Géométrie de l'espace et du plan 2705614249, 9782705614249 [PDF]

Zitiervorschau

Géométrie de l'espace et du plan

Yvonne et René Sortais

course

de

X

HERMANN

Yvonne et René Sortais

Géométrie de l'espace et du plan S Y N T H E S E DE C O U R S

H E R M A N N

EXERCICES

É D I T E U R S

DES

RÉSOLUS

S C I E N C E S

ET

DES

ARTS

Actualités scientifiques et industrielles, 1424a

Formation des enseignants et formation continue

DES

MEMES

AUTEURS

:

La géométrie du triangle

Nouveau tirage, 1995

ISBN 2 7 0 5 6 1424 9 ©

1 9 8 8 , H e r m a n n , 2 9 3 rue L e c o u r b e , 7 5 0 1 5 Paris Tous droits de reproduction, m ê m e f r a g m e n t a i r e , s o u s q u e l q u e f o r m e q u e ce soit, y c o m p r i s p h o t o g r a p h i e , microfilm, b a n d e m a g n é t i q u e , d i s q u e ou autre, r é s e r v é s pour tous pays.

Sommaire pages

1

Droites et plans de l'espace, propriétés d'Incidence 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2

Vecteurs de l'espace.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3

4

Synthèse de cours Intersection de deux plans Intersection d'une droite et d'un plan Traces d'un plan sur trois autres plans Intersections de trois plans Transitivité de l'équipollance dans l'ensemble des bipoints de l'espace Section d'un tétraèdre par un plan Section d'un cube par un plan Section " triangulaire " d'un tétraèdre Section d'une pyramide par un plan Section d'un parallélépipède par un plan Une configuration de Desargues Intersections d'un plan avec les plans des faces d'un cube Une propriété de la diagonale d'un parallélépipède

1 4 5 6 7 8 g 11 12 13 15 17 19 21

Représentations paramétriques de droites et de plans Géométrie analytique

Synthèse de cours Trois parallélogrammes Droite parallèle à un plan Segment dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre Intersection d'une droite et d'un plan Caractérisation d'un segment Lieux géométriques Trièdre fondamental d'un tétraèdre Parallélépipède circonscrit à un tétraèdre Quatre droites concourantes dans un quadrilatère inscrit Intersections d'une droite avec les plans et les axes de coordonnées Intersections de droites définies par des représentations paramétriques Intersection d'une droite et d'un plan connus par des représentations paramétriques Equation cartésienne d'un plan . Intersection de deux plans . Intersections de trois plans . Interprétations de systèmes linéaires de 3 équations à 3 inconnues Traces d'un plan sur les axes de coordonnées . Plan parallèle à un axe de coordonnées Traces d'un plan sur les plans de coordonnées Intersection de deux plans définis par des représentations paramétriques Trapèze complet

23 29 29 30 31 32 33 35 37 38 39 41 42 43 45 47 51 54 55

Barycentre 1

Synthèse de cours Devinette : recherche des coefficients des points d'un système dont on connaît le barycentre

5g 62

2 3 4 5 6 7

Centres de gravité de triangles Isobarycentre des quatre sommets d'un tétraèdre Alignements de points et droites concourantes Isobarycentre des huit sommets d'un tétraèdre Droites coplanaires Ensembles de barycentres

83 64 65 67 69 72

Projections ponctuelles . Enoncés de Thalès 1 2 3 4 5

Synthèse de cours Théorème de Thalès dans l'espace Pieds des hauteurs d'un triangle Théorème de Ménélaus dans le plan Théorème de Ménélaus dans l'espace Section d'un tétraèdre par un plan parallèle à deux arêtes opposées

75 79 81 83 85 87

5

Homothétles 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

6

Synthèse de cours Propriétés des hauteurs d'un triangle Périmètre d'un triangle et somme des longueurs de ses médianes Inégalités triangulaires Un curieux point de concours De la géométrie plane à la géométrie dans l'espace Isobarycentre et relations métriques Quadrilatère inscriptible orthodiagonal Relations importantes déduites des " formules de la médiane " Ensemble des points dont le rapport des distances à deux pointa donnés est constant Al Kashi et Thalès Puissance d'un point par rapport à un cercla . Polaire d'un point par rapport à un cercle

122 126 127 128 129 130 131 133 136 137 140 143

Orthogonailté dans l'espace 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

8

88 93 94 95 97 99 102 103 105 107 109 111 117 120

Produit scalaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7

Synthèse de cours Du théorème d® Thalès aux homothéties Aidons le dessinateur Le dessinateur a encore besoin d'aide Conservation du barycentre par une homothétle Inscrire un carré d'aire maximale dans un triangle donné Triangles à côtés respectivement parallèles Un problème de construction : triangles homothétiques Cercle de Taylor Droite de Newton d'un quadrilatère complet Centres d'homothéties de trois cercles Droite et cercle d'Euler Image d'un cercle par une homothétie ou une translation Homothéties et lieux géométriques

Synthèse de cours Théorème des trois perpendiculaires Peut-on projeter un tétraèdre sur un plan suivant un parallélogramme ? Projection orthogonale d'un angle droit Section d'un cube par un plan perpendiculaire à une diagonale du cube Tétraèdre trirectangle Section d'une surface prismatique par un plan L'octaèdre régulier - dual du cube - et l'Etoile de Kepler Cercles homothétiques dans l'espace Points cosphériques Trois lieux géométriques Mesure du dièdre de deux faces d'une pyramide régulière Lieu géométrique du milieu d'un segment de longueur constante dont les extrémités Section d'une pyramide à base carrée par un plan perpendiculaire à sa base

145 151 151 152 153 155 158 161 165 167 171 175 179 183

Applications du produit scalaire 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 10 11

Synthèse de cours Déterminations de tangentes à un cercle Bissectrices d'une paire de droites Intersection de deux sphères Lignes de niveau Lignes de niveau ( solution géométrique ) Lignes de niveau ( solution analytique ) Valeur minimale de MA7 + 2 MB* quand M décrit un plan P ne contenant ni A ni B

189 197 200 201 203 205 207 209

Ensemble des points M du plan tels que : a MA2 + p MB7 + y MC* * k Equations des hauteurs d'un triangle . Cercle circonscrit à un triangle Le seul instant de liberté du géomètre en analytique : le choix du repère . Tétraèdre trirectangle en géométrie analytique Aire maximale d'une section rectangulaire de tétraèdre

211 213 217 219 223

9

Angles orientés dans le plan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

10

Synthèse de cours Une construction du pentagone régulier Evaluation de l'altitude d'une montgolfière par deux observateurs Evaluation de la hauteur d'une antenne inaccessible par un observateur seul Evaluation de hauteurs d'arbres par un observateur seul Evaluation de la distance entre deux arbres situés sur la berge inaccessible d'un torrent Distances des sommets d'un triangle équilatéral à un point de son cercle circonscrit Aire maximale d'un triangle ABC dont le sommet A décrit un arc de cercle d'extrémités B et C Mesures des angles d'un triangle Volume d'un tétraèdre connaissant les longueurs des trois arêtes issues d'un même sommet et... Volume d'un tétraèdre connaissant les longueurs de ses six arêtes Attelage de chiens de traîneau Problème d'Alhazen ( miroir circulaire ) Trigonométrie appliquée au triangle

226 235 237 238 239 240 241 242 243 245 247 249 253 261

Symétries . Réflexion . Rotations dans un plan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Synthèse de cours Construction d'un triangle dont on connait trois médiatrices Trajet de plus court chemin et trajectoire de lumière Billard rectangulaire Inscrire un quadrilatère de périmètre minimal dans un rectangle donné Un problème de construction résolu grâce aux rotations Construction d'un triangle dont on connait trois bissectrices Conservation du barycentre par une rotation Recherche du centre et de l'angle d'une rotation en géométrie analytique Un théorème attribué à Napoléon Triangles isométriques Composées de réflexions , de rotations et de translations . Décomposition d'une rotation Isométries laissant globalement invariant l'ensemble des sommets d'un triangle équilatéral Rotations et réflexions en géométrie analytique

263 269 271 273 275 279 283 286 287 289 291 293 297 300

Problèmes Tétraèdre régulier

305

Tétraèdre orthocentrique

313

Tétraèdre équifacial

330

Le fil a couper le cube

337

L'icosaèdre , le Dodécaèdre et l'Etoile de Poinsot

361

Etude d'une alvéole d'abeille

387

O m i t Q s ©t plains d® l ' a s p a o s . cHinicWsiflic®

a) P r ê t e s

parallélisme

.

plans dans l'espgçe.

14) Vocabulaire : sogment. drpjta , plan . L'espace (E) est un ensemble de points , muni d'une distance, dont certaines parties sont appelées "droites", d'autres sont dites plans , qu'on reconnaît grâce aux définitions suivantes . a).

A et B étant deux points distincts de (E), le segment [ A B ] désigne l'ensemble des points M de (E) vérifiant : AM + MB - AB

Trois points distincts sont dits alignés s i , et seulement si l'un d'eux appartient au segment dont les extrémités sont les deux autres .

b)

Si A et B sont deux points distincts de (E) , la droite (AB) désigne l'ensemble des points de (E) alignés avec A et B Admettre : Etant donnés deux points distincts A et B , il existe une et une seule drôle contenant A et B .

c)

On appelle plan

toute partie SP de (E) , autre que (E), telle que toute droite contenant deux points distincts A et B de ? soit incluse dans $> .

£P

comparer S 1 et 8

Admettre :

Si A , B , C sont trois points non alignés de (E), il existe un et un seul plan contenant ces trois points . Ce plan sera noté (ABC) . Dans tout plan P inclus dans l'espace (E), les résultats de la géométrie plane s'appliquent .

d)

Admettre :

Tout plan 9 détermine une partition de (E) en trois parties : P , S ' , 6 " . 6 ' et 6 " sont appelés demi-espaces ouverts de " frontière " 9> et vérifient :

*

Si M et N sont deux points appartenant au même demi-espace, alors le segment [ MN ] y est inclus .

•

Si A appartient à fi ' et si B appartient à 8 " , alors le segment [ AB ] et ont un point commun et un seul .

2®) Détermination d'un plan : Un plan est parfaitement déterminé par l'une des données suivantes a) Trois points non alignés , b) Une droite et un point n'appartenant pas à cette droite. c) Deux droites sécantes . d) Deux droites parallèles et disjointes .

1

3°)

Poattlon» relative» d'une droite A at d'un plan P trois cas peuvent se présenter : a) A est incluse dans P b) A et P sont disjoints

c) A et P sont sécants : A n P - { I } vA

£P

Dans les cas a) et b ) . on dit que A est parallèle à P .. 4")

*

Position* relative» de deux droites A, et A» ( quatre cas ) a) A, et A2 sont confondues

b) A, et A? sont parallèles

c) A, et t ^ sont sécantes

et disjointes

A, - Ag A,//Aj et A,nAa - 0 Dans les cas a) et b ) , on dit que : (A, ) et (Aï ) sont parallèles, et on note ; (A, ) // (Aj, ) 5e)

(en I )

Poiltion» relative» de deux plan»

et Pt

b) P, et P2 sont disjoints

SP,

1

7

zS

7

/ s .

y

c) P, et P j sont sécants

P , r i P , est une droite A .

B) p p r a l t è l l s m e d a n s l ' e s p a c e O n illustre c i - d e s s o u s d e s propriétés admises Droite» parallèle» . Si A et A' sont deux droites parallèles , abrs tout plan qui coupe A coupe aussi A'

A b)

Si

(A//A'

et

A'//A" ) . alors

(A//A")

c)

Par un point A donné de l'espace , il passe une et une seule droite S> parallèle à une droite donnée A .

2)

Droite parallèle à un plan .

a)

Si une droite 5b est parallèle à une droite A incluse dans un plan S>, alors £> est parallèle à ce plan P .

b)

+ •

Si 2> est une droite parallèle à un plan P Si 91 est un plan contenant 0 et sécant avec P alors P, r i P est une droite 8 parallèle à S) .

|Aa

A,nAj - 0 A, et A j non parallèles

( trois cas )

P, - P 2 P,nP, - 0 Dans les cas a) et b ) , on dit que : P , et P 2 sont parallèles , et on note : P, // P 2 .

î") a)

sont non

coplanaires

A , n A î - {1}

a) P , et P , sont confondus

d) A, et ^

A'

A"

/ 2>

c)

* *

Si £> est une droite parallèle à deux plans P , et P, Si P , et P3 sont sécants alors S) est parallèle à leur droite commune A .

d)

Théorème du toit Soit Ai et A; deux droites parallèles Soit P, un plan contenant A, et P2 un plan contenant Aj, . * Si P, et P2 sont sécants, alors leur droite commune A est parallèle à A, et à At

e)

* *

Si £>' est une droite parallèle à une droite £> Si S) est une droite parallèle à un plan P alors £>' est une droite parallèle au plan P .

—

z s . f)

0'

Z 7

Soit Sb une droite parallèle à P . Soit A un point de P . Alors la droite

parallèle à 2> et contenant A est Incluse

dans P .

3°) Plan» parallèles a)

Soit P et P ' deux plans parallèles . Alors toute droite A parallèle à P est parallèle à

.

Z7 / p '

b)

Deux droites sécantes parallèles à un même plan P déterminent un plan Si parallèle au plan P .

c)

Par un point A donné de l'espace , il passe un et un seul plan Pft parallèle à un plan donné P .

d)

Si

e)

Si P et P ' sont deux plans parallèles, alors tout plan Si qui " coupe" l'un de ces deux plans " coupe" aussi l'autre. En outre les droites P n 9L et P ' n SI sont parallèles .

(PHP'

et

P - / / P " ) alors

PIIP".

4°) Quelques remarques a)

Deux droites parallèles à un même plan

ne sont pas nécessairement parallèles .

b)

Il existe une infinité de droites contenant un point A donné et parallèles à un même plan P donné

c)

Deux plans parallèles à une même droite g)

b)

ne sont pas nécessairement parallèles .

Z 7

exercice 1 Intersection de deux plans .

Deux plans P , et P 3 sont sécants suivant une droite $). Soit A un point de P, • Soit B et C deux points distincts de P 2 • On suppose que les points A , B , C n'appartiennent pas à Sb

1°)

16)

Justifier que les points A , B . C sont non alignés .

2")

Construire l'intersection des plans P , et (ABC).

*

Supposons que les points A , B , C soient alignés . Alors le point A appartient à la droite (BC). Or (BC)c P , .

Le point A appartient donc à P j

Mais , par hypothèse. le point A appartient à P , . Le point A appartient donc à P , n P 2 , c'est à dire à la droite S> . *

ce qui est contraire à l'hypothèse .

Les trois points non alignés A , B , C déterminent donc le plan (ABC).

2°) Premier cas

Si la droite (BC) coupe la droite £>,

posons { I } - a n (BC) Alors on a ( I e (ABC)

et A g (ABC)

donc

(IA) c (ABC)

( I e 2> , donc I e P, ; et A e P, , donc (IA) c P, La droite (IA) est donc incluse dans P , et dans (ABC).

Observons que P , et (ABC) sont non confondus puisque B /

alors la droite (BC) est donc parallèle au plan P , .

Le plan (ABC) ( contient une droite (BC) parallèle à P , ( coupe le plan P , suivant une droite contenant le point A .

Le plan (ABC) coupe donc le plan P , suivant une droite parallèle à (BC).

P , n (ABC) est donc la droite A passant par A et parallèle à £>.

4

exercice 2 Intersection d'une droite et d'un plan

La ligure ci-contre représente trois plans P , , P2, P3 deux à deux sécants . Soit A et B deux points donnés respectivement dans S», et P2 et n'appartenant ni à ^ n P t . n i à P3 .

,B

Construire , lorsqu'il existe . le point O d'intersection de la droite (AB) et du plan P3.

Indication :

La construction d'un point est plus facile si ce point apparait comme intersection de deux droites .

Remarquons tout d'abord que la droite (AB) n'est pas incluse dans le plan P3 ( car le point A de la droite (AB) n'appartient pas à P3 ) La droite (AB) est donc soit parallèle strictement au plan P3 soit sécante avec le plan P3 Choisissons un point I de P , n P2 en sorte que : j la droite (IA) coupe la droite S>i ( en un point noté J ) ( la droite (IB) coupe la droite S), ( en un point noté K ) Traçons les droites (JK) et (AB)

Premier cas :

( qui sont coplanaires ) .

si les droites (JK) et (AB) sont sécantes ( en un point noté O )

alors : f le point O appartient à la droite (AB) \ le point O appartient à la droite (JK) , donc au plan P3 Le point O appartient donc à (AB) o P3. On a par conséquent : (AB) n P j -

{O},

Deuxième cas : si la droite (AB) est parallèle à la droite (JK) alors

le point O n'existe plus II La droite (AB). parallèle à la droite (JK) du plan P3 est en effet parallèle à ce plan e t , dans ce cas : La droite (AB) est strictement parallèle au plan P3 .

Réciproquement, si la droite (AB) est strictement parallèle au plan p , alors le plan (IAB). i contient la droite (AB) ( est sécant avec P3 (P3n (IAB) - (JK) ) . Le plan (IAB) coupe donc le plan î>3 suivant une droite parallèle à (AB) . La droite (AB) est donc parallèle à la droite (JK) variante : Au lieu d'utiliser un point I appartenant à P, n P2, on peut mener par les points A et B les droites respectives A, et à 2 parallèles à p , n p 2 . La droite A , , qui est incluse dans Pf, coupe alors la droite P3 n SP, ( en un poinl noté J ) , La droite A 2 , qui est incluse dans P2. coupe alors la droite P3nP} ( en un point noté K ), On est ramené à la méthode précédente : il suffit de déterminer (AB) n (JK).

exercice 3 Traces d'un plan sur trois autres plans

Soit P , , P7 , P ] trois plans sécants deux à deux . On note: » , - S ^ n p , ; £>2 - î > , n P , ; » , - ^ n f j . Soit A , B , C trois points non alignés appartenant respectivement aux plans f , , 8», , P j . On suppose qu'aucun des points A , B , C n'appartient à la fois à deux des plans P , , , ?s . Construire les droites d'intersection A, les plans respectifs P3 , P2 , P, .

A, , A, du plan (ABC) avec

Remarquons que ; le plan (ABC) coupe effectivement le plan P3 suivant une droite ( notée A3 ) En effet :

les plans (ABC) et P3 ne sont pas strictement parallèles ( car le point C appartient à (ABC) n P3 ) les plans (ABC) et P , ne sont pas confondus ( car le point B du plan (ABC) n'appartient pas à P3

De même : le plan (ABC) coupe les plans P , et P , suivant deux droites notées respectivement Aj et A,

V

\ \

r j j & yV > °

Construction de la droite A, La droite A j , intersection des plans (ABC) et P3 , contient déjà le point C . Pour construire A j , il suffit donc de connaître un autre point de A3 ou la direction de A , . Essayons de préciser. par exemple (AB) n P } . Dans le plan P , , menons par A la droite d parallèle à 2»,. Soit J le point où d coupe S>2. Dans le plan P2, menons par B la droite 8 parallèle à S>}. Soit K le point où 8 coupe £>, Traçons les droites (AB) et (JK) • *

si la droite (AB) est parallèle à la droite (JK) alors la droite (AB) est parallèle au plan P3 Le plan (ABC), qui contient la droite (AB). parallèle à P3, coupe alors P3 suivant une droite parallèle à (AB) La droite A, est donc alors la droite contenant le point C et parallèle à (AB).

*

si les droites (AB) et (JK) sont sécantes ( O G (AB)

( en un point noté O ) , alors ;

\ O e (JK) donc OeJ> 3 d'où: OetABJnPj La droite A3 est donc alors la droite (OC). Construction des droites A, et A? . Remarquons que ; A e A, et

c'est à dire : O e A ,

B e Aï

*

si les droites A, et g>} sont sécantes

en un point noté E ,

*

si les droites Aa et S>} sont parallèles ( et donc distinctes puisque le point C de A j n'appartient pas à S)i ) alors la droite A3 est parallèle au plan P, -

alors À, - (EA)

Le plan (ABC), qui contient la droite A3 parallèle à P , , coupe alors P , suivant une droite parallèle à A, . La droite A, est donc alors la droite contenant le point A et parallèle à A, ( donc à S), ) . On construit de même la droite A j en observant A3 n ® , ,

exercice 4 Intersections de trois plans

Trois plans P , , P 2 . p 3 se coupent deux à deux . Démontrer que leurs intersections sont : * ou bien trois droites parallèles. * ou bien trois droites concourantes

Posons : Premier cas : *

P, n

- S)3

si la droite S>3 est parallèle au plan P 3 . alors :

Les plans P , et P 3 sont sécants et P , contient une droite £>, parallèle à P 3 . Les plans P, et P 3 sont donc sécants suivant une droite S>3 parallèle à S>3.

*

Les plans P , et P 3 sont sécants et P 2 contient une droite £>} parallèle à P 3 . Les plans P? et P 3 sont donc sécants suivant une droite S>, parallèle à 2>3.

On a alors: i 8 2 / / 2 ) 3

|

2),//2),

Les droites p 3 n p , , P 3 r > P 2 , P 2 n P , sont donc parallèles.

Deuxième cas : si la droite £>3 et le plan P , sont sécants ( en un point I ) , alors : *

Le point I appartient à S>3

*

Le point I appartient au plan P 3 ainsi qu'au plan P ,

donc :

I e Pa n P,

*

Le point I appartient au plan P 3 ainsi qu'au plan P ,

donc :

I e P3 n P2

donc:

leP,nP,

Les trois droites P 3 n P , , P 3 n P a , P 2 n P , admettent donc le point I en commun. Peut-on avoir

S>2 - 2>3 ?

non , car on aurait Sd3 incluse dans P 3 II

Peut-on avoir

» , - 2>3 ?

non , car on aurait S>3 incluse dans P 3 II

Peut-on avoir

» , » S>2 ?

non , car on aurait » , et 2>2 incluses dans P, n P 2 , donc confondues avec » 3 ,

( or on a supposé

fi)3nP,-{|})

on aurait donc S>3 incluse dans P 3 II Les trois droites distinctes P 3 n p , , P 3 n P 2 . P 2 n P, admettant le point I en commun sont donc concourantes en I .

7

exercice 5 Transitivité de réquipollence dans l'ensemble des bipoints de l'espace

Deux bipoints (A , B) et (C , D) sont dits équipollents si, et seulement si les bipoints (A , D) et (B , C) ont même milieu . Soit A , B , C , D , E , F six points non coplanaires tels que : * Les bipoints ( A . B) et (C , D) soient équipollents . * Les bipoints ( C , D) et (E , F) soient équipollents .

F / T

On se propose de démontrer que les bipoints ( A , B) et ( E , F) sont alors

E /

équipollents .

\

1 6re méthode :

.. \

a) Démontrer que les plans (ACE) et (BDF) sont parallèles. \

v

q

" ^

—.

b) Conclure que ABFE est un parallélogramme .

2 ^

méthode :

A

Par le milieu 0 commun de ( A , D) et (B, C ) , on mène la droite A parallèle à (EC) . a) Justifier que A contient le milieu I de (A, F) et le milieu J de ( B , E) . b) Démontrer que les points I et J sont confondus .

Il s'agit do démontrer que ABFE est un parallélogramme , sachant que ABDC et CDFE sont deux parallélogrammes non situés dans un môme plan .

Première méthode : Etudions les plans (ECA) et (FDB). *

La droite (EC) est parallèle è la droite (FD). incluse dans le plan (FDB), donc (EC) est parallèle au plan (FDB) . La droite (CA) est parallèle à la droite (DB), incluse dans le plan (FDB), donc (CA) est parallèle au plan (FDB). Le plan (ECA), déterminé par les deux droites sécantes (CE) et (CA). est donc parallèle au plan (FDB).

*

D'autre part, on a :

(AB)//(CD)

et

(CD)//(EF)

donc:

(AB)//(EF)

En outre les droites (AB) et (EF) sont distinctes ( sinon les six points donnés seraient c o p i a n t e s ) . Soit P le plan qu'elles déterminent. Les droites (EA)et(FB) sont alors les droites d'intersection de P avec les deux plans parallèles (ECA) et (FDB). On a donc: conclusion :

(EA)//(FB)

le quadrilatère ABFE . qui a ses côtés opposés parallèles , est donc un parallélogramme

Deuxième méthode : On a : A // (EC) *

et

(EC) // (FD)

donc :

A // (FD)

Considérons le triangle ECB : La droite A contient le milieu O de ( B C ] et est parallèle à (CE), donc A contient le milieu J de [ B E ] . Considérons le triangle FDA : La droite A contient le milieu O de [ A D ] et est parallèle à (FD).donc A contient le milieu I de [ F A ] •

•

Les points A . B , F , E sont coplanaires ( puisque les droites (AB) et (EF), parallèles è (CD). sont parallèles ) , Etudions l'intersection de la droite A et du plan P contenant les points A , B , F , E . l e (AF) donc J e (BE) donc Si on avait I * J ,

le? Je?

or or

le A Je A

d'où: d'où:

leAnP JeAnS»

la droite A contiendrait deux points distincts du plan P la droite A serait donc incluse dans le plan P ,

ce qui est absurde puisque le point O n'appartient pas au plan (ABEF ) conclusion : le quadrilatère ABFE , dont les diagonales [ FA] et [ BE ] ont même milieu J , est donc un parallélogramme. 8

exercice 6 Section d'un tétraèdre par un plan

Déterminer et construire, sur chaque figure . l'intersection du plan (MNP) avec chacune des faces du tétraèdre ABCD sachant que : M appartient à ] AB ( , P appartient à ] AC [ , N appartient à ] CD [ On tiendra compte, en outre , des hypothèses indiquées , dans chacun des cas suivants .

1°) figure 1 * *

Les droites (PN) et (AD) sont parallèles Les droites (PM) et (BC) sont sécantes

2") figure 2 • Les droites (PN) et (AD) sont parallèles • Les droites (PM) et (BC) sont parallèles Justifier que la section du tétraèdre ABCD par le plan (MNP) est, dans ce cas , un parallélogramme .

B

3°) figure 3 •

Les droites (PN) et (AD) sont sécantes

•

Les droites (PM) et (BC) sont sécantes

figure 1 et figure 2 Les plans (MNP) et (BAD) f ont en commun le point M \ ne sont pas confondus ( le point P du plan (MNP) n'appartient pas au plan (BAD) ) (MNP) n (BAD) est donc une droite A contenant le point M . Appliquons le théorème du toit : Les droites (PN) et (AD) sont parallèles et respectivement incluses dans les plans (MNP) et (BAD). La droite A d'intersection des plans (MNP) et (BAD) est donc parallèle aux droites (PN) et (AD). Dans le plan (BAD). la droite (BD), qui coupe (AD). coupe donc aussi la droite A . Posons { Q } - A n (BD) L'intersection des plans (MNP) et (BCD) est alors la droite (NQ) , Dans le cas de la figure 1. remarquons que la droite (NQ) contient le point I d'intersection des droites (PM) et (BC) en effet ; I e (MP) donc I G (MNP) \ I e (BC)

donc I e (BCD)

f

d'où :

I e (MNP) n (BCD)

Dans le cas de la figure 2, remarquons que les plans sécants (MNP) et (BCD) contiennent respectivement les droites (PM) et (BC) parallèles . Leur droite commune (NQ) est donc parallèle aux droites (PM) et (BC) (théorème du toit) Le quadrilatère MNPQ , dont les côtés opposés sont parallèles , est donc un parallélogramme .

9

figure 3 ;

Posons:

(PM) n (BC) - { I }

D'une part : ( I e (MNP) n (BCD) ( N e (MNP) n (BCD)

et

(PN)n(AD)-{J}

et I et N sont deux points distincts ( puisque N * C )

L intersection des plans (MNP) et (BCD) est donc la droite (IN) • D'autre part :

I J e ( N P ) o (AD) donc : ( M e (MP) n (AB) donc :

J e (MNP) n (ABD) M e (MNP) n (ABD)

et les points J et M sont distincts (car M * A )

L intersection des plans (MNP) et (ABD) est donc la droite (MJ) .

figura 2

A

10

exercice 7 Section d'un cube par un plan

On considère le cube ABCDEFGH ci-contre . Soit I, J , K les milieux respectifs de ( A , B ) , (B . C ) , (D, H) . 1°) Construire les droites d'intersection du plan (UK) avec les faces du cube . 2°) Construire la droite A d'intersection des plans (AHC) et (UK). Justifier que la droite A est parallèle à la droite ( U ) .

indication :

construire le point d'intersection des droites (U) et (CD) .

1°) Les droites (U) et (AC) sont parallèles puisque (U) est une droite des milieux dans le triangle ABC. Dans le plan (ABC), la droite (AD), qui coupe la droite (AC) en A , coupe donc la droite (U), en un point noté R , De même, la droite (DC) coupe la droite (U) en un point noté S . I e (ABC) n (UK) J e (ABC) n (UK)

i (donc :

(U) c (ABC) n (UK)

En outre, les plans (ABC) et (UK) ne sont pas confondus ( puisque K e (UK) On a par conséquent :

et

K * (ABC) ) .

( A B C ) n ( U K ) « (U)

R e (AD) R e (U) K c (UK)

donc Re(ADE) ) donc R e (UK) / Le point R appartient donc à (ADE) n (UK) . et K e (ADE) Le point K appartient donc à (ADE) n (UK) . On a donc : (RK) c (ADE) n (UK) En outre , les plans (ADE) et (UK) ne sont pas confondus ( puisque I e (UK) et I * (ADE) ) .

On a par conséquent :

(ADE) n (UK) - (RK)

Les droites (AE) et (DK) sont parallèles . Dans le plan (ADE), la droite (RK). qui coupe la droite (DH) en K . coupe donc la droite (AE), en un point noté Q . Q e (AE)

donc

Q e (ABE)

)

Q e (RK) I € (UK)

donc Q e (UK) j Le point Q appartient donc à (ABE) n (UK) . et I e (ABE) Le point I appartient donc à (ABE) n (UK) . On a donc : (Ql) c (ABE) n (UK) En outre, les plans (ABE) et (UK) ne sont pas confondus ( puisque J e (UK) et J e (ABE) ) . On a par conséquent : (ABE) n (UK) - (Ql)

On construit de même le point P , déterminé par : et on démontre que :

(SK) n (CG) - { P }

( F B C ) n ( U K ) - (JP) ( H D C ) n ( U K ) - (KP)

——* S

2°) Utilisons le théorème du toit. Les droites (U) et (AC) sont parallèles et incluses respectivement dans les plans (UK) et (AHC) . La droite A d'intersection de ces deux plans ( voir construction sur la figure ) est donc parallèle à (U). 11

Exercice 8 Section " triangulaire " d'un tétraèdre .

Soit ABCD un tétraèdre . Soit M , N , P trois points donnés appartenant respectivement à ] AB [ , ] AC [ , ] AD [ . 1°) On supposa que les points M , N , P sont tels q u e : * La droite (MP) perce le plan (BCD) en un point noté N' * La droite (MN) perce le plan (BCD) en un point noté * La droite (NP) perce le plan (BCD) en un point noté Construire les points M ' , N ' , P* en justifiant leur construction . Démontrer que les points M', N', P' sont alignés . 2°) On suppose que les points M , N , P sont tels que les droites (MP) et (MN) sont parallèles au plan (BCD) Justifier que le plan (MNP) est alors parallèle au plan (BCD) En déduire qu'on a alors : (MP)//(BD) : (MN)//(BC) ; (NP)//(CD) , 3°) On suppose que les points M . N , P sont tels que : * La droite (MP) est parallèle au plan (BCD) . * La droite (MN) perce le plan (BCD) en un point noté * La droite (NP) perce le plan (BCD) en un point noté Justifier que la droite (M'P' ) est parallèle à la droite (BD). a) * *

*

P . M' .

P' . M" .

La droite (MP) est incluse dans le plan (ABD). Le point N' d'intersection de la droite (MP) avec le plan (BCD) appartient alors aux deux plans (ABD) et (BCD), donc à leur droite commune (BD) . N' est donc point commun aux droites (MP) et (BD) .

De même , le point P' appartient aux deux plans (ABC) et (BCD) donc à leur droite commune (BC) . De même, le point M* appartient aux deux plans (ACD) et (BCD), donc à leur droite commune (CD) . b) Les trois points M ' , N ' , P' appartiennent à la fois au plan (MNP) et au plan (BCD) . Ils sont donc alignés sur la droite d'intersection A de ces deux plans . 2°) a) Les droites (MP) et (MN) sont deux droites sécantes ( en M ) et parallèles à un même plan , ici (BCD) . Le plan (MNP) déterminé par ces deux droites sécantes est donc parallèle au plan (BCD) . b) Les deux plans (MNP) et (BCD) étant parallèles , tout plan qui coupe l'un d'eux coupe alors l'autre et les droites d'intersection sont parallèles . * * *

Le plan (ABD) coupe les plans (MNP) et (BCD) suivant les droites (MP) et (BD) qui sont donc parallèles . Le plan (ABC) coupe les plans (MNP) et (BCD) suivant les droites (MN) et (BC) qui sont donc parallèles . Le plan (ACD) coupe les plans (MNP) et (BCD) suivant les droites (NP) et (CD) qui sont donc parallèles

a) Remarquons que :

* Le point M' appartient à la droite (NP), donc au plan (ACD) + Le point M", qui appartient aussi au plan (BCD), appartient

donc à la droite (CD) commune à ces deux plans . On justifie de même que le point P' appartient à la droite (BC) . b) Démontrons : (M'P')//(MP) . * Le plan (MNP) contient la droite (MP) parallèle au plan (BCD) * Puisque le plan (MNP) est sécant avec le plan (BCD). leur droite commune (M'P' ) est donc parallèle à (MP) . c) Démontrons : (MP) // (BD) . •

Le plan (ABD) contient la droite (MP) parallèle au plan (BCD)

*

Puisque le plan (ABD) est sécant avec le plan (BCD). leur droite commune (BD) est donc parallèle à (MP) .

Ayant prouvé

(M'P* ) // (MP) et (MP) Il (BD) , on déduit : (M'P ) Il (BD) 12

exercice 9 Section d'une pyramide par un plan .

Chaque ligure ci-dessous représente une pyramide dont " la base ' ABCD est un parallélogramme ( les distances S A , SB , SC . SD ne sont pas nécessairement égales ) . On a choisi

*

deux points I et J appartenant respectivement à ] SA [ et ] SB [

*

un point P Intérieur strictement au triangle SCD .

1°) Justifier que les points I , J , P sont non alignés . 2°) Déterminer : * *

l'intersection du plan (UP) avec chacune des faces latérales (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) de la pyramide , l'intersection du plan ( klP) avec le plan (ABCD) .

figure 4

figure 2

13

1°)

Si les points I . J . P étaient alignés. le point P appartiendrait à la droite (U), incluse dans le plan (SAB) le point P appartiendrait donc aux deux plans (ABS) et (CDS) Ces deux plans sont distincts et ont en commun le point S Leur intersection est donc une droite A contenant le point S En outre A est parallèle aux deux droites (AB) et (CD) ( théorème du toit ) , lo point P appartiendrait à A , ce qui contredit l'hypothèse : " P est strictement intérieur au triangle SCD "

2°)

Nommons P le plan déterminé par les trois points non alignés I, J , P Les plans P et (SAB) ( ont en commun deux points distincts I et J , ( ne sont pas confondus ( P e P

mais

P contient le point C • *

Prouvons que le plan 9> contient la droite ( C F ) . Le plan (CDEF) coupe les plan parallèles (CBFG) et (DAEH) suivant deux droites parallèles , donc : (FC) // (DE) En outre, (DE)//(JK) d'où: (CF)//(JK) La droite (CF) est donc parallèle au plan (IJK), et par conséquent au plan P . On a :

CeP

donc:

(CF)cS>

16

exercice 11 Une configuration de Desargues

Soit P et S 1 ' deux plans sécants suivant une droite A . Soit O un point de l'espace n'appartenant à aucun des deux plans P et P ' . Soit A,, A ï , A j trois droites non coplanaires , concourantes en O . On suppose que A,, A*. A3 percent le plan P en respectivement A . B , C et percent le plan P ' en respectivement A', B', C ' . 1°) a) Vérifier que les points A . B , C sont non alignés , et que les points A ' , B'. C sont non alignés . b) Démontrer que les droites (BC) et (B'C ) sont sécantes ou parallèles . 2°) Démontrer que . si les droites (BC) et (B'C' ) sont parallèles, alors leur direction commune est celle de A . 3°) Démontrer que . si les droites (BC) et (B'C') sont sécantes , alors leur point commun K appartient à la droite A . 4 e ) On suppose que les droites (AB), (AC), (BC) coupent la droite A en respectivement I , J . K . Démontrer que les points I , J , K appartiennent respectivement aux droites (A'B' ) . (A'C* ) , (B'C' ) ,

17

1°) a) Si les points A , B , C étaient alignés ( sur une droite d ) , abrs les droites (OA), (OB), (OC) seraient incluses dans le plan déterminé par le point O et la droite d ( car O t d ) ce qui est absurde puisque les droites A , , A j , A j sont non coplanaires

b) Les droites (BC) et (B'C ) sont incluses dans le plan P , déterminé par les droites A2 et A j , sécantes en O Etant coplanaires , les droites (BC) et (B'C* ) sont donc sécantes ou parallèles. 2") Supposons (BC) // (B'C* ) Appliquons le théorème du toit : Les plans sécants P et P ' contiennent respectivement les droites (BC) et (B'C1 ) qui sont parallèles . La droite A d'intersectbn des plans P et P " est donc parallèle aux droites (BC) et (B'C ) .

3°) Supposons les droites (BC) et ( B C ) sécantes K e (BC) et K e (B'C') et

(BC)eP (B'C')cP'

donc: donc:

Soit K leur point commun Ke P Ke P '

4°) Les trois points I. A', B' appartiennent au plan P 1 Les trois points I , A ' . B' appartiennent au plan (OAB)

On en déduit : K e P n P '

puisque

Ie A

et

puisque

I e (AB)

d'où : K e A

Ac P ' et

A* e (OA) et B* e (OB)

Les trois points I , A ' , B' appartiennent donc à l'intersection des deux plans P ' et (OAB) Ces deux plans ne sont pas confondus

puisque

Les points A1 et B' sont distincts Il en résulte:

le (A'B)

On démontre de même ; J e (A'C )

et

K e (C'B )

18

O e (OAB) mais O * P ' donc :

P ' n (OAB) est la droite (A'B' )

Exercice 12 Intersections d'un plan avec les plans des faces d'un cube .

On considère le cube ABCDEFGH ci-contre . Soit I, J , K trois points appartenant respectivement à ] FE [ , ] FG [ . ] FB [ . On se propose de construire les droites d'intersection du plan (UK) avec les six plans des faces du cube . 1 6 ) a) Construire les points M , N . P , Q . R . S d'intersection du plan (UK) avec les droites respectives (BA), (BC). (GC) ,(GH), (EA), (EH) . b) Comparer les directions des droites de chacune des paires { ( U ) . (MN)} , { ( J K ) , (RS) ) , { ( K l ) , ( PQ)} .

2") a) Construire les points d'intersection I', J ' , K' du plan (UK) avec les droites respectives (DC), (DA), (DH) . b) Préciser la nature des quadrilatères IMI*Q , JNJ'S . KRK'P . 3°) Dans le cas particulier où I , J , K sont les milieux respectifs des segments [ FE ] , ( FG ] , [ FB ] . a) Démontrer que les triangles UK et l'J'K' sont équilatéraux . b) Quelle est alors la nature de chacun des triangles KMN , JPQ.

1RS .

Ce point appartient alors à la droite (AB) et au plan (UK) . C'est le point M cherché . *

De môme , le point d'intersection des droites (JK) et (BC) est le point N cherché .

*

Le même raisonnement justifie la construction des points P , Q , R , S . 19

1°) b) •

Les deux plans (ABCD) et (EFGH) sont parallèles . Le plan (UK), qui coupe le plan (ABCD), coupe donc le plan (EFGH), et les droites d'intersection (U) et (MN) sont alors parallèles .

*

De m ê m e , les deux plans parallèles (ABFE) et (DCGH) sont coupés par un même plan (UK) suivant les droites parallèles (Kl) et (PQ).

•

De même , les deux plans parallèles (BCGF) et (ADHE) sont coupés par un même plan (UK) suivant les droites parallèles (JK) et (RS).

2°) a) *

Le point d'intersection des droites (DC) et (MN) appartient k (DC) et au plan (UK) qui contient (MN) . C'est le point I' cherché , intersection de la droite (DC) et du plan (UK) .

*

Le point d'intersection des droites (DC) et (PQ) est un point appartenant à (DC) et au plan (UK), qui contient (PQ) . Ce point est donc aussi le point I" cherché .

On justifie de la même façon que le point d'intersection J' du plan (UK) avec la droite (AD) est à la fois : *

le point d'intersection des droites (MN) et (AD)

•

le point d'intersection des droites (RS) et (AD) •

De m ê m e . les droites (PQ) et (RS) coupent la droite (DH) en un même point, qui est le point d'intersection K' du plan (UK) avec la droite (DH) .

b) Les points l ' . M . N . J ' sont alignés sur la droite (MN) d'intersection des plans (UK) et (ABCD) . De même , on justifie l'alignement des points r , Q , P . K- et l'alignement des points J ' . S . R , K' . Ona :/(MN)//(U) |(Mr)//(IQ) \ (PQ) // (IK) donc \ (QI* ) // (IM) le quadrilatère IMI'Q est donc un parallélogramme De m ê m e , on prouve que les quadrilatères JNJ'S et KRK'P sont des parallélogrammes.

a) On suppose maintenant que les points I, J . K sont les milieux respectifs de [ FE ] , [ FG ] , [ FB ] . Dans le triangle FEG , la droite (U), qui contient les milieux des deux côtés [ FE ] et [ FG ] est alors parallèle à (EG) et on a en outre :

I GGE E U - — 2

De même, on justifie :

soit soit

JK -

et

U U - —2— 2 Kl •

où a est la longueur de farête du cube . .

Le triangle UK est donc équilatéral . Dans le parallélogramme IMI'Q, les angles QI'M et QIM ont même mesure 60°. et IMI' mesure 120" . Dans le parallélogramme JNJ'S, les angles NJ'S et SJN ont même mesure 60°, et JNJ' mesure 120° . Le triangle l'J'K' possède deux angles mesurant 60° ( KTJ* - l'J'K' - 60° ) . Il est donc triangle équilatéral

b) Dans le plan (UK), les angles IKJ et NKM, opposés par le sommet ont même mesure 60° . Par ailleurs iMN - 180° - IMI" - 60° , Le triangle KMN . dont deux angles mesurent 60°, est donc équilatéral .

remarquons que les triangles équilatéraux UK et KMN sont alors symétriques , par la symétrie centrale de centre K Il suffit en effet de considérer, dans le plan (AEFB). la projection de la droite (BF) sur la droite (Kl) suivant la direction de la droite (AB) , Le milieu K de ( 6 , F) se projette sur le milieu K de (I, M) . On démontre de même que K est milieu de (N , J) .

20

exercice 13 Une propriété de la diagonale d'un parallélépipède

On considère le parallélépipède quelconque ABCDEFGH représenté ci-contre . 1°) a) Démontrer que les droites (BD) et (FH) sont parallèles , les droites (ED) et (FC) sont parallèles , En déduire que les plans (BDE) et (HFC) sont parallèles . b) Soit I, et l2 les milieux respectifs de (B, D) et (F. H) . Démontrer que les droites (El, ) et (C^ ) sont parallèles . 2°) Soit G, et G , les centres de gravité respectifs des triangles BDE et HFC . a) Démontrer que la droite (AG,) est incluse dans le plan (EAC) . b) Démontrer que la droite (AG, ) est incluse dans le plan (BAH) . c) Quelle est l'intersection des plans (EAC) et (BAH) ? En déduire que la droite (AG) perce le plan (BDE) en G, . d) Justifier de même. que la droite (AG) perce le plan (HFC) en Gj . 3°) En utilisant le résultat du 1°) b), démontrer que G, est le milieu de (A, G, ) , et que G 2 est milieu de (G, G, ) En déduire les égalités ; AG, - G,G,, - G 2 G .

F

G

remarque préliminaire On a : (AB)//(EF)

et

(EF)c(EFGH)

, donc la droite (AB) est parallèle au plan (EFGH)

(AD)//(EH) et (EH)c (EFGH) . donc la droite (AD) est parallèle au plan (EFGH) En outre les droites (AB) et (AD) sont sécantes . Les plans (EFGH) et (ABCD) sont donc parallèles . 1 •") a) On a :

(BF) Il (CG)

et

(CG) Il (DH)

donc

(BF) // (DH)

Les deux droites (BF) et (DH) . parallèles et distinctes, déterminent donc un plan (BFDH) . Ce plan (BFDH) coupe les deux plans parallèles (ABCD) et (EFGH) suivant deux droites parallèles (BD) et (FH). De même. on justifie que : •

les plans (AEHD) et (BFGC) sont parallèles .

•

les droites (EF) et (CD), parallèles et distinctes , déterminent un plan (EFCD)

•

Ce plan (EFCD) coupe les plans parallèles (AEHD) et (BFGC) suivant deux droites parallèles (ED) et (FC) .

On a :

(BD)//(FH) et (FH)c(HFC) , donc la droite (BD) est parallèle au plan (HFC) (DE) Il (FC) et (FC) c (HFC) , donc la droite (DE) est parallèle au plan (HFC) En outre les droites (BD) et (DE) sont deux droites sécantes , en D , Le plan (BDE) qu'elles déterminent est donc parallèle au plan (HFC) . 21

1°) b) Remarquons que I, est aussi milieu de ( A , C ) et que l2 est aussi milieu de ( E . G ) . Les points E , I,, l j , C sont coplanaires dans le plan (ACEG) . Ce plan (ACEG) coupe les plans parallèles (BED) et (HFC) suivant des droites parallèles qui sont (El,) et ( C l i ) . 2°) a) Le centre de gravité G, du triangle BED appartient à la médiane (El, ) issue de E dans ce triangle . Le point G, appartient donc au plan (EAI, ) . qui est aussi le plan (EAC) . La droite (AG, ) est donc incluse dans le plan (EAC) . b) Soit J, le milieu commun de (E. D) et ( A , H) . Le point G, appartient aussi à la médiane (BJ, ) issue de B dans le triangle BED . Le point G, appartient donc au plan (BAJ, ) , qui est aussi le plan (BAH) , La droite (AG, ) est donc incluse dans le plan (BAH) . c) Les droites (AE) et ( C G ) , parallèles et distinctes , déterminent un plan . Le plan (EAC) est donc aussi le plan (EACG) Les droites (BA) et ( H G ) , parallèles et distinctes . déterminent un pian . Le plan (BAH) est donc aussi le plan (BAHG) Les plans (EAC) et (BAH) sont distincts et ont en commun les points A et G . Leur intersection est donc la droite (AG) La droite (AG, ) , incluse dans les deux plans (EAC) et (BAH), est alors égale à leur droite commune (AG) . Le point G, appartient à la médiane (El, ) , elle même incluse dans le plan (BDE) Le point G, appartient donc au plan (BDE). Le point G, est donc le point commun de la droite (AG) et du plan (BDE). d) Le centre de gravité G-, du triangle HFC appartient au plan de ce triangle . Le point G j appartient en outre à la médiane ( C t ) du triangle HFC . Le point G , appartient donc au plan ( C G I î ) qui est aussi le plan (CGEA) . Nommons J 2 le milieu commun de (F, C) et de (B , G ) . Le point G î appartient à la médiane (HJ2 ) du triangle HFC . Le point G 2 appartient donc au plan (HGJ 2 ) qui est aussi le plan (HGBA) . Les plans (CEGA) et (HGBA) sont distincts et ont en commun les points G 2 , G et A Le point G; appartient donc à leur droite commune (AG) . On a ainsi prouvé que G j est point commun de la droite (AG) et du plan (HFC) .

3 Ù ) Dans le plan (EACG), les droites (El,) et (C^ ) sont parallèles . »

Dans le plan (EACG), considérons la projection p sur la droite (AG) , parallèlement à la droite (CG 2 ) . A.

p ;

p

*

:

A

,

, G,

C>

.g2

Gi ^

G , G?

E.

.G,

p conserve les milieux .

I, est le milieu de ( A . C)

donc

G, est le milieu de ( A , Gj)

p conserve les milieux .

I, est le milieu de (G , E)

donc

G 2 est le milieu de ( G , G,)

Il en résuite les égalités demandées :

AG, - G A - " G î G

22

Vecteurs

de

R e p r é s e n t a t i o n s p a r a m é î r î q w e s «3® d l r o i s s e t 0 de sens contraires si k < 0

, il existe exactement deux vecteurs unitaires coiinéaires à u , ce sont :

—Jj—. "u

et Il u

Il u II c)

j \

Propriétés ; *

Quels que soient les vecteurs u , v , w 7

+ 7 - 7 + 7 (

( 7 + 7 ) ir

+

de 6 , on a :

l'addition est commutative dans B )

+ w * - 7 + ( 7 + w*)

o - 0 + 7 - 7

Tout vecteur 7 de 6 admet un vecteur opposé noté ( - u ) et vérifiant : 7 Si 7 *

+ (- 7 ) - ( - 7 ) + 7

- Ô*

A/

- AB* , alors ( - 7 ) - BÂ"

Quels que soient les réels k , k' , et les vecteurs u

et v

de 8

;

k . ( k \ 7 ) - (kkf ). 7 (k + k ) . 7 - k . 7 + k \ 7 k.(7 + 7 ) - k.7 +

k7

1. u - u

d)

*

Remarquerque :

(- k ) . 7 - k.(- 7 ) » -

*

Retenir l'équivalence : ( k . 7 - O*

k - 0

(k.7) ou 7

- Ô* )

Conséquences *

Quels que soient les vecteurs u l'équation ; 7 qui est :

*

+ X - v

et v

de 6 ,

admet une solution unique :

X* - 7 + ( - 7 ) , notée aussi

X - V - u

Soit A , B , C trois points quelconques de (E). La relation de Chasles A B * + B C " - Â C * équivaut à : BC" - AC - AB

*

Si I est le milieu de ( B , C ) , alors on a :

. .. A B + AC - 2 A I

A

AB + AC - AS - 2 Al 24

3e)

Repère» d'un» d r o i t * , Repère» d'un plan .

a)

Repères d'une droite 5b

—

u^r

M

o,

Un vecteur û* NON NUL est dit vecteur directeur de 5b si, et

*

seulement si u

admet un représentant ( A , B) porté par 5b .

On appelle repère d'une droite 0 tout couple (A m ) où A est un point de S et Û* un vecteur directeur de £> .

*

Pour tout point M de 5b , il existe alors un unique réel t tel que ÂM* - t. ô " , La droite 5b est l'ensemble des points M de l'espace tels que *

Le segment [ AB ] est l'ensemble des points M de l'espace telsque

-

ÂM* - t.ÂB*

La demi-droite [ AB) telsque

lorsque t décrit [ 0 , 1 ] .

M

est l'ensemble des points M de l'espace

ÂM* - t.ÂB*

lorsque t décrit [ 0 , + « [ ,

Repères d'un plan 9 . *

On appelle repère d'un plan 9 tout triplet (A, v, , v, ) où A est un point du plan 9 , vT et v f sont deux vecteurs de représentants (A, B) et (A, C) tels que A , B . C soient trois points NON ALIGNES appartenant au plan 9 . -

Pour tout point M de 9 , il existe alors un couple ( k , p) de réels, et un seul, tel que : ÂM* - X vj* + p. Vj*,

-

Le plan 9 est exactement l'ensemble des points M de l'espace tels que ;

AM

- X v 7 + n v j T lorsque le

couple ( X t p ) décrit R 2 . *

Si deux vecteurs vT et v^* sont non colinéaires , le seul couple (a, b) de réels vérifiant

a vT + b v T - O*

est le couple ( 0 , 0 ) .

4») Parallélisme a)

Soit S) et £> ' deux droites de repères respectifs (A, û* ) et (A ' , u' ) Les droites S> et S) ' sont parallèles s i , et seulement si les vecteurs u* et u"

sont colinéaires.

L'écriture

b)

u1 - k u

où k e R* , équivaut alors à :

-» 1 —, u - -.u'.

Une droite S> de repère (A. u ) est parallèle au plan 9 de repère ( B , v , , v z ) si, et seulement si u" s'écrit XvT + n v T ,avec X . n réels

c)

Soit 9 et 9 ' deux plans de repères respectifs ( A , U, . u 2 ) et (B , V, , v z Les plans 9 et 9 ' sont parallèles si, et seulement si : UT s'écrit XvT + n v T

! vl

lorsque t décrit R .

Soit A et B deux points distincts de (E) . -

b)

ÂM* - t. u*

Uj , s'écrit a v, + p V j où X , p , a , p sontdes réels.

25

B) Translations de l'espace (E) 1*) Définition et propriété» . a)

On appelle translation T ^

de vecteur don né u , l'application de l'espace

, N'

(E) dans lui-même qui, à tout point M de (E) associe le point M ' tel que :

MM

- tT

M

N

b)

Soit M et N deux points quelconques, d'images respectives M ' et N '

c)

La translation T 7

Alors on a :

On dit que T 7

M'N'" - MN*

La translation T ^

conserve aussi les aires et les volumes . est une bijection de (E) dans (E) et sa bijection réciproque est la translation T. 7 (de vecteur • u ) T

e)

(«)

conserve les distances ( puisque l'égalité (e) implique M ' N ' - MN ) .

est une isométrie de l'espace.

La translation 1 7 d)

parT^.

La composée de deux translations T Uj[

_

et T U )

_

M'

est commutative,

et égale à la translation de vecteur û ^ + û T

"

T

ûToTûr "

TûT+ûT

u, + uî

2") Image d'une droite , d'un plan, d'un cercle . par une translation . a)

L'image d'une droite £> par une translation T ^

est une droite S)' parallèle à 2> •

*

Si » - (AB),alors S ) ' - ( A ' B ' ) où A ' - T ^ ( A ) et B ' - T V ( B )

*

L'image par T ^

de la demi-droite [AB) est alors la demi-droite [ A B ' )

*

L'image par T ^

du segment [ A B ] est le segment [ A ' B ' ]

b)

L'image d'un plan P par une translation T ^

est un plan P ' parallèle à P ,

c)

L'image d'un cercle C , de centre O et de rayon R , par une translation T^J* est un cercle C

de même rayon R et

dont le centre O'est le translaté de O par T 7 • Le cercle C

est inclus dans le plan P ' . translaté par T ^ du plan P qui contient le cercle C .

C) Vecteurs non coplanaires. Repères de l'espace. 1°) Définition *

Trois vecteurs u, , u 2 , u 3 de l'espace sont dits coplanaires si, et seulement si un point O quelconque de l'espace et les points A , B , C vérifiant OA » u, , O B - u 2 , OC

*

- u3

, sont quatre points coplanaires .

Le choix du point O est indifférent dans cette définition . 26

2°) Propriété fondamentale Si trois vecteurs i , j , k est le triplet ( 0 . 0 . 0 ) .

sont non c o p i a n t e s , le seul triplet ( a . b . c ) de réels vérifiant a F + b f + c k

_ Ô*

3°) Repères de l'espaça (E) ; bases de 8 a) On appelle repère de l'espace (E) tout quadruple! (O. F , F , ÎT ) où O est un point de (E) et vecteurs non coplanaires ; | e point o est dit l'origine du repère . |m.

k

sont trois

b) Pour tout point M de (E), il existe alors un unique triplet (x , y , z) de réels tels que :

OM* - XF + y f + z î T .

(x , y , z) est dit le triplet de coordonnées du point M dans le repère (O , F , f , ÎT ) . On note alors M (x, y . z ) . x est dit l'abscisse du point M . y est l'ordonnée du point M . z est la cote du point M . OM - Om

+

mM

OM - Om, + Om 2 + Om 3 OM - x i + y7 + z"k

Le plan de repère (O, i , j ) . souvent noté (xOy) est l'ensemble des points de (E) de cote nulle . Le plan de repère (O , j , ÎT ), souvent noté (yOz) est l'ensemble des points de (E) d'abscisse nulle. Le plan de repère (O , ÎT , F ) . souvent noté (xOz) est l'ensemble des points de (E) d'ordonnée nulle . *

La droite de repère ( O , i ) , dite axe des abscisses. souvent notée (Ox), est l'ensemble des points M (x, y , z) tels que :

*

(y » 0

est l'ensemble des points M (x , y , z) tels que : *

et

z - 0)

La droite de repère ( O , j ) , dite axe des ordonnées, souvent notée (Oy). (x - 0

et

z - 0)

La droite de repère (O . k~ ) , dite axe des cotes , souvent notée (Oz), est l'ensemble des points M ( x , y , z) tels que :

(x - 0

et

y - 0)

b) On appelle base de 8 tout triplet ( i , f , ÏT ) de vecteurs non coplanaires Etant choisi un point O arbitraire, à tout vecteur 7 , on peut associer un unique point M tel que On appelle coordonnées du vecteur 7

OM

-

7.

dans la base ( F , f , Î T ) le triplet (x , y , z) de coordonnées du point M

dans le repère ( O . F , f , F ) , Ce triplet ( X . y . z ) tel que 7 c) Soit v

et v"

- x F + y f + z î T est unique ; il ne dépend pas du choix du point O .

deux vecteurs de coordonnées respectives

ZB

( x . y . z ) et ( x \ y ' , z ' ) dans une base ( F . f , T ) de fi . Alors :

v

+ v* a pour coordonnées

X 7 a pour coordonnées

(x + x ' , y + y ' . z + z ' )

(Xx , ty , Az)

(Xe R)

Si A et B sont deux points de coordonnées respectives

/

( * A - y A ' z A ) • ( X B • yB • Z B ) dans un môme repère ( 0 , F , f , î T ) alors :

ÂB* » (x B - x A ) F + (y B - y A ) f + (z B - z A ) k "

le milieu de (AB) a pour coordonnées

I * A * *B V 2 '

y

*

+

2

yB

'

ZA

* 2B | 2 ; xl

VA

X B.

/ VI

YQ

4")

Changement do repéra par changement d'origine aeuloment Soit ( O , F , f . ït* ) un repère de l'espace. Choisissons une nouvelle origine £2 . Soit (XQ . YQ • Soit

) les coordonnées du point Q dans le repère (O . i , j , k ) .

(x , y , z) les coordonnées d'un point M dans le repère (O , i , j , k ]

M

( X , Y , Z) les coordonnées du point M dans le repère ( Û , F , f , k* )

On a alors : iJM - OM

Oii

t / D) R e p r é s e n t a t i o n s p a r a m é t r i q u e s d ' u n e d r o i t e S>. d ' u n p l a n y , L'espace (E) est muni d'un repère (O , T , f . K* ) - Les vecteurs f , f , ÎT n'ont pas nécessairement des normes égales 1')

Représentations paramétriques d'une droite S>. Un point M (x , y , z) de l'espace appartient à la droite S) de repère ( A , u ) s i . et seulement si il existe un réel t tel que : AM - t u x - Xo + t a y - y 0 + tp

!

,

z - Zo + ty

A (Xo, y 0 , Zo )

__

Le réel t est dit le paramètre du point M de S> dans le repère (A. u ) ; Le point M est aussi noté M (t). Le système (S) définit, lorsque t décrit R , une représentation paramétrique de la droite ( A . u* ) . remarque ; si la droite S> est déterminée par deux points distincts A et B , on peut obtenir une représentation! paramétrique de Sb à partir du repère (A , A B ) ou une autre représentation paramétrique de S) à! partir du repère (B, BA ) Observer alors que : (ÂM* - t  B * ) 2à)

équivautà

( BM* - t B Â *

et

t' - 1 - t )

Représentations paramétrique» d'un plan P de repéra (A . vT . v T ) Soit

et V

d®ux vecteurs non coiinéaires.

Un point M (x , y , z) de l'espace appartient au plan P de repère ( A . û T . û T ) s i , et seulement si il existe un couple (X., n ) de réels tels que : MA

- XvT + jiv^" , x - Xo + Xa + n a '

!

y - y„ + Xp + nP' z - Zq + Xf + X y '

Le couple (X, u) est dit le couple de paramètres du point M de P dans le repère (A, v, , Vj ) . Le point M est aussi noté M(A..n). Le système (s) définit, lorsque (X, n) décrit R 2 , une représentation paramétrique du plan P ( A , v, , v 2 )

28

exercice 1 Trois parallélogrammes Soit ABCD et A'B'C'D' deux parallélogrammes de l'espace. Démontrer que les points I. J . K , L , milieux respectifs des bipoints (A. A' ) , (B , B' ) , (C , C ) , (D , D' ) sont les sommets d'un parallélogramme, éventuellement aplati.

D'une part : | IJ - IA + ÂB + BJ ( IJ - IA' + A'B' + B'J

Additionnons membre à membre , on obtient :

2 l j ~ - ÂB* + À'B'*

Additionnons membre à membre, on obtient :

2 LK* - DC + D'C'

d'autre part ; ( LK* - LD* + DC* + CK* ( LK - LD'

+ D'C' + C'K

Puisque ABCD et A'B'C'D' sont deux parallélogrammes . on a : ÂB* - DC* Il en résulte : 2 Û " - 2 LK*

d'où :

et

Â1F -

DC*

D" - LK*

exercice 2 Droite parallèle à un plan On considère le cube ABCDEFGH ci-contre , Soit I , J , K les milieux respectifs de (A, D). (B, C ) , (F, G) ,

1

1°) Démontrer que les points A . I, G , K sont coplanaires et sommets d'un parallélogramme . 2°) Démontrer que la droite (AK) est parallèle au plan (HU) .

•

On a : Al

- y AD

et

KG - y FG

et

AD - BC - FG d'où ;

Les bipoints (A, G) et (I, K) ont donc même milieu . *

Al

- KG

On en déduit :

ÂK* - ÏG*

Démontrons que ÏG* est combinaison linéaire de ÏJ* et ÎH* La relation de Chasles donne : ÏG* - ÏJ* + JC* + CG*

où : JC* - y BC* - y ÂD* - 15" et CG* - DH*

1 G * - U + Ï D * + DH* Ï G * - Ï J * + ÏH* Le point G appartient donc au plan (UH) dont un repère est (I, Ï J * , ÎH* ) ; En outre le quadrilatère UGH est un parallélogramme La droite (AK) est parallèle à la droite (IG) qui est incluse dans le plan (UH), donc : (AK) est parallèle au plan (UH) 29

exercice 3 Segments dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre

On considère le tétraèdre ABCD ci-contre , Soit I et J les milieux respectifs de (A, C) et (B . D) 1°) Démontrerque :

ÂD* + CB* - 2ÎJ*

2°) Soit k un réel donné , k e ] 0 , 1 [ . On définit les points M , N , P , Q par : ÂM* - kÂB~ ; AN* - k  D * ; CP* - k C D * ; CQ* -

kCB*

a) Démontrer que MNPQ est un parallélogramme On notera alors O son centre . b) Démontrer l'égalité : IO - k IJ C

En déduire que le point O appartient à la droite (U) . Construire la figure en choisissant k - ^ . c) On choisit : k - y .

Justifier ainsi que dans un tétraèdre, les trois segments , dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées , sont trois segments ayant même milieu .

1°)

AD + CB - ( A l

+ U + JD ) •«• ( Cl + U

+ JB )

(1)

Or I est le milieu de (A, C) , donc : Âi* + Ci* - est le plan contenant le point 1 et parallèle aux deux droites £> et S> '.

indication :

1Ù)

on pourra exprimer IL à l'aide de AB

a) Il suffit de démontrer que le vecteur C C

et de A'B'

s'écrit x u, + y Uj

,

où ; i x et y sont des réels \ u, Essayons d'exprimer

CC

et u z

sont deux vecteurs non colinéaires fixés ( indépendant du paramètre X )

à l'aide de AA'

et BB'

seulement.

C C * - CA" + Â Â * + Â C * C C * - - XÂB* + AA

+ XÂB 1 *

CC* - - X  B + ÂÂ^ + X (   * +  B + BB* ) C C * - ( 1 - X)ÂA Les vecteurs  X

+ XBH

et BB1* sont non colinéaires , en effet :

*

si les vecteurs ÂÂ1* et BB"* étaient colinéaires, les droites (AA' ) et (BB' ) seraient parallèles ,

*

ce qui est impossible puisque les droites Sb et S) ' sont supposées non coplanaires - —

Les points A . A ' , B , B' seraient donc coplanaires

Considérons alors le plan Si de repère ( A , ÂÂ"*. BB'* ) Le plan Si est aussi le plan (AA'B, ) où B, est le point défini par :

§T -

Le plan Si est fixe , c'est à dire qu'il est indépendant du paramètre X. La droite (CC* ) est alors parallèle au plan fixe Si .

33

BËf

1°)

b) O n a : \ l K

- IA + AC + CK

(ItT - W

donc:

+ ÂC* + CïT

j ^

-

+ XAB + CK

( ÎR" - 1 F + X Â 1 T + C K

On an déduit, par additbo membre à membre :

2 I K - 0 + X ( A B

+ A'B' ) + O

Utilisons le milieu J de [ BB'] et le milieu I de [ AA*] : 2li est l'ensemble des points M tels que :

*

La droite Sb ' est l'ensemble des points M ' tels que :

AM - a AB A'M'

quand a décrit R .

- n A'B'

quand n décrit R .

Exprimons ÏL* à l'aide de ÂB* et de A'B' . ( IL

- 1Â* + ÂM* + M T

( ÏL* - W

+ ÂM* + MÏ*

d'où : 2 IL - ÂM + Â W

c'est à dire :

ÏL - ^ Â B + ^ - Â î ?

Posons : v - — AB et v ' - — A ' B ' . a l o r s IL - a v 2 2

+

uv'

où les vecteurs v

et v'

sont non coiinéaires

Le lieu géométrique P du point L quand le point M décrit la droite S> et que le point M ' décrit la droite S ' . est l'ensemble des points L tels que :

p est donc le plan de repère

IL - a v

+ |i v' , quand ( a . n ) décrit H 1 .

(1,7,7).

Un autre repère de P est, par exemple, (I, AB , A'B' ) . La droite (AB) et la droite (A'B' ) sont donc parallèles au plan 9 , Remarque : la droite A est incluse dans le plan P puisque les points K sont milieux des segments [ CC ] où les points C et C ' appartiennent respectivement aux droites £> et £> ' .

34

exercice 7 Trièdre fondamental d'un tétraèdre .

Soit ABCD un tétraèdre quelconque . Soit I , J , K . L . M . N les milieux respectifs de (A, B), (C, D ) , ( B , C), (D, A), (B, D), (A, C ) . 1°) a) Démontrer que les segments [ U ] , [ KL ] . [ MN ] ont même milieu O . b) En déduire la relation : ÔA

+ ÔB* + OC* + ÔO" - Ô"

(r)

2°) Déterminer les coordonnées du point O dans le repère ( A , Â B * , Â C * . Â D 3") a) Exprimer chacun des vecteurs ÔT , OK* , O M

à l'aide des trois

vecteurs ÂB* , ÂC* . Â D * . b) Vérifier que ( O , Ô l \ Ô K * , ÔM* ) est un repère 31 de l'espace Ce repère est appelé repère fondamental du tétraèdre ABCD . c) Déterminer, dans le repère S t , les coordonnées des sommets A , B , C , D du tétraèdre .

1°) a) O n a :

U

- DJ - DL

IK - BK - Bl

donc :

LJ - £ ( D C

- DA )

d'où :

LJ - £ A C

donc :

ÏK* - £ ( B C

- P*)

d'où : ÎK* - £ Â C

Onendéduit : LJ* - ÎK*

Les bipoints ( L , J) et (I, K) étant équipollents, les bipoints (L, K) et (I. J) ont donc même milieu O . De même , on prouve que ; Tn* - MJ* - y BC* , donc les bipoints (I, N) et (M , J) sont équipollents. Il en résulte que les bipoints (I, J) et (M , N) ont même milieu , qui est le point O . conclusion :

b) ÔA* + œ

les trois bipoints (I, J) , (M , N) , (L, K) ont même milieu O -

- 2ÔT

et

OC* + ÔD* - 2 0 J * . or :

2") Delarelation (r).ondéduit : d'où:

ÔA

donc :

Ôi* + Ô f - Ô"

ÔÂ" + Ô B + Ô C * + Ô D - 2 Ô T + 2 0J* d'où :

OA* 4 0 6 * + OC* + 0 0 * - Ô*

(r)

+ (OA* + ÂB*) + (QÂ* + ÂC*) + (ÔÂ* + ÂD*) - Ô*

4ÔÂ* + ÂB* + ÂC* + ÂD* - Ô*

soit : Â Ô * - ^ ( Â B * + ÂC* + Â D * )

Les coordonnées du point O dans le repère ( A , Â B * , Â C * , ÂD* ) sont donc : ' ( | , } , ï )

3*) a) Ol

- Al

- AO

ÔK - ÂR" - Â O

donc et

O! - ^ AB - Ï ( A B AK

+ AC + AD

- y ( AB + AC )

donc :

soit :

OK - y ( AB + AC ) - | ( A B soit :

ÔM* - Â M - ÂO

et

A M - y ( AB + AD )

donc :

+ AC + AD

OK - i (AB + AC - AD

OM - y ( AB + AD ) - y ( AB + AC + AD ) soit ;

35

Ol - j ( AB - AC - AD

O M - ^ (AB - AC + AD )

3°) b) Les vecteurs Ol

et OK

sont non coiinéaires .

-

il n'existe, en effet. aucun réel X vérifiant le système : ' Si les vecteurs Ol , OK , O M {

f\

'1 7

^4

m

-

1 71 4

1 " I4 IA ™ " »

étaient coplanaires , il existerait deux réels a et (J tels que : O M - aOI + (ÎOK

i - a ( i )

+ 3(Ï)

c'est à dire ;

+ P({)

équivaut à :

( l - « x ( - i ) + P n ( xOz ) - { S } , avec : 11 13 S (—,0, — ) 5 5 5e)

et le point S vérifie :

—

A

2 + S u 5

Déterminer Sb n ( z ' z ) , c'est chercher les éventuels points de Sb dont l'abscisse et l'ordonnée soient simultanément nulles . Or le seul point de S> dont l'abscisse soit nulle est. d'après le 4 e ) , le point R , et l'ordonnée de ce point n'est pas nulle. Par conséquent 2 > r \ ( z ' z ) - 0 . On peut aussi chercher à résoudre le système : / 0 - 3 + 2 X ] 0 - 2 + 5X

qui est impossible .

( z - 1 -4X On trouve de même ; 6°)

£>n(x'x) - 0

et

2>n(y'y)

- 0 .

Nous savons que le point H appartient à la droite Sb et que le vecteur ( - u ) dirige cette droite. Un point M ( x , y , z ) appartient donc à la droite 3> si et seulement si il existe un réel Une représentation paramétrique de 5b est donc : / x • 5 • 2 n J y - 7 - 5ji

40

vérifiant :

HfX -

^.(-7)

exercice 11 Intersections de droites définies par des représentations paramétriques Soit (O r , r k ) un repère cartésien de l'espace . Etudier, dans chacun des cas suivants , la position relative des droites Sb et 2> ' dont les représentations paramétriques sont données ci-dessous . 1")

Sb

2) '

Sb

x - • 1 -4p y - 2 - 6|i

Sb

x - 1 - X y - 2 + 3X z X

2>

x -2 + X y - 4 + 2X Z - X

2°)

z - - 1 + 2n

x - 2 - 3X

3°)

1°)

x - 1 + 2X y - - 3 + 3X I m 5 - X

4")

X - 7 + 2p

y - 1 z - - 3 + 2X

Sb'

y - 2 + 2 n z - - 6 - n

X -

g)'

2>i y - 5 - 6H z - 1

X -

_

1 - ii y * 2 + 2|i z -1 + H

La droite 2> contient le point A ( 1 , - 3 . 5 ) et est dirigée par le vecteur u ( 2 , 3 , - 1 ) La droite Sb ' contient le point B ( - 1 , 2 , - 1 ) et est dirigôo par le vecteur v On constate que : v

- - 2 .u

(-4,-6,2)

. Les droites Sb et S) ' sont donc parallèles,

Le point B appartient-il à à ? ( - 1 - 1 + 2X ] 2 - - 3 + 3X qui est impossible ( - 1 - 5 - X Le point B n'appartient pas à Sb . Les droites S> et S> ' sont donc strictement parallèles , Pour le savoir, étudions le système

2 6)

La droite 2> contient le point A ( 1 , 2 , 0 ) ) et est dirigée par le vecteur u ( - 1 , 3 , 1 ) La droite Sb ' contient le point B ( 0 , 5 , 1 ) et est dirigée par le vecteur v ( 2 , - 6 , - 2 ) On constate que : v" - - 2 . û"

. L e s droites S> et Sb ' sont donc parallèles.

Le point B appartient-il à Sb ? Pour le savoir, on peut employer la méthode utilisée au 1 ") • On peut aussi étudier la colinéarité des vecteurs Û* et  B . On constate que AB

* u .

Les vecteurs AB et u étant colinéaires, le point B appartient à la droite Sb . Les droites £> et S) ' sont donc confondues . La droite Sb contient le point A (2 , 1 , - 3 ) ) et est dirigée par le vecteur u* (• 3 , 1 , 2 ) La droite Sb ' contient le point B (7, 2 , • 6 ) et est dirigée par le vecteur v ( 2 , 2 , - 1 ) Les vecteurs û~ et v" sont-ils colinéaires ? Pour le savoir. cherchons un éventuel réel k vérifiant : l Etudions donc le système : Les vecteurs u

et v

v

- k Û"

2 - - 3k


et Sb ' sont donc sécantes ou non coplanaires.

Un point M de paramètre X de la droite Sb peut-il coïncider avec un point M ' de paramètre n de la droite S)' ? Etudions donc le système

f

2 - 3 X - 7 + 2n

J

1 + X - 2 + 2p

, qui s'écrit

( • 3 + 2 A. - - 6 • [i Ce système admet pour unique solution le couple ( - 1 , - 1 ) . Le point M ( 5 , 0 , - 5 ) de paramètre ( - 1 ) de la droite Sb coïncide donc avec le point M ' ( 5 , 0 , - 5 ) de paramètre ( • 1 ) de la droite 2) ' . Les droites £> et £ ' sont donc sécantes au point 1 ( 5 , 0 , - 5 ) Comme au 3 S ), on justifie que les vecteurs u* et V sécantes ou non coplanaires

sont non colinéaires , les droites Sb et Sb ' sont donc

Un point M de paramètre X de la droite Sb peut-il coïncider avec un point M ' de paramètre n de la droite £9'? 2 + X - - 1 - (x

!

l X + (i • - 3

4 + 2 X - 2 + 2p , qui s'écrit : (S) j 4 p - - 4 - X - 1 + p ( X+ » - 1 Ce système étant impossible, les droites 2> et Sb ' n'ont aucun point en commun . Les droites 2) et Sb ' sont donc non coplanaires et Sb o Sb ' - 0 .

exercice 12 Intersection d'une droite et d'un plan

L'espace (E) est muni d'un repère ( O , i , j , k )

M(t)

Soit £> la droite de représentation paramétrique : ( x - 2 + 3t ] y •

- t

te R

f z - 1 + t

P Soit î 1 et P ' deux plans de représentations paramétriques respectives ; ( x -

1 + 2X + j i

S5 | y - - 1 - 3X + 2|i ( z -

1 +

Etudier les intersections £> n 9

/ x - - 5 - X' (X, |i) G R 2

' Jy -

X

et

3 + X' +

( z -

(X'.fi'JeR*

X'+Ji'

£>r\9'

a) Déterminer Sb n 9 revient à chercher les triplets ( t , X, n) de réels tels que ; / 2 + 3t c'est à dire :

(S) J (

M (t) - M ' (X, n)

1 + 2X + H

(1)

- 1 - - 1 - 3X + 2\i

(2)

1 + t -

1 + X

(3)

Exprimons t à l'aide de X et n grâce à (3) et remplaçons t par son expression dans (1) et (2)

Le système (S) équivaut è :

( »] X * \i - - 1 ( - 2 X + ^ 1 - + 1

(3) (1') déduite de (1) (2*) déduite de (2)

Aucun couple ( X . j i ) ne vérifie les équations (1') et (2') qui sont incompatibles . Aucun triplet ( t , X , m) n'est donc solution du système (S) La droite S> et le plan 9 n'ont donc aucun point commun . La droite £> est strictement parallèle au plan 9 . b) Déterminer £> n 9 ' revient à chercher les triplets ( t , X', n") de réels tels que : 2 + 3t - - 5 - X'

!

- t •

3 + X" + 3jx'

M (t) - M ' (X', n')

(4)

(5)

1 +1 X' son + M* (6) dans (4) et (5) Exprimons t à l'aide de X' et p.' grâce à (6) et remplaçons t par expression Le système (S ' ) équivaut à :

( t - X' + n' - 1 j 4X' + 3|a' - - 4 ( 2X' + 4ji' - - 2

On trouve d'abord : (X*, n' ) - ( • 1 ,0)

,

puis

Le système (S ' ) admet un unique triplet solution qui est :

(6) (4' ) déduite de (4) (5' ) déduite de (5)

t » - 2 ( t , X', ji' ) • ( • 2 , - 1 , 0 )

Il existe donc un point de $> et un seul qui appartienne aussi à 9 ' . C'est le point M (t ) où t - - 2 , qui coïncide avec le point M ' ( X', n' ) où (X', |x' ) - ( - 1 , 0 )

£> n 9 est donc un singleton Les coordonnées de I sont :

{I} celles du point M (t) où t • • 2 celles du point M ' (X',

On trouve :

1(-4,2,-1) 42

) où ( X', n' ) - ( - 1 , 0 ) .

exercice 13 Equation cartésienne d'un plan . Intersection de deux plans . L'espace (E) est muni d'un repère (O , i , j , k ) , Soit P

l'ensemble des points M ( x , y , z) de (E) tels que :

x • y - 2z - 4 - 0

Soit P ' l'ensemble des points M ( x , y , z) de (E) tels que :

4x - y + z • 7 - 0

( x 1+ X Soit la droite S> ; j y - - 2 + 3X ( z 1 - X 1°) Justifier que les ensembles y et y sont deux plans. Préciser un repère de chacun d'eux . 2°) Démontrer que PnP' 3°) Etudier £>r\P

est une droite A dont on précisera un système d'équations paramétriques

, 2>nP'

. En déduire que les droites Z et A sont parallèles .

P est l'ensemble des points M / équivalente au système (S) < (

dont les coordonnées (x , y , z) vérifient l'équation (e) : x - y + 2z + 4 , X - y + 2z + 4 y - y où ( y , z ) e R ! z z

(S) est un système d'équations paramétriques d'un plan de repère ( A , u, , u 2 ) avec: remarque : la relation :

x - y - 2z - 4 » 0

A ( 4 . 0 , 0 ) , ÛT(1 , 1 , 0 ) , Û T ( 2 , 0 , 1 )

i

est appelée une équation cartésienne du plan P . x -

x où ( y , z) e R 2

y - 4x + z - 7 z 2

(S ' ) est un système d'équations paramétriques d'un plan de repère (B , v, , v z ) avec : B ( 0 , - 7 , 0 ) , 2°)

PnP'

vT ( 1 , 4 , 0 ) , ^ " ( 0 , 1 , 1 )

est l'ensemble des points M dont les coordonnées ( x , y , z ) vérifient le système (s)< x - y - 2z - 4 (4x - y + z - 7 (s)

< = » < x - y + 2z + 4 ( 4 ( y + 2z + 4 ) - y + z - 7 - 0

(s) » ( X - y + 2z + 4 ( 3y + 9z + 9 - 0 (s) « t x - y ( y -

+ 2z + 4 - 3z - 3

(s) ix - - z + 1 I y - - 3z - 3

X-

!

1- z

y - • 3 - 3z z -

où z e R

z

On reconnait que P n P ' est une droite A dont (o) est un système d'équations paramétriques. Un repère de cette droite A est, par exempte, (Mç, Û" )

43

avec :

^(1,-3,0)

et

tT ( - 1 , - 3 , 1 )

36)

Etudier SbnS> revient à déterminer les points M (X.) de la droite Sb dont les coordonnées vérifient l'équation de P. Le point M (X), de paramètre X, appartenant à la droite Sb , a pour coordonnées : ( 1 + X . - 2 + 3 X . 1 - X ) M(X)eP

»

( 1 + X) - ( - 2 + 3X) * 2 ( 1 - X) - 4 - 0

M (X) e P

»

OX - 3 .

Aucun réel X n'est solution de cette équation .

aucun point M (X) de Sb n'appartient à P

traduisons :

La droite Sb est donc strictement parallèle au plan P : fi n P

-

Raisonnons de la même façon pour déterminer Sb r\ P ' M (X)e P '

o

4 ( 1 + X) - (• 2 + 3X) + ( 1 - X) - 7 - 0

M (X) e P ' 2 . S>3, S>A sont des plans de l'espace , Justifier que 9>3 et f>4 sont deux plans strictement parallèles . 2°) Résoudre chacun des deux systèmes : / x • y - 2z - 4 - 0 (s) j 4 x - y + z - 7 - 0

/ x - y - 2z - 4 « 0 (s') j 4 x - y + z - 7 - 0 ( 2x + y + 5z - 5 - 0

( 2x + y + 5z + 1 - 0

En déduire l'intersection SP, n P j n f , et l'intersection P , n 9 3 n 9 t Analyser les positions relatives des quatre plans P , , SPa, , P •

.

x - 4 + y + 2z y y

!

où y et z sont des réels quelconques ,

Z -

z

y , est donc un plan, donl le système (S, ) définit une représentation paramétrique . Un repère de P, est :

( A , . Û 7 , v T ) avec: A , ( 4 , 0 , 0 )

; Û7 ( 1 . 1 . 0 )

:

vf(2,0,1)

b) Utilisons la même méthode :

•

Mfx.y.zJePj

»

/ x x J y - - 7 + 4x + z ( z z

9*3 est donc un plan de repère (A, . û f . v T ) avec : x -

!

A» ( 0 , - 7 , 0 ) ;

(1 . 4 . 0 )

; vT ( 0 , 1 , 1 )

x

y - - 1 - 2x - 5z

z -repère ( A s . û T .zv T ) avec : A , ( 0 . - 1 . 0 ) ; û T ( 1 .• 2 . 0 ) ; v T ( 0 . - 5 . 1 ) est donc un plan de x -

x

!

y - + 5 - 2x-5z 2 -repère (A*, U T . Zv T ) avec : ^ ( 0 , 5 , 0 ) : ^ ( 1 . - 2 , 0 ) 9 A est donc un plan de

45

; vT ( 0 , - 5 , 1 )

*

On constate que : u 4 - u3

et

v 4 - Vj

donc les plans P 3 et SPt sont parallèles .

Par ailleurs le point A3 de f>3 n'appartient pas au plan S>, puisque ses coordonnées ( 0 , - 1 , 0 ) ne vérifient pas l'équation (e4 ) . Les plans 9>, et SP< sont donc strictement parallèles . 2") Résolvons les systèmes proposés par la méthode dite " méthode de Gauss " qui utilise le principe ci-dessous : Dans un système , on peut remplacer

le sous système

j

Lj

ligne i

\

Lj

ligne j

par le sous-système j L^

ligne i inchangée

\ Lj + a Lj ligne j augmentée d'un " multiple " de ligne inchangée Lj . Le nouveau système ainsi obtenu est alors équivalent au système proposé , c'est à dire admet même ensemble de solutions. a) Résolution du système (s) : / x - y - 2 z - 4 - 0 î 4x - y + z - 7 - 0 ( 2x + y + 5z + 1 - 0

L, L2 Lj

Eliminons x dans la deuxième et dans la troisième ligne : (s) «

L,

(

Lj - 4 L , U - 2L,

\ (

x • y •

2z - 4 - 0

I,

3y + 9z + 9 - 0 3y + 9z + 9 - 0

Ig l3

Eliminons y dans la ligne l, : (s) «

I, |2 lj . |2

( S ) » Z É R

( j ( et

x - y - 2z - 4 - 0 3y + 9z + 9 - 0 0 z + 0 - 0 tout z vérifie I, - lj y - • 3z - 3

et

x -

- Z •»-1

L'ensemble des triplets (x , y , z) de réels vérifiant le système (s) est l'ensemble des triplets ( - z + 1 , - 3 z - 3 , z ) quand z décrit R . Interprétation géométrique du système (s) : M (x, y . z) e

«

x 1-z y - - 3 • 3z z -

ze R

Z

est donc une droite £ dont on reconnaît un repère ( A . î T ) A { 1 , - 3 , 0 )

U (• 1 , - 3 , 1 )

Les trois plans P , , S>2, JP, sont donc concourants suivant une droite commune 5b ( on remarquera que ces trois plans sont distincts deux à deux ) . b) Résolution du système (s ')

(s) »

x - y * 2z • 4 - 0 a est l'ensemble des points M dont les coordonnées (x . y , z) vérifient le système (s' ) donc ; -

B>

Ce résultat était prévisible . or Remarque :

En effet ; ( ï», n S>2 ) n

- 9> n S>4

la droite £> est incluse dans le plan P 3 qui est strictement parallèle à S>4, donc ;

•

0

les deux plans P 3 et 3>i étant parallèles , tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les traces sont parallèles . le plan P , , qui coupe ?>3 suivant la droite S>, coupe donc S>4 suivant une droite à ' parallèle à 2> • P2 , qui coupe S>3 suivant la droite £>, coupe donc 9>4 suivant une droite Sb" parallèle à S) . 46

Exercice 15 Traces d'un plan sur les axes de coordonnées . Plan parallèle è un axe de coordonnées

L'espace (E) est muni d'un repère (O , i . j , k ) On notera l (Ox), (Oy), (Oz) les droites de repères respectifs ( O , T ) , (O , f ) , (O , ÎT ) * (xOy), (yOz). (zOx) les plans de repères respectifs (O , F , f ) , (O , j~ . ÎT ) , ( O , ÎT , F ) 1S) a) Construire le point Mo (1 , 2 . 0 ) et les bipoints (Ma, M, ) et (M,, M, ) représentant les vecteurs respectifs u etv,où:u

" - i

+ 3k

et

v - - 2 f + 3 k*

b) Ecrire une représentation paramétrique du plan P de repère (M 0 , u * , 7 ) Le point C ( 0 , 0 , 6 ) appartient-il à P ? Que dire des quatre points Mo, M,, C , M, ? c) Démontrer que :

P n (Ox) est un singleton { A }

P n (Oy) est un singleton { B } Préciser les coordonnées des points A et B Construire les traces du plan p sur les plans de coordonnées. d) Soit M un point quelconque de l'espace . de coordonnées (x , y , z ) , Démontrer que le point M appartient au plan P si, et seulement si : 6x + 3y + 2z - 12 - 0 2") Soit SI l'ensemble des points M de l'espace dont les coordonnées (x, y , z) vérifient la relation (r ) : 3y + 2z • 6 - 0 a) Démontrer que 91 est un plan , parallèle à l'axe des abscisses. b) Démontrer que le plan P, coupe les axes (Oy) et (Oz) en des points qu'on notera respectivement J et K Préciser les coordonnées des points J et K Le point M, appartient-il au plan SU ? c) Déterminer les inlersections du plan 91 avec chacun des plans de coordonnées , d) Démontrer que l'intersection des plans 91 et (ABC) est une droite S> parallèle à (JK) Nommer un repère de la droite Sb et la construire . 3°) a) Construire le point L (1 , 2 . 3 ) et justifier que les points C , O , M 0 , L sont coplanaires b) Démontrer que la droite (OL) coupe le plan (ABC) en un point G qui vérifie : OG~ - 5 ( Ô Â + ÔtT + OC* ) c) Justifier que le point G est le centre de gravité du triangle ABC ( c'est à dire le point de concours des médianes de ce triangle )

1°) a) Soit (x,, y , , Zi )

et

(x 2 , y s , z, ) les coordonnées des points respectifs M, et Mj .

On a :

M M * - (x, • 1)1* + (y, - 2)j" +

• 0)k*

Or:

MM

3ÏT

-

-î*

+

Le vecteur M M * admet un unique triplet de coordonnées dans la base ( i , j , k ) de E . ( x, - 1 - - 1

( x, - 0

d'où : ] y, - 2 - 0

Les coordonnées de M, sont donc : j

(2,-0-3

y, - 2

( Zt - 3

On a :

M M

- (x2 - 1)F + (Vt • 2 ) f + (z2 - 0)îT

Or:

WA

-

_2f

+

3ÏT / x, - 1

On en déduit, par le même raisonnement. que les coordonnées de M, sont :

j y2 - 0 2,-3

b) Les vecteurs Û* et v sont non coiinéaires. En effet. chercher un réel a tel que : 7 résoudre le système : {

- a u

équivaut à

Q- - a - 2 - 0o

dont aucun réel a n'est solution .

3 - 3a Un point M (x . y .2) appartient au plan 9 de repère (Mo, û* , 7 ) s i , et seulement si il existe un couple (X, m) de réels tels que :

M)M - Xu

+ mv

( x - 1 - X

(e, )

(S) j y - 2 - 2y, ( z « 0 + 3 X + 3 m

c'est à dire si :

(fi*) (ea )

Le point C (0 , 0 . 6) appartient à 9 s i , et seulement si il existe un couple (X, m) de réels tels que : 0 - 1 - X 0 - 2

-2m

On trouve : X - 1 et

\x - 1

6 - 0 + 3 X + 3m Le point C appartient doncau plan 9 , et on a :

Mo'C - 1 u + 1 v

Remarquons que le quadrilatère M0M,CM2 est un parallélogramme puisqu'on a : MqC - M ç M

c) M ( x , y . z ) e P n ( O x )

( x - 1 - X J y - 2 (

Ontrouve:

»

Ontrouve:

et

z - 0 +3X + 3n j i - 1 , puis

9 n (Ox) est donc un singleton { A } M(x,y,z)eJ>n(Oy)

-2^

X - - 1

y - 0

(

z -

0

dt>ù:

(x.y.z) -

(2,0,0)

(x.y.z) -

(0.4.0)

avec A ( 2 , 0 . 0)

( x - 1 - X < y - 2 - 2m ( z - 0 + 3 X + 3m X - 1 , puis

9 n (Oy) est donc un singleton { B }

l j

+ MqMï

et

(


Enoncés deThalès *

B'

.

Théorème direct : Si trois plans parallèles distincts coupent une droite Sb en A . B , M et une droite A en respectivement A", B", M " , i i.x .u, alors on a I égalité :

A" M " A" B"

-

AM AB

Théorème réciproque : Soit Sb et A deux droites non coplanaires Soit j A , B , M trois points distincts de Sb \ A " , B", M " trois points distincts de A Si on a l'égalité :

s'/

A"M' AM _ - —— A- BÂB

alors les droites (AA" ) . (BB" ) , (MM " ) sont parallèles à un même plan Remarquons que les droites (AA" ) , (BB" ) , (MM" ) ne sont pas parallèles entre elles . En effet: Si on avait (AA" )//(BB" ) , les points A , A " , B , B" seraient coplanaires alors que les droites £ et A sont supposées non coplanaires

Propriétés de la projection q ( sur la droite A parallèlement au plan P ) • *

Si trois points A , B , M sont alignés et vérifient :

AM

alors leurs projetés respectifs A " , B " , M" par q vérifient ; A"M"

*

La projection q conserve le barycentre •

*

Le projeté par q du milieu I d'un bipoint ( A , B) est le milieu I" du bipoint projeté (A", B" ) .

*

La projection q conserve l'équipollenee des bipoints

- k AB - k A"B

Si quatre points A , B . C , S vérifient ;

AS ** X AB + p AC

alors leurs projetés respectifs A " , B " , C " , S" sur A parallèlement à P vérifient : A"S"" - X A W + p A"C"

Cette figure visualise les projetés A', B', C*,S* de A , B , C , S sur P parallèlement à A et les projetés A", B", C", S" de A , B , C , S sur A parallèlement à P .

Remarquer que K étant le point d'intersection de A sur P , on a : (AA")//(KA') puique le plan (KA" AA" ) est coupé par les plans parallèles P et suivant des droites parallèles . De même on a : (BB" ) Il (KB* ) (CC")//(KC) (SS")//(KS')

PA

Exercice 1 Théorème de Thalès dans l'espace

Soit Sb et Sb ' deux droites Soit JP, et P2 deux plans / ? (

non coplanaires . parallèles et distincts coupant Sb respectivement en A et B coupant S) ' respectivement en A' et B ' .

On considère un plan P qui varie en restant parallèle aux plans P, et P2 • On appelle M et M ' les points respectifs où P coupe les droites Sb et Sb ' Soit I , J , K les points appartenant respectivement aux droites (AA' ) , (BB' ) , (MM' ) ÎÂ' et définis par : — IA

JB' lë

KM"' , —— - k KM

où k est un réel donné, non nul, différent de 1 . 1®) Démontrer les relations : a) ( k - 1 ) Û * - k  B * - A'B* b) ( k - 1 )ÎK* « k  M * -  M * 2°) On pose * *

= - X. AB

Justifier qu'on a :

IK - XIJ

En déduire le lieu géométrique A du point K lorsque le plan P varie en restant parallèle à P, et P2 Construire deux figures en prenant : k - 3 ; k - ( - 1)

Les relations qui définissent les points I , J . K sont équivalentes aux relations vectorielles suivantes : W * - kïÂ*

; JÊT - k JB*

; KM* - k KM*

a) Utilisons la relation de Chasles : On a ( d'une part d'autre part

U - IA' + A'B' + B'J

donc

U - k IA + A'B' + k BJ

(1)

Ï T - 1Â* + ÂB + BJ*

donc

kU

(2)

(k • 1 ) U

- KAB - A'B*

(3)

donc

IK - k l A

+ A'M' + k M K

(4)

donc

klK* - k l  " + kÂM* + kMK*

(5)

( k - 1 ) IK - k AM - A'M"

(6)

Retranchons membre à membre les égalités (2) et (1). On trouve : b) On a ( d'une part d'autre part

IK - IA' + A ' M + M'K ÏÏT

- ÏÂT + ÂM* + MK*

Retranchons membre à membre les égalités (5) et (4). On trouve :

2°) *

- klÂ* + kÂËf + kBJ*

Appliquons le théorème de Thalès dans l'espace : Si trois plans parallèles P , , Pt, S5 coupent deux droites Sb et Sb ' en respectivement A , B , M et A', B' , M ' , ÂTT. ï û A'M' AM alors on a : " = = " "

.

( ÂST-XÂlï5 J j ÂM - XÂB

. . -

(•') (e) remarquer : AB * 0

et

A'B' * 0

Les points A . B , M étant alignés et les points A', B', M ' étant alignés , les égalités (e) et (e' ) sont équivalentes aux égalités vectorielles :

*

A'M" - X A'B'

J

ÂM* -

XÂB

La relation (6) s'écrit alors : ( k • 1 )1R* - k ( X Â B ) - ( X Â l ^ ) d'où :

( k - 1 )1ÏT - X ( k  B

En tenant compte de (3), on trouve : or

*

(

- A'B' )

(k-1)lK*-X(k-1)U

k * 1 . d'où :

1R* - XU*

Quand le plan SP varie. en restant parallèle à P, et

Les points I, J , K sont donc alignés .

, le point M décrit toute la droite Sb , donc le réel X {tel

que ÂM* - XÂB ) décrit R ( si X « 0 , alors M est en A ; si X - 1. alors M est en B ) . Puisque IK* - X Û " , le lieu géométrique du point K , quand X décrit R , est donc la droite (U) " toute entière • ,

Si k - - 1 la propriété précédente peut être énoncée de la façon suivante : Soit deux points M et M ' décrivant respectivement une droite Sb et une droite Sb ' non coplanajres, en sorte que le segment [ MM ' ] reste parallèle à un plan y , donné. Le lieu géométrique du milieu K de [ MM ' ] est alors une droite .

l

J

9

!

K

80

£ ~ — - 4 M

Exercice 2 Pieds des hauteurs d'un triangle •

projetés orthogonaux de ces pieds sur les côtés du triangle

•

symétriques de ces pieds par rapport aux côtés d u triangle

Soit ABC un triangle non rectangle. d'orthocentre H , Soit A , , B,, C, les pieds des hauteurs issues respectivement de A , B , C . Soit I et J les projetés orthogonaux respectifs de A, sur (AC) et (AB) . Soit K et L les projetés orthogonaux respectifs de B, sur (BA) et ( B C ) . Soit M et N les projetés orthogonaux respectifs de C, sur (BC) et (CA). 1°) Démontrer :

(U)//(BA)

;

(KL)//(CA)

;

(MN) Il (AJ3, )

2°) Soit R et S les points où la droite (U) recoupe respectivement les droites (BB, ) et (CC, ) . a) Démontrer : (A,S)//(BA)

et

(A,R)//(CA)

b) En déduire que la droite (U) contient les milieux respectifs Bi et C j de [A,C,] et [A,B,] . 3°) Soit A' et A" les symétriques respectifs du point A, par rapport aux droites (AB) et (AC) . Démontrer que les points A ' , C , , B,, A" sont alignés.

* Le triangle A,B,C, est dit " triangle orthique " du triangle ABC . • Le triangle AgBgCg est dit " triangle médian " du triangle A ^ C , .

81

1 B ) Démontrons par exemple qu'on a : (IJ) // (B, C, ) . Utilisons le théorème de Thalès. Soit p la projection orthogonale de la droite (AA, ) sur la droite (AB) . p : A H A1

» A » C,

ÂC" ÂH Le théorème de Thalès assure ; - = 1 - — —

J

(1)

AA>

M

Soit q la projection orthogonale de la droite (AA, ) sur la droite (AC) . q : A H A1

» A » B, ,1

Le théorème de Thalès assure :

aq Al

Des égalités (1) et (2), il résulte :

AJ

ÂH - —— AA1

(2)

- 4=1 Al

(3)

D'après la réciproque du théorème de Thalès , la relation (3) garantit que la droite (U) est parallèle à la droite (B,C,) On démontre de même :

(KL)//(C,A,)

et

(MN)//(A,B,)

2°) Démontrons que les droites (A, S) et (BA) sont parallèles Soit q, la projection orthogonale de la droite (BC ) sur la droite (CA) q,; C Af

B

» C »|

(5/C Le théorème de Thalès assure ; - = ^ - -

Ci

> B,

(4) 1

Puisque les droites ( B , C , ) et (U) sont parallèles , considérons la projection q } de la droite (CA) sur la droite (CC,) suivant la direction de la droite (U) . q2: C I B,

• C » S

Ci Le théorème de Thalès assure :

>C,

CS -

CB1

Des égalités (4) et (5), on déduit alors :

CÂ CB

°°i -

es

(6)

CC,

D'après la réciproque du théorème de Thalès , la relation (6) garantit que les droites (A, S) et (BA) sont parallèles . On démontre de la même façon que les droites (A, R) et (CA) sont parallèles . b) Le quadrilatère A, JC, S a ses côtés opposés parallèles et Â, JC, est un angle droit . Le quadrilatère A, JC, S est donc un rectangle et ses diagonales ont même milieu. Le milieu B; de [ A , C , ] est donc milieu de [ J S ] . Lepoint B j appartient donc è la droite (JS), qui est aussi la droite (U). On démontre de même que le quadrilatère A, IB, R est un rectangle • Le milieu C 2 de sa diagonale [ A, B, ] est donc aussi milieu de [ IR ] • Lepoint C, appartient donc à la droite (IR), qui est aussi la droite (U). On a démontré au 1 °) que ; *

(U) Il (B, C, )

Considérons le triangle A'A,C, • La droite (U) contient i le milieu J de (A, , A " ) < le milieu B, de (A,. C, )

d'où :

(U) Il (A' C, )

Par le point C , , il ne passe qu'une droite parallèle à la droite ( U ) . Les droites (C, A' ) et (C, B, ) sont donc confondues . ce qui prouve que : •

A' e (B, C, )

Considérons le triangle A"A, B, • La droite (U) contient t le milieu I de (A, , A " ) ( le milieu

de (A,, B, )

d'où :

(U) Il (A" B, )

Par le point B , , il ne passe qu'une droite parallèle à la droite ( U ) . Les droites (B, A " ) et ( B , C , ) sont donc confondues , ce qui prouve que : 82

A " e (B,C,)

Exercice 3 Théorème de Ménélaus dans le plan

Soit ABC un triangle . Soit M , N , P trois points appartenant respectivement aux droites (BC). (CA). (AB) et distincte des points A , B . C Démontrer que : une condition nécessaire et suffisante pour que les points M , N . P soient alignés est : MB NC = - x = - x MC NA

PÂ - - + 1 PB

(m)

= =

Remarque : la relation (m) confirme un renseignement intuitif : si Pe[AB]

et Ne [AC],

alors Me [BC]

.

hypothèse ; M , N , P alignés

Théorème direct :

Supposons les points M . N . P alignés

Calculons le produit

= MC

T3Â

PB

en utilisant le théorème de Thalès .

Soit A la droite portant les points M , N , P , *

Soit p la projection de la droite (BC) sur la droite (AC) suivant la direction de la droite (MN) . Notons B, limage du point B par la projection p . Alors B , * N P : B

*

> B,

M

>N

C

>C

_ On en déduit :

. ^ ^

(1) m

Soit q la projection de la droite (AB) sur la droite (AC) suivant la direction de la droite (MN) • q : A P B

>A >N

On en déduit : — -

»B,

PB

— NB

(2) i

Multiplions membre à membre les égalités (1) et (2). On obtient: MB PÂ NA = - x — » — MC PB NC

.. c'est à dire :

83

MB NC PÂ = - * = - x — - + 1 MC NA PB

(3)

Théorème réciproque :

e

Supposons que

MB MC

x

NC NA

x

PA PB

(P)

- + 1

Prouvons que les droites (MN) at (AB) sont sécantes Supposons (MN)// (AB) Soit alors I la projection de la droite (BC) sur la droite (AC) suivant la direction de la droite (MN). Utilisons le théorème de Thalès. I : M

figure 2

-> N

B

A

C

-+C

On en déduit : ^ MB NA

les relations (p) et (e) permettent d'écrire :

PA PB

(e)

- + 1

(g)

Or les points P . A , B étant alignés. la relation (g) traduit : A -

B.

ça qui est Impossible

Les droites (MN) et (AB) ne peuvent être parallèles . Etant distinctes, elles sont donc sécantes en un point noté Q Utilisons le résultat établi dans le théorème direct précédent . ( O n a Q * A et Q * B ) Les points M . N . Q étant alignés et appartenant respectivement à (BC). (CA). (AB) vérifient

Les égalités (p) et (q) permettent d'écrire : ^ Soit

PA X - = . PB

Alors

X -

OA ^ QB

PÂ QA contenant les points M, N, P, Q coupe la droite (BD) en un point noté K. On pourra alors appliquer aux triangles ABD et CBD le théorème de Ménélaus dans le plan •

2°) Théorème réciproque ;

Supposons que

^ x ^ f x ^ - x = - + 1 MB NC PD QA

(p)

Démontrer que les points M . N , P , Q sont alors coplanaires , indication : On envisagera les deux cas suivants : a) la droite (MO) est parallèle A la droite (BD) • b) la droite (MO) coupe la droite (BD) en un point noté K . On justifiera alors que les droites (MO) et(NP) sont sécantes en K . figure 1

figure 2

K -s

C

C

1 B ) On suppose que les points M , N , P , Q sont coplanaires. Soit P le plan qui les contient. a) Premier cas : Si le plan J* est parallèle à la droite (BD) ( voir figure 1 ) , alors : •

le plan (ABD) contient la droite (BD) parallèle à P . La droite (MQ), intersection des plans (ABD) et P est donc parallèle à la droite (BD). Le théorème de Thalès assure alors :

MB

-

(1)

QD

+ lé plan (CBD) contient la droite (BD) parallèle à P . La droite (NP), intersection des plans (CBD) et P est donc parallèle à la droite (BD). Le théorème de Thalès assure alors :

NC

-

(2)

PC

En multipliant membre à membre les égalités (1 ) et (2), on trouve :

n la* ,(3), 0\ A A I. I l"*A De IHAégalité on Adéduit alors l*A l égalité :

85

= x= x= MB NC QD PC

(3)

MA x =NB •==• • x PC x QD - + 1 . .(p). MB NC PD QA

b) Deuxième cas : Si le plan P coupe la droite (BD) (voir figure 2 ) , nommons { K } - P n (BD). Alors (KePn(BDA) ( K e S» n (BDC)

donc

(Ke(MQ) 0

et

1 - k > 0

ka - 2 (1 • k) a ,

donc:

MQ - ka

c'est à dire :

et

MN-(1-k)2a

k - f

Pour que le parallélogramme MNPQ soit un losange, il est nécessaire et suffisant que :

87

(2)

ÂM* - § ÂC*

Homoth6ti«S

A) Définitions propriétés 1 a ) Définition , a)

M' A'

8(1,k) : M A B

Soit I un point de l'espace et k un réel non nul. On appelle homothétie de centre I , de rapport k , l'application 3t

B'

de (E) dans (E) qui, à tout point M de (E), associe le point M' tel que : IM1* - k l M * L'homothétie 3t est aussi notée 9t ( I , k ) . L'homothétie 31 est dite : * * Remarques : * * * *

une homothétie positive si k > 0 une homothétie négative si k < 0

Les points I , M , M' sont alignés • Toute homothétie de rapport 1 est l'identité de (E) . Si k - - 1, 31 ( I, - 1 ) est la symétrie centrale de centre I . Si k * 1 ,1 est Tunique point invariant par 31 (I, k ) .

b) Toute homothétie est une bijection de (E) dans (E) , et la bijectton réciproque de 3t (I. k) est l'homothétie

2°) Homothétjquee: de deux pointe distinct» A et B . a)

b)

*

Si A' et B' sont les images respectives de A et B par l'homothétie 31 (I, k ) , alors on a : A'B'

*

On en déduit : A'B' - | k | AB L'homothétie 3t (I, k ) , de rapport k t multiplie les distances par | k | | multiplie les aires par k 7 ( multiplie les volumes par | k | 3

conséquence :

- k AB

B't

Toute homothétie conserve le barycentre .

3*) Détermination d'une homothétie a)

Etant donnés trois points distincts alignés I , A , A', il existe une homothétie X , et une seule. de centre I , qui transforme le point A en le point A'. Son rapport est :

b)

k -

U' IA

Etant donnés deux points A et B distincts, et deux points A' et B' distincts tels que : A'B' - k AB

( avec k * 1

il existe une homothétie 3t et une seule vérifiant ( A' - 3E (A) I B'-Jt(B) Le rapport de cette homothétie 3t est k , et son centre est le barycentre de { ( A , k), (A', - 1)} Remarque :

c)

Dans le cas où les droites (AB) et A'B' ) , qui sont parallèles, sont non confondues, le centre I de 3t est le point d'intersection des droites (AA' ) et (BB' ) ( qui sont sécantes puisque k * 1 ) .

Caractérisation d'une homothétie autre que Id (E) Sort f une application de (E) dans (E) • f e3t une homothétie de rapport k ( k * 1 ) 3i, et seulement s i , pour tou3 points M et N , dlmages respectives M' et N', on a : Remarque :

M'N'

- k MN

S i , pour tous points M et N , on a

M'N'

- MN , alors f est une translation .

88

48) Composée d» deux homothéties a)

Homothéties de même centre La composée St (1, 1¾ ) 0 SI (I. k, ) de deux homothéties de même centre I est l'homothétie St (1, 1¾ k, ) de même centre I , dont le rapport est le produit des rapports . Cette composée est commutative •

8 ( M f c ) 0 8 ( l , M - A Q . M o B O . k t ) - 8(1,1¾^) M"

* ( L . 3 ) O * 0 . * 2) - 51(1.- 6)

b)

Homothéties de centres différents *

si k a k, * 1,

SI ( l j , 1¾ ) 0 SI ( I,, k, ) est une homothétie, de rapport kj k, dont le centre ^ est situé sur la droite (l,^ ) . cette composée n'est pas commutative .

+ si kj k, - 1,

SI ( l j . k2 ) 0 St ( I,. k, ) est une translation. de vecteur colinéaire à Û T •

Retenir que la droite (1,1g ) est globalement invariante par St ( l j , k2 ) 0 St ( I,. k, )

8(^.-^08(1,.-2)-¾^

8(^-3)08(1,.-2)-4^.8)

u - MM"

Le point I, est l'unique point invariant par cette composée 8(1,.-2) I, • W» - - 2 1 , 1 , d'où :

Û" - MM' + MM"'

«(t.-3) » I.' et

sont concourantes en un point vérifiant : c) Conclure que :

ST

- - j SH

les six points I , J , K , L , M , N sont cocycliques , sur un cercle de centre T .

Le cercle T? qui porte ces six points est dit cercle de Taylor du triangle ABC . A

1°) Démontrons, par exemple . que : (KN) Il (BC) Soft p, la projection orthogonale de la droite (AC) sur la droite (AB) •

Pi: ^

B, C

>A

>K

TT>

II en résulte : = AC,

7ô" AC

(1)

Soit p;, la projection orthogonale de la droite (AB) sur la droite (AC) • p2 : A C, B

»A >N >B,

âc! AN II en résulte : — 1 AB AB,

105

(2)

Multiplions membre à membre les égalités (1) et (2), On obtient :

AK AN - AB AC

(3)

=

D'après la réciproque du théorème de Thalès , la relation (3) garantit que : la droite (KN) est parallèle à la droite (BC) . On démontre de môme que :

(MJ)//(CA)

et

(IL) // (AB)

2°) a) Les deux triangles B,C,K et B,C,N sont deux triangles rectangles ayant môme hypoténuse [ B, C, ] , donc : le cercle r de diamètre [ B, C, ] contient les points K et N • Le milieu Ai de ( B, C, ] , centre du cerde r , étant équidistant des points K et N , appartient par conséquent à médiatrice A, de (K, N) . Puisque (BC) // (KN), la droite A,, perpendiculaire à (KN), est aussi perpendiculaire à (BC). Soit A, le point où A, coupe (BC) . Considérons la projection orthogonale de (B, C, ) sur (BC) :

C, • A, , Bl

»

M A, L

Le point Ai est le milieu de (C,, B, ) , donc le point A j est le milieu de (M. L) . La droite A,, qui est perpendiculaire à (ML) en le milieu de (M, L), est donc la médiatrice de (M, L) . On justifie de la môme façon que : la médiatrice ^ de (J.M) contient le milieu Bj de [ C , A , ] et est médiatrice de [ N I ] la médiatrice A3 de ( l , L ) contient le milieu C 2 de [A, B,] et est médiatrice de [ K J ] .

b) L'isobarycentre S de { A , , B,, C,} vérifie :

SA, + SB, + SC, - O

Le point Ai est milieu de (B,, C, ) donc : La relation (4) s'écrit alors :

W

SÂT + 2 SÂe* - O

' On démontre de môme :

(4)

+ SÔT - 2SÂ7

SëT - - JSBT

d'où ; et

SAa - - j SA, SC 2

SC,

L'homothétie W de centre S , de rapport - y , transforme donc A, en Aa , B, en Bî , C, en (¾ Soit h/^, hg , hQ les hauteurs issues des points respedifs A , B , C dans le triangle ABC . L'homothétique .par 5 f . de la hauteur h/y

est une droite parallèle à h ^ et qui contient l'image At de A,. c'est donc la droite A,

De môme ; 51 (hg ) - ^

et

5Ï (hç ) - A)

L'orthocentre H du triangle ABC appartient à h ^ n hg n hQ, donc : ce qui prouve que :

l'homothétique, par 3t. du point H appartient à A , n Aï n A 3 . les trois droites A,, A 2 . A j sont concourantes en un point T , qui est 5E (H ) . On a donc: s T - • 5 SH*

c ) On a

( A , - med(K.N)

et

T e A,

donc

( TK - TN

et

TGAÎ

donc

( TJ - TM f TN • 71

donc

t Tl - 7L ' TK - TJ

i A, - m e d ( M . L ) On a On a

< AÏ - med (J, M) } Ae - med (N. I)

< TM - TL

( A j - med ( I , L) et T e An i Aj - med(K.J) Il en résulte T K - T N - T 1 - T L - T M - T J

Le point T est donc centre d'un cercle contenant les six points I . J , K , L . M . N

106

Exercice 9 Droite de Newton d'un quadrilatère complet

Un quadrilatère complet est la figure déterminée par quatre droites distinctes , sécantes deux à deux , l'intersection de trois quelconques d'entre elles étant vide . Trois d'entre elles déterminent un triangle ABC . La quatrième, A , coupe les droites (BC), (CA), (AB) en respectivement D , E , F . *

Les quatre droites (BC), (CA), (AB), A sont dites " côtés " du quadrilatère complet ( qui admet ainsi six sommets A , B , C , D , E , F ) .

*

Les * diagonales " du quadrilatère complet sont les trois segments [ AD ] , [ BE ] , [ CF ] non portés par les côtés , ayant pour extrémités deux sommets .

Soit M, , M , , M, les milieux respectifs de (A, D ) , (B, E ) , ( C , F) , On se propose de démontrer que les points M,, M , M 3 sont alignés . 1°)a) Soit h, l'homothétie de centre D , qui transforme F en E , Construire l'image S), de la droite (AB) et l'image I du point B par l'homothétie h,. b) Soit h 2 l'homothétie de centre D , qui transforme C en B Construire l'image A, de la droite (AC) et l'image J du point E par l'homothétie h 2 . c) Justifier l'égalité : hj 0 h, • h, 0 1½. En déduire l'image du point F et l'image du point C par hj 0

•

2°) Soit 3? l'homothétie réciproque de ha 0 h, . a) Construire l'image £>2 de la droite 0 , par #

et l'image A2 de la droite A, par SE

b) On nomme : i K le point d'intersection des droites £>, et A, i L le point d'intersection des droites 9>3 et A2 . Justifier que les points D , K , L sont alignés . c) Justifier que les points M,. M 2 , M 3 sont les images respectives des points D , K , L par l'homothétie de centre A , de rapport y En déduire l'alignement des trois points M,, M . M, •

107

1Ù) a) *

L'homothétique par h, de la droite (AB) qui contient le point F , est une droite S), parallèle à (AB) et qui contient l'image E de F par h,.

•

B e (DC) n (AB)

donc or

h, (B) e h, (DC) n h, (AB) t

h, (DC) - (DC)

i

h, (AB) - £>,

car

(DC) contient le centre D de l'homothétie h,

Le point h, (B) est donc le point I d'intersection des droites (DC) et S),.

b) * *

L'homothétique par h t de la droite (AC) qui contient le point C , est une droite A, parallèle à (AC) et qui contient l'image B de C par h j . E e (DE) n (AC)

donc or

hj (E) e ^ (DE) n h, (AC) i

h2 (DE) - (DE)

î

hj(AC) • A,

car

(DE) contient le centre D de l'homothétie h 2

Le point h-, (E) est donc le point J d'intersection des droites (DE) et A,. c) La composée de deux homothéties de même centre est commutative ; Les deux homothéties h 2 et h, ont même centre D . donc : h 2 0 h, - h, 01¼ h,

h,

h j 0 h , : Fi

hio^

:

C'

E • h*

»B «

h,

•

J

donc

•

I

donc

hj0h,(F)-J

h20h,(C) - h,0h2(C) - I

2®) a) 3t est l'homothétie réciproque de h 2 0 h, , donc : < » (J) - F

' 31 (0 - C L'homothétique par 3t de la droite S),, qui contient le point I , est une droite S>2 parallèle à

et qui contient

rimage C de I par 3t. L'homothétique par 3t de la droite A , , qui contient le point J , est une droite Aj. parallèle à A, et qui contient rimage F de J par

3t.

b) Cherchons l'image du point K par l'homothétie 3t K e » , n A,

donc

31 (K) € 3t ( 8 , ) n » (A,) JC(K)e n âj d'où:

L'homothétie 31 a pour centre D et on a 51 (K) - L

3t( K) - L

donc : les points D , K , L sont alignés .

c) Le quadrilatère ABKE est un parallélogramme puisque ses côtés opposés sont parallèles . De même , le quadrilatère ACLF est un parallélogramme ( on a :

(AB) //£>, et £>,//£>2 (AC)//A, et A,//Ai )

Le milieu Mj de ( B , E ) est donc milieu de ( A , K)

d'où:

ÂMf - jÂK

(1)

Le milieu M3 de ( F . C) est donc milieu de ( A , L)

d'où:

 M f - y AL

(2)

On sait par ailleurs que M, est milieu de ( A , D)

d'où :

AM, - y AD

(3)

Les égalités (1 ) , (2), (3) prouvent que les points M, , M 2 , M, sont images respectives des points D , K , L par l'homothétie de centre A et de rapport y • Toute homothétie conserve l'alignement . Puisque les points D , K , L sont alignés, on en déduit que :

108

les points M, , M 2 , M, sont alignés.

Exercice 10 Centres d'homothéties de trois cercles On considère trois cercles C , ,

C

^ donc

H

O

O,-Sgc(0),

on a :

OA'

« - y HA . c'est à dire: OA' - y A H

OO, - 2 0 A '

d'où : 0 0 ,

- AH

L'égalité (e) prouve que les bipoints (O,, A) et ( O , H) ont même milieu ( qui est O ) On prouve de même que O' est milieu de (O a , B)

et

O' est milieu de ( O j , C) •

conclusion : la symétrie centrale de centre O' transforme donc les points A , B , C en respectivement 0,.^.0,

.

114

(e)

Exercice 11 Droite et cercle d'Euler

Les notations sont celles de la 1 1Ù) Justifier que le centre O' du cercle C

( 3 è m » partie )

partie ( voir page 1 1 1 ) .

est milieu commun des trois segments [ ^ A ' ] . [ BïB' ] . [ C 2 C' ] .

2®) On suppose le triangle ABC non rectangle • a) Démontrer que la droite (AjO' ) est la médiatrice de (B,, C, ) . En déduire que : le milieu de chaque côté du triangle ABC est équidistant des pieds des hauteurs sur les deux autres côtés. b) Démontrer :

(OA) 1 (B,C, )

;

(OB) 1 ( C A )

;

115

(OC) 1 (A,B, ) .

1") Le cercle d'Euler C

est circonscrit au triangle A ^ A ' , rectangle en A, •

L'hypoténuse [ A ? A' ] de ce triangle rectangle est donc un diamètre du cercle C ' . De même, [ B?B" ] et [ C^C' ] sont deux diamètres de C ' . Le centre O' du cercle d'Euler C ' est donc milieu commun de [ fi^A' ] , [ B^B' ] , [ CjC" ] .

2°) a) Remarquons que les points B, et C, sont distincts ( sinon le triangle ABC serait rectangle en A ). En outre H * A Les deux triangles rectangles AHB, et AHC, ont même hypoténuse [ A H ] dont le point As est le milieu. Le cercle r de diamètre [ AH ] contient donc les points B, ot C, • Le point Aî , centre du cercle T , est équidistant des points B, et C , , donc : A, e med (B,, C, ) D'autrepart.

OB, - OC, - ^

( rayon de C ' )

donc:

O' G med (B, , C, )

La médiatrice de ( B , , C , ) est donc la droite (AsO' ) . Puisque le point A' appartient à la droite (AjO' ) , on en déduit : A'B, - A'C, De même. on démontre que :

(BjO' ) - med (C,. A, )

et

(C,0' ) - med (A,. B, ) d'où :

b) On a déjà justifié : Ô F

- y AH* ( 2*™» partie ). Or

B'C, - B'A,

et

A, - m ( A . H ) donc : Ô Â * - Â Â T

Les droites (OA) et (A'Aî ) sont parallèles et (A'Aj ) est médiatrice de (B,. C, ) donc : (OA)±(B,C,) On justifie de même :

(OB)l(CA)

116

et

(OC) _L (A,B, )

C'A, - C'B,

.

Exercice 12 Lieux géométriques : Image d'un cercle

par une homothétie ou une translation

Soit A et B deux points distincts et C le cercle de diamètre [ AB ] On note O le milieu de [ AB ] et on pose : AB - 2 R 1°) A tout point M du cercle C , distinct de A et de B , on associe le point M ' telque MABM ' soit un parallélogramme, a) Déterminer l'ensemble décrit par le milieu M, de [ MM ' ] lorsque le point M décrit C - { A , B ) . b) Déterminer l'ensemble décrit par le centre de gravité M du triangle MBM ' lorsque le point M décrit C - { A , B } . 2*) On note M " le symétrique de A par rapport au point M , et M, le point d'intersection des droites ( O M " ) et (BM) , Déterminer le lieu géométrique du point M, quand M décrit C - { A , B } • 3 e ) On note ( I et J les milieux respectifs de [ M A ] et [ M B ] I K le milieu de [ U ] . a) Déterminer le lieu géométrique du point K quand M décrit C - { A } . b) Soit L le point d'intersection des droites (AM) et (BK). * Déterminer le barycentre de { ( A . 1 ) , (B . 1 ) , (M , 2 ) } , * Reconnaître le barycentre de { ( A . 1), ( M , 2 ) } . *

En déduire le lieu géométrique du point L quand M décrit C - { A , B } .

Remarque préalable L'image du cercle C ( de centre O , de rayon R ) par toute homothétie ou translation f est un cercle C ' de centre f (0) Toute homothétie ou translation f du plan 3> dans lui-même est une bijection de 9 dans 9 . donc l'image par f du cercle C , privé des points A et B . est le cercle C ' , privé des deux points f (A) et f (B).

117

1°) a) On a :

MM" - AB

et

M, est milieu de [ M M ' ] , d'où : MM, - y A B Le point M, est donc l'image de M par la translation TS de vecteur y AB .

L'image du cercle C ( O , R) par la translation TS J

est un cercle r , ( de même rayon R , r dont le centre est B ( p u i s q u e O B - y A B )

On a 1S (A) - O ; Posons Ç (B) - B, Le lieu du point M, est donc le cercle T , , privé des points O et B, ( figure 3). b)

Le centre de gravité M? du triangle MBM ' vérifie :

B M j - f BM,

Le point Mz ®st l'image de M, par l'homothétie h de contre B , de rapport f

.

L'image du cercle T, ( B , R). par l'homothétie h , est un cercle r 2 i de de rayon rayon ff R R ,, dont le centre est B ( car h (B) - B ) Posons : h (O) - O'

et

h(B,)-B'

Le lieu du point Mj est donc le cercle r 2 , privé des points O' et B ' . 2")

Dans le triangle ABM " , les points O et M sont milieux respectifsde [ AB ] et [ AM " ] . Le point M j , intersection de deux médianes de ce triangle , en est donc le centre de gravité, d'où ; BM, - § BM Le point M, est l'image de M par l'homothétie h de centre B . de rapport f

.

L'image du cercle C (O , R), par l'homothétie h . est un cercle T, \ de rayon \ R , ) dont le centre est O' ( car h (O) - O' ) . Remarquons :

h (B) - B , donc B e T,

-

Posons : h (A) - A'

Le lieu du point M, est donc le cercle r 3 , privé des points A' et B -

figure 3

M'

118

2") a) Cherchons une relation liant les vecteurs OK

et O M .

Le point K est milieu de (I, J) donc: ÔK* • y ( Ô T + Ô T ) Or : ( I - m (A, M)

donc

i J - m (B, M)

(

ÔT - y (ÔA* + Ô M * )

(

ÔJ* - 5 (ÔB* + OfCT )

La relation (r) s'écrit : Puisque

(r)

ÔK* - y ( Ô Â * + ÔB* + 2 Ô M * )

O - m (A, B), on a :

ÔÂ" + ÔB* - Ô"

d'où :

ÔK* - y OM

Le point K est l'image de M par l'homothétie St de centre O , de rapport y . L'image du cercle C (O , R ) , par l'homothétie St , est un cercle H, i do rayon y R , ) dont le centre est O ( car St (O) » O ) . Notons

A, - St (A)

;

B4-«(B)

Alors:

A,-m(O.A)

et

B4-m(O.B)

Le lieu du point K est donc le cercle r * . privé des points A4 et B* b) *

•

Le point O est milieu de ( A , B) donc :

Bar{ (A. 1), (B, 1), (M , 2)) - Bar { ( 0 , 2 ) , (M, 2)}

Puisque K - m ( 0 , M) on déduit:

Bar{ (A, 1), (B. 1). (M . 2 ) } - K

Nommons G le barycentre de { ( A , 1 ) , ( M , 2 ) } . D'une part :

G e (AM)

D'autre part :

K - Bar { ( B , 1 ) , (G . 3 ) }

Il en résulte que : G e (AM) n (BK) ; •

donc : les points B . G , K sont alignés.

or

(AM) n (BK) - { L ) d'où :

G - L

Le barycentre de { ( A , 1 ) , (M , 2)} étant le point L , on a : Â T - j ( 1 Â Â * + 2 Â M * ) soit : Â L

-§ÂM

Le point L est l'image de M par l'homothétie St ' de centre A , de rapport § * L'image du cercle C (O, R) par St ' est un cercle F 5

(

de rayon § R ,

dont le centre 0 5 vérilie : AO5 • f AO remasy? : St ' (A) - A

donc

A e r,.

Posons :

B s - St '(B)

Le lieu du point L est donc le cercle Ps privé des points A et Bj -

119

Exercice 13 Homothéties et lieux géométriques .

Dana un plan SI. * * *

on considère quatre points distincts A , B , B', A' tels que : les droites (AB) et (A'B* ) soient sécantes en un point noté O les droites (AB' ) et (A'B) soient sécantes en un point noté O' les droites (AA* ) et (OO' ) soient sécantes en un point noté F .

Soit £> et Sb ' deux droites parallèles coupant le plan Si en respectivement B et B' . A tout point M de S), on associe le point M ' , intersection de la droite S> ' et du plan (AMA* ) . 1 e ) a) Justifier que les droites (AM) et (A'M*) sont sécantes ( en un point noté I ) . b) Déterminer le lieu géométrique du point I quand le point M décrit la droite Sb . 2°) a) Justifier que les droites (A'M) et (AM' ) sont sécantes ( en un point noté J ) . b) Déterminer le lieu géométrique du point J quand le point M décrit la droite 0 . 3°) Démontrer que la droite (U) passe par un point fixe F lorsque le point M décrit la droite S).

1°

a) Les deux droites Sb et 2>' sont parallèles donc le plan (AA'M), qui coupe Sb en M . coupe aussi £>' . *

Si M - B

alors

M ' - B'

ona:

(AM)n(AM) -

{0}

•

Si M -f- B

alors

les plans (AMA' ) et Si sont distincts donc : M' * B' les droites (AM) et A'M') sont coplanaires -

Si on avait (AM)// (A'M') les droites sécantes (AM) et 2> seraient respectivement parallèles aux droites (A'M' ) et Sb', Le plan (ABM) qui contient (AM) et 2> serait alors parallèle au plan (A'B'M"), qui contient (A'M') et Sb' Les traces du plan SI sur les plans parallèles (ABM) et (A'B'M') seraient alors parallèles . *+ ce qui est impossible puisque les droites (AB) et A'B' ) sont supposées sécantes . Les droites (AM) et A ' M ) sont donc sécantes ( en un point noté I ) . 120

b)

l e (AM)

donc

l e (ABM)

I € (AM )

donc

I € (A'B'M )

> )

Le point I appartient donc à ( A B M ) n ( A ' B M ) .

Précisons (ABM) n (A'B'M ' ) en supposant M distinct de B . Les plans (ABM) et (A'B'M ) ( ont en commun le point O ( car O e (AB) n (A'B' ) ) ( sinon on aurait ; (ABM) r\ 31 - (A'B'M' ) n & ) .

( ne sont pas confondus

Les plans (ABM) et (A'B'M' ) sont donc sécants suivant une droite A qui contient le point O . Appliquons le théorème du toit . Les droites Sb et Sb ' sont parallèles et incluses respectivement dans les plans (ABM) et (A'B'M' ) L'intersection A de ces deux plans est donc parallèle aux droites Sb et S) ' , Conclusion : Problème :

Pour tout point M de Sb, le point I, commun à (AM) et (A*M' ) , appartient à la droite A contenant le point O et parallèle à Sb • Quand le point M décrit la droite Sb. le point I décrit -il toute la droite A ?

Soit 9* le plan déterminé par les deux droites Sb et A parallèles et distinctes . Le plan P contient les points O et B , et donc aussi la droite (OB) . Dans le plan P , considérons la projection de la droite (OA) sur la droite (IA), parallèlement à Sb . Le théorème de Thalès assure que : On a alors

Âï

Â5

AM

AB

Â Ô - k ÂB

ÂÔ ; posons k - — - ( rapport fixé par le choix de A , B , O ) AB

\ ÂÔ* - kÂB*

/ Al - k A M

d'où

/ Al

- kAM

( puisque les points A , I , M sont alignés) .

Le point I est donc l"homothétique du point M par l'homothétie 31 de centre A , de rapport k . L'ensemble des points I, quand M décrit la droite Sb , est donc l'image par 3t, de la droite S), c'est à dire la droite parallèle à S) et contenant l*homothétique O de B par 31. On reconnait la droite A • Le lieu géométrique du point I est donc toute la droite A , 2") a) Par le même raisonnement qu'au 1 ° ) , on justifie que : les droites (A*M) et (AM' ) sont coplanaires et non parallèles . donc sécantes . b) Si M * B , le point commun J de (A'M) et ( A M ) appartient à (A'BM) n ( A B M ) *

Les plans (MBA* ) et (M'B'A) sont sécants suivant une droite A' contenant le point O' et parallèle aux droites Sb et Sb ' ( théorème du toit ) *

U droite (O'J) étant parallèle à (BM), on a : =

- =

A'M On a alors:

• Posons : k ' -

A'B

A'O'" - k ' Â l f

• A'B

et

 T - k'A'M*

Le point J est donc l'homothétique du point M par l'homothétie 3t ' de centre A', de rapport k ' . Le lieu du point J , quand M décrit la droite £>, est donc la droite A' parallèle à Sb et contenant l'homothétique O 1 de B par l'homothétie 3t ' . 3°)

Les droites (OO' ) et (AA' ) sont supposées sécantes en F

;

( si M est en B , la droite (U) est la droite (OO' ) qui contient le point F ) . Démontrons q u e . lorsque le point M décrit la droite Sb . la droite (U) contient le point fixe F . Soit f le plan déterminé par les droites sécantes (OO* ) et A La droite A', parallèle à A , et contenant le point O' du plan 8 , est donc incluse dans le plan 8 On a alors : I € A J e A' F e (OO* )

et

(OO* ) c $

donc : donc : donc :

Ici* Je 8 Fe 8

Par ailleurs , les points I, J , F appartiennent au plan (IAA* ) • Les points I. J , F sont donc alignés sur la droite d'intersection des plans 8 et (IAA' ) .

121

L'espace (E) est muni d'une distance : l'unité de longueur est la môme sur toutes les droites de ( E ) . A) R a p p e l de géométclfijalane 1 Ù ) Rapport do projection orthogonale associé à deux demi-droites [ Ol) et [ OJ) ; cosinus d e î o j . Dans un plan W , considérons deux demi-droites de même origine O . munies de repères (O I) et (O J) telsque: Ol - OJ - 1. '

Ç,

a) Soit A et B deux points quelconques distincts de la demi-droite [ QJ) . Soit A ' . B " , I' les projetés orthogonaux respectifs de A . B , I sur la droite (O I) . Le rapport

/VB' — ,

égal à O l ' , est indépendant du choix des points A et B

O

|' J

Â'

b) Soit M et N deux points quelconques distincts de la demi-droite [ Ol) . Soit M " . N " , J- les projetés orthogonaux respectifs de M . N , J sur la droite (OJ) . Le rapport

B'

„ "

m

/

^

, égal à O J " . est indépendant du choix des points M et N .

O

c) Les réels Ol" et OJ" sont égaux.

~~

|j

M

Leur valeur commune est appelée le rapport de projection orthogonale associé aux demi-droites [ Ol) et [ O J ) , ou encore le cosinus de l O J . Par définition , on a :

cos IOJ - 4 1 AB

donc :

ÂB 7 - AB x c o s l O J

coslOJ - ^

donc :

MTT - MN x c o s l O J

MN

„ r

O

, I I

Les deux demi-droites [ Ol) et [ OJ) déterminent un angle dont la mesure 0 , en radians, appartient à ( 0 . n ] ,

2°) Angles remarquables 0 en radians

cos 8

0

i

1 6

1

£

£

2

2

n

n

3

2

i 2

o

122

2« 3

3JI 4

2

5n T

2

*

2

1

N~

B) produit scalaire de deux vecteurs de l'espace 1") Théorème

t

et définition du produit scalaire U*. v " de deux vecteurs

a) Soit Û* et v* deux vecteurs NON NULS de l'espace . Soit A un point quelconque de l'espace, B et C les points tels que : ÂbT - IT Il existe un plan

S3

; ÂC* - 7 .

contenant les points A , B , C .

Dans ce plan P , soit C ' le projeté orthogonal de C sur (AB) . Le réel A B x AC' ne dépend pas du repère normé choisi sur (AB) et ce réel est indépendant du choix du point A On pose alors :

Û*. 7 -  B x  C 7

b) Si l'un des vecteurs u , v

est O , on pose :

u. v - 0

c) On appelle carré scalaire d'un vecteur u , le produit scalaire u . u , noté aussi ( u ) z . Pour tout bipoint ( A , B ) , on a : ( ÂÊf )' - AB2

Pour tout vecteur "u , on a :

("u f

- ||"u | f

d'où:

||~u || - - J u . u

2°) Relations entre Û*. v " et II û * I l . Il 7 II a) Soit u et v deux vecteurs NON NULS, de représentants respectifs ( A , B) et ( A . C) ÂB.ÂC u .v

- AB x AC x cos BAC

" || u || x || v || x cos 9

où 0 est la mesure de { u , V }

e - ï A

C' BAC aigu

o

B

B BAC droit

ÂB* ÂC* > 0

b) Deux vecteurs quelconques u

u

A

et v

«

ÂB.ÂC

o

AB . AC

, et Sb3 sont deux droites orthogonales s i , et seulement si u7 et ÛT sont orthogonaux . on écrit alors : ± Aj u2

t .

I

i Deux droites Sb, et Sb2 orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes .

u,

*

A.

/

Si deux droites A, et Aj sont orthogonales et sécantes, on dit que A, et à? sont perpendiculaires .

à

2') Propriétés a) Si deux droites 2> et Sb ' sont parallèles, alors toute droite A orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre . Cependant, toute droite perpendiculaire à l'une n'est pas nécessairement perpendiculaire à l'autre . b) Attention Si deux droites A, et A2 de l'espace sont perpendiculaires à une même troisième droite A , alors les droites A, et AÏ ne sont pas nécessairement parallèles . On a i A , 1 A ( A,1A

}

pourtant, on n'a pas A,// A j • A,

B) Droite et Plan p e r p e n d i c u l a i r e 1') Définition Une droite Sb est dite perpendiculaire ou orthogonale à un plan P si, et seulement si Sb est orthogonale à toutes les droites de P. on écrit alors : 2 l î »

2>

A u

On dit aussi que le plan P est perpendiculaire à la droite Sb .

?

'

2°) Théorème fondamental a) Une droite S) est perpendiculaire à un plan P s i , et seulement si S> est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan P ,

A >

v,

/

b) variante Une droite Sb , de repère (A , û* ) , est perpendiculaire à un plan P . de repère (B , vT , v T ) , si et seulement si u ±v,

et

u lv2

145

3°) Propriétés

Si'

S>

a) Si deux droites sont parallèles . tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre .

si iSb'HSb I P 1 Sb

alors

ku*

ÂJ

' tT

PLSb' V,

/ 9

/

b) Si deux plans sont parallèles , toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre alors

Sb 1P '

< S) ± P

c) Il existe un plan Pp^ et un seul, contenant un point A donné et perpendiculaire à une droite donnée Sb • Ce plan S>A contient toutes les droites passant par A et orthogonales à S> pf^ est l'ensemble des points M de l'espace tels que : AM , u - 0 ( t T désignant un vecteur directeur de la droite Sb).

S)

/

A

conséquence :

/

Deux plans distincts , perpendiculaires à une môme droite , sont parallèles si ( P I S »




b) On appelle projection orthogonale de (E) sur une droite 2> l'application q q u i , à tout point M de (E) associe le point M " . intersection de S) et de l'unique plan P M contenant M et perpendiculaire à £> .

-

On appelle distance d'un point A à une droite S> la distance AA" o ù : A" est le projeté orthogonal de A sur » VQe£>,

AA" S AQ

A"

La distance AA" est la valeur minimale de la distance de A à un point Q de Z>,

Û

s

s

c) Angle d'une droite A et d'un plan P non perpendiculaire» . *

On mesure l'angle de A et P en mesurant l'angle aigu a déterminé par la droite A et la droite A' projetée orthogonale de A sur P .

*

Le projeté orthogonal d'un segment [ AB ] porté par A est un segment [ A'B' A'B' - AB x cos a

d) Projection orthogonale d'un angle droit sur un plan P . •

Un angle droit BAC se projette orthogonalement sur un plan P suivant un angle droit B'A'C' s i , et seulement si l'un au moins des côtés de BAC est parallèle à P ( l'autre côté n'étant pas perpendiculaire à P ) .

*

Si un angle ayant un côté parallèle à un plan P se projette orthogonalement sur P suivant un angle droit, alors cet angle est droit .

si ( BAC est droit alors j (AB) parallèle à P

B'A'C' est droit •

si ( BAC est droit

(AB) ou (AC)

alors

( B'A'C est droit

si \ (AB) parallèle à P B'A'C' est droit 147

est parallèle à P

alors

BAC est droit .

-

M

/

/

c) Plans perpendiculaires 14) Définition

y

a) Soit P , et P2 deux plans . Soit N,

un vecteur normal à ÎP,

N,

Na

Soit N T un vecteur normal à P2 On dit que les plans P, et P t sont perpendiculaires s i , et seulement si les vecteurs N ^ et N T sont orthogonaux . On écrit alors :

A

Pi±P2

b) Deux plans perpendiculaires sont sécants . c) Remarque : Toute droite £>, perpendiculaire à P , et toute droite S>„ perpendiculaire à P2 sont alors orthogonales . Par contre, une droite incluse dans P , et une droite incluse dans P2 ne sont pas nécessairement orthogonales

2") Propriétés a) Si deux plans P , et P2 sont perpendiculaires, alors : •

Toute droite £>. incluse dans l'un des deux plans et perpendiculaire à leur droite commune A . est orthogonale à l'autre plan .

Toute droite » , perpendiculaire à P, est parallèle à P2 en particulier :

la droite £>A perpendiculaire à P , et contenant un point A de P„ est incluse dans P2

b) Si deux plans sont parallèles , tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre . c) caractérlsatlon 1 Deux plans sont perpendiculaires s i , et seulement si l'un d'eux contient une droite orthogonale à l'autre.

/ d) caractérisation 2 Deux plans sécants et P2 sont perpendiculaires si, et seulement si un plan SI, orthogonal à leur droite commune A , les coupe respectivement suivant deux droites A, et AZ perpendiculaires

e) Deux plans perpendiculaires à un môme plan P ne sont pas nécessairement parallèles • Si deux plans sécants P ' et P " sont perpendiculaires à un môme plan P , alors leur droite commune £> est perpendiculaire à P .

M

A _i Z

3

SR

f) Etant donnés un plan P et une droite 5 non orthogonal® à P , il existe un plan ï . et un seul contenant 5 et perpendiculaire à P .

3*) Mesure d'un dièdre de l'espace Soit deux demi-plans rc, et 1¼ , de frontière commune A , inclus respectivement dans des plans P , et P 2 sécants suivant A . a) On appelle dièdre d'arôte A , ayant pour faces les demi-plans n, et 7¾ l'intersection des deux demi-espaces fermés suivants : * l'un de frontière P , , contenant le demi-plan 1¾ * l'autre de frontière P 2 , contenant le demi-plan TI.

On convient d'appeler mesure, en radians, de ce dièdre, la mesure 9 de l'angle t,Ot a de deux demi-droites [Ot, ) et [ Otj ) , de môme origine O appartenant à l'arête A , et telles que : * *

[ Ot, ) est incluse dans n, et perpendiculaire en O à A [ Ot2 ) est incluse dans 7¾ et perpendiculaire en O à A .

remarque :

Le plan P , , contenant les demi-droites [ Ot, ) et [Ot 2 ) est le plan perpendiculaire en O à A . Le réel 8 est alors indépendant du point O choisi sur l'arête A .

b) Un dièdre est dit dièdre droit si 8 - f radians c) Deux plans P , et P 2 sécants suivant une droite A déterminent quatre dièdres d'arête commune A , ayant deux à deux mêmes mesures : 9 , n - 8 d) Deux plans sécants sont perpendiculaires s i , et seulement si l'un des quatre dièdres qu'ils déterminent est droit. ( les quatre dièdres qu'ils déterminent sont alors droits.)

P) Plan médiateur d'un segment - Axe d'un cercle - Sphère circonscrite à un tétraèdre -

1*) Plan médiateur d'un segment Soit A et B deux points distincts a) On appelle plan médiateur du segment [ AB ] , ou du bipoint ( A . B ) , le plan perpendiculaire à (AB) en le milieu I de ( A , B ) .

b) Le plan médiateur de ( A , B ) est l'en semble des points M de l'espace tels que : MA - MB

c) Le plan P détermine deux demi-espaces ouverts de frontière P •

6 ^ contenant le point A

+ S g contenant le point B • Ne S g

»

NB < NA

Ne

NA < NB

6 A

149

2°) Axe d'un cercla a) L'axe d'un cercle C de centre O est la droite A perpendiculaire en O au plan de ce cercle . b) L'ensemble des points M de l'espace équidistants de trois points A . B . C non alignés est l'axe du cercle circonscrit au triangle ABC .

i

^ ¾ ¾ ^ ^ B

3 e ) Sphère circonscrite > un tétraèdre L'ensemble des points M équidistants de quatre points A, B, C. D non coplanaires est un singleton (Q) £2 est le centre d'une sphère $ contenant les points A, B, C, D. La sphère 8 est dite circonscrite au tétraèdre ABCD . Son centre Q appartient à chacun des plans médiateurs de ses six arêtes .

v

A

/

> AC

E) Symétries orthogonales de l'espace (E) 1 *) La symétrie orthogonale par est l'application s de associe : * le point * le point

rapport à un plan SP (E) dans (E) qui, à tout point M de l'espace M, tel que P soit le plan médiateur de (M . M, ) si M ¢, P M si M € P .

L'application s est aussi appelée la réflexion par rapport au plan P Pour tous points M et N d'images respectives M, et N, par s , on a alors :

M,N, - MN

2°) La symétrie orthogonale par rapport à une droite 2) est l'application o de (E) dans (E) qui, à tout point M de l'espace associe : * le point tel que Sb soit une médiatrice de ( M , M j ) si M « Sb + le point M si M e Sb • L'application o est aussi dite symétrie d'axe Sb . 3°) Toute symétrie orthogonale de l'espace (E) ( par rapport è un plan P ou par rapport à une droite Sb ) est une isométrie de l'espace . c'est à dire une bijection de (E) dans (E) qui conserve les distances Pour tous points M et N d'images respectives Mj et N ; par s , on a alors ;

M,Nj - MN .

4 ' ) Une figure £ est dite symétrique par rapport à un plan P ( ou par rapport à une droite Sb ) lorsque l'image de £ par la symétrie par rapport à P ( ou à S) ) , est égale à la figure £. elle-même .

Exercice 1 Théorème des trois perpendiculaires

Soit S> une droite perpendiculaire en O à un plan P . Soit A une droite incluse dans P et ne contenant pas O . Soit A un point quelconque de S), distinct de O Soit B un point quelconque de A Démontrer que la droite (AB) est orthogonale à A s i . et seulement si la droite (OB) est orthogonale à A

La droite £> est perpendiculaire au plan P ; S) est donc orthogonale à la droite A , qui est incluse dans P . Soit Û* un vecteur directeur de la droite A . Alors, pour tout point A de S>, on a : ÂO*. u* - 0

(1 )

D'autre part, pour tout point B de P , on a : ÂB*. Û* - (ÂCT + ÔB* ). u* c'est à dire : d'où :

ÂB*. lT - Â Ô . Û* + OB*. û* ÂB*. û* -

ÔB*. u"

La nullité du produit scalaire ÂB*. u* équivaut donc à la nullité du produit scalaire O B . Î T autrement dit :

La droite (AB) est orthogonale à la droite A si et seulement si les droites (OB) et A sont orthogonales

Exercice 2 Peut on projeter un tétraèdre sur un plan suivant un parallélogramme ? Trouver un plan P sur lequel un tétraèdre ABCD donné se projette orthogonalement suivant un parallélogramme A'B'C'D' (A', B', C ' . D' désignant les projetés orthogonaux respectifs des points A . B . C , D sur le plan P )

La projection orthogonale p sur le plan P conserve le milieu , donc ; le milieu de (A', C* ) est le projeté , par p , du milieu M de (A, C) le milieu de (B', D' ) est le projeté, par p , du milieu N de ( B , D) . Pour que A'B'C'D' soit un parallélogramme , il est donc nécessaire et suffisant que : c'est à dire que :

les points M et N aient même projeté orthogonal I sur le plan P la droite (MN) soit perpendiculaire au plan P •

Conclusion : Un tétraèdre se projette orthogonalement sur un plan P suivant un parallélogramme si, et seulement si le plan P est perpendiculaire à la droite (MN) où : j M désigne le milieu de ( A , C) I N désigne le milieu de (B , D) . 151

Exercice 3 Projection orthogonale d'un angle droit

Soit 8> un plan de l'espace et ABCD un carrô dont le plan n'est pas perpendiculaire à 9 . Soit A ' , B', C ' , D' les projetés orthogonaux sur le plan 9 des sommets A . B . C . D du carrô . 1") Démontrer que A'B'C'D' est un parallélogramme2°) Le parallélogramme A'B'C'D' peut-il ôtre un rectangle ? un losange ? un carré ?

1°) La projection orthogonale p sur le plan conserve l'équioollence dos bipoints On a : ÂB* - DC*

d'où :

A'B'' - DC'"

Justifions que les points A', B ' . C ' , D' ne sont pas alignés . S'il existait une droite A contenant les points A', B', C , D', alors : les projetantes des points A , B , C , D seraient coplanaires. le plan Si contenant ces droites serait alors perpendiculaire au plan 9. or ce plan . qui contient les quatre points non alignés A . B . C . D , est le plan du carré ABCD, ce qui est contraire à l'hypothèse . Le quadrilatère A'B'C'D' est donc un parallélogramme • Remarque :

le centre O du carrô ABCD se projette orthogonalement sur 9 en le centre O' du parallélogramme A'B'C'D' ( car la projection p conserve les milieux ) .

2°) a) Pour que le parallélogramme A'B'C'D' soit un rectangle, il faut, et il suffit que l'un de ses angles soit droit, c'est à dire que l'un des angles droits du carré ABCD se projette orthogonalement sur 9 suivant un angle droit. Une condition nécessaire et suffisante pour que A'B'C'D' soit un rectangle est donc que l'un des côtés du carré ABCD soit parallèle au plan

9.

b) Pour que le parallélogramme A'B'C'D' soit un losange, il faut, et il suffil que ses diagonales soient perpendiculaires, c'est à dire que l'angle droit AOB se projette orthogonalement sur 9 suivant un angle A'O'B', lui aussi droit. Une condition nécessaire et suffisante pour que A'B'C'D' soit un losange est donc que l'une des diagonales du carré ABCD soit parallèle au plan 9 • c) Pour que le parallélogramme A'B'C'D' soit un carré , il faut, et II suffit qu'il soit à la fois rectangle et losange . Une condition nécessaire et suffisante pour que A'B'C'D' soit un carré est donc : que l'une des diagonales et l'un des côtés du carré ABCD soit parallèle au plan 9 f autrement dit :

que le plan du carré ABCD soit parallèle au plan 9 , 152

Exercice 4 Section d'un cube par un plan perpendiculaire à une diagonale du cube

On considère un cube ABCDEFGH dont les arêtes ont pour longueur commune a ( a e R*"* ) . 1°) Démontrer que le plan (BEG) est perpendiculaire à la droite (DF) • Justifier que leur point commun

est le centre de gravité du triangle B E G .

2°) Soit I . J . K . L . M . N les milieux respectifs des segments [ A B ] , [ B C ] , [ C G ] , [ G H ] , [ H E ] , [ E A ] . Démontrer que les six points I , J , K , L , M , N sont coplanaires dans le plan médiateur de ( D , F) • Justifier qu'ils sont les sommets d'un hexagone régulier dont le centre est le milieu O de (D , F) • Exprimer è l'aide de a le volume de la pyramide régulière de sommet F ayant pour base cet hexagone régulier.

Happelons que l'ensemble des points équidistants de trois points non alignés est l'axe A du cercle contenant ces trois points ( c'est à dire la droite perpendiculaire, en le centre du cercle . au plan de celui-ci ) .

1°)

On a :

FB - FE - FG - a DB

- DE - DG -

aJT

Les points F et D sont équidistants des trois points non alignés B , E , G . Ils appartiennent donc à l'axe du cercle contenant les points B , E , G . En outre. ces points F et D sont distincts. La droite (FD) est donc l'axe du cercle contenant les points B , E , G , c'est à dire que : la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BEG) en le centre t l du cercle circonscrit au triangle BEG Le triangle BEG étant équilatéral ( BE - BG - GB - a Jï~) le point ft est aussi le centre de gravité de ce triangle .

153

2°)

FI - - J FB 2 + IBZ

Dl - V DA 2 + IA 2

- i ® .

i/i

De même :

FJ-FK-FL-FM-FN-

De même :

DJ-DK-DL-DM-DN-

N g

Le point I est donc équidistant des points D et F et appartient donc au plan 91 médiateur de ( D , F ) . On justifie de même que les points J , K , L , M , N appartiennent à ce même plan 91, qui est perpendiculaire à (DF) en le milieu O de ( D , F).

Les six points I , J , K , L , M , N appartiennent donc au plan

et à la sphère 8 de centre F, de rayon FI - -

91 n t , qui n'est ni vide , ni réduite à un singleton , est un cercle C dont le centre est le projeté orthogonal O du point F sur le plan SI . L'hexagone UKLMN est inscrit dans le cercle fi , En outre , ses six côtés sont isométriques :

1 a/2 a/2 U - — AC - — - — et de même : JK - KL - LM - MN - NI - — - —

L'hexagone UKLMN est donc régulier. Remarque : l'égalité des distances U , JK , K L , L M , MN , NI ne suffit pas à prouver que l'hexagone UKLMN soit régulier. comme on peut le constater grâce au contre-exemple ci-contre .

Le volume de la pyramide régulière FUKLMN est :

*

Le triangle équilatéral OU admet pour aire :

V - 5 ( aire UKLM ) x OF

1 - * U * U x 2

/3 2

c'est à dire :

a2/3 —^— o

aire (UKLMN ) - 6 aire (OU) *

OF - y DF

et

D P - DB2 + B P - ( DA2 + AB? ) + B P - 3a 2

On a donc : V - — x 6 x 3

TïVi

On trouve :

154

d'où :

V -

3a

OF -

Exercice 5 Tétraèdre trirectangle

Soit OABC un tétraèdre dont les arêtes contenant le point O sont deux à deux perpendiculaires . On dit que OABC est un tétraèdre trirectangle en O 1°) Justifier que les arêtes opposées du tétraèdre OABC sont orthogonales . 2°) Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC) a) Justifier que le plan (OCH) est perpendiculaire à la droite (AB) . b) Démontrer que le point H est Corthocentre du triangle ABC . c) Soit K le point d'intersection des droites (CH) et (AB) • Démontrer :

1

1

1

OK 2

OA2

OB 2

puis :

1

1

1

1

OH'

OA'

OB'

OC'

d) Démontrer fégalité : ( aire ABC f - ( aire OAB )2 + ( aire OBC ) 1 + ( aire OAC f 3°) Soit G l'isobarycentre de { O , A , B , C } . Démontrer que le symétrique S du point O par rapport k G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre OABC .

155

1 ") Il s'agit de démontrer : (OC) 1 (AB) Par exemple, démontrons : Première méthode :

;

(OA) 1 (BC)

;

(OB) X (CA) .

(OC) 1 (AB)

la droite (OC), perpendiculaire aux deux droites sécantes (OA) et (OB), est donc perpendiculaire au plan (OAB) qu'elles déterminent , La droite (OC) est donc orthogonale à la droite (AB), qui est incluse dans le plan (OAB) .

Deuxième méthode : calculons â r . Â B " - ÔC*. (ÔB* - QA*) ÔC". ÂB* - ÔC*. ÔB* - ÔC~. ÔÂ" d'où : ÔC~. ÂB* » 0

ce qui prouve :

or:

OC.OB-0

et

OC.OA-O

(OC) 1 (AB)

2") a) Pour démontrer que la droite (AB) est perpendiculaire au plan (OCH), il suffit de prouver que (AB) est orthogonale aux deux droites sécantes (OC) et (OH) de ce plan. *

On vient de justifier:

*

D'autre part. par définition du point H , la droite (OH) est perpendiculaire au plan (ABC) . La droite (OH) est donc orthogonale à la droite (AB), qui est incluse dans le plan (ABC),

(OC) X (AB)

La droite (AB) est donc perpendiculaire au plan (OCH). Remarque : on démontrerait de même que :

( I

la droite (CA) est perpendiculaire au plan (OBH) la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OAH) •

b) Pour prouver que le point H du plan (ABC) est l'orthocentre du triangle ABC, il suffit de démontrer qu'il appartient à deux hauteurs de ce triangle. Par exemple , justifions que : • •

(CH)l(AB)

et

(BH)l(CA)

La droite (AB) est perpendiculaire au plan (OCH) qui contient la droite (CH). On en déduit : (AB) 1 (CH) • La droite (AC) est perpendiculaire au plan (OBH) qui contient la droite (BH), On en déduit : (AC) 1 (BH) ,

c) Remarquons que la droite (AB) est perpendiculaire au plan (OCH) qui contient les points distincts O et K La droite (AB) est donc orthogonale à la droite (OK), qui est incluse dans le plan (OCH), *

Considérons le triangle AOB rectangle en O •

OA 2 x OB 2 A 2 donc: OIC AB

On a : 2 ( aire AOB) - OK x AB - OA x OB

or: *

AB2-OA2

+

OB2

160

— «1 1

Exercice 7 L'octaèdre régulier, dual du cube , et l'étoile de Kepler.

1°) a)

Soit ABCDEFGH un cube, noté e . d o n t l'arête a pour longueur AB - c . Démontrer que : ACFH est un tétraèdre régulier, nommé TS, BDEG est un tétraèdre régulier, nommé Tîj .

b) Justifier que les arêtes opposées du tétraèdre TS, sont deux à deux orthogonales . c)

Exprimer, à l'aide de c les volumes V(C ) , V(% ), V(T^ ) respectifs du cube V(V,) + Vf$) - V (¢,0¾)

* d'autre part en remarquant que

8 est la réunion de TÎ, et de quatre tétraèdres réguliers .

telsque BIMK, d'arête j AC . Comparer les volumes des polyèdres fi et en un point M, appartenant à C.

Supposons que la droite (SN, ) soit parallèle au plan 2> . Puisque SA* est un vecteur normal à 9>. on aurait alors : Il en résulterait, en tenant compte de (3) et (4) : soit : Or N,e SI,

*

mais

S e 91,

SN, 1 SA*

(4)

SN7, ( SA* + AN,' ) - 0 SnT. SnT - 0 donc : N, - S

d'où l'absurdité .

La droite (SN, ) est donc sécante avec le plan P. Posons :

(SN, ) n P -

Démontrons :

M, e C .

M,A . M,B - 0

Remarquons :

M^A. M ^ " -

soit:

Il suffit de démontrer : + SA*). mJB" ;

M ^ À * . W - M^S* M ^ f

Il reste donc à démontrer : Il suffit de démontrer :

{M,}

puisque SÂ" 1 M^B* .

M,S* 1 M,B l SN, 1 M,B

169

puisque SN,

et M,S sont coiinéaires .

On a prouvé que le point N, est le projeté orthogonal de A sur (SN, ) , donc sur (SM, ) . Appliquons l'égalité ( e, ) aux points M, et C . On trouve:

SA2 - S M x SN^

Onendéduit:

SBxSC

et

Il en résulte: soit :

SBxSC

* SMjxSNi

Les vecteurs SB* et SC* sont colinéaires : (5) s'écrit:

SA 2 -

(5) les vecteurs SM, et SN,

sont colinéaires .

SB*. SC* - SM7. SNT

soit:

SB*. (SRT + N £ * ) - SM*. SNT

Or:

d'où:

SB.SNr

N£*±SB*

SNT- ( SB* - S M r ) - 0 SN,'. M B * - 0 ce qui exprime : SN, 1 M,B

S

170

+

0

- SM,.SN,

Exercice 10 Trois lieux géométriques

Dans un plan 9 , on donna une droit© A et un point S n'appartenant pas à la droite A Sur la droite » , perpendiculaire en S au plan 9 , on prend un point fixe A . distinct de S , On considère , sur la droite A , deux points variables B et C tels que les droites (SB) et (SC) soient perpendiculaires Soit A , , B , , C, les pieds des hauteurs du triangle ABC 1°) Démontrer que :

*

la somme

AB* + AC2 - BC2 est constante ,

*

le produit  £ x  £

En déduire que le produit scalaire ÂB*. ÂC* est constant

f)

est constant .

Démontrer que forthocentre H du triangle ABC est un point fixe .

3") Déterminer le lieu géométrique des points B, et C, quand les droites (SB) et (SC) pivotent autour du point S en restant perpendiculaires. 4°) Déterminer le lieu géométrique de l'isobaiycentre G de { A , B , C } • 5°) Déterminer le lieu géométrique du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC .

a) La droite (SA), perpendiculaire au plan 9 , est donc orthogonale à toute droite incluse dans 9 En particulier, on a ; ( ( S A ) l ( S B )

donc

j (SA) 1 (SC) Par hypothèse. on a :

(SB) _L (SC)

donc

Des égalités (1 ) , (2), (3), on déduit :

(

AB2 - SA2 + SB2

(1)

AC* - SA* + SC?

(2)

BC2 - SB3 + S C

(3)

AB2 + AC2 • BC* » 2 SA7

Les points S et A sont fixes donc la somme AB2 + AC2 - BC2 est constante (indépendante des points B et C) On sait que ; 2ÂB*, ÂC* donc :

( AB7 + AC2 - BC2 ),

le produit scalaire

AB . AC

171

est lui aussi constant ( égal à SA2 )

1°) b) La droite A est orthogonale à la droite {SA)

( car elle est incluse dans le plan S> )

La droite A est orthogonale à la droite (AA, ) , La droite A est donc perpendiculaire au plan (SAA, ) déterminé par les deux droites sécantes (SA) et (AA, ) . La droite A est par conséquent orthogonale à la droite (SA, ) qui est incluse dans ce plan (SAA, ) , Le point A, est donc un point fixe . puisqu'il est le projeté orthogonal du point fixe S sur la droite fixe A . En outre, dans le triangle BSC rectangle en S le point A, vérifie : A 3 x A,C - - SA,2 Le produit  £ x Â^C ( égal à - SA,2 ) est donc indépendant du choix des points B et C . 2°) Observons d'abord que :

l'orthocentre H du triangle ABC appartient à la hauteur (AA, ) de ce triangle, qui est une droite fixe.

Démontrons que le point H est le projeté orthogonal du point S sur le plan (ABC) ( ce plan (ABC) est un plan fixe puisque c'est le plan SI déterminé par le point A et la droite A ) . Justifions :

•

D'une part : donc:

*

SFT I B C *

et

SH* ± Â C *

SH . BC

- (SA

+ AH ). BC

et

SA I B C

et

AH

IBC

et

SB J.SÂ*

SH*. BC* - 0

D'autre part : SH . AC âT.ÂC*

- ( SB

+ BH ). AC

- SB . Â C

+ BH*.ÂC*

Ona:

BH* l  C *

donc : BH*.ÂC* - 0

Ona:

SB . Â C - S B . (SC* - SÂ") et donc:

I en résulte :

SH . AC

SB 1 S C

Sff.ÂC* - 0

- 0

La droite (SH), orthogonale aux deux droites sécantes (BC) et (AC) est donc perpendiculaire au plan (ABC) . L'orthocentre H du triangle ABC est donc le projeté orthogonal du point fixe S sur le plan fixe SI . Lepoint H est donc un point fixe.

3°) Première étape Les points A , H , B,, C, appartiennent au plan SI. Ona:B^*l^H*

et

Les points A et H sont fixes.

CAlCÏH*

Les points B, et C, appartiennent donc au cercle T du plan SI dont ( AH J est un diamètre. En outre les points B, et C, sont distincts des points A et H ; en effet : *

Supposons : B, - A ou B, - H ou C, - A ou C, - H Le triangle ABC serait rectangle en A . donc on aurait : BC2 - AB2 + AC2 or on a établi : AB 2 + AC2 - BC* - 2 SA2 * 0 d'où la contradiction II

Les points B, et C, appartiennent donc au cercle T privé des points A et H .

172

Deuxième étape :

Réciproquement, soit B 0 un point quelconque de T • { A , H }

( on a alors :

BoA ± BQH )

Prouvons que ce point Bo est pied d'une hauteur d'un triangle ABC où B et C sont deux points de la droite A telsque: ( S B ) l ( S C ) *

Soit C le point où la droite (AB6 ) coupe A . Soit B le point où la droite (HB„ ) coupe A . Observons que ces deux points B et C existent,

En effet :

la droite A est parallèle aux tangentes A a et A ^ au cercle F en A et H respectivement ( ces trois droites A , A ^ , A ^ sont coplanaires dans le plan SI et perpendiculaires à la droite (AH) La droite (ABo ) , qui coupe la droite A ^ , coupe donc aussi la droite A • La droite (HBQ ) , qui coupe la droite AU , coupe donc aussi la droite A . *

Dans le triangle ABC ainsi défini. le point B0 est le pied de la hauteur issue du point B (la droite (BH) est en effet la droite (BoH ) , qui est perpendiculaire en B 0 à (AC)) Le triangle ainsi construit admet donc le point H pour orthocentre •

A

*

Il reste à justifier ;

SB 1 SC

Calculons : SB . SC - SB . ( SA + AC )

D'une part :

SB* SÂ* - 0

car la droite (SA) est orthogonale à toute droite incluse dans 9 .

D'autrepart :

SB* ÂC* - (SH* + H B " ) . Â C "

or : \ SH . ÂC* - 0 ( HB.ÂC donc :

- 0

puisque (SH) est perpendiculaire au plan SI qui contient (AC) car:

(HB)l(AC)

SB*. ÂC* - o

e t , finalement. on trouve:

4°) Soit G l'isobarycentre de { A , B , C } Soit A' le milieu de ( B . C ) , alors : ÂB* + ÂC* - 2ÂÂ 1 *

SB*. SC* - 0

On a :

ÂG* - $ ( Â Â * + ÂB* + Â C * )

d'où :

ÂG* - §Â ! *

La relation (e) exprime que le point G est l'image du point A' par l'homothétie JE ( A . § ) . Le lieu du point G est donc homothétique du lieu du point A' par SI ( A , \ ) .

173

(e)

Etudions le lieu du point A', milieu de (B , C) • • •

Ce point appartient à la droite A • Lorsque les droites (SB) et (SC) pivotent autour du point S , en restant perpendiculaires . le point A' décrit-il toute la droite A ?

Soit A" un point quelconque de la droite A • Considérons , dans le plan 9 . le cercle C de cente A" contenant le point S • La droite A , qui contient le centre A" du cercle 6 coupe alors ce cercle en deux points B et C diamétralement opposés . On a alors :

SÊf 1 SC*

et donc :

A" est le milieu de (B. C)

Le lieu du milieu A' de (B , C) est donc toute la droite A , g la droite 5, image de la droite A par l'homothétie SI ( A , j ) .

Conséquence : le lieu du point G est ; c'est à dire : A

la droite 5 , parallèle à A et contenant le point A 2 , image du point A, par 3« ( A , § ) , et défini par:

  7 - §ÂÂT

5 a ) Le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est le point de concours des médiatrices de ( B , C ) , (C , A ) , ( A , B) • L'isobarycentre G de { A , B , C ) est tel que : Or : On a donc :

GÂ* + GB* + GC* - 0 GB + GC - 2 GA' GÂ* + 2 GA* - 0

où : c'est à dire :

On établit de môme : L'homothétie h de centre G , do rapport ( - j ) transforme donc A en A'

et

A' désigne le milieu de ( B , C) GÂ'* - - j GA*

Gff

- • y GB*

B en B'

•

Limage par h de la hauteur (AA, ) du triangle ABC est la droite contenant l'image A' de A et parallèle à (AA, ) c'est à dire : la médiatrice de ( B , C) .

•

L'image par h de la hauteur (BB, ) du triangle ABC est la droite contenant l'image B' de B et parallèle à (BB, ) c'est à dire : la médiatrice de ( A , C) ,

•

L'image par h de l'orthocentre H du triangle ABC ( point d'intersection des hauteurs (AA, ) et (BB, ) ) est donc le point O d'intersection des médiatrices de ( B , C) et ( A , C) • Ona:

h(H)-0

donc:

GO - -

GH

c'estèdire:

HO * | - H G

(f)

3 L'égalité (f ) exprime que le point O est l'image du point G par l'homothétie h' de centre H et de rapport — • Le lieu du point O est donc la droite 6o, image de la droite ô ( lieu du point G ) par Thomothétie h ' . La droite 5 0 est donc parallèle à 5 ( et à A ) et contient le point Ag ( A3 • h' ( A j ) ) défini par : HAg -

174

HAj

Exercice 11 Mesure du dièdre de deux faces d'une pyramide régulière.

On appelle pyramide régulière toute pyramide ayant pour base un polygone régulier convexe A A -

Ap et dont le

sommet S se projette orthogonalement sur le plan de base en le centre O du polygone régulier A A

Ap .

On se propose de calculer la mesure p du dièdre d'arète (SAj) dont les faces contiennent respectivement les points A, et A 3 . 1°) a) Démontrer que les points A, et A

ont même projeté orthogonal K sur la droite (SA?). cos 2 —

b)

Démontrer que : cos(i - 1 * 2

.S

/ & "

—

oui I p désigne le nombre

cos

'de sommets de la base de la pyramide 2°) Retrouver ainsi les dièdres que déterminent les faces des 5 polyèdres suivants , dits polyèdres de Platon . a) le cube b) le tétraèdre régulier c) l'octaèdre régulier d) l'icosaèdre e) le dodécaèdre.

indication

: on rappelle que le nombre d'or a vérifie ;

a - 2 cos

1 6 ) a ) Démontrons que les points K et K ' , projetés orthogonaux respectifs des points A, et A a sur la droite ( S A ) sont confondus On a : SKxSAÏ W'.SÂ,

- S V SÂT - SA, x SAÎ x o o s A S A j - SÂT. S Â T - S A j x S A j x cos AJSAJ

Or les triangles SA,AÏ et SA,A, sont isométriques et on a : ( SA, - SAji - S A Par conséquent

SK*£Â

et

- SKVSÂç .

b) Soit a la longueur du côté A A Les secteurs A ^ O

AA - A A

)

d'où :

ASA

K - K'

Ap •

et OAjAg sont adjacents et de même mesure

* Dans le triangle A , A ^

0

d'Où:

—1 a - x —* MR AS

donc:

MR -

^-DA

On établit de même

NP -

puis , par différence : DP

a

— - A S

-DS d'où:

NP -

a

Remarque : Les distances MR et NP peuvent être calculées dans les triangles rectangles BMR et DNP en observant que :

tan ABS -

or;

AS - h

On trouve alors ; MR - NP

*

-

BM

et

AB

; AB - AD - a ^

a / I

-

x / I

a/2

tanADS -

NP

AS

ND

AD

; BM - ND - a ^2 - x une droite de représentation paramétrique ( x - x0 + X a j y - y0 + X p

XeR

( z - Zo + Xy £> est dirigée par le vecteur u ( a , p , y )

S) H P S»!?1

«

Û*. FT - 0 . »

u

et N

c'est à dire :

sont coiinéaires , c'est à dire :

aa + pb + ^c - 0 B k e R tel que / a - ka 0

j b - kp ( c - ky 191

£

7

5") Distance d'un point M, ( x , . y , , Zi ) à un plan P d'équation

d (M,, S> ) - M, K d (M,, P ) m

ax + by + c z + d -

0

N (a, b , c)

où K est le projeté orthogonal de M, sur P .

| ax, + by, + cz, + d | I J Va

M, (x,, y,, z, )

T? Ta + b + C

I KM, • N I - Il KM, || x || N II | K M , . N* | - | ax, + by, + cz, +d| C) S p h è r e 1 " ) Définition» Soit R un réel donné strictement positif. a) On appelle sphère de centre O . de rayon R , l'ensemble des points M de l'espace tels que :

OM - R

b) On appelle boule fermée de centre O , de rayon R . l'ensemble B des points M de l'espace tels que : OM 5 R c) Soit M un point de l'espace et 8 une sphère de centre O . de rayon R •

si OM > R ,

M est dit extérieur è la sphère 8

*

si OM < R.

M est dit intérieur à la sphère 8

d) Deux points A et B de la sphère t sont dits diamétralement opposés si O est le milieu de (A, B) • Le segment [ AB ] est alors dit un diamètre de 8 . La sphère 8 de diamètre [ AB ] est Ensemble des points M de l'espace tels que : M A . MB* - 0 2") Intersection d'une sphère et d'un plan Soit f une sphère de centre O , de rayon R • Soit P un plan et H le projeté orthogonal de O sur P.

C>

y

OH > R «

»np - 0

OH - R »

ffnP

- (H)

OH < R »

H
R + R

ou

0 0 ' < R - R'

8nP

OH - R

c'est àdire :

O O - R + R*

ou

OO' - R - R'

»

OH < R

c'est à dire :

8nP

- {H} est un cercle

R • R' < O O < R + R'

201

Différents cas possibles

OO' > R + R Les sphères 8 et 8' sont dites extérieures l'une à l'autre.

OO1 < R • R La sphère 2' est dite intérieure à la sphère 8 .

OO' - R + R Les sphères 2 et 8' sont tangentes extérieurement.

Les sphères 8 et f

OO' - R - R sont tangentes intérieurement,

R • R < OO < R + R

8r\ 8' est un cercle C , dans un plan P Le rayon r de C vérifie :

perpendiculaire à (OO' ) au point H tel que :

r® - R2 - OH2

202

t t R 2 - R-2 + OO-2 OH 200'

Exercice 4 Lignes de niveau

Soit A et B deux points d'un plan 9 , tels que : AB - 6 1") Pour tout réel k , on appelle T^ l'ensemble des points M du plan 9 vérifiant : a) Déterminer et construire les ensembles T 0 , r .

5

, r 1 6 , r.

12

MA.MB

- k

•

b) Déterminer l'ensemble 3 des points M du plan 9 vérifiant : - S s M A . ^B* S 16 2°) Pour tout réel A., on appelle A^ l'ensemble des points M du plan 9 vérifiant

MA2 • MB 7 ' X

a) Déterminer et construire les ensembles AQ , A^g , A . g b) Déterminer l'ensemble E des points M du plan 9 vérifiant : - 6 5 MA2 3°) a) Construire un point N du plan vérifiant :

t

NA*. NB* - 0

J

NA2 - NB2 - 18

MB2 < 18

b) Calculer les distances N A , NB , puis cos ABN . ^ ^ ^ ^ En déduire une mesure, en degrés . de chacun des angles ABN et BAN

M A , lue - M l ? - IA2 d'où :

M A . MB* - MP - 9 203

or

IA - y A B - 3

L'ensemble TQ est l'ensemble des points M du plan S* tels que :

MA . MB

- 0

r

0

est donc le cercle dont [ AB ] est un diamètre.

autre méthode : r

0

est l'ensemble des points M du plan !P tols que : MP - 9 - 0 c'est à dire tels que : IM - 3

O n retrouve :

( c'est à dire MA i MB )

( car le réel IM est positif )

TQ est le cercle de centre I , de rayon 3 •

De m ê m e , on trouve : * r . g est le cercle de centre I , de rayon 2 • *

I " 16 est le cercle de centre I , de rayon 5

*

T . 12 est l'ensemble vide

b) La condition - 5 s MA*. MB* s 16

équivaut à

•

car aucun point M de P ne vérifie:

MF - • 3

4 5 MF 5 25

2 £ IM i 5

c'est à dire :

L'ensemble 3 est donc la couronne circulaire dont les frontières sont les cercles r . 5 et r*i g (frontières incluses ) 2*) Rappelons que :

MA2 - MB® - 2ÎM*. Â § "

où I est le milieu de ( A , B) •

MA 2 - M B ' - 2 Î H X Â B

où H est le projeté orthogonal de M sur (AB) .

Choisissons pour sens positif sur la droite (AB) celui du vecteur unitaire MEAQ «

AB .

On a alors : AB - + 6

IH - 0

L'ensemble AQ est donc l'ensemble des points M du plan P dont le projeté orthogonal H sur (AB) est le point I , autrement dit :

AQ est la médiatrice de ( A , B) •

On pouvait. bien s û r , remarquer que AQ est l'ensemble des points M équidistants de A et B puisque la relation MA 2 - MB2 - 0

équivaut à :

MA - MB .

De m ô m e . on trouve : — 3 IH - —

* A 1 B est la droite perpendiculaire à (AB) en le point H vérifiant : *

A . g est la droite perpendiculaire à (AB) en le point K vérifiant :

b) Lacondition - 6 i L'ensemble 8

MA 2 - MB 2 S 18

équivautè - ^

S IH £

IK - - y

|

est donc la bande du plan 9 dont les frontières sont les droites A 19 et A . g ( frontières incluses ) .

3") a) Un point N vérifie : 1 NÂ*. NB* - 0

s i , et seulement si ( N e r

( NA2 - NB2 - 18

c'est à dire :

0

N € I Q n A^g

i Ne A18

0 Le point H , qui vérifie IH - — , est donc strictement intérieur au cercle r Q

,

La droite A-| G , qui contient le point H , coupe donc le cercle TQ an deux points distincts N et N" . Il existe donc deux points N et N" solutions , et ces points sont symétriques par rapport à la droite (AB) . b) On a NA* 1 NB*

donc : NA2 + NB2 - AB2 - 36 or:

Il en résulte : On en déduit alors :

2 NA 2 - 54

d'où :

NA - 3 m ,

n p

3MH2 + (3HG* + GA 2 + 2GB2 ) - k

G H > R , c'est à dire si G H 2 >

.

J '

k

m

au plan P est la distance GH

La distance du centre G de la sphère Si

s

3MH2 - k - m

T k est le cercle du plan P , de centre H , de rayon

alors :

autre méthode : On pouvait remarquer que r ^ -

*

/|< ,

I —

3

( condition équivalente à : k < m ) . a l o r s *

•

Si

GH - R , c'est à dire si k - m , alors 9^ n P - { H }

•

Si

GH < R , c'est à dire si k > m , alors 9 ^ n P

k

n J» - 0

est un cercle de P , de centre H ;

2 2 2 2 k - S le rayon r de ce cercle vérifie : r - R - GH , soit : r - — 3

2 k - ni GH • ——— o

3°) Application numérique : a) * *

On a :

AB - 6

et

s-jAB2.

d'où:

Pour calculer HG 2 ; remarquons :

s - 24

HG* - 3 ( H Â " + 2ÏHÉT)

Nommons A' et B' les projetés orthogonaux respectifs de A et B sur le plan P . La projection orthogonale p sur le plan P conserve le barycentre , donc : H est barycentre de {(A*, 1 ) , (B', 2)} Onaalors:

H^ -

HA

+ M * + 2(H^ + Bl")]

En remarquant que : On sait que

HÂ1" + 2 HB1* - 0 ^ , on trouve :

On a donc : Â*Â* - ( + 4)BB" d'où : *

HG~ - y ( A'A + 2 B B )

les vecteurs Â'Â* et B'B sont coiinéaires et de même sens et A'A - 4B'B

La valeur minimale m de la somme

HS* - z U T .

MA2

+

2MB 2 .

Onendéduit:

HG - 2B-B - 2

quand M décrit P . est alors :

m - 3HG2 + s - 36

I 36 • 24 b)

* L'ensemble

9 ^ est la sphère de centre G , de rayon R ,

Remarquer que le point B appartient à la sphère

R - ^J — - —

- 2

puisque f (B) - BA2 + 2BB2 - 36

+ L'ensemble est réduit au singleton { H } . La sphère S^G e s t tangente en H au plan P , puisque son rayon 2 est égal à HG . *

L'ensemble

9 7 2 est la sphère de centre G , de rayon R',

/ 72 24 R' - ^ J — ^ —

-4

Remarquer que le point A appartient à la sphère 8y% puisque f (A) - AA2 + 2AB2 - 72 • •

_ 3g" .—, g " 2/3

Justifions que le point A' appartient au cercle T-J2 • Soit A ' le milieu de ( A , A' ) . On a : HG - A'A* Dans le rectangle GHA'A", on a :

HA' - GA" - • J GA 2 - AA" 2 - 2 / 3 210

Exercice 7 E n s e m b l e d e s points M d u p l a n t e l s q u e : a M A 2 + f ï M B 2 + -yMC* - k ( a , p , y , K réels donnés )

Soit A , B , C trois points distincts d'un plan SP 1°) Soit T l'ensemble des points M du plan P tels que : MA2 - 2MB2 + MC2 - 50 • Déterminer et construire l'ensemble r dans chacun des cas suivants : a) Lepoint B est le milieu de ( A , C ) et

AC - 10 •

b) Les points A , B , C sont non alignés et

BA - BC • 5 .

c) Les points A , B , C sont sommets d'un triangle rectangle en B tel que : BA - 3 , BC - 4 .

indication '. Remarquer la rôle privilégié du point B dans ces énoncés. 2°) Déterminer et construire l'ensemble tî des points M du plan P tels que ; MA2 + 4MB2 + MC2 - 25 dans le cas où BA I B C * ; BA - 3

; BC - 4 .

indication: on pourra faire intervenir le barycentre G de { (A, 1). (B, 4), (C, 1)} .

figure

1°)Pour tout point M du plan P , posons : f (M) - MA2 - 2MB2 + MC2

u X

Utilisons la relation de Chasles en attribuant un rôle privilégié au point B • _ _ _ _ f (M) - ( MB + BA )2 - 2MB2 + { M B f (M) - (

MB2

+ 2MB*. BÂ* +

BA2

) -

0

\ T

+ BC )2

2MB2

+ (

MB2

x

+ 2 MBr. BC* +

BC2

)

f (M) • 2 MB*. (BÂ* + BC*) + BA2 + BC2 a) Supposons: AC - 10

et

(1)

B est le milieu de ( A , C ) .

On a alors : BÂ" + BC* - O*

et

De l'égalité (1 ) , on déduit :

BA - BC - 5

f (M) - 2 N B . O* + 50

Pour tout point M du plan P, on a donc : b) Supposons A . B . C non alignés

et

f (M) - 50.

BA - BC - 5 .

Le triangle ABC est isocèle . de sommet B . On a : BÂ* + BC* - 2 BP L'égalité (1) s'écrit :

L'ensemble r est donc le plan P . ( voir figure 1 ) où

I désigne le milieu de (A, C) .

f (M) - 4MB*. BP + 50

La condition f (M) - 50 équivaut à :

4 MB*. BÏ" - 0

c'est à dire :

MB* 1 B f

L'ensemble r est donc la droite du plan P , perpendiculaire en B à (Bl) • autrement dit :

l'ensemble r est la droite contenant B et parallèle à (AC) •

Remarque ; on pouvait prévoir que le point B appartient à l'ensemble T

211

( puisque

f (B) - BA7 + BC2 - 50 '

c) Supposons : BA 1 B C

et

BA - 3

L'égalité (1) s'écrit :

et

BC - 4

( voir figure 3 )

f (M) - 4 W . 1 T + 25

où I est le milieu de ( A , C) .

—t —* 25 Bl, BM - - —4

La condition f (M) - 50 équivaut à :

Nommons Me le projeté orthogonal de M sur la droite (Bl). f (M) - 50

«

On a :

- Bl x BMQ

B Ï x BM^ - - - j -

(2)

L'ensemble r cherché est donc l'ensemble des points M du plan 7 le point Mo déterminé par l'égalité (2) autrement dit :

B l . BM

dont le projeté orthogonal sur (Bl) est

l'ensemble r est la droite perpendiculaire en Mo à la droite (Bl) •

Positionnons ce point Mp : Choisissons pour sens positif sur la droite (Bl) celui du vecteur unitaire On a alors : BÏ - Bl

or

Bl - ^ AC S

et

— •

AC - / 3 25

Le point M 0 est alors déterminé par : — x BMj, - - —

2

+ 4 2 - 5 . d'où ; BÎ -

c'est à dire :

Les points Mj et I sont donc symétriques par rapport au point B

2°)

Pour tout point M de 3>, posons :

Bl • |

G

BMQ - - — •

(puisque BMQ - - Bl ) .

g (M) - MA2 + 4MB7 + MC2

a) Le barycentre G de { ( A , 1 ) . ( B , 4 ) , ( C , 1)} vérifie: GÂ* + 4GB* + GC - Ô" Ecrivons: Après développement, on trouve : c'estàdire:

g(M) - (MG* + G Â > + 4 ( M G 6MG2

g(M) -

+ 2MG*.(GA

+ GB f + ( M G

+ GC )2

+ 4GB* + GC*) + (GA 2 + 4GB2 + GC 2 )

g(M) - 6MG2 + 2 M G . Ô + (GA 2 + 4GB2 + GC 2 )

Calculons le réel GA 2 + 4GB 2 + GC 2 , indépendant du point M ; d'une part, on a :

GA2 + GC 2 - 2GP + y A C

où I est le milieu de (A, C) .

d'autre part, en remarquant que G est barycentre de {(1, 2 ) , (B , 4 ) } , on peut écrire : ÏG - - ( 2 Ï Î + 4ÏB)

d'où:

IG--IB

6

3

or

_ < _ _ , BG - 4- ( 2BI + 4BB ) d'où : BG - - Bl 6 3 Puisque AC - 5 , o n o b t i e n t : GA

?

+ 4GB

Conclusion : Pour tout point M de P . o n a :

b) La condition g (M) - 25 équivaut à : L'ensemble C des points M de f

Remarque: O n a :

BG - -J-BI

3

6MG

?

o

+ GC

j

* Î 3 1 ? - 2 ( ^ - ) + -^-(5) 3 2

g (M) - 6MG

+

125 6

( IG - 3 « 5 . \ 6 - — , donc : ) 2 ) s f BG - \ 6

2

125

+ —— 6

fis ( t ) 6

+

4

?

25 • —• 36

-

10'J 6

•

- 25 , c'est à dire : GM

vérifiant g (M) - 25 est donc le cercle du plan 9, de centre G . de rayon

et

BG -

6

6

Le point B appartient donc au cercle C , ce qui était prévisible puisque : g (B) - BA2 - 2BB 2 + BC2 - 25

212

Exercice 8 Equations des hauteurs d'un triangle - Cercle circonscrit à un triangle -

Dans un plan P . muni d'un repéra orthonormé ( ft, i , j ) , construire les points A ( • 3 . 1 ) ; B ( 1 .5) ; C ( 3 , - 3) . 1Ô) Ecrire une équation de chacune des trois hauteurs du triangle ABC • Justifier que ces trois hauteurs sont concourantes en un point H dont on précisera les coordonnées .

Lepoint

H est appelé l'orthocentre du triangle

ABC.

2") Soit A,, As, A, les médiatrices respectives de ( B . C) , ( C , A) . ( A , B) Ecrire une équation de chacune de ces médiatrices. Retrouver par le calcul que ces trois médiatrices sont concourantes en un point O dont on précisera les coordonnées • 3°) Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre G de { A , B , C } • 4°) Démontrer la relation : ÔH* -

30G'.

En déduire l'alignement des points 0 , G , H . 5°) Ecrire une équation du cercle C circonscrit au triangle ABC • 6°) Soit H 3 , H 2 , H, les symétriques de l'orthocentre H par rapport aux droites respectives (AB), (CA), (BC). Soit K j , Kî , K, les symétriques de l'orthocentre H par rapport aux milieux respectifs ( A , B) , ( C , A) , (B, C). Déterminer les coordonnées des six points H , . H 2 , H j , K,, K 2 ,Kj • Vérifier que ces six points appartiennent au cercle Q circonscrit au triangle A B C .

B

/ /

C

/ /

/

/

t

/

// /

/

/

- /'

/

/

A

/

b "

/

\

A

/

/

s

\

\

à1

" c

1

i A'

\

n \

r

—

s

X

\ \

ï

s

s

V

N

\

N \ S. V X s.

\ C

213

Nous désignerons par M un point quelconque du plan , de coordonnées ( x , y ) , dans le repère (SI, i , j ) • Ecrivons les coordonnées des vecteurs ÂB*. ÂC*, BC*, qui seront souvent utilisées : ÂB~ ( 4 , 4 ) ; ÂC* ( 6 , - 4 ) ; BC* ( 2 , - 8 ) . 1 e ) a) La hauteur h A , issue de A , dans le triangle A B C . est la droite contenant le point A et perpendiculaire à (BC). *

M (x , y) e h A »

ÂM*. BC* - 0

M (x , y) e h A «

2(x + 3) - 8 (y - 1 ) - 0

M(x,y)e hA »

2x - 8y + 14 - 0

( puisque le repère ( £ 1 , T , f ) est orthonormé)

Une équation de la hauteur h A est donc : b) Par le même procédé, on trouve :

x - 4y + 7 - 0

une équation de la hauteur hg :

3x - 2y + 7 - 0

une équation de la hauteur h c :

x + y - 0

c) Justifions que ces trois hauteurs sont concourantes ; M (x, y) e h A n hg n hc

(s) / x - 4y + 7 - 0 1 3x - 2y + 7 - 0 ( x + y - 0 Le système (s) admet un unique couple solution; (x H , y H ) -

(••g-.-g-)

Les trois droites distinctes h A , h B , h c sont donc concourantes au point H ( -

2°) a) La médiatrice A, de M (x , y) e A, M (x, y) e A, M(x,y)eA, autre méthode :

,— ) .

(B, C) est l'ensemble des points M de S> équidistants de (B . C) • ) + 4 ( y s - j )

m 0

) (

x • y + 4 - 0

X3 +

{

y3

-0

qui équivaut à : - j ) -{(y

3

+

+ 4 - 0

. . . 13 1 3 . ( x 3 , y3 ) - ( - — , — )

\ 5x3. 5y3+ j, . d'où:

. 13 13 . H3(- — , — )

u

Le couple ( x 3 , y 3 ) vérifie l'équation du cercle C puisque : ( - — - — f + ( - - - ^ - ) O O 3 3 Par la môme méthode, on trouve : une équation de (AC) : 2x + 3y + 3 - 0 une équation de (BC): 4x +

y - 9 - 0

26-0

donc :

2

puis :

H2 (-

puis:

H,

H3 e C

>" 4r ) 65

6J 00

M

On constate , après calcul, que les couples de coordonnées des points H2 et H, vérifient l'équation du cercle C

b) Le milieu C ' de ( A , B) a pour coordonnées ( • 1 , 3 ) .

1 Le milieu de (H , Kg ) étant le point C*, les coordonnées ( x ' , y ' ) de K j vérifient

/

7

1 , 7 2 < 5

+

.v * > -

* 3

3 23 On obtient ainsi les coordonnées de K 3 : ( - — , — ) 5 5 Par le môme procédé . on trouve :

7 17 K2 ( — . • — ) ; 5 5

27 3 K. ( — - . — ) 5 5

Il est facile de vérifier que les couples de coordonnées de K j , K 2 , K, vérifient l'équation du cercle (5

215

216

Exercice 9 Le seul instant de liberté du géomètre en analytique : le choix du repère.

Soit ABC un triangle et A, le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC). Soit A? et A } les droites perpendiculaires à (BC) en B et C respectivement. Soit J et K les projetés orthogonaux respectifs de A, sur les droites (AB) et ( A C ) . On nomme : ( J ' le point où la droite (A,J) coupe Aa < K* le point où la droite (A, K) coupe A j . Démontrer que la droite (JK* ) contient l'orthocentre H du triangle ABC •

217

L'énoncé privilégie la direction commune des droites (AA, ) , A , , A3 et le projeté orthogonal A, du point A sur (BC) • Il paraît donc judicieux de choisir un repère orthonormé dont les axes soient portés par les droites (BC) et (AA, ) • Choisissons un repère orthonormé (A,, i , j ) où i dirige la droite (BC)

et

j

dirige la droite (A, A ) •

Notons alors b l'abscisse du point B , c l'abscisse du point C , a l'ordonnée du point A

( a e R* , b * c ) .

Il s'agit maintenant de déterminer les coordonnées des points H , J ' , K *, afin de prouver leur alignement, Les coordonnées suivantes seront utiles :

*

Le point H a

A(O.a)

;

B(b,0)

c'est à dire :

BH . AC

Le point J ' a

yH - - — a

A , K ' . AC - 0

c'est à dire :

(c-0)(c) +

;

d'où : H ( 0 , -

a

)

yt

(y,-0)(-a)-0

c2 - — a

;

c d'où : K ' ( c , — ) a

une abscisse égale à l'abscisse b du point B c'estàdire:

A , J ' . AB - 0 ( b - 0 ) ( b ) + (y, - 0 ) ( - a) - 0

On trouve :

Il reste à justifier que les vecteurs HJ' Ona:

AC ( c , - a )

une abscisse égale à l'abscisse c du point C •

Son ordonnée y 2 est telle que :

*

;

- 0

Son ordonnée y, est telle que :

On trouve : *

AB(b.-a)

- bc + y ^ ( - a) - 0

On trouve : Le point K ' a

;

une abscisse nulle Son ordonnée y^j est telle que ;

*

; C(c,0)

HJ'( b ,|(b

+

On constate que : c HJ'

c) )

et et

b2 y? - — a

HK'

sont coiinéaires .

ÏÏK'

^c,-|(c + b)^

;

b2 d'où : J ' ( b , — ) a

- b HK , autrement dit : le point H est barycentre de { J ' , c ) , (K ' , - b ) } , ce qui prouve l'alignement des points J ' , H , K * .

remarque :

la projection " conserve les barycentres " . On peut vérifier que le projeté orthogonal A, de H sur (BC) est lui-même barycentre de { ( B , c ) , ( C , • b)} . Eneffet:

cÂJïT - b A £ * - c ( b f ) • b ( d * ) • Ô*

218

Exercice 10 Tétraèdre trirectangle en géométrie analytique

Dans l'espace (E), muni d'un repère orthonormé (O , i , j , k ) . représenter les points :

A (2^370,0) ;

B (0,2,0);

C (0,0,1).

1°) Ecrire une équation cartésienne du plan (ABC) . 2°) a) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H du point O sur le plan (ABC) . b) Calculer la distance du point O au plan (ABC) • c) Démontrer que le plan (OCH) est perpendiculaire à la droite (AB) . d) Démontrer que le point H est l'orthocentre du triangle ABC < 3") a) Justifier que les points O et C ont même projeté orthogonal K sur la droite (AB) . Préciser les coordonnées du point K . b) Déterminer une mesure 0 , en degrés , du dièdre d'arôte (AB) dont les faces contiennent respectivement les points O et C • En déduire une mesure et de l'angle que détermine la droite (OC) avec le plan (ABC), 4°) a) Déterminer les coordonnées du centre Q de la sphère i Préciser le rayon R de cette sphère .

circonscrite au tétraèdre OABC -

b) Calculer les coordonnées de l'isobarycentre G de { O , A , B , C } • Vérifier que le point G est le milieu de (O, i l ) .

219

Les coordonnées des vecteurs A B , BC , AC seront souvent utilisées : AB (- 2 fi , 2 ,0); BC (0 , - 2,1); AC ( - 2 -/3, 0 , 1 ) 1 ") *

Un vecteur N* ( a , b , c) est normal au plan (ABC) s i , et seulement si : N* * Ô" et c'estàdire: ( a , b , c ) * ( 0 , 0 , 0 )

et

(

- 2 ^ 3 a + 2b

/

- 2^3a

N*. ÂB* - 0

et

ïT. ÂC* - 0

-0 +c - 0

En prenant, par exemple, a - 1 , on obtient : (a. b , c) * (1 , ) contrarie les angles orientés

A'

5 4 ) B a s e s et repère orthonormé». direct» . Indirect» a) Une base orthonormale (I , j ) est dite directe si, et seulement si ( i , j ) a pour mesure + y rd • b) Une base orthonormale ( i , j ) est dite indirecte si, et seulement si ( i , j ) a pour mesure ( - y ) rd . c) Un repère orthonormal ( O , i . j ) est dit direct si. et seulement si la base ( i , j ) est directe.

1 ° ) Définition» Soit P un plan orienté, muni d'un repère orthonormé (O, F . F ) direct , F - Ô F ;

F - Ôd* •

Soit C le cercle trigonométrique de centre O sur lequel on a choisi le point I pour origine des abscisses Tout réel x admet pour image un point M sur le cercle C • x est alors une mesure en radians de ( i , OM ) .

M

a) Soit P le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses • Soit Q le projeté orthogonal de M sur Taxe des ordonnées . On pose :

cos x - OP

On écrit aussi : cos ( F , OM* ) - OP V x € R,

-1 SC08XS+1

cos x • 0 o

x - y

sin x - 0 2, qui coupent le cercle C en A et A' d'une part, en B et B' d'autre part ( voir figure ci-dessous ) .

*

Soit I le milieu de (O, B). Soit Q le point défini par : ÔQ* - - { OA* Le cercle r de centre Q et contenant le point I coupe la droite (OA) en J et K . ( on appelle J celui de ces deux points appartenant à la demi-droite [ OA) ) Les tangentes en J et K au cercle r coupent le cercle G en quatre points qui sont, avec le point A , les sommets d'un pentagone régulier. 2>2

sin 4a - 2 sin 2a cos 2a

donc :

cos4a - 2 c o s 2 2 a - 1

j sin 4a « 4 sin a cos a ( 1 - 2 sin2 a ) \ cos4a - 2 ( 1 - 2 s i n 2 a ) 2 - 1

d'où ; sin 5a - 4 sin a ( 1 • 2 sin2 a ) cos2 a + ( 1 - 8 sin2 a + 8 sin* a ) sin a Ecrivons : cos2 a - 1 • sin2 a sin 5a - sin a ( 16

sin 4

a - 20

;

sin2

développons et ordonnons , on obtient : a + 5)

b) Première méthode sin Sa - 0 sin 5a - 0

«

5a - k n

c'est à dire : OJ - cos — OA 3 ÔK-cosy-OA

Exercice 2 Evaluation de l'altitude d'une montgolfière par deux observateurs

Deux observateurs placés en deux points A et B d'un même plan horizontal P veulent évaluer l'altitude HM d'une montgolfière ( assimilée à un point M dont le projeté orthogonal sur le plan P est noté H ) Ces observateurs mesurent au même instant les angles suivants : NAM - y ; BAM - a

; ABM - p

Connaissant la distance A B , calculer l'altitude HM de la montgolfière. Application numérique ; y - 60°

;

a - 45°

;

p - 30°

;

AB - 400 ( longueur exprimée en mètres )

La droite (MH) est orthogonale à toute droite incluse dans S>, donc on a : Dans le triangle MHA, rectangle en H , on a :

MH - MA sin y

MA AB Dans le triangle ABM, on a : •—— — sin p sin AMB 0

/ tan p - 2 tan a #

\

c'est à dire à ; 2

2

1 • tan a - 8 tan a

4 tan a

2 tan a

1 . tan a

c'est àdire:

la hauteur du sapin est 12 mètres la hauteur du peuplier est 27 mètres . 239

(4)

1 - tan*a * 0 tan p - 2 tan a

1 f

(5) 2

\ tan a -

|

BP - — x — 2 2

Application : si AB - 36 (en mètres),

1

1 tan a - y (tanp -

On obtient donc : AS - — et 3

et /

Le système (4) est donc équivalent à : )

Le système (5) équivaut à :

(3)

2 tan u

tan p - 2 tan a

tan

(1)

BP - —a 4

1

— 9

Exercice 5 E v a l u a t i o n d e la d i s t a n c e e n t r e d e u x a r b r e s s i t u é s s u r la b e r g e I n a c c e s s i b l e d ' u n t o r r e n t

Deux observateurs, situés en A et B , sur une même rive d'un torrent, veulent évaluer la distance entre deux arbres plantés sur la rive opposée , en C et D . Dans ce but, ils mesurent la distance AB et les angles suivants :

D

Z^sT"

BAC - a : BAD - y ; ABC - p ; ABD - 8

j

1°) Justifier que ces mesures suffisent pour calculer la distance CD dans le cas où les quatre points A , B , C , D sont situés dans un même plan .

"

/

Application numérique : a - 45° ; y » 105° ; p - 60° ; S - 30e ;

\

Z-tfaT

1°) * Calculons AC en considérant la triangle ABC.

On a :

d'où ;

Calculons AD en considérant le triangle ABD ,

AC sin p

d'où:

AB — e t sin ACB

AC - AB

On a :

sin 5

B

A

2 e ) Comment peut-on estimer la distance CD lorsque le dénivelé du torrent rend les quatre points A , B , C , D non coplanaires ?

*

P)K

,

AB - 60 (mètres)

ACB - n - (et + p)

(1)

sin (.a + PJ

- —^Ur sin ADB

AD - AB

~

.9^

5

et

ADB - Jt - (8 + 7)

.

(2)

sin ^ 5 + y) *

Calculons CD en appliquant la formule d'AI Kashi au triangle CAD : CD2 - AC2 + AD7 - 2 AC x AD x cos C AD Les quatre points A , B , C , D étant coplanaires, on a : CAD «|y - a | d'où : CD2 - AC2 + AD2 - 2 A C x A D x c o s f r • a) où les distances AC et AD sont données par les relations (1) et (2)

Application numérique : On a :

sin(45*+ 60) - sin45 cos60*+ sin60 cos45" d'où :

sin (30+105) - sin 135*-

On a donc : AC - AB x 2 x _

4

._

/2 +/ë

AD - A B x - X ™ 2

; sin 60*

sin(45*+ 60*) -

^

; sin 3 0 * -

dfcù:

AC - 3 0 ( 3 / 2

d'où:

AD - 30 J ï

-/ë)

f2

On déduit: CD2 - 900 CD2 - 2411,54...

d'où :

CD - 49,107...

La distance entre les deux arbres est égale à 49 mètres, à 1 mètre près par défaut. 2°) Dans le cas où les points A . B , C , D ne sont pas coplanaires, il suffit de faire mesurer directement l'angle CAD à l'observateur situé en A . ^ Connaissant les distances AC . AD et l'angle CAD , on peut alors calculer la distance CD comme au 1°) .

240

Exercice 6 D i s t a n c e s d e s s o m m e t s d ' u n t r i a n g l e é q u l l a t é r a l à un p o i n t d e s o n c e r c l e c i r c o n s c r i t

Soit ABC un triangle équilatéral inscrit dans un cercla C de centre O . de rayon R . On note [ AB ] l'arc du cercle C ayant pour extrémités A . B , celui ne contenant pas le point C . Démontrer que, pour tout point M de l'arc [ AB ] , on a : MA + MB - MC Orientons le cercle C en sorte que les angles orientés (OA , OB ) , (OB . OC ) , (OC . OA ) aient pour mesure principale ( + ^ )

radians

Soit M un point quelconque de l'arc ( A B ) ; alors la mesure principale, en radians , de (OA , O M ) est un réel x appartenant à [ 0 ,

.

Cherchons une masure de chacun des angles (OB ^_OM ) et (OC . OM ) *

•

(OB , OM ) • (OB , OA ) + (OA , OM

(2n)

(

d'où :

9

1 • " 2 5"

x 8 X

V *

'

^ sin BAC -

2 bc

et

cos BAC -

La relation sin BAC + cos BAC - 1

1 " 4A

„ fi

+ 2 x

1

; BC-a 2

2 bc

s'écrit alors :

; CA - b .

2

' *

4 s2 f b2 + c2 ——— + I —— 2 b c b c V

On obtient :

^ l i c a t t o f l . O V m f t i q w : On trouve : 1 6 s

1 1 x-=-x — fi 2

& 3

2°) Calculons l'aire s du triangle ABC . Posons : AB - c Ona:

1 29

2

- 44

De même, on trouve :

a2

J

I

^

- 1

+

d'où : s aire SBC - 2

248

/TT

;

aire SAB «

/3

;

aire SAC - 1 .

Exercice résolu 11 Attelage de chiens de traîneau

Le but de l'exercice est de déterminer la résultante OR de n forces coplanaires OF1 , OFg ,

OF n ,

( n e N , n & 2 ) de môme norme, appliquées en un même point O et disposées en éventail , c'est à dire que : la mesure principale, en radians, de l'angle orienté ( Ô F ^ , ÔF p ^

) est un réel donné a appartenant à ] 0 , - ^ - ]

et indépendant de l'entier p ( 1 S p 5 n • 1 ) * Pour alléger les notations , on suppose : || OF, || - || OF 2 || Le plan contenant les points O , F,, Ft,

- || OFn || - 1

F n est muni d'un repéra orthonormé direct ( O , i , j ) tel que : I - OF,

1°) Démontrer que les coordonnées ( x . y ) .dans la base ( i , j ) de la résultante OR < x » 1 + cos a + cos 2a +

+ cos ( n * 1 )a

< y -

+ sin ( n - 1 )a

sin a +

2 4 ) Dans chacun des cas :

n - 2

sin 2a + ;

s'écrivent:

n - 3,

Représenter ÔR* et calculer

|| OR* ||

Déterminer une mesure de ( T , OR* ) dans le cas où ÔR* est différent de Ô * . 3") On suppose n entier quelconque. n a 2 ( voir figure 3 ) • a) Démontrer que , pour tout entier naturel p . on a les égalités : 2 sin

cos pa - sin ( pa +

2sin-|-sinpa - c o s ( p a -

) * sin ( pa - ~ )

(e p )

- cos(pa +

b) En additionnant membre à membre les n égalités e 0 . e,

1 + cos a + cos 2a + , „ „ „ „ „ . + cos ( n - 1 )a

(rp) e n . \ , démontrer que : . na ( n - 1 )a sin — cos - 2 — - — — 2 2 , a sin — 2

C) Démontrer, par une méthode analogue , que :

sin a + sin 2a +

+ sin ( n - 1 )a

. na . ( n - 1 )a sin - — sin 2 2

d) Calculer || OR ||. Pour quelles valeurs de a . la résultante OR e) On suppose :

2n a * —. n

. a sin — 2 est-elle égale à O

— —• Déterminer une mesure de ( i , OR ) .

249

?

1 e ) Les angles orientés ( I , OF, ) , ( I , OF 2 ) , ( i . O F 3 ) 0.

a,

Les vecteurs OF, , OF 2

( i , OF p ) .... ( i . OF n ) ont pour mesures respectives :

2a,

OF p

( p - 1 )a,

( n - 1 )a

OF n , sont unitaires .

Leurs coordonnées respectives dans le repère ( O , i , j ) sont donc : ÔF^ ( 1 , 0 ) ; ÔF*2 (cosa, sin a) ;

; ÔF^ (cos (p - 1)a, sin (p - 1)a ) ;

La résultante O R . égale è OF, + OF 2 +

+ OF n admet donc pour coordonnées (x , y) :

( x - 1 + cos a + cos 2a +

J

(

2®) *

y -

sin a +

si n •• 2 alors a e ] 0 , n ] OR

+ cos ( n - 1 )a

sin 2a +

2N

+ sin ( n - 1 )a

où a e ] 0 , — ]

( voir ligure 1 ) - (1 + c o s a ) l

+ sinaj

OR - 2 c o s 2 - j 7 + 2 s i n c o s d o n c :

Posons:

On a :

"u - c o s | - T + s i n | - 7 ;

OR - 2 c o s | - ~ u

La résultante OR est ^

; OF n (cos (n - 1)a, sin (n - 1)a )

et

OR - 2cos j ( c o s - | 7 + s i n - | T )

alors ~u est unitaire et ( T , u ) mesure j

c o s | - 2 0 (car ^ e ] 0

radians -

. On a donc : || OR || -

2cosj

s i . et seulement si cos — - 0 . c'est à dire si a - JI . On alors : OF 2 - - O F , .

On retrouve ainsi une méthode intuitive pour immobiliser un attelage de deux chiens II

Si a E ] 0 , n [ . alors OR est un vecteur non nul, colinéaire à u et de même sens, donc : ( i , OR ) mesure

rd

On peut reprouver ces résultats , dans ce cas particulier, en considérant le losange OF, RFj •

*

si n • 3 alors a e ) 0 , ¾ 1 ]

( voir ligure 2 )

ÔR* - ( 1 + cos a + cos 2a ) F + ( sin a + sin 2a ) f or : donc :

1 + cos 2a - 2 cos z a

On a :

v* - cos a F + s i n a j * ;

alors v

ÔR* - ( 1 + 2 cos a ) [ cos a f + sin a f ]

est unitaire et ( i , v ) mesure a radians •

OR - ( 1 + 2 cosa) v :

or a e ] 0 , y ] , donc : * y £ cos a S 1 , d'où : La résultante OR

sin 2a - 2 sin a cos a

ÔR* - ( 2 cos z a + cos a) F + ( sin a + 2 sin a cos a ) f c'est à dire :

Posons:

et

est O

1 + 2 cos a S 0

si, et seulement si cos a - - y , c'est à dire si :

O n a d o n c : | | Ô R * | | - 1 + 2 cos a a *

x

On retrouve ainsi une méthode intuitive pour immobiliser un attelage de trois chiens !! Si a e ] 0 , ^ (, alors le vecteur v

est en fait le vecteur OF z .

Le vecteur ÔR~ est donc colinéaire à O F 2 \ et de même sens , donc : ( F. ÔR* ) mesure a rd On peut retrouver ces résultats . dans ce cas particulier, en considérant le losange OF, SF3 .

250

3°) a) D'une part : f sin ( pa

—) - sin pa cos ^ + sin y cos pa

j . , a . a . a ( sin ( pa - — ) - sin pa cos — - sin — cos pa En retranchant membre à membre, on obtient : sin ( pa +

- sin ( pa -

- 2 sin | - c o s pa

a a a D'autre part : ^ cos ( pa + — ) - cos pa cos — • sin — sin pa ( cos { p a - —) * cos pa cos - j + sin - j sin pa En retranchant membre à membre , on obtient : cos ( pa - — ) - cos ( pa + — ) - 2 sin — sin pa

figure 3

b) Ecrivons les égalités ( e p ) pour p appartenant à { 0 , 1 . 2 ,

(%

> 2sin-|x 2

A n - 1)}

. a m-

1

(•, )

2sin— x cos a 2

(®2 )

2 sin—x cos 2 a 2

(en.2 )

2 s i n f x œ s ( n - 2)a -

(en., )

2sin—x cos ( n - 1 )a - sin

. 3a sin ^

, a

. 5a sin Y

. 3a « n T

s i n ^ _ l > i 2 n

-^

1

)a

. a j

2

" -

3

)

8

Additionnons membre à membre ces n égalités . Il reste ; 2 s i n | - ( l + cos a + cos 2a + Par hypothèse, on a :

n22

et

0