Finanzmathematik 3834902705, 9783834902702, 3834902705 [PDF]

Zitiervorschau

Kirsten Wüst Finanzmathematik

Kirsten Wüst

Finanzmathematik Vom klassischen Sparbuch zum modernen Zinsderivat

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dr. Kirsten Wüst ist Professorin für Wirtschaftsmathematik und Statistik an der Hochschule Pforzheim, Hochschule für Gestaltung, Technik, Wirtschaft und Recht.

1. Auflage 1976 .

1. Auflage September 2006 Alle Rechte vorbehalten © Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Katrin Alisch Der Gabler Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN-10 3-8349-0270-5 ISBN-13 978-3-8349-0270-2

Vorwort

Vorwort

Dieȱ Finanzmathematikȱ stelltȱ eineȱ derȱ wenigenȱ mathematischenȱ Disziplinenȱ dar,ȱ dieȱ fürȱjedenȱimȱAlltagȱrelevantȱist.ȱFastȱjederȱbesitztȱheuteȱeinȱSparbuchȱoderȱeinȱTagesȬ geldkonto,ȱaufȱdemȱerȱseineȱüberschüssigenȱGeldreservenȱanlegt.ȱAndererseitsȱbenötiȬ genȱvieleȱMenschenȱimȱLaufeȱdesȱLebensȱirgendwannȱeinmalȱauchȱfremdeȱMittel,ȱetwaȱ zurȱFinanzierungȱeinerȱAnschaffungȱoderȱeinesȱBauprojektsȱundȱnehmenȱeinenȱKreditȱ auf.ȱAngesichtsȱderȱVielzahlȱvonȱMöglichkeitenȱzurȱGeldanlageȱundȱKreditaufnahmeȱ beiȱ denȱ verschiedenenȱ Bankenȱ undȱ Institutionen,ȱ istȱ esȱ dabeiȱ fürȱ denȱ Verbraucherȱ durchausȱvonȱInteresse,ȱeinȱAngebotȱprüfenȱundȱbewertenȱsowieȱverschiedeneȱAngeȬ boteȱvergleichenȱzuȱkönnen.ȱZielȱeinerȱfinanzmathematischenȱAusbildungȱistȱesȱdaher,ȱ demȱLernendenȱalsȱpotentiellemȱBankkundenȱdasȱWissen,ȱvorȱallemȱaberȱdasȱmethoȬ discheȱ Vorgehenȱ zurȱ Bewertungȱ undȱ kritischenȱ Prüfungȱ vonȱ Finanzproduktenȱ zuȱ vermitteln.ȱ Dasȱ vorliegendeȱ Buchȱ folgtȱ einemȱ weitgehendȱ klassischenȱ Aufbauȱ derȱ finanzmatheȬ matischenȱ Themen,ȱ derȱ umȱ einenȱ genauerenȱ Blickȱ aufȱ dieȱ zurȱ Verfügungȱ stehendenȱ Finanzinstrumenteȱergänztȱist.ȱZunächstȱwirdȱinȱdieȱProduktpaletteȱvonȱFinanzinstituȬ tenȱ undȱ dieȱ Grundbegriffeȱ derȱ Finanzinstrumenteȱ eingeführt.ȱ Nachȱ einerȱ BereitstelȬ lungȱderȱbenötigtenȱmathematischenȱGrundlagenȱerfolgtȱeineȱEinführungȱinȱdieȱZinsȬ rechnungȱ sowieȱ dieȱ Betrachtungȱ desȱ zentralenȱ Konzeptsȱ derȱ Barwertberechnung.ȱ Anwendungenȱ inȱ derȱ InvestitionsȬ,ȱ RentenȬ,ȱ TilgungsȬȱ sowieȱ KursȬȱ undȱ RenditerechȬ nungȱwerdenȱdiskutiert.ȱDenȱAbschlussȱbildetȱeinȱKapitelȱüberȱmoderneȱZinsderivate.ȱ DerivativeȱGeschäfteȱwerdenȱzurȱAbsicherungȱundȱSpekulationȱheuteȱvonȱvielenȱUnȬ ternehmen,ȱ aberȱ auchȱ bereitsȱ vonȱ Privatkundenȱ getätigt.ȱ Derȱ Leserȱ erhältȱ soȱ einenȱ Überblickȱ überȱ einȱ sehrȱ modernesȱ undȱ zunehmendȱ bedeutenderesȱ Marktsegment.ȱ WegenȱderȱGesamtausrichtungȱdesȱBuchesȱaufȱZinsinstrumente,ȱwirdȱdieȱEinführungȱ inȱDerivateȱamȱBeispielȱvonȱZinsderivatenȱvorgenommen.ȱȱ Dieȱ einzelnenȱ Kapitelȱ hängenȱ wieȱ inȱ Abbildungȱ 0Ȭ1ȱ dargestelltȱ miteinanderȱ zusamȬ men.ȱȱ DidaktischȱfolgtȱdasȱBuchȱweitgehendȱeinemȱinduktivenȱAufbau.ȱÜberȱBeispieleȱwirdȱ zurȱTheorieȱübergeleitet.ȱEinȱBeispielȱistȱfürȱvieleȱLernendeȱleichterȱnachzuvollziehenȱ alsȱeineȱtheoretischeȱEinführung.ȱDurchȱdenȱ„AhaȬEffekt“ȱimȱBeispielȱistȱderȱLeserȱaufȱ dieȱtheoretischenȱHintergründeȱvorbereitetȱundȱwirdȱfürȱ dieseȱsehrȱvielȱaufnahmefäȬ higer.ȱ Dieȱ angeführtenȱ Beispieleȱ könnenȱ beiȱ einerȱ Verwendungȱ desȱ Buchesȱ zumȱ Selbststudiumȱ auchȱ alsȱ Übungsaufgabenȱ genutztȱ werden.ȱ Esȱ istȱ daherȱ sinnvoll,ȱ zuȬ nächstȱzuȱversuchen,ȱdieȱBeispieleȱselbstständigȱzuȱlösen.ȱErstȱdannȱsollteȱdieȱLösungȱ herangezogenȱ werden.ȱ Derȱ Lerneffektȱ wirdȱ dadurchȱ wesentlichȱ erhöht.ȱ Einȱ solchesȱ Vorgehenȱistȱimmerȱdannȱzuȱempfehlen,ȱwennȱdasȱvorgestellteȱBeispielȱinȱAufgabenȬ ȱ

V

Vorwort

textȱundȱLösungȱaufgeteiltȱist.ȱZurȱbesserenȱTrennungȱvomȱweiterenȱTextȱwerdenȱdieȱ BeispieleȱmitȱeinemȱkleinenȱQuadratȱ(Ƒ) abgeschlossen.ȱ JedemȱKapitelȱsindȱLernzieleȱvorangestellt.ȱDerȱLeserȱerhältȱsoȱeinenȱerstenȱEindruckȱ vonȱdemȱzuȱlernendenȱStoffȱundȱkannȱsichȱspäterȱselbstȱhinsichtlichȱderȱZielerreichungȱ kontrollieren.ȱDieȱKapitelȱwerdenȱmitȱÜbungenȱundȱPartnerinterviewsȱabgeschlossen.ȱ Zielȱ einesȱ Partnerinterviewsȱ istȱ es,ȱ mitȱ eigenenȱ Wortenȱ dasȱ Gelernteȱ nochȱ einmalȱ zuȱ erläuternȱundȱsoȱbesserȱzuȱverinnerlichen.ȱLernpsychologischeȱUntersuchungenȱbestäȬ tigen,ȱ dassȱ hierdurchȱ eineȱ stärkereȱ Auseinandersetzungȱ mitȱ demȱ Gelerntenȱ undȱ daȬ durchȱ einȱ besseresȱ Verständnisȱ gefördertȱ wird.ȱ Dieȱ Vorgehensweiseȱ istȱ beimȱ erstenȱ Partnerinterviewȱerläutert.ȱ DasȱvorliegendeȱBuchȱistȱausȱeinerȱVorlesungȱanȱderȱHochschuleȱPforzheimȱhervorgeȬ gangen.ȱDurchȱdenȱdidaktischenȱAufbauȱistȱesȱaberȱsoȱkonzipiert,ȱdassȱdieȱInhalteȱimȱ Selbststudiumȱ erarbeitetȱ werdenȱ können.ȱ Esȱ eignetȱ sichȱ somitȱ sowohlȱ vorlesungsbeȬ gleitendȱ fürȱ dieȱ Lehreȱ anȱ Universitäten,ȱ Fachhochschulenȱ undȱ Berufsakademien,ȱ wieȱ auchȱ fürȱ dieȱ Ausbildungȱ imȱ Finanzsektorȱ undȱ fürȱ dasȱ Selbststudiumȱ interessierterȱ Bankkunden.ȱ MeinȱDankȱgiltȱdemȱGablerȬVerlagȱfürȱdieȱAufnahmeȱdesȱTitelsȱinsȱVerlagsprogrammȱ undȱinsbesondereȱFrauȱKatrinȱAlischȱfürȱdieȱfreundlicheȱUnterstützung.ȱȱ IchȱdankeȱmeinenȱKollegen,ȱengagiertenȱStudierendenȱundȱFreundenȱfürȱKorrekturenȱ undȱ Anregungenȱ zuȱ Verbesserungenȱ undȱ besondersȱ meinemȱ Mannȱ Volkerȱ fürȱ seineȱ UnterstützungȱsowieȱmeinerȱTochterȱAnnȬSophieȱfürȱihrȱLachen.ȱ

Abbildungȱ0Ȭ1:ȱ

InhaltlicherȱZusammenhangȱderȱeinzelnenȱKapitelȱ Kap. 2: Math. Grundlagen

Kap. 1: Zinsfinanzinstrumente

Kap. 9: Zinsderivate

VI

ȱ

Kap. 3: Zinsrechnung

Kap. 4: Barwertprinzip

Kap. 5: Investitionsrechnung

Kap. 6: Rentenrechnung

Kap. 8: Kurs-/ Renditerechnung

Kap. 7: Tilgungsrechnung

ȱ

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

VORWORT ...................................................................................................................V INHALTSVERZEICHNIS.............................................................................................VII ABBILDUNGSVERZEICHNIS ................................................................................... XV TABELLENVERZEICHNIS ..................................................................................... XVII

1

ZINSFINANZINSTRUMENTE ............................................................................ 1

1.1

Lernziele .....................................................................................................................1

1.2

Klassifikation von Finanzinstrumenten ...................................................................1 1.2.1 Kapitalanlage oder Kapitalaufnahme .......................................................................2 1.2.2 Laufzeit....................................................................................................................3 1.2.3 Handelbarkeit...........................................................................................................4 1.2.4 Behandlung von Zinszahlungen...............................................................................5 1.2.4.1 Gutschrift von Zinszahlungen ..........................................................................5 1.2.4.2 Auszahlung von Zinsen....................................................................................6 1.2.5 Art der Verzinsung ...................................................................................................7

1.3

Finanzinstrumente zur Geldanlage ........................................................................10 1.3.1 Kontoanlagen.........................................................................................................10 1.3.1.1 Girokonto ....................................................................................................... 11 1.3.1.2 Sparbuch ........................................................................................................ 11 1.3.1.3 Tagesgeldkonto .............................................................................................. 11 1.3.1.4 Festgelder.......................................................................................................12 1.3.1.5 Sparbriefe.......................................................................................................12 1.3.2 Wertpapiere............................................................................................................13

1.4 1.4.1 ȱ

Finanzinstrumente zur Geldaufnahme ..................................................................14 Laufzeit und Verzinsung ........................................................................................15 VII

Inhaltsverzeichnis

1.4.2 Kreditnehmer .........................................................................................................15 1.4.3 Tilgung...................................................................................................................16 1.4.4 Sicherheiten ...........................................................................................................16 1.4.4.1 Personalsicherheiten.......................................................................................16 1.4.4.2 Realsicherheiten.............................................................................................17 1.4.5 Kreditprodukte .......................................................................................................17 1.4.5.1 Dispositionskredit ..........................................................................................17 1.4.5.2 Konsumentenkredit ........................................................................................17 1.4.5.3 Baufinanzierungskredit ..................................................................................17 1.4.5.4 Kontokorrentkredit.........................................................................................18 1.4.5.5 Betriebsmittelkredit........................................................................................18 1.4.5.6 Investitionskredit............................................................................................18

1.5

2

Partnerinterview ......................................................................................................19

MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN ................................................................ 21

2.1

Lernziele ...................................................................................................................21

2.2

Potenzen und Logarithmen .....................................................................................22 2.2.1 Potenzfunktion.......................................................................................................22 2.2.2 Potenzgesetze.........................................................................................................22 2.2.3 Addition und Subtraktion von Potenzen ................................................................24 2.2.4 Potenzieren von Summen oder Differenzen...........................................................25 2.2.5 Wurzelfunktion ......................................................................................................25 2.2.6 Lösung von Potenzgleichungen .............................................................................26 2.2.6.1 Lösung der Potenzgleichung x n c .............................................................26 2.2.6.2 Quadratische Gleichungen .............................................................................27 2.2.7 Exponentialfunktion...............................................................................................28 2.2.8 Logarithmusfunktion..............................................................................................29 2.2.9 Logarithmusgesetze ...............................................................................................30 2.2.10 Lösung von Exponential- und Logarithmusgleichungen........................................32

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

VIII ȱ

Summen und Produkte............................................................................................33 Summensymbol .....................................................................................................33 Rechenregeln für Summen.....................................................................................34 Spezielle Summen..................................................................................................35 Produktsymbol .......................................................................................................37 Rechenregeln für Produkte.....................................................................................37

Inhaltsverzeichnis

2.4

Folgen und Reihen ...................................................................................................38 2.4.1 Eigenschaften von Folgen......................................................................................39 2.4.1.1 Monotonie......................................................................................................39 2.4.1.2 Beschränktheit ...............................................................................................41 2.4.1.3 Konvergenz ....................................................................................................42 2.4.1.4 Rekursive vs. explizite Definition..................................................................45 2.4.2 Spezielle Folgen.....................................................................................................46 2.4.2.1 Arithmetische Folge.......................................................................................46 2.4.2.2 Geometrische Folge .......................................................................................48 2.4.3 Reihen....................................................................................................................50

2.5

Partnerinterview ......................................................................................................54

2.6

Übungen....................................................................................................................55

3

ZINSRECHNUNG............................................................................................. 57

3.1

Lernziele ...................................................................................................................57

3.2

Einführung ...............................................................................................................58

3.3

Begriffe .....................................................................................................................59

3.4

Verzinsung über eine Periode..................................................................................60

3.5

Verzinsung über mehrere Perioden ........................................................................61 3.5.1 Notationen..............................................................................................................61 3.5.2 Geometrische Verzinsung ......................................................................................62 3.5.2.1 Endwertberechnung bei konstantem Zinssatz ................................................62 3.5.2.2 Barwertberechung bei konstantem Zinssatz...................................................64 3.5.2.3 Endwertberechnung bei unterschiedlichen Zinssätzen pro Periode................64 3.5.2.4 Barwertberechung bei unterschiedlichen Zinssätzen pro Periode ..................66 3.5.3 Lineare (einfache) Verzinsung ...............................................................................66 3.5.3.1 Lineare Verzinsung über n Perioden ..............................................................67 3.5.3.2 Verzinsung innerhalb einer Zinsperiode.........................................................68 3.5.3.3 Zinstagemethoden ..........................................................................................69 3.5.4 Konforme Zinssätze ...............................................................................................71 3.5.4.1 Linear proportionaler Zinssatz .......................................................................71

ȱ

IX

Inhaltsverzeichnis

3.5.4.2 Lineare Verzinsung ........................................................................................72 3.5.4.3 Geometrische Verzinsung...............................................................................73 3.5.4.4 Geometrisch proportionaler Zinssatz .............................................................75 3.5.5 Effektivzinssatz......................................................................................................76 3.5.6 Übersicht: Zinskonventionen .................................................................................79 3.5.7 Gemischte Verzinsung............................................................................................80

3.6

Stetige Verzinsung ....................................................................................................81

3.7

Partnerinterview ......................................................................................................83

3.8

Übungen....................................................................................................................84

4

BARWERTPRINZIP ......................................................................................... 87

4.1

Lernziele ...................................................................................................................87

4.2

Vergleich zweier Zahlungen ....................................................................................87

4.3

Zahlungsströme........................................................................................................90

4.4

Preise von Finanzinstrumenten ..............................................................................92

4.5

Partnerinterview ......................................................................................................93

4.6

Übungen....................................................................................................................93

5

INVESTITIONSRECHNUNG ............................................................................ 95

5.1

Lernziele ...................................................................................................................95

5.2

Einführung ...............................................................................................................95

5.3

Notationen und Begriffe ..........................................................................................97

X

ȱ

Inhaltsverzeichnis

5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3

5.5 5.5.1 5.5.2

5.6 5.6.1 5.6.2

Barwertmethode.......................................................................................................99 Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes .................................................99 Zur Wahl des Kalkulationszinssatzes ...................................................................100 Vergleich mehrerer Investitionsalternativen.........................................................102 Innerer Zinssatz .....................................................................................................103 Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes ...............................................103 Vergleich mehrerer Investitionsalternativen.........................................................106 Amortisationsdauer ...............................................................................................106 Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes ...............................................106 Vergleich mehrerer Investitionsalternativen.........................................................107

5.7

Partnerinterview ....................................................................................................108

5.8

Übungen..................................................................................................................109

6

RENTENRECHNUNG .....................................................................................111

6.1

Lernziele ................................................................................................................. 111

6.2

Einführung ............................................................................................................. 111

6.3

Endliche Renten ..................................................................................................... 113 6.3.1 Übereinstimmung von Zins- und Rentenperiode ................................................. 113 6.3.1.1 Nachschüssige Rente.................................................................................... 113 6.3.1.2 Vorschüssige Rente ...................................................................................... 117 6.3.2 Nichtübereinstimmung von Zins- und Rentenperiode......................................... 119 6.3.2.1 Unterjährige Rentenzahlungen bei jährlicher Zinszahlung ..........................120 6.3.2.2 Unterjährige Zinstermine bei jährlichen Rentenzahlungen ..........................122

6.4

Kapitalaufbau und -verzehr..................................................................................124

6.5

Variierende Raten oder Zinssätze.........................................................................127

6.6

Ewige Renten..........................................................................................................127

ȱ

XI

Inhaltsverzeichnis

6.7

Partnerinterview ....................................................................................................129

6.8

Übungen..................................................................................................................129

7

TILGUNGSRECHNUNG ................................................................................ 133

7.1

Lernziele .................................................................................................................133

7.2

Einführung .............................................................................................................133

7.3

Notationen und Begriffe ........................................................................................134

7.4

Tilgungsarten .........................................................................................................134 7.4.1 Endfällige Schuld.................................................................................................134 7.4.2 Ratentilgung.........................................................................................................135 7.4.3 Annuitätentilgung ................................................................................................139 7.4.3.1 Annuität bei vorgegebener Gesamtlaufzeit ..................................................144 7.4.3.2 Annuitätentilgung bei vorgegebenem anfänglichem Tilgungssatz ...............145 7.4.3.3 Sondertilgungen, tilgungsfreie Perioden, Kreditgebühren ...........................146 7.4.4 Unterjährige Tilgung............................................................................................147 7.4.4.1 Unterjährige Ratentilgung............................................................................148 7.4.4.2 Unterjährige Annuitätentilgung....................................................................149

7.5

Zusammenfassung .................................................................................................150

7.6

Partnerinterview ....................................................................................................151

7.7

Übungen..................................................................................................................152

8

KURS- UND RENDITERECHNUNG .............................................................. 155

8.1

Lernziele .................................................................................................................155

8.2

Einführung .............................................................................................................155

XII ȱ

Inhaltsverzeichnis

8.3

Kurs ........................................................................................................................157

8.4

Rendite....................................................................................................................159

8.5

Partnerinterview ....................................................................................................163

8.6

Übungen..................................................................................................................163

9

ZINSDERIVATE.............................................................................................. 165

9.1

Lernziele .................................................................................................................165

9.2

Wiederholung .........................................................................................................166

9.3

Zinsbegrenzungsverträge ......................................................................................169 9.3.1 Floor-Floater und Cap-Floater .............................................................................169 9.3.2 Floor.....................................................................................................................172 9.3.3 Cap.......................................................................................................................175 9.3.4 Die Rolle des Stillhalters......................................................................................178 9.3.5 Prämien von Floor und Cap .................................................................................178 9.3.5.1 Prämie beim Floor........................................................................................178 9.3.5.2 Prämie beim Cap..........................................................................................180

9.4 9.4.1 9.4.2 9.4.3

Weitere Zinsderivate..............................................................................................181 Collar ...................................................................................................................181 Forward Rate Agreement .....................................................................................181 Zinsswap ..............................................................................................................183

9.5

Allgemeines zu Derivaten ......................................................................................185 9.5.1 Einteilung von Derivaten .....................................................................................186 9.5.1.1 Einteilung nach Underlying .........................................................................186 9.5.1.2 Einteilung nach dem Grad der Verpflichtung ...............................................188 9.5.1.3 Einteilung nach Lieferung............................................................................188 9.5.1.4 Einteilung nach Handelbarkeit .....................................................................188 9.5.2 Ziele beim Abschluss von Derivaten....................................................................189 9.5.2.1 Sicherheit .....................................................................................................189 9.5.2.2 Spekulation ..................................................................................................190 9.5.2.3 Arbitrage ......................................................................................................190 ȱ

XIII

Inhaltsverzeichnis

9.6

Partnerinterview ....................................................................................................190

9.7

Übungen..................................................................................................................191

LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGEN ............................................................................ 195 Kapitel 2: Mathematische Grundlagen ................................................................................195 Kapitel 3: Zinsrechnung ......................................................................................................196 Kapitel 4: Barwertprinzip ....................................................................................................196 Kapitel 5: Investitionsrechung .............................................................................................197 Kapitel 6: Rentenrechnung ..................................................................................................197 Kapitel 7: Tilgungsrechnung................................................................................................198 Kapitel 8: Kurs- und Renditerechnung ................................................................................200 Kapitel 9: Zinsderivate ........................................................................................................200 LITERATUR .............................................................................................................. 203 ABKÜRZUNGEN ...................................................................................................... 205 STICHWORTVERZEICHNIS .................................................................................... 207

XIV ȱ

Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildungȱ0Ȭ1:

InhaltlicherȱZusammenhangȱderȱeinzelnenȱKapitel ........................VI

Abbildungȱ1Ȭ1:

Mindmap:ȱKlassifikationȱvonȱZinsfinanzinstrumenten .................... 2

Abbildungȱ1Ȭ2:

ZinsstrukturkurvenȱausȱdenȱRenditenȱdeutscherȱ StaatsanleihenȱmitȱLaufzeitenȱvonȱ1ȱbisȱ10ȱJahrenȱ(inverseȱ Zinsstrukturkurveȱvomȱ30.12.1991ȱundȱnormaleȱ Zinsstrukturkurveȱvomȱ10.4.2006) ....................................................... 4

Abbildungȱ1Ȭ3:

EntwicklungȱdesȱKontostandesȱbeiȱeinmaligerȱEinzahlungȱ vonȱ1.000ȱ€ȱundȱȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ10%ȱbeiȱGutschriftȱ derȱZinsen................................................................................................ 6

Abbildungȱ1Ȭ4:

EntwicklungȱdesȱinȱeinemȱWertpapierȱangelegtenȱKapitalsȱ beiȱEinzahlungȱvonȱ1.000ȱ€ȱundȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ 10%ȱbeiȱAuszahlungȱderȱZinsen........................................................... 7

Abbildungȱ1Ȭ5:

RenditeentwicklungȱzehnjährigerȱdeutscherȱStaatsanleihenȱ (Januarȱ1990ȱȱbisȱMärzȱ2006) ................................................................. 8

Abbildungȱ2Ȭ1:

BeispieleȱfürȱFunktionenȱ y

x n  c ȱfürȱgeradesȱundȱ

ungeradesȱn........................................................................................... 26

3x undȱ g( x)

(1 / 3)x ................................................................. 29

Abbildungȱ2Ȭ2:

f ( x)

Abbildungȱ2Ȭ3:

Folgeȱ (a n )

Abbildungȱ2Ȭ4:

Folgeȱ1ȱ,1,ȱ2,ȱ2,ȱ3,ȱ3,ȱ... ........................................................................... 40

Abbildungȱ2Ȭ5:

AlternierendeȱFolgeȱ (a n )

Abbildungȱ2Ȭ6:

Folgeȱ (a n )

2  1 / n ........................................................................... 42

Abbildungȱ2Ȭ7:

Folgeȱ (a n )

( 1)n 1 / n ........................................................................ 43

Abbildungȱ2Ȭ8:

Folgeȱ (a n )

( 2 n ) .................................................................................. 43

Abbildungȱ2Ȭ9:

Folgeȱ (a n )

(( 2)n ) .............................................................................. 44

1 / n ................................................................................ 39

Abbildungȱ2Ȭ10: ArithmetischeȱFolgeȱ a1

 1 ..................................................... 40 n

2, d

a n 1  a n

3 .................................. 47

Abbildungȱ2Ȭ11: GeometrischeȱFolgeȱaȱ=ȱ3,ȱqȱ=ȱ1,5........................................................ 49

ȱ

XV

Abbildungsverzeichnis

Abbildungȱ2Ȭ12: GeometrischeȱFolgeȱaȱ=ȱ3,ȱqȱ=ȱ0,5........................................................ 49 Abbildungȱ4Ȭ1:

VergleichȱderȱBarwerteȱzweierȱZahlungenȱzuȱ unterschiedlichenȱZeitpunkten........................................................... 88

Abbildungȱ5Ȭ1:

ZahlungsstromȱeinesȱImmobiliengeschäftsȱ(Beispielȱ5.1) ............... 96

Abbildungȱ5Ȭ2:

AbhängigkeitȱdesȱNettobarwertsȱvomȱKalkulationszinssatz ....... 104

Abbildungȱ6Ȭ1:

GrafischeȱDarstellung:ȱNachschüssigeȱRente ................................. 114

Abbildungȱ6Ȭ2:

GrafischeȱDarstellung:ȱVorschüssigeȱRente .................................... 117

Abbildungȱ6Ȭ3:

GrafischeȱDarstellung:ȱJährlicheȱRenteȱbeiȱunterjährigenȱ Zinszahlungsterminen....................................................................... 122

Abbildungȱ7Ȭ1:

EntwicklungȱderȱRestschuldȱeinesȱRatendarlehens....................... 138

Abbildungȱ7Ȭ2:

EntwicklungȱderȱRestschuldȱeinesȱAnnuitätendarlehens ............. 143

Abbildungȱ7Ȭ3:

Mindmap:ȱTilgung ............................................................................. 151

Abbildungȱ9Ȭ1:

12ȬMonatsȬEuriborȱSeptemberȱ1999ȱbisȱSeptemberȱ2003 .............. 167

Abbildungȱ9Ȭ2:

12ȬMonatsȬEuriborȱundȱgezahlterȱZinssatzȱ(Beispielȱ9.1) ............. 168

Abbildungȱ9Ȭ3:

GezahlteȱZinssätzeȱbeimȱFloorȬFloaterȱȱ (Mindestzinssatz:ȱ3,5%ȱp.a.).............................................................. 170

Abbildungȱ9Ȭ4:

GezahlteȱZinssätzeȱbeimȱCapȬFloaterȱȱ (Höchstzinssatz:ȱ4%ȱp.a.)................................................................... 172

Abbildungȱ9Ȭ5:

ZahlungenȱbeimȱKaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱzusätzlichenȱ Floor ..................................................................................................... 174

Abbildungȱ9Ȭ6:

ZahlungenȱbeimȱVerkaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱ zusätzlichenȱCap ................................................................................ 177

Abbildungȱ9Ȭ7:

FloorȬSätzeȱderȱHessischenȱLandesbankȱamȱ2.7.2006.................... 179

Abbildungȱ9Ȭ8:

CapȬSätzeȱderȱHessischenȱLandesbankȱamȱ2.7.2006...................... 181

Abbildungȱ9Ȭ9:

ZinszahlungenȱbeimȱZinsswapȱ(Beispielȱ9.10) ............................... 184

Abbildungȱ9Ȭ10: ResultierendeȱZinszahlungenȱausȱSwapȱundȱFloaterȱȱ (Beispielȱ9.10) ...................................................................................... 184 Abbildungȱ9Ȭ11: ZinszahlungenȱbeimȱZinsswap......................................................... 185 Abbildungȱ9Ȭ12: Mindmap:ȱKlassifikationȱvonȱDerivaten ......................................... 187

XVI ȱ

Tabellenverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Tabelleȱ1Ȭ1:

Zinsfestsetzungstermin,ȱBeginnȱderȱZinsperiode,ȱ ZinszahlungsterminȱundȱrelevanterȱZinssatzȱ(Beispielȱ1.4) .................. 9

Tabelleȱ1Ȭ2:

ZinssätzeȱbeiȱunterschiedlichenȱSpreadsȱ(Beispielȱ1.5) ........................ 10

Tabelleȱ2Ȭ1:

Wertetabelleȱfürȱ f( x)

Tabelleȱ2Ȭ2:

WertetabelleȱderȱFolgeȱ 1  1 / n n ......................................................... 45

Tabelleȱ3Ȭ1:

KapitalentwicklungȱbeiȱEinzahlungȱvonȱ1.000ȱ€ȱ(iȱ=ȱ3%ȱp.a.)ȱaufȱ einemȱFestgeldkonto................................................................................. 63

Tabelleȱ3Ȭ2:

Verzinsungȱüberȱ3ȱJahreȱbeiȱunterschiedlichenȱZinssätzen ................. 65

Tabelleȱ3Ȭ3:

TagesberechnungȱundȱZinszahlungenȱbeiȱverschiedenenȱ Zinstagemethoden .................................................................................... 71

Tabelleȱ3Ȭ4:

KapitalwertentwicklungȱbeiȱquartalsweiserȱZinszahlungsweise ....... 77

Tabelleȱ3Ȭ5:

ÜbersichtȱüberȱVerzinsungȱundȱverwendetenȱZinssatzȱbeiȱ unterschiedlichenȱZeiträumen ................................................................ 79

Tabelleȱ3Ȭ6:

EndwertȱeinesȱKapitalsȱinȱAbhängigkeitȱvonȱderȱAnzahlȱmȱderȱ ZinsperiodenȱproȱJahr .............................................................................. 82

Tabelleȱ5Ȭ1:

Einzahlungen,ȱAuszahlungenȱundȱPeriodenüberschüsseȱeinerȱ Investition .................................................................................................. 97

Tabelleȱ5Ȭ2:

Einzahlungen,ȱAuszahlungenȱundȱPeriodenüberschüsseȱ (Beispielȱ5.1)............................................................................................... 98

Tabelleȱ5Ȭ3:

PeriodenüberschüsseȱzweierȱverschiedenerȱInvestitionen ................ 102

Tabelleȱ5Ȭ4:

BeispielȱzurȱAmortisationsdauerȱeinesȱInvestitionsprojektes ........... 107

Tabelleȱ5Ȭ5:

BeispielȱzurȱAmortisationsdauerȱzweierȱverschiedenerȱ Investitionen ............................................................................................ 108

Tabelleȱ5Ȭ6:

EinȬȱundȱAuszahlungenȱeinerȱInvestition ............................................ 109

Tabelleȱ5Ȭ7:

PeriodenüberschüsseȱeinerȱInvestition................................................. 109

Tabelleȱ6Ȭ1:

EinzelbeiträgeȱderȱRatenzahlungenȱzumȱRentenendwertȱ(5Ȭ jährigeȱRente)........................................................................................... 115

ȱ

3x undȱ g( x)



(1 / 3)x ......................................... 28



XVII

Tabellenverzeichnis

Tabelleȱ6Ȭ2:

EinzelbeiträgeȱderȱRatenzahlungenȱzumȱRentenbarwertȱ(5Ȭ jährigeȱRente)........................................................................................... 116

Tabelleȱ6Ȭ3:

VerzinsungȱmonatlicherȱRatenȱbeiȱjährlichenȱ Zinszahlungsterminen............................................................................ 120

Tabelleȱ7Ȭ1:

ErsterȱTilgungsplan,ȱ1.ȱSchritt ............................................................... 136

Tabelleȱ7Ȭ2:

ErsterȱTilgungsplan,ȱ2.ȱSchritt ............................................................... 136

Tabelleȱ7Ȭ3:

ErsterȱTilgungsplan,ȱ3.ȱSchritt ............................................................... 137

Tabelleȱ7Ȭ4:

TilgungsplanȱbeiȱderȱRatentilgung ....................................................... 138

Tabelleȱ7Ȭ5:

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehen,ȱSchritteȱ1ȱundȱ2ȱ(Beispielȱ 7.4)............................................................................................................. 140

Tabelleȱ7Ȭ6:

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehen,ȱSchritteȱ3Ȭ5ȱ(Beispielȱ7.4)........... 140

Tabelleȱ7Ȭ7:

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehenȱ(Beispielȱ7.4) ................................ 141

Tabelleȱ7Ȭ8:

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehenȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ 7.4)............................................................................................................. 142

Tabelleȱ7Ȭ9:

TilgungsplanȱbeiȱderȱAnnuitätentilgung ............................................. 142

Tabelleȱ7Ȭ10:

TilgungsplanȱmitȱtilgungsfreienȱPerioden,ȱSondertilgungenȱundȱ Gebühren.................................................................................................. 147

Tabelleȱ7Ȭ11:

UnterjährigeȱRatentilgungȱ(Beispielȱ7.9) .............................................. 148

Tabelleȱ7Ȭ12:

UnterjährigeȱAnnuitätentilgungȱ(Beispielȱ7.10) .................................. 149

Tabelleȱ9Ȭ1:

12ȬMonatsȬEuriborȱundȱZinszahlungenȱ(Beispielȱ9.1)........................ 168

Tabelleȱ9Ȭ2:

ZinszahlungenȱbeimȱFloorȬFloaterȱ(Mindestzinssatz:ȱ3,5%ȱp.a.) ...... 170

Tabelleȱ9Ȭ3:

ZinszahlungenȱbeimȱCapȬFloaterȱ(Höchstzinssatz:ȱ4%ȱp.a.)............. 171

Tabelleȱ9Ȭ4:

ZinszahlungenȱbeimȱKaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱzusätzlichenȱ Floor.......................................................................................................... 175

Tabelleȱ9Ȭ5:

ZinszahlungenȱbeimȱVerkaufȱeinesȱFloaterȱundȱKaufȱeinesȱ zusätzlichenȱCap ..................................................................................... 177

Tabelleȱ9Ȭ6:

FaktorenȱderȱPrämieȱbeimȱFloor ........................................................... 179

Tabelleȱ9Ȭ7:

FaktorenȱderȱPrämieȱbeimȱCap ............................................................. 180

Tabelleȱ9Ȭ8:

6ȬMonatsȬEuriborȱJanuarȱ2003ȱbisȱJuliȱ2005......................................... 192

XVIII ȱ

Lernziele

1

1.1

Zinsfinanzinstrumente

Lernziele

DiesesȱKapitelȱdientȱderȱVorstellungȱderȱwichtigstenȱZinsfinanzinstrumente.ȱEinȱVerȬ ständnisȱ derȱ vorgestelltenȱ Produkteȱ istȱ vorȱ derȱ mathematischenȱ Bewertungȱ unerlässȬ lich.ȱNachȱBearbeitungȱdesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱ

„ zuȱverstehen,ȱdassȱdieȱKlassifikationȱalsȱGeldanlageȱoderȱȬaufnahmeȱvonȱderȱPerȬ spektiveȱabhängt,ȱ

„ zuȱerklären,ȱwasȱeineȱZinsstrukturȱistȱundȱdieȱUnterschiedeȱverschiedenerȱFormenȱ vonȱZinsstrukturkurvenȱzuȱerläutern,ȱ

„ zwischenȱ Gutschriftȱ derȱ Zinsenȱ undȱAusbezahlungȱ derȱ Zinsenȱ beiȱ verschiedenenȱ Produktenȱzuȱunterscheiden,ȱ

„ BeispieleȱfürȱfestverzinslicheȱundȱvariabelȱverzinslicheȱProdukteȱzuȱnennen,ȱ „ zuȱerklären,ȱwasȱeinȱReferenzzinssatzȱist,ȱ „ verschiedeneȱAnlageformenȱnachȱderȱvorgestelltenȱKlassifikationȱeinzuteilen,ȱ „ unterschiedlicheȱKreditformenȱzuȱbeschreiben.ȱ

1.2

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Aufgrundȱ derȱ starkenȱ Wettbewerbssituationȱ bietenȱ dieȱ Finanzinstituteȱ ihrenȱ Kundenȱ heuteȱeineȱVielzahlȱunterschiedlicherȱAnlageȬȱundȱKreditformenȱan.ȱDemȱKundenȱfälltȱ dieȱEntscheidungȱdaherȱnichtȱimmerȱleicht.ȱInȱdiesemȱKapitelȱwerdenȱzumȱeinenȱdieȱ Kriterienȱ erläutert,ȱ nachȱ denenȱ Finanzinstrumenteȱ unterschiedenȱ werden,ȱ sowieȱ verȬ schiedeneȱ Finanzprodukteȱ zurȱ Geldanlageȱ undȱ Ȭaufnahmeȱ ȱ undȱ ihreȱ Charakteristikaȱ dargestellt.ȱ DasȱMindmapȱinȱAbbildungȱ1Ȭ1ȱgibtȱeineȱÜbersichtȱüberȱdieȱKlassifikationskriterien.ȱ

1

1.1

1

Zinsfinanzinstrumente

Abbildungȱ1Ȭ1:ȱ

Mindmap:ȱKlassifikationȱvonȱZinsfinanzinstrumentenȱ Kapitalanlage

Perspektive

Kapitalaufnahme

Kurzfristig

Laufzeit

Mittelfristig Langfristig

Zinsfinanzinstrumente

< 1 Jahr 1 bis 5 Jahre > 5 Jahre

An der Börse handelbar

Handelbarkeit

OTC-Produkte Nicht handelbar

Behandlung von Zinszahlungen

Verzinsung

1.2.1

Auszahlung Gutschrift

Fest Variabel

ȱ

Kapitalanlage oder Kapitalaufnahme

ZinsfinanzinstrumenteȱsindȱVerträgeȱzwischenȱzweiȱPersonen.ȱBeiȱdenȱinȱdiesemȱKapiȬ telȱ zuȱ diskutierendenȱ klassischenȱ Zinsfinanzproduktenȱ stelltȱ dieȱ eineȱ Person,ȱ derȱ Gläubiger,ȱ derȱ anderenȱ Person,ȱ demȱ Schuldner,ȱ einȱ Kapitalȱ inȱ Formȱ vonȱ Geldȱ zurȱ Verfügung.1ȱ Fürȱ dieȱ Überlassungȱ desȱ Kapitalsȱ fürȱ eineȱ bestimmteȱ Zeitdauerȱ fordertȱ derȱGläubigerȱvomȱSchuldnerȱeineȱZinszahlung.ȱȱ Einȱ solcherȱ Vertragȱ einesȱ Zinsfinanzinstrumentsȱ kannȱ immerȱ ausȱ zweiȱ Perspektivenȱ betrachtetȱ werden.ȱ Derȱ Gläubigerȱ legtȱ seinȱ Geldȱ an,ȱ derȱ Schuldnerȱ nimmtȱ Geldȱ auf.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 1ȱȱ Beiȱ denȱ derivativenȱ Zinsfinanzproduktenȱ istȱ derȱ Austauschȱ desȱ Kapitalsȱ nichtȱ mehrȱ zwinȬ

gendȱnötigȱ(s.ȱKapitelȱ9ȱ„Zinsderivate“).ȱ

2

ȱ

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Jedesȱ Produktȱ istȱ demnachȱ fürȱ denȱ einenȱ Partnerȱ eineȱ Geldanlage,ȱ fürȱ denȱ anderenȱ PartnerȱeinȱKredit,ȱd.h.ȱeineȱGeldaufnahme.ȱLegtȱeineȱPrivatpersonȱihrȱGeldȱzumȱBeiȬ spielȱaufȱeinemȱSparbuchȱbeiȱeinerȱBankȱan,ȱsoȱbedeutetȱdieses,ȱdassȱdieȱPrivatpersonȱ derȱ Bankȱ Geldȱ überlässt,ȱ dieȱ Bankȱ alsoȱ derȱ Schuldnerȱ istȱ undȱ dieȱ Privatpersonȱ derȱ Gläubiger.ȱDieȱBankȱnimmtȱbeiȱdemȱSparbuchanlegerȱsozusagenȱeinenȱKreditȱauf.ȱWirȱ wollenȱinȱdiesemȱBuchȱFinanzprodukteȱaberȱausȱderȱSichtȱdesȱBankkundenȱklassifizieȬ ren.ȱFürȱdenȱLeserȱstehtȱimȱVordergrund,ȱdassȱerȱseinȱGeldȱanlegt,ȱwennȱerȱeinȱSparȬ buchȱ eröffnet;ȱ einȱ Sparbuchȱ bezeichnenȱ wirȱ alsoȱ alsȱ Geldanlage.ȱ Dennochȱ sollteȱ manȱ sichȱ derȱ gleichzeitigenȱ Bedeutungȱ vonȱ Geldanlagenȱ undȱ Geldaufnahmenȱ bewusstȱ sein.ȱ LegtȱeinȱKundeȱbeiȱeinemȱFinanzinstitutȱGeldȱan,ȱsoȱbekommtȱerȱdafürȱZinszahlungen,ȱ dieȱ durchȱ denȱ Guthabenzinssatzȱ bestimmtȱ werden.ȱ Nimmtȱ derȱ Kundeȱ Geldȱ auf,ȱ soȱ entrichtetȱ erȱ Zinszahlungen.ȱ Denȱ zugehörigenȱ Zinssatzȱ nenntȱ manȱ denȱ Sollzinssatz.ȱ DerȱGuthabenzinssatzȱistȱdabeiȱinȱderȱRegelȱbeiȱgleicherȱLaufzeitȱ(s.ȱAbschnittȱ„LaufȬ zeit“)ȱniedrigerȱalsȱderȱSollzinssatz.ȱWirȱwerdenȱdennochȱinȱdiesemȱBuchȱausȱVereinȬ fachungsgründenȱmeistȱvonȱgleichȱhohenȱGuthabenȬȱundȱSollzinssätzenȱausgehen.ȱ

1.2.2

Laufzeit

EinȱwichtigesȱKriteriumȱzurȱ WahlȱeinesȱFinanzinstrumentsȱstelltȱfürȱdenȱKundenȱdieȱ LaufzeitȱdesȱInstrumentsȱdar.ȱDieȱLaufzeitȱgibtȱdieȱZeitȱan,ȱfürȱdieȱdasȱKapitalȱgebunȬ denȱ ist.ȱ Beiȱ einerȱAnlageȱ entsprichtȱ dieȱ Laufzeitȱ derȱ Zeit,ȱ abȱ derȱ derȱAnlegerȱ wiederȱ überȱseineȱGeldmittelȱverfügenȱkann.ȱBeiȱeinerȱGeldaufnahmeȱerteiltȱdieȱLaufzeitȱAusȬ kunftȱdarüber,ȱwannȱdasȱKapitalȱzurückgezahltȱwerdenȱmuss.ȱInȱderȱRegelȱbezeichnetȱ manȱdabeiȱFinanzprodukteȱmitȱeinerȱLaufzeitȱbisȱzuȱeinemȱJahrȱalsȱkurzfristig,ȱsolcheȱ mitȱLaufzeitenȱvonȱeinemȱbisȱzuȱ5ȱJahrenȱalsȱ mittelfristigȱundȱFinanzinstrumenteȱmitȱ einerȱLaufzeit,ȱdieȱlängerȱalsȱ5ȱJahreȱist,ȱalsȱlangfristigeȱGeldanlagenȱbzw.ȱȬaufnahmen.ȱ Üblicherweiseȱ wirdȱ einȱ Anleger2,ȱ derȱ seinȱ Geldȱ fürȱ einenȱ längerenȱ Zeitraumȱ anlegt,ȱ einenȱ höherenȱ Zinssatzȱ fürȱ seinȱ Kapitalȱ erhalten,ȱ alsȱ einȱ Anleger,ȱ derȱ seinȱ Geldȱ nurȱ kurzfristigȱ anlegt.ȱ DieseȱAbhängigkeitȱ derȱ Höheȱ desȱ Zinssatzesȱ vonȱ derȱ Laufzeitȱ derȱ Anlageȱ bezeichnetȱ manȱ alsȱ Zinsstruktur,ȱ ihreȱ grafischeȱ Veranschaulichungȱ alsȱ ZinsȬ strukturkurve.ȱEineȱZinsstrukturkurve,ȱdieȱsteigendȱist,ȱbeiȱderȱderȱZinssatzȱalsoȱmitȱ derȱ Laufzeitȱ wächst,ȱ wirdȱ normaleȱ Zinsstrukturkurveȱ genannt.ȱ Istȱ derȱ Zinssatzȱ fürȱ alleȱmöglichenȱLaufzeitenȱkonstant,ȱsprichtȱmanȱvonȱeinerȱflachenȱZinsstrukturkurve.ȱ FlacheȱZinsstrukturkurvenȱtretenȱinȱderȱPraxisȱeigentlichȱnieȱinȱReinformȱauf.ȱEsȱkannȱ aberȱ durchausȱ vorkommen,ȱ dassȱ dieȱ Zinssätzeȱ sichȱ fürȱ dieȱ verschiedenenȱ Laufzeitenȱ nurȱwenigȱunterscheiden.ȱErhältȱderȱAnlegerȱfürȱeineȱAnlageȱmitȱkurzerȱLaufzeitȱmehrȱ Zinsenȱ alsȱ fürȱ eineȱ langfristigeȱ Anlage,ȱ soȱ liegtȱ eineȱ inverseȱ Zinsstrukturkurveȱ vor.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 2ȱȱ Derȱ leichterenȱ Sprechweiseȱ wegenȱ beziehenȱ wirȱ unsȱ hierȱ aufȱ Anleger.ȱ Dieȱ Ausführungenȱ

geltenȱanalogȱauchȱfürȱdieȱAufnahmeȱvonȱKapital.ȱ

3

1.2

1

Zinsfinanzinstrumente

Inverseȱ Zinsstrukturenȱ könnenȱ z.B.ȱ dannȱ auftreten,ȱ wennȱ dieȱ Anlegerȱ mitȱ fallendenȱ ZinssätzenȱrechnenȱundȱdaherȱlangfristigeȱAnlagenȱtätigen.ȱDurchȱdieȱhoheȱNachfrageȱ nachȱ langfristigenȱ Anlagenȱ sinkenȱ soȱ dieȱ Zinssätzeȱ fürȱ langeȱ Laufzeiten,ȱ durchȱ dieȱ niedrigeȱ Nachfrageȱ nachȱ kurzfristigenȱAnlagenȱ steigenȱ dieȱ Zinssätzeȱ fürȱ kurzeȱ LaufȬ zeiten.ȱDieȱZinsstrukturkurveȱ„drehtȱsichȱalsoȱum“,ȱsieȱwirdȱinvers.ȱInverseȱZinsstrukȬ turkurvenȱgeltenȱalsȱIndikatorȱfürȱbevorstehendeȱRezessionen.ȱ

Abbildungȱ1Ȭ2:ȱ

ZinsstrukturkurvenȱausȱdenȱRenditenȱdeutscherȱStaatsanleihenȱmitȱLaufȬ zeitenȱvonȱ1ȱbisȱ10ȱJahrenȱ(inverseȱZinsstrukturkurveȱvomȱ30.12.1991ȱundȱ normaleȱZinsstrukturkurveȱvomȱ10.4.2006)ȱ

10,00% 9,00% 8,00% 7,00% 6,00% 10.04.2006

5,00%

30.12.1991

4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ȱ

1.2.3

Handelbarkeit

EinȱklassischesȱUnterscheidungsmerkmalȱvonȱFinanzproduktenȱistȱdasȱihrerȱ HandelȬ barkeit.ȱ Dieȱ Handelbarkeitȱ drücktȱ aus,ȱ obȱ einȱ Produktȱ anȱ einenȱ anderenȱ Gläubigerȱ veräußertȱ werdenȱ kann.ȱ Produkteȱ mitȱ einerȱ starkenȱ Standardisierung,ȱ wieȱ z.B.ȱ beȬ stimmteȱWertpapiere,ȱetwaȱBundesanleihen,ȱsindȱdabeiȱanȱderȱBörseȱhandelbar.ȱȱ Wenigerȱ standardisierteȱ Produkte,ȱ wieȱ z.B.ȱ Wertpapiereȱ vonȱ kleinerenȱ Unternehmenȱ oderȱ Wertpapiereȱ mitȱ besonderenȱ Auszahlungsmodalitäten,ȱ werdenȱ nurȱ individuellȱ zwischenȱ denȱ Vertragspartnernȱ gehandelt.ȱ Manȱ nenntȱ dieseȱ auchȱ OTCȬProdukteȱȱ (OverȬtheȬcounterȬProdukte).ȱ „OverȬtheȬcounter“ȱ drücktȱ aus,ȱ dassȱ derȱ Vertragȱ vomȱ

4

ȱ

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Verkäuferȱ zumȱ Käuferȱ wieȱ inȱ einemȱ TanteȬEmmaȬLadenȱ „hinübergegebenȱ wird“.ȱ Durchȱ eineȱ individuelleȱ Vertragsgestaltungȱ kannȱ soȱ denȱ speziellenȱ Bedürfnissenȱ derȱ Kontrahentenȱ entsprochenȱ werdenȱ (s.ȱ auchȱ Kapitelȱ 9ȱ „Zinsderivate“).ȱ Dabeiȱ werdenȱ inzwischenȱ imȱ OTCȬHandelȱ sehrȱ hoheȱ Umsätzeȱ getätigt.ȱ Dasȱ Volumenȱ desȱ Handelsȱ mitȱOTCȬProduktenȱbetrugȱz.B.ȱimȱJahreȱ2004ȱmehrȱalsȱdasȱVierfacheȱdesȱVolumensȱimȱ Börsenhandel.ȱ3ȱ Tagesgeldkontenȱ oderȱ Sparbücherȱ sindȱ Beispieleȱ fürȱ Produkte,ȱ dieȱ nichtȱ handelbarȱ sind.ȱ

1.2.4

Behandlung von Zinszahlungen

Dieȱ Zeitpunkte,ȱ anȱ denenȱ dieȱ Zinsenȱ einesȱ Zinsfinanzinstrumentsȱ gezahltȱ werden,ȱ heißenȱZinszahlungstermineȱoderȱZinstermine,ȱderȱZeitraumȱzwischenȱzweiȱZinszahȬ lungsterminenȱ istȱ dieȱ Zinsperiode.ȱ Dieȱ Zinsenȱ werdenȱ alsoȱ amȱ Zinszahlungsterminȱ fürȱeineȱZinsperiodeȱentrichtet.ȱInȱdiesemȱBuchȱwerdenȱwirȱnurȱnachschüssigeȱZinsenȱ betrachten,ȱd.h.ȱZinsen,ȱdieȱamȱEndeȱderȱZinsperiodeȱgezahltȱwerden.ȱDiesesȱistȱdieȱimȱ FinanzsektorȱgängigeȱVorgehensweise.ȱ FürȱdieȱfinanzmathematischeȱBetrachtungsweiseȱistȱesȱinteressant,ȱnachȱderȱ ZinszahȬ lungsweiseȱzuȱunterscheiden.ȱȱ

1.2.4.1

Gutschrift von Zinszahlungen

Beiȱ Anlageformenȱ wieȱ demȱ Sparbuchȱ oderȱ demȱ Tagesgeldkontoȱ werdenȱ dieȱ Zinsenȱ demȱKontostandȱaufȱdemȱSparbuchȱbzw.ȱdemȱTagesgeldkontoȱamȱZinszahlungsterminȱ gutgeschrieben.ȱManȱbezeichnetȱdiesesȱauchȱalsȱZinsansammlung.ȱBeiȱeinerȱGutschriftȱ derȱ Zinsenȱ aufȱ demȱ Kontoȱ erhöhtȱ sichȱ dasȱGuthabenȱ fürȱ dieȱ nächsteȱPeriode.ȱInȱ denȱ daraufȱfolgendenȱPeriodenȱwirdȱnichtȱnurȱderȱzuȱBeginnȱeingezahlteȱBetrag,ȱsondernȱ esȱwerdenȱauchȱdieȱinȱvorherigenȱPeriodenȱentstandenenȱZinsenȱweiterȱverzinst.ȱDasȱ Kapitalȱwächstȱexponentiellȱ(s.ȱKapitelȱ3ȱ„Zinsrechnung“).ȱ Beispielȱ1.1:ȱSieȱlegenȱ1.000ȱ€ȱzuȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ10%4ȱan.ȱNachȱdemȱerstenȱ JahrȱerhaltenȱSieȱ100ȱ€ȱZinsen,ȱdieȱIhremȱKontoȱgutgeschriebenȱwerden.ȱAmȱEndeȱdesȱ zweitenȱJahresȱwerdenȱbereitsȱdieseȱ1.100ȱ€ȱverzinst,ȱSieȱerhaltenȱ110ȱ€ȱZinsen.ȱAbbilȬ dungȱ1Ȭ3ȱveranschaulichtȱdieȱEntwicklungȱIhresȱKontostandes.ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 3ȱȱ S.ȱHull,ȱ2006,ȱS.25.ȱ 4ȱȱ Derȱ hoheȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 10%ȱ dientȱ hierȱ derȱ besserenȱ grafischenȱ Veranschaulichung.ȱ

Aktuellȱ(Maiȱ2006)ȱliegenȱdieȱGuthabenzinssätzeȱeherȱimȱBereichȱvonȱ2%ȱbisȱ4%ȱproȱJahr.ȱ

5

1.2

1

Zinsfinanzinstrumente

Abbildungȱ1Ȭ3:ȱ

EntwicklungȱdesȱKontostandesȱbeiȱeinmaligerȱEinzahlungȱvonȱ1.000ȱ€ȱundȱȱ einemȱJahreszinssatzȱvonȱ10%ȱbeiȱGutschriftȱderȱZinsenȱ

€ 3.000 2.500 2.000 1.500

Zinsen und Zinseszinsen

1.000

eingezahltes Kapital

500 0 0

ȱ

ȱ

1.2.4.2

ȱ

1

2

ȱ

3

4

5

6

ȱ

7

8

ȱ

9 10

ȱ

Zeit

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Auszahlung von Zinsen

NebenȱderȱGutschriftȱderȱZinsenȱaufȱdemselbenȱFinanzinstrumentȱkönnenȱdieȱȱZinsenȱ auchȱ nachȱ jederȱ Periodeȱ anȱ denȱ Anlegerȱ ausbezahltȱ werdenȱ oderȱ einemȱ getrenntenȱ Konto,ȱ etwaȱ einemȱ Girokonto,ȱ gutgeschriebenȱ werden.ȱ DerȱAnlegerȱ kannȱ dieȱ ausgeȬ zahltenȱZinsenȱdannȱkonsumierenȱoderȱerneutȱanlegen.ȱDerȱvomȱSchuldnerȱgestundeȬ teȱBetragȱbehältȱkonstantȱdieȱHöheȱdesȱzunächstȱausgeliehenenȱBetrages.ȱAmȱEndeȱderȱ Laufzeitȱ bekommtȱ derȱAnlegerȱ soȱ nurȱ denȱ angelegtenȱ Betragȱ undȱ dieȱ Zinsenȱ fürȱ dieȱ letzteȱPeriodeȱausbezahlt.ȱȱ Beispielȱ 1.2:ȱ Sieȱ kaufenȱ einȱ Wertpapierȱ mitȱ einemȱ Nominalbetragȱ vonȱ 1.000ȱ €,ȱ einerȱ Laufzeitȱ vonȱ 10ȱ Jahrenȱ undȱ einemȱ konstantenȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 10%,ȱ zahlbarȱ amȱ Endeȱ einesȱ Jahres.ȱ Jedesȱ Jahrȱ werdenȱ Ihnenȱ 100ȱ €ȱ ausbezahlt.ȱAmȱ Endeȱ derȱ Laufzeitȱ erhaltenȱSieȱIhrenȱeingezahltenȱBetragȱvonȱ1.000ȱ€ȱzurückȱsowieȱdieȱZinsenȱvonȱ100ȱ€ȱ fürȱdasȱletzteȱJahr.ȱȱ

Abbildungȱ 1Ȭ4ȱ verdeutlichtȱ dieȱ konstanteȱ Höheȱ desȱ angelegtenȱ Kapitalsȱ sowieȱ dieȱ ausgezahltenȱZinsen,ȱderenȱHöheȱstetsȱgleichȱbleibt.ȱȱ

6

ȱ

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Abbildungȱ1Ȭ4:ȱ

EntwicklungȱdesȱinȱeinemȱWertpapierȱangelegtenȱKapitalsȱbeiȱEinzahlungȱ vonȱ1.000ȱ€ȱundȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ10%ȱbeiȱAuszahlungȱderȱZinsenȱȱȱ

€ 3.000 2.500 2.000 1.500

ausgezahlte Zinsen

1.000

Kapital

500 0 0

-500

ȱ

ȱ

1.2.5

ȱ

1

2

ȱ

3

4

5

6

ȱ

7

8

9 10

ȱ

ȱ

Zeit

ȱȱȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Art der Verzinsung

InȱBezugȱaufȱdieȱVerzinsungȱlässtȱsichȱauchȱdanachȱunterscheiden,ȱobȱderȱZinssatzȱfestȱ oderȱvariabelȱist.ȱȱ Zinssätzeȱ ändernȱ sichȱ imȱ Zeitverlauf.ȱ Abbildungȱ 1Ȭ5ȱ gibtȱ denȱ Verlaufȱ desȱ 10ȬJahresȬ SatzesȱfürȱdeutscheȱStaatsanleihenȱfürȱdieȱZeitȱvonȱJanuarȱ1990ȱbisȱMärzȱ20065ȱan.ȱȱ BeiȱvielenȱFinanzproduktenȱwirdȱjedochȱeinȱfesterȱZinssatzȱvereinbart.ȱInȱdiesemȱFallȱ hatȱ derȱ Schuldnerȱ anȱ denȱ Zinszahlungsterminenȱ denȱ fixiertenȱ Zinssatzȱ zuȱ zahlen,ȱ unabhängigȱ davon,ȱ wieȱ sichȱ dieȱ Zinssätzeȱ amȱ Marktȱ inȱ derȱ Zwischenzeitȱ entwickeltȱ haben.ȱȱ Beispielȱ1.3:ȱSieȱkaufenȱeinȱ WertpapierȱmitȱeinemȱNominalbetragȱvonȱ 10.000ȱ€,ȱeinerȱ Laufzeitȱ vonȱ 5ȱ Jahrenȱ undȱ einemȱ nachschüssigenȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 5%.ȱ Sieȱ bekomȬ menȱalsoȱjeweilsȱamȱEndeȱeinesȱJahresȱ500ȱ€ȱZinsenȱausbezahlt.ȱSinktȱjetztȱdurchȱZinsȬ schwankungenȱdasȱMarktniveauȱfürȱvergleichbareȱWertpapiereȱmitȱgleicherȱRestlaufȬ zeitȱz.B.ȱaufȱ4%ȱproȱJahr,ȱsoȱprofitierenȱSieȱvonȱderȱVereinbarungȱeinesȱfestenȱZinssatȬ zes.ȱ Sieȱ erhaltenȱ weiterhinȱ 500ȱ €ȱ ausȱ Ihremȱ Wertpapier,ȱ währendȱ Sieȱ beiȱ einerȱ vergleichbarenȱAnlageȱ zumȱ aktuellenȱ Zinsniveauȱ nurȱ 400ȱ €ȱ erhaltenȱ würden.ȱ Erhöhtȱ sichȱ allerdingsȱ dasȱ allgemeineȱ Zinsniveauȱ aufȱ 6%ȱ proȱ Jahr,ȱ soȱ erweistȱ sichȱ Ihrȱ festerȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 5ȱȱ Dieȱ Datenȱ stammenȱ vonȱ Eurostatȱ http://epp.eurostat.cec.eu.int.ȱ Monatlichȱ ausgewieseneȱ

Zinssätzeȱwurdenȱinterpoliert,ȱd.h.ȱlinearȱverbunden.ȱ

7

1.2

1

Zinsfinanzinstrumente

Zinssatzȱalsȱnachteilig.ȱSieȱbekommenȱweiterhinȱnurȱ500ȱ€,ȱhättenȱaberȱbeiȱeinerȱAnlaȬ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ geȱzumȱaktuellenȱZinssatzȱ600ȱ€ȱerhaltenȱkönnen.ȱ6ȱ ȱ

Abbildungȱ1Ȭ5:ȱ

RenditeentwicklungȱzehnjährigerȱdeutscherȱStaatsanleihenȱ(Januarȱ1990ȱȱ bisȱMärzȱ2006)ȱ

12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% 1990

1995

2000

2005

ȱ

Wirdȱ beiȱ einemȱ Finanzproduktȱ hingegenȱ einȱ variablerȱ Zinssatzȱ vereinbart,ȱ soȱ orienȬ tiertȱ sichȱ dieserȱ anȱ einemȱ soȱ genanntenȱ Referenzzinssatzȱ undȱ variiertȱ imȱ Zeitablauf.ȱ EinȱbesondersȱhäufigȱverwendeterȱReferenzzinssatzȱistȱderȱ Euribor.ȱEuriborȱstehtȱfürȱ Europeanȱ Interbankȱ Offeredȱ Rate.ȱ Derȱ Nameȱ reflektiertȱ dieȱ Berechnungȱ desȱ ZinssatȬ zes.ȱDerȱEuriborȱistȱderȱZinssatz,ȱzuȱdemȱsichȱBankenȱuntereinanderȱGeldȱanbieten.ȱErȱ wirdȱtäglichȱüberȱeinenȱDurchschnittȱausȱdenȱZinssätzenȱvonȱca.ȱ60ȱBankenȱimȱEurofiȬ nanzraumȱ gebildet,ȱ denȱ dieseȱ Bankenȱ fordern,ȱ wennȱ sieȱ anderenȱ Bankenȱ ähnlicherȱ GüteȱGeldȱausleihen.ȱEuriborȬSätzeȱexistierenȱfürȱdieȱLaufzeitȱvonȱeinerȱWocheȱsowieȱ fürȱalleȱmonatlichenȱLaufzeitenȱvonȱeinemȱMonatȱbisȱzuȱeinemȱJahr.ȱDieȱamȱhäufigstenȱ verwendetenȱ Referenzzinssätzeȱ sindȱ aberȱ diejenigenȱ mitȱ einerȱ Laufzeitȱ vonȱ 3,ȱ 6ȱ oderȱ 12ȱ Monaten.ȱ Weitereȱ wichtigeȱ Referenzzinssätzeȱ sindȱ derȱ Liborȱ (Londonȱ Interbankȱ Offeredȱ Rate)ȱ undȱ derȱ EONIAȱ (Euroȱ Overnightȱ Indexȱ Average).ȱ Derȱ EONIAȱ istȱ einȱ durchschnittlicherȱ Zinssatz,ȱ derȱ fürȱ eineȱ eintägigeȱ Geldaufnahmeȱ imȱ InterbankengeȬ schäftȱ berechnetȱ wird.ȱ Dieȱ täglichȱ neuȱ ermitteltenȱ (manȱ sprichtȱ vonȱ „quotierten“)ȱ ZinssätzeȱwerdenȱauchȱimȱInternet7ȱaufȱverschiedenenȱSeitenȱveröffentlicht,ȱsoȱdassȱsieȱ vonȱjedemȱeingesehenȱwerdenȱkönnen.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 6ȱȱ Durchȱ dieȱ Änderungȱ desȱ Zinsniveausȱ variierenȱbeiȱ festverzinslichenȱ Wertpapierenȱ auchȱ dieȱ

KurseȱderȱPapiereȱ(s.ȱKapitelȱ8ȱ„KursȬȱundȱRenditerechnung“).ȱ 7ȱȱ Z.B.ȱhttp://www.euribor.org.ȱ

8

ȱ

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Dieȱ Zinszahlungȱ erfolgt,ȱ wieȱ beiȱ festverzinslichenȱ Wertpapierenȱ auch,ȱ meistȱ nachȬ schüssigȱ amȱ Endeȱ einerȱ Zinsperiode.ȱ Esȱ wirdȱ allerdingsȱ derȱ Zinssatzȱ verwendet,ȱ derȱ zuȱ Beginnȱ derȱ Zinsperiodeȱ aktuellȱ war.ȱ Manȱ sprichtȱ vonȱ einerȱ Zinsfestsetzungȱ oderȱ vonȱ derȱ Fixierungȱ desȱ Zinssatzes.ȱ Derȱ Referenzzinssatzȱ wirdȱ standardmäßigȱ 2ȱ BankȬ arbeitstageȱvorȱBeginnȱderȱZinsperiodeȱfixiert.8ȱ Beispielȱ1.4:ȱStellenȱSieȱsichȱvor,ȱesȱwäreȱderȱ15.8.1999ȱundȱSieȱentscheidenȱsichȱdafür,ȱ einȱvariabelȱverzinslichesȱWertpapierȱmitȱeinemȱNominalbetragȱvonȱ10.000ȱ€ȱundȱdemȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱalsȱZinssatzȱzuȱkaufen.ȱDasȱPapierȱhatȱeineȱfünfjährigeȱLaufzeit,ȱdieȱ amȱ1.9.1999ȱbeginnt.ȱZweiȱBankarbeitstageȱvorȱderȱerstenȱZinsperiodeȱvomȱ1.9.1999ȱbisȱ zumȱ 31.8.2000,ȱ d.h.ȱ amȱ 30.8.1999ȱ wirdȱ derȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱ fürȱ dieȱ ersteȱ Periodeȱ fixiert.ȱ Dieserȱ entsprachȱ amȱ 30.8.1999ȱ 3,255%.ȱ Amȱ Endeȱ derȱ Zinsperiode,ȱ d.h.ȱ amȱ 31.8.2000ȱ wirdȱ Ihnenȱ dieserȱ Zinssatzȱ ausbezahlt,ȱ d.h.ȱ beiȱ einemȱ Nominalbetragȱ vonȱ 10.000ȱ€ȱbekommenȱSieȱ325,50ȱ€ȱZinsen9.ȱDerȱamȱ30.8.2000ȱgültigeȱ12ȬMonatsȬEuriborȱ vonȱ5,324%ȱwirdȱdannȱderȱZinssatzȱfürȱdieȱzweiteȱZinsperiodeȱvomȱ1.9.2000ȱbisȱzumȱ 31.8.2001,ȱ usw.ȱ Tabelleȱ 1Ȭ1ȱ zeigtȱ dieȱ währendȱ derȱ Laufzeitȱgezahltenȱ Zinssätze.ȱ Dieseȱ Zinssätzeȱ sindȱ natürlichȱ zumȱ Zeitpunktȱ derȱAnlageȱ nochȱ nichtȱ bekanntȱ gewesen.ȱ Sieȱ ergebenȱsichȱwährendȱderȱLaufzeit.ȱ

Tabelleȱ1Ȭ1:ȱ

Zinsfestsetzungstermin,ȱBeginnȱderȱZinsperiode,ȱZinszahlungstermin10ȱ undȱrelevanterȱZinssatzȱ(Beispielȱ1.4)ȱ

Zinsfestsetzungstermin

Beginn der Zinsperiode

Zinszahlungstermin

Relevanter Zinssatz

30.8.99

1.9.99

31.8.00

3,255%

30.8.00

1.9.00

31.8.01

5,324%

30.8.01

1.9.01

30.8.02

4,043%

29.8.02

1.9.02

29.8.03

3,414%

28.8.03

1.9.03

ȱ

31.8.04

ȱ

ȱ

2,337%

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 8ȱȱ Dieȱ Erläuterungenȱ zumȱ Zeitpunktȱ derȱ Festsetzungȱ desȱ Zinssatzesȱ dienenȱ inȱ diesemȱ Kapitelȱ

demȱ Verständnisȱ fürȱ dasȱ Vorgehenȱ inȱ derȱ Praxis.ȱ Inȱ späterenȱ Kapitelnȱ werdenȱ wirȱ derȱ EinȬ fachheitȱhalberȱdenȱZinsfestsetzungsterminȱmitȱdemȱBeginnȱderȱZinsperiodeȱübereinstimmenȱ lassenȱsowieȱdieȱMöglichkeit,ȱdassȱeinȱZinszahlungsȬȱoderȱZinsfestsetzungsterminȱaufȱeinenȱ SonnȬȱoderȱFeiertagȱfällt,ȱaußerȱachtȱlassenȱ(s.ȱKapitelȱ9ȱ„Zinsderivate“).ȱ 9ȱȱ DerȱZinsbetragȱwurdeȱausȱEinfachheitsgründenȱmitȱderȱ30/360ȬMethodeȱberechnetȱ(s.ȱKapitelȱ 3ȱ„Zinsrechnung“).ȱ 10ȱȱ Derȱ Zinszahlungsterminȱ variiertȱ abhängigȱ davon,ȱ obȱ dasȱ Endeȱ derȱ Zinsperiodeȱ aufȱ einenȱ Bankarbeitstagȱfälltȱoderȱnicht.ȱFälltȱdasȱEndeȱderȱZinsperiodeȱaufȱeinȱWochenendeȱoderȱeiȬ nenȱFeiertag,ȱwerdenȱdieȱZinsenȱamȱvorhergehendenȱBankarbeitstagȱvergütet.ȱ

9

1.2

1

Zinsfinanzinstrumente

HäufigȱwirdȱderȱvereinbarteȱReferenzzinssatzȱnochȱmitȱeinemȱSpread,ȱd.h.ȱeinemȱAufȬȱ oderȱAbschlagȱdesȱZinssatzes,ȱversehen.ȱDieserȱwirdȱinȱBasispunktenȱ(bp)ȱangegeben.ȱ Einȱ Basispunktȱ entsprichtȱ dabeiȱ 0,01ȱ Prozentpunkten,ȱ d.h.ȱ 1ȱ bpȱ =ȱ 0,01%.ȱ Durchȱ denȱ SpreadȱkannȱderȱZinssatzȱanȱdieȱKreditwürdigkeitȱdesȱSchuldnersȱangepasstȱwerden.ȱȱ Beispielȱ 1.5:ȱ Sieȱ bevorzugenȱ sichereȱ Geldanlagenȱ undȱ möchtenȱ beiȱ einerȱ Bankȱ sehrȱ guterȱKreditwürdigkeitȱeineȱvariabelȱverzinslicheȱAnlageȱtätigen.ȱDieȱBankȱzahltȱIhnenȱ denȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱ abzüglichȱ 20ȱ Basispunkten.ȱ Ihrȱ Freundȱ kauftȱ hingegenȱ eineȱ Anleiheȱ einesȱ mittelgroßenȱ Industrieunternehmens,ȱ dieȱ alsȱ Zinssatzȱ denȱ 12ȬMonatsȬ Euriborȱ zuzüglichȱ 30ȱ Basispunkteȱ erbringt.ȱ Beideȱ Anlagenȱ habenȱ eineȱ Laufzeitȱ vomȱ 1.9.1999ȱbisȱzumȱ31.8.2001.ȱWelcheȱZinssätzeȱergebenȱsichȱbeiȱdenȱbeidenȱAnlagen?ȱ Lösung:ȱ Derȱhistorischeȱ12ȬMonatsȬEuriborȱistȱTabelleȱ1Ȭ1ȱzuȱentnehmen.ȱIhrȱZinssatzȱ errechnetȱ sichȱ darausȱ jeweilsȱdurchȱAbzugȱ vonȱ 0,2ȱ Prozentpunkten,ȱ derȱ Ihresȱ FreunȬ desȱdurchȱAdditionȱvonȱ0,3ȱProzentpunkten.ȱTabelleȱ1Ȭ2ȱstelltȱdieȱresultierendenȱZinsȬ sätzeȱdar.ȱ

Tabelleȱ1Ȭ2:ȱ

ZinssätzeȱbeiȱunterschiedlichenȱSpreadsȱ(Beispielȱ1.5)ȱ

Zinszahlungstermin

12-Monats-Euribor

Ihr Zinssatz

Zinssatz Ihres Freundes

31.8.00

3,255%

3,055%

3,555%

31.8.01

5,324%

5,124%

5,624%

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

1.3

Finanzinstrumente zur Geldanlage

DieȱwichtigstenȱFinanzinstrumenteȱzurȱGeldanlageȱsollenȱnunȱentsprechendȱderȱvorȬ gestelltenȱKlassifikationskriterienȱeingeordnetȱwerden.ȱWeitereȱMerkmaleȱderȱAnlagenȱ werdenȱkurzȱvorgestellt.ȱ

1.3.1

Kontoanlagen

Kontoanlagenȱistȱgemeinsam,ȱdassȱsieȱnichtȱhandelbarȱsind.ȱȱ ȱ

10

ȱ

Finanzinstrumente zur Geldanlage

1.3.1.1

Girokonto

EinȱGirokontoȱbesitztȱheuteȱfastȱjeder.ȱEsȱistȱinsbesondereȱfürȱdieȱAbwicklungȱwiederȬ kehrenderȱ Zahlungenȱ wieȱ GehaltsȬȱ oderȱ Mietzahlungenȱ unersetzlich.ȱ Dasȱ Girokontoȱ bietetȱ demȱ Inhaberȱ denȱ Vorteil,ȱ dassȱ erȱ jederzeitȱ überȱ seinȱ Kontoguthabenȱ verfügenȱ kann.ȱDerȱAnlegerȱistȱsoȱbeiȱkurzfristigemȱGeldbedarfȱliquide.ȱAlleȱTransaktionenȱdesȱ ZahlungsverkehrsȱkönnenȱbeiȱdenȱmeistenȱBankenȱauchȱüberȱdasȱInternetȱimȱOnlineȬ Bankingȱabgewickeltȱwerden.ȱȱ Dasȱ Girokontoȱ hatȱ allerdingsȱ denȱ Nachteil,ȱ dassȱ keineȱ oderȱ nurȱ sehrȱ geringeȱ GuthaȬ benzinsenȱgezahltȱwerden.ȱDieȱeventuellenȱGuthabenzinsenȱsindȱnichtȱanȱeinemȱRefeȬ renzzinssatzȱ orientiert,ȱ sondernȱ werdenȱ nachȱ marketingtechnischenȱAspektenȱ festgeȬ legt.ȱAnfallendeȱ Zinszahlungenȱ werdenȱ demȱ Kontoȱ meistȱ quartalsweise,ȱ d.h.ȱ viertelȬ jährlichȱgutgeschrieben.ȱ

1.3.1.2

Sparbuch

Auchȱ inȱ derȱ heutigenȱ Zeitȱ habenȱ dieȱ meistenȱ Menschenȱ nochȱ einȱ klassischesȱ SparȬ buch.ȱDieȱZinszahlungenȱ werdenȱauchȱhierȱnichtȱausgezahlt,ȱsondernȱdemȱSparbuchȱ gutgeschrieben.ȱ Dieȱ Gutschriftȱ derȱ Zinsenȱ erfolgtȱ beimȱ Sparbuchȱ einmalȱ jährlichȱ amȱ EndeȱdesȱJahres.ȱDerȱZinssatzȱistȱnichtȱfest,ȱsondernȱkannȱinȱunregelmäßigenȱAbstänȬ denȱvonȱderȱBankȱangepasstȱwerden.ȱErȱistȱallerdingsȱrelativȱstarrȱundȱnichtȱdirektȱanȱ dieȱEntwicklungȱdesȱZinsniveausȱgebunden.ȱBeimȱSparbuchȱgiltȱeinȱHöchstbetragȱvonȱ 2.000ȱ€,ȱderȱimȱMonatȱohneȱZinsverlustȱabgehobenȱwerdenȱkann,ȱwelchesȱdenȱflexibȬ lenȱ Gebrauchȱ einschränkt.ȱ Fürȱ dieȱ Verfügungȱ überȱ dieȱ gesamtenȱ Ersparnisseȱ besitztȱ dasȱ Sparbuchȱ eineȱ dreimonatigeȱ Kündigungsfrist.ȱ Zudemȱ mussȱ einȱ Sparbuchȱ beimȱ Abhebenȱ derȱ gewünschtenȱ Geldbeträgeȱ derȱ Bankȱ vorgelegtȱ werden.ȱ Inȱ Zeitenȱ desȱ InternetȬBankingȱistȱdiesesȱeinȱNachteil.ȱȱ Nebenȱ demȱ klassischenȱ Sparbuchȱ existierenȱ eineȱ Vielzahlȱ vonȱ Sparverträgenȱ unterȱ verschiedenenȱ Namen,ȱ wieȱ z.B.ȱ dasȱ Bonussparenȱ oderȱ Sparpläneȱ mitȱ ansteigendemȱ Zinssatz.ȱDieseȱSparformenȱbietenȱinȱderȱRegelȱeineȱhöhereȱVerzinsungȱalsȱdasȱklassiȬ scheȱSparbuch.ȱOftȱistȱdieȱVerfügbarkeitȱüberȱdieȱSparbeträgeȱaberȱeingeschränkt,ȱz.B.ȱ durchȱ eineȱ nurȱ einmaligeȱ Kündbarkeitȱ währendȱ derȱ Laufzeitȱ oderȱ sogarȱ eineȱ festeȱ AnlageȱderȱBeträgeȱbisȱzumȱEndeȱderȱLaufzeit.ȱȱ

1.3.1.3

Tagesgeldkonto

DieȱmodernereȱFormȱdesȱSparbuchsȱistȱdasȱTagesgeldkonto.ȱÜberȱdasȱTagesgeldkontoȱ kannȱtäglich,ȱsoweitȱesȱdasȱGuthabenȱerlaubt,ȱinȱbeliebigemȱUmfangȱverfügtȱwerden.ȱ Kontoüberträgeȱ aufȱ undȱ vonȱ einemȱ Referenzkontoȱ könnenȱ beimȱ Tagesgeldkontoȱ perȱ OnlineȬBankingȱ ausgeführtȱ werden.ȱ Transaktionenȱ desȱ Zahlungsverkehrs,ȱ wieȱ z.B.ȱ Überweisungen,ȱDaueraufträgeȱundȱLastschrifteinzügeȱkönnenȱaberȱnurȱseltenȱdurchȬ geführtȱwerden.ȱ 11

1.3

1

Zinsfinanzinstrumente

AuchȱbeimȱTagesgeldkontoȱerfolgtȱeineȱGutschriftȱderȱZinsenȱnachȱjederȱZinsperiode.ȱ DieȱGuthabenzinsenȱsindȱvariabel,ȱsieȱsindȱaberȱebenfallsȱnichtȱdirektȱanȱdieȱEntwickȬ lungȱ einesȱ Referenzzinssatzesȱ gebunden.ȱ Dieȱ Guthabenzinsenȱ werdenȱ jeȱ nachȱ Bankȱ monatlich,ȱ quartalsweiseȱ oderȱ wieȱ beimȱ Sparbuchȱ jährlichȱ gutgeschrieben.ȱ Dieȱ aufȱ Tagesgeldkontenȱ erzielbarenȱ Zinssätzeȱ sindȱ zurȱ Zeitȱ deutlichȱ höherȱ alsȱ dieȱ durchȬ schnittlichȱaufȱeinemȱSparbuchȱerzielbarenȱZinssätze.ȱ

1.3.1.4

Festgelder

Sparbuchȱ undȱ Tagesgeldkontoȱ habenȱ denȱ Vorteil,ȱ dassȱ dasȱ Geldȱ beiȱ Bedarfȱ jederzeitȱ zurȱVerfügungȱsteht.ȱDerȱPreisȱfürȱdieȱVerfügbarkeitȱliegtȱinȱrelativȱniedrigenȱZinsen.ȱ DieȱZinsenȱsindȱzudemȱvariabel.ȱSieȱkönnenȱinȱNiedrigzinsphasenȱvonȱderȱBankȱherȬ untergesetztȱ werden.ȱ Möglichkeitenȱ zurȱ Fixierungȱ einesȱ festenȱ Zinssatzesȱ beiȱ einerȱ BankanlageȱbietenȱFestgelder.ȱ BeimȱFestgeldȱwirdȱeinȱbestimmterȱBetragȱaufȱeinemȱKontoȱfürȱeineȱLaufzeitȱvonȱ1,ȱ2,ȱ 3,ȱ6,ȱ9ȱoderȱ12ȱMonaten11ȱfestȱangelegt.ȱInnerhalbȱderȱvereinbartenȱLaufzeitȱkannȱderȱ Anlegerȱ überȱ seinȱ Geldȱ nichtȱ verfügen.ȱ Dafürȱ hatȱ erȱ einenȱ Zinssatzȱ fixiert,ȱ derȱ ihmȱ sicherȱist.ȱAuchȱwennȱdasȱZinsniveauȱfällt,ȱstehtȱdemȱAnlegerȱderȱvereinbarteȱZinssatzȱ zu.ȱMeistȱexistiertȱeinȱMindestbetragȱfürȱdieȱAnlageȱeinesȱFestgeldes,ȱvonȱz.B.ȱ5.000ȱ€.ȱ DieȱHöheȱdesȱzuȱerzielendenȱGuthabenzinssatzesȱistȱdabeiȱauchȱvonȱdemȱangelegtenȱ Betragȱ abhängig.ȱ Aktuellȱ (Maiȱ 2006)ȱ erbringenȱ Festgeldanlagenȱ jedochȱ keineȱ oderȱ kaumȱhöhereȱRenditenȱalsȱdieȱtäglichȱverfügbarenȱTagesgeldkonten.ȱ ȱ

1.3.1.5

Sparbriefe

Sparbriefeȱ sindȱ Wertpapiere,ȱ dieȱ Forderungenȱ gegenüberȱ derȱ ausstellendenȱ Bankȱ verbriefen.ȱ Sparbriefeȱ habenȱdabeiȱLaufzeitenȱ vonȱ 2ȱ bisȱ 10ȱ Jahren.ȱ DerȱZinssatzȱ wirdȱ fürȱ dieȱ gesamteȱ Laufzeitȱ fixiertȱ undȱ istȱ höherȱ alsȱ derȱ Zinssatzȱ desȱ klassischenȱ SparȬ buchs.ȱ Beimȱ Vergleichȱ vonȱ Tagesgeldzinssatzȱ undȱ Sparbriefsätzenȱ einȱ undȱ derselbenȱ BankȱsindȱdieȱZinssätzeȱfürȱSparbriefeȱinȱderȱRegelȱebenfallsȱhöher.ȱ Fürȱ dieȱ Verzinsungȱ bestehtȱ dieȱ Möglichkeit,ȱ dieȱ Zinsenȱ entwederȱ ausgezahltȱ zuȱ beȬ kommenȱoderȱeinenȱ„abgezinsten“ȱSparbriefȱzuȱerwerben,ȱbeiȱdemȱnurȱdieȱAnlageȱdesȱ NennwertesȱabzüglichȱderȱwährendȱderȱLaufzeitȱanfallendenȱZinsenȱerfolgt.ȱAmȱEndeȱ derȱLaufzeitȱwirdȱderȱgesamteȱNennwertȱzurückgezahlt.ȱSparbriefeȱsindȱnichtȱhandelȬ bar.ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 11ȱȱ BeiȱeinerȱlängerȱgewünschtenȱAnlageȱvonȱGeldbeträgenȱbeiȱeinerȱBankȱkannȱderȱKundeȱsichȱ

fürȱSparbriefeȱ(s.u.)ȱentscheiden.ȱ

12

ȱ

Finanzinstrumente zur Geldanlage

1.3.2

Wertpapiere

Wertpapiereȱ sindȱ verbriefteȱ Rechte,ȱ d.h.ȱ überȱ dieȱ erworbenenȱ Rechte,ȱ etwaȱ aufȱ denȱ Empfangȱ bestimmterȱ Zahlungen,ȱ wirdȱ eineȱ Urkundeȱ ausgestellt.ȱ Fürȱ dieȱ Ausübungȱ desȱRechtsȱistȱderȱBesitzȱderȱUrkundeȱerforderlich.ȱȱ Wertpapiereȱ kannȱ manȱ zunächstȱ nachȱ derȱArtȱ desȱ verbrieftenȱ Rechtsȱ klassifizieren.12ȱ SoȱgibtȱesȱverbriefteȱMitgliedschaftsrechte,ȱwieȱz.B.ȱbeiȱAktien,ȱRechteȱanȱSachen,ȱz.B.ȱ beiȱHypothekenȬȱoderȱGrundschuldbriefenȱundȱforderungsrechtlicheȱWertpapiere.ȱ Bestehtȱ dasȱ verbriefteȱ Rechtȱ ausȱ demȱ Rechtȱ aufȱ Rückerstattungȱ einesȱ ausgeliehenenȱ BetragsȱundȱdieȱZahlungȱvonȱZinsen,ȱsoȱsprichtȱmanȱvonȱ Anleihen,ȱ SchuldverschreiȬ bungenȱoderȱObligationen.ȱ Derȱ Begriffȱ „Anleihe“ȱ resultiertȱ ausȱ derȱ Sichtȱ desjenigen,ȱ derȱ dieȱ Anleiheȱ aufȱ denȱ Marktȱbringt,ȱd.h.ȱausȱderȱSichtȱdesȱSchuldnersȱoderȱKreditnehmers.ȱAusȱseinerȱSichtȱ leihtȱ erȱ sichȱ überȱ dieȱAnleiheȱ Geld,ȱ dasȱ erȱ dannȱ amȱ Endeȱ derȱ Laufzeitȱ zurückzahlenȱ muss.ȱManȱsprichtȱdavon,ȱdassȱerȱeineȱAnleiheȱ„begibt“,ȱbzw.ȱ„emittiert“,ȱd.h.ȱvonȱderȱ Emissionȱ einerȱ Anleihe.ȱ Derjenige,ȱ derȱ dieȱ Anleiheȱ begibt,ȱ heißtȱ derȱ Emittent.ȱ WähȬ rendȱderȱLaufzeitȱderȱAnleiheȱmussȱerȱdenȱKäufernȱderȱAnleiheanteileȱZinsenȱbezahȬ len,ȱamȱEndeȱderȱLaufzeitȱzahltȱerȱdemȱKäuferȱdenȱNominalbetragȱderȱAnleiheȱzurück.ȱ EineȱAnleiheȱistȱdamitȱausȱSichtȱdesȱEmittentenȱeinȱverbriefterȱKredit.ȱȱ AmȱKapitalmarktȱhandelbareȱ(fungible)ȱWertpapiere,ȱdieȱvertretbar,ȱd.h.ȱgegeneinanȬ derȱaustauschbarȱundȱgleichwertigȱzuȱbeschaffenȱsind,ȱheißenȱauchȱEffekte.ȱȱ Bezüglichȱ derȱ Laufzeitȱ hatȱ derȱ Anlegerȱ dieȱ freieȱ Auswahl.ȱ Esȱ könnenȱ kurzȬ,ȱ mittelȬȱ undȱlangfristigeȱWertpapiereȱgekauftȱwerden.ȱDaȱdieȱWertpapiereȱvonȱdenȱEmittentenȱ jeȱ nachȱ Kapitalbedarfȱ zuȱ denȱ unterschiedlichstenȱ Zeitpunktenȱ begebenȱ werden,ȱ funȬ gibleȱ Wertpapiereȱ durchȱ ihreȱ Handelbarkeitȱ aberȱ auchȱ vorȱ demȱ Endeȱ derȱ Laufzeitȱ verkauftȱ werdenȱ können,ȱ existierenȱ zumȱ Zeitpunktȱ einerȱ Anlageentscheidungȱ imȱ PrinzipȱWertpapiereȱmitȱbeliebigenȱRestlaufzeiten.ȱȱ Vieleȱ Wertpapiereȱ tragenȱ einenȱ festenȱ Zinssatz,ȱ derȱ sichȱ nachȱ derȱ Laufzeitȱ undȱ demȱ Schuldnerȱ(s.u.)ȱrichtet.ȱDenȱfürȱdasȱWertpapierȱfestgelegtenȱZinssatzȱbezeichnetȱmanȱ auchȱ alsȱ Nominalzinssatzȱ oderȱ Kuponzinssatz,ȱ dieȱ entsprechendenȱ Zinszahlungenȱ alsȱKuponzinsen.ȱȱ AufȱderȱanderenȱSeiteȱstehenȱdieȱ FloatingȱRateȱNotesȱ(auch:ȱ Floater),ȱderenȱZinssätzeȱ variabelȱsindȱundȱsichȱanȱeinenȱReferenzzinssatzȱanlehnen.ȱDurchȱdieȱOrientierungȱanȱ einemȱ Referenzzinssatzȱ partizipiertȱ derȱ Anlegerȱ anȱ einemȱ steigendenȱ Zinsniveau,ȱ nimmtȱ aberȱ auchȱ niedrigereȱ Zinsenȱ beiȱ einemȱ fallendenȱ Zinsniveauȱ inȱ Kauf.ȱ Floaterȱ existierenȱ allerdingsȱ heuteȱ inȱ denȱ verschiedenstenȱAusstattungen.ȱ Soȱ kannȱ z.B.ȱ beimȱ CapȬFloaterȱeinȱHöchstzinssatzȱoderȱbeimȱFloorȬFloaterȱeinȱMindestzinssatzȱvereinbartȱ werdenȱ(s.ȱKapitelȱ9ȱ„Zinsderivate“).ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 12ȱȱ ZurȱKlassifikationȱvonȱWertpapierenȱs.ȱBestmann,ȱ1997,ȱS.ȱ682ȱff.ȱ

13

1.3

1

Zinsfinanzinstrumente

Dieȱ Zinszahlungenȱ erfolgenȱ beiȱ Wertpapierenȱ meistȱ aufȱ einȱ getrenntesȱ Konto.ȱ Dieȱ ThesaurierungȱvonȱZinserträgen,ȱd.h.ȱdieȱWiederanlageȱderȱZinserträgeȱinȱdemselbenȱ WertpapierȱistȱnurȱbeiȱspeziellenȱWertpapieren,ȱwieȱz.B.ȱdemȱBundesschatzbriefȱTypȱB,ȱ beiȱdemȱderȱangelegteȱBetragȱmitȱZinsenȱundȱZinseszinsenȱamȱEndeȱderȱLaufzeitȱzuȬ rückgezahltȱwird,ȱüblich.ȱEinenȱSpezialfallȱstellenȱdieȱNullkuponanleihen13ȱdar,ȱderenȱ Kuponzinssatzȱ0ȱProzentȱbeträgt.ȱDerȱZinsertragȱstecktȱhierȱinȱderȱDifferenzȱausȱRückȬ zahlungskursȱ undȱ davonȱ verschiedenemȱ Emissionskurs.ȱ Nullkuponanleihenȱ kannȱ manȱ daherȱ ebenfallsȱ alsȱAnlagenȱ bezeichnen,ȱ beiȱ denenȱ dieȱ Zinszahlung,ȱ zumindestȱ gedanklich,ȱaufȱdemselbenȱWertpapierȱerfolgt.ȱDieȱZinsenȱverzinsenȱsichȱsoȱwährendȱ derȱLaufzeitȱweiter.ȱȱ Wertpapiereȱ lassenȱ sichȱ zusätzlichȱ auchȱ nachȱ demȱ Schuldnerȱ klassifizieren.ȱ Papiereȱ derȱ öffentlichenȱ Hand,ȱ d.h.ȱ z.B.ȱ StaatsȬȱ undȱ Kommunalanleihenȱ geltenȱ dabeiȱ inȱ Deutschlandȱ alsȱ sicherȱ undȱ erbringenȱ daherȱ relativȱ geringeȱ Zinsen.ȱ Beiȱ BankschuldȬ verschreibungen,ȱ Unternehmensanleihenȱ undȱ Staatsanleihenȱ andererȱ Staatenȱ richtetȱ sichȱ derȱ Zinssatzȱ nachȱ derȱ Kreditwürdigkeitȱ desȱ Schuldners.ȱ Soȱ tragenȱ z.B.ȱ risikoreiȬ chereȱUnternehmensanleihenȱoderȱauchȱStaatsanleihenȱrisikoträchtigererȱStaatenȱeinenȱ höherenȱ Nominalzinssatz.ȱ Darinȱ spiegeltȱ sichȱ dieȱ Unsicherheitȱ wieder,ȱ dassȱ dasȱ UnȬ ternehmenȱ oderȱ derȱ Staat,ȱ vonȱ demȱ dieȱ Anleiheȱ erworbenȱ wurde,ȱ zahlungsunfähigȱ werdenȱ könnteȱ undȱ dieȱ Besitzerȱ derȱ Anleiheȱ ihrȱ eingezahltesȱ Kapitalȱ nichtȱ zurückȱ erhalten.ȱ Dieȱ Emittentenȱ vonȱ Wertpapierenȱ werdenȱ dabeiȱvonȱ soȱ genanntenȱ RatingaȬ genturenȱbewertet.ȱEinȱbesseresȱRatingȱbedeutetȱeineȱgeringereȱWahrscheinlichkeitȱfürȱ eineȱ Zahlungsunfähigkeitȱ desȱ Schuldners.ȱ Jeȱ schlechterȱ dasȱ Ratingȱ ist,ȱ destoȱ höherȱ wirdȱdieȱWahrscheinlichkeitȱeinerȱZahlungsunfähigkeitȱbewertetȱundȱdestoȱhöherȱsindȱ demnachȱ auchȱ dieȱ Zinsen,ȱ dieȱ fürȱ Anleihenȱ dieserȱ Schuldnerȱ gezahltȱ werden.ȱ Dieȱ höherenȱZinsenȱvergütenȱdieȱerhöhteȱRisikobereitschaftȱdesȱAnlegers.ȱ

1.4

Finanzinstrumente zur Geldaufnahme

Dieȱ Aufnahmeȱ vonȱ Geldmittelnȱ fürȱ eineȱ bestimmteȱ Zeitȱ bezeichnetȱ manȱ alsȱ Kredit,ȱ wobeiȱdasȱKreditgeschäftȱinȱrechtlicherȱHinsichtȱaufȱdenȱBestimmungenȱdesȱBürgerliȬ chenȱGesetzbuchesȱüberȱdasȱDarlehenȱ(§§ȱ607ȱȬȱ609ȱBGB)ȱberuht.ȱ EinigeȱKlassifikationskriterienȱvonȱFinanzinstrumentenȱseienȱspeziellȱfürȱKrediteȱnochȱ einmalȱdargestellt.ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 13ȱȱ S.ȱauchȱKapitelȱ8ȱ„KursȬȱundȱRenditerechnung“.ȱ

14

ȱ

Finanzinstrumente zur Geldaufnahme

1.4.1

Laufzeit und Verzinsung

Dieȱ Einteilungȱ nachȱ derȱ Laufzeitȱ inȱ kurzȬ,ȱ mittelȬȱ undȱ langfristigeȱ Krediteȱ giltȱ wieȱ obenȱaufgeführtȱweiter.ȱȱ Dieȱ Verzinsungȱ kannȱ mitȱ einemȱ festenȱ Zinssatzȱ fürȱ dieȱ gesamteȱ Laufzeitȱ erfolgen.ȱ Besondereȱ Beachtungȱ findenȱ dabeiȱ dieȱ langfristigenȱ Kredite.ȱ Früherȱ warenȱ beiȱ RealȬ krediten,ȱd.h.ȱdurchȱGrundpfandrechteȱgesichertenȱKrediten,ȱLaufzeitenȱvonȱ30ȱJahrenȱ durchausȱüblich.ȱHeuteȱsindȱZinsbindungenȱüberȱ15ȱJahrenȱeherȱdieȱAusnahme,ȱhäuȬ figeȱZinsbindungsfristenȱliegenȱbeiȱ5,ȱ8,ȱ10ȱundȱ15ȱJahren.ȱInȱvielenȱFällenȱistȱdieȱTilȬ gungȱ daherȱ aberȱ nachȱ derȱ Zinsbindungsfristȱ nochȱ nichtȱ abgeschlossen.ȱ NachȱAblaufȱ derȱZinsbindungȱverbleibtȱdannȱeineȱRestschuld.ȱDieseȱkannȱinȱeinemȱBetragȱzurückȬ gezahltȱ werden.ȱ Inȱ derȱ Regelȱ wirdȱ derȱ Kreditȱ aberȱ verlängertȱ undȱ derȱ Zinssatzȱ entȬ sprechendȱdemȱdannȱgeltendenȱZinsniveauȱangepasst.ȱEineȱkurzeȱZinsbindungȱbeinȬ haltetȱalsoȱeinȱgewissesȱZinsrisikoȱaufȱdenȱnachȱderȱZinsbindungsphaseȱausstehendenȱ Restbetrag.ȱOftȱwerdenȱdaherȱinȱNiedrigzinsphasen,ȱinȱdenenȱfürȱdieȱkommendeȱZeitȱ eineȱZinserhöhungȱerwartetȱwird,ȱlangeȱZinsbindungen,ȱz.B.ȱvonȱ15ȱJahren,ȱbevorzugt.ȱ InȱHochzinsphasenȱkannȱderȱSchuldnerȱaufȱeineȱallgemeineȱZinssenkungȱhoffenȱundȱ zunächstȱdenȱZinssatzȱnurȱfürȱeineȱkurzeȱLaufzeitȱvonȱz.B.ȱ5ȱJahrenȱfixieren.ȱ Nebenȱ derȱ Zinsanpassung,ȱ dieȱ eineȱ gewisseȱ Variabilitätȱ desȱ Zinssatzesȱ überȱ dieȱ geȬ samteȱLaufzeitȱdarstellt,ȱexistierenȱauchȱvariabelȱverzinslicheȱKredite.ȱDieȱVerzinsungȱ passtȱsichȱhierȱanȱeinenȱReferenzzinssatz,ȱz.B.ȱdenȱEuribor,ȱan.ȱDieȱBankȱberechnetȱfürȱ dieȱBereitstellungȱdesȱKreditsȱinȱderȱRegelȱeinenȱAufschlag.ȱ Beispielȱ1.6:ȱEsȱwirdȱeinȱvariabelȱverzinslicherȱKreditȱüberȱ5ȱJahreȱvergeben,ȱfürȱdenȱ alsȱZinssatzȱjährlichȱderȱ12ȬMonatsȬEuriborȱ+ȱ1%ȱberechnetȱwird.ȱZinsfestsetzungsterȬ mineȱsindȱjeweilsȱamȱ1.10.ȱeinesȱJahres.ȱLiegtȱderȱ12ȬMonatsȬEuriborȱamȱ1.10.2009ȱz.B.ȱ beiȱ2,8%,ȱsoȱbeträgtȱderȱKreditzinssatzȱfürȱdieȱPeriodeȱvomȱ1.10.2009ȱbisȱzumȱ30.9.2010ȱ 3,8%.ȱAmȱ1.10.2010ȱerfolgtȱdannȱeineȱerneuteȱZinsanpassung.ȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

1.4.2

Kreditnehmer

Soȱ wieȱ beiȱ denȱAnlageproduktenȱ kannȱ manȱ auchȱ beiȱ Kreditenȱ nachȱ demȱ Schuldner,ȱ d.h.ȱdemȱKreditnehmer,ȱklassifizieren.ȱEsȱmachtȱeinenȱUnterschied,ȱobȱeinȱKreditȱeinerȱ Privatperson,ȱ einemȱ Unternehmen,ȱ einerȱ Bankȱ oderȱ einerȱ Körperschaftȱ desȱ öffentliȬ chenȱ Rechtesȱ gewährtȱ wird.ȱ Dieseȱ Unterscheidungȱ betrifftȱ insbesondereȱ dieȱ KreditȬ würdigkeitȱdesȱKreditnehmers.ȱBundesländerȱundȱKommunenȱalsȱKörperschaftenȱdesȱ öffentlichenȱRechtesȱgeltenȱz.B.ȱalsȱkreditwürdiger,ȱdaȱsieȱmitȱihrenȱSteuereinnahmenȱ haften.ȱDieȱEinteilungȱinȱRisikogruppenȱvonȱUnternehmen,ȱBankenȱundȱPrivatpersoȬ nenȱ resultiertȱ inȱ speziellenȱ Kreditkonditionen,ȱ wieȱ z.B.ȱ Zinsaufschlägenȱ fürȱ risikoreiȬ cheȱ Kreditengagements.ȱ Auchȱ dasȱ Volumen,ȱ d.h.ȱ dieȱ Höheȱ desȱ gewährtenȱ Kredits,ȱ variiertȱzwischenȱdenȱKreditnehmern.ȱPrivatpersonenȱwirdȱsoȱinȱderȱRegelȱeinȱgerinȬ

15

1.4

1

Zinsfinanzinstrumente

geresȱ Kreditvolumenȱ gewährtȱ alsȱ Unternehmen,ȱ Bankenȱ oderȱ Körperschaftenȱ desȱ öffentlichenȱRechtes.ȱȱ

1.4.3

Tilgung

DasȱzurȱVerfügungȱgestellteȱKreditvolumenȱkannȱaufȱunterschiedlicheȱArtȱundȱWeiseȱ zurückgezahltȱwerden.ȱȱ WirdȱderȱKreditbetragȱinȱeinerȱSummeȱamȱEndeȱderȱLaufzeitȱzurückgezahlt,ȱsoȱsprichtȱ manȱvonȱeinerȱ endfälligenȱTilgung.ȱÜblicherweiseȱwerdenȱhierȱdieȱproȱPeriodeȱanfalȬ lendenȱZinsenȱaberȱzeitgleichȱgezahlt.ȱWerdenȱhingegenȱwährendȱderȱLaufzeitȱwederȱ Tilgungenȱ vorgenommenȱ nochȱ Zinszahlungenȱ erbracht,ȱ soȱ werdenȱ dieȱ Zinsenȱ demȱ Kreditkontoȱ belastetȱ undȱ dieȱ Tilgungȱ erfolgtȱ endfälligȱ mitsamtȱ denȱ aufgelaufenenȱ Zinsen.ȱDemgegenüberȱkannȱbeiȱeinemȱ RatenkreditȱzusätzlichȱzuȱdenȱZinszahlungenȱ auchȱ eineȱ konstanteȱ Tilgungȱ proȱ Periodeȱ vereinbartȱ werdenȱ oderȱ beiȱ einerȱ AnnuitäȬ tentilgungȱdieȱmonatlicheȱBelastungȱalsȱSummeȱvonȱTilgungsȬȱundȱZinszahlungȱkonȬ stantȱgewähltȱwerdenȱ(s.ȱKapitelȱ7ȱ„Tilgung“).ȱȱ Danebenȱ könnenȱ auchȱ individuelleȱ vertraglicheȱ Vereinbarungenȱ zwischenȱ Gläubigerȱ undȱSchuldnerȱgetroffenȱwerden,ȱdieȱdemȱSchuldnerȱeineȱgewisseȱFlexibilitätȱbeiȱderȱ TilgungȱdesȱKreditsȱerlauben.ȱEineȱhäufigȱgewählteȱFormȱsindȱdieȱsoȱgenanntenȱ SonȬ dertilgungen,ȱbeiȱdenenȱderȱSchuldnerȱz.B.ȱproȱJahrȱ5ȱoderȱ10%ȱderȱKreditsummeȱinȱ einemȱoderȱmehrerenȱBeträgenȱzusätzlichȱzuȱdenȱregulärȱanfallendenȱRückzahlungenȱ tilgenȱ kann.ȱ Derȱ Schuldnerȱ kannȱ soȱ unregelmäßigeȱ oderȱ unvorhergeseheneȱ EinnahȬ menȱzurȱRückzahlungȱseinesȱKreditsȱverwenden.ȱ

1.4.4

Sicherheiten

Eineȱ zusätzlicheȱ Einteilungȱ kannȱ beiȱ Kreditenȱ nachȱ derȱBesicherungȱ desȱKreditsȱ vorȬ genommenȱwerden.ȱEsȱlassenȱsichȱPersonalȬȱundȱRealsicherheitenȱunterscheiden.ȱ14ȱ

1.4.4.1

Personalsicherheiten

BeiȱdenȱPersonalsicherheitenȱentstehtȱdieȱSicherheitȱfürȱdenȱKreditgeberȱdadurch,ȱdassȱ nebenȱ demȱ Kreditnehmerȱ nochȱ eineȱ dritteȱ Personȱ fürȱ denȱ Kreditȱ haftet.ȱ Hierunterȱ zählenȱz.B.ȱdieȱBürgschaftȱundȱdieȱGarantie.ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 14ȱȱ ZuȱderȱEinteilungȱnachȱSicherheitenȱs.ȱauchȱOlfert/Reichel,ȱ2005,ȱS.ȱ82ȱff..ȱDieȱEinteilungȱnachȱ

Sicherheitenȱ wirdȱ hierȱ nurȱ kurzȱ angeschnitten,ȱ daȱ sieȱ fürȱ dieȱ finanzmathematischeȱ BehandȬ lungȱvonȱFinanzinstrumentenȱnichtȱrelevantȱist.ȱ

16

ȱ

Finanzinstrumente zur Geldaufnahme

1.4.4.2

Realsicherheiten

RealsicherheitenȱsindȱSachwerteȱoderȱRechte,ȱdieȱdemȱKreditgeberȱzurȱSicherungȱdesȱ Kreditsȱbereitȱgestelltȱwerden.ȱ Zuȱ denȱ Realsicherheitenȱ gehörenȱ Grundpfandrechte,ȱ wieȱ dieȱ Hypothekȱ undȱ dieȱ GrundschuldȱsowieȱRechteȱanȱbeweglichemȱVermögenȱwieȱPfandrechte,ȱForderungsȬ abtretungen,ȱSicherungsübereignungenȱundȱderȱEigentumsvorbehalt.ȱȱ ȱ

1.4.5

Kreditprodukte

Krediteȱ werdenȱ häufigȱ sehrȱ individuellȱ ausgestaltetȱ undȱ anȱ dieȱ Bedürfnisseȱ derȱ VerȬ tragspartnerȱangepasst.ȱDennochȱseienȱimȱFolgendenȱeinigeȱhäufigȱauftretendeȱKreditȬ formenȱkurzȱerläutert.ȱ

1.4.5.1

Dispositionskredit

Derȱ Dispositionskreditȱ istȱ einȱ kurzfristigerȱ Kreditȱ anȱ Privatpersonen,ȱ beiȱ demȱ eineȱ Kreditlinieȱeingeräumtȱwird.ȱDerȱKreditnehmerȱkannȱdenȱKreditȱbisȱzuȱderȱKreditlinieȱ variabelȱinȱAnspruchȱnehmen.ȱDieȱTilgungȱerfolgtȱindividuell,ȱmeistȱdurchȱeingehendeȱ Gehaltszahlungen.ȱEineȱbesondereȱBesicherungȱwirdȱinȱderȱRegelȱnichtȱgefordert.ȱȱ

1.4.5.2

Konsumentenkredit

Zuȱ denȱ Konsumentenkreditenȱ werdenȱ Krediteȱ fürȱ größereȱAnschaffungen,ȱ wieȱ etwaȱ einesȱ Pkw,ȱ gezählt.ȱ Konsumentenkrediteȱ werdenȱ meistȱ inȱ konstantenȱ Ratenȱ getilgt.ȱ Fürȱ denȱ Kreditrahmenȱ bestehenȱ gewisseȱ MindestȬȱ undȱ Höchstvolumina,ȱ z.B.ȱ vonȱ mindestensȱ1.000ȱ€ȱundȱhöchstensȱ50.000ȱ€.ȱVoraussetzungȱfürȱdieȱVergabeȱeinesȱKonȬ sumentenkreditsȱistȱdieȱKreditwürdigkeitȱdesȱKreditnehmers,ȱfürȱdieȱu.a.ȱregelmäßigeȱ Einnahmenȱnachzuweisenȱsind.ȱ

1.4.5.3

Baufinanzierungskredit

Baufinanzierungskrediteȱ dienenȱ derȱ Finanzierungȱ desȱ Erwerbsȱ oderȱ Bausȱ einerȱ ImȬ mobilie.ȱ Esȱ handeltȱ sichȱ umȱ mitȱ Grundpfandrechtenȱ besicherteȱ langfristigeȱ Kredite.ȱ FrüherȱwarenȱhierȱLaufzeitenȱvonȱ30ȱJahrenȱdurchausȱüblich.ȱHeuteȱhingegenȱliegtȱdieȱ höchsteȱ Zinsbindungȱ inȱ derȱ Regelȱ beiȱ 15ȱ Jahrenȱ (s.ȱ Abschnittȱ „Laufzeitȱ undȱ VerzinȬ sung“).ȱBaufinanzierungskrediteȱwerdenȱmeistȱmitȱeinerȱAnnuitätentilgung,ȱd.h.ȱeinerȱ konstantenȱBelastungȱausȱTilgungȱundȱZins,ȱausgestattet.ȱ

17

1.4

1

Zinsfinanzinstrumente

1.4.5.4

Kontokorrentkredit

DerȱKontokorrentkreditȱistȱeinȱkurzfristigerȱKreditȱinȱFormȱeinerȱeingeräumtenȱKreditȬ linie,ȱ derȱ vonȱ einerȱ Bankȱ anȱ Unternehmenȱ oderȱ auchȱ zwischenȱ zweiȱ Unternehmenȱ vergebenȱ wird.ȱ Erȱ entsprichtȱ demȱ Dispositionskreditȱ anȱ Privatkunden.ȱ Derȱ KreditȬ nehmerȱ kannȱ denȱ Kreditȱ bisȱ zurȱ Kreditlinieȱ variabelȱ inȱAnspruchȱ nehmen.ȱAuchȱ dieȱ Tilgungȱ erfolgtȱ individuellȱ nachȱ denȱ Wünschenȱ desȱ Kreditnehmers.ȱ Dieȱ Verzinsungȱ richtetȱsichȱnachȱdemȱMarktniveau.ȱ Beiȱ Überschreitenȱ derȱ Kreditlinieȱ entstehtȱ einȱ Überziehungskredit,ȱ dessenȱ Sollzinsenȱ überȱdieȱdesȱKontokorrentkreditsȱhinausgehen.ȱ

1.4.5.5

Betriebsmittelkredit

Betriebsmittelkrediteȱ werdenȱ anȱ Unternehmenȱ vergebenȱ undȱ stellenȱ eineȱ kurzfristigȱ eingeräumteȱKreditlinieȱdar,ȱdieȱzurȱFinanzierungȱvonȱlaufendenȱAusgaben,ȱwieȱdemȱ Kaufȱ vonȱ Rohstoffenȱ undȱ anderenȱ Waren,ȱ dient.ȱ Derȱ Betriebsmittelkreditȱ istȱ damitȱ eineȱ Formȱ desȱ Kontokorrentkredits.ȱ Dieȱ Rückzahlungȱ desȱ Kreditsȱ erfolgtȱ individuellȱ ausȱdenȱlaufendenȱEinnahmen.ȱ

1.4.5.6

Investitionskredit

EinȱInvestitionskreditȱdientȱderȱBeschaffungȱvonȱAnlagevermögen,ȱwieȱz.B.ȱGebäuden,ȱ Maschinenȱ undȱ Fahrzeugen.ȱ Dieȱ Laufzeitȱ richtetȱ sichȱ nachȱ derȱ Nutzungsdauerȱ desȱ Investitionsobjektsȱundȱistȱdaherȱmeistȱlangfristig.ȱEinȱInvestitionskreditȱwirdȱmeistȱalsȱ Ratendarlehenȱ vergeben.ȱ Soȱ wieȱ dasȱ Investitionsgutȱ konstantȱ abgeschriebenȱ wird,ȱ wirdȱ auchȱ derȱ Kreditȱ inȱ konstantenȱ Ratenȱ getilgt,ȱ soȱ dassȱ dieȱ Kredithöheȱ anȱ denȱ Buchwertȱ desȱ Investitionsobjektsȱ angelehntȱ ist.ȱ Investitionskrediteȱ werdenȱ naturgeȬ mäßȱeherȱvonȱUnternehmenȱinȱAnspruchȱgenommen.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

18

ȱ

Partnerinterview

1.5

Partnerinterview

Dasȱ Zielȱ einesȱ Partnerinterviews15ȱ istȱ dieȱ Wiederholungȱ undȱ Einübungȱ desȱ Stoffesȱ durchȱ dasȱ Formulierenȱ desȱ Gelerntenȱ mitȱ eigenenȱ Worten.ȱ Zuȱ diesemȱ Zweckȱ bildenȱ Sieȱ mitȱ einerȱ weiterenȱ Personȱ eineȱ Zweiergruppe,ȱ einȱ Partnerȱ übernimmtȱ jeweilsȱ dieȱ Rolleȱ vonȱ A,ȱ derȱ andereȱ dieȱ Rolleȱ vonȱ B.ȱ Beiȱ jederȱ Frageȱ erläutertȱ Aȱ dieȱ „AȬFrage“ȱ seinemȱPartner,ȱanschließendȱerläutertȱBȱdieȱ„BȬFrage“.ȱDieȱFragenȱbeziehenȱsichȱimȬ merȱ aufȱ einenȱ Themenkomplexȱ undȱ wechselnȱ imȱ Schwierigkeitsgradȱ ab.ȱ Zurȱ BeantȬ wortungȱ derȱ Fragenȱ dürfenȱ Sieȱ alleȱ Hilfsmittelȱ benutzen,ȱ z.B.ȱ nochȱ einmalȱ imȱ Textȱ nachlesen.ȱWichtigȱistȱallein,ȱdassȱSieȱdenȱStoffȱnochȱeinmalȱselbstȱlautȱinȱIhrenȱWortenȱ ausdrücken.ȱ Lernpsychologischeȱ Untersuchungenȱ bestätigen,ȱ dassȱ hierdurchȱ eineȱ stärkereȱAuseinandersetzungȱmitȱdemȱGelerntenȱundȱdadurchȱeinȱbesseresȱVerständȬ nisȱgefördertȱwird.ȱEineȱAntwortȱderȱFragenȱwirdȱnichtȱangegeben,ȱumȱeinȱzuȱschnelȬ lesȱNachschauenȱinȱderȱ„Musterlösung“ȱzuȱverhindern.ȱAlleȱAntwortenȱlassenȱsichȱausȱ demȱLehrbuchtextȱerschließen.ȱ Wirdȱ derȱ Stoffȱ imȱ Selbststudiumȱ erarbeitet,ȱ istȱ esȱ nachȱ denȱ obenȱ stehendenȱ ErläuteȬ rungenȱ ebenfallsȱ ratsam,ȱ dieȱ Fragenȱ lautȱ zuȱ beantworten,ȱ alsȱ würdeȱ manȱ sieȱ einemȱ Partnerȱerklären.ȱInȱdiesemȱFallȱsolltenȱjeweilsȱbeideȱFragenȱbearbeitetȱwerden.ȱ 1. A:ȱBeschreibenȱSieȱbeiȱeinemȱklassischenȱAnlageproduktȱIhrerȱWahl,ȱwarumȱdiesesȱ auchȱalsȱGeldaufnahmeȱbezeichnetȱwerdenȱkann?ȱ B:ȱWasȱbedeutenȱGuthabenȬȱundȱSollzinssatz?ȱWieȱverhaltenȱsieȱsichȱzueinander?ȱ 2. A:ȱWasȱistȱeineȱZinsstruktur?ȱWieȱsiehtȱeineȱnormaleȱZinsstrukturkurveȱaus?ȱ B:ȱWieȱsiehtȱeineȱinverseȱZinsstrukturkurveȱaus?ȱWieȱkannȱsieȱentstehen?ȱȱ 3. A:ȱWasȱsindȱOTCȬProdukte?ȱ B:ȱWannȱsindȱFinanzinstrumenteȱanȱderȱBörseȱhandelbar?ȱ 4. A:ȱBeschreibenȱSieȱeineȱGeldanlageȱmitȱAuszahlungȱderȱanfallendenȱZinsen!ȱ B:ȱBeschreibenȱSieȱeineȱGeldanlageȱmitȱGutschriftȱderȱanfallendenȱZinsen!ȱ 5. A:ȱWasȱistȱeinȱReferenzzinssatz?ȱBeschreibenȱSieȱeineȱAnlage,ȱbeiȱderȱeinȱvariablerȱ Zinssatzȱgezahltȱwird.ȱ B:ȱ Beschreibenȱ Sieȱ eineȱAnlage,ȱ beiȱ derȱ einȱ festerȱ Zinssatzȱ gezahltȱ wird.ȱ Wannȱ istȱ diesesȱfürȱdenȱAnlegerȱvorteilhaft,ȱwannȱvonȱNachteil?ȱ 6. A:ȱKlassifizierenȱSieȱdreiȱIhnenȱbekannteȱAnlageprodukte!ȱ B:ȱNennenȱSieȱdreiȱIhnenȱbekannteȱKreditformenȱundȱordnenȱSieȱdieseȱein!ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 15ȱȱ S.ȱz.B.ȱWahl,ȱ1995,ȱS.ȱ194.ȱ

19

1.5

Lernziele

2

2.1

Mathematische Grundlagen

Lernziele

Zurȱ Vermittlungȱ derȱ Ideenȱ undȱ Gebieteȱ derȱ Finanzmathematikȱ wirdȱ nurȱ einȱ verȬ gleichsweiseȱ geringerȱ Anteilȱ mathematischerȱ Theorieȱ undȱ Methodenȱ benötigt.ȱ Dieȱ guteȱBeherrschungȱderȱverwendetenȱmathematischenȱHilfsmittelȱistȱfürȱdasȱVerständȬ nisȱderȱfinanzmathematischenȱAnwendungenȱaberȱumȱsoȱwichtiger.ȱHierzuȱgehörtȱdieȱ Kenntnisȱ symbolischerȱ Schreibweisenȱ wieȱ beiȱ SummenȬȱ undȱ Produktdarstellungenȱ ebensoȱ wieȱ derȱ sichereȱ Umgangȱ mitȱ Potenzenȱ undȱ Logarithmenȱ sowieȱ dieȱ Fähigkeitȱ zurȱBeschreibungȱvonȱFolgenȱundȱderȱBerechungȱderȱinȱderȱFinanzmathematikȱhäufigȱ auftretendenȱ geometrischenȱ Reihe.ȱ Dasȱ folgendeȱ Kapitelȱ stelltȱ dieseȱ Hilfsmittelȱ zuȬ sammen.ȱNachȱBearbeitungȱdesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱȱ

„ dieȱPotenzȬȱundȱLogarithmusgesetzeȱanzuwenden,ȱ „ Exponentialgleichungenȱaufzulösen,ȱ „ dieȱ Schreibweiseȱ einerȱ Summeȱ undȱ einesȱ Produktesȱ zuȱ kennenȱ sowieȱ einfacheȱ SummenȱundȱProdukteȱzuȱberechnen,ȱ

„ dieȱspezielleȱSummeȱüberȱdieȱnatürlichenȱZahlenȱzuȱbestimmen,ȱ „ eineȱFolgeȱalsȱZuordnungȱderȱnatürlichenȱzuȱdenȱreellenȱZahlenȱzuȱverstehen,ȱ „ BeispieleȱfürȱFolgenȱnennenȱzuȱkönnen,ȱ „ EigenschaftenȱeinerȱFolgeȱwieȱMonotonieȱundȱBeschränktheitȱzuȱuntersuchen,ȱ „ beiȱ einerȱ einfachenȱ Folgeȱ zuȱ erkennen,ȱ obȱ sieȱ konvergiertȱ oderȱ (bestimmtȱ oderȱ unbestimmt)ȱdivergiert,ȱ

„ arithmetischeȱ undȱ geometrischeȱ Folgenȱ zuȱ definierenȱ undȱ ihrȱ KonvergenzverhalȬ tenȱzuȱerläutern,ȱ

„ eineȱReiheȱalsȱspezielleȱFolgeȱzuȱverstehen,ȱ „ dieȱPartialsummeȱeinerȱgeometrischenȱReiheȱzuȱberechnen,ȱ „ denȱWertȱeinerȱunendlichenȱgeometrischenȱReiheȱzuȱbestimmen.ȱ ȱ 21

2.1

2

Mathematische Grundlagen

2.2

Potenzen und Logarithmen

2.2.1

Potenzfunktion

Definition:ȱDieȱFunktionȱ f( x)

xa ȱheißtȱPotenzfunktion.ȱDenȱUrsprungswertȱxȱnenntȱ

manȱdieȱBasis,ȱaȱdenȱExponentenȱderȱPotenz.ȱ DabeiȱistȱaȱeinȱParameter.ȱȱ 1. Istȱ aȱ eineȱ natürlicheȱ Zahl,ȱ d.h.ȱ giltȱ a

x n , ȱ dassȱ xȱ nȬ

n , n  N , ȱ soȱ bedeutetȱ f( x)

malȱmitȱsichȱselbstȱmultipliziertȱwird,ȱd.h.ȱȱ f ( x)

xn

x x ˜ x ˜  ˜ x , n  N. ȱȱ  ˜

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.1)ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.2)ȱ

n  mal

2. Fürȱaȱ=ȱ0ȱundȱ x z 0 ȱgiltȱspeziellȱȱ f ( x)

x0 : 1. ȱȱ

ȱ

ȱ

3. FürȱeinenȱnegativenȱExponentenȱ a f ( x)

1 xn

xn

n , n  N giltȱfür x z 0 ȱȱ

1 , n  N. ȱ ȱ  x ˜ x ˜ x ˜x

˜ 

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.3)ȱ

n  mal

Beispielȱ2.1:ȱ 2 4 Beispielȱ2.2:ȱ 5 2

2.2.2

16. ȱ

2˜2˜2˜2

1 5˜5

1 .ȱ 25

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.4)ȱ

Potenzgesetze

EsȱgeltenȱdieȱfolgendenȱallgemeinenȱPotenzgesetze:ȱ 1.

xa ˜ y a

( x ˜ y)a ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ZweiȱPotenzenȱmitȱunterschiedlicherȱBasisȱundȱgleichemȱExponentenȱwerdenȱmulȬ tipliziert,ȱindemȱmanȱdieȱBasenȱmultipliziertȱundȱdenȱExponentenȱbeibehält.ȱ Beispielȱ2.3:ȱ 2 3 ˜ 53

8 ˜ 125

1.000

10 3

( 2 ˜ 5)3 . ȱȱ

Stattȱ dieȱ gegebenenȱ Potenzenȱ 2 3 ȱ undȱ 53 ȱ zuȱ berechnen,ȱ kannȱ manȱ zunächstȱ dieȱ Basenȱ 2ȱ undȱ 5ȱ multiplizieren.ȱ Dieȱ soȱ entstehendeȱ Potenzȱ vonȱ 10ȱ lässtȱ sichȱ dannȱ leichterȱberechnen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ 22

ȱ

Potenzen und Logarithmen

DiesesȱGesetzȱlässtȱsichȱleichtȱauchȱallgemeingültigȱbeweisen.ȱȱ NachȱderȱDefinitionȱeinerȱPotenzȱgiltȱ xa ˜ y a

x x ˜ x ˜  ˜ x ˜y ˜ y ˜ y ˜  ˜ y. ȱ ˜  a  mal

a  mal

Daȱ dasȱ Ergebnisȱ einerȱ Multiplikationȱ (aufgrundȱ desȱ Kommutativgesetzes)ȱ unabȬ hängigȱvonȱderȱReihenfolgeȱist,ȱinȱderȱmultipliziertȱwird,ȱkönnenȱwirȱschreibenȱ xa ˜ y a

 x x ˜ x ˜  ˜ x˜ y ˜ y ˜ y ˜  ˜ y ˜

 a  mal

( x ˜ y ) ˜ ( x ˜ y) ˜ ( x ˜ y) ˜  ˜ ( x ˜ y) 

a  mal

( x ˜ y )a . ȱ

a  mal

ȱ 2.

xa ya

a

§x· ¨ ¸ .ȱ ȱ ¨y¸ © ¹

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.5)ȱ

Zweiȱ Potenzenȱ mitȱ unterschiedlicherȱ Basisȱ undȱ gleichemȱ Exponentenȱ werdenȱ diȬ vidiert,ȱindemȱmanȱdieȱBasenȱdividiertȱundȱdenȱExponentenȱbeibehält.ȱ DerȱBeweisȱerfolgtȱanalogȱzumȱBeweisȱdesȱerstenȱGesetzesȱderȱMultiplikationȱvonȱ PotenzenȱmitȱgleichemȱExponenten:ȱȱ xa ya

x x ˜ x ˜   ˜x ˜

§x· §x· §x· §x· ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ ˜˜ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨y¸ ¨y¸ ¨y¸ © ¹ © y¹ © ¹

© ¹

a  mal

y ˜ y ˜ y ˜ ˜ y  a  mal

Beispielȱ2.4:ȱ

3.

xa ˜ x b

45 25

a

§x· ¨ ¸ .ȱ ¨y¸ © ¹

a  mal

§4· ¨ ¸ ©2¹

xa  b .ȱȱ

5

32. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.6)ȱ

ȱ

ZweiȱPotenzenȱmitȱgleicherȱBasisȱundȱunterschiedlichemȱExponentenȱwerdenȱmulȬ tipliziert,ȱindemȱmanȱdieȱBasenȱbeibehältȱundȱdieȱExponentenȱaddiert.ȱ DiesenȱZusammenhangȱsiehtȱmanȱamȱeinfachstenȱamȱBeispiel.ȱ Beispielȱ2.5:ȱ 52 ˜ 53

5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 55 52  3 3.125. ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

AberȱauchȱderȱallgemeineȱBeweisȱistȱeinfachȱzuȱführen:ȱ Esȱgiltȱ xa ˜ x b

x x ˜ x ˜   ˜x˜x x ˜ x ˜   ˜x ˜

˜

a  mal

b  mal

x x ˜ x ˜   ˜x ˜

xa  b . ȱ

a  b  mal

Wennȱ manȱ zunächstȱ aȬmalȱ undȱ dannȱ nochȱ einmalȱ bȬmalȱ mitȱ demselbenȱ Faktorȱ multipliziert,ȱhatȱmanȱinsgesamtȱ(a+b)ȱgleicheȱFaktoren.ȱ

23

2.2

2

Mathematische Grundlagen

xa xb

4.

xa  b .ȱȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.7)ȱ

Zweiȱ Potenzenȱ mitȱ gleicherȱ Basisȱ undȱ unterschiedlichemȱ Exponentenȱ werdenȱ diȬ vidiert,ȱindemȱmanȱdieȱBasenȱbeibehältȱundȱdieȱExponentenȱsubtrahiert.ȱ DerȱBeweisȱergibtȱsichȱdirektȱausȱ3.,ȱdaȱnachȱDefinitionȱeinerȱnegativenȱPotenzȱgiltȱ xa xb

xa ˜ x  b

Beispielȱ2.6:ȱ

xa  (  b ) 75 73

xa  b . ȱ

7 5 ˜ 7 3

72

49. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.8)ȱ

ȱ 5.

x

a b

xa ˜b .ȱ ȱ

ȱ

EineȱPotenzȱwirdȱpotenziert,ȱindemȱmanȱdieȱExponentenȱmultipliziert.ȱȱ DerȱUnterschiedȱzuȱdemȱdrittenȱPotenzgesetzȱbestehtȱdarin,ȱdassȱhierȱdieȱgesamteȱ Potenzȱ xa ȱmitȱdemȱExponentenȱbȱpotenziertȱwird.ȱDieȱPotenzȱ xa ȱwirdȱalsoȱbȬmalȱ mitȱsichȱselbstȱmultipliziert.ȱEsȱlässtȱsichȱschreibenȱ

x

a b

a a x ˜ x ˜

xa ˜ xa ˜ 

x

 a  a 

a  a b  mal

xa ˜ b . ȱ

b  mal



Beispielȱ2.7:ȱ 2 2

2.2.3

3

22 ˜ 22 ˜ 22

22  2 2

2 3˜ 2

2 6. ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Addition und Subtraktion von Potenzen

BeiȱderȱMultiplikationȱundȱDivisionȱvonȱPotenzenȱkönnenȱPotenzenȱdannȱzusammenȬ gefasstȱwerden,ȱwennȱentwederȱdieȱBasisȱoderȱderȱExponentȱderȱPotenzenȱgleichȱist.ȱȱ Potenzenȱ könnenȱ aberȱ nurȱ dannȱ addiertȱ oderȱ subtrahiertȱ werden,ȱ wennȱ Basisȱ undȱ Exponentȱgleichȱsind.ȱSieȱwerdenȱaddiertȱ(bzw.ȱsubtrahiert),ȱindemȱihreȱKoeffizientenȱ addiertȱ(bzw.ȱsubtrahiert)ȱwerden.ȱ Beispielȱ2.8:ȱȱ 3x 2  5x 2

8x 2 ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Beispielȱ2.9:ȱȱ 7 y 4  2 y 4

5y 4 ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

24

ȱ

Potenzen und Logarithmen

2.2.4

Potenzieren von Summen oder Differenzen

Beispielȱ2.10:ȱȱ (7  y)2

(7  y) ˜ (7  y)

49  7 y  7 y  y 2

49  14 y  y 2 ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

PotenzenȱvonȱSummenȱoderȱDifferenzenȱwerdenȱberechnet,ȱindemȱmanȱdieȱPotenzȱalsȱ Produktȱschreibtȱundȱdiesesȱausmultipliziert.ȱȱ ȱ Wichtig:ȱAufȱkeinenȱFallȱdarfȱdieȱPotenzȱeinfachȱinȱdieȱSummeȱhineingezogenȱwerden!ȱ Beispielȱ2.11:ȱȱ (a  b)2 z a 2  b 2 ȱ(!)ȱ ȱ

2.2.5

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Wurzelfunktion

Definition:ȱDieȱnȬteȱWurzelȱausȱeinerȱZahlȱxȱtȱ0ȱistȱdiejenigeȱZahl,ȱderenȱnȬteȱPotenzȱxȱ ergibt:ȱ f ( x)

n

y

x Ÿ x

yn ,

x t 0ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.9)ȱ

DabeiȱnenntȱmanȱxȱdenȱRadikand,ȱnȱdenȱWurzelexponenten.ȱ Dasȱ„ZiehenȱderȱnȬtenȱWurzel“ȱstelltȱalsoȱdieȱUmkehrungȱdesȱPotenzierensȱdar.ȱ ȱ Beispielȱ 2.12:ȱ ȱ Suchtȱ manȱ dieȱ dritteȱ Wurzelȱ ausȱ 8,ȱ d.h. y

3

8 , ȱ dannȱ istȱ dieȱ Zahlȱ geȬ

sucht,ȱ die,ȱ wennȱ manȱ sieȱ mitȱ 3ȱ potenziert,ȱ 8ȱ ergibt.ȱ Gesuchtȱ istȱ alsoȱ dasȱ y,ȱ fürȱ das y 3

8. Esȱgiltȱhierȱnatürlichȱyȱ=ȱ2,ȱdenn 2 3

8. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱȱ(2.10)ȱ

ȱ DieȱnȬteȱWurzelȱkannȱmanȱalsȱPotenzȱmitȱrationalemȱExponentenȱalsȱ 1 n

x

xn ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

schreiben.ȱ DiesesȱergibtȱsichȱausȱdenȱPotenzgesetzen.ȱPotenziertȱmanȱdieȱnȬteȱWurzelȱausȱxȱmitȱn,ȱ sollȱ sichȱ nachȱ derȱ Definitionȱ derȱ Wurzelȱ wiederumȱ xȱ ergeben.ȱ Mitȱ derȱ eingeführtenȱ SchreibweiseȱresultiertȱdiesesȱausȱdenȱPotenzgesetzen:ȱ 1

( n x )n

( x n )n

x. ȱ

25

2.2

2

Mathematische Grundlagen

2.2.6

Lösung von Potenzgleichungen

DieȱBeherrschungȱderȱPotenzgesetzeȱistȱzumȱVereinfachenȱvonȱPotenzausdrückenȱsehrȱ wichtig.ȱFürȱvieleȱAnwendungenȱistȱesȱaberȱnochȱentscheidender,ȱdassȱGleichungen,ȱinȱ denenȱPotenzfunktionenȱauftreten,ȱnachȱderȱUnbekanntenȱaufgelöstȱwerdenȱkönnen.ȱȱ WirȱwerdenȱzweiȱbesondersȱhäufigȱauftretendeȱSpezialfälleȱbehandeln.ȱ

2.2.6.1

Lösung der Potenzgleichung x n

Abbildungȱ2Ȭ1:ȱ

BeispieleȱfürȱFunktionenȱ y

c

x n  c ȱfürȱgeradesȱundȱungeradesȱnȱ

y

n gerade x

n ungerade

ȱ

DieȱAnzahlȱderȱLösungenȱderȱGleichungȱ x n rechtenȱSeiteȱcȱab.ȱDaȱ x

n

n

c ȱauchȱzuȱ x  c

c ȱhängtȱsowohlȱvonȱnȱalsȱauchȱvonȱderȱ 0 ȱumgeformtȱwerdenȱkann,ȱstimmtȱdieȱ

Lösungsmengeȱ derȱ Gleichungȱ mitȱ denȱ Nullstellenȱ derȱ Funktionȱ y

x n  c ȱ (s.ȱAbbilȬ

dungȱ2Ȭ1)ȱüberein.ȱ 1. nȱgerade:ȱDieȱFunktionȱ y a)

Fürȱ cȱ >ȱ 0ȱ schneidetȱ dieȱ Funktionȱ y Gleichungȱ x n

b)

x n  c ȱistȱvonȱderȱFormȱeinerȱParabel.ȱ x n  c ȱ dieȱ yȬAchseȱ imȱ Negativen.ȱ Dieȱ

c ȱhatȱdaherȱgenauȱzweiȱreelleȱLösungenȱ x1 / 2

Fürȱ cȱ =ȱ 0ȱ berührtȱ dieȱ Funktionȱ y

rn c . ȱ

x n  c ȱ dieȱ yȬAchseȱ imȱ KoordinatenurȬ

sprung.ȱZweiȱNullstellenȱfallenȱhierȱzusammen.ȱDieȱGleichungȱ x n nurȱeineȱreelleȱLösungȱ x 0. ȱ

26

ȱ

0 ȱhatȱalsoȱ

Potenzen und Logarithmen

c)

x n  c ȱ oberhalbȱ derȱ xȬAchse.ȱ Dieȱ Gleichungȱ

Fürȱ cȱ ȱ0ȱmitȱaȱzȱ1ȱistȱdiejenigeȱ Zahl,ȱmitȱderȱmanȱaȱpotenzierenȱmuss,ȱumȱxȱzuȱerhalten:ȱ y

log a x

Ÿ

x

ay ,

x ! 0 , a ! 0 , a z 1. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.13)ȱ

FürȱdenȱAusdruckȱ log a x ȱgiltȱdieȱSprechweiseȱ„LogarithmusȱvonȱxȱzurȱBasisȱa“.ȱ Beispielȱ2.19:ȱ log 2 32 Beispielȱ2.20:ȱ log 3

1 9

Beispielȱ2.21:ȱ log a a x Beispielȱ2.22:ȱ log a 1

5 , ȱdennȱ 2 5

32. ȱ

2 , ȱdennȱ 3 2

1 32

x , ȱdennȱ a x 0 , ȱdennȱ a 0

ax . ȱ 1. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

1 .ȱ 9

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ AufgrundȱderȱWichtigkeitȱmancherȱBasenȱhabenȱdieȱzugehörigenȱLogarithmusfunktiȬ onenȱ spezielleȱ Bezeichnungen.ȱ Soȱ nenntȱ manȱ denȱ Logarithmusȱ zurȱ Basisȱ aȱ =ȱ 10ȱ denȱ dekadischenȱLogarithmusȱundȱschreibtȱoftȱȱ lg( x)

log 10 ( x). ȱ

DerȱLogarithmusȱzurȱBasisȱaȱ=ȱ2ȱwirdȱauchȱ binärerȱLogarithmusȱgenanntȱundȱinȱderȱ Literaturȱalsȱȱ ld( x)

log 2 ( x) ȱȱ

notiert.ȱDenȱLogarithmusȱzurȱBasisȱaȱ=ȱeȱbezeichnetȱmanȱalsȱ natürlichenȱLogarithmusȱ undȱschreibtȱȱ ln( x)

log e ( x). ȱ

WirȱwerdenȱhierȱnurȱdieȱSchreibweiseȱfürȱdenȱnatürlichenȱLogarithmusȱln(x)ȱaufnehȬ men.ȱ Aufgrundȱ derȱ Häufigkeitȱ seinesȱ Auftretensȱ istȱ eineȱ abkürzendeȱ Schreibweiseȱ sinnvoll.ȱ Beiȱ denȱ anderenȱ Logarithmenȱ gehenȱ wirȱ davonȱ aus,ȱ dassȱ dasȱ „Mitführen“ȱ derȱBasisȱdieȱLesbarkeitȱderȱLogarithmenȱerhöht.

2.2.9

Logarithmusgesetze

AusȱdenȱPotenzgesetzenȱlassenȱsichȱeineȱReiheȱvonȱLogarithmusgesetzenȱableiten:ȱȱ 1.

log a ( x ˜ y)

30

ȱ

log a ( x)  log a ( y) ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.14)ȱ

Potenzen und Logarithmen

Derȱ Logarithmusȱ einesȱ Produktesȱ lässtȱ sichȱ alsȱ Summeȱ derȱ Logarithmenȱ derȱ einȬ zelnenȱFaktorenȱschreiben.ȱAmȱeinfachstenȱsiehtȱmanȱdiesenȱZusammenhangȱwieȬ derȱamȱBeispiel.ȱ Beispielȱ2.23:ȱ log 2 (64) 

log 2 ( 2 ˜ 32)

log 2 ( 2)  log 2 ( 32)

1 5

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

6. ȱ ȱ

6

Dasȱ ersteȱ Logarithmusgesetzȱ lässtȱ sichȱ aberȱ auchȱ formalȱ beweisen,ȱ indemȱ manȱ einmalȱaȱzurȱPotenzȱderȱlinkenȱSeiteȱerhebtȱundȱdannȱzurȱPotenzȱderȱrechtenȱSeite.ȱ Beidesȱ mussȱ gleichȱ sein,ȱ wennȱ dieȱ ursprüngliche,ȱ d.h.ȱ dieȱ zuȱ beweisendeȱ GleiȬ chung,ȱstimmt.ȱȱ log a ( x ˜ y)

log a ( x)  log a ( y)

log a ( x ˜ y ) a 

œ

a log a ( x )  log a ( y )

x˜y

log a ( x ) log a ( y ) a

 ˜ a  ȱ x

y

Esȱergibtȱsichȱschließlichȱxy=xy,ȱwelchesȱeineȱwahreȱAussageȱist.ȱDemnachȱgiltȱauchȱ dieȱAusgangsgleichung,ȱdasȱersteȱLogarithmusgesetz. Wichtig:ȱDerȱLogarithmusȱeinesȱProduktesȱentsprichtȱ nichtȱdemȱProduktȱderȱLoȬ garithmen!ȱAnȱBeispielȱ2.23ȱsiehtȱman,ȱdassȱȱ 6

2.

log 2 (64) z log 2 ( 2) ˜ log 2 ( 32)

§x· log a ¨¨ ¸¸ ©y¹

log a ( x)  log a ( y) ȱȱ

1˜ 5

5. ȱ(!)ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.15)ȱ

Derȱ Logarithmusȱ einesȱ Quotientenȱ lässtȱ sichȱ alsȱ Differenzȱ derȱ Logarithmenȱ vonȱ DividendȱundȱDivisorȱschreiben.ȱ Dasȱ zweiteȱ Logarithmusgesetzȱ lässtȱ sichȱ analogȱ zumȱ erstenȱ Logarithmusgesetzȱ herleiten.ȱ Beispielȱ2.24:ȱ log 2 16  4

3.



log a x n

n ˜ log a x ȱȱ ȱ

§ 64 · log 2 ¨ ¸ © 4 ¹

log 2 ( 64)  log 2 ( 4)

ȱ

ȱ

ȱ

62

ȱ

4. ȱ ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱȱ(2.16)ȱ

BeimȱLogarithmusȱeinerȱPotenzȱkannȱderȱExponentȱ„nachȱvorneȱgezogenȱwerden“.ȱ Beispielȱ2.25: log 2 ( 2 3 ) 

3 ˜ log 2 ( 2)

3 ˜1

3. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

3

Dasȱ dritteȱ Logarithmusgesetzȱ kannȱ manȱ wiederumȱ leichtȱ allgemeinȱ nachweisen,ȱ indemȱmanȱaȱmitȱbeidenȱSeitenȱderȱGleichungȱpotenziert.ȱ

31

2.2

2

Mathematische Grundlagen

2.2.10

Lösung von Exponential- und Logarithmusgleichungen

DieȱLogarithmusgesetzeȱdienenȱzurȱVereinfachungȱvonȱlogarithmischenȱAusdrücken.ȱ Fürȱ dieȱ Anwendungȱ istȱ esȱ aberȱ wiederumȱ entscheidender,ȱ ExponentialȬȱ oderȱ LogaȬ rithmusgleichungenȱnachȱeinerȱUnbekanntenȱauflösenȱzuȱkönnen.ȱWirȱübenȱdiesesȱanȱ denȱfolgendenȱBeispielen.ȱȱ Beispielȱ2.26:ȱLösenȱSieȱfolgendeȱGleichungȱnachȱxȱauf:ȱ e 3 x

15 ȱ

Lösung:ȱUmȱdasȱxȱ„ausȱdemȱExponentenȱzuȱbekommen“,ȱkannȱmanȱdieȱGleichungȱaufȱ beidenȱSeitenȱlogarithmieren.ȱManȱerhältȱdannȱȱ ln(e 3 x )

œ

ln(15)

3x

œ

ln(15)

x

ln(15) .ȱ 3

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

InȱBeispielȱ2.26ȱerhältȱmanȱdurchȱLogarithmierenȱaufȱderȱlinkenȱSeiteȱsofortȱdenȱExpoȬ nenten,ȱ daȱ derȱ natürlicheȱ Logarithmusȱ dieȱ Umkehrfunktionȱ derȱ eȬFunktionȱ istȱȱ (ln(e)ȱ =ȱ 1).ȱ Manȱ kannȱ denȱ natürlichenȱ Logarithmusȱ aberȱ auchȱ anwenden,ȱ umȱ beiȱ PoȬ tenzenȱmitȱeinerȱvonȱeȱverschiedenenȱBasisȱnachȱdemȱExponentenȱaufzulösen.ȱ Beispielȱ2.27:ȱLösenȱSieȱfolgendeȱGleichungȱnachȱxȱauf:ȱ 2 x

2

7ȱ

Lösung:ȱWirȱwerdenȱzweiȱLösungswegeȱbeschreiten.ȱ

a)ȱ Analogȱ zuȱ Beispielȱ 2.26ȱ kannȱ manȱ hierȱ denȱ Logarithmusȱ zurȱ gegebenenȱ Basisȱ 2ȱ anwenden,ȱumȱzunächstȱnachȱ x 2 ȱaufzulösen.ȱȱ 2x

2

7

2

log 2 ( 2 x )

œ

log 2 (7 )

x2

œ

log 2 (7 )

œ

r log 2 (7 ). ȱ

x

ȱDerȱ Nachteilȱ dieserȱ Lösungsmöglichkeitȱ bestehtȱ darin,ȱ dassȱ dieȱ meistenȱ TaschenȬ rechnerȱdenȱLogarithmusȱzurȱBasisȱ2ȱnichtȱintegriertȱhabenȱundȱmanȱsoȱdasȱErgebȬ nisȱnichtȱalsȱDezimalzahlȱberechnenȱkann.ȱȱ b)ȱMöchteȱmanȱalsȱErgebnisȱeineȱDezimalzahlȱerhalten,ȱbietetȱesȱsichȱan,ȱauchȱdannȱ denȱnatürlichenȱLogarithmusȱzuȱverwenden,ȱwennȱdieȱBasisȱdesȱPotenzausdruckesȱ vonȱ eȱ verschiedenȱ ist.ȱ Nachȱ demȱ Logarithmierenȱ kannȱ manȱ denȱ Exponentenȱ aufȬ grundȱdesȱdrittenȱLogarithmusgesetzesȱ„vorȱdenȱLogarithmusȱziehen“.ȱ 2x ȱȱ

32

ȱ

2

7 ȱ

2

ln( 2 x )

œ ȱ

œ

ln(7 ) ȱ

ȱ

x 2 ˜ ln( 2) ȱ

ln(7 ) ȱ

œ ȱ

x

r

ln(7 ) ln( 2)

r1,676.

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Summen und Produkte

2.3

2.3.1

Summen und Produkte

Summensymbol

BeiȱvielenȱAnwendungenȱliegtȱdieȱSituationȱvor,ȱdassȱmanȱmehrereȱAusdrückeȱaddieȬ renȱ möchte,ȱ dieȱ alleȱ eineȱ „ähnlicheȱ Struktur“ȱ besitzen.ȱ Fürȱ dieseȱ Fälleȱ istȱ esȱ günstig,ȱ eineȱallgemeineȱSchreibweiseȱfürȱSummenȱzuȱverwenden.ȱ Beispielȱ2.28:ȱ SieȱmöchtenȱdieȱnatürlichenȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ10ȱaddieren.ȱDiesesȱkannȱ manȱnatürlichȱalsȱ1ȱ+ȱ2ȱ+ȱ3ȱ+ȱ4ȱ+ȱ5ȱ+ȱ6ȱ+ȱ7ȱ+ȱ8ȱ+ȱ9ȱ+ȱ10ȱschreiben.ȱWollenȱSieȱaberȱbereitsȱ dieȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ100ȱaddieren,ȱistȱdieseȱSchreibweiseȱnichtȱmehrȱangemessen.ȱManȱ könnteȱ sichȱ helfen,ȱ inȱ demȱ manȱ schreibtȱ 1ȱ +ȱ 2ȱ +ȱ 3ȱ +ȱ ...ȱ +ȱ 100,ȱ d.h.ȱdasȱ allgemeineȱ BilȬ dungsgesetzȱ„andeutet“.ȱȱ 100

UnterȱVerwendungȱeinesȱSummensymbolsȱkannȱmanȱhierȱschreiben:ȱ ¦ j. ȱ j 1

DasȱallgemeineȱBildungsgesetz,ȱnachȱdemȱmanȱüberȱdieȱnatürlichenȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ 100ȱundȱnurȱüberȱdieseȱsummierenȱmöchte,ȱwirdȱhierȱklarȱdargestellt.ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ Definition:ȱDieȱSummeȱvonȱnȱTermenȱ a1 ȱbisȱ an ȱlässtȱsichȱschreibenȱalsȱ n

¦ a j a1  a 2  ...  a n . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.17)ȱ

j 1

Dabeiȱistȱdasȱgriechischeȱ6ȱ(sprich:ȱSigma,ȱgriech:ȱ„S“)ȱdasȱSummensymbol,ȱjȱheißtȱderȱ Summationsindex.ȱ1ȱistȱdieȱuntere,ȱnȱdieȱobereȱSummationsgrenze.ȱ DerȱSummandȱ aj ȱistȱdabeiȱeinȱvonȱjȱabhängigerȱAusdruck,ȱderȱmitȱdemȱSummationsȬ indexȱ jȱ seinenȱ Wertȱ verändert.ȱ Sukzessiveȱ wirdȱ jȱ inȱ denȱAusdruckȱ aj ȱ eingesetzt.ȱ Giltȱ z.B.ȱ aj j ,ȱ soȱ wirdȱ dieȱ Summeȱ überȱ dieȱ natürlichenȱ Zahlenȱ innerhalbȱ derȱ SummatiȬ onsgrenzenȱgebildet.ȱBeliebigeȱandereȱFunktionenȱvonȱjȱsindȱfürȱ aj ȱebenfallsȱmöglich.ȱ ȱ 5

Beispielȱ2.29:ȱ ¦ j

1 2  3  4  5

15. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

14. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

j 1 3

Beispielȱ2.30:ȱ ¦ j2

12  2 2  32

1 4  9

j 1

ȱ DieȱSummeȱmussȱnichtȱbeiȱjȱ=ȱ1ȱbeginnen.ȱVerallgemeinertȱgiltȱdieȱSchreibweiseȱ 33

2.3

2

Mathematische Grundlagen

­a m  a m 1  ...  a n , n ! m ° am an , n m ° 0 , nm ¯

n

¦ aj ®

j m

.ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.18)ȱ

IstȱdieȱuntereȱGrenzeȱgrößerȱalsȱdieȱobereȱGrenze,ȱsoȱistȱdieȱSummeȱ„leer“ȱundȱwirdȱ alsȱ0ȱdefiniert.ȱ 5

Beispielȱ2.31:ȱ ¦ j2

32  4 2  52

9  16  25

50. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.19)ȱ

j 3

2.3.2

Rechenregeln für Summen

EsȱgeltenȱfolgendeȱRegeln:16ȱ 1.

m

n

n

j 1

j m 1

j 1

¦ a j  ¦ a j ¦ a j . ȱȱ ȱ

ȱ

n



c  ... c n ˜ c. ȱ ¦ c c  c j 1

3

5

5

j 1

j 4

j 1

¦ j  ¦ j ¦ j 1  2  3  4  5 15. ȱ

Beispielȱ2.32: (1  2  3)  ( 4  5)

2.

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱȱ(2.20)ȱ

n  mal

Wennȱ manȱ überȱ eineȱ Konstanteȱ summiert,ȱ dieȱ nichtȱ vomȱ Summationsindexȱ jȱ abȬ hängt,ȱ soȱ wirdȱ dieseȱ Konstanteȱ soȱ oftȱ addiert,ȱ wieȱ dieȱAnzahlȱ nȱ derȱ Summandenȱ angibt.ȱ 5

Beispielȱ2.33:ȱȱ ¦ 3

33333

5˜3

15. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.21)ȱ

j 1

3.

n

n

n

j 1

j 1

j 1

¦ (c ˜ a j  d ˜ b j ) c ˜ ¦ a j  d ˜ ¦ b j ȱ

ȱ

Konstanteȱ Faktorenȱ (wieȱ hierȱ cȱ undȱ d)ȱ könnenȱ ausgeklammertȱ werden,ȱ alsoȱ „vorȱ dieȱ Summeȱ gezogenȱ werden“.ȱ Eineȱ Summeȱ überȱ Termeȱ dieȱ ihrerseitsȱ Summenȱ sind,ȱkannȱinȱeinzelneȱSummenȱzerlegtȱwerden.ȱUmgekehrtȱkönnenȱEinzelsummenȱ mitȱgleichenȱSummationsgrenzenȱzusammengefasstȱwerden.ȱ Beispielȱ2.34:ȱ

4

4

4

j 1

j 1

j 1

¦ ( 2 ˜ j  j2 ) 2 ˜ ¦ j  ¦ j2 . ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 16ȱȱ FürȱeineȱeinfachereȱLesbarkeitȱwerdenȱdieȱRechenregelnȱfürȱSummenȱformuliert,ȱdieȱmitȱdemȱ

Indexȱ 1ȱ beginnen.ȱ Dieȱ Verallgemeinerungȱ zuȱ Summen,ȱ dieȱ mitȱ einemȱ vonȱ 1ȱ verschiedenenȱ Indexȱbeginnen,ȱistȱdannȱleichtȱherzuleiten.ȱ

34

ȱ

Summen und Produkte

4.

n

nk

j m

i mk

¦ aj

¦ ai k . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.22)ȱ

DieseȱRegelȱeröffnetȱdieȱMöglichkeit,ȱdieȱGrenzenȱeinerȱSummeȱzuȱwechseln,ȱohneȱ etwasȱ amȱ Wertȱ derȱ Summeȱ zuȱ ändern.ȱ Manȱ bezeichnetȱ diesesȱ alsȱ IndexverschieȬ bung.ȱWennȱmanȱdieȱuntereȱ Grenzeȱumȱkȱ Einheitenȱnachȱuntenȱverschiebt,ȱmussȱ manȱdenȱIndexȱumȱkȱEinheitenȱerhöhen,ȱumȱtrotzdemȱdenselbenȱSummandenȱzuȱ bezeichnen.ȱȱ AmȱeinfachstenȱsiehtȱmanȱdiesenȱZusammenhangȱamȱBeispiel.ȱ 3

Beispielȱ2.35:ȱȱ ¦ ( j  1)

0 1 2

j 1

2

¦ j. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

j 0

DieȱersteȱSummeȱläuftȱvonȱjȱ=ȱ1ȱbisȱjȱ=ȱ3.ȱSetztȱmanȱjȱ=ȱ1ȱinȱdenȱSummandenȱ(jȬ1)ȱ ein,ȱsoȱerhältȱmanȱalsȱerstenȱSummandenȱ0.ȱUmȱdiesesȱauchȱbeiȱeinerȱSumme,ȱdieȱ mitȱjȱ=ȱ0ȱbeginnt,ȱzuȱerhalten,ȱsummiertȱmanȱstattȱüberȱ(jȬ1)ȱüberȱj.ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

2.3.3

Spezielle Summen

Dieȱ Summenformelȱ istȱ eineȱ abkürzendeȱ Schreibweise.ȱ Sieȱ erleichtertȱ demȱAnwenderȱ aberȱnichtȱdieȱtermweiseȱBerechnungȱdesȱWertesȱderȱSumme.ȱFürȱvieleȱSummenȱlassenȱ sichȱ allerdingsȱ geschlosseneȱ Formelnȱ fürȱ denȱ Wertȱ derȱ Summeȱ herleiten.ȱ Wirȱ wollenȱ diesesȱhierȱnurȱanȱeinigenȱfürȱdieȱAnwendungȱwichtigenȱSonderfällenȱzeigen.ȱ DieȱvielleichtȱwichtigsteȱSummeȱistȱdiejenigeȱüberȱdieȱnatürlichenȱZahlen.ȱ Möchteȱmanȱz.B.ȱdieȱnatürlichenȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ100ȱaddieren17,ȱsoȱkannȱmanȱnatürȬ lichȱrechnenȱ„1ȱplusȱ2ȱergibtȱ3,ȱplusȱ3ȱergibtȱ6,ȱusw.“.ȱEsȱgehtȱaberȱauchȱeinfacher.ȱAdȬ diertȱmanȱnämlichȱdieȱersteȱundȱdieȱletzteȱZahl,ȱd.h.ȱdieȱ1ȱundȱdieȱ100,ȱsoȱerhältȱmanȱ 101.ȱ Ebensoȱ kannȱ manȱ dieȱ zweiteȱ undȱ dieȱ vorletzteȱ Zahl,ȱ dieȱ 2ȱ undȱ dieȱ 99,ȱ addierenȱ undȱ erhältȱ ebenfallsȱ 101.ȱ „Inȱ derȱ Mitte“ȱ hatȱ manȱ dannȱ dieȱ 50ȱ undȱ dieȱ 51ȱ zuȱ 101ȱ zuȱ addieren.ȱInsgesamtȱgibtȱesȱ50ȱsolcherȱPaare,ȱd.h.ȱdieȱHälfteȱderȱAnzahlȱanȱZahlen,ȱdieȱ manȱaddiert.ȱDeshalbȱerhältȱmanȱschnellȱȱ 1  2  ...  50  51  ...  99  100

101

 101



50 ˜ 101

5.050. ȱ

101

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 17ȱȱ AlsȱderȱberühmteȱMathematikerȱCarlȱFriedrichȱGaußȱ8ȱJahreȱaltȱwar,ȱwollteȱsichȱseinȱVolksȬ

schullehrerȱeineȱPauseȱverschaffenȱundȱgabȱseinenȱSchülernȱdieȱAufgabe,ȱdieȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ 100ȱzuȱaddieren.ȱGaußȱpräsentierteȱdemȱverblüfftenȱLehrerȱdasȱrichtigeȱErgebnisȱnachȱweniȬ genȱMinutenȱ(z.B.ȱKehlmann,ȱ2005,ȱS.ȱ55ȱff.).ȱ

35

2.3

2

Mathematische Grundlagen

Diesesȱ lässtȱ sichȱ dannȱ leichtȱaufȱ dieȱAdditionȱ derȱ erstenȱnȱ natürlichenȱ Zahlenȱ verallȬ gemeinern.ȱEsȱergebenȱsichȱn/2ȱZahlenpaare,ȱvonȱdenenȱdieȱSummeȱjeweilsȱ(n+1)ȱbeȬ trägt.ȱDaherȱgiltȱ n

n ˜ ( n  1) .ȱ ȱ 2

¦j j 1

5

Beispielȱ2.36:ȱ ¦ j

ȱ

ȱ

1 2  3  4  5

ȱ 5˜6 ȱ 2

15

j 1

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.23)ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ NichtȱimmerȱbeginntȱdieȱAdditionȱbeiȱderȱZahlȱ1.ȱBeiȱeinemȱanderenȱunterenȱSummaȬ tionsindexȱ könnteȱ manȱ eineȱ ähnlicheȱ Formelȱ herleiten,ȱ manȱ kannȱ sichȱ aberȱ auchȱ dieȱ bereitsȱhergeleiteteȱFormelȱzunutzeȱmachen.ȱ Beispielȱ2.37:ȱ

100

100

50

j 51

j 1

j 1

100 ˜ 101 50 ˜ 51  2 2

¦j ¦j ¦j

5.050  1.275

3.775 ȱ

Wennȱ manȱ dieȱ natürlichenȱ Zahlenȱ vonȱ 51ȱ bisȱ 100ȱ addierenȱ möchte,ȱ kannȱ manȱ auchȱ zunächstȱalleȱnatürlichenȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ100ȱaddierenȱundȱdannȱdieȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ 50,ȱdieȱ„zuvielȱaddiertȱwurden“,ȱwiederȱabziehen.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Ausȱ derȱ Summeȱ überȱ alleȱ natürlichenȱ Zahlenȱ lassenȱ sichȱ nunȱ leichtȱ Summenformelnȱ fürȱdieȱgeradenȱbzw.ȱdieȱungeradenȱZahlenȱableiten.ȱFürȱdieȱgeradenȱZahlenȱgiltȱ n

n

j 1

j 1

¦ ( 2 ˜ j) 2 ˜ ¦ j 2 ˜

n ˜ ( n  1) 2

n ˜ ( n  1). ȱ

Beispielȱ2.38: 2  4  6  8  10  12  14

ȱ

ȱ

7

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.24)ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

n2  n  n

n 2 . ȱȱ

ȱȱ(2.25)ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

¦ ( 2 ˜ j) 7 ˜ 8 56. ȱ j 1

FürȱdieȱungeradenȱZahlenȱerhältȱmanȱ n

n

n

j 1

j 1

j 1

¦ ( 2 ˜ j  1) 2 ˜ ¦ j  ¦ 1 2 ˜

n ˜ ( n  1) n 2

Beispielȱ2.39:ȱ 1  3  5  7

¦ ( 2 ˜ j  1) 4 2 16. ȱ

4

n ˜ ( n  1)  n

ȱ

j 1

ȱ Eineȱ weitereȱ wichtigeȱ Summenformelȱ werdenȱ wirȱ inȱ demȱ Abschnittȱ „Geometrischeȱ Reihe“ȱkennenȱlernen.ȱ

36

ȱ

Summen und Produkte

2.3.4

Produktsymbol

AuchȱdasȱProduktȱüberȱmehrereȱgleichȱgearteteȱTermeȱkannȱzusammenfassendȱnotiertȱ werden.ȱ DasȱProduktȱvonȱnȱFaktorenȱ a1 bisȱ an ȱlässtȱsichȱschreibenȱalsȱ n

– a j a1 ˜ a 2 ˜ ... ˜ a n . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.26)ȱ

j 1

Dasȱ griechischeȱ 3ȱ (sprich:ȱ Pi,ȱ griech:ȱ „P“)ȱ istȱ dabeiȱ dasȱ Produktsymbol,ȱ jȱ hierȱ derȱ Multiplikationsindex.ȱ1ȱistȱdieȱuntere,ȱnȱdieȱobereȱMultiplikationsgrenze.ȱDerȱFaktorȱ aj ȱistȱdabeiȱwiederȱeinȱbeliebigerȱvonȱjȱabhängigerȱAusdruck.ȱ 3

Beispielȱ2.40:ȱ – j

1˜ 2 ˜ 3

6. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.27)ȱ

j 1

ȱ Verallgemeinertȱgiltȱ ­a m ˜ a m 1 ˜ ... ˜ a n , n ! m ° am an , n m ° 1, nm ¯

n

–aj ®

j m

DasȱleereȱProdukt,ȱbeiȱdemȱdieȱuntereȱGrenzeȱgrößerȱalsȱdieȱobereȱGrenzeȱist,ȱwirdȱalsȱ 1ȱdefiniert.ȱ 5

Beispielȱ2.41:ȱ – 2 ˜ j

( 2 ˜ 3) ˜ ( 2 ˜ 4) ˜ ( 2 ˜ 5)

6 ˜ 8 ˜ 10

480. ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.28)ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.29)ȱ

j 3

2.3.5

Rechenregeln für Produkte

EsȱgeltenȱfolgendeȱRegeln:ȱ 1.

m

n

n

j 1

j m 1

j 1

– a j ˜ – a j – a j. ȱ

ȱ

Beispielȱ2.42:ȱȱ (1 ˜ 2) ˜ ( 3 ˜ 4) n

2.

– c cn . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

2

4

4

j 1

j 3

j 1

ȱ

– j ˜ – j – j (1 ˜ 2 ˜ 3 ˜ 4 ) ȱ ȱ

ȱ

ȱ

j 1

37

2.3

2

Mathematische Grundlagen

Wennȱ manȱ eineȱ Konstanteȱ nȬmalȱ mitȱ sichȱselbstȱ multipliziert,ȱ erhältȱ manȱ dieȱ nȬteȱ PotenzȱdieserȱKonstanten.ȱDiesesȱwarȱdieȱDefinitionȱderȱPotenz.ȱ 4

Beispielȱ2.43:ȱȱ – 3

3˜3˜3˜3

34

81 ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.30)ȱ

j 1

3.

n

n

n

j 1

j 1

j 1

– a j ˜ – b j – a j ˜ b j. ȱ ȱ

ȱ

Derȱ Wertȱ einesȱ Produktesȱ istȱvonȱ derȱ Reihenfolgeȱ derȱ Multiplikationȱ unabhängigȱ (Kommutativgesetz).ȱ Beispielȱ2.44:ȱȱ (1 ˜ 2 ˜ 3) ˜ (1 ˜ 4 ˜ 9)

2.4

3

3

n

j 1

j 1

j 1

– j ˜ – j2 – j ˜ j2 (1 ˜ 1) ˜ ( 2 ˜ 4) ˜ ( 3 ˜ 9) ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Folgen und Reihen

Definition:ȱ Eineȱ reelleȱ Zahlenfolgeȱ (kurz:ȱ Folge)ȱ istȱ definiertȱ alsȱ eineȱ Abbildungȱȱ a:ȱNoR,ȱdieȱjederȱnatürlichenȱZahlȱnNȱeineȱreelleȱZahlȱ an ȱzuordnet.ȱ

AlsȱSchreibweisenȱfürȱeineȱFolgeȱexistieren:ȱȱ (a n )

(a n ) n

1, 2 ,...

(a n )nN ȱoderȱauchȱ {a n }

{a n }n

1, 2 ,...

{a n }nN .ȱȱ

ȱ

ȱȱ(2.31)ȱ

WirȱwählenȱimȱFolgendenȱdieȱersteȱAlternative.ȱ ȱ UmȱvonȱeinerȱgegebenenȱFolgeȱeinenȱerstenȱEindruckȱzuȱgewinnen,ȱistȱesȱsinnvoll,ȱdieȱ erstenȱFolgengliederȱauszuschreibenȱoderȱinȱeinerȱTabelle,ȱz.B.ȱinȱExcel,ȱdarzustellen.ȱȱ Beispielȱ2.46: (a n )

§1· ¨ ¸ ©n¹

Beispielȱ2.47: (a n )

 1

Beispielȱ2.48: (a n )

2

1, n

n

1 1 1 , , , .... ȱȱ ȱ 2 3 4

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

1, 1, 1, 1, ... ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱȱ

2 , 4 , 8 , 16 , ... ȱȱ

ȱ

EinenȱweiterenȱEindruckȱerhältȱman,ȱindemȱmanȱdieȱWerteȱinȱeinemȱKoordinatensysȬ temȱabträgt.ȱFürȱdieȱFolgeȱinȱBeispielȱ2.46ȱergibtȱsichȱdannȱz.B.ȱAbbildungȱ2Ȭ3.ȱ

38

ȱ

Folgen und Reihen

Abbildungȱ2Ȭ3:ȱ

Folgeȱ (a n )

1 / n ȱ

1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0

2.4.1

2

4

6

8

10

12

ȱ

Eigenschaften von Folgen

Wirȱ wollenȱ zunächstȱ einigeȱ Eigenschaften,ȱ mitȱ denenȱ manȱ Folgenȱ charakterisierenȱ kann,ȱkennenȱlernen.ȱ

2.4.1.1

Monotonie

Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ monotonȱwachsend,ȱwennȱdasȱjeweilsȱnächsteȱFolȬ

gengliedȱ mindestensȱ soȱ großȱ wieȱ dasȱ aktuelleȱ Folgengliedȱ ist,ȱ d.h.ȱ an  1 t an ȱ fürȱ alleȱȱȱȱȱ nN.ȱ Beispielȱ2.49:ȱDieȱFolgeȱ1,ȱ1,ȱ2,ȱ2,ȱ3,ȱ3,ȱ...ȱistȱmonotonȱwachsendȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ4).ȱȱȱȱȱȱƑ Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ strengȱmonotonȱwachsend,ȱwennȱdasȱjeweilsȱnächsȬ

teȱ Folgengliedȱ striktȱ größerȱ istȱ alsȱ dasȱ aktuelleȱ Folgenglied,ȱ d.h.ȱ an  1 ! an ȱ fürȱ alleȱ nN.ȱ Beispielȱ2.50:ȱDieȱFolgeȱ1,ȱ2,ȱ3,ȱ4,ȱ5,ȱ...,ȱd.h.ȱ (an )

( n) ȱistȱstrengȱmonotonȱwachsend.ȱȱȱȱƑȱ

Ausȱ derȱ strengenȱ Monotonieȱ folgtȱ auchȱ dieȱ einfacheȱ Monotonie.ȱ Dieȱ Folgeȱ 1,ȱ 2,ȱ 3,ȱ ...ȱ ausȱ Beispielȱ 2.50ȱ istȱ sowohlȱ strengȱ monotonȱ wachsendȱ alsȱ auchȱ nurȱ monotonȱ wachȬ send.ȱUmgekehrtȱfolgtȱausȱderȱMonotonieȱnochȱnichtȱdieȱstrengeȱMonotonie.ȱDieȱFolgeȱ 1,ȱ1,ȱ2,ȱ2,ȱ3,ȱ3,ȱ...ȱausȱBeispielȱ2.49ȱistȱzwarȱmonotonȱwachsend,ȱnichtȱaberȱstrengȱmonoȬ tonȱwachsend.ȱ

39

2.4

2

Mathematische Grundlagen

Abbildungȱ2Ȭ4:ȱ

Folgeȱ1ȱ,1,ȱ2,ȱ2,ȱ3,ȱ3,ȱ...ȱ

5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 0

2

4

6

8

10

12

ȱ

Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ monotonȱfallend,ȱwennȱdasȱjeweilsȱnächsteȱFolgenȬ

gliedȱhöchstensȱsoȱgroßȱwieȱdasȱaktuelleȱFolgengliedȱist,ȱd.h.ȱ an  1 d an ȱfürȱalleȱnN.ȱȱ Beispielȱ2.51:ȱDieȱFolgeȱ (an )

1 / n ,ȱd.h.ȱ1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ1/4,ȱ...ȱistȱmonotonȱfallend.ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Definition:ȱ Eineȱ Folgeȱ (an ) ȱ heißtȱ strengȱ monotonȱ fallend,ȱ wennȱ dasȱ jeweilsȱ nächsteȱ

FolgengliedȱstriktȱkleinerȱistȱalsȱdasȱaktuelleȱFolgenglied,ȱd.h.ȱ an  1  an ȱfürȱalleȱnN.ȱ Beispielȱ 2.52:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

monotonȱfallend.ȱȱȱ

ȱ

1 / n ,ȱ d.h.ȱ 1,ȱ 1/2,ȱ 1/3,ȱ 1/4,ȱ ...ȱ istȱ natürlichȱ auchȱ strengȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ alternierend,ȱwennȱdasȱVorzeichenȱvonȱFolgengliedȱ

zuȱFolgengliedȱwechselt.ȱ

Abbildungȱ2Ȭ5:ȱ

AlternierendeȱFolgeȱ (a n )

 1 ȱ n

2,00 1,00 0,00 0

2

4

6

8

10

12

-1,00 -2,00

ȱ

40

ȱ

Folgen und Reihen

Zweiȱ aufeinanderȱ folgendeȱ Folgengliederȱ habenȱ dannȱ jeweilsȱ unterschiedlichesȱ VorȬ zeichen,ȱd.h.ȱeinmalȱeinȱnegatives,ȱeinmalȱeinȱpositivesȱVorzeichen.ȱBeiȱeinerȱalternieȬ rendenȱFolgeȱgiltȱdemnachȱ an ˜ an  1 d 0 .ȱȱ Beispielȱ 2.53:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

Abbildungȱ2Ȭ5).ȱ ȱ

(( 1)n ), ȱ d.h.ȱ Ȭ1,ȱ +1,ȱ Ȭ1,ȱ +1,ȱ Ȭ1,ȱ +1,ȱ ...ȱ istȱ alternierendȱ (s.ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Bemerkung:ȱ Eineȱ alternierendeȱ Folgeȱ stelltȱ einenȱ Spezialfallȱ fürȱ eineȱ Folgeȱ dar,ȱ dieȱ nichtȱmonotonȱist.ȱEsȱgibtȱaberȱauchȱFolgen,ȱdieȱwederȱmonotonȱsind,ȱnochȱalternieren.ȱ Beispielȱ2.54:ȱDieȱFolgeȱ1,ȱ2,ȱȬ3,ȱȬ4,ȱ5,ȱ6,ȱȬ7,ȱȬ8,ȱ...ȱistȱwederȱmonotonȱnochȱalternierend.Ƒȱȱ

2.4.1.2

Beschränktheit

Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ nachȱuntenȱbeschränkt,ȱwennȱesȱeineȱZahlȱsRȱgibt,ȱ

dieȱvonȱdenȱFolgengliedernȱnichtȱunterschrittenȱwird,ȱd.h.ȱ an t s ȱfürȱalleȱnN.ȱsȱheißtȱ dannȱuntereȱSchranke.ȱ Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ nachȱobenȱbeschränkt,ȱwennȱesȱeineȱZahlȱSRȱgibt,ȱ

dieȱvonȱdenȱFolgengliedernȱnichtȱüberschrittenȱwird,ȱd.h.ȱ an d S ȱfürȱalleȱnN.ȱSȱheißtȱ dannȱobereȱSchranke.ȱ Definition:ȱ Eineȱ Folgeȱ (an ) ȱ heißtȱ beschränkt,ȱ wennȱ sieȱ eineȱ untereȱ undȱ eineȱ obereȱ

Schrankeȱbesitzt,ȱd.h.ȱwennȱsieȱnachȱuntenȱundȱnachȱobenȱbeschränktȱist.ȱ Bemerkung:ȱEineȱFolgeȱkannȱmehrereȱuntereȱoderȱobereȱSchrankenȱbesitzen.ȱMeistȱistȱ esȱallerdingsȱvonȱInteresse,ȱwelcheȱdieȱ größteȱuntereȱSchrankeȱbzw.ȱdieȱ kleinsteȱobeȬ reȱSchrankeȱeinerȱFolgeȱist.ȱ Beispielȱ2.55:ȱDieȱFolgeȱ (an )

n ,ȱd.h.ȱ1,ȱ2,ȱ3,ȱ4,ȱ...ȱistȱnachȱuntenȱdurchȱ1ȱbeschränkt.ȱ

Natürlichȱ istȱ sieȱ auchȱ durchȱ –1ȱ oderȱ –2ȱ nachȱ untenȱ beschränkt.ȱ 1ȱ istȱ aberȱ dieȱ größteȱ untereȱSchranke.ȱHierȱbestehtȱdieȱuntereȱSchrankeȱausȱdemȱerstenȱFolgenglied.ȱDaȱdieȱ Folgeȱmonotonȱwachsendȱist,ȱwirdȱkeinȱFolgengliedȱkleinerȱalsȱdasȱersteȱFolgengliedȱ sein.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ Beispielȱ 2.56:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

2  1 / n ,ȱ d.h.ȱ 1,ȱ 3/2,ȱ 5/3,ȱ 7/4,ȱ ...ȱ istȱ nachȱ obenȱ durchȱ 2ȱ

beschränkt.ȱ Sieȱ istȱ nachȱ obenȱ auchȱ durchȱ 3ȱ oderȱ 4ȱ beschränkt.ȱ 2ȱ istȱ aberȱ dieȱ kleinsteȱ obereȱSchrankeȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ6).ȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

41

2.4

2

Mathematische Grundlagen

Abbildungȱ2Ȭ6:ȱ

Folgeȱ (a n )

2  1 / n ȱ

2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0

2

Beispielȱ2.57:ȱDieȱFolgeȱ (an )

4

6

8

10

12

ȱ

1 / n ,ȱd.h.ȱ1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ1/4,ȱ...ȱistȱnachȱuntenȱdurchȱ0ȱbeȬ

schränkt.ȱ Daȱ sieȱ monotonȱ fallendȱ ist,ȱ istȱ sieȱ nachȱ obenȱ durchȱ dasȱ ersteȱ Folgengliedȱ a1 1 ȱbeschränkt.ȱDieȱFolgeȱistȱalsoȱbeschränkt.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

2.4.1.3

Konvergenz

MonotonieȱundȱBeschränktheitȱsindȱbereitsȱfürȱsichȱgenommenȱwichtigeȱCharakterisȬ tikaȱeinerȱFolgeȱundȱhelfen,ȱeineȱFolgeȱzuȱbeschreiben.ȱZusätzlichȱgiltȱallerdingsȱnochȱ eineȱwichtigeȱGesetzmäßigkeit:ȱ EineȱmonotoneȱundȱbeschränkteȱFolgeȱistȱkonvergent.ȱ

Wasȱ bedeutetȱ dieȱ Konvergenzȱ einerȱ Folge?ȱ Etwasȱ „unmathematisch“ȱ gesprochenȱ beȬ deutetȱdieȱKonvergenzȱeinerȱFolgeȱ (an ), ȱdassȱesȱeineȱZahlȱaȱgibt,ȱderȱsichȱdieȱFolgenȬ gliederȱ mitȱ wachsendemȱ Indexȱ immerȱ mehrȱ annähern.ȱ Dieseȱ Zahlȱ nenntȱ manȱ denȱ GrenzwertȱderȱFolgeȱundȱschreibt:ȱ a

lim a n ȱoderȱ a n o a .ȱ ȱ

n of

n of

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.32)ȱ

Eineȱgegenȱ0ȱkonvergenteȱFolgeȱheißtȱeineȱNullfolge.ȱ Beispielȱ2.58:ȱDieȱFolgengliederȱderȱFolgeȱ (an )

1 / n ,ȱd.h.ȱ1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ1/4,ȱ...ȱwerdenȱ

mitȱzunehmendemȱnȱimmerȱkleiner,ȱsieȱnähernȱsichȱimmerȱstärkerȱderȱ0.ȱDieȱFolgeȱistȱ eineȱNullfolge.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ Beispielȱ2.59:ȱDieȱFolgeȱ (an )

2  1 / n , d.h.ȱ1,ȱ3/2,ȱ5/3,ȱ7/4,ȱ...ȱistȱbeschränktȱundȱmonoȬ

tonȱ (wachsend).ȱ Sieȱ istȱ damitȱ konvergent.ȱ Daȱ dieȱ Folgeȱ sichȱ immerȱ stärkerȱ derȱ 2ȱ näȬ hert,ȱkonvergiertȱsieȱgegenȱ2ȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ6).ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

42

ȱ

Folgen und Reihen

Abbildungȱ2Ȭ7:ȱ

( 1)n 1 / n ȱ

Folgeȱ (a n )

1,00 0,50 0,00 -0,50

0

2

4

6

8

10

12

-1,00 -1,50

ȱ

EsȱgibtȱallerdingsȱauchȱFolgen,ȱdieȱnichtȱmonotonȱsindȱundȱdennochȱkonvergieren.ȱ Beispielȱ2.60:ȱDieȱFolgeȱ (an )

( 1)n 1 / n ,ȱd.h.ȱȬ1,ȱ1/2,ȱȬ1/3,ȱ1/4,ȱ...ȱistȱzwarȱalternierendȱ

undȱdamitȱnichtȱmonoton.ȱSieȱkonvergiertȱaberȱdennochȱgegenȱ0ȱundȱistȱsomitȱebenȬ fallsȱeineȱNullfolgeȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ7).ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱdivergent,ȱwennȱkeinȱGrenzwertȱexistiert.ȱ

Dabeiȱheißtȱsieȱbestimmtȱdivergent,ȱwennȱȱ a n o f ȱoderȱ a n o  f .ȱ ȱ n of

ȱ

n of

Abbildungȱ2Ȭ8:ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.33)ȱ

(2n ) ȱ

Folgeȱ (a n )

1.500,00 1.000,00 500,00 0,00 -500,00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1.000,00

ȱ

43

2.4

2

Mathematische Grundlagen

( 2 n ), ȱd.h.ȱ2,ȱ4,ȱ8,ȱ16,ȱ...ȱstrebtȱmitȱgrößerȱwerdendemȱnȱ

Beispielȱ2.61:ȱDieȱFolgeȱ (an )

gegenȱ+ f .ȱDieȱFolgeȱistȱalsoȱbestimmtȱdivergentȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ8).ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ Eineȱ Folgeȱ heißtȱ unbestimmtȱ divergent,ȱ wennȱ einȱ solchesȱ Verhaltenȱ nichtȱ erkennbarȱ ist.ȱ ( 2)n d.h.ȱ Ȭ2,ȱ 4,ȱ Ȭ8,ȱ 16,ȱ ...ȱ konvergiertȱ nichtȱ undȱ strebtȱ

Beispielȱ 2.62:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

auchȱnichtȱgegenȱ+ f ȱoderȱȬ f .ȱDieȱFolgeȱistȱalsoȱunbestimmtȱdivergent.ȱ

Abbildungȱ2Ȭ9:ȱ

Folgeȱ (a n )

(( 2)n ) ȱ

1.500,00 1.000,00 500,00 0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

-500,00 -1.000,00

ȱ

Bemerkung:ȱ Dieȱ Verbindungslinienȱdienenȱnurȱ derȱ Visualisierung.ȱ Dieȱ Folgeȱ bestehtȱ nurȱausȱdenȱdurchȱdieȱQuadrateȱgekennzeichnetenȱWertenȱanȱdenȱnatürlichenȱZahlen.ȱ

ȱ WichtigeȱGrenzwerteȱ

WirȱwollenȱhierȱnurȱzweiȱbesondersȱwichtigeȱGrenzwerteȱnäherȱbetrachten:ȱ 1.

Fürȱjedesȱreelleȱcȱ>ȱ0ȱgiltȱ

1 o 0. ȱȱ ȱ n c n of

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.34)ȱ

Fürȱcȱ=ȱ1ȱistȱdiesesȱdieȱbereitsȱdiskutierteȱNullfolgeȱ(1/n)ȱ=ȱ1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ....ȱAberȱ auchȱfürȱvonȱ1ȱverschiedeneȱWerteȱkonvergiertȱdieȱFolgeȱgegenȱ0.ȱȱ Fürȱcȱ>ȱ1ȱkonvergiertȱsieȱschnellerȱgegenȱ0.ȱ Beispielȱ 2.63:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

(1 / n 2 ), ȱ d.h.ȱ 1,ȱ 1/4,ȱ 1/9,ȱ 1/16,ȱ ...ȱ konvergiertȱ

schnellerȱgegenȱ0ȱalsȱ(1/n)=1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ....ȱ

44

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Folgen und Reihen

(1 / n c ) ȱzwarȱlangsamerȱgegenȱ0ȱalsȱ(1/n),ȱdieȱ

Fürȱ0ȱ