Formelbuch Elektrotechnik [PDF]

Zitiervorschau

Elektrostatik Elektrostatisches Feld

r r Q = ∫ D ⋅ dA A

Satz von Gauss

r r U 21 = ∫ E ⋅ ds

Homogenes Feld:

Q = D⋅ A

Ladung Q

Homogenes Feld:

Spannung U

1

U = E⋅s

2

[Q ] = A ⋅ s = C (Coulomb) [U ] = N ⋅ m

[E ] = V

D =ε ⋅E ε = ε0 ⋅εr

ε r Vakuum = ε r Luft = 1

Feldstärke E (Ursache)

ε r Glas ≈ 4

diel. Flussdichte D (Wirkung)

ε 0 = 8.854 ⋅10 −12

ε r Hartpapier ≈ 4 − 6

E=

Q 4 ⋅ π ⋅ε ⋅ r 2

E=

Q 2 ⋅π ⋅ ε ⋅ r ⋅l

Q U = ε⋅A s

diel. Leitwert ε (Permittivität)

m

[D] = A ⋅ s m 2 [ε ] = [ε 0 ] = A ⋅ s V ⋅ m

[ε r ] = 1 (einheitenlos)

εr = relative Permittivität

Feldstärke E ausserhalb einer Punktladung r = Abstand vom Ladungsschwerpunkt in m

Feldstärke um eine Linienladung

[Er ] = V

m

Feldstärke um eine Flächenladung

Q E= 2 ⋅ε ⋅ A E=

A ⋅ s = J C = V (Volt)

E hängt nicht vom Abstand ab, da Feld konstant! (U hingegen schon)

A = Plattenfläche in m

2

Feldstärke zwischen 2 Flächenladungen

Ausserhalb:

E=0

E hängt nicht vom Abstand ab, da Feld konstant! (U hingegen schon) entspricht Plattenkondensator

Feldlinien an Grenzflächen

D1 = D2 E1 ε r 2 = E 2 ε r1

Mehrschichtdielektrikum quergeschichtet Î Serieschaltung von 2 Kondensatoren

Falls A1 ≠ A2 :

E = Feldstärke

E 1 ε r 2 A2 = ⋅ E 2 ε r1 A1 E1 = E2

[Er ] = V

m r D = A ⋅ s m2

[ ]

D = dielektrische Flussdichte

Mehrschichtdielektrikum längsgeschichtet

D1 ε r1 = D2 ε r 2

Î Parallelschaltung von 2 Kondensatoren

Kapazität (dielektrischer Leitwert)

r r D Q ∫ ⋅ dA C = = Ar r U ∫ E ⋅ ds s

Homogenes Feld:

C=

D⋅ A ε ⋅ A = E⋅s s

Kapazität C

[C ] = A ⋅ s V = F (Farad)

Felder und Kapazitäten verschiedener geometrischer Anordnungen

C=

ε⋅A s

Formelbuch Elektrotechnik

U E= s

12.02.2004

ε

Platten-Kondensator s = innerer Plattenabstand in m 2 A = Plattenfläche in m 2 -4 2 1 cm = 10 m

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C=

A s1

ε1

+

E1( 2) =

s2

ε2

C ⋅C C= 1 2 C1 + C 2 A C= s1 s2 s3 + +

ε1

ε2

Platten-Kondensator mit zwei Dielektrika

ε1 ε2

Î Serieschaltung von 2 Kondensatoren mit gleicher Plattenfläche

U = E1 ⋅ s1 + E 2 ⋅ s 2

U = E1 ⋅ s1 + E2 ⋅ s 2 + E3 ⋅ s3

ε3

ε1 ε2 ε3

U

E1( 2)(3) =

⎛ s1

ε1( 2)(3) ⋅ ⎜⎜

⎝ ε1

C=

U ⎛s s ⎞ ε 1( 2 ) ⋅ ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ⎝ ε1 ε 2 ⎠

2π ⋅ ε ⋅ l r ln 2 r1

+

E=

s2

ε2

+

Î Serieschaltung von 3 Kondensatoren mit gleicher Plattenfläche

s3 ⎞ ⎟ ε 3 ⎟⎠ ε

U

Zylinder-Kondensator r = Radius des „Standpunktes“ in m r1 = Aussenradius des Innenleiters r2 = Innenradius des Aussenleiters

r r ⋅ ln 2 r1

2π ⋅ l r r 1 1 ⋅ ln 2 + ⋅ ln 3 ε1 r1 ε 2 r2 U E1( 2) = ⎛1 r ⎞ r 1 ε 1( 2) ⋅ r ⋅ ⎜⎜ ⋅ ln 2 + ⋅ ln 3 ⎟⎟ r1 ε 2 r2 ⎠ ⎝ ε1

C=

4π ⋅ ε ⋅ r1 ⋅ r2 C= r2 − r1

Platten-Kondensator mit drei Dielektrika

ε1

ε2

Zylinder-Kondensator mit zwei Dielektrika r = Radius des „Standpunktes“ in m r1 = Aussenradius des Innenleiters r2 = Radius zw. den Dielektrika r3 = Innenradius des Aussenleiters

U ⋅r ⋅r E= 2 2 1 r ⋅ (r2 − r1 )

ε

Kugel-Kondensator r = Radius des „Standpunktes“ in m r1 = Aussenradius des Innenleiters r2 = Innenradius des Aussenleiters

Kondensatorschaltungen

U 1 = U 2 = ... = U n = U q

Parallelschaltung

Q Q1 + Q2 + ... + Qn = U U C = C1 + C 2 + ... + C n C=

C = Kapazität Q = Ladung

[C ] = F [Q] = C

U = Spannung über beide Kondensatoren

Q1 = Q2 = ... = Qn

1 1 1 1 = + + ... + C C1 C 2 Cn C=

C1 ⋅ C2 C1 + C2

U1 C 2 = U 2 C1

Für zwei serielle Kondensatoren

U2 =

Serieschaltung Die Kondensatorladungen sind betragsmässig alle gleich gross!

Kapazitiver Spannungsteiler

U ⋅ C1 C1 + C2

Formelbuch Elektrotechnik

(Serieschaltung von 2 Kondensatoren) Achtung Indizes!

12.02.2004

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Energie im elektrostatischen Feld U

We = C ⋅ ∫ u ⋅ du

Energie We im elektrostatischen Feld

C ⋅U 2 Q ⋅U Q2 We = = = 2 2 2⋅C 2 C ⋅U Q ⋅U Q2 we = = = 2 ⋅V 2 ⋅V 2 ⋅ C ⋅V

Vergleiche: Energie, um el. Ladung in fremden E-Feld zu verschieben: W = QT * U

0

[We ] = W ⋅ s = J (Joule) [we ] = W ⋅3s

Energiedichte we

Homogenes Feld:

D ⋅ E ε ⋅ E 2 D2 = = we = 2 2 2 ⋅ε

W we = e V

V = Volumen des Feldraumes in m

m

3

Verschiebungsarbeit ΔW einer Ladung in einem fremden E-Feld

ΔW = QT ⋅ U

Merke: ∆W ≠ im Feld gespeicherte Ladung!

Kräfte im elektrostatischen Feld

F = Q⋅E Q ⋅Q F = 1 22 4π ⋅ ε ⋅ s Q1 ⋅ Q2 F= 2π ⋅ ε ⋅ s ⋅ l

Dazu: We = U*Q/2

[F ] = N (Newton)

Kraft F auf Ladung im E-Feld Kraft zwischen Punktladungen

s = Abstand der Ladungen (Ladungsschwerpunkt)

Kraft zwischen Linienladungen s = Abstand der Leiter in m l = Leiterlänge in m

[F ] = N = kg ⋅ m

s2

Kraft zwischen Kondensatorplatten

U 2 ⋅ dC F= 2 ⋅ ds U 2 ⋅ dC F= 2 ⋅ ds

Homogenes Feld (Plattenkondensator):

F=

U ⋅C U ⋅ε ⋅ A = 2⋅s 2⋅ s2 2

2

Formeln gelten auch bei abgehängter Quelle, wenn Plattenabstand nicht verändert wird.

Homogenes Feld (Plattenkondensator):

F=

U ⋅C Q = 2⋅s 2 ⋅ε ⋅ A 2

2

Quelle angeschlossen Î Spannung konstant F nimmt ab, je weiter die Platten von einander entfernt sind.

Quelle abgehängt Î Ladung konstant F bleibt konstant (unabhängig vom Plattenabstand) Formeln gelten auch bei angeschlossener Quelle, wenn Plattenabstand nicht verändert wird.

Strom und Spannung am Kondensator

i =C⋅

du dt tf

1 u = ∫ i ⋅ dt + U 0 C0

Formelbuch Elektrotechnik

Differentialform i = Strom zum Zeitpunkt t

Integralform u = Spannung zum Zeitpunkt t U0 = Anfangsspannung

12.02.2004

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Gleichstromlehre Elektrisches Strömungsfeld

r r E = dU ds r r J = dI dA r r γ =J E r r ρ=E J ρ =1 γ

Homogenes Feld: Homogenes Feld:

γ 20 Kupfer = 56 γ 20 Alu = 35

Spezifische Leitfähigkeit γ

γ 20 Silber = 60

Spezifischer Widerstand ρ

Homogenes Feld:

Widerstand R eines Leiters

1 ρ ⋅l l = R= = G γ ⋅A A

1 I G= = = A r r R U ∫ E ⋅ ds s

Leitwert G eines Leiters

[γ ] = S = 1 m Ω⋅m [ρ ] = Ω ⋅ m [R] = Ω (Ohm)

[G ] = 1 Ω = S (Siemens)

l = Leiterlänge in m 2 A = Leiterquerschnitt in m

2

-4

1 cm = 10 m

2

[G ] = S

Leitwert eines Hohlzylinders

2 ⋅π ⋅γ ⋅ l G= ln (ra ri )

m

[J ] = A m 2

Stromdichte J

J =I A

r r J ∫ ⋅ dA

[E ] = V

Elektrische Feldstärke E

E =U s

γ = Leitwert des Zwischenraumes ri = Aussenradius des Innenleiters ra = Innenradius des Aussenleiters l = Länge des Zylinders in m

linear

Temperaturabhängigkeit von Widerständen υ

Rϑ = R20 ⋅ (1 + α 20 ⋅ Δϑ ) ΔR = R20 ⋅ α 20 ⋅ Δϑ

Formeln betreffen insbesondere die Metalle

Δϑ = ϑ − 20°C RT = RN ⋅ eα ⋅(T −TN )

PTC

υ

nicht linear

RT = R N ⋅e

⎞ ⎟⎟ ⎠

υ

-υ

[α 20 ] = 1 °C [ϑ ] = °C

= Temperatur in °Celsius

RN = Nennwiderstand RT = Warm/Kaltwiderstand TN = Nenntemperatur in K oder °C α= Temperaturkoeffizient (ist konstant)

oder NTC

ϑ

PTC (positive temperature coefficient) Î Kaltleiter

PTC

υ ⎛1 1 b⋅⎜⎜ − ⎝ T TN

Lineare Temperaturabhängigkeit R20 = Widerstand bei 20°C Rϑ = Widerstand bei ϑ („Warmwiderstand“) m = Steigung der Geraden α 20 = Temperaturkoeffizient bei 20°C

0°C = 273,16 K

NTC (negative temperature coefficient) Î Heissleiter

NTC

T = Temperatur in Kelvin

oder υ

υ

U =C⋅Iβ

b = Materialkonstante

VDR (voltage dependent resistor)

U

C = entspricht Spannungsabfall bei 1A β = Materialkonstante (0.05 – 0.5)

R = C ⋅ I ( β −1)

[T ] = K [b] = K

Keine Einheitenko ntrolle möglich!

Kirchhoffsche Gesetze n

I1 + I 2 + ... + I n = ∑ I k = 0 r r J ∫ ⋅ dA = 0

Knotenregel

I1 I2

In einem Netzwerkknoten ist die Summe der zufliessenden Ströme gleich der Summe der abfliessenden Ströme.

k =1

I4

Vorzeichen beachten!

I3

A

U1

n

U 1 + U 2 + ... + U n = ∑U k = 0 k =1

r r ∫ E ⋅ ds = 0

R4

Maschenregel

R1

R2

U4

U2 R3

s

In einer Netzwerkmasche ist die Summe aller im Umlauf auftretenden Spannungen gleich Null. Vorzeichen beachten!

U3

Pfeilsysteme

U

Erzeugerpfeilsystem

Verbraucherpfeilsystem

I Zweitor

Spannungs- und Strompfeil gehen vom selben Pol aus.

U

Zweitor arbeitet als Verbraucher, wenn P=U*I positiv. Formelbuch Elektrotechnik

I 12.02.2004

Spannungs- und Strompfeil gehen nicht vom selben Pol aus.

Zweitor .

Zweitor arbeitet als Quelle, wenn P=U*I positiv. Seite 4 von 19

Energie und Leistung

P =U ⋅I

η=

Pab Pauf

[P] = V ⋅ A = W (Watt)

Leistung P

U2 P= = I2 ⋅R R W = P ⋅t

Energie W Wirkungsgrad η

≤1

[W ] = W ⋅ s = J (Joule) [η ] = 1 (einheitenlos)

Pauf = aufgenommene Leistung Pab = abgegebene Leistung

Spannungs-/ Stromquellen

U = U q −Ui

= U q − Ri ⋅ I

U0 = Uq ⋅ Ik

U q Ri

Ri

ΔU U q Ri = = ΔI Ik I = Iq − Ii Ik = Iq

Uq Uq

Uo

= I q − U 0 Ri Iq

U 0 = I q ⋅ Ri

Iq = Quellenstrom Ik = Kurzschlussstrom Ri = Innenwiderstand U0 = Lehrlaufspannung Ii = Strom durch Ri I = Klemmenstrom bei Belastung

Ii Uo Ri

Iq

Ri

Iq = Ik

Uq Uq

Uo

Î

Ii Uo

Ri

real (linear) 0

Iq

Ii

Uq = U0

Ri

Uo

Î

Ri Uq Uq

Uo

η = 0 .5

I

I ideal

Iq

real (linear) 0

Quellenumwandlung Spannungsquelle Î Stromquelle

Uo

U

Es können nur lineare, keine ideale Quellen umgewandelt werden!

Geht nur, wenn ein Widerstand(snetzwerk) ohne Knoten parallel zur Stromquelle liegt (Innenwiderstand)

Leistungsanpassung

Ri

U q2

Ik

Quellenumwandlung Stromquelle Î Spannungsquelle

Ui

U q = Ri ⋅ I q

ideal

Uq

Ui

I q = U q Ri

RL = Ri

Uq = Quellenspannung (ideal) U0 = Lehrlaufspannung Ik = Kurzschlussstrom Ri = Innenwiderstand Ui = Spannungsabfall am Ri U = Klemmenspannung bei Belastung

U

Lineare Stromquelle

ΔU U 0 = Ri = ΔI Iq

Pmax =

Lineare Spannungsquelle

Ui

Uq Uq

Pmax = Leistung am Lastwiderstand bei Anpassung Pmax = ½ Quellenleistung

RL

4 ⋅ Ri

Ersatzwiderstand

RE = R1 + R2 + ... + Rn 1 1 1 1 = + + ... + RE R1 R2 Rn GE = G1 + G2 + ... + Gn R1

a*R1 R3

R2

a*R2

R1

R2

a*R1

a*R2

Serieschaltung von Widerständen Für 2 parallele Widerstände:

RE = R1 R2 =

R1

R2

R1 ⋅ R2 R1 + R2

Parallelschaltung von Widerständen RE = Ersatzwiderstand

a*R1

Brückenvereinfachungen

a*R2

Da die Brücke abgeglichen ist, fliesst kein Querstrom (I3 = 0)

Abgleichbedingung:

R1 a ⋅ R1 = R2 a ⋅ R2

Ähnlichkeitsregel

I r U qr = I a U qa

Formelbuch Elektrotechnik

Ir = Ia ⋅

U qr U qa

Ir = Realer Strom Ia = Angenommener Strom Uqr = Reale Quellenspannung Uqa = Angenommene Quellenspannung

12.02.2004

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Spannungs- und Stromteiler Für 2 Widerstände in Serie:

R2 R1 + R2 U 1 R1 = U 2 R2

U2 =U ⋅

R Um =U ⋅ m ∑R

R1

U1

Spannungsteiler

U

Gilt nicht bei Belastung! R2

U2

I1

I2

Stromteiler

R1

R2

Achtung Indizes!

Für 2 parallele Widerstände:

Im = I ⋅

R1 R1 + R2 I1 I 2 = R2 R1

Gm ∑G

I

I2 = I ⋅

Stern-Dreieck-Transformation Dreieck Δ:

Stern Y:

R12 = Widerstand von 1 zu 2 R23 = Widerstand von 2 zu 3 R31 = Widerstand von 3 zu 1

R1 = Widerstand von 1 zur Mitte R2 = Widerstand von 2 zur Mitte R3 = Widerstand von 3 zur Mitte

Stern Î Dreieck

R12 = S R3

R23 = S R1

Dreieck Î Stern

R31 = S R2

R1 = R12 ⋅ R31 D

R2 = R23 ⋅ R12 D

R3 = R31 ⋅ R23 D

D = R12 + R23 + R31

S = R1 ⋅R 2 + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1 Δ Î Y:

RY =

RΔ 3

YÎΔ

ΔÎY

YÎΔ

wenn alle 3 Widerstände gleich gross:

RΔ = 3 ⋅ RY

RΔ = Widerstand Dreiecksschaltung RY = Widerstand Sternschaltung

Quellenverschiebung Ideale Spannungsquelle: • Bei Verschiebung über einen Knoten wird die Quelle vermehrt und in jeden angrenzenden Zweig geschoben Î Maschengleichungen werden nicht verändert

R2

R5

R3

R2

R4

R1

R3

R5 Uq

Uq R1

R4 Uq

R1

R1

R1 Iq Iq

Ideale Stromquelle: • Quelle wird zuerst vermehrt und danach umgehängt Î Knotengleichungen werden nicht verändert

Iq

R3

Iq

R3 R4

Iq

R3 R4

R4

Iq

R2

Iq

R2

R2

Ersatzspannungsquelle Beispiel: Î liefert Strom und Spannung in einem Netzzweig • Widerstand, für den Ersatzquelle bestimmt wird, abhängen • Innenwiderstand der Ersatzquelle: - vorhandene Quellen ausschalten - Spannungsquellen kurzschliessen - Stromquellen unterbrechen - Widerstände zusammenfassen Î Ri • Quellenspannung der Ersatzquelle: - I-Quellen in U-Quellen umwandeln - Quellen zusammenfassen - durch Widerstände in den direkten Klemmenzweigen fliesst kein Strom Î weglassen - Spannung an den Ausgangsklemmen bestimmen Î U0

Iq1

Gesucht: Ersatzspannungsquelle für R3

R3 R4

Innenwiderstand Ri:

R5

Uq2

Ersatz-Quellenspannung U0 = UqE =U5 – Uq2: R2

R2

U0

R1 R4

R5

Uq1

Ri U0

12.02.2004

R4

U 5 = (U q1 + U q 2 ) ⋅

Ri = (R1+R2+R4)||R5

UqE

Formelbuch Elektrotechnik

R2 R1

R3

U5 R5

Uq2

R5 R1 + R2 + R4 + R5

Resultat: Ersatzspannungsquelle, mit welcher nun Strom und Spannung in R3 berechnet werden kann

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Maschenstrom-Verfahren Î liefert Ströme in den Verbindungszweigen • Reale Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln • Baum bilden: - Ein zusammenhängender Linienzug, der alle Knoten erfasst, aber keinen geschlossenen Umlauf bildet (nicht zwingend ohne Stift abzusetzen) - gesuchte Ströme und ideale Stromquellen müssen in Verbindungszweigen (VZ) sein • Maschen legen: - pro Masche nur ein Verbindungszweig - Umlaufsinn gemäss Stromrichtung in VZ - ergibt so viele Maschen wie VZ • Widerstandsmatrix (linke Seite): - Hauptdiagonale: Summe der Widerstände der entsprechenden Masche - andere Elemente: Widerstände, die den entsprechenden Maschen gemeinsam sind + bei gleicher Maschenumlaufrichtung – bei entgegengesetzter Umlaufrichtung (beim jeweiligen Widerstand betrachtet) Î Symmetrie der Matrix zur Hauptdiagonalen • Spannungsmatrix (rechte Seite): - Quellenspannungen, die in der entsprechenden Masche erhalten sind + bei Spannungsrichtung entgegen Maschenumlaufsinn – bei Spannungsrichtung gleich Maschenumlaufsinn -1 • Berechnung: [I] = [R] * [U]

Beispiel: Baum (fett)

R6

R1

R2

M1

I1

I6

I4

R5 M6

Uq

R3 M4

R4

I1

I4

I6

M1

R1+R2+R5

R5

-R2

U 0

M4

R5

R3+R4+R5

R4

0

M6

-R2

R4

R2+R4+R6

+Uq

Knotenpotential-Verfahren Baum (fett)

Beispiel: Î liefert Spannung gegenüber dem Bezugsknoten • Reale Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln • Baum bilden: - Bezugsknoten wählen, Baum sternförmig vom Bezugsknoten aus - Ideale Spannungsquellen in Baumzweige legen • Alle Knoten („Sammelschienen“) nummerieren • Leitwertmatrix (linke Seite): - Hauptdiagonale: Summe der Leitwerte, die an den entsprechenden Knoten angrenzen - andere Elemente: Leitwerte der direkten VZ, die zwischen den beiden entsprechenden Knoten liegen - Vorzeichen immer negativ - 0, wenn keine direkte Verbindung oder nur ideale Stromquelle Î Symmetrie der Matrix zur Hauptdiagonalen • Strommatrix (rechte Seite): - Stromquellen am entsprechenden Knoten + wenn Strom dem Knoten zufliesst – wenn Strom vom Knoten wegfliesst -1 • Berechnung: [U] = [G] * [I]

K1 R6 Iq

K0 (Bezugsknoten)

R2

K2 R5 R3

R4

K3

K1 K2 K3

Formelbuch Elektrotechnik

R1

12.02.2004

U10

U20

U30

1 1 1 + + R1 R2 R6 1 − R2 1 − R6

1 − R2 1 1 1 + + R 2 R 4 R5 1 − R4

1 − R6 1 − R4 1 1 1 + + R3 R4 R6

I +Iq 0 -Iq

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Magnetismus Θ = Vm Φ = Θ ⋅ Gm

Ersatzschaltbild Φ

Analogie zum Stromkreis: Vm ≡ U Θ ≡ Uq Φ≡I Gm ≡ G

Θ

Für Eisen: Widerstand nicht linear!

r v DurchΘ = ∫ H ⋅ ds = ∑ I flutungss gesetz v r Vm = ∫ H • ds s r r Φ = ∫ B ⋅ dA A r r Φ = ∫ B ⋅ dA = 0 quellenfrei

[Θ] = A [Vm ] = A [Φ] = V ⋅ s [G m ] = H

Θ = magn. Durchflutung (Ursache; Quellenseite)

Gm

Vm

Vm = magn. Durchflutung (Verbraucherseite) Φ = magnetischer Fluss (Wirkung) Gm = magnetischer Leitwert

[Θ] = A [Vm ] = A

magn. Durchflutung Θ (Quellenseite)

Homogenes Feld:

Θ = H ⋅s

magn. Durchflutung Vm (Verbraucherseite)

= N ⋅I = ∑I

[Φ ] = V ⋅ s = Wb (Weber)

magn. Fluss Φ

Vm = H ⋅ s

I = Strom N = Windungszahl der Spule s = Länge des Feldraumes in Richtung von H

Φ = B⋅ A

A

[H ] = A m

r r H = dVm ds

Homogenes Feld:

H = Vm s

s = Länge des Feldraumes in Richtung der Feldstärke in m

r r B = dΦ dA

Homogenes Feld:

magn. Flussdichte B

B=Φ A

B = μ⋅H μ = μ0 ⋅ μr = 1, 2566 ⋅ 10

r r Φ ∫AB ⋅ dA Gm = = r r Vm ∫ H ⋅ ds

Vm =

B⋅s

μ

μ r Luft = μ r Vakuum = 1

Permeabilität μ

μ r Eisen ≈ 10 − 10

μ0 = magnetische Feldkonstante

5

Homogenes Feld:

Gm =

s

r μ ⋅s ⋅ ln a 2 ⋅π ri

−6

[B] = V ⋅ s

A = Fläche 90° zur Flussdichte in m

3

μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7

Gm =

magnetische Feldstärke H

Strom:

μ

2

2

magn. Leitwert Gm

2

[μ ] = [μ 0 ] = V ⋅ s A ⋅ m μ = 1 (c ⋅ ε ) 2

0

0

0

[μ r ] = 1 (einheitenlos)

[Gm ] = V ⋅ s

μ = Permeabilität

A=H

(Henry)

[μ ] = V ⋅ s

Koaxialkabel

A⋅ m

[G m ] = H

Gm = magnetischer Leitwert

Innen und aussen gleich gross, aber entgegengesetzt

-4

1 cm = 10 m

μr = relative Permeabilität

Φ B⋅ A μ ⋅ A = = Vm H ⋅ s s

m 2 = T (Tesla)

s = Länge des Leiters in m ri = Radius des Innenleiters ra = Radius der Abschirmung

Materie im Magnetfeld Paarweise geordnete Elektronen hindern das Magnetfeld Î kleinere Flussdichte im Material als aussen Elementarmagnete werden durch das Magnetfeld ausgerichtet Î grössere Flussdichte im Material als aussen Tritt nur in Materialien auf, wo die Elementarmagnete in Weiss’schen Bezirken gleich ausgerichtet sind Î mehrfach grössere Flussdichte im Material als aussen

Diamagnetismus

μr < 1

Paramagnetismus

μr > 1

Blei, Kupfer, Wasser, Supraleiter Aluminium, Platin, Tantal

Ferromagnetismus

μr >> 1

Eisen, Nickel, Kobalt

Gesetz von Biot-Savart

r r r H =v×D r Q (vr × rr ) H= 3 4 ⋅π ⋅ r

I ⋅ (cos α 1 − cos α 2 ) H= 4 ⋅π ⋅ r

Formelbuch Elektrotechnik

v = Geschwindigkeit der elektrischen Ladung in m/s r = Abstand zur Ladung in m D = dielektrische Flussdichte D = A ⋅ s m2 Q = elektrische Ladung Q =C

[ ]

α2

Feldstärke eines geraden Leiterabschnittes Der Leiter darf nicht aus einem ferromagnetischen Material sein! H = Feldstärke an einem Punkt neben dem Leiter

α1

[ ]

[H ] = A m

r = Abstand Leitermitte – Punktmitte (senkrecht) in m I = Strom durch den Leiter α = Winkel Punkt – Leiterabschnitt (auf der gleichen Seite!)

12.02.2004

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Felder verschiedener geometrischer Anordnungen Innerhalb:

Ausserhalb:

H=

I

H=

2 ⋅π ⋅ r

Ausserhalb: r ≥ ra

H=

Feldstärke eines unendlich langen Leiters

I ⋅r 2 2 ⋅ π ⋅ ra

I

Innerhalb: r ≤ ri

2 ⋅ π ⋅ ra

H =0

ra = Aussenradius des Leiters r = Radius des „Standpunktes“ P vom Leitermittelpunkt aus in m

Feldstärke eines unendlich langen Hohlleiters ra = Aussenradius des Leiters r = Radius des „Standpunktes“

Mitte: ri ≤ r ≤ ra

H=

I

r − r1 2

⋅

2 ⋅ π ⋅ r ra 2 − r1 2

I ⋅r2 H= 3 2 ⋅ (x2 + r 2 ) 2 Näherung:

Feldstärke einer Leiterschlaufe

Falls x = 0:

H=

H = Feldstärke an einem Punkt P oberhalb des Mittelpunktes der Leiterschlaufe

I 2⋅r

[H ] = A m

r = Radius der Leiterschlaufe in m x = Abstand P zum Kreismittelpunkt in m

Feldstärke einer Zylinderspule

Formel ist umso genauer, je länger und dünner die Spule ist

N ⋅I H= l H=

2

I = Spulenstrom N = Windungszahl l = Länge der Spule in m

N ⋅I N ⋅I = s 2 ⋅π ⋅ r

Feldlinien gehen innerhalb der Spule vom Süd- zum Nordpol

Feldstärke einer Ringspule (Torus) s = 2 π r = mittlerer Umfang des Torus in m I = Spulenstrom N = Windungszahl r = mittlerer Radius des Torus in m

Das Feld ist in der Spule „gefangen“

Magnetische Kreise

H L = BL μ 0 BE = Φ AE

VmL = H L ⋅ l L MK ⎯⎯→ ⎯ HE

Φ = BL ⋅ AL VmE = H E ⋅ l E

Θ = VmL + VmE1 + ... + VmEx

streuungsfrei

Φ L = BL ⋅ AL = Φ E = BE ⋅ AE BE

=

μ 0 ⋅ AL

AE ⋅ l L BL = BE ⋅ AE AL (HE )

⋅ (Θ − H E ⋅ l E )

Eisenquerschnitt überall gleich

geg: BL

ges:Θ = I * N

geg: Θ

ges: BL

Index L: Luftspalt Index E: Eisen 2 A = Querschnitt in m l = Länge in m

Analyse streuungsfrei;

* * BE und H E :

Î Scherungsgerade Î Arbeitspunkt im 1. Quadranten der Magnetisierungskurve

[B] = T [Θ] = A [Vm ] = A [Φ] = V ⋅ s [H ] = A m

B = Flussdichte Θ = Durchflutung

Scherungsgerade: Von BE* nach HE* Für HE = 0:

Synthese

Vm = Durchflutung

BE = μ 0 ⋅ AL AE ⋅ l L *

Φ = Fluss

H E = Θ lE AE = AL ⋅ cosα

H = Feldstärke

l L = s ⋅ cosα

Analyse bei schrägem Luftspalt:

Für BE = 0:

*

μ ⋅ (Θ − H E ⋅ l E ) BE ( H ) = 0 cosα ⋅ l L BL = BE ⋅ cosα

α

E

H L ⋅ lL = −H D ⋅ lD BL ⋅ AL = BD ⋅ AD BD ( H D )

A ⋅l = −H D ⋅ μ 0 ⋅ L D AD ⋅ l L

Formelbuch Elektrotechnik

AL = Fläche des Luftspaltes in m AE = Eisenquerschnitt ll = Luftspalt-Länge in m α = Öffnungswinkel

2

2

-4

1 cm = 10 m

2

Magnetischer Kreis mit Dauermagnet B D ( H ) Î Scherungsgerade Î Arbeitspunkt im 2. Quadranten

Annahme: Eisenjoch ideal; streuungsfrei

D

HL und HD sind einander entgegengesetzt gerichtet

der Magnetisierungskurve HD = magn. Feldstärke des Dauermagneten lD = Länge des Dauermagneten

12.02.2004

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Induktion Falls Leiter in Bewegung:

r r r Ei = v L × B

Falls Feld in Bewegung:

r r r Ei = B × v F

Die Induktivität ist die Fähigkeit, mit einem bestimmten Strom I einen gewissen magnetischen Fluss Φ zu erzeugen.

r

Pluspol dort, wo E hinzeigt

Ei = B ⋅ v ⋅ sin α r u q = ∫ E i ⋅ ds

B

+ V

s

l

-

uq = B ⋅ v ⋅ l

I v

Bewegungsinduktion (Generator)

Bedingung: r Der Leiter liegt auf Ei

B = Magnetisches Feld Lenzsche Regel: Der durch die Induktionsspannung hervorgerufene Strom ist so gerichtet, dass er der Ursache der Induktion entgegenwirkt.

Rechte Hand-Regel (Generatorregel) Bei einem Leiter:

r r dΦ ui = ∫ Ei ⋅ ds = − s dt

VF = Bewegungsgeschwindigkeit des Feldes in m/s VL = Bewegungsgeschwindigkeit des Leiters uq = Quellenspannung l = Länge des Leiters in m α = Winkel zwischen B und v

Bei mehreren Leitern: Induktionsg esetz

ui =

N ⋅ dΦ dt

Leiterschleife im Eisenjoch-Luftspalt:

Ui =

[E ] = V m [B ] = T

Ei = Induziertes Feld

dΦ dB ⋅ A dB ⋅ b ⋅ s = = dt dt dt

Ruheinduktion (Transformator) Ei = Induziertes Feld ui = Induzierte Spannung N = Windungszahl dΦ = magnetische Flussänderung

[Φ] = V ⋅ s [B ] = T

∆B = magnetische Flussdichtenänderung

Nur die von der Leiterschleife eingeschlossene und von B durchflutete Fläche zählt!

dt = Zeitänderung in s

Selbstinduktion Für nicht konstantes μ:

di uL = L ⋅ dt

Ld = N ⋅ 2

μd ⋅ A s

mit

dB μd = dH

uL = Induzierte Spannung an Spule L = Induktivität

[L] = V ⋅ s

Ld = Differentielle Induktivität μd = Differentielle relative Permeabilität (Steigung der Magnetisierungskurve)

Für konstantes μ:

L = N 2 ⋅ Gm L = N2 ⋅μ ⋅ A s N ⋅Φ N ⋅ B⋅ A L= = I I

Selbstinduktion

μ ⋅d2

[Gm ] = H

Selbstinduktivität einer langen Zylinderspule

L=N ⋅ 2

4⋅ D

Bedingung: μ konstant !

L = L1 + L2 + L3 + ... + Ln 1 1 1 1 1 = + + + ... + L L1 L2 L3 Ln

A⋅ m

N = Windungszahl der Spule

Selbstinduktivität einer Kreisringspule

L=N ⋅

[μ d ] = V ⋅ s

s = Länge der Feldlinien in m 2 A = Querschnittsfläche der Spule in m Gm = magnetischer Leitwert des Feldraumes

Vereinfachungen: - RCu = 0 - Magnetfeld homogen

2

A = H (Henry)

μ ⋅π ⋅ d 2 4⋅s

Bedingung: μ konstant !

Serieschaltung von Induktivitäten Parallelschaltung von Induktivitäten

Gegeninduktion

Ψ Φ ⋅N L21 = 21 2 = m 21 I1 I1 Ψ Φ ⋅N L12 = 12 1 = m12 I2 I2 Formelbuch Elektrotechnik

L21 = L12

Gegeninduktivität zweier Induktivitäten

[L ] = H

L12 = Gegeninduktivität zwischen L1 und L2

L12 > 0:

Φ12 = Fluss durch Spule 1 verursacht durch Spule 2, wenn Spule 1 ausgeschaltet

L12 < 0:

L12 > 0: Gleichsinnige Kopplung (Induktivitäten unterstützen sich) L12 < 0: Gegensinnige Kopplung (z.B. Trafo) Ψ = verketteter Fluss Ψ = Φ⋅N = L⋅I Ψ =V ⋅s

[Φ] = V ⋅ s

[ ]

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L21 = L12 = N1 ⋅ N 2 ⋅ Gm L21 = L12 = L1 ⋅ L2

L21 = L12 = N1 ⋅ N 2 ⋅ Gm ⋅ k L21 = L12 = L1 ⋅ L2 ⋅ k

u1 = i1 ⋅ R1 + L1 ⋅

di1 dt

u 2 = i2 ⋅ R2 + L21 ⋅

+ L12 ⋅

di1 dt

(= di1

LE = L1 + L2 + 2 ⋅ L12

dt )

Gegeninduktivität eines Trafos

[Gm ] = H

Gm = Magnetischer Leitwert des Feldraumes k = Kopplungsfaktor

real

di2 dt

+ L2 ⋅

Wenn i2 = 0 und R1 vernachlässigt:

u1 L1 = u 2 L12

- Gm konstant - kein Streufluss

ideal:

k≤1

R= Kupferwiderstand Index 1: Primärseite Index 2: Sekundärseite L12 = Gegeninduktion

di2 dt Wenn k = 1:

u1 u 2 = N1 N 2

Gleichsinnige Kopplung: L12 > 0 Gegensinnige Kopplung: L12 < 0

Serieschaltung von gekoppelten Spulen

[L ] = H

LE = Ersatzinduktivität

Energie und Leistung im Magnetfeld

L⋅I2 Wm = L ⋅ ∫ i ⋅ di = 0 2 I

Hängt nicht von μ ab!

Bei konstantem μ:

wm =

Wm = in der Spule gespeicherte Energie

[Wm ] = W ⋅ s = J (Joule)

Energiedichte

dWm H ⋅ B μ ⋅ H 2 B2 = = = 2 2 2⋅μ dV

[wm ] = W ⋅3 s m [H ] = A m [B ] = T

wm = Energiedichte in der Spule H = magnetische Feldstärke

Bei nicht konstantem μ: B

wm = ∫ H ⋅ dB

Energie

B = magnetische Flussdichte

Î Fläche der Magnetisierungskurve

0

pm =

dWm Θ ⋅ dΦ = dt dt

Leistung

pm = pel

[ p] = W

Pm = magnetische Leistung Pel = elektrische Leistung

Kräfte im Magnetfeld

(

)

r r r F = Q⋅ v ×B F = Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α

(

Q a F

)

r r r F = I ⋅ l ×B F = I ⋅ l ⋅ B ⋅ sin α

Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld Q = Ladung [Q ] = A ⋅ s = C (Coulomb)

B

B = magn. Flussdichte 2 v = Geschwindigkeit der Ladung in m/s α = Winkel zwischen Geschwindigkeit und Feld

v

Kraft auf einen Leiter

B a

F

I

I = Strom durch Leiter l = Länge des Leiters α = Winkel zwischen Leiter und Feld Linke Hand-Regel (Motorregel)

μ ⋅l FA = FB = 0 ⋅ I A ⋅ I B 2π ⋅ a H L ⋅ BL ⋅ A μ0 ⋅ H L ⋅ A = 2 2 2 B ⋅A H ⋅Φ F= L = L 2 ⋅ μ0 2 F=

Formelbuch Elektrotechnik

Kraft zwischen zwei parallelen Leitern IA = Strom durch Leiter A IB = Strom durch Leiter B a = Abstand der Leiter l = gemeinsame Leiterlänge

Kraft auf Polflächen HL = Feldstärke in der Luft BL = Flussdichte in der Luft Φ = magnetischer Fluss A = Fläche der Pole in m

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2

Leiter mit gleicher Stromrichtung ziehen sich an. Leiter mit entgegengesetzter Stromrichtung stossen sich ab.

[F ] = kg ⋅ m

s2 = N

[H ] = A m [B ] = T [Φ] = V ⋅ s

Seite 11 von 19

Wechselstromlehre Mittelwerte periodischer Grössen t +T

u=

1 1 ⋅ u ⋅ dt T ∫t1

1 U= T

t1 + T

∫u

2

Gleichwert

Reine Wechselgrösse:

⋅ dt

t1

Arithmetischer Mittelwert Chemische Wirkung

u

u =0

t1 = Anfangszeitpunkt T = Dauer des betrachteten Abschnittes

Root Mean Square (RMS): Zuerst Signal quadrieren, dann den arithmetischen Mittelwert bilden, dann die Wurzel ziehen

Effektivwert U / Ueff

Quadratischer Mittelwert

Eine Gleichspannung der Grösse U würde in einem ohmschen Widerstand dieselbe Energie in Wärme umsetzen wie die Wechselspannung mit dem Effektivwert Ueff.

Periodische Funktion mit verschieden Abschnitten:

(U

U=

2 1

)

Effektivwert eines Sinussignals

uˆ 2

U=

U = Effektivwert der gesamten Funktion U1 = Effektivwert des 1. Abschnittes mit der Zeitdauer ∆t1

⋅ Δt1 + U 22 ⋅ Δt 2 + ... ⋅ 1 T

Effektivwert eines Dreiecksignals

U=

û = Amplitude

uˆ 3

Bedingung: positive = |negative| Spitze Die Signalform ist egal

AC-Anteil

2 U = U DC + U eff2

1 u = T

AC

t1 +T

∫ u ⋅ dt t1

U = uˆ

Bedingung: positive = |negative| Spitze Das Tastverhältnis ist egal

Effektivwert von Mischgrössen

U = U 02 + U12 + U 22 + ....... + U n2 DC-Anteil

Effektivwert eines Rechtecks

U0 = Gleichanteil U1 = Grundschwingung (1. Oberwelle) U2 = 2. Oberwelle

Geometrische Summe der überlagerten Gleichspannung und des reinen AC-Effektivwertes

UDC = Gleichspannungsanteil (konstant) Ueff AC = Effektivwert des Wechselspannungsanteil

Zuerst Signal gleichrichten, dann den arithmetischen Mittelwert bilden

Gleichrichtwert u

Scheitelwert iˆ uˆ = = Effektivwert I U Effektivwert I U = = F= Gleichrichtwert i u

ks =

Arithmetischer Mittelwert des Betrags

Verhältniszahlen ks = Scheitelfaktor F = Formfaktor

[k s ] = 1 [F ] = 1

Sinusförmige Grössen

u = uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕu ) oder u = uˆ ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕu ) ω = 2π ⋅ f ω = 2π T f =1 T u =0 ks = 2

U = uˆ

F=

Formelbuch Elektrotechnik

u = uˆ ⋅ 2 π

2

π 2⋅ 2

= 1.111

u = Momentanwert û = Amplitude ωt+φu = Phasenwinkel φu = Nullphasenwinkel im Bogenmass ω = Kreisfrequenz f = Frequenz

[ω ] = s −1 (nicht Hertz!) [ f ] = s −1 = Hz (Hertz)

T = Periodendauer in s u = Gleichwert / arithmetischer Mittelwert U = Effektivwert

u = Gleichrichtwert ks = Scheitelfaktor F = Formfaktor

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Netzwerkelemente Widerstand R

u R = R ⋅ iR

Allgemein gültig, unabhängig von der Signalform

IR = Strom durch den Widerstand uR =Spannung über dem Widerstand

Kapazität C

du C dt ⎛1 ⎞ uC = ⎜ ⋅ ∫ iC ⋅ dt ⎟ + U C (0) ⎝C ⎠ di uL = L ⋅ L dt ⎞ ⎛1 iL = ⎜ ⋅ ∫ u L ⋅ dt ⎟ + I L (0) ⎠ ⎝L

iC = C ⋅

ic = Strom durch die Kapazität uc = Spannung über der Kapazität Uc(0) = Anfangsspannung Der Strom eilt der Spannung um 90° vor (gilt nur bei sinusförmigen Signalen)

Induktivität L iL = Strom durch die Induktivität uL = Spannung über der Induktivität Ic(0) = Anfangsstrom Der Strom eilt der Spannung um 90° nach (gilt nur bei sinusförmigen Signalen) φZ = Phasenwinkel der Impedanz φY = Phasenwinkel der Admittanz φU = Phasenwinkel der Spannung φI = Phasenwinkel des Stromes

ϕ Z = ϕu − ϕi ϕY = ϕ i − ϕ u Analyse im Zeitbereich

gilt nur für sinusförmige Grössen!

u

u

i

u

i

i

I = U (ω ⋅ L ) ϕi = ϕu − π 2

I = ω ⋅ C ⋅U ϕi = ϕu + π 2

I =U R ϕi = ϕu ZR = R

YR = G

ϕZ = 0

ϕY = 0

ZC = X C 1 ZC = ω ⋅C ϕZ = − π 2

YC = BC YC = ω ⋅ C

ZL = X L ZL = ω ⋅ L

ϕY = + π 2

ϕZ = + π 2

YL = BL 1 YL = ω⋅L ϕY = − π 2

Z = R2 + X 2

tan ϕ Z = X R

Serieschaltung von Wirk- und Blindwiderstand

Y = G2 + B2

tan ϕY = B G

Parallelschaltung von Wirk- und Blindwiderstand

Leistung / Energie

S =U ⋅I

Leistung

P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ Z

S = Scheinleistung P = Wirkleistung

Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ Z S = P +Q 2

Q = Blindleistung

ωz

2

λ = cos φZ = Wirkleistungsfaktor sin φZ = Blindleistungsfaktor φZ = Phasenwinkel der Impedanz

λ = P S = cos ϕ Z Tp

WTp =

∫

p(t ) ⋅ dt

0

p(t ) = u (t ) ⋅ i (t )

Formelbuch Elektrotechnik

P=

WTp Tp

1 = Tp

Tp

∫ u(t ) ⋅ i(t ) ⋅ dt 0

Gilt unabhängig von der Signalform

Energie / Wirkleistung WTp = Energie P = Wirkleistung TP = Periodendauer der Leistung

12.02.2004

[S ] = VA [P ] = W [Q ] = var

[W ] = W ⋅ s = J [P ] = W [T ] = s

Seite 13 von 19

Analyse im Frequenzbereich j ⋅ϕ u

U =U ⋅e

I = I ⋅ e j⋅ϕi

gilt nur für sinusförmige Grössen!

U = U∠ϕu

Komplexe Spannung U

I = I∠ϕ i

Komplexer Strom

Z = Re( Z ) + Im(Z ) = R + jX

I

Komplexe Impedanz Z R = Wirkwiderstand

Y = 1 Z = Re(Y ) + Im(Y ) = G + jB

Komplexe Admittanz Y

X = Blindwiderstand / Reaktanz

Im(Y ) B = Re(Y ) G

tan ϕY =

Z C = X C = jX C YR =G

ϕY = 0

Im

j ⋅ω ⋅C 1 XC = − ω ⋅C ϕ Z = −π / 2 Im

Re

i

Y C = B C = jBC

Z L = X L = jX L

Y L = B L = jBL

B C = jω ⋅ C

X L = jω ⋅ L

BL =

BC = ω ⋅ C

XL =ω⋅L

ϕY = π / 2

ϕZ = π / 2

Im

Re

YR

ZR

1

XC =

Im Re

[B ] = S

u

i

ϕZ = 0

(Siemens)

B = 1/X = Blindleitwert

i

YR = G

[G ] = S

G = 1/R = Wirkleitwert

u

ZR = R

[Y ] = 1 Ω = S

Y = 1/Z = Scheinleitwert / Admittanz

ϕY = −ϕ Z

u

ZR = R

[Z ] = Ω [R] = Ω [X ] = Ω

Z = Scheinwiderstand / Impedanz

Im(Z ) X tan ϕ Z = = Re( Z ) R

ZC

j ⋅ω ⋅ L 1 BL = − ω⋅L ϕY = −π / 2

Im

YC

ZL

Re

1

Im Re

Re

YC

Anwendungen

Z = Z 1 + Z 2 + .. = (R1 + R2 + ..) + j ⋅ ( X 1 + X 2 + ..) Y = Y 1 + Y 2 + .. = (G1 + G2 + ..) + j ⋅ (B1 + B2 + ..) G RS = P2 Y Î

BP

XS = − GP =

Y

2

Z

BP = −

Î 2

Umwandlung Parallelschaltung Î Serieschaltung

[R] = Ω [X ] = Ω [Y ] = S

RS = 1/Gp = Wirkwiderstand der Serieschaltung Y = 1/Z = Admittanz der ganzen Schaltung

Umwandlung Serieschaltung Î Parallelschaltung

[G ] = S [B ] = S [Z ] = Ω

Gp = 1/ RS = Wirkwiderstand der Serieschaltung

XS Z

Parallelschaltung von Admittanzen

XS = 1/Bp = Blindwiderstand der Serieschaltung Gilt nur bei gleicher Frequenz!

RS 2

Serieschaltung von Impedanzen

Bp = 1/ XS = Blindwiderstand der Serieschaltung Gilt nur bei gleicher Frequenz!

Z = 1/ Y = Impedanz der ganzen Schaltung

Für 2 serielle Impedanzen:

Z Um =U ⋅ m ∑Z

U2 =U ⋅

Z2 Z1 + Z 2

Z1

U1 Z1 = U2 Z2

U1

Spannungsteiler Gilt nicht bei Belastung!

Z2

U2

Für 2 parallele Admittanzen:

Im = I ⋅

Ym ∑Y

Formelbuch Elektrotechnik

I2 = I ⋅

Y2 Y1 + Y 2

I

I1

I2

Y1

Y2

Stromteiler

I1 I 2 = Y1 Y 2 12.02.2004

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Phasenbedingungen

Im( A B ) = 0 Re( A B ) > 0

Im(B A) = 0 Re(B A) > 0

und und

Re( A B ) = 0 Im( A B ) > 0 A B = Re+ j Im

Re(B A) = 0 Im(B A) < 0 B A = Re+ j Im

und und oder

tan ϕ = Im Re Re = Im

tan(−ϕ ) = Im Re

Keine Phasenverschiebung zwischen A und B Î A und B sind in Phase φA = φA Î φAB = 0 A und B können Spannungen und / oder Ströme sein

Phasenverschiebung von 90° zwischen A und B Î A eilt B um 90° vor

Beliebige Phasenverschiebung zw. A und B Î A eilt B vor

Komplexe Leistung

S = P + jQ = S ∠ ϕ Z

Komplexe Scheinleistung S

S = P2 + Q2 S =U ⋅I

I = konjugiert komplexer Strom

ωz

φZ = Phasenwinkel der Impedanz

*

S =U2 Z

[S ] = VA

*

S = U 2 ⋅Y S = I2 Y

*

S = I2 ⋅Z

U= Betrag der komplexen Spannung (Effektivwert!) I = Betrag des komplexen Stromes (Effektivwert!)

*

* Z = konjugiert komplexe Impedanz

* Y = konjugiert komplexe Admittanz

P = U ⋅ Re (I )

[Q ] = var

Q = Blindleistung

Falls U die Quellenspannung ist (die Phasenlage vorgibt):

Q = U ⋅ Im (I )

Q > 0: Induktives Verhalten Q < 0. Kapazitives Verhalten

Gilt nur für sinusförmige Grössen!

Spezialfall: 45° Phasenverschiebung

Leistungsanpassung

I= PL =

Uq Zi + ZL

Zi UqUq

U q2 ⋅ RL

ZL I

PL = Leistung an der Last Zi = Innenimpedanz der Quelle ZL = Impedanz der Last Uq = Leerlaufspannung der Quelle

( Ri + RL ) 2 + ( X i + X L ) 2

Anpassungsbedingung:

ZL = Z

* i

Anpassungsbedingung:

RL = Z i

PL = PL ≠

U q2 4 ⋅ RL

U q2 4 ⋅ RL

=

I q2

η = 0.5

4 ⋅ GL

Maximale Leistung am Verbraucher η = Wirkungsgrad

Anpassung mit rein ohmsche Last

!!!

Blindstromkompensation

QC = − P(tan ϕ1 − tan ϕ 2 ) QC = P(tan ϕ1 − tan ϕ 2 )

QC =

Uq

2

XC

C=

QC Uq ⋅ω 2

ω1

ω2

S1 = Scheinleistung von der Kompensation S2 = Scheinleistung nach der Kompensation QL = Zu kompensierende Blindleistung (induktiv) QC = Kompensations-Blindleistung (kapazitiv) φ1 = Phasenlage vor Kompensation φ2 = Phasenlage nach Kompensation C = Kompensations-Kapazität

[C ] = F

ω = Kreisfrequenz der Schaltung

ω=2πf

Frequenzgang

H (ω ) =

)| (ϖ |H

U2 U1

H (ω ) =

U2 U1

Frequenzgang H (ω ) U1 = komplexe Eingangsspannung U2 = komplexe Ausgangsspannung

ω Logarithmisch:

H (ω ) = 20 ⋅ log(U 2 U1 ) in dB

ϕ (ω ) = (ϕ 2 − ϕ1 ) ϕ (ω ) = arctan(Im(H ) Re( H ) )

Formelbuch Elektrotechnik

H(ϖ)

Amplitudengang H (ω ) U1 = Betrag der komplexen Eingangsspannung U2 = Betrag der komplexen Ausgangsspannung

Phasengang

ϕ (ω )

φ1 = Winkel der komplexen Eingangsspannung φ2 = Winkel der komplexen Ausgangsspannung

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Tiefpass Phasengang

Amplitudengang

H (ω ) =

ϕ (ω ) = − arctan(ω ωC )

1

U2 eilt nach

1 + (ω ωC )

2

ϖ =:

ϖ=0

ϖc

Durchlassbereich: ω < ωC Übergang: ω = ωC Sperrbereich: ω > ωC ωC = Grenzfrequenz bei H(ω) = -3dB = 1/√2

RC-Tiefpass

RL-Tiefpass

1

H (ω ) =

1+ j ⋅ω ⋅ R ⋅C 1 H (ω ) = 2 1 + (ω ⋅ R ⋅ C )

R U1

C

U2

1 R ⋅C

1+ j ⋅ω ⋅ L R 1 H (ω ) = 2 1 + (ω ⋅ L R )

L U1

U2

R

ϕ (ω ) = − arctan(ω ⋅ L R )

ϕ (ω ) = − arctan(ω ⋅ R ⋅ C ) ωc =

1

H (ω ) =

ωc =

Xc = R

dabei gilt :

R L

XL = R

dabei gilt :

Hochpass Phasengang

Amplitudengang

H (ω ) =

ϕ (ω ) = arctan(ωC ω )

1

U2 eilt vor

1 + (ωC ω )

2

ϖc

ϖ=0

ϖ =:

Durchlassbereich: ω > ωC Übergang: ω = ωC Sperrbereich: ω < ωC ωC = Grenzfrequenz bei H(ω) = -3dB = 1/√2

RC-Hochpass

RL-Hochpass

1

H (ω ) = 1−

H (ω ) =

j ω ⋅ R ⋅C 1

1− j ⋅ U1 2

1 ⎛ ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ω ⋅ R ⋅C ⎠ 1 ⎛ ⎞ ϕ (ω ) = arctan⎜ ⎟ ⎝ω ⋅ R ⋅C ⎠ 1 ωc = dabei gilt : X c = R R ⋅C

Formelbuch Elektrotechnik

1

H (ω ) = C

R

U2

H (ω ) =

R ω⋅L 1

R U1

L

U2

2

⎛ R ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ω⋅L ⎠ ⎛ R ⎞ ϕ (ω ) = arctan⎜ ⎟ ⎝ω ⋅ L ⎠ R ωc = dabei gilt : X L = R L

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Schwingkreise R L

R

Serieschwingkreis

C

1 ⎞ ⎛ Y = G + j⎜ ω ⋅ C − ⎟ ω⋅L⎠ ⎝

-3 d

B

ϖco

=

2

1 ⎞ ⎛ Y = G 2 + ⎜ω ⋅ C − ⎟ ω⋅L⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ ⎜ ω ⋅C − ⎟ ω⋅L ⎟ ϕY = arctan⎜ R ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

R

*√

2

induktiv

Z(ϖo) = R 45°

ϖo kapazitiv

R *√ 2

1 ⎞ ⎛ Z = R2 + ⎜ω ⋅ L − ⎟ ω ⋅C ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ ⎜ω ⋅L − ⎟ ω ⋅C ⎟ ϕ Z = arctan⎜ R ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

ϖcu

Z(ϖ)

L

Parallelschwingkreis

ϖ =:

1 ⎞ ⎛ Z = R + j⎜ ω ⋅ L − ⎟ ω ⋅C ⎠ ⎝

C

ϖ=0

2

Im(Z ) = Im(Y ) = 0 → Z = R 1 ω0 = L ⋅C

Q=

1 L X0 ⋅ = R C R

Q=

Resonanzfall Resonanzfrequenz ωo

1 C B0 ⋅ = G L G

ϖo * L = X0

X0 =

L C

R

ϖo

1/(ϖo * C) = -X0

ωC

o ,u

Kennwiderstand X0

C L

B0 =

(Blindkomponente bei Resonanz)

2 ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ 1 ⎟⎟ + 1 ⎟⎟ = ω0 ⎜ ± + ⎜⎜ ⎜ 2Q ⎟ ⎝ 2Q ⎠ ⎝ ⎠ ω0 = ωCo ⋅ ωCu

Untere Grenzfr. Obere Grenzfr.

b

ω0

=

ωC ωC

u

o

(bei 45° oder -3dB)

b = ωCo − ωCu = ω0 Q d=

[Q] = 1

Güte Q

Bandbreite b

1 Q

relative Bandbreite d = Verlustfaktor

v = ω ω0 − ω0 ω = Ω − 1 Ω

Ω = ω ω0

vCo , u = ± 1 Q = ± d

Verstimmung v 45°- Verstimm. vCo ,u

Frequenzabhängigkeit von I und U Seriekreis an idealer Spannungsquelle

1

I (Ω) = I 0 ⋅

1 + Q ⋅ (Ω − 1 Ω) 2

I0 = U q R

U L (Ω) =

U C (Ω) =

Ω = ω ω0

2

(bezogene Grösse)

I Co , u = I 0

U R (Ω) = U q ⋅

Parallelkreis an idealer Stromquelle

1 + Q ⋅ (Ω −1 Ω)

Uq ⋅ Q ⋅ Ω 1 + Q2 ⋅ (Ω − 1 Ω) 2

Uq ⋅ Q Ω ⋅ 1 + Q2 ⋅ (Ω − 1 Ω) 2

Formelbuch Elektrotechnik

1 + Q ⋅ (Ω − 1 Ω) 2 2

U Co ,u = U 0

2

1 2

1

U ( Ω) = U 0 ⋅

1

I G (Ω ) = I q ⋅

2

Ω Lmax =

1 1 1− 2 ⋅ Q2

Ω Cmax = 1 −

1 2 ⋅Q2

Ω C max =

1 + Q ⋅ (Ω − 1 Ω) 2 2

1 1 1− 2⋅Q 2

Ω Lmax = 1 −

1 2 ⋅ Q2

Ein Maximum tritt nur auf, wenn Q ≥ 1/√2 12.02.2004

U0 = Iq G

2

I C (Ω ) =

U L (Ω) =

Iq ⋅ Q ⋅ Ω 1 + Q 2 ⋅ (Ω − 1 Ω ) 2 Iq ⋅ Q Ω ⋅ 1+ Q2 ⋅ (Ω −1 Ω)2 Seite 17 von 19

Drehstrom Sternschaltung L2

U 1N = U S ∠0°

U 12 = 3 ⋅ U S ∠30°

U 2 N = U S ∠ − 120°

U 23 = 3 ⋅ U S ∠ − 90°

U 3 N = U S ∠120°

U 31 = 3 ⋅ U S ∠150°

US = Stern-/ Strangspannung US = U1N = U2N = U3N US = UΔ / √3 N

L1

UΔ = Aussenleiterspannung UΔ = U12 = U23 = U31 UΔ = US • √3 L3

Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z = Z ∠ϕ I N = I1 + I 2 + I 3 = 0

L1

Symmetrische Belastung

S = P + jQ = 3 ⋅ U S ⋅ I S ∠ϕ

(N)

L2

P = 3 ⋅ U S ⋅ I S ⋅ cos ϕ Q = 3 ⋅ U S ⋅ I S ⋅ sin ϕ

S = U 13 ⋅ I 1 + U 23 ⋅ I 2

U 2 K = U 2 N − U KN

S = U 12 ⋅ I 1 + U 32 ⋅ I 3

U 3 K = U 3 N − U KN

S = U 21 ⋅ I 2 + U 31 ⋅ I

*

*

*

*

* 3

Y 1 ⋅ U 1N + Y 2 ⋅ U 2 N + Y 3 ⋅ U 3 N Y1 + Y 2 + Y 3

I N = I1 + I 2 + I 3 ≠ 0

S = U 1N ⋅ I 1 + U 2 N ⋅ I 2 + U 3 N ⋅ I 3 *

U KN =

*

Aronschaltung

L3

U 1K = U 1N − U KN

U KN =

IS = Stern-/ Strangstrom = I1 = I2 = I3 φ = Phasenwinkel der Impedanz (Phasenverschiebung zwischen U und I) IN = Neutralleiterstrom

*

*

Y 1 ⋅ U 1N + Y 2 ⋅ U 2 N + Y 3 ⋅ U 3 N Y1 + Y 2 + Y 3 + Y N

L2

Unsymmetrische Belastung im Dreileitersystem

L1

N K L3

ohne Impedanz im Neutralleiter

mit einer Admittanz (YN) im Neutralleiter (Bild)

L1

Unsymmetrische Belastung im Vierleitersystem

L2

K

L3 N

Dreieckschaltung L1

U 12 = U Δ ∠30° U 23 = U Δ ∠ − 90°

UΔ = Aussenleiter-/ Dreieckspannung (Betrag!)= U12 = U23= U31

U 31 = U Δ ∠150°

L2 L3

I = 3 ⋅ IΔ

S = 3 ⋅ U Δ ⋅ I Δ ∠ϕ

Symmetrische Belastung

S = 3 ⋅ U Δ ⋅ I∠ϕ

IΔ = Dreieck-/ Strangstrom = I12 = I23 = I31 I = Aussenleiterstrom

S = U 13 ⋅ I 1 + U 23 ⋅ I 2 *

*

S = U 12 ⋅ I 1 + U 32 ⋅ I 3 *

S = U 21 ⋅ I 2 + U 31 ⋅ I *

*

* 3

Aronschaltung

L1

Unsymmetrische Belastung

L2 L3

Ptot = P2 + P3 Siehe Kapitel Gleichstromlehre jedoch alles komplex rechnen Ausnahme: Umwandlung funktioniert nicht, wenn Neutralleiter angeschlossen und Strom führt

Formelbuch Elektrotechnik

Stern-Dreieck-Umwandlung

12.02.2004

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Ausgleichsvorgänge Zustandsgrössen Grösse, die den Inhalt den Energiespeichers bestimmt und nicht sprunghaft ändern kann

Zustandsgrösse der Kapazität: uC

iC = C ⋅

du C dt

Zustandsgrösse der Induktivität: iL

uL = L ⋅

di L dt

Lösungsstrategie für Ausgleichsvorgänge mit einem Speicher Bei t = 0 schliesst der Schalter, zuvor ist der Zustand stationär Beispiel Einschränkung: Im Netzwerk befinden sich nur Gleichspannungs-/ Gleichstromquellen.

Vorgehen

uL RL Uq

1. Analyse Welches ist die Zustandsgrösse? 2. Zustand vor Schaltzeitpunkt: t = 03. Zustand nach dem Ausgleichsvorgang: t = ∞ Schaltung ist wieder stationär (in der Praxis: t ≥ 5τ) 4. Zustand unmittelbar nach dem Schalten: t = 0+ Die Zustandsgrösse ist gleich wie bei t =0-

t =0

L RP

iL

DC

Zustandgrösse: iL

Uq

i L (0 − ) =

Zustand ist wieder stationär: (Schalter geschlossen)

i L (∞ ) =

(Schalter geschlossen)

u L (0 + ) = U q − u R L = U q − R L ⋅ i L (0 + ) = 8 V

RL + RP

Uq

τ = L⋅

τ= •

Koeffizient der Ableitung Koeffizient der Stammfunktion

Aus der Anfangssteigung der Zustandsgrösse bei t = 0+ : ¾ für die Kapazität:

τ =C⋅

-t/τ

mA

uL(t) = Endwert + (Startwert – Endwert) • e =8•e

-t/τ

•

= 12+(4 – 12) • e

-t/τ

= 0+(8 – 0) • e

i L (∞ ) − i L (0 + ) u l (0 + )

= 2.4 ⋅

τ = L RL

oder

(12 − 4) ⋅10 −3 8

-t/τ

= 2.4 / 10 −3

= 2.4 ms

= 2.4 ms

iL(t) in mA 12

u C (∞) − u C (0 + ) i C (0 + )

i L (∞ ) − i L (0 + ) u l (0 + )

-t/τ

V

iL(t) = 12+8 • e

¾ für die Induktivität:

τ = L⋅

u L (∞ ) = 0

i L (0 + ) = i L (0 − ) = 4 mA

6. Bestimmung der Zeitkonstanten τ

= 12+8 • e

-t/τ

= 4 mA

= 12 mA

RL

iL(t) = Endwert + (Startwert – Endwert) • e

Aus der DGL:

u L (0 − ) = 0 (di L dt = 0)

Zustand ist noch stationär: (Schalter offen)

5. math. Beschreibung des Ausgleichsvorgang Lösung der DGL: -t/τ abklingende e-Funktion Î y(t) = K • e y(t) = eingeschwungener + flüchtiger Vorgang -t/τ y(t) = Endwert + (Startwert – Endwert) • e

•

Geg: Uq = 12 VDC RL = 1 kΩ RP = 2 kΩ L = 2.4 H Ges: Verlauf von iL und uL

-t/τ

mA

t in ms

0 0

2.4

4.8

7.2

9.6

12

aus den Formeln ¾ für die Kapazität: τ = R ⋅ C ¾ für die Induktivität: τ = L R Bestimmung von R: Betrachten des Netzwerks von der Kapazität / Induktivität aus (entspricht U-/ I-Quelle). Berechnung von R, indem die anderen U-Quellen des Netzwerks kurzgeschlossen und I-Quellen unterbrochen werden.

Formelbuch Elektrotechnik

uL(t) in V

8

uL(t) = 8 • e

-t/τ

Vs

t in ms 0 0

2.4

12.02.2004

4.8

7.2

9.6

12

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