Fondamenti di telecomunicazioni 8873038514, 9788873038511 [PDF]

Zitiervorschau

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I

IDEE&STRUMENTI

Fondamenti ditelecomunicazion Leon W. Couch Il

- ---

- -- --- -

SOMMARIO

PRESENTAZIONE

DELL'EDIZIONE

ITALIANA

xv

PREFAZIONE CAPITOLO 1

xvii

- INTRODUZIONE

1

1-1 1-2

Cenni storici

3

1-3

Segnali determinati e aleatori

1-4

Contenuto del libro

1-5

Usare MATLAB su di un PC

1-6

Architettura di un sistema di comunicazione

Sorgenti d'informazione; sistemi digitali e analogici 5

6 6 7

4

-

iv

Sommario

1-7

Allocazione frequenziale 9

1-8

Propagazione delle onde elettromagnetiche

1-9

La misura dell'informazione

lO

15

1-10 La capacità di canale e i sistemi di comunicazione ideali 1-11

Codifica a protezione d'errore 18 Codici a blocco, 20 Codici convoluzionali, 20 Interlacciamento, 24 Prestazioni dei codici, Modulazio'li'con codici a traliccio, 27

1-12

Anteprima

1-13

Esercizi di approfondimento 28

17

28

Esercizi proposti 29 CAPITOLO 2 2-1

- SEGNALI

E SPETTRI

Proprietà dei segnali e del rumore

33 33

Forme d'onda fisicamente realizzabili, 34 Operatore di media temporale, 34 Valore medio, 36 Potenza, 37 Valore efficace e potenza normalizzata, 39 Segnali a energiafinita e a potenza finita, 40 Il deciBel, 40 Fasori, 42 2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale 43 Definizione della trasformata di Fourier 43 Proprietà delle trasformate di Fourier 46 47 Teorema di Parseval e densità spettrale di energia Funzione delta di Dirac efunzione gradino unitario 50 Impulsi rettangolare e triangolare 53 Convoluzione 58

2-3

Densità spettrale di potenza e funzione di autocorrelazione Densitàspettraledi potenza, 61 Funzionedi autocorrelazione,63

2-4

Rappresentazione su base ortogonale dei segnali e del rumore Funzioni ortogonali, 65 Sviluppo su base ortogonale, 66

2-5

Serie di Fourier 68 Serie di Fourier informa complessa, 68 Serie di Fourier informa rettangolare, 70 Serie di Fourier informa polare, 71

61

65

Sommario

v

Spettro a righe di un segnale periodico, 72 Densità spettrale di potenza per segnali periodici, 77 2-6

Richiami sui sistemi lineari 78 Sistemi lineari stazionari, 78 Risposta impulsiva, 79 Risposta in frequenza, 79 Trasmissione senza distorsione, 83 Distorsione di segnali audio, video e dati, 84

2-7

Segnali e rumore a banda limitata 86 Segnali a banda limitata, 86 Teorema del campionamento, 86 Campionamento ideale ed elaborazione numerica dei segnali, 89 Teorema della dimensionalità, 91

2-8

Trasformata discreta di Fourier 93 Uso dellaDFTper il calcolodella TF continua, 94 Usodella DFTper il calcolodella seriedi Fourier, 98

2-9

Banda di un segnale

2-10

Riepilogo

2-11

Esercizi di approfondimento

107

Esercizi proposti CAPITOLO 3

-

100

107

112

SEGNALI DIGITALI E A IMPULSI IN BANDA BASE

3-1

Generalità

125

3-2

Pulse-Amplitude Modulation (PAM) 126 Campionamentonaturale, 126 Campionamentoistantaneo(PAMcon impulsorettangolare),130

3-3

Pulse-Code Modulation (PCM) 134 Campionamento, quantizzazione e codifica, 135 Circuiti per sistemi PCM, 138 Occupazione di banda dei segnali PCM, 139 Influenza dei disturbi, 140 Quantizzazione non uniforme: le leggi JLe A di compressione/espansione, 144 V.90 56-kbit/s PCM computer modem, 147

3-4

Trasmissione digitale 149 Rappresentazione vettoriale, 150 Valutazione della larghezza di banda, 152 Segnali binari, 152 Segnali multilivellQ, 154

3-5

Codici di linea e spettri 156 Codici di linea binari, 156 Spettri di potenza dei codici di linea binari, 159 Codifica differenziale, 165

125

-'l''''''

vi

Sommario Diagramma a occhio 166 Ripetitori rigenerativi, 167 Sincronizzazione di bit, 169 Spettro di potenza dei segnali NRZ polari multilivello, 172 Efficienza spettrale, 174

3-6

Interferenza intersimbolica

176

Primo criterio di Nyquist (ISI nulla), 178 Filtro di Nyquist a coseno rialzato, 179 Secondo e terzo criterio di Nyquist per il controllo dell'lSI, 184

3-7

Modulazione PCM differenziale

3-8

Modulazione delta 188 Rumore granulare e rumore per sovraccarico di pendenza, 189 Modulazione delta adattativa e a pendenza variabile con continuità, 193 Codifica della voce, 195

3-9

Multiplazione a suddivisione di tempo Sincronizzazione di trama, 197 Sistemi sincroni e asincroni, 198 Gerarchia TDM, 202 11sistema PCM El, 207 11sistema PCM TI, 208

3-10

Trasmissione a pacchetto

3-11

Modulazioni del tempo d'impulso: modulazione di durata e di posizione

3-12

Riepilogo 214

184

197

209 210

3~13 Esercizi di approfondimento 214 Esercizi proposti 218 CAPITOLO 4

- SEGNALI PASSA-BANDA

E RELATIVI SCHEMI CIRCUITALI

4-1

L'inviluppo complesso dei segnali in banda passante 228 Definizioni:bandabase, bandapassantee modulazione,228 lnviluppocomplesso,229

4-2

Rappresentazione dei segnali modulati

4-3

Spettro dei segnali passa-banda

4-4

Misura della potenza

4-5

Filtri passa-banda e distorsioni lineari 237 Equivalentein bandabasedi unfiltro, 237 Distorsionilineari, 239

4-6

Teorema del campionamento per segnali passa-banda

4-7

Ricezione di segnale e rumore

4-8

Tipi di filtri e amplificatori 244

231

231

235

243

241

227

Sommario

vii

Filtri, 244 Amplificatori, 248

4-9

Distorsioni non lineari

4-10

Limitatori

4-11

Mixer e convertitori di frequenza ~ Moltiplicatori di frequenza 261

4-12 4-13

248

253 255

Rivelatori 262 Rivelatori di inviluppo, 263 Rivelatoresincrono, 264 Demodulatoredi frequenza, 265

4-14 Anelli ad aggancio di fase e sintetizzatori di frequenza 270 4-15

Sintesi digitale diretta

4-16

Trasmettitori e ricevitori 279 Trasmettitori universali, 279 Ricevitori universali: il ricevitore supereterodina, 281 Ricevitori Zero-lF, 284 lnteiferenza, 285

4-17

Software radio

4-18

Riepilogo

4-19

Esercizi di approfondimento

286

287

Esercizi proposti

CAPITOLO 5

278

287

292

- MODULAZIONI

ANALOGICHE E DIGITALI

5-1

Modulazione di ampiezza

5-2

Standard tecnici per le trasmissioni AM

5-3

Modulazione a doppia banda laterale con portante soppressa

5-4

Anello di Costas e anello quadratore

5-5

Segnali a banda laterale unica 308 Banda lateraleunica, 308 Banda lateralevestigiale(o residua), 311

5-6

Modulazioni di fase e di frequenza 314 Rappresentazione dei segnali PM e FM, 314 Spettrodei segnalimodulatid'angolo, 318 Modulazione a banda stretta, 322 Modulazione di frequenza a banda larga, 324 Preenfasie deenfasiper i segnalimodulatid'angolo, 327

5-7

Multiplazione a suddivisione di frequenza e FM stereo

299

300 305

306

328

305

viii

Sommario

5-8 5-9

5-10

5-11

Standard tecnici per la diffusione FM

331

Modulazioni digitali binarie 331 Modulazione OOK (On Off Keying), 334 . Modulazione BPSK (Binary Phase Shift Keying), 337 Modulazione DPSK (Dijferential Phase Shift Keying), 338 Modulazione FSK (Frequency Shift Keying), 339 Modulazioni digitali multi livello 346 Modulazioni QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) e MPSK (M-ary Phase Shift Keying), 346 Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation), 347 Modulazioni OQPSK e p/4 QPSK, 350 DSP per MPSK, QAM, OQPSK e p/4 QPSK, 350 Efficienza spettrale di MPSK, QAM, OQPSK e p/4 QPSK con sagomatura a coseno rialzato, 352

Modulazione MSK (Minimum Shift Keying) e GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying)

I , I

353

5-12 Modulazione OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) 5-13

Sistemi a spettro espanso (spread spectrum) Sistemia SequenzaDiretta(DS/SS), 364 Frequencyhopping, 370

360

I

362 l

372

5-14

Riepilogo

5-15

Esercizi di approfondimento 372 Esercizi proposti 375

CAPITOLO 6 - PROCESSI ALEATORI E ANALISI SPETTRALE 6-1

389

Definizioni fondamentali 390 Processi aleatori, 390 Stazionarietà ed ergodicità, 391 Funzioni di correlazione e stazionarietà in senso lato, 395 Processi aleatori complessi, 397

6-2

Densità spettrale di potenza 399 Definizione, 399 Teorema di Wiener-Khintchine, 400 Proprietà della densità spettrale di potenza, 403 Formula generale per la densità spettrale di potenza dei segnali digitali, 407 Processo di rumore bianco, 410 Misure di densità spettrale di potenza, 410

6-3

Valore medio e valore efficace per un processo aleatorio ergodico Sistemi lineari 413

6-4

Relazioniingresso-uscita,413 6-5

Misura della banda 418

412

Sommario

ix

Banda equivalente, 419 Banda efficace. 419

6-6

Processi aleatori Gaussiani 421 Proprietà dei processi Gaussiani. .422

6-7

Processi passa-banda 425 Rappresentazione in banda passante. 425 Proprietà dei processi passa-banda stazionari in senso lato. 429 Dimostrazione di alcune proprietà, 433

6-8

Il filtro adattato 438 Definizione e risultati generali, 438 Risultati nel caso di rumore bianco. 441 11con'e/atore. 445 Filtro adattato trasversale. 446

6-9

Riepilogo

6-10

Appendice: dimostrazione della disuguaglianza di Schwarz 451

6-11

Esercizi di approfondimento

449

Esercizi proposti

453

456

-

CAPITOLO 7 INFLUENZA DEI DISTURBI SULLE PRESTAZIONI DEI SISTEMI DI COMUNICAZIONE 7-1

Probabilità d'errore delle segnalazioni binarie

468

Risultati generali. 468 Risultati per rumore Gaussiano. 471 Risultati per rumore Gaussiano bianco e ricezione con filtro adattato, 473 Risultati per rumore Gaussiano colorato e ricezione con filtro adattato. 474 7-2

Prestazioni dei sistemi binari in banda base Segnalazione unipolare. 475 Segnalazione polare, 476 Segnalazione bipolare. 478

475

7-3

Rivelazione Modulazione Modulazione Modulazione

7-4

Rivelazione non coerente di segnali passa-banda binari 486 ModulazioneOOK(On-OffKeying), 486 ModulazioneFSK (FrequencyShift Keying), 489 ModulazioneDPSK(Dif.ferentialPhaseShift Keying). 491

7-5

Modulazione QPSK (Quadrature Phase-Shift Keying) e MSK (Minimum Shift Keying) 493

7-6

Confronto tra i vari sistemi di trasmissione digitale 495 BER e banda, 495

coerente di segnali passa-banda binari OOK (On-Off Keying). 479 BPSK (Binary Phase Shift Keying), 481 FSK (Frequency Shift Keying). 482

479

467

x

Sommario . I Probabilità d'errore sul simbolo e sul bit per trasmissioni multilivello, 497 Sincronizzazione, 498

7-7

Rapporto segnale-rumore di uscita nei sistemi PCM

7-8

-Rapporto segnale-rumore di uscita nei sistemi analogici Sistemi in banda base e in banda passante, 505 Sistemi AM con rivelazione sincrona, 506 Sistemi AM con rivelatore di inviluppo, 508 Sistemi DSB-SC, 509 Sistemi SSB, 509 Sistemi PM, 510 Sistemi FM, 514 Sistemi FM con riduzione della soglia, 517 Sistemi FM con deenfasi,

7-9

Confronto delle prestazioni dei sistemi di trasmissione analogici Prestazionidel sistemaideale, 521

7-10

Riepilogo 524

7-11

Esercizi di approfondimento 524

499 505

521

Esercizi proposti 532 CAPITOLO 8

- SISTEMI

DI COMUNICAZIONE

VIA RADIO E VIA CAVa

8-1

Lo straordinario sviluppo delle telecomunicazioni

541

8-2

Sistemi telefonici 542 Cennistorici, 542 Sistemitelefonicimoderni, 543

8-3

Linee digitali d'abbonato 548 Esempio di sistema ADSL, 549 Video on Demand (VOD), 550 ISDN, 550

8-4

Capacità della rete telefonica pubblica commutata

8-5

Sistemi di comunicazione via satellite 553 Trasmissioneanalogicae digitaledi programmitelevisivi, 557 Sistemiad accessomultiploper comunicazionitelefonichee dati, 559 Comunicazioni personalivia satellite, 565

8-6

Bilancio energetico di un collegamento 567 Potenza del segnale ricevuto, 567 Sorgenti di rumore termico, 569 Caratterizzazione energetica delle sorgenti di rumore, 570 Sistemi lineari rumorosi, 571 Sistemi rumorosi in cascata, 576 Bilancio energetico di un collegamento (link budget), 578 Bilancio energetico per un sistema digitale, 580 Perdita di propagazione (path loss) per ambiente urbano, 581

553

541

-

Sommario

8-7

Sistemi su fibra ottica

8-8

Sistemi telefonici cellulari 587 Sistemi di prima generazione (lG) : E-TACS e AMPS, 590 Sistemi di seconda generazione nordamericani (2G): /S-54/IS-136,IS-95, Il Sistema universale di seconda generazione: GSM, 595 Sistemi di terza generazione (3G): UMTS, 597

585

8-9

Sistemi televisivi 598 Televisione in bianco e nero, 598 Televisione a colori, 601 Televisione digitale, 605 Televisione digitale europea, 606 Codifica dei segnali video digitali informato MPEG, 607

8-10

Riepilogo

8-11

Esercizi di approfondimento

593

609

Esercizi proposti APPENDICE A

xi

610

613

- FORMULE E TAVOLE

MATEMATICHE

A-l

Trigonometria e numeri complessi 621 Definizioni, 621 Identitàtrigonometrichee numericomplessi, 62/

A-2

Calcolo differenziale 622 Definizione, 622 Regole di derivazione, 622 Derivate notevoli, 622

A-3

Forme indeterminate

A-4

Calcolo integrale 623 Definizione, 623 Formuledi integrazione,624

A-5

Integrali notevoli 624 Integrali indefiniti, 624 Integrali definiti, 625

A-6

Serie numeriche 626 Sommatorie finite, 626 Serie infinite, 626

A-7

Trasformata di Hilbert

A-8

Funzione delta di Dirac 627 Proprietàdellafunzione delta di Dirac, 628

A-9

Tabulazione di Sa(x)

A-IO Tabulazione di Q(z)

623

627

= (sin x)/x 630

629

621

Sommario

PPENDICE B

- PROBABILITÀ E VARIABILI ALEATORIE

B-1

Introduzione

B-2

Insiemi 634

B-3

Probabilità e frequenza relativa Probabilitàsemplice, 635 Probabilitàcongiunta,636 Probabilitàcondizionata,637

B-4

Variabili aleatorie 638

B-5

Funzioni distribuzione e densità di probabilità 638 Proprietàdelladistribuzionee delladensitàdi probabilità, 640 Distribuzionicontinuee discrete, 641

B-6

Media statistica e momenti Valor medio, 644 Momenti, 646

B-7

647 Alcune importanti distribuzioni Distribuzione binomiale, 649 Distribuzione di Poisson, 650 Distribuzione uniforme, 651 Distribuzione Gaussiana, 651 Distribuzione di una sinusoide, 655

B-8

Trasformazioni di variabili aleatorie

B-9

Statistiche multidimensionali 661

633

633

635

644

656

Funzioni distribuzione e densità di probabilità multidimensionali, 661 Statistiche bidimensionali, 663 Sistema di due variabili congiuntamente Gaussiane, 664 Funzioni di un sistema di più variabili, 664 Il Teorema-limite centrale, 667 Esercizi proposti, 668

PPENDICE C

- STANDARD

E TERMINOLOGIA PER LE RETI

DI TELECOMUNICAZIONI E LA TRASMISSIONEDATI C-l

Codici

675

Baudot, 675 ASCll, 676 C-2

DTE/DCE e standard per le interfacce Ethemet 676 USB (Universal Serial Bus), 678 lnterfacce seriali RS-232, RS-422, RS-499 e RS-530, 678 lnterfaccia parallela Centronics, 680 lnterfaccia parallela lEEE-488, 680 lntelfaccia Ethernet (IEEE 802.3), 681

675

Sommario C-3

Il modello di rete ISO-OSI

C-4

Protocolli del livello di collegamento dati (data link layer) HDLC, 686 Il protocolloCC/TI X.25, 687 ATM (AsynchronousTransferMode), 688

C-5

Normative standard per i modem in banda telefonica

APPENDICE D

- INTRODUZIONE

683

Veloce introduzione all'esecuzione dei file-M

D-2

Programmare in MATLAB

INDICE ANALITICO

SOLUZIONI

695

696

697 699

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

-

686

688

ALL'USO DI MA TLAB

D-l

ESERCIZI PROPOSTI

xiii

SELEZIONATE

713 719

Punti principali

. . . . .

Funzionamento

dei sistemi di comunicazione Allocazione delle frequenze e radio propagazione Esercizi al computer (MATLAB)

Misura dell'informazione Codici a protezione

d'errore

INTRODUZIONE

Non è possibile scrivere un libro di dimensioni ragionevoli che copra esaurientemente tutti i vari aspetti di un sistema di comunicazione. Per questo motivo, è stata fatta in questo testo una scelta oculata degli argomenti in modo da dare enfasi ai principi base, e in modo che il lettore possa apprezzare l'importanza di tali principi attraverso numerosi esempi e applicazioni. Talvolta, alcune applicazioni verranno presentate in anticipo rispetto ai relativi principi generali, affinché il lettore venga "gratificato" dall'aver risolto tali problemi, e venga ulteriormente incentivato ad approfondirne lo studio. Speriamo con questo di riuscire a "comunicare" (!) al lettore la gioia dello scoprire il funzionamento dei sistemi di comunicazione, e di portarlo poi a essere in grado di condurne la progettazione. Ma che cos'è un sistema di comunicazione? Spesso il mondo moderno viene identificato con la "civiltà dell'ICT", ove l'acronimo indica in lingua inglese la tecnologia dell'informazione e della comunicazione (Information and Communication Technology). La produzione e in generale il trattamento dell'informazione sono di dominio dell'ingegneria informatica, mentre la trasmissione dell' informazione è proprio il fine ultimo dei sistemi di comunicazione trattati dall'ingegneria delle telecomunicazioni. Tali sistemi basano il 10ro funzionamento su segnali che vengono inviati da una sorgente a un utilizzatore di informazione (ad esempio, un server Internet e un PC). La forma d'onda (cioè il segnale) che

2

Capitolo 1 - Introduzione

giunge all'utilizzatore è di fatto sconosciuta finché non viene completamente ricevuta; se così non fosse, non ci sarebbe bisogno del sistema di comunicazione, e non si avrebbe scambio di informazione! Viene trasmessa tanta più informazione quanto più l'utilizzatore è "sorpreso" dal messaggio (cioè dalla forma d'onda) che è stato trasmesso. Dunque, la trasmissione dell'informazione implica un certo grado di ignoranza anticipata (cioè a priori) di ciò che viene trasmesso. La possibilità di scambiare informazione è però limitata dalla presenza di disturbi (collettivamente indicati con l'appellativo tecnico di rumore, evidentemente esteso per traslazione dall'acustica). Se infatti un segnale non incontrasse alcun disturbo, sarebbe possibile inviare messaggi in forma elettronica fino ai più remoti confini dell'universo inviando segnali di potenza anche modesta (cosa riconosciuta manifestamente assurda fin dagli albori delle scienze radio). Tuttavia, una teoria che descriva con semplicità gli effetti dei disturbi sulla trasmissione dell'informazione è stata sviluppata soltanto a partire dagli anni '40, con i contributi fondamentali di scienziati come North [1943], Rice [1944], Shannon [1944] e Wiener [1949]. Dunque i sistemi di comunicazione sono progettati per trasmettere a un ricevitore forme d'onda portatrici di informazione. Queste forme d'onda possono però assumere forme diverse per rappresentare l'informazione data: come selezionare la forma d'onda per rappresentare la lettera A di un testo dattiloscritto? La selezione di queste forme d'onda dipende da molti fattori a cominciare dalla larghezza di banda e dalla frequenza centrale del segnale, per continuare con la potenza o l'energia del segnale medesimo, l'influenza del rumore nel degradare l'informazione, nonché il costo degli apparati per generare la forma d'onda nel trasmettitore e rivelare !'informazione nel ricevitore. Il libro è suddiviso in otto capitoli e quattro appendici. Nel Capitolo l vengono introdotti i concetti chiave, come la quantità di informazione, e viene descritto un metodo per valutare la capacità informativa di un sistema di comunicazione. Il Capitolo 2 descrive le tecniche elementari per ottenere la densità spettrale di potenza e la larghezza di banda dei segnali. I segnali in banda base (aventi cioè componenti frequenziali vicine alla frequenza nulla) sono l'oggetto del Capitolo 3, mentre i segnali in banda passante (componenti in una qualche banda lontana dalla frequenza nulla) sono esaminati nei Capitoli 4 e 5. L'effetto dei disturbi sui vari segnali portatori di informazione è poi analizzato nei Capitoli 6 e 7, e infine il Capitolo 8 descrive alcuni casi particolari di sistemi di comunicazione via radio e/o via cavo. Le appendici comprendono alcune tavole matematiche, un'introduzione alla probabilità e alle variabili aleatorie, una breve descrizione degli standard per comunicazioni tra computer e infine un'introduzione a MATLAB. Gli standard dei sistemi di comunicazione sono invece inclusi di volta in volta nel corpo di ogni capitolo. Indicheremo inoltre come utilizzare il personal computer (PC) come strumento per disegnare forme d'onda e calcolarne gli spettri, nonché analizzare e progettare i sistemi di comunicazione. In conclusione, i sistemi di comunicazione sono progettati per trasmettere informazione, quindi gli ingegneri delle telecomunicazioni devono effettuare tale progettazione con un occhio di riguardo per questi quattro punti: l. 2. 3. 4.

selezione del segnale portatore d'informazione; banda e potenza del segnale stesso; influenza dei disturbi sull'informazione ricevuta; costo del sistema.

1-1

Cenni storici

3

1-1 CENNI STORICI La Tabella l-l riporta una cronologia essenziale dello sviluppo dei sistemi di comunicazione. Nonostante che lo sviluppo del telefono cominci addirittura alla fine del diciannovesimo secolo, il primo cavo telefonico transatlantico è soltanto del 1954. Prima di quella data le chiamate telefoniche intercontinentali si svolgevano via radio a onde corte, sostanzialmente cioè come ai tempi di Marconi. Analogamente le prime trasmissioni televisive furono diffuse in Gran Bretagna nel 1936, ma trasmissioni televisive transoceaniche non sono state possibili prima del 1962, anno in cui fu lanciato il satellite Te/star I. Infine le trasmissione digitali, nella forma del sistema telegrafico Morse, furono sviluppate a partire dal 1850, ben prima del sistema analogico che ha dominato il ventesimo secolo, cioè il telefono. Oggigiorno le trasmissioni digitali hanno di nuovo preso il sopravvento sulle analogiche. TABELLA 1.1 Anno

1838 1844 1850 1858

EVENTI NOTEVOLI PER LE TELECOMUNICAZIONI Evento

Cook e Wheatstone inventano il telegrafo. Morse collega Baltimora e Washington tramite il telegrafo. Kirchoff pubblica le omonime leggi dei circuiti elettrici. Viene installato il primo cavo telegrafico transatlantico che resiste in servizio per soli 26 giorni. Maxwell predice l'esistenza della radiazione elettromagnetica. BelI brevetta il telefono.

1864 1876 1883 1887 1894 1900 1905 1906 1915 1918 1919 1920 1926 1927 1931 1932 1936

Edison scopre il flusso di elettroni nel vuoto alla base dell'effetto terrnoionico. Hertz verifica sperimentalmente la teoria di Maxwell. Lodge realizza una comunicazione senza fili sulla distanza di 140 metri. Marconi realizza la prima trasmissione radio transatlantica. Fessenden trasmette parlato e musica via radio. deForest inventa il triodo amplificatore. La BelI Systems impianta una linea telefonica transcontinentale. Arrnstrong inventa il ricevitore supereterodina. La stazione radio KDKA inizia a Pittsburgh un servizio regolare di radiodiffusione. Carson applica il principio del campionamento ai sistemi di comunicazione. Baird e Jenkins realizzano prototipi della televisione. Black inventa gli amplificatori a controreazione. Viene.iniziato il servizio telex (telescrivente).

1937 1945 1946

Reeves sviluppa la modulazione a codice d'impulsi (PCM). Viene costruito il primo calcolatore interamente elettronico ENIAC. Bardeen, Brattain e Schokley inventano il transistor.

Arrnstrong inventa la modulazione di frequenza. La British Broadcasting Corporation (BBC) dà il via in Gran Bretagna alla radiodiffusione televisiva.

4

Capitolo 1 - Introduzione

TABELLA

1-1

(seguito)

Anno

Evento

1947

Shannon pubblica una serie di lavori che segnano la nascita della teoria dell'informazione.

1950

Viene introdotta la multiplazione a suddivisione di tempo (TDM) nei sistemi telefonici. Vengono introdotti i ponti radio a microonde per comunicazioni telefoniche a lunga distanza. Viene introdotta la televisione a colori negli Stati Uniti. Entra in servizio il primo cavo telefonico transatlantico (36 canali). Schawlow e Townes pubblicano articoli sul principio di funzionamento dei laser. Kilby (Texas Instruments) e Noyce (Fairchild) sviluppano indipendentemente i primi circuiti integrati. Viene lanciato il primo satellite attivo per telecomunicazioni, Telstar l. Viene sviluppata la tecnologia dei codici a correzione d'errore e degli equalizzatori adattativi per trasmissioni digitali affidabili ad alta velocità. Viene lanciato il primo satellite per telecomunicazioni in regolare servizio commerciale, Early Bird. La InteIcommercializzail primomicroprocessore,il 4004. La Motorola realizza i primi esempi di trasmissione cellulare. Viene sviluppato il primo personal computer. La Beli Systems lancia il sistema di comunicazione su fibra ottica FT3. La IBM lancia commercialmente il suo primo personal computer, denominato PC.

anni '50 1953 1953 1958 1958 1962 1963-66 1964 1971 1972 1976 1980 1981 1985 1989 1992 1995

Vengono commercializzate le macchine per fax su linea telefonica comune. Entra in servizio il sistema per la radiolocalizzazione satellitare GPS (Global Positioning System). Viene introdotto in Europa il sistema di telefonia digitale cellulare GSM. La rete Internet e il World Wide Web si diffondono esponenzialmente.

1-2 SORGENTI D'INFORMAZIONE; SISTEMI DIGITALI E ANALOGICI DEFINIZIONE.Una sorgente di informazione digitale è un apparato o un dispositivo che emette un insiemefinito di possibili messaggi. La tastiera di un PC è un buon esempio di sorgente digitale: vi è un numero finito di caratteri (messaggi) che possono essere emessi. DEFINIZIONE.Una sorgente d'informazione analogica produce un insieme di messaggi definiti su di insieme continuo. Un buon esempio di sorgente analogica è un microfono, la cui tensione d'uscita descrive il contenuto informativo di un suono, ed è distribuita in un ambito continuo di valori. DEFINIZIONE.Un sistema di comunicazione digitale trasferisce informazione da una sorgente digitale a un utilizzatore (o ricevitore) digitale.

1-3

Segnali determinati e aleatori

5

DEFINIZIONE.Un sistema di comunicazione analogico trasferisce informazione da una sorgente analogica a un utilizzatore analogico. Analogamente, un segnale digitale è una funzione del tempo che può assumere solo un insieme discreto di valori. Se in particolare questo insieme è costituito da due soli valori, il segnale è binario. Viceversa, un segnale analogico è una funzione del tempo definita su di un insieme continuo di valori. Un sistema di comunicazione digitale tipicamente usa come segnali tensioni o correnti elettriche digitali; tuttavia, lo stesso sistema può anche usare segnali analogici per trasmettere informazione digitale. Ad esempio, l'informazione di una sorgente binaria può essere inviata al ricevitore sotto forma di un segnale sinusoidale di frequenza 1000 Hz per rappresentare il valore logico l e sotto forma di un segnale sinusoidale di frequenza 500 Hz per rappresentare il livello logico o. Nonostante si utilizzino forme d'onda analogiche, nondimeno viene trasmessa informazione digitale, e il sistema può essere a buon diritto chiamato di comunicazione digitale. Dunque, un progettista di sistemi di comunicazione digitali deve comunque conoscere le basi della teoria dei segnali e sistemi analogici. Le comunicazioni digitali hanno un certo numero di vantaggi nei confronti delle analogiche:

..

possibilità di usare circuiteria digitale a basso costo;

.

possibilità di trasmettere segnali con grande dinamica (rapporto tra il valore massi-

. . .

.

possibilità di cifratura dei messaggi per preservare privatezza o segretezza; mo e minimo del segnale stesso); unificazione del formato di dati, voce e video che vengono trasmessi attraverso un unico sistema di trasmissione comune; assenza dell'effetto di accumulo del rumore in comunicazioni su lunghe distanze con ripetitori intermedi; immunità ai disturbi nella rilevazione dei dati trasmessi; possibilità di diminuire gli errori di trasmissione dovuti ai disturbi con l'uso di opportune codifiche.

D'altro canto, le comunicazioni digitali hanno anche i seguenti svantaggi:

. .

in generale, maggiore richiesta di banda; necessità della sincronizzazione dei segnali.

Naturalmente, i vantaggi sono così importanti da più che controbilanciare gli svantaggi, e ciò giustifica la massiccia adozione delle tecniche digitali nella trasmissione dell'informazione cui si è assistito negli ultimi anni.

1-3 SEGNALI DETERMINATI E ALEATORI Nei sistemi di comunicazione, si incontrano due tipi di segnali: determinati e aleatorio DEFINIZIONE. Un segnale determinato è una funzione univocamente specificata per ogni istante di tempo.

6

Capitolo 1 - Introduzione

Ad esempio, l'espressione

w(t) = A cos(wot + 'l'o)

(l-l)

con A, wo e 'l'o noti, descrive la forma d'onda di un segnale determinato, visto che il valore del segnale w( t) può essere valutato per ogni istante di tempo t. Se una qualunque delle costanti A, wo o O (il pedice c sta per "carrier", cioè portante in lingua inglese). In questo caso s(t) è un segnale passa-banda perché ha componenti frequenziali centrate attorno a te. Ad esempio, una stazione di radiodiffusione a modulazione d'ampiezza (AM, Amplitude Modulation) sulla frequenza di 850 kHz emette un segnale con una frequenza portante te = 850 kHz. La trasformazione del segnale in banda base m(t) nel segnale passabanda s(t) costituisce l'operazione di modulazione. Per la stazione AM, m (t) è naturalmente il segnale audio in banda base che deve essere diffuso. Vedremo nel Capitolo 4 che un generico segnale passa-banda ha la forma ~

t

s(t) = R(t) cos[wet + 6(t)] ove We = 2'IT!c...Se in quest'espressione mo una sinusoide pura di frequenza

t

(1-2)

imponiamo R(t) = l e 6(t) = O,s(t) ottenia= te avente banda nulla. Nell'operazione di mo-

dulazione effettuata dal circuito con portante (modulatore), il segnale d'ingresso in banda

1-7

Allocazione frequenziale

9

base m(t) provoca una variazione nel tempo di R(t) e/o O(t) in una funzione del segnale m(t) stesso. Questa variazione trasforma la sinusoide pura priva di modulazione (oscillazione portante) in un segnale con larghezza di banda dipendente naturalmente dalle caratteristiche di m( t) e dalla legge di trasformazione, ma in generale diversa da zero. Vedremo nel Capitolo 5 le principali tecniche di modulazione analogica e digitale. I canali di trasmissione si suddividono in due grandi categorie: via cavo (guidato o in inglese, wired) e senza fili (non guidato, libero, o wireless). Esempi di trasmissioni via cavo sono le linee telefoniche su doppino in rame, i cavi coassiali in rame, le guide d' onda, i cavi in fibra ottica. Canali senza fili sono l'aria, il vuoto interstellare, il mare. I principi base della modulazione analogica e digitale sono gli stessi per tutti questi canali, ma le caratteristiche di ognuno di essi vincolano di fatto anche fortemente i tipi di segnalazione che possono essere adottati. Inoltre, il portante attenua il segnale in modo che i disturbi di canale o il rumore introdotto da un ricevitore non ideale fanno sì che l'informazione m ricostruita sia in generale diversa e deteriorata rispetto a quella di sorgente. I disturbi di canale sono originati da fenomeni elettrici naturali (ad esempio fulmini) o artificiali (linee di trasmissione dell'energia elettrica, sistema di accensione delle automobili ecc.). Il canale di trasmissione può contenere dispositivi attivi amplificatori, come i ripetitori di una linea telefonica o i trasponditori a bordo di un satellite, che sono necessari proprio per mantenere il livello del segnale utile adeguatamente al di sopra di quello del rumore. Inoltre, il canale può essere sede di fenomeni di propagazione per cammini multipli del segnale, in cui ciascun cammino è caratterizzato da attenuazione e ritardo differente. Queste caratteristiche variano in generale nel tempo, con il risultato di causare affievolimenti (fading) del segnale in uscita al canale, fenomeno del quale è facile rendersi conto ascoltando una trasmissione radio a onde corte da un trasmettitore molto distante. Il ricevitore, a partire dal segnale degradato all'uscita del canale, ricostruisce un segnale in banda base che può essere utilizzato dall'elaboratore di segnale. Quest'ultimo "ripulisce" il segnale dai disturbi e produce una replica m(t) il più fedele possibile dell'informazione di sorgente. Lo scopo del progetto di sistema è quello di realizzare un sistema di comunicazione che minimizzi la degradazione dell'infornazione rispettando alcune specifiche (vincoli) progettuali, come la potenza trasmessa, la banda disponibile e il costo. Per i sistemi digitali, la misura più diffusa e più semplice di fedeltà o, se vogliamo, di degradazione, è la probabilità di errore (Pe) chiamata anche tasso d'errore o Bit-Error Rate (BER) sui dati ricostruiti m. Per i sistemi analogici, le prestazioni sono quantificate attraverso il rapportosegnale-rumore(Signal to Noise Ratio, SNR) all'uscita del ricevitore.

1-7 ALLOCAZIONE FREQUENZIALE I sistemi di comunicazione senza fili utilizzano come canale di trasmissione le onde radio propagantesi nell'atmosfera, le cui caratteristiche di propagazione (e i cui disturbi) sono fortemente dipendenti dalla frequenza di trasmissione. In teoria, potremmo utilizzare una qualunque tecnica di modulazione a una qualunque frequenza, ma per meglio regolamentare le varie trasmissioni coesistenti e in particolare per meglio gestire le reciproche interfer k, il codice aggiunge ridondanza nella forma di bit di parità che vengono usati dal decodificatore per rivelare e, in una certa misura, correggere gli errori. Questi codici sono indicati con la notazione (n, k), e sono caratterizzati dal tasso di codifi-

=

ca R

.

k/n

< 1. In pratica r varia da

~

a

i e k va

da 3 a qualche migliaio [Clark

e Cain, 1981]. Codici convoluzionali.

I codici convoluzionali

sono ottenuti da un codificatore con

memoria. Esso accetta gruppetti di k simboli binari d'ingresso

(spesso k

= l)

e pro-

duce gruppetti di n > k simboli binari di uscita. Ogni gruppetto di n simboli risente (è funzione) dei valori dei precedenti n; + k simboli d'ingresso, e il codificatore ha dunque una memoria finita. Il tasso di codifica è ancora definito come r = k/n, e varia in pratica da ~ a i [C1ark e Cain, 1981]. Valori piccoli di r indicano un alto grado di ridondanza del codice e quindi una maggiore capacità di protezione dagli errori, al costo di un aumento anche rilevante della banda del segnale codificato.

T

Sorgente

numerica

m

Rumore

. ttit,

Codificatore e altre elaborazioni

, g(t)

---.

Modulatores(t)

Mezzo di trasmissione

del segnale

r(t)

Demodulatore

iU)

Decodificatore e altre elaborazioni del segnale

m

Ricevitore

Figura 1-4

r(t)

(canale)

Schema generale di un sistema di comunicazione digitale.

Utilizzatore digitale

20

Capitolo 1 - Introduzione

Codici a blocco Prima di discutere i codici a blocco, dobbiamo dare alcune definizioni un po' astratte. Il peso di Hamming di una parola di codice il numero di valori 1 logico che quella parola contiene. Ad esempio, la parola 110101 ha un peso di Hamming pari a 4. La distanza di Hamming d tra due parole di codice (di uguale lunghezza) è pari al numero di bit ordinatamente diversi nelle due parole: le parole 110101 e 111001 hanno distanza d = 2 (differiscono in due posizioni). Dopo aver ricevuto una certa parola di codice, possiamo verificare la presenza di errori. Supponiamo che il codice sia progettato in modo che due qualunque parole di codice abbiano (almeno) una distanza di Hamming pari a d. Allora è possibile rivelare s errori e, di questi, correggeme t (s ~ t) purché d ~ s + t + 1. Volendo correggere tutti gli errori eventualmente rivelati dovrà aversi d ~ 2t + l. In generale, un parola di codice è del tipo

e

ilizi3

H'

ikPIPZP3

... Pr

ove k è il numero di bit di informazione in un blocco e l'è il numero dei bit di parità. La lunghezza del blocco è n = k + l', e la disposizione indicata con i bit di informazione tutti all'inizio del blocco è tipica: il codice si chiama in questo caso sistematico. È anche possibile interlacciare (cioè mischiare) i bit di sorgente e di parità, ottenendo in generale altre disposizioni equivalenti a quella sistematica. Hamming sviluppò per primo una procedura che consente di progettare codici a blocco che correggono errori singoli [Hamming, 1950]. I cosiddetti codici di Hamming, almeno nella loro più semplice accezione, sono codici aventi distanza pari a 3 quindi capaci di correggere un errore visto che d 2: 2t + 1, t = 1. Non è però possibile trovare codici di Hamming per qualunque valore di n e k, ma solo nel caso in cui (n, k) = (2 m-l,2m

- 1 - m)

(1-11)

con m intero, m 2: 3. Esempi di lunghezze di blocco sono dati dai codici (7,4), (15, 11), (31,26), (63, 57) e (127, 120): è interessante notare che il tasso di codifica l' tende a l man mano che la lunghezza dei blocchi aumenta. Altri tipi di codici molto diffusi, oltre quelli di Hamming, sono i codici ciclici che hanno una curiosa proprietà: ogni parola di codice può essere ottenuta da una qualunque altra tramite scorrimento ciclico dei bit, facendo cioè scorrere i bit della parola verso destra, e facendo "rientrare" ordinatamente da sinistra i bit che man mano "escono" da destra. I codici cicIici si possono facilmente implementare usando semplici circuiti digitali del tipo dei registri a scorrimento reazionati. Questa stessa struttura garantisce che anche il decodificatore può essere realizzato facilmente. Gli ulteriori tipi di codici ciclici (con qualche piccola variante) più usati in pratica sono i codici di Bose-Chaudhuri-Hocquenhem (BCH), di Reed-Solomon, di Hamming a massima lunghezza, di Reed-Miiller, di Golay. In Tabella 1-3 indichiamo alcune proprietà di questi codici.

I ,

Codici convoluzionali La Figura 1-5 riporta lo schema generale di un codice convoluzionale. Come si nota, una trama (cioè un gruppetto) di k bit d'ingresso viene inserita in un registro a scorrimento, e contemporaneamente una corrispondente trama di n bit viene estratta da un secondo regi-

1-11

Codifica a protezione d'errore

21

TABELLA 1-3 PROPRIETÀ DEI CODICI A BLOCCO Codice a BCH

Proprietà

Reed-Solomon

n = 2m - 1 m = 3, 4, 5, ...

Lunghezza del blocco Numero di bit di parità Minima distanza Numero di bit di informazione

Hamming

A lunghezza massima

n

n = m(2m - 1) bit

d;::::2t+1

r = m2t bit

r=m

d = m(2t + 1) bit

d=3

k;::::n-mt

= 2m -

1

k=m

am è un intero positivo, se non indicato diversamente.

stro, in modo che venga prodotta una trama di n bit d'uscita per ogni trama di k bit d'ingresso. Il codificatore aggiunge ridondanza ai bit d'ingresso, visto che n > k, ed è anche caratterizzato da una certa memoria, perché la trama d'uscita dipende dalle ultime K trame d'ingresso

(K > 1). Il tasso di codifica è r

= k/n

(~nel caso particolare di figura),

< l

e il parametro K, che rappresenta il numero di trame di k bit d'ingresso contenute nel registro di lunghezza kK bit, si chiama lunghezza del vincolo (constraint lenght). A seconda del particolare codice convoluzionale che deve essere implementato, alcuni dati intermedi del registro d'ingresso a kK bit vengono sommati (modulo 2) tra loro, e il risultato viene usato come ingresso (parallelo) per il registro a n bit d'uscita. Codificatore convoluzionale

,

1 1 1 Pacchetto

di k bit :

,

A--.,

1 I

:

I I

=K blocchi di ingresso

Lunghezza del vincolo

I

I

Registro a scorrimento

rI Dati in ingresso

non codificati

:

I I

binario (kK biO

I

I I I I I I I I I I I I 1 :

Pacchetto di Il bit

, Registro

1I a scorrimento (11bit) 1 1

1 1 1 L

I

; ; ; I

I

'-v-'

I

I

I1 1 1

I1bit

>-..

Dati codificati in uscita

1 1 1 J

Figura 1-5 Codificatoreconvoluzionale(k = 3, n = 4, K = 5, R = ~).

22

Capitolo 1 - Introduzione

Consideriamo il codificatore di Figura 1-6, nel quale k = 1, n = 2, K = 3, e il commutatore a due ingressi svolge la funzione del registro a due bit d'uscita nello schema generale di Figura 1-5. Il codice viene generato dando in ingesso un singolo bit di sorgente, e facendo eseguire al commutatore un giro completo. Questa procedura viene ripetuta ogni volta che la sorgente rende disponibile un nuovo bit, e produce il flusso di bit codificati in uscita. Nell 'esempio, ogni bit d'ingresso produce 2 bit d'uscita e il tasso di codifica è r

= !. Il

cosiddetto albero del codice di Figura 1-7 rappresenta l'operazione

di codifica in generale, e un esempio di sequenza codificata in particolare, naturalmente per il codificatore di Fig. 1-6. Per muoversi all'interno dell'albero di codice, a partire dalla radice ci si deve muovere verso l'alto se il bit di sorgente è pari a O, verso il basso se è pari a I; i bit risultanti dalla codifica sono quelli indicati tra parentesi su ogni ramo. Se la sequenza d'ingresso è Xli = 1010 si ottiene la sequenza codificata YII = 11010001, indicata sul percorso A nella Figura 1-7. Un segnale con codifica convoluzione viene decodificato cercando la sequenza di dati codificati che meglio "si adatta" alla particolare forma d'onda ricevuta. Se ad esempio ricevessimo esattamente Yll = I 101000 I, il percorso più "adatto" sarebbe naturalmente A, e i dati decodificati sarebbero Xli

=

1010. In presenza di rumore, alcuni dei bit

codificati ricevuti potrebbero essere sbagliati, e allora sarebbe impossibile trovare un percorso esattamente adattato. In tal caso, si procede alla decodifica identificando quel percorso sull'albero che ha la minima la distanza di Hamming rispetto alla sequenza di bit ricevuti. Questa è sostanzialmente la procedura utilizzata dall'algoritmo di decodifica ottimo per i codici convoluzionali: l'algoritmo di Viterbi [Forney, 1973]. Questo tipo di decodifica può essere basata su valori digitali (hard) o continui (soft). Nella versione con valori digitali (hard decision), vengono usati i valori binari ottenuti passando l'uscita del canale di trasmissione in un dispositivo "a soglia" (comparatore). Viceversa, nell' algoritmo Lunghezza

del vincolo

=K =3

A

Registro a scorrimento

a tre stadi

Dati di ingresso

=x

Commutatore

Uscita del codificatore convoluzionale

Figura 1-6 Codificatore convoluzionale con tasso = 4, lunghezza del vincolo del codice = 3.

1-11

o

I (00)

(00) 1

I

O

(11)

(00)

O

I

r

(lI)

I

(01) 1

= 0000 = 00000000 Xz = 0001 Yz = 000000 Il XI

YI

X3

= 0010

Y3

= 00001101

x4 = 00 Il Y4 = 00001110

O

(lO)

(00)

O

Xs = 0100

(lI) 1

x6 = 0101

O

I

(Ol)

I

Ys

1

(00)

(l l)

O

O

1

I

(lO)

I

(lO) I (01)

r

O O !

1 , ,,, ,. ., ,, , PercorsoA,'

",

.-*-----"........ O (01)

I

(l l)

I

, \ "'.--..

, ,'0

14t_.,

(00)

"....._---"",

(00) 1 (lI)

-------........

r

I

(01)

1

1

(lO)

(11)

O O

I

(lO)

I

(lI) 1

1

(00)

(lO)

O 1

I

I

(lO) 1

(01) Figura 1-7

23

Codifica a protezione d'errore

= 00110111

Y6= 00110100

X7= 0110 Y7= 00111010 xS=0111 Ys= 00111001

X9= 1000 Y9 = 11011100 X IO =

100

I

YIO= 11011111

XII = 1010 YII = 11010001 xIZ= 1011 YIZ= 11010010 X13= 1100 Y13= 11101011 x14= 1101 YI4 = 11101000

xIS=1110 YIS= 11100110 x16= 1111 YI6= 11100101

Diagramma ad albero per il codificatore convo]uziona]e di Figura 1-6.

con valori continui (soft decision) vengono direttamente usati i campioni a infiniti valori del segnale all'uscita del canale, e questo rende naturalmente l'algoritmo di più difficile realizzazione. Quest'ultima versione comporta un miglioramento (cioè in una diminuzione) del rapporto segnale-rumore in ingresso al ricevitore pari a circa 2 dB, a parità di BER in uscita al decodificatore [Clark e Cain, 1981]. Specialmente trattando di sistemi con codifica, il rapporto segnale-rumore in ingresso al ricevitore viene misurato attraverso il rapporto Eb/ No, dove Eb è l'energia di segnale ricevuta in un intervallo di bit, e N 0/2 è la densità spettrale di potenza del rumore (Gaussiano) di canale. Riparleremo più approfonditamente di questi parametri nei Capitoli 7 e 8.

24

Capitolo 1 - Introduzione

Interlacciarnento In tutti i commenti sul problema dalla codifica a protezione d'errore, abbiamo implicitamente ipotizzato che gli errori vengano prodotti dal canale in posizioni casuali "sparse" all'interno della stringa di bit inviati (cioè, in posizioni generalmente non adiacenti). In tal caso, la ridondanza introdotta dalla codifica permette di correggere gli errori e di ottenere una stringa quasi priva di errori all'uscita del decodificatore. In alcuni casi, però, i disturbi di canale si manifestano come impulsi di grande ampiezza e durata. Usando le tecniche di codifica appena discusse in questi casi, otterremmo pacchetti (burst) di errori consecutivi all'uscita del decodificatore perché gli impulsi di rumore sono più lunghi del "tempo di ridondanza" del codice. Si può ovviare a questa situazione con l'uso della tecnica dell'interlacciamento (interleaving). Interlacciare i bit codificati significa prendere un certo numero di bit in uscita dal decodificatore (in particolare parecchi blocchi di bit per un codice a blocco o parecchie lunghezze di vincolo per un codice convoluzionale), e "rimescolarli", cioè permutarne l'ordine con il quale vengono spediti sul canale. Nel ricevitore, i bit all'uscita del canale vengono "deinterlacciati" cioè mescolati in maniera uguale e opposta, prima di essere elaborati dal decodificatore. In questo modo, errori consecutivi prodotti da un impulso (lungo) di rumore vengono separati, e si torna alla situazione di errori "sparsi" precedentemente discussa. È importante allora che la lunghezza totale della stringa di bit "rimescolati", cioè interlacciati, sia maggiore della durata di un impulso di rumore. Gli interlacciatori (interleaver) usati in pratica son di due tipi: a blocchi o convoluzionali. Per maggiori dettagli, si veda Sklar [1988].

Prestazioni dei codici Il miglioramento prestazionale di un sistema di comunicazione ottenibile con l'uso della codifica è riassunto in Figura 1-8, nella quale si presuppone che all'ingresso del ricevitore si abbia segnale accompagnato da rumore di canale additivo con densità spettrale di potenza No/2. Nella figura vengono indicate le prestazioni in termini di BER di un sistema avente modulazione BPSK (Cap. 7) con e senza codifica. In assenza di codifica, le prestazioni sono quelle del ricevitore ottimo a filtro adattato (7-38); come codice a protezione d'errore è stato usato'un codice (23, 12) di Golay. Si nota che in corrispondenza di un rapporto Eb/No

=

7 dB, si può ridurre la BER da 10-3 senza codifica a 10-5 con codifica.

Il guadagnodi codifica (coding gain) è l'ammontare della riduzione(misuratain dB) nel rapporto Eb/Noche si può ottenere usando una codifica a protezione d'errore, nei confrontidel caso senzacodifica,e a paritàdi BER (Pe)del sistema.Nella Figura 1-8,si ha un guadagno di codifica pari a 1.33 dB per una BER di 10-3.In generale, il guadagno di codifica aumenta per BER più piccole: nella figura abbiamo un guadagno di 2.15 dB per p e = 10-5. Si nota anche, e questa è una tendenza generale di tutti i sistemi codificati, la presenza di una sorta di soglia di codifica, nel senso che per rapporti Eb/No più piccoli di un certo valore (la soglia, appunto) il sistema codificato presenta un BER peggiore di quello non codificato: nella figura, la soglia vale circa 3.5 dB. La relazione di Shannon sulla capacità di canale dà anche il valore di Eb/No richiesto per un sistema codificato ottimo. Se infatti la velocità di informazione della sor-

1-11

Codifica a protezione d'errore

25

10-]

10-2

I I

: I

Limite di Shannon (1-14)

Y :

10-3

I

L

Codice turbo [Sklar, 1997] Guadagno del codice

= 1.33 dB

BPSK con codifica di Golay (23, 12)

10-4

10-5 l-Guadagno del codice =8.8 d Guadagno ideale del codice = 11.2 d

t

o

-I - 1.59

10-6-2

Figura 1.8

2

3

4

5

6

7

8

9

lO

E,lNo (dB)

Confronto di prestazioni di sistemi digitali (con e senza codifica).

gente è inferiore alla capacità di canale, è possibile decodificare l'infonnazione di sorgente nel ricevitore con una BER arbitrariamente piccola, cioè Pe ~ O nonostante la presenza del rumore di canale. Qual è questo valore richiesto? Supponiamo di non avere alcuna limitazione sulla banda del segnale trasmesso (e quindi neanche sulla banda del canale). Allora, dalla (1-10) si ha

C =

~~oo {B log2 (1 + ~)} = ~~oo {B 10g2 (1 + ~:;b)}

ove Tb è l'intervallo di bit, e N è la potenza totale di rumore nella banda del segnale. Visto che la densità spettrale del rumore è pari a f!/'n(f) = No/2, questapotenzavale (1-12)

/

26

Capitolo 1

- Introduzione

dove B è appunto la banda del segnale. Valutando il limite indicato (ad esempio con la regola de L'Hospital) si ottiene

(1-13) Il valore limite per la velocità di trasmissione che ancora garantisce la possibilità di aveO è r = I/Tb = C per cui, usando la (1-13),

re Pe ~

l

n

Eb Non

In 2

ovvero

Eb/No = In 2 = -1.59 dB

(1-14)

Questo valore minimo del rapporto Eb/ N o vale - 1.59 dB ed è anche chiamato limite di Shannon. Potendo usare uno schema di codifica/decodifica ottimo è sempre possibile recuperare l'informazione di sorgente priva di errori purché il rapporto Eb/ N o all'ingresso del ricevitore sia maggiore di -1.59 dB. Questo limite "a gradino" è rappresentatodalla linea tratteggiatain Figura 1-8,secondola quale la Pe "salta" dal valore ~ al valore O (cioè -00 dB) non appena Eb/No diventa maggiore di -1.59 dB. Purtroppo, il codice "ideale" che garantisce queste prestazioni non è ancora stato scoperto, o è irrealizzabile per motivi di complessità. I sistemi usati in pratica tendono però ad avvicinarsi sempre di più a questo limite, che costituisce un po' il "sacro Graal" delle comunicazioni digitali. Il guadagno di codifica del codice "ideale" rispetto alla BPSK non codificata è di 9.61-(-1.59)

= 11.2 dB

alla Pe

= 10-5. La

Tabella 1-4 riporta i guadagni di alcuni codici

usati in pratica. Attualmente, la famiglia di codici usati in pratica ritenuti più vicina al limite di Shannon è quella dei codici turbo. Nella Figura 1-8 il codice turbo mostra un guadagno di 8.8 dB sulla BPSK senza codifica. Questi codici si sono diffusi rapidamente dopo la loro invenzione nel 1993, visto che hanno prestazioni vicine al limite di Shannon con una complessità di decodifica accettabile [Sklar, 1997]. I codici turbo vengono generati molto semplicemente come la concatenazione parallela, cioè la combinazione attraverso un interlacciatore, di due semplici codici convoluzionali [Benedetto e Montorsi, 1996]. L'interlacciatore (chiamato anche permutatore), assicura che in fase di decodifica le parole di codice con errori ricevute dal decodificatore per il primo codice corrispondano generalmente a parole prive di errori ricevute dal decodificatore per il secondo codice. Tutti i codici descritti finora consentono un guadagno di codifica al costo di una certa espansione spettra/e. Quando si aggiungono i bit di ridondanza al messaggio di sorgente è necessario aumentare la velocità di trasmissione e, quindi, anche la banda del segnale di un fattore che è pari all'inverso del tasso di codifica; l'espansione di banda è perciò pari a l/r = n/k. Se il segnale non codificato "consuma" già tutta la banda del canale, è impossibile aggiungere codici a protezione d'errore perché non abbiamo la possibilità di in-

1-11

Codifica a protezione d'errore

27

TABELLA 1-4 GUADAGNI DEI CODICI PER SEGNALAZIONE POLARE BPSK O QPSK IN BANDA BASE Guadagno del codice (dB) per BER = 10-5

Tecnica di codifica usata

Codifica ideale Turbo codice [Sklar, 1997] Reed-Solomon concatenato' e convoluzionale (con decodifica di Viterbi) Convoluzionale con decodifica sequenziale (decisioni soft) Codifica a blocchi (decisioni soft) Reed-Solomon concatenato' e blocco di dimensione ridotta Convoluzionale con decodifica di Viterbi Convoluzionale con decodifica sequenziale (decisioni dure) Codifica a blocchi (decisioni dure) Codifica a blocchi con decodifica a soglia Convoluzionalecon decodifica a soglia a AI

Bhargava

[1983]

e Sklar

Capacità in tennini di velocità trasmissiva

11.2 8.8 6.5-7.5

8.5-9.5

Moderata

6.0-7.0

8.0-9.0

Moderata

5.0-6.0

6.5-7.5

Moderata

4.5-5.5

6.5-7.5

Molto elevata

4.0-5.5

5.0-6.5

Elevata

4.0-5.0

6.0-7.0

Elevata

3.0-4.0

4.5-5.5

Elevata

2.0-4.0

3.5-5.5

Elevata

1.5-3.0

2.5-4.0

Molto elevata

trasmettitore vengono impiegati due diversi decodificatori

Fonte:

Guadagno del codice (dB) per BER = 10-8

13.6

(Fig. 1-4), con i corrispondenti

decodificatori

al ricevitore.

[1997].

crementare la banda. Si può uscire da questo impasse ricorrendo alle modulazioni con codici a traliccio (TCM, Trellis-Coded Modulation).

Modulazioni

con codici a traliccio

Ungerboeck ha introdotto una tecnica, chiamata appunto modulazione con codici a traliccio (TCM) che combina ]a modulazione multilivello con una codifica, in modo da ottenere guadagno di codifica senza espansione spettrale (aumento della banda) [Benedetto, Mondin e Montorsi, 1994; Biglieri, Divsalar, McLane e Simon, 1991; Ungerboeck, 1982, 1987]. Il trucco sta nell' aggiungere bit di ridondanza semplicemente aumentando il numero di livelli (cioè possibili ampiezz~) del segnale digitale trasmesso, senza cambiare la durata dell' impulso di segnalazione, e quindi senza alterare la banda del segnale stesso. Si deve quindi usare una tecnica di segnalazione multilivel/o che verrà approfondita nel Paragrafo 3-4. Ad

28

Capitolo 1 - Introduzione

esempio, gli impulsi di Figura 3-14a rappresentano un segnale a quattro livelli (multilivello con L =4), nel quale ogni livello rappresenta due cifre binarie, come indicato in Tabella 3-3. Se adesso aggiungiamo un bit di ridondanza ahdue bit di sorgente, possiamo utilizzare una segnalazione a 8 livelli, senz'alcun bisogno di aumentare la velocità di segnalazione, ma viceversa mantenendo la stessa durata degli impulsi e quindi mantenendo la stessa banda del segnale. In conclusione, abbiamo potuto aggiungere un bit di ridondanza mantenendo la stessa banda del segnale. Questo concetto può essere generalizzato a segnalazioni multilivello a valori (simboli) complessi, come vedremo alla fine del Paragrafo 5-10. Usando il bit di ridondanza per implementare un codice convoluzionale con lunghezza di vincolo K

= 3 si può

ottenere un guadagno di codifica di 3 dB rispetto a un se-

gnale non codificato con la stessa banda e la stessa velocità d'informazione, guadagno che può essere aumentato a quasi 6 dB con un vincolo di lunghezza K = 9. I codificatori con alta lunghezza di vincolo non sono complicati da realizzare, viceversa la complessità del decodificatore aumenta esponenzialmente con questo parametro. I recenti progressi dei componenti elettronici VLSI (Very Large-Scale Integration) rendono però possibile un'implementazione economica anche di decodificatori piuttosto complicati. I modem telefonici di tipo ITU-T V.32 (Tab. C-7), V.33bis (Tab. C-8), V.34 (Tab. C-5) e V.34bis funzionanti alle velocità rispettivamente di 9.6, 14.4, 28.8, 33.2 kBit/s usano modulazione TCM. In particolare, il V.32 ha un gudagno di codifica di 4 dB e usa un codice sviluppato da Wei [Wei, 1984; CCITT Study Group XVII, 1984]. Ulteriori dettagli sui codici a protezione d'errore si possono trovare nei molti testi specializzati sull' argomento [Blahut, 1983; Clark e Cain, 1981; Gallagher, 1968; Un e Costello, 1983; McEliece, 1977; Peterson e Weldon, 1972; Sweeney, 1991; Viterbi e Omura, 1979].

1-12 ANTEPRIMA I paragrafi precedenti hanno messo chiaramente in luce l'esigenza di alcuni strumenti matematici di base per comprendere e, quindi, analizzare e progettare i sistemi di comunicazione, specificamente nelle aree della modellistica dei segnali, dei disturbi, e dei sistemi lineari. Il Capitolo 2 ha proprio lo scopo di colmare queste lacune attraverso lo studio delle proprietà dei segnali e del rumore, delle trasformate di Fourier e degli spettri dei segnali, degli sviluppi su basi di funzioni, dei segnali a banda limitata e, infine, delle proprietà dei sistemi lineari.

1-13 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO EAl-l Calcolo della copertura in visibilità L'antenna di una stazione televisiva (TV) è piazzata sulla cima di una collina di altezza 450 m. Calcolare la copertura in visibilità della stazione TV supponendo che le antenne riceventi siano piazzate a 6 m di altezza dal suolo. Soluzione. smittente:

Usando la (1-6) troviamo la distanza dell'orizzonte radio dall'antenna tra-

dI = 4.1221h = 87.4km La distanza dell'orizzonte radio dall'antenna ricevente è

dz = 4.122..g = 10.1km

Esercizi proposti

29

quindi il raggio di copertura in visibilità ottica è

d = dI + dz = 97.5km EAl-2 Velocità d'informazione La tastiera di un telefono ha i tasti da O a 9 più i tasti * e #. Supponiamo che la probabilità di premere questi ultimi due tasti sia pari a 0.005, mentre la probabilità di tutti gli altri tasti numerici sia 0.099. Calcolare la velocità dell'informazione prodotta premendo i tasti alla cadenza di 2 tasti/secondo. Soluzione.

Usando la (1-8) si ha

H

= kPj

logz (~J

=

I

[10(0.099)

10glO (0.~99)

+ 2(0.005)

10glO (0.~05)]

ovvero H

= 3.38 bit/tasto

Se i tasti vengono premuti alla cadenza di 2 al secondo, T = 0.5 s, quindi H R= T

= 3.38 0.5

= 6.76 bit/s

EAl-3 Massima velocità di trasmissione su di una linea telefonica Il possessore di un PC vuole comprare un modem per connettersi a un fornitore di servizi Internet attraverso la sua propria linea telefonica alla massima velocità possibile. La linea ha un rapporto segnalerumore (SNR) di 25 dB e trasmette le frequenze audio da 300 a 3200 Hz. Qual è la massima velocità che garantisce una trasmissione dati priva di errori? Soluzione. Su scala lineare, un SNR di 25 dB equivale a un rapporto segnale-rumore pari a SIN = IO(Z5/1O) = 316.2 (per la definizione del dB, si veda il Cap. 2), e inoltre la banda passante è B = 3200 - 300 = 2900 Hz. Dalla (I-IO) otteniamo:

R

= B logz(I + ~) = 2900 [loglO(I + 316.2»)/loglO(2),

ovvero R = 24097 bit/s Di conseguenza, non è possibile usare su questa linea un modem V.34 a 28.8 kbit/s, ma si deve ricorrere a un V.33bis a 14.4 kbit/s.

ESERCIZI PROPOSTI 1-1

Una stazione radio FM alla frequenza di 98.0 MHz trasmette da un'antenna all'altezza di 360 m dal suolo. Se si vuole ricevere il segnale alla distanza di 100 km, a che altezza si deve montare l'antenna ricevente?

30

Capitolo 1 - Introduzione 1-2

Dimostrare geometricamente la validità dell'Equazione (1-6).

1-3

Nel progetto di un ponte radio a microonde, le antenne trasmittenti e riceventi devono essere piazzate su due torri di uguale altezza aventi una distanza pari a 40 km. Calcolare l'altezza minima delle torri per stabilire il collegamento in visibilità. L'antenna di una stazione radio base di una rete cellulare è su una torre all'altezza di 18 m. L'antenna di un telefono cellulare si può considerare tipicamente piazzata a circa 1.5 m dal suolo. Qual è la copertura della stazione base?

1-4

1-5 1-6

Una sorgente digitale emette i livelli -I e O V con probabilità 0.2 ciascuno, e i livelli +3 e +4 V con probabilità 0.3 ciascuno. Calcolare l'informazione media della sorgente. Dimostrare che la relazione tra il logaritmo in base 2 e il logaritmo in base \O di un numero x è log2(x)

= [1/loglO(2)]loglO(.r).

1-7

Dimostrare che se i messaggi di una sorgente sono equiprobabili con probabilità p, allora l'entropia di sorgente è H = log2(l/p). 1-8 Per il caso di una sorgente binaria: (a) dimostrare che l'entropia H è massima quando i due simboli sono equiprobabili; (b) trovare il valore massimo dell' entropia. 1-9 Un elemento standard di un display a LED a 7 segmenti indica la cifra Ocon probabilità 0.25, le cifre I e 2 con probabilità 0.15 ciascuna, le cifre 3, 4, 5, 6, 7, e 8 ciascuna con probabilità 0.07 e la cifra 9 con probabilità 0.03. Trovare l'informazione media della sorgente. 1-10 Una tastiera numerica con le lO cifre da O a 9 viene usata per inserire dati in un Pc. Supponendo che la probabilità di premere un certo tasto sia la stessa per tutte le cifre, trovare con che cadenza essi devono essere premuti in modo che la velocità di informazione sia pari a 2 bit/s. 1-11 Con riferimento all'Esempio I-I, supponiamo che il sistema trasmetta parole di 12 cifre binane. Metà di queste parole hanno una probabilità di emissione di (DI3, l'altra metà ha probabilità 3m 13.Trovare l'entropia di questa sorgente. 1-12 Calcolare la capacità di un canale "da telescrivente" con una banda di 300 Hz e un SNR di 30 dB.

1-13 Un PC ha una tastiera alfanumerica con 110 caratteri, e ogni carattere è codificato con una parola binaria. (a) Quanti bit sono necessari in ogni parola? (b) Con che cadenza si possono trasmettere questi caratteri su di una linea telefonica di banda 3.2 kHz e SNR pari a 20 dB? (c) Qual è il contenuto informativo di ogni carattere se essi hanno la stessa probabilità di essere emessi? 1-14 Una linea telefonica analogica ha un SNR di 45 dB e una banda passante di 300-3200 Hz. Si deve progettare un modem hidirezionale ofull-duplex, cioè in grado di trasmettere e ricevere contemporaneamente su questa linea, con probabilità di errore trascurabile. (a) Qual è la massima velocità di trasmissione se il segnale trasmesso occupa la banda da 300 a 1200 Hz? (b) Qual è la massima velocità di ricezione se viene usata la banda 1500-3200 Hz per ricevere il segnale? (c) Quali sono le massime velocità di trasmissione e ricezione se invece si usa la banda completa 300-3200 Hz contemporaneamente per trasmissione e ricezione (usando un circuito a forchetta come descritto nel Cap. 8, Fig. 8-4)? 1-15 Disegnare lo schema di un codificatore convoluzionale (con struttura a piacere) avente tasso di codifica R = ~ e lunghezza di vincolo K = 3. 1-16 Calcolare l'uscita del codificatore convoluzionale di Figura EPI-16 per la stringa di dati d'ingresso 101111.

Esercizi proposti Registro a scorrimento

a tre stadi

Dati di ingresso =x

Commutatore

Uscita del codificatore convoluzionale

Figura EPl-16

31

-Punti principali

.

Proprietà dei segnali (valore medio, valore efficace, dBm e potenza)

. Trasformata di Fourier e spettri

.

Sistemi lineari e distorsione lineare

.

Segnali a banda limitata e campionamento

.

Trasformata discreta di Fourier

.

Banda dei segnali

SEGNALI E SPETTRI

2-1

PROPRIETÀDEI SEGNALI E DEL RUMORE Nei sistemi di comunicazione, il segnale ricevuto si può normalmente scomporre in una componente utile contenente l'informazione e in una componente indesiderata. La prima è denominatasegnale,mentre la secondaè chiamatadisturboo rumore. Questo capitolo riguarda gli strumenti matematici utilizzati per descrivere in modo determinato i vari segnali in gioco. (L'approccio basato sui processi aleatori verrà introdotto nel Cap. 6.) Le forme d'onda saranno rappresentate mediante la loro espressione matematica o utilizzando le basi ortogonali, come per esempio la serie di Fourier. Definiremo alcune proprietà dei segnali, come il valore medio, detto anche "componente continua", il valore efficace (rms, root mean square), la potenza normalizzata, lo spettro d'ampiezza, lo spettro di fase, la densità spettrale di potenza, e la banda. Saranno inoltre illustrate le proprietà dei filtri lineari. Le forme d'onda di interesse possono essere sia una tensione v(t), sia una corrente i (t) funzioni del tempo, e per entrambe vengono utilizzati sostanzialmente gli stessi strumenti matematici. Pertanto, denomineremo genericamente w(t) le varie forme d'onda senza specificame la natura fisica.

34

Capitolo 2 - Segnali e spettri

Forme d'onda fisicamente

realizzabili

I segnali fisicamente realizzabili (e cioè osse{Vabilie misurabili in un laboratorio) soddisfano diverse condizioni [Slepian, 1976]: 1. 2. 3. 4. 5.

hanno valori non nulli su un intervallo temporale finito; possiedono uno spettro a valori non nulli su un intervallo frequenziale finito; sono funzioni continue del tempo; hanno valore di picco finito; sono a valori reali.

La prima condizione è necessaria visto che i segnali sono sempre generati per un intervallo di tempo finito e a essi è associata una quantità di energia finita. La seconda condizione è necessaria in quanto ogni mezzo di trasmissione, come il cavetto telefonico, il cavo coassiale, le guide d'onda, o le fibre ottiche, ha una banda finita. La terza condizione risulta essere una conseguenza della seconda, e diverrà chiara dopo i concetti di analisi spettrale sviluppati nel Paragrafo 2-2. La quarta condizione è necessaria in quanto i dispositivi elettronici trattano tensioni o correnti di valore finito. La quinta condizione deriva dal fatto che nella realtà possono essere generati e osservati solamente segnali a valore reale, sebbene alcune proprietà di tali segnali possono essere rappresentate attraverso grandezze complesse, come per esempio gli spettri. Nel Capitolo 4 dimostreremo che i segnali complessi sono anche molto utili per rappresentare matematicamente i segnali passa-banda. Nonostante questo, spesso useremo modelli matematici che violano alcune o tutte le condizioni precedenti, e ciò per semplificare l'analisi. Se il modello matematico è ben sfruttato, è possibile infatti ricavare risultati utili. Per esempio, si consideri il segnale di Figura 2-1. Il modello matematico presenta discontinuità che violano la terza condizione riguardante la continuità del segnale. Ogni forma d'onda fisica è di durata finita (decade a zero prima di t = ::1:00),mentre la durata della forma d'onda del modello si estende all'infinito. In base al modello matematico adottato si presume cioè che la forma d'onda fisica esista nella sua condizione di regime per tutto l'asse temporale: l'analisi spettrale condotta sul modello fomisce buoni risultati eccettuato che per le componenti ad alta frequenza. La potenza media calcolata in base al modello dà il giusto valore solo se misurata su un opportuno intervallo, mentre l'energia del segnale relativa al modello matematico è infinita in quanto quest'ultimo si estende su un intervallo in[mito (a differenza dell'energia del segnale fisico che risulta per forza di cose finita). Conseguentemente, il modello non fornisce il giusto valore globale di energia, mentre può essere utilizzato per valutare l'energia del segnale fisico su un intervallo [mito. Questo modello matematico è relativo a un segnale a potenza finita, mentre la forma d'onda fisica è un segnale a energia finita, in quanto appunto presenta una quantità [mita di energia. Formalizzeremo le definizioni di energia e di potenza nel paragrafo successivo. Vogliamo qui mettere in evidenza che tutti i segnali fisici sono a energia finita, anche se generalmente vengono adoperati modelli a potenza finita per semplificare l'analisi.

Operatore di media temporale Le proprietàfondamentalidei segnalisono il valoremedio,detto anchecomponentecontinua, la potenzamediae il valoreefficace.

2-1

35

Proprietà dei segnali e del rumore

w(t)

Il segnale va a zero per

t

Il segnale va a zero per t = +00.

= -00.

4T

T

5T

t-

(a) Fonna fisica del segnale digitale w(t)

Il segnaIe si estende a partire da t =-00

Il segnale si estende a partire da t = +00. T

(b) Modello matematico

2T

3T

4T

5T

6T

7T

t-

del segnale digitale

Figura 2-1

Segnale fisico e sua astrazione matematica.

Prima di introdurre tali concetti è necessario definire l'operatore di media temporale. DEFINIZIONE.

L'operatore di media temporale I è dato da l

([ .J) = lim T ~oo

T

f

T/2

-T/2

[.J dt

(2-1)

È facile rendersi conto che questo operatore è lineare poiché, per la (2-1), la media di due quantità è la somma delle rispettive medie2: (2-2)

L'Equazione (2-1) può essere ridotta a una forma più semplice se l'operatore è applicato a un segnale periodico. DEFINIZIONE.

Un segnale w(t) è periodico con periodo To se w(t)

= w(t + To)

per ogni t

dove To è il più piccolo numero positivo che soddisfa questa relazione3. I Nell' Appendice B è definito l'operatore di media statistica. 2 Si veda la (2- 130) per la definizione di linearità.

3 Le fonne d'onda non periodiche sono chiamate aperiodiche.

(2-3)

36

Capitolo 2 - Segnali e spettri

Per esempio, un segnale sinusoidale di frequenzafo = l/To hertz è periodico, poiché soddisfa la (2-3). Da questa definizione, è chiaro che un segnale periodico è definito sull'intervallo (-00, 00). Di conseguenza, i segnali fisici non potranno essere a rigoreesattamente periodici, ma lo saranno solamente su un intervallo temporale finito. Questoè equivalente a dire che la (2-3) può essere soddisfatta solo su un intervallo temporalefinito, e non per tutti i valori di t. TEOREMA.

Se un segnale è periodico, l'operatore di media temporale si riducea

([.]) = -

l

To

f

To/2+a

[.] dt

(2A)

-To/2+a

dove To è il periodo della forma d'onda e a è una costante reale arbitraria che può essere anche scelta uguale a zero. La (2-4) si ricava dalla (2-l) pensando di calcolare l'integrale in quest'ultima e dopo aver suddiviso l'asse reale in intervalli successivi di ampiezza a To. Tutti questi contributi all'integrale sono uguali, essendo il segnale periodico di periodo To; facendonela somma, l'integrale risultante è direttamente proporzionale a T, quindi il risultato fornito dalla media è lo stesso di quello ottenuto integrando su un periodo e dividendo per l'intervallo To. In conclusione, la (2-1) può essere applicata per valutare la media temporaledi qualsiasi segnale, periodico o meno, mentre la (2-4) può essere utilizzata soltanto per segnali periodici.

Valore medio DEFINIZIONE.La componente continua (o valor medio temporale) di un segnale w(t) è data dal risultato della media temporale (w(t). Così, Wm

= Wdc =

T/2

l

lim

-

T--,>oo

T

f

w(t) dt

(2-5)

-T/2

Per una forma d'onda fisicamente realizzabile, o in breve fisica, si può valutare il valore medio su di un intervallo temporale finito, diciamo da t( a t2, pertanto la componente continua è pari a l t2 - t(

t2

jt,

w(t) dt

Utilizzando un modello matematico corrispondente alla versione "a regime" del segnale fisico, si otterrà il risultato giusto applicando la (2-5) in cui si presuppone il passaggio al limite con T ---+00, come sarà dimostrato nell 'Esempio 2-1.

2-1

37

Proprietà dei segnali e del rumore

Potenza Nei sistemi di comunicazione, se la potenza (media) del segnale utile ricevuto è sufficientemente grande rispetto alla potenza (media) del disturbo, è possibile recuperare fedelmente l'informazione trasmessa. Questo concetto è stato dimostrato da Shannon nel 1948 mediante la definizione della capacità di canale (l-IO) e il relativo teorema di codifica, secondo il quale l'informazione, sotto certe ipotesi, può addirittura essere recuperata senza alcuna degradazione. Di conseguenza, il concetto di potenza media è importante e deve essere ben chiarito. Dalla fisica, è noto che la potenza è definita come il lavoro per unità di tempo, la tensione come lavoro per unità di carica, e la corrente come carica per unità di tempo. Sulla base di questi concetti possiamo definire la potenza in un circuito elettrico. DEFINIZIONE.Indichiamo con v( t) la tensione ai capi di un circuito e con i(t) la corrispondente corrente, come mostrato nella Figura 2-2. La potenza istantanea associata al circuito è pari a p(t)

= v(t)i(t)

(2-6)

dove la potenza istantanea fluisce nel circuito quando p( t) è positiva e viceversa quando è negativa. La potenza media è p

= (p(t) = (v(t)i(t)

(2-7)

Esempio 2-1 Il circuito di Figura 2-2 contiene una lampada al neon da 220 V e 50 Hz. Supponiamo in prima approssimazione che la tensione e la corrente siano entrambe sinusoidali e in fase (fattore di potenza unitario), come mostrato in Figura 2-3. Il valore in continua della tensione è Vrn

= (v(t» = (V COS =

-

l

To lù(} = 2 TriTo e fa za istantanea è dunque dove

f

V COS lù(}t dt

= (V COS

lù(}t)(I

=O

(2-8)

-To/2

= llTo = 60 Hz. Analogamente, p(t)

lùQt)

TO/2

COS lù(}t)

si dimostra che Idc = O.La poten-

= WI(1 +

COS 2lù(}t)

(2-9)

e la potenza media è p

= (!VIe l

=-

VI

2To VI 2

+ cos 2lù(}t» To/2

f-To/2(1 + cos 2lù(}t)dt (2-10) (Continua)

38

Capitolo 2

- Segnali e spettri i( t)

Circuito

Figura 2-2 Convenzioni per la polarità di tensione e corrente.

v(t)

t-

o

(a) Tensione

i( t)

f(b) Corrente

p(t)

l TVI To

(c) Potenza istantanea

Figura 2-3 Formed'onda a regimeper l'Esempio2-1.

f-

2-1

39

Proprietà dei segnali e del rumore

Come si capisce dalla (2-9), la potenza (e perciò la luce emessa) è in pratica una serie di impulsi aventi frequenza di ripetizione 2/0 = 120 impulsi al secondo, e infatti questo tipo di lampad~ può essere utilizzato come stroboscopio per far apparire fermi, cioè per "congelare", oggetti meccanici in movimento. La potenza di picco è VI, e quella media è !VI, dove V e I sono rispettivamente i valori di picco della tensione e della corrente. Inoltre, in questo caso di tensioni e correnti sinusoidali, la potenza media può essere ottenuta moltiplicando V/...J2 per 1/...J2.

Valore

efficace

e potenza

normalizzata

DEFINIZIONE.Il valore efficace (rms) di w(t) è Weff = ~(w2(t» TEOREMA.

media è

(2-11)

Se un carico è resistivo (cioè con fattore di potenza unitario), la potenza

(2-12)

= /;ccR = VeCC/eCf

dove R è il valore del carico resistivo. La (2-12) segue dalla (2-7) applicando la legge di Ohm v(t) = i(t)R, e l'Equazione (2-11). Continuando l'Esempio 2-1, il valore nominale di 220 V si riferisce proprio al valore efficace della tensione erogata, cioè si ha Veff= 220 V. Dalla (2-11) troviamo che per forme d'onda sinusoidali,Veff= V/...J2e leff = 1/...J2. Così,utilizzandola (2-12),si dimostrache la potenza media è !Vl, cioè lo stesso valore ottenuto nella discussione precedente.

Spesso, nell'analisi e nel progetto dei sistemi di comunicazione, si utilizza il concetto di potenza normalizzata, cioè quella calcolata per R pari a l a. Questa condizione equivale al considerare il valore della potenza normalizzata al valore della resistenza. Teniamo conto infatti che calcolando il rapporto di due potenze (ad esempio nel calcolo del rapporto tra la potenza di segnale e quella di rumore), la resistenza viene automaticamente a cancellarsi, quindi adoperando le quantità normalizzate si ottiene il comunque il valore esatto. Se poi è richiesto il valore effettivo della potenza, questo può essere ottenuto "denormalizzando" la corrispondente quantità normalizzata. Dalla (2-12), si vede che la radice quadrata della potenza normalizzata è il valore efficace. DEFINIZIONE.La potenza media normalizzata è P

= (W2(t» =

l

lim

-

T --700 T

f

T/2

W2(t) dt

-T/2

dove w(t) rappresenta una tensione o una corrente.

(2-13)

40

Capitolo 2

- Segnali e spettri

Segnali a energia finita e a potenza finita DEFINIZIONE. W(t) è un segnalea potenzafinita se e solo se la potenzanonnalizzatamediaè finita e non nulla (cioèO < P < 00). DEFINIZIONE.

L'energia normalizzata totale è E

= lim T ~oo

f

T/2

W2(t) dt

(2-14)

-T/2

DEFINIZIONE.w(t) è un segnale a energia finita se e solo se l'energia nonnalizzata è finita e non nulla (cioè O < E < 00). Da queste definizioni, si capisce che un generico segnale può appartenere a una sola classe, cioè o è a potenza o è a energia finita. Se w(t) ha energia finita, la potenza mediata su un intervallo infinito è nulla, mentre se la potenza (mediata su un intervallo infinito) è finita, necessariamente l'energia è infinita. Si possono anche trovare funzioni matematiche, come per esempio w( t) = e-I che hanno sia energia che potenza infinita, e dunque non appartengono a nessuna di queste due classi. Le forme d'onda fisicamente realizzabili sono a energia finita, ma spesso si modellano con segnali a durata infinita e potenza finita. Infatti, gli strumenti di laboratorio che misurano grandezze medie, come per esempio la componente continua, il valore efficace, la potenza media e così via, effettuano l'operazione di media su un intervallo temporale necessariamente finito, cioè - in altri termini - T nella (2-1) assume valori finiti. Le quantità medie misurate in laboratorio (ottenute con una media su un intervallo finito, anche se adeguatamente grande) saranno quindi le stesse di quelle calcolate utilizzando il modello matematico corrispondente di segnale a potenza finita (naturalmente con operazioni di media sull'intervallo infinito secondo la definizione). Il deciBel Molto spesso il rapporto tra livello di potenza all'uscita di un circuito e quello all'ingresso è espresso come valore in deciSel (abbreviato dB), e cioè come dieci volte il logaritmo in base lO del valore effettivo4. DEFINIZIONE.

dB

Il guadagno in deciSel di un circuito è5

=

Pout lO log potenza medi~ d'ingr~sso = lO log ( potenza medIa d'uscIta ) ( Pin )

(2-15)

Questa definizione indica il livello di potenza in uscita rispetto a quello all'ingresso, senza quindi indicarne il livello assoluto. Nel caso di carichi resistivi, dalla (2-12) si ha

dB = 20 log

Verr OUI

( Verr in )

+ lO log

~ ( Rcarico)

(2-16)

4 Il moltiplicatore lO si riferisce al fatto che l'unità di misura è il Bel, pari semplicemente al logaritmo del rapporto delle due quantità. Il deciBel è la decima parte del Bel, quindi x Bel sono pari a IOx deciBel. 5 Il logaritmo in base IO sarà denotato con log('), e il logaritmo in base e con In('). Si noti che sia il de-

ciBel che il rapporto P ouJPin sono quantità adimensionali.

2-1

41

Proprietà dei segnali e del rumore

oppure dB

= 20 log

I eff out

(

I eff in

)

+ lO log

Rcarico

(

Rin

(2-17)

)

Si noti che il valore in dB, utilizzando la relazione per la potenza (2-15), per la tensione (2-16), o per la corrente (2-17), è sempre lo stesso. In altre parole, anche se la definizione di guadagno in dB riguarda propriamente il logaritmo del rapporto di potenze, tale quantità può essere valutata anche mediante il rapporto delle tensioni o delle correnti. Se viene utilizzata la potenza normalizzata, dB = 20 log Questa equazione munque

è pratica

comune

Veff out

(

Veff in

)

= 20 log

Ieff out

(

I eff in

fornisce il vero valore del guadagno usare la (2-18)

=

anche se Rin

(2-18)

)

solo se Rin

= Rcarico;co-

Rcarico e anche se il valore

che si

ottiene non è giusto. Si capisce però il vero valore può comunque essere calcolato dalla (2-16) o dalla (2-17) conoscendo i valori di Rin e Rcarico. Se il valore in dB è noto, si può ottenere facilmente il rapporto delle potenze o delle tensioni invertendo le equazioni appena introdotte. Ad esempio, se si vuole ottenere il rapporto delle potenze, dalla (2-15) si trova Pout

=

lOdB/1O

(2-19)

Pin

La misura in dB può essere anche utilizzata per esprimere il rapporto tra la potenza di segnale e di rumore nei vari punti di un sistema. DEFINIZIONE.Il rapporto segnale-rumore in dB è6 (S/N)dB

=

lO log

P Segnale

( Prumore)

=

lO log

( (ns:(t) (t) )

(2-20)

Poiché la potenza di segnale è (s2(t)/R = V;ff segnale/R e la potenza di rumore è (n2(t)/R =V;ff rumore/R,questa definizione è equivalente a (S/N)dB

= 20 log

Veff Segnale

( Veff

rumore

)

=

(2-21)

La misura in dB può anche essere utilizzata per indicare un livello assoluto di potenza rispetto a un livello di riferimento. DEFINIZIONE.

Il livello di potenza in dBm è dBm

=

(watt) lO log valore della potenza 3 10( )

=

30 + lO log[valore della potenza (watt)]

(2-22)

6 Questa definizione riguarda il rapporto della potenza media di segnale e della potenza media di rumore. Una definizione alternativa, spesso utile per alcune applicazioni, comporta il rapporto della potenza di picco di segnale e la potenza media di rumore.

42

Capitolo 2

- Segnali

e spettri

dove la "m" nell'abbreviazione dBm indica proprio il livello di riferimento pari a l milliwatt. I generatori di segnale RF comunemente utilizzati in laboratorio sono calibrati in dBm. Se invece si utilizza come riferimento il livello di potenza di 1 W, il livello in dB è denominato dBW. In base a queste convenzioni, una potenza di 5 W può essere specificata come +37 dBm o come 7 dBW. Nell'industria telefonica era anche comune l'uso di una misura in dB con un livello di riferimento di 1 picowatt (10-12 W) [Jordan, 1985]. Questa misura è denominata dBrn, e un livello di O dBm corrisponde a -90 dBm. Nella televisione via cavo (CATV) si usa talvolta come riferimento 1 millivolt efficace su 75 il (che è l'impedenza standard dei cavi televisivi), denominato dBmV e definito come Veff

dBmV

= 2010g

( 10-3)

(2-23)

dove OdBmV corrisponde a -48.75 dBm. Si noti infine che la (2-7) è l'espressione generale per valutare la potenza media per qualsiasi tipo di forma d'onda e di carico, mentre la (2-12) vale solo per carichi resistivi.

Fasori Nella pratica di laboratorio e nell'analisi dei circuiti spesso vengono utilizzati segnali di prova sinusoidali per i quali è impiegata una particolare notazione, dettafasoriale.

DEFINIZIONE. Un numerocomplessocomplessoc = Icle jL£ è ilfasore di una for-

ma d'onda sinusoidale se w(t)

= Icl cos[wot + L£.] = Re{cejwot}

(2-24)

dove Re{.} indica la parte reale di una quantità complessa. La quantità cejwotviene chiamata fasore rotante per distinguerla dal fasore c. Poiché un fasore è una quantità complessa, esso può essere espresso in forma rettangolare o polare, cioè

c ~ x + jy = !cleh'

(2-25)

dove x e y sono numeri reali riferiti a un sistema di assi cartesiani, mentre Icl e L£. =

--00

w(x) o(x

-

xo) dx

= w(xo)

(2-47)

Attraverso questa operazione estraiamo cioè un campione del segnale dato. Un'ulteriore rappresentazione di 8( x) è la seguente:

o(x)

(2-48)

= Joo dy --00 e:f:.j21rxy

dove può essere usato sia il segno + che il segno - (e da questo si capisce che 8(x) è pari: 8(-x) = o(x)). La validità della (2-48) può essere verificata prima calcolando la trasfonnata di Fourier della funzione delta Joo --00 8(t)e-j21r/t dt

= eO =

l

e poi calcolandone l'antitrasfonnata: la relativa relazione coincide proprio con la (2-48) Per le altre proprietà della funzione delta si rimanda all'Appendice A. Un segnale strettamente collegato alla funzione delta di Dirac è il gradino unitario. DEFINIZIONE.Il segnale gradino unitario u(t) è definito da l, u(t) = {O,

t>O tO /
O

/ T 2 DEFINIZIONE.

Indicheremo con Sa(.) la funzione Il sin x Sa(x) =- x

DEFINIZIONE.

(2-53)

Indicheremo con A(') l'impulso triangolare

It I :5

T

(2-54)

Itl >T Questi segnali sono illustrati nella Fig. 2-5, mentre la funzione Sa( x) è tabulata nel Paragrafo A-9 dell'Appendice A. Esempio

2-5 SPETTRO DI UN IMPULSO RETIANGOLARE

Valutiamo la TF di w(t)

= TI(t/T). T/2

W(f) =

e-jwT/2 - ejwT/2

J-T/2le-jwt dt

= T

=

. -JW

sin( wT/2) = T Sa( TrTf) wT/2

da cui TI (;

)H

T Sa( TrTf)

(2-55)

Il calcolo numerico di questo integrale è riportato nel file E2_055N.M, mentre la coppia TFATF è mostrata in Figura 2-6. Si noti la relazione che sussiste tra la durata T dell'impulso nel tempo e il primo nullo l/T dello spettro in frequenza. Dal teorema di dualità di Tabella 2-1, possiamo anche ricavare lo spettro di un segnale del tipo (sin x)/x che sarà di tipo "rettangolare". Infatti, tenendo conto che TI(x) è una funzione pari e applicando il teorema di dualità alla (2-55), si ottiene T Sa( TrTt) H TI ( -

n = TI U)

Sostituendo poi il parametro T con 2W, si ricava la coppia TF-ATF:

Sa(2TrWt) H

C~ )

(2-56)

Il Una definzione simile è quella della funzione sinc(A) = (sin( TrA)/(TrA», che è tale per cui Sa(x) = sinc( 1T/X).Le funzioni Sa(x) e sinc(x) sono sostanzialmente equivalenti, ma possono essere confuse per la presenza del fattore di scala.

2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

55

n(~) -

t-

T "2

(a) Impulso rettangolare

1.0 I Sa(x)

-3'1T

-271'

~ sinx x

71'

471' x-

3'1T

(b) Funzione Sa(x)

1.0

-T

t-

T

(c) Impulso triangolare

Figura 2-5

Fonne d'onda e corrispondente notazione simbolica.

illustrata in Figura 2-6b, dove W è la banda in hertz. Gli spettri mostrati in Figura 2-6 sono reali poiché gli impulsi nel dominio del tempo sono reali e pari. Se però gli impulsi sono traslati temporalmente si perde la simmetria pari,e gli spettri saranno complessi. Per esempio, se

l, v(t) = { O,

O< t < T

altrove

}

= TI t - T/2

(

T

) (Continua)

56

Capitolo 2 - Segnali e spettri Dominio

Dominio della frequenza

del tempo

T Sa('lTTf) I.OT

1.0 T

(a) Impulso

1-

T 2

-2

rettangolare

e suo spettro 2WSa(271WI)

n(k)

2W

-w

!-

w

(b) Funzione Sa(x) e suo spettro

I.OT

1.0

(c) Impulso

3 2 I -7'" -T -T

T 1-

-T triangolare

I T

2 T

!-

e suo spettro

Figura 2-6 Spettro dell'impulso rettangolare, della fu~one (sin x)/x e dell'impulso triangolare. allora, utilizzando il teorema del ritardo e la (2-55), si ottiene la TF: (2-57)

V(J) = Te-j1TfTSa( 7TTf) In forma rettangolare, la (2-57) diventa V(J) = [T Sa( 7TfT) cos( 7TfT)] + j[ -T Sa( 7TfT) sin( 7TfT)] X(J)

(2-58)

Y(J)

Lo spettro in ampiezza di v(t) è sin 7TfT

IV(J)I = T I

7TfT

(2-59) I

2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

57

e quello di fase è

o, 8(f) = j e- j1rfT+ jSa( 1TfT) = -1TfT +

l

1T,

n T O t O

{ O,

!8(f) l

j1Tf 8(f) e-i211-jto

{

-l,

+ j21TI

t< O

8(t - to)

l II I 2W ( 2W )

sinc

Sa(21TWt)

Fasore Sinusoide 8(f + Ic) Gaussiana

ei(lL\J/+q»

eitp

cos(wct

!eitp8(f - Ic) + !e-itp

+ cp)

8(f - fo)

e-1f(t Iro)'

e-tIT, { O,

Esponenziale, monolatera

T

t> O t< O

l + j21TIT 2T

Esponenziale, bilatera

l + (21TIT)2 k=oo

11=00

I 8(t k=-=

Treno di impulsi

kT)

lo

I

n=~

8(f - nlo),

dove/o = l/T

Per mezzo del teorema di Parseval, Equazione (2-41), la potenza media nonnalizzata diventa allora .

p

=

lim

~

T-+oo T

f

ooIWT(f)12 df

-00

oo

=

f

-00

lim

( T-+oo

IWT(f) 12 df T

)

(2-65)

dove Wdf) = ~[wdt)]. La funzione integranda relativa all'integrale a destra ha unità di misura VZlHz o A2IHz e può quindi essere definita come densità spettrale (cioè relativa all'unità di banda) della potenza. DEFINIZIONE. La densità spettrale di potenza (DSP) di un segnale detenninato a potenza finita èl2 12Le Equazioni (2-66) e (2-67) forniscono la DSP e la pOlenza entrambe normalizzate rispetto all'ipotetica resistenza di carico di I fi. Per ottenere i valori effettivi non normalizzati, !jJ> w(f) deve essere modificata. In panicolare,

se w(t) è la tensione ai capi di un carico di R ohm, la DSP non normalizzata

è !jJ>w(f)IR W/Hz,

Se invece w(t) è la corrente che fluisce in un carico di R ohm, la DSP non normalizzata è !jJ>w(f)R W/Hz.

2-3

Densità spettrale di potenza e funzione di autocorrelazione

63

(2-66)

dove WT(t) ~ WT(J) e flPw(J)è misuratain V2(A2)!Hz. La DSP è naturalmente una funzione della frequenza reale non negativa. Essa non dipende inoltre dallo spettro di fase di w(t) per la presenza dell'operazione di modulo contenuta nella (2-66). Per la (2-65), la potenza normalizzata risulta (2-67) essa è l'integrale della funzione DSP.

Funzione di autocorrelazione Defmiamo adesso una funzione collegata alla DSP, chiamata funzione di autocorrelazione R( T). DEFINIZIONE.Lafunzione di autocorrelazione di un segnale reale èl3 RlO(r) ~ (w(t)w(t

+ T)~ = lim -

l

T ~oo T

f

T/2

w(t)w(t

+ r) dt

(2-68)

-T/2

Si può dimostrare che la DSP e la funzione di autocorrelazione costituiscono una coppia TF-ATF: (2-69) Questo risultato, chiamato teorema di Wiener-Khintchine, sarà ulteriormente esaminato, assieme alle proprietà di R( r) e di 'lP(J), nel Capitolo 6. In conclusione, la DSP può essere calcolata mediante uno dei seguenti due metodi. 1. Metodo diretto, utilizzando la definizione (2-66)14. 2. Metodo indiretto, valutando prima la funzione di autocorrelazione e quindi trasformando con Fourier: flPw(J) = ~[Rw( r)].

Il I

Per quanto riguarda la potenza normalizzata del segnale w(t), essa può essere valutata utilizzando uno dei quattro approcci riassunti dalla seguente equazione:

Il

I I

p

= (W2(t) = W;ff = foo-00 flPw(J)df

=

(2-70)

Rw(O)

"i Il'

Il

13 La

funzione di autocorrelazione di un segnale complesso è R,.( T) ,g,(w(t)w(t

14 Il metodo

diretto

è di solito

più difficile

di quello

indiretto.

+ T).

64

Capitolo 2 - Segnali e spettri

Esempio 2-10

PSD DI UNA SINDSOIDE

Calcoliamo la DSP del segnale

=A

w(t)

sin aJot

mediante il metodo indiretto. L'autocorrelazione è Rw(7)

= (w(t)w(t =

l lim T-->ooT

+ 7»

f

T/2

A2 sin aJot sin Cù()(t + 7) dt

-T/2

Utilizzando un'identità trigonometrica, dall' Appendice A otteniamo A2

Rw( 7)

=-

2

I

-

COSaJo7 lim T-->ooT

f

T/2

-T/2

A2

dt - -

2

l

lim -

T-->ooT

T/2

f

-T/2

cos(2Cù()t+ aJ(7) dt

che si riduce a (2-71) La DSP è,pertanto A2

A2 rzpw(f)

= ?]i [""2

COS aJo7 ] ="4

[8(f

- fa)

+ 8(f + fa)]

(2-72)

che è diversa dallo spettro d'ampiezza di w(t) trovato nell'Esempio 2-4 e illustrato in Figura 2-4. La potenza normalizzata si trova mediante la (2-67): oo

p=

A2

A2

-[8(f-fo)+8(f+fo)]df=f-= 4

(2-73)

2

come già noto dal calcolo temporale (2-74) Il lettore calcoli per esercizio la DSP del segnale A cos Cù()te dimostri che è identica a quella appena ricavata (perché?).

Abbiamo finora studiato le principali proprietà dei segnali e del rumore, come lo spettro, la potenza normalizzata, il valore efficace ecc., ma non ci siamo preoccupati del modo con il quale i segnali possono essere rappresentati, forniti, conosciuti. Naturalmente, il metodo che vorremmo sempre usare è quello di procurarsi una relazione matematica che descriva in forma chiusa il segnale stesso. Questa possibilità spesso non esiste o non è conveniente. Un esempio di "rappresentazione" alternativa dei segnali, già noto dai corsi di matematica, è quello di utilizzare lo sviluppo in serie di potenze (serie di Taylor) rispetto un punto a: 00

w(t) =

I

11=0

w(n)(a) n!

(2-75) (1 - a)n

2-4

Rappresentazione

su base ortogonale

dei segnali e del rumore

65

Peso

V~ -fo Figura 2-9

4

1-

fo

Spettro di potenza della sinusoide.

dove

=

w(n)(a)

(2-76)

dnw(t) dtn I

t=a

Se è noto il singolo valore delle varie derivate del segnale (di qualunque ordine) per t = a è completamente noto anche l'andamento del segnale per tutti gli istanti del tempo. Un altro tipo di rappresentazione, che discuteremo nel paragrafo successivo, è l'espansione su base ortogonale.

2-4 RAPPRESENTAZIONE SU BASE ORTOGONALE DEI SEGNALI E DEL RUMORE La rappresentazione su base ortogonale dei segnali e del rumore ha varie applicazioni significative nei problemi riguardanti i sistemi di comunicazione, ad esempio nel campionamento dei segnali e nella descrizione dei segnali digitali.

Funzioni ortogonali Primadi studiarele rappresentazionisu baseortogonale,dobbiamodefinirel'ortogonalità tra funzioni. DEFINIZIONE. Le funzioni qJ,,(t) e qJm(t)sono ortogonali sull'intervallo a < t < b se soddisfano la condizione

f: qJ,,(t)qJ~(t) dt

= O,

dove n ,p m

(2-77)

Raccogliendo le funzioni in un insieme {qJn(t)} al variare di n, esse sono tali che

f

b

a

qJn(t)qJ~,(t)dt =

O, { Kn,

n ,p m = K"Dnm n - m}

(2-78)

dove

D"m ~

O, { l,

: ::}

(2-79)

è chiamata delta di Kronecker. Se le costanti Kn sono unitarie, le qJn(t)sono un insieme di funzioni ortonormali.

66

Capitolo 2 - Segnali e spettri

Possiamo interpretare la (2-77) come "test" per verificare l' ortogonalità tra due funzioni date. Se l'integrale sull'intervallo (a, b) del prodotto delle funzioni è nullo, esse sono ortogonali. Se al contrario il risultato non è nullo, le funzioni non sono ortogonali, e conseguentemente presentano una qualche dipendenza o "somiglianza".

Esempio

2-11 FUNZIONI ESPONENZIAU COMPLESSE ORTOGONALI

Dimostriamo che l'insieme delle funzioni esponenziali complesse {ejn~l} sono ortogonali sull'intervallo a < t < b, dove b = a + To se To = l/fo, ~ = 2'TTfo,e n è un intero. Soluzione.

f

Sostituendo q>n(t)= ejn~1 e q>m(t) = ejn~1 nella (2-77), si ottiene

b

a fOn(t)fO;'(t) dt

=

f

a+To ejn~1

dt

e-jm~1

=

a

a+TO

f

ej(n-m)~1

dt

(2-80)

a

Per m oF n, la (2-80) diventa

f

a+TOej(n-m)~1 dt

= ej(n-m)-[ej(,,-m)21T

- 1]

j(n - m)~

a

visto che ej(n-m)21T = cos [21T(n

-

m)] + j sin [21T(n - m)]

=

o

(2-81)

1. In questo modo, la (2-

77) è soddisfatta, e di conseguenza, le funzioni esponenziali complesse sono ortogonali sull'intervallo a < t < a + To, dove a è una costante arbitraria positiva. Per n = m, la (2-80)diventa a+TO

f

q>n(t) q>~(t) dt

a

=

f

a+To

a

1 dt

= To

(2-82)

e sostituendo la (2-82) nella (2-78), si trova K" = To per tutti i valori di n. Poiché Kn oF 1, queste funzioni non sono ortononnali. Però si può facilmente normalizzare l'insieme delle funzioni esponenziali complesse con un opportuno fattore di scala, ottenendo l'insieme ortonormale

Sviluppo

su base ortogonale

Supponiamo che w(t) rappresenti una qualsiasi forma d'onda (segnale utile, rumore, oppure una combinazione di segnale e di rumore) di cui vogliamo trovare una rappresentazione su di un intervallo a < t < b. Si ottiene una rappresentazione su base ortogonale di tale segnale applicando il seguente teorema. TEOREMA.w(t) può essere rappresentato sull'intervallo a < t < b mediante la serie

"

(2-83)

2-4

Rappresentazione

su base ortogonale dei segnali e del rumore

67

dove i coefficienti dello sviluppo (chiamato talvolta serie ortogonale) sono dati da b

I an

(2-84)

= K n Ja w(t)fP~(t)dt

ove in generale la variabile n scorre su un intervallo illimitato. Affinché la (2-83) sia una rappresentazione esatta di un segnale fisico (cioè a energia finita), l'insieme ortogonale deve essere completo. Questo implica che l'insieme {fPn(t)} può essere utilizzato per rappresentare qualsiasi segnale a energia finita con un errore avente energia arbitrariamente piccola [Wylie, 1960]. In generale, è difficile dimostrare che un insieme di funzioni è completo. Si può però dimostrare che l'insieme delle funzioni esponenzialicomplesse e l'insieme delle funzioni armoniche sinusoidali del Paragrafo 2-5 sono completi [Courant e Hilbert, 1953]. Altri insiemi completi di suo frequente sono quelli delle funzioni di Bessel, dei polinomi di Legendre, e (sotto qualche ulteriori ipotesi) delle funzioni tipo sin(x - n)f(x - n) come illustrato dalla (2-161). Dimostrazione. Supponiamo dapprima che l'insieme {fPn(t)} sia sufficiente per rappresentare il segnale. Allora, affinché la (2-83) sia vera, occorre solo dimostrare che la relazione per valutare i coefficienti an è quella giusta. Pertanto, applichiamo a entrambi i membri di tale equazione l'operatore di integrale {b[.]

(2-85)

fP:;'(t)dt

ottenendo

f:[W(t)]fP:;'(t)dt

= f: = Ian n

[~anfPn(t)]

fP:;'(t)dt

Jba fPn(t) fP:;'(t)dt

= IIl

anKn8nm (2-86)

da cui segue la (2-84). Le funzioni ortonormali fPit) sono segnali determinati, quindi se la funzione da rappresentare w( t) è determinata, allora anche i coefficienti {aj} lo saranno, e saranno facilmente calcolabili. Nel Capitolo 6 dimostreremo che se w(t) è un processo stocastico (cioè il modello matematico di un disturbo non determinato), allora {aj} è un insieme di variabili aleatorie che danno una rappresentazione del processo. Possiamo usare la (2-83) per "ricostruire" il segnale w( t) a partire dalle funzioni fPj(t) e dai particolari coefficienti aj. In questo caso, w(t) può essere ben approssimata utilizzando un numero finito (ragionevolmente piccolo) di funzioni fPj (t). La Figura 2-10 indica come è possibile sintetizzare w( t) sommando le funzioni fPj (t), opportunamente pesate con i coefficienti {aj} (segnale reale).

68

Capitolo 2 - Segnali e spettri Generatore di funzione l

Generatore di funzione 2

w(t)

/

Clock

Generatore di funzione N

'l'N(t)

Figura 2-10 Generazione di forme d'onda mediante l'uso di funzioni ortogonali.

2-5 SERIE DI FOURIER La serie di Fourier è un particolare tipo di rappresentazione su base ortogonale con funzioni sinusoidali oppure esponenziali complesse.15 Risulta molto utile per risolvere vari problemi nell' ambito delle telecomunicazioni.

Serie di Fourier in forma complessa La serie di Fourier in formacomplessautilizzal'insieme delle funzioniesponenzialiortogonali (2-87) dove n è un intero, To = (b - a) la lunghezza dell'intervallo su cui la serie (2-83) è definita, wo = 21T/Toe KIl = To. Dalla (2-83) deriva il seguente teorema. TEOREMA. Un segnale a energia finita può essere rappresentato sull' intervallo a < t < a + To dalla serie di Fourier n=oo

w(t) =

I

(2-88)

n =-00

15I matematici chiamano talvolta qualsiasi serie ortogonale

una serie di FOllrier.

2-5

Serie di Fourier

69

dove i coefficienti complessi dello sviluppo sono dati da 1 CII

e dove £Vo=

271/0

=

To

j

a+To

w(t)e-jll~t

a

dt

(2-89)

= 271/To.

Se la forma d'onda w(t) è periodica con periodo To, la rappresentazione mediante la serie di Fourier vale su tutto l'asse temporale (e cioè per -00 < t < +00), in quanto sia w( t) che ({JII( t) sono periodiche con lo stesso periodo. In questo caso, la scelta del parametro a è arbitraria e di solito è fatta scegliendo a = O oppure a = - To/2 per semplicità. La frequenza/o

=

l/To è chiamata/ondamentale,

mentre la frequenza n/o con n > 1

è la n-esima armonica. Il coefficiente di Fourier Corappresenta il valore medio della forma d'onda, in quanto con n = O, la (2-89) è identica alla (2-4). Il coefficiente CII[chiamato coefficiente di FOl!rierdel segnale w(t)] è complesso, ed è interpretabile come un fasore essendo il coefficiente di una funzione del tipo ejùJt,e la (2-88) è chiamata serie di Fourier in forma complessa. Elenchiamo adesso alcune proprietà della serie di Fourier in forma complessa: l. Se w(t) è reale, (2-90) 2. Se w(t) è reale e pari [cioè w(t)

= w(-t)), Im[clI) = O

(2-91)

3. Se w(t) è reale e dispari [cioè w(t) = -w(-t)), Re[clI) = O

4. Il teorema di Parseval è

;0 ja+TOIW(tWdt a

= 11=-00 lIioolclIJ2

(2-92)

5. I coefficienti della serie in forma complessa di un segnale reale sono legati a quelli della serie in forma rettangolare da [si vedano le (2-96)-(2-98)]

! CII =

ali

-

j!

bll,

ao, [

! a-Il + j!b-II,

n> O n= O n< O

(2-93)

6. I coefficienti della serie in forma complessa di un segnale reale sono legati a quelli della serie in forma polare da [si vedano le (2-106) e (2-107)]

! D ~, CII

= Do, [ ! D-Il /-CP-II'

n>O n =O no --=w(t)'P~(t)

dt r

=fs

IO --= W(f)~(f) dI

(2-166) I

Sostituendo la (2-164) otteniamo j,j2

an =

I-j,j2

W (f)e-j21r!(nj!,) dI

(2-167)

Poiché W(f) è per ipotesi zero per 111> B, dove B :5 fs /2 (segnale limitato in banda), gli estremi di integrazione possono essere estesi a (-00, 00) senza alterare il risultato. L'integrale coincide allora con la ATF di W(f) valutata per t = n/fs. Pertanto, an = w(n/J,), che è la (2-159). Usando questi coefficienti per ricostruire il segnale secondo la rappresentazione su base ortogonale (2-83), si ottiene esattamente la (2-160) che viene anche chiamata formula d'interpolazione cardinale. Dalla (2-167) è ovvio che la minima frequenza di campionamento necessaria per ricostruire il segnale senza errori è (fs)min

= 2B

(2-168)

La relazione!s :22B è anche chiamata condizione di Nyquist. Si può anche dimostrare che l'insieme di funzioni ortogonali (2-161) è completo per i segnali che soddisfano questa condizione Cerchiamo ora di capire se è possibile riprodurre un segnale a banda limitata utilizzando un numero N finito di campioni del segnale. Supponiamo di essere interessati a riprodurre il segnale su di un intervallo di durata To come mostrato in Figura 2-17a. Allora possiamo considerare nella serie in (2-158) solamente le funzioni 'Pn(t)che presentano massimo nell'intervallo di interesse. Pertanto, la forma d'onda può essere approssimativamente ricostruita mediante N campioni con la seguente formula d'intelpolazione:

n=nl+N w(t)

=

I

(2-169)

n=l1l

ove le {'Pn(t)} sono quelle della (2-161). La Figura 2-17b mostra il segnale ricostruito (linea continua) ottenuto da una somma pesata di funzioni (sin x)/x opportunamente ritardate (linea tratteggiata). I vari pesi an = w(n/fs) sono i campioni di segnale evidenziati con i punti. Questi campioni possono essere memorizzati su un file in un calcolatore per ricostruire il segnale successivamente, oppure possono essere trasmessi "in tempo reale" su di un canale di comunicazione per la ricostruzione del segnale al ricevitore mediante la (2-169). Il minimo numero di campioni necessari per ricostruire il segnale su di un intervallo di lunghezza To secondi è

2-7

Segnali e rumore a banda limitata

89

1(a) Segnale campionato

/"

/

-

~

,/

"

/ / I

/

I

/

\

I


2 B. Inoltre, la risoluzione in frequenza è buona in quanto si ha t1f = l/T = 0.1 Hz. Nell'uJtimo grafico della Figura 2-21 è mostrato lo spettro di ampiezza nell'intervallo O < f < fs, con J, = 12.8 Hz. Poiché nel programma MATLAB non è stata applicata la (2184b), la parte del grafico con O < f < 6.8 (fs/2 = 6.8 Hz) corrisponde allo spettro di ampiezza della TF per le frequenze positive, mentre la porzione con 6.4 < f < 12.8 corrisponde alle frequenze negative. Il lettore dovrebbe provare a fissare altri valori per i parametri M, tend e T in modo da verificare l'influenza degli errori di leakage, aliasing e picket-fence quando tali parametri non sono adeguatamente scelti. In particolare, perché si trovano notevoli errori se tend = T?

26 L'algoritmo

FFf

è un metodo veloce per il calcolo

della DFr.

Il numero di moltiplicazioni

com-

plesse richieste per la DFr è all'incirca N2, mentre la FFr (con N potenza di 2) richiede soltanto (N/2) log2N moltiplicazioni complesse. Pertanto, il guadagno che si ottiene con la FFr è 2N/(Iog2N), che ad esempio per N = 512 vale 113.8.

.I I

98

Capitolo 2 - Segnali e spettri TABELLA 2.3 CODICE MATLAB PER CALCOLARE LO SPETTRO DI UN IMPULSO RETTANGOLARE USANDO LA DFf % File: TABLE2_3.M; % Calcolo della FFT per il gradino troncato % Con 'tend' si indica l'estremo superiore M = 7;

del

gradino

= 2~M; n = O:1:N-1;

N

tend

= T/N;

dt t

= 1;

= 10;

T

= n*dt;

della forma d'onda nel dominio del tempo

% Generazione

w

=

zeros(length(t) ,1); for (i = l:l:length(w» if (t (i) '); ylabel

( 'theta

(f)

(gradi)

i primi

4 nulli');

O) ;

title('Spettrodi fase del segnaleper i primi 4 nulli'); gridi subplot

(313) ;

plot(f,abs(W») xlabel('f

; (Hz)

ylabel

( , W (f)

title

('Spettro

I

-->'); I

') ;

di ampiezzadel segnale sull'interoasse

delle frequenze della FFT');

Uso della DFT per il calcolo della serie di Fourier La DFf si può applicareancheper il calcolodei coefficientidellaseriedi Fourierin forma complessa.Dalla(2-89)siha

2-8

99

T

l Cn

Trasformata discreta di Fourier

f

=T

O w(t)e-j2'7TT1fotdt

Approssimando l'integrale con una sommatoria si ottiene N-I

Cn =

~T k=O I w(k

(2-185)

b.t)e-j(21T/N)nk b.t

dove t = k b.t,fo = l/T, dt = b.t, e b.t = T/N. Dalla (2-176) troviamo allora facilmente la relazione tra i coefficienti di Fourier desiderati e la DFf dei campioni di segnale: l (2-186) cn=-X(n) N

o

o

2

3

0.5

4

5

6

t(s)-

1.5

2

[(Hz) -

7

2.5

8

9

lO

3

3.5

4

3

3.5

4

Spettro di fase del segnale per i primi 4 nulli

~

-100

!':~ ......

'');

('w(t)

');

title('Segnale nel tempo'); pause; plot(n,abs(W), for line(

(i = [n(i)

'o');

l:l:length(n») n(i)],

[O abs

end; xlabel

( 'n'

) ;

ylabel (' IW(n) I'); title('Punti della axis([O 16 O 25])

pause;

FFT');

(W (i»)]);

al comando

predefinito:

fftshift

-2-9

TABELLA 2-4

-

-

Banda di un segnale

-

-. --~ - ~- _._~

.

.

103

CODICE MATLAB PER CALCOLARE LO SPETIRO

DI UNA SINU50IDE USANDO LA DFf (seguito) subplot (211) plot(fnl,abs(cn), for

(i =

line

'o');

1:1:1ength(n1»

( [fn1

(i )

xlabel

( 'f

(Hz)

ylabel

(,

fn1

( i)

],

[O

abs

( cn

( i)

) ] ) ;

end; I

c (n)

I

-->'); ') ;

title('SPETTRO DI AMPIEZZA, IW(f) I'); axis([-80 80 O 2]) subplot(212) plot(fn1, zeros (length(fnl) ,1), 'w',fn1,Theta,

i I

'o');

for (i = 1:1:1ength(n1» line

( [fn1 (i)

fn1 (i) L

[O Theta

(i) ] ) ;

end;

l'

xlabel

( 'f

ylabel

( 'theta

title('SPETTRO

(Hz)

-->');

(f) DI

(gradi)'); FASE,

i relativi circuiti devono

Theta(f)

avere

'I;

sufficiente

banda per far passare

il segnale

utile e reiettare

(cioè rigettare, scartare) i disturbi. Ma che cos'è questa larghezza spettrale, chiamata nelle telecomunicazioni banda? Come discuteremo di seguito, esiste più di una risposta a questa domanda, cioè esistono varie definizioni per questa quantità. Finché si utilizza la stessa definizione applicandola a vari tipi di segnale non sorgono particolari problemi. Se però si usano definizioni diverse diventa necessario disporre di "fattori di conversione" per passare da una definizione all'altra, e questi fattori purtroppo dipendono usualmente dal tipo di spettro considerato. Nelle applicazioni, la banda è universalmente considerata come l'estensione di un intervallo considerato soltanto sul semiasse positivo delle frequenze (si noti che stiamo considerando segnali reali e filtri aventi risposta impulsiva reale, per i quali lo spettro in ampiezza è pari rispetto all'origine). In altre parole, la banda di un segnale è una quantità del tipo h - I), doveh > Il ;:::Oe h e Il sono determinatecon un qualchecriterio in base alla definizione scelta. Per segnali e filtri in banda base normalmente Il è pari a zero. Per segnali passa-banda Il > Oe la banda Il < I :) IH(f)12 df In questo modo, la definizione diventa oo

l Beq

=

I £I("

\12

f

(2-192)

o IH(fW df

4. La banda al primo nullo per i sistemi passa-banda è h - fl, dove h è il primo nullo dello spettro d'ampiezza a destra di fo e fl è il primo nullo invece alla sinistra di fa, ove fa è la frequenza in cui lo spettro in ampiezza assume valore massimo.27 Per i sistemi in banda base, fl è come al solito nulla. 5. La banda a -x dB (una generalizzazione della banda a -3 dB) è h - fl, ove fl eh sono tali che lo spettro d'ampiezza IH(f)l2, per le frequenze nell'intervallo fl < f < h è non inferiore di una quantità prefissata, cioè x dB (tipicamente 20 o 50), rispetto al valore massimo. 6. La banda al 99% è h - ft, dove l'intervallo fl < f < h è quello in cui viene a

trovarsi il 99% della potenza totale del segnale. Nel Capitolo 6 definiremo anche la banda efficace, che è invece molto utile per i problemi teorici. Esempio 2-18 BANDADI UN SEGNALEBPSK Useremo un segnale BPSK (Binary Phase Shift Keyed) con modulazione di fase binaria come caso di studio per illustrare come si valuta la banda in base alle varie definizioni appena dale. Il segnale BPSK è (2-194) s(t) = m(t) cos wct dove Wc= 27Tfc,con!c frequenza portante, e m(t) è il segnale modulante binario (valori :t 1) prodotto da una sorgente di informazione dati digitale (un PC che scarica un file da Internet) come illustrato in Figura 2-23a. Valutiamo lo spettro di s(t) nel caso peggiore di massima banda occupata.

27 Nel caso di assenza di nulli nello spettri in ampiezza, la definizione

non è naturalmente

applicabile.

2-9

Banda di un segnale

105

m(t) 1.0

t-1.0 (a) Segnale digitale modulato

I I

"\

"

CfI'(f)

I \

, \ , \

\

, ,

, , ,, I,

, , ,I, ,,,

, ,

-fc -R

-fc +R

fc-R

fc +R

!-

(b) Spettro del segnale BPSK risultante

Figura 2-23

Spettro del degnaIe BPSK.

Lo spettro nel caso peggiore si ha quando il segnale dati modulante è costituito da una continua alternanza di livelli + l e -l, come mostrato in Figura 2-23a. Qui il livello logico + 1 è rappresentato da un impulso di + I V mentre il livello logico -I è un impulso di ampiezza -I V; la velocità di informazione è R = I/Tb bit/s e il segnale è un'onda quadra. Lo spettro di potenza (DSP) dell' onda quadra può essere calcolato mediante sviluppo in serie di Fourier come nelle (2-126) e (2-120):

Cfl'm(J)

= n~-=

ICnl28(J - nfo)

(2-195)

= n~-=[sin~:;~2)r 8(f - n~) n"2(t) dt =

l sin 2mdt = - cos 2m

~

J-0.5

a

27T

. 1

-0.5

-1 = [cos 7T- cos( -7T)] = O 21T

Dato chel'integrale è nullo, la (2-77) è verificata.Di conseguenza,n(t) e sin 2m sonoOTtogonali su -0.5 < t < 0.5. [Nota: Le due funzioni non sono ortogonali sull'intervallo O < t < l, in quanto !'integrale è diverso da zero e vale l/m.]

EA2-7 Uso della SF per valutare la DSP Trovare la SF e la DSP del segnale rappresentato in Figura 2-24. Nell'intervallo O< t < l, v(t) è pari a e'. Soluzione.

Dalle (2-88) e (2-89), dove To = 1 e % = 27T/To = 27T,si ha

=

c n

I

l.

e'e-jnZ"./ dt

l

O

e

-

l

l - j27Tn

=

l

e(1-jZ".n)/

=

-

j27Tn O I

l

1.72

l - j6.28n

Perciò, 00

v(t)

=

1.72

L n=~

l -ej'z".n/ l - j6.28n

Poiché v(t) è periodico, la DSP è costituita da una serie di funzioni delta come quelle nella (2-126), dove/o = l/To. 00

ovvero

2.95 8(f - n) 1!/'(f) = -= l + (39.48)nZ

L 00

EA2-8 Proprietà della SF w(t)

= -w(t

Soluzione.

Il segnale w(t) è periodico di periodo To, e alternativo, cioè

:!: To/2). Dimostrare che Cn

= O per

n pari.

Utilizzando la (2-89) e il fatto che w(t) 1

Cn

=-

To

I

~~

o

w(t)

. l e-jnl4J/ dt - -

To

Ora, eseguendo un cambiamento di variabile, con ti nel secondo, si ha

= -w(t

- To/2), si ottiene

T

fTo/2

.

w(t - To/2) e-jnl4J/ dt

= t nel primo

integrale e ti

=t -

To/2

2-11

1

TO/2.

To fo

=Ma (1 - èjn 17) = O per n

= ...-

Esercizi di approfondimento

111

.

w (tdeln""'lt (1 - e-lnl7) dtl

2, O, 2. ... Così, Cn= O se n è pari. Lo spettro di un se-

gnalealternativocontienesolo armonichedispari. EA2-9 Calcolo della ATF mediante anti-FFT La (2-184) indica come approssimare una TF continua mediante la trasformata di Fourier veloce (FFf). a. Ricavare una formula che indichi come approssimare l'antitrasformata continua con una 10FT.

b. Data la risposta

in frequenza del filtro RC passa-basso H(f)

dove fo

=

=

l

1 Hz, utilizzare la anti-FFf di MATLAB per calcolame la risposta impulsiva

h(t). Soluzione.

(a) Dalla (2-30), l'antitrasformata continua è

Con riferimento alla discussione che ha condotto alla (2-184), possiamo approssimare la relazione precedente con w(kIlt)

= "i,W(ntJ.f)ej217nl:.jkl:.t tJ.f

Ma tJ.t= T/N, tJ.f = 1fT, eJs = 1/tJ.t,perciò

Utilizzando la definizione di 10FT data dalla (2-177), si trova che l'ATF continua è legata alla 10FT da

w(ktJ.t) = !sx(k)

(2-207)

dove x(k) è il k-esimo elemento del vettore a N elementi della DFT. Come già detto nella discussione che ha condotto alla (2-184), gli elementi del vettore X sono scelti in modo che i primi N /2 elementi siano i campioni delle componenti a frequenza positiva di W(f), dove f = nJ1f, mentre i rimanenti N /2 elementi corrispondono ai campioni per le frequente negative. (b) Il lettore esegua il file SA2_9.M per ottenere il grafico di h(t) mediante una IFFf e la (2-207). Consideri poi la funzione calcolata numericamente e la confronti con quella valutata analiticamente e mostrata in Figura 2-15b, dove 7"0= RC = 1/(271/0).

112

Capitolo 2 - Segnali e spettri

ESERCIZI PROPOSTI 2.1 2-2

Utilizzare l'operatore di media temporale per mostrare che il valore efficace di un segnale sinusoidale con valore di picco A e fr~quenzafo, è A/fi. Un generatore di funzioni produce il segnale periodico mostrato in Figura EP2-2. v(t)

t-1 Figura EP2-2

2-3

(a) Trovame il valore medio. (b) Trovame il valore efficace. (c) Se il segnale è applicato a un carico di 1000 n, qual è la potenza dissipata? La tensione applicata ai capi di un carico è data da v(t) = Ao cos Wot,e la corrente che fluisce attraverso il carico è un'onda quadra, i(t) = lo n~~

2-4

2-6

-

n(t -

nT~0/2(To/2))]

dove Wo= 27T/To.To = l sec, Ao = lO V, e lo = 5 mA. (a) Trovare l'espressione della potenza istantanea e disegnare qualitativamente il risultato in funzione del tempo. (b) Trovare il valore della potenza media. La tensione applicata ai capi di un carico di 50 n è data dalla rettificazione a singola semionda di un segnale cosinusoidale, cioè

v(t) =

2-5

[n(t ;0;;0)

lO cos Wot, { O,

se It - nTol < To/4 altrimenti

dove n è un intero. (a) Disegnare qualitativamente il grafico della tensione e della corrente in funzione del tempo. (b) Trovare il valore medio della tensione e della corrente. (c) Trovare il valore efficace della tensione e della corrente. (d) Trovare il valore medio della potenza dissipata nel carico. Per l'Esercizio 2-4, trovare l'energia dissipata nel carico durante un intervallo di un'ora con To = 1 s. Dire per ciascuno dei seguenti segnali se è a energia o a potenza finita, e trovame la corrispondente energia o potenza normalizzata: (a) w(t) = n(t/To).

Esercizi proposti

113

= TI(t/To)cos UJot. (c) w( t) = COS2 UJot. Un wattmetro (misuratore di potenza) fornisce il valore della potenza media all'uscita di un trasmettitore. L'uscita del trasmettitore alimenta un carico di 75 O e il wattmetro fornisce la lettura di 67 W. (a) Qual è il livello di potenza in dBm? (b) Qual è il livello di potenza in dBk? (c) Qual è il livello in dBmV? (b) w(t)

2-7

2-8

Un segnalecon un valoreefficace Verrnotoè applicatoa un caricodi 50 O. Ricavareunafor-

2-9

Un amplificatore è collegato a un carico di 50 O ed è alimentato da una sorgente di corrente sinusoidale, come illustrato in Figura EP2-9. La resistenza di uscita dell'amplificatore è IO O e la resistenza di ingresso è 2 kO. Valutare il guadagno del circuito in dB.

mula per il calcolo del livello in dBm a partire da Veff.

Generatore di corrente sinusoidale

50n

Amplificatore

[eff= 0.5 mA

=

Veff \O V

Figura EP2-9 2-10

Il valore efficace della tensione ai capi di un'antenna da 300 O in un ricevitore FM è 3.5 /LV. (a) Trovare la potenza di in,;resso in watt. (b) Valutare il livello della potenza di ingresso rispetto l mW (dBm). (c) Quale sarebbe il livello di tensione (in microvolt) a parità di potenza d'ingresso se la resistenza di ingresso fosse 75 O invece di 300 O?

2-11

Qual è il fasore che corrisponde alla tensione v(t)

2-12 2-13

Un segnale è w(t) = 3 sin(IOOm - 30°) + 4 cos(IOOm). Trovare il corrispondente fasore. Trovare la trasformata di Fourier del segnale e -at

w(t) = { O, 2-14

Trovare la TF di w(t)

=

,

12 sin(UJot - 25°), dove UJo= 200017'?

t? I t O

A 2

3

4

-A

5

6

(-

Figura EP2-45 2-46

Determinare se SI (f) e S2(f) sono ortogonali sull'intervallo (~T2 < f < ~T2), dove SI(f) = AI COS(Wlf + C'pd,S2(f) = A2 COS(Cù2f+ 1p2),e Cù2= 27T/T2 nei seguenti casi: (a) Wl

=

(b) Wl

= Cù2e

Cù2 e C'pl

C'pl

= =

(c) Wl = Cù2e C'pl= (d)

Wl

(e) Wl

(f) Wl

2-47

1p2.

lp2+ 7T/2. lp2

+

7T.

= 2Cù2 e C'pl = 1p2. = ~Cù2e C'pl = 1p2.

= 7TCù2e C'pl= 1p2.

Trovare il valore efficace del segnale s( f) zione di AI e A2 nei seguenti casi: (a) Wl

=

Cù2e C'pl

(b)

=

Cù2 e C'p\

Wl

(c) Wl

= Cù2e

(d) Wl

= 2Cù2 e

(e) Wl

C'p.

= 1p2. =

lp2

=

lp2 + 7T.

+ 7T/2.

C'ple 1p2.

= 2Cù2e C'pl=

lp2+ 7T.

= A I cos(

Wlf + C'pd + A2 cos( Cù2f+ 1p2)in fun-

118

Capitolo 2 - Segnali e spettri 2-48

Dimostrare che 00

I

00

I

8(t - kTo) H /0

k=~

dove/o = llTo. [Suggerimento: Espandere I.r=~ colarne la trasformata di Fourier.]

2-49

8(/ - n/o)

k=~

8(t - kTo) in serie di Fourier e poi cal-

Per le tre funzioni rappresentate in Figura EP2-49: (a) Mostrare che sono a due a due ortogonali sull'intervallo (-4, 4). (b) Normalizzarle. (c) Rappresentare il segnale 0$t$4

l, w(t)

altrove

= {O,

sulla base ortonormale trovata al punto (b). (d) Valutare l'errore quadratico medio per la serie ottenuta al punto (c) calcolando 4 8

=

f

-4 [

W(t)

-

Ì

J=I

ajcpj(t) 2 dt ]

O. (a) Calcolare i coefficienti di Fourier del segnale d'uscita y(t) = x(t) * h(t). (b) Calcolare la potenza di questo stesso segnale y(t).

2-53

Trovare la serie di Fourier in fonna complessa del segnale periodico di Figura EP2-2.

2-54

Trovare i coefficienti della serie di Fourier in fonna complessa del treno di impulsi mostrato in Figura EP2-54 in funzione di A, T, h, e TO.[Suggerimento: Il risultato può essere ridotto a un fattore tipo (sin x)/ x moltiplicato per il coefficiente complesso ej8.(TO>.] s(t)

5T

Figura EP2-54

t-

120

Capitolo 2 - Segnali e spettri 2-55

Del segnale illustrato in Figura EP2-55 (a) trovare la serie di Fourier in forma complessa; (b) trovare la serie di Fourier in forma rett3.Qgolare. w(t) 2

2

-2

4

6

t-

Figura EP2-55 2-56

Il Ij I I i

Del segnale periodico s(t) = I.:;"=-oop(t - nTo), dove At,

p(t) = { o,

Ox(f)= [l + (27TI/B)2]2 dove K > Oe B > O. (a) Trovarne la banda a 3 dB in funzione di B. (b) Trovarne la banda equivalente di rumore in funzione di B. Il segnale x(t) = e-4001rlu(t) è applicato a un filtro ideale passa-basso la cui funzione di trasferimento è

H(f)

l, = { O,

1/1:5 B III >B

Trovare il valore di B tale che l'energia del segnale all'uscita del filtro sia la metà di quella d'ingresso. 2-73 Mostrare che la potenza media nonnalizzata di un segnale può essere calcolata valutando l'autocorrelazione

Rw(or) per or =

O,cioè P = Rw(O).

[Suggerimento: Riferirsi alle (2-69) e (2-70).] 2-74

2-75

Il segnale x(t) = 0.5 + 1.5 cos[G)m] + 0.5 sin[G)m] V passa attraverso un filtro passabasso RC (si faccia riferimento alla Figura 2-15 a), dove R = l .n e C = l F. (a) Qual è la DSP di ingresso (jJ> x(f)? (b) Qual è la DSP di uscita (jJ>y(f)? (c) Qual è potenza nonnalizzata in uscita Py? L'ingresso al filtro passa-basso RC di Figura 2.15 è x(t)

= 0.5

+ 1.5 cos wxt + 0.5 sin wxt

Se la frequenza di taglio è lo = 1.51x; (a) trovare la DSP di ingresso (jJ>x(f); (b) trovare la DSP di uscita (jJ>y(f); (c) trovare la potenza nonnalizzata dell'uscita y(t). 2-76 Utilizzando MATLAB, disegnare il grafico del modulo e della fase della risposta in frequenza del filtropassa-bassomostrato in Figura EP2-76, dove R l = 7.5 k.n, R2 = 15 k.n, e C = 0.1 }LF.

Esercizi proposti

x(t)

c

123

y(t)

Figura EP2.76 2.77

La Figura EP2-77 è lo schema di unfiltra a pettine. Se Td = 0.1, (a) disegnare il grafico della risposta in ampiezza del filtro; (b) disegnare lo spettro d'ampiezza dell'uscita xCt) = TICtIT), quando l'ingresso è !f(f)I, dove T = l.

.. y(t)

x(t)

Figura EP2.77

2-78

Il segnale xCt) = TI(t - 0.5) passa attraverso un filtro H(f) = TI(f IB). Disegnare il segnale in uscita quando (a) B = 0.6 Hz. (b) B = 1 Hz.

(c) B 2-79

2-80 2-81

2-82

con

risposta

in frequenza

= 50 Hz.

Si consideri l'effetto della distorsione di un filtro passa-basso RC. Un' onda quadra ad ampiezza unitaria con duty-cycle del 50% è data in ingresso a tale filtro avente banda a -3 dB pari a 1500 Hz. Utilizzando un PC o una calcolatrice programmabile, disegnare il grafico del segnale di uscita quando la frequenza dell'onda quadra è (a) 300 Hz (b) 500 Hz (c) 1000 Hz [Suggerimento: Espandere l'onda quadra in serie di Fourier.] Un segnale x( t) ha DSP costante [cioè