Exercice Corrigé - Méthode Des Forces 2 [PDF]

Zitiervorschau

Faculté de Technologie

Département de Génie Civil

Matière : CDS

Niveau : 3ème Année LICENCE Exercices corrigés : Méthode des Forces

Exercice 02 : Soit le portique illustré. Tracer le diagramme de l’effort normal, effort tranchant et moment fléchissant: 2 KN C

D

2 KN/ml 1m B

A 2m E 2m

Les équations d’équilibre sont au nombre de 3. Les réactions d’appuis sont au nombre de 5. 5-3 = 2. Donc, il reste deux inconnus quand ne peut pas déterminer.

2m

2m

Solution : 1-Le degré d’hyperstaticité du système est H = 3C-A-2S = 3(2) -2(2) = 2 Donc, on a deux inconnues hyperstatiques à déterminer. 2-Le choix d’un système de base

Il faut choisir l’emplacement des inconnues à ce que le système soit toujours stable et simple à étudier. 2 KN

C

D

2 KN/ml X2

1m B

A 2m

X1 E 2m

2m

2m

1

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Matière : CDS

Niveau : 3ème Année LICENCE Exercices corrigés : Méthode des Forces

3-Le tracé du diagramme du moment fléchissant sous chargement interne (MP) 2 KN

Barre CD : C

0  x  2m M ( x)  0 2  x  4m

D x

M (2)  0 M ( x)  2( x  2) M (4)  4 KN .m On peut pas aller jusqu’à la fin du poteau (point E) par ce qu’il y a la charge 2KN/ml qui apparait après le point B

C

D x

Poteau CB :

2 KN

0  x  1m M ( x)  2  2  4 KN .m

B

Le calcul de M(x) se fait son les appuis

Barre AB :

2 KN/ml

0  x  2m M (0)  0 M ( x)   x 2  M (2)  4 KN .m

A

B

Poteau BE : 0  x  2m M ( x)  2  2  2  2  1  0

2 KN C

D

2 KN/ml B x

A

E

2

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A la fin, le diagramme du moment fléchissant sous chargement externe sera tracé comme suit : 4 KN.m _

4 KN.m

_

4 KN.m

_ MP

3-Le tracé du diagramme du moment fléchissant sous chargement unitaire (M1 et M2) 3-1-Le moment fléchissant (M1) avec une charge égale à 1. Barre AB : C

D

0  x  2m M (0)  0 M ( x)  x  M (3)  2 KN .m

B

A 1

Poteau BE :

E

0  x  3m M ( x)  1  2  2 KN .m

Sous chargement unitaire le diagramme du moment fléchissant « M1 » est tracé comme suit : C

A

2 KN.m B

+ 2 KN.m

1

D

MX1

_

E 3

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3-2-Le moment fléchissant (M2) avec une charge égale à 1. Barre DC :

C

D

0  x  3m B

A

M (0)  0 M ( x)  x  M (4)  4 KN .m

1

Poteau CE : E 0  x  4m M ( x)  1  4  4 KN .m

Sous chargement unitaire le diagramme du moment fléchissant « M2 » est tracé comme suit : C 4 KN.m

D

+ 4 KN.m

1 A

B

+

MX2

E

4-Calcul des coefficients d’influence « δki , δkΣF » Le calcul de ces coefficients ce fait, selon la règle de Verechtchaguine ou avec la multiplication des formes du diagramme des moments fléchissant (regarder le formulaire des intégrales de Mohr). Exemple : 3KN .m

4.5KN .m +



1 EI

+

1   4 (la parabole  3).(le triangle  4.5).(la longueur  2)  

4

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1  32  3 .2.2.2  (2).( 2).2  3EI 1 1  208   22  . 4 . 4 . 4 4 . 4 . 3   3EI EI  3  16 1  12  4.(2).2  EI EI 1 1  4 .( 4 ). 2 . 2  1P     EI EI  4

 11 

1 EI

 2P 

1 EI

1    88 .( 4 ).( 2 . 4 2 ). ( 2 4 ). 4 . 1       3EI  6

5-La résolution de l’équation canonique

 11 X 1   12 X 2   1P  0 32 X 1  48 X 2  12  0    21 X 1   22 X 2   2 P  0  48 X 1  208 X 2  88  0  X 1  1.54 KN ;

X 2  0.78KN

6-Le tracé des diagrammes des moments fléchissants sous chargements externe et interne (MP, MX1, MX2). C D 4 KN.m

_

4 KN.m

_

3.08 KN.m B

A

+

4 KN.m

3.08 KN.m

_

1.54 KN

MX1

_

MP E C 3.12 KN.m

D

+ 3.12 KN.m

A

B

E

0.78 KN +

MX2

5

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7-Le tracé des diagrammes de l’effort normal, effort tranchant et moment fléchissant 7-1-Détermination des moments aux extrémités D’après les différents diagrammes en haut : Au point A : MA = 0 Au point B : Poteau EB ;MB = 3.12 – 3.08 = 0.04 KN.m. Barre AB ;MB = 3.08 – 4 = -0.92 KN.m Poteau CB ;MB = 3.12 – 4 = -0.88 KN.m. Au point E : ME = 3.12 – 3.08 = 0.04 KN.m. Au point C : MC = 3.12 – 4 = -0.88 KN.m. Au point D : MD = 0 7-2- Etude des différents efforts D’après la formule générale des moments internes et externes on a trouvés:   M j  Mi   T ( x)  t ( x)   L      M j  Mi   ( ) ( ) M x m x M    i  L  

2 KN/ml   x 

Barre AB : 0  x  2m

j B

i A 2 KN

x

2 KN

t ( x)  2  2 x m( x )  2 x  x 2 T (0)  1.54 KN (0.92)  0  T ( x)  2  2 x   1.54  2 x T (2)  2.46 KN 2 T ( x)  0  x  0.77m   (0.92)  0  M ( x)  2 x  x 2  0   x 2   M (0)  0  2 M ( 2)  0.92 KN .m M ( x)  1.54 x  x  M ( x)  0  x  1.54m M (0.77)  0.59 6

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Poteau BC : C j

0  x  3m t ( x)  0 m( x )  0

B i

  0.88  (0.88)  T ( x)  0   0 1     0.88  (0.88)  M ( x)  0.88    x  0.88KN .m 1   Barre CD :

0  x  2m t ( x)  1KN m( x )  x 0  (0.88) T ( x)  1   1.22 KN 4  0  (0.88)  M ( x)  x  (0.88)   x 4  

2 KN C

D x

M (0)  0.88KN .m  M ( x)  1.22 x  0.88M (2)  1.56 KN .m M ( x)  0  x  0.72m 

1 KN

1 KN

7

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Barre CD : 2  x  4m t ( x)  1  2  1KN m( x)  x  2( x  2) 0  (0.88)  0.78 KN T ( x)  1  4

2 KN C

D x

1 KN

1 KN

 0  (0.88)  x M ( x)  x  2( x  2)  (0.88)    4   M (2)  1.56 KN .m M ( x)  0.78 x  3.12 M (4)  0 KN .m

Poteau BE :

0  x  2m t ( x)  0 m( x )  0  0.04  0.04  T ( x)  0   0 2  

B

j

E i

 0.04  0.04  M ( x)  0  0.04    x  0.04 KN .m 2  

8

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*Diagramme du moment fléchissant 0.88 KN.m

_

0.88 KN.m

_

0.92 KN.m

_

+

1.56 KN.m

+ 0.59 KN.m

Mf +

0.04 KN.m

9

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*Diagramme de l’effort tranchant 1.22 KN

+ _ 0.78 KN

1.54 KN

+ T

_

2.46 KN

Les réactions à l’encastrement sont

F/ x  0  RDx  0 F/ y  0  RDy  1.54  0.78  2  2  2  1  3.68KN 2 KN

M / D  0  0.78  4  2  2  1  2  2  1.54  2  M e  0  M e  0.04 KN .m

C

D

2 KN/ml 1m B

A

0.78KN

2m 1.54KN E

REx

Me

REy 2m

2m

2m 10

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*Diagramme de l’effort normal Suivant l’équilibre des nœuds « C » et « B » on trouve

1.37KN

C

NCD

Nœud C : NCD = 0 NCB = -1.22KN

NBC NCB

Nœud B :

2.68KN

NBA = 0 NBE = -2.46+ NCB = - 3.68KN

NBA

B

NBE

1.22 KN

_ 3.68 KN

_

N

11