Generalizare A Grupului Lui Klein [PDF]

Zitiervorschau

O generalizare a grupului lui Klein Laslo Clara Tenziana

∗

29.05.2012

Abstract ˆIn aceast˘ a lucrare generaliz˘am grupul lui Klein la un grup (Kn , ◦) ¸si ar˘ at˘ am c˘ a oricare ar fi un grup cu 2n elemente ˆın care orice element este de ordin 2, este izomorf (Kn , ◦).

1

Introducere.

Grupul lui Klein (K, ◦) este grupul simetriilor fat¸˘a de axe ¸si origine ˆın plan: Fie fi : R2 → R2 , i ∈ {0, 1, 2, 3} definit˘a astfel: f0 (x, y) = (x, y) identitatea f1 (x, y) = (−x, y) simetria fat¸˘a de Oy f2 (x, y) = (x, −y) simetria fat¸˘a de Ox f3 (x, y) = (−x, −y) simetria fat¸˘a de origine Unde K = {f0 , f1 , f2 f3 }. ◦ f0 f1 f2 f3 f0 f0 f1 f2 f3 f1 f1 f0 f3 f2 f2 f2 f3 f0 f1 f3 f3 f2 f1 f0 Grupul lui Klein se mai noteaz˘a ¸si D2 , grupul diedral de ordin 2. Fie grupul (Z2 × Z2 , +), tabla + (0, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 0) (0, 0) (1, 1) (0, 1) (0, 1) (1, 1) (0, 0) (1, 1) (1, 1) (0, 1) (1, 0) ∗

de operatie a grupului (Z2 × Z2 , +) este: (1, 1) (1, 1) (0, 1) (1, 0) (1, 1)

Student.Universitatea Transilvania.Bra¸sov

1

Fie F : K → Z2 × Z2 , definit˘a astfel: F (f0 ) = (0, 0), F (f1 ) = (1, 0), F (f2 ) = (0, 1), F (f3 ) = (1, 1), Rezult˘ a c˘ a F este izomorfism de grupuri ¸si (K, ◦) ' (Z2 × Z2 , +). Propozit¸ia. 1 Orice grup de ordin 4 este izomorf cu (Z4 , +) sau cu grupul lui Klein.[1] Demonstrat¸ie ˆIntr-adev˘ ar, fie G un grup de ordin 4. Orice element x ∈ G\ {e} este de ordin 2 sau 4 (ordinul oric˘arui element divide ordinul grupului). Dac˘ a ∃ x ∈ G \ {e}, o(x) = 4 ⇒ (G, ·) ' (Z4 , +). Dac˘ a nu exist˘ a x ∈ G, o(x) = 4 ⇒ ∀ x ∈ G \ {e}, o(x) = 2 ⇒ x2 = 1, ∀ x 6= e. Fie x ∈ G \ {e} ⇒ hxi = {1, x}. |G : hxi| = 24 = 2, rezult˘a astfel ca hxi este normal ˆın G, grupul factor G/hxi realizeaz˘a o partit¸ie a lui G ˆın dou˘a submult¸imi. G = hxityhxi, cu y ∈ G\hxi. G = {1, x}t{y, yx} = {1, x, y, yx}. ˆIntocmind tabla de ˆınmult¸ire obtinem c˘a G este izomorf cu (Z2 × Z2 , +), deci izomorf ¸si cu (K, ◦).

Propozit¸ia. 2 Dac˘ a toate elementele din G \ {e} sunt de ordin 2, atunci grupul G este abelian. Demonstrat¸ie. Fie x, y ∈ G \ {e}, o(xy) = 2 ⇒ (xy)2 = 1 ⇒ xxyy = 1/ · x−1 ⇒ x−1 xxyy = x−1 ⇒ xyy = x−1 / · y −1 ⇒ xyyy −1 = x−1 y −1 ⇒ xy = x−1 y −1 ⇒ xy = (xy)−1 ⇒ xy = yx ⇒ G abelian.

2

Generalizarea grupului lui Klein.

ˆIn acest paragraf generaliz˘ am grupul lui Klein. Pentru n = 2, avem funct¸iile fi : R2 → R2 definite ˆın prima parte a lucr˘ arii. Pentru n = 3 definim fi : R3 → R3 astfel: f0 (x, y, z) = (x, y, z) identitatea, f1 (x, y, z) = (−x, y, z) 2

f2 (x, y, z) = (x, −y, z) f3 (x, y, z) = (x, y, −z) f4 (x, y, z) = (−x, −y, z) = f1 ◦ f2 = f12 f5 (x, y, z) = (−x, y, −z) = f1 ◦ f3 = f13 f6 (x, y, z) = (x, −y, −z) = f2 ◦ f4 = f23 f7 (x, y, z) = (−x, −y, −z) = f1 ◦ f2 ◦ f3 = f123 Din definit¸iile funct¸iilor se vede faptul c˘a ele reprezint˘a simetriile fat¸˘a de planele de coordonate ¸si origine: sim sim sim sim

yOz : f1 (x, y, z) = (−x, y, z) xOz : f2 (x, y, z) = (x, −y, z) xOy : f3 (x, y, z) = (x, y, −z) O : f7 (x, y, z) = (−x, −y, −z)

Vom demonstra simetriile fat¸˘a de axele de coordonate. sim Oz : f4 (x, y, z) = (−x, −y, z)) sim Oy : f5 (x, y, z) = (−x, y, −z) sim Ox : f6 (x, y, z) = (x, −y, −z) S ¸ tim c˘ a Ox : x1 = y0 = z0 ; Fie M (a, b, c) ∈ R3 fixat. Determin˘am coordonatele simetricului lui M fat¸˘a de Ox: Fie planul π astfel ˆıncˆ at M (a, b, c) ∈ π ¸si Ox ⊥ π, rezul˘a c˘a normala planului ~ (1, 0, 0), avem astfel π : x = a. π este N  x=a Fie {N } = Ox ∩ π : am x1 = y0 = z0 = k ¸si obt¸inem y x z , not˘ = = 1 0 0 (a, 0, 0) coordonatele punctului N . Fie M 0 (x0 , y 0 , z 0 ) simetricul punctului M , ¸stim c˘a N (a,  0, 0) este mijlocul  x0 = a b+y 0 a+x0 c+z 0 0 y 0 = −b , deci segmentului M M , deci a = 2 , 0 = 2 0 = 2 ⇒  0 z = −c coordanatele simetricului lui M sunt (a, −b, −c), rezult˘a c˘a f2 ◦ f3 = f23 este simetria fat¸˘ a de Ox. Analog ar˘at˘am c˘a f12 respectiv f13 sunt simetriile fat¸˘a de Oz respectiv Oy. Observ˘ am c˘ a pentru orice i, j ∈ {1, 2, 3}, fij = fji ¸si fi2 = f0 , deci (K3 , ◦) este grup abelian ¸si orice element al sau este de ordin 2, except¸ie f˘ acˆ and elementul neutru.

3

◦ f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7

f0 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7

f1 f1 f0 f4 f5 f2 f3 f7 f6

f2 f2 f4 f0 f6 f1 f7 f3 f5

f3 f3 f5 f6 f0 f7 f1 f2 f4

f4 f4 f2 f1 f7 f0 f6 f5 f3

f5 f5 f3 f7 f1 f6 f0 f4 f2

f6 f6 f7 f3 f2 f5 f4 f0 f1

f7 f7 f6 f5 f4 f3 f2 f1 f0

Fie grupul (Z2 × Z2 × Z2 , +) (ˆıl vom nota cu (Z32 , +)) ¸si definim F : (K3 , ◦) → (Z32 , +): F (f0 ) = (0, 0, 0) F (f3 ) = (0, 0, 1) F (f23 ) = (0, 1, 1) F (f1 ) = (1, 0, 0) F (f12 ) = (1, 1, 0) F (f123 ) = (1, 1, 1) F (f2 ) = (0, 1, 0) F (f13 ) = (1, 0, 1) Se verific˘ a faptul c˘ a F este izomorfism, ¸si (K3 , ◦) ' (Z32 , +). Realiz˘ am construct¸ia pentru Rn : Fie I = {1, 2, . . . , n} o mult¸ime de indici ¸si A ∈ P(I). Definim fA : Rn → Rn prin fA (x1 , x2 , . . . , xn ) = ((−1)χA (1) x1 , (−1)χA (2) x2 , . . . , (−1)χA (n) xn ),  0, i∈ /A unde χA (i) = este funct¸ia caracteristic˘a mult¸imii A. 1, i∈A Pentru A = ∅ not˘ am f∅ = f0 ¸si avem f∅ = 1Rn . Pentru |A| = 1, fie A = {i} avem fi (x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , −xi , . . . , xn ) Pentru |A| = 2,fie A = {i1 , i2 }, avem fi1 i2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = (fi1 ◦fi2 )(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , −xi1 , . . . , −xi2 , . . . , xn ), i1 6= i2 , Mai mult, pentru A = {i1 , . . . , ik }, avem

fA = fi1 i2 ...ık = fi1 ◦ fi2 ◦ . . . ◦ fik ,

fi1 i2 ...ik (x1 , x2 , . . . , xn ) = (fi1 ◦ fi2 ◦ . . . fik )(x1 , x2 , . . . , xn ) = = (x1 , . . . , −xi1 , −xi2 , . . . , −xik , . . . , xn ), 4

i1 6= i2 6= . . . 6= ik , Pentru A = I, avem fA (x1 , x2 , . . . , xn ) = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ). Definim mult¸imea Kn , ca fiind mult¸imea funct¸iilor fA definite anterior. Propozit¸ia. 3 Perechea (Kn , ◦) este grup abelian cu o(fA ) = 2, ∀ A ∈ P(I), A 6= ∅. Demonstrat¸ie. Pentru A, B ∈ P(I) observ˘am c˘a fA ◦ fB = fA4B , deci mult¸imea acestor funct¸ii este parte stabil˘a la ” ◦ ”. Elementul neutru la compunere este f∅ ; fA−1 = fA pentru c˘a fA ◦fA = f∅ ; Compunerea funct¸iilor este ˆın general asociativ˘a, deci este ¸si ˆın (Kn , ◦). Rezulta astfel c˘ a (Kn , ◦) este grup abelian. fA ◦ fA = fA4A = f∅ , rezult˘a c˘a o(fA ) = 2. Cardinalul grupului (Kn , ◦) este |P(I)| = 2|I| = 2n . Propozit¸ia. 4 (Kn , ◦) este izomorf cu (Zn2 , +). Demonstrat¸ie. Fie F : Kn → Zn2 definit˘a astfel: F (f0 ) = (0, 0, . . . , 0), F (fi ) = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0),  F (fA ) = (χA (i)), χA (i) =

0, i ∈ /A , ∀ A ∈ P(I) 1, i ∈ A

¸si F (fi1 ◦ fi2 ◦ . . . ◦ fik ) = F (fi1 ) + F (fi2 ) + . . . + F (fik ) . Avem astfel F izomorfism de grupuri, rezult˘a c˘a (Kn , ◦) ' (Zn2 , +).

5

3

Aplicat¸ie a grupului (Kn , ◦).

Propozit¸ia. 5 Fie (G, ·) un grup. i) Dac˘ a G este finit ¸si orice element din G \ {e} are ordinul 2 atunci ordinul lui G este de forma 2n , n ∈ N; ii) Dac˘ a ordinul lui G este de forma 2n , cu n ∈ N, ¸si toate elementele x ∈ G \ {e} sunt de ordin 2, atunci (G, ·) ' (Kn , ◦). Demonstrat¸ie. i) Demonstr˘am prin induct¸ie dup˘a n: Pas.1. Pentru n = 1 avem |G| = 20 , adev˘arat. Pas.2. Presupunem adev˘ arat˘a relat¸ia pentru subgrupuri de ordin cel mult n − 1. Dac˘ a G este un grup de ordin n, ¸si ∀ x ∈ G \ {e} cu o(x) = 2 atunci hxi normal ˆın G, rezult˘ a c˘ a grupul factor G/hxi ˆındeline¸ste condit¸ia din ipotez˘a, ¸si |G/hxi| < n ⇒ |G/hxi| = 2k ⇒ |G| = |G/hxi| · |hxi| = 2k · 2 = 2k+1 . ii) Demonstr˘ am mai ˆıntˆ ai c˘a (G, ·) ' (Zn2 , +): Realiz˘am demonstrat¸ia prin induct¸ie: Pas.1. Pentru n = 2 am demonstrat ˆın prima sectiune. Pentru n = 3: |G| = 23 ¸si fie x1 ∈ G \ {e}, o(x1 ) = 2, hx1 i subgrupul generat de el, hx1 i = {e, x1 } ⇒ G/hx1 i ' Z22 , G/hx1 i are 22 elemente, deci este o partit¸ie a lui G, x2 ∈ G \ hx1 i, o(x2 ) = 2, x2 hx1 i = {x2 , x2 x1 }, x3 ∈ G \ {e, x1 , x2 , x1 x2 } ⇒ G = {e, x1 , x2 , x3 , x1 x2 , x1 x3 , x2 x3 , x1 x2 x3 } = hx1 , x2 , x3 i, grupul generat de cele trei elemente. Fie f : G → Z32 astfel: f (x1 ) = (1, 0, 0) f (x1 x2 ) = (1, 1, 0) f (x1 x2 x3 ) = (1, 1, 1) f (x2 ) = (0, 1, 0) f (x1 x3 ) = (1, 0, 1) f (e) = (0, 0, 0) f (x3 ) = (0, 0, 1) f (x2 x3 ) = (0, 1, 1) Deci (G, ·) ' (Z32 , +). Pas.2. Presupunem c˘ a orice grup de ordin 2k , k < n, cu toate elementele ˆın afara de elementul neutru de ordin 2, este izomorf cu Zk2 . Fie G un grup de ordin 2n . S¸tim c˘a este abelian ¸si fie x1 , x2 , . . . , xn−1 , n − 1 elemente distincte ale sale. Fie H = hx1 , x2 , . . . , xn−1 i, subgrupul generat de acestea, ¸si deoarece fiecare element al grupului este de ordin 2, except¸ie f˘ acˆ and elementul neutru, atunci H este de ordin 2n−1 ¸si este izomorf cu n−1 Z2 . Fie xn ∈ G \ H, deci G se poate scrie astfel: G = H ∪ xn H, rezult˘a deci c˘ a G ' Zn2 . Din faptul c˘ a (G, ·) ' (Zn2 , +), si conform Propozit¸iei. 4 din sectiunea 2, avem (G, ·) ' (Kn , ◦). 6

Am ar˘ atat deci c˘ a pentru orice grup cu toate elementele de ordin 2 exist˘ a un numar natural n astfel ˆıncˆat grupul este izomorf cu grupul Klein generalizat Kn .

References [1] C. Nit¸˘ a, C. N˘ ast˘ asescu, C. Vraciu, 1986, Bazele algebrei., Editura Academie Socialiste Romˆane, Bucure¸sti. [2] Ioan Purdea, Cosmin Pelea, 2008, Probleme de algebr˘ a., Edit¸ia revizuit˘a ¸si completat˘ a, Ed. EIKON, Cluj-Napoca. [3] Ion D. Ion, Constantin Nit¸˘a, Nicolae Radu, Dorin Popescu, 1981,Probleme de algebra˘ a, Edit. Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a Bucure¸sti. [4] Gheorghe Atanasiu, Emil Stoica, 2003, Algebr˘ a liniar˘ a; Geometrie analitic˘ a, Ed. Fair Partners, Bucure¸sti.

7