ln(4e) í 2e í (e ln(2e) í e)

= 2e ln(4) + 2e ln(e) í 2e í e ln(2) í e ln(e) + e = 2eln(4) + 2e í 2e í eln(2) í e + e = eln(16) í eln(2) = eln(8) 2p

b O(V ) = 5 geeft

∫ ln(2x)dx = 5 p

2x

Voer in y1 =

∫

2x

ln(2x) dx (TI en Casio) of y2 =

x

∫ ln(2p) dp (HP) en y2 = 5.

11

x

Intersect geeft x = 2,503... Dus voor p § 2,50. 4

a f (x) = (2x + 6)5 +

10 = (2x + 6)5 + 10(3x í 1)í2 geeft (3x í 1)2

1 F(x) = 12 Â 16 (2x + 6)6 í 10 Â 13 (3x í 1)í1 + c = 12 (2x + 6)6 í

10 +c 3(3x í 1)

2 b f (x) = (5x + 2)2 Â 冑5x + 2 = (5x + 2)22 geeft F(x) = 15 Â 27 (5x + 2)32 + c = 35 (5x + 2)3 Â 冑5x + 2 + c 1 2x + 3 2x + 3 2x + 3 c f (x) = 4 e geeft F(x) = 4 Â 2 e + c = 2e +c 1 4 1 d f (x) = 8 Â 22x í 1 geeft F(x) = 8 Â 2 Â Â 22x í 1 + c = Â 22x í 1 + c ln(2) ln(2) e f (x) = ln(2x + 3) geeft F(x) = 12 ((2x + 3) ln(2x + 3) í (2x + 3)) + c = (x + 112 ) ln(2x + 3) í x í 112 + c 6 f f (x) = geeft F(x) = 6 Â 12 Â ln 0 2x + 5 0 + c = 3ln 0 2x + 5 0 + c 2x + 5 1

© Noordhoff Uitgevers bv

1

Integraalrekening 101

5

x2 + 4 =5 x x2 + 4 = 5x x2 í 5x + 4 = 0 (x í 1)(x í 4) = 0 x=1–x=4

a f (x) = 5 geeft

y ƒ

y=5

V

1

O

4

O(V ) =

∫ 1

x

4

(

5í

)

x2 + 4 dx = x

4

∫ 1

(

5íxí

)

4 dx = 3 5x í 12 x2 í 4 ln x x 2

4

2

4 1 = 20 í 8 í 4 ln(4) í ( 5 í 12 í 0)

= 12 í 4 ln(4) í 412 = 712 í 4 ln(4) e

b O(W ) =

∫ 1

c

(

)

x2 + 4 í x dx = x

e

∫ 1

()

e 4 dx = 34 ln | x | 41 = 4 í 0 = 4 x

y ƒ

W

x

O x=1

x=e

O(W ) = 3

( ∫( ) p

11

∫ 1 p

1

c

)

x2 + 4 í x dx = 3 x 4 dx = 3 x p

4 ln 0 x 0 d 1 = 3

4 ln( p) = 3 ln(p) = 34 3

p = e4 § 2,12

102 Hoofdstuk 11

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 145 6

a f (x) = 4 geeft (2x í 6)2 = 4 2x í 6 = 2 – 2x í 6 = í2 2x = 8 – 2x = 4 x=4– x=2 y ƒ y=4

V

2

O

x

4

4

1 1 I(L) = ʌ Â 42 Â 2 í ʌ ∫ (2x í 6)4 dx = 32ʌ í ʌ 310 (2x í 6)54 2 = 32ʌ í ʌ (10 Â 32 í 101 Â í32) = 32ʌ í 625 ʌ = 2535 ʌ 4

2

b f (0) = (í6)2 = 36 y

ƒ

36

W x

3

O

y = (2x í 6)2 geeft 2x í 6 = í冑y 2x = í冑y + 6

11

x = í 12 冑y + 3 x2 = (í 12 冑y + 3)

2

x2 = 14 y í 3冑y + 9 36

I(K) = ʌ ∫ 0

36

x2 dy

= ʌ∫

( 14 y í 3y

1 2

36

36

0

0

+ 9) dy = ʌ 3 18 y2 í 3 Â 23 y12 + 9y 4 = ʌ 3 18 y2 í 2y冑y + 9y 4

0

1

= ʌ(162 í 432 + 324 í 0) = 54ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

Integraalrekening 103

7

y ƒ

y=e

V x

O

x=1

f (x) =

ex

translatie (0, íe)

y = ex í e Wentelen om de lijn y = e geeft dezelfde inhoud als het vlakdeel ingesloten door de y-as, de lijn x = 1, de lijn y = íe en de grafiek van y = ex í e wentelen om de x-as. 1

1

1

I(L) = ʌ ∫ ((íe)2 í (ex í e)2) dx = ʌ ∫ (e2 í (e2x í 2e  ex + e2)) dx = ʌ ∫ (íe2x + 2e  ex) dx 0

=

8

ʌ c í 12

0

e2x

+ 2e Â

ex d

1 0

= ʌ(

a Stel a(t) = mt + n met m =

í 12

e2

+

0

2e2

í

(

í 12

+ 2 e)) =

(

112

e2

í 2e + 12 ) ʌ

a(60) í a(0) 68 í 8 = =1 ¶ a(t) = t + 8 60 60

a(0) = 8 a(t) = t + 8 en v(0) = 0 geeft v(t) = 12 t2 + 8t v(t) = 12 t2 + 8t en s(0) = 0 geeft s(t) = 16 t3 + 4t2 s(60) = 16 Â 603 + 4 Â 602 = 50 400 m b Vanaf t = 60 is a(t) = í10, dus v(t) = í10t + v(60) r v(t) = í10t + 2280 v(60) = 12 Â 602 + 8 Â 60 = 2280 v(t) = í10t + 2280 en s(60) = 50 400 geeft s(t) = í5t2 + 2280t + 50 400 De hoogte is maximaal als de snelheid 0 m/s is. v(t) = 0 geeft í10t + 2280 = 0 í10t = í2280 t = 228 s(228) = í5 Â 2282 + 2280 Â 288 + 50 400 = 310 320 Dus de maximale hoogte is 310,32 km.

11

9

sin(x) . cos(x) + 2 De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x = 0 – x = ʌ.

a Voer in y1 = y

ƒ

V O

x

π

ʌ

De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(L) = ʌ ∫ ( f (x))2 dx § 1,53. 0

104 Hoofdstuk 11

© Noordhoff Uitgevers bv

b f (x) =

sin(x) geeft cos(x) + 2

f '(x) =

(cos(x) + 2) Â cos(x) í sin(x) Â ísin(x) cos2(x) + 2cos(x) + sin2 (x) 2cos(x) + 1 = = (cos (x) + 2)2 (cos(x) + 2)2 (cos(x) + 2)2 ʌ

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft booglengte =

0

Dus de omtrek van V is 3,41... + ʌ § 6,56. 10

∫ Å1 +

(

2cos(x) + 1 (cos(x) + 2)2

)

2

dx = 3,41...

a Voer in y1 = ln(x í 1). De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x = 2. Voer in y2 = 2. Intersect geeft x = 8,389... y

y=2 ƒ

V 2

O

x

8,389...

8,389...

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft ʌ

∫

(ln(x í 1))2 dx = 40,143...

2

Dus I(L) = ʌ Â 22 Â 8,389... í 40,143... § 65,28. b f (x) = ln(x í 1) translatie (0, í2)

y = í2 + ln(x í 1) Wentelen om y = 2 geeft dezelfde inhoud als het vlakdeel ingesloten door de x-as, y-as, de lijn y = í2 en de grafiek van y = í2 + ln(x í 1) wentelen om de x-as. 8,389...

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft ʌ

∫

(í2 + ln(x í 1))2 dx = 15,01...

2

Dus I(M) = ʌ Â 22 Â 2 + 15,01... § 40,14. c y = ln(x í 1) geeft x í 1 = e y x = ey + 1 x2 = (e y + 1)2 x2 = e2y + 2e y + 1 2

11 2

I(N) = ʌ ∫ (e2y + 2e y + 1) dy = ʌ c 12 e2y + 2e y + y d = ʌ ( 12 e4 + 2e2 + 2 í 0

0

d f (x) = ln(x í 1) geeft f '(x) =

( 12 + 2 + 0) = ( 12 e4 + 2e2 í 12 ) ʌ

1 xí1 8,389...

De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft booglengte =

∫ 2

Å

1+

( ) 1 xí1

2

dx = 6,788...

Dus de omtrek van V is 2 + 2 + 8,389... + 6,788... § 19,18.

© Noordhoff Uitgevers bv

Integraalrekening 105

12 Goniometrische formules Voorkennis Vergelijkingen, afgeleiden en primitieven bij goniometrie Bladzijde 149

1

a sin(4x í 16 ʌ) = 1 4x í 16 ʌ = 12 ʌ + k  2ʌ 4x = 23 ʌ + k  2ʌ x = 16 ʌ + k  12 ʌ b cos2 (3x) = 1 cos(3x) = 1 – cos(3x) = í1 3x = k  2ʌ – 3x = ʌ + k  2ʌ x = k  23 ʌ – x = 13 ʌ + k  23 ʌ Dit kan nog worden samen genomen tot x = k  13 ʌ. c 2 sin(4x í 16 ʌ) = 冑2 sin (4x í 16 ʌ) = 12 冑2 4x í 16 ʌ = 14 ʌ + k  2ʌ – 4x í 16 ʌ = 34 ʌ + k  2ʌ 5 4x = 12 ʌ + k  2ʌ – 4x = 11 12 ʌ + k  2ʌ 5 1 x = 48 ʌ + k  12 ʌ – x = 11 48 ʌ + k  2 ʌ

d 4 cos2 (x í 16 ʌ) = 3 cos2 (x í 16 ʌ) = 34 cos (x í 16 ʌ) = 12 冑3 – cos (x í 16 ʌ) = í 12 冑3 x í 16 ʌ = 16 ʌ + k  2ʌ – x í 16 ʌ = í 16 ʌ + k  2ʌ – x í 16 ʌ = 56 ʌ + k  2ʌ – x í 16 ʌ = í 56 ʌ + k  2ʌ x = 13 ʌ + k  2ʌ – x = k  2ʌ – x = ʌ + k  2ʌ – x = í 23 ʌ + k  2ʌ Dit kan nog worden samengenomen tot x = k  ʌ – x = 13 ʌ + k  ʌ. e sin(2x) = sin(x í 14 ʌ) 2x = x í 14 ʌ + k  2ʌ – 2x = ʌ í (x í 14 ʌ) + k  2ʌ x = í 14 ʌ + k  2ʌ – 2x = ʌ í x + 14 ʌ + k  2ʌ x = í 14 ʌ + k  2ʌ – 3x = 114 ʌ + k  2ʌ 5 x = í 14 ʌ + k  2ʌ – x = 12 ʌ + k  23 ʌ

f cos(3x) = cos (x í 16 ʌ)

12

3x = x í 16 ʌ + k  2ʌ – 3x = í (x í 16 ʌ) + k  2ʌ 2x = í 16 ʌ + k  2ʌ – 3x = íx + 16 ʌ + k  2ʌ 1 x = í 12 ʌ + k  ʌ – 4x = 16 ʌ + k  2ʌ 1 1 x = í 12 ʌ + k  ʌ – x = 24 ʌ + k  12 ʌ

2

a sin(x í 16 ʌ) + 1 = 0 sin(x í 16 ʌ) = í1 x í 16 ʌ = í 12 ʌ + k  2ʌ x = í 13 ʌ + k  2ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 123 ʌ.

106 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

b cos2(x) + cos(x) = 0 cos(x)(cos(x) + 1) = 0 cos(x) = 0 – cos(x) = í1 x = 12 ʌ + k  ʌ – x = ʌ + k  2ʌ x op c 0, 2ʌ d geeft x = 12 ʌ – x = ʌ – x = 112 ʌ c 2sin(2x + 13 ʌ) + 冑3 = 0 2sin(2x + 13 ʌ) = í冑3 sin(2x + 13 ʌ) = í 12 冑3 2x + 13 ʌ = 113 ʌ + k  2ʌ – 2x + 13 ʌ = ʌ í 113 ʌ + k  2ʌ 2x = ʌ + k  2ʌ – 2x = í 23 ʌ + k  2ʌ x = 12 ʌ + k  ʌ – x = í 13 ʌ + k  ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 12 ʌ – x = 23 ʌ – x = 112 ʌ – x = 123 ʌ c

d

d cos(2x) í cos ( x í 14 ʌ) = 0 cos(2x) = cos (x í 14 ʌ) 2x = x í 14 ʌ + k  2ʌ – 2x = í (x í 14 ʌ) + k  2ʌ x = í 14 ʌ + k  2ʌ – 2x = íx + 14 ʌ + k  2ʌ x = í 14 ʌ + k  2ʌ – 3x = 14 ʌ + k  2ʌ 1 x = í 14 ʌ + k  2ʌ – x = 12 ʌ + k  23 ʌ 1 5 x op 0, 2ʌ geeft x = 12 ʌ – x = 34 ʌ – x = 112 ʌ – x = 134 ʌ c

3

d

a f (x) = 2 í 3sin (2x í 13 ʌ) = 2 í 3 sin (2 ( x í 16 ʌ)) de evenwichtsstand is 2 de amplitude is 3 2ʌ de periode is =ʌ 2 í3 < 0, dus de grafiek gaat dalend door het beginpunt b y

( 16 ʌ, 2) .

5 ƒ 4

3 1

2

( 6 π, 2)

12

1

O

π

x 2π

–1

c f (0) = 2 í 3sin(í 13 ʌ) = 2 í 3 Â í 12 冑3 = 2 + 112 冑3 5 f (12 ʌ) = 2 í 3 sin ( 56 ʌ í 13 ʌ) = 2 í 3sin ( 12 ʌ) = 2 í 3 = í1 38 1 1 1 1 f ( 19 24 ʌ) = 2 í 3 sin( 24 ʌ í 3 ʌ) = 2 í 3sin (14 ʌ) = 2 í 3 Â í 2 冑2 = 2 + 12 冑2

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 107

d f (x) = 12 geeft 2 í 3sin(2x í 13 ʌ) = 12 í3 sin(2x í 13 ʌ) = í112 sin(2x í 13 ʌ) = 12 2x í 13 ʌ = 16 ʌ + k  2ʌ – 2x í 13 ʌ = ʌ í 16 ʌ + k  2ʌ 2x = 12 ʌ + k  2ʌ – 2x = 116 ʌ + k  2ʌ 7 x = 14 ʌ + k  ʌ – x = 12 ʌ + kÂʌ 7 7 x op 0, 2ʌ geeft x = 14 ʌ – x = 12 ʌ – x = 114 ʌ – x = 112 ʌ. c

d

f (x) > 12 geeft 0 ” x < 14 ʌ –

7 12 ʌ

7 < x < 114 ʌ – 112 ʌ < x ” 2ʌ

Bladzijde 150 4

a y = a + b sin(c(x í d)) 3+1 a= =2 2 b=3í2=1 Stijgend door de evenwichtsstand bij opvolgend x = 1 en x = 4, dus d = 1 en 2ʌ 2 de periode = 4 í 1 = 3, dus c = = ʌ. 3 3 Dus y = 2 + sin ( 23 ʌ(x í 1)) . b y = a + b cos(c(x í d)) met a = 2, b = 1 en c = 23 ʌ. Het punt (1 + 14 Â 3, 3) = ( 134 , 3) is een hoogste punt, dus d = 134 . Dus y = 2 + cos ( 23 ʌ ( x í 134 ) . c y = a + b cos(c(x í d)) met a = 2, b = í1 en c = 23 ʌ. Het punt (1 í 14 Â 3, 1) =

( 14 , 1) is een laagste punt, dus d = 14 . Dus y = 2 í cos ( 23 ʌ ( x í 14 )) .

5

a f (x) = 3 í 2cos ( x í 14 ʌ) geeft f '(x) = 2 sin( x í 14 ʌ) Stel k: y = ax + b met a = f '(ʌ) = 2 sin ( 34 ʌ) = 2 Â 12 冑2 = 冑2. y = x冑2 + b f (ʌ) = 3 í 2 cos ( 34 ʌ) = 3 í 2 Â í 12 冑2 = 3 + 冑2, dus A (ʌ, 3 + 冑2 )

s

ʌ冑2 + b = 3 + 冑2 b = 3 + (1 í ʌ)冑2

Dus k: y = x冑2 + 3 + (1 í ʌ)冑2. b f (x) = 4 geeft 3 í 2 cos ( x í 14 ʌ) = 4 í2 cos (x í 14 ʌ) = 1 cos (x í 14 ʌ) = í 12 x í 14 ʌ = 23 ʌ + k  2ʌ – x í 14 ʌ = í 23 ʌ + k  2ʌ

12

5 x = 11 12 ʌ + k  2ʌ – x = í 12 ʌ + k  2ʌ 7 x op 0, 2ʌ geeft x = 11 12 ʌ – x = 112 ʌ c

y 5

V

4

y=4

3

d

ƒ 2

1

π

O 7 112

O(V ) =

ʌ

7

112 ʌ

1 ∫ ( f (x) í 4) d x = ∫ (í1 í 2 cos(x í 4 ʌ)) dx = cíx í 2 sin(x í 14 ʌ) d

11 ʌ 12

x 2π

11 ʌ 12

7 112 ʌ 11 12 ʌ

7 2 7 1 11 1 2 ʌ í 2sin (113 ʌ) í (í 11 = í112 12 ʌ í 2sin ( 3 ʌ)) = í112 ʌ í 2 Â í 2 冑3 + 12 ʌ + 2 Â 2 冑3 = 2冑3 í 3 ʌ

108 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

6

a f (x) =

3 sin(x) geeft 2 í cos(x)

f '(x) =

(2 í cos(x)) Â 3cos(x) í 3sin(x) Â sin(x) 6 cos(x) í 3cos2(x) í 3sin2(x) 6cos(x) í 3 = = (2 í cos(x))2 (2 í cos(x))2 (2 í cos(x))2

f '(x) = 0 geeft 6 cos(x) í 3 = 0 cos(x) = 12 , dus xA = 13 ʌ f ( 13 ʌ) =

3sin ( 13 ʌ) 3 Â 12 冑3 112 冑3 = = 1 = 冑3, dus A ( 13 ʌ, 冑3 ) . 2 í cos ( 13 ʌ) 2 í 12 12

b F(x) = 3 ln(2 í cos(x)) geeft F'(x) = 3 Â

3 sin(x) 1 Â sin(x) = 2 í cos(x) 2 í cos(x)

Dus F'(x) = f (x) en is F(x) = 3 ln(2 í cos(x)) een primitieve van f. ʌ

O(V ) =

ʌ

∫ f (x)dx = 3 3ln(2 í cos(x)) 4 0 = 3ln(2 í í1) í 3ln(2 í 1) = 3 ln(3) 0

12.1 Formules bij vergelijkingen en herleidingen Bladzijde 151 1

2

a sin(2x) + sin(x) = 0 geeft sin(2x) = ísin(x) en vanwege de formule ísin(A) = sin(A + ʌ) is deze vergelijking te herleiden tot sin(2x) = sin(x + ʌ). b sin(2x) = sin(x + ʌ) 2x = x + ʌ + k  2ʌ – 2x = ʌ í (x + ʌ) + k  2ʌ x = ʌ + k  2ʌ – 2x = ʌ í x í ʌ + k  2ʌ x = ʌ + k  2ʌ – 3x = k  2ʌ x = ʌ + k  2ʌ – x = k  23 ʌ sin (2x í 13 ʌ) = ícos (x + 13 ʌ) cos (2x í 56 ʌ) = cos (x + 113 ʌ) 2x í 56 ʌ = x + 113 ʌ + k  2ʌ – 2x í 56 ʌ = íx í 113 ʌ + k  2ʌ x = 216 ʌ + k  2ʌ – 3x = í 12 ʌ + k  2ʌ x = 216 ʌ + k  2ʌ – x = í 16 ʌ + k  23 ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 16 ʌ – x = 12 ʌ – x = 116 ʌ – x = 156 ʌ c

d

Bladzijde 152

3

a sin( x + 12 ʌ) = cos(2x) cos(x) = cos(2x) x = 2x + k  2ʌ – x = í2x + k  2ʌ í x = k  2ʌ – 3x = k  2ʌ x = k  2ʌ – x = k  23 ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 0 – x = c

d

12 2 3ʌ

–x=

113 ʌ

– x = 2ʌ

b sin(3x) = ícos(x) cos(3x í 12 ʌ) = cos(x + ʌ) 3x í 12 ʌ = x + ʌ + k  2ʌ – 3x í 12 ʌ = í(x + ʌ) + k  2ʌ 2x = 112 ʌ + k  2ʌ – 3x í 12 ʌ = íx í ʌ + k  2ʌ x = 34 ʌ + k  ʌ – 4x = í 12 ʌ + k  2ʌ x = 34 ʌ + k  ʌ – x = í 18 ʌ + k  12 ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 34 ʌ – x = 134 ʌ – x = 38 ʌ – x = 78 ʌ – x = 138 ʌ – x = 178 ʌ c

© Noordhoff Uitgevers bv

d

Goniometrische formules 109

c sin2(x) + 12 cos(x) = 1 1 í cos2(x) + 12 cos(x) í 1 = 0 ícos2(x) + 12 cos(x) = 0 ícos(x) (cos(x) í 12 ) = 0 cos(x) = 0 – cos(x) = 12 x = 12 ʌ + k  ʌ – x = 13 ʌ + k  2ʌ – x = í 13 ʌ + k  2ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 12 ʌ – x = 112 ʌ – x = 13 ʌ – x = 123 ʌ c

d

d cos(x í 1) = ícos(2x + 1) cos(x í 1) = cos(2x + 1 + ʌ) x í 1 = 2x + 1 + ʌ + k  2ʌ – x í 1 = í(2x + 1 + ʌ) + k  2ʌ íx = 2 + ʌ + k  2ʌ – x í 1 = í2x í 1 í ʌ + k  2ʌ x = í2 í ʌ + k  2ʌ – 3x = íʌ + k  2ʌ x = í2 í ʌ + k  2ʌ – x = í 13 ʌ + k  23 ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = í2 + ʌ – x = 13 ʌ – x = ʌ – x = 123 ʌ e sin(2x + ʌ) = 1 í 2 sin(2x) ísin(2x) = 1 í 2 sin(2x) sin(2x) = 1 2x = 12 ʌ + k  2ʌ x = 14 ʌ + k  ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 14 ʌ – x = 114 ʌ c

d

c

d

f 2 sin2(x) + cos2(x) + cos(x) = 0 2(1 í cos2(x)) + cos2(x) + cos(x) = 0 2 í 2cos2(x) + cos2(x) + cos(x) = 0 ícos2(x) + cos(x) + 2 = 0 cos2(x) í cos(x) í 2 = 0 (cos(x) + 1)(cos(x) í 2) = 0 cos(x) = í1 – cos(x) = 2 x = ʌ + k  2ʌ geen opl. x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = ʌ 4

a cos(2ʌt) = sin( 12 ʌt) cos(2ʌt) = cos( 12 ʌt í 12 ʌ) 2ʌt = 12 ʌt í 12 ʌ + k  2ʌ – 2ʌt = í ( 12 ʌt í 12 ʌ) + k  2ʌ 112 ʌt = í 12 ʌ + k  2ʌ – 2ʌt = í 12 ʌt + 12 ʌ + k  2ʌ 112 t = í 12 + k  2 – 212 ʌt = 12 ʌ + k  2ʌ t = í 13 + k  113 – 212 t = 12 + k  2 t = í 13 + k  113 – t = 15 + k  45 t op 0, 3 geeft t = 1 – t = 213 – t = 15 – t = 145 – t = 235 c

12

d

b cos( 16 ʌt) = ícos(ʌt) cos( 16 ʌt í 12 ʌ) = cos(ʌt + ʌ) 1 6 ʌt

í 12 ʌ = ʌt + ʌ + k  2ʌ – 16 ʌt í 12 ʌ = í(ʌt + ʌ) + k  2ʌ

í 56 ʌt = 112 ʌ + k  2ʌ – 16 ʌt í 12 ʌ = íʌt í ʌ + k  2ʌ í 56 t = 112 + k  2 – 116 ʌt = í 12 ʌ + k  2ʌ t = í145 + k  225 – 116 t = í 12 + k  2 t = í145 + k  225 – t = í 37 + k  157 t op 0, 3 geeft t = 35 – t = 127 – t = 3 c

110 Hoofdstuk 12

d

© Noordhoff Uitgevers bv

5

a 2 sin(x) = sin(x) sin(x) = 0 b sin(2x) = sin(x) 2x = x + k  2ʌ – 2x = ʌ í x + k  2ʌ c í d í e sin(2x) = sin( x + 13 ʌ) 2x = x + 13 ʌ + k  2ʌ – 2x = ʌ í (x + 13 ʌ) + k  2ʌ f í

6

a y = cos(x) verm. y-as, 12

y = cos(2x) verm. x-as, í1

y = ícos(2x) b

y g

π

O

2π

x

ƒ

c f (x) =

í 12

冑2 geeft sin(x) = 冑2 í 12

x = í 14 ʌ + k  2ʌ – x = ʌ í í 14 ʌ + k  2ʌ x = í 14 ʌ + k  2ʌ – x = 114 ʌ + k  2ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 114 ʌ – x = 134 ʌ c

d

d g(x) = 12 geeft ícos(2x) = 12 cos(2x) = í 12 2x = 23 ʌ + k  2ʌ – 2x = í 23 ʌ + k  2ʌ x = 13 ʌ + k  ʌ – x = í 13 ʌ + k  ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 13 ʌ – x = 113 ʌ – x = 23 ʌ – x = 123 ʌ c

d

e f (x) = g(x) geeft sin(x) = ícos(2x) cos (x í 12 ʌ) = cos(2x + ʌ) x í 12 ʌ = 2x + ʌ + k  2ʌ – x í 12 ʌ = í(2x + ʌ) + k  2ʌ íx = 112 ʌ + k  2ʌ – x í 12 ʌ = í2x í ʌ + k  2ʌ x = í112 ʌ + k  2ʌ – 3x = í 12 ʌ + k  2ʌ x = í112 ʌ + k  2ʌ – x = í 16 ʌ + k  23 ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 12 ʌ – x = 116 ʌ – x = 156 ʌ c

d

f (x) ” g(x) geeft x = 12 ʌ – 116 ʌ ” x ” 156 ʌ 7

a f (x) = sin (2x í 13 ʌ) = sin ( 2 (x í 16 ʌ)) de evenwichtsstand is 0 de amplitude is 1 2ʌ de periode is =ʌ 2 stijgend door beginpunt ( 16 ʌ, 0)

© Noordhoff Uitgevers bv

12

g(x) = ícos (x + 16 ʌ) de evenwichtsstand is 0 de amplitude is 1 2ʌ de periode is = 2ʌ 1 een laagste beginpunt is (í 16 ʌ, í1)

Goniometrische formules 111

b

y g

O

π

1

12 π

x

ƒ

c f (x) = 0 geeft sin (2x í 13 ʌ) = 0 2x í 13 ʌ = k  ʌ 2x = 13 ʌ + k  ʌ x = 16 ʌ + k  12 ʌ x op c 0, 112 ʌ d geeft x = 16 ʌ – x = 23 ʌ – x = 116 ʌ Dus de nulpunten van f zijn 16 ʌ, 23 ʌ en 116 ʌ. g(x) = 0 geeft ícos(x + 16 ʌ) = 0 cos(x + 16 ʌ) = 0 x + 16 ʌ = 12 ʌ + k  ʌ x = 13 ʌ + k  ʌ x op c 0, 112 ʌ d geeft x = 13 ʌ – x = 113 ʌ. Dus de nulpunten van g zijn 13 ʌ en 113 ʌ. d f (x) = 12 geeft sin(2x í 13 ʌ) = 12 2x í 13 ʌ = 16 ʌ + k  2ʌ – 2x í 13 ʌ = ʌ í 16 ʌ + k  2ʌ 2x = 12 ʌ + k  2ʌ – 2x í 13 ʌ = 56 ʌ + k  2ʌ x = 14 ʌ + k  ʌ – 2x = 116 ʌ + k  2ʌ 7 x = 14 ʌ + k  ʌ – x = 12 ʌ + kÂʌ 7 x op c0, 112 ʌ d geeft x = 14 ʌ – x = 114 ʌ – x = 12 ʌ 7 f (x) > 12 geeft 14 ʌ < x < 12 ʌ – 114 ʌ < x ” 112 ʌ

e f (x) = g(x) geeft sin(2x í 13 ʌ) = ícos(x + 16 ʌ) cos(2x í 13 ʌ í 12 ʌ) = cos(x + 16 ʌ + ʌ) cos(2x í 56 ʌ) = cos(x + 116 ʌ) 2x í 56 ʌ = x + 116 ʌ + k  2ʌ – 2x í 56 ʌ = í (x + 116 ʌ) + k  2ʌ x = 2ʌ + k  2ʌ – 2x í 56 ʌ = íx í 116 ʌ + k  2ʌ x = k  2ʌ – 3x = í 13 ʌ + k  2ʌ x = k  2ʌ – x = í 19 ʌ + k  23 ʌ x op c 0, 112 ʌ d geeft x = 0 – x = 59 ʌ – x = 129 ʌ

12

f (x) < g(x) geeft 59 ʌ < x < 129 ʌ Bladzijde 153 8

a AC = yA í yB = sin(Į) í sin(ȕ) BC = xB í xA = cos(ȕ) í cos(Į) b AB2 = AC2 + BC2 = (sin(Į) í sin(ȕ))2 + (cos(ȕ) í cos(Į))2 = sin2(Į) í 2 sin(Į) sin( ȕ) + sin2( ȕ) + cos2( ȕ) í 2cos( ȕ) cos(Į) + cos2(Į) = sin2(Į) + cos2(Į) + sin2(ȕ) + cos2( ȕ) í 2 sin(Į) sin(ȕ) í 2 cos(Į) cos( ȕ) = 2 í 2 sin(Į) sin( ȕ) í 2 cos(Į) cos(ȕ)

112 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 154 9

a cos(t í u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u) u vervangen door íu geeft cos(t + u) = cos(t)cos(íu) + sin(t)sin(íu) cos(t + u) = cos(t)cos(u) + sin(t) Â ísin(u) cos(t + u) = cos(t)cos(u) í sin(t)sin(u) b cos(t + u) = cos(t)cos(u) í sin(t)sin(u) u vervangen door u í 12 ʌ geeft cos (t + u í 12 ʌ) = cos(t)cos (u í 12 ʌ) í sin(t)sin (u í 12 ʌ) sin(t + u) = cos(t)sin(u) í sin(t) Â ícos(u) sin(t + u) = cos(t)sin(u) + sin(t)cos(u) sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u) c sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u) u vervangen door íu geeft sin(t í u) = sin(t)cos(íu) + cos(t)sin(íu) sin(t í u) = sin(t)cos(u) + cos(t) Â ísin(u) sin(t í u) = sin(t)cos(u) í cos(t)sin(u)

10

a sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u) t en u vervangen door A geeft sin(A + A) = sin(A)cos(A) + cos(A)sin(A) sin(2A) = 2 sin(A)cos(A) cos(t + u) = cos(u)cos(u) í sin(t)sin(u) t en u beide vervangen door A geeft cos(A + A) = cos(A)cos(A) í sin(A)sin(A) cos(2A) = cos2(A) í sin2(A) b cos(2A) = cos2(A) í sin2(A) cos(2A) = cos2(A) í (1 í cos2(A)) cos(2A) = cos2(A) í 1 + cos2(A) cos(2A) = 2 cos2(A) í 1 cos(2A) = cos2(A) í sin2(A) cos(2A) = 1 í sin2(A) í sin2(A) cos(2A) = 1 í 2 sin2(A) Bladzijde 155

11

a cos(2A) = 2cos2(A) í 1 2cos2(A) = 1 + cos(2A) cos2(A) = 12 + 12 cos(2A) b cos(2A) = 1 í 2 sin2(A) 2sin2(A) = 1 í cos(2A) sin2(A) = 12 í 12 cos(2A)

12

a 2sin(x)cos(x) = sin(x í 1) sin(2x) = sin(x í 1) 2x = x í 1 + k  2ʌ – 2x = ʌ í (x í 1) + k  2ʌ x = í1 + k  2ʌ – 2x = ʌ í x + 1 + k  2ʌ x = í1 + k  2ʌ – 3x = ʌ + 1 + k  2ʌ x = í1 + k  2ʌ – x = 13 ʌ + 13 + k  23 ʌ

12

b cos2(2x) = cos(4x) + 12 cos2(2x) í 12 = cos(4x) 1 2

cos(4x) = cos(4x)

cos(4x) = 0 4x = 12 ʌ + k  ʌ x = 18 ʌ + k  14 ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 113

c sin2 ( 12 x) = cos(x) + 114 sin2 ( 12 x) = 1 í 2 sin2 (12 x) + 114 3sin2 ( 12 x) = 214 sin2 ( 12 x) = 34 sin(12 x) = 12 冑3 – sin( 12 x) = í 12 冑3 1 2x

= 13 ʌ + k  2ʌ – 12 x = ʌ í 13 ʌ + k  2ʌ – 12 x = í 13 ʌ + k  2ʌ – 12 x = ʌ í í 13 ʌ + k  2ʌ

x = 23 ʌ + k  4ʌ – 12 x = 23 ʌ + k  2ʌ – x = í 23 ʌ + k  4ʌ – 12 x = 113 ʌ + k  2ʌ x = 23 ʌ + k  4ʌ – x = 113 ʌ + k  4ʌ – x = í 23 ʌ + k  4ʌ – x = 223 ʌ + k  4ʌ Dit kan nog worden samengenomen tot x = 23 ʌ + k  2ʌ – x = 113 ʌ + k  2ʌ. d (sin(x) + cos(x))2 = 112 sin2(x) + 2 sin(x) cos(x) + cos2(x) = 112 sin2(x) + cos2(x) + sin(2x) = 112 1 + sin(2x) = 112 sin(2x) = 12 2x = 16 ʌ + k  2ʌ – 2x = ʌ í 16 ʌ + k  2ʌ 1 x = 12 ʌ + k  ʌ – 2x = 56 ʌ + k  2ʌ 1 5 x = 12 ʌ + k  ʌ – x = 12 ʌ + kÂʌ

13

a

y

y = sin2(x) + cos(2x)

1

O

π

2π

x

–1

De evenwichtsstand is 12 , dus a = 12. 1+0 1 De amplitude is = 2 , dus b = 12 . 2 2ʌ De periode is ʌ, dus c = ʌ = 2. Een hoogste punt is (0, 1), dus y = 12 + 12 cos(2x). b cos(2A) = 1 í 2 sin2(A) geeft 2 sin2(A) = 1 í cos(2A) dus sin2(A) = 12 í 12 cos(2A) y = sin2(x) + cos(2x) = 12 í 12 cos(2x) + cos(2x) = 12 + 12 cos(2x) 12

14

15

sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)cos(x) + (1 í 2sin2 (x)) Â sin(x) = 2sin(x)cos2(x) + sin(x) í 2sin3(x) = 2sin(x)(1 í sin2(x)) + sin(x) í 2sin3(x) = 2sin(x) í 2sin3(x) + sin(x) í 2sin3(x) = 3sin(x) í 4 sin3(x) a cos(2A) = 1 í 2sin2(A) geeft 2sin2(A) = 1 í cos(2A) dus sin2(A) = 12 í 12 cos(2A) y = 1 í cos(x) í sin 2 ( 12 x) = 1 í cos(x) í 12 + 12 cos(x) = 12 í 12 cos(x)

114 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

b cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x) í sin(2x)sin(x) = (2cos2(x) í 1) Â cos(x) í 2sin(x)cos(x)sin(x) = 2cos3(x) í cos(x) í 2sin2(x)cos(x) = 2cos3(x) í cos(x) í 2(1 í cos2(x)) Â cos(x) = 2cos3(x) í cos(x) í 2cos(x) + 2cos3(x) = 4cos3(x) í 3cos(x) 16

a ícos(A) = cos(A + ʌ) b sin(A) = cos(A í 12 ʌ) c cos(2A) = 1 í 2 sin2(x) ofwel sin2(A) = 12 í 12 cos(2A) d cos(2A) = 2cos2(A) í 1 ofwel cos2(A) = 12 + 12 cos(2A) e cos(A) = sin( A + 12 ʌ)

12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren Bladzijde 157 17

xB = íxA en yB = yA xC = íxA en yC = íyA Bladzijde 158

18

y

A

B

π−p p

p O

x (1, 0)

Uit de symmetrie volgt sin(ʌ í p) = yA = yB = sin( p) en cos(x í p) = xA = íxB = ícos( p). 19

a f ( p) = p cos( p) f f (p) + f (íp) = p cos( p) í p cos(p) = 0 f (íp) = íp cos(íp) = íp cos( p) Dus de grafiek van f is puntsymmetrisch in de oorsprong. b g( p) = p sin( p) f g( p) = g(íp) g (íp) = íp sin(íp) = p sin( p) Dus de grafiek van g is symmetrisch in de y-as.

20

a f ( p) = cos2( p) sin(p) f (íp) = cos2(íp) sin(íp) = cos2( p) Â ísin( p) = ícos2( p) sin( p) Er geldt f ( p) + f (íp) = cos2( p) sin(p) í cos2( p) sin( p) = 0. Dus de grafiek van f is puntsymmetrisch in O.

12

b f (12 ʌ + p) = cos2 ( 12 ʌ + p) sin( 12 ʌ + p)

y 1 2

= (ícos ( 12 ʌ í p)) Â sin ( 12 ʌ í p) 2

π+p 1

1 2π

–p

= cos2 ( 12 ʌ í p) sin ( 12 ʌ í p) = f ( 12 ʌ í p) Er geldt f (12 ʌ + p) = f ( 12 ʌ í p) , dus de grafiek van f is

–1

O

1

x

symmetrisch in de lijn x = 12 ʌ. –1

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 115

21

a f (í 14 ʌ í p) = 2sin(í 14 ʌ í p) í 2cos(í 14 ʌ í p) = 2 (sin (í 14 ʌ) cos( p) í cos (í 14 ʌ) sin(p)) í 2 (cos (í 14 ʌ) cos( p) + sin (í 14 ʌ) sin(p)) = 2 (í 12 冑2 Â cos( p) í 12 冑2 Â sin( p)) í 2 ( 12 冑2 Â cos( p) í 12 冑2 Â sin( p)) = í冑2 Â cos( p) í 冑2 Â sin( p) í 冑2 Â cos( p) + 冑2 Â sin( p) = í2冑2 Â cos( p) b f (í 14 ʌ + p) = 2sin(í 14 ʌ + p) í 2cos(í 14 ʌ + p) = 2 (sin(í 14 ʌ) cos(p) + cos(í 14 ʌ) sin(p)) í 2 (cos (í 14 ʌ) cos(p) í sin(í 14 ʌ) sin(p)) = 2 (í 12 冑2 Â cos(p) + 12 冑2 Â sin(p)) í 2 ( 12 冑2 Â cos( p) + 12 冑2 Â sin( p)) = í冑2 Â cos( p) + 冑2 Â sin( p) í 冑2 Â cos( p) í 冑2 Â sin( p) = í2冑2 Â cos( p) Er geldt f (í 14 ʌ í p) = f (í 14 ʌ + p) dus de grafiek van f is symmetrisch in de lijn x = í 14 ʌ.

22

a f

( 14 ʌ + p) = cos( 14 ʌ + p) + sin( 14 ʌ + p) + 1 = cos( 14 ʌ) cos( p) í sin( 14 ʌ) sin( p) + sin( 14 ʌ) cos( p) + cos( 14 ʌ) sin( p) + 1 = 12 冑2 Â cos( p) í 12 冑2 Â sin( p) + 12 冑2 Â cos( p) + 12 冑2 Â sin( p) + 1 = 冑2 Â cos( p) + 1

f(

1 4ʌ

í p) ௘ = cos ( 14 ʌ í p) + sin( 14 ʌ í p) + 1 = cos( 14 ʌ) cos( p) + sin( 14 ʌ) sin( p) + sin( 14 ʌ) cos( p) í cos( 14 ʌ) sin( p) + 1 = 12 冑2 Â cos( p) + 12 冑2 Â sin( p) + 12 冑2 Â cos( p) í 12 冑2 Â sin( p) + 1 = 冑2 Â cos( p) + 1

Er geldt f ( 14 ʌ + p) = f ( 14 ʌ í p) dus de grafiek van f is symmetrisch in de lijn x = 14 ʌ. Alternatieve uitwerking f ( 14 ʌ + p) ௘ = cos( 14 ʌ + p) + sin( 14 ʌ + p) + 1

y 1

= sin( 14 ʌ í p) + cos( 14 ʌ í p) + 1 = cos( 14 ʌ í p) + sin( 14 ʌ í p) + 1 =f(

í p) Er geldt f ( 14 ʌ + p) = f ( 14 ʌ í p) , dus de grafiek van f is 1 4ʌ

1 4

π+p

1 4

–1

O

π–p

1

x

symmetrisch in de lijn x = 14 ʌ.

–1

b f

( 34 ʌ í p) = cos ( 34 ʌ í p) + sin ( 34 ʌ í p) + 1 = cos ( 34 ʌ) cos( p) + sin ( 34 ʌ) sin( p) + sin ( 34 ʌ) cos( p) í cos ( 34 ʌ) sin( p) + 1 = í 12 冑2 Â cos( p) + 12 冑2 Â sin( p) + 12 冑2 Â cos( p) + 12 冑2 Â sin( p) + 1

12

= 冑2 Â sin( p) + 1 f

(

3 4ʌ

+ p) = cos ( 34 ʌ + p) + sin ( 34 ʌ + p) + 1 = cos ( 34 ʌ) cos( p) í sin ( 34 ʌ) sin( p) + sin ( 34 ʌ) cos( p) + cos ( 34 ʌ) sin( p) + 1 = í 12 冑2 Â cos( p) í 12 冑2 Â sin( p) + 12 冑2 Â cos( p) í 12 冑2 Â sin( p) + 1 = í冑2 Â sin( p) + 1

f ( 34 ʌ í p) + f ( 34 ʌ + p) = 冑2 Â sin( p) + 1 í 冑2 Â sin( p) + 1 = 2 Dus de grafiek van f is puntsymmetrisch in het punt

116 Hoofdstuk 12

( 34 ʌ, 1) .

© Noordhoff Uitgevers bv

23

a y = 13 sin3(x) geeft 3 13 sin3(x)4' = sin2(x) Â cos(x) en dit is niet f (x), dus y = 13 sin3(x) is geen primitieve van f. b cos(2A) = 1 í 2 sin2(A) 2sin2(A) = 1 í cos(2A) sin2(A) = 12 í 12 cos(2A) Dus sin2(x) = 12 í 12 cos(2x). c f (x) = sin2(x) = 12 í 12 cos(2x) geeft F(x) = 12 x í 14 sin(2x) + c Bladzijde 159

24

a cos(2A) = 2cos2(A) í 1 2cos2(A) = 1 + cos(2A) cos2(A) = 12 + 12 cos(2A) Dus f (x) = cos2(x) = 12 + 12 cos(2x) geeft F(x) = 12 x + 14 sin(2x) + c. b cos(2A) = 1 í 2 sin2(A) 2 sin2(A) = 1 í cos(2A) sin2(A) = 12 í 12 cos(2A) 1 Dus g(x) = sin2(3x) = 12 í 12 cos(6x) geeft G(x) = 12 x í 12 sin(6x) + c. c sin(2A) = 2 sin(A) cos(A) sin(A) cos(A) = 12 sin(2A)

Dus h(x) = sin( 12 x) cos ( 12 x) = 12 sin(x) geeft H(x) = í 12 cos(x) + c. 25

a sin(2A) = 2 sin(A) cos(A) sin(A) cos(A) = 12 sin(2A) 1 ʌ 6

1 ʌ 6

0

0

1ʌ 6

∫ sin(2x) cos(2x) dx = ∫ 2 sin(4x) dx = 3í 8 cos(4x) 4 0 1

1

1 3 + 18 = 16 = í 18 cos ( 23 ʌ) + 18 cos(0) = í 18 Â í 12 + 18 Â 1 = 16

b cos(2A) = 1 í 2sin2(A) 2sin2(A) = 1 í cos(2A) 1 1 1 2 2 sin (A) = 4 í 4 cos(2A) ʌ

ʌ

ʌ

1ʌ 3

1 ʌ 3

3 1 1 1 1 3 1 ∫ (2 í 2 sin2(x)) dx = ∫ (2 í 4 + 4 cos(2x)) dx = ∫ (14 + 4 cos(2x)) dx = 314 x + 8 sin(2x) 4 1 ʌ 3

= 134 ʌ + 18 sin(2ʌ) í (134 Â 13 ʌ + 18 sin( 23 ʌ)) = 134 ʌ + 0 í

ʌ 1 3ʌ

(127 ʌ + 18 Â 12 冑3 ) = 116 ʌ í 161 冑3

y

26

V x

1 2π

O

1 ʌ 2

1 ʌ 2

I(L) = ʌ ∫ (

f (x))2 dx

0

= ʌ∫ 0

1 2ʌ

sin2 (2x) dx

= ʌ∫ 0

1 ʌ 2

( 12 í 12 cos(4x)) dx = ʌ 3( 12 x í 18 sin(4x))d 0

12

= ʌ (( 14 ʌ í 18 sin(2ʌ)) í (0 í 18 sin(0))) = 14 ʌ2 27

a f (x) = 2sin2(x) + sin(x) í 1 geeft f '(x) = 4 sin(x) cos(x) + cos(x) f '(x) = 0 geeft 4 sin(x) cos(x) + cos(x) = 0 cos(x)(4 sin(x) + 1) = 0 cos(x) = 0 – sin(x) = í 14 x = 12 ʌ + k  ʌ – x = í0,252... + k  2ʌ – x = ʌ í í0,252... + k  2ʌ Dus x = 12 ʌ – x = 112 ʌ – x = 6,03... – x = 3,39...

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 117

x = 12 ʌ geeft f (12 ʌ) = 2sin2 ( 12 ʌ) + sin (12 ʌ) í 1 = 2 Â 12 + 1 í 1 = 2 x = 112 ʌ geeft f (112 ʌ) = 2sin2 (112 ʌ) + sin(112 ʌ) í 1 = 2 Â (í1)2 + í1 í 1 = 0 x = 6,03... geeft f (6,03...) = 2 Â (í 14 ) + í 14 í 1 = í118 2

x = 3,39... geeft f (3,39...) = 2 Â (í 14 ) + í 14 í 1 = í118 2

Dus B f = 3 í118 , 2 4 . b f (x) = 0 geeft 2 sin2(x) + sin(x) í 1 = 0 Stel sin(x) = u. 2u2 + u í 1 = 0 D = 12 í 4  2  í1 = 9 í1 í 3 í1 + 3 1 u= = í1 – u = =2 4 4 sin(x) = í1 – sin(x) = 12 x = 112 ʌ + k  2ʌ – x = 16 ʌ + k  2ʌ – x = 56 ʌ + k  2ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 16 ʌ – x = 56 ʌ – x = 112 ʌ c

d

5 ʌ 6

O(V ) =

∫

5 6ʌ

(2 sin2(x)

1 ʌ 6

+ sin(x) í 1) dx = ∫ (1 í cos(2x) + sin(x) í 1)dx 1 ʌ 6

5 ʌ 6

=

∫

5 ʌ 6

(ícos(2x) + sin(x)) dx = c í 12 sin(2x) í cos(x)d 1

6ʌ

1ʌ 6

= í 12 sin ( 53 ʌ) í cos ( 56 ʌ) í (í 12 sin ( 13 ʌ) í cos ( 16 ʌ)) = í 12 Â í 12 冑3 í í 12 冑3 í (í 12 Â 12 冑3 í 12 冑3 ) = 14 冑3 + 12 冑3 + 14 冑3 + 12 冑3 = 112 冑3 28

f (x) = 0 geeft sin2(x) + sin(x) + 14 = 0

(sin(x) + 12 )2 = 0 sin(x) = í 12 x = í 16 ʌ + k  2ʌ – x = 116 ʌ + k  2ʌ x op 0, 2ʌ geeft x = 116 ʌ – x = 156 ʌ c

d

y ƒ

V

π

O

156 ʌ

12

O(V) =

x

156 ʌ

1 1 1 ∫ ( sin2(x) + sin(x) + ) dx = ∫ ( 2 í 2 cos(2x) + sin(x) + 4 ) dx 1 4

116 ʌ

116 ʌ 156 ʌ

=

2π

∫(

3 4

í 12 cos(2x) + sin(x)) dx =

c3

1 d 4 x í 4 sin(2x) í cos(x)

116 ʌ

156 ʌ 1

16 ʌ

(78 ʌ í 14 sin (213 ʌ) í cos (116 ʌ)) 1 1 1 7 1 1 1 = 11 8 ʌ í 4 Â í 2 冑3 í 2 冑3 í ( 8 ʌ í 4 Â 2 冑3 í í 2 冑3 ) ʌ í 14 sin (323 ʌ) í cos (156 ʌ) í = 11 8

1 1 7 1 1 1 3 = 11 8 ʌ + 8 冑3 í 2 冑3 í 8 ʌ + 8 冑3 í 2 冑3 = 2 ʌ í 4 冑3

118 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

a De evenwichtsstand is 112 en de amplitude is 3. 2ʌ De periode is 1 = 4ʌ.

29

2

í3 < 0, dus dalend door beginpunt (0, 112 ) . y

4 ƒ 3

2 y = 1 12 1

π

O

2π

3π

4π

x

–1

b f (x) = 0 geeft 112 í 3 sin ( 12 x) = 0 sin ( 12 x) = 12 1 2x

= 16 ʌ + k  2ʌ – 12 x = 56 ʌ + k  2ʌ

x = 13 ʌ + k  4ʌ – x = 123 ʌ + k  4ʌ x op 30,4ʌ 4 geeft x = 13 ʌ  x = 1 23 ʌ 123 ʌ

123 ʌ

O(V ) =

∫

(0 í f (x)) dx =

1 3ʌ

1 1 ∫ (í12 + 3 sin ( 2 x)) d x = 1 3ʌ

c í11 x 2

123 ʌ

í 6 cos ( 12 x) d 1

3ʌ

= í212 ʌ í 6 cos(56 ʌ) í (í 12 ʌ í 6 cos (16 ʌ)) = í212 ʌ í 6 Â í 12 冑3 + 12 ʌ + 6 Â 12 冑3 = í2ʌ + 6冑3 c

123 ʌ

123 ʌ

1 3ʌ 123 ʌ

1 3ʌ

I(L) = ʌ ∫ ( f (x))2 dx = ʌ ∫ (112 í 3sin( 12 x)) dx 2

= ʌ∫ (214 í 9 sin( 12 x) + 9 sin2 ( 12 x)) dx 1 3ʌ

123 ʌ

= ʌ ∫ (214 í 9 sin( 12 x) + 9 ( 12 í 12 cos(x))) dx 1 3ʌ

12

123 ʌ

= ʌ ∫ (214 í 9 sin ( 12 x) + 412 í 412 cos(x)) dx 1 ʌ 3

123 ʌ

= ʌ ∫ (634 í 9 sin( 12 x) í 412 cos(x)) dx 1 3ʌ

12 ʌ

= ʌ c634 x + 18 cos ( 12 x) í 412 sin(x)d 13 = ʌ(

+18 cos(

)í

3

ʌ

( ) í ( 94 ʌ + 18 cos( 16 ʌ) í 412 sin( 13 ʌ))) 1 1 1 9 1 1 1 = ʌ (45 4 ʌ + 18 Â í 2 冑3 í 42 Â í 2 冑3 í 4 ʌ í 18 Â 2 冑3 + 42 Â 2 冑3 ) = ʌ (9ʌ í 9冑3 + 214 冑3 í 9冑3 + 214 冑3 ) 45 4 ʌ

5 6ʌ

412

sin 123 ʌ

= 9ʌ2 í 1312 ʌ冑3 © Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 119

12.3 Cirkelbewegingen en trillingen Bladzijde 161 30

a yP = sin(ct) en de periode is 5, dus c =

2ʌ . 5

b formule II Bladzijde 163 31

rc = í1 dus “ MAB = 45° en dus is AB = BM. 4 AM = 4 geeft AB = BM = = 2冑2 冑2 Dus xA = xM í AB = 2 í 2冑2 en yA = yM + BM = 1 + 2冑2. Bladzijde 164

32

a De baan van P is een driekwartcirkel met middelpunt (í1, 3) en straal 2. Op t = 0 is P in (1, 3). P draait linksom. y t = 1 12 π

y=x+4 5

A B

4 t=π M

t=0

3

2 C t = 1 12 π –3

–2

–1

1

O

1

x

b x = 0 geeft í1 + 2 cos(t) = 0 cos(t) = 12 t = 13 ʌ + k  2ʌ – t = í 13 ʌ + k  2ʌ t op c0, 112 ʌ d geeft t = 13 ʌ

12

yA = 3 + 2sin ( 13 ʌ) = 3 + 2  12 冑3 = 3 + 冑3, dus A (0, 3 + 冑3 ) . c Substitutie van x = í1 + 2cos(t) en y = 3 + 2sin(t) in y = x + 4 geeft 3 + 2 sin(t) = í1 + 2cos(t) + 4 2 sin(t) = 2cos(t) sin(t) = cos(t) cos (t í 12 ʌ) = cos(t) t í 12 ʌ = t + k  2ʌ – t í 12 ʌ = ít + k  2ʌ geen opl.

2t = 12 ʌ + k  2ʌ t = 14 ʌ + k  ʌ

t op 30, 112 ʌ4 geeft t = 14 ʌ – t = 114 ʌ t = 14 ʌ geeft xB = í1 + 2cos ( 14 ʌ) = í1 + 2  12 冑2 = í1 + 冑2 en yB = 3 + 2sin ( 14 ʌ) = 3 + 2  12 冑2 = 3 + 冑2. t = 114 ʌ geeft xC = í1 + 2cos (114 ʌ) = í1 + 2  í 12 冑2 = í1 í 冑2 en yC = 3 + 2 sin (114 ʌ) = 3 + 2  í 12 冑2 = 3 í 冑2. Dus B (í1 + 冑2, 3 + 冑2 ) en C (í1 í 冑2, 3 í 冑2 ) . d Voer in y1 = í1 + 2 cos(x) en y2 = í2. Intersect geeft x § 2,09 en x § 4,19. Dus P links van de lijn x = í2 geeft 2,09 < t < 4,19.

120 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

33

34

xP = 5 + 3 cos(2t) yP = 2 + 3sin(2t) b Voer in y1 = 2 + 3 sin(2x). De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x = 1,935... en x = 2,776... 2,776... í 1,935... § 0,84, dus per rondgang bevindt P zich 0,84 seconde onder de x-as.

a

f

a De baan van P is een driekwartcirkel met middelpunt (í 12 , í冑3 ) en straal 2. Op t = 0 is P in (112 , í冑3 ) . P draait linksom. t = 41 π A –2

–1

y O

1

2

x

–1 t = 21 π

M –2

t=0

–3 t = 43 π

b y = 0 geeft í冑3 + 2sin(2t) = 0 sin(2t) = 12 冑3 2t = 13 ʌ + k  2ʌ – 2t = 23 ʌ + k  2ʌ t = 16 ʌ + k  ʌ – t = 13 ʌ + k  ʌ t op 3 0, 34 ʌ 4 geeft t = 16 ʌ – t = 13 ʌ Voor A geldt t = 13 ʌ en dit geeft xA = í 12 + 2cos( 23 ʌ) = í 12 + 2  í 12 = í112 . Dus A (í112 , 0) . c x = í112 geeft í 12 + 2 cos(2t) = í112 2cos(2t) = í1 cos(2t) = í 12 2t = 23 ʌ + k  2ʌ – 2t = í 23 ʌ + k  2ʌ t = 13 ʌ + k  ʌ – t = í 13 ʌ + k  ʌ t op c0, 34 ʌ d geeft t = 13 ʌ – t = 23 ʌ Dus P links van de lijn x = í112 voor 13 ʌ < t < 23 ʌ. d Voer in y1 = í冑3 + sin(2x) en y2 = í2. Intersect geeft x § 1,701. Dus P onder de lijn y = í2 voor 1,71 < t ” 34 ʌ. 35

12

a Substitutie van x = 2 cos(t) en y = 2 sin(t) in y = x + 1 geeft 2 sin(t) = 2 cos(t) + 1. Voer in y1 = 2 sin(x) en y2 = 2 cos(x) + 1. Intersect geeft x § 1,15 en y § 1,82 en x § 3,57 en y § í0,82. Voor t § 1,15 is y § 1,82 en x = y í 1 § 0,82. Voor t § 3,57 is y § í0,82 en x = y í 1 § í1,82. Dit geeft de snijpunten (0,82; 1,82) en (í1,82; í0,82).

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 121

b x = 1 geeft 2cos(t) = 1 cos(t) = 12 t = 13 ʌ + k  2ʌ – t = í 13 ʌ + k  2ʌ De baan ligt rechts van de lijn x = 1 als 2cos(t) > 1, dus als cos(t) > 12 en dit geeft í 13 ʌ < t < 13 ʌ . De baan is de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 2. Dus ligt

2 3ʌ

y 2

1 3

= deel van de cirkel rechts van de lijn x = 1. 2ʌ De lengte van dit deel is 13 Â 2ʌ Â 2 = 113 ʌ. c P(2 cos(t), 2sin(t)) en Q(cos(2t), sin(2t)) geeft PQ2 = (2cos(t) í cos(2t))2 + (2sin(t) í sin(2t))2 = 4 cos2(t) í 4 cos(t) cos(2t) + cos2(2t) + 4 sin2(t) í 4 sin(t) sin(2t) + sin2(2t) = 4cos2(t) + 4 sin2(t) + cos2(2t) + sin2(2t) í 4 cos(t) cos(2t) í 4 sin(t) sin(2t) = 4 + 1 í 4 cos(t) cos(2t) í 4 sin(t) Â 2 sin(t) cos(t) = 5 í 4cos(t)(cos(2t) + 2sin 2(t)) = 5 í 4 cos(t)(1 í 2 sin2(t) + 2sin2(t)) = 5 í 4 cos(t) Dus PQ = 冑5 í 4 cos(t). d Voer in y1 = 冑5 í 4 cos(x) en y2 = 1,5. Intersect geeft x = 0,812... en x § 5,470...

−2

t = 13 π

2

O

−2

x

t = − 13 π x=1

y y1 1

12

O

0,81

π

5,47

2π

x

Dus gedurende 5,47... í 0,812... § 4,66 seconde per rondgang. Bladzijde 165 36

2ʌ 2 = ʌ. 5 5 2ʌ 2 yP = r sin(ct), r = 3 en de periode is 5, dus c = = ʌ. 5 5 b yP' = yP 2 f y = 3sin ( 5 ʌt) yP = 3sin ( 25 ʌt) P'

a xP = r cos(ct), r = 3 en de periode is 5, dus c =

Bladzijde 166 37

50ʌ = 25 Hz. 2ʌ b Per trilling is de afgelegde afstand 4 Â 5 = 20 cm. Er zijn 25 trillingen per seconde, dus per kwartier zijn er 60 Â 15 Â 25 = 22 500 trillingen. De afgelegde afstand in één kwartier is 22 500 Â 20 = 450 000 cm = 4,5 km.

a De frequentie is

Bladzijde 167 12

38

amplitude = 10 geeft b = 10 frequentie = 3 Hz geeft c = 2ʌ Â 3 = 6ʌ 1 Op t = 30 stijgend door de evenwichtsstand, dus

Dus u = 10sin (6ʌt í

39

1 5ʌ

1 30 c

íd=0 1 f  6ʌ í d = 0 c = 6ʌ 30 íd = í 15 ʌ d = 15 ʌ

).

( ( )) ( (

1 2ʌ a xPƎ = xP = bcos(ct) = bsin (ct + 12 ʌ) = bsin c t + c

= bsin c t +

1 ʌ 2c

))

,

dus PƎ voert een harmonische trilling uit.

122 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

b Door de figuur een achtste slag te draaien, zie je dat de projectie van P op de lijn y = x op hetzelfde neerkomt als de projectie van een eenparige cirkelbeweging op de y-as of x-as. Dus de projectie van P op de lijn y = x voert ook een harmonische trilling uit.

y y=x P O

40

a De omtrek van de cirkel met middelpunt P en straal 1,00 m is 2ʌ  1 = 2ʌ m. 10 De lengte van boog BC is  2ʌ § 0,1745 m. 360 A'B b sin(5°) = , dus A'B = sin(5°) 1 BC = 2A'B = 2sin(5°) § 0,1743 m. c b = A'B = sin(5°) § 0,09 c=

2ʌ = T

d T = 2ʌ

2ʌ 2ʌ

l g Å

=

g 9,81 § 3,13 = Ål Å 1

b

x

P

1,00

B

5°

A'

l 1 § 2,01 s, dus de klok geeft ongeveer 1 tik per seconde. = 2ʌ Å 9,81 Åg

Bladzijde 168

41

42

Voer in y1 = 3sin(2x) + 4sin(2x í 16 ʌ) . De optie maximum geeft x § 0,94 en y § 6,77, dus b § 6,77. De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x § 0,15, dus d § 0,15. a c = 500ʌ Voer in y1 = 3sin(500ʌx) + 4sin(500ʌx í 25 ʌ) . De optie maximum geeft x § 0,0015 en y § 5,69, dus b § 5,69. De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x § 0,000466. Dus u = 5,69sin(500ʌ(t í 0,000466)) § 5,69sin(500ʌt í 0,73). Dus u = 5,69sin(500ʌt í 0,73). 500ʌ b De frequentie is = 250 Hz. 2ʌ Het punt legt in 1 seconde 250 Â 4 Â 5,69 = 5690 mm = 5,69 m af . du c = 3 Â 500ʌ cos(500ʌt) + 4 Â 500ʌ cos (500ʌt í 25 ʌ) = 1500ʌ cos(500ʌt) + 2000ʌ cos (500ʌt í 25 ʌ) dt du B R = 1500ʌ cos(0) + 2000ʌ cos (í 25 ʌ) § 6654 dt t = 0 De snelheid op t = 0 is 6654 mm/s = 6654 Â

3600 km/uur § 24 km/uur. 1 000 000

Bladzijde 169 43

44

Voer in y1 = sin(x) + 2 cos(x). De optie maximum geeft x § 0,46 en y § 2,24, dus b § 2,24. De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x § 5,18, dus d § 5,18. Dus u2 = 2,24 sin(t í 5,18).

12

a

2ʌ 2 2ʌ = ʌ en de periode van u = sin(3t) is = ʌ. 2 3 3 2 Het kleinste getal waar een geheel aantal keer ʌ en 3 ʌ in past is 2ʌ. Dus de periode van u1 is 2ʌ. De periode van u = sin(2t) is

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 123

b

2ʌ 1 2ʌ = ʌ en de periode van u = sin(4t) is = ʌ. 2 4 2 Het kleinste getal waar een geheel aantal keer ʌ en 12 ʌ in past is ʌ, dus de periode van u2 is ʌ. De periode van u = sin(2t) =

Bladzijde 170 45

a

u1 = sin(100ʌt)

u2 = sin(101ʌt)

in 30, 2ʌ 4

100ʌ periodes

101ʌ periodes

in 30, 24

100 periodes

101 periodes

Dus de periode van u is 2 seconden. b in 30, 2ʌ 4

u1 = sin(100t)

u2 = sin(101t)

100 periodes

101 periodes

Dus de periode van u is 2ʌ seconden. c

d

u1 = 5sin(100ʌt)

u2 = sin(105ʌt)

in 30, 2ʌ 4

100ʌ periodes

105ʌ periodes

in 30, 25 4

20 periodes

21 periodes

Dus de periode van u is 25 seconden. u1 = 3sin ( 14 ʌt) in 30, 2ʌ 4 in 30, 404

1 4ʌ

u2 = 6 sin( 15 ʌt) 1 5ʌ

periodes

5 periodes

periodes

4 periodes

Dus de periode van u is 40 seconden. 46

u1 = sin(660ʌt)

u2 = sin(661ʌt)

in 30, 2ʌ 4

660ʌ periodes

661ʌ periodes

in 30, 24

660 periodes

661 periodes

Dus de periode van de zweving is 2 seconden.

12

47

1400ʌ = 700 Hz 2ʌ 2100ʌ u3 = 0,3sin(2100ʌt) f= = 1050 Hz 2ʌ 2800ʌ u4 = 0,1sin(2800ʌt) f= = 1400 Hz 2ʌ De frequenties van de boventonen zijn 700 Hz, 1050 Hz en 1400 Hz.

a u2 = 0,2sin(1400ʌ)

b

f=

u1 = 1,5 sin(700ʌt) u2 = 0,2sin(1400ʌt) u3 = 0,3 sin(2100ʌt) u4 = 0,1sin(2800ʌt) in 30, 2ʌ 4 1 4 in 30, 350

De periode van u is

124 Hoofdstuk 12

700ʌ

1400ʌ

2100ʌ

2800ʌ

1

2

3

4

1 350

seconde.

© Noordhoff Uitgevers bv

48

a

u1 = 0,6 sin(500ʌt) u2 = 0,6 sin(550ʌt) in 30, 2ʌ 4

500ʌ periodes

550ʌ periodes

1 4 in 30, 25

10 periodes

11 periodes

De periode van u4 is

1 25

seconde.

1 b Op het GR scherm zie je 112 periode van de zweving, dus Xmax = 112 Â 25 = 0,06. c Voer in y1 = 0,6sin(500ʌx) + 0,6sin(500ʌx í 0,5ʌ). Neem Xmin = 0 en bijvoorbeeld Xmax = 0,01. De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft opeenvolgend x = 0,0005 en x = 0,0025, dus de periode is 0,004. 2ʌ Dit geeft c = = 500ʌ. 0,004 d c = 0,0005 ¶ d = 0,0005 Â 500ʌ = 0,25ʌ c = 500ʌ De optie maximum geeft x = 0,0015 en y = 0,848... dus b § 0,85. Dus u = 0,85 sin(500ʌt í 0,25ʌ).

12.4 Bewegingsvergelijkingen Bladzijde 172 49

a Snijden met de x-as, dus y = 0. y = 0 geeft sin(4t) = 0 4t = k  ʌ t = k  14 ʌ t op 30, 2ʌ 4 geeft t = 0, t = 14 ʌ, t = 12 ʌ, t = 34 ʌ, t = ʌ, t = 114 ʌ, t = 112 ʌ, t = 134 ʌ en t = 2ʌ. Het punt P gaat door de oorsprong voor t = 0, t = ʌ en t = 2ʌ en snijdt de x-as in (í1, 0) voor t = 112 ʌ en in (1, 0) voor t = 12 ʌ. t = 14 ʌ en t = 34 ʌ geven x = sin ( 14 ʌ) = sin (34 ʌ) = 12 冑2, dus xB = 12 冑2. t = 114 ʌ en t = 134 ʌ geven x = sin(114 ʌ) = sin(134 ʌ) = í 12 冑2, dus xA = í 12 冑2. b C is een top, dus yC = 1. y = 1 geeft sin(4t) = 1 4t = 12 ʌ + k  2ʌ t = 18 ʌ + k  12 ʌ t = 18 ʌ geeft x = sin ( 18 ʌ) = 0,3826..., dus xC § 0,383. Bladzijde 174

50

a y = 12 geeft sin(t) = 12 t = 16 ʌ + k  2ʌ – t = 56 ʌ + k  2ʌ t op c 0, 2ʌ d geeft t = 16 ʌ – t = 56 ʌ. t = 16 ʌ geeft x = sin( 13 ʌ) = 12 冑3, dus xD = 12 冑3. t = 56 ʌ geeft x = sin(123 ʌ) = í 12 冑3, dus xC = í 12 冑3.

12

CD = xD í xC = 12 冑3 í í 12 冑3 = 冑3 b De baansnelheid is

0 mv ( 16 ʌ) 0 ĺ

c v ( 16 ʌ) =

=

1 3ʌ

))2 + (cos( 16 ʌ))2 = 冑 (2 Â 12 )2 + ( 12 冑3 )2 = 冑1 + 34 = 冑74 = 12 冑7

() (冑 ) ( 冑 )Â( ) Â (冑 )Â( ) 冑 1

1 2

2

cos(ij) =

冑 (2cos(

1 m 1 3 en r y = 2 = 0 1

1 2

3

1 2 0

1 1 2 1 2 2 2 2 3 0 Dus ij § 40,9°. © Noordhoff Uitgevers bv

=

1 1 + 12 冑3 Â 0 12

+

( 冑3 ) Â 1 1 2

2

=

1 134

冑

Goniometrische formules 125

d x(t) = 0 geeft sin(2t) = 0 2t = k  ʌ t = k  12 ʌ y(t) = 0 geeft sin(t) = 0 t = kÂʌ Dus de baan gaat op 3 0, 2ʌ 4 door de oorsprong voor t = 0, t = ʌ en t = 2ʌ. m

v (0) =

(

2

cos(ij) =

2 1

2 2 í1

2 2 2 2 2 1 í1 Dus ij § 53,1°. 2

51

(

) () ( )Â( ) ( )Â ( ) 冑

) ( )

2cos(2ʌ) 2 2cos(0) 2 m en v (ʌ) = . = = í1 cos(ʌ) 1 cos(0)

=

22

04í1 0 3 0 2 Â 2 + 1 Â í1 0 = = 2 2 2 冑5 Â 冑5 5 + 1 Â 冑2 + (í1)

a y = 1 geeft sin(3t) = 1 3t = 12 ʌ + k  2ʌ t = 16 ʌ + k  23 ʌ 5 t = 6 ʌ geeft A (sin (123 ʌ) , sin(212 ʌ)) = A (í 12 冑3, 1) x = í1 geeft sin(2t) = í1 2t = 112 ʌ + k  2ʌ t = 34 ʌ + k  ʌ 3 t = 4 ʌ geeft B (sin (112 ʌ) , sin (214 ʌ)) = B (í1, 12 冑2 ) b x(t) = sin(2t) en y(t) = sin(3t) substitueren in y = x geeft sin(3t) = sin(2t) 3t = 2t + k  2ʌ – 3t = ʌ í 2t + k  2ʌ t = k  2ʌ – 5t = ʌ + k  2ʌ t = k  2ʌ – t = 15 ʌ + k  25 ʌ t op [0, 2ʌ] geeft t = 0 – t = 15 ʌ – t = 35 ʌ – t = ʌ – t = 125 ʌ – t = 145 ʌ – t = 2ʌ. Bij de oorsprong horen t = 0, t = ʌ en t = 2ʌ. Bij de andere punten horen t = 15 ʌ, t = 35 ʌ, t = 125 ʌ en t = 145 ʌ. c x(t) = 12 geeft sin(2t) = 12 2t = 16 ʌ + k  2ʌ – 2t = 56 ʌ + k  2ʌ 1 5 ʌ + k  ʌ – t = 12 ʌ + kÂʌ t = 12 1 1 5 5 t op 30, 2ʌ4 geeft t = 12 ʌ – t = 112 ʌ – t = 12 ʌ – t = 112 ʌ

y(t) = 12 冑2 geeft sin(3t) = 12 冑2 3t = 14 ʌ + k  2ʌ – 3t = 34 ʌ + k  2ʌ 1 t = 12 ʌ + k  23 ʌ – t = 14 ʌ + k  23 ʌ 1 5 7 ʌ – t = 34 ʌ – t = 112 ʌ – t = 14 ʌ – t = 11 t op 3 0, 2ʌ 4 geeft t = 12 12 ʌ – t = 112 ʌ

12

1 5 Dus voor t = 12 ʌ en t = 112 ʌ passeert P het punt dus de baan snijdt zichzelf in C ( 12 , 12 冑2 ) . d x(t) = sin(2t) geeft x'(t) = 2cos(2t) y(t) = sin(3t) geeft y'(t) = 3cos(3t)

m 0 v (121 ʌ) 0 m

e v (0) =

(

=

冑 (2cos ( ʌ)) 1 6

+ (3cos ( 14 ʌ))2 =

) () ( )Â( ) ( )Â ( ) 冑

(

冑 (2 Â

1 2

冑3 ) 2 + (3 Â 12 冑2 ) 2 = 冑3 + 412 = 冑712 = 12 冑30

) ( )

2cos(0) 2 2cos(2ʌ) 2 m en v (ʌ) = = = 3 í3 3cos(0) 3cos(3ʌ) 2

cos(ij) =

2 3

2 2 í3

2 2 2 2 2 3 í3 Dus ij § 67,4°. 2

126 Hoofdstuk 12

2

( 12 , 12 冑2 ) ,

=

22

0 í5 0 04í9 0 5 = = 2 2 2 + 3 Â 冑2 + (í3) 冑13 Â 冑13 13

© Noordhoff Uitgevers bv

52

a x(t) = sin (t í 16 ʌ) geeft x'(t) = cos(t í 16 ʌ) y(t) = sin(2t) geeft y'(t) = 2cos(2t) De raaklijn is verticaal, dus x'(t) = 0 œ y'(t)  0. Dus cos (t í 16 ʌ) = 0 œ 2 cos(2t)  0 t í 16 ʌ = 12 ʌ + k  ʌ œ cos(2t)  0 t = 23 ʌ + k  ʌ œ 2t  12 ʌ + k  2ʌ t = 23 ʌ + k  ʌ œ t  14 ʌ + k  ʌ t op 30, 2ʌ 4 geeft t = 23 ʌ – t = 123 ʌ. t = 23 ʌ geeft x = sin( 12 ʌ) = 1 en y = sin(113 ʌ) = í 12 冑3, dus A (1, í 12 冑3 ) . b x = 12 geeft sin(t í 16 ʌ) = 12 t í 16 ʌ = 16 ʌ + k  2ʌ – t í 16 ʌ = 56 ʌ + k  2ʌ t = 13 ʌ + k  2ʌ – t = ʌ + k  2ʌ t op [0, 2ʌ] geeft t = 13 ʌ – t = ʌ. y ( 13 ʌ) = sin ( 23 ʌ) = 12 冑3 geeft B ( 12 , 12 冑3 ) y(ʌ) = sin(2ʌ) = 0 geeft C ( 12 , 0) Dus BC = 12 冑3. c x(t) = sin(t í 16 ʌ) en y(t) = sin(2t) substitueren in y = x geeft sin(2t) = sin(t í 16 ʌ) 2t = t í 16 ʌ + k  2ʌ – 2t = ʌ í ( t í 16 ʌ) + k  2ʌ t = í 16 ʌ + k  2ʌ – 2t = ʌ í t + 16 ʌ + k  2ʌ t = í 16 ʌ + k  2ʌ – 3t = 116 ʌ + k  2ʌ 7 t = í 16 ʌ + k  2ʌ – t = 18 ʌ + k  23 ʌ 7 1 t op [0, 2ʌ] geeft t = 156 ʌ – t = 18 ʌ – t = 118 ʌ – t = 113 18 ʌ.

d x(t) = 0 geeft sin(t í 16 ʌ) = 0 t í 16 ʌ = k  ʌ t = 16 ʌ + k  ʌ Dus de baan snijdt zichzelf voor t = 16 ʌ – t = 116 ʌ in (0, 12 冑3 ) .

( ( )Â( ) v ( 2 ʌ) =

m 1

1 1

e

) ()

(

) ()

cos(0) 1 cos(ʌ) í1 m = en v (116 ʌ) = . = 1 1 2cos ( 13 ʌ) 1 2cos(23 ʌ)

í1 = 0, dus de hoek waaronder de baan zichzelf snijdt is 90°. 1

0 mv ( 13 ʌ) 0

=

冑 ( cos (

1 6ʌ

))2 + (2cos ( 23 ʌ))2 = 冑 ( 12 冑3 ) 2 + (2 Â í 12 )2 = 冑34 + 1 = 冑74 = 12 冑7 12

Bladzijde 175 53

a x = 0 geeft sin(2t) = 0 2t = k  ʌ t = k  12 ʌ t = 0 geeft y = sin( 13 ʌ) = 12 冑3 t = 12 ʌ geeft y = sin( 56 ʌ) = 12 t = ʌ geeft y = sin(113 ʌ) = í 12 冑3 t = 112 ʌ geeft y = sin(156 ʌ) = í 12 t = 2ʌ geeft y = sin(213 ʌ) = 12 冑3 Dus A ( 0, 12 冑3 ) , B (0, 12 ) , C (0, í 12 ) en D ( 0, í 12 冑3 ) .

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 127

b x = í 12 geeft sin(2t) = í 12 2t = í 16 ʌ + k  2ʌ – 2t = ʌ + 16 ʌ + k  2ʌ 1 7 t = í 12 ʌ + k  ʌ – t = 12 ʌ + kÂʌ 7 7 11 t op [0, 2ʌ] geeft t = 12 ʌ – t = 11 12 ʌ – t = 112 ʌ – t = 112 ʌ 7 t = 12 ʌ geeft y = sin( 11 12 ʌ) § 0,26 1 1 t = 11 12 ʌ geeft y = sin(14 ʌ) = í 2 冑2 7 t = 112 ʌ geeft y = sin(111 12 ʌ) § í0,26 1 1 t = 111 12 ʌ geeft y = sin(24 ʌ) = 2 冑2

Dus E (í 12 , 12 冑2 ) en H (í 12 , í 12 冑2 ) en dit geeft EH = 12 冑2 í í 12 冑2 = 冑2. c x(t) = sin(2t) geeft xƍ(t) = 2 cos(2t) y(t) = sin(t + 13 ʌ) geeft yƍ(t) = cos(t + 13 ʌ) v ( 2 ʌ) =

m 1

( ) (

) ( )

()

2cos(ʌ) x' ( 12ʌ) 0 í2 m = = 1 en r y-as = . 5 1 cos ( 6 ʌ) í 2冑3 1 y' ( 2 ʌ)

( )() ( ) () 0 í2 Â 1 í 12冑3

2

cos(ij) =

2

í2

2

í 12冑3

2 =

0 2 Â2 1

1 0 í 12 冑3 0 2 冑3 = 2 1 冑(í2)2 + ( í 2 冑3) Â 1 冑4 + 34

=

1 2

冑3

冑4

3 4

Dus ij § 67°.

( 12 冑2 )2 = 冑3 + 12 = 12冑14 t = a geeft x = sin(2a) en y = sin(a + 13 ʌ) , dus T (sin(2a), sin(a + 13 ʌ)) . t = a + ʌ geeft x = sin(2(a + ʌ)) = sin(2a + 2ʌ) = sin(2a) en y = sin(a + ʌ + 13 ʌ) = sin(a + 113 ʌ) , dus U (sin(2a), sin(a + 113 ʌ)) . TU = 0 yT í yU 0 = 0 sin(a + 13 ʌ) í sin(a + 113 ʌ) 0 = 0 sin( a + 13 ʌ) í ísin(a + 13 ʌ) 0 = 0 2sin(a + 13 ʌ) 0

m 0 d 0 v (111 12 ʌ) =

e

54

a

冑 ( 2cos (3 ʌ)) 5 6

t

1 4ʌ

3 4ʌ

114 ʌ

x

1

0

í1

y

1

í1

1

2

+ (cos (214 ʌ))2 =

冑 4 Â ( 冑3 ) 1 2

2

+

px2

+q b y= f p  02 + q = í1 door (0, í1) q = í1 Dus y = px2 í 1 f p  12 í 1 = 1 door (1, 1) p=2 Dus p = 2 en q = í1. 12

Bladzijde 177

55

Substitutie van x = sin (t í 14 ʌ) en y = sin(2t) in y = í2x2 + 1 geeft sin(2t) = í2sin2 (t í 14 ʌ) + 1 sin(2t) = 1 í 2sin2(t í 14 ʌ) sin(2t) = cos(2 (t í 14 ʌ)) sin(2t) = cos(2t í 12 ʌ) sin(2t) = sin(2t í 12 ʌ + 12 ʌ) sin(2t) = sin(2t) Dit klopt voor elke t. x = sin(t í 14 ʌ)

 Bij de parametervoorstelling hoort de formule y = í2x2 + 1 met í1 ” x ” 1.

í1 ” sin(t í 14 ʌ) ” 1 128 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

56

a í2 ” 2sin(t) ” 2, dus í2 ” x ” 2. í1 ” sin(2t í 12 ʌ) ” 1, dus í1 ” y ” 1. Dus de keerpunten zijn (í2, 1) en (2, 1). b Stel K: y = ax2 + b. x = 0 voor t = 0 geeft y = sin(í 12 ʌ) = í1, dus door (0, í1). y = ax2 + b f a  02 + b = í1 door (0, í1) b = í1 y = ax2 í 1 f a  22 í 1 = 1 door (2, 1) 4a = 2 a = 12 Vermoedelijk hoort bij K de formule y = 12 x2 í 1 met í2 ” x ” 2. Substitutie van x = 2 sin(t) en y = sin(2t í 12 ʌ) in y = 12 x2 í 1 geeft sin(2t í 12 ʌ) = 12 (2sin(t))2 í 1 cos(2t í 12 ʌ í 12 ʌ) = 12  4sin 2(t) í 1 cos(2t í ʌ) = 2sin2(t) í 1 cos(2t + ʌ) = í1 + 2sin2(t) ícos(2t) = í(1 í 2sin2(t)) cos(2t) = cos(2t) Dit klopt voor elke t, dus bij K hoort de formule y = 12 x2 í 1 met í2 ” x ” 2.

57

Substitutie van x = sin(t) en y = sin(2t) in y2 = 4x2 í 4x4 geeft sin2(2t) = 4 sin2(t) í 4 sin4(t) (2sin(t) cos(t))2 = 4 sin2(t)(1 í sin2(t)) 4sin2(t) cos2(t) = 4sin2(t) cos2(t) Dit klopt voor elke t. x = sin(t) s ௘Bij de baan van P hoort de formule y2 = 4x2 í 4x2 met í1 ” x ” 1. í1 ” sin(t) ” 1

58

a í1 ” sin(t) ” 1, dus í1 ” x ” 1 í1 ” sin(3t) ” 1, dus í1 ” y ” 1 Dus de keerpunten van K zijn (í1, 1) en (1, í1). b Substitutie van x = sin(t) en y = sin(3t) in y = 3x í 4x3 geeft sin(3t) = 3sin(t) í 4 sin3(t) sin(t + 2t) = 3sin(t) í 4 sin3(t) sin(t)cos(2t) + cos(t) sin(2t) = 3sin(t) í 4sin3(t) sin(t)(1 í 2 sin2(t)) + cos(t)  2sin(t)cos(t) = 3sin(t) í 4sin3(t) sin(t) í 2sin3(t) + 2sin(t)cos2(t) = 3sin(t) í 4sin3(t) sin(t) í 2sin3(t) + 2sin(t)  (1 í sin2(t)) = 3sin(t) í 4sin3(t) sin(t) í 2sin3(t) + 2sin(t) í 2sin3(t) = 3sin(t) í 4sin3(t) 3sin(t) í 4sin3(t) = 3sin(t) í 4sin3(t) Dit klopt voor elke t, dus alle punten van K liggen op de grafiek van y = 3x í 4x3.

59

í2 ” 2cos(t) ” 2, dus í2 ” x ” 2 en dit geeft c = í2 en d = 2. í1 ” cos(3t) ” 1, dus í1 ” y ” 1 Dus de keerpunten zijn (í2, í1) en (2, 1). t = 13 ʌ geeft x = 2 cos( 13 ʌ) = 2  12 = 1 en y = cos(ʌ) = í1, dus door (1, í1). y = ax3 + bx f ௘ a  23 + b  2 = 1 door (2, 1) ௘8a + 2b = 1 y = ax3 + bx f a  13 + b  1 = í1 door (1, í1) a + b = í1 8a + 2b = 1 2 1 2 8a + 2b = 1 geeft f f a + b = í1 2 2a + 2b = í2 í 6a = 3 a = 12 1 f + b = í1 a + b = í1 2 b = í112

12

Vermoedelijk hoort bij de baan van P de formule y = 12 x3 í 112 x met í2 ” x ” 2. © Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 129

Substitutie van x = 2cos(t) en y = cos(3t) in y = 12 x3 í 112 x geeft cos(3t) = 12 (2cos(t))3 í 112  2cos(t) cos(2t + t) = 12  8cos3(t) í 3cos(t) cos(2t)cos(t) í sin(2t) sin(t) = 4cos3(t) í 3cos(t) (2cos2(t) í 1) cos(t) í 2sin(t)cos(t)sin(t) = 4cos3(t) í 3cos(t) 2cos3(t) í cos(t) í 2sin2(t)cos(t) = 4cos3(t) í 3cos(t) 2cos3(t) í cos(t) í 2(1 í cos2(t))cos(t) = 4cos3(t) í 3cos(t) 2cos3(t) í cos(t) í 2cos(t) + 2cos3(t) = 4cos3(t) í 3cos(t) 4cos3(t) í 3cos(t) = 4cos3(t) í 3cos(t) Dit klopt voor elke t, dus bij de baan van P hoort de formule y = 12 x3 í 112 x met í2 ” x ” 2. 60

Noem M het midden van OP. Er geldt MS C OP en MS = OM = 12 OP m

m

m

m

m

m

m

Dus s = m + MS = 12 p + mL = 12 p + 12 p L. Bladzijde 179 61

m

m

m

a t = 12 p + 12 pR = 12

) (

) (

2sin(t) 2sin(2t) sin(t) + sin(2t) + 12 = 2sin(2t) sin(2t) í sin(t) í2sin(t)

)

xT (t) = sin(t) + sin(2t) yT (t) = sin(2t) í sin(t)

Dus f m

(

m

m

m

m

m

b q = a + AQ = a + 12 AP + 12 APR m

m

m

AP = p í a = m

q=

)

2sin(2t) 2 í 2sin(t)

) (

) (

2 2sin(t) í 2 2sin(2t) 2 + sin(t) í 1 + sin(2t) sin(2t) + sin(t) + 1 + 12 + 12 = = 0 2 í 2sin(t) sin(2t) í sin(t) + 1 2sin(2t) sin(2t) + 1 í sin(t)

)

xQ(t) = sin(2t) + sin(t) + 1 yQ(t) = sin(2t) í sin(t) + 1

Dus f m

) () (

2sin(t) 2 2sin(t) í 2 í = 2sin(2t) 0 2sin(2t)

( ) () ( ) (

APR = m

(

m

m

m

m

c r = a + AR = a + AP R = xR(t) = 2 + 2sin(2t) yR(t) = 2 í 2sin(t) d y = 1 geeft 2 í 2sin(t) = 1 í2sin(t) = í1 sin(t) = 12

() (

) (

2 2sin(2t) 2 + 2sin(2t) + = 0 2 í 2sin(t) 2 í 2sin(t)

)

Dus f

t = 16 ʌ + k  2ʌ – t = 56 ʌ + k  2ʌ t = 16 ʌ geeft x = 2 + 2sin ( 13 ʌ) = 2 + 2  12 冑3 = 2 + 冑3 t = 56 ʌ geeft x = 2 + 2sin (123 ʌ) = 2 + 2  í 12 冑3 = 2 í 冑3 Dus de snijpunten zijn (2 + 冑3, 1) en (2 í 冑3, 1) .

12

62

m

m

m

m

m

m

m

a q = a + AP + PQ = a + AP + AP R m

m

m

(

m

AP = p í a APR = m

q=

(

2sin (t í ) í2sin(t) + 4

() (

) () (

2sin(t) 4 2sin(t) í 4 í = 2sin (t í 14 ʌ) 0 2sin (t í 14 ʌ) 1 4ʌ

)

) (

) (

)

4 2sin(t) í 4 2sin(t í 14 ʌ) 2sin(t) + 2sin(t í 14 ʌ) + + = 0 2sin(t í 14 ʌ) 2sin(t í 14 ʌ) í 2sin(t) + 4 í2sin(t) + 4

Dus ¶

)

xQ(t) = 2sin(t) + 2sin (t í 14 ʌ) yQ(t) = 2sin(t í 14 ʌ) í 2sin(t) + 4

130 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

b Voer in y1 = 2sin ( x í 14 ʌ) í 2sin(x) + 4. De optie minimum geeft x = 0,392... en y = 2,469... Het maximum van yP(t) = 2sin (t í 14 ʌ) is 2. Dus het laagste punt van de baan van Q ligt hoger dan het hoogste punt van de baan van P. Bladzijde 180 63

m

m

m

a q = 12 p + 12 p R = 12

(

) (

) (

1 2sin(2t) sin(2t) + sin (t + 14 ʌ) 1 2sin(t + 4 ʌ) + = 2 2sin(t + 14 ʌ) sin(t + 14 ʌ) í sin(2t) í2sin(2t)

)

xQ(t) = sin(2t) + sin(t + 14 ʌ)

Dus ¶

yQ(t) = sin (t + 14 ʌ) í sin(2t)

b xP(t) = 2sin(2t) en yP (t) = 2sin(t + 14 ʌ) substitueren in y = íx geeft 2sin(t + 14 ʌ) = í2sin(2t) sin(t + 14 ʌ) = ísin(2t) sin(t + 14 ʌ) = sin(2t + ʌ) t + 14 ʌ = 2t + ʌ + k  2ʌ – t + 14 ʌ = ʌ í (2t + ʌ) + k  2ʌ ít = 34 ʌ + k  2ʌ – t + 14 ʌ = ʌ í 2t í ʌ + k  2ʌ t = í 34 ʌ + k  2ʌ – 3t = í 14 ʌ + k  2ʌ 1 t = í 34 ʌ + k  2ʌ – t = í 12 ʌ + k  23 ʌ

t op

1 1 d 4 ʌ, 14 ʌ

c

7 geeft t = 12 ʌ – t = 114 ʌ.

7 t = 12 ʌ geeft xP = 2sin(116 ʌ) = 2 Â í 12 = í1 en yP = 2sin(56 ʌ) = 2 Â 12 = 1

t = 114 ʌ geeft xP = 2sin(212 ʌ) = 2  1 = 2 en yP = 2 sin(112 ʌ) = 2  í1 = í2 xQ(t) = sin(2t) + sin(t + 14 ʌ) en yQ(t) = sin (t + 14 ʌ) í sin(2t) substitueren in y = íx geeft sin(t + 14 ʌ) í sin(2t) = ísin(2t) í sin(t + 14 ʌ) 2sin(t + 14 ʌ) = 0 sin(t + 14 ʌ) = 0 t + 14 ʌ = k  ʌ t = í 14 ʌ + k  ʌ t op

c

1 1 d 4 ʌ, 14 ʌ

geeft t = 34 ʌ.

t = 34 ʌ geeft xQ = sin(112 ʌ) + sin(ʌ) = í1 + 0 = í1 en yQ = sin(ʌ) í sin(112 ʌ) = 0 í í1 = 1 Dus het punt (í1, 1) ligt op beide banen. xP(t) = 2sin(2t) geeft xP'(t) = 4cos(2t) yP(t) = 2sin(t + 14 ʌ) geeft yP '(t) = 2cos(t + 14 ʌ)

(

7 v P (12 ʌ) =

m

) (

) ( )

4cos (116 ʌ) 4 Â í 12 冑3 í2冑3 = = 5 1 2cos ( 6 ʌ) 2 Â í 2 冑3 í冑3

xQ(t) = sin(2t) + sin(t + 14 ʌ) geeft xQ ' (t) = 2cos(2t) + cos(t + 14 ʌ)

12

yQ(t) = sin(t + 14 ʌ) í sin(2t) geeft yQ'(t) = cos(t + 14 ʌ) í 2cos(2t) v Q ( 34 ʌ) =

m

(

( 冑冑 )

)(

) ( )

2cos(112 ʌ) + cos(ʌ) 2 Â 0 + í1 í1 = = 1 cos(ʌ) í 2 cos(12 ʌ) í1 í 2 Â 0 í1

( )

í2 3 í1 is niet evenwijdig met , dus de banen raken elkaar niet in het punt (í1, 1). í 3 í1

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 131

64

m

m

m

m

m

(

m

m

a s = a + AS = a + 12 AP + 12 AP R m

m

AP = p í a = m

s =

) () ( ) (

) ) (

(

m 4cos(t) 4 4cos(t) í 4 6sin(t) í geeft AP R = = 6sin(t) 0 6sin(t) 4 í 4cos(t)

() (

)

) (

4 4cos(t) í 4 6sin(t) 4 + 2cos(t) í 2 + 3sin(t) 2 + 3sin(t) + 2cos(t) + 12 + 12 = = 6sin(t) 3sin(t) + 2 í 2cos(t) 0 4 í 4cos(t) 2 + 3sin(t) í 2cos(t)

Dus f

)

xS(t) = 2 + 3sin(t) + 2cos(t) yS(t) = 2 + 3sin(t) í 2cos(t)

b Substitueren van x = 4cos(t) en y = 6sin(t) in 9x2 + 4y2 = 144 geeft 9 Â (4cos(t))2 + 4 Â (6sin(t))2 = 144 9 Â 16cos2(t) + 4 Â 36sin2(t) = 144 144cos2(t) + 144sin2(t) = 144 cos2(t) + sin2(t) = 1 Dit klopt voor elke t, dus bij de baan van P hoort de formule 9x2 + 4y2 = 144. c x = 2 + 3sin(t) + 2cos(t) en y = 2 + 3sin(t) í 2cos(t) substitueren in 9x2 + 4y2 = 144 geeft 9(2 + 3sin(t) + 2cos(t))2 + 4(2 + 3sin(t) í 2cos(t))2 = 144. Voer in y1 = 9(2 + 3sin(x) + 2cos(x))2 + 4(2 + 3sin(x) í 2cos(x))2 en y2 = 144. Intersect geeft x = 2,583... t = 2,583... geeft x = 2 + 3sin(2,583...) + 2cos(2,5683...) § 1,89 en y = 2 + 3sin(2,583...) í 2cos(2,583...) § 5,29. Dus B(1,89; 5,29).

Diagnostische toets Bladzijde 182

1

a sin (3x í 14 ʌ) = cos(2x) cos (3x í 34 ʌ) = cos(2x) 3x í 34 ʌ = 2x + k  2ʌ – 3x í 34 ʌ = í2x + k  2ʌ x = 34 ʌ + k  2ʌ – 5x = 34 ʌ + k  2ʌ 3 x = 34 ʌ + k  2ʌ – x = 20 ʌ + k  25 ʌ 3 19 x op 30, ʌ4 geeft x = 34 ʌ – x = 20 ʌ – x = 11 20 ʌ – x = 20 ʌ

b 2sin2 (2x) = sin(2x) + 1 ísin(2x) = 1 í 2sin2(2x) sin(2x + ʌ) = cos(4x) cos(2x + 12 ʌ) = cos(4x) 2x + 12 ʌ = 4x + k  2ʌ – 2x + 12 ʌ = í4x + k  2ʌ í2x = í 12 ʌ + k  2ʌ – 6x = í 12 ʌ + k  2ʌ 12

1 x = 14 ʌ + k  ʌ – x = í 12 ʌ + k  13 ʌ 7 7 11 x op 30, 2ʌ4 geeft x = 14 ʌ – x = 114 ʌ – x = 12 ʌ – x = 11 12 ʌ – x = 112 ʌ – x = 112 ʌ

c cos( 25 ʌt) = ísin( 16 ʌt) cos(25 ʌt) = sin( 16 ʌt + ʌ) cos( 25 ʌt) = cos(16 ʌt + 12 ʌ) 2 5 ʌt

= 16 ʌt + 12 ʌ + k  2ʌ – 25 ʌt = í 16 ʌt í 12 ʌ + k  2ʌ

7 30 ʌt

= 12 ʌ + k  2ʌ –

17 30 ʌt

= í 12 ʌ + k  2ʌ

9 t = 217 + k  847 – t = í 15 17 + k  317 3 12 t op 30, 104 geeft t = 217 – t = 211 17 – t = 617 – t = 917

132 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

2

a sin(x + 13 ʌ) = 2sin(2x)  cos(2x) sin(x + 13 ʌ) = sin(4x) x + 13 ʌ = 4x + k  2ʌ – x + 13 ʌ = ʌ í 4x + k  2ʌ í3x = í 13 ʌ + k  2ʌ – 5x = 23 ʌ + k  2ʌ 2 x = 19 ʌ + k  23 ʌ – x = 15 ʌ + k  25 ʌ

b sin2(2x) + 14 = cos(4x) sin2(2x) + 14 = 1 í 2sin2(2x) 3sin2(2x) = 34 sin2(2x) = 14 sin(2x) = 12 – sin(2x) = í 12 2x = 16 ʌ + k  2ʌ – 2x = 56 ʌ + k  2ʌ – 2x = í 16 ʌ + k  2ʌ – 2x = 116 ʌ + k  2ʌ 1 5 1 7 x = 12 ʌ + k  ʌ – x = 12 ʌ + k  ʌ – x = í 12 ʌ + k  ʌ – x = 12 ʌ + kÂʌ

3

f (112 ʌ + p) = sin(3ʌ + 2p) + cos(112 ʌ + p) = ísin(2p) + sin( p)

y 1

f (112 ʌ í p) = sin(3ʌ í 2p) + cos(112 ʌ í p) = sin(2p) í sin( p) Er geldt f (112 ʌ + p) + f (112 ʌ í p) = ísin(2p) + sin( p) + sin(2p) í sin( p) = 0.

p

Dus de grafiek van f is puntsymmetrisch in (112 ʌ, 0) . –1

1

12 π – p

ʌ

4

ʌ

ʌ

ʌ

0

0

0

1

O

–1

x

1 21 π + p

I(L) = ʌ ∫ (2sin(x))2 d x = ʌ ∫ 4sin2(x) dx = ʌ ∫ 4 ( 12 í 12 cos(2x)) dx = ʌ ∫ (2 í 2cos(2x)) dx 0

ʌ

= ʌ 32x í sin(2x) 4 0 = ʌ(2ʌ í 0 í (0 í 0)) = 2ʌ2 5

a f (x) = 1 í 2cos2(x) í cos(x) geeft f '(x) = í2  2 cos(x)  ísin(x) + sin(x) = 4sin(x) cos(x) + sin(x) f '(x) = 0 geeft 4sin(x)cos(x) + sin(x) = 0 sin(x)(4cos(x) + 1) = 0 sin(x) = 0 – cos(x) = í 14 x = k  ʌ – cos(x) = í 14 x op 30, ʌ 4 geeft x = 0 – x = ʌ – cos(x) = í 14 y 1 ƒ O

π

x

12

–1

–2

min. is f (0) = 1 í 2 í 1 = í2 cos(x) = í 14 geeft het maximum van 1 í 2 Â (í 14 ) í í 14 = 1 í 18 + 14 = 118 . 2

min. is f (ʌ) = 1 í 2 + 1 = 0 Dus B f = 3 í2, 118 4.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 133

b f (x) = 0 geeft 1 í 2cos2(x) í cos(x) = 0 Stel cos(x) = u. 1 í 2u2 í u = 0 2u2 + u í 1 = 0 D = 12 í 4  2  í1 = 9 í1 í 3 í1 + 3 1 u= = í1 – u = =2 4 4 1 cos(x) = í1 – cos(x) = 2 x = ʌ + k  2ʌ – x = 13 ʌ + k  2ʌ – x = í 13 ʌ + k  2ʌ x op 30, ʌ 4 geeft x = 13 ʌ – x = ʌ ʌ

O(V ) =

∫

1 ʌ 3

ʌ

(1 í 2cos2 (x) í cos(x)) dx = ∫ (ícos(2x) í cos(x)) d x 1 ʌ 3

ʌ

= cí 12 sin(2x) í sin(x)d 1 = í 12 sin(2ʌ) í sin(ʌ) í (í 12 sin( 23 ʌ) í sin(13 ʌ)) 3

ʌ

= 0 í 0 + 12 Â 12 冑3 + 12 冑3 = 34 冑3 6

a De baan is een driekwartcirkel met middelpunt (í1, 0) en straal 4. y

t = 41 π

4 A 3

E

C

2

y=2

1 t = 21 π –5

–4

–3

–2

M –1

t=0 O

1

2

D

3

x

–1

–2

–3

t = 43 π

–4

x=1

12

b x = 1 geeft í1 + 4cos(2t) = 1 4cos(2t) = 2 cos(2t) = 12 2t = 13 ʌ + k  2ʌ – 2t = í 13 ʌ + k  2ʌ t = 16 ʌ + k  ʌ – t = í 16 ʌ + k  ʌ t = 16 ʌ geeft yA = 4sin( 13 ʌ) = 4  12 冑3 = 2冑3 Dus A (1, 2冑3 ) . c In +MCD geldt sin(“M ) = 12 , dus “M = 16 ʌ. Dus “CME = ʌ í 2  16 ʌ = 23 ʌ. Hieruit volgt dat

134 Hoofdstuk 12

2 3ʌ

2ʌ

 2ʌ  4 = 223 ʌ de lengte van de baan boven de lijn y = 2 is.

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 183

a uQ = 3sin ( 13 ʌ(t í 2))

7

b De frequentie is 16 Hz.

4Â3 Â 60 = 120 dm = 12 m af . 6 c uP = uQ geeft 3sin( 13 ʌt) = 3sin( 13 ʌ(t í 2)) Het punt P legt in 1 minuut

sin( 13 ʌt) = sin( 13 ʌt í 23 ʌ) 1 3 ʌt

= 13 ʌt í 23 ʌ + k  2ʌ – 13 ʌt = ʌ í

geen opl.

( 13 ʌt í 23 ʌ) + k  2ʌ

1 3 ʌt

= ʌ í 13 ʌt + 23 ʌ + k  2ʌ

2 3 ʌt

= 123 ʌ + k  2ʌ

t = 212 + k  3 De kleinste waarde van t waarvoor uP = uQ is t = 212 . 8

u1 en u2 hebben dezelfde frequentie, dus c = 8ʌ. Voer in y1 = 0,4 sin(8ʌx) + 0,2 sin(8ʌx í 0,4ʌ). De optie maximum geeft x § 0,08 en y § 0,50. De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x § 0,016. Dus u3 = 0,50 sin(8ʌ(t í 0,016)) = 0,50 sin(8ʌt í 0,39).

9

a

u1 = sin(10t)

u2 = sin(15t)

in 30, 2ʌ 4

10 periodes

15 periodes

in 30, 25 ʌ 4

2 periodes

3 periodes

De periode van u is b

2 5 ʌ seconden.

u1 = 2 sin(450ʌt)

u2 = sin(400ʌt)

in 30, 2ʌ 4

450ʌ periodes

400ʌ periodes

in 30; 0,04 4

9 periodes

8 periodes

De periode van u is 0,04 seconden. 10

a y = í 12 冑3 geeft cos (2t í 13 ʌ) = í 12 冑3 2t í 13 ʌ = 56 ʌ + k  2ʌ – 2t í 13 ʌ = í 56 ʌ + k  2ʌ 2t = 116 ʌ + k  2ʌ – 2t = í 12 ʌ + k  2ʌ 7 t = 12 ʌ + k  ʌ – t = í 14 ʌ + k  ʌ 7 t op 30, 112 ʌ4 geeft t = 12 ʌ – t = 34 ʌ 7 ʌ geeft x = sin(134 ʌ) = í 12 冑2 t = 12

t = 34 ʌ geeft x = sin(214 ʌ) = 12 冑2 Dus AB = 12 冑2 í í 12 冑2 = 冑2.

12

b í1 ” sin(3t) ” 1, dus í1 ” x ” 1 í1 ” cos (2t í 13 ʌ) ” 1, dus í1 ” y ” 1 Dus de keerpunten van K zijn (í1, 1) en (1, 1).

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische formules 135

c x = 0 geeft sin(3t) = 0 3t = k  ʌ t = k  13 ʌ t op c0, 112 ʌ d geeft t = 0 – t = 13 ʌ – t = 23 ʌ – t = ʌ – t = 113 ʌ t = 0 geeft y = cos(í 13 ʌ) = 12 t = 13 ʌ geeft y = cos( 13 ʌ) = 12 t = 23 ʌ geeft y = cos(ʌ) = í1 t = ʌ geeft y = cos(123 ʌ) = 12 t = 113 ʌ geeft y = cos(213 ʌ) = 12 x(t) = sin(3t) geeft x'(t) = 3cos(3t) y(t) = cos(2t í 13 ʌ) geeft y'(t) = í2 sin(2t í 13 ʌ) v ( 3 ʌ) =

m 1

( ) (

)( )

( ) (

) ( )

x' (13 ʌ) 3 Â í1 x'(ʌ) 3 Â í1 í3 í3 m en v (ʌ) = = = = = 1 1 1 冑3 y' ( 3 ʌ) y'(ʌ) í2 Â 2 冑3 í冑3 í2 Â í 2 冑3

0 ( í冑í33 ) Â (冑í33 ) 0 |9 í 3| 6 6 cos(ij) = = = = = 12 冑 冑 12 12 Â 冑(í3) + ( í冑3 ) Â 冑(í3) + (冑3 ) í3 í3 0 ( í冑3 ) 0 Â 0 (冑3 ) 0 2

2

2

2

1 2

Dus ij = 60°. d v ( 23 ʌ) = m

( ) ()

x' (23 ʌ) 3 m geeft 0 v ( 23 ʌ) 0 = 3 = y' ( 23 ʌ) 0

Dus de baansnelheid is 3. m

m

m

m

m

e q = OP + PQ = p + p L = Dus ¶

(

) (

) (

sin(3t) sin(3t) í cos (2t í 13 ʌ) ícos ( 2t í 13 ʌ) + = cos (2t í 13 ʌ) sin(3t) cos(2t í 13 ʌ) + sin(3t)

)

xQ(t) = sin(3t) í cos(2t í 13 ʌ) yQ(t) = cos(2t í 13 ʌ) + sin(3t)

y = 0 geeft cos(2t í 13 ʌ) + sin(3t) = 0 cos(2t í 13 ʌ) = ísin(3t) cos(2t í 13 ʌ) = ícos(3t í 12 ʌ) cos(2t í 13 ʌ) = cos(3t + 12 ʌ) 2t í 13 ʌ = 3t + 12 ʌ + k  2ʌ – 2t í 13 ʌ = í3t í 12 ʌ + k  2ʌ ít = 56 ʌ + k  2ʌ – 5t = í 16 ʌ + k  2ʌ 1 ʌ + k  25 ʌ t = í 56 ʌ + k  2ʌ – t = í 30 23 t op c0, 112 ʌd geeft t = 116 ʌ – t = 11 30 ʌ – t = 30 ʌ

12

1 t = 11 30 ʌ geeft x = sin (110 ʌ) = í0,309... 3 t = 23 30 ʌ geeft x = sin(210 ʌ) = 0,809...

Dus de kleinste waarde is t = 23 30 ʌ.

136 Hoofdstuk 12

© Noordhoff Uitgevers bv

K Voortgezette integraalrekening Voorkennis Afgeleiden en primitieven Bladzijde 186 1

a f (x) = 冑6x + 1 geeft f '(x) = b f (x) =

4

冑2x í 1

3 1 Â6 = 冑6x + 1 2冑6x + 1

1

1

= 4(2x í 1)í2 geeft f '(x) = í 12 Â 4(2x í 1)í12 Â 2 = í

2x + 2 1 Â (2x + 2) = 2 + 2x x + 2x d f (x) = 24x í 1 geeft f '(x) = 24x í 1 Â ln(2) Â 4 = 4 ln(2) Â 24x í 1

c f (x) = ln(x2 + 2x) geeft f '(x) =

4 (2x í 1)冑2x í 1

x2

e f (x) = sin(x2 í x) geeft f '(x) = cos(x2 í x) Â (2x í 1) = (2x í 1) cos(x2 í x) 1 4 f f (x) = tan (4x í 13 ʌ) geeft f'(x) = Â4 = 2 1 2 ( ) ( cos 4x í 3 ʌ cos 4x í 13 ʌ) 2

a f (x) = e x sin(2x) geeft f '(x) = ex sin(2x) + ex  2cos(2x) = (sin(2x) + 2cos(2x))ex 1 (x2 + 1)  x í ln(x)  2x x2 + 1 í 2x2 ln(x) ln(x) b f (x) = 2 geeft f '(x) = = 2 2 x +1 (x2 + 1) x(x2 + 1) 1 c f (x) = 12 x2 ln(x) geeft f '(x) = x ln(x) + 12 x2  x = x ln(x) + 12 x ln(2) 1 2x + 1 d f (x) = = 1 + 2íx geeft f '(x) = 2íx  ln(2)  í1 = íln(2)  x = í x x 2 2 2 2x 1 e f (x) = 2x tan(x) geeft f '(x) = 2tan(x) + 2x  = 2tan(x) + cos 2(x) cos 2(x) 2(2x + 1) 4x + 2 1 2 f f (x) = = = 2冑2x + 1 geeft f '(x) = 2  Â2 = 冑2x + 1 冑2x + 1 冑2x + 1 2冑2x + 1 Bladzijde 187

3

a f (x) = x2 + sin(x) geeft F(x) = 13 x3 í cos(x) + c x2 í 2 1 1 b f (x) = = x í 2xí3 geeft F(x) = ln 0 x 0 + xí2 + c = ln 0 x 0 + 2 + c 3 x x 4 Â 3x 1 x x c f (x) = 4 Â 3 geeft F(x) = 4 Â +c Â3 + c = ln(3) ln(3)

(冑 )

d f (x) = ln

1 2 = ln(2) í ln ( xí2 ) = ln(2) + 12 ln(x) geeft x

F(x) = x ln(2) + 12 (x ln(x) í x) + c = x ln(2) + 12 x ln(x) í 12 x + c e f (x) = 6log(3x) = 6(log(3) + log(x)) = 6log(3) + 6log(x) geeft 6x ln(x) í 6x 6 F(x) = 6 log(3) Â x + (x ln(x) í x) + c = 6x log(3) + +c ln(10) ln(10) 4x í 2x + 1 2x 2íx 2x í 2íx x í 1 + 2íx geeft F(x) 2 f f (x) = í x í + c íx+c = = = 2x ln(2) ln(2) ln(2) 4

1

1

a f (x) = e 2 x í 1 geeft F(x) = 2e 2 x í 1 + c 3 b f (x) = geeft F(x) = 3 Â 12 ln 0 2x í 1 0 + c = 112 ln 0 2x í 1 0 + c 2x í 1 4cos(ʌx) 1 c f (x) = 4sin(ʌx) geeft F(x) = 4 Â Â ícos(ʌx) + c = í +c ʌ ʌ 1 4x + 1 d f (x) = = 12 冑4x + 1 = 12 (4x + 1)2 geeft 冑 2 4x + 1 1 F(x) = 12 Â 14 Â 23 (4x + 1)12 + c = 12 (4x + 1)冑4x + 1 + c 1

e f (x) =

( 12 ) 2x í 3 geeft F(x) = 12 Â

1

ln ( 12 )

1

 ( 12 ) 2x í 3 + c = 2

 ( 12 ) 2x í 3 ln ( 12 )

+c=

( 12 ) 2x í 2 +c ln ( 12 )

f f (x) = 4 ln(x í 1) geeft F(x) = 4((x í 1) ln(x í 1) í (x í 1)) + c = 4(x í 1) ln(x í 1) í 4(x í 1) + c © Noordhoff Uitgevers bv

Voortgezette integraalrekening 137

1 ʌ 3

5

a

∫

1ʌ 3

sin(2x)dx = cí 12 cos(2x)d 1 = í 12 cos( 23 ʌ) + 12 cos( 13 ʌ) = í 12 Â í 12 + 12 Â 12 = 12 6

1 ʌ 6

4

b

∫ 1

e2

c

∫

ʌ

4 6 d x = c6 Â 12 ln 0 2x í 1 0 d = 3ln(7) í 3ln(1) = 3ln(7) 1 2x í 1

10 ln (冑x ) dx = 4

e

e2

∫ e

e2

e2

10 ln (x ) dx = ∫ 212 ln(x)dx = c 212 (x ln(x) í x) d = 1 4

e

e

212 (e2 ln(e2) í e2 í (eln(e) í e)) = 212 (e2  2 í e2 í (e  1 í e)) = 212 e2 4

d

∫ 6e x í3 dx = 1 2

4

1

6 Â 2e 2 x í 3 d = 12eí1 í 12eí3 =

c

0

0

12 12 í e e3

K.1 De substitutiemethode Bladzijde 188 1

a f (x) = sin(x2 + x) geeft f '(x) = cos(x2 + x) Â (2x + 1) = (2x + 1) cos(x2 + x) b G'(x) = (2x + 1)cos(x2 + x), dus G(x) = sin(x2 + x) + 3 is een primitieve van g(x) = (2x + 1) cos(x2 + x). Bladzijde 189

2

a Omdat 3x2 + 14 ' = 2x en 6x = 3 Â 2x lukt het primitiveren van f (x) wel op deze manier. Omdat 3x3 + 14 ' = 3x2 en 6x niet geschreven kan worden als het product van een constante en 3x2 lukt het primitiveren van h(x) niet op deze manier. b Omdat 3x4 + 74' = 4x3 en 10x3 = 212 Â 4x3 lukt het primitiveren van g(x) wel op deze manier. Omdat 3x4 + x 4' = 4x3 + 1 en 10x3 niet geschreven kan worden als het product van een constante en 4x3 + 1 lukt het primitiveren van k(x) niet op deze manier. c 3x4 + x 4' = 4x3 + 1 10x3 + a = 212 (4x3 + 25 a) moet gelijk zijn aan 212 (4x3 + 1), dus 25 a = 1 en dit geeft a = 212 .

3

a 3x2 dx = d(x3 + 5) b 5x4 dx = d(x5 í 3) c cos(2x)dx = d( 12 sin(2x) + ʌ) 1 d dx = d ln(x) x e (5 í 2x)dx = d(5x í x2) f 2cos(4x)dx = d 12 sin(4x)

4

a F(x) = b

∫ 2x(x2 + 4) dx = ∫ (x2 + 4) Â 2x dx = ∫ (x2 + 4) d(x2 + 4) = ∫ u3 du = 14 u4 + c = 14 (x2 + 4)4 + c 3 G(x) = ∫ 6x冑x2 + 1d x = ∫ 3冑x2 + 1 Â 2xd x = ∫ 3冑x2 + 1 d(x2 + 1) = ∫ 3u d u = 1 u1 12 3

3

3

1 2

1 2

+c

= 2(x2 + 1) + c = 2(x2 + 1)冑x2 + 1 + c 112

c H(x) =

∫ 6x2(x3 í 1)

4

dx =

= 25 (x3 í 1)5 + c d J(x) =

∫ 2(x3 í 1)

4

 3x2 dx =

∫ 2(x3 í 1)

4

d(x3 í 1) =

∫ 2u4 d u = 5 u5 + c 2

∫ 3x2 sin(x3 í 1)dx = ∫ sin(x3 í 1) Â 3x2 dx = ∫ sin(x3 í 1)d(x3 í 1) = ∫ sin(u)du

= ícos(u) + c = ícos(x3 í 1) + c 5

∫ (3x í 4)3 dx = 4 Â 3 Â (3x í 4)4 + c = 12 (3x í 4)4 + c 1 F(x) = ∫ (2x í 3)冑2x í 3dx = ∫ (2x í 3)1 dx = 1 Â 12 Â (2x í 3)2 22 1

a F(x) = b

c F(x) =

1

1

1 2

2

1 2

+ c = 15 (2x í 3)2 Â 冑2x í 3 + c

1

∫ 冑1 í x dx = ∫ í4 Â í1 Â 2冑1 í x dx = í4冑1 í x + c

138 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

6x

1

d F(x) =

∫ 3x2 + 2 dx = ∫ 6x  3x2 + 2 dx = ln 0 3x2 + 2 0 + c

e F(x) =

∫ ln(4x + 1)dx = 4 ((4x + 1) ln(4x + 1) í (4x + 1)) + c

f F(x) =

∫ x ln(x2 + 1)dx = ∫ 2 ln(x2 + 1) Â 2x dx = ∫ 2 ln(x2 + 1)d(x2 + 1) = 2 ln(u)du

1

1

1

1

= 12 (uln(u) í u) + c = 12 ((x2 + 1)ln(x2 + 1) í (x2 + 1)) + c Bladzijde 190 6

ln(x) dx = x

∫

b G(x) =

∫ xe íx dx = ∫ í 2 e íx  í2x dx = ∫ í 2 e íx  d(íx2) = ∫ í 2 e u d u = í 2 e u + c = í 2 e íx

c H(x) =

∫ x冑5 í x2 dx = ∫ í 2 冑5 í x2 Â í2x dx = ∫ í 2 冑5 í x2 d(5 í x2) = ∫ í 2 u d u

d J(x) =

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1

2

+c

1 2

1 112 u + c = í 13 (5 í x2)冑5 í x2 + c 112 x

1

1

1

∫ 冑x2 + 1 dx = ∫ 2 Â 冑x2 + 1 Â 2x dx = ∫ 2冑x2 + 1 d(x2 + 1) = ∫ 2冑u d u = 冑u + c = 冑x2 + 1 + c 1

a f (x) = tan(x) = b

∫ ln(x) Â x dx = ∫ ln(x)dln(x) = ∫ udu = 2 u2 + c = 2 ln 2(x) + c

2

= í 12 Â

7

1

a F(x) =

sin(x) 1 = Â sin(x) cos(x) cos(x) sin(x)

1

í1

∫ tan(x)dx = ∫ cos(x) dx = ∫ í1 Â cos(x) Â ísin(x) Â dx = ∫ cos(x) dcos(x)

Bladzijde 191 1 ʌ 6

8

a

∫

tan(2x)dx = c í 12 ln 0 cos(2x) 0 d

0

b

1 ʌ 6

= í 12 ln 0 cos ( 13 ʌ) 0 + 12 ln 0 cos(0) 0 = í 12 ln ( 12 ) + 12 ln(1) = í 12 ln(2í1) + 12 Â 0 = 12 ln(2)

0

1 ʌ 3

1 ʌ 3

= 13 ʌ

1 ʌ 4

1 ʌ 4

= 14 ʌ

∫ sin3(x)dx = ∫ sin2(x) Â sin(x)dx = ∫ í(1 í cos2(x)) Â ísin(x)dx x = 13 ʌ

∫

=

í(1 í

cos2(x))

1 2

 dcos(x) =

x = 14 ʌ

∫

1 2

1 2

(í1 + u2) Â du = c íu + 13 u3 d 1 2

冑2

冑2

1 1 5 冑2 = í 11 = í 12 + 13 Â ( 12 ) í (í 12 冑2 + 13 Â (12 冑2 ) ) = í 12 + 24 + 12 冑2 í 12 24 + 12 冑2 3

1 ʌ 6

c

∫ 0

sin(x) dx = cos3(x) =

9

1 6ʌ

∫ 0

c

3

1 í 3 Â ísin(x)dx = cos (x)

1 í2d 2u

1 2

冑3

1

=

£

1 § 2u2

1 2

冑3

= 1

x = 16 ʌ

∫

x=0

1

冑3

1

冑3

2 2 1 1 í 3 dcos(x) = ∫ í 3 du = ∫ íuí3 du cos (x) u

1

1

1 1 í =2 í1 =1 2 Â 34 2 Â 1 3 2 6

a x = 0 geeft u = 冑0 + 4 = 2 x = 5 geeft u = 冑5 + 4 = 3 b 冑x + 4 = u kwadrateren geeft x + 4 = u2 x = u2 í 4 5

c

u=3

∫ x冑x + 4 dx = ∫ 0

u=2

3

(u2

í 4) Â

ud(u2

í 4) =

∫ 2

3

(u2

í 4)  u  2u du =

∫ (2u4 í 8u2)du = 2

c

2 5 5u

í 83 u3d

3 2

= 25 Â 35 í 83 Â 33 í 25 Â 25 + 83 Â 23 = 9715 í 72 í 1245 + 2113 = 3311 15

© Noordhoff Uitgevers bv

Voortgezette integraalrekening 139

10

a

冑x + 1 = u

kwadrateren geeft x + 1 = u2 x = u2 í 1 3

∫

u=2

x冑x + 1dx =

∫

2

(u2 í 1) Â ud(u2 í 1) =

1

u =1

0

∫ (2u4 í 2u2)du =

c

2 5 5u

í 23 u3 d

1

2 1

( 25 Â 15 í 23 Â 13) = 1245 í 513 í 25 + 23 = 711 15

= 25 Â 25 í 23 Â 23 í b

∫

2

(u2 í 1)  u  2u du =

冑x + 9 = u

kwadrateren geeft x + 9 = u2 x = u2 í 9 7

∫ 0

5x dx = 冑x + 9

u=4

∫

u=3

5(u2 í 9) d(u2 í 9) = u

3 = 10 3 Â 4 í 90 Â 4 í

4

∫ 3

5(u2 í 9) Â 2u d u = u

4

∫ (10u2 í 90)du =

c

10 3 3 u

í 90ud

3

4 3

(103 Â 33 í 90 Â 3) = 21313 í 360 í 90 + 270 = 3313

Bladzijde 192 2

11

a

∫ 1

e2

b

∫ e 1

c

∫ 0

ln2(x) dx = x

2

∫

1 dx = x ln(x) x2 3 dx = e2x

ln2(x)

1

e2

∫ e

1 Â x dx =

1 1 Â dx = ln(x) x

x=2

∫

=

x =1

∫

∫

u 2 du =

x=e

1 dln(x) = ln(x)

2

3

∫

ln(2) 0

1

= 13 ln3(2)

2

1

í2

í 16 Â eí2x d í2x3 = 3

x=0

0

1 3d 3u

∫ u du = 3ln 0 u 0 4 1 = ln(2) í ln(1) = ln(2)

x =1

í 16  eí2x  í6x2 dx =

c

0

x = e2

1

∫

ln(2)

ln2(x)d ln(x)

∫ í 6 e u du = 1

í 16 eu d

c

0

í2 0

= í 16 eí2 + 16 e0

e2 í 1 1 = í 2 + 16 = 6e 6e2 12

a

cos(x)

1

1

1

1

∫ sin2(x) dx = ∫ sin2(x) Â cos(x)dx = ∫ sin2(x) dsin(x) = ∫ u2 du = ∫ uí2 du = íuí1 + c = í u + c =í f (x) = cos(x) í

b G(x) = =

1 +c sin(x)

cos(x) 1 geeft F(x) = sin(x) + +c 2 sin(x) sin (x) 2

∫ sin5(x)dx = ∫ ísin4(x) Â ísin(x)dx = ∫ í(sin2(x))

d cos(x) =

2

∫ í(1 í cos2(x))

2

d cos(x)

∫ í(1 í u2) d u = ∫ í(1 í 2u2 + u4)d u = ∫ (í1 + 2u2 í u4)d u = íu + 3 u3 í 5 u5 + c 2

1

= í 15 u5 + 23 u3 í u + c = í 15 cos5(x) + 23 cos3(x) í cos(x) + c 13

a f (x) = 0 geeft

2 + ln(x) =0 x 2 + ln(x) = 0 ln(x) = í2 x = eí2

e

O(V ) =

2 + ln(x) ∫í2 x dx = e

e

1 ∫í2 (2 + ln(x))  x dx = e

x=e

∫

x = eí2

1

(2 + ln(x))d ln(x) =

∫ (2 + u)du í2

1

= c 2u + 12 u2d = 2 + 12 í (í4 + 2) = 412 í2

140 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

p

b

∫ 1

2 + ln(x) dx = x

2ln( p) + 12 ln2(p)

p

∫ 1

1 (2 + ln(x)) Â dx = x

x=p

∫

ln(p)

∫

(2 + ln(x))d ln(x) =

x=1

(2 + u)du = c 2u + 12 u2 d

0

ln(p) 0

=

p

∫ f (x)dx = 6 geeft 2 ln(p) + 2 ln2(p) = 6 1

1

ln2( p) + 4 ln( p) í 12 = 0 (ln( p) í 2)(ln( p) + 6) = 0 ln( p) = 2 – ln( p) = í6 p = e2 – p = eí6 vold. vold. niet Dus p = e2. 14

a f (x) = g(x) geeft

4ln2(x) 1 = x x 4ln2(x) = 1 ln2(x) = 14

y

ln(x) = 12 – ln(x) = í 12 1

ƒ

1

x = e 2 – x = eí 2 1 x = 冑e – x = 冑e

g

1 f (x) ” g(x) geeft ” x ” 冑e 冑e 冑e

b O(V) =

∫

冑e

(g(x) í f (x))dx =

∫ 1

1

冑e

O

(

)

1 4ln2(x) dx = í x x

∫1

x=

15

a f (x) =

1 2

(1 í

x

e

1

∫ (1 í 4 ln2(x)) Â x dx 1

冑e

冑e

x = 冑e

=

冑e

1 e

4 ln 2(x))d ln(x)

=

∫

1 2

(1 í 4u2)du = c u í 43 u3 d 1 = 12 í 43 Â 18 í (í 12 í 43 Â í 18 ) = 12 í í2

í 12

冑e

1 6

+

1 2

í

1 6

= 23

(x3 + 4) Â 6x í 3x2 Â 3x2 6x4 + 24x í 9x4 í3x4 + 24x 3x2 geeft f '(x) = = = 2 2 x3 + 4 (x3 + 4)2 (x3 + 4) (x3 + 4)

f '(x) = 0 geeft í3x4 + 24x = 0 í3x(x3 í 8) = 0 x = 0 – x3 = 8 x=0–x=2 x3 + 4 = 0 x3 = í4 3 x =冑 í4 y

ƒ O

2

x

x = 3 −4

min. is f(0) = 0 max. is f(2) = 1 f(x) = p heeft drie oplossingen voor 0 < p < 1. © Noordhoff Uitgevers bv

Voortgezette integraalrekening 141

p

b

∫ 0

3x2 dx = x3 + 4

p

∫ 0

1 Â 3x2 dx = 3 x +4

x=p

∫

x=0

1 d(x3 + 4) = 3 x +4

p3 + 4

∫ 4

1 p3 + 4 = ln(p3 + 4) í ln(4) du = 3ln 0 u 0 4 4 u

p

∫ f (x)dx = 2 geeft ln(p3 + 4) í ln(4) = 2 0

(

ln

)

p3 + 4 =2 4

p3 + 4 = e2 4 p3 + 4 = 4e2 p3 = 4e2 í 4 3 4e2 í 4 p =冑 Bladzijde 193

16

a ln(bt + 1) a h(t) = geeft h'(t) = bt + 1 h'(2) = 0 geeft

Dus b § 0,86.

4

∫

4

h(t)dt =

0

t=4

1 Â b í a ln(bt + 1) Â b ab í ab ln(bt + 1) bt + 1 = (bt + 1)2 (bt + 1)2

ab í ab ln(2b + 1) =0 (2b + 1)2 ab í ab ln(2b + 1) = 0 ab(1 í ln(2b + 1)) = 0 ab = 0 – 1 í ln(2b + 1) = 0 vold. niet ln(2b + 1) = 1 2b + 1 = e 2b = e í 1 e í1 b= = 0,859... 2

b b = 0,86 geeft h(t) = H(4) =

(bt + 1) Â a Â

∫ 0

a ln(0,86t + 1) 0,86t + 1 a ln(0,86t + 1) dt = 0,86t + 1

4

1

∫ a ln(0,86t + 1) Â 0,86t + 1 dt = 0

ln(4,44)

1

∫ a  0,86  ln(0,86t + 1)d ln(0,86t + 1) = ∫

t=0 1

B2

Â

0

a  u du = 0,86

ln(4,44) a a = Â u 2R Â ln2(4,44) í 0 = 1,291...a 0,86 1,72 0

H(4) = 230 000 geeft 1,291...a = 230 000 a § 178 000 c Het maximale debiet is h(2) = 1

d H(1) =

1

∫ h(t)dt = ∫ 0

= £12 Â

0

178 000ln(0,86 Â 2 + 1) § 65 500 m3 /uur. 0,86 Â 2 + 1

178 000 ln(0,86t + 1) dt = 0,86t + 1

178 000 2 Âu § 0,86

ln(1,86)

= 0

t=1

∫

t=0

178 000 Â ln(0,86t + 1)d ln(0,86t + 1) 0,86

89 000 2 ln (1,86) í 0 = 39 854,9... 0,86

Dus er is 40 000 m3 weggestroomd.

142 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

K.2 Partieel integreren Bladzijde 195 17

a k(x) = (2x + 3) sin(x) differentiëren met de productregel geeft k'(x) = 2sin(x) + (2x + 3) cos(x). Dus is k geen primitieve van h. b Het linker- en rechterlid van de vergelijking (2x + 3) cos(x) = k'(x) í 2sin(x) integreren geeft

c

∫ (2x + 3) cos(x)dx = ∫ (k'(x) í 2sin(x))dx ∫ (2x + 3) cos(x)dx = (2x + 3) sin(x) í ∫ 2sin(x)dx. H(x) = ∫ (2x + 3) cos(x)dx = (2x + 3) sin(x) í ∫ 2sin(x)dx = (2x + 3) sin(x) + 2cos(x) + c

Bladzijde 197 18

∫ x sin(x)dx = ∫ sin(x)d 2 x2 = 2 x2 sin(x) í ∫ 2 x2 cos(x)dx = ... 1

1

1

Het wordt op deze manier alleen maar ingewikkelder. 19

∫ xe2x dx = ∫ xd 2 e2x = x  2 e2x í ∫ 2 e2x dx = 2 xe2x í 4 e2x + c F(x) = ∫ 2x cos(x)dx = ∫ 2x d sin(x) = 2x sin(x) í ∫ sin(x) d2x = 2x sin(x) í ∫ 2 sin(x)dx 1

a F(x) = b

1

1

1

1

= 2x sin(x) + 2 cos(x) + c

20

1

d

∫ x ln(x)dx = ∫ ln(x)d 2 x2 = 2 x2 ln(x) í ∫ 2 x2 dln(x) = 2 x2 ln(x) í ∫ 2 x2 x dx = 12 x2 ln(x) í ∫ 12 xdx = 12 x2 ln(x) í 14 x2 + c 1 1 1 1 1 1 ∫ x3 ln(x)dx = ∫ ln(x)d 4 x4 = 4 x4 ln(x) í ∫ 4 x4 d ln(x) = 4 x4 ln(x) í ∫ 4 x4 Â x dx = 1 4 1 3 1 4 1 4 4 x ln(x) í ∫ 4 x dx = 4 x ln(x) í 16 x + c 1 4 Dus F(x) = ∫ (x3 ln(x) + 3)dx = 14 x4 ln(x) í 16 x + 3x + c.

a

∫ 2xex + 1 dx = ∫ 2xdex + 1 = 2xex + 1 í ∫ ex + 1 d2x = 2xex + 1 í ∫ ex + 1 Â 2dx = 2xex + 1 í 2ex + 1 + c

1

c F(x) =

1

1

1

1

1 1

∫ 2xe x + 1dx = 32xex + 1 í 2ex + 1 4 0 = 2e2 í 2e2 í (0 í 2e) = 2e 0

b

∫ (3x + 1)sin(x)dx = ∫ í(3x + 1)d cos(x) = í(3x + 1) cos(x) í ∫ ícos(x)d(3x + 1) = í(3x + 1)cos(x) + ∫ 3cos(x)d x = í(3x + 1)cos(x) + 3sin(x) + c ʌ ʌ

∫ (3x + 1)sin(x)dx = 3 í(3x + 1)cos(x) + 3sin(x) 4 0 = 0

í(3ʌ + 1)cos(ʌ) + 3sin(ʌ) í (ícos(0) + 3sin(0)) = 3ʌ + 1 + 1 = 3ʌ + 2 1

∫ ln(x)dx = x ln(x) í ∫ x d ln(x) = x ln(x) í ∫ x  x dx = x ln(x) í ∫ 1dx = x ln(x) í x + c

21

F(x) =

22

a f (x) = x2 ln(x) geeft f '(x) = 2x ln(x) + x2 Â

1 = 2x ln(x) + x x

f '(x) = 0 geeft 2x ln(x) + x = 0 x(2ln(x) + 1) = 0 x = 0 – 2 ln(x) + 1 = 0 x = 0 – ln(x) = í 12 1 x = 0 – x = eí2 vold. niet vold. 1 1 2 f (eí2 ) = (eí2)  í 12 = í 12 eí1 1 1 1 Dus A = (eí2 , í 12 eí1) = ,í . 冑e 2e

(

e

b O(V) =

∫

)

x=e

x2 ln(x)dx =

=

c

e 1 3 d 3 x ln(x) 1

x=e

í

∫

1 3 3 x dln(x)

x =1 x =1 e e e 1 1 3 1 3d 1 3 1 2 c x 3 ln(x)d í c c c d 3 3 x d x = 3 x ln(x) 1 í 9 x 1 = 3 x ln(x) 1 1 1 3 1 3 1 1 2 3 1 e ln(e) í e í 3 9 3 ln(1) í 9 = 9 e + 9 1

=

∫

ln(x) d 13 x3 =

© Noordhoff Uitgevers bv

e

∫

(

=

í

c

1 3 d 3 x ln(x)

1 3d 9x

e 1

e

í

1

∫ 3 x 3 Â x dx 1

1

e 1

)

Voortgezette integraalrekening 143

23

1 x2 Â í ln(x) Â 2x ln(x) x í 2x ln(x) 1 í 2ln(x) x a f (x) = 2 geeft f '(x) = = = 4 x x x4 x3 f '(x) = 0 geeft 1 í 2ln(x) = 0 ln(x) = 12 1

x = e2 x = 冑e y 1 2e

ƒ 1

O

max. is f (冑e ) =

1 2

=

(冑e )2

1 2

e

=

1 2e

1 R 2e

B f = hk , e

b O(V ) =

x

e

ln(x) dx = x2

∫ 1

1 = í ln(x) x Š

e

∫

e 1

∫

x=e

e

ln(x)d(íxí1) = 3 íxí1 ln(x) 4 1 í

x =1

1

e

+

¥

x=e

ln(x) Â xí2 dx =

∫ 1

ln(x) 1 1 dx = í  x x x Š

∫ íxí1 d ln(x)

x =1 e

e ¥

1

+

∫ 1

x í2 dx = í Š

ln(x) x

e ¥

1

e

+ 3 íxí1 4 1 = í Š

ln(x) 1 í x x

e ¥

1

1 1 2 = í í í (0 í 1) = í + 1 e e e Bladzijde 198 24

a b c

∫ x2 ex dx = ∫ x2 dex = x2 ex í ∫ e x dx2 = x2 ex í ∫ ex  2x dx = x2 ex í ∫ 2xe x dx ∫ 2xex dx = ∫ 2xdex = 2xex í ∫ ex d2x = 2xex í ∫ ex  2dx = 2xex í 2ex + c ∫ x2 ex dx = ∫ x2 dex = x2 ex í ∫ 2xex dx = x2 ex í (2xex í 2ex + c) = x2 ex í 2xex + 2ex + c = (x2 í 2x + 2)ex + c

Bladzijde 199 25

∫ ex sin(x)dx = ∫ sin(x)dex = ex sin(x) í ∫ ex d sin(x) = ex sin(x) í ∫ ex  cos(x)dx = ex sin(x) í ∫ cos(x)dex = ex sin(x) í (ex cos(x) í ∫ ex dcos(x)) = ex sin(x) í ex cos(x) í ∫ ex  sin(x)dx Uit ∫ ex sin(x)dx = ex sin(x) í ex cos(x) í ∫ ex sin(x)dx volgt 2 ∫ e x sin(x)dx = ex sin(x) í ex cos(x) dus ∫ ex sin(x)dx = 12 ex sin(x) í 12 ex cos(x). De primitieven zijn G(x) = 12 ex(sin(x) í cos(x)) + c.

26

∫ 4 x2 cos(x)dx = ∫ 4 x2 d sin(x) = 4 x2 sin(x) í ∫ sin(x)d 4 x2 = 4 x2 sin(x) í ∫ 2 x sin(x)dx = 14 x2 sin(x) + ∫ 12 xdcos(x) = 14 x2 sin(x) + 12 xcos(x) í ∫ cos(x)d 12 x = 14 x2 sin(x) + 12 x cos(x) í ∫ 12 cos(x)dx = 14 x2 sin(x) + 12 xcos(x) í 12 sin(x) + c

a F(x) =

1

144 Voortgezette integraalrekening

1

1

1

1

1

© Noordhoff Uitgevers bv

b

∫ eíx cos(x)dx = ∫ ícos(x)deíx = ícos(x)eíx + ∫ eíx dcos(x) = ícos(x)eíx í ∫ eíx sin(x)dx = ícos(x)eíx + ∫ sin(x)deíx = ícos(x)eíx + sin(x)eíx í ∫ eíxdsin(x) = ícos(x)eíx + sin(x)eíx í ∫ eíx cos(x)dx Uit ∫ e íx cos(x)dx = ícos(x)eíx + sin(x)eíx í ∫ eíx cos(x)dx volgt 2 ∫ eíx cos(x)d x = ícos(x)eíx + sin(x)eíx dus ∫ eíx cos(x) dx = 12 eíx(sin(x) í cos(x)). De primitieven zijn G(x) = 12 eíx(sin(x) í cos(x)) + c.

c

∫ e2x sin(x)dx = ∫ e2x d(ícos(x)) = ícos(x)e2x + ∫ cos(x)de2x = ícos(x)e2x + ∫ cos(x) Â 2e2x dx = ícos(x)e2x + ∫ 2e2x dsin(x) = ícos(x)e2x + 2e2x sin(x) í ∫ sin(x)d2e2x = ícos(x)e2x + 2e2x sin(x) í ∫ 4e2x sin(x)dx = ícos(x)e2x + 2e2x sin(x) í 4 ∫ e2x sin(x)d x Uit ∫ e2x sin(x)dx = ícos(x)e2x + 2e2x sin(x) í 4 ∫ e2x sin(x)dx volgt 5 ∫ e2x sin(x)dx = ícos(x)e2x + 2e2x sin(x) dus ∫ e2x sin(x)dx = í 15 cos(x)e2x + 25 e2x sin(x).

De primitieven zijn H(x) = 25 e2x sin(x) í 15 cos(x)e2x + c = 15 e2x(2sin(x) í cos(x)) + c. 1 d K(x) = ∫ ln2(x)dx = x ln2(x) í ∫ xd ln2(x) = xln2(x) í ∫ x  2ln(x)  dx = x ln2(x) í x = x ln2(x) í 2(x ln(x) í x) + c = x ln2(x) í 2x ln(x) + 2x + c 27

a

∫ 2ln(x)dx

∫ (x2 í x)ex dx = ∫ (x2 í x)dex = (x2 í x)ex í ∫ ex d(x2 í x) = (x2 í x)ex í ∫ (2x í 1)ex dx = (x2 í x)ex í ∫ (2x í 1)dex = (x2 í x)ex í (2x í 1)ex + ∫ ex d(2x í 1) = (x2 í x)ex í (2x í 1)ex + ∫ 2ex d x = (x2 í x)ex í (2x í 1)ex + 2ex = (x2 í 3x + 3)ex + c 3 3

∫ (x2 í x)ex d x = 3(x2 í 3x + 3)ex 4 1 = (9 í 9 + 3)e3 í (1 í 3 + 3)e1 = 3e3 í e 1

b

1

1

= 12 x2 ln2(x) í

e

∫ xln2(x)d x = 1

c

1 2 2 2 x ln (x)

1

1

1

∫ xln(x)dx = 2 x2 ln2(x) í ∫ ln(x)d 2 x2 = 2 x2 ln2(x) í 2 x2 ln(x) + ∫ 2 x2 dln(x)

= 12 x2 ln2(x) í 12 x2 ln(x) +

28

1

∫ x ln2(x)dx = ∫ ln2(x)d2 x2 = 2 x2 ln2(x) í ∫ 2 x2 d ln2(x) = 2 x2 ln2(x) í ∫ 2 x2 Â 2ln(x) Â x dx 1

1

1

1

1

1

∫ 2 x2 Â x dx = 2 x2 ln2(x) í 2 x2 ln(x) + ∫ 2 xdx = 2 x2 ln2(x) í 2 x2 ln(x) + 4 x2 + c 1

1

1

1

e

í 12 x2 ln(x) + 14 x2 d = 12 e2 ln2(e) í 12 e2 ln(e) + 14 e2 í 1

1

1

1

( 12 ln2(1) í 12 ln(1) + 14)

= 14 e2 í 14

a f (x) = (2x2 + x í 1)ex geeft f '(x) = (4x + 1)e x + (2x2 + x í 1)ex = (2x2 + 5x)ex f '(x) = 0 geeft (2x2 + 5x)ex = 0 2x2 + 5x = 0 x(2x + 5) = 0 x = 0 – x = í212 1 9 max. is f (í212 ) = (2  614 í 212 í 1) eí22 = 2 e 冑e min. is f (0) = í1 b f (x) = 0 geeft (2x2 + x í 1)ex = 0 2x2 + x í 1 = 0 D = 1 í 4  2  í1 = 9 í1 + 3 1 í1 í 3 x= =2 –x= = í1 4 4 ∫ (2x2 + x í 1)e xdx = ∫ (2x2 + x í 1)de x = (2x2 + x í 1)ex í ∫ ex d(2x2 + x í 1) =

∫ (4x + 1)e x dx = (2x2 + x í 1)ex í ∫ (4x + 1)dex = (2x2 + x í 1)ex í (4x + 1)e x + ∫ ex d(4x + 1) = (2x2 + x í 1)ex í (4x + 1)ex + ∫ 4ex dx = (2x2 + x í 1)ex í

(2x2 + x í 1)ex í (4x + 1)ex + 4ex = (2x2 í 3x í 2)ex + c 1 2

O(V ) =

∫

1

(2x2 + x í 1)e x dx = 3(2x2 í 3x + 2)ex 4 2í1 =

í1

© Noordhoff Uitgevers bv

( 12 í 112 + 2) e

1 2

í (2 + 3 + 2)eí1 = 冑e í

7 e Voortgezette integraalrekening 145

29

a f (x) = 0 geeft ln2(x) = 0 ln(x) = 0 x=1 y

ƒ

∫

V

1

O

ln2(x) dx = 冑x

x

e

1

∫ 2ln2(x) Â 2冑x dx = ∫ 2 ln2(x)d冑x = 2ln2(x) Â 冑x í ∫ 冑x d 2ln2(x)

= 2ln2(x) Â 冑x í

1

∫ 冑x  4ln(x)  x dx = 2ln2(x)  冑x í ∫ 4ln(x)  x í dx = 2ln2(x)  冑x í ∫ 8ln(x)dx

= 2ln2(x) Â 冑x í 8ln(x)冑x +

1 2

∫ x d8ln(x) = 2ln2(x) Â 冑x í 8ln(x)冑x + ∫ x = 2ln2(x) Â 冑x í 8ln(x)冑x + ∫ 8xí dx = 2ln2(x) Â 冑x í 8ln(x)冑x + 16x 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

8

 x dx

= 2ln2(x) Â 冑x í 8ln(x)冑x + 16冑x + c e

O(V ) =

∫ 1

ln2(x) e dx = 32ln2(x) Â 冑x í 8ln(x)冑x + 16冑x 4 1 冑x

= 2ln2(e) Â 冑e í 8ln(e)冑e + 16冑e í (2ln2(1) í 8ln(1) + 16) = 2冑e í 8冑e + 16冑e í 16 = 10冑e í 16 e

b I(L) = ʌ ∫ 1

e

x=e

u =1

1

x =1

u=0

1 ln4(x) 1 dx = ʌ ∫ ln4(x) Â dx = ʌ ∫ ln4(x)d ln(x) = ʌ ∫ u4 du = ʌ c 15 u5 d = 15 ʌ x x 0

K.3 Cyclometrische functies Bladzijde 201 1

30

∫ 0

1 dx = x2 + 1

t = 14 ʌ

∫

t=0

1 dtan(t) = tan2(t) + 1

1 ʌ 4

∫ 0

1 Â (tan2(t) + 1)dt = tan2(t) + 1

1 ʌ 4

1 ʌ 4

∫ 1dt = 3 t 4 0

= 14 ʌ

0

Bladzijde 203 31

a Het bereik van f (x) = arctan(x) is í 12 ʌ, 12 ʌ ­. 116 ʌ zit niet in het bereik, dus arctan ( 13 冑3 )  116 ʌ. b

32

33

冑3 > 12 ʌ, dus de vergelijking arctan(x) = 冑3 heeft geen oplossing. x

í冑3

í1

í 13 冑3

arctan(x)

í 13 ʌ

í 14 ʌ

í 16 ʌ

0 0

1 3

冑3

1 6ʌ

1

冑3

1 4ʌ

1 3ʌ

a arctan(x) = 13 ʌ

c arctan(x2 í 1) = 14 ʌ

x = tan ( 13 ʌ)

x2 í 1 = tan ( 14 ʌ) x2 í 1 = 1 x2 = 2 x = 冑2 – x = í冑2 d arctan(x) = 23 ʌ

x = 冑3 b arctan(x í 2) = í 14 ʌ x í 2 = tan (í 14 ʌ) x í 2 = í1 x=1

146 Voortgezette integraalrekening

geen oplossing, want 23 ʌ > 12 ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

d arctan(x) = 23 ʌ

f arctan(x2 í 1) = 1 x2 í 1 = tan(1) x2 í 1 = 1,557... x2 = 2,557... x = 冑2,557... – x = í冑2,557... x § 1,599 – x = í1,599

geen oplossing, want 23 ʌ > 12 ʌ e arctan(x) = 冑2 x = tan(冑2) x § 6,334

34

1

1 4 = 2 +1 x +4 ( ) +1 4 1 1 1 b g(x) = arctan(x í 2) geeft g'(x) = = = (x í 2)2 + 1 x2 í 4x + 4 + 1 x2 í 4x + 5 2x 1 c h(x) = arctan(x2) geeft h'(x) = 2 2 Â 2x = 4 (x ) + 1 x +1

a f (x) = 2 arctan ( 12 x) geeft f '(x) = 2 Â

 12 = 1

1 2 2x

x2

Bladzijde 204 冑3 35

∫

a

í 13 冑3 í1

b

冑3 1 dx = 3arctan(x) 4 í1 冑3 = arctan (冑3 ) í arctan (í 13 冑3 ) = 13 ʌ í í 16 ʌ = 12 ʌ 3 +1

1

∫ (x + 1)2 + 1 dx = 3arctan(x + 1) 4 í2 = arctan(0) í arctan(í1) = 0 í í 4 ʌ = 4 ʌ í2 冑3

1 3

c

x2

∫ 0

í1

1

冑3

x = 1 冑3

0

x=0

3 3 3 d x dx = = ∫ 2 9x + 1 (3x)2 + 1

1

36

22 10 = = x2 + 4 14 x2 + 1

a f (x) =

1

3

∫

1

1 1 3 冑3 3arctan(3x) 4 d 3x = arctan (冑3 ) í arctan(0) = 13 ʌ í 0 = 13 ʌ = 2 0 (3x) + 1

212

( 12 x)2 + 1

Dus a = 212 en b = 12 . 1 b F(x) = 1 Â 212 arctan (12 x) + c = 5arctan ( 12 x) + c 2

Bladzijde 205 37

12

12

a F(x) =

∫ 16x2 + 1 dx = ∫ (4x)2 + 1 d x = 4 Â 12 Â arctan(4x) + c = 3arctan(4x) + c

b G(x) =

∫ x2 + 4 dx = ∫ 14 x2 + 1 dx = ∫ ( 12 x)2 + 1 dx = 2arctan (2 x) + c

c H(x) =

∫ x2 + 6x + 10 dx = ∫ (x + 3)2 í 9 + 10 dx = ∫ (x + 3)2 + 1 dx = 5arctan(x + 3) + c

4

1

1

5

∫

d J(x) = =

3 dx = 2 x + 4x + 13

∫

∫ ( 1 (x + 2)) 2 + 1 dx = arctan (

38

a

∫ 0

1

∫ 0

1 1 2 + 1 dx = 3x

b

x =1

2x

∫ x4 + 1 d x = ∫

x=0

0

6

c

∫ 3 6

6

∫ 3

∫ ( 13 (x í 3))2 + 1 d x = 3 © Noordhoff Uitgevers bv

∫ 0

+ 2)) + c = arctan (

1

( ) x 冑3

2

∫

3 dx = (x + 2)2 + 9

+1

1 3x

+

2 3

∫ (x + 2)2 9

)+c

( )

x dx = £冑3 Â arctan 冑3

1 3

dx +1

1

§ 0

( )

0 1 í 冑3 Â arctan = 冑3 Â arctan ( 13 冑3 ) í 冑3 Â arctan(0) = 冑3 Â 16 ʌ í 0 = 16 ʌ冑3 冑3 3

1 1 d x2 = 3arctan(x2) 4 0 = arctan(1) í arctan(0) = 14 ʌ (x2)2 + 1

5 dx = 2 x í 6x + 18 5 9

1 3 (x

1

(冑 )

= 冑3 Â arctan 1

5

3 dx = 2 (x + 2) í 4 + 13

1 3

3 dx = 2 x +3

1

5

3

1

1

5 dx = 2 (x í 3) í 9 + 18

6

∫ 3

5 dx = (x í 3)2 + 9

6

5 9

∫ 19 (x í 3)2 + 1 d x = 3

6

5 3 Â 59 Â arctan ( 13 (x í 3)) d = 53 Â arctan(1) í 53 Â arctan(0) = 53 Â 14 ʌ = 12 ʌ

c

3

Voortgezette integraalrekening 147

冑3

∫

d

0

1

0

1 2

b

ln(3)

∫ 0

1

∫

c

0

∫

d

0

40

2 9 4 2 x + 0 9

∫

ex dx = 2x e +1

x = 12 ln(3)

∫

x=0

1 dx = 4x2 í 4x + 2

1 2 arctan(1) 1 2ʌ

0

1

∫ 0

12

1

dx =

2 9 2

∫ (23 x) 0

1 dex = (e x)2 + 1

x = 冑3

∫

1 ʌ 3

arctan(x) d arctan(x) =

x=0

∫

u du =

0

c

1 ʌ 1 2d 3 2u 0

1 2 = 12 Â 19 ʌ2 í 0 = 18 ʌ

1

+1 冑3

dx =

c

2 9

12

 32 arctan ( 23 x)d 0 = 13 arctan(1) í 13 arctan(0) = 13  14 ʌ = 121 ʌ

1

冑3

∫ u2 + 1 du = 3arctan(u) 4 1

= arctan (冑3 ) í arctan(0) = 13 ʌ

1

1 dx = 4x2 í 4x + 1 + 1

1

1

∫ (2x í 1)2 + 1 dx =

c

1 2

1

arctan(2x í 1)d = 0

0

í 12 arctan(í1) = 12 Â 14 ʌ í 12 Â í 14 ʌ = 14 ʌ

sin(x) dx = cos2(x) + 1

a f (x) =

1

12

2 dx = 4x2 + 9

∫

a

∫

1 dx = arctan(x) 2 x +1

1

12

39

冑3

arctan(x) dx = x2 + 1

x = 12 ʌ

∫

x=0

í

1 dcos(x) = 2 cos (x) + 1

0

1

0

∫ í u2 + 1 du = 3 íarctan(u) 4 1 = íarctan(0) + arctan(1) = 4 ʌ 1

1

(x2 í 8x + 17) Â 0 í 10(2x í 8) 10 í20x + 80 geeft f '(x) = 2 = 2 2 2 x í 8x + 17 (x í 8x + 17) (x í 8x + 17)2

f '(x) = 0 geeft í20x + 80 = 0 í20x = í80 x=4 y

ƒ

x

4

O

lim f (x) = lim f (x) = 0, dus de lijn y = 0 is een horizontale asymptoot.

xm`

x m í`

max. is f (4) = 5

b O(V ) =

∫ 4

10 = 10, dus B f = 80, 104. 16 í 32 + 17

10 dx = x2 í 8x + 17

5

10 dx = (x í 4)2 í 16 + 17

∫ 4

5

10

5

∫ (x í 4)2 + 1 dx = 310 arctan(x í 4) 4 4

= 10 arctan(1) í 10 arctan(0) = 10 Â 14 ʌ = 212 ʌ

4

p

∫ f (x)d x = 10

c O(W) = 10 geeft

4

p

310 arctan(x í 4) 4 4 = 10 10 arctan( p í 4) í 10 arctan(0) = 10 arctan(p í 4) = 1 p í 4 = tan(1) p = 4 + tan(1) p § 5,557 1 2

41

∫ 0

1 dx = 冑1 í x2

t = 16 ʌ

∫

1 6ʌ

1 dsin(t) = 冑1 í sin2(t)

∫

í 12 冑3 í 12 冑2

í 12

0

1 2

í 16 ʌ

0

1 6ʌ

t=0

0

1 Â cos(t)dt = 冑cos2(t)

1 ʌ 6

∫ 0

1 Â cos(t)dt = cos(t)

1 ʌ 6

1 ʌ 6

∫ 1dt = 3 t 4 0

= 16 ʌ

0

Bladzijde 207 42

x

í1

arcsin(x)

í 12 ʌ

í 13 ʌ

148 Voortgezette integraalrekening

í 14 ʌ

1 2

冑2

1 4ʌ

1 2

冑3

1 3ʌ

1 1 2ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

43

a arcsin(x) = 12 ʌ

c arcsin(x) = 2 Geen oplossing, want 2 > 12 ʌ.

x = sin ( ) x=1 b arcsin(x) = í 16 ʌ 1 2ʌ

x = sin (

d 3arcsin (x í 冑3 ) = ʌ arcsin (x í 冑3 ) = 13 ʌ

)

í 16 ʌ

x=

x í 冑3 = sin ( 13 ʌ)

í 12

x í 冑3 = 12 冑3 x = 冑3 + 12 冑3 x = 112 冑3

1 6

44

a

冑3

∫ 1 6

1

冑3

6 1 d x = ∫1 冑1 í 9x2 6

1 dx = 冑1 í (3x)2

c

1 3

1 6

arcsin(3x)d 1

冑3

6

= 13 arcsin ( 12 冑3 ) í 13 arcsin ( 12 )

1 1 = 13 Â 13 ʌ í 13 Â 16 ʌ = 19 ʌ í 18 ʌ = 18 ʌ 112 冑2

112 冑2

112 冑2

1

1

12 冑 2 1 3 3 b ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = c arcsin ( 13 x) d 1 2 2 2 í12 冑2 冑9 í x 1 í 19 x 1 í ( 13 x) í112 冑2 í112 冑2 í112 冑2

冑

1

冑

= arcsin ( 13 Â 112 冑2 ) í arcsin ( 13 Â í112 冑2 ) = arcsin ( 12 冑2 ) í arcsin (í 12 冑2 ) = 14 ʌ í í 14 ʌ = 12 ʌ 1 2

c

冑2

∫ 0

x dx = 冑1 í x4

x = 12 冑2

∫

x=0

1 1 dx 2 = 2 Â 冑1 í (x2)2

1 2

∫

1 2

0

Â

1 du = 冑1 í u2

c 1 arcsin(u)d 2

1 2

0

1 = 12 arcsin (12 ) í 12 arcsin(0) = 12 Â 16 ʌ í 0 = 12 ʌ 1

d

∫ 0

x dx = 冑4 í x4

1

∫ 0

x =1

1 2x

冑1 í

1 4 4x

dx =

∫

x=0

1 2

1 2

冑1 í (

d 1 x2 1 2 2 2 2x

)

=

1 2

∫ 冑1 í u 0

du = 2

c

1 2

arcsin(u)d

1 2

0

1 = 12 arcsin (12 ) í 12 arcsin(0) = 12 Â 16 ʌ í 0 = 12 ʌ

45

b

46

1

∫ arctan(x)dx = x arctan(x) í ∫ x d arctan(x) = x arctan(x) í ∫ x  x2 + 1 dx 1 = x arctan(x) í ∫ 12  2 d(x2 + 1) = x arctan(x) í 12 ln(x2 + 1) + c x +1 1 G(x) = ∫ arcsin(x)dx = x arcsin(x) í ∫ x d arcsin(x) = x arcsin(x) í ∫ x  dx 冑1 í x2 1 = xarcsin(x) í ∫ í d(1 í x2) = xarcsin(x) + 冑1 í x2 + c 2冑1 í x2

a F(x) =

a 25 í x4 > 0 x4 < 25 í5 < x2 < 5 x2 < 5 í冑5 < x < 冑5 Dus D f = 8í冑5, 冑59. y

ƒ

x O

x=– 5

© Noordhoff Uitgevers bv

x= 5

Voortgezette integraalrekening 149

b f (x) =

1 2x4 4+ 3 冑 25 í x í4x  冑25 í x4 2冑25 í x4 = 25 í x4 25 í x4

冑25 í x4 Â 1 í x Â

x

冑25 í x4

geeft f '(x) = =

25 í x4 + 2x4 x4 + 25 = 4 4 (25 í x )冑25 í x (25 í x4)冑25 í x4

Stel k: y = ax + b met a = f ' (冑3 ) =

9 + 25 34 17 = = (25 í 9)冑25 í 9 64 32

y = 17 32 x + b

冑3 + b = 14 冑3 f (冑3 ) = = 冑3, dus A (冑3, 冑3 ) 9 冑3 b = í 32 冑25 í 9 17 9 Dus k: y = 32 x í 32 冑3. 冑3

1 2

c O(V ) =

冑10

∫ 0

1

∫ 0

47

冑10 0

1 2

Â

1 du = 冑1 í u2

arcsin(x)

 17 32

1 4

2 x dx = ∫ 4 冑25 í x

1 2

=

1 4

c

1 2

1 2

1 5x

冑1 í

1 4 25 x

dx =

冑10

∫ 0

冑1

1 5x í 15 x2 2

( )

x = 12 冑10

dx =

∫

x=0

1 2

冑1 í (

)

1 2 2 5x

d 15 x2

1 2

1 arcsin(u)d = 12 arcsin (12 ) í 12 arcsin(0) = 12 Â 16 ʌ = 12 ʌ 0

1

a F(x) =

∫ 冑1 í x2

b G(x) =

∫ x冑1 í ln2(x) dx = ∫ 冑1 í ln2(x) Â x dx = ∫ 冑1 í ln2(x) dln(x) = arcsin(ln(x)) + c

dx =

∫ arcsin(x) Â 冑1 í x2 dx = ∫ arcsin(x)d arcsin(x) = 2 arcsin2(x) + c

1

1

1

1

1

K.4 Breuksplitsen Bladzijde 209 48

a F(x) = G(x) =

2x

1

∫ x2 + 1 dx = ∫ x2 + 1 d(x2 + 1) = ln(x2 + 1) 1

∫ x2 + 1 dx = arctan(x)

2x 2x + 1 1 + 2 = 2 = f (x) + g(x). 2 x +1 x +1 x +1 Dus H(x) = ln(x2 + 1) + arctan(x) + c.

b Uitdelen geeft h(x) =

49

a Uitdelen geeft f (x) =

2x + 5 2x 5 + . = x+1 x+1 x+1

f is zo niet te primitiveren, want er is geen primitieve te geven van

2x . x+1

2x + 2 2x + 2 + 3 2x + 5 3 3 + = = = x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 Dus de splitsing is correct. 3 F(x) = ∫ 2 + dx = 2x + 3ln 0 x + 1 0 + c x+1

b f (x) = 2 +

(

)

150 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 211 50

a x + 1 / 2x + 1 \ 2 2x + 2 í í1 2x + 1 1 . Dus =2í x+1 x+1 2x + 1 1 dx = ∫ 2 í F(x) = ∫ dx = 2x í ln 0 x + 1 0 + c x+1 x+1

(

)

b x + 1/x \1 x+1 í í1 x 1 . Dus =1í x+1 x+1 x 1 dx = ∫ 1 í F(x) = ∫ dx = x í ln 0 x + 1 0 + c x+1 x+1

(

)

c 2x + 1 / x + 1 \ 12 x + 12 í 1 2

1

x+1 1 2 Dus . = + 2x + 1 2 2x + 1

(

1

)

x+1 2 1 1 1 ∫ 2x + 1 dx = ∫ 2 + 2x + 1 dx = 2 x + 4 ln 0 2x + 1 0 + c 2 í x íx + 2 d f (x) = = x+1 x+1 x + 1 / íx + 2 \ í1 íx í 1 í 3 2íx 3 . Dus = í1 + x+1 x+1 3 2íx F(x) = ∫ dx = íx + 3ln 0 x + 1 0 + c dx = ∫ í1 + x+1 x+1 3 í 4x í4x + 3 e f (x) = = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 / í4x + 3 \ í2 í4x í 2 í 5 3 í 4x 5 . Dus = í2 + 2x + 1 2x + 1 5 3 í 4x F(x) = ∫ dx = ∫ í2 + dx = í2x + 212 ln 0 2x + 1 0 + c 2x + 1 2x + 1 6x í 1 6x í 1 f f (x) = = 1 í 2x í2x + 1 í2x + 1 / 6x í 1 \ í3 6x í 3 í 2 6x í 1 2 . Dus = í3 + 1 í 2x 1 í 2x 6x í 1 2 dx = ∫ í3 + F(x) = ∫ dx = í3x í ln 0 1 í 2x 0 + c 1 í 2x 1 í 2x F(x) =

(

© Noordhoff Uitgevers bv

)

(

)

(

)

Voortgezette integraalrekening 151

51

a x í 1 / x2 í 2x + 3 \ x í 1 x2 í x í íx + 3 íx + 1 í 2 x2 í 2x + 3 2 Dus . =xí1+ xí1 xí1 3

∫ 2

x2 í 2x + 3 dx = xí1

3

∫ 2

(

xí1+

)

2 dx = xí1

c

1 2 2x

í x + 2ln 0 x í 1 0 d

3 2

= 412 í 3 + 2ln(2) í (2 í 2 + 2ln(1)) = 112 + 2ln(2) \ í2x + 1 b x + 1 / í2x í x í2x2 í 2x í x x+1 í í1 1 í2x2 í x Dus . = í2x + 1 í x+1 x+1 2

í2

∫

í4

í2x2 í x dx = x+1

í2

∫

í4

(

í2x + 1 í

)

1 í2 dx = 3 íx2 + x í ln 0 x + 1 0 4 í4 x+1

= í4 í 2 í ln(1) í (í16 í 4 í ln(3)) = 14 + ln(3) 52

x3 + x geeft x+1 (x + 1)(3x2 + 1) í (x3 + x) Â 1 3x3 + x + 3x2 + 1 í x3 í x 2x3 + 3x2 + 1 f '(x) = = = (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 6 Stel k: y = ax + b met a = f '(1) = = 112 . 4

a f (x) =

y = 112 x + b ¶ 11 + b = 1 2 f (1) = = 1, dus A(1, 1) 2 2 b = í 12 1 1 Dus k: y = 12 x í 2 . b x + 1 / x3 +x \ x2 í x + 2 3 2 x +x í íx2 + x 2íx íx í 2x 2x + 2 í í2 x3 + x 2 Dus . = x2 í x + 2 í x+1 x+1 2

O(V ) =

∫ 8 3

0

x3 + x dx = x+1

2

∫ 0

(

x2 í x + 2 í

)

2 dx = x+1

= í 2 + 4 í 2ln(3) í (0 í 0 + 0 í 2ln(1)) =

152 Voortgezette integraalrekening

c

1 3 3x

423

í 12 x2 + 2x í 2ln 0 x + 1 0 d

2 0

í 2ln(3)

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 212 53

a

y

ƒ x

O

y g x

O

x = –2 y

h O

x = –3

x

x = –1

f (x) is voor elke x gede¿nieerd, want de noemer x2 + 4x + 5 heeft geen nulpunten. x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 heeft één nulpunt, namelijk í2, dus de gra¿ek van g heeft één verticale asymptoot. x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) heeft twee nulpunten, namelijk í1 en í3, dus de gra¿ek van h heeft twee verticale asymptoten. 2x + 4 5 2x + 4 í 5 2x í 1 b f (x) = 2 í = = x + 4x + 5 x2 + 4x + 5 x2 + 4x + 5 x2 + 4x + 5 2(x + 2) 5 2x + 4 í 5 2x í 1 5 2 g(x) = í í = = = 2 x + 2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 x + 4x + 4 h(x) = í

312 (x + 1) 31 112 11 (x + 3) í11 x í 412 + 312 x + 312 2x í 1 + + 2 =í 2 = 2 = 2 x+1 x+3 (x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 1) (x + 3)(x + 1) x + 4x + 3

© Noordhoff Uitgevers bv

Voortgezette integraalrekening 153

Bladzijde 214 54

a x2 + 1 / x4 x4 + x2 íx2 íx2 1

∫ 0

x4 + 1 dx = x2 + 1

+ 1 \ x2 í 1 í +1 í1 í 2 1

∫

(

x2 í 1 +

0 = 13 í 1 / x4

x2

)

2 dx = +1

c

1 3 3x

í x + 2arctan(x)d

1 0

1 + 2 arctan(1) í (0 í 0 + 2arctan(0)) = + 2 Â 14 ʌ = í 23 + 12 ʌ b + 2x + + 1 \ x2 í 2x + 3 x4 + 2x3 + x2 í2x3 í x2 í í2x3 í 4x2 í 2x í 3x2 + 2x + 1 3x2 + 6x + 3 í í4x í 2 4 4(x + 1) í 2 x +1 4x + 2 4x + 2 Dus 2 = x2 í 2x + 3 í = x2 í 2x + 3 í = x2 í 2x + 3 í 2 2 x + 2x + 1 x + 2x + 1 (x + 1) (x + 1)2 4 4 2 = x2 í 2x + 3 í + + 2(x + 1)í2 = x2 í 2x + 3 í x + 1 (x + 1)2 x+1 x2

1

∫ 0

x4 + 1 dx = x2 + 2x + 1

í 23

1

∫ 0

(

x2 í 2x + 3 í

)

4 + 2(x + 1)í2 dx x+1 1

2 0 x+1 0 = 13 í 1 + 3 í 4 ln(2) í 1 í (0 í 0 + 0 í 4ln(1) í 2) = 113 í 4ln(2) + 2 = 313 í 4ln(2) 2 4 c x + 4x + 3 / x \ x2 í 4x + 13 x4 + 4x3 + 3x2 í í4x3 í 3x2 í4x3 í 16x2 í 12x í 13x2 + 12x 13x2 + 52x + 39 í í40x í 39 a(x + 3) + b(x + 1) ax + 3a + bx + b (a + b)x + 3a + b b a í40x í 39 í40x í 39 + = = = = = 2 (x + 1)(x + 3) (x + 1)(x + 3) x + 4x + 3 (x + 1)(x + 3) x + 1 x + 3 (x + 1)(x + 3) =

c 1 x3 3

1

í x2 + 3x í 4 ln 0 x + 1 0 í 2(x + 1)í1d =

Š

1 3 3x

í x2 + 3x í 4ln ` x + 1 ` í

¥

a + b = í40 3a + b = í39 í í2a = í1 1 ௘a=2 f 1 + b = í40 ௘a + b = í40 2 b = í4012

e

2

∫ 0

x4 dx = x2 + 4x + 3 =

2

∫ 0

c

(

x2 í 4x + 13 +

1 3 3x

1 2

x+1

í

)

4012 dx x+3

í 2x2 + 13x + 12 ln 0 x + 1 0 í 40 12 ln 0 x + 3 0d

2 0 1 2

= 83 í 8 + 26 + 12 ln(3) í 4012 ln(5) í (0 í 0 + 0 + ln(1) í 4012 ln(3)) = 2023 + 12 ln(3) í 4012 ln(5) + 4012 ln(3) = 2023 + 41ln(3) í 4012 ln(5) 55

a x2 + 1 / x2 + x \ 1 x2 +1 í xí1 x2 + x xí1 x 1 1 1 í í geeft f (x) = 2 =1+ 2 =1+ 2 = 1 + 12  2x  2 x +1 x +1 x + 1 x2 + 1 x + 1 x2 + 1 F(x) = x + 12 ln(x2 + 1) í arctan(x) + c

154 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

b x2 í 6x + 9 / x2 í 6x + 8 \ 1 x2 í 6x + 9 í1 í 2 x í 6x + 8 1 1 f (x) = 2 = 1 í (x í 3)í2 geeft =1í 2 =1í x í 6x + 9 x í 6x + 9 (x í 3)2 1 +c F(x) = x + (x í 3)í1 + c = x + xí3 \x í 2 c x2 + 2x í 3 / x3 x3 + 2x2 í 3x í í2x2 + 3x í2x2 í 4x + 6 í 7x í 6 3 7x í 6 7x í 6 x a b f (x) = 2 =xí2+ + =xí2+ 2 =xí2+ x í 1 x + 3 (x í 1)(x + 3) x + 2x í 3 x + 2x í 3 =xí2+ e

a(x í 3) + b(x í 1) (a + b)x í 3a í b ax í 3a + bx í b =xí2+ =xí2+ (x í 1)(x + 3) (x í 1)(x + 3) (x í 1)(x + 3)

a + b= 7 í3a í b = í6 í2a = 1 + 1 a = í2 f í1 + b = 7 a+b=7 2 1 b = 72

712 . xí1 x+3 Dit geeft F(x) = 12 x2 í 2x í 12 ln 0 x í 1 0 + 712 ln 0 x + 3 0 + c.

Dus f (x) = x í 2 í

56

1 2

+

x3 + x x(x2 + 1) = 2 = x geeft F(x) = 12 x2 + c x2 + 1 x +1 b x2 í 6x + 9 / x3 +x \x + 6 x3 í 6x2 + 9x í 6x2 í 8x 6x2 í 36x + 54 í 28x í 54 3 28(x í 3) + 84 í 54 28x í 54 30 x +x 28 f (x) = 2 =x+6+ + =x+6+ 2 =x+6+ 2 x í 3 x í 6x + 9 x í 6x + 9 (x í 3) (x í 3)2 28 =x+6+ + 30(x í 3)í2 xí3 30 Dit geeft F(x) = 12 x2 + 6x + 28ln 0 x í 3 0 í 30(x í 3)í1 + c = 12 x2 + 6x + 28 ln x í 3 í + c. xí3 c 2x2 + x / 2x3 + 1 \ x í 12 3 2 2x + x íx2 í íx2 í 12 x + 1 í 1 x + 1 2

a f (x) =

2

f (x) =

2

1 1 a(2x + 1) + bx b 2x3 + 1 a 2x + 1 2x + 1 1 1 x í + x í + = x í 12 + x + = = x í 12 + = 2 2 2 2 2x + 1 x(2x + 1) x(2x + 1) 2x + x 2x + x

= x í 12 +

(2a + b)x + a 2ax + a + bx = x í 12 + x(2x + 1) x(2x + 1)

2a + b = 12 1 f 2+b=2 a=1 1 b = í12 112 1 Dus f (x) = x í + x í . 2x + 1 1 2 1 Dit geeft F(x) = 2 x í 2 x + ln 0 x 0 í 34 ln 0 2x + 1 0 + c. 1 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Voortgezette integraalrekening 155

57

a x2 + 4 / x3 \x x3 + 4x í í4x 3 x 4x Dus 2 . =xí 2 x +4 x +4 2

∫ 0

x3 dx = 2 x +4

2

∫ 0

(

xí

)

4x dx = x2 + 4

2

∫ 0

(

x í 2 Â 2x Â

x2

)

1 dx = +4

c

1 2 2x

2

í 2 ln(x2 + 4)d 0

= 2 í 2 ln(8) í (0 í 2 ln(4)) = 2 í 2 ln(8) + 2 ln(4) = 2 í 2(ln(8) í ln(4)) = 2 í 2 ln(2) b x2 + 4x + 4 / x3 \x í 4 x3 + 4x2 + 4x í í4x2 í 4x 2 í 16x í 16 í4x í 12x + 16 3 12(x + 2) í 8 x 12x + 16 12x + 16 Dus 2 =xí4+ =xí4+ =xí4+ 2 2 x + 4x + 4 x + 4x + 4 (x + 2) (x + 2)2 12 8 12 =xí4+ =xí4+ í í 8(x + 2)í2 x + 2 (x + 2)2 x+2 8

∫ 0

x3 dx = x2 + 4x + 4 =

8

∫ 0

(

xí4+

)

12 í 8(x + 2)í2 dx = x+2

c

1 2 2x

í 4x + 12ln 0 x + 2 0 + 8(x + 2)í1 d

8 0

8

1 £2 x2

í 4x + 12ln 0 x + 2 0 +

8 4 § = 32 í 32 + 12ln(10) + 5 í (0 í 0 + 12ln(2) + 4) x+2 0

4 5

= 12ln(10) + í 12ln(2) í 4 = 12ln(5) í 315 c

x2 e

a(x í 5) + b(x + 1) ax í 5a + bx + b (a + b)x í 5a + b 4x í 8 a 4x í 8 b + = = = = = (x + 1)(x í 5) (x + 1)(x í 5) í 4x í 5 (x + 1)(x í 5) x + 1 x í 5 (x + 1)(x í 5)

a +b= 4 í5a + b = í8 í 6a = 12 a=2 f 2+b=4 a+b=4 b=2

2

∫ 0

4x í 8 dx = x2 í 4x í 5

2

∫ 0

(

)

2 2 2 dx = c 2 ln | x + 1 | + 2ln | x í 5 | d 0 + x+1 xí5

= 2ln(3) + 2ln(3) í (2ln(1) + 2ln(5)) = 4ln(3) í 2ln(5) 58

I

x2

a(x í 3) + b(x í 2) ax í 3a + bx í 2b 2x í 5 a 2x í 5 b = = + = = = (x í 2)(x í 3) (x í 2)(x í 3) í 5x + 6 (x í 2)(x í 3) x í 2 x í 3

(a + b) x í 3a í 2b (x í 2)(x í 3) 2 a+b=2 2 2 geeft e 2a + 2b = 4 í3a í 2b = í5 1 í3a í 2b = í5 + ௘ ía = í1 a=1 e1+b=2 a+b=2 b=1 1 1 + f (x) = geeft F(x) = ln 0 x í 2 0 + ln 0 x í 3 0 + c xí2 xí3 2x í 5 1 II F(x) = ∫ 2 dx = ∫ 2 d(x2 í 5x + 6) = ln 0 x2 í 5x + 6 0 + c x í 5x + 6 x í 5x + 6 ln 0 x í 2 0 + ln 0 x í 3 0 = ln 0 (x í 2)(x í 3) 0 = ln 0 x2 í 5x + 6 0 Dus de primitieven komen op hetzelfde neer. e

156 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 215 59

(4x2 í 4x + 1)  10 í (10x + 5)(8x í 4) 10x + 5 = geeft f '(x) = 2 4x í 4x + 1 (4x2 í 4x + 1)2 40x2 í 40x + 10 í (80x2 í 40x + 40x í 20) 40x2 í 40x + 10 í 80x2 + 20 í 40x2 í 40x + 30 = = (2x í 1)4 (2x í 1)4 (2x í 1)4 2 f '(x) = 0 geeft í40x í 40x + 30 = 0 4x2 + 4x í 3 = 0 D = 42 í 4  4  í3 = 64 í4 + 8 1 í4 í 8 x= =2 –x= = í112 8 8 vold. niet voldoet

a f (x) =

y

ƒ –1 12

x

O x=

1 2

í15 + 5 í10 = = í 58 9 + 6 + 1 16 Dus B f = 3 í 58 , m 9. min. is f (í112 ) = 3

b O(V ) =

∫ 1

3

∫ 1

(

10x + 5 dx = 4x2 í 4x + 1

3

∫

)

1

5 + 10(2x í 1)í2 dx = 2x í 1

(

5(2x í 1) + 10 dx = (2x í 1)2 5 c ln 2

3

∫ 1

0 2x í 1 0 í 5(2x í

(

)

10 5 dx = + 2x í 1 (2x í 1)2

1)í1d

3 1

3

=

1 £22 ln

5 0 2x í 1 0 í § = 2x í 1

)

5 5 212 ln(5) í í 212 ln(1) í = 212 ln(5) í 1 + 5 = 4 + 212 ln(5) 5 1 60

a f (x) =

1

(x2 + 5x + 4) Â 2x í (x2 + 4) Â (2x + 5) x2 + 4 geeft f '(x) = = x2 + 5x + 4 (x2 + 5x + 4)2

2x3 + 10x2 + 8x í (2x3 + 5x2 + 8x + 20) 2x3 + 10x2 + 8x í 2x3 í 5x2 í 8x í 20 5x2 í 20 = = (x2 + 5x + 4)2 (x2 + 5x + 4)2 (x2 + 5x + 4)2 f '(x) = 0 geeft 5x2 í 20 = 0 5x2 = 20 x2 = 4 x = 2 – x = í2 x2 + 5x + 4 = 0 (x + 1)(x + 4) = 0 x = í1 – x = í4

© Noordhoff Uitgevers bv

Voortgezette integraalrekening 157

y

ƒ

–2

x = –4

x

2

O

x = –1

max. is f (í2) = í4 min. is f (2) = 49 b Stel k: y = ax + b met a = f '(í6) =

160 = 135 100

y = 135 x + b f 13 Â í6 + b = 4 f (í6) = 4, dus door A(í6, 4) 5 3 í95 + b = 4 b = 1335 3 3 Dus k: y = 15 x + 135 . y = 0 geeft 135 x + 1335 = 0 8x = í68 x = í812 1 Dus B(í82 , 0). x = 0 geeft y = 1335 , dus C (0, 1335 ). y k C

B

O

x

O(+OBC) = 12 Â OB Â OC = 12 Â 812 Â 1335 = 5745 c x2 + 5x + 4 / x2 + 4\1 2 x + 5x + 4 í í5x a(x + 4) + b(x + 1) 5x a 5x b f (x) = 1 í 2 =1í =1í + =1í x+1 x+4 (x + 1)(x + 4) x + 5x + 4 (x + 1)(x + 4)

(

=1í f

)

(a + b)x + 4a + b ax + 4a + bx + b =1í (x + 1)(x + 4) (x + 1)(x + 4)

a+b=5 4a + b = 0 í í3a = 5 a = í123 f í123 + b = 5 a+b=5 b = 623

158 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

(

6

∫

O(V ) =

0

)

5x dx = x2 + 5x + 4

1í

6

∫ 0

(

1+

)

6 62 123 í 3 dx = c x + 123 ln 0 x + 1 0 í 623 ln 0 x + 4 0 d 0 x+1 x+4

= 6 + 123 ln(7) í 623 ln(10) í (0 + 123 ln(1) í 623 ln(4)) = 6 + 123 ln(7) í 623 ln(10) + 623 ln(4) = 6 + 123 ln(7) + 623 ln ( 25 ) 61

a

x = –1

y

ƒ y=1

V

x

O

x=3

x+1í1 x 1 f (x) = = =1í x+1 x+1 x+1

( ) ∫( ) ∫ ∫( ) 3

O(V ) =

∫

3 1 dx = 3x í ln 0 x + 1 0 4 0 = 3 í ln(4) í (0 í ln(1)) = 3 í ln(4) x+1

1í

0

3

b I(L) = ʌ

x x+1

0

3

=ʌ

1í

0

2

3

dx = ʌ

0

3

3

0

0

)

3

(

)

3

(

)

2(x + 1) 2x + 2 í 1 1 2 dx = ʌ ∫ 1 í + dx = ʌ ∫ 1 í + (x + 1)í2 dx 2 x + 2x + 1 (x + 1)2 (x + 1)2 x+1 0

3

3

= ʌ 3x í 2 ln 0 x + 1 0 í (x + 1)í1 4 0 = ʌ c x í 2ln 0 x + 1 0 í = ʌ (3 í 2ln(4) í 14 + 1) = 334 ʌ í 2ʌln(4) 62

(

x2 + 2x + 1 í 2x í 1 2x + 1 x2 d x = ʌ dx dx = ʌ ∫ 1 í 2 ∫ 2 2 (x + 1) x + 2x + 1 x + 2x + 1

a f (x) = ln(x2 + 1) geeft f '(x) =

x2

0

1 d = ʌ (3 í 2ln(4) í 14 í (0 í 2ln(1) í 1)) x+1 0

2x 1 Â 2x = 2 +1 x +1

2x =3 x2 + 1 5 3x2 + 3 = 10x 3x2 í 10x + 3 = 0 D = (í10)2 í 4  3  3 = 64 10 + 8 10 í 8 1 x= =3 – x= =3 6 6 1 1 f (3) = ln(10) en f (3 ) = ln (19 ) Dus de raakpunten zijn (3, ln(10)) en ( 13 , ln (119 )) . b f (x) = ln(2) geeft ln(x2 + 1) = ln(2) x2 + 1 = 2 x2 = 1 x = 1 – x = í1 f '(x) = 35 geeft

y ƒ y = ln(2)

V –1

O

1

x

1

∫ f (x) dx = ∫ ln(x2 + 1) dx = x ln(x2 + 1) í ∫ xd ln(x2 + 1) = x ln(x2 + 1) í ∫ x  x2 + 1  2xdx = x ln(x2 + 1) í

2x2

∫ x2 + 1 dx = x ln(x2 + 1) í ∫

2x2 + 2 í 2 dx = x ln(x2 + 1) í x2 + 1

∫

(

2í

)

2 dx x2 + 1

= xln(x2 + 1) í (2x í 2arctan(x)) + c = xln(x2 + 1) í 2x + 2arctan(x) + c

© Noordhoff Uitgevers bv

Voortgezette integraalrekening 159

1 1

∫ (ln(2) í f (x)) dx = 3xln(2) í (xln(x2 + 1) í 2x + 2arctan(x)) 4 í1

O(V ) =

í1

1 = 3xln(2) í xln(x2 + 1) + 2x í 2arctan(x) 4 í1 = ln(2) í ln(2) + 2 í 2arctan(1) í (íln(2) + ln(2) í 2 í 2arctan(í1)) = 2 í 2 Â 14 ʌ + 2 + 2 Â í 14 ʌ = 4 í ʌ

K.5 Integralen bij parameterkrommen Bladzijde 217 b

63

a

∫ f (x)dx =

3F(x) 4 ab

= F(b) í F(a) = í(F(a) í F(b)) =

a

a í 3F(x)4 b

= í ∫ f (x) dx

a

b

b

b

c

c

b

∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx = 3F(x)4 a + 3F(x)4 b = F(b) í F(a) + F(c) í F(b) = F(c) í F(a) = a

b

c

c

3F(x) 4 a =

∫ f (x) dx a

64

a Bij A hoort t = 0, bij B hoort t = 2 en bij C hoort t = 4, dus xB

∫

O(V ) =

xB

y dx í

xA

∫

t =2

∫

y dx =

xC

t =2

y dx í

t=0 t=2

t=2

t= 4

t=0

b O(V) =

∫ (

í 12 t2

+ 2) d (

í 12 t2

t =4

t=4

t =2

t= 0

t=4

+ 2t) =

t=0

=

t=2

∫ y dx í ∫ y dx = ∫ y dx + ∫ y dx = ∫ y dx.

Herleiden geeft O(V) = t=4

∫ y dx

t=4

∫ (

í 12 t2

t =0

+ 2) ( ít + 2) dt =

t=0

t=4

1 ∫ ( 2 t3 í t2 í 2t + 4) dt

t=0

4

3 18 t4 í 13 t3 í t2 + 4t 4 0 = 18 Â 44 í 13 Â 43 í 42 + 4 Â 4 í 0 = 32 í 2113 í 16 + 16 = 1032 t=0

t=0

∫ x dy = ∫ (

í 12 t2

c O(V ) =

t= 4

=

c

1 4 8t

+ 2t) d (

í 12 t2

t=4 0

+ 2) =

t=0

∫(

í 12 t2

+ 2t) Â ít dt =

t=4

í 23 t3d = í 18 Â 04 + 23 Â 03 í 4

t=0

1 ∫ ( 2 t3 í 2t 2) dt

t=4

( 18 Â 44 í 23 Â 43) = 0 í 32 + 4223 = 1023

Dus hetzelfde antwoord als bij b. Bladzijde 219 t=4

65

a

∫

t=4

∫(

x dy =

t = í2

1 2 2t

í 2) d (

1 2 2t

í 2t) =

t = í2

=

c

1 4 8t

4

∫(

1 2 2t

í 2) (t í 2) dt =

í2

4

∫ ( 2 t3 í t2 í 2t + 4) dt 1

í2

4

í 13 t 3 í t2 + 4t d = 18 Â 44 í 13 Â 43 í 42 + 4 Â 4 í í2

( 18 Â (í2)4 í 13 Â (í2)3 í (í2)2 + 4 Â í2)

= 32 í 2113 í 16 + 16 í (2 + 223 í 4 í 8) = 1023 í í713 = 18 t=4

Dus

∫

x dy geeft ook O(V ).

t = í2 t = í2

b I(L) = ʌ

∫

t = í2

í2

í2

t=2

2

2

x 2 dy = ʌ

t=2 í2

= ʌ∫ 2

2 2 1 1 1 1 ∫ ( 2 t2 í 2) d ( 2 t2 í 2t) = ʌ ∫ ( 2 t2 í 2) (t í 2)dt = ʌ ∫ (4 t4 í 2t2 + 4) (t í 2)dt í2

( 14 t 5 í 12 t 4 í 2t3 + 4t2 + 4t í 8) dt = ʌ c 241 t6 í 101 t5 í 12 t 4 + 113 t3 + 2t2 í 8t d 2

32 2 64 32 2 32 2 1 = ʌ (64 24 + 10 í 8 í 103 í 8 + 16) í ʌ ( 24 í 10 í 8 + 103 í 8 í 16) = ʌ (2 Â 10 í 2 Â 103 + 2 Â 16) = 1715 ʌ

160 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

66

x = 0 geeft t2 í 2t = 0 t(t í 2) = 0 t=0 – t=2 t = 0 geeft (0, 0) t = 2 geeft (0, 6) t=0

O(V) =

∫

t=0

x dy =

t =2

=

∫

t= 2

3 c t5 5

112 t 4

í

í

0

0

(t2 í 2t)d(t3 í t) = ∫ (t2 í 2t)(3t2 í 1)dt =

∫ (3t4 í 6t3 í t2 + 2t) dt

2

1 3 3t

+

t 2d

0 2

=0í

( Â 3 5

25

112

í

Â

24

1 3

í Â

23

+

2

)

22

7 = 0 í (1915 í 24 í 223 + 4) = 315

67

a x = 0 geeft sin(t) = 0 t = kÂʌ t = íʌ geeft (0, íʌ) t = 0 geeft (0, 0) t = ʌ geeft (0, ʌ) t=ʌ

ʌ

O(V ) = ∫ x dy = 0

∫

ʌ

∫ sin(t)(1 + cos(t)) dt = ∫ (sin(t) + sin(t) cos(t)) dt

sin(t) d(t + sin(t)) =

0

t=0

ʌ

=

ʌ

∫ (sin(t) + 2 sin(2t)) dt = 1

0

ʌ

ícos(t) í 14 cos(2t)d = (ícos(ʌ) í 14 cos(2ʌ)) í (ícos(0) í 14 cos(0))

c

0

0

= 1 í Â 1 í (í1 í Â 1) = 1 í + 1 + = 2 1 4

1 4

1 4

t=ʌ

ʌ

b I(L) = ʌ ∫

1 4

x2

dy = ʌ ∫

ʌ

sin2(t) d(t

t=0

0

+ sin(t)) = ʌ ∫ sin2(t)(1 + cos(t)) dt 0

ʌ

ʌ

= ʌ ∫ (sin2(t) + sin2(t)cos(t)) dt = ʌ ∫ 0

0

= ʌ (12 ʌ í 14 sin(2ʌ) + 13 sin3(ʌ) í

ʌ

( 12 í 12 cos(2t) + sin2(t) cos(t)) dt = ʌ c 12 t í 14 sin(2t) + 13 sin3(t) d 0

( 12 Â 0 í 14 sin(0) + 13 sin3(0))) = ʌ ( 12 ʌ í 0 + 0 í (0 í 0 + 0)) = 12 ʌ2

Bladzijde 220 68

a Teken de lijnen x = a door het punt waar K zichzelf snijdt en de lijn x = b die K raakt in het punt waarvoor t = t3. y

t2 t3 K

V

t1 t4

O

a

b

x

Noem V1 het vlakdeel ingesloten door de x-as, de lijnen x = a en x = b en het bovenste deel van K en V2 het vlakdeel ingesloten door de x-as, de lijnen x = a en x = b en het onderste deel van K. t = t3

Dan geldt O(V ) = O(V1) í O(V2) =

∫

t = t1

© Noordhoff Uitgevers bv

t = t3

y dx í

∫

t = t4

t = t3

y dx =

∫

t = t1

t = t4

y dx +

∫

t = t3

t = t4

y dx =

∫ y dx.

t = t1

Voortgezette integraalrekening 161

b Teken de lijnen y = c door het punt waar K zichzelf snijdt en de lijn y = d die K raakt in het punt waarvoor t = t2. y

t2

d

t3 K

V

t1

c

t4 x

O

Noem V3 het vlakdeel ingesloten door de y-as, de lijnen y = c en y = d en het rechter deel van K en V4 het vlakdeel ingesloten door de y-as, de lijnen y = c en y = d en het linker deel van K. t = t2

Dan geldt O(V) = O(V3) í O(V4) =

∫

t = t2

x dy í

t = t4

∫

t = t2

x dy =

t = t1

∫

t = t1

x dy +

t = t4

∫

t = t1

x dy =

t = t2

∫ x dy.

t = t4

c Teken de lijnen x = a door het punt waar K zichzelf snijdt en de lijn x = b die K raakt in het punt waarvoor t = t2. y

t3 t2 K

W

t4 t1 a

O

x

b

Noem W1 het vlakdeel ingesloten door de x-as, de lijnen x = a en x = b en het bovenste deel van K en W2 het vlakdeel ingesloten door de x-as, de lijnen x = a en x = b en het onderste deel van K. Dan geldt O(W) = O(W1) í O(W2 ) =

t = t2

t = t2

t = t2

t = t1

t = t1

t = t4

t = t1

t = t4

t = t2

t = t4

∫ y dx í ∫ y dx = ∫ y dx + ∫ y dx = ∫ y dx.

Teken de lijnen y = c door het punt waar K zichzelf snijdt en de lijn y = d die K raakt in het punt waarvoor t = t2. y

t3

d

t2 K

c

W

t4 t1

O

x

Noem W3 het vlakdeel ingesloten door de y-as, de lijnen y = c en y = d en het rechter deel van K en W4 het vlakdeel ingesloten door de y-as, de lijnen y = c en y = d en het linker deel van K. t = t3

Dan geldt O(W) = O(W3) í O(W4 ) =

∫

t = t1

162 Voortgezette integraalrekening

t = t3

x dy í

∫

t = t4

t = t3

x dy =

∫

t = t1

t = t4

x dy +

∫

t = t3

t = t4

x dy =

∫

x dy.

t = t1

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 221 69

a y = 0 geeft 4t í t3 = 0 t(4 í t2) = 0 t = 0 – t2 = 4 t = 0 – t = 2 – t = í2 t = í2 geeft (3, 0) t = 0 geeft (í1, 0) t = 2 geeft (3, 0) t = 1 geeft (0, 3), dus K wordt in negatieve richting omlopen. O(V ) =

t=2

t =2

∫

∫

y dx =

(4t í

( Â

Â

∫

∫

t=0

2

í 1) = ∫ (4t í

t = í2 t = í2 = 223 23 í 25 25 í 223 (í2)3 í 25 t =2 t=2 = ʌ y2 dx = ʌ (4t í t3)2 d(t2 í

Â

b I(L)

2

t3) d(t 2

t=0

í2

Â

)=

t 3)

223

(í2)5

∫ (8t2 í 2t 4) dt =

 2t dt =

í2

2 5

 8 í  32 í

223

2

c

223 t3 í 25 t 5 d

2 5

 í8 +  í32 =

2 í2

1 1715

2

1) = ʌ ∫ (4t í t3)2 Â 2t dt = ʌ ∫ (16t 2 í 8t 4 + t6) Â 2t dt 0

0

2

= ʌ ∫ (32t3 í 16t5 + 2t7) dt = ʌ c 8t 4 í 223 t 6 + 14 t8d 0

2 0

= ʌ (8 Â 24 í 223 Â 26 + 14 Â 28) í ʌ(0 í 0 + 0) = 2113 ʌ Bladzijde 222 70

x = 0 geeft ít2 + 6t = 0 ít(t í 6) = 0 t=0 – t=6 t = 0 geeft (0, 0) t = 6 geeft (0, 0) t = 1 geeft (5, 123 ) Dus K wordt in positieve richting omlopen. t=0

O(V) =

∫

t=0

y dx =

t=6

= 71

0

t=6

2 c t5 15

í

0

1 1 2 ∫ (í 3 t3 + 2t2) d(ít2 + 6t) = ∫ (í 3 t3 + 2t2) (í2t + 6) dt = ∫ ( 3 t4 í 6t3 + 12t2) dt

112 t 4

6

+

4t3d

0 6

=0í

( Â 2 15

65

í

112

Â

6

64

+ 4Â

63

)=

4315

a y = 0 geeft sin(2t) = 0 2t = k  ʌ t = k  12 ʌ t = 0 geeft (0, 0) t = 12 ʌ geeft (2, 0) t = 16 ʌ geeft (1, 12 冑3 ) Noem V het deel van K boven de x-as en rechts van de y-as. t = 12 ʌ

O(V) =

∫

t = 12 ʌ

y dx =

t=0 1 ʌ 2

=

∫

∫

1 ʌ 2

sin(2t) d2sin(t) =

t=0

t = 12 ʌ

4 sin(t) cos2(t) dt =

0

∫

1 ʌ 2

∫ sin(2t) Â 2cos(t)dt = ∫ 2 sin(t) cos(t) Â 2 cos(t) dt 0

0

u=0

í4 cos2(t) d cos(t) =

t=0

∫

0

í4u2 du = cí113 u3d = 0 í í113 Â 13 = 113 1

u =1

Dus de oppervlakte van de twee vlakdelen samen is 4 Â 113 = 513 . t = 21 ʌ

b I(L) = 2 Â ʌ

∫

t=0 t = 21 ʌ

= 2ʌ

∫

t = 21 ʌ

y 2 dx = 2ʌ

∫

u =1

sin2(2t) d2 sin(t) = 2ʌ

t=0

4sin2(t)cos2(t)

t=0

t = 21 ʌ

1

t = 2ʌ

 2cos(t)d t = 16ʌ ∫

t=0

∫

(2sin(t)cos(t))2 Â 2 cos(t)d t

t=0 u =1

sin2(t)(1

í

sin2(t)) d sin(t)

= 16ʌ ∫ u2(1 í u2) du u=0

1

2 = 16ʌ ∫ (u2 í u4) du = 16ʌ c 13 u3 í 15 u5d = 16ʌ (13 í 15 ) í 16ʌ(0 í 0) = 215 ʌ u=0

© Noordhoff Uitgevers bv

0

Voortgezette integraalrekening 163

72

a x = 0 geeft 2 sin(t) = 0 t = kÂʌ t = íʌ geeft (0, 12 ʌ2) t = 0 geeft (0, 0) t = ʌ geeft (0, 12 ʌ2) K is symmetrisch ten opzichte van de y-as, want x(ít) = 2 sin(ít) = í2 sin(t) = íx(t) en y(ít) = 12 (ít)2 = 12 t2 = y(t). t= ʌ

O(V) = 2 Â

t= ʌ

ʌ

∫ x dy = 2 Â ∫ 2 sin(t)

t=0

d 12 t2

t=0 ʌ

ʌ

ʌ

= 2 Â ∫ 2 sin(t) Â tdt = 0

∫ 4t sin(t)dt

ʌ

0

ʌ

∫ 4 Â ícos(t) dt = 3 í4t cos(t) 4 0 + ∫ 4 cos(t) dt

= 34t  ícos(t) 4 0 í

0

ʌ

0

ʌ

= 3 í4t cos(t) 4 0 + 34 sin(t) 4 0 = í4ʌ Â í1 + 0 í (0 í 0) = 4ʌ t=ʌ

b I(L) = ʌ ∫

t=ʌ

x 2 dy

t =0 ʌ

=ʌ∫

ʌ

4 sin2 (t) d 12 t2

t=0

ʌ

= ʌ∫

4 sin2(t)

0

ʌ

 tdt = ʌ ∫ 4t sin2(t) dt 0 ʌ

ʌ

0

0

= ʌ ∫ 4t ( í cos(2t)) d t = ʌ ∫ (2t í 2t cos(2t)) dt = ʌ ∫ 2t dt í ʌ ∫ 2t cos(2t)dt 1 2

1 2

0

=

0

ʌ ʌ 3t2 4 0

0

ʌ

ʌ ʌ

í ʌ B2t  sin(2t)R í ʌ ∫ 2  sin(2t) dt = ʌ(ʌ2 í 0) í ʌ 3t sin(2t) 4 0 í ʌ ∫ sin(2t) dt 1 2

1 2

ʌ

0

ʌ

0

= ʌ3 í ʌ(0 í 0) + ʌ 3 12 cos(2t) 4 0 = ʌ3 í 12 ʌ + 12 ʌ = ʌ3

Diagnostische toets Bladzijde 224 1

a F(x) =

∫ 3x2(x3 + 2)4 dx = ∫ (x3 + 2)4 d(x3 + 2) = ∫ u4 du = 5 u5 + c = 5 (x3 + 2)5 + c

b F(x) =

∫ 3x冑x2 + 2 dx = ∫ 12 Â 冑x2 + 2 d(x2 + 2) = ∫ 12 冑u du = ∫ 12 u

1

1

1

1

1

1 2

1

du = u12 + c

= u冑u + c = (x2 + 2)冑x2 + 2 + c c F(x) =

∫ cos(x) Â (1 + sin3(x)) dx = ∫ (1 + sin3(x)) d sin(x) = ∫ (1 + u3) du = u + 4 u4 + c = sin(x) + 4 sin 4(x) + c

d F(x) =

∫ 3x2 cos(x3 + 2) dx = ∫ cos(x3 + 2) d(x3 + 2) = ∫ cos(u) du = sin(u) + c = sin(x3 + 2) + c

e F(x) =

∫ (2x í 1)3 dx = ∫ 6(2x í 1)í3 dx = í 2 Â 2 Â (2x í 1)í2 + c = í 2(2x í 1)2 + c

f F(x) =

∫ (4x + 6) ln(x2 + 3x) dx = ∫ 2 ln(x2 + 3x) d(x2 + 3x) = ∫ 2ln(u) du = 2(u ln(u) í u) + c

1

6

6

1

3

1

= 2(x2 + 3x) ln(x2 + 3x) í 2(x2 + 3x) + c e

2

a

∫ 1

冑ln(x) x

x=e

dx =

∫

x=1

1

∫

x = 12 ʌ

cos(x) sin3(x) d x =

c

x=3

6x

∫ x 2 + 1 dx = ∫

3Â

x =1

1

3

∫

1

冑u d = 23 0

c 2u 3

1

1

sin3(x) d sin(x) =

x=0

0

3

0

1 2

2

0

1 ʌ 2

b

1

冑ln(x) d ln(x) = ∫ 冑u d u = B 11 u1 R = 1

∫ u3 d u = 3 4 u4 4 0 = 4 1

1

0

1 d(x2 + 1) = x2 + 1

10

1

10

∫ 3 Â u du = 33ln 0 u 0 4 2

= 3 ln(10) í 3ln(2) = 3ln(5)

2

冑x + 1 = u geeft x = u2 í 1 3

∫

x2冑x + 1 dx =

0

u=2

∫

2

(u2 í 1)2 Â u d(u2 í 1) =

1

u =1

=

2 c u7 7

∫

2

(u4 í 2u2 + 1)  u  2u du =

í

164 Voortgezette integraalrekening

4 5 5u

+

2 3d 3u

2 1

2 7

∫ (2u6 í 4u4 + 2u2) du 1

4 5

2 3

= Â 128 í Â 32 + Â 8 í

(

2 7

4 5

í +

32 16 16 ) = 16105 í 105 = 16105

2 3

© Noordhoff Uitgevers bv

4

a F(x) =

∫ 4xsin(2x) dx = ∫ 4x d (í 2 cos(2x)) = í2x cos(2x) í ∫ í 2 cos(2x) d 4x 1

∫ 2cos(2x) dx = í2x cos(2x) + sin(2x) + c

= í2x cos(2x) + b G(x) =

1

∫ (2x + 3)ex dx = ∫ (2x + 3) dex = (2x + 3)ex í ∫ ex d(2x + 3) = (2x + 3)ex í ∫ 2ex dx

= (2x + 3)ex í 2ex + c = (2x + 1) ex + c c H(x) =

∫ x2 ln(x) dx = ∫ ln(x) d ( 3 x3) = 3 x3 ln(x) í ∫ 3 x3 d ln(x) 1

= 13 x3 ln(x) í 5

1

1

1

∫ 3 x3 Â x dx = 3 x3 ln(x) í ∫ 3 x2 dx = 3 x3 ln(x) í 9 x3 + c 1

1

1

1

1

a f (x) = (x2 í 2x) ex geeft f '(x) = (2x í 2) ex + (x2 í 2x) ex = (x2 í 2) ex f '(x) = 0 geeft x2 í 2 = 0 x2 = 2 x = í冑2 – x = 冑2 y ƒ 2 – 2

x

1

O

max. is f ( í冑2 ) = ( 2 + 2冑2 ) e í冑2 min. is f ( 冑2 ) = ( 2 í 2冑2) e冑2 b f (x) = 0 geeft x2 í 2x = 0 x(x í 2) = 0 x=0 – x=2 2

O(V) =

∫ 0

2

x=2

íf (x) dx = í ∫ (x2 í 2x) e x dx = í 0

∫

2

(x2 í 2x) de x = í 3(x2 í 2x) e x 4 0 +

x=0 2

2

= 3(íx +

x =2

∫ (2x í 2) e x dx = 3(íx2 + 2x) e x4 0 + ∫ (2x í 2) de x 0

2 2x) e x 4 0

+ 3(2x í

2 2)e x 4 0

x =0

x=2

í

∫

e x d(2x

2

í 2) = 3(íx + 4x í

2 2)e x 4 0

x=0

= 3(íx2 + 4x í 2) 6

a F(x) =

∫ e x d(x2 í 2x)

x =0

2 2 = 3(íx2 + 2x) e x 4 0 +

x =2

2 e x 40

í

2 32e x 4 0

= 3(íx2 + 4x í

2

∫ 2e x dx 0

2 4) e x 4 0

= 0 í í4 = 4

∫ 4x2 Â sin(2x) dx = ∫ 4x2 d (í 2 cos(2x)) = í2x2 cos(2x) í ∫ í 2 cos(2x) d 4x2 1

= í2x2 cos(2x) +

1

∫ 4x cos(2x) dx = í2x2 cos(2x) + ∫ 4x d( 2 sin(2x)) 1

= í2x2 cos(2x) + 2x sin(2x) í

∫ 2 sin(2x) d 4x = í2x2 cos(2x) + 2x sin(2x) í ∫ 2sin(2x) dx 1

= í2x2 cos(2x) + 2x sin(2x) + cos(2x) + c b G(x) =

∫ (x2 í x + 2) ex dx = ∫ (x2 í x + 2) dex = (x2 í x + 2) ex í ∫ ex d(x2 í x + 2)

= (x2 í x + 2) e x í

∫ (2x í 1) e x dx = (x2 í x + 2) e x í ∫ (2x í 1) d e x

= (x2 í x + 2) e x í (2x í 1) e x +

∫ e x d(2x í 1) = (x2 í 3x + 3) e x + ∫ 2e x dx

= (x2 í 3x + 3) ex + 2ex + c = (x2 í 3x + 5) ex + c

© Noordhoff Uitgevers bv

Voortgezette integraalrekening 165

c

∫ e x sin(2x) dx = ∫ sin(2x) de x = e x sin(2x) í ∫ e x d sin(2x) = e x sin(2x) í ∫ 2 cos(2x) Â e x dx = e x sin(2x) í

∫ 2cos(2x) de x = e x sin(2x) í 2e x cos(2x) + ∫ 2e x d cos(2x)

= ex sin(2x) í 2ex cos(2x) í

∫ 4 ex sin(2x) dx

Dus ∫ ex sin(2x) dx = ex sin(2x) í 2ex cos(2x) í 4 ∫ ex sin(2x) dx 5 ∫ ex sin(2x) dx = ex sin(2x) í 2ex cos(2x)

∫ ex sin(2x) dx = 5 ex sin(2x) í 5 ex cos(2x) 1

2

Dus de primitieven zijn H(x) = 15 ex (sin(2x) í 2 cos(2x)) + c. 1

7

a

∫

x2

í1

2冑3

b

∫ 0

2 1 dx = 32arctan(x) 4 í1 = 2arctan(1) í 2arctan(í1) = 2 Â 14 ʌ í2 Â í 14 ʌ = 12 ʌ + 12 ʌ = ʌ +1

4 dx = x2 + 4

2冑3

∫ 0

x = 2冑3

1 dx = 1 2 x +1 4

∫

2Â

x=0

1

( )

1 2 2x

d12 x = c2arctan ( 12 x)d

+1

2冑3 0

= 2arctan (冑3 ) í 2arctan(0) = 2 Â 13 ʌ í 0 = 23 ʌ 2

c

∫ 1

1 dx = 2 x í 2x + 2

2

1 dx = 2 x í 2x + 1 + 1

∫ 1

= 3arctan(x í 1

d

∫

í1

1 ʌ 2

e

∫ 0 1

f

∫ 0

8

3x2 dx = x6 + 1

x =1

∫

x = í1

1 (x3)2

+1

2 1)4 1

2

∫ 1

1 dx = (x í 1)2 + 1

x=2

∫

x=1

1 d(x í 1) (x í 1)2 + 1

= arctan(1) í arctan(0) = 14 ʌ

1 dx3 = 3arctan(x3)4 í1 = arctan(1) í arctan(í1) = 14 ʌ í (í 14 ʌ) = 12 ʌ

1

cos(x) dx = sin2(x) + 1 arctan2(x) dx = x2 + 1

x = 2ʌ

∫

x=0

1 1 2ʌ 3arctan(sin(x)) 4 dsin(x) = arctan(1) í arctan(0) = 14 ʌ = 2 0 sin (x) + 1

1

∫

arctan2(x) Â

0

1 dx = x2 + 1

x=1

∫

arctan2(x) d arctan(x) =

x=0

1 c1 arctan3(x)d 3 0

3

1 3 1 3 ʌ = 192 ʌ = 13 arctan3(1) í 13 arctan3(0) = 13 Â ( 14 ʌ) í 0 = 13 Â 64

a f (x) = 12 geeft

1 1 = x2 í 4x + 5 2 x2 í 4x + 5 = 2 x2 í 4x + 3 = 0 (x í 1)(x í 3) = 0 x=1 – x=3

y

V

ƒ y= 1

O

1

∫

1

f (x) dx =

0

∫ 0

x

3

1 dx = x2 í 4x + 5

1 2

1

∫ 0

1 dx = x2 í 4x + 4 + 1

1

∫ 0

1 dx = (x í 2)2 + 1

1 = 3arctan(x í 2)4 0 = arctan(í1) í arctan(í2) = í 14 ʌ + arctan(2)

x=1

∫

x=0

1 d(x í 2) (x í 2)2 + 1

1

1 2

O(V) = Â 1 í p

b

∫ f (x) dx = 2 í (í 4 ʌ + arctan(2)) = 2 + 4 ʌ í arctan(2) 1

1

1

1

0

p

∫ f (x) dx = 3arctan(x í 2)4 2 = arctan(p í 2) í arctan(0) = arctan(p í 2) 2

O(W) = 13 ʌ geeft arctan(p í 2) = 13 ʌ p í 2 = 冑3 p = 2 + 冑3 166 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 225 9

1

∫ 冑1 í 4x2 dx = ∫ 2 Â 冑1 í (2x)2 d(2x) = 2 arcsin(2x) + c

b G(x) =

∫ 冑1 í x10 dx = ∫ 冑1 í (x5)2 d(x5) = arcsin(x5) + c

c H(x) = 10

1

a F(x) =

1

5x4

∫

1

1

arcsin2(x) dx = 冑1 í x2

1

∫ arcsin2(x) Â 冑1 í x2 dx = ∫ arcsin2(x) d arcsin(x) = 3 arcsin3(x) + c 1

a x + 4 / 3x + 4 \ 3 3x + 12 í í8 1

∫

í1

3x + 4 dx = x+4

1

∫

í1

(

)

8 1 dx = 33x í 8 ln 0 x + 4 0 4 í1 x+4

3í

௘ = 3 í 8 ln(5) í (í3 í 8ln(3)) = 6 í 8 ln(5) + 8 ln(3) = 6 + 8 ln ( 35 ) b 2x í 3/x2 í 2x + 4 \ 12 x í 14 x2 í 112 x í í 12 x + 4 í 12 x + 34 í 314 3

∫ 2

x2 í 2x + 4 dx = 2x í 3

c x+

(

3

∫ 2

1 2x

í 14 +

)

314 dx = 2x í 3

c 1 x2 4

0 0d í 14 x + 13 8 ln 2x í 3

3 2

1 13 1 13 1 5 = 94 í 34 + 13 8 ln(3) í (1 í 2 + 8 ln(1)) = 12 + 8 ln(3) í 2 = 1 + 18 ln(3) 2 íx+1\x íx

1/x3

x3 + x2 í íx2 í x + 1 íx2 í x í 1 3

∫ 1

x3 í x + 1 dx = x+1

3

∫ 1

(

=9í 11

x2 í x +

412

)

1 dx = x+1

+ ln(4) í

(

1 3

c 1 x3 3

í 12 x2 + ln 0 x + 1 0 d

í + ln(2)) = 1 2

423

3 1

+ ln(4) í ln(2) = 423 + ln(2)

x2 í 3x geeft x+1 (x + 1)(2x í 3) í (x2 í 3x)  1 2x2 í 3x + 2x í 3 í x2 + 3x x2 + 2x í 3 f '(x) = = = (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 2 f '(x) = 0 geeft x + 2x í 3 = 0 (x í 1)(x + 3) = 0 x = 1 – x = í3

a f (x) =

y

ƒ –3

O

1

x

max. is f (í3) = í9 min. is f (1) = í1 © Noordhoff Uitgevers bv

Voortgezette integraalrekening 167

b f (x) = 0 geeft x2 í 3x = 0 x(x í 3) = 0 x=0 – x=3 x + 1/x2 í 3x \x í 4 x2 + x í í4x í4x í 4 í 4 3

3

(

O(V) = í ∫ f (x) dx = í ∫ x í 4 + 0

0

)

3 4 dx = í c 12 x2 í 4x + 4ln 0 x + 1 0 d 0 x+1

= í (412 í 12 + 4ln(4)) + (0 í 0 + 4ln(1)) = 712 í 4ln(4) 12

a x2 + 1 / x2 í 4x \1 x2 +1 í í4x í 1 x2 í 4x F(x) = ∫ 2 dx = x +1

∫

(

1+

)

í4x í 1 dx = x2 + 1

∫

(

1í

b x2 í 4x + 4 / x2 + 4x \1 x2 í 4x + 4 í 8x í 4 x2 + 4x 8x í 4 G(x) = ∫ 2 dx = ∫ 1 + 2 dx = x í 4x + 4 x í 4x + 4

(

)

)

∫

(

1+

)

8(x í 2) + 12 dx (x í 2)2

)

∫

(

x2

a(x + 1) + b(x í 1) 6 6 a b + = = = (x í 1)(x + 1) í 1 (x í 1)(x + 1) x í 1 x + 1

8 + 12(x í 2)í2 d x xí2 12 +c = x + 8ln 0 x í 2 0 í 12(x í 2)í1 + c = x + 8ln 0 x í 2 0 í xí2 =

c h(x) = =

1+

8 12 dx = + x í 2 (x í 2)2

(

)

4x 1 í dx = x í 2ln(x2 + 1) í arctan(x) + c x2 + 1 x2 + 1

∫

1+

ax + a + bx í b (a + b)x + a í b = (x í 1)(x + 1) (x í 1)(x + 1)

a+b=0 aíb=6 + 2a = 6 a=3 e b = í3 a+b=0 3 3 Dus h(x) = í en dit geeft H(x) = 3ln 0 x í 1 0 í 3ln 0 x + 1 0 + c. xí1 x+1 e

168 Voortgezette integraalrekening

© Noordhoff Uitgevers bv

13

a

a(x + 3) + b(x + 1) b 3x + 2 a 3x + 2 + = = = x + 1 x + 3 (x + 1)(x + 3) + 4x + 3 (x + 1)(x + 3) ax + 3a + bx + b (a + b)x + 3a + b = = (x + 1)(x + 3) (x + 1)(x + 3) a+b=3 e 3a + b = 2 í í2a = 1 a = í 12 e í1 + B = 3 a+b=3 2 1 B = 32 x2

1

∫ 0

3x + 2 dx = x2 + 4x + 3 =

1

∫

(

)

1 31 í 12 + 2 dx = c í 12 ln 0 x + 1 0 + 312 ln 0 x + 3 0 d 0 x+1 x+3

0 í 12 ln(2)

+ 312 ln(4) í (í 12 ln(1) + 312 ln(3)) = í 12 ln(2) + 312 ln(22) í 312 ln(3)

= í 12 ln(2) + 7ln(2) í 312 ln(3) = 612 ln(2) í 312 ln(3) 4

b

∫ 3

2x + 3 dx = x2 í 6x + 10

4

∫ 3

4

2x í 6 + 9 dx = x2 í 6x + 10

∫ 3

(

)

9 2x í 6 dx + x2 í 6x + 10 (x í 3)2 + 1

4 = c ln 0 x2 í 6x + 10 0 + 9 arctan(x í 3) d 3

= ln(2) + 9arctan(1) í (ln(1) + 9arctan(0)) = ln(2) + 9 Â 14 ʌ = 214 ʌ + ln(2) c x2 + 9 / x4 \ x2 í 9 4 2 x + 9x í í9x2 2 í 81 í9x í 81 3

∫ 0

x4 dx = 2 x +9 =

3

∫ 0

(

x2 í 9 +

c 1 x3 3

)

81 dx = x2 + 9

í 9x + 9 Â 3 arctan (

3

∫ 0

)

1 d 3x

( 3 0

x2 í 9 +

)

9 dx = 1 2 x +1 9

3

∫ 0

(

x2 í 9 + 9 Â

1

( 13 x) 2 + 1

)

dx

= 9 í 27 + 27arctan(1) í (0 í 0 + 27 arctan(0))

= í18 + 27 Â 14 ʌ = 634 ʌ í 18 14

a x(t) = 0 geeft 4t í t2 = 0 t(4 í t) = 0 t=0 – t=4 y(t) = 0 geeft t3 í 4t2 + 3t = 0 t(t2 í 4t + 3) = 0 t(t í 1)(t í 3) = 0 t=0 – t=1 – t=3 t = 0 geeft (0, 0) y t=4

V t=0 O

© Noordhoff Uitgevers bv

t = 1, t = 3

x

Voortgezette integraalrekening 169

t=3

O(V ) =

∫

t=1

y dx í

∫ y dx

t =0

t=4

∫ y dx = ∫ (t3 í 4t2 + 3t) d(4t í t2) = ∫ (t3 í 4t2 + 3t)(4 í 2t) d t = ∫ (í2t4 + 12t3 í 22t2 + 12t) dt 3 2 = í 25 t5 + 3t4 í 22 3 t + 6t + c 3

1

4

0

4 7 3 2d í c 2 t 5 + 3t 4 í 22 t 3 + 6t 2 d O(V ) = cí 25 t5 + 3t4 í 22 í5 = 145 í í1414 3 t + 6t 3 15 í (115 í 0) = 1515 t=1

b O(W) =

∫

t=3 t=1

t=1

y dx =

∫

1

4 8 3 2d (t3 í 4t2 + 3t) d(4t í t2) = cí 25 t5 + 3t4 í 22 = 145 í 115 = 15 3 t + 6t

t=3 t=1

3

1

c I(L) = ʌ ∫ y2 dx = ʌ ∫ (t3 í 4t2 + 3t)2 d(4t í t2) = ʌ ∫ (t3 í 4t2 + 3t)2(4 í 2t) d t t=0

t=0

De optie fnInt (TI) of

170 Voortgezette integraalrekening

0

∫ d x geeft I(L) § 2,01.

© Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 2012 Bladzijde 228

A-vragen 1

Bekijk het linker plaatje. Op de plaats van het sterretje moet een getal staan waar 27 en 6 beide deelbaar door zijn. Dit geeft twee mogelijkheden: 1 of 3. De eerste mogelijkheid valt af, want dan zou op de plek van de dubbele ster het getal 27 staan, terwijl 36 hier niet door deelbaar is. Met de tweede mogelijkheid kunnen we de hele tabel stap voor stap invullen (zie het rechter plaatje). We zien dat 12 het grootste getal is dat tweemaal voorkomt. Dus D is het goede antwoord.

∗∗

× 24

36 27

∗ 6

7

×

3

56

8

24 72 16 56

4 3

12 36 9 27

6

18 54 12 42

8 6

18

42

2

Een palindroomgetal van vijf cijfers wordt precies bepaald door de eerste drie cijfers: het laatste cijfer is dan gelijk aan het eerste cijfer en het vierde cijfer is gelijk aan het tweede cijfer. De eerste twaalf 5-cijferige palindroomgetallen zijn dus 10001, 10101, 10201, … , 10901, 11011, 11111. Het twaalfde getal is dus 11111. Dus A is het goede antwoord.

3

We tellen eerst het aantal gelijkzijdige driehoeken: daarvan zijn er drie. Vervolgens tellen we de gelijkbenige driehoeken die niet gelijkzijdig zijn. Voor zo’n driehoek zijn er negen mogelijkheden voor de ‘top’. Daarna zijn er drie mogelijkheden voor de ‘basis’. Dit geeft 9 × 3 = 27 mogelijkheden. In totaal zijn er dus 3 + 27 = 30 gelijkbenige driehoeken. Dus B is het goede antwoord.

4

Verschillende letters kunnen bij hetzelfde hoekpunt van de dipiramide horen. De vijf hoekpunten zijn G = F = J, K = M, H, I en L. De punten H en I hebben vier buren, dus dat zijn hoekpunten van de grijze driehoek. Het punt K = M heeft ook vier buren: I, H, L en G = F = J, dat is dus het laatste hoekpunt van de grijze driehoek. Dus B is het goede antwoord.

5

Het aantal blauwe sokken in de la noemen we b. Om zeker te weten dat hij twee blauwe sokken heeft, moet Frank 12 sokken pakken. In het slechtste geval pakt hij namelijk eerst de tien rode sokken. Om zeker te weten dat hij twee rode sokken heeft, moet hij b + 2 sokken pakken. In het slechtste geval pakt hij namelijk eerst de b blauwe sokken. Gegeven is dat dit tweede aantal tweemaal zo groot is als het eerste, dus b + 2 = 2 × 12 = 24. Hieruit volgt dat b = 22. Het totaal aantal sokken is dan 22 + 10 = 32. Dus D is het goede antwoord.

6

Driehoek EAB, driehoek EPQ en driehoek ETU zijn gelijkvormig, omdat |AE| : |PE| : |TE| = 4 : 3 : 1 = |BE| : |QE| : |UE| en “ AEB = “PEQ = “ TEU (zhz). Hieruit volgt dat |AB| : |PQ| : |TU| = 4 : 3 : 1. Hieruit volgt dat |AB| = 4, zodat de oppervlakte van driehoek ABE gelijk is aan 12  4  4 = 8. Vanwege de gelijkvormigheid hebben driehoeken PQE en TUE daarom oppervlakte ( 34 )2  8 = 412 respectievelijk ( 14 )2  8 = 12 . De oppervlakte van de vierhoek is dus 412 í 12 = 4. Dus B is het goede antwoord.

© Noordhoff Uitgevers bv

2 8 6

7 28 21

E

D

T

P

C

U

R

A

9

S

3

Q

B

Wiskunde Olympiade 171

Bladzijde 229 7

Omdat er maar twee verschillende uitkomsten zijn, kunnen er maar twee verschillende getallen op de kaarten voorkomen. Immers, als drie kaarten verschillende getallen dragen, dan geven ze in combinatie met een tweetal van de overige drie kaarten elk een andere uitkomst. Noem de twee getallen die voorkomen a en b. We mogen wel aannemen dat a op minstens drie kaartjes voorkomt. Omdat a + a + a, a + a + b en a + b + b verschillend zijn, mag b maar eenmaal voorkomen. Er zijn nu twee gevallen: a + a + a = 16, a + a + b = 18 en a + a + a = 18, a + a + b = 16. De eerste mogelijkheid valt af omdat 16 geen drievoud is (a was een geheel getal). We zien dus dat a = 18 3 = 6 en b = 16 í 12 = 4. Het kleinste getal dat voorkomt is dus 4. Dus D is het goede antwoord.

8

Als a, b, c, d vier opeenvolgende getallen in de rij zijn, dan geldt d = a í 1, want uit het gegeven volgt dat b + c + d = (a + b + c) í 1. Met andere woorden, als je in de rij drie posities verder gaat, vind je een getal dat 1 kleiner is dan het getal waar je begon. De getallen op de posities 3, 6, 9, …, 2013 (= 3 + 3 × 670) zijn dus precies 2012, 2011, …, (2012 í 670 =) 1342. Dus E is het goede antwoord. B-vragen

1

De getallen waarvan het product van de cijfers 25 is bestaan uit twee vijven en drie enen. Het aantal hiervan, a, is gelijk aan het aantal manieren om de drie enen te plaatsen. Er is dan namelijk maar één manier om de twee vijven te plaatsen. De getallen waarvan het product van de cijfers 15 is bestaan uit een drie, een vijf en drie enen. Het aantal hiervan, b, is gelijk aan het aantal manieren om eerst de drie enen te plaatsen en om vervolgens op twee manieren de drie en de vijf te plaatsen. Er geldt dus a dat b = 2a, zodat = 12 . b

2

Het punt F is het midden van AB (en het middelpunt van de halve cirkel). De punten D en E zijn de middens van BC en AC. Ze liggen op de halve cirkel omdat de driehoeken BDF en AEF gelijkzijdig zijn. Teken de cirkelboog tussen D en E van de cirkel met middelpunt C en straal E |CE| = 6. Omdat “ AFE = “ EFD = 60°, geldt dat het cirkelsegment bij lijnstuk AE precies dezelfde afmetingen heeft als het cirkelsegment boven lijnstuk DE. Het cirkelsegment onder DE heeft ook die afmetingen omdat de twee cirkels rond C en F gelijke stralen hebben. Het A cirkelsegment bij lijnstuk BD kan dus precies naar het cirkelsegment onder DE geschoven worden. De drie grijze gebiedjes hebben samen precies dezelfde oppervlakte als cirkelsector CED en die heeft oppervlakte 16 (ʌ  62) = 6ʌ.

3

4

C

D

F

B

Het aantal hokjes in de lengte van de rechthoek noemen we a en het aantal in de breedte noemen we b. We mogen wel aannemen dat a > b. Het totaal aantal hokjes in de rechthoek is ab en het aantal hokjes aan de rand is gelijk aan 2a + 2b í 4. Gegeven is dat de helft van de hokjes aan de rand ligt, dus ab = 2(2a + 2b í 4). Herschrijven geeft ab í 4a í 4b + 16 = 8. Het linkerlid kunnen we ontbinden, zodat we vinden dat (a í 4)(b í 4) = 8. Omdat a en b positieve gehele getallen zijn met a > b, zijn de enige mogelijkheden a í 4 = 8, b í 4 = 1 en a í 4 = 4, b í 4 = 2. De mogelijkheden waarbij a í 4 en b í 4 negatief zijn vallen namelijk af, omdat b í 4 dan hoogstens í4 is en b dan niet positief is. Ofwel a = 12, b = 5 en a = 8, b = 6. Voor de rechthoek geeft dit 12 × 5 = 60 of 8 × 6 = 48 hokjes in totaal. Met Regel 1 vinden we: 32 8 = 12 + 16 8 = 22 + 8 Uit Regel 2 met y = 2 en x = 8 volgt: 4 8 = 64 2. 2 = 12 + 32 Herhaald toepassen van Regel 1 geeft 64 Samenvoegen en Regel 3 invullen geeft 32 8 = 32 + 4

172 Wiskunde Olympiade

8 = 32 + 4

8.

2 = 22 + 16 8 = 32 + 64

2 = … = 52 + 2 2. 2 = 82 + 2 2 = 11 2 .

© Noordhoff Uitgevers bv

2013 A-vragen Bladzijde 230 1

Gegeven is dat het stoplicht rood is op 12:05. Voor een stoplicht van periode 1 liggen de kleuren voor de tijdstippen 12:05 t/m 12:12 dan vast, die zijn afwisselend rood en groen. Voor periode 2 zijn er twee mogelijkheden en voor periode 3 zijn er drie mogelijkheden: periode

12:05

12:06

12:07

12:08

12:09

12:10

12:11

12:12

1 min

rood

groen

rood

groen

rood

groen

rood

groen

2 min

rood

rood

groen

groen

rood

rood

groen

groen

2 min

rood

groen

groen

rood

rood

groen

groen

rood

3 min

rood

rood

rood

groen

groen

groen

rood

rood

3 min

rood

rood

groen

groen

groen

rood

rood

rood

3 min

rood

groen

groen

groen

rood

rood

rood

groen

Van deze zes mogelijkheden voldoen er drie aan de voorwaarde dat het licht rood is op 12:12. Voor de tijdstippen 12:08 en 12:09 geeft dit twee kleurcombinaties: rood-rood en groen-groen. Dus B is het goede antwoord. 2

Tweemaal de lengte van een rechthoekje is gelijk aan driemaal zijn breedte. De verhouding lengte : breedte is dus 3 : 2. Met een omtrek van 20, moeten de lengte en breedte dus gelijk zijn aan 6 en 4. De oppervlakte van een rechthoekje is dan 6 × 4 = 24 en de oppervlakte van rechthoek ABCD is vijfmaal zo groot, dus 5 × 24 = 120. Dus C is het goede antwoord.

3

Voor de sommen van tweetallen zien we dat e + a < c + d < a + b < b + c < d + e. Elke som van vier getallen kun je krijgen door twee van deze tweetallen op te tellen. Zo is bijvoorbeeld a + b + c + e gelijk aan (e + a) + (b + c). Van alle viertallen heeft het viertal a; c; d; e de kleinste som, want a + c + d + e = (e + a) + (c + d) is de som van de twee kleinste tweetallen. Het overgebleven getal, namelijk b, is dus het grootst van de vijf. Immers, het grootste getal is het getal waarvoor de overige vier getallen de kleinste som hebben. Dus B is het goede antwoord.

4

De volgorde waarin lampjes worden ingedrukt maakt niet uit voor het eindresultaat. Door de drie lampjes in de bovenste rij in te drukken veranderen alle lampjes van aan naar uit. De lampjes in de bovenste rij veranderen namelijk driemaal van toestand en de overige lampjes precies éénmaal. Het is niet mogelijk alle lampjes uit te krijgen door twee (of minder) lampjes in te drukken. Immers, er zal dan een lampje zijn dat niet in dezelfde rij of kolom staat als een van de ingedrukte lampjes. Dit lampje zal dus aan blijven. Dus A is het goede antwoord.

5

We mogen voor het gemak wel aannemen dat er 20 dozen zijn; dat maakt voor de verhoudingen niet uit. Van de 20 dozen zijn er dus 5 leeg. Van de 5 dozen die worden geopend blijkt een vijfde niet leeg te zijn, precies 1 doos. Omdat er 4 geopende dozen leeg zijn, blijft er nog precies 1 lege doos over onder de 15 ongeopende dozen. Dus C is het goede antwoord.

6

We verdelen de zeshoek in zes gelijkzijdige driehoekjes en de driehoek in vier gelijkzijdige driehoekjes zoals in de ¿guur. Omdat de zeshoek en de driehoek gelijke omtrek hebben, zijn de zijden van de driehoek tweemaal zo lang als die van de zeshoek. De driehoekjes in deze verdelingen zijn dus even groot. De verhouding tussen de oppervlaktes is daarom 6 : 4 ofwel 3 : 2. Dus D is het goede antwoord.

© Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 173

7

We bekijken de laatste vier cijfers van de machten van 5: 51 = 0005 52 = 0025 53 = 0125 54 = 0625 55 = 3125 56 = 15 625 57 = 78 125 58 = 39 0625 Bij het berekenen van de laatste vier cijfers van een macht van 5, is het voldoende om de laatste vier cijfers van de vorige macht van 5 te weten. Zo zijn de laatste vier cijfers van 58 = 390625 en van 54 = 0625 gelijk, namelijk 3125. Omdat de laatste vier cijfers van 54 en 58 gelijk zijn, zullen de laatste vier cijfers van de machten van 5 zich vanaf daar elke vier stappen herhalen. De laatste vier cijfers van 52013 zijn dus gelijk aan die van 52009 en van 52005, enzovoorts tot en met die van 55 = 3125. De laatste vier cijfers zijn dus 3125. Dus C is het goede antwoord. Bladzijde 231

8

Omdat elk van de twintig leerlingen een ander aantal vragen goed had, werd in totaal minstens 0 + 1 + 2 + … + 19 = 190 keer een vraag goed beantwoord. Aangezien elke vraag hoogstens 1 driemaal goed werd beantwoord, waren er minstens 190 3 = 633 vragen en dus ook minstens 64. Een situatie met 64 vragen is ook daadwerkelijk mogelijk. Laat de twintig leerlingen achtereenvolgens 0 tot en met 19 vragen goed hebben. We verdelen de leerlingen in drie groepen: I bestaat uit de leerlingen met 0, 1, 2, 3, 4, 17, 18 of 19 vragen goed, II bestaat uit de leerlingen met 5, 6, 7, 14, 15 of 16 vragen goed en III bestaat uit de leerlingen met 8, 9, 10, 11, 12 of 13 vragen goed. Voor elk van de drie groepen is het totale aantal juist beantwoorde vragen niet meer dat 64. Voor elke groep kunnen we het dus zó kiezen dat de juist beantwoorde vragen van die leerlingen allemaal verschillend zijn. Zo wordt elke vraag door hoogstens drie leerlingen goed beantwoord. Dus B is het goede antwoord. B-vragen

1

We bekijken alleen getallen met de even cijfers 2, 4 en 8. Als zo’n getal eindigt op cijfer 4 of 8, dan is het getal een veelvoud van 20 plus 4 of 8 en dus deelbaar door 4. Als zo’n getal eindigt op cijfer 2, dan is het een veelvoud van 20 plus 2 en dus niet deelbaar door 4. Het laatste cijfer moet dus een 2 zijn. De overgebleven cijfers kunnen we van laag naar hoog sorteren. We vinden dan 244 882.

2

Driehoeken ADF, BDA en BAF zijn gelijkvormig (hh). Daarom geldt

()

0 AF 0 0 BF 0 b 0 BA 0 b . Oftewel = = = a 0 DA 0 a 0 DF 0 0 AF 0 b 3 Dus vinden we = . a 2

2

=

0 AF 0 0 DF 0

Â

0 BF 0 0 AF 0

=

F

0 BF 0

9 = . 0 DF 0 4

C

D

a

A

3

De tijd die Fred erover doet om van de middelste naar de laatste halte te ¿etsen en daarna naar de middelste halte terug te rennen, is gelijk aan de tijd die het hem kost om van de middelste halte naar de eerste halte te ¿etsen plus de tijd die hij nodig heeft om van de middelste naar de laatste halte te rennen. Immers, de afstanden tot de twee haltes zijn gelijk. Gegeven is dat dit precies gelijk is aan de tijd die de bus nodig heeft om naar de eerste halte te rijden plus de tijd om naar de laatste halte te rijden. Dit is samen precies gelijk aan tweemaal de tijd die de bus nodig heeft om naar de middelste halte te rijden: 2 × 15 = 30 minuten.

4

De combinatie “2013” komt 13 keer voor als onderdeel van een van de volgende getallen: 2013, 12013, 22013 en 20130 t/m 20139. Daarnaast komt “2013” ook voor als eind van een getal gevolgd door het begin van het volgende getal. De verschillende mogelijke splitsingen zijn: 2|013 komt niet voor, want geen getal begint met een ‘0’. 20|13 komt 11 keer voor: 1320|1321 en 13020|13021 t/m 13920|13921. 201|3 komt slechts 1 keer voor: 3201|3202, want we noteren geen getallen groter dan 30 000. Het is makkelijk na te gaan dat “2013” niet voorkomt als combinatie van drie opeenvolgende getallen. In totaal komt “2013” dus 13 + 11 + 1 = 25 keer in de cijferrij voor.

174 Wiskunde Olympiade

b

B

© Noordhoff Uitgevers bv

2014 A-vragen Bladzijde 232 1

2

3

Stel dat we het veld B2 zwart kleuren. Dan mogen de 8 velden eromheen niet meer zwart gekleurd worden: de velden boven, onder, links en rechts van B2 staan namelijk in dezelfde kolom of rij als B2, en de andere vier velden raken diagonaal aan B2. Zo blijven alleen rij 4 en kolom D over en in elk mogen we maar één vakje zwart kleuren. In totaal kunnen dan niet meer dan 3 vakjes zwart worden gekleurd. We concluderen dat B2 niet zwart gekleurd mag worden. Op dezelfde manier kunnen we aÀeiden dat de velden B3, C2 en C3 niet zwart gekleurd mogen worden. In rij 2 kunnen we dus alleen A2 of D2 zwart kleuren. Als we A2 zwart kleuren, dan moeten we in rij 3 wel D3 zwart kleuren, want A3 staat in dezelfde kolom als A2. Voor rijen 1 en 4 is het dan alleen nog mogelijk om C1 en B4 zwart te kleuren. Dit geeft één oplossing. Als we in plaats van A2 vakje D2 zwart kleuren, vinden we de oplossing waarin D2, A3, B1 en C4 zwart gekleurd worden. In totaal zijn er dus 2 manieren om de zwart te kleuren hokjes te kiezen. Dus B is het goede antwoord. 3 Uit de gegevens leiden we af dat 25 Â 34 = 10 van de karpers gele vrouwtjes zijn. 3 Omdat de helft van de karpers vrouwtjes zijn, vinden we 12 í 10 = 15 van de karpers rode vrouwtjes zijn. Als we dan ten slotte gebruiken dat drie vijfde van de karpers rood is, vinden we 35 í 15 = 25 van de karpers rode mannetjes zijn. Dus D is het goede antwoord.

De reis waarin de kikker achtereenvolgens de velden 3, 6, 1, 4, 7, 2 en 5 bezoekt (of juist in omgekeerde volgorde) laat zien dat velden 3 en 5 mogelijke beginvelden zijn van een reis. We zullen zien dat dit ook de enige mogelijke beginvelden zijn. We noemen twee velden buren als de kikker van het ene veld naar het andere kan springen (en dus ook van de ander naar de een). Elke tussenstop in de reis van de kikker is dus een veld met minstens twee buren: het veld waar hij vandaan komt en het veld waar hij naartoe gaat. Omdat de velden 3 en 5 slechts één buur hebben (veld 6 respectievelijk veld 2), moeten dit wel het beginpunt en eindpunt zijn van zijn reis. De andere velden kunnen dan alleen nog tussenstops zijn. Dus C is het goede antwoord. Bladzijde 233

4

We bekijken de bovenrand van de papieren ring. Deze rand heeft lengte 4 × 4 = 16. In de opgevouwen ¿guur volgt de bovenrand de rechthoek EFGH. Omdat |AE| = |BF| = |CG| = |DH| = 1, zien we dat |AB| + |FG| + |CD| + |EH| = 16 í 4 = 12. Deze vier lengtes zijn gelijk aan de lengte van de zijden van het vierkant ABCD. De zijden van het vierkant hebben dus lengte 12 4 = 3. Dus B is het goede antwoord. E

1 4

A

D

B

C

F

5

H

G

Noem het aantal deelnemers n. Het aantal deelnemers dat vóór Dion ¿nishte, is 12 (n í 1) (de helft van alle deelnemers behalve Dion). Het aantal deelnemers dat vóór Jaap ¿nishte, is 34 (n í 1). Omdat er tussen Dion en Jaap precies 10 deelnemers ¿nishten, volgt dat 34 (n í 1) í 12 (n í 1) gelijk is aan 11 (Dion zelf en de 10 deelnemers tussen Dion en Jaap). Er volgt dat 14 (n í 1) = 11, dus n = 4 × 11 + 1 = 45. Het aantal deelnemers was dus 45. Dus E is het goede antwoord.

© Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 175

6

We kleuren eerst de twee aangegeven tegels onderaan met twee verschillende kleuren. Dat kan op zes manieren: drie mogelijkheden voor de eerste tegel en dan voor elke keuze twee mogelijkheden voor de tweede tegel. In de ¿guur zijn de kleuren rood (r) en groen (g) gekozen. Nu de eerste twee tegels zijn gekleurd, liggen de kleuren van de 2 meeste tegels vast. De tegel met nummer 1 kan enkel nog blauw 3 1 zijn. Vervolgens moet tegel 2 wel rood zijn en dan moet tegel 3 wel g blauw zijn. Zodoende liggen de kleuren van alle andere tegels vast, r behalve van de twee tegels helemaal rechts (wit in de ¿guur). Voor deze laatste twee tegels zijn er drie mogelijke kleuringen. De bovenste en onderste tegel worden óf groen en rood, óf blauw en rood, óf blauw en groen. Voor elk van de zes toegestane kleuringen van de eerste twee tegels zijn er zo precies drie manieren om de kleuring af te maken. In totaal zijn er dus 6 × 3 = 18 mogelijke kleuringen. Dus D is het goede antwoord.

7

Merk op dat hoek AMB gestrekt is. Er geldt dus dat “AMD + “ DMC + “CMB = 180°. Merk op dat “ CMB = “ MDA omdat driehoeken AMD en BMC gelijk zijn (drie dezelfde zijden). Dus geldt dat “ DMC = 180° í “AMD í “MDA = “ DAM, want de drie hoeken van driehoek AMD zijn samen 180 graden. De driehoeken DMC en DAM zijn dus twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde tophoek. Ze zijn daarom aan elkaar gelijk op een vergrotingsfactor na. Dat wil zeggen dat

0 CD 0 0 DM 0

=

0 DM 0 . De lengte van CD is dus gelijk aan 58 Â 5 = 25 8 . 0 AD 0

Dus C is het goede antwoord.

Bladzijde 234 8

Vanaf het genoemde punt kunnen we in dezelfde tijd 42% van de afstand stroomopwaarts varen en 58% van de afstand stroomafwaarts. Dat betekent dat de boot 58 42 keer zo snel gaat met de stroom 25 + v 58 mee als tegen de stroom in. Noemen we de stroomsnelheid v, dan vinden we dus dat = . 25 í v 42 Dit geeft 58 Â (25 í v) = 42 Â (25 + v) ofwel 1450 í 58v = 1050 + 42v. We vinden dat 400 = 100v ofwel v = 4. Dus B is het goede antwoord. C

B-vragen 1

De zes rechthoeken hebben gelijke oppervlakte. De rechthoeken c en d zijn tweemaal zo hoog als rechthoek a en dus tweemaal zo smal. Zij hebben dus breedte 52 . Rechthoek e heeft dan breedte 5 5 2 + 2 + 5 = 10 en is daarom half zo hoog als rechthoek a. Maar dan is rechthoek f precies 52 maal zo hoog als rechthoek a en heeft dan 5 breedte 5 = 2. 2

Het hele vierkant heeft daarom zijden van lengte 5 + 52 + 52 + 2 = 12. Omdat het vierkant 52 maal zo hoog is als rechthoek a, volgt dat de hoogte van 12 rechthoek a gelijk is aan 0 BC 0 = 5 = 24 5 .

ƒ

d

c

a

5

B

b

e

2

2

Er is één rijtje met enkel peren. Nu tellen we de rijtjes met minstens één appel. In zo’n rijtje moeten alle appels direct achter elkaar staan, want tussen twee appels mag nooit een peer staan. Willen we bijvoorbeeld 8 appels kiezen, dan kunnen die op posities 1 t/m 8, op posities 2 t/m 9, of op posities 3 t/m 10 staan, drie mogelijkheden in totaal. Op deze manier vinden we voor 10 appels 1 rijtje, voor 9 appels 2 rijtjes, voor 8 appels 3 rijtjes, en zo door tot en met 1 appel waarvoor er 10 rijtjes zijn. In totaal vinden we dus 1 + 2 + 3 + … + 10 = 55 rijtjes met minstens één appel. Het totaal aantal rijtjes is daarom 55 + 1 = 56.

176 Wiskunde Olympiade

© Noordhoff Uitgevers bv

3

Een goede strategie is om eerst kleine voorbeelden te bekijken. Zo vinden we achtereenvolgens 9×4 99 × 44 999 × 444 9999 × 4444

40 í 4 4400 í 44 444000 í 444 44440000 í 4444

36 4356 443556 44435556

2013 vieren

s

2014 vieren

s

2014 nullen

s

2014 vieren

s

s

Het patroon zal duidelijk zijn. Om de vraag te beantwoorden merken we op dat 999…99 = 1000...00 í 1, waarbij het eerste getal 2014 nullen heeft. Het product is daarom gelijk aan 444…44 000…00 í 444…44 = 444…44 3 555 …55 6. 2013 vijven

Als we de cijfers hiervan optellen, krijgen we 2013 Â 4 + 3 + 2013 Â 5 + 6 = 2013 Â 9 + 9 = 18 126. 4

We laten eerst zien dat elke mooie tabel een score van minstens 3 4 4 3 heeft. Bekijk zo’n tabel en noem het getal precies in het midden a. De vijf getallen in de middelste rij hebben a als gemiddelde en zijn niet 4 4 3 allemaal gelijk aan a. Minstens een van deze vijf getallen moet dus 3 3 0 kleiner zijn dan a. Op dezelfde manier moet (minstens) een van de vijf getallen in de middelste kolom kleiner zijn dan a, zeg getal b. Omdat b 4 4 3 het gemiddelde is van de getallen in zijn rij, is een van de vijf getallen 0 0 −9 in deze rij kleiner dan b en dus ook kleiner dan a. We hebben nu drie getallen gevonden op verschillende plekken in de tabel, die elk kleiner zijn dan het getal precies in het midden. De score is dus minstens 3. In de ¿guur aan de rechterkant zie je dat er een mooie tabel bestaat met score 3. Een score van 3 is dus de laagst mogelijke score.

© Noordhoff Uitgevers bv

4

0

4

0

3

−9

4

0

0

−36

Wiskunde Olympiade 177

Gemengde opgaven 9 Exponentiële en logaritmische functies Bladzijde 235

a1 a x + 4 > 0 geeft x > í4, dus D f = 8í4, m 9 en de verticale asymptoot is de lijn x = í4. x í 1 > 0 geeft x > 1, dus Dg = 81, m 9 en de verticale asymptoot is de lijn x = 1. b y

g

ƒ

x

O

x = −4

x=1

3log(x

c Voer in y1 = 2 + + 4) en y2 = 3 + 2log(x í 1). Intersect geeft x = 2,652… f (x) • g(x) geeft í1 < x ” 2,65 d f (x) = 5 geeft 2 + 3log(x + 4) = 5 3log(x + 4) =3 x + 4 = 27 x = 23 y ƒ y=5

O

23

x

x = −4

f (x) ” 5 geeft í4 < x ” 23 e AB = g(6) í f (6) = 1,226… Dus AB § 1,23. f f (x) = 2 geeft 2 + 3log(x + 4) = 2 3log(x + 4) =0 x+4=1 x = í3 Dus P(í3, 2). g(x) = 2 geeft 3 + 2log(x í 1) = 2 2log(x í 1) = í1 x í 1 = 12 x = 112 1 Dus Q (12 , 2) . PQ = 112 í í3 = 412

178 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

10

a2 a A = 30 Â 34t + 2 30 Â 34t + 2 = A 1 A 34t + 2 = 30

c q = 6 Â 10 p 10

6 Â 10 p

1 4t = í2 + 3log( 30 A) 1 t = í 12 + 14 Â 3log( 30 A)

b y = 2 + 3 Â 56x í 4 2 + 3 Â 56x í 4 = y 3 Â 56x í 4 = y í 2 56x í 4 = 13 y í 23

( (

6x í 4 = 6x = 4 +

5log 1 y 3

=q

10 p

1 A) 4t + 2 = 3log( 30

5log 1 y 3

+6

+6

í

2 3

í

2 3

) )

x = 23 + 16 Â 5log( 13 y í 23 )

10 + 6 = 16 q 10 + 6 = log( 16 q) p 10 = í6 + log( 16 q) p p ( í6 + log( 16 q)) = 10 10 p= í6 + log ( 16 q) d K = 20  32t í 1 20  32t í 1 = K 1 32t í 1 = 20 K 1 32t  3í1 = 20 K 1 32t  13 = 20 K 3 (32)t = 20 K 3 9t = 20 K 3 t = 9log( 20 K)

1

a3 a 2 Â 3log(2x í 3) + 3 log(2x + 1) = 2 3log(2x í 3) 2 í 3log(2x + 1) =2

(

3log

)

(2x í 3)2 =2 2x + 1

(2x í 3)2 = 32 2x + 1 (2x í 3)2 = 9(2x + 1) 4x2 í 12x + 9 = 18x + 9 4x2 í 30x = 0 4x ( x í 712 ) = 0 x = 0 – x = 712 vold. niet vold. b 8log(2x + 1) = 4log(25) 2log(2x

+ 1) 2log(25) = 2 2log(8) log(4)

2log(2x

3

2log(2x

+ 1)

=

2log(25)

c 5log2(x + 2) = 6  5log(x + 2) + 7 5log 2(x + 2) í 6 5log(x + 2) í 7 =0  Stel 5log(x + 2) = u. u2 í 6u í 7 = 0 (u + 1)(u í 7) = 0 u = í1 – u = 7 5log(x + 2) = í1 – 5log(x + 2) = 7 í1 x + 2 = 5 – x + 2 = 57 x = í2 + 15 – x = 57 í 2 x = í145 – x = 78 123 vold. vold. d 4 log(x) = 23 + log(x) (22) log(x) = 23 + log(x) 22 log(x) = 23 + log(x) 2log(x) = 3 + log(x) log(x) = 3 x = 1000 vold.

2 + 1) = 112 Â 2log(52)

2log(2x

+ 1) = 2log(53) 2x + 1 = 53 2x = 124 x = 62 vold. a4 a 9x = 3x + 2 x (32) = 3x + 2 2 x (3 ) = 3x + 2 Stel 3x = u. u2 = u + 2 u2 í u í 2 = 0 (u + 1)(u í 2) = 0 u = í1 – u = 2 3x = í1  3x = 2 geen opl. x = 3log(2)

© Noordhoff Uitgevers bv

b log2(x) + 1 = 212 log(x) Stel log(x) = u. u2 + 1 = 212 u u2 í 212 u + 1 = 0

( u í 12 ) (u í 2) = 0

u = 12 – u = 2 log(x) = 12 – log(x) = 2 1 x = 102 – x = 102 x = 冑10 – x = 100 vold. vold.

Gemengde opgaven 179

c

ex =2 ex í 2 ex = 2(ex í 2) ex = 2ex í 4 íex = í4 ex = 4 x = ln(4)

f ln 2(x í 2) = 4 ln(x í 2) = 2 – ln(x í 2) = í2 x í 2 = e2 – x í 2 = eí2 1 x = 2 + e2 – x = 2 + 2 e g 3  22x + 1 + 1 = 5  2x 3  22x  2 + 1 = 5  2x 6  22x + 1 = 5  2x 6  (2x)2 í 5  2x + 1 = 0 Stel 2x = u. 6u2 í 5u + 1 = 0 D = (í5)2 í 4  6  1 = 1 5í1 1 5+1 1 u= =3 –u= =2 12 12 2x = 13 – 2x = 12

d ln(3x + 2) = 12 1 3x + 2 = e2 3x + 2 = 冑e 3x = í2 + 冑e x = í 23 + 13 冑e e ln(4x) í ln(x + 4) = 1 4x ln =1 x+4 4x =e x+1 4x = e x + 4e 4x í e x = 4e (4 í e)x = 4e 4e x= 4íe

( )

x = 2log ( 13 ) – x = í1 h x  2íx + 1 = 4x  2í3x + 1 x = 0 – 2íx + 1 = 4  2í3x + 1 x = 0 – 2íx + 1 = 22  2í3x + 1 x = 0 – 2íx + 1 = 2í3x + 3 x = 0 – íx + 1 = í3x + 3 x = 0 – 2x = 2 x=0 – x=1

a5 a gjaar = 1,096 geeft 1,096T = 2, dus T = 1,096log(2) = 7,56… De verdubbelingstijd is 7 jaar en 0,56… × 12 § 7 maanden. b gdag = 0,83 geeft 0,83T = 12 , dus T = 0,83log ( 12 ) = 3,72… De halveringstijd is 3,72… Â 24 § 89 uren. 1 c gmaand = 2 geeft gdag = 230 = 1,0233… De toename per dag is 2,3%. 1 d g8,3 dagen = 12 , dus gdag = ( 12 ) 8,3 = 0,919… 0,919… t = 0,01 geeft t = 0,919… log(0,01) = 55,1… Dus na 55 dagen is nog 1% over. Bladzijde 236

a6 a A Lijn door (0, 5000) en (10, 20 000), dus g10 jaar = gjaar = 40,1 Dus NA(t) = 5000 Â (40,1)t = 5000 Â 40,1t.

20 000 = 4. 5000

B Lijn door (0, 80 000) en (10, 10 000), dus g10 jaar =

10 000 = 0,125. 80 000

gjaar = 0,1250,1 Dus NB(t) = 80 000  (0,1250,1)t = 80 000  0,1250,1t. NB(t) = 2  NA(t) geeft 80 000  0,1250,1t = 2  5000  40,1t 80 000  0,1250,1t = 10 000  40,1t 8  0,1250,1t = 40,1t 0,1x Voer in y1 = 8  0,125 en y2 = 40,1x. Intersect geeft x = 6. Dus voor t = 6 is NB(t) = 2  NA(t). b N(t) = NA(t) + NB(t) = 5000  40,1t + 80 000  0,1250,1t N'(t) = 5000  0,1  40,1t  ln(4) + 80 000  0,1  0,1250,1t  ln(0,125) = 500  40,1t  ln(4) + 8000  0,1250,1t  ln(0,125) Voer in y1 = 500  40,1x  ln(4) + 8000  0,1250,1x  ln(0,125). De optie Zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x = 9,169… Dus op t § 9,2 is het totale aantal minimaal.

180 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

a7 a f (x) = x2 ex í 1 geeft f '(x) = 2x  ex í 1 + x2  ex í 1 = (x2 + 2x)ex í 1 b g(x) = ln 2(x) + ln(x2) = (ln(x))2 + ln(x2) geeft 2ln(x) 2 2ln(x) + 2 1 1 + 2  2x = + = x x x x x 3x2 í 2x 1 2 3 2 c h(x) = log(x í x ) geeft h'(x) = 3  (3x2 í 2x) = 3 2 2 (x í x )ln(2) (x í x )ln(2) g'(x) = 2ln(x) Â

d j(x) = ln(ln(2x)) geeft j'(x) =

1 1 1 1 Â 3ln(2x) 4' = Âx = ln(2x) ln(2x) x ln(2x)

a8 a y = 2ex translatie (3, 0)

y = 2ex í 3 1 Er geldt y = 2ex í 3 = 2ex  eí3 = 3  2ex. e

1 Dus de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 3 levert dezelfde beeld¿guur op. e b y = ln(2x) verm. y-as, 3

y = ln( 2  13 x) = ln( 23 x) Er geldt ln( 23 x) = ln( 13  2x) = ln( 13 ) + ln(2x) = ln(2x) + ln( 13 ) . Dus de translatie ( 0, ln ( 13 )) levert dezelfde beeld¿guur op. a9 a f (x) = (x2 í 2x)ex + 1 geeft f '(x) = (2x í 2)  ex + 1 + (x2 í 2x)  ex + 1 = (x2 í 2)ex + 1 f '(x) = 0 geeft (x2 í 2)ex + 1 = 0 x2 í 2 = 0 x2 = 2 x = 冑2 – x = í冑2 y ƒ

2 − 2

O

x

Dus x = í冑2 en x = 冑2. b f (x) = 0 geeft (x2 í 2x)ex + 1 = 0 x2 í 2x = 0 x(x í 2) = 0 x=0 – x=2 Dus A(2, 0) en f '(2) = (22 í 2)e2 + 1 = 2e3 y = 2e3x + b r 2e3  2 + b = 0 door A(2, 0) b = í4e3 Dus raaklijn: y = 2e3x í 4e3. Snijpunt met de y-as is B(0, í4e3). O(+ABC) = 12  OA  OB = 12  2  4e3 = 4e3

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 181

c f '(x) = (x2 í 2)ex + 1 geeft f ''(x) = 2xex + 1 + (x2 í 2)ex + 1 = (x2 + 2x í 2)ex + 1 f ''(x) = 0 geeft (x2 + 2x í 2)ex + 1 = 0 x2 + 2x í 2 = 0 D = 22 í 4  1  í2 = 12 í2 + 2冑3 í2 í 2冑3 x= – x= 2 2 x = 1 + 冑3 – x = 1 í 冑3 Dus x = 1 + 冑3 en x = 1 í 冑3. d P is het snijpunt van de gra¿ek van f en de lijn x + y = 10. Voer in y1 = (x2 í 2x)ex + 1 en y2 = 10 í x. Intersect geeft x = 2,155… en y = 7,844… y 7,844… § 3,64. Dus a = = x 2,155…

10

1 x  4  í (2 + 4 ln(x))  1 4 í 2 í 4 ln(x) 2 í 4 ln(x) 2 + 4ln(x) x geeft f4 '(x) = a f4(x) = = = x x2 x2 x2 f4 '(x) = 0 geeft 2 í 4ln(x) = 0 í4ln(x) = í2 ln(x) = 12 1 x = x2 = 冑e y

ƒ4

x

e

O

2 + 4 Â 12

(冑 )

4 . e 1 x  p  í (2 + pln(x))  1 p í 2 í pln(x) 2 + pln(x) x b fp(x) = geeft fp '(x) = = 2 x x x2 fp '(x) = 0 geeft p í 2 í p ln(x) = 0 ípln(x) = íp + 2 pí2 ln(x) = p f4 (冑e ) =

(冑e )2

4 = , dus top e

x=e

e,

pí2 p

y

ƒp

x

O

Max. is fp ( e

182 Gemengde opgaven

pí2 p

)=

2 + p e

pí2 p

pí2 p

© Noordhoff Uitgevers bv

B fp = 8 k, p4 geeft

2+pí2

=p pí2 e p pí2 p = pe p pí2 p=0 –1 = e p pí2 vold. niet =0 p p=2

Bladzijde 237 11

a f (x) = g(x) geeft ln(4x) = ln

() 1 x

1 4x = x 4x2 = 1 x2 = 14 x = í 12 – x = 12 vold. niet vold. f ( 12 ) = ln(2) geeft A ( 12 , ln(2)) 1 1 1 f (x) = ln(4x) geeft f '(x) = en g(x) = ln = ln(xí1) = íln(x) geeft g'(x) = í . x x x

()

Stel y = ax + b met a = f ' ( 12 ) = 2. y = 2x + b 1 r 2 Â 2 + b = ln(2) door A ( 12 , ln(2)) b = ln(2) í 1 y = 2x + ln(2) í 1 snijdt de y-as in (0, ln(2) í 1). Stel y = ax + b met a = g' ( 12 ) = í2. y = í2x + b í2 Â 12 + b = ln(2) door A ( 12 , ln(2)) r b = ln(2) + 1 y = í2x + ln(2) + 1 snijdt de y-as in (0, ln(2) + 1). De lengte van het gevraagde lijnstuk is ln(2) + 1 í (ln(2) í 1) = 2. b Stel xP = p. 1 PS = g( p) = ln p 1 1 PQRS is een vierkant, dus PQ = PS = ln p ¶ xQ = p + ln p xP = p

()

()

()

() ( ( )) ( ( ( ))) ( ( ) ( ( )) () ()

1 1 1 geeft QR = f p + ln = ln 4 p + ln p p p PQRS is een vierkant, dus PS = QR 1 1 ln = ln 4p + 4 ln p p 1 1 = 4p + 4ln p p 1 1 Voer in y1 = en y2 = 4x + 4 ln . x x Intersect geeft x = 0,1065… Dus xP § 0,107. xQ = p + ln

© Noordhoff Uitgevers bv

= ln 4p + 4 ln

( )) 1 p

Gemengde opgaven 183

10 Meetkunde met vectoren m

12

m

m

a BC = c í b = door A(2, 3) m

m

m

b rAB = b í a =

() ( ) ( ) () () () () ( ) () ( ) ( ) () 8 5 8í5 3 í = = 6 6+2 8 í2

¶ k:

x 2 3 +Ȝ = y 3 8

5 2 5í2 3 5 m í , dus nAB = . = = 3 3 í2 í2 í 3 í5

AB: 5x + 3y = c r c = 5 Â 2 + 3 Â 3 = 19 door A(2, 3) 5x + 3y = 19 f 5 Â 77 + 3 Â í122 = 19 D(77, í122) 19 = 19 Dit klopt, dus D ligt op AB. c lijnstuk AC: lijnstuk AC:

( ) ( ) (( ) ( )) () () () () () () () ( ) () x 2 +Ȝ = 3 y

8 2 í 6 3

met 0 ” Ȝ ” 1

x 2 6 +Ȝ met 0 ” Ȝ ” 1 = y 3 3

Ook kan lijnstuk AC: d C(8, 6) op de lijn

x 2 2 +Ȝ met 0 ” Ȝ ” 3. = 3 1 y

x p 3 p + 3Ȝ = 8 +Ȝ geeft b = 22 + 8Ȝ = 6 y 22 8 b

p + 3Ȝ = 8 8Ȝ = í16

b

p + 3Ȝ = 8 Ȝ = í2

Ȝ = í2 invullen in p + 3Ȝ = 8 geeft p + 3 Â í2 = 8 pí6=8 p = 14 Dus voor p = 14. 13

a Stel k: y = ax + b. y = ax + b r a+b=6 door B(1, 6) b=6ía Dus k: y = ax + 6 í a ofwel k: ax í y + 6 í a = 0. d(A, k) = 2 geeft

0 í3a í 4 + 6 í a 0 冑a2 + 1

=2

= 2冑a2 + 1 (í4a + = 4(a2 + 1) 2 16a í 16a + 4 = 4a2 + 4 12a2 í 16a = 0 4a(3a í 4) = 0 a = 0 – a = 113 a = 0 geeft k: y1 = 6 en a = 113 geeft k2: 113 x í y + 6 í 113 = 0 ofwel k2: 4x í 3y + 14 = 0. 6í4 2 1 b Stel AB: y = ax + b met a = = = . 1 í í3 4 2 y = 12 x + b r 1  í3 + b = 4 door A(í3, 4) 2 1 í12 + b = 4 b = 512

0 í4a + 2 0

2)2

184 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

Dus AB: y = 12 x + 512 ofwel 12 x í y + 512 = 0 en dit geeft x í 2y = í11. l evenwijdig met AB geeft l: x í 2y = c. d(l, AB) = 2冑5 0 c + 11 0

冑12 + 22

= 2冑5

0 c + 11 0 = 冑5  2冑5 c + 11 = 10 – c + 11 = í10 c = í1 – c = í21 Dus l1: x í 2y = í1 en l2: x í 2y = í21. c AB:

( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) x í3 +Ȝ = y 4

1 í3 í 6 4

=

4 í3 +Ȝ 4 2

Dus P(í3 + 4Ȝ, 4 + 2Ȝ) op AB. d(P, m) = 5 geeft

0 3(í3 + 4Ȝ) + 4(4 + 2Ȝ) í 7 0 冑32 + 42

0 í9 + 12Ȝ + 16 + 8Ȝ í 7 0 0 20Ȝ 0 = 25

=5

= 5冑25

20Ȝ = 25 – 20Ȝ = í25 Ȝ = 114 – Ȝ = í114

Ȝ = 114 geeft ( í3 + 4 Â 114 , 4 + 2 Â 114 ) = ( 2, 612 ) Ȝ = í114 geeft ( í3 + 4 Â í114 , 4 + 2 Â í114 ) = ( í8, 112 ) Dus de punten zijn ( 2, 612 ) en ( í8, 112 ) . m

m

m

d AB = b í a =

() ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )Â( ) ( )Â( ) 冑 1 4 í3 í = 6 4 2

0 3 í3 í = 4 í1 í5 4 3 2 2 2 í5 12 í 10 2 cos(“ (AB, AC)) = = = 4 3 冑 冑 20  34 680 2 2 2 2 2 í5 “(AB, AC) § 85,6° m

m

m

AC = c í a =

14 a

a Substitutie van x = í1 + 5Ȝ en y = íȜ in 3x + 2y = 10 geeft 3(í1 + 5Ȝ) + 2 Â íȜ = 10 í3 + 15Ȝ í 2Ȝ = 10 13Ȝ = 13 Ȝ=1 Ȝ = 1 geeft x = í1 + 5 = 4 en y = í1. Dus het snijpunt is (4, í1). 5 m m b m C k, dus nm = rk = . í1 m: 5x í y = c r c = 5 Â í1 í 3 = í8 door A(í1, 3) Dus m: 5x í y = í8. c P(í1 + 5Ȝ, íȜ) 0 3(í1 + 5Ȝ) + 2 Â íȜ í 10 0 r =冑13 d(P, k) = 冑13 冑32 + 22 0 í3 + 15Ȝ í 2Ȝ í 10 0 = 冑13 冑13

( )

0 13Ȝ í 13 0 = 13 13Ȝ í 13 = 13 – 13Ȝ í 13 = í13 13Ȝ = 26 – 13Ȝ = 0 Ȝ=2 – Ȝ=0 Ȝ = 2 geeft x = í1 + 5  2 = 9 en y = í2 Ȝ = 0 geeft x = í1 en y = 0 Dus de punten zijn (9, í2) en (í1, 0). © Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 185

( )

()

5 1 m geeft n k = 5 í1 x + 5y = c r c = í1 + 5 Â 0 = í1 door (í1, 0) Dus k: x + 5y = í1. m

d rk =

05 + 5Â4 + 1 0

26 = 冑26 冑 + 冑26 Dus de vergelijking van de cirkel is: (x í 5)2 + (y í 4)2 = 26. d(M, k) =

12

52

=

Bladzijde 238 15 a

a Stel k: y = 3x + b. Substitutie van y = 3x + b in x2 + y2 = 10 geeft x2 + (3x + b)2 = 10 x2 + 9x2 + 6bx + b2 = 10 10x2 + 6bx + b2 í 10 = 0 Raken, dus D = 0. (6b)2 í 4  10  (b2 í 10) = 0 36b2 í 40b2 + 400 = 0 í4b2 = í400 b2 = 100 b = 10 – b = í10 Dus k1: y = 3x + 10 en k2: y = 3x í 10. b Stel l: y = ax + b. y = ax + b 4a + b = 2 door A(4, 2) r b = í4a + 2 Dus l: y = ax í 4a + 2 ofwel ax í y í 4a + 2 = 0. d(O, l) = 冑10 geeft

0 0 í 0 í 4a + 2 0 冑a2 + 1

= 冑10

0 í4a + 2 0 = 冑10(a2 + 1)

(í4a + 2)2 = 10(a2 + 1) 16a2 í 16a + 4 = 10a2 + 10 6a2 í 16a í 6 = 0 3a2 í 8a í 3 = 0 D = 82 í 4  3  í3 = 100 8 + 10 8 í 10 a= =3 – a= = í 13 6 6 Dus l1: y = 3x í 4  3 + 2 ofwel l1: y = 3x í 10 en l2: y = í 13 x í 4  í 13 + 2 ofwel l2: y = í 13 x + 313 . c Noem de raakpunten P en Q. 冑10 r sin(“OBQ) = geeft “ OBQ = 52,23…° = OB 4 “PBQ = 2  52,23…° = 104,47…° 180° í 104,47…° = 75,52…° Dus “ (m1, m2) § 75,5°. 16 a

a c: x2 + y2 í 6x í 4y = 0 x2 í 6x + y2 í 4y = 0 (x í 3)2 í 9 + (y í 2)2 í 4 = 0 (x í 3)2 + (y í 2)2 = 13 Het punt A(6, 4) ligt op de cirkel met middelpunt M(3, 2) en straal 冑13. m 6 3 3 3 m De raaklijn k staat loodrecht op MA = í , dus n k = . = 4 2 2 2 k: 3x + 2y = c r c = 3 Â 6 + 2 Â 4 = 26 door A(6, 4) Dus k: 3x + 2y = 26.

() () ()

186 Gemengde opgaven

()

© Noordhoff Uitgevers bv

b Noem de raakpunten P en Q. 冑10 冑10 r geeft “OBQ = 35,95…° sin(“MBQ) = = = 2 2 MB 冑(8 í 3) + (0 í 2) 冑29 “PBQ = 2  35,95…° = 71,91…° Dus “ (l1, l2) § 71,9°. c m evenwijdig met n: 3x + 2y = 10 geeft m: 3x + 2y = c. Raken, dus d(M, m) = r

03Â3 + 2Â2 í c 0 冑32 + 22

= 冑13

0 13 í c 0 = 13 169 í 26c + c2 = 169 c2 í 26c = 0 c(c í 26) = 0 c = 0 – c = 26 Dus m1: 3x + 2y = 0 en m2: 3x + 2y = 26. 17 a

() ( )Â( ) ( )Â( ) m

a l: x + 3y = 12 geeft nl =

( )

1 3 m en r l = . 3 í1

3 í2 2 0 í6 í 3 0 3 í1 9 cos(“ k, l) = = = 3 冑 í2 13  冑10 冑130 2 2 2 2 3 í1 “(k, l) § 37,9° 3 í2 m m b rk = geeft nk = 3 2 3x + 2y = c r c = 3Â1 + 2Â2 = 7 door (1, 2) Dus k: 3x + 2y = 7. x = 2t í 6 en y = í5t + 4 substitueren in 3x + 2y = 7 geeft 3(2t í 6) + 2(í5t + 4) = 7 6t í 18 í 10t + 8 = 7 í4t = 17 t = í414 1 1 1 1 t = í44 geeft x = 2  í44 í 6 = í142 en y = í5  í44 + 4 = 2514 . 2

( )

()

Dus het snijpunt is ( í1412 , 2514 ) .

() ( ) ( ) ( )

c m: x = 2t í 6 • y = í5t + 4 geeft m: m

m

n loodrecht op m geeft n n = r m = n: 2x í 5y = c r n: 2x í 5y = 0 door O

x 2 í6 +t = y 4 í5

2 í5

d p C l, dus p: 3x í y = c r c = 3 Â 6 í 8 = 10 door A(6, 8) Dus p: 3x í y = 10. x = 1 í 2Ȝ en y = 2 + 3Ȝ substitueren in 3x í y = 10 geeft 3(1 í 2Ȝ) í (2 + 3Ȝ) = 10 3 í 6Ȝ í 2 í 3Ȝ = 10 í9Ȝ = 9 Ȝ = í1 Ȝ = í1 geeft x = 1 í 2 Â í1 = 3 en y = 2 + 3 Â í1 = í1 Dus het snijpunt is (3, í1).

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 187

18 a

Breng een assenstelsel aan met de oorsprong in A, noem B het punt (1, 0) en noem C( p, q). m m p AC = c = q m

() ( ) () () ( ) ( ) () ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( )

m

f = AC L = m

íq p

m p 1 pí1 q í geeft BC R = = 0 1íp q q

m

m

BC = c í b = m

m

1 q 1+q + = 0 1íp 1íp

m

g = b + BC R =

1 1+q 1 íq + = 12 = 21 p 1íp 1 2 Dus de plaats van M is onafhankelijk van de plaats van C.

m

m

m

m = 12 ( f + g ) = 12

19 a

m

m

m

a AD = d í a = m

m

m

() () ( ) () () ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) 0 a ía í = d d 0

0 d d + = d a a+d

c = d + AD R = m

m

m

AC = AD + AD R = m

m

m

d día ía + = d a d+a

a a+d 2a + d + = 0 aíd aíd

p = a + AC R =

2a + d = 10 a í d = í1 + 3a = 9 a=3 r 3 í d = í1 a í d = í1 d=4 Dus a = 3 en d = 4. b x+y=6 r 2a + d + a í d = 6 P(2a + d, a í d) 3a = 6 a=2 m 4+d dí2 m en AC = a = 2 geeft p = 2íd d+2 P(10, í1) geeft b

m

m

m

q = p + AC =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4+d dí2 2d + 2 + = 2íd d+2 4

y = 12 x2 f 1 (2d + 2)2 = 4 Q(2d + 2, 4) 2 (2d + 2)2 = 8 2d + 2 = 2冑2 – 2d + 2 = í2冑2 d + 1 = 冑2 – d + 1 = í冑2 d = í1 + 冑2 – d = í1 í 冑2 vold. vold. niet Dus d = í1 + 冑2. Bladzijde 239 20 a

m

a BH = m

() p q

m

d = BH L = m

m

( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( íq p

m

AD = d í a = m

m

m

f = d + AD L =

188 Gemengde opgaven

a íq íq í a í = 0 p p

íq íp íp í q + = p píqía íq í a

) © Noordhoff Uitgevers bv

m

m

( ) () ( () () ( () ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )

m

b j =d+h= m

m

p píq íq + = p q p+q p c píc í = q q 0

m

CH = h í c = m

m

m

l = h + CH R = m

m

m

m

m

JL = l í j = m

f = j + JL L =

c

(

) )

(

p q p+q + = q qíp+c cíp

) ( ) (

)

p+q píq 2q í = qíp+c p+q í2p + c

)

píq 2p í c 3p í q í c + = p+q 2q p + 3q

)

3p í q í c íp í q geeft = píqía p + 3q

b

íp í q = 3p í q í c p í q í a = p + 3q

b

í4p = íc í4q = a

b

p = 14 c q = í 14 a

Dus H ( 14 c, í 14 a) . d p = 14 c en q = í 14 a geeft m

JL =

( ) ( () ( )

) ( )

2q í1 a í1 a = 12 = 12 geeft JL2 = ( í 12 a) 2 + í2p + c í2 c + c 2c

( 12 c) 2 = 14 a2 + 14 c2

1 p c 2 2 1 2 1 2 c + 16 a = 41 geeft BH 2 = ( 14 c) + ( í 14 a) = 16 q í4 a 1 2 1 2 Dus O(JLMF) = JL2 = 14 a2 + 14 c2 = 4 ( 16 a + 16 c ) = 4 Â BH 2 = 4 Â O(BHJD).

m

BH =

c

Bladzijde 240 21 a

x(t) = t2 í 4t x'(t) = 2t í 4 a b geeft b 4 3 2 y(t) = t í 4t + 4t y'(t) = 4t3 í 12t2 + 8t evenwijdig aan de x-as als y'(t) = 0 • x'(t)  0 4t3 í 12t2 + 8t = 0 • 2t í 4  0 4t(t2 í 3t + 2) = 0 • 2t  4 4t(t í 1)(t í 2) = 0 • t  2 (t = 0  t = 1  t = 2) • t  2 t=0 t=1 t = 0 geeft het punt (0, 0). t = 1 geeft het punt (í3, 1) Dus evenwijdig met de x-as in de punten (0, 0) en (í3, 1). evenwijdig aan de y-as als x'(t) = 0 • y'(t)  0 t=2•t0•t1•t2 vold. niet Dus geen punten waarin de raaklijn evenwijdig is met de y-as. b Naar links betekent x'(t) < 0 2t í 4 < 0 2t < 4 t 0. y'(t) > 0 geeft 0 < t < 1  t > 2 x'(t) < 0 • y'(t) > 0 t < 2 • (0 < t < 1  t > 2) 0 4冑2. d x2 + 1 / x3 + 10x \ x x3 + x í 9x 9x f (x) = x + 2 x +1 3

O(V ) =

3

∫ f (x)dx = ∫ 0

0

(

)

9x x+ 2 dx = x +1

3

∫ 0

(

x + 412 Â

)

2x dx = x2 + 1

c

1 2 2x

+ 412 ln(x2 + 1)d

3 0

= 412 + 412 ln(10) í 0 = 412 + 412 ln(10) 49 a

a f (x) = (2x2 + x í 1) ex geeft f '(x) = (4x + 1)ex + (2x2 + x í 1)ex = (2x2 + 5x)ex f '(x) = 0 geeft (2x2 + 5x)ex = 0 2x2 + 5x = 0 x(2x + 5) = 0 x = 0 – x = í212 y ƒ

1

–2 2

x

O

f (0) = í1 en f (í212 ) = 9 eí22 = 1

9 9 1 = 2 冑e 2 2 e  e

(

Dus de toppen zijn (0, í1) en í212 , 206 Gemengde opgaven

)

9 . e2 Â 冑e © Noordhoff Uitgevers bv

b f (x) = 0 geeft (2x2 + x í 1) ex = 0 2x2 + x í 1 = 0 D = 12 í 4  2  í1 = 9 í1 + 3 1 í1 í 3 x= =2 –x= = í1 4 4

∫ (2x2 + x í 1)ex dx = ∫ (2x2 + x í 1)dex = (2x2 + x í 1)ex í ∫ ex d(2x2 + x í 1) = (2x2 + x í 1)ex í ∫ (4x + 1)ex dx = (2x2 + x í 1)ex í ∫ (4x + 1)dex = (2x2 + x í 1)ex í (4x + 1)ex + ∫ ex d(4x + 1) = (2x2 + x í 1)ex í (4x + 1)ex + ∫ 4ex dx =

(2x2 + x í 1)ex í (4x + 1)ex + 4ex = (2x2 í 3x + 2)ex 1 2

O(V ) = í ∫ f (x) dx = í c (2x2 í 3x + 2)ex d

1 2

= í ( 12 í 112 + 2) e 2 + (2 + 3 + 2)eí1 = íe2 + 7eí1 = 1

í1

1

í1

p

(

7 í 冑e e

)

p 7 7 1 í 冑e í 冑e geeft í 3(2x2 í 3x + 2)ex 4 í1 = e 2e 2 í1 7 7 1 í 冑e í(2p2 í 3p + 2)e p + = e 2e 2 7 í(2p2 í 3p + 2)e p = í í 12 冑e 2e 7 1 2 p (2p í 3p + 2)e = + 冑e 2e 2 7 1 Voer in y1 = (2x2 í 3x + 2)ex en y2 = + 冑e. 2e 2 Intersect geeft x = í0,1130… Dus p § í0,113.

c í ∫ f (x)dx = 12

d booglengte =

1 2

1 2

í1

í1

∫ 冑1 + ( f '(x))2 dx = ∫ 冑1 + (2x2 + 5x)2e2x dx 1 2

De optie fnInt (TI) of

∫ dx (Casio) geeft ∫ 冑1 + (2x2 + 5x)2 e2x dx = 2,6169...

Dus omtrek(V ) = 112 + 2,6169... § 4,117.

í1

Bladzijde 247 50 a

a F(x) =

1

1

1

1

1

∫ 4 x3 dx = 4 x4 ln(x) í 16 x4 + c F(x) = ∫ x ln(x3)dx = ∫ 3xln(x)dx = ∫ 3ln(x)d 12 x2 = 3ln(x) Â 12 x2 í ∫ 12 x2 d3ln(x) = 14 x4 ln(x) í

b

1

∫ x3 ln(x)dx = ∫ ln(x)d ( 4 x4) = 4 x4 ln(x) í ∫ 4 x4 dln(x) = 4 x4 ln(x) í ∫ 4 x4 Â x dx

= 112 x2 ln(x) í c Fn(x) =

1

1

3

1

∫ 2 x2 Â x dx = 12 x2 ln(x) í ∫ 12 x dx = 12 x2 ln(x) í 4 x2 + c 1

1

1

1

1

1

3

1

∫ xn ln(x)dx = ∫ ln(x)d n + 1 xn + 1 = n + 1 xn + 1 ln(x) í ∫ n + 1 xn + 1 d ln(x)

1 n +1 1 1 n +1 1 n +1 x ln(x) í ∫ x x ln(x) í Â x dx = n+1 n+1 n+1 1 1 n +1 x ln(x) í xn + 1 + c = n+1 (n + 1)2 =

1

∫ n + 1 x n dx

∫ x ln(x)dx = 2 x2 ln(x) í 4 x2 + c. Fm(x) = ∫ x ln(xm)dx = ∫ mx ln(x)dx = 12 mx2 ln(x) í 14 mx2 + c

d Uit c volgt

© Noordhoff Uitgevers bv

1

1

Gemengde opgaven 207

51 a

a f1(x) = 2 ln2(x) í 2 ln(x) f1(x) = 0 geeft 2ln2(x) í 2ln(x) = 0 2ln(x)(ln(x) í 1) = 0 ln(x) = 0 – ln(x) = 1 x=1 – x=e y

ƒ

O

1

x

e

1

∫ 2ln2(x)dx = 2x ln2(x) í ∫ 2xd ln2(x) = 2xln2(x) í ∫ 2x  2ln(x)  x dx = 2xln2(x) í ∫ 4ln(x)dx = 2xln2(x) í 4(xln(x) í x) + c = 2x ln2(x) í 4xln(x) + 4x + c

∫ 2ln(x)dx = 2(xln(x) í x) = 2xln(x) í 2x e

∫

e

f1(x)dx =

1

e

∫ (2ln2(x) í 2ln(x))dx = 32x ln2(x) í 4xln(x) + 4x í (2x ln(x) í 2x) 4 1 1

e

= 32x ln2(x) í 6x ln(x) + 6x 4 1 = 2e í 6e + 6e í (0 í 0 + 6) = 2e í 6 De oppervlakte is í(2 e í 6) = 6 í 2 e. b fp(x) = 0 geeft 2ln2(x) í 2p ln(x) = 0 2ln(x)(ln(x) í p) = 0 ln(x) = 0 – ln(x) = p x = 1 – x = ep Uit a volgt Fp(x) = 2xln2(x) í 4xln(x) + 4x í 2pxln(x) + 2px + c ep

ep

∫ fp(x)dx = 32x ln2(x) í 4xln(x) + 4x í 2pxln(x) + 2px 4 1 1

= 2e p  p2 í 4e p  p + 4e p í 2pe p  p + 2pe p í (0 í 0 + 4 í 0 + 2p) = 2p2 e p í 4pe p + 4e p í 2p2 e p + 2p e p í 4 í 2p = í2pe p + 4e p í 4 í 2p = (4 í 2p)e p í 4 í 2p fp(x) ” 0 voor 1 ” x ” e p, dus opp = (2p í 4)e p + 2p + 4. opp = 8 geeft (2p í 4)e p + 2p + 4 = 8 (2p í 4)e p + 2p í 4 = 0 (2p í 4)(e p + 1) = 0 2p í 4 = 0 – e p + 1 = 0 geen opl. 2p = 4 p=2 Dus voor p = 2. 52 a

a f (x) = x + eíx geeft f '(x) = 1 í eíx f '(x) = 0 geeft 1 í e íx = 0 e íx = 1 íx = 0 x=0 y

ƒ

O

x

min. is f (0) = 1 B f = 31, m 9 208 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

p

b O(Vp) = 6 geeft

∫ (x + eíx)dx = 6 íp

c

1 2 2x

1 2 2p

p

í eíx d íp = 6

í eíp í

( 12 p2 í e p) = 6

1 2 1 2 íp 2p í e í 2p + p íp e í6íe =0

ep = 6

(e p)2 í 6e p í 1 = 0 Stel e p = u. u2 í 6u í 1 = 0 D = (í6)2 í 4  1  í1 = 40 6 + 2冑10 6 í 2冑10 u= – u= 2 2 u = 3 + 冑10 – u = 3 í 冑10 e p = 3 + 冑10 – e p = 3 í 冑10 p = ln (3 + 冑10 ) geen opl. Dus p = ln(3 + 冑10). 0

0

0

c I = ʌ ∫ ( f (x))2 dx = ʌ ∫ (x + eíx)2 dx = ʌ ∫ (x2 + 2xeíx + eí2x)dx

∫

í1

2xeíx dx =

∫

í1

2xd íeíx = í2xeíx +

I = ʌ c 13 x3 í 2xeíx í 2eíx í 12 eí2x d = ʌ (í212 + 13 + 12 e2) = 53 a

0

∫

í1

eíx d 2x = í2xeíx +

∫ 2eíx dx = í2xeíx í 2eíx + c

= ʌ (0 í 0 í 2 í 12 ) í ʌ (í 13 + 2e í 2e í 12 e2)

í1 216 ʌ

( 12 e2 í )

eíx 1 1 í1 d x = ∫ ex + 1 ∫ 1 + eíx dx = ∫ 1 + eíx d(1 + eíx) = ∫ í u du = íln 0 u 0 + c = íln(1 + eíx) + c b F(x) = (ax3 + bx2 + cx + d )e2x geeft F'(x) = (3ax2 + 2bx + c)e2x + (ax3 + bx2 + cx + d) Â 2e2x = (3ax2 + 2bx + c)e2x + (2ax3 + 2bx2 + 2cx + 2d )e2x (2ax3 + (3a + 2b)x2 + (2b + 2c)x + c + 2d )e2x 2a = 1 a = 12 b í11 a F'(x) = f (x) geeft f 3a + 2b = 0 en dit geeft f = 2 c = í112 í b 2b + 2c = í3 c + 2d = 2 d = 1 í 12 c a F(x) =

Hieruit volgt a = 12 , b = í 34 , c = í 34 en d = 138 . Dus F(x) = ( 12 x3 í 34 x2 í 34 x + 138 ) e2x + c. c F(x) =

d

∫

ln(sin(x)) dx = cos2(x)

∫ ln(sin(x))dtan(x) = tan(x) Â ln(sin(x)) í ∫ tan(x)dln(sin(x)) sin(x)

1

1

= tan(x) Â ln(sin(x)) í

∫ tan(x) Â sin(x) Â cos(x)dx = tan(x) Â ln(sin(x)) í ∫ cos(x) Â sin(x) Â cos(x)dx

= tan(x) Â ln(sin(x)) í

∫ 1dx = tan(x) Â ln(sin(x)) í x + c

íx2

í2x

∫ 冑1 í x2 dx = x冑1 í x2 í ∫ x d冑1 í x2 = x冑1 í x2 í ∫ x  2冑1 í x2 dx = x冑1 í x2 í ∫ 冑1 í x2 dx = x冑1 í x2 í

1 í x2 í 1

1 í x2

1

∫ 冑1 í x2 dx = x冑1 í x2 í ∫ 冑1 í x2 dx + ∫ 冑1 í x2 dx = x冑1 í x2 í ∫ 冑1 í x2 dx + arcsin(x)

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 209

Dus

∫ 冑1 í x2 dx = x冑1 í x2 í ∫ 冑1 í x2 dx + arcsin(x) 2 ∫ 冑1 í x2 dx = x冑1 í x2 + arcsin(x)

∫ 冑1 í x2 dx = 2 x冑1 í x2 + 2 arcsin(x) 1

1

F(x) = 12 x冑1 í x2 + 12 arcsin(x) + c e

冑x + 16 = u geeft x = u2 í 16 冑x + 16 u F(x) =

∫

(

dx =

x

2u2

u

∫ u2 í 16 d(u2 í 16) = ∫ u2 í 16 2udu = ∫ u2 í 16 du = ∫

)

2u2 í 32 + 32 du u2 í 16

32 du u2 í 16 A(u í 4) + B(u + 4) (A + B)u í 4A + 4B 32 32 B A + = = = = 2 u í 16 (u + 4)(u í 4) u + 4 u í 4 (u + 4)(u í 4) (u + 4)(u í 4) =

∫

2+

௘A+B=0 A+B=0 1 2 2 geeft b í4A + 4B = 32 14 íA + B = 8 + 2B = 8 B=4 r A+4=0 A+B=0 A = í4 4 4 F(x) = ∫ 2 í + du = 2u í 4ln 0 u + 4 0 + 4ln 0 u í 4 0 + c u+4 uí4 b

(

)

= 2冑x + 16 í 4ln 0 冑x + 16 + 4 0 + 4ln 0 冑x + 16 í 4 0 + c Bladzijde 248 54 a

x = 11 geeft t2 í 4 = 11 t2 = 15 t = 冑15  t = í冑15 Het vlakdeel wordt in negatieve richting omlopen. t = 冑15

∫

冑15

t = 冑15

∫

y dx =

t = í冑15

2

t ln(t + 4) d(t í 4) =

t = í冑15

∫

2t2 ln(t + 4)dt

í冑15

冑15

De optie fnInt (TI) of

∫

d x (Casio) geeft

∫

2x2 ln(x + 4)dx = 67,63…

í冑15

Dus de oppervlakte van het omsloten vlakdeel is 67,6. 55 a

a y = 0 geeft 2sin(ʌt) = 0 sin(ʌt) = 0 ʌt = k  ʌ t=k t = í1 geeft x = 4  (í1)2 = 4 t = 0 geeft x = 0 t = 1 geeft x = 4 t = 12 geeft het punt (1, 2), dus de kromme wordt linksom omlopen. O(V) =

t =1

t =1

∫

∫

y dx =

t = í1 t =1

=

∫

= Bí =

t = í1

=

1

í

í1

1 16t cos(ʌt)R í Â ʌ í1

16

∫íʌ í1

t = í1

í1

16t 16t d cos(ʌt) = B í Â cos(ʌt) R í ʌ ʌ í1 1

t =1

∫ 2sin(ʌt) Â 8t dt = ∫ 16t sin(ʌt)dt = ∫ 1

t = í1

= Bí

1

2sin(ʌt)d4t 2

t =1

∫

t = í1

cos(ʌt)dt = Bí

cos(ʌt)dí

1 16t  í dcos(ʌt) ʌ

16t ʌ

1 1 16t 16 1 cos(ʌt) R + B Â sin(ʌt)R Â ʌ ʌ ʌ í1 í1

(

1 16t 16 16 16 16 16 cos(ʌt) + 2 Â sin(ʌt)R = í Â cos(ʌ) + 2 Â sin(ʌ) í Â Â cos(íʌ) + 2 Â sin(íʌ) ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ í1

(

)

)

16 32 16 +0í í +0 = ʌ ʌ ʌ

210 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

t =1

b I(L) = ʌ ∫

t =1

y 2 dx

t=0

=ʌ∫

1

4 sin2(ʌt)d4t2

t=0

1

1

= ʌ ∫ 4( í cos(2ʌt)) Â 8t dt = ʌ ∫ (16t í 16t cos(2ʌt))dt 1 2

1 2

0

0

1

t =1

1 d sin(2ʌt) 2ʌ

1

= ʌ ∫ 16t dt í ʌ ∫ 16t cos(2ʌt)dt = ʌ 38t2 4 0 í ʌ ∫ 16t  0

t=0

0

t =1

t =1

1 8t 8t 8t dsin(2ʌt) = 38ʌt2 4 01 í ʌ B Â sin(2ʌt)R + ʌ ∫ sin(2ʌt)d ʌ ʌ ʌ 0

= ʌ 38t2 4 01 í ʌ ∫

t=0

t=0

1

= 38ʌt2 4 01 í 38t sin(2ʌt) 4 01 + ʌ ∫ 0

8 sin(2ʌt)dt ʌ

1 1 8 1 4 + ʌ B Â Â ícos(2ʌt)R = B8ʌt2 í 8t sin(2ʌt) í Â cos(2ʌt)R = 38ʌt2 í ʌ 2ʌ ʌ 0 0 4 4 = 8ʌ = 8ʌ í 0 í í 0 í 0 í ʌ ʌ 1 8t sin(2ʌt) 4 0

(

56 a

)

a x(t) = 0 geeft 4 sin(t) = 0 t = kÂʌ t = 12 ʌ geeft het punt (4, 4) en t = 14 ʌ geeft het punt (2冑2, 2冑2 í 2). Dus V wordt in positieve richting omlopen. t=0

∫

O(V ) =

t=0

y dx =

t=ʌ

∫

0

(4sin(t) í 2sin(2t)) d 4sin(t) =

t=ʌ

∫ (4sin(t) í 4sin(t)cos(t)) Â 4cos(t)dt ʌ

0

0

= ∫ (16sin(t)cos(t) í

16sin(t)cos2(t))dt

=

ʌ

0

∫ 16 sin(t)cos(t)dt í ∫ 16sin(t)cos2(t)dt ʌ

ʌ

t=0

0

= ∫ 8sin(2t)dt + ʌ

0

∫ 16cos2(t) dcos(t) = 3 í4 cos(2t) 4 ʌ + c53 cos3(t) d ʌ 0

1

t=ʌ

= í4cos(0) + 4cos(2ʌ) + 513 cos3(0) í 513 cos3(ʌ) = í4 + 4 + 513 Â 13 í 513 Â (í1)3 = 1023 b x is maximaal 4 voor t = 12 ʌ. y

t = –12 π

V

t=π

x

t=0

O

t = 12 ʌ

t = 12 ʌ

I(L) = ʌ

∫

t=ʌ

y 2 dx í ʌ

∫

t=0

t=0

t = 12 ʌ

y 2 dx = ʌ

∫

t=0

y 2 dx + ʌ

∫

t = 12 ʌ

t=ʌ

t=0

y 2 dx = ʌ ∫ y 2 dx t=ʌ

0

= ʌ ∫ (4sin(t) í 2sin(2t))2d 4sin(t) = ʌ ∫ (4sin(t) í 2sin(2t))2 Â 4cos(t)dt t=ʌ

ʌ

0

De optie fnInt (TI) of

© Noordhoff Uitgevers bv

∫

d x (Casio) geeft I(L) = ʌ ∫ (4sin(x) í 2 sin(2x))2 Â 4 cos(x)dx § 157,91. ʌ

Gemengde opgaven 211

Verantwoording

Omslagontwerp: In Ontwerp, Assen Ontwerp binnenwerk: Ebel Kuipers, Sappemeer Technisch tekenwerk: OKS, Delhi (India) Lay-out: OKS, Delhi (India)

0 / 15 © 2015 Noordhoff Uitgevers bv, Groningen/Houten, The Netherlands. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprogra¿sche verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van (een) gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichting-pro.nl).. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise without prior written permission of the publisher. ISBN 978-90-01-84249-9