Espace Etat Commande [PDF]

Zitiervorschau

Représentation d’état des systèmes linéaires continus Commande par placement de pôles Auteur : Najib Bennis [email protected] Site www.specialautom.net

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REPRESENTATION D'ETAT DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET COMMANDE DANS L'ESPACE D'ETAT PAR PLACEMENT DE PÔLES ------------------------------------------------1 Introduction à la représentation d’état Lorsque l’on envisage la commande d’un système, la première étape consiste à le modéliser. Modéliser un système consiste à élaborer une représentation mathématique qui permette de décrire et prédire son comportement dynamique et permanent lorsqu’il est soumis à des influences externes (entrées de commande, perturbations..) Consignes Commandes Perturbations

Système Physique

Sorties Effets Mesures

1.1 Les différentes formes de modélisation Tout système linéaire peut être représenté de plusieurs manières comme le montre le schéma suivant :

Entrée u

Représentation par équation différentielle

Système Physique

Sortie y

Représentation par Fonction de transfert

Représentation par équation d’état

Parmi les différentes modélisations possibles d’un système, seule la représentation d'état permet une approche interne. Elle peut être obtenue à partir de la connaissance de la structure et des propriétés des éléments du système (Voir l’exemple ci-dessous). Elle peut être aussi obtenue par transformation du modèle, c’est-à-dire à partir de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert. Pour illustrer ce propos, on considère l’exemple simple suivant : Exemple de modélisation Le groupe Ward - Leonard de la figure ci-dessous est constitué d’une génératrice G à courant continu qui tourne à vitesse constante et qui délivre un courant I proportionnel à son courant d'excitation i : I = KG i. Le courant I alimente le moteur M à courant continu dont l’excitation reste constante et qui produit un couple C = K C I.

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On propose de modéliser ce système en le considérant comme un système mono-variable dont l’entrée est la tension v appliquée au circuit inducteur de la génératrice G et la grandeur de sortie est la position angulaire . 1. Mise en équation Cette opération consiste à écrire l’ensemble des équations qui régissent le système :

di( t )  v( t )  L dt  Ri( t ) d ( t )    ( t )  dt d ( t )  f ( t ) C( t )  J  dt   dI( t )   L   RI( t )  K G v( t )  d ( t ) dt ( t )   dt   d ( t )  J   f ( t )  K C I( t )  I( t )  K G i( t ) dt   C( t )  K C I( t ) 1.1.1 Equation d’état à partir des équations physiques On choisit de prendre comme variables d’état : x1  ( t ), x2  I( t ) x3 

d ( t ) et on note au dt

passage que ces variables ont un sens physique puisqu’elles représentent respectivement la position angulaire –grandeur de sortie-, le courant dans l’ensemble G-M et la vitesse de rotation ( t ) 

d ( t ) . dt

Les équations d’état s’écrivent :        0      A  0      0  

x( t )  Ax( t )  Bv( t ) y( t )  Cx( t )  Dv( t ) 0 

R L

KC J

 1    0    f  J 

 0     KG  B  C  1 0 0 D  0  L   0   

Remarque : On aurait pu ajouter une 4° variable x4=i, ce qui conduit à quatre variables d’état. Une telle initiative n’est pas intéressante car la variable x4 serait redondante. En effet, la connaissance de la variable d’état x2 = I permet de déduire x4=i, puisqu’elles sont liées par la relation de proportionnalité I = KG i.

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1.1.2 Equation d’état à partir de la fonction de transfert La fonction de transfert peut s’obtenir par l’application de la transformée de Laplace aux équations du système puis éliminer toutes les variables intermédiaires pour aboutir à la relation entre l’entrée v(p) et la sortie y(p)=(p).

 dI( t )  RI( t )  KG v( t )  L  KG v( p )  ( Lp  R )I( p ) dt  KC KG y( p )     y( p )  ( p )    y( t )  ( t ) v( p ) p( Lp  R )( Jp  f )     KC I( p )  p( Jp  f )( p ) d 2 ( t ) d ( t ) f  KC I( t )  J dt dt 2  On part de la fonction de transfert et on propose une représentation d’état. La fonction de transfert est d’ordre 3 – degré du dénominateur-, il faut par conséquent 3 variables d’état. Ce passage n’est pas unique comment il est bien expliqué dans le document annexe. Dans ce qui suit, on propose une représentation possible. On écrit la fonction de transfert sous la forme suivante :

KC KG y( p )        v( p ) p( Lp  R )( Jp  f ) p Lp  R Jp  f  y( p )  

v( p ) v( p ) v( p )   p Lp  R Jp  f X1 ( p )

X2( p )

avec  

KC KG Rf



KC KG L2 K K J2  C G f ( RJ  fL ) R( RJ  fL )

X3( p )

On a par conséquent : v( p )   X1( p )  p  X1( t )  v( t )  v( p ) R 1   X 2 ( t )   X 2  v( t )  X 2( p )  Lp  R L L   v( p ) f 1  X 3( p )   X 3 ( t )   X 3  v( t ) Jp  f J J   y( p )  X ( p )  X ( p )  X ( p )  y( t )  X ( t )  X ( t )  X ( t ) 1 2 3 1 2 3  D’où une autre représentation d’état possible:

X ( t )  AX ( t )  Bv( t ) y( t )  CX ( t )  Dv( t )   0 0 0    R A  0  0    L   0 0  f  J 

  1   1 B    C      D  0 L 1   J 

Remarque 

Bien que la variable X2 représente le courant i (Voir les équations physiques du système) ait donc un sens physique, les autres variables d’état sont difficilement voire impossible interprétables !!



Bien que y s’exprime linéairement en fonction de X1, X2 et X3, elle représente toujours la position angulaire .

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1.1.3 Equation d’état à partir de l’équation différentielle L’équation différentielle peut s’obtenir à partir des équations établies du système par élimination des variables intermédiaires i, I, C, ou directement à partir de la fonction de la fonction de transfert.

KC KG KC KG y( p ) LJ   v( p ) p( Lp  R )( Jp  f ) p3  ( R  f ) p 2  Rf p L J LJ  ( p 3  (

K K R f 2 Rf  )p  p )y( p )  C G v( p ) L J LJ LJ

Par application de la transformée de Laplace inverse, on a :

d 3 y( t ) dt

3

(

R f d 2 y( t ) Rf dy( t ) KC KG  )   v( t ) L J LJ dt LJ dt 2

L’équation différentielle est d’ordre 3, il faut par conséquent 3 variables d’état. Plusieurs choix sont possibles, dont celui-ci : z1  y( t ) z2 

dy( t ) dt

z3 

d 2 y( t ) dt 2

Il s’en suit les relations suivantes :

z1  z2

z2  z3

z3 

d 3 y( t ) dt

3

 (

K K R f Rf  )z3  z2  C G v( t ) L J LJ LJ

D’où une autre représentation d’état :

ˆ t )  Bv( ˆ t) z( t )  Az( ˆ t )  Dv( ˆ t) y( t )  Cz(   0 1  0  ˆA  0 0 1    Rf R f  (  ) 0  LJ L J  

   0    ˆ 0 Bˆ   0  Cˆ  1 0 0 D K K   C G  LJ 

Remarque Le choix fait pour les variables d’état est judicieux puisque z1, z2, z3 représentent respectivement la position angulaire, la vitesse angulaire et l’accélération. Les deux dernières constituent des informations supplémentaires sur l’état du système. 1.2 La représentation d’état 1.2.1 Définitions et terminologie Définition : Etat d’un système L'état d'un système est la plus petite quantité d'information caractérisée par un ensemble de variables qu'il faut connaître à un instant tO pour pouvoir prédire de façon univoque le comportement de ce système à tout instant t> tO et pour toute entrée entre t0 et t. En effet, l'exemple du système ci-dessus a conduit à sa caractérisation du par trois variables telle que la donnée à un instant t0 de ces variables : x1(0)=(0) –Position initiale-, x2(0)=(0) – vitesse initiale , et x3(0)=(0), - accélération initiale-, jointe à la connaissance de l’équation d'évolution et de la tension de commande v(t) qui agit sur lui, permettent de déterminer le comportement ultérieur du système.

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Définition : Vecteur d’état Un vecteur d’état est un ensemble minimal de variables d’état, c’est-à-dire de grandeurs temporelles, nécessaires et suffisantes pour déterminer l’évolution future d’un système quand on connaît les équations qui décrivent le fonctionnement du système et les entrées de ce système. Dans ce qui suit, un vecteur d’état et son dérivée seront notés :  x1( t )   x1( t )       x2 ( t )   x ( t ) 2 dx( t )   x( t )   x( t )   dt          x ( t )  x ( t ) n n     Le nombre n de composantes correspond au degré de complexité du système. Il définit l’ordre du système. Définition : Equation d’état D’une manière générale, à tout système linéaire continu peut lui être associé les équations matricielles suivantes :

 x( t )  Ax( t )  Bu( t ) équation d ' état   y( t )  Cx( t )  Du( t ) équation de sortie   x( t0 )  xo condition initiale Dans le cas d’un système stationnaire, les matrices A,B,C et D sont indépendantes du temps. Ce cas seul sera examiné par la suite. Terminologie – A est appelée matrice d’état du système de dimension (n,n) – x est appelé vecteur d’état du système de dimension n – n variables d’état– u est appelé vecteur d’entrée du système de dimension (m) – m entrées – y est appelé vecteur de sortie du système de dimension (p) – p sorties – – B est appelée matrice de commande du système de dimension (n,m) – C est appelée matrice de sortie ou d’observation du système de dimension (p,n) – D est appelée matrice de transmission directe du système de dimension (p,m) Remarque : • Dans le cas particulier où p=m=l, c’est à dire une seule entrée et une seule sortie, le système est dit monovariable ou unidimensionnel, sinon il est dit multivariable. • Les variables d'état permettent une représentation interne des systèmes dans le domaine temporel, alors que la fonction de transfert et l’équation différentielle correspondent à une représentation externe (relation entrée/sortie). La figure suivante justifie cette appellation :

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Les variables d'état peuvent ne pas correspondent à des grandeurs physiques réelles et accessibles dans un système. Elles constitueront dans ce cas des variables mathématiques intermédiaires commodes d'utilisation. Ce dernier point sera expliqué davantage dans la suite. Comment faut-il choisir les variables d’état ? Il recommandé de choisir les variables d’état ayant un sens physique et physiquement accessibles à la mesure et ce pour une meilleure compréhension du comportement du système étudié et la mise au point de la commande de celui-ci. Généralement c’est le cas lorsque la représentation d’état a découlé des équations physiques. Par contre, lorsque les équations d’état découlent d’une transformation de similitude ou à partir de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert, les variables d’état peuvent perdre le sens physique mais demeurent néanmoins des variables internes. Combien faut-il choisir de variables d’état ? Pour répondre à cette question, il convient de distinguer deux cas :



Si les équations d’état découlent de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert, le nombre de variables d’état est fixé par l’ordre de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert.



Si les équations d’état découlent des équations physiques, il n’est pas toujours à premier abord évident de choisir le nombre de variables nécessaires. Il convient de rester particulièrement vigilent de ne pas surdimensionner la représentation en définissant des variables qui peuvent s’avérer redondantes. Cette remarque est très importante car la complexité du problème de l’analyse et de la synthèse est étroitement liée à la dimension des équations d’état. L’idée est d’obtenir ce qu’on appelle une représentation minimale et fort heureusement on peut être assisté à cet effet par des logiciels spécialisés tel que Matlab.

Quel est l’intérêt de la représentation d’état ? 

D’abord, on souligne que c’est la seule représentation qui permet d’avoir une description interne du système contrairement à la représentation par équation différentielle ou par fonction de transfert. Ce point trouve son intérêt dans le fait qu’on aura une meilleure maitrise et compréhension du système étudié. L’équation différentielle ou la fonction de transfert permettent d’obtenir une relation entrée/sortie qui n’apporte aucune connaissance sur la structure interne d’un système. Deux systèmes différents peuvent très bien avoir la même fonction de transfert et la même équation différentielle. En effet, dans l’exemple précédent, le fait que l’on définisse le courant, la vitesse, l’accélération comme variables d’état va permettre de s’informer sur son état global, alors que la représentation par équation différentielle ou par fonction de fonction ne permettent pas une telle information car seule l’information accessible est la sortie y – Position angulaire -.



La représentation d’état convient particulièrement aux systèmes multi-variables. Pour le cas mono-variable, l’approche par fonction de transfert est largement suffisante. Partant du fait que le cas multi-variable est plus délicat à appréhender, la représentation d’état constitue le support le plus utilisé dans l’étude des systèmes complexes.

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1.2.2 Passage de la représentation d’état à la fonction de transfert On considère un système représenté par les équations d’état suivantes :

 x( t )  Ax( t )  Bu( t )   y( t )  Cx( t )  Du( t )   x( t0 )  xo En appliquant la transformée de Laplace aux équations ci-dessus, elles deviennent :  x( p )  ( pI  A )1 Bu( p )  ( pI  A )x( p )  Bu( p )  px( p )  Ax( p )  Bu( p )            y( p )  Cx( p )  Du( p )  y( p )  Cx( p )  Du( p )  y( p )  Cx( p )  Du( p )  y( p )  C( pI  A )1 Bu( p )  Du( p )

La fonction de transfert est alors définie par :

H( p )  C( pI  A )1 B  D 1.2.3 La non unicité de la représentation d’état ? Le concept d'état est un outil mathématique destiné à faciliter l'étude du comportement du système et de faire la synthèse d’un régulateur –Asservissement/régulation-. Comme il a été mentionné ci-dessus, les variables d’état peuvent ne pas avoir une signification physique directe. Souvent, on est amené à mettre en évidence certaines propriétés du système auxquelles on s'y intéresse. Pour cela, on cherche des représentations particulières répondant au besoin recherché. En d'autres termes, on peut représenter un même système par une infinité de représentations d'état. Le passage d'une représentation d'état à une autre n'est en fait qu'une opération de changement de variables. Soit à présent x( t ) et x( t ) deux vecteurs d'état susceptibles de définir l'état d'un système. On peut passer de x( t ) à x( t ) et inversement par une transformation dite de similitude Pour cela, on considère le changement de variable x( t )  Mx( t ) où M est une matrice quelconque de dimension (n,n) : x( t )  Mx( t )  x( t )  M 1 x( t ) . Le lien univoque entre x( t ) et x( t ) signifie que

M-1 existe. Avec ce changement de variables, on a:  x( t )  MAM 1 x( t )  MBu( t )  x( t )  Mx( t )  MAx( t )  MBu( t )  x( t )  Ax( t )  Bu( t )       1   y( t )  CM 1 x( t )  Du( t )   y( t )  Cx( t )  Du( t )  y( t )  CM x( t )  Du( t )     x( t0 )  Mxo  x( t0 )  Mxo  x( t0 )  xo   

On obtient par conséquent une nouvelle représentation d’état définie par les matrices suivantes :

A  MAM 1

B  MB C  CM 1

DD

On vérifie par la suite que la fonction de transfert est indépendante de ce changement de variables :

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H( p )  C( pI  A )1 B  D  CM 1( pI  MAM 1 )1 MB  D  CM

1

 M ( pI  A )M 

-(XYZ)-1=Z-1Y-1X-1

1  1

 MB  D

en admettant que toutes matrices inverses existent.

 CM 1M ( pI  A )1 M 1MB  D

les

-I désigne la matrice identité de dimension (n,n).

1

 C( pI  A ) B  D  H( p ) 1.3

Notes :

Résolution de l’équation d’état

On cherche à résoudre l’équation d’état précédemment introduite qui s’écrit dans le cas général : x( t )  Ax( t )  Bu( t )

y( t )  Cx( t )  Du( t ) x( t0 )  x0 Le problème est le suivant : étant données des conditions initiales x0, calculer la réponse y(t) suite à l’application de l’excitation u(t). Ce calcul passe d’abord par le calcul de x(t), qui à partir duquel, on calcule la réponse y(t). Le cas des équations différentielles matricielles se traite de manière similaire au cas scalaire. L’équation homogène associée s’écrit :

x( t )  Ax( t ) x( t0 )  x0 Sa solution est exponentielle et vaut :

x( t )  e A( t t0 ) x0 La résolution avec second membre s’effectue comme dans le cas scalaire (attention, en algèbre matricielle, la multiplication n’est pas commutative) :

x( t ) solution à l' instant

e

A( t t0 )

x0 

solution libre



t

e A( t  ) Bu(  )d 

t0 solution forcée

La matrice e At est appelée Matrice de transition. Sans perdre de généralité, on suppose dans la suite : t0=0 et D=0. Dans la littérature, Il existe une multitude de méthodes permettant de calculer la matrice de transition comme il est montré dans le document annexe. On présente ici la méthode basée sur la transformée de Laplace. L’application de la Transformée de Laplace à l’équation homogène dont on connait sa solution, permet d’écrire :

px( p )  x0  Ax( p )  ( pI  A )x( p )  x0  x( p )  ( pI  A )1 x0

 e At  TL1 ( pI  A )1  où TL1 . désigne la Transformée de Laplace inverse

Exemple  1 1   p  1 1  1  pI  A   A    ( pI  A )  0 2   0 p  2

1  1    p  2 1   p  1 ( p  1 )( p  2 )  1   1  ( p  1 )( p  2 )  0 p  1   0  p  2  

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D’après la table de la Transformée de Laplace, on a :

et et  e2t  e At    e2t   0 Remarque 

Cette méthode s’applique dans tous les cas, c’est-à-dire quelle que soit la structure de la matrice A.



On doit vérifier systématiquement que e At

1.4

t 0

I

Analyse de la stabilité

La stabilité de l’état est conditionnée par celle de la matrice de transition e . En effet, d’après At

la solution de l’équation homogène, x(t)= e x0 tend vers 0 quelle que la condition initiale si e At

At

tend vers 0 quand t tend vers l’infini. En examinant le lien entre les matrices [A,B,C,D] et la fonction de transfert du système, on remarque que les pôles de cette dernière ne sont autres At que les valeurs propres de A. On retient donc que e converge si et seulement si les valeurs propres de la matrice A sont à partie réelle strictement négative. Dans l’exemple ci-dessus, la matrice d’état A possède deux valeurs propres strictement négatives 1  1 2  2 . Le système dont cette matrice est lui associé, est un système stable. 1.5

Analyse du régime transitoire et permanent.

La matrice d’état permet de renseigner non seulement sur la stabilité d’un système, mais aussi sur sa dynamique et donc sur le régime transitoire. 1.5.1 Analyse transitoire On peut prévoir la forme du régime transitoire et évaluer sa durée à partir de la connaissance des valeurs propres. Par analogie avec les pôles de la fonction de transfert, on peut conclure avec certitude que :   

Si les valeurs propres sont réelles et strictement négatives : réponse transitoire apériodique. Si parmi les valeurs propres il y’en a qui sont complexes et à partie réelle strictement négative : réponse transitoire oscillatoire amortie. Si la matrice d’état A possède à la fois des valeurs propres réelles strictement négatives et des valeurs propres complexes à partie réelle strictement négative : la forme du régime transitoire est caractérisé par les valeurs propres dominantes.

A défaut de pouvoir évaluer directement les caractéristiques du régime transitoire (Temps de réponse, dépassement,..) par analyse des valeurs propres, on est souvent amené à intégrer les équations d’état. 1.5.2 Analyse statique Pour une entrée constante uo, c’est-à-dire de type échelon, il s’établit un comportement statique où toutes les variables d’état et de sortie atteignent des valeurs finales constantes. Sous réserve de la stabilité du système L’état du système converge vers l’état final qui peut être déterminé à partir du gain statique. Celui-ci s’obtient en mettant p = 0 dans la fonction de transfert, ce qui se traduit par la relation suivante :

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Ks  H( p ) p 0  C( pI  A )1 B  D

p 0

  CA1B  D

L’état et la sortie en régime statique s’obtiennent par :

lim x( t )   A1Buo t 

lim y( t )   CA1B  D  uo t 

Exemple d’application A titre d’exemple, on considère le système mécanique suivant :

k, coefficient de raideur = 6 (USI) f, coefficient de frottement =5 (USI) m, masse du mobile = 1 (USI) Ce système est régi par l’équation différentielle suivante :

d 2 y( t ) dt

2



f dy( t ) k 1  y( t )  u( t ) m dt m m

Afin d’obtenir une représentation d’état possible, on fait le choix classique suivant:  x1( t )  y( t )   dy( t )  x2 ( t )   dt 

 x1( t )  x2 ( t )  k f 1   x2 ( t )   m x1( t )  m x2 ( t )  m u( t )  1   0 0  x( t )     1  u( t )   x( t )   0 1  x( t )  0 u( t ) x( t )  k f    6 5 1                 m m m      y( t )  1 0 x( t )     y( t )  1 0 x( t )

La fonction de transfert est donnée par : y( p )  C( pI  A )1 B  D  C( pI  A )1 B u( p ) 1

 p 1   p 5 1 1 ( pI  A )1    2    p  5 p  6  6 p   6 p  5 p5 1    ( p  2 )( p  3 ) ( p  2 )( p  3 )    6 p    ( p  2 )( p  3 ) ( p  2 )( p  3 )   

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p5 1    ( p  2 )( p  3 ) ( p  2 )( p  3 )  0  y( p ) 1     H( p )  1 0    u( p ) ( p  2 )( p  3 ) 6 p   1   ( p  2 )( p  3 ) ( p  2 )( p  3 )  Le gain statique est Ks  H( 0 )  CA1B 

1 6

Analyse de la stabilité Les

valeurs

propres

de

la

matrices

A,

solutions

de

l’équation

caractéristique

det( pI  A )  p  5 p  6  0 , sont données par 1  2 2  3 . Ces valeurs propres sont réelles et 2

négatives, il s’ensuit que le système est de nature stable. On note que les valeurs propres sont aussi les pôles de la fonction de transfert. Calcul de la réponse transitoire Pour des conditions initiales nulles et pour une entrée de type échelon unité, la solution x(t) s’écrit :

x( t ) 

t

e

A( t  )

Bu(  )d 

0

On commence par calculer la matrice de transition e Laplace :

e At

At

par la méthode de la transformée de

 p5 1     * e2t  e3t  ( p  2 )( p  3 ) ( p  2 )( p  3 )     TL1 ( pI  A )1   TL1     6 p   * 2e2t  3e3t      ( p  2 )( p  3 ) ( p  2 )( p  3 )  

Les éléments marqués (*) n’interviennent pas dans le calcul de la solution compte tenu du zéro dans la matrice B.

x( t ) 

 

t

e

0



t

0

A( t  )

Bu(  )d  



t

0

* e2( t  )  e3( t  )  0     d  2( t  )  3e3( t  )  1  * 2e

 e2( t  )  e3( t  )   d   2( t  )  3e3( t  )  t   2e



t

0

 1 2t 1 3t 1   e2  e3   2 e  3 e  6  d      2t  2 3  2e  3e  e  e3t 

On déduit le résultat final suivant : 1 1 1  y( t )  x1( t )   e 2t  e 3t    2 3 6   dy( t )  x ( t )  e2t  e3t 2   dt Après une phase transitoire sans dépassement, le système atteint un comportement statique tel que : 1  y( t )  lim x1( t )  tlim  t  6   lim dy( t )  lim x ( t )  0 2 t  dt t 

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2. Commandabilité et commande par placement de pôles Dans le paragraphe précédent, on a introduit les principaux concepts pour l’analyse des systèmes dynamiques dans l’espace d’état. Ce deuxième paragraphe aborde la commande des systèmes où le concept d’état est utilisé. 2.1 Définition On dit qu’un système

x( t )  Ax( t )  Bu( t ) y( t )  Cx( t )  Du( t ) x( t0 )  x0 est commandable à

l’instant tf > to, si quels que soient les états x( t0 ), x( t f ) , il existe une commande u( t0 ,t f ) transférant le système de l’état x( t0 ) à l’état x( t f ).

u? Etat initial

Etat final

Exemple On considère le circuit suivant

u(t)

R1 C1

R2

q1

C2

R3 q 2 C3

u(t)= tension de commande q3

xi (t)= qi (t) charge du condensateur Ci

Le problème de la commandabilité peut être posé de la manière suivante : Existe-t-il une tension u(t) qui, à partir des conditions initiales, c’est-à-dire à partir des charges initiales quelconques, peut amener la charge des condensateurs à des valeurs arbitraires et ce, pendant un intervalle de temps fini [to, tf] ? Si la réponse est oui  système est commandable ou gouvernable Si la réponse est non  système est non commandable ou ingouvernable Si la réponse est conditionnelle  préciser les conditions. 2.2 Notion intuitive de la commandabilité On considère le système suivant :   px1( p )  x10   x1( p )  0.u( p )  x1( t )   x1( t )  0.u( t )  1 0  0 x( t )    u( t )   x( t )    x ( t )  2 x ( t )  1.u( t )   px2 ( p )  x20  2 x2 ( p )  1.u( p )  2  0 2  1  2     y( p )  x ( p )  x ( p ) y( t )  x1( t )  x2 ( t ) 1 2  y( t )  1 1 x( t )      x( 0 )  xo  x( 0 )  x o  1   x1( p )  p  1 x10    x ( p )  1 x  1 u( p ) 20  2 p2 p2  y( p )  x ( p )  x ( p )   1 2

Les dernières équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant :

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x10 S1 x1

x20

y(t)

S2 u(t) x2 Système Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous-systèmes S1 et S2. Le sous-système S1 n’est pas lié à l’entrée u, contrairement au sous-système S2. Cela veut dire, on ne peut jamais agir sur l’état x1 et ce quelle que soit la commande u appliquée au système. L’état x1 évoluera selon sa propre dynamique à partir de sa condition initiale. On dit que l’état x1 est non commandable alors que l’état x2 est commandable. Remarque La commandabilité ne dépend que de A et de B et non de C et de D. 2.3 Critères de la commandabilité Il est souvent intéressant de s’assurer de la commandabilité d’un système avant de chercher à mettre en œuvre une commande proprement dite. En d’autres termes, on demande de disposer d’une condition nécessaire et suffisante de commandabilité. Afin de vérifier la commandabilité, on dispose d’une multitude de critères mathématiques dont on donne ici le plus courant. Soit le système S suivant :

S

  x( t )  Ax( t )  Bu( t )    A( n,n ) B( n,m )

Théorème 1 Le système S ou la paire (A,B) est commandable si et seulement si la matrice suivante dite matrice de commandabilité est de rang égal à n :

Q   B AB A2 B.... An1B  Exemple 1

Exemple 2

  1 2  1 A    B  1 1  2     n  2 m  1 

  1 2  1 A    B  1 1  2     n  2 m  1 

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La matrice de commandabilité :

La matrice de commandabilité :

1 1  Q   B AB     1 1  det( Q )  2  0

1 1 Q   B AB     1 1  det( Q )  0

 rang( Q )  2 (  n )

rang( Q )  1 (  n )  (A,B) est non commandable.

(A,B) est commandable. Remarque 

Si rang (Q)=n’> A=[-2 -4;2 5];B=[-1 1]'; >> Q=ctrb(A,B) Q= -1 -2 1 3 >> R=rank(Q) R= 2 >> K=place(A,B,[-1 -2]') K= 4 10

2.4.4 Exemple d’application On se propose d’étudier le problème de la commande d’un système composé de quatre cuves en cascade représenté par la figure suivante :

Les relations entre les niveaux dans les réservoirs et les débits d’alimentation et d’évacuation sont de nature non linéaires. Cependant au point nominal de fonctionnement (H0,Q0), les équations du système sont linéaires et s’écrivent :

S

dh1  q1  m.h1 dt

S

dh 2  m.h1  m.h 2 dt

S

dh3  q 2  m.h 2  m.h3 dt

S

dh 4  m.h3  m.h 4 dt

Les variables h1, h2, h3, h4 et les variables q1, q2, représentent respectivement des variations des niveaux et des débits d’alimentation autour du point de fonctionnement. On donne : m/S = 0.25 (USI) , 1/S = 3 (USI).

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On choisit :

 x1   h1       x 2  h2  q1  x       , le vecteur d’état et u    , le vecteur de commande  x 3   h3   q 2       x 4   h 4  On s’intéresse plus particulièrement aux niveaux h1 et h4 (sorties), le système est de multivariable : 2 entrées (p=2) et deux entrées (m=2). 1° Mise en équation

x( t )  Ax( t )  Bu( t ) y(( t )  Cx( t )  Du( t ) 0 0   0.25 0  0.25 0.25 0 0  A  0 0.25 0.25 0    0 0.25 0.25  0

3 0 B 0  0

0 0  1 0 0 0  C  3 0 0 0 1   0

0 0  D  0 0 

2° Analyse de la stabilité Les valeurs propres de

A sont : 1  2  3  4   0.25 (Noter que la matrice A est triangulaire

et par conséquent les valeurs propres sont situées sur la diagonale principale). Toutes les valeurs propres sont négatives et donc le système est stable. 3° Analyse de la commandabilité



En admettant que le système est commandé par q1 seul :

x( t )  Ax( t )  Bu( t ) y(( t )  Cx( t )  Du( t ) 0 0 0   0.25    0.25 0.25 0 0   A  0 0.25 0.25 0     0 0 0.25 0.25

3   0  1 0 0 0  B  C  0  0 0 0 1    0 

0  D  0 

Physiquement, on voit que le système est commandable car toute action sur le débit q1 affectera tous les niveaux. Cette interprétation est confirmée par le calcul du rang de la matrice de commandabilité :

 3 -0.75 0.1875 -0.046875 0 0.75 -0.375 0.14063   rang(Q1)=4 Q1   0 0 -0.1875 0.14063    0 -0.046875 0 0



En admettant que le système est commandé par q2 seul :

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x( t )  Ax( t )  Bu( t ) y(( t )  Cx( t )  Du( t ) 0 0 0   0.25    0.25 0.25 0 0   A  0 0.25 0.25 0     0 0 0.25 0.25

0    0  1 0 0 0  B  C  3 0 0 0 1    0 

0  D  0 

Physiquement, on voit que le système n’est par commandable car toute action sur le débit q2 n’affectera pas les niveaux h1 et h2. Seuls les niveaux h3 et h4 seront affectés par la commande. On peut déjà prévoir que le rang de la matrice de commandabilité est égal à 2 :

0 0 0 0  0 0  0 0  , rang(Q2)=2 Q2    3 -0.75 0.1875 -0.046875   0 0.75 -0.375 0.14063 



En admettant que le système est commandé par q1 et q2 : naturellement le système est commandable. (A vérifier en calculant la matrice de commandabilité).

4° Analyse statique On admet par la suite que le système sera commandé par q1 seul (q2=0). Pour une variation constante de débit q10=0.1 (USI), les variations h10, h20, h30, et h40 des niveaux atteints en régime statique sont données par :

 x10   1.2  x     20    A1 .B.q   1.2  10  x30   1.2       1.2   x40 

 y   x   1.2  ,  10    10      y20   x40   1.2 

5° Amélioration de la dynamique



La commande par retour d’état :

u(t) = uc – kx(t) = uc –k1 x1(t) - k2 x2(t) - k3 x3(t) - k4 x4(t) uc est le débit de consigne et k=[k1 k2 k3 k4] 

La dynamique choisie en boucle fermée: 1= -0.5, 2= -1, 3= -1.5, 4= -2

Ce qui suppose que les 4 niveaux sont physiquement accessibles à la mesure.

K   k1 k 2 k 3 k 4  1.3333 7.1667 14.667 8.75 6° Choix de la consigne uc Le gain en boucle fermée :

 x10   0.03125  x     20   ( A  B.K )1 .B.uc   0.03125  uc  x30  -0.03125     -0.03125  x40   y10   x10   0.03125  1  y    x   C.( A  B.K ) .B.uc  -0.03125 uc    20   40 

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Si on souhaite avoir les mêmes variations qu’en boucle ouverte, il faut appliquer une consigne uc telle que :

 y10   x10   0.03125   1.2   y    x   -0.03125 38.4 = -1.2     20   40   7° Schéma de principe pour la réalisation matérielle

3. Théorie de l’observateur et son application à la commande par retour d’état Lors de la mise en œuvre de la commande par retour d’état, on a souligné la nécessité à ce que toutes les variables d’état soient accessibles à la mesure. Cette hypothèse est peu courante au moins pour les raisons suivantes : 

Le nombre de variables d’état peut être important et par conséquent l’installation des capteurs peut s’avérer onéreuse



Accès difficile voire impossibles aux variables d’état



Les variables d’états peuvent être dépourvues de sens physique suite à une transformation de similitude par exemple.

Dans ce cas, l’implémentation directe de la commande u = e - Kx est impossible. De plus, la connaissance de la sortie y ne résout pas le problème puisque C n’est pas forcément inversible et donc la connaissance de y = Cx ne permet pas de connaître x. Pour surmonter cette difficulté, la théorie de l’observateur d’état a été introduite faisant appel au concept de l’observabilité, concept dual de la commandabilité. Dans ce qui, on introduit successivement : 

La notion de l’observabilité



Les critères de l’observabilité



L’observateur d’état



Incorporation de l’observateur d’état dans la structure de la commande par retour d’état.

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3.1 Définition de l’observabilité On considère un système dont on connaît une représentation d’état ( A,B,C,D). Ce système est dit observable s’il est possible de déterminer son état à un instant t 0 donné à partir d’une observation de sa sortie. Une multitude de définitions équivalentes sont données dans la littérature. Au lieu de s’investir dans toutes ces définitions, on considère un exemple qui permet d’illustrer le sens physique de la notion de l’observabilité. En effet, on considère le système suivant :   1 0  0 x( t )    u( t )  x( t )     0 2 1     y( t )  1 0 x( t )   x( 0 )  x o 

 x1( t )   x1( t )  1.u( t )  x ( t )  2 x ( t )  1.u( t )  2 2  y( t )  x ( t ) 1    x( 0 )  xo

 px1( p )  x10   x1( p )  1.u( p )   px2 ( p )  x20  2 x2 ( p )  1.u( p )  y( p )  x ( p )  1

1 1   x1( p )  p  1 x10  p  1 u( p )    x ( p )  1 x  1 u( p ) 20  2 p2 p2    y( p )  x1( p )

Les dernières équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant : x10 S1 x1 y(t)

u(t)

x20 S2

x2 Système Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous-systèmes S1 et S2. Le sous-système S2 n’est pas lié à la sortie y, contrairement au sous-système S1. Cela veut dire, que toutes les observations (mesures) que l’on peut faire sur un intervalle de temps, rien ne peut refléter le caractère instable du système. En revanche, l’observation de la sortie renseignera sur l’état x1. On dit que l’état x1 est observable alors que l’état x2 est non observable. Remarque L’observabilité ne dépend que de C et de A . Elle est indépendante de B et D. La notion de l’observabilité est une notion duale de la commandabilité. Aussi, on donnera par la suite les principaux résultats.

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Soit le système S suivant : S

 x( t )  Ax( t )  Bu( t )   y( t )  Cx( t ) A  ( n,n ) B( n,m ) C( p,n )

Théorème 1’ : Le système S ou la paire (C,A) est observable si et seulement si la matrice suivante dite matrice de l’observabilité est de rang égal à n :

C  CA    Q  CA2      CAn 1    Exemple 1

 0 A    0 n  2 

La matrice de l’observabilité

1 C  1 0 0 

:

 C  1 0  Q   CA 0 1   det( Q )  1  0

p 1

 rang( Q )  2 (  n ) (C, A) est Observable

 Exemple 2

 0 A    0 n  2 

La matrice de l’observabilité

1 C   0 1 0 

:

 C  0 1 Q   CA 0 1  det( Q )  0

p 1

rang( Q )  1 (  n ) 

(C, A) est non observable

Remarque 

Si rang (Q)=n’