Fizyczne podstawy elektrotechniki [PDF]

Zitiervorschau

.

. . . . . .

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Spis treści .

1. Podstawowe wielkości i pojęcia fizyczne 1.1. Wektory i skalary 1.2. Pola 1.3. Materia 1.4. Matematyczny opis właściwości pól elektrycznych i magnetycznych 1.4.1. Wektor indukcji pola elektrycznego i pola magnetycznego 1.4.2. Źródłowość pola elektrycznego 1.4.3. Bezźródłowość pola magnetycznego 1.4.4. Bezwirowość pola elektrostatycznego 1.4.5. Wirowość pola magnetycznego 1.4 6. Gęstość energii pola elektrycznego 1.4.7. Gęstość energii pola magnetycznego 1.4.8. Równania Maxwella .

2. Budowa i właściwości atomu 2.1. Modele atomu 2.2. Struktura elektronu 2.3. Budowa i właściwości jądra atomowego 2.4. Antycząstki, antyatomy, antymateria, antygrawitacja .

3. Ruch ładunków elektrycznych w polach elektrycznych i magnetycznych 3.1. Ruch ładunków elektrycznych w polu elektrycznym 3.2. Ruch ładunków elektrycznych w polu magnetycznym 3.3. Akceleratory cząstek elementarnych .

4. Promieniowanie energii 4.1. Właściwości promieniowania 4.1.1. Odbicie fal 4.1.2. Załamanie fal 4.1.3. Interferencja fal 4.1.4. Dyfrakcja fal 4.1.5. Rozpraszanie fal 4.1.6. Pochłanianie

Marek

Pilawski

Strona 4

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 4.1.7. Zjawisko Dopplera 4.1.8. Polaryzacja 4.2. Rodzaje promieniowania 4.3. Dualizm korpuskularno-falowy 4.4. Lasery 4.4.1. Wiadomości podstawowe 4.4.2. Zasada działania lasera 4.4.3. Zastosowania laserów 4.5. Termiczne źródła promieniowania 4.6. Jarzeniowe i fluorescencyjne źródła promieniowania 4.7. Elektroniczne źródła promieniowania 4.8. Obwody elektryczne jako źródło promieniowania elektromagnetycznego .

5. Budowa i właściwości ciał 5.1. Wiadomości ogólne 5.1.1. Dielektryki 5.1.2. Przewodniki 5.1.3. Półprzewodniki 5.2. Wpływ pola elektrycznego na gazy 5.3. Wpływ pola elektrycznego na ciecze 5.4. Wpływ pola elektrycznego na ciała stałe 5.4.1. Wpływ pola elektrycznego na dielektryki 5.4.2. Wpływ pola elektrycznego na przewodniki. Zjawisko prądu elektrycznego 5.4.3. Wpływ pola elektrycznego na półprzewodniki 5.5. Wpływ pola magnetycznego na gazy i ciecze 5.6. Wpływ pola magnetycznego na ciała stałe 5.6.1. Diamagnetyki i paramagnetyki 5.6.2. Ferromagnetyki 5.6.3. Wpływ pola magnetycznego na półprzewodniki z prądem 5.6.4. Wpływ pola magnetycznego na przewodniki oraz przewodniki z prądem 5.7. Zjawisko nadprzewodnictwa 5.7.1. Wprowadzenie 5.7.2. Właściwości obwodów elektrycznych w stanie nadprzewodnictwa

Marek

Pilawski

Strona 5

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 5.7.3. Matematyczny opis stanu nadprzewodnictwa 5.7.4. Istota nadprzewodnictwa 5.7.5. Nadprzewodniki drugiego rodzaju 5.7.6. Nadzieje zastosowań nadprzewodników .

6. Elementy układów elektrycznych 6.1. Wiadomości ogólne 6.2. Elementy rezystancyjne 6.2.1. Budowa i przeznaczenie rezystorów 6.2.2. Rezystor jako element grzejny 6.2.3. Rezystor jako element układów regulacji prądu 6.2.4. Rezystor jako element układów regulacji napięcia 6.2.5. Rezystor jako element układów pomiarowych. Rezystor wzorcowy 6.2.6. Rezystancja przejścia 6.2.7. Rezystory nieliniowe 6.3. Elementy pojemnościowe 6.3.1. Budowa i przeznaczenie kondensatorów. Pojemność różnych układów elektrod 6.3.2. Kondensator idealny a kondensator rzeczywisty 6.3.3. Stany nieustalone w obwodach RC przy wymuszeniu stałym 6.3.4. Stany nieustalone w obwodach RC przy wymuszeniu sinusoidalnym 6.4. Elementy indukcyjne 6.4.1. Budowa i przeznaczenie cewek indukcyjnych. Sprzężenie magnetyczne 6.4.2. Cewka idealna a cewka rzeczywista 6.4.3. Stany nieustalone w obwodach RL przy wymuszeniu stałym 6.4.4. Stany nieustalone w obwodach RL przy wymuszeniu sinusoidalnym 6.5. Obwody rezonansowe 6.5.1. Szeregowy obwód rezonansowy RLC 6.5.2. Równoległy obwód rezonansowy RLC 6.5.3. Stany nieustalone w obwodach szeregowych RLC przy wymuszeniu stałym 6.5.4. Transformator powietrzny 6.6. Elementy magnetyczne rdzeniowe. Dławik 6.7. Elementy półprzewodnikowe

Marek

Pilawski

Strona 6

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 6.8. Wybrane układy elektryczne 6.8.1. Wiadomości ogólne 6.8.2. Filtry elektryczne 6.8.3. Przesuwniki fazowe 6.8.4. Układy formowania sygnałów elektrycznych 6.8.5. Układy prostownikowe 6.8.6. Układy mostkowe prądu stałego 6.8.7. Układy mostkowe prądu przemiennego 6.8.8. Elementy magnetyczne rdzeniowe ze sprzężeniem. Transformator 6.8.9. Układy ze sprzężeniem optycznym .

7. Analiza obwodów elektrycznych 7.1. Struktura obwodów elektrycznych 7.2. Podstawowe prawa fizyczne dotyczące obwodów elektrycznych 7.3. Metody analizy liniowych obwodów elektrycznych 7.4. Analiza obwodów nieliniowych 7.5. Obliczanie obwodów prądu zmiennego 7.6. Obliczanie obwodów trójfazowych 7.7. Analiza obwodów o odkształconych przebiegach prądu i napięcia 7.8. Łączenie źródeł napięcia .

8. Wytwarzanie i przetwarzanie energii elektrycznej 8.1. Wiadomości ogólne 8.2. Źródła prądu stałego 8.3. Elektrownie konwencjonalne 8.4. Problemy pracy elektrowni 8.5. Elektrownie jądrowe 8.6. Przyszłościowe źródła energii elektrycznej. 8.7. Elektroniczne źródła energii elektrycznej .

9. Transport energii elektrycznej 9.1. Wiadomości ogólne 9.2. Linia długa 9.3. Antena nadawcza — fala — antena odbiorcza 9.4. Falowody 9.5. Światłowody

Marek

Pilawski

Strona 7

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki .

Dodatki .

A. Liczby zespolone A.1. Postać algebraiczna liczby zespolonej A.2. Sumowanie liczb zespolonych A.3. Mnożenie liczb zespolonych A.4. Dzielenie liczb zespolonych A.5. Impedancja jako wielkość zespolona A.6. Prąd jako wielkość zespolona A.7. Trójkąt mocy A.8. Postać trygonometryczna liczby zespolonej A.9. Postać wykładnicza liczby zespolonej .

B. Wykresy wektorowe .

C. Mnożenie wektorów C.1. Iloczyn skalarny wektorów C.2. Iloczyn wektorowy wektorów .

D. Operacje różniczkowe na skalarach i wektorach. Równania Maxwella D.1. Gradient D.2. Dywergencja D.3. Rotacja . E. Całka nieoznaczona. Równania różniczkowe . F. Całka oznaczona . G. Całka krzywoliniowa . H. Całka powierzchniowa . Podstawowe wielkości fizyczne . . .

Marek

Pilawski

Strona 8

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki . .

1. Podstawowe wielkości i pojęcia fizyczne . 1.1 Wektory i skalary . Wszystkie wielkości fizyczne dzielimy na wektory i skalary. .

Skalar jest wielkością fizyczną, którą można jednoznacznie opisać za pomocą liczby i odpowiedniej jednostki. .

Przykłady

skalarów

(wielkości

skalarnych):

temperatura,

masa,

gęstość,

wymiary liniowe, ładunek, praca, energia, ciepło, potencjał, lepkość, cechy elementów obwodów elektrycznych - R, L, C, itd. .

W wyniku operacji matematycznych przeprowadzonych na skalarach otrzymuje się zawsze skalar: skalar ⋅ skalar = skalar

na przykład: ciepło = masa ⋅ ciepło właściwe ⋅ różnica temperatur; skalar = skalar skalar

na przykład: masa : objętość = masa właściwa (gęstość). .

Oprócz skalarów do zbioru wielkość fizycznych wchodzą również wektory. .

Wektor jest wielkością fizyczną, mającą określony punkt przyłożenia, kierunek działania, zwrot oraz wartość wyrażoną liczbą i odpowiednią jednostką. .

Wektor można odwzorować geometrycznie za pomocą odcinka skierowanego o zwrocie zgodnym z kierunkiem działania wektora i długości odpowiadającej jego wartości. Przykłady wektorów: siła, ciśnienie, prędkość, przyspieszenie, moment siły, pęd, moment pędu, natężenie pola (elektrycznego, magnetycznego, grawitacyjnego), ciężar, ciężar właściwy,

indukcja magnetyczna,

indukcja

elektryczna itd. W wyniku operacji matematycznych przeprowadzonych na wektorach otrzymuje się wektory bądź skalary, zgodnie z regułami: wektor ⋅ skalar = wektor

na przykład: siła = masa ⋅ przyspieszenie,

Marek

Pilawski

Strona 9

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wektor = wektor skalar

na przykład: ciężar : objętość = ciężar właściwy, wektor ⋅ wektor = skalar

na przykład: siła ⋅ przesunięcie = praca, gdzie przesunięcie traktuje się jako odcinek skierowany, czyli wektor. Znak mnożenia • oznacza operację mnożenia skalarnego, zwanego też iloczynem skalarnym, wektor × wektor = wektor

na przykład: siła x ramię = moment siły, gdzie ramię działania siły jest również odcinkiem skierowanym, czyli również wektorem. Znak mnożenia x oznacza operację mnożenia wektorowego, zwanego też iloczynem wektorowym.

. 1.2 Pola . Pojęcia pola jest jednym z najważniejszych pojęć w fizyce współczesnej. Pojęcie pola wprowadził do fizyki genialny fizyk angielski Michael Faraday. Dla rozwoju fizyki wprowadzenie tego pojęcia miało bardzo duże znaczenie. .

W naukach fizycznych, jeszcze przed Faradayem, wprowadzono pojęcie pewnej substancji, za pomocą której próbowano wyjaśnić niektóre znane zjawiska fizyczne, np. zjawisko przenoszenia ciepła. Tu i ówdzie błąkały się więc w świadomości uczonych pojęcia „cieplików” i „fluidów”. „Cieplikami” i „fluidami” nazywano pewne nieważkie, niewidzialne substancje, które wypełniały wszystkie ciała. Ciało, które miało ją w nadmiarze, było cieplejsze od otoczenia. Przenoszenie ciepła odbywało się na drodze wymiany owych „cieplików”. .

Teoria „cieplika" nie utrzymała się długo. Przyjęcie, że istnieje coś, co jest nieważkie i niewidzialne, czego nie można wykryć przyrządami, nie wytrzymało krytyki. Fizyka nie mogła przyjąć, że istnieje coś, czego istnienia nie można dowieść ani empirycznie, ani teoretycznie. Jednak obserwowane zjawiska oddziaływania ciał na odległość (elektryzacja ciał przez indukcję, oddziaływania w postaci sił między oddalonymi ładunkami elektrycznymi, magnesami i masami, przenoszenie ciepła) nie dawało fizykom spokoju. Istniała pilna potrzeba wprowadzenia wielkości fizycznej, która byłaby odpowiedzialna za oddziaływanie między oddalonymi obiektami. W zbiorze pojęć i wielkości fizycznych w owych czasach istniała więc luka. Lukę tę zapełnił właśnie Faraday wprowadzając

Marek

Pilawski

Strona 10

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki pojęcie pola. Pole okazało się bardzo płodnym pojęciem fizycznym i stworzyło logiczny pomost między materią, a energią. Obecnie bez tego pojęcia nie potrafimy już wyjaśnić wielu zjawisk fizycznych i fizyka nie może się już bez niego obejść. .

Pole

fizyczne

jest

to

przestrzeń

fizyczna

(obszar)

odpowiedzialna

za

oddziaływanie między obiektami wprowadzonymi do tej przestrzeni lub w niej przebywającymi. .

Opis pól fizycznych polega na podaniu, w każdej chwili i w określonym punkcie przestrzeni zajmowanej przez to pole, jednej lub więcej wielkości fizycznych charakteryzujących pole, to jest na określeniu funkcji pola. Pola fizyczne są wytwarzane zarówno przez obiekty nieruchome w przestrzeni, jak i przez obiekty poruszające się z określoną prędkością. W szczególności obiektami tymi mogą być cząstki elementarne, które mogą poruszać się z prędkością bliską prędkości światła. Gdy źródła pola poruszają się z prędkością bliską prędkości światła, to zmiana stanu jednej cząstki, związana ze zmianą jej energii i pędu, powoduje dopiero po pewnym czasie pojawienie się siły działającej na drugą cząstkę. Energia i pęd, oddane przez pierwszą cząstkę, a jeszcze nie pobrane przez drugą, są na ten czas przekazane przenoszącemu je polu. Pole w sensie fizycznym nie jest więc jakąś hipotezą, teorią lub jakąś konstrukcją myślową. Jest to coś, co istnieje realnie, co można opisać za pomocą symboli matematycznych, co ma pewne właściwości fizyczne i w końcu coś, co przenosi oddziaływanie między ciałami wprowadzonymi do tego pola. Polu

można

przypisać

pęd

i

energię.

Energii

można

przyporządkować

równoważną jej masę — patrz wzór (1.18). Można zatem powiedzieć, że pole jest

nośnikiem

masy

rozłożonej

w

tym

polu

z

odpowiednią

gęstością

objętościową. W przyrodzie występuje bardzo wiele różnych pól. Ogólnie dzielą się one na skalarne i wektorowe. .

Pole skalarne jest to takie pole, którego każdy punkt można scharakteryzować za pomocą wielkości skalarnej. .

Przykłady pól skalarnych: pole temperatur, pole energii, pole potencjałów. Pole

Marek

Pilawski

Strona 11

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki temperatur można na przykład scharakteryzować przez podanie temperatury w każdym punkcie tego pola. Wyobraźmy sobie obszar rozciągnięty nad Europą. Warstwa powietrza nad tym kontynentem niech będzie naszym polem temperatury. W wielu punktach tego pola

(np.

we

wszystkich

miastach)

mierzymy

temperaturę.

Zbiór

liczb

oznaczających temperaturę w miejscach pomiaru daje nam pewien obraz pola. Obraz ten jest jednak bardzo nieczytelny i nieprzejrzysty. Połączmy liniami wszystkie punkty, w których temperatury są jednakowe (patrz rys. D.1a). W ten sposób powstaje zbiór linii nazywanych izotermami*. Izotermy, które w istocie rzeczy

są

liniami

pola

temperatur,

dobrze

„oddają"

obraz

pola.

Ten

geometryczny model pola pozwala na szybką ocenę właściwości i na śledzenie zmian tego pola**. .

Jeśli w ustalonych punktach pola temperatur będziemy mierzyli temperaturę w pewnych ustalonych odstępach czasu, to otrzymamy szereg „obrazów pola”, które w całości złożą się na „dynamiczny obraz pola”. Model geometryczny pola i jego zachowanie się w czasie dają nam już pełną informację o polu. Z kształtu linii pola, gęstości ich ułożenia i zmian w czasie można sądzić o spadku lub wzroście temperatury na jednostkę odległości w różnych obszarach pola, o rozmieszczeniu obszarów, gdzie temperatura osiąga wartości największe lub najmniejsze, o zmianie temperatur w czasie i przesuwaniu się wymienionych obszarów w przestrzeni (prędkości tych zmian i przemieszczeń). .

Pole

wektorowe

jest

to

takie

pole,

którego

każdy

punkt

można

scharakteryzować za pomocą wielkości wektorowej. .

Przykłady pól wektorowych: pole prędkości, pole przyspieszeń, pole ciśnień, pole sił (pole grawitacyjne, pole elektryczne, pole magnetyczne). .

Pole ciśnień można na przykład scharakteryzować przez podanie wartości ciśnienia w każdym punkcie tego pola. Niech naszym modelowym polem ciśnień będzie, podobnie jak w poprzednim przypadku, warstwa atmosfery nad kontynentem europejskim. W wielu punktach tego pola (np. we wszystkich stacjach meteorologicznych) mierzymy ciśnienie. Wyniki pomiarów nanosimy na mapę i liniami łączymy punkty, w których są jednakowe ciśnienia. W ten sposób powstają izobary***.

Marek

Pilawski

Strona 12

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Linie izobaryczne pola ciśnień dają nam zbiór informacji o właściwości tego pola i „obrazują" nam te właściwości. W

podobny

sposób

przyspieszeń.

można

Największe

wyobrazić

znaczenie

sobie

w

pole

fizyce,

prędkości,

spośród

pędów

lub

wszystkich

pól

wektorowych, mają jednak pola sił. .

Pole sił jest to takie pole wektorowe, w którym na obiekt wprowadzony do tego pola działa siła. .

Pola sił, z którymi spotykamy się w kursie fizyki, to: pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne,

pole

magnetyczne,

pole

elektromagnetyczne

i

pole

sił

jądrowych. .

Pole elektryczne wytwarzane przez ładunek punktowy jest to takie pole, w którym na ładunek elektryczny**** wprowadzony do tego pola działa siła F=

Qq 4πε r ε 0 r 2

(1.1)

* Izotermy bardzo często spotyka się na mapach pogody. ** W przekładzie omówiono pole dwuwymiarowe. Reprezentantem takiego pola jest pewna umowna powierzchnia płaska. Na ogół rozpatrywane pola są trójwymiarowe, wypełniające całą rozpatrywaną przestrzeń. Można wyobrazić sobie również pole jednowymiarowe np. w postaci zbioru punktów położonych na powierzchni długiego i nieskończenie cienkiego drutu ogrzewanego w jednym końcu (patrz rys. D.1b). *** Izobary (podobnie jak izotermy) rysuje się często na mapach pogody. **** Ładunkiem elektrycznym nazwano to „coś", co mają niektóre cząstki elementarne oddziałujące ze sobą siłą różną od siły grawitacji. Nazwa „ładunek" jest nazwą umowną, jak na przykład nazwy kwiatów. .

przy czym: Q - ładunek elektryczny wytwarzający pole elektryczne, q - ładunek elektryczny wprowadzony do tego pola, ε0 = 8,86⋅10-12 F⋅m-1 - przenikalność elektryczna próżni (lub w przybliżeniu powietrza), εr - przenikalność elektryczna względna ośrodka, r - odległość między ładunkami Q i q. Wielkość ε0 charakteryzuje właściwości elektryczne próżni, a wielkość εrε0

- właściwości

elektryczne ośrodka. Dla próżni εr = 1, dla innych ośrodków εr > 1. Wzór (1.1), zwany wzorem Coulomba, określa wartość siły (długość wektora siły). Kierunek wektora siły zależy od wzajemnego położenia ładunków Q i q, a jego zwrot — od znaku (polaryzacji) tych ładunków. Wyrażając wartość ładunków w kulombach (C), odległość w metrach (m), przenikalność ε0 w faradach na metr (F ⋅ m-1) otrzymamy siłę w niutonach (N) (przenikalność elektryczna względna εr jest wielkością bezwymiarową).

Marek

Pilawski

Strona 13

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki .

Siła

działająca

na

ładunek

elektryczny

powoduje

ruch

tego

ładunku

z

przyspieszeniem zależnym od jego masy. Tor ruchu ładunku wyznacza linię sił pola. .

Linie sił pola elektrycznego są to linie, po których poruszają się ładunki elektryczne wprowadzone do tego pola. .

Przez każdy punkt pola przechodzi linia sił. Wektor siły w każdym punkcie jest zawsze styczny do linii sił pola przechodzącej przez ten punkt.

Rys. 1.1 Linie sił pola elektrostatycznego wytworzonego przez ładunek punktowy Q. Zaznaczono ładunek q oraz dwie linie kołowe ekwipotencjalne przechodzące przez punkty pola, w których występują odpowiednio natężenia E1 i E2 i które mają potencjały V1 i V2

. Linie sił pola są to takie linie, które w każdym punkcie są styczne do kierunków sił działających w danych punktach. .

Linie sił „obrazują" nam pole sił. Uwidaczniają nam one jego właściwości. .

Nie zawsze obraz pola sił jest tak prosty, jak na rys. 1.1. Dla układu wielu ładunków jest on już bardzo złożony, a linie sił nie są półprostymi, lecz liniami o bardziej skomplikowanym przebiegu (rys. 1.2). Niezależnie jednak od kształtu pola

(wyznaczonego

graficznie

przez

układ

linii

sił)

linie

sił

pola

elektrostatycznego są zawsze liniami „otwartymi” (w przeciwieństwie do linii „zamkniętych”), tzn. zaczynają się

na powierzchni danego

ładunku w

przypadku pola ładunku punktowego lub kończą się na innych ładunkach w przypadku pola wytwarzanego przez układ ładunków. Taką właściwość mają tylko pola źródłowe. „Otwarte” linie sił są więc cechą pól źródłowych. Źródłem linii sił pola elektrostatycznego są nieruchome ładunki elektryczne wytwarzające pola rozciągające się w nieskończoność. Pola elektrostatyczne i elektryczne są obiektem analizy elektrotechniki i

Marek

Pilawski

Strona 14

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki elektroniki. Do celów analizy pól nie jest jednak dogodne używanie siły działającej na ładunki wprowadzone do tego pola, gdyż siła ta zależy jednocześnie od wartości Q i q. Dlatego też wprowadza się pojęcie natężenia pola elektrycznego. .

Natężenie E pola elektrycznego w danym jego punkcie jest to wielkość określająca wartość i kierunek siły F działającej na ładunek jednostkowy q wprowadzony do tego punktu pola .

E=

F q

(1.2)

.

Natężenie pola elektrycznego jest wielkością wektorową i charakteryzuje dany punkt pola niezależnie od wartości ładunku q wprowadzonego do tego pola. Jednostką

natężenia

pola

elektrycznego

jest

wolt

na

metr

(V

•

m-1).

Podstawiając wartość siły w niutonach (N) i ładunku w kulombach (C) otrzymuje się natężenie pola w woltach na metr. Uwzględniając wzór (1.1) otrzymuje się zależność

E=

Q 4πε r ε 0 r 2

(1.3)

Rys. 1.2 Linie sił pola elektrostatycznego i linie ekwipotencjalne układu dwóch ładunków: a) różnoimiennych; b) jednoimiennych

Natężenie pola elektrycznego można wyrazić w sposób „geometryczny" gęstością

Marek

Pilawski

Strona 15

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki linii sił pola przechodzących przez jednostkę powierzchni. Istotną cechą źródłowych pól sił (pół grawitacyjnych i elektrostatycznych) jest to, że natężenia pól pochodzących od źródeł punktowych są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od obiektu wytwarzającego pole (rys. 1.3). .

Z ruchem ładunków elektrycznych w polu elektrycznym związana jest praca. Pracę tę wykonują ładunki poruszające się swobodnie w polu elektrycznym, albo praca ta jest wykonywana przez siły zewnętrzne działające przeciwko siłom pola. Z podstawowego kursu fizyki znany jest wzór na pracę .

W = Fr

(1.4)

wykonaną przez siłę F działającą na drodze r. Wzór ten ma ograniczone zastosowanie i jest słuszny tylko wtedy, gdy siła F ma wartość stałą na całej drodze działania i jest skierowana wzdłuż tej drogi. W naszym przypadku wzoru tego do obliczenia pracy przesunięcia ładunku w polu elektrycznym stosować nie można, gdyż siła F nie ma wartości stałej na całej drodze r = r1 - r2 — patrz wzór (1.1). Można jednak cały odcinek r podzielić na tak małe odcinki ∆r, iż będzie można przyjąć, że siła na drodze ∆r ma wartość stałą. Stosując zatem wzór (1.4) w odniesieniu do odcinka ∆r obliczymy pracę ∆W wykonaną przez siłę F na tym odcinku ∆W = F∆r

(1.5)

Wyrażając siłę F wzorem Coulomba

∆W =

Qq 4πε r ε 0 r 2

∆r

(1.6)

Pracę na całym odcinku r oblicza się sumując prace wykonane na wszystkich odcinkach (całkując - patrz dodatek F). Ostatecznie W =

Qq 4πε r ε 0 r 2

1 1  −   r1 r2 

(1.7)

Wprowadzając do wzoru (1.7) oznaczenie

V=

Q 4πε r ε 0 r

(1.8)

otrzyma się postać uproszczoną .

Marek

W = q (V1 − V2 )

Pilawski

(1.9)

Strona 16

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Wyrażenie (1.8) określa tzw. potencjał elektryczny.

Rys. 1.3 Linie sił pola przenikają przez dwie powierzchnie S1 i S2 odległe odpowiednio o r1 i r2 od źródła pola. Powierzchnie są widziane z ładunku punktowego Q pod tym samym kątem bryłowym i obejmują tę samą liczbę linii sił. Przykładowo przy r2 = 2 r1 powierzchnia S2 jest czterokrotnie większa od powierzchni S1. Przez jednostkę powierzchni S2 odległą o r2 od ładunku punktowego przenika czterokrotnie mniej linii sił, niż przenikałoby przez tę samą powierzchnię, gdyby została umieszczona w odległości r1= r2/2 od tego ładunku .

Potencjał elektryczny jest to właściwość poła elektrycznego w pewnym punkcie określająca zdolność tego pola do wykonania pracy. .

Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt (V). Wyrażając potencjał w woltach i ładunek w kulombach (C) otrzymuje się pracę w dżulach (J). Potencjał

elektryczny

w

każdym

punkcie

pola

zależy

od

odległości

r

rozpatrywanego punktu pola od ładunku. Nie zależy on od wartości ładunku wprowadzonego do pola, a jedynie od wartości ładunku wytwarzającego to pole — przy założeniu, że ładunek wprowadzany do pola jest pomijalnie mały w porównaniu z ładunkiem wytwarzającym pole. .

W każdym polu elektrycznym można znaleźć zbiory takich punktów pola, które mają

ten

sam

potencjał.

Zbiory

takich

punktów

tworzą

powierzchnię

ekwipotencjalną. .

Powierzchnia

ekwipotencjalna

jest

zbiorem

wszystkich

punktów

pola

mających ten sam potencjał. .

Dla ładunku punktowego powierzchnia ekwipotencjalna jest powierzchnią kulistą, a dla ładunku punktowego na płaszczyźnie (rys. 1.1) redukuje się ona do okręgu. Powierzchnie i linie ekwipotencjalne mają dwie zasadnicze właściwości charakterystyczne również i dla innych źródłowych pól i sił: — powierzchnie (i linie) ekwipotencjalne są zawsze powierzchniami (i liniami) zamkniętymi;

Marek

Pilawski

Strona 17

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki — powierzchnie (i linie) ekwipotencjalne w każdym punkcie pola są prostopadłe do siły działającej w tym punkcie (rys. 1.1 i 1.2). Ładunek q (rys. 1.1) przemierzający drogę r = r1 - r2 ulega działaniu różnicy potencjałów, czyli napięcia (1.10)

U = V1 − V2

Wykonuje on zatem pracę — patrz wzór (1.9)

W = qU

(1.11)

Jak widać, praca ta nie zależy od drogi, którą przebywa ładunek, a jedynie od wartości ładunku wprowadzonego i różnicy potencjałów. Z pojęciem potencjału związane jest pojęcie energii potencjalnej. Podobnie jak masa w polu grawitacyjnym, tak i ładunek w polu elektrycznym może zmieniać swoją energię potencjalną i przemieniać ją w energię kinetyczną lub zwiększać kosztem energii kinetycznej. Energię potencjalną ładunku q umieszczonego w polu elektrycznym w odległości r1 od ładunku Q można wyrazić wzorem

W p = qV1 − qV2 w

którym

V2

jest

przyjętym

umownie

(1.12) potencjałem

odniesienia.

Energia

potencjalna może przemieniać się więc w energię kinetyczną

Wk =

mv 2 2

(1.13)

bez straty energii pola elektrycznego (m — masa, v — prędkość ładunku). Pole elektryczne wytworzone przez ładunki źródłowe nie „wyczerpuje się”, jeśli porusza ono ładunek wprowadzony do tego pola. W polu tym następuje jedynie przemiana energii potencjalnej ładunków w kinetyczną lub odwrotnie. Pole elektryczne jest więc tylko ośrodkiem, w którym taka przemiana jest możliwa. Podobną

właściwość

mają

pola

magnetyczne

i

grawitacyjne.

W

polu

grawitacyjnym np. energia potencjalna spadającego ciała przemienia się w energię kinetyczną i energia pola grawitacyjnego przy tym nie „wyczerpuje się”. Umożliwia ono tylko przemianę energii. Fakt, że energię potencjalną pola elektrycznego i magnetycznego można przetworzyć na energię kinetyczną (mechaniczną) w tych polach i odwrotnie, jest faktem o doniosłym znaczeniu dla naszego życia. Jest on podstawą działania wielu

urządzeń

elektrycznych

siłowych,

elektromagnetycznych,

elektromechanicznych, akustycznych, prądotwórczych, wielu przetworników i czujników.

Marek

Pilawski

Strona 18

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Omawiając właściwości znanych nam pól sił na pewno zwróciliśmy już uwagę na to, że w procesie przemian energii uczestniczą one na zasadzie katalizatora. Są potrzebne, aby przemiana energii w ogóle była możliwa, ale nic „z siebie” nie dają i zachowują energię całkowitą obiektu wprowadzonego do tego pola. O takich polach mówimy, że mają charakter zachowawczy. .

Zachowawczy charakter pola sił jest to właściwość powodująca zachowanie energii całkowitej obiektu wprowadzonego do tego pola. Obiekt może przemieniać w polu swoją energię potencjalną w kinetyczną lub odwrotnie, ale bez zmiany swej energii całkowitej. Na koniec rozważań o polach elektrycznych powróćmy jeszcze na chwilę do potencjału i energii potencjalnej. Otóż mówiąc o energii potencjalnej ładunku w polu elektrycznym operowaliśmy nie potencjałem, lecz różnicą potencjałów — wzór (1.12). Jak tę pozorną sprzeczność wytłumaczyć? — Bardzo prosto. Po prostu potencjału bezwzględnego nie ma. Możemy mówić o potencjale jakiegoś punktu pola, ale tylko w odniesieniu (względem) do innego punktu pola, co do którego można się umówić, że jest równy np. zero. Rozpatrując np. ruch masy w polu grawitacyjnym zakładamy (nie obliczamy!), że jej potencjał i energia potencjalna na powierzchni Ziemi jest równa zeru. Powierzchnia Ziemi jest więc dla rozpatrywania ruchu masy umowną powierzchnią odniesienia. Gdzie leży zatem umowna powierzchnia ekwipotencjalna w polu elektrycznym, o której można powiedzieć, że jej potencjał jest równy zeru? — Powierzchnia ta leży w nieskończoności (r = ∞) — patrz wzór (1.8). Przyjmując zatem qV2 = 0 we wzorze (1.12) można napisać, że Wp = qV1, pamiętając jednak, że jest to obliczona energia potencjalna ładunku q w danym punkcie pola względem energii, jaką posiadałby ten ładunek w nieskończoności. Przykład 1.1 W dwóch wierzchołkach A i B trójkąta równoramiennego prostokątnego umieszczono dwa ładunki elektryczne QA = 1C i QB = -1C. W wierzchołku C kąta prostego (rys. 1.4) umieszczono ładunek próbny q = +0,01 C. Długości ramion trójkąta są równe d = AC = BC = 0,1 m. Układ ładunków jest zanurzony w ośrodku o przenikalności elektrycznej względnej εr = 9,1. Przenikalność elektryczna próżni ε0 = 8,86⋅10-12 A⋅s⋅V-1⋅m-1. Należy wyznaczyć: a) siłę działającą na ładunek q, b) natężenie pola elektrycznego EC w punkcie C,

Marek

Pilawski

Strona 19

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 1.4 Układ ładunków elektrycznych c) potencjał pola VC w punkcie C, d) pracę przeniesienia WBC ładunku QB do punktu C i do nieskończoności. .

a. Na ładunek q umieszczony w punkcie C działają dwie siły: →

→

siła FA pochodząca od ładunku QA i siła FB pochodząca od ładunku QB →

FA =

→

QAq 4πε r ε 0 d

FB =

2

QB q 4πε r ε 0 d 2

Ponieważ siły te są równe co do wartości, a ich kierunki tworzą kąt prosty, to siła wypadkowa działająca na ładunek q →

FC = 2

Qq

przy czym Q = QA = QB

4πε r ε 0 d 2 →

Po podstawieniu danych liczbowych FC = 139 ⋅ 10 7 N. →

b. Natężenie pola elektrycznego EC w punkcie C jest sumą geometryczną natężeń w tym punkcie od ładunku QA i od ładunku QD →

EA =

→

QA 4πε r ε 0 d

EB =

2

QB 4πε r ε 0 d 2

Ostatecznie →

EC = 2

Q

przy czym Q = Q A = QB

4πε r ε 0 d 2 →

Po podstawieniu danych liczbowych E C = 139 ⋅ 10 9 V ⋅ m-1. c. Potencjał pola elektrycznego w punkcie C jest równy sumie potencjałów wytworzonych w tym punkcie przez ładunki QA i QB. W tym przypadku potencjały sumuje się algebraicznie, gdyż potencjał jest skalarem i nie ma określonego kierunku działania. Podobnie jak poprzednio obliczamy zatem .

Marek

Pilawski

Strona 20

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki VA =

QA

VB =

4πε r ε 0 d

QB 4πε r ε 0 d

Potencjał wypadkowy w punkcie C

VC = VA + VB Po podstawieniu danych liczbowych Vc = 0 (VA ≈ +9,87⋅109 V VB ≈ -9,87⋅109 V) .

d.

Pracę przeniesienia ładunku QB (przy założeniu, że ładunku q nie ma) z

punktu B do punktu C obliczamy ze wzoru W BC = QBU BC

gdzie UBC jest różnicą potencjałów w punkcie B i C pola

U BC = VC − VB Ponieważ

VB =

QA 4πε r ε 0 d 2

VC =

QA 4πε r ε 0 d

U BC =

1   1 −  4πε r ε 0 d  2

WBC =

Q A QB  1  1 −  4πε r ε 0 d  2

QA

Ostatecznie

Po podstawieniu danych liczbowych WBC = +2,89 • 109 J. (Znak „+" oznacza że ładunek może sam wykonać pracę bez udziału sił zewnętrznych). Praca potrzebna do odrzucenia ładunku QB z punktu B pola wytworzonego przez ładunek QA do nieskończoności — patrz wzór (1.7)

WB =

Q A QB 4πε r ε 0 d 2

a po uwzględnieniu wartości liczbowych WB = - 6,89⋅109 J. (Znak „-" oznacza, że to siły zewnętrzne muszą odrzucić ładunek QB z danego punktu pola do nieskończoności). Przykład 1.2 Dwie kulki o promieniach r1 = 6 cm i r2 = 4 cm skupiają na swoich powierzchniach taki ładunek, że mają one potencjały odpowiednio V1 = 4000 V i V2 = 6000 V. Należy obliczyć potencjał kulek po ich połączeniu się.

Marek

Pilawski

Strona 21

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Kulkę o promieniu r z rozłożonym równomiernie na jej powierzchni ładunkiem elektrycznym można traktować jako ładunek punktowy zgromadzony w środku geometrycznym owej kulki. Na powierzchni kulki jest taki sam potencjał, jak w odległości r od tego ładunku punktowego. Na kulkach zgromadzony jest ładunek Q = Q1 + Q2 gdzie - patrz wzór (1.8) :

Q1 = 4πε r ε 0 r1V1 ;

Q2 = 4πε r ε 0 r2V2

Po połączeniu kulek nastąpi przepływ ładunków od kulki o potencjale wyższym do kulki o potencjale niższym. Ruch ładunków będzie trwał dopóty, dopóki potencjały nie wyróżniają się. Całkowity ładunek kulek nie ulegnie jednak zmianie

Q = Q1′ = Q2′ gdzie:

Q1′ = 4πε r ε 0 r1V

Q2′ = 4πε r ε 0 r2V

a V jest ustalonym potencjałem na powierzchni połączonych kulek. Z równania 4πε r ε 0 r1V1 + 4πε r ε 0 r2V2 = 4πε r ε 0 r1V + 4πε r ε 0 r2V

otrzymujemy

V=

r1V1 + r2V2 r1 + r2

Po uwzględnieniu danych liczbowych (promienie r1 i r2 wyrazić w metrach) V = 4800 V. .

Do tej pory zajmowaliśmy się tylko takimi polami elektrycznymi, które były stałe (niezmienne) w czasie i przestrzeni, czyli polami elektrostatycznymi. Oprócz tego były to takie pola, których linie sił były liniami otwartymi, tzn. zaczynały się na powierzchni ładunków, a kończyły w nieskończoności, czyli były to pola źródłowe. .

Obecnie zajmijmy się polami wytworzonymi przez ładunki zmieniające się w czasie, ale nieruchome w przestrzeni lub przez ładunki stałe, ale poruszające się w przestrzeni z pewną prędkością. W obu przypadkach mamy do czynienia ze zmiennym polem elektrycznym i takie właśnie pole będzie przedmiotem naszego zainteresowania. .

Marek

Pilawski

Strona 22

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Rozważmy ruch ładunku q po prostej, na której zaznaczono punkty A i B (rys. 1.5). W punktach tych będzie występowało pole elektryczne o zmiennym natężeniu E~. Zmienne natężenie pola elektrycznego będzie rejestrował również obserwator 2, nieruchomy względem prostej i punktów A i B.

Rys. 1.5 Pole elektryczne ładunku poruszającego się w sposób okresowy widziane przez dwóch obserwatorów: 1 — związanego z ładunkiem, 2 — nieruchomego

1. — Zmienne pole elektryczne wytwarza zawsze zmienne pole magnetyczne o zamkniętych liniach sił leżących w płaszczyźnie prostopadłej do linii sił pola elektrycznego. Obserwator 2 będzie więc rejestrował nie tylko zmienne pole elektryczne, lecz również zmienne pole magnetyczne. Jeżeli ładunek q będzie wykonywał ruchy okresowe od punktu A do B i z powrotem, to okresowo zmiennemu polu elektrycznemu będzie towarzyszyło okresowo zmienne pole magnetyczne. Ponieważ pole elektryczne ładunku q rozciąga się w nieskończoność, to w każdym punkcie tego pola, oprócz zmiennego pola elektrycznego, będzie występowało zmienne pole magnetyczne. Obserwator 2 jest „świadkiem” promieniowania fali elektromagnetycznej emitowanego przez poruszający się ładunek. Zjawiska takiego, polegającego w istocie na wzajemnym indukowaniu pól, nie zaobserwuje obserwator 1. Jest on nieruchomo związany z ładunkiem i może wykryć jedynie pole elektrostatyczne. Uprośćmy teraz ruch ładunku i załóżmy, że porusza się on od punktu A do B ruchem jednostajnym. 2. — Jednostajny ruch ładunków elektrycznych wzbudza stałe pole magnetyczne

Marek

Pilawski

Strona 23

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki o zamkniętych liniach sił leżących w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku ruchu ładunków. A więc teraz możemy powiedzieć, że zawsze ruchowi ładunków elektrycznych towarzyszy pole magnetyczne. Pola elektryczne i magnetyczne są zatem nierozdzielne. Dlatego często mówi się o polu elektromagnetycznym. Pole magnetyczne, wytworzone przez zmienne lub stałe pole elektryczne, ma jednak inne właściwości niż to pole elektryczne. Różnica, od razu rzucająca się w oczy przy obserwacji obrazów pól, polega na różnym kształcie linii sił. Linie sił pola magnetycznego, w odróżnieniu od linii sił pola elektrycznego, są liniami zamkniętymi. Właściwość taką mają bezźródłowe wirowe pola sił. Bezźródłowe wirowe pole sił jest to takie pole, którego linie sił są liniami zamkniętymi o określonym zwrocie. Zwrot linii sil pola wirowego wyznacza się zgodnie z umowną regułą, w tym przypadku zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Nazwa „pole wirowe” trafia do wyobraźni ze względu na sposób przebiegu linii sił takiego pola. Ale dlaczego pola wirowe są polami bezźródłowymi? Otóż dlatego, że nie istnieje jakiś „ładunek magnetyczny”, który wytwarzałby takie pole. Pole wirowe

magnetyczne

zostaje

wzbudzone

tylko

przez

ruch

ładunków

elektrycznych, które same są źródłem pola elektrycznego. Linie sił pola magnetycznego nie mogą się więc gdzieś zaczynać i gdzieś kończyć. Muszą to być zatem linie zamknięte. Interesujące

jest

porównanie

przez

wytwarzanego

ruch

przebiegu

ładunków

linii

sił

elektrycznych

pola z

magnetycznego liniami

sił

pola

magnetycznego wytwarzanego przez magnesy trwałe i elektromagnesy (patrz p. 5.6.2). Skoro ruchowi jednostajnemu i zmiennemu ładunków elektrycznych, czyli stałemu i zmiennemu polu elektrycznemu, towarzyszy stałe lub zmienne pole magnetyczne, powstaje pytanie, czy istnieje również zjawisko odwrotne, czy pole magnetyczne

może

wzbudzić

w

pewnych

warunkach

pole

elektryczne.

Odpowiedź jest twierdząca, ale... I tutaj pojawiają się zastrzeżenia. .

Marek

Pilawski

Strona 24

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 1.6 Ilustracja wytwarzania zmiennego pola magnetycznego przez zmienne pole elektryczne (a) i zmiennego pola elektrycznego przez zmienne pole magnetyczne (b)

Zacznijmy od zmiennych pól magnetycznych pomijając przyczynę powstawania tych pól (rys. 1.6). 3. — Zmienne pole magnetyczne wytwarza zawsze zmienne pole elektryczne o zamkniętych liniach sił leżących w płaszczyźnie prostopadłej do linii sil pola magnetycznego. W przypadku pól zmiennych istnieje więc całkowita symetria i wzajemność zjawisk*. W przypadku stałych pól magnetycznych sprawa wygląda inaczej. 4. — Stale pole magnetyczne nie wytwarza żadnego pola elektrycznego dla obserwatora nieruchomego względem tego pola. Nie jest możliwe wytwarzanie stałego pola elektrycznego przez stałe pole magnetyczne. Wynika to z zasady zachowania energii. Przypomnijmy

sobie

doświadczenie

Faradaya,

odkrywcy

zjawiska

indukcji

elektromagnetycznej, czyli zjawiska wzajemnego indukowania pól elektrycznych przez pola magnetyczne i odwrotnie. Otóż umieścił on wewnątrz cewki magnes trwały i oczekiwał pojawienia się prądu (a więc i pola elektrycznego) w uzwojeniach cewki. Doświadczenie zakończyło się niepowodzeniem. Prąd nie płynął. Teraz wiadomo, że gdyby płynął, byłoby to zaprzeczeniem zasady zachowania energii. Kosztem jakiej energii miałaby się pojawić energia prądu elektrycznego? Dopiero gdy Faraday zaczął poruszać magnesem, a więc gdy wytworzył zmienne pole magnetyczne, pojawił się prąd elektryczny. Był to jednak prąd elektryczny zmienny. * Jak widać, pole elektryczne może występować w postaci pola źródłowego i pola bezźródłowego wirowego. Bezźródłowe wirowe pole elektryczne może być jednak tylko polem zmiennym. Pole magnetyczne natomiast, zarówno stałe jak i zmienne, może występować tylko w postaci pola wirowego bezźródłowego.

Energia prądu zmiennego powstała kosztem energii kinetycznej ruchu magnesu.

Marek

Pilawski

Strona 25

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Prąd elektryczny zmienny płynął pod wpływem wzbudzonego zmiennego pola elektrycznego wytworzonego przez zmienne pole magnetyczne. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej jest powszechnie wykorzystywane w elektrotechnice. Wiele urządzeń wykorzystuje je w swej pracy (transformatory, induktory, dzwonki elektryczne, generatory elektryczne, czyli prądnice, silniki elektryczne, niektóre przyrządy pomiarowe). Wiele innych zjawisk, znanych z kursu fizyki, polega w istocie na zjawisku

indukcji elektromagnetycznej

(samoindukcja, indukcja wzajemna, prądy wirowe). Posuńmy

teraz

nasze

rozważania

o

zmiennych

polach

elektrycznych

i

magnetycznych nieco dalej, dalej w czasie i przestrzeni. Skoro zmienne pole elektryczne indukuje zmienne pole magnetyczne, a te z kolei zmienne pole elektryczne, które indukuje. .. itd., to powstaje w ten sposób „łańcuch” zmiennych pól elektrycznych i magnetycznych (rys. 1.7). „Łańcuch” ten „rozciąga” się w przestrzeni z prędkością światła. Jednym słowem powstaje fala elektromagnetyczna. A więc poruszające się ruchem przyspieszonym ładunki elektryczne są źródłem fali elektromagnetycznej. 5. — Ładunki elektryczne biorące udział w zmiennym ruchu okresowym wypromieniowują część swej energii w postaci fali elektromagnetycznej. Energia fali elektromagnetycznej zależy od przyspieszenia ruchu elektronów*. Mamy

więc

przykład

bezpośredniej

przemiany

części

energii

kinetycznej

ładunków elektrycznych w energię promieniowania elektromagnetycznego. Łatwość, z jaką można zamienić jeden rodzaj energii na drugi, świadczy o spójności i jedności energii jako wielkości fizycznej. Fala elektromagnetyczna, jak już o tym wspomniano wcześniej, jest formą występowania energii, która przenosi się w danym ośrodku z pewną skończoną, choć dla nas bardzo wielką, prędkością. Składa się ona ze zmiennych i wzajemnie

sprzężonych

pól

elektrycznych

i

magnetycznych.

Cechą

charakterystyczną tych fal jest to, że wartości maksymalne natężenia pól E i H** występują jednocześnie. Rozważania na temat pól elektrycznych i magnetycznych doprowadziły nas do sformułowania ogólnych praw elektromagnetyzmu. Z praw tych wynikają właściwości

Marek

obwodów

Pilawski

elektrycznych,

które

są

przedmiotem

analizy

Strona 26

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki elektrotechniki. Jednocześnie podane prawa elektromagnetyzmu należą do fundamentalnych praw Przyrody. * Ruch jednostajny po okręgu charakteryzuje się również przyspieszeniem — przyspieszeniem dośrodkowym. A więc drgający lub obiegający jednostajnie okrąg elektron jest oscylatorem harmonicznym. ** H oznacza natężenie pola magnetycznego, wielkość analogiczną do natężenia pola elektrycznego E, wyrażoną w amperach na metr (A ⋅ m-1).

Rys. 1.7 „Łańcuch” wzajemnie wzbudzających się pól E ~ i H ~, a) rozchodząca się w próżni z maksymalną prędkością jaka występuje w przyrodzie, z prędkością c. Powstaje w ten sposób fala elektromagnetyczna, w której wzajemnie prostopadłe wektory Emax i Hmax występują jednocześnie i są prostopadłe do wektora prędkości c, b) zmienne pole elektryczne (lub magnetyczne) jest źródłem promieniowania elektromagnetycznego rozchodzącego się we wszystkich kierunkach z prędkością c

1.3 Materia Materia jest pojęciem dosyć często potocznie używanym. Ale czymże jest w istocie materia? Czym jest materia w sensie fizycznym? W sensie potocznym rozumie się przez nią zorganizowany lub niezorganizowany zbiór elementów korpuskularnych. Czy takie pojmowanie materii w fizyce jest wystarczające?

Odpowiedź

na

to

pytanie

dają

nam

studia

o

istocie

elektryczności. Wymieńmy teraz niektóre fakty, zjawiska fizyczne, które rzucą

Marek

Pilawski

Strona 27

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki pewne światło na istotę materii korpuskularnej. Zjawiska te podlegają prawom, które należą do fundamentalnych praw Przyrody. 1. Elektrony rozpędzone do dużej prędkości w polu elektrycznym uderzają w lampie rentgenowskiej w antykatodę*. Na skutek zderzeń z antykatodą tracą one część swojej energii kinetycznej

mv 2 = eU 2

(1.14)

która przemienia się w energię promieniowania elektromagnetycznego, zwanego promieniowaniem X lub promieniowaniem Roentgena (rentgenowskim) * Elektroda, na której ogniskowany jest strumień elektronów wysyłanych przez katodę (elektrodę ujemną).

eU = hv x

(1.15)

h — stała Plancka, vx — częstotliwość promieniowania. 2. Cząstki i antycząstki* elementarne w zderzeniach ze sobą ulegają anihilacji (unicestwieniu),

oczywiście

anihilacji

w

energetycznym.

W

zderzenia

elektronu

czasie

sensie

korpuskularnym, z

a

antyelektronem

nie (czyli

pozytonem lub pozytronem) cząstki elementarne ulegają unicestwieniu, w miejsce

nich

pojawia

się

energia

promieniowania

elektromagnetycznego,

promieniowania ɣ

e − + e + → 2hvγ Jak

widać,

materia

w

sensie

korpuskularnym

(1.16) równoważna

jest

energii

promieniowania elektromagnetycznego o odpowiedniej długości fali. Znane jest również zjawisko odwrotne zwane kreacją par elektronowo-pozytronowych. Polega ono na wytwarzaniu, w pewnych warunkach, elektronu i antyelektronu z kwantów promieniowania elektromagnetycznego - promieniowania ɣ 2hvγ → e − + e +

(1.17)

3. Bezpośredni związek między energią i masą podał Albert Einstein E = m0 c 2

(1.18)

m0 — masa spoczynkowa cząstki (masa w bezruchu), c — prędkość światła. Zgodnie z wzorem (1.18), ciału o nawet bardzo małej masie odpowiadają olbrzymie ilości energii. Energia ta uwalnia się np. w procesie syntezy jądrowej, kiedy to cały deficyt masy zostaje wypromieniowany (patrz p. 2.3).

Marek

Pilawski

Strona 28

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 4. L. H. Germer i C. J. Davisson przepuszczając strumień elektronów przez cienką płytkę złota zauważyli na ekranie obraz dyfrakcyjny, czyli obraz typowy dla fal. Doświadczenie ich było bardzo ciekawe. Nie ulegało bowiem wątpliwości, że mieli oni do czynienia z jakimś promieniowaniem, które w jednym doświadczeniu objawiało swoje właściwości zarówno korpuskularne, jak i falowe. Ruchowi cząstek elementarnych towarzyszy więc promieniowanie falowe. 5. Model atomu Bohra złożony z protonu i krążącego wokół niego elektronu, rozumianego jako cząstka korpuskularna, nie utrzymał się długo. Elektron tracąc swą energię na promieniowanie elektromagnetyczne powinien spaść na jądro. Bohr przyjął więc, że elektron jest reprezentowany przez falę o określonej długości, która na skutek interferencji nakłada się na siebie w zgodnej fazie. Z poprzednich rozważań wiemy, że przyjęcie takie jest uzasadnione. 6. Nie tylko promieniowanie korpuskularne ma właściwości promieniowania falowego, lecz również promieniowanie falowe ma właściwości promieniowania korpuskularnego

—

przykład

—

zjawisko

fotoelektryczne.

Kwanty

promieniowania elektromagnetycznego wybijają z płytki fotoczułej elektrony. Zgodnie z zasadą zachowania energii można napisać, że (wzór Einsteina) hv = A +

mv 2 2

(1.19)

hv — energia kwantu promieniowania, A — praca wyjścia (oswobodzenia) elektronu, mv2 — energia kinetyczna wybitego elektronu. 7. Doświadczenia przedstawione skrótowo w punktach 4, 5 i 6 świadczą o dualizmie (dwoistości) korpuskularno-falowym materii. Zgodnie z zasadą de Broglie'a (1924 r.) każdej fali można przyporządkować pęd

p=

hv c

* Patrz p. 2.4.

(1.20)

c — prędkość światła oraz każdemu ciału o masie m poruszającemu się z prędkością v można przyporządkować falę o długości

λ=

h mv

(1.21)

W niniejszym rozdziale mieliśmy mówić o materii, a tak się złożyło, że mówiliśmy głównie o masie i o energii. Teraz już wiemy, że masa i energia to jedno i to

Marek

Pilawski

Strona 29

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki samo. Energię — „promieniowanie elektromagnetyczne” i pole fizyczne można więc nazwać materią w sensie fizycznym. Materia zatem to jest wszystko to, co nas otacza, wszystko to, co wypełnia przestrzeń, wszystko, co oddziałuje na nasz organizm. Przykład 1.3 Elektron porusza się w polu elektrycznym pod wpływem różnicy potencjałów U = 4V. Przyjmując, że prędkość początkowa elektronu jest równa zeru, należy obliczyć energię kinetyczną (w elektronowoltach i dżulach), jaką on uzyskuje w tym polu, oraz jego prędkość końcową. Obliczyć też długość fali promieniowania elektromagnetycznego powstającego przy jego zahamowaniu. Do obliczeń przyjąć : masę elektronu m = 9,1⋅10-31 kg, ładunek elektronu e = 1,602⋅10-19C, stałą Plancka h = 6,625⋅10-34 J⋅s.

Elektron przyspieszony w polu o różnicy potencjałów U uzyskuje energię W = eU

równą 4 eV. 1 eV jest energią, jaką uzyskuje elektron w polu elektrycznym pod wpływem różnicy potencjałów 1V. Ponieważ e = 1,602⋅10-19C, a 1C ⋅ 1 V = 1 J, to energii 1 eV odpowiada energia 1,602⋅10-19 J. W naszym przykładzie energia elektronu (wyrażona w dżulach)

W = 6,408 ⋅ 10 −19 J Energię elektronu można wyrazić również wzorem

mv 2 W = 2 gdzie v jest prędkością końcową uzyskaną przez elektron. Zatem ze związku

mv 2 = eU 2 można wyznaczyć prędkość

v=

2eU m

Po podstawieniu danych liczbowych v ≈ 1,19⋅106 m⋅s-1. Jeśli energia kinetyczna elektronu przy jego zahamowaniu zmienia się całkowicie w energię promieniowania elektromagnetycznego, to

hv = eU a stąd

Marek

Pilawski

Strona 30

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Ponieważ λ =

v=

eU h

λ=

hc eU

c , więc ostatecznie v

Obliczenia wykazują, że λ = 0,30525 µm, co odpowiada składowej fioletowej widma światła białego. Przykład 1.4 Obliczyć wartość energii, jaką reprezentuje elektron w spoczynku oraz długość fali promieniowania elektromagnetycznego powstającego przy jego anihilacji. Przyjąć: masę spoczynkową elektronu m0=9,1⋅10-31 kg, prędkość światła c = 3⋅108 m⋅s-1, stałą Plancka h = 6,625⋅10-34 J⋅s.

Zgodnie ze wzorem Einsteina z masą m0 związana jest energia

E = m0 c 2 dla elektronu równa 81,9⋅10-15 J. Odpowiednia długość fali (wyznaczona z zależności m0c2 = hv)

λ=

h m0 v

Po obliczeniu λ = 0,0242⋅10-10 m. Przykład 1.5 Obliczyć graniczną długość fali λg zjawiska fotoelektrycznego w przypadku wykorzystania płytki cezowej, dla której praca wyjścia elektronów A = 1,9 eV. Obliczyć prędkość maksymalną v elektronów wybijanych z tej płytki przez kwanty promieniowania o długości fali λ = 0,49 µm.

W przypadku oświetlenia płytki promieniowaniem o długości granicznej elektrony uzyskują energię równą pracy wyjścia A elektronów. Elektrony uwalniają się z wiązań łączących je z pozostałymi atomami, płytki jednak nie opuszczają. Z zależności

hv g = A otrzymuje się

vg =

A h

λg =

hc A

Po obliczeniu: λg = 0,656 µm. Ta długość fali odpowiada barwie czerwonej. Przy większych długościach fal zjawisko fotoelektryczne w płytce cezowej nie występuje.

Marek

Pilawski

Strona 31

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Dla kwantów promieniowania o długości fali λ = 0,49 µm słuszna jest zależność (1.19)

mv 2 hv = A + 2 z której

v=

2  hc   − A m λ 

2 (hv − A) = m

Podstawiając wartości liczbowe (długość fali λ należy wyrazić w metrach) v = 47⋅103 m⋅s-1. Przykład 1.6 Obliczyć długość fal materii towarzyszących ruchowi elektronu z prędkością v = 47⋅104 m⋅s-1 oraz ruchowi samochodu o masie ms = 1000 kg poruszającego się z prędkością vs = 10 m⋅s-1.

Długość fali de Broglie'a przyporządkowanej ciału o masie m poruszającemu się z prędkością v wyrażona wzorem

λ=

h mv

dla elektronu (przy pominięciu efektów relatywistycznych) jest równa 1,5⋅10-9 m, natomiast dla samochodu : 6,62⋅10-38 m. Materia wypełnia przestrzeń i znajduje się w ciągłym ruchu. Ruch materii jest podstawą

trwałości

układów

materialnych.

Na

przykład

siła

odśrodkowa

działająca na elektron poruszający się po orbicie jest zrównoważona siłą elektrostatycznego przyciągania z jądrem atomu, dzięki czemu elektron nie spada na jądro. Ruch elektronu jest więc podstawą trwałości takiego układu materialnego, jakim jest atom. Podobnie wyjaśnia się trwałość układów planetarnych. Większość

z

obserwowanych

ruchów w

układach

materialnych

to

ruchy

okresowe. Dzięki takim ruchom można wprowadzić skalę czasu i określać następstwo zdarzeń. Wprowadzenie

pojęcia

czasu

pozwala

mówić

o

czasoprzestrzeni

jako

o

przestrzeni, w której upływa czas. Czas ten jednak upływa różnie dla różnych ciał (patrz teoria względności Einsteina i wzór 1.25). Materia wyznacza

Marek

Pilawski

Strona 32

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki przestrzeń i czas (czasoprzestrzeń). Ale nie tylko. Materia wyznacza również właściwości geometryczne czasoprzestrzeni. Jedną z właściwości przestrzeni wyznaczonej przez materię jest zakrzywienie. Przestrzeń jest zakrzywiona (rys. 1.8a).

Rys. 1.8 Kierunek propagacji (rozchodzenia się) promieniowania elektromagnetycznego przechodząc w przestrzeni kosmicznej przez silne pola grawitacyjne ulega zakrzywieniu (a). Suma kątów trójkąta w przestrzeni zakrzywionej nie musi być równa 180°. Może być ona większa (b) lub mniejsza (c) niż 180°

Przestrzeń można penetrować po liniach wyznaczonych kierunkiem rozchodzenia się promieniowania elektromagnetycznego (np. światła). Uważamy na ogół, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się po liniach prostych. Ale jest to wniosek z naszych ziemskich doświadczeń. Gdy zaczynamy obserwować Kosmos, to okazuje

się,

że

fale

elektromagnetyczne

przechodząc

przez

silne

pola

grawitacyjne ulegają zakrzywieniu. My możemy obserwować przestrzeń tylko po liniach wyznaczonych kierunkiem rozchodzenia się fal elektromagnetycznych. Przestrzeń jest więc zakrzywiona. W przestrzeni takiej obowiązuje inna geometria, niż geometria euklidesowa, którą znamy ze szkoły. Geometria euklidesowa słuszna jest tylko dla takiej przestrzeni, w której można poprowadzić płaszczyznę płaską i proste. Odnosi się ona zatem tylko do tak małych obszarów przestrzennych, że zakrzywienie przestrzeni można pominąć i traktować ją jako przestrzeń niezakrzywioną. Na powierzchni kuli ziemskiej na przykład rozległe obszary powierzchni z dużą dokładnością można traktować jako płaskie. Figury geometryczne narysowane na takiej powierzchni spełniają

Marek

Pilawski

Strona 33

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki twierdzenia geometrii płaskiej (euklidesowej). Im większe są jednak te obszary, tym

mniejsza

dokładność.

Jednym

z

podstawowych

twierdzeń

geometrii

euklidesowej jest twierdzenie mówiące, że sumą kątów w dowolnym trójkącie jest

zawsze

równa

180°.

Twierdzenie

to

nie

obowiązuje

w

geometrii

nieeuklidesowej (rys. 1.8 b, c). Jeśli wyobrazimy sobie powierzchnię w przestrzeni

nieeuklidesowej

jako

powierzchnię

kuli,

co

jest

wielkim

uproszczeniem, to okazuje się, że suma kątów dowolnego trójkąta na takiej powierzchni może być większa (rys. 1.8b) lub mniejsza (rys. 1.8c) niż 180°. Jak widać więc, w skali kosmicznej obowiązuje geometria nieeuklidesowa. Geometria euklidesowa jest jedynie szczególnym przypadkiem lub przybliżeniem geometrii nieeuklidesowej i to tym lepszym, im z mniejszym obszarem przestrzennym mamy do czynienia. Z dotychczasowych rozważań wynika, że materia wyznacza takie właściwości czasoprzestrzeni, jak przestrzeń, czas i zakrzywienie. Ale to nie wszystkie właściwości czasoprzestrzeni. Inne właściwości czasoprzestrzeni wynikają z faktu, że prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w niej jest stała, równa 300 000 km⋅s-1 i niezależna od sposobu poruszania się obserwatora. Dla obserwatora w spoczynku i dla obserwatora w ruchu prędkość rozchodzenia się promieniowania elektromagnetycznego jest zawsze stała i skończona. Ma to swoje konsekwencje ujęte w formuły matematyczne wyprowadzone z teorii względności podanej przez A. Einsteina: jeśli v1 jest prędkością jednego obiektu względem układu odniesienia, a v2 — prędkością drugiego obiektu względem pierwszego, to prędkość v drugiego obiektu względem układu odniesienia, przy ruchu jednokierunkowym obu obiektów

v=

v1 + v 2 vv 1 + 1 22 c

(1.22)

a więc suma prędkości nie może być nigdy większa niż prędkość światła c;

m=

m0 v2 1− 2 c

(1.23)

masa ciała poruszającego się z prędkością v jest większa od masy m0 tego ciała w spoczynku;

Marek

Pilawski

Strona 34

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki l = l0 1 −

v2 c2

(1.24)

wymiary l ciała w ruchu są mniejsze od wymiarów l0 tego ciała w spoczynku;

t=

t0

(1.25)

v2 1− 2 c

czas t na obiektach poruszających się upływa wolniej, niż czas t0 na obiektach pozostających w spoczynku. Teoria względności uświadomiła nam, że prędkość, masa, wymiary i czas są wielkościami względnymi, zależnymi od prędkości. Ponieważ dla różnych obserwatorów, którzy mogą poruszać się względem siebie, prędkość danego obiektu jest różna, każdy z obserwatorów może obserwować dany obiekt jako ciało o innej masie i innych wymiarach. Również czas trwania jakiegoś zjawiska na

rozpatrywanym

obiekcie

dla

każdego

z

obserwatorów

będzie

różny.

Oczywiście efekty relatywistyczne (efekty wynikające z teorii względności) są widoczne dopiero przy prędkościach zbliżonych do prędkości światła. Wyobraźmy sobie np. pociąg o długości równej długości peronu. Niech pociąg mija peron z bardzo dużą prędkością, bliską prędkości światła. Obserwatorzy z pociągu widzą peron jako krótszy od pociągu, gdyż to on porusza się względem nich, natomiast obserwatorzy na peronie widzą, że przejeżdżający pociąg jest krótszy niż peron. I jedni i drudzy obserwatorzy widzą rzeczywistość obiektywnie. Efekty relatywistyczne występują również przy prędkościach znacznie mniejszych od prędkości światła. Występują również przy prędkościach spotykanych na Ziemi, są jednak niezauważalne. Można powiedzieć, że dla prędkości małych w porównaniu z prędkością światła słuszna jest mechanika Newtona, mechanika w której masa ciał jest stała, czas dla wszystkich ciał upływa jednakowo szybko, a prędkości sumują się zgodnie ze wzorem (porównaj ze wzorem 1.22)

r r r r v1 + v 2 ≡ v1 + v 2 Przy prędkościach porównywalnych z prędkością światła mechanika Newtona przestaje

obowiązywać.

Zaczyna

natomiast

obowiązywać

mechanika

relatywistyczna, mechanika Einsteina, w której wymiary, czas i masa są wielkościami względnymi. Można powiedzieć, że mechanika Newtona dla małych prędkości

Marek

jest

Pilawski

takim

przybliżeniem

ogólnej

mechaniki

Einsteina,

jakim

Strona 35

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki przybliżeniem ogólnej geometrii przestrzeni zakrzywionej jest, dla małych obszarów, geometria euklidesowa. Do tej pory mówiliśmy o wielkościach znanych nam z naszego ziemskiego i kosmicznego doświadczenia. A jakie są bariery i warunki poznania rzeczywistości mikroświata, świata cząstek elementarnych? — Zasięg poznania mikroświata określony jest zasadą nieoznaczoności Heisenberga

∆p∆x ≥ h

(1.26)

∆p — niepewność pędu, ∆x — niepewność położenia cząstki, h — stała Plancka. Zasada nieoznaczoności mówi nam, że nigdy nie będziemy w stanie określić jednocześnie dokładnie położenia i pędu cząstki. Jeśli uda się nam w jakiś sposób dokładnie wyznaczyć pęd cząstki (∆p minimalne), to praktycznie niewiele będziemy wiedzieli o jej położeniu (∆x maksymalne). Jeśli natomiast uda nam się dokładnie wyznaczyć położenie cząstki (∆x minimalne), to z kolei pomiar pędu będzie obarczony bardzo dużym błędem (∆p maksymalne). Zależność (1.26) równoważna jest wyrażeniu

∆E∆t ≥ h

(1.27)

∆E, ∆t — niepewność energii i czasu dla danej cząstki. Iloczyn ∆E∆t (energia⋅czas) określa wielkość fizyczną zwaną działaniem. Można zatem powiedzieć, że h jest najmniejszym kwantem działania występującym w Przyrodzie. Wyznacza on granice poznania czasoprzestrzeni od strony wymiarów najmniejszych. Zasada nieoznaczoności Heisenberga słuszna jest również dla makroświata, ale ze względu na bardzo małą wartość stałej Plancka (h = 6,62491⋅10-34 J⋅s) można w tym przypadku stosunkowo dokładnie wyznaczyć pęd i położenie ciał. Mierząc pęd cząstek elementarnych najdokładniejszymi znanymi obecnie metodami otrzymujemy niepewność położenia cząstki ∆x rzędu średnicy atomu.

1.4

Matematyczny opis właściwości elektrycznych i magnetycznych

pól

Wszelkie pola rozciągają się w ośrodkach, które zmieniają swoje właściwości pod wpływem tego pola. Ośrodki, ze względu na swą strukturę, można podzielić na jednorodne i niejednorodne, a ze względu na właściwości kierunkowe - na

Marek

Pilawski

Strona 36

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki izotropowe i anizotropowe. Ośrodki jednorodne są to takie ośrodki, które mają takie same właściwości w każdej swej części. Przykładem ośrodków jednorodnych może być powietrze, woda, piasek itp. Ośrodki izotropowe są to takie ośrodki, które mają jednakowe właściwości fizyczne we wszystkich kierunkach. Przykładem ośrodka izotropowego może być również woda, szkło itp. Niektóre materiały, takie jak np. kryształy, drewno, guma, mogą tworzyć ośrodki jednorodne anizotropowe. Na przykład współczynnik załamania światła kryształu zależy od kierunku padania wiązki światła, pasek gumy łatwiej rozciąga się „wzdłuż” niż „wszerz”, drewno — ze względu na strukturę włóknistą — ma inną wytrzymałość mechaniczną w kierunki wzdłużnym i poprzecznym włókien. Na początku powiedzieliśmy, że ośrodki zmieniają swoje właściwości pod wpływem pola. Otóż ze względu na sposób zmian tych właściwości ośrodki dzielimy na liniowe i nieliniowe. Ośrodki liniowe są to takie ośrodki, których stałe materiałowe nie zależą od natężenia pola (w przyjętych granicach zmian tego pola). Przedmiotem naszych dalszych rozważań będzie próżnia, która jest ośrodkiem jednorodnym izotropowym i liniowym. W tym ośrodku występować będą pola wektorowe: elektryczne i magnetyczne. Oczywiście należy pamiętać, że próżnia wypełniona polami nie jest już próżnią w sensie fizycznym.

1.4.1 Wektor indukcji pola elektrycznego i pola magnetycznego Pole elektryczne wytwarza siłę działającą na ładunki elektryczne umieszczone w tym polu — wzór (1.2). Pod wpływem tej siły ładunki elektryczne mogą się poruszać, jeśli są swobodne (niezwiązane) lub mogą tylko zmienić swoje położenie, jeśli są związane (cząsteczki, atomy). Zmiana położenia ładunków jest przyczyną

powstania

nowego

pola

elektrycznego

pochodzącego

od

tych

ładunków. Zjawisko to nosi nazwę polaryzacji elektrycznej. Obserwuje się ją w każdym ośrodku, również i w próżni. Polaryzację wyrażamy liczbowo przez

Marek

Pilawski

Strona 37

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki indukcję elektryczną i oznaczamy przez D, Indukcja elektryczna zależy od natężenia pola elektrycznego zgodnie ze wzorem D = ε0E

(1.28)

Jednostką indukcji elektrycznej jest kulomb na metr kwadratowy (C⋅m-2). Wartość indukcji elektrycznej można geometrycznie zobrazować gęstością linii sił pola elektrycznego. Wektor D określa więc liczbę umownych linii sił pola przechodzących przez jednostkę powierzchni. We wzorze (1.28) ε0 jest wielkością charakteryzującą próżnię i nosi nazwę przenikalności elektrycznej próżni. Przenikalność ε0 jest niezależna od natężenia pola elektrycznego (ośrodek liniowy), jednakowa we wszystkich kierunkach (ośrodek izotropowy) i jednakowa w każdym miejscu próżni (ośrodek jednorodny). W równaniu (1.28) wielkość ta występuje jako współczynnik liniowej zależności między D i E. Podobne działanie na ośrodek wywiera pole magnetyczne. Ośrodek poddany działaniu

pola

magnetycznej).

magnetycznego Polaryzacji

ulega

ulega

i

namagnesowaniu

próżnia.

Polaryzację

(polaryzacji magnetyczną

wyrażamy liczbowo przez indukcję magnetyczną i oznaczamy przez B. Indukcja magnetyczna zależy od natężenia pola magnetycznego zgodnie ze wzorem B = µ 0H

(1.29)

Jednostką indukcji magnetycznej jest tesla (T). Wartość indukcji magnetycznej można geometrycznie zobrazować gęstością linii sił pola magnetycznego. Wektor B określa więc liczbę umownych linii sił pola magnetycznego przechodzących przez powierzchnię jednostkową. We wzorze (1.29) µ0 Jest wielkością charakteryzującą właściwości magnetyczne próżni i nosi nazwę przenikalności magnetycznej próżni. Przenikalność µ0 jest niezależna od natężenia pola magnetycznego, jednakowa we wszystkich kierunkach i jednakowa w każdym miejscu próżni. W równaniu (1.29) występuje ona jako współczynnik liniowej zależności między wielkościami B i H. Przenikalności ε0 i µ0 w pełni charakteryzują właściwości elektromagnetyczne próżni.

Marek

Pilawski

Strona 38

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki W układzie jednostek SI

ε 0 = 8,86 ⋅10 −12 F ⋅ m −1 µ 0 = 4π ⋅10 −7 H ⋅ m −1 Stałe ε0 i µ0 należą do tzw. stałych uniwersalnych (podstawowych). Przy obliczeniach dogodnie jest pamiętać, że 1 F = 1 (A⋅s) • V-1, a 1 H = 1 (V⋅s) ⋅A-1. Znając

wartości

D

i

B

można

już

obliczyć

strumień

elektryczny

z

odpowiedniego iloczynu skalarnego (patrz dodatek C) Ψe = D⋅S

(1.30)

Ψm = B⋅S

(1.31)

i strumień magnetyczny

Jednostką strumienia elektrycznego jest kulomb (C), a magnetycznego - weber (Wb);1 Wb = 1 V⋅l s = 1 T⋅1 m2. Wartość strumienia magnetycznego można określić mierząc całkowitą liczbę linii sił przenikających daną powierzchnię S w kierunku do niej prostopadłym.

1.4.2 Źródłowość pola elektrycznego Źródłowość pola elektrycznego wyrażana jest twierdzeniem Gaussa. Strumień indukcji elektrycznej przenikający dowolną powierzchnię zamkniętą mierzy się wartością ładunku znajdującego się w obszarze ograniczonym rozpatrywaną powierzchnią

Ψ =Q

(1.32)

Twierdzenie to udowodnimy dla szczególnego przypadku pola elektrycznego ładunku punktowego Q zamkniętego w powierzchni kulistej o promieniu r. Strumień elektryczny wychodzący z powierzchni kulistej (rys. 1.9)

Ψ = DS = ε 0 ES

(1.33)

Ponieważ powierzchnia kuli o promieniu r

S = 4πr 2

Ψ = ε 0 E 4πr 2 Uwzględniając, że w odległości r od ładunku punktowego natężenie pola elektrycznego

E=

Marek

Pilawski

Q 4πε 0 r 2

Strona 39

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki otrzymujemy Ψ = Q , co kończy dowód. W przytoczonym twierdzeniu i dowodzie należy zwrócić uwagę na to, że równość

Ψ = Q jest niezależna od wyboru kształtu powierzchni S. Stawia się jej tylko jeden warunek — musi całkowicie obejmować ładunek. W naszym przypadku dla prostoty dowodu jako powierzchnię zamkniętą obejmującą ładunek punktowy Q wybrano

powierzchnię

kulistą.

Jeśli

wewnątrz

rozpatrywanej

powierzchni

znajduje się wiele ładunków, to n

Ψ = ∑ Qk

(1.34)

k =1

n — liczba ładunków.

Rys. 1.9 Ładunek punktowy Q otoczony powierzchnią sferyczną zamkniętą

Cechę opisaną równaniem (1.32) mają tylko pola źródłowe. Twierdzenie Gaussa znajduje zastosowanie do obliczania pól elektrycznych. Przykład 1.7 Na przewodzie liniowym o długości l zgromadzony jest ładunek Q. Ładunek rozłożony jest na przewodzie z gęstością liniową τ = Q/l. Korzystając z twierdzenia Gaussa wyznaczyć wzór na natężenie pola elektrycznego w otoczeniu naładowanego przewodu (rys. 1.10).

Przewód na długości l otaczamy powierzchnią walcową o promieniu podstawy r. Przez powierzchnię boczną walca o polu

S = 2πrl przenika strumień elektryczny

Ψ = DS Strumień ten można zatem wyrazić wzorem

Ψ = ε 0 E 2πrl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa Ψ = Q , a więc

Marek

Pilawski

Strona 40

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ε 0 E 2πrl = τ l skąd otrzymujemy

E=

τ 2πrε 0

Wartość natężenia E jest odwrotnie proporcjonalna do odległości r od przewodu liniowego i mimo jego nieograniczonej długości ma wartość skończoną. (Skończoną długość l przewodu przyjęto w celu ułatwienia obliczeń).

Rys. 1.10 Przewód liniowy naładowany ładunkiem o gęstości liniowej τ oraz zależność natężenia pola elektrycznego E od odległości r od powierzchni tego przewodnika Przykład 1.8

Na powierzchni czaszy kulistej o promieniu R rozłożony jest ładunek elektryczny z gęstością powierzchniową

σ=

Q . Korzystając z twierdzenia Gaussa wyznaczyć wzór 4πR 2

na natężenie pola elektrycznego w otoczeniu naładowanej czaszy (rys. 1.11).

Naładowaną

powierzchnię

kulistą

otaczamy

umyśloną

koncentryczną

powierzchnią kulistą o promieniu r i polu powierzchni

S = 4πr 2 przez którą przenika strumień elektryczny

Ψ = DS Ponieważ

D = ε 0 E oraz S = 4πr 2 to

Ψ = ε 0 E 4πr 2 Ponieważ zgodnie z twierdzeniem Gaussa Ψ = Q , gdzie Q = 4πR 2σ ,

Marek

Pilawski

Strona 41

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 1. 11 Czasza kulista z równomiernie rozłożonym ładunkiem elektrycznym o gęstości powierzchniowej σ i zależność natężenia pola elektrycznego od odległości r od powierzchni naładowanej kuli

więc z równości

ε 0 E 4πr 2 = 4πR 2σ otrzymujemy

E=

Q 4πε 0r 2

lub E =

R 2σ ε 0r 2

Jak widać, naładowana ładunkiem Q czasza kulista wytwarza na zewnątrz takie samo pole jak ładunek punktowy Q umieszczony w środku geometrycznym czaszy. Wewnątrz czaszy natężenie pola jest równe zeru. Tym tłumaczy się np. zjawisko ekranowania od wpływu zewnętrznych pól elektrycznych za pomocą osłon metalowych ciągłych lub siatkowych*. Przykład 1.9 Korzystając z twierdzenia Gaussa wyznaczyć natężenie pola elektrycznego w otoczeniu nieskończenie rozległej płaskiej płyty naładowanej ładunkiem rozłożonym z gęstością powierzchniową σ (rys. 1.12).

Obliczenia ograniczamy do skończonej powierzchni S płyty, którą otaczamy umyśloną powierzchnią w kształcie prostopadłościanu. Powierzchnie boczne prostopadłościanu, przez które przenika strumień elektryczny, niech będą równe również S. Strumień przenika przez dwie takie powierzchnie, a więc

Ψ = 2 DS Ponieważ, na podstawie twierdzenia Gaussa Ψ = Q = σS , to

2ε 0 ES = Sσ skąd otrzymujemy

Marek

Pilawski

Strona 42

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki E=

σ 2ε 0

Rys. 1.12 Pole elektryczne wytworzone przez płytę naładowaną ładunkiem elektrycznym o gęstości powierzchniowej σ

Jak widać, natężenie pola elektrycznego ma wartość stałą i niezależną od odległości od powierzchni płyty. Takie pole, którego wartość natężenia jest stała i niezależna od położenia rozpatrywanego punktu w tym polu, nazywa się polem jednorodnym. * Fakt, że w pustej wnęce wewnątrz naładowanego ciała natężenie pola elektrycznego jest równe zero, jest wynikiem tej właściwości przestrzeni, która decyduje o tym, że natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła pola. Gdyby było inaczej, natężenie wewnątrz pustej wnęki nie byłoby równe zero. Przykład 1.10

Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego między dwiema płaskimi płytami naładowanymi różnoimiennie ładunkiem rozłożonym z gęstością powierzchniową σ (rys. 1.13).

Rys. 1.13 Pole elektryczne układu dwóch równoległych różnoimiennie naładowanych płyt płaskich

Jeśli umówimy się, że linie sił pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunki dodatnie będą miały zwrot od ładunku, a linie sił pola wytworzone przez ładunki ujemne będą miały zwrot do ładunku, to natężenie pola między rozpatrywanymi płytami (rys. 1.13) będzie dwukrotnie większe, niż natężenie pola wytworzonego przez pojedynczą płytę (rys. 1.12), a zatem bez wykonywania obliczeń możemy napisać, że

Marek

Pilawski

Strona 43

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki E= Pole

elektryczne

(naładowanych

wytworzone

przewodników)

σ ε0

przez zawiera

układ się

dwóch tylko

płaskich

między

tymi

elektrod dwiema

elektrodami. Pola elektryczne wytworzone na zewnątrz elektrod przez ładunki dodatnie i ujemne wzajemnie się kompensują tak, że wypadkowe natężenie pola w tym obszarze jest równe zeru. Przykład 1.11

4 V = πR 3 naładowana ładunkiem elektrycznym Q 3 Q rozłożonym równomiernie wewnątrz kuli z gęstością objętościową ρ = wytwarza 4 3 πR 3 Kula

dielektryczna

o

objętości

na zewnątrz pole elektryczne. Korzystając z twierdzenia Gaussa wyznaczyć wzór na natężenie pola elektrycznego (rys. 1.14).

Rys. 1.14 Pole elektryczne wytworzone przez kulę dielektryczną naładowaną ładunkiem o gęstości objętościowej ρ

Kulę otaczamy zamkniętą powierzchnią kulistą o promieniu r. Strumień elektryczny Ψ = DS , po uwzględnieniu

S = 4πr 2 oraz D = ε 0 E można zapisać jako Ψ = ε 0 E 4πr 2 . Na podstawie twierdzenia Gaussa

ε 0 E 4πr 2 = Q stąd

E=

Q 4πε 0r 2

lub E =

R3ρ 3ε 0r 2

Podobnie, jak w przypadku omówionym w przykładzie 1.8, kulę dielektryczną można dla r > R zastąpić ładunkiem punktowym.

Marek

Pilawski

Strona 44

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

1.4.3 Bezźródłowość pola magnetycznego Bezźródłowość pola magnetycznego wyrażona jest twierdzeniem : W polu magnetycznym strumień Ψ wektora indukcji B wypływający na zewnątrz powierzchni zamkniętej S jest równy zeru. W przypadku pola o jednakowej wartości indukcji w każdym punkcie pola (patrz dodatek H) Ψ = B⋅S = 0

(1.35)

Twierdzenie to można wyrazić również inaczej (patrz dodatek C.1 i H): W polu magnetycznym strumień Ψ wektora indukcji B przepływający przez każdą z dwu powierzchni o wspólnej krzywej brzegowej jest taki sam (rys. 1.15) — patrz wzór (1.31) Ψ1 = B1⋅S1

Ψ2 = B2⋅S2

Dowód twierdzenia przeprowadzimy posługując się rys. 1.15. Powierzchnia sferyczna została przecięta płaską powierzchnią S0. Linie sił pola magnetycznego wnikają

do

zamkniętej

powierzchni

sferycznej

przez

powierzchnię

S2,

ograniczoną powierzchnią S0 i w takiej samej liczbie wychodzą z niej, przez część powierzchni oznaczonej przez S1. W przypadku granicznym powierzchnię sferyczną S1+S2 można zredukować do płaskiej powierzchni S0 rozpiętej na linii brzegowej. W tym przypadku S1 i S2 będą oznaczały różne strony tej powierzchni. Liczba linii sił wnikających do powierzchni S0 jest równa liczbie linii sił wychodzących z tej powierzchni.

Rys. 1.15 Powierzchnia zamknięta S1+S2, przez którą przechodzi pole magnetyczne o indukcji B

Linie sił pola magnetycznego są liniami zamkniętymi i jeśli strumień wnika do danej powierzchni zamkniętej, to musi z tej powierzchni wypłynąć, przy czym liczba linii sił pola wypływających jest równa liczbie sił wnikających. Wypadkowa liczba linii sił pola magnetycznego wychodzących na zewnątrz powierzchni

Marek

Pilawski

Strona 45

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki zamkniętej S1+S2 jest równa zeru. Linia brzegowa powierzchni S1 i S2 (linia ograniczająca powierzchnię S0) rozdziela rozpatrywaną powierzchnię zamkniętą na powierzchnię S1 i S2. Strumień przez każdą z tych powierzchni, zamkniętych powierzchnią S0, jest równy zeru. Twierdzenie o bezźródłowości pola magnetycznego odnosi się do każdego dowolnie wybranego obszaru zamkniętego tego pola.

1.4.4

Bezwirowość pola elektrostatycznego

Bezwirowość pola elektrostatycznego można wyrazić twierdzeniem Stokesa: W polu elektrostatycznym cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego E po krzywej zamkniętej l jest równa zeru (patrz dodatek G). W przypadku, gdy natężenie pola elektrycznego jest stałe na drodze l, twierdzenie można wyrazić wzorem E⋅l = 0

(1.36)

Iloczyn w równaniu (1.36) można przedstawić w postaci sumy dwu iloczynów. Przyjmując, że l=∆lACB + ∆lBDA (rys. 1.16)

E∆l ACB + E∆l BDA = 0

(1.37)

Suma iloczynów przyjmuje wartość równą zeru, gdyż odcinki ∆lACB i ∆lBDA skierowane są przeciwnie. Wynika to również stąd, że iloczyny

E∆l ACB = V A − VB oraz E∆l BDA = V B − E B a zatem suma ich jest równa 0.

Rys. 1.16 Pole elektryczne ładunku punktowego i dwie linie ekwipotencjalne VA i VB

Wyrażenie E∆l określa potencjał, a zmiana potencjału w polu elektrostatycznym na drodze zamkniętej jest równa zeru.

Marek

Pilawski

Strona 46

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Jeśli różnicę potencjałów oznaczymy przez U = ∆U, to ogólnie można napisać

E∆r = U

(1.38)

Równanie (1.38) można przedstawić również w postaci

E=−

∆U ∆r

(1.39)

co oznacza, że Natężenie pola elektrycznego mierzy się przyrostem potencjału (lub napięcia) względem drogi oddziaływania natężenia pola. We wzorze (1.39) po prawej stronie równania jest znak minus, ponieważ ∆U oznacza przyrost potencjału, a zwrot wektora natężenia E jest wybrany zgodnie z kierunkiem spadku potencjału.

1.4.5 Wirowość pola magnetycznego Wirowość pola magnetycznego można wyrazić prawem Ampere'a zwanym też prawem przepływu: Cyrkulacja wektora (natężenia pola) magnetycznego H po krzywej zamkniętej l jest równa przepływowi ϴ prądu przenikającego przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej (patrz dodatek G). W przypadku, gdy natężenie pola magnetycznego jest stałe we wszystkich punktach krzywej, to H⋅l = ϴ

(1.40

Dowód twierdzenia ograniczymy do wykazania, że prawa strona równania (1.40) nie jest równa zeru w przypadku pola magnetycznego wzbudzonego przez prąd I*. Na rys. 1.17 przedstawiono jedną z linii sił pola magnetycznego wytworzonego przez prąd I skierowany prostopadle do płaszczyzny rysunku. Wektor H jest skierowany zgodnie z kierunkiem obrotu śruby prawoskrętnej. Również odcinki ∆l, na które można podzielić linię l = 2πr, są skierowane zgodnie. Suma iloczynów skalarnych H∆l nie może być więc równa zeru.

Marek

Pilawski

Strona 47

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 1.17 Zamknięta kołowa linia siły pola magnetycznego wytworzonego przez przepływ prostopadły do płaszczyzny rysunku

Przepływ, oznaczany przez ϴ,, oznacza całkowity prąd przenikający przez powierzchnię rozpiętą na krzywej zamkniętej reprezentującą zbiór punktów o jednakowym natężeniu pola magnetycznego

Θ = Iz

(1.41)

I-prąd w jednym drucie lub zwoju, z — liczba drutów lub zwojów. Można więc zapisać

Θ = Hl = Iz

(1.42)

Cechę opisaną równaniem (1.42) mają tylko pola wirowe. Prawo Ampere'a stosuje się do obliczania pól magnetycznych. Przykład 1.12 Korzystając z prawa Ampere'a (prawa przepływu) wyznaczyć natężenie pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz przewodnika liniowego z prądem (rys. 1.18). Przez przekrój poprzeczny przewodnika przepływa prąd I.

Jeśli przewodnik jest jednorodny, to gęstość prądu

J=

I πr12

* Prąd jest tu rozumiany jako uporządkowany ruch elektronów - patrz p.5.4.2.

Wartość gęstości prądu jest równa wartości prądu płynącego przez jednostkę przekroju

poprzecznego 2

powierzchni πx

przewodnika.

Przez

fragment

tego

przekroju

o

(zakreskowany obszar przekroju poprzecznego) płynie zatem

prąd

Ix =

I πx 2 2 πr1

Aby móc zastosować twierdzenie Ampere'a do rozwiązania naszego problemu musimy przyjąć pewną krzywą zamkniętą tak, aby przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej przenikał interesujący nas przepływ. Krzywą zamkniętą w naszym przypadku będzie okrąg o promieniu x, a powierzchnią rozpiętą na tej krzywej koło o powierzchni πx2. Wówczas na podstawie prawa przepływu — wzór (1.41 i

Marek

Pilawski

Strona 48

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 1.42) — można napisać

H 2πx =

I πx 2 2 πr1

a stąd

H=

I x 2πr12

Jak widać, natężenie pola magnetycznego wewnątrz przewodnika jest liniową funkcją odległości od jego osi geometrycznej. Linia sił pola magnetycznego na zewnątrz przewodnika jest okręgiem (na rys. 1.18 — okrąg o promieniu r2) o długości 2πr2. Przez powierzchnię rozpiętą na tym okręgu przenika przepływ

Θ = I gdy z = 1 Z prawa przepływu dla tego przypadku

H 2πr2 = I wyznaczamy natężenie pola magnetycznego

H=

I

(1.43)

2πr2

Natężenie pola magnetycznego na zewnątrz przewodnika jest więc odwrotnie proporcjonalne

do

odległości

rozpatrywanych

punktów

pola

od

jego

osi

geometrycznej.

Rys. 1.18 Pole magnetyczne przewodnika liniowego z prądem Przykład 1.13 Korzystając z prawa przepływu wyznaczyć natężenie pola magnetycznego wewnątrz

Marek

Pilawski

Strona 49

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki cewki toroidalnej (rys. 1.19).

Cewkę toroidalną tworzą zwoje drutu (przewodu elektrycznego) nawiniętego na powierzchnię walcową zagiętą wzdłuż osi na kształt pierścienia. Cewka taka, zawierająca z zwojów drutu, wytwarza przepływ

Θ = Iz Linie sił pola magnetycznego przebiegają wewnątrz toroidu po okręgach. Linia o średnim natężeniu pola magnetycznego tworzy okrąg o promieniu rśr. Na tym okręgu rozepnijmy dowolną powierzchnię, np. powierzchnię półkulistą. Przez tę powierzchnię przenika z zwojów, każdy z prądem I. Z prawa przepływu wynika więc równość

H 2πrśr = Iz a stąd

H=

Iz 2πrśr

(1.44)

Rys. 1.19 Cewka toroidalną i jej pole magnetyczne

Pole magnetyczne wytworzone przez cewkę toroidalną zamyka się głównie wewnątrz toroidu. Ćwiczenie 1.14 Wynotować formuły matematyczne dotyczące źródłowości i bezwirowości pola elektrycznego oraz bezźródłowości i wirowości pola magnetycznego. Omówić podobieństwa i różnice dotyczące formy odpowiednich wzorów. Wyciągnąć wnioski i uzasadnić je.

1.4.6 Gęstość energii pola elektrycznego Rozpatrzmy pole elektryczne między dwiema płaskimi płytami (elektrodami) o powierzchni S każda, usytuowanymi równolegle względem siebie w odległości wzajemnej d, naładowanymi ładunkami różnoimiennymi o wartości Q każdy (rys. 1.20). Jak wiadomo, ładunki w takim układzie elektrod wytwarzają jednorodne pole elektryczne o wartości (patrz przykład 1.10)

Marek

Pilawski

Strona 50

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki E= gdzie σ =

σ ε0

Q — gęstość powierzchniowa ładunku. S

Uwzględniając tę ostatnią zależność

Q = ε 0 ES Pole elektryczne o natężeniu E związane jest z potencjałem zależnością — wzór (1.38)

E∆r = U Ponieważ w tym przypadku E = const., a ∆r = d, to

Ed = U

Rys. 1.20 Układ płaskich elektrod i równomierne pole elektryczne między nimi

Prosta zależność opisana tym wzorem jest słuszna tylko dla pól równomiernych. Kombinacja równań daje zależność

U=

Q d ε 0S

(1.45)

która mówi, że napięcie elektryczne między płytami (elektrodami) jest liniową funkcją zgromadzonego na nich ładunku. Współczynnikiem proporcjonalności jest w tym przypadku czynnik - patrz również wzór (6.37)

C=

ε0S

(1.46)

d

określający pojemność elektryczną rozpatrywanego układu elektrod (patrz p. 6.3.1). Znajomość wartości ładunku elektrycznego Q i różnicy potencjałów U pozwala na obliczenie pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku ∆Q w polu o tej różnicy potencjałów — patrz wzór (1.11)

∆We = ∆QU

(1.47)

Uwzględnienie zależności (1.45) daje równanie

∆We = ∆ Q

Marek

Pilawski

Qd ε0S

(1.48)

Strona 51

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki z którego otrzymuje się (patrz dodatek F) zależność

We =

1 Q 2d 2 ε0S

(1.49)

1 ε 0 E 2V 2

(1.50)

Ponieważ Q = ε0ES, to ostatecznie

We =

V = Sd — objętość przestrzeni między płytami, czyli objętość rozpatrywanego pola elektrycznego. Gęstość energii pola elektrycznego określona zależnością

we =

We V

we =

1 ε0E 2 2

(1.51)

we =

1 ED 2

(1.52)

we =

D2 2ε 0

(1.53)

jest równa

bądź też, uwzględniając że D = ε0E

lub

Jednostką gęstości energii jest dżul na metr sześcienny (J⋅m-3). Gęstość energii pola elektrycznego w danym punkcie tego pola jest określona tylko wielkościami E i D działającymi w rozpatrywanym punkcie, nie zależy natomiast od kształtu obwodu elektrycznego wytwarzającego to pole. W naszym przypadku prosty kształt elektrod i pola elektrycznego został wybrany w celu łatwiejszego przeprowadzenia wywodów matematycznych. Przykład 1.14 Do elektrod, ukształtowanych jak na rys. 1.20, doprowadzono napięcie U = 1000 V. Obliczyć gęstość energii pola elektrycznego oraz całkowitą energię pola w obszarze międzyelektrodowym, jeśli S = 1000 cm2, d = 1 mm, a ε0 = 8,85⋅10-12 F⋅m-l.

Pod wpływem napięcia elektrycznego U na elektrodach gromadzi się ładunek wytwarzający pole elektryczne (równomierne) o natężeniu

Marek

Pilawski

Strona 52

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki E=

U d

a zatem

we =

1 U2 ε0 2 d2

Podstawiając dane liczbowe (d w metrach, S w metrach kwadratowych)

we = 4,43 J⋅m-3 Ponieważ objętość pola V= 10-5m3, to całkowita energia pola

We = 4,43 ⋅ 10 −5 J

1.4.7 Gęstość energii pola magnetycznego Pracę przeniesienia ładunku ∆Q w polu elektrycznym na drodze o różnicy potencjałów U można wyrazić wzorem

∆We = U∆Ψ e

(1.54)

gdyż — patrz wzór (1.47) — jak wiadomo na podstawie twierdzenia Gaussa, Q = Ψe. Podobny wzór można napisać również dla pola magnetycznego

∆W m = I∆Ψ m

(1.55)

∆Ψm — zmiana strumienia indukcji magnetycznej skojarzonego z obwodem, w którym płynie prąd I. Rozpatrzmy pole magnetyczne wytworzone przez cewkę cylindryczną (rys. 1.21), przez którą płynie prąd I wytwarzający przepływ Θ = Iz (z — liczba zwojów cewki). Promień nawinięcia zwojów cewki jest r, a więc pole powierzchni jej przekroju poprzecznego

S = πr 2 Prawie całe pole magnetyczne wytworzone przez cewkę zawarte jest w jej objętości, a zatem na podstawie prawa przepływu można napisać

Hl = lz l— długość cewki. Stąd

I=

Marek

Pilawski

Hl z

(1.56)

Strona 53

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 1.21 Cewka cylindryczna i jej pole magnetyczne

Ponieważ

∆Ψ m = zS ∆B to

∆W m =

Hl zS ∆ B z

Uwzględniając, że Sl = V i ∆B = µ0∆H

∆W m = Vµ 0 H∆H

(1.57)

Przechodząc do postaci całkowej powyższego wzoru (patrz dodatek F)

1 µ 0 H 2V 2

Wm =

(1.58)

Gęstość energii pola magnetycznego

wm =

Wm 1 = µ0 H 2 V 2

(1.59)

bądź też, po uwzględnieniu B = µ0H

wm =

1 HB 2

(1.60)

wm =

B2 2µ 0

(1.61)

lub

Gęstość energii pola magnetycznego w danym punkcie tego pola jest określona tylko wielkościami H i B działającymi w rozpatrywanym punkcie, nie zależy natomiast od kształtu obwodu elektrycznego wytwarzającego to pole. Przykład 1.15 Wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego oraz całkowitą energię pola wewnątrz cewki cylindrycznej pokazanej na rys. 1.21, jeśli l = 40 cm, r = 10 cm, z = 2000, I = 10 A, a µ0 = 4π⋅10-7 H⋅m-1.

Korzystając z prawa przepływu w odniesieniu do przedstawionej cewki można napisać

Marek

Pilawski

Strona 54

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Hl = lz a zatem

H=

Iz l

Gęstość energii pola magnetycznego - wzór (1.59)

1  Iz  wm = µ 0   2  l 

2

Podstawiając dane liczbowe

wm = 1,57 J ⋅ m −3 Ponieważ objętość pola wewnątrz cewki V = 12 ,56 ⋅10 −3 m 3 to całkowita energia pola

Wm = 19,72 ⋅10 −3 J

1.4.8 Równania Maxwella Całą wiedzę dotyczącą elektromagnetyzmu zawarł C. Maxwell w czterech równaniach zwanych obecnie równaniami Maxwelła (dodatek D). Równania te są wynikiem pięknej, zwartej i kompletnej teorii, z której wynikają wszystkie prawa fizyczne

dotyczące

pól

elektrycznych

i

magnetycznych

oraz

wszystkie

właściwości tych pól. Więcej — pozwoliły one wykazać, że zmienne pola elektryczne

i

magnetyczne

rozchodzą

się 10

elektromagnetycznych z prędkością c = 3⋅10

w

przestrzeni

w

postaci

fał

-1

m⋅s , zanim H. R. Herz fale takie

wykrył i zmierzył ich długość i zanim fizycy wyznaczyli doświadczalnie prędkość rozchodzenia się (propagacji) tych fal. Przy okazji okazało się, że prędkość ta jest równa prędkości rozchodzenia się światła w próżni, która była wyznaczona znacznie wcześniej. Do bezpośredniego korzystania z równań Maxwella potrzebna jest znajomość dość zaawansowanego aparatu matematycznego i w praktyce nie korzysta się z tych równań. Warto jednak wiedzieć, że twierdzenia i wzory stosowane w praktyce (można je wyprowadzić z równań Maxwella przy rozmaitych założeniach upraszczających) są słuszne jedynie w ograniczonym zakresie, np. dotyczą elementów liniowych albo elementów (układów) małych w porównaniu z długością fali itp. Same równania przytaczane są w tym miejscu jedynie ze względów poznawczych. Równania Maxwella przedstawia się w postaci*

Marek

Pilawski

Strona 55

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki    ∂H  2.rotE = − µ 0   ∂t  3.divH = 0  ∂E  4.rotH = γE + ε 0 ∂t 

1.divE =

ρ ε0

(1.62)

lub też w postaci (patrz dodatek D)

   ∂H  2.∇ × E = − µ 0   ∂t  3 .∇ ⋅ H = 0  ∂E  4.∇ × H = γE + ε 0 ∂t 

1.∇ ⋅ E =

ρ ε0

(1.63)

gdzie: ρ — gęstość objętościowa ładunku elektrycznego, γ — konduktywność (przewodność właściwa elektryczna) ośrodka, γE = JR — prąd przewodzenia, ε 0

∂E = JP — prąd przesunięcia. ∂t

Dla ośrodka przewodzącego prąd przesunięcia JP można pominąć i przyjąć, że całkowity

prąd

w

tym

ośrodku

równy

jest

prądowi

przewodzenia.

Dla

dielektryków można pominąć prąd przewodzenia JR i przyjąć, że całkowity prąd w tym ośrodku równy jest prądowi przesunięcia. Prąd przesunięcia związany jest z ruchem ładunków w procesie polaryzacji dielektryka (patrz p. 5.4.1). W półprzewodnikach należy brać pod uwagę oba prądy. Równania Maxwella dane w postaci wzorów (1.62) lub (1.63) dotyczą przypadku najbardziej ogólnego, tzn. takiego, w którym pola elektryczne i magnetyczne zmieniają się w czasie według dowolnie przyjętej funkcji i rozciągają się w ośrodku mającym cechy ośrodka nieprzewodzącego i przewodzącego. Interpretację równań Maxwella poznaliśmy już w p. 1.2. Równanie (1.62-1 i 1.63-1) odnosi się do źródeł pola wektorowego i mówi ono, że pole elektryczne jest polem źródłowym o wydajności źródła (dywergencji) ρ/ε0. Równanie (1.62-2 i 1.63-2) mówi, że zmiana w czasie, i tylko zmiana, pola magnetycznego powoduje powstanie pola elektrycznego. Równanie (1.62-3 i 2.63-3) odnosi się

Marek

Pilawski

Strona 56

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki do źródeł pola magnetycznego i mówi, że pole magnetyczne jest polem bezźródłowym, wydajność źródła pola magnetycznego jest równa zero. Wreszcie równanie (1.62-4 i 1.63-4) mówi, że pole magnetyczne może być wytworzone albo przez zmienne w czasie pole elektryczne  ∂E ≠ 0  , albo przez stałe pole  ∂t



elektryczne (E ≠ 0), które w tym przypadku związane jest z przepływem prądu przez ośrodek przewodzący, albo przez oba te pola działające jednocześnie. * znaczenie symboli omówiono w dodatku D.

W celu lepszego wyjaśnienia równań Maxwella przyjmiemy do dalszych rozważań przypadek

stacjonarny.

To

znaczy,

że

wszystkie

ładunki

elektryczne

są

nieruchome i niezmienne w czasie lub jeśli się poruszają to tak, że w wyniku ich ruchu powstaje prąd stały. Wtedy składniki

µ0

∂H =0 ∂t

i ε0

∂E =0 ∂t

a równania Maxwella przyjmują postać

    2.∇ × E = 0    3.∇ ⋅ H = 0   Magnetosta tyka   4.∇ × H = γE 

1.∇ ⋅ E =

ρ  ε 0  Elektrosta tyka

(1.64)

Pierwsza para równań dotyczy pól elektrycznych, niezmiennych w czasie i w przestrzeni, druga para równań — takich samych pól magnetycznych. Przykład 1.16 Obliczyć wartość wielkości c określonej wzorem c =

1

i podać jej interpretację

ε 0 µ0

fizyczną.

Uwzględniając

znane

wartości

liczbowe

przenikalności

elektrycznej

i

magnetycznej próżni

c=

1012 10 7 1019 ⋅ = ≈ 3,10 8 m ⋅ s −1 8,86 4π 111,3

Uwaga: F A⋅ s = ; m V ⋅m

Marek

Pilawski

H V ⋅s = m A⋅ m

Strona 57

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Wielkość c jest prędkością rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w próżni. Przykład 1.17 Obliczyć prędkość rozchodzenia się światła w krysztale o względnej przenikalności elektrycznej εr = 2 i względnej przenikalności magnetycznej µr = 1,125 oraz współczynnik załamania światła tego kryształu.

Wzór na prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej v=

1

(1.65)

εµ

jest słuszny dla każdego ośrodka, o dowolnej przenikalności bezwzględnej elektrycznej i magnetycznej ε = ε 0ε r

(1.66)

µ = µ0 µr

(1.67)

przy czym przenikalności względne εr i µr są liczbami określającymi, ile razy przenikalność bezwzględna danego środowiska jest większa od przenikalności bezwzględnej próżni. Równanie (1.65), po uwzględnieniu zależności (1.66) i (1.67), przyjmuje postać v=

1

ε 0 µ0

⋅

1

ε r µr

z której wynika, że v=

c

ε r µr

Ponieważ prędkość rozchodzenia się światła zależy od współczynnika załamania n według wzoru v=

c n

to n = ε r µr

Uwzględniając wartości liczbowe otrzymuje się ostatecznie n = 1,5, v = 2⋅10-8 m⋅s-1. Przykład 1.18 Obliczyć wartości wielkości Z f 0

=

µ0 ε0

i podać jej interpretację fizyczną.

Uwzględniając wartości liczbowe przenikalności elektrycznej i magnetycznej próżni

Marek

Pilawski

Strona 58

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Zf0 =

4π ⋅10 −7 = 377Ω 8,86 ⋅10 −12

Wielkość Zf0 jest impedancją falową próżni. Impedancja falowa jest parametrem określającym właściwości elektryczne ośrodka, wyrażającym się stosunkiem natężenia poła elektrycznego do natężenia pola

magnetycznego

w

danym

punkcie

pola

elektromagnetycznego

przenikającego rozpatrywany ośrodek. Impedancja falowa próżni (ośrodka nieprzewodzącego) jest stała i niezależna od częstotliwości fali elektromagnetycznej. Przykład 1.19 Obliczyć wartość impedancji falowej ośrodka przewodzącego – miedzi — dla fali elektromagnetycznej o długości λ = 1500 m, odpowiadającej falom długim z radiowego zakresu fal. Przewodnictwo właściwe miedzi γ = 5⋅107 S⋅m-1; µr ≈ 1.

Impedancja falowa próżni jest określona wartościami ε0 i µ0. Impedancja falowa każdego innego ośrodka jest określona przenikalnością ε i µ. Odpowiedni wzór ma postać

Zf =

µ ε

(1.68)

gdzie wielkości ε i µ są określone wzorami (1.66) i (1.67). Stała dielektryczna ośrodka przewodzącego zależy od przewodności właściwej (konduktywności) tego ośrodka i pulsacji (częstości) fali elektromagnetycznej, dla tego w ogólnym przypadku wzór (1.68) przyjmuje postać

1 ε2 γ2 = + µ 2 ω2µ 2 Zf

(1.69)

γ— przewodność właściwa ośrodka, ω = 2πf — pulsacja odpowiadająca częstotliwości f. Dla ośrodków o dużej przewodności, takiej że

γ ε >> ωµ µ

(1.70)

równanie (1.69) upraszcza się do postaci

Marek

Pilawski

Strona 59

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 2πfµ

Zf = W

naszym

przypadku,

(1.71)

γ

ponieważ

fali

o

długości

1500

m

odpowiada

częstotliwość f = 2 ⋅10 5 Hz , a µ = µ 0 , to

Zf =

2π ⋅ 2 ⋅ 10 5 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 = 18 ⋅ 10 −5 Ω 7 5 ⋅ 10

2. Budowa i właściwości atomu 2.1 Modele atomu Od najdawniejszych czasów ludzie starali się odgadnąć, jak jest zbudowana materia. Właśnie odgadnąć, a nie zbadać. Dawniej nie było możliwości badania struktury materii. Istoty materii dociekano na drodze rozważań filozoficznych. Już w V w. p.n.e. na drodze takich dociekań powstało pojęcie atomu. Odnosiło się ono do najmniejszej, niepodzielnej cząstki materii. Rozumowanie, które prowadziło do tego pojęcia, było bardzo proste. Daną bryłę materii dzielono w myśli na coraz mniejsze kawałki. W wyniku wielokrotnego dzielenia otrzymywało się w końcu tak mały okruch materii, który powinien być już niepodzielny. Tę właśnie podstawową hipotetyczną cegiełkę, z której zbudowane są wszystkie ciała, nazwano atomem. Atomy w wyobrażeniu starożytnych Greków miały różne kształty. Tym tłumaczono sobie różnorodność ciał i ich różne właściwości. Pierwszy model atomu (rys. 2.la), jak widać, zgodny był z ludzką intuicją. Był bardzo prosty, ale uniwersalny. W tamtych czasach wiele wyjaśnił i model atomu bardziej skomplikowany nie był potrzebny. Co prawda poznano później zjawiska magnetyczne (rudy magnetyczne) i zjawiska elektryczne (naelektryzowany bursztyn), ale nie wiązano ich absolutnie z właściwościami atomów. Późniejsze lata nie wniosły niczego nowego do starożytnego modelu atomu. Trzeba było czekać aż dwadzieścia cztery stulecia na zmianę naszych wyobrażeń o atomie. Nowe odkrycia w tej dziedzinie przyniosły dopiero badania nad elektrycznością. Stwierdzono, że atomy zawierają w sobie ładunki dodatnie i ujemne i że mają taką strukturę, iż można z nich otrzymać jony dodatnie i

Marek

Pilawski

Strona 60

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ujemne (zjawisko prądu elektrycznego, prąd w elektrolitach, promieniowanie katodowe

i

kanalikowe).

Wobec

nowych

faktów

fizycznych

z

dziedziny

elektrotechniki należało stworzyć nowy model atomu. Pierwszy model atomu złożony z ładunków ujemnych i dodatnich podał J. J. Thomson (który w 1896 r. odkrył istnienie elektronów swobodnych) — rys. 2.1b. Był to model statyczny. W masie o kształcie kulistym, naładowanej dodatnio, wetknięte są ujemne elektrony. Całkowity ładunek atomu na zewnątrz jest równy zeru, a jon powstaje przez odłączenie lub dołączenie elektronów. (Oznaczenie ładunków elektrycznych przez ,, + " i ,,—" jest sprawą czysto umowną. Oznaczenia takie wprowadzono do wygody zapisu. Nie ma jednak żadnych przeciwwskazań ku temu, żeby ładunki oznaczać np.: „●" i ,,0" lub jeszcze inaczej).

Rys. 2.1 Rozwój wyobrażeń o atomie: a) model atomu starożytnych Greków; b) model J. J. Thomsona atomu jednowartościowego; c) model E. Rutherforda atomu wodoru; d) model N. Bohra atomu wodoru; e) model atomu wynikający z mechaniki falowej h ; Schroedingera i zasady nieoznaczoności Heisenberga  h  na tle modelu Bohra h =  ≤ ∆r  2 π  ∆p  f) model atomu według obecnego stanu wiedzy. Gęstość zakropkowania proporcjonalna do prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym miejscu

jest

Model Thomsona dobrze wyjaśniał znane współcześnie zjawiska fizyczne, ale nie utrzymał się długo. W kilka lat później E. Rutherford, prowadząc badania nad rozpraszaniem promieniowania a, zauważył, że cząstki α są odpychane przez tę część atomu, która jest naładowana dodatnio i w której skupiona jest prawie cała masa atomu. Tak więc model atomu Thomsona przestał być aktualny, a

Marek

Pilawski

Strona 61

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Rutherford

podał

nowy

model

(1911

r.),

który

zachowując

właściwości

poprzedniego wyjaśniał również nowe zjawiska elektryczne. Model atomu Rutherforda był modelem dynamicznym o układzie planetarnym (rys. 1.1c). Składał się z dodatnio naładowanego jądra, skupiającego prawie całą masę atomu i krążących wokół niego po orbitach kołowych elektronów. Elektrony krążyły tak szybko, że siła odśrodkowa działająca na nie równoważyła siłę elektrostatycznego przyciągania z jądrem. Model Rutherforda, już bardziej złożony w porównaniu z pierwszym modelem atomu, nie był zgodny jednak z prawami elektrodynamiki*. Był to jednak pierwszy model dynamiczny, który unaocznił, że podstawą istnienia atomów, materii, jest ruch. Bez ruchu niemożliwe są trwałe układy materialne. Model atomu Rutherforda zbudowany był wedle reguł mechaniki klasycznej (mechaniki Newtona). Cząstki elementarne (protony, elektrony) były to małe sprężyste kuleczki, które miały swoją masę, pęd, energię kinetyczną i wszystkie cechy

obiektów

doświadczeń

korpuskularnych.

nie

elementarnych.

W

można

jednak

mikroświecie

Wyobrażeń bezkarnie

obowiązują

z

naszych

przenosić inne

w

„reguły

codziennych świat

gry”

cząstek

i

modele

bezpośrednio przeniesione do niego z innego „świata” mogą być fałszywe. Sprzeczność planetarnego modelu atomu z prawami elektrodynamiki polega na tym, że elektron w ruchu wytwarza zmienne pole elektryczne, które z kolei wytwarza zmienne pole magnetyczne itd. Jednym słowem elektron promieniuje falę elektromagnetyczną, a energia tego promieniowania może się wziąć tylko z energii kinetycznej elektronu. Elektron zatem po bardzo krótkim czasie powinien spaść na jądro, a tego rodzaju zjawiska nie obserwuje się. Tę sprzeczność wyjaśnił dopiero N. Bohr. Wyjaśnił ją w sposób błyskotliwy i niezwykły, tak niezwykły, że wywołał burzę dyskusji, zarzutów i zachwytów ze strony fizyków i nawet filozofów. Ale jakie wspaniałe osiągnięcia fizyki i matematyki miał Bohr do dyspozycji! — przede wszystkim teorię kwantów ogłoszoną przez M. Plancka w 1905 r. Znalazła ona pełne zastosowanie dopiero przy konstrukcji nowego modelu atomu. Bohr przy budowaniu swego modelu atomu oparł się na modelu planetarnym Rutherforda i na następujących postulatach :

Marek

Pilawski

Strona 62

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Pierwszy postulat Bohra Elektrony poruszają się po stałych orbitach wokół dodatniego jądra bez emisji promieniowania elektromagnetycznego. Drugi postulat Bohr Elektrony mogą się poruszać tylko na pewnych orbitach dozwolonych. Dla elektronów działanie na orbitach dozwolonych musi przyjmować stałą wartość, równą całkowitej krotności stałej Plancka h :

mv 2πr = nh

(2.1)

* Elektrodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk związanych z ruchem ładunków elektrycznych. Rozróżnia się elektrodynamikę klasyczną i kwantową.

m — masa, v — prędkość elektronu, r — promień n-tej orbity elektronu. Trzeci postulat Bohra Orbita, na której poruszający się elektron ma najmniejszą energię, jest orbitą stacjonarną. Elektron po pochłonięciu pewnej porcji energii może przeskoczyć na inną orbitę dozwoloną, bardziej odległą od jądra. Otrzymuje się wtedy atom wzbudzony. Stan wzbudzony atomu jest nietrwały i elektron po bardzo krótkim czasie powraca na orbitę stacjonarną (podstawową), wysyłając przy tym pobraną porcję energii ∆E w postaci kwantu promieniowania o częstotliwości v

∆E = hv

(2.2)

Pierwszy postulat Bohra uratował model planetarny atomu. Dalej Bohr przyjął, że elektron może być reprezentowany przez falę (rys. 2.ld). Fala ta, według postulatu Bohra, rozchodzi się wzdłuż takiej orbity elektronu, że jej długość równa jest całkowitej krotności długości fali. Dzięki temu fala ta może się na siebie nakładać w fazie zgodnej. A zatem elektron to cząstka, czy fala? — I jedno i drugie. Elektron można traktować jako cząstkę korpuskularną i jako falę. Można wykonać wiele doświadczeń, w których elektron objawia nam swoją naturę korpuskularną lub falową, albo jednocześnie jedną i drugą. Tak. W świecie cząstek elementarnych zaciera się różnica między cząstką i falą. To, co w naszym makroświecie jest od siebie wyraźnie odróżniane (ciała i fale), to w mikroświecie zlewa się w jedno i staje się nierozróżnialne. Tak więc zasada dualizmu korpuskularno-falowego wyjaśnia nam trwałość atomów i materii korpuskularnej, ale poprzez fale czy pakiety fal. Niezwykłe, ale prawdziwe!

Marek

Pilawski

Strona 63

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Prawdziwe,

bo

zasada

dualizmu

korpuskularno-fałowego

jest

zasadą

powszechną, tylko że w świecie ciał o dużej masie — makroświecie — jest trudniejsza do wykrycia. Według drugiego postulatu Bohra elektrony nie mogą poruszać się po dowolnych orbitach, a tylko po orbitach dozwolonych. Orbity dozwolone są to takie orbity, których długość równa jest całkowitej krotności długości fali reprezentującej elektron. Dla każdej n - tej dozwolonej orbity z warunku (2.1) można obliczyć jej promień. Elektron nie może się znajdować między orbitami dozwolonymi. Fala na takiej niedozwolonej orbicie nakładałaby się na siebie w fazie niezgodnej i w końcu „wygasiłaby" się. Genezę powstania drugiego postulatu Bohra można przedstawić również inaczej. Jak wiadomo, Planck przyjął, że najmniejszym działaniem w przyrodzie jest działanie określone stałą h (stała Plancka). Z drugiej strony wiadomo było, że najmniejszym okruchem materii jest elektron. Bohr założył zatem, że to najmniejsze działanie odnosi się do elektronu znajdującego się na pierwszej orbicie atomu. Stąd powstał warunek określony wzorem (2.1). Jest to warunek kwantowy. Główna liczba kwantowa n oznacza numer orbity i określa zarazem jej promień. (Iloczyn „pęd • droga" ma wymiar działania — patrz przykład 2.1). Trzeci

postulat

określa

warunki,

przy

spełnieniu

których

atom

może

promieniować. Ze względu na to, że elektron w atomie może przyjmować tylko pewne skwantowane położenia (poziomy energetyczne), może on pochłaniać energię tylko porcjami (kwantami energii). Elektron o większej energii zajmuje wyższą orbitę (wyższy poziom energetyczny) i powracając na swoją orbitę podstawową wysyła energię w postaci promieniowania elektromagnetycznego o częstotliwości określonej warunkiem (2.2). Postulaty Bohra zostały uzupełnione o tzw. zakaz Pauliego (zasada wykluczania Pauliego — 1925 r.). Zakaz Pauliego mówi, że na jednym orbitalu* mogą znajdować się jedynie elektrony mające taką samą energię całkowitą, taki sam orbitalny moment pędu i taki sam moment magnetyczny, różniące się jednak spinami**. * Orbital jest torem, po którym mogą poruszać się dwa elektrony różniące się jedynie

Marek

Pilawski

Strona 64

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki spinami. ** Elektrony, oprócz ruchu po orbitach, obracają się również wokół własnej osi. Moment pędu elektronu w ruchu obrotowym wokół własnej osi nazywany jest spinem. Te elektrony mają różne spiny, które wirują w różne strony.

Model atomu Bohra był wspaniałym triumfem ludzkiej wyobraźni. Wyjaśniał wszystkie znane zjawiska atomowe. Ugruntował teorię kwantów i zasady dualizmu korpuskularno-falowego. Model ten nie tylko fizycznie wyjaśnił różne procesy

fizyczne

(zjawisko

jonizacji,

reakcje

chemiczne,

układ

okresowy

pierwiastków, świecenie ciał, widma promieniowania i inne), ale również dawał możliwość obliczenia różnych wielkości (np. częstotliwości promieniowania, stałej Plancka itd.). Był więc modelem nie tylko fizycznym, ale i matematycznym. Jako model w części matematyczny bazował w większym stopniu na abstrakcji niż modele poprzednie. Model atomu Bohra, podobnie jak inne modele atomu, nie utrzymał się długo, odegrał jednak w fizyce ogromną rolę. Mimo iż w tej chwili nie odgrywa już w fizyce dużego znaczenia, wyjaśnia tylko budowę atomów wodoropodobnych i ma znaczenie tylko historyczne, jest omawiany w odpowiednich podręcznikach na całym świecie. Ma on bogate walory dydaktyczne i jest przykładem oraz wzorem tworzenia śmiałych i prostych, konsekwentnych teorii, teorii, które wyjaśniają całe bogactwo faktów fizycznych i pozwalają nawet przewidywać niektóre inne właściwości materii. Model atomu Bohra pojawił się w czasach (1913 r.), kiedy eksperymentatorzy informowali o coraz to nowych zjawiskach atomowych. Nie dawało się ich już jednak wyjaśnić za pomocą tego prostego modelu. Ulegał więc on stopniowo komplikacji. Założono więc, że orbity atomowe nie są okręgami, po których elektrony poruszają się ruchem jednostajnym, tylko elipsami, po których poruszają się ze stałą prędkością polową*, podobnie jak planety. W dalszej kolejności musiano przyjąć, że płaszczyzny tych elips ciągle zmieniają swoje położenie, tak że elektron zakreśla bardzo skomplikowaną krzywą zwaną rozetą (1916 r.). W sumie model atomu tak się skomplikował, że przestał być już użyteczny. Należało więc zbudować nowy model, bardziej uniwersalny. Nowy

model

posługując

Marek

atomu

się

Pilawski

opracowano

formalizmem

na

drodze

matematycznym

rozważań zwanym

matematycznych

mechaniką

falową.

Strona 65

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Mechanika falowa opracowana została niezależnie przez E. Schrodingera i W. C. Heisenberga (1926 r.) i jest rodzajem rachunku matematycznego pozwalającego jednolicie traktować cząstki i fale. Obraz atomu stworzony przez mechanikę falową jest odmienny od modelu atomu Bohra. Przede wszystkim mechanika falowa posługuje się pojęciem prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym obszarze wokół jądra. Mówi ona, że nie można jednoznacznie określić położenia orbit elektronowych w atomie. Można jedynie określić prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w pewnej odległości od jądra. Poziomy energetyczne ulegają więc „rozmyciu”. Nie są to już orbity, tylko obszary w kształcie pierścieni o zatartych granicach. Wewnątrz tych obszarów jest największe prawdopodobieństwo znalezienia elektronu. Występuje ono w miejscu dawnych orbit Bohra. Wykres zależności prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym punkcie przestrzeni od odległości

tego

punktu

od

jądra

przedstawia

„radialny

rozkład

gęstości

prawdopodobieństwa" (rys. 2.1e). „Radialny rozkład gęstości prawdopodobieństwa” określa więc prawdopodobne położenie orbit elektronowych. Tak to w miarę postępu wiedzy fizycznej i matematycznej nasz model atomu staje się coraz bardziej skomplikowany. Zasada nieoznaczoności Heisenberga dopełniła reszty. Jedynie co możemy stanowczo powiedzieć o atomie to to, że składa się z dodatniego jądra i otaczającej go chmury elektronów. Elektrony są z całą pewnością w ruchu. Chmura elektronowa, ze względu na ciągły rozkład prawdopodobieństwa położenia elektronów, niekoniecznie musi być kształtu kulistego. W 1976 r. udało się sfilmować zespoły pojedynczych atomów. Na ruchomym obrazie filmowym przedstawiały się one jako świecące kuleczki, których objętość i luminacja (jasność) pulsowały**. * Prędkość polowa jest to wielkość określająca powierzchnię pola zakreślanego przez promień wodzący w jednostce czasu, wyrażająca się w m2⋅s-1. W rozpatrywanym przypadku odcinek wodzący zawarty jest między jądrem atomu, umieszczonym w ognisku eliptycznej orbity elektronu, a elektronem. Konsekwencją stałej prędkości polowej elektronu jest niejednakowa jego prędkość liniowa. ** Należy zaznaczyć, że filmowanie atomów odbywało się za pomocą mikroskopu jonowego i przebiegało w zupełnie innych warunkach niż normalne filmowanie. Przykład 2.1 Wykazać, że pęd • droga (drugi postulat Bohra) ma wymiar działania — wymiar stałej Plancka h (dżul • sekunda).

Marek

Pilawski

Strona 66

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki mv 2πr = nh   m m kg ⋅ m kg ⋅ m  kg ⋅ ⋅ m = = ⋅ s = kg ⋅ 2 ⋅ m ⋅ s  = (masa • przyspieszenie • przesu2 s s s s   2

2

nięcie • czas) = — z drugiej zasady dynamiki Newtona — (siła • przesunięcie • czas) = (praca • czas) = (J • s) Przykład 2.2 Obliczyć promień orbity elektronu w modelu Bohra atomu wodoru, prędkość liniową elektronu i częstotliwość jego obiegu po orbicie. Obliczyć również natężenie pola elektrycznego w miejscu, gdzie znajduje się pierwsza orbita elektronowa oraz całkowitą energię elektronu. Dane: h = 6,63⋅10-34 J⋅s; e = 1,6⋅10-19C; m = 9,1⋅10-31 kg; ε0 = 8,86⋅10-12F⋅m-1.

Elektron poruszając się po orbitach kołowych o promieniu r z prędkością v ma energię kinetyczną

Ek =

1 2 mv 2

Przyjmując, że pęd elektronu p = mv, energię kinetyczną można wyrazić wzorem

Ek =

p2 2m

Ponieważ, zgodnie z drugim postulatem Bohra — wzór (2.1) — p 2πr = nh , to dla stanu podstawowego atomu (n = 1)

Ek =

h2 8π 2 mr

Elektron porusza się w polu elektrycznym wytworzonym przez jądro, będzie więc miał również energię potencjalną — patrz wzór (1.7)

Ep = −

e2 4πε 0 r

Całkowita energia elektronu

h2 e2 E = Ek + E p = 2 2 − 8π mr 4πε 0 r

(2.3)

Elektron — spośród wszystkich możliwych położeń określonych przez r (rys. 2.2) — zajmie takie położenie, w którym jego energia całkowita jest najmniejsza, gdyż tylko to położenie będzie odpowiadało trwałej równowadze układu jądroelektron. Położeniu temu będzie odpowiadało

Marek

Pilawski

Strona 67

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki dE =0 dr Wykonując operację różniczkowania

dE h2 e2 =− 2 3 + =0 dr 4π mr 4πε 0 r 2

(2.4)

Równanie (2.4) jest słuszne tylko dla takiej wartości r = r0, dla której

h2 e2 = 3 2 4π 2 m 2 r0 4πε 0 r0

(2.5)

Rys. 2.2 Zależność całkowitej energii elektronu od odległości od jądra

Warunek (2.5) można otrzymać także z porównania siły dośrodkowej działającej na elektron z siłą Coulomba

mv 2 e2 = 2 r0 4πε 0 r0 Ponieważ mv = p, to

p2 e2 = mr0 4πε 0 r0 2 a uwzględniając warunek kwantowy — wzór (2.1) — n = 1

h2 e2 = 3 2 4π 2 mr0 4πε 0 r0 Z ostatniej zależności

h 2ε 0 r0 = πme 2

(2.6)

Po podstawieniu danych liczbowych r0 ≈0,53⋅10-10 m. Prędkość liniowa elektronu wyznaczona z warunku kwantowego

mv 2πr0 = h i określona wzorem

Marek

Pilawski

Strona 68

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki v=

h ≈ 2,22 ⋅10 6 m ⋅ s −1 2πmr0

Okres jednostajnego ruchu elektronu po orbicie kołowej wyznaczony ze wzoru

T=

2πr0 v

wynosi około 1,5⋅10-16 s, zaś częstotliwość f =

1 = około 6,66⋅l015 s-1 (częstość ω T

= 2πf= 4,18⋅1016 rad⋅s-1). Natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez jądro atomu w tym miejscu, w którym znajduje się elektron

E=

e

4πε 0 r0

2

Obliczenia wykazują, że E ≈ 77⋅1010 V⋅m-1. Aby obliczyć całkowitą energię elektronu na orbicie podstawowej atomu wodoru, należy we wzorze (2.3) uwzględnić r = r0 — wzór (2.6) i wtedy

E (r0 ) =

me 4 2 8h 2 ε 0

(2.7)

Zależność (2.7) wykazuje, że E(r0) = -13,6eV. Wartość ujemna oznacza, że energia elektronu związanego z atomem jest mniejsza od energii elektronu swobodnego, którego energia jest równa zero. W celu oswobodzenia elektronu z więzów utrzymujących elektron w atomie potrzebna jest więc energia 13,6 eV. Jest to energia jonizacji atomu wodoru. Przykład 2.3 Wiedząc, że masa protonu (zbliżona do masy neutronu) mcz = 1,67⋅10-27 kg i że jądro skupia całą masę atomu, obliczyć masę M jednego centymetra sześciennego materii, gdyby złożona ona była z samych jąder.

Promień cząstki elementarnej szacuje się na rcz ≈ 2 ⋅10-15 m. Objętość Vcz cząstki obliczona ze wzoru

Vcz =

4 3 πrcz 3

jest równa około 32⋅10-45 m3. Gęstość materii cząstki wyznaczona ze wzoru

ρ cz =

Marek

Pilawski

mcz Vcz

Strona 69

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wynosi około 5,25⋅1016 kg⋅m-3. Ponieważ V = 1 cm3 = 10-6 m3, to z prostej zależności

M = Vρ m obliczamy, że

M = 5,25 ⋅ 1010 kg Jak widać, gęstość materii jest bardzo duża; jeden centymetr sześcienny zagęszczonej materii ma masę ok. 52,5 miliona ton.

2.2 Struktura elektronu Tak naprawdę to o elektronie wiemy bardzo mało. A przecież ruch elektronów wytwarza przepływ prądu i pole elektromagnetyczne. Czyż więc o polach elektromagnetycznych i prądzie też wiemy niewiele? Tak źle nie jest! Znamy skutki działania ładunków elektrycznych, natomiast rzeczywiście bardzo niewiele wiemy o „strukturze” samego elektronu. W poprzednim rozdziale bardzo często mówiliśmy o ładunku punktowym. Tym ładunkiem

był

często

elektron.

Przez

ładunek

punktowy

rozumieliśmy

naładowany obiekt zajmujący przestrzeń zerowymiarową (punkt) lub obiekt rzeczywisty, bardzo mały w porównaniu z odległością do obszaru, w którym obliczaliśmy

natężenie

pola

elektrycznego.

Trudności

pojawiają

się,

gdy

rozpatrujemy pole elektryczne w bezpośrednim otoczeniu ciała naładowanego. Trudności

te

omówimy

na

przykładzie

elektronu

-

nośnika

ładunku

elementarnego. Natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy (elektron)

E=

e 4πε 0 r 2

Co się dzieje, gdy r → 0? Natężenie pola elektrycznego i gęstości energii tego pola dążą do wartości nieskończenie wielkiej. Jak wiemy, żadna wielkość fizyczna nie może mieć takiej wartości. I już choćby to narzuca skończone wymiary elektronu. Elektron zajmuje więc przestrzeń w kształcie kuli. Promień tej kuli jest promieniem elektronu. Elektron ma również masę, która została wyznaczona z dużą dokładnością. A jak jest rozłożona ta masa wewnątrz elektronu? Czy

Marek

Pilawski

Strona 70

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki elektron swym wyglądem przypomina ziarno, czy też może masa elektronu jest rozłożona nierównomiernie i najwięcej jest jej w środku, a na brzegach coraz mniej, dzięki czemu jest „rozmyty” na brzegach? Podobne pytania dotyczą ładunku elektronu: — co to jest to, co nazywamy ładunkiem elektronu? — jak on jest rozłożony w obrębie elektronu, czy ma strukturę „ziarnistą” czy „rozmytą”? — jak wyjaśnić trwałość elektronu, skoro różne jego fragmenty naładowane jednoimiennie odpychają się? Pytania te pozostają do dziś bez odpowiedzi. W związku z tym rodzi się wątpliwość, czy tak sformułowanie pytania w stosunku do elektronu w ogóle można

stawiać.

Czy

przypadkiem

prawa

i

zależności,

które

poznaliśmy

wcześniej, nie są słuszne tylko dla przestrzeni o wymiarach porównywalnych z wymiarami atomu (10-13 m) i większych. W przestrzeniach znacznie mniejszych być może te prawa przestają obowiązywać. A może w ogóle istnieje jakaś najmniejsza odległość, a sama przestrzeń (pole) ma strukturę nieciągłą? A może jest zupełnie inaczej i tak postawione pytania nie mają sensu? Może elektron ma budowę skomplikowaną i jest wynikiem działania złożonego układu cząstek jeszcze bardziej elementarnych? Na niektóre z tych pytań postarano się odpowiedzieć. Na przykład fakt, że elektron nie rozpada się, mimo działania w nim sil rozrywających, tłumaczy się występowaniem dodatkowych sił, których natury i pochodzenia nie znamy, a które skierowane są przeciwnie do sil elektrostatycznego odpychania. Te siły noszą nazwę „napięć Poinearćgo'’. Występowaniem „napięć Poincarego" tłumaczy się zjawisko oddziaływania elektronu na samego siebie. Elektron oddziałuje na samego siebie w chwili, gdy poruszając

się

ruchem

przyspieszonym

emituje

fale

elektromagnetyczne.

Właśnie te fale są przyczyną oddziaływania hamującego ruch elektronu (opór promieniowania), nawet wtedy, gdy sam znajduje się we wszechświecie. A więc odizolowany elektron w przestrzeni, jeśli tylko porusza się tak, że emituje promieniowanie, wytwarza siłę hamującą swój ruch. Inny sposób wyjaśnienia siły oddziaływania elektronu na samego siebie polega

Marek

Pilawski

Strona 71

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki na przyjęciu, że elektron za pośrednictwem fal elektromagnetycznych, oddziałuje na wszystkie inne ładunki elektryczne w swoim otoczeniu. Ładunki te, doznając działania,

zmieniają

swoje

położenie

wytwarzając

własne

fale

elektromagnetyczne, które z kolei oddziałują na elektron. Oddziaływanie to hamuje wymuszony ruch elektronu. Omówione oddziaływania noszą charakter sił akcji i reakcji i są „przesunięte” w czasie

ze

względu

na

skończoną

prędkość

rozchodzenia

się

fał

elektromagnetycznych. Ta piękna koncepcja uwzględnia wewnętrzną spójność makroświata i mikroświata. Uwzględnia ona bardzo wielką wrażliwość elektronu na działanie wszystkich czynników zewnętrznych.

2.3 Budowa i właściwości jądra atomowego Poznanie budowy i właściwości atomu ma dla elektryków duże znaczenie. One to bowiem wyznaczają elektryczne i magnetyczne właściwości materii. Budowa atomu warunkuje takie zjawiska, jak prąd elektryczny, fale elektromagnetyczne, promieniowanie spójne (laser) oraz wiele zjawisk elektrycznych i magnetycznych w półprzewodnikach. Elektrotechnika zajmuje się jednak nie tylko zjawiskami, w których biorą udział całe atomy, cząsteczki, jony lub elektrony. W obecnych czasach elektrotechnika wykorzystuje również właściwości jąder atomowych. Reakcje i procesy jądrowe wykorzystuje się w technice izotopowej, mającej zastosowanie w przemysłowych elektronicznych systemach pomiarowych, układach automatycznego sterowania i kontroli, w energetyce (elektrownie jądrowe). Jądra atomów zbudowane są z nukleonów, w skład których wchodzą protony i neutrony. Liczba nukleonów decyduje o masie atomowej pierwiastka, a liczba protonów

jest

liczbą

atomową

danego

pierwiastka.

O

właściwościach

chemicznych pierwiastka decyduje liczba protonów w jądrze. Pierwiastki, których jądra atomowe zawierają tę samą liczbę protonów, a różną liczbę neutronów, nazywają się izotopami. Niektóre z izotopów są izotopami promieniotwórczymi. Jądra ulegają

Marek

pierwiastków

promieniotwórczych

samorzutnemu

Pilawski

rozpadowi

o

promieniotwórczości

powiązanemu

z

emisją

z

naturalnej tego

jądra

Strona 72

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki promieniowania α, β i γ. Promieniowanie to ma zdolność jonizacji atomów ośrodka, w którym się rozchodzi. Rozpad α polega na wypromieniowaniu z jądra cząstki α złożonej z dwóch protonów i dwóch neutronów. Jądro pierwiastka promieniotwórczego ulega przy tym przemianie na jądro innego pierwiastka, np. 226 88

4 Ra→ 222 86 Rn + 2 α + γ

(2.8)

Rad wypromieniowując cząstki α zmienia się na gaz radon. Rozpadowi α towarzyszy najczęściej promieniowanie elektromagnetyczne γ. Przemiana β polega na wypromieniowaniu z jądra cząstki β, która jest elektronem powstałym w wyniku rozpadu neutronu 1 o

n→11p + −10 e + v + γ

(2.9)

Neutron jądra promieniotwórczego rozpada się na proton, elektron i neutrino oznaczone przez v. Rozpadowi towarzyszy promieniowanie γ, które wyrównuje bilans energetyczny przed i po reakcji. Promieniowanie α, β i γ unosi z atomu wielkie ilości energii. Energia jednej cząstki α jest równa na przykład 6 MeV*. Jest to energia olbrzymia. Dla porównania: cząsteczka gazu w temperaturze kilkuset stopni Celsjusza ma energię 0,3 eV. W procesach spalania uzyskuje się około 4 eV na cząsteczkę, a w procesach eksplozji (gwałtownego spalania) — około 50 eV na cząsteczkę. Jeszcze większe ilości energii można uzyskać ze sztucznych przemian jądrowych. Na przykład bombardując jądra atomów litu

7

3Li

protonami**

1

1p

otrzymuje się

dwie cząstki α i znaczną ilość energii 1 1

p + 37Li * +0,15MeV = 24α + 24α + 17 MeV

(2.10)

Przedstawione procesy promieniotwórcze nie są wykorzystywane, mimo iż są wydajne energetycznie. Na przeszkodzie temu stoi dość znaczna energia (0,15 MeV na atom), którą trzeba dysponować, aby reakcja powyższa w ogóle była możliwa. Poza tym, nawet gdybyśmy przeprowadzili taką reakcję, to uwalniające się ilości energii są tak duże i wydzielają się tak gwałtownie, że w konsekwencji otrzymaliśmy ją w postaci wybuchu. Byłby to wybuch bomby wodorowej (bomby H). Obecnie w bombie wodorowej wykorzystuje się nieco inną reakcję, a mianowicie: 3 1

H + 12H + E1 = 24α + 01n + E2

(2.11)

Jest to reakcja syntezy polegająca na połączeniu izotopów wodoru — trytu i

Marek

Pilawski

Strona 73

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki deuterytu — w atom helu (cząstka 24α jest jądrem atomu helu) z wydzieleniem protonów i dużej ilości energii. Energia E1 udzielana izotopom wodoru jest potrzebna do tego, aby zaszła reakcja. Omawiana reakcja syntezy jądrowej zachodzi w temperaturze

około

20

milionów stopni Celsjusza. Przy tej

temperaturze izotopy mają tak dużą energię kinetyczną, że ich jądra zbliżają się na odpowiednio małą odległość. Zapalnikiem bomby wodorowej może być bomba atomowa. Reakcje syntezy termojądrowej zachodzą we wnętrzu słońca i są one źródłem dużej energii promienistej tych ciał niebieskich. Skąd się bierze energia jądrowa i dlaczego ona jest taka duża? Otóż energia ta jest produktem takich przemian jądrowych, w których zachodzi bezpośrednia zamiana masy (deficytu masy)**** na energię, zgodnie ze wzorem Einsteina E = mc2. Zgodnie z tym wzorem masie protonu, czyli masie m = 1,67⋅10-27 kg, odpowiada energia 1,6⋅10-10 J = 940 MeV. Energia jądrowa powstaje zatem kosztem energii pola sił jądrowych. Pole sił jądrowych ma inne właściwości niż wszystkie inne znane pola. * 1 eV (jeden elektronowolt) = 1,6⋅10-19 J. ** Protony można otrzymać ze sztucznej reakcji promieniotwórczej rozwijającej się np. po napromieniowaniu atomów azotu promieniowaniem α:

14 7

*** Stosownie do przyjętego systemu zapisu w symbolu

7 3

N + 24α →178 0+11p

Li górna liczba oznacza liczbę

nukleonów w jądrze danego pierwiastka (neutronów i protonów), a dolna — liczbę protonów w jądrze. Górna liczba jest więc liczbą masową, a dolna — atomową. **** Weźmy pod uwagę jądro dowolnego pierwiastka. Suma mas wszystkich nukleonów (neutronów i protonów), mierzonych pojedynczo, niech będzie równa M1. Masa M2 jądra zawierającego owe nukleony jest mniejsza od masy M1, M2 < M1. Różnica mas wszystkich nukleonów i utworzonego przez nie jądra nosi nazwę deficytu masy ∆M; ∆M = M1 —M2. Deficyt masy zgodnie ze wzorem E = ∆Mc2 spożytkowany jest na wytworzenie energii wiązań nukleonów, na wytworzenie pola (patrz rozdz. 1.2) sił jądrowych.

Działa ono tylko na małych odległościach i ma zasięg średnicy jądra atomowego. W większych odległościach pole to zanika prawie całkowicie. Wraz ze wzrostem odległości maleje ono znacznie szybciej niż proporcjonalnie do odwrotności kwadratu odległości. Siły pola sił jądrowych pokonują siły elektrostatycznego odpychania protonów w jądrze i są znacznie od nich większe. Wyjaśnienie natury sił jądrowych podał H. Yukawa. Przyjął on, że neutrony i protony w jądrze wymieniają między sobą cząstki o ładunku ujemnym i masie pośredniej między masą protonu i elektronu — mezony. Istnienie mezonów

Marek

Pilawski

Strona 74

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki świadczy o tym, że neutron w jądrze nie jest trwały. Neutron pozbywając się ujemnego mezonu staje się protonem. Uwolniony mezon łącząc się z innym protonem zmienia go w neutron. W ten sposób całkowita liczba neutronów i protonów w jądrze zostaje zachowana. Siły jądrowe, ze względu na naturę tych sił, zostały nazwane siłami wymiany, a mezon - kwantem pola sił jądrowych. Ciekawostką może być to, że taka natura sił jądrowych została przewidziana przez Yukawę. Dopiero później stwierdzono eksperymentalnie, że tak jest w istocie. Dowody doświadczalne, potwierdzające omawianą naturę sił jądrowych, są jednocześnie dowodem na złożoną strukturę neutronu. Neutron wytwarza własne pole magnetyczne i ma własny spin (moment pędu ruchu obrotowego wokół własnej osi). Reakcje termojądrowe nie znalazły zastosowania jeszcze w elektroenergetyce. Nie potrafimy jeszcze przeprowadzać takich reakcji w sposób kontrolowany. Na skalę przemysłową wykorzystuje się już natomiast reakcje rozszczepiania jąder, np. w elektrowniach jądrowych. Reakcja rozszczepiania polega na rozpadzie jądra atomu pierwiastka rozszczepialnego na kilka fragmentów z wydzieleniem

znacznej

rozszczepialnym

w

ilości energii.

reakcjach

Najczęściej

jądrowych

jest

stosowanym materiałem uran

i

pluton.

Reakcja

rozszczepienia jest, w pewnych warunkach, reakcją lawinową i może przebiegać w sposób kontrolowany. Zapoczątkowana zostaje przez bombardowanie jąder uranu lub plutonu wolnymi neutronami (patrz rozdz. 8).

2.4 Antycząstki, antyatomy, antymateria, antygrawitacja Właściwie to nie ma żadnego „przepisu” na to, że jądro atomu musi mieć ładunek dodatni, a elektron — ładunek ujemny. Można przecież wyobrazić sobie taki atom, którego ładunek jądra będzie ujemny, a elektronów — dodatni. Taki antyatom,

złożony

z

antycząstek:

antyprotonów,

antyneutronów

i

antyelektronów (pozytonów) również reprezentuje trwałą „organizację” energii (materii). Obecność antymaterii we Wszechświecie jest już w chwili obecnej faktem stwierdzonym doświadczalnie. A wszystko zaczęło się od antyelektronu. Istnienie tej antycząsteczki przewidział

Marek

Pilawski

Strona 75

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki P. Dirac. Sformułowane przez niego równanie elektrodynamiki kwantowej miało rozwiązanie, które mogła spełniać między innymi cząstka o masie równej masie elektronu

i

o

ładunku

dodatnim.

Cząstkę

tę

nazwano

antyelektronem

(pozytonem)*. Sam Dirac podał interpretację antyelektronu. Powiedział, że antyelektron można traktować jako dziurę (puste miejsce) w morzu ujemnych elektronów. Te „dziury Diraca” mają przeciwstawne, w stosunku do elektronów, właściwości. Odkrycie antyelektronu nastąpiło w 1932 r. Oczywiście natychmiast po tym odkryciu

zaczęto

poszukiwać

innych

antycząstek.

W

1955

r.

odkryto

antyproton, a w 1956 r. — antyneutron. * Można tu podać pewną analogię. Długość krawędzi kwadratowego stołu o powierzchni blatu 1 m2 wynosi a = 1 m lub a = - 1 m. Rozwiązania a= - 1 m odrzucamy jako fizycznie niemożliwe. A możemy przecież założyć istnienie takiej przestrzeni (takiego świata), w którym właśnie długość stołu, zapisana symbolami z naszego świata, jest równa a = - 1 m.

Antyproton ma tę samą masę co proton, lecz jego ładunek elektryczny jest ujemny. Antyneutron natomiast ma budowę wewnętrzną „odwróconą” w porównaniu z budową wewnętrzną neutronu. Tak więc odkryto wszystkie antycząstki, które mogą „zorganizować się" w antyatom. Obecnie twierdzi się, że wszystkie cząstki elementarne mają swoje antycząstki. Stwierdzenie to popierają wyniki licznych eksperymentów i wydaje się, że w świecie cząstek elementarnych obowiązuje prawo symetrii. W świecie zbudowanym z atomów antycząstki w sposób trwały nie występują. Zderzenie cząstki i antycząstki prowadzi do anihilacji, przy czym emitowane są inne

cząstki

lub

fotony,

które

można

traktować

jako

kwanty

pola

odpowiedzialnego za wzajemne oddziaływanie cząstek ulegających anihilacji. W przypadku anihilacji pary elektron-pozyton powstają kwanty promieniowania elektromagnetycznego — patrz wzór (1.17) — a w procesie anihilacji pary proton — antyproton — mezon π. Jak już wspomniano, obecność antycząstek sugeruje istnienie antyatomów. Układy antyatomów tworzą substancję, którą można nazwać antymaterią. W chwili obecnej wysuwa się przypuszczenia, że niektóre odległe galaktyki zbudowane są z antymaterii.

Marek

Pilawski

Strona 76

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Mogą więc istnieć antygwiazdy, antyplanety, antyświaty. Skoro tak, to może istnieje antygrawitacja? Niestety, zjawiska antygrawitacji nie zaobserwowano. Rozważmy jednak zachowanie się „dipola masowego" utworzonego z dwu mas (rys. 2.3). Masa M1 jest obiektem grawitacyjnym, przyciągającym wszystkie ciała, również antygrawitacyjne. Masa M2 jest obiektem antygrawitacyjnym, odpychającym wszystkie ciała, również grawitacyjne. Siła oddziaływania FM1 ciała M1 na ciało M2 jest przyłożona do ciała M2 i skierowana do ciała M1. Siła oddziaływania FM2 ciała M2 na ciało M1 jest przyłożona do ciała M1 i skierowana na zewnątrz dipola masowego. Ze względu na jednakowy zwrot sił FMl i FM2 dipol przesuwa się w kierunku obiektu grawitacyjnego ze stałym przyspieszeniem, odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości d między nimi.

Rys. 2.3 Dipol masowy

Pole grawitacyjne wykazuje podobieństwo do pola elektrostatycznego. Pole grawitacyjne odosobnionej masy jest również centralnym polem sił, tak jak pole elektrostatyczne odosobnionego ładunku. Siły w tych polach zależą od kwadratu odległości między rozpatrywanymi obiektami. Ładunek elektryczny w ruchu jest źródłem fal elektromagnetycznych. Prędkość rozchodzenia się tych fal jest skończona i dlatego inne ładunki elektryczne „dowiadują” się o zmianie położenia naszego

ładunku

po

pewnym

czasie.

Czy

podobnie

jest

w

przypadku

poruszających się obiektów masowych? Czy drgający obiekt masowy może być źródłem fal grawitacyjnych? Nie wiadomo. Z ogólnej teorii względności wynika, że fale takie mogą powstawać. Są one jednak tak słabe, że nie udało się ich wykryć bezpośrednio. . . . . . . . .

Marek

Pilawski

Strona 77

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

3. Ruch ładunków elektrycznych w polach elektrycznych i magnetycznych 3.1 Ruch ładunków elektrycznych w polu elektrycznym W poprzednim rozdziale omówiliśmy ruch ładunków elektrycznych w polu centralnym. Pole centralne jest to pole wytworzone przez ładunek punktowy. Pole takie jest przykładem pola nierównomiernego. Obecnie rozważymy ruch ładunków elektrycznych w polu równomiernym. Pole równomierne jest to takie pole, którego natężenie w każdym punkcie jest jednakowe.

Charakteryzuje

się

ono

równoległym

przebiegiem

linii

sił,

równomiernie rozłożonych w całej przestrzeni. Ładunki elektryczne mogą się poruszać w polu elektrycznym równomiernym, w szczególnym przypadku, równolegle lub prostopadle do linii sił tego pola. Rozważymy obecnie oba te przypadki ruchu ładunków. Ruch ładunków elektrycznych w kierunku równoległym do linii sił równomiernego pola elektrycznego Ładunek elektryczny q umieszczony w równomiernym polu elektrycznym wytworzonym

między

elektrodami

(okładzinami)

płaskiego

kondensatora,

dołączonego do źródła napięcia stałego U, doznaje działania siły (rys. 3.1)

Fe = qE

(3.1)

E — natężenie pola elektrycznego (w woltach na metr) wyznaczone ze wzoru*

E=

U d

(3.2)

d — odległość (w metrach) między okładzinami kondensatora, Fe — siła (w niutonach). Zatem siła działająca na elektron

Fe = q

Marek

Pilawski

U d

(3.3)

Strona 78

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Powoduje ona ruch ładunku q o masie m z przyspieszeniem a (druga zasada dynamiki Newtona), które można wyznaczyć ze wzoru

Fe = ma A zatem

a=

qU dm

(3.4)

Rys. 3.1 Ładunek elektryczny poruszający się równolegle do linii sil równomiernego pola elektrycznego * Wzór (3.2) słuszny jest tylko dla pól wytworzonych między okładzinami naładowanego kondensatora płaskiego, a więc dla pól równomiernych.

Efekt zwiększania prędkości ruchu elektronów w polu elektrycznym wykorzystuje się

w

lampach

oscyloskopowych,

kineskopach

telewizyjnych,

lampach

obrazowych w kamerach telewizyjnych, lampach rentgenowskich, lampach radiowych i wielu innych urządzeniach elektrycznych. Ruch ładunków elektrycznych w kierunku prostopadłym do linii sił równomiernego pole elektrycznego Ładunek elektryczny q o masie m poruszający się w równomiernym polu elektrycznym prostopadle do linii sił tego pola (rys. 3.2) doznaje działania siły w kierunku pola — patrz wzór (3.3)

Fe =

qU d

która jest przyczyną ruchu jednostajnie przyspieszonego o przyspieszeniu — wzór (3.4)

a=

qU dm

Ruch jednostajnie przyspieszony ładunku w kierunku pola trwa przez cały czas przebywania tego ładunku w tym polu

Marek

Pilawski

Strona 79

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki t=

l v

(3.5)

l— długość okładzin kondensatora, v — prędkość jednostajnego ruchu poziomego ładunku.

Rys. 3.2 Ładunek elektryczny poruszający się prostopadle do linii sil równomiernego pola elektrycznego

W czasie t ładunek przebywa więc w kierunku pola drogę

at 2 x= 2 czyli

qUl 2 x= 2dmv 2

Odchylenie toru poruszających się ładunków elektrycznych wykorzystuje się w lampach oscyloskopowych, kineskopach telewizyjnych, lampach obrazowych i wielu innych urządzeniach automatyki i sterowania.

3.2 Ruch ładunków elektrycznych w polu magnetycznym Na ładunki elektryczne umieszczone w polu magnetycznym działa siła, ale działa ona tylko na te ładunki, które są w ruchu. Na ładunki elektryczne w spoczynku pole magnetyczne nie działa. Będziemy zatem rozważali ruch ładunków, które wpadają do pola magnetycznego z pewną prędkością v. Na ładunki takie działa siła Lorentza

F = qv × B

(3.7)

Dla uproszczenia rozważań załóżmy, że ładunek q wpada prostopadle do linii sił pola magnetycznego o indukcji B (rys. 3.3). Będziemy zatem stosowali wzór

F = qvB

(3.8)

pamiętając, że wektory F, v, i B są wzajemnie prostopadłe (reguła śruby prawoskrętnej).

Marek

Pilawski

Strona 80

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Z prostopadłości wektorów F* i v wynika, że torem ładunków elektrycznych w polu magnetycznym musi być okrąg. Tylko w ruchu po okręgu siła działająca na poruszający się obiekt jest prostopadła do toru w każdym jego punkcie. Wyznaczymy promień tego okręgu. Z ruchem jednostajnym z prędkością v po okręgu o promieniu r związana jest siła dośrodkowa

F=

mv 2 r

W rozważanym przypadku równa jest ona sile Lorentza

qvB =

mv 2 r

(3.9)

Rys. 3.3 Ładunek elektryczny poruszający się prostopadle do linii sił pola magnetycznego

Promień toru

r=

mv qB

(3.10)

Kształtowanie toru poruszających się elektronów za pomocą pola magnetycznego wykorzystuje się w „soczewkach magnetycznych" służących do ogniskowania wiązki

elektronów

sterowania

wiązki

(mikroskopy ładunków

elektronowe) elektrycznych

i

w

układach

(elektronów,

odchylania

jonów,

i

cząstek

elementarnych). *Jak wiadomo nieruchome ładunki elektryczne nie wytwarzają pola magnetycznego. Pola takie wytwarzają jedynie ładunki ruchome. Pole magnetyczne ruchomych ładunków elektrycznych oddziałuje z zewnętrznym polem magnetycznym. Wynikiem tego oddziaływania są siły. Przykład 3.1 Ładunek elektryczny q = 10-3 C został umieszczony między pionowymi okładzinami kondensatora płaskiego dołączonymi do źródła napięcia stałego U1 = 1,0 kV tuż przy elektrodzie dodatniej (rys. 3.4). Ładunek o masie m = 1 g po przebyciu drogi d1 i

Marek

Pilawski

Strona 81

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki przedostaniu się przez ażurową elektrodę ujemną wpada w obszar pola elektrycznego drugiego kondensatora, prostopadle do linii sił tego pola. Przebywając w tym polu drogę l2 = 0,1 m ładunek odchyla swój tor w kierunku pionowym o wielkość x i wpada do pola magnetycznego o indukcji B = 0,1 T pod kątem α = 60° do linii sił tego pola. Wartość napięcia U2 = 100 V, a d2 = 5 cm. Obliczyć odchylenie x toru ładunku, uzyskaną energię kinetyczną Ek ładunku i promień r toru w polu magnetycznym oraz skok h spirali. Efekty relatywistyczne pominąć.

Rys. 3.4 Kształtowanie toru ruchu ładunku elektrycznego za pomocą pól elektrycznych i magnetycznych

W polu elektrycznym pierwszego kondensatora ładunek q wykonuje pracę

W = qU 1 która w całości zamienia się na energię kinetyczną

qU 1 =

mv 2 2

Prędkość

v=

2qU 1 m

jest prędkością, z jaką ładunek q wpada w obszar drugiego kondensatora. (Oddziaływanie

elektrod

pierwszego

kondensatora

na

wylatujący

elektron

pomijamy). Prędkość v można wyznaczyć również w inny sposób. Jak wiadomo — wzór (3.4) — przyspieszenie, jakie uzyskuje ładunek q w równomiernym polu elektrycznym pierwszego kondensatora o natężeniu U1/d1

Marek

Pilawski

Strona 82

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki qU 1 d1 m

a1 =

Ruch jednostajnie przyspieszony ładunku trwa w czasie tl wyznaczonym ze wzoru

a1t1 2

d1 =

2

Opuszczając obszar pola ładunek uzyskuje więc prędkość

v = a1t1 na

którą,

po

uwzględnieniu

dwu

powyższych

zależności,

otrzymuje

się

ostatecznie zależność

2qU 1 m

v=

W polu drugiego kondensatora ładunek porusza się w czasie t2 = l2/v ze stałą prędkością v w kierunku poziomym oraz z narastającą prędkością w kierunku pionowym

v⊥ = a 2 t 2 a2 =

gdzie

qU 2 d 2m

Ostatecznie więc

v⊥ =

qU 2 l 2 d 2m v

czyli

v⊥ =

qU 2 l2 m d 2 m 2qU 1

Po uproszczeniach

v⊥ =

q m

U 2l2 2d 2 U 1

Prędkość całkowita (wypadkowa) ładunku q opuszczającego pole drugiego kondensatora

vc = v−2 + v 2 Po uwzględnieniu poprzednich zależności

Marek

Pilawski

Strona 83

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki vc =

2qU 1 qU 22l22 + m 2md 22U 1

Ładunek uzyskuje więc energię kinetyczną

Ek =

mvc2 qU 2 l 2 = qU 1 + 22 2 2 4d 2 U 1

Odchylenie x toru elektronu w polu drugiego kondensatora dane wzorem

qU 2l22 4d 2 mv 2

x= po uwzględnieniu zależności na v

U 2l 22 x= 4d 2U 1 Ładunek q wpadając do pola magnetycznego nie zmienia już swojej prędkości liniowej i swojej energii, gdyż siła w tym polu działa na ładunek prostopadle do kierunku jego ruchu. Ładunek zaczyna poruszać się w polu magnetycznym po okręgu o promieniu wyznaczonym przez składową prędkości v_ = vc sinα prostopadłą do linii sił pola. Promień toru kołowego ładunku — wzór (3.10)

r=

mvc sin α qB

Czas, w jakim ładunek wykonuje jeden pełny obrót po obwodzie toru kołowego, nazywany jest okresem i można go wyznaczyć ze wzoru

T=

2πr vc sin α

A zatem

T=

2πm qB

Wartość skoku h spirali jest uzależniona od składowej pionowej prędkości

v⊥ = v0 cos α równoległej do linii sił pola magnetycznego. Skok spirali (faktycznego toru ładunku q w polu magnetycznym) jest drogą przebywaną przez ładunek w kierunku linii sił pola z prędkością jednostajną v|, w czasie T

h = v|T Uwzględniając wcześniej uzyskane wyniki

Marek

Pilawski

Strona 84

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki h = vc

2πm cos α qB

Po podstawieniu wartości liczbowych (we właściwych jednostkach) Ek = 1,01 J;

x = 0,005 m;

r = 390 m;

h = 1412 m

Przykład 3.2 Na nici o długości l = 1 m w równomiernym polu elektrycznym o natężeniu E = 10 V/m jest zawieszony ładunek elektryczny q = 10-4 C o masie wynoszącej m = 1 g (rys. 3.5). Pole elektryczne skierowane jest raz przeciwnie, a raz zgodnie z polem grawitacyjnym. Przyjmując przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2 wyznaczyć okres drgań wahadła przy obu kierunkach pól elektrycznych.

Na ładunek q o masie m oprócz siły ciężkości mg działa siła pola elektrycznego Fe = qE. Siłę wypadkową mg + qE można rozłożyć na dwie siły: siłę S naprężenia nici i siłę F = (mg + qE) tg α. Przy małych kątach α można przyjąć, że tg α = x/l, a więc

F = (mg + qE )

x l

Siła F jest proporcjonalna do odchylenia x, a więc powoduje ona ruch harmoniczny ładunku. W przypadku ruchu harmonicznego słuszny jest wzór

F = mω 2 x gdzie ω jest częstością kołową (inaczej zwaną pulsacją). Można więc napisać, że

(mg + qE )

x = mω 2 x l

Dzieląc obydwie strony równości przez x i przyjmując, że ω = 2π/T

T1 = 2π

l qE m

g+

Po zmianie kierunku pola elektrycznego na przeciwny

T2 = 2π

l g+

Marek

Pilawski

qE m

Strona 85

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 3.5 Wahadło matematyczne z masą obdarzoną umieszczone w polu grawitacyjnym i elektrycznym

ładunkiem

elektrycznym

Po podstawieniu danych liczbowych: T1 = 1,38 s, natomiast okres T2 jest nieokreślony.

Nieokreślona

wartość

czasu

T2

wynika

stąd,

że

siła

elektrostatyczna równoważy siłę ciążenia grawitacyjnego i nić wahadła nie jest naprężona.

3.3 Akceleratory cząstek elementarnych Akceleratory są to potężne urządzenia fizyki jądrowej służące do zwiększania energii kinetycznej cząstek i cząsteczek obdarzonych ładunkiem elektrycznym (jonów). Zanim zbudowano pierwsze akceleratory (przyspieszacze) jednym pierwotnym źródłem naładowanych cząstek były preparaty promieniotwórcze. Otrzymane za ich pomocą cząstki α wykorzystywane były do przeprowadzania reakcji jądrowych. Reakcje jądrowe polegają na rozbiciu lub rozszczepieniu jąder, bądź też na przechwyceniu i rozproszeniu cząstek przez jądra atomów naświetlanego preparatu. W wyniku tych reakcji otrzymywano nowe atomy, nowe

cząstki

elementarne,

zapoczątkowywano

sztuczne

przemiany

pro-

mieniotwórcze, wytwarzano nowe, nie znane przedtem izotopy. Otrzymywane z naturalnych preparatów promieniotwórczych cząstki α (dwa protony i dwa neutrony) miały jednak zbyt małą energię, aby można było przeprowadzić bardziej złożone reakcje jądrowe. W celu wywołania niektórych reakcji jądrowych

Marek

Pilawski

Strona 86

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki należało dysponować cząstkami lub jonami o znacznie większej energii. Stąd się wzięła właśnie potrzeba budowy akceleratorów. Akcelerator kołowy (cyklotron) wykorzystuje współdziałanie pola elektrycznego i magnetycznego (rys. 3.6). Zbudowany jest z dwóch duantów, z których każdy kształtem przypomina połowę

puszki

magnetycznym

przekrojonej

poosiowo.

równomiernym.

Duanty

Wymusza

ono

umieszczone kołowy

są

ruch

w

polu

ładunków

elektrycznych. Do duantów przyłożone jest zmienne napięcie elektryczne. Wytwarza ono między duantami pole elektryczne zmienne. Zmiany tego pola (a właściwie zmiany kierunku pola — zwrotu linii sił) są zsynchronizowane z okresem obiegu przez ładunki pełnej orbity. Na skutek tej synchronizacji ładunki w obszarze między duantami są zawsze przyspieszane, dzięki czemu zwiększają swoją prędkość i energię kinetyczną. Wraz ze wzrostem prędkości ładunków zwiększają one promień swej orbity — patrz wzór (3.10). Poruszają się więc w rzeczywistości po spirali. Ruch po spirali odbywa się jednak zawsze z tym samym okresem (patrz przykład 3.1)

Rys. 3.6 Schemat akceleratora kołowego — cyklotronu

T=

2πm qB

(3.11)

niezależnym od promienia krzywizny toru. Fakt stałości okresu T ułatwia konstrukcję akceleratorów, gdyż wymaga budowy generatorów napięcia zmiennego o stałej częstotliwości. Oczywiście jest to

Marek

Pilawski

Strona 87

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wszystko słuszne dopóty, dopóki stała jest masa naładowanej cząstki. Jak wiadomo jednak, masa cząstki poruszającej się nie jest stała i zależy od prędkości. Ze wzrostem prędkości masa się zwiększa. Zwiększenie masy przy dużych energiach rozpędzonych cząstek może być znaczne*. Powoduje to zwiększenie

okresu

ruchu

cząstek

po

torze

spiralnym.

Wiąże

się

to

z

koniecznością budowy generatorów o zmiennej częstotliwości, malejącej wraz ze wzrostem prędkości cząstek. Akceleratory wyposażone w takie przestrajane generatory

noszą

nazwę

synchrofazotronów.

Synchrofazotrony

są

więc

akceleratorami, w których uwzględnia się efekt relatywistycznego wzrostu masy cząstek. Oprócz akceleratorów kołowych budowane są także akceleratory liniowe, niejednokrotnie o długości kilku kilometrów, wykorzystujące do przyspieszania cząstek tylko pola elektryczne. * Obecnie udaje się np. rozpędzić elektrony do prędkości 0,98c, co powoduje pięciokrotny wzrost ich masy.

4. Promieniowanie energii 4.1 Właściwości promieniowania Promieniowanie jest formą przenoszenia energii. W poprzednich rozdziałach poznaliśmy jeden z najważniejszych rodzajów promieniowania — promieniowanie elektromagnetyczne. Promieniowanie elektromagnetyczne to drgające pola elektryczne i magnetyczne rozchodzące się w próżni z prędkością 300000 km⋅s-1. Natężenia tych pól opisane są zależnościami :

E = E m sin ωt

(4.1)

H = H m sin ωt Em i Hm — wartości maksymalne pól (amplitudy), ω — częstość fali.

Zależność wartości chwilowej E i H proporcjonalna do funkcji sin ωt jest zależnością słuszną nie tylko dla fal elektromagnetycznych. Funkcja sin ωt (lub cos ωt) występuje przy matematycznym opisie wszystkich znanych ruchów okresowych w przyrodzie. Promieniowanie

Marek

Pilawski

jest

szczególnym

przypadkiem

przenoszenia

energii

ciała

Strona 88

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki będącego w ruchu drgającym. Jest ono mianowicie przykładem ruchu falowego. W związku z tym mówi się o falach. Wszystkie znane rodzaje fal można podzielić na fale podłużne i fale poprzeczne. Fala podłużna jest to taka fala, której kierunek rozchodzenia pokrywa się z kierunkiem powstawania zaburzeń ośrodka, w którym się ona rozchodzi. Fale podłużne mogą rozchodzić się tylko w ośrodkach sprężystych, a ich prędkość zależy od właściwości ośrodka. Przykładem fali podłużnej jest fala akustyczna (dźwiękowa) (rys. 4.1). Kropki na rys. 4.1 oznaczają cząsteczki ośrodka. Jak widać, fala podłużna jest utworzona przez rozłożone na przemian obszary zagęszczenia i rozrzedzenia cząsteczek. Obszary (zaburzenia ośrodka) przemieszczają się w kierunku rozchodzenia się fali. Fala taka może się rozchodzić tylko w ośrodkach sprężystych, a więc nie może rozchodzić się w próżni. Na rys. 4.1 przedstawiono falę kolistą; w przestrzeni byłaby to fala kulista. Prędkość dźwięku w ciele stałym

v=

E

ρ

(4.2)

E — moduł Younga (sprężystości) ciała, ρ — gęstość ciała. Prędkość dźwięku w cieczy

v=

1

ρα

(4.3)

ρ - gęstość cieczy, α - współczynnik ściśliwości cieczy.

Rys. 4.1 Geometryczny obraz fali akustycznej jako przykład fali podłużnej

W gazach natomiast prędkość dźwięku dana jest wzorem

Marek

Pilawski

Strona 89

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki v=

χp ρ

(4.4)

χ = cp /cv — stosunek ciepła właściwego gazu przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości, p — ciśnienie gazu, ρ — gęstość. Fala

poprzeczna

jest

to

taka

fala,

której

kierunek

rozchodzenia

jest

prostopadły do kierunku, w którym powstają zaburzenia ośrodka. Fala taka powstaje np. przy potrząsaniu jednego końca długiej linki, której drugi koniec jest unieruchomiony (rys. 4.2). Cząsteczki linki drgają (na rysunku) w górę i w dół. Zaburzenia ośrodka powstają więc w kierunku pionowym. Zaburzenia te przenoszą się na sąsiednie cząsteczki. Fala rozchodzi się zatem w kierunku poziomym (na rysunku). Fale poprzeczne można zaobserwować również na powierzchni zaburzonej wody. Lekki przedmiot na powierzchni falującej wody drga w górę i w dół. Sama fala porusza się jednak w kierunku od miejsca wytworzenia zaburzeń, czyli od źródła fal, po powierzchni wody w kierunku poziomym. Fala taka nie „porywa" za sobą obserwowanego przedmiotu na powierzchni wody. Może natomiast wprawić w ruch drgający inny przedmiot pływający po powierzchni wody w pewnej odległości od źródła fal lub od przedmiotu pierwszego. Ruch falowy, a więc promieniowanie, przenosi energię.

Rys. 4.2 Geometryczny obraz fali poprzecznej Sinusoidalny ,,wąż” będzie odwzorowywał również falę podłużną, jeśli tylko oś rzędnych będzie wyskalowana — np. w stopniach gęstości cząsteczek

Początkowo sądzono, że fale poprzeczne — podobnie jak fale podłużne — mogą rozchodzić się tylko w ośrodkach sprężystych — patrz wzory (4.2)...(4.4). Ale z czasem nauczono się wytwarzać fale elektromagnetyczne, które są również falami poprzecznymi (patrz rys. 1.7b), ale które znakomicie rozchodzą się w próżni. Postawiono zatem tezę, że „próżnia to nie jest próżnia”, tylko że jest to

Marek

Pilawski

Strona 90

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki obszar pozbawiony cząsteczek, ale wypełniony sprężystą nieważką substancją. Substancję tę nazwano eterem. Eter, ta hipotetyczna sprężysta substancja wypełniająca wszechświat, miał być ośrodkiem, w którym rozchodzi się promieniowanie elektromagnetyczne. Hipoteza eteru utrzymywała się w fizyce i elektrotechnice dosyć długo. Ze względu na jego naturę bardzo trudno było go wykryć, jak i doświadczalnie sprawdzić, że go nie ma. Dopiero w 1887 r. A. A. Michelson* i E. Morley wykonali

doświadczenie

stwierdzające,

że

eteru

nie

ma.

Fale

elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni z prędkością (patrz przykład 1.16)

c=

1

(4.5)

ε 0 µ0

ε0 — przenikalność elektryczna próżni, µ0 — przenikalność magnetyczna próżni. Jak już wcześniej wspomniano, ruch falowy można opisać funkcją sinus. W związku z tym wprowadza się szereg parametrów określających cechy i właściwości promieniowania (zarówno podłużnego, jak i poprzecznego): długość fali λ, częstotliwość f, częstość ω, okres T. Długość fali jest to odcinek w przestrzeni pomiędzy dwoma najbliższymi punktami ośrodka drgającymi w tych samych fazach.

Długość

fali jest

odległością, jaką przebywa zaburzenie falowe w czasie jednego pełnego drgnienia. Częstotliwość promieniowania jest to liczba okresowych zaburzeń ośrodka, w którym rozchodzą się fale, w czasie jednej sekundy. Ruch drgający okresowy jest matematycznie związany z ruchem obrotowym. Jednemu

pełnemu

drgnieniu

można

przyporządkować

jeden

pełny

obrót

promienia pewnego okręgu, którego długość jest proporcjonalna do amplitudy drgań (patrz dodatek B). W czasie jednego obrotu zostaje zakreślony kąt 2π radianów. A zatem

ω = 2πf

(4.6)

Częstość promieniowania (częstotliwość kątowa) jest to prędkość kątowa umyślonego

promienia,

o

długości

proporcjonalnej

do

amplitudy

drgań,

wykonującego ruch obrotowy z częstotliwością promieniowania. Energia ciała w ruchu falowym jest równa sumie jego energii kinetycznej i

Marek

Pilawski

Strona 91

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki potencjalnej

1 E = mω 2 A 2 2 A — amplituda. Okres jest to czas, w którym fala przebywa odcinek drogi równy długości fali. Między okresem i częstotliwością istnieje zależność

T=

1 f

(4.7)

Wszystkie parametry promieniowania związane są ze sobą zależnością

λ = vT

(4.8)

v — prędkość rozchodzenia się fal. *A. A. Michelson był fizykiem amerykańskim polskiego pochodzenia. Urodził się w Polsce.

Promieniowanie falowe jest zjawiskiem dość dobrze już poznanym. Stosuje się do niego wiele praw fizycznych. Niektóre z nich omówimy poniżej. Zasada Huygensa Każdy punkt ośrodka, do którego dotarła fala, staje się źródłem nowej fali kulistej. Konsekwencją zasady Huygensa jest między innymi to, że dwóch rozmówców, zwróconych w różne strony, może się doskonale słyszeć. (Zasada Huygensa jest wyczerpująco

omówiona

w

podręcznikach

fizyki).

Jeśli

chodzi

o

fale

elektromagnetyczne, to zasadę Huygensa „widać” w zjawisku dyfrakcji (patrz dyfrakcja fal).

4.1.1 Odbicie fal Promieniowanie padając na granicę ośrodka o innych właściwościach niż ośrodek, w którym się rozchodzi, ulega odbiciu (rys. 4.3). Odbicie fal następuje zgodnie z prawem odbicia, które mówi, że przy odbiciu fal kąt podania jest równy kątowi odbicia. Zjawisko

to

jest

znane

w

odniesieniu

do

światła

widzialnego,

a

więc

promieniowania elektromagnetycznego o długości fali w zakresie od 0,4 do

Marek

Pilawski

Strona 92

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 0,7µm. Taki, a nie inny, przebieg zjawiska odbicia promieniowania (fal) jest wynikiem

bardzo

ogólnego

prawa

przyrodniczego

zwanego

zasadą

najmniejszego działania. W myśl tej zasady każde zjawisko fizyczne przebiega w taki sposób, że czas jego trwania jest najkrótszy z możliwych. Zgodnie z tą zasadą światło między dwoma punktami, położonymi w ośrodku jednorodnym, rozchodzi się prostoliniowo, gdyż tylko poruszając się po takiej linii przemierza drogę między tymi punktami w najkrótszym czasie. Wychodząc z zasady najmniejszego działania można również wykazać słuszność prawa odbicia.

Rys. 4.3 Ilustracja zjawiska odbicia fali; 1 — fala padająca, 2 — lala odbita, 3 — normalna wystawiona w punkcie padania i odbicia (normalna jest zawsze prostopadła do rozpatrywanej powierzchni), α1 — kąt padania, α2 — kat odbicia

Załóżmy, że na wysokości h nad powierzchnią odbijającą mamy dwa punkty A i B (rys. 4.4). Z punktu A do B chcemy skierować wiązkę promieniowania falowego, ale z wykorzystaniem odbicia. Nie wiedząc jeszcze jak naprawdę będzie przebiegał promień — rysujemy dowolny jego przebieg, jeden z wielu możliwych. Promień padający i odbity w punkcie O tworzą z normalną kąty: kąt padania α1 i kąt odbicia α2. Promień przebiega więc drogę l = AO+OB. Ponieważ

AO =

h h oraz OB = cos α 1 cos α 2



1

1



 to l = h + cos α cos α 1 2  

Rys. 4.4 Ilustracja zjawiska odbicia fali

Promieniowanie rozchodzi się ze stałą prędkością v — cały czas przebiega w tym samym ośrodku — zatem czas przebiegu wiązki od punktu A do B z odbiciem w

Marek

Pilawski

Strona 93

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki punkcie O ma wartość

h 1 1   t =  + v  cos α1 cos α 2  Czas t jest funkcją dwu zmiennych: α1 i α2. Po obliczeniu pochodnej*

(t )α' ,α 1

2

sin α 2  ' h  sin α1  (t )α1 ,α 2 = 0 = −  + 2 v  cos α1 cos 2 α 2 

można obliczyć wartość ekstremalną czasu przebiegu wiązki promieniowania (wartość ta występuje przy (t )α1 ,α 2 = 0 i jest wartością minimalną). W naszym '

więc przypadku musi być słuszna równość

sin α 1 sin α 2 =− 2 cos α 1 cos 2 α 2 Jak widać, będzie ona słuszna tylko w jednym, jedynym przypadku, mianowicie wtedy, kiedy : α1 = -α2. **. Ostatnia zależność jest matematycznym wyrażeniem prawa odbicia promieniowania falowego. Prawo odbicia jest słuszne również dla promieniowania korpuskularnego, o ile jest ono reprezentowane przez cząstki doskonale sprężyste.

4.1.2 Załamanie fal Promieniowanie padające na granicę dwóch ośrodków ulega załamaniu, przy czym stosunek sinusów kątów podania i załamania jest równy stosunkowi prędkości rozchodzenia się światła w rozpatrywanych ośrodkach (rys. 4.5). Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania nazywany jest współczynnikiem załamania

n=

sin α v1 = sin β v2

(4.9)

Jeżeli ośrodkiem 7 (rys. 4.5) jest powietrze lub próżnia, to prędkość fali elektromagnetycznej w ośrodku 2 jest równa (patrz przykład 1.17)

v2 =

c n

(4.10)

*

Pochodną funkcji dwóch zmiennych oblicza się w taki sposób, że oblicza się pochodną funkcji względem jednej zmiennej, przyjmując, że druga jest stała, a następnie do tak obliczonej pochodnej dodaje się pochodną funkcji obliczoną względem drugiej zmiennej, przy założeniu, że pierwsza zmienna jest stała.

Marek

Pilawski

Strona 94

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ** Kąt α1 jest dodatni, a kąt α2 —ujemny, gdyż zgodnie z regułą matematyczną za dodatnie uważa się te kąty, które odmierzane są od danej półprostej w kierunku dodatnim, czyli zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Rys. 4.5 Ilustracja zjawiska załamania fali

Również prawo załamania fal można wyprowadzić z zasady najmniejszego działania. Zgodnie z tą zasadą fala przebiega różne ośrodki, w których rozchodzi się z różnymi prędkościami, po takiej drodze, że czas jej przebiegu między wyróżnionymi punktami jest najkrótszy. W każdym z ośrodków jednorodnych promieniowanie rozchodzi się oczywiście prostoliniowo. W rzeczywistości zjawisko odbicia i załamania światła występuje jednocześnie, tzn. część promieniowania ulega odbiciu, a część załamaniu. W zależności od rodzaju ośrodka granicznego dominuje jedno z tych zjawisk.

4.1.3 Interferencja fal Interferencja jest to zjawisko nakładania się fal o jednakowej długości (rys. 4.6). W wyniku interferencji światła otrzymuje się obraz interferencyjny, złożony z naprzemian rozłożonych prążków jasnych i ciemnych*. Prążki jasne układają się na ekranie w tym miejscu, gdzie interferują ze sobą fale przesunięte względem siebie o całkowitą krotność długości fali, dzięki czemu fala ulega wzmocnieniu. Prążki ciemne wypadają w tych obszarach, gdzie fale ulegają wygaszeniu, a więc tam gdzie nakładają się przesunięte o (2n+1)λ; λ jest długością fali, a (2n+l) — liczbą nieparzystą. Promieniowanie przenosi energię. Można się o tym przekonać wykonując proste doświadczenie. Uwiążmy linę jednym końcem do klamki. Potrząsając drugim końcem wytwórzmy falę poprzeczną (patrz rys. 4.2). Przy silnym potrząsaniu zwiększa się amplituda fali i jej częstotliwość, a więc energia. W pewnych warunkach można nawet wyrwać klamkę.

Marek

Pilawski

Strona 95

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Nie zawsze chodzi nam o energię przenoszoną przez fale. W wielu przypadkach wykorzystujemy informację zakodowaną w amplitudzie, długości lub fazie fal (patrz rozdz. 9). * Prążki interferencyjne mogą mieć, w zależności od doświadczenia, różny kształt, mogą to być prążki liniowe, w kształcie okręgów lub czasami w dowolnym innym kształcie.

Rys. 4.6 Interferencja fal: a) nakładające się fale różnią się fazą o π (przesunięte są względem siebie o λ/2). W wyniku interferencji otrzymuje się falę osłabioną ; b) nakładające się fale są w fazach zgodnych (przesunięte są względem siebie o λ). W wyniku interferencji otrzymuje się falę wzmocnioną: c) ilustracja zasady Huygensa. Płaska fala pada na szczelinę. W punktach P1 i P2 tej szczeliny powstają fale kuliste (na płaskim rysunku — koliste linie pogrubione. Odległości między liniami odwzorowują długość fali). Fale te interferują ze sobą (nakładają się na siebie). Nakładające się na siebie fale przesunięte o λ, 2λ, 3λ itd., a więc o całkowitą krotność długości fali, dają falę wzmocnioną, ale rozchodzącą się w innym kierunku niż fala padająca. W ten sposób na ekranie, oprócz obrazu szczeliny położonego na wprost tej szczeliny, będzie się obserwować obrazy szczeliny I rzędu, II rzędu itd. Ugięcie fali jest obserwowane przy rozmiarach szczeliny porównywalnych z długością fali promieniowania

Marek

Pilawski

Strona 96

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Interferencję

można

zaobserwować

np.

przy

oświetleniu

płytki

płaskorównoległościennej (rys. 4.7). Fale padające na powierzchnię płytki ulegają częściowo odbiciu (tworząc fale 1’ i 2’) i częściowo załamaniu. Fale załamane odbijają się od dolnej powierzchni płytki i po powtórnym załamaniu wychodzą na zewnątrz przebiegając równoległe do fal odbitych od górnej powierzchni płytki (fale 1" i 2"). Fale odbite od górnej powierzchni płytki interferują z falami odbitymi od dolnej powierzchni. Jeśli np. odcinek OB (na rys. 4.7) będzie równy 2nλ (n jest liczbą naturalną), to w wyniku interferencji na ekranie zaobserwuje się obszar jasny. Jeśli natomiast OB = (2n+1)λ, to na ekranie zaobserwuje się w tym miejscu obszar ciemny. To, czy w danym miejscu ekranu wystąpi obszar jasny czy ciemny, zależy od odległości fali i od kąta padania.

Rys. 4.7 Przykład zjawiska interferencji 1,2 — fale padające 1', 2' — fale odbite 1", 2" — fale załamane i odbite. Na rysunku interferują ze sobą fale 1" i 2'

4.1.4 Dyfrakcja fal Dyfrakcja fal jest to zjawisko uginania się fal na krawędzi przeszkody ustawionej na ich drodze. Dzięki temu ruch falowy przenika w obręb cienia geometrycznego przeszkody „rozmywając” jej krawędzie (rys. 4.8). Dyfrakcję wyjaśnia się na podstawie zasady Huygensa, zgodnie z którą wszystkie punkty na krawędzi przeszkody stają się źródłem fal kulistych. Fale te, jako fale wtórne, ulegają interferencji z falą padającą. W wyniku interferencji tych wtórnych fal elementarnych i fali padającej obserwuje się na ekranie łagodne przejście między półcieniem i cieniem. Dyfrakcja fal występuje tym wyraźniej, im rozmiary przeszkód są bardziej zbliżone do długości fali. Dyfrakcję obserwuje się również przy rozchodzeniu się fal elektromagnetycznych

Marek

Pilawski

Strona 97

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wykorzystywanych w radiotechnice (fale radiowe). Dzięki temu fale te mają znacznie większy zasięg niżby to wynikało z ich prostoliniowego rozchodzenia się (patrz rozdz. 9.3).

Rys. 4.8 Ilustracja zjawiska dyfrakcji 1 — promienie padające, 2 — promienie ugięte

4.1.5 Rozpraszanie fal Rozpraszanie fali jest to zjawisko zachodzące przy odbiciu fal od niegładkiej powierzchni. Każda powierzchnia charakteryzuje się pewną chropowatością. Wiązka fal padając na taką powierzchnię odbija się od niej zgodnie z prawem odbicia. Prawo to spełnione jest lokalnie, w miejscu padania wiązki. Jeśli przekrój wiązki padającej równolegle jest większy od nierówności powierzchni, to będzie się ona odbijać we wszystkich prawie kierunkach, czyli ulegnie rozproszeniu. Dzięki zjawisku rozpraszania (rys. 4.9) można ze wszystkich stron obserwować obiekty oświetlane tylko z jednego kierunku. Rozpraszanie jest tym silniejsze, im rozmiary nierówności powierzchni odbijającej są mniejsze, bardziej zbliżone do długości fali świetlnej.

Rys. 4.9 Ilustracja zjawiska rozpraszania

Rozpraszanie

fal

występuje

nie

tylko

przy

odbiciu,

lecz

również

przy

przechodzeniu fal przez ośrodki niejednorodne. W ośrodkach niejednorodnych

Marek

Pilawski

Strona 98

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki współczynnik załamania może być różny w różnych częściach danego ośrodka. Przykładem takiego ośrodka jest atmosfera ziemska. Współczynnik załamania powietrza zależy od jego gęstości. Ponieważ w atmosferze ziemskiej obserwuje się

fluktuacje

gęstości

cząsteczek

powietrza

—

atmosfera

rozprasza.

Najsilniejszemu rozpraszaniu ulegają fale krótkie — nieboskłon widzimy więc w odcieniu niebieskim. Silnie rozpraszającymi ośrodkami są również wszelkiego rodzaju zawiesiny i inne ośrodki mętne.

4.1.6 Pochłanianie Pochłanianie jest to zjawisko występujące przy przechodzeniu promieniowania przez ośrodki materialne. Część

energii

promieniowania

padającego

zostaje

pochłonięta

przez

napromieniowane ciała (rys. 4.10). W związku z tym natężenie promieniowania wychodzącego z danego ośrodka jest mniejsze od natężenia promieniowania padającego, zgodnie z prawem Beera

I = I 0 e −α x

(4.11)

I0 — natężenie promieniowania padającego, I — natężenie promieniowania, α — współczynnik pochłaniania, Il — natężenie promieniowania po przejściu przez ciało o grubości l.

Rys. 4.10 Ilustracja zjawiska pochłaniania promieniowania

4.1.7 Zjawisko Dopplera Zjawisko

Dopplera

promieniowania

Marek

Pilawski

jest

to

zjawisko

pozornej

rejestrowanego przez odbiornik

zmiany

częstotliwości

znajdujący się w ruchu

Strona 99

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki względem źródła promieniowania.

Rys. 4.11 Ilustracja zjawiska Dopplera

Wyobraźmy sobie nieruchome źródło fal promieniujące fale o stałej częstotliwości fN o długości λ, rozchodzące się z prędkością c (rys. 4.11). Niech odbiornik fal porusza się w kierunku źródła z prędkością v. Odbiornik będzie rejestrował fale o tej samej długości λ*, ale o większej częstotliwości f0 i gdyż teraz w ciągu sekundy dotrze do niego więcej zaburzeń ośrodka. Przy nieruchomym odbiorniku zostają więc zarejestrowane fale o długości

c fN

λ=

i fale o tej samej długości zostaną zarejestrowane w ruchomym odbiorniku

λ=

c+v f0

Z równości

c c+v = fN f0 można wyznaczyć częstotliwość dopplerowską

 f 0 = f N 1 + 

v  c

(4.12)

Jeśli odbiornik oddala się od źródła fal z prędkością v, to wtedy słuszny jest wzór

 v f 0 = f N 1 −   c

(4.13)

Wynika z niego, że odbiornik odbiera fale o częstotliwości mniejszej od częstotliwości fal emitowanych f0 < fN. Zjawisko

Dopplera

akustycznych

jak

obserwuje i

się

przy

elektromagnetycznych.

rozchodzeniu Jest

ono

się

fal

zarówno

wykorzystywane

w

niektórych typach urządzeń radarowych i urządzeniach przeznaczonych do pomiaru prędkości.

Marek

Pilawski

Strona 100

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Radar zawiera antenę emitującą impulsy fal elektromagnetycznych wielkiej częstotliwości. Antena odbiera jednocześnie impulsy odbite, np. od samolotu. Jeśli samolot przybliża się do radaru, to odbite impulsy powracają do anteny z częstotliwością większą niż impulsy wysłane. Różnica częstotliwości jest w tym przypadku miarą prędkości zbliżania się samolotu. * Wyobraźmy sobie parkan sztachetowy zbudowany z równomiernie rozstawionych desek. Przesuwając patykiem po takim parkanie słyszymy dźwięk wydawany przez uderzany patyk. Biegnąc wzdłuż parkanu z większą prędkością słyszymy dźwięk wyższy, a więc o większej częstotliwości, mimo że odległość między deskami (λ) jest stała.

Zjawisko Dopplera występuje również wtedy, kiedy źródło fal porusza się względem odbiornika. Wzory (4.12) i (4.13) są w takim przypadku zależnościami przybliżonymi. Przykład 4.1 Z jaką prędkością v musiałby kierowca prowadzić samochód, aby na skrzyżowaniu widzieć światło czerwone o długości λc = 0,6 µm jako światło zielone o długości λz = 0,5 µm. Prędkość światła c = 3⋅105 km⋅s-1.

Częstotliwość promieniowania wyraża się zależnością

v=

c

λ

zatem wzór (4.12) przyjmie postać

c

λz

=

c  v 1 +  λ c

z której łatwo już wyznaczyć prędkość

v=c

λc − λ z λz

Po wykonaniu obliczeń (1 µm = 10-6 m) v = 0,2 c = 60 000 km⋅s-1.

4.1.8 Polaryzacja Wszystkie

omówione

zjawiska

i

prawa

fizyczne

dotyczą

promieniowania

falowego, zarówno poprzecznego, jak i podłużnego. Jest to jednak jeszcze jedno zjawisko, które odnosi się tylko do fal poprzecznych. Tym zjawiskiem jest polaryzacja. Zanim wyjaśnione zostanie zjawisko polaryzacji, powiemy jakie fale są

spolaryzowane,

a

jakie

nie.

Wyjaśnijmy

to

na

przykładzie

fal

elektromagnetycznych. Źródła fal elektromagnetycznych (np. źródła światła) emitują najczęściej fale

Marek

Pilawski

Strona 101

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki „nieuporządkowane” (rys. 4.12a), tzn. takie fale, których płaszczyzny wektorów natężenia pola elektrycznego E tworzą różne kierunki. Podobnie różne kąty tworzą między sobą wektory natężenia pola magnetycznego H, jednakże w każdej z par „fal stowarzyszonych” wektory E i H są do siebie prostopadłe. W niektórych przypadkach udaje się otrzymać taką wiązkę promieniowania, w której fale mają „uporządkowany” rozkład płaszczyzn, w których leżą wektory E i H

(rys.

4.12b).

Fale

takie

nazywamy

falami

spolaryzowanymi.

W

szczególności jeśli płaszczyzny drgań wszystkich wektorów E, wszystkich „fal składowych” są równoległe, to mówimy o falach liniowo spolaryzowanych. Z równoległości płaszczyzn, w których leżą wektory E, wynika równoległość wszystkich płaszczyzn, w których leżą wektory H fal elektromagnetycznych. Płaszczyznę równoległą do płaszczyzny, w której leżą wektory H, nazywamy płaszczyzną polaryzacji. Polaryzacja

fal

nieuporządkowanego

jest

to

zjawisko,

(niespolaryzowanego)

w

którym

otrzymuje

z

promieniowania

się

promieniowanie

spolaryzowane. Istnieją

w

przyrodzie

trzy

metody

otrzymywania

promieniowania

spolaryzowanego z nieuporządkowanego: — polaryzacja przez odbicie, — polaryzacja w kryształach dwójłomnych, — polaryzacja za pomocą polaryzatorów.

Marek

Pilawski

Strona 102

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 4.12 Przekrój poprzeczny kołowej wiązki promieniowania elektromagnetycznego: a) niespolaryzowanego; b) spolaryzowanego; (Promieniowanie rozchodzi się w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku)

Polaryzacja fal przez odbicie Promień świetlny padający na granicę dwóch ośrodków o różnych właściwościach optycznych ulega częściowo odbiciu, częściowo załamaniu (rys. 4.13). Przy różnych kątach padania promień odbity i załamany tworzą ze sobą na ogół różne kąty. Istnieje jednak taki kąt padania, przy którym promień odbity tworzy z promieniem załamanym kąt prosty. Taki kąt padania nosi nazwę kąta Brewstera αB. Charakterystyczne dla promieni — załamanego i odbitego — powstałych z wiązki padającej pod kątem Brewstera jest to, że są one utworzone przez

fale

liniowo

spolaryzowane

w

płaszczyznach

wzajemnie

do

siebie

prostopadłych. Wartość kąta Brewstera wyznacza się z zależności

n = tgα B

(4.14)

Rys. 4.13 Polaryzacja promieniowania przez odbicie. Symbole × i ↕ oznaczają kierunki wzajemnie prostopadłych płaszczyzn polaryzacji wiązki odbitej i załamanej

Marek

Pilawski

Strona 103

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Polaryzacja fal w kryształach dwójłomnych Bardzo wiele kryształów występujących w przyrodzie (między innymi kwarc i kalcyt) należy do grupy kryształów dwójłomnych (rys. 4.14). Kryształy dwójłomne są to takie kryształy, w których padająca wiązka fal świetlnych ulega załamaniu, z jednoczesnym rozdzieleniem na dwie wiązki, przy czym wiązki te utworzone są przez fale liniowo spolaryzowane w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych. Współczynniki załamania dla wiązek załamanych w kryształach dwójłomnych są różne, a same wiązki noszą nazwę promienia zwyczajnego (ordinary) i nadzwyczajnego (extraordinary). Różnica współczynników załamania dla tych dwu promieni jest miarą dwójłomności

∆n = n0 − ne n0 =

sin α ; sin α 0

ne =

(4.15)

sin α sin α e

Rys. 4.1 Polaryzacja światła w kryształach dwójłomnych

W niektórych kryształach dwójłomność optyczna może być sterowana polem elektrycznym i naprężeniami mechanicznymi (dwójłomność wymuszona — patrz p. 5.4). Polaryzacja za pomocą polaroidów Bierne elementy optyczne, w których następuje polaryzacja, noszą nazwę polaroidów* (rys. 4.15). Doskonały polaroid (polaroid siatkowy) można sobie wyobrazić jako zbiór równoległych przewodzących pręcików, między którymi odległości są rzędu długości polaryzowanej fali świetlnej. Zmienne pole elektryczne o natężeniu Eśw istniejące w wiązce promieniowania docierającego do polaroidu indukuje w pręcikach ładunki elektryczne. Ładunki te wytwarzają w ośrodku dielektrycznym między pręcikami zmienne pola elektrycz-

Marek

Pilawski

Strona 104

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ne o natężeniu E o liniach sił leżących w płaszczyźnie prostopadłej do zbioru pręcików. Jak wiadomo, zmiennemu polu elektrycznemu towarzyszy zawsze zmienne pole magnetyczne. Linie sił pola magnetycznego związanego ze zmiennym polem elektrycznym wytworzonym przez pręciki leżą w płaszczyźnie zawierającej promień padający i równoległej do osi długiej pręcików. Jest to płaszczyzna polaryzacji. Najsilniejsze pole elektryczne między pręcikami wytwarzają te fale, których pole elektryczne skierowane jest w poprzek pręcików. Fale o innym kierunku pola elektrycznego

wytwarzają

odpowiednio

słabsze

pole

elektryczne

między

pręcikami. Fale o kierunku wektora Eśw równoległym do pręcików wytwarzają w nich przepływ prądu elektrycznego. Wskutek tego energia pół przemienia się w energię elektryczną. Ta z kolei przemienia się w energię cieplną. Tak więc wszystkie fale o kierunku wektora Eśw równoległym do pręcików zostają wytłumione. Doskonały polaryzator wykonany z bardzo cienkich i bardzo blisko siebie położonych złotych drucików przepuszcza 50% padających promieni świetlnych jako promieniowanie spolaryzowane. Częściej spotykane polaroidy foliowe wykorzystują (jako te pręciki) bardzo długie i prawie równoległe do siebie ustawione cząsteczki niektórych substancji organicznych, np. celuloidu, między którymi

znajdują

się

wydłużone

cząsteczki

niektórych

barwników,

tzw.

barwników dichroicznych. * Polaroid, odpowiednio zabezpieczony mechanicznie i będący elementem układu optycznego, nosi nazwę palaryzatora.

Rys. 4.15 Polaryzacja światła w polaroidzie

Marek

Pilawski

Strona 105

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Dichroizm jest to zjawisko polegające na różnym pochłanianiu promieni świetlnych przez substancję (barwniki pleochroiczne) w zależności od kierunku wektora natężenia pola elektrycznego fali świetlnej względem osi wzdłużnej wydłużonych cząsteczek substancji (anizotropia absorpcji). Aby polaryzacja w tym przypadku była możliwa, cząsteczki barwnika dichroicznego muszą być ułożone

równolegle.

Równoległość

ułożenia

cząsteczek

barwnika

jest

w

polaroidach foliowych zapewniona przez umieszczenie ich, dzięki odpowiedniemu procesowi technologicznemu, między wydłużonymi i równoległymi cząsteczkami substancji, z której wykonana jest folia nośna. Polaroidy foliowe zawierające barwniki dichroiczne noszą nazwę polaroidów dichroicznych. Polaryzatory wykonane na bazie polaroidów znajdują zastosowanie głównie w układach optycznych. Mogą one znaleźć jednak zastosowanie również w życiu codziennym. Między innymi wykonuje się na przykład okulary polaryzacyjne jako okulary przeciwsłoneczne. Interesująca jest również możliwość zastosowania polaryzatorów w motoryzacji. Gdyby na przykład wszystkie samochody miały reflektory wyposażone w polaryzatory, o płaszczyźnie polaryzacji nachylonej pod kątem 45°, np. w prawo, przednie szyby wyposażone również w polaryzatory o takiej samej płaszczyźnie polaryzacji, to jadąc z naprzeciwka kierowcy nie oślepialiby się wzajemnie. Każdy z nich natomiast widziałby przed sobą oświetloną drogę i oświetlony mijany samochód. Przykład 4.2 Maksymalne natężenie (amplituda) pola elektrycznego fali elektromagnetycznej w zakresie długości promieniowania widzialnego Em = 106... 1010 V⋅m-1. Przyjmując natężenie Em = 108 V⋅m-1 obliczyć maksymalne natężenie pola magnetycznego tej fali.

Amplitudy

natężeń

pól:

elektrycznego

i

magnetycznego

w

fali

elektromagnetycznej są związane ze sobą zależnością — patrz wzór (1.68)

Hm =

Em Zf

(4.16)

Gdy fala elektromagnetyczna rozchodzi się w próżni, to

Hm =

Em Zf0

(4.17)

Pamiętając, że Zf0 = 377 Ω (impedancja falowa próżni — patrz przykład 1.18)

Hm =

Em 377Ω

Podstawiając dane liczbowe Hm ≈ 2,66⋅105 A⋅m-1.

Marek

Pilawski

Strona 106

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 4.3 Wykazać, że fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni, niesie tyle samo energii w postaci pola elektrycznego co magnetycznego.

Rozważmy stosunek gęstości energii pola magnetycznego i elektrycznego w fali elektromagnetycznej — patrz wzór (1.51) i (1.59)

1 µ H2 wm 2 0 = 1 we ε0E2 2 Po uwzględnieniu zależności (4.17)

E2 µ0 2 Zf0

wm = we ε0E2 Po uproszczeniu

wm µ 0 1 = we ε 0 Z 2f 0 a po uwzględnieniu zależności (1.68)

wm =1 we

(4.18)

co oznacza, że pola elektryczne i magnetyczne fali elektromagnetycznej niosą połowę całkowitej energii przenoszonej przez tę falę. Przykład 4.4 Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni (lub powietrzu) pada na: a) bakelit, b) miedź. Wyznaczyć część energii odbitej od granicy dwóch ośrodków i tę część energii, która do tego ośrodka przenika. Częstotliwość fali f = 100 Hz.

Na granicy dwóch ośrodków załamaniu i odbiciu ulega zarówno fala elektryczna jak i magnetyczna. Współczynniki odbicia i załamania są zależne od impedancji falowej ośrodków — patrz przykład 1.19 i określone wzorami: współczynnik odbicia fali elektrycznej

A1 =

Z f 2 − Z f1 Z f 2 + Z f1

(4.19)

współczynnik załamania fali elektrycznej*

A2 =

Marek

Pilawski

2Z f 2 Z f 2 + Z f1

(4.20)

Strona 107

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki współczynnik odbicia fali magnetycznej

B1 = −

Z f 2 − Z f1 Z f 2 + Z f1

(4.21)

współczynnik załamania fali magnetycznej

B2 =

2Z f 1

(4.22)

Z f 2 + Z f1

gdzie w ogólnym przypadku

Zf =

µr µ0 ε rε 0

a. Dla bakelitu µr = 1 i εr = 4. Zatem impedancje falowe próżni i bakelitu Zf1 = 377 Ω;

Zf2=l88,5 Ω

Obliczenia wykazują, że A1 = -0,33, A2 = 0,67, B1= 0,33, B2 = 1,33. Znajomość parametrów A1, A2, B1, B2 pozwala na wyznaczenie wartości wielkości E1 i E2 oraz H1 i H2 dla fali odpowiednio odbitej i załamanej w stosunku do wielkości E i H fali padającej: fala odbita

E1 = A1 E

(4.23)

H 1 = B1 H fala załamana

E 2 = A2 E

(4.24)

H 2 = B2 H

Jeżeli przez P = EH oznaczymy moc całkowitą promieniowania padającego, to moc fali odbitej

P1 = E1 H 1

(4.25)

P2 = E2 H 2

(4.26)

moc fali załamanej

Uwzględniając zależności (4.23) i (4.24)

P1 = A1 B1 EH P2 = A2 B2 EH

(4.27)

a po podstawieniu danych liczbowych

P1 = 0,11P

P2 = 0,89 P

* Identyczne wzory otrzymuje się przy rozpatrywaniu zjawiska odbicia fali prądowej i napięciowej od końca linii długiej — patrz np. wyprowadzenie wzoru (9.51).

Marek

Pilawski

Strona 108

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Otrzymany wynik interpretuje się następująco : Na

granicy

dielektryk-dielektryk

fala

elektromagnetyczna

odbija

się

w

nieznacznym stopniu, prawie w całości przenikając do nowego ośrodka. b.

Miedź

jest

dla

fali

elektromagnetycznej

ośrodkiem

przewodzącym.

Impedancja falowa takiego ośrodka zależna jest od jego przewodnictwa i częstotliwości fali i wyraża się wzorem — patrz przykład 1.19

ε2 γ2 1 4 = + Zf µ 2 ω 2µ 2

(4.28)

Jeśli cechy przewodnictwa przeważają nad cechami dielektrycznymi, to

γ ε >> i ωµ µ

ostatecznie

Zf =

2πfµ r µ 0

γ

W naszym przypadku impedancja falowa miedzi Zf2 = 2,8⋅10-6 Ω. Widać więc że Zf0 >> Zfmiedzi. Współczynniki, obliczone ze wzorów (4.19)... (4.22), są w tym przypadku następujące : A1 ≈ -1,

A2 ≈ 0,

B1 ≈ 1,

B2 ≈ 2

Otrzymane wyniki interpretuje się następująco : 1. Fala elektryczna odbija się prawie w całości od powierzchni metali. 2. Fala magnetyczna przenika do przewodników z prawie podwojoną amplitudą. 3. Prawie cała energia fali elektromagnetycznej przenikająca do przewodników ma postać energii pola magnetycznego. Stwierdzenia te są słuszne wtedy, kiedy częstość fali elektromagnetycznej nie jest zbyt duża. Dla częstości bardzo dużych (ω → ∞) wzór (4.28) upraszcza się do postaci

1 = Zf

ε µ

co oznacza, że dla tych częstości metal zachowuje się tak, jak dielektryk.

Marek

Pilawski

Strona 109

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 4.2 Rodzaje promieniowania Promieniowanie

falowe

nie

jest

jedynym

rodzajem

promieniowania

występującym w przyrodzie, tzn. nie jest ono jedyną formą przenoszenia energii. Oprócz promieniowania

falowego

występuje

w przyrodzie

promieniowanie

korpuskularne. Energia promieniowania korpuskularnego jest równa sumie energii kinetycznych rozpędzonych cząstek, atomów lub cząsteczek. Promieniowanie korpuskularne nie będzie dokładnie omawiane w tej książce. Rodzaje i właściwości promieniowania korpuskularnego zostały przedstawione w tab. 4.1. Natomiast w tab. 4.2 zebrano podstawowe wiadomości na temat promieniowania falowego. Tabela 4.1

Promieniowanie korpuskularne

Nazwa pro- Rodzaj promieniowania mieniowania 1

Źródło promieniowania

2

3

Cechy charakterystyczne i właściwości promieniowania 4

Promieniowanie α

Strumień Cząstki α złożone z dwóch prorozpędzonych tonów i dwóch neutronów począstek α wstają w procesie jądrowych przemian promieniotwórczych.

Ulega odchyleniu w polu elektrycznym i magnetycznym. Zasięg w powietrzu wynosi kilkadziesiąt centymetrów. Silnie jonizuje gaz.

Promieniowanie β

Strumień Promieniowanie β powstaje w rozpędzonych procesach jądrowych przemian elektronów promieniotwórczych. W czasie takich reakcji jądrowych neutron rozpada się na proton i elektron

Ulega odchyleniu w polu elektrycznym i magnetycznym. Zasięg w powietrzu wynosi kilka metrów. Może jonizować cząsteczki gazu.

0 1

n→11p + −01e + γ

Przemianie jądrowej towarzyszy promieniowanie γ.

Marek

Promienio – wanie katodowe

Strumień Lampa elektronowa. Elektrony rozpędzonych emitowane przez rozżarzoną elektronów katodę są przyspieszone w polu elektrycznym wytworzonym przez elektrodę dodatnią (anodę) i elektrodę ujemną (katodę).

Jeśli na drodze między anodą i katodą umieszczona jest elektroda siatkowa, to zmieniając jej potencjał można wpływać na gęstość strumienia elektronów docierającego do anody (lampy elektronowe).

Promienio – wanie kanalikowe

Strumień rozpędzonych jonów dodatnich

Strumień jonów dodatnich jest przyspieszany w polu elektrycznym wytworzonym przez anodę i katodę i wydostaje się na zewnątrz tej ostatniej, jeśli ma ona kanaliki. Promienie kanalikowe nie są wykorzystywane.

Promieniowanie neutronowe

Strumień Promieniowanie neutronowe jest Słabo jonizuje gaz. Wykorzystuje rozpędzonych wynikiem niektórych sztucznych się do inicjowania innych sztuneutronów przemian jądrowych. cznych przemian jądrowych, reakcji jądrowych itp.

Pilawski

Lampa elektronowa. Źródłem promieni kanalikowych jest anoda, z której wysokoenergetyczne elektrony wybijają jony.

Strona 110

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Promieniowanie kosmiczne

Strumień Kosmos (przestrzeń kosmiczna). Promieniowanie kosmiczne zarozpędzonych wiera rozpędzone neutrony, procząstek tony, elektrony, mezony i inne elementarcząstki elementarne. W skład nych wchodzi także promieniowanie falowe (fale elektromagnetyczne) o długości często mniejszej niż długość fali promieniowania γ. Niezwykle przenikliwe. Szkodliwe dla zdrowia.

Tabela 4.2

Promieniowanie falowe

Nazwa promieniowania Rodzaje fal Nazwa fal

1

Marek

2

Cechy charakterystyczne i właściwości fal

Źródło fal

3

4

Fale radiowe Fale elektromagnetyczne

Rezonansowe obwody elektryczne.

Prędkość rozchodzenia się w próżni c = 300 00 km⋅s-1; zakres długości: od fal rzędu metrów (UKF) do fal rzędu kilometrów (fale długie), odbijają się od płaszczyzn przewodzących.

Fale radiowe Fale elektrodo komuni- magnetyczne kacji specjalnej

Rezonansowe obwody elektryczne, masery.

Zakres długości: od fal rzędu metrów do fal rzędu milimetrów. Zastosowanie: telewizja, łączność krótkofalarska, radar, łączność kosmiczna itp. Fale odbijają się od płaszczyzn przewodzących.

Promieniowanie podczerwone

Fale elektromagnetyczne

Ciała podgrzane, laser podczerwieni.

Długość fali λ > 0,7 µm. Fale są pochłaniane przez ciała.

Promieniowanie świetlne

Fale elektromagnetyczne

Długość fali 0,4 µm ≤ λ ≤ 0,7 µm Promieniowanie przenika przez ciała optycznie przezroczyste, a przez ciała nie przezroczyste i mętne jest częściowo odbijane oraz częściowo pochłaniane.

Promieniowanie ultrafioletowe

Fale elektromagnetyczne

Ciała stałe i gazy rozgrzane do świecenia, gazy pobudzone do świecenia, wyładowania elektryczne w gazach, ciała stałe i ciecze pobudzone do świecenia (fluorescencja, fosforescencia), laser. Źródła światła białego, lampy ultrafioletowe.

Promieniowanie X (promienie Roentgena)

Fale elektromagnetyczne

Lampa rentgenowska. Rozpędzone elektrony bombardują antykatodę i ulegają gwałtownemu zahamowaniu. Ich energia kinetyczna

Długość fali

Pilawski

Długość fali λ < 0,4 µm.

γ=

hc eU

(10-2 ... 10-5) µm, e — ładunek elektronu, U — różnica potencjałów pola przyspieszającego, h — 2 stała Plancka, c — prędkość mv = eU przemienia się rozchodzenia się fali elektro2 magnetycznej. w energię promieniowania Promieniowanie przenikające przez elektromagnetycznego (i cieplną) miękkie tkanki. eU = hv

Strona 111

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Promieniowanie γ

Fale elektromagnetyczne

Towarzyszy rozpadom jąder Długość fali λ < 10-5 µm, przepromieniotwórczych. Powstaje w nikliwe, przenika przez grube czasie reakcji jądrowych, osłony metalowe i betonowe, powstaje w wyniku anihilacji szkodliwe dla zdrowia. cząstek elementarnych. Jest składnikiem promieniowania kosmicznego.

Fale podakustyczne

Fale podłużne

Ciała wprawione w ruch drgający.

Fale akuFale podłużne styczne (dźwiękowe)

Fale ultradźwiękowe

Fale podłużne

Fale podłużne rozchodzą się tylko w ośrodkach sprężystych. Częstotliwość drgań 0 < f < 16 Hz; 16 Hz — próg słyszalności. Cząsteczki ośrodka, w którym Częstotliwość drgań 16 Hz < f < rozchodzi się fala, wprawione w 20 kHz, fala akustyczna rozchodzi ruch drgający, pośrednio — ciała się w powietrzu z prędkością 340 m⋅s-1, w wodzie 1000 m⋅s-1, w wprawione w ruch drgający. metalach 3000 ... 8000 m⋅s-1. Ciała, wprawione w ruch drgający Częstotliwość drgań f > 20 kHz, w (zjawisko elektrostrykcji i technice wykorzystuje się fale ultradźwiękowe o częstotliwości magnetostrykcji). rzędu setek megaherców, a nawet gigaherców.

4.3 Dualizm korpuskularno-falowy Zjawisko promieniowania można omówić według schematu:

Dualizm korpuskularno-falowy (patrz też p. 1.3) został opracowany najpierw na drodze teoretycznej przez L. V. de Broglie'a (1924 r.). Zgodnie z jego teorią każdej cząstce o masie m poruszającej się z prędkością v towarzyszy fala płaska o długości λ=

h mv

(4.29)

h — stała Plancka. Hipoteza de Broglie'a została doświadczalnie potwierdzona przez C. J. Davissona i L. H. Germera dopiero w 1927 r. W swoim doświadczeniu wykazali oni istnienie zjawiska dyfrakcji elektronów. Odbijając elektrony od powierzchni kryształu niklu otrzymali oni obraz dyfrakcyjny, czyli obraz typowy dla promieniowania falowego. A więc promieniowanie korpuskularne ulega dyfrakcji !

Marek

Pilawski

Strona 112

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Okazuje się, że dyfrakcja promieniowania korpuskularnego występuje zawsze, o ile tylko odległość między rozpraszającymi centrami jest zbliżona do długości fali de Broglie'a (fali materii). Rolę centrów rozpraszających spełniają najczęściej (ze względu na długość fal materii) atomy lub jądra atomów ciał stałych, cieczy i gazów. Po doświadczeniu Davissona i Germera wykonano jeszcze wiele różnych doświadczeń wskazujących na dyfrakcję elektronów. Obecnie wykorzystuje się również zjawisko dyfrakcji promieniowania neutronowego. Za pomocą dyfrakcji neutronów bada się rozkład położenia atomów wodoru w sieciach krystalicznych ciał stałych. Doświadczenia

z

dyfrakcją

strumienia

cząstek

elementarnych

były

potwierdzeniem teorii o falowym charakterze tych cząstek i zarazem rzuciły nowe światło na istotę materii.

4.4 Lasery 4.4.1 Wiadomości podstawowe Laser jest kwantowym generatorem światła, a jego nazwa pochodzi od zestawienia pierwszych liter pełnej angielskiej nazwy tego urządzenia*. Laser emituje

promieniowanie

spolaryzowane

(o

monochromatyczne

uzgodnionych

kierunkach

(o

jednej

wektorów

długości

fali),

natężenia

pola

magnetycznego H i natężenia pola elektrycznego E) oraz o uzgodnionych fazach fal elektromagnetycznych. Promieniowanie mające te wszystkie cechy nosi nazwę promieniowania spójnego. W celu omówienia zasady działania laserów, które zdobywają coraz większe zastosowanie w różnych dziedzinach techniki, omówione zostaną właściwości atomów, przy czym odwołamy się najpierw do rzeczy już poznanych, a więc do modelu planetarnego atomu, a następnie zostaną podane pewne wiadomości z zakresu elektrodynamiki kwantowej. Jest to konieczne, gdyż u podstaw fizycznych działania laserów leżą właśnie zjawiska atomowe. Atom

o

strukturze

planetarnej

zawiera

elektrony

krążące

po

orbitach

zamkniętych. Energia elektronu

Marek

Pilawski

Strona 113

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki E=

mv 2 e2 − 2 4πε 0 r

(4.30)

składa się z energii kinetycznej i energii potencjalnej. * Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — wzmacnianie światła przez wymuszoną emisję promieniowania. Elektron, tak jak każdy inny ładunek elektryczny znajdujący się w ruchu, musi promieniować

fale

elektromagnetyczne.

Energia

promieniowania

powstaje

kosztem energii mechanicznej elektronu, a więc jego ruch będzie tłumiony. Zjawisko to nosi nazwę „oporu promieniowania". W wyniku tłumienia energia elektronu będzie się zmniejszała w czasie. Prędkość zmian energii elektronu dE jest proporcjonalna do wartości energii dt

promieniowanej dE = − βE dt

(4.31)

β — współczynnik tłumienia. Rozwiązanie równania różniczkowego (4.31) ma postać (patrz dodatek E) E = E 0 e − βt

(4.32)

E0 — energia przy t = 0, e = 2,71 — podstawa logarytmów naturalnych. Przebieg

funkcji

opisanej

wzorem

(4.32)

przedstawiono

na

rys.

4.16.

Odwrotność współczynnika tłumienia τ=

1

β

(4.33)

można rozumieć jako czas, po którym energia elektronu zmniejsza się, na skutek promieniowania, e razy.

Rys. 4.16 Zmiany w czasie energii ładunku drgającego bez uwzględnienia pola zrównoważonego promieniowania elektromagnetycznego

Wartość współczynnika tłumienia można obliczyć ze wzoru β=

2e 2ω 02 3mc 2

(4.34)

Podstawiając odpowiednie wartości liczbowe otrzymuje się τ = 10-8s. A zatem w

Marek

Pilawski

Strona 114

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wyniku

emisji

promieniowania

elektromagnetycznego

energia

ładunku

oscylującego zostaje w czasie kilkudziesięciu nanosekund przemieniona w energię promieniowania. Po tym czasie elektron powinien spaść na jądro. Ponieważ atom jest jednak tworem trwałym, elektron w atomie nie może być źródłem promieniowania, a model planetarny atomu jest tylko modelem przybliżonym. Trudność polega na tym, że model planetarny nie wyjaśnia istnienia ruchu stacjonarnego, to znaczy ruchu elektronu ze stałą energią różną od zera w długim przedziale czasu. W celu usunięcia tej sprzeczności należy przyjąć, że elektron w stanie stacjonarnym (t

∞) nie ma energii równej zeru, jak to wynika z równania

(4.32), lecz pewną energię różną od zera* (4.35)

E ′ = kT

k — stała Boltzmanna, T—temperatura w skali bezwzględnej. Równanie (4.31) przyjmuje wówczas postać dE = − β ( E − kT ) dt

(4.36)

Rozwiązanie tego równania (patrz dodatek E) E = ( E 0 − kT )e − βt + kT

(4.37)

można przedstawić w postaci uproszczonej (4.38)

E = E 0 + (kT − E0 ) βt

Rys. 4.17 Zmiany w czasie energii ładunku drgającego z uwzględnieniem pola zrównoważonego promieniowania elektromagnetycznego dla przypadków, gdy energia początkowa ładunku jest większa lub mniejsza od energii kT

Z równania (4.37) widać, że energia elektronu przy t → ∞ dąży do wartości kT, zarówno gdy energia początkowa E0 > kT, jak i gdy E0 < kT (rys. 4.17). Energia E = kT jest wynikiem działania na elektron pola zrównoważonego promieniowania

elektromagnetycznego.

Pod

wpływem

tego

pola

elektron

wykonuje ruch (którego odpowiednikiem są chaotyczne ruchy Browna cząsteczek

Marek

Pilawski

Strona 115

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki nie naładowanych) o energii 2

mω 02 x 0 E= 2

(4.39)

x0 — amplituda drgań, x0 — wartość średnia amplitudy drgań. * Można się tu posłużyć pewną analogią. Wahadło pozostające w spoczynku w istocie wykonuje pewne bardzo małe drgania, będące wynikiem zderzeń obciążnika z cząsteczkami powietrza. Ruch ten jest chaotyczny i przypadkowy i średnie odchylenie wahadła jest równe zero. Energia tych drgań nie jest jednak równa zero i wzrasta liniowo ze wzrostem temperatury tak, jak energia kinetyczna ruchu cieplnego cząsteczek. Jeśli w pewnej chwili energia wahadła będzie mniejsza niż kT, to cząsteczki w czasie zderzeń oddadzą tyle energii, że energia wahadła pozostanie na poziomie kT. Gdy natomiast wahadło będzie miało energię większą niż kT, to będzie oddawało energię otoczeniu, aż jego energia zmniejszy się do poziomu kT (rys. 4.17).

Z równania 2

mω 02 x 0 kT = 2

(4.40)

można wyznaczyć 2

mω 02 x 0 T= 2k

(4.41)

Uwzględniając, że w atomie: m = 9,1⋅10-31 kg, ω0 = 4,18⋅1016s-1 (przykład 2.2), x0 = 10-10 m, k = 1,4⋅10-23 J⋅K-1, otrzymuje się T ≈ 104K. Otrzymany wynik jest sprzeczny z rzeczywistością, ponieważ w warunkach normalnych temperatura promieniowania jest równa temperaturze otaczających ciał i równa około 300 K. Ruchy

Browna

elektronu

w

polu

zrównoważonego

promieniowania

elektromagnetycznego nie wyjaśniają faktu trwałości atomu. Przeprowadzone do tej pory rozważania dowodzą, że pewnych zagadnień ze „świata atomów" nie da się rozwiązać na gruncie mechaniki klasycznej. Należy tu uwzględnić

kwantowy

charakter

oddziaływania

atomów

z

zewnętrznym

promieniowaniem i z innymi atomami. Podstawowy wzór uwzględniający kwantowy charakter zjawisk atomowych podał w 1900 r. M. Planck. Dotyczy on gęstości energii w niesionej przez promieniowanie elektromagnetyczne o częstości ω

Marek

Pilawski

Strona 116

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki w=

hω 3  hω  π 2 c 2  e kT − 1  

(4.42)

Wzór (4.42) sprawdzono eksperymentalnie i stwierdzono jego poprawność. Do wyprowadzenia tego wzoru konieczne stało się przyjęcie założenia, że atom może emitować energię promieniowania lub ją pochłaniać kwantami (porcjami), przy czym energia każdego kwantu (4.43)

E = hω = hv

h=

h 2π

Konsekwencją kwantowej struktury promieniowania jest taki model atomu, w którym elektrony mogą znajdować się tylko na orbitach dozwolonych przez warunki kwantowe (patrz p. 2.1). Przejścia między tymi orbitami mogą odbywać się tylko w sposób skokowy i są związane z pochłanianiem lub emisją promieniowania o częstości

ω=

Ew − E p

(4.44)

h

Ew — energia atomu w stanie wzbudzonym, Ep — energia atomu w stanie podstawowym (rys. 4.18).

Rys. 4.18 Graficzne przedstawienie zjawisk kwantowych w atomie

Atomy

dowolnego

ośrodka

materialnego

mogą

znajdować

się

w

stanie

podstawowym lub wzbudzonym. W ustalonych warunkach termodynamicznych w ośrodku zawsze znajduje się pewna liczba atomów w jednym i drugim stanie. Stan podstawowy jest najbardziej prawdopodobny i najwięcej atomów znajduje się w tym stanie. Atomy i jony ośrodka (np. gazu) są w ciągłym chaotycznym ruchu. Ulegają one ze sobą zderzeniom sprężystym i niesprężystym. W czasie zderzeń sprężystych energia kinetyczna oddziałujących obiektów pozostaje stała. W czasie zderzeń niesprężystych energia kinetyczna atomów po zderzeniu jest mniejsza niż przed zderzeniem. Zaabsorbowana energia powoduje przejście atomów do stanu wzbudzonego. W ciele stałym atomy i jony nie mają możliwości ruchu postępowego. Pewną

Marek

Pilawski

Strona 117

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki liczbę atomów w stanie wzbudzonym można w nim wytworzyć naświetlając je promieniowaniem

o

określonej

częstości.

Jeśli

częstość

ω

kwantów

promieniowania jest równa częstości przejścia — wzór (4.44) — to wszystkie kwanty promieniowania zostaną pochłonięte. Takie pochłanianie nazywa się pochłanianiem rezonansowym. Liczność atomów w stanie podstawowym i wzbudzonym zależy od warunków fizycznych, w jakich znajduje się rozpatrywany ośrodek (temperatura, skład, pola zewnętrzne). W warunkach ustalonych mamy do czynienia z równowagą dynamiczną. W odpowiednio długim okresie czasu liczba atomów przechodzących ze

stanu podstawowego

do

wzbudzonego

jest taka sama, jak atomów

zmieniających swój stan energetyczny w kierunku przeciwnym. Wzajemna proporcja liczności atomów w poszczególnych stanach jest bardzo ważna z punktu widzenia działania lasera. Problem ten będzie omówiony dokładniej. Jeśli N jest całkowitą liczbą atomów ośrodka, to liczba atomów w stanie podstawowym

N p = Ne

−

Ep kT

−

Ew kT

(4.45)

a w stanie wzbudzonym

N w = Ne

(4.46)

Stosunek liczby atomów w obu stanach − Nw =e Np

Ew− Ep kT

(4.47)

Jak widać, dla Ew > Ep stosunek Nw/Np jest mniejszy od jedności. Znaczy to, że im większa jest energia stanu wzbudzonego atomu, tym mniej atomów znajduje się w tym stanie. Stan wzbudzony atomów jest stanem nietrwałym. Po upływie czasu rzędu 10-8 s — wzór (4.33) — atomy przechodzą do stanu podstawowego emitując przy tym kwant promieniowania o częstości określonej wzorem (4.44). Zjawisko to nosi nazwę zjawiska emisji spontanicznej. Przejścia atomów ze stanów wzbudzonych do stanu podstawowego mogą następować również pod wpływem zewnętrznego

Marek

Pilawski

Strona 118

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki pola elektromagnetycznego. Przejścia takie związane są z emisją wymuszoną (stymulowaną) kwantów. Emisja wymuszona ma charakter rezonansowy, to znaczy może być ona wywołana jedynie takim polem, którego częstość równa jest częstości określonej wzorem (4.44). W

ogólności

w

ośrodku

poddanym

działaniu

promieniowania

elektromagnetycznego występują trzy zjawiska : 1) absorpcja rezonansowa, 2) emisja spontaniczna, 3) emisja wymuszona. Absorpcja

rezonansowa

promieniowania

związana

elektromagnetycznego

jest o

z

pochłanianiem

częstości

ω

—

kwantów

wzór

(4.44).

Pochłonięcie jednego kwantu zwiększa liczbę atomów wzbudzonych o jeden. Szybkość zwiększania się liczby atomów wzbudzonych jest proporcjonalna do liczby

Np

atomów

niewzbudzonych,

do

gęstości

w

energii

pola

elektromagnetycznego o częstości ω i do prawdopodobieństwa Pa absorpcji

dN w = wN p Pa dt

(4.48)

Emisja spontaniczna związana jest z samorzutnym przechodzeniem atomów ze stanów wzbudzonych do stanu podstawowego, bez udziału jakichkolwiek czynników zewnętrznych. Szybkość zmniejszania się liczby atomów w stanie wzbudzonym jest proporcjonalna do liczby Nw atomów w stanie wzbudzonym i do prawdopodobieństwa Pes emisji spontanicznej

dN w = − N w Pes dt

(4.49)

Emisja wymuszona związana jest z przejściami atomów ze stanu wzbudzonego do podstawowego pod wpływem działania czynników zewnętrznych. Emisja wymuszona ma charakter rezonansowy i może być wywołana jedynie takim promieniowaniem, którego częstość jest zgodna z częstością przejścia między rozpatrywanymi stanami. Szybkość

zmniejszania

się

liczby

atomów

w

stanie

wzbudzonym

jest

proporcjonalna do gęstości w energii promieniowania elektromagnetycznego wywołującego przejścia, do liczby Nw atomów w stanie wzbudzonym i do prawdopodobieństwa Pew emisji wymuszonej

Marek

Pilawski

Strona 119

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki dN w = − wN w Pes dt Uwzględniając

wszystkie

(4.50)

trzy omawiane

procesy otrzymuje się

równanie

opisujące zmianę liczby atomów wzbudzonych

dN w = − w(N w Pes − N p Pa ) − N w Pes dt

(4.51)

W warunkach równowagi termodynamicznej Np i Nw są wielkościami stałymi w czasie, ich pochodne względem czasu są zatem równe zeru i dlatego

w(N w Pes − N p Pa ) + N w Pes = 0

(4.52)

Uwzględniając wzory (4.44) i (4.47) można również napisać Pes

w= Pa e

hω kT

(4.53)

− Pew

Wzór (4.53) opisuje gęstość energii promieniowania elektromagnetycznego o częstości ω w warunkach równowagi termodynamicznej.

4.4.2 Zasada działania lasera Zasada działania lasera opiera się na zjawiskach związanych z przechodzeniem promieniowania elektromagnetycznego przez ośrodek, w którym liczność Nw atomów w stanie wzbudzonym jest większa niż liczność Np atomów w stanie podstawowym. Stan, w którym Nw > Np, nazywa się inwersją obsadzeń. Jest to stan mało prawdopodobny i może być wytworzony przy współudziale czynników zewnętrznych. Proces, który prowadzi do inwersji obsadzeń, jest nazywany (w pewnych szczególnych przypadkach) pompowaniem optycznym. Pompowanie optyczne i inwersja obsadzeń są warunkiem wystąpienia akcji laserowej w ośrodku. Pompowanie optyczne jest możliwe tylko wtedy, kiedy poziomy (stany) energetyczne mają pewną szerokość (rys. 4.19). Takie „rozmycie” poziomów energetycznych szerokość

występuje

poziomu

we

wszystkich

podstawowego

będzie

układach ∆Ep,

a

rzeczywistych. szerokość

Jeżeli

poziomu

wzbudzonego ∆Ew = ∆Ep = ∆E, to oddziaływanie promieniowania zewnętrznego z atomami ośrodka będzie zachodziło nie tylko przy częstości tego promieniowania ω — wzór (4.44) — lecz również przy promieniowaniu o częstości

Marek

Pilawski

Strona 120

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Ew − E p

h

−

E w − E p ∆E ∆E + ≤ω ≤ h h h

gdzie ħ związane jest ze stałą Plancka wzorem h =

(4.54)

h 2π

Rys. 4.19 Graficzne przedstawienie poziomów energetycznych atomów domieszkowych rubinu

Jeśli przyjmie się, że

∆E = ∆ω to można napisać, że h

ω − ∆ω ≤ ω ′ ≤ ω + ∆ω Tak więc uwzględniając skończoną szerokość poziomów energetycznych okazuje się, że możliwe są przejścia rezonansowe (absorpcja rezonansowa) nie tylko przy jednej, ściśle

określonej

częstości promieniowania,

lecz dla całego

przedziału częstości. Jeśli ten przedział częstości leży w obszarze widmowym promieniowania widzialnego, to znaczy, że za pomocą promieni widzialnych (świetlnych) można wytworzyć w ośrodku inwersję obsadzeń, gdyż, jak wiadomo, pochłaniane kwanty promieniowania powodują przechodzenie atomów do stanu wzbudzonego. Pompowanie optyczne można więc zrealizować za pomocą światła rozproszonego o dość dużym paśmie częstości. Gdyby poziomy energetyczne byłyby nieskończenie wąskie (∆E = 0), to pompowanie optyczne byłoby

możliwe

jedynie

za

pomocą

światła

monochromatycznego.

Promieniowanie prawie monochromatyczne można uzyskać wybierając z widma światła białego bardzo wąską jego część. Moc takiego promieniowania jest jednak zbyt mała, by wywołać odpowiednio dużą inwersję obsadzeń. Przechodzenie wiązki świetlnej przez ośrodek wywołuje dwa zjawiska: absorpcję rezonansową i emisję wymuszoną. Oba te zjawiska powodują zmianę natężenia promieniowania wiązki padającej (rys. 4.20). Na skutek absorpcji natężenie wiązki świetlnej zmniejsza się wraz z długością drogi przebytej w ośrodku zgodnie ze wzorem

Marek

Pilawski

Strona 121

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 2N p dI =− whωPa π∆ω dψ

(4.56)

natomiast emisja wymuszona powoduje wzrost natężenia promieniowania

dI 2 N w wxωPew = dx π∆ω

(4.57)

Rys. 4.20 Przechodzenie światła przez ośrodek materialny (a) i różne możliwe zmiany natężenia w czasie przechodzenia wiązki przez ten ośrodek (b)

W wyniku uwzględnienia obu zjawisk i przyjęcia, że Pa = Pew = P oraz że I = cw, otrzymujemy

dI 2 Ph ω (N p − N w )I =− dx cπ∆ω

(4.58)

2 Phω (N p − N w ) cπ∆ω

(4.59)

Wielkość

α=

nosi nazwę współczynnika absorpcji i jest zależna od częstości. Rozwiązaniem równania różniczkowego

dI = −αI dx

(4.60)

jest funkcja

I = I 0 e − αx

(4.61)

Przebieg tej funkcji może być różny w zależności od znaku i wartości współczynnika absorpcji (rys. 4.20 b). Przy Np ≤ Nw,

tzn. w stanie równowagi termodynamicznej, α > 0 i natężenie

promieniowania przechodzącego przez ośrodek ulega zmniejszeniu. Przy Np = Nw współczynnik absorpcji jest równy zero, co oznacza, że zmniejszenie natężenia

Marek

Pilawski

Strona 122

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki promieniowania jest kompensowane przez wzrost natężenia wywołany emisją wymuszoną. Natężenie promieniowania przechodzącego przez ośrodek nie ulega zmianie. Jeśli natomiast Nw > Np, to współczynnik absorpcji staje się ujemny, wzrost natężenia wywołany emisją wymuszoną jest większy niż zmniejszanie się natężenia wywołane absorpcją i natężenie promieniowania będzie ulegać zwiększeniu. Światło będzie więc wzmacniane. Rozmiary liniowe ośrodka, w którym rozchodzi się światło, są skończone. Jeśli w takim ośrodku wiązka promieniowania przebędzie drogę 2l, to na podstawie wzoru (4.61)

I = I 0 e −2αl

(4.62)

W takim przypadku nierówność Nw > Np można określić dokładniej

Nw − N p =

π∆ωc ln R 4lPhω

(4.63)

gdzie R jest współczynnikiem określającym straty energii przy odbiciach. (Wielkość R wyraża się stosunkiem energii odbitej do padającej). Inwersja obsadzeń jest wynikiem pompowania optycznego, ale nie tylko. Stopień obsadzenia przez atomy stanów energetycznych zależny jest również od czasu „życia” atomu wzbudzonego. Poprzednio mówiliśmy — wzory (4.33) i (4.34) — że czas ten jest rzędu 10-8 s. Po tym czasie atomy spontanicznie przechodzą do stanu podstawowego. W niektórych ośrodkach materialnych są jednak takie układy atomów, których stan wzbudzony może trwać nawet 10-3 s, a więc może być około 105 razy dłuższy*. Oczywiście w takich ośrodkach znacznie łatwiej jest utworzyć odpowiednią inwersję obsadzeń — wzór (4.63) — potrzebną do rozwinięcia akcji laserowej w tym ośrodku. Ośrodek aktywny lasera umieszczony jest między dwoma zwierciadłami, z których jedno całkowicie odbija promieniowanie, a drugie jest półprzepuszczalne (rys. 4.21). Promieniowanie wymuszone rozchodzi się w obszarze między zwierciadłami, powodując dalsze przejścia wymuszone innych atomów. Odległość między zwierciadłami stanowiącymi rezonator optyczny jest tak dobrana, że mieści się w niej całkowita krotność długości emitowanej fali. Dzięki temu ulega ona wzmocnieniu na skutek interferencji. Proces wzmacniania promieniowania ma charakter lawinowy i trwa kilkaset mikrosekund. Lawina fotonów** opuszczająca ośrodek czynny lasera stanowi wiązkę użyteczną. Wszystkie one poruszają się w tym samym kierunku, mają te

Marek

Pilawski

Strona 123

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki same częstości i fazę.

Rys. 4.21 Budowa lasera

Duża prędkość rozwoju akcji laserowej uwarunkowana jest dużą prędkością rozchodzenia

się

światła.

Kierunek

rozwoju

akcji

laserowej

i

kierunek

rozchodzenia się promieniowania wymuszonego wyznaczony jest położeniem zwierciadeł rezonatora optycznego. Akcja laserowa we wszystkich innych kierunkach

zostaje

wygaszona.

W

rezonatorze

optycznym

mogą

ulegać

wzmocnieniu fale nie tylko o jednej długości, lecz także fale o innych długościach, które mieszczą się całkowitą liczbę razy na długości l rezonatora. W ten sposób powstają tak zwane mody. Laser jest na ogół źródłem wielu modów. Ze względu na rodzaj ośrodka aktywnego, w którym rozwija się akcja laserowa, lasery dzielą się na: krystaliczne, szklane, gazowe, półprzewodnikowe, cieczowe. * Dla porównania można podać, że okres 274 lat jest około 105 razy dłuższy od doby. ** Foton jest to kwant promieniowania elektromagnetycznego o częstości z zakresu optycznego.

Jednym z pierwszych laserów krystalicznych był laser rubinowy. Rubin jest to tlenek

aluminium

Al2O3

zwany

korundem

lub

leukoszafirem,

którego

charakterystyczne mocno czerwone zabarwienie związane jest z domieszkami jonów chromu Cr3+.

Rys. 4.22 Graficzne przedstawienie poziomów energetycznych atomów domieszkowych rubinu

Jony chromu silnie pochłaniają światło zielono-żółte o długości λp = 560 nm. Atomy chromu pochłaniające energię promieniowania świetlnego przechodzą w stan wzbudzony Ewl (rys. 4.22). Powrót atomu do stanu podstawowego odbywa

Marek

Pilawski

Strona 124

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki się

w

dwu

kolejnych

etapach.

Najpierw

atom

przechodzi

do

stanu

energetycznego Ew2 < Ewl, który jest również stanem nietrwałym. Nosi on nazwę stanu

metastabilnego.

Przejścia

atomów

ze

stanu

wzbudzonego

Ewl do

metastabilnego są przejściami bezpromienistymi, tzn. nie towarzyszy im emisja promieniowania.

Energia

jest

przekazywana

bezpośrednio

atomom

umieszczonym w węzłach sieci krystalicznej rubinu. Powoduje to nagrzewanie się kryształu. Stan metastabilny jest, jak już wspomniano, stanem nietrwałym, ale atom trwa w nim przez czas około sto tysięcy razy dłuższy niż w stanie wzbudzonym. Dzięki temu obsadzenie tego stanu jest liczniejsze niż stanu o energii Ewl. Przejściom atomów do stanu podstawowego towarzyszy emisja promieniowania spójnego o długości λi = 694,3 nm. Jest to światło czerwone. Laser rubinowy przetwarza więc energię promieniowania rozproszonego lampy (pompy optycznej) o długości λp w promieniowanie spójne o długości λi. Kryształ rubinu stosowany w laserach ma postać walca o średnicy ok. 0,5 cm i długości od kilku do ok. 30 cm. Powierzchnie kołowe walca są dokładnie wypolerowane i posrebrzone, tak że tworzą dwa równoległe zwierciadła. Jedno ze zwierciadeł jest półprzeźroczyste. Kryształ umieszcza się blisko lampy (pompy optycznej). Pompa optyczna i cały laser pracują impulsowo. Za pomocą lasera rubinowego można osiągnąć moc w impulsie rzędu 109 W. Czas trwania impulsu może wynosić od ułamków milisekund do 10-13 s. Rozbieżność wiązki nie przekracza 1 mrad (miliradiana). Laser szklany w charakterze ośrodka aktywnego zawiera pręt wykonany ze szkła optycznego domieszkowanego jonami neodymu Nd3+. Pręt szklany ma zazwyczaj średnicę ok. 30 mm i długość dochodzącą do 180 cm. (Moc lasera jest tym większa, im większe są wymiary liniowe ośrodka aktywnego). Oświetla się go lampą ksenonową, którą zapala się przez rozładowanie połączonych z nią naładowanych kondensatorów. Lasery szklane mogą pracować w sposób ciągły i impulsowy. Są to obecnie jedne z najbardziej wydajnych laserów. Przy pracy impulsowej moc w impulsie dochodzi do 5⋅1010 W przy czasie trwania impulsu ok. 3 ms. Gęstość osiąganej mocy

Marek

jest

również

Pilawski

bardzo

duża,

rzędu

2⋅1021

W⋅m-2⋅sr-1

(luminacja

Strona 125

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki energetyczna). Długość fali promieniowania leży w zakresie bliskim podczerwieni i wynosi 1,06 µm. Ze względu na dużą moc promieniowania laserów szklanych wykorzystuje się je m. in. do spawania, obróbki materiałów, inicjowania kontrolowanej syntezy termojądrowej itp. Lasery gazowe jako ośrodek aktywny wykorzystują gaz umieszczony w wąskiej długiej rurze. Do wzbudzania atomów gazu używa się nie światła, lecz wyładowań elektrycznych. Rura szklana nosi nazwę rury wyładowczej (rys. 4.23). Na końcach rury, której długość może wynosić od kilkudziesięciu centymetrów do kilku metrów, zatopione są ażurowe elektrody, do których doprowadza się stałe napięcie elektryczne. W laserach gazowych większej mocy napięcie to wynosi około 10 kV. Wymusza ono przepływ prądu, którego wartość może dochodzić do 100 mA. Po obu stronach rury wyładowczej zamocowane są zwierciadła. Jedno ze zwierciadeł jest całkowicie odbijające, a drugie — półprzeźroczyste.

Rys. 4.23 Budowa lasera gazowego

Do wypełnienia rury wyładowczej laserów gazowych stosuje się najczęściej mieszaniny gazów: CO2—N2—He i He—Ne. Pierwsza z nich jest źródłem światła spójnego o długości 1,06 µm i o dużej mocy. W laserach tego typu można przy pracy ciągłej osiągnąć moc 9 kW. Jest to jedna z największych wartości mocy osiąganych w laserach o pracy ciągłej. Dlatego też znajdują one zastosowanie w przemyśle. Lasery helowo-neonowe (lasery He—Ne) emitują wiązkę o długości fali 0,6334 µm, a więc w zakresie widzialnym. Moc ich jest mniejsza niż laserów CO2—N2—He, toteż znajdują one zastosowanie w miernictwie i wielu innych dziedzinach techniki, w których nie jest wymagana duża moc wiązki.

Marek

Pilawski

Strona 126

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 4.24 Budowa lasera półprzewodnikowego

Lasery półprzewodnikowe wykonane są z odpowiednio przygotowanego monokryształu arsenku galu (GaAs), w którym wytworzono tzw. złącze p-n*. Cały monokryształ przytwierdzony jest do podstawy wykonanej z płytki molibdenowej

pokrytej

doprowadzeniu

stopem złota (Au)

napięcia

elektrycznego

i cyny (Sn) (rys. 4.24). Po

złącze

p-n

staje

się

źródłem

promieniowania (patrz również p. 4.7). Aby promieniowanie to wywołało akcję laserową, część jego musi „wrócić” z powrotem do ośrodka aktywnego. W tym celu równoległe ścianki monokryształu szlifuje się tak, aby jedna z nich odbijała promienie całkowicie, a druga była półprzeźroczysta. Sprawność laserów półprzewodnikowych jest bardzo duża, dochodzi do 50%, a nawet i 100%. (Sprawność laserów innych typów jest o rząd wielkości mniejsza). Lasery

półprzewodnikowe

podczerwieni,

λ

=

0,84

generują µm.

promieniowanie

Moc

w

produkowanych

zakresie

bliskim

obecnie

laserów

półprzewodnikowych nie przekracza 10 W. * Właściwości złącza p-n omówione są w p. 6.7. Przykład 4.5 Porównać gęstości mocy promieniowania słonecznego z gęstością mocy promieniowania laserowego.

Moc promieniowania lasera o pracy impulsowej jest duża ze względu na krótki czas trwania tego promieniowania. Laser pompowany optycznie jest swego rodzaju przetwornikiem rozproszonego promieniowania pompy optycznej na spójne promieniowanie laserowe. W niektórych laserach jest osiągana moc o gęstości 1010 W⋅m-2. Przypada ona na bardzo wąski zakres widma, rzędu 10-11 m. Słońce - źródło termiczne o największej mocy — emituje z każdego centymetra kwadratowego

swej

powierzchni

promieniowanie

o

mocy

7⋅103

W.

Promieniowanie to obejmuje jednak bardzo szeroki obszar długości fal, rzędu 0,3

Marek

Pilawski

Strona 127

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki µm. W zakresie widma 10-11 m gęstość mocy promieniowania słońca wynosi tylko 2300 W⋅m-2.

4.4.3 Zastosowania laserów Wraz

z

pojawieniem

się

laserów

w

początkach

lat

sześćdziesiątych

przepowiadano nastąpienie nowej ery w nauce i technice. Nastąpiło jednak rozczarowanie. Lasery początkowo nie spełniły pokładanej w nich nadziei. Z laserami

wiązano

możliwość

dokładnej

obróbki

materiałów,

wykonywania

otworów w twardych przedmiotach, cięcia arkuszy blach itp. Produkowane wtedy lasery miały jednak za małą moc, aby mogły być stosowane w przemyśle. Na przykład pierwszy laser gazowy, helowo-neonowy, zapewnił średnią moc wyjściową wiązki świetlnej mniejszą niż 1 mW i nie dopuszczał myśli o wykorzystaniu jej jako narzędzia skrawającego. Nadzieje te odżyły dopiero niedawno, kiedy udało się skonstruować lasery krystaliczne o mocy w impulsie 1013 W i mocy przy pracy ciągłej ponad 1 kW oraz lasery gazowe o mocy 60 kW przy pracy ciągłej. Lasery o pracy ciągłej i lasery pracujące impulsowo konkurują już obecnie z tradycyjnymi obrabiarkami i znajdują coraz szersze zastosowanie w wielu różnorodnych i wyspecjalizowanych operacjach technologicznych. Zjawiska fizyczne obserwowane przy obróbce materiałów i spawaniu za pomocą wiązki promieniowania laserowego związane są głównie z procesami cieplnymi. Znaczna liczba tych procesów była znana i wykorzystywana od dawna. Jednak niezwykłe właściwości lasera jako źródła promieniowania cieplnego odróżniają technologię laserową od innych rodzajów technologii. Odmienność jej polega na osiąganej obecnie dużej mocy w impulsie, małym przekroju poprzecznym wiązki promieniowania i dokładności, z jaką można kontrolować i sterować jej natężenie, położenie i czas oddziaływania z materią. Rozszerza się przy tym ilość materiałów, które można poddać obróbce. Jednym z często występujących procesów technologicznych w przemyśle jest cięcie blach. Do realizacji tego procesu wykorzystuje się bardzo wydajny laser gazowy — CO2, generujący promieniowanie podczerwone o długości fali λ — 1,06 µm. Wiązkę promieniowania odbitą od zwierciadła i skupioną przez soczewkę kieruje się na powierzchnię obrabianego materiału (np. arkusza blachy). Proces cięcia powstaje przy przesuwaniu detalu względem nieruchomej wiązki. Pod

Marek

Pilawski

Strona 128

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wpływem promieniowania w materiałach o małej przewodności cieplnej może powstać temperatura wyższa od temperatury topnienia tych materiałów. W miejscu stopnienia

następuje

rozdzielenie

fragmentów ciętego

detalu. W

praktycznych urządzeniach laserowych uzyskuje się prędkości cięcia od ok. 6 mm⋅s-1 dla stali nierdzewnej, do ok. 40 mm⋅s-1 dla tytanu. Za pomocą lasera CO2 o mocy 135 W można ciąć np. blachy tytanowe o grubości 0,5 mm z prędkością do 250 mm⋅s-1. Jak już wspomniano, laserowej metodzie cięcia poddaje się tylko materiały o małej przewodności cieplnej. Takie metale jak np. miedź czy aluminium mają dużą przewodność cieplną, o rząd wielkości większą niż tytan, i nie udaje się ich ciąć wiązką laserową, bowiem energia cieplna wydzielana w miejscu padania i ogniskowania wiązki jest szybko odprowadzana, co powoduje ochładzanie miejsca napromieniowanego. Jedną z częstych operacji technologicznych stosowanych w przemyśle jest również wiercenie. I tu też z powodzeniem można wykorzystać laser. Laser przeznaczony

do

wywiercania

(a

raczej

wypalania)

otworów

powinien

charakteryzować się dużą gęstością wypromieniowanej mocy, rzędu 1011 W⋅ m-2. Przy tak dużej gęstości mocy, jej straty uwarunkowane przewodnością cieplną materiału można pominąć. Wiązka promieni padająca na powierzchnię ulega pochłanianiu w cienkiej warstwie materiału i powoduje szybkie wyparowanie tej warstwy. Grubość warstwy pochłaniającej energię dla wiązki elektronów wynosi około 100 µm, a dla wiązki laserowej — około 1 µm. Jeśli pary substancji są szybko odprowadzane z powierzchni materiału, to prędkość wiercenia otworu jest wprost proporcjonalna do gęstości mocy w wiązce. Wiązką laserową o gęstości mocy 3⋅1011 W⋅cm-2 można uzyskać prędkość wiercenia rzędu 100 m⋅s-1. Odpowiada to czasom wiercenia rzędu ułamków milisekund. Rzeczywiste czasy wykonywania otworów wiązką laserową są jednak dłuższe. Jest to wynikiem osłaniania

(ekranowania)

dalszych

warstw

materiału

przed

działaniem

promieniowania przez niezbyt szybko odprowadzane pary materiału. Silnemu promieniowaniu laserowemu nie ostają się nawet skały — tak można powiedzieć przystępując do opisu następnego przemysłowego zastosowania laserów. Jak wiadomo, wiele minerałów i substancji syntetycznych kruszeje lub pęka przy szybkich zmianach temperatury. Tak zachowuje się np. szkło bardzo

Marek

Pilawski

Strona 129

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki silnie ogrzane w krótkim czasie. (Znamy to z własnego doświadczenia na przykładzie szklanek pękających pod wpływem wrzątku). Wiązkę promieniowania podczerwonego lasera CO2 można wykorzystać do kontrolowanego kruszenia i rozłupywania różnych materiałów. Wykorzystuje się tu fakt, że energia rozchodzi się liniowo, wzdłuż kierunku promieniowania lasera i że kierunek ten można dowolnie zmieniać. Przy kontrolowanym kruszeniu materiałów nie występuje problem

usuwania

z

pola

działania

wiązki

materiału

stopionego

lub

doprowadzonego do stanu gazowego (pary). Obróbce przez kruszenie poddają się materiały o małym przewodnictwie cieplnym, o dużej rozszerzalności cieplnej i małej wytrzymałości na rozrywanie. Przewiduje się, że w przyszłości możliwe będzie kruszenie skał i drążenie tuneli. Dodatkową zaletą takiej metody drążenia będzie jednoczesne wytyczanie kierunku drążonego szybu. Oczywiście, żeby wszystko było jasne, należy jeszcze wyjaśnić, dlaczego niektóre materiały pękają w miejscu silnego nagrzania. Otóż, jak wiadomo, wiele materiałów drewnopodobnych oraz minerałów zawiera wodę związaną lub wprost wodę krystaliczną. Intensywne ogrzewanie zrywa wiązania molekularne i prowadzi do wyparowania wody i innych bardziej istotnych składników. Pary odparowanych substancji wytwarzają wewnątrz materiałów duże ciśnienie, które prowadzi do mikropęknięć i pojawiania się drobnych szczelin. Jeśli w przemysłowych zastosowaniach lasera wykorzystuje się energię cieplną wypromieniowanej przez niego wiązki, to łatwo domyślić się, że znajduje ona zastosowanie również do zgrzewania, lutowania i spajania różnych detali. W niektórych szczególnych przypadkach nawet zastosowanie innych technologii niż laserowej jest niemożliwe. Dla przykładu zlutowanie lub zgrzanie elementów zatopionych

w

szklanej

bańce,

np.

lampie

elektronowej,

przypadkowo

rozłączonych na skutek uszkodzenia, może się odbyć tylko przy użyciu lasera. Wiązkę promieniowania laserowego kieruje się przy tym na uszkodzone elementy, doprowadzając do ich trwałego połączenia. Obudowa szklana lampy nie stanowi przeszkody, gdyż jest przezroczysta i nie pochłania energii wiązki laserowej. Wraz z upowszechnieniem laserów w technice zwiększa się liczba zastosowań

Marek

Pilawski

Strona 130

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki tych urządzeń w innych dziedzinach, w tym również i w medycynie. Jednym ze schorzeń jest odklejanie się siatkówki od dna oka. Wiązkę laserową można użyć do jej sklejania, i tu laser okazuje się niezastąpiony. Laser nakierowuje się dokładnie na określony punkt gałki ocznej i wysyła się krótki impuls światła. Za pomocą soczewki skupia się go w miejscu sklejenia. Operacja sklejenia siatkówki jest bezbolesna, gdyż ze względu na krótki czas trwania impulsu promieniowania nie zachodzą jeszcze reakcje odruchowe. Laser okazuje się także pomocny w walce z rakiem. W tym przypadku również wykorzystuje się dużą gęstość mocy i małe rozmiary wiązki promieniowania laserowego. Można nakierować ją na chore komórki i zniszczyć je, nie naruszając przy tym zdrowych tkanek. Laser znajduje zastosowanie również w systemach łączności i komunikacji (p. 9.7). Pierwsze zastosowanie lasera w łączności polegało na wysłaniu w kierunku Księżyca bardzo silnego impulsu laserowego. Wiązka po odbiciu od powierzchni Księżyca powróciła na Ziemię i tu została zarejestrowana. Stworzyło to możliwości badania powierzchni planet w laboratoriach ziemskich. Z obliczeń wynika, że promieniowanie laserowego źródła światła w postaci ciągów impulsów o energii 104 J i czasie trwania 1 ns o rozbieżności wiązki 1 µrad (mikroradian) może być odebrane na Ziemi z odległości 10 lat świetlnych. Antena stacji odbiorczej (reflektor optyczny) powinna mieć przy tym 30 m średnicy. W ogólności systemy łączności laserowej, ze względu na zasięg i warunki pracy, dzielą się na cztery grupy : 1) naziemne krótkie linie łączności z wiązką rozchodzącą się w atmosferze ziemskiej, 2)

międzynarodowe

systemy

łączności

z

wiązką

rozchodzącą

się

w

światłowodach, 3) kosmiczne retransmisyjne systemy łączności bliskiego zasięgu, 4) międzyplanetarne systemy łączności. Zasięg naziemnej laserowej stacji łączności ograniczony jest rozpraszaniem energii wiązki promieniowania w atmosferze i krzywizną Ziemi. Z tych względów nie przekracza on na ogół 200 km. W przestrzeni kosmicznej zasięg „widzenia"

Marek

Pilawski

Strona 131

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki laserowych stacji łączności jest większy i może wynosić miliardy kilometrów. Systemy łączności laserowej są rozbudowywane nie ze względu na prostotę konstrukcji

stacji

nadawczych

i

odbiorczych

i

możliwości

kierunkowego

przesyłania informacji, ale głównie ze względu na bardzo dużą ilość informacji, które można przesłać za ich pośrednictwem. Okazuje się, że za pomocą jednej wiązki świetlnej można przekazywać 10 milionów rozmów telefonicznych lub 1 milion programów telewizyjnych jednocześnie, bez ich wzajemnego nakładania się na siebie. Możliwość jednoczesnego przesyłania tak dużej ilości informacji wynika z wielkiej częstotliwości światła. Wynosi ona ok. 1014 Hz. Wiązkę promieniowania laserowego można wykorzystać także w radiolokacji, a właściwie optolokacji. Optolokacja polega na odbieraniu odbitego od przedmiotu impulsu optycznego i obróbce uzyskanego sygnału. Mierząc czas od chwili wysłania impulsu do chwili jego odebrania — można określić odległość przedmiotu,

a

przy

dokładnych

pomiarach

—

nawet

jego

kształt.

Jeśli

naświetlany przedmiot jest w ruchu, to wykorzystując efekt Dopplera można wyznaczyć również jego prędkość. Z urządzeń optolokacyjnych budowane są już obecnie

niwelatory

i

dalmierze.

Dalmierze

laserowe

umożliwiają

pomiar

odległości lub wymiarów obiektu z dokładnością do długości fali świetlnej. Lasery znajdują także zastosowanie w bardzo wielu dziedzinach, pozornie nie związanych z elektrotechniką, a każdy nowy dzień przynosi dalsze informacje na ten temat. Nie wdając się w szczegóły, wymieńmy przykłady ciekawszych zastosowań tych niezwykłych źródeł promieniowania elektromagnetycznego, pozostawiając

opis

ich

realizacji

wyobraźni

technicznej

Czytelnika.

Otóż

wykorzystując właściwości promieniowania spójnego stosuje się jeszcze lasery do : — wywoływania różnorodnych reakcji chemicznych, — kontroli zanieczyszczeń atmosfery, — pomiarów prędkości przepływów cieczy, — automatycznego sterowania i kontroli, — miejscowego domieszkowania półprzewodników, — obróbki materiałów ceramicznych i szklistych, — przeprowadzania kontrolowanych reakcji termojądrowych,

Marek

Pilawski

Strona 132

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki — rozdzielania izotopów, —

zapisywania

lub

odczytywania

stanu

elektrooptycznych

komórek

pamięciowych, — pomiarów małych drgań o amplitudzie rzędu 10-14 m, — pomiarów wielkości elektrycznych (p. 5.4.1 i 5.6.1). Na tym oczywiście lista zastosowań laserów nie kończy się. Wydaje się, że jest ona

ograniczona

jedynie

ludzką

wyobraźnią

i

pomysłowością,

a

nowe

perspektywy w tym zakresie stwarza holografia.

4.5 Termiczne źródła promieniowania Źródła termiczne emitują promieniowanie ciał rozgrzanych do temperatury wyższej od temperatury otoczenia. Źródłem tego promieniowania jest energia kinetyczna atomów rozgrzanego ciała. Powstające promieniowanie ma charakter nieuporządkowany i - podobnie jak światło białe - obejmuje szeroki zakres widmowy. Energia promieniowania związana jest z energią ruchu cieplnego atomów, a więc z temperaturą ośrodka. Ze wzrostem temperatury zwiększa się również energia promieniowania. Ponieważ energia promieniowania zależna jest nie tylko od natężenia fali (promieniowania), ale również od jej częstości, to wzrost temperatury ciała, czyli wzrost energii kinetycznej jego cząsteczek, zmienia nie tylko natężenie tego promieniowania, lecz także jego rozkład widmowy. Zagadnienia promieniowania termicznego rozpatruje się na przykładzie ciała doskonale czarnego. Ciało doskonale czarne jest to takie ciało, które całkowicie pochłania padające na nie promieniowanie, niezależnie od składu jego widma i od temperatury ciała. Promieniowanie ciała doskonale czarnego jest określone tylko przez temperaturę i nie zależy od rodzaju ciała. Natężenie promieniowania i skład widmowy mogą być obliczone teoretycznie. Służą

do

tego

wzory

podane

przez

M.

Plancka

i

określające

prawo

promieniowania ciała doskonale czarnego. Jeśli przez εv,T oznaczy się zdolność emisji promieniowania o częstotliwości v w temperaturze T, to

Marek

Pilawski

Strona 133

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ε v ,T =

2πv 2 c2

hv e

hv kT

(4.64)

−1

Wzór (4.64) wyrażający zdolność emisji w zależności od długości fali ma postać

ε λ ,T =

2πc 2

λ5

h e

hv kT

(4.65) −1

Zdolność emisji promieniowania jest to wielkość charakteryzująca emisję promieniowania cieplnego ciała określona wzorem ε λ ,T =

dM dv

w którym M — gęstość strumienia energii promieniowania elektromagnetycznego (emitancja energetyczna) wysyłanego w jednostce czasu przez jednostkę pola powierzchni ciała w przedziale częstotliwości od v do v+dv. Zdolność emisji jest zależna od częstotliwości promieniowania (długości fali), temperatury, składu chemicznego, kształtu i stanu powierzchni ciała. Prawo Plancka określa rozkład widmowy gęstości mocy promieniowania. Między wielkościami εv,T i ελ,T zachodzi związek ε λ ,T =

c

λ2

(4.66)

ε v ,T

Zależność opisana wzorem (4.65) przedstawiona jest graficznie na rys. 4.25a. Jak widać, ze wzrostem temperatury ciała maksimum zdolności emisyjnej przesuwa się w stronę fal krótszych i przy odpowiednio wysokiej temperaturze może leżą w zakresie promieniowania widzialnego (λ = 0,4 .. 0,7 µm). Na ogół jednak w tempera turach technicznie dostępnych rozgrzane ciała znacznie więcej energii wypromieniowują w postaci promieniowania cieplnego (podczerwonego) niż

promieniowania

w

zakresie

widzialnym.

Na

przykład

żarówka

przy

temperaturze włókna około 3000 K tylko 3% dostarczonej energii za mienia na energię świetlną. Pozostała część oddawana jest do otoczenia w postaci ciepła. Żarówki, mimo małej sprawności, chętnie wykorzystywane są jako źródło światła, gdyż skład widmowy ich promieniowania jest zbliżony do widma słonecznego. Znając

zdolność

częstotliwościach

Marek

Pilawski

emisji —

wzór

promieniowania (4.64)

—

dla

można

wszystkich obliczyć

fal

drogą

o

danych

sumowania

Strona 134

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki (całkowania) całkowitą zdolność emisji promieniowania ciała doskonale czarnego w danej temperaturze ∞

ε = ∫ ε v,T dv

(4.67)

0

po obliczeniu

ε = σT 4

(4.68)

Wzór (4.68) wyraża prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna, a σ = 5,7⋅10-8 W⋅m-2⋅K-4 jest stałą Stefana-Boltzmanna. W elektrotechnice ogrzewa się ciała do żądanej temperatury najczęściej przepuszczając

przez

nie

prąd

elektryczny

(topienie

metali,

żarówka).

Temperatura, jaka się przy tym ustala, jest wynikiem równowagi dynamicznej między

energią

dostarczaną,

a

oddawaną

do

otoczenia.

W

przypadku

przewodników z prądem równowagę tą opisuje prawo ostygania

RI 2 = kS (T − T0 )

(4.69)

R — rezystancja, I — prąd płynący przez przewodnik, S — powierzchnia przewodnika (chłodzenia), T — T0 — przyrost temperatury przewodnika ponad temperaturę otoczenia, k — współczynnik zależny od rodzaju ośrodka i jego stanu określający przewodność cieplną. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Marek

Pilawski

Strona 135

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 4.25 Zdolność emisji promieniowania ciała doskonale czarnego w różnych temperaturach (a) oraz gęstość strumienia energii świetlnej emitowanego przez słońce w zależności od długości fali (b) (odpowiadająca promieniowaniu ciała doskonale czarnego w temperaturze 6000 K)

Ponieważ temperatura grzejników elektrycznych (do których można zaliczyć również żarówki) jest proporcjonalna do kwadratu prądu, to ich całkowita zdolność emisji jest proporcjonalna do ósmej potęgi przepływającego przez nie prądu. Elektrotermiczne źródła promieniowania znaczną część energii przekazują otoczeniu również przez konwekcję (unoszenie), np. niektóre typy ogrzewaczy wnętrzowych (piece akumulacyjne). . . . .

Marek

Pilawski

Strona 136

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 4.6 Jarzeniowe i fluorescencyjne źródła promieniowania Żarówki należą do mało wydajnych źródeł elektrycznych światła, a poza tym są one

mało

trwałe.

Znacznie

wydajniejsze

i

trwalsze

źródła

elektryczne

promieniowania widzialnego wykorzystują zjawisko luminescencji. Luminescencja jest to zjawisko emisji promieniowania elektromagnetycznego o natężeniu

większym

od

natężenia

promieniowania

cieplnego

w

danej

temperaturze, związane z przejściami atomów ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. W zależności od sposobów wzbudzania promieniowania rozróżnia się chemo-, foto-, elektro-, radio- termo-, lub tryboluminescencję. W naszym przypadku interesujące dla nas będzie zjawisko elektroluminescencji. Elektroluminescencja obserwowana jest najczęściej w gazach i ciałach stałych. Zjawiska elektroluminescencji w gazach wykorzystywane jest w lampach jarzeniowych. Związane jest ono z wyładowaniami elektrycznymi w tych ośrodkach.

Dlatego

też

często

lampy

jarzeniowe

nazywa

się

lampami

wyładowczymi. Lampy

jarzeniowe wykonane są najczęściej w postaci długiej rury, z

zatopionymi na końcu elektrodami, wypełnionej gazem szlachetnym lub parami metali (np. rtęci). W normalnych warunkach gaz jest bardzo dobrym izolatorem i nie przewodzi prądu elektrycznego. Związane jest to z małą koncentracją nośników ładunków elektrycznych (jonów i elektronów). Z chwilą wystąpienia pola elektrycznego między elektrodami na nośniki ładunków elektrycznych* zaczyna działać siła zmuszająca je do ukierunkowanego ruchu. Jony i elektrony w gazie poddanym działaniu pola elektrycznego uczestniczą zatem w dwóch ruchach: w chaotycznym ruchu cieplnym i w ukierunkowanym ruchu pod wpływem pola elektrycznego. Jeśli ciśnienie gazu jest odpowiednio małe, to droga swobodna jonów, między kolejnymi zderzeniami, jest długa. Na tej drodze nośniki ładunków mogą uzyskiwać tak duże energie, że zdolne są, w czasie zderzeń z innymi atomami, do jonizacji i wzbudzania tych atomów. W danej objętości gazu, umieszczonego w rurze wyładowczej, zachodzą zatem następujące procesy :

Marek

Pilawski

Strona 137

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki — jonizacja cząsteczek gazu, — wzbudzanie cząsteczek gazu, —

wypromieniowanie

kwantów

promieniowania

elektromagnetycznego

związanych z przechodzeniem cząsteczek do stanu podstawowego, —

wypromieniowanie

kwantów

promieniowania

elektromagnetycznego

związanych z rekombinacją** jonów. Dwa ostatnie zjawiska związane są z emisją promieniowania w zakresie widzialnym, a ich intensywność zależy od: ciśnienia gazu, od którego z kolei zależy długość średniej drogi swobodnej cząsteczek i od napięcia elektrycznego na elektrodach lampy. W lampach jarzeniowych stosuje się niewielkie ciśnienia gazów, od 1 Pa do kilku kilopaskali. Barwa świecenia zależy od rodzaju gazu. Neon pobudzony do świecenia emituje światło czerwone, hel — białe, ksenon — fioletowe, argon z domieszką par rtęci — niebieskie. Inne barwy światła uzyskuje się przez stosowanie mieszanin gazów oraz rur ze szkła barwionego. Napięcia, jakie potrzebne są do zapłonu lampy, są rzędu setek woltów. Aby takie napięcie uzyskać, wykorzystuje się zjawisko indukowania siły elektromotorycznej na zaciskach cewki (dławika) połączonej w tym celu szeregowo z lampą. Po zapłonie proces wyładowań jarzeniowych w gazie utrzymuje się przy napięciu niższym

od

napięcia

zapłonu

i

niższym

od

napięcia

sieciowego

—

do

podtrzymania procesu jarzenia wystarczy napięcie około 100 V. W czasie normalnej pracy na dławiku odkłada się więc część napięcia sieciowego. Dławik zabezpiecza również lampę przed zniszczeniem w chwili jej włączenia. Jak widać z rys. 4.26, rezystancja lampy zmniejsza się ze zwiększaniem prądu. Bezpośrednie włączenie jej do sieci grozi zatem przepaleniem. Światło emitowane przez lampy wyładowcze znacznie różni się od światła białego. Z tego względu nie znalazły one zastosowania do oświetlania wnętrz. Stosuje się je głównie w celach reklamowych. Pewną odmianą lamp jarzeniowych są lampy fluorescencyjne, tzw. świetlówki, w których rura wyładowcza pokryta jest od wewnątrz równomierną warstwą luminoforu. Luminofor jest to substancja, która ma zdolność świecenia pod wpływem promieniowania elektromagnetycznego. Zjawisko świecenia ciał pod

Marek

Pilawski

Strona 138

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wpływem napromieniowania elektromagnetycznego nosi nazwę fluorescencji (stąd nazwa lampy). Długość fali promieniowania fluorescencyjnego jest zawsze większa od długości fali napromieniowującej luminofor. Zmieniając skład chemiczny luminoforu można wpływać na zabarwienie wysyłanego przez lampę światła. * W normalnych warunkach w danej objętości gazu zawsze znajduje się pewna liczba jonów i elektronów swobodnych. Jonizacja może powstać na skutek zderzeń cząsteczek w ich chaotycznym ruchu, fotojonizacji i innych zewnętrznych czynników. ** Rekombinacja jonów jest procesem przeciwnym do procesu jonizacji atomów lub cząsteczek. W czasie rekombinacji jony łączą się w cząsteczki lub atomy.

Rys. 4.26 Charakterystyka prądowo-napięciowa lampy jarzeniowej

Lampa fluorescencyjna jest wypełniona argonem oraz parami rtęci. Gazy te, pobudzone do świecenia, emitują promieniowanie ultrafioletowe, niewidzialne dla oka,

które

padając

na

luminofor

wywołuje

emisję

promieniowania

elektromagnetycznego w zakresie widzialnym. Lampy fluorescencyjne, podobnie jak jarzeniowe, zapalają się i gasną 100 razy w ciągu jednej sekundy, podczas gdy żarówka, na skutek znacznej bezwładności cieplnej, wykazuje ledwo zauważalne tętnienia świecenia. Tętnienia światła żarówek i migotanie światła świetlówek (lamp fluorescencyjnych) nie są dostrzegalne okiem ludzkim, gdyż oko nie jest zdolne do rejestrowania tak szybkich zmian. Migocące światło lamp fluorescencyjnych może jednak wywołać zjawisko stroboskopowe,

co

może

być

niebezpieczne

przy

pracy

z

urządzeniami

zawierającymi części ruchome, szczególnie wirujące. Zjawisko stroboskopowe jest to zespół wrażeń wzrokowych wywołanych oglądaniem przedmiotów znajdujących się w ruchu okresowym i oświetlonych światłem

Marek

błyskowym.

Pilawski

Jeśli

częstotliwość

błysków

świetlnych

jest

równa

Strona 139

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki częstotliwości ruchu okresowego przedmiotu, to powstaje wrażenie, że przedmiot jest nieruchomy. Wrażenie to jest wynikiem tego, że przedmiot oglądamy tylko okresowo, jednak zawsze w tym samym jego położeniu. Jeśli np. szlifierz obrabia przedmiot wirujący z częstotliwością 100 Hz, a jego miejsce pracy jest oświetlone świetlówką, to przedmiot obrabiany wydaje się być nieruchomy. Przy małej różnicy częstotliwości wydaje się, że przedmiot wykonuje powolny ruch. W zależności od znaku tej różnicy przedmiot może nawet sprawiać wrażenie, iż porusza się w kierunku przeciwnym do rzeczywistego. Lampy fluorescencyjne są trzykrotnie wydajniejsze od żarówek. Obecnie, oprócz żarówek, jarzeniówek i świetlówek do celów oświetleniowych wykorzystuje się lampy rtęciowe wypełnione parami rtęci oraz lampy sodowe wypełnione parami sodu. Myśli się już o wykorzystaniu do tych celów również plazmy.

4.7 Elektroniczne źródła promieniowania Elektroniczne

źródła

promieniowania

elektromagnetycznego

wykorzystują

najczęściej zjawisko elektroluminescencji. Luminescencja

jest

to

zjawisko

polegające

na

emitowaniu

przez

ciało

promieniowania w zakresie widzialnym, po uprzednim zaabsorbowaniu energii. Elementy elektroluminescencyjne absorbują energię przepływającego przez nie prądu. Elektroniczne

elementy

elektroluminescencyjne,

tzw.

diody

elektroluminescencyjne, wykonuje się najczęściej z półprzewodników: ZnS, SiC, InAs, GaP i InSb. Obszarem świecącym jest obszar złącza p-n diody (patrz p. 5.1 i 6.7). Diody elektroluminescencyjne (rys. 4.27) emitują światło niespolaryzowane lub częściowo spolaryzowane. Są one wykorzystywane jako elementy sygnalizacyjne lub wskaźniki. Stosowane są także jako źródło promieniowania w układach optycznych.

Strumień

emitowanego

promieniowania

jest

najczęściej

proporcjonalny do przepływającego przez diodę prądu (rys. 4.28). Obszar widma światła zależy przy tym od rodzaju półprzewodnika i obejmuje prawie cały zakres promieniowania widzialnego.

Marek

Pilawski

Strona 140

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 4.27 Budowa diody luminescencyjnej

Rys. 4.28 Przykładowa charakterystyka diody elektroluminescencyjnej

Diody

elektroluminescencyjne

noszą

nazwę

elementów

LED*.

Najbardziej

wydajnymi elementami typu LED są diody podczerwieni wykorzystywane w układach automatyki i kontroli. Częstotliwościowy zakres ich pracy wynosi kilkaset kiloherców. Diody elektroluminescencyjne są podstawą budowy wskaźników cyfrowych. Takie wskaźniki cyfrowe są stosowane między innymi w cyfrowych przyrządach pomiarowych,

kalkulatorach

i

zegarkach

elektronicznych.

W

zegarkach

elektronicznych stosuje się także wskaźniki cyfrowe wykorzystujące tzw. ciekłe kryształy (patrz p. 5.1). Wskaźniki te, w przeciwieństwie do wskaźników wykonanych z wykorzystaniem diod elektroluminescencyjnych, praktycznie nie pobierają prądu ze źródła i nie świecą, w związku z czym nie są one widoczne w ciemności.

4.8

Obwody

elektryczne

jako

źródła

promieniowania elektromagnetycznego Każdy obwód elektryczny wiodący prąd zmienny jest źródłem promieniowania elektromagnetycznego. Takim źródłem może być nawet odcinek przewodu. Jak wiadomo, przewód z prądem zmiennym wytwarza w otaczającej przestrzeni

Marek

Pilawski

Strona 141

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki zmienne pole magnetyczne, które wytwarza zmienne pole elektryczne itd. Te zmienne pola rozchodzą się w próżni z prędkością 300 000 km⋅s-1, tworząc promieniowanie

elektromagnetyczne.

Warunkiem

wytworzenia

więc

promieniowania jest wytworzenie w obwodzie drgań elektrycznych. Drgania elektryczne najłatwiej jest wytworzyć w elektrycznych obwodach rezonansowych

LC

charakteryzują

się

rezonansową),

przy

(rys.

4.29).

Obwody

częstotliwością której

moc

rezonansowe

drgań

drgań

jest

własnych największa.

(patrz

p.

6.5)

(częstotliwością Dla

obwodów

przedstawionych na rys. 4.29 słuszne są wzory : * LED — Light Emitting Diodę.

Rys. 4.29 Obwód RLC, w którym źródłem promieniowania elektromagnetycznego jest : a) kondensator: b) cewka indukcyjna

ω=

1 LC

f =

1 2π LC

(4.70)

L — indukcyjność, C — pojemność. W obwodach o tzw. elementach skupionych (małych w porównaniu z długością fali) promieniowanie powstaje głównie w obszarze kondensatora (rys. 4.29a) i cewki indukcyjnej (rys. 4.29b). Rozpatrzmy obwód RLC, w którym kondensator jest naładowany. W pewnej chwili zamykamy obwód łącznikiem. Kondensator ulega rozładowaniu. Natężenie pola elektrycznego E między okładzinami zmniejsza się, a przepływający prąd magazynuje energię w postaci pola magnetycznego cewki. Z chwilą rozładowania kondensatora prąd w obwodzie „chciałby" przestać płynąć, ale zniknęłaby energia. „Stara się” więc maleć, ale to wywołuje siłę elektromotoryczną między zaciskami cewki, która znowu wymusza przepływ prądu, tylko że w przeciwnym kierunku. Przepływ prądu związany jest z ruchem ładunków elektrycznych, które

Marek

Pilawski

Strona 142

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ładują kondensator ponownie. Pole elektryczne między okładzinami kondensatora jest wówczas skierowane przeciwnie, a pole magnetyczne wewnątrz cewki zanika. Od tej chwili rozpoczyna się ponowne rozładowanie kondensatora i cały proces powtarza się. Jak widać, proces rozładowania kondensatora w obwodzie LC ma charakter oscylacyjny. Oscylacje powstają również wtedy, kiedy obwód jest wzbudzony impulsem (zamknięcie łącznika). Są one związane z ciągłą zmianą postaci energii zmagazynowanej w obwodzie. Oscylacje w obwodach RLC mają postać drgań sinusoidalnych (rys. 4.30). W obwodach rzeczywistych (R ≠ 0) obserwuje się drgania zanikające, zwane gasnącymi.

Drgania

w

obwodzie

idealnym

(R

=

0)

są

drganiami

nie

zanikającymi, gdyż nie ma strat energii na ciepło Joule'a-Lenza RI2. (W rzeczywistości będą jednak straty energii związane z wypromieniowaniem fal elektromagnetycznych —

patrz p. 6.5

oraz 8.7).

Obwody przeznaczone

specjalnie do emisji promieniowania mają inny kształt niż obwody przedstawione na rys. 4.29. Noszą one wtedy nazwę nadajników (rys. 4.31). W nadajniku okładziny kondensatora są rozchylone i ustawione tak, by zmienne pole elektryczne nie było między nimi zamknięte, a było wypromieniowane na zewnątrz. (W układach rzeczywistych nadajników radiowych jedną z okładzin stanowi Ziemia). W celu wytworzenia drgań nie zanikających obwód jest pobudzany okresowo przez inny obwód, o takiej samej częstości drgań

1 = L0C0

1 LC

(4.71)

Rys. 4.30 Ilustracja graficzna drgań: a) niegasnących (nietłumionych); b) gasnących (tłumionych)

Marek

Pilawski

Strona 143

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 4.31 Obwód RLC jako nadajnik fal elektromagnetycznych

Energia z obwodu wzbudzającego jest pobierana za pośrednictwem pola magnetycznego wytwarzanego przez cewkę o indukcyjności L0. Pole to, przenikając przez cewkę o indukcyjności L, warunkuje sprzężenie obu obwodów. Obwody, w których powstają drgania elektryczne, noszą nazwę generatorów. Zasadę

działania

generatorów

omówimy

na

przykładzie

generatorów

elektronicznych. Generator

elektroniczny jest to urządzenie służące do wytwarzania i

dostarczania do zewnętrznego obwodu elektrycznego sygnału zmiennego o określonym kształcie, amplitudzie i częstotliwości. W generatorach zachodzi na ogól przetworzenie energii elektrycznej prądu stałego w energię elektryczną prądu zmiennego. Drgania elektryczne wytworzone w generatorze mają częstotliwość rezonansową określoną parametrami układu rezonansowego i są drganiami tłumionymi. Zanikanie drgań spowodowane jest stratami energii elektrycznej na nagrzewanie i promieniowanie elektromagnetyczne. Jeśli do generatora będzie się jednak doprowadzać

energię

elektryczną

w

sposób

ciągły,

uzupełniający

straty

występujące w procesie generacji, to na wyjściu generatorów otrzyma się drgania

niegasnące. Ze względu na sposób uzupełniania strat energii

elektrycznej generatory dzielą się na: — generatory pracujące w układzie wzmacniaczy rezonansowych z dodatnim sprzężeniem zwrotnym (generatory przebiegów sinusoidalnych), — generatory wykorzystujące elementy nieliniowe o ujemnym nachyleniu

Marek

Pilawski

Strona 144

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki charakterystyki prądowo-napięciowej w ograniczonym zakresie napięć i prądów (generatory przebiegów niesinusoidalnych) (patrz rys. 4.34 i 4.36) W pierwszej grupie generatorów straty energii występujące podczas generacji uzupełniane są ze źródła napięcia stałego za pośrednictwem lampy lub tranzystora. Schemat blokowy generatora ze sprzężeniem zwrotnym przedstawiono na rys. 4.32. Część energii z wyjścia wzmacniacza o wzmocnieniu K, zostaje doprowadzona za pośrednictwem pętli sprzężenia zwrotnego (blok β) do węzła sumacyjnego S. W węźle tym sumuje się sygnał wejściowy i sygnał wyjściowy bloku β. (W prostym przypadku jest to część sygnału wyjściowego generatora, np. 0,1). Wzrost sygnału wyjściowego generatora powoduje wzrost sygnału wyjściowego otrzymywanego z pętli sprzężenia, co spowoduje dalszy wzrost sygnału wyjściowego

generatora

itd.

(tzw.

dodatnie

sprzężenie

zwrotne).

Proces

narastania sygnału trwa do chwili, gdy ustali się równowaga między energią traconą w układzie i dostarczaną.

Rys. 4.32 Zasada sprzężenia zwrotnego

Rys. 4.33 Schemat generatora ze sprzężeniem zwrotnym: a) napięciowym; b) prądowym

Marek

Pilawski

Strona 145

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Sprzężenie zwrotne można podzielić ze względu na sposób pobierania sygnału do toru sprzężenia na napięciowe (rys. 4.33a) lub prądowe (rys. 4.33b). Przy sprzężeniu napięciowym sygnał wprowadzony do pętli sprzężenia zwrotnego jest proporcjonalny

do

proporcjonalny

do

napięcia

wyjściowego.

W

drugim

przypadku

prądu

wyjściowego.

Uwzględniając

jeszcze

jest

on

sposób

wprowadzania sygnału do węzła sumacyjnego sprzężenia zwrotne można podzielić

na:

napięciowe-równoległe,

napięciowe-szeregowe,

prądowe-

równoległe i prądowe-szeregowe. Właściwości złożonych układów elektrycznych można określić znając właściwości bloków,

z

których

się

one

składają.

Funkcją

określającą

najważniejsze

właściwości układu elektrycznego, z punktu widzenia jego pracy, jest funkcja przejścia, powszechnie zwana transmitancją. Funkcja przejścia układu, przy ustalonych amplitudach i częstościach sygnałów, jest

funkcją

wejściowego.

określającą W

stosunek

przypadku

amplitudy

przedstawionym

na

sygnału rys.

wyjściowego 4.32

określa

do ona

wzmocnienie wzmacniacza napięcia

K=

U wy U we

(4.72)

Funkcja przejścia K jest określona dla układu wzmacniacza bez pętli sprzężenia zwrotnego. Podobnie wyrażenie

β=

Uβ U wy

(4.73)

określa funkcję przejścia (wzmocnienia) bloku umieszczonego w pętli sprzężenia zwrotnego. Funkcja przejścia całego układu ze sprzężeniem zwrotnym

G=

U wy U we − U β

(4.74)

po uwzględnieniu zależności (4.72) i (4.73)

G=

K 1 − βK

(4.75)

Dla podtrzymania drgań w generatorach ze sprzężeniem muszą być spełnione dwa warunki: warunek fazy i warunek amplitudy. Dodatnie sprzężenie zwrotne wymaga, by sygnał docierający do węzła sumacyjnego układu z pętli

Marek

Pilawski

Strona 146

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki sprzężenia zwrotnego był w fazie z sygnałem wejściowym. Jeżeli wzmacniacz odwraca fazę o 180°, blok β musi ją odwrócić o dalsze 180°. Dzięki temu sumowane są amplitudy sygnałów zgodnych w fazie i realizowane dodatnie sprzężenie zwrotne. Oprócz warunku fazy generator musi spełniać warunek amplitudy. Jak już wspomniano, dla podtrzymania drgań wymagane jest doprowadzenie do węzła S układu, za pośrednictwem bloku β, określonej energii pokrywającej straty w obwodzie wyjściowym. Aby otrzymać drgania niegasnące sinusoidalne, iloczyn wzmocnienia wzmacniacza i członu w pętli sprzężenia zwrotnego musi być równy jedności

Kβ = 1

(4.76)

Wzór (4.76) nosi nazwę warunku amplitudy. Ponieważ K jest zwykle większe od jedności, β musi być mniejsze od jedności. Blok β jest więc dzielnikiem napięcia. Generatory LC ze sprzężeniem zwrotnym, ze względu na konstrukcję, dzieli się na: generatory z dzielnikiem transformatorowym (generatory w układzie Meissnera), generatory z dzielnikiem pojemnościowym (generatory w układzie Colpittsa i Clappa), generatory z dzielnikiem indukcyjnym (generatory w układzie Hartleya). W drugiej grupie generatorów wykorzystuje się zjawisko dostarczania do obwodu elektrycznego nachylonym pracujący

energii odcinku

na

przez swej

odcinku

element

nieliniowy

charakterystyki

charakterystyki

pracujący

na

ujemnie

prądowo-napięciowej.

Element

prądowo-napięciowej

o

nachyleniu

ujemnym charakteryzuje się ujemną rezystancją dynamiczną — patrz wzór (4.77) oraz p. 6.2.7. Jeśli element ten połączymy z obwodem o dodatniej rezystancji i tak dobierzemy warunki pracy, by rezystancja ta była równa rezystancji dynamicznej, to powstanie obwód elektryczny, w którym nie ma rozproszeń energii. W takim bezstratnym obwodzie elektrycznym pobudzonym do drgań występują drgania niegasnące. Generatory

pracujące

z

elementem

nieliniowym

o

ujemnym

nachyleniu

charakterystyki prądowo-napięciowej noszą nazwę generatorów relaksacyjnych. Generatory relaksacyjne wytwarzają drgania niesinusoidalne. Jako elementy nieliniowe wykazujące w pewnym zakresie napięć ujemną rezystancję dynamiczną wykorzystuje się lampy: tyratrony i neonówki, oraz

Marek

Pilawski

Strona 147

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki elementy półprzewodnikowe: tyrystory i diody tunelowe (p. 6.7). Charakterystykę prądowo-napięciową diody tunelowej przedstawiono na rys. 4.34. Ze wzrostem napięcia w zakresie od 0 do Umin prąd płynący przez diodę zwiększa się od 0 do Imax. Dalszy wzrost napięcia w zakresie od Umin do Umax powoduje zmniejszanie się prądu. Wartość prądu od Imax maleje do wartości Imin. W tym zakresie napięć i prądów nachylenie charakterystyki diody tunelowej jest ujemne. Ujemnemu nachyleniu charakterystyki prądowo-napięciowej odpowiada ujemna rezystancja dynamiczna elementu

rd ≈

∆u ∆i

(4.77)

Rys. 4.34 Charakterystyka prądowo-napięciowa diody tunelowej .

Rys. 4.35 Schemat układu generatora z diodą tunelową

Przykładowy

układ

generatora

drgań

prostokątnych

z

diodą

tunelową

przedstawiono na rys. 4.35. Generator zasilany jest napięciem stałym U, napięcie przemienne występuje na okładzinach kondensatora C. W układzie tym wystąpią drgania elektryczne, jeśli zostanie spełniony warunek

rd ≥ R przy czym

rd =

U max − U min ∆u ≈ I min − I max ∆i

(4.78)

jest średnią rezystancją dynamiczną diody w rozpatrywanym zakresie zmian napięcia i prądu.

Marek

Pilawski

Strona 148

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Do budowy generatorów drgań niesinusoidalnych można wykorzystać także lampę neonową. Lampa neonowa jest lampą dwuelektrodową wypełnioną rozrzedzonym gazem — neonem. Elektrody są pokryte metalicznym barem łatwo emitującym elektrony. Lampa neonowa przy małym napięciu stanowi rezystor o bardzo dużej wartości rezystancji. Dopiero po przekroczeniu napięcia Uz zwanego napięciem zapłonu, przez lampę zaczyna płynąć prąd (rys. 4.36). Przepływ prądu związany jest z jonizacją lawinową gazu (patrz p. 5.2). Lampa po zapłonie utrzymuje prawie stałą

wartość

napięcia

Ug

na

swoich

elektrodach

(z

tego

względu

wykorzystywana jest również w układach stabilizatorów napięcia). Napięcie Ug utrzymuje się na lampie dopóty, dopóki przepływający prąd nie zmniejszy się poniżej

wartości

zwanej

progową.

Do

pracy

w

układach

generatorów

elektrycznych drgań relaksacyjnych (rys. 4.37) wykorzystuje się opadający odcinek charakterystyki prądowo-napięciowej, czyli zakres, w którym rezystancja dynamiczna lampy jest ujemna.

Rys. 4.36 Charakterystyka prądowo-napięciowa neonówki

Kondensator C pod wpływem stałego napięcia U ładuje się przez rezystor R. Na jego okładzinach i jednocześnie na elektrodach lampy neonowej narasta napięcie zgodnie ze wzorem t −   u = U 1 − e RC   

(4.79)

Po czasie t = T1 (rys. 4.38) napięcie osiąga wartość napięcia zapłonu, czyli u = Uz T − 1  RC  U z = U 1 − e 

   

(4.80)

Z chwilą zapłonu lampy jej rezystancja gwałtownie zmniejsza się i kondensator rozładowuje się przez lampę. Rezystancja R jest na tyle duża, że napięcie, które

Marek

Pilawski

Strona 149

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wystąpiłoby na zaciskach lampy po rozładowaniu kondensatora, byłoby mniejsze od wartości Ug. Po czasie T2 napięcie na elektrodach lampy obniża się do wartości Ug, przy której lampa gaśnie. Od tej chwili rozpoczyna się od nowa proces ładowania kondensatora. Okres drgań napięcia na kondensatorze jest sumą czasów T1 i T2 i wyraża się wzorem przybliżonym

T ≈ RC ln

U −U g U −U z

(4.81)

Rys. 4.37 Schemat układu generatora drgań relaksacyjnych

Rys. 4.38 Drgania relaksacyjne

5. Budowa i właściwości ciał 5 .1 Wiadomości ogólne W elektrotechnice wykorzystuje się właściwości wszystkich znanych rodzajów materiałów. Ich wielka różnorodność umożliwia budowę wielu różnych urządzeń elektrycznych. Wszystkie ciała, jak wiadomo, zbudowane są z atomów, a te — z cząstek elementarnych obdarzonych ładunkiem elektrycznym oraz obojętnych elektrycznie neutronów. Obecność tych naładowanych najmniejszych elementów materii decyduje o właściwościach elektrycznych i magnetycznych materii. Właściwości elektryczne i magnetyczne ciał są wyznaczone również wzajemnym układem atomów, ich budową i wzajemnym oddziaływaniem.

Marek

Pilawski

Strona 150

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Wszystkie ciała, ze względu na stan skupienia, dzielą się na ciała stałe, ciekłe i gazowe. Substancje gazowe zbudowane są z cząsteczek, które znajdują się w ciągłym, chaotycznym ruchu cieplnym, na skutek czego są pokonywane siły przyciągania między cząsteczkami i gaz wypełnia całą objętość naczynia, w którym się znajduje. W normalnych warunkach gaz jest dielektrykiem (izolatorem), tzn. nie przewodzi prądu elektrycznego (np. powietrze). W pewnych jednak warunkach gaz może być przewodnikiem — gdy jest zjonizowany. Jonizacja gazu może nastąpić pod wpływem ciepła i promieniowania oraz na skutek zderzeń atomów. Przepływ prądu elektrycznego przez ośrodek gazowy wykorzystuje się np. w lampach jarzeniowych (neonówkach), lampach z parami rtęci i sodu (wyładowania w gazach rozrzedzonych), w licznikach Geigera-Mullera (lawinowa jonizacja gazu). Z przepływem prądu przez ośrodek gazowy mamy do czynienia również w czasie elektrycznych wyładowań atmosferycznych (piorun). Prąd elektryczny w gazach związany jest najczęściej z jednoczesnym ruchem jonów dodatnich i ujemnych (p. 5.2). Nieuporządkowanym ułożeniem cząstek charakteryzują się również ciecze. Odległości między cząsteczkami cieczy są jednak dużo mniejsze niż w gazie i cząsteczki nie mają możliwości swobodnego poruszania się. Mogą się one jedynie zamieniać miejscami między sobą. Ciecze mogą być zarówno dielektrykami, jak i przewodnikami. Ciecze nieprzewodzące nazywa się cieczami dielektrycznymi, a ciecze przewodzące — elektrolitami. Elektrolity zawierają jony, które powstają

w

czasie

dysocjacji

elektrolitycznej.

Do

najbardziej

znanych

elektrolitów należą roztwory soli, kwasów i zasad w wodzie. Przepływ prądu elektrycznego przez ośrodek ciekły wykorzystuje się np. w ogniwach elektrolitycznych (akumulatorach) (p. 8.2) i wannach elektrolitycznych (galwanostegia)

(p.

5.3).

Prąd

elektryczny

w

cieczach

związany

jest

z

jednoczesnym ruchem jonów dodatnich i ujemnych. Towarzyszy mu więc ruch masy. Największe zastosowanie praktyczne w elektrotechnice i elektronice znalazły

Marek

Pilawski

Strona 151

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki jednak ciała stale. Ciało stałe charakteryzuje się regularnym okresowym ułożeniem atomów (lub jonów). Okresowość ułożenia atomów występuje we wszystkich trzech kierunkach. Atomy w ciele stałym tworzą sieć krystaliczną, gdyż ze względu na duże wzajemne siły przyciągania wynikające z wiązań jonowych lub atomowych nie mają one możliwości ruchu względem siebie. Dopuszczalny jest jedynie cieplny ruch drgający atomów wokół położeń równowagi. Cieplny ruch drgający atomów oraz siły wzajemnego oddziaływania między nimi osłabiają wiązania między elektronami zewnętrznych powłok (elektronami walencyjnymi), a resztą atomu. W pewnych przypadkach, np. w metalach, prowadzi to do oderwania tych elektronów z ich powłok. Wytwarzają się w ten sposób elektrony swobodne, które są wspólne dla wszystkich atomów. Elektrony

swobodne,

tworzące

tzw.

gaz

elektronowy,

mają

możliwość

poruszania się wewnątrz kryształu pod wpływem działającego na nie pola elektrycznego. Liczba oraz ruchliwość elektronów swobodnych wewnątrz materiału decyduje o jego przewodnictwie. Na przewodnictwo materiałów ma wpływ temperatura. Ze wzrostem temperatury zwiększa się energia drgań jonów umieszczonych w węzłach sieci krystalicznej, a to z jednej strony utrudnia ruch elektronów swobodnych (przewodnictwo materiału maleje, a jego rezystancja zwiększa się), a z drugiej strony ułatwia odrywanie się elektronów walencyjnych, co prowadzi do

zwiększenia

przewodnictwa

materiału.

Zwiększenie

przewodnictwa

ze

wzrostem temperatury jest charakterystyczne dla półprzewodników, natomiast zmniejszanie się przewodnictwa — dla metali. Właściwości elektryczne ciał stałych tłumaczy się za pomocą teorii pasmowej. Teoria pasmowa jest rozszerzeniem teorii budowy atomu podanej przez Nielsa Bohra. Atomy mogą znajdować się tylko w określonych stanach energetycznych. Dozwolone stany (poziomy) energetyczne oddzielone są strefami (pasmami) zabronionymi (przerwa energetyczna). Atom (elektron) może zmieniać swoją energię tylko w sposób skokowy. Wiąże się to z pobraniem lub oddaniem przez atom energii określonej przerwą energetyczną (pasmo zabronione) rozdzielającą poziomy dozwolone (rys. 5.1a). Sieć krystaliczna składa się z okresowo przestrzennie rozłożonych identycznych

Marek

Pilawski

Strona 152

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki atomów, zakłada się zatem, że elektrony walencyjne poszczególnych atomów są nierozróżnialne, a cały kryształ traktuje się jako jedną dużą cząsteczkę. Atomy należące do tej „cząsteczki” mogą również znajdować się tylko w ściśle określonych stanach energetycznych, które w tym przypadku obejmują pewne przedziały energii zwane pasmami energetycznymi lub krótko — pasmami (rys. 5.1b). Właściwości elektryczne ciał stałych można wyjaśnić przyjmując istnienie dwóch pasm : — dolnego — pasma podstawowego, — górnego — pasma przewodnictwa. Między tymi pasmami występuje pasmo zabronione (przerwa energetyczna). Przeniesienie elektronu z pasma podstawowego do pasma przewodnictwa (zjawisko

odpowiadające

przewodnictwa

materiału.

wzbudzeniu Liczba

i

atomu) ruchliwość

powoduje

zwiększenie

elektronów

w

paśmie

przewodnictwa decyduje o jego przewodności.

Rys. 5.1 Model energetyczny: a) atomu; b) ciała stałego Ep — energia atomu w stanie podstawowym Ew — energia atomu w stanie wzbudzonym ∆E = Ew—Ep — pasmo zabronione (przerwa energetyczna)

Pasmo podstawowe i pasmo przewodnictwa obsadzone są tylko przez elektrony walencyjne. W zależności od wzajemnego położenia tych pasm i ich obsadzania przez elektrony ciało stałe może mieć właściwości dielektryka, przewodnika lub półprzewodnika.

Marek

Pilawski

Strona 153

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Jak widać, w przedstawionym modelu energetycznym atomu istotną rolę odgrywają elektrony walencyjne. Jak już wspomniano, elektrony walencyjne są to elektrony z ostatniej powłoki elektronowej atomu. Są one najsłabiej związane z jądrem, a odrywając się od niego, nie zmieniają atomów danego pierwiastka. Pozostałe elektrony zapełniają powłoki elektronowe całkowicie, przy czym za całkowicie zapełnioną uważa się taką, na której jest 2n2 elektronów, gdzie n jest kolejnym numerem powłoki (orbity). Elektrony te są silnie związane z jądrem, a ich odłączenie jest równoznaczne ze zniszczeniem atomu.

5.1.1 Dielektryki Dielektryki są to materiały, które stawiają bardzo duży opór przepływowi prądu. Ich konduktywność (przewodność właściwa) jest bardzo mała, rzędu 10-15...10-12 S⋅m-1 (simens na metr). Pasmo podstawowe (rys. 5.2) dielektryka jest całkowicie obsadzone przez elektrony. Oznacza to, że wszystkie elektrony biorą udział w wytwarzaniu wiązań między atomami umieszczonymi w węzłach sieci krystalicznej i że brak jest elektronów swobodnych. Ponieważ brak jest elektronów swobodnych, pasmo przewodnictwa nie jest obsadzone i materiał ma bardzo dużą rezystancję. Pasmo podstawowe i pasmo przewodnictwa są podzielone pasmem zabronionym (przerwą energetyczną) o szerokości ok. 10 eV (∆E ≈ 10 eV; 1 eV = 1,6⋅10-19 J). Tak duże pasmo zabronione utrudnia elektronom walencyjnym przejście do pasma przewodnictwa pod wpływem promieniowania, temperatury i innych czynników

zewnętrznych.

Również

pod

wpływem

napięcia

elektrycznego

przejścia takie na ogół są niemożliwe. Jeśli jednak, przy odpowiednio wysokim napięciu, nastąpi przepływ prądu przez dielektryk, to związane jest to z tzw. przebiciem dielektryka, co jest równoznaczne z jego zniszczeniem. Materiały dielektryczne służą do wykonywania nieprzewodzących elementów konstrukcyjnych

i elementów nośnych układów przewodników — pełnią rolę

izolatorów. Stosuje się je także do wypełniania przestrzeni między okładzinami kondensatorów.

Marek

Pilawski

Strona 154

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.2 Układ pasm energetycznych dielektryka (obszar zakreskowany oznacza pasmo obsadzane przez elektrony)

5.1.2 Przewodniki Przewodniki są to materiały przewodzące prąd elektryczny. Do wywołania w nich przepływu prądu wystarczy doprowadzenie do końców przewodnika napięcia elektrycznego. Całkowicie zapełnione pasmo podstawowe zachodzi na pasmo przewodnictwa (rys. 5.3). W związku z tym w paśmie przewodnictwa znajduje się duża liczba elektronów, które mogą swobodnie poruszać się pod wpływem przyłożonego napięcia. Rezystywność przewodników jest mała, natomiast ich konduktywność jest duża, rzędu 106…109 S⋅m-1. W paśmie przewodnictwa znajduje się mniej więcej tyle elektronów, ile atomów znajduje się w sieci krystalicznej, tzn. ok. 1023 w centymetrze sześciennym.

Rys. 5.3 Układ pasm energetycznych przewodnika

Najlepszymi przewodnikami są metale. Metale można traktować jako ciała stałe o budowie krystalicznej zawierające elektrony swobodne. Elektrony swobodne znajdują się w paśmie przewodnictwa i tworzą w metalach tzw. gaz elektronowy. Gaz elektronowy kompensuje dodatni ładunek elektryczny sieci krystalicznej tak, że ładunek wypadkowy jest równy zeru. Doprowadzenie do końców metalicznego przewodnika napięcia elektrycznego powoduje ruch elektronów. Ruch ładunków elektrycznych jednego znaku, właśnie elektronów, tworzy w przewodnikach prąd elektryczny. Jony dodatnie, umieszczone w węzłach sieci krystalicznej, są silnie związane i nieruchome.

Marek

Pilawski

Strona 155

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Napięcie przyłożone do końców przewodnika wywołuje w nim pole elektryczne o natężeniu E zależnym od wartości tego napięcia. Pole elektryczne w przewodniku rozchodzi się z prędkością światła, a więc niema! jednocześnie na wszystkie elektrony działa siła

F = eE

(5.1)

e — ładunek elektronu. Pod wpływem napięcia wszystkie zatem elektrony, praktycznie równocześnie, zostają wprawione w ruch. Tym tłumaczy się np. fakt, że żarówka umieszczona na końcach bardzo długiego przewodu zaświeca się natychmiast po jej załączeniu. Natomiast prędkość ruchu poszczególnych elektronów w przewodniku nie jest duża i, dla praktycznie stosowanych napięć, wynosi kilka milimetrów na sekundę. Wszystkie

dobre

przewodniki

energii

elektrycznej

są

zarazem

dobrymi

przewodnikami energii cieplnej (ciepła). Pręt metalowy ogrzany silnie na jednym końcu bardzo szybko osiąga wysoką temperaturę na drugim końcu. Za duże przewodnictwo cieplne metali odpowiedzialne są również elektrony swobodne. One to na skutek zderzeń przekazują energię kinetyczną z jednego miejsca przewodnika do drugiego. Rezystancja przewodników metalicznych zależy od temperatury. Ze wzrostem temperatury rezystancja ta zwiększa się w sposób, w przybliżeniu, liniowy. Przyczyną

występowania

rezystancji

są

głównie

zderzenia

elektronów

z

drgającymi jonami w węzłach sieci krystalicznej. W wyższej temperaturze zderzenia

te

są

częstsze,

co

prowadzi

do

zwiększenia

rezystancji.

Ze

zmniejszeniem temperatury rezystancja przewodników metalicznych maleje. W niektórych przypadkach prowadzi to do nadprzewodnictwa (patrz p. 5.7).

5.1.3 Półprzewodniki Półprzewodniki są to ciała krystaliczne, które mają właściwości elektryczne pośrednie między dielektrykami a przewodnikami. Ich konduktywność jest rzędu 10-8 ... 10-4 S⋅m-1 Układ pasm energetycznych półprzewodnika przedstawiono na rys. 5.4.

Marek

Pilawski

Strona 156

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.4 Układ pasm energetycznych półprzewodnika

W temperaturze zera bezwzględnego (—273,15°C) pasmo podstawowe jest całkowicie zapełnione elektronami walencyjnymi (półprzewodnik jest w tej temperaturze doskonałym izolatorem). Pasmo przewodnictwa oddzielone jest od pasma podstawowego przerwą energetyczną o wartości, która wynosi dla różnych półprzewodników 0,1 ... 2 eV. W temperaturze pokojowej pojawiają się więc już elektrony, które nie są związane z siecią krystaliczną. Elektrony te wypełniają

pasmo

półprzewodnika.

przewodnictwa

Rezystancja

i

zmniejszają

półprzewodników

ze

tym

samym

wzrostem

rezystancję temperatury

zmniejsza się, a więc przeciwnie niż w metalach. Ze względu na małą wartość pasma zabronionego (przerwy energetycznej) między pasmami, łatwo jest przenieść część elektronów z pasma podstawowego do pasma przewodnictwa. Wzbudzenie atomów może nastąpić pod wpływem ciepła, promieniowania, pola elektrycznego, magnetycznego i innych czynników zewnętrznych. Półprzewodniki są więc czułe na działanie tych czynników (zjawiska fotoelektryczne, fotowoltaiczne). Przejściom elektronów do pasma przewodnictwa towarzyszy pojawianie się w paśmie podstawowym nie obsadzonych stanów energetycznych. Wolny stan energetyczny w paśmie podstawowym, powstały przy przeniesieniu elektronu do pasma przewodnictwa, jest tzw. dziurą. Dziura jest to więc miejsce w paśmie podstawowym, w którym brak elektronu i można ją traktować umownie jak ładunek dodatni. Pod wpływem przyłożonego napięcia w paśmie podstawowym powstaje ruch dziur, tworząc tzw, prąd dziurowy. Dziury nie mają możliwości swobodnego ruchu, tak jak elektrony w paśmie przewodnictwa. Przesuwają się one jednak w kierunku elektrody ujemnej, przy czym każde poprzednie położenie dziury zostaje zastąpione przez elektron pasma podstawowego. Ruchliwość dziur jest więc znacznie mniejsza niż elektronów, W ogólności zatem

Marek

Pilawski

Strona 157

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki prąd elektryczny w półprzewodnikach przenoszony jest przez elektrony w paśmie przewodnictwa i przez dziury w paśmie podstawowym. O przewodności półprzewodnika decyduje liczba elektronów swobodnych oraz dziur. Nośniki ładunku elektrycznego, które głównie decydują o prądzie w półprzewodniku, noszą nazwę nośników większościowych. Nośniki, które mają

mniejszy

wkład

w

przewodnictwo

półprzewodników,

nazywają

się

nośnikami mniejszościowymi. Nośnikami większościowymi, w zależności od technologii wykonania półprzewodników, mogą być elektrony lub dziury. Półprzewodniki dzielą się na samoistne i domieszkowane (niesamoistne). Półprzewodnikami samoistnymi są kryształy pierwiastków IV grupy układu okresowego pierwiastków: węgiel, krzem, german, niektóre związki chemiczne, takie jak: GaSb, GaAs, InSb, HgTe, CdTe oraz niektóre substancje organiczne. Największe

znaczenie

praktyczne

mają

jednak

półprzewodniki

domieszkowane, których właściwości zależne są od rodzaju i koncentracji domieszek. Wprowadzenie domieszki do danego materiału półprzewodnikowego powoduje zakłócenia atomowe jego sieci krystalicznej, polegające na zastąpieniu atomu półprzewodnika atomem domieszki. W przypadku gdy domieszkę stanowi pierwiastek

pięciowartościowy

(domieszka

donorowa),

piąty

elektron

nie

uczestniczący w wiązaniu atomu domieszki w sieci zostaje łatwo oddany na skutek

pobudzenia

czynnikiem

zewnętrznym

i

przechodzi

do

pasma

przewodnictwa. Gdy domieszkę stanowi pierwiastek trójwartościowy (domieszka akceptorowa), to do nasycenia wiązania atomu domieszki z siecią krystaliczną półprzewodnika brakuje jednego elektronu. Brak ten łatwo uzupełniają elektrony pasma podstawowego, pobudzane czynnikiem zewnętrznym, co powoduje pojawienie się w paśmie podstawowym dziur. Wprowadzenie atomów domieszki oznacza pojawienie się w paśmie zabronionym poziomów energetycznych, położonych albo blisko pasma przewodnictwa, albo podstawowego. Półprzewodnik domieszkowany akceptorowo zwany jest półprzewodnikiem typu p, nośnikami większościowymi są w nim dziury. W przypadku domieszek donorowych nośnikami większościowymi są elektrony, a półprzewodnik nazywa się półprzewodnikiem typu n*. Półprzewodniki domieszkowane mają większą

Marek

Pilawski

Strona 158

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki konduktywność (w temperaturze pokojowej) niż samoistne i one właśnie są w elektronice wykorzystywane do wytwarzania elementów elektronowych (diody, tranzystory, fotoelementy, lasery itp.). Podział ciał — ze względu na stan skupienia materii — na trzy grupy, obejmuje wszystkie ciała. Możliwe są jednak jeszcze takie stany strukturalne ciał stałych, cieczy i gazów, których nie omówiono dotychczas. Ten szczególny rodzaj występowania materii tworzą ciała szkliste, ciekłe kryształy oraz plazma. Ciała szkliste są to takie ciała, które cechami zewnętrznymi przypominają ciała stałe (szczególnie twardością), natomiast, podobnie jak ciecze, charakteryzują się chaotycznym ułożeniem cząsteczek nie tworzących struktur regularnych (krystalicznych). Z tego też względu ciała szkliste nazywa się często cieczami przechłodzonymi. Typowym przedstawicielem ciała o takiej budowie jest zwykłe szkło. Mieszaniny różnych pierwiastków tworzących ciała szkliste (amorficzne**), próbuje się wykorzystać do budowy elementów elektronicznych o szczególnych właściwościach

elektrycznych

—

półprzewodników

amorficznych.

Znane

półprzewodniki amorficzne bazują na mieszaninie telluru (Te), germanu (Ge) i selenu

(Se)

i tworzą

półprzewodniki

sterowane

napięciem

elektrycznym,

wykazujące dwa stany: dużej i małej rezystancji. Ciała szkliste łączą w sobie cechy ciał stałych i cieczy. Podobnie jest z ciekłymi kryształami. Ciała ciekłokrystaliczne są to takie ciała, które cechami zewnętrznymi przypominają ciecze (szczególnie lepkością), natomiast — podobnie jak ciała stałe — charakteryzują się uporządkowanym i regularnym ułożeniem cząsteczek. Związki ciekłokrystaliczne utworzone są z bardzo wydłużonych cząsteczek, które, np. w przypadku ciekłych kryształów typu nematycznego, ustawiają się względem siebie tak jak wykałaczki w pudełku. Sposób ułożenia tych cząsteczek jest przyczyną, anizotropii*** ciekłych kryształów. Na przykład prędkość rozchodzenia się światła (współczynnik załamania) jest inny dla kierunku

Marek

Pilawski

Strona 159

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wzdłużnego i poprzecznego względem osi długiej cząsteczek (rys. 5.5). Ciekłe kryształy wykazują wiele interesujących zjawisk elektrooptycznych. Pod tym

względem

wyróżniają

się

związki

cholesterolowe.

Ciekły

kryształ

cholesterolowy ma właściwość odbijania fali świetlnej tylko o określonej długości: światło o innej długości jest przepuszczane. Na długość odbijanej fali można wpływać polem termicznym, elektrycznym, magnetycznym itp. W omawianych substancjach obserwuje się inne interesujące zjawiska elektro-, magneto-, termo-, mechanooptyczne i inne (patrz p. 5.3) * W literaturze często typy półprzewodników są oznaczane wielkimi literami P (positive) oraz N (negative). ** bezpostaciowe. *** Anizotropia jest cechą takich ośrodków, które mają różne właściwości fizyczne w różnych kierunkach.

Wszystkie omówione stany skupienia materii występują w przyrodzie tylko w warunkach ziemskich. W laboratoriach udaje się uzyskać materię również w postaci plazmy. Plazma jest to taki stan skupienia materii, w którym wszystkie jądra atomów i jony są uwolnione od elektronów i tworzą razem z nimi mieszaninę „gazu jonowego” i „gazu elektronowego”. . . . . . . . . . . . . .

Marek

Pilawski

Strona 160

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.5 Przykładowa struktura cieczy ciekłokrystalicznej typu: a) nematycznego; b) cholesterolowego; c) smektycznego

Do utrzymania plazmy potrzebna jest wysoka temperatura i bardzo silne pola magnetyczne. Wysoka temperatura umożliwia jonizację atomów, niekiedy „aż do ostatniego elektronu”, a silne pole magnetyczne utrzymuje plazmę w określonej objętości. Utworzenie plazmy wymaga temperatury około 20 milionów kelwinów. W tej temperaturze energia kinetyczna atomów jest już tak duża, że jonizacja zachodząca

na

zewnętrznego

skutek

pola

zderzeń

jest

magnetycznego

dostatecznie

jest

również

intensywna. „zamknięcie”

Zadaniem plazmy

w

określonej objętości w przestrzeni, gdyż nie ma dotychczas materiałów, które

Marek

Pilawski

Strona 161

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki byłyby odporne na działanie tak wysokich temperatur. Materia w postaci plazmy występuje we wnętrzu gwiazd. W warunkach ziemskich plazmę najłatwiej jest otrzymać z wodoru i jego izotopów.

5.2 Wpływ pola elektrycznego na gazy Największym zbiornikiem gazu na Ziemi jest atmosfera ziemska. W atmosferze ziemskiej

zachodzi

wiele

procesów

klimatycznych,

optycznych,

termodynamicznych (cieplnych), chemicznych, ale również i elektrycznych. Właściwości elektryczne atmosfery są bardzo interesujące. Uwzględnia się je w wielu urządzeniach technicznych i dlatego będą omówione dokładniej. Kulę ziemską, z punktu widzenia jej właściwości elektrycznych, można uważać za kulę naładowaną ładunkiem ujemnym. Wytwarza ona w powietrzu pionowe pole elektryczne o natężeniu E = 100 V⋅m-1 przy powierzchni, zmniejszające się wraz ze zwiększaniem odległości od powierzchni Ziemi (patrz przykład 6.19). W przybliżeniu możemy powiedzieć, że między dwoma punktami, oddalonymi od siebie w kierunku pionowym o 1 cm, istnieje różnica potencjałów 1 V. Nie oznacza to jednak wcale, że między czubkiem naszej głowy i stopami, gdy stoimy na Ziemi, występuje napięcie kilkudziesięciu czy kilkuset woltów. Człowiek, w porównaniu z dielektrycznymi właściwościami powietrza, jest dość dobrym przewodnikiem (patrz p. 5.3) i deformuje pole tak, że napięcie to jest równe zeru. Dlatego nie odczuwamy na sobie działania pola elektrycznego. Pole elektryczne ziemskie rozciąga się na wysokość do ok. 50 km. Ze względu na wspomniane zmniejszanie się natężenia pola wraz ze wzrostem odległości od Ziemi całkowita różnica potencjałów (napięcie elektryczne) między górnymi warstwami atmosfery i powierzchnią Ziemi wynosi ok. 400 000 V (0,4 MV). Na wysokości ok. 50 km rozciąga się silnie przewodząca warstwa atmosfery, która wraz z powierzchnią naładowanej kuli ziemskiej tworzy jakby gigantyczny kondensator kulisty (patrz przykład 6.19). Kondensator ten wypełniony jest dielektrykiem — powietrzem — i jest on ciągle naładowany, wytwarzając pole elektryczne przy powierzchni Ziemi o natężeniu 100 V⋅m-1.

Marek

Pilawski

Strona 162

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Powietrze atmosferyczne jest szczególnym dielektrykiem, gdyż jest to dielektryk z przewodzeniem. Przewodnictwo elektryczne powietrza wynika z obecności w nim jonów swobodnych. Jony te powstają pod wpływem promieniowania radioaktywnego.

Początkowo

sądzono,

że

źródłem

tego

jonizującego

promieniowania są rudy pierwiastków promieniotwórczych zalegające w skorupie ziemskiej. Przygotowano odpowiednie eksperymenty, polegające na pomiarach koncentracji nośników ładunków elektrycznych na różnych wysokościach nad powierzchnią Ziemi. Spodziewano się, że ze wzrostem wysokości będzie ona coraz mniejsza. Tymczasem okazało się, wbrew pierwotnym oczekiwaniom, że w miarę oddalania się od powierzchni Ziemi jest ona coraz większa. Źródło promieniowania jonizującego nie mogło więc leżeć we wnętrzu Ziemi, mógł być nim tylko Kosmos. W taki oto sposób odkryto promieniowanie kosmiczne. Jonizujące działanie promieniowania kosmicznego jest największe w górnych warstwach atmosfery i ono właśnie wytwarza górną, dobrze przewodzącą elektrodę owego gigantycznego kondensatora. Swobodne nośniki ładunku elektrycznego występujące w przestrzeni między dwiema elektrodami muszą dawać zjawisko prądu. Prąd płynie więc także przez atmosferę ziemską. Skierowany jest on od górnej zjonizowanej warstwy atmosfery

(elektrody

dodatniej)

do

Ziemi

(elektrody

ujemnej).

Wartość

ustalonego, ciągłego prądu atmosferycznego, jest niewielka. Przez każdy metr kwadratowy powierzchni przenika prąd ok. 10 pA (10⋅10-12 A). Do całej kuli ziemskiej spływa więc prąd ok. 1800 A. Prąd ten płynąc przez atmosferę pod napięciem 400 000 V wydziela moc 7200 MW! Duży prąd elektryczny przepływając przez atmosferę zobojętnia ładunek ujemny Ziemi. Biorąc pod uwagę dużą wartość tego prądu, ładunek ziemski powinien zostać zobojętniony w ciągu pół godziny. Tak się jednak nie dzieje. Muszą więc istnieć jeszcze jakieś inne mechanizmy „pompujące” Ziemię ładunkiem ujemnym, a atmosferę — dodatnim. Te mechanizmy wyzwalają się w zjawiskach burz atmosferycznych. Burza atmosferyczna jest rodzajem wyładowania elektrycznego w powietrzu, w czasie którego Ziemia ładuje się ładunkiem ujemnym, a powietrze — dodatnim.

Marek

Pilawski

Strona 163

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.6 Rozkład ładunków elektrycznych w chmurze burzowej i schemat wyładowania atmosferycznego (a) oraz widok wyładowania atmosferycznego (b) (fot. E. Musiał)

Dziennie na Ziemi występuje ok. 300 burz. Największa aktywność burzowa na całej Ziemi przypada na godzinę 19 czasu Greenwich. Warunkiem wystąpienia burzy są chmury burzowe (rys. 5.6) zawierające ładunki elektryczne. Ładunki te są

częściowo

odseparowane

od

siebie.

W

górnych

warstwach

chmury,

położonych na wysokości ok. 7 km, gdzie temperatura wynosi ok. —20°C, istnieje

przewaga

ładunków

dodatnich,

natomiast

w

dolnych

warstwach,

rozciągających się na wysokości ok. 4 km, gdzie występuje temperatura ok. — 10°C, istnieje przewaga ładunków ujemnych. Ładunek na dnie chmury jest tak duży, że wytwarza między chmurą a Ziemią różnicę potencjałów nawet do ok. 100 MV. Jest to napięcie znacznie większe niż napięcie 0,4 MV występujące między skrajnymi obszarami atmosfery ziemskiej w pogodny dzień. Duża różnica potencjałów, występująca między dnem chmury burzowej a powierzchnią Ziemi, wytwarza pole elektryczne, którego natężenie lokalnie może przekraczać wytrzymałość elektryczną powietrza. Występują więc przebicia elektryczne przez powietrze, związane z przepływem ładunków elektrycznych, efektami świetlnymi (błyskawica) i akustycznymi (grzmot). Prąd elektryczny wyładowania burzowego płynie od powierzchni Ziemi (dodatniej względem dna

Marek

Pilawski

Strona 164

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki chmury) do chmury. W tym czasie ładunek elektryczny ujemny z dna chmury spływa do Ziemi i ładuje ją ujemnie. Wyładowanie elektryczne atmosferyczne jest zjawiskiem bardzo złożonym. Jest ono

inicjowane

wyładowaniami

pilotującymi

(prekursor).

Grupa

ładunków

ujemnych odrywa się od chmury i z prędkością ok. 50 000 km⋅s-1 przebywa drogę kilkudziesięciu metrów, po czym zatrzymuje się na okres ok. 5 µs i znów posuwa się dalej. W ten sposób, jakby skokowo, wyładowanie pilotujące tworzy kanał przewodzący łączący chmurę z Ziemią. Kanał ten jest drogą dla ładunków ujemnych chmury, które już bez większych przeszkód wnikają w kanał przewodzący

i

docierają

do

Ziemi.

Od

tej

chwili

rozwija

się

główne

wyładowanie piorunowe polegające na raptownym rozładowaniu kanału wyładowania wstępnego przez ładunki przeciwnego znaku spływające z Ziemi w kierunku ku chmurze. Właśnie to uderzenie główne, tzw. powrotne, widziane jest jako główne wyładowanie atmosferyczne (piorun). Towarzyszy mu świecenie gazu i wydzielanie się ciepła, które powoduje szybkie rozprężenie, a potem gwałtowne sprężenie powietrza wywołując grzmot.

Rys. 5.7 Przebieg typowego prądu udarowego (wyładowania atmosferycznego)

Prąd pojedynczego głównego wyładowania atmosferycznego osiąga wartość maksymalną ok. 20 kA (rys. 5.7). Jego przebieg w czasie jest typowy dla prądów wyładowań udarowych. Jednorazowo przenosi on ładunek ok. 20 C. Po czasie kilku setnych sekundy po uderzeniu powrotnym biegnie od Ziemi do chmury nowe wyładowanie pilotujące, tzw. ciemne. Najczęściej wyładowanie to rozwija się w tym samym kanale, w którym rozwijało się pierwsze wyładowanie pilotujące. „Pilot” biegnie do Ziemi tym razem bez przerw, jednym skokiem, po czym znowu następuje uderzenie powrotne do góry. Całe zjawisko powtarza się kilkakrotnie w jednym kanale. Zjawisko pioruna, obserwowane przez nas w czasie burz, jest więc w istocie zjawiskiem złożonym i koniecznym do utrzymania „równowagi elektrycznej” atmosfery ziemskiej.

Marek

Pilawski

Strona 165

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Właściwości elektryczne powietrza były bardzo dokładnie badane, gdyż jest ono najpowszechniej stosowanym izolatorem w układach elektrycznych, szczególnie układach wysokiego napięcia. Wytrzymałość elektryczna powietrza w normalnych warunkach wynosi 33⋅105 V⋅m-1 i zależy od temperatury, ciśnienia, wilgotności i innych czynników atmosferycznych. W

układach

elektrycznych

bardzo

często

istotnym

parametrem

jest

nie

wytrzymałość elektryczna dielektryka, a napięcie, przy którym następuje przeskok iskry elektrycznej między dwoma wyróżnionymi elektrodami układu, tzw. napięcie przeskoku Up. Wartość napięcia przeskoku zależy od kształtu elektrod (rys. 5.8) i odległości między nimi. Jest ona najmniejsza dla układu ostrzowego elektrod, gdyż w pobliżu płaszczyzn o dużych krzywiznach pole elektryczne osiąga wartość największą. Na napięcie przeskoku ma wpływ nie tylko kształt elektrod, lecz również ich wymiary liniowe (rys. 5.9). Jak już wspomniano, na napięcie przeskoku ma wpływ ciśnienie gazu. Okazuje się, że zależność napięcia Up od ciśnienia jest zależnością liniową, tzn. Up zwiększa się, w pewnym zakresie proporcjonalnie do ciśnienia p. Taki sam wpływ na napięcie przeskoku ma odległość a między elektrodami. Ogólnie, napięcie przeskoku Up jest liniową funkcją iloczynu ap, co można zapisać

U p = U p 0 ap

(5.2)

Up0 — napięcie przeskoku w warunkach normalnych.

Rys. 5.8 Rozkład pola elektrycznego między różnymi układami elektrod: a) płaskim; b) kulowym; c) ostrzowym

Marek

Pilawski

Strona 166

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.9 Zależność napięcia przeskoku od odległości między elektrodami iskiernika kulowego dla kul o różnych średnicach

Zależność (5.2) jest znana pod nazwą Prawa Paschena. Graficznym obrazem prawa Paschena jest rys. 5.10. Zespół procesów fizycznych związanych z wyładowaniem elektrycznym w powietrzu nosi nazwę łuku elektrycznego. Łuk elektryczny jest źródłem silnego promieniowania świetlnego i termicznego i zależnie od okoliczności, w jakich powstaje, może być zjawiskiem pożądanym lub szkodliwym.

Rys. 5.10 Napięcie przeskoku w układzie płaskim elektrod w temperaturze 20 0C dla różnych gazów

Napięcie potrzebne do podtrzymania łuku jest mniejsze od napięcia wymaganego do zapłonu łuku. Spowodowane jest to występującymi podczas palenia się łuku procesami wyzwalającymi jony uczestniczące w wyładowaniu: jonizacją gazu w przestrzeni

międzyelektrodowej

przez

promieniowanie

świetlne

łuku

(fotojonizacja) i promieniowaniem termicznym (jonizacja cieplna).

Marek

Pilawski

Strona 167

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Zjawisko promieniowania świetlnego łuku wykorzystuje się w lampach łukowych, w których stosuje się głównie elektrody węglowe. Natomiast promieniowanie termiczne wykorzystuje się m. in. w spawalnictwie łukowym i w hutnictwie (piece łukowe). Łuk elektryczny powstaje również przy rozwieraniu lub zwieraniu styków łączników

energetycznych

umieszczonych

na

końcach

odcinków

linii

przesyłowych wysokiego napięcia. Jest on wtedy zjawiskiem niepożądanym, gdyż niszczy te zestyki. W celu uniknięcia tego szkodliwego zjawiska stosuje się różne metody gaszenia łuku. Między innymi zestyki umieszcza się w oleju (wyłączniki olejowe), w strudze zimnego powietrza (wyłączniki gazowydmuchowe) lub też stosuje

się

gaszenie

elektromagnetyczne

(rys.

5.11).

Pole

magnetyczne

elektromagnesu oddziałuje na ładunki rozmieszczone w kanale przewodzącym między elektrodami i zwiększa długość łuku. Prowadzi to do liczebnej przewagi w jednostce czasu aktów rekombinacji* jonów nad procesami jonizacyjnymi i łuk gaśnie.

Rys. 5.11 Elektromagnetyczne gaszenie łuku elektrycznego

5.3 Wpływ pola elektrycznego na ciecze Ciecze,

podobnie

jak

ciała

stałe,

można

podzielić

na

nieprzewodzące

i

przewodzące. Ciecze nieprzewodzące (dielektryczne) zachowują się w polu elektrycznym tak jak dielektryki (izolatory). Właściwości tych ciał zostaną omówione w p. 5.4.1. Ciecze przewodzące nazywa się elektrolitami. Proces przepływu prądu elektrycznego przez elektrolit i związane z tym zjawiska noszą nazwę elektrolizy.

Marek

Pilawski

Strona 168

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Zdolność przewodzenia prądu przez elektrolity uwarunkowana jest obecnością w nim jonów dodatnich — kationów i jonów ujemnych — anionów. Jeśli w elektrolicie jest wytworzone przy użyciu dwu elektrod: elektrody dodatniej — anody i elektrody ujemnej — katody, pole elektryczne, to kationy będą się poruszały w kierunku do katody, a aniony — w kierunku do anody. Prąd w elektrolitach polega zatem na jednoczesnym ruchu cząstek naładowanych dodatnio i ujemnie. Z ruchem ładunków związany jest zatem ruch masy między elektrodami. Obecność jonów w elektrolitach jest wynikiem zjawiska dysocjacji, to jest zjawiska rozpadu cząsteczek na jony pod wpływem rozpuszczalnika. Bardzo dobrym rozpuszczalnikiem jest woda, toteż większość elektrolitów stanowią wodne roztwory kwasów, zasad i soli. Na przykład cząsteczka soli kuchennej NaCl w wodzie występuje w postaci dwóch jonów: kationu Na+ i anionu Cl-. Przepływ prądu przez elektrolity nie powoduje zniszczenia elektrolitu. Dla przykładu rozpatrzmy zjawiska związane z przepływem prądu przez wodny roztwór kwasu siarkowego. Na skutek dysocjacji otrzymujemy jony zgodnie z reakcją

2 H 2 SO4 → 4 H + + 2 SO4 Kationy wodoru wędrują do katody, gdzie oddając ładunek dodatni przechodzą do postaci wodoru cząsteczkowego 2H2, który z kolei wydziela się w postaci pęcherzyków gazu. * Rekombinacja jest procesem odwrotnym do jonizacji i polega na łączeniu się jonów w obojętne elektrycznie atomy. W procesie rekombinacji wyzwala się energia w postaci promieniowania elektromagnetycznego z zakresu optycznego. Stąd świecenie gazu. Rekombinacja towarzyszy stale procesom jonizacyjnym i jak one podlega prawom statystycznym.

Dwuwartościowe aniony reszty kwasowej zobojętniają się na anodzie, po czym reagują z wodą według schematu

2SO4 + 2 H 2O → 2 H 2 SO4 + O2 Tlen cząsteczkowy O2 wydziela się na anodzie w postaci pęcherzyków gazu. Zjawisko

wydzielania

substancji

na

elektrodach

jest

wykorzystywane

w

komórkach (wannach) elektrolitycznych (rys. 5.12). Dobierając różny skład

Marek

Pilawski

Strona 169

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki substancji ulegającej dysocjacji w wodzie, można osadzać na żądanej elektrodzie również

metale.

W

ten

sposób

wykonuje

się

np.

złocenie,

srebrzenie,

kadmowanie, niklowanie itp. W elektrolitycznym metalizowaniu przedmiotów przedmiot musi być jedną z elektrod obwodu elektrycznego. Elektrolizę wykorzystuje się też w hutnictwie miedzi i aluminium. Dział

techniki

wykorzystujący

zjawiska

elektrochemiczne

nosi

nazwę

galwanostegii. Prawidłowości występujące przy przepływie prądu przez ciecze przewodzące ujęte są w prawach elektrolizy Faradaya.

Rys. 5.12 Komórka (wanna) elektrolityczna

Pierwsze prawo elektrolizy Faradaya Masa m ciała wydzielającego się na elektrodzie podczas przepływu prądu I przez elektrolit jest proporcjonalna do wartości tego prądu i czasu t jego przepływu

m = kIt

(5.3)

Współczynnik proporcjonalności k ma wartość stałą, zależną od rodzaju substancji. Nosi on nazwę równoważnika elektrochemicznego. Ponieważ iloczyn It określa ładunek elektryczny tylko dla prądu stałego, to równoważnik elektrochemiczny liczbowo równy jest masie wydzielonej na elektrodzie pod wpływem przepływu ładunku 1 C. Drugie prawo elektrolizy Faradaya Masy różnych substancji wydzielanych na elektrodach w procesie elektrolizy wskutek

przepływu

takiej

samej

wartości

ładunku

elektrycznego

są

proporcjonalne do ich równoważników chemicznych i równe równoważnikom gramowym.

Marek

Pilawski

Strona 170

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Równoważnik gramowy R jest to wielkość wyrażona w gramach, równa stosunkowi ciężaru cząsteczkowego M do wartościowości w jonu

R= Jeśli

ładunek,

którego

przepływ

M w

(5.4)

powoduje

wydzielenie

się

równoważnika

gramowego, oznaczymy przez F, to pierwsze prawo elektrolizy dla tego przypadku będzie miało postać

R = kF

(5.5)

Okazuje się, że ładunek F powodujący wydzielenie się masy o wartości równoważnika gramowego substancji R, jest wielkością stałą i niezależną od rodzaju wydzielanej substancji. Nosi on nazwę stałej Faradaya i ma wartość F = 96 500 C. Z układu równań napisanych dla dwóch różnych elektrolitów

R1 = k1 F

(5.6)

R2 = k 2 F wynika treść drugiego prawa elektrolizy Faradaya

R1 k1 = R2 k 2

(5.7)

Zjawiska elektrolizy i prawa Faradaya są dowodem słuszności teorii elektronowej budowy ciał. Przykład 5.1 Równoważnik elektrochemiczny k jednowartościowego (w = 1) srebra, o masie cząsteczkowej M = 108 g jest równy 1,12 mg⋅C-1. Obliczyć wartość stałej Faradaya. Z równań (5.4) i (5.5) wynika, że

F=

M wk

Uwzględniając dane liczbowe

F=

108000 = 96500C 1,12

Przykład 5.2 Wiedząc, że stała Avogadro jednowartościowego jonu srebra.

NA

=

6,022⋅1023,

obliczyć

ładunek

Stała Avogadro określa liczbę atomów w gramocząsteczce (w molu). Ponieważ w naszym przypadku równoważnik gramowy jednowartościowego jonu srebra jest

Marek

Pilawski

Strona 171

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki równy jego gramocząsteczce, zatem przepływ ładunku F oznacza wydzielenie gramocząsteczki. Na jeden jon srebra przypada więc ładunek

q=

F A

Po wykonaniu obliczeń

q=

96500C = 1,6 ⋅10 −19 6,03 ⋅10 23

co odpowiada ładunkowi elektronu. Prąd elektryczny przepływa również przez tkanki organizmów żywych. Wszystkie tkanki

z

wyjątkiem

Fizjologiczne

tkanek

działanie

skórnych

prądu

można

uwidacznia

się

traktować w

jako

oparzeniach

elektrolit.

i

zmianach

chemicznych w tkankach. Oparzenia powstają na skutek wydzielającego się ciepła związanego z przepływem prądu. Pojawiają się one na skórze, są bardzo bolesne i trudno się goją. Czasami mogą występować w tkankach wewnętrznych i wtedy objawiają się wyparowaniem tkanek, zwęgleniem kości, rozsadzaniem naczyń krwionośnych, zmianą struktury tkanek (białko ulega koagulacji czyli ścinaniu, w temperaturze 46 0C) itp. Działanie chemiczne prądu narusza proces przemiany materii w ustrojach żywych.

Na

przykład

uszkodzone

prądem

tkanki

mięśniowe

wydzielają

mioglobinę, związek powodujący chemiczne i mechaniczne uszkodzenie nerek. Skutki rażenia prądem nie są jednakowe u wszystkich osób — zależą od stanu naskórka (suchy, mokry), od drogi obiegu prądu, czasu trwania rażenia i od skłonności indywidualnej. Między innymi stwierdzono również, że także stan emocjonalny

osoby

ma

wpływ

na

skutki

fizjologiczne

działania

prądu

elektrycznego. Napięcie bezpieczne dla życia, w normalnych warunkach, wynosi ok. 65 V. Uwzględniając

niekorzystny

wpływ

czynników

zewnętrznych,

za

napięcie

bezpieczne przyjmuje się napięcie o wartości 24 V. Najgroźniejsze dla życia ludzkiego są napięcia stałe i napięcia o małej częstotliwości, takiej np. jak sieciowa (50 Hz). Przy napięciach przemiennych o większej częstotliwości rezystancja elektrolitu, na skutek bezwładności jonów i lepkości cieczy, zwiększa się.

Marek

Skutek

działania

Pilawski

takiego

napięcia

jest

więc

mniejszy.

Napięcie

o

Strona 172

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki częstotliwości 10 kHz i większej praktycznie nie wywołuje już działania fizjologicznego. Zjawisko odporności tkanki ludzkiej na działanie prądów wielkiej częstotliwości jest wykorzystywane w medycynie. Dział medycyny zajmujący się leczeniem prądem wielkiej częstotliwości i wysokiego napięcia nazywa się diatermią. Diatermia polega na ogrzewaniu wewnętrznych tkanek chorego. Aparat diatermiczny, będący generatorem drgań elektrycznych o częstotliwości ok. 1 MHz, wyposażony jest w dwie elektrody. Elektrody umieszcza się na ciele chorego

w

dwóch

przeciwległych

miejscach.

Prąd

wielkiej

częstotliwości

przepływając między elektrodami ogrzewa wewnętrzne tkanki i wywiera tym samym

działanie

lecznicze.

Niekiedy

źródła

wysokich

napięć

i

wielkiej

częstotliwości są wykorzystywane do efektownych pokazów cyrkowych. W pokazach tych między elektrodą kulową i wyciągniętą ręką cyrkowca przeskakuje iskra elektryczna nie czyniąc mu szkody.

Rys. 5.13 Układ pracy (a) i schemat (b) tetrody solinowej 1— wejście (input), S — ekran (shield), — wyjście (readout) — elektroda pomiarowa, C — elektroda wspólna (common) p— naturalny (trwały) moment dipolowy cząsteczki, pin. — moment dipolowy indukowany

Soliony Zjawiska

elektrochemiczne

w

dalszym

ciągu

są

przedmiotem

badań.

Współcześnie opracowuje się wiele nowych urządzeń elektrochemicznych — chemotronów, służących do budowy różnych przetworników. Najbardziej znane z nich to integratory gazowe, memistory, chromistory, ovitrony, przetworniki elektrokapilarne, przetworniki kinetyczne i przetworniki typu Solion (soliony). Soliony (rys. 5.13) są to elementy elektronowe w postaci bańki wypełnionej elektrolitem, w którym zachodzą reakcje chemiczne typu utlenianie - redukcja.

Marek

Pilawski

Strona 173

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki W układach pracy solionów wyróżnia się obwód wejściowy i obwód wyjściowy. Najczęściej spotyka się diody solionowe detekcyjne i integracyjne oraz tetrody integracyjne (całkujące). Elektrody

lampy

solionowej

wykonuje

się

z

platyny,

obojętnej

wobec

elektrolitów. Typowym elektrolitem lampy jest slaby roztwór jodu w wodnym roztworze jodku potasu KJ. Jodek potasu dysocjuje w wodzie

KJ → K + + J − Jony potasu K+ nie biorą udziału w dalszych reakcjach chemicznych, natomiast jony jodu J- tworzą z cząsteczkami jodu J2 jony trójjodku

J 2 + J − → J 3− Jony potasu nie ulegają dejonizacji, gdyż do tego potrzebne jest napięcie 1,86 V, natomiast napięcie między dowolnymi elektrodami solionu nie przekracza nigdy wartości 0,9 V. Pod wpływem napięcia elektrycznego aniony J- dążą do anody przekazując jej ładunek ujemny. Zachodzi więc anodowa reakcja utleniania

3 J − + 2 E → J 3−

(5.8)

Rys. 5.14 Charakterystyka tetrody solionowej

Przepływ prądu przez elektrolit powoduje więc wzrost koncentracji jonów trójjodku i zmniejszanie się koncentracji jonów jodu, co prowadzi do wzrostu rezystancji elektrolitu. Na skutek dyfuzji część jonów trójjodku J 3− dociera do katody pobierając z niej ładunek ujemny. Zachodzi więc reakcja redukcji

J 3− + 2 E → 3 J −

(5.9)

Reakcje opisane wzorami (5.8) i (5.9) w warunkach ustalonych zachodzą z tą samą intensywnością, tak że suma stężeń jonów J − i J 3− jest stała.

Marek

Pilawski

Strona 174

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Szczególną właściwością tetrod solionowych są ich możliwości integracyjne, a dokładnie zdolność całkowania ładunku elektrycznego. Ładunek elektryczny wnoszony do solionu niesiony jest przez prąd i płynący w obwodzie wejściowym. Obwód wyjściowy zasilany jest z osobnego źródła napięcia, a prąd wyjściowy I jest proporcjonalny do zgromadzonego ładunku (rys. 5.14). Wartość prądu I jest niezależna od sposobu, w jaki ładunek wpływa do przetwornika; może on być dostarczany w postaci prądu ciągłego lub impulsów prądowych. Tetrody solionowe wykorzystywane są w wielu różnych układach pomiarowych, układach automatyki i sterowania. Stosuje się je również jako czujniki temperatury.

5.4 Wpływ pola elektrycznego na ciała stałe 5.4.1 Wpływ pola elektrycznego na dielektryki Dielektryki, zwane nieraz izolatorami, są to materiały, które przepływowi prądu stawiają bardzo duży opór. Bardzo często wykorzystywane są one jako ośrodek wypełniający przestrzeń między elektrodami kondensatora. W dielektryku liczba swobodnych ładunków elektrycznych jest bardzo mała, a o jego konduktywności (przewodności) i innych właściwościach elektrycznych decydują ładunki związane. Przewodnictwo dielektryków może mieć charakter przewodnictwa jonowego lub przewodnictwa elektronowego. W normalnych warunkach w dielektrykach przeważa przewodnictwo jonowe. Przyczyną tego jest fakt, że mniej energii potrzeba do oswobodzenia jonu niż do przeniesienia elektronu do pasma przewodnictwa (p. 5.1). Oswobodzenie jonu wymaga

kilku

elektronowoltów

energii.

Przeniesienie

elektronu

wymaga

natomiast pola elektrycznego o natężeniu E > 108 V⋅m-1, bądź ogrzania dielektryka

do

temperatury

promieniowaniem X

T

≈

600

K,

lub promieniowaniem o

bądź

też

mniejszej

naświetlenia

go

długości fali. We

wszystkich przypadkach może nastąpić zniszczenie dielektryka przed uzyskaniem stanu zwiększonego przewodnictwa.

Marek

Pilawski

Strona 175

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Tabela 5.1

Właściwości niektórych materiałów dielektrycznych Przenikalność elektryczna względna εr 3,5 ... 10

Dielektryk Szkło

Wytrzymałość Rezystywność Ω⋅m elektryczna na przebicie V⋅m-1 13 17 10 ... 10 20⋅106

Olej

2...3

1014... 1015

15⋅106

Mika

6...8

1017

60⋅106

Porcelana

6...7

1014 ... 1015

35⋅105

Uwaga: 1 kV⋅cm-1 = 105 V⋅m-1 Między

atomami

dielektryka

mogą

występować

różne

typy

wiązań.

W

szczególności mogą to być wiązania kowalencyjne (atomowe) lub jonowe. W przypadku wiązań atomowych powstają najczęściej cząsteczki symetryczne elektrycznie. W cząsteczkach takich środek ładunków dodatnich pokrywa się ze środkiem ładunków ujemnych; na zewnątrz cząsteczki takie nie wytwarzają pola elektrycznego. O dielektrykach tak zbudowanych mówimy, że są dielektrykami niepolarnymi. W przypadku wiązań jonowych cząsteczki tworzą dipole elektryczne. Dielektryk o strukturze dipolowej nazywa się dielektrykiem polarnym. Dipol elektryczny (rys. 5.15) jest to układ dwóch różnoimiennych ładunków elektrycznych, które są utrzymywane w pewnej odległości od siebie na skutek działania sił zewnętrznych. Dipol charakteryzuje się momentem dipolowym p = ql

(5.1)

q — ładunek umieszczony w biegunie dipola, l — odległość między ładunkami jako odcinek wektorowy. Wektor momentu dipolowego ma zwrot od ładunku dodatniego do ujemnego. Dipole elektryczne dielektryków polarnych są wynikiem rozsunięcia środków ładunków elektrycznych dodatnich i ujemnych cząsteczki na pewną odległość. Z tego

też

względu

cząsteczkę

polarną

możemy

rozpatrywać

jako

dipol

elektryczny.

Marek

Pilawski

Strona 176

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.15 Budowa dipola elektrycznego

Moment dipolowy cząsteczek bywa nieraz znaczny. Na przykład moment dipolowy cząsteczki NaCl wynosi 3,44⋅10-30 C⋅m. Moment dipolowy cząsteczki H20 równy 6,14⋅10-30 C⋅m jest wynikiem niesymetrycznego ułożenia atomów wodoru względem atomu tlenu. Dielektryk umieszczony w polu elektrycznym ulega polaryzacji. Polaryzacja

dielektryka

jest

wynikiem

ruchu

ładunków

związanych.

Stabilizowanie się położenia ładunków elektrycznych w nowych warunkach, wymuszonych warunkami zewnętrznymi, nosi nazwę relaksacji. Czas ustalania się polaryzacji lub jej zaniku nosi nazwę czasu relaksacji. Istnieją cztery rodzaje polaryzacji : — elektronowa, — atomowa, — dipolowa, — makroskopowa (polaryzacja jonowego ładunku przestrzennego). Polaryzacja

elektronowa

jest

to

zjawisko

powstawania

elektrycznego

momentu dipolowego dielektryka na skutek sprężystego odkształcenia chmur elektronowych atomów względem jądra pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. Atom z odkształconą chmurą zachowuje się jak dipol. Odkształcenie to jest sprężyste, gdyż po zaniku zewnętrznego pola elektrycznego atom powraca do swego poprzedniego kształtu. Czas relaksacji polaryzacji elektronowej jest rzędu 10-15

Marek

s,

co

Pilawski

odpowiada

częstotliwości

promieniowania

z

zakresu

fal

Strona 177

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ultrafioletowych. Z tego względu polaryzację elektronową nazywa się niekiedy polaryzacją optyczną. Polaryzacja elektronowa występuje we wszystkich dielektrykach.

Rys. 5.16 Schemat polaryzacji dielektryków: a) budowa dielektryka niepolarnego; b) schemat polaryzacji dielektryka niepolarnego; c) budowa dielektryka polarnego; d) schemat polaryzacji dielektryka polarnego p — naturalny (trwały) moment dipolowy cząsteczki, pin. — moment dipolowy indukowany

Polaryzacja

atomowa

elektrycznego

momentu

(lub

jonowa)

dipolowego

jest

dielektryka

to

zjawisko

niepolarnego

powstawania na

skutek

wytworzenia w nim dipoli indukowanych. Dipole indukowane są wynikiem przesunięcia atomów, jonów lub grup polarnych wchodzących w skład cząsteczki pod wpływem zewnętrznego poła elektrycznego (rys. 5.16 a, b). W wyniku polaryzacji

atomowej

ulega

również

odkształceniu

sprężystemu

chmura

elektronowa cząsteczki.

Marek

Pilawski

Strona 178

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Indukowane momenty dipolowe są ok. 104 razy mniejsze od naturalnych momentów dipolowych (trwałych). Czasy ich relaksacji są rzędu 10-12 s, co odpowiada częstotliwości promieniowania z zakresu fal podczerwonych. Polaryzacja dipolowa jest to zjawisko powstawania elektrycznego momentu dipolowego dielektryka polarnego na skutek częściowego uporządkowania dipoli pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. Cząsteczki dielektryka polarnego w stanie swobodnym, obdarzone naturalnym momentem dipolowym, nie wytwarzają na zewnątrz pola elektrycznego, gdyż są zorientowane w sposób chaotyczny i przypadkowy (rys. 5.16c). Dopiero zewnętrzne pole elektryczne ustawia (obraca) momenty dipolowe cząsteczek tak, że istnieje wypadkowy moment dipolowy całego dielektryka zgodny z kierunkiem tego pola (rys. 5.16d). Czas relaksacji polaryzacji dipolowej zależy od rozmiarów cząsteczek i waha się w granicach od 10-11 do 10-3 s, najczęściej zaś zawiera się w przedziale od 10-10do 10-6 s. Polaryzacja makroskopowa (strukturalna) jest to zjawisko powstawania elektrycznego momentu dipolowego dielektryka na skutek ruchu swobodnych nośników

ładunków

elektrycznych

(zanieczyszczenia

jonowe),

które

pod

wpływem zewnętrznego pola elektrycznego grupują się na granicy dielektryka z elektrodami. Zewnętrzne pole elektryczne, w którym umieszcza się badany dielektryk, wytwarza się najczęściej za pomocą układu płaskich elektrod (rys. 5.17). Układ ten stosowany jest bardzo często, gdyż wytwarza pole elektryczne równomierne, tzn. takie, które w całym obszarze między elektrodami charakteryzuje się jednakowym natężeniem. W dielektryku spolaryzowanym (rys. 5.17) dipole elektryczne wytwarzają własne pole elektryczne, skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego. Jeżeli w jednostce objętości jest N atomów, to moment dipolowy przypadający na jednostkę objętości będzie reprezentowany przez wektor polaryzacji*

Marek

Pilawski

Strona 179

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki P = Nql

(5.11)

q — ładunek pojedynczego atomu, l — odległość między ładunkami znajdującymi się na przeciwległych powierzchniach dielektryka (l jest wektorem) Obecność polaryzacji P w dielektryku wynika ze specyficznego rozkładu ładunków

polaryzacyjnych

(ładunków

związanych),

rozłożonych

na

powierzchniach przeciwległych z gęstością σp. Gęstość σp ładunków jest proporcjonalna — dla dielektryków liniowych — do gęstości σs ładunków swobodnych rozmieszczonych na elektrodach (rys. 5.17). Gęstość ładunków polaryzacyjnych można obliczyć ze wzoru

σp =

Qp

(5.12)

S

Qp — całkowity ładunek polaryzacyjny, S — pole powierzchni płytki. Ponieważ ładunek Qp zawarty jest w elemencie dielektryka o objętości Sl, to

Q p = SlNq

(5.13)

Nq — ładunek zgromadzony w jednostce objętości.

Rys. 5.17 Dielektryk w równomiernym polu elektrycznym

Z zależności (5.12) i (5.13) wynika, że * Termin polaryzacja ma dwa znaczenia. Jedno znaczenie już poznaliśmy (p. 1.4.1). Odnosi się ono do zjawiska, w wyniku którego zmienia się stan dielektryka. Drugie znaczenie odnosi się do wielkości fizycznej, która jest analogiczna do namagnesowania (magnetyzacji) (patrz p. 5.6

σ p = Nql

(5.14)

Okazuje się więc, że — patrz wzór (5.11)

P =σp Polaryzację

mierzy

się

gęstością

(5.15) ładunku

polaryzacyjnego.

Gęstość

powierzchniowa ładunku na powierzchni dielektryka jest równa polaryzacji w

Marek

Pilawski

Strona 180

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki jego wnętrzu. Ładunek polaryzacyjny na powierzchniach dielektryka istnieje dzięki ładunkowi swobodnemu zgromadzonemu na okładzinach kondensatora. Po usunięciu ładunku qs zanika również ładunek qp cofając się do wnętrza na skutek relaksacji polaryzacji wewnątrz materiału. Jak już wspomniano, wartość polaryzacji dla dielektryków liniowych jest proporcjonalna do wartości natężenia zewnętrznego pola elektrycznego

P = χε 0 E

(5.16)

gdzie χ jest współczynnikiem podatności elektrycznej lub po prostu podatnością elektryczną. Indukcja elektryczna jest w tym przypadku równa sumie polaryzacji próżni — patrz p. 1.5, wzór (1.28) — oraz polaryzacji ośrodka

D = D0 + P

(5.17)

Ponieważ D0 = ε0E i P = χε0E, to

D = ε 0 E + χε 0 E

(5.18)

Uwzględniając w zależności (5.18)

ε r = χ +1

(5.19)

D = ε 0ε r E

(5.20)

można napisać

Wielkość εr nosi nazwę przenikalności elektrycznej względnej ośrodka. Wielkość ε = ε0εr nosi nazwę przenikalności elektrycznej bezwzględnej ośrodka. Przykład 5.3 Między dwie płaskie powierzchnie o polu powierzchni S, odległe od siebie od d (patrz przykład 1.10), wprowadzono dielektryk o przenikalności względnej εr. Porównać pojemność utworzonego w ten sposób kondensatora z pojemnością kondensatora powietrznego (lub próżniowego) o takich samych wymiarach.

W przypadku braku dielektryka powierzchnie naładowane ładunkiem o gęstości powierzchniowej σs (rys. 5.17) wytwarzają pole elektryczne o natężeniu

E 0=

σs ε0

(5.21)

W dielektryku natężenie pola elektrycznego jest mniejsze i równe

E=

Marek

Pilawski

σ s −σ p ε0

(5.22a)

Strona 181

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Ponieważ σ p = P = χε 0 E to

E=

σ s − χε 0 E ε0

(5.22b)

a stąd

E=

σs

ε 0 (1 + χ )

(5.22c)

Uwzględniając zależność (5.19)

E=

σs ε 0ε r

(5.23)

Napięcie na okładzinach kondensatora płaskiego

U = Ed

(5.24a)

a zatem

U=

σ sd ε 0ε r

(5.24b)

Pojemność kondensatora oblicza się ze stosunku

C=

Q U

(5.25)

gdzie Q = σ s S jest ładunkiem zgromadzonym na okładzinach kondensatora. Ostatecznie więc

C=

ε 0ε r S d

(5.26)

Oznacza to, że pojemność kondensatora wypełnionego dielektrykiem jest εr razy większa od pojemności kondensatora próżniowego o tych samych wymiarach. Jeżeli dielektryk o przenikalności elektrycznej względnej εr wsunie się między okładziny kondensatora, między którymi jest utrzymywane stałe napięcie, to zgromadzony ładunek zwiększy się εr razy. Jeśli natomiast kondensator jest odłączony od źródła energii (Q = const), to dielektryk zmniejsza napięcie między okładzinami εr razy. Przykład 5.4 Wyznaczyć wartość przenikalności elektrycznej względnej wodoru przyjmując mechanizm polaryzacji elektronowej takiego dielektryka.

Gdy atom znajduje się w oscylującym z częstością ω0 polu elektrycznym, to na

Marek

Pilawski

Strona 182

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki środek ładunków elektrycznych elektronów działa siła

mω 02 x = eE

(5.27)

x — przesunięcie środka ładunku elektrycznego atomu względem środka geometrycznego, e — ładunek elektronu Moment dipolowy pojedynczego atomu p = ex można opisać, uwzględniając zależność (5.27), wzorem

p=

e2 E mω02

(5.28)

Moment dipolowy atomu jest proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego

p = αε 0 E

(5.29)

gdzie α jest polaryzowalnością — jest to miara łatwości, z jaką pole elektryczne indukuje moment dipolowy w atomie. Porównując wyrażenia (5.28) i (5.29) otrzymuje się zależność

e2 α= ε 0 mω02

(5.30)

Jeśli w jednostce objętości jest N atomów, to moment dipolowy przypadający na jednostkę objętości, czyli polaryzacja

P = Np = Nαε 0 E

(5.31)

Widać stąd, że podatność elektryczna — patrz wzór (5.22)

χ = Nα

(5.32)

a przenikalność elektryczna względna — patrz wzór (5.25)

ε r = 1 + Nα

(5.33)

Po uwzględnieniu zależności (5.30)

εr = 1+

Ne 2 mω02ε 0

(5.34)

Częstość ω0 jest częstością absorpcji optycznej. W celu obliczenia przybliżonej wartości ω0 przyjmujemy, że jest ona równa częstości promieniowania o energii równej energii jonizacji atomu wodoru. Energia jonizacji atomu wodoru (patrz przykład 2.2)

Ej =

Marek

Pilawski

me 4 8h 2ε 02

(5.35)

Strona 183

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Porównując ją z energią ћω0

ω0 = Uwzględniając

wyznaczoną

2πme 4 8h 3ε 02

wartość

(5.36) ω0

w

równaniu

(5.34)

wykonując

odpowiednie obliczenia otrzymuje się εr = 1,00020. Wartość stałej elektrycznej względnej wodoru wyznaczona doświadczalnie jest równa 1,00026. (Do obliczeń przyjęto N = 3⋅1019 atomów na centymetr sześcienny). Dotychczasowe rozważania dotyczyły dielektryków liniowych. Istnieje jednak pewna

grupa

zewnętrznego

dielektryków, pola

w

elektrycznego,

których a

zależność

polaryzacją,

jest

między

natężeniem

nieliniowa.

Są

to

dielektryki ferroelektryczne, czyli ferroelektryki. Obrazem graficznym tej nieliniowej

zależności

jest

pętla

histerezy

elektrycznej,

którą

można

zaobserwować w układzie przedstawionym na rys. 5.18. Zjawisko

ferroelektryczności

jest

wynikiem

istnienia

spontanicznej

polaryzacji (bez udziału zewnętrznego pola elektrycznego) występującej w niewielkich obszarach kryształu zwanych domenami (patrz ferromagnetyzm — p. 5.6.2). Zewnętrzne pole elektryczne działające na kryształ powoduje zgodne ustawienie różnych kierunków spontanicznej polaryzacji poszczególnych domen. Zgodne ustawienie zbiorów dipoli tworzących domeny prowadzi w tym przypadku do polaryzacji całego kryształu (rys. 5.19). Z kształtu pętli histerezy elektrycznej można określić polaryzację nasycenia Ps, remanencję (polaryzację szczątkową, pozostałość magnetyczną) Pr oraz pole koercji Ec. Ferroelektryki spolaryzowane, podobnie jak ferromagnetyki, po zaniknięciu zewnętrznego pola zachowują przez pewien czas stan nabytej polaryzacji (polaryzacja Pr) i mogą dzięki temu wytwarzać na zewnątrz pole elektryczne.

Marek

Pilawski

Strona 184

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.18 Układ do obserwacji pętli histerezy elektrycznej (a) oraz pętla histerezy elektrycznej ferroelektryków (b)

Rys. 5.19 Ferroelektryk: a) w stanie swobodnym ; b) spolaryzowany w zewnętrznym polu elektrycznym

W układzie przedstawionym na rys. 5.18 napięcie Ux na kondensatorze z dielektrykiem badanym jest proporcjonalne do natężenia pola elektrycznego E wytwarzanego przez źródło napięcia. Napięcie U0 na wzorcowym kondensatorze powietrznym C0 jest proporcjonalne do ładunku Q0 zgromadzonego na jego okładzinach

Marek

Pilawski

Strona 185

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki U0 =

Q0 C0

Ponieważ kondensatory są połączone szeregowo, to Q0 = Qx i U0 ~ Qx. Wartość ładunku Qx jest proporcjonalna do gęstości powierzchniowej σx tego ładunku, a ta zaś — do polaryzacji dielektryka. Ostatecznie U0 ~ P. W dielektrykach, w czasie procesu polaryzacji, obserwuje się przepływ prądu polaryzacyjnego (prądu przesunięcia). Jest on wynikiem relaksacyjnego* ruchu ładunków związanych i po spolaryzowaniu dielektryka zanika. Przebieg prądów polaryzacyjnych dielektryka obserwuje się w układzie przedstawionym na rys. 5.20. Napięcie Ux na kondensatorze z dielektrykiem badanym jest proporcjonalne do natężenia pola elektrycznego E. Napięcie U0 na rezystorze wzorcowym R0 jest proporcjonalne do prądu i płynącego przez badany dielektryk. W przypadku ferroelektryków zależność prądu polaryzacyjnego od natężenia

zewnętrznego

pola

elektrycznego

nosi nazwę

prądowej

pętli

histerezy ferroelektrycznej. Zjawisko ferroelektryczności wykazują tylko kryształy nie wykazujące środka symetrii i mające wyróżniony kierunek, tzw. osi ferroelektrycznej (biegunowej). Spontaniczna polaryzacja jest spowodowana istnieniem wewnątrz kryształów bardzo silnego pola elektrycznego powstałego wskutek oddziaływania między jonami sieci krystalicznej. * Relaksacja — zjawisko powrotu do stanu równowagi.

Rys. 5.20 Układ do obserwacji prądowej pętli histerezy ferroelektrycznej (a) i prądowa pętla histerezy ferroelektrycznej (b)

Marek

Pilawski

Strona 186

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Do najlepiej poznanych ferroelektryków należy sól Seignette'a i tytanian baru. Współcześnie opracowano szereg innych materiałów o silnych właściwościach ferroelektrycznych. Faza ferroelektryczna niektórych kryształów, np. soli Seignette'a, występuje w ściśle określonym przedziale temperatury, ograniczonym górną i dolną granicą temperatury Curie θc. Większość kryształów wykazuje tylko jedną wartość temperatury Curie — górną. Tabela 5.2

Właściwości niektórych materiałów ferroelektrycznych

Nazwa

Wzór chemiczny

Temperatura Curie θc 0 C

Sól Seignette'a

NaKC4H4O64H2O

—18 + 24

0,27

2

9⋅103

Dwuwodorofosfora n potasu Tytanin baru

KH2PO4 BaTiO3

—150 + 118

5,3 26

— 5

105 104

(NH4)2Cd2(SO4)3

—186

0,3

150

10

Siarczan amonowo-kadmowy

Polaryzacja spontaniczna × l 0-4 C⋅m-1

E0 × l 0-4 V⋅m-1

εr max

W temperaturze powyżej górnej temperatury Curie ruchy termiczne jonów niszczą uporządkowanie charakterystyczne dla fazy ferroelektrycznej. Poniżej dolnej temperatury Curie kryształy przechodzą do innej fazy krystalicznej, nie posiadającej struktury domenowej. Jak widać z rys. 5.21 i 5.22, przenikalność elektryczna ferroelektryków silnie zależy od temperatury i innych czynników zewnętrznych. Między innymi obserwuje się zależność przenikalności elektrycznej od natężenia stałego pola polaryzującego (rys. 5.22).

Rys. 5.21 Zależność przenikalności elektrycznej względnej od temperatury dla tytanianu baru BaTiO3

Marek

Pilawski

Strona 187

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.22 Zależność przenikalności elektrycznej względnej tytanianu baru BaTiO3 od natężenia pola elektrycznego

Ferroelektryki stosuje się na ogół w postaci spieków ceramicznych, głównie w produkcji kondensatorów ceramicznych. Wszystkie ferroelektryki są zarazem dobrymi piezoelektrykami (patrz dalej). Szczególnym rodzajem dielektryków są elektrety. Płytka elektretowa jest elementem wytwarzającym w otaczającej go przestrzeni trwałe pole elektryczne. Istnienie elektretów przewidział już w 1896 r. fizyk angielski O. Heaviside. Przypuszczał on, że w przyrodzie powinny istnieć trwale spolaryzowane dielektryki, tak jak istnieją trwale magnesowane materiały magnetyczne. Rozpatrywał również teoretycznie niektóre właściwości elektretów. Pierwsze elektrety wykonano dopiero w latach dwudziestych obecnego stulecia. Zostały one wytworzone przez japońskiego fizyka Eguchi z mieszaniny żywicy karnauba, kalafonii i wosku pszczelego (wosk karnauba jest to żywica zbierana z palm rosnących w Ameryce Południowej). Mieszanina wosku karnauba, kalafonii i wosku pszczelego jest dielektrykiem o niskiej temperaturze topnienia. Jest to fakt bardzo ważny, gdyż ułatwia on wykonanie elektretu. Elektrety trzeba bowiem wytwarzać, nie występują one w przyrodzie samorzutnie, tak jak niektóre magnesy trwałe. Elektrety powstają przez nagrzewanie podanej mieszaniny do temperatury topnienia i powolne jej studzenie w silnym polu elektrycznym. Urządzenie do wytwarzania elektretów przypomina więc duży kondensator, wewnątrz którego znajduje się roztopiona mieszanina. Do okładzin kondensatora doprowadzone jest wysokie napięcie stałe. Dielektryk w silnym polu elektrycznym ulega polaryzacji. Polaryzacja dielektryka

Marek

Pilawski

Strona 188

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki związana jest z orientacją momentów dipolowych w kierunku działającego zewnętrznego pola elektrycznego. Oczywiście mowa jest o cząsteczkach, które mają własny moment dipolowy. Obroty dipolowych cząsteczek dielektryka są ułatwione, jeśli znajduje się on w stanie płynnym. Przy krzepnięciu dielektryka cząsteczki zachowują swoją orientację, jeśli w dalszym ciągu działa na nie zewnętrzne pole elektryczne. Całkowite skrzepnięcie dielektryka „elektretowego” zamraża jakby dipole. W dielektryku stałym nie mają one możliwości obrotu i pozostają

w

swym

elektrycznego.

położeniu

Wymuszona

nawet

polem

po

odłączeniu

elektrycznym

zewnętrznego

orientacja

pola

dipolowych

cząsteczek dielektryka jest więc zjawiskiem trwałym. Dielektryk po ostudzeniu i wyjęciu z obszaru działania pola elektrycznego jest zatem elektretem, gdyż teraz sam wytwarza na zewnątrz pole elektryczne (rys. 5.23).

Rys. 5.23 Linie sił pola elektrycznego (a) i podstawowy układ pracy elektretu (b)

Pierwsi twórcy elektretów starali się wyjaśnić naturę tego zjawiska. Pierwsze pytanie, jakie się nasunęło, dotyczyło rozkładu ładunków elektrycznych. Zaczęto sprawdzać, czy przypadkiem pole elektryczne elektretu nie jest wynikiem istnienia na jego powierzchni ładunku powierzchniowego — okazało się, że nie. Po

naświetleniu

powierzchni

dielektryka

promieniowaniem

rentgenowskim,

nagrzaniu w płomieniu, przemyciu wodą i alkoholem pole elektretu zmniejszało się, ale po jakimś czasie znowu odtwarzało się. Sam Eguchi wykonał następujące doświadczenie. Uziemionym nożem zeskrobał on wierzchnią warstwę wosku. Elektret

pozbawiony

warstwy

wierzchniej

zawsze

jednak

wytwarzał

pole

elektryczne. Wynika z tego, że ładunki elektretu rozmieszczone są w całej objętości dielektryka.

Marek

Pilawski

Strona 189

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez elektrety może być duże — do ok. 33⋅105 V⋅m-1. Większe już być nie może, gdyż nastąpiłoby przebicie powietrza. Badania właściwości elektretów doprowadziły do powstania, w końcu lat trzydziestych, fotoelektretów. Fotoelektrety powstają przez naświetlenie silnym strumieniem

świetlnym

fotoprzewodzącej

siarki

umieszczonej

w

polu

elektrycznym. Po usunięciu pola elektrycznego i usunięciu strumienia świetlnego powstawał elektret, który tracił swoje ładunki przy naświetlaniu. W ciemności natomiast ładunek utrzymywał się przez okres kilku miesięcy. Elektrety mogą powstawać także bez pomocy pola elektrycznego. Noszą wtedy nazwę pseudoelektretów. Pseudoelektrety powstają przez napromieniowanie powierzchni szkła borowo-krzemianowego wiązką promieniowania jądrowego (promieniowanie α, β, γ). Warunkiem powstania tego typu elektretów jest odpowiednio duża grubość dielektryka, która musi być większa niż maksymalny zasięg elektronów w danym ciele. Elektrony, np. o energii 2 MeV, wnikają do szkła borowo-krzemianowego na głębokość 4 mm i w tym przypowierzchniowym obszarze zostają w sposób trwały związane. Po przerwaniu naświetlania otrzymuje się elektret, którego trwałość jest zadowalająco długa. Elektrety wytwarza się z różnych materiałów. Oprócz wspomnianych wosków, również z polimetakrylanu metylu, nylonu, pleksiglasu, naftalenu, siarki, ebonitu, kalafonii, różnego rodzaju ciał organicznych — polimerów, oraz materiałów ceramicznych, szczególnie tytanianu wapnia, bizmutu, strontu, magnezu i cynku. W

podstawowym układzie

pracy

elektret umieszcza się

między

dwiema

metalowymi płytami (rys. 5.236). Jedna z płyt przylega do jego powierzchni, a druga jest umieszczona w odległości x od przeciwległej powierzchni. Jeśli na powierzchni dielektryka występuje ładunek o gęstości σ, to w płycie odległej o x indukuje się ładunek o gęstości

σ ind =

σ

εrx l

zależnej

od

odległości

elektrody

(5.37)

+1

od

powierzchni

elektretu.

Zjawisko

to

wykorzystuje się w wielu urządzeniach.

Marek

Pilawski

Strona 190

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Elektrety znajdują zastosowanie w wielu różnych dziedzinach techniki. Są one bardzo chętnie stosowane, gdyż znakomicie upraszczają konstrukcję różnych urządzeń. Poza tym urządzenia z elektretami nie wymagają na ogół zasilania. Są jednak pewne trudności hamujące ich rozpowszechnianie się jako taniego i prostego źródła pola elektrycznego. Trudność ta polega głównie na konieczności stosowania

specjalnych

materiałów

na

elementy

konstrukcyjne

urządzeń

elektretowych. Materiały stosowane na elektrety mają konduktywność rzędu 1013

...10-17 S⋅m-1, a więc bardzo małą. Jest to konduktywność, jaką mają bardzo

dobre dielektryki. Elementy konstrukcyjne urządzeń elektretowych powinny być wykonane z jeszcze lepszych dielektryków, o konduktywności co najmniej 104 razy mniejszej. Trudno jest znaleźć w przyrodzie takie izolatory. Niemniej jednak, bazując na elektretach, zbudowano między innymi układy do odchylania toru wiązki elektronów, filtry oczyszczające gaz z zanieczyszczeń jonowych, słuchawki i mikrofony, elektrometry, silniki, elementy pamięciowe, mierniki parametrów drgań i inne urządzenia (patrz p. 8.6) Niektóre dielektryki zmieniają swoje właściwości optyczne w obecności pola elektrycznego.

Dotyczy

to

zwłaszcza

kryształów

elektrooptycznych

przepuszczających promienie widzialne (światło). W dziedzinie elektrooptyki wykorzystuje się najczęściej dwa zjawiska: podłużny efekt elektrooptyczny (efekt Pockelsa) i poprzeczny efekt elektrooptyczny (efekt Kerra). W obu przypadkach wykorzystuje się zjawisko sterowanej dwójłomności.

Efekt Pockelsa obserwuje się w krysztale, na który naniesione są dwie przezroczyste elektrody (rys. 5.24). Światło spolaryzowane liniowo przechodząc przez te elektrody przenika przez kryształ w kierunku równoległym do linii sił pola elektrycznego wytworzonego przez te elektrody. W stanie beznapięciowym do fotodetektora nie dociera strumień świetlny, gdyż jest on wytłumiony w analizatorze „skrzyżowanym" z polaryzatorem. Dzieje się tak dlatego, że analizator przepuszcza światło spolaryzowane, ale w innej płaszczyźnie niż światło uformowane przez polaryzator. Po przyłożeniu napięcia kryształ staje się dwójłomny. Wiązka padająca, spolaryzowana liniowo, rozdziela się na dwie wiązki spolaryzowane liniowo, lecz w płaszczyznach wzajemnie do siebie prostopadłych (patrz p. 4.1). Wiązka o płaszczyźnie polaryzacji równoległej do płaszczyzny polaryzacji analizatora przechodzi przez analizator i w obwodzie

Marek

Pilawski

Strona 191

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki pomiarowym niskiego napięcia daje odpowiedni sygnał elektryczny. Natężenie tej wiązki jest zależne od przyłożonego napięcia według wzoru

I = I m sin 2 c pU Im — natężenie maksymalne wiązki promieniowania, cp — stała

(5.38) zależna od

rodzaju użytego kryształu, U — napięcie przyłożone do komórki Pockelsa.

Rys. 5.24 Elektrooptyczny przekładnik napięciowy z komórką Pockelsa

Funkcja opisana wzorem (5.38) jest funkcją okresową względem napięcia. Wielkość I = Im jest wartością maksymalną funkcji osiąganą przy napięciu U równym tzw. napięciu półfali

Uλ /2 =

π 2c p

Wartość napięcia półfali jest bardzo ważnym parametrem charakteryzującym właściwości elektrooptyczne kryształów. Dla najczęściej stosowanych kryształów wynosi ona kilka kilowoltów, np. dla dwuwodorofosforanu potasu KH2PO4 napięcie półfali Uλ/2 = 7,5 kV, a dla dwuwodorofosforanu amonu NH4H2PO4 napięcie półfali Uλ/2 = 8,6 kV, przy długości fali λ = 0,547 µm. Efekt Pockelsa wykorzystuje się w komórkach Pockelsa, które z kolei wykorzystuje się do budowy amplitudowych modulatorów światła. Ze względu na dużą wartość napięcia półfali modulatory te stosuje się w elektrooptycznych przekładnikach napięciowych*. Zaletą tych przekładników jest: — rozdzielenie galwaniczne obwodu wysokiego napięcia od obwodu niskiego napięcia, — możliwość dowolnego przestrzennego rozmieszczania strony pierwotnej i wtórnej przekładnika poprzez

zastosowanie światłowodów (patrz p. 9.7),

— możliwość pracy przy napięciu stałym i przemiennym,

Marek

Pilawski

Strona 192

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki — duża szybkość działania (do dziesiątków gigaherców). Do wad należy nieliniowa charakterystyka przetwarzania.

Efekt Pockelsa, zwany również liniowym zjawiskiem elektrooptycznym, występuje tylko w kryształach, a natężenie przechodzącej wiązki nie zależy od rozmiarów kryształu. Zjawisko sterowanej dwójłomności występuje również w przypadku, gdy światło rozchodzi się w krysztale w kierunku prostopadłym do linii sił pola elektrycznego (efekt Kerra).

Rys. 5.25 Elektrooptyczny przekładnik napięciowy z komórką Kerna

Efekt

Kerra

jest

podstawą

działania

komórek

Kerra,

które

również

wykorzystuje się do budowy amplitudowych modulatorów światła (rys. 5.25). Charakterystyka przetwarzania w tym przypadku jest opisana zależnością * Porównaj z magnetooptycznym przekładnikiem prądowym — p. 5.5.

 U2  I = I 0 sin 2  πBl 2  d  

(5.40)

B — stała Kerra, l — długość drogi optycznej, d — grubość kryształu. Efekt Kerra, zwany również kwadratowym efektem elektrooptycznym występuje nie tylko w kryształach, lecz również w cieczach, np. w nitrobenzenie. Natężenie przechodzącej wiązki zależy od rozmiarów ośrodka. Ciekłe kryształy, należące do grupy cieczy dielektrycznych również zmieniają swoje

właściwości

wykorzystuje

się

optyczne w

nich

w efekt

obecności pola sterowanej

elektrycznego.

dwójłomności,

Najczęściej

dynamicznego

rozpraszania światła (rys. 5.26), skręcanie płaszczyzny polaryzacji, pamięci

Marek

Pilawski

Strona 193

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki optycznej oraz efekt sterowanego selektywnego odbicia. Na przykład w ciekłokrystalicznych

wskaźnikach

cyfrowych

używanych

w

kalkulatorach

i

zegarkach ręcznych wykorzystuje się zjawisko skręcania płaszczyzny polaryzacji.

Rys. 5.26 Elektrooptyczna komórka ciekłokrystaliczna

Przy omawianiu ferroelektryków wspomniano, że występuje w nich zjawisko piezoelektryczne (patrz też p. 8.7). Zjawisko piezoelektryczne polega na powstawaniu

ładunku

elektrycznego

na

ściankach

kryształu

poddanego

naprężeniom mechanicznym. Wartość ładunku jest przy tym proporcjonalna do odkształcenia ∆l kryształu. W piezoelektrykach obserwuje się również zjawisko odwrotne, zwane zjawiskiem elektrostrykcji (rys. 5.27). Polega ono na zmianie wymiarów liniowych kryształu, w którym za pomocą elektrod i doprowadzonego do nich napięcia wytworzono pole elektryczne.

Rys. 5.27 Ilustracja zjawiska elektrostrykcji w piezoelektrykach

Odkształcenia kryształu piezoelektrycznego w polu elektrycznym są sprężyste, tzn. po zaniku pola kryształ powraca do swego poprzedniego kształtu. W polu elektrycznym zmiennym piezoelektryk wykonuje drgania, przy czym amplituda tych drgań jest największa wtedy, kiedy częstość zmian pola jest zgodna z częstością drgań własnych (częstością rezonansową) mechanicznych. Zjawisko elektrostrykcji wykorzystuje się w elektronice do stabilizacji drgań w obwodach elektrycznych, w elektroakustyce — do wytwarzania fal akustycznych w słuchawkach i in. . .

Marek

Pilawski

Strona 194

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 5.4.2 Wpływ pola elektrycznego na przewodniki. Zjawisko prądu elektrycznego Wynikiem oddziaływania pola elektrycznego na przewodniki jest zjawisko prądu elektrycznego. W dalszych rozważaniach będziemy rozróżniali dwa znaczenia pojęcia prąd elektryczny: prąd elektryczny jako wielkość mierzalna i prąd elektryczny jako pewne zjawisko elektryczne. Najlepszymi przewodnikami prądu elektrycznego są metale. Właściwości ich dobrego przewodnictwa wyjaśnia teoria elektronowa budowy metali. Według tej teorii

metale

charakteryzują

się

budową

krystaliczną.

W

węzłach

sieci

krystalicznej umieszczone są atomy (jony), zaś elektrony walencyjne mają możliwość swobodnego poruszania się wewnątrz kryształu. Średnio przyjmuje się, że jeden taki swobodny elektron przypada na jeden do czterech atomów. Ładunek ujemny swobodnych elektronów kompensuje dodatni ładunek sieci i metal jako całość jest elektrycznie obojętny. Elektrony

swobodne

metalu

mają

łatwość

ruchu

pod

działaniem

sił

zewnętrznych, gdyż oprócz zderzeń z atomami umieszczonymi w węzłach sieci krystalicznej nie działają na nie żadne siły hamujące. Zachowanie się przewodnika w zewnętrznym polu elektrycznym ilustruje rys. 5.28. Dwie płyty naładowane różnoimiennie ładunkiem elektrycznym rozłożonym z gęstością powierzchniową σ wytwarzają pole elektryczne o natężeniu E. Na powierzchniach przewodnika umieszczonego w tym polu indukuje się ładunek o gęstości powierzchniowej σind. Ładunek ten jest wytworzony przez elektrony swobodne metalu, zatem σ = σind. Ładunek indukowany wytwarza własne pole elektryczne o natężeniu Eind skierowane przeciwnie niż pole zewnętrzne. Wypadkowe pole elektryczne wewnętrzne przewodnika jest więc bardzo małe, bliskie zeru. Przewodnika zatem nie da się spolaryzować (porównaj z natężeniem pola magnetycznego wewnątrz rdzenia ferromagnetycznego, przykład 5.11). Siła wywierana na elektrony przez tak małe pola jest niewielka. Również i prędkości uzyskiwane przez elektrony w przewodniku są małe, rzędu ułamków milimetra na sekundę. Duża gęstość prądu uzyskiwana w przewodnikach tłumaczy się dużą koncentracją elektronów swobodnych, zawierającą się dla różnych metali w granicach od 0,25⋅1029/m3 do 1029/m3. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz

Marek

Pilawski

Strona 195

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki przewodnika zależy od jego konduktancji. W celu znalezienia tej zależności rozpatrzmy właściwości makroskopowe odcinka przewodu elektrycznego o długości l powierzchni przekroju S, wiodącego prąd I (rys. 5.29). Dla przewodników stosuje się prawo Ohma zapisywane matematycznie jako

U = RI

(5.41)

U — napięcie na końcach przewodnika (rezystora), R — rezystancja, I—prąd w przewodniku.

Rys. 5.28 Przewodnik w polu elektrycznym

Rys. 5.29 Element przewodnika przewodzący prąd elektrycznych o gęstości J

Zgodnie z prawem Ohma, zależność między prądem i napięciem jest dla przewodników

zależnością

liniową.

Współczynnik

proporcjonalności

między

prądem i napięciem nazwano rezystancją (oporem elektrycznym). Rezystancja zależy od wymiarów geometrycznych obwodu, zgodnie z wzorem

R=ρ

l S

(5.42)

ρ — rezystywność (opór elektryczny właściwy) zależna od rodzaju przewodnika. Rezystywność metali jest niewielka, dla miedzi np. ρ = 2⋅10-8 Ω⋅m. Oprócz rezystywności do opisu właściwości elektrycznych metali wprowadza się pojęcie konduktywności (przewodności elektrycznej właściwej). Konduktywność jest odwrotnością rezystywności

γ=

Marek

Pilawski

1

ρ

(5.43)

Strona 196

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Dla miedzi wynosi ona γ = 5⋅107 S⋅m-1. Zależność (5.42), wykorzystując konduktywność, ma więc postać

R=

l γS

(5.44)

Prawo Ohma można zatem zapisać w postaci

U=

lI γS

(5.45)

We wzorze (5.45)

I =J S

(5.46)

U = El

(5.47)

to ostatecznie

E=

J

(5.48)

γ

Wzory (5.46) i (5.48) wyrażają bardzo ważne związki między wielkościami opisującymi cechy przewodników i będą wykorzystywane dalej. Do tej pory używaliśmy terminu — prąd elektryczny — nie podając jego definicji. Obecnie omówimy dokładniej zjawisko prądu. Rozpocznijmy od obiegowej definicji : Prąd elektryczny jest to zjawisko ukierunkowanego (uporządkowanego) ruchu ładunków elektrycznych i związane z tym ruchem ładunków elektrycznych pole magnetyczne. Rozpatrzmy

tak

rozumiane

zjawisko

prądu

elektrycznego

na

przykładzie

przewodników metalicznych, a więc ukierunkowany ruch elektronów. Przykład 5.5 Wyznaczyć wartość mocy energii kinetycznej uporządkowanego ruchu elektronów w przewodniku miedzianym o konduktywności (przewodności właściwej) γ = 50⋅106 S⋅m-1, długości l = 1 m, powierzchni przekroju poprzecznego S = 1 mm2 (10-6 m2) wiodącego prąd I = 5 A. Porównać otrzymaną energię z mocą traconą w tym przewodniku. Do obliczeń przyjąć ładunek elektronu e = 1,6⋅10-19C.

Natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika — wzór (5.48)

E=

Marek

Pilawski

I γS

Strona 197

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki jest przyczyną siły działającej na elektron

Fe = eE Natężenie pola jest niewielkie, E = 0,1 V⋅m-1. Elektrony pod wpływem tego pola poruszają się z prędkością średnią rzędu 1 m⋅s-1 (jednego milimetra na sekundę). Do naszych obliczeń przyjmijmy więc dalej, że v = 10-3 m⋅s-1. Przyjmijmy

również

wstępnie,

że

28

przewodniku wynosi ok. n ≈ 5⋅10

średnia

koncentracja

elektronów

w

elektronów na metr sześcienny. Na elektrony

zawarte w 1 m3 działa więc siła

Fne = neE Na elektrony zawarte w całym przewodniku działa siła

F = neEV gdzie V jest objętością przewodnika wyrażoną w m3. W naszym przypadku V = 10-6 m3. Moc uporządkowanego ruchu elektronów

Pe = neEVv = ne

I Vv γS

Wykonując obliczenia

Pe = 5 ⋅10 28 ⋅1,6 ⋅10 −19 ⋅

5 ⋅10 −6 ⋅10 −3 = 0,8W 50 ⋅10 6 ⋅10 −6

Moc traconą w przewodniku wyraża się wzorem P = RI2, gdzie rezystancja przewodnika

R=

l γS

P=

lI 2 γS

a zatem

Obliczając wartość wyrażenia

Pe =

1 ⋅ 52 = 0,5W 50 ⋅ 106 ⋅ 10− 6

Na „pierwszy rzut oka” wydaje się, że otrzymane wyniki nie są zgodne. Jednak wobec

poczynionych

założeń

i

przybliżeń

dotyczących

prędkości

ruchu

elektronów i ich koncentracji, otrzymane wartości mocy P i Pe można uznać za zgodne. Oznacza to, że energia kinetyczna ruchu elektronów jest w całości tracona na ciepło Joule'a-Lenza. Z rozważań tych wynika, że prąd elektryczny,

Marek

Pilawski

Strona 198

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki rozumiany jedynie jako ruch elektronów, nie może wykonywać pracy, gdyż energia dostarczona elektronom w całości zamienia się na ciepło. A przecież układy

przewodników

z

prądem

zdolne

są

do

wykonania

dużej

pracy

mechanicznej (silniki elektryczne). Skąd się bierze ta energia? Źródłem tej energii jest pole elektromagnetyczne wytwarzane przez przewodnik z prądem. W przewodnikach jednak prawie cała energia elektryczna przenoszona jest w postaci pola magnetycznego, a w przypadku prądu stałego — tylko w postaci pola magnetycznego. Wykażemy to rozwiązując problem przedstawiony w przykładzie 5.6. Przykład 5.6 Wyznaczyć wartość stosunku gęstości energii pola magnetycznego do gęstości energii pola elektrycznego dla pól wytwarzanych przez przewodnik z prądem.

Ponieważ gęstość energii pola elektrycznego — patrz wzór (1.51)

1 we = εE 2 2 a gęstość energii pola magnetycznego — patrz wzór (1.59)

1 µH 2 2

wm = to

wm µ H 2 = we ε E 2 Ponieważ — patrz wzór (4.16)

H=

E Zf

to ostatecznie

wm µ 1 = we ε Z f

2

Zf — impedancja falowa ośrodka. Zgodnie z wzorem (1.69)

wm µ = we ε

ε2 γ2 + µ 2 ω2µ 2

ω — częstość prądu przepływającego przez ośrodek o konduktywności γ.

Marek

Pilawski

Strona 199

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Powyższy wzór można zapisać również w postaci

wm γ2 = 1+ 2 2 we ω ε

(5.49)

Dla ośrodków o dużej konduktywności

wm γ = >> 1 we ωε W przypadku przewodników prawie cała energia prądu elektrycznego jest przenoszona w postaci pola magnetycznego, zaś energia prądu stałego (ω = 0) istnieje już wyłącznie w postaci pola magnetycznego. Powyższe rozważania są słuszne dla częstości niezbyt dużych, takich, jakie zwykle stosuje się w technice. Jak widać, za energetyczne działanie prądu elektrycznego jest odpowiedzialne pole magnetyczne. Rozprzestrzenia się ono wzdłuż przewodów z prędkością światła, wzbudzając ruch elektronów niemalże jednocześnie we wszystkich częściach obwodu. Pole elektromagnetyczne (lub magnetyczne) rozciąga się przy tym tuż przy po wierzchni przewodnika, a sam przewodnik trasuje jakby drogę do przepływu energii elektrycznej, sam nie biorąc w tym procesie przepływu udziału. A zatem można następująco określić prąd elektryczny. Prąd elektryczny jest to zjawisko transportu energii elektrycznej przy użyciu przewodników elektryczności. Do tak rozumianego zjawiska prądu należą wszystkie zjawiska towarzyszące, a więc i ruch elektronów, i nagrzewanie się przewodników, i wzbudzane pole magnetyczne, itd. Problem przewodności materiałów i przewodników prądu można rozpatrywać tylko w określonym przedziale częstotliwości prądów. Przy częstotliwościach dużych materiały tracą swoje właściwości przewodzące (patrz p. 5.4.3), a same przewodniki są coraz mniej potrzebne w procesie transportu energii. Przy odpowiednio dużych częstotliwościach energię elektryczną przesyła się tak jak fale, a więc w falowodach (p. 9.6), światłowodach (p. 9.7) lub bezpośrednio w przestrzeni (p. 9.5).

Marek

Pilawski

Strona 200

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Pozostając w dziedzinie techniki, jaką jest elektrotechnika, należy uwzględnić pole magnetyczne przewodników z prądem. Do obliczania natężenia tego pola posługujemy się prawem Biota-Savarta, którego matematyczna postać jest następująca (rys. 5.30)

dH =

I dl sin α 4π r 2

(5.50)

przy czym: r — odległość elementu dl obwodu od rozpatrywanego punktu pola; α — kąt, jaki tworzy kierunek odcinka dl obwodu z kierunkiem odcinka r; l — prąd płynący przez rozpatrywany obwód; dH — natężenie pola magnetycznego wytworzone przez element dl.

Rys. 5.30 Ilustracja prawa Biota-Savarta

Obliczenie natężenia pola magnetycznego od całego obwodu wymaga dodawania natężeń dH pochodzących od wszystkich odcinków dl na jakie można podzielić kontur, czyli operacji całkowania po konturze tego obwodu. Przykład 5.7 Korzystając z prawa Biota-Savarta obliczyć natężenie pola magnetycznego w punkcie odległym o a = 5 cm od nieskończenie długiego przewodnika (rys. 5.31) wiodącego prąd I = 628 A (patrz przykład 1.12).

Zgodnie z prawem Biota-Savarta

dH = Ponieważ r =

α cos β

I dl sin α 4π r 2

;α = 90° + β i sin α = cos β , to I cos 2 β dl dH = 4πa 2

Z zależności trygonometrycznych wynika również, że l = a tg β

dl =

a dβ cos 2 β

a zatem

Marek

Pilawski

Strona 201

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki I

dH =

4πa

cos βdβ

Aby uwzględnić natężenie pola pochodzącego od całej długości przewodnika, całkowanie należy przeprowadzić w granicach od -90° do +90°

H=

+90°

I

∫ °cos βdβ 4πa −90

Po wykonaniu operacji całkowania (patrz dodatek F)

H=

I 2πa

Wykonując obliczenia

H=

628 = 2000 A ⋅ m −1 2π ⋅ 0,05

Rys. 5.31 Odcinek liniowego przewodnika elektryczności Przykład 5.8

Korzystając z prawa Biota-Savarta obliczyć natężenie pola magnetycznego w środku przewodnika kołowego o promieniu r = 0,5 m wiodącego prąd I = 100 A (rys. 5.32). Zgodnie z prawem Biota-Savarta

dH =

I dl sin α 4π r 2

Ponieważ α = 90° i sin α = 1, to

dH =

I dl 4πr 2

Po wykonaniu operacji całkowania

Marek

Pilawski

Strona 202

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki I 4πr 2

H=

2πr

∫ dl 0

uzyskuje się

H=

I 2r

Obliczenia wykazują, że H = 100 A⋅m-1

Rys. 5.32 Ilustracja przykładu 5.8 Przykład 5.9 Korzystając z prawa Biota-Savarta obliczyć natężenie pola magnetycznego w punkcie położonym na osi symetrii w odległości a = 0,5 m od środka przewodnika kołowego o promieniu R = 0,5 wiodącego prąd I = 100 A (rys. 5.33).

Zgodnie z prawem Biota-Savarta

dH =

I dl sin α 4π r 2

Ponieważ α = 90°; sin α = 1 i r 2 = R 2 + a 2 , to

dH =

I dl 2 4π R + a 2

Składowa normalna Hn natężenia pola magnetycznego H jest równa zeru. Natężenie pola w rozpatrywanym punkcie jest równe składowej poziomej Hh natężenia pola H. W naszym więc przypadku

dH h = dH cos β a ponieważ cos β =

R gdzie r = R 2 + a 2 , to r dH h =

Marek

Pilawski

I R dl 4π r R 2 + a 2

Strona 203

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Ostatecznie więc

IR

dH h =

(R

4π

2

)

3

+ a2

dl

Całkowanie przeprowadza się w granicach od 0 do 2πR,a zatem

IR

Hh = 4π

(R

2

+a

3 2 2

2πR

)

i ostatecznie

H=

IR

(

2 R2 + a2

)

3 2

Po wykonaniu obliczeń otrzymuje się H = 36 A⋅m-1.

Rys. 5.33 Ilustracja przykładu 5.8

5.4.3 Wpływ pola elektrycznego na półprzewodniki Półprzewodniki stanowią grupę materiałów o właściwościach elektrycznych pośrednich temperaturze

między zera

dielektrykami bezwzględnego

i

przewodnikami. są

doskonałymi

Półprzewodniki

w

dielektrykami,

w

temperaturze pokojowej natomiast ich pasmo przewodzenia jest częściowo obsadzone. Zajmują je nośniki ładunków o energii zwiększonej w temperaturze pokojowej. Ponadto na skutek małej przerwy energetycznej łatwo jest zmusić nośniki, za pomocą pola termicznego lub elektrycznego bądź magnetycznego, do przejścia z pasma podstawowego do pasma przewodnictwa. W półprzewodnikach na ogół nakładają się na siebie zjawiska elektryczne i zjawiska cieplne wywołane przepływem prądu. W zależności od rodzaju i przeznaczenia półprzewodnika wykorzystuje się efekt cieplny lub elektryczny przepływu prądu. Ze

Marek

względu

na

Pilawski

wrażliwość

półprzewodników

na

działanie

czynników

Strona 204

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki zewnętrznych

i

półprzewodnikowe

złożoność mogą

zachodzących mieć

w

nich

charakterystyki

zjawisk, o

elementy

różnorodnych

i

skomplikowanych kształtach. Za pomocą odpowiednich zabiegów technologicznych można łatwo modyfikować właściwości elementów półprzewodnikowych i miniaturyzować urządzenia z nich zbudowane. Dlatego też elementy te stosuje się obecnie głównie tam, gdzie nie występują duże moce, prądy i napięcia. Wyjątek mogą tu stanowić tyrystory (patrz p. 6.7). Półprzewodniki, z fizycznego punktu widzenia, wykazują jednakowe właściwości elektryczne i dielektryczne, tzn. że prąd przewodzenia i prąd przesunięcia oraz związane z nimi energie: magnetyczna i elektryczna są sobie w przybliżeniu równe. Jak pamiętamy — patrz przykład 5.6 — wzór na stosunek energii magnetycznej i elektrycznej ma postać

wm µ = we ε

ε2 γ2 + µ 2 ω2µ 2

W idealnym dielektryku, kiedy konduktywność γ = 0, energie niesione przez falę elektryczną i magnetyczną w fali elektromagnetycznej są sobie dokładnie równe — patrz wzór (5.49)

wm =1 we w idealnym przewodniku natomiast, kiedy γ → +∞

wm γ = we ωε Dla półprzewodników obydwa składniki po prawej stronie równania są sobie rów

γ =1 ωε

(5.51)

Z zależności (5.51) wyznacza się częstość graniczną prądu w materiale. Przyjmuje się, że poniżej tej wartości materiał ma właściwości przewodnika, a powyżej — właściwości dielektryka

ω gr =

Marek

Pilawski

γ ε

(5.52)

Strona 205

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Dla tej częstości

wm = 2 we Dla przykładu

można podać, że

(5.53)

częstotliwość

graniczna

fgr

== ωgr/2π,

5

wyznaczona z wzoru (5.52) dla miedzi wynosi ok. 10 MHz, wody morskiej ok. 103 MHz, piasku suchego ok. 3 MHz, kwarcu ok. 10-4 Hz.

5.5 Wpływ pola magnetycznego na gazy i ciecze Pole magnetyczne, podobnie jak pole elektryczne, oddziałuje z materią. Ciała umieszczone w polu magnetycznym zmieniają swoje właściwości. Również wiele zjawisk fizycznych przebiega inaczej w obecności pola magnetycznego niż bez tego pola. Różnorodność oddziaływań pól z materią, w tym przypadku, jest bardzo duża. Dla przykładu wymieńmy takie zjawiska jak: magnetokaloryczne, magnetoindukcyjne,

magnetowoltaiczne,

magnetorezystancyjne,

magnetooptyczne, magnetostrykcyjne itd. Dla nas największe znaczenie mają te zjawiska, w wyniku których ulegają zmianie właściwości elektryczne ciał. Będą one jednak omówione w dalszych rozdziałach i dotyczą szczególnie ciał stałych.

Gazy i ciecze słabo oddziałują z polem magnetycznym. Są one najczęściej dielektrykami, w których wszystkie ładunki elektryczne są mocno związane. Wytwarzane obecnie pola magnetyczne nie są w stanie naruszyć tych wiązań. Pole magnetyczne oddziałuje z umieszczonym w nim dielektrykiem pośrednio, poprzez pole elektryczne, które zawsze towarzyszy polu magnetycznemu. To wzbudzone pole elektryczne charakteryzuje się kołowym przebiegiem linii sił. Wzdłuż tych linii sił dielektryk będzie polaryzowany (patrz p. 5.4.1), a właściwie przepolaryzowany.

Polaryzacja

dielektryka

związana

jest

z

przesunięciem

momentów dipolowych molekuł, a to z kolei jest związane z prądem przesunięcia (patrz p. 1.4 — równania Maxwella). Prąd przesunięcia jest jedynym prądem, jaki może płynąć przez dielektryk idealny (brak ładunków swobodnych). Prąd ten jest stosunkowo słaby i nie towarzyszą mu straty energii na ciepło Joule'a. Pole magnetyczne może również zmieniać właściwości optyczne niektórych dielektryków i przezroczystych ferromagnetyków. Ciała te pod wpływem pola magnetycznego nabywają zdolność skręcania płaszczyzny polaryzacji światła. Zjawisko skręcania płaszczyzny polaryzacji światła odkrył M. Faraday i dlatego

Marek

Pilawski

Strona 206

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki też nosi ono nazwę zjawiska Faradaya. Zjawisko to można zaobserwować w układzie przedstawionym na rys. 5.34. Polaryzator polaryzuje liniowo wiązkę świetlną padającą na ośrodek magnetooptyczny, w którym wytworzone jest pole magnetyczne o natężeniu H, wzbudzone

za

pomocą

magnetooptyczny

nosi

cewki nazwę

z

prądem

komórki

I.

Cewka

Faradaya.

obejmująca Wiązka

ośrodek

świetlna,

po

opuszczeniu komórki Faradaya, przechodzi przez analizator, który normalnie jest skrzyżowany*

z

polaryzatorem.

Przy

braku

prądu,

w

nieobecności

pola

magnetycznego, na skutek skrzyżowania polaryzatora z analizatorem, do fotoelementu nie dociera strumień świetlny. Jeśli przez cewkę przepływa prąd, wzbudzając pole magnetyczne, ośrodek skręca płaszczyznę polaryzacji wiązki padającej o kąt

ϕ = VHl

(5.54)

V — stała Verdeta, H — natężenie pola magnetycznego w ośrodku, l — długość ce

Rys. 5.34 Schemat przekładnika prądowego wykorzystującego zjawisko Faradaya

Dla cewki długiej można w przybliżeniu napisać

H=

Iz l

(5.55)

z — liczba zwojów cewki a zatem

ϕ = VIz Ponieważ natężenie wiązki świetlnej opuszczającej analizator

E = E0 sin 2 ϕ

(5.56)

E0 — natężenie wiązki za analizatorem przy I = 0, to

E = E0 sin 2 (VIz )

(5.57)

W układzie przedstawionym na rys. 5.34 można mierzyć prąd I drogą pośrednią, przez pomiar prądu fotoelektrycznego. Układ stanowi więc jakby przekładnik prądowy, w którym informacja o wartości prądu zawarta jest w wiązce świetlnej.

Marek

Pilawski

Strona 207

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przekładnik działa zarówno przy prądzie stałym, jak i zmiennym. W przypadku prądu przemiennego o amplitudzie I0

E = E0 sin 2 (VI 0 z sin ωt )

(5.58)

Zjawisko Faradaya służy do celów bardzo szybkiej modulacji światła, bowiem ośrodek nabywa właściwości magnetooptycznych w czasie krótszym niż czas przechodzenia wiązki świetlnej przez ten zjawisku

jest

to,

że

światło

rozchodzi

ośrodek. Istotną rzeczą w tym się

równoległe

do

linii sił pola

magnetycznego. Zjawisko Faradaya jest wykorzystywane w technice pomiarowej do pomiaru prądów i przesyłania informacji pomiarowych. * „Skrzyżowanie” oznacza wzajemnie prostopadłe usytuowanie kierunków polaryzacji polaryzatora i analizatora.

5.6 Wpływ pola magnetycznego na ciała stałe 5.6.1 Diamagnetyki i paramagnetyki W punkcie 5.5 omówiliśmy niektóre właściwości ciał wynikające z faktu umieszczenia ich w polu magnetycznym. Nie były one związane jednak ze zjawiskami magnetycznymi zachodzącymi w samych ciałach. Obecnie omówimy właściwości magnetyczne ciał. Ze względu na sposób oddziaływania ciał z zewnętrznym polem magnetycznym dzielimy je na: diamagnetyczne, paramagnetyczne i ferromagnetyczne. Paramagnetykami i diamagnetykami mogą być ciecze, gazy i ciała stale, natomiast grupę ferromagnetyków tworzą jedynie niektóre metale i tlenki metali. Właściwości

magnetyczne

materii,

a

szczególnie

ferromagnetyzm

i

paramagnetyzm, są wynikiem właściwości magnetycznych: atomów, elektronów i protonów. Cząstki te w atomie są w stanie ciągłego ruchu. Protony i elektrony obracają się wokół własnej osi, a ponadto elektron obiega jądro atomowe po orbitach

w

przybliżeniu

kołowych.

Każdy

ruch

naładowanych

cząstek

elementarnych można umownie traktować jako przepływ prądu, który jest źródłem pola magnetycznego. Atom można więc umownie traktować jak najmniejszy w przyrodzie tzw. magnes elementarny. Oddziaływanie pól magnetycznych tych właśnie magnesów elementarnych z zewnętrznym polem magnetycznym warunkuje właściwości magnetyczne bryły materii.

Marek

Pilawski

Strona 208

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 5.10 Obliczyć indukcję magnetyczną B0 w środku orbity kołowej elektronu atomu wodoru wywołaną ruchem elektronu po tej orbicie. Do obliczeń przyjąć promień orbity r0 = 0,53⋅10-10 m (patrz przykład 2.2) i µ0 = 4π⋅10-7 H⋅m-1.

Prąd wynikający z ruchu elektronu po orbicie kołowej można wyrazić zależnością

i=

e T

e = 1,6⋅10-19 C — ładunek elektronu, T = 1,5⋅10-16 s -— czas obiegu orbity. Przewodnik kołowy za jaki możemy uważać krążący elektron jest źródłem pola magnetycznego o indukcji (patrz przykład 5.8)

B=

µ 0i 2r

w tym przypadku

B0 =

µ0e 2Tr0

Po wykonaniu obliczeń B0 = 12,3 T. W atomach płaszczyzny orbit elektronowych ustawione są pod różnymi kątami. W obecności zewnętrznego pola magnetycznego orbity mogą przyjmować jednak tylko ściśle określone położenia względem linii sił tego pola. Wynika to z pewnych reguł kwantowych. Rozpatrzmy zachowanie się atomu, w którym elektron krąży po orbicie kołowej. Prostopadle do płaszczyzny tej orbity jest przykładane pole magnetyczne. Pole to oddziałuje z polem magnetycznym wytworzonym przez poruszający się elektron i na skutek zjawiska indukcji elektromagnetycznej po tej orbicie popłynie dodatkowy prąd, przeciwdziałający zmianie pola zewnętrznego (reguła Lenza!). Ten dodatkowy prąd objawił się opóźnieniem lub przyspieszeniem ruchu elektronu. Pole magnetyczne tego prądu będzie skierowane przeciwnie do kierunku

pola

zewnętrznego.

Wypadkowe

natężenie

pola

magnetycznego

wewnątrz ciała będzie zatem mniejsze niż natężenie poła zewnętrznego. Ta cecha charakteryzuje wszystkie substancje diamagnetyczne. Jeżeli

płaszczyzna

orbity

elektronu

tworzy

pewien

kąt

z

wyróżnionym

kierunkiem, to z chwilą przyłożenia pola magnetycznego w tym kierunku płaszczyzna orbity elektronu zacznie się wokół tego kierunku obracać z prędkością precesji

Marek

Pilawski

Strona 209

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ω prec =

eB 2ω

(5.59)

e — ładunek elektronu, B — indukcja zewnętrznego pola magnetycznego, ω — częstość ruchu kołowego elektrono po orbicie. Ruch obrotowy płaszczyzny orbity zwany jest precesją. Precesja orbity elektronowej powoduje jakby powstanie dodatkowego prądu płynącego w płaszczyźnie prostopadłej do linii sił pola magnetycznego. Oczywiście zwrot tego prądu jest taki, że pole magnetyczne, wytworzone przez ten prąd, skierowane jest przeciwnie do pola zewnętrznego. Również i w tym przypadku wypadkowe natężenie pola magnetycznego w obszarze ciała jest mniejsze od natężenia pola zewnętrznego o natężenie pola wytworzonego przez atomy ośrodka. Można zatem powiedzieć, że diamagnetyzm jest właściwością magnetyczną wszystkich ciał umieszczonych w polu magnetycznym, polegająca na magnesowaniu się tych ciał przeciwnie do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. Natężenie pola magnetycznego

wytworzonego

przez

atomy

ośrodka

nazywamy

namagnesowaniem (magnetyzacją) J. W diamagnetykach namagnesowanie jest nieznaczne i jest ono liniową funkcją natężenia pola zewnętrznego

J = χH

(5.60)

χ— współczynnik podatności magnetycznej. W tym przypadku jest on ujemny, a jego wartość np. dla wody wynosi —9⋅10-6, a dla miedzi: —10⋅10-6. Indukcja magnetyczna wewnątrz diamagnetyka jest zawsze mniejsza od indukcji próżni i opisuje się ją wzorem

B = µ0 ( J + H )

(5.61)

a po uwzględnieniu zależności (5.60)

B = µ 0 (1 + χ ) H

(5.62a)

B = µ0 µr H

(5.62b)

Współczynnik χ + l = µr nazywa się względną przenikalnością magnetyczną ośrodka. Dla diamagnetyków zawsze µr < 1. Wpływ diamagnetyka na rozkład linii sił pola magnetycznego przedstawiono na rys. 5.35. Diamagnetyzm jest cechą wszystkich ciał, niezależną od budowy atomów.

Marek

Pilawski

Strona 210

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Występuje niezależnie od ruchu cieplnego atomów i dlatego też współczynnik podatności magnetycznej jest w tym przypadku niezależny od temperatury.

Rys. 5.35 Diamagnetyk w polu magnetycznym: a) przebieg linii sił pola magnetycznego zewnętrznego H i namagnesowanie J w diamagnetyku; b) rozkład linii sił wypadkowego pola magnetycznego w otoczeniu diamagnetyka

Zjawiska diamagnetyzmu, mimo powszechności jego występowania, nie można wykryć w niektórych ciałach. Jest to spowodowane tym, że jest ono „przysłonięte"

innymi

silniejszymi

zjawiskami:

paramagnetyzmem

i

ferromagnetyzmem. Nie wszystkie atomy można traktować jak elementarne magnesy. Niektóre atomy nie wytwarzają na zewnątrz pola magnetycznego. Tak zachowują się na przykład atomy gazów szlachetnych, których orbity elektronowe są całkowicie zapełnione. Pola magnetyczne pochodzące od spinów elektronowych w tym przypadku wzajemnie kompensują się. W takich substancjach oczywiście będzie obserwować się tylko zjawiska diamagnetyczne. Większość atomów nie ma całkowicie zapełnionej ostatniej orbity i wtedy nieskompensowana część pola magnetycznego pochodzącego od ładunków elektrycznych będzie stanowić o polu magnetycznym całego atomu. Atomy znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym i dlatego pole magnetyczne wytwarzane przez bryłę materii w stanie swobodnym jest równe zeru. Po umieszczeniu bryły w polu magnetycznym na chaotyczny ruch cieplny atomów nakłada się porządkujące działanie tego pola. Elementarne magnesy (atomy) ustawiają się tak, że ich pola magnetyczne mają kierunek zgodny z kierunkiem

zewnętrznego

pola

magnetycznego.

Zjawisko

orientacji

pól

magnetycznych atomów w kierunku zgodnym z kierunkiem zewnętrznego pola magnetycznego,

Marek

Pilawski

wymuszającego

tę

orientację,

nosi

nazwę

zjawiska

Strona 211

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki paramagnetyzmu (rys. 5.36).

Rys. 5.36 Paramagnetyk w polu magnetycznym: a) przebieg linii sił pola magnetycznego zewnętrznego H i namagnesowania J w paramagnetyku; b) rozkład linii sił wypadkowego pola magnetycznego w otoczeniu paramagnetyka

Gdyby nie ruch cieplny atomów ośrodka, ośrodek ten magnesowałby się do stanu nasycenia już przy słabych polach zewnętrznych. W rzeczywistości jednak nasycenie można osiągnąć tylko wtedy, gdy energia magnetyczna „magnesów" zrówna się z energią ruchu cieplnego. Dla znanych paramagnetyków natężenie pola nasycenia leży znacznie powyżej wartości dostępnych obecnie w technice. Paramagnetyzm

powoduje

powstanie

własnego

pola

magnetycznego

(namagnesowania) skierowanego zgodnie z polem zewnętrznym. W zakresie technicznie dostępnych temperatur i pól magnetycznych można napisać

J = χH

(5.63)

Dla paramagnetyków współczynnik podatności magnetycznej jest większy od zera. Substancje paramagnetyczne tworzy wiele znanych gazów, cieczy i metali. Paramagnetykiem jest np. tlen (χ = +1,81⋅10-6), aluminium (χ = +19,6⋅106) oraz platyna (χ = +270⋅10-6). Dla paramagnetyków słuszny jest również wzór

B = µ 0 (1 + χ ) H

(5.64a)

B = µ0 µr H

(5.64b)

Względna przenikalność magnetyczna paramagnetyków µr ≥ 1.

Marek

Pilawski

Strona 212

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.37 Zależność namagnesowania (a) i indukcji magnetycznej (b) ciał od zewnętrznego pola magnetycznego 1 — ciało magnetyczne obojętne, 2 — diamagnetyk, 3 — paramagnetyk

Istotę zjawiska diamagnetyzmu i paramagnetyzmu (rys. 5.37) można wyjaśnić jedynie przy założeniu, że atomy ośrodka nie oddziałują ze sobą i że każdy z nich z osobna oddziałuje z zewnętrznym polem magnetycznym. Zjawiska diamagnetyczne i paramagnetyczne należą do grupy zjawisk liniowych, to znaczy takich, w których wielkość wymuszona jest liniową funkcją wielkości wymuszającej. W tym przypadku namagnesowanie i indukcja są liniową funkcją natężenia zewnętrznego pola magnetycznego (rys. 5.37). Współczynnikiem proporcjonalności są odpowiednio: współczynnik podatności magnetycznej i współczynnik

przenikalności

magnetycznej.

Jednocześnie,

w

przypadku

paramagnetyków, zastrzeżono, że ta liniowość jest ograniczona do przypadku natężeń pól technicznie dostępnych. W polach silniejszych, przy jednoczesnym obniżeniu temperatury, można wejść w zakres nieliniowy paramagnetyka i zaobserwować jego nasycenie.

5.6.2 Ferromagnetyki Nie wszystkie ciała zbudowane są tak, że można pominąć oddziaływania wzajemne między atomami tego ciała. W niektórych substancjach oddziaływania między sąsiednimi atomami są tak silne, że przezwyciężają one destrukcyjne działanie chaotycznych ruchów cieplnych i powodują uporządkowanie orientacji pól magnetycznych atomów. Uporządkowanie obejmuje swym zasięgiem obszar zawierający

Marek

około

Pilawski

106

atomów.

Obszar

taki

nazywany

jest

domeną

Strona 213

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki magnetyczną. Ciała charakteryzujące się strukturą domenową tworzą grupę ferromagnetyków

Równoległe

ustawienie

kierunków

pól

magnetycznych

elementarnych magnesów w obszarze domeny zachodzi samorzutnie, bez udziału zewnętrznego pola magnetycznego i nazywa się namagnesowaniem spontanicznym.

Rys. 5.38 Ferromagnetyk w polu magnetycznym: a) struktura domenowa ferromagnetyka, H = 0; b) przebieg linii sił pola magnetycznego zewnętrznego H i namagnesowanie J; c) rozkład linii sił pola magnetycznego w otoczeniu ferromagnetyka (Linie sił pola magnetycznego wnikają prawie prostopadłe do powierzchni próbki)

Domeny

ciała

ferromagnetycznego

w

stanie

swobodnym

(rys.

5.38)

są

zorientowane w sposób chaotyczny i przypadkowy tak, że pole magnetyczne wytwarzane

przez

ferromagnetyk

jest

równe

zeru.

Zewnętrzne

pole

magnetyczne ustawia kierunki pól magnetycznych domen w kierunku linii sił tego pola. Powstające namagnesowanie (magnetyzacja — pole magnetyczne pochodzące od domen) zwiększa natężenie pola magnetycznego wewnątrz, a zmniejsza na zewnątrz ferromagnetyka. Zgodna

orientacja

pól

magnetycznych

atomów,

tworzących

domenę

ferromagnetyka, jest możliwa wtedy, gdy energia wzajemnego oddziaływania między atomami jest większa od energii drgań cieplnych atomów umieszczonych w węzłach sieci krystalicznej. Energia wzajemnego oddziaływania, będąca wynikiem oddziaływania chmur elektronowych sąsiadujących atomów, nie zależy od

temperatury,

natomiast

energia

ruchów

cieplnych

wzrasta

wraz

z

temperaturą. Temperatura, przy której następuje zrównanie tych energii, nosi

Marek

Pilawski

Strona 214

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki nazwę

temperatury

Curie

(punktu

Curie).

W

temperaturze

Curie

znika,

charakterystyczne dla ferromagnetyka, spontaniczne namagnesowanie, traci on swoje właściwości ferromagnetyczne i staje się zwykłym paramagnetykiem.

Ferromagnetykami są metale: żelazo Fe, kobalt Co i nikiel Ni oraz stopy tych pierwiastków i ich tlenki. Wykazują one przenikalność magnetyczną µr ≈ 104, a ich temperatury Curie leżą w przedziale temperatur od 631 K dla niklu, do 1043 K dla żelaza. Istotną cechą ferromagnetyków jest również nieliniowa i niejednoznaczna zależność między natężeniem pola magnetycznego H, a namagnesowaniem J lub indukcją magnetyczną B. Zależności B = f(H) dla ferromagnetyków nie zapisuje się w postaci analitycznej, tylko przedstawia się ją na wykresie w układzie współrzędnych B i H. Wykres omawianej zależności tworzy krzywa zamknięta zwana pętlą histerezy magnetycznej (rys. 5.39), w której można wyróżnić trzy gałęzie. Gałąź pierwsza 1 na rys. 5.39 — krzywa magnesowania pierwotnego — obrazuje wzrost indukcji ze wzrostem zewnętrznego pola magnetycznego, aż do nasycenia. Stanowi nasycenia próbki ferromagnetyka odpowiada równoległe ustawienie wszystkich domen magnetycznych. Dalszy wzrost natężenia pola magnetycznego nie zwiększa już namagnesowania próbki. Zmniejszenie pola magnetycznego (gałąź 2) powoduje zmniejszenie się indukcji, ale przy H = 0 część domen ferromagnetyka zachowuje nadal swoją poprzednią orientację. Domeny te, a więc i ferromagnetyk, wytwarzają na zewnątrz pole magnetyczne o indukcji Br, zwanej remanencją magnetyczną (pozostałością magnetyczną). Ferromagnetyk w tym stanie jest magnesem. Aby zniszczyć remanencję

magnetyczną

(rozmagnesować

magnes),

należy

z

zewnątrz

przyłożyć pole magnetyczne skierowane przeciwnie o wartości Hk odpowiadającej natężeniu koercji (powściągliwości magnetycznej). Dalszy wzrost pola magnetycznego w tym samym kierunku magnesuje próbkę aż do nasycenia (— Bnas). Odwrócenie kierunku zmian pola magnetycznego (gałąź 3) wywołuje omówione już zjawiska. Pętla histerezy magnetycznej zostaje wyznaczona przy okresowo-przemiennym polu magnetycznym. W polu magnetycznym szybkozmiennym pętla histerezy staje się szersza, gdyż uwzględnia ona prądy wirowe (patrz p. 5.6.4).

Marek

Pilawski

Strona 215

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.39 Pętla histerezy magnetycznej 1 — krzywa magnesowania pierwotnego z uwzględnieniem szumów Barkhausena, 2, 3 — gałęzie pętli odpowiadające przemagnesowaniu próbki

Krzywą magnesowania pierwotnego rysuje się najczęściej jako linię ciągłą. W rzeczywistości jednak jest to linia „schodkowa”. Świadczy to o tym, że indukcja magnetyczna ferromagnetyka zmienia się w sposób skokowy. Jest to związane z orientacją całych grup lub poszczególnych domen w obecności zewnętrznego pola magnetycznego. Opisane zjawisko nosi nazwę szumów Barkhausena. Można je wykryć doświadczalnie. Kształt pętli histerezy magnetycznej jest różny dla różnych ferromagnetyków. W przypadku

ferromagnetyków,

które

magnesują

się

trudno,

tzw.

ferromagnetyków twardych, pętla histerezy jest szeroka (rys. 5.40). Ferromagnetyki twarde trudno jest rozmagnesować i dlatego używa się ich do budowy magnesów trwałych. Ferromagnetyki miękkie łatwo magnesują się w polu magnetycznym,

jednak

po

jego

zaniku

szybko

rozmagnesowują

się.

Wykorzystuje się je głównie do budowy elektromagnesów.

Rys. 5.40 Przykładowe pętle histerezy magnetycznej ferromagnetyków 1 — twardych, 2 — miękkich

Powierzchnia pętli histerezy magnetycznej określa wartość energii potrzebnej do namagnesowania ferromagnetyka. Jak wiadomo — wzór (1.60) — gęstość energii (energia w jednostce objętości) zmagazynowanej w nieskończenie

Marek

Pilawski

Strona 216

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki rozległym ferromagnetyku, wyraża się wzorem B

w = ∫ HdB

(5.65)

0

Jeśli całkowanie będziemy przeprowadzali po krzywej zamkniętej — po pętli histerezy — to otrzymamy energię potrzebną na jednokrotne przemagnesowanie jednostki objętości ciała B

w = ∫ HdB

(5.66)

0

Energia ta zamienia się na ciepło. Straty

na

histerezę

są

proporcjonalne

do

częstotliwości

pola

(prądu)

przemagnesowującego ferromagnetyk. Ze wzrostem częstotliwości zmian pola (prądu) magnesującego pętla histerezy poszerza się i straty mocy zwiększają się. Straty na histerezę są dominującym składnikiem strat mocy czynnej w transformatorach i urządzeniach dławikowych. Nieliniowa zależność indukcji B od pola H w ferromagnetykach jest wynikiem zależności

przenikalności

magnetycznej

µ

tych

ciał

od

natężenia

pola

magnetycznego (rys. 5.41). Wielkość µ nie jest w tym przypadku wielkością stałą, tylko zwiększa się w słabych polach magnetycznych, natomiast w silniejszych

—

stabilizatorach

ulega i

zmniejszeniu.

wzmacniaczach

Zjawisko

to

magnetycznych,

wykorzystuje

się

w

transduktorach

i

przetwornikach elektromechanicznych.

Rys. 5.41 Zależność przenikalności magnetycznej statycznej µ = B/H (krzywa 1) od natężenia pola magnetycznego, wyznaczanej dla pierwotnej krzywej magnesowania, na tle pierwotnej krzywej magnesowania (krzywa 2). Graficznie wartość wielkości µ można podać jako tangens kąta αp µp =

Marek

Bp Hp

= tgα p

Pilawski

Strona 217

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Dotychczasowe rozważania dotyczyły ciał ferromagnetycznych nieskończenie rozległych. Wymienione parametry odnosiły się więc raczej do materiału ferromagnetycznego

niż

do

samego

ciała.

W

rzeczywistych

układach

magnetycznych nie można na ogół pominąć rozmiarów i kształtu ciała, mają one bowiem wpływ na wartość Hk, Bnas i µ. Wyobraźmy sobie na przykład pierścień ferromagnetyczny rozcięty tak, że została utworzona szczelina powietrzna (rys. 5.42). Pierścień ten został namagnesowany w polu magnetycznym H wytworzonym przez przewodnik z prądem I. Pole magnetyczne przenika przez pierścień i przez szczelinę powietrzną. Dzięki tej szczelinie właśnie na końcach pierścienia powstają jakby swobodne bieguny magnetyczne. Pole magnetyczne swobodnych biegunów magnetycznych

może

przenikać

od

bieguna

N

do

S

przez

pierścień

ferromagnetyczny i przez szczelinę powietrzną tworząc pole magnetyczne odmagnesowujące H0d skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego H.

Rys. 5.42 Ilustracja otwartego obwodu magnetycznego

Natężenie pola magnetycznego odmagnesowującego jest proporcjonalne do namagnesowania pierścienia

H od = − NJ

(5.67)

gdzie N jest współczynnikiem odmagnesowania zależnym od kształtu próbki. Wypadkowe pole magnetyczne w ferromagnetyku jest więc mniejsze od pola zewnętrznego

H wd = H − NJ

(5.68)

J = χH w = (µ r − 1)H w

(5.69)

Ponieważ

χ — podatność magnetyczna, µr — przenikalność magnetyczna względna, to wypadkowe pole magnetyczne

H w = H − N (µ r − 1)H w

Marek

Pilawski

(5.70)

Strona 218

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki a po przekształceniu natomiast indukcja magnetyczna

Hw =

B=

H 1 + N (µ r − 1)

µr µ0 H 1 + N (µ r − 1)

(5.71)

(5.72)

W równaniu (5.72) czynnik

µr = µc 1 + N (µ r − 1)

(5.73)

nosi nazwę przenikalności magnetycznej względnej ciała. Przenikalność magnetyczna względna ciała ma wartość skończoną nawet wówczas, gdy mamy do czynienia z idealnym ferromagnetykiem, to znaczy takim, dla którego µr → ∞. Wartość tę można wyznaczyć obliczając granicę

µ k = lim

µ r →∞

µr 1 + N (µ r − 1)

(5.74)

Po wykonaniu obliczeń otrzymuje się

µk =

1 N

(5.75)

Wielkość µk nosi nazwę przenikalności magnetycznej względnej kształtu, która jest równa przenikalności magnetycznej względnej ciała przy założeniu, że µr → ∞. Przenikalność magnetyczna ciała jest więc zależna od właściwości magnetycznych materiału i od kształtu ciała. Zależność od kształtu zawarta jest we współczynniku odmagnesowania N, który np. dla próbki pierścieniowej (rys. 5.43)

N=

lp l

(5.76)

lp — długość linii sił pola magnetycznego w powietrzu, lFe— długość linii sił pola magnetycznego w żelazie, l = lp + lFe — długość całkowita średniej linii sił pola magnetycznego.

Marek

Pilawski

Strona 219

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.43 Przykładowy obwód magnetyczny otwarty Przykład 5.11 Obliczyć natężenie pola magnetycznego HP w szczelinie powietrznej i natężenie HFe w części stalowej rdzenia obwodu magnetycznego przedstawionego na rys. 5.43. Do obliczeń przyjąć: lP = 1 cm, lFe — 0,6 m, SP = 10 cm2, SFe = 8 cm2, µr = 6000, µ0 = 4π⋅10-7 H⋅m-1, z = 100, I = 1 A.

Przyjmując w uproszczeniu, iż pole magnetyczne w rdzeniu i szczelinie powietrznej jest równomierne, można napisać, że strumień magnetyczny

Φ = B p S p = BFe S Fe

(5.77)

BP i BFe — indukcja magnetyczna w powietrzu i w rdzeniu; Sp i SFe, — pole powierzchni przekroju poprzecznego szczeliny i rdzenia. Z prawa przepływu — wzór (1.42) — wynika, że

Θ = Iz = H p l p + H Fe l Fe Ponieważ

(5.78)

B p = µ 0 H P ; BFe = µ r µ 0 H Fe Θ = Iz =

lp

µ0

BP +

l Fe

µ r µ0

(5.79)

BFe

Uwzględniając zależność (5.77)

 lp l Fe Θ = Iz =  +  µ 0 S P µ r µ 0 S Fe

 Φ 

(5.80)

Wielkość

RµP =

lp

µ0 S P

; RµFe =

l Fe µ r µ 0 S Fe

(5.81)

nazywa się reluktancją (oporem magnetycznym). Uwzględniając reluktancję, można równanie (5.80) zapisać w postaci

Θ = Iz = (RµP + RµFe )Φ

(5.82)

które przypomina prawo Ohma zastosowane do obwodu złożonego z dwóch rezystorów połączonych szeregowo. Wielkość Iz (przepływ) jest przy tym wielkością

Marek

Pilawski

Strona 220

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki analogiczną do napięcia elektrycznego, a strumień Φ — do prądu. Reluktancja szczeliny powietrznej rdzenia po wykonaniu obliczeń jest odpowiednio równa

RµP =

RµFe =

lp

µ0 S P

=

0,01 = 8 ⋅ 10 6 A ⋅ Wb −1 4π ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 −4 −7

l Fe 0,6 = = 10 5 A ⋅ Wb −1 µ r µ 0 S Fe 6000 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 8 ⋅ 10 −4

Wartość strumienia magnetycznego, obliczona z przekształconego wzoru (5.82)

Φ=

RµP

Iz 1000 ⋅ 1 = = 12,5 ⋅ 10 −6 Wb 6 + RµFe 8,1 ⋅ 10

Strumień ten wytwarza indukcję magnetyczną w powietrzu

BP =

Φ 12,5 ⋅10 −6 = = 12,5 ⋅10 −3 T −4 SP 10 ⋅10

BFe =

Φ 12,5 ⋅ 10 −6 = = 15,6 ⋅ 10 −3 T S Fe 8 ⋅ 10 −4

i w rdzeniu

Wartość natężenia pola magnetycznego w powietrzu i rdzeniu

12,5 ⋅10 −3 HP = = = 10 4 A ⋅ m −1 −7 µ 0 4π ⋅10 Bp

H Fe =

BFe

µr µ0

=

15,6 ⋅ 10 −3 ≈ 2,1A ⋅ m −1 −7 6000 ⋅ 4π ⋅ 10

Obwody magnetyczne zawierające elementy ferromagnetyczne należą do grupy obwodów nieliniowych. Obwody nieliniowe oblicza się najczęściej metodą graficzną lub graficzno-analityczną (patrz p. 7.4). W taki sam sposób oblicza się złożone (rozgałęzione) obwody magnetyczne. Można przy tym korzystać z pewnych analogii między obwodami magnetycznymi i elektrycznymi : I

— prąd elektryczny

Φ — strumień magnetyczny E — siła elektromotoryczna (napięcie źródłowe)

Marek

Pilawski

Strona 221

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Θ = Iz — siła magnetomotoryczna (przepływ) U — napięcie elektryczne Uz — napięcie magnetyczne

R=ρ Rµ =

l — rezystancja (opór elektryczny) S l

µ r µ0 S

= reluktancja (opór magnetyczny)

U = RI lub I = UG — prawo Ohma dla obwodu elektrycznego Uµ = Hl, Uµ = ΦRµ, Φ = UµΛ — odpowiednik prawa Ohma dla obwodów magnetycznych

G=

1 — konduktancja (przewodność elektryczna) R

Λ=

1 — permeancja (przewodność magnetyczna) Rµ

E = (R1 + R2 + ... + Rn )I = U 1 + U 2 + ...U n — prawo napięciowe Kirchhoffa dla obwodów elektrycznych

Θ = Iz = (Rµ1 + Rµ 2 + ... + Rµn )Φ = H1l1 + H 2l2 + ...H n ln — odpowiednik prawa napięciowego Kirchhoffa w zastosowaniu do obwodów magnetycznych

I = I1 + I 2 + ... + I n — prawo prądowe Kirchhoffa dla obwodów elektrycznych Φ n = Φ1 + Φ 2 + ... + Φ n — odpowiednik prawa prądowego Kirchhoffa w zastosowaniu do obwodów magnetycznych W

procesie

magnetyczne

magnesowania zmieniają

(magnetyzacji)

kierunek

ferromagnetyka

wytwarzanego

magnetycznego, zwiększają swoją objętość

przez

i przesuwają

domeny

siebie granicę

pola między

sąsiednimi domenami. Prowadzi to do zmiany naprężeń mechanicznych między domenami i zmiany naprężeń w całej próbce. W rezultacie cała próbka ferromagnetyka umieszczona w polu magnetycznym zmienia swoje wymiary liniowe. Zjawisko zmiany wymiarów liniowych ferromagnetyków w obecności zewnętrznego pola magnetycznego nosi nazwę magnetostrykcji.

Marek

Pilawski

Strona 222

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Zjawisko magnetostrykcji obserwuje się najczęściej w rdzeniach w kształcie walca, na których nawinięta jest cewka. Ze wzrostem prądu następuje zwiększenie lub zmniejszanie długości rdzenia, zależnie od rodzaju materiału użytego do jego budowy. Jeśli przez cewkę przepuści się prąd zmienny, to rdzeń będzie okresowo skurczany i rozkurczany i — podobnie jak drgająca membrana — będzie wytwarzał fale akustyczne. Rdzenie magnetostrykcyjne wykorzystuje się głównie do wytwarzania fal ultradźwiękowych, zwłaszcza o dużej mocy, które znajdują wiele zastosowań w różnych dziedzinach techniki.

5.6.3 Wpływ pola magnetycznego na półprzewodniki z prądem Pole

magnetyczne

w

ośrodkach

przewodzących

wywołuje

zjawiska

galwanomagnetyczne. Są one szczególnie wyraźne w półprzewodnikach przewodzących prąd elektryczny. Spośród wielu zjawisk galwanomagnetycznych największe zastosowanie znalazły zjawisko Halla i zjawisko Gaussa. Zjawisko

Halla

polega

na

powstaniu

napięcia

elektrycznego

między

wyróżnionymi punktami półprzewodnika z prądem umieszczonego w polu magnetycznym. W przewodnikach prądu prędkość ukierunkowanego ruchu elektronów jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego

v = uE

(5.83)

u— ruchliwość elektronu. Ruchliwość elektronu jest parametrem wyrażającym prędkość elektronu w polu elektrycznym o natężeniu jednostkowym. W płytce Halla (hallotronie), w nieobecności pola magnetycznego (rys. 5.44a), elektrony poruszają się z prędkością jednostajną, tworząc prąd elektryczny I zwany prądem sterującym. Linie prądu są w tym przypadku wzajemnie równoległe, a linie ekwipotencjalne przebiegają równolegle do paskowych elektrod doprowadzających prąd I. Elektrody umieszczone na krawędziach bocznych płytki znajdują się na linii o tym samym potencjale, różnica napięć między nimi jest więc równa zeru, UH = 0.

Marek

Pilawski

Strona 223

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Po przyłożeniu pola magnetycznego B, skierowanego prostopadle do powierzchni płytki, na poruszające się elektrony będzie działała również siła Lorentza (patrz rozdz. 3)

Fm = −evB

(5.84)

pod wpływem której tory elektronów zostaną zakrzywione (rys. 5.44b). Zakrzywienie torów ruchu ładunków powoduje, że na jednej z krawędzi bocznych płytki zaczynają gromadzić się elektrony. Elektrody umieszczone na krawędziach bocznych znajdują się teraz na liniach o różnych potencjałach i napięcie Halla nie jest równe zeru, UH ≠ 0.

Rys. 5.44 Ilustracja zjawiska Halla: a) hallotron w nieobecności pola magnetycznego; b) hallotron w obecności pola magnetycznego

Ładunki na krawędziach bocznych płytki gromadzą się do chwili, gdy wytworzone przez nie pole elektryczne osiągnie wartość EH, zwaną natężeniem pola Halla. To dodatkowe pole elektryczne (pole Halla) działa na elektrony siłą

FH = −eE H

(5.85)

zwaną siłą Halla. Siła Halla działa w płaszczyźnie płytki, a więc tej samej, w której działa siła Lorentza Fm, i jest jej równa

− evB = −eE H

(5.86)

Uwzględniając zależność (5.83)

E H = uEB

(5.87)

Pole Halla prostuje tory elektronów, działając przeciwnie do przyłożonego pola

Marek

Pilawski

Strona 224

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki magnetycznego. W płytce ustala się trwały stan, w którym między elektrodami na krawędziach bocznych występuje napięcie Halla

U H = aE H

(5.88)

Uwzględniając wymiary geometryczne płytki i rodzaj materiału, z którego została wykonana, ostatecznie

U H = RH

IB d

(5.89)

gdzie RH jest stałą Halla. Łatwo zauważyć, że w zjawisku Halla elektrony i dziury są odchylane w tę samą stronę. Półprzewodniki typu p i n wykazują więc w tym samym polu różną biegunowość napięcia Halla. Efekt ten wykorzystuje się w doświadczalnych metodach oznaczania rodzaju półprzewodników. Poza tym hallotrony znalazły zastosowanie

w

miernictwie

elektrycznym

w

układach

do

pomiaru

pól

magnetycznych stałych i zmiennych. Zdolności mnożące hallotronów (IB) — patrz wzór (5.89) — wykorzystano do pomiaru mocy, w watomierzach. Zjawisko Gaussa polega na zmianie rezystancji próbki półprzewodnika w obecności pola magnetycznego. Obserwuje się je w większości półprzewodników, podobnie

jak

zjawisko

Halla.

Przyczyną

zwiększenia

rezystancji

próbek

półprzewodnikowych w polach magnetycznych jest na ogół zakrzywienie i wydłużenie torów elektronów. W płytkach Halla, dzięki obecności pola Halla, zjawisko Gaussa nie występuje. Dlatego też gaussotrony wykonuje się w postaci dysku (dysk Corbino — rys. 5.45), w którym dwie elektrody rozmieszczone są współśrodkowo: jedna centralnie, w środku dysku, a druga na obwodzie. W nieobecności pola magnetycznego linie prądu przechodzą promieniście (rys. 5.45a) od jednej elektrody do drugiej. Po umieszczeniu płytki w polu magnetycznym o indukcji B, skierowanym prostopadle do powierzchni płytki, linie prądu — na skutek działania siły Lorentza — zakrzywiają się i wydłużają. Rezystancja próbki zwiększa

się.

Przyrost

rezystancji

próbki

jest

w

przybliżeniu

wprost

proporcjonalny do kwadratu iloczynu ruchliwości elektronów i indukcji

∆R = CR0 (uB )

2

(5.90)

C — stała, R0 — rezystancja gaussotronu przy B = 0.

Marek

Pilawski

Strona 225

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Zjawisko

Gaussa

znalazło

zastosowanie

głównie

w

czujnikach

poła

magnetycznego, elementach układów automatyki i sterowania itp. Hallotrony i gaussotrony wykonuje się najczęściej z półprzewodników typu n o dużej

ruchliwości nośników, do

których należą:

german

Ge, krzem Si,

antymonek indu InSb, arsenek indu InAs, selenek rtęci HgSe, tellurek rtęci HgTe.

Rys. 5.45 Ilustracja zjawiska Gaussa (dysk Corbino): a) gaussotron w nieobecności pola magnetycznego; b) gaussotron w obecności pola magnetycznego

Zjawisko magnetorezystancyjne (zmiana rezystancji pod wpływem pola magnetycznego) obserwuje się nie tylko w półprzewodnikach, lecz również w cienkich warstwach ferromagnetycznych. W tych ostatnich polega ono nie na wydłużaniu linii prądu, lecz na zmianie rezystywności materiału. Rezystywność cienkich warstw ferromagnetycznych zależy nie tylko od składu chemicznego materiału, lecz także od stopnia uporządkowania domen magnetycznych. Cienkie

warstwy

magnetyczne,

ze

względu

na

specyficzne

właściwości

elektryczne, zalicza się do grupy półprzewodników.

5.6.4 Wpływ pola magnetycznego na przewodniki oraz przewodniki z prądem Bez przesady można powiedzieć, że oddziaływanie pól magnetycznych z przewodnikami

Marek

Pilawski

prądu

elektrycznego

leży

u

podstaw

elektrotechniki.

We

Strona 226

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wczesnym niezależnie

okresie od

badań

zjawisk

zjawisk

elektrycznych

magnetycznych.

Dopiero

traktowano Oersted

je

zupełnie

zauważył,

że

przewodnik z prądem wytwarza w otaczającej go przestrzeni pole magnetyczne. Czujnikiem

obecności

pola

magnetycznego

była

w

tym

przypadku

igła

magnetyczna. Pole magnetyczne wytworzone w doświadczeniu Oersteda było polem stałym, gdyż w owych czasach znane były tylko galwaniczne źródła napięcia elektrycznego. Fakt, że prąd elektryczny jest źródłem pola magnetycznego, każe sądzić o nierozłączności zjawisk elektrycznych i magnetycznych takiej, że można mówić o zjawiskach elektromagnetycznych. Konsekwencją tej wspólnoty zjawisk powinna być

możliwość

wytwarzania

prądu

elektrycznego

za

pomocą

pola

magnetycznego. Tą drogą rozumowania poszedł Faraday i wykonał epokowe doświadczenie ilustrujące zjawisko indukcji elektromagnetycznej. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na indukowaniu prądu elektrycznego w zamkniętym obwodzie elektrycznym obejmującym zmienne pole magnetyczne. W doświadczeniu Faradaya zamknięty obwód elektryczny tworzyła cewka połączona z galwanometrem wskazującym kierunek i wartość przepływającego prądu. Pole magnetyczne zmienne było wytwarzane za pomocą magnesu sztabkowego umieszczonego wewnątrz cewki i poruszanego ręką. Doświadczenie Faradaya ilustrujące zjawisko indukcji elektromagnetycznej było doświadczeniem epokowym w dziedzinie badań nad istotą elektryczności. Po raz pierwszy wytworzono prąd przemienny, opracowano metodę wytwarzania energii elektrycznej na skalę przemysłową, opracowano metodę przesyłania energii elektrycznej na duże odległości (transformator). Obwody prądu przemiennego wytwarzają fale elektromagnetyczne, które doświadczalnie wykrył i pomierzył ich długość

Hertz,

zanim

elektromagnetycznego.

A

Maxwell

podał

promieniowanie

teorię

promieniowania

elektromagnetyczne

to

już

radioelektronika, telekomunikacja, lasery itd., Tak oto jedno, proste w istocie doświadczenie fizyczne, do wykonania którego potrzebne są trzy elementy: cewka, magnes i galwanometr, zrewolucjonizowało nasze poglądy na budowę materii i legło u podstaw nowych dziedzin techniki i wielu nowych teorii. Dyskutując

Marek

wpływ

Pilawski

pola

magnetycznego

na

przewodniki

rozważmy

trzy

Strona 227

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki przypadki: — wpływ pola magnetycznego na obwody otwarte (rozwarte), — wpływ pola magnetycznego na obwody zamknięte (zwarte), — wpływ pola magnetycznego na przewodniki z prądem. Najprostszy obwód elektryczny otwarty (rys. 5.46) umieszczony w stałym polu magnetycznym nie doznaje żadnego działania ze strony tego pola. Działanie to uwidacznia się dopiero wtedy, gdy pole to jest zmienne w czasie lub w przestrzeni. Jak wiadomo, zmienne pole magnetyczne wywołuje powstanie w przestrzeni, w płaszczyźnie prostopadłej do linii sił tego pola, zmiennego pola elektrycznego o kołowych liniach sił (patrz rozdz. 1).

Rys. 5.46 Otwarty obwód elektryczny w polu magnetycznym

Jeśli w polu magnetycznym umieścimy obwód elektryczny otwarty (rys. 5.46), to na

jego

końcach

indukuje

się

siła

elektromotoryczna

indukcji

elektromagnetycznej (napięcie indukowane)

e=−

dΨ dt

(5.91)

równa co do modułu prędkości zmian strumienia magnetycznego skojarzonego z obwodem elektrycznym. Strumień skojarzony z obwodem jest związany ze strumieniem Φ przenikającym powierzchnię obejmowaną przez obwód zależnością

Ψ = zΦ gdzie z jest liczbą zwojów obwodu. Dla obwodów jednozwojowych Ψ = Φ Ponieważ Ψ = BS n gdzie Sn oznacza powierzchnię prostopadłą (normalną) do linii sił pola magnetycznego, to

e=−

Marek

Pilawski

d (BS n ) dt

(5.92)

Strona 228

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Siła elektromotoryczna indukcji magnetycznej może być wynikiem zmian indukcji przy nie zmienionej geometrii obwodu (Sn = const) i wtedy nosi ona nazwę siły elektromotorycznej transformacji

e = −S n

dB dt

(5.93)

dB jest prędkością zmian indukcji magnetycznej. dt

Może też być ona wynikiem ruchu obwodu elektrycznego w stałym polu magnetycznym (B = const) lub też zmiany konfiguracji obwodu, i wtedy nosi nazwę siły elektromotorycznej rotacji

e = −B

dS n dt

(5.94)

dSn jest prędkością zmian powierzchni obejmowanej przez obwód. dt Przykład 5.12 Indukcja magnetyczna strumienia przenikającego przez kołowy jednozwojowy rozwarty obwód elektryczny (rys. 5.46) zmienia się w czasie zgodnie z zależnością B = bt, gdzie b jest prędkością zmian indukcji: b = 1 T⋅s-1. Obliczyć napięcie indukowane przez strumień, jeśli promień zwoju r = 0,1 m.

W naszym przypadku Sn = πr2 = const, a więc siła elektromotoryczna indukcji elektromagnetycznej — patrz wzór (5.93)

e = −πr 2

d (bt ) dt

Wykonując obliczenia otrzymuje się e = -πr2b; w konsekwencji uzyskuje się e = -0,0314 V. Przykład 5.13 Pręt o długości l = 2 m porusza się z prędkością v = 10 m⋅s-1 w polu magnetycznym o indukcji B = 1 T w kierunku prostopadłym do linii sił tego pola. Obliczyć siłę elektromotoryczną indukowaną na końcach pręta (rys. 5.47).

Pręt o długości l, poruszający się z prędkością v w kierunku poziomym, przebywa drogę x = vt zakreślając pole o powierzchni Sn = lvt. Ponieważ w tym przypadku B = const, to — patrz wzór (5.94)

e = −B

d (lvt ) dt

Wykonując obliczenia otrzymuje się e = —Blv, a podstawiając dane liczbowe : e = 20 V.

Marek

Pilawski

Strona 229

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.47 Pręt poruszający się w kierunku prostopadłym do linii sił pola magnetycznego

Wyobraźmy sobie teraz, że w miejscu pręta jest umieszczona ramka prostokątna o bokach l i a. (Bok a jest równoległy do kierunku prędkości v — rys. 5.47). Niech ramka ta porusza się w swej płaszczyźnie, prostopadłej do linii sił pola magnetycznego, z prędkością v. Łatwo wykazać, że w ramce tej zostanie wzbudzona siła elektromotoryczna taka sama jak poprzednio, tzn. e = — Blv. Jak widać, siła elektromotoryczna rotacji powstaje zawsze wtedy, kiedy przewodnik przecina linie sił pola magnetycznego, gdy istnieje składowa pola zakreślonego przez poruszający się przewodnik, prostopadła do linii sił pola magnetycznego. Przykład 5.14 Pręt, jak w zadaniu poprzednim, porusza się z prędkością v = 10 m⋅s-1 w polu magnetycznym o indukcji B = 1 T w kierunku tworzącym kąt α = 30° z kierunkiem prostopadłym do linii sił pola. Obliczyć siłę elektromotoryczną indukowaną na końcach pręta (rys. 5.48).

Poruszający się pręt, podobnie jak poprzednio, zakreśla pole o powierzchni S = lvt. Nas interesuje jednak powierzchnia normalna Sn = lv't prostopadła do linii sił pola. Ponieważ v' = v cos α, to Sn = lvt cos α. Wykonując obliczenia jak w poprzednim zadaniu otrzymuje się: e = Blv cos α, co daje wartość e = 17,3 V. . . . . . . . . . . . . .

Marek

Pilawski

Strona 230

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.48 Pręt poruszający się w dowolnym kierunku względem linii sił pola magnetycznego Przykład 5.15 Pręt o długości l = 1 m wiruje w płaszczyźnie poziomej z prędkością kątową ω = 2π rad⋅s-1. Przez płaszczyznę obrotu przenika, w kierunku do niej prostopadłym, strumień magnetyczny o indukcji B = 1 T. Obliczyć siłę elektromotoryczną indukowaną na końcach pręta (rys. 5.49).

W tym przypadku mamy do czynienia z siłą elektromotoryczną rotacji, a więc

e = −B

dS n dt

Ponieważ

dS n = πl 2ω , to e = − Bπl 2ω . dt Uwzględniając wartości liczbowe: e ≈ 20 V.

Rys. 5.49 Pręt wirujący w płaszczyźnie prostopadłej do linii sił pola magnetycznego

Gdybyśmy stopniowo pochylali płaszczyznę wirowania pręta, to zauważylibyśmy, że napięcie indukowane na jego końcach stawałoby się coraz mniejsze. W skrajnym przypadku, gdy płaszczyzna wirowania będzie pionowa, równoległa do linii sił pola magnetycznego, wzbudzana siła elektromotoryczna będzie równa

Marek

Pilawski

Strona 231

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki zeru. Wynika to z faktu, że w tym ostatnim przypadku pole zakreślane przez wirujący pręt, jakie „widzi" strumień magnetyczny, jest równe zeru. Przykład 5.16 Obwód elektryczny w kształcie ramki o długości l = 0,4 m, szerokości a = 0,1 m i liczbie zwojów z = 1000 wiruje wokół swojej osi podłużnej ruchem jednostajnym z prędkością kątową ω = 18 000 rad⋅s-1. Obliczyć wartość maksymalną siły elektromotorycznej indukcji elektromagnetycznej, jeśli ramka obraca się w polu magnetycznym o indukcji B = 0,1 T (rys. 5.50).

Powierzchnia ramki S = la jest zarazem największą powierzchnią, jaką „widzi" strumień magnetyczny. W czasie obrotu ramki strumień „widzi" powierzchnię Sn = la cos ωt. Strumień magnetyczny skojarzony z ramką jest zatem zmienny

Ψ = zBla cos ωt Zgodnie z wzorem e = — dΨ/dt otrzymujemy e = = ωzBla sin ωt. Wyrażenie Em = ωzBla określa maksymalną wartość siły elektromotorycznej indukowanej na końcach obwodu. W naszym przypadku, uwzględniając wartości liczbowe: Em = 72 kV. Siła elektromotoryczna indukcji elektromagnetycznej powstaje nie tylko na końcach obwodu otwartego, lecz także w zamkniętym obwodzie elektrycznym i w tym przypadku powoduje ona przepływ prądu, którego wartość, zgodnie z prawem Ohma

i=

e R

(5.95)

Rys. 5.50 Cewka wirująca w stałym polu magnetycznym

Ramka wirująca w stałym polu magnetycznym — to idea, która została zrealizowana

Marek

w

Pilawski

generatorach

prądu

sinusoidalnego.

W

generatorach

Strona 232

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki przemysłowych (turbogeneratorach) zwoje, tworzące ramki, nawinięte są na stalowym wirującym rdzeniu. Przez zwoje te wymusza się przepływ prądu stałego. Przeciwnie więc do przypadku rozważonego w tym przykładzie, w turbogeneratorach wirnik jest źródłem pola magnetycznego. Linie sił tego pola w czasie wirowania wirnika przecinają nieruchome uzwojenia rozmieszczone na obwodzie stojana maszyny. Rozwiązanie takie ma tę zaletę, że umożliwia odbiór energii z uzwojeń nieruchomych. Przykład 5.17 Przez zamknięty kołowy obwód elektryczny o promieniu r = 0,1 m (rys. 5.51) i rezystancji R = 100 Ω przenika zmienne pole magnetyczne o indukcji B(t) = bt, gdzie b = 1T • s-1 jest szybkością narastania pola. Obliczyć wartość mocy wydzielanej w obwodzie.

Siła elektromotoryczna indukcji elektromagnetycznej (siła elektromotoryczna transformacji) obliczona z wzoru

e = −S n

dB (t ) dt

ma wartość e = -πr2b. Powoduje ona przepływ prądu

i=−

πr 2b R

Rys. 5.51 Zamknięty obwód elektryczny w polu magnetycznym

Moc wydzielona w obwodzie, obliczona z zależności P = Ri 2

P = π 2 r 4b 2 R −1 Wartość liczbowa mocy P = π 2 ⋅ 10 −4 ⋅ 1 ⋅ (100 ) = 10 −5 W . −1

Wyobraźmy

sobie

teraz,

że

w

miejsce

pojedynczego

obwodu

kołowego

umieszczono przewód kołowy, wykonany z tego samego drutu, zawierający jednak z zwojów, przy czym początek pierwszego zwoju zwarty z końcem ostatniego. Czy w tym przypadku moc wydzielona w takim obwodzie będzie

Marek

Pilawski

Strona 233

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki mniejsza, większa czy taka sama jak w zwoju pojedynczym? Rozwiązanie tego problemu pozostawia się Czytelnikowi. Przykład 5.18 Obliczyć ładunek elektryczny q przepływający przez przekrój poprzeczny zamkniętego przewodnika kołowego o promieniu r = 0,1 m i rezystancji R = 100 Ω (rys. 5.51), jeśli został on usunięty z pola magnetycznego o indukcji B0 = 0,1 T.

Siła elektromotoryczna rotacji

e = −S n

dB dt

wywołuje przepływ prądu

i=−

S n dB R dt

który, zgodnie z wzorem dq = idt, przenosi ładunek elektryczny

dq = −

Sn dB R

Zmiana indukcji magnetycznej, wywołana usunięciem obwodu z obszaru pola magnetycznego, dB = ∆B = — B0, a zatem

q=

S n B0 R

Wykonując obliczenia

q=

π (0,1)2 ⋅ 0,1 100

= 0,3,14 ⋅10 −4 C

Zmienne pole magnetyczne zawsze indukuje prąd w ośrodkach przewodzących umieszczonych w zasięgu tego poła. Prąd indukowany wytwarza własne pole magnetyczne, które deformuje pole wzbudzające ten prąd (rys. 5.52). Kierunek przepływu prądu indukowanego określa reguła Lenza. Kierunek przepływu prądu indukowanego jest zawsze taki, że pole magnetyczne wytworzone przez ten prąd przeciwdziała zmianom pola zewnętrznego. Reguła Lenza jest konsekwencją zasady zachowania energii w zjawiskach elektromagnetycznych.

Marek

Pilawski

Strona 234

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.52 Rozkład linii sil pola magnetycznego cewki z rdzeniem: a) swobodnej; b) umieszczonej w pobliżu metalowych przedmiotów

Wyobraźmy sobie cewkę i magnes sztabkowy w doświadczeniu Faradaya. Wsuwanie cewki (zwiększanie strumienia pola) wywołuje przepływ prądu o takim kierunku, że jego pole magnetyczne stara się magnes wypchnąć z obszaru cewki. Eksperymentator wsuwając magnes musi pokonać siłę oporu, wytwarzaną przez

tenże

magnes.

Podobnie

się

dzieje

przy

wysuwaniu

magnesu

(zmniejszaniu strumienia pola). Kierunek przepływu prądu indukowanego w tym przypadku zmienia się i występuje siła wciągająca magnes w głąb cewki. Eksperymentator znowu odczuwa siłę sprzeciwu. Do wytworzenia zatem energii prądu elektrycznego zawsze potrzebna jest praca sił zewnętrznych. Gdyby było inaczej, gdyby prąd indukowany wytwarzał pole magnetyczne o kierunku zgodnym z kierunkiem pola zewnętrznego, to pojawiłaby się siła działająca w kierunku zgodnym z kierunkiem działania siły zewnętrznej i w końcu magnes „sam" zostałby wciągnięty w obszar cewki lub byłby z niej wypchnięty. Otrzymalibyśmy pracę bez udziału sił zewnętrznych, a to przeczyłoby zasadzie zachowania energii. Prądy indukowane płyną zawsze po liniach kołowych, gdyż są one wzbudzane przez kołowe,

wirowe

pole

elektryczne

wytwarzane

przez zmienne

pole

magnetyczne. Z tego też względu noszą one nazwę prądów wirowych. Prądy wirowe

płyną

zawsze

w

płaszczyźnie

prostopadłej

do

linii

sił

pola

magnetycznego. Zjawisko prądów wirowych powoduje występowanie strat energii w wielu

Marek

Pilawski

Strona 235

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki urządzeniach, np. transformatorach, silnikach. Konstruuje się też urządzenia, w których zjawisko to jest świadomie wykorzystywane. Między innymi wykorzystuje się je w nagrzewnicach indukcyjnych, urządzeniach wykrywających obecność przedmiotów metalowych, a także w popularnych licznikach energii elektrycznej. Praca wykonywana przez prądy wirowe w całości zamienia się na ciepło. Energia cieplna, dostarczana do przedmiotu metalowego, może go rozgrzać do wysokiej temperatury umożliwiającej przeprowadzenie dalszych zabiegów technologicznych takich jak: hartowanie, odpuszczanie, utwardzanie powierzchniowe i inne. Wszystko to może odbywać się bez „rozpalania pieca". Aby osiągnąć odpowiednio duże wartości prądów wirowych stosuje się pola magnetyczne szybkozmienne. Urządzenia do wykrywania obecności przedmiotów metalowych (np. min) zawierają cewkę rdzeniową wytwarzającą na zewnątrz pole magnetyczne (rys. 5.52). Normalnie prąd I0 płynący przez cewkę wytwarza strumień magnetyczny Φ0. W obecności przedmiotu metalowego znajdującego się w zasięgu pola magnetycznego całkowity strumień przenikający przez cewkę zmniejsza się dzięki pojawieniu się strumienia Φin od prądów wirowych. Cewka będzie zatem wykazywała mniejszą indukcyjność L = Φ/I. Impedancja Z =

R 2 + ω 2 L2 obwodu

cewki również zmniejszy się, a to powoduje większy pobór prądu ze źródła. W obecności przedmiotów metalowych zatem prąd płynący przez cewkę I > I0, gdzie

I0

jest

prądem

płynącym

przez

uzwojenia

cewki

w

nieobecności

przedmiotów przewodzących. Czujnikiem obecności przedmiotów metalowych w tego typu urządzeniach jest amperomierz włączony w obwód cewki. Czułość lub zasięg urządzenia zwiększa się przez zwiększenie prądu elektromagnesu lub zwiększenie jego częstotliwości. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej występuje w przewodnikach zawsze, niezależnie od tego, czy płynie w nich już prąd wymuszony przez źródło prądu, czy też nie. W ogólnym przypadku zatem w przewodniku elektryczności objętym działaniem pola magnetycznego zmiennego płyną dwa prądy: prąd wymuszony i prąd indukowany. Jeśli rozpatrujemy zjawisko oddziaływania zmiennego pola magnetycznego,

Marek

Pilawski

Strona 236

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wytworzonego przewodnik,

to

przez

przewodnik

mówimy

wtedy

przewodzący o

zjawisku

prąd

zmienny

samoindukcji.

na

Dla

tenże

zjawiska

samoindukcji słuszne są wzory (5.91) i (5.95). Jak już wspomniano, zjawisko indukcji elektromagnetycznej występuje we wszystkich przewodnikach niezależnie od tego, czy przepływa już przez nie prąd czy też nie. W przewodnikach wiodących prąd elektryczny, umieszczonych w polu magnetycznym, pojawia się dodatkowe oddziaływanie, w wyniku którego powstaje

siła

mechaniczna

działająca

na

ten

przewodnik,

zwana

siłą

elektrodynamiczną. Siła elektrodynamiczna ma wartość stałą, jeśli natężenie zewnętrznego pola magnetycznego i prąd płynący przez przewodnik są stałe. Siła elektrodynamiczna jest zmienna, jeśli jedna z tych wielkości lub obie są zmienne w czasie. Źródłem siły elektrodynamicznej jest siła Lorentza wywierana na elektrony przez pole magnetyczne — patrz wzór (3.7)

F = eBv e — ładunek elektronu, B — indukcja magnetyczna, której kierunek jest prostopadły do kierunku prędkości v elektronu. Siła Lorentza działa w kierunku prostopadłym do kierunku B i v.

Rys. 5.53 Przewodnik z prądem w polu magnetycznym

Rozpatrzmy obwód elektryczny przedstawiony na rys. 5.53. Źródło napięcia o sile elektromotorycznej E wymusza przepływ prądu I przez przewód liniowy o długości l. Przewód ten jest umieszczony w polu magnetycznym o indukcji B. Wektor prędkości nośników ładunków elektrycznych jest prostopadły do linii sił pola magnetycznego.

Marek

Pilawski

Strona 237

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przepływ prądu I związany jest z przepływem ładunku q, który jest zawsze całkowitą wielokrotnością ładunku elektronu. Siła wypadkowa, działająca na wszystkie elektrony, jest właściwie siłą elektrodynamiczną i można ją zapisać w postaci

Fed = qBv

(5.97)

Ponieważ q = It , a vt = l , to ostatecznie

Fed = BIl

(5.98)

We wzorze (5.98) l oznacza długość tylko tej części przewodu, która jest „zanurzona" w polu magnetycznym. Kierunek działania siły elektrodynamicznej można określić z reguły „trzech palców prawej dłoni" lub reguły „lewej dłoni" (rys. 5.54).

Reguła trzech palców prawej dłoni: Jeżeli z trzech palców prawej dłoni ustawionych względem siebie pod kątem prostym,

palec

środkowy

wskazuje

kierunek

pola

magnetycznego,

palec

wskazujący — kierunek przepływu prądu, to kciuk wskaże kierunek działania siły.

Rys. 5.54 Ilustracja reguły „trzech palców prawej dłoni" oraz reguły „lewej dłoni" wyznaczania kierunku działania siły elektrodynamicznej

Reguła „lewej dłoni": Jeżeli do otwartej dłoni lewej ręki wnikają linie sil pola magnetycznego, a wyciągnięte palce wskazują kierunek przepływu prądu, to odgięty kciuk wskaże kierunek działania siły. Zjawisko powstawania siły elektrodynamicznej jest podstawą działania wielu przetworników elektromechanicznych, w tym silników elektrycznych. . .

Marek

Pilawski

Strona 238

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 5.19 Liniowy przewód elektryczny o długości l = 2 m, wiodący prąd I = 10A znajduje się w polu elektrycznym o indukcji B = 0,1 T. Przewód może się poruszać bez tarcia po bezoporowych szynach (rys. 5.53). Obliczyć początkową siłę elektrodynamiczną Fed działającą na przewód oraz jego ustaloną prędkość v poruszania się w kierunku działającej siły. Do obliczeń przyjąć E = 0,1 V.

Początkowa siła elektrodynamiczna

Fed = BIl = 0,1 ⋅10 ⋅ 2 = 2 N Pod

wpływem

tej

siły

pręt

będzie

się

poruszał

ruchem

jednostajnie

przyspieszonym z przyspieszeniem

Fed m

a= m — masa pręta.

Ruch będzie się odbywał zgodnie z kierunkiem działającej siły. Ruch pręta będzie zmieniał strumień magnetyczny przenikający przez kontur obwodu elektrycznego. Na końcach pręta będzie się więc indukowała siła elektromotoryczna indukcji elektromagnetycznej — patrz wzór (5.94) i przykład 5.13

e = −B

dS n dt

pod wpływem której będzie płynął prąd

i=−

Ponieważ S n = lx; x = vt ; S n = lvt ;

B dS n R dt

dS n = lv , to dt i=−

Blv R

Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym v = at, to prąd indukcyjny

i=−

Blat R

będzie, z upływem czasu, zwiększał się co do modułu. Przepływ prądu indukowanego jest związany z powstawaniem nowej siły elektrodynamicznej F'ed skierowanej przeciwnie do siły Fed. Wypadkowa siła elektrodynamiczna

F = Fed + Fed' Wartość chwilowa przyspieszenia pręta określona jest zależnością

Marek

Pilawski

Strona 239

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Fed + Fed' = ma Prąd indukowany w czasie ruchu pręta będzie narastał do chwili, w której F'ed = Fed. Gdy siły elektrodynamiczne pochodzące od prądu wymuszonego i prądu indukowanego zrównoważą się, to przyspieszenie a = 0 (pierwsza zasada dynamiki Newtona) i pręt będzie się poruszał ruchem jednostajnym. Z warunku F'ed = - Fed wynika i = I, co można przedstawić w postaci

Blv E = R R Stąd

v=

E Bl

Po wykonaniu obliczeń: v = 0,4 m⋅s-1. Należy zauważyć, że energia kinetyczna ruchu pręta jest uzyskiwana kosztem energii elektrycznej czerpanej ze źródła napięcia o sile elektromotorycznej E. Pole magnetyczne o indukcji B jest w tym przypadku ośrodkiem, w którym następuje przemiana energii elektrycznej w energię mechaniczną. W silnikach elektrycznych, na skutek specjalnej konstrukcji, energia mechaniczna występuje w postaci energii kinetycznej ruchu obrotowego. Siła elektrodynamiczna działa na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym zawsze, niezależnie od rodzaju źródła pola magnetycznego. W szczególnym przypadku pole magnetyczne może być wytworzone przez inny przewodnik

z

prądem.

Rozpatrzmy

układ

dwóch

przewodów

z

prądem

przedstawiony na rys. 5.55. Przewód z prądem I2 umieszczony jest w polu magnetycznym wytworzonym przez przewód z prądem I1 (i odwrotnie). Przewód I2 znaj duje się w tym miejscu pola, w którym indukcja magnetyczna (patrz przykład 1.12)

B=

µ 0 I1 2πd

Siła elektrodynamiczna działająca na przewód z prądem I2

Fed =

Marek

Pilawski

µ 0 I1 I 2 l 2πd

(5.99)

Strona 240

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.55 Dwa przewodniki z prądem oddziałują na siebie za pośrednictwem pola magnetycznego

Taka sama siła o zwrocie przeciwnym działa na przewód wiodący prąd I1. Zwroty sił są takie, że powodują wzajemne przyciągania przewodów wiodących prądy o zgodnych zwrotach i odpychanie przewodów wiodących prądy o zwrotach przeciwnych. Mechaniczne oddziaływanie między przewodami z prądem wykorzystuje się w wielu urządzeniach elektromechanicznych. Przykład 5.20 Szyny zbiorcze w elektrowni, wiodące prąd I = 100 kA, odległe są od siebie o d = 1 m. Obliczyć siłę mechanicznego oddziaływania między szynami przypadającą na każdy metr długości szyn.

Ze wzoru

Fed =

µ 0 I 2l 2πd

(5.100)

otrzymuje się zależność

Fed =

4π ⋅10 −7 ⋅1010 ⋅1 = 2000 N 2π ⋅1

Wzór (5.100) jest zależnością, na podstawie której definiuje się jednostkę prądu elektrycznego — amper. Prąd o wartości jednego ampera (1 A) jest to taki prąd, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o przekroju kołowym nieskończenie małym, umieszczonych w próżni, odległych od siebie o 1 m wywołuje powstanie siły elektrodynamicznej o wartości 2⋅10-7 N działającej na każdy metr przewodów. Definicja ampera wiąże z sobą wielkości mechaniczne i elektryczne.

Marek

Pilawski

Strona 241

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 5.7 Zjawisko nadprzewodnictwa 5.7.1 Wprowadzenie W 1908 r. K. Onnes skroplił hel. Temperatura wrzenia tego gazu jest bardzo niska i wynosi 4,2 K. W ten sposób udostępnione zostały fizykom obszary bardzo niskich temperatur. Rzeczą naturalną było zbadanie właściwości różnych ciał w tych temperaturach. Szczególne zainteresowanie eksperymentatorów skupiało się na przewodnikach prądu elektrycznego — metalach. Wiadomo, że rezystancja przewodników metalowych wraz z obniżaniem ich temperatury maleje. Teoretycznie w temperaturze zera bezwzględnego powinna ona

osiągnąć

wartość

zerową.

Są

dwie

przyczyny

występowania

oporu

elektrycznego w metalach: drgający ruch cieplny jonów lub atomów w węzłach sieci

krystalicznej

wokół

swoich

położeń

równowagi

oraz

defekty

sieci

krystalicznej rozmieszczone w krysztale w sposób przypadkowy. W temperaturze zera bezwzględnego ruch cieplny atomów i jonów ustaje prawie całkowicie i można przyjąć, że o rezystancji przewodnika decydują zaburzenia okresowości sieci krystalicznej, tzw. defekty sieci. Defekty sieci są wynikiem zanieczyszczeń. Dla metali bardzo czystych można zatem przyjąć, że nie wnoszą one swego udziału do oporu elektrycznego. Rezystancja bardzo czystych przewodników metalicznych wraz z obniżaniem ich temperatury powinna więc zmniejszać się liniowo do zera. Zjawisko takie rzeczywiście się obserwuje w wielu metalach, między innymi w przewodnikach wykonanych ze złota i ze srebra. Dla wielu innych metali zjawisko przebiega jednak inaczej. Okazuje się, że w pewnej temperaturze, wyższej od temperatury zera bezwzględnego, charakteryzują się one całkowitym zanikiem rezystancji (rys. 5.56). Przejścia przewodnika do nowego, bezrezystancyjnego stanu jest bardzo gwałtowne; nowy stan nosi nazwę stanu nadprzewodnictwa.

Marek

Pilawski

Strona 242

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Rys. 5.56 Zależność rezystancji próbek metalicznych od temperatury 1 — przewodnik normalny, 2 — nadprzewodnik czysty, 3 — zanieczyszczony

nadprzewodnik

Stan nadprzewodnictwa jest to taki stan przewodnika, w którym znika jego rezystancja w temperaturze wyższej od zera bezwzględnego. Przewodnik obdarzony zdolnością przechodzenia w stan nadprzewodnictwa nosi nazwę nadprzewodnika. Temperatura, w której nadprzewodnik osiąga stan nadprzewodnictwa, jest nazwana temperaturą krytyczną. Stan nadprzewodnictwa osiągają nie tylko nadprzewodniki czyste, lecz również zanieczyszczone. Dla nich jednak przejście do nowego stanu jest łagodniejsze. Przewodniki nie mające zdolności przechodzenia do stanu nadprzewodnictwa nazywają się przewodnikami

normalnymi. Należy zaznaczyć, że zanik

rezystancji przewodników normalnych w temperaturze zera bezwzględnego nie jest związany z nadprzewodnictwem. Cechę nadprzewodnictwa wykazuje 25 znanych pierwiastków. Ich temperatury krytyczne zawierają się w przedziale 0 ... 10 K. Na przykład dla rtęci Hg wynosi ona ok. 4 K, dla cyny Sn 3,7 K, dla ołowiu Pb 7,2 K, a dla niobu Nb 9,3 K. Nadprzewodnikami są również niektóre stopy. Szczególnie interesujące są stopy nadprzewodnikowe wykonane na bazie niobu. Charakteryzują się one wysoką temperaturą krytyczną. Dla stopu Nb3Sn wynosi ona 18 K. Zjawisko zaniku rezystancji jest bardzo kuszącą perspektywą dla elektrotechniki. Konsekwencją zjawiska jest przecież prąd, który teoretycznie po wzbudzeniu może płynąć przez czas nieskończenie długi. Oczywiście podjęto próby pomiaru czasu przepływu prądu nadprzewodnikowego. Okazało się, że rezystywność nadprzewodników w stanie nadprzewodnictwa jest mniejsza niż 4⋅10-27 Ω⋅m, a więc ok. 1016 razy mniejsza od rezystywności miedzi w temperaturze pokojowej.

5.7.2 Właściwości obwodów elektrycznych w stanie nadprzewodnictwa Obwody elektryczne w stanie nadprzewodnictwa mają zupełnie odmienne właściwości od obwodów znajdujących się w stanie normalnym.

Marek

Pilawski

Strona 243

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Rozpatrzmy nierozgałęziony obwód elektryczny, np. obwód kołowy (rys. 5.57), wykonany z nadprzewodnika. Jeśli przez powierzchnię S, ograniczoną tym obwodem, przenika strumień magnetyczny zewnętrzny Φz zmienny w czasie, to indukuje on w obwodzie silę elektromotoryczną indukcji elektromagnetycznej. Pod wpływem tej siły elektromotorycznej płynie prąd I spełniający równanie

−

dΦ z di = Ri + L dt dt

(5.101)

L — indukcyjność, R — rezystancja obwodu. W stanie nadprzewodnictwa R = 0, zatem

L

di dΦ z + =0 dt dt

(5.102)

Pierwszy człon równania (5.102) oznacza zmiany strumienia Φn wytworzonego przez prąd nadprzewodnictwa, a drugi — zmiany strumienia zewnętrznego Φz. Jak widać, zmiany te kompensują się wzajemnie, tzn. że jeśli jeden strumień magnetyczny zmniejsza się, to drugi ulega zwiększeniu, lub odwrotnie, ale tak, że strumień całkowity pozostaje stały. Właściwość ta wynika również z całkowej postaci wzoru (5.102)

Li + Φ z = const

(5.103)

W odniesieniu do obwodów elektrycznych w stanie nadprzewodnictwa można więc

sformułować

następujący

wniosek,

będący

konsekwencją

zaniku

rezystancji. Całkowity strumień magnetyczny przechodzący przez powierzchnię ograniczoną obwodem elektrycznym w stanie nadprzewodnictwa jest wielkością

stalą,

niezależną

od

zmian

strumienia

magnetycznego

zewnętrznego. Z właściwości tej wynikają metody wzbudzenia prądu w obwodach zamkniętych znajdujących się w stanie nadprzewodnictwa. Pierwsza metoda polega na oziębieniu nadprzewodnika poniżej jego temperatury krytycznej. W tym stanie (stanie nadprzewodnictwa) obwód jakby „zapamiętuje", że całkowity strumień magnetyczny przenikający przez ograniczoną nim powierzchnię jest równy zero. Przyłożenie zewnętrznego pola magnetycznego indukuje w nim przepływ prądu nadprzewodnictwa o takim zwrocie i wartości, że strumień Φn wytworzony przez

Marek

Pilawski

Strona 244

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ten prąd w całości kompensuje strumień zewnętrzny Φz. Całkowity strumień jest równy zero. Druga metoda polega na oziębianiu nadprzewodnika poniżej jego temperatury krytycznej w obecności strumienia zewnętrznego Φz. Również i w tym przypadku obwód „zapamiętuje" w stanie nadprzewodnictwa wartość tego strumienia. Usunięcie

pola

magnetycznego

po

oziębieniu

wzbudza

przepływ

prądu

nadprzewodnictwa. Strumień Φn wytworzony przez ten prąd ma taką samą wartość

i

zwrot,

jakie

miał

strumień

zewnętrzny

Φz.

Przypadek

ten

przedstawiono na rys. 5.57b. Opisanych właściwości nie ma obwód złożony z przewodnika normalnego nie będącego nadprzewodnikiem, nawet o rezystancji R = 0.

Rys. 5.57 Nadprzewodnik kołowy: a) umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym o strumieniu Φz, w temperaturze wyższej od temperatury krytycznej; b) w stanie nadprzewodnictwa wytworzonym przez obniżenie temperatury i usunięcie pola o strumieniu Φz , ,

Marek

Pilawski

Strona 245

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 5.21 Nadprzewodnik kołowy o promieniu r = 0,1 m (rys. 5.57) umieszczono w zewnętrznym polu magnetycznym tak, że strumień przenikający obwód Φz = 10-8 Wb. Usuwając pole magnetyczne po oziębieniu nadprzewodnika do temperatury niższej od jego temperatury krytycznej, wytworzono w nim przepływ prądu nadprzewodnictwa. Obliczyć wartość prądu.

Równanie ogólne dla nadprzewodników w stanie nadprzewodnictwa ma postać (5.102)

− Ponieważ pochodna

dΦ z di =L dt dt

dΦ z ma znak ujemny (strumień w czasie ulega zmniejszeniu dt

— usunięcie pola), to

Φ z = Li stąd

i=

Φz L

Widać zatem, że wartość stałego prądu nadprzewodnictwa jest uzależniona od indukcyjności obwodu. Zależność taka nie występuje w obwodach normalnych. W

celu

obliczenia

magnetycznego

indukcyjności

wewnątrz

wyznaczymy

przewodnika

wartość

kołowego,

natężenia

korzystając

ze

pola wzoru

otrzymanego w przykładzie 5.8

H=

i 2r

Ponieważ strumień Φn = SHµ0, gdzie S = πr2 jest powierzchnią, przez którą przenika strumień magnetyczny,

Φn = Uwzględniając,

że

zgodnie

z

µ 0πr 2i 2r

definicją

indukcyjności L =

Φz otrzymujemy i

(pamiętając, że Φ z = Φ n )

L=

1 µ 0πr 2

Wielkość µ 0 = 4π ⋅ 10 −7 H ⋅ m −1 , a zatem

Marek

Pilawski

Strona 246

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki L = 2π ⋅10 −7 H Obliczając stosunek Φz/L otrzymujemy ostatecznie i = 50 mA. Na podstawie analizy prostego obwodu nadprzewodnikowego można wysnuć wniosek: Prąd

stały

nadprzewodnictwa

jest

odwrotnie

proporcjonalny

do

indukcyjności toru, którym płynie. Powyższy wniosek można rozszerzyć na obwody rozgałęzione: Prądy stałe nadprzewodnictwa przenoszone po torach równoległych są odwrotnie proporcjonalne (w przybliżeniu) do indukcyjności tych torów. Przykład 5.22 Obliczyć stosunek prądów i1 do i2 w obwodzie jak na rys. 5.58, znajdującym się w stanie nadprzewodnictwa.

Przedstawiony indukcyjności

obwód

jest

odpowiednich

obwodem gałęzi,

a

rozgałęzionym. M

—

Ll

i

współczynnik

L2

oznaczają

indukcyjności

wzajemnej. Spadek napięcia na zaciskach lewej i prawej gałęzi jest taki sam, a zatem

L1

di1 di di di + M 2 = L2 2 + M 1 dt dt dt dt

Rys. 5.58 Rozgałęziony obwód nadprzewodnikowy

Po uporządkowaniu

(L1 − M ) di1 = (L2 − M ) di2 dt

dt

a po scałkowaniu, przy zerowych warunkach początkowych

(L1 − M )i1 = (L2 − M )i2 stąd

Marek

Pilawski

Strona 247

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki i1 (L2 − M ) = i2 (L1 − M ) Jeśli M jest bardzo małe w porównaniu z Ll i L2, to można napisać

i1 L2 = i2 L1 Do tej pory omawialiśmy zjawiska towarzyszące przepływowi prądu stałego nadprzewodnictwa. A jak zachowuje się nadprzewodnik, gdy płynie w nim prąd zmienny?

Spróbujmy

elektronów:

to

rozważyć

elektronów

zakładając

przewodnictwa

istnienie

dwóch

(normalne)

i

rodzajów elektronów

nadprzewodnictwa*. W istocie są to nazwy umowne, oznaczające te same elektrony

w

różnych

stanach

nadprzewodnictwa.

W

temperaturze

zera

bezwzględnego wszystkie elektrony biorące udział w przewodzeniu prądu są elektronami nadprzewodnictwa. Ze wzrostem temperatury procentowy udział elektronów nadprzewodnictwa w ogólnej ilości elektronów uczestniczących w przepływie prądu maleje. Wreszcie w temperaturze krytycznej wszystkie elektrony są normalne. W nadprzewodniku zatem w ogólnym przypadku może płynąć

prąd

nadprzewodnictwa

nadprzewodnictwa

może

być

i

prąd

normalny.

wytwarzany

jedynie

Stały

przez

prąd

elektrony

nadprzewodnictwa. Związane jest to z tym, że natężenie pola elektrycznego w nadprzewodniku, w przypadku prądu stałego, jest równe zeru. Gdyby pole to miało inną wartość, to elektrony nadprzewodnictwa, nie doznając żadnego oporu w swym ruchu, wytworzyłyby po pewnym czasie prąd o nieskończenie dużej wartości.

Takiego

zjawiska

nie

obserwuje

się.

Jeśli

w

nadprzewodniku,

znajdującym się w stanie nadprzewodnictwa, zostanie wytworzone zmienne pole elektryczne, to powstały prąd nadprzewodnictwa ze względu na bezwładność elektronów będzie się opóźniał względem zmian tego pola. Obwód będzie więc wykazywał cechę indukcyjności, która jest całkowicie różna od indukcyjności wynikającej

z

kształtu

obwodu

elektrycznego.

Tak

więc

w

obwodzie

nadprzewodnikowym może płynąć zmienny prąd nadprzewodnictwa, przy czym będzie to prąd o charakterze indukcyjnym. Obecność pola elektrycznego w nadprzewodniku spowoduje również ruch elektronów normalnych. Będą one tworzyły

prąd

normalny

wydzielający

moc

w

sposób

konwencjonalny.

Rezystancja dla tego prądu nie jest równa zero. Zmienny prąd w nadprzewodnikach zawiera dwie składowe: zmienny

Marek

Pilawski

Strona 248

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki prąd nadprzewodnictwa i zmienny prąd normalny. Składowa normalna prądu daje spadek napięcia na nadprzewodniku. * Nazwy „elektrony nadprzewodnictwa” i” elektrony normalne” nie są powszechnie przyjęte.

Z dotychczasowych rozważań wynika, że zjawisko nadprzewodnictwa wiąże się ściśle ze zjawiskami magnetycznymi. Omówimy to teraz dokładniej. W tym celu będziemy rozpatrywać właściwości bryły nadprzewodnika (rys. 5.59), a nie obwodu elektrycznego, jak poprzednio. W bryle nadprzewodnika można wytworzyć przepływ prądu nadprzewodnictwa w taki sam sposób, jak w obwodach elektrycznych. W tym przypadku prąd płynie jedynie tylko po powierzchni bryły tworząc prąd powierzchniowy. Wartość tego prądu i kierunek jego przepływu są takie, że wypadkowe pole magnetyczne w objętości nadprzewodnika jest równe zero. Jest to bardzo ważna właściwość materiałów nadprzewodzących (nadprzewodników), którą po raz pierwszy zaobserwował

A.

Meissner.

Z

tego

też

względu

zjawisko

zaniku

pola

magnetycznego w nadprzewodniku (rys. 5.60) nosi nazwę efektu Meissnera. Nadprzewodnik w stanie nadprzewodnictwa zachowuje się zatem jak idealny diamagnetyk (rys. 5.61). Podatność magnetyczna idealnego diamagnetyka χ = — 1, co oznacza, że jego namagnesowanie J = Hz jest równe co do wartości natężeniu pola zewnętrznego, lecz przeciwnie skierowane. W tym przypadku jest ono wytworzone przez prądy powierzchniowe (kołowe), a nie zespół atomów, jak w diamagnetyku normalnym. Idealny diamagnetyzm można także opisać za pomocą jego przenikalności magnetycznej µ = 1 + χ. Oczywiście w tym przypadku µ = 0, co oznacza, że indukcja magnetyczna wewnątrz nadprzewodnika, wytworzona przez zewnętrzne pole magnetyczne, jest zawsze równa zero (zakres 0 ... Hkr, rys. 5.61b). To, że metal nadprzewodzący nie zezwala na istnienie w swym wnętrzu strumienia magnetycznego, ma podstawowe znaczenie dla przepływu prądu nadprzewodnictwa.

Marek

Pilawski

Strona 249

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.59 Element nadprzewodzący w stanie nadprzewodnictwa umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji Bz

Prąd nadprzewodnictwa w bryle nadprzewodnika nie może przepływać przez całą objętość bryły, może płynąć jedynie po jego powierzchni. Pojęcie powierzchni, jako obszaru dla przepływu prądu, jest oczywiście pojęciem umownym. W istocie prąd płynie w cienkiej warstwie powierzchniowej, której grubość jest rzędu 10-7 m i jest różna dla różnych nadprzewodników. Chociaż grubość warstwy powierzchniowej jest niewielka, odgrywa ona istotną rolę w określaniu właściwości nadprzewodników. Rozkład gęstości prądu w warstwie powierzchniowej nie jest równomierny. Największa gęstość prądu występuje przy powierzchni metalu. W miarę przesuwania się w głąb nadprzewodnika, gęstość prądu stopniowo zmniejsza się do zera. Głębokość, na której płyną jeszcze prądy powierzchniowe, nosi nazwę głębokości wnikania. Jest to zarazem głębokość, na którą wnika określona część

strumienia

magnetyczne

o

przyłożonego

pola

indukcji

przyłożone

B0

magnetycznego równolegle

(rys. do

5.60).

Pole

powierzchni

nadprzewodnika wnika w obszar metalu, przy czym indukcja zmniejsza się (ekspotencjalnie) zgodnie z należnością −

B( x) = B0 e

Marek

Pilawski

x x0

(5.104)

Strona 250

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 5.60 Głębokość wnikania pola magnetycznego do nadprzewodnika w stanie nadprzewodnictwa

Głębokością wnikania x0 nazwano umownie głębokość obszaru, w którym indukcja magnetyczna zmniejsza się e razy (e ≈ 2,71). Wnikanie

strumienia

magnetycznego

w głąb

próbki nadprzewodnika

jest

niedostrzegalne wówczas, gdy rozmiary próbki są duże. W przypadku cienkich warstw nadprzewodzących, o grubości porównywalnej z głębokością wnikania, występuje w nich znaczna indukcja magnetyczna. Materiał traci wtedy cechy idealnego diamagnetyka i zmienia swoje właściwości nadprzewodzące. Jak już wspomniano

wcześniej, prąd w nadprzewodniku,

mimo

zerowej

rezystancji nadprzewodnika, nie może osiągnąć dowolnie dużej wartości. Na przeszkodzie temu stoi indukcyjność. Ale nie tylko indukcyjność ogranicza wartość

prądu.

Również

pole

magnetyczne

ma

wpływ

na

właściwości

nadprzewodników. Przyglądając się już charakterystykom przedstawionym na rys. 5.61 zauważamy, że jeśli natężenie pola magnetycznego przekroczy wartość natężenia krytycznego Hkr„ to nadprzewodnik ze stanu nadprzewodnictwa przechodzi w stan normalny, mimo że temperatura otoczenia może być mniejsza od temperatury krytycznej. Z punktu widzenia nadprzewodnika obojętne jest, czy pole magnetyczne jest przyłożone z zewnątrz, czy też jest wynikiem przepływu

prądu

nadprzewodnictwa.

Nadprzewodnik

zatem

niejako

sam

wyznacza sobie maksymalną wartość prądu, który może płynąć przez niego bez obawy zniszczenia jego właściwości nadprzewodnikowych.

Natężenie krytyczne pola nie jest wielkością stałą, lecz zależną od temperatury (rys. 5.62). W temperaturze zera bezwzględnego wartość natężenia krytycznego

Marek

Pilawski

Strona 251

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki jest największa, by w temperaturze krytyczne zmniejszyć się do zera

Rys. 5.61 Zachowanie się nadprzewodników w zewnętrznym polu magnetycznym: a) zależność indukcji od natężenia zewnętrznego pola magnetycznego; b) zależność namagnesowania od natężenia zewnętrznego pola magnetycznego 1 — przewodnik normalny, 2 — nadprzewodnik czysty, 3 — nadprzewodnik zanieczyszczony

H kr Hkr0

 T = H kr 0 1 −  Tkr

  

2

(5.105)

— natężenie krytyczne dla T = 0.

Paraboliczna zależność między wielkościami Tkr i Hkr ma charakter empiryczny. Opisuje

ona

jednak

z

dużym

przybliżeniem

zależności

wyznaczone

doświadczalnie.

Rys. 5.62 Zależność natężenia krytycznego pola magnetycznego od temperatury

5.7.3 Matematyczny opis stanu nadprzewodnictwa Zjawisko nadprzewodnictwa można wyjaśnić jedynie na gruncie elektrodynamiki

Marek

Pilawski

Strona 252

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki kwantowej. Zanim jednak J. Bardeen, W. Cooper i J. Schrieffer opracowali odpowiednią teorię, zwaną w skrócie teorią BCS*, bracia F. i H. Londonowie opracowali prostą teorię zjawiska nadprzewodnictwa, wychodząc z równań Maxwella. Zauważyli oni, że magnetyczne właściwości metalu nadprzewodzącego można

by

opisać

prawidłowo,

gdyby

w

równaniach

Maxwella

wielkość

∂B zastąpić formalnie indukcją B. Zanim do tych równań przejdziemy, określmy ∂t najpierw wartość prądu przewodzenia w nadprzewodniku (prąd przesunięcia jest pomijany). Elektrony nadprzewodnictwa, znajdujące się w nadprzewodniku, nie napotykają w

czasie

swego

elektrycznego

o

ruchu

żadnego

natężeniu

E

oporu.

Tak

więc,

poruszają

się

one

pod

wpływem

ruchem

pola

jednostajnie

przyspieszonym, a równanie ich ruchu ma postać

m

dv = eE dt

(5.106)

m — masa, v — prędkość, e — ładunek elektronu. Jeżeli koncentracja elektronów nadprzewodnictwa jest n, to tworzą one prąd nadprzewodnictwa o gęstości

J R = nev

(5.107)

Szybkość zmian gęstości prądu w czasie wyraża wzór

dJ R dv = ne dt dt

(5.108)

który po uwzględnieniu zależności (5.106) przyjmuje postać

dJ R ne 2 = E dt m

(5.109)

Powróćmy teraz do drugiego równania Maxwella — wzór (1.62) i (1.63), które teraz można zapisać * Teoria nadprzewodnictwa BCS omówiona jest w p. 5.7.4.

∂B ∂B = − rotE czyli = −∇ × E ∂t ∂t

(5.110)

Ponieważ

E=

Marek

Pilawski

m dJ R ne 2 dt

(5.111)

Strona 253

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki to

dJ m ∂B = − 2 rot R ∂t ne dt Zgodnie

ze

spostrzeżeniem

Londonów,

nadprzewodnictwa spełnia równanie wielkością B, a

(5.112) nadprzewodnik

w

stanie

(5.112), jeśli zastąpimy w nim

∂B ∂t

dJ R - wielkością JR. Otrzymuje się w ten sposób równanie dt B=−

m rotJ R ne 2

(5.113)

które wraz z równaniem

dJ R ne 2 = E dt m

(5.114)

leży u podstaw teorii Londonów. Równanie (5.113) opisuje idealny diamagnetyzm nadprzewodnika, natomiast równanie (5.114) stwierdza, że dopóki w nadprzewodniku płynie prąd stały

 dJ R  = 0  , to nie może być w metalu pola elektrycznego.   dt  Zasługą Londonów jest to, że na podstawie ich wzorów można dojść do równania opisującego zjawisko wnikania pola magnetycznego w obszar nadprzewodnika — patrz równanie (5.104) −

B( x) = B0 e

x xL

(5.115)

w którym

xL =

m µ 0 ne 2

Wielkość xL nosi nazwę londonowskiej głębokości wnikania. Uwzględniając wartości wielkości m, µ0, e oraz uwzględniając, że typowa koncentracja nośników swobodnych prądu w metalu (w przybliżeniu jeden elektron na atom) wynosi n = 4⋅1028 m-3 otrzymuje się xL ≈ 10-8 m, co w dużej mierze zgadza się z doświadczeniem. Równania Londonów nie zastępują równań Maxwella. Określają jedynie warunki,, które dodatkowo spełniają prądy nadprzewodnikowe. Ponadto dobrze wyjaśniają zjawisko Meissnera.

Marek

Pilawski

Strona 254

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 5.7.4 Istota nadprzewodnictwa Istotę

zjawiska

nadprzewodnictwa

można

wyjaśnić

rozpatrując

procesy

zachodzące w nadprzewodniku w skali mikroskopowej. Otóż, jak wspomniano, przyczyną występowania oporu elektrycznego czystych metali jest ruch drgający jonów umiejscowionych w węzłach sieci krystalicznej. Elektrony w czasie ruchu wymieniają swą energię z drgającymi jonami. Jeśli elektron potraktujemy jako falę, to fala ta w przewodniku jest rozpraszana. Centrami rozpraszającymi „fale elektronowe" są właśnie drgające jony. Bardzo często mówi się po prostu o rozpraszaniu elektronów. Rozpraszanie elektronów jest zatem przyczyną występowania oporu elektrycznego. Energię kinetyczną ruchu drgającego jonów można opisać w sposób kwantowy. W tym przypadku kwant energii drgań sieci krystalicznej nosi nazwę fononu. W normalnych warunkach energia fononów w przewodniku, z punktu widzenia elektronu, jest duża. Wraz z obniżaniem temperatury energia fononów zmniejsza się jednak do takiej wartości, że może być ona pochłonięta przez elektron. Elektron, po zaabsorbowaniu fononu, na bardzo krótki czas zwiększa swoją energię, po czym sam emituje fonon, który jest z kolei absorbowany przez inny elektron. W ten sposób następują jak gdyby sprzęgnięcia wzajemne: elektronów i elektronów z siecią krystaliczną. Temperatura, w której następuje jakościowa zmiana oddziaływań elektronów z siecią krystaliczną, nosi nazwę temperatury krytycznej. Elektrony sprzęgnięte ze sobą i z siecią za pośrednictwem fononów tworzą zespół elektronów nadprzewodnictwa. Mogą one przemieszczać się wewnątrz kryształu bez strat energii, czyli bez rozproszeń, są odpowiedzialne za prąd nadprzewodnictwa. Liczba ich wraz z obniżaniem temperatury zwiększa się, a w temperaturze zera bezwzględnego już wszystkie elektrony są elektronami nadprzewodnictwa. Rozpatrzmy obecnie dokładniej oddziaływania typu elektron – fonon - elektron. Jak

wynika

kwantowej,

z

rachunków,

oddziaływania

przeprowadzonych typu

w

zakresie

elektron-fonon-elektron

elektrodynamiki prowadzą

do

wystąpienia sił przyciągających między elektronami. Istotę tych sił można wyjaśnić posługując się modelem mechanicznym przedstawionym na rys. 5.63.

Marek

Pilawski

Strona 255

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Dwie płyty naładowane jednoimiennie, które mogą przesuwać się swobodnie po podłożu, umieszczone są pod dachem w kształcie trapezu. Między płytami odbijana jest piłka. Piłka w czasie swego ruchu odbija się również od dachu. Ciągłe odbijanie piłki od płyt powoduje, że dążą one do zbliżenia się do siebie. Działa więc na nie siła zbliżona do siły przyciągania. W stanie równowagi siła ta równoważy siłę odpychania między płytami. Jeżeli w naszym modelu dach zastąpimy

sztywną

siecią

krystaliczną,

płyty

naładowane

ujemnie

—

dwoma

elektronami, a piłkę — fononem, to otrzymamy przybliżony obraz zjawisk występujących w metalu znajdującym się w stanie nadprzewodnictwa. W metalu oziębionym poniżej temperatury krytycznej oddziaływanie elektron – fonon elektron prowadzi do powstania par elektronowych — par Coopera.

Rys. 5.63 Ilustracja oddziaływań między elektronami prowadząca do ich sprzężenia w pary Coopera

W parach Coopera sprzężone są dwa elektrony o przeciwnych spinach. Energia ta kiego układu jest o ok. 10-4 eV mniejsza od energii dwóch elektronów swobodnych w tej samej temperaturze. Prąd nadprzewodnictwa tworzą zatem nie pojedyncze elektrony, a pary elektronów sprzężonych, które wykorzystują energię drgań sieci do utrzymania sprzężenia i które dzięki temu poruszają się nie doznając rozpraszanie (oporu). Przykład 5.23 Przedyskutować znaczenie przerwy energetycznej (pasma zabronionego ∆E = 10-4 eV) w widmie energetycznym atomów nadprzewodnika.

Przedstawiając przerwę energetyczną ∆E za pomocą iloczynu kT, gdzie k jest stałą Boltzmanna, otrzymujemy równanie

∆E = kT z którego

T=

∆E k

Po wykonaniu obliczeń T ≈ 1 K, co dobrze pasuje do przedziału temperatur, w którym występuje zjawisko nadprzewodnictwa.

Marek

Pilawski

Strona 256

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Jeżeli przerwę energetyczną ∆E przedstawimy za pomocą iloczynu hv, to z równania

∆E = hv można obliczyć częstotliwość promieniowania, którego energia odpowiadać będzie przerwie energetycznej

v=

∆E h

Po wykonaniu obliczeń v ≈ 3⋅1011 Hz. Jest to częstotliwość z zakresu promieniowania podczerwonego (cieplnego). Pod wpływem absorpcji energii promieniowania tej długości fali, nadprzewodnik ze stanu nadprzewodnictwa przechodzi do stanu przewodnictwa. Istnienie przerwy energetycznej w widmie energetycznym elektronów wykryto doświadczalnie. Otóż nadprzewodniki w stanie nadprzewodnictwa bardzo silnie pochłaniają

promieniowanie

promieniowanie

z

zakresu

o

częstotliwości

dalekiej

3⋅1011

ok.

podczerwieni.

Pod

Hz.

Jest

wpływem

to tego

promieniowania nadprzewodnik przechodzi ze stanu nadprzewodnictwa do stanu normalnego.

Dzieje

się

tak

dlatego,

że

elektrony

nadprzewodnictwa

po

zaabsorbowaniu kwantów energii o wartości ok. 10-4 eV stają się elektronami normalnymi. Fakt istnienia par Coopera w nadprzewodniku w stanie nadprzewodnictwa uzasadnia teoria BCS. Z teorii tej wynika również fakt, że najlepsze przewodniki elektryczności, takie jak miedź, srebro, złoto nie są nadprzewodnikami. W stanie normalnym w metalach tych elektrony swobodne bardzo słabo oddziałują z siecią krystaliczną. Obniżanie temperatury nie prowadzi w tym przypadku do istotnych zmian jakościowych tych oddziaływań. W metalach tych nie można zatem wytworzyć

stanu

nadprzewodnictwa,

nawet

w

najniższych

dostępnych

temperaturach.

5.7.5 Nadprzewodniki drugiego rodzaju Wszystkie

dotychczasowe

rozważania

dotyczyły

nadprzewodników

pierwszego rodzaju i to nadprzewodników czystych (idealnych). Obecnie omówimy zjawiska nadprzewodnictwa drugiego rodzaju, ale zanim do tego przejdziemy, omówimy jeszcze te aspekty zjawisk nadprzewodnictwa pierwszego

Marek

Pilawski

Strona 257

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki rodzaju, które będą miały dla nas znaczenie w tym rozdziale. W idealnych nadprzewodnikach stan nadprzewodnictwa rozciąga się na całą objętość

materiału.

W

rzeczywistości

jednak,

na

skutek

zanieczyszczeń,

lokalnych deformacji sieci krystalicznej i przewężeń przewodnika, istnieją w stanie nadprzewodnictwa obszary normalne. Stan nadprzewodnika, w którym oprócz obszarów nadprzewodzących istnieją obszary normalne, nazywa się stanem pośrednim. Stan pośredni jest zatem typowym stanem nadprzewodników rzeczywistych w stanie nadprzewodnictwa. Istnienie w nadprzewodnikach lokalnych obszarów normalnych ma swoje konsekwencje w rozkładzie prądów nadprzewodnictwa. Rozpatrzmy właściwości nadprzewodnika, który w stanie nadprzewodnictwa otacza niewielki obszar normalny (otwór). Dla prostoty rozważań może to być płaski

pierścień

(rys.

5.64),

w

którym

wyróżnimy

powierzchnię

boczną

zewnętrzną i wewnętrzną. Załóżmy, że tak ukształtowany nadprzewodnik ochładzamy poniżej jego temperatury krytycznej w nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego. Następnie przykładamy pole magnetyczne o indukcji Bz (rys. 5.64a). Ponieważ ośrodek nadprzewodzący jest doskonale diamagnetyczny i w jego wnętrzu nie może być pola magnetycznego, na powierzchni zewnętrznej pierścienia zostaje wzbudzony przepływ prądu nadprzewodnictwa i. Prąd i utrzymuje idealny diamagnetyzm nadprzewodnika i nie dopuszcza do istnienia strumienia magnetycznego w metalu. Jednocześnie indukcja magnetyczna wytworzona przez diamagnetyczne prądy ekranujące znosi również indukcję w obszarze normalnym (otworze) pochodzącą od pola zewnętrznego. W efekcie w obszarze normalnym strumień magnetyczny nie występuje. Przepływ prądów nadprzewodnictwa można wytworzyć również w inny sposób. W tym

celu

ochładzamy

nadprzewodnik

w

obecności

zewnętrznego

pola

magnetycznego o indukcji Bz (rys. 5.646). Ponieważ nadprzewodnik poniżej swej temperatury krytycznej jest doskonale diamagnetyczny, to również i w tym przypadku zostanie wytworzony przepływ prądu nadprzewodnictwa i znoszącego

Marek

Pilawski

Strona 258

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki pole magnetyczne w objętości materiału. Pole magnetyczne w obszarze normalnym musi jednak istnieć. Zatem oprócz powierzchniowych prądów diamagnetycznych musi płynąć prąd paramagnetyczny i’ wytwarzający w obszarze normalnym pole o indukcji Bz’. Prąd ten płynie w kierunku przeciwnym do prądu ekranującego i zawsze w obszarze granicznym między obszarami normalnymi i nadprzewodzącymi.

Rys. 5.64 Przejście nadprzewodnika z zewnętrznym obszarem normalnym w stan nadprzewodnictwa: a) w nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego; b) w obecności zewnętrznego pola magnetycznego

Już w p. 5.7.1 stwierdziliśmy, że strumień magnetyczny objęty dowolnym obwodem nadprzewodzącym w stanie nadprzewodnictwa nie może ulec zmianie (rys. 5.57). Tak więc, jeśli w obszarze normalnym nadprzewodnika otoczonym obszarem nadprzewodnictwa zostanie wytworzony strumień magnetyczny, to zarówno wzbudzony prąd kołowy i' jak i ten strumień będą miały charakter trwały. Nie znikną one nawet po zmianie lub zaniku pola zewnętrznego. Opisana sytuacja dotyczyła przypadku, gdy lity kawałek nadprzewodnika otacza obszar normalny. Zjawiska wyglądają jednak podobnie, gdy w litym kawałku nadprzewodnika prąd otacza jakiś obszar, który w wyniku działania pola magnetycznego tego prądu utrzymywany jest w stanie normalnym. Zjawisko takie obserwuje się w nadprzewodnikach drugiego rodzaju.

Marek

Pilawski

Strona 259

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Teoria

Bardeena,

Coopera

i

Schrieffera

opisuje

wartość

strumienia

magnetycznego wytworzonego przez prąd paramagnetyczny i'

Φ′ = n

h 2e

(5.117)

Strumień magnetyczny Φ' nazywa się w tym przypadku fluksoidem. Fluksoid może przyjmować tylko ściśle określone wartości równe całkowitej krotności wartości strumienia określonego wzorem

Φ0 =

h 2e

(5.118)

Wielkość Φ0 jest kwantem strumienia magnetycznego. Nosi on nazwę fluksonu. Wartość fluksonu jest bardzo mała, Φ0 = 2,07⋅10-15 Wb, niemniej jednak można ją wyznaczyć doświadczalnie. W tym przypadku doświadczenie potwierdza słuszność wzoru (5.118), a obecność w nim wyrażenia 2e silnie przemawia za udziałem par elektronowych w mechanizmie przenoszenia prądu nadprzewodnictwa. Kwantowy charakter zmian strumienia przenikającego przez obszary normalne nadprzewodnika narzuca taki sam charakter zmian prądów paramagnetycznych. W obecności zewnętrznego pola magnetycznego wokół obszarów (rdzeni) normalnych płyną prądy o takiej wartości, że strumień przez nie wytworzony stanowi dopełnienie do najbliższej całkowitej wielokrotności fluksonu. Nadprzewodnik

drugiego

rodzaju

przewodnictwo

elektryczne

jest

polega

na

to

taki

nadprzewodnik,

przenoszeniu

rdzeni

w

którym

normalnych

rozłożonych równomiernie w objętości nadprzewodnika. Strukturę takiego nadprzewodnika przedstawiono na rys. 5.65. Nadprzewodnik drugiego rodzaju zawiera sieć rdzeni normalnych „zatopionych" w obszarze nadprzewodzącym nadprzewodnika. Rdzenie te mają kształt walców, a odległość między nimi jest rzędu 10-7 m. Na powierzchniach granicznych rdzeni płyną prądy kołowe i' wytwarzające pole magnetyczne o natężeniu H' = Hz gdzie Hz jest natężeniem zewnętrznego pola magnetycznego. Oprócz tego po powierzchni próbki płynie prąd nadprzewodnictwa i diamagnetyczny ekranujący obszar nadprzewodzący próbki przed polem magnetycznym. Przepływ prądu polega na „przepływie” rdzeni normalnych w objętości materiału.

Marek

Pilawski

Strona 260

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Opisana struktura nadprzewodnika drugiego rodzaju nosi nazwę struktury mieszanej. O nadprzewodniku o strukturze mieszanej mówi się, że znajduje się w stanie mieszanym.

Rys. 5.65 Stan mieszany nadprzewodnika drugiego rodzaju

Mimo pewnego podobieństwa stanu mieszanego do stanu pośredniego różni się on

od

niego

w

nadprzewodnikach nadprzewodnika.

sposób

istotny.

pierwszego Natomiast

Stan

rodzaju

stan

pośredni i

mieszany

jest jest

występuje wynikiem

samoistną

tylko

w

„defektów” właściwością

materiałów nadprzewodzących drugiego rodzaju. Poza tym struktura stanu pośredniego jest makroskopowa. W pewnych przypadkach można ją dostrzec nawet gołym okiem. Struktura stanu mieszanego jest mikroskopowa. Stan mieszany w nadprzewodnikach drugiego rodzaju może istnieć tylko w obecności

zewnętrznego

pola

magnetycznego

o

określonej

wartości:

nie

mniejszej niż Hkr1 i nie większej niż Hkr2. W polach magnetycznych o natężeniu H < Hkr1 nadprzewodnik zachowuje się tak, jak nadprzewodnik pierwszego rodzaju. W polach magnetycznych o natężeniu H > Hkr2 nadprzewodnik drugiego rodzaju przechodzi w stan normalny. Widać więc, że nadprzewodnik pierwszego rodzaju może istnieć w jednym z dwóch stanów: nadprzewodnictwa lub normalnym, natomiast nadprzewodnik drugiego rodzaju — w jednym z trzech stanów: stanie nadprzewodnictwa, normalnym lub mieszanym.

Marek

Pilawski

Strona 261

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Rys. 5.66 Charakterystyka napięciowo--prądowa nadprzewodnika drugiego rodzaju umieszczonego w poprzecznym polu magnetycznym; 1 — nadprzewodnik w stanie normalnym, 2 — czysty nadprzewodnik w stanie nadprzewodnictwa, 3 — zanieczyszczony nadprzewodnik

Jak już wspomniano, przepływ prądu przez nadprzewodnik w stanie mieszanym polega na ruchu rdzeni normalnych. Typową charakterystykę napięciowoprądową nadprzewodnika drugiego rodzaju przedstawiono na rys. 5.66. W zakresie prądów od 0 do Ikr1 spadek napięcia na próbce jest równy zero, gdyż nadprzewodnik znajduje się w stanie nadprzewodnictwa. Przy prądach I > Ikr1 nadprzewodnik przechodzi w stan mieszany, w którym strumień magnetyczny jest unoszony przez rdzenie normalne. Rdzenie normalne napotykają w swym ruchu opór wywołany defektami sieci krystalicznej. Opór ten, zwany oporem płynięcia, jest cechą charakterystyczną dla danego materiału i nie zależy od stopnia jego czystości. Ruch rdzeni normalnych jest jednocześnie ruchem zawartych w nich fluksonów i nosi nazwę płynięcia strumienia. Płynięcie strumienia odbywa się całą objętością nadprzewodnika. Nadprzewodniki drugiego rodzaju nie doczekały się jeszcze opracowania tak zwartej teorii, jak nadprzewodniki pierwszego rodzaju, zdobywają one jednak zastosowanie w nauce i technice ze względu na znacznie wyższe temperatury krytyczne.

5.7.6 Nadzieje zastosowań nadprzewodników Zjawisko nadprzewodnictwa nie jest jeszcze powszechnie wykorzystywane w technice. Na skalę laboratoryjną buduje się jednak wiele różnych urządzeń, które wykorzystując to zjawisko osiągają bardzo korzystne parametry, znacznie odbiegające od parametrów urządzeń powszechnie produkowanych.

Zjawisko nadprzewodnictwa najwcześniej zostało wykorzystane do budowy elektromagnesów elektromagnesach

wytwarzających zwykłych

bardzo

wartość

silne

pola

maksymalna

magnetyczne. osiąganego

W pola

magnetycznego ograniczona jest rozmiarami rdzenia stalowego i stratami mocy elektrycznej w uzwojeniach cewki. Do wytwarzania pola magnetycznego o indukcji 10 T potrzebna jest moc elektryczna rzędu kilku megawatów. W elektromagnesach nadprzewodzących straty mocy na ciepło Joule'a-Lenza są

Marek

Pilawski

Strona 262

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki równe zeru. Poza tym prąd raz wzbudzony w uzwojeniu wzbudzającym może płynąć przez czas dowolnie długi, wytwarzając pole magnetyczne o stałej wartości. Do podtrzymania tego prądu nie jest potrzebne żadne źródło napięcia.

W niektórych krajach skonstruowano już elektromagnesy nadprzewodzące wytwarzające pole magnetyczne o indukcji 10 T. Elektromagnesy takie są bezrdzeniowe, a cewka wykonana jest z drutu ze stopów niobowo-cynkowych Nb-Zn, niobowo-tytanowych Nb-Ti lub niobowo-cynowych Nb-Sn. Stopy te charakteryzują się wysoką temperaturą krytyczną, ok. 20 K. Zbudowano też już modele generatorów i silników elektrycznych z uzwojeniami wykonanymi z nadprzewodników. Jedyną trudnością jest utrzymanie w częściach wirujących maszyn niskiej temperatury, utrzymującej stan nadprzewodnictwa w zwojach cewek. Rozpatruje się możliwość budowy przesyłowych linii elektroenergetycznych nadprzewodzących przekazujących energię elektryczną bez strat. Obecnie straty mocy elektrycznej w liniach typowych dochodzą do 10%. Ochłodzenie linii przesyłowych do temperatury 77 K (temperatura ciekłego azotu) zmniejsza dziesięciokrotnie

rezystancję

przewodów

miedzianych

i

aluminiowych,

a

ochłodzenie do temperatury 20 K (temperatura ciekłego wodoru) zmniejsza rezystancję przewodów pięćsetkrotnie. Oczywiście zmniejsza to straty energii przy jej przesyłaniu. Koszty chłodzenia zwiększają się jednak wyraźnie wraz z obniżaniem temperatury. Przy obecnym stosunku kosztów chłodzenia do zysków osiąganych z bezstratnego przesyłania energii stosowanie linii nadprzewodzących nie jest jeszcze ekonomicznie uzasadnione. Należy zaznaczyć, że korzyści płynące z bezstratnego przesyłania energii nie są główną zaletą chłodzonej linii. Podstawową jej zaletą jest możliwość przesyłania bardzo dużych prądów. Możliwość

utrzymania

prądu

elektrycznego

w

pierścieniu

wykonanym

z

nadprzewodnika przez dowolnie długi czas stwarza możliwość konstruowania tanich, niezawodnych pamięci maszyn cyfrowych. Z istnieniem tzw. efektu złącza Josephsona

w

nadprzewodnikach,

podobnego

do

efektu

złącza

p-n

w

półprzewodnikach, łączy się wielkie nadzieje na budowanie elementów o czasie przełączania rzędu 10 ps i mocy wyjściowej kilku mikrowatów. Elementy takie pozwoliłyby na konstrukcje komputerów o złożoności funkcjonalnej zbliżającej technikę wydatnie do momentu skonstruowania sztucznego mózgu.

Marek

Pilawski

Strona 263

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Zjawisko

nadprzewodnictwa

wykorzystuje

się

również

w

przyrządach

pomiarowych. Buduje się już galwanometry nadprzewodzące, wykrywające napięcie rzędu 10-12 V. W przyszłości przewiduje się budowę bardzo czułych termometrów i przyrządów przeznaczonych do bardzo dokładnych pomiarów natężenia pola magnetycznego. Przedstawione zastosowania nie wyczerpują wszystkich możliwości zastosowań technicznych zjawiska nadprzewodnictwa. Należy się spodziewać, że powstaną nowe opracowania i nowe konstrukcje przyrządów wykorzystujących to zjawisko.

6.

Elementy układów elektrycznych

6.1 Wiadomości ogólne Wszystkie układy (obwody) elektryczne złożone są z elementów. Element

układu

elektrycznego

jest

to

niepodzielna

pod

względem

funkcjonalnym część tego układu, spełniająca określone zadanie. Elementy tworzące układ są ze sobą połączone. Łączenie elementów umożliwiają wyprowadzone na zewnątrz końcówki. Końcówki wielu elementów mogą być doprowadzone do zacisków, które ułatwiają montaż obwodu. Bardzo często zaciski znajdują się bezpośrednio na obudowie elementów, co jeszcze bardziej ułatwia ich montaż i demontaż. Ze względu na liczbę końcówek (zacisków) elementy dzielą się na dwójniki i wielowniki (rys. 6.1). Dwójnik

(wrotnik)

jest

to

element

obwodu

elektrycznego

zawierający

wyprowadzone na zewnątrz dwie końcówki. Pod względem funkcjonalnym dwójnik stanowi najprostszy element obwodu elektrycznego.

Rys. 6.1 Podstawowe elementy układów elektrycznych: a) dwójnik; b) wielownik o m wejściach i n wyjściach

Marek

Pilawski

Strona 264

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Wielownik (wielowrotnik) jest to element obwodu elektrycznego (traktowany jako pudełko) zawierający wiele wyprowadzonych na zewnątrz końcówek (zacisków). Zaciski elementów układów elektrycznych dzielą się na: zaciski wejściowe i zaciski wyjściowe. Zaciski wejściowe elementu są to zaciski, przez które doprowadzana jest do niego

energia

elektryczna

bądź

sygnały

elektryczne.

Zaciski wyjściowe elementu są to zaciski, przez które odbierana jest z niego energia bądź sygnały elektryczne. W ogólnym przypadku w wielownikach liczba zacisków wejściowych nie musi być równa liczbie zacisków wyjściowych. Wielowniki, które zawierają jedną parę zacisków

wejściowych

i

jedną

parę

zacisków

wyjściowych

noszą

nazwę

czwórników (dwuwrotników). Czwórniki (patrz p. 6.8) odgrywają dużą rolę w elektrotechnice. Podział elementów układów elektrycznych ze względu na liczbę końcówek jest tylko

jednym

z

możliwych

sposobów

ich

podziału.

Stosując

kryterium

energetyczne można podzielić je na elementy źródłowe i elementy odbiornikowe.

Element źródłowy układu elektrycznego jest to element przetwarzający w danym układzie inne rodzaje energii w energię elektryczną. Element odbiornikowy układu elektrycznego jest to element przetwarzający w danym układzie doprowadzoną do niego energię elektryczną w inny rodzaj energii. Należy zaznaczyć, że ten sam element w jednym układzie elektrycznym może być elementem źródłowym, a w drugim — elementem odbiornikowym. Na przykład maszyna prądu stałego o pracy prądnicowej jest źródłem energii elektrycznej w obwodzie, do którego jest włączona. Ta sama maszyna elektryczna pracująca w innym obwodzie jako silnik zużytkowuje energię elektryczną, przetwarzając ją w energię mechaniczną.

Marek

Pilawski

Strona 265

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Niekiedy element w jednym i tym samym obwodzie może spełniać rolę odbiornika energii i źródła. Elementem takim może być silnik elektryczny prądu stałego zainstalowany w pojazdach trakcyjnych. W czasie jazdy silnik pobiera energię, a przy hamowaniu — w określonych warunkach — silnik pracuje jako prądnica i oddaje energię do sieci. Kryterium energetyczne podziału elementów elektrycznych stosuje się głównie w elektroenergetyce. W układach elektronicznych natomiast częściej rozróżnia się elementy aktywne i pasywne. Element aktywny układu elektrycznego jest to element wytwarzający w danym układzie napięcie źródłowe (siłę elektromotoryczną). Element pasywny układu elektrycznego jest to element nie mający zdolności do wytwarzania (generacji) siły elektromotorycznej. Elementami aktywnymi w obwodach elektrycznych mogą być np. ogniwa elektrochemiczne, fotoelektryczne, termoelektryczne i inne. Niektóre z nich, np. elementy piezoelektryczne, mogą być elementami aktywnymi w układach mechanoelektrycznych (patrz p. 8.7) bądź elementami pasywnymi w układach elektromechanicznych (patrz p. 5.4.1). Podstawowymi elementami pasywnymi wszystkich układów elektrycznych są elementy rezystancyjne, pojemnościowe i indukcyjne. Będą one omówione kolejno w dalszej części rozdziału. Spośród tych elementów pasywnych wyróżnia się elementy rozpraszające energię i elementy magazynujące energię. Elementy elektryczne rozpraszające energię to takie elementy, które doprowadzoną do nich energię prądu elektrycznego natychmiast przetwarzają w energię cieplną przekazywaną otoczeniu. Elementami rozpraszającymi energię w układach elektrycznych są elementy rezystancyjne (p. 6.2.2). Elementy elektryczne magazynujące energię to takie elementy, które doprowadzoną do nich energię prądu elektrycznego gromadzą w postaci pola elektrycznego (elementy pojemnościowe), albo w postaci pola magnetycznego (elementy indukcyjne).

Marek

Pilawski

Strona 266

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Nagromadzoną energię prądu elektrycznego można odzyskać w tym samym obwodzie lub przekazać ją do innego obwodu elektrycznego. Do tej pory mówiliśmy o elementach o parametrach skupionych (dyskretnych) i powyższe klasyfikacje dotyczyły takich właśnie elementów. Elementy elektryczne o parametrach skupionych to takie elementy, w których skupiona jest jedna i tylko jedna cecha, taka jak: rezystancja (rezystor), pojemność (kondensator) albo indukcyjność (cewka). Elementy skupione tworzą obwody o parametrach skupionych. Oprócz elementów o parametrach skupionych rozróżnia się elementy o parametrach

rozłożonych.

Określenia

te

dotyczą

tylko

elementów

umieszczonych w obwodach prądu zmiennego. W obwodach prądu zmiennego rozpatruje się falę napięciową i falę prądową wzbudzoną

przez

źródło

napięcia

zmiennego.

Element

elektryczny

o

parametrach skupionych to taki element, którego rozmiary liniowe są znikomo małe w porównaniu z długością fali prądowej lub napięciowej. Jedynie w przypadku zachowania tego warunku kondensatorowi można przypisać tylko cechę pojemności, cewce — tylko cechę indukcyjności, a rezystorowi lub odcinkowi przewodu — tylko cechę rezystancji. W przypadku, kiedy rozmiary liniowe elementu są porównywalne albo większe od długości fali prądowej lub napięciowej (w elektroenergetyce będą to długie linie elektroenergetyczne, a w elektronice, szczególnie w technice mikrofalowej — technice bardzo wielkich częstotliwości

—

będą

to

odcinki

przewodów

i

elementy

o

rozmiarach

porównywalnych z wymiarami ciała ludzkiego) elementy tracą swą wyłączną cechę i wykazują jednocześnie rezystancję, pojemność i indukcyjność o wielkości zależnej od rozmiarów elementu. Tematem

niniejszego

rozdziału

będą

jedynie

elementy

o

parametrach

skupionych (elementy skupione). Elementy o parametrach rozłożonych będą przedmiotem p. 9.2. . .

Marek

Pilawski

Strona 267

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 6.2 Elementy rezystancyjne 6.2.1 Budowa i przeznaczenie rezystorów Rezystancja (opór elektryczny czynny) jest to cecha obwodu prądu stałego lub elementu elektrycznego, decydująca o wartości prądu elektrycznego w tym obwodzie lub elemencie płynącego pod wpływem doprowadzonego do niego napięcia elektrycznego. Element skupiający w sobie cechę rezystancji (i tylko tę cechę) nazywany jest rezystorem. Istota rezystancji wynika z mechanizmu przepływu ładunków elektrycznych przez przewodniki (patrz p. 5.4.2 oraz 5.7.4). W obwodach prądu stałego rezystancja jest wielkością związaną z prądem i napięciem prawem Ohma (p. 7.2 i 7.3). Rezystancja jest również cechą obwodów prądu zmiennego. W tym przypadku nie jest ona jednak jedyną wielkością wiążącą prąd i napięcie (patrz p. 7.5). Rezystory, w sensie fizycznym, są to elementy dwu-lub trójkońcówkowe, przeznaczone głównie do nastawiania (regulacji) wartości prądu i napięcia (rys. 6.2). Zależnie od przeznaczenia i dopuszczalnej mocy obciążenia rezystory wykonuje się jako drutowe lub masowe*. W zakresie bardzo wielkiej częstotliwości rezystor traci swą wyłączną cechę rezystancji i w coraz silniejszym stopniu, oprócz rezystancji, wykazuje cechę pojemności i indukcyjności. Związane jest to ze zmianą właściwości materiału rezystancyjnego w zakresie bardzo wielkiej częstotliwości (p. 5.4.3) oraz z „ujawnianiem” się pojemności między zaciskami elementu i indukcyjności doprowadzeń. Z tego względu schemat zastępczy rezystora przy bardzo wielkiej częstotliwości zawiera elementy L i C (rys. 63d) . . . . . . . . * Rezystory masowe wykonane są z jednolitej masy węglowej napylonej na walcowe podłoże ceramiczne.

Marek

Pilawski

Strona 268

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.2 Widok rezystorów: a) drutowego; b) masowego; c) potencjometru obrotowego; d) rezystora wzorcowego; e) rezystora suwakowego; f) rezystora dekadowego

Omówione rezystory należą do grupy rezystorów liniowych, tzn. takich, których rezystancja jest stała, niezależnie od wartości przepływającego przez nie prądu i doprowadzonego do ich zacisków napięcia (oczywiście w pewnym zakresie).

Rys. 6.3 Schemat zastępczy: a) rezystora; b) rezystora nastawnego (regulacyjnego); c) potencjometru; d) rezystora dla bardzo wielkiej częstotliwości

Marek

Pilawski

Strona 269

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Oprócz

rezystorów

liniowych

wykorzystuje

się—szczególnie

w

układach

elektronicznych — rezystory nieliniowe. Rezystory nieliniowe (patrz p. 6.2.7 i 7.4) są utworzone w większości z elementów półprzewodnikowych. W obwodach elektrycznych rezystory występują w różnych układach połączeń, spośród których zawsze można wyróżnić połączenia szeregowe i równoległe. Rezystory w układzie szeregowym są połączone w taki sposób, że koniec uzwojenia pierwszego rezystora jest połączony z początkiem uzwojenia drugiego rezystora, zaś koniec uzwojenia drugiego rezystora — z początkiem trzeciego itd. (rys. 6Ad). Do zacisków skrajnych układu doprowadzone jest napięcie elektryczne. Taki układ połączeń rezystorów można zredukować do jednego rezystora, którego rezystancja jest równoważna rezystancji układu rezystorów.

Rys. 6.4 Schemat układu rezystorów połączonych szeregowo (a) oraz wykres spadków napięć na kolejnych rezystorach (b) 1,2,3... n-l — punkty połączeń końca uzwojenia jednego rezystora z początkiem uzwojenia drugiego rezystora, V1, V2, V3... Vn-1 — potencjały punktów 1, 2, 3... n-1, V0, Vn — potencjały punktów 0 i n — zacisków skrajnych układu, V0 —V1 = U1; Vl —V2 = U2; V2 —V3 = U1… Vn1 —Vn = Un Rs — rezystancja zastępcza układu

Przez wszystkie rezystory R1, R2, R3 ... Rn połączone szeregowo przepływa ten sam prąd I (rys. 6Aa), dając na każdym z nich spadek napięcia odpowiednio

U 1 = IR1

U 2 = IR2

U 3 = IR3

…

U n = IRn

Suma napięć U1, U2, U3 ... Un jest równa napięciu U na skrajnych zaciskach układu (rys. 6.46)

U = U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n Ponieważ żądamy, aby został spełniony warunek

U = IRS gdzie Rs jest rezystancją układu zastępczego rezystorów, to znaczy, że musi być

Marek

Pilawski

Strona 270

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki spełnione równanie

IRS = IR1 + IR2 + IR3 + ... + IRn z którego wynika, że rezystancja układu rezystorów połączonych szeregowo jest równa sumie rezystancji poszczególnych rezystorów

RS = R1 + R2 + R3 + ... + Rn

(6.1)

W układzie równoległym rezystory są połączone w taki sposób, że początki uzwojeń wszystkich rezystorów są połączone z jednym biegunem źródła napięcia, a końce — z drugim biegunem źródła (rys. 6.5a). Taki układ rezystorów można zredukować do jednego rezystora, którego rezystancja jest równoważna rezystancji układu rezystorów.

Rys. 6.5 Schemat układu rezystorów połączonych równolegle (a) oraz wykres rozpływu prądów w kolejnych rezystorach (b) I1, I2, I3 … In — prądy w rezystorach, I — prąd w gałęzi głównej układu, Rr — rezystancja zastępcza układu

Na zaciskach wszystkich rezystorów R1, R2, R3 ... Rn jest jednakowe napięcie U (rys. 6.5a) wymuszające w każdym z nich przepływ prądu odpowiednio

I1 =

U R1

I2 =

U R2

I3 =

U R3

...

In =

U Rn

Suma prądów I1, I2, I3 ... In jest równa prądowi I płynącemu w gałęzi głównej układu (rys. 6.5b)

I = I1 + I 2 + I 3 + ... + I n Ponieważ żądamy, aby został spełniony warunek

I=

U Rr

gdzie Rr jest rezystancją układu zastępczego rezystorów, to znaczy, że musi być spełnione równanie

Marek

Pilawski

Strona 271

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki U U U U U = + + + ... + Rr R1 R2 R3 Rn z którego wynika, że odwrotność rezystancji układu rezystorów połączonych równolegle jest równa sumie odwrotności rezystancji poszczególnych rezystorów

1 1 1 1 1 = + + + ... + Rr R1 R2 R3 Rn

(6.2)

6.2.2 Rezystor jako element grzejny Jak już wspomniano, w rezystorze następuje przemiana doprowadzonej do niego energii prądu elektrycznego w ciepło (energię cieplną). Ciepło to zostaje przekazane otoczeniu, czyli zostaje rozpraszane. Właściwość tę wykorzystuje się w rezystancyjnych elementach grzejnych. Rezystancyjne

elementy

grzejne

wykonuje

się

z

drutu

oporowego

rozgrzewającego się do wysokiej temperatury pod wpływem przepływającego prądu. Rezystancyjne elementy grzejne są podstawą budowy elektrycznych urządzeń

grzejnych

(grzejników

elektrycznych).

Wiele

takich

urządzeń

spotykamy w życiu codziennym. Na przykład kuchenka elektryczna, żelazko, grzałka, a również i żarówka — zawierają takie właśnie elementy (drut oporowy). Zasady grzejnictwa oporowego (rezystancyjnego) są również podstawą działania wielu przemysłowych urządzeń grzejnych, w tym szczególnie pieców elektrycznych. Dział techniki zajmujący się grzejnictwem elektrycznym, m. in. oporowym, nosi nazwę elektrotermii. Piece elektryczne mają bardzo wiele zalet w porównaniu z innymi typami pieców. Przede wszystkim, elektryczny,

łatwe

dzięki temu że nośnikiem energii jest w nich prąd jest

ich

sterowanie,

stabilizacja

temperatury

oraz

programowanie. Piece z programowanym przebiegiem temperatury w czasie wykorzystuje się w zautomatyzowanych procesach technologicznych. Energia cieplna wydzielona przez drut oporowy zgodnie z wzorem

W = RI 2t

(6.3)

jest proporcjonalna do rezystancji R odcinka tego drutu, wartości prądu I oraz

Marek

Pilawski

Strona 272

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki czasu t jego przepływu. Celem zwiększenia wartości wydzielonej energii wymusza się przepływ przez drut większego prądu. Prądu nie można zwiększać jednak w sposób nieograniczony. Dla każdego rodzaju materiału oporowego istnieje bowiem taka gęstość prądu, która powoduje przepalenie lub stopienie tego materiału. (Zjawisko stopienia drutu na skutek przepływu przez niego prądu wykorzystywane jest w bezpiecznikach topikowych). Jednym ze sposobów zwiększenia energii cieplnej wydzielonej przez drut oporowy jest zwiększenie jego powierzchni. (Jak wiadomo, drut grzejny wypromieniowuje energię całą swoją powierzchnią — patrz p. 4.5). Powierzchnię drutu

można

zwiększyć

przez

zwiększenie

jego

przekroju

poprzecznego.

Najczęściej jednak zwiększa się ją przez zwiększenie długości drutu. Aby zwiększyć moc wydzieloną w małej objętości lub na małej powierzchni, drut wykonuje się najczęściej w postaci spirali (rys. 6.4). Zjawisko grzania oporowego (rezystancyjnego)

wykorzystywane

jest

również

w

przetwornikach

termoelektrycznych (rys. 8.23) oraz niektórych układach półprzewodnikowych (patrz p. 6.2.7). Drut oporowy jest również w obwodach prądu zmiennego* przetwornikiem energii

elektrycznej

w

energię

cieplną.

W

obwodach

prądu

zmiennego

rozpraszaniu ulega moc czynna o wartości chwilowej (patrz p. 7.5)

p = ui

(6.4)

Jeśli prąd i napięcie zmieniają się w sposób sinusoidalny, to

p = U m I m sin ωt (ωt + ϕ )

(6.5)

Um, Im — wartości maksymalne (amplitudy) prądu i napięcia (rys. 6.6). . . . . . . . . . * Prąd zmienny i przemienny — patrz p. 7.5

Marek

Pilawski

Strona 273

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.6 Sposoby wykonania grzejników elektrycznych z drutu oporowego: a) bez izolacji; b) w izolacji ceramicznej (koraliki); c) w masie izolacyjnej; d) przebieg wartości chwilowej prądu, napięcia i mocy w elemencie rezystancyjnym

W przypadku elementu czysto rezystancyjnego nie występuje przesunięcie przebiegu prądu względem napięcia (φ = 0) i dlatego wielkości te jednocześnie osiągają swe wartości ekstremalne oraz wartość zerową. Zależność (6.5) można wtedy napisać w postaci

p = U m I m sin 2 ωt a po uwzględnieniu zależności trygonometrycznej

sin 2 ωt =

1 1 − cos 2ωt 2 2

w postaci

1 1 p = U m I m − cos 2ωt 2 2 Jeżeli uwzględni się, że wartości skuteczne napięcia i prądu (patrz p. 7.5)

U=

Um 2

oraz

I=

Im 2

to na moc chwilową otrzymuje się zależność

p = UI − UI cos 2ωt

(6.6)

Moc czynna P wydzielona na elemencie rezystancyjnym jest to moc wydzielana w czasie połowy okresu zmienności prądu (moc średnia półokresowa patrz dod. F). W naszym przypadku

Marek

Pilawski

Strona 274

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki p = Pśr = UI − 0

(6.7)

Uzyskany wynik jest oczywisty. Pierwszy człon prawej strony równania (6.6) reprezentuje składową stałą mocy, natomiast drugi o częstości 2ω — składową okresowo zmienną o okresie zmienności T/2. Wartość średnia składowej stałej równa jest wartości tej stałej, natomiast wartość średnia okresowa przebiegu okresowo zmiennego (drugi człon równania (6.6)) jest równa zeru. A zatem w rezystancyjnych obwodach prądu przemiennego słuszne są równania określające wartość rozproszonej mocy czynnej

P = UI

oraz

P = RI 2

(6.8)

U, I — wartości skuteczne napięcia i prądu (odpowiednio w woltach i amperach). Termiczne działanie prądu elektrycznego jest wykorzystywane w niektórych przetworników

rodzajach

elektromechanicznych.

Przykładem

takiego

przetwornika jest bimetal. Bimetal (rys. 6.7) jest to zespół dwu płytek metalicznych. Płytki te, wspólnie zamocowane na końcach, tworzą konstrukcyjną całość i są wykonane z materiałów o różnych współczynnikach rozszerzalności cieplnej. Pod wpływem prądu płytki ogrzewają się do tej samej temperatury, lecz ulegają różnemu wydłużeniu — wyginają się. Przemieszczające się w przestrzeni płytki bimetaliczne

mogą

załączać

lub

rozłączać

zestyki

innego

obwodu

elektrycznego i w ten sposób sterować jego pracą. Zjawisko

wygięcia

ogrzanych

prądem

płytek

bimetalu

jest

zjawiskiem

odwracalnym, tzn. że po wyłączeniu prądu stygną one i po pewnym czasie powracają do swego poprzedniego położenia.

Rys. 6.7 Bimetal: a) w stanie swobodnym; b) ogrzany prądem I A — metal o dużym współczynniku rozszerzalności cieplnej, B — metal o małym współczynniku rozszerzalności cieplnej

Czujniki bimetaliczne są elementami wykonawczymi regulatorów temperatury, spotykanymi

często

w

żelazkach

elektrycznych

oraz

w

tzw.

migaczach

samochodowych.

Marek

Pilawski

Strona 275

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 6.1 Dwie grzałki elektryczne o mocach znamionowych P1 i P2 określonych przy napięciu znamionowym U, włączono do sieci o napięciu U raz szeregowo, a raz równolegle (rys. 6.8). Obliczyć stosunek mocy wydzielonej przez grzałki w obu przypadkach połączeń, jeśli P1 = 450 W, a P2 = 700 W.

Rys. 6.8 Układ połączeń dwóch rezystorów: a) równoległy; b) szeregowy

W przypadku równoległego włączenia grzałek elektrycznych (rys. 6.8a) na każdej z nich wydziela się moc znamionowa, gdyż obie są włączone do źródła napięcia o wartości znamionowej, a więc

Pr = P1 + P2 W przypadku szeregowego włączenia grzałek (rys. 6.86) na każdej z nich wydziela się moc mniejsza od znamionowej. Wynika to stąd, że prąd płynący przez grzałki

I=

U R1 + R2

R1, R2 — rezystancje grzałek jest mniejszy od prądu znamionowego każdej z nich. Prądy znamionowe I1 i I2 grzałek są odpowiednio równe

I1 =

U U ; I2 = R1 R2

Na pierwszej grzałce będzie się więc wydzielała moc

P1′ = R1 I 2 a na drugiej

P2′ = R2 I 2 Moc całkowita w przypadku połączenia szeregowego

PS = P1′ + P2′ po uwzględnieniu wzoru na prąd

Marek

Pilawski

Strona 276

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki PS =

U2 R1 + R2

Ponieważ

U2 U2 R1 = ; R2 = P1 P2 to

PS =

U2 U2 U2 + P1 P2

a po przekształceniu

PS =

P1 P2 P1 + P2

Stosunek mocy

Pr (P1 + P2 ) = Ps P1 P2

2

po uwzględnieniu wartości liczbowych jest równy 4,2.

6.2.3 Rezystor jako element układów regulacji prądu Rezystory

o

zmiennej

wartości

rezystancji

mogą

spełniać

w

układach

elektrycznych rolę regulatorów prądu. Wynika to wprost z prawa Ohma. Rezystory nastawne (regulacyjne) prądu to głównie rezystory suwakowe i rezystory dekadowe (rys. 6.2e,f i 6.3b)

Rezystor suwakowy zaopatrzony jest w trzy zaciski. Dwa zaciski połączone są z początkiem i końcem rezystora drutowego (rzadziej masowego), a trzeci — ze stykiem ruchomym. Styk ruchomy może poruszać się między stykami skrajnymi. Wartość rezystancji występująca między stykiem ruchomym, a jednym z końców rezystora, jest zmienna i zależy od położenia styku ruchomego. Rezystor dekadowy występuje w układach elektrycznych jako rezystor o znanej wartości rezystancji. Składa się on z kilku dekad. Każda dekada zawiera zestaw dziesięciu rezystorów o jednakowej wartości rezystancji. Rezystancja rezystorów

każdej

następnej

dekady

jest

dziesięciokrotnie

mniejsza

rezystancji rezystorów wchodzących w skład dekady poprzedniej.

Marek

Pilawski

od

Pozycje

Strona 277

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki pokręteł dekad opisane są w omach. Rezystancja całego rezystora dekadowego jest sumą rezystancji nastaw poszczególnych dekad. Rezystancyjne układy nastawiania (regulacji) prądu przedstawiono na rys. 6.9. Pierwszy z układów (rys. 6.9a) umożliwia jednostopniowe nastawianie prądu, a drugi (rys. 6.9b) — nastawianie

dwustopniowe.

W

układzie

nastawy

dwustopniowej

jeden

z

rezystorów (np. rezystor R2) ma na ogół rezystancję dziesięciokrotnie większą od rezystancji drugiego rezystora (np. rezystora R3) połączonego z nim równolegle. W ten sposób zmiany rezystancji R2 dają około dziesięciokrotnie mniejsze zmiany prądu I niż takie same procentowo zmiany rezystancji R3. Układ umożliwia zatem regulację zgrubną i dokładną prądu. Z uwagi na zmienną obciążalność prądową rezystorów

regulacyjnych

ważną

rzeczą

jest

ich

dobór

ze

względu

na

dopuszczalną graniczną moc prądu regulowanego. Rezystorowe układy regulacji prądu stosuje się w obwodach prądu stałego i zmiennego.

Rys. 6.9 Prosty (a) i złożony (b) układ regulacji prądu Przykład 6.2 Dla układu regulacji prądu przedstawionego na rys. 6.9a wyznaczyć zakres regulacji, obciążalność rezystora R, moc źródła napięcia oraz największą wartość mocy traconej na rezystorze regulacyjnym Rx.

Dla dowolnej wartości Rx prąd w układzie przyjmuje wartość

I=

U R + Rx

Zakres regulacji jest określony prądami

I min =

U U I max = R + Rx max R

Rezystor R powinien więc wytrzymywać obciążenie prądowe Imax i powinien być zaprojektowany na pobór mocy

P′ =

Marek

Pilawski

U2 Rx

Strona 278

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Moc P' jest największą mocą, jaka będzie pobierana ze źródła napięcia. Na rezystorze regulacyjnym Rx, w ogólnym przypadku, jest wydzielana moc

P = Rx I 2 czyli

U2 P = Rx (R + Rx )2 W celu wyznaczenia wartości maksymalnej funkcji P(Rx) obliczamy pochodną

 2 R (R + Rx )  1 dP =U2 − x 2 dRx (R + Rx )4   ( R + Rx ) Wartość zerowa pochodnej występuje przy Rx = R i przy tej wartości rezystancji rezystora regulacyjnego wydziela się na nim największa moc

Pmax =

U2 4R

6.2.4 Rezystor jako element układów regulacji napięcia Rezystory

o

zmiennej

wartości

rezystancji

mogą

spełniać

w

układach

elektrycznych rolę regulatorów napięcia. Rezystory przeznaczone do nastawiania napięcia noszą nazwę potencjometrów (rys. 6.10a i 6.2c). Potencjometr zaopatrzony jest w trzy zaciski. Dwa zaciski połączone są z początkiem i końcem rezystora, a trzeci — ze stykiem ruchomym. Styk ruchomy może poruszać się między stykami skrajnymi. Wartość rezystancji występująca między stykiem ruchomym i jednym z końców potencjometru jest zmienna i zależna od położenia styku (suwaka). Jeśli przez potencjometr płynie prąd I, to zmieniając

położenie

styku

ruchomego

można

zmieniać

napięcie

między

rozpatrywanymi stykami. Do zacisków skrajnych potencjometru doprowadza się napięcie źródła. Przykład 6.3 Dla potencjometru przedstawionego na rys. 6.10a wyznaczyć obciążalność prądową i mocową oraz zakres regulacji napięcia w przypadku, gdy jest on: a) nieobciążony (Robc = ∞), b) obciążony rezystancją Robc.

a. Potencjometr wykonany na bazie rezystora R o długości l umożliwia liniową zmianę rezystancji widzianej ze styku ruchomego i jednego ze styków stałych

Marek

Pilawski

Strona 279

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki potencjometru zgodnie z wzorem

Rx = ρx x — położenie styku ruchomego, ρ = R / l — rezystancja liniowa potencjometru.

Rys. 6.10 Potencjometr jako układ regulacji napięcia: a) schemat układu; b) charakterystyka potencjometru : 1 — nie obciążonego, 2 — obciążonego

Jeżeli przez potencjometr płynie prąd stały I = U/R wymuszony przez źródło napięcia, to napięcie regulowane Ux, wyrażone zgodnie z prawem Ohma zależnością

U x = Rx I jest również liniową funkcją położenia styku ruchomego. Uwzględniając powyższe zależności

Ux = U

x l

Zakres regulacji napięcia jest określony zakresem zmian położenia styku ruchomego i wynosi na ogół

U ≤Ux ≤U Potencjometr

powinien

być

odpowiednio

dobrany,

zależnie

od

wartości

regulowanego napięcia, i powinien wytrzymywać obciążenie mocą P = U2/R. Moc taka jest pobierana ze źródła zasilającego. b. Potencjometr o liniowej charakterystyce przetwarzania położenia styku ruchomego na napięcie jest potencjometrem idealnym. W rzeczywistości potencjometry są obciążone pewną rezystancją i wtedy, jako przetworniki mechanoelektryczne, tracą swoje właściwości liniowe (rys. 6.10b).

Marek

Pilawski

Strona 280

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki W potencjometrze rzeczywistym prąd jest sumą dwóch prądów: prądu o wartości Ux/Robc płynącego przez obciążenie i prądu o wartości Ux/Rx płynącego przez zbocznikowaną część rezystora potencjometrycznego, a zatem

Ux Ux + = Rx Robc

U  (R − Rx ) +  Rx Robc  Rx + Robc

  

przy czym R — Rx jest rezystancją części niezbocznikowanej rezystora potencjometrycznego, a

Rx Robc jest rezystancją rezystorów Rx i Robc połączonych równolegle. Rx + Robc

Z powyższego

Ux =U

Rx Robc RRx − Rx Robc − Rx2

Jak widać, zakres regulacji napięcia określony przez

0 ≤ Rx ≤ R jest w tym przypadku — podobnie jak poprzednio

0 ≤ Ux ≤ U natomiast pobór mocy ze źródła zasilającego jest większy. Potencjometr,

przedstawiony

schematycznie

na

rys.

6.10a,

umożliwia

jednostopniową regulację napięcia. W wielu układach elektrycznych zależy nam jednak na regulacji wielostopniowej, gdyż taka umożliwia regulację zgrubną i dokładną napięcia.

Układ dwustopniowej regulacji napięcia (rys. 6.11) składa się z dwóch potencjometrów połączonych szeregowo. Napięcie regulowane występuje między ich

stykami

ruchomymi.

Wartość

znamionową

rezystancji

jednego

z

potencjometrów dobiera się na ogół dziesięciokrotnie większą niż drugiego. W ten sposób zmiany rezystancji potencjometru o większej wartości znamionowej dają w przybliżeniu dziesięciokrotnie większe zmiany napięcia wyjściowego, niż takie same procentowe zmiany rezystancji potencjometru o mniejszej wartości znamionowej rezystancji. Układ umożliwia zatem regulację zgrubną i dokładną napięcia.

Marek

Pilawski

Strona 281

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.11 Układ do regulacji zgrubnej i dokładnej napięcia

Do regulacji dokładnej napięcia można wykorzystać także potencjometry wielozwojowe (wieloobrotowe), tzw. helipoty. Helipoty są potencjometrami, najczęściej dziesięcioobrotowymi, wykonanymi w wysokiej klasie dokładności. Zaopatrzone we wskaźnik położenia umożliwiają nastawienie żądanej wartości napięcia z dokładnością do 0,001 napięcia zasilającego.

6.2.5 Rezystor jako element układów pomiarowych. Rezystor wzorcowy Rezystor

wzorcowy

jest

technicznym

wzorcem

rezystancji.

Jest

on

wykonywany w wysokiej klasie dokładności (0,005%). Rezystory wzorcowe nawija się drutem wykonanym z manganinu (86% Cu, 12% Mn i 2% Ni). Manganin charakteryzuje się bardzo małym współczynnikiem temperaturowym rezystywności. Każdy rezystor wzorcowy (rys. 6.2d) zaopatrzony jest w dwie pary zacisków : prądowe, oznaczone literą J i napięciowe oznaczone literą P. Zaciski prądowe służą do włączenia rezystora w obwód elektryczny, a zaciski napięciowe — do pomiaru spadku napięcia na nim. Wartości rezystancji rezystorów wzorcowych tworzą szereg, w którym każdy następny jest dziesięciokrotnie większy od poprzedniego: 0,01 Ω, 0,1 Ω, .... 10 000 Ω. Rezystory wzorcowe nawija się w szczególny sposób, dzięki czemu można je uważać za bezindukcyjne i bezpojemnościowe, i — jako elementy czysto rezystancyjne — można je stosować również w obwodach prądu zmiennego w zakresie częstotliwości akustycznych (20 Hz... 20 kHz) i większych. Uzwojenia rezystorów wzorcowych są najczęściej wykonywane jako bifilarne i plecione.

Marek

Pilawski

Strona 282

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Uzwojenie bifilarne (rys. 6.12) wykonuje się na płytce izolacyjnej drutem „złożonym na pół”. Dzięki temu płynący prąd wytwarza w połowie długości drutu pole magnetyczne skierowane przeciwnie do pola magnetycznego wytworzonego przez drugą połowę drutu. Uzwojenie, które nie wytwarza na zewnątrz pola magnetycznego, można uważać za bezindukcyjne.

Rys. 6.12 Uzwojenie bifilarne rezystora wzorcowego

Rezystory wzorcowe, i inne rodzaje rezystorów o znanej wartości rezystancji, umożliwiają

budowę

wielu

układów

elektrycznych,

w

tym

szczególnie

elektrycznych układów pomiarowych. Przykład 6.4 Rezystor wzorcowy, którego zaciski napięciowe są połączone z zaciskami woltomierza, tworzy układ do pomiaru wartości prądu. W układzie przedstawionym na rys. 6.13 wyznaczyć prąd I, jeśli wiadomo, że Rw = 100 Ω, a wskazanie woltomierza wynosi U= 12,583 V. Wyznaczyć także błąd pomiaru* wiedząc, że klasa dokładności rezystora wzorcowego δR = 0,05%, a dokładność pomiaru napięcia δU = 0,05%**. Przyjąć, że użyty woltomierz jest idealny, tzn. jego rezystancja wewnętrzna Rv → ∞ i nie pobiera on prądu z obwodu kontrolowanego.

W omawianym układzie pomiar prądu następuje pośrednio, przez pomiar spadku napięcia na rezystorze wzorcowym, a prąd oblicza się z zależności

I=

U Rw

Uwzględniając wartości liczbowe I = 0,12583 A. Błąd

względny

δ = ∆I/I

pomiaru prądu wynika z klasy dokładności użytych przyrządów

δ = δ v + δ R = 0,1% Ponieważ błąd bezwzględny, określony wzorem ∆I = δI, jest równy ∆I= 0,00013 A, to ostatecznie I = 0,12583 A ± 0,00013A

Rys. 6.13 Układ do pomiaru prądu przy użyciu rezystora wzorcowego i woltomierza

Marek

Pilawski

Strona 283

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Uwzględniając błąd bezwzględny ∆U pomiaru napięcia i ∆Rw wyznaczenia rezystancji wzorcowej można napisać

I + ∆I =

U + ∆U Rw + ∆Rw

Mnożąc licznik i mianownik wyrażenia po prawej stronie równania przez Rw+∆Rw i pomijając (∆Rw)2 i ∆U∆R jako małe drugiego rzędu oraz uwzględniając, że U/Rw = I, uzyskuje się

∆I =

∆U U∆Rw − Rw Rw

co przy uwzględnieniu δ = ∆I/I, δv = ∆U/U i δR = ∆Rw/Rw prowadzi do podanej już zależności δ = δv + δR * Błąd pomiaru bezwzględny ∆W jest to różnica między wartością wskazaną W i wartością rzeczywistą Wrz, ∆W = W-Wrz. Błąd pomiaru względny δ jest określony przez stosunek

δ=

∆W ∆W lub δ % = 100% Wrz Wrz

Między błędem pomiaru bezwzględnym i względnym zachodzi zależność ∆W = bWrz. Klasa dokładności jest to maksymalny błąd względny, wyrażony w procentach, z jakim podaje się wartości znamionowe różnych wielkości. ** Taką dokładność pomiaru, i jeszcze większą, zapewniają woltomierze cyfrowe. Przykład 6.5 W układzie przedstawionym na rys. 6.13 wyznaczyć prąd płynący przez rezystor wzorcowy (patrz przykład 6.4) przyjmując Rw = 100 Ω i U = 12,583 V. W obliczeniach uwzględnić rezystancję wewnętrzną woltomierza Rv = 10 kΩ*.

Przez woltomierz płynie prąd Iv, natomiast przez rezystor wzorcowy płynie prąd I—Iv. Prądy te wytwarzają na obydwóch równolegle połączonych rezystorach jednakowe spadki napięć (patrz prawo Ohma i prawo Kirchhoffa — p. 7.2)

U = Rv I v U = Rw ( I − I v ) Z bilansu napięć wynika, że

I=

U U + Rw Rv

Uwzględniając wartości liczbowe otrzymuje się I ≈ 0,12709 A. Dokładność pomiaru prądu jest tym większa, im większa jest rezystancja wewnętrzna woltomierza. . .

Marek

Pilawski

Strona 284

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 6.6 Zestaw narzędzi pomiarowych: rezystor wzorcowy i woltomierz można wykorzystać do pomiaru rezystancji stosując metodę porównawczą napięciową, w układzie jak na rys. 6.14. Przyjmując: Uw = 12,36 V, U = 7,15 V, Rw = 100Ω, wyznaczyć wartość Rx, Założyć, że rezystancja wewnętrzna woltomierza jest nieskończenie duża. Układ jest utworzony przez dwa rezystory połączone szeregowo. Woltomierz dołączony kolejno do zacisków poszczególnych rezystorów wskazuje napięcia Uw oraz Ux. Przez obydwa rezystory płynie ten sam prąd I. A zatem, przyjmując w przybliżeniu, że rezystancja woltomierza jest nieskończenie duża, spełniona jest zależność

Uw Ux = Rw Rx z której

R x = Rw

Ux Uw

Po wykonaniu obliczeń

R x = 100

7,15 = 57,58Ω 12,36

* Rezystancja wewnętrzna woltomierzy elektromechanicznych analogowych (wskazówkowych) nie jest większa niż kilkadziesiąt kiloomów. Rezystancja elektronicznych woltomierzy cyfrowych jest znacznie większa i równa 10 MΩ.

Rys. 6.14 Układ do pomiaru rezystancji metodą porównawczą napięciową Przykład 6.7 Zestaw narzędzi pomiarowych: rezystory wzorcowe i woltomierz można wykorzystać do pomiaru rezystancji stosując metodę porównawczą prądową.

W układzie jak na rys. 6.15 U1 = 5,584 mV (przełącznik S w pozycji 1), U2 = 8,344 mV (przełącznik S w pozycji 2), Rw = 10 Ω i R2 = 10 kΩ. Wyznaczyć wartość rezystancji R1. Rezystancję wewnętrzną woltomierza przyjąć jako nieskończenie wielką.

Marek

Pilawski

Strona 285

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Układ utworzony jest przez trzy rezystory: rezystor R1 o nieznanej wartości rezystancji i dwa rezystory wzorcowe — rezystory R2 i Rw oraz woltomierz cyfrowy V dołączony do zacisków rezystora Rw. Przełącznik S dołącza układ do źródła napięcia. W pozycji 2 przełącznika przez rezystory R1 i Rw połączone szeregowo przepływa prąd

Rys. 6.15 Układ do pomiaru rezystancji metodą porównawczą prądową

I1 =

U1 Rw

W pozycji 2 przełącznika przez rezystory R2 i Rw połączone szeregowo przepływa prąd

I2 =

U2 Rw

Porównując obydwie zależności, po przyjęciu że Rw IA. Zakres amperomierza rozszerza się przy



tym 1 +



RA   razy. R b 

W naszym przypadku, w celu trzykrotnego rozszerzenia zakresu pomiarowego amperomierza, należy dobrać rezystor bocznikujący Rb o rezystancji 100 mΩ. W

przykładach

6.8

i

6.9

przedstawiono

metodę

zwiększania

zakresu

pomiarowego woltomierzy i amperomierzy. Zwiększanie zakresu pomiarowego nie można jednak prowadzić w nieskończoność. Istnieją w tym względzie

Marek

Pilawski

Strona 288

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ograniczenia. W przypadku woltomierzy elektromechanicznych (z wyjątkiem woltomierzy

o

ustroju

elektrostatycznym)

górny

zakres

napięciowy

nie

przekracza 1000 V. Wyższe napięcia są nie bezpieczne, ze względu na możliwość występowania przebić. W przypadku amperomierzy — górny zakres pomiarowy nie przekracza na ogół 50 A. Większe wartości prądów powodują wydzielanie się zbyt dużej mocy na boczniku. Moc cieplna wydzielana w przyrządzie ma niekorzystny wpływ na jego pracę. Przykład 6.10 Przeanalizować działanie układu, zawierającego rezystor wzorcowy, przeznaczonego do wyznaczania parametrów impedancji (patrz p. 6.3.2, 6.4.2 oraz 6.5) metodą trzech woltomierzy (rys. 6.18).

Układ składa się z elementu Zx i rezystora Rw połączonych szeregowo i włączonych do źródła napięcia przemiennego o wartości skutecznej U (wartość skuteczna — patrz p. 7.5). Za pomocą trzech woltomierzy (lub jednego woltomierza dołączonego kolejno do różnych punktów układu) mierzy się kolejno wartość skuteczną napięcia zasilającego U, wartość skuteczną spadku napięcia Ux na elemencie badanym Zx i spadku napięcia Uw na rezystorze wzorcowym Rw. Podstawą

obliczeń

prowadzących

do

wyznaczenia

parametrów

badanej

impedancji jest wykres wektorowy napięć (patrz dodatek B). Linią bazową wykresu jest wektor prądu I, z którym pokrywa się wektor napięcia Uw. Wektory napięć U, Ux i Uw spełniając równanie

U = U w +U x tworzą trójkąt. Stosując twierdzenie kosinusów do wspomnianego trójkąta otrzymuje się równanie

U 2 = U w2 + U x2 − 2U wU x cos(180° − ϕ )

Rys. 6.18 Układ do pomiaru parametrów impedancji metodą trzech woltomierzy (a) i wykres wektorowy napięć (b)

Marek

Pilawski

Strona 289

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki gdzie φ jest kątem ostrym między wektorami napięć Ux i URx trójkąta napięć o bokach Ux, URx i ULx. Napięcia URx i ULx są składowymi napięcia Ux i narysowane w skali reprezentują odpowiednio spadek napięcia na rezystancji Rx impedancji Zx oraz spadek napięcia na elemencie o indukcyjności Lx tejże impedancji (z wykresu wektorowego wynika, że w rozpatrywanym przypadku impedancja ma charakter indukcyjny, gdyż wektor napięcia Ux wyprzedza w fazie wektor prądu I o kąt φ). Funkcję kąta φ, na podstawie ostatniego równania, można wyznaczyć z zależności

cos ϕ =

U 2 − U w2 − U x2 2U wU x

Poszukiwaną wartość impedancji oblicza się ze wzoru

Zx =

Ux I

w którym

I=

Uw Rw

a zatem

Zx =

Ux Rw Uw

Rezystancja Rx związana jest z impedancją zależnością

Rx = Z x cos ϕ Znając parametry Rx i Zx impedancji można wyznaczyć jej reaktancję

X x = Z x2 − Rx2 Znając częstość napięcia zasilającego układ pomiarowy można wyznaczyć indukcyjność badanej impedancji ze wzoru

X x = ωL x lub jej pojemność ze związku

XC =

1 ωC x

. . . . . . .

Marek

Pilawski

Strona 290

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 6.11

Rys. 6.19 Układ do pomiaru parametrów impedancji metodą trzech amperomierzy (a) i wykres wektorowy prądów (b)

Przeanalizować działanie układu przeznaczonego do wyznaczania parametrów impedancji metodą trzech amperomierzy (rys. 6.19). Układ zasilany ze źródła napięcia przemiennego składa się z elementu Zx i rezystora

wzorcowego

Rw

oraz

trzech

amperomierzy.

Amperomierze

są

przeznaczone do wyznaczania wartości prądów: I w gałęzi głównej, Iw płynącego przez

rezystor

Rw

oraz

Ix

w

elemencie

badanym.

Podstawą

obliczeń

prowadzących do wyznaczenia parametrów badanej impedancji jest wykres wektorowy prądów (patrz dodatek B). Wektory prądów I, Ix i Iw spełniając równanie

I = Iw + Ix tworzą trójkąt. Stosując twierdzenie kosinusów do wspomnianego trójkąta otrzymuje się równanie

I 2 = I w2 + I x2 − 2 I w I x cos(180° − ϕ ) gdzie φ jest kątem ostrym między wektorem prądów Ix i IRx trójkąta prądów o bokach Ix, IRx i ICx. Prądy IRx i ICx są składowymi prądu Ix i narysowane w skali reprezentują odpowiednio prąd płynący przez część rezystancyjną Rx oraz część pojemnościową Cx tego elementu, a składające się na jego impedancję. Z wykresu wektorowego (dodatek B) wynika, że w rozpatrywanym przypadku impedancja ma charakter pojemnościowy, gdyż wektor prądu Ix wyprzedza w fazie wektor napięcia Uw o kąt φ. Analogicznie do wzorów podanych w przykładzie 6.10 słuszne będą zależności

Marek

Pilawski

Strona 291

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki cos ϕ =

I 2 − I w2 − I x2 2I w I x

oraz

Zx =

Iw Rw Ix

które umożliwiają obliczenie impedancji i jej składowych.

6.2.6 Rezystancja przejścia Każdy element rezystancyjny jest zaopatrzony w dwie przewodzące elektrody, najczęściej metalowe, między którymi jest umieszczony materiał rezystancyjny (może nim być na przykład drut oporowy, dielektryk, elektrolit lub materiał półprzewodnikowy). W zależności od potrzeb elektrody te mogą być wykonane w różnym kształcie. Kształt elektrod warunkuje kształt ośrodka rezystancyjnego wypełniającego przestrzeń międzyelektrodową. W wielu przypadkach zachodzi konieczność obliczenia rezystancji międzyelektrodowej, czyli rezystancji przejścia między elektrodami lub krótko — rezystancji przejścia. Rezystancję przejścia można łatwo obliczyć w układzie symetrycznym elektrod. Najprostszy i najczęściej stosowany układ elektrod tworzą dwie płaskie elektrody ograniczające ośrodek w postaci graniastosłupa (rys. 6.20). Dla takiego układu stosuje się wzór

R=

l γS

(6.9)

w którym: l — odległość (w metrach) między elektrodami o powierzchni S (w metrach kwadratowych), γ — konduktywność ośrodka (w simensach na metr).

Rys. 6.20 Prostopadłościenna próbka materiału rezystancyjnego

Marek

Pilawski

Strona 292

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Jeżeli ośrodek stanowi materiał izolacyjny (dielektryk), to w ośrodku tym należy wyróżnić dwa prądy: prąd skrośny IS i prąd powierzchniowy IP. Prąd skrośny jest to prąd płynący wewnątrz materiału. Prąd powierzchniowy jest to prąd płynący w warstewce zanieczyszczeń i wilgoci, jaka zwykle tworzy się na powierzchni izolatorów. Odpowiednio do prądu skrośnego i powierzchniowego rozróżnia się rezystancję skrośną i powierzchniową. Rezystancja skrośna jest to rezystancja wyrażająca się stosunkiem napięcia stałego, przyłożonego do elektrod przylegających do przeciwległych powierzchni próbki materiału, do tej części prądu elektrycznego, która przepływa na wskroś próbki. Rezystancja powierzchniowa jest to rezystancja wyrażająca się stosunkiem napięcia stałego, przyłożonego do elektrod przylegających do jednej i tej samej powierzchni próbki materiału, do prądu elektrycznego, który przepływa między tymi elektrodami. Rezystancja przejścia zależy od wymiarów i kształtu ośrodka (materiału) wypełniającego

przestrzeń

międzyelektrodową

i

od

konduktywności

tego

ośrodka. W ogólnym przypadku, do obliczania tej rezystancji wykorzystuje się wzory (5.46) i (5.48). Pierwszy z tych wzorów

I =J S

(6.10)

definiuje gęstość prądu J jako prąd przepływający przez jednostkę powierzchni przekroju potrzebnego, a drugi

E=

J

(6.11)

γ

określa natężenie E pola elektrycznego w obszarze międzyelektrodowym w zależności

od

konduktywności

γ

tego

obszaru.

Wartość

natężenia

pola

elektrycznego E jest podstawą do obliczenia różnicy potencjałów między elektrodami (napięcia elektrycznego), gdyż jak wiadomo — patrz wzór (1.39)

Marek

Pilawski

Strona 293

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki E=−

∆U ∆r

(6.12)

gdzie ∆r jest elementem drogi mierzonej wzdłuż linii sił pola elektrycznego. Przykład 6.12 Wyznaczyć rezystancję przejścia dla układu elektrod o symetrii walcowej (rys. 6.21)

Układ elektrod o symetrii walcowej utworzony jest przez dwie elektrody, z których jedna, w postaci pręta o promieniu rw, umieszczona jest koncentrycznie wewnątrz rury o długości l i promieniu wewnętrznym rz, stanowiącej drugą elektrodę. Przepływ ładunków tworzących prąd elektryczny o gęstości J i wektory natężenia pola elektrycznego E zgodne są z kierunkami promieni przekroju kołowego układu. Przestrzeń międzyelektrodową wypełniona jest materiałem o konduktywności γ. (W przypadku kabla jednożyłowego przestrzeń ta jest wypełniona materiałem izolacyjnym). Elektrodę wewnętrzną otaczamy powierzchnią walcową o promieniu r. Przez tę powierzchnię

S = 2πrl przenika prąd I o gęstości — wzór (6.10)

J=

I 2πrl

Rys. 6.21 Odcinek kabla jednożyłowego jako przykład układu o symetrii walcowej

Zgodnie ze wzorem (6.11), natężenie pola elektrycznego skierowanego zgodnie z promieniem prostopadle do osi kabla

E=

I 2πrlγ

W odróżnieniu od układu z rys. 6.20 tym razem E zmienia się wraz ze zmianą r. Nie można zatem ominąć operacji całkowania. Stosując równanie (6.12) w tym przypadku

Marek

Pilawski

Strona 294

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki dU = −

I dr 2πrlγ

Napięcie na elektrodach oblicza się z całki (patrz dodatek F) rw

U = −∫ rz

I dr 2πrlγ

Po wykonaniu operacji całkowania*

U=

r I ln z 2πlγ rw

Zgodnie z prawem Ohma R = U/I rezystancja przejścia przez ośrodek

R=

r 1 ln z * 2πlγ rw

(6.13)

Wzór (6.13) można wykorzystać także do obliczenia rezystancji elementu elektronicznego zwanego dyskiem Corbino (patrz p. 5.6.3). Przykład 6.13 Wyznaczyć rezystancję przejścia dla koncentrycznego układu elektrod kulistych (rys. 6.22).

Koncentryczny układ elektrod kulistych tworzy przewodząca kula o promieniu rw umieszczona w środku geometrycznym przewodzącej czaszy kulistej o promieniu wewnętrznym rz. Kierunki przepływu ładunków elektrycznych tworzących prąd elektryczny o gęstości J i wektory natężenia pola elektrycznego E przebiegają prostopadle

do

powierzchni

kulistych.

Przestrzeń

międzyelektrodową

jest

wypełniona materiałem o konduktywności γ. Elektrodę wewnętrzną otaczamy powierzchnią kulistą o promieniu r. Przez tę powierzchnię

S = 4πr 2 przenika prąd I o gęstości

J=

I 4πr 2

Zgodnie ze wzorem (6.11), natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie przestrzeni międzyelektrodowej

E=

I 4πr 2γ

Z zależności

Marek

Pilawski

Strona 295

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki −

dU I = dr 4πr 2γ

otrzymuje się równanie określające napięcie międzyelektrodowe rw

U = −∫ rz

I dr 4πr 2γ

którego rozwiązanie prowadzi do zależności

U=

I 4πrwγ

 rw  1 −  rz  

U 1 = R′ = I 4πrwγ

 rw  1 −   rz 

(6.14)

* Logarytm naturalny — oznaczenie ln — jest logarytmem o podstawie „e”, przy czym e = 2,71.

Z zależności (6.14) przedstawionej graficznie na rys. 6.22b widać, że napięcie U przyjmuje zawsze wartość skończoną, nawet przy rz → ∞. Jest to zarazem największa wartość napięcia międzyelektrodowego w tym układzie

U max =

I 4πrwγ

Jest ona podstawą do obliczenia rezystancji przejścia zdefiniowanej jako

R=

U max I

R=

1 4πrwγ

a więc ostatecznie (6.15)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Marek

Pilawski

Strona 296

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.22 Koncentryczny układ kulisty elektrod obejmujący ośrodek elektrycznie jednorodny: a) schemat układu; b) wykres napięcia względem wewnętrznej elektrody w funkcji odległości

Otrzymana zależność jest bardzo charakterystyczna. Świadczy ona o tym, że w tym przypadku rezystancja przejścia, czyli rezystancja ośrodka wokół elektrody kulistej, nie zależy od rozmiarów tego ośrodka, a jedynie od wymiarów liniowych elektrody wewnętrznej. Omówiony układ elektrod kulistych występuje w kondensatorach kulistych, w głęboko zakopanych uziomach sferycznych itp. Przykład 6.14 Wyznaczyć rezystancję przejścia dla koncentrycznego układu elektrod półkulistych (rys. 6.23).

Układ elektrod półkulistych jest częścią układu elektrod kulistych (rys. 6.22). W układzie tym powierzchnia, przez którą przepływa prąd, jest dwukrotnie mniejsza, a przy tym samym prądzie gęstość prądu J i natężenie pola elektrycznego E są dwukrotnie większe i odpowiednio równe

J=

I 2πr 2

E=

I 2πr 2γ

Dzięki temu napięcie maksymalne

U max =

I 2πrwγ

a rezystancja przejścia ośrodka dookoła półkuli

Marek

Pilawski

Strona 297

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki R=

1 2πrwγ

(6.16)

Rezystancja ta jest dwukrotnie większa niż rezystancja przejścia ośrodka otaczającego elektrodę kulistą. Omawiany układ elektrod występuje np. w urządzeniach elektrycznych (wannach elektrolitycznych) i niektórych elementach elektronicznych (elektroda punktowa w rozległym środowisku rezystancyjnym np. półprzewodnikowym). Elektroda półkulista zakopana w ziemi spełnią rolę uziomu*. W przypadku uziomu półkulistego można przyjąć, że otacza go ośrodek nieskończenie rozległy, w

którym

rozkład

napięcia

jest

zgodny

z

rozkładem

hiperbolicznym

przedstawionym na rys. 6.22b. Uziom prawidłowo uziemiający pracujące urządzenia elektryczne nie wytwarza napięcia elektrycznego, gdyż znajduje się na potencjale Ziemi. Jednak w przypadku przebicia izolacji (np. linii wysokiego napięcia zawieszonej na słupach stalowych) pojawia się napięcie między uziomem, a dalej położonymi warstwami Ziemi. Jeśli człowiek stoi przy takim uziomie, a odległość między jego stopami — mierzona wzdłuż przedłużenia promienia uziomu po powierzchni Ziemi — wynosi 0,8 m (średnia długość kroku ∆r = 0,8 m), to jest on narażony na działanie napięcia wywołanego przepływem prądu z uziomu do Ziemi

∆U kr =

I 1 1   −  2πγ  r r + 0,8 

(6.17)

Rys. 6.23 Koncentryczny układ elektrod półkulistych obejmujący ośrodek elektrycznie jednorodny

zwanego napięciem krokowym. Napięcie krokowe jest największe wtedy, gdy człowiek znajduje się blisko uziomu (nachylenie krzywej — rys. 6.226) i jest największe przy r ≈ rw. W przypadku uderzenia pioruna w słup linii wysokiego napięcia napięcie to może być równe nawet kilka kilowoltów. W przypadku przebicia elektrycznego wartość napięcia krokowego zależna jest od napięcia znamionowego linii i może być równa kilkadziesiąt lub kilkaset woltów.

Marek

Pilawski

Strona 298

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki W dalszej odległości od uziomu, przy odległości między stopami 0,8 m (∆r = 0,8 m) człowiek jest narażony na działanie znacznie mniejszego napięcia (nachylenie krzywej — rys. 6.22b — przy r >> rw jest mniejsze). * Uziom jest to część uziemienia znajdująca się pod ziemią. Przykład 6.15 Dla elektrod: kulistej i walcowej pionowej (rys. 6.24 a, b) zakopanych blisko powierzchni ziemi oraz dla elektrody walcowej umieszczonej w ośrodku nieskończenie rozległym (rys. 6.24c) wyznaczyć rezystancję przejścia.

a. Rezystancja przejścia ośrodka, w ogólnym przypadku zależna jest nie tylko od kształtu i rozmiarów elektrody (lub elektrod), lecz także od jej położenia względem powierzchni granicznej ośrodka, którego wpływ na rezystancję przejścia jest tym większy, im znajduje się ona bliżej rozpatrywanej elektrody. Problem występuje

rezystancji przy

przejścia

uziomach

z

uwzględnieniem

zakopywanych

na

powierzchni

nieznacznych

granicznej

głębokościach.

Rezystancję tę oblicza się stosując tzw. metodę zwierciadlanego odbicia. Polega ona na uwzględnieniu oddziaływania drugiej takiej samej elektrody, położonej symetrycznie względem powierzchni granicznej, przez którą prąd przepływa w kierunku przeciwnym niż w pierwszej elektrodzie. (Metoda ta będzie stosowana w dalszej części książki, bez podania uzasadnienia). Stosując zatem wzór (6.14), w którym rz = 2h i rw = r0, gdzie r0 — promień elektrody kulowej (rys. 6.24a), h — głębokość jej zakopania, otrzymuje się rezystancję przejścia

R=

r  1  1 + 0  4πr0γ  2h 

(6.18)

b. W podobny sposób oblicza się rezystancję przejścia uziomu w postaci pręta zakopanego pionowo tuż pod powierzchnią ziemi (rys. 6.24b). W tym przypadku stosując wzór (6.13)

R=

1 4l ln 4πlγ r0

(6.19)

c. Obliczenia rezystancji przejścia elektrody walcowej, umieszczonej w ośrodku nieskończenie rozległym (rys. 6.24c), są bardzo skomplikowane i w tym miejscu ograniczymy się tylko do podania wzoru określającego jej wartość

Marek

Pilawski

Strona 299

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki R=

1 2l ln 4πlγ r0

(6.19)

Rys. 6.24 Elektrody: a) kulista zakopana; blisko powierzchni ziemi; b) walcowa zakopana pionowo blisko powierzchni ziemi; c) walcowa w ośrodku nieskończenie rozległym

6.2.7 Rezystory nieliniowe Dotychczas, mówiąc o rezystancji, mieliśmy na myśli rezystancję rezystorów liniowych. Rezystor liniowy jest to taki rezystor, którego rezystancja jest wielkością stałą, niezależną od wartości przepływającego

przez niego prądu lub napięcia

przyłożonego do jego końcówek, a jego charakterystyka prądowo-napięciowa (rys. 6.25) jest linią prostą.

Marek

Pilawski

Strona 300

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki W wielu przypadkach materiał rezystancyjny użyty do budowy rezystorów zmienia swoje właściwości pod wpływem przepływającego przez niego prądu elektrycznego lub pod wpływem pola elektrycznego wywołanego napięciem doprowadzonym do zacisków. Wtedy rezystancja jest zmienna i pozostaje funkcją prądu lub napięcia. O takim rezystorze mówimy, że jest nieliniowy. A zatem — rezystor nieliniowy jest to taki rezystor, którego rezystancja nie jest wielkością stałą, lecz zależną od wartości przepływającego przez niego prądu lub napięcia przyłożonego do jego końcówek, a jego charakterystyka prądowo-napięciowa jest linią krzywą. W przypadku rezystora liniowego jego charakterystyka prądowo-napięciowa jest określona kotangensem kąta α, jaki tworzy prosta I = f(U) (lub styczna do niej) z dodatnim wzrostem osi U. Dla każdego, dowolnie przyjętego, punktu prostej

ctgα =

U0 =R I0

(6.21)

Rys. 6.25 Przykładowa charakterystyka prądowo-napięciowa elementu rezystancyjnego 1 — liniowego, 2 — nieliniowego

W przypadku rezystora nieliniowego (rys. 6.25, krzywa 2) kąt nachylenia siecznej jest w każdym punkcie krzywej inny. Podana definicja rezystora liniowego dotyczyła w istocie rezystora liniowego idealnego, tzn. takiego, w którym rzeczywiście rezystancja pozostaje stała, niezależnie od stosowanego zakresu napięć lub prądów. W rzeczywistości rezystorów takich nie ma. Materiał zawsze ulega działaniu prądu elektrycznego, szczególnie jego działaniu cieplnemu. W związku z tym rezystancja materiału pozostaje stała tylko w pewnym zakresie prądów i napięć, zwanych zakresem liniowości. W obszarze poza tym zakresem (rys. 6.26) rezystor liniowy rzeczywisty zachowuje się tak, jak rezystor nieliniowy.

Marek

Pilawski

Strona 301

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Dla rezystorów liniowych rzeczywistych należy zatem zawsze podać przedział liniowości. Na rys. 6.25 i 6.26 jest on określany nierównościami

0 ≤ U ≤ U0

0 ≤ I ≤ I0

Typowym przykładem rezystora liniowego, który silnie wykazuje również swoje właściwości nieliniowe, jest włókno żarówki. Włókno żarówki wykonane jest z cienkiego drutu wolframowego, który, na skutek przepływu przez niego prądu, ogrzewa się, przy czym wzrost jego rezystancji jest zgodny ze wzorem

R = R0 [1 + α (ϑ − ϑ0 )]

(6.22)

Rys. 6.26 Przykładowe charakterystyki rezystancyjno-napięciowe elementu 1 — liniowego, 2 — nieliniowego

R0 — rezystancja drutu zmierzona w temperaturze ϑ 0 , a — współczynnik temperaturowy rezystancji, R — rezystancja drutu w temperaturze ϑ . Wraz ze wzrostem napięcia wzrasta prąd płynący przez żarówkę. Ze wzrostem prądu wzrasta również temperatura i rezystancja drutu (krzywa 2, rys. 6.26). Zatem prąd wzrasta wolniej niż napięcie. Jednakowym przyrostom napięcia odpowiadają

coraz

to

mniejsze

przyrosty

prądu,

i

w

związku

z

tym

charakterystyka prądowo-napięciowa (krzywa 2, rys. 6.25) zagina się w stronę osi R. Rezystory takie jak włókno żarówki, które zmieniają swoje właściwości na skutek termicznego działania prądu, charakteryzuje bezwładność cieplna. Bezwładność cieplna jest wynikiem stopniowego wzrostu temperatury rezystora, mimo przepuszczenia przez niego stosunkowo dużego prądu (krzywa ϑ , rys. 6.27). Przyrost temperatury ma charakter eksponencjalny*. Również po odłączeniu rezystora od źródła zasilania temperatura jego zmniejsza się nie skokowo, lecz w sposób wykładniczy. Zwiększeniu się temperatury rezystora włączonego do

Marek

Pilawski

Strona 302

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki źródła o stałej wartości napięcia towarzyszy, na skutek wzrostu rezystancji, zmniejszenie się prądu (krzywa I, rys. 6.27). Przebieg temperatury i prądu odbywa się w sposób w przybliżeniu wykładniczy ze stałą czasową zależną od warunków

wymiany

ciepła

z

otoczeniem

(powierzchnia

rezystora,

rodzaj

obudowy itp.). Rezystory nieliniowe opisuje się większą liczbą parametrów, niż rezystory liniowe. Do najważniejszych z nich należy rezystancja statyczna i rezystancja dynamiczna.

Rys. 6.27 Ilustracja właściwości dynamicznych rezystorów

Rezystancja statyczna jest to rezystancja określona przy stałej wartości napięcia i stałej wartości prądu. Graficznie (rys. 6.28) rezystancję statyczną R reprezentuje kotangens kąta αR, jaki tworzy prosta łącząca dowolny punkt P charakterystyki prądowo-napięciowej i początek układu współrzędnych z osią U. Rezystancja statyczna R =

U0 I0

(6.23)

jest różna dla różnych punktów P charakterystyki. Rezystancja dynamiczna w dowolnym punkcie charakterystyki prądowonapięciowej jest to rezystancja określona dla przyrostów dU napięcia i odpowiadających im przyrostów dI prądu w otoczeniu rozpatrywanego punktu. Graficznie (rys. 6.28) rezystancję dynamiczną r reprezentuje kotangens kąta αR, jaki tworzy styczna do krzywej, poprowadzona w danym punkcie P tej krzywej, z osią U

Marek

Pilawski

Strona 303

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki r =

dU dI

(6.24)

Rezystancja dynamiczna jest różna dla różnych punktów P charakterystyki. Rezystory

nieliniowe

są

elementami

składowymi

elektrycznych

układów

nieliniowych. Układy takie zasila się często napięciem zawierającym składową stałą i składową zmienną. Dobierając wartość napięcia stałego U0 wybiera się żądany punkt P pracy na charakterystyce prądowo-napięciowej elementu. Położenie tego punktu określa nie tylko wartość rezystancji statycznej, ale i wartość rezystancji dynamicznej, istotnej dla składowej zmiennej prądu. Za pomocą prądu i napięcia stałego można zatem sterować pracą obwodów prądu zmiennego. Zjawisko to wykorzystuje się w wielu układach sterowania i regulacji. Klasycznymi przykładami rezystorów nieliniowych są termistory wykorzystywane głównie w układach elektronicznych. * wyjaśnienie w p. 6.3.3.

Rys. 6.28 Ilustracja rezystancji statycznej i dynamicznej rezystorów

Termistory są to rezystory, których rezystancja silnie zależy od temperatury i zależność ta jest ich dominującą cechą. Termistory dzieli się na termistory NTC* i termistory PTC**. Rezystancja termistorów NTC ze wzrostem temperatury silnie się zmniejsza (krzywa 1, rys. 6.29). Jest ona w przybliżeniu opisana równaniem B

R = R0e T

(6.25)

R0 — rezystancja, jaką osiąga rezystor w temperaturze T → ∞, B — stała materiałowa.

Marek

Pilawski

Strona 304

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Współczynnik temperaturowy rezystancji określa względny przyrost rezystancji termistora przy zmianie temperatury o ∆T, gdy ∆T → 0 α =

1 dR R dT

(6.26)

B T2

(6.27)

Uwzględniając zależność (6.25) α =− * NTC — skrót od Negative temperaturowy). ** PTC — skrót od Positive temperaturowy).

Temperaturę

Coefficient

(ujemny

współczynnik

Temperaturę

Coefficient

(dodatni

współczynnik

Rys. 6.29 Charakterystyka rezystancyjno--temperaturowa 1 — termistora NTC, 2 — rezystora liniowego

Jak

widać,

współczynnik

temperaturowy

termistorów

NTC

jest

w

całym

przedziale temperatur ujemny i zmniejsza się ze wzrostem temperatury. Termistory wykorzystuje się do budowy czujników temperatury, różnego rodzaju urządzeń sygnalizacyjnych, termometrów, a w układach elektronicznych — do kompensacji wpływu zmian temperatury. Charakterystyka napięciowo-prądowa termistora (krzywa 1, rys. 6.30) jest opisana funkcją malejącą w szerokim zakresie prądów. W tym zakresie rezystancja dynamiczna termistora przyjmuje wartości ujemne, tzn. dodatnim przyrostom prądów odpowiadają ujemne przyrosty napięć. (Dla porównania na rys. 6.29 i 6.30 przedstawiono również charakterystyki elementów liniowych — krzywe 2). Charakterystyka napięciowo-prądowa termistora, począwszy od pewnej małej wartości

prądu,

ma

przebieg

w

przybliżeniu

hiperboliczny.

Cechą

charakterystyczną przebiegów hiperbolicznych jest to, że iloczyn współrzędnych dowolnego punktu krzywej ma wartość stałą. W naszym przypadku iloczyn współrzędnych dowolnego punktu położonego na charakterystyce napięciowo-

Marek

Pilawski

Strona 305

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki prądowej oznacza moc wydzieloną na termistorze. Można więc powiedzieć, że na termistorze

ogrzewanym

płynącym

przez

niego

prądem

wydziela

się

w

przybliżeniu stała moc. Moc ta zamienia się na ciepło i jest odprowadzana do otoczenia. Stałość mocy wydzielanej w termistorze warunkuje stałą jego temperaturę, niezależnie od wartości przepływającego prądu.

Rys. 6.30 Charakterystyka napięciowo--prądowa 1 — termistora NTC, 2 — rezystora liniowego Innym rodzajem termistorów są termistory PTC, czyli tzw. pozystory. Pozystory mają właściwości przeciwstawne do termistorów NTC.

Rezystancja pozystorów ze wzrostem temperatury silnie zwiększa się (krzywa 1, rys. 6.31). Opisana ona jest równaniem przybliżonym R = R0e

−

B T

(6.28)

R0— parametr określający rezystancję termistora w temperaturze T → ∞, B — stała materiałowa. Współczynnik

temperaturowy

rezystancji

określający

względny

przyrost

rezystancji pozystora α =

B T2

(6.29)

jest dodatni w całym temperaturowym przedziale pracy i zmniejsza się ze wzrostem temperatury.

Rys. 6.31 Charakterystyka rezystancyjno--temperaturowa 1 — termistora PTC (pozystora), 2 — rezystora liniowego

Marek

Pilawski

Strona 306

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Charakterystyka prądowo-napięciowa pozystora (krzywa 1, rys. 6.32) opisana jest funkcją malejącą w szerokim zakresie napięć, podobnie jak charakterystyka termistora NTC. W tym zakresie napięć rezystancja dynamiczna pozystora przyjmuje wartości ujemne. Termistory PTC znalazły podobne zastosowanie w układach elektrycznych jak termistory NTC. Pozystory nagrzewają się pod wpływem przepływającego przez nie prądu. Dlatego też często wykorzystuje się je jako miniaturowe źródła ciepła. W grzejnych

układach

elektrycznych

spełniają

one

jednak

rolę

czujnika

temperatury. Układy regulacji temperatury z pozystorami są bardzo proste. W najprostszej postaci składają się one z uzwojenia grzejnego i połączonego z nim pozystora umieszczonego w komorze grzejnej (rys. 6.33). Jeżeli temperatura w komorze grzejnej przekroczy wartość dopuszczalną, to spowoduje to zwiększenie rezystancji pozystora i zmniejszenie prądu w uzwojeniu

grzejnym.

temperatura

w

Temperatura

komorze

obniży

w się

komorze poniżej

będzie wartości

się

obniżać.

Jeśli

dopuszczalnej,

to

jednoczesne zmniejszenie rezystancji pozystora spowoduje zwiększenie prądu płynącego przez grzejnik i zwiększenie wydzielonego ciepła. Opisane urządzenie ma

więc

właściwości

termostatu,

czyli

urządzenia

utrzymującego

stałą

temperaturę.

Rys. 6.32 Charakterystyka prądowo-napięciowa 1 — termistora PTC (pozystora), 2 — rezystora liniowego

Marek

Pilawski

Strona 307

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.33 Schemat elektryczny termostatu; Rp — pozystor

Na pozystorach, podobnie jak na termistorach, wydziela się stała moc cieplna. W termistorach pracujących jako czujniki temperatury wykorzystuje się najczęściej liniowy odcinek ich charakterystyki napięciowo-prądowej.

Rys. 6.34 Termistorowy układ generatora drgań elektrycznych małej częstotliwości Rt — termistor NTC, RP — termistor PTC (pozystor), Ż — wskaźnik drgań — żarówka

Innym, bardzo interesującym zastosowaniem termistorów jest układ generatora drgań elektrycznych małej częstotliwości (rys. 6.34). Generator taki składa się z dwu termistorów: jednego — typu NTC i drugiego — typu PTC połączonych szeregowo. Układ zasilany jest ze źródła napięcia stałego. Drgania w układzie występują wtedy, kiedy termistory różnią się parametrami. Pod wpływem prądu termistor NTC (Rt) ogrzewa się i jego rezystancja maleje. Powoduje to dalszy wzrost prądu w układzie. Prąd ten powoduje również ogrzewanie się termistora PTC (Rp) i wzrost jego rezystancji, co powoduje z kolei zmniejszanie się prądu. Częstotliwość oscylacji prądu w układzie jest zależna od wartości przyłożonego napięcia i stałych czasowych elementów i jest rzędu ułamka herców. W pewnych innych układach elektronicznych wykorzystuje się inne typy rezystorów nieliniowych — warystory. Rezystancja warystorów zależna jest od doprowadzonego napięcia. Zależnie od technologii wykonania tych elementów można uzyskać takie charakterystyki prądowo-napięciowe, aby zależność prądu od napięcia miała przebieg wykładniczy, logarytmiczny lub też przebiegała według innej założonej funkcji nieokresowej (patrz również p. 7.4). Analiza układu półprzewodnikowego przetwornika napięcia stałego w prąd zmienny, jakim jest termistorowy układ drgań wolnozmiennych (rys. 6.34) jest

Marek

Pilawski

Strona 308

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki bardzo ciekawa. Analizę tę można prowadzić wykorzystując cieplne stałe czasowe

termistorów

NTC

i

PTC

lub

też

można

termistorowi

PTC

przyporządkować schemat zastępczy typu RL, a termistorowi NTC — obwód typu RC i dalej prowadzić analizę tak, jak dla obwodów drgających typu RLC. Termistory wykazują pewną bezwładność cieplną, tzn. temperatura ustala się w nich nie natychmiast po załączeniu prądu, ale po pewnym czasie. Wykorzystuje się je do budowy linii opóźniających.

6.3 Elementy pojemnościowe 6.3.1 Budowa i przeznaczenie kondensatorów. Pojemność różnych układów elektrod Każdy przewodnik elektryczności wykazuje cechę pojemności elektrycznej. Cechę pojemności wykazują zarówno odosobnione przewodniki jak i przewodniki tworzące układy elektryczne. W tym sensie pojemność będą miały odcinki przewodów, pojedyncze elektrody metalowe i układy elektrod. Rozpatrzmy właściwości elektryczne elektrody w postaci odosobnionej kuli przewodzącej o promieniu rw. Jak wiadomo kula taka, obdarzona ładunkiem elektrycznym Q, wytwarza na swojej powierzchni potencjał proporcjonalny do ładunku — wzór (1.8)

V=

Q 4πεrw

(6.30)

Potencjał ten jest tym większy, im większy ładunek znajduje się na kuli. Zależność

między

ładunkiem

i potencjałem jest proporcjonalna, tzn. że

jednakowym przyrostom wartości ładunku odpowiadają jednakowe przyrosty wartości potencjału. Wzór (6.30) można przedstawić w postaci

Q = 4πεrw V

(6.31)

Współczynnikiem proporcjonalności między wielkościami Q i V jest w tym przypadku wielkość 4πεrw zależna od właściwości ośrodka, w którym znajduje się rozpatrywana kula (ε — przenikalność elektryczna ośrodka) i od jej wymiarów. Okazuje się, że stosunek ładunku do potencjału (układów elektrod) jest zawsze wielkością stałą, zależną jedynie od konfiguracji i rozmiarów elektrod. Wielkość

Marek

Pilawski

Strona 309

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki tę nazwano pojemnością elektryczną. Pojemność elektryczna mówi nam, jaka wartość ładunku gromadzi się w danym ośrodku na elektrodzie obdarzonej potencjałem 1 V lub jaki ładunek gromadzi się na elektrodach w tym ośrodku pod wpływem różnicy potencjałów 1 V. Pojemność elektryczna C jest to wielkość fizyczna wyrażająca się stosunkiem wartości ładunku elektrycznego do wytwarzanego przez ten ładunek potencjału.

C=

Q U

(6.32)

Wzór (6.32) jest najbardziej ogólnym wzorem określającym pojemność układu przewodników. (Przewodnik odosobniony można traktować jako szczególny przypadek układu przewodników). Zgodnie z przeprowadzoną analizą można napisać, że pojemność odosobnionej kuli przewodzącej

C = 4πεrw

(6.33)

Jednostką pojemności elektrycznej jest farad (1 F)

1F =

1C 1V

(6.34)

Farad (1 F) jest to pojemność takiego układu przewodników, w którym ładunek elektryczny jednego kulomba (Q = 1C) wytwarza różnicę potencjałów jednego wolta (U=1V). Pojemność 1 F jest bardzo dużą pojemnością w porównaniu z pojemnością zwykle stosowanych w elektrotechnice i elektronice układów elektrod. Dlatego też używa się pod wielokrotności farada: milifarad (mF), mikrofarad (uF), nanofarad (nF) i pikofarad (pF). Pojemność pojedynczej, odosobnionej elektrody jest na ogół niewielka, a w wielu przypadkach zależy nam na tym, by uzyskać dużą pojemność. Stosuje się wtedy układ dwóch elektrod. Poza tym „elektroda odosobniona" jest raczej „tworem myślowym" i wykorzystanie jej w praktyce jest niemożliwe. W układach rzeczywistych zawsze będziemy mieli do czynienia co najmniej z dwiema elektrodami. Układ dwóch elektrod cechuje się dużo większą pojemnością niż pojemność elektrody odosobnionej i wykonany specjalnie w celu uzyskania określonej pojemności nosi nazwę kondensatora.

Marek

Pilawski

Strona 310

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Kondensator jest to taki układ dwóch przewodników, który charakteryzuje się znaczną pojemnością, przy czym pojemność ta jest cechą dominującą. W praktyce kondensatory są utworzone z dwóch płaskich elektrod metalowych przedzielonych warstwą dielektryka. Zależnie od rodzaju użytego dielektryka kondensatory dzielą się na kondensatory z dielektrykiem stałym, kondensatory powietrzne i elektrolityczne (rys. 6.35). Na obudowie kondensatorów jest zaznaczona wartość napięcia maksymalnego, przy której mogą one pracować bezpiecznie. Przy wyższych napięciach następuje przebicie dielektryka, a kondensator

ulega

zniszczeniu.

Folie

metalowe

tworzące

okładziny

kondensatorów wykonuje się najczęściej z aluminium. W celu zajęcia przez nie jak

najmniejszej

objętości,

zwija

się

je

w

rulon.

W

kondensatorach

elektrolitycznych folie aluminiowe oddzielone są od siebie taśmą papierową nasączoną elektrolitem.

Rys. 6.35 Kondensator: a) z dielektrykiem stałym; b) powietrzny nastawny (obrotowy); c) elektrolityczny

Kondensatory z dielektrykiem stałym budowane są jako kondensatory stałe. Do budowy kondensatorów nastawnych (kondensatorów o zmiennej pojemności) i kondensatorów

wzorcowych

wykorzystuje

się

najczęściej

kondensatory

powietrzne. Elektrody kondensatorów nastawnych buduje się w postaci płyt. Ponieważ

przenikalność

elektryczna

powietrza

jest

mała,

kondensatory

nastawne w celu zwiększenia ich pojemności, buduje się jako wielopłytowe. Kondensatory nastawne występują w przestrajanych obwodach rezonansowych (p. 4.8). Obwody takie umieszczone są np. w odbiornikach radiowych. Kondensatory wzorcowe to kondensatory powietrzne o pojemności znanej z dużą dokładnością, cechujące się dużą stałością. Stałość ta jest wynikiem stałych w czasie właściwości powietrza utrzymywanego w niezmiennych warunkach. Przyjmuje się, że powietrze, w przeciwieństwie do dielektryków stałych i

Marek

Pilawski

Strona 311

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ciekłych, nie ulega procesom starzenia. Kondensatory

wzorcowe

wykorzystuje

się

w

elektrycznych

układach

pomiarowych (p. 6.8.7). Kondensatory znalazły także zastosowanie przemysłowe. W elektroenergetyce wykorzystuje się ich właściwości m. in. do grzania pojemnościowego oraz do kompensacji mocy biernej (p. 6.3.2). Układ dwóch elektrod tworzących kondensator, do których doprowadzone jest napięcie

elektryczne,

wytwarza

w

obszarze

międzyelektrodowym

pole

elektryczne. Można

zatem

powiedzieć, ładunkiem

zgromadzonym

że

kondensator

elektrycznym

naładowany

na

elektrodach)

(kondensator jest

ze

elementem

magazynującym energię w postaci pola elektrycznego. Jest to tak istotna właściwość kondensatora, że również jest podstawą definicji: Kondensator jest to taki układ dwóch przewodników, który ma zdolność gromadzenia energii w postaci pola elektrycznego rozciągającego się w obszarze między tymi przewodnikami. Do obliczenia energii pola elektrycznego kondensatora posłużmy się wzorem (1.47) określającym wartość pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku ∆Q od jednej elektrody do drugiej, czyli pracę potrzebną do przeniesienia tego ładunku w polu o różnicy potencjałów U

∆We = ∆QU Ponieważ U =

Q wzór (6.32) C ∆We = ∆Q

1 Q C

Ostatecznie (patrz dodatek F)

Q2 We = 2C Uwzględniając

ponownie

zależność

(6.32)

(6.35) Q

=

UC

otrzymuje

się

wzór

równoważny

1 We = CU 2 2

Marek

Pilawski

(6.36)

Strona 312

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Wyrażając pojemność w faradach, napięcie w woltach, ładunek w kulombach, energię otrzymuje się w dżulach. Energię zmagazynowaną w polu elektrycznym kondensatora można odzyskać w postaci energii prądu elektrycznego (patrz przykład 6.24). Wartość energii pola elektrycznego zależy od pojemności kondensatora (którą można wyznaczyć na podstawie znajomości jego wymiarów geometrycznych). Przykład 6.16 Wyznaczyć pojemność kondensatora powietrznego płaskiego o powierzchni okładzin (elektrod) S = 0,01 m2 i odległości między nimi d = 1 cm. Do obliczeń przyjąć ε 0 = 8,86⋅10-12 F⋅m-1 (rys. 6.36).

W celu obliczenia pojemności układów elektrod należy posłużyć się metodą obliczeniową, którą można przedstawić w trzech punktach: 1. Korzystając z twierdzenia Gaussa (p. 1.4) wyznaczyć zależność natężenia pola elektrycznego w dielektryku od ładunku elektrycznego zgromadzonego na okładzinach kondensatora — wzory (1.32) i (1.33). 2. Korzystając z twierdzenia Stokesa (p. 1.4) wyznaczyć zależność napięcia elektrycznego między okładzinami kondensatora od natężenia pola elektrycznego — wzór (1.38), a pośrednio — od zgromadzonego ładunku elektrycznego. 3. Poszukiwaną pojemność elektryczną kondensatora wyznaczyć ze wzoru definiującego pojemność — wzór (6.32).

Rys. 6.36 Kondensator płaski

ad. 1. Jedną z okładzin kondensatora otaczamy umyśloną powierzchnią w kształcie prostopadłościanu. Powierzchnie boczne prostopadłościanu, przez które przenika strumień elektryczny Ψ wytworzony przez ładunek zgromadzony na tej okładzinie, niech będą też równe S (patrz przykład 1.9 i 1.10). Strumień przenika przez dwie takie powierzchnie, a więc Ψ = 2DS gdzie D = ε0E — patrz wzór (1.28). Na podstawie twierdzenia Gaussa Ψ = Q, a

Marek

Pilawski

Strona 313

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki zatem

Q = 2ε 0 ES Stąd

Q 2ε 0 S

E=

Ponieważ przez rozpatrywaną powierzchnię przenika również taki sam strumień wytworzony przez drugą okładzinę kondensatora, to natężenie pola elektrycznego między okładzinami jest dwukrotnie większe

E=

Q ε0S

ad. 2. Wykorzystując zależność (1.38), w której ∆r = d

U = Ed otrzymaną na podstawie twierdzenia Stokesa, uzyskujemy w przypadku pola równomiernego

U=

Qd ε0S

ad. 3. Stosując wzór definicyjny (6.32)

C=

Q U

otrzymuje się ostatecznie — patrz wzór (1.46)

C=

ε0 d

(6.37)

Podstawiając wartości

8,86 ⋅10 −12 ⋅ 0,01 C= = 8,86 pF 0,01 Wyznaczanie pojemności układów elektrod nie zawsze jest tak proste. Zależnie od kształtu elektrod (np. cylindryczny, kulisty, płaski) i ich wzajemnego usytuowania

obliczenia

wymagają

użycia

odpowiedniego

aparatu

matematycznego. Przykład 6.17 Wyznaczyć pojemność kondensatora powietrznego cylindrycznego o długości l = 0,1 m, promieniu okładziny zewnętrznej rz = 0,1 m, promieniu okładziny wewnętrznej rw = 1 cm. Do obliczeń przyjąć ε0 = 8,86⋅10-12 F⋅m-1 (rys. 6.37).

Marek

Pilawski

Strona 314

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Okładzinę wewnętrzną kondensatora otaczamy umyśloną powierzchnią walcową o polu powierzchni bocznej (patrz przykład 1.7)

S x = 2πxl Przez powierzchnię tę przenika strumień elektryczny

Ψ = Q = DS x

Rys. 6.37 Kondensator cylindryczny: elektrycznego w dielektryku

a)

budowa;

b)

rozkład

natężenia

pola

Ponieważ D = ε0Ex, to Q = ε0ExSx stąd

Ex =

Q 2πε 0 lx

Wykorzystując związek (patrz dodatek F)

U = ∫ Edx w tym przypadku rz

U=∫ rw

Q 2πε 0 lx

dx

Po wykonaniu operacji całkowania uzyskuje się bezpośredni związek między ładunkiem i napięciem elektrycznym

U=

r Q ln z 2πε 0 l rw

który jest podstawą do napisania wzoru na pojemność powietrznego kondensatora cylindrycznego

Marek

Pilawski

Strona 315

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki C=

2πε 0 l r ln z rw

(6.38)

Po wykonaniu obliczeń

2 ⋅ 3,14 ⋅ 8,86 ⋅ 10 −12 ⋅ 0,1 C= = 2,42 pF ln 10 Przykład 6.18 Wyznaczyć wartość promienia rw elektrody wewnętrznej kondensatora cylindrycznego (rys. 6.37), przy której napięcie elektryczne między jego okładzinami ma wartość maksymalną. Wyznaczyć pojemność takiego kondensatora, jeśli l = 0,1 m, rz = 0,1 m, ε = ε0.

Przykład

ten

można

rozwiązać

korzystając

z

zależności

otrzymanych

wartość

minimalną

na

w

poprzednim przykładzie, a mianowicie

Ex =

Q 2πε 0 lx

oraz

U=

r Q ln z 2πε 0 l rw

Porównując ze sobą te dwie zależności widać, że

U

Ex =

x ln Natężenie

pola

elektrycznego

osiąga

rz rw powierzchni

elektrody zewnętrznej (x = rz)

E min =

U rz ln

rz rw

a wartość maksymalną na powierzchni elektrody wewnętrznej (x = rw)

E max =

U rw ln

rz rw

Na podstawie ostatniego wzoru można napisać

U = E max rw ln

rz rw

Napięcie osiąga wartość maksymalną w funkcji rw, gdy

Marek

Pilawski

Strona 316

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki dU =0 drw a zatem wtedy, gdy

 r r  r  E max ln z + rw z  − z2  = 0 rw  rw   rw Równanie to jest równoważne warunkowi

ln

rz =1 rw

z którego wynika, że wartość maksymalna napięcia występuje, gdy

rz =e rw Uwzględniając wartości liczbowe uzyskuje się rw ≈ 3,7 cm. Pojemność kondensatora cylindrycznego, w którym spełniony jest warunek

rz = e oblicza się (patrz wzór (6.38)) — ze wzoru rw C = 2πε 0 l C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8,86 ⋅ 10 −12 ⋅ 0,1 = 5,57 pF Przykład 6.19 Wyznaczyć pojemność kondensatora powietrznego kulistego o promieniu okładziny zewnętrznej rz = 0,1 m i wewnętrznej rw = 1 cm, gdy ε = ε0 (rys. 6.38) Wyznaczyć również największą i najmniejszą wartość natężenia pola elektrycznego między okładzinami takiego kondensatora.

Okładzinę wewnętrzną kondensatora otaczamy umyśloną powierzchnią kulistą o polu powierzchni — patrz przykład 1.8

S x = 4πx 2 Przez powierzchnię tę przenika strumień elektryczny

Ψ = Q = DS x = ε 0 E 4πx 2 stąd

Ex =

Marek

Pilawski

Q 4πε 0 x 2

Strona 317

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.38 Kondensator kulisty: a) budowa; b) rozkład natężenia pola elektrycznego w dielektryku

Wykorzystując zależność

U = ∫ Edx w tym przypadku rz

U=

Q

∫ 4πε

rw

0

x2

dx

Po wykonaniu operacji całkowania uzyskuje się bezpośredni związek między ładunkiem i napięciem elektrycznym

U=

Q 1 1  −  4πε 0  rw rz 

który jest podstawą do napisania wzoru na pojemność powietrznego kondensatora kulistego

C = 4πε 0

rz rw rz − rw

(6.39)

Podstawiając wartości wielkości

C = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,86 ⋅ 10 −12 ⋅

0,1 ⋅ 0,01 = 1 pF 0,1 − 0,01

Znajomość wartości napięcia przyłożonego do okładzin kondensatora

U=

Q rz − rw 4πε 0 rz rw

oraz natężenia pola elektrycznego w obszarze dielektryka

Marek

Pilawski

Strona 318

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Q

E=

4πε 0 x 2

pozwala na wyznaczenie największej i najmniejszej wartości natężenia pola. Z porównania ze sobą dwóch ostatnich wzorów wynika, że

E =U

rz rw (rz − rw )x 2

Natężenie pola elektrycznego osiąga wartość maksymalną przy powierzchni elektrody wewnętrznej (x = rw)

E max =

U rz rz − rw rw

a wartość minimalną przy powierzchni elektrody zewnętrznej (x = rz)

E min =

U rw rz − rw rz

Wszystkie układy elektrod wykazują cechę pojemności. W podanych przykładach wyznaczono pojemność tylko takich układów elektrod, które są typowe dla kondensatorów stosowanych w technice. Jednocześnie każdy układ dwu elektrod charakteryzuje rezystancja przejścia (patrz p. 6.2.6). Rezystancja przejścia i pojemność danego układu elektrod są wielkościami współzależnymi od siebie. Dla uwidocznienia tej współzależności przytoczymy jeszcze raz wzory określające R i C różnych układów elektrod: — odosobniona elektroda kulowa — wzory (6.15) i (6.33)

R=

1 4πrwγ

C = 4πεrw

— układ dwóch elektrod koncentrycznych kulowych — wzory (6.14) i (6.39)

R=

1 1 1  −  4πγ  rw rz 

C = 4πε

1 1 1 − rw rz

— układ dwóch elektrod płaskich — wzory (6.9) i (6.37)

R=

l γS

C=

εS l

— układ dwóch elektrod walcowych — wzory (6.13) i (6.38)

Marek

Pilawski

Strona 319

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki R=

1 2πγl

ln

rz rw

C=

2πεl r ln z rw

Obliczając iloczyn RC dla każdego układu elektrod okazuje się, że

RC = ρε

ρ=

1

γ

(6.40)

— rezystywność ośrodka.

Wzór (6.40) jest bardzo interesującą zależnością, wiążącą parametry układu elektrod

ze

stałymi

materiałowymi

ośrodka

wypełniającego

przestrzeń

międzyelektrodową. Prawa strona równania jest wielkością stałą, niezależną od rozmiarów ośrodka. Oznacza to, że jest fizyczną niemożliwością zbudowanie takiego elementu, który jednocześnie wykazywałby dużą (lub małą) pojemność i rezystancję. Wszystkie zabiegi konstrukcyjne, mające na celu zwiększenie pojemności układu elektrod muszą prowadzić do jednoznacznego zmniejszenia rezystancji przejścia i na odwrót. Dotychczas

omówione

układy

elektrod

składały

się

na

jeden

element

pojemnościowy — kondensator. Kondensatory (podobnie jak rezystory — p. 7.3) można łączyć ze sobą w układy. Układy połączeń kondensatorów mogą być szeregowe, równoległe lub mieszane. Szeregowe łączenie kondensatorów (rys. 6.39) polega na takim łączeniu, że zacisk końcowy jednego z nich jest połączony z zaciskiem początkowym następnego itd. Jeśli teraz do zacisków kondensatorów skrajnych doprowadzimy napięcie U, to na kondensatorach C1, C2, C3 … Cn powstaną spadki napięć, odpowiednio U1, U2, U3 ... Un.

Rys. 6.39 Szeregowy układ połączeń kondensatorów

Okładziny kondensatorów oznaczono znakami „+'" i „—". Okładzina oznaczona „+" ma potencjał wyższy niż okładzina oznaczona znakiem „—". Z układu

Marek

Pilawski

Strona 320

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki połączeń wynika jednak, że okładziny oznaczone numerami 1’, 2, 2’ i 3 ... (n — 1)’ i n mają ten sam potencjał — i tak jest w istocie. Różne oznakowanie tych elektrod mówi tylko o tym, że potencjał okładziny 1’ jest niższy od potencjału okładziny 1, potencjał okładziny 2' jest niższy od potencjału okładzin 2 itd. W

stanie

ustalonym

elektrycznych

między

(p.

6.3.3)

nie

kondensatorami,

obserwuje a

więc

się na

przepływu każdym

z

ładunków nich

jest

zgromadzony taki sam ładunek Q. Można zatem napisać

Q = Q1 = Q2 = Q3 = ... = Qn

(6.41)

Jeżeli cały układ kondensatorów zastąpimy jednym kondensatorem o pojemności C, który pod wpływem napięcia u gromadzi taki sam ładunek jak omawiany układ, to zgodnie ze wzorem (6.32)

CU = C1U 1 = C 2U 2 = C3U 3 = ... = C nU n

(6.42)

Na podstawie tego samego wzoru można napisać

U=

Q C

U1 =

Q C1

U2 =

Q C2

…

Un =

Q Cn

(6.43)

Ponieważ

U = U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n to

1 1 1 1 1 = + + + ... + C C1 C 2 C 3 Cn

(6.44)

Wzór (6.44) określa pojemność zastępczą szeregowego układu połączeń kondensatorów. Równoległy układ połączeń kondensatorów (rys. 6.40) jest utworzony z kondensatorów, których wszystkie zaciski początkowe dołączone są do jednego punktu układu, a zaciski końcowe — do drugiego. Jeśli do zacisków układu doprowadzone jest napięcie U, to napięcie to wystąpi na okładzinach wszystkich kondensatorów.

Ponieważ

kondensatory

mają

różne

pojemności,

to

zgromadzony jest na nich różny ładunek

Q1 = C1U

Q2 = C2U …

Qn = C nU

(6.45)

Ładunek wypadkowy Q układu jest równy sumie ładunków poszczególnych kondensatorów

Q = Q1 + Q2 + ...Qn

(6.46)

co można również napisać

Marek

Pilawski

Strona 321

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki CU = C1U 1 + C 2U 2 + ...C nU n

(6.47)

C — pojemność zastępcza (wypadkowa) układu.

Rys. 6.40 Równoległy układ połączeń kondensatorów

Pojemność

zastępcza

(wypadkowa)

równoległego

układu

połączeń

kondensatorów wyraża się zatem wzorem

C = C1 + C 2 + ...C n Pojemność

zastępczą mieszanego

(6.48)

układu połączeń kondensatorów można

obliczyć traktując go na przemian jako układ szeregowego i równoległego połączenia tych kondensatorów. Przykład 6.20 W mieszanym układzie połączeń kondensatorów (rys. 6.41) wyznaczyć spadek napięcia U1 na kondensatorze C1 spadek napięcia U2 na równolegle połączonych kondensatorach C2 i C3 oraz ładunki Q1, Q2 i Q3 zgromadzone na okładzinach kondensatorów, jeśli cały układ zasilany jest napięciem U = 6 V, a pojemności poszczególnych kondensatorów: C1 = 1 µF, C2 = 2 µF, C3 = 3 µF. Wyznaczyć również pojemność zastępczą układu.

Pojemność zastępcza kondensatorów C2 i C3

Rys. 6.41 Mieszany układ połączeń kondensatorów

C 2,3 = C 2 + C 3 Pojemność zastępcza całego układu

1 1 1 = + C C1 C 2,3 C=

C1 (C 2 − C3 ) C1 + C 2 + C3

Uwzględniając wartości liczbowe

Marek

Pilawski

Strona 322

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki C=

5 µF 6

Ładunki elektryczne skupione na kondensatorach o pojemnościach C1 i C2,3 są sobie równe (szeregowe połączenie kondensatorów), a zatem

C1U 1 = C 2,3U 2 jednocześnie

U1 + U 2 = U Powstał więc układ równań, w którym

U1 = U

C 2 + C3 C1 + C 2 + C3

U2 =U

C1 C1 + C 2 + C3

Uwzględniając wartość napięcia U i wartości pojemności kondensatorów uzyskuje się Ul = 5 V, U2 = l V. Ładunki elektryczne, obliczone ze wzorów:

Q1 = C1U 1

Q2 = C2U 2

Q3 = C3U 3

Q2 = 2µC

Q3 = 3µC

są odpowiednio równe :

Q1 = 5µC

6.3.2 Kondensator idealny a kondensator rzeczywisty Omawiając budowę i przeznaczenie kondensatorów przyjęliśmy założenie, że są to kondensatory idealne, czyli takie, które cechuje jedynie pojemność. Obecnie

wiemy,

że

wszystkie

układy

dwuelektrodowe

cechuje,

oprócz

pojemności, także rezystancja. Związek między pojemnością i rezystancją wykazaliśmy omówienia

wyprowadzając właściwości

wzór

(6.40).

kondensatorów

Zanim

jednak

rzeczywistych,

przejdziemy

omówmy

do

najpierw

zachowanie się kondensatorów idealnych włączonych w obwód elektryczny. Jak wiadomo, na okładzinach kondensatora, do którego doprowadzono napięcie u*, zgromadzony jest ładunek elektryczny proporcjonalny do pojemności kondensatora

q = Cu

(6.49)

Korzystając z zależności między prądem i ładunkiem elektrycznym q

i=

Marek

Pilawski

dq dCu = dt dt

(6.50)

Strona 323

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki i=C

du dC =u dt dt

(6.51)

du dC — prędkość zmian napięcia, prędkość zmian pojemności. dt dt Lewa strona równania oznacza prąd płynący przez kondensator. Prąd ten może płynąć tylko wtedy, gdy do okładzin kondensatora doprowadzone jest napięcie

 du  ≠ 0  lub też może on płynąć pod wpływem napięcia stałego, ale  dt 

zmienne 

 dC ≠ 0 przypadek  dt

wtedy pojemność kondensatora musi się zmieniać w czasie 



kondensatora obrotowego  .



Pojemność kondensatora zależy od jego rozmiarów. Wymiary geometryczne kondensatora mogą ulegać zmianie pod wpływem sił mechanicznych. Dlatego też prąd u

dC nazywa się prądem elektrycznym pochodzenia mechanicznego. W dt

większości układów elektrycznych wykorzystuje się jednak kondensatory stałe, stąd też w naszych rozważaniach będziemy uwzględniali tylko prąd płynący pod wpływem napięcia zmiennego, czyli prąd dany wyrażeniem * Wielkości zmienne w czasie oznacza się małymi literami.

i=C

du dt

(6.52)

Jest to prąd w dielektryku idealnym, czyli prąd przesunięcia (patrz p. 5.4.1). Jest on wynikiem polaryzacji dielektryka, którym może być na przykład powietrze lub próżnia, a wartość prądu jest proporcjonalna do szybkości zmian napięcia elektrycznego. Napięcie zmienne, które jest najczęściej stosowane w układach elektrycznych, jest napięciem przemiennym sinusoidalnym

u = U m sin ωt

(6.53)

Um — amplituda napięcia, ω — częstość jego zmian (pulsacja). Ponieważ

du = ωU m cos ωt dt

Marek

Pilawski

(6.54)

Strona 324

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki to zgodnie z wzorem (6.52) wartość chwilowa prądu

i = ωCU m cos ωt

(6.55)

Prąd i jest prądem ładowania i rozładowania kondensatora. Z porównania wzorów (6.53) i (6.55) wynika, że przebieg wartości chwilowej prądu ładowania jest przesunięty w fazie o 90° względem przebiegu wartości chwilowej napięcia na kondensatorze. Na wykresie wektorowym (rys. 6.426) fakt ten jest zilustrowany wektorem I prostopadłym do wektora U. Przy tworzeniu wykresów wektorowych przyjęto umownie przeciwny do ruchu wskazówek zegara kierunek wzrostu kątów między wektorami. Wektorem, względem którego odmierza się kąty, jest wektor prądu. W kondensatorze idealnym, poddanym działaniu wymuszenia sinusoidalnego, przebieg prądu wyprzedza w fazie o 90° przebieg napięcia lub też — co jest równoznaczne — przebieg napięcia opóźnia się w fazie o 90° względem przebiegu prądu.

Rys. 6.42 Kondensator idealny: a) schemat zastępczy; b) wykres wektorowy prądu i napięcia

Kondensator idealny można sobie wyobrazić jako kondensator próżniowy, tzn. taki, którego okładziny ograniczają przestrzeń pozbawioną cząstek materii. Próżnię uważa się za doskonały dielektryk. W dielektryku takim nie ma strat energii. Jednak może się zdarzyć, że pod wpływem odpowiednio wysokiego na pięcia elektron zostanie wyrwany z powierzchni jednej elektrody i przeskoczy na drugą. Powstały w ten sposób „prąd strat" nie jest oczywiście wynikiem zmiany właściwości

próżni.

Przesunięcie

fazowe

między

napięciem

i

prądem

w

kondensatorze (rys. 6.43) zależy od wielu właściwości kondensatora. Wartość maksymalna prądu pojemnościowego jest określona zależnością

Marek

Pilawski

Strona 325

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki I m = ωCU m

(6.56)

co wynika wprost ze wzoru (6.55). Zależność (6.56) podaje związek między prądem i napięciem, z którego, na podstawie prawa Ohma, można wyznaczyć „opór" elementu pojemnościowego zwany reaktancją

XC =

Um 1 = I m ωC

(6.57)

Reaktancją kondensatora jest reaktancją pojemnościową (kapacytancją). Jest ona odwrotnie proporcjonalna do częstości wielkości wymuszającej i pojemności

kondensatora.

Reaktancję

pojemnościową

można

również

przedstawić w zależności od wartości skutecznej U napięcia na kondensatorze przy danej wartości skutecznej I prądu ładowania

XC =

U I

(6.58)

Rys. 6.43 Przebiegi wartości chwilowych w kondensatorze idealnym: a) prądu i napięcia; b) mocy; c) energii pola elektrycznego

Przepływ prądu przez kondensator pod wpływem wymuszenia sinusoidalnego sugeruje, że pobiera on ze źródła moc. Wartość chwilowa mocy

p = ui = U m I m sin ωt cos ωt

(6.59)

Po wykonaniu elementarnych przekształceń widać, że moc chwilowa

p = UI sin 2ωt

(6.60)

jest funkcją sinusoidalną o podwójnej częstości w stosunku do częstości prądu lub napięcia. Przebieg wartości chwilowej mocy ukazany na rys. 6.43b jest

Marek

Pilawski

Strona 326

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki antysymetryczny i jego wartość średnia, liczona za okres zmienności prądu lub napięcia, jest równa zero. Oznacza to, że kondensator idealny nie pobiera ze źródła mocy czynnej. W okresie, gdy p = ui > 0, kondensator pobiera ze źródła moc, lecz w następnym przedziale czasu, gdy p = ui < 0, moc tę, w równej ilości, do źródła oddaje. Między źródłem a kondensatorem zachodzi więc proces oscylacji (wymiany) energii, przy czym ta wymiana energii odbywa się bez strat. Elementy, które nie pobierają ze źródła mocy czynnej nazywają się elementami reaktancyjnymi lub elementami biernymi. W elementach reaktancyjnych żadna część energii nie ulega przemianie w energię cieplną. Element reaktancyjny pojemnościowy jest źródłem pola elektrycznego, którego energia — wzór (6.36)

1 WC (t ) = Cu 2 2 przy założeniu zmian sinusoidalnych napięcia

1 WC (t ) = CU m2 sin 2 ωt 2

(6.61)

1 WC (t ) = CU 2 (1 − cos 2ωt ) 2

(6.62)

co można również zapisać

Energia pola elektrycznego nie zależy od kierunku przyłożonego napięcia i ma zawsze wartość dodatnią (rys. 6.43c). Wykres czasowy energii pola elektrycznego jest w tym przypadku przebiegiem o częstości podwójnej, w stosunku do częstości zmian napięcia lub prądu, o wartości średniej

1 WC = CU 2 2

(6.63)

Wartość średnia energii jest równa wartości składowej stałej energii opisanej wzorem (6.62). Największa wartość energii pola elektrycznego występuje w chwili, gdy napięcie na okładzinach kondensatora osiąga swą wartość największą Um, a prąd — wartość zerową. Wartość najmniejsza przypada w chwili, gdy u = 0, a i = Im. Rozważając właściwości kondensatora idealnego przyjęliśmy, że jest to taki

Marek

Pilawski

Strona 327

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki kondensator, w którym płynie tylko prąd przesunięcia, który dalej będziemy nazywać, nie wnikając w zjawiska fizyczne, prądem pojemnościowym lub ogólniej — prądem biernym. O dielektryku takiego kondensatora można powiedzieć, że jest dielektrykiem idealnym, tzn. takim, którego rezystancja jest nieskończenie

wielka.

W

kondensatorach

rzeczywistych

rezystancja

dielektryków jest bardzo duża, ma jednak zawsze wartość skończoną i dającą się ściśle określić. W związku z tym przez kondensator rzeczywisty będą płynęły jakby dwa prądy: prąd pojemnościowy (bierny) i prąd czynny zwany też prądem skrośnym lub prądem upływu, płynący przez rezystancję, jaką stanowi dielektryk. Prąd pojemnościowy ładuje lub rozładowuje kondensator, a prąd czynny jest źródłem ciepła wydzielającego się w dielektryku. Stosownie do zjawisk występujących w kondensatorach rzeczywistych ich schematy zastępcze zawierają rezystor połączony równolegle z kondensatorem idealnym (rys. 6.44), albo szeregowo (rys. 6.45). Rezystor reprezentuje straty mocy na ciepło, a więc kondensator rzeczywisty jest kondensatorem ze stratami. Schemat zastępczy równoległy (rys. 6.44) uwzględnia składową czynną IR i składową bierną IC prądu I płynącego przez kondensator (patrz dodatek A6). Prąd IC, jak wiadomo, wyprzedza napięcie w fazie o kąt 90°, a prąd IR jest zgodny w fazie z napięciem U (rys. 6.44b). Z wykresu wektorowego prądów i napięć wynika, że prąd I jest określony wzorem

I 2 = I R2 + I C2

(6.64)

i wyprzedza napięcie o kąt φ < 90°. Kąt φ i związany z nim kąt δ (δ = 90° - φ) służą do określania jakości kondensatorów rzeczywistych. Do określania jakości kondensatorów częściej używa się jednak kąta δ. Im kąt δ jest mniejszy, tym kondensator jest lepszy, właściwościami bardziej zbliżony do idealnego. Z wykresu wektorowego wynika, że

tgδ =

IR IC

IR =

U Rr

co po uwzględnieniu

Marek

Pilawski

Strona 328

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki IC =

przyjmuje postać

tgδ =

U = ωCU XC 1

(6.65)

R r ωC

Rr — rezystancja rezystora w schemacie zastępczym równoległym kondensatora.

Rys. 6.44 Kondensator rzeczywisty: a) schemat zastępczy równoległy; b) wykres wektorowy prądów i napięć

Kąt δ nazywa się kątem strat dielektrycznych, kątem strat lub kątem stratności, a tgδ określony wzorem (6.65) — współczynnikiem strat dielektrycznych lub po prostu — współczynnikiem strat. Między parametrami R i C tego samego elementu zachodzi związek — wzór (6.40)

RC = ρε Współczynnik strat dielektrycznych można więc przedstawić w postaci

tgδ =

1

(6.66)

ρεω

zależnej nie od parametrów elementu, a jedynie od stałych materiałowych. Nosi wtedy nazwę współczynnika stratności. Współczynnik strat i współczynnik stratności jest określony tym samym kątem. Schemat zastępczy szeregowy kondensatora rzeczywistego (rys. 6.45) jest równoważny

schematowi

zastępczemu

równoległemu.

Przepływ

prądu

wymuszonego I przez układ szeregowy wywołuje spadek napięcia czynnego (składowej czynnej) UR związanego ze zjawiskiem upływu oraz spadek napięcia

Marek

Pilawski

Strona 329

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki na kondensatorze idealnym, czyli napięcie bierne (składową bierną) UC. Napięcie czynne jest zgodne w fazie z prądem, natomiast napięcie bierne jest opóźnione w fazie względem prądu o kąt 90° (rys. 6.45b). Z wykresu wektorowego prądów i napięć widać, że napięcie U2 na elemencie jest określone wzorem

U 2 = U R2 + U C2

(6.67)

i opóźnia się względem prądu o kąt φ < 90°. Podobnie jak poprzednio, kąt δ służy do określenia jakości kondensatora. W tym przypadku

tgδ =

UR UC

co po uwzględnieniu UR = RSI

UC = UC I =

I ωC

przyjmuje postać

tgδ = RS ωC

(6.68)

RS — rezystancja rezystora w schemacie zastępczym szeregowym kondensatora.

Rys. 6.45 Kondensator rzeczywisty : a) schemat zastępczy szeregowy; b) wykres wektorowy prądu i napięć

Wartości współczynnika strat dielektrycznych określone wzorami (6.65) i (6.68) są takie same, gdyż dotyczą tego samego elementu. Wynika stąd, że przy dużej wartości

rezystancji

rezystora

Rr

w

schemacie

zastępczym

równoległym

kondensatora rzeczywistego, rezystancja Rs w jego schemacie zastępczym szeregowym jest mała. Za kondensator idealny można więc uważać taki kondensator, którego rezystancja Rr → ∞ lub rezystancja Rs → 0, zależnie od przyjętego schematu zastępczego.

Marek

Pilawski

Strona 330

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Kondensator idealny jest elementem czysto pojemnościowym, a przepływowi prądu przemiennego stawia on „opór" wyłącznie reaktancyjny — patrz wzór (6.57).

Opór

kondensatora

rzeczywistego

różni

się

od

reaktancji

pojemnościowej, gdyż musi on uwzględniać rezystancję odpowiedzialną za straty. „Opór” całkowity, który uwzględnia wartości reaktancji i rezystancji elementów oraz ich sposób połączeń nazywa się impedancją. Kondensatory rzeczywiste charakteryzuje więc impedancja (patrz dodatek A). W elementach idealnych impedancja jest równa tylko reaktancji lub tylko rezystancji. Obliczmy impedancję kondensatora (dodatek A5) wynikającą z jego schematu zastępczego równoległego (rys. 6.44a). W tym celu wzór (6.64) przepiszemy w postaci 2

U   U   =   Z   Rr

2

  U  +    XC

  

2

(6.69)

Z — impedancja układu równoległego RrC. Po przekształceniu*

Z=

Rr2 X C2 Rr2 + X C2

(6.70)

W podobny sposób można obliczyć impedancję kondensatora wynikającą z jego schematu zastępczego szeregowego (rys. 6.45b). W tym celu wzór (6.67) należy napisać w postaci

(IZ )2 = (IRS )2 + (IX C )2

(6.71)

Z— impedancja układu szeregowego RSC.

* Wzór (6.70) jest słuszny również dla połączenia równoległego dwóch elementów: rezystora i kondensatora, w którym straty można pominąć. ** Wzór (6.72) jest również słuszny dla połączenia szeregowego dwóch elementów: rezystora i kondensatora, w którym straty można pominąć.

Po przekształceniu**

Z = RS2 + X C2

(6.72)

W przypadku kondensatora idealnego Z = XC, gdyż albo Rr → ∞, albo RS → 0. Jak już wykazano wcześniej, idealny element reaktancyjny pojemnościowy nie pobiera ze źródła mocy. Rzeczywisty element reaktancyjny pojemnościowy

Marek

Pilawski

Strona 331

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki pobiera ze źródła pewną moc, która zamienia się na ciepło w dielektryku. Rozpatrzmy przebiegi wartości chwilowych prądu i napięcia w kondensatorze rzeczywistym (rys. 6.46). Prąd wyprzedza napięcie o kąt φ < 90°. Stąd też, jeśli u = Umsin ωt, to i = Imsin(ωt+φ), a wartość chwilowa mocy (rys. 6.46b)

p = ui = U m I m sin ωt sin(ωt + ϕ )

(6.73)

Po wykonaniu elementarnych przekształceń trygonometrycznych

p = UI cos ϕ − UI cos( 2ωt + ϕ )

(6.74)

Pierwszy składnik prawej strony równania ma wartość stałą, niezależną od czasu oznacza wartość średnią Pśr przebiegu wartości chwilowych mocy, a zarazem — moc czynną P pobieraną przez element

P = Pśr = UI cos ϕ

(6.75)

Moc czynna nie ma charakteru oscylacyjnego i nie ulega wymianie między odbiornikiem i elementem, jest mocą traconą w kondensatorze wydzielaną w postaci ciepła w dielektryku. Jest to związane z rezystancyjnymi właściwościami kondensatora rzeczywistego. Drugi czynnik o częstości podwojonej w stosunku do częstości napięcia i prądu jest okresowo zmienny, a jego wartość średnia jest równa zeru. Składowa zmienna mocy chwilowej przebiega częściowo w zakresie ujemnych wartości p, a ze względu na jej niesymetryczny przebieg względem osi odciętych można powiedzieć, że kondensator pobiera ze źródła więcej mocy, niż jej oddaje. Moc czynną pobieraną przez kondensator uzależnia się często od kąta stratności δ. Ponieważ φ = 90°— δ, można napisać

P = UI sin δ

(6.76)

Dla małych kątów δ (tgδ ≈ 10-4) można przyjąć, że sinδ = tgδ, a zatem

P = UItgδ

(6.77)

W przypadku schematu zastępczego równoległego kondensatora dla małych kątów δ można również przyjąć, że

I = I C = ωCU

(6.78)

P = ωCU 2 tgδ

(6.79)

a zatem ostatecznie

Marek

Pilawski

Strona 332

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.46 Przebiegi wartości chwilowych w kondensatorze rzeczywistym: a) prądu i napięcia; b) mocy

Ten sam wzór określający straty mocy otrzymamy w przypadku schematu zastępczego szeregowego, jeśli tylko dla małych kątów δ przyjmiemy, że

U C ≈ U i I ≈ ωCU Moc czynna lub inaczej straty mocy określone wzorami (6.75) lub (6.79) musi być oczywiście równa mocy rozproszonej na rezystorach Rr lub Rs

P=

U2 = RS I 2 Rr

(6.80)

Wartość mocy czynnej P (traconej) założy od iloczynu trzech czynników: U, I oraz cos φ. Dla idealnego elementu biernego (φ = 90°) P = 0. Natomiast dla idealnego elementu czynnego P = UI. Pojęcie mocy czynnej odnosi się do elementu czynnego. Podobnie dla elementu biernego wprowadza się pojęcie mocy biernej Q określonej wzorem

Q = UI sin ϕ

(6.81)

Moc bierna jest parametrem określającym właściwości energetyczne elementu biernego idealnego. Element bierny idealny (φ = 90°) pobiera ze źródła tylko moc bierną, przy czym Q = UI. W przypadku kondensatora idealnego φ = -90°, dlatego też

Q = −UI

(6.82)

Mówi się zatem, że kondensator idealny jest generatorem mocy biernej i wysyła ją do źródła. Moc bierna i moc czynna są wielkościami fizycznymi współzależnymi od siebie.

Marek

Pilawski

Strona 333

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Obydwie one są określone wielkościami U i I oraz funkcją tego samego kąta. Ponieważ sin2 φ + cos2 φ = 1, można napisać (patrz dodatek A7)

Q 2 + P 2 = (UI )

2

(6.83)

Wielkość UI = S nazywa się mocą pozorną. Moc pozorna jest parametrem określającym

właściwości

energetyczne

elementu

biernego

rzeczywistego.

Element bierny rzeczywisty pobiera ze źródła moc bierną i moc czynną. Ogólnie — element bierny rzeczywisty pobiera ze źródła moc pozorną S, przy czym

S 2 = Q2 + P2

(6.84)

Można też powiedzieć, że moc pozorna jest mocą wydzielaną na impedancji, moc czynna — mocą wydzieloną na elemencie rezystancyjnym, a moc bierna — elemencie reaktancyjnym. Jeśli zestawi się wzory

S = ZI 2

Q = XI 2

P = RI 2

(6.85)

to widać, że formalnie zależności (6.84) odpowiada wzór (6.72). Moc czynną wyraża się w watach (W), natomiast moc bierną — w warach (var), a moc pozorną — w woltoamperach (V ⋅ A). Kondensatory znajdują zastosowanie w układach elektrycznych prądu stałego (p. 6.3.3) oraz obwodach prądu przemiennego (p. 6.5; 6.8.2; 6.8.5). W elektroenergetyce stosuje się je głównie do kompensacji mocy biernej (p.9.1) i do grzania pojemnościowego. Grzanie pojemnościowe stosuje się wówczas, gdy pojawia się konieczność nagrzania całej objętości materiałów nieprzewodzących (dielektryków). Odbywa się ono w piecach pojemnościowych. Piec pojemnościowy (rys. 6.47) jest to po prostu duży kondensator płaski, którego elektrody zasila się z generatora elektronicznego dużej mocy i wielkiej częstotliwości. Nagrzewany materiał nieprzewodzący umieszcza się między elektrodami. Do celów grzejnictwa pojemnościowego stosuje się napięcie o częstotliwości 13,56;

27,12;

40,68

MHz. Inne częstotliwości pracy, zgodnie z międzynarodowym porozumieniem, są zabronione i zastrzeżone dla radiowych stacji nadawczych. Moc czynna prądu elektrycznego ogrzewającego dielektryk wyraża się wcześniej już poznanym wzorem (6.79) P = ωCU2 tgδ.

Marek

Pilawski

Strona 334

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.47 Schemat budowy pieca pojemnościowego

Pojemnościowe urządzenia grzejne stosuje się w przemyśle do suszenia drewna, przyspieszania procesu sklejania sklejek, do suszenia rdzeni formierskich, wełny, tytoniu, sterylizacji produktów żywnościowych, np. mleka itp. Zjawisko

nagrzewania

pojemnościowego

można

wykorzystać

również

w

zgrzewarkach pojemnościowych. Zgrzewarki takie są przeznaczone do zgrzewania syntetycznych materiałów termoutwardzalnych. Napięcie zasilające piec lub zgrzewarką pojemnościową musi być niższe od napięcia przebicia materiału obrabianego. Wydzielającą się przy tym moc można dobierać, stosownie do potrzeb technologii, zmieniając częstotliwość napięcia.

6.3.3 Stany nieustalone w obwodach RC przy wymuszeniu stałym Większość obwodów elektrycznych stosowanych w elektrotechnice pracuje w stanie ustalonym, przy czym jest to ich normalny reżim pracy. Stan ustalony jest to taki stan obwodu, w którym przebiegi wartości chwilowych prądów i napięć odpowiadają wymuszeniu zewnętrznemu. Na przykład — jeśli napięcie wymuszające jest stałe, to prądy i napięcia w obwodzie, w dowolnym jego miejscu, w stanie ustalonym, są również stałe. Jeśli natomiast wymuszenie jest sinusoidalne, to w tym stanie również napięcia i prądy

w

elementach

obwodu

mają

charakter

także

sinusoidalny.

Stan

nieustalony występuje wtedy, gdy zmienią się warunki fizyczne pracy obwodu. Obwód przechodzi wtedy do nowego stanu ustalonego. Stan nieustalony jest to stan obwodu w czasie jego przejścia od jednego do innego stanu ustalonego. Zmiana warunków fizycznych pracy obwodu może być wywołana włączeniem lub

Marek

Pilawski

Strona 335

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wyłączeniem napięcia, włączeniem lub wyłączeniem prądu, zwarciem lub przerwaniem obwodu, a także zmianą napięcia zasilającego lub np. zmianą parametrów elementów obwodu. Stan nieustalony rozpoczyna się w chwili zmiany warunków fizycznych pracy obwodu i trwa przez czas zależny od parametrów elementów obwodu i sposobu ich połączenia. W przypadku zmiany warunków pracy obwodu obowiązują prawa komutacji. Prawa komutacji dotyczą zjawisk łączeniowych i przełączeni owych w obwodach elektrycznych i są omówione w p. 7.2. W przypadku obwodów RC prawo komutacji głosi, że napięcie elektryczne i ładunek kondensatora w chwili komutacji zachowują wartości poprzednie. Gdyby tak nie było, to energia zmagazynowana w polu elektrycznym musiałaby zmienić się skokowo, w jednej chwili. Wymagałoby to nieskończenie wielkiej mocy. Badając stany nieustalone w obwodach elektrycznych przyjmuje się, że rzeczywisty stan nieustalony jest wynikiem nałożenia się dwóch stanów: nowego stanu

ustalonego,

odpowiadającego

nowemu

wymuszeniu

i

stanu

przejściowego, będącego wyrazem dopasowywania się obwodu do nowych warunków pracy. Odpowiednio do tego, w przebiegach elektrycznych prądów i napięć wyróżnia się przebiegi wymuszone (ustalone) oraz przebiegi swobodne

(przejściowe). Przebiegi swobodne są wynikiem „sprzeciwu”

obwodu wobec zmian warunków fizycznych i w chwili komutacji są skierowane przeciwnie do przebiegów wymuszonych. W miarę upływu czasu „sprzeciw” obwodu jest coraz mniejszy i ustalają się w nim przebiegi odpowiadające stanowi ustalonemu przy danym rodzaju wymuszenia. Stany nieustalone występują we wszystkich obwodach elektrycznych. Obecnie omówmy

stan

nieustalony

kondensatora

rzeczywistego

oraz

dwójnika

szeregowego RC włączanego w obwód prądu stałego (ładowanie kondensatora) lub dwójnika RC zwieranego (rozładowanie kondensatora). Włączenie napięcia stałego do dwójnika szeregowego RC W

dwójniku szeregowym RC (rys. 6.48)

suma spadku napięcia uC

na

kondensatorze i napięciu uR na rezystorze jest równa, zgodnie z napięciowym

Marek

Pilawski

Strona 336

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki prawem Kirchhoffa, stałemu napięciu wymuszenia U

u C + Ri = U

(6.86)

Ponieważ — patrz wzór (6.52)

i=C

du C dt

(6.87)

to równanie (6.86) przybiera postać

u C + RC

du C =U dt

(6.88)

duC — szybkość zmian napięcia na kondensatorze. dt

Rys. 6.48 Obwód szeregowy RC włączony w obwód prądu stałego

Jeżeli w chwili komutacji (t = 0) kondensator nie był naładowany, to uC (0) = 0, a przebieg zmienności napięcia na kondensatorze opisuje funkcja (patrz dodatek E)

u C = U − Ue

−

t RC

(6.89)

Przebieg rzeczywisty napięcia uc na kondensatorze w stanie nieustalonym składa się; ze składowej wymuszonej i składowej swobodnej

uC = u w + u s

(6.90)

W tym przypadku składowa wymuszona uw = U, a składowa swobodna u S = −Ue

−

t RC

→ 0 (rys. 6.49a). Widać, że w chwili

początkowej uS (0) + uw (0) = 0. Składową wymuszoną ,odpowiadającą stanowi ustalonemu, łatwo jest wyznaczyć. W układzie zasilanym ze źródła napięcia stałego w stanie ustalonym wszystkie prądy i napięcia będą też stałe (wyjątek stanowią układy generatorów i obwody rezonansowe). W szczególności prąd i będzie stały, a że przez kondensator prąd stały płynąć nie może, więc prąd ustalony będzie zerowy i = 0. Napięcie uR = 0, i całe napięcie U w stanie ustalonym wystąpi na kondensatorze, uC = U. Przebiegi wymuszone prądu i napięcia, odpowiadające stanowi ustalonemu,

Marek

Pilawski

Strona 337

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki można

wyznaczyć

również

analitycznie

korzystając

z

równania

(6.89).

Teoretycznie stan ustalony następuje po czasie t → ∞. Z równania (6.89) wynika, że przy t → ∞

Rys. 6.49 Ładowanie kondensatora. Przebieg wartości chwilowych: a) składowej wymuszonej uw i składowej swobodnej uS napięcia na kondensatorze; b) napięcia na kondensatorze

Ue

−

t RC

→0

a więc napięcie na kondensatorze przyjmuje wartość ustaloną uC = U równe składowej wymuszonej napięcia. Składowe przejściowe prądów i napięć zanikają teoretycznie po czasie t → ∞, jednak szybkość zaniku tych składowych nie zależy od wartości działającego wymuszenia,

a

jedynie

od

parametrów

obwodu.

Dlatego

też

składowe

przejściowe noszą często nazwę składowych swobodnych. Przebieg rzeczywisty napięcia uC (rys. 6.496) jest bardzo charakterystyczny, typowy

dla

większości

eksponencjalnego.

stanów

Przebieg

nieustalonych

eksponencjalny

i

nosi

napięcia

nazwę na

przebiegu

kondensatorze

charakteryzuje parametr

β=

1 zwany współczynnikiem tłumienia oraz parametr RC

τ = RC

(6.91)

zwany stałą czasową. Stała czasowa, mająca wymiar czasu, charakteryzuje tu szybkość narastania napięcia. Wyrażając rezystancję w omach (Ω) i pojemność w faradach (F) otrzymuje się stałą czasową w sekundach (s).

Marek

Pilawski

Strona 338

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Prąd w stanie nieustalonym ładowania kondensatora przez rezystor R, wyznacza się ze wzoru (6.87). W tym przypadku t

i=

U − RC e R

(6.92)

Prąd ładowania kondensatora (rys. 6.50) ma przebieg wykładniczy malejący ze stałą czasową τ = RC. Stałą czasową można wyznaczyć w sposób geometryczny. W tym celu należy narysować styczną do krzywej w punkcie określonym przez t = 0 i poprowadzić ją do punktu przecięcia z prostą odwzorowującą przebieg ustalony. W przypadku napięcia ładowania kondensatora (rys. 6.49b) będzie to prosta uC = U, a w przypadku prądu ładowania (rys. 6.50) — prosta iC = 0. Współrzędna t punktu przecięcia równa jest stałej czasowej obwodu. Stała czasowa jest dla danego obwodu wielkością stałą, zależną od konfiguracji połączeń elementów i ich parametrów charakterystycznych, nie zależy natomiast od wartości działającego wymuszenia (rys. 6.51). W przypadku stosowania wymuszeń o coraz większej wartości (U2 > U1 rys. 6.51) wzrasta szybkość narastania napięcia, ale stała czasowa pozostaje niezmieniona. Na stałą czasową w istotny sposób ma wpływ wartość iloczynu parametrów R i C układu połączeń szeregowego kondensatora i rezystora (rys. 6.52). Taką samą stałą czasową i w konsekwencji

takimi

samymi

przebiegami

prądów

i

napięć,

mogą

się

charakteryzować obwody o małej rezystancji i dużej pojemności oraz obwody o dużej rezystancji i małej pojemności. Zwarcie w obwodzie szeregowym RC Rozpatrywanie zjawisk zwarciowych w dwójniku szeregowym RC rozpoczynamy od chwili, gdy kondensator jest naładowany do napięcia U, a łącznik S zwiera obwód (rys. 6.53). W obwodzie nie ma zewnętrznego źródła napięcia, a zatem zgodnie z napięciowym prawem Kirchhoffa

Marek

Pilawski

Strona 339

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.50 Przebieg wartości chwilowej prądu ładowania kondensatora

Rys. 6.51 Przebiegi wartości chwilowych napięcia na kondensatorze dołączonym do źródeł napięcia stałego o wartościach U1 i U2 (U1 < U2)

Rys. 6.52 Przebiegi wartości chwilowych napięcia na kondensatorach o różnych stałych czasowych, dołączonych do tego samego źródła napięcia stałego

Rys. 6.53 Obwód szeregowy RC rozładowania kondensatora

uC + u R = 0 Ponieważ u R = Ri, i = C

(6.93)

du C wzór (6.87) dt u C = RC

du C dt

(6.94)

Przebieg zmienności napięcia na kondensatorze, przy założeniu, że w chwili początkowej uC (0) = U, opisuje zatem funkcja (patrz dodatek E)

u C = Ue

Marek

Pilawski

−

t RC

(6.95)

Strona 340

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki a na rezystorze

u R = −u C = −Ue

−

t RC

(6.96)

Przebieg prądu rozładowania kondensatora przedstawiono na rys. 6.54b, a jego wartość oblicza się ze wzoru t

du u U − i = i R = iC = R = C C = e RC R dt R

(6.97)

Rys. 6.54 Rozładowanie kondensatora w obwodzie szeregowym RC. Przebiegi wartości chwilowych: a) napięć; b) prądu rozładowania. Widać, że zgodnie z prawem komutacji napięcie i ładunek na kondensatorze w chwili komutacji (t = 0) zachowują swe wartości poprzednie. Prąd w układzie może zmieniać się skokowo

Energia

prądu

rozładowania

kondensatora

uchodzi

do

otoczenia

(jest

rozpraszana) w postaci ciepła Joule'a-Lenza. Naładowany

kondensator

jest

w

obwodach

elektrycznych

źródłem

siły

elektromotorycznej. Stan naładowania kondensatora może utrzymywać się długo, jeśli obwód, do którego jest włączony, jest rozwarty lub cechuje się bardzo dużą rezystancją. Wiedzą o tym dobrze na przykład radiotechnicy, którzy naprawiają

odbiorniki

radiowe,

telewizory

lub

inny

sprzęt

elektroniczny.

Ponieważ napięcie na kondensatorze może być groźne dla obsługi, przed przystąpieniem do naprawy „rozbrajają” kondensatory. Polega to na tym, że za pomocą kawałka drutu, zamocowanego na izolacyjnym uchwycie, zwierają jego okładziny powodując krótkotrwały przepływ prądu zwarciowego i gwałtowny spadek napięcia na okładzinach kondensatora.

Marek

Pilawski

Strona 341

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 6.21 Kondensator o pojemności C skupia na swych okładzinach ładunek elektryczny Q. Omówić zjawiska związane ze stanem nieustalonym wywołanym dołączeniem równolegle do tego kondensatora innego kondensatora, nie naładowanego, również o pojemności C (rys. 6.55). Kondensator o pojemności C, skupiający ładunek Q, gromadzi energię

W1 = Dołączenie

do

jego

zacisków

Q2 2C

innego

kondensatora,

nie

naładowanego,

spowoduje przepływ ładunku elektrycznego od kondensatora naładowanego do nie naładowanego. Ruch ładunków jest związany ze stanem nieustalonym, który ustanie po naładowaniu się drugiego kondensatora. Ze względu na równość pojemności obu kondensatorów, drugi kondensator uzyska ładunek

1 Q i taki 2

sam ładunek pozostanie na pierwszym kondensatorze. W nowym stanie ustalonym, po połączeniu kondensatorów, ich energia 2

2

1  1   Q  Q Q2 2  2   W2 = + = 2C 2C 4C

Rys. 6.55 Naładowany kondensator o pojemności naładowanym kondensatorem, również o pojemności C

C

bocznikowany

innym

nie

Widać więc, że energia układu kondensatorów zmniejszyła się dwukrotnie w stosunku do energii kondensatora pojedynczego. Strata energii wywołana komutacją (procesami łączeniowymi) związana jest z krótkookresowym przepływem prądu rozładowania pierwszego kondensatora i prądu ładowania drugiego kondensatora. Prąd ten powoduje nagrzewanie dielektryków.

Część

energii

zostaje

wypromieniowana

w

postaci

fali

elektromagnetycznej, gdyż omawiany obwód dla bardzo szybkich zmian prądu (brak elementów rezystancyjnych, skrajnie mała stałą czasowa obwodu) zachowuje się jak odcinek linii długiej (patrz p. 9.2).

Marek

Pilawski

Strona 342

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 6.22 Wyznaczyć wartość napięcia na kondensatorze, ładowanym ze źródła napięcia stałego, po czasie równym stałej czasowej obwodu ładowania.

Napięcie na kondensatorze ładowanym napięciem U jest funkcją czasu — wzór (6.89) t −  RC  u C = U 1 − e 

   

Po czasie t = τ = RC

uC 1 = 1− U e Uwzględniając, że e = 2,718 otrzymuje się

uC = 0,63. U

Po czasie równym stałej czasowej napięcie na kondensatorze ładowanym napięciem stałym osiąga ok. 63% wartości maksymalnej. Przykład 6.23 Wyznaczyć czas, po którym napięcie na kondensatorze ładowanym ze źródła stałego, nie będzie się różnić od napięcia ustalonego więcej niż o 1%. Do obliczeń przyjąć R = 10 kΩ, C = 1 µF.

Ponieważ t −  RC  u C = U 1 − e 

   

a z założenia t

− uC 99 = 1 − e RC ≤ U 100

skąd

e

−

t RC

≥

1 100

Ostatnią nierówność można przekształcić do postaci t ≥ ln 100 RC

Wynika stąd, że

t

τ

≥ 4,7 , gdzie τ = RC = 10 ⋅ 103 ⋅ 1 ⋅ 10 −6 = 10ms .

W praktyce przyjmuje się, że składowa przejściowa stanu nieustalonego

Marek

Pilawski

Strona 343

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki (składowa swobodna), zanika po czasie ok. 5τ i że po tym czasie obwód znajduje się w nowym stanie ustalonym. W tym przypadku nowy stan ustalony nastąpi po czasie ok. 50 ms. Przykład 6.24 Wykazać, że energia prądu rozładowania kondensatora jest równa energii pola elektrycznego kondensatora naładowanego.

Przyjmując schemat zastępczy obwodu rozładowania kondensatora ukazany na rys. 6.53 można napisać — patrz wzór (6.95) i (6.97)

u R = −Ue

−

t RC

t

iR = −

U − RC e R

Wartość chwilowa mocy na elemencie rezystancyjnym 2t

p = u R iR =

U 2 − RC e R

Całkowitą energię wydzielającą się na elemencie rezystancyjnym w procesie rozładowania kondensatora oblicza się za pomocą całki ∞

Wr = ∫ pdt 0

Granice całkowania określone są przez t = 0 i t → ∞, gdyż w istocie stan nieustalony trwa przez czas nieskończenie długi. Uwzględniając poprzednie zależności ∞

2t

U 2 − RC e dt R 0

Wr = ∫ Wykonując operację całkowania

2t ∞

U 2  RC  − RC Wr = − e R  2 

0

Uwzględniając granice całkowania

1 Wr = CU 2 2 Energia prądu rozładowania kondensatora jest równa energii pola elektrycznego kondensatora naładowanego. Energia prądu rozładowania wydziela się na elemencie rezystancyjnym obwodu rozładowania w postaci ciepła Joule'a-Lenza.

Marek

Pilawski

Strona 344

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 6.25 Obliczyć, jaką część energii traci kondensator rozładowując się w czasie t = τ — RC.

Przyjmując, że kondensator naładowany do napięcia U rozładowuje się przez element o rezystancji R, można napisać

u R = −Ue

−

t RC

t

iR = −

U − RC e R

Wartość chwilowa mocy prądu rozładowania kondensatora

p = u R iR Prąd ten jest źródłem energii RC

Wr =

∫ pdt 0

której wartość oblicza się z całki RC

Wr =

∫ 0

2t

U 2 − RC e dt R

Rozwiązaniem całki jest funkcja 2t RC

U 2  RC  − RC Wr = − e R  2 

0

Uwzględniając granice całkowania

1 1  Wr = CU 2 1 − 2  2  e  Ponieważ

1 WC = CU 2 2 jest energią pola elektrycznego kondensatora naładowanego, więc

Wr 1 = 1 − 2 = 0,865 WC e Naładowany kondensator rozładowujący się w czasie równym stałej czasowej obwodu rozładowania traci 86,5% swej energii.

6.3.4 Stany nieustalone w obwodach RC przy wymuszeniu sinusoidalnym Stan nieustalony obwodów elektrycznych obserwuje się nie tylko przy dołączaniu

Marek

Pilawski

Strona 345

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ich (lub odłączaniu) do źródła prądu stałego, lecz także przy dołączaniu tych obwodów

do

źródła

prądu

przemiennego.

Stan

nieustalony

obwodów

szeregowych RC przy wymuszeniu przemiennym omówimy na przykładzie wymuszenia sinusoidalnego

u = U m sin (ωt + ψ )

(6.98)

gdzie kąt ψ jest fazą początkową określającą wartość napięcia wymuszającego w czasie t = 0. Na podstawie prawa napięciowego Kirchoffa można napisać — patrz wzór (6.86)

u C + Ri = U m sin (ωt + ψ )

(6.99)

Ponieważ

i=C

du C dt

to

u C + RC

du C = U m sin (ωt + ψ ) dt

(6.100)

Prąd w obwodzie RC jest sumą składowej wymuszonej iCw i składowej swobodnej iCs, prądu

i = iCw + iCs

(6.101)

Prąd wymuszony można wyznaczyć wprost z przebiegu napięcia wymuszającego, jest on zgodny co do kształtu przebiegu z napięciem wymuszającym

iCw = I m sin (ωt + ψ + ϕ )

(6.102)

gdzie kąt φ jest kątem przesunięcia fazowego między prądem i napięciem, a Im jest amplitudą prądu wymuszonego, której wartość można obliczyć z prawa Ohma

Im =

Um Z

Z = R2 +

1 ω C2 2

Prąd wymuszony wytwarza na kondensatorze napięcie wymuszone, które zgodnie z prawem Ohma

U Cw = I Cw X C

XC =

1 ωC

jest też opisane zależnością

u Cw =

Im π  sin  ωt + ψ − ϕ −  ωC  2

(6.103)

Składową swobodną uCs napięcia ha kondensatorze oblicza się rozwiązując

Marek

Pilawski

Strona 346

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki równanie (patrz dodatek E)

RC

du C + uC = 0 dt

(6.104)

Rys. 6.56 Przebiegi zmienności napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

Ostatecznie, przy założeniu, że w chwili początkowej kondensator nie był naładowany, napięcie na kondensatorze t

uC = −

− Im I cos(ωt + ψ + ϕ ) + m cos(ψ + ϕ )e RC ωC ωC

(6.105)

gdzie t

u Cs

− I = m cos(ψ + ϕ )e RC ωC

jest składową swobodną tego napięcia a u Cw = −

(6.106)

Im cos(ωt + ψ + ϕ ) jest składową ωC

wymuszoną (rys. 6.56). Jak już wspomniano, przebieg napięcia na kondensatorze jest sumą dwóch przebiegów: sinusoidalnego i zanikającego. Na kondensatorze mogą więc występować przepięcia, czyli napięcia wyższe od napięcia wymuszającego. Przepięcie pochodzi od składowej swobodnej napięcia i z biegiem czasu zanika. Wartość maksymalna przepięcia może wynosić

2I m ≈ 2U m , lecz nie jest nigdy ωC

osiągana, gdyż przy t = 0, uC = 0. Przebieg prądu w obwodzie jest podobny do przebiegu napięcia. Składowa wymuszona prądu dana jest wzorem (6.102), a składową swobodną oblicza się z zależności

iCs = C

duCs dt

Uwzględniając postać funkcji uCs(t) — wzór (6.106)

Marek

Pilawski

Strona 347

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki t

iCs =

− Im cos(ψ + ϕ )e RC RωC

(6.107)

Ostatecznie zatem, na podstawie wzoru (6.101)

iC = I m sin (ωt + ψ + ϕ ) − I m tgϕ cos(ψ + ϕ )e gdzie tgδ = ctgϕ =

1 R ωC

−

t RC

(6.108)

— patrz wzór (6.68).

Prąd w chwili załączenia t = 0 może osiągać wartość większą niż prąd maksymalny Im. Z analizy ostatniej zależności wynika bowiem, że

iC (0) = I m

sinψ cos ϕ

(6.109)

W chwili załączania układu RC do źródła należy więc się liczyć z przetężeniem. Prąd przetężeniowy jest tym większy, im większy jest stosunek

sinψ . cos ϕ

Stan nieustalony charakteryzuje się występowaniem składowej przejściowej (swobodnej).

W

przypadku

obwodu

RC

włączanego

w

sinusoidalnego składowa przejściowa nie występuje, gdy ψ + ϕ =

obwód

π 2

prądu

.

6.4 Elementy indukcyjne 6.4.1 Budowa i przeznaczenie cewek indukcyjnych. Sprzężenie magnetyczne Cechę indukcyjności

wykazują wszystkie obwody elektryczne, które stanowią

zamkniętą drogę dla przepływu prądu elektrycznego. Prąd elektryczny i wytwarza, w otaczającej przestrzeni strumień magnetyczny Ψ. Strumień ten jest tym większy im większy jest prąd

Ψ = LI Zależność

między

proporcjonalna,

to

(6.110)

strumieniem

i

znaczy,

jednakowym

że

prądem

jest

w

obwodach

przyrostom

liniowych

wartości

prądu

odpowiadają jednakowe wartości przyrostu strumienia. Wzór (6.110) można przedstawić w postać

L=

Marek

Pilawski

Ψ I

(6.111)

Strona 348

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Współczynnikiem proporcjonalności między wielkościami Ψ i I jest w tym przypadku stała wielkość L, zależna jedynie od kształtu obwodu elektrycznego i od

właściwości

ośrodka,

przez

który

przenika

wytwarzany

strumień

magnetyczny. Wielkość tę nazwano indukcyjnością. Indukcyjność mówi nam, jaki strumień magnetyczny jest wytwarzany w danym obwodzie elektrycznym pod wpływem przepływu prądu jednostkowego. Wzór

(6.111)

jest

ogólnym

wzorem

określającym

indukcyjność

obwodu.

Jednostką indukcyjności jest henr (1 H)

1H =

1Wb 1A

(6.112)

Henr (1 H) jest to indukcyjność takiego obwodu, w którym prąd elektryczny o wartości jednego ampera (I = 1A) wytwarza strumień magnetyczny Ψ o wartości jednego webera (1 Wb). Indukcyjność

1

H

jest

bardzo

dużą

indukcyjnością

w

porównaniu

z

indukcyjnością stosowanych w elektronice cewek. Dlatego też często używa się podwielokrotności jednostki: mikrohenr (µH), milihenr (mH) i innych. Indukcyjność obwodu elektrycznego płaskiego i o nieskomplikowanym kształcie jest mała. W celu zwiększenia indukcyjności obwodu zmienia się kształt niektórych jego fragmentów tak, aby powstała cewka, zwana cewką indukcyjną (rys. 6.57).

Rys. 6.57 Cewka indukcyjna z prądem wytwarzająca strumień magnetyczny

Cewka

indukcyjna

jest

to

element

obwodu

charakteryzujący

się

indukcyjnością, przy czym indukcyjność jest cechą dominującą elementu. Cewki indukcyjne

buduje

się

jako

powietrzne

i rdzeniowe. Na rdzenie,

wypełniające obszar cewki, stosuje się na ogół materiał ferromagnetyczny (patrz p. 5.6.2; 6.6; 6.8.7). W obwodach, których indukcyjność musi być zmieniana, stosuje się układ wielu

Marek

Pilawski

Strona 349

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki cewek, które łączy się ze sobą w określony sposób. W przypadku cewek rdzeniowych indukcyjność można zmieniać przez zmianę położenia rdzenia wewnątrz cewki. Cewki indukcyjne powietrzne, w specjalnym dokładnym wykonaniu, o ściśle określonej wartości i stałości indukcyjności, wykorzystuje się jako cewki indukcyjne wzorcowe. Stosuje się je w elektrycznych układach pomiarowych (p. 6.8.6). Cewki, a zwłaszcza cewki rdzeniowe, znalazły także zastosowanie przemysłowe. W elektroenergetyce wykorzystuje się ich właściwości m. in. do grzania indukcyjnego,

dławienia

prądu

zwarciowego

linii

elektroenergetycznej,

transformacji mocy prądu przemiennego itp. (p. 6.4.2). Cewka indukcyjna, przez którą przepływa prąd, wytwarza w swoim wnętrzu i na zewnątrz pole magnetyczne. Można zatem powiedzieć, że cewka z prądem jest elementem magazynującym energię w postaci pola magnetycznego. Jest to tak istotna właściwość, że również jest podstawą definicji. Cewka indukcyjna jest elementem mającym zdolność gromadzenia energii w postaci pola magnetycznego. Do obliczenia energii pola magnetycznego cewki posłużymy się wzorem (1.55) określającym

wartość

pracy

potrzebnej

do

wytworzenia

strumienia

magnetycznego ∆Ψ przy danym prądzie I

∆Wm = I∆Ψ Ponieważ I =

(6.113)

Ψ — wzór (6.110) — to L

∆W =

1 Ψ∆Ψ L

(6.114)

Rozwiązując równanie (6.114) (patrz dodatek F)

Wm =

Ψ2 2L

(6.115)

Uwzględniając jeszcze raz zależność (6.110) (Ψ = LI ) otrzymuje się wzór równoważny

Marek

Pilawski

Strona 350

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Wm =

1 2 LI 2

(6.116)

Wyrażając prąd w amperach (A) bądź strumień w weberach (Wb), indukcyjność w henrach (H), otrzymuje się energię w dżulach (J). Energię zmagazynowaną w polu magnetycznym cewki indukcyjnej można odzyskać

w

postaci

energii

prądu

elektrycznego

(patrz

przykład

6.34).

Wartość energii pola magnetycznego zależy od indukcyjności obwodu, którą można wyznaczyć na podstawie znajomości jego kształtu i rozmiarów. Przykład 6.26 Wyznaczyć indukcyjność przewodnika kołowego o promieniu r = 0,5 m (patrz przykład 5.8, rys. 5.32). W celu obliczenia indukcyjności różnych cewek należy posłużyć się metodą obliczeniową, którą można przedstawić w trzech punktach : 1. Korzystając z prawa przepływu (p. 1.4) lub z prawa Biota-Savarta (p. 5.4.2) wyznaczyć zależność natężenia i indukcji pola magnetycznego w cewce od wartości płynącego przez nią prądu — wzór (5.50). 2. Korzystając z wzoru (1.42) wyznaczyć zależność strumienia magnetycznego wytwarzanego przez cewkę od wartości przepływającego przez nią prądu. 3. Poszukiwaną wartość indukcyjności wyznaczyć z wzoru definicyjnego (6.111).

ad. 1. Jeżeli zastosuje się prawo Biota-Savarta, to okazuje się, że natężenie pola magnetycznego w środku przewodu kołowego o promieniu r z prądem I (przykład 5.8)

H=

I 2r

Indukcja magnetyczna w tym punkcie

B = µH =

µI 2r

ad. 2. Przyjmujemy w uproszczeniu, że indukcja magnetyczna jest jednakowa w każdym punkcie wewnątrz płaszczyzny ograniczonej przewodem kołowym. Dlatego też można napisać, że strumień magnetyczny

Ψ = BS Uwzględniając, że S = πr 2

Marek

Pilawski

Strona 351

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Ψ=

µπIr 2

ad. 3. Stosując wzór definicyjny na indukcyjność (6.111), ostatecznie

L=

µπr

(6.117)

2

Po wykonaniu obliczeń, zgodnie z wzorem (6.117), po przyjęciu

µ = µ 0 = 4π ⋅10 −7 H ⋅ m −1 L=

4π ⋅ 10 −7 ⋅ π ⋅ 0,5 = 1µH 2

Przykład 6.27 Wyznaczyć indukcyjność cewki cylindrycznej powietrznej o liczbie zwojów z = 2000, długości l = 0,4 m i promieniu nawinięcia r = 0,1 m. Do obliczeń przyjąć µ0 = 4π⋅10-7 H⋅m-1 (patrz przykład 1.16, rys. 1.21).

Korzystając z prawa przepływu w odniesieniu do przedstawionej cewki można napisać

Hl = Iz a zatem

H=

Iz l

Indukcja magnetyczna we wnętrzu cewki

B = µ0 H =

µ 0 Iz l

a strumień magnetyczny, skojarzony z jednym zwojem cewki

Φ =BS Strumień magnetyczny skojarzony z z zwojami cewki Ψ = Φz , a po uwzględnieniu, że S = πr 2

Ψ=

µ 0 z 2πr 2 I l

Ostatni wzór umożliwia wyznaczenie indukcyjności

L=

Ψ µ 0 z 2πr 2 = I l

(6.118)

której wartość

4π ⋅10 −7 ⋅ (2000 ) ⋅ π ⋅ 0,12 L= = 0,4 H 0,4 2

Marek

Pilawski

Strona 352

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Przykład 6.28 Wyznaczyć indukcyjność cewki toroidalnej powietrznej o liczbie zwojów z = 2000, promieniu nawinięcia zwojów rz = 0,1 mi średnim promieniu cewki rśr = 0,4 m. Do obliczeń przyjąć µ0 = 4π⋅10-7 H⋅m-1 (patrz przykład 1.13, rys. 1.19).

Korzystając z prawa przepływu w odniesieniu do przedstawionej cewki, można napisać, że

H=

Iz 2πrśr

a indukcja magnetyczna

B = µ0 H =

µ 0 Iz 2πrśr

Pole magnetyczne przenika przez powierzchnię przekroju poprzecznego cewki o polu

S = πrz2 będącego źródłem strumienia magnetycznego

Φ =BS =

µ 0 zπrz2 I 2πrśr

Strumień magnetyczny skojarzony z z zwojami cewki

Ψ =zΦ =

µ 0 z 2πrz2 I 2πrśr

a indukcyjność

Ψ µ 0 z 2 rz2 L= = I 2rśr

(6.119)

Po obliczeniu

4π ⋅10 −7 ⋅ (2000 ) ⋅ 0,12 L= = 62,8mH 2 ⋅ 0,4 2

Jak już wspomniano wcześniej, pole magnetyczne obwodów z prądem rozciąga się w obszarze nieskończonym. Specjalnie ukształtowane odcinki obwodu (cewki indukcyjne) zamykają pole magnetyczne głównie w swoim wnętrzu. Część strumienia magnetycznego wydostaje się jednak na zewnątrz dając strumień rozproszenia. (Kondensatory całkowicie zamykają pole elektryczne w swoim wnętrzu). Strumień rozproszenia może objąć inny obwód elektryczny, wpływając tym samym na rozpływ prądów i rozkład napięć w tym obwodzie. Z kolei obwód

Marek

Pilawski

Strona 353

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ten jest też źródłem strumienia magnetycznego, które oddziałuje na obwód pierwszy. W ten sposób realizuje się wzajemne oddziaływanie magnetyczne obwodów elektrycznych. Wzajemne oddziaływanie obwodów elektrycznych za pośrednictwem strumienia magnetycznego

wytworzonego

przez

te

obwody

nosi nazwę

sprzężenia

magnetycznego lub sprzężenia indukcyjnego.

Zjawisko sprzężenia magnetycznego rozpatrzmy na przykładzie dwóch cewek (rys. 6.58). Cewka z prądem I1 o liczbie zwojów z1 jest źródłem strumienia głównego i strumienia rozproszenia, którego część Φ12 przenika przez drugą cewkę, czyli jest skojarzona z cewką o indukcyjności L2 i liczbie zwojów z2. Cewka z prądem I2 o liczbie zwojów z2 jest źródłem strumienia głównego Φ2 i strumienia rozproszenia, którego część Φ21 przenika przez pierwszą cewkę, czyli jest skojarzona z cewką o indukcyjności L1 i liczbie zwojów z1. W odniesieniu do strumienia głównego formułuje się pojęcie indukcyjności głównej.

Rys. 6.58 Dwie cewki o liczbie zwojów z1 i z2 sprzężone ze sobą za pośrednictwem pola magnetycznego

L1 g =

Ψ1 z1Φ 1 = I1 I1

(6.120)

W odniesieniu do strumienia skojarzonego obejmującego inną cewkę wprowadza się pojęcie indukcyjności wzajemnej

M 12 = Indukcyjność

wzajemna

Ψ12 z 2 Φ 12 = I1 I1

jest wielkością fizyczną

(6.121) określoną stosunkiem

strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej, skojarzonego z cewką drugą, do prądu płynącego w cewce pierwszej.

Marek

Pilawski

Strona 354

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Jeżeli się przyjmie, że cewka druga obejmuje cały strumień rozproszenia cewki pierwszej to można napisać, że indukcyjność cewki pierwszej

L1 = L1g + M 12

(6.122)

W podobny sposób definiuje się indukcyjność cewki drugiej i indukcyjność wzajemną cewki drugiej z cewką pierwszą. Indukcyjność wzajemna cewki drugiej z cewką pierwszą

M 21 =

Ψ21 z1Φ 21 = I2 I2

(6.123)

jest składnikiem indukcyjności cewki drugiej

L2 = L2 g + M 21

(6.124)

Można wykazać, że oddziaływanie cewki pierwszej na cewkę drugą jest równe oddziaływaniu cewki drugiej na cewkę pierwszą

z 2 Φ 12 z1Φ 21 = I1 I2

(6.125)

Równość (6.125) oznacza, że M12 = M21 = M. Wzajemne oddziaływanie obwodów za pośrednictwem pola magnetycznego ujęte jest

zatem

jednym

współczynnikiem:

współczynnikiem

indukcyjności

wzajemnej M. Wartość współczynnika indukcyjności wzajemnej zależy od indukcyjności sprzęgniętych cewek i sposobu ich wzajemnego usytuowania

M = k L1 L2

(6.126)

Współczynnik k nosi nazwę współczynnika sprzężenia i może przyjmować wartości od -1 do +1. Przy k = ±1 występuje sprzężenie doskonałe, tzn. takie, w którym cały strumień magnetyczny wytworzony w jednej cewce przenika przez cewkę drugą. Sprzężenie prawie doskonałe występuje np. wtedy, kiedy jedna z cewek jest umieszczona wewnątrz drugiej, a ich osie długie pokrywają się. Przy k = 0 sprzężenie nie występuje, a indukcyjność wzajemna równa się zeru. Przypadek taki występuje np. przy wzajemnie prostopadłym ustawieniu osi długich cewek cylindrycznych. Indukcyjność

wzajemna

może

zwiększać

lub

zmniejszać

indukcyjność

wypadkową cewki. Zjawisko sprzężenia magnetycznego zwiększa indukcyjność

Marek

Pilawski

Strona 355

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki cewki (k > 0), gdy obejmuje ona strumień magnetyczny wytworzony przez inną cewkę skierowany zgodnie ze strumieniem głównym rozpatrywanej cewki. Gdy natomiast strumień główny jest skierowany przeciwnie do obejmowanej części strumienia innej cewki (k < 0), to indukcyjność ulega zmniejszeniu. Cewki indukcyjne, podobnie jak kondensatory, można ze sobą łączyć szeregowo, bądź równolegle. Przy dowolnym rodzaju połączeń cewek należy uwzględniać jednak indukcyjność wzajemną, jeśli cewki te są ze sobą sprzężone. Przykład 6.29 Wyznaczyć indukcyjność układu dwóch cewek (rys. 6.59) o indukcyjności L1 i L2 połączonych szeregowo: a) posobnie, b) przeciwsobnie, jeśli one są ze sobą sprzężone.

a) Przy połączeniu posobnym cewek (rys. 6.59a) strumienie skojarzone Ψ1 pierwszej cewki i Ψ2 - drugiej cewki skierowane są zgodnie. Całkowity strumień skojarzony w układzie

Ψ = Ψ1 + Ψ2 Strumień skojarzony pierwszej cewki

Ψ1 = ( L1 + M ) I a drugiej cewki

Ψ2 = ( L2 + M ) I Zatem całkowity strumień skojarzony

Ψ = ( L1 + L2 + 2M ) I Indukcyjność wypadkowa układu

L=

Ψ = L1 + L2 + 2 M I

(6.127)

Rys. 6.59 Układ dwóch cewek połączonych szeregowo: a) posobnie; b) przeciwsobnie

W przypadku braku sprzężenia między cewkami (M = 0) indukcyjność szeregowego

układu

połączeń

cewek

jest

równa

sumie

indukcyjności

poszczególnych cewek.

Marek

Pilawski

Strona 356

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki b) Przy połączeniu przeciwsobnym cewek (rys. 6.596) strumienie skojarzone mają zwroty przeciwne

Ψ1 = ( L1 − M ) I

Ψ2 = ( L2 − M ) I

Strumień całkowity

Ψ = Ψ1 + Ψ2 = ( L1 + L2 − 2M ) I a indukcyjność wypadkowa układu

L=

Ψ = L1 + L2 − 2 M I

(6.128)

W przypadku braku sprzężenia między cewkami indukcyjność układu jest równa sumie indukcyjności cewek. Przykład 6.30 Wyznaczyć indukcyjność układu dwóch cewek (rys. 6.60) o indukcyjnościach L1 i L2 połączonych równolegle, jeśli one są ze sobą sprzężone.

Zgodnie z prądowym prawem Kirchhoffa

I = I1 + I 2 a spadek napięcia na zaciskach układu, przy sprzężeniu dodatnim

U = Z1 I1 + Z12 I 2  U = Z 21 I 1 + Z 2 I 2

Z1 = ωL1 ; Z 2 = ωL2 i Z12 = Z 21 = ωM . Z układu równań prądy

I1 =

Z 2 − Z12 U Z1 Z 2 − Z122

I2 =

Z1 − Z 12 U Z1 Z 2 − Z122

Prąd całkowity

I=

Z1 + Z 2 − 2 Z12 U Z1 Z 2 − Z122

Impedancja zastępcza układu

Z=

Marek

Pilawski

Z1 Z 2 − Z122 U = I Z1 + Z 2 − 2Z12

Strona 357

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Uwzględniając, że Z = ωL

L1 L2 − M 2 L= L1 + L2 − 2 M

(6.129)

Rys. 6.60 Układ dwóch cewek połączonych równolegle i sprzężonych magnetycznie ze sobą

Przy sprzężeniu magnetycznym ujemnym cewek

L=

L1 L2 − M 2 L1 + L2 + 2 M

(6.130)

Indukcyjność dwóch cewek bezrezystancyjnych połączonych równolegle bez sprzężenia (M = 0)

L=

L1 L2 L1 + L2

(6.131)

Przykład 6.31 Dwie cewki indukcyjne o indukcyjnościach L1 i L2 są ze sobą sprzężone idealnie (współczynnik sprzężenia magnetycznego k = 1). Indukcyjność dwóch cewek połączonych szeregowo posobnie (k = 1) była równa L' = 90 mH, a połączonych szeregowo przeciwsobnie (k = -1) L" = 10 mH. Wyznaczyć współczynnik indukcyjności wzajemnej M oraz indukcyjność cewek.

Przy połączeniu szeregowym posobnym (k = 1)

L′ = L1 + L2 + 2M a przy połączeniu szeregowym przeciwsobnym (k = -1)

L′′ = L1 + L2 − 2M Z układu powyższych równań

M=

L′ − L′′ 4

Uwzględniając wartości liczbowe otrzymuje się M = 20 mH. Indukcyjność dwóch cewek izolowanych połączonych szeregowo

L1 + L2 = L′ − 2M = L′′ + 2M = 50mH

Marek

Pilawski

Strona 358

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Ponieważ jednocześnie

M = L1 L2 to z układu tych równań uzyskuje się

L1 = 40m, L2 = 10mH .

6.4.2 Cewka idealna a cewka rzeczywista Omawiając budowę i przeznaczenie cewek indukcyjnych przyjęliśmy założenie, że są to cewki idealne, czyli takie, które cechuje jedynie indukcyjność. Jak wiadomo jednak, każdy obwód elektryczny, oprócz indukcyjności i pojemności, cechuje

także

rezystancja.

Zanim

jednak

omówimy

właściwości

cewki

rzeczywistej, zapoznajmy się najpierw z właściwościami cewki idealnej włączonej w obwód elektryczny. Jak wiadomo, w cewce, przez którą przepływa prąd i, jest wytwarzany strumień magnetyczny Ψ proporcjonalny do indukcyjności cewki

Ψ − Li

(6.132)

Korzystając z wzoru określającego wartość siły elektromotorycznej indukcji elektromagnetycznej

dΨ dLi = dt dt

(6.133)

di dL dLi +i = dt dt dt

(6.134)

e =u = otrzymujemy zależność

u=L w której

di dL - szybkość zmian prądu; - szybkość zmian indukcyjności. dt dt

Równanie określa napięcie indukowane na zaciskach cewki z prądem. Napięcie

 di  ≠ 0  dt 

to, występuje tylko wtedy, gdy przez cewkę przepływa prąd zmienny 

lub też wtedy, gdy prąd jest stały, ale wtedy indukcyjność cewki musi się

 dL  ≠ 0 .  dt 

zmieniać w czasie  Indukcyjność

cewki

zależy

od

jej

wymiarów

i

od

położenia

rdzenia

magnetycznego. Położenie rdzenia może się zmieniać, kiedy jest on poddany działaniu sił mechanicznych. Dlatego też napięcie indukowane o wartości

Marek

Pilawski

Strona 359

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki i

dL nazywa się napięciem elektrycznym pochodzenia mechanicznego. W dt

większości układów elektrycznych wykorzystuje się jednak cewki o stałej indukcyjności, stąd też w naszych rozważaniach będziemy uwzględniali tylko napięcie indukowane prądem zmiennym, czyli napięcie dane wyrażeniem

u=L

di dt

(6.135)

Jest to napięcie na zaciskach cewki idealnej o wartości proporcjonalnej do szybkości zmian prądu elektrycznego. Prąd zmienny, najczęściej stosowany w układach elektrycznych, jest prądem sinusoidalnym

i = I m sin ωt

(6.136)

Im — amplituda zmian prądu, ω — częstość jego zmian. Ponieważ

di = ωI m cos ωt dt

(6.137)

to zgodnie z wzorem (6.135) wartość chwilowa napięcia

u = ωLI m cos ωt

(6.138)

Z porównania wzorów (6.136) i (6.138) wynika, że przebieg wartości chwilowej napięcia jest przesunięty w fazie o 90° względem przebiegu prądu. Na wykresie wektorowym (rys. 6.61) fakt ten zilustrowany jest wektorem U prostopadłym do wektora I. Przyjęto odmierzać kąt przesunięcia fazowego od wektora prądu w kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Rys. 6.61 Cewka indukcyjna idealna: a) schemat zastępczy; b) wykres wektorowy prądu i napięcia

W cewce idealnej, poddanej działaniu wymuszenia sinusoidalnego, przebieg wartości chwilowej napięcia wyprzedza w fazie o 90° przebieg wartości chwilowej

Marek

Pilawski

Strona 360

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki prądu lub też (co jest równoznaczne) przebieg wartości chwilowej prądu opóźnia się w fazie o 90° względem przebiegu wartości chwilowej napięcia, czyli odwrotnie niż w przypadku kondensatora. Przesunięcie fazowe między prądem i napięciem w cewce (rys. 6.62) implikuje wiele jego właściwości. Wartość maksymalna napięcia na końcach cewki

U m = ωLI m

(6.139)

co wynika wprost ze wzoru (6.138). Zależność (6.139) podaje związek między napięciem i prądem, z którego na podstawie prawa Ohma można wyznaczyć „opór” elementu indukcyjnościowego zwany reaktancją

XL =

Um = ωL Im

(6.140)

Reaktancją cewki, zwana reaktancją indukcyjną (induktancją), jest wprost proporcjonalna do częstości wielkości wymuszającej i indukcyjności cewki. Reaktancję indukcyjną można wyrazić również za pomocą wartości skutecznych prądu i napięcia

XL =

U I

(6.141)

Przepływ prądu przez cewkę pod wpływem wymuszenia sinusoidalnego oznacza, że pobiera ona ze źródła moc. Wartość chwilowa mocy p = ui jest równa — patrz wzór (6.60)

p = U m I m sin ωt cos ωt = UI sin 2ωt

(6.142)

Przebieg wartości chwilowej mocy (rys. 6.62b) jest antysymetryczny o wartości średniej równej zero. Oznacza to, że cewka idealna nie pobiera ze źródła mocy czynnej. Cewka pobiera moc w czasie, gdy p = ui > 0 i oddaje ją do źródła w tej samej ilości w czasie, gdy p = ui < 0. Oscylacje energii między cewką i źródłem odbywają

się

bez

strat.

Cewka

idealna

jest

elementem

biernym

indukcyjnościowym, w którym energia prądu elektrycznego nie przemienia się w ciepło, lecz przekształca się w energię pola magnetycznego

WL =

Marek

Pilawski

1 2 Li 2

(6.143)

Strona 361

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.62 Przebiegi wartości chwilowych w cewce idealnej: a) prądu i napięcia; b) mocy; c) energii pola magnetycznego

Przy założeniu sinusoidalnych zmian prądu

WL (t ) =

1 2 LI m sin 2 ωt 2

(6.144)

WL (t ) =

1 2 LI (1 − cos 2ωt ) 2

(6.145)

co można również zapisać

Energia pola magnetycznego cewki (rys. 6.62c) ma składową stałą i zmienną. Wartość średnia energii jest równa składowej stałej (patrz wzór (6.116))

WL =

1 2 LI 2

(6.146)

Cewkę idealną charakteryzuje jedynie cecha indukcyjności. Każda cewka wykonana jest jednak z przewodu elektrycznego (drutu), który charakteryzuje pewna rezystancja. W przewodzie tym, podczas przepływu prądu, zgodnie z prawem Joule'a-Lenza, wydziela się ciepło. Wartość wydzielonego ciepła jest zależna od strat mocy

P = RI 2

(6.147)

R — rezystancja przewodu cewki. Cewka indukcyjna rzeczywista jest to więc cewka ze stratami. Stosownie do zjawisk elektrycznych, występujących w cewkach rzeczywistych, ich schematy

Marek

Pilawski

Strona 362

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki zastępcze zawierają więc rezystor połączony z cewką szeregowo (rys. 6.63) lub równolegle (rys. 6.64). Schemat zastępczy szeregowy (rys. 6.63) uwzględnia spadek napięcia UL na cewce idealnej i spadek napięcia UR na rezystorze o rezystancji RS równej rezystancji przewodu, z którego jest wykonana cewka. Przebieg napięcia UL — jak wiadomo — wyprzedza w fazie przebieg prądu I o kąt 90°, a przebieg napięcia UR jest zgodny w fazie z przebiegiem prądu I (rys. 6.63b). Z wykresu wektorowego prądu i napięć wynika, że napięcie U na elemencie jest określone wzorem

U 2 = U R2 + U L2

(6.148)

i jego przebieg wyprzedza przebieg prądu o kąt: φ < 90°. Wartość kąta φ można określić z zależności

tgϕ =

UL UR

(6.149)

która po uwzględnieniu, że

U R = RS I

U L = X L I = ωLI

przyjmuje postać

tgϕ =

ωL RS

(6.150)

Rys. 6.63 Cewka indukcyjna rzeczywista: a) schemat zastępczy szeregowy; b) wykres wektorowy prądu i napięć

Wielkość określona wzorem (6.150) charakteryzuje straty energii w cewce i nosi nazwę dobroci Q (Q = ωL/RS). (Patrz również dobroć układów rezonansowych p. 6.5.1). Dobroć jest wielkością bezwymiarową.

Marek

Pilawski

Strona 363

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Schemat zastępczy równoległy cewki rzeczywistej (rys. 6.64) jest równoważny schematowi zastępczemu szeregowemu. W tym przypadku jednak

tgϕ =

Rr ωL

(6.151)

Rys. 6.64 Cewka indukcyjna rzeczywista: a) schemat zastępczy równoległy; b) wykres wektorowy prądów i napięcia

Schemat zastępczy szeregowy cewki rzeczywistej bardziej odpowiada zjawiskom zachodzącym w cewce. W schemacie tym RS jest po prostu rezystancją drutu cewki. Schemat zastępczy równoległy cewki jest formalnie poprawny, ale trudno znaleźć interpretację fizyczną parametru Rr. Podobnie było w przypadku schematów zastępczych kondensatora. Tam schemat zastępczy równoległy był bardziej zrozumiały fizycznie. Wartości tg φ określone wzorami (6.150) i (6.151) są takie same, gdyż dotyczą tego samego elementu. Wynika stąd, że w cewce idealnej rezystancja RS w jej schemacie zastępczym szeregowym przyjmuje wartość zerową (RS = 0), lub rezystancja Rr → ∞ w jej schemacie zastępczym równoległym. Cewkę idealną charakteryzuje tylko indukcyjność, a przepływowi prądu stawia ona „opór” zwany reaktancją indukcyjną (induktancją) — patrz wzór (6.140). W przypadku cewki rzeczywistej „opór” ten jest impedancja, gdyż musi on uwzględniać również rezystancję odpowiedzialną za straty.

Obliczmy impedancję cewki wynikającą z jej schematu zastępczego szeregowego (rys. 6.63a). W tym celu wzór (6.148) przepiszemy w postaci 2

2

U  U R  UL   +    = I   I   I 

Marek

Pilawski

2

(6.152)

Strona 364

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Z otrzymanej zależności wynika, że impedancja cewki rzeczywistej (dodatek A5)

Z = RS2 + X L2

(6.153)

Jest to zarazem impedancja gałęzi szeregowej RL. W podobny sposób można obliczyć impedancję cewki wynikającą z jej schematu równoległego. W tym celu wzór (patrz rys. 6.64b)

I 2 = I R2 + I L2

(6.154)

należy napisać w postaci (patrz dodatek A6) 2

2

U   U   U     =   +   Z   Rr   X L 

2

(6.155)

Po przekształceniach

Z=

Rr2 X L2 Rr2 + X L2

(6.156)

Jest to zarazem impedancja gałęzi równoległej RL. W przypadku idealnej cewki indukcyjnej Z = XL, gdyż albo RS → 0 — wzór (6.153) — albo Rr → ∞ — wzór (6.156). Cewka rzeczywista pobiera ze źródła, pewną moc czynną na pokrycie strat mocy. W celu określenia wartości tej mocy rozpatrzmy przebiegi czasowe wartości chwilowych prądu i napięcia w cewce rzeczywistej (rys. 6.65). W cewce rzeczywistej napięcie wyprzedza prąd o kąt φ < 90°. Stąd też, jeśli I = Im sin ωt, to u = Um sin (ωt+ φ), a wartość chwilowa mocy (rys. 6.65b)

p = ui = U m I m sin(ωt + ϕ )

(6.157)

to wykonując przekształcenia, takie same jak w przypadku wyznaczania mocy czynnej pobieranej przez kondensator rzeczywisty

P = UI cos ϕ

(6.158)

Moc czynna pobierana przez cewkę rzeczywistą nie ma charakteru oscylacyjnego i przez cały czas jest tracona na elementach czynnych (rezystancyjnych) cewki. Podobnie jak w przypadku kondensatora, tak i tutaj, wprowadza się pojęcie mocy biernej Q = UI sin φ (p. 6.3.2). W tym przypadku moc bierna, czyli moc pobierana przez element reaktancyjny idealny, jest dodatnia, gdyż φ > 0.

Marek

Pilawski

Strona 365

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Obowiązuje również (dodatek A7) wzór S2 = Q2+P2, gdzie S jest mocą pozorną, mocą wydzielaną na impedancji elementu reaktancyjnego rzeczywistego.

Rys. 6.65 Przebiegi wartości chwilowych w cewce rzeczywistej: a) prądu i napięcia; b) mocy

Rys. 6.66 Schemat budowy pieca indukcyjnego bezrdzeniowego

Cewki indukcyjne znajdują zastosowanie w układach elektrycznych prądu stałego (p. 6.4.3) oraz obwodach prądu przemiennego (p. 6.5; 6.6; 6.8.2; 6.8.3; 6.8.7). W elektroenergetyce stosuje się je między innymi do grzania indukcyjnego. Grzanie

indukcyjne stosuje się wówczas, gdy pojawia się konieczność

nagrzewania

materiałów

przewodzących.

Odbywa

się

ono

w

piecach

indukcyjnych. Piec indukcyjny bezrdzeniowy (rys. 6.66) stanowi dużą cewkę, wewnątrz której umieszcza się materiał nagrzewany. Cewkę tę, nawiniętą na obudowie pieca, zasila się ze źródła napięcia przemiennego o częstotliwości 50 ... 3000 Hz. Materiał ogrzewany (wsad) oddzielony jest od obudowy pieca wykładziną z materiału ogniotrwałego. Wsad jest w takim przypadku ogrzewany wskutek

przepływu

w

nim

indukowanych

prądów

wirowych.

Wsady

ferromagnetyczne są nagrzewane dodatkowo na skutek występującego w nich zjawiska histerezy magnetycznej. Piece indukcyjne bezrdzeniowe buduje się na moc 60... 1200 kW.

Marek

Pilawski

Strona 366

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki W przemyśle stosuje się również piece indukcyjne rdzeniowe. Budowa tych pieców przypomina transformator. Na rdzeniu nawinięte jest uzwojenie, przez które przepływa prąd o częstotliwości sieciowej 50 Hz. Uzwojenie wtórne, stanowiące jeden zwój, tworzy stopiony metal umieszczony w pierścieniowym korytku wykonanym z materiału ogniotrwałego.

6.4.3 Stany nieustalone w obwodach RL przy wymuszeniu stałym Obwody RL, podobnie jak obwody RC (patrz p. 6.3.3), mogą się znajdować w stanie nieustalonym. Stany nieustalone są wywołane najczęściej włączeniem obwodu do źródła napięcia lub prądu (przełącznik S w pozycji 1, rys. 6.67) lub odłączeniem bądź zwarciem obwodu (przełącznik S w pozycji 2). Procesy łączeniowe (załączanie, odłączanie, przełączanie) noszą nazwę komutacji i podlegają prawom komutacji. Prawo komutacji dla obwodów RL: strumień magnetyczny oraz prąd w chwili komutacji zachowują wartości poprzednie. Wynikiem działania prawa komutacji są przebiegi swobodne (przejściowe) prądu i napięcia, które nakładając się na przebiegi wymuszone (ustalone) dają wypadkowy obraz przebiegu prądu i napięcia w elemencie rzeczywistym w stanie nieustalonym. Stan nieustalony obwodu RL rozpatrzmy dla przypadku jego włączania do obwodu prądu stałego i zwarcia obwodu. Załączanie napięcia stałego do dwójnika szeregowego RL W dwójniku szeregowym RL (rys. 6.67) suma spadków napięcia uL na cewce L i napięciu uR na rezystorze R jest równa — zgodnie z napięciowym prawem Kirchhoffa — wymuszającemu napięciu stałemu U

u L + Ri = U

(6.159)

di dt

(6.160)

Ponieważ — patrz wzór (6.135)

uL = L

Marek

Pilawski

Strona 367

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki to równanie (6.159) przybiera postać

Ri + L

di =U dt

(6.161)

di - szybkość zmian prądu w cewce. dt

Rys. 6.67 Schemat obwodu szeregowego RL

Rozwiązanie równania (6.161) jest sumą dwóch składowych prądu: wymuszonej i swobodnej

i = iw + is

(6.162)

Uwzględniając zerowe warunki początkowe (patrz dodatek E) L

i=

U U −Rt − e R R

(6.163)

przy czym składowa swobodna prądu (rys. 6.68a) t

U − is = − e τ R

(6.164)

ma charakter wykładniczy zanikający ze stałą czasową

τ=

L R

(6.165)

Rys. 6.68 Załączenie obwodu szeregowego RL. Przebieg wartości chwilowych : a) składowej wymuszonej iw i składowej swobodnej is prądu; b) prądu rzeczywistego w cewce

Marek

Pilawski

Strona 368

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki natomiast składowa wymuszona

iw =

U R

(6.166)

Stałą czasową obwodów RL można wyznaczyć również metodą geometryczną opisaną w p. 6.3.3. Krzywe przedstawione na rys. 6.68, 6.69, 6.70 i 6.71 są krzywymi typu wykładniczego. Jeśli podstawą funkcji potęgowej jest liczba e, jak w tym przypadku, to takie krzywe (przebiegi) nazywa się eksponencjalnymi. Krzywe eksponencjalne odwzorowują przebieg zjawisk w wielu układach fizycznych. Na przykład wiele procesów cieplnych przebiega według krzywej wykładniczej. Można się o tym przekonać wykonując następujące doświadczenie. Włóżmy do nagrzanego piekarnika termometr i obserwując go przez szybę notujmy wskazania co pewien określony czas, na przykład co 5 lub 10 s. Następnie narysujemy krzywą obrazującą narastanie temperatury w funkcji czasu.

Okaże

eksponencjalnej.

się,

że

ta

Następnie

krzywa można

ma

przebieg

wyłączyć

zbliżony

piekarnik

i

do

krzywej

notować

jego

temperaturę w funkcji czasu w czasie chłodzenia. Otrzymana w drugim przypadku krzywa ma również przebieg eksponencjalny.

Rys. 6.69 Przebieg wartości chwilowej napięcia na cewce przy stałym wymuszeniu

Rys. 6.70 Przebieg wartości chwilowych prądu w cewce przyłączonej do źródła napięcia stałego o wartości U1 oraz U2, przy czym U1 > U2

Marek

Pilawski

Strona 369

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.71 Przebieg wartości chwilowych prądu w cewkach o różnych stałych czasowych, przyłączonych do tego samego źródła napięcia stałego

Posługując się metodą graficzną wyznaczmy z obu tych przebiegów stałe czasowe. Będą to tzw. cieplne stałe czasowe. W pierwszym przypadku będzie to stała czasowa termometru, a właściwie rtęci w zbiorniku, a w drugim przypadku będzie to stała czasowa piekarnika. Te stałe czasowe różnią się od siebie znacznie. Czy możliwy jest dokładny pomiar temperatury obiektu za pomocą termometru, którego stała czasowa jest większa niż cieplna stała czasowa obiektu? Oczywiście

wiele

innych

zjawisk

fizycznych

przebiega

według

krzywej

eksponencjalnej, na przykład prawo rozpadu ciał promieniotwórczych, prawo promieniowania ciała doskonale czarnego itd. Napięcie na zaciskach cewki w stanie nieustalonym (rys. 6.69) wyznacza się z wzoru (6.135). W tym przypadku

u L = Ue

R − t L

(6.167)

Spadek napięcia na cewce ma przebieg wykładniczy malejący ze stałą czasową

τ=

L . R

Stała czasowa dla danego obwodu jest wielkością stałą, zależną jedynie od parametrów elementów obwodu, nie zależy natomiast od wartości działającego wymuszenia (rys. 6.70). Na wartość stałej czasowej istotny wpływ ma iloraz L/R układu szeregowego RL (rys. 6.71). Od wartości ilorazu L/R zależy szybkość narastania prądu w dwójniku (patrz również rys. 6.51 i 6.52). Zwarcie w obwodzie szeregowym RL Rozpatrywanie zjawisk zwarciowych w obwodzie szeregowym RL rozpoczynamy od chwili, gdy przez cewkę przepływa prąd I, a przełącznik S (rys. 6.67) zwiera obwód. W obwodzie nie ma zewnętrznego źródła napięcia, a zatem zgodnie z

Marek

Pilawski

Strona 370

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki napięciowym prawem Kirchhoffa.

uL + uR = 0 u R = Ri u L = L Ri + L

di =0 dt

(6.168)

di dt (6.169)

Rys. 6.72 Przebieg wartości chwilowych prądu i napięcia podczas zwarcia w obwodzie szeregowym RL. Widać, że zgodnie z prawem komutacji prąd i strumień magnetyczny w cewce w chwili komutacji (t = 0) zachowują swe wartości poprzednie. Napięcie w układzie może zmieniać się skokowo

Rozwiązaniem ostatniego równania — przy założeniu, że w chwili początkowej t = 0 i(0) = I — jest funkcja (patrz dodatek E)

i = Ie

R − t L

(6.170)

Przebiegowi wartości chwilowej prądu podczas zwarcia, zwanego prądem zwarciowym — wzór (6.170) oraz rys. 6.72 — odpowiada przebieg zmienności napięcia na rezystorze uR = Ri. Energia prądu „rozładowania cewki" uchodzi do otoczenia (jest rozpraszana) w postaci ciepła Joule'a-Lenza. Rozwarcie obwodu RL W praktyce ważny jest również przypadek rozwarcia obwodu RL w chwili, gdy przepływa przez niego prąd. W przypadku odłączania obwodu od źródła na zaciskach cewki indukuje się napięcie zgodnie z wzorem (6.160). Napięcie to osiąga tym większą wartość, im krótszy jest czas odłączania obwodu. Bardzo szybkim przerwaniem obwodu możemy zapewnić bardzo dużą wartość czynnika

di — patrz wzór (6.160) — i wytworzyć na zaciskach cewki chwilowo bardzo dt duże napięcie. Jeśli styki przerwanego obwodu znajdują się w niezbyt dużej od siebie odległości, pod wpływem napięcia może przeskoczyć iskra elektryczna.

Marek

Pilawski

Strona 371

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki W zbliżony sposób wytwarza się iskry w świecach samochodowych, które w ustalonych chwilach zapalają mieszankę paliwowo-powietrzną w komorach spalania silnika. Iskry takie obserwuje się również w łącznikach domowej instalacji elektrycznej przy wyłączaniu oświetlenia. Jest to dowodem, że sieć elektroenergetyczna stanowi dla generatorów obciążenie indukcyjne, obciążenie typu RL. Omawiana iskra jest również dowodem słuszności praw komutacji. W przypadku obwodu RL prawo komutacji głosi — jak już wspomniano — że prąd i strumień magnetyczny zachowują w chwili komutacji swe wartości poprzednie. W chwili przebrania obwodu prąd „chce" zatem płynąć dalej, a przepływając przez przerwę powietrzną daje zjawisko iskry, czyli łuku elektrycznego. Łuk elektryczny zapewnia ciągłość przepływu ładunku elektrycznego w całym obwodzie. Przykład 6.32 Wyznaczyć wartość prądu w cewce przyłączonej do źródła napięcia stałego po czasie równym połowie stałej czasowej obwodu RL.

Prąd w cewce przyłączonej do źródła napięcia stałego jest funkcją czasu —- wzór (6.163) − t  U 1 − e L   R  

R

i=

1 2

Po czasie t = τ =

L 2R i 1 = 1− I e

gdzie I =

U i . Uwzględniając, że e = 2,718, otrzymuje się ≈ 0,4. R I

Po czasie równym połowie stałej czasowej prąd w cewce „ładowanej” osiąga ok. 40% wartości maksymalnej. Przykład 6.33 Wyznaczyć czas, po którym prąd w cewce „ładowanej" osiągnie połowę swej wartości maksymalnej. Do obliczeń przyjąć R = 1 kΩ, L = l mH.

Ponieważ R − t   i = I 1 − e L   

Marek

Pilawski

Strona 372

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki a z założenia R

− t i = 1 − e L = 0,5 I

to

L 1mH = = 1µ R 1kΩ

t = −τ ln 2, gdzie τ =

Po wykonaniu obliczeń: t =0,69 τ = 0,69 µs. Prąd w cewce indukcyjnej osiąga połowę swej wartości maksymalnej po czasie równym ok. 69% stałej czasowej. Przykład 6.34 Wykazać, że energia pola magnetycznego cewki indukcyjnej jest równa energii wydzielonej przez prąd zwarciowy płynący w obwodzie RL.

Przyjmując schemat zastępczy obwodu zwarciowego cewki (rys. 6.67) można napisać — patrz wzór (6.170)

i = iR = Ie

R − t L

u R = Ri = RIe

R − t L

Wartość chwilowa mocy na rezystorze R

p = RI 2e

−

2R t L

Energię całkowitą wydzieloną przez prąd zwarciowy oblicza się z całki ∞

W = ∫ pdt 0

Uwzględniając poprzednie zależności ∞

W = ∫ RI e 2

−

2R t L

dt

0

Wykonując operację całkowania (patrz dodatek F)

 L  − W = RI  − e  2L  2

2R ∞ t L 0

Uwzględniając granice całkowania ostatecznie

W=

Marek

Pilawski

1 2 LI 2

Strona 373

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Energia prądu zwarciowego wydzielona na rezystorze obwodu RL jest równa energii pola magnetycznego skupionego w cewce indukcyjnej. Energia ta wydziela się w postaci ciepła Joule'a-Lenza. Przykład 6.35 Obliczyć, jaką część energii traci cewka indukcyjna po czasie równym połowie stałej czasowej, liczonym od chwili zwarcia.

Przyjmując, że przez cewkę w chwili zwarcia płynie prąd I, można napisać

i = iR = Ie

R − t L

u R = Ri = RIe

R − t L

Prąd zwarciowy o mocy chwilowej

p = uRiR jest źródłem energii L 2R

W=

∫ pdt 0

Uwzględniając te zależności L 2R

W=

∫

RI 2e

−

2R t L

dt

0

Rozwiązaniem jest wyrażenie

 L  − W = RI 2  − e  2L 

L 2R − 2R t L 0

Uwzględniając granice całkowania

W= Ponieważ WL =

1 2 1  LI 1 −  2  e

1 2 LI jest energią pola magnetycznego cewki, to 2 W 1 = 1 − = 0,63 WL e

Cewka indukcyjna z prądem I ulegająca zwarciu traci po czasie równym połowie stałej czasowej obwodu ok. 63% swej energii.

6.4.4 Stany nieustalone w obwodach RL przy wymuszeniu sinusoidalnym Stan nieustalony obwodów szeregowych RL przy wymuszeniu przemiennym

Marek

Pilawski

Strona 374

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki omówimy na przykładzie wymuszenia sinusoidalnego

u = U m sin(ωt + ψ )

(6.171)

gdzie ψ jest fazą początkową określającą wartość napięcia wymuszającego w czasie t = 0. Na podstawie prawa napięciowego Kirchhoffa można napisać — patrz wzór (6.161)

Ri + L

di = U m sin(ωt + ψ ) dt

(6.172)

Prąd i w obwodzie RL jest sumą składowej wymuszonej iw i składowej swobodnej iS prądu — patrz wzór (6.162)

i = iW + iS

(6.173)

Prąd wymuszony można wyznaczyć wprost z przebiegu napięcia wymuszającego

i = I m sin(ωt + ψ − ϕ )

(6.174)

φ — kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem; Im — amplituda prądu wymuszonego, którego wartość można obliczyć z prawa Ohma

Im =

Um Z

Rys. 6.73 Przebieg zmienności prądu w cewce w stanie nieustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

przy czym impedancja gałęzi szeregowej RL

Z = RS2 + ω 2 L2 Składową swobodną prądu określa równanie (patrz dodatek E)

Ri + L

di =0 dt

(6.175)

Ostatecznie zatem, przy założeniu, że w chwili załączania (t = 0) prąd i(0) = 0

i = I m sin(ωt + ψ − ϕ ) − I m sin(ψ − ϕ )e

R − t L

(6.176)

gdzie składowa swobodna prądu

Marek

Pilawski

Strona 375

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki iS = − I m sin(ψ − ϕ )e

R − t L

(6.177)

jest wyrazem „sprzeciwu" obwodu wobec zaburzenia jego dotychczasowego stanu. „Sprzeciw” ten jest tym większy, im większa będzie różnica kątów ψ − ϕ , a największy przy ψ − ϕ = 90° Jeżeli różnica ψ − ϕ będzie ujemna, to składowa swobodna prądu będzie się dodawała do składowej wymuszonej i prąd w obwodzie będzie większy od amplitudy prądu składowej wymuszonej, czyli wystąpi tzw. przetężenie. Istnieje górna granica prądu przetężeniowego (rys. 6.73). Z zapisu wzoru (6.176) w postaci

i = I m [sin(ωt + ψ − ϕ ) − sin(ψ − ϕ )]e

R − t L

(6.178)

wynika, że nie może on być większy od podwójnej amplitudy składowej wymuszonej, czyli i ≤ 2 I m .

6.5 Obwody rezonansowe 6.5.1 Szeregowy obwód rezonansowy RLC Szeregowy obwód RLC (rys. 6.74) ma właściwości odmienne od właściwości obwodów omówionych dotychczas i będzie on omówiony dokładniej. Obwód taki zawiera elementy bierne: cewkę indukcyjną i kondensator oraz element czynny, połączone szeregowo. Reaktancja elementów biernych jest zależna od częstości przepływającego prądu lub częstości napięcia wymuszającego — patrz wzór (6.57) i (6.140) oraz dodatek A.

Rys. 6.74 Szeregowy obwód rezonansowy RLC

XC = −

1 X = ωL ωC L

(6.179)

W tym przypadku reaktancję pojemnościową kondensatora traktujemy umownie jako ujemną. Wynika to z przesunięć fazowych prądów i napięć na elementach

Marek

Pilawski

Strona 376

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki biernych. Przebieg napięcia uL na cewce wyprzedza w fazie o kąt 90° przebieg prądu, natomiast przebieg napięcia uC na kondensatorze jest opóźniony w fazie względem przebiegu prądu o kąt 90°. W konsekwencji przebieg napięcia na kondensatorze jest opóźniony w fazie względem przebiegu napięcia na cewce o 180°. Fakt ten ilustruje właśnie znak „—" przed wyrażeniem określającym reaktancję pojemnościową kondensatora. Znak ten jest również konsekwencją tego, że kondensator generuje moc bierną do źródła — wzór (6.82) — natomiast cewka pobiera ze źródła moc bierną. Przebieg zmienności reaktancji elementów biernych w funkcji częstości pokazano na rys. 6.75, na którym zaznaczono również linią kreskową przebieg zmienności reaktancji wypadkowej układu

X = X L + X C = ωL −

1 ωC

(6.180)

Jak widać, istnieje taka częstość ω0 zwana częstością rezonansową, przy której reaktancja wypadkowa obwodu szeregowego RLC jest równa zeru. Impedancja układu

Rys. 6.75 Przebieg zmienności reaktancji cewki indukcyjnej, kondensatora i układu szeregowego LC w funkcji częstości oraz odpowiadających im napięć (patrz dodatek A5)

1   Z = R + X = R +  ωL −  ωC   2

2

2

2

(6.181)

przy X = 0 jest równa rezystancji obwodu, Z = R. Częstość rezonansową układu można wyznaczyć z warunku X = 0, który odpowiada równaniu

ω0 L −

1 =0 ω 0C

(6.182)

z którego wynika, że częstość rezonansowa

ω0 =

Marek

Pilawski

1 LC

(6.183)

Strona 377

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki natomiast częstotliwość rezonansowa

f0 =

1

(6.184)

2π LC

Rys. 6.76 Przebieg zmienności prądu w obwodzie szeregowym RLC w funkcji częstości przy stałej amplitudzie napięcia wymuszającego i przy różnych wartościach rezystancji

Wyrażając indukcyjność w henrach (H) i pojemność w faradach (F) otrzymuje się częstość w radianach na sekundę (rad · s-1), a częstotliwość w hercach (Hz). Częstość rezonansowa jest również zwana częstością drgań własnych. Częstość drgań własnych układu elektrycznego jest to częstość zmienności napięcia i prądu w układzie pobudzonym do drgań i „pozostawionym sobie" (patrz p. 6.5.3). Obwód RLC można pobudzić do drgań przez rozładowanie kondensatora, załączenie obwodu do źródła napięcia stałego lub odłączenie go od tego źródła. Warunkiem wystąpienia rezonansu w obwodzie RLC jest równość częstości napięcia wymuszającego (zasilającego) i częstości drgań własnych obwodu. W warunkach rezonansu prąd w obwodzie osiąga wartość maksymalną (rys. 6.76)

Im = Przy

różnych

wartościach

R

Um R

prąd

maksymalny

(6.185) osiąga

różne

wartości

maksymalne, a przy R → 0 prąd teoretycznie osiąga wartość nieskończenie dużą. Częstość rezonansowa obwodu szeregowego RLC jest to taka częstość prądu lub napięcia, przy której reaktancja obwodu staje się równa zeru, a prąd w obwodzie osiąga wartość maksymalną. Obwód

szeregowy

RLC

może

mieć

charakter

indukcyjny

(rys.

6.77a),

pojemnościowy (rys. 6.77b) lub czynny (rezonans) (rys. 6.77c). Obwód ma charakter indukcyjny przy częstości ω > ω0. Przy tej częstości |XL| > |XC|, |uL| > |uC|, a wektor napięcia

U =U R +U L +UC

Marek

Pilawski

(6.186)

Strona 378

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wyprzedza w fazie o kąt φind. wektor prądu. Przy częstości ω < ω0 obwód ma charakter pojemnościowy. Przy tej częstości |XC| > |XL|, |uC| > |uL|, a wektor napięcia U opóźnia się w fazie względem prądu o kąt φpoj. W chwili rezonansu |XL| = |XC|, |uL| = |uC|, a wektor napięcia UR = U pokrywa się z wektorem prądu. Obwód, mimo iż zawiera elementy bierne, ma charakter czynny. Zjawisko rezonansu w obwodach szeregowych RLC nosi nazwę rezonansu napięć.

Rys. 6.77 Wykresy wektorowe prądów i napięć w obwodzie szeregowym RLC: a) przy ω > ω0 (charakter indukcyjny obwodu); b) przy ω < ω0 (charakter pojemnościowy obwodu); c) przy ω = ω0 (charakter czynny obwodu, rezonans napięć)

Zjawisko rezonansu napięć w obwodach szeregowych RLC polega na tym, że przy określonej częstości, zwanej częstością rezonansową lub częstością drgań własnych ω0, spadek napięcia uL na cewce indukcyjnej jest równy co do wartości spadkowi napięcia uC na kondensatorze, lecz ma znak przeciwny, czyli zachodzi kompensacja napięć na elementach biernych. W obwodzie szeregowym RLC, będącym w stanie rezonansu napięć, wartości bezwzględne reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej są sobie równe

ω0 L =

1 ω0C

(6.187)

co wynika bezpośrednio z (6.182).

Marek

Pilawski

Strona 379

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Uwzględniając wyrażenie (6.183)

ω0 L =

R 1 = L ω0C

(6.188)

Wielkość

R L

Zf =

(6.189)

nosi nazwę impedancji charakterystycznej lub impedancji falowej (patrz przykład 1.18). Ważnym parametrem charakteryzującym ilościowo właściwości rezonansowe układu drgającego jest dobroć. Dobroć układu rezonansowego określa stosunek amplitudy drgań ustalonych wymuszonych w rezonansie do amplitudy drgań z dala od rezonansu, czyli w obszarze tak małych częstości, że amplitudę drgań wymuszonych można traktować jako niezależną od częstości (rys. 6.76). Dobroć jest proporcjonalna do stosunku całkowitej nagromadzonej energii drgań W w warunkach rezonansowych do energii W1 traconej w czasie jednego okresu

Q = 2π

W W1

(6.190)

Całkowita nagromadzona energia drgań w obwodzie jest równa maksymalnej energii pola magnetycznego cewki*

W= przy czym I m =

1 L( I m ) 2 2

(6.191)

Um R

natomiast energia tracona w czasie jednego okresu, która w ustalonych warunkach drgań rezonansowych w całości jest zużywana na ciepło — patrz wzory (6.4)... (6.7)

U m2 πU m2 W1 T= 2R ω0 R

(6.192)

Uwzględniając wzory (6.191) i (6.192)

Q=

Marek

Pilawski

ω0 L R

(6.193)

Strona 380

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 1 można również napisać, że ω0C

Ponieważ w chwili rezonansu ω0 L =

Q= *

Podczas

drgań

w

obwodzie

1 ω0 RC

(6.194)

zachodzi

również

nieustanna

pulsacja

energii

w

kondensatorze i w cewce. W każdej chwili całkowita energia zgromadzona w obwodzie jest sumą energii zgromadzonej w cewce i energii zgromadzonej w kondensatorze.

Można przyjąć także, że ω0 =

1 i wtedy LC

Q=

Zf

(6.193)

R

gdzie Zf określone jest wzorem (6.189). Dobroć układu rezonansowego określa jego selektywność, czyli zdolność do tłumienia przebiegów o częstościach różnych od częstości rezonansowej tego układu. Dobroć obwodów rezonansowych stosowanych w radioelektronice dochodzi do kilkudziesięciu tysięcy. Obwody rezonansowe szeregowe występują w wielu układach elektronicznych. Często są to obwody przestrajane, tzn. takie, w których można zmieniać indukcyjność cewki lub pojemność kondensatora, czyli można zmieniać częstość rezonansową obwodu (patrz p. 4.8). Przykład 6.36 W obwodzie szeregowym RLC R = 10 Ω, L = 10 mH, C = 1 µF. Amplituda wymuszającego napięcia sinusoidalnego Um = 1 V. Wyznaczyć częstość rezonansową ω0, częstotliwość rezonansową f0, wartość maksymalną napięcia UmR na rezystorze oraz wartość maksymalną napięcia UmC na kondensatorze i napięcia UmL na cewce, jak również impedancję falową.

Częstość rezonansowa obwodu zależy jedynie od parametrów elementów wchodzących w skład tego obwodu i sposobu ich połączeń. W przypadku obwodu szeregowego RLC częstość rezonansowa — patrz wzór (6.183)

ω0 =

1 10 − 2 ⋅ 10 − 6

= 10kHz

Częstotliwość rezonansowa f0, zgodnie ze wzorem ω0 = 2πf0, jest równa 1,6 kHz.

Marek

Pilawski

Strona 381

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Wartość maksymalną prądu w obwodzie można obliczyć z prawa Ohma

Im =

Um Z

Wartość maksymalna prądu sinusoidalnego jest największa w czasie rezonansu, gdyż wtedy Z = Zmin. = R

I m0 =

Um R

Po wykonaniu obliczeń Im0 = 0,1 A. W chwili rezonansu więc wartość maksymalna napięcia UmR = Rm0 I na rezystorze jest równa amplitudzie wymuszającego napięcia sinusoidalnego, UmR = Um = 1 V. Impedancję falową oblicza się ze wzoru (6.189)

Zf =

10 −2 = 100Ω 10− 6

Wartość maksymalną napięcia UmC na kondensatorze i UmL na cewce oblicza się ze związku

U mC = U mL = Z f I m 0 Wykonując obliczenia

U mC = U mL = 10V Jak widać, w obwodach rezonansowych napięcie na elementach biernych może być większe od napięcia wymuszającego, czyli mogą występować tak zwane przepięcia. Przepięcia są największe w czasie rezonansu i mogą grozić uszkodzeniem elementów. Przykład 6.37 W obwodzie szeregowym RLC indukcyjność można zmieniać w granicach ± 20%, a pojemność w granicach ±40%. Wyznaczyć wynikający stąd zakres częstości, w którym można przestrajać częstość rezonansową obwodu.

Przedział częstości, w którym będzie mogła zmieniać się częstość rezonansowa obwodu, można zapisać za pomocą jednego wzoru

ω=

1 L(1 ± 0,2)C (1 ± 0,4)

Jeśli wprowadzimy oznaczenie

Marek

Pilawski

Strona 382

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki ω0 =

1 LC

to dolna granica przedziału częstości

ωd =

ω0 1,2 ⋅ 1,4

natomiast górna granica

ωg =

ω0 0,8 ⋅ 0,6

Po wykonaniu obliczeń: ωd = 0,77ω0 ω g = 1,4ω0 .Można więc określić zakres częstości

0,77ω0 < ω0 < 1,4ω0 Przykład 6.38 Wyznaczyć rezystancję zastępczą Rz i reaktancję Xz rezystora masowego o rezystancji znamionowej R = 100 Ω, wynikającą z jego schematu zastępczego przedstawionego na rys. 6.3d oraz częstotliwość rezonansową f0, jeśli można przyjąć, iż L = 10-8 H, a C = 10-10 F.

Impedancja elementu rezystancyjnego, po uwzględnieniu jego pojemności i indukcyjności (rys. 63d) (patrz dodatek A)

1 R C ω Z = jωL + 1 R− j ωC

−j

Po przekształceniach

 R 2ωC    Z= + j ωL − 2 2 2  1 + R 2ω 2 C 2 1 + R ω C   R

Pierwszy człon powyższej zależności określa rezystancję zastępczą Rz rezystora, a drugi — jego reaktancję Xz

RZ =

R 1 + R 2ω 2 C 2

R 2 ωC X z = ωL − 1 + R 2ω 2 C 2

Jak widać, wartości obu parametrów: Rz i Xz zależą od częstości (pulsacji) ω. W celu wyznaczenia częstości rezonansowej należy założyć, że Xz = 0, a więc

R 2ω 0 C ωL = 1 + R 2ω 02 C 2 stąd

Marek

Pilawski

Strona 383

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki L ω02 = 2 C R LC R2 −

Po uwzględnieniu wartości liczbowych ω0 ≈ 109 Hz, f0 ≈ 160 MHz. Wielkość

L występująca w ostatnim wzorze jest impedancją charakterystyczną dla C danego elementu i jest odpowiednikiem impedancji falowej linii długiej (patrz p. 9.1).

6.5.2 Równoległy obwód rezonansowy RLC Zjawisko rezonansu występuje nie tylko w obwodach szeregowych RLC, lecz także w obwodach równoległych, złożonych z takich samych elementów. Dla przykładu rozpatrzmy równoległy idealny obwód rezonansowy (rys. 6.78) nie zawierający elementów czynnych i składający się tylko z idealnych elementów biernych. Ponieważ reaktancja elementów biernych — patrz wzór (6.179)

Rys. 6.78 Równoległy idealny obwód rezonansowy: a) schemat; b) wykres wektorowy prądów i napięcia

XC = −

1 ωC

X L = ωL

(6.196)

zależą od częstości co napięcia wymuszającego, to istnieje taka częstość ω0, zwana częstością rezonansową, przy której reaktancję te są sobie równe co do wartości bezwzględnej — patrz wzór (6.187)

1 = ω0 L ω0C

(6.197)

Stąd warunek rezonansu jest taki sam, jak dla obwodu szeregowego RLC — patrz wzór (6.183)

Marek

Pilawski

Strona 384

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 1

ω0 =

(6.198)

LC

Ze względu na równość wartości bezwzględnych reaktancji gałęzi równoległych, wartości skuteczne prądów IC i IL w tych gałęziach są też sobie równe, jednak przebiegi wartości chwilowych iC i iL tych prądów są przesunięte w fazie względem siebie o kąt 180° (rys. 6.78b). Wynika to z faktu, że przebieg prądu w idealnym kondensatorze wyprzedza w fazie przebieg napięcia o 90°, natomiast przebieg napięcia na idealnej cewce wyprzedza przebieg prądu też o 90°. Zatem suma wartości chwilowych prądów iC i iL jest równa zeru

i = iC + i L = 0 W warunkach rezonansu wytwarza się zatem taka sytuacja, w której prąd w gałęzi doprowadzającej do układu równoległego LC jest równy zeru (I = 0), natomiast prąd w kondensatorze IC ≠ 0 i prąd w cewce IL ≠ 0. Gałąź równoległa LC w czasie rezonansu zachowuje się więc jak element impedancyjny o nieskończenie wielkiej wartości impedancji. Wynika to również ze wzoru określającego wypadkową reaktancję układu

1 1 1 = + X XC XL

(6.199)

1 ω0C X0 = 1 ω0 L − ω0C

(6.200)

W chwili rezonansu

− ω0 L

Ponieważ obowiązuje zależność (6.197), to

X0 = −

Celem

wyjaśnienia

zachowania

L C

(6.201)

1 ω0 L − ω0C się

obwodu

równoległego

w

warunkach

rezonansu przyjmuje się taki model zjawisk : Kondensator naładowany do napięcia Um rozładowuje się przez cewkę indukcyjną i jest źródłem prądu rozładowania ic. Prąd ic jest prądem zmiennym w czasie i unosi ze sobą energię pola elektrycznego kondensatora. Zmienny prąd ic przepływając

Marek

przez

Pilawski

cewkę

indukuje

siłę

elektromotoryczną

indukcji

Strona 385

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki elektromagnetycznej. Energia prądu elektrycznego przemienia się w energię pola magnetycznego cewki indukcyjnej. Napięcie na zaciskach cewki jest z kolei źródłem napięcia ładującego kondensator i prądu ładowania kondensatora. Zjawisko

ładowania

i

rozładowania

kondensatora,

jak

również

zjawisko

wzbudzania i zaniku pola magnetycznego w cewce, jest zjawiskiem cyklicznym i powtarza się z częstością określoną przez wartość indukcyjności i pojemności — z częstotliwością rezonansową. Ponieważ omawiany obwód jest obwodem bezstratnym (R = 0), to oscylacje w obwodzie mogą odbywać się w czasie nieskończenie długim, nawet po odłączeniu obwodu od źródła zasilania (jeśli pominie się straty energii na promieniowanie elektromagnetyczne, patrz p. 4.8). Zjawisko rezonansu elektrycznego w obwodach równoległych i szeregowych jest związane z rezonansową wymianą energii między kondensatorem i cewką, czyli z rezonansową

przemianą

energii

pola

elektrycznego

w

energię

pola

magnetycznego i na odwrót. Przemiana ta zachodzi w określonych warunkach fizycznych. Jeśli energię We pola elektrycznego i Wm pola magnetycznego opiszemy za pomocą zależności

1 We = CU 2 2

Wm =

1 2 LI 2

(6.202)

to można z nich wyznaczyć wartości napięcia i prądu w układzie

U=

2We C

I=

2Wm L

(6.203)

Korzystając z prawa Ohma można wyznaczyć impedancję

Z=

U = I

2We C 2Wm L

(6.204)

która dla warunków rezonansowych pracy obwodu (We = Wm) nosi nazwę impedancji

charakterystycznej

(falowej) — patrz wzór (6.189) oraz

przykład 1.18

Zf =

L C

(6.205)

Zjawisko rezonansu w obwodach równoległych RLC nosi nazwę rezonansu prądów.

Marek

Pilawski

Strona 386

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Zjawisko rezonansu prądów w obwodach RLC polega na tym, że przy określonej częstości, zwanej częstością rezonansową lub częstością drgań własnych ω0, prąd iL w cewce indukcyjnej jest równy co do wartości prądowi iC w kondensatorze, lecz ma znak przeciwny, czyli zachodzi kompensacja prądów w elementach biernych. Obwód rezonansowy równoległy idealny (podobnie jak obwód szeregowy) można doprowadzić do rezonansu dwoma sposobami: — przez zmianę częstości napięcia wymuszającego przy ustalonej wartości indukcyjności L i pojemności C; — przez zmianę wartości indukcyjności L i pojemności C obwodu przy ustalonej częstości napięcia wymuszającego. W przypadku rzeczywistych obwodów rezonansowych równoległych obwód można doprowadzić do rezonansu również zmianą rezystancji obwodu, gdyż częstość

rezonansowa

jest

od

niej

zależna.

W

rzeczywistym

obwodzie

rezonansowym występuje rezystancja RC strat w kondensatorze i rezystancja RL strat w cewce indukcyjnej. W przypadku przyjęcia schematu zastępczego jak na rys. 6.79 częstość rezonansowa

Rys. 6.79 Równoległy rzeczywisty obwód rezonansowy: a) schemat; b) wykres wektorowy prądów i napięcia

Marek

Pilawski

Strona 387

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

ω0 =

1 LC

L − RL2 C L − RC2 C

(6.206)

W wielu układach praktycznych można przyjąć, że RC = 0 i wtedy wzór (6.206) upraszcza się do postaci

ω0 =

R2 1 − L LC L

(6.207)

W rzeczywistych obwodach rezonansowych równoległych prąd w gałęzi głównej w chwili rezonansu nie osiąga wartości zerowej, tylko pewną wartość minimalną (rys. 6.80). Dla różnych obwodów rezonansowych krzywe rezonansowe wyglądają podobnie, różnią się jedynie wartością prądu Imin. i rozchyleniem gałęzi. Im rozchylenie gałęzi jest mniejsze, im krzywa rezonansowa jest bardziej stroma, tym właściwości rezonansowe obwodu są silniejsze. O właściwościach rezonansowych obwodów RLC decyduje parametr zwany dobrocią.

Rys. 6.80 Krzywa rezonansowa rzeczywistego obwodu równoległego RLC

6.5.3 Stany nieustalone w obwodach szeregowych RLC przy wymuszeniu stałym Stan nieustalony

w

obwodach RLC rozpatrzymy

na

przykładzie

obwodu

szeregowego (rys. 6.81), który może być załączony do źródła napięcia stałego (przełącznik S w pozycji 1) lub zwierany (przełącznik S w pozycji 2). Załączanie obwodu szeregowego RLC do źródła napięcia stałego Do obwodu pokazanego na rys. 6.81 stosujemy prawo napięciowe Kirchhoffa.

Marek

Pilawski

Strona 388

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Stałe napięcie wymuszające

U = u R + uC + u L

(6.208)

Poszczególne napięcia można określić wzorami

u R = Ri u L =

di dt

uC =

1 idt C∫

(6.209)

Ostatni wzór wynika ze znanej zależności (6.52)

i=C

du C dt

(6.210)

Równanie (6.208) można więc przedstawić w postaci

du C d 2uC RC + LC + uC = U dt dt 2

(6.211)

które po uporządkowaniu ma postać

d 2 u C R du C u C U + + = 2 L dt LC LC dt

(6.212)

Rys. 6.81 Schemat obwodu szeregowego RLC. Wymuszenie stałe

Badania zachowania się obwodu w stanie nieustalonym ograniczymy do zbadania przebiegu zmienności napięcia uC na kondensatorze i prądu i w obwodzie. Podobnie jak poprzednio, napięcie na kondensatorze będzie miało składową wymuszoną uCw oraz składową swobodną uCs. Wartość składowej wymuszonej zależy od działającego wymuszenia

u Cw = U

(6.213)

Składowa swobodna napięcia jest funkcją, będącą rozwiązaniem równania (patrz dodatek E)

d 2 u C R du C LC + + =0 L dt uC dt 2

(6.214)

W celu rozwiązania równania tworzymy tzw. równanie charakterystyczne

k2 +

Marek

Pilawski

R 1 k+ =0 L LC

(6.215)

Strona 389

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Wyróżnik równania charakterystycznego

∆=

R2 4 − 2 LC L

(6.216)

a jego pierwiastki

k1 = −

R R2 1 + − 2 2L 4 L LC

(6.217)

R R2 1 k2 = − − − 2 2L 4 L LC W zależności od znaku i wartości pierwiastków równania charakterystycznego otrzymuje się różne funkcje, będące rozwiązaniem równania (6.214). Decydują one o tym, czy załączenie obwodu ma charakter aperiodyczny, aperiodyczny krytyczny, czy też oscylacyjny (periodyczny). Załączenie aperiodyczne obwodu szeregowego RLC Załączenie obwodu szeregowego RLC ma charakter aperiodyczny wtedy, gdy wyróżnik równania charakterystycznego — wzór (6.216) — jest większy od zera (∆ > 0). Warunek ten sprowadza się do zależności

L C

R>2

(6.218)

Pierwiastki k1 i k2 równania charakterystycznego są mniejsze od zera. Wprowadzając oznaczenia

k1 = −b1

k 2 = −b2

(6.219)

otrzymujemy rozwiązanie w postaci

uC = −

U b2 e −b1t − b1e −b2t + U b1 − b2

(6.220)

CUb1b2 −b1t e − e −b2t b2 − b1

(6.221)

(

i=

)

(

)

Jak widać z rys. 6.82 prąd w obwodzie osiąga największą wartość w chwili t0, w której napięcie uC charakteryzuje największa szybkość narastania. Przykład 6.39 Wyznaczyć czas t0, po którym prąd w obwodzie szeregowym RLC załączonym do źródła

Marek

Pilawski

Strona 390

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki napięcia stałego osiągnie wartość największą, jeśli załączanie to nie miało charakteru oscylacyjnego.

Rys. 6.82 „Załączanie aperiodyczne" obwodu szeregowego RLC. Przebiegi wartości chwilowych: a) składowej wymuszonej uCw i składowej swobodnej uCs napięcia na kondensatorze; b) napięcia na kondensatorze uC = uCw+uCs; c) prądu w obwodzie

W celu wyznaczenia czasu t0 należy zbadać przebieg zmienności funkcji i = i (t) — wzór (6.221) — i określić położenie punktu ekstremalnego tej funkcji. Punkt ekstremalny wyznacza w tym przypadku maksimum funkcji. Obliczamy pochodną

di CUb1b2 −b1t e − e −b2t = dt b2 − b1

(

Z warunku

)

di = 0 wynika, że dt b2 e − b2t0 = b1e − b1t0

a stąd

b2 = e ( b2 −b1 ) t0 b1 Po zlogarytmowaniu stronami

t0 =

b 1 ln 2 b2 − b1 b1

Czas t0 można wyznaczyć również badając przebieg zmienności napięcia uC = uC(t), gdyż największa szybkość narastania napięcia wypada w punkcie przegięcia krzywej, a jego położenie może być określone z warunku, że druga pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zeru. . .

Marek

Pilawski

Strona 391

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Załączanie aperiodyczne krytyczne obwodu szeregowego RLC Załączanie obwodu szeregowego RLC ma charakter aperiodyczny krytyczny wtedy, kiedy wyróżnik równania charakterystycznego — wzór (6.216) — jest równy zeru. Warunek ten sprowadza się do zależności

R=2

L C

(6.222)

W takim przypadku pierwiastki k1 i k2 równania charakterystycznego są sobie równe

k1 = k 2 = −b

(6.223)

a przebiegi wartości chwilowej napięcia i prądu są dane zależnościami

u C = −U (1 + bt )e − bt + U i = Cb 2 tUe − bt

(6.224) (6.225)

Korzystając z zależności (6.217) można napisać, że

b=

R 2L

(6.226)

Można również napisać, że

b2 =

1 LC

(6.227)

gdyż ∆ = 0 — patrz równanie (6.216). Przebieg wartości chwilowych napięcia uC na kondensatorze i prądu i w obwodzie jest taki sam, jak przedstawiono na rys. 6.82. Podobnie jak poprzednio, prąd w obwodzie osiąga największą wartość po czasie t0, a więc w chwili, w której napięcie uC charakteryzuje się największą szybkością wzrostu. Przykład 6.40 Wyznaczyć czas t0, po którym prąd w obwodzie szeregowym RLC załączanym do źródła napięcia stałego osiągnie największą wartość oraz wartość Imax tego prądu, jeśli załączanie to miało charakter aperiodyczny krytyczny.

W celu wyznaczenia czasu t0 należy zbadać przebieg zmienności funkcji i = i(t) — wzór (6.225) — i określić położenie punktu ekstremalnego tej funkcji. Punkt ekstremalny wyznacza w tym przypadku maksimum funkcji. Obliczamy pochodną

di = Cb 2U (e −bt − te −bt ) dt

Marek

Pilawski

Strona 392

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Z warunku

di = 0 wynika, że 1 — t0b = 0, a stąd — patrz wzór (6.226) dt t0 =

1 2L = b R

(6.228)

Wartość maksymalną Imax prądu oblicza się ze wzoru (6.225), w którym t = t0, uwzględniając zarazem zależności (6.226) i (6.227)

I max = i (t 0 ) = C

1 2 L −1 Ue LC R

Ostatecznie zatem

I max =

2U U = 0,74 eR R

(6.229)

Ostatni wynik jest bardzo interesujący. Wskazuje on bowiem na rolę cewki indukcyjnej w obwodach elektrycznych. Jak wynika z przeprowadzonej analizy, cewka łagodzi zmiany prądu i ogranicza (dławi) jego największą wartość. Gdyby w naszym przypadku L = 0, to prąd osiągałby największą wartość natychmiast (t0 = 0, wzór (6.228)), przy czym jego wartość maksymalna byłaby większa i równa

U . Dlatego też urządzenia z cewką, z reguły rdzeniową, służące do R

ograniczania

wartości

prądów,

szczególnie

prądów

załączeniowych

lub

zwarciowych, noszą nazwę dławików (p. 6.6). Załączanie oscylacyjne obwodu szeregowego RLC Załączanie obwodu szeregowego RLC ma charakter oscylacyjny wtedy, gdy wyróżnik równania charakterystycznego — wzór (6.216) —jest ujemny (∆ < 0), co prowadzi do zależności

R 2

L (rys. 6.81, przełącznik S w pozycji 2). Zjawiska zwarciowe C

rozpatrzymy dla przypadku, kiedy w chwili początkowej (t = 0) kondensator jest naładowany do napięcia U0 (uC (0) = U0), a w obwodzie prąd nie płynie (I (0) = 0). Podobnie jak poprzednio, interesujące dla nas będą przebiegi napięcia UCs na kondensatorze i prądu i w obwodzie. Ze względu na brak wymuszenia zewnętrznego wielkości te będą miały tylko składową swobodną opisaną równaniami

uC = i=

U0 b2 e −b1t − b1e −b2t b2 − b1

(

Cb1b2 U 0 e −b1t − e −b2t b2 − b1

(

)

)

(6.24

(6.241)

gdzie wielkości b1 i b2 są określone wzorami (6.219). Prąd w obwodzie (rys. 6.85) osiąga największą wartość Im w czasie t0, w którym napięcie uC charakteryzuje największa szybkość zmian. Zwarcie aperiodyczne krytyczne obwodu RLC Zwarcie krytyczne w obwodzie szeregowym RLC ma charakter aperiodyczny krytyczny wtedy, gdy

R=2

L . Składowa swobodna napięcia i składowa swobodna prądu są wyrażone C

w tym przypadku wzorami

Marek

Pilawski

Strona 396

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. 6.85 „Zwarcie aperiodyczne" w obwodzie szeregowym RLC. Przebiegi chwilowych: a) napięcia na kondensatorze; b) prądu w obwodzie

wartości

u C = U 0 (1 + bt )e − bt

(6.242)

i = Cb 2U 0 te − bt

(6.243)

gdzie wielkość b jest określona zależnością (6.223).

Rys. 6.86 Zwarcie oscylacyjne" w obwodzie szeregowym RLC. Przebiegi wartości chwilowych: a) napięcia na kondensatorze; b) prądu w obwodzie

Charakter zmienności napięcia na kondensatorze i prądu w obwodzie jest taki sam, jak w przypadku zwarcia aperiodycznego (rys. 6.85). Inaczej są tylko określone parametry charakterystyczne tych przebiegów: Im i t0. Zwarcie oscylacyjne obwodu RLC Zwarcie w obwodzie szeregowym RLC ma charakter oscylacyjny, gdy R < 2 Składowa

swobodna

napięcia

odpowiada

charakterem

zmian

L . C

składowej

swobodnej prądu, a wielkości te są wyrażone zależnościami

Marek

Pilawski

Strona 397

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki uC =

U 0 e −bt

ω

(b sin ωt + ω cos ωt )

(6.244)

U 0 e − bt i= sin ωt ωL

(6.245)

gdzie wielkości b i ω są określone wzorem (6.232). Korzystając z odpowiednich przekształceń trygonometrycznych oraz zależności (6.232) można również napisać, że

uC = − gdzie tgδ = Przebiegi

ω b

U 0 e −bt

ω LC

sin (ωt + δ )

6.246)

.

wartości

chwilowych

napięcia

uC

rozładowania

oscylacyjnego

kondensatora oraz prądu takiego rozładowania przedstawiono na rys. 6.86. W przypadku

braku

tłumienia

uzyskuje

się

w

takim

przypadku

przebiegi

sinusoidalne niegasnące prądu i napięcia przesunięte w fazie względem siebie o kąt 90°. Przebiegi przedstawione na rys. 6.82, 6.83, 6.84, 6.85, 6.86 i 6.89 obserwuje się nie tylko w układach elektrycznych, lecz również w układach mechanicznych. W tych ostatnich dotyczą one odchylenia części ruchomej w funkcji czasu. Ruch części ruchomych jest możliwy w układach mechanicznych, gdy składają się one z elementów sprężystych, tłumiących i mas bezwładnych. W takich układach energia

mechaniczna

jest

magazynowana

w

postaci

energii

potencjalnej

napiętych sprężyn lub w postaci energii kinetycznej elementów bezwładnych.

6.5.4 Transformator powietrzny Transformator jest to układ elektryczny dwuobwodowy, w którym energia może się przenosić z jednego obwodu do drugiego za pośrednictwem pola magnetycznego z wykorzystaniem zjawiska indukcji elektromagnetycznej. Transformator powietrzny składa się z dwóch cewek sprzężonych magnetycznie (rys. 6.87). Prąd sinusoidalnie zmienny w obwodzie pierwotnym

i1 = I m1 sin ωt

(6.245)

indukuje na zaciskach pierwszej cewki siłę elektromotoryczną

Marek

Pilawski

Strona 398

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki e1 = − L1

di1 = −ωL1 I m1 cos ωt dt

(6.246)

Dzięki sprzężeniu magnetycznemu, na zaciskach drugiej cewki jest indukowana siła elektromotoryczna

e2 = − M

di1 = −ωMI m1 cos ωt dt

(6.247)

Rys. 6.87 Układ dwóch cewek sprzężonych magnetycznie. Transformator powietrzny

Siła elektromotoryczna e2 jest napięciem źródłowym w obwodzie wtórnym, pod wpływem której płynie w tym obwodzie prąd i2. Jeśli R2 >> ωL2, to przebieg czasowy prądu i2 będzie przesunięty w fazie względem przebiegu prądu i1 o kąt 90°. Jeśli natomiast R2 α arcsin

n1 n

(9.77)

Fala prowadzona unosi z sobą energię promieniowania świetlnego w obrębie warstwy światłowodowej. Dokładna analiza wykazuje, że energia promieniowania elektromagnetycznego

jest

prawie

całkowicie

prowadzona

w

obszarze

o

współczynniku załamania n (w obszarze rdzenia), gdy (rys. 9.37c)

n2 = n(1 − A)

(9.78)

gdzie

3  2λ  A=   4 b 

2

(9.79)

przy czym λ — długość fali promieniowania w powietrzu, b — szerokość rdzenia światłowodu. Dla większości światłowodów λ/b ω02 , a = b 2 − ω 02 y = e −bx (C1 x + C 2 ), gdy b 2 > ω 02 , a = 0 y = Ce −bx sin (ax + ϕ ), gdy b 2 < ω 02 , a = ω 02 − b 2

Strona 634

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

F. Całka oznaczona Przyjmijmy, że w układzie współrzędnych prostokątnych jest opisana funkcja f (x) zilustrowana graficznie na rys. F.1. Interesować nas będzie pole powierzchni zawartej w granicach od x1 do x2 między krzywą będącą obrazem przebiegu funkcji, a osią x. W celu obliczenia przybliżonej wartości pola tej powierzchni odcinek x1 x 2 podzielimy na n odcinków ∆xi. Otrzymuje się w ten sposób n prostokątów o podstawach ∆x1, ∆x2, ∆x3,... ∆xn i o wysokościach odpowiednio y1, y2, y3 ... yn. Pole S rozpatrywanej powierzchni jest w przybliżeniu równe sumie pól prostokątów

S = y1∆x1 + y 2 ∆x2 + y3 ∆x3 + ... + y n ∆x n

(F.1)

Wzór (F.1) można zapisać również w postaci

Rys. F.1 Interpretacja geometryczna całki oznaczonej n

S ≈ ∑ yi ∆xi

(F.2)

i =1 n

gdzie znak

∑

jest symbolem sumy n składników.

i =1

Obliczona wartość S pola powierzchni nie jest dokładna. Dokładność jednak zwiększa się wraz ze zmniejszaniem odcinków ∆xi i zwiększeniem ich liczby. W granicy możemy dojść do nieskończenie wielkiej liczby nieskończenie małych odcinków dx, na które odcinek x1 x 2 zostanie podzielony. Pole powierzchni, zawartej między rozpatrywaną krzywą, a osią x, zawartej w przedziale od x1 do x2 jest więc też granicą, do której dąży suma iloczynów ydx = f (x) dx. Tę granicę nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x) w przedziale [x1, x2] i oznaczamy x2

∫ f (x )dx

(F.3)

x1

Marek

Pilawski

Strona 635

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Funkcję f (x) nazywamy funkcją podcałkową, wyznaczanie wartości całki nazywamy całkowaniem, a x1 i x2 — dolną i górną granicą całkowania. Obliczenie wartości całki oznaczonej nie wymaga obliczania granic odpowiednich sum, lecz może być oparte na znajomości całki nieoznaczonej. Obliczenie wartości całki oznaczonej wymaga : — wyznaczenia funkcji F (x) będącej całką funkcji f (x) (patrz dodatek E) — wyznaczenia wartości funkcji F (x2) dla górnej granicy całkowania — wyznaczenia wartości funkcji F (x1) dla dolnej granicy całkowania — obliczenia różnicy wartości F (x2) — F (x1) będącej wartością całki oznaczonej x2

∫ f (x )dx = F ( x ) − F ( x ) 2

1

(F.4)

x1

Należy zwrócić uwagę na to, że wartość stałej całkowania nie ma wpływu na wynik obliczenia całki oznaczonej. Rozwiązywanie wielu zagadnień z dziedziny elektrotechniki wymaga rozwiązania całki oznaczonej. Zwykle funkcja podcałkowa opisuje pewną wielkość fizyczną, np. siłę (p. 1.2) lub prąd (p. 7.5), a powierzchnia zawarta pod krzywą, będącą obrazem graficznym danej wielkości, ma również swój sens fizyczny, np. praca — wzór (1.7) — lub ładunek — wzór (7.10). W omawianych przypadkach obliczanie całki oznaczonej umożliwia obliczenie pracy wykonanej przez siły zmienne na drodze działania lub ładunek przepływający w zadanym czasie przez przekrój poprzeczny przewodu wiodącego prąd zmienny. Całka oznaczona umożliwia również obliczenie wartości średniej Wśr funkcji podcałkowej w zadanym przedziale, zgodnie ze wzorem x2

∫ f (x )dx

W śr =

x1

x2 − x1

=

F ( x2 ) − F ( x1 ) x2 − x1

(F.5)

Z wartości średniej funkcji podcałkowej korzysta się między innymi przy obliczaniu wartości średniej prądu i napięcia — wzór (7.12) — i wartości skutecznej prądu i napięcia — wzór (7.13), pracy wykonanej przez siły

Marek

Pilawski

Strona 636

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki elektryczne — wzór (1.5) — oraz energii pól wytworzonych przez kondensatory i cewki — wzory (6.35) i (6.115). Na przykład, zastępując przyrosty skończone ∆ przyrostami nieskończenie małymi d wzór (1.5) na pracę sił elektrycznych można przedstawić w postaci różniczkowej

dW = Fdr a wyrażając siłę F wzorem Coulomba

dW =

Qq 4πε r ε 0 r 2

dr

Pracę wykonaną na odcinku od r1 do r2 oblicza się ze wzoru r2

W =∫ r1

Qq 4πε r ε 0 r

2

dr =

Qq 4πε r ε 0

r2

1

∫r

2

dr

r1

Po wykonaniu obliczeń — patrz wzór (1.7)

W =

Qq  1 1   −  4πε r ε 0  r1 r2 

W podobny sposób oblicza się energię pola elektrycznego wytworzonego między okładzinami kondensatora. W tym celu zależność

∆We = U∆Q zapisujemy w postaci

dWe = UdQ Ponieważ U =

Q , to C dWe =

Q dQ C

Energię pola elektrycznego oblicza się z całki oznaczonej Q

QdQ C 0

We = ∫

której obliczenie prowadzi do wzoru (6.35).

Marek

Pilawski

Strona 637

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Również przy obliczeniu energii pola magnetycznego zależność (6.113) zapisujemy w postaci

dWm = IdΨ a ponieważ I =

Ψ to L Ψ dΨ L

dWm =

Energię pola magnetycznego oblicza się z całki oznaczonej Ψ

ΨdΨ L 0

Wm = ∫

której obliczenie prowadzi do wzoru (6.115). W przypadku obliczania wartości średniej prądu sinusoidalnego należy obliczyć najpierw wielkość ładunku Q przenoszonego przez ten prąd w czasie połowy okresu (w czasie T/2). Wielkość tego stosunku wyraża się wzorem T 2

Q = ∫ idt 0

i jest określona przez pole powierzchni zawartej pod dodatnią połówką sinusoidy. Jeśli i = Imsin ωt — patrz wzór (7.9), to T 2

Q = I m ∫ sin ωtdt 0 T 2

Ponieważ

∫ sin ωtdt = 0

− cos ωt

T 2

ω

0

=

2

ω

,a ω =

2π , to T

ostatecznie — patrz wzór (7.10)

Q=

I mT

π

Podobnie postępuje się przy obliczaniu wartości skutecznej prądu. Na podstawie definicji wartości skutecznej prądu można napisać, że T 2

RI 2

Marek

Pilawski

T Ri 2tdt ∫ 20

Strona 638

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki a ponieważ i = Imsin ωt, to T 2

RI 2

T = RI m2 ∫ sin 2 ωtdt 2 0

Obliczając całkę T 2

∫ sin 0

T 2

2

1T 1 1  ωtdt = ∫  − cos 2 ωt dt = 2 2 22  0

otrzymuje się równanie

I2

T 1 2T = Im 2 2 2

które prowadzi do zależności (7.13).

G. Całka krzywoliniowa ) Niech po łuku S porusza się punkt materialny P (rys. G.1). Niech na punkt P działa siła nie stała (patrz dodatek C.1, rys. C1b), lecz siła zmienna F (x, y), zmieniająca wraz z położeniem punktu P swą wartość i kierunek. Pracę W ∩

wykonaną przez siłę F (x,y) na drodze łuku PR oblicza się z całki krzywoliniowej

W = ∫ F ( x, y )dl ∩

PR

dl — element łuku S. Siłę F (x,y) działająca na punkt materialny można rozłożyć na składową Fx (x,y) działającą w kierunku osi x i składową Fy (x, y) działającą w kierunku osi y. Łuk elementarny dl można przybliżyć cięciwą ds, która ma składowe dx i dy. Pracę wyrażoną wzorem (G.1) można wyrazić sumą prac wykonanych przez siłę Fx (x,y) na drodze dx i siłę Fy (x, y) na drodze dy. A zatem

∫ F ( x, y )dl = ∫ [F ( x, y)dx + F ( x, y)dy ] x

Marek

Pilawski

∩

∩

PR

PR

y

(G.2)

Strona 639

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

Rys. G.1 Rysunek wyjaśniający zasadę obliczania całki krzywoliniowej

Jeśli pracę obliczamy na drodze zamkniętej o długości l, to pracę można obliczyć ze wzoru ogólnego

W = ∫ Fdl

(G.3)

l

Symbol

∫

oznacza

całkę

krzywoliniową

na

drodze

zamkniętej

zwaną

cyrkulacją. W omawianym przypadku mamy do czynienia z cyrkulacją wektora siły. Wzory (G.1)... (G.3) wyrażają również sens wzoru (1.36), jeśli przyjmie się, że natężenie E pola elektrycznego określa liczbową wartość siły działającej na ładunek elektryczny jednostkowy wprowadzony do tego pola. Patrz również wzór (1.40). W związku z tym twierdzenie Stokesa można wyrazić za pomocą wzoru ogólnego

∫ Edl = 0

(G.4)

i

a wzór (1.37) przyjmuje postać

∫ Edl + ∫ Edl = 0 Podobnie

opisuje

się

cechę

∩

∩

ACB

BDA

wirowości pola

(G.5) magnetycznego. W

ogólnym

przypadku prawo Ampere'a — patrz wzór (1.40) — można wyrazić w postaci

∫ Hdl = 0

(G.6)

l

W przypadku gdy natężenie pola magnetycznego jest na stałe na drodze l, to wzór (G.6) upraszcza się do postaci wzoru (1.40). Patrz również przykłady 6.12 i 6.13.

Marek

Pilawski

Strona 640

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

H. Całka powierzchniowa Całka krzywoliniowa i cyrkulacja, będąca szczególnym przypadkiem całki krzywoliniowej, są określone w przestrzeni dwuwymiarowej (na płaszczyźnie). Całka powierzchniowa jest odpowiednikiem całki krzywoliniowej w przestrzeni. Funkcja określona w przestrzeni jest funkcją trzech zmiennych F (x,y,z). Całka powierzchniowa oznacza całkowanie funkcji F (x,y,z) po powierzchni S

∫ F (x, y, z )dS

(H.1)

S

Zmienne x,y,z są ze sobą związane równaniem ogólnym z = f (x,y) opisującym powierzchnię S. Całkę powierzchniową można więc przedstawić w postaci całki podwójnej

∫ F (x, y, z )dS = ∫ F [x, y, f (x, y )]dxdy S

(H.2)

S

dx, dy — pole powierzchni elementarnej. Jeśli powierzchnia S jest powierzchnią zamkniętą, np. powierzchnią kuli, to całkę powierzchniową przedstawia się w postaci

∫ F (x, y, z )dS S

Całka

powierzchniowa

krzywoliniowa.

O

jest

całką

zorientowaną,

znaku całki powierzchniowej

podobnie

decyduje

jak

całka

kierunek obiegu

powierzchni po linii brzegowej. Całka powierzchniowa jest dodatnia, jeśli kierunek obiegu linii brzegowej powierzchni jest dodatni, tzn. przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Dlatego też strumień wektora indukcji elektrycznej lub magnetycznej może mieć wartość dodatnią, gdy strumień „wychodzi" na zewnątrz powierzchni, a ujemną, gdy wnika do powierzchni „z zewnątrz". Całka powierzchniowa służy w szczególności do określania cechy bezźródłowości pola magnetycznego. W przypadku, gdy wektor indukcji magnetycznej nie jest jednakowy w każdym punkcie powierzchni, przez którą przenika, wzór (1.35) przedstawia się w postaci

∫ BdS = 0 S

Marek

Pilawski

Strona 641

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki Jeśli powierzchnię zamkniętą S przedstawi się w postaci dwu powierzchni otwartych S1 i S2 o wspólnej linii brzegowej, to powyższy wzór można przedstawić — analogicznie jak wzór (1.35) — w postaci

∫ Bds + ∫ Bds = 0 S1

S2

w której pierwszy człon reprezentuje strumień magnetyczny Ψ1 przenikający przez powierzchnię S1, a drugi — strumień magnetyczny Ψ2 przenikający przez powierzchnię S2.

Marek

Pilawski

Strona 642

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki amper (A) jest to wartość prądu µ0 I 2l elektrycznego I nie zmieniającego się, który Fed = 2πd płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich l = 1 m; d =1 m; przewodach o przekroju kołowym znikomo małym, umieszczonych w próżni w odległości Fed = 2· 10-7 N jednego metra od siebie, wywołały między -7 tymi przewodami siłę Fed równą 2 • 10 niutona na każdy metr długości

(5.100)

amper na metr kwadratowy (A · m-2) jest 1 A · m-2 = 1 A · (1 m)-2 to gęstość prądu elektrycznego J I J= występująca, gdy prąd jednego ampera S rozkłada się równomiernie na powierzchni (5.46), (6.10) jednego metra kwadratowego, prostopadłej do kierunku tej gęstości prądu elektrycznego 1) kulomb (C) jest to ładunek elektryczny Q przepływający w czasie jednej sekundy przez powierzchnię, gdy prąd elektryczny płynący przez tę powierzchnię wynosi jeden amper 2) kulomb (C) jest to strumień elektryczny Ψ (strumień indukcji elektrycznej) przez powierzchnię zamkniętą stanowiącą brzeg obszaru, w którym znajduje się swobodny ładunek elektryczny o wartości jednego kulomba kulombometr (C · m) jest to moment dipola elektrycznego p (moment dipolowy elektryczny) utworzonego przez dwa ładunki różnoimienne o wartościach jednego kulomba każdy, znajdujące się w odległości jednego metra od siebie

1 C = 1A · 1s Q = Jt m = kQ patrz p. 1.4.2

(5.3)

k

Ψ = ∑ Qk

(1.34)

n =1

1C·m=1C·1m p = ql

(5.10)

1 C · m-2 = 1 C · (1 m)-2 1) kulomb na metr kwadratowy (C · m-3) jest to indukcja elektryczna D, przy której na powierzchni przewodnika równej jeden metr kwadratowy, prostopadłej do linii pola elektrycznego, indukuje się ładunek elektryczny jednego kulomba 2) kulomb na metr kwadratowy jest to jednostka gęstości powierzchniowej ładunku elektrycznego σp

D = ε 0E

Jednostką polaryzacji P jest także kulomb na metr kwadratowy

P = χε 0 E P =σp

Pilawski

(5.16) (5.15)

Patrz przykład 1.8; 1.9; 1.10

P=

Marek

(1.28)

Q S

Strona 643

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki wolt (V) jest to napięcie elektryczne U (siła 1V= 1W · (1A)-1 elektromotoryczna E, potencjał elektryczny V, różnica potencjałów elektrycznych) W = QU występujące między dwiema powierzchniami ekwipotencjalnymi jednorodnego przewodu P = UI prostoliniowego, w którym płynie nie zmieniający się prąd jednego ampera, a moc wydzielana przez przewód między tymi powierzchniami jest równa jednemu watowi (1W) 1 V · m-1 = 1 V · (1 m)-1

(1.11) (6.8)

Q

wolt na metr (V · m-1) jest to równomierne E = (1.3) 4πε 0ε r r 2 pole elektryczne (natężenie pola elektrycznego E), w którym różnica ∆U (1.39), E=− potencjałów między dwiema płaszczyznami ∆r ekwipotencjalnymi odległymi od siebie o jeden (6.12) metr wynosi jeden wolt Patrz przykład: 1.7; 1.8; 1.9; 1.10; 1.11 farad (F) jest to pojemność elektryczna C, jaką ma kondensator, w którym między elektrodami występuje napięcie elektryczne jednego wolta, gdy znajdują się na nich różnoimienne ładunki elektryczne o wartości jednego kulomba każdy

1F=1C · (1V)-1

C=

Q U

(6.32)

Patrz p. 6.3.1

farad na metr (F · m-1) jest to 1 F · m-1 = 1 C · m-1 · 1 V · m-1=1C · Vprzenikalność elektryczna (bezwzględna) 1 · m-1 = ε środowiska izotropowego, w którym polu 1 A · s ·1V-1 · m-1 elektrycznemu o wartości jednego wolta na metr odpowiada indukcja elektryczna jednego ε = 8,86 ⋅ 10 −12 F ⋅ m −1 0 kulomba na metr kwadratowy

om (Ω) jest to opór elektryczny R między dwiema powierzchniami ekwipotencjalnymi przewodu jednorodnego prostoliniowego, gdy niezmienne napięcie elektryczne jednego wolta występujące między tymi powierzchniami wywołuje w tym przewodzie prąd elektryczny o wartości jednego ampera

1 Ω = 1 V · (1 A)-1 Jednostkę stosuje się do wyrażenia: rezystancji R, reaktancji X i impedancji Z

R=

U I

1 ωC X L = ωL U Z= I

XC =

(7.1) (6.57) (6.140) (7.16)

omometr (Ω·m) jest to opór elektryczny 1 Ω · m = 1 Ω · 1 m2 · (1 m)-1 właściwy, (rezystywność), jaki ma jednorodny l (5.42) przewodnik, gdy wykonany z niego przewód o R = ρ S przekroju poprzecznym jednego metra (6.40) RC = ρε kwadratowego i długości jednego metra ma opór elektryczny jednego oma

Marek

Pilawski

Strona 644

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

simens (S) jest to przewodność elektryczna G przewodu o oporze elektrycznym jednego oma

1 S = (1 Ω )-1 Jednostkę stosuje się do wyrażania: konduktancji G, susceptancji B i admitancji Y

G=

1 R

Patrz przykład 7.5 Patrz rys. 9.16 simens na metr (S · m-1) jest to 1 S · m-1 = (1 Ω · m)-1 przewodność elektryczna właściwa 1 γ = (konduktywność) γ przewodnika ρ jednorodnego o oporze elektrycznym właściwym (rezystywności) jednego omometra

(5.43)

weber (Wb) jest to strumień magnetyczny 1 Wb = 1 V · 1s Strumień skojarzony z Φ (strumień indukcji magnetycznej), który obwodem o z zwojach malejąc jednostajnie do zera w czasie jednej sekundy indukuje silę elektromotoryczną Ψ = zΦ jednego wolta w obejmującym ten strumień magnetyczny obwodzie zamkniętym (1.31) Ψ = BS jednozwojowym wykonanym z przewodu o dΨ (5.91) e=− przekroju kołowym znikomo małym

dt

tesla (T) jest to indukcja magnetyczna B pola magnetycznego równomiernego, przy której na przekrój poprzeczny jednego metra kwadratowego tego pola przypada strumień magnetyczny o wartości jednego webera

amper na metr (A · m-1) jest to pole magnetyczne H (natężenie pola magnetycznego), jakie występuje na powierzchni bocznej walca kołowego o obwodzie jednego metra, stycznie do powierzchni bocznej tego walca, prostopadle do jego tworzącej, gdy przez znajdujący się w osi tego walca przewód prostoliniowy nieskończenie długi o przekroju kołowym znikomo małym płynie nie zmieniający się prąd o wartości jednego ampera

1 T = 1 Wb · (1 m2)-1

B=

Ψ S

(1.31)

B = µ0 H

(1.29)

Patrz przykład 5.10 Patrz rys. 5.39

1 A · m-1 = 1 A · (1 m)-1

H=

I 2πr

Patrz

przykład

1.12

oraz

5.7 Jednostkę stosuje się również do wyrażania magnetyzacji J (5.60) J = χH

1 H = 1 V · [1 A · (1 s)-1= ]-1= 1 V · s · henr (H) jest to indukcyjność L obwodu, w (1 A)-1 którym indukuje się siła elektromotoryczna Indukcyjność wzajemna obwodów M jednego wolta, gdy prąd elektryczny płynący Patrz przykłady 6.26...6.31 w tym obwodzie zmienia się jednostajnie o jeden amper w czasie jednej sekundy M=k LL (6.126) 1

Ψ L= I

Marek

Pilawski

2

(6.111)

Strona 645

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki henr na metr (H · m-1) jest to 1 H · m-1 = 1T · (1 A · m-1)-1 = przenikalność magnetyczna (bezwzględna) = 1 T · (1 A)-1 · 1 m µ środowiska izotropowego, w którym polu magnetycznemu o wartości jednego ampera µ0 = 4π · 10-7 H · m-1 na metr odpowiada indukcja magnetyczna jednej tesli amper (A) jest to siła magnetomotoryczna (1.40) Θ (przepływ) występująca wzdłuż dowolnej Θ = HI krzywej zamkniętej stanowiącej brzeg powierzchni, gdy przez tę powierzchnię (1.41) przenika jeden przewód z niezmieniającym się Θ = Iz prądem elektrycznym o wartości jednego ampera U=1N·1m Jednostkę stosuje się do wyrażania każdej postaci energii. Jeden dżul jest równy pracy, jaką wykonuje prąd elektryczny o mocy jednego wata w czasie jednej sekundy dżul (J) jest to energia W równa pracy 1J=1W·1s wykonanej przez siłę jednego niutona w kierunku jej działania, na drodze o długości jednego metra

1 CU 2 2 1 Wm = LI 2 2 Wm = RI 2 t We =

(6.36) (6.116) (6.1) -1

wat (W) jest to moc P, przy której praca jednego dżula wykonana jest w czasie jednej sekundy

1 W = 1 J · (1 s ) Jednostkę stosuje się do wyrażania mocy różnych postaci energii. Jeden wat jest mocą, jaka zostaje wydzielona przy przepływie prądu o wartości jednego ampera pod wpływem napięcia jednego wolta 1W=1A·1V

P = UI

P = RI 2

(6.8)

metr (m) jest to długość l równa 1 650 763,73 długości fali w próżni promieniowania Patrz p. 4.1 odpowiadającego przejściu między poziomami 2p10 a 5d5 atomu 86K (kryptonu 86) sekunda (s) jest to czas t równy 9 192 631 770 okresów promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu 133Cs (cezu 133)

Patrz p. 4.1

radian (rad) jest to kąt płaski α zawarty między dwoma promieniami koła wycinającymi 1 rad = 1 m · (1 m)-1 = 1 z jego okręgu łuk o długości równej promieniowi tego koła

Marek

Pilawski

Strona 646

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki 1 Hz = 1 s-1 herc (Hz) jest to częstotliwość f zjawiska okresowego, którego okres jest równy jednej sekundzie

f = f =

1 T

(4.7)

1 2π LC

(4.70)

1 rad · s-1 = 1 rad · (l s)-1 radian na sekundę (rad · s-l) jest to prędkość kątowa ω, z jaką poruszający się po okręgu kola punkt zakreśla łuk odpowiadający kątowi jednego radiana w czasie jednej sekundy kelwin (K) jest to 1/273,16 temperatury T termodynamicznej punktu potrójnego wody

niuton (N) jest to siła F, jaka w kierunku jej działania nadaje jednego kilograma przyspieszenie jednego metra na kwadrat sekundy

Marek

Pilawski

ω = 2πf 1 ω= LC

(4.6) (4.70)

Oznaczenie temperatury w skali Celsjusza: ϑ

ε = σT 4

(4.68)

1N = 1 kg · 1 m · 1 s-2

Strona 647