Geometria i Algebra Liniowa [PDF]

Zitiervorschau

Geometria i Algebra Liniowa (dla I-go roku informatyki WMIM UW) Leszek Plaskota Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski stycze´ n 2009

ii

Spis tre´ sci 1 Grupy i ciala, liczby zespolone 1.1 Podstawowe struktury algebraiczne . . 1.1.1 Grupa . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Cialo . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cialo liczb zespolonych . . . . . . . . . 1.2.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Posta´c trygonometryczna . . . . 1.2.3 Wz´or de Moivre’a . . . . . . . . 1.2.4 Pierwiastki z jedynki . . . . . . 1.2.5 Sprze˙ , zenie . . . . . . . . . . . . 1.3 Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorytm Hornera . . . . . . . 1.3.2 Zasadnicze twierdzenie algebry

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

2 Macierze liczbowe 2.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Macierze szczeg´olnych format´ow . . . . . 2.1.2 Podzial blokowy . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dzialania na macierzach . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Podstawowe dzialania . . . . . . . . . . . 2.2.2 Mno˙zenie macierzy . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Mno˙zenie macierzy w postaci blokowej . 2.3 Dalsze oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Macierze tr´ojkatne i jednostkowe . . . . , 2.3.2 Uklad r´owna´ n jako r´ownanie macierzowe 2.4 Macierze nieosobliwe . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Grupa macierzy nieosobliwych . . . . . . 2.4.2 Warunek nieosobliwo´sci macierzy . . . . iii

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

3 . 3 . 3 . 5 . 6 . 6 . 7 . 8 . 9 . 9 . 10 . 10 . 10

. . . . . . . . . . . . .

13 13 13 14 14 14 15 17 18 18 19 19 19 21

. . . . . . . . . . . . .

´ SPIS TRESCI

iv 2.4.3

Permutacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Normy wektor´ ow i macierzy 3.1 Og´olna definicja normy . . . . . 3.2 Normy wektor´ow . . . . . . . . 3.2.1 Normy p-te . . . . . . . 3.2.2 Po˙zyteczne (nie)r´owno´sci 3.3 Normy macierzy . . . . . . . . . 3.3.1 Normy p-te . . . . . . . 3.3.2 Po˙zyteczne (nie)r´owno´sci 3.3.3 Norma Frobeniusa . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

25 25 26 26 27 28 28 29 31

4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie . . . . . . . . 4.1.1 Definicja i podstawowe wlasno´sci . . 4.1.2 Podprzestrzenie liniowe . . . . . . . . 4.2 Baza i wymiar przestrzeni . . . . . . . . . . 4.2.1 Liniowa (nie)zale˙zno´s´c . . . . . . . . 4.2.2 Baza i wymiar, twierdzenie Steinitza 4.2.3 Przyklady . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Sumy i sumy proste . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Suma (prosta) dw´och podprzestrzeni 4.3.2 Suma (prosta) w og´olnym przypadku 4.4 Izomorfizm przestrzeni . . . . . . . . . . . . 4.5 Warstwy modulo Y . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Przestrze´ n warstw . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

35 35 35 36 37 37 39 40 41 41 43 44 45 45 46

5 Obraz, rzad i jadro macierzy , , 5.1 Obraz i rzad macierzy . . . . . . . . . . . , 5.1.1 Rzad , kolumnowy i rzad , wierszowy . 5.1.2 Rzad , macierzy . . . . . . . . . . . 5.2 Przestrze´ n zerowa (jadro) macierzy . . . . , 5.3 Rozklad wzgledem obrazu i jadra . . . . . , ,

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

49 49 49 50 51 52

. . . . .

6 Funkcjonaly liniowe 55 6.1 Funkcjonaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.1 Definicja i przyklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

´ SPIS TRESCI

6.2

6.3

6.1.2 Przestrze´ n sprze˙ , zona . . . . . . . . Refleksywno´s´c . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 R´owno´s´c X i X ∗∗ . . . . . . . . . . 6.2.2 Przyklady . . . . . . . . . . . . . . Rozszerzenie rachunku macierzy . . . . . . 6.3.1 Macierze wektor´ow i funkcjonal´ow . 6.3.2 Posta´c macierzowa izomorfizm´ow .

v . . . . . . .

7 Uklady r´ owna´ n liniowych 7.1 Zbi´or rozwiaza´ , n . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . 7.1.2 Zbi´or rozwiaza´ , n jako warstwa . . . . 7.1.3 Uklady nieosobliwe . . . . . . . . . . 7.2 Efektywna metoda rozwiazania . . . . . . . , 7.2.1 Og´olny schemat . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Eliminacja Gaussa . . . . . . . . . . 7.2.3 Konstrukcja rozwiazania og´olnego . . , 7.3 Interpretacja macierzowa eliminacji . . . . . 7.3.1 Analiza operacji elementarnych . . . 7.3.2 Rozklad tr´ojkatno-tr´ ojkatny macierzy , , 7.4 Eliminacja bez przestawie´ n. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

8 Przeksztalcenia liniowe 8.1 Podstawowe pojecia i wlasno´sci . . . . . . . . , 8.1.1 Obraz, jadro i rzad , , przeksztalcenia . . 8.1.2 Przyklady . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 R´oz˙ nowarto´sciowo´s´c . . . . . . . . . . 8.1.4 Przestrze´ n przeksztalce´ n liniowych . . 8.2 Macierz przeksztalcenia liniowego . . . . . . . 8.2.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Izomorfizm Lin(X , Y) i Km,n . . . . . 8.3 Dalsze wlasno´sci macierzy przeksztalce´ n . . . 8.3.1 Obraz i jadro przeksztalcenia/macierzy , 8.3.2 Zmiana bazy . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Zlo˙zenie przeksztalce´ n . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

56 57 57 58 59 59 60

. . . . . . . . . . . .

63 63 63 64 65 65 66 66 68 69 69 71 72

. . . . . . . . . . . .

75 75 75 77 77 78 78 78 79 80 80 80 81

´ SPIS TRESCI

vi 9 Wyznacznik macierzy 9.1 Definicja i pierwsze wlasno´sci . . . . . . . 9.2 Wyznacznik a operacje elementarne . . . . 9.2.1 Permutacja kolumn . . . . . . . . . 9.2.2 Kombinacja liniowa kolumn . . . . 9.3 Dalsze wlasno´sci wyznacznik´ow . . . . . . 9.3.1 Wyznacznik iloczynu macierzy . . . 9.3.2 Wyznacznik macierzy nieosobliwej i 9.4 Definicja kombinatoryczna wyznacznika . . 9.5 Wzory Cramera . . . . . . . . . . . . . . . 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Definicja i przyklady . . . . . . 10.1.2 Macierz formy dwuliniowej . . . 10.2 Twierdzenie Sylwester’a . . . . . . . . 10.3 Formy kwadratowe . . . . . . . . . . . 10.3.1 Okre´slono´s´c formy kwadratowej 10.3.2 Kryterium Sylwester’a . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . transponowanej . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma . . . . . . . 11.2 Rzut prostopadly . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Zadanie aproksymacji . . . . . . . . . . . 11.2.2 Twierdzenie o rzucie prostopadlym . . . 11.3 Uklady ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Macierz Grama . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Ortogonalizacja Grama-Schmidta . . . . 11.3.3 Rozklad ortogonalno-tr´ojkatny macierzy ,

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

83 83 84 84 86 87 87 88 89 90

. . . . . . .

. . . . . . .

93 93 93 94 96 97 97 98

. . . . . . . .

101 . 101 . 102 . 102 . 103 . 104 . 104 . 105 . 107

. . . . . . . . .

Nota autora Niniejszy skrypt zostal napisany z my´sla, o studentach pierwszego roku informatyki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego, uczeszczaj acych na semestralny wyklad pt. “Geometria z , , algebra, liniowa”. Skrypt powstawal r´ownolegle z prowadzonym wykladem, a , stad zawiera tre´ s ci przekazywane na wykladzie i praktycznie tylko te tre´sci. , Powinien wiec, i takie bylo moje zamierzenie, stanowi´c dla student´ow pod, stawowy przewodnik po w/w wykladzie. Skrypt ma swoja, historie. W swoim czasie prof. Andrzej Kielbasi´ n, ski prowadzil na tym samym wydziale i tak˙ze dla student´ow informatyki wyklad pt. “Algebra liniowa i jej metody obliczeniowe”. Pozostalo´scia, po tym wykladzie sa,, m.in., obszerne odreczne notatki prowadzacego. Notatki , , te wydaly mi sie, (i nie tylko mi) na tyle cenne, z˙ e staly sie, podstawa, do przygotowania bie˙zacego wykladu. Poniewa˙z, w wyniku reformy studi´ow, wyklad , zostal ograniczony do jednego semestru, material musial by´c z konieczno´sci mocno skr´ocony. Jednak duch wykladu i w szczeg´olno´sci oryginalna notacja wprowadzona przez prof. Kielbasi´ nskiego pozostaly, mam nadzieje, , niezmienione. Skrypt ma dynamiczny charakter i jest na bie˙zaco poprawiany i modyfi, kowany. Leszek Plaskota Warszawa, stycze´ n 2009

1

2

´ SPIS TRESCI

Rozdzial 1 Grupy i ciala, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, bedziemy u˙zywa´c nastepuj acych oznacze´ n: , , , N = { 1, 2, 3, . . . } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2, . . . } - liczby calkowite,  : m ∈ Z, n ∈ N - liczby wymierne, W= m n R = W - liczby rzeczywiste, C = { (a, b) : a, b ∈ R } - liczby zespolone. Dwuargumentowym dzialaniem wewnetrznym ‘◦’ w zbiorze X nazywamy , dowolna, funkcje, z iloczynu kartezja´ nskiego X × X w X. Wynik takiego dzialania na parze (x, y) bedziemy oznacza´ c przez x ◦ y. ,

1.1

Podstawowe struktury algebraiczne

Zaczniemy od przedstawienia abstrakcyjnych definicji grupy i ciala.

1.1.1

Grupa

Definicja 1.1 Zbi´or (niepusty) G wraz z wewnetrznym dzialaniem dwuargu, mentowym ‘◦0 jest grupa, je´sli spelnione sa, nastepuj ace warunki (aksjomaty , , grupy): 3

4

ROZDZIAL 1. GRUPY I CIALA, LICZBY ZESPOLONE (i) ∀a, b, c ∈ G (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (laczno´ s´c dzialania) , (ii) ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = a = e ◦ a (istnienie elementu neutralnego)

(iii) ∀a ∈ G ∃a0 ∈ G a ◦ a0 = e = a0 ◦ a (istnienie element´ow przeciwnych/odwrotnych) Je´sli ponadto (iv) ∀a, b ∈ G

a◦b=b◦a

to grupe, nazywamy przemienna, (lub abelowa). , Grupe, bedziemy oznacza´c przez {G, ◦}. , Zauwa˙zmy, z˙ e ju˙z z aksjomat´ow grupy wynika, i˙z element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywi´scie, zal´oz˙ my, z˙ e istnieja, dwa elementy neutralne, e1 i e2 . Wtedy, z warunku (ii) wynika, z˙ e e1 = e1 ◦ e2 = e2 . Podobnie, istnieje tylko jeden element odwrotny dla ka˙zdego a ∈ G. Je´sli bowiem istnialyby dwa odwrotne, a01 i a02 , to mieliby´smy a01 = e ◦ a01 = (a02 ◦ a) ◦ a01 = a02 ◦ (a ◦ a01 ) = a02 ◦ e = a02 , przy czym skorzystali´smy kolejno z wlasno´sci (ii), (iii), (i) i ponownie (iii) i (ii). Latwo te˙z pokaza´c, z˙ e w grupie {G, ◦} r´ownania a◦x=b

oraz

y◦c=d

dla a, b, c, d ∈ G maja, jednoznaczne rozwiazania. W uzasadnieniu, ograni, czymy sie, tylko do pierwszego r´ownania. Latwo sprawdzi´c, z˙ e x = a0 ◦ b jest rozwiazaniem. Z drugiej strony, je´sli x jest rozwiazaniem to a0 ◦(a◦x) = a0 ◦b, , , czyli x = a0 ◦ b. Przykladami grup sa:, • {Z, +}, gdzie elementem neutralnym jest e = 0, a elementem przeciwnym do a0 do a jest −a. • {W \ {0}, ∗}, gdzie e = 1 a a0 = a−1 jest odwrotno´scia, a.

1.1. PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE

5

• Grupa obrot´ow plaszczyzny wok´ol poczatku ukladu wsp´olrzednych, , , gdzie elementem neutralnym jest obr´ot o kat zerowy, a elementem od, wrotnym do obrotu o kat ot o kat , α jest obr´ , −α. Zwr´o´cmy uwage, na istotno´s´c wyjecia zera w drugim przykladzie. Poniewa˙z , 0 nie ma elementu odwrotnego, {W, ∗} nie jest grupa., Nie sa, te˙z grupami np. {N, ∗} (nie ma element´ow odwrotnych) oraz {R, −} (nie ma laczno´ sci , oraz elementu neutralnego).

1.1.2

Cialo

Definicja 1.2 Cialem (a ´sci´slej, cialem przemiennym) nazywamy (co najmniej dwuelementowy) zbi´or K z dwoma dwuargumentowymi dzialaniami wewnetrznymi, dodawaniem ‘+’ i mno˙zeniem ‘∗’, spelniajace nastepuj ace wa, , , , runki (aksjomaty ciala): (i) {K, +} jest grupa, przemienna, (w kt´orej element neutralny oznaczamy przez 0, a element przeciwny do a przez −a), (ii) {K \ {0}, ∗} jest grupa, przemienna, (w kt´orej element neutralny oznaczamy przez 1, a odwrotny do a przez a−1 ), (iii) ∀a, b, c ∈ K a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c (mno˙zenie jest rozdzielne wzgledem dodawania). ,

1

Bezpo´srednio z definicji ciala mo˙zna pokaza´c nastepuj ace og´olne wlasno´sci , , (uzasadnienie pozostawiamy jako proste ´cwiczenie): 1. 0 6= 1, 2. ∀a ∈ K 0 ∗ a = 0 = a ∗ 0, 3. ∀a ∈ K (−1) ∗ a = −a, 4. je´sli a ∗ b = 0 to a = 0 lub b = 0, 5. je´sli a 6= 0 i b 6= 0 to (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 , 1

Przyjmujemy konwencje, ˙ e w wyra˙zeniach w kt´orych wystepuj a, i dodawania i , z , mno˙zenia najpierw wykonujemy mno˙zenia.

6

ROZDZIAL 1. GRUPY I CIALA, LICZBY ZESPOLONE

dla dowolnych a, b ∈ K. W ciele mo˙zemy formalnie zdefiniowa´c odejmowanie i dzielenie, mianowicie a − b := a + (−b) a/b := a ∗ b−1

∀a, b ∈ K, ∀a ∈ K, b ∈ K \ {0}.

Przykladem ciala sa, liczby rzeczywiste R z naturalnymi dzialaniami dodawania i mno˙zenia. Cialem jest te˙z zbi´or liczb √ { a + b 2 : a, b ∈ W } ⊂ R z tymi samymi dzialaniami.

1.2

Cialo liczb zespolonych

Wa˙znym przykladem ciala jest cialo liczb zespolonych, kt´oremu po´swiecimy , ta, cze´ c wykladu. , s´

1.2.1

Definicja

Definicja 1.3 Cialo liczb zespolonych to zbi´or par uporzadkowanych , C := R × R = { (a, b) : a, b ∈ R } z dzialaniami dodawania i mno˙zenia zdefiniowanymi jako: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c − b ∗ d, a ∗ d + b ∗ c), dla dowolnych a, b, c, d ∈ R.

2

Formalne sprawdzenie, z˙ e C ze zdefiniowanymi dzialaniami jest cialem pozostawiamy czytelnikowi. Tu zauwa˙zymy tylko, z˙ e elementem neutralnym 2

Zauwa˙zmy, z˙ e znaki dodawania i mno˙zenia wystepuj a, tu w dw´och znaczeniach, jako , dzialania na liczbach rzeczywistych oraz jako dzialania na liczbach zespolonych. Z kontekstu zawsze wiadomo w jakim znaczeniu te dzialania sa, u˙zyte.

1.2. CIALO LICZB ZESPOLONYCH

7

dodawania jest (0, 0), a mno˙zenia (1, 0). Elementem przeciwnym do (a, b) jest −(a, b) = (−a, −b), a odwrotnym do (a, b) 6= (0, 0) jest   a −b −1 (a, b) = , . a2 + b 2 a2 + b 2 Zdefiniujemy mno˙zenie liczby zespolonej przez rzeczywista, w nastepuj acy , , (naturalny) spos´ob. Niech z = (a, b) ∈ C i c ∈ R. Wtedy c ∗ (a, b) = (a, b) ∗ c = (c ∗ a, c ∗ b). Przyjmujac , ta, konwencje, , mamy (a, b) = a ∗ (1, 0) + b ∗ (0, 1). W ko´ ncu, uto˙zsamiajac , liczbe, zespolona, (a, 0) z liczba, rzeczywista, a, oraz wprowadzajac , dodatkowo oznaczenie ı := (0, 1) otrzymujemy (a, b) = a + ı ∗ b.

(1.1)

a = 0}. (d) hermitowskie ujemnie okre´slone HNDn,n = {A ∈ Kn,n : (−A) ∈ HPDn,n }. Aby pokaza´c, z˙ e w tych przypadkach przestawienie wierszy/kulumn nie jest konieczne, wyka˙zemy, z˙ e spelnione sa, zalo˙zenia twierdzenia 7.5. W przypadku (a) zauwa˙zamy, z˙ e je´sli A ∈ WDDn,n to A jest nieosobliwa, N (A) = {~0}. Je´ sli bowiem A ∗ ~x = ~0 i ~x 6= ~0 to dla p takiego, z˙ e |xp | = k~xk∞ P mamy ap,p xp + j6=p ap,j xj = 0, a stad , xj X |ap,j | ≤ |ap,p | ≤ |ap,j |, x p j6=p j6=p X

co przeczy dominacji gl´ownej diagonali macierzy. Uzasadnienie uzupelnia obserwacja, z˙ e je´sli A ∈ WDDn,n to r´ownie˙z macierze katowe Ak ∈ WDDk,k , , 1 ≤ k ≤ n. Dla przypadku (b) wystarczy zauwa˙zy´c, z˙ e jesli A ∈ KDDn,n to AT ∈ WDDn,n , oraz wykorzysta´c fakt, z˙ e nieosobliwo´s´c A jest r´ownowa˙zna nieosobliwo´sci AT . W przypadku (c) (i zupelnie podobnie w (d)) zauwa˙zamy, z˙ e ka˙zda macierz A ∈ HPDn,n jest nieosobliwa. Je´sli bowiem ~x 6= ~0 i A ∗ ~x = ~0 to ~xH ∗ A ∗ ~x = 0. Ponadto, wszystkie macierze katowe Ak ∈ HPDk,k , bo dla , dowolnego niezerowego ~y ∈ Kk mamy H

~y ∗ Ak ∗ ~y =



~y ~0

H

 ∗A∗

~y ~0

 > 0.

Rozdzial 8 Przeksztalcenia liniowe 8.1

Podstawowe pojecia i wlasno´ sci ,

Niech X|K i Y|K bed , a, dwiema przestrzeniami liniowymi nad tym samym cialem K. Definicja 8.1 Przeksztalcenie f : X → Y nazywamy przeksztalceniem liniowym X w Y je´sli ∀x, y ∈ X ∀α, β ∈ K zachodzi r´owno´s´c f (x ∗ α + y ∗ β) = f (x) ∗ α + f (y) ∗ β.

8.1.1

Obraz, jadro i rzad , , przeksztalcenia

Dla X1 ⊆ X , zbi´or f (X1 ) := {f (x) : x ∈ X1 } nazywamy obrazem zbioru X1 . Je´sli X1 jest podprzestrzenia, X to f (X1 ) jest podprzestrzenia, Y. Rzeczywi´scie, je´sli y1 , y2 ∈ f (X1 ) to dla pewnych x1 , x2 ∈ X1 mamy y1 = f (x1 ) i y2 = f (x2 ). Stad , dla dowolnych α1 , α2 ∈ K mamy y1 ∗ α1 + y2 ∗ α2 = f (x1 ) ∗ α1 + f (x2 ) ∗ α2 = f (x1 ∗ α1 + x2 ∗ α2 ) ∈ f (X1 ). W szczeg´olno´sci, f (X ) oraz f ({0}) = {0} sa, podprzestrzeniami. Latwo r´ownie˙z sprawdzi´c, z˙ e obrazem warstwy W (x0 , X1 ) ⊆ X jest warstwa W (f (x0 ), f (X1 )) ⊆ Y. A wiec , elementem zero, bycie podprzestrzenia, wym albo warstwa, sa, niezmiennikami przeksztalce´ n liniowych. 75

76

ROZDZIAL 8. PRZEKSZTALCENIA LINIOWE Podobnie jak dla macierzy definiujemy obraz przeksztalcenia liniowego f im(f ) := f (X ) = {f (x) : x ∈ X } ⊆ Y,

jego jadro , ker(f ) := {x ∈ X : f (x) = 0} ⊆ X , oraz rzad , rank(f ) := dim(im(f )). Oczywi´scie, jadro jest te˙z podprzestrzenia., , Twierdzenie 8.1 Dla dowolnego przeksztalcenia liniowego f mamy dim (X ) = dim (im(f )) + dim (ker(f )) . Dow´ od. Niech X1 bedzie tak zdefiniowane, z˙ e , X = X1 ⊕ ker(f ). Wtedy dim(X ) = dim(X1 ) + dim(ker(f )). Poka˙zemy, z˙ e dim(im(f )) = dim(X1 ). W tym celu zauwa˙zmy, z˙ e ka˙zdy x ∈ X mo˙zna jednoznacznie przedstawi´c jako x = x1 + x0 , gdzie x1 ∈ X1 i x0 ∈ ker(f ). Stad , im(f ) = {f (x1 + x0 ) : x1 ∈ X1 , x0 ∈ ker(f )} = {f (x1 ) : x1 ∈ X1 }. Teraz wystarczy pokaza´c, z˙ e dim(X1 ) = dim(f (X1 )). Rzeczywi´scie, niech A = [x1 , . . . , xs ] ∈ X 1,s bedzie baza, X1 (s = dim(X1 )) oraz , B = [f (x1 ), . . . , f (xs )] ∈ Y 1,s . Wtedy f (X1 ) = span(f (x1 ), . . . , f (xs )) oraz uklad {f (xj )}sj=1 jest liniowo niezale˙zny. Je´sli bowiem B ∗ α ~ = 0 to r´ownie˙z f (A ∗ α ~ ) = 0. Poniewa˙z A∗α ~∈ / ker(f ) \ {0} to A ∗ α ~ = 0 i z liniowej niezale˙zno´sci {xj }sj=1 dostajemy α ~ = ~0. Otrzymali´smy, z˙ e B jest baza, f (X1 ) i dim(f (X1 )) = s = dim(X1 ).

´ 8.1. PODSTAWOWE POJECIA I WLASNOSCI ,

8.1.2

77

Przyklady

• Ka˙zda macierz A ∈ Km,n mo˙ze by´c identyfikowana z przeksztalceniem liniowym f : Kn → Km danym wzorem f (~x) = A ∗ ~x,

~x ∈ Kn .

Wtedy im(f ) = R(A), ker(f ) = N (A) oraz rank(f ) = rz(A). Twierdzenie 8.1 sprowadza sie, w tym przypadku do wniosku 5.1. W szczeg´olno´sci, funkcjonaly liniowe sa, przeksztalceniami liniowymi. Wtedy A ∈ K1,n oraz Y = K. 10 10 • Niech f : P|R → P|R , f (p) = p00 (druga pochodna). Wtedy ker(f ) = 2 8 P|R i im(f ) = P|R . 10 oraz • Je´sli za´s w poprzednim przykladzie f (p) = p0 − p to im(f ) = P|R 0 ker(f ) = P|R = {0}.

8.1.3

R´ oz˙ nowarto´ sciowo´ s´ c

Twierdzenie 8.2 Na to, aby przeksztalcenie liniowe f : X → Y bylo r´oz˙ nowarto´sciowe potrzeba i wystarcza, z˙ e ker(f ) = {0}. Dow´ od. Je´sli f jest r´oz˙ nowarto´sciowe to tylko dla x = 0 mamy f (x) = 0, czyli ker(f ) = {0}. Z drugiej strony, je´sli ker(f ) = {0} i f (x1 ) = f (x2 ) = 0 to f (x1 − x2 ) = 0, a stad nczy dow´od. , x1 − x2 = 0 i x1 = x2 , co ko´ Z ostatniego twierdzenia wynika, z˙ e je´sli ker(f ) = {0} to istnieje przeksztalcenie “odwrotne” f −1 : im(f ) → X takie, z˙ e ∀x ∈ X f −1 (f (x)) = x oraz ∀y ∈ im(f ) f (f −1 (y)) = y. Ponadto f −1 jest liniowe, bo je´sli y1 , y2 ∈ −1 im(f ) to definiujac (y1 ) i x2 = f −1 (y2 ) mamy , x1 = f f −1 (y1 ∗ α1 + y2 ∗ α2 ) = = = =

f −1 (f (x1 ) ∗ α1 + f (x2 ) ∗ α2 ) f −1 (f (x1 ∗ α1 + x2 ∗ α2 )) x1 ∗ α1 + x2 ∗ α2 f −1 (y1 ) ∗ α1 + f −1 (y2 ) ∗ α2 .

M´owiac zde r´oz˙ nowarto´sciowe przeksztalcenie liniowe f : X → Y , inaczej, ka˙ ustala izomorfizm pomiedzy X i swoim obrazem im(f ) ⊆ Y. ,

78

8.1.4

ROZDZIAL 8. PRZEKSZTALCENIA LINIOWE

Przestrze´ n przeksztalce´ n liniowych

Zbi´or wszystkich przeksztalce´ n liniowych z X w Y tworzy przestrze´ n liniowa, nad K, je´sli dzialania dodawania przeksztalce´ n i mno˙zenia przez skalar zdefiniowane sa, w naturalny spos´ob jako: (α ∗ f )(x) = α ∗ f (x),

(f + g)(x) = f (x) + g(x).

Przestrze´ n ta, oznaczamy (X → Y)|K albo Lin(X , Y). Oczywi´scie, elementem neutralnym (zerowym) tej przestrzeni jest przeksztalcenie zerowe, a przeciwnym do f jest (−f ). Podobnie jak dla funkcjonal´ow, dla wygody bedziemy czesto stosowa´c , , zapis f · x := f (x), ∀f ∈ Lin(X , Y) ∀x ∈ X . Uwaga. Zauwa˙zmy, z˙ e wobec r´owno´sci (α ∗ f + β ∗ g) · x = α ∗ (f · x) + β ∗ (g · x) ka˙zdy wektor x ∈ X mo˙ze by´c traktowany jako element przestrzeni Lin (Lin(X , Y), Y) . Jednak w og´olno´sci nie mamy r´owno´sci pomiedzy Lin (Lin(X , Y), Y) i X , , tak jak jest w przypadku Y = K.

8.2 8.2.1

Macierz przeksztalcenia liniowego Definicja

Niech dim(X ) = n, dim(Y) = m. Niech A = [x1 , . . . , xn ] ∈ X 1,n ,

B = [y1 , . . . , ym ] ∈ Y 1,m

bed , a, odpowiednio bazami X i Y. Wtedy X = {A ∗ ~a : ~a ∈ Kn },

Y = {B ∗ ~b : ~b ∈ Km }.

Przypomnijmy, z˙ e B−1 jest wektorem funkcjonal´ow,   r1   B−1 =  ...  ∈ (Y ∗ )m,1 , rm

8.2. MACIERZ PRZEKSZTALCENIA LINIOWEGO

79

gdzie rj ∈ Y ∗ , 1 ≤ j ≤ m, tworza, baze, Y ∗ sprze˙ , zona, do B. Niech f : X → Y bedzie przeksztalceniem liniowym i y = f · x. Przyj, ~ mujac a i y = B ∗ b mamy , x = A ∗~ ~b = B−1 · y = B−1 · (f · x)
= B−1 · (f · (A ∗ ~a)) = B−1 · f · A ∗ ~a = F ∗ ~a, gdzie F ∈ Km,n , F = B−1 · f · A, jest macierza, o wyrazach fi,j = ri (f (xj )), tzn. w j-tej kolumnie macierzy F stoja, wsp´olczynniki rozwiniecia wektora f (xj ) w bazie [y1 , . . . , ym ]. , Definicja 8.2 Macierz liczbowa, F = B−1 · f · A nazywamy macierza, przeksztalcenia f : X → Y w bazach A i B odpowiednio przestrzeni X i Y.

8.2.2

Izomorfizm Lin(X , Y) i Km,n

Niech Φ : Lin(X , Y) → Km,n , Φ(f ) = B−1 · f · A,

∀f ∈ Lin(X , Y).

Odwzorowanie Φ przyporzadkowuj ace przeksztalceniu liniowemu jego ma, , cierz jest liniowe (zachowuje kombinacje liniowe). Je´sli bowiem Φ(f ) = F i Φ(g) = G to Φ(α ∗ f + β ∗ g) = B−1 · (α ∗ f + β ∗ g) · A = α ∗ (B−1 · f · A) + β ∗ (B−1 · g · A) = α ∗ Φ(f ) + β ∗ Φ(g). Ponadto, latwo sprawdzi´c, z˙ e Φ jest wzajemnie jednoznaczne i odwzorowanie odwrotne Φ : Km,n → Lin(X , Y) wyra˙za sie, wzorem Φ−1 (F ) = B ∗ F ∗ A−1 ,

∀F ∈ Km,n .

m,n Stad sa, izomorficzne. , Φ jest izomorfizmem a przestrzenie Lin(X , Y) i K m,n Poniewa˙z dla przestrzeni macierzy mamy dim(K ) = m · n, otrzymujemy w szczeg´olno´sci wniosek, z˙ e

dim (Lin(X , Y)) = dim(X ) · dim(Y).

80

ROZDZIAL 8. PRZEKSZTALCENIA LINIOWE

Przykladowa, baze, Lin(X , Y) tworza, przeksztalcenia ϕi,j , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, dane wzorem ϕi,j = Φ−1 (Ei,j ) (gdzie Ei,j ma jedynke, na przecieciu , i-tego wiersza i j-tej kolumny, a poza tym zera). Dokladniej, dla x = A ∗ ~a, ~a = [α1 , . . . , αn ]T , mamy fi,j · x = (B ∗ Ei,j ∗ A−1 ) ∗ A ∗ ~a = B ∗ (Ei,j ∗ ~a) = (B ∗ ~ei ) ∗ αj = ~yi ∗ αj .

8.3 8.3.1

Dalsze wlasno´ sci macierzy przeksztalce´ n Obraz i jadro przeksztalcenia/macierzy ,

Twierdzenie 8.3 Mamy im(f ) = B ∗ R(F ) := {B ∗ ~b : ~b ∈ R(F )}, ker(f ) = A ∗ N (F ) := {A ∗ ~a : ~a ∈ N (F )}. Dow´ od. Bezpo´srednio sprawdzamy, z˙ e im(f ) = {f · x : x ∈ X } = {f · A ∗ ~a : ~a ∈ Kn } = {B ∗ (B−1 · f · A) ∗ ~a : ~a ∈ Kn } = {B ∗ F ∗ ~a : ~a ∈ Kn } = {B ∗ ~b : ~b ∈ R(F )}, oraz ker(f ) = = = =

{x ∈ X : f · x = 0} = {A ∗ ~a ∈ X : f · A ∗ ~a = 0} {A ∗ ~a : B ∗ (B−1 · f · A) ∗ ~a = 0} {A ∗ ~a : B ∗ F ∗ ~a = 0} = {A ∗ ~a : F ∗ ~a = 0} {A ∗ ~a : ~a ∈ N (F )}.

Na podstawie twierdzenia 8.3 mo˙zemy powiedzie´c, z˙ e B (B−1 ) jest izomorfizmem R(F ) w im(f ) (im(f ) w R(F )), a A (A−1 ) jest izomorfizmem N (F ) w ker(f ) (ker(f ) w N (F )).

8.3.2

Zmiana bazy

Zastan´owmy sie, jak wyglada zale˙zno´s´c pomiedzy wsp´olczynnikami rozwinie, , , cia danego wektora x ∈ X w dw´och r´oz˙ nych bazach A i B przestrzeni X .

´ MACIERZY PRZEKSZTALCEN ´ 8.3. DALSZE WLASNOSCI

81

Formalnie mo˙zemy rozpatrzy´c macierz przeksztalcenia identyczno´sciowego f = idX : X → X , idX (x) = x. Zapisujac a, a , x z jednej strony jako x = A ∗ ~ ~ z drugiej jako x = B ∗ b otrzymujemy
~b = B−1 · A ∗ ~a. Macierz F = B−1 · A ∈ Kn,n o wsp´olczynnikach fi,j = ri · xj nazywa sie, macierza, zmiany bazy z A na B. Oczywi´scie, macierz zmiany bazy jest nieosobliwa. n Podamy teraz charakterystyczny przyklad zmiany bazy. Niech X|K = P|R bedzie przestrzenia, wielomian´ow stopnia co najwy˙zej n − 1. Rozpatrzmy , baze, potegow a, A = [1, t, t2 , . . . , tn−1 ] oraz baze, B = [l1 , . . . , ln ], gdzie li sa, , wielomianami Lagrange’a zdefiniowanymi w (6.1) dla ustalonych wez ow t1 < , l´ −1 t2 < · · · < tn . Wtedy funkcjonaly rk , 1 ≤ k ≤ n, tworzace macierz B , dane , n sa, wzorem rk (p) = p(tk ) ∀p ∈ P|R . Stad olczynniki macierzy przej´scia , wsp´ −1 n,n j F = B · A ∈ K wynosza, fi,j = (ti ) , czyli

   F =  

1 t1 t21 · · · tn−1 1 1 t2 t22 · · · tn−1 2 .. .. .. .. . . . . 2 n−1 1 tn tn · · · tn

   . 

Jest to macierz Vandermonde’a. Zauwa˙zmy, z˙ e “przy okazji” pokazali´smy, i˙z macierz Vandermonde’a, jako macierz zmiany bazy, jest nieosobliwa.

8.3.3

Zlo˙zenie przeksztalce´ n

Niech f ∈ Lin(X , Y) i g ∈ Lin(Y, Z). Wtedy zlo˙zenie (superpozycja) g ◦ f : X → Z, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) ∀x jest te˙z liniowe, tzn. (g ◦ f ) ∈ Lin(X , Y). Rzeczywi´scie, (g ◦ f )(x1 ∗ α1 + x2 ∗ α2 ) = g(f (x1 ) ∗ α1 + f (x2 ) ∗ α2 ) = (g ◦ f )(x1 ) ∗ α1 + (g ◦ f )(x2 )α2 .

82

ROZDZIAL 8. PRZEKSZTALCENIA LINIOWE

Twierdzenie 8.4 Niech A, B i C bed , a, odpowiednio bazami przestrzeni X , Y i Z. Niech f ∈ Lin(X , Y), g ∈ Lin(Y, Z), a F , G bed , a, odpowiednio macierzami przeksztalce´ n f i g w podanych bazach. Wtedy macierz zlo˙zenia h = g ◦ f ∈ Lin(X , Z) wynosi H = G ∗ F. Dow´ od. Rzeczywi´scie, mamy bowiem H = C−1 · h · A = C−1 · g · f · A

= C−1 · g · B ∗ B−1 · f · A = G ∗ F.

Rozdzial 9 Wyznacznik macierzy 9.1

Definicja i pierwsze wlasno´ sci

Niech A bedzie macierza, kwadratowa, nad cialem K, , A = (ai,j )ni,j=1 ∈ Kn,n . Definicja 9.1 (przez rozwiniecie Laplace’a) , Wynacznikiem macierzy kwadratowej n × n nazywamy funkcje, detn : Kn,n → K, zdefiniowana, rekurencyjnie w nastepuj acy spos´ob: , , (n = 1)

det1 (A) := det1 ([a1,1 ]) = a1,1 , P (n ≥ 2) detn (A) := ni=1 (−1)i+n ai,n · detn−1 (Ai,n ), gdzie Ai,n ∈ Kn−1.n−1 jest macierza, powstala, z A poprzez usuniecie z niej , i-tego wiersza i n-tej kolumny. Zgodnie z definicja, mamy det2 (A) = a1,1 a2,2 − a1,2 a2,1 , det3 (A) = a1,1 a2,2 a3,3 + a1,2 a2,3 a3,1 + a1,3 a2,1 a3,2 −a1,1 a2,3 a3,2 − a1,2 a2,1 a3,3 − a1,3 a2,2 a3,1 , det4 (A) = . . . . 83

84

ROZDZIAL 9. WYZNACZNIK MACIERZY

Wprost z definicji rekurencyjnej latwo r´ownie˙z zauwa˙zy´c, z˙ e dla macierzy identyczno´sciowej mamy detn (In ) = 1. Og´olniej, je´sli A jest macierza, r´ojkat, n,n n,n na, dolna, lub tr´ojkatn a g´ o rn a, A ∈ TRIL ∪ TRIU , to , , , detn (A) =

n Y

ai,i .

i=1

Je´sli format macierzy jest znany lub nieistotny to dalej bedziemy dla , uproszczenia pisa´c det(A) zamiast detn (A). Twierdzenie 9.1 Wyznacznik jest funkcja, liniowa, ze wzgledu na dowolna, , kolumne, macierzy, tzn. det([~a1 , . . . , ~ap ∗ α + ~a0p ∗ α0 , . . . , ~an ]) = det([~a1 , . . . , ~ap , . . . , ~an ]) ∗ α + det([~a1 , . . . , ~a0p , . . . , ~an ]) ∗ α0 , 1 ≤ p ≤ n. Dow´ od. Rzeczywi´scie, r´owno´s´c w oczywisty spos´ob zachodzi dla n = 1, a dla n ≥ 2 wystarczy osobno rozpatrzy´c dwa przypadki, p = n i 1 ≤ p ≤ n−1, oraz skorzysta´c z definicji rekurencyjnej. Z twierdzenia 9.1 mamy od razu, z˙ e det([. . . , ~0, . . .]) = 0. Natomiast stosujac zdej z kolumn macierzy otrzymujemy, , twierdzenie 9.1 kolejno do ka˙ z˙ e dla dowolnej macierzy diagonalnej D = diag(α1 , α2 , . . . , αn ) det(A ∗ D) = det([~a1 ∗ α1 , . . . , ~an ∗ αn ]) = det(A) ·

n Y

αi .

(9.1)

i=1

W szczeg´olno´sci, detn (α ∗ A) = αn · detn (A)

9.2 9.2.1

oraz

detn (−A) = (−1)n · detn (A).

Wyznacznik a operacje elementarne Permutacja kolumn

Twierdzenie 9.2 Przestawienie r´oz˙ nych kolumn macierzy zmienia znak wyznacznika, tzn. dla dowolnej transpozycji Tp,q , p 6= q, det(A ∗ Tp,q ) = −det(A).

9.2. WYZNACZNIK A OPERACJE ELEMENTARNE

85

Dow´ od. (Indukcja wzgledem n.) , Dla n = 1, 2 wz´or sprawdzamy bezpo´srednio z definicji. Dla n ≥ 3 rozpatrujemy trzy przypadki. (a) 1 ≤ p < q ≤ n − 1. Korzystajac zenia indukcyjnego mamy , z zalo˙ n X detn (A ∗ Tp,q ) = (−1)i+n ai,n detn−1 ((A ∗ Tp,q )i,n ) i=1

= −

n X (−1)i+n ai,n detn−1 (Ai,n ) i=1

= −detn (A). (b) p = n − 1, q = n. Stosujac Laplace’a dostajemy , dwukrotnie rozwiniecie , n X detn (A) = (−1)i+n ai,n detn−1 (Ai,n )

=

i=1 n X

i+n

(−1)

i=1

+

i−1 X ai,n (−1)k+(n−1) ak,n−1 detn−2 (A{i,k}{n−1,n} ) k=1

n X

 (−1)(k−1)+(n−1) ak,n−1 detn−2 (A{i,k}{n−1,n} )

k=i+1

= −

X (−1)i+k ai,n ak,n−1 detn−2 (A{i,k}{n−1,n} ) k 0 (odpowiednio ϕ > 0). Podobnie, forma h jest okre´slona • ujemnie, gdy h(x) < 0 ∀x 6= 0

(h < 0),

• niedodatnio, gdy h(x) ≤ 0 ∀x

(h ≤ 0),

• nieujemnie, gdy h(x) ≥ 0 ∀x

(h ≥ 0).

We wszystkich pozostalych przypadkach forma jest nieokre´slona. Z r´owno´sci h(x) = ~aH ∗ ΦA ∗ ~a (x = A ∗ ~a) wynika, z˙ e okre´slono´s´c formy jest taka sama jak okre´slono´s´c jej macierzy (w dowolnej bazie!). W szczeg´olno´sci, stosujac , notacje, z twierdzenia Sylwester’a mamy: h > 0 ⇐⇒ π = n, h < 0 ⇐⇒ ν = n,

10.3.2

h ≥ 0 ⇐⇒ ν = 0, h ≤ 0 ⇐⇒ π = 0.

Kryterium Sylwester’a

Twierdzenie 10.2 Niech A = AH = (ai,j )ni,j=1 ∈ Hermn,n oraz A(k) = Wtedy (ai,j )ki,j=1 , 1 ≤ k ≤ n, bed , , a, odpowiednimi macierzami katowymi. (i) A jest dodatnio okre´slona ⇐⇒ det(A(k) ) > 0 dla 1 ≤ k ≤ n, (ii) A jest ujemnie okre´slona ⇐⇒ (−1)k · det(A(k) ) > 0 dla 1 ≤ k ≤ n. Dow´ od. Przypomnijmy (twierdzenie 7.5), z˙ e dla macierzy o nieosobliwych macierzach katowych (a takimi sa, macierze dodatnio/ujemnie okre´slone) , mo˙zna przeprowadzi´c eliminacje, Gaussa bez przestawie´ n wierszy/kolumn. Dlatego A mo˙zna przedstawi´c jako A = L ∗ R = L ∗ D ∗ LH , gdzie L ∈ TRILn,n , li,i = 1 ∀i, D = diag(r1,1 , . . . , rn,n ). Podstawiajac y := , ~ H L ∗ ~x, mamy ~xH ∗ A ∗ ~x = ~xH ∗ L ∗ D ∗ LH ∗ ~x = (LH ∗ ~x)H ∗ D ∗ (LH ∗ ~x) n X H = ~y ∗ D ∗ ~y = |yi |2 · ri,i . i=1

10.3. FORMY KWADRATOWE

99

Stad , A > 0 wtedy i tylko wtedy gdy ri,i > 0 ∀i, oraz A < 0 wtedy i tylko wtedy gdy ri,i < 0 ∀i. Dow´od uzupelnia spostrze˙zenie, z˙ e A(k) = L(k) ∗ R(k) = L(k) ∗ D(k) ∗ (L(k) )H oraz (k)

(k)

2

det(A ) = |det(L )| · det(D

(k)

)=

k Y i=1

ri,i .

100

ROZDZIAL 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE

Rozdzial 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1

Definicja, iloczyn skalarny i norma

Definicja 11.1 Przestrzenia, Euklidesowa, nazywamy pare,  X|K , ϕ , gdzie X|K jest przestrzenia, liniowa, nad K, a ϕ forma, dwuliniowa, (hermitowska) slona, na X|K , zwana, iloczynem skalarnym. , dodatnio okre´ Dla uproszczenia, bedziemy dalej pisa´c (x, y) zamiast ϕ(x, y) oraz (A, B) , zamiast ϕ(A, B). Wlasno´sci formy implikuja, nastepuj ace wlasno´sci iloczynu skalarnego: , , (1) (x, y1 ∗ α1 + y2 ∗ α2 ) = (x, y1 ) ∗ α1 + (x, y2 ) ∗ α2 ∀α1 , α2 ∈ K, (2) (x, y) = (y, x),

∀x, y1 , y2 ∈ X

∀x, y ∈ X

(3) (x, x) ≥ 0 ∀x ∈ X , oraz (x, a) = 0 ⇐⇒ x = 0. Zdefiniujmy γ(x) = (x, x)1/2 , x ∈ X . Wtedy funkcja γ ma nastepuj ace , , wlasno´sci: (i) γ(x) ≥ 0 ∀x ∈ X , oraz γ(x) = 0 ⇐⇒ x = 0. (ii) γ(x ∗ α) = γ(x) ∗ |α| ∀x ∈ X ∀α ∈ K, (iii) γ(x + y) ≤ γ(x) + γ(y) ∀x, y ∈ X . 101

102

ROZDZIAL 11. PRZESTRZENIE EUKLIDESOWE

Wlasno´sci (i) oraz (ii) sa, oczywiste. Aby pokaza´c (iii) zauwa˙zmy, z˙ e γ(x + y)2 = (x + y, x + y) = (x, x) + (y, x) + (x, y) + (y, y) = (x, x) + 2 ·