Esercizi Svolti - 20120306 [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA “KORE”  FACOLTÀ DI INGEGNERIA ED ARCHITETTURA 

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE    CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE   E DELLE INFRASTRUTTURE AERONAUTICHE                       

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI  

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI  AGGIORNATO AL COMPITO DEL 06/03/2012 

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Indice

Indice....................................................................................................................................................2 Introduzione .........................................................................................................................................3 1

Esercizio tipo................................................................................................................................4

2

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011 ..............................................................................13

3

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011 .............................................................................27

4

Soluzione del compito del 16 giugno 2011................................................................................40

5

Soluzione del compito del 18 luglio 2011 .................................................................................53

6

Soluzione del compito del 05 settembre 2011 ...........................................................................62

7

Soluzione del compito del 19 settembre 2011 ...........................................................................72

8

Soluzione del compito del 06 ottobre 2011 ...............................................................................82

9

Soluzione del compito del 16 febbraio 2012 .............................................................................90

10

Soluzione del compito del 6 marzo 2012...................................................................................99

Indice

2

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Introduzione

In questo documento vengono riportate le soluzioni complete e commentate di alcuni esercizi d’esame di Scienza delle Costruzioni. L’intenzione dello scrivente è quella di costituire un database di esercizi d’esame mediante il quale l’allievo possa prepararsi ad affrontare la prova scritta. Il numero degli esercizi riportati nel seguito, quindi, è destinato ad aumentare man mano che si svolgeranno gli esami scritti di Scienza delle Costruzioni.

I primi esercizi sono stati commentati per intero ed in modo esaustivo, e, quando possibile, sono state presentate diverse strategie di soluzione. Per i successivi esercizi si sono evitate inutili ripetizioni e si sono presentati solamente i risultati significativi, riservandosi di commentare ogni passaggio più delicato o l’introduzione di un concetto o di una operazione mai affrontata prima.

Ricordando che lo spirito della presente raccolta è quello di fornire agli allievi un supporto didattico di preparazione alla prova scritta, si invitano i lettori a dare riscontro di ogni errore od inesattezza riscontrata.

Il docente del corso Giacomo Navarra

Introduzione

3

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

1 Esercizio tipo

Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione e verificare la sezione più sollecitata del sistema in Figura 1.1 trascurando la deformabilità assiale e a taglio. L

T

A

q B

T



b c

L

h s

C

a)

b) L=250 cm

q=200 N/cm

=1.5·10-5°C-1

T=20°C

E=2.1·107 N/cm2

b=10 cm

h=20 cm

s=1cm

c=2 cm

amm=16000 N/cm2

Figura 1.1. Sistema da analizzare; a) schema d'assi; b) sezione trasversale.

1.1 Riconoscimento del gradi di iperstaticità Il sistema è composto da due aste vincolate da un incastro interno (vicolo di continuità) e quindi possiede nel piano tre gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni sono quattro, quindi il sistema è una volta iperstatico ( q  3n    3   2  2   1 ).

1.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale a I possiede due assi di simmetria quindi il baricentro G coinciderà con l’intersezione di tali assi. Inoltre gli assi di simmetria saranno anche assi principali di inerzia ed il centro di taglio CT coinciderà con il baricentro. L’area della sezione vale: A  bh   b  s  h  2c   56 cm 2

(1.1)

Il momento di inerzia rispetto l’asse forte (l’asse orizzontale baricentrico x1) si calcola come:

Esercizio tipo

4

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI bh 3  b  s  h  2c  I x1    3594.67 cm 4 12 12 3

(1.2)

1.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione dei due schemi 0) e 1) indicati in Figura 1.2, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto A A deve essere nulla, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) A  (0) A  A X  0



(1.3)

T

A 

T



q



X

T

q

(0) 

B



A

T

B

0)

= C

 X (1) 

A

B



+

1)

C

C

Figura 1.2. Struttura iperstatica e sua scomposizione negli schemi isostatici 0) e 1).

Una volta determinata l’incognita iperstatica X come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti:  N  x3   N (0)  x3   N (1)  x3  X  (0) (1) T  x3   T  x3   T  x3  X  (0) (1) M  x3   M  x3   M  x3  X

(1.4)

1.4 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 1.3, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (0) (0) H (0) A  VA  VC 

Esercizio tipo

qL  12500N; 4

H C(0) 

3qL  37500N; 4

(1.5)

5

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI qL qL  ; N (0) BC  x3   4 4

(1.6)

qL L (0) ; TBC  x3   q   x3  4 4 

(1.7)

N (0) AB  x3    (0) TAB  x3  

M (0) AB  x3  

qL q 2 L  L x3  2 x32  x3 ; M (0)  BC  x3   4 4

(1.8)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 1.3-a.

qL 4

B

12.5kN

B

A qL 4

x3

A

x3 = 10 kN

N

(0)

qL

a)

b)

C 3qL 4

A

B

B

12.5kN

12.5kN

C 12.5kN

qL 4

31.25kNm

A 35.15kNm

= 10 kN = 1000 kNcm

T

(0)

M

c)

(0)

d)

C

C 37.5kN

Figura 1.3. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

1.5 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche

Esercizio tipo

6

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 1.4, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (1) (1) (1) H (1) A  VA  H C  VC 

N (1) AB  x3   

1 2L

(1.9)

1 1  ; N (1) BC  x3   2L 2L

(1.10)

1 1 (1) ; TBC  x3   2L 2L

(1) TAB  x3  

M (1) AB  x3  

(1.11)

x3  2L x3  L ; M (1) BC  x3   2L 2L

(1.12)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 1.4-a.

X=1 1 2L

1 2L

x x

B

1 2L

B

A

A 3

3

N

(1)

a)

C

b)

1 2L

1 2L

C

1

1 2L

1 2L

1 2

B

A

A

T

(1)

B

M

c)

(1)

d) 1 2L

C

C

Figura 1.4. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Esercizio tipo

7

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

1.6 Determinazione dell’incognita iperstatica Come detto in precedenza l’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (1.3). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo delle rotazioni (0) A e (1) A . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.

1.6.1 Calcolo di (0) A La determinazione di (0) viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il A sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: Le  1  (0) A

(1.13)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni (meccaniche e distorcenti) del sistema 0) vale:  M (0)  x3   Li   M (1)  x3    k T  d x3 S  EI x1  L L  M (0) M (0) x  2T  AB  x3  (1) (1) d x3   M BC  x3  BC 3 d x3   M AB  x3      EI x h  EI x1 0 0  1

(1.14)

che, sostituendo le espressioni ricavate in (1.8) e in (1.12), diventa: L

Li   0

L x3  2L  qL x3 2T  x L q  L2  L x3  2 x32  d x3   d x3   3  2L  4EI x1 h  2L 4EI x1 0

(1.15)

Risolvendo l’integrale in (1.15) ed eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (0) A  

7 qL3 3TL   0.0116621 rad 48 EI x1 2h

(1.16)

1.6.2 Calcolo di (1) A La determinazione di (1) A viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1  (1) A

Esercizio tipo

(1.17)

8

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni (solo meccaniche) del sistema 1) vale: L L  M (1)  x3   M (1) M (1) x  AB  x3  (1) (1) Li   M  x3   d x3   M AB  x3  d x3   M BC  x3  BC 3 d x3  S EI x1 EI x1 0 0  EI x1  (1)

(1.18)

che, sostituendo le espressioni ricavate in (1.12), diventa: L 1  x3  2L  1  x3  L  2L Li     d x3     d x3  EI x1  2L  EI x1  2L  3EI x1 0 0 2

L

2

(1.19)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (1) A 

2L  2.20786 109 rad/Ncm 3EI x1

(1.20)

1.6.3 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell’equazione di congruenza (1.3): 

(0) A

9EI x1 T (0) 7   X  0  X =  A(1)  qL2   52821.2Nm A 32 4h (1) A

(1.21)

1.7 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando l’equazione (1.4), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato:

H A  VA  VC 

qL X   23064N; 4 2L

3qL X HC    26935N; M A  X  52821.2Nm 4 2L N AB  x3    TAB  x3  

qL X qL X   23064N; N BC  x3     23064N; 4 2L 4 2L

qL X L  X + =23064N; TBC  x3   q   x3    23064  200 x3 N 4 2L 4  2L

x  2L qL x3 +X 3 =-5282120+23064 x3 Ncm 4 2L M BC  x3   100  x3  250  x3  19.3581 Ncm M AB  x3  

(1.22)

(1.23) (1.24)

(1.25)

I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella seguente Figura 1.5.

Esercizio tipo

9

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

1.8 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura 1.5 si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera A, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N A  23064N; TA  23064N; M A  5282120Ncm.

B

qL X 4 +2L

x

qL X 4 +2L

x

23.06kN

X

A

(1.26)

B

A 3

3

= 10 kN

N a)

3qL X 4 -2L

b)

C

C 23.06kN

A

23.06kN

B

52.82kNm

qL X 4 +2L

4.88kNm

B

23.06kN

A = 10 kN = 2000 kNcm

T

18.16kNm

M

c)

d)

C

C 26.94kN

Figura 1.5. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (1.26) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione:

Esercizio tipo

10

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI t 33 

N M 23064 5282120  x2    x2  411.85  1469.43 x2 N/cm 2 A I x1 56 3594.67

(1.27)

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t 33 ,i  t 33

x2 10cm

 15106.16 N/cm 2

t 33 ,s  t 33

x2 10cm

 14282.46 N/cm 2

(1.28)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 1.6. Per quanto attiene alle tensioni tangenziali, la loro determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski a due sezioni, una posta sull’ala della sezione a I, l’altra posta sull’anima, così come illustrato nella Figura 1.6:

t 31  

t 32  

TSx1' I x1 c TSx1'' I x1 s

T  h  c y  57.746y N/cm 2 con t 31,max  t 31 y  b  288.73 N/cm 2 2I x1 2



 1154.92  51.3298z  3.20811z 2 N/cm 2 con Sx1'' 

(1.29)

bc  h  c  z h  sz   c   ; (1.30) 2 2 2

il valori estremi della tensione t32 si hanno in corrispondenza della fibra baricentrica ed in corrispondenza dell’intersezione delle ali all’anima in cui valgono: t 32 ,max  t 32 z  h c  1360.24 N/cm 2 2

t 32 ,min  t 32 z 0  1154.92 N/cm 2

(1.31)

Il diagramma delle tensioni tangenziali t31 e t32 è riportato nella Figura 1.6. b 289 N/cmq

14282 N/cmq

c

1155 N/cmq

'

y

x

1

h

1360 N/cmq

s

z

t

32

''

P

-15016 N/cmq

t

1155 N/cmq 33

289 N/cmq

t

31

x

2

Figura 1.6. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P di intersezione tra l’ala inferiore e l’anima, assumendo, che lì agiscano le tensioni t33,i, t31,max e t32,min:

Esercizio tipo

11

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 2 2 2 2 2 id  t 33 ,i  3  t 31,max  t 32 ,min   15246.2 N/cm  amm  16000 N/cm

(1.32)

VERIFICA SODDISFATTA

Esercizio tipo

12

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

2 Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

 Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura  Verificare la sezione più sollecitata. Dati: E = 2.1·106 daN/cm2

amm=1900 daN/cm2

0=0.01 rad

L = 300 cm

q =10 daN/cm

=45°

b= 15 cm

h = 25 cm

c = 2 cm

L

s=1 cm

L

q A

C 

B b c

L

h

s





D

Figura 2.1. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.

2.1 Riconoscimento del gradi di iperstaticità Il sistema privo di vincoli è composto da due aste e quindi possiede nel piano sei gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni ed interni sono sette, quindi il sistema è una volta iperstatico ( q  3n    6  1  1  3  2   1 ).

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

13

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

2.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale a T possiede un asse di simmetria verticale, quindi il baricentro G si troverà su tale asse. Per determinare la coordinata x2 del baricentro G si determinano dapprima l’area: A  bh   b  s  h  c   53 cm 2

(2.1)

ed il momento statico rispetto un asse passante per il lembo inferiore della sezione: bh 2  b  s  h  c  Sx 0    984.5 cm3 2 2 2

(2.2)

La coordinata x2 del baricentro sarà quindi: yG 

Sx 0 A



984.5 =18.58 cm3 53

(2.3)

Il momento di inerzia rispetto l’asse forte (l’asse orizzontale baricentrico x1) si calcola come: bh 3  b  s  h  c  I x1    AyG2  3058.11 cm 4 3 3 3

(2.4)

Infine è da rilevare che per una forza di taglio diretta in direzione x2, il centro di taglio CT coinciderà con il baricentro G.

2.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne verranno esaminate due. Una volta determinata l’incognita iperstatica X come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti:  N  x3   N (0)  x3   N (1)  x3  X  (0) (1) T  x3   T  x3   T  x3  X  (0) (1) M  x3   M  x3   M  x3  X

(2.5)

2.4 Soluzione numero 1- Rimozione del carrello in C Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione del carrello in C si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura 2.2, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

14

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI maniera tale che l’abbassamento del punto C v C , deve essere nullo, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: v C  vC(0)  v(1) C X 0

(2.6) v

q

(0)

(1)

v

C

A

C 



B

C

C

A B

X

0)

1)

+ 



D

D

Figura 2.2. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1) – soluzione 1.

2.4.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 2.3, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati:

qL q A

C

qL 2

B

x

qL 2 A

C B

x

3

3

qL 2

N

x

3

(0)

D

a)

D

b)

qL 2

2

qL 2

qL 2

qL 2

qL 2

A qL 2

C

A

C

B

T

B

2

qL 8

M

(0)

(0)

D

c)

qL 2

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

D

d)

2

qL 2

15

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Figura 2.3. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. (0) (0) (0) H (0) A  VA  VD  H D 

(2.7)

qL qL ; N (0) N (0) ; BC  x3   0; BD  x3    2 2

(2.8)

qL qL (0) (0)  q x3 ; TBC  x3   0; TBD  x3   ; 2 2

(2.9)

N (0) AB  x3    (0) TAB  x3  

qL qL2   4500 kNcm  15kN ; M (0) D 2 2

M (0) AB  x3  

q x3 qL M (0)  L  x3  ; M (0)  L  x3  ; BC  x3   0; BD  x3   2 2

(2.10)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 2.3-a.

2.4.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 2.4, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (1) (1) (1) (1) H (1) A  VA  H D  1 ; VD  2 ; M D  L

(2.11)

N (1) N (1) N (1) AB  x3   1; BC  x3   0; BD  x3   2;

(2.12)

(1) (1) TAB  x3   1; TBC(1)  x3   1; TBD  x3   1;

(2.13)

M (1) M (1) M (1) AB  x3   x3 ; BC  x3   x3 ; BD  x3   L  x3 ;

(2.14)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 2.4-a.

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

16

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

A

C

1

x

B

x

3

1

A

C B

3

1

X=1

x

N

3

(1)

D L

a)

D 2

b)

1 2

1

A B

1

T

L

A

C

M

(1)

(1)

D

c)

B

C

1

D

d)

L

Figura 2.4. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

2.4.3 Determinazione dell’incognita iperstatica Come detto in precedenza l’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (2.6). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti (1) v(0) C e v C . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.

2.4.3.1 Calcolo di Errore. Non si possono creare oggetti dalla modifica di codici di campo. viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il La determinazione di v(0) C sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: (1) (0) Le  1  v(0) C  M D  0  v C  0 L

(2.15)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 0) vale:

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

17

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI  M (0)  x3   Li   M (1)  x3    d x3 S  EI x1  L L  M (0)  M (0) AB  x3  BD  x3  (1) (1)   M AB  x3   d x3  d x3   M BD  x3   EI x EI x1 0 0   1

(2.16)

che, sostituendo le espressioni ricavate in (2.10) e in (2.14), diventa: L

Li   0

L

q x32 qL 5 qL4 2 L  x d x  L  x d x   3 3 0 2EIx  3  3 24 EIx 2EI x1 1 1

(2.17)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: v (0) C 

5 qL4  0 L  5.6276 cm 24 EI x1

(2.18)

2.4.3.2 Calcolo di v (1) C La determinazione di v (1) C viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1 v(1) C

(2.19)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 1) vale:  M (1)  x3   Li   M  x3    d x3  S  EI x1  (1)

L

 M

(1) AB

0

L L M (1) M (1) M (1) x  AB  x3  BC  x3  (1) (1) d x3   M BC  x3  d x3   M BD  x3  BD 3 d x3  x3  EI x1 EI x1 EI x1 0 0

(2.20)

che, sostituendo le espressioni ricavate in (2.14), diventa: L  x3   x32 L3 Li  2  d x3   d x3  EI x1 EI x1 EI x1 0 0 L

L

2

(2.21)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: v (1) C 

L3  4.20427 104 cm/N EI x1

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

(2.22)

18

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 2.4.3.3 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell’equazione di congruenza (2.6): v

(0) C

EI x1 0 v(0) 5  v X  0  X =  C(1)   qL   13385.3N vC 24 L2 (1) C

(2.23)

2.5 Soluzione numero 2- Rimozione dell’incastro in D Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla rotazione in D si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura 2.5, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto D, D , deve essere pari al cedimento anelastico 0 , ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) D  (0) D   D X  0

(2.24)

q A

C 

A

0)

+

D

C 

B



B

1)



(0) D

(1) D

X

D

Figura 2.5. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1) – soluzione 2.

2.5.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 2.6, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati:

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

19

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI qL q A

C B

x

A

C B

x

3

3

qL 2

x

N

3

(0)

D

D 3 2qL

b)

a)

3 2qL

2

-qL 2 qL B

A

T

C qL 2

A

C B

M

(0)

(0)

D

D

c)

d) Figura 2.6. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

(0) (0) (0) H (0) A  VA  H D  0 ; VC 

qL 3  15 kN ; VD(0)  qL  45 kN ; 2 2

3 N (0) N (0) N (0) qL; AB  x3   0; BC  x3   0; BD  x3    2 (0) TAB  x3   q x3 ; TBC(0)  x3   

M (0) AB  x3   

qL (0) ; TBD  x3   0; 2

q x32 qL ; M (0) x3 ; M (0) BC  x3    BD  x3   0; 2 2

(2.25) (2.26) (2.27) (2.28)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 2.6-a.

2.5.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 2.7, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati:

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

20

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (1) (1) (1) H (1) A  VA  H D  VC 

1 2 ; VD(1)  ; L L

(2.29)

1 2 ; N (1) N (1) ; BC  x3   0; BD  x3    L L

(2.30)

1 1 1 (1) (1) TAB  x3    ; TBC(1)  x3   ; TBD  x3    ; L L L

(2.31)

N (1) AB  x3  

M (1) AB  x3   

x3 x3 x3  L ; M (1) ; M (1) ; BC  x3    BD  x3   L L L

(2.32)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 2.7-a. A

C

1 L

x

B

x

3

3

1 L

x

B

A 1 L

C

1 L

N(1)

3

X=1

D D

a)

2 L

1 L A

b)

1 L

C 1 L

B

2 L

1

A

C

B

T (1)

M(1) D

D

c)

1 L

d)

1

Figura 2.7. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

2.5.3 Determinazione dell’incognita iperstatica L’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (2.24). Per compiere (1) questo passo è necessario procedere al calcolo delle rotazioni (0) D e D . A tale scopo si utilizzerà il

metodo della forza unitaria.

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

21

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 2.5.3.1 Calcolo di (0) D La determinazione di (0) D viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: Le  1  (0) D

(2.33)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 0) vale:  M (0)  x3   Li   M (1)  x3    d x3 S  EI x1  L L  M (0)  M (0) AB  x3  BC  x3  (1) (1)   M AB  x3   d x3  d x3   M BC  x3   EI x EI x1 0 0   1

(2.34)

che, sostituendo le espressioni ricavate in (2.28) e in (2.32), diventa: L

Li   0

L

q x33 q x32 7 qL3 d x3   d x3  2EI x1 L 2EI x1 24 EI x1 0

(2.35)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (0) D 

7 qL3 =1.22625 102 rad 24 EI x1

(2.36)

2.5.3.2 Calcolo di (1) D La determinazione di (1) D viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1  (1) D

(2.37)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 1) vale:  M (1)  x3   Li   M  x3    d x3  S  EI x1  (1)

L

 M 0

(1) AB

L L M (1) M (1) M (1) x  AB  x3  BC  x3  (1) (1) d x3   M BC  x3  d x3   M BD  x3  BD 3 d x3  x3  EI x1 EI x1 EI x1 0 0

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

(2.38)

22

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI che, sostituendo le espressioni ricavate in (2.32), diventa: L  x  L x2 L Li  2  3 2 d x3   3 2 d x3  EI x1 L EI x1 L EI x1 0 0 2

L

(2.39)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (1) D 

L  4.67141 109 rad/Ncm EI x1

(2.40)

2.5.4 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell’equazione di congruenza (2.24): (1) (0) X= D  D X  0

EI x1 0 0  (0) 7 D   qL2   484320Ncm (1) D 24 L

(2.41)

2.6 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando l’equazione (2.5), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato. Questo può essere fatto a partire dalle due soluzioni determinate ottenendo, ovviamente, gli stessi andamenti delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione. Operando, per esempio, secondo la prima soluzione trovata si ha: H A  VA  H C 

qL  X  15000  13385  1615N; 2

qL  2X  15000  26770  41770N; VD  X  13385N 2 qL2 MD   XL  4500  4015.5  484.5kNcm 2 VD 

N AB  x3   

qL qL  X  1615N; N BC  x3   0 N BD  x3     2X  41770N 2 2

L  TAB  x3   q  - x3  +X=1615-100 x3 N; TBC  x3   X  13385N 2  qL TBD  x3    X  1615N 2

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

(2.42)

(2.43)

(2.44)

23

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI q x3  L  x3  +X x3 =1615 x3 -50 x32 Ncm 2 M BC  x3   X x3  13385 x3 Ncm M AB  x3  

(2.45)

 qL  M BD  x3     X   L  x3   484500  1615 x3 Ncm  2  I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella seguente Figura 2.8. qL q A 1615 N

C B

x3

A

1615 N

C B

x3 10000 N

13385 N

1615 N

N

x3 D

b)

1615 N 41770 N

41770N

4000 kNcm

484.5 kNcm

a)

D

28385 N B

A 1615 N

C

A

10000 N

T

1000 kNcm

M

(0)

(0)

D

c)

C

B

13385 N

1615 N

D

d)

484.5 kNcm

Figura 2.8. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

2.7 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura 2.8 si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera B, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N A  1615N; TA  28385N; M A  4000kNcm.

(2.46)

La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (2.46) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali.

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

24

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione: t 33 

N M 1615 4000000  x2    x2  30.46  1313.12 x2 N/cm 2 A I x1 53 3058.11

(2.47)

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t 33 ,i  t 33

x2  yG

 24422.3 N/cm 2

t 33 ,s  t 33

x2   h  yG 

 8405.73 N/cm 2

(2.48)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 2.9 Per quanto attiene alle tensioni tangenziali, la loro determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski a due sezioni, una posta sull’ala della sezione a T, l’altra posta sull’anima, così come illustrato nella Figura 2.9: c  T  h  yG   2   t 31   y  50.351y N/cm 2 con t 31,max  t 31 I x1 c I x1 TSx1'

t 32  

y

b 2

 377.63 N/cm 2

TSx1''

z   172.42z  4.614z 2 N/cm 2 con Sx1''  sz  yG   ; 2 I x1 s 

(2.49)

(2.50)

il valore massimo della tensione t32 si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t 32 ,max  t 32

z  yG

 1601.38 N/cm 2

(2.51)

Il diagramma delle tensioni tangenziali t31 e t32 è riportato nella Figura 2.9

b 377 N/cmq

t

31

c

8405 N/cmq ' 1

1601 N/cmq

h

x

1510 N/cmq

y

s z

t

32

''

P x

-22422 N/cmq

t

33

2

Figura 2.9. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

25

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P assumendo che lì agisca la sola tensione t33,i: 2 2 2 id  t 33 ,i  24422.3 N/cm  amm  16000 N/cm

(2.52)

VERIFICA NON SODDISFATTA

Soluzione del compito dell’8 febbraio 2011

26

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

3 Soluzione del compito del 22 febbraio 2011



Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura



Verificare la sezione più sollecitata.

Dati: E = 2.1·104 kN/cm2

amm=16 kN/cm2

45°

=1.50·10-5°C-1

=15°C

L = 300 cm

q =150 N/cm

b=10 cm

h = 20 cm

s = 1 cm

L T

A

B b T

L

h s

q C

E D



L 2

L 2

Figura 3.1. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale

3.1 Riconoscimento del gradi di iperstaticità Il sistema privo di vincoli è composto da due aste e quindi possiede nel piano sei gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni ed interni sono sette, quindi il sistema è una volta iperstatico ( q  3n    6  1  1  3  2   1 ).

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

27

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

3.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale è scatolare e possiede due assi di simmetria, quindi il baricentro G si troverà nella loro intersezione. Si determina l’area: A  bh   b  2s  h  2s   56 cm 2

(3.1)

Il momento di inerzia rispetto l’asse forte (l’asse orizzontale baricentrico x1) si calcola come: bh 3  b  2s  h  2s  I x1    2778.67 cm 4 12 12 3

(3.2)

Infine è da rilevare che, data la doppia simmetria, il centro di taglio CT coinciderà con il baricentro G.

3.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne verranno esaminate due. Una volta determinata l’incognita iperstatica X come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti:  N  x3   N (0)  x3   N (1)  x3  X  (0) (1) T  x3   T  x3   T  x3  X  (0) (1) M  x3   M  x3   M  x3  X

(3.3)

3.4 Soluzione numero 1- Rimozione dell’incastro in A Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla rotazione in A, si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura 3.2, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto A A , deve essere nulla, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) A  (0) A  A X  0

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

(3.4)

28

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI



(0)

X

T

B

A

A



(1)

A

B

A

T

0)

1)

+ q C

E

C

D



E D



Figura 3.2. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1) – soluzione 1.

3.4.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 3.3, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: 4 A

B

x

3

qL 4

qL 2

N

x

qL 4

E

x

(0)

3

C qL 4

a)

4 B

A qL 4

b)

D

3

E D

C

qL 4

2

B qL 4

A qL 4

T

qL 4

A

B 2

qL 4

M

(0)

(0)

qL 4

c)

C qL 4

E

C

D

E 2

d)

qL 32

D

Figura 3.3. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

29

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (0) (0) (0) H (0) A  VA  VC  H C 

(3.5)

qL qL qL (0) ; N (0) ; N CD  x3    ; N (0) BD  x3   DE  x3   0; 4 4 4

(3.6)

qL qL qL (0) (0) ; TBD  x3    ; TCD  x3    q x3 ; TDE(0)  x3   0; 4 4 4

(3.7)

N (0) AB  x3   (0) TAB  x3  

qL  11.25kN ; VE(0)  0; 4

M (0) AB  x3  

qx L qL qL (0) x3 ; M (0) x3 ; M CD  x3   3   x3  ; M (0) BD  x3   DE  x3   0; 4 4 2 2 

(3.8)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 3.3-a.

3.4.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 3.4, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (1) (1) (1) H (1) A  VC  H C  VE 

N (1) AB  x3    (1) TAB  x3  

1 2 ; VA(1)  ; 3L 3L

1 2 1 (1) ; N (1) ; N CD  x3   ; N (1)DE  x3   0; BD  x3   3L 3L 3L

2 1 1 1 (1) (1) ; TBD  x3   ; TCD  x3    ; TDE(1)  x3   ; 3L 3L 3L 3L

M (1) AB  x3   1 

2 x3 1 x 1 1 (1) ; M (1) x3 ; M CD  x3    x3 ; M (1)DE  x3     3 ; BD  x3    3 3L 3L 3L 3L

(3.9) (3.10) (3.11) (3.12)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 3.4-a.

3.4.3 Determinazione dell’incognita iperstatica Come detto in precedenza l’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (3.4). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti (1) (0) A e A . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.

3.4.3.1 Calcolo di (0) A viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il La determinazione di (0) A sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio.

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

30

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: Le  1  (0) A 1 3L

(3.13) X=1 1 3L

B

A 2 3L

x

A

3

x 1 3L

a)

B

N

2 3L

3

C

E

x

1 3L

(1)

1 3L

b)

D 3

C

E D

1 3L

1 1 1 3L B

A 2 3L

B

T

M

(1)

1 3L

c)

1 3

A

C

D

E 1 3L

(1)

1 6

C

E

D

d)

Figura 3.4. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (3.8) e in (3.12), può scriversi come: L L  M (0) M (0) 2T  AB  x3  BD  x3  (1) x  x  x Li   M (1) d M d x3   AB  3   3 BD  3    EI x  h EI x 0 0 1 1   (0) (0) L/ 2 L M CD  x3  M DE  x3  113 qL3 4 TL (1) x x x x   M (1)     d M d CD  3  3 DE  3  3  EI EI 1152 EI 3 h x1 x1 x1 0 L/ 2

(3.14)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: 

(0) A

113 qL3 4 TL    1.13081 102 rad 1152 EI x1 3 h

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

(3.15)

31

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 3.4.3.2 Calcolo di (1) A La determinazione di (1) A viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1  (1) A

(3.16)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 1) vale, sostituendo le espressioni ricavate in (3.12): L

Li   M

(1) AB

0

L/ 2



M 0

(1) CD

L M (1) M (1) x  AB  x3  (1) d x3   M BD  x3  BD 3 d x3   x3  EI x1 EI x1 0

(3.17)

L M (1) M (1) x  19 L CD  x3  (1) d x3   M DE  x3  DE 3 d x3   x3  EI x1 EI x1 36 EI x1 L/ 2

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (1) A 

19 L  2.7134 109 rad/Ncm 36 EI x1

(3.18)

3.4.3.3 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell’equazione di congruenza (3.4): (1) (0) A  A X  0  X = 

(0) 113 2 48 TEI x1 A  qL   4167.47kNcm (1) A 608 19 h

(3.19)

3.5 Soluzione numero 2- Rimozione del carrello in E T

B

A

B

A

T

0)

+

1) X

q C

E 

D

C

E 

v

D

(0)

E

v

(1)

E

Figura 3.5. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1) – soluzione 2.

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

32

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione del carrello in E si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura 3.5, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che l’abbassamento del punto E, v E , deve essere nullo, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) v E  v(0) E  vE X  0

(3.20)

3.5.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 3.6, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: 4 A

B

x

3

qL 4

qL 2

N

x

qL 4

E

qL 4

x

(0)

3

C

a)

4 B

A qL 4

b)

D

3

E D

C

qL 4

2

B qL 4

A qL 4

T

qL 4

A

B 2

qL 4

M

(0)

(0)

qL 4

c)

C qL 4

E

C

D

E 2

d)

qL 32

D

Figura 3.6. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. (0) (0) (0) H (0) A  VA  VC  H C 

qL  11.25kN ; M (0) A  0; 4

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

(3.21)

33

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI qL qL qL (0) ; N (0) ; N CD  x3    ; N (0) BD  x3   DE  x3   0; 4 4 4

(3.22)

qL qL qL (0) (0) ; TBD  x3    ; TCD  x3    q x3 ; TDE(0)  x3   0; 4 4 4

(3.23)

N (0) AB  x3   (0) TAB  x3  

M (0) AB  x3  

qx L qL qL (0) x3 ; M (0) x3 ; M CD  x3   3   x3  ; M (0) BD  x3   DE  x3   0; 4 4 2 2 

(3.24)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 3.6-a.

3.5.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 3.7, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (1) (1) (1) (1) H (1) A  VC  H C  1 ; VA  2; M A  3L;

(3.25)

(1) N (1) N (1) N CD  x3   1; N (1) AB  x3   1; BD  x3   2; DE  x3   0;

(3.26)

(1) (1) (1) (1) TAB  x3   2; TBD  x3   1; TCD  x3   1; TDE  x3   1;

(3.27)

(1) M (1) M (1) M CD  x3    x3 ; M (1) AB  x3   3L  2 x3 ; BD  x3    x3 ; DE  x3    L  x3 ;

(3.28)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 3.7-a.

3.5.3 Determinazione dell’incognita iperstatica L’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (3.20). Per compiere (1) questo passo è necessario procedere al calcolo delle rotazioni v(0) E e v E . A tale scopo si utilizzerà il

metodo della forza unitaria. 3.5.3.1 Calcolo di v(0) E viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il La determinazione di v(0) E sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: Le  1 v(0) E

(3.29)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (3.24) e in (3.28), vale:

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

34

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI L L  M (0) M (0) 2T  AB  x3  BD  x3  (1) x  x  x Li   M (1) d M d x3        AB 3 3 BD 3   EI x  h EI x 0 0 1 1   (0) (0) L/ 2 L M CD  x3  M DE  x3  113 qL4 4TL2 (1) x x x x   M (1)     d M d CD  3  3 DE  3  3  EI EI 384 EI h x1 x1 x1 0 L/ 2

1

3L

B

A

x

(3.30)

B

1 A

3

2

N

x

3

1

2

X C 1

C D

x

E

3

a)

(1)

1

b)

E D

3L 1 B

A

L

A

2

B

T

M

(1)

E

1 C

D

c)

(1)

L 2

C

E

D

1

d)

Figura 3.7. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: v (0) E  

113 qL4 4TL2 =  10.1773 cm  384 EI x1 h

(3.31)

3.5.3.2 Calcolo di v (1) E La determinazione di v (1) E viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1 v(1) E

(3.32)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 1), sostituendo le espressioni ricavate in (3.28), vale:

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

35

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI L

Li   M

(1) AB

0

L/ 2



M 0

(1) CD

L M (1) M (1) x  AB  x3  (1) d x3   M BD  x3  BD 3 d x3   x3  EI x1 EI x1 0

(1) L M CD x3  M (1)  19 L3 DE  x3  (1) d x3   M DE  x3  d x3   x3  EI x1 EI x1 4 EI x1 L/ 2

(3.33)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: v (1) E 

19 L3  2.19787 103 cm/N 4 EI x1

(3.34)

3.5.4 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell’equazione di congruenza (3.20): (1) v (0) E  vE X  0  X = 

v(0) 113 16 EI x1 T E    4630.52N qL v(1) 1824 19 hL E

(3.35)

3.6 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando l’equazione (3.3), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato. Questo può essere fatto a partire dalle due soluzioni determinate ottenendo, ovviamente, gli stessi andamenti delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione. Operando, per esempio, secondo la prima soluzione trovata si ha: H A  VC  H C 

qL X qL 2X   6619.48N; VA    20511.05N; 4 3L 4 3L

X VE   4630.52N; M A  X  4167.47kNcm 3L

(3.36)

qL 3X qL 2X   6619N; N BD  x3     20511N; 4 L 4 3L qL 3X N CD  x3      6619N; N DE  x3   0 4 L

(3.37)

qL 2X qL X  =20511N TBD  x3     6619N 4 3L 4 3L qL X X TCD  x3     q x3  6619  150 x3 N TDE  x3    4631N 4 3L 3L

(3.38)

N AB  x3  

TAB  x3  

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

36

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI qL 2X x3  x3 =  4167+20.511 x3 kNcm 4 3L qL X x3  x3  6.619 x3 kNcm M BD  x3   4 3L qx L  X x3  6.619 x3  0.075 x32 kNcm M CD  x3   3   x3   2 2  3L M AB  x3    X 

M DE  x3  

(3.39)

X X  x  300  x3   4167  3  kNcm 3L 3  900 

I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella seguente Figura 3.8. 6619N

4167kNcm

B

A

B

A

x3

6619N

20511 N

10000 N 20511 N

6619N

C

E

E

6619N

b)

D

x3

a)

N

x3

22500N

C

D

4631 N

6619N

4167kNcm B

A

B

A

6619N

20511 N

1986kNcm 1000 kNcm

10000 N

M

T 15881N

1986kNcm C 6619N

D

E 4631 N

c)

C

E D

d) Figura 3.8. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

3.7 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura 3.8 si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera A, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione:

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

37

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI N A  6619N; TA  20511N; M A  4167kNcm.

(3.40)

La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (3.40) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione: t 33 

N M 6619.48 416700000  x2   x2  118.205  1499.81 x2 N/cm 2 A I x1 56 2778.67

(3.41)

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t 33 ,i  t 33

x2 10cm

 14879.9 N/cm 2

t 33 ,s  t 33

x2 10cm

 15116.3 N/cm 2

(3.42)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 3.9 Per quanto attiene alle tensioni tangenziali, la loro determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski alle corde illustrate nellaFigura 3.9: t 31  

TASx1' 2I x1 s

 70.125y N/cm 2 con Sx1'  2sy

h s ; 2

(3.43)

il valore massimo della tensione t31 si ha sullo spigolo della sezione: t 31,max  t 31 y  b  350.63 N/cm 2

(3.44)

2

L’andamento delle tensioni tangenziali t32, invece, è dato dalla: t 32  

TASx1''

 350.63  66.43z  3.69z 2 N/cm 2 con Sx1''  bs

2I x1 s

h s z h  2sz   s   ; 2 2 2

(3.45)

il valore massimo della tensione t32 si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t 32 ,max  t 32 z  h s  649.58 N/cm 2

(3.46)

2

Il diagramma delle tensioni tangenziali t31 e t32 è riportato nella Figura 3.9 Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P assumendo che lì agiscano la tensione t33,i, la t 31,max e la t 32 z 0 .



2 2 2 id  t 33 ,i  3 t 31,max  t 32

z 0

  15140.7 N/cm

2

 amm  16000 N/cm 2

(3.47)

VERIFICA SODDISFATTA

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

38

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

b 15116 N/cmq

P

t

31

351 N/cmq

'

y

x

h

1

s

G

''

650 N/cmq

z

t

33

-14880 N/cmq

x

2

Figura 3.9. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Soluzione del compito del 22 febbraio 2011

39

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

4 Soluzione del compito del 16 giugno 2011



Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura



Verificare la sezione più sollecitata.

Dati: E = 210000 N/mm2

amm=160 N/mm2

L = 3000 mm

=1.50·10-5°C-1

T1=+15°C

T2=+25°C

b=100 mm

h = 200 mm

s = 5 mm

L

L

q =10 N/mm

c=10 mm

L

L

q

A

B

C

D

E b

2L

c

T1

T2

h s

F Figura 4.1. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.

4.1 Riconoscimento del gradi di iperstaticità Il sistema privo di vincoli è composto da tre aste e quindi possiede nel piano nove gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni ed interni sono dieci, quindi il sistema è una volta iperstatico ( q  3n    9  1  2  2  2  3  1 ).

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

40

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

4.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale è una sezione ad I e possiede due assi di simmetria, quindi il baricentro G si troverà nella loro intersezione. Si determina l’area: A  bh   b  s  h  2c   2900 mm 2

(4.1)

Il momento di inerzia rispetto l’asse forte (l’asse orizzontale baricentrico x1) si calcola come: bh 3  b  s  h  2c  I x1    20496666.67 mm 4 12 12 3

(4.2)

Infine è da rilevare che, data la doppia simmetria, il centro di taglio coinciderà con il baricentro.

4.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne verranno esaminate due. Una volta determinata l’incognita iperstatica X come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti:  N  x3   N (0)  x3   N (1)  x3  X  (0) (1) T  x3   T  x3   T  x3  X  (0) (1) M  x3   M  x3   M  x3  X

(4.3)

4.4 Soluzione numero 1- Rimozione dell’incastro in F Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla rotazione in F, si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura 4.2, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto F F , deve essere nulla, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) F  (0) F  F X  0

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

(4.4)

41

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI q

A

B

C

D

E

A



C

D

+

0) T1

B

E

1)

T2

X



(0)

(1)

F

F

F

F

Figura 4.2. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1) – soluzione 1.

4.4.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 4.3, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: qL

A

A B

C

D

E

B

C

D

E

qL 4

N F

a)

(0)

F

b)

3 4qL

3 4qL

0.75L qL 4

C

A B

D

3 4qL

x

x

A B

E

3

3

E 2

qL 4

3 2

9qL 32

T c)

x

D

C

M

(0)

F

d)

(0)

F

Figura 4.3. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. (0) (0) (0) H (0) F  H E  VA  0 ; VE 

qL 3qL  7500N; ; VF(0)   22500N; 4 4

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

(4.5)

42

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (0) (0) N (0) N (0) N CD N CF  x3   0 N (0)  x3    AB  x3   0 BC  x3   0 DE  x3   0

(0) (0) TAB  x3   0 TBC(0)  x3   0 TCD  x3  

3qL  q x3 4

(0) M (0) M (0) M CD  x3   AB  x3   0 BC  x3   0

(0) TDE  x3   

qL 4

3qL 4

(4.6)

(0) TCF  x3   0

q x3  3L qL x3   x3  M (0) DE  x3    2  2 4 

(0) M CF  x3   0

(4.7) (4.8)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 4.3.

4.4.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 4.4, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (1) (1) (1) VA(1)  H (1) E  H F  0 ; VE  VF 

1 ; 2L

(4.9)

(1) (1) N (1) N (1) N CD  x3   0 N (1)DE  x3   0 N CF  x3    AB  x3   0 BC  x3   0

(1) (1) TAB  x3   0 TBC(1)  x3   0 TCD  x3  

1 2L

(1) TDE  x3  

(1) M (1) M (1) M CD  x3   1  AB  x3   0 BC  x3   0

x3 2L

1 2L

1 2L

(1) TCF  x3   0

M (1) DE  x3   

x3 2L

(1) M CF  x3   1

(4.10) (4.11) (4.12)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 4.4.

4.4.3 Determinazione dell’incognita iperstatica Come detto in precedenza l’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (2.6). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo delle rotazioni (0) F e (1) F . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria. 4.4.3.1 Calcolo di (0) F viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il La determinazione di (0) F sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: Le  1  (0) F

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

(4.13)

43

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Per il calcolo del lavoro interno in questo caso, essendo presente una componente di deformazione termica costante, non può essere trascurato il contributo dello sforzo normale. A

A B

C

D

E

B

C

D

E

1 2L

N(1)

X=1 F

a)

F

b)

1 2L

1 2L

1 2

1 C

A

D

B

x

E

A

C

1 2L

E

x

B

3

x

3

3

M (1)

T (1) F

c)

D

F

d)

Figura 4.4. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

La componente costante TN e la componente a farfalla TM della deformazione termica valgono: TN 

T1  T2 T  T1  20C ; TM  2  5C 2 2

(4.14)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (4.6), (4.8), (4.10) e (4.12) e trascurando gli addendi in cui compaiono valori nulli delle sollecitazioni può scriversi come: L

Li   M (1) CD  x3 

M (0) CD  x3  EI x1

0

L

d x3   M (1) DE  x3  0

M (0) DE  x3  EI x1

 2T  M  x    h

2L

d x3 

(1) CF

M

3

0

 N  x3   TM 3 qL 3 qL   N  x3    TN  d x3    4L  TN  EA  4 EA 16 EI x1 h 0   2L

(1) CF

(0) CF

3

  d x3  

(4.15)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (1) F 

TM 3 qL 3 qL3   4L  TN  -1.65245  102 rad 4 EA 16 EI x1 h

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

(4.16)

44

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 4.4.3.2 Calcolo di (1) F viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il La determinazione di (1) F sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1  (1) F

(4.17)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 1), tenendo ancora in considerazione lo sforzo normale, sostituendo le espressioni ricavate in (4.10) e (4.12) e trascurando gli addendi in cui compaiono valori nulli delle sollecitazioni può scriversi come: L

Li   M

(1) CD

 x3 

0

M (1) CD  x3  EI x1

2L

M (1) CF  x3 

0

EI x1

  M (1) CF  x3 

L

d x3   M

(1) DE

 x3 

0

2L

d x3 

 N x  (1) CF

M (1) DE  x3  EI x1

(1) N CF  x3 

3

EA

0

d x3  (4.18)

8L 1 d x3   3EI x1 2LEA

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (1) F 

8L 1   1.85888  109 rad/Nmm 3EI x1 2LEA

(4.19)

4.4.3.3 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell’equazione di congruenza (4.4): (1) (0) F  F X  0  X = 

(0) F  8.88952  106 Nmm (1) F

(4.20)

4.5 Soluzione numero 2- Sostituzione della cerniera in E con un carrello q

A

B

X

C

D

E

v 0) T1

A

(0)

B

C

D

E

v

E

(1)

E

+

1)

T2

X F

F

Figura 4.5. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1) – soluzione 2.

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

45

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la sostituzione della cerniera in E con un carrello ad asse di scorrimento verticale (altrimenti la struttura sarebbe labile ed iperstatica), si hanno gli schemi isostatici indicati in Figura 4.5, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che l’abbassamento del punto E, v E , deve essere nullo, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) v E  v(0) E  vE X  0

(4.21)

4.5.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 4.6, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: qL

A

A B

C

D

E

B

C

D

E

N(0) F 2

qL 2

a)

F

b)

qL

qL

2

C

A B

qL 2

A

E

B

D

D C

qL

x

x

3

x

3

3

3

M (0)

T (0) F

c)

x

E

d)

F

Figura 4.6. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

H

(0) F

H

(0) E

V

(0) A

 0; V

(0) F

 qL  30000N; ; M

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

(0) F

qL2   4.5 107 Nmm; 2

(4.22)

46

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (0) (0) N (0) N (0) N CD N CF  x3   0 N (0)  x3   qL AB  x3   0 BC  x3   0 DE  x3   0

(4.23)

(0) (0) TAB  x3   0 TBC(0)  x3   0 TCD  x3   q x3

(4.24)

(0) TDE  x3   0 TCF(0)  x3   0

(0) M (0) M (0) M CD  x3    AB  x3   0 BC  x3   0

q x32 2

(0) M (0) M CF  x3   DE  x3   0

qL2 2

(4.25)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 4.6.

4.5.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 4.7, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (1) (1) (1) VA(1)  H (1) E  H F  0 ; VF  1; M F  2L;

(4.26)

(1) (1) N (1) N (1) N CD  x3   0 N (1)DE  x3   0 N CF  x3   1 AB  x3   0 BC  x3   0

(4.27)

(1) (1) TAB  x3   0 TBC(1)  x3   0 TCD  x3   1 TDE(1)  x3   1 TCF(1)  x3   0

(4.28)

(1) M (1) M (1) M CD  x3     x3  L  M (1)DE  x3    x3 AB  x3   0 BC  x3   0

(1) M CF  x3   2L

(4.29)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 4.7-a. X=1 A

A B

C

D

E

B

C

D

N

E

(1)

F 2L

a)

F

b)

1

1

D

C

A

E

2L

A

B

B

E C

qL

x

x

3

T c)

x

x

3

3

3

M

(1)

F

D

d)

(1)

F

Figura 4.7. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

47

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

4.5.3 Determinazione dell’incognita iperstatica L’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (4.21). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti v(0) e v (1) E E . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria. 4.5.3.1 Calcolo di v(0) E viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il La determinazione di v(0) E sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: Le  1 v(0) E

(4.30)

Per il calcolo del lavoro interno in questo caso, essendo presente una componente di deformazione termica costante, non può essere trascurato il contributo dello sforzo normale. Le componenti TN e TM della deformazione termica sono quelle ricavate in (4.14). Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (4.23), (4.25), (4.27) e (4.29) e trascurando gli addendi in cui compaiono valori nulli delle sollecitazioni può scriversi come: L

Li   M (1) CD  x3  0

L 2L  M (0) M (0) M (0) 2TM CD  x3  DE  x3  CF  x3  (1) d x3   M (1) d M x x  x       DE 3 3 CF 3   EI x EI x1 EI x1 h 0 0  1

(0) 2L  N CF  x3   T  d x  2qL2  55 qL4  8TM L2  2LT   N (1) x CF  3   N 3 N EA 24 EI x1 h 0  EA 

  d x3   (4.31)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: v (0) E 

2qL2 55 qL4 8TM L2    2LTN =  402.75 mm EA 24 EI x1 h

(4.32)

4.5.3.2 Calcolo di v (1) E La determinazione di v (1) E viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1 v(1) E

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

(4.33)

48

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 1), tenendo ancora in considerazione lo sforzo normale, sostituendo le espressioni ricavate in (4.27) e (4.29) e trascurando gli addendi in cui compaiono valori nulli delle sollecitazioni può scriversi come: L

Li   M (1) CD  x3  0

L M (1) M (1) CD  x3  DE  x3  d x3   M (1) x d x3  DE  3  EI x1 EI x 0 1

(1) (1) M CF  x3  d x  2L N (1) x M CF  x3  d x  32 L3  2L   M (1) x     CF 3 3 3 0 CF 3 EA EI x1 3 EI x1 EA 0 2L

(4.34)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: v

(1) E

32 L3 2L    6.69197 102 mm/N 3 EI x1 EA

(4.35)

4.5.4 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell’equazione di congruenza (4.21): (1) v (0) E  vE X  0  X = 

v(0) E  6018.41N v(1) E

(4.36)

4.6 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando l’equazione (4.3), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato. Questo può essere fatto a partire dalle due soluzioni determinate ottenendo, ovviamente, gli stessi andamenti delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione. Operando, per esempio, secondo la seconda soluzione trovata si ha: VA  H E  H F  0; VF  qL  X  23981.6N; MF 

qL2  2LX  8.88952 106 Nmm; VE  X  6018.41N 2

N AB  x3   0 N BC  x3   0 N CD  x3   0 N DE  x3   0 N CF  x3   qL  X  23891.6N TAB  x3   0 TBC  x3   0 TCD  x3   q x3  X  10 x3  6018.41N TDE  x3   X  6018.41N TCF  x3   0

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

(4.37)

(4.38)

(4.39)

49

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

M AB  x3   0 M BC  x3   0 q x32  X  L  x3   1.8055 107  6018.41 x3  5 x32 Nmm 2 M DE  x3    X x3  6018.41 x3 Nmm M CD  x3   

(4.40)

I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella seguente Figura 4.8. 30000N

A

A B

C

D

E

B

C

D

E

6018N 10000 N

N F

a)

F

b)

8889.52kNmm

23982N

23982N

C

A

6018N

B

A

x

C

E

D

3

D

x

3

E

B

23982N 5 kNm 10000 N

x

x

3

3

19.8663 kNm

M

T c)

F

d)

F 8.8895 kNm

Figura 4.8. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

4.7 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura 4.8 si deduce che la sezione più sollecitata è quella nel tratto CD in cui agisce il momento massimo. Per determinare l’ascissa della sezione bisogna trovare il punto di nullo del diagramma del taglio: TCD  x3   10 x3  6018.41N  0;  x3  601.84mm

(4.41)

La sezione più sollecitata è, quindi, soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N  0; T  6018.41N; M  1.98663 107 Nmm.

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

(4.42)

50

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (4.42) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione: t 33 

N M 19866300  x2  x2  0.969246 x2 N/mm 2 A I x1 20496666

(4.43)

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t 33 ,i  t 33

x2 100mm

 96.924 N/mm 2

t 33 ,s  t 33

x2 100mm

 96.924 N/mm 2

(4.44)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 4.9. Per quanto attiene alle tensioni tangenziali, la loro determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski alle corde illustrate nella Figura 4.9: t 31  

TSx1' I x1 c

 0.02789y N/mm 2 con Sx1'  cy

hc ; 2

(4.45)

il valore massimo della tensione t31 si ha all’intersezione dell’ala con l’anima della sezione: t 31,max  t 31 y  b  1.3974 N/mm 2

(4.46)

2

L’andamento delle tensioni tangenziali t32, invece, è dato dalla: t 32  

TSx1'' I x1 s

 5.579  0.02642z  1.468 104 z 2 N/mm 2 con Sx1''  bc

h c  hz   2sz   c  ; (4.47) 2  2 

il valore massimo della tensione t32 si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t 32 ,max  t 32 z  h c  6.7682 N/mm 2

(4.48)

2

Il diagramma delle tensioni tangenziali t31 e t32 è riportato nella Figura 4.9 Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P assumendo che lì agiscano la tensione t33,s, la t 31,max e la t 32 z  h c :



2 2 2 id  t 33 ,i  3 t 31,max  t 32

z h c

  97.435 N/mm

2

 amm  160 N/mm 2

(4.49)

VERIFICA SODDISFATTA

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

51

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

b P

t

-96.925 N/mmq

31

1.3974 N/mmq

5.5790 N/mmq

'

c y

s 6.7682 N/mmq

G

1

h

x

t

''

32

z

t

33

96.925 N/mmq

x

1.3974 N/mmq

5.5790 N/mmq

2

Figura 4.9. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Soluzione del compito del 16 giugno 2011

52

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

5 Soluzione del compito del 18 luglio 2011



Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura



Verificare la sezione più sollecitata.

Dati: E = 210000 N/mm2

amm=160 N/mm2

L = 3000 mm

45°

b=150 mm

=1.50·10-5°C-1

T=10°C

q =5 N/mm

h = 200 mm

c=20 mm

s = 10 mm

q C

B 3 2

L

L 2

b

A

T

T

2L

L

c

h



s D Figura 5.1. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.

5.1 Riconoscimento del gradi di iperstaticità Per riconoscere il grado di iperstaticità del sistema si può considerare l’asta BD come un pendolo interno. Il sistema privo di vincoli è composto, quindi, da due aste ABC e CD e quindi possiede nel piano sei gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni sono quattro (due per il vincolo in A e due per il vincolo in D), mentre i vincoli esterni sottraggono tre gradi di libertà (due per la cerniera interna in C e uno per il pendolo interno BD), per un totale di sette molteplicità vincolari, quindi il sistema è una volta iperstatico [ q  3n    6   2  2    2  1  1 ].

5.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale a T possiede un asse di simmetria, quindi il baricentro G si troverà su di esso. Per determinare la posizione del baricentro si procede come segue: dapprima si determina l’area: Soluzione del compito del 18 luglio 2011

53

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A  bh   b  s  h  c   4800 mm 2

(5.1)

Quindi si determina il momento statico della sezione con riferimento all’asse x0 passante per il lembo inferiore della sezione:

 h  c   732000 mm3 bh 2 Sx   b  s 0 2 2 2

(5.2)

La posizione del baricentro rispetto al lembo inferiore della sezione si ottiene dalla relazione: yG 

Sx 0 A



732000  152.5 mm 4800

(5.3)

Il momento di inerzia rispetto l’asse forte (l’asse orizzontale baricentrico x1) si calcola come: bh 3  b  s  h  c  I x1  I x1  Ay    Ay G2  16210000 mm 4 3 3 3

2 G

(5.4)

5.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne viene esaminata una. Una volta determinata l’incognita iperstatica X come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti:  N  x3   N (0)  x3   N (1)  x3  X  (0) (1) T  x3   T  x3   T  x3  X  (0) (1) M  x3   M  x3   M  x3  X

(5.5)

5.4 Soluzione dello schema iperstatico Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla rotazione del punto A, i sistemi isostatici sono quelli indicati in Figura 5.2, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto A A , deve essere nulla, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) A  (0) A  A X  0

Soluzione del compito del 18 luglio 2011

(5.6)

54

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI q C

B



C

B



(0)

(1)

A

A

T

T

A

+



X A 

0)

1) D

D

Figura 5.2. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1).

5.4.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 5.3, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: 5 7 13 (0) (0) H (0) qL  9375N ; VD(0)  qL  13125N; R (0) 2qL  0.766qL  11490N; (5.7) A  VA  H D  B  8 8 24 5 qL (0) N (0) N (0) ; AB  x3    qL; BC  x3   N CE  x3    8 12 qL 13 N (0) ; N (0) 2qL; DE  x3    BD  x3    3 24

(5.8)

5 7 qL (0) TAB  x3    qL; TBC(0)  x3   qL  q x3 ; TCE(0)  x3    ; 8 6 3 qL (0) (0) TDE  x3    ; TBD  x3   0; 12

(5.9)

5 qL2 7 5 qL (0) (0) M (0)   qL ; M    qL x3  qL2 ; M CE x x x      x3    x3 ; AB 3 3 BC 3 8 2 6 8 3 qL M (0) x3 ; M (0) DE  x3    BD  x3   0; 12

(5.10)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 5.3-a.

Soluzione del compito del 18 luglio 2011

55

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 3 2qL C

B

x

3

E

qL 12

B

C E

x

qL 3

3

x

0.766qL

3

0.766qL

A

5 8qL

A

5 8qL

5 8qL

x

N(0)

3

0.766qL

D

a)

5 8qL

D

b)

7qL 8 7 6qL

B

C

qL 3

5 8qL²

1 6qL²

C

B

E

E

qL 12 5 8qL

A

A

T (0)

M(0) D

c)

d)

D

Figura 5.3. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

5.4.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 5.4, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (1) (1) (1) H (1) A  VA  H D  VD 

X 5 2X ; R (1) ; B  3L 9L

(5.11)

X 2X (1) ; N (1) ; BC  x3   N CE  x3   3L 9L 8X 5 2X N (1) ; N (1) ; DE  x3   BD  x3    9L 9L

(5.12)

X 8X (1) ; TBC  x3   TCE(1)  x3   ; 3L 9L 2X (1) (1) TDE  x3    ; TBD  x3   0; 9L

(5.13)

N (1) AB  x3   

(1) TAB  x3   

Soluzione del compito del 18 luglio 2011

56

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI x3  4 8X 8X  (1) (1) M (1) x3 ; M CE  x3   x3 ; AB  x3   X  1   ; M BC  x3    X  3L  3 9L 9L  2X M (1) x3 ; M (1) DE  x3   BD  x3   0; 9L

(5.14)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 5.4-a.

5.4.3 Determinazione dell’incognita iperstatica Come detto in precedenza l’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (5.6). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti (1) (0) A e A . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.

C

B

x

3

E

x

0.785XL

2X 9L

B

C 8X 9L

E 3

x

0.785XL

3

A

X 3L

A

X=1

X 3L

X 3L

x

N

3

0.785XL

D

a)

D

b)

X 3L

8X 9L

B

X 3L

(1)

4X 3 B

C

C

E

X 3L

A

c)

T

2X 9L

X

E 4X 9

A

M

(1)

(1)

D

d)

D

Figura 5.4. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

5.4.3.1 Calcolo di (0) A La determinazione di (0) A viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio.

Soluzione del compito del 18 luglio 2011

57

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: Le  1  (0) A

(5.15)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (5.10) e in (5.14), può scriversi come: L

Li   M

(1) AB

0

L/ 2



 0

 x3 

M (0) AB  x3  EI x1

3L / 2

d x3 



M

(1) BC

 x3 

0

M (0) BC  x3  EI x1

d x3 

(0) M CE  x3  d x  2L M (1) x  M (0) 2T  16 qL3 2 TL ED  x3  M (1)  d   x x       CE 3 3 0 ED 3  EIx  3 27 EI x 9 h EI x1 h   1 1

(5.16)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: 

(0) A

16 qL3 2 TL    2.40011 102 rad 27 EI x1 9 h

(5.17)

5.4.3.2 Calcolo di (1) A La determinazione di (1) A viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1  (1) A

(5.18)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 1) vale, sostituendo le espressioni ricavate in (5.14): L

Li   M 0

L/ 2



 0

(1) AB

3L / 2 M (1) M (1) x  AB  x3  (1) d x3   M BC  x3  BC 3 d x3   x3  EI x1 EI x1 0

2L M (1) M (1) x  187 qL3 CE  x3  (1) (1) M CE  x3  d x3   M ED  x3  ED 3 d x3  EI x1 EI x1 81 EI x1 0

(5.19)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (1) A 

187 L  2.03458 109 rad/Nmm 81 EI x1

(5.20)

5.4.3.3 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell’equazione di congruenza (5.6):

Soluzione del compito del 18 luglio 2011

58

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

(1) (0) A  A X  0  X = 

(0) 48 2 18 TEI x1 A  qL   11796.6 kNmm (1) A 187 187 h

(5.21)

Il verso effettivo dell’incognita iperstatica è, quindi, opposto a quello ipotizzato.

5.5 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando l’equazione (5.5), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato, trovando: 5 X 7 X H A  VA  H D  qL   8064.27N; VD  qL   14435.70N; 8 3L 8 3L 13 2 5 2 M A  X  11796.6 kNmm; R B  qL  X  8401.07N 24 9L

(5.22)

5 X qL 2X N AB  x3   qL   8064.27N; N BC  x3   N CE  x3      2123.82N; 8 3L 12 9L qL 8X 13 2 5 2 N DE  x3      8495.27N; N BD  x3    qL  X  8401.07N; 3 9L 24 9L

(5.23)

5 X 7 8X TAB  x3   qL  =8064.27N; TBC  x3   qL   q x3  14004.7N  5 x3 N; 8 3L 6 9L qL 8X qL 2X TCE  x3      8495.27N; TED  x3      2123.82N 3 9L 12 9L

(5.24)

x  5  M AB  x3    qL x3   1  3  X=1.17966 107 -8064.27 x3 Nmm 8  3L  q x32 7 5 8x 4  qL x3  qL2   3   X  1.23963 107  14004.70 x3  2.5 x32 Nmm M BC  x3    2 3 6 8  9L 3  (5.25) qL x3 8X x3  8495.27 x3 Nmm  M CE  x3    3 9L  qL 2X   M DE  x3      x3  2123.82 x3 Nmm  12 9L  I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella seguente Figura 5.5.

5.6 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura 5.5 si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera E appartenente all’asta DE, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N E  8495N; TE  2124N; M E  12743kNmm.

Soluzione del compito del 18 luglio 2011

(5.26)

59

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (5.26) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione: t 33 

NE ME 8495.27 12742900  x2   x2  1.7698  0.78611 x2 N/mm 2 A I x1 4800 16210000

(5.27)

22500N 2124 N C

B

x

x

3

x

E

C

B

3

8401 N

3

8495 N E

8530 N

A 11.796kNm 8064 N

8064 N 8064 N 8401N

x

A

N

3

8064N D

a)

b)

D

14436 N

8495 N

12.396kNm B

14005 N

B

E

C

12.743kNm

C E 7.2170kNm

2124 N 8064 N

A

A

11.796kNm

T c)

M D

d)

D

Figura 5.5. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t 33 ,i  t 33

x2  yG

 121.652 N/mm 2

t 33 ,s  t 33

x2  h  yG

 35.571 N/mm 2

(5.28)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 5.6. Per quanto attiene alle tensioni tangenziali, la loro determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski alle corde illustrate nella Figura 5.6: t 31  

TESx1'

c   0.00491y N/mm 2 con Sx1'  cy  h  yG   ; 2 I x1 c 

Soluzione del compito del 18 luglio 2011

(5.29)

60

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI il valore massimo della tensione t31 si ha in corrispondenza dell’attacco dell’ala all’anima: t 31,max  t 31 y  b  0.3685 N/mm 2

(5.30)

2

L’andamento delle tensioni tangenziali t32, invece, è dato dalla: t 32  

TESx1''

z   0.01998  0.00006551z 2 N/mm 2 con Sx1''  sz  y G   ; 2 I x1 s 

(5.31)

il valore massimo della tensione t32 si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t 32 ,max  t 32 z  y  1.5235 N/mm 2

(5.32)

G

Il diagramma delle tensioni tangenziali t31 e t32 è riportato nella Figura 5.6.

t

31

'

35.57Nmm²

0.368 N/mm² 1.431N/mm²

x

y

G

1

1.523N/mm²

t

z

''

32

t

33

P

x

121.65N/mm²

2

Figura 5.6. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P assumendo che lì agisca la sola tensione t33,i. 2 2 2 id  t 33 ,i  121.652 N/mm  amm  160 N/mm

(5.33)

VERIFICA SODDISFATTA

Soluzione del compito del 18 luglio 2011

61

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

6 Soluzione del compito del 05 settembre 2011



Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura



Verificare la sezione più sollecitata.

Dati: E = 2.1·107 N/cm2

amm=1.6·104 N/cm2

h = 20 cm

b1=10 cm

t=1 cm

L = 250 cm

q =100 N/cm

0=0.01 rad

b2=20 cm

s = 0.5 cm

q B

D

C

L

A 

E



L

L

L

L

b1 t

h s t b2 Figura 6.1. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.

6.1 Riconoscimento del gradi di iperstaticità Per riconoscere il grado di iperstaticità del sistema si può rilevare che il sistema privo di vincoli è composto da due aste ABC e CDE e quindi possiede nel piano sei gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni sono cinque (tre per il vincolo in A e due per il vincolo in E), mentre i

Soluzione del compito del 05 settembre 2011

62

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI vincoli interni sottraggono due gradi di libertà (la cerniera interna in C), per un totale di sette molteplicità vincolari sottratte, quindi il sistema è una volta iperstatico. q  3n    6   2  2    2  1  1

(6.1)

6.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale è a I con le ali asimmetriche e possiede un asse di simmetria, quindi il baricentro G si troverà su di esso. Per determinare la posizione verticale del baricentro si procede come nel seguito. Dapprima si determina l’area: A  t  b1  b 2   s  h  2t   39 cm 2

(6.2)

Quindi si determina il momento statico della sezione con riferimento all’asse x0 passante per il lembo inferiore della sezione: Sx  0

b2 t 2 t h   b1t  h    s  h  2t   295 mm3 2 2 2 

(6.3)

La posizione del baricentro rispetto al lembo inferiore della sezione si ottiene dalla relazione: yG 

Sx 0 A



295  7.56 mm 39

(6.4)

Il momento di inerzia rispetto l’asse forte (l’asse orizzontale baricentrico x1) si calcola come: b t3 t  b t3 t  s  h  2t    I x1  2  b 2 t  yG    1  b1 t  h  yG     12 2 12 2 12   2

2

3

2

h   s  h  2t    yG   2721.59 cm 4 2 

(6.5)

6.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne viene esaminata una. Una volta determinata l’incognita iperstatica X come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti:

Soluzione del compito del 05 settembre 2011

63

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI  N  x3   N (0)  x3   N (1)  x3  X  (0) (1) T  x3   T  x3   T  x3  X  (0) (1) M  x3   M  x3   M  x3  X

(6.6)

6.4 Soluzione dello schema iperstatico Scegliendo di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla rotazione del punto A, i sistemi isostatici sono quelli indicati in Figura 6.2, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto A A , deve essere pari alla rotazione anelastica imposta 0 , ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) A  (0) A   A X  0

(6.7)

q B

C

D



(0)

A

0)

A

E

+ B



C

D

(1)

A

A

1) X

E

Figura 6.2. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1).

6.4.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 6.3. A tal proposito si sottolinea che la determinazione delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione per le sezioni di estremità risulta più agevole utilizzando un sistema di riferimento globale i cui assi sono rivolti parallelamente alle aste AB (asse X) e ED (asse Y), rispettivamente. I Soluzione del compito del 05 settembre 2011

64

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (0) (0) X (0) A  X E  YE 

Q 3 2  8838.83N ; YA(0)  Q  26516.5N; M (0) E  qL  6250kNcm; 4 4

(6.8)

con Q  qL 2  35355.34N . 3 Q (0) N (0) Q; N (0) N (0) ; AB  x3    BC  x3   N CD  x3   qL; ED  x3    4 4 (0) TAB  x3   

M

(0) AB

Q qL Q (0) (0) ; TBC  x3   TCD  x3   ; TED(0)  x3     q x3 ; 4 2 4

q x32 Q qL Q (0) (0) 2  x3    x3 ; M BCD  x3    x3  L  ; M ED  x3   qL  x3  4 2 4 2

(6.9) (6.10) (6.11)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 6.3-a.

6.4.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 2.4, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: VA(1)  VE(1) 

X (1) (1) ; M (1) E  X; H A  H E  0; ; 2L

(6.12)

N (1) AB  x3   

R R X 2 (1) ; N (1) N (1) ; R ; BC  x3   N CD  x3   0; ED  x3   2L 2L 2

(6.13)

(1) TAB  x3  

R X R (1) (1) ; TBC  x3   TCD  x3   ; TED(1)  x3   ; 2L 2L 2L

 2 x3   2 x3  X  x3  (1) (1)      M (1) 1 ; M x 1 ; M x X 1       ; AB  x3   X  BCD 3 ED 3    4L   2L  4L    

(6.14)

(6.15)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 6.4-a.

6.4.3 Determinazione dell’incognita iperstatica Come detto in precedenza l’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (6.7). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo delle rotazioni (0) A e (1) A . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.

Soluzione del compito del 05 settembre 2011

65

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

q B

Q

3

Y Q 4 3 4Q

A

x

D

C

x

X

x

a)

qL²

3

qL Q 4 B

(0)

b)

E

Q 4

A C

B

T Q 4 A

Q 4

E

D

C

N 3 4Q

3

(0)

qL 2

D

3 4Q

c)

Q 4

E

qL² 2 D B

C

M

(0)

d)

qL² 2

E

A qL²

Figura 6.3. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

6.4.3.1 Calcolo di (0) A La determinazione di (0) A viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: Le  1  (0) A

(6.16)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (6.11) e in (6.15), può scriversi come:

Soluzione del compito del 05 settembre 2011

66

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI L 2

Li 



M

(1) AB

 x3 

M (0) AB  x3 

0

L 2





M (1) DE  x3 

EI x1

M (0) DE  x3  EI x1

0

2L

d x3 

 M x  (1) BCD

3

0

M (0) BCD  x3  EI x1

d x3 

(6.17)

4  21 2 qL3 d x3  24 EI x1

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: 

(0) A

4  21 2 qL3   3.83864 102 rad 24 EI x1

B

(6.18)

D

C

x3 x3 a)

X=1 A X 2L

X

x3

E

X 2L D B

C

N(1) R 2L

b)

E R 2L

A B

C

X 2L

D

T (1) A

E

c)

R 2L

R 2L

X 2 D B

C

M

(1)

X

d)

X 2

E

A X

Figura 6.4. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Soluzione del compito del 05 settembre 2011

67

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 6.4.3.2 Calcolo di (1) A La determinazione di (1) A viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1  (1) A

(6.19)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 1) vale, sostituendo le espressioni ricavate in (6.15): L 2



Li 

M

(1) AB

 x3 

0

L 2





M (1) DE  x3 

0

M (1) AB  x3  EI x1

M (1) DE  x3  EI x1

2L

d x3 

 M x  (1) BCD

3

0

M (1) BCD  x3  EI x1

d x3 

1 7 2 L d x3  6 EI x1

(6.20)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (1) A 

1 7 2 L  7.94608 10 9 rad/Ncm 6 EI x1

(6.21)

6.4.3.3 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori delle rotazioni appena determinati nell’equazione di congruenza (6.7): (1) (0) X= A  A X  0

0  (0) 290  7 2 2 6EI x1 0 A qL    3572.37kNcm (1) 388 A L  7 2L

(6.22)

Il verso effettivo dell’incognita iperstatica è, quindi, opposto a quello ipotizzato.

6.5 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando l’equazione (6.6), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato, trovando: 3Q R Q R   21464.4N; YA  X E  YE    13892N; 4 2L 4 2L M A  X  3572.37 kNcm; M E  qL2  X  2677.63kNcm XA 

Soluzione del compito del 05 settembre 2011

(6.23)

68

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 3Q R   21464.4N; N BC  x3   N CD  x3   qL  25000N; 4 2L Q R N ED  x3      13892N; 4 2L

(6.24)

Q R qL X  =  13982N; TBC  x3   TCD  x3     5354N; 4 2L 2 2L Q R TED  x3      q x3  13982  100 x3 N; 4 2L

(6.25)

N AB  x3   

TAB  x3   

 2 x3  Q  1 = 3572.37  13.892x 3kNcm x3 +X  4 4L   qL Xx  M BC  x3   M CD  x3     x3  L    3  1  1338.81  5334 x3 kNcm; 2 2L  M AB  x3   

M ED  x3   qL2 

(6.26)

 q x2 2 x3  Q 2 x3  3  X  1    2677.63  13.982 x3  50 x3 kNcm 4 2 4L  

I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella Figura 6.5.

6.6 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura 2.8 si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera A, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N A  21464N; TA  13892N; M A  3572.67kNcm.

(6.27)

La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (2.46) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione: t 33 

NA MA 21464 3572370 x2  x2  550.369  1312.61 x2 N/cm 2   A I x1 39 2721.59

(6.28)

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t 33 ,i  t 33

x2  yG

 9378.31 N/cm 2

t 33 ,s  t 33

x2  h  yG

 16873.80 N/cm 2

(6.29)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 6.6. Per quanto attiene alle tensioni tangenziali, la loro determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski alle corde illustrate nella Figura 6.6:

Soluzione del compito del 05 settembre 2011

69

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

t 31,s  

TASx1'

t   11.9359y N/cm 2 con Sx1'   ty  h  y G   ; I x1 t 2 

B

13892 N

D

C

x

(6.30)

3

x

a) 3572.67 kNcm

21464N

A

x

2677.63 kNcm 13892 N

25000 N

3

B

3

13892 N

E

D

C

N b)

21464N

13892 N

E

A 5354N D

C

B

21464N

T 13892 N A

c)

E 1338.81 kNcm

13892 N

D B

C 1338.81 kNcm

M X

d)

E

A 3572.67 kNcm

2677.63 kNcm

Figura 6.5. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

il valore massimo della tensione t31,s si ha in corrispondenza dell’attacco dell’ala all’anima: t 31,s ,max  t 31 y  b1  304.6 N/cm 2

(6.31)

2

Per l’ala inferiore si ha, analogamente, t 31,i  

TASx1''

t   36.06w N/cm 2 con Sx1''   tw  yG   ; I x1 t 2 

Soluzione del compito del 05 settembre 2011

(6.32)

70

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI il valore massimo della tensione t31,i si ha in corrispondenza dell’attacco dell’ala all’anima: t 31,i ,max  t 31 w  b2  360.6 N/cm 2

(6.33)

2

L’andamento delle tensioni tangenziali t32, invece, è dato dalla: t 32  

TESx1'''

t z    1442.2  33.503z  2.552z 2 N/cm 2 con Sx1'''  b 2 t  y G    sz  yG  t   ; (6.34) I x1 s 2 2  

il valore massimo della tensione t32 si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t 32 ,max  t 32 z  y

G t

 1552.2 N/cm 2

(6.35)

Il diagramma delle tensioni tangenziali t31 e t32 è riportato nella Figura 6.6. '

16873.8N/cm²

x

t

P

y

t

304.6 N/cm² 1218.4N/cm²

31,s

t

33

32

G

1

1552.2N/cm²

'''

''

t

z

31,i

1442.2N/cm²

9378.3N/cm²

w

x

360.6 N/cm²

2

Figura 6.6. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P assumendo che lì agiscano le tensioni t 33,s , t 31,s,max e t 32 z  h  2t  1218.4N/cm 2



2 2 2 id  t 33 ,s  3 t 31,s ,max  t 32

z  h  2t

  17013.4 N/cm

2

 amm  16000 N/cm 2

(6.36)

La verifica, pertanto, NON risulta essere soddisfatta.

Soluzione del compito del 05 settembre 2011

71

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

7 Soluzione del compito del 19 settembre 2011



Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura



Verificare la sezione più sollecitata.

Dati: E = 2.1·107 N/cm2

amm=1.6·104 N/cm2

h = 15 cm

L = 300 cm

q =150 N/cm

0 = 1 cm

b = 10 cm

t = 1 cm s = 0.5 cm

q B L 2

C

D b

L t 0

 A

2L

E

h

s

L

F Figura 7.1. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.

7.1 Riconoscimento del gradi di iperstaticità Per riconoscere il grado di iperstaticità del sistema si può rilevare che il sistema privo di vincoli è composto da tre aste ABC e CDEF e BE e quindi possiede nel piano nove gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni sono quattro (due per il vincolo in A e due per il vincolo in F), mentre i vincoli interni sottraggono sei gradi di libertà (due ciascuno per le cerniere interna in B, C ed E), per un totale di dieci molteplicità vincolari sottratte, quindi il sistema è una volta iperstatico. q  3n    9   2  2    2  2  2   1

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

(7.1)

72

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

7.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale è a C e possiede un asse di simmetria orizzontale, quindi il baricentro G si troverà su di esso e l’altezza del baricentro sarà pari ad h/2. La determinazione della posizione orizzontale del baricentro è ininfluente per la soluzione del problema proposto, nell’ipotesi di trascurare le tensioni tangenziali prodotte dalla torsione indotta dal taglio agente in maniera eccentrica rispetto al centro di taglio. Per completare la caratterizzazione delle proprietà geometriche della sezione, dapprima si determina l’area: A  bh   b  s  h  2t   150  123.5  26.5 cm 2

(7.2)

Il momento di inerzia rispetto l’asse forte (l’asse orizzontale baricentrico x1) si calcola direttamente come: bh 3  b  s  h  2t  I x1    1073.21 cm 4 12 12 3

(7.3)

7.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne viene esaminata una. Una volta determinata l’incognita iperstatica X come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti:  N  x3   N (0)  x3   N (1)  x3  X  (0) (1) T  x3   T  x3   T  x3  X  (0) (1) M  x3   M  x3   M  x3  X

(7.4)

7.4 Soluzione dello schema iperstatico Si sceglie di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla traslazione del punto A nella direzione a 45°, parallelamente allo spostamento imposto 0. I sistemi isostatici sono quelli indicati in Figura 2.2, in cui l’incognita iperstatica X deve essere

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

73

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI valutata in maniera tale che lo spostamento del punto A nella direzione a 45° rA , deve essere pari allo spostamento imposto 0 , ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: rA  rA(0)  rA(1) X  0

(7.5)

q B

r

(0)

A

C

 A

B

D

+

E

r

(1)

A

C

 A

D

E X

0)

1) F

F

Figura 7.2. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1).

7.4.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 7.3. I valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: 5 3 2 (0) (0) (0) (0) H (0) Q  79550N; M (0) qL  20250kNcm; F  A  VA  H F  qL  45000N ; R B  R E  4 2

(7.6)

con Q  qL 2  63640N . N (0) N (0) AB  x3   qL; BCD  x3  

qL 5 5 ; N (0) qL; N (0) Q; DE  x3   BE  x3   4 4 4

9 (0) (0) TAB  x3   qL; TBCD  x3   qL  q x3 ; 4

(0) TDE  x3   

qL (0) ; TEF  x3   qL; 4

q x32 9 3 2 qL (0) 2 x x x x x3 ; M (0) qL ; M qL qL ; M (0) qL            AB 3 3 BCD 3 3 DE  x3   4 2 4 4 qL2 x M (0)   qL x3 ;   EF 3 2

(7.7) (7.8)

(7.9)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 7.3-a.

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

74

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

qL 2

qL 2

3

B

qL 4

B

x

D

C

D

C

x

3

5qL 4

1.768 qL

1.768 qL

x

3

A

1.768 qL

E

qL

qL

x

3

qL

E

A

N

(0)

F qL

a) B

9qL 4

C

3 2qL²

5qL 4

b)

B

D

F

qL²

D C

qL 4

qL

E

A

T c)

3qL² 4

1qL² 2

A

E

M

(0)

(0)

qL

F

d)

3 2qL²

F

Figura 7.3. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

7.4.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

75

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 7.4, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: R

B

x3

B

D

C

D C

x3

2R 4X 4X 4X

x3 R 2

A E R 2

A

x3

X

E

N

(1)

F RL

a)

b)

R

F

2R

B D

C

R

RL

B RL

C

D

R

A E

T c)

(1)

E

A

M

R

F

(1)

d)

F RL

Figura 7.4. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente. (1) H (1) A  VA 

R (1) ; H (1) F  R; M F  RL; R  X 2; ; 2

(1) N (1) N (1) N (1) N (1) AB  x3   N EF  x3  0; BCD  x3    R; DE  x3   2R; BE  x3   4X;

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

(7.10) (7.11)

76

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (1) (1) TAB  x3   TDE(1)  x3   R; TBCD  x3   2R; TEF(1)  x3   R;

(7.12)

(1) M (1) M (1) M (1) AB  x3   R x3 ; BCD  x3   R  L  2 x3  ; DE  x3   R  x3  L  ; M EF  x3    R x3 ;

(7.13)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 7.4-a.

7.4.3 Determinazione dell’incognita iperstatica Come detto in precedenza l’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (7.5). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti rA(0) e rA(1) . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria. 7.4.3.1 Calcolo di rA(0)

La determinazione di rA(0) viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 0) vale: Le  1  rA(0)

(7.14)

Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 0), sostituendo le espressioni ricavate in (7.9) e in (7.13), può scriversi come: L

Li   M (1) AB  x3  0

L

 M

(1) DE

0

L M (0) M (0) AB  x3  BCD  x3  d x3   M (1) d x3  x BCD  3  EI x1 EI x1 0

L M (0) M (0) 37 2 qL4 DE  x3  EF  x3  (1) x x x x d M d     3 3 3 0 EF  3  EIx EI x1 24 EI x1 1

(7.15)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: rA(0)  

37 2 qL4  117.538 cm 24 EI x1

(7.16)

7.4.3.2 Calcolo di rA(1)

La determinazione di rA(1) viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno compiuto dalle forze del sistema 1) per effetto degli spostamenti del sistema 1) vale: Le  1  rA(1)

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

(7.17)

77

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Il lavoro interno compiuto dalle sollecitazioni del sistema 1) per effetto delle deformazioni del sistema 1) vale, sostituendo le espressioni ricavate in (7.13): L

Li   M 0

(1) AB

L M (1) M (1) x  AB  x3  (1) d x3   M BCD  x3  BCD 3 d x3   x3  EI x1 EI x1 0

L M (1) M (1) x  8 L3 DE  x3  (1) (1)   M DE  x3  d x3   M EF  x3  EF 3 d x3  EI x1 EI x1 3 EI x1 0 0 L

(7.18)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: rA(1) 

8 L3  3.19469 103cm/N 3 EI x1

(7.19)

7.4.3.3 Calcolo della incognita iperstatica

La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori degli spostamenti appena determinati nell’equazione di congruenza (7.5): rA(0)  rA(1) X  0  X =

3EI x1 0 0  rA(0) 37 2  qL   37104.7N (1) rA 64 8L3

(7.20)

Il verso effettivo dell’incognita iperstatica è, quindi, concorde a quello ipotizzato.

7.5 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando l’equazione (7.4), come descritto in precedenza, è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato, trovando: VA  qL  45000N;

H A  H F  R  qL  7474N

3 5 M F  qL2  RL  4507.82 kNcm; R B  R E  4X  Q  68869N; 2 4

qL  R  41224N; 4 5 5 N DE  x3   qL  2R  48698N; N BE  x3    2qL  4X  68869N; 4 4

(7.21)

N AB  x3   qL  45000N; N BCD  x3  

9 TAB  x3   qL  R=7474N; TBCD  x3   qL  2R  q x3  3698  150 x3 N; 4 qL  R  41223N; TEF  x3   qL  R  7474N; TDE  x3    4

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

(7.22)

(7.23)

78

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI M AB  x3   qL x3  R x3 = 7.494 x3 kNcm qx 9  M BCD  x3   qL2  RL   qL  2R  x3  3  2242.18  3.69785 x3  0.075 x32 kNcm; 2 4  3 qL   M DE  x3   qL2  RL   R   x3  5671.18  41.223.9 x3 kNcm 4 4   qL2 M EF  x3     qL  R  x3  6750  7.474 x32 2 2

(7.24)

I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella seguente Figura 7.5. 41224N

x

B

B

3

D

C

x

D C

3

48698 N

68869N

x

68869N 3

45000N

A E

7474 N

x

45000 N

A

3

E

68869N

N 4508 kNcm

F

a)

b)

7474 N

F

48698 N

3698N

B D

C

5617 kNcm

B 2242kNcm

C

D

41223N

7474N

6750kNcm

A E

T c)

E

A

7474N

M F

d)

F 4508 kNcm

Figura 7.5. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

79

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

7.6 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione riportati nella Figura 7.5 si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera E, appartenente all’asta DE, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N E  48698N; TE  41223N; M E  6750kNcm.

(7.25)

La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute alle caratteristiche della sollecitazione riportate nella (7.25) si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione:

t 33 

NE ME 48698 6750000  x2   x2  1837.65  6289.55 x2 N/cm 2 A I x1 26.5 1073.21

(7.26)

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t 33 ,i  t 33

x2 

 45334 N/cm 2

h 2

t 33 ,s  t 33

x2 

h 2

 49009 N/cm 2

(7.27)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 7.6. Nonostante le sole tensioni normali siano sufficienti ad esprimere un giudizio negativo sulla verifica della sezione, si vuole ugualmente, per scopi didattici, calcolare il contributo delle tensioni tangenziali, la cui determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski alle corde illustrate nella Figura 7.6: t 31  

TE Sx1'

ht  268.89y N/cm 2 con Sx1'   ty  ; I x1 t  2 

(7.28)

il valore massimo della tensione t31 si ha in corrispondenza dell’attacco dell’ala all’anima: t 31,max  t 31 y  b  2688.8 N/cm 2

(7.29)

Per l’ala inferiore si ha, per simmetria, un andamento delle tensioni t31 simile. L’andamento delle tensioni tangenziali t32, invece, è dato dalla: t 32  

TESx1''

ht hz   t ;  5377.67  249.68z  19.206z 2 N/cm 2 con Sx1''  bt    sz  I x1 s  2   2 

(7.30)

il valore massimo della tensione t32 si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t 32 ,max  t 32 z  h  t  6189.11 N/cm 2

(7.31)

2

Il diagramma delle tensioni tangenziali t31 e t32 è riportato nella Figura 7.6.

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

80

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

2689 N/cm² '

49909 N/cm²

P

t

33

t

y

x

t

5378 N/cm²

31

32

G

1

6189 N/cm²

z

'' 45334 N/cm²

5378 N/cm² 2689 N/cm²

x

2

Figura 7.6. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P assumendo che lì agiscano le tensioni t 33,s , t 31,max e t 32 z  h  2t  t 32 z 0  5377.66N/cm 2



2 2 2 id  t 33 ,s  3 t 31,s ,max  t 32

z  h  2t

  50103.5 N/cm

2

 amm  16000 N/cm2

(7.32)

La verifica, pertanto, NON risulta essere soddisfatta.

Soluzione del compito del 19 settembre 2011

81

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

8 Soluzione del compito del 06 ottobre 2011



Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura



Verificare la sezione più sollecitata.

Dati: E = 2.1·107 N/cm2

amm=1.6·104 N/cm2

L = 300 cm

q =150 N/cm

=1.5·10-5°C-1 1=10°C

2=25°C

b1=10 cm

b2=20 cm

h = 10 cm

s = 0.5 cm

q C

L

L 4

D

T1

3L 4

T2

E b1 h

s b2

B

A L

Figura 8.1. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.

8.1 Riconoscimento del gradi di iperstaticità Per riconoscere il grado di iperstaticità del sistema si può rilevare che il sistema privo di vincoli è composto, al netto dei vincoli di continuità, da una sola asta e quindi possiede nel piano tre gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni sono quattro (due per il vincolo in A e due per il vincolo in B), quindi il sistema è una volta iperstatico. q  3n    3   2  2   1

Soluzione del compito del 06 ottobre 2011

(8.1)

82

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

8.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale è a  (Omega) e possiede un asse di simmetria verticale, quindi il baricentro G si troverà su di esso e l’altezza del baricentro sarà da determinarsi come nel seguito. Per facilitare i calcoli sarà opportuno dividere la sezione trasversale in sotto aree, come mostrato in Figura 8.3

b1 1

s

h

3

2

b2 Figura 8.2. Suddivisione della sezione trasversale per il calcolo delle caratteristiche geometriche.

Adesso si determina l’area: A  A1  2A 2  b1h   b1  2s  h  s   s  b 2  b1   19.5 cm 2

(8.2)

Il momento statico rispetto ad un asse orizzontale passante per il lembo inferiore della sezione può calcolarsi come: 2 b h 2  b  2s  h  s  s  b 2  b1  Sx 0  1  1   95.125 cm3 2 2 2 2

(8.3)

La posizione verticale del baricentro può determinarsi, allora, come: yG 

Sx 0 A

 4.8782 cm

(8.4)

Il momento di inerzia rispetto l’asse orizzontale passante per il lembo inferiore della sezione si calcola come: 3 b h 3  b  2s  h  s  s  b 2  b1  I x0  1  1   761.625 cm 4 3 3 3 3

(8.5)

Infine, il momento di inerzia rispetto l’asse orizzontale baricentrico x1 si calcola come: I x1  I x 0  Ay G2  297.586 cm 4

(8.6)

8.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Per la descrizione del metodo delle forze si rimanda agli esercizi precedenti; per quanto riguarda il sistema assegnato, esso è equivalente alla sovrapposizione degli schemi isostatici descritti in Figura

Soluzione del compito del 06 ottobre 2011

83

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 8.3, ottenuti mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla traslazione orizzontale del punto B. L’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che la traslazione orizzontale del punto B, congruentemente a quanto accade nel sistema originario, sia nulla, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) u B  u (0) B  uB X  0

(8.7)

Una volta determinata l’incognita iperstatica, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti. q C

D

T1

C

E

T2

D

E

+

0)

1) B u

A

X

B

(0)

B

u

(1)

B

A

Figura 8.3. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1).

8.3.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 8.4Figura 7.3. I valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: 1 2 (0) (0) qL  3375kNcm; H (0) A  0;VB  qL  45000N ; M A  4

(8.8)

(0) N (0) N (0) AB  x3   N CDE  x3   0; BD  x3   qL;

(8.9)

(0) (0) (0) TAB  x3   TBD  x3   0; TCD  x3   q x3 ; (0) M (0) AB  x3   M BD  x3   

(0) TDE  x3   qL  q x3 ;

q x32 q x32 qL2 qL2 (0) (0) ; M CD x   ; M x    qL x  ;  3 DE  3  3 4 2 2 2

(8.10) (8.11)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 8.4Figura 7.3-a.

Soluzione del compito del 06 ottobre 2011

84

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI qL

q x C

3

D

E

C

N x

qL² 4

x

D

(0)

3

B

3

A

E

B qL

A

qL

a)

b) 1qL 4

qL² 32

9qL² 32

D C

E

C

D

3 4qL

T

E

qL² 4

(0)

M

(0)

B A

qL² 4

B

A

c)

d)

Figura 8.4. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

8.3.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 8.5, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: (1) (1) H (1) A  X; VB  M A  0; ;

(8.12)

(1) (1) N (1) N (1) AB  x3   X; BD  x3   N CD  x3   N DE  x3   0;

(8.13)

(1) (1) (1) TAB  x3   TBD  x3   TCD  x3   TDE(1)  x3   0;

(8.14)

(1) (1) (1) M (1) AB  x3   M BD  x3   M CD  x3   M DE  x3   0;

(8.15)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 7.4-a.

Soluzione del compito del 06 ottobre 2011

85

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI x

3

C

D

C

E

N

D

E

(1)

x

3

B

x

X

3

A

X

B

X

A

a)

b)

D C

T

E

C

D

E

(1)

M

(1)

B A

B A

c)

d)

Figura 8.5. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

8.3.3 Determinazione dell’incognita iperstatica Come detto in precedenza l’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (8.7). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti (1) u (0) B e u B . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.

8.3.3.1 Calcolo di rA(0) La determinazione di rA(0) viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Nel calcolo del lavoro si dovrà tenere conto sia delle componenti deformative assiali (dovute allo sforzo normale ed alle dilatazioni termiche uniformi TN ), che delle componenti deformative di curvatura (dovute al momento flettente ed alle componenti “a farfalla” delle dilatazioni termiche TM ): TN 

T1  T2 T  T1 =17.5°C; TM  2 =7.5°C; 2 2

Soluzione del compito del 06 ottobre 2011

(8.16)

86

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Le  1  u (0) B

(8.17) L  M (0) M (0)  x  2TM AB  x3  (1) d x3   M BD  x3   BD 3   x3   EI x EI x1 h 0  1

L

Li   M

(1) AB

0

L/ 4



M

(1) CD

0

  d x3  

3L / 4 M (0) M (0) x  CD  x3  (1) d x3   M DE  x3  DE 3 d x3   x3  EI x1 EI x1 0

 N  x3     N (1)  TN  d x3  BD  x3   EA 0 0  EA  (0) (0) L/ 4 3L / 4 N CD  x3  N DE  x3    N (1) d x3   N (1) d x3  0 CD  x3  DE  x3  EA EA 0 0 L

 N x  (1) AB

N

(0) AB

3

 x3  d x

L

(8.18)

(0) BD

3

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: u (0) B  0 cm

(8.19)

8.3.3.2 Calcolo di rA(1) La determinazione di rA(1) viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Le  1 u (1) B L

Li   M

(1) AB

0

L/ 4



M 0

(1) CD

(8.20) L M (1) M (1) x  AB  x3  (1) d x3   M BD  x3  BD 3 d x3   x3  EI x1 EI x1 0

3L / 4 M (1) M (1) x  CD  x3  (1) d x3   M DE  x3  DE 3 d x3   x3  EI x1 EI x1 0

L N (1) N (1) AB  x3  BD  x3  (1) (1)  N x d x N x d x3      AB 3 3 BD 3 0 0 EA EA L

L/ 4





N (1) CD  x3 

0

(8.21)

3L / 4 N (1) N (1)  x  L CD  x3  d x3   N (1DE)  x3  DE 3 d x3  EA EA EA 0

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: u (1) B 

L  7.326 107 cm/N EA

(8.22)

8.3.3.3 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori degli spostamenti appena determinati nell’equazione di congruenza: (1) u (0) B  uB X  0  X = 

u (0) B 0 N u (1) B

Soluzione del compito del 06 ottobre 2011

(8.23)

87

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

8.4 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti si ricava che i i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato coincideranno con quelle già determinate per lo schema isostatico 0)

8.5 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera D, appartenente all’asta DE, che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: 3 9 N D  0N; TD  qL  33750N; M D   qL2  3797kNcm. 4 32

(8.24)

La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute a tali caratteristiche della sollecitazione si calcolano applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione: t 33 

ND MD 3797000  x2  0  x2  12758.9 x2 N/cm 2 A I x1 297.586

(8.25)

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo:

t 33,i  t 33 x  y  62240.7 N/cm 2 2

G

t 33 ,s  t 33 x  y 2

G h

 65348.6 N/cm 2

(8.26)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 7.6. Le sole tensioni normali sono sufficienti ad esprimere un giudizio negativo sulla verifica della sezione, si vuole ugualmente, per scopi didattici, calcolare il contributo delle tensioni tangenziali, la cui determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski alle corde illustrate nella Figura 7.6: t 31  

TDSx1'

s   552.52y N/cm 2 con Sx1'  2sy  h  yG   ; 2 I x1 2s 

(8.27)

il valore massimo della tensione t31 si ha per y=b1 /2 : t 31,max  t 31 y  b / 2  2762.62 N/cm 2

(8.28)

1

L’andamento delle tensioni tangenziali t32 in ognuna delle anime verticali è invece dato dalla: t 32  

TDSx1'' I x1 s

 2886.93  496.54w  56.71w 2 N/cm 2

Soluzione del compito del 06 ottobre 2011

(8.29)

88

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI in cui s w b b    Sx1''   2 1  s  s  y G    sw  yG  s   ; 2 2  2   

(8.30)

Il valore massimo della tensione t32 si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t 32 ,max  t 32 z  y

G s

 3973.92 N/cm 2

(8.31)

Nelle appendici laterali orizzontali agirà una tensione tangenziale t31 determinabile dalla: t 31  

TDSx1'''

s   524.90z N/cm 2 con Sx1'''  zs  y G   ; 2 I x1 s 

(8.32)

il valore massimo della tensione t31 si ha per y=  b 2 - b1  /2 : t 31,max  t 31 y  b

2  b1

/ 2

 2624.49 N/cm 2

(8.33)

Il diagramma delle tensioni tangenziali è riportato nella Figura 8.6.

'

2624 N/cm² 65348 N/cm²

P

t

y

x

33

t

G

1

''

t

2624 N/cm² 31

t

32

3973 N/cm²

32

'''

w

2624 N/cm² 62240 N/cm²

z

x

t

31

2

Figura 8.6. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza del punto P assumendo che lì agiscano le tensioni t 33,s , t 31,max e t 32



2 2 2 id  t 33 ,s  3 t 31,max  t 32

w  h s

w  h s

 2624N/cm 2

  65664.1 N/cm

2

 amm  16000 N/cm 2

(8.34)

La verifica, pertanto, NON risulta essere soddisfatta.

Soluzione del compito del 06 ottobre 2011

89

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

9 Soluzione del compito del 16 febbraio 2012



Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura



Verificare la sezione più sollecitata.

Dati: E = 2.1·107 N/cm2

amm=1.6·104 N/cm2

=45°

=1.5·10-5°C-1

T = 10°C

t = 1 cm

L = 300 cm

q =150 N/cm

h=20 cm

b1=10 cm

b2=20 cm

s = 0.5 cm

L

L/2 D E b2

L/2

q B

t

A

h T

s

L t

 b1 C

Figura 9.1. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.

9.1 Riconoscimento del grado di iperstaticità Per riconoscere il grado di iperstaticità del sistema si può rilevare che il sistema privo di vincoli è composto da due aste quindi possiede nel piano sei gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni sono cinque (due per il vincolo in A, uno per il vincolo in C e due per il vincolo in E), mentre i gradi di libertà sottratti dal vincolo interno in B sono due, quindi il sistema è una volta iperstatico. q  n    6   2  1  2  2   1

Soluzione del compito del 16 febbraio 2012

(9.1)

90

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

9.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale è a I con ali diseguali e possiede un asse di simmetria verticale, quindi il baricentro G si troverà su di esso. L’altezza del baricentro viene determinata come di seguito: Dapprima si determina l’area: A   b1  b 2  t   h  2t  s  39 cm 2

(9.2)

Quindi si calcola il momento statico rispetto ad un asse orizzontale passante per il lembo inferiore: Sx 0

b1  t 2   s 2

 h  2t 

h t   b 2 t  h    485 cm3 2 2 

(9.3)

ed, infine, l’ordinata del baricentro rispetto il lembo inferiore: yG 

Sx 0 A

 12.4359 cm

(9.4)

Il momento di inerzia rispetto l’asse orizzontale baricentrico x1 si calcola come: 3 b t3 t t   s  h  2t  h  bt  I x1  2  b 2 t  h   yG    s  h  2t    y G   1  b1t  y G    12 2 12 12 2   2   2

3

2

2

(9.5)

 2721.589 cm 4

9.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne viene esaminata una. Una volta determinata l’incognita iperstatica X come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti:  N  x3   N (0)  x3   N (1)  x3  X  (0) (1) T  x3   T  x3   T  x3  X  (0) (1) M  x3   M  x3   M  x3  X

(9.6)

9.4 Soluzione dello schema iperstatico Si sceglie di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla traslazione orizzontale del punto E. I sistemi isostatici sono quelli indicati in Figura 9.2,

Soluzione del compito del 16 febbraio 2012

91

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che lo spostamento del punto E u E , deve essere nullo, ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) u E  u (0) E  uE X  0

(9.7) uE

D

(0)

uE

D E

(1)

X=1

E

q B

B

A

A

+ T



0)

1)

C

 C

Figura 9.2. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1).

9.4.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 9.3. I valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: H

(0) A

H

(0) C

V

(0) C

 qL  45000N; M

(0) N (0) AB  x3   N BC  x3   qL; (0) TAB  x3   q x3 ; TBC(0)  x3   qL;

M (0) AB  x3   

(0) A

qL2 (0) (0)   6750kNcm; H (0) B  VB  VE  0; 2

(0) N (0) BD  x3   N DE  x3   0; (0) TBD  x3   TDE(0)  x3   0;

q 2 (0) L  x32  ; M (0) M (0)  BC  x3   qL x3 ; BD  x3   M DE  x3   0; 2

(9.8) (9.9) (9.10) (9.11)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 9.3-a.

9.4.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche

Soluzione del compito del 16 febbraio 2012

92

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 9.4, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati:  (1) (1) (1) H (1) A  2X; M A  XL; H C =VC  VE  X; ;

(9.12)

(1) (1) N (1) N (1) AB  x3   2X; BC  x3   N BD  x3   N DE  x3    X

(9.13)

(1) (1) TAB  x3   0; TBC(1)  x3   X; TBD  x3   X; TDE(1)  x3   X;

(9.14)

(1) M (1) M (1) M (1) AB  x3    XL; BC  x3    X x3 ; BD  x3   X x3 ; M DE  x3    X x3 ;

(9.15)

1

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 9.4-a.

x3 D

D E

E

qL

x3 qL

qL

B

A

B

A

qL²

x3

N

(0)

x3 a)

b)

qL C

C

qL

qL

D

D E

qL A

B

T

E

1qL² 2 A

qL² B

(0)

(0)

M

c)

C qL

d) C

Figura 9.3. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Soluzione del compito del 16 febbraio 2012

93

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

x

3

D

D

X=1

X

E

E

X

x

2X

B

A 2X

3

A

XL

x

B

3

N x

(1)

3

a)

b)

X

C

C

X

X

D

D

E

E

X

X XL A

B

T

XL

A

B

(1)

(1)

M

c)

C

d)

X

C

Figura 9.4. Schema isostatico 1); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

9.4.3 Determinazione dell’incognita iperstatica Come detto in precedenza l’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (9.7). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti (1) u (0) E e u E . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.

9.4.3.1 Calcolo di u (0) E viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il La determinazione di u (0) E sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Le  1  u (0) E

(9.16)

Il lavoro interno, tralasciando di riportare i termini nulli, può scriversi come:

Soluzione del compito del 16 febbraio 2012

94

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI L

Li   M

(1) AB

 x3 

0

M (0) AB  x3  EI x1

L

d x3   M

(1) BC

 x3 

M (0) BC  x3 

0

EI x1

L

d x3   N

(1) AB

 x3 

0

N (0) AB  x3  EA

d x3

 N (0)  x  qL4 3qL2 (1)   N BC  x3   BC 3  T  d x3    TL  EA  EI x1 EA 0   L

(9.17)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: u (0) E 

qL4 3qL2   TL  21.263 cm EI x1 EA

(9.18)

9.4.3.2 Calcolo di u (1) E viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il La determinazione di u (1) E sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Le  1 u (1) E L

Li   M (1) AB  x3  0

L L M (1) N (1) N (1) x  DE  x3  AB  x3  (1) (1) d x3   N AB  x3  d x3   N BC  x3  BC 3 d x3   x3  EI x1 EA EA 0 0

(1) BD

L/ 2 N (1) N (1) x  6L 17 L3 BD  x3  (1)  d x3   N DE  x3  DE 3 d x3   x3  EA EA 12 EI x1 EA 0

M 0

L/ 2





N

L L/ 2 M (1) M (1) M (1) AB  x3  BC  x3  BD  x3  (1) d x3   M (1) d M d x3  x x x      BC 3 3 BD 3  EI x1 EI x1 EI x1 0 0

(1) DE

L/ 2



(9.19)

0

(9.20)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: u (1) E 

6L 17 L3   6.7145 104 cm/N EA 12 EI x1

(9.21)

9.4.3.3 Calcolo della incognita iperstatica La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori degli spostamenti appena determinati nell’equazione di congruenza (9.7): u

(0) E

u (0)  u X  0  X =  E(1)  31667.4N uE (1) E

(9.22)

Il verso effettivo dell’incognita iperstatica è, quindi, discorde a quello ipotizzato.

9.5 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato, trovando: Soluzione del compito del 16 febbraio 2012

95

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI H A  2X  qL  18335N; M A  XL 

H C  VC  qL  X  13333N

(9.23)

qL2  2750.21 kNcm; VE  H E  X  31667N; 2

N AB  x3   2X  qL  18335N; N BC  x3   X  qL  13333N;

(9.24)

N BD  x3   X  31667N; N DE  x3   X  31667N; TAB  x3   q x3 =  150 x3 N; TBC  x3   qL  X  13333N;

(9.25)

TBD  x3   X  31667N; TDE  x3   X  31667N; q 2 L  x32  +XL=2750.21  75 x32 kNcm;  2 M BC  x3    X  qL  x3  13333 x3 Ncm; M AB  x3   

(9.26)

M BD  x3   X x3  31667 x3 Ncm; M DE  x3   X x3  31667 x3 Ncm;

I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella Figura 9.5.

x3 31667N

D

31667N

D

E

E 45000N

x3 B

A 18335N

31667N

31667N B

A 18335N

2750.21 kNcm

x3

N x3 a)

b)

13333N

C 13333N

C 13333N

31667N D

D

E

4750.1 kNcm E

31667N

45000N A

B

A

4000 kNcm

2750.21 kNcm

B

T

M

c)

C 13333N

d) C

Figura 9.5. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Soluzione del compito del 16 febbraio 2012

96

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

9.6 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera D che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N D  31667N; TD  31667N; M D  4750.1kNcm.

(9.27)

La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute a tali caratteristiche della sollecitazione si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione: t 33 

ND MD 31667 4750100  x2   x2  811.98  1745.34 x2 N/cm 2 A I x1 39 2721.59

(9.28)

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t 33,i  t 33 x  y  22517 N/cm 2 2

G

t 33,s  t 33

x2  yG  h

 12390 N/cm 2

(9.29)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 9.6. Nonostante le sole tensioni normali siano sufficienti ad esprimere un giudizio negativo sulla verifica della sezione, si vuole ugualmente per scopi didattici calcolare il contributo delle tensioni tangenziali, la cui determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski alle corde illustrate nella Figura 9.6: t 31,s  

TDSx1'

t   82.195y N/cm 2 con Sx1'   ty  h  yG   ; I x1 t 2 

(9.30)

il valore massimo della tensione t31,s si ha in corrispondenza dell’attacco dell’ala all’anima: t 31,s ,max  t 31 y  b2  891.95N/cm 2

(9.31)

2

Per l’ala inferiore si ha, analogamente, t 31,i  

TDSx1''

t   138.9z N/cm 2 con Sx1''  tz  yG   ; I x1 t 2 

(9.32)

il valore massimo della tensione t31,i si ha in corrispondenza dell’attacco dell’ala all’anima: t 31,i ,max  t 31 z  b1  694.4 N/cm 2

(9.33)

2

L’andamento delle tensioni tangenziali t32, invece, è dato dalla:

Soluzione del compito del 16 febbraio 2012

97

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

t 32  

TDSx1'''

t w    2777.6  133.1w  5.818w 2 N/cm 2 con Sx1'''  b1t  yG    sw  y G  t   ; (9.34) I x1 s 2 2  

il valore massimo della tensione t32 si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t 32 ,max  t 32

 3538.5 N/cm 2

w  yG  t

(9.35)

Il diagramma delle tensioni tangenziali t31 e t32 è riportato nella Figura 9.6. '

y

x

t

12390N/cm²

t

G

1

''

t

33

32

w

t

31,i

2770N/cm²

22517N/cm²

x

3287N/cm²

3538N/cm²

'''

z

891.95 N/cm² 31,s

694.40 N/cm²

2

Figura 9.6. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza dell’attacco dell’anima sull’ala inferiore assumendo che lì agiscano le tensioni t 33,i , t 31,i,max e t 32



2 2 2 id  t 33 ,i  3 t 31,i ,max  t 32

w 0

  23056 N/cm

2

w 0

 2770N/cm 2

 amm  16000 N/cm 2

(9.36)

La verifica, pertanto, NON risulta essere soddisfatta.

Soluzione del compito del 16 febbraio 2012

98

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

10 Soluzione del compito del 6 marzo 2012



Tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura riportata in figura



Verificare la sezione più sollecitata.

Dati: E = 2.1·107 N/cm2

amm=1.6·104 N/cm2

L = 300 cm

q =150 N/cm

=0.02 rad

L

h=20 cm

c=5 cm

t = 2 cm

b=10 cm

b2=20 cm

s = 0.5 cm

L

q

B A

C

b c

2L h s t 



D

Figura 10.1. Sistema da analizzare; schema d'assi e sezione trasversale.

10.1 Riconoscimento del grado di iperstaticità Per riconoscere il grado di iperstaticità del sistema si può rilevare che il sistema privo di vincoli è composto da due aste quindi possiede nel piano sei gradi di libertà. I gradi di libertà sottratti dai vincoli esterni sono cinque (due per il vincolo in C, e tre per il vincolo in D), mentre i gradi di libertà sottratti dal vincolo interno in B sono due, quindi il sistema è una volta iperstatico.

Soluzione del compito del 6 marzo 2012

99

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI q  n    6   3  2  2   1

(10.1)

10.2 Calcolo delle caratteristiche inerziali della sezione trasversale La sezione trasversale può essere pensata come una sezione a I con aggiunte delle appendici sull’ala superiore. Tale sezione possiede un asse di simmetria verticale, quindi il baricentro G si troverà su di esso. L’altezza del baricentro può essere determinata come di seguito: Dapprima si determina l’area: A  bh   b  s  h  2t   2  c  t  s  51 cm 2

(10.2)

Quindi si calcola il momento statico rispetto ad un asse orizzontale passante per il baricentro della sezione ad I pensata senza appendici. Dal momento che il momento statico per un asse baricentrico è sempre nullo, l’unico contributo al momento statico sarà: Sx 0  2  c  t  s  d  19.5 cm3

(10.3)

in cui d è la distanza del baricentro delle appendici dall’asse x0 e vale: d

h ct  6.5 cm 2

(10.4)

ed, infine, l’ordinata del baricentro dell’intera figura rispetto l’asse baricentrico della sezione ad I senza appendici sarà: yG 

Sx 0 A

 0.3824 cm

(10.5)

Le distanze del baricentro dal lembo inferiore e dal lembo superiore, rispettivamente, utili per la verifica della sezione, saranno pertanto: yi 

h  y G  10.3824 cm 2

(10.6)

ys 

h  yG  9.6177 cm 2

(10.7)

Il momento di inerzia rispetto l’asse orizzontale baricentrico x1 si calcola come: 3  s  c  t 3  bh 3  b  s  h  2t  2 2   AyG  2   s  c  t  d  yG    3560.89 cm 4 I x1   12  12 12  

(10.8)

10.3 Metodo di analisi (metodo delle forze): posizione del problema Secondo quanto prescritto dal metodo delle forze, il sistema assegnato è equivalente alla sovrapposizione di schemi isostatici ottenuti mediante la soppressione di un numero di vincoli a molteplicità semplice pari al grado di iperstaticità, quindi, nel caso in esame, sopprimendo una

Soluzione del compito del 6 marzo 2012

100

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI molteplicità vincolare. Vi saranno, ovviamente, diverse possibilità di scelta per pervenire agli schemi isostatici e nel seguito ne viene esaminata una. Una volta determinata l’incognita iperstatica X come mostrato nel seguito, i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione agenti sul sistema assegnato possono essere ricavate mediante il principio di sovrapposizione degli effetti:  N  x3   N (0)  x3   N (1)  x3  X  (0) (1) T  x3   T  x3   T  x3  X  (0) (1) M  x3   M  x3   M  x3  X

(10.9)

10.4 Soluzione dello schema iperstatico Si sceglie di rendere isostatico il sistema mediante la soppressione della molteplicità vincolare legata alla rotazione del punto D. I sistemi isostatici sono quelli indicati in Figura 10.2, in cui l’incognita iperstatica X deve essere valutata in maniera tale che la rotazione del punto D D , deve essere pari alla rotazione anelastica imposta 0 , ovvero deve essere verificata la seguente equazione di congruenza: (1) D  (0) D   D X  0

(10.10)

q

B A

B A

C

C

+

0)

1)



(1)



D

(0)

D

D D

Figura 10.2. Scomposizione della struttura iperstatica negli schemi isostatici 0) e 1).

10.4.1 Soluzione dello schema isostatico 0) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 0) si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 10.3. I valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati:

Soluzione del compito del 6 marzo 2012

101

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

(0) (0) H (0) C  H D  0; M C 

qL2 qL  4500kNcm; VD(0)   22500N; 3 2

 x  (0) q  x3   q 1  3  ; N (0) AB  x3   N BC  x3   0; L 

N (0) BD  x3   

(10.11)

qL ; 2

(10.12)

x3 x (0) (0) TAB  x3   0 q  ˆx3 d ˆx3 =  q x3 1  3  ; TBC(0)  x3   TBD  x3   0;  2L 

ˆ ˆ ˆ M (0) AB  x3      x3  x3 q  x3  d x3 = x3

0

(10.13)

q x32 qL2 x   ; M (0)  x3  3L  ; M (0)   BC 3 BD  x3   0; 6L 3

(10.14)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 10.3-a. qL 2

2

qL 3

B A

x

x

3

C

B C

A

3

qL 2

a)

b)

N x

3

(0)

D D

qL 2

qL 2 2

qL 3

B A

C

c)

T

A

B

C

d)

M

(0)

D

(0)

D

Figura 10.3. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

10.4.2 Soluzione dello schema isostatico 1) Applicando le equazioni cardinali della statica allo schema isostatico 1), in cui l’incognita iperstatica assume valore unitario (X=1), si determinano le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione riportate graficamente nella Figura 10.4, mentre i rispettivi valori delle reazioni vincolari e andamenti delle caratteristiche della sollecitazione sono di seguito elencati: Soluzione del compito del 6 marzo 2012

102

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI X ;; 2L

1 (1) VD(1)  M (1) C  0; H C =H D 

(10.15)

(1) N (1) N (1) AB  x3   N BD  x3   0; BC  x3   

(1) (1) TAB  x3   TBC(1)  x3   0; TBD  x3   

X ; 2L

(10.16)

X ; 2L

(1) M (1) M (1) AB  x3   M BC  x3   0; BD  x3   X

(10.17)

2L  x3 ; 2L

(10.18)

I sistemi di riferimento delle ascisse x3 utilizzati sono mostrati nella Figura 10.4-a. X 2L

B A

x

x

3

3

C

X 2L

B A

C

N

(1)

X

a)

x

D

D

b)

3

X 2L

qL 2

A

B

T

C

A

(1)

B

C

(1)

M

c)

D X 2L

d)

D X

Figura 10.4. Schema isostatico 0); a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

10.4.3 Determinazione dell’incognita iperstatica L’incognita iperstatica va determinata imponendo l’equazione di congruenza (10.10). Per compiere questo passo è necessario procedere al calcolo degli spostamenti (0) e (1) D D . A tale scopo si utilizzerà il metodo della forza unitaria.

Soluzione del compito del 6 marzo 2012

103

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 10.4.3.1 Calcolo di (0) D

La determinazione di (0) viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il D sistema 0) come sistema congruente reale ed il sistema 1) come sistema equilibrato fittizio. Il lavoro esterno vale: Le  1  (0) D

(10.19)

Il lavoro interno può scriversi come: L

Li   M (1) AB  x3  0

L 2L M (0) M (0) M (0) AB  x3  BC  x3  BD  x3  (1) d x3   M (1) d M d x3  0  x x x BC  3  3 BD  3   EI x1 EI EI x1 x1 0 0

(10.20)

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: (0) D  0 rad

(10.21)

Il sistema isostatico 1 non presenta rotazioni in D. 10.4.3.2 Calcolo di (1) D

La determinazione di (1) D viene condotta applicando il metodo della forza unitaria assumendo il sistema 1) sia come sistema congruente reale che come sistema equilibrato fittizio. Le  1  (1) D L

Li   M (1) AB  x3  0

(10.22) L 2L M (1) M (1) M (1) 2 L AB  x3  BC  x3  BD  x3  (1) d x3   M (1) d M d x3   (10.23) x x x     BC 3 3 BD 3  EI x1 EI x1 EI x1 3 EI x1 0 0

Eguagliando il lavoro interno ed il lavoro esterno si ricava: u (1) E 

2 L  2.6745 109 rad/Ncm 3 EI x1

(10.24)

10.4.3.3 Calcolo della incognita iperstatica

La determinazione del valore della incognita iperstatica X può essere condotta sostituendo i valori degli spostamenti appena determinati nell’equazione di congruenza (9.7): (1) (0) X= D  D X  0

3EI x1 0 0  (0) D   7478 kNcm (1) 2L D

(10.25)

Il verso effettivo dell’incognita iperstatica è, quindi, concorde a quello ipotizzato.

Soluzione del compito del 6 marzo 2012

104

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

10.5 Determinazione dei diagrammi della sollecitazione Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti è possibile ricavare i valori delle reazioni vincolari e l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione del sistema iperstatico assegnato, trovando: HC  HD 

X qL qL2  12463N; VD   22500N; M C   4500 kNcm; 2L 2 3

(10.26)

X qL  12463N; N BD  x3     22500N; 2L 2

(10.27)

N AB  x3   0; N BC  x3   

x  X   12463N; (10.28) TAB  x3   q x3 1  3  =  150 x3 +0.25 x32 N TBC  x3   0; TBD  x3    2L  2L  q x32  x3  3L  =  75 x32  0.0833 x33 Ncm; 6L 2L  x3 x  qL2  M BC  x3     4500 kNcm; M BD  x3   X  7478 1  3  kNcm; 3 2L  600  M AB  x3  

(10.29)

I corrispondenti diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono riportati nella Figura 10.5.

10.6 Verifica della sezione più sollecitata Dall’esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione si deduce che la sezione più sollecitata è quella denotata con la lettera D che è soggetta alle seguenti caratteristiche della sollecitazione: N D  22500N; TD  12463N; M D  7478kNcm.

(10.30)

La distribuzione delle tensioni normali e tangenziali dovute a tali caratteristiche della sollecitazione si calcolano, rispettivamente, applicando la formula di Navier per le tensioni normali e la teoria approssimata del taglio secondo Jourawski per le tensioni tangenziali. Per quanto riguarda le tensioni normali, l’andamento è quello indicato dalla relazione: t 33 

ND MD  x2  441.18  2100 x2 N/cm 2 A I x1

(10.31)

I valori estremi delle tensioni si verificano in corrispondenza delle fibre inferiori ed superiori ottenendo: t 33 ,i  t 33

h x2   yG 2

 21362 N/cm 2

t 33 ,s  t 33

h x2   yG 2

 20638 N/cm 2

(10.32)

Il diagramma delle tensioni normali t33 è riportato nella Figura 10.6.

Soluzione del compito del 6 marzo 2012

105

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 22500N 4500kNcm 12463N

B A

x

x

3

C

3

12463N

A

B

C

N

a)

x

7478kNcm

b)

3

D

12463N

D 22500N

22500N

22500N

A

B

T

4500kNcm

C

A

B

C

M

c)

D

d)

12463N

D 7478kNcm

Figura 10.5. Schema iperstatico; a) reazioni vincolari; b) diagramma dello sforzo normale; c) diagramma del taglio; d) diagramma del momento flettente.

Nonostante le sole tensioni normali siano sufficienti ad esprimere un giudizio negativo sulla verifica della sezione, si vuole ugualmente per scopi didattici calcolare il contributo delle tensioni tangenziali, la cui determinazione può essere condotta applicando la nota formula di Jourawski alle corde illustrate nella Figura 10.6: t 31,s  

TDSx1'

 hc  ht   yG   ty   yG  ;  34.49  32.84y N/cm 2 con Sx1'  cs  I x1 t  2   2 

(10.33)

il valore massimo della tensione t31,s si ha in corrispondenza dell’attacco dell’ala all’anima: t 31,s ,max  t 31 y  b s  182.26N/cm 2

(10.34)

2

Per l’ala inferiore si ha, analogamente, t 31,i  

TDSx1''

ht   30.16z N/cm 2 con Sx1''  tz  yG  ; I x1 t 2  

Soluzione del compito del 6 marzo 2012

(10.35)

106

ESEMPI SVOLTI DI PROVE D’ESAME DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI il valore massimo della tensione t31,i si ha in corrispondenza dell’attacco dell’ala all’anima: t 31,i ,max  t 31 z  b  150.81 N/cm 2

(10.36)

2

L’andamento delle tensioni tangenziali t32, invece, è dato dalla: t 32  

TDSx1'''

 1206.47  26.66w  1.75w 2 N/cm 2

(10.37)

ht hw   in cui Sx1'''  bt  y G    sw  y G  t  ; 2  2   

(10.38)

I x1 s

il valore massimo della tensione t32 si ha in corrispondenza della fibra baricentrica in cui vale: t 32 ,max  t 32

h w   yG  t 2

 1308.02 N/cm 2

(10.39)

Il diagramma delle tensioni tangenziali t31 e t32 è riportato nella Figura 10.6. y

'

182.26N/cm²

20638N/cm²

1185.06N/cm²

34.49N/cm²

x

t

G

1

''

P

33

1308.02N/cm²

w

'''

1206.47N/cm²

z

21362N/cm²

150.81N/cm²

x

2

Figura 10.6. Tensioni normali e tangenziali sulla sezione trasversale.

Data l’entità delle tensioni appena determinate, la verifica di sicurezza può essere condotta, secondo il criterio di resistenza di Von Mises, in corrispondenza dell’attacco dell’anima sull’ala inferiore assumendo che lì agiscano le tensioni t 33,i , t 31,i,max e t 32



2 2 2 id  t 33 ,i  3 t 31,i ,max  t 32

w 0

  21465 N/cm

2

w 0

 1206.47N/cm 2

 amm  16000 N/cm 2

(10.40)

La verifica, pertanto, NON risulta essere soddisfatta.

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