Fiche TD 1 [PDF]

Zitiervorschau

INFO416 : Processus & Files d’attente Travaux Dirigés — Série 1 : Chaînes de Markov

Exercice 1 : Matrice de transition On suppose qu’une sentinelle monte la garde au sommet d’un camp carré, muni de 4 tours, de la manière suivante : elle commence au hasard par l’une des tours, puis au bout de 5 minutes tire à PILE ou FACE, et va à la 1ère tour à gauche (si PILE) ou à la 1ère tour à droite (si FACE). 1. Formaliser le problème. 2. Soit Xn le numéro de la tour choisie comme n−ième poste de garde, n = 0, 1, . . .. Montrer que Xn est une chaîne de Markov. Quelle est la matrice de transition ?

Exercice 2 : Publicité et parts de marché Trois produits de consommation courante : p1 , p2 , p3 sont en concurrence sur le marché. Au 15 janvier une enquête réalisée sur un échantillon représentatif de consommateurs a donné le résultat suivant : 30% des personnes interrogées ont déclaré consommer p1 , 50% ont déclaré p2 et 20% ont déclaré p3 . Les fabricants du produit p1 lancent une campagne de publicité qui dure 15 jours afin de tenter d’accroître leur part de marché. Une enquête réalisée le 31 janvier sur le même échantillon donne : — parmi les clients de p1 (au 15 janvier), 50% continuent d’acheter p1 , 40% achètent p2 et 10% p3 . — parmi les clients de p2 (au 15 janvier), 70% continuent d’acheter p2 , 30% achètent p1 . — parmi les clients de p3 (au 15 janvier), 80% continuent d’acheter p3 , 20% achètent p1 . 1. Déterminer l’état du marché au 31 janvier. 2. Quel serait cet état au bout d’une seconde campagne de publicité de 15 jours ? (en admettant que l’enquête du 15 février donne des résultats identiques à celle du 31 janvier). 3. Y a-t-il une limite à l’état du marché au bout d’un grand nombre de campagnes de publicité ? On admettra que les résultats des enquêtes sont toujours les mêmes.