Genetique statistique (Statistique et probabilites appliquees) 978-2-287-33910-3 [PDF]
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French Pages 156 Year 2008
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Génétique statistique
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Stephan Morgenthaler
Génétique statistique
Stephan Morgenthaler EPFL FSB IMA Station 8 - Bât. MA CH-1015 Lausanne Suisse [email protected]
ISBN : 978-2-287-33910-3 Springer Paris Berlin Heidelberg New York © Springer-Verlag France, Paris, 2008 Imprimé en France Springer-Verlag France est membre du groupe Springer Science + Business Media Cet ouvrage est soumis au copyright. Tous droits réservés, notamment la reproduction et la représentation la traduction, la réimpression, l’exposé, la reproduction des illustrations et des tableaux, la transmission par voie d’enregistrement sonore ou visuel, la reproduction par microfilm ou tout autre moyen ainsi que la conservation des banques de données. La loi française sur le copyright du 9 septembre 1965 dans la version en vigueur n’autorise une reproduction intégrale ou partielle que dans certains cas, et en principe moyennant le paiement de droits. Toute représentation, reproduction, contrefaçon ou conservation dans une banque de données par quelque procédé que ce soit est sanctionnée par la loi pénale sur le copyright. L’utilisation dans cet ouvrage de désignations, dénominations commerciales, marques de fabrique, etc. même sans spécification ne signifie pas que ces termes soient libres de la législation sur les marques de fabrique et la protection des marques et qu’ils puissent être utilisés par chacun. La maison d’édition décline toute responsabilité quant à l’exactitude des indications de dosage et des modes d’emploi. Dans chaque cas, il incombe à l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante.
Maquette de couverture : Jean-François Montmarché
Collection Statistique et probabilités appliquées dirigée par Yadolah Dodge Professeur Honoraire Université de Neuchâtel Suisse [email protected]
Comité éditorial : Christian Genest Département de Mathématiques et de statistique Université Laval Québec GIK 7P4 Canada
Stephan Morgenthaler École Polytechnique Fédérale de Lausanne Département des Mathématiques 1015 Lausanne Suisse
Marc Hallin Université libre de Bruxelles Campus de la Plaine CP 210 1050 Bruxelles Belgique
Gilbert Saporta Conservatoire national des arts et métiers 292, rue Saint-Martin 75141 Paris Cedex 3 France
Ludovic Lebart École Nationale Supérieure des Télécommunications 46, rue Barrault 75634 Paris Cedex 13 France
Dans la même collection : – Statistique. La théorie et ses applications Michel Lejeune, avril 2004 – Le choix bayésien. Principes et pratique Christian P. Robert, novembre 2005 – Maîtriser l’aléatoire. Exercices résolus de probabilités et statistique Eva Cantoni, Philippe Huber, Elvezio Ronchetti, novembre 2006 – Régression. Théorie et applications Pierre-André Cornillon, Éric Matzner-Løber, janvier 2007 – Le raisonnement bayésien. Modélisation et inférence Éric Parent, Jacques Bernier, juillet 2007 – Premiers pas en simulation Yadolah Dodge, Giuseppe Melfi, juin 2008
Avant-propos Ce court recueil procède à une revue de diverses méthodes statistiques applicables à la génétique. Cette seconde science nous permet, mieux que nulle autre, de faire connaissance de la pensée probabiliste. Dans l'histoire de la statistique, la génétique a souvent été à l'origine d'idées nouvelles importantes. Nous livrons ici aux lecteurs dotés d'une formation mathématique quelques exemples tirés de cette discipline biologique dont les concepts sont dé nis au fur et à mesure de leur introduction. Aucune connaissance biologique préalable n'est donc nécessaire à la lecture de cet ouvrage. Les lecteurs biologistes pourront eux aussi découvrir des modèles statistiques dans un contexte familier, mais il leur faudra posséder un certain niveau de connaissances mathématiques, ou faire preuve d'une réelle assiduité. Les questions traitées dans les pages qui suivent constituent une sélection personnelle et ne prétendent pas à l'exhaustivité. Nous avons notamment laissé de côté l'analyse des données d'expressions géniques ( microarray ). De nombreux livres récents expliquent ce sujet de manière détaillée. Cet ouvrage se fonde sur un cours de master (troisième ou quatrième année universitaire) que j'ai donné plusieurs fois à l'École polytechnique fédérale de Lausanne et à des étudiants en mathématiques, en informatique et en bioinformatique. Les exercices à la n des chapitres ont été élaborés par Andrei Zenide, Sandro Gsteiger, Sahar Hosseinian et Jean-Marc Nicoletti. Lausanne, le 15 avril 2008 Stephan Morgenthaler
Avant-propos 1 Introduction 00
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;0 ;9 ;4 ;= 1; 11 1: 14 1= 9; 91 99 9: 94 :3 :2
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V 8 =3 N O / 03 N M O O U
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# O t) = S(t) f (t) = −S ′ (t) = N λe−N λt M ! N λ T ∼ E(N λ) M # 1/(N λ) 8 G + I(t) M (t) = E(I(t))
A 0 P (I(t + dt) = I(t)|I(t)) = 1 − (N − I(t))λ dt + o(dt) Q 2 P (I(t + dt) = I(t) + 1|I(t)) = (N − I(t))λ dt + o(dt) Q 6 P (I(t + dt) > I(t) + k|I(t)) = o(dt) (k ≥ 2) /I I(t) ! V + 8 M (t) M (t + dt)
= E(I(t + dt)) = E(E((I(t + dt) | I(t)))
= E((N − I(t))λ dt(I(t) + 1) + (1 − (N − I(t))λ dt) I(t) + o(dt))
= M (t) + λ dt(N M (t) + N − M (t) − N M (t)) + o(dt).
# 2#.:# 8 "
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4 02 09 23 2; 1E03 03E03 03E03 03E03 03E03 :E03 03E03 =E03 03 E03 =E= 6E03 03E03 =E03 03E03 03E03 3E03 6E03 :E03 03E03 4E= 1E03 ;E03 1E03 ;E03 9E03
# " + O τ # t
O k = tτ $ ' 8 N ! p = P ( ). p ! + N A S(k)
= P ( k = (1 − p)N k = exp(N k ln(1 − p))
=
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)
1 − N kp + (N kp2 /2 + N 2 k 2 p2 /2) + o(N kp3 ) 1 − N kp + o(N 2 k 2 p2 ),
Y S(k) k (k + 1)e ! h(k) =
S(k + 1) −S(k + 1) + S(k) =1− , S(k) S(k)
Y S(k) =
k−1 j=1
(1 − h(j)).
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2
01
! h(k) =
−(1 − p)N (k+1) + (1 − p)N k = 1 − (1 − p)N = N p + O(N 2 p2 ). (1 − p)N k
N p 10−3 O(N 2 p2 )
L t = k/τ λ(t) = N pτ.
5 λ = p τ 20 8
G
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8 $% D &' ! G +
X ( " 8 X X G
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X " O + # ++ $ ' G −− $ ' N I(t) # U# +− S(t) = P (
S(t + dt) = P
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+ /I ( t t t + dt C
09
,
A S(t + dt) = S(t) × P
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t t
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I(t) 5 I(t) P (
−−
t t + dt
| I(t)) = λI(t)dt + o(dt),
Y λ
!
S(t + dt)
= S(t)E(1 − λI(t)dt + o(dt))
= S(t)(1 − λE(I(t))dt + o(dt)).
$29'
# I(t) 8 N λt 8 λ +− G J t) = e−λt# $ T1 , . . . , TN # 7 F '&" (
S(t)
= P (T > t) = P (T1 > t, . . . , Tn > t) = P (T1 > t)N = e−N λt .
8 Ti ( + Tia Tib ! ( Ti = max Tia , Tib .
5 Tia Tib Fi (t)
= P (Ti ≤ t)
= P (Tia ≤ t, Tib ≤ t) = P (Tia ≤ t)P (Tib ≤ t) = (1 − e−λt )2 .
8
Si (t) = 1 − Fi (t) = 1 − (1 − e−λt )2 = 2e−λt − e−2λt = e−λt 2 − e−λt .
8 λ e−λt = 1 − λt + λ2 t2 /2 + o(λ2 t2 ) 5 Si (t) = P (Ti > t) = (1 + λt − λ2 t2 /2)e−λt ! N N N
S(t) = (Si (t))
2 2
= e−N λt (1 + λt − λ2 t2 /2)N = e−N λt+N ln(1+λt−λ
5
ln(1 + x) = x − x2 /2 + o(x2 ),
t /2)
.
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,
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S(t)
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= e−N λt eN λt−N λ 2 2
= e−N λ
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t /2−N λ2 t2 /2
,
o(λ2 t2 ) C Ti @ d ln(S(t)) = L − dt 2 2N λ t
*+ ( T # T
;
S(t) = P (T > t) = exp (−(t/b)m )
m > 0, b > 0 .
8 b A- G
# 8 − dtd ln(S(t)) = mtm−1 /(bm )# + @ m = 2 !
1 λ
1 N
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1 λN
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+ 1 −→ 2 −→ · · · −→ m Ij (t) # 0 ( j Mj (t) = E(Ij (t)) 5 $29' A
S(t + dt) = S(t) (1 − Mm−1 (t)λdt + o(dt)) −
S(t + dt) − S(t) o(dt) = Mm−1 (t)λ + . S(t)dt dt
5
t λ(t) = λMm−1 (t) S(t) = exp −λ Mm−1 (u)du . 0
$24'
2
0=
! # Ij + Ij (t+dt) Ij (t) # dt + Ij (t + dt) = Ij (t) + 1 Ij (t + dt) = Ij (t) ! Mj (t) Mj (t + dt)
= E (Ij (t + dt)) = E (E (λIj−1 (t)dt (Ij (t) + 1) + (1 − λIj−1 (t)dt) Ij (t) + o(dt))) = λMj−1 (t)dt + Mj (t) + o(dt).
ρ2 = −β $20:' Sclone (0) = 1 Sclone (x) ≡ 1 + r = 1 ρ1 = 0 > ρ2 = −(β + δ) $209' O 0 Sclone (x) = (δ + β exp(−(β + δ)x))/(β + δ) x → ∞ M
+ 0 < r < 1 R B1 B2 5 exp(−ρ1 x)/B2 $20:'
Sclone (x)
= =
−Cρ1 − ρ2 exp(−∆x) (C + exp(−∆x))(1 − r)β −Cρ1 (1 − exp(−∆x)) − (ρ2 + Cρ1 ) exp(−∆x) , C(1 − r)β(1 − exp(−∆x)) + (C + 1)(1 − r)β exp(−∆x)
Y C = B1 /B2 ! x → 0 x → ∞ ! −(ρ2 + Cρ1 ) = (C + 1)(1 − r)β C = −(ρ2 + (1 − r)β)/(ρ1 + (1 − r)β) 5 −(ρ2 + Cρ1 ) (C + 1)(1 − r)β
2
66
! x → ∞ Sclone (x) (C + 1)ρ1 /(ρ2 + Cρ1 ) 1 − limx→∞ Sclone (x) = −∆/(ρ2 + Cρ1 ) !
3×10−6 t) dt 0 + L X W U S(t) h(t) Y T $' E(λ) X W $' Γ(λ, 2) f (t) = λe−λt (λt) , t ≥ 0 $' @ f (t) = βλ(λt)β−1 e−(λt) , β, λ > 0 + λ N S(t) h(t) + h(t) = N λ S(t) W + n t1 , . . . , tn N
λ W $' + T λ > 0 Y λ C A ! T = T1 + T2 Y T1 T2 ! G T = max(T1 , T2 ' Y T1 T2 U $' + Torgane N $N > 0'
U < A X ∼ FX Y ∼ Fy β
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P (X ≤ t − y)f (Y = y)dy .
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{I(t); t ≥ 0} λ I(0) = 0 ! X $ ' F U S2 (t) = e−λN
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1 ↑ −1
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7 , , 7 ! O 3 − 2 = 1 ! 92 Y [ (5, 2) # (0, 0) A (5, 2) → (4, 2) → (3, 2) → (2, 2) → (1, 1) → (0, 0) (5, 2) → (4, 1) → (3, 1) → (2, 1) → (1, 1) → (0, 0) ! A
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4, 71 >( πM = πS ⇔ |S|/ ⇔
√ 2 1 − Φ |S|/ V
< 0, 00025 % .
( πM = πS ⇔ p < 5 %/20 000. 8 ( ( $1 N' O $N = 20 000' ( M ( C
M D ( - $0==1' ! D N # p ! # p ( 8 p N ( p D p < 5 %/N 8 ke p 5 %/(N − k + 1) p N − k + 1 + k ke p j > k j e p D ( - ( # 1 ( k C ! E(F/(V + F )) ≤ 5 % 6
NM + NS B 7 NM = NS 7 . 7 NM = 1 000 B # 7
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! 96 NM +NS C πM πS + πM − πS = 0,01 O R C πM = 0,25, πS = 0,20 R πM = 0,15, πS = 0,10 0
0 M 18 ! A - / !# 7# 7 + 7# 5 777 $- / ' H ^I 8 20062 0=9= _4` / T . H 7 M :21P:64 0=9; _=` / T # H ( 000P023 0=43 _03` + / 8 -. U @, 7# /
I H L ;11P;9: 233; _00` + / @, 7# # # I A $ +7' W S+ $02' 24P19 233:
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02 02 03 63 22 69 0 2 / 6 # 9
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